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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ = $- 7$ , eben weil $10$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $e^{\frac{7}{10} x - 2 k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{7}{10} x - 2 k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $3 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $3 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 5, somit muss $3 k$ = 5 gelten;
Also gilt k = $\frac{5}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{5}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,1 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,1 x}$ wird $e^{0,1 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,1 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 3 e^{0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{0,1 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,1 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 3 e^{0,1 x}$	=	$y + 3$	\|: $- 3$
$e^{0,1 x}$	=	$- \frac{1}{3} y - 1$	\|ln(⋅)
$0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - 1)$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{3} y - 1)$
$x$	=	$10 \ln (- \frac{1}{3} y - 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10 \ln (- \frac{1}{3} x - 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $10 \ln (- \frac{1}{3} x - 1)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$ ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,26.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.26( $2$ ) ≈ 3 Stunden

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 90kg vorhanden. Nach 6 Tagen nach sind nur noch 58,23kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 11 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 60kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $90 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 58.23 kg ist, also f(6) = 58.23. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $90 \cdot a^{t}$ ein:

$90 a^{6}$	=	$58,23$	\|: $90$
$a^{6}$	=	$0,647$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{0,647}$	≈ $- 0,93$
a₂	=	$\sqrt[6]{0,647}$	≈ $0,93$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,93$ ≈ 0.93 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $90 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $90 \cdot {0,93}^{11}$ ≈ 40,509.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 kg ist, also f(t) = 60:

$90 \cdot {0,93}^{t}$	=	$60$	\|: $90$
${0,93}^{t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (\frac{2}{3})$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (\frac{2}{3})$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{2}{3})}{\lg (0,93)}$

t

=

5,5872

Nach ca. 5,587 Tage ist also der Bestand = 60 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben