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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x) + \lg (\frac{2}{x^{5}}) + \lg (25 x^{4})$ soweit wie möglich.

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$\lg (20 x) + \lg (\frac{2}{x^{5}}) + \lg (25 x^{4})$

= $\lg (20 x) + \lg (2 x^{- 5}) + \lg (25 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{5}})) + (\lg (25) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (20) + \lg (x) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (25) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x) + \lg (2) - 5 \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + \lg (x) + \lg (2) - 5 \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25 \cdot 20 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- k x \cdot e^{k x - k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $- k x \cdot e^{k x - k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $- k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - k} + 3 k$ = $3 k$ = 3

$3 k$ = $3$ |: $3$

$k$ = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 0,4 x} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{- 0,4 x}$ wird $e^{- 0,4 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{- 0,4 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- 2 e^{- 0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{- 0,4 x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{- 0,4 x} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- 2 e^{- 0,4 x}$	=	$y - 1$	\|: $- 2$
$e^{- 0,4 x}$	=	$- \frac{1}{2} y + \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$	\|: $- 0,4$
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$
$x$	=	$- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{2} x + \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{2} x + \frac{1}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,093}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,093}^{t}$ ablesen: a=1.093.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.093( $2$ ) ≈ 7.79 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer. Nach 6 Wochen zählt man bereits 11222,49 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 8000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 11222.49 Nutzer ist, also f(6) = 11222.49. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ ein:

$6 000 a^{6}$	=	$11 222,49$	\|: $6 000$
$a^{6}$	=	$1,87042$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{1,87042}$	= $- 1,11$
a₂	=	$\sqrt[6]{1,87042}$	= $1,11$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,11$ ≈ 1.11 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,11}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $6 000 \cdot {1,11}^{8}$ ≈ 13827,227.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer ist, also f(t) = 8000:

$6 000 \cdot {1,11}^{t}$	=	$8 000$	\|: $6 000$
${1,11}^{t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,11}^{t})$	=	$\lg (\frac{4}{3})$
$t \cdot \lg (1,11)$	=	$\lg (\frac{4}{3})$	\|: $\lg (1,11)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{4}{3})}{\lg (1,11)}$

t

=

2,7566

Nach ca. 2,757 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer.

$3 k$	=	$3$	\|: $3$
$k$	=	$1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben