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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{3})$
= $- 2 \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{3})$
= $2 \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4 x}) - \lg (\frac{1}{5} x^{9}) + \lg (\frac{1}{20} x^{4})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{4 x}) - \lg (\frac{1}{5} x^{9}) + \lg (\frac{1}{20} x^{4})$

= $- \lg (\frac{1}{4} x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{5} x^{9}) + \lg (\frac{1}{20} x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{9})) + (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{4}))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{9}) + \lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - 9 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) + \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - 9 \lg (x) + \lg (1) - \lg (20) + 4 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,1 x - 0,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,1 x - 0,2}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,1 x - 0,2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,1 x - 0,2}$	=	$y$	\|: $3$
$e^{0,1 x - 0,2}$	=	$\frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$

$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,2$
$0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y) + 0,2$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} y) + \frac{0,2}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,2}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,2}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,087}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,087}^{t}$ ablesen: a=1.087.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.087( $2$ ) ≈ 8.31 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 20% vermehrt. Nach 2 Wochen zählt man bereits 7200 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 10 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 12000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$ ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,2}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Wochen der Bestand 7200 Nutzer ist, also f(2) = 7200. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,2}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.2² = 7200

c ⋅ 1.44 = 7200 | : 1.44

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,2}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):

f(10) = $5 000 \cdot {1,2}^{10}$ ≈ 30958,682.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer ist, also f(t) = 12000:

$5 000 \cdot {1,2}^{t}$	=	$12 000$	\|: $5 000$
${1,2}^{t}$	=	$\frac{12}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,2}^{t})$	=	$\lg (\frac{12}{5})$
$t \cdot \lg (1,2)$	=	$\lg (\frac{12}{5})$	\|: $\lg (1,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{12}{5})}{\lg (1,2)}$

t

=

4,8018

Nach ca. 4,802 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben