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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{3}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{3}) + \lg (x^{2})$
= $3 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{10}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{25 x^{3}}) + \lg (4)$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{10}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{25 x^{3}}) + \lg (4)$

= $\lg (10 x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 3}) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (10) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (4) + \lg (1))$

= $\lg (10) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (4) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (10) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 3 \lg (x) + \lg (4) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (10) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (4) + 0$

= $\lg (25) + \lg (10) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 10 \cdot 4)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,1 x + 0,1}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x + 0,1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x + 0,1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,1 x + 0,1}$ wird $e^{- 0,1 x + 0,1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,1 x + 0,1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,1 x + 0,1}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{- 0,1 x + 0,1}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x + 0,1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$- 0,1 x + 0,1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $- 0,1$
$- 0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) - 0,1$	\|:( $- 0,1$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,1}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,1}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,1}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 9% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$ ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,91.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.91( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.35 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 7% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,6 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $12 \cdot {0,93}^{4}$ ≈ 8,977.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.6:

$12 \cdot {0,93}^{t}$	=	$2,6$	\|: $12$
${0,93}^{t}$	=	$0,2167$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (0,2167)$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (0,2167)$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,2167)}{\lg (0,93)}$

t

=

21,0724

Nach ca. 21,072 Jahre ist also der Bestand = 2.6 Millionen Insekten.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben