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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{8}}) + \lg (\frac{1}{20} x^{3}) + \lg (5)$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{4}{x^{8}}) + \lg (\frac{1}{20} x^{3}) + \lg (5)$

= $\lg (4 x^{- 8}) + \lg (\frac{1}{20} x^{3}) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{8}}) + (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{3})) + (\lg (5) + \lg (1))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{8}}) + \lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{3}) + \lg (5) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 8 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20}) + 3 \lg (x) + \lg (5) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 8 \lg (x) + \lg (1) - \lg (20) + 3 \lg (x) + \lg (5) + 0$

= $- 5 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{7}{10} x - k} + k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{7}{10} x - k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 5, somit muss $k$ = 5 gelten;
Also gilt k = $5$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$5$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 3} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{x - 3}$ wird $e^{x - 3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{x - 3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 2 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{x - 3}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{x - 3} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 2 e^{x - 3}$	=	$y + 3$	\|: $- 2$
$e^{x - 3}$	=	$- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$

$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) + 3$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,124}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,124}^{t}$ ablesen: a=1.124.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.124( $2$ ) ≈ 5.93 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 7293,04€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 13 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 11000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,05}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 7293.04 € ist, also f(4) = 7293.04. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,05}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.05⁴ = 7293.04

c ⋅ 1.21551 = 7293.04 | : 1.21551

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,05}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $6 000 \cdot {1,05}^{13}$ ≈ 11313,895.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:

$6 000 \cdot {1,05}^{t}$	=	$11 000$	\|: $6 000$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{11}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{6})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{11}{6})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{6})}{\lg (1,05)}$

t

=

12,4233

Nach ca. 12,423 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben