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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5)$ - $\lg (50)$ .

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$\lg (5)$ - $\lg (50)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{5}{50})$

= $\lg (0,1)$

= $\lg (10^{- 1})$

= -1

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x) + \lg (50 x^{4}) + \lg (\frac{1}{100 000 x^{5}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (20 x) + \lg (50 x^{4}) + \lg (\frac{1}{100 000 x^{5}})$

= $\lg (20 x) + \lg (50 x^{4}) + \lg (\frac{1}{100.000} x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x) + (\lg (50) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{1}{100.000}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $\lg (20) + \lg (x) + \lg (50) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{100.000}) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x) + \lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100.000}) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + \lg (x) + \lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (100 000) - 5 \lg (x)$

= $- \lg (100 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{x - 1} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x - 1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x - 1} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{x - 1}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (y - 3)$

$x - 1$	=	$\ln (y - 3)$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (y - 3) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (x - 3) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (x - 3) + 1$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 11,9 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 2000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 11.9 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{11,9}$	=	$2$	\| $\sqrt[11,9]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{11,9}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{11,9}}$ ≈ 1.06, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,06}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. 9 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 3,16 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 7 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$ ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,88}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Jahre der Bestand 3.16 Millionen Insekten ist, also f(9) = 3.16. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,88}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.88⁹ = 3.16

c ⋅ 0.31648 = 3.16 | : 0.31648

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,88}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $10 \cdot {0,88}^{7}$ ≈ 4,087.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.2:

$10 \cdot {0,88}^{t}$	=	$3,2$	\|: $10$
${0,88}^{t}$	=	$0,32$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,88}^{t})$	=	$\lg (0,32)$
$t \cdot \lg (0,88)$	=	$\lg (0,32)$	\|: $\lg (0,88)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,32)}{\lg (0,88)}$

t

=

8,9134

Nach ca. 8,913 Jahre ist also der Bestand = 3.2 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben