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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (64)$ .

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^{3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4^{3}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{3}$ = ${(16^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = $16^{\frac{3}{2}}$

$\log_{16} (64)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{3}$ = $16^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{3}$ = $16^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4^{3}$ = $16^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (64)$ = $\log_{16} (16^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $16$ ^{$\frac{3}{2}$} = $64$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- \frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $- \frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- \frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $- \frac{1}{2} \cdot a$ = $- \frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $- 2$ = $- \frac{1}{2} a$ | ⋅ $- 2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{0,4 x - 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{0,4 x - 0,4}$ wird $e^{0,4 x - 0,4}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{0,4 x - 0,4}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{0,4 x - 0,4}$	=	$y$	\|: $- 2$
$e^{0,4 x - 0,4}$	=	$- \frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$

$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$	\| $+ 0,4$
$0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y) + 0,4$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{2} y) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,4}{0,4}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $75 \cdot {1,15}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $75$

f(1) = $75$ ⋅ $1,15$

f(2) = $75$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

f(3) = $75$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

f(4) = $75$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,15$ multipliziert. Da $1,15$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,15$ -fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt. 8 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 2,7 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 6 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 2.7 Millionen Insekten ist, also f(8) = 2.7. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $12 \cdot a^{t}$ ein:

$12 a^{8}$	=	$2,7$	\|: $12$
$a^{8}$	=	$\frac{2,7}{12}$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{\frac{2,7}{12}}$	≈ $- 0,83$
a₂	=	$\sqrt[8]{\frac{2,7}{12}}$	≈ $0,83$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,83$ ≈ 0.83 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,83}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $12 \cdot {0,83}^{6}$ ≈ 3,923.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2:

$12 \cdot {0,83}^{t}$	=	$2$	\|: $12$
${0,83}^{t}$	=	$\frac{1}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,83}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{6})$
$t \cdot \lg (0,83)$	=	$\lg (\frac{1}{6})$	\|: $\lg (0,83)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{6})}{\lg (0,83)}$

t

=

9,6161

Nach ca. 9,616 Jahre ist also der Bestand = 2 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

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