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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot 3 e^{2 x^{2}}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot 3 e^{2 {(- x)}^{2}}$ = $- 3 x \cdot e^{2 x^{2}}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot 3 e^{2 x^{2}}$ = $3 x \cdot e^{2 x^{2}}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- 3 x \cdot e^{2 x^{2}}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- 3 x \cdot e^{2 x^{2}}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 3$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 3$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,3 x + 0,3} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{- 0,3 x + 0,3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,3 x + 0,3}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,3 x + 0,3} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{- 0,3 x + 0,3}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,3$	=	$\ln (y + 3)$

$- 0,3 x + 0,3$	=	$\ln (y + 3)$	\| $- 0,3$
$- 0,3 x$	=	$\ln (y + 3) - 0,3$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (y + 3) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (x + 3) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (x + 3) + \frac{0,3}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,046}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,046}^{t}$ ablesen: a=1.046.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.046( $2$ ) ≈ 15.41 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 49,13 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 47,8 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 49.13 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 49.13. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $55 \cdot a^{t}$ ein:

$55 a^{8}$	=	$49,13$	\|: $55$
$a^{8}$	=	$0,89327$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{0,89327}$	≈ $- 0,986$
a₂	=	$\sqrt[8]{0,89327}$	≈ $0,986$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,986$ ≈ 0.986 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot {0,986}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $55 \cdot {0,986}^{7}$ ≈ 49,831.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 47.8 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 47.8:

$55 \cdot {0,986}^{t}$	=	$47,8$	\|: $55$
${0,986}^{t}$	=	$0,8691$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,986}^{t})$	=	$\lg (0,8691)$
$t \cdot \lg (0,986)$	=	$\lg (0,8691)$	\|: $\lg (0,986)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,8691)}{\lg (0,986)}$

t

=

9,9509

Nach ca. 9,951 Jahre ist also der Bestand = 47.8 Millionen Einwohner.

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Symmetrie e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben