Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 2$ ), also gilt f(0)= $- 2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 2$ , also $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 4$ = $- 2 \cdot a$ = $- 2 a$ .

Es gilt also: $- 4$ = $- 2 a$ | ⋅ $- \frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{- 0,1 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{- 0,1 x}$ können die Funktionswerte von $3 e^{- 0,1 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $3 e^{- 0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{- 0,1 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{- 0,1 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$3 e^{- 0,1 x}$	=	$y - 3$	\|: $3$
$e^{- 0,1 x}$	=	$\frac{1}{3} y - 1$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - 1)$	\|: $- 0,1$
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} y - 1)$
$x$	=	$- 10 \ln (\frac{1}{3} y - 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 10 \ln (\frac{1}{3} x - 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 10 \ln (\frac{1}{3} x - 1)$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10,2 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 10.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{10,2}$	=	$2$	\| $\sqrt[10,2]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{10,2}}$	≈ $- 1,07$
a₂	=	$2^{\frac{1}{10,2}}$	≈ $1,07$

Das gesuchte a ist somit $1,07$ ≈ 1.07, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,07}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 14 Milionen Bakterien. 7 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 42,02Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 44 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=14 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $14 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Stunden der Bestand 42.02 Millionen Bakterien ist, also f(7) = 42.02. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $14 \cdot a^{t}$ ein:

$14 a^{7}$	=	$42,02$	\|: $14$
$a^{7}$	=	$3,00143$	\| $\sqrt[7]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[7]{3,00143}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[7]{3,00143}$ ≈ 1.17 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $14 \cdot {1,17}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $14 \cdot {1,17}^{8}$ ≈ 49,16.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 44 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 44:

$14 \cdot {1,17}^{t}$	=	$44$	\|: $14$
${1,17}^{t}$	=	$\frac{22}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,17}^{t})$	=	$\lg (\frac{22}{7})$
$t \cdot \lg (1,17)$	=	$\lg (\frac{22}{7})$	\|: $\lg (1,17)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{22}{7})}{\lg (1,17)}$

t

=

7,2937

Nach ca. 7,294 Stunden ist also der Bestand = 44 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben