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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{50}{x^{6}}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (4 x^{4})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{50}{x^{6}}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (4 x^{4})$

= $\lg (50 x^{- 6}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (4 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + (\lg (5) + \lg (x^{2})) + (\lg (4) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (5) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) - 6 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (4) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) - 6 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (4) + 4 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50 \cdot 5 \cdot 4)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5} x) + \lg (\frac{1}{25} x^{4}) - \lg (\frac{1}{5 x})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{5} x) + \lg (\frac{1}{25} x^{4}) - \lg (\frac{1}{5 x})$

= $- \lg (\frac{1}{5} x) + \lg (\frac{1}{25} x^{4}) - \lg (\frac{1}{5} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x)) + (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{4})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x) + \lg (\frac{1}{25}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) - \lg (x) + \lg (1) - \lg (25) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) + \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (25) + \lg (5) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 5 \cdot 5)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,1 x - 0,1} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{0,1 x - 0,1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,1 x - 0,1}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,1 x - 0,1} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{0,1 x - 0,1}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,1$	=	$\ln (y + 1)$

$0,1 x - 0,1$	=	$\ln (y + 1)$	\| $+ 0,1$
$0,1 x$	=	$\ln (y + 1) + 0,1$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (y + 1) + \frac{0,1}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 1) + \frac{0,1}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 1) + \frac{0,1}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1,4% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 1.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.4}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1.4}{100}$ ) ⋅ B = 1,014 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,014.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.014( $2$ ) ≈ 49.86 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer. Nach 13 Wochen zählt man bereits 14749,13 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 21000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 14749.13 Nutzer ist, also f(13) = 14749.13. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $1 000 \cdot a^{t}$ ein:

$1 000 a^{13}$	=	$14 749,13$	\|: $1 000$
$a^{13}$	=	$14,74913$	\| $\sqrt[13]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[13]{14,74913}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[13]{14,74913}$ ≈ 1.23 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,23}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $1 000 \cdot {1,23}^{8}$ ≈ 5238,909.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 21000 Nutzer ist, also f(t) = 21000:

$1 000 \cdot {1,23}^{t}$	=	$21 000$	\|: $1 000$
${1,23}^{t}$	=	$21$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,23}^{t})$	=	$\lg (21)$
$t \cdot \lg (1,23)$	=	$\lg (21)$	\|: $\lg (1,23)$
$t$	=	$\frac{\lg (21)}{\lg (1,23)}$

t

=

14,7068

Nach ca. 14,707 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 21000 Nutzer.

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Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben