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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{17} (14 450)$ - $\log_{17} (50)$ .

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$\log_{17} (14 450)$ - $\log_{17} (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{17} (\frac{14450}{50})$

= $\log_{17} (289)$

= $\log_{17} (17^{2})$

= 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{2}) - \lg (\frac{1}{50} x^{5}) + \lg (\frac{1}{100.000} x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (2 x^{2}) - \lg (\frac{1}{50} x^{5}) + \lg (\frac{1}{100.000} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{5})) + (\lg (\frac{1}{100.000}) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x^{5}) + \lg (\frac{1}{100.000}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100.000}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) - 5 \lg (x) + \lg (1) - \lg (100 000) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (100 000) + \lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000} \cdot 50 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,4 x + 0,4} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{- 0,4 x + 0,4}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,4 x + 0,4}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,4 x + 0,4} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (y + 3)$

$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (y + 3)$	\| $- 0,4$
$- 0,4 x$	=	$\ln (y + 3) - 0,4$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (y + 3) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (x + 3) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (x + 3) + \frac{0,4}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5,8% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 5.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5.8}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{5.8}{100}$ ) ⋅ B = 1,058 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,058.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.058( $2$ ) ≈ 12.29 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 7% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 11 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 5,1 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $13 \cdot {0,93}^{11}$ ≈ 5,851.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5.1:

$13 \cdot {0,93}^{t}$	=	$5,1$	\|: $13$
${0,93}^{t}$	=	$0,3923$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (0,3923)$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (0,3923)$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,3923)}{\lg (0,93)}$

t

=

12,894

Nach ca. 12,894 Jahre ist also der Bestand = 5.1 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben