nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: log 13 ( 507 ) - log 13 ( 3 ) .

Lösung einblenden

log 13 ( 507 ) - log 13 ( 3 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= log 13 ( 507 3 )

= log 13 ( 169 )

= log 13 ( 13 2 )

= 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= 5 k e k x +4 k +3 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann 5 k e k x +4 k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x +4 k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm 5 k e k x +4 k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei 3 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x +4 k = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x +4 k = 0 | - ( 4 k )
    k x = -4 k |:( k )
    x = -4
    Wenn wir nun -4 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(-4 ) = 5 k e k ( -4 ) +4 k +3 = 5k +3
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(-4 ) = -1 ablesen, es gilt somit:
    5k +3 = -1 | -3
    5k = -4 |:5
    k = - 4 5 = -0.8

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 4 5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e x -1 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -3 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von -3 e x -1 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e x -1 -1 = y | +1
-3 e x -1 = y +1 |:-3
e x -1 = - 1 3 y - 1 3 |ln(⋅)
x -1 = ln( - 1 3 y - 1 3 )
x -1 = ln( - 1 3 y - 1 3 ) | +1
x = ln( - 1 3 y - 1 3 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 3 x - 1 3 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 3 x - 1 3 ) +1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 150 ( 27 25 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = 150

f(1) = 150 27 25

f(2) = 150 27 25 27 25

f(3) = 150 27 25 27 25 27 25

f(4) = 150 27 25 27 25 27 25 27 25

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 27 25 multipliziert. Da 27 25 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 27 25 -fache (oder auf das 108 100 -fache), also auf 108 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 108% - 100% = 8 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3% verzinst. Zu Beginn sind 6000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 9 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also Bneu = B + 3 100 ⋅B = (1 + 3 100 ) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,03 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 6000 1,03 9 7828,639.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

6000 1,03 t = 9000 |:6000
1,03 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,03 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,03 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,03 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,03 )
t = 13,7172

Nach ca. 13,717 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.