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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 ( 1 9 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 9 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 1 9 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3 = 1 9 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 3-Potenz zu schreiben versuchen, also 3 = 1 9

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 3 ( 1 9 ) = -2, eben weil 3-2 = 1 9 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k e k x - k -3 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann k e k x - k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x - k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm k e k x - k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei -3 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x - k = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x - k = 0 | - ( - k )
    k x = k |:( k )
    x = 1
    Wenn wir nun 1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(1 ) = k e k 1 - k -3 = k -3
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(1 ) = -2 ablesen, es gilt somit:
    k -3 = -2 | +3
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e 0,2x +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e 0,2x können die Funktionswerte von 3 e 0,2x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem 3 e 0,2x wird zu allen Funktionswerten von 3 e 0,2x noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e 0,2x +1 = y | -1
3 e 0,2x = y -1 |:3
e 0,2x = 1 3 y - 1 3 |ln(⋅)
0,2x = ln( 1 3 y - 1 3 ) |:0,2
x = 1 0,2 ln( 1 3 y - 1 3 )
x = 5 ln( 1 3 y - 1 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 ln( 1 3 x - 1 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 ln( 1 3 x - 1 3 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,105 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,105 t ablesen: a=1.105.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.105(2) ≈ 6.94 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55,1 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.4% weggehen,
also Bneu = B - 1.4 100 ⋅B = (1 - 1.4 100 ) ⋅ B = 0,986 ⋅ B. Somit ist das a=0,986.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60 0,986 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 60 0,986 7 54,361.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55.1 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55.1:

60 0,986 t = 55,1 |:60
0,986 t = 0,9183 |lg(⋅)
lg( 0,986 t ) = lg( 0,9183 )
t · lg( 0,986 ) = lg( 0,9183 ) |: lg( 0,986 )
t = lg( 0,9183 ) lg( 0,986 )
t = 6,0452

Nach ca. 6,045 Jahre ist also der Bestand = 55.1 Millionen Einwohner.