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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 12 (60) liegt.

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Wir suchen 12er-Potenzen in der Näher von 60, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 60 ist.

Dabei kommt man auf 12 = 121 < 60 und auf 12 2 = 122 > 60.

Und da wir bei log 12 (60) ja das ☐ von 12 = 60 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
121 = 12 < 60 < 12 2 = 122

Es gilt somit: 1 < log 12 (60) < 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 5 4 x 4 ) + lg( 20 x 3 ) - lg( 1 4 x 7 ) soweit wie möglich.

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lg( 5 4 x 4 ) + lg( 20 x 3 ) - lg( 1 4 x 7 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 5 4 ) + lg( x 4 ) + ( lg( 20 ) + lg( x 3 ) ) - ( lg( 1 4 ) + lg( x 7 ) )

= lg( 5 4 ) + lg( x 4 ) + lg( 20 ) + lg( x 3 ) - lg( 1 4 ) - lg( x 7 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 5 4 ) +4 lg( x ) + lg( 20 ) +3 lg( x ) - lg( 1 4 ) -7 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 5 ) - lg( 4 ) +4 lg( x ) + lg( 20 ) +3 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 4 ) -7 lg( x )

= lg( 20 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 20 · 5 )

= lg( 100 )

= lg( 10 2 )

= 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e -0,4x +0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e -0,4x +0,4 wird e -0,4x +0,4 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e -0,4x +0,4 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e -0,4x +0,4 = y |:-3
e -0,4x +0,4 = - 1 3 y |ln(⋅)
-0,4x +0,4 = ln( - 1 3 y )
-0,4x +0,4 = ln( - 1 3 y ) | -0,4
-0,4x = ln( - 1 3 y ) -0,4 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( - 1 3 y ) + 0,4 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( - 1 3 x ) + 0,4 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( - 1 3 x ) + 0,4 0,4

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 17,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 17.7 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 17,7 = 2 | 17,7
a = 2 1 17,7

Das gesuchte a ist somit 2 1 17,7 ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 6000 1,04 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 55,47 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 12 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50,6 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 60 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 55.47 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 55.47. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 60 a t ein:

60 a 6 = 55,47 |:60
a 6 = 0,9245 | 6
a1 = - 0,9245 6 -0,987
a2 = 0,9245 6 0,987

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,987 ≈ 0.987 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60 0,987 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = 60 0,987 12 51,281.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50.6:

60 0,987 t = 50,6 |:60
0,987 t = 0,8433 |lg(⋅)
lg( 0,987 t ) = lg( 0,8433 )
t · lg( 0,987 ) = lg( 0,8433 ) |: lg( 0,987 )
t = lg( 0,8433 ) lg( 0,987 )
t = 13,0248

Nach ca. 13,025 Jahre ist also der Bestand = 50.6 Millionen Einwohner.