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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) - 2 \lg (\sqrt{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{2}}) - 2 \lg (\sqrt{x})$
= $\lg (x^{2}) + 2 \lg (x^{- 2}) - 2 \lg (x^{\frac{1}{2}})$
= $2 \lg (x) - 4 \lg (x) - \lg (x)$
= $- 3 \lg (x)$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + k$ = 0 ist, also für x = $- 1 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 1 k$ ) = $- ((- 1 k) + k) \cdot e^{(- 1 k) + \frac{1}{2} k} - 1$ = $0 - 1$ = $- 1$ sein.
Da bei x = $- 1 k$ bei ( $x + k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 1 k$ | $- 1$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $- 1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 1 k$ = 1
Also gilt k = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{0,1 x} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{0,1 x}$ wird $e^{0,1 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{0,1 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- e^{0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{0,1 x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{0,1 x} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- e^{0,1 x}$	=	$y - 1$	\|: $- 1$
$e^{0,1 x}$	=	$- y + 1$	\|ln(⋅)
$0,1 x$	=	$\ln (- y + 1)$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (- y + 1)$
$x$	=	$10 \ln (- y + 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10 \ln (- x + 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $10 \ln (- x + 1)$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $146 \cdot {1,25}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $146$

f(1) = $146$ ⋅ $1,25$

f(2) = $146$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

f(3) = $146$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

f(4) = $146$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,25$ multipliziert. Da $1,25$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,25$ -fache, also auf $125$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 125% - 100% = 25 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer. Nach 5 Wochen zählt man bereits 4384,9 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 6 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 10000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 4384.9 Nutzer ist, also f(5) = 4384.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ ein:

$2 000 a^{5}$	=	$4 384,9$	\|: $2 000$
$a^{5}$	=	$2,19245$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[5]{2,19245}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[5]{2,19245}$ ≈ 1.17 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,17}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $2 000 \cdot {1,17}^{6}$ ≈ 5130,328.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer ist, also f(t) = 10000:

$2 000 \cdot {1,17}^{t}$	=	$10 000$	\|: $2 000$
${1,17}^{t}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,17}^{t})$	=	$\lg (5)$
$t \cdot \lg (1,17)$	=	$\lg (5)$	\|: $\lg (1,17)$
$t$	=	$\frac{\lg (5)}{\lg (1,17)}$

t

=

10,251

Nach ca. 10,251 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben