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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{5} (2)$ - $\log_{5} (2)$ .

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$\log_{5} (2)$ - $\log_{5} (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{5} (\frac{2}{2})$

= $\log_{5} (1)$

= 0

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{50} x^{3}) + \lg (2 x^{4})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{50} x^{3}) + \lg (2 x^{4})$

= $\lg (x^{- 1}) - \lg (\frac{1}{50} x^{3}) + \lg (2 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (1) + \lg (\frac{1}{x}) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{3})) + (\lg (2) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (1) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x^{3}) + \lg (2) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (1) - \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - 3 \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) - 3 \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50 \cdot 2)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,3 x + 0,3} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{- 0,3 x + 0,3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,3 x + 0,3}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,3 x + 0,3} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{- 0,3 x + 0,3}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,3$	=	$\ln (y - 3)$

$- 0,3 x + 0,3$	=	$\ln (y - 3)$	\| $- 0,3$
$- 0,3 x$	=	$\ln (y - 3) - 0,3$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (y - 3) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (x - 3) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (x - 3) + \frac{0,3}{0,3}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $9 \cdot {0,55}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $9$

f(1) = $9$ ⋅ $0,55$

f(2) = $9$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

f(3) = $9$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

f(4) = $9$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,55$ multipliziert. Da $0,55$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,55$ -fache, also auf $55$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 25 Milionen Bakterien. 11 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 140,6Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 13 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 55 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=25 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $25 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Stunden der Bestand 140.6 Millionen Bakterien ist, also f(11) = 140.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $25 \cdot a^{t}$ ein:

$25 a^{11}$	=	$140,6$	\|: $25$
$a^{11}$	=	$5,624$	\| $\sqrt[11]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[11]{5,624}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{5,624}$ ≈ 1.17 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $25 \cdot {1,17}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $25 \cdot {1,17}^{13}$ ≈ 192,467.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 55:

$25 \cdot {1,17}^{t}$	=	$55$	\|: $25$
${1,17}^{t}$	=	$\frac{11}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,17}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{5})$
$t \cdot \lg (1,17)$	=	$\lg (\frac{11}{5})$	\|: $\lg (1,17)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{5})}{\lg (1,17)}$

t

=

5,0219

Nach ca. 5,022 Stunden ist also der Bestand = 55 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben