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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot (e^{x} - e^{- x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot (e^{- x} - e^{x})$ = $- x \cdot (e^{- x} - e^{x})$ = $x \cdot e^{x} - x \cdot e^{- x}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot (e^{x} - e^{- x})$ = $x \cdot e^{x} - x \cdot e^{- x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $2 k e^{k x + k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2 k e^{k x + k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $2 k e^{k x + k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + k$	=	0	\| - ( $k$ )
$k x$	=	$- k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 1$

Wenn wir nun

- 1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 1

) =

2 k e^{k \cdot (- 1) + k} + 1

=

2 k + 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 1

) = -2 ablesen, es gilt somit:

$2 k + 1$	=	$- 2$	\| $- 1$
$2 k$	=	$- 3$	\|: $2$
$k$	=	$- \frac{3}{2}$ = -1.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{3}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 3} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 3}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 3} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$3 e^{x - 3}$	=	$y + 2$	\|: $3$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) + 3$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14,6% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 14.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14.6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{14.6}{100}$ ) ⋅ B = 0,854 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,854.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.854( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.39 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,3% seiner Bevölkerung. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 72,05 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 70 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{1.3}{100}$ ) ⋅ B = 0,987 ⋅ B. Somit ist das a=0,987.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,987}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 72.05 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 72.05. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,987}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.987⁸ = 72.05

c ⋅ 0.90061 = 72.05 | : 0.90061

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,987}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $80 \cdot {0,987}^{9}$ ≈ 71,112.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 70:

$80 \cdot {0,987}^{t}$	=	$70$	\|: $80$
${0,987}^{t}$	=	$\frac{7}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,987}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{8})$
$t \cdot \lg (0,987)$	=	$\lg (\frac{7}{8})$	\|: $\lg (0,987)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{8})}{\lg (0,987)}$

t

=

10,2047

Nach ca. 10,205 Jahre ist also der Bestand = 70 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben