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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $3 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 3$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{7}{10} x + k} + 2 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{7}{10} x + k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $2 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $2 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -5, somit muss $2 k$ = -5 gelten;
Also gilt k = $- \frac{5}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{5}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,4} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{0,2 x - 0,4}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,4}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,4} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{0,2 x - 0,4}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,4$	=	$\ln (y - 3)$

$0,2 x - 0,4$	=	$\ln (y - 3)$	\| $+ 0,4$
$0,2 x$	=	$\ln (y - 3) + 0,4$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y - 3) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 3) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 3) + \frac{0,4}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,935}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,935}^{t}$ ablesen: a=0.935.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.935( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 10.31 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 26 Milionen Bakterien. 8 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 91,3Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 226 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=26 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $26 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 91.3 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 91.3. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $26 \cdot a^{t}$ ein:

$26 a^{8}$	=	$91,3$	\|: $26$
$a^{8}$	=	$3,51154$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{3,51154}$	≈ $- 1,17$
a₂	=	$\sqrt[8]{3,51154}$	≈ $1,17$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,17$ ≈ 1.17 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $26 \cdot {1,17}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $26 \cdot {1,17}^{5}$ ≈ 57,004.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 226 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 226:

$26 \cdot {1,17}^{t}$	=	$226$	\|: $26$
${1,17}^{t}$	=	$\frac{113}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,17}^{t})$	=	$\lg (\frac{113}{13})$
$t \cdot \lg (1,17)$	=	$\lg (\frac{113}{13})$	\|: $\lg (1,17)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{113}{13})}{\lg (1,17)}$

t

=

13,7732

Nach ca. 13,773 Stunden ist also der Bestand = 226 Millionen Bakterien.

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1. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben