Mathebattle EduRandomtasks

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (x^{4})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{4})$
= $- 3 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x^{3}}) + \lg (\frac{50}{x^{5}}) + \lg (\frac{1}{125.000} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{1}{25 x^{3}}) + \lg (\frac{50}{x^{5}}) + \lg (\frac{1}{125.000} x^{2})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 3}) + \lg (50 x^{- 5}) + \lg (\frac{1}{125.000} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{5}})) + (\lg (\frac{1}{125.000}) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (\frac{1}{125.000}) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + 3 \lg (x) + \lg (50) - 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125.000}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (50) - 5 \lg (x) + \lg (1) - \lg (125 000) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (125 000) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125.000} \cdot 50 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,3 x} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,3 x}$ wird $e^{- 0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- 4 e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{- 0,3 x}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,3 x} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- 4 e^{- 0,3 x}$	=	$y + 1$	\|: $- 4$
$e^{- 0,3 x}$	=	$- \frac{1}{4} y - \frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{4})$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{4})$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{4})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{4} x - \frac{1}{4})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{4} x - \frac{1}{4})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$ ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,29.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.29( $2$ ) ≈ 2.72 Stunden

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 12% seines Bestands. Zu Beginn sind 60kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$ ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,88}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Tage, also f(10):

f(10) = $60 \cdot {0,88}^{10}$ ≈ 16,71.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$60 \cdot {0,88}^{t}$	=	$30$	\|: $60$
${0,88}^{t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,88}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{2})$
$t \cdot \lg (0,88)$	=	$\lg (\frac{1}{2})$	\|: $\lg (0,88)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{2})}{\lg (0,88)}$

t

=

5,4223

Nach ca. 5,422 Tage ist also der Bestand = 30 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben