Mathebattle EduRandomtasks

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{3}}) + \lg (\frac{1}{10} x)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{25}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{3}}) + \lg (\frac{1}{10} x)$

= $\lg (25 x^{- 4}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 3}) + \lg (\frac{1}{10} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (\frac{1}{10}) + \lg (x))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (10) + \lg (x)$

= $\lg (25) - \lg (10) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{10} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x + 2 k) \cdot e^{x + k} - 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x + 2 k) \cdot e^{x + k}$ = 0 wird, wenn $x + 2 k$ = 0 ist, also für x = $- 2 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 2 k$ ) = $- ((- 2 k) + 2 k) \cdot e^{(- 2 k) + k} - 2$ = $0 - 2$ = $- 2$ sein.
Da bei x = $- 2 k$ bei ( $x + 2 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 2 k$ | $- 2$ ) im abgebildeten Graph bei P(3| $- 2$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 2 k$ = 3
Also gilt k = $- \frac{3}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{3}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{x - 2} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{x - 2}$ wird $e^{x - 2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{x - 2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- 4 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{x - 2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{x - 2} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- 4 e^{x - 2}$	=	$y - 3$	\|: $- 4$
$e^{x - 2}$	=	$- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$

$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,868}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,868}^{t}$ ablesen: a=0.868.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.868( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.9 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 4105,71€. a) Wie hoch ist der Kontostand 11 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 5000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 4105.71 € ist, also f(8) = 4105.71. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $3 000 \cdot a^{t}$ ein:

$3 000 a^{8}$	=	$4 105,71$	\|: $3 000$
$a^{8}$	=	$1,36857$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{1,36857}$	= $- 1,04$
a₂	=	$\sqrt[8]{1,36857}$	= $1,04$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,04$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $3 000 \cdot {1,04}^{11}$ ≈ 4618,362.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:

$3 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$5 000$	\|: $3 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{3})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{5}{3})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{3})}{\lg (1,04)}$

t

=

13,0244

Nach ca. 13,024 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben