nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 ( 1 64 ) .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir 1 64 um: 1 64 = 64 - 1 2

Man kann erkennen, dass 64 eine Potenz ist: 64 = 4 3

Also schreiben wir 1 64 = 64 - 1 2 = ( 4 3 ) - 1 2 = 4 - 3 2

log 4 ( 1 64 ) = log 4 ( 4 - 3 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 4 - 3 2 zur Basis 4 suchen, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 4 - 3 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4 = 4 - 3 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 4 ( 1 64 ) = log 4 ( 4 - 3 2 ) = - 3 2 , eben weil 4 - 3 2 = 1 64 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= 2 k e k x +2 k +1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann 2 k e k x +2 k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x +2 k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm 2 k e k x +2 k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei 1 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x +2 k = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x +2 k = 0 | - ( 2 k )
    k x = -2 k |:( k )
    x = -2
    Wenn wir nun -2 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(-2 ) = 2 k e k ( -2 ) +2 k +1 = 2k +1
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(-2 ) = 0 ablesen, es gilt somit:
    2k +1 = 0 | -1
    2k = -1 |:2
    k = - 1 2 = -0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 1 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e 0,1x -0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e 0,1x -0,3 können die Funktionswerte von 2 e 0,1x -0,3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e 0,1x -0,3 = y |:2
e 0,1x -0,3 = 1 2 y |ln(⋅)
0,1x -0,3 = ln( 1 2 y )
0,1x -0,3 = ln( 1 2 y ) | +0,3
0,1x = ln( 1 2 y ) +0,3 |:0,1
x = 1 0,1 ln( 1 2 y ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( 1 2 x ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( 1 2 x ) + 0,3 0,1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 70 1,2 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = 70

f(1) = 70 1,2

f(2) = 70 1,21,2

f(3) = 70 1,21,21,2

f(4) = 70 1,21,21,21,2

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,2 multipliziert. Da 1,2 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,2-fache, also auf 120 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 3121,81€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3200€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also Bneu = B + 1 100 ⋅B = (1 + 1 100 ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,01 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 3121.81 € ist, also f(4) = 3121.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,01 t ein:

c ⋅ 1.014 = 3121.81

c ⋅ 1.0406 = 3121.81 | : 1.0406

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 3000 1,01 5 3153,03.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3200 € ist, also f(t) = 3200:

3000 1,01 t = 3200 |:3000
1,01 t = 16 15 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 16 15 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 16 15 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 16 15 ) lg( 1,01 )
t = 6,4861

Nach ca. 6,486 Jahre ist also der Kontostand = 3200 €.