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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- e^{x - 2} - 3$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt wurde.

Da bei $- e^{x - 2} - 3$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -3 addiert wird, ist der Graph von $- e^{x - 2} - 3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Da bei $- e^{x - 2} - 3$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $- e^{x - 2} - 3$ gegen $- \infty$ .
Für x → - ∞ strebt $- e^{x - 2} - 3$ gegen $0 - 3$ = $- 3$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{400} x^{3}) - \lg (\frac{1}{20} x^{4}) - \lg (\frac{1}{20})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{400} x^{3}) - \lg (\frac{1}{20} x^{4}) - \lg (\frac{1}{20})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400}) + \lg (x^{3}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{4})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (1))$

= $\lg (\frac{1}{400}) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) - 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (400) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) - 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 0$

= $- \lg (x) - \lg (400) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{400} \cdot 20 \cdot 20)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{x - 2} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x - 2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x - 2} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{x - 2}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (y - 2)$

$x - 2$	=	$\ln (y - 2)$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (y - 2) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (x - 2) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (x - 2) + 2$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $102 \cdot {1,3}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $102$

f(1) = $102$ ⋅ $1,3$

f(2) = $102$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

f(3) = $102$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

f(4) = $102$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,3$ multipliziert. Da $1,3$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,3$ -fache, also auf $130$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 130% - 100% = 30 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 15% abnimmt. 15 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 1,14 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 9 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 9,4 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$ ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,85}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 15 Jahre der Bestand 1.14 Millionen Insekten ist, also f(15) = 1.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,85}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.85¹⁵ = 1.14

c ⋅ 0.08735 = 1.14 | : 0.08735

c = 13.1

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13,1 \cdot {0,85}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $13,1 \cdot {0,85}^{9}$ ≈ 3,034.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 9.4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 9.4:

$13,1 \cdot {0,85}^{t}$	=	$9,4$	\|: $13,1$
${0,85}^{t}$	=	$0,7176$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,85}^{t})$	=	$\lg (0,7176)$
$t \cdot \lg (0,85)$	=	$\lg (0,7176)$	\|: $\lg (0,85)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,7176)}{\lg (0,85)}$

t

=

2,0419

Nach ca. 2,042 Jahre ist also der Bestand = 9.4 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben