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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 ( 1 1.000.000.000 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 1.000.000.000 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 1 1.000.000.000 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 1 1.000.000.000 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 10-Potenz zu schreiben versuchen, also 10 = 1 1.000.000.000

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 10 ( 1 1.000.000.000 ) = -9, eben weil 10-9 = 1 1.000.000.000 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 4.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 4 = a = a .

Es gilt also: 4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e -0,1x +0,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e -0,1x +0,2 wird e -0,1x +0,2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e -0,1x +0,2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e -0,1x +0,2 = y |:-3
e -0,1x +0,2 = - 1 3 y |ln(⋅)
-0,1x +0,2 = ln( - 1 3 y )
-0,1x +0,2 = ln( - 1 3 y ) | -0,2
-0,1x = ln( - 1 3 y ) -0,2 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( - 1 3 y ) + 0,2 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( - 1 3 x ) + 0,2 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( - 1 3 x ) + 0,2 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1% weggehen,
also Bneu = B - 1 100 ⋅B = (1 - 1 100 ) ⋅ B = 0,99 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,99.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.99( 1 2 ) ≈ 68.97 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14% seines Bestands. 4 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 5,47kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 6 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 1kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also Bneu = B - 14 100 ⋅B = (1 - 14 100 ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,86 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 5.47 kg ist, also f(4) = 5.47. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,86 t ein:

c ⋅ 0.864 = 5.47

c ⋅ 0.54701 = 5.47 | : 0.54701

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,86 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = 10 0,86 6 4,046.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1 kg ist, also f(t) = 1:

10 0,86 t = 1 |:10
0,86 t = 1 10 |lg(⋅)
lg( 0,86 t ) = lg( 1 10 )
t · lg( 0,86 ) = lg( 1 10 ) |: lg( 0,86 )
t = lg( 1 10 ) lg( 0,86 )
t = 15,2668

Nach ca. 15,267 Tage ist also der Bestand = 1 kg.