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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (4)$ .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = $16^{\frac{1}{2}}$

$\log_{16} (4)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4$ = $16^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (4)$ = $\log_{16} (16^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{3}) + \lg (\frac{1}{8} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{8})$ soweit wie möglich.

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$\lg (4 x^{3}) + \lg (\frac{1}{8} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x^{8})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{3}) + (\lg (\frac{1}{8}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{8}))$

= $\lg (4) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{8}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{8})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - 8 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (8) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - 8 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,2 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,2 x}$ wird $e^{0,2 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,2 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- 3 e^{0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{0,2 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,2 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- 3 e^{0,2 x}$	=	$y - 3$	\|: $- 3$
$e^{0,2 x}$	=	$- \frac{1}{3} y + 1$	\|ln(⋅)
$0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + 1)$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} y + 1)$
$x$	=	$5 \ln (- \frac{1}{3} y + 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5 \ln (- \frac{1}{3} x + 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $5 \ln (- \frac{1}{3} x + 1)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,884}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,884}^{t}$ ablesen: a=0.884.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.884( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 5.62 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,4% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 6 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 65 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2.4}{100}$ ) ⋅ B = 0,976 ⋅ B. Somit ist das a=0,976.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot {0,976}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $75 \cdot {0,976}^{6}$ ≈ 64,828.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 65 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 65:

$75 \cdot {0,976}^{t}$	=	$65$	\|: $75$
${0,976}^{t}$	=	$\frac{13}{15}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,976}^{t})$	=	$\lg (\frac{13}{15})$
$t \cdot \lg (0,976)$	=	$\lg (\frac{13}{15})$	\|: $\lg (0,976)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{13}{15})}{\lg (0,976)}$

t

=

5,8907

Nach ca. 5,891 Jahre ist also der Bestand = 65 Millionen Einwohner.

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log berechnen (schwer)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben