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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot (2 e^{x} + 2 e^{- x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot (2 e^{- x} + 2 e^{x})$ = $- x \cdot (2 e^{- x} + 2 e^{x})$ = $- 2 x \cdot e^{x} - 2 x \cdot e^{- x}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot (2 e^{x} + 2 e^{- x})$ = $2 x \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{- x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- 2 x \cdot e^{x} - 2 x \cdot e^{- x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- (x \cdot 2 e^{x} + x \cdot 2 e^{- x})$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - k$ = 0 ist, also für x = $k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$ ) = $((k) - k) \cdot e^{(k) - \frac{1}{2} k} - 3$ = $0 - 3$ = $- 3$ sein.
Da bei x = $k$ bei ( $x - k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$ | $- 3$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $- 3$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 1
Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{0,4 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{0,4 x}$ wird $e^{0,4 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{0,4 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- e^{0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{0,4 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{0,4 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- e^{0,4 x}$	=	$y - 2$	\|: $- 1$
$e^{0,4 x}$	=	$- y + 2$	\|ln(⋅)
$0,4 x$	=	$\ln (- y + 2)$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (- y + 2)$
$x$	=	$\frac{5}{2} \ln (- y + 2)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2} \ln (- x + 2)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{5}{2} \ln (- x + 2)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$ ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.2( $2$ ) ≈ 3.8 Stunden

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 100kg vorhanden. Nach 10 Tagen nach sind nur noch 43,44kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 6 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 70kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $100 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 43.44 kg ist, also f(10) = 43.44. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $100 \cdot a^{t}$ ein:

$100 a^{10}$	=	$43,44$	\|: $100$
$a^{10}$	=	$\frac{43,44}{100}$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{\frac{43,44}{100}}$	≈ $- 0,92$
a₂	=	$\sqrt[10]{\frac{43,44}{100}}$	≈ $0,92$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,92$ ≈ 0.92 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $100 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $100 \cdot {0,92}^{6}$ ≈ 60,636.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 kg ist, also f(t) = 70:

$100 \cdot {0,92}^{t}$	=	$70$	\|: $100$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{10})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{7}{10})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{10})}{\lg (0,92)}$

t

=

4,2776

Nach ca. 4,278 Tage ist also der Bestand = 70 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben