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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 2 ( 1 6 ) liegt.

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Wir suchen 2er-Potenzen in der Näher von 1 6 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 6 ist.

Dabei kommt man auf 1 8 = 1 2 3 = 2-3 < 1 6 und auf 1 4 = 1 2 2 = 2-2 > 1 6 .

Und da wir bei log 2 ( 1 6 ) ja das ☐ von 2 = 1 6 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
2-3 = 1 2 3 = 1 8 < 1 6 < 1 4 = 1 2 2 = 2-2

Es gilt somit: -3 < log 2 ( 1 6 ) < -2

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 2 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 2 = 1 2 a | ⋅ 2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e 0,4x -1,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -1,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -1,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e 0,4x -1,2 können die Funktionswerte von 4 e 0,4x -1,2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e 0,4x -1,2 = y |:4
e 0,4x -1,2 = 1 4 y |ln(⋅)
0,4x -1,2 = ln( 1 4 y )
0,4x -1,2 = ln( 1 4 y ) | +1,2
0,4x = ln( 1 4 y ) +1,2 |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 4 y ) + 1,2 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( 1 4 x ) + 1,2 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( 1 4 x ) + 1,2 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,02.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.02(2) ≈ 35 Stunden

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 44,77kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 10 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also Bneu = B - 7 100 ⋅B = (1 - 7 100 ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,93 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 44.77 kg ist, also f(8) = 44.77. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,93 t ein:

c ⋅ 0.938 = 44.77

c ⋅ 0.55958 = 44.77 | : 0.55958

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,93 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Tage, also f(10):

f(10) = 80 0,93 10 38,719.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

80 0,93 t = 40 |:80
0,93 t = 1 2 |lg(⋅)
lg( 0,93 t ) = lg( 1 2 )
t · lg( 0,93 ) = lg( 1 2 ) |: lg( 0,93 )
t = lg( 1 2 ) lg( 0,93 )
t = 9,5513

Nach ca. 9,551 Tage ist also der Bestand = 40 kg.