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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{250 000 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{50 x^{3}}) + \lg (\frac{5}{x})$ soweit wie möglich.

$\lg (\frac{1}{250 000 x^{2}}) - \lg (\frac{1}{50 x^{3}}) + \lg (\frac{5}{x})$

= $\lg (\frac{1}{250.000} x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{50} x^{- 3}) + \lg (5 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (\frac{1}{250.000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000}) - 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + 3 \lg (x) + \lg (5) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (250 000) - 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (5) - \lg (x)$

= $- \lg (250 000) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000} \cdot 50 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x + 2 k) \cdot e^{x + k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x + 2 k) \cdot e^{x + k}$ = 0 wird, wenn $x + 2 k$ = 0 ist, also für x = $- 2 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 2 k$ ) = $((- 2 k) + 2 k) \cdot e^{(- 2 k) + k} + 1$ = $0 + 1$ = $1$ sein.
Da bei x = $- 2 k$ bei ( $x + 2 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 2 k$ | $1$ ) im abgebildeten Graph bei P(3| $1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 2 k$ = 3
Also gilt k = $- \frac{3}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{3}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,3 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,3 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,3 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{- 0,3 x}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (y + 2)$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (y + 2)$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (y + 2)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (x + 2)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (x + 2)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10,2% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 10.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10.2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{10.2}{100}$ ) ⋅ B = 0,898 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,898.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.898( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 6.44 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. 10 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 3,62 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 6 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 8,9 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$ ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,88}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 3.62 Millionen Insekten ist, also f(10) = 3.62. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,88}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.88¹⁰ = 3.62

c ⋅ 0.2785 = 3.62 | : 0.2785

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,88}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $13 \cdot {0,88}^{6}$ ≈ 6,037.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 8.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 8.9:

$13 \cdot {0,88}^{t}$	=	$8,9$	\|: $13$
${0,88}^{t}$	=	$0,6846$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,88}^{t})$	=	$\lg (0,6846)$
$t \cdot \lg (0,88)$	=	$\lg (0,6846)$	\|: $\lg (0,88)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,6846)}{\lg (0,88)}$

t

=

2,9642

Nach ca. 2,964 Jahre ist also der Bestand = 8.9 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben