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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[4]{4})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[4]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{4}$ als $4^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{4}}$

$\log_{4} (\sqrt[4]{4})$ = $\frac{1}{4}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{4}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x - 5 k) \cdot e^{x - \frac{5}{2} k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x - 5 k) \cdot e^{x - \frac{5}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - 5 k$ = 0 ist, also für x = $5 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $5 k$ ) = $- ((5 k) - 5 k) \cdot e^{(5 k) - \frac{5}{2} k} + 1$ = $0 + 1$ = $1$ sein.
Da bei x = $5 k$ bei ( $x - 5 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $5 k$ | $1$ ) im abgebildeten Graph bei P(4| $1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $5 k$ = 4
Also gilt k = $\frac{4}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{4}{5}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,6} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{0,2 x - 0,6}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,6}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,6} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{0,2 x - 0,6}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y - 1)$

$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y - 1)$	\| $+ 0,6$
$0,2 x$	=	$\ln (y - 1) + 0,6$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y - 1) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,6}{0,2}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $137 \cdot {0,85}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $137$

f(1) = $137$ ⋅ $0,85$

f(2) = $137$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

f(3) = $137$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

f(4) = $137$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,85$ multipliziert. Da $0,85$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,85$ -fache, also auf $85$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 85% = 15 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 67,47 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 67.47 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 67.47. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ ein:

$80 a^{6}$	=	$67,47$	\|: $80$
$a^{6}$	=	$0,84338$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{0,84338}$	≈ $- 0,972$
a₂	=	$\sqrt[6]{0,84338}$	≈ $0,972$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,972$ ≈ 0.972 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,972}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $80 \cdot {0,972}^{4}$ ≈ 71,409.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$80 \cdot {0,972}^{t}$	=	$50$	\|: $80$
${0,972}^{t}$	=	$\frac{5}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,972}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{8})$
$t \cdot \lg (0,972)$	=	$\lg (\frac{5}{8})$	\|: $\lg (0,972)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{8})}{\lg (0,972)}$

t

=

16,5497

Nach ca. 16,55 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.

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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

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c und ein Funktionswert gegeben