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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{10 000 000}{x}) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{10 000 000}{x}) + \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) - \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) - \lg (x) + \lg (x)$
= $7 - \lg (x) + \lg (x)$
= $7$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) - \lg (100 x)$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{20}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) - \lg (100 x)$

= $\lg (20 x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 2}) - \lg (100 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (100) + \lg (x))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (100) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 2 \lg (x) - \lg (100) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 2 \lg (x) - \lg (100) - \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{0,2 x - 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{0,2 x - 0,4}$ können die Funktionswerte von $2 e^{0,2 x - 0,4}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{0,2 x - 0,4}$	=	$y$	\|: $2$
$e^{0,2 x - 0,4}$	=	$\frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,4$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$

$0,2 x - 0,4$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$	\| $+ 0,4$
$0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y) + 0,4$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{2} y) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,4}{0,2}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $89 \cdot {1,1}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $89$

f(1) = $89$ ⋅ $1,1$

f(2) = $89$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

f(3) = $89$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

f(4) = $89$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,1$ multipliziert. Da $1,1$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,1$ -fache, also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 6741,6€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 11 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 11000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 6741.6 € ist, also f(2) = 6741.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.06² = 6741.6

c ⋅ 1.1236 = 6741.6 | : 1.1236

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $6 000 \cdot {1,06}^{11}$ ≈ 11389,791.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:

$6 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$11 000$	\|: $6 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{11}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{6})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{11}{6})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{6})}{\lg (1,06)}$

t

=

10,4024

Nach ca. 10,402 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben