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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (3 936 205)$ liegt.

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $3 936 205$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3 936 205$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{6}$ = 10⁶ < $3 936 205$ und auf $10^{7}$ = 10⁷ > $3 936 205$ .

Und da wir bei $\log_{10} (3 936 205)$ ja das ☐ von 10^☐ = $3 936 205$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
10⁶ = $10^{6}$ < $3 936 205$ < $10^{7}$ = 10⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{10} (3 936 205)$ < 7

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - k$ = 0 ist, also für x = $k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$ ) = $((k) - k) \cdot e^{(k) - \frac{1}{2} k} - 3$ = $0 - 3$ = $- 3$ sein.
Da bei x = $k$ bei ( $x - k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$ | $- 3$ ) im abgebildeten Graph bei P(5| $- 3$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 5
Also gilt k = $5$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$5$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,3 x - 0,9}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,3 x - 0,9}$	=	$y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (y)$

$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (y)$	\| $+ 0,9$
$0,3 x$	=	$\ln (y) + 0,9$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (y) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (x) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (x) + \frac{0,9}{0,3}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $96 \cdot {1,2}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $96$

f(1) = $96$ ⋅ $1,2$

f(2) = $96$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$

f(3) = $96$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$

f(4) = $96$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,2$ multipliziert. Da $1,2$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,2$ -fache, also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seines Bestands. Zu Beginn sind 20kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {0,89}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $20 \cdot {0,89}^{8}$ ≈ 7,873.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$20 \cdot {0,89}^{t}$	=	$10$	\|: $20$
${0,89}^{t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,89}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{2})$
$t \cdot \lg (0,89)$	=	$\lg (\frac{1}{2})$	\|: $\lg (0,89)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{2})}{\lg (0,89)}$

t

=

5,948

Nach ca. 5,948 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben