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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{106})$ liegt.

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{106}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{106}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{125}$ = $\frac{1}{5^{3}}$ = 5^-3 < $\frac{1}{106}$ und auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2 > $\frac{1}{106}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{106})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{106}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
5^-3 = $\frac{1}{5^{3}}$ = $\frac{1}{125}$ < $\frac{1}{106}$ < $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{5} (\frac{1}{106})$ < -2

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,3 x - 0,6} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{0,3 x - 0,6}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,3 x - 0,6}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,3 x - 0,6} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{0,3 x - 0,6}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,6$	=	$\ln (y - 3)$

$0,3 x - 0,6$	=	$\ln (y - 3)$	\| $+ 0,6$
$0,3 x$	=	$\ln (y - 3) + 0,6$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (y - 3) + \frac{0,6}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (x - 3) + \frac{0,6}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (x - 3) + \frac{0,6}{0,3}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 90 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 22,8 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 90 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 22.8 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{22,8}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[22,8]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $- 0,97$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $0,97$

Das gesuchte a ist somit $0,97$ ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $90 \cdot {0,97}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 10751,33€. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 10751.33 € ist, also f(10) = 10751.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ ein:

$8 000 a^{10}$	=	$10 751,33$	\|: $8 000$
$a^{10}$	=	$1,34392$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{1,34392}$	= $- 1,03$
a₂	=	$\sqrt[10]{1,34392}$	= $1,03$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,03$ ≈ 1.03 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,03}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $8 000 \cdot {1,03}^{5}$ ≈ 9274,193.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$8 000 \cdot {1,03}^{t}$	=	$9 000$	\|: $8 000$
${1,03}^{t}$	=	$\frac{9}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,03}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{8})$
$t \cdot \lg (1,03)$	=	$\lg (\frac{9}{8})$	\|: $\lg (1,03)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{8})}{\lg (1,03)}$

t

=

3,9847

Nach ca. 3,985 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben