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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (5)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (5)$ = $1$ , eben weil $5$ ^$1$ = $5$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{2}{x}) + \lg (\frac{5}{2 x^{3}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{2}{x}) + \lg (\frac{5}{2 x^{3}})$

= $\lg (20 x^{4}) + \lg (2 x^{- 1}) + \lg (\frac{5}{2} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x^{4}) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{5}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (20) + \lg (x^{4}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{5}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 4 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x) + \lg (\frac{5}{2}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 4 \lg (x) + \lg (2) - \lg (x) + \lg (5) - \lg (2) - 3 \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20 \cdot 5)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,2 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,2 x}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,2 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3 e^{0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{0,2 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,2 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$3 e^{0,2 x}$	=	$y + 2$	\|: $3$
$e^{0,2 x}$	=	$\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$
$x$	=	$5 \ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5 \ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $5 \ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $67 \cdot {0,75}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $67$

f(1) = $67$ ⋅ $0,75$

f(2) = $67$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(3) = $67$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(4) = $67$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,75$ multipliziert. Da $0,75$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,75$ -fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 9563,09€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 9563.09 € ist, also f(8) = 9563.09. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ ein:

$6 000 a^{8}$	=	$9 563,09$	\|: $6 000$
$a^{8}$	=	$1,59385$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{1,59385}$	= $- 1,06$
a₂	=	$\sqrt[8]{1,59385}$	= $1,06$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,06$ ≈ 1.06 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $6 000 \cdot {1,06}^{9}$ ≈ 10136,874.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$6 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$9 000$	\|: $6 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,06)}$

t

=

6,9585

Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.

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log berechnen (einfach)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben