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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (4 x^{4}) + \lg (20 x^{3}) - \lg (\frac{1}{20 x})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (4 x^{4}) + \lg (20 x^{3}) - \lg (\frac{1}{20 x})$

= $- \lg (4 x^{4}) + \lg (20 x^{3}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (4) + \lg (x^{4})) + (\lg (20) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (4) - \lg (x^{4}) + \lg (20) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (4) - 4 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (4) - 4 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (20) - \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20 \cdot 20}{4})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{3}) - \lg (8 x) - \lg (\frac{1}{2})$ soweit wie möglich.

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$\lg (4 x^{3}) - \lg (8 x) - \lg (\frac{1}{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{3}) - (\lg (8) + \lg (x)) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (1))$

= $\lg (4) + \lg (x^{3}) - \lg (8) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 3 \lg (x) - \lg (8) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 3 \lg (x) - \lg (8) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) + 0$

= $2 \lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,1 x - 0,1} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{0,1 x - 0,1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,1 x - 0,1}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,1 x - 0,1} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{0,1 x - 0,1}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,1$	=	$\ln (y + 1)$

$0,1 x - 0,1$	=	$\ln (y + 1)$	\| $+ 0,1$
$0,1 x$	=	$\ln (y + 1) + 0,1$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (y + 1) + \frac{0,1}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 1) + \frac{0,1}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 1) + \frac{0,1}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7,3% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 7.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7.3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{7.3}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{7.3}{100}$ ) ⋅ B = 1,073 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,073.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.073( $2$ ) ≈ 9.84 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,8% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 8 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 40 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2.8}{100}$ ) ⋅ B = 0,972 ⋅ B. Somit ist das a=0,972.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,972}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $60 \cdot {0,972}^{8}$ ≈ 47,806.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:

$60 \cdot {0,972}^{t}$	=	$40$	\|: $60$
${0,972}^{t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,972}^{t})$	=	$\lg (\frac{2}{3})$
$t \cdot \lg (0,972)$	=	$\lg (\frac{2}{3})$	\|: $\lg (0,972)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{2}{3})}{\lg (0,972)}$

t

=

14,2772

Nach ca. 14,277 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.

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Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben