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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{64}})$ .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{64}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{64}}$ = $64^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{64}}$ = $64^{- \frac{1}{2}}$ = ${(4^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{64}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{64}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{64}}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $2 k e^{k x + 2 k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2 k e^{k x + 2 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + 2 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $2 k e^{k x + 2 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + 2 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + 2 k$	=	0	\| - ( $2 k$ )
$k x$	=	$- 2 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 2$

Wenn wir nun

- 2

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 2

) =

2 k e^{k \cdot (- 2) + 2 k} + 1

=

2 k + 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 2

) = 0 ablesen, es gilt somit:

$2 k + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 k$	=	$- 1$	\|: $2$
$k$	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{0,1 x - 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{0,1 x - 0,3}$ können die Funktionswerte von $2 e^{0,1 x - 0,3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{0,1 x - 0,3}$	=	$y$	\|: $2$
$e^{0,1 x - 0,3}$	=	$\frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,3$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$

$0,1 x - 0,3$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$	\| $+ 0,3$
$0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y) + 0,3$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{2} y) + \frac{0,3}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,3}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,3}{0,1}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $70 \cdot {1,2}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $70$

f(1) = $70$ ⋅ $1,2$

f(2) = $70$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$

f(3) = $70$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$

f(4) = $70$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,2$ multipliziert. Da $1,2$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,2$ -fache, also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 3121,81€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3200€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$ ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,01}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 3121.81 € ist, also f(4) = 3121.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,01}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.01⁴ = 3121.81

c ⋅ 1.0406 = 3121.81 | : 1.0406

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,01}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $3 000 \cdot {1,01}^{5}$ ≈ 3153,03.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3200 € ist, also f(t) = 3200:

$3 000 \cdot {1,01}^{t}$	=	$3 200$	\|: $3 000$
${1,01}^{t}$	=	$\frac{16}{15}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,01}^{t})$	=	$\lg (\frac{16}{15})$
$t \cdot \lg (1,01)$	=	$\lg (\frac{16}{15})$	\|: $\lg (1,01)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{16}{15})}{\lg (1,01)}$

t

=

6,4861

Nach ca. 6,486 Jahre ist also der Kontostand = 3200 €.

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Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

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