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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x}) + 4 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x}) + 4 \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{- 1}) + 4 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $- \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{2}{5 x^{4}}) + \lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{20}{x^{6}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{2}{5 x^{4}}) + \lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{20}{x^{6}})$

= $- \lg (\frac{2}{5} x^{- 4}) + \lg (2 x^{2}) + \lg (20 x^{- 6})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{2}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (2) + \lg (x^{2})) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{6}}))$

= $- \lg (\frac{2}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (2) + \lg (x^{2}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{6}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{2}{5}) + 4 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (20) - 6 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (2) + \lg (5) + 4 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (20) - 6 \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20 \cdot 5)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,3 x - 0,9} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{0,3 x - 0,9}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,3 x - 0,9}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,3 x - 0,9} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{0,3 x - 0,9}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (y + 3)$

$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (y + 3)$	\| $+ 0,9$
$0,3 x$	=	$\ln (y + 3) + 0,9$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (y + 3) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (x + 3) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (x + 3) + \frac{0,9}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$ ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,29.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.29( $2$ ) ≈ 2.72 Stunden

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seines Bestands. 2 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 22,71kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 5 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$ ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 22.71 kg ist, also f(2) = 22.71. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.87² = 22.71

c ⋅ 0.7569 = 22.71 | : 0.7569

c = 30

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $30 \cdot {0,87}^{5}$ ≈ 14,953.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$30 \cdot {0,87}^{t}$	=	$10$	\|: $30$
${0,87}^{t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{3})$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (\frac{1}{3})$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{3})}{\lg (0,87)}$

t

=

7,8888

Nach ca. 7,889 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben