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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 ( 5 ) .

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Zuerst schreiben wir 5 um: 5 = 5 1 2

log 5 ( 5 ) = log 5 ( 5 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 5 1 2 zur Basis 5 suchen, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 5 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 5 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 5 ( 5 ) = log 5 ( 5 1 2 ) = 1 2 , eben weil 5 1 2 = 5 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| - 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = - 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: - 3 2 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: - 3 2 = - 1 2 a | ⋅ -2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e -0,2x +0,6 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e -0,2x +0,6 wird e -0,2x +0,6 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e -0,2x +0,6 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e -0,2x +0,6 = y |:-2
e -0,2x +0,6 = - 1 2 y |ln(⋅)
-0,2x +0,6 = ln( - 1 2 y )
-0,2x +0,6 = ln( - 1 2 y ) | -0,6
-0,2x = ln( - 1 2 y ) -0,6 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( - 1 2 y ) + 0,6 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( - 1 2 x ) + 0,6 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( - 1 2 x ) + 0,6 0,2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 8,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 10kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 8.3 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 8,3 = 1 2 | 8,3
a1 = - ( 1 2 ) 1 8,3 -0,92
a2 = ( 1 2 ) 1 8,3 0,92

Das gesuchte a ist somit 0,92 ≈ 0.92, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 10 0,92 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 15 Milionen Bakterien. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 26,14Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 715 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 15 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 26.14 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 26.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 15 a t ein:

15 a 2 = 26,14 |:15
a 2 = 1,74267 | 2
a1 = - 1,74267 -1,32
a2 = 1,74267 1,32

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,32 ≈ 1.32 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 15 1,32 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = 15 1,32 5 60,112.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 715 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 715:

15 1,32 t = 715 |:15
1,32 t = 143 3 |lg(⋅)
lg( 1,32 t ) = lg( 143 3 )
t · lg( 1,32 ) = lg( 143 3 ) |: lg( 1,32 )
t = lg( 143 3 ) lg( 1,32 )
t = 13,9186

Nach ca. 13,919 Stunden ist also der Bestand = 715 Millionen Bakterien.