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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (5)$ .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = $25^{\frac{1}{2}}$

$\log_{25} (5)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (5)$ = $\log_{25} (25^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) + \lg (\frac{4}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{20 x^{5}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) + \lg (\frac{4}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{20 x^{5}})$

= $- \lg (\frac{1}{5} x^{- 2}) + \lg (4 x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{20} x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20}) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (20) - 5 \lg (x)$

= $- 5 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{x - 1} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x - 1}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x - 1} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{x - 1}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (y + 1)$

$x - 1$	=	$\ln (y + 1)$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (y + 1) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (x + 1) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (x + 1) + 1$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $72 \cdot {0,95}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $72$

f(1) = $72$ ⋅ $0,95$

f(2) = $72$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

f(3) = $72$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

f(4) = $72$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,95$ multipliziert. Da $0,95$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,95$ -fache, also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 20% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 7000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 11 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 207000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$ ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,2}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $7 000 \cdot {1,2}^{11}$ ≈ 52010,586.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 207000 Nutzer ist, also f(t) = 207000:

$7 000 \cdot {1,2}^{t}$	=	$207 000$	\|: $7 000$
${1,2}^{t}$	=	$\frac{207}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,2}^{t})$	=	$\lg (\frac{207}{7})$
$t \cdot \lg (1,2)$	=	$\lg (\frac{207}{7})$	\|: $\lg (1,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{207}{7})}{\lg (1,2)}$

t

=

18,576

Nach ca. 18,576 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 207000 Nutzer.

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log berechnen (schwer)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben