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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 · e x 2 +1 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 · e ( -x ) 2 +1 = x 2 · e x 2 +1

Wenn man das mit f(x) = x 2 · e x 2 +1 vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 ⋅a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 ⋅ 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +0,1 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e -0,1x +0,1 wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x +0,1 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +0,1 +1 = y | -1
e -0,1x +0,1 = y -1 |ln(⋅)
-0,1x +0,1 = ln( y -1 )
-0,1x +0,1 = ln( y -1 ) | -0,1
-0,1x = ln( y -1 ) -0,1 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( y -1 ) + 0,1 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( x -1 ) + 0,1 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( x -1 ) + 0,1 0,1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 25⋅ 0,8 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 25

f(1) = 25 ⋅ 0,8

f(2) = 25 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8

f(3) = 25 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8

f(4) = 25 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,8 multipliziert. Da 0,8 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,8-fache, also auf 80 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 10 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 510 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also Bneu = B + 26 100 ⋅B = (1 + 26 100 ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10⋅ 1,26 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = 10⋅ 1,26 5 ≈ 31,758.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 510 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 510:

10⋅ 1,26 t = 510 |:10
1,26 t = 51 |lg(⋅)
lg( 1,26 t ) = lg( 51 )
t · lg( 1,26 ) = lg( 51 ) |: lg( 1,26 )
t = lg( 51 ) lg( 1,26 )
t = 17,0127

Nach ca. 17,013 Stunden ist also der Bestand = 510 Millionen Bakterien.