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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{12} (80)$ liegt.

Wir suchen $12$ er-Potenzen in der Näher von $80$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $80$ ist.

Dabei kommt man auf $12$ = 12¹ < $80$ und auf $12^{2}$ = 12² > $80$ .

Und da wir bei $\log_{12} (80)$ ja das ☐ von 12^☐ = $80$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
12¹ = $12$ < $80$ < $12^{2}$ = 12²

Es gilt somit: 1 < $\log_{12} (80)$ < 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x + 4 k) \cdot e^{x + 2 k} + 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x + 4 k) \cdot e^{x + 2 k}$ = 0 wird, wenn $x + 4 k$ = 0 ist, also für x = $- 4 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 4 k$ ) = $((- 4 k) + 4 k) \cdot e^{(- 4 k) + 2 k} + 3$ = $0 + 3$ = $3$ sein.
Da bei x = $- 4 k$ bei ( $x + 4 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 4 k$ | $3$ ) im abgebildeten Graph bei P(3| $3$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 4 k$ = 3
Also gilt k = $- \frac{3}{4}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{3}{4}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 0,3 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{- 0,3 x}$ wird $e^{- 0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{- 0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- 2 e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{- 0,3 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{- 0,3 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- 2 e^{- 0,3 x}$	=	$y + 2$	\|: $- 2$
$e^{- 0,3 x}$	=	$- \frac{1}{2} y - 1$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - 1)$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} y - 1)$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} y - 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} x - 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} x - 1)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,888}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,888}^{t}$ ablesen: a=0.888.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.888( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 5.84 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3% verzinst. 6 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 8358,37€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 13 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7700€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$ ) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,03}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 8358.37 € ist, also f(6) = 8358.37. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,03}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.03⁶ = 8358.37

c ⋅ 1.19405 = 8358.37 | : 1.19405

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,03}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $7 000 \cdot {1,03}^{13}$ ≈ 10279,736.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7700 € ist, also f(t) = 7700:

$7 000 \cdot {1,03}^{t}$	=	$7 700$	\|: $7 000$
${1,03}^{t}$	=	$\frac{11}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,03}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{10})$
$t \cdot \lg (1,03)$	=	$\lg (\frac{11}{10})$	\|: $\lg (1,03)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{10})}{\lg (1,03)}$

t

=

3,2244

Nach ca. 3,224 Jahre ist also der Kontostand = 7700 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben