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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 x) + 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (100 000) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{5}) + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $5 + \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x) + 5$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{200} x^{4}) - \lg (\frac{1}{50} x^{2})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{200} x^{4}) - \lg (\frac{1}{50} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (1)) + (\lg (\frac{1}{200}) + \lg (x^{4})) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (1) + \lg (\frac{1}{200}) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) + 0 + \lg (\frac{1}{200}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) + 0 + \lg (1) - \lg (200) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) - 2 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (200) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{200} \cdot 50 \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{x - 1} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- 4 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{x - 1}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{x - 1} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- 4 e^{x - 1}$	=	$y - 2$	\|: $- 4$
$e^{x - 1}$	=	$- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$

$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + 1$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7,8% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 7.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7.8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{7.8}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{7.8}{100}$ ) ⋅ B = 1,078 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,078.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.078( $2$ ) ≈ 9.23 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 8% abnimmt. 10 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 4,78 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,4 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,92}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 4.78 Millionen Insekten ist, also f(10) = 4.78. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,92}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.92¹⁰ = 4.78

c ⋅ 0.43439 = 4.78 | : 0.43439

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $11 \cdot {0,92}^{4}$ ≈ 7,88.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.4:

$11 \cdot {0,92}^{t}$	=	$3,4$	\|: $11$
${0,92}^{t}$	=	$0,3091$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (0,3091)$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (0,3091)$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,3091)}{\lg (0,92)}$

t

=

14,0809

Nach ca. 14,081 Jahre ist also der Bestand = 3.4 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben