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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $1 + (3 e^{2 x} + 3 e^{- 2 x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $1 + (3 e^{- 2 x} + 3 e^{2 x})$ = $3 e^{2 x} + 3 e^{- 2 x} + 1$

Wenn man das mit f(x) = $1 + (3 e^{2 x} + 3 e^{- 2 x})$ = $3 e^{2 x} + 3 e^{- 2 x} + 1$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{3}) + \lg (\frac{20}{x^{7}}) + \lg (\frac{25}{2} x^{4})$ soweit wie möglich.

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$\lg (4 x^{3}) + \lg (\frac{20}{x^{7}}) + \lg (\frac{25}{2} x^{4})$

= $\lg (4 x^{3}) + \lg (20 x^{- 7}) + \lg (\frac{25}{2} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{3}) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{7}})) + (\lg (\frac{25}{2}) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (4) + \lg (x^{3}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) + \lg (\frac{25}{2}) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 3 \lg (x) + \lg (20) - 7 \lg (x) + \lg (\frac{25}{2}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 3 \lg (x) + \lg (20) - 7 \lg (x) + \lg (25) - \lg (2) + 4 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (4) - \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25 \cdot 20 \cdot 4}{2})$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 1} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- 3 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{x - 1}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{x - 1} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- 3 e^{x - 1}$	=	$y + 2$	\|: $- 3$
$e^{x - 1}$	=	$- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$

$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{3} x - \frac{2}{3}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{3} x - \frac{2}{3}) + 1$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{1}{100}$ ) ⋅ B = 0,99 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,99.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.99( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 68.97 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. 9 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 133,83Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 211 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$ ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,32}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Stunden der Bestand 133.83 Millionen Bakterien ist, also f(9) = 133.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,32}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.32⁹ = 133.83

c ⋅ 12.16649 = 133.83 | : 12.16649

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {1,32}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $11 \cdot {1,32}^{8}$ ≈ 101,387.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 211 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 211:

$11 \cdot {1,32}^{t}$	=	$211$	\|: $11$
${1,32}^{t}$	=	$\frac{211}{11}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,32}^{t})$	=	$\lg (\frac{211}{11})$
$t \cdot \lg (1,32)$	=	$\lg (\frac{211}{11})$	\|: $\lg (1,32)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{211}{11})}{\lg (1,32)}$

t

=

10,6399

Nach ca. 10,64 Stunden ist also der Bestand = 211 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben