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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (128)$ .

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^{7}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $2^{7}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{7}$ = ${(4^{\frac{1}{2}})}^{7}$ = $4^{\frac{7}{2}}$

$\log_{4} (128)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{7}$ = $4^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{7}$ = $4^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $2^{7}$ = $4^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (128)$ = $\log_{4} (4^{\frac{7}{2}})$ = $\frac{7}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{7}{2}$} = $128$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 2$ ), also gilt f(0)= $- 2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 2$ , also $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 4$ = $- 2 \cdot a$ = $- 2 a$ .

Es gilt also: $- 4$ = $- 2 a$ | ⋅ $- \frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{0,3 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{0,3 x}$ wird $e^{0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 2 e^{0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{0,3 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{0,3 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 2 e^{0,3 x}$	=	$y + 3$	\|: $- 2$
$e^{0,3 x}$	=	$- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$
$x$	=	$\frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,055}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,055}^{t}$ ablesen: a=1.055.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.055( $2$ ) ≈ 12.95 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 10% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 6,2 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$ ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,9}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $13 \cdot {0,9}^{4}$ ≈ 8,529.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6.2:

$13 \cdot {0,9}^{t}$	=	$6,2$	\|: $13$
${0,9}^{t}$	=	$0,4769$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (0,4769)$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (0,4769)$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,4769)}{\lg (0,9)}$

t

=

7,0278

Nach ca. 7,028 Jahre ist also der Bestand = 6.2 Millionen Insekten.

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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

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