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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (3)$ .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

$\log_{9} (3)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (3)$ = $\log_{9} (9^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x^{2}}) + \lg (\frac{20}{x}) + \lg (2 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{25}{x^{2}}) + \lg (\frac{20}{x}) + \lg (2 x^{3})$

= $\lg (25 x^{- 2}) + \lg (20 x^{- 1}) + \lg (2 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (2) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (2) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - 2 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - 2 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{x - 2} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{x - 2}$ wird $e^{x - 2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{x - 2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{x - 2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{x - 2} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- e^{x - 2}$	=	$y - 2$	\|: $- 1$
$e^{x - 2}$	=	$- y + 2$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (- y + 2)$

$x - 2$	=	$\ln (- y + 2)$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (- y + 2) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- x + 2) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- x + 2) + 2$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $195 \cdot {0,55}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $195$

f(1) = $195$ ⋅ $0,55$

f(2) = $195$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

f(3) = $195$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

f(4) = $195$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,55$ multipliziert. Da $0,55$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,55$ -fache, also auf $55$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. 3 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 52,9Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 123 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$ ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,32}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 52.9 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 52.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,32}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.32³ = 52.9

c ⋅ 2.29997 = 52.9 | : 2.29997

c = 23

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $23 \cdot {1,32}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $23 \cdot {1,32}^{5}$ ≈ 92,172.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 123 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 123:

$23 \cdot {1,32}^{t}$	=	$123$	\|: $23$
${1,32}^{t}$	=	$\frac{123}{23}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,32}^{t})$	=	$\lg (\frac{123}{23})$
$t \cdot \lg (1,32)$	=	$\lg (\frac{123}{23})$	\|: $\lg (1,32)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{123}{23})}{\lg (1,32)}$

t

=

6,0393

Nach ca. 6,039 Stunden ist also der Bestand = 123 Millionen Bakterien.

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log berechnen (schwer)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

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