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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x^{2} + 3}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} \cdot e^{2 {(- x)}^{2} + 3}$ = $- x^{3} \cdot e^{2 x^{2} + 3}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} \cdot e^{2 x^{2} + 3}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x^{3} \cdot e^{2 x^{2} + 3}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- x^{3} \cdot e^{2 x^{2} + 3}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{500} x) + \lg (20 x^{2}) - \lg (\frac{1}{25} x)$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{500} x) + \lg (20 x^{2}) - \lg (\frac{1}{25} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500}) + \lg (x) + (\lg (20) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x))$

= $\lg (\frac{1}{500}) + \lg (x) + \lg (20) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500}) + \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (500) + \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (500) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{500} \cdot 25 \cdot 20)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,4 x + 1,2} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 1,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 1,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{- 0,4 x + 1,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,4 x + 1,2}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,4 x + 1,2} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{- 0,4 x + 1,2}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 1,2$	=	$\ln (y + 3)$

$- 0,4 x + 1,2$	=	$\ln (y + 3)$	\| $- 1,2$
$- 0,4 x$	=	$\ln (y + 3) - 1,2$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (y + 3) + \frac{1,2}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (x + 3) + \frac{1,2}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (x + 3) + \frac{1,2}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,898}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,898}^{t}$ ablesen: a=0.898.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.898( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 6.44 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4% verzinst. Zu Beginn sind 8000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 8 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 13000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $8 000 \cdot {1,04}^{8}$ ≈ 10948,552.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 13000 € ist, also f(t) = 13000:

$8 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$13 000$	\|: $8 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{13}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{13}{8})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{13}{8})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{13}{8})}{\lg (1,04)}$

t

=

12,3789

Nach ca. 12,379 Jahre ist also der Kontostand = 13000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben