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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{13} (\frac{1}{169})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{169}$ zur Basis $13$ , also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{169}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$ ^☐ = $\frac{1}{169}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $13$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $13$ ^☐ = $\frac{1}{169}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{13} (\frac{1}{169})$ = $- 2$ , eben weil $13$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{169}$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 3$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 3$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,2} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{- 0,2 x + 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,2 x + 0,2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,2} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{- 0,2 x + 0,2}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y - 2)$

$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y - 2)$	\| $- 0,2$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y - 2) - 0,2$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y - 2) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x - 2) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x - 2) + \frac{0,2}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,109}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,109}^{t}$ ablesen: a=1.109.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.109( $2$ ) ≈ 6.7 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6% seines Bestands. 10 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 37,7kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 50kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 0,94 ⋅ B. Somit ist das a=0,94.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,94}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 37.7 kg ist, also f(10) = 37.7. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,94}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.94¹⁰ = 37.7

c ⋅ 0.53862 = 37.7 | : 0.53862

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,94}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $70 \cdot {0,94}^{8}$ ≈ 42,67.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 kg ist, also f(t) = 50:

$70 \cdot {0,94}^{t}$	=	$50$	\|: $70$
${0,94}^{t}$	=	$\frac{5}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,94}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{7})$
$t \cdot \lg (0,94)$	=	$\lg (\frac{5}{7})$	\|: $\lg (0,94)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{7})}{\lg (0,94)}$

t

=

5,4379

Nach ca. 5,438 Tage ist also der Bestand = 50 kg.

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Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben