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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x +1 -3 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x +1 -3 zu jedem Funktionswert von e x noch -3 addiert wird, ist der Graph von e x +1 -3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Da bei e x +1 -3 das x von e x durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt e x +1 -3 gegen ∞ .
  • Für x → - ∞ strebt e x +1 -3 gegen 0 -3 = -3 .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 ⋅a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 ⋅ 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -3 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -3 können die Funktionswerte von 2 e x -3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem 2 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -3 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -3 +1 = y | -1
2 e x -3 = y -1 |:2
e x -3 = 1 2 y - 1 2 |ln(⋅)
x -3 = ln( 1 2 y - 1 2 )
x -3 = ln( 1 2 y - 1 2 ) | +3
x = ln( 1 2 y - 1 2 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x - 1 2 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x - 1 2 ) +3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also Bneu = B - 2 100 ⋅B = (1 - 2 100 ) ⋅ B = 0,98 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,98.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.98( 1 2 ) ≈ 34.31 Tage

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 29 Milionen Bakterien. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 30,17Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 36,8 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=29 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 29⋅ a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 30.17 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 30.17. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 29⋅ a t ein:

29 a 2 = 30,17 |:29
a 2 = 1,04034 | ⋅2
a1 = - 1,04034 ≈ -1,02
a2 = 1,04034 ≈ 1,02

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,02 ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 29⋅ 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = 29⋅ 1,02 12 ≈ 36,779.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 36.8 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 36.8:

29⋅ 1,02 t = 36,8 |:29
1,02 t = 1,269 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 1,269 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 1,269 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 1,269 ) lg( 1,02 )
t = 12,0302

Nach ca. 12,03 Stunden ist also der Bestand = 36.8 Millionen Bakterien.