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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,001 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,001 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (0,001) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 3}) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- 3 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) - 3$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $5 k e^{k x + 4 k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $5 k e^{k x + 4 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + 4 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $5 k e^{k x + 4 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + 4 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + 4 k$	=	0	\| - ( $4 k$ )
$k x$	=	$- 4 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 4$

Wenn wir nun

- 4

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 4

) =

5 k e^{k \cdot (- 4) + 4 k} + 1

=

5 k + 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 4

) = -3 ablesen, es gilt somit:

$5 k + 1$	=	$- 3$	\| $- 1$
$5 k$	=	$- 4$	\|: $5$
$k$	=	$- \frac{4}{5}$ = -0.8

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{4}{5}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 1} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- 3 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{x - 1}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{x - 1} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- 3 e^{x - 1}$	=	$y - 1$	\|: $- 3$
$e^{x - 1}$	=	$- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$

$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}) + 1$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 18% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{18}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{18}{100}$ ) ⋅ B = 1,18 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,18.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.18( $2$ ) ≈ 4.19 Wochen

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 17% abnimmt. 5 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 4,33 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 8 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,5 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{17}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{17}{100}$ ) ⋅ B = 0,83 ⋅ B. Somit ist das a=0,83.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,83}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Jahre der Bestand 4.33 Millionen Insekten ist, also f(5) = 4.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,83}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.83⁵ = 4.33

c ⋅ 0.3939 = 4.33 | : 0.3939

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,83}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $11 \cdot {0,83}^{8}$ ≈ 2,478.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.5:

$11 \cdot {0,83}^{t}$	=	$2,5$	\|: $11$
${0,83}^{t}$	=	$0,2273$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,83}^{t})$	=	$\lg (0,2273)$
$t \cdot \lg (0,83)$	=	$\lg (0,2273)$	\|: $\lg (0,83)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,2273)}{\lg (0,83)}$

t

=

7,9509

Nach ca. 7,951 Jahre ist also der Bestand = 2.5 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben