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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$ = $\log_{5} (5^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $e^{\frac{7}{10} x + 3 k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{7}{10} x + 3 k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $3 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $3 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -5, somit muss $3 k$ = -5 gelten;
Also gilt k = $- \frac{5}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{5}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{- 0,4 x + 0,8}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{- 0,4 x + 0,8}$ können die Funktionswerte von $2 e^{- 0,4 x + 0,8}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{- 0,4 x + 0,8}$	=	$y$	\|: $2$
$e^{- 0,4 x + 0,8}$	=	$\frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,8$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$

$- 0,4 x + 0,8$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$	\| $- 0,8$
$- 0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y) - 0,8$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{2} y) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,8}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 0,98 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,98.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.98( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 34.31 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 4 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 13 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 24 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$ ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 \cdot {1,32}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $4 \cdot {1,32}^{13}$ ≈ 147,748.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 24 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 24:

$4 \cdot {1,32}^{t}$	=	$24$	\|: $4$
${1,32}^{t}$	=	$6$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,32}^{t})$	=	$\lg (6)$
$t \cdot \lg (1,32)$	=	$\lg (6)$	\|: $\lg (1,32)$
$t$	=	$\frac{\lg (6)}{\lg (1,32)}$

t

=

6,4537

Nach ca. 6,454 Stunden ist also der Bestand = 24 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (schwer)

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben