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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{4}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{4}}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{4}}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $e^{\frac{7}{10} x - k} + k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{7}{10} x - k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 1, somit muss $k$ = 1 gelten;
Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,4 x - 0,4} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{0,4 x - 0,4}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,4 x - 0,4}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,4 x - 0,4} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{0,4 x - 0,4}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (y + 3)$

$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (y + 3)$	\| $+ 0,4$
$0,4 x$	=	$\ln (y + 3) + 0,4$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (y + 3) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (x + 3) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (x + 3) + \frac{0,4}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5,9% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 5.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5.9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{5.9}{100}$ ) ⋅ B = 0,941 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,941.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.941( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 11.4 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,1% seiner Bevölkerung. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 64,7 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 12 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 70 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,979 ⋅ B. Somit ist das a=0,979.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,979}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 64.7 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 64.7. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,979}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.979¹⁰ = 64.7

c ⋅ 0.80877 = 64.7 | : 0.80877

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,979}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $80 \cdot {0,979}^{12}$ ≈ 62,013.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 70:

$80 \cdot {0,979}^{t}$	=	$70$	\|: $80$
${0,979}^{t}$	=	$\frac{7}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,979}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{8})$
$t \cdot \lg (0,979)$	=	$\lg (\frac{7}{8})$	\|: $\lg (0,979)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{8})}{\lg (0,979)}$

t

=

6,2916

Nach ca. 6,292 Jahre ist also der Bestand = 70 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (schwer)

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben