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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (400)$ - $\lg (4)$ .

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$\lg (400)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{400}{4})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k e^{k x - k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k e^{k x - k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x - k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k e^{k x - k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $- 3$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x - k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x - k$	=	0	\| - ( $- k$ )
$k x$	=	$k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$1$

Wenn wir nun

1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

1

) =

k e^{k \cdot 1 - k} - 3

=

k - 3

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

1

) = -2 ablesen, es gilt somit:

$k - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
$k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{- 0,3 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{- 0,3 x}$ können die Funktionswerte von $2 e^{- 0,3 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $2 e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2 e^{- 0,3 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{- 0,3 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$2 e^{- 0,3 x}$	=	$y + 3$	\|: $2$
$e^{- 0,3 x}$	=	$\frac{1}{2} y + \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (\frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (\frac{1}{2} x + \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (\frac{1}{2} x + \frac{3}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 14% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$ ) ⋅ B = 1,14 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,14.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.14( $2$ ) ≈ 5.29 Wochen

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 17% vermehrt. Nach 9 Wochen zählt man bereits 12325,2 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 12 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 23000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$ ) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,17}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Wochen der Bestand 12325.2 Nutzer ist, also f(9) = 12325.2. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,17}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.17⁹ = 12325.2

c ⋅ 4.1084 = 12325.2 | : 4.1084

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,17}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $3 000 \cdot {1,17}^{12}$ ≈ 19740,202.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 23000 Nutzer ist, also f(t) = 23000:

$3 000 \cdot {1,17}^{t}$	=	$23 000$	\|: $3 000$
${1,17}^{t}$	=	$\frac{23}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,17}^{t})$	=	$\lg (\frac{23}{3})$
$t \cdot \lg (1,17)$	=	$\lg (\frac{23}{3})$	\|: $\lg (1,17)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{23}{3})}{\lg (1,17)}$

t

=

12,9735

Nach ca. 12,974 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 23000 Nutzer.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben