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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 (5) .

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Wir suchen den Logarithmus von 5 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 5 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 5 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 5 (5) = 1, eben weil 51 = 5 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|3) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 3 = a = a .

Es gilt also: 3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e 0,2x -0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e 0,2x -0,4 wird e 0,2x -0,4 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e 0,2x -0,4 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e 0,2x -0,4 = y |:-1
e 0,2x -0,4 = -1 y |ln(⋅)
0,2x -0,4 = ln( -y )
0,2x -0,4 = ln( -y ) | +0,4
0,2x = ln( -y ) +0,4 |:0,2
x = 1 0,2 ln( -y ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( -x ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( -x ) + 0,4 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2,4% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 2.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.4% weggehen,
also Bneu = B - 2.4 100 ⋅B = (1 - 2.4 100 ) ⋅ B = 0,976 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,976.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.976( 1 2 ) ≈ 28.53 Tage

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seines Bestands. Zu Beginn sind 20kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also Bneu = B - 9 100 ⋅B = (1 - 9 100 ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 20 0,91 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = 20 0,91 4 13,715.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

20 0,91 t = 10 |:20
0,91 t = 1 2 |lg(⋅)
lg( 0,91 t ) = lg( 1 2 )
t · lg( 0,91 ) = lg( 1 2 ) |: lg( 0,91 )
t = lg( 1 2 ) lg( 0,91 )
t = 7,3496

Nach ca. 7,35 Tage ist also der Bestand = 10 kg.