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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{2 500 x^{5}}) + \lg (50 x^{4})$ soweit wie möglich.

$- \lg (\frac{1}{50 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{2 500 x^{5}}) + \lg (50 x^{4})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{2500} x^{- 5}) + \lg (50 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{2500}) + \lg (\frac{1}{x^{5}})) + (\lg (50) + \lg (x^{4}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{2500}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (50) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2500}) - 5 \lg (x) + \lg (50) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (2 500) - 5 \lg (x) + \lg (50) + 4 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (2 500) + \lg (50) + \lg (50)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{2 500} \cdot 50 \cdot 50)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 50)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (625) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) + \lg (\frac{25}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (625) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) + \lg (\frac{25}{x^{3}})$

= $- \lg (625) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 2}) + \lg (25 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (625) + \lg (1)) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $- \lg (625) - \lg (1) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (625) + 0 - \lg (\frac{1}{25}) + 2 \lg (x) + \lg (25) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (625) + 0 - \lg (1) + \lg (25) + 2 \lg (x) + \lg (25) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (625) + \lg (25) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{625} \cdot 25 \cdot 25)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,1 x + 0,1}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x + 0,1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x + 0,1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,1 x + 0,1}$ wird $e^{- 0,1 x + 0,1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,1 x + 0,1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,1 x + 0,1}$	=	$y$	\|: $- 4$
$e^{- 0,1 x + 0,1}$	=	$- \frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x + 0,1$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$

$- 0,1 x + 0,1$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$	\| $- 0,1$
$- 0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y) - 0,1$	\|:( $- 0,1$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{4} y) + \frac{0,1}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,1}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,1}{0,1}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $54 \cdot {1,3}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $54$

f(1) = $54$ ⋅ $1,3$

f(2) = $54$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

f(3) = $54$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

f(4) = $54$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,3$ multipliziert. Da $1,3$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,3$ -fache, also auf $130$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 130% - 100% = 30 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 71,47 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 11 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 72,5 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{1.4}{100}$ ) ⋅ B = 0,986 ⋅ B. Somit ist das a=0,986.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,986}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 71.47 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 71.47. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,986}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.986⁸ = 71.47

c ⋅ 0.89334 = 71.47 | : 0.89334

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,986}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $80 \cdot {0,986}^{11}$ ≈ 68,507.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 72.5 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 72.5:

$80 \cdot {0,986}^{t}$	=	$72,5$	\|: $80$
${0,986}^{t}$	=	$0,9063$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,986}^{t})$	=	$\lg (0,9063)$
$t \cdot \lg (0,986)$	=	$\lg (0,9063)$	\|: $\lg (0,986)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,9063)}{\lg (0,986)}$

t

=

6,9782

Nach ca. 6,978 Jahre ist also der Bestand = 72.5 Millionen Einwohner.

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Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben