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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 3 · e x 2 +1 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 3 · e ( -x ) 2 +1 = - x 3 · e x 2 +1

Wenn man das mit f(x) = x 3 · e x 2 +1 vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = - x 3 · e x 2 +1 gerade das Negative von f(x), also -f(x) = - x 3 · e x 2 +1 ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 8 10 x + k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 8 10 x + k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -1, somit muss k = -1 gelten;
    Also gilt k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e -0,1x +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e -0,1x wird e -0,1x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e -0,1x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem -4 e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von -4 e -0,1x noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e -0,1x +2 = y | -2
-4 e -0,1x = y -2 |:-4
e -0,1x = - 1 4 y + 1 2 |ln(⋅)
-0,1x = ln( - 1 4 y + 1 2 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( - 1 4 y + 1 2 )
x = -10 ln( - 1 4 y + 1 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( - 1 4 x + 1 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( - 1 4 x + 1 2 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10,3% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 10.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10.3% weggehen,
also Bneu = B - 10.3 100 ⋅B = (1 - 10.3 100 ) ⋅ B = 0,897 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,897.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.897( 1 2 ) ≈ 6.38 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,9% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 46,1 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.9% weggehen,
also Bneu = B - 2.9 100 ⋅B = (1 - 2.9 100 ) ⋅ B = 0,971 ⋅ B. Somit ist das a=0,971.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,971 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 46.1 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 46.1. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,971 t ein:

c ⋅ 0.9716 = 46.1

c ⋅ 0.83814 = 46.1 | : 0.83814

c = 55

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 55 0,971 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 55 0,971 4 48,892.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

55 0,971 t = 45 |:55
0,971 t = 9 11 |lg(⋅)
lg( 0,971 t ) = lg( 9 11 )
t · lg( 0,971 ) = lg( 9 11 ) |: lg( 0,971 )
t = lg( 9 11 ) lg( 0,971 )
t = 6,8189

Nach ca. 6,819 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.