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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{121} (11)$ .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 11 sondern zur Basis $121$ suchen und $121$ gerade 11² ist (also 11 = $\sqrt{121}$ = $121^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $11$ noch so um, dass sie $121$ als Basis hat:

$11$ = $121^{\frac{1}{2}}$

$\log_{121} (11)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $11$ = $121^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $121$ suchen, also die Hochzahl mit der man $121$ potenzieren muss, um auf $11$ = $121^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $121$ ^☐ = $11$ = $121^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{121} (11)$ = $\log_{121} (121^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $121$ ^{$\frac{1}{2}$} = $11$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $2$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{x - 3} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x - 3}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x - 3} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{x - 3}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (y + 1)$

$x - 3$	=	$\ln (y + 1)$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (y + 1) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (x + 1) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (x + 1) + 3$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 11% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,11.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.11( $2$ ) ≈ 6.64 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. 11 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 1,67 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 9 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 6,2 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Jahre der Bestand 1.67 Millionen Insekten ist, also f(11) = 1.67. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $13 \cdot a^{t}$ ein:

$13 a^{11}$	=	$1,67$	\|: $13$
$a^{11}$	=	$\frac{1,67}{13}$	\| $\sqrt[11]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[11]{\frac{1,67}{13}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{\frac{1,67}{13}}$ ≈ 0.83 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,83}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $13 \cdot {0,83}^{9}$ ≈ 2,43.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6.2:

$13 \cdot {0,83}^{t}$	=	$6,2$	\|: $13$
${0,83}^{t}$	=	$0,4769$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,83}^{t})$	=	$\lg (0,4769)$
$t \cdot \lg (0,83)$	=	$\lg (0,4769)$	\|: $\lg (0,83)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,4769)}{\lg (0,83)}$

t

=

3,9739

Nach ca. 3,974 Jahre ist also der Bestand = 6.2 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (schwer)

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

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c und ein Funktionswert gegeben