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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (25 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{5 x^{2}}) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (25 x^{2})$

= $- \lg (\frac{1}{5} x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (25 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{1}{125}) + \lg (1)) + (\lg (25) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{125}) + \lg (1) + \lg (25) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125}) + 0 + \lg (25) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (125) + 0 + \lg (25) + 2 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{x - 3} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x - 3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x - 3} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{x - 3}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (y - 2)$

$x - 3$	=	$\ln (y - 2)$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (y - 2) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (x - 2) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (x - 2) + 3$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,059}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,059}^{t}$ ablesen: a=1.059.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.059( $2$ ) ≈ 12.09 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 84,64Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 216 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$ ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,32}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 84.64 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 84.64. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,32}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.32⁶ = 84.64

c ⋅ 5.28985 = 84.64 | : 5.28985

c = 16

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $16 \cdot {1,32}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $16 \cdot {1,32}^{8}$ ≈ 147,473.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 216 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 216:

$16 \cdot {1,32}^{t}$	=	$216$	\|: $16$
${1,32}^{t}$	=	$\frac{27}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,32}^{t})$	=	$\lg (\frac{27}{2})$
$t \cdot \lg (1,32)$	=	$\lg (\frac{27}{2})$	\|: $\lg (1,32)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{27}{2})}{\lg (1,32)}$

t

=

9,3746

Nach ca. 9,375 Stunden ist also der Bestand = 216 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben