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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x^{2} + 1}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} \cdot e^{3 {(- x)}^{2} + 1}$ = $- x^{3} \cdot e^{3 x^{2} + 1}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} \cdot e^{3 x^{2} + 1}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x^{3} \cdot e^{3 x^{2} + 1}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- x^{3} \cdot e^{3 x^{2} + 1}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $e^{\frac{7}{10} x + k} + 2 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{7}{10} x + k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $2 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $2 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -5, somit muss $2 k$ = -5 gelten;
Also gilt k = $- \frac{5}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{5}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 3} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $3 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 3}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 3} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$3 e^{x - 3}$	=	$y - 1$	\|: $3$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{3} y - \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{1}{3}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) + 3$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $18 \cdot {0,8}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $18$

f(1) = $18$ ⋅ $0,8$

f(2) = $18$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$

f(3) = $18$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$

f(4) = $18$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,8$ multipliziert. Da $0,8$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,8$ -fache, also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 2 Jahren beträgt der Kontostand bereits 3244,8€. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 5000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 3244.8 € ist, also f(2) = 3244.8. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $3 000 \cdot a^{t}$ ein:

$3 000 a^{2}$	=	$3 244,8$	\|: $3 000$
$a^{2}$	=	$1,0816$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{1,0816}$	= $- 1,04$
a₂	=	$\sqrt{1,0816}$	= $1,04$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,04$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $3 000 \cdot {1,04}^{4}$ ≈ 3509,576.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:

$3 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$5 000$	\|: $3 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{3})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{5}{3})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{3})}{\lg (1,04)}$

t

=

13,0244

Nach ca. 13,024 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben