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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{1}{2} x^{3}) + \lg (\frac{50}{x^{5}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{1}{2} x^{3}) + \lg (\frac{50}{x^{5}})$

= $\lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{1}{2} x^{3}) + \lg (50 x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{2}) + (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{3})) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $\lg (4) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{3}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2}) + 3 \lg (x) + \lg (50) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (50) - 5 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (4) - \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50 \cdot 4}{2})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{2 500 x}) - \lg (\frac{1}{50 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{2 500 x}) - \lg (\frac{1}{50 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2})$

= $\lg (\frac{1}{2500} x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{50} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500}) + \lg (\frac{1}{x}) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{2500}) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500}) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (2 500) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - 2 \lg (x)$

= $- \lg (2 500) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500} \cdot 50 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 3} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $3 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 3}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 3} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$3 e^{x - 3}$	=	$y - 1$	\|: $3$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{3} y - \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) + 3$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $96 \cdot {1,1}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $96$

f(1) = $96$ ⋅ $1,1$

f(2) = $96$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

f(3) = $96$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

f(4) = $96$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,1$ multipliziert. Da $1,1$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,1$ -fache, also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 92,17Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 720 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$ ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,29}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 92.17 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 92.17. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,29}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.29⁶ = 92.17

c ⋅ 4.60827 = 92.17 | : 4.60827

c = 20

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {1,29}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $20 \cdot {1,29}^{9}$ ≈ 197,851.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 720 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 720:

$20 \cdot {1,29}^{t}$	=	$720$	\|: $20$
${1,29}^{t}$	=	$36$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,29}^{t})$	=	$\lg (36)$
$t \cdot \lg (1,29)$	=	$\lg (36)$	\|: $\lg (1,29)$
$t$	=	$\frac{\lg (36)}{\lg (1,29)}$

t

=

14,0728

Nach ca. 14,073 Stunden ist also der Bestand = 720 Millionen Bakterien.

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Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben