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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{2} \cdot (e^{- x} + e^{x})$ = $x^{2} \cdot (e^{- x} + e^{x})$ = $x^{2} \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{- x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 4$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 4$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 2} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{x - 2}$ wird $e^{x - 2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{x - 2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- 2 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{x - 2}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{x - 2} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- 2 e^{x - 2}$	=	$y + 1$	\|: $- 2$
$e^{x - 2}$	=	$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2})$

$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) + 2$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $62 \cdot {1,15}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $62$

f(1) = $62$ ⋅ $1,15$

f(2) = $62$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

f(3) = $62$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

f(4) = $62$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,15$ multipliziert. Da $1,15$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,15$ -fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 5%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 13 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 33 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {1,05}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $13 \cdot {1,05}^{8}$ ≈ 19,207.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 33 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 33:

$13 \cdot {1,05}^{t}$	=	$33$	\|: $13$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{33}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{33}{13})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{33}{13})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{33}{13})}{\lg (1,05)}$

t

=

19,0932

Nach ca. 19,093 Stunden ist also der Bestand = 33 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben