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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x^{2} + 2}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{2} \cdot e^{{(- x)}^{2} + 2}$ = $x^{2} \cdot e^{x^{2} + 2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{2} \cdot e^{x^{2} + 2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 3$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 3$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 2} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $4 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 2}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 2} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$4 e^{x - 2}$	=	$y + 1$	\|: $4$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{4} y + \frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{4}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4}) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,859}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,859}^{t}$ ablesen: a=0.859.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.859( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.56 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 23 Milionen Bakterien. 3 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 34,08Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 43 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=23 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $23 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 34.08 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 34.08. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $23 \cdot a^{t}$ ein:

$23 a^{3}$	=	$34,08$	\|: $23$
$a^{3}$	=	$1,48174$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{1,48174}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{1,48174}$ ≈ 1.14 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $23 \cdot {1,14}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $23 \cdot {1,14}^{8}$ ≈ 65,609.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 43 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 43:

$23 \cdot {1,14}^{t}$	=	$43$	\|: $23$
${1,14}^{t}$	=	$\frac{43}{23}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,14}^{t})$	=	$\lg (\frac{43}{23})$
$t \cdot \lg (1,14)$	=	$\lg (\frac{43}{23})$	\|: $\lg (1,14)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{43}{23})}{\lg (1,14)}$

t

=

4,7754

Nach ca. 4,775 Stunden ist also der Bestand = 43 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben