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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (20 000 000)$ + $\lg (50)$ .

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$\lg (20 000 000)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (20 000 000 \cdot 50)$

= $\lg (1 000 000 000)$

= $\lg (10^{9})$

= 9

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k e^{k x - k} - 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k e^{k x - k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x - k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k e^{k x - k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $- 2$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x - k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x - k$	=	0	\| - ( $- k$ )
$k x$	=	$k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$1$

Wenn wir nun

1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

1

) =

k e^{k \cdot 1 - k} - 2

=

k - 2

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

1

) = -1 ablesen, es gilt somit:

$k - 2$	=	$- 1$	\| $+ 2$
$k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,2 x} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,2 x}$ wird $e^{0,2 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,2 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- 3 e^{0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{0,2 x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,2 x} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- 3 e^{0,2 x}$	=	$y - 1$	\|: $- 3$
$e^{0,2 x}$	=	$- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$
$x$	=	$5 \ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5 \ln (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $5 \ln (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,924}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,924}^{t}$ ablesen: a=0.924.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.924( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 8.77 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5% seines Bestands. Zu Beginn sind 20kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10,3kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {0,95}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = $20 \cdot {0,95}^{12}$ ≈ 10,807.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10.3 kg ist, also f(t) = 10.3:

$20 \cdot {0,95}^{t}$	=	$10,3$	\|: $20$
${0,95}^{t}$	=	$0,515$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,95}^{t})$	=	$\lg (0,515)$
$t \cdot \lg (0,95)$	=	$\lg (0,515)$	\|: $\lg (0,95)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,515)}{\lg (0,95)}$

t

=

12,9371

Nach ca. 12,937 Tage ist also der Bestand = 10.3 kg.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben