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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200)$ + $\lg (5)$ .

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$\lg (200)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200 \cdot 5)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5 x^{4}}) - \lg (\frac{125}{x}) + \lg (\frac{25}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{5 x^{4}}) - \lg (\frac{125}{x}) + \lg (\frac{25}{x^{2}})$

= $- \lg (\frac{1}{5} x^{- 4}) - \lg (125 x^{- 1}) + \lg (25 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (125) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (125) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) + 4 \lg (x) - \lg (125) + \lg (x) + \lg (25) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) + 4 \lg (x) - \lg (125) + \lg (x) + \lg (25) - 2 \lg (x)$

= $3 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 1} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- 2 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{x - 1}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{x - 1} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- 2 e^{x - 1}$	=	$y - 2$	\|: $- 2$
$e^{x - 1}$	=	$- \frac{1}{2} y + 1$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + 1)$

$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + 1)$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + 1) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{2} x + 1) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{2} x + 1) + 1$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $42 \cdot {1,5}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $42$

f(1) = $42$ ⋅ $1,5$

f(2) = $42$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$

f(3) = $42$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$

f(4) = $42$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,5$ multipliziert. Da $1,5$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,5$ -fache, also auf $150$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 150% - 100% = 50 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 8000 Nutzer. Nach 5 Wochen zählt man bereits 14739,48 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 48000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 14739.48 Nutzer ist, also f(5) = 14739.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ ein:

$8 000 a^{5}$	=	$14 739,48$	\|: $8 000$
$a^{5}$	=	$1,84244$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[5]{1,84244}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[5]{1,84244}$ ≈ 1.13 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,13}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $8 000 \cdot {1,13}^{8}$ ≈ 21267,554.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 48000 Nutzer ist, also f(t) = 48000:

$8 000 \cdot {1,13}^{t}$	=	$48 000$	\|: $8 000$
${1,13}^{t}$	=	$6$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,13}^{t})$	=	$\lg (6)$
$t \cdot \lg (1,13)$	=	$\lg (6)$	\|: $\lg (1,13)$
$t$	=	$\frac{\lg (6)}{\lg (1,13)}$

t

=

14,6604

Nach ca. 14,66 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 48000 Nutzer.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben