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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (x^{3})$
= $- 6 \lg (x)$
= $- 6 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- \frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $- \frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- \frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 1$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 1$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $- \frac{1}{2} \cdot a$ = $- \frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $- 1$ = $- \frac{1}{2} a$ | ⋅ $- 2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 3} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $3 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 3}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 3} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$3 e^{x - 3}$	=	$y - 1$	\|: $3$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{3} y - \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) + 3$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,902}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,902}^{t}$ ablesen: a=0.902.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.902( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 6.72 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer. Nach 6 Wochen zählt man bereits 2313,06 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 3000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 2313.06 Nutzer ist, also f(6) = 2313.06. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $1 000 \cdot a^{t}$ ein:

$1 000 a^{6}$	=	$2 313,06$	\|: $1 000$
$a^{6}$	=	$2,31306$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{2,31306}$	= $- 1,15$
a₂	=	$\sqrt[6]{2,31306}$	= $1,15$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,15$ ≈ 1.15 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,15}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $1 000 \cdot {1,15}^{8}$ ≈ 3059,023.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer ist, also f(t) = 3000:

$1 000 \cdot {1,15}^{t}$	=	$3 000$	\|: $1 000$
${1,15}^{t}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,15}^{t})$	=	$\lg (3)$
$t \cdot \lg (1,15)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (1,15)$
$t$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (1,15)}$

t

=

7,8606

Nach ca. 7,861 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben