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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + e^{x^{2} + x}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{2} + e^{{(- x)}^{2} + (- x)}$ = $x^{2} + e^{x^{2} - x}$ = $e^{x^{2} - x} + x^{2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{2} + e^{x^{2} + x}$ = $e^{x^{2} + x} + x^{2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^{x^{2} - x} + x^{2}$
weder gleich f(x) = $x^{2} + e^{x^{2} + x}$ noch gleich -f(x) = $- (x^{2} + e^{x^{2} + x})$ = $- (e^{x^{2} + x} + x^{2})$ ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = $1^{2} + e^{1^{2} + 1}$ = $1 + e^{2}$ ≈ 8.389
Aber: f(-1) = ${(- 1)}^{2} + e^{{(- 1)}^{2} - 1}$ = $1 + e^{0}$ ≈ 2

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{6}{10} x + 2 k} + 6 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{6}{10} x + 2 k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $6 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $6 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -3, somit muss $6 k$ = -3 gelten;
Also gilt k = $- \frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 2} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{x - 2}$ wird $e^{x - 2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{x - 2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 3 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{x - 2}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{x - 2} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 3 e^{x - 2}$	=	$y + 3$	\|: $- 3$
$e^{x - 2}$	=	$- \frac{1}{3} y - 1$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - 1)$

$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - 1)$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - 1) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{3} x - 1) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{3} x - 1) + 2$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $149 \cdot {1,2}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $149$

f(1) = $149$ ⋅ $1,2$

f(2) = $149$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$

f(3) = $149$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$

f(4) = $149$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$ ⋅ $1,2$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,2$ multipliziert. Da $1,2$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,2$ -fache, also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 9% abnimmt. 15 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 2,67 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 9 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 6,9 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$ ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,91}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 15 Jahre der Bestand 2.67 Millionen Insekten ist, also f(15) = 2.67. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,91}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.91¹⁵ = 2.67

c ⋅ 0.24301 = 2.67 | : 0.24301

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,91}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $11 \cdot {0,91}^{9}$ ≈ 4,707.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6.9:

$11 \cdot {0,91}^{t}$	=	$6,9$	\|: $11$
${0,91}^{t}$	=	$0,6273$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,91}^{t})$	=	$\lg (0,6273)$
$t \cdot \lg (0,91)$	=	$\lg (0,6273)$	\|: $\lg (0,91)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,6273)}{\lg (0,91)}$

t

=

4,9446

Nach ca. 4,945 Jahre ist also der Bestand = 6.9 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben