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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + e^{x^{4}}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} + e^{{(- x)}^{4}}$ = $- x^{3} + e^{x^{4}}$ = $e^{x^{4}} - x^{3}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} + e^{x^{4}}$ = $e^{x^{4}} + x^{3}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^{x^{4}} - x^{3}$
weder gleich f(x) = $x^{3} + e^{x^{4}}$ noch gleich -f(x) = $- (x^{3} + e^{x^{4}})$ = $- (e^{x^{4}} + x^{3})$ ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = $1^{3} + e^{1^{4}}$ = $1 + e$ ≈ 3.718
Aber: f(-1) = ${(- 1)}^{3} + e^{{(- 1)}^{4}}$ = $- 1 + e$ ≈ 1.718

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{5}{10} x - k} + 2 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{5}{10} x - k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $2 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $2 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 5, somit muss $2 k$ = 5 gelten;
Also gilt k = $\frac{5}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{5}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 3} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $4 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 3}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 3} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$4 e^{x - 3}$	=	$y + 1$	\|: $4$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{4} y + \frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{4}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4}) + 3$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,962}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,962}^{t}$ ablesen: a=0.962.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.962( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 17.89 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. Zu Beginn sind 90kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $90 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $90 \cdot {0,92}^{4}$ ≈ 64,475.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$90 \cdot {0,92}^{t}$	=	$40$	\|: $90$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{4}{9}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{4}{9})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{4}{9})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{4}{9})}{\lg (0,92)}$

t

=

9,7255

Nach ca. 9,726 Tage ist also der Bestand = 40 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben