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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{27})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{27})$ = $- 3$ , eben weil $3$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{3}}) + \lg (25 x) - \lg (\frac{10}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{4}{x^{3}}) + \lg (25 x) - \lg (\frac{10}{x^{2}})$

= $\lg (4 x^{- 3}) + \lg (25 x) - \lg (10 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + (\lg (25) + \lg (x)) - (\lg (10) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (25) + \lg (x) - \lg (10) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 3 \lg (x) + \lg (25) + \lg (x) - \lg (10) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 3 \lg (x) + \lg (25) + \lg (x) - \lg (10) + 2 \lg (x)$

= $\lg (25) - \lg (10) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{10} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{x - 3} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x - 3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x - 3} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{x - 3}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (y - 2)$

$x - 3$	=	$\ln (y - 2)$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (y - 2) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (x - 2) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (x - 2) + 3$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 13,5 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 20kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 13.5 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{13,5}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[13,5]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{13,5}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{13,5}}$ ≈ 0.95, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {0,95}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 4329,73€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 5000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,02}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 4329.73 € ist, also f(4) = 4329.73. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,02}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.02⁴ = 4329.73

c ⋅ 1.08243 = 4329.73 | : 1.08243

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $4 000 \cdot {1,02}^{7}$ ≈ 4594,743.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:

$4 000 \cdot {1,02}^{t}$	=	$5 000$	\|: $4 000$
${1,02}^{t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{4})$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (\frac{5}{4})$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{4})}{\lg (1,02)}$

t

=

11,2684

Nach ca. 11,268 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.

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log berechnen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben