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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\frac{1}{225})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$ , also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $15$ ^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{15} (\frac{1}{225})$ = $- 2$ , eben weil $15$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{225}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x}) + \lg (50 x^{4}) - \lg (250 000 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{5}{x}) + \lg (50 x^{4}) - \lg (250 000 x^{3})$

= $\lg (5 x^{- 1}) + \lg (50 x^{4}) - \lg (250 000 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (50) + \lg (x^{4})) - (\lg (250 000) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (50) + \lg (x^{4}) - \lg (250 000) - \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - \lg (x) + \lg (50) + 4 \lg (x) - \lg (250 000) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - \lg (x) + \lg (50) + 4 \lg (x) - \lg (250 000) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (250 000) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000} \cdot 50 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{0,1 x - 0,1}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{0,1 x - 0,1}$ wird $e^{0,1 x - 0,1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{0,1 x - 0,1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{0,1 x - 0,1}$	=	$y$	\|: $- 4$
$e^{0,1 x - 0,1}$	=	$- \frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,1$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$

$0,1 x - 0,1$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$	\| $+ 0,1$
$0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y) + 0,1$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{4} y) + \frac{0,1}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,1}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,1}{0,1}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $63 \cdot {0,6}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $63$

f(1) = $63$ ⋅ $0,6$

f(2) = $63$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(3) = $63$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(4) = $63$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,6$ multipliziert. Da $0,6$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,6$ -fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 6 Jahren beträgt der Kontostand bereits 2530,64€. a) Wie hoch ist der Kontostand 8 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 2500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 2530.64 € ist, also f(6) = 2530.64. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ ein:

$2 000 a^{6}$	=	$2 530,64$	\|: $2 000$
$a^{6}$	=	$1,26532$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{1,26532}$	= $- 1,04$
a₂	=	$\sqrt[6]{1,26532}$	= $1,04$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,04$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $2 000 \cdot {1,04}^{8}$ ≈ 2737,138.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2500 € ist, also f(t) = 2500:

$2 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$2 500$	\|: $2 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{4})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{5}{4})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{4})}{\lg (1,04)}$

t

=

5,6894

Nach ca. 5,689 Jahre ist also der Kontostand = 2500 €.

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Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

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c und ein Funktionswert gegeben