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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (69)$ liegt.

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $69$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $69$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{6}$ = 2⁶ < $69$ und auf $2^{7}$ = 2⁷ > $69$ .

Und da wir bei $\log_{2} (69)$ ja das ☐ von 2^☐ = $69$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^{6}$ < $69$ < $2^{7}$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{2} (69)$ < 7

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $2 k e^{k x + 2 k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2 k e^{k x + 2 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + 2 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $2 k e^{k x + 2 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + 2 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + 2 k$	=	0	\| - ( $2 k$ )
$k x$	=	$- 2 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 2$

Wenn wir nun

- 2

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 2

) =

2 k e^{k \cdot (- 2) + 2 k} + 1

=

2 k + 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 2

) = 0 ablesen, es gilt somit:

$2 k + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 k$	=	$- 1$	\|: $2$
$k$	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{0,4 x - 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{0,4 x - 0,4}$ können die Funktionswerte von $2 e^{0,4 x - 0,4}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{0,4 x - 0,4}$	=	$y$	\|: $2$
$e^{0,4 x - 0,4}$	=	$\frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$

$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$	\| $+ 0,4$
$0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y) + 0,4$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{2} y) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,4}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,928}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,928}^{t}$ ablesen: a=0.928.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.928( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 9.28 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Nach 8 Wochen zählt man bereits 6556,83 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 6 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 3000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$ ) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,16}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 6556.83 Nutzer ist, also f(8) = 6556.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,16}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.16⁸ = 6556.83

c ⋅ 3.27841 = 6556.83 | : 3.27841

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,16}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $2 000 \cdot {1,16}^{6}$ ≈ 4872,793.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer ist, also f(t) = 3000:

$2 000 \cdot {1,16}^{t}$	=	$3 000$	\|: $2 000$
${1,16}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,16}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,16)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,16)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,16)}$

t

=

2,7319

Nach ca. 2,732 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer.

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Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben