nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 2 (6) liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen 2er-Potenzen in der Näher von 6, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 6 ist.

Dabei kommt man auf 2 2 = 22 < 6 und auf 2 3 = 23 > 6.

Und da wir bei log 2 (6) ja das ☐ von 2 = 6 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
22 = 2 2 < 6 < 2 3 = 23

Es gilt somit: 2 < log 2 (6) < 3

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 50 x 5 ) + lg( 5 x 2 ) + lg( 4 x 3 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 50 x 5 ) + lg( 5 x 2 ) + lg( 4 x 3 )

= lg( 50 x -5 ) + lg( 5 x 2 ) + lg( 4 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 50 ) + lg( 1 x 5 ) + ( lg( 5 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 4 ) + lg( x 3 ) )

= lg( 50 ) + lg( 1 x 5 ) + lg( 5 ) + lg( x 2 ) + lg( 4 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 50 ) -5 lg( x ) + lg( 5 ) +2 lg( x ) + lg( 4 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 50 ) -5 lg( x ) + lg( 5 ) +2 lg( x ) + lg( 4 ) +3 lg( x )

= lg( 50 ) + lg( 5 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 · 5 · 4 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e 0,2x -0,6 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e 0,2x -0,6 können die Funktionswerte von 2 e 0,2x -0,6 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e 0,2x -0,6 = y |:2
e 0,2x -0,6 = 1 2 y |ln(⋅)
0,2x -0,6 = ln( 1 2 y )
0,2x -0,6 = ln( 1 2 y ) | +0,6
0,2x = ln( 1 2 y ) +0,6 |:0,2
x = 1 0,2 ln( 1 2 y ) + 0,6 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( 1 2 x ) + 0,6 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( 1 2 x ) + 0,6 0,2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 4,2 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 4.2 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 4,2 = 2 | 4,2
a1 = - 2 1 4,2 -1,179
a2 = 2 1 4,2 1,179

Das gesuchte a ist somit 1,179 ≈ 1.18, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 1000 1,18 t

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. Zu Beginn sind 90kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 50kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also Bneu = B - 8 100 ⋅B = (1 - 8 100 ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 90 0,92 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = 90 0,92 4 64,475.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 kg ist, also f(t) = 50:

90 0,92 t = 50 |:90
0,92 t = 5 9 |lg(⋅)
lg( 0,92 t ) = lg( 5 9 )
t · lg( 0,92 ) = lg( 5 9 ) |: lg( 0,92 )
t = lg( 5 9 ) lg( 0,92 )
t = 7,0494

Nach ca. 7,049 Tage ist also der Bestand = 50 kg.