Mathebattle EduRandomtasks

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $- 2 \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 2})$
= $2 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $e^{\frac{7}{10} x - k} + k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{7}{10} x - k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 1, somit muss $k$ = 1 gelten;
Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 2} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{x - 2}$ wird $e^{x - 2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{x - 2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- 2 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{x - 2}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{x - 2} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- 2 e^{x - 2}$	=	$y + 1$	\|: $- 2$
$e^{x - 2}$	=	$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2})$

$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) + 2$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 4,3 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 12 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 4.3 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,3}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[4,3]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,3}}$	≈ $- 0,851$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,3}}$	≈ $0,851$

Das gesuchte a ist somit $0,851$ ≈ 0.85, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,85}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 60kg vorhanden. Nach 8 Tagen nach sind nur noch 17,95kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 11 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 17.95 kg ist, also f(8) = 17.95. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ ein:

$60 a^{8}$	=	$17,95$	\|: $60$
$a^{8}$	=	$\frac{17,95}{60}$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{\frac{17,95}{60}}$	≈ $- 0,86$
a₂	=	$\sqrt[8]{\frac{17,95}{60}}$	≈ $0,86$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,86$ ≈ 0.86 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,86}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $60 \cdot {0,86}^{11}$ ≈ 11,419.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$60 \cdot {0,86}^{t}$	=	$10$	\|: $60$
${0,86}^{t}$	=	$\frac{1}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,86}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{6})$
$t \cdot \lg (0,86)$	=	$\lg (\frac{1}{6})$	\|: $\lg (0,86)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{6})}{\lg (0,86)}$

t

=

11,8799

Nach ca. 11,88 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

2. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben