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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{3} (27 x) - \log_{3} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{3} (27 x) - \log_{3} (x)$
= $\log_{3} (27) + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $\log_{3} (3^{3}) + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $3 + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $3$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{0,1 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{0,1 x}$ können die Funktionswerte von $2 e^{0,1 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $2 e^{0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2 e^{0,1 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{0,1 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$2 e^{0,1 x}$	=	$y + 3$	\|: $2$
$e^{0,1 x}$	=	$\frac{1}{2} y + \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$
$x$	=	$10 \ln (\frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10 \ln (\frac{1}{2} x + \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $10 \ln (\frac{1}{2} x + \frac{3}{2})$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $49 \cdot {0,85}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $49$

f(1) = $49$ ⋅ $0,85$

f(2) = $49$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

f(3) = $49$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

f(4) = $49$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,85$ multipliziert. Da $0,85$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,85$ -fache, also auf $85$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 85% = 15 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 14% vermehrt. Nach 4 Wochen zählt man bereits 10133,76 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 12 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 13000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$ ) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,14}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Wochen der Bestand 10133.76 Nutzer ist, also f(4) = 10133.76. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,14}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.14⁴ = 10133.76

c ⋅ 1.68896 = 10133.76 | : 1.68896

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,14}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $6 000 \cdot {1,14}^{12}$ ≈ 28907,429.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 13000 Nutzer ist, also f(t) = 13000:

$6 000 \cdot {1,14}^{t}$	=	$13 000$	\|: $6 000$
${1,14}^{t}$	=	$\frac{13}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,14}^{t})$	=	$\lg (\frac{13}{6})$
$t \cdot \lg (1,14)$	=	$\lg (\frac{13}{6})$	\|: $\lg (1,14)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{13}{6})}{\lg (1,14)}$

t

=

5,9009

Nach ca. 5,901 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 13000 Nutzer.

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1. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben