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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (2 000)$ + $\lg (5)$ .

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$\lg (2 000)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2 000 \cdot 5)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesetzt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesetzt bedeutet das: $- 4$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 4$ = $- a$ | ⋅ $(- 1)$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 2} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $3 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 2} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$3 e^{x - 2}$	=	$y - 2$	\|: $3$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{3} y - \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - \frac{2}{3}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x - \frac{2}{3}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x - \frac{2}{3}) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,106}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,106}^{t}$ ablesen: a=1.106.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.106( $2$ ) ≈ 6.88 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,6% seiner Bevölkerung. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 54 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 6 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 40 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2.6}{100}$ ) ⋅ B = 0,974 ⋅ B. Somit ist das a=0,974.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,974}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 54 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,974}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.974⁴ = 54

c ⋅ 0.89999 = 54 | : 0.89999

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,974}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $60 \cdot {0,974}^{6}$ ≈ 51,228.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:

$60 \cdot {0,974}^{t}$	=	$40$	\|: $60$
${0,974}^{t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,974}^{t})$	=	$\lg (\frac{2}{3})$
$t \cdot \lg (0,974)$	=	$\lg (\frac{2}{3})$	\|: $\lg (0,974)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{2}{3})}{\lg (0,974)}$

t

=

15,3912

Nach ca. 15,391 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben