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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4})$
= $4 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k} + 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + k$ = 0 ist, also für x = $- 1 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 1 k$ ) = $((- 1 k) + k) \cdot e^{(- 1 k) + \frac{1}{2} k} + 3$ = $0 + 3$ = $3$ sein.
Da bei x = $- 1 k$ bei ( $x + k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 1 k$ | $3$ ) im abgebildeten Graph bei P(2| $3$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 1 k$ = 2
Also gilt k = $- 2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 2$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,6} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{0,2 x - 0,6}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,6}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,6} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{0,2 x - 0,6}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y - 3)$

$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y - 3)$	\| $+ 0,6$
$0,2 x$	=	$\ln (y - 3) + 0,6$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y - 3) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 3) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 3) + \frac{0,6}{0,2}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 14,2 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 11 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 14.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{14,2}$	=	$2$	\| $\sqrt[14,2]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{14,2}}$	≈ $- 1,05$
a₂	=	$2^{\frac{1}{14,2}}$	≈ $1,05$

Das gesuchte a ist somit $1,05$ ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {1,05}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. 8 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 64,5Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 35 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$ ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,2}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 64.5 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 64.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,2}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.2⁸ = 64.5

c ⋅ 4.29982 = 64.5 | : 4.29982

c = 15

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $15 \cdot {1,2}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $15 \cdot {1,2}^{12}$ ≈ 133,742.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 35:

$15 \cdot {1,2}^{t}$	=	$35$	\|: $15$
${1,2}^{t}$	=	$\frac{7}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,2}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{3})$
$t \cdot \lg (1,2)$	=	$\lg (\frac{7}{3})$	\|: $\lg (1,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{3})}{\lg (1,2)}$

t

=

4,6473

Nach ca. 4,647 Stunden ist also der Bestand = 35 Millionen Bakterien.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben