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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 25 x ) - lg( 1 50 x 4 ) - lg( 1250 x 2 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 25 x ) - lg( 1 50 x 4 ) - lg( 1250 x 2 )

= - lg( 1 25 x ) - lg( 1 50 x -4 ) - lg( 1250 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 25 ) + lg( x ) ) - ( lg( 1 50 ) + lg( 1 x 4 ) ) - ( lg( 1250 ) + lg( 1 x 2 ) )

= - lg( 1 25 ) - lg( x ) - lg( 1 50 ) - lg( 1 x 4 ) - lg( 1250 ) - lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 25 ) - lg( x ) - lg( 1 50 ) +4 lg( x ) - lg( 1250 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 25 ) - lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 50 ) +4 lg( x ) - lg( 1250 ) +2 lg( x )

= 5 lg( x ) - lg( 1250 ) + lg( 50 ) + lg( 25 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 5 lg( x ) + lg( 1 1250 · 50 · 25 )

= 5 lg( x ) + lg( 1 25 · 25 )

= 5 lg( x ) + lg( 1 )

= 5 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 200 x ) - lg( 1 4 x 4 ) + lg( 5 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 1 200 x ) - lg( 1 4 x 4 ) + lg( 5 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 200 ) + lg( x ) - ( lg( 1 4 ) + lg( x 4 ) ) + ( lg( 5 ) + lg( x 3 ) )

= lg( 1 200 ) + lg( x ) - lg( 1 4 ) - lg( x 4 ) + lg( 5 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 200 ) + lg( x ) - lg( 1 4 ) -4 lg( x ) + lg( 5 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 200 ) + lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 4 ) -4 lg( x ) + lg( 5 ) +3 lg( x )

= - lg( 200 ) + lg( 5 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 200 · 5 · 4 )

= lg( 1 10 )

= lg( 10 -1 )

= -1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,9 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,9 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,9 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,9 = y |ln(⋅)
-0,3x +0,9 = ln( y )
-0,3x +0,9 = ln( y ) | -0,9
-0,3x = ln( y ) -0,9 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y ) + 0,9 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x ) + 0,9 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x ) + 0,9 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,96 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,96 t ablesen: a=0.96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.96( 1 2 ) ≈ 16.98 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. 6 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 9929,63€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 8 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 15000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also Bneu = B + 6 100 ⋅B = (1 + 6 100 ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,06 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 9929.63 € ist, also f(6) = 9929.63. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,06 t ein:

c ⋅ 1.066 = 9929.63

c ⋅ 1.41852 = 9929.63 | : 1.41852

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 7000 1,06 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 7000 1,06 8 11156,937.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 15000 € ist, also f(t) = 15000:

7000 1,06 t = 15000 |:7000
1,06 t = 15 7 |lg(⋅)
lg( 1,06 t ) = lg( 15 7 )
t · lg( 1,06 ) = lg( 15 7 ) |: lg( 1,06 )
t = lg( 15 7 ) lg( 1,06 )
t = 13,0797

Nach ca. 13,08 Jahre ist also der Kontostand = 15000 €.