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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (\frac{1}{169})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{169}$ zur Basis $13$ , also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{169}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $\frac{1}{169}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $13$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $13$ ^☐ = $\frac{1}{169}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{13} (\frac{1}{169})$ = $- 2$ , eben weil $13$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{169}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x}) + \lg (\frac{1}{2 000 x^{2}}) + \lg (50 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{4}{x}) + \lg (\frac{1}{2 000 x^{2}}) + \lg (50 x^{3})$

= $\lg (4 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{2000} x^{- 2}) + \lg (50 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (\frac{1}{2000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (50) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{2000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (50) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{2000}) - 2 \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (2 000) - 2 \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (2 000) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2000} \cdot 50 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{- 0,4 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{- 0,4 x}$ können die Funktionswerte von $4 e^{- 0,4 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4 e^{- 0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{- 0,4 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{- 0,4 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$4 e^{- 0,4 x}$	=	$y - 2$	\|: $4$
$e^{- 0,4 x}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$	\|: $- 0,4$
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$
$x$	=	$- \frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 10% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 10% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{10}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{10}{100}$ ) ⋅ B = 1,1 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,1.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.1( $2$ ) ≈ 7.27 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. 10 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 5,32 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,6 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 5.32 Millionen Insekten ist, also f(10) = 5.32. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $11 \cdot a^{t}$ ein:

$11 a^{10}$	=	$5,32$	\|: $11$
$a^{10}$	=	$\frac{5,32}{11}$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{\frac{5,32}{11}}$	≈ $- 0,93$
a₂	=	$\sqrt[10]{\frac{5,32}{11}}$	≈ $0,93$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,93$ ≈ 0.93 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $11 \cdot {0,93}^{5}$ ≈ 7,653.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.6:

$11 \cdot {0,93}^{t}$	=	$4,6$	\|: $11$
${0,93}^{t}$	=	$0,4182$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (0,4182)$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (0,4182)$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,4182)}{\lg (0,93)}$

t

=

12,0131

Nach ca. 12,013 Jahre ist also der Bestand = 4.6 Millionen Insekten.

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Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben