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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{6})$ liegt.

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{6}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{6}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^{3}}$ = 2^-3 < $\frac{1}{6}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2^{2}}$ = 2^-2 > $\frac{1}{6}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{6})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{6}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
2^-3 = $\frac{1}{2^{3}}$ = $\frac{1}{8}$ < $\frac{1}{6}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2^{2}}$ = 2^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{2} (\frac{1}{6})$ < -2

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,4 x - 1,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 1,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 1,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,4 x - 1,2}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,4 x - 1,2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,4 x - 1,2}$	=	$y$	\|: $4$
$e^{0,4 x - 1,2}$	=	$\frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 1,2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$

$0,4 x - 1,2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$	\| $+ 1,2$
$0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y) + 1,2$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{4} y) + \frac{1,2}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{1,2}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{1,2}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,02.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.02( $2$ ) ≈ 35 Stunden

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 44,77kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 10 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,93}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 44.77 kg ist, also f(8) = 44.77. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,93}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.93⁸ = 44.77

c ⋅ 0.55958 = 44.77 | : 0.55958

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Tage, also f(10):

f(10) = $80 \cdot {0,93}^{10}$ ≈ 38,719.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$80 \cdot {0,93}^{t}$	=	$40$	\|: $80$
${0,93}^{t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{2})$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (\frac{1}{2})$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{2})}{\lg (0,93)}$

t

=

9,5513

Nach ca. 9,551 Tage ist also der Bestand = 40 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben