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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{5} (20)$ - $\log_{5} (4)$ .

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$\log_{5} (20)$ - $\log_{5} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{5} (\frac{20}{4})$

= $\log_{5} (5)$

= 1

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $3 k x \cdot e^{k x + 3 k} + 9 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm

3 k x \cdot e^{k x + 3 k}

= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-6) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k(

0

) =

3 k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 + 3 k} + 9 k

=

9 k

= -6

$9 k$	=	$- 6$	\|: $9$
$k$	=	$- \frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{2}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,3 x - 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,3 x - 0,3}$	=	$y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (y)$

$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (y)$	\| $+ 0,3$
$0,3 x$	=	$\ln (y) + 0,3$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (y) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (x) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (x) + \frac{0,3}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,874}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,874}^{t}$ ablesen: a=0.874.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.874( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 5.15 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer. Nach 11 Wochen zählt man bereits 8452,46 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 5000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Wochen der Bestand 8452.46 Nutzer ist, also f(11) = 8452.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ ein:

$2 000 a^{11}$	=	$8 452,46$	\|: $2 000$
$a^{11}$	=	$4,22623$	\| $\sqrt[11]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[11]{4,22623}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{4,22623}$ ≈ 1.14 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,14}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $2 000 \cdot {1,14}^{9}$ ≈ 6503,897.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 5000 Nutzer ist, also f(t) = 5000:

$2 000 \cdot {1,14}^{t}$	=	$5 000$	\|: $2 000$
${1,14}^{t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,14}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{2})$
$t \cdot \lg (1,14)$	=	$\lg (\frac{5}{2})$	\|: $\lg (1,14)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{2})}{\lg (1,14)}$

t

=

6,9931

Nach ca. 6,993 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 5000 Nutzer.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben