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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{3}) - \lg (\frac{1}{2} x^{4}) - \lg (\frac{1 000}{x})$ soweit wie möglich.

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$\lg (5 x^{3}) - \lg (\frac{1}{2} x^{4}) - \lg (\frac{1 000}{x})$

= $\lg (5 x^{3}) - \lg (\frac{1}{2} x^{4}) - \lg (1000 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{3}) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{4})) - (\lg (1000) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (5) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{4}) - \lg (1000) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - 4 \lg (x) - \lg (1000) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - 4 \lg (x) - \lg (1 000) + \lg (x)$

= $- \lg (1 000) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000} \cdot 5 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x}) + \lg (\frac{1}{125} x^{4}) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{25}{x}) + \lg (\frac{1}{125} x^{4}) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}})$

= $\lg (25 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{125} x^{4}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{4})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{125}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (125) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,1 x - 0,1} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{0,1 x - 0,1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,1 x - 0,1}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,1 x - 0,1} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{0,1 x - 0,1}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,1$	=	$\ln (y + 1)$

$0,1 x - 0,1$	=	$\ln (y + 1)$	\| $+ 0,1$
$0,1 x$	=	$\ln (y + 1) + 0,1$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (y + 1) + \frac{0,1}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 1) + \frac{0,1}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 1) + \frac{0,1}{0,1}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 14,2 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 14.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{14,2}$	=	$2$	\| $\sqrt[14,2]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{14,2}}$	≈ $- 1,05$
a₂	=	$2^{\frac{1}{14,2}}$	≈ $1,05$

Das gesuchte a ist somit $1,05$ ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,05}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 68,03Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 27 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$ ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,26}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 68.03 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 68.03. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,26}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.26⁶ = 68.03

c ⋅ 4.0015 = 68.03 | : 4.0015

c = 17

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $17 \cdot {1,26}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $17 \cdot {1,26}^{12}$ ≈ 272,205.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 27 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 27:

$17 \cdot {1,26}^{t}$	=	$27$	\|: $17$
${1,26}^{t}$	=	$\frac{27}{17}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,26}^{t})$	=	$\lg (\frac{27}{17})$
$t \cdot \lg (1,26)$	=	$\lg (\frac{27}{17})$	\|: $\lg (1,26)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{27}{17})}{\lg (1,26)}$

t

=

2,0017

Nach ca. 2,002 Stunden ist also der Bestand = 27 Millionen Bakterien.

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Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben