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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 2} - 1$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 2} - 1$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -1 addiert wird, ist der Graph von $e^{x - 2} - 1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x - 2} - 1$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x - 2} - 1$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x - 2} - 1$ gegen $0 - 1$ = $- 1$ .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 3$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 3$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,4} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{- 0,2 x + 0,4}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,2 x + 0,4}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,4} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{- 0,2 x + 0,4}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (y + 1)$

$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (y + 1)$	\| $- 0,4$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y + 1) - 0,4$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y + 1) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x + 1) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x + 1) + \frac{0,4}{0,2}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 90 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 69 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 90 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 69 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{69}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[69]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[69]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[69]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.99, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $90 \cdot {0,99}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 18 Milionen Bakterien. 8 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 198,58Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 11 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 518 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=18 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $18 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 198.58 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 198.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $18 \cdot a^{t}$ ein:

$18 a^{8}$	=	$198,58$	\|: $18$
$a^{8}$	=	$11,03222$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{11,03222}$	≈ $- 1,35$
a₂	=	$\sqrt[8]{11,03222}$	≈ $1,35$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,35$ ≈ 1.35 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $18 \cdot {1,35}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $18 \cdot {1,35}^{11}$ ≈ 488,589.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 518 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 518:

$18 \cdot {1,35}^{t}$	=	$518$	\|: $18$
${1,35}^{t}$	=	$\frac{259}{9}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,35}^{t})$	=	$\lg (\frac{259}{9})$
$t \cdot \lg (1,35)$	=	$\lg (\frac{259}{9})$	\|: $\lg (1,35)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{259}{9})}{\lg (1,35)}$

t

=

11,1948

Nach ca. 11,195 Stunden ist also der Bestand = 518 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben