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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50 x^{2}}) + \lg (\frac{25}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{1250})$ soweit wie möglich.

$- \lg (\frac{1}{50 x^{2}}) + \lg (\frac{25}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{1250})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{- 2}) + \lg (25 x^{- 3}) + \lg (\frac{1}{1250})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (1))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{1250}) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + 2 \lg (x) + \lg (25) - 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1250}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (25) - 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (1 250) + 0$

= $- \lg (x) - \lg (1 250) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 250} \cdot 50 \cdot 25)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{50 x^{7}}) + \lg (25) + \lg (2 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{50 x^{7}}) + \lg (25) + \lg (2 x^{3})$

= $\lg (\frac{1}{50} x^{- 7}) + \lg (25) + \lg (2 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) + (\lg (25) + \lg (1)) + (\lg (2) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) + \lg (25) + \lg (1) + \lg (2) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}) - 7 \lg (x) + \lg (25) + 0 + \lg (2) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (50) - 7 \lg (x) + \lg (25) + 0 + \lg (2) + 3 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (50) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 2)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,4 x - 1,2} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 1,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 1,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{0,4 x - 1,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,4 x - 1,2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,4 x - 1,2} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{0,4 x - 1,2}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 1,2$	=	$\ln (y - 3)$

$0,4 x - 1,2$	=	$\ln (y - 3)$	\| $+ 1,2$
$0,4 x$	=	$\ln (y - 3) + 1,2$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (y - 3) + \frac{1,2}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (x - 3) + \frac{1,2}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (x - 3) + \frac{1,2}{0,4}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 4,4 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 11 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,4}$	=	$2$	\| $\sqrt[4,4]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{4,4}}$	≈ $- 1,171$
a₂	=	$2^{\frac{1}{4,4}}$	≈ $1,171$

Das gesuchte a ist somit $1,171$ ≈ 1.17, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {1,17}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 17%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 61,59Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 14 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 28 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$ ) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,17}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 61.59 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 61.59. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,17}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.17¹³ = 61.59

c ⋅ 7.69868 = 61.59 | : 7.69868

c = 8

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 \cdot {1,17}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=14 Stunden, also f(14):

f(14) = $8 \cdot {1,17}^{14}$ ≈ 72,06.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 28 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 28:

$8 \cdot {1,17}^{t}$	=	$28$	\|: $8$
${1,17}^{t}$	=	$\frac{7}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,17}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{2})$
$t \cdot \lg (1,17)$	=	$\lg (\frac{7}{2})$	\|: $\lg (1,17)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{2})}{\lg (1,17)}$

t

=

7,9792

Nach ca. 7,979 Stunden ist also der Bestand = 28 Millionen Bakterien.

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Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben