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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{16} (\frac{1}{4})$ .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = $16^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $4^{- 1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{- 1}$ = ${(16^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{16} (\frac{1}{4})$ = $\log_{16} (4^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$ ^☐ = $4^{- 1}$ = $16^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{16} (\frac{1}{4})$ = $\log_{16} (4^{- 1})$ = $\log_{16} (16^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $16$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $2 k e^{\frac{1}{3} k x - \frac{1}{3} k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2 k e^{\frac{1}{3} k x - \frac{1}{3} k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $\frac{1}{3} k x - \frac{1}{3} k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $2 k e^{\frac{1}{3} k x - \frac{1}{3} k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $- 3$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

\frac{1}{3} k x - \frac{1}{3} k

= 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$\frac{1}{3} k x - \frac{1}{3} k$	=	0	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} k x - \frac{1}{3} k)$	=	0
$k x - k$	=	0	\| - ( $- k$ )
$k x$	=	$k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$1$

Wenn wir nun

1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

1

) =

2 k e^{\frac{1}{3} k \cdot 1 - \frac{1}{3} k} - 3

=

2 k - 3

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

1

) = 2 ablesen, es gilt somit:

$2 k - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
$2 k$	=	$5$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{5}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,4 x + 0,8}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,4 x + 0,8}$ wird $e^{- 0,4 x + 0,8}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,4 x + 0,8}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,4 x + 0,8}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{- 0,4 x + 0,8}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,8$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$- 0,4 x + 0,8$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $- 0,8$
$- 0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) - 0,8$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,8}{0,4}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 11,9 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 2000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 11.9 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{11,9}$	=	$2$	\| $\sqrt[11,9]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{11,9}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{11,9}}$ ≈ 1.06, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,06}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 70 Millionen Einwohner. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 60,95 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 5 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 40 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 60.95 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 60.95. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ ein:

$70 a^{4}$	=	$60,95$	\|: $70$
$a^{4}$	=	$0,87071$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{0,87071}$	≈ $- 0,966$
a₂	=	$\sqrt[4]{0,87071}$	≈ $0,966$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,966$ ≈ 0.966 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,966}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $70 \cdot {0,966}^{5}$ ≈ 58,882.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:

$70 \cdot {0,966}^{t}$	=	$40$	\|: $70$
${0,966}^{t}$	=	$\frac{4}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,966}^{t})$	=	$\lg (\frac{4}{7})$
$t \cdot \lg (0,966)$	=	$\lg (\frac{4}{7})$	\|: $\lg (0,966)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{4}{7})}{\lg (0,966)}$

t

=

16,1779

Nach ca. 16,178 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.

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Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben