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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 · e x 2 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 · e ( -x ) 2 = x 2 · e x 2

Wenn man das mit f(x) = x 2 · e x 2 vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: 3 2 = 1 2 ⋅a = 1 2 a .

Es gilt also: 3 2 = 1 2 a | ⋅ 2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 ⋅ 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e 0,1x -0,1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e 0,1x -0,1 wird e 0,1x -0,1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e 0,1x -0,1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e 0,1x -0,1 = y |:-1
e 0,1x -0,1 = -1 y |ln(⋅)
0,1x -0,1 = ln( -y )
0,1x -0,1 = ln( -y ) | +0,1
0,1x = ln( -y ) +0,1 |:0,1
x = 1 0,1 ln( -y ) + 0,1 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( -x ) + 0,1 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( -x ) + 0,1 0,1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 8,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 70kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 70 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 8.3 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 8,3 = 1 2 | ⋅8,3
a1 = - ( 1 2 ) 1 8,3 ≈ -0,92
a2 = ( 1 2 ) 1 8,3 ≈ 0,92

Das gesuchte a ist somit 0,92 ≈ 0.92, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 70⋅ 0,92 t

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seines Bestands. Zu Beginn sind 100kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also Bneu = B - 13 100 ⋅B = (1 - 13 100 ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 100⋅ 0,87 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = 100⋅ 0,87 6 ≈ 43,363.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

100⋅ 0,87 t = 30 |:100
0,87 t = 3 10 |lg(⋅)
lg( 0,87 t ) = lg( 3 10 )
t · lg( 0,87 ) = lg( 3 10 ) |: lg( 0,87 )
t = lg( 3 10 ) lg( 0,87 )
t = 8,6454

Nach ca. 8,645 Tage ist also der Bestand = 30 kg.