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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{17} (236)$ liegt.

Wir suchen $17$ er-Potenzen in der Näher von $236$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $236$ ist.

Dabei kommt man auf $17$ = 17¹ < $236$ und auf $17^{2}$ = 17² > $236$ .

Und da wir bei $\log_{17} (236)$ ja das ☐ von 17^☐ = $236$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
17¹ = $17$ < $236$ < $17^{2}$ = 17²

Es gilt somit: 1 < $\log_{17} (236)$ < 2

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $2$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,4 x + 0,4} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{- 0,4 x + 0,4}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,4 x + 0,4}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,4 x + 0,4} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (y + 3)$

$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (y + 3)$	\| $- 0,4$
$- 0,4 x$	=	$\ln (y + 3) - 0,4$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (y + 3) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (x + 3) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (x + 3) + \frac{0,4}{0,4}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 5,4 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 70kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 70 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 5.4 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{5,4}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[5,4]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{5,4}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{5,4}}$ ≈ 0.88, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,88}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 19% vermehrt. Nach 13 Wochen zählt man bereits 47982,24 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 10 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 8000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{19}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{19}{100}$ ) ⋅ B = 1,19 ⋅ B. Somit ist das a=1,19.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,19}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 47982.24 Nutzer ist, also f(13) = 47982.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,19}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.19¹³ = 47982.24

c ⋅ 9.59645 = 47982.24 | : 9.59645

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,19}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):

f(10) = $5 000 \cdot {1,19}^{10}$ ≈ 28473,419.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer ist, also f(t) = 8000:

$5 000 \cdot {1,19}^{t}$	=	$8 000$	\|: $5 000$
${1,19}^{t}$	=	$\frac{8}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,19}^{t})$	=	$\lg (\frac{8}{5})$
$t \cdot \lg (1,19)$	=	$\lg (\frac{8}{5})$	\|: $\lg (1,19)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{8}{5})}{\lg (1,19)}$

t

=

2,7019

Nach ca. 2,702 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben