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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{8})$ liegt.

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{8}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{8}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^{2}}$ = 4^-2 < $\frac{1}{8}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 > $\frac{1}{8}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{8})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{8}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
4^-2 = $\frac{1}{4^{2}}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{8}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1

Es gilt somit: -2 < $\log_{4} (\frac{1}{8})$ < -1

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $e^{\frac{7}{10} x + 4 k} + 4 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{7}{10} x + 4 k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $4 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $4 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -3, somit muss $4 k$ = -3 gelten;
Also gilt k = $- \frac{3}{4}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{3}{4}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,3 x - 0,6} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{0,3 x - 0,6}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,3 x - 0,6}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,3 x - 0,6} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{0,3 x - 0,6}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,6$	=	$\ln (y - 2)$

$0,3 x - 0,6$	=	$\ln (y - 2)$	\| $+ 0,6$
$0,3 x$	=	$\ln (y - 2) + 0,6$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (y - 2) + \frac{0,6}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (x - 2) + \frac{0,6}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (x - 2) + \frac{0,6}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 6% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 0,94 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,94.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.94( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 11.2 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,6% seiner Bevölkerung. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 56,25 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 12 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 53,6 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{1.6}{100}$ ) ⋅ B = 0,984 ⋅ B. Somit ist das a=0,984.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,984}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 56.25 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 56.25. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,984}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.984⁴ = 56.25

c ⋅ 0.93752 = 56.25 | : 0.93752

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,984}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $60 \cdot {0,984}^{12}$ ≈ 49,442.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 53.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 53.6:

$60 \cdot {0,984}^{t}$	=	$53,6$	\|: $60$
${0,984}^{t}$	=	$0,8933$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,984}^{t})$	=	$\lg (0,8933)$
$t \cdot \lg (0,984)$	=	$\lg (0,8933)$	\|: $\lg (0,984)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,8933)}{\lg (0,984)}$

t

=

6,9955

Nach ca. 6,996 Jahre ist also der Bestand = 53.6 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben