Mathebattle EduRandomtasks

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{4} (200)$ - $\log_{4} (50)$ .

Lösung einblenden

$\log_{4} (200)$ - $\log_{4} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{4} (\frac{200}{50})$

= $\log_{4} (4)$

= 1

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{1000} x^{3}) + \lg (\frac{50}{x^{6}}) + \lg (20 x^{4})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{1000} x^{3}) + \lg (\frac{50}{x^{6}}) + \lg (20 x^{4})$

= $\lg (\frac{1}{1000} x^{3}) + \lg (50 x^{- 6}) + \lg (20 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x^{3}) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{6}})) + (\lg (20) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x^{3}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (20) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000}) + 3 \lg (x) + \lg (50) - 6 \lg (x) + \lg (20) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (1 000) + 3 \lg (x) + \lg (50) - 6 \lg (x) + \lg (20) + 4 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (1 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{1 000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,3 x - 0,3} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{0,3 x - 0,3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,3 x - 0,3}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,3 x - 0,3} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{0,3 x - 0,3}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (y + 2)$

$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (y + 2)$	\| $+ 0,3$
$0,3 x$	=	$\ln (y + 2) + 0,3$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (y + 2) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (x + 2) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (x + 2) + \frac{0,3}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 17% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{17}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{17}{100}$ ) ⋅ B = 0,83 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,83.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.83( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 3.72 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,6% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 6 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2.6}{100}$ ) ⋅ B = 0,974 ⋅ B. Somit ist das a=0,974.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $65 \cdot {0,974}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $65 \cdot {0,974}^{6}$ ≈ 55,497.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$65 \cdot {0,974}^{t}$	=	$45$	\|: $65$
${0,974}^{t}$	=	$\frac{9}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,974}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{13})$
$t \cdot \lg (0,974)$	=	$\lg (\frac{9}{13})$	\|: $\lg (0,974)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{13})}{\lg (0,974)}$

t

=

13,9586

Nach ca. 13,959 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben