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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (8)$ .

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^{3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{3}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{3}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = $4^{\frac{3}{2}}$

$\log_{4} (8)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{3}$ = $4^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{3}$ = $4^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{3}$ = $4^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (8)$ = $\log_{4} (4^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{3}{2}$} = $8$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x}) + \lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{4}{5 x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{25}{x}) + \lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{4}{5 x^{2}})$

= $\lg (25 x^{- 1}) + \lg (5 x^{3}) + \lg (\frac{4}{5} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (5) + \lg (x^{3})) + (\lg (\frac{4}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (5) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{4}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{4}{5}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (4) - \lg (5) - 2 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 4)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{0,2 x}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$0,2 x$	=	$\ln (y + 2)$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y + 2)$
$x$	=	$5 \ln (y + 2)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5 \ln (x + 2)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $5 \ln (x + 2)$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $151 \cdot {0,8}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $151$

f(1) = $151$ ⋅ $0,8$

f(2) = $151$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$

f(3) = $151$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$

f(4) = $151$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,8$ multipliziert. Da $0,8$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,8$ -fache, also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 80kg vorhanden. Nach 10 Tagen nach sind nur noch 27,89kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 50kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 27.89 kg ist, also f(10) = 27.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ ein:

$80 a^{10}$	=	$27,89$	\|: $80$
$a^{10}$	=	$\frac{27,89}{80}$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{\frac{27,89}{80}}$	≈ $- 0,9$
a₂	=	$\sqrt[10]{\frac{27,89}{80}}$	≈ $0,9$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,9$ ≈ 0.9 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,9}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $80 \cdot {0,9}^{8}$ ≈ 34,437.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 kg ist, also f(t) = 50:

$80 \cdot {0,9}^{t}$	=	$50$	\|: $80$
${0,9}^{t}$	=	$\frac{5}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{8})$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (\frac{5}{8})$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{8})}{\lg (0,9)}$

t

=

4,4609

Nach ca. 4,461 Tage ist also der Bestand = 50 kg.

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log berechnen (schwer)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

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