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cosh
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1. Logarithmusgesetz einfach
Beispiel:
Vereinfache so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.
Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
=
=
=
=
Term aus Graph bestimmen
Beispiel:
Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.
Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|), also gilt f(0)=.
In den allgemeinen Funktionsterm eingesezt bedeutet das: = = c ⋅ 1.
Dadurch wissen wir nun schon: c = , also .
Außerdem können wir den Punkt (1|) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = .
In unseren Funktionsterm eingesezt bedeutet das: = = .
Es gilt also: = | ⋅
4 = a
Somit ist der Funtionsterm:
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
prozentale Änderung bestimmen
Beispiel:
Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?
f(0) =
f(1) = ⋅
f(2) = ⋅ ⋅
f(3) = ⋅ ⋅ ⋅
f(4) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
...
Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit multipliziert. Da < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das -fache, also auf % des vorherigen Funktionswertes.
Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Staat verliert jedes Jahr 3,1% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 53,81 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 8 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 59,1 Millionen Einwohner?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Die prozentuale Abnahme um 3.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.1% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,969 ⋅ B. Somit ist das a=0,969.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Anfangswert c sein muss.
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 53.81 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 53.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
c ⋅ 0.9696 = 53.81
c ⋅ 0.82783 = 53.81 | : 0.82783
c = 65
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):
f(8) = ≈ 50,525.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 59.1 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 59.1:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 3,023 Jahre ist also der Bestand = 59.1 Millionen Einwohner.
