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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x + e^{x + 1}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) + e^{(- x) + 1}$ = $e^{- x + 1} - x$

Wenn man das mit f(x) = $x + e^{x + 1}$ = $e^{x + 1} + x$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^{- x + 1} - x$
weder gleich f(x) = $x + e^{x + 1}$ noch gleich -f(x) = $- (x + e^{x + 1})$ = $- (e^{x + 1} + x)$ ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = $1 + e^{1 + 1}$ = $1 + e^{2}$ ≈ 8.389
Aber: f(-1) = $- 1 + e^{- 1 + 1}$ = $- 1 + e^{0}$ ≈ 0

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x}) + \lg (\frac{1}{125} x) + \lg (25 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{5}{x}) + \lg (\frac{1}{125} x) + \lg (25 x^{2})$

= $\lg (5 x^{- 1}) + \lg (\frac{1}{125} x) + \lg (25 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (\frac{1}{125}) + \lg (x)) + (\lg (25) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (x) + \lg (25) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (x) + \lg (25) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (125) + \lg (x) + \lg (25) + 2 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{x - 3} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{x - 3}$ wird $e^{x - 3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{x - 3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{x - 3}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{x - 3} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- e^{x - 3}$	=	$y + 2$	\|: $- 1$
$e^{x - 3}$	=	$- y - 2$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (- y - 2)$

$x - 3$	=	$\ln (- y - 2)$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (- y - 2) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- x - 2) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- x - 2) + 3$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 23% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$ ) ⋅ B = 1,23 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,23.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.23( $2$ ) ≈ 3.35 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 3000 Nutzer. Nach 10 Wochen zählt man bereits 9317,54 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 13000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 9317.54 Nutzer ist, also f(10) = 9317.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $3 000 \cdot a^{t}$ ein:

$3 000 a^{10}$	=	$9 317,54$	\|: $3 000$
$a^{10}$	=	$3,10585$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{3,10585}$	= $- 1,12$
a₂	=	$\sqrt[10]{3,10585}$	= $1,12$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,12$ ≈ 1.12 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,12}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $3 000 \cdot {1,12}^{5}$ ≈ 5287,025.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 13000 Nutzer ist, also f(t) = 13000:

$3 000 \cdot {1,12}^{t}$	=	$13 000$	\|: $3 000$
${1,12}^{t}$	=	$\frac{13}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,12}^{t})$	=	$\lg (\frac{13}{3})$
$t \cdot \lg (1,12)$	=	$\lg (\frac{13}{3})$	\|: $\lg (1,12)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{13}{3})}{\lg (1,12)}$

t

=

12,9388

Nach ca. 12,939 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 13000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben