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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{100.000.000})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{100.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{100.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{100.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{100.000.000})$ = $- 8$ , eben weil $10$ ^{$- 8$} = $\frac{1}{100.000.000}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2} x^{8}) + \lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{1}{8} x)$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{2} x^{8}) + \lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{1}{8} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{8})) + (\lg (4) + \lg (x^{2})) + (\lg (\frac{1}{8}) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{8}) + \lg (4) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{8}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) - 8 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) - 8 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (8) + \lg (x)$

= $- 5 \lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 2} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 2} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$4 e^{x - 2}$	=	$y - 2$	\|: $4$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 2$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 5,9 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 5.9 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{5,9}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[5,9]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{5,9}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{5,9}}$ ≈ 0.89, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,89}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 70,24 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 13 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 70.24 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 70.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ ein:

$80 a^{4}$	=	$70,24$	\|: $80$
$a^{4}$	=	$0,878$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{0,878}$	≈ $- 0,968$
a₂	=	$\sqrt[4]{0,878}$	≈ $0,968$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,968$ ≈ 0.968 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,968}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $80 \cdot {0,968}^{13}$ ≈ 52,417.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$80 \cdot {0,968}^{t}$	=	$50$	\|: $80$
${0,968}^{t}$	=	$\frac{5}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,968}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{8})$
$t \cdot \lg (0,968)$	=	$\lg (\frac{5}{8})$	\|: $\lg (0,968)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{8})}{\lg (0,968)}$

t

=

14,4513

Nach ca. 14,451 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.

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Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben