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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x}) + \lg (\sqrt{x}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x}) + \lg (\sqrt{x}) + \lg (x^{4})$
= $\lg (x^{- 1}) + \lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{4})$
= $- \lg (x) + \frac{1}{2} \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\frac{7}{2} \lg (x)$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{9}{10} x + k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{9}{10} x + k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $3 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $3 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -3, somit muss $3 k$ = -3 gelten;
Also gilt k = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,4 x - 0,8} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{0,4 x - 0,8}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,4 x - 0,8}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,4 x - 0,8} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{0,4 x - 0,8}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (y + 2)$

$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (y + 2)$	\| $+ 0,8$
$0,4 x$	=	$\ln (y + 2) + 0,8$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (y + 2) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (x + 2) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (x + 2) + \frac{0,8}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 25% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{25}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{25}{100}$ ) ⋅ B = 1,25 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,25.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.25( $2$ ) ≈ 3.11 Wochen

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 18% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 11 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{18}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{18}{100}$ ) ⋅ B = 0,82 ⋅ B. Somit ist das a=0,82.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,82}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $10 \cdot {0,82}^{11}$ ≈ 1,127.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$10 \cdot {0,82}^{t}$	=	$3$	\|: $10$
${0,82}^{t}$	=	$\frac{3}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,82}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{10})$
$t \cdot \lg (0,82)$	=	$\lg (\frac{3}{10})$	\|: $\lg (0,82)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{10})}{\lg (0,82)}$

t

=

6,0669

Nach ca. 6,067 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

2. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben