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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (250 000)$ + $\lg (4)$ .

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$\lg (250 000)$ + $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250 000 \cdot 4)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x + 5 k) \cdot e^{x + \frac{5}{2} k} - 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x + 5 k) \cdot e^{x + \frac{5}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + 5 k$ = 0 ist, also für x = $- 5 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 5 k$ ) = $- ((- 5 k) + 5 k) \cdot e^{(- 5 k) + \frac{5}{2} k} - 2$ = $0 - 2$ = $- 2$ sein.
Da bei x = $- 5 k$ bei ( $x + 5 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 5 k$ | $- 2$ ) im abgebildeten Graph bei P(4| $- 2$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 5 k$ = 4
Also gilt k = $- \frac{4}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{4}{5}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 0,1 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{- 0,1 x}$ wird $e^{- 0,1 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{- 0,1 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 2 e^{- 0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{- 0,1 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{- 0,1 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 2 e^{- 0,1 x}$	=	$y + 3$	\|: $- 2$
$e^{- 0,1 x}$	=	$- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$	\|: $- 0,1$
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$
$x$	=	$- 10 \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 10 \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 10 \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 9% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$ ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,91.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.91( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.35 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer. Nach 3 Wochen zählt man bereits 7263,39 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 6 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 13000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 7263.39 Nutzer ist, also f(3) = 7263.39. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ ein:

$4 000 a^{3}$	=	$7 263,39$	\|: $4 000$
$a^{3}$	=	$1,81585$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{1,81585}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{1,81585}$ ≈ 1.22 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,22}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $4 000 \cdot {1,22}^{6}$ ≈ 13189,216.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 13000 Nutzer ist, also f(t) = 13000:

$4 000 \cdot {1,22}^{t}$	=	$13 000$	\|: $4 000$
${1,22}^{t}$	=	$\frac{13}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,22}^{t})$	=	$\lg (\frac{13}{4})$
$t \cdot \lg (1,22)$	=	$\lg (\frac{13}{4})$	\|: $\lg (1,22)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{13}{4})}{\lg (1,22)}$

t

=

5,9273

Nach ca. 5,927 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 13000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben