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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25} x) + \lg (\frac{20}{x}) + \lg (2 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{25} x) + \lg (\frac{20}{x}) + \lg (2 x^{2})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x) + \lg (20 x^{- 1}) + \lg (2 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x)) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (2) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (2) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) - \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $1$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $1$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $1$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,4 x + 0,4} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{- 0,4 x + 0,4}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,4 x + 0,4}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,4 x + 0,4} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (y - 1)$

$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (y - 1)$	\| $- 0,4$
$- 0,4 x$	=	$\ln (y - 1) - 0,4$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (y - 1) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (x - 1) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (x - 1) + \frac{0,4}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 18% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{18}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{18}{100}$ ) ⋅ B = 0,82 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,82.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.82( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 3.49 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 40kg vorhanden. Nach 6 Tagen nach sind nur noch 21,26kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=40 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $40 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 21.26 kg ist, also f(6) = 21.26. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $40 \cdot a^{t}$ ein:

$40 a^{6}$	=	$21,26$	\|: $40$
$a^{6}$	=	$0,5315$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{0,5315}$	≈ $- 0,9$
a₂	=	$\sqrt[6]{0,5315}$	≈ $0,9$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,9$ ≈ 0.9 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $40 \cdot {0,9}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $40 \cdot {0,9}^{8}$ ≈ 17,219.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$40 \cdot {0,9}^{t}$	=	$10$	\|: $40$
${0,9}^{t}$	=	$\frac{1}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{4})$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (\frac{1}{4})$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{4})}{\lg (0,9)}$

t

=

13,1576

Nach ca. 13,158 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben