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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{42})$ liegt.

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{42}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{42}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{3^{4}}$ = 3^-4 < $\frac{1}{42}$ und auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3 > $\frac{1}{42}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{42})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{42}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
3^-4 = $\frac{1}{3^{4}}$ = $\frac{1}{81}$ < $\frac{1}{42}$ < $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{3} (\frac{1}{42})$ < -3

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + k$ = 0 ist, also für x = $- 1 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 1 k$ ) = $- ((- 1 k) + k) \cdot e^{(- 1 k) + \frac{1}{2} k} - 1$ = $0 - 1$ = $- 1$ sein.
Da bei x = $- 1 k$ bei ( $x + k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 1 k$ | $- 1$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $- 1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 1 k$ = 1
Also gilt k = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,3 x + 0,3} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{- 0,3 x + 0,3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,3 x + 0,3}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,3 x + 0,3} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{- 0,3 x + 0,3}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,3$	=	$\ln (y - 3)$

$- 0,3 x + 0,3$	=	$\ln (y - 3)$	\| $- 0,3$
$- 0,3 x$	=	$\ln (y - 3) - 0,3$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (y - 3) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (x - 3) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (x - 3) + \frac{0,3}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,138}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,138}^{t}$ ablesen: a=1.138.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.138( $2$ ) ≈ 5.36 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 80kg vorhanden. Nach 4 Tagen nach sind nur noch 62,46kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 12 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 62.46 kg ist, also f(4) = 62.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ ein:

$80 a^{4}$	=	$62,46$	\|: $80$
$a^{4}$	=	$0,78075$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{0,78075}$	= $- 0,94$
a₂	=	$\sqrt[4]{0,78075}$	= $0,94$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,94$ ≈ 0.94 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,94}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = $80 \cdot {0,94}^{12}$ ≈ 38,074.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$80 \cdot {0,94}^{t}$	=	$40$	\|: $80$
${0,94}^{t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,94}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{2})$
$t \cdot \lg (0,94)$	=	$\lg (\frac{1}{2})$	\|: $\lg (0,94)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{2})}{\lg (0,94)}$

t

=

11,2023

Nach ca. 11,202 Tage ist also der Bestand = 40 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben