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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2}) + \lg (\frac{4}{x^{3}}) + \lg (25 x)$ soweit wie möglich.

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$\lg (x^{2}) + \lg (\frac{4}{x^{3}}) + \lg (25 x)$

= $\lg (x^{2}) + \lg (4 x^{- 3}) + \lg (25 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (1) + \lg (x^{2}) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (25) + \lg (x))$

= $\lg (1) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (25) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (1) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 3 \lg (x) + \lg (25) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 3 \lg (x) + \lg (25) + \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 4)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{10} x^{3}) + \lg (\frac{2}{x^{3}}) + \lg (5 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{10} x^{3}) + \lg (\frac{2}{x^{3}}) + \lg (5 x^{2})$

= $\lg (\frac{1}{10} x^{3}) + \lg (2 x^{- 3}) + \lg (5 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10}) + \lg (x^{3}) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (5) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{10}) + \lg (x^{3}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (5) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10}) + 3 \lg (x) + \lg (2) - 3 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (10) + 3 \lg (x) + \lg (2) - 3 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (10) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10} \cdot 5 \cdot 2)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,3 x + 0,9}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,3 x + 0,9}$ wird $e^{- 0,3 x + 0,9}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,3 x + 0,9}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$y$	\|: $- 4$
$e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$- \frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$

$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$	\| $- 0,9$
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y) - 0,9$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} y) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,9}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,907}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,907}^{t}$ ablesen: a=0.907.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.907( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.1 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 22% vermehrt. Nach 2 Wochen zählt man bereits 5953,6 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 4 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 84000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 22% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 22% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{22}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{22}{100}$ ) ⋅ B = 1,22 ⋅ B. Somit ist das a=1,22.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,22}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Wochen der Bestand 5953.6 Nutzer ist, also f(2) = 5953.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,22}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.22² = 5953.6

c ⋅ 1.4884 = 5953.6 | : 1.4884

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,22}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $4 000 \cdot {1,22}^{4}$ ≈ 8861,338.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 84000 Nutzer ist, also f(t) = 84000:

$4 000 \cdot {1,22}^{t}$	=	$84 000$	\|: $4 000$
${1,22}^{t}$	=	$21$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,22}^{t})$	=	$\lg (21)$
$t \cdot \lg (1,22)$	=	$\lg (21)$	\|: $\lg (1,22)$
$t$	=	$\frac{\lg (21)}{\lg (1,22)}$

t

=

15,3106

Nach ca. 15,311 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 84000 Nutzer.

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Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben