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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x^{2} + x}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} \cdot e^{{(- x)}^{2} + (- x)}$ = $- x^{3} \cdot e^{x^{2} - x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} \cdot e^{x^{2} + x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x^{3} \cdot e^{x^{2} - x}$
weder gleich f(x) = $x^{3} \cdot e^{x^{2} + x}$ noch gleich -f(x) = $- x^{3} \cdot e^{x^{2} + x}$ = $- x^{3} \cdot e^{x^{2} + x}$ ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = $1^{3} \cdot e^{1^{2} + 1}$ = $1 \cdot e^{2}$ ≈ 7.389
Aber: f(-1) = ${(- 1)}^{3} \cdot e^{{(- 1)}^{2} - 1}$ = $- 1 \cdot e^{0}$ ≈ -1

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $2$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{- 0,1 x} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{- 0,1 x}$ können die Funktionswerte von $3 e^{- 0,1 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $3 e^{- 0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{- 0,1 x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{- 0,1 x} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$3 e^{- 0,1 x}$	=	$y - 1$	\|: $3$
$e^{- 0,1 x}$	=	$\frac{1}{3} y - \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$	\|: $- 0,1$
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$
$x$	=	$- 10 \ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 10 \ln (\frac{1}{3} x - \frac{1}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 10 \ln (\frac{1}{3} x - \frac{1}{3})$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $159 \cdot {0,55}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $159$

f(1) = $159$ ⋅ $0,55$

f(2) = $159$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

f(3) = $159$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

f(4) = $159$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,55$ multipliziert. Da $0,55$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,55$ -fache, also auf $55$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer. Nach 13 Wochen zählt man bereits 36379,79 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 3000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 36379.79 Nutzer ist, also f(13) = 36379.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ ein:

$2 000 a^{13}$	=	$36 379,79$	\|: $2 000$
$a^{13}$	=	$18,1899$	\| $\sqrt[13]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[13]{18,1899}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[13]{18,1899}$ ≈ 1.25 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,25}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $2 000 \cdot {1,25}^{8}$ ≈ 11920,929.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer ist, also f(t) = 3000:

$2 000 \cdot {1,25}^{t}$	=	$3 000$	\|: $2 000$
${1,25}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,25}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,25)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,25)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,25)}$

t

=

1,8171

Nach ca. 1,817 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben