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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{250} x) + \lg (50 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{5}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{250} x) + \lg (50 x^{3})$

= $\lg (5 x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{250} x) + \lg (50 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (\frac{1}{250}) + \lg (x)) + (\lg (50) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{250}) + \lg (x) + \lg (50) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250}) + \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (250) + \lg (x) + \lg (50) + 3 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 2$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,2} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{0,2 x - 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,2}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,2} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{0,2 x - 0,2}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (y + 2)$

$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (y + 2)$	\| $+ 0,2$
$0,2 x$	=	$\ln (y + 2) + 0,2$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y + 2) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 2) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 2) + \frac{0,2}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,132}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,132}^{t}$ ablesen: a=1.132.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.132( $2$ ) ≈ 5.59 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 34,03kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 9 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 30,8kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 0,98 ⋅ B. Somit ist das a=0,98.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,98}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 34.03 kg ist, also f(8) = 34.03. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,98}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.98⁸ = 34.03

c ⋅ 0.85076 = 34.03 | : 0.85076

c = 40

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $40 \cdot {0,98}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $40 \cdot {0,98}^{9}$ ≈ 33,35.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30.8 kg ist, also f(t) = 30.8:

$40 \cdot {0,98}^{t}$	=	$30,8$	\|: $40$
${0,98}^{t}$	=	$0,77$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,98}^{t})$	=	$\lg (0,77)$
$t \cdot \lg (0,98)$	=	$\lg (0,77)$	\|: $\lg (0,98)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,77)}{\lg (0,98)}$

t

=

12,9371

Nach ca. 12,937 Tage ist also der Bestand = 30.8 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben