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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{256})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{256})$ = $- 8$ , eben weil $2$ ^{$- 8$} = $\frac{1}{256}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- k x \cdot e^{k x - k} + 2 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $- k x \cdot e^{k x - k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $- k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - k} + 2 k$ = $2 k$ = 2

$2 k$ = $2$ |: $2$

$k$ = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 2} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{x - 2}$ wird $e^{x - 2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{x - 2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- 3 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{x - 2}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{x - 2} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- 3 e^{x - 2}$	=	$y - 1$	\|: $- 3$
$e^{x - 2}$	=	$- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$

$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}) + 2$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $57 \cdot {0,75}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $57$

f(1) = $57$ ⋅ $0,75$

f(2) = $57$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(3) = $57$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(4) = $57$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,75$ multipliziert. Da $0,75$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,75$ -fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 7000 Nutzer. Nach 7 Wochen zählt man bereits 26582,49 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 13 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 27000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Wochen der Bestand 26582.49 Nutzer ist, also f(7) = 26582.49. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $7 000 \cdot a^{t}$ ein:

$7 000 a^{7}$	=	$26 582,49$	\|: $7 000$
$a^{7}$	=	$3,7975$	\| $\sqrt[7]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[7]{3,7975}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[7]{3,7975}$ ≈ 1.21 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,21}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $7 000 \cdot {1,21}^{13}$ ≈ 83427,236.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 27000 Nutzer ist, also f(t) = 27000:

$7 000 \cdot {1,21}^{t}$	=	$27 000$	\|: $7 000$
${1,21}^{t}$	=	$\frac{27}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,21}^{t})$	=	$\lg (\frac{27}{7})$
$t \cdot \lg (1,21)$	=	$\lg (\frac{27}{7})$	\|: $\lg (1,21)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{27}{7})}{\lg (1,21)}$

t

=

7,0818

Nach ca. 7,082 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 27000 Nutzer.

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Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben