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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 (1) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 zur Basis 4, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 1 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4 = 1 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 4-Potenz zu schreiben versuchen, also 4 = 1

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 4 (1) = 0, eben weil 40 = 1 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k x · e k x + k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm k x · e k x + k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|-5) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = k · 0 · e k 0 + k + k = k = -5
    k = -5

Der abgebildete Graph ist somit der von f-5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e -0,4x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e -0,4x wird e -0,4x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e -0,4x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem -4 e -0,4x wird zu allen Funktionswerten von -4 e -0,4x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e -0,4x -3 = y | +3
-4 e -0,4x = y +3 |:-4
e -0,4x = - 1 4 y - 3 4 |ln(⋅)
-0,4x = ln( - 1 4 y - 3 4 ) |:-0,4
x = - 1 0,4 ln( - 1 4 y - 3 4 )
x = - 5 2 ln( - 1 4 y - 3 4 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 5 2 ln( - 1 4 x - 3 4 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 5 2 ln( - 1 4 x - 3 4 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,867 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,867 t ablesen: a=0.867.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.867( 1 2 ) ≈ 4.86 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 80kg vorhanden. Nach 2 Tagen nach sind nur noch 75,27kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 10 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 70,8kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 80 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 75.27 kg ist, also f(2) = 75.27. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 80 a t ein:

80 a 2 = 75,27 |:80
a 2 = 0,94088 | 2
a1 = - 0,94088 -0,97
a2 = 0,94088 0,97

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,97 ≈ 0.97 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,97 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Tage, also f(10):

f(10) = 80 0,97 10 58,994.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70.8 kg ist, also f(t) = 70.8:

80 0,97 t = 70,8 |:80
0,97 t = 0,885 |lg(⋅)
lg( 0,97 t ) = lg( 0,885 )
t · lg( 0,97 ) = lg( 0,885 ) |: lg( 0,97 )
t = lg( 0,885 ) lg( 0,97 )
t = 4,0109

Nach ca. 4,011 Tage ist also der Bestand = 70.8 kg.