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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ + $\lg (2)$ .

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$\lg (500)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x}) + \lg (\frac{4}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{80} x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{20}{x}) + \lg (\frac{4}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{80} x^{3})$

= $\lg (20 x^{- 1}) + \lg (4 x^{- 4}) + \lg (\frac{1}{80} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (\frac{1}{80}) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{80}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - \lg (x) + \lg (4) - 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - \lg (x) + \lg (4) - 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (80) + 3 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (80) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80} \cdot 20 \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 1} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 1}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $3 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 1}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 1} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$3 e^{x - 1}$	=	$y + 1$	\|: $3$
$e^{x - 1}$	=	$\frac{1}{3} y + \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$

$x - 1$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{1}{3}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x + \frac{1}{3}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x + \frac{1}{3}) + 1$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 18% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{18}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{18}{100}$ ) ⋅ B = 1,18 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,18.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.18( $2$ ) ≈ 4.19 Wochen

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 6312,38€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 6312.38 € ist, also f(4) = 6312.38. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.06⁴ = 6312.38

c ⋅ 1.26248 = 6312.38 | : 1.26248

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $5 000 \cdot {1,06}^{9}$ ≈ 8447,395.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

$5 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$7 000$	\|: $5 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{7}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{5})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{7}{5})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{5})}{\lg (1,06)}$

t

=

5,7745

Nach ca. 5,775 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben