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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot (2 e^{x} - 2 e^{- x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} \cdot (2 e^{- x} - 2 e^{x})$ = $- x^{3} \cdot (2 e^{- x} - 2 e^{x})$ = $2 x^{3} \cdot e^{x} - 2 x^{3} \cdot e^{- x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} \cdot (2 e^{x} - 2 e^{- x})$ = $2 x^{3} \cdot e^{x} - 2 x^{3} \cdot e^{- x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{20} x^{2}) - \lg (\frac{1}{5 x})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{4}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{20} x^{2}) - \lg (\frac{1}{5 x})$

= $\lg (4 x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{20} x^{2}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,3 x - 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,3 x - 0,3}$ wird $e^{0,3 x - 0,3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,3 x - 0,3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,3 x - 0,3}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{0,3 x - 0,3}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,3$
$0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) + 0,3$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,3}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6,8% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 6.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6.8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6.8}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6.8}{100}$ ) ⋅ B = 1,068 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,068.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.068( $2$ ) ≈ 10.54 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 23%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 6 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 106 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$ ) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 \cdot {1,23}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $6 \cdot {1,23}^{8}$ ≈ 31,433.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 106 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 106:

$6 \cdot {1,23}^{t}$	=	$106$	\|: $6$
${1,23}^{t}$	=	$\frac{53}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,23}^{t})$	=	$\lg (\frac{53}{3})$
$t \cdot \lg (1,23)$	=	$\lg (\frac{53}{3})$	\|: $\lg (1,23)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{53}{3})}{\lg (1,23)}$

t

=

13,8719

Nach ca. 13,872 Stunden ist also der Bestand = 106 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben