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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 2} - 2$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 2} - 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -2 addiert wird, ist der Graph von $e^{x - 2} - 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x - 2} - 2$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x - 2} - 2$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x - 2} - 2$ gegen $0 - 2$ = $- 2$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{2 x}) - \lg (\frac{50}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{25}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{2 x}) - \lg (\frac{50}{x^{2}})$

= $\lg (25 x^{- 6}) - \lg (\frac{1}{2} x^{- 1}) - \lg (50 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x}) - \lg (50) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - 6 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) + \lg (x) - \lg (50) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - 6 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) + \lg (x) - \lg (50) + 2 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (50) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,3 x + 0,9} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{- 0,3 x + 0,9}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,3 x + 0,9}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,3 x + 0,9} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (y - 2)$

$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (y - 2)$	\| $- 0,9$
$- 0,3 x$	=	$\ln (y - 2) - 0,9$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (y - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (x - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (x - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 35%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 35% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 35% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{35}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{35}{100}$ ) ⋅ B = 1,35 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,35.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.35( $2$ ) ≈ 2.31 Stunden

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 9373,28€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 9373.28 € ist, also f(8) = 9373.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ ein:

$8 000 a^{8}$	=	$9 373,28$	\|: $8 000$
$a^{8}$	=	$1,17166$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{1,17166}$	= $- 1,02$
a₂	=	$\sqrt[8]{1,17166}$	= $1,02$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,02$ ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $8 000 \cdot {1,02}^{9}$ ≈ 9560,741.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$8 000 \cdot {1,02}^{t}$	=	$9 000$	\|: $8 000$
${1,02}^{t}$	=	$\frac{9}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{8})$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (\frac{9}{8})$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{8})}{\lg (1,02)}$

t

=

5,9478

Nach ca. 5,948 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben