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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -( x -1 ) .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -( x -1 ) das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von e -( x -1 ) gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei e -( x -1 ) das x von e x durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt e -( x -1 ) gegen 0 .
  • Für x → - ∞ strebt e -( x -1 ) gegen ∞ .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 2 = a = a .

Es gilt also: 2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e x -1 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem -4 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von -4 e x -1 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e x -1 -2 = y | +2
-4 e x -1 = y +2 |:-4
e x -1 = - 1 4 y - 1 2 |ln(⋅)
x -1 = ln( - 1 4 y - 1 2 )
x -1 = ln( - 1 4 y - 1 2 ) | +1
x = ln( - 1 4 y - 1 2 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 4 x - 1 2 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 4 x - 1 2 ) +1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 20⋅ 0,6 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 20

f(1) = 20 ⋅ 0,6

f(2) = 20 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6

f(3) = 20 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6

f(4) = 20 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,6 multipliziert. Da 0,6 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,6-fache, also auf 60 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 49,81 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 57,3 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 60⋅ a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 49.81 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 49.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 60⋅ a t ein:

60 a 8 = 49,81 |:60
a 8 = 0,83017 | ⋅8
a1 = - 0,83017 8 ≈ -0,977
a2 = 0,83017 8 ≈ 0,977

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,977 ≈ 0.977 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60⋅ 0,977 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 60⋅ 0,977 7 ≈ 50,982.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 57.3 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 57.3:

60⋅ 0,977 t = 57,3 |:60
0,977 t = 0,955 |lg(⋅)
lg( 0,977 t ) = lg( 0,955 )
t · lg( 0,977 ) = lg( 0,955 ) |: lg( 0,977 )
t = lg( 0,955 ) lg( 0,977 )
t = 1,9788

Nach ca. 1,979 Jahre ist also der Bestand = 57.3 Millionen Einwohner.