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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (\sqrt[5]{18})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{18}$ zur Basis $18$ , also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{18}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $\sqrt[5]{18}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{18}$ als $18^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $18$ ^☐ = $18^{\frac{1}{5}}$

$\log_{18} (\sqrt[5]{18})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $18$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{18}$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 3$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 3$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,1 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,1 x}$ wird $e^{0,1 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,1 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- 3 e^{0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{0,1 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,1 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- 3 e^{0,1 x}$	=	$y - 2$	\|: $- 3$
$e^{0,1 x}$	=	$- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$
$x$	=	$10 \ln (- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10 \ln (- \frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $10 \ln (- \frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $161 \cdot {1,45}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $161$

f(1) = $161$ ⋅ $1,45$

f(2) = $161$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(3) = $161$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(4) = $161$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,45$ multipliziert. Da $1,45$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,45$ -fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seines Bestands. 2 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 65,86kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 13 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 65,9kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$ ) ⋅ B = 0,97 ⋅ B. Somit ist das a=0,97.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,97}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 65.86 kg ist, also f(2) = 65.86. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,97}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.97² = 65.86

c ⋅ 0.9409 = 65.86 | : 0.9409

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,97}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $70 \cdot {0,97}^{13}$ ≈ 47,112.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 65.9 kg ist, also f(t) = 65.9:

$70 \cdot {0,97}^{t}$	=	$65,9$	\|: $70$
${0,97}^{t}$	=	$0,9414$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,97}^{t})$	=	$\lg (0,9414)$
$t \cdot \lg (0,97)$	=	$\lg (0,9414)$	\|: $\lg (0,97)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,9414)}{\lg (0,97)}$

t

=

1,9826

Nach ca. 1,983 Tage ist also der Bestand = 65.9 kg.

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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

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a und ein Funktionswert gegeben