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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{x + 3} + 2$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei $- 2 e^{x + 3} + 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 2 addiert wird, ist der Graph von $- 2 e^{x + 3} + 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Da bei $- 2 e^{x + 3} + 2$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $- 2 e^{x + 3} + 2$ gegen $- \infty$ .
Für x → - ∞ strebt $- 2 e^{x + 3} + 2$ gegen $0 + 2$ = $2$ .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $2 k e^{k x + k} + 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2 k e^{k x + k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $2 k e^{k x + k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $2$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + k$	=	0	\| - ( $k$ )
$k x$	=	$- k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 1$

Wenn wir nun

- 1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 1

) =

2 k e^{k \cdot (- 1) + k} + 2

=

2 k + 2

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 1

) = 1 ablesen, es gilt somit:

$2 k + 2$	=	$1$	\| $- 2$
$2 k$	=	$- 1$	\|: $2$
$k$	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,4 x + 0,8} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{- 0,4 x + 0,8}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,4 x + 0,8}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,4 x + 0,8} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{- 0,4 x + 0,8}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,8$	=	$\ln (y - 1)$

$- 0,4 x + 0,8$	=	$\ln (y - 1)$	\| $- 0,8$
$- 0,4 x$	=	$\ln (y - 1) - 0,8$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (y - 1) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (x - 1) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (x - 1) + \frac{0,8}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,07}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,07}^{t}$ ablesen: a=1.07.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.07( $2$ ) ≈ 10.24 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. 6 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 7883,14€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 10 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,02}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 7883.14 € ist, also f(6) = 7883.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,02}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.02⁶ = 7883.14

c ⋅ 1.12616 = 7883.14 | : 1.12616

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $7 000 \cdot {1,02}^{10}$ ≈ 8532,961.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$7 000 \cdot {1,02}^{t}$	=	$9 000$	\|: $7 000$
${1,02}^{t}$	=	$\frac{9}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{7})$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (\frac{9}{7})$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{7})}{\lg (1,02)}$

t

=

12,691

Nach ca. 12,691 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben