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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -( x -2 ) -3 .

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -( x -2 ) -3 das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von e -( x -2 ) -3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei e -( x -2 ) -3 zu jedem Funktionswert von e x noch -3 addiert wird, ist der Graph von e -( x -2 ) -3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Da bei e -( x -2 ) -3 das x von e x durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt e -( x -2 ) -3 gegen 0 -3 = -3 .
  • Für x → - ∞ strebt e -( x -2 ) -3 gegen ∞ .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 ⋅a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 ⋅ 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,1x -0,1 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e 0,1x -0,1 wird zu allen Funktionswerten von e 0,1x -0,1 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,1x -0,1 +3 = y | -3
e 0,1x -0,1 = y -3 |ln(⋅)
0,1x -0,1 = ln( y -3 )
0,1x -0,1 = ln( y -3 ) | +0,1
0,1x = ln( y -3 ) +0,1 |:0,1
x = 1 0,1 ln( y -3 ) + 0,1 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( x -3 ) + 0,1 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( x -3 ) + 0,1 0,1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 6,6 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 26 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 26 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 6.6 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 6,6 = 2 | ⋅6,6
a1 = - 2 1 6,6 ≈ -1,111
a2 = 2 1 6,6 ≈ 1,111

Das gesuchte a ist somit 1,111 ≈ 1.11, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 26⋅ 1,11 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5% seines Bestands. 10 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 47,9kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 12 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also Bneu = B - 5 100 ⋅B = (1 - 5 100 ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,95 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 47.9 kg ist, also f(10) = 47.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,95 t ein:

c ⋅ 0.9510 = 47.9

c ⋅ 0.59874 = 47.9 | : 0.59874

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80⋅ 0,95 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = 80⋅ 0,95 12 ≈ 43,229.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

80⋅ 0,95 t = 40 |:80
0,95 t = 1 2 |lg(⋅)
lg( 0,95 t ) = lg( 1 2 )
t · lg( 0,95 ) = lg( 1 2 ) |: lg( 0,95 )
t = lg( 1 2 ) lg( 0,95 )
t = 13,5134

Nach ca. 13,513 Tage ist also der Bestand = 40 kg.