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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 50000 ) + lg( 2 ) .

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lg( 50000 ) + lg( 2 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= lg( 50000 · 2 )

= lg( 100000 )

= lg( 10 5 )

= 5

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 4.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 4 = a = a .

Es gilt also: 4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,4 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e 0,2x -0,4 wird zu allen Funktionswerten von e 0,2x -0,4 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,4 -1 = y | +1
e 0,2x -0,4 = y +1 |ln(⋅)
0,2x -0,4 = ln( y +1 )
0,2x -0,4 = ln( y +1 ) | +0,4
0,2x = ln( y +1 ) +0,4 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y +1 ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x +1 ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x +1 ) + 0,4 0,2

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 194 0,7 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 194

f(1) = 194 0,7

f(2) = 194 0,70,7

f(3) = 194 0,70,70,7

f(4) = 194 0,70,70,70,7

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,7 multipliziert. Da 0,7 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,7-fache, also auf 70 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 70% = 30 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 71,75 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 11 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 68,6 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 75 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 71.75 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 71.75. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 75 a t ein:

75 a 4 = 71,75 |:75
a 4 = 0,95667 | 4
a1 = - 0,95667 4 -0,989
a2 = 0,95667 4 0,989

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,989 ≈ 0.989 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 75 0,989 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = 75 0,989 11 66,408.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 68.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 68.6:

75 0,989 t = 68,6 |:75
0,989 t = 0,9147 |lg(⋅)
lg( 0,989 t ) = lg( 0,9147 )
t · lg( 0,989 ) = lg( 0,9147 ) |: lg( 0,989 )
t = lg( 0,9147 ) lg( 0,989 )
t = 8,0607

Nach ca. 8,061 Jahre ist also der Bestand = 68.6 Millionen Einwohner.