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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{2} \cdot (e^{- x} + e^{x})$ = $x^{2} \cdot (e^{- x} + e^{x})$ = $x^{2} \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{- x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{8}{10} x + k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{8}{10} x + k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $3 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $3 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -6, somit muss $3 k$ = -6 gelten;
Also gilt k = $- 2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 2$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,3 x + 0,9} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{- 0,3 x + 0,9}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,3 x + 0,9}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,3 x + 0,9} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (y + 3)$

$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (y + 3)$	\| $- 0,9$
$- 0,3 x$	=	$\ln (y + 3) - 0,9$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (y + 3) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (x + 3) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (x + 3) + \frac{0,9}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8,5% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 8.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8.5}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8.5}{100}$ ) ⋅ B = 0,915 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,915.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.915( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.8 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 25% vermehrt. Nach 3 Wochen zählt man bereits 15625 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 58000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{25}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{25}{100}$ ) ⋅ B = 1,25 ⋅ B. Somit ist das a=1,25.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,25}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 15625 Nutzer ist, also f(3) = 15625. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,25}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.25³ = 15625

c ⋅ 1.95313 = 15625 | : 1.95313

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,25}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $8 000 \cdot {1,25}^{5}$ ≈ 24414,063.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 58000 Nutzer ist, also f(t) = 58000:

$8 000 \cdot {1,25}^{t}$	=	$58 000$	\|: $8 000$
${1,25}^{t}$	=	$\frac{29}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,25}^{t})$	=	$\lg (\frac{29}{4})$
$t \cdot \lg (1,25)$	=	$\lg (\frac{29}{4})$	\|: $\lg (1,25)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{29}{4})}{\lg (1,25)}$

t

=

8,8777

Nach ca. 8,878 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 58000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben