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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot (3 e^{2 x} + 3 e^{- 2 x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{2} \cdot (3 e^{- 2 x} + 3 e^{2 x})$ = $x^{2} \cdot (3 e^{- 2 x} + 3 e^{2 x})$ = $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 3 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{2} \cdot (3 e^{2 x} + 3 e^{- 2 x})$ = $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 3 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + k$ = 0 ist, also für x = $- 1 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 1 k$ ) = $- ((- 1 k) + k) \cdot e^{(- 1 k) + \frac{1}{2} k} - 1$ = $0 - 1$ = $- 1$ sein.
Da bei x = $- 1 k$ bei ( $x + k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 1 k$ | $- 1$ ) im abgebildeten Graph bei P(2| $- 1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 1 k$ = 2
Also gilt k = $- 2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 2$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,4 x + 1,2} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 1,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 1,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{- 0,4 x + 1,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,4 x + 1,2}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,4 x + 1,2} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{- 0,4 x + 1,2}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 1,2$	=	$\ln (y + 3)$

$- 0,4 x + 1,2$	=	$\ln (y + 3)$	\| $- 1,2$
$- 0,4 x$	=	$\ln (y + 3) - 1,2$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (y + 3) + \frac{1,2}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (x + 3) + \frac{1,2}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (x + 3) + \frac{1,2}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3,5% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 3.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3.5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3.5}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{3.5}{100}$ ) ⋅ B = 1,035 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,035.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.035( $2$ ) ≈ 20.15 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 7029,96€. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 6900€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 7029.96 € ist, also f(8) = 7029.96. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ ein:

$6 000 a^{8}$	=	$7 029,96$	\|: $6 000$
$a^{8}$	=	$1,17166$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{1,17166}$	= $- 1,02$
a₂	=	$\sqrt[8]{1,17166}$	= $1,02$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,02$ ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $6 000 \cdot {1,02}^{7}$ ≈ 6892,114.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6900 € ist, also f(t) = 6900:

$6 000 \cdot {1,02}^{t}$	=	$6 900$	\|: $6 000$
${1,02}^{t}$	=	$\frac{23}{20}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (\frac{23}{20})$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (\frac{23}{20})$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{23}{20})}{\lg (1,02)}$

t

=

7,0577

Nach ca. 7,058 Jahre ist also der Kontostand = 6900 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben