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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (25 000 000)$ + $\lg (4)$ .

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$\lg (25 000 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25 000 000 \cdot 4)$

= $\lg (100 000 000)$

= $\lg (10^{8})$

= 8

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{200 000 x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{200 000 x^{2}})$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{200.000} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (1)) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{200.000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (1) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{200.000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + 0 - \lg (\frac{1}{4}) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{200.000}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + 0 - \lg (1) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (200 000) - 2 \lg (x)$

= $- \lg (200 000) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{200.000} \cdot 50 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{x - 1} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{x - 1}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{x - 1} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- e^{x - 1}$	=	$y - 1$	\|: $- 1$
$e^{x - 1}$	=	$- y + 1$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- y + 1)$

$x - 1$	=	$\ln (- y + 1)$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- y + 1) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- x + 1) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- x + 1) + 1$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 35%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 35% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 35% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{35}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{35}{100}$ ) ⋅ B = 1,35 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,35.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.35( $2$ ) ≈ 2.31 Stunden

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seines Bestands. Zu Beginn sind 90kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$ ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $90 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $90 \cdot {0,87}^{6}$ ≈ 39,026.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$90 \cdot {0,87}^{t}$	=	$10$	\|: $90$
${0,87}^{t}$	=	$\frac{1}{9}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{9})$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (\frac{1}{9})$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{9})}{\lg (0,87)}$

t

=

15,7776

Nach ca. 15,778 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben