Mathebattle EduRandomtasks

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{14} (130)$ liegt.

Wir suchen $14$ er-Potenzen in der Näher von $130$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $130$ ist.

Dabei kommt man auf $14$ = 14¹ < $130$ und auf $14^{2}$ = 14² > $130$ .

Und da wir bei $\log_{14} (130)$ ja das ☐ von 14^☐ = $130$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
14¹ = $14$ < $130$ < $14^{2}$ = 14²

Es gilt somit: 1 < $\log_{14} (130)$ < 2

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 2$ ), also gilt f(0)= $- 2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 2$ , also $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 4$ = $- 2 \cdot a$ = $- 2 a$ .

Es gilt also: $- 4$ = $- 2 a$ | ⋅ $- \frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{x - 1} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x - 1}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x - 1} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{x - 1}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (y + 3)$

$x - 1$	=	$\ln (y + 3)$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (y + 3) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (x + 3) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (x + 3) + 1$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ ablesen: a=1.06.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.06( $2$ ) ≈ 11.9 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 70 Millionen Einwohner. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 68,19 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 68,2 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 68.19 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 68.19. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ ein:

$70 a^{2}$	=	$68,19$	\|: $70$
$a^{2}$	=	$0,97414$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{0,97414}$	≈ $- 0,987$
a₂	=	$\sqrt{0,97414}$	≈ $0,987$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,987$ ≈ 0.987 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,987}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $70 \cdot {0,987}^{4}$ ≈ 66,43.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 68.2 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 68.2:

$70 \cdot {0,987}^{t}$	=	$68,2$	\|: $70$
${0,987}^{t}$	=	$0,9743$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,987}^{t})$	=	$\lg (0,9743)$
$t \cdot \lg (0,987)$	=	$\lg (0,9743)$	\|: $\lg (0,987)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,9743)}{\lg (0,987)}$

t

=

1,9897

Nach ca. 1,99 Jahre ist also der Bestand = 68.2 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben