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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{10})$ .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10}$ um: $\sqrt{10}$ = $10^{\frac{1}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{10})$ = $\log_{10} (10^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{10})$ = $\log_{10} (10^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{10}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50 x^{4}}) + \lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{1}{2 x^{6}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{50 x^{4}}) + \lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{1}{2 x^{6}})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{- 4}) + \lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{1}{2} x^{- 6})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (4) + \lg (x^{2})) + (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{6}}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (4) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{6}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + 4 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2}) - 6 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (2) - 6 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (4) - \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50 \cdot 4}{2})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,3 x - 0,6}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,3 x - 0,6}$ wird $e^{0,3 x - 0,6}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,3 x - 0,6}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,3 x - 0,6}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{0,3 x - 0,6}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,6$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$0,3 x - 0,6$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,6$
$0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) + 0,6$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,6}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,6}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,6}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2,8% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 2.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2.8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2.8}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{2.8}{100}$ ) ⋅ B = 1,028 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,028.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.028( $2$ ) ≈ 25.1 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seines Bestands. Zu Beginn sind 60kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$ ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $60 \cdot {0,87}^{6}$ ≈ 26,018.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$60 \cdot {0,87}^{t}$	=	$10$	\|: $60$
${0,87}^{t}$	=	$\frac{1}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{6})$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (\frac{1}{6})$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{6})}{\lg (0,87)}$

t

=

12,8661

Nach ca. 12,866 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

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log berechnen (schwer)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben