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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{144})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{144}$ zur Basis $12$ , also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{144}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $12$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $12$ ^☐ = $\frac{1}{144}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{12} (\frac{1}{144})$ = $- 2$ , eben weil $12$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{144}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $3 k e^{k x - 2 k} - 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $3 k e^{k x - 2 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x - 2 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $3 k e^{k x - 2 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $- 2$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x - 2 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x - 2 k$	=	0	\| - ( $- 2 k$ )
$k x$	=	$2 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$2$

Wenn wir nun

2

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

2

) =

3 k e^{k \cdot 2 - 2 k} - 2

=

3 k - 2

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

2

) = 3 ablesen, es gilt somit:

$3 k - 2$	=	$3$	\| $+ 2$
$3 k$	=	$5$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{5}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{5}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 2} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $3 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 2} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$3 e^{x - 2}$	=	$y - 2$	\|: $3$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{3} y - \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{2}{3}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x - \frac{2}{3}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x - \frac{2}{3}) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,135}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,135}^{t}$ ablesen: a=1.135.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.135( $2$ ) ≈ 5.47 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 13% abnimmt. 9 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 2,86 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 7 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 1,4 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$ ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Jahre der Bestand 2.86 Millionen Insekten ist, also f(9) = 2.86. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.87⁹ = 2.86

c ⋅ 0.28554 = 2.86 | : 0.28554

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $10 \cdot {0,87}^{7}$ ≈ 3,773.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.4:

$10 \cdot {0,87}^{t}$	=	$1,4$	\|: $10$
${0,87}^{t}$	=	$0,14$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (0,14)$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (0,14)$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,14)}{\lg (0,87)}$

t

=

14,1181

Nach ca. 14,118 Jahre ist also der Bestand = 1.4 Millionen Insekten.

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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben