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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 · e x +1 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 · e ( -x ) +1

Wenn man das mit f(x) = x 2 · e x +1 vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = x 2 · e -x +1
weder gleich f(x) = x 2 · e x +1 noch gleich -f(x) = - x 2 · e x +1 = - x 2 · e x +1 ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = 1 2 · e 1 +1 = 1 · e 2 ≈ 7.389
Aber: f(-1) = ( -1 ) 2 · e -1 +1 = 1 · e 0 ≈ 1

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k e 1 5 k x - 1 5 k -2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann k e 1 5 k x - 1 5 k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent 1 5 k x - 1 5 k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm k e 1 5 k x - 1 5 k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei -2 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent 1 5 k x - 1 5 k = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    1 5 k x - 1 5 k = 0 |⋅ 5
    5( 1 5 k x - 1 5 k ) = 0
    k x - k = 0 | - ( - k )
    k x = k |:( k )
    x = 1
    Wenn wir nun 1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(1 ) = k e 1 5 k ⋅1 - 1 5 k -2 = k -2
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(1 ) = 3 ablesen, es gilt somit:
    k -2 = 3 | +2
    k = 5

Der abgebildete Graph ist somit der von f5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e x -1 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e x -1 können die Funktionswerte von 4 e x -1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem 4 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von 4 e x -1 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e x -1 -2 = y | +2
4 e x -1 = y +2 |:4
e x -1 = 1 4 y + 1 2 |ln(⋅)
x -1 = ln( 1 4 y + 1 2 )
x -1 = ln( 1 4 y + 1 2 ) | +1
x = ln( 1 4 y + 1 2 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 4 x + 1 2 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 4 x + 1 2 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 11%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also Bneu = B + 11 100 ⋅B = (1 + 11 100 ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,11.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.11(2) ≈ 6.64 Stunden

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 17% abnimmt. 13 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 1,15 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 10 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also Bneu = B - 17 100 ⋅B = (1 - 17 100 ) ⋅ B = 0,83 ⋅ B. Somit ist das a=0,83.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,83 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Jahre der Bestand 1.15 Millionen Insekten ist, also f(13) = 1.15. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,83 t ein:

c ⋅ 0.8313 = 1.15

c ⋅ 0.08872 = 1.15 | : 0.08872

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13⋅ 0,83 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = 13⋅ 0,83 10 ≈ 2,017.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

13⋅ 0,83 t = 3 |:13
0,83 t = 3 13 |lg(⋅)
lg( 0,83 t ) = lg( 3 13 )
t · lg( 0,83 ) = lg( 3 13 ) |: lg( 0,83 )
t = lg( 3 13 ) lg( 0,83 )
t = 7,8696

Nach ca. 7,87 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.