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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 5 (23) liegt.

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Wir suchen 5er-Potenzen in der Näher von 23, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 23 ist.

Dabei kommt man auf 5 = 51 < 23 und auf 5 2 = 52 > 23.

Und da wir bei log 5 (23) ja das ☐ von 5 = 23 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
51 = 5 < 23 < 5 2 = 52

Es gilt somit: 1 < log 5 (23) < 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k e k x - k -2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann k e k x - k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x - k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm k e k x - k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei -2 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x - k = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x - k = 0 | - ( - k )
    k x = k |:( k )
    x = 1
    Wenn wir nun 1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(1 ) = k e k 1 - k -2 = k -2
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(1 ) = -1 ablesen, es gilt somit:
    k -2 = -1 | +2
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e -0,4x +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e -0,4x wird e -0,4x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e -0,4x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem -3 e -0,4x wird zu allen Funktionswerten von -3 e -0,4x noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e -0,4x +3 = y | -3
-3 e -0,4x = y -3 |:-3
e -0,4x = - 1 3 y +1 |ln(⋅)
-0,4x = ln( - 1 3 y +1 ) |:-0,4
x = - 1 0,4 ln( - 1 3 y +1 )
x = - 5 2 ln( - 1 3 y +1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 5 2 ln( - 1 3 x +1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 5 2 ln( - 1 3 x +1 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,912 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,912 t ablesen: a=0.912.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.912( 1 2 ) ≈ 7.52 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 35%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 1088,33Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 222 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 35% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 35% dazukommen,
also Bneu = B + 35 100 ⋅B = (1 + 35 100 ) ⋅ B = 1,35 ⋅ B. Somit ist das a=1,35.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,35 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 1088.33 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 1088.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,35 t ein:

c ⋅ 1.3513 = 1088.33

c ⋅ 49.46967 = 1088.33 | : 49.46967

c = 22

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 22 1,35 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = 22 1,35 10 442,344.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 222 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 222:

22 1,35 t = 222 |:22
1,35 t = 111 11 |lg(⋅)
lg( 1,35 t ) = lg( 111 11 )
t · lg( 1,35 ) = lg( 111 11 ) |: lg( 1,35 )
t = lg( 111 11 ) lg( 1,35 )
t = 7,7028

Nach ca. 7,703 Stunden ist also der Bestand = 222 Millionen Bakterien.