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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x) + \lg (\frac{2}{x^{5}}) + \lg (10 x^{4})$ soweit wie möglich.

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$\lg (5 x) + \lg (\frac{2}{x^{5}}) + \lg (10 x^{4})$

= $\lg (5 x) + \lg (2 x^{- 5}) + \lg (10 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{5}})) + (\lg (10) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (5) + \lg (x) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (10) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x) + \lg (2) - 5 \lg (x) + \lg (10) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + \lg (x) + \lg (2) - 5 \lg (x) + \lg (10) + 4 \lg (x)$

= $\lg (10) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (10 \cdot 5 \cdot 2)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20) + \lg (\frac{20}{x^{4}}) + \lg (\frac{5}{2} x^{4})$ soweit wie möglich.

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$\lg (20) + \lg (\frac{20}{x^{4}}) + \lg (\frac{5}{2} x^{4})$

= $\lg (20) + \lg (20 x^{- 4}) + \lg (\frac{5}{2} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (1) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (\frac{5}{2}) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (20) + \lg (1) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (\frac{5}{2}) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 0 + \lg (20) - 4 \lg (x) + \lg (\frac{5}{2}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 0 + \lg (20) - 4 \lg (x) + \lg (5) - \lg (2) + 4 \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (20) + \lg (5) - \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20 \cdot 20 \cdot 5}{2})$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,4 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,4 x}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,4 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $4 e^{0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{0,4 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,4 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$4 e^{0,4 x}$	=	$y + 3$	\|: $4$
$e^{0,4 x}$	=	$\frac{1}{4} y + \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$
$x$	=	$\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4,4% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 4.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4.4}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{4.4}{100}$ ) ⋅ B = 1,044 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,044.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.044( $2$ ) ≈ 16.1 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer. Nach 3 Wochen zählt man bereits 6083,5 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 24000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 6083.5 Nutzer ist, also f(3) = 6083.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ ein:

$4 000 a^{3}$	=	$6 083,5$	\|: $4 000$
$a^{3}$	=	$1,52088$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{1,52088}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{1,52088}$ ≈ 1.15 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,15}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $4 000 \cdot {1,15}^{9}$ ≈ 14071,505.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 24000 Nutzer ist, also f(t) = 24000:

$4 000 \cdot {1,15}^{t}$	=	$24 000$	\|: $4 000$
${1,15}^{t}$	=	$6$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,15}^{t})$	=	$\lg (6)$
$t \cdot \lg (1,15)$	=	$\lg (6)$	\|: $\lg (1,15)$
$t$	=	$\frac{\lg (6)}{\lg (1,15)}$

t

=

12,8201

Nach ca. 12,82 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 24000 Nutzer.

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Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben