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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x^{2} + 1}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} \cdot e^{{(- x)}^{2} + 1}$ = $- x^{3} \cdot e^{x^{2} + 1}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} \cdot e^{x^{2} + 1}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x^{3} \cdot e^{x^{2} + 1}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- x^{3} \cdot e^{x^{2} + 1}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{8}{10} x + k} + k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{8}{10} x + k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -1, somit muss $k$ = -1 gelten;
Also gilt k = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,1 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,1 x}$ wird $e^{- 0,1 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,1 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- 4 e^{- 0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{- 0,1 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,1 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- 4 e^{- 0,1 x}$	=	$y - 2$	\|: $- 4$
$e^{- 0,1 x}$	=	$- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$	\|: $- 0,1$
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$
$x$	=	$- 10 \ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 10 \ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 10 \ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10,3% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 10.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10.3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{10.3}{100}$ ) ⋅ B = 0,897 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,897.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.897( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 6.38 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,9% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 46,1 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2.9}{100}$ ) ⋅ B = 0,971 ⋅ B. Somit ist das a=0,971.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,971}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 46.1 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 46.1. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,971}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.971⁶ = 46.1

c ⋅ 0.83814 = 46.1 | : 0.83814

c = 55

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot {0,971}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $55 \cdot {0,971}^{4}$ ≈ 48,892.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55 \cdot {0,971}^{t}$	=	$45$	\|: $55$
${0,971}^{t}$	=	$\frac{9}{11}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,971}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{11})$
$t \cdot \lg (0,971)$	=	$\lg (\frac{9}{11})$	\|: $\lg (0,971)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{11})}{\lg (0,971)}$

t

=

6,8189

Nach ca. 6,819 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben