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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot e^{x^{2} + 2}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot e^{{(- x)}^{2} + 2}$ = $- x \cdot e^{x^{2} + 2}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot e^{x^{2} + 2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x \cdot e^{x^{2} + 2}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- x \cdot e^{x^{2} + 2}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- k x \cdot e^{k x - k} + 6 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm

- k x \cdot e^{k x - k}

= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k(

0

) =

- k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - k} + 6 k

=

6 k

= 3

$6 k$	=	$3$	\|: $6$
$k$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{0,4 x - 0,8}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{0,4 x - 0,8}$ wird $e^{0,4 x - 0,8}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{0,4 x - 0,8}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{0,4 x - 0,8}$	=	$y$	\|: $- 1$
$e^{0,4 x - 0,8}$	=	$- 1 y$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (- y)$

$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (- y)$	\| $+ 0,8$
$0,4 x$	=	$\ln (- y) + 0,8$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (- y) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (- x) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (- x) + \frac{0,8}{0,4}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 9 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 15 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 15 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 9 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{9}$	=	$2$	\| $\sqrt[9]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[9]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[9]{2}$ ≈ 1.08, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $15 \cdot {1,08}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seines Bestands. 10 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 2,48kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 9 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 2,9kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$ ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 2.48 kg ist, also f(10) = 2.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.87¹⁰ = 2.48

c ⋅ 0.24842 = 2.48 | : 0.24842

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $10 \cdot {0,87}^{9}$ ≈ 2,855.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.9 kg ist, also f(t) = 2.9:

$10 \cdot {0,87}^{t}$	=	$2,9$	\|: $10$
${0,87}^{t}$	=	$0,29$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (0,29)$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (0,29)$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,29)}{\lg (0,87)}$

t

=

8,8888

Nach ca. 8,889 Tage ist also der Bestand = 2.9 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben