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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 · e x 2 +2 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 · e ( -x ) 2 +2 = x 2 · e x 2 +2

Wenn man das mit f(x) = x 2 · e x 2 +2 vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -4.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -4 = -a = -a .

Es gilt also: -4 = -a | ⋅ -1

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -1 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -1 können die Funktionswerte von 2 e x -1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem 2 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -1 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -1 +1 = y | -1
2 e x -1 = y -1 |:2
e x -1 = 1 2 y - 1 2 |ln(⋅)
x -1 = ln( 1 2 y - 1 2 )
x -1 = ln( 1 2 y - 1 2 ) | +1
x = ln( 1 2 y - 1 2 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x - 1 2 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x - 1 2 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,937 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,937 t ablesen: a=0.937.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.937( 1 2 ) ≈ 10.65 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7% verzinst. 8 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 5154,56€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 13 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3400€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also Bneu = B + 7 100 ⋅B = (1 + 7 100 ) ⋅ B = 1,07 ⋅ B. Somit ist das a=1,07.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,07 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 5154.56 € ist, also f(8) = 5154.56. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,07 t ein:

c ⋅ 1.078 = 5154.56

c ⋅ 1.71819 = 5154.56 | : 1.71819

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000⋅ 1,07 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = 3000⋅ 1,07 13 ≈ 7229,535.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3400 € ist, also f(t) = 3400:

3000⋅ 1,07 t = 3400 |:3000
1,07 t = 17 15 |lg(⋅)
lg( 1,07 t ) = lg( 17 15 )
t · lg( 1,07 ) = lg( 17 15 ) |: lg( 1,07 )
t = lg( 17 15 ) lg( 1,07 )
t = 1,8499

Nach ca. 1,85 Jahre ist also der Kontostand = 3400 €.