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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (x^{2})$
= $\lg (x^{3}) + \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{2})$
= $3 \lg (x) - 2 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $\frac{3}{2}$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{- 0,2 x + 0,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{- 0,2 x + 0,2}$ können die Funktionswerte von $2 e^{- 0,2 x + 0,2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{- 0,2 x + 0,2}$	=	$y$	\|: $2$
$e^{- 0,2 x + 0,2}$	=	$\frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$

$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$	\| $- 0,2$
$- 0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y) - 0,2$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{2} y) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,2}{0,2}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 6,1 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 3000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 6.1 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{6,1}$	=	$2$	\| $\sqrt[6,1]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{6,1}}$	≈ $- 1,12$
a₂	=	$2^{\frac{1}{6,1}}$	≈ $1,12$

Das gesuchte a ist somit $1,12$ ≈ 1.12, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,12}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. 10 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 2,17 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 12 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 1,1 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 2.17 Millionen Insekten ist, also f(10) = 2.17. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $11 \cdot a^{t}$ ein:

$11 a^{10}$	=	$2,17$	\|: $11$
$a^{10}$	=	$\frac{2,17}{11}$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{\frac{2,17}{11}}$	≈ $- 0,85$
a₂	=	$\sqrt[10]{\frac{2,17}{11}}$	≈ $0,85$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,85$ ≈ 0.85 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,85}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $11 \cdot {0,85}^{12}$ ≈ 1,565.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.1:

$11 \cdot {0,85}^{t}$	=	$1,1$	\|: $11$
${0,85}^{t}$	=	$0,1$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,85}^{t})$	=	$\lg (0,1)$
$t \cdot \lg (0,85)$	=	$\lg (0,1)$	\|: $\lg (0,85)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,1)}{\lg (0,85)}$

t

=

14,1681

Nach ca. 14,168 Jahre ist also der Bestand = 1.1 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

2. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben