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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot e^{x^{2} + x}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot e^{{(- x)}^{2} + (- x)}$ = $- x \cdot e^{x^{2} - x}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot e^{x^{2} + x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x \cdot e^{x^{2} - x}$
weder gleich f(x) = $x \cdot e^{x^{2} + x}$ noch gleich -f(x) = $- x \cdot e^{x^{2} + x}$ = $- x \cdot e^{x^{2} + x}$ ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = $1 \cdot e^{1^{2} + 1}$ = $1 \cdot e^{2}$ ≈ 7.389
Aber: f(-1) = $- 1 \cdot e^{{(- 1)}^{2} - 1}$ = $- 1 \cdot e^{0}$ ≈ -1

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{25 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{25} x) - \lg (\frac{1}{5 x^{4}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{2}{25 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{25} x) - \lg (\frac{1}{5 x^{4}})$

= $\lg (\frac{2}{25} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{25} x) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{2}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x)) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (\frac{2}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{2}{25}) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - \lg (25) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 4 \lg (x)$

= $\lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5 \cdot 2)$

= $\lg (10)$

= $1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,4 x - 0,8}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,4 x - 0,8}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,4 x - 0,8}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,4 x - 0,8}$	=	$y$	\|: $3$
$e^{0,4 x - 0,8}$	=	$\frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$

$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,8$
$0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y) + 0,8$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} y) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,8}{0,4}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $4 \cdot {1,35}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $4$

f(1) = $4$ ⋅ $1,35$

f(2) = $4$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(3) = $4$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(4) = $4$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,35$ multipliziert. Da $1,35$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,35$ -fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 30kg vorhanden. Nach 6 Tagen nach sind nur noch 13,01kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 13 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 13.01 kg ist, also f(6) = 13.01. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $30 \cdot a^{t}$ ein:

$30 a^{6}$	=	$13,01$	\|: $30$
$a^{6}$	=	$\frac{13,01}{30}$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{\frac{13,01}{30}}$	≈ $- 0,87$
a₂	=	$\sqrt[6]{\frac{13,01}{30}}$	≈ $0,87$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,87$ ≈ 0.87 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $30 \cdot {0,87}^{13}$ ≈ 4,908.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$30 \cdot {0,87}^{t}$	=	$10$	\|: $30$
${0,87}^{t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{3})$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (\frac{1}{3})$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{3})}{\lg (0,87)}$

t

=

7,8888

Nach ca. 7,889 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben