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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{3})$ liegt.

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ = 4^-1 < $\frac{1}{3}$ und auf $1$ = $1$ = 4^-0 > $\frac{1}{3}$ .

Und da wir bei $\log_{4} (\frac{1}{3})$ ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{3}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4^-1 = $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{3}$ < $1$ = $1$ = 4^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{4} (\frac{1}{3})$ < -0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{50}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{100} x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{50}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{100} x^{3})$

= $\lg (2 x^{2}) + \lg (50 x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{100} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (50) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (50) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (100) + 3 \lg (x)$

= $3 \lg (x) - \lg (100) + \lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 50 \cdot 2)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,1 x} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,1 x}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,1 x} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{0,1 x}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$0,1 x$	=	$\ln (y + 1)$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (y + 1)$
$x$	=	$10 \ln (y + 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10 \ln (x + 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $10 \ln (x + 1)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,887}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,887}^{t}$ ablesen: a=0.887.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.887( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 5.78 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 13% vermehrt. Nach 3 Wochen zählt man bereits 1442,9 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 4000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 13% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{13}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{13}{100}$ ) ⋅ B = 1,13 ⋅ B. Somit ist das a=1,13.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,13}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 1442.9 Nutzer ist, also f(3) = 1442.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,13}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.13³ = 1442.9

c ⋅ 1.4429 = 1442.9 | : 1.4429

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,13}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $1 000 \cdot {1,13}^{8}$ ≈ 2658,444.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 4000 Nutzer ist, also f(t) = 4000:

$1 000 \cdot {1,13}^{t}$	=	$4 000$	\|: $1 000$
${1,13}^{t}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,13}^{t})$	=	$\lg (4)$
$t \cdot \lg (1,13)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (1,13)$
$t$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (1,13)}$

t

=

11,3428

Nach ca. 11,343 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 4000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben