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cosh
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log berechnen (einfach)
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Wir suchen den Logarithmus von zur Basis , also die Hochzahl mit der man potenzieren muss, um auf zu kommen.
Also was muss in das Kästchen, damit ☐ = gilt.
Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:
= , eben weil = gilt .
Term aus Graph bestimmen
Beispiel:
Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.
Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|), also gilt f(0)=.
In den allgemeinen Funktionsterm eingesetzt bedeutet das: = = c ⋅ 1.
Dadurch wissen wir nun schon: c = , also .
Außerdem können wir den Punkt (1|) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = .
In unseren Funktionsterm eingesetzt bedeutet das: = = .
Es gilt also: =
Somit ist der Funtionsterm:
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13,7% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.
Die prozentuale Abnahme um 13.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13.7% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,863 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=0,863.
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga().
Also TH = log0.863() ≈ 4.7 Tage
c und a gegeben
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seines Bestands. Zu Beginn sind 50kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 13 Tagen da? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B. Somit ist das a=0,96.
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):
f(13) = ≈ 29,41.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 12,514 Tage ist also der Bestand = 30 kg.