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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (\frac{2}{5} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50} x)$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (\frac{2}{5} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{2})) + (\lg (\frac{2}{5}) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{2}) + \lg (\frac{2}{5}) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{2}{5}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) - 2 \lg (x) + \lg (2) - \lg (5) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) - \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50 \cdot 2)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x - 3 k) \cdot e^{x - \frac{3}{2} k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x - 3 k) \cdot e^{x - \frac{3}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - 3 k$ = 0 ist, also für x = $3 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $3 k$ ) = $- ((3 k) - 3 k) \cdot e^{(3 k) - \frac{3}{2} k} + 1$ = $0 + 1$ = $1$ sein.
Da bei x = $3 k$ bei ( $x - 3 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $3 k$ | $1$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $3 k$ = 1
Also gilt k = $\frac{1}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,2} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{0,2 x - 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,2}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,2} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{0,2 x - 0,2}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (y + 2)$

$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (y + 2)$	\| $+ 0,2$
$0,2 x$	=	$\ln (y + 2) + 0,2$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y + 2) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 2) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 2) + \frac{0,2}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,93}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,93}^{t}$ ablesen: a=0.93.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.93( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 9.55 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 3121,81€. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 3121.81 € ist, also f(4) = 3121.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $3 000 \cdot a^{t}$ ein:

$3 000 a^{4}$	=	$3 121,81$	\|: $3 000$
$a^{4}$	=	$1,0406$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{1,0406}$	= $- 1,01$
a₂	=	$\sqrt[4]{1,0406}$	= $1,01$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,01$ ≈ 1.01 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,01}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $3 000 \cdot {1,01}^{5}$ ≈ 3153,03.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3500 € ist, also f(t) = 3500:

$3 000 \cdot {1,01}^{t}$	=	$3 500$	\|: $3 000$
${1,01}^{t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,01}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{6})$
$t \cdot \lg (1,01)$	=	$\lg (\frac{7}{6})$	\|: $\lg (1,01)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{6})}{\lg (1,01)}$

t

=

15,492

Nach ca. 15,492 Jahre ist also der Kontostand = 3500 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben