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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 3} - 2$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 3} - 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -2 addiert wird, ist der Graph von $e^{x - 3} - 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x - 3} - 2$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x - 3} - 2$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x - 3} - 2$ gegen $0 - 2$ = $- 2$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{2}{25 x^{4}}) + \lg (\frac{20}{x}) - \lg (\frac{1}{4} x^{3})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{2}{25 x^{4}}) + \lg (\frac{20}{x}) - \lg (\frac{1}{4} x^{3})$

= $- \lg (\frac{2}{25} x^{- 4}) + \lg (20 x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{4} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{2}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{2}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{2}{25}) + 4 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (2) + \lg (25) + 4 \lg (x) + \lg (20) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) - 3 \lg (x)$

= $\lg (25) + \lg (20) + \lg (4) - \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25 \cdot 20 \cdot 4}{2})$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,2} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{- 0,2 x + 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,2 x + 0,2}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,2} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{- 0,2 x + 0,2}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y - 1)$

$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y - 1)$	\| $- 0,2$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y - 1) - 0,2$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y - 1) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,2}{0,2}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $39 \cdot {0,55}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $39$

f(1) = $39$ ⋅ $0,55$

f(2) = $39$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

f(3) = $39$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

f(4) = $39$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,55$ multipliziert. Da $0,55$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,55$ -fache, also auf $55$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4% verzinst. Zu Beginn sind 8000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 7 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 18000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $8 000 \cdot {1,04}^{7}$ ≈ 10527,454.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 18000 € ist, also f(t) = 18000:

$8 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$18 000$	\|: $8 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{9}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{4})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{9}{4})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{4})}{\lg (1,04)}$

t

=

20,6761

Nach ca. 20,676 Jahre ist also der Kontostand = 18000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben