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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $1 + (e^{x} + e^{- x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $1 + (e^{- x} + e^{x})$ = $e^{x} + e^{- x} + 1$

Wenn man das mit f(x) = $1 + (e^{x} + e^{- x})$ = $e^{x} + e^{- x} + 1$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- k x \cdot e^{k x - k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $- k x \cdot e^{k x - k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $- k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - k} + 3 k$ = $3 k$ = 3

$3 k$ = $3$ |: $3$

$k$ = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 3} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{x - 3}$ wird $e^{x - 3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{x - 3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 3 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{x - 3}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{x - 3} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 3 e^{x - 3}$	=	$y + 3$	\|: $- 3$
$e^{x - 3}$	=	$- \frac{1}{3} y - 1$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - 1)$

$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - 1)$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - 1) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{3} x - 1) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{3} x - 1) + 3$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $28 \cdot {0,55}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $28$

f(1) = $28$ ⋅ $0,55$

f(2) = $28$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

f(3) = $28$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

f(4) = $28$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,55$ multipliziert. Da $0,55$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,55$ -fache, also auf $55$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 17% abnimmt. 5 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 3,94 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 7 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 6,9 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{17}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{17}{100}$ ) ⋅ B = 0,83 ⋅ B. Somit ist das a=0,83.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,83}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Jahre der Bestand 3.94 Millionen Insekten ist, also f(5) = 3.94. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,83}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.83⁵ = 3.94

c ⋅ 0.3939 = 3.94 | : 0.3939

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,83}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $10 \cdot {0,83}^{7}$ ≈ 2,714.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6.9:

$10 \cdot {0,83}^{t}$	=	$6,9$	\|: $10$
${0,83}^{t}$	=	$0,69$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,83}^{t})$	=	$\lg (0,69)$
$t \cdot \lg (0,83)$	=	$\lg (0,69)$	\|: $\lg (0,83)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,69)}{\lg (0,83)}$

t

=

1,9914

Nach ca. 1,991 Jahre ist also der Bestand = 6.9 Millionen Insekten.

$3 k$	=	$3$	\|: $3$
$k$	=	$1$

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Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben