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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 10 (5825) liegt.

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Wir suchen 10er-Potenzen in der Näher von 5825, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 5825 ist.

Dabei kommt man auf 10 3 = 103 < 5825 und auf 10 4 = 104 > 5825.

Und da wir bei log 10 (5825) ja das ☐ von 10 = 5825 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
103 = 10 3 < 5825 < 10 4 = 104

Es gilt somit: 3 < log 10 (5825) < 4

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 4 x 3 ) + lg( 1 80 x 2 ) - lg( 1 2 x ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 4 x 3 ) + lg( 1 80 x 2 ) - lg( 1 2 x )

= - lg( 1 4 x 3 ) + lg( 1 80 x 2 ) - lg( 1 2 x -1 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 4 ) + lg( x 3 ) ) + ( lg( 1 80 ) + lg( x 2 ) ) - ( lg( 1 2 ) + lg( 1 x ) )

= - lg( 1 4 ) - lg( x 3 ) + lg( 1 80 ) + lg( x 2 ) - lg( 1 2 ) - lg( 1 x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 4 ) -3 lg( x ) + lg( 1 80 ) +2 lg( x ) - lg( 1 2 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 4 ) -3 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 80 ) +2 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 2 ) + lg( x )

= - lg( 80 ) + lg( 4 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 80 · 4 · 2 )

= lg( 1 10 )

= lg( 10 -1 )

= -1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e x -1 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem -2 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von -2 e x -1 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e x -1 +1 = y | -1
-2 e x -1 = y -1 |:-2
e x -1 = - 1 2 y + 1 2 |ln(⋅)
x -1 = ln( - 1 2 y + 1 2 )
x -1 = ln( - 1 2 y + 1 2 ) | +1
x = ln( - 1 2 y + 1 2 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 2 x + 1 2 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 2 x + 1 2 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,05 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,05 t ablesen: a=1.05.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.05(2) ≈ 14.21 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 60kg vorhanden. Nach 10 Tagen nach sind nur noch 18,71kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 4 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 60 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 18.71 kg ist, also f(10) = 18.71. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 60 a t ein:

60 a 10 = 18,71 |:60
a 10 = 18,71 60 | 10
a1 = - 18,71 60 10 -0,89
a2 = 18,71 60 10 0,89

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,89 ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60 0,89 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = 60 0,89 4 37,645.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

60 0,89 t = 30 |:60
0,89 t = 1 2 |lg(⋅)
lg( 0,89 t ) = lg( 1 2 )
t · lg( 0,89 ) = lg( 1 2 ) |: lg( 0,89 )
t = lg( 1 2 ) lg( 0,89 )
t = 5,948

Nach ca. 5,948 Tage ist also der Bestand = 30 kg.