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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{50}{x^{2}}) - \lg (\frac{2 500}{x^{4}}) + \lg (50 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{50}{x^{2}}) - \lg (\frac{2 500}{x^{4}}) + \lg (50 x^{2})$

= $\lg (50 x^{- 2}) - \lg (2500 x^{- 4}) + \lg (50 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - (\lg (2500) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (50) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (2500) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (50) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) - 2 \lg (x) - \lg (2500) + 4 \lg (x) + \lg (50) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) - 2 \lg (x) - \lg (2 500) + 4 \lg (x) + \lg (50) + 2 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (2 500) + \lg (50) + \lg (50)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2 500} \cdot 50 \cdot 50)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 50)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $1$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $1$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $1$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,6} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{- 0,2 x + 0,6}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,2 x + 0,6}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,6} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{- 0,2 x + 0,6}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,6$	=	$\ln (y + 3)$

$- 0,2 x + 0,6$	=	$\ln (y + 3)$	\| $- 0,6$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y + 3) - 0,6$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y + 3) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x + 3) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x + 3) + \frac{0,6}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,095}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,095}^{t}$ ablesen: a=1.095.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.095( $2$ ) ≈ 7.64 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 47,02 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 47.02 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 47.02. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ ein:

$60 a^{8}$	=	$47,02$	\|: $60$
$a^{8}$	=	$0,78367$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{0,78367}$	≈ $- 0,97$
a₂	=	$\sqrt[8]{0,78367}$	≈ $0,97$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,97$ ≈ 0.97 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,97}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $60 \cdot {0,97}^{9}$ ≈ 45,614.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$60 \cdot {0,97}^{t}$	=	$50$	\|: $60$
${0,97}^{t}$	=	$\frac{5}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,97}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{6})$
$t \cdot \lg (0,97)$	=	$\lg (\frac{5}{6})$	\|: $\lg (0,97)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{6})}{\lg (0,97)}$

t

=

5,9858

Nach ca. 5,986 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.

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Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben