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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 3})$
= $- 3 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{0,2 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{0,2 x}$ wird $e^{0,2 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{0,2 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- 4 e^{0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{0,2 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{0,2 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- 4 e^{0,2 x}$	=	$y + 2$	\|: $- 4$
$e^{0,2 x}$	=	$- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$
$x$	=	$5 \ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5 \ln (- \frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $5 \ln (- \frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,062}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,062}^{t}$ ablesen: a=1.062.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.062( $2$ ) ≈ 11.52 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 739,66Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 327 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$ ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,29}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 739.66 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 739.66. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,29}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.29¹³ = 739.66

c ⋅ 27.39468 = 739.66 | : 27.39468

c = 27

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $27 \cdot {1,29}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $27 \cdot {1,29}^{7}$ ≈ 160,506.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 327 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 327:

$27 \cdot {1,29}^{t}$	=	$327$	\|: $27$
${1,29}^{t}$	=	$\frac{109}{9}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,29}^{t})$	=	$\lg (\frac{109}{9})$
$t \cdot \lg (1,29)$	=	$\lg (\frac{109}{9})$	\|: $\lg (1,29)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{109}{9})}{\lg (1,29)}$

t

=

9,7946

Nach ca. 9,795 Stunden ist also der Bestand = 327 Millionen Bakterien.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben