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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{10})$ .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10}$ um: $\sqrt{10}$ = $10^{\frac{1}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{10})$ = $\log_{10} (10^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{10})$ = $\log_{10} (10^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{50}{x}) + \lg (\frac{25}{x^{4}}) - \lg (\frac{1 250}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{50}{x}) + \lg (\frac{25}{x^{4}}) - \lg (\frac{1 250}{x^{2}})$

= $\lg (50 x^{- 1}) + \lg (25 x^{- 4}) - \lg (1250 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (1250) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (1250) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) - \lg (x) + \lg (25) - 4 \lg (x) - \lg (1250) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) - \lg (x) + \lg (25) - 4 \lg (x) - \lg (1 250) + 2 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (1 250) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 250} \cdot 50 \cdot 25)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{- 0,1 x + 0,1}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x + 0,1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x + 0,1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{- 0,1 x + 0,1}$ können die Funktionswerte von $3 e^{- 0,1 x + 0,1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{- 0,1 x + 0,1}$	=	$y$	\|: $3$
$e^{- 0,1 x + 0,1}$	=	$\frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x + 0,1$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$

$- 0,1 x + 0,1$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$	\| $- 0,1$
$- 0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y) - 0,1$	\|:( $- 0,1$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} y) + \frac{0,1}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,1}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,1}{0,1}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 5,4 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 100kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 100 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 5.4 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{5,4}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[5,4]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{5,4}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{5,4}}$ ≈ 0.88, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $100 \cdot {0,88}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 67,22 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 5 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 67.22 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 67.22. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $75 \cdot a^{t}$ ein:

$75 a^{4}$	=	$67,22$	\|: $75$
$a^{4}$	=	$0,89627$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{0,89627}$	≈ $- 0,973$
a₂	=	$\sqrt[4]{0,89627}$	≈ $0,973$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,973$ ≈ 0.973 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot {0,973}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $75 \cdot {0,973}^{5}$ ≈ 65,407.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$75 \cdot {0,973}^{t}$	=	$55$	\|: $75$
${0,973}^{t}$	=	$\frac{11}{15}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,973}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{15})$
$t \cdot \lg (0,973)$	=	$\lg (\frac{11}{15})$	\|: $\lg (0,973)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{15})}{\lg (0,973)}$

t

=

11,3314

Nach ca. 11,331 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.

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Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben