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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{251})$ liegt.

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{251}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{251}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{2^{8}}$ = 2^-8 < $\frac{1}{251}$ und auf $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^{7}}$ = 2^-7 > $\frac{1}{251}$ .

Und da wir bei $\log_{2} (\frac{1}{251})$ ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{251}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -8 und -7 liegen, wegen:
2^-8 = $\frac{1}{2^{8}}$ = $\frac{1}{256}$ < $\frac{1}{251}$ < $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^{7}}$ = 2^-7

Es gilt somit: -8 < $\log_{2} (\frac{1}{251})$ < -7

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- k x \cdot e^{k x - k} + 2 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm

- k x \cdot e^{k x - k}

= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|1) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k(

0

) =

- k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - k} + 2 k

=

2 k

= 1

$2 k$	=	$1$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{x - 2} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x - 2}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x - 2} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{x - 2}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (y - 1)$

$x - 2$	=	$\ln (y - 1)$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (y - 1) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (x - 1) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (x - 1) + 2$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 5,7 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 3000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 5.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{5,7}$	=	$2$	\| $\sqrt[5,7]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{5,7}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{5,7}}$ ≈ 1.13, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,13}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 18% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 12 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{18}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{18}{100}$ ) ⋅ B = 0,82 ⋅ B. Somit ist das a=0,82.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,82}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $12 \cdot {0,82}^{12}$ ≈ 1,109.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2:

$12 \cdot {0,82}^{t}$	=	$2$	\|: $12$
${0,82}^{t}$	=	$\frac{1}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,82}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{6})$
$t \cdot \lg (0,82)$	=	$\lg (\frac{1}{6})$	\|: $\lg (0,82)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{6})}{\lg (0,82)}$

t

=

9,0287

Nach ca. 9,029 Jahre ist also der Bestand = 2 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben