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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (8)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (8)$ = $3$ , eben weil $2$ ^$3$ = $8$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (250 x) + \lg (\frac{50}{x^{2}}) + \lg (5 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (250 x) + \lg (\frac{50}{x^{2}}) + \lg (5 x^{2})$

= $- \lg (250 x) + \lg (50 x^{- 2}) + \lg (5 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (250) + \lg (x)) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (5) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (250) - \lg (x) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (5) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (250) - \lg (x) + \lg (50) - 2 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (250) - \lg (x) + \lg (50) - 2 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{0,3 x - 0,6}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{0,3 x - 0,6}$ wird $e^{0,3 x - 0,6}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{0,3 x - 0,6}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{0,3 x - 0,6}$	=	$y$	\|: $- 2$
$e^{0,3 x - 0,6}$	=	$- \frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,6$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$

$0,3 x - 0,6$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$	\| $+ 0,6$
$0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y) + 0,6$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} y) + \frac{0,6}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,6}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,6}{0,3}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $75 \cdot {0,5}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $75$

f(1) = $75$ ⋅ $0,5$

f(2) = $75$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$

f(3) = $75$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$

f(4) = $75$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,5$ multipliziert. Da $0,5$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,5$ -fache, also auf $50$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 50% = 50 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5% verzinst. Zu Beginn sind 7000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 10 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 10500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,05}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $7 000 \cdot {1,05}^{10}$ ≈ 11402,262.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10500 € ist, also f(t) = 10500:

$7 000 \cdot {1,05}^{t}$	=	$10 500$	\|: $7 000$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,05)}$

t

=

8,3104

Nach ca. 8,31 Jahre ist also der Kontostand = 10500 €.

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log berechnen (einfach)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben