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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x})$
= $\lg (x^{4}) + \lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 1})$
= $4 \lg (x) - 2 \lg (x) - \lg (x)$
= $\lg (x)$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x - 3 k) \cdot e^{x - \frac{3}{2} k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x - 3 k) \cdot e^{x - \frac{3}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - 3 k$ = 0 ist, also für x = $3 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $3 k$ ) = $((3 k) - 3 k) \cdot e^{(3 k) - \frac{3}{2} k} - 1$ = $0 - 1$ = $- 1$ sein.
Da bei x = $3 k$ bei ( $x - 3 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $3 k$ | $- 1$ ) im abgebildeten Graph bei P(4| $- 1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $3 k$ = 4
Also gilt k = $\frac{4}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{4}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,1 x - 0,2} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{0,1 x - 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,1 x - 0,2}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,1 x - 0,2} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{0,1 x - 0,2}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (y + 3)$

$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (y + 3)$	\| $+ 0,2$
$0,1 x$	=	$\ln (y + 3) + 0,2$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (y + 3) + \frac{0,2}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 3) + \frac{0,2}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 3) + \frac{0,2}{0,1}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $39 \cdot {1,35}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $39$

f(1) = $39$ ⋅ $1,35$

f(2) = $39$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(3) = $39$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(4) = $39$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,35$ multipliziert. Da $1,35$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,35$ -fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 10 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 210 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$ ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {1,29}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $10 \cdot {1,29}^{4}$ ≈ 27,692.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 210 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 210:

$10 \cdot {1,29}^{t}$	=	$210$	\|: $10$
${1,29}^{t}$	=	$21$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,29}^{t})$	=	$\lg (21)$
$t \cdot \lg (1,29)$	=	$\lg (21)$	\|: $\lg (1,29)$
$t$	=	$\frac{\lg (21)}{\lg (1,29)}$

t

=

11,9561

Nach ca. 11,956 Stunden ist also der Bestand = 210 Millionen Bakterien.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben