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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 ( 10 3 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 10 3 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 10 3 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 10 3 gilt.

Wenn wir jetzt die 10 3 als 10 1 3 umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: 10 = 10 1 3

log 10 ( 10 3 ) = 1 3 , eben weil 10 1 3 = 10 3 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 6 10 x -2 k +3 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 6 10 x -2 k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 3 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 + 3 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 5, somit muss 3 k = 5 gelten;
    Also gilt k = 5 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f 5 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e 0,1x -0,1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e 0,1x -0,1 wird e 0,1x -0,1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e 0,1x -0,1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e 0,1x -0,1 = y |:-2
e 0,1x -0,1 = - 1 2 y |ln(⋅)
0,1x -0,1 = ln( - 1 2 y )
0,1x -0,1 = ln( - 1 2 y ) | +0,1
0,1x = ln( - 1 2 y ) +0,1 |:0,1
x = 1 0,1 ln( - 1 2 y ) + 0,1 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( - 1 2 x ) + 0,1 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( - 1 2 x ) + 0,1 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 4% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also Bneu = B - 4 100 ⋅B = (1 - 4 100 ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.96( 1 2 ) ≈ 16.98 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5% seines Bestands. 2 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 18,05kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 11 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 16,3kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also Bneu = B - 5 100 ⋅B = (1 - 5 100 ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,95 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 18.05 kg ist, also f(2) = 18.05. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,95 t ein:

c ⋅ 0.952 = 18.05

c ⋅ 0.9025 = 18.05 | : 0.9025

c = 20

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 20 0,95 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = 20 0,95 11 11,376.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 16.3 kg ist, also f(t) = 16.3:

20 0,95 t = 16,3 |:20
0,95 t = 0,815 |lg(⋅)
lg( 0,95 t ) = lg( 0,815 )
t · lg( 0,95 ) = lg( 0,815 ) |: lg( 0,95 )
t = lg( 0,815 ) lg( 0,95 )
t = 3,9882

Nach ca. 3,988 Tage ist also der Bestand = 16.3 kg.