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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{- 1})$
= $- \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{1}{50 x}) + \lg (25 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{1}{50 x}) + \lg (25 x^{3})$

= $\lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{1}{50} x^{- 1}) + \lg (25 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) + (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (25) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (25) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (50) - \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (50) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 2)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,3 x - 0,9} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{0,3 x - 0,9}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,3 x - 0,9}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,3 x - 0,9} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{0,3 x - 0,9}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (y - 2)$

$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (y - 2)$	\| $+ 0,9$
$0,3 x$	=	$\ln (y - 2) + 0,9$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (y - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (x - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (x - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,038}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,038}^{t}$ ablesen: a=1.038.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.038( $2$ ) ≈ 18.59 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. Zu Beginn sind 3000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 5 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 3300€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$ ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,01}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $3 000 \cdot {1,01}^{5}$ ≈ 3153,03.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3300 € ist, also f(t) = 3300:

$3 000 \cdot {1,01}^{t}$	=	$3 300$	\|: $3 000$
${1,01}^{t}$	=	$\frac{11}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,01}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{10})$
$t \cdot \lg (1,01)$	=	$\lg (\frac{11}{10})$	\|: $\lg (1,01)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{10})}{\lg (1,01)}$

t

=

9,5786

Nach ca. 9,579 Jahre ist also der Kontostand = 3300 €.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben