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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term 4 lg( x ) + lg( 1 x ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
4 lg( x ) + lg( 1 x )
= 4 lg( x 1 2 ) + lg( x - 1 2 )
= 2 lg( x ) - 1 2 lg( x )
= 3 2 lg( x )

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 1.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: 1 = 1 2 ⋅a = 1 2 a .

Es gilt also: 1 = 1 2 a | ⋅ 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 ⋅ 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e 0,4x -0,8 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -0,8 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -0,8 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e 0,4x -0,8 können die Funktionswerte von 2 e 0,4x -0,8 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e 0,4x -0,8 = y |:2
e 0,4x -0,8 = 1 2 y |ln(⋅)
0,4x -0,8 = ln( 1 2 y )
0,4x -0,8 = ln( 1 2 y ) | +0,8
0,4x = ln( 1 2 y ) +0,8 |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 2 y ) + 0,8 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( 1 2 x ) + 0,8 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( 1 2 x ) + 0,8 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also Bneu = B + 20 100 ⋅B = (1 + 20 100 ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.2(2) ≈ 3.8 Stunden

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 62,04 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 65⋅ a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 62.04 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 62.04. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 65⋅ a t ein:

65 a 2 = 62,04 |:65
a 2 = 0,95446 | ⋅2
a1 = - 0,95446 ≈ -0,977
a2 = 0,95446 ≈ 0,977

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,977 ≈ 0.977 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 65⋅ 0,977 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 65⋅ 0,977 4 ≈ 59,223.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

65⋅ 0,977 t = 45 |:65
0,977 t = 9 13 |lg(⋅)
lg( 0,977 t ) = lg( 9 13 )
t · lg( 0,977 ) = lg( 9 13 ) |: lg( 0,977 )
t = lg( 9 13 ) lg( 0,977 )
t = 15,8035

Nach ca. 15,804 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.