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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt[5]{5})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt[5]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{5}$ als $5^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{5}}$

$\log_{5} (\sqrt[5]{5})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{5}$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $\frac{3}{2}$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,3 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,3 x}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,3 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3 e^{0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{0,3 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,3 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$3 e^{0,3 x}$	=	$y + 2$	\|: $3$
$e^{0,3 x}$	=	$\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$
$x$	=	$\frac{10}{3} \ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3} \ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{10}{3} \ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,915}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,915}^{t}$ ablesen: a=0.915.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.915( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.8 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 40,34Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 13 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 34 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$ ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,26}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Stunden der Bestand 40.34 Millionen Bakterien ist, also f(10) = 40.34. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,26}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.26¹⁰ = 40.34

c ⋅ 10.08569 = 40.34 | : 10.08569

c = 4

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 \cdot {1,26}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $4 \cdot {1,26}^{13}$ ≈ 80,701.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 34 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 34:

$4 \cdot {1,26}^{t}$	=	$34$	\|: $4$
${1,26}^{t}$	=	$\frac{17}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,26}^{t})$	=	$\lg (\frac{17}{2})$
$t \cdot \lg (1,26)$	=	$\lg (\frac{17}{2})$	\|: $\lg (1,26)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{17}{2})}{\lg (1,26)}$

t

=

9,2599

Nach ca. 9,26 Stunden ist also der Bestand = 34 Millionen Bakterien.

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Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben