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cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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log berechnen (einfach)
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Wir suchen den Logarithmus von zur Basis , also die Hochzahl mit der man potenzieren muss, um auf zu kommen.
Also was muss in das Kästchen, damit ☐ = gilt.
Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:
= , eben weil = gilt .
Term aus Graph bestimmen
Beispiel:
Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.
Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|), also gilt f(0)=.
In den allgemeinen Funktionsterm eingesezt bedeutet das: = = c ⋅ 1.
Dadurch wissen wir nun schon: c = , also .
Außerdem können wir den Punkt (1|) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = .
In unseren Funktionsterm eingesezt bedeutet das: = = .
Es gilt also: =
Somit ist der Funtionsterm:
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch den negativen Koeffizienten vor wird an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2,4% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.
Die prozentuale Abnahme um 2.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.4% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,976 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=0,976.
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga().
Also TH = log0.976() ≈ 28.53 Tage
c und a gegeben
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seines Bestands. Zu Beginn sind 20kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):
f(4) = ≈ 13,715.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 7,35 Tage ist also der Bestand = 10 kg.