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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 10 ( 1 578 ) liegt.

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Wir suchen 10er-Potenzen in der Näher von 1 578 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 578 ist.

Dabei kommt man auf 1 1000 = 1 10 3 = 10-3 < 1 578 und auf 1 100 = 1 10 2 = 10-2 > 1 578 .

Und da wir bei log 10 ( 1 578 ) ja das ☐ von 10 = 1 578 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
10-3 = 1 10 3 = 1 1000 < 1 578 < 1 100 = 1 10 2 = 10-2

Es gilt somit: -3 < log 10 ( 1 578 ) < -2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k x · e k x + k +3 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm k x · e k x + k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = k · 0 · e k 0 + k +3 k = 3 k = -3
    3k = -3 |:3
    k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e 0,4x -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e 0,4x können die Funktionswerte von 3 e 0,4x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem 3 e 0,4x wird zu allen Funktionswerten von 3 e 0,4x noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e 0,4x -2 = y | +2
3 e 0,4x = y +2 |:3
e 0,4x = 1 3 y + 2 3 |ln(⋅)
0,4x = ln( 1 3 y + 2 3 ) |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 3 y + 2 3 )
x = 5 2 ln( 1 3 y + 2 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 2 ln( 1 3 x + 2 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 2 ln( 1 3 x + 2 3 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,928 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,928 t ablesen: a=0.928.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.928( 1 2 ) ≈ 9.28 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 7% abnimmt. 2 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 9,51 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 6 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 6,2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also Bneu = B - 7 100 ⋅B = (1 - 7 100 ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,93 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 9.51 Millionen Insekten ist, also f(2) = 9.51. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,93 t ein:

c ⋅ 0.932 = 9.51

c ⋅ 0.8649 = 9.51 | : 0.8649

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 11 0,93 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 11 0,93 6 7,117.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6.2:

11 0,93 t = 6,2 |:11
0,93 t = 0,5636 |lg(⋅)
lg( 0,93 t ) = lg( 0,5636 )
t · lg( 0,93 ) = lg( 0,5636 ) |: lg( 0,93 )
t = lg( 0,5636 ) lg( 0,93 )
t = 7,9014

Nach ca. 7,901 Jahre ist also der Bestand = 6.2 Millionen Insekten.