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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + e^{x + 1}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{2} + e^{(- x) + 1}$ = $x^{2} + e^{- x + 1}$ = $e^{- x + 1} + x^{2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{2} + e^{x + 1}$ = $e^{x + 1} + x^{2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^{- x + 1} + x^{2}$
weder gleich f(x) = $x^{2} + e^{x + 1}$ noch gleich -f(x) = $- (x^{2} + e^{x + 1})$ = $- (e^{x + 1} + x^{2})$ ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = $1^{2} + e^{1 + 1}$ = $1 + e^{2}$ ≈ 8.389
Aber: f(-1) = ${(- 1)}^{2} + e^{- 1 + 1}$ = $1 + e^{0}$ ≈ 2

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{25} x^{4}) - \lg (\frac{1}{5 x}) - \lg (\frac{1}{25} x^{5})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{2}{25} x^{4}) - \lg (\frac{1}{5 x}) - \lg (\frac{1}{25} x^{5})$

= $\lg (\frac{2}{25} x^{4}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{25} x^{5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{2}{25}) + \lg (x^{4}) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{5}))$

= $\lg (\frac{2}{25}) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{5})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{2}{25}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - \lg (25) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - 5 \lg (x)$

= $\lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5 \cdot 2)$

= $\lg (10)$

= $1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,6} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{0,2 x - 0,6}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,6}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,6} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{0,2 x - 0,6}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y + 3)$

$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y + 3)$	\| $+ 0,6$
$0,2 x$	=	$\ln (y + 3) + 0,6$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y + 3) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 3) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 3) + \frac{0,6}{0,2}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $163 \cdot {1,15}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $163$

f(1) = $163$ ⋅ $1,15$

f(2) = $163$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

f(3) = $163$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

f(4) = $163$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,15$ multipliziert. Da $1,15$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,15$ -fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 4686,64€. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 4800€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 4686.64 € ist, also f(8) = 4686.64. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ ein:

$4 000 a^{8}$	=	$4 686,64$	\|: $4 000$
$a^{8}$	=	$1,17166$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{1,17166}$	= $- 1,02$
a₂	=	$\sqrt[8]{1,17166}$	= $1,02$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,02$ ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $4 000 \cdot {1,02}^{4}$ ≈ 4329,729.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4800 € ist, also f(t) = 4800:

$4 000 \cdot {1,02}^{t}$	=	$4 800$	\|: $4 000$
${1,02}^{t}$	=	$\frac{6}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (\frac{6}{5})$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (\frac{6}{5})$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{6}{5})}{\lg (1,02)}$

t

=

9,2069

Nach ca. 9,207 Jahre ist also der Kontostand = 4800 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben