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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{15} (224)$ liegt.

Wir suchen $15$ er-Potenzen in der Näher von $224$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $224$ ist.

Dabei kommt man auf $15$ = 15¹ < $224$ und auf $15^{2}$ = 15² > $224$ .

Und da wir bei $\log_{15} (224)$ ja das ☐ von 15^☐ = $224$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
15¹ = $15$ < $224$ < $15^{2}$ = 15²

Es gilt somit: 1 < $\log_{15} (224)$ < 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x^{3}}) + \lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{1}{50 x^{9}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{25 x^{3}}) + \lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{1}{50 x^{9}})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 3}) + \lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{1}{50} x^{- 9})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (2) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{9}}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (2) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{9}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + 3 \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50}) - 9 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (50) - 9 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (50) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{- 0,4 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{- 0,4 x}$ wird $e^{- 0,4 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{- 0,4 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- e^{- 0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{- 0,4 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{- 0,4 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- e^{- 0,4 x}$	=	$y + 2$	\|: $- 1$
$e^{- 0,4 x}$	=	$- y - 2$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x$	=	$\ln (- y - 2)$	\|: $- 0,4$
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (- y - 2)$
$x$	=	$- \frac{5}{2} \ln (- y - 2)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{5}{2} \ln (- x - 2)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{5}{2} \ln (- x - 2)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 14% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$ ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,86.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.86( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.6 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 3,18Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 11 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 22 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$ ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,26}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 3.18 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 3.18. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,26}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.26² = 3.18

c ⋅ 1.5876 = 3.18 | : 1.5876

c = 2

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 \cdot {1,26}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $2 \cdot {1,26}^{11}$ ≈ 25,416.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 22 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 22:

$2 \cdot {1,26}^{t}$	=	$22$	\|: $2$
${1,26}^{t}$	=	$11$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,26}^{t})$	=	$\lg (11)$
$t \cdot \lg (1,26)$	=	$\lg (11)$	\|: $\lg (1,26)$
$t$	=	$\frac{\lg (11)}{\lg (1,26)}$

t

=

10,3755

Nach ca. 10,376 Stunden ist also der Bestand = 22 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben