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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{2} (6)$ liegt.

Wir suchen $2$ er-Potenzen in der Näher von $6$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6$ ist.

Dabei kommt man auf $2^{2}$ = 2² < $6$ und auf $2^{3}$ = 2³ > $6$ .

Und da wir bei $\log_{2} (6)$ ja das ☐ von 2^☐ = $6$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
2² = $2^{2}$ < $6$ < $2^{3}$ = 2³

Es gilt somit: 2 < $\log_{2} (6)$ < 3

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{50}{x^{5}}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (4 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{50}{x^{5}}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (4 x^{3})$

= $\lg (50 x^{- 5}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (4 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + (\lg (5) + \lg (x^{2})) + (\lg (4) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (5) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) - 5 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (4) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) - 5 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (4) + 3 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50 \cdot 5 \cdot 4)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{0,2 x - 0,6}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{0,2 x - 0,6}$ können die Funktionswerte von $2 e^{0,2 x - 0,6}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{0,2 x - 0,6}$	=	$y$	\|: $2$
$e^{0,2 x - 0,6}$	=	$\frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$

$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (\frac{1}{2} y)$	\| $+ 0,6$
$0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y) + 0,6$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{2} y) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{2} x) + \frac{0,6}{0,2}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 4,2 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,2}$	=	$2$	\| $\sqrt[4,2]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{4,2}}$	≈ $- 1,179$
a₂	=	$2^{\frac{1}{4,2}}$	≈ $1,179$

Das gesuchte a ist somit $1,179$ ≈ 1.18, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,18}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. Zu Beginn sind 90kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 50kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $90 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $90 \cdot {0,92}^{4}$ ≈ 64,475.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 kg ist, also f(t) = 50:

$90 \cdot {0,92}^{t}$	=	$50$	\|: $90$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{5}{9}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{9})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{5}{9})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{9})}{\lg (0,92)}$

t

=

7,0494

Nach ca. 7,049 Tage ist also der Bestand = 50 kg.

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log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben