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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{125}{x^{2}}) + \lg (5) + \lg (25 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{125}{x^{2}}) + \lg (5) + \lg (25 x^{3})$

= $- \lg (125 x^{- 2}) + \lg (5) + \lg (25 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (125) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (5) + \lg (1)) + (\lg (25) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (125) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (5) + \lg (1) + \lg (25) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (125) + 2 \lg (x) + \lg (5) + 0 + \lg (25) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (125) + 2 \lg (x) + \lg (5) + 0 + \lg (25) + 3 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{50}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) - \lg (\frac{12 500}{x})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{50}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) - \lg (\frac{12 500}{x})$

= $\lg (50 x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 2}) - \lg (12500 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (12500) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (12500) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 2 \lg (x) - \lg (12500) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 2 \lg (x) - \lg (12 500) + \lg (x)$

= $- \lg (12 500) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{12500} \cdot 50 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{- 0,4 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{- 0,4 x}$ können die Funktionswerte von $4 e^{- 0,4 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4 e^{- 0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{- 0,4 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{- 0,4 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$4 e^{- 0,4 x}$	=	$y - 3$	\|: $4$
$e^{- 0,4 x}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$	\|: $- 0,4$
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$
$x$	=	$- \frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 8,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 40kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 40 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 8.3 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{8,3}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[8,3]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{8,3}}$	≈ $- 0,92$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{8,3}}$	≈ $0,92$

Das gesuchte a ist somit $0,92$ ≈ 0.92, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $40 \cdot {0,92}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seines Bestands. Zu Beginn sind 80kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$ ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,9}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $80 \cdot {0,9}^{9}$ ≈ 30,994.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$80 \cdot {0,9}^{t}$	=	$10$	\|: $80$
${0,9}^{t}$	=	$\frac{1}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{8})$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (\frac{1}{8})$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{8})}{\lg (0,9)}$

t

=

19,7364

Nach ca. 19,736 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

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Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben