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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 1} - 1$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 1} - 1$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -1 addiert wird, ist der Graph von $e^{x - 1} - 1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x - 1} - 1$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x - 1} - 1$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x - 1} - 1$ gegen $0 - 1$ = $- 1$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x}) + \lg (50 x^{4}) + \lg (\frac{1}{1000} x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{20}{x}) + \lg (50 x^{4}) + \lg (\frac{1}{1000} x^{2})$

= $\lg (20 x^{- 1}) + \lg (50 x^{4}) + \lg (\frac{1}{1000} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (50) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (50) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - \lg (x) + \lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1000}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - \lg (x) + \lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (1 000) + 2 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (1 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{0,4 x} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{0,4 x}$ wird $e^{0,4 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{0,4 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- e^{0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{0,4 x}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{0,4 x} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- e^{0,4 x}$	=	$y + 1$	\|: $- 1$
$e^{0,4 x}$	=	$- y - 1$	\|ln(⋅)
$0,4 x$	=	$\ln (- y - 1)$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (- y - 1)$
$x$	=	$\frac{5}{2} \ln (- y - 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2} \ln (- x - 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{5}{2} \ln (- x - 1)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1,8% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 1.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.8}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1.8}{100}$ ) ⋅ B = 1,018 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,018.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.018( $2$ ) ≈ 38.85 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seines Bestands. Zu Beginn sind 20kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $20 \cdot {0,93}^{8}$ ≈ 11,192.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$20 \cdot {0,93}^{t}$	=	$10$	\|: $20$
${0,93}^{t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{2})$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (\frac{1}{2})$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{2})}{\lg (0,93)}$

t

=

9,5513

Nach ca. 9,551 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben