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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 1000000x ) - lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 1000000x ) - lg( x )
= lg( 1000000 ) + lg( x ) - lg( x )
= lg( 10 6 ) + lg( x ) - lg( x )
= 6 + lg( x ) - lg( x )
= 6

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 ⋅a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 ⋅ 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,4x -1,2 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -1,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -1,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e 0,4x -1,2 wird zu allen Funktionswerten von e 0,4x -1,2 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,4x -1,2 +2 = y | -2
e 0,4x -1,2 = y -2 |ln(⋅)
0,4x -1,2 = ln( y -2 )
0,4x -1,2 = ln( y -2 ) | +1,2
0,4x = ln( y -2 ) +1,2 |:0,4
x = 1 0,4 ln( y -2 ) + 1,2 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( x -2 ) + 1,2 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( x -2 ) + 1,2 0,4

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 124⋅ 0,95 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 124

f(1) = 124 ⋅ 0,95

f(2) = 124 ⋅ 0,95 ⋅ 0,95

f(3) = 124 ⋅ 0,95 ⋅ 0,95 ⋅ 0,95

f(4) = 124 ⋅ 0,95 ⋅ 0,95 ⋅ 0,95 ⋅ 0,95

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,95 multipliziert. Da 0,95 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,95-fache, also auf 95 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,1% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 53,81 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 8 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 59,1 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.1% weggehen,
also Bneu = B - 3.1 100 ⋅B = (1 - 3.1 100 ) ⋅ B = 0,969 ⋅ B. Somit ist das a=0,969.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,969 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 53.81 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 53.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,969 t ein:

c ⋅ 0.9696 = 53.81

c ⋅ 0.82783 = 53.81 | : 0.82783

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 65⋅ 0,969 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 65⋅ 0,969 8 ≈ 50,525.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 59.1 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 59.1:

65⋅ 0,969 t = 59,1 |:65
0,969 t = 0,9092 |lg(⋅)
lg( 0,969 t ) = lg( 0,9092 )
t · lg( 0,969 ) = lg( 0,9092 ) |: lg( 0,969 )
t = lg( 0,9092 ) lg( 0,969 )
t = 3,0228

Nach ca. 3,023 Jahre ist also der Bestand = 59.1 Millionen Einwohner.