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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 25 x 4 ) + lg( 5 x ) + lg( 5x ) soweit wie möglich.

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lg( 1 25 x 4 ) + lg( 5 x ) + lg( 5x )

= lg( 1 25 x 4 ) + lg( 5 x -1 ) + lg( 5x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 25 ) + lg( x 4 ) + ( lg( 5 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 5 ) + lg( x ) )

= lg( 1 25 ) + lg( x 4 ) + lg( 5 ) + lg( 1 x ) + lg( 5 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 25 ) +4 lg( x ) + lg( 5 ) - lg( x ) + lg( 5 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 25 ) +4 lg( x ) + lg( 5 ) - lg( x ) + lg( 5 ) + lg( x )

= 4 lg( x ) - lg( 25 ) + lg( 5 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 4 lg( x ) + lg( 1 25 · 5 · 5 )

= 4 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= 4 lg( x ) + lg( 1 )

= 4 lg( x )

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ( x - k ) · e x - 1 2 k -3 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm ( x - k ) · e x - 1 2 k = 0 wird, wenn x - k = 0 ist, also für x = k .
    Dann muss ja der y-Wert fk( k ) = ( ( k ) - k ) · e ( k ) - 1 2 k -3 = 0 -3 = -3 sein.
    Da bei x = k bei ( x - k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( k | -3 ) im abgebildeten Graph bei P(1| -3 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit k = 1
    Also gilt k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e 0,4x -0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e 0,4x -0,4 können die Funktionswerte von 4 e 0,4x -0,4 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e 0,4x -0,4 = y |:4
e 0,4x -0,4 = 1 4 y |ln(⋅)
0,4x -0,4 = ln( 1 4 y )
0,4x -0,4 = ln( 1 4 y ) | +0,4
0,4x = ln( 1 4 y ) +0,4 |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 4 y ) + 0,4 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( 1 4 x ) + 0,4 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( 1 4 x ) + 0,4 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6,9% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 6.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6.9% weggehen,
also Bneu = B - 6.9 100 ⋅B = (1 - 6.9 100 ) ⋅ B = 0,931 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,931.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.931( 1 2 ) ≈ 9.69 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 1040,4€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 6 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 1200€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,02 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 1040.4 € ist, also f(2) = 1040.4. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,02 t ein:

c ⋅ 1.022 = 1040.4

c ⋅ 1.0404 = 1040.4 | : 1.0404

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 1000 1,02 6 1126,162.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1200 € ist, also f(t) = 1200:

1000 1,02 t = 1200 |:1000
1,02 t = 6 5 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 6 5 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 6 5 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 6 5 ) lg( 1,02 )
t = 9,2069

Nach ca. 9,207 Jahre ist also der Kontostand = 1200 €.