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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 0.00001 x ) -5 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 0.00001 x ) -5 lg( x )
= lg( 0.00001 ) - lg( x ) -5 lg( x )
= lg( 10 -5 ) - lg( x ) -5 lg( x )
= -5 - lg( x ) -5 lg( x )
= -6 lg( x ) -5

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|3) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 3 = a = a .

Es gilt also: 3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,9 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,9 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,9 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem e -0,3x +0,9 wird zu allen Funktionswerten von e -0,3x +0,9 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,9 -2 = y | +2
e -0,3x +0,9 = y +2 |ln(⋅)
-0,3x +0,9 = ln( y +2 )
-0,3x +0,9 = ln( y +2 ) | -0,9
-0,3x = ln( y +2 ) -0,9 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y +2 ) + 0,9 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x +2 ) + 0,9 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x +2 ) + 0,9 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 25% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also Bneu = B + 25 100 ⋅B = (1 + 25 100 ) ⋅ B = 1,25 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,25.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.25(2) ≈ 3.11 Wochen

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seines Bestands. Zu Beginn sind 60kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also Bneu = B - 7 100 ⋅B = (1 - 7 100 ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60 0,93 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = 60 0,93 8 33,575.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

60 0,93 t = 20 |:60
0,93 t = 1 3 |lg(⋅)
lg( 0,93 t ) = lg( 1 3 )
t · lg( 0,93 ) = lg( 1 3 ) |: lg( 0,93 )
t = lg( 1 3 ) lg( 0,93 )
t = 15,1385

Nach ca. 15,139 Tage ist also der Bestand = 20 kg.