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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{32})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{32}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{32}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{32}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{32}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{32})$ = $- 5$ , eben weil $2$ ^{$- 5$} = $\frac{1}{32}$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{- 0,2 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{- 0,2 x}$ können die Funktionswerte von $2 e^{- 0,2 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $2 e^{- 0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2 e^{- 0,2 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{- 0,2 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$2 e^{- 0,2 x}$	=	$y - 3$	\|: $2$
$e^{- 0,2 x}$	=	$\frac{1}{2} y - \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$	\|: $- 0,2$
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$
$x$	=	$- 5 \ln (\frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 5 \ln (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 5 \ln (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 14,2 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 10 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 14.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{14,2}$	=	$2$	\| $\sqrt[14,2]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{14,2}}$	≈ $- 1,05$
a₂	=	$2^{\frac{1}{14,2}}$	≈ $1,05$

Das gesuchte a ist somit $1,05$ ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {1,05}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,4% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 52,82 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.4}{100}$ ) ⋅ B = 0,966 ⋅ B. Somit ist das a=0,966.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,966}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 52.82 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 52.82. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,966}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.966⁶ = 52.82

c ⋅ 0.81257 = 52.82 | : 0.81257

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $65 \cdot {0,966}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $65 \cdot {0,966}^{9}$ ≈ 47,611.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$65 \cdot {0,966}^{t}$	=	$45$	\|: $65$
${0,966}^{t}$	=	$\frac{9}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,966}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{13})$
$t \cdot \lg (0,966)$	=	$\lg (\frac{9}{13})$	\|: $\lg (0,966)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{13})}{\lg (0,966)}$

t

=

10,6305

Nach ca. 10,631 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

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Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben