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Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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log im Interval bestimmen
Beispiel:
Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.
Wir suchen
Dabei kommt man auf
Und da wir bei
3-4 =
Es gilt somit: -4 <
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm
= 0 wird, wenn- ( x + k ) · e x + 1 2 k = 0 ist, also für x =x + k .- 1 k
Dann muss ja der y-Wert fk( ) =- 1 k =- ( ( - 1 k ) + k ) · e ( - 1 k ) + 1 2 k - 1 =0 - 1 sein.- 1
Da bei x = bei (- 1 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(x + k |- 1 k ) im abgebildeten Graph bei P(1|- 1 ) sein.- 1
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit = 1- 1 k
Also gilt k =- 1
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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= |
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= |
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|:( |
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= |
|
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit
Bestimme die Verdopplungszeit.
Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.138(
c und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 80kg vorhanden. Nach 4 Tagen nach sind nur noch 62,46kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 12 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 62.46 kg ist,
also f(4) = 62.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
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= | |: |
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= | |
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| a1 | = |
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=
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| a2 | = |
|
=
|
Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a=
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):
f(12) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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|
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= |
|
Nach ca. 11,202 Tage ist also der Bestand = 40 kg.
