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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200 000)$ + $\lg (50)$ .

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$\lg (200 000)$ + $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200 000 \cdot 50)$

= $\lg (10 000 000)$

= $\lg (10^{7})$

= 7

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x + 5 k) \cdot e^{x + \frac{5}{2} k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x + 5 k) \cdot e^{x + \frac{5}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + 5 k$ = 0 ist, also für x = $- 5 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 5 k$ ) = $((- 5 k) + 5 k) \cdot e^{(- 5 k) + \frac{5}{2} k} + 1$ = $0 + 1$ = $1$ sein.
Da bei x = $- 5 k$ bei ( $x + 5 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 5 k$ | $1$ ) im abgebildeten Graph bei P(2| $1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 5 k$ = 2
Also gilt k = $- \frac{2}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{2}{5}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,2 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,2 x}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,2 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4 e^{0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{0,2 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,2 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$4 e^{0,2 x}$	=	$y - 3$	\|: $4$
$e^{0,2 x}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$
$x$	=	$5 \ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5 \ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $5 \ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4,4% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 4.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4.4}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{4.4}{100}$ ) ⋅ B = 1,044 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,044.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.044( $2$ ) ≈ 16.1 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 35 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$ ) ⋅ B = 0,97 ⋅ B. Somit ist das a=0,97.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot {0,97}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $55 \cdot {0,97}^{4}$ ≈ 48,691.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

$55 \cdot {0,97}^{t}$	=	$35$	\|: $55$
${0,97}^{t}$	=	$\frac{7}{11}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,97}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{11})$
$t \cdot \lg (0,97)$	=	$\lg (\frac{7}{11})$	\|: $\lg (0,97)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{11})}{\lg (0,97)}$

t

=

14,839

Nach ca. 14,839 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben