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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (4 000)$ + $\lg (25)$ .

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$\lg (4 000)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (4 000 \cdot 25)$

= $\lg (100 000)$

= $\lg (10^{5})$

= 5

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{6}{10} x + k} + 6 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{6}{10} x + k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $6 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $6 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -3, somit muss $6 k$ = -3 gelten;
Also gilt k = $- \frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,3 x - 0,9}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,3 x - 0,9}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,3 x - 0,9}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,3 x - 0,9}$	=	$y$	\|: $4$
$e^{0,3 x - 0,9}$	=	$\frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$

$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$	\| $+ 0,9$
$0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y) + 0,9$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} y) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,9}{0,3}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 34,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 80kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 80 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 34.3 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{34,3}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[34,3]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{34,3}}$	≈ $- 0,98$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{34,3}}$	≈ $0,98$

Das gesuchte a ist somit $0,98$ ≈ 0.98, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,98}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 30,13kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 9 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$ ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,9}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 30.13 kg ist, also f(8) = 30.13. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,9}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.9⁸ = 30.13

c ⋅ 0.43047 = 30.13 | : 0.43047

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,9}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $70 \cdot {0,9}^{9}$ ≈ 27,119.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$70 \cdot {0,9}^{t}$	=	$40$	\|: $70$
${0,9}^{t}$	=	$\frac{4}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (\frac{4}{7})$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (\frac{4}{7})$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{4}{7})}{\lg (0,9)}$

t

=

5,3114

Nach ca. 5,311 Tage ist also der Bestand = 40 kg.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben