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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) - \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $8 + \lg (x) - \lg (x)$
= $8$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x}) + \lg (\frac{1}{8 x}) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{4}{x}) + \lg (\frac{1}{8 x}) + \lg (20 x^{2})$

= $\lg (4 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{8} x^{- 1}) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (\frac{1}{8}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{8}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{8}) - \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (8) - \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $\lg (20) - \lg (8) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{8} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 2} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 2}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 2} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$3 e^{x - 2}$	=	$y + 2$	\|: $3$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,02.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.02( $2$ ) ≈ 35 Stunden

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 7% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 8 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $12 \cdot {0,93}^{8}$ ≈ 6,715.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4:

$12 \cdot {0,93}^{t}$	=	$4$	\|: $12$
${0,93}^{t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{3})$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (\frac{1}{3})$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{3})}{\lg (0,93)}$

t

=

15,1385

Nach ca. 15,139 Jahre ist also der Bestand = 4 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben