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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (56)$ liegt.

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $56$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $56$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{5}$ = 2⁵ < $56$ und auf $2^{6}$ = 2⁶ > $56$ .

Und da wir bei $\log_{2} (56)$ ja das ☐ von 2^☐ = $56$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^{5}$ < $56$ < $2^{6}$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{2} (56)$ < 6

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k e^{k x + k} + 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k e^{k x + k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $k e^{k x + k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $2$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + k

= 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + k$	=	0	\| - ( $k$ )
$k x$	=	$- k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 1$

Wenn wir nun

- 1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 1

) =

k e^{k \cdot (- 1) + k} + 2

=

k + 2

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 1

) = 0 ablesen, es gilt somit:

$k + 2$	=	0	\| $- 2$
$k$	=	$- 2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 2$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,4 x - 0,8} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{0,4 x - 0,8}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,4 x - 0,8}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,4 x - 0,8} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{0,4 x - 0,8}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (y - 3)$

$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (y - 3)$	\| $+ 0,8$
$0,4 x$	=	$\ln (y - 3) + 0,8$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (y - 3) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (x - 3) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (x - 3) + \frac{0,8}{0,4}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $166 \cdot {0,6}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $166$

f(1) = $166$ ⋅ $0,6$

f(2) = $166$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(3) = $166$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(4) = $166$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,6$ multipliziert. Da $0,6$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,6$ -fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 5000 Nutzer. Nach 5 Wochen zählt man bereits 10501,71 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 14000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 10501.71 Nutzer ist, also f(5) = 10501.71. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $5 000 \cdot a^{t}$ ein:

$5 000 a^{5}$	=	$10 501,71$	\|: $5 000$
$a^{5}$	=	$2,10034$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[5]{2,10034}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[5]{2,10034}$ ≈ 1.16 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,16}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $5 000 \cdot {1,16}^{9}$ ≈ 19014,806.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 14000 Nutzer ist, also f(t) = 14000:

$5 000 \cdot {1,16}^{t}$	=	$14 000$	\|: $5 000$
${1,16}^{t}$	=	$\frac{14}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,16}^{t})$	=	$\lg (\frac{14}{5})$
$t \cdot \lg (1,16)$	=	$\lg (\frac{14}{5})$	\|: $\lg (1,16)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{14}{5})}{\lg (1,16)}$

t

=

6,9372

Nach ca. 6,937 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 14000 Nutzer.

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log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben