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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $16$ , also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{16} (256)$ = $2$ , eben weil $16$ ^$2$ = $256$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{40 x^{5}}) + \lg (2) + \lg (20 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{40 x^{5}}) + \lg (2) + \lg (20 x^{3})$

= $\lg (\frac{1}{40} x^{- 5}) + \lg (2) + \lg (20 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + (\lg (2) + \lg (1)) + (\lg (20) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{40}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (2) + \lg (1) + \lg (20) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40}) - 5 \lg (x) + \lg (2) + 0 + \lg (20) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (40) - 5 \lg (x) + \lg (2) + 0 + \lg (20) + 3 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (40) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{40} \cdot 20 \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 2} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 2} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$4 e^{x - 2}$	=	$y - 3$	\|: $4$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4}) + 2$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $48 \cdot {0,85}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $48$

f(1) = $48$ ⋅ $0,85$

f(2) = $48$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

f(3) = $48$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

f(4) = $48$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,85$ multipliziert. Da $0,85$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,85$ -fache, also auf $85$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 85% = 15 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,1% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 60 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,979 ⋅ B. Somit ist das a=0,979.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,979}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $80 \cdot {0,979}^{7}$ ≈ 68,955.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$80 \cdot {0,979}^{t}$	=	$60$	\|: $80$
${0,979}^{t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,979}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{4})$
$t \cdot \lg (0,979)$	=	$\lg (\frac{3}{4})$	\|: $\lg (0,979)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{4})}{\lg (0,979)}$

t

=

13,5548

Nach ca. 13,555 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.

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log berechnen (einfach)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben