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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 1000000 x ) - lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 1000000 x ) - lg( x )
= lg( 1000000 ) - lg( x ) - lg( x )
= lg( 10 6 ) - lg( x ) - lg( x )
= 6 - lg( x ) - lg( x )
= -2 lg( x ) +6

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 100x ) + lg( 20x ) + lg( 5 x 2 ) soweit wie möglich.

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- lg( 100x ) + lg( 20x ) + lg( 5 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 100 ) + lg( x ) ) + ( lg( 20 ) + lg( x ) ) + ( lg( 5 ) + lg( x 2 ) )

= - lg( 100 ) - lg( x ) + lg( 20 ) + lg( x ) + lg( 5 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 100 ) - lg( x ) + lg( 20 ) + lg( x ) + lg( 5 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 100 ) - lg( x ) + lg( 20 ) + lg( x ) + lg( 5 ) +2 lg( x )

= 2 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 20 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 2 lg( x ) + lg( 1 100 · 20 · 5 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 )

= 2 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,1x -0,2 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e 0,1x -0,2 wird zu allen Funktionswerten von e 0,1x -0,2 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,1x -0,2 -1 = y | +1
e 0,1x -0,2 = y +1 |ln(⋅)
0,1x -0,2 = ln( y +1 )
0,1x -0,2 = ln( y +1 ) | +0,2
0,1x = ln( y +1 ) +0,2 |:0,1
x = 1 0,1 ln( y +1 ) + 0,2 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( x +1 ) + 0,2 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( x +1 ) + 0,2 0,1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 21 0,75 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 21

f(1) = 21 0,75

f(2) = 21 0,750,75

f(3) = 21 0,750,750,75

f(4) = 21 0,750,750,750,75

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,75 multipliziert. Da 0,75 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,75-fache, also auf 75 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 20 Milionen Bakterien. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 23,33Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 6 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 30 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 20 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 23.33 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 23.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 20 a t ein:

20 a 2 = 23,33 |:20
a 2 = 1,1665 | 2
a1 = - 1,1665 -1,08
a2 = 1,1665 1,08

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,08 ≈ 1.08 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 20 1,08 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = 20 1,08 6 31,737.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 30:

20 1,08 t = 30 |:20
1,08 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,08 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,08 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,08 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,08 )
t = 5,2684

Nach ca. 5,268 Stunden ist also der Bestand = 30 Millionen Bakterien.