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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (16)$ = $2$ , eben weil $4$ ^$2$ = $16$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{10 000 x^{3}}) + \lg (\frac{20}{x}) - \lg (\frac{1}{50 x^{4}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{10 000 x^{3}}) + \lg (\frac{20}{x}) - \lg (\frac{1}{50 x^{4}})$

= $\lg (\frac{1}{10000} x^{- 3}) + \lg (20 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{50} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (\frac{1}{10000}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}) - 3 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (10 000) - 3 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (10 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{0,2 x - 0,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{0,2 x - 0,2}$ können die Funktionswerte von $2 e^{0,2 x - 0,2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{0,2 x - 0,2}$	=	$y$	\|: $2$
$e^{0,2 x - 0,2}$	=	$\frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$

$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$	\| $+ 0,2$
$0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y) + 0,2$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{2} y) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,2}{0,2}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 22,8 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 100kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 100 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 22.8 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{22,8}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[22,8]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $- 0,97$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $0,97$

Das gesuchte a ist somit $0,97$ ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $100 \cdot {0,97}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,3% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 35 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.3}{100}$ ) ⋅ B = 0,967 ⋅ B. Somit ist das a=0,967.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot {0,967}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $75 \cdot {0,967}^{9}$ ≈ 55,45.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

$75 \cdot {0,967}^{t}$	=	$35$	\|: $75$
${0,967}^{t}$	=	$\frac{7}{15}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,967}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{15})$
$t \cdot \lg (0,967)$	=	$\lg (\frac{7}{15})$	\|: $\lg (0,967)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{15})}{\lg (0,967)}$

t

=

22,712

Nach ca. 22,712 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.

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log berechnen (einfach)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben