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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 19 ( 1 311 ) liegt.

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Wir suchen 19er-Potenzen in der Näher von 1 311 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 311 ist.

Dabei kommt man auf 1 361 = 1 19 2 = 19-2 < 1 311 und auf 1 19 = 1 19 = 19-1 > 1 311 .

Und da wir bei log 19 ( 1 311 ) ja das ☐ von 19 = 1 311 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
19-2 = 1 19 2 = 1 361 < 1 311 < 1 19 = 1 19 = 19-1

Es gilt somit: -2 < log 19 ( 1 311 ) < -1

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 250 x 7 ) + lg( 50 x 3 ) - lg( 1 50 x 4 ) soweit wie möglich.

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- lg( 250 x 7 ) + lg( 50 x 3 ) - lg( 1 50 x 4 )

= - lg( 250 x 7 ) + lg( 50 x 3 ) - lg( 1 50 x -4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 250 ) + lg( x 7 ) ) + ( lg( 50 ) + lg( x 3 ) ) - ( lg( 1 50 ) + lg( 1 x 4 ) )

= - lg( 250 ) - lg( x 7 ) + lg( 50 ) + lg( x 3 ) - lg( 1 50 ) - lg( 1 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 250 ) -7 lg( x ) + lg( 50 ) +3 lg( x ) - lg( 1 50 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 250 ) -7 lg( x ) + lg( 50 ) +3 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 50 ) +4 lg( x )

= - lg( 250 ) + lg( 50 ) + lg( 50 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 250 · 50 · 50 )

= lg( 10 )

= lg( 10 )

= 1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -1 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -1 können die Funktionswerte von 2 e x -1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem 2 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -1 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -1 +3 = y | -3
2 e x -1 = y -3 |:2
e x -1 = 1 2 y - 3 2 |ln(⋅)
x -1 = ln( 1 2 y - 3 2 )
x -1 = ln( 1 2 y - 3 2 ) | +1
x = ln( 1 2 y - 3 2 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x - 3 2 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x - 3 2 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8,9% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 8.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8.9% weggehen,
also Bneu = B - 8.9 100 ⋅B = (1 - 8.9 100 ) ⋅ B = 0,911 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,911.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.911( 1 2 ) ≈ 7.44 Tage

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 30kg vorhanden. Nach 6 Tagen nach sind nur noch 22,05kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 13 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 30 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 22.05 kg ist, also f(6) = 22.05. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 30 a t ein:

30 a 6 = 22,05 |:30
a 6 = 0,735 | 6
a1 = - 0,735 6 -0,95
a2 = 0,735 6 0,95

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,95 ≈ 0.95 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 30 0,95 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = 30 0,95 13 15,4.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

30 0,95 t = 10 |:30
0,95 t = 1 3 |lg(⋅)
lg( 0,95 t ) = lg( 1 3 )
t · lg( 0,95 ) = lg( 1 3 ) |: lg( 0,95 )
t = lg( 1 3 ) lg( 0,95 )
t = 21,4182

Nach ca. 21,418 Tage ist also der Bestand = 10 kg.