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Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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log im Interval bestimmen
Beispiel:
Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.
Wir suchen
Dabei kommt man auf
Und da wir bei
10-4 =
Es gilt somit: -4 <
Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch den negativen Koeffizienten
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
|
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= |
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|: |
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= | |ln(⋅) | |
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= |
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= |
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|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein Staat verliert jedes Jahr 4% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?
Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also Bneu
= B -
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga(
Also TH = log0.96(
c und a gegeben
Beispiel:
Ein Konto wird mit 6% verzinst. Zu Beginn sind 8000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 12 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 12000€ angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also Bneu
= B +
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):
f(12) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 12000 € ist, also f(t) = 12000:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
|
|:
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= |
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= |
|
Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 12000 €.
