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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $4 \lg (x^{4}) + \lg (x^{- 2})$
= $16 \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $14 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5} x^{3}) + \lg (\frac{1}{10} x) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{5} x^{3}) + \lg (\frac{1}{10} x) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{3})) + (\lg (\frac{1}{10}) + \lg (x)) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (x) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) - 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) - 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (10) + \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $\lg (20) - \lg (10) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{10} \cdot 5)$

= $\lg (10)$

= $1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,4 x - 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,4 x - 0,4}$	=	$y$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (y)$

$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (y)$	\| $+ 0,4$
$0,4 x$	=	$\ln (y) + 0,4$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (y) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (x) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (x) + \frac{0,4}{0,4}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $30 \cdot {1,5}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $30$

f(1) = $30$ ⋅ $1,5$

f(2) = $30$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$

f(3) = $30$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$

f(4) = $30$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$ ⋅ $1,5$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,5$ multipliziert. Da $1,5$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,5$ -fache, also auf $150$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 150% - 100% = 50 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,3% seiner Bevölkerung. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 53,62 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.3}{100}$ ) ⋅ B = 0,967 ⋅ B. Somit ist das a=0,967.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,967}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 53.62 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 53.62. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,967}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.967¹⁰ = 53.62

c ⋅ 0.71493 = 53.62 | : 0.71493

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot {0,967}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $75 \cdot {0,967}^{4}$ ≈ 65,579.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$75 \cdot {0,967}^{t}$	=	$45$	\|: $75$
${0,967}^{t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,967}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{5})$
$t \cdot \lg (0,967)$	=	$\lg (\frac{3}{5})$	\|: $\lg (0,967)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{5})}{\lg (0,967)}$

t

=

15,2227

Nach ca. 15,223 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben