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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{- (x + 2)} + 2$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{- (x + 2)} + 2$ das x von $e^{x}$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{- (x + 2)} + 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{- (x + 2)} + 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 2 addiert wird, ist der Graph von $e^{- (x + 2)} + 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Da bei $e^{- (x + 2)} + 2$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $e^{- (x + 2)} + 2$ gegen $0 + 2$ = $2$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{- (x + 2)} + 2$ gegen $\infty$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2 x^{2}}) + \lg (\frac{25}{x}) - \lg (\frac{50}{x})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{2 x^{2}}) + \lg (\frac{25}{x}) - \lg (\frac{50}{x})$

= $- \lg (\frac{1}{2} x^{- 2}) + \lg (25 x^{- 1}) - \lg (50 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (50) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) + 2 \lg (x) + \lg (25) - \lg (x) - \lg (50) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (25) - \lg (x) - \lg (50) + \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (50) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 2)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{x - 3} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{x - 3}$ wird $e^{x - 3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{x - 3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{x - 3}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{x - 3} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- e^{x - 3}$	=	$y + 1$	\|: $- 1$
$e^{x - 3}$	=	$- y - 1$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (- y - 1)$

$x - 3$	=	$\ln (- y - 1)$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (- y - 1) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- x - 1) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- x - 1) + 3$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,141}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,141}^{t}$ ablesen: a=1.141.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.141( $2$ ) ≈ 5.25 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 9% abnimmt. 14 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 2,94 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 6 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,9 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$ ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,91}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 14 Jahre der Bestand 2.94 Millionen Insekten ist, also f(14) = 2.94. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,91}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.91¹⁴ = 2.94

c ⋅ 0.26704 = 2.94 | : 0.26704

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,91}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $11 \cdot {0,91}^{6}$ ≈ 6,247.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.9:

$11 \cdot {0,91}^{t}$	=	$2,9$	\|: $11$
${0,91}^{t}$	=	$0,2636$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,91}^{t})$	=	$\lg (0,2636)$
$t \cdot \lg (0,91)$	=	$\lg (0,2636)$	\|: $\lg (0,91)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,2636)}{\lg (0,91)}$

t

=

14,1376

Nach ca. 14,138 Jahre ist also der Bestand = 2.9 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben