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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x) + \lg (\frac{1}{200} x^{2}) + \lg (\frac{4}{x^{6}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (50 x) + \lg (\frac{1}{200} x^{2}) + \lg (\frac{4}{x^{6}})$

= $\lg (50 x) + \lg (\frac{1}{200} x^{2}) + \lg (4 x^{- 6})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x) + (\lg (\frac{1}{200}) + \lg (x^{2})) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{6}}))$

= $\lg (50) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{200}) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{6}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{200}) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 6 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + \lg (x) + \lg (1) - \lg (200) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 6 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (200) + \lg (50) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{200} \cdot 50 \cdot 4)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{5}{x^{2}}) - \lg (100 x)$ soweit wie möglich.

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$\lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{5}{x^{2}}) - \lg (100 x)$

= $\lg (2 x^{3}) + \lg (5 x^{- 2}) - \lg (100 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{3}) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (100) + \lg (x))$

= $\lg (2) + \lg (x^{3}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (100) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (5) - 2 \lg (x) - \lg (100) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (5) - 2 \lg (x) - \lg (100) - \lg (x)$

= $- \lg (100) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100} \cdot 5 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{x - 1} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- 4 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{x - 1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{x - 1} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- 4 e^{x - 1}$	=	$y - 3$	\|: $- 4$
$e^{x - 1}$	=	$- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$

$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) + 1$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,963}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,963}^{t}$ ablesen: a=0.963.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.963( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 18.38 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 12% seines Bestands. 6 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 27,86kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 9 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$ ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,88}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 27.86 kg ist, also f(6) = 27.86. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,88}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.88⁶ = 27.86

c ⋅ 0.4644 = 27.86 | : 0.4644

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,88}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $60 \cdot {0,88}^{9}$ ≈ 18,989.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$60 \cdot {0,88}^{t}$	=	$20$	\|: $60$
${0,88}^{t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,88}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{3})$
$t \cdot \lg (0,88)$	=	$\lg (\frac{1}{3})$	\|: $\lg (0,88)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{3})}{\lg (0,88)}$

t

=

8,5941

Nach ca. 8,594 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

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Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben