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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x) + \lg (\frac{1}{400} x^{3}) + \lg (20 x)$ soweit wie möglich.

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$\lg (20 x) + \lg (\frac{1}{400} x^{3}) + \lg (20 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x) + (\lg (\frac{1}{400}) + \lg (x^{3})) + (\lg (20) + \lg (x))$

= $\lg (20) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{400}) + \lg (x^{3}) + \lg (20) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x) + \lg (\frac{1}{400}) + 3 \lg (x) + \lg (20) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + \lg (x) + \lg (1) - \lg (400) + 3 \lg (x) + \lg (20) + \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (400) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{400} \cdot 20 \cdot 20)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,2 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,2 x}$ wird $e^{- 0,2 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,2 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- 3 e^{- 0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{- 0,2 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,2 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- 3 e^{- 0,2 x}$	=	$y - 3$	\|: $- 3$
$e^{- 0,2 x}$	=	$- \frac{1}{3} y + 1$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + 1)$	\|: $- 0,2$
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} y + 1)$
$x$	=	$- 5 \ln (- \frac{1}{3} y + 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 5 \ln (- \frac{1}{3} x + 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 5 \ln (- \frac{1}{3} x + 1)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 10% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 10% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{10}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{10}{100}$ ) ⋅ B = 1,1 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,1.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.1( $2$ ) ≈ 7.27 Wochen

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 17,76Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 16,7 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,02}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 17.76 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 17.76. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,02}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.02¹² = 17.76

c ⋅ 1.26824 = 17.76 | : 1.26824

c = 14

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $14 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $14 \cdot {1,02}^{9}$ ≈ 16,731.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 16.7 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 16.7:

$14 \cdot {1,02}^{t}$	=	$16,7$	\|: $14$
${1,02}^{t}$	=	$1,1929$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (1,1929)$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (1,1929)$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (1,1929)}{\lg (1,02)}$

t

=

8,9073

Nach ca. 8,907 Stunden ist also der Bestand = 16.7 Millionen Bakterien.

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log berechnen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben