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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 ( 1 100000 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 100000 um: 1 100000 = 100000 - 1 2

Man kann erkennen, dass 100000 eine Potenz ist: 100000 = 10 5

Also schreiben wir 1 100000 = 100000 - 1 2 = ( 10 5 ) - 1 2 = 10 - 5 2

log 10 ( 1 100000 ) = log 10 ( 10 - 5 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 10 - 5 2 zur Basis 10 suchen, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 10 - 5 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10☐ = 10 - 5 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 10 ( 1 100000 ) = log 10 ( 10 - 5 2 ) = - 5 2 , eben weil 10 - 5 2 = 1 100000 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: 2 = 1 2 ⋅a = 1 2 a .

Es gilt also: 2 = 1 2 a | ⋅ 2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 ⋅ 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,1x -0,2 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem e 0,1x -0,2 wird zu allen Funktionswerten von e 0,1x -0,2 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,1x -0,2 -2 = y | +2
e 0,1x -0,2 = y +2 |ln(⋅)
0,1x -0,2 = ln( y +2 )
0,1x -0,2 = ln( y +2 ) | +0,2
0,1x = ln( y +2 ) +0,2 |:0,1
x = 1 0,1 ln( y +2 ) + 0,2 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( x +2 ) + 0,2 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( x +2 ) + 0,2 0,1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 170⋅ 0,65 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 170

f(1) = 170 ⋅ 0,65

f(2) = 170 ⋅ 0,65 ⋅ 0,65

f(3) = 170 ⋅ 0,65 ⋅ 0,65 ⋅ 0,65

f(4) = 170 ⋅ 0,65 ⋅ 0,65 ⋅ 0,65 ⋅ 0,65

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,65 multipliziert. Da 0,65 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,65-fache, also auf 65 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 10% abnimmt. 11 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 3,14 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 12 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,8 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also Bneu = B - 10 100 ⋅B = (1 - 10 100 ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,9 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Jahre der Bestand 3.14 Millionen Insekten ist, also f(11) = 3.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,9 t ein:

c ⋅ 0.911 = 3.14

c ⋅ 0.31381 = 3.14 | : 0.31381

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10⋅ 0,9 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = 10⋅ 0,9 12 ≈ 2,824.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.8 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.8:

10⋅ 0,9 t = 4,8 |:10
0,9 t = 0,48 |lg(⋅)
lg( 0,9 t ) = lg( 0,48 )
t · lg( 0,9 ) = lg( 0,48 ) |: lg( 0,9 )
t = lg( 0,48 ) lg( 0,9 )
t = 6,9663

Nach ca. 6,966 Jahre ist also der Bestand = 4.8 Millionen Insekten.