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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) + \lg (x^{2})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{2})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\frac{5}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5 x^{3}}) + \lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{1}{10 x^{9}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{5 x^{3}}) + \lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{1}{10 x^{9}})$

= $- \lg (\frac{1}{5} x^{- 3}) + \lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{1}{10} x^{- 9})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (2) + \lg (x^{2})) + (\lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x^{9}}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (2) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x^{9}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) + 3 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10}) - 9 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) + 3 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (10) - 9 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (10) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10} \cdot 5 \cdot 2)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 2} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{x - 2}$ wird $e^{x - 2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{x - 2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- 3 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{x - 2}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{x - 2} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- 3 e^{x - 2}$	=	$y - 1$	\|: $- 3$
$e^{x - 2}$	=	$- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$

$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{1}{3}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1,7% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 1.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.7}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1.7}{100}$ ) ⋅ B = 1,017 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,017.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.017( $2$ ) ≈ 41.12 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 16,49Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 16,5 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,02}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 16.49 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 16.49. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,02}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.02¹² = 16.49

c ⋅ 1.26824 = 16.49 | : 1.26824

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $13 \cdot {1,02}^{4}$ ≈ 14,072.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 16.5 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 16.5:

$13 \cdot {1,02}^{t}$	=	$16,5$	\|: $13$
${1,02}^{t}$	=	$1,2692$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (1,2692)$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (1,2692)$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (1,2692)}{\lg (1,02)}$

t

=

12,0381

Nach ca. 12,038 Stunden ist also der Bestand = 16.5 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben