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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x^{2} + 3}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} \cdot e^{2 {(- x)}^{2} + 3}$ = $- x^{3} \cdot e^{2 x^{2} + 3}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} \cdot e^{2 x^{2} + 3}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x^{3} \cdot e^{2 x^{2} + 3}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- x^{3} \cdot e^{2 x^{2} + 3}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x}) - \lg (\frac{1}{20 x^{4}}) + \lg (\frac{2}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{25}{x}) - \lg (\frac{1}{20 x^{4}}) + \lg (\frac{2}{x^{3}})$

= $\lg (25 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 4}) + \lg (2 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 4 \lg (x) + \lg (2) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 4 \lg (x) + \lg (2) - 3 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,4 x - 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,4 x - 0,4}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,4 x - 0,4}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,4 x - 0,4}$	=	$y$	\|: $3$
$e^{0,4 x - 0,4}$	=	$\frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$

$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,4$
$0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y) + 0,4$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} y) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,4}{0,4}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 3,7 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 12 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 3.7 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{3,7}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[3,7]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3,7}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3,7}}$ ≈ 0.83, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,83}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 11% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 10 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 26000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,11}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):

f(10) = $6 000 \cdot {1,11}^{10}$ ≈ 17036,526.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 26000 Nutzer ist, also f(t) = 26000:

$6 000 \cdot {1,11}^{t}$	=	$26 000$	\|: $6 000$
${1,11}^{t}$	=	$\frac{13}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,11}^{t})$	=	$\lg (\frac{13}{3})$
$t \cdot \lg (1,11)$	=	$\lg (\frac{13}{3})$	\|: $\lg (1,11)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{13}{3})}{\lg (1,11)}$

t

=

14,0508

Nach ca. 14,051 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 26000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben