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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{5} (500)$ - $\log_{5} (20)$ .

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$\log_{5} (500)$ - $\log_{5} (20)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{5} (\frac{500}{20})$

= $\log_{5} (25)$

= $\log_{5} (5^{2})$

= 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{100 x^{9}}) + \lg (50 x) + \lg (2 x^{4})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{100 x^{9}}) + \lg (50 x) + \lg (2 x^{4})$

= $\lg (\frac{1}{100} x^{- 9}) + \lg (50 x) + \lg (2 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{9}}) + (\lg (50) + \lg (x)) + (\lg (2) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{9}}) + \lg (50) + \lg (x) + \lg (2) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}) - 9 \lg (x) + \lg (50) + \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (100) - 9 \lg (x) + \lg (50) + \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

= $- 4 \lg (x) - \lg (100) + \lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 50 \cdot 2)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,1 x - 0,3} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{0,1 x - 0,3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,1 x - 0,3}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,1 x - 0,3} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{0,1 x - 0,3}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,3$	=	$\ln (y - 1)$

$0,1 x - 0,3$	=	$\ln (y - 1)$	\| $+ 0,3$
$0,1 x$	=	$\ln (y - 1) + 0,3$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (y - 1) + \frac{0,3}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (x - 1) + \frac{0,3}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (x - 1) + \frac{0,3}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4,6% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 4.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4.6}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{4.6}{100}$ ) ⋅ B = 1,046 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,046.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.046( $2$ ) ≈ 15.41 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 26 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 3026 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=26 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$ ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $26 \cdot {1,26}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $26 \cdot {1,26}^{9}$ ≈ 208,117.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3026 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 3026:

$26 \cdot {1,26}^{t}$	=	$3 026$	\|: $26$
${1,26}^{t}$	=	$\frac{1513}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,26}^{t})$	=	$\lg (\frac{1513}{13})$
$t \cdot \lg (1,26)$	=	$\lg (\frac{1513}{13})$	\|: $\lg (1,26)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1513}{13})}{\lg (1,26)}$

t

=

20,5827

Nach ca. 20,583 Stunden ist also der Bestand = 3026 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben