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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- e^{x + 2} - 2$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt wurde.

Da bei $- e^{x + 2} - 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -2 addiert wird, ist der Graph von $- e^{x + 2} - 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Da bei $- e^{x + 2} - 2$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $- e^{x + 2} - 2$ gegen $- \infty$ .
Für x → - ∞ strebt $- e^{x + 2} - 2$ gegen $0 - 2$ = $- 2$ .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- \frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $- \frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- \frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- \frac{3}{2}$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- \frac{3}{2}$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{3}{2}$ = $- \frac{1}{2} \cdot a$ = $- \frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $- \frac{3}{2}$ = $- \frac{1}{2} a$ | ⋅ $- 2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 3} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{x - 3}$ wird $e^{x - 3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{x - 3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- 2 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{x - 3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{x - 3} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- 2 e^{x - 3}$	=	$y - 2$	\|: $- 2$
$e^{x - 3}$	=	$- \frac{1}{2} y + 1$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + 1)$

$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + 1)$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + 1) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{2} x + 1) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{2} x + 1) + 3$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,862}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,862}^{t}$ ablesen: a=0.862.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.862( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.67 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,1% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 45,53 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,969 ⋅ B. Somit ist das a=0,969.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,969}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 45.53 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 45.53. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,969}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.969⁶ = 45.53

c ⋅ 0.82783 = 45.53 | : 0.82783

c = 55

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot {0,969}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $55 \cdot {0,969}^{9}$ ≈ 41,426.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$55 \cdot {0,969}^{t}$	=	$50$	\|: $55$
${0,969}^{t}$	=	$\frac{10}{11}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,969}^{t})$	=	$\lg (\frac{10}{11})$
$t \cdot \lg (0,969)$	=	$\lg (\frac{10}{11})$	\|: $\lg (0,969)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{10}{11})}{\lg (0,969)}$

t

=

3,0266

Nach ca. 3,027 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben