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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (\frac{1}{3})$ .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{3}$ um: $\frac{1}{3}$ = $3^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3^{- 1}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{- 1}$ = ${(9^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{9} (\frac{1}{3})$ = $\log_{9} (3^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (\frac{1}{3})$ = $\log_{9} (3^{- 1})$ = $\log_{9} (9^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{3}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50 x}) + \lg (\frac{25}{x^{3}}) - \lg (\frac{125 000}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{50 x}) + \lg (\frac{25}{x^{3}}) - \lg (\frac{125 000}{x^{2}})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{- 1}) + \lg (25 x^{- 3}) - \lg (125 000 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (125 000) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (125 000) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + \lg (x) + \lg (25) - 3 \lg (x) - \lg (125 000) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + \lg (x) + \lg (25) - 3 \lg (x) - \lg (125 000) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (125 000) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125.000} \cdot 50 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{x - 2} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $2 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $2 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $2 e^{x - 2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{x - 2} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$2 e^{x - 2}$	=	$y - 3$	\|: $2$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{2} y - \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y - \frac{3}{2}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) + 2$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $122 \cdot {(\frac{11}{10})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $122$

f(1) = $122$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(2) = $122$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(3) = $122$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(4) = $122$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{11}{10}$ multipliziert. Da $\frac{11}{10}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{11}{10}$ -fache (oder auf das $\frac{110}{100}$ -fache), also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 5372,54€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3800€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 5372.54 € ist, also f(10) = 5372.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $3 000 \cdot a^{t}$ ein:

$3 000 a^{10}$	=	$5 372,54$	\|: $3 000$
$a^{10}$	=	$1,79085$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{1,79085}$	= $- 1,06$
a₂	=	$\sqrt[10]{1,79085}$	= $1,06$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,06$ ≈ 1.06 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $3 000 \cdot {1,06}^{9}$ ≈ 5068,437.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3800 € ist, also f(t) = 3800:

$3 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$3 800$	\|: $3 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{19}{15}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{19}{15})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{19}{15})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{19}{15})}{\lg (1,06)}$

t

=

4,0569

Nach ca. 4,057 Jahre ist also der Kontostand = 3800 €.

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log berechnen (schwer)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben