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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 16 ( 4 ) .

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Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis 16 suchen und 16 gerade 4² ist (also 4 = 16 = 16 1 2 ), formen wir 4 noch so um, dass sie 16 als Basis hat:

4 = 16 1 2

log 16 ( 4 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 4 = 16 1 2 zur Basis 16 suchen, also die Hochzahl mit der man 16 potenzieren muss, um auf 4 = 16 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 16 = 4 = 16 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 16 ( 4 ) = log 16 ( 16 1 2 ) = 1 2 , eben weil 16 1 2 = 4 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ( x -3 k ) · e x - 3 2 k -3 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm ( x -3 k ) · e x - 3 2 k = 0 wird, wenn x -3 k = 0 ist, also für x = 3 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(3 k ) = ( ( 3 k ) -3 k ) · e ( 3 k ) - 3 2 k -3 = 0 -3 = -3 sein.
    Da bei x = 3 k bei ( x -3 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(3 k | -3 ) im abgebildeten Graph bei P(2| -3 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit 3 k = 2
    Also gilt k = 2 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f 2 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e -0,2x -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e -0,2x wird e -0,2x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e -0,2x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem -3 e -0,2x wird zu allen Funktionswerten von -3 e -0,2x noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e -0,2x -2 = y | +2
-3 e -0,2x = y +2 |:-3
e -0,2x = - 1 3 y - 2 3 |ln(⋅)
-0,2x = ln( - 1 3 y - 2 3 ) |:-0,2
x = - 1 0,2 ln( - 1 3 y - 2 3 )
x = -5 ln( - 1 3 y - 2 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -5 ln( - 1 3 x - 2 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -5 ln( - 1 3 x - 2 3 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,043 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,043 t ablesen: a=1.043.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.043(2) ≈ 16.46 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 6515,58€. a) Wie hoch ist der Kontostand 11 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 4000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 6515.58 € ist, also f(10) = 6515.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 4000 a t ein:

4000 a 10 = 6515,58 |:4000
a 10 = 1,6289 | 10
a1 = - 1,6289 10 = -1,05
a2 = 1,6289 10 = 1,05

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,05 ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4000 1,05 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = 4000 1,05 11 6841,357.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

4000 1,05 t = 7000 |:4000
1,05 t = 7 4 |lg(⋅)
lg( 1,05 t ) = lg( 7 4 )
t · lg( 1,05 ) = lg( 7 4 ) |: lg( 1,05 )
t = lg( 7 4 ) lg( 1,05 )
t = 11,4698

Nach ca. 11,47 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.