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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (100 000 000 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (100 000 000 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (100 000 000) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{8}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $8 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 8$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k} - 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + k$ = 0 ist, also für x = $- 1 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 1 k$ ) = $- ((- 1 k) + k) \cdot e^{(- 1 k) + \frac{1}{2} k} - 2$ = $0 - 2$ = $- 2$ sein.
Da bei x = $- 1 k$ bei ( $x + k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 1 k$ | $- 2$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $- 2$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 1 k$ = 1
Also gilt k = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,1 x - 0,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,1 x - 0,2}$ wird $e^{0,1 x - 0,2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,1 x - 0,2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,1 x - 0,2}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{0,1 x - 0,2}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,2$
$0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) + 0,2$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,2}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,2}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,2}{0,1}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $54 \cdot {1,05}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $54$

f(1) = $54$ ⋅ $1,05$

f(2) = $54$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$

f(3) = $54$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$

f(4) = $54$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,05$ multipliziert. Da $1,05$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,05$ -fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 4410€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 10 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,05}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 4410 € ist, also f(2) = 4410. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,05}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.05² = 4410

c ⋅ 1.1025 = 4410 | : 1.1025

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,05}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $4 000 \cdot {1,05}^{10}$ ≈ 6515,579.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

$4 000 \cdot {1,05}^{t}$	=	$7 000$	\|: $4 000$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{7}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{4})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{7}{4})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{4})}{\lg (1,05)}$

t

=

11,4698

Nach ca. 11,47 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben