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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 (1) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 1 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 1 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 5-Potenz zu schreiben versuchen, also 5 = 1

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 5 (1) = 0, eben weil 50 = 1 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 20x ) + lg( 1 400 x 3 ) + lg( 20x ) soweit wie möglich.

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lg( 20x ) + lg( 1 400 x 3 ) + lg( 20x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 20 ) + lg( x ) + ( lg( 1 400 ) + lg( x 3 ) ) + ( lg( 20 ) + lg( x ) )

= lg( 20 ) + lg( x ) + lg( 1 400 ) + lg( x 3 ) + lg( 20 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 20 ) + lg( x ) + lg( 1 400 ) +3 lg( x ) + lg( 20 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 20 ) + lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 400 ) +3 lg( x ) + lg( 20 ) + lg( x )

= 5 lg( x ) - lg( 400 ) + lg( 20 ) + lg( 20 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 5 lg( x ) + lg( 1 400 · 20 · 20 )

= 5 lg( x ) + lg( 1 20 · 20 )

= 5 lg( x ) + lg( 1 )

= 5 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e -0,2x +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e -0,2x wird e -0,2x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e -0,2x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem -3 e -0,2x wird zu allen Funktionswerten von -3 e -0,2x noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e -0,2x +3 = y | -3
-3 e -0,2x = y -3 |:-3
e -0,2x = - 1 3 y +1 |ln(⋅)
-0,2x = ln( - 1 3 y +1 ) |:-0,2
x = - 1 0,2 ln( - 1 3 y +1 )
x = -5 ln( - 1 3 y +1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -5 ln( - 1 3 x +1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -5 ln( - 1 3 x +1 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 10% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 10% dazukommen,
also Bneu = B + 10 100 ⋅B = (1 + 10 100 ) ⋅ B = 1,1 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,1.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.1(2) ≈ 7.27 Wochen

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 17,76Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 16,7 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,02 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 17.76 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 17.76. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,02 t ein:

c ⋅ 1.0212 = 17.76

c ⋅ 1.26824 = 17.76 | : 1.26824

c = 14

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 14 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = 14 1,02 9 16,731.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 16.7 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 16.7:

14 1,02 t = 16,7 |:14
1,02 t = 1,1929 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 1,1929 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 1,1929 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 1,1929 ) lg( 1,02 )
t = 8,9073

Nach ca. 8,907 Stunden ist also der Bestand = 16.7 Millionen Bakterien.