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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + e^{x^{2} + 1}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{2} + e^{{(- x)}^{2} + 1}$ = $x^{2} + e^{x^{2} + 1}$ = $e^{x^{2} + 1} + x^{2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{2} + e^{x^{2} + 1}$ = $e^{x^{2} + 1} + x^{2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $4 k e^{k x - 4 k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $4 k e^{k x - 4 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x - 4 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $4 k e^{k x - 4 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $- 3$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x - 4 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x - 4 k$	=	0	\| - ( $- 4 k$ )
$k x$	=	$4 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$4$

Wenn wir nun

4

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

4

) =

4 k e^{k \cdot 4 - 4 k} - 3

=

4 k - 3

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

4

) = 0 ablesen, es gilt somit:

$4 k - 3$	=	0	\| $+ 3$
$4 k$	=	$3$	\|: $4$
$k$	=	$\frac{3}{4}$ = 0.75

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{4}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,3 x - 0,9}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,3 x - 0,9}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,3 x - 0,9}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,3 x - 0,9}$	=	$y$	\|: $4$
$e^{0,3 x - 0,9}$	=	$\frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$

$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$	\| $+ 0,9$
$0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y) + 0,9$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} y) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,9}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 18% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{18}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{18}{100}$ ) ⋅ B = 1,18 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,18.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.18( $2$ ) ≈ 4.19 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 62,44 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 11 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 56,5 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $65 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 62.44 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 62.44. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $65 \cdot a^{t}$ ein:

$65 a^{4}$	=	$62,44$	\|: $65$
$a^{4}$	=	$0,96062$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{0,96062}$	≈ $- 0,99$
a₂	=	$\sqrt[4]{0,96062}$	≈ $0,99$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,99$ ≈ 0.99 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $65 \cdot {0,99}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $65 \cdot {0,99}^{11}$ ≈ 58,197.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 56.5 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 56.5:

$65 \cdot {0,99}^{t}$	=	$56,5$	\|: $65$
${0,99}^{t}$	=	$0,8692$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,99}^{t})$	=	$\lg (0,8692)$
$t \cdot \lg (0,99)$	=	$\lg (0,8692)$	\|: $\lg (0,99)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,8692)}{\lg (0,99)}$

t

=

13,948

Nach ca. 13,948 Jahre ist also der Bestand = 56.5 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben