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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0.00001 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0.00001 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $- 5 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) - 5$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,3 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,3 x}$ wird $e^{- 0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- 4 e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{- 0,3 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,3 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- 4 e^{- 0,3 x}$	=	$y - 2$	\|: $- 4$
$e^{- 0,3 x}$	=	$- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{2})$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 13,5 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 20kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 13.5 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{13,5}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[13,5]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{13,5}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{13,5}}$ ≈ 0.95, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {0,95}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 7969,24€. a) Wie hoch ist der Kontostand 6 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 11000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 7969.24 € ist, also f(8) = 7969.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $5 000 \cdot a^{t}$ ein:

$5 000 a^{8}$	=	$7 969,24$	\|: $5 000$
$a^{8}$	=	$1,59385$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{1,59385}$	= $- 1,06$
a₂	=	$\sqrt[8]{1,59385}$	= $1,06$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,06$ ≈ 1.06 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $5 000 \cdot {1,06}^{6}$ ≈ 7092,596.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:

$5 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$11 000$	\|: $5 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{11}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{5})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{11}{5})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{5})}{\lg (1,06)}$

t

=

13,5314

Nach ca. 13,531 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben