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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{x - 1} - 1$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei $- 2 e^{x - 1} - 1$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -1 addiert wird, ist der Graph von $- 2 e^{x - 1} - 1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei $- 2 e^{x - 1} - 1$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $- 2 e^{x - 1} - 1$ gegen $- \infty$ .
Für x → - ∞ strebt $- 2 e^{x - 1} - 1$ gegen $0 - 1$ = $- 1$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{4}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (250 x^{5})$ soweit wie möglich.

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$\lg (50 x^{4}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (250 x^{5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{4}) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (1)) - (\lg (250) + \lg (x^{5}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (1) - \lg (250) - \lg (x^{5})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 0 - \lg (250) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 0 - \lg (250) - 5 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{- 0,4 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{- 0,4 x}$ wird $e^{- 0,4 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{- 0,4 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- e^{- 0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{- 0,4 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{- 0,4 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- e^{- 0,4 x}$	=	$y - 2$	\|: $- 1$
$e^{- 0,4 x}$	=	$- y + 2$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x$	=	$\ln (- y + 2)$	\|: $- 0,4$
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (- y + 2)$
$x$	=	$- \frac{5}{2} \ln (- y + 2)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{5}{2} \ln (- x + 2)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{5}{2} \ln (- x + 2)$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 2,3 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 15 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 15 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 2.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{2,3}$	=	$2$	\| $\sqrt[2,3]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{2,3}}$	≈ $- 1,352$
a₂	=	$2^{\frac{1}{2,3}}$	≈ $1,352$

Das gesuchte a ist somit $1,352$ ≈ 1.35, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $15 \cdot {1,35}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seines Bestands. 6 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 31,31kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 10 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 32,6kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B. Somit ist das a=0,96.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,96}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 31.31 kg ist, also f(6) = 31.31. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,96}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.96⁶ = 31.31

c ⋅ 0.78276 = 31.31 | : 0.78276

c = 40

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $40 \cdot {0,96}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Tage, also f(10):

f(10) = $40 \cdot {0,96}^{10}$ ≈ 26,593.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 32.6 kg ist, also f(t) = 32.6:

$40 \cdot {0,96}^{t}$	=	$32,6$	\|: $40$
${0,96}^{t}$	=	$0,815$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,96}^{t})$	=	$\lg (0,815)$
$t \cdot \lg (0,96)$	=	$\lg (0,815)$	\|: $\lg (0,96)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,815)}{\lg (0,96)}$

t

=

5,0112

Nach ca. 5,011 Tage ist also der Bestand = 32.6 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben