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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 14 (67) liegt.

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Wir suchen 14er-Potenzen in der Näher von 67, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 67 ist.

Dabei kommt man auf 14 = 141 < 67 und auf 14 2 = 142 > 67.

Und da wir bei log 14 (67) ja das ☐ von 14 = 67 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
141 = 14 < 67 < 14 2 = 142

Es gilt somit: 1 < log 14 (67) < 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - k x · e k x - k +3 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm - k x · e k x - k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = - k · 0 · e k 0 - k +3 k = 3 k = 3
    3k = 3 |:3
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,4x +0,4 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem e -0,4x +0,4 wird zu allen Funktionswerten von e -0,4x +0,4 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,4x +0,4 -2 = y | +2
e -0,4x +0,4 = y +2 |ln(⋅)
-0,4x +0,4 = ln( y +2 )
-0,4x +0,4 = ln( y +2 ) | -0,4
-0,4x = ln( y +2 ) -0,4 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( y +2 ) + 0,4 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( x +2 ) + 0,4 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( x +2 ) + 0,4 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,079 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,079 t ablesen: a=1.079.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.079(2) ≈ 9.12 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 18% abnimmt. 11 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 1,47 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 5,9 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also Bneu = B - 18 100 ⋅B = (1 - 18 100 ) ⋅ B = 0,82 ⋅ B. Somit ist das a=0,82.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,82 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Jahre der Bestand 1.47 Millionen Insekten ist, also f(11) = 1.47. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,82 t ein:

c ⋅ 0.8211 = 1.47

c ⋅ 0.11271 = 1.47 | : 0.11271

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13 0,82 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 13 0,82 4 5,878.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5.9:

13 0,82 t = 5,9 |:13
0,82 t = 0,4538 |lg(⋅)
lg( 0,82 t ) = lg( 0,4538 )
t · lg( 0,82 ) = lg( 0,4538 ) |: lg( 0,82 )
t = lg( 0,4538 ) lg( 0,82 )
t = 3,9813

Nach ca. 3,981 Jahre ist also der Bestand = 5.9 Millionen Insekten.