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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $2 e^{x - 1} - 1$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht.

Da bei $2 e^{x - 1} - 1$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -1 addiert wird, ist der Graph von $2 e^{x - 1} - 1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei $2 e^{x - 1} - 1$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $2 e^{x - 1} - 1$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $2 e^{x - 1} - 1$ gegen $0 - 1$ = $- 1$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x) - \lg (\frac{400}{x}) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (20 x) - \lg (\frac{400}{x}) + \lg (20 x^{2})$

= $\lg (20 x) - \lg (400 x^{- 1}) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x) - (\lg (400) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (20) + \lg (x) - \lg (400) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x) - \lg (400) + \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + \lg (x) - \lg (400) + \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (400) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{400} \cdot 20 \cdot 20)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 0,3 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{- 0,3 x}$ wird $e^{- 0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{- 0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 2 e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{- 0,3 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{- 0,3 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 2 e^{- 0,3 x}$	=	$y + 3$	\|: $- 2$
$e^{- 0,3 x}$	=	$- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $200 \cdot {0,75}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $200$

f(1) = $200$ ⋅ $0,75$

f(2) = $200$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(3) = $200$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(4) = $200$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,75$ multipliziert. Da $0,75$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,75$ -fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 72,4 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{1.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,989 ⋅ B. Somit ist das a=0,989.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,989}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $80 \cdot {0,989}^{9}$ ≈ 72,42.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 72.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 72.4:

$80 \cdot {0,989}^{t}$	=	$72,4$	\|: $80$
${0,989}^{t}$	=	$0,905$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,989}^{t})$	=	$\lg (0,905)$
$t \cdot \lg (0,989)$	=	$\lg (0,905)$	\|: $\lg (0,989)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,905)}{\lg (0,989)}$

t

=

9,0246

Nach ca. 9,025 Jahre ist also der Bestand = 72.4 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben