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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (500)$ + $\lg (2)$ .

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$\lg (500)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500 \cdot 2)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{250} x^{6}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{50}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{250} x^{6}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{50}{x^{3}})$

= $\lg (\frac{1}{250} x^{6}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (50 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250}) + \lg (x^{6}) + (\lg (5) + \lg (x^{2})) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $\lg (\frac{1}{250}) + \lg (x^{6}) + \lg (5) + \lg (x^{2}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250}) + 6 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (50) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (250) + 6 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (50) - 3 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,3 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,3 x}$ wird $e^{- 0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- 3 e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{- 0,3 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,3 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- 3 e^{- 0,3 x}$	=	$y - 2$	\|: $- 3$
$e^{- 0,3 x}$	=	$- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 4% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.96( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 16.98 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Nach 9 Wochen zählt man bereits 7605,92 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 10 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 12000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$ ) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,16}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Wochen der Bestand 7605.92 Nutzer ist, also f(9) = 7605.92. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,16}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.16⁹ = 7605.92

c ⋅ 3.80296 = 7605.92 | : 3.80296

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,16}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):

f(10) = $2 000 \cdot {1,16}^{10}$ ≈ 8822,87.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer ist, also f(t) = 12000:

$2 000 \cdot {1,16}^{t}$	=	$12 000$	\|: $2 000$
${1,16}^{t}$	=	$6$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,16}^{t})$	=	$\lg (6)$
$t \cdot \lg (1,16)$	=	$\lg (6)$	\|: $\lg (1,16)$
$t$	=	$\frac{\lg (6)}{\lg (1,16)}$

t

=

12,0722

Nach ca. 12,072 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben