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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{x + 3} - 3$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei $- 3 e^{x + 3} - 3$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -3 addiert wird, ist der Graph von $- 3 e^{x + 3} - 3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Da bei $- 3 e^{x + 3} - 3$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $- 3 e^{x + 3} - 3$ gegen $- \infty$ .
Für x → - ∞ strebt $- 3 e^{x + 3} - 3$ gegen $0 - 3$ = $- 3$ .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 0,3 x + 0,6}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{- 0,3 x + 0,6}$ wird $e^{- 0,3 x + 0,6}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{- 0,3 x + 0,6}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{- 0,3 x + 0,6}$	=	$y$	\|: $- 2$
$e^{- 0,3 x + 0,6}$	=	$- \frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,6$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$

$- 0,3 x + 0,6$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$	\| $- 0,6$
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y) - 0,6$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} y) + \frac{0,6}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,6}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,6}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 9% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$ ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,91.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.91( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.35 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,9% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 70 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{1.9}{100}$ ) ⋅ B = 0,981 ⋅ B. Somit ist das a=0,981.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,981}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $70 \cdot {0,981}^{4}$ ≈ 64,83.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$70 \cdot {0,981}^{t}$	=	$50$	\|: $70$
${0,981}^{t}$	=	$\frac{5}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,981}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{7})$
$t \cdot \lg (0,981)$	=	$\lg (\frac{5}{7})$	\|: $\lg (0,981)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{7})}{\lg (0,981)}$

t

=

17,5403

Nach ca. 17,54 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben