Mathebattle EduRandomtasks

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{x - 2} + 1$ .

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei $- 3 e^{x - 2} + 1$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 1 addiert wird, ist der Graph von $- 3 e^{x - 2} + 1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.

Da bei $- 3 e^{x - 2} + 1$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $- 3 e^{x - 2} + 1$ gegen $- \infty$ .
Für x → - ∞ strebt $- 3 e^{x - 2} + 1$ gegen $0 + 1$ = $1$ .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - k$ = 0 ist, also für x = $k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$ ) = $((k) - k) \cdot e^{(k) - \frac{1}{2} k} - 1$ = $0 - 1$ = $- 1$ sein.
Da bei x = $k$ bei ( $x - k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$ | $- 1$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $- 1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 1
Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,2} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{- 0,2 x + 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,2 x + 0,2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,2} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{- 0,2 x + 0,2}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y - 2)$

$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y - 2)$	\| $- 0,2$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y - 2) - 0,2$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y - 2) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x - 2) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x - 2) + \frac{0,2}{0,2}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $187 \cdot {1,05}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $187$

f(1) = $187$ ⋅ $1,05$

f(2) = $187$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$

f(3) = $187$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$

f(4) = $187$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,05$ multipliziert. Da $1,05$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,05$ -fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2% seines Bestands. 2 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 57,62kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 4 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 50kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 0,98 ⋅ B. Somit ist das a=0,98.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,98}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 57.62 kg ist, also f(2) = 57.62. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,98}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.98² = 57.62

c ⋅ 0.9604 = 57.62 | : 0.9604

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,98}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $60 \cdot {0,98}^{4}$ ≈ 55,342.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 kg ist, also f(t) = 50:

$60 \cdot {0,98}^{t}$	=	$50$	\|: $60$
${0,98}^{t}$	=	$\frac{5}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,98}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{6})$
$t \cdot \lg (0,98)$	=	$\lg (\frac{5}{6})$	\|: $\lg (0,98)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{6})}{\lg (0,98)}$

t

=

9,0246

Nach ca. 9,025 Tage ist also der Bestand = 50 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben