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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2})$
= $2 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50} x^{3}) - \lg (\frac{250 000}{x}) + \lg (5 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{50} x^{3}) - \lg (\frac{250 000}{x}) + \lg (5 x^{2})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{3}) - \lg (250 000 x^{- 1}) + \lg (5 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{3})) - (\lg (250 000) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (5) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x^{3}) - \lg (250 000) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (5) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) - 3 \lg (x) - \lg (250 000) + \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) - 3 \lg (x) - \lg (250 000) + \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (250 000) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000} \cdot 50 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 2} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{x - 2}$ wird $e^{x - 2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{x - 2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- 3 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{x - 2}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{x - 2} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- 3 e^{x - 2}$	=	$y + 1$	\|: $- 3$
$e^{x - 2}$	=	$- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$

$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) + 2$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $147 \cdot {1,4}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $147$

f(1) = $147$ ⋅ $1,4$

f(2) = $147$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

f(3) = $147$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

f(4) = $147$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,4$ multipliziert. Da $1,4$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,4$ -fache, also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 17% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 7000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 37000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$ ) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,17}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $7 000 \cdot {1,17}^{5}$ ≈ 15347,136.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 37000 Nutzer ist, also f(t) = 37000:

$7 000 \cdot {1,17}^{t}$	=	$37 000$	\|: $7 000$
${1,17}^{t}$	=	$\frac{37}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,17}^{t})$	=	$\lg (\frac{37}{7})$
$t \cdot \lg (1,17)$	=	$\lg (\frac{37}{7})$	\|: $\lg (1,17)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{37}{7})}{\lg (1,17)}$

t

=

10,6049

Nach ca. 10,605 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 37000 Nutzer.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben