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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 3 · e x 2 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 3 · e ( -x ) 2 = - x 3 · e x 2

Wenn man das mit f(x) = x 3 · e x 2 vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = - x 3 · e x 2 gerade das Negative von f(x), also -f(x) = - x 3 · e x 2 ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -4.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -4 = -a = -a .

Es gilt also: -4 = -a | ⋅ -1

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,4x +1,2 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +1,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +1,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e -0,4x +1,2 wird zu allen Funktionswerten von e -0,4x +1,2 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,4x +1,2 +2 = y | -2
e -0,4x +1,2 = y -2 |ln(⋅)
-0,4x +1,2 = ln( y -2 )
-0,4x +1,2 = ln( y -2 ) | -1,2
-0,4x = ln( y -2 ) -1,2 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( y -2 ) + 1,2 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( x -2 ) + 1,2 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( x -2 ) + 1,2 0,4

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 158 0,6 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 158

f(1) = 158 0,6

f(2) = 158 0,60,6

f(3) = 158 0,60,60,6

f(4) = 158 0,60,60,60,6

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,6 multipliziert. Da 0,6 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,6-fache, also auf 60 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. 6 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 4,77 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 7 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,6 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 11 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 4.77 Millionen Insekten ist, also f(6) = 4.77. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 11 a t ein:

11 a 6 = 4,77 |:11
a 6 = 4,77 11 | 6
a1 = - 4,77 11 6 -0,87
a2 = 4,77 11 6 0,87

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,87 ≈ 0.87 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 11 0,87 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 11 0,87 7 4,15.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.6:

11 0,87 t = 3,6 |:11
0,87 t = 0,3273 |lg(⋅)
lg( 0,87 t ) = lg( 0,3273 )
t · lg( 0,87 ) = lg( 0,3273 ) |: lg( 0,87 )
t = lg( 0,3273 ) lg( 0,87 )
t = 8,02

Nach ca. 8,02 Jahre ist also der Bestand = 3.6 Millionen Insekten.