Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{5})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $5$ ^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (\frac{1}{5})$ = $- 1$ , eben weil $5$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{5}$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 4$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 4$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{- 0,3 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{- 0,3 x}$ wird $e^{- 0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{- 0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- 4 e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{- 0,3 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{- 0,3 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- 4 e^{- 0,3 x}$	=	$y - 3$	\|: $- 4$
$e^{- 0,3 x}$	=	$- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{4} x + \frac{3}{4})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{4} x + \frac{3}{4})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 14%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$ ) ⋅ B = 1,14 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,14.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.14( $2$ ) ≈ 5.29 Stunden

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 57,13 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 6 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $65 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 57.13 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 57.13. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $65 \cdot a^{t}$ ein:

$65 a^{8}$	=	$57,13$	\|: $65$
$a^{8}$	=	$0,87892$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{0,87892}$	≈ $- 0,984$
a₂	=	$\sqrt[8]{0,87892}$	≈ $0,984$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,984$ ≈ 0.984 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $65 \cdot {0,984}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $65 \cdot {0,984}^{6}$ ≈ 59,004.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$65 \cdot {0,984}^{t}$	=	$55$	\|: $65$
${0,984}^{t}$	=	$\frac{11}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,984}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{13})$
$t \cdot \lg (0,984)$	=	$\lg (\frac{11}{13})$	\|: $\lg (0,984)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{13})}{\lg (0,984)}$

t

=

10,3571

Nach ca. 10,357 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben