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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 3})$
= $- 3 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{20} x^{2}) + \lg (\frac{5}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{100} x^{3})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{20} x^{2}) + \lg (\frac{5}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{100} x^{3})$

= $- \lg (\frac{1}{20} x^{2}) + \lg (5 x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{100} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{2})) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{2}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{20}) - 2 \lg (x) + \lg (5) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (20) - 2 \lg (x) + \lg (5) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (100) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{0,1 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{0,1 x}$ wird $e^{0,1 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{0,1 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- 2 e^{0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{0,1 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{0,1 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- 2 e^{0,1 x}$	=	$y - 2$	\|: $- 2$
$e^{0,1 x}$	=	$- \frac{1}{2} y + 1$	\|ln(⋅)
$0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + 1)$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{2} y + 1)$
$x$	=	$10 \ln (- \frac{1}{2} y + 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10 \ln (- \frac{1}{2} x + 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $10 \ln (- \frac{1}{2} x + 1)$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $64 \cdot {1,35}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $64$

f(1) = $64$ ⋅ $1,35$

f(2) = $64$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(3) = $64$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(4) = $64$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,35$ multipliziert. Da $1,35$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,35$ -fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 24% vermehrt. Nach 10 Wochen zählt man bereits 8594,43 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 1900 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 24% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 24% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{24}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{24}{100}$ ) ⋅ B = 1,24 ⋅ B. Somit ist das a=1,24.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,24}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 8594.43 Nutzer ist, also f(10) = 8594.43. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,24}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.24¹⁰ = 8594.43

c ⋅ 8.59443 = 8594.43 | : 8.59443

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,24}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $1 000 \cdot {1,24}^{8}$ ≈ 5589,507.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 1900 Nutzer ist, also f(t) = 1900:

$1 000 \cdot {1,24}^{t}$	=	$1 900$	\|: $1 000$
${1,24}^{t}$	=	$\frac{19}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,24}^{t})$	=	$\lg (\frac{19}{10})$
$t \cdot \lg (1,24)$	=	$\lg (\frac{19}{10})$	\|: $\lg (1,24)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{19}{10})}{\lg (1,24)}$

t

=

2,9838

Nach ca. 2,984 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 1900 Nutzer.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben