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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x + e^{3 x^{4}}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) + e^{3 {(- x)}^{4}}$ = $- x + e^{3 x^{4}}$ = $e^{3 x^{4}} - x$

Wenn man das mit f(x) = $x + e^{3 x^{4}}$ = $e^{3 x^{4}} + x$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^{3 x^{4}} - x$
weder gleich f(x) = $x + e^{3 x^{4}}$ noch gleich -f(x) = $- (x + e^{3 x^{4}})$ = $- (e^{3 x^{4}} + x)$ ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = $1 + e^{3 \cdot 1^{4}}$ = $1 + e^{3}$ ≈ 21.086
Aber: f(-1) = $- 1 + e^{3 \cdot {(- 1)}^{4}}$ = $- 1 + e^{3}$ ≈ 19.086

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{5}{10} x - 2 k} + 9 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{5}{10} x - 2 k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $9 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $9 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 6, somit muss $9 k$ = 6 gelten;
Also gilt k = $\frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,4} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{0,2 x - 0,4}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,4}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,4} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{0,2 x - 0,4}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,4$	=	$\ln (y - 1)$

$0,2 x - 0,4$	=	$\ln (y - 1)$	\| $+ 0,4$
$0,2 x$	=	$\ln (y - 1) + 0,4$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y - 1) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,4}{0,2}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 30 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 22,8 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 30 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 22.8 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{22,8}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[22,8]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $- 0,97$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $0,97$

Das gesuchte a ist somit $0,97$ ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot {0,97}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt. 9 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 1,87 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 10 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 0,7 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Jahre der Bestand 1.87 Millionen Insekten ist, also f(9) = 1.87. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $10 \cdot a^{t}$ ein:

$10 a^{9}$	=	$1,87$	\|: $10$
$a^{9}$	=	$\frac{1,87}{10}$	\| $\sqrt[9]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[9]{\frac{1,87}{10}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[9]{\frac{1,87}{10}}$ ≈ 0.83 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,83}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $10 \cdot {0,83}^{10}$ ≈ 1,552.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 0.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 0.7:

$10 \cdot {0,83}^{t}$	=	$0,7$	\|: $10$
${0,83}^{t}$	=	$0,07$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,83}^{t})$	=	$\lg (0,07)$
$t \cdot \lg (0,83)$	=	$\lg (0,07)$	\|: $\lg (0,83)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,07)}{\lg (0,83)}$

t

=

14,2718

Nach ca. 14,272 Jahre ist also der Bestand = 0.7 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben