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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{40} x^{2}) + \lg (\frac{20}{x})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{40} x^{2}) + \lg (\frac{20}{x})$

= $- \lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{40} x^{2}) + \lg (20 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (1)) + (\lg (\frac{1}{40}) + \lg (x^{2})) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (1) + \lg (\frac{1}{40}) + \lg (x^{2}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) + 0 + \lg (\frac{1}{40}) + 2 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) + 0 + \lg (1) - \lg (40) + 2 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (40) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{40} \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{x - 2} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x - 2}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x - 2} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{x - 2}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (y + 3)$

$x - 2$	=	$\ln (y + 3)$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (y + 3) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (x + 3) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (x + 3) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,907}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,907}^{t}$ ablesen: a=0.907.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.907( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.1 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 8837,34€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 6 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 10500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 8837.34 € ist, also f(4) = 8837.34. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.06⁴ = 8837.34

c ⋅ 1.26248 = 8837.34 | : 1.26248

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $7 000 \cdot {1,06}^{6}$ ≈ 9929,634.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10500 € ist, also f(t) = 10500:

$7 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$10 500$	\|: $7 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,06)}$

t

=

6,9585

Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 10500 €.

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log berechnen (schwer)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben