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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (22)$ liegt.

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $22$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $22$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{2}$ = 3² < $22$ und auf $3^{3}$ = 3³ > $22$ .

Und da wir bei $\log_{3} (22)$ ja das ☐ von 3^☐ = $22$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^{2}$ < $22$ < $3^{3}$ = 3³

Es gilt somit: 2 < $\log_{3} (22)$ < 3

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x + 3 k) \cdot e^{x + \frac{3}{2} k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x + 3 k) \cdot e^{x + \frac{3}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + 3 k$ = 0 ist, also für x = $- 3 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 3 k$ ) = $- ((- 3 k) + 3 k) \cdot e^{(- 3 k) + \frac{3}{2} k} - 1$ = $0 - 1$ = $- 1$ sein.
Da bei x = $- 3 k$ bei ( $x + 3 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 3 k$ | $- 1$ ) im abgebildeten Graph bei P(4| $- 1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 3 k$ = 4
Also gilt k = $- \frac{4}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{4}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,1 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,1 x}$ wird $e^{- 0,1 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,1 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 4 e^{- 0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{- 0,1 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,1 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 4 e^{- 0,1 x}$	=	$y + 3$	\|: $- 4$
$e^{- 0,1 x}$	=	$- \frac{1}{4} y - \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$	\|: $- 0,1$
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$
$x$	=	$- 10 \ln (- \frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 10 \ln (- \frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 10 \ln (- \frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 0,98 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,98.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.98( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 34.31 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. 10 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 7732,35€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 6 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$ ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,01}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 7732.35 € ist, also f(10) = 7732.35. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,01}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.01¹⁰ = 7732.35

c ⋅ 1.10462 = 7732.35 | : 1.10462

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,01}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $7 000 \cdot {1,01}^{6}$ ≈ 7430,641.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7500 € ist, also f(t) = 7500:

$7 000 \cdot {1,01}^{t}$	=	$7 500$	\|: $7 000$
${1,01}^{t}$	=	$\frac{15}{14}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,01}^{t})$	=	$\lg (\frac{15}{14})$
$t \cdot \lg (1,01)$	=	$\lg (\frac{15}{14})$	\|: $\lg (1,01)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{15}{14})}{\lg (1,01)}$

t

=

6,9337

Nach ca. 6,934 Jahre ist also der Kontostand = 7500 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben