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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 0,0001x ) -5 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 0,0001x ) -5 lg( x )
= lg( 0,0001 ) + lg( x ) -5 lg( x )
= lg( 10 -4 ) + lg( x ) -5 lg( x )
= -4 + lg( x ) -5 lg( x )
= -4 lg( x ) -4

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-2), also gilt f(0)=-2.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -2 , also f(x)= -2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -4.

In unseren Funktionsterm f(x)= -2 a x eingesezt bedeutet das: -4 = -2a = -2a .

Es gilt also: -4 = -2a | ⋅ - 1 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= -2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e -0,3x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e -0,3x wird e -0,3x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e -0,3x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem -4 e -0,3x wird zu allen Funktionswerten von -4 e -0,3x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e -0,3x -3 = y | +3
-4 e -0,3x = y +3 |:-4
e -0,3x = - 1 4 y - 3 4 |ln(⋅)
-0,3x = ln( - 1 4 y - 3 4 ) |:-0,3
x = - 1 0,3 ln( - 1 4 y - 3 4 )
x = - 10 3 ln( - 1 4 y - 3 4 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 10 3 ln( - 1 4 x - 3 4 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 10 3 ln( - 1 4 x - 3 4 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 45 1,1 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 45

f(1) = 45 1,1

f(2) = 45 1,11,1

f(3) = 45 1,11,11,1

f(4) = 45 1,11,11,11,1

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,1 multipliziert. Da 1,1 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,1-fache, also auf 110 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 547,89Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 920 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also Bneu = B + 29 100 ⋅B = (1 + 29 100 ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,29 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 547.89 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 547.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,29 t ein:

c ⋅ 1.2913 = 547.89

c ⋅ 27.39468 = 547.89 | : 27.39468

c = 20

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 20 1,29 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = 20 1,29 9 197,851.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 920 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 920:

20 1,29 t = 920 |:20
1,29 t = 46 |lg(⋅)
lg( 1,29 t ) = lg( 46 )
t · lg( 1,29 ) = lg( 46 ) |: lg( 1,29 )
t = lg( 46 ) lg( 1,29 )
t = 15,0354

Nach ca. 15,035 Stunden ist also der Bestand = 920 Millionen Bakterien.