Mathebattle EduRandomtasks

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{18} (241)$ liegt.

Wir suchen $18$ er-Potenzen in der Näher von $241$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $241$ ist.

Dabei kommt man auf $18$ = 18¹ < $241$ und auf $18^{2}$ = 18² > $241$ .

Und da wir bei $\log_{18} (241)$ ja das ☐ von 18^☐ = $241$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
18¹ = $18$ < $241$ < $18^{2}$ = 18²

Es gilt somit: 1 < $\log_{18} (241)$ < 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{5}}) + \lg (20 x^{3}) + \lg (\frac{1}{80})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{4}{x^{5}}) + \lg (20 x^{3}) + \lg (\frac{1}{80})$

= $\lg (4 x^{- 5}) + \lg (20 x^{3}) + \lg (\frac{1}{80})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + (\lg (20) + \lg (x^{3})) + (\lg (\frac{1}{80}) + \lg (1))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (20) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{80}) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 5 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 5 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (80) + 0$

= $- 2 \lg (x) - \lg (80) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80} \cdot 20 \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 3} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $3 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 3} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$3 e^{x - 3}$	=	$y - 2$	\|: $3$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{3} y - \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{2}{3}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x - \frac{2}{3}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x - \frac{2}{3}) + 3$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $191 \cdot {1,3}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $191$

f(1) = $191$ ⋅ $1,3$

f(2) = $191$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

f(3) = $191$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

f(4) = $191$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,3$ multipliziert. Da $1,3$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,3$ -fache, also auf $130$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 130% - 100% = 30 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 52,03 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 10 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 40 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 52.03 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 52.03. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ ein:

$60 a^{4}$	=	$52,03$	\|: $60$
$a^{4}$	=	$0,86717$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{0,86717}$	≈ $- 0,965$
a₂	=	$\sqrt[4]{0,86717}$	≈ $0,965$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,965$ ≈ 0.965 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,965}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $60 \cdot {0,965}^{10}$ ≈ 42,017.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:

$60 \cdot {0,965}^{t}$	=	$40$	\|: $60$
${0,965}^{t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,965}^{t})$	=	$\lg (\frac{2}{3})$
$t \cdot \lg (0,965)$	=	$\lg (\frac{2}{3})$	\|: $\lg (0,965)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{2}{3})}{\lg (0,965)}$

t

=

11,3808

Nach ca. 11,381 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben