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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot e^{x^{2} + 1}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot e^{{(- x)}^{2} + 1}$ = $- x \cdot e^{x^{2} + 1}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot e^{x^{2} + 1}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x \cdot e^{x^{2} + 1}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- x \cdot e^{x^{2} + 1}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k} + 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + k$ = 0 ist, also für x = $- 1 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 1 k$ ) = $((- 1 k) + k) \cdot e^{(- 1 k) + \frac{1}{2} k} + 3$ = $0 + 3$ = $3$ sein.
Da bei x = $- 1 k$ bei ( $x + k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 1 k$ | $3$ ) im abgebildeten Graph bei P(5| $3$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 1 k$ = 5
Also gilt k = $- 5$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 5$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,2 x + 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,2 x + 0,4}$ wird $e^{- 0,2 x + 0,4}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,2 x + 0,4}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,2 x + 0,4}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{- 0,2 x + 0,4}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $- 0,4$
$- 0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) - 0,4$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,4}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14,1% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 14.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{14.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,859 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,859.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.859( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.56 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 5100,5€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 11 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 5200€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$ ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,01}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 5100.5 € ist, also f(2) = 5100.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,01}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.01² = 5100.5

c ⋅ 1.0201 = 5100.5 | : 1.0201

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,01}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $5 000 \cdot {1,01}^{11}$ ≈ 5578,342.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5200 € ist, also f(t) = 5200:

$5 000 \cdot {1,01}^{t}$	=	$5 200$	\|: $5 000$
${1,01}^{t}$	=	$\frac{26}{25}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,01}^{t})$	=	$\lg (\frac{26}{25})$
$t \cdot \lg (1,01)$	=	$\lg (\frac{26}{25})$	\|: $\lg (1,01)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{26}{25})}{\lg (1,01)}$

t

=

3,9416

Nach ca. 3,942 Jahre ist also der Kontostand = 5200 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben