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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 ( 1 100.000.000 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 100.000.000 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 1 100.000.000 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10☐ = 1 100.000.000 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 10-Potenz zu schreiben versuchen, also 10☐ = 1 100.000.000

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 10 ( 1 100.000.000 ) = -8, eben weil 10-8 = 1 100.000.000 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: 3 2 = 1 2 ⋅a = 1 2 a .

Es gilt also: 3 2 = 1 2 a | ⋅ 2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 ⋅ 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -2 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -2 können die Funktionswerte von 2 e x -2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem 2 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -2 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -2 -1 = y | +1
2 e x -2 = y +1 |:2
e x -2 = 1 2 y + 1 2 |ln(⋅)
x -2 = ln( 1 2 y + 1 2 )
x -2 = ln( 1 2 y + 1 2 ) | +2
x = ln( 1 2 y + 1 2 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x + 1 2 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x + 1 2 ) +2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6,4% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 6.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6.4% weggehen,
also Bneu = B - 6.4 100 ⋅B = (1 - 6.4 100 ) ⋅ B = 0,936 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,936.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.936( 1 2 ) ≈ 10.48 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 12% seines Bestands. 2 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 30,98kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 6 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also Bneu = B - 12 100 ⋅B = (1 - 12 100 ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,88 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 30.98 kg ist, also f(2) = 30.98. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,88 t ein:

c ⋅ 0.882 = 30.98

c ⋅ 0.7744 = 30.98 | : 0.7744

c = 40

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 40⋅ 0,88 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = 40⋅ 0,88 6 ≈ 18,576.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

40⋅ 0,88 t = 20 |:40
0,88 t = 1 2 |lg(⋅)
lg( 0,88 t ) = lg( 1 2 )
t · lg( 0,88 ) = lg( 1 2 ) |: lg( 0,88 )
t = lg( 1 2 ) lg( 0,88 )
t = 5,4223

Nach ca. 5,422 Tage ist also der Bestand = 20 kg.