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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (5)$ .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = $25^{\frac{1}{2}}$

$\log_{25} (5)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5$ = $25^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (5)$ = $\log_{25} (25^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $25$ ^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{20 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{4}}) + \lg (5 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{20 x^{3}}) - \lg (\frac{1}{4 x^{4}}) + \lg (5 x^{3})$

= $\lg (\frac{1}{20} x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 4}) + \lg (5 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (5) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (5) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20}) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 4 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (20) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{x - 2} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{x - 2}$ wird $e^{x - 2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{x - 2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- 4 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{x - 2}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{x - 2} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- 4 e^{x - 2}$	=	$y - 1$	\|: $- 4$
$e^{x - 2}$	=	$- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$

$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{4}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{4}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{4}) + 2$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $89 \cdot {0,85}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $89$

f(1) = $89$ ⋅ $0,85$

f(2) = $89$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

f(3) = $89$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

f(4) = $89$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,85$ multipliziert. Da $0,85$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,85$ -fache, also auf $85$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 85% = 15 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 15% seines Bestands. Zu Beginn sind 50kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 25kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$ ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $50 \cdot {0,85}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $50 \cdot {0,85}^{4}$ ≈ 26,1.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 25 kg ist, also f(t) = 25:

$50 \cdot {0,85}^{t}$	=	$25$	\|: $50$
${0,85}^{t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,85}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{2})$
$t \cdot \lg (0,85)$	=	$\lg (\frac{1}{2})$	\|: $\lg (0,85)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{2})}{\lg (0,85)}$

t

=

4,265

Nach ca. 4,265 Tage ist also der Bestand = 25 kg.

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Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben