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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (3)$ liegt.

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $3$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $3$ und auf $5$ = 5¹ > $3$ .

Und da wir bei $\log_{5} (3)$ ja das ☐ von 5^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $3$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{5} (3)$ < 1

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- \frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $- \frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- \frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 1$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 1$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $- \frac{1}{2} \cdot a$ = $- \frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $- 1$ = $- \frac{1}{2} a$ | ⋅ $- 2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,4 x + 1,2} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 1,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 1,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{- 0,4 x + 1,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,4 x + 1,2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,4 x + 1,2} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{- 0,4 x + 1,2}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 1,2$	=	$\ln (y - 3)$

$- 0,4 x + 1,2$	=	$\ln (y - 3)$	\| $- 1,2$
$- 0,4 x$	=	$\ln (y - 3) - 1,2$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (y - 3) + \frac{1,2}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (x - 3) + \frac{1,2}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (x - 3) + \frac{1,2}{0,4}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 4 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 4 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{\frac{1}{2}}$	≈ $- 0,841$
a₂	=	$\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$	≈ $0,841$

Das gesuchte a ist somit $0,841$ ≈ 0.84, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,84}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 10% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 3000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 10% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{10}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{10}{100}$ ) ⋅ B = 1,1 ⋅ B. Somit ist das a=1,1.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,1}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $1 000 \cdot {1,1}^{8}$ ≈ 2143,589.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer ist, also f(t) = 3000:

$1 000 \cdot {1,1}^{t}$	=	$3 000$	\|: $1 000$
${1,1}^{t}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,1}^{t})$	=	$\lg (3)$
$t \cdot \lg (1,1)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (1,1)$
$t$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (1,1)}$

t

=

11,5267

Nach ca. 11,527 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer.

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log im Interval bestimmen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben