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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( x ) + lg( 1 x ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( x ) + lg( 1 x )
= lg( x 1 2 ) + lg( x - 1 2 )
= 1 2 lg( x ) - 1 2 lg( x )
=0

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 1.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 1 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 1 = 1 2 a | ⋅ 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e -0,1x +0,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e -0,1x +0,2 wird e -0,1x +0,2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e -0,1x +0,2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e -0,1x +0,2 = y |:-4
e -0,1x +0,2 = - 1 4 y |ln(⋅)
-0,1x +0,2 = ln( - 1 4 y )
-0,1x +0,2 = ln( - 1 4 y ) | -0,2
-0,1x = ln( - 1 4 y ) -0,2 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( - 1 4 y ) + 0,2 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( - 1 4 x ) + 0,2 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( - 1 4 x ) + 0,2 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1,5% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 1.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.5% dazukommen,
also Bneu = B + 1.5 100 ⋅B = (1 + 1.5 100 ) ⋅ B = 1,015 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,015.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.015(2) ≈ 46.56 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 22% vermehrt. Nach 6 Wochen zählt man bereits 19783,82 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 7 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 16000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 22% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 22% dazukommen,
also Bneu = B + 22 100 ⋅B = (1 + 22 100 ) ⋅ B = 1,22 ⋅ B. Somit ist das a=1,22.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,22 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 19783.82 Nutzer ist, also f(6) = 19783.82. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,22 t ein:

c ⋅ 1.226 = 19783.82

c ⋅ 3.2973 = 19783.82 | : 3.2973

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,22 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = 6000 1,22 7 24136,265.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 16000 Nutzer ist, also f(t) = 16000:

6000 1,22 t = 16000 |:6000
1,22 t = 8 3 |lg(⋅)
lg( 1,22 t ) = lg( 8 3 )
t · lg( 1,22 ) = lg( 8 3 ) |: lg( 1,22 )
t = lg( 8 3 ) lg( 1,22 )
t = 4,9325

Nach ca. 4,933 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 16000 Nutzer.