Mathebattle EduRandomtasks

Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot (e^{x} + e^{- x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot (e^{- x} + e^{x})$ = $- x \cdot (e^{- x} + e^{x})$ = $- x \cdot e^{x} - x \cdot e^{- x}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot (e^{x} + e^{- x})$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x \cdot e^{x} - x \cdot e^{- x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- (x \cdot e^{x} + x \cdot e^{- x})$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 3$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 3$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,4 x - 0,8}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,4 x - 0,8}$ wird $e^{0,4 x - 0,8}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,4 x - 0,8}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,4 x - 0,8}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{0,4 x - 0,8}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,8$
$0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) + 0,8$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,8}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,856}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,856}^{t}$ ablesen: a=0.856.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.856( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.46 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 70kg vorhanden. Nach 2 Tagen nach sind nur noch 59,25kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 13 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 50kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 59.25 kg ist, also f(2) = 59.25. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ ein:

$70 a^{2}$	=	$59,25$	\|: $70$
$a^{2}$	=	$0,84643$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{0,84643}$	≈ $- 0,92$
a₂	=	$\sqrt{0,84643}$	≈ $0,92$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,92$ ≈ 0.92 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $70 \cdot {0,92}^{13}$ ≈ 23,678.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 kg ist, also f(t) = 50:

$70 \cdot {0,92}^{t}$	=	$50$	\|: $70$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{5}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{7})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{5}{7})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{7})}{\lg (0,92)}$

t

=

4,0353

Nach ca. 4,035 Tage ist also der Bestand = 50 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben