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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (3)$ liegt.

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $3$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $3$ und auf $5$ = 5¹ > $3$ .

Und da wir bei $\log_{5} (3)$ ja das ☐ von 5^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $3$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{5} (3)$ < 1

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (125 x^{2}) + \lg (25 x^{4}) + \lg (5 x)$ soweit wie möglich.

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$- \lg (125 x^{2}) + \lg (25 x^{4}) + \lg (5 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (125) + \lg (x^{2})) + (\lg (25) + \lg (x^{4})) + (\lg (5) + \lg (x))$

= $- \lg (125) - \lg (x^{2}) + \lg (25) + \lg (x^{4}) + \lg (5) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (125) - 2 \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x) + \lg (5) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (125) - 2 \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x) + \lg (5) + \lg (x)$

= $3 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{- 0,3 x + 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{- 0,3 x + 0,3}$ können die Funktionswerte von $4 e^{- 0,3 x + 0,3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{- 0,3 x + 0,3}$	=	$y$	\|: $4$
$e^{- 0,3 x + 0,3}$	=	$\frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$

$- 0,3 x + 0,3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$	\| $- 0,3$
$- 0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y) - 0,3$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} y) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,3}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$ ) ⋅ B = 1,16 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,16.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.16( $2$ ) ≈ 4.67 Wochen

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 20% vermehrt. Nach 5 Wochen zählt man bereits 12441,6 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 55000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$ ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,2}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 12441.6 Nutzer ist, also f(5) = 12441.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,2}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.2⁵ = 12441.6

c ⋅ 2.48832 = 12441.6 | : 2.48832

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,2}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $5 000 \cdot {1,2}^{9}$ ≈ 25798,902.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 55000 Nutzer ist, also f(t) = 55000:

$5 000 \cdot {1,2}^{t}$	=	$55 000$	\|: $5 000$
${1,2}^{t}$	=	$11$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,2}^{t})$	=	$\lg (11)$
$t \cdot \lg (1,2)$	=	$\lg (11)$	\|: $\lg (1,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (11)}{\lg (1,2)}$

t

=

13,152

Nach ca. 13,152 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 55000 Nutzer.

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log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben