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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (4)$ .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (4)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (4)$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x - 3 k) \cdot e^{x - \frac{3}{2} k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x - 3 k) \cdot e^{x - \frac{3}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - 3 k$ = 0 ist, also für x = $3 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $3 k$ ) = $((3 k) - 3 k) \cdot e^{(3 k) - \frac{3}{2} k} - 3$ = $0 - 3$ = $- 3$ sein.
Da bei x = $3 k$ bei ( $x - 3 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $3 k$ | $- 3$ ) im abgebildeten Graph bei P(2| $- 3$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $3 k$ = 2
Also gilt k = $\frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,2 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,2 x}$ wird $e^{- 0,2 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,2 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- 3 e^{- 0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{- 0,2 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,2 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- 3 e^{- 0,2 x}$	=	$y + 2$	\|: $- 3$
$e^{- 0,2 x}$	=	$- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$	\|: $- 0,2$
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$
$x$	=	$- 5 \ln (- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 5 \ln (- \frac{1}{3} x - \frac{2}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 5 \ln (- \frac{1}{3} x - \frac{2}{3})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,043}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,043}^{t}$ ablesen: a=1.043.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.043( $2$ ) ≈ 16.46 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 6515,58€. a) Wie hoch ist der Kontostand 11 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 6515.58 € ist, also f(10) = 6515.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ ein:

$4 000 a^{10}$	=	$6 515,58$	\|: $4 000$
$a^{10}$	=	$1,6289$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{1,6289}$	= $- 1,05$
a₂	=	$\sqrt[10]{1,6289}$	= $1,05$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,05$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,05}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $4 000 \cdot {1,05}^{11}$ ≈ 6841,357.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

$4 000 \cdot {1,05}^{t}$	=	$7 000$	\|: $4 000$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{7}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{4})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{7}{4})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{4})}{\lg (1,05)}$

t

=

11,4698

Nach ca. 11,47 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (schwer)

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

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c und ein Funktionswert gegeben