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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,0001 x) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,0001 x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 + \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 4 \lg (x) - 4$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 2$ ), also gilt f(0)= $- 2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 2$ , also $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 4$ = $- 2 \cdot a$ = $- 2 a$ .

Es gilt also: $- 4$ = $- 2 a$ | ⋅ $- \frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,3 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,3 x}$ wird $e^{- 0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 4 e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{- 0,3 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,3 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 4 e^{- 0,3 x}$	=	$y + 3$	\|: $- 4$
$e^{- 0,3 x}$	=	$- \frac{1}{4} y - \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $45 \cdot {1,1}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $45$

f(1) = $45$ ⋅ $1,1$

f(2) = $45$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

f(3) = $45$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

f(4) = $45$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,1$ multipliziert. Da $1,1$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,1$ -fache, also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 547,89Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 920 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$ ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,29}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 547.89 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 547.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,29}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.29¹³ = 547.89

c ⋅ 27.39468 = 547.89 | : 27.39468

c = 20

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {1,29}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $20 \cdot {1,29}^{9}$ ≈ 197,851.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 920 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 920:

$20 \cdot {1,29}^{t}$	=	$920$	\|: $20$
${1,29}^{t}$	=	$46$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,29}^{t})$	=	$\lg (46)$
$t \cdot \lg (1,29)$	=	$\lg (46)$	\|: $\lg (1,29)$
$t$	=	$\frac{\lg (46)}{\lg (1,29)}$

t

=

15,0354

Nach ca. 15,035 Stunden ist also der Bestand = 920 Millionen Bakterien.

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1. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben