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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{x - 3}$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei $- 3 e^{x - 3}$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $- 3 e^{x - 3}$ gegen $- \infty$ .
Für x → - ∞ strebt $- 3 e^{x - 3}$ gegen 0 .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $\frac{3}{2}$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,4 x + 1,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 1,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 1,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,4 x + 1,2}$ wird $e^{- 0,4 x + 1,2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,4 x + 1,2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,4 x + 1,2}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{- 0,4 x + 1,2}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 1,2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$- 0,4 x + 1,2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $- 1,2$
$- 0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) - 1,2$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{1,2}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{1,2}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{1,2}{0,4}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 69,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 69.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{69,7}$	=	$2$	\| $\sqrt[69,7]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{69,7}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{69,7}}$ ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,01}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 19,69kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 7 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$ ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 19.69 kg ist, also f(8) = 19.69. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.87⁸ = 19.69

c ⋅ 0.32821 = 19.69 | : 0.32821

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $60 \cdot {0,87}^{7}$ ≈ 22,635.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$60 \cdot {0,87}^{t}$	=	$40$	\|: $60$
${0,87}^{t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (\frac{2}{3})$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (\frac{2}{3})$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{2}{3})}{\lg (0,87)}$

t

=

2,9115

Nach ca. 2,912 Tage ist also der Bestand = 40 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben