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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -( x +3 ) +3 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -( x +3 ) +3 das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von e -( x +3 ) +3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei e -( x +3 ) +3 zu jedem Funktionswert von e x noch 3 addiert wird, ist der Graph von e -( x +3 ) +3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei e -( x +3 ) +3 das x von e x durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt e -( x +3 ) +3 gegen 0 +3 = 3 .
  • Für x → - ∞ strebt e -( x +3 ) +3 gegen .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - k x · e k x - k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm - k x · e k x - k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|5) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = - k · 0 · e k 0 - k + k = k = 5
    k = 5

Der abgebildete Graph ist somit der von f5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e -0,4x +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e -0,4x wird e -0,4x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e -0,4x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem -3 e -0,4x wird zu allen Funktionswerten von -3 e -0,4x noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e -0,4x +1 = y | -1
-3 e -0,4x = y -1 |:-3
e -0,4x = - 1 3 y + 1 3 |ln(⋅)
-0,4x = ln( - 1 3 y + 1 3 ) |:-0,4
x = - 1 0,4 ln( - 1 3 y + 1 3 )
x = - 5 2 ln( - 1 3 y + 1 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 5 2 ln( - 1 3 x + 1 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 5 2 ln( - 1 3 x + 1 3 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 15% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 15% dazukommen,
also Bneu = B + 15 100 ⋅B = (1 + 15 100 ) ⋅ B = 1,15 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,15.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.15(2) ≈ 4.96 Wochen

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7% verzinst. Zu Beginn sind 1000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 13 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 1500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also Bneu = B + 7 100 ⋅B = (1 + 7 100 ) ⋅ B = 1,07 ⋅ B. Somit ist das a=1,07.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000 1,07 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = 1000 1,07 13 2409,845.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1500 € ist, also f(t) = 1500:

1000 1,07 t = 1500 |:1000
1,07 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,07 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,07 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,07 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,07 )
t = 5,9928

Nach ca. 5,993 Jahre ist also der Kontostand = 1500 €.