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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\sqrt{x}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $\frac{1}{2} \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x)$
=0

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $1$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $1$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $1$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,1 x + 0,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,1 x + 0,2}$ wird $e^{- 0,1 x + 0,2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,1 x + 0,2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,1 x + 0,2}$	=	$y$	\|: $- 4$
$e^{- 0,1 x + 0,2}$	=	$- \frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x + 0,2$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$

$- 0,1 x + 0,2$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$	\| $- 0,2$
$- 0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y) - 0,2$	\|:( $- 0,1$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{4} y) + \frac{0,2}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,2}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,2}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1,5% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 1.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.5}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1.5}{100}$ ) ⋅ B = 1,015 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,015.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.015( $2$ ) ≈ 46.56 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 22% vermehrt. Nach 6 Wochen zählt man bereits 19783,82 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 7 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 16000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 22% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 22% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{22}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{22}{100}$ ) ⋅ B = 1,22 ⋅ B. Somit ist das a=1,22.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,22}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 19783.82 Nutzer ist, also f(6) = 19783.82. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,22}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.22⁶ = 19783.82

c ⋅ 3.2973 = 19783.82 | : 3.2973

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,22}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $6 000 \cdot {1,22}^{7}$ ≈ 24136,265.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 16000 Nutzer ist, also f(t) = 16000:

$6 000 \cdot {1,22}^{t}$	=	$16 000$	\|: $6 000$
${1,22}^{t}$	=	$\frac{8}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,22}^{t})$	=	$\lg (\frac{8}{3})$
$t \cdot \lg (1,22)$	=	$\lg (\frac{8}{3})$	\|: $\lg (1,22)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{8}{3})}{\lg (1,22)}$

t

=

4,9325

Nach ca. 4,933 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 16000 Nutzer.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben