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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,1 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,1 x) - \lg (x)$
= $\lg (0,1) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{- 1}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $- 1 + \lg (x) - \lg (x)$
= $- 1$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k e^{\frac{1}{4} k x - \frac{1}{4} k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k e^{\frac{1}{4} k x - \frac{1}{4} k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $\frac{1}{4} k x - \frac{1}{4} k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k e^{\frac{1}{4} k x - \frac{1}{4} k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $- 1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

\frac{1}{4} k x - \frac{1}{4} k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$\frac{1}{4} k x - \frac{1}{4} k$	=	0	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} k x - \frac{1}{4} k)$	=	0
$k x - k$	=	0	\| - ( $- k$ )
$k x$	=	$k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$1$

Wenn wir nun

1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

1

) =

k e^{\frac{1}{4} k \cdot 1 - \frac{1}{4} k} - 1

=

k - 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

1

) = 3 ablesen, es gilt somit:

$k - 1$	=	$3$	\| $+ 1$
$k$	=	$4$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$4$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,4} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{0,2 x - 0,4}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,4}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,4} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{0,2 x - 0,4}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,4$	=	$\ln (y + 2)$

$0,2 x - 0,4$	=	$\ln (y + 2)$	\| $+ 0,4$
$0,2 x$	=	$\ln (y + 2) + 0,4$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y + 2) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 2) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 2) + \frac{0,4}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8,2% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 8.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8.2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8.2}{100}$ ) ⋅ B = 0,918 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,918.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.918( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 8.1 Tage

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 26 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 6 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 46 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=26 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $26 \cdot {1,08}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $26 \cdot {1,08}^{6}$ ≈ 41,259.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 46 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 46:

$26 \cdot {1,08}^{t}$	=	$46$	\|: $26$
${1,08}^{t}$	=	$\frac{23}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,08}^{t})$	=	$\lg (\frac{23}{13})$
$t \cdot \lg (1,08)$	=	$\lg (\frac{23}{13})$	\|: $\lg (1,08)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{23}{13})}{\lg (1,08)}$

t

=

7,4134

Nach ca. 7,413 Stunden ist also der Bestand = 46 Millionen Bakterien.

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1. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben