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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 ( 2 ) .

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Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis 4 suchen und 4 gerade 2² ist (also 2 = 4 = 4 1 2 ), formen wir 2 noch so um, dass sie 4 als Basis hat:

2 = 4 1 2

log 4 ( 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 2 = 4 1 2 zur Basis 4 suchen, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 2 = 4 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4 = 2 = 4 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 4 ( 2 ) = log 4 ( 4 1 2 ) = 1 2 , eben weil 4 1 2 = 2 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 9 10 x + k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 9 10 x + k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -1, somit muss k = -1 gelten;
    Also gilt k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,4 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e 0,2x -0,4 wird zu allen Funktionswerten von e 0,2x -0,4 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,4 +2 = y | -2
e 0,2x -0,4 = y -2 |ln(⋅)
0,2x -0,4 = ln( y -2 )
0,2x -0,4 = ln( y -2 ) | +0,4
0,2x = ln( y -2 ) +0,4 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y -2 ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x -2 ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x -2 ) + 0,4 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,043 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,043 t ablesen: a=1.043.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.043(2) ≈ 16.46 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 28 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 428 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=28 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also Bneu = B + 26 100 ⋅B = (1 + 26 100 ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 28 1,26 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = 28 1,26 10 282,399.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 428 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 428:

28 1,26 t = 428 |:28
1,26 t = 107 7 |lg(⋅)
lg( 1,26 t ) = lg( 107 7 )
t · lg( 1,26 ) = lg( 107 7 ) |: lg( 1,26 )
t = lg( 107 7 ) lg( 1,26 )
t = 11,7991

Nach ca. 11,799 Stunden ist also der Bestand = 428 Millionen Bakterien.