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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{5} (500)$ - $\log_{5} (20)$ .

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$\log_{5} (500)$ - $\log_{5} (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{5} (\frac{500}{20})$

= $\log_{5} (25)$

= $\log_{5} (5^{2})$

= 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50 x^{3}}) + \lg (\frac{5}{x^{5}}) + \lg (4 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{50 x^{3}}) + \lg (\frac{5}{x^{5}}) + \lg (4 x^{2})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{- 3}) + \lg (5 x^{- 5}) + \lg (4 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{5}})) + (\lg (4) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (4) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + 3 \lg (x) + \lg (5) - 5 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (5) - 5 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50 \cdot 5 \cdot 4)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,2} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{0,2 x - 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,2}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,2} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{0,2 x - 0,2}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (y + 2)$

$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (y + 2)$	\| $+ 0,2$
$0,2 x$	=	$\ln (y + 2) + 0,2$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y + 2) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 2) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 2) + \frac{0,2}{0,2}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $164 \cdot {(\frac{21}{20})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $164$

f(1) = $164$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(2) = $164$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(3) = $164$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(4) = $164$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{21}{20}$ multipliziert. Da $\frac{21}{20}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{21}{20}$ -fache (oder auf das $\frac{105}{100}$ -fache), also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seines Bestands. Zu Beginn sind 10kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2,9kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $10 \cdot {0,93}^{5}$ ≈ 6,957.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.9 kg ist, also f(t) = 2.9:

$10 \cdot {0,93}^{t}$	=	$2,9$	\|: $10$
${0,93}^{t}$	=	$0,29$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (0,29)$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (0,29)$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,29)}{\lg (0,93)}$

t

=

17,0575

Nach ca. 17,058 Tage ist also der Bestand = 2.9 kg.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben