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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{12}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{12}}$ = $12^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ = $\log_{12} (12^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $12^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $12$ suchen, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $12^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$ ^☐ = $12^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{12} (\frac{1}{\sqrt{12}})$ = $\log_{12} (12^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $12$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{12}}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{50 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{2500} x)$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{50 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{50 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{2500} x)$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{50} x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{2500} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{2500}) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{2500}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2500}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (2 500) + \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (2 500) + \lg (50) + \lg (50)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2 500} \cdot 50 \cdot 50)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 50)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 3} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $4 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 3}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 3} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$4 e^{x - 3}$	=	$y - 1$	\|: $4$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{4})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{4})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{4}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{4}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{4}) + 3$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,066}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,066}^{t}$ ablesen: a=1.066.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.066( $2$ ) ≈ 10.85 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. Zu Beginn sind 10kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 13 Tagen da? b) Wann sind nur noch 1,9kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $10 \cdot {0,92}^{13}$ ≈ 3,383.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.9 kg ist, also f(t) = 1.9:

$10 \cdot {0,92}^{t}$	=	$1,9$	\|: $10$
${0,92}^{t}$	=	$0,19$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (0,19)$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (0,19)$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,19)}{\lg (0,92)}$

t

=

19,9172

Nach ca. 19,917 Tage ist also der Bestand = 1.9 kg.

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Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben