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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 2} + 3$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 2} + 3$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 3 addiert wird, ist der Graph von $e^{x - 2} + 3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei $e^{x - 2} + 3$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x - 2} + 3$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x - 2} + 3$ gegen $0 + 3$ = $3$ .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $2$ ), also gilt f(0)= $2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $2$ , also $f(x) =$ $2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $2 \cdot a$ = $2 a$ .

Es gilt also: $4$ = $2 a$ | ⋅ $\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,2 x + 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,2 x + 0,4}$ wird $e^{- 0,2 x + 0,4}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,2 x + 0,4}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,2 x + 0,4}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{- 0,2 x + 0,4}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $- 0,4$
$- 0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) - 0,4$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,4}{0,2}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 69,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 2000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 69.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{69,7}$	=	$2$	\| $\sqrt[69,7]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{69,7}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{69,7}}$ ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,01}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 17% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 10 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{17}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{17}{100}$ ) ⋅ B = 0,83 ⋅ B. Somit ist das a=0,83.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,83}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $13 \cdot {0,83}^{10}$ ≈ 2,017.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$13 \cdot {0,83}^{t}$	=	$3$	\|: $13$
${0,83}^{t}$	=	$\frac{3}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,83}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{13})$
$t \cdot \lg (0,83)$	=	$\lg (\frac{3}{13})$	\|: $\lg (0,83)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{13})}{\lg (0,83)}$

t

=

7,8696

Nach ca. 7,87 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben