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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 3 ( 1 23 ) liegt.

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Wir suchen 3er-Potenzen in der Näher von 1 23 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 23 ist.

Dabei kommt man auf 1 27 = 1 3 3 = 3-3 < 1 23 und auf 1 9 = 1 3 2 = 3-2 > 1 23 .

Und da wir bei log 3 ( 1 23 ) ja das ☐ von 3 = 1 23 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
3-3 = 1 3 3 = 1 27 < 1 23 < 1 9 = 1 3 2 = 3-2

Es gilt somit: -3 < log 3 ( 1 23 ) < -2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 7 10 x + k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 7 10 x + k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 + k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -1, somit muss k = -1 gelten;
    Also gilt k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,2x +0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,2x +0,4 = y |ln(⋅)
-0,2x +0,4 = ln( y )
-0,2x +0,4 = ln( y ) | -0,4
-0,2x = ln( y ) -0,4 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( y ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( x ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( x ) + 0,4 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4,2% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 4.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4.2% weggehen,
also Bneu = B - 4.2 100 ⋅B = (1 - 4.2 100 ) ⋅ B = 0,958 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,958.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.958( 1 2 ) ≈ 16.15 Tage

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 28 Milionen Bakterien. 4 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 70,57Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 68 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=28 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 28 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Stunden der Bestand 70.57 Millionen Bakterien ist, also f(4) = 70.57. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 28 a t ein:

28 a 4 = 70,57 |:28
a 4 = 2,52036 | 4
a1 = - 2,52036 4 -1,26
a2 = 2,52036 4 1,26

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,26 ≈ 1.26 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 28 1,26 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = 28 1,26 5 88,922.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 68 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 68:

28 1,26 t = 68 |:28
1,26 t = 17 7 |lg(⋅)
lg( 1,26 t ) = lg( 17 7 )
t · lg( 1,26 ) = lg( 17 7 ) |: lg( 1,26 )
t = lg( 17 7 ) lg( 1,26 )
t = 3,8393

Nach ca. 3,839 Stunden ist also der Bestand = 68 Millionen Bakterien.