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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x + 1} + 3$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x + 1} + 3$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 3 addiert wird, ist der Graph von $e^{x + 1} + 3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei $e^{x + 1} + 3$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x + 1} + 3$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x + 1} + 3$ gegen $0 + 3$ = $3$ .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $e^{\frac{6}{10} x + k} + k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{6}{10} x + k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -1, somit muss $k$ = -1 gelten;
Also gilt k = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,1 x + 0,1} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x + 0,1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x + 0,1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{- 0,1 x + 0,1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,1 x + 0,1}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,1 x + 0,1} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{- 0,1 x + 0,1}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x + 0,1$	=	$\ln (y + 2)$

$- 0,1 x + 0,1$	=	$\ln (y + 2)$	\| $- 0,1$
$- 0,1 x$	=	$\ln (y + 2) - 0,1$	\|:( $- 0,1$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (y + 2) + \frac{0,1}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,1} \ln (x + 2) + \frac{0,1}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,1} \ln (x + 2) + \frac{0,1}{0,1}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $44 \cdot {1,35}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $44$

f(1) = $44$ ⋅ $1,35$

f(2) = $44$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(3) = $44$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(4) = $44$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,35$ multipliziert. Da $1,35$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,35$ -fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. 7 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 86Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 11 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 74 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$ ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,2}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Stunden der Bestand 86 Millionen Bakterien ist, also f(7) = 86. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,2}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.2⁷ = 86

c ⋅ 3.58318 = 86 | : 3.58318

c = 24

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $24 \cdot {1,2}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $24 \cdot {1,2}^{11}$ ≈ 178,322.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 74 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 74:

$24 \cdot {1,2}^{t}$	=	$74$	\|: $24$
${1,2}^{t}$	=	$\frac{37}{12}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,2}^{t})$	=	$\lg (\frac{37}{12})$
$t \cdot \lg (1,2)$	=	$\lg (\frac{37}{12})$	\|: $\lg (1,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{37}{12})}{\lg (1,2)}$

t

=

6,176

Nach ca. 6,176 Stunden ist also der Bestand = 74 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben