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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{2}) + \lg (\frac{1}{12500} x) + \lg (\frac{25}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (50 x^{2}) + \lg (\frac{1}{12500} x) + \lg (\frac{25}{x^{3}})$

= $\lg (50 x^{2}) + \lg (\frac{1}{12500} x) + \lg (25 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{2}) + (\lg (\frac{1}{12500}) + \lg (x)) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{12500}) + \lg (x) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{12500}) + \lg (x) + \lg (25) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (12 500) + \lg (x) + \lg (25) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (12 500) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{12500} \cdot 50 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,4 x - 0,8}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,4 x - 0,8}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,4 x - 0,8}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,4 x - 0,8}$	=	$y$	\|: $4$
$e^{0,4 x - 0,8}$	=	$\frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$

$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$	\| $+ 0,8$
$0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y) + 0,8$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{4} y) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,8}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,13}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,13}^{t}$ ablesen: a=1.13.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.13( $2$ ) ≈ 5.67 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 76,99 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 13 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 71,3 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 76.99 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 76.99. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ ein:

$80 a^{2}$	=	$76,99$	\|: $80$
$a^{2}$	=	$0,96238$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{0,96238}$	≈ $- 0,981$
a₂	=	$\sqrt{0,96238}$	≈ $0,981$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,981$ ≈ 0.981 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,981}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $80 \cdot {0,981}^{13}$ ≈ 62,343.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 71.3 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 71.3:

$80 \cdot {0,981}^{t}$	=	$71,3$	\|: $80$
${0,981}^{t}$	=	$0,8913$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,981}^{t})$	=	$\lg (0,8913)$
$t \cdot \lg (0,981)$	=	$\lg (0,8913)$	\|: $\lg (0,981)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,8913)}{\lg (0,981)}$

t

=

5,9988

Nach ca. 5,999 Jahre ist also der Bestand = 71.3 Millionen Einwohner.

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Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben