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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{16})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{16})$ = $- 2$ , eben weil $4$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 2$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,1 x + 0,2} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{- 0,1 x + 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,1 x + 0,2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,1 x + 0,2} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{- 0,1 x + 0,2}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x + 0,2$	=	$\ln (y - 2)$

$- 0,1 x + 0,2$	=	$\ln (y - 2)$	\| $- 0,2$
$- 0,1 x$	=	$\ln (y - 2) - 0,2$	\|:( $- 0,1$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (y - 2) + \frac{0,2}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,1} \ln (x - 2) + \frac{0,2}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,1} \ln (x - 2) + \frac{0,2}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,074}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,074}^{t}$ ablesen: a=1.074.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.074( $2$ ) ≈ 9.71 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 49,67 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 52,9 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 49.67 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 49.67. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ ein:

$60 a^{6}$	=	$49,67$	\|: $60$
$a^{6}$	=	$0,82783$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{0,82783}$	≈ $- 0,969$
a₂	=	$\sqrt[6]{0,82783}$	≈ $0,969$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,969$ ≈ 0.969 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,969}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $60 \cdot {0,969}^{7}$ ≈ 48,13.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 52.9 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 52.9:

$60 \cdot {0,969}^{t}$	=	$52,9$	\|: $60$
${0,969}^{t}$	=	$0,8817$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,969}^{t})$	=	$\lg (0,8817)$
$t \cdot \lg (0,969)$	=	$\lg (0,8817)$	\|: $\lg (0,969)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,8817)}{\lg (0,969)}$

t

=

3,9981

Nach ca. 3,998 Jahre ist also der Bestand = 52.9 Millionen Einwohner.

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Maximale Definitionsmenge von f

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