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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{125} x^{3}) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) + \lg (\frac{5}{x})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{125} x^{3}) - \lg (\frac{1}{25 x^{2}}) + \lg (\frac{5}{x})$

= $\lg (\frac{1}{125} x^{3}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 2}) + \lg (5 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{3}) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (\frac{1}{125}) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{125}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 2 \lg (x) + \lg (5) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (125) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 2 \lg (x) + \lg (5) - \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 0,4 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{- 0,4 x}$ wird $e^{- 0,4 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{- 0,4 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- 2 e^{- 0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{- 0,4 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{- 0,4 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- 2 e^{- 0,4 x}$	=	$y - 3$	\|: $- 2$
$e^{- 0,4 x}$	=	$- \frac{1}{2} y + \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$	\|: $- 0,4$
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$
$x$	=	$- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{2} x + \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{2} x + \frac{3}{2})$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 90 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 17 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 90 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 17 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{17}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[17]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[17]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[17]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.96, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $90 \cdot {0,96}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 18% vermehrt. Nach 8 Wochen zählt man bereits 15035,44 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 9000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{18}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{18}{100}$ ) ⋅ B = 1,18 ⋅ B. Somit ist das a=1,18.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,18}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 15035.44 Nutzer ist, also f(8) = 15035.44. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,18}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.18⁸ = 15035.44

c ⋅ 3.75886 = 15035.44 | : 3.75886

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,18}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $4 000 \cdot {1,18}^{5}$ ≈ 9151,031.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer ist, also f(t) = 9000:

$4 000 \cdot {1,18}^{t}$	=	$9 000$	\|: $4 000$
${1,18}^{t}$	=	$\frac{9}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,18}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{4})$
$t \cdot \lg (1,18)$	=	$\lg (\frac{9}{4})$	\|: $\lg (1,18)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{4})}{\lg (1,18)}$

t

=

4,8995

Nach ca. 4,9 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben