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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 ( 1 2 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 2 um: 1 2 = 2 -1

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis 4 suchen und 4 gerade 2² ist (also 2 = 4 = 4 1 2 ), formen wir 2 -1 noch so um, dass sie 4 als Basis hat:

2 -1 = ( 4 1 2 ) -1 = 4 - 1 2

log 4 ( 1 2 ) = log 4 ( 2 -1 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 2 -1 = 4 - 1 2 zur Basis 4 suchen, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 2 -1 = 4 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4 = 2 -1 = 4 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 4 ( 1 2 ) = log 4 ( 2 -1 ) = log 4 ( 4 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 4 - 1 2 = 1 2 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 100 x 3 ) + lg( 5 x ) + lg( 2 x 4 ) soweit wie möglich.

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lg( 1 100 x 3 ) + lg( 5 x ) + lg( 2 x 4 )

= lg( 1 100 x -3 ) + lg( 5 x -1 ) + lg( 2 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 100 ) + lg( 1 x 3 ) + ( lg( 5 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 2 ) + lg( x 4 ) )

= lg( 1 100 ) + lg( 1 x 3 ) + lg( 5 ) + lg( 1 x ) + lg( 2 ) + lg( x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 100 ) -3 lg( x ) + lg( 5 ) - lg( x ) + lg( 2 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 100 ) -3 lg( x ) + lg( 5 ) - lg( x ) + lg( 2 ) +4 lg( x )

= - lg( 100 ) + lg( 5 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 100 · 5 · 2 )

= lg( 1 10 )

= lg( 10 -1 )

= -1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e x -1 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem -2 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von -2 e x -1 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e x -1 +2 = y | -2
-2 e x -1 = y -2 |:-2
e x -1 = - 1 2 y +1 |ln(⋅)
x -1 = ln( - 1 2 y +1 )
x -1 = ln( - 1 2 y +1 ) | +1
x = ln( - 1 2 y +1 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 2 x +1 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 2 x +1 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,906 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,906 t ablesen: a=0.906.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.906( 1 2 ) ≈ 7.02 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 16% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 8 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also Bneu = B - 16 100 ⋅B = (1 - 16 100 ) ⋅ B = 0,84 ⋅ B. Somit ist das a=0,84.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 12 0,84 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 12 0,84 8 2,975.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.2:

12 0,84 t = 4,2 |:12
0,84 t = 0,35 |lg(⋅)
lg( 0,84 t ) = lg( 0,35 )
t · lg( 0,84 ) = lg( 0,35 ) |: lg( 0,84 )
t = lg( 0,35 ) lg( 0,84 )
t = 6,0212

Nach ca. 6,021 Jahre ist also der Bestand = 4.2 Millionen Insekten.