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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 ( 1 27 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 27 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 1 27 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3 = 1 27 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 3-Potenz zu schreiben versuchen, also 3 = 1 27

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 3 ( 1 27 ) = -3, eben weil 3-3 = 1 27 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 4 x 3 ) + lg( 25x ) - lg( 10 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 4 x 3 ) + lg( 25x ) - lg( 10 x 2 )

= lg( 4 x -3 ) + lg( 25x ) - lg( 10 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 4 ) + lg( 1 x 3 ) + ( lg( 25 ) + lg( x ) ) - ( lg( 10 ) + lg( 1 x 2 ) )

= lg( 4 ) + lg( 1 x 3 ) + lg( 25 ) + lg( x ) - lg( 10 ) - lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 4 ) -3 lg( x ) + lg( 25 ) + lg( x ) - lg( 10 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 4 ) -3 lg( x ) + lg( 25 ) + lg( x ) - lg( 10 ) +2 lg( x )

= lg( 25 ) - lg( 10 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 25 10 · 4 )

= lg( 10 )

= lg( 10 )

= 1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e x -3 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e x -3 wird zu allen Funktionswerten von e x -3 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e x -3 +2 = y | -2
e x -3 = y -2 |ln(⋅)
x -3 = ln( y -2 )
x -3 = ln( y -2 ) | +3
x = ln( y -2 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( x -2 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( x -2 ) +3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 13,5 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 20kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 13.5 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 13,5 = 1 2 | 13,5
a = ( 1 2 ) 1 13,5

Das gesuchte a ist somit ( 1 2 ) 1 13,5 ≈ 0.95, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 20 0,95 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 4329,73€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 5000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,02 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 4329.73 € ist, also f(4) = 4329.73. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,02 t ein:

c ⋅ 1.024 = 4329.73

c ⋅ 1.08243 = 4329.73 | : 1.08243

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4000 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 4000 1,02 7 4594,743.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:

4000 1,02 t = 5000 |:4000
1,02 t = 5 4 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 5 4 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 5 4 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 5 4 ) lg( 1,02 )
t = 11,2684

Nach ca. 11,268 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.