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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 100000x ) +3 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 100000x ) +3 lg( x )
= lg( 100000 ) + lg( x ) +3 lg( x )
= lg( 10 5 ) + lg( x ) +3 lg( x )
= 5 + lg( x ) +3 lg( x )
= 4 lg( x ) +5

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 4 ) + lg( 1 200 x 4 ) - lg( 1 50 x 2 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 4 ) + lg( 1 200 x 4 ) - lg( 1 50 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 4 ) + lg( 1 ) ) + ( lg( 1 200 ) + lg( x 4 ) ) - ( lg( 1 50 ) + lg( x 2 ) )

= - lg( 1 4 ) - lg( 1 ) + lg( 1 200 ) + lg( x 4 ) - lg( 1 50 ) - lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 4 ) +0 + lg( 1 200 ) +4 lg( x ) - lg( 1 50 ) -2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 4 ) +0 + lg( 1 ) - lg( 200 ) +4 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 50 ) -2 lg( x )

= 2 lg( x ) - lg( 200 ) + lg( 50 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 2 lg( x ) + lg( 1 200 · 50 · 4 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 )

= 2 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e x -1 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem -4 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von -4 e x -1 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e x -1 +2 = y | -2
-4 e x -1 = y -2 |:-4
e x -1 = - 1 4 y + 1 2 |ln(⋅)
x -1 = ln( - 1 4 y + 1 2 )
x -1 = ln( - 1 4 y + 1 2 ) | +1
x = ln( - 1 4 y + 1 2 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 4 x + 1 2 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 4 x + 1 2 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7,8% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 7.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7.8% dazukommen,
also Bneu = B + 7.8 100 ⋅B = (1 + 7.8 100 ) ⋅ B = 1,078 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,078.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.078(2) ≈ 9.23 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 8% abnimmt. 10 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 4,78 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,4 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also Bneu = B - 8 100 ⋅B = (1 - 8 100 ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,92 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 4.78 Millionen Insekten ist, also f(10) = 4.78. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,92 t ein:

c ⋅ 0.9210 = 4.78

c ⋅ 0.43439 = 4.78 | : 0.43439

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 11 0,92 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 11 0,92 4 7,88.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.4:

11 0,92 t = 3,4 |:11
0,92 t = 0,3091 |lg(⋅)
lg( 0,92 t ) = lg( 0,3091 )
t · lg( 0,92 ) = lg( 0,3091 ) |: lg( 0,92 )
t = lg( 0,3091 ) lg( 0,92 )
t = 14,0809

Nach ca. 14,081 Jahre ist also der Bestand = 3.4 Millionen Insekten.