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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{14} (60)$ liegt.

Wir suchen $14$ er-Potenzen in der Näher von $60$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $60$ ist.

Dabei kommt man auf $14$ = 14¹ < $60$ und auf $14^{2}$ = 14² > $60$ .

Und da wir bei $\log_{14} (60)$ ja das ☐ von 14^☐ = $60$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
14¹ = $14$ < $60$ < $14^{2}$ = 14²

Es gilt somit: 1 < $\log_{14} (60)$ < 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x - 3 k) \cdot e^{x - \frac{3}{2} k} + 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x - 3 k) \cdot e^{x - \frac{3}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - 3 k$ = 0 ist, also für x = $3 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $3 k$ ) = $- ((3 k) - 3 k) \cdot e^{(3 k) - \frac{3}{2} k} + 2$ = $0 + 2$ = $2$ sein.
Da bei x = $3 k$ bei ( $x - 3 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $3 k$ | $2$ ) im abgebildeten Graph bei P(4| $2$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $3 k$ = 4
Also gilt k = $\frac{4}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{4}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,1 x + 0,2} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{- 0,1 x + 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,1 x + 0,2}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,1 x + 0,2} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{- 0,1 x + 0,2}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x + 0,2$	=	$\ln (y + 3)$

$- 0,1 x + 0,2$	=	$\ln (y + 3)$	\| $- 0,2$
$- 0,1 x$	=	$\ln (y + 3) - 0,2$	\|:( $- 0,1$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (y + 3) + \frac{0,2}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,1} \ln (x + 3) + \frac{0,2}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,1} \ln (x + 3) + \frac{0,2}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5,9% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 5.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.9% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5.9}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{5.9}{100}$ ) ⋅ B = 1,059 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,059.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.059( $2$ ) ≈ 12.09 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5% seines Bestands. 4 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 24,44kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 6 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,95}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 24.44 kg ist, also f(4) = 24.44. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,95}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.95⁴ = 24.44

c ⋅ 0.81451 = 24.44 | : 0.81451

c = 30

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot {0,95}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $30 \cdot {0,95}^{6}$ ≈ 22,053.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$30 \cdot {0,95}^{t}$	=	$20$	\|: $30$
${0,95}^{t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,95}^{t})$	=	$\lg (\frac{2}{3})$
$t \cdot \lg (0,95)$	=	$\lg (\frac{2}{3})$	\|: $\lg (0,95)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{2}{3})}{\lg (0,95)}$

t

=

7,9048

Nach ca. 7,905 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben