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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 ( 1 9 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 9 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 1 9 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3 = 1 9 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 3-Potenz zu schreiben versuchen, also 3 = 1 9

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 3 ( 1 9 ) = -2, eben weil 3-2 = 1 9 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 2 x 2 ) + lg( 1 500 x 6 ) + lg( 25 x 4 ) soweit wie möglich.

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lg( 2 x 2 ) + lg( 1 500 x 6 ) + lg( 25 x 4 )

= lg( 2 x 2 ) + lg( 1 500 x -6 ) + lg( 25 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 2 ) + lg( x 2 ) + ( lg( 1 500 ) + lg( 1 x 6 ) ) + ( lg( 25 ) + lg( x 4 ) )

= lg( 2 ) + lg( x 2 ) + lg( 1 500 ) + lg( 1 x 6 ) + lg( 25 ) + lg( x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 2 ) +2 lg( x ) + lg( 1 500 ) -6 lg( x ) + lg( 25 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 2 ) +2 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 500 ) -6 lg( x ) + lg( 25 ) +4 lg( x )

= - lg( 500 ) + lg( 25 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 500 · 25 · 2 )

= lg( 1 10 )

= lg( 10 -1 )

= -1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e 0,2x -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e 0,2x wird e 0,2x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e 0,2x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem -2 e 0,2x wird zu allen Funktionswerten von -2 e 0,2x noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e 0,2x -2 = y | +2
-2 e 0,2x = y +2 |:-2
e 0,2x = - 1 2 y -1 |ln(⋅)
0,2x = ln( - 1 2 y -1 ) |:0,2
x = 1 0,2 ln( - 1 2 y -1 )
x = 5 ln( - 1 2 y -1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 ln( - 1 2 x -1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 ln( - 1 2 x -1 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 17,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 2000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 17.7 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 17,7 = 2 | 17,7
a = 2 1 17,7

Das gesuchte a ist somit 2 1 17,7 ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 2000 1,04 t

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. Zu Beginn sind 3000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 9 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 3500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 3000 1,02 9 3585,278.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3500 € ist, also f(t) = 3500:

3000 1,02 t = 3500 |:3000
1,02 t = 7 6 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 7 6 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 7 6 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 7 6 ) lg( 1,02 )
t = 7,7844

Nach ca. 7,784 Jahre ist also der Kontostand = 3500 €.