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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (35 944 973)$ liegt.

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $35 944 973$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $35 944 973$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{7}$ = 10⁷ < $35 944 973$ und auf $10^{8}$ = 10⁸ > $35 944 973$ .

Und da wir bei $\log_{10} (35 944 973)$ ja das ☐ von 10^☐ = $35 944 973$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = $10^{7}$ < $35 944 973$ < $10^{8}$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < $\log_{10} (35 944 973)$ < 8

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 0,2 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{- 0,2 x}$ wird $e^{- 0,2 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{- 0,2 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 2 e^{- 0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{- 0,2 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{- 0,2 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 2 e^{- 0,2 x}$	=	$y + 3$	\|: $- 2$
$e^{- 0,2 x}$	=	$- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$	\|: $- 0,2$
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$
$x$	=	$- 5 \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 5 \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 5 \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13,1% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 13.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,869 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,869.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.869( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.94 Tage

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 8000 Nutzer. Nach 7 Wochen zählt man bereits 18820,84 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 18000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Wochen der Bestand 18820.84 Nutzer ist, also f(7) = 18820.84. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ ein:

$8 000 a^{7}$	=	$18 820,84$	\|: $8 000$
$a^{7}$	=	$2,35261$	\| $\sqrt[7]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[7]{2,35261}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[7]{2,35261}$ ≈ 1.13 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,13}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $8 000 \cdot {1,13}^{9}$ ≈ 24032,336.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 18000 Nutzer ist, also f(t) = 18000:

$8 000 \cdot {1,13}^{t}$	=	$18 000$	\|: $8 000$
${1,13}^{t}$	=	$\frac{9}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,13}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{4})$
$t \cdot \lg (1,13)$	=	$\lg (\frac{9}{4})$	\|: $\lg (1,13)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{4})}{\lg (1,13)}$

t

=

6,6351

Nach ca. 6,635 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 18000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben