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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,05)$ - $\lg (5)$ .

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$\lg (0,05)$ - $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.05}{5})$

= $\lg (0,01)$

= $\lg (10^{- 2})$

= -2

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,1 x} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,1 x}$ wird $e^{- 0,1 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,1 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- 4 e^{- 0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{- 0,1 x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,1 x} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- 4 e^{- 0,1 x}$	=	$y - 1$	\|: $- 4$
$e^{- 0,1 x}$	=	$- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$	\|: $- 0,1$
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$
$x$	=	$- 10 \ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 10 \ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{4})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 10 \ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{4})$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 5,3 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 22 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 22 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 5.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{5,3}$	=	$2$	\| $\sqrt[5,3]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{5,3}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{5,3}}$ ≈ 1.14, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $22 \cdot {1,14}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 11% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 7000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 11 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 47000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,11}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $7 000 \cdot {1,11}^{11}$ ≈ 22062,301.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 47000 Nutzer ist, also f(t) = 47000:

$7 000 \cdot {1,11}^{t}$	=	$47 000$	\|: $7 000$
${1,11}^{t}$	=	$\frac{47}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,11}^{t})$	=	$\lg (\frac{47}{7})$
$t \cdot \lg (1,11)$	=	$\lg (\frac{47}{7})$	\|: $\lg (1,11)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{47}{7})}{\lg (1,11)}$

t

=

18,2468

Nach ca. 18,247 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 47000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben