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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 (16) .

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Wir suchen den Logarithmus von 16 zur Basis 2, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 16 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2 = 16 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 2 (16) = 4, eben weil 24 = 16 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ( x +2 k ) · e x + k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm ( x +2 k ) · e x + k = 0 wird, wenn x +2 k = 0 ist, also für x = -2 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(-2 k ) = ( ( -2 k ) +2 k ) · e ( -2 k ) + k +2 = 0 +2 = 2 sein.
    Da bei x = -2 k bei ( x +2 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(-2 k | 2 ) im abgebildeten Graph bei P(1| 2 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit -2 k = 1
    Also gilt k = - 1 2

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 1 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,4x -0,8 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -0,8 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -0,8 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e 0,4x -0,8 wird zu allen Funktionswerten von e 0,4x -0,8 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,4x -0,8 -1 = y | +1
e 0,4x -0,8 = y +1 |ln(⋅)
0,4x -0,8 = ln( y +1 )
0,4x -0,8 = ln( y +1 ) | +0,8
0,4x = ln( y +1 ) +0,8 |:0,4
x = 1 0,4 ln( y +1 ) + 0,8 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( x +1 ) + 0,8 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( x +1 ) + 0,8 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,871 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,871 t ablesen: a=0.871.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.871( 1 2 ) ≈ 5.02 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 8659,46€. a) Wie hoch ist der Kontostand 6 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 8700€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 8000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 8659.46 € ist, also f(4) = 8659.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 8000 a t ein:

8000 a 4 = 8659,46 |:8000
a 4 = 1,08243 | 4
a1 = - 1,08243 4 = -1,02
a2 = 1,08243 4 = 1,02

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,02 ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 8000 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 8000 1,02 6 9009,299.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8700 € ist, also f(t) = 8700:

8000 1,02 t = 8700 |:8000
1,02 t = 87 80 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 87 80 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 87 80 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 87 80 ) lg( 1,02 )
t = 4,2359

Nach ca. 4,236 Jahre ist also der Kontostand = 8700 €.