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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot (e^{3 x} - e^{- 3 x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{2} \cdot (e^{- 3 x} - e^{3 x})$ = $x^{2} \cdot (e^{- 3 x} - e^{3 x})$ = $- x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{2} \cdot (e^{3 x} - e^{- 3 x})$ = $x^{2} \cdot e^{3 x} - x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- (x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot (- e^{- 3 x}))$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k x \cdot e^{k x + k} + k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $k x \cdot e^{k x + k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-5) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 + k} + k$ = $k$ = -5

$k$ = $- 5$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 5$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{- 0,1 x + 0,1}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x + 0,1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x + 0,1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{- 0,1 x + 0,1}$ können die Funktionswerte von $3 e^{- 0,1 x + 0,1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{- 0,1 x + 0,1}$	=	$y$	\|: $3$
$e^{- 0,1 x + 0,1}$	=	$\frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x + 0,1$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$

$- 0,1 x + 0,1$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$	\| $- 0,1$
$- 0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y) - 0,1$	\|:( $- 0,1$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} y) + \frac{0,1}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,1}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,1}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 14%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$ ) ⋅ B = 1,14 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,14.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.14( $2$ ) ≈ 5.29 Stunden

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 11%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 24 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 54 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=24 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $24 \cdot {1,11}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $24 \cdot {1,11}^{5}$ ≈ 40,441.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 54 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 54:

$24 \cdot {1,11}^{t}$	=	$54$	\|: $24$
${1,11}^{t}$	=	$\frac{9}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,11}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{4})$
$t \cdot \lg (1,11)$	=	$\lg (\frac{9}{4})$	\|: $\lg (1,11)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{4})}{\lg (1,11)}$

t

=

7,7705

Nach ca. 7,771 Stunden ist also der Bestand = 54 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben