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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1.000.000.000})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1.000.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1.000.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1.000.000.000})$ = $- 9$ , eben weil $10$ ^{$- 9$} = $\frac{1}{1.000.000.000}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x) + \lg (\frac{1}{10 000 x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (20 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x) + \lg (\frac{1}{10 000 x^{2}})$

= $\lg (20 x^{3}) - \lg (\frac{1}{5} x) + \lg (\frac{1}{10000} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x^{3}) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x)) + (\lg (\frac{1}{10000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (20) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{10000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{10000}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (10 000) - 2 \lg (x)$

= $- \lg (10 000) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000} \cdot 20 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,2 x} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,2 x}$ wird $e^{- 0,2 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,2 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- 3 e^{- 0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{- 0,2 x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,2 x} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- 3 e^{- 0,2 x}$	=	$y - 1$	\|: $- 3$
$e^{- 0,2 x}$	=	$- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$	\|: $- 0,2$
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$
$x$	=	$- 5 \ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 5 \ln (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 5 \ln (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3})$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,1 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.1 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{3,1}$	=	$2$	\| $\sqrt[3,1]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{3,1}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{3,1}}$ ≈ 1.25, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,25}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 10745,09€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 10745.09 € ist, also f(10) = 10745.09. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ ein:

$6 000 a^{10}$	=	$10 745,09$	\|: $6 000$
$a^{10}$	=	$1,79085$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{1,79085}$	= $- 1,06$
a₂	=	$\sqrt[10]{1,79085}$	= $1,06$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,06$ ≈ 1.06 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $6 000 \cdot {1,06}^{9}$ ≈ 10136,874.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$6 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$9 000$	\|: $6 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,06)}$

t

=

6,9585

Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.

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Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben