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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50 x^{4}}) + \lg (\frac{1}{25 x})$ soweit wie möglich.

$- \lg (\frac{1}{50} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50 x^{4}}) + \lg (\frac{1}{25 x})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50} x^{- 4}) + \lg (\frac{1}{25} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (25) - \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (50) - \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50 \cdot 50}{25})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x}) - \lg (\frac{62 500}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{25} x^{3})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{25 x}) - \lg (\frac{62 500}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{25} x^{3})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 1}) - \lg (62500 x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{25} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (62500) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x}) - \lg (62500) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + \lg (x) - \lg (62500) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + \lg (x) - \lg (62 500) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (62 500) + \lg (25) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{62500} \cdot 25 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,4 x + 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$y$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (y)$

$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (y)$	\| $- 0,4$
$- 0,4 x$	=	$\ln (y) - 0,4$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (y) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (x) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (x) + \frac{0,4}{0,4}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 4,7 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 2000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,7}$	=	$2$	\| $\sqrt[4,7]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{4,7}}$	≈ $- 1,159$
a₂	=	$2^{\frac{1}{4,7}}$	≈ $1,159$

Das gesuchte a ist somit $1,159$ ≈ 1.16, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,16}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt. 12 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 2,96 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 13 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,7 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Jahre der Bestand 2.96 Millionen Insekten ist, also f(12) = 2.96. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $12 \cdot a^{t}$ ein:

$12 a^{12}$	=	$2,96$	\|: $12$
$a^{12}$	=	$\frac{2,96}{12}$	\| $\sqrt[12]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[12]{\frac{2,96}{12}}$	≈ $- 0,89$
a₂	=	$\sqrt[12]{\frac{2,96}{12}}$	≈ $0,89$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,89$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,89}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $12 \cdot {0,89}^{13}$ ≈ 2,638.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.7:

$12 \cdot {0,89}^{t}$	=	$3,7$	\|: $12$
${0,89}^{t}$	=	$0,3083$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,89}^{t})$	=	$\lg (0,3083)$
$t \cdot \lg (0,89)$	=	$\lg (0,3083)$	\|: $\lg (0,89)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,3083)}{\lg (0,89)}$

t

=

10,0973

Nach ca. 10,097 Jahre ist also der Bestand = 3.7 Millionen Insekten.

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Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben