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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (46)$ liegt.

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $46$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $46$ ist.

Dabei kommt man auf $4^{2}$ = 4² < $46$ und auf $4^{3}$ = 4³ > $46$ .

Und da wir bei $\log_{4} (46)$ ja das ☐ von 4^☐ = $46$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^{2}$ < $46$ < $4^{3}$ = 4³

Es gilt somit: 2 < $\log_{4} (46)$ < 3

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{100} x^{2}) + \lg (\frac{4}{x}) + \lg (25 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{100} x^{2}) + \lg (\frac{4}{x}) + \lg (25 x^{3})$

= $\lg (\frac{1}{100} x^{2}) + \lg (4 x^{- 1}) + \lg (25 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2}) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (25) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (25) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + 2 \lg (x) + \lg (4) - \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (100) + 2 \lg (x) + \lg (4) - \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,4 x + 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,4 x + 0,4}$ wird $e^{- 0,4 x + 0,4}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,4 x + 0,4}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$y$	\|: $- 4$
$e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$- \frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$

$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$	\| $- 0,4$
$- 0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y) - 0,4$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{4} y) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,4}{0,4}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 80 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 22,8 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 80 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 22.8 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{22,8}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[22,8]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $- 0,97$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $0,97$

Das gesuchte a ist somit $0,97$ ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,97}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7% verzinst. 8 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 12027,3€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 17000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 1,07 ⋅ B. Somit ist das a=1,07.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,07}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 12027.3 € ist, also f(8) = 12027.3. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,07}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.07⁸ = 12027.3

c ⋅ 1.71819 = 12027.3 | : 1.71819

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,07}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $7 000 \cdot {1,07}^{9}$ ≈ 12869,214.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 17000 € ist, also f(t) = 17000:

$7 000 \cdot {1,07}^{t}$	=	$17 000$	\|: $7 000$
${1,07}^{t}$	=	$\frac{17}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,07}^{t})$	=	$\lg (\frac{17}{7})$
$t \cdot \lg (1,07)$	=	$\lg (\frac{17}{7})$	\|: $\lg (1,07)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{17}{7})}{\lg (1,07)}$

t

=

13,1144

Nach ca. 13,114 Jahre ist also der Kontostand = 17000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben