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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{x + 2}$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei $- 2 e^{x + 2}$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $- 2 e^{x + 2}$ gegen $- \infty$ .
Für x → - ∞ strebt $- 2 e^{x + 2}$ gegen 0 .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{100} x^{3}) + \lg (20 x^{2}) + \lg (\frac{50}{x^{5}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{100} x^{3}) + \lg (20 x^{2}) + \lg (\frac{50}{x^{5}})$

= $\lg (\frac{1}{100} x^{3}) + \lg (20 x^{2}) + \lg (50 x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{3}) + (\lg (20) + \lg (x^{2})) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{3}) + \lg (20) + \lg (x^{2}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + 3 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (50) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (100) + 3 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (50) - 5 \lg (x)$

= $- \lg (100) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (10)$

= $1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,3 x - 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,3 x - 0,3}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,3 x - 0,3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,3 x - 0,3}$	=	$y$	\|: $3$
$e^{0,3 x - 0,3}$	=	$\frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$

$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,3$
$0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y) + 0,3$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{3} y) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,3}{0,3}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $53 \cdot {1,45}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $53$

f(1) = $53$ ⋅ $1,45$

f(2) = $53$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(3) = $53$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(4) = $53$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,45$ multipliziert. Da $1,45$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,45$ -fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14% seines Bestands. Zu Beginn sind 10kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 1,9kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$ ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,86}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $10 \cdot {0,86}^{8}$ ≈ 2,992.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.9 kg ist, also f(t) = 1.9:

$10 \cdot {0,86}^{t}$	=	$1,9$	\|: $10$
${0,86}^{t}$	=	$0,19$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,86}^{t})$	=	$\lg (0,19)$
$t \cdot \lg (0,86)$	=	$\lg (0,19)$	\|: $\lg (0,86)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,19)}{\lg (0,86)}$

t

=

11,0111

Nach ca. 11,011 Tage ist also der Bestand = 1.9 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben