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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{3} (45)$ - $\log_{3} (5)$ .

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$\log_{3} (45)$ - $\log_{3} (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{3} (\frac{45}{5})$

= $\log_{3} (9)$

= $\log_{3} (3^{2})$

= 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{20 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2} x^{3})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{20 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2} x^{3})$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{2} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (1)) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (1) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + 0 - \lg (\frac{1}{20}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + 0 - \lg (1) + \lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - 3 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,4 x + 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,4 x + 0,4}$ wird $e^{- 0,4 x + 0,4}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,4 x + 0,4}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$y$	\|: $- 4$
$e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$- \frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$

$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$	\| $- 0,4$
$- 0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y) - 0,4$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{4} y) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,4}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,919}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,919}^{t}$ ablesen: a=0.919.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.919( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 8.21 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 50,73 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 5 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 51,8 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 50.73 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 50.73. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $55 \cdot a^{t}$ ein:

$55 a^{4}$	=	$50,73$	\|: $55$
$a^{4}$	=	$0,92236$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{0,92236}$	≈ $- 0,98$
a₂	=	$\sqrt[4]{0,92236}$	≈ $0,98$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,98$ ≈ 0.98 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot {0,98}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $55 \cdot {0,98}^{5}$ ≈ 49,716.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 51.8 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 51.8:

$55 \cdot {0,98}^{t}$	=	$51,8$	\|: $55$
${0,98}^{t}$	=	$0,9418$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,98}^{t})$	=	$\lg (0,9418)$
$t \cdot \lg (0,98)$	=	$\lg (0,9418)$	\|: $\lg (0,98)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,9418)}{\lg (0,98)}$

t

=

2,968

Nach ca. 2,968 Jahre ist also der Bestand = 51.8 Millionen Einwohner.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben