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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 3 · e 3 x 2 + x vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 3 · e 3 ( -x ) 2 + ( -x ) = - x 3 · e 3 x 2 - x

Wenn man das mit f(x) = x 3 · e 3 x 2 + x vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = - x 3 · e 3 x 2 - x
weder gleich f(x) = x 3 · e 3 x 2 + x noch gleich -f(x) = - x 3 · e 3 x 2 + x = - x 3 · e 3 x 2 + x ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = 1 3 · e 3 1 2 +1 = 1 · e 4 ≈ 54.598
Aber: f(-1) = ( -1 ) 3 · e 3 ( -1 ) 2 -1 = -1 · e 2 ≈ -7.389

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 25 x ) + lg( 1 100 x 6 ) - lg( 1 4 x 2 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 25 x ) + lg( 1 100 x 6 ) - lg( 1 4 x 2 )

= - lg( 1 25 x -1 ) + lg( 1 100 x -6 ) - lg( 1 4 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 25 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 1 100 ) + lg( 1 x 6 ) ) - ( lg( 1 4 ) + lg( 1 x 2 ) )

= - lg( 1 25 ) - lg( 1 x ) + lg( 1 100 ) + lg( 1 x 6 ) - lg( 1 4 ) - lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 25 ) + lg( x ) + lg( 1 100 ) -6 lg( x ) - lg( 1 4 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 25 ) + lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 100 ) -6 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 4 ) +2 lg( x )

= -3 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 25 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -3 lg( x ) + lg( 1 100 · 25 · 4 )

= -3 lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= -3 lg( x ) + lg( 1 )

= -3 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e x -1 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem - e x -1 wird zu allen Funktionswerten von - e x -1 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e x -1 +2 = y | -2
- e x -1 = y -2 |:-1
e x -1 = -y +2 |ln(⋅)
x -1 = ln( -y +2 )
x -1 = ln( -y +2 ) | +1
x = ln( -y +2 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( -x +2 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( -x +2 ) +1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 169 0,75 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 169

f(1) = 169 0,75

f(2) = 169 0,750,75

f(3) = 169 0,750,750,75

f(4) = 169 0,750,750,750,75

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,75 multipliziert. Da 0,75 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,75-fache, also auf 75 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 11% vermehrt. Nach 7 Wochen zählt man bereits 6228,48 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 7000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also Bneu = B + 11 100 ⋅B = (1 + 11 100 ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,11 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Wochen der Bestand 6228.48 Nutzer ist, also f(7) = 6228.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,11 t ein:

c ⋅ 1.117 = 6228.48

c ⋅ 2.07616 = 6228.48 | : 2.07616

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000 1,11 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = 3000 1,11 5 5055,174.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 7000 Nutzer ist, also f(t) = 7000:

3000 1,11 t = 7000 |:3000
1,11 t = 7 3 |lg(⋅)
lg( 1,11 t ) = lg( 7 3 )
t · lg( 1,11 ) = lg( 7 3 ) |: lg( 1,11 )
t = lg( 7 3 ) lg( 1,11 )
t = 8,119

Nach ca. 8,119 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 7000 Nutzer.