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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{128}})$ .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{128}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{128}}$ = $128^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^{7}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{128}}$ = $128^{- \frac{1}{2}}$ = ${(2^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ = $2^{- \frac{7}{2}}$

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{128}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{7}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- \frac{7}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{- \frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{- \frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{128}})$ = $\log_{2} (2^{- \frac{7}{2}})$ = $- \frac{7}{2}$ , eben weil $2$ ^{$- \frac{7}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{128}}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k x \cdot e^{k x + k} + 2 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $k x \cdot e^{k x + k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-2) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 + k} + 2 k$ = $2 k$ = -2

$2 k$ = $- 2$ |: $2$

$k$ = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 1} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 1}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 1}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 1} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$3 e^{x - 1}$	=	$y + 2$	\|: $3$
$e^{x - 1}$	=	$\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$

$x - 1$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) + 1$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $25 \cdot {0,9}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $25$

f(1) = $25$ ⋅ $0,9$

f(2) = $25$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$

f(3) = $25$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$

f(4) = $25$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,9$ multipliziert. Da $0,9$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,9$ -fache, also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 13 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,1 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$ ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,88}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $10 \cdot {0,88}^{13}$ ≈ 1,898.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.1:

$10 \cdot {0,88}^{t}$	=	$4,1$	\|: $10$
${0,88}^{t}$	=	$0,41$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,88}^{t})$	=	$\lg (0,41)$
$t \cdot \lg (0,88)$	=	$\lg (0,41)$	\|: $\lg (0,88)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,41)}{\lg (0,88)}$

t

=

6,9747

Nach ca. 6,975 Jahre ist also der Bestand = 4.1 Millionen Insekten.

$2 k$	=	$- 2$	\|: $2$
$k$	=	$- 1$

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Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

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