Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (1)$ = $0$ , eben weil $4$ ^$0$ = $1$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- 3 k x \cdot e^{k x - 3 k} + 10 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm

- 3 k x \cdot e^{k x - 3 k}

= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|4) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k(

0

) =

- 3 k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - 3 k} + 10 k

=

10 k

= 4

$10 k$	=	$4$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{2}{5}$ = 0.4

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{5}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,4}$	=	$y$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,4$	=	$\ln (y)$

$0,2 x - 0,4$	=	$\ln (y)$	\| $+ 0,4$
$0,2 x$	=	$\ln (y) + 0,4$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x) + \frac{0,4}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,054}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,054}^{t}$ ablesen: a=1.054.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.054( $2$ ) ≈ 13.18 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 17% abnimmt. 10 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 1,55 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,3 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{17}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{17}{100}$ ) ⋅ B = 0,83 ⋅ B. Somit ist das a=0,83.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,83}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 1.55 Millionen Insekten ist, also f(10) = 1.55. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,83}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.83¹⁰ = 1.55

c ⋅ 0.15516 = 1.55 | : 0.15516

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,83}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $10 \cdot {0,83}^{5}$ ≈ 3,939.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.3:

$10 \cdot {0,83}^{t}$	=	$2,3$	\|: $10$
${0,83}^{t}$	=	$0,23$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,83}^{t})$	=	$\lg (0,23)$
$t \cdot \lg (0,83)$	=	$\lg (0,23)$	\|: $\lg (0,83)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,23)}{\lg (0,83)}$

t

=

7,8875

Nach ca. 7,888 Jahre ist also der Bestand = 2.3 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben