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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{14} (67)$ liegt.

Wir suchen $14$ er-Potenzen in der Näher von $67$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $67$ ist.

Dabei kommt man auf $14$ = 14¹ < $67$ und auf $14^{2}$ = 14² > $67$ .

Und da wir bei $\log_{14} (67)$ ja das ☐ von 14^☐ = $67$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
14¹ = $14$ < $67$ < $14^{2}$ = 14²

Es gilt somit: 1 < $\log_{14} (67)$ < 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- k x \cdot e^{k x - k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $- k x \cdot e^{k x - k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $- k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - k} + 3 k$ = $3 k$ = 3

$3 k$ = $3$ |: $3$

$k$ = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,4 x + 0,4} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{- 0,4 x + 0,4}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,4 x + 0,4}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,4 x + 0,4} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (y + 2)$

$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (y + 2)$	\| $- 0,4$
$- 0,4 x$	=	$\ln (y + 2) - 0,4$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (y + 2) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (x + 2) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (x + 2) + \frac{0,4}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,079}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,079}^{t}$ ablesen: a=1.079.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.079( $2$ ) ≈ 9.12 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 18% abnimmt. 11 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 1,47 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 5,9 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{18}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{18}{100}$ ) ⋅ B = 0,82 ⋅ B. Somit ist das a=0,82.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,82}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Jahre der Bestand 1.47 Millionen Insekten ist, also f(11) = 1.47. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,82}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.82¹¹ = 1.47

c ⋅ 0.11271 = 1.47 | : 0.11271

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,82}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $13 \cdot {0,82}^{4}$ ≈ 5,878.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5.9:

$13 \cdot {0,82}^{t}$	=	$5,9$	\|: $13$
${0,82}^{t}$	=	$0,4538$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,82}^{t})$	=	$\lg (0,4538)$
$t \cdot \lg (0,82)$	=	$\lg (0,4538)$	\|: $\lg (0,82)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,4538)}{\lg (0,82)}$

t

=

3,9813

Nach ca. 3,981 Jahre ist also der Bestand = 5.9 Millionen Insekten.

$3 k$	=	$3$	\|: $3$
$k$	=	$1$

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log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben