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cosh
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log berechnen (schwer)
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Zuerst schreiben wir
Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis
Also was muss in das Kästchen, damit
Damit steht die Lösung praktisch schon da:
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Da das k ja ein fester Wert ist, kann
niemals = 0 werden.3 k e k x - 3 k - Wenn der Exponent
jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialtermk x - 3 k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei3 k e k x - 3 k erkennen.- 3
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt. - Wir müssen also den Exponent
= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.k x - 3 k
Wenn wir nunk x - 3 k = 0 | - ( )- 3 k k x = 3 k |:( )k x = 3 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:3
fk( ) =3 =3 k e k ⋅ 3 - 3 k - 3 3 k - 3
im abgebildeten Term können wir aber ja f( ) = 1 ablesen, es gilt somit:3 3 k - 3 = 1 | + 3 3 k = 4 |: 3 k = 4 3
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch den negativen Koeffizienten
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|: |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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= |
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= |
|
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit
Bestimme die Verdopplungszeit.
Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.05(
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 41,06kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 6 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also Bneu
= B -
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 41.06 kg ist,
also f(8) = 41.06. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 0.928 = 41.06
c ⋅ 0.51322 = 41.06 | : 0.51322
c = 80
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):
f(6) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
|
Nach ca. 11,763 Tage ist also der Bestand = 30 kg.
