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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{40669})$ liegt.

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{40669}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{40669}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{10^{5}}$ = 10^-5 < $\frac{1}{40669}$ und auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{10^{4}}$ = 10^-4 > $\frac{1}{40669}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{40669})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{40669}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -5 und -4 liegen, wegen:
10^-5 = $\frac{1}{10^{5}}$ = $\frac{1}{100000}$ < $\frac{1}{40669}$ < $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{10^{4}}$ = 10^-4

Es gilt somit: -5 < $\log_{10} (\frac{1}{40669})$ < -4

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{10}}) - \lg (\frac{16}{x^{4}}) + \lg (4 x)$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{4}{x^{10}}) - \lg (\frac{16}{x^{4}}) + \lg (4 x)$

= $\lg (4 x^{- 10}) - \lg (16 x^{- 4}) + \lg (4 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{10}}) - (\lg (16) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (4) + \lg (x))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{10}}) - \lg (16) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 10 \lg (x) - \lg (16) + 4 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 10 \lg (x) - \lg (16) + 4 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

= $- 5 \lg (x) - \lg (16) + \lg (4) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{16} \cdot 4 \cdot 4)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,4 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,4 x}$ wird $e^{0,4 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,4 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- 3 e^{0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{0,4 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,4 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- 3 e^{0,4 x}$	=	$y - 3$	\|: $- 3$
$e^{0,4 x}$	=	$- \frac{1}{3} y + 1$	\|ln(⋅)
$0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + 1)$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} y + 1)$
$x$	=	$\frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{3} y + 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{3} x + 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{3} x + 1)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 19% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{19}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{19}{100}$ ) ⋅ B = 1,19 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,19.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.19( $2$ ) ≈ 3.98 Wochen

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 59,83Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 6 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 62 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,08}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 59.83 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 59.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,08}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.08¹³ = 59.83

c ⋅ 2.71962 = 59.83 | : 2.71962

c = 22

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $22 \cdot {1,08}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $22 \cdot {1,08}^{6}$ ≈ 34,911.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 62 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 62:

$22 \cdot {1,08}^{t}$	=	$62$	\|: $22$
${1,08}^{t}$	=	$\frac{31}{11}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,08}^{t})$	=	$\lg (\frac{31}{11})$
$t \cdot \lg (1,08)$	=	$\lg (\frac{31}{11})$	\|: $\lg (1,08)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{31}{11})}{\lg (1,08)}$

t

=

13,4626

Nach ca. 13,463 Stunden ist also der Bestand = 62 Millionen Bakterien.

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log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben