nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 ( 1 100.000.000 ) .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von 1 100.000.000 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 1 100.000.000 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 1 100.000.000 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 10-Potenz zu schreiben versuchen, also 10 = 1 100.000.000

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 10 ( 1 100.000.000 ) = -8, eben weil 10-8 = 1 100.000.000 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 2 x 8 ) + lg( 4 x 2 ) + lg( 1 8 x ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

- lg( 1 2 x 8 ) + lg( 4 x 2 ) + lg( 1 8 x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 2 ) + lg( x 8 ) ) + ( lg( 4 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 1 8 ) + lg( x ) )

= - lg( 1 2 ) - lg( x 8 ) + lg( 4 ) + lg( x 2 ) + lg( 1 8 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 2 ) -8 lg( x ) + lg( 4 ) +2 lg( x ) + lg( 1 8 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 2 ) -8 lg( x ) + lg( 4 ) +2 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 8 ) + lg( x )

= -5 lg( x ) - lg( 8 ) + lg( 4 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -5 lg( x ) + lg( 1 8 · 4 · 2 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 )

= -5 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e x -2 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e x -2 können die Funktionswerte von 4 e x -2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem 4 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von 4 e x -2 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e x -2 +2 = y | -2
4 e x -2 = y -2 |:4
e x -2 = 1 4 y - 1 2 |ln(⋅)
x -2 = ln( 1 4 y - 1 2 )
x -2 = ln( 1 4 y - 1 2 ) | +2
x = ln( 1 4 y - 1 2 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 4 x - 1 2 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 4 x - 1 2 ) +2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 5,9 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 5.9 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 5,9 = 1 2 | 5,9
a = ( 1 2 ) 1 5,9

Das gesuchte a ist somit ( 1 2 ) 1 5,9 ≈ 0.89, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 10 0,89 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 70,24 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 13 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 80 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 70.24 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 70.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 80 a t ein:

80 a 4 = 70,24 |:80
a 4 = 0,878 | 4
a1 = - 0,878 4 -0,968
a2 = 0,878 4 0,968

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,968 ≈ 0.968 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,968 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = 80 0,968 13 52,417.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

80 0,968 t = 50 |:80
0,968 t = 5 8 |lg(⋅)
lg( 0,968 t ) = lg( 5 8 )
t · lg( 0,968 ) = lg( 5 8 ) |: lg( 0,968 )
t = lg( 5 8 ) lg( 0,968 )
t = 14,4513

Nach ca. 14,451 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.