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log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (435 287)$ liegt.

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $435 287$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $435 287$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{5}$ = 10⁵ < $435 287$ und auf $10^{6}$ = 10⁶ > $435 287$ .

Und da wir bei $\log_{10} (435 287)$ ja das ☐ von 10^☐ = $435 287$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = $10^{5}$ < $435 287$ < $10^{6}$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{10} (435 287)$ < 6

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - k$ = 0 ist, also für x = $k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$ ) = $((k) - k) \cdot e^{(k) - \frac{1}{2} k} - 3$ = $0 - 3$ = $- 3$ sein.
Da bei x = $k$ bei ( $x - k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$ | $- 3$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $- 3$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 1
Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,6} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{0,2 x - 0,6}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,6}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,6} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{0,2 x - 0,6}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y + 2)$

$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y + 2)$	\| $+ 0,6$
$0,2 x$	=	$\ln (y + 2) + 0,6$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y + 2) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 2) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 2) + \frac{0,6}{0,2}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $52 \cdot {1,2}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $52$

f(1) = $52$ ⋅ $1,2$

f(2) = $52$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$

f(3) = $52$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$

f(4) = $52$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,2$ multipliziert. Da $1,2$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,2$ -fache, also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5% seines Bestands. Zu Beginn sind 90kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $90 \cdot {0,95}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $90 \cdot {0,95}^{5}$ ≈ 69,64.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$90 \cdot {0,95}^{t}$	=	$40$	\|: $90$
${0,95}^{t}$	=	$\frac{4}{9}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,95}^{t})$	=	$\lg (\frac{4}{9})$
$t \cdot \lg (0,95)$	=	$\lg (\frac{4}{9})$	\|: $\lg (0,95)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{4}{9})}{\lg (0,95)}$

t

=

15,8097

Nach ca. 15,81 Tage ist also der Bestand = 40 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Intervall bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben