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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{- (x - 2)} - 2$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{- (x - 2)} - 2$ das x von $e^{x}$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{- (x - 2)} - 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{- (x - 2)} - 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -2 addiert wird, ist der Graph von $e^{- (x - 2)} - 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Da bei $e^{- (x - 2)} - 2$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $e^{- (x - 2)} - 2$ gegen $0 - 2$ = $- 2$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{- (x - 2)} - 2$ gegen $\infty$ .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{0,1 x - 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{0,1 x - 0,3}$ wird $e^{0,1 x - 0,3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{0,1 x - 0,3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{0,1 x - 0,3}$	=	$y$	\|: $- 1$
$e^{0,1 x - 0,3}$	=	$- 1 y$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,3$	=	$\ln (- y)$

$0,1 x - 0,3$	=	$\ln (- y)$	\| $+ 0,3$
$0,1 x$	=	$\ln (- y) + 0,3$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (- y) + \frac{0,3}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (- x) + \frac{0,3}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (- x) + \frac{0,3}{0,1}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $70 \cdot {1,45}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $70$

f(1) = $70$ ⋅ $1,45$

f(2) = $70$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(3) = $70$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(4) = $70$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,45$ multipliziert. Da $1,45$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,45$ -fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,2% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 11 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.2}{100}$ ) ⋅ B = 0,968 ⋅ B. Somit ist das a=0,968.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot {0,968}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $75 \cdot {0,968}^{11}$ ≈ 52,443.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$75 \cdot {0,968}^{t}$	=	$45$	\|: $75$
${0,968}^{t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,968}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{5})$
$t \cdot \lg (0,968)$	=	$\lg (\frac{3}{5})$	\|: $\lg (0,968)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{5})}{\lg (0,968)}$

t

=

15,7065

Nach ca. 15,707 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben