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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{5} (125 x) - \log_{5} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{5} (125 x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (125) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (5^{3}) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $3 + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $3$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 3$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 3$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 1} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- 3 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{x - 1}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{x - 1} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- 3 e^{x - 1}$	=	$y - 1$	\|: $- 3$
$e^{x - 1}$	=	$- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$

$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}) + 1$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,908}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,908}^{t}$ ablesen: a=0.908.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.908( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.18 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 21 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 821 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=21 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$ ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $21 \cdot {1,2}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $21 \cdot {1,2}^{4}$ ≈ 43,546.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 821 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 821:

$21 \cdot {1,2}^{t}$	=	$821$	\|: $21$
${1,2}^{t}$	=	$\frac{821}{21}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,2}^{t})$	=	$\lg (\frac{821}{21})$
$t \cdot \lg (1,2)$	=	$\lg (\frac{821}{21})$	\|: $\lg (1,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{821}{21})}{\lg (1,2)}$

t

=

20,1073

Nach ca. 20,107 Stunden ist also der Bestand = 821 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben