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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot e^{x^{2} + 2}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot e^{{(- x)}^{2} + 2}$ = $- x \cdot e^{x^{2} + 2}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot e^{x^{2} + 2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x \cdot e^{x^{2} + 2}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- x \cdot e^{x^{2} + 2}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 4$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 4$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,3 x - 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,3 x - 0,3}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,3 x - 0,3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,3 x - 0,3}$	=	$y$	\|: $4$
$e^{0,3 x - 0,3}$	=	$\frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$

$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$	\| $+ 0,3$
$0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y) + 0,3$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} y) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,3}{0,3}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 7,3 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 12 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 7.3 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{7,3}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[7,3]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{7,3}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{7,3}}$ ≈ 0.91, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,91}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seines Bestands. Zu Beginn sind 30kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$ ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot {0,91}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $30 \cdot {0,91}^{11}$ ≈ 10,631.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$30 \cdot {0,91}^{t}$	=	$10$	\|: $30$
${0,91}^{t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,91}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{3})$
$t \cdot \lg (0,91)$	=	$\lg (\frac{1}{3})$	\|: $\lg (0,91)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{3})}{\lg (0,91)}$

t

=

11,6489

Nach ca. 11,649 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben