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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x + 1} - 1$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x + 1} - 1$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -1 addiert wird, ist der Graph von $e^{x + 1} - 1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x + 1} - 1$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x + 1} - 1$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x + 1} - 1$ gegen $0 - 1$ = $- 1$ .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x + 5 k) \cdot e^{x + \frac{5}{2} k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x + 5 k) \cdot e^{x + \frac{5}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + 5 k$ = 0 ist, also für x = $- 5 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 5 k$ ) = $- ((- 5 k) + 5 k) \cdot e^{(- 5 k) + \frac{5}{2} k} - 1$ = $0 - 1$ = $- 1$ sein.
Da bei x = $- 5 k$ bei ( $x + 5 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 5 k$ | $- 1$ ) im abgebildeten Graph bei P(4| $- 1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 5 k$ = 4
Also gilt k = $- \frac{4}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{4}{5}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,4} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{0,2 x - 0,4}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,4}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,4} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{0,2 x - 0,4}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,4$	=	$\ln (y - 1)$

$0,2 x - 0,4$	=	$\ln (y - 1)$	\| $+ 0,4$
$0,2 x$	=	$\ln (y - 1) + 0,4$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y - 1) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,4}{0,2}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 22,8 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 50kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 50 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 22.8 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{22,8}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[22,8]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $- 0,97$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $0,97$

Das gesuchte a ist somit $0,97$ ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $50 \cdot {0,97}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2% seines Bestands. 10 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 24,51kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 9 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 23,5kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 0,98 ⋅ B. Somit ist das a=0,98.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,98}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 24.51 kg ist, also f(10) = 24.51. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,98}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.98¹⁰ = 24.51

c ⋅ 0.81707 = 24.51 | : 0.81707

c = 30

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot {0,98}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $30 \cdot {0,98}^{9}$ ≈ 25,012.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 23.5 kg ist, also f(t) = 23.5:

$30 \cdot {0,98}^{t}$	=	$23,5$	\|: $30$
${0,98}^{t}$	=	$0,7833$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,98}^{t})$	=	$\lg (0,7833)$
$t \cdot \lg (0,98)$	=	$\lg (0,7833)$	\|: $\lg (0,98)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,7833)}{\lg (0,98)}$

t

=

12,0894

Nach ca. 12,089 Tage ist also der Bestand = 23.5 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben