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Kursstufe
cosh
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log berechnen (schwer)
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Zuerst schreiben wir
Man kann erkennen, dass
Also schreiben wir
Also was muss in das Kästchen, damit
Damit steht die Lösung praktisch schon da:
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm
= 0 wird.k x · e k x + k
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|-2) gut erkennen. Es gilt folglich.
fk( ) =0 =k · 0 · e k ⋅ 0 + k + 2 k = -22 k 2 k = - 2 |: 2 k = - 1
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Auch mit dem positiven Koeffizienten
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|: |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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= |
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= |
|
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
prozentale Änderung bestimmen
Beispiel:
Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit
f(0) =
f(1) =
f(2) =
f(3) =
f(4) =
...
Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit
Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %
c und a gegeben
Beispiel:
In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 13 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,1 Millionen dieser Insekten?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also Bneu
= B -
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):
f(13) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.1:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
|
Nach ca. 6,975 Jahre ist also der Bestand = 4.1 Millionen Insekten.
