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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + e^{x^{2} + x}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} + e^{{(- x)}^{2} + (- x)}$ = $- x^{3} + e^{x^{2} - x}$ = $e^{x^{2} - x} - x^{3}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} + e^{x^{2} + x}$ = $e^{x^{2} + x} + x^{3}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^{x^{2} - x} - x^{3}$
weder gleich f(x) = $x^{3} + e^{x^{2} + x}$ noch gleich -f(x) = $- (x^{3} + e^{x^{2} + x})$ = $- (e^{x^{2} + x} + x^{3})$ ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = $1^{3} + e^{1^{2} + 1}$ = $1 + e^{2}$ ≈ 8.389
Aber: f(-1) = ${(- 1)}^{3} + e^{{(- 1)}^{2} - 1}$ = $- 1 + e^{0}$ ≈ 0

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k x \cdot e^{k x + k} + 2 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm

k x \cdot e^{k x + k}

= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-5) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k(

0

) =

k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 + k} + 2 k

=

2 k

= -5

$2 k$	=	$- 5$	\|: $2$
$k$	=	$- \frac{5}{2}$ = -2.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{5}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{- 0,4 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{- 0,4 x}$ können die Funktionswerte von $3 e^{- 0,4 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $3 e^{- 0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{- 0,4 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{- 0,4 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$3 e^{- 0,4 x}$	=	$y + 3$	\|: $3$
$e^{- 0,4 x}$	=	$\frac{1}{3} y + 1$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + 1)$	\|: $- 0,4$
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} y + 1)$
$x$	=	$- \frac{5}{2} \ln (\frac{1}{3} y + 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{5}{2} \ln (\frac{1}{3} x + 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{5}{2} \ln (\frac{1}{3} x + 1)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 12,3% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 12.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12.3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{12.3}{100}$ ) ⋅ B = 0,877 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,877.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.877( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 5.28 Tage

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4% verzinst. Zu Beginn sind 2000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 10 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 3000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $2 000 \cdot {1,04}^{10}$ ≈ 2960,489.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3000 € ist, also f(t) = 3000:

$2 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$3 000$	\|: $2 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,04)}$

t

=

10,338

Nach ca. 10,338 Jahre ist also der Kontostand = 3000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben