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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 361 ( 19 ) .

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Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis 361 suchen und 361 gerade 19² ist (also 19 = 361 = 361 1 2 ), formen wir 19 noch so um, dass sie 361 als Basis hat:

19 = 361 1 2

log 361 ( 19 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 19 = 361 1 2 zur Basis 361 suchen, also die Hochzahl mit der man 361 potenzieren muss, um auf 19 = 361 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 361 = 19 = 361 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 361 ( 19 ) = log 361 ( 361 1 2 ) = 1 2 , eben weil 361 1 2 = 19 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -1.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: -1 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: -1 = - 1 2 a | ⋅ -2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e -0,2x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e -0,2x wird e -0,2x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e -0,2x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem -2 e -0,2x wird zu allen Funktionswerten von -2 e -0,2x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e -0,2x -3 = y | +3
-2 e -0,2x = y +3 |:-2
e -0,2x = - 1 2 y - 3 2 |ln(⋅)
-0,2x = ln( - 1 2 y - 3 2 ) |:-0,2
x = - 1 0,2 ln( - 1 2 y - 3 2 )
x = -5 ln( - 1 2 y - 3 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -5 ln( - 1 2 x - 3 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -5 ln( - 1 2 x - 3 2 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,073 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,073 t ablesen: a=1.073.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.073(2) ≈ 9.84 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 25 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 29,9 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=25 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 25 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = 25 1,02 9 29,877.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 29.9 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 29.9:

25 1,02 t = 29,9 |:25
1,02 t = 1,196 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 1,196 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 1,196 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 1,196 ) lg( 1,02 )
t = 9,0383

Nach ca. 9,038 Stunden ist also der Bestand = 29.9 Millionen Bakterien.