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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot (2 e^{x} + 2 e^{- x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} \cdot (2 e^{- x} + 2 e^{x})$ = $- x^{3} \cdot (2 e^{- x} + 2 e^{x})$ = $- 2 x^{3} \cdot e^{x} - 2 x^{3} \cdot e^{- x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} \cdot (2 e^{x} + 2 e^{- x})$ = $2 x^{3} \cdot e^{x} + 2 x^{3} \cdot e^{- x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- 2 x^{3} \cdot e^{x} - 2 x^{3} \cdot e^{- x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- (x^{3} \cdot 2 e^{x} + x^{3} \cdot 2 e^{- x})$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $2 k e^{k x + k} + 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2 k e^{k x + k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $2 k e^{k x + k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $2$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + k$	=	0	\| - ( $k$ )
$k x$	=	$- k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 1$

Wenn wir nun

- 1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 1

) =

2 k e^{k \cdot (- 1) + k} + 2

=

2 k + 2

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 1

) = -3 ablesen, es gilt somit:

$2 k + 2$	=	$- 3$	\| $- 2$
$2 k$	=	$- 5$	\|: $2$
$k$	=	$- \frac{5}{2}$ = -2.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{5}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,4 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,4 x}$ wird $e^{- 0,4 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,4 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 3 e^{- 0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{- 0,4 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,4 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 3 e^{- 0,4 x}$	=	$y + 3$	\|: $- 3$
$e^{- 0,4 x}$	=	$- \frac{1}{3} y - 1$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - 1)$	\|: $- 0,4$
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} y - 1)$
$x$	=	$- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{3} y - 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{3} x - 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{3} x - 1)$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $153 \cdot {1,45}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $153$

f(1) = $153$ ⋅ $1,45$

f(2) = $153$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(3) = $153$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(4) = $153$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,45$ multipliziert. Da $1,45$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,45$ -fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Nach 8 Wochen zählt man bereits 16392,07 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 11 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 8000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$ ) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,16}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 16392.07 Nutzer ist, also f(8) = 16392.07. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,16}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.16⁸ = 16392.07

c ⋅ 3.27841 = 16392.07 | : 3.27841

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,16}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $5 000 \cdot {1,16}^{11}$ ≈ 25586,323.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer ist, also f(t) = 8000:

$5 000 \cdot {1,16}^{t}$	=	$8 000$	\|: $5 000$
${1,16}^{t}$	=	$\frac{8}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,16}^{t})$	=	$\lg (\frac{8}{5})$
$t \cdot \lg (1,16)$	=	$\lg (\frac{8}{5})$	\|: $\lg (1,16)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{8}{5})}{\lg (1,16)}$

t

=

3,1667

Nach ca. 3,167 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer.

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Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben