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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (25)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (25)$ = $2$ , eben weil $5$ ^$2$ = $25$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x - 3 k) \cdot e^{x - \frac{3}{2} k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x - 3 k) \cdot e^{x - \frac{3}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - 3 k$ = 0 ist, also für x = $3 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $3 k$ ) = $((3 k) - 3 k) \cdot e^{(3 k) - \frac{3}{2} k} - 3$ = $0 - 3$ = $- 3$ sein.
Da bei x = $3 k$ bei ( $x - 3 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $3 k$ | $- 3$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $- 3$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $3 k$ = 1
Also gilt k = $\frac{1}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 3} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 3}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 3} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$4 e^{x - 3}$	=	$y - 3$	\|: $4$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4}) + 3$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 4,6 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 90kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 90 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 4.6 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,6}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[4,6]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,6}}$	≈ $- 0,86$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,6}}$	≈ $0,86$

Das gesuchte a ist somit $0,86$ ≈ 0.86, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $90 \cdot {0,86}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 20 Milionen Bakterien. 3 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 23,15Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 24,3 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 23.15 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 23.15. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $20 \cdot a^{t}$ ein:

$20 a^{3}$	=	$23,15$	\|: $20$
$a^{3}$	=	$1,1575$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{1,1575}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{1,1575}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {1,05}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $20 \cdot {1,05}^{7}$ ≈ 28,142.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 24.3 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 24.3:

$20 \cdot {1,05}^{t}$	=	$24,3$	\|: $20$
${1,05}^{t}$	=	$1,215$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (1,215)$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (1,215)$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (1,215)}{\lg (1,05)}$

t

=

3,9915

Nach ca. 3,992 Stunden ist also der Bestand = 24.3 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben