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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 9 ( 1 3 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 3 um: 1 3 = 3 -1

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis 9 suchen und 9 gerade 3² ist (also 3 = 9 = 9 1 2 ), formen wir 3 -1 noch so um, dass sie 9 als Basis hat:

3 -1 = ( 9 1 2 ) -1 = 9 - 1 2

log 9 ( 1 3 ) = log 9 ( 3 -1 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 3 -1 = 9 - 1 2 zur Basis 9 suchen, also die Hochzahl mit der man 9 potenzieren muss, um auf 3 -1 = 9 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 9 = 3 -1 = 9 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 9 ( 1 3 ) = log 9 ( 3 -1 ) = log 9 ( 9 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 9 - 1 2 = 1 3 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 50 x ) + lg( 25 x 3 ) - lg( 125000 x 2 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 50 x ) + lg( 25 x 3 ) - lg( 125000 x 2 )

= - lg( 1 50 x -1 ) + lg( 25 x -3 ) - lg( 125000 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 50 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 25 ) + lg( 1 x 3 ) ) - ( lg( 125000 ) + lg( 1 x 2 ) )

= - lg( 1 50 ) - lg( 1 x ) + lg( 25 ) + lg( 1 x 3 ) - lg( 125000 ) - lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 50 ) + lg( x ) + lg( 25 ) -3 lg( x ) - lg( 125000 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 50 ) + lg( x ) + lg( 25 ) -3 lg( x ) - lg( 125000 ) +2 lg( x )

= - lg( 125000 ) + lg( 50 ) + lg( 25 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 125.000 · 50 · 25 )

= lg( 1 100 )

= lg( 10 -2 )

= -2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -2 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -2 können die Funktionswerte von 2 e x -2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem 2 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -2 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -2 +3 = y | -3
2 e x -2 = y -3 |:2
e x -2 = 1 2 y - 3 2 |ln(⋅)
x -2 = ln( 1 2 y - 3 2 )
x -2 = ln( 1 2 y - 3 2 ) | +2
x = ln( 1 2 y - 3 2 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x - 3 2 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x - 3 2 ) +2

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 122 ( 11 10 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 122

f(1) = 122 11 10

f(2) = 122 11 10 11 10

f(3) = 122 11 10 11 10 11 10

f(4) = 122 11 10 11 10 11 10 11 10

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 11 10 multipliziert. Da 11 10 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 11 10 -fache (oder auf das 110 100 -fache), also auf 110 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 5372,54€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3800€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 3000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 5372.54 € ist, also f(10) = 5372.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 3000 a t ein:

3000 a 10 = 5372,54 |:3000
a 10 = 1,79085 | 10
a1 = - 1,79085 10 = -1,06
a2 = 1,79085 10 = 1,06

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,06 ≈ 1.06 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000 1,06 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 3000 1,06 9 5068,437.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3800 € ist, also f(t) = 3800:

3000 1,06 t = 3800 |:3000
1,06 t = 19 15 |lg(⋅)
lg( 1,06 t ) = lg( 19 15 )
t · lg( 1,06 ) = lg( 19 15 ) |: lg( 1,06 )
t = lg( 19 15 ) lg( 1,06 )
t = 4,0569

Nach ca. 4,057 Jahre ist also der Kontostand = 3800 €.