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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $4 \lg (x^{- 3})$
= $- 12 \lg (x)$
= $- 12 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{80 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{80 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) + \lg (20 x^{2})$

= $\lg (\frac{1}{80} x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 2}) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{80}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80}) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 2 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (80) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (80) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80} \cdot 20 \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,3 x + 0,6}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,3 x + 0,6}$ wird $e^{- 0,3 x + 0,6}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,3 x + 0,6}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,3 x + 0,6}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{- 0,3 x + 0,6}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,6$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$- 0,3 x + 0,6$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $- 0,6$
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) - 0,6$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,6}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,6}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,6}{0,3}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $186 \cdot {0,65}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $186$

f(1) = $186$ ⋅ $0,65$

f(2) = $186$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$

f(3) = $186$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$

f(4) = $186$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,65$ multipliziert. Da $0,65$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,65$ -fache, also auf $65$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 11%. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 24,64Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 11 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 80 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,11}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 24.64 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 24.64. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,11}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.11² = 24.64

c ⋅ 1.2321 = 24.64 | : 1.2321

c = 20

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {1,11}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $20 \cdot {1,11}^{11}$ ≈ 63,035.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 80 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 80:

$20 \cdot {1,11}^{t}$	=	$80$	\|: $20$
${1,11}^{t}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,11}^{t})$	=	$\lg (4)$
$t \cdot \lg (1,11)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (1,11)$
$t$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (1,11)}$

t

=

13,2838

Nach ca. 13,284 Stunden ist also der Bestand = 80 Millionen Bakterien.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben