Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{128})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{128}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{128}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{128}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{128}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{128})$ = $- 7$ , eben weil $2$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{128}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{4 000 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2} x) + \lg (2 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{4 000 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2} x) + \lg (2 x^{4})$

= $\lg (\frac{1}{4000} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{2} x) + \lg (2 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x)) + (\lg (2) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (\frac{1}{4000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x) + \lg (2) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000}) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (4 000) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (4 000) + \lg (2) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000} \cdot 2 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{x - 2} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x - 2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x - 2} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{x - 2}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (y - 2)$

$x - 2$	=	$\ln (y - 2)$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (y - 2) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (x - 2) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (x - 2) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 9% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$ ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,91.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.91( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.35 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 11 Milionen Bakterien. 8 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 84,35Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 411 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 84.35 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 84.35. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $11 \cdot a^{t}$ ein:

$11 a^{8}$	=	$84,35$	\|: $11$
$a^{8}$	=	$7,66818$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{7,66818}$	≈ $- 1,29$
a₂	=	$\sqrt[8]{7,66818}$	≈ $1,29$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,29$ ≈ 1.29 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {1,29}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $11 \cdot {1,29}^{5}$ ≈ 39,295.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 411 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 411:

$11 \cdot {1,29}^{t}$	=	$411$	\|: $11$
${1,29}^{t}$	=	$\frac{411}{11}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,29}^{t})$	=	$\lg (\frac{411}{11})$
$t \cdot \lg (1,29)$	=	$\lg (\frac{411}{11})$	\|: $\lg (1,29)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{411}{11})}{\lg (1,29)}$

t

=

14,2188

Nach ca. 14,219 Stunden ist also der Bestand = 411 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben