Mathebattle EduRandomtasks

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{4}) + \lg (\frac{25}{x}) + \lg (\frac{1}{10 x^{3}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (4 x^{4}) + \lg (\frac{25}{x}) + \lg (\frac{1}{10 x^{3}})$

= $\lg (4 x^{4}) + \lg (25 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{10} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{4}) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (4) + \lg (x^{4}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (25) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{10}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (25) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (10) - 3 \lg (x)$

= $\lg (25) - \lg (10) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{10} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $3 k e^{k x + 2 k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $3 k e^{k x + 2 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + 2 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $3 k e^{k x + 2 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + 2 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + 2 k$	=	0	\| - ( $2 k$ )
$k x$	=	$- 2 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 2$

Wenn wir nun

- 2

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 2

) =

3 k e^{k \cdot (- 2) + 2 k} + 1

=

3 k + 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 2

) = -1 ablesen, es gilt somit:

$3 k + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$3 k$	=	$- 2$	\|: $3$
$k$	=	$- \frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{2}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,4 x - 0,8} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{0,4 x - 0,8}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,4 x - 0,8}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,4 x - 0,8} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{0,4 x - 0,8}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (y - 3)$

$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (y - 3)$	\| $+ 0,8$
$0,4 x$	=	$\ln (y - 3) + 0,8$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (y - 3) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (x - 3) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (x - 3) + \frac{0,8}{0,4}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $73 \cdot {1,35}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $73$

f(1) = $73$ ⋅ $1,35$

f(2) = $73$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(3) = $73$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(4) = $73$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,35$ multipliziert. Da $1,35$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,35$ -fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 6515,58€. a) Wie hoch ist der Kontostand 11 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 6000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 6515.58 € ist, also f(10) = 6515.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ ein:

$4 000 a^{10}$	=	$6 515,58$	\|: $4 000$
$a^{10}$	=	$1,6289$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{1,6289}$	= $- 1,05$
a₂	=	$\sqrt[10]{1,6289}$	= $1,05$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,05$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,05}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $4 000 \cdot {1,05}^{11}$ ≈ 6841,357.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6000 € ist, also f(t) = 6000:

$4 000 \cdot {1,05}^{t}$	=	$6 000$	\|: $4 000$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,05)}$

t

=

8,3104

Nach ca. 8,31 Jahre ist also der Kontostand = 6000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben