nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -3 +2 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -3 +2 zu jedem Funktionswert von e x noch 2 addiert wird, ist der Graph von e x -3 +2 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Da bei e x -3 +2 das x von e x durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt e x -3 +2 gegen .
  • Für x → - ∞ strebt e x -3 +2 gegen 0 +2 = 2 .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 1.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 1 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 1 = 1 2 a | ⋅ 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e -0,4x +0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e -0,4x +0,4 können die Funktionswerte von 3 e -0,4x +0,4 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e -0,4x +0,4 = y |:3
e -0,4x +0,4 = 1 3 y |ln(⋅)
-0,4x +0,4 = ln( 1 3 y )
-0,4x +0,4 = ln( 1 3 y ) | -0,4
-0,4x = ln( 1 3 y ) -0,4 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( 1 3 y ) + 0,4 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( 1 3 x ) + 0,4 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( 1 3 x ) + 0,4 0,4

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 86 0,65 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = 86

f(1) = 86 0,65

f(2) = 86 0,650,65

f(3) = 86 0,650,650,65

f(4) = 86 0,650,650,650,65

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,65 multipliziert. Da 0,65 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,65-fache, also auf 65 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 13% abnimmt. 7 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 4,9 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also Bneu = B - 13 100 ⋅B = (1 - 13 100 ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,87 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Jahre der Bestand 4.9 Millionen Insekten ist, also f(7) = 4.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,87 t ein:

c ⋅ 0.877 = 4.9

c ⋅ 0.37725 = 4.9 | : 0.37725

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13 0,87 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 13 0,87 5 6,479.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

13 0,87 t = 3 |:13
0,87 t = 3 13 |lg(⋅)
lg( 0,87 t ) = lg( 3 13 )
t · lg( 0,87 ) = lg( 3 13 ) |: lg( 0,87 )
t = lg( 3 13 ) lg( 0,87 )
t = 10,5293

Nach ca. 10,529 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.