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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x + 2} - 3$ .

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x + 2} - 3$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -3 addiert wird, ist der Graph von $e^{x + 2} - 3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x + 2} - 3$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x + 2} - 3$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x + 2} - 3$ gegen $0 - 3$ = $- 3$ .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $\frac{3}{2}$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,1 x - 0,1} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{0,1 x - 0,1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,1 x - 0,1}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,1 x - 0,1} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{0,1 x - 0,1}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,1$	=	$\ln (y + 1)$

$0,1 x - 0,1$	=	$\ln (y + 1)$	\| $+ 0,1$
$0,1 x$	=	$\ln (y + 1) + 0,1$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (y + 1) + \frac{0,1}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 1) + \frac{0,1}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 1) + \frac{0,1}{0,1}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $113 \cdot {(\frac{6}{5})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $113$

f(1) = $113$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(2) = $113$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(3) = $113$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(4) = $113$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{6}{5}$ multipliziert. Da $\frac{6}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{6}{5}$ -fache (oder auf das $\frac{120}{100}$ -fache), also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4% verzinst. Zu Beginn sind 4000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 8 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 7000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $4 000 \cdot {1,04}^{8}$ ≈ 5474,276.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

$4 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$7 000$	\|: $4 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{7}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{4})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{7}{4})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{4})}{\lg (1,04)}$

t

=

14,2684

Nach ca. 14,268 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben