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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x · 2 e x 2 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) · 2 e ( -x ) 2 = -2 x · e x 2

Wenn man das mit f(x) = x · 2 e x 2 = 2 x · e x 2 vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = -2 x · e x 2 gerade das Negative von f(x), also -f(x) = -2 x · e x 2 ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 250000 x 4 ) - lg( 1 50 x ) + lg( 50 x 3 ) soweit wie möglich.

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- lg( 250000 x 4 ) - lg( 1 50 x ) + lg( 50 x 3 )

= - lg( 250000 x -4 ) - lg( 1 50 x ) + lg( 50 x -3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 250000 ) + lg( 1 x 4 ) ) - ( lg( 1 50 ) + lg( x ) ) + ( lg( 50 ) + lg( 1 x 3 ) )

= - lg( 250000 ) - lg( 1 x 4 ) - lg( 1 50 ) - lg( x ) + lg( 50 ) + lg( 1 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 250000 ) +4 lg( x ) - lg( 1 50 ) - lg( x ) + lg( 50 ) -3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 250000 ) +4 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 50 ) - lg( x ) + lg( 50 ) -3 lg( x )

= - lg( 250000 ) + lg( 50 ) + lg( 50 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 250.000 · 50 · 50 )

= lg( 1 100 )

= lg( 10 -2 )

= -2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e 0,2x -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e 0,2x wird e 0,2x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e 0,2x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem -3 e 0,2x wird zu allen Funktionswerten von -3 e 0,2x noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e 0,2x -2 = y | +2
-3 e 0,2x = y +2 |:-3
e 0,2x = - 1 3 y - 2 3 |ln(⋅)
0,2x = ln( - 1 3 y - 2 3 ) |:0,2
x = 1 0,2 ln( - 1 3 y - 2 3 )
x = 5 ln( - 1 3 y - 2 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 ln( - 1 3 x - 2 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 ln( - 1 3 x - 2 3 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1,3% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 1.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.3% dazukommen,
also Bneu = B + 1.3 100 ⋅B = (1 + 1.3 100 ) ⋅ B = 1,013 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,013.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.013(2) ≈ 53.66 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 14% abnimmt. 10 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 2,66 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,1 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also Bneu = B - 14 100 ⋅B = (1 - 14 100 ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,86 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 2.66 Millionen Insekten ist, also f(10) = 2.66. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,86 t ein:

c ⋅ 0.8610 = 2.66

c ⋅ 0.2213 = 2.66 | : 0.2213

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 12 0,86 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 12 0,86 5 5,645.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.1:

12 0,86 t = 3,1 |:12
0,86 t = 0,2583 |lg(⋅)
lg( 0,86 t ) = lg( 0,2583 )
t · lg( 0,86 ) = lg( 0,2583 ) |: lg( 0,86 )
t = lg( 0,2583 ) lg( 0,86 )
t = 8,975

Nach ca. 8,975 Jahre ist also der Bestand = 3.1 Millionen Insekten.