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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= 2 e x +2 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem e x erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht.

Da bei 2 e x +2 zu jedem Funktionswert von e x noch 2 addiert wird, ist der Graph von 2 e x +2 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt 2 e x +2 gegen .
  • Für x → - ∞ strebt 2 e x +2 gegen 0 +2 = 2 .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 2 x ) - lg( 10 x 4 ) + lg( 50 x 3 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 2 x ) - lg( 10 x 4 ) + lg( 50 x 3 )

= - lg( 1 2 x ) - lg( 10 x -4 ) + lg( 50 x -3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 2 ) + lg( x ) ) - ( lg( 10 ) + lg( 1 x 4 ) ) + ( lg( 50 ) + lg( 1 x 3 ) )

= - lg( 1 2 ) - lg( x ) - lg( 10 ) - lg( 1 x 4 ) + lg( 50 ) + lg( 1 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 2 ) - lg( x ) - lg( 10 ) +4 lg( x ) + lg( 50 ) -3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 2 ) - lg( x ) - lg( 10 ) +4 lg( x ) + lg( 50 ) -3 lg( x )

= lg( 50 ) - lg( 10 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 10 · 2 )

= lg( 10 )

= lg( 10 )

= 1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e x -2 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e x -2 können die Funktionswerte von 4 e x -2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem 4 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von 4 e x -2 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e x -2 -3 = y | +3
4 e x -2 = y +3 |:4
e x -2 = 1 4 y + 3 4 |ln(⋅)
x -2 = ln( 1 4 y + 3 4 )
x -2 = ln( 1 4 y + 3 4 ) | +2
x = ln( 1 4 y + 3 4 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 4 x + 3 4 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 4 x + 3 4 ) +2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,063 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,063 t ablesen: a=1.063.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.063(2) ≈ 11.35 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 63,8 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 8 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 80 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 63.8 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 63.8. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 80 a t ein:

80 a 6 = 63,8 |:80
a 6 = 0,7975 | 6
a1 = - 0,7975 6 -0,963
a2 = 0,7975 6 0,963

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,963 ≈ 0.963 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,963 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 80 0,963 8 59,17.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

80 0,963 t = 50 |:80
0,963 t = 5 8 |lg(⋅)
lg( 0,963 t ) = lg( 5 8 )
t · lg( 0,963 ) = lg( 5 8 ) |: lg( 0,963 )
t = lg( 5 8 ) lg( 0,963 )
t = 12,4663

Nach ca. 12,466 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.