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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (3)$ .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3$ = $9^{\frac{1}{2}}$

$\log_{9} (3)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3$ = $9^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (3)$ = $\log_{9} (9^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$\frac{1}{2}$} = $3$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $2 k e^{k x - 2 k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2 k e^{k x - 2 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x - 2 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $2 k e^{k x - 2 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $- 1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x - 2 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x - 2 k$	=	0	\| - ( $- 2 k$ )
$k x$	=	$2 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$2$

Wenn wir nun

2

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

2

) =

2 k e^{k \cdot 2 - 2 k} - 1

=

2 k - 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

2

) = 0 ablesen, es gilt somit:

$2 k - 1$	=	0	\| $+ 1$
$2 k$	=	$1$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 0,3 x + 0,9}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{- 0,3 x + 0,9}$ wird $e^{- 0,3 x + 0,9}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{- 0,3 x + 0,9}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$y$	\|: $- 2$
$e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$- \frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$

$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$	\| $- 0,9$
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y) - 0,9$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} y) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,9}{0,3}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 4,3 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 12 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 4.3 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,3}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[4,3]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,3}}$	≈ $- 0,851$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,3}}$	≈ $0,851$

Das gesuchte a ist somit $0,851$ ≈ 0.85, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,85}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 23 Milionen Bakterien. 3 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 42,8Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 223 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=23 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $23 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 42.8 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 42.8. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $23 \cdot a^{t}$ ein:

$23 a^{3}$	=	$42,8$	\|: $23$
$a^{3}$	=	$1,86087$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{1,86087}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{1,86087}$ ≈ 1.23 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $23 \cdot {1,23}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $23 \cdot {1,23}^{4}$ ≈ 52,644.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 223 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 223:

$23 \cdot {1,23}^{t}$	=	$223$	\|: $23$
${1,23}^{t}$	=	$\frac{223}{23}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,23}^{t})$	=	$\lg (\frac{223}{23})$
$t \cdot \lg (1,23)$	=	$\lg (\frac{223}{23})$	\|: $\lg (1,23)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{223}{23})}{\lg (1,23)}$

t

=

10,9735

Nach ca. 10,974 Stunden ist also der Bestand = 223 Millionen Bakterien.

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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben