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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt[5]{5})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt[5]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{5}$ als $5^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{5}}$

$\log_{5} (\sqrt[5]{5})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{5}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x - 5 k) \cdot e^{x - \frac{5}{2} k} + 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x - 5 k) \cdot e^{x - \frac{5}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - 5 k$ = 0 ist, also für x = $5 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $5 k$ ) = $- ((5 k) - 5 k) \cdot e^{(5 k) - \frac{5}{2} k} + 3$ = $0 + 3$ = $3$ sein.
Da bei x = $5 k$ bei ( $x - 5 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $5 k$ | $3$ ) im abgebildeten Graph bei P(4| $3$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $5 k$ = 4
Also gilt k = $\frac{4}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{4}{5}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,3 x + 0,9}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,3 x + 0,9}$ wird $e^{- 0,3 x + 0,9}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,3 x + 0,9}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $- 0,9$
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) - 0,9$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,9}{0,3}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 34,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 10kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 34.3 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{34,3}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[34,3]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{34,3}}$	≈ $- 0,98$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{34,3}}$	≈ $0,98$

Das gesuchte a ist somit $0,98$ ≈ 0.98, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,98}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,6% seiner Bevölkerung. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 60,45 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 60 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.6}{100}$ ) ⋅ B = 0,964 ⋅ B. Somit ist das a=0,964.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,964}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 60.45 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 60.45. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,964}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.964⁴ = 60.45

c ⋅ 0.86359 = 60.45 | : 0.86359

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,964}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $70 \cdot {0,964}^{7}$ ≈ 54,155.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$70 \cdot {0,964}^{t}$	=	$60$	\|: $70$
${0,964}^{t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,964}^{t})$	=	$\lg (\frac{6}{7})$
$t \cdot \lg (0,964)$	=	$\lg (\frac{6}{7})$	\|: $\lg (0,964)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{6}{7})}{\lg (0,964)}$

t

=

4,2044

Nach ca. 4,204 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.

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Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben