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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x^{2} + x}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{2} \cdot e^{{(- x)}^{2} + (- x)}$ = $x^{2} \cdot e^{x^{2} - x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{2} \cdot e^{x^{2} + x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $x^{2} \cdot e^{x^{2} - x}$
weder gleich f(x) = $x^{2} \cdot e^{x^{2} + x}$ noch gleich -f(x) = $- x^{2} \cdot e^{x^{2} + x}$ = $- x^{2} \cdot e^{x^{2} + x}$ ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = $1^{2} \cdot e^{1^{2} + 1}$ = $1 \cdot e^{2}$ ≈ 7.389
Aber: f(-1) = ${(- 1)}^{2} \cdot e^{{(- 1)}^{2} - 1}$ = $1 \cdot e^{0}$ ≈ 1

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x) + \lg (\frac{2}{x^{4}}) - \lg (\frac{800}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (4 x) + \lg (\frac{2}{x^{4}}) - \lg (\frac{800}{x^{3}})$

= $\lg (4 x) + \lg (2 x^{- 4}) - \lg (800 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (800) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (4) + \lg (x) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (800) - \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x) + \lg (2) - 4 \lg (x) - \lg (800) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + \lg (x) + \lg (2) - 4 \lg (x) - \lg (800) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (800) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800} \cdot 4 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{- 0,3 x + 0,6}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{- 0,3 x + 0,6}$ können die Funktionswerte von $2 e^{- 0,3 x + 0,6}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{- 0,3 x + 0,6}$	=	$y$	\|: $2$
$e^{- 0,3 x + 0,6}$	=	$\frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,6$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$

$- 0,3 x + 0,6$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$	\| $- 0,6$
$- 0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y) - 0,6$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{2} y) + \frac{0,6}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,6}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,6}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,12}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,12}^{t}$ ablesen: a=1.12.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.12( $2$ ) ≈ 6.12 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 11%. 7 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 49,83Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 54 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,11}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Stunden der Bestand 49.83 Millionen Bakterien ist, also f(7) = 49.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,11}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.11⁷ = 49.83

c ⋅ 2.07616 = 49.83 | : 2.07616

c = 24

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $24 \cdot {1,11}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $24 \cdot {1,11}^{4}$ ≈ 36,434.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 54 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 54:

$24 \cdot {1,11}^{t}$	=	$54$	\|: $24$
${1,11}^{t}$	=	$\frac{9}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,11}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{4})$
$t \cdot \lg (1,11)$	=	$\lg (\frac{9}{4})$	\|: $\lg (1,11)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{4})}{\lg (1,11)}$

t

=

7,7705

Nach ca. 7,771 Stunden ist also der Bestand = 54 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben