Mathebattle EduRandomtasks

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{0.00001}{x}) - 5 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{0.00001}{x}) - 5 \lg (x)$
= $\lg (0.00001) - \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $\lg (10^{- 5}) - \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 5 - \lg (x) - 5 \lg (x)$
= $- 6 \lg (x) - 5$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,3 x + 0,9} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{- 0,3 x + 0,9}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,3 x + 0,9}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,3 x + 0,9} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (y + 2)$

$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (y + 2)$	\| $- 0,9$
$- 0,3 x$	=	$\ln (y + 2) - 0,9$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (y + 2) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (x + 2) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (x + 2) + \frac{0,9}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 25% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{25}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{25}{100}$ ) ⋅ B = 1,25 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,25.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.25( $2$ ) ≈ 3.11 Wochen

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seines Bestands. Zu Beginn sind 60kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $60 \cdot {0,93}^{8}$ ≈ 33,575.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$60 \cdot {0,93}^{t}$	=	$20$	\|: $60$
${0,93}^{t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{3})$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (\frac{1}{3})$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{3})}{\lg (0,93)}$

t

=

15,1385

Nach ca. 15,139 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben