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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 200000 ) + lg( 50 ) .

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lg( 200000 ) + lg( 50 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= lg( 200000 · 50 )

= lg( 10000000 )

= lg( 10 7 )

= 7

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-2), also gilt f(0)=-2.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -2 , also f(x)= -2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -4.

In unseren Funktionsterm f(x)= -2 a x eingesezt bedeutet das: -4 = -2a = -2a .

Es gilt also: -4 = -2a | ⋅ - 1 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= -2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e x -2 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e x -2 wird e x -2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e x -2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -3 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von -3 e x -2 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e x -2 -1 = y | +1
-3 e x -2 = y +1 |:-3
e x -2 = - 1 3 y - 1 3 |ln(⋅)
x -2 = ln( - 1 3 y - 1 3 )
x -2 = ln( - 1 3 y - 1 3 ) | +2
x = ln( - 1 3 y - 1 3 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 3 x - 1 3 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 3 x - 1 3 ) +2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,065 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,065 t ablesen: a=1.065.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.065(2) ≈ 11.01 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,8% seiner Bevölkerung. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 43,82 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 13 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 47,7 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.8% weggehen,
also Bneu = B - 2.8 100 ⋅B = (1 - 2.8 100 ) ⋅ B = 0,972 ⋅ B. Somit ist das a=0,972.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,972 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 43.82 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 43.82. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,972 t ein:

c ⋅ 0.9728 = 43.82

c ⋅ 0.79676 = 43.82 | : 0.79676

c = 55

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 55 0,972 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = 55 0,972 13 38,021.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 47.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 47.7:

55 0,972 t = 47,7 |:55
0,972 t = 0,8673 |lg(⋅)
lg( 0,972 t ) = lg( 0,8673 )
t · lg( 0,972 ) = lg( 0,8673 ) |: lg( 0,972 )
t = lg( 0,8673 ) lg( 0,972 )
t = 5,0131

Nach ca. 5,013 Jahre ist also der Bestand = 47.7 Millionen Einwohner.