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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (x^{3}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (x^{3}) + 2 \lg (\frac{1}{x^{3}}) - 2 \lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $- 2 \lg (x^{3}) + 2 \lg (x^{- 3}) - 2 \lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- 6 \lg (x) - 6 \lg (x) + \lg (x)$
= $- 11 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 2$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,4 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,4 x}$ wird $e^{0,4 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,4 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- 3 e^{0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{0,4 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,4 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- 3 e^{0,4 x}$	=	$y - 2$	\|: $- 3$
$e^{0,4 x}$	=	$- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$
$x$	=	$\frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,124}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,124}^{t}$ ablesen: a=1.124.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.124( $2$ ) ≈ 5.93 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. Zu Beginn sind 3000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 10 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 5000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $3 000 \cdot {1,06}^{10}$ ≈ 5372,543.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:

$3 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$5 000$	\|: $3 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{3})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{5}{3})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{3})}{\lg (1,06)}$

t

=

8,7667

Nach ca. 8,767 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

2. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben