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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (71)$ liegt.

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $71$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $71$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{6}$ = 2⁶ < $71$ und auf $2^{7}$ = 2⁷ > $71$ .

Und da wir bei $\log_{2} (71)$ ja das ☐ von 2^☐ = $71$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 6 und 7 liegen, wegen:
2⁶ = $2^{6}$ < $71$ < $2^{7}$ = 2⁷

Es gilt somit: 6 < $\log_{2} (71)$ < 7

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{4}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{1600})$ soweit wie möglich.

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$\lg (4 x^{2}) + \lg (\frac{4}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{1600})$

= $\lg (4 x^{2}) + \lg (4 x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{1600})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{2}) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{1600}) + \lg (1))$

= $\lg (4) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{1600}) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1600}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (4) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (1 600) + 0$

= $- \lg (1 600) + \lg (4) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1600} \cdot 4 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 2} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $4 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 2}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 2} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$4 e^{x - 2}$	=	$y + 3$	\|: $4$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{4} y + \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) + 2$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $135 \cdot {0,7}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $135$

f(1) = $135$ ⋅ $0,7$

f(2) = $135$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$

f(3) = $135$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$

f(4) = $135$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,7$ multipliziert. Da $0,7$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,7$ -fache, also auf $70$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 70% = 30 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 8% abnimmt. 8 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 5,65 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 9 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,8 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,92}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 5.65 Millionen Insekten ist, also f(8) = 5.65. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,92}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.92⁸ = 5.65

c ⋅ 0.51322 = 5.65 | : 0.51322

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $11 \cdot {0,92}^{9}$ ≈ 5,194.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.8 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.8:

$11 \cdot {0,92}^{t}$	=	$4,8$	\|: $11$
${0,92}^{t}$	=	$0,4364$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (0,4364)$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (0,4364)$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,4364)}{\lg (0,92)}$

t

=

9,9446

Nach ca. 9,945 Jahre ist also der Bestand = 4.8 Millionen Insekten.

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Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

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