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log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 3 (43) liegt.

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Wir suchen 3er-Potenzen in der Näher von 43, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 43 ist.

Dabei kommt man auf 3 3 = 33 < 43 und auf 3 4 = 34 > 43.

Und da wir bei log 3 (43) ja das ☐ von 3☐ = 43 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
33 = 3 3 < 43 < 3 4 = 34

Es gilt somit: 3 < log 3 (43) < 4

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-2), also gilt f(0)=-2.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesetzt bedeutet das: -2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -2 , also f(x)= -2⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -4.

In unseren Funktionsterm f(x)= -2⋅ a x eingesetzt bedeutet das: -4 = -2⋅a = -2a .

Es gilt also: -4 = -2a | ⋅ (- 1 2 )

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= -2⋅ 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,4x +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e 0,4x wird zu allen Funktionswerten von e 0,4x noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,4x +1 = y | -1
e 0,4x = y -1 |ln(⋅)
0,4x = ln( y -1 ) |:0,4
x = 1 0,4 ln( y -1 )
x = 5 2 ln( y -1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 2 ln( x -1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 2 ln( x -1 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 15% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also Bneu = B - 15 100 ⋅B = (1 - 15 100 ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,85.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.85( 1 2 ) ≈ 4.27 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 17% vermehrt. Nach 5 Wochen zählt man bereits 13154,69 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 12 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 66000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also Bneu = B + 17 100 ⋅B = (1 + 17 100 ) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,17 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 13154.69 Nutzer ist, also f(5) = 13154.69. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,17 t ein:

c ⋅ 1.175 = 13154.69

c ⋅ 2.19245 = 13154.69 | : 2.19245

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000⋅ 1,17 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = 6000⋅ 1,17 12 ≈ 39480,404.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 66000 Nutzer ist, also f(t) = 66000:

6000⋅ 1,17 t = 66000 |:6000
1,17 t = 11 |lg(⋅)
lg( 1,17 t ) = lg( 11 )
t · lg( 1,17 ) = lg( 11 ) |: lg( 1,17 )
t = lg( 11 ) lg( 1,17 )
t = 15,2729

Nach ca. 15,273 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 66000 Nutzer.