Mathebattle EduRandomtasks

Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot e^{x^{2}}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot e^{{(- x)}^{2}}$ = $- x \cdot e^{x^{2}}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot e^{x^{2}}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x \cdot e^{x^{2}}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- x \cdot e^{x^{2}}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4 x^{4}}) - \lg (80) - \lg (\frac{1}{20} x^{5})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{4 x^{4}}) - \lg (80) - \lg (\frac{1}{20} x^{5})$

= $- \lg (\frac{1}{4} x^{- 4}) - \lg (80) - \lg (\frac{1}{20} x^{5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (80) + \lg (1)) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{5}))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (80) - \lg (1) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{5})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) + 4 \lg (x) - \lg (80) + 0 - \lg (\frac{1}{20}) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) + 4 \lg (x) - \lg (80) + 0 - \lg (1) + \lg (20) - 5 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (80) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{80} \cdot 20 \cdot 4)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,2} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{0,2 x - 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,2}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,2} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{0,2 x - 0,2}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (y - 1)$

$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (y - 1)$	\| $+ 0,2$
$0,2 x$	=	$\ln (y - 1) + 0,2$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y - 1) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,2}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,902}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,902}^{t}$ ablesen: a=0.902.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.902( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 6.72 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6% seines Bestands. Zu Beginn sind 10kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6,1kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 0,94 ⋅ B. Somit ist das a=0,94.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,94}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $10 \cdot {0,94}^{4}$ ≈ 7,807.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.1 kg ist, also f(t) = 6.1:

$10 \cdot {0,94}^{t}$	=	$6,1$	\|: $10$
${0,94}^{t}$	=	$0,61$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,94}^{t})$	=	$\lg (0,61)$
$t \cdot \lg (0,94)$	=	$\lg (0,61)$	\|: $\lg (0,94)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,61)}{\lg (0,94)}$

t

=

7,9886

Nach ca. 7,989 Tage ist also der Bestand = 6.1 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben