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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 2}$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 2}$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x - 2}$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x - 2}$ gegen 0 .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{2}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{40 x})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{2}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{40 x})$

= $\lg (2 x^{3}) + \lg (2 x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{40} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{3}) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{40}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{3}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{40}) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (2) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{40}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (2) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (40) - \lg (x)$

= $- \lg (40) + \lg (2) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40} \cdot 2 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{- 0,1 x + 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x + 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x + 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{- 0,1 x + 0,3}$ können die Funktionswerte von $4 e^{- 0,1 x + 0,3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{- 0,1 x + 0,3}$	=	$y$	\|: $4$
$e^{- 0,1 x + 0,3}$	=	$\frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x + 0,3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$

$- 0,1 x + 0,3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$	\| $- 0,3$
$- 0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y) - 0,3$	\|:( $- 0,1$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{4} y) + \frac{0,3}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,3}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,3}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,054}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,054}^{t}$ ablesen: a=1.054.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.054( $2$ ) ≈ 13.18 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 15% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 10,9kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 5 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$ ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,85}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 10.9 kg ist, also f(8) = 10.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,85}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.85⁸ = 10.9

c ⋅ 0.27249 = 10.9 | : 0.27249

c = 40

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $40 \cdot {0,85}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $40 \cdot {0,85}^{5}$ ≈ 17,748.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$40 \cdot {0,85}^{t}$	=	$10$	\|: $40$
${0,85}^{t}$	=	$\frac{1}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,85}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{4})$
$t \cdot \lg (0,85)$	=	$\lg (\frac{1}{4})$	\|: $\lg (0,85)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{4})}{\lg (0,85)}$

t

=

8,53

Nach ca. 8,53 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben