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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot e^{x^{2}}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot e^{{(- x)}^{2}}$ = $- x \cdot e^{x^{2}}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot e^{x^{2}}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x \cdot e^{x^{2}}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- x \cdot e^{x^{2}}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x + 2 k) \cdot e^{x + k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x + 2 k) \cdot e^{x + k}$ = 0 wird, wenn $x + 2 k$ = 0 ist, also für x = $- 2 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 2 k$ ) = $((- 2 k) + 2 k) \cdot e^{(- 2 k) + k} + 1$ = $0 + 1$ = $1$ sein.
Da bei x = $- 2 k$ bei ( $x + 2 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 2 k$ | $1$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 2 k$ = 1
Also gilt k = $- \frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 2} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $3 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 2} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$3 e^{x - 2}$	=	$y - 3$	\|: $3$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{3} y - 1$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - 1)$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - 1)$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - 1) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x - 1) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x - 1) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 14%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$ ) ⋅ B = 1,14 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,14.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.14( $2$ ) ≈ 5.29 Stunden

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 20kg vorhanden. Nach 4 Tagen nach sind nur noch 13,71kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 15,1kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 13.71 kg ist, also f(4) = 13.71. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $20 \cdot a^{t}$ ein:

$20 a^{4}$	=	$13,71$	\|: $20$
$a^{4}$	=	$0,6855$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{0,6855}$	≈ $- 0,91$
a₂	=	$\sqrt[4]{0,6855}$	≈ $0,91$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,91$ ≈ 0.91 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {0,91}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $20 \cdot {0,91}^{8}$ ≈ 9,405.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 15.1 kg ist, also f(t) = 15.1:

$20 \cdot {0,91}^{t}$	=	$15,1$	\|: $20$
${0,91}^{t}$	=	$0,755$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,91}^{t})$	=	$\lg (0,755)$
$t \cdot \lg (0,91)$	=	$\lg (0,755)$	\|: $\lg (0,91)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,755)}{\lg (0,91)}$

t

=

2,9799

Nach ca. 2,98 Tage ist also der Bestand = 15.1 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben