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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x + 1} + 2$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x + 1} + 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 2 addiert wird, ist der Graph von $e^{x + 1} + 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Da bei $e^{x + 1} + 2$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x + 1} + 2$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x + 1} + 2$ gegen $0 + 2$ = $2$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{x^{2}}) + \lg (\frac{20}{x}) + \lg (25 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{2}{x^{2}}) + \lg (\frac{20}{x}) + \lg (25 x^{3})$

= $\lg (2 x^{- 2}) + \lg (20 x^{- 1}) + \lg (25 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (25) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (25) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) - 2 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - 2 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{- 0,3 x} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{- 0,3 x}$ können die Funktionswerte von $3 e^{- 0,3 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $3 e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{- 0,3 x}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{- 0,3 x} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$3 e^{- 0,3 x}$	=	$y + 1$	\|: $3$
$e^{- 0,3 x}$	=	$\frac{1}{3} y + \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (\frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (\frac{1}{3} x + \frac{1}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (\frac{1}{3} x + \frac{1}{3})$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $31 \cdot {1,1}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $31$

f(1) = $31$ ⋅ $1,1$

f(2) = $31$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

f(3) = $31$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

f(4) = $31$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,1$ multipliziert. Da $1,1$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,1$ -fache, also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 10% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 12 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 1,7 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$ ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,9}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $11 \cdot {0,9}^{12}$ ≈ 3,107.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.7:

$11 \cdot {0,9}^{t}$	=	$1,7$	\|: $11$
${0,9}^{t}$	=	$0,1545$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (0,1545)$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (0,1545)$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,1545)}{\lg (0,9)}$

t

=

17,7254

Nach ca. 17,725 Jahre ist also der Bestand = 1.7 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben