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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (\frac{1 000 000 000}{x}) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (\frac{1 000 000 000}{x}) - 4 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000 000) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{9}) - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $9 - \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 5 \lg (x) + 9$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k x \cdot e^{k x + k} + 2 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $k x \cdot e^{k x + k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-2) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 + k} + 2 k$ = $2 k$ = -2

$2 k$ = $- 2$ |: $2$

$k$ = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,2 x - 0,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,2 x - 0,2}$ wird $e^{0,2 x - 0,2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,2 x - 0,2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,2 x - 0,2}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{0,2 x - 0,2}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,2$
$0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) + 0,2$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,2}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 18% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{18}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{18}{100}$ ) ⋅ B = 0,82 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,82.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.82( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 3.49 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. Zu Beginn sind 100kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 7 Tagen da? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $100 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $100 \cdot {0,92}^{7}$ ≈ 55,785.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$100 \cdot {0,92}^{t}$	=	$20$	\|: $100$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{1}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{5})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{1}{5})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{5})}{\lg (0,92)}$

t

=

19,3021

Nach ca. 19,302 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

$2 k$	=	$- 2$	\|: $2$
$k$	=	$- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben