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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 2$ ), also gilt f(0)= $- 2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 2$ , also $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 4$ = $- 2 \cdot a$ = $- 2 a$ .

Es gilt also: $- 4$ = $- 2 a$ | ⋅ $- \frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{0,1 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{0,1 x}$ wird $e^{0,1 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{0,1 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- e^{0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{0,1 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{0,1 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- e^{0,1 x}$	=	$y - 3$	\|: $- 1$
$e^{0,1 x}$	=	$- y + 3$	\|ln(⋅)
$0,1 x$	=	$\ln (- y + 3)$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (- y + 3)$
$x$	=	$10 \ln (- y + 3)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10 \ln (- x + 3)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $10 \ln (- x + 3)$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,2 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{3,2}$	=	$2$	\| $\sqrt[3,2]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{3,2}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{3,2}}$ ≈ 1.24, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,24}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 73,21 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 65,7 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 73.21 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 73.21. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $75 \cdot a^{t}$ ein:

$75 a^{2}$	=	$73,21$	\|: $75$
$a^{2}$	=	$0,97613$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{0,97613}$	≈ $- 0,988$
a₂	=	$\sqrt{0,97613}$	≈ $0,988$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,988$ ≈ 0.988 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot {0,988}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $75 \cdot {0,988}^{4}$ ≈ 71,464.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 65.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 65.7:

$75 \cdot {0,988}^{t}$	=	$65,7$	\|: $75$
${0,988}^{t}$	=	$0,876$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,988}^{t})$	=	$\lg (0,876)$
$t \cdot \lg (0,988)$	=	$\lg (0,876)$	\|: $\lg (0,988)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,876)}{\lg (0,988)}$

t

=

10,9661

Nach ca. 10,966 Jahre ist also der Bestand = 65.7 Millionen Einwohner.

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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

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c und ein Funktionswert gegeben