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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -2 -3 .

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -2 -3 zu jedem Funktionswert von e x noch -3 addiert wird, ist der Graph von e x -2 -3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Da bei e x -2 -3 das x von e x durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt e x -2 -3 gegen ∞ .
  • Für x → - ∞ strebt e x -2 -3 gegen 0 -3 = -3 .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 ⋅a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 ⋅ 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e -0,1x +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e -0,1x können die Funktionswerte von 2 e -0,1x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem 2 e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von 2 e -0,1x noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e -0,1x +1 = y | -1
2 e -0,1x = y -1 |:2
e -0,1x = 1 2 y - 1 2 |ln(⋅)
-0,1x = ln( 1 2 y - 1 2 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( 1 2 y - 1 2 )
x = -10 ln( 1 2 y - 1 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( 1 2 x - 1 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( 1 2 x - 1 2 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 52⋅ 0,7 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 52

f(1) = 52 ⋅ 0,7

f(2) = 52 ⋅ 0,7 ⋅ 0,7

f(3) = 52 ⋅ 0,7 ⋅ 0,7 ⋅ 0,7

f(4) = 52 ⋅ 0,7 ⋅ 0,7 ⋅ 0,7 ⋅ 0,7

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,7 multipliziert. Da 0,7 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,7-fache, also auf 70 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 70% = 30 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer. Nach 5 Wochen zählt man bereits 1610,51 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 7 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 1600 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 1000⋅ a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 1610.51 Nutzer ist, also f(5) = 1610.51. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 1000⋅ a t ein:

1000 a 5 = 1610,51 |:1000
a 5 = 1,61051 | ⋅5
a = 1,61051 5

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,61051 5 ≈ 1.1 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000⋅ 1,1 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = 1000⋅ 1,1 7 ≈ 1948,717.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 1600 Nutzer ist, also f(t) = 1600:

1000⋅ 1,1 t = 1600 |:1000
1,1 t = 8 5 |lg(⋅)
lg( 1,1 t ) = lg( 8 5 )
t · lg( 1,1 ) = lg( 8 5 ) |: lg( 1,1 )
t = lg( 8 5 ) lg( 1,1 )
t = 4,9313

Nach ca. 4,931 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 1600 Nutzer.