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cosh
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Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.
Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch -1 addiert wird, ist der Graph von gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.
Da bei
das x von
durch ein 'x
Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
- Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
- Für x → ∞ strebt gegen .
- Für x → - ∞ strebt gegen = .
Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term soweit wie möglich.
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log() = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit mit unbekanntem Anfangswert c.
Bestimme die Halbwertszeit.
Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm ablesen: a=0.931.
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga().
Also TH = log0.931() ≈ 9.69 (Zeiteinheiten)
c und a gegeben
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6% seines Bestands. Zu Beginn sind 10kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 2,9kg vorhanden?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,94 ⋅ B. Somit ist das a=0,94.
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):
f(12) = ≈ 4,759.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.9 kg ist, also f(t) = 2.9:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 20,006 Tage ist also der Bestand = 2.9 kg.
