Mathebattle EduRandomtasks

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\sqrt{x}) + 2 \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $2 \lg (x^{\frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{3}) + \lg (x^{- 3})$
= $\lg (x) + 6 \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 2$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{- 0,4 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{- 0,4 x}$ können die Funktionswerte von $2 e^{- 0,4 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $2 e^{- 0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2 e^{- 0,4 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{- 0,4 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$2 e^{- 0,4 x}$	=	$y + 3$	\|: $2$
$e^{- 0,4 x}$	=	$\frac{1}{2} y + \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$	\|: $- 0,4$
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$
$x$	=	$- \frac{5}{2} \ln (\frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{5}{2} \ln (\frac{1}{2} x + \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{5}{2} \ln (\frac{1}{2} x + \frac{3}{2})$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $125 \cdot {1,5}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $125$

f(1) = $125$ ⋅ $1,5$

f(2) = $125$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$

f(3) = $125$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$

f(4) = $125$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,5$ multipliziert. Da $1,5$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,5$ -fache, also auf $150$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 150% - 100% = 50 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 43,28kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 9 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B. Somit ist das a=0,96.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,96}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 43.28 kg ist, also f(8) = 43.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,96}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.96⁸ = 43.28

c ⋅ 0.72139 = 43.28 | : 0.72139

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,96}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $60 \cdot {0,96}^{9}$ ≈ 41,552.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$60 \cdot {0,96}^{t}$	=	$40$	\|: $60$
${0,96}^{t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,96}^{t})$	=	$\lg (\frac{2}{3})$
$t \cdot \lg (0,96)$	=	$\lg (\frac{2}{3})$	\|: $\lg (0,96)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{2}{3})}{\lg (0,96)}$

t

=

9,9325

Nach ca. 9,933 Tage ist also der Bestand = 40 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

2. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben