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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{5} (1 250)$ - $\log_{5} (50)$ .

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$\log_{5} (1 250)$ - $\log_{5} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{5} (\frac{1250}{50})$

= $\log_{5} (25)$

= $\log_{5} (5^{2})$

= 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k} - 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + k$ = 0 ist, also für x = $- 1 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 1 k$ ) = $- ((- 1 k) + k) \cdot e^{(- 1 k) + \frac{1}{2} k} - 2$ = $0 - 2$ = $- 2$ sein.
Da bei x = $- 1 k$ bei ( $x + k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 1 k$ | $- 2$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $- 2$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 1 k$ = 1
Also gilt k = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 2} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 2} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$4 e^{x - 2}$	=	$y - 2$	\|: $4$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 2$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $150 \cdot {(\frac{6}{5})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $150$

f(1) = $150$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(2) = $150$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(3) = $150$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(4) = $150$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{6}{5}$ multipliziert. Da $\frac{6}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{6}{5}$ -fache (oder auf das $\frac{120}{100}$ -fache), also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 13 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 54,8 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{1}{100}$ ) ⋅ B = 0,99 ⋅ B. Somit ist das a=0,99.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,99}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $60 \cdot {0,99}^{13}$ ≈ 52,651.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 54.8 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 54.8:

$60 \cdot {0,99}^{t}$	=	$54,8$	\|: $60$
${0,99}^{t}$	=	$0,9133$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,99}^{t})$	=	$\lg (0,9133)$
$t \cdot \lg (0,99)$	=	$\lg (0,9133)$	\|: $\lg (0,99)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,9133)}{\lg (0,99)}$

t

=

9,0237

Nach ca. 9,024 Jahre ist also der Bestand = 54.8 Millionen Einwohner.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben