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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 5 x 2 ) + lg( 1 250 x ) + lg( 50 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 5 x 2 ) + lg( 1 250 x ) + lg( 50 x 3 )

= lg( 5 x -2 ) + lg( 1 250 x ) + lg( 50 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 5 ) + lg( 1 x 2 ) + ( lg( 1 250 ) + lg( x ) ) + ( lg( 50 ) + lg( x 3 ) )

= lg( 5 ) + lg( 1 x 2 ) + lg( 1 250 ) + lg( x ) + lg( 50 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 5 ) -2 lg( x ) + lg( 1 250 ) + lg( x ) + lg( 50 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 5 ) -2 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 250 ) + lg( x ) + lg( 50 ) +3 lg( x )

= 2 lg( x ) - lg( 250 ) + lg( 50 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 2 lg( x ) + lg( 1 250 · 50 · 5 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 )

= 2 lg( x )

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -2 = -a = -a .

Es gilt also: -2 = -a | ⋅ -1

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,2 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem e 0,2x -0,2 wird zu allen Funktionswerten von e 0,2x -0,2 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,2 -2 = y | +2
e 0,2x -0,2 = y +2 |ln(⋅)
0,2x -0,2 = ln( y +2 )
0,2x -0,2 = ln( y +2 ) | +0,2
0,2x = ln( y +2 ) +0,2 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y +2 ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x +2 ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x +2 ) + 0,2 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,132 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,132 t ablesen: a=1.132.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.132(2) ≈ 5.59 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 34,03kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 9 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 30,8kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also Bneu = B - 2 100 ⋅B = (1 - 2 100 ) ⋅ B = 0,98 ⋅ B. Somit ist das a=0,98.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,98 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 34.03 kg ist, also f(8) = 34.03. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,98 t ein:

c ⋅ 0.988 = 34.03

c ⋅ 0.85076 = 34.03 | : 0.85076

c = 40

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 40 0,98 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = 40 0,98 9 33,35.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30.8 kg ist, also f(t) = 30.8:

40 0,98 t = 30,8 |:40
0,98 t = 0,77 |lg(⋅)
lg( 0,98 t ) = lg( 0,77 )
t · lg( 0,98 ) = lg( 0,77 ) |: lg( 0,98 )
t = lg( 0,77 ) lg( 0,98 )
t = 12,9371

Nach ca. 12,937 Tage ist also der Bestand = 30.8 kg.