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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{128})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{128}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{128}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{128}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{128}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{128})$ = $- 7$ , eben weil $2$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{128}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x) + \lg (\frac{25}{2} x^{3})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{4} x^{2}) - \lg (\frac{1}{2} x) + \lg (\frac{25}{2} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x)) + (\lg (\frac{25}{2}) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x) + \lg (\frac{25}{2}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x) + \lg (\frac{25}{2}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - \lg (x) + \lg (25) - \lg (2) + 3 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 4)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 3} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{x - 3}$ wird $e^{x - 3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{x - 3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- 3 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{x - 3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{x - 3} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- 3 e^{x - 3}$	=	$y - 2$	\|: $- 3$
$e^{x - 3}$	=	$- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$

$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) + 3$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 3 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 23 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 23 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{3}$	=	$2$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[3]{2}$ ≈ 1.26, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $23 \cdot {1,26}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. 8 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 4331,43€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 6 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 4600€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$ ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,01}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 4331.43 € ist, also f(8) = 4331.43. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,01}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.01⁸ = 4331.43

c ⋅ 1.08286 = 4331.43 | : 1.08286

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,01}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $4 000 \cdot {1,01}^{6}$ ≈ 4246,081.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4600 € ist, also f(t) = 4600:

$4 000 \cdot {1,01}^{t}$	=	$4 600$	\|: $4 000$
${1,01}^{t}$	=	$\frac{23}{20}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,01}^{t})$	=	$\lg (\frac{23}{20})$
$t \cdot \lg (1,01)$	=	$\lg (\frac{23}{20})$	\|: $\lg (1,01)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{23}{20})}{\lg (1,01)}$

t

=

14,046

Nach ca. 14,046 Jahre ist also der Kontostand = 4600 €.

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log berechnen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben