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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\sqrt{15})$ .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{15}$ um: $\sqrt{15}$ = $15^{\frac{1}{2}}$

$\log_{15} (\sqrt{15})$ = $\log_{15} (15^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $15^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $15$ suchen, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $15^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $15^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{15} (\sqrt{15})$ = $\log_{15} (15^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $15$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{15}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x) + \lg (\frac{1}{2000} x^{2}) + \lg (\frac{4}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (50 x) + \lg (\frac{1}{2000} x^{2}) + \lg (\frac{4}{x^{3}})$

= $\lg (50 x) + \lg (\frac{1}{2000} x^{2}) + \lg (4 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x) + (\lg (\frac{1}{2000}) + \lg (x^{2})) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (50) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{2000}) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{2000}) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + \lg (x) + \lg (1) - \lg (2 000) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (2 000) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2000} \cdot 50 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,1 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{- 0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,1 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,1 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{- 0,1 x}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x$	=	$\ln (y + 2)$	\|: $- 0,1$
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (y + 2)$
$x$	=	$- 10 \ln (y + 2)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 10 \ln (x + 2)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 10 \ln (x + 2)$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $57 \cdot {(\frac{23}{25})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $57$

f(1) = $57$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(2) = $57$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(3) = $57$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(4) = $57$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{23}{25}$ multipliziert. Da $\frac{23}{25}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{23}{25}$ -fache (oder auf das $\frac{92}{100}$ -fache), also auf $92$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 92% = 8 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 2 Jahren beträgt der Kontostand bereits 6242,4€. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 6500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 6242.4 € ist, also f(2) = 6242.4. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ ein:

$6 000 a^{2}$	=	$6 242,4$	\|: $6 000$
$a^{2}$	=	$1,0404$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{1,0404}$	= $- 1,02$
a₂	=	$\sqrt{1,0404}$	= $1,02$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,02$ ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $6 000 \cdot {1,02}^{7}$ ≈ 6892,114.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6500 € ist, also f(t) = 6500:

$6 000 \cdot {1,02}^{t}$	=	$6 500$	\|: $6 000$
${1,02}^{t}$	=	$\frac{13}{12}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (\frac{13}{12})$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (\frac{13}{12})$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{13}{12})}{\lg (1,02)}$

t

=

4,042

Nach ca. 4,042 Jahre ist also der Kontostand = 6500 €.

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log berechnen (schwer)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben