nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( x ) -2 lg( x 4 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( x ) -2 lg( x 4 )
= lg( x 1 2 ) -2 lg( x 4 )
= 1 2 lg( x ) -8 lg( x )
= - 15 2 lg( x )

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| - 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = - 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: - 3 2 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: - 3 2 = - 1 2 a | ⋅ -2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e 0,1x -0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e 0,1x -0,3 wird e 0,1x -0,3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e 0,1x -0,3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e 0,1x -0,3 = y |:-4
e 0,1x -0,3 = - 1 4 y |ln(⋅)
0,1x -0,3 = ln( - 1 4 y )
0,1x -0,3 = ln( - 1 4 y ) | +0,3
0,1x = ln( - 1 4 y ) +0,3 |:0,1
x = 1 0,1 ln( - 1 4 y ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( - 1 4 x ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( - 1 4 x ) + 0,3 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also Bneu = B - 12 100 ⋅B = (1 - 12 100 ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,88.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.88( 1 2 ) ≈ 5.42 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 6 Jahren beträgt der Kontostand bereits 7883,14€. a) Wie hoch ist der Kontostand 11 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 8000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 7000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 7883.14 € ist, also f(6) = 7883.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 7000 a t ein:

7000 a 6 = 7883,14 |:7000
a 6 = 1,12616 | 6
a1 = - 1,12616 6 = -1,02
a2 = 1,12616 6 = 1,02

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,02 ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 7000 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = 7000 1,02 11 8703,62.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8000 € ist, also f(t) = 8000:

7000 1,02 t = 8000 |:7000
1,02 t = 8 7 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 8 7 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 8 7 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 8 7 ) lg( 1,02 )
t = 6,7431

Nach ca. 6,743 Jahre ist also der Kontostand = 8000 €.