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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (3)$ .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

$\log_{9} (3)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (3)$ = $\log_{9} (9^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $3 k e^{k x + 2 k} + 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $3 k e^{k x + 2 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + 2 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $3 k e^{k x + 2 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $2$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + 2 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + 2 k$	=	0	\| - ( $2 k$ )
$k x$	=	$- 2 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 2$

Wenn wir nun

- 2

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 2

) =

3 k e^{k \cdot (- 2) + 2 k} + 2

=

3 k + 2

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 2

) = 1 ablesen, es gilt somit:

$3 k + 2$	=	$1$	\| $- 2$
$3 k$	=	$- 1$	\|: $3$
$k$	=	$- \frac{1}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{1}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{x - 2} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{x - 2}$ wird $e^{x - 2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{x - 2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{x - 2}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{x - 2} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- e^{x - 2}$	=	$y + 1$	\|: $- 1$
$e^{x - 2}$	=	$- y - 1$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (- y - 1)$

$x - 2$	=	$\ln (- y - 1)$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (- y - 1) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- x - 1) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- x - 1) + 2$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $118 \cdot {0,95}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $118$

f(1) = $118$ ⋅ $0,95$

f(2) = $118$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

f(3) = $118$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

f(4) = $118$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,95$ multipliziert. Da $0,95$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,95$ -fache, also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer. Nach 12 Wochen zählt man bereits 6276,86 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 3000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 6276.86 Nutzer ist, also f(12) = 6276.86. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ ein:

$2 000 a^{12}$	=	$6 276,86$	\|: $2 000$
$a^{12}$	=	$3,13843$	\| $\sqrt[12]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[12]{3,13843}$	= $- 1,1$
a₂	=	$\sqrt[12]{3,13843}$	= $1,1$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,1$ ≈ 1.1 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,1}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $2 000 \cdot {1,1}^{9}$ ≈ 4715,895.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer ist, also f(t) = 3000:

$2 000 \cdot {1,1}^{t}$	=	$3 000$	\|: $2 000$
${1,1}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,1}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,1)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,1)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,1)}$

t

=

4,2542

Nach ca. 4,254 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer.

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log berechnen (schwer)

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben