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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) + 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $10 + \lg (x) + 5 \lg (x)$
= $6 \lg (x) + 10$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x + 3 k) \cdot e^{x + \frac{3}{2} k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x + 3 k) \cdot e^{x + \frac{3}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + 3 k$ = 0 ist, also für x = $- 3 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 3 k$ ) = $- ((- 3 k) + 3 k) \cdot e^{(- 3 k) + \frac{3}{2} k} - 3$ = $0 - 3$ = $- 3$ sein.
Da bei x = $- 3 k$ bei ( $x + 3 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 3 k$ | $- 3$ ) im abgebildeten Graph bei P(2| $- 3$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 3 k$ = 2
Also gilt k = $- \frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{2}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,3 x - 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,3 x - 0,3}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,3 x - 0,3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,3 x - 0,3}$	=	$y$	\|: $3$
$e^{0,3 x - 0,3}$	=	$\frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$

$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,3$
$0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y) + 0,3$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{3} y) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,3}{0,3}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $111 \cdot {1,25}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $111$

f(1) = $111$ ⋅ $1,25$

f(2) = $111$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

f(3) = $111$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

f(4) = $111$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,25$ multipliziert. Da $1,25$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,25$ -fache, also auf $125$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 125% - 100% = 25 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 15% abnimmt. 2 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 7,95 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 1,6 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$ ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,85}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 7.95 Millionen Insekten ist, also f(2) = 7.95. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,85}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.85² = 7.95

c ⋅ 0.7225 = 7.95 | : 0.7225

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,85}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $11 \cdot {0,85}^{5}$ ≈ 4,881.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.6:

$11 \cdot {0,85}^{t}$	=	$1,6$	\|: $11$
${0,85}^{t}$	=	$0,1455$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,85}^{t})$	=	$\lg (0,1455)$
$t \cdot \lg (0,85)$	=	$\lg (0,1455)$	\|: $\lg (0,85)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,1455)}{\lg (0,85)}$

t

=

11,8606

Nach ca. 11,861 Jahre ist also der Bestand = 1.6 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben