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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{3}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\sqrt[3]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$ ^☐ = $3^{\frac{1}{3}}$

$\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $3$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{3}$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $2$ ), also gilt f(0)= $2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $2$ , also $f(x) =$ $2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $2 \cdot a$ = $2 a$ .

Es gilt also: $4$ = $2 a$ | ⋅ $\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 0,2 x + 0,6}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{- 0,2 x + 0,6}$ wird $e^{- 0,2 x + 0,6}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{- 0,2 x + 0,6}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{- 0,2 x + 0,6}$	=	$y$	\|: $- 2$
$e^{- 0,2 x + 0,6}$	=	$- \frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,6$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$

$- 0,2 x + 0,6$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$	\| $- 0,6$
$- 0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y) - 0,6$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{2} y) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,6}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,103}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,103}^{t}$ ablesen: a=1.103.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.103( $2$ ) ≈ 7.07 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 30kg vorhanden. Nach 2 Tagen nach sind nur noch 24,84kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 7 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 24.84 kg ist, also f(2) = 24.84. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $30 \cdot a^{t}$ ein:

$30 a^{2}$	=	$24,84$	\|: $30$
$a^{2}$	=	$0,828$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{0,828}$	≈ $- 0,91$
a₂	=	$\sqrt{0,828}$	≈ $0,91$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,91$ ≈ 0.91 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot {0,91}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $30 \cdot {0,91}^{7}$ ≈ 15,503.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$30 \cdot {0,91}^{t}$	=	$20$	\|: $30$
${0,91}^{t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,91}^{t})$	=	$\lg (\frac{2}{3})$
$t \cdot \lg (0,91)$	=	$\lg (\frac{2}{3})$	\|: $\lg (0,91)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{2}{3})}{\lg (0,91)}$

t

=

4,2992

Nach ca. 4,299 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

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