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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,003)$ - $\lg (3)$ .

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$\lg (0,003)$ - $\lg (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.003}{3})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{20} x^{2}) + \lg (\frac{1}{400} x^{2}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{20} x^{2}) + \lg (\frac{1}{400} x^{2}) - \lg (\frac{1}{20 x^{2}})$

= $- \lg (\frac{1}{20} x^{2}) + \lg (\frac{1}{400} x^{2}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{2})) + (\lg (\frac{1}{400}) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{400}) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{20}) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{400}) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (20) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (400) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (400) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{400} \cdot 20 \cdot 20)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{x - 1} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- 4 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{x - 1}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{x - 1} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- 4 e^{x - 1}$	=	$y + 2$	\|: $- 4$
$e^{x - 1}$	=	$- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$

$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 1$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 9,6 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 9.6 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{9,6}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[9,6]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{9,6}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{9,6}}$ ≈ 0.93, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,93}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 3244,8€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3700€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,04}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 3244.8 € ist, also f(2) = 3244.8. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,04}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.04² = 3244.8

c ⋅ 1.0816 = 3244.8 | : 1.0816

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $3 000 \cdot {1,04}^{5}$ ≈ 3649,959.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3700 € ist, also f(t) = 3700:

$3 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$3 700$	\|: $3 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{37}{30}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{37}{30})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{37}{30})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{37}{30})}{\lg (1,04)}$

t

=

5,3472

Nach ca. 5,347 Jahre ist also der Kontostand = 3700 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben