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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 13 ( 13 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 13 zur Basis 13, also die Hochzahl mit der man 13 potenzieren muss, um auf 13 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 13☐ = 13 gilt.

Wenn wir jetzt die 13 als 13 1 2 umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: 13☐ = 13 1 2

log 13 ( 13 ) = 1 2 , eben weil 13 1 2 = 13 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k e k x - k -3 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann k e k x - k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x - k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm k e k x - k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei -3 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x - k = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x - k = 0 | - ( - k )
    k x = k |:( k )
    x = 1
    Wenn wir nun 1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(1 ) = k e k ⋅1 - k -3 = k -3
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(1 ) = -2 ablesen, es gilt somit:
    k -3 = -2 | +3
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e -0,1x +0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e -0,1x +0,3 wird e -0,1x +0,3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e -0,1x +0,3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e -0,1x +0,3 = y |:-4
e -0,1x +0,3 = - 1 4 y |ln(⋅)
-0,1x +0,3 = ln( - 1 4 y )
-0,1x +0,3 = ln( - 1 4 y ) | -0,3
-0,1x = ln( - 1 4 y ) -0,3 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( - 1 4 y ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( - 1 4 x ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( - 1 4 x ) + 0,3 0,1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 7,3 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 7.3 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 7,3 = 1 2 | ⋅7,3
a = ( 1 2 ) 1 7,3

Das gesuchte a ist somit ( 1 2 ) 1 7,3 ≈ 0.91, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 13⋅ 0,91 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 22% vermehrt. Nach 6 Wochen zählt man bereits 3297,3 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 4 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 4000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 22% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 22% dazukommen,
also Bneu = B + 22 100 ⋅B = (1 + 22 100 ) ⋅ B = 1,22 ⋅ B. Somit ist das a=1,22.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,22 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 3297.3 Nutzer ist, also f(6) = 3297.3. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,22 t ein:

c ⋅ 1.226 = 3297.3

c ⋅ 3.2973 = 3297.3 | : 3.2973

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000⋅ 1,22 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = 1000⋅ 1,22 4 ≈ 2215,335.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 4000 Nutzer ist, also f(t) = 4000:

1000⋅ 1,22 t = 4000 |:1000
1,22 t = 4 |lg(⋅)
lg( 1,22 t ) = lg( 4 )
t · lg( 1,22 ) = lg( 4 ) |: lg( 1,22 )
t = lg( 4 ) lg( 1,22 )
t = 6,9715

Nach ca. 6,972 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 4000 Nutzer.