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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 000 x) - \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 000 x) - \lg (x)$
= $\lg (10 000 000 000) + \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (10^{10}) + \lg (x) - \lg (x)$
= $10 + \lg (x) - \lg (x)$
= $10$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{1000} x^{2}) - \lg (\frac{1}{20} x) + \lg (50 x)$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{1000} x^{2}) - \lg (\frac{1}{20} x) + \lg (50 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x^{2}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x)) + (\lg (50) + \lg (x))$

= $\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x) + \lg (50) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x) + \lg (50) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (1 000) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) - \lg (x) + \lg (50) + \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (1 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{0,2 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{0,2 x}$ wird $e^{0,2 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{0,2 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 2 e^{0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{0,2 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{0,2 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 2 e^{0,2 x}$	=	$y + 3$	\|: $- 2$
$e^{0,2 x}$	=	$- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$
$x$	=	$5 \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5 \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $5 \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,107}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,107}^{t}$ ablesen: a=1.107.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.107( $2$ ) ≈ 6.82 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 17% abnimmt. 3 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 5,72 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 6 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,3 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{17}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{17}{100}$ ) ⋅ B = 0,83 ⋅ B. Somit ist das a=0,83.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,83}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 5.72 Millionen Insekten ist, also f(3) = 5.72. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,83}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.83³ = 5.72

c ⋅ 0.57179 = 5.72 | : 0.57179

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,83}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $10 \cdot {0,83}^{6}$ ≈ 3,269.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.3:

$10 \cdot {0,83}^{t}$	=	$2,3$	\|: $10$
${0,83}^{t}$	=	$0,23$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,83}^{t})$	=	$\lg (0,23)$
$t \cdot \lg (0,83)$	=	$\lg (0,23)$	\|: $\lg (0,83)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,23)}{\lg (0,83)}$

t

=

7,8875

Nach ca. 7,888 Jahre ist also der Bestand = 2.3 Millionen Insekten.

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben