Mathebattle EduRandomtasks

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x + 3} - 1$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x + 3} - 1$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -1 addiert wird, ist der Graph von $e^{x + 3} - 1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x + 3} - 1$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x + 3} - 1$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x + 3} - 1$ gegen $0 - 1$ = $- 1$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x}) + \lg (\frac{1}{80} x^{2}) - \lg (\frac{1}{4} x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{20}{x}) + \lg (\frac{1}{80} x^{2}) - \lg (\frac{1}{4} x^{4})$

= $\lg (20 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{80} x^{2}) - \lg (\frac{1}{4} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (\frac{1}{80}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{80}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{80}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (80) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) - 4 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (80) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80} \cdot 20 \cdot 4)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,4 x + 0,4} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{- 0,4 x + 0,4}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,4 x + 0,4}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,4 x + 0,4} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (y - 2)$

$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (y - 2)$	\| $- 0,4$
$- 0,4 x$	=	$\ln (y - 2) - 0,4$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (y - 2) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (x - 2) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (x - 2) + \frac{0,4}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,931}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,931}^{t}$ ablesen: a=0.931.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.931( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 9.69 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6% seines Bestands. Zu Beginn sind 10kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2,9kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 0,94 ⋅ B. Somit ist das a=0,94.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,94}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = $10 \cdot {0,94}^{12}$ ≈ 4,759.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.9 kg ist, also f(t) = 2.9:

$10 \cdot {0,94}^{t}$	=	$2,9$	\|: $10$
${0,94}^{t}$	=	$0,29$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,94}^{t})$	=	$\lg (0,29)$
$t \cdot \lg (0,94)$	=	$\lg (0,29)$	\|: $\lg (0,94)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,29)}{\lg (0,94)}$

t

=

20,0059

Nach ca. 20,006 Tage ist also der Bestand = 2.9 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben