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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000 000}{x}) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000 000}{x}) - \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) - \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) - \lg (x) - \lg (x)$
= $6 - \lg (x) - \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 6$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (100 x) + \lg (20 x) + \lg (5 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (100 x) + \lg (20 x) + \lg (5 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (100) + \lg (x)) + (\lg (20) + \lg (x)) + (\lg (5) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (100) - \lg (x) + \lg (20) + \lg (x) + \lg (5) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (100) - \lg (x) + \lg (20) + \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (100) - \lg (x) + \lg (20) + \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,1 x - 0,2} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{0,1 x - 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,1 x - 0,2}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,1 x - 0,2} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{0,1 x - 0,2}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (y + 1)$

$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (y + 1)$	\| $+ 0,2$
$0,1 x$	=	$\ln (y + 1) + 0,2$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (y + 1) + \frac{0,2}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 1) + \frac{0,2}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 1) + \frac{0,2}{0,1}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $21 \cdot {0,75}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $21$

f(1) = $21$ ⋅ $0,75$

f(2) = $21$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(3) = $21$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(4) = $21$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,75$ multipliziert. Da $0,75$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,75$ -fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 20 Milionen Bakterien. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 23,33Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 6 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 30 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 23.33 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 23.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $20 \cdot a^{t}$ ein:

$20 a^{2}$	=	$23,33$	\|: $20$
$a^{2}$	=	$1,1665$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{1,1665}$	≈ $- 1,08$
a₂	=	$\sqrt{1,1665}$	≈ $1,08$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,08$ ≈ 1.08 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {1,08}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $20 \cdot {1,08}^{6}$ ≈ 31,737.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 30:

$20 \cdot {1,08}^{t}$	=	$30$	\|: $20$
${1,08}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,08}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,08)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,08)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,08)}$

t

=

5,2684

Nach ca. 5,268 Stunden ist also der Bestand = 30 Millionen Bakterien.

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben