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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{250.000} x^{4}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{50}{x^{6}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{250.000} x^{4}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{50}{x^{6}})$

= $\lg (\frac{1}{250.000} x^{4}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (50 x^{- 6})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000}) + \lg (x^{4}) + (\lg (5) + \lg (x^{2})) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{6}}))$

= $\lg (\frac{1}{250.000}) + \lg (x^{4}) + \lg (5) + \lg (x^{2}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{6}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000}) + 4 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (50) - 6 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (250 000) + 4 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (50) - 6 \lg (x)$

= $- \lg (250 000) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000} \cdot 50 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k e^{k x - k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k e^{k x - k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x - k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k e^{k x - k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $- 3$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x - k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x - k$	=	0	\| - ( $- k$ )
$k x$	=	$k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$1$

Wenn wir nun

1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

1

) =

k e^{k \cdot 1 - k} - 3

=

k - 3

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

1

) = -2 ablesen, es gilt somit:

$k - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
$k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,1 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,1 x}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,1 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3 e^{0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{0,1 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,1 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$3 e^{0,1 x}$	=	$y + 2$	\|: $3$
$e^{0,1 x}$	=	$\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$
$x$	=	$10 \ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10 \ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $10 \ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 17% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{17}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{17}{100}$ ) ⋅ B = 0,83 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,83.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.83( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 3.72 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 10% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 9 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 1,5 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$ ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,9}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $11 \cdot {0,9}^{9}$ ≈ 4,262.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.5:

$11 \cdot {0,9}^{t}$	=	$1,5$	\|: $11$
${0,9}^{t}$	=	$0,1364$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (0,1364)$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (0,1364)$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,1364)}{\lg (0,9)}$

t

=

18,9081

Nach ca. 18,908 Jahre ist also der Bestand = 1.5 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben