Mathebattle EduRandomtasks

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (3)$ - $\log_{4} (3)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (3)$ - $\log_{4} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{3}{3})$

= $\log_{4} (1)$

= 0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25 x^{3}) + \lg (\frac{2}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{5} x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (25 x^{3}) + \lg (\frac{2}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{5} x)$

= $\lg (25 x^{3}) + \lg (2 x^{- 4}) + \lg (\frac{1}{5} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (x^{3}) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x))$

= $\lg (25) + \lg (x^{3}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{5}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (2) - 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (2) - 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (5) + \lg (x)$

= $\lg (25) - \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{5} \cdot 2)$

= $\lg (10)$

= $1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,1 x - 0,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,1 x - 0,2}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,1 x - 0,2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,1 x - 0,2}$	=	$y$	\|: $3$
$e^{0,1 x - 0,2}$	=	$\frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$

$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,2$
$0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y) + 0,2$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} y) + \frac{0,2}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,2}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,2}{0,1}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $71 \cdot {1,1}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $71$

f(1) = $71$ ⋅ $1,1$

f(2) = $71$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

f(3) = $71$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

f(4) = $71$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,1$ multipliziert. Da $1,1$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,1$ -fache, also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. 5 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 108,2Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 627 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$ ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,32}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Stunden der Bestand 108.2 Millionen Bakterien ist, also f(5) = 108.2. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,32}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.32⁵ = 108.2

c ⋅ 4.00746 = 108.2 | : 4.00746

c = 27

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $27 \cdot {1,32}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $27 \cdot {1,32}^{7}$ ≈ 188,53.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 627 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 627:

$27 \cdot {1,32}^{t}$	=	$627$	\|: $27$
${1,32}^{t}$	=	$\frac{209}{9}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,32}^{t})$	=	$\lg (\frac{209}{9})$
$t \cdot \lg (1,32)$	=	$\lg (\frac{209}{9})$	\|: $\lg (1,32)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{209}{9})}{\lg (1,32)}$

t

=

11,3284

Nach ca. 11,328 Stunden ist also der Bestand = 627 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben