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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{8})$ .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{8}$ um: $\frac{1}{8}$ = $8^{- 1}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{8}$ = $8^{- 1}$ = ${(2^{3})}^{- 1}$ = $2^{- 3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{- 3}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{- 3}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{8})$ = $\log_{4} (2^{- 3})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{- 3}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{- 3}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{- 3}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{8})$ = $\log_{4} (2^{- 3})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{8}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{9}{10} x - k} + 2 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{9}{10} x - k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $2 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $2 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 2, somit muss $2 k$ = 2 gelten;
Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,6} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{0,2 x - 0,6}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,6}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,6} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{0,2 x - 0,6}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y + 1)$

$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y + 1)$	\| $+ 0,6$
$0,2 x$	=	$\ln (y + 1) + 0,6$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y + 1) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 1) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 1) + \frac{0,6}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 18% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{18}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{18}{100}$ ) ⋅ B = 1,18 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,18.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.18( $2$ ) ≈ 4.19 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. 12 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 2,44 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 13 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Jahre der Bestand 2.44 Millionen Insekten ist, also f(12) = 2.44. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $13 \cdot a^{t}$ ein:

$13 a^{12}$	=	$2,44$	\|: $13$
$a^{12}$	=	$\frac{2,44}{13}$	\| $\sqrt[12]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[12]{\frac{2,44}{13}}$	≈ $- 0,87$
a₂	=	$\sqrt[12]{\frac{2,44}{13}}$	≈ $0,87$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,87$ ≈ 0.87 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $13 \cdot {0,87}^{13}$ ≈ 2,127.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$13 \cdot {0,87}^{t}$	=	$3$	\|: $13$
${0,87}^{t}$	=	$\frac{3}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{13})$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (\frac{3}{13})$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{13})}{\lg (0,87)}$

t

=

10,5293

Nach ca. 10,529 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben