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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) - \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $3 + \lg (x) - \lg (x)$
= $3$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 3$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 3$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,6} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{- 0,2 x + 0,6}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,2 x + 0,6}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,6} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{- 0,2 x + 0,6}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,6$	=	$\ln (y + 3)$

$- 0,2 x + 0,6$	=	$\ln (y + 3)$	\| $- 0,6$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y + 3) - 0,6$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y + 3) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x + 3) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x + 3) + \frac{0,6}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13,4% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 13.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13.4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13.4}{100}$ ) ⋅ B = 0,866 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,866.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.866( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.82 Tage

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 70kg vorhanden. Nach 6 Tagen nach sind nur noch 32,51kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 32.51 kg ist, also f(6) = 32.51. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ ein:

$70 a^{6}$	=	$32,51$	\|: $70$
$a^{6}$	=	$\frac{32,51}{70}$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{\frac{32,51}{70}}$	≈ $- 0,88$
a₂	=	$\sqrt[6]{\frac{32,51}{70}}$	≈ $0,88$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,88$ ≈ 0.88 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,88}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $70 \cdot {0,88}^{8}$ ≈ 25,174.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$70 \cdot {0,88}^{t}$	=	$10$	\|: $70$
${0,88}^{t}$	=	$\frac{1}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,88}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{7})$
$t \cdot \lg (0,88)$	=	$\lg (\frac{1}{7})$	\|: $\lg (0,88)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{7})}{\lg (0,88)}$

t

=

15,2222

Nach ca. 15,222 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben