nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( x 4 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( x 4 )
= 4 lg( x )
= 4 lg( x )

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -1.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: -1 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: -1 = - 1 2 a | ⋅ -2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e x -3 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e x -3 wird e x -3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e x -3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem - e x -3 wird zu allen Funktionswerten von - e x -3 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e x -3 -1 = y | +1
- e x -3 = y +1 |:-1
e x -3 = -y -1 |ln(⋅)
x -3 = ln( -y -1 )
x -3 = ln( -y -1 ) | +3
x = ln( -y -1 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( -x -1 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( -x -1 ) +3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,925 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,925 t ablesen: a=0.925.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.925( 1 2 ) ≈ 8.89 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 30kg vorhanden. Nach 6 Tagen nach sind nur noch 15,94kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 4 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 30 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 15.94 kg ist, also f(6) = 15.94. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 30 a t ein:

30 a 6 = 15,94 |:30
a 6 = 0,53133 | 6
a1 = - 0,53133 6 -0,9
a2 = 0,53133 6 0,9

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,9 ≈ 0.9 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 30 0,9 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = 30 0,9 4 19,683.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

30 0,9 t = 10 |:30
0,9 t = 1 3 |lg(⋅)
lg( 0,9 t ) = lg( 1 3 )
t · lg( 0,9 ) = lg( 1 3 ) |: lg( 0,9 )
t = lg( 1 3 ) lg( 0,9 )
t = 10,4272

Nach ca. 10,427 Tage ist also der Bestand = 10 kg.