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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x^{2} + 1}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} \cdot e^{{(- x)}^{2} + 1}$ = $- x^{3} \cdot e^{x^{2} + 1}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} \cdot e^{x^{2} + 1}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x^{3} \cdot e^{x^{2} + 1}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- x^{3} \cdot e^{x^{2} + 1}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- 3 k x \cdot e^{k x - 3 k} + 9 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm

- 3 k x \cdot e^{k x - 3 k}

= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|6) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k(

0

) =

- 3 k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - 3 k} + 9 k

=

9 k

= 6

$9 k$	=	$6$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{x - 3} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x - 3}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x - 3} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{x - 3}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (y + 3)$

$x - 3$	=	$\ln (y + 3)$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (y + 3) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (x + 3) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (x + 3) + 3$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $168 \cdot {(\frac{4}{5})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $168$

f(1) = $168$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(2) = $168$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(3) = $168$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(4) = $168$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{4}{5}$ multipliziert. Da $\frac{4}{5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{4}{5}$ -fache (oder auf das $\frac{80}{100}$ -fache), also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 14%. 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 37,31Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 37 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$ ) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,14}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 37.31 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 37.31. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,14}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.14⁶ = 37.31

c ⋅ 2.19497 = 37.31 | : 2.19497

c = 17

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $17 \cdot {1,14}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $17 \cdot {1,14}^{7}$ ≈ 42,539.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 37 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 37:

$17 \cdot {1,14}^{t}$	=	$37$	\|: $17$
${1,14}^{t}$	=	$\frac{37}{17}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,14}^{t})$	=	$\lg (\frac{37}{17})$
$t \cdot \lg (1,14)$	=	$\lg (\frac{37}{17})$	\|: $\lg (1,14)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{37}{17})}{\lg (1,14)}$

t

=

5,9354

Nach ca. 5,935 Stunden ist also der Bestand = 37 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben