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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 ( 1 3 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 3 um: 1 3 = 3 - 1 2

log 3 ( 1 3 ) = log 3 ( 3 - 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 3 - 1 2 zur Basis 3 suchen, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 3 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3☐ = 3 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 3 ( 1 3 ) = log 3 ( 3 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 3 - 1 2 = 1 3 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 4.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 4 = a = a .

Es gilt also: 4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e 0,1x -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e 0,1x wird e 0,1x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e 0,1x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem -3 e 0,1x wird zu allen Funktionswerten von -3 e 0,1x noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e 0,1x -2 = y | +2
-3 e 0,1x = y +2 |:-3
e 0,1x = - 1 3 y - 2 3 |ln(⋅)
0,1x = ln( - 1 3 y - 2 3 ) |:0,1
x = 1 0,1 ln( - 1 3 y - 2 3 )
x = 10 ln( - 1 3 y - 2 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 ln( - 1 3 x - 2 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 ln( - 1 3 x - 2 3 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 18% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also Bneu = B - 18 100 ⋅B = (1 - 18 100 ) ⋅ B = 0,82 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,82.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.82( 1 2 ) ≈ 3.49 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14% seines Bestands. 4 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 27,35kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 12 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also Bneu = B - 14 100 ⋅B = (1 - 14 100 ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,86 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 27.35 kg ist, also f(4) = 27.35. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,86 t ein:

c ⋅ 0.864 = 27.35

c ⋅ 0.54701 = 27.35 | : 0.54701

c = 50

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 50⋅ 0,86 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = 50⋅ 0,86 12 ≈ 8,184.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

50⋅ 0,86 t = 10 |:50
0,86 t = 1 5 |lg(⋅)
lg( 0,86 t ) = lg( 1 5 )
t · lg( 0,86 ) = lg( 1 5 ) |: lg( 0,86 )
t = lg( 1 5 ) lg( 0,86 )
t = 10,671

Nach ca. 10,671 Tage ist also der Bestand = 10 kg.