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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 3} + 2$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 3} + 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 2 addiert wird, ist der Graph von $e^{x - 3} + 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Da bei $e^{x - 3} + 2$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x - 3} + 2$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x - 3} + 2$ gegen $0 + 2$ = $2$ .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $1$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $1$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $1$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{- 0,4 x + 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{- 0,4 x + 0,4}$ können die Funktionswerte von $3 e^{- 0,4 x + 0,4}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$y$	\|: $3$
$e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$\frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$

$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$	\| $- 0,4$
$- 0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y) - 0,4$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} y) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,4}{0,4}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $86 \cdot {0,65}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $86$

f(1) = $86$ ⋅ $0,65$

f(2) = $86$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$

f(3) = $86$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$

f(4) = $86$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,65$ multipliziert. Da $0,65$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,65$ -fache, also auf $65$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 13% abnimmt. 7 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 4,9 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$ ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Jahre der Bestand 4.9 Millionen Insekten ist, also f(7) = 4.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.87⁷ = 4.9

c ⋅ 0.37725 = 4.9 | : 0.37725

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $13 \cdot {0,87}^{5}$ ≈ 6,479.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$13 \cdot {0,87}^{t}$	=	$3$	\|: $13$
${0,87}^{t}$	=	$\frac{3}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{13})$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (\frac{3}{13})$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{13})}{\lg (0,87)}$

t

=

10,5293

Nach ca. 10,529 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.

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Eigenschaften von e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben