Mathebattle EduRandomtasks

Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x^{2} + 1}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{2} \cdot e^{3 {(- x)}^{2} + 1}$ = $x^{2} \cdot e^{3 x^{2} + 1}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{2} \cdot e^{3 x^{2} + 1}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{5000} x^{3}) + \lg (\frac{25}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{2} x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{5000} x^{3}) + \lg (\frac{25}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{2} x)$

= $\lg (\frac{1}{5000} x^{3}) + \lg (25 x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{2} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5000}) + \lg (x^{3}) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x))$

= $\lg (\frac{1}{5000}) + \lg (x^{3}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5000}) + 3 \lg (x) + \lg (25) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (5 000) + 3 \lg (x) + \lg (25) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - \lg (x)$

= $- \lg (5 000) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5000} \cdot 25 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{- 0,1 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{- 0,1 x}$ können die Funktionswerte von $4 e^{- 0,1 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4 e^{- 0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{- 0,1 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{- 0,1 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$4 e^{- 0,1 x}$	=	$y - 3$	\|: $4$
$e^{- 0,1 x}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$	\|: $- 0,1$
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$
$x$	=	$- 10 \ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 10 \ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 10 \ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $167 \cdot {(\frac{27}{25})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $167$

f(1) = $167$ ⋅ $\frac{27}{25}$

f(2) = $167$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$

f(3) = $167$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$

f(4) = $167$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{27}{25}$ multipliziert. Da $\frac{27}{25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{27}{25}$ -fache (oder auf das $\frac{108}{100}$ -fache), also auf $108$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 108% - 100% = 8 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 70kg vorhanden. Nach 8 Tagen nach sind nur noch 27,56kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 7 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 27.56 kg ist, also f(8) = 27.56. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ ein:

$70 a^{8}$	=	$27,56$	\|: $70$
$a^{8}$	=	$\frac{27,56}{70}$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{\frac{27,56}{70}}$	≈ $- 0,89$
a₂	=	$\sqrt[8]{\frac{27,56}{70}}$	≈ $0,89$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,89$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,89}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $70 \cdot {0,89}^{7}$ ≈ 30,962.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$70 \cdot {0,89}^{t}$	=	$20$	\|: $70$
${0,89}^{t}$	=	$\frac{2}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,89}^{t})$	=	$\lg (\frac{2}{7})$
$t \cdot \lg (0,89)$	=	$\lg (\frac{2}{7})$	\|: $\lg (0,89)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{2}{7})}{\lg (0,89)}$

t

=

10,7502

Nach ca. 10,75 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben