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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (250 x) + \lg (\frac{50}{x^{8}}) - \lg (\frac{1}{5 x^{4}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (250 x) + \lg (\frac{50}{x^{8}}) - \lg (\frac{1}{5 x^{4}})$

= $- \lg (250 x) + \lg (50 x^{- 8}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (250) + \lg (x)) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{8}})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $- \lg (250) - \lg (x) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{8}}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (250) - \lg (x) + \lg (50) - 8 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (250) - \lg (x) + \lg (50) - 8 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 4 \lg (x)$

= $- 5 \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 3$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 3$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{- 0,1 x} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{- 0,1 x}$ können die Funktionswerte von $2 e^{- 0,1 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $2 e^{- 0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2 e^{- 0,1 x}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{- 0,1 x} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$2 e^{- 0,1 x}$	=	$y + 1$	\|: $2$
$e^{- 0,1 x}$	=	$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$	\|: $- 0,1$
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$
$x$	=	$- 10 \ln (\frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 10 \ln (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 10 \ln (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 8% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,92.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.92( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 8.31 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,9% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 55,14 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 64,6 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.9}{100}$ ) ⋅ B = 0,961 ⋅ B. Somit ist das a=0,961.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,961}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 55.14 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 55.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,961}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.961⁶ = 55.14

c ⋅ 0.78766 = 55.14 | : 0.78766

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,961}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $70 \cdot {0,961}^{4}$ ≈ 59,702.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 64.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 64.6:

$70 \cdot {0,961}^{t}$	=	$64,6$	\|: $70$
${0,961}^{t}$	=	$0,9229$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,961}^{t})$	=	$\lg (0,9229)$
$t \cdot \lg (0,961)$	=	$\lg (0,9229)$	\|: $\lg (0,961)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,9229)}{\lg (0,961)}$

t

=

2,0169

Nach ca. 2,017 Jahre ist also der Bestand = 64.6 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben