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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 100 ( 1 10 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 10 um: 1 10 = 10 -1

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis 100 suchen und 100 gerade 10² ist (also 10 = 100 = 100 1 2 ), formen wir 10 -1 noch so um, dass sie 100 als Basis hat:

10 -1 = ( 100 1 2 ) -1 = 100 - 1 2

log 100 ( 1 10 ) = log 100 ( 10 -1 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 10 -1 = 100 - 1 2 zur Basis 100 suchen, also die Hochzahl mit der man 100 potenzieren muss, um auf 10 -1 = 100 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 100☐ = 10 -1 = 100 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 100 ( 1 10 ) = log 100 ( 10 -1 ) = log 100 ( 100 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 100 - 1 2 = 1 10 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 ⋅a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 ⋅ 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e 0,4x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e 0,4x können die Funktionswerte von 3 e 0,4x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem 3 e 0,4x wird zu allen Funktionswerten von 3 e 0,4x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e 0,4x -1 = y | +1
3 e 0,4x = y +1 |:3
e 0,4x = 1 3 y + 1 3 |ln(⋅)
0,4x = ln( 1 3 y + 1 3 ) |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 3 y + 1 3 )
x = 5 2 ln( 1 3 y + 1 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 2 ln( 1 3 x + 1 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 2 ln( 1 3 x + 1 3 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,928 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,928 t ablesen: a=0.928.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.928( 1 2 ) ≈ 9.28 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. Zu Beginn sind 5000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 9 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 7000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5000⋅ 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 5000⋅ 1,02 9 ≈ 5975,463.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

5000⋅ 1,02 t = 7000 |:5000
1,02 t = 7 5 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 7 5 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 7 5 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 7 5 ) lg( 1,02 )
t = 16,9913

Nach ca. 16,991 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.