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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 50 x 3 ) + lg( 1 1.000.000 ) + lg( 20 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 50 x 3 ) + lg( 1 1.000.000 ) + lg( 20 x 3 )

= lg( 50 x 3 ) + lg( 1 1.000.000 ) + lg( 20 x -3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 50 ) + lg( x 3 ) + ( lg( 1 1.000.000 ) + lg( 1 ) ) + ( lg( 20 ) + lg( 1 x 3 ) )

= lg( 50 ) + lg( x 3 ) + lg( 1 1.000.000 ) + lg( 1 ) + lg( 20 ) + lg( 1 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 50 ) +3 lg( x ) + lg( 1 1.000.000 ) +0 + lg( 20 ) -3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 50 ) +3 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 1000000 ) +0 + lg( 20 ) -3 lg( x )

= - lg( 1000000 ) + lg( 50 ) + lg( 20 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 1.000.000 · 50 · 20 )

= lg( 1 1000 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-2), also gilt f(0)=-2.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -2 , also f(x)= -2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -4.

In unseren Funktionsterm f(x)= -2 a x eingesezt bedeutet das: -4 = -2a = -2a .

Es gilt also: -4 = -2a | ⋅ - 1 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= -2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e 0,1x -0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e 0,1x -0,3 wird e 0,1x -0,3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e 0,1x -0,3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e 0,1x -0,3 = y |:-2
e 0,1x -0,3 = - 1 2 y |ln(⋅)
0,1x -0,3 = ln( - 1 2 y )
0,1x -0,3 = ln( - 1 2 y ) | +0,3
0,1x = ln( - 1 2 y ) +0,3 |:0,1
x = 1 0,1 ln( - 1 2 y ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( - 1 2 x ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( - 1 2 x ) + 0,3 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,936 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,936 t ablesen: a=0.936.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.936( 1 2 ) ≈ 10.48 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 2,33Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 2,9 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also Bneu = B + 8 100 ⋅B = (1 + 8 100 ) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,08 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 2.33 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 2.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,08 t ein:

c ⋅ 1.082 = 2.33

c ⋅ 1.1664 = 2.33 | : 1.1664

c = 2

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 2 1,08 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = 2 1,08 12 5,036.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.9 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 2.9:

2 1,08 t = 2,9 |:2
1,08 t = 1,45 |lg(⋅)
lg( 1,08 t ) = lg( 1,45 )
t · lg( 1,08 ) = lg( 1,45 ) |: lg( 1,08 )
t = lg( 1,45 ) lg( 1,08 )
t = 4,8279

Nach ca. 4,828 Stunden ist also der Bestand = 2.9 Millionen Bakterien.