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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot (e^{x} - e^{- x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} \cdot (e^{- x} - e^{x})$ = $- x^{3} \cdot (e^{- x} - e^{x})$ = $x^{3} \cdot e^{x} - x^{3} \cdot e^{- x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} \cdot (e^{x} - e^{- x})$ = $x^{3} \cdot e^{x} - x^{3} \cdot e^{- x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- k x \cdot e^{k x - k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $- k x \cdot e^{k x - k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $- k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - k} + 3 k$ = $3 k$ = 3

$3 k$ = $3$ |: $3$

$k$ = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 1} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 1}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 1} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$4 e^{x - 1}$	=	$y - 3$	\|: $4$
$e^{x - 1}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$

$x - 1$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4}) + 1$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$ ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,32.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.32( $2$ ) ≈ 2.5 Stunden

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Nach 12 Wochen zählt man bereits 23744,11 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 14000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$ ) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,16}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 23744.11 Nutzer ist, also f(12) = 23744.11. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,16}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.16¹² = 23744.11

c ⋅ 5.93603 = 23744.11 | : 5.93603

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,16}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $4 000 \cdot {1,16}^{5}$ ≈ 8401,367.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 14000 Nutzer ist, also f(t) = 14000:

$4 000 \cdot {1,16}^{t}$	=	$14 000$	\|: $4 000$
${1,16}^{t}$	=	$\frac{7}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,16}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{2})$
$t \cdot \lg (1,16)$	=	$\lg (\frac{7}{2})$	\|: $\lg (1,16)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{2})}{\lg (1,16)}$

t

=

8,4407

Nach ca. 8,441 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 14000 Nutzer.

$3 k$	=	$3$	\|: $3$
$k$	=	$1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben