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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{18} (324)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $324$ zur Basis $18$ , also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $324$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$ ^☐ = $324$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{18} (324)$ = $2$ , eben weil $18$ ^$2$ = $324$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 2$ ), also gilt f(0)= $- 2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 2$ , also $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 4$ = $- 2 \cdot a$ = $- 2 a$ .

Es gilt also: $- 4$ = $- 2 a$ | ⋅ $- \frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 3} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $4 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 3}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 3} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$4 e^{x - 3}$	=	$y + 2$	\|: $4$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{4} y + \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{2}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + 3$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $73 \cdot {(\frac{9}{10})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $73$

f(1) = $73$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(2) = $73$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(3) = $73$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(4) = $73$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{9}{10}$ multipliziert. Da $\frac{9}{10}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{9}{10}$ -fache (oder auf das $\frac{90}{100}$ -fache), also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 13 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 213 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$ ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {1,32}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $13 \cdot {1,32}^{8}$ ≈ 119,822.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 213 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 213:

$13 \cdot {1,32}^{t}$	=	$213$	\|: $13$
${1,32}^{t}$	=	$\frac{213}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,32}^{t})$	=	$\lg (\frac{213}{13})$
$t \cdot \lg (1,32)$	=	$\lg (\frac{213}{13})$	\|: $\lg (1,32)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{213}{13})}{\lg (1,32)}$

t

=

10,0721

Nach ca. 10,072 Stunden ist also der Bestand = 213 Millionen Bakterien.

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Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

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c und a gegeben