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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + e^{x^{2}}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{2} + e^{{(- x)}^{2}}$ = $x^{2} + e^{x^{2}}$ = $e^{x^{2}} + x^{2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{2} + e^{x^{2}}$ = $e^{x^{2}} + x^{2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $\frac{3}{2}$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{- 0,1 x + 0,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{- 0,1 x + 0,2}$ wird $e^{- 0,1 x + 0,2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{- 0,1 x + 0,2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{- 0,1 x + 0,2}$	=	$y$	\|: $- 1$
$e^{- 0,1 x + 0,2}$	=	$- 1 y$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x + 0,2$	=	$\ln (- y)$

$- 0,1 x + 0,2$	=	$\ln (- y)$	\| $- 0,2$
$- 0,1 x$	=	$\ln (- y) - 0,2$	\|:( $- 0,1$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (- y) + \frac{0,2}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,1} \ln (- x) + \frac{0,2}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,1} \ln (- x) + \frac{0,2}{0,1}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $100 \cdot {1,45}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $100$

f(1) = $100$ ⋅ $1,45$

f(2) = $100$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(3) = $100$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(4) = $100$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,45$ multipliziert. Da $1,45$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,45$ -fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 70 Millionen Einwohner. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 52,21 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 6 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 52.21 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 52.21. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ ein:

$70 a^{8}$	=	$52,21$	\|: $70$
$a^{8}$	=	$0,74586$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{0,74586}$	≈ $- 0,964$
a₂	=	$\sqrt[8]{0,74586}$	≈ $0,964$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,964$ ≈ 0.964 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,964}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $70 \cdot {0,964}^{6}$ ≈ 56,177.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$70 \cdot {0,964}^{t}$	=	$50$	\|: $70$
${0,964}^{t}$	=	$\frac{5}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,964}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{7})$
$t \cdot \lg (0,964)$	=	$\lg (\frac{5}{7})$	\|: $\lg (0,964)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{7})}{\lg (0,964)}$

t

=

9,1772

Nach ca. 9,177 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben