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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (x^{4}) + \lg (x^{3})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (x^{4}) + \lg (x^{3})$
= $- 8 \lg (x) + 3 \lg (x)$
= $- 5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{5} x^{9}) + \lg (\frac{1}{125} x^{3})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{5} x^{9}) + \lg (\frac{1}{125} x^{3})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{5} x^{9}) + \lg (\frac{1}{125} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{9})) + (\lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{9}) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - 9 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - 9 \lg (x) + \lg (1) - \lg (125) + 3 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 2} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $4 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 2}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 2} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$4 e^{x - 2}$	=	$y + 3$	\|: $4$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{4} y + \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) + 2$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 11,9 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 11.9 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{11,9}$	=	$2$	\| $\sqrt[11,9]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{11,9}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{11,9}}$ ≈ 1.06, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,06}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. Zu Beginn sind 5000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 9 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 5800€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$ ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,01}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $5 000 \cdot {1,01}^{9}$ ≈ 5468,426.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5800 € ist, also f(t) = 5800:

$5 000 \cdot {1,01}^{t}$	=	$5 800$	\|: $5 000$
${1,01}^{t}$	=	$\frac{29}{25}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,01}^{t})$	=	$\lg (\frac{29}{25})$
$t \cdot \lg (1,01)$	=	$\lg (\frac{29}{25})$	\|: $\lg (1,01)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{29}{25})}{\lg (1,01)}$

t

=

14,9161

Nach ca. 14,916 Jahre ist also der Kontostand = 5800 €.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben