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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x^{2} + x}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} \cdot e^{3 {(- x)}^{2} + (- x)}$ = $- x^{3} \cdot e^{3 x^{2} - x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} \cdot e^{3 x^{2} + x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x^{3} \cdot e^{3 x^{2} - x}$
weder gleich f(x) = $x^{3} \cdot e^{3 x^{2} + x}$ noch gleich -f(x) = $- x^{3} \cdot e^{3 x^{2} + x}$ = $- x^{3} \cdot e^{3 x^{2} + x}$ ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = $1^{3} \cdot e^{3 \cdot 1^{2} + 1}$ = $1 \cdot e^{4}$ ≈ 54.598
Aber: f(-1) = ${(- 1)}^{3} \cdot e^{3 \cdot {(- 1)}^{2} - 1}$ = $- 1 \cdot e^{2}$ ≈ -7.389

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x}) + \lg (\frac{1}{100 x^{6}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{25 x}) + \lg (\frac{1}{100 x^{6}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{100} x^{- 6}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{6}})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{100}) - 6 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + \lg (x) + \lg (1) - \lg (100) - 6 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 2 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{x - 1} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{x - 1}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{x - 1} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- e^{x - 1}$	=	$y - 2$	\|: $- 1$
$e^{x - 1}$	=	$- y + 2$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- y + 2)$

$x - 1$	=	$\ln (- y + 2)$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- y + 2) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- x + 2) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- x + 2) + 1$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $169 \cdot {0,75}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $169$

f(1) = $169$ ⋅ $0,75$

f(2) = $169$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(3) = $169$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(4) = $169$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,75$ multipliziert. Da $0,75$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,75$ -fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 11% vermehrt. Nach 7 Wochen zählt man bereits 6228,48 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 7000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,11}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Wochen der Bestand 6228.48 Nutzer ist, also f(7) = 6228.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,11}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.11⁷ = 6228.48

c ⋅ 2.07616 = 6228.48 | : 2.07616

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,11}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $3 000 \cdot {1,11}^{5}$ ≈ 5055,174.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 7000 Nutzer ist, also f(t) = 7000:

$3 000 \cdot {1,11}^{t}$	=	$7 000$	\|: $3 000$
${1,11}^{t}$	=	$\frac{7}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,11}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{3})$
$t \cdot \lg (1,11)$	=	$\lg (\frac{7}{3})$	\|: $\lg (1,11)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{3})}{\lg (1,11)}$

t

=

8,119

Nach ca. 8,119 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 7000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben