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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{50}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{25 000 x})$ soweit wie möglich.

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$\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{50}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{25 000 x})$

= $\lg (50 x^{3}) + \lg (50 x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{25000} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{25000}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{25000}) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (50) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25000}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (50) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (25 000) - \lg (x)$

= $- \lg (25 000) + \lg (50) + \lg (50)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{25000} \cdot 50 \cdot 50)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{10} x^{2}) - \lg (\frac{1}{25 x^{4}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{4}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{10} x^{2}) - \lg (\frac{1}{25 x^{4}})$

= $\lg (4 x^{- 6}) + \lg (\frac{1}{10} x^{2}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + (\lg (\frac{1}{10}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 6 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 6 \lg (x) + \lg (1) - \lg (10) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 4 \lg (x)$

= $\lg (25) - \lg (10) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{10} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{- 0,2 x + 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{- 0,2 x + 0,4}$ können die Funktionswerte von $4 e^{- 0,2 x + 0,4}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{- 0,2 x + 0,4}$	=	$y$	\|: $4$
$e^{- 0,2 x + 0,4}$	=	$\frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$

$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$	\| $- 0,4$
$- 0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y) - 0,4$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{4} y) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,4}{0,2}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 90 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 17 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 90 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 17 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{17}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[17]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[17]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[17]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.96, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $90 \cdot {0,96}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 3581,7€. a) Wie hoch ist der Kontostand 8 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 3581.7 € ist, also f(10) = 3581.7. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ ein:

$2 000 a^{10}$	=	$3 581,7$	\|: $2 000$
$a^{10}$	=	$1,79085$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{1,79085}$	= $- 1,06$
a₂	=	$\sqrt[10]{1,79085}$	= $1,06$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,06$ ≈ 1.06 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $2 000 \cdot {1,06}^{8}$ ≈ 3187,696.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3000 € ist, also f(t) = 3000:

$2 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$3 000$	\|: $2 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,06)}$

t

=

6,9585

Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 3000 €.

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Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben