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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,3)$ - $\lg (3)$ .

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$\lg (0,3)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.3}{3})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x - 2 k) \cdot e^{x - k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x - 2 k) \cdot e^{x - k}$ = 0 wird, wenn $x - 2 k$ = 0 ist, also für x = $2 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $2 k$ ) = $((2 k) - 2 k) \cdot e^{(2 k) - k} - 1$ = $0 - 1$ = $- 1$ sein.
Da bei x = $2 k$ bei ( $x - 2 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $2 k$ | $- 1$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $- 1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $2 k$ = 1
Also gilt k = $\frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{x - 1} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{x - 1}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{x - 1} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- e^{x - 1}$	=	$y + 1$	\|: $- 1$
$e^{x - 1}$	=	$- y - 1$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- y - 1)$

$x - 1$	=	$\ln (- y - 1)$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- y - 1) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- x - 1) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- x - 1) + 1$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 4,4 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 14 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 14 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,4}$	=	$2$	\| $\sqrt[4,4]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{4,4}}$	≈ $- 1,171$
a₂	=	$2^{\frac{1}{4,4}}$	≈ $1,171$

Das gesuchte a ist somit $1,171$ ≈ 1.17, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $14 \cdot {1,17}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 29 Milionen Bakterien. 5 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 81,64Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 6 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 329 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=29 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $29 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Stunden der Bestand 81.64 Millionen Bakterien ist, also f(5) = 81.64. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $29 \cdot a^{t}$ ein:

$29 a^{5}$	=	$81,64$	\|: $29$
$a^{5}$	=	$2,81517$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[5]{2,81517}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[5]{2,81517}$ ≈ 1.23 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $29 \cdot {1,23}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $29 \cdot {1,23}^{6}$ ≈ 100,422.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 329 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 329:

$29 \cdot {1,23}^{t}$	=	$329$	\|: $29$
${1,23}^{t}$	=	$\frac{329}{29}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,23}^{t})$	=	$\lg (\frac{329}{29})$
$t \cdot \lg (1,23)$	=	$\lg (\frac{329}{29})$	\|: $\lg (1,23)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{329}{29})}{\lg (1,23)}$

t

=

11,7323

Nach ca. 11,732 Stunden ist also der Bestand = 329 Millionen Bakterien.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben