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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (2)$ liegt.

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $2$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$ .

Und da wir bei $\log_{4} (2)$ ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (2)$ < 1

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $1$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $1$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $1$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{- 0,2 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{- 0,2 x}$ wird $e^{- 0,2 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{- 0,2 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- e^{- 0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{- 0,2 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{- 0,2 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- e^{- 0,2 x}$	=	$y - 2$	\|: $- 1$
$e^{- 0,2 x}$	=	$- y + 2$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x$	=	$\ln (- y + 2)$	\|: $- 0,2$
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (- y + 2)$
$x$	=	$- 5 \ln (- y + 2)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 5 \ln (- x + 2)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 5 \ln (- x + 2)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,084}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,084}^{t}$ ablesen: a=1.084.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.084( $2$ ) ≈ 8.59 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 24% vermehrt. Nach 8 Wochen zählt man bereits 27947,53 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 105000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 24% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 24% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{24}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{24}{100}$ ) ⋅ B = 1,24 ⋅ B. Somit ist das a=1,24.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,24}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 27947.53 Nutzer ist, also f(8) = 27947.53. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,24}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.24⁸ = 27947.53

c ⋅ 5.58951 = 27947.53 | : 5.58951

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,24}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $5 000 \cdot {1,24}^{9}$ ≈ 34654,942.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 105000 Nutzer ist, also f(t) = 105000:

$5 000 \cdot {1,24}^{t}$	=	$105 000$	\|: $5 000$
${1,24}^{t}$	=	$21$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,24}^{t})$	=	$\lg (21)$
$t \cdot \lg (1,24)$	=	$\lg (21)$	\|: $\lg (1,24)$
$t$	=	$\frac{\lg (21)}{\lg (1,24)}$

t

=

14,1532

Nach ca. 14,153 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 105000 Nutzer.

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log im Interval bestimmen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben