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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -x +2 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -x +2 das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von e -x +2 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei e -x +2 zu jedem Funktionswert von e x noch 2 addiert wird, ist der Graph von e -x +2 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt e -x +2 gegen 0 +2 = 2 .
  • Für x → - ∞ strebt e -x +2 gegen .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 800 x ) + lg( 2 x 3 ) + lg( 4 x 4 ) soweit wie möglich.

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lg( 1 800 x ) + lg( 2 x 3 ) + lg( 4 x 4 )

= lg( 1 800 x ) + lg( 2 x 3 ) + lg( 4 x -4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 800 ) + lg( x ) + ( lg( 2 ) + lg( x 3 ) ) + ( lg( 4 ) + lg( 1 x 4 ) )

= lg( 1 800 ) + lg( x ) + lg( 2 ) + lg( x 3 ) + lg( 4 ) + lg( 1 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 800 ) + lg( x ) + lg( 2 ) +3 lg( x ) + lg( 4 ) -4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 800 ) + lg( x ) + lg( 2 ) +3 lg( x ) + lg( 4 ) -4 lg( x )

= - lg( 800 ) + lg( 4 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 800 · 4 · 2 )

= lg( 1 100 )

= lg( 10 -2 )

= -2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e x -3 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e x -3 wird e x -3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e x -3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -2 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von -2 e x -3 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e x -3 -1 = y | +1
-2 e x -3 = y +1 |:-2
e x -3 = - 1 2 y - 1 2 |ln(⋅)
x -3 = ln( - 1 2 y - 1 2 )
x -3 = ln( - 1 2 y - 1 2 ) | +3
x = ln( - 1 2 y - 1 2 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 2 x - 1 2 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 2 x - 1 2 ) +3

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 72 1,5 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 72

f(1) = 72 1,5

f(2) = 72 1,51,5

f(3) = 72 1,51,51,5

f(4) = 72 1,51,51,51,5

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,5 multipliziert. Da 1,5 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,5-fache, also auf 150 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 150% - 100% = 50 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 21% vermehrt. Nach 12 Wochen zählt man bereits 9849,73 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 1500 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 21% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 21% dazukommen,
also Bneu = B + 21 100 ⋅B = (1 + 21 100 ) ⋅ B = 1,21 ⋅ B. Somit ist das a=1,21.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,21 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 9849.73 Nutzer ist, also f(12) = 9849.73. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,21 t ein:

c ⋅ 1.2112 = 9849.73

c ⋅ 9.84973 = 9849.73 | : 9.84973

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000 1,21 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = 1000 1,21 8 4594,973.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 1500 Nutzer ist, also f(t) = 1500:

1000 1,21 t = 1500 |:1000
1,21 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,21 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,21 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,21 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,21 )
t = 2,1271

Nach ca. 2,127 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 1500 Nutzer.