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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (7)$ liegt.

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $7$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $7$ und auf $3^{2}$ = 3² > $7$ .

Und da wir bei $\log_{3} (7)$ ja das ☐ von 3^☐ = $7$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $7$ < $3^{2}$ = 3²

Es gilt somit: 1 < $\log_{3} (7)$ < 2

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- \frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $- \frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- \frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- \frac{3}{2}$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- \frac{3}{2}$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{3}{2}$ = $- \frac{1}{2} \cdot a$ = $- \frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $- \frac{3}{2}$ = $- \frac{1}{2} a$ | ⋅ $- 2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,6} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{0,2 x - 0,6}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,6}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,6} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{0,2 x - 0,6}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y + 1)$

$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y + 1)$	\| $+ 0,6$
$0,2 x$	=	$\ln (y + 1) + 0,6$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y + 1) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 1) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 1) + \frac{0,6}{0,2}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $154 \cdot {0,75}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $154$

f(1) = $154$ ⋅ $0,75$

f(2) = $154$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(3) = $154$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(4) = $154$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,75$ multipliziert. Da $0,75$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,75$ -fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. Zu Beginn sind 3000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 10 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 3500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$ ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,01}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $3 000 \cdot {1,01}^{10}$ ≈ 3313,866.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3500 € ist, also f(t) = 3500:

$3 000 \cdot {1,01}^{t}$	=	$3 500$	\|: $3 000$
${1,01}^{t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,01}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{6})$
$t \cdot \lg (1,01)$	=	$\lg (\frac{7}{6})$	\|: $\lg (1,01)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{6})}{\lg (1,01)}$

t

=

15,492

Nach ca. 15,492 Jahre ist also der Kontostand = 3500 €.

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log im Interval bestimmen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben