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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{4}) + 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + 2 \lg (x^{- 2})$
= $4 \lg (x) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- 3 k x \cdot e^{k x - 3 k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm

- 3 k x \cdot e^{k x - 3 k}

= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|5) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k(

0

) =

- 3 k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - 3 k} + 3 k

=

3 k

= 5

$3 k$	=	$5$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{5}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{5}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 1} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 1}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $3 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 1}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 1} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$3 e^{x - 1}$	=	$y + 3$	\|: $3$
$e^{x - 1}$	=	$\frac{1}{3} y + 1$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + 1)$

$x - 1$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + 1)$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + 1) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x + 1) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x + 1) + 1$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 69,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 69.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{69,7}$	=	$2$	\| $\sqrt[69,7]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{69,7}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{69,7}}$ ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,01}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 23%. 11 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 29,25Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 23 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$ ) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,23}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Stunden der Bestand 29.25 Millionen Bakterien ist, also f(11) = 29.25. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,23}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.23¹¹ = 29.25

c ⋅ 9.74891 = 29.25 | : 9.74891

c = 3

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 \cdot {1,23}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $3 \cdot {1,23}^{10}$ ≈ 23,778.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 23 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 23:

$3 \cdot {1,23}^{t}$	=	$23$	\|: $3$
${1,23}^{t}$	=	$\frac{23}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,23}^{t})$	=	$\lg (\frac{23}{3})$
$t \cdot \lg (1,23)$	=	$\lg (\frac{23}{3})$	\|: $\lg (1,23)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{23}{3})}{\lg (1,23)}$

t

=

9,8393

Nach ca. 9,839 Stunden ist also der Bestand = 23 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

2. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben