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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (5)$ liegt.

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $5$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $5$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $5$ und auf $4^{2}$ = 4² > $5$ .

Und da wir bei $\log_{4} (5)$ ja das ☐ von 4^☐ = $5$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $5$ < $4^{2}$ = 4²

Es gilt somit: 1 < $\log_{4} (5)$ < 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5} x^{3}) + \lg (\frac{50}{x^{2}}) - \lg (\frac{250}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{5} x^{3}) + \lg (\frac{50}{x^{2}}) - \lg (\frac{250}{x^{2}})$

= $- \lg (\frac{1}{5} x^{3}) + \lg (50 x^{- 2}) - \lg (250 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{3})) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (250) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{3}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (250) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) - 3 \lg (x) + \lg (50) - 2 \lg (x) - \lg (250) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) - 3 \lg (x) + \lg (50) - 2 \lg (x) - \lg (250) + 2 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{0,3 x - 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{0,3 x - 0,3}$ wird $e^{0,3 x - 0,3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{0,3 x - 0,3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{0,3 x - 0,3}$	=	$y$	\|: $- 2$
$e^{0,3 x - 0,3}$	=	$- \frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$

$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$	\| $+ 0,3$
$0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y) + 0,3$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} y) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,3}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 5%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 1,05 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,05.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.05( $2$ ) ≈ 14.21 Stunden

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 57,4 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 5 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 56,1 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{1.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,989 ⋅ B. Somit ist das a=0,989.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,989}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 57.4 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 57.4. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,989}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.989⁴ = 57.4

c ⋅ 0.95672 = 57.4 | : 0.95672

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,989}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $60 \cdot {0,989}^{5}$ ≈ 56,772.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 56.1 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 56.1:

$60 \cdot {0,989}^{t}$	=	$56,1$	\|: $60$
${0,989}^{t}$	=	$0,935$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,989}^{t})$	=	$\lg (0,935)$
$t \cdot \lg (0,989)$	=	$\lg (0,935)$	\|: $\lg (0,989)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,935)}{\lg (0,989)}$

t

=

6,0762

Nach ca. 6,076 Jahre ist also der Bestand = 56.1 Millionen Einwohner.

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log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben