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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 100 ( 1 10 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 10 um: 1 10 = 10 -1

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis 100 suchen und 100 gerade 10² ist (also 10 = 100 = 100 1 2 ), formen wir 10 -1 noch so um, dass sie 100 als Basis hat:

10 -1 = ( 100 1 2 ) -1 = 100 - 1 2

log 100 ( 1 10 ) = log 100 ( 10 -1 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 10 -1 = 100 - 1 2 zur Basis 100 suchen, also die Hochzahl mit der man 100 potenzieren muss, um auf 10 -1 = 100 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 100☐ = 10 -1 = 100 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 100 ( 1 10 ) = log 100 ( 10 -1 ) = log 100 ( 100 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 100 - 1 2 = 1 10 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= 3 k e k x -3 k -3 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann 3 k e k x -3 k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x -3 k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm 3 k e k x -3 k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei -3 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x -3 k = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x -3 k = 0 | - ( -3 k )
    k x = 3 k |:( k )
    x = 3
    Wenn wir nun 3 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(3 ) = 3 k e k ⋅3 -3 k -3 = 3k -3
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(3 ) = 1 ablesen, es gilt somit:
    3k -3 = 1 | +3
    3k = 4 |:3
    k = 4 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f 4 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e x -3 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e x -3 wird e x -3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e x -3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem - e x -3 wird zu allen Funktionswerten von - e x -3 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e x -3 -3 = y | +3
- e x -3 = y +3 |:-1
e x -3 = -y -3 |ln(⋅)
x -3 = ln( -y -3 )
x -3 = ln( -y -3 ) | +3
x = ln( -y -3 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( -x -3 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( -x -3 ) +3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,05 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,05 t ablesen: a=1.05.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.05(2) ≈ 14.21 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 41,06kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 6 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also Bneu = B - 8 100 ⋅B = (1 - 8 100 ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,92 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 41.06 kg ist, also f(8) = 41.06. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,92 t ein:

c ⋅ 0.928 = 41.06

c ⋅ 0.51322 = 41.06 | : 0.51322

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80⋅ 0,92 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = 80⋅ 0,92 6 ≈ 48,508.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

80⋅ 0,92 t = 30 |:80
0,92 t = 3 8 |lg(⋅)
lg( 0,92 t ) = lg( 3 8 )
t · lg( 0,92 ) = lg( 3 8 ) |: lg( 0,92 )
t = lg( 3 8 ) lg( 0,92 )
t = 11,7631

Nach ca. 11,763 Tage ist also der Bestand = 30 kg.