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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{4})$ liegt.

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{4}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{4}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{4}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{4}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{4})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{4}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{4}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < $\log_{5} (\frac{1}{4})$ < -0

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + k$ = 0 ist, also für x = $- 1 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 1 k$ ) = $((- 1 k) + k) \cdot e^{(- 1 k) + \frac{1}{2} k} + 1$ = $0 + 1$ = $1$ sein.
Da bei x = $- 1 k$ bei ( $x + k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 1 k$ | $1$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 1 k$ = 1
Also gilt k = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{- 0,2 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{- 0,2 x}$ können die Funktionswerte von $4 e^{- 0,2 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4 e^{- 0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{- 0,2 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{- 0,2 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$4 e^{- 0,2 x}$	=	$y - 2$	\|: $4$
$e^{- 0,2 x}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$	\|: $- 0,2$
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$
$x$	=	$- 5 \ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 5 \ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 5 \ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,907}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,907}^{t}$ ablesen: a=0.907.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.907( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.1 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer. Nach 8 Wochen zählt man bereits 7022,91 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 2700 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 7022.91 Nutzer ist, also f(8) = 7022.91. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ ein:

$2 000 a^{8}$	=	$7 022,91$	\|: $2 000$
$a^{8}$	=	$3,51146$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{3,51146}$	= $- 1,17$
a₂	=	$\sqrt[8]{3,51146}$	= $1,17$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,17$ ≈ 1.17 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,17}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $2 000 \cdot {1,17}^{9}$ ≈ 8216,801.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 2700 Nutzer ist, also f(t) = 2700:

$2 000 \cdot {1,17}^{t}$	=	$2 700$	\|: $2 000$
${1,17}^{t}$	=	$\frac{27}{20}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,17}^{t})$	=	$\lg (\frac{27}{20})$
$t \cdot \lg (1,17)$	=	$\lg (\frac{27}{20})$	\|: $\lg (1,17)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{27}{20})}{\lg (1,17)}$

t

=

1,9114

Nach ca. 1,911 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 2700 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben