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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{16})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{16})$ = $- 2$ , eben weil $4$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4 x^{4}}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{100 x^{7}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{4 x^{4}}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{100 x^{7}})$

= $- \lg (\frac{1}{4} x^{- 4}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{100} x^{- 7})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (25) + \lg (1)) + (\lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{7}}))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (25) + \lg (1) + \lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{7}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) + 4 \lg (x) + \lg (25) + 0 + \lg (\frac{1}{100}) - 7 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (25) + 0 + \lg (1) - \lg (100) - 7 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,1 x} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{- 0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,1 x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,1 x} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{- 0,1 x}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x$	=	$\ln (y - 1)$	\|: $- 0,1$
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (y - 1)$
$x$	=	$- 10 \ln (y - 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 10 \ln (x - 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 10 \ln (x - 1)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 12% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$ ) ⋅ B = 1,12 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,12.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.12( $2$ ) ≈ 6.12 Wochen

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 26,26kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 5 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$ ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 26.26 kg ist, also f(8) = 26.26. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.87⁸ = 26.26

c ⋅ 0.32821 = 26.26 | : 0.32821

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $80 \cdot {0,87}^{5}$ ≈ 39,874.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$80 \cdot {0,87}^{t}$	=	$20$	\|: $80$
${0,87}^{t}$	=	$\frac{1}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{4})$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (\frac{1}{4})$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{4})}{\lg (0,87)}$

t

=

9,9546

Nach ca. 9,955 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben