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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{9})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{9})$ = $- 2$ , eben weil $3$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{9}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k e^{k x - k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k e^{k x - k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x - k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k e^{k x - k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $- 3$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x - k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x - k$	=	0	\| - ( $- k$ )
$k x$	=	$k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$1$

Wenn wir nun

1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

1

) =

k e^{k \cdot 1 - k} - 3

=

k - 3

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

1

) = -2 ablesen, es gilt somit:

$k - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
$k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,2 x} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,2 x}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,2 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $3 e^{0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{0,2 x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,2 x} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$3 e^{0,2 x}$	=	$y - 1$	\|: $3$
$e^{0,2 x}$	=	$\frac{1}{3} y - \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$
$x$	=	$5 \ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5 \ln (\frac{1}{3} x - \frac{1}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $5 \ln (\frac{1}{3} x - \frac{1}{3})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,105}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,105}^{t}$ ablesen: a=1.105.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.105( $2$ ) ≈ 6.94 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55,1 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{1.4}{100}$ ) ⋅ B = 0,986 ⋅ B. Somit ist das a=0,986.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,986}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $60 \cdot {0,986}^{7}$ ≈ 54,361.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55.1 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55.1:

$60 \cdot {0,986}^{t}$	=	$55,1$	\|: $60$
${0,986}^{t}$	=	$0,9183$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,986}^{t})$	=	$\lg (0,9183)$
$t \cdot \lg (0,986)$	=	$\lg (0,9183)$	\|: $\lg (0,986)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,9183)}{\lg (0,986)}$

t

=

6,0452

Nach ca. 6,045 Jahre ist also der Bestand = 55.1 Millionen Einwohner.

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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

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c und a gegeben