Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{100} (1 000 000 000)$ .

Man kann erkennen, dass $1 000 000 000$ eine Potenz ist: $1 000 000 000$ = $10^{9}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = $100^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $10^{9}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10^{9}$ = ${(100^{\frac{1}{2}})}^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$

$\log_{100} (1 000 000 000)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$ ^☐ = $10^{9}$ = $100^{\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{100} (1 000 000 000)$ = $\log_{100} (100^{\frac{9}{2}})$ = $\frac{9}{2}$ , eben weil $100$ ^{$\frac{9}{2}$} = $1 000 000 000$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{- 0,3 x} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{- 0,3 x}$ wird $e^{- 0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{- 0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{- 0,3 x}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{- 0,3 x} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- e^{- 0,3 x}$	=	$y + 1$	\|: $- 1$
$e^{- 0,3 x}$	=	$- y - 1$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (- y - 1)$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- y - 1)$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (- y - 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (- x - 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (- x - 1)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,15}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,15}^{t}$ ablesen: a=1.15.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.15( $2$ ) ≈ 4.96 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 17 Milionen Bakterien. 7 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 101,06Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 617 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=17 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $17 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Stunden der Bestand 101.06 Millionen Bakterien ist, also f(7) = 101.06. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $17 \cdot a^{t}$ ein:

$17 a^{7}$	=	$101,06$	\|: $17$
$a^{7}$	=	$5,94471$	\| $\sqrt[7]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[7]{5,94471}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[7]{5,94471}$ ≈ 1.29 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $17 \cdot {1,29}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $17 \cdot {1,29}^{9}$ ≈ 168,173.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 617 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 617:

$17 \cdot {1,29}^{t}$	=	$617$	\|: $17$
${1,29}^{t}$	=	$\frac{617}{17}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,29}^{t})$	=	$\lg (\frac{617}{17})$
$t \cdot \lg (1,29)$	=	$\lg (\frac{617}{17})$	\|: $\lg (1,29)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{617}{17})}{\lg (1,29)}$

t

=

14,1047

Nach ca. 14,105 Stunden ist also der Bestand = 617 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (schwer)

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben