Mathebattle EduRandomtasks

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{x + 3} + 2$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei $- 2 e^{x + 3} + 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 2 addiert wird, ist der Graph von $- 2 e^{x + 3} + 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Da bei $- 2 e^{x + 3} + 2$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $- 2 e^{x + 3} + 2$ gegen $- \infty$ .
Für x → - ∞ strebt $- 2 e^{x + 3} + 2$ gegen $0 + 2$ = $2$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{4}) - \lg (\frac{1}{20} x^{9}) + \lg (\frac{1}{100} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x^{4}) - \lg (\frac{1}{20} x^{9}) + \lg (\frac{1}{100} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{4}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{9})) + (\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (5) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{9}) + \lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) - 9 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) - 9 \lg (x) + \lg (1) - \lg (100) + 2 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,2 x} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,2 x}$ wird $e^{- 0,2 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,2 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- 4 e^{- 0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{- 0,2 x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,2 x} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- 4 e^{- 0,2 x}$	=	$y - 1$	\|: $- 4$
$e^{- 0,2 x}$	=	$- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$	\|: $- 0,2$
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$
$x$	=	$- 5 \ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 5 \ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{4})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 5 \ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{4})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,127}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,127}^{t}$ ablesen: a=1.127.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.127( $2$ ) ≈ 5.8 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 20% vermehrt. Nach 6 Wochen zählt man bereits 20901,89 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 10 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 67000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$ ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,2}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 20901.89 Nutzer ist, also f(6) = 20901.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,2}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.2⁶ = 20901.89

c ⋅ 2.98598 = 20901.89 | : 2.98598

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,2}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):

f(10) = $7 000 \cdot {1,2}^{10}$ ≈ 43342,155.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 67000 Nutzer ist, also f(t) = 67000:

$7 000 \cdot {1,2}^{t}$	=	$67 000$	\|: $7 000$
${1,2}^{t}$	=	$\frac{67}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,2}^{t})$	=	$\lg (\frac{67}{7})$
$t \cdot \lg (1,2)$	=	$\lg (\frac{67}{7})$	\|: $\lg (1,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{67}{7})}{\lg (1,2)}$

t

=

12,389

Nach ca. 12,389 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 67000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben