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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (5825)$ liegt.

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $5825$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5825$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{3}$ = 10³ < $5825$ und auf $10^{4}$ = 10⁴ > $5825$ .

Und da wir bei $\log_{10} (5825)$ ja das ☐ von 10^☐ = $5825$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
10³ = $10^{3}$ < $5825$ < $10^{4}$ = 10⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{10} (5825)$ < 4

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4} x^{3}) + \lg (\frac{1}{80} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2 x})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{4} x^{3}) + \lg (\frac{1}{80} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2 x})$

= $- \lg (\frac{1}{4} x^{3}) + \lg (\frac{1}{80} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{3})) + (\lg (\frac{1}{80}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{80}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) - 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) - 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (80) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) + \lg (x)$

= $- \lg (80) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80} \cdot 4 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 1} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- 2 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{x - 1}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{x - 1} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- 2 e^{x - 1}$	=	$y - 1$	\|: $- 2$
$e^{x - 1}$	=	$- \frac{1}{2} y + \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$

$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + \frac{1}{2}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}) + 1$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,05}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,05}^{t}$ ablesen: a=1.05.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.05( $2$ ) ≈ 14.21 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 60kg vorhanden. Nach 10 Tagen nach sind nur noch 18,71kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 4 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 18.71 kg ist, also f(10) = 18.71. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ ein:

$60 a^{10}$	=	$18,71$	\|: $60$
$a^{10}$	=	$\frac{18,71}{60}$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{\frac{18,71}{60}}$	≈ $- 0,89$
a₂	=	$\sqrt[10]{\frac{18,71}{60}}$	≈ $0,89$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,89$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,89}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $60 \cdot {0,89}^{4}$ ≈ 37,645.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$60 \cdot {0,89}^{t}$	=	$30$	\|: $60$
${0,89}^{t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,89}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{2})$
$t \cdot \lg (0,89)$	=	$\lg (\frac{1}{2})$	\|: $\lg (0,89)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{2})}{\lg (0,89)}$

t

=

5,948

Nach ca. 5,948 Tage ist also der Bestand = 30 kg.

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log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben