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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{27})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{27})$ = $- 3$ , eben weil $3$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $3 k e^{k x + 3 k} + 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $3 k e^{k x + 3 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + 3 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $3 k e^{k x + 3 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $2$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + 3 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + 3 k$	=	0	\| - ( $3 k$ )
$k x$	=	$- 3 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 3$

Wenn wir nun

- 3

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 3

) =

3 k e^{k \cdot (- 3) + 3 k} + 2

=

3 k + 2

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 3

) = 1 ablesen, es gilt somit:

$3 k + 2$	=	$1$	\| $- 2$
$3 k$	=	$- 1$	\|: $3$
$k$	=	$- \frac{1}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{1}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{x - 2} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $2 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $2 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $2 e^{x - 2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{x - 2} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$2 e^{x - 2}$	=	$y - 2$	\|: $2$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{2} y - 1$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{2} y - 1)$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{2} y - 1)$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y - 1) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{2} x - 1) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{2} x - 1) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,882}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,882}^{t}$ ablesen: a=0.882.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.882( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 5.52 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. 8 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 3,89 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 13 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 3.89 Millionen Insekten ist, also f(8) = 3.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $13 \cdot a^{t}$ ein:

$13 a^{8}$	=	$3,89$	\|: $13$
$a^{8}$	=	$\frac{3,89}{13}$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{\frac{3,89}{13}}$	≈ $- 0,86$
a₂	=	$\sqrt[8]{\frac{3,89}{13}}$	≈ $0,86$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,86$ ≈ 0.86 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,86}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $13 \cdot {0,86}^{13}$ ≈ 1,83.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$13 \cdot {0,86}^{t}$	=	$3$	\|: $13$
${0,86}^{t}$	=	$\frac{3}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,86}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{13})$
$t \cdot \lg (0,86)$	=	$\lg (\frac{3}{13})$	\|: $\lg (0,86)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{13})}{\lg (0,86)}$

t

=

9,7222

Nach ca. 9,722 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.

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Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben