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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1928})$ liegt.

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{1928}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{1928}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{10^{4}}$ = 10^-4 < $\frac{1}{1928}$ und auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3 > $\frac{1}{1928}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{1928})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{1928}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10^-4 = $\frac{1}{10^{4}}$ = $\frac{1}{10000}$ < $\frac{1}{1928}$ < $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{10} (\frac{1}{1928})$ < -3

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x^{5}}) - \lg (\frac{1}{20 x}) + \lg (\frac{1}{40} x^{4})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{20}{x^{5}}) - \lg (\frac{1}{20 x}) + \lg (\frac{1}{40} x^{4})$

= $\lg (20 x^{- 5}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{40} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (\frac{1}{40}) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{40}) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - 5 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{40}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - 5 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + \lg (x) + \lg (1) - \lg (40) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (40) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40} \cdot 20 \cdot 20)$

= $\lg (10)$

= $1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,4 x + 0,8}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,4 x + 0,8}$ wird $e^{- 0,4 x + 0,8}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,4 x + 0,8}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,4 x + 0,8}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{- 0,4 x + 0,8}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,8$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$- 0,4 x + 0,8$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $- 0,8$
$- 0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) - 0,8$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,8}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 4% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.96( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 16.98 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. Zu Beginn sind 8000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 12 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 12000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $8 000 \cdot {1,06}^{12}$ ≈ 16097,572.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 12000 € ist, also f(t) = 12000:

$8 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$12 000$	\|: $8 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,06)}$

t

=

6,9585

Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 12000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben