nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 ( 10 ) .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir 10 um: 10 = 10 1 2

log 10 ( 10 ) = log 10 ( 10 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 10 1 2 zur Basis 10 suchen, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 10 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 10 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 10 ( 10 ) = log 10 ( 10 1 2 ) = 1 2 , eben weil 10 1 2 = 10 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k e k x + k +1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann k e k x + k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x + k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm k e k x + k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei 1 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x + k = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x + k = 0 | - ( k )
    k x = - k |:( k )
    x = -1
    Wenn wir nun -1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(-1 ) = k e k ( -1 ) + k +1 = k +1
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(-1 ) = -2 ablesen, es gilt somit:
    k +1 = -2 | -1
    k = -3

Der abgebildete Graph ist somit der von f-3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,6 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e 0,2x -0,6 wird zu allen Funktionswerten von e 0,2x -0,6 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,6 +2 = y | -2
e 0,2x -0,6 = y -2 |ln(⋅)
0,2x -0,6 = ln( y -2 )
0,2x -0,6 = ln( y -2 ) | +0,6
0,2x = ln( y -2 ) +0,6 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y -2 ) + 0,6 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x -2 ) + 0,6 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x -2 ) + 0,6 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,113 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,113 t ablesen: a=1.113.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.113(2) ≈ 6.47 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 14326,78€. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 8000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 14326.78 € ist, also f(10) = 14326.78. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 8000 a t ein:

8000 a 10 = 14326,78 |:8000
a 10 = 1,79085 | 10
a1 = - 1,79085 10 = -1,06
a2 = 1,79085 10 = 1,06

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,06 ≈ 1.06 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 8000 1,06 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 8000 1,06 5 10705,805.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

8000 1,06 t = 9000 |:8000
1,06 t = 9 8 |lg(⋅)
lg( 1,06 t ) = lg( 9 8 )
t · lg( 1,06 ) = lg( 9 8 ) |: lg( 1,06 )
t = lg( 9 8 ) lg( 1,06 )
t = 2,0214

Nach ca. 2,021 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.