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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 x) + \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 x) + \lg (x)$
= $\lg (1 000) + \lg (x) + \lg (x)$
= $\lg (10^{3}) + \lg (x) + \lg (x)$
= $3 + \lg (x) + \lg (x)$
= $2 \lg (x) + 3$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x + 3 k) \cdot e^{x + \frac{3}{2} k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x + 3 k) \cdot e^{x + \frac{3}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + 3 k$ = 0 ist, also für x = $- 3 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 3 k$ ) = $- ((- 3 k) + 3 k) \cdot e^{(- 3 k) + \frac{3}{2} k} - 1$ = $0 - 1$ = $- 1$ sein.
Da bei x = $- 3 k$ bei ( $x + 3 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 3 k$ | $- 1$ ) im abgebildeten Graph bei P(2| $- 1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 3 k$ = 2
Also gilt k = $- \frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{2}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{- 0,4 x + 0,8}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{- 0,4 x + 0,8}$ können die Funktionswerte von $3 e^{- 0,4 x + 0,8}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{- 0,4 x + 0,8}$	=	$y$	\|: $3$
$e^{- 0,4 x + 0,8}$	=	$\frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,8$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$

$- 0,4 x + 0,8$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$	\| $- 0,8$
$- 0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y) - 0,8$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} y) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,8}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 12% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$ ) ⋅ B = 1,12 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,12.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.12( $2$ ) ≈ 6.12 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 6077,53€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 6077.53 € ist, also f(4) = 6077.53. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $5 000 \cdot a^{t}$ ein:

$5 000 a^{4}$	=	$6 077,53$	\|: $5 000$
$a^{4}$	=	$1,21551$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{1,21551}$	= $- 1,05$
a₂	=	$\sqrt[4]{1,21551}$	= $1,05$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,05$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,05}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $5 000 \cdot {1,05}^{9}$ ≈ 7756,641.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7500 € ist, also f(t) = 7500:

$5 000 \cdot {1,05}^{t}$	=	$7 500$	\|: $5 000$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,05)}$

t

=

8,3104

Nach ca. 8,31 Jahre ist also der Kontostand = 7500 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben