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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 5 x 4 ) + lg( 10 x 6 ) + lg( 20 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 5 x 4 ) + lg( 10 x 6 ) + lg( 20 x 2 )

= lg( 5 x 4 ) + lg( 10 x -6 ) + lg( 20 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 5 ) + lg( x 4 ) + ( lg( 10 ) + lg( 1 x 6 ) ) + ( lg( 20 ) + lg( x 2 ) )

= lg( 5 ) + lg( x 4 ) + lg( 10 ) + lg( 1 x 6 ) + lg( 20 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 5 ) +4 lg( x ) + lg( 10 ) -6 lg( x ) + lg( 20 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 5 ) +4 lg( x ) + lg( 10 ) -6 lg( x ) + lg( 20 ) +2 lg( x )

= lg( 20 ) + lg( 10 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 20 · 10 · 5 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 4.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 4 = a = a .

Es gilt also: 4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e 0,4x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e 0,4x können die Funktionswerte von 4 e 0,4x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem 4 e 0,4x wird zu allen Funktionswerten von 4 e 0,4x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e 0,4x -3 = y | +3
4 e 0,4x = y +3 |:4
e 0,4x = 1 4 y + 3 4 |ln(⋅)
0,4x = ln( 1 4 y + 3 4 ) |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 4 y + 3 4 )
x = 5 2 ln( 1 4 y + 3 4 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 2 ln( 1 4 x + 3 4 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 2 ln( 1 4 x + 3 4 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 180 1,1 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 180

f(1) = 180 1,1

f(2) = 180 1,11,1

f(3) = 180 1,11,11,1

f(4) = 180 1,11,11,11,1

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,1 multipliziert. Da 1,1 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,1-fache, also auf 110 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. Zu Beginn sind 5000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 13 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 5800€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also Bneu = B + 1 100 ⋅B = (1 + 1 100 ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = 5000 1,01 13 5690,466.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5800 € ist, also f(t) = 5800:

5000 1,01 t = 5800 |:5000
1,01 t = 29 25 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 29 25 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 29 25 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 29 25 ) lg( 1,01 )
t = 14,9161

Nach ca. 14,916 Jahre ist also der Kontostand = 5800 €.