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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -3 -2 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -3 -2 zu jedem Funktionswert von e x noch -2 addiert wird, ist der Graph von e x -3 -2 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Da bei e x -3 -2 das x von e x durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt e x -3 -2 gegen .
  • Für x → - ∞ strebt e x -3 -2 gegen 0 -2 = -2 .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 2 25 x 4 ) + lg( 20 x ) - lg( 1 4 x 3 ) soweit wie möglich.

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- lg( 2 25 x 4 ) + lg( 20 x ) - lg( 1 4 x 3 )

= - lg( 2 25 x -4 ) + lg( 20 x -1 ) - lg( 1 4 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 2 25 ) + lg( 1 x 4 ) ) + ( lg( 20 ) + lg( 1 x ) ) - ( lg( 1 4 ) + lg( x 3 ) )

= - lg( 2 25 ) - lg( 1 x 4 ) + lg( 20 ) + lg( 1 x ) - lg( 1 4 ) - lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 2 25 ) +4 lg( x ) + lg( 20 ) - lg( x ) - lg( 1 4 ) -3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 2 ) + lg( 25 ) +4 lg( x ) + lg( 20 ) - lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 4 ) -3 lg( x )

= lg( 25 ) + lg( 20 ) + lg( 4 ) - lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 25 · 20 · 4 2 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,2x +0,2 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e -0,2x +0,2 wird zu allen Funktionswerten von e -0,2x +0,2 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,2x +0,2 +1 = y | -1
e -0,2x +0,2 = y -1 |ln(⋅)
-0,2x +0,2 = ln( y -1 )
-0,2x +0,2 = ln( y -1 ) | -0,2
-0,2x = ln( y -1 ) -0,2 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( y -1 ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( x -1 ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( x -1 ) + 0,2 0,2

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 39 0,55 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 39

f(1) = 39 0,55

f(2) = 39 0,550,55

f(3) = 39 0,550,550,55

f(4) = 39 0,550,550,550,55

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,55 multipliziert. Da 0,55 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,55-fache, also auf 55 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4% verzinst. Zu Beginn sind 8000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 7 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 18000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also Bneu = B + 4 100 ⋅B = (1 + 4 100 ) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 8000 1,04 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 8000 1,04 7 10527,454.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 18000 € ist, also f(t) = 18000:

8000 1,04 t = 18000 |:8000
1,04 t = 9 4 |lg(⋅)
lg( 1,04 t ) = lg( 9 4 )
t · lg( 1,04 ) = lg( 9 4 ) |: lg( 1,04 )
t = lg( 9 4 ) lg( 1,04 )
t = 20,6761

Nach ca. 20,676 Jahre ist also der Kontostand = 18000 €.