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Kursstufe
cosh
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log berechnen (schwer)
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Man kann erkennen, dass
Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis
Also was muss in das Kästchen, damit
Damit steht die Lösung praktisch schon da:
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm
= 0 wird, wenn- ( x + 3 k ) · e x + 3 2 k = 0 ist, also für x =x + 3 k .- 3 k
Dann muss ja der y-Wert fk( ) =- 3 k =- ( ( - 3 k ) + 3 k ) · e ( - 3 k ) + 3 2 k - 2 =0 - 2 sein.- 2
Da bei x = bei (- 3 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(x + 3 k |- 3 k ) im abgebildeten Graph bei P(5|- 2 ) sein.- 2
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit = 5- 3 k
Also gilt k =- 5 3
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch den negativen Koeffizienten
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|: |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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|: |
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|
= |
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|
|
|
= |
|
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
prozentale Änderung bestimmen
Beispiel:
Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit
f(0) =
f(1) =
f(2) =
f(3) =
f(4) =
...
Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit
Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %
c und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 100kg vorhanden. Nach 2 Tagen nach sind nur noch 79,21kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 5 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 79.21 kg ist,
also f(2) = 79.21. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
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= | |: |
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= | |
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| a1 | = |
|
=
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| a2 | = |
|
=
|
Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a=
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):
f(5) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
|
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|
= |
|
|:
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= |
|
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= |
|
Nach ca. 7,863 Tage ist also der Bestand = 40 kg.
