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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 9 ( 3 ) .

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Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis 9 suchen und 9 gerade 3² ist (also 3 = 9 = 9 1 2 ), formen wir 3 noch so um, dass sie 9 als Basis hat:

3 = 9 1 2

log 9 ( 3 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 3 = 9 1 2 zur Basis 9 suchen, also die Hochzahl mit der man 9 potenzieren muss, um auf 3 = 9 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 9☐ = 3 = 9 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 9 ( 3 ) = log 9 ( 9 1 2 ) = 1 2 , eben weil 9 1 2 = 3 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k x · e k x + k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm k x · e k x + k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = k · 0 · e k ⋅0 + k + k = k = -3
    k = -3

Der abgebildete Graph ist somit der von f-3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e x -3 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e x -3 können die Funktionswerte von 4 e x -3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem 4 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von 4 e x -3 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e x -3 -1 = y | +1
4 e x -3 = y +1 |:4
e x -3 = 1 4 y + 1 4 |ln(⋅)
x -3 = ln( 1 4 y + 1 4 )
x -3 = ln( 1 4 y + 1 4 ) | +3
x = ln( 1 4 y + 1 4 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 4 x + 1 4 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 4 x + 1 4 ) +3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also Bneu = B - 3 100 ⋅B = (1 - 3 100 ) ⋅ B = 0,97 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,97.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.97( 1 2 ) ≈ 22.76 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 14% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 8 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also Bneu = B - 14 100 ⋅B = (1 - 14 100 ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13⋅ 0,86 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 13⋅ 0,86 8 ≈ 3,89.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

13⋅ 0,86 t = 3 |:13
0,86 t = 3 13 |lg(⋅)
lg( 0,86 t ) = lg( 3 13 )
t · lg( 0,86 ) = lg( 3 13 ) |: lg( 0,86 )
t = lg( 3 13 ) lg( 0,86 )
t = 9,7222

Nach ca. 9,722 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.