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cosh
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Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term soweit wie möglich.
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log() = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term soweit wie möglich.
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log() = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:
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Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
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=
=
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Auch mit dem positiven Koeffizienten vor können die Funktionswerte von alles zwischen 0 und ∞ annehmen.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | |||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.
Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=1,29.
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.29() ≈ 2.72 Stunden
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seines Bestands. 10 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 19,94kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B. Somit ist das a=0,96.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Anfangswert c sein muss.
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 19.94 kg ist, also f(10) = 19.94. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
c ⋅ 0.9610 = 19.94
c ⋅ 0.66483 = 19.94 | : 0.66483
c = 30
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):
f(8) = ≈ 21,642.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 9,933 Tage ist also der Bestand = 20 kg.
