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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 14 ( 1 196 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 196 zur Basis 14, also die Hochzahl mit der man 14 potenzieren muss, um auf 1 196 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 14☐ = 1 196 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 14-Potenz zu schreiben versuchen, also 14☐ = 1 196

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 14 ( 1 196 ) = -2, eben weil 14-2 = 1 196 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 ⋅a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 ⋅ 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +0,3 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e -0,1x +0,3 wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x +0,3 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +0,3 +1 = y | -1
e -0,1x +0,3 = y -1 |ln(⋅)
-0,1x +0,3 = ln( y -1 )
-0,1x +0,3 = ln( y -1 ) | -0,3
-0,1x = ln( y -1 ) -0,3 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( y -1 ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( x -1 ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( x -1 ) + 0,3 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also Bneu = B + 20 100 ⋅B = (1 + 20 100 ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.2(2) ≈ 3.8 Stunden

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. Zu Beginn sind 7000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 12 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 7000⋅ 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = 7000⋅ 1,02 12 ≈ 8877,693.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

7000⋅ 1,02 t = 9000 |:7000
1,02 t = 9 7 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 9 7 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 9 7 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 9 7 ) lg( 1,02 )
t = 12,691

Nach ca. 12,691 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.