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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\sqrt[5]{4}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{4}$ als $4^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $4$ ^☐ = $4^{\frac{1}{5}}$

$\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{4}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $e^{\frac{6}{10} x + k} + 2 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{6}{10} x + k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $2 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $2 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -1, somit muss $2 k$ = -1 gelten;
Also gilt k = $- \frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 3} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 3}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 3} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$3 e^{x - 3}$	=	$y + 2$	\|: $3$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) + 3$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $111 \cdot {1,15}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $111$

f(1) = $111$ ⋅ $1,15$

f(2) = $111$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

f(3) = $111$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

f(4) = $111$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,15$ multipliziert. Da $1,15$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,15$ -fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5% seines Bestands. Zu Beginn sind 60kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,95}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $60 \cdot {0,95}^{6}$ ≈ 44,106.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$60 \cdot {0,95}^{t}$	=	$20$	\|: $60$
${0,95}^{t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,95}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{3})$
$t \cdot \lg (0,95)$	=	$\lg (\frac{1}{3})$	\|: $\lg (0,95)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{3})}{\lg (0,95)}$

t

=

21,4182

Nach ca. 21,418 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

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Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben