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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (248)$ liegt.

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $248$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $248$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{7}$ = 2⁷ < $248$ und auf $2^{8}$ = 2⁸ > $248$ .

Und da wir bei $\log_{2} (248)$ ja das ☐ von 2^☐ = $248$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^{7}$ < $248$ < $2^{8}$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < $\log_{2} (248)$ < 8

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $e^{\frac{8}{10} x + 2 k} + 6 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{8}{10} x + 2 k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $6 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $6 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -3, somit muss $6 k$ = -3 gelten;
Also gilt k = $- \frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,1 x - 0,3} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{0,1 x - 0,3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,1 x - 0,3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,1 x - 0,3} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{0,1 x - 0,3}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,3$	=	$\ln (y - 2)$

$0,1 x - 0,3$	=	$\ln (y - 2)$	\| $+ 0,3$
$0,1 x$	=	$\ln (y - 2) + 0,3$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (y - 2) + \frac{0,3}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (x - 2) + \frac{0,3}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (x - 2) + \frac{0,3}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,915}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,915}^{t}$ ablesen: a=0.915.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.915( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.8 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 15% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 1,6 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$ ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,85}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $11 \cdot {0,85}^{4}$ ≈ 5,742.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.6:

$11 \cdot {0,85}^{t}$	=	$1,6$	\|: $11$
${0,85}^{t}$	=	$0,1455$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,85}^{t})$	=	$\lg (0,1455)$
$t \cdot \lg (0,85)$	=	$\lg (0,1455)$	\|: $\lg (0,85)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,1455)}{\lg (0,85)}$

t

=

11,8606

Nach ca. 11,861 Jahre ist also der Bestand = 1.6 Millionen Insekten.

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log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben