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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (1250 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) + \lg (25 x)$ soweit wie möglich.

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$- \lg (1250 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) + \lg (25 x)$

= $- \lg (1250 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 2}) + \lg (25 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (1250) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (25) + \lg (x))$

= $- \lg (1250) - \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (25) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (1250) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 2 \lg (x) + \lg (25) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1 250) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (25) + \lg (x)$

= $- \lg (1 250) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1250} \cdot 25 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{5}{10} x + k} + 6 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{5}{10} x + k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $6 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $6 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -3, somit muss $6 k$ = -3 gelten;
Also gilt k = $- \frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{- 0,2 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{- 0,2 x}$ können die Funktionswerte von $3 e^{- 0,2 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $3 e^{- 0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{- 0,2 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{- 0,2 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$3 e^{- 0,2 x}$	=	$y - 2$	\|: $3$
$e^{- 0,2 x}$	=	$\frac{1}{3} y - \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$	\|: $- 0,2$
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$
$x$	=	$- 5 \ln (\frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 5 \ln (\frac{1}{3} x - \frac{2}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 5 \ln (\frac{1}{3} x - \frac{2}{3})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2,9% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 2.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2.9}{100}$ ) ⋅ B = 0,971 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,971.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.971( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 23.55 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Nach 4 Wochen zählt man bereits 10863,84 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 36000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$ ) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,16}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Wochen der Bestand 10863.84 Nutzer ist, also f(4) = 10863.84. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,16}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.16⁴ = 10863.84

c ⋅ 1.81064 = 10863.84 | : 1.81064

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,16}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $6 000 \cdot {1,16}^{5}$ ≈ 12602,05.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 36000 Nutzer ist, also f(t) = 36000:

$6 000 \cdot {1,16}^{t}$	=	$36 000$	\|: $6 000$
${1,16}^{t}$	=	$6$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,16}^{t})$	=	$\lg (6)$
$t \cdot \lg (1,16)$	=	$\lg (6)$	\|: $\lg (1,16)$
$t$	=	$\frac{\lg (6)}{\lg (1,16)}$

t

=

12,0722

Nach ca. 12,072 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 36000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben