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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -2 +3 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -2 +3 zu jedem Funktionswert von e x noch 3 addiert wird, ist der Graph von e x -2 +3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei e x -2 +3 das x von e x durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt e x -2 +3 gegen .
  • Für x → - ∞ strebt e x -2 +3 gegen 0 +3 = 3 .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|2), also gilt f(0)=2.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 2 , also f(x)= 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 4.

In unseren Funktionsterm f(x)= 2 a x eingesezt bedeutet das: 4 = 2a = 2a .

Es gilt also: 4 = 2a | ⋅ 1 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e -0,2x +0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e -0,2x +0,4 wird e -0,2x +0,4 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e -0,2x +0,4 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e -0,2x +0,4 = y |:-3
e -0,2x +0,4 = - 1 3 y |ln(⋅)
-0,2x +0,4 = ln( - 1 3 y )
-0,2x +0,4 = ln( - 1 3 y ) | -0,4
-0,2x = ln( - 1 3 y ) -0,4 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( - 1 3 y ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( - 1 3 x ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( - 1 3 x ) + 0,4 0,2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 69,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 2000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 69.7 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 69,7 = 2 | 69,7
a = 2 1 69,7

Das gesuchte a ist somit 2 1 69,7 ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 2000 1,01 t

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 17% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 10 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also Bneu = B - 17 100 ⋅B = (1 - 17 100 ) ⋅ B = 0,83 ⋅ B. Somit ist das a=0,83.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13 0,83 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = 13 0,83 10 2,017.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

13 0,83 t = 3 |:13
0,83 t = 3 13 |lg(⋅)
lg( 0,83 t ) = lg( 3 13 )
t · lg( 0,83 ) = lg( 3 13 ) |: lg( 0,83 )
t = lg( 3 13 ) lg( 0,83 )
t = 7,8696

Nach ca. 7,87 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.