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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4} x) - \lg (8 x^{2}) + \lg (20 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{4} x) - \lg (8 x^{2}) + \lg (20 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x)) - (\lg (8) + \lg (x^{2})) + (\lg (20) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x) - \lg (8) - \lg (x^{2}) + \lg (20) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x) - \lg (8) - 2 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) - \lg (x) - \lg (8) - 2 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x)$

= $\lg (20) - \lg (8) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{8} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $e^{\frac{9}{10} x - k} + 2 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{9}{10} x - k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $2 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $2 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 2, somit muss $2 k$ = 2 gelten;
Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{x - 2} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $2 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $2 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $2 e^{x - 2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{x - 2} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$2 e^{x - 2}$	=	$y - 3$	\|: $2$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{2} y - \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y - \frac{3}{2}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) + 2$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $112 \cdot {0,6}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $112$

f(1) = $112$ ⋅ $0,6$

f(2) = $112$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(3) = $112$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(4) = $112$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,6$ multipliziert. Da $0,6$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,6$ -fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6% seines Bestands. 10 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 26,93kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 12 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 0,94 ⋅ B. Somit ist das a=0,94.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,94}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 26.93 kg ist, also f(10) = 26.93. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,94}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.94¹⁰ = 26.93

c ⋅ 0.53862 = 26.93 | : 0.53862

c = 50

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $50 \cdot {0,94}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = $50 \cdot {0,94}^{12}$ ≈ 23,796.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$50 \cdot {0,94}^{t}$	=	$30$	\|: $50$
${0,94}^{t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,94}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{5})$
$t \cdot \lg (0,94)$	=	$\lg (\frac{3}{5})$	\|: $\lg (0,94)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{5})}{\lg (0,94)}$

t

=

8,2557

Nach ca. 8,256 Tage ist also der Bestand = 30 kg.

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Beide Logarithmusgesetze

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben