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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (12)$ liegt.

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $12$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $12$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $12$ und auf $4^{2}$ = 4² > $12$ .

Und da wir bei $\log_{4} (12)$ ja das ☐ von 4^☐ = $12$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $12$ < $4^{2}$ = 4²

Es gilt somit: 1 < $\log_{4} (12)$ < 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x^{3}}) - \lg (50000 x^{2}) + \lg (\frac{20}{x})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{25 x^{3}}) - \lg (50000 x^{2}) + \lg (\frac{20}{x})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 3}) - \lg (50000 x^{2}) + \lg (20 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (50000) + \lg (x^{2})) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (50000) - \lg (x^{2}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + 3 \lg (x) - \lg (50000) - 2 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + 3 \lg (x) - \lg (50 000) - 2 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x)$

= $- \lg (50 000) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50000} \cdot 25 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 0,1 x} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{- 0,1 x}$ wird $e^{- 0,1 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{- 0,1 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- 2 e^{- 0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{- 0,1 x}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{- 0,1 x} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- 2 e^{- 0,1 x}$	=	$y + 1$	\|: $- 2$
$e^{- 0,1 x}$	=	$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2})$	\|: $- 0,1$
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2})$
$x$	=	$- 10 \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 10 \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 10 \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,04}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,04}^{t}$ ablesen: a=1.04.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.04( $2$ ) ≈ 17.67 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer. Nach 3 Wochen zählt man bereits 9125,25 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 12 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 9000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 9125.25 Nutzer ist, also f(3) = 9125.25. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ ein:

$6 000 a^{3}$	=	$9 125,25$	\|: $6 000$
$a^{3}$	=	$1,52088$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{1,52088}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{1,52088}$ ≈ 1.15 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,15}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $6 000 \cdot {1,15}^{12}$ ≈ 32101,501.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer ist, also f(t) = 9000:

$6 000 \cdot {1,15}^{t}$	=	$9 000$	\|: $6 000$
${1,15}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,15}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,15)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,15)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,15)}$

t

=

2,9011

Nach ca. 2,901 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer.

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log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben