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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (510 966)$ liegt.

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $510 966$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $510 966$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{5}$ = 10⁵ < $510 966$ und auf $10^{6}$ = 10⁶ > $510 966$ .

Und da wir bei $\log_{10} (510 966)$ ja das ☐ von 10^☐ = $510 966$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = $10^{5}$ < $510 966$ < $10^{6}$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < $\log_{10} (510 966)$ < 6

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $3 k e^{k x - 3 k} - 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $3 k e^{k x - 3 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x - 3 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $3 k e^{k x - 3 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $- 2$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x - 3 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x - 3 k$	=	0	\| - ( $- 3 k$ )
$k x$	=	$3 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$3$

Wenn wir nun

3

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

3

) =

3 k e^{k \cdot 3 - 3 k} - 2

=

3 k - 2

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

3

) = -1 ablesen, es gilt somit:

$3 k - 2$	=	$- 1$	\| $+ 2$
$3 k$	=	$1$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{1}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,3 x + 0,6}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,3 x + 0,6}$ wird $e^{- 0,3 x + 0,6}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,3 x + 0,6}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,3 x + 0,6}$	=	$y$	\|: $- 4$
$e^{- 0,3 x + 0,6}$	=	$- \frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,6$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$

$- 0,3 x + 0,6$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$	\| $- 0,6$
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y) - 0,6$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} y) + \frac{0,6}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,6}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,6}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,879}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,879}^{t}$ ablesen: a=0.879.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.879( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 5.37 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Nach 13 Wochen zählt man bereits 6885,79 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 12 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 1600 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$ ) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,16}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 6885.79 Nutzer ist, also f(13) = 6885.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,16}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.16¹³ = 6885.79

c ⋅ 6.88579 = 6885.79 | : 6.88579

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,16}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $1 000 \cdot {1,16}^{12}$ ≈ 5936,027.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 1600 Nutzer ist, also f(t) = 1600:

$1 000 \cdot {1,16}^{t}$	=	$1 600$	\|: $1 000$
${1,16}^{t}$	=	$\frac{8}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,16}^{t})$	=	$\lg (\frac{8}{5})$
$t \cdot \lg (1,16)$	=	$\lg (\frac{8}{5})$	\|: $\lg (1,16)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{8}{5})}{\lg (1,16)}$

t

=

3,1667

Nach ca. 3,167 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 1600 Nutzer.

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Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben