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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{125 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (25 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{125 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (25 x^{3})$

= $\lg (\frac{1}{125} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (25 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{2})) + (\lg (25) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{125}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{2}) + \lg (25) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125}) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - 2 \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (125) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - 2 \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $2 k e^{k x + k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2 k e^{k x + k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $2 k e^{k x + k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + k$	=	0	\| - ( $k$ )
$k x$	=	$- k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 1$

Wenn wir nun

- 1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 1

) =

2 k e^{k \cdot (- 1) + k} + 1

=

2 k + 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 1

) = -4 ablesen, es gilt somit:

$2 k + 1$	=	$- 4$	\| $- 1$
$2 k$	=	$- 5$	\|: $2$
$k$	=	$- \frac{5}{2}$ = -2.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{5}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{- 0,3 x} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{- 0,3 x}$ können die Funktionswerte von $2 e^{- 0,3 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $2 e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2 e^{- 0,3 x}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{- 0,3 x} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$2 e^{- 0,3 x}$	=	$y + 1$	\|: $2$
$e^{- 0,3 x}$	=	$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (\frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8,6% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 8.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8.6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8.6}{100}$ ) ⋅ B = 0,914 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,914.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.914( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.71 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,3% seiner Bevölkerung. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 57,34 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.3}{100}$ ) ⋅ B = 0,967 ⋅ B. Somit ist das a=0,967.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,967}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 57.34 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 57.34. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,967}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.967⁸ = 57.34

c ⋅ 0.76456 = 57.34 | : 0.76456

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot {0,967}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $75 \cdot {0,967}^{4}$ ≈ 65,579.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$75 \cdot {0,967}^{t}$	=	$55$	\|: $75$
${0,967}^{t}$	=	$\frac{11}{15}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,967}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{15})$
$t \cdot \lg (0,967)$	=	$\lg (\frac{11}{15})$	\|: $\lg (0,967)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{15})}{\lg (0,967)}$

t

=

9,2427

Nach ca. 9,243 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben