Mathebattle EduRandomtasks

Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{- x} + 2$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{- x} + 2$ das x von $e^{x}$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{- x} + 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{- x} + 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 2 addiert wird, ist der Graph von $e^{- x} + 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $e^{- x} + 2$ gegen $0 + 2$ = $2$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{- x} + 2$ gegen $\infty$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{800} x) + \lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{4}{x^{4}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{800} x) + \lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{4}{x^{4}})$

= $\lg (\frac{1}{800} x) + \lg (2 x^{3}) + \lg (4 x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800}) + \lg (x) + (\lg (2) + \lg (x^{3})) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (\frac{1}{800}) + \lg (x) + \lg (2) + \lg (x^{3}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800}) + \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (4) - 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (800) + \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (4) - 4 \lg (x)$

= $- \lg (800) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800} \cdot 4 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 3} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{x - 3}$ wird $e^{x - 3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{x - 3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- 2 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{x - 3}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{x - 3} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- 2 e^{x - 3}$	=	$y + 1$	\|: $- 2$
$e^{x - 3}$	=	$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2})$

$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) + 3$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $72 \cdot {1,5}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $72$

f(1) = $72$ ⋅ $1,5$

f(2) = $72$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$

f(3) = $72$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$

f(4) = $72$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,5$ multipliziert. Da $1,5$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,5$ -fache, also auf $150$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 150% - 100% = 50 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 21% vermehrt. Nach 12 Wochen zählt man bereits 9849,73 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 1500 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 21% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 21% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{21}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{21}{100}$ ) ⋅ B = 1,21 ⋅ B. Somit ist das a=1,21.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,21}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 9849.73 Nutzer ist, also f(12) = 9849.73. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,21}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.21¹² = 9849.73

c ⋅ 9.84973 = 9849.73 | : 9.84973

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,21}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $1 000 \cdot {1,21}^{8}$ ≈ 4594,973.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 1500 Nutzer ist, also f(t) = 1500:

$1 000 \cdot {1,21}^{t}$	=	$1 500$	\|: $1 000$
${1,21}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,21}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,21)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,21)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,21)}$

t

=

2,1271

Nach ca. 2,127 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 1500 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben