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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (0,0001 x) + 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (0,0001 x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (0,0001) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 4}) + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $- 4 + \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $5 \lg (x) - 4$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{40 x^{5}}) + \lg (20) - \lg (\frac{1}{2 x^{3}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{40 x^{5}}) + \lg (20) - \lg (\frac{1}{2 x^{3}})$

= $\lg (\frac{1}{40} x^{- 5}) + \lg (20) - \lg (\frac{1}{2} x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + (\lg (20) + \lg (1)) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (\frac{1}{40}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (20) + \lg (1) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40}) - 5 \lg (x) + \lg (20) + 0 - \lg (\frac{1}{2}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (40) - 5 \lg (x) + \lg (20) + 0 - \lg (1) + \lg (2) + 3 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (40) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{40} \cdot 20 \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 1} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- 3 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{x - 1}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{x - 1} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- 3 e^{x - 1}$	=	$y - 1$	\|: $- 3$
$e^{x - 1}$	=	$- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$

$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}) + 1$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $40 \cdot {1,35}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $40$

f(1) = $40$ ⋅ $1,35$

f(2) = $40$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(3) = $40$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(4) = $40$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,35$ multipliziert. Da $1,35$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,35$ -fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. 12 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 2,16 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 13 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,6 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$ ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,88}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Jahre der Bestand 2.16 Millionen Insekten ist, also f(12) = 2.16. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,88}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.88¹² = 2.16

c ⋅ 0.21567 = 2.16 | : 0.21567

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,88}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $10 \cdot {0,88}^{13}$ ≈ 1,898.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.6:

$10 \cdot {0,88}^{t}$	=	$3,6$	\|: $10$
${0,88}^{t}$	=	$0,36$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,88}^{t})$	=	$\lg (0,36)$
$t \cdot \lg (0,88)$	=	$\lg (0,36)$	\|: $\lg (0,88)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,36)}{\lg (0,88)}$

t

=

7,9921

Nach ca. 7,992 Jahre ist also der Bestand = 3.6 Millionen Insekten.

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben