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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{1}{1.000.000}) + \lg (\frac{20}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{1}{1.000.000}) + \lg (\frac{20}{x^{3}})$

= $\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{1}{1.000.000}) + \lg (20 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) + (\lg (\frac{1}{1.000.000}) + \lg (1)) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{1.000.000}) + \lg (1) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1.000.000}) + 0 + \lg (20) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (1 000 000) + 0 + \lg (20) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (1 000 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1.000.000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 2$ ), also gilt f(0)= $- 2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 2$ , also $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 4$ = $- 2 \cdot a$ = $- 2 a$ .

Es gilt also: $- 4$ = $- 2 a$ | ⋅ $- \frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{0,1 x - 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{0,1 x - 0,3}$ wird $e^{0,1 x - 0,3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{0,1 x - 0,3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{0,1 x - 0,3}$	=	$y$	\|: $- 2$
$e^{0,1 x - 0,3}$	=	$- \frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,3$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$

$0,1 x - 0,3$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$	\| $+ 0,3$
$0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y) + 0,3$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{2} y) + \frac{0,3}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,3}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,3}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,936}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,936}^{t}$ ablesen: a=0.936.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.936( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 10.48 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 2,33Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 2,9 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,08}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 2.33 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 2.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,08}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.08² = 2.33

c ⋅ 1.1664 = 2.33 | : 1.1664

c = 2

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 \cdot {1,08}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $2 \cdot {1,08}^{12}$ ≈ 5,036.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.9 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 2.9:

$2 \cdot {1,08}^{t}$	=	$2,9$	\|: $2$
${1,08}^{t}$	=	$1,45$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,08}^{t})$	=	$\lg (1,45)$
$t \cdot \lg (1,08)$	=	$\lg (1,45)$	\|: $\lg (1,08)$
$t$	=	$\frac{\lg (1,45)}{\lg (1,08)}$

t

=

4,8279

Nach ca. 4,828 Stunden ist also der Bestand = 2.9 Millionen Bakterien.

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Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben