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cosh
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Symmetrie e-Funktionen
Beispiel:
Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit vorliegt.
Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:
f(-x) = = =
Wenn man das mit f(x) = vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = gerade das Negative von f(x), also -f(x) = ist.
Es gilt also: f(-x) = -f(x)
Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm
= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|4) gut erkennen. Es gilt folglich.
fk() = = = 4=
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Auch mit dem positiven Koeffizienten vor können die Funktionswerte von alles zwischen 0 und ∞ annehmen.
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit mit unbekanntem Anfangswert c.
Bestimme die Verdopplungszeit.
Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm ablesen: a=1.101.
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.101() ≈ 7.2 (Zeiteinheiten)
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 1034,23Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 108 Millionen Bakterien?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Anfangswert c sein muss.
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 1034.23 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 1034.23. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
c ⋅ 1.3213 = 1034.23
c ⋅ 36.93696 = 1034.23 | : 36.93696
c = 28
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):
f(9) = ≈ 340,662.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 108 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 108:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 4,862 Stunden ist also der Bestand = 108 Millionen Bakterien.
