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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{11} (\sqrt{11})$ .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{11}$ um: $\sqrt{11}$ = $11^{\frac{1}{2}}$

$\log_{11} (\sqrt{11})$ = $\log_{11} (11^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $11^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $11$ suchen, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $11^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$ ^☐ = $11^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{11} (\sqrt{11})$ = $\log_{11} (11^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $11$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{11}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{125}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (25 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{125}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (25 x^{3})$

= $- \lg (125 x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{5} x^{2}) + \lg (25 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (125) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{2})) + (\lg (25) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (125) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{2}) + \lg (25) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (125) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - 2 \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (125) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - 2 \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,4 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,4 x}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,4 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $3 e^{0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{0,4 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,4 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$3 e^{0,4 x}$	=	$y - 3$	\|: $3$
$e^{0,4 x}$	=	$\frac{1}{3} y - 1$	\|ln(⋅)
$0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - 1)$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} y - 1)$
$x$	=	$\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{3} y - 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{3} x - 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{3} x - 1)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,904}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,904}^{t}$ ablesen: a=0.904.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.904( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 6.87 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. 6 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 8492,16€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 8800€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$ ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,01}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 8492.16 € ist, also f(6) = 8492.16. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,01}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.01⁶ = 8492.16

c ⋅ 1.06152 = 8492.16 | : 1.06152

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,01}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $8 000 \cdot {1,01}^{7}$ ≈ 8577,083.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8800 € ist, also f(t) = 8800:

$8 000 \cdot {1,01}^{t}$	=	$8 800$	\|: $8 000$
${1,01}^{t}$	=	$\frac{11}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,01}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{10})$
$t \cdot \lg (1,01)$	=	$\lg (\frac{11}{10})$	\|: $\lg (1,01)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{10})}{\lg (1,01)}$

t

=

9,5786

Nach ca. 9,579 Jahre ist also der Kontostand = 8800 €.

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log berechnen (schwer)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben