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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (400)$ - $\lg (4)$ .

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$\lg (400)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{400}{4})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - k$ = 0 ist, also für x = $k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$ ) = $- ((k) - k) \cdot e^{(k) - \frac{1}{2} k} + 1$ = $0 + 1$ = $1$ sein.
Da bei x = $k$ bei ( $x - k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$ | $1$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 1
Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,4 x} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,4 x}$ wird $e^{- 0,4 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,4 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- 4 e^{- 0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{- 0,4 x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,4 x} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- 4 e^{- 0,4 x}$	=	$y - 1$	\|: $- 4$
$e^{- 0,4 x}$	=	$- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$	\|: $- 0,4$
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$
$x$	=	$- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{4})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{4})$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 4,7 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 2000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,7}$	=	$2$	\| $\sqrt[4,7]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{4,7}}$	≈ $- 1,159$
a₂	=	$2^{\frac{1}{4,7}}$	≈ $1,159$

Das gesuchte a ist somit $1,159$ ≈ 1.16, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,16}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 11 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 32000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$ ) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,16}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $2 000 \cdot {1,16}^{11}$ ≈ 10234,529.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 32000 Nutzer ist, also f(t) = 32000:

$2 000 \cdot {1,16}^{t}$	=	$32 000$	\|: $2 000$
${1,16}^{t}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,16}^{t})$	=	$\lg (16)$
$t \cdot \lg (1,16)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (1,16)$
$t$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (1,16)}$

t

=

18,6807

Nach ca. 18,681 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 32000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben