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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot 2 e^{x^{2}}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot 2 e^{{(- x)}^{2}}$ = $- 2 x \cdot e^{x^{2}}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot 2 e^{x^{2}}$ = $2 x \cdot e^{x^{2}}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- 2 x \cdot e^{x^{2}}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- 2 x \cdot e^{x^{2}}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{250 000}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{50} x) + \lg (\frac{50}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{250 000}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{50} x) + \lg (\frac{50}{x^{3}})$

= $- \lg (250 000 x^{- 4}) - \lg (\frac{1}{50} x) + \lg (50 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (250 000) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x)) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $- \lg (250 000) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (250 000) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x) + \lg (50) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (250 000) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) - \lg (x) + \lg (50) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (250 000) + \lg (50) + \lg (50)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000} \cdot 50 \cdot 50)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,2 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,2 x}$ wird $e^{0,2 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,2 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- 3 e^{0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{0,2 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,2 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- 3 e^{0,2 x}$	=	$y + 2$	\|: $- 3$
$e^{0,2 x}$	=	$- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$
$x$	=	$5 \ln (- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5 \ln (- \frac{1}{3} x - \frac{2}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $5 \ln (- \frac{1}{3} x - \frac{2}{3})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1,3% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 1.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.3}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1.3}{100}$ ) ⋅ B = 1,013 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,013.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.013( $2$ ) ≈ 53.66 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 14% abnimmt. 10 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 2,66 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,1 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$ ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,86}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 2.66 Millionen Insekten ist, also f(10) = 2.66. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,86}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.86¹⁰ = 2.66

c ⋅ 0.2213 = 2.66 | : 0.2213

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,86}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $12 \cdot {0,86}^{5}$ ≈ 5,645.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.1:

$12 \cdot {0,86}^{t}$	=	$3,1$	\|: $12$
${0,86}^{t}$	=	$0,2583$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,86}^{t})$	=	$\lg (0,2583)$
$t \cdot \lg (0,86)$	=	$\lg (0,2583)$	\|: $\lg (0,86)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,2583)}{\lg (0,86)}$

t

=

8,975

Nach ca. 8,975 Jahre ist also der Bestand = 3.1 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben