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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \frac{9}{2} \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $\frac{3}{2}$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,4 x - 0,8}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,4 x - 0,8}$ wird $e^{0,4 x - 0,8}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,4 x - 0,8}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,4 x - 0,8}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{0,4 x - 0,8}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,8$
$0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) + 0,8$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,8}{0,4}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 4,2 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,2}$	=	$2$	\| $\sqrt[4,2]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{4,2}}$	≈ $- 1,179$
a₂	=	$2^{\frac{1}{4,2}}$	≈ $1,179$

Das gesuchte a ist somit $1,179$ ≈ 1.18, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,18}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seines Bestands. Zu Beginn sind 100kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$ ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $100 \cdot {0,9}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $100 \cdot {0,9}^{9}$ ≈ 38,742.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$100 \cdot {0,9}^{t}$	=	$20$	\|: $100$
${0,9}^{t}$	=	$\frac{1}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{5})$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (\frac{1}{5})$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{5})}{\lg (0,9)}$

t

=

15,2755

Nach ca. 15,276 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben