Mathebattle EduRandomtasks

log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (30 290 499)$ liegt.

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $30 290 499$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $30 290 499$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{7}$ = 10⁷ < $30 290 499$ und auf $10^{8}$ = 10⁸ > $30 290 499$ .

Und da wir bei $\log_{10} (30 290 499)$ ja das ☐ von 10^☐ = $30 290 499$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = $10^{7}$ < $30 290 499$ < $10^{8}$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < $\log_{10} (30 290 499)$ < 8

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 2$ ), also gilt f(0)= $- 2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 2$ , also $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 4$ = $- 2 \cdot a$ = $- 2 a$ .

Es gilt also: $- 4$ = $- 2 a$ | ⋅ $- \frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,6} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{0,2 x - 0,6}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,6}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,6} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{0,2 x - 0,6}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y - 1)$

$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y - 1)$	\| $+ 0,6$
$0,2 x$	=	$\ln (y - 1) + 0,6$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y - 1) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,6}{0,2}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $185 \cdot {1,35}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $185$

f(1) = $185$ ⋅ $1,35$

f(2) = $185$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(3) = $185$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(4) = $185$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,35$ multipliziert. Da $1,35$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,35$ -fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 13% vermehrt. Nach 8 Wochen zählt man bereits 21267,55 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 38000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 13% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{13}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{13}{100}$ ) ⋅ B = 1,13 ⋅ B. Somit ist das a=1,13.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,13}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 21267.55 Nutzer ist, also f(8) = 21267.55. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,13}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.13⁸ = 21267.55

c ⋅ 2.65844 = 21267.55 | : 2.65844

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,13}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $8 000 \cdot {1,13}^{9}$ ≈ 24032,336.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 38000 Nutzer ist, also f(t) = 38000:

$8 000 \cdot {1,13}^{t}$	=	$38 000$	\|: $8 000$
${1,13}^{t}$	=	$\frac{19}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,13}^{t})$	=	$\lg (\frac{19}{4})$
$t \cdot \lg (1,13)$	=	$\lg (\frac{19}{4})$	\|: $\lg (1,13)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{19}{4})}{\lg (1,13)}$

t

=

12,7489

Nach ca. 12,749 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 38000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben