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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 ( 1 5 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 5 um: 1 5 = 5 - 1 2

log 5 ( 1 5 ) = log 5 ( 5 - 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 5 - 1 2 zur Basis 5 suchen, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 5 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5☐ = 5 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 5 ( 1 5 ) = log 5 ( 5 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 5 - 1 2 = 1 5 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: 3 2 = 1 2 ⋅a = 1 2 a .

Es gilt also: 3 2 = 1 2 a | ⋅ 2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 ⋅ 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e x -1 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -3 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von -3 e x -1 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e x -1 -1 = y | +1
-3 e x -1 = y +1 |:-3
e x -1 = - 1 3 y - 1 3 |ln(⋅)
x -1 = ln( - 1 3 y - 1 3 )
x -1 = ln( - 1 3 y - 1 3 ) | +1
x = ln( - 1 3 y - 1 3 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 3 x - 1 3 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 3 x - 1 3 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,905 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,905 t ablesen: a=0.905.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.905( 1 2 ) ≈ 6.94 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,5% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.5% weggehen,
also Bneu = B - 2.5 100 ⋅B = (1 - 2.5 100 ) ⋅ B = 0,975 ⋅ B. Somit ist das a=0,975.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 65⋅ 0,975 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 65⋅ 0,975 4 ≈ 58,74.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

65⋅ 0,975 t = 45 |:65
0,975 t = 9 13 |lg(⋅)
lg( 0,975 t ) = lg( 9 13 )
t · lg( 0,975 ) = lg( 9 13 ) |: lg( 0,975 )
t = lg( 9 13 ) lg( 0,975 )
t = 14,5244

Nach ca. 14,524 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.