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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2} x^{5}) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) + \lg (\frac{5}{4} x^{3})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{2} x^{5}) - \lg (\frac{1}{4 x^{2}}) + \lg (\frac{5}{4} x^{3})$

= $- \lg (\frac{1}{2} x^{5}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 2}) + \lg (\frac{5}{4} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{5})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (\frac{5}{4}) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{5}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{5}{4}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) - 5 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{5}{4}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) - 5 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (5) - \lg (4) + 3 \lg (x)$

= $\lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5 \cdot 2)$

= $\lg (10)$

= $1$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{8 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{5 x^{4}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{25}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{8 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{5 x^{4}})$

= $\lg (25 x^{- 6}) - \lg (\frac{1}{8} x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) - (\lg (\frac{1}{8}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) - \lg (\frac{1}{8}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - 6 \lg (x) - \lg (\frac{1}{8}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - 6 \lg (x) - \lg (1) + \lg (8) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + 4 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (8) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 8 \cdot 5)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{- 0,2 x + 0,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{- 0,2 x + 0,2}$ können die Funktionswerte von $4 e^{- 0,2 x + 0,2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{- 0,2 x + 0,2}$	=	$y$	\|: $4$
$e^{- 0,2 x + 0,2}$	=	$\frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$

$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$	\| $- 0,2$
$- 0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y) - 0,2$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{4} y) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,2}{0,2}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $4 \cdot {0,7}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $4$

f(1) = $4$ ⋅ $0,7$

f(2) = $4$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$

f(3) = $4$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$

f(4) = $4$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$ ⋅ $0,7$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,7$ multipliziert. Da $0,7$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,7$ -fache, also auf $70$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 70% = 30 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer. Nach 3 Wochen zählt man bereits 8889,26 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 7 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 10000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 8889.26 Nutzer ist, also f(3) = 8889.26. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ ein:

$6 000 a^{3}$	=	$8 889,26$	\|: $6 000$
$a^{3}$	=	$1,48154$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{1,48154}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{1,48154}$ ≈ 1.14 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,14}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $6 000 \cdot {1,14}^{7}$ ≈ 15013,613.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer ist, also f(t) = 10000:

$6 000 \cdot {1,14}^{t}$	=	$10 000$	\|: $6 000$
${1,14}^{t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,14}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{3})$
$t \cdot \lg (1,14)$	=	$\lg (\frac{5}{3})$	\|: $\lg (1,14)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{3})}{\lg (1,14)}$

t

=

3,8986

Nach ca. 3,899 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer.

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Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben