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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- k x \cdot e^{k x - k} + k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $- k x \cdot e^{k x - k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $- k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - k} + k$ = $k$ = 2

$k$ = $2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 1} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 1}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 1}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 1} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$4 e^{x - 1}$	=	$y - 2$	\|: $4$
$e^{x - 1}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$

$x - 1$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 1$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,935}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,935}^{t}$ ablesen: a=0.935.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.935( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 10.31 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4% verzinst. Zu Beginn sind 8000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 8 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 18000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $8 000 \cdot {1,04}^{8}$ ≈ 10948,552.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 18000 € ist, also f(t) = 18000:

$8 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$18 000$	\|: $8 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{9}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{4})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{9}{4})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{4})}{\lg (1,04)}$

t

=

20,6761

Nach ca. 20,676 Jahre ist also der Kontostand = 18000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

2. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben