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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10.000.000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10.000.000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10.000.000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10.000.000})$ = $- 7$ , eben weil $10$ ^{$- 7$} = $\frac{1}{10.000.000}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{3}) - \lg (16 x^{6}) + \lg (4 x)$ soweit wie möglich.

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$\lg (4 x^{3}) - \lg (16 x^{6}) + \lg (4 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{3}) - (\lg (16) + \lg (x^{6})) + (\lg (4) + \lg (x))$

= $\lg (4) + \lg (x^{3}) - \lg (16) - \lg (x^{6}) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 3 \lg (x) - \lg (16) - 6 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 3 \lg (x) - \lg (16) - 6 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (16) + \lg (4) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{16} \cdot 4 \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 1} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- 3 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{x - 1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{x - 1} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- 3 e^{x - 1}$	=	$y - 3$	\|: $- 3$
$e^{x - 1}$	=	$- \frac{1}{3} y + 1$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + 1)$

$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + 1)$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + 1) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{3} x + 1) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{3} x + 1) + 1$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,2 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{3,2}$	=	$2$	\| $\sqrt[3,2]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{3,2}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{3,2}}$ ≈ 1.24, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,24}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 23%. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 33,28Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 122 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$ ) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,23}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 33.28 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 33.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,23}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.23² = 33.28

c ⋅ 1.5129 = 33.28 | : 1.5129

c = 22

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $22 \cdot {1,23}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $22 \cdot {1,23}^{5}$ ≈ 61,937.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 122 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 122:

$22 \cdot {1,23}^{t}$	=	$122$	\|: $22$
${1,23}^{t}$	=	$\frac{61}{11}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,23}^{t})$	=	$\lg (\frac{61}{11})$
$t \cdot \lg (1,23)$	=	$\lg (\frac{61}{11})$	\|: $\lg (1,23)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{61}{11})}{\lg (1,23)}$

t

=

8,2747

Nach ca. 8,275 Stunden ist also der Bestand = 122 Millionen Bakterien.

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log berechnen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben