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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,03)$ - $\lg (3)$ .

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$\lg (0,03)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.03}{3})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k} + 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + k$ = 0 ist, also für x = $- 1 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 1 k$ ) = $((- 1 k) + k) \cdot e^{(- 1 k) + \frac{1}{2} k} + 2$ = $0 + 2$ = $2$ sein.
Da bei x = $- 1 k$ bei ( $x + k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 1 k$ | $2$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $2$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 1 k$ = 1
Also gilt k = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{x - 1} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x - 1}$ können die Funktionswerte von $2 e^{x - 1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $2 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $2 e^{x - 1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{x - 1} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$2 e^{x - 1}$	=	$y - 3$	\|: $2$
$e^{x - 1}$	=	$\frac{1}{2} y - \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (\frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$

$x - 1$	=	$\ln (\frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y - \frac{3}{2}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) + 1$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $30 \cdot {(\frac{49}{50})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $30$

f(1) = $30$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(2) = $30$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(3) = $30$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(4) = $30$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{49}{50}$ multipliziert. Da $\frac{49}{50}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{49}{50}$ -fache (oder auf das $\frac{98}{100}$ -fache), also auf $98$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 98% = 2 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seines Bestands. 2 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 92,16kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 9 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 70kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B. Somit ist das a=0,96.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,96}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 92.16 kg ist, also f(2) = 92.16. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,96}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.96² = 92.16

c ⋅ 0.9216 = 92.16 | : 0.9216

c = 100

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $100 \cdot {0,96}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $100 \cdot {0,96}^{9}$ ≈ 69,253.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 kg ist, also f(t) = 70:

$100 \cdot {0,96}^{t}$	=	$70$	\|: $100$
${0,96}^{t}$	=	$\frac{7}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,96}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{10})$
$t \cdot \lg (0,96)$	=	$\lg (\frac{7}{10})$	\|: $\lg (0,96)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{10})}{\lg (0,96)}$

t

=

8,7373

Nach ca. 8,737 Tage ist also der Bestand = 70 kg.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben