Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{1.000.000.000})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1.000.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1.000.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{1.000.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{1.000.000.000})$ = $- 9$ , eben weil $10$ ^{$- 9$} = $\frac{1}{1.000.000.000}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $3 k e^{k x - 2 k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $3 k e^{k x - 2 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x - 2 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $3 k e^{k x - 2 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $- 1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x - 2 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x - 2 k$	=	0	\| - ( $- 2 k$ )
$k x$	=	$2 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$2$

Wenn wir nun

2

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

2

) =

3 k e^{k \cdot 2 - 2 k} - 1

=

3 k - 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

2

) = 4 ablesen, es gilt somit:

$3 k - 1$	=	$4$	\| $+ 1$
$3 k$	=	$5$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{5}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{5}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 3} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 3}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 3} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$4 e^{x - 3}$	=	$y - 3$	\|: $4$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4}) + 3$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $112 \cdot {0,7}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $112$

f(1) = $112$ ⋅ $0,7$

f(2) = $112$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$

f(3) = $112$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$

f(4) = $112$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,7$ multipliziert. Da $0,7$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,7$ -fache, also auf $70$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 70% = 30 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 23%. 11 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 29,25Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 6 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 23 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$ ) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,23}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Stunden der Bestand 29.25 Millionen Bakterien ist, also f(11) = 29.25. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,23}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.23¹¹ = 29.25

c ⋅ 9.74891 = 29.25 | : 9.74891

c = 3

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 \cdot {1,23}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $3 \cdot {1,23}^{6}$ ≈ 10,388.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 23 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 23:

$3 \cdot {1,23}^{t}$	=	$23$	\|: $3$
${1,23}^{t}$	=	$\frac{23}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,23}^{t})$	=	$\lg (\frac{23}{3})$
$t \cdot \lg (1,23)$	=	$\lg (\frac{23}{3})$	\|: $\lg (1,23)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{23}{3})}{\lg (1,23)}$

t

=

9,8393

Nach ca. 9,839 Stunden ist also der Bestand = 23 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben