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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (5)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (5)$ = $1$ , eben weil $5$ ^$1$ = $5$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x - 2 k) \cdot e^{x - k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x - 2 k) \cdot e^{x - k}$ = 0 wird, wenn $x - 2 k$ = 0 ist, also für x = $2 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $2 k$ ) = $- ((2 k) - 2 k) \cdot e^{(2 k) - k} + 1$ = $0 + 1$ = $1$ sein.
Da bei x = $2 k$ bei ( $x - 2 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $2 k$ | $1$ ) im abgebildeten Graph bei P(3| $1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $2 k$ = 3
Also gilt k = $\frac{3}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{0,2 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{0,2 x}$ wird $e^{0,2 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{0,2 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- e^{0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{0,2 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{0,2 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- e^{0,2 x}$	=	$y - 3$	\|: $- 1$
$e^{0,2 x}$	=	$- y + 3$	\|ln(⋅)
$0,2 x$	=	$\ln (- y + 3)$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (- y + 3)$
$x$	=	$5 \ln (- y + 3)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5 \ln (- x + 3)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $5 \ln (- x + 3)$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 35 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 22 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 22 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 35 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{35}$	=	$2$	\| $\sqrt[35]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[35]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[35]{2}$ ≈ 1.02, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $22 \cdot {1,02}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. Zu Beginn sind 6000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 11 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 10000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $6 000 \cdot {1,06}^{11}$ ≈ 11389,791.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10000 € ist, also f(t) = 10000:

$6 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$10 000$	\|: $6 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{3})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{5}{3})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{3})}{\lg (1,06)}$

t

=

8,7667

Nach ca. 8,767 Jahre ist also der Kontostand = 10000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben