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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 4 ( 1 3 ) liegt.

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Wir suchen 4er-Potenzen in der Näher von 1 3 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 3 ist.

Dabei kommt man auf 1 4 = 1 4 = 4-1 < 1 3 und auf 1 = 1 = 4-0 > 1 3 .

Und da wir bei log 4 ( 1 3 ) ja das ☐ von 4 = 1 3 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4-1 = 1 4 = 1 4 < 1 3 < 1 = 1 = 4-0

Es gilt somit: -1 < log 4 ( 1 3 ) < -0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 2 x 2 ) + lg( 50 x 2 ) + lg( 1 100 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 2 x 2 ) + lg( 50 x 2 ) + lg( 1 100 x 3 )

= lg( 2 x 2 ) + lg( 50 x -2 ) + lg( 1 100 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 2 ) + lg( x 2 ) + ( lg( 50 ) + lg( 1 x 2 ) ) + ( lg( 1 100 ) + lg( x 3 ) )

= lg( 2 ) + lg( x 2 ) + lg( 50 ) + lg( 1 x 2 ) + lg( 1 100 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 2 ) +2 lg( x ) + lg( 50 ) -2 lg( x ) + lg( 1 100 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 2 ) +2 lg( x ) + lg( 50 ) -2 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 100 ) +3 lg( x )

= 3 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 50 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 3 lg( x ) + lg( 1 100 · 50 · 2 )

= 3 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= 3 lg( x ) + lg( 1 )

= 3 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,1x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e 0,1x wird zu allen Funktionswerten von e 0,1x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,1x -1 = y | +1
e 0,1x = y +1 |ln(⋅)
0,1x = ln( y +1 ) |:0,1
x = 1 0,1 ln( y +1 )
x = 10 ln( y +1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 ln( x +1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 ln( x +1 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,887 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,887 t ablesen: a=0.887.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.887( 1 2 ) ≈ 5.78 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 13% vermehrt. Nach 3 Wochen zählt man bereits 1442,9 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 4000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 13% dazukommen,
also Bneu = B + 13 100 ⋅B = (1 + 13 100 ) ⋅ B = 1,13 ⋅ B. Somit ist das a=1,13.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,13 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 1442.9 Nutzer ist, also f(3) = 1442.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,13 t ein:

c ⋅ 1.133 = 1442.9

c ⋅ 1.4429 = 1442.9 | : 1.4429

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000 1,13 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = 1000 1,13 8 2658,444.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 4000 Nutzer ist, also f(t) = 4000:

1000 1,13 t = 4000 |:1000
1,13 t = 4 |lg(⋅)
lg( 1,13 t ) = lg( 4 )
t · lg( 1,13 ) = lg( 4 ) |: lg( 1,13 )
t = lg( 4 ) lg( 1,13 )
t = 11,3428

Nach ca. 11,343 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 4000 Nutzer.