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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + e^{x^{4}}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{2} + e^{{(- x)}^{4}}$ = $x^{2} + e^{x^{4}}$ = $e^{x^{4}} + x^{2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{2} + e^{x^{4}}$ = $e^{x^{4}} + x^{2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{6}{10} x - 4 k} + 10 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{6}{10} x - 4 k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $10 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $10 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 4, somit muss $10 k$ = 4 gelten;
Also gilt k = $\frac{2}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{5}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 1} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- 2 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{x - 1}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{x - 1} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- 2 e^{x - 1}$	=	$y - 2$	\|: $- 2$
$e^{x - 1}$	=	$- \frac{1}{2} y + 1$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + 1)$

$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + 1)$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + 1) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{2} x + 1) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{2} x + 1) + 1$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $60 \cdot {0,6}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $60$

f(1) = $60$ ⋅ $0,6$

f(2) = $60$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(3) = $60$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(4) = $60$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,6$ multipliziert. Da $0,6$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,6$ -fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 10% abnimmt. 3 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 9,48 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 6,9 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$ ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,9}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 9.48 Millionen Insekten ist, also f(3) = 9.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,9}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.9³ = 9.48

c ⋅ 0.729 = 9.48 | : 0.729

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,9}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $13 \cdot {0,9}^{4}$ ≈ 8,529.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6.9:

$13 \cdot {0,9}^{t}$	=	$6,9$	\|: $13$
${0,9}^{t}$	=	$0,5308$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (0,5308)$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (0,5308)$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,5308)}{\lg (0,9)}$

t

=

6,0115

Nach ca. 6,012 Jahre ist also der Bestand = 6.9 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben