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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $2$ ), also gilt f(0)= $2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $2$ , also $f(x) =$ $2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $2 \cdot a$ = $2 a$ .

Es gilt also: $4$ = $2 a$ | ⋅ $\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 1} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- 3 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{x - 1}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{x - 1} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- 3 e^{x - 1}$	=	$y + 1$	\|: $- 3$
$e^{x - 1}$	=	$- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$

$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) + 1$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,879}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,879}^{t}$ ablesen: a=0.879.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.879( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 5.37 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7% verzinst. 6 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 10505,11€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 11000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 1,07 ⋅ B. Somit ist das a=1,07.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,07}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 10505.11 € ist, also f(6) = 10505.11. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,07}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.07⁶ = 10505.11

c ⋅ 1.50073 = 10505.11 | : 1.50073

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,07}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $7 000 \cdot {1,07}^{5}$ ≈ 9817,862.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:

$7 000 \cdot {1,07}^{t}$	=	$11 000$	\|: $7 000$
${1,07}^{t}$	=	$\frac{11}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,07}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{7})$
$t \cdot \lg (1,07)$	=	$\lg (\frac{11}{7})$	\|: $\lg (1,07)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{7})}{\lg (1,07)}$

t

=

6,6804

Nach ca. 6,68 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.

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log berechnen (schwer)

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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

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