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Kursstufe
cosh
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log berechnen (schwer)
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Zuerst schreiben wir
Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis
Also was muss in das Kästchen, damit
Damit steht die Lösung praktisch schon da:
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm
= 0 wird, wenn( x - k ) · e x - 1 2 k = 0 ist, also für x =x - k .k
Dann muss ja der y-Wert fk( ) =k =( ( k ) - k ) · e ( k ) - 1 2 k - 2 =0 - 2 sein.- 2
Da bei x = bei (k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(x - k |k ) im abgebildeten Graph bei P(1|- 2 ) sein.- 2
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit = 1k
Also gilt k =1
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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= |
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= |
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|:( |
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= |
|
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
prozentale Änderung bestimmen
Beispiel:
Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit
f(0) =
f(1) =
f(2) =
f(3) =
f(4) =
...
Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit
Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %
c und a gegeben
Beispiel:
In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 9% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 10 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,7 Millionen dieser Insekten?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also Bneu
= B -
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):
f(10) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.7:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
|
|:
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= |
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= |
|
Nach ca. 14,892 Jahre ist also der Bestand = 2.7 Millionen Insekten.
