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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 (64) .

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Wir suchen den Logarithmus von 64 zur Basis 2, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 64 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2☐ = 64 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 2 (64) = 6, eben weil 26 = 64 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 4.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 4 = a = a .

Es gilt also: 4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +2 = y | -2
e -0,1x = y -2 |ln(⋅)
-0,1x = ln( y -2 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( y -2 )
x = -10 ln( y -2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( x -2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( x -2 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 7⋅ 0,55 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 7

f(1) = 7 ⋅ 0,55

f(2) = 7 ⋅ 0,55 ⋅ 0,55

f(3) = 7 ⋅ 0,55 ⋅ 0,55 ⋅ 0,55

f(4) = 7 ⋅ 0,55 ⋅ 0,55 ⋅ 0,55 ⋅ 0,55

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,55 multipliziert. Da 0,55 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,55-fache, also auf 55 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,7% seiner Bevölkerung. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 50,55 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.7% weggehen,
also Bneu = B - 1.7 100 ⋅B = (1 - 1.7 100 ) ⋅ B = 0,983 ⋅ B. Somit ist das a=0,983.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,983 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 50.55 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 50.55. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,983 t ein:

c ⋅ 0.98310 = 50.55

c ⋅ 0.84243 = 50.55 | : 0.84243

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60⋅ 0,983 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 60⋅ 0,983 9 ≈ 51,42.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

60⋅ 0,983 t = 50 |:60
0,983 t = 5 6 |lg(⋅)
lg( 0,983 t ) = lg( 5 6 )
t · lg( 0,983 ) = lg( 5 6 ) |: lg( 0,983 )
t = lg( 5 6 ) lg( 0,983 )
t = 10,6334

Nach ca. 10,633 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.