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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{4} (16 x) - \log_{4} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{4} (16 x) - \log_{4} (x)$
= $\log_{4} (16) + \log_{4} (x) - \log_{4} (x)$
= $\log_{4} (4^{2}) + \log_{4} (x) - \log_{4} (x)$
= $2 + \log_{4} (x) - \log_{4} (x)$
= $2$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k e^{k x - k} - 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k e^{k x - k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x - k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $k e^{k x - k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $- 2$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x - k

= 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x - k$	=	0	\| - ( $- k$ )
$k x$	=	$k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$1$

Wenn wir nun

1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

1

) =

k e^{k \cdot 1 - k} - 2

=

k - 2

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

1

) = 0 ablesen, es gilt somit:

$k - 2$	=	0	\| $+ 2$
$k$	=	$2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{0,3 x - 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{0,3 x - 0,3}$ wird $e^{0,3 x - 0,3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{0,3 x - 0,3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{0,3 x - 0,3}$	=	$y$	\|: $- 4$
$e^{0,3 x - 0,3}$	=	$- \frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$

$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$	\| $+ 0,3$
$0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y) + 0,3$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} y) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,3}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,879}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,879}^{t}$ ablesen: a=0.879.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.879( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 5.37 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 5 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 66,4 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 0,98 ⋅ B. Somit ist das a=0,98.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot {0,98}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $75 \cdot {0,98}^{5}$ ≈ 67,794.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 66.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 66.4:

$75 \cdot {0,98}^{t}$	=	$66,4$	\|: $75$
${0,98}^{t}$	=	$0,8853$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,98}^{t})$	=	$\lg (0,8853)$
$t \cdot \lg (0,98)$	=	$\lg (0,8853)$	\|: $\lg (0,98)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,8853)}{\lg (0,98)}$

t

=

6,0303

Nach ca. 6,03 Jahre ist also der Bestand = 66.4 Millionen Einwohner.

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1. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben