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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (128)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (128)$ = $7$ , eben weil $2$ ^$7$ = $128$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x + 2 k) \cdot e^{x + k} - 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x + 2 k) \cdot e^{x + k}$ = 0 wird, wenn $x + 2 k$ = 0 ist, also für x = $- 2 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 2 k$ ) = $- ((- 2 k) + 2 k) \cdot e^{(- 2 k) + k} - 2$ = $0 - 2$ = $- 2$ sein.
Da bei x = $- 2 k$ bei ( $x + 2 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 2 k$ | $- 2$ ) im abgebildeten Graph bei P(3| $- 2$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 2 k$ = 3
Also gilt k = $- \frac{3}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{3}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,3 x - 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,3 x - 0,3}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,3 x - 0,3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,3 x - 0,3}$	=	$y$	\|: $4$
$e^{0,3 x - 0,3}$	=	$\frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$

$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$	\| $+ 0,3$
$0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y) + 0,3$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} y) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,3}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1,1% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 1.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1.1}{100}$ ) ⋅ B = 1,011 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,011.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.011( $2$ ) ≈ 63.36 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. 4 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 14,33kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 13,2kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,92}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 14.33 kg ist, also f(4) = 14.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,92}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.92⁴ = 14.33

c ⋅ 0.71639 = 14.33 | : 0.71639

c = 20

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $20 \cdot {0,92}^{8}$ ≈ 10,264.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 13.2 kg ist, also f(t) = 13.2:

$20 \cdot {0,92}^{t}$	=	$13,2$	\|: $20$
${0,92}^{t}$	=	$0,66$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (0,66)$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (0,66)$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,66)}{\lg (0,92)}$

t

=

4,9833

Nach ca. 4,983 Tage ist also der Bestand = 13.2 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben