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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{10000})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10000}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\frac{1}{10000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $10$ ^☐ = $\frac{1}{10000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (\frac{1}{10000})$ = $- 4$ , eben weil $10$ ^{$- 4$} = $\frac{1}{10000}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{20 x^{2}}) - \lg (100 x^{8}) + \lg (5 x^{4})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{20 x^{2}}) - \lg (100 x^{8}) + \lg (5 x^{4})$

= $- \lg (\frac{1}{20} x^{- 2}) - \lg (100 x^{8}) + \lg (5 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (100) + \lg (x^{8})) + (\lg (5) + \lg (x^{4}))$

= $- \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (100) - \lg (x^{8}) + \lg (5) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x) - \lg (100) - 8 \lg (x) + \lg (5) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (20) + 2 \lg (x) - \lg (100) - 8 \lg (x) + \lg (5) + 4 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{0,3 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{0,3 x}$ wird $e^{0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- e^{0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{0,3 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{0,3 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- e^{0,3 x}$	=	$y - 2$	\|: $- 1$
$e^{0,3 x}$	=	$- y + 2$	\|ln(⋅)
$0,3 x$	=	$\ln (- y + 2)$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (- y + 2)$
$x$	=	$\frac{10}{3} \ln (- y + 2)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3} \ln (- x + 2)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{10}{3} \ln (- x + 2)$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 4,6 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 4.6 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,6}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[4,6]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,6}}$	≈ $- 0,86$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,6}}$	≈ $0,86$

Das gesuchte a ist somit $0,86$ ≈ 0.86, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,86}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 18% vermehrt. Nach 5 Wochen zählt man bereits 13726,55 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 6 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 46000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{18}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{18}{100}$ ) ⋅ B = 1,18 ⋅ B. Somit ist das a=1,18.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,18}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 13726.55 Nutzer ist, also f(5) = 13726.55. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,18}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.18⁵ = 13726.55

c ⋅ 2.28776 = 13726.55 | : 2.28776

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,18}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $6 000 \cdot {1,18}^{6}$ ≈ 16197,325.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 46000 Nutzer ist, also f(t) = 46000:

$6 000 \cdot {1,18}^{t}$	=	$46 000$	\|: $6 000$
${1,18}^{t}$	=	$\frac{23}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,18}^{t})$	=	$\lg (\frac{23}{3})$
$t \cdot \lg (1,18)$	=	$\lg (\frac{23}{3})$	\|: $\lg (1,18)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{23}{3})}{\lg (1,18)}$

t

=

12,3064

Nach ca. 12,306 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 46000 Nutzer.

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Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben