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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{80 x^{6}}) + \lg (20) + \lg (4 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{80 x^{6}}) + \lg (20) + \lg (4 x^{2})$

= $\lg (\frac{1}{80} x^{- 6}) + \lg (20) + \lg (4 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80}) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + (\lg (20) + \lg (1)) + (\lg (4) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{80}) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (20) + \lg (1) + \lg (4) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80}) - 6 \lg (x) + \lg (20) + 0 + \lg (4) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (80) - 6 \lg (x) + \lg (20) + 0 + \lg (4) + 2 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (80) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80} \cdot 20 \cdot 4)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k e^{k x - k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k e^{k x - k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x - k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k e^{k x - k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $- 1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x - k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x - k$	=	0	\| - ( $- k$ )
$k x$	=	$k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$1$

Wenn wir nun

1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

1

) =

k e^{k \cdot 1 - k} - 1

=

k - 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

1

) = 0 ablesen, es gilt somit:

$k - 1$	=	0	\| $+ 1$
$k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,4 x - 0,4} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{0,4 x - 0,4}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,4 x - 0,4}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,4 x - 0,4} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{0,4 x - 0,4}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (y + 3)$

$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (y + 3)$	\| $+ 0,4$
$0,4 x$	=	$\ln (y + 3) + 0,4$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (y + 3) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (x + 3) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (x + 3) + \frac{0,4}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,044}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,044}^{t}$ ablesen: a=1.044.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.044( $2$ ) ≈ 16.1 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 26 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 126 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=26 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$ ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $26 \cdot {1,2}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $26 \cdot {1,2}^{7}$ ≈ 93,163.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 126 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 126:

$26 \cdot {1,2}^{t}$	=	$126$	\|: $26$
${1,2}^{t}$	=	$\frac{63}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,2}^{t})$	=	$\lg (\frac{63}{13})$
$t \cdot \lg (1,2)$	=	$\lg (\frac{63}{13})$	\|: $\lg (1,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{63}{13})}{\lg (1,2)}$

t

=

8,6561

Nach ca. 8,656 Stunden ist also der Bestand = 126 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben