Mathebattle EduRandomtasks

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 000 000)$ + $\lg (50)$ .

Lösung einblenden

$\lg (2 000 000)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 000 000 \cdot 50)$

= $\lg (100 000 000)$

= $\lg (10^{8})$

= 8

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- 3 k x \cdot e^{k x - 3 k} + 5 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm

- 3 k x \cdot e^{k x - 3 k}

= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k(

0

) =

- 3 k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - 3 k} + 5 k

=

5 k

= 2

$5 k$	=	$2$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{2}{5}$ = 0.4

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{5}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{0,3 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{0,3 x}$ wird $e^{0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 2 e^{0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{0,3 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{0,3 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 2 e^{0,3 x}$	=	$y + 3$	\|: $- 2$
$e^{0,3 x}$	=	$- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$
$x$	=	$\frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,051}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,051}^{t}$ ablesen: a=1.051.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.051( $2$ ) ≈ 13.93 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 2081,21€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 2300€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$ ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,01}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 2081.21 € ist, also f(4) = 2081.21. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,01}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.01⁴ = 2081.21

c ⋅ 1.0406 = 2081.21 | : 1.0406

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,01}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $2 000 \cdot {1,01}^{5}$ ≈ 2102,02.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2300 € ist, also f(t) = 2300:

$2 000 \cdot {1,01}^{t}$	=	$2 300$	\|: $2 000$
${1,01}^{t}$	=	$\frac{23}{20}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,01}^{t})$	=	$\lg (\frac{23}{20})$
$t \cdot \lg (1,01)$	=	$\lg (\frac{23}{20})$	\|: $\lg (1,01)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{23}{20})}{\lg (1,01)}$

t

=

14,046

Nach ca. 14,046 Jahre ist also der Kontostand = 2300 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben