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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x) + \lg (\frac{1}{10 000 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2 x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (50 x) + \lg (\frac{1}{10 000 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2 x^{2}})$

= $\lg (50 x) + \lg (\frac{1}{10000} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{2} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x) + (\lg (\frac{1}{10000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (50) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{10000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{10000}) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + \lg (x) + \lg (1) - \lg (10 000) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (10 000) + \lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000} \cdot 50 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $1$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $1$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $1$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{0,4 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{0,4 x}$ wird $e^{0,4 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{0,4 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 2 e^{0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{0,4 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{0,4 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 2 e^{0,4 x}$	=	$y + 3$	\|: $- 2$
$e^{0,4 x}$	=	$- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$
$x$	=	$\frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 35 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 35 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{35}$	=	$2$	\| $\sqrt[35]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[35]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[35]{2}$ ≈ 1.02, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,02}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 40kg vorhanden. Nach 8 Tagen nach sind nur noch 24,38kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 7 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 33,2kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=40 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $40 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 24.38 kg ist, also f(8) = 24.38. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $40 \cdot a^{t}$ ein:

$40 a^{8}$	=	$24,38$	\|: $40$
$a^{8}$	=	$0,6095$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{0,6095}$	≈ $- 0,94$
a₂	=	$\sqrt[8]{0,6095}$	≈ $0,94$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,94$ ≈ 0.94 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $40 \cdot {0,94}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $40 \cdot {0,94}^{7}$ ≈ 25,939.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 33.2 kg ist, also f(t) = 33.2:

$40 \cdot {0,94}^{t}$	=	$33,2$	\|: $40$
${0,94}^{t}$	=	$0,83$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,94}^{t})$	=	$\lg (0,83)$
$t \cdot \lg (0,94)$	=	$\lg (0,83)$	\|: $\lg (0,94)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,83)}{\lg (0,94)}$

t

=

3,0114

Nach ca. 3,011 Tage ist also der Bestand = 33.2 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben