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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (66)$ liegt.

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $66$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $66$ ist.

Dabei kommt man auf $5^{2}$ = 5² < $66$ und auf $5^{3}$ = 5³ > $66$ .

Und da wir bei $\log_{5} (66)$ ja das ☐ von 5^☐ = $66$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^{2}$ < $66$ < $5^{3}$ = 5³

Es gilt somit: 2 < $\log_{5} (66)$ < 3

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $3 k e^{k x - 3 k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $3 k e^{k x - 3 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x - 3 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $3 k e^{k x - 3 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $- 3$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x - 3 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x - 3 k$	=	0	\| - ( $- 3 k$ )
$k x$	=	$3 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$3$

Wenn wir nun

3

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

3

) =

3 k e^{k \cdot 3 - 3 k} - 3

=

3 k - 3

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

3

) = -1 ablesen, es gilt somit:

$3 k - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$3 k$	=	$2$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,1 x - 0,2} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{0,1 x - 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,1 x - 0,2}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,1 x - 0,2} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{0,1 x - 0,2}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (y + 1)$

$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (y + 1)$	\| $+ 0,2$
$0,1 x$	=	$\ln (y + 1) + 0,2$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (y + 1) + \frac{0,2}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 1) + \frac{0,2}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 1) + \frac{0,2}{0,1}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 6,1 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 3000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 6.1 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{6,1}$	=	$2$	\| $\sqrt[6,1]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{6,1}}$	≈ $- 1,12$
a₂	=	$2^{\frac{1}{6,1}}$	≈ $1,12$

Das gesuchte a ist somit $1,12$ ≈ 1.12, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,12}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,1% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 11 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 35 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,969 ⋅ B. Somit ist das a=0,969.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $65 \cdot {0,969}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $65 \cdot {0,969}^{11}$ ≈ 45,97.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

$65 \cdot {0,969}^{t}$	=	$35$	\|: $65$
${0,969}^{t}$	=	$\frac{7}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,969}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{13})$
$t \cdot \lg (0,969)$	=	$\lg (\frac{7}{13})$	\|: $\lg (0,969)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{13})}{\lg (0,969)}$

t

=

19,6579

Nach ca. 19,658 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.

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log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben