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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 4 ( 1 31 ) liegt.

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Wir suchen 4er-Potenzen in der Näher von 1 31 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 31 ist.

Dabei kommt man auf 1 64 = 1 4 3 = 4-3 < 1 31 und auf 1 16 = 1 4 2 = 4-2 > 1 31 .

Und da wir bei log 4 ( 1 31 ) ja das ☐ von 4☐ = 1 31 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
4-3 = 1 4 3 = 1 64 < 1 31 < 1 16 = 1 4 2 = 4-2

Es gilt somit: -3 < log 4 ( 1 31 ) < -2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 100 x 2 ) + lg( 20 x 3 ) - lg( 1 5 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 1 100 x 2 ) + lg( 20 x 3 ) - lg( 1 5 x 2 )

= lg( 1 100 x -2 ) + lg( 20 x 3 ) - lg( 1 5 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 100 ) + lg( 1 x 2 ) + ( lg( 20 ) + lg( x 3 ) ) - ( lg( 1 5 ) + lg( 1 x 2 ) )

= lg( 1 100 ) + lg( 1 x 2 ) + lg( 20 ) + lg( x 3 ) - lg( 1 5 ) - lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 100 ) -2 lg( x ) + lg( 20 ) +3 lg( x ) - lg( 1 5 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 100 ) -2 lg( x ) + lg( 20 ) +3 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 5 ) +2 lg( x )

= 3 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 20 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 3 lg( x ) + lg( 1 100 · 20 · 5 )

= 3 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= 3 lg( x ) + lg( 1 )

= 3 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e x -1 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e x -1 wird zu allen Funktionswerten von e x -1 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e x -1 +1 = y | -1
e x -1 = y -1 |ln(⋅)
x -1 = ln( y -1 )
x -1 = ln( y -1 ) | +1
x = ln( y -1 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( x -1 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( x -1 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 15% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also Bneu = B - 15 100 ⋅B = (1 - 15 100 ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,85.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.85( 1 2 ) ≈ 4.27 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 10% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also Bneu = B - 10 100 ⋅B = (1 - 10 100 ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 12⋅ 0,9 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 12⋅ 0,9 4 ≈ 7,873.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.2:

12⋅ 0,9 t = 4,2 |:12
0,9 t = 0,35 |lg(⋅)
lg( 0,9 t ) = lg( 0,35 )
t · lg( 0,9 ) = lg( 0,35 ) |: lg( 0,9 )
t = lg( 0,35 ) lg( 0,9 )
t = 9,9641

Nach ca. 9,964 Jahre ist also der Bestand = 4.2 Millionen Insekten.