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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\log_{5} (5^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- \frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $- \frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- \frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- \frac{3}{2}$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- \frac{3}{2}$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{3}{2}$ = $- \frac{1}{2} \cdot a$ = $- \frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $- \frac{3}{2}$ = $- \frac{1}{2} a$ | ⋅ $- 2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 0,2 x + 0,6}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{- 0,2 x + 0,6}$ wird $e^{- 0,2 x + 0,6}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{- 0,2 x + 0,6}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{- 0,2 x + 0,6}$	=	$y$	\|: $- 2$
$e^{- 0,2 x + 0,6}$	=	$- \frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,6$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$

$- 0,2 x + 0,6$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$	\| $- 0,6$
$- 0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y) - 0,6$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{2} y) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,6}{0,2}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 8,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 10kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 8.3 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{8,3}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[8,3]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{8,3}}$	≈ $- 0,92$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{8,3}}$	≈ $0,92$

Das gesuchte a ist somit $0,92$ ≈ 0.92, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,92}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 15 Milionen Bakterien. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 26,14Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 715 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $15 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 26.14 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 26.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $15 \cdot a^{t}$ ein:

$15 a^{2}$	=	$26,14$	\|: $15$
$a^{2}$	=	$1,74267$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{1,74267}$	≈ $- 1,32$
a₂	=	$\sqrt{1,74267}$	≈ $1,32$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,32$ ≈ 1.32 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $15 \cdot {1,32}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $15 \cdot {1,32}^{5}$ ≈ 60,112.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 715 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 715:

$15 \cdot {1,32}^{t}$	=	$715$	\|: $15$
${1,32}^{t}$	=	$\frac{143}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,32}^{t})$	=	$\lg (\frac{143}{3})$
$t \cdot \lg (1,32)$	=	$\lg (\frac{143}{3})$	\|: $\lg (1,32)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{143}{3})}{\lg (1,32)}$

t

=

13,9186

Nach ca. 13,919 Stunden ist also der Bestand = 715 Millionen Bakterien.

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Maximale Definitionsmenge von f

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