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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 + e x 2 +1 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 + e ( -x ) 2 +1 = x 2 + e x 2 +1 = e x 2 +1 + x 2

Wenn man das mit f(x) = x 2 + e x 2 +1 = e x 2 +1 + x 2 vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= 4 k e k x -4 k -3 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann 4 k e k x -4 k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x -4 k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm 4 k e k x -4 k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei -3 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x -4 k = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x -4 k = 0 | - ( -4 k )
    k x = 4 k |:( k )
    x = 4
    Wenn wir nun 4 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(4 ) = 4 k e k 4 -4 k -3 = 4k -3
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(4 ) = 0 ablesen, es gilt somit:
    4k -3 = 0 | +3
    4k = 3 |:4
    k = 3 4 = 0.75

Der abgebildete Graph ist somit der von f 3 4

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e 0,3x -0,9 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,9 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,9 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e 0,3x -0,9 können die Funktionswerte von 4 e 0,3x -0,9 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e 0,3x -0,9 = y |:4
e 0,3x -0,9 = 1 4 y |ln(⋅)
0,3x -0,9 = ln( 1 4 y )
0,3x -0,9 = ln( 1 4 y ) | +0,9
0,3x = ln( 1 4 y ) +0,9 |:0,3
x = 1 0,3 ln( 1 4 y ) + 0,9 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( 1 4 x ) + 0,9 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( 1 4 x ) + 0,9 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 18% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also Bneu = B + 18 100 ⋅B = (1 + 18 100 ) ⋅ B = 1,18 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,18.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.18(2) ≈ 4.19 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 62,44 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 11 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 56,5 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 65 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 62.44 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 62.44. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 65 a t ein:

65 a 4 = 62,44 |:65
a 4 = 0,96062 | 4
a1 = - 0,96062 4 -0,99
a2 = 0,96062 4 0,99

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,99 ≈ 0.99 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 65 0,99 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = 65 0,99 11 58,197.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 56.5 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 56.5:

65 0,99 t = 56,5 |:65
0,99 t = 0,8692 |lg(⋅)
lg( 0,99 t ) = lg( 0,8692 )
t · lg( 0,99 ) = lg( 0,8692 ) |: lg( 0,99 )
t = lg( 0,8692 ) lg( 0,99 )
t = 13,948

Nach ca. 13,948 Jahre ist also der Bestand = 56.5 Millionen Einwohner.