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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 5 x 2 ) + lg( 2 5 x 3 ) - lg( 1 50 x ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 5 x 2 ) + lg( 2 5 x 3 ) - lg( 1 50 x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 5 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 2 5 ) + lg( x 3 ) ) - ( lg( 1 50 ) + lg( x ) )

= - lg( 1 5 ) - lg( x 2 ) + lg( 2 5 ) + lg( x 3 ) - lg( 1 50 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 5 ) -2 lg( x ) + lg( 2 5 ) +3 lg( x ) - lg( 1 50 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 5 ) -2 lg( x ) + lg( 2 ) - lg( 5 ) +3 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 50 ) - lg( x )

= lg( 50 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 · 2 )

= lg( 100 )

= lg( 10 2 )

= 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - ( x -3 k ) · e x - 3 2 k +1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm - ( x -3 k ) · e x - 3 2 k = 0 wird, wenn x -3 k = 0 ist, also für x = 3 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(3 k ) = - ( ( 3 k ) -3 k ) · e ( 3 k ) - 3 2 k +1 = 0 +1 = 1 sein.
    Da bei x = 3 k bei ( x -3 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(3 k | 1 ) im abgebildeten Graph bei P(1| 1 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit 3 k = 1
    Also gilt k = 1 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f 1 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,2 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem e 0,2x -0,2 wird zu allen Funktionswerten von e 0,2x -0,2 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,2 -2 = y | +2
e 0,2x -0,2 = y +2 |ln(⋅)
0,2x -0,2 = ln( y +2 )
0,2x -0,2 = ln( y +2 ) | +0,2
0,2x = ln( y +2 ) +0,2 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y +2 ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x +2 ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x +2 ) + 0,2 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,93 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,93 t ablesen: a=0.93.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.93( 1 2 ) ≈ 9.55 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 3121,81€. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 3000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 3121.81 € ist, also f(4) = 3121.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 3000 a t ein:

3000 a 4 = 3121,81 |:3000
a 4 = 1,0406 | 4
a1 = - 1,0406 4 = -1,01
a2 = 1,0406 4 = 1,01

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,01 ≈ 1.01 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 3000 1,01 5 3153,03.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3500 € ist, also f(t) = 3500:

3000 1,01 t = 3500 |:3000
1,01 t = 7 6 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 7 6 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 7 6 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 7 6 ) lg( 1,01 )
t = 15,492

Nach ca. 15,492 Jahre ist also der Kontostand = 3500 €.