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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ = $- 7$ , eben weil $10$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{5}{10} x + k} + k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{5}{10} x + k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -2, somit muss $k$ = -2 gelten;
Also gilt k = $- 2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 2$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{x - 3} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x - 3}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x - 3} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{x - 3}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (y + 3)$

$x - 3$	=	$\ln (y + 3)$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (y + 3) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (x + 3) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (x + 3) + 3$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7,5% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 7.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7.5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{7.5}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{7.5}{100}$ ) ⋅ B = 1,075 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,075.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.075( $2$ ) ≈ 9.58 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,5% seiner Bevölkerung. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 55,88 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 58,5 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.5}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{1.5}{100}$ ) ⋅ B = 0,985 ⋅ B. Somit ist das a=0,985.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,985}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 55.88 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 55.88. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,985}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.985¹⁰ = 55.88

c ⋅ 0.85973 = 55.88 | : 0.85973

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $65 \cdot {0,985}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $65 \cdot {0,985}^{9}$ ≈ 56,733.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 58.5 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 58.5:

$65 \cdot {0,985}^{t}$	=	$58,5$	\|: $65$
${0,985}^{t}$	=	$0,9$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,985}^{t})$	=	$\lg (0,9)$
$t \cdot \lg (0,985)$	=	$\lg (0,9)$	\|: $\lg (0,985)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,9)}{\lg (0,985)}$

t

=

6,9712

Nach ca. 6,971 Jahre ist also der Bestand = 58.5 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben