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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 3 · e 3 x 2 +1 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 3 · e 3 ( -x ) 2 +1 = - x 3 · e 3 x 2 +1

Wenn man das mit f(x) = x 3 · e 3 x 2 +1 vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = - x 3 · e 3 x 2 +1 gerade das Negative von f(x), also -f(x) = - x 3 · e 3 x 2 +1 ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 7 10 x + k +2 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 7 10 x + k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 2 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 + 2 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -5, somit muss 2 k = -5 gelten;
    Also gilt k = - 5 2

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 5 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e x -3 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e x -3 können die Funktionswerte von 3 e x -3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem 3 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von 3 e x -3 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e x -3 +1 = y | -1
3 e x -3 = y -1 |:3
e x -3 = 1 3 y - 1 3 |ln(⋅)
x -3 = ln( 1 3 y - 1 3 )
x -3 = ln( 1 3 y - 1 3 ) | +3
x = ln( 1 3 y - 1 3 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 3 x - 1 3 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 3 x - 1 3 ) +3

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 18 0,8 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 18

f(1) = 18 0,8

f(2) = 18 0,80,8

f(3) = 18 0,80,80,8

f(4) = 18 0,80,80,80,8

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,8 multipliziert. Da 0,8 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,8-fache, also auf 80 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 2 Jahren beträgt der Kontostand bereits 3244,8€. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 5000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 3000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 3244.8 € ist, also f(2) = 3244.8. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 3000 a t ein:

3000 a 2 = 3244,8 |:3000
a 2 = 1,0816 | 2
a1 = - 1,0816 = -1,04
a2 = 1,0816 = 1,04

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,04 ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000 1,04 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 3000 1,04 4 3509,576.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:

3000 1,04 t = 5000 |:3000
1,04 t = 5 3 |lg(⋅)
lg( 1,04 t ) = lg( 5 3 )
t · lg( 1,04 ) = lg( 5 3 ) |: lg( 1,04 )
t = lg( 5 3 ) lg( 1,04 )
t = 13,0244

Nach ca. 13,024 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.