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cosh
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Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.
Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Am negativen Koeffizient vor dem erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.
Da bei zu jedem Funktionswert von noch 3 addiert wird, ist der Graph von gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.
Da bei
das x von
durch ein 'x
Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
- Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
- Für x → ∞ strebt gegen .
- Für x → - ∞ strebt gegen = .
Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term soweit wie möglich.
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log() = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch den negativen Koeffizienten vor wird an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.
Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=1,02.
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.02() ≈ 35 Stunden
c und a gegeben
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 7 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 407 Millionen Bakterien?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Den Anfangswert f(0)=c=7 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):
f(10) = ≈ 70,6.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 407 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 407:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 17,58 Stunden ist also der Bestand = 407 Millionen Bakterien.
