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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{25} x^{4}) + \lg (\frac{5}{x}) + \lg (5 x)$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{25} x^{4}) + \lg (\frac{5}{x}) + \lg (5 x)$

= $\lg (\frac{1}{25} x^{4}) + \lg (5 x^{- 1}) + \lg (5 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{4}) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (5) + \lg (x))$

= $\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{4}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (5) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{25}) + 4 \lg (x) + \lg (5) - \lg (x) + \lg (5) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (25) + 4 \lg (x) + \lg (5) - \lg (x) + \lg (5) + \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (25) + \lg (5) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 5 \cdot 5)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - k$ = 0 ist, also für x = $k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$ ) = $((k) - k) \cdot e^{(k) - \frac{1}{2} k} - 3$ = $0 - 3$ = $- 3$ sein.
Da bei x = $k$ bei ( $x - k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$ | $- 3$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $- 3$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 1
Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,4 x - 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,4 x - 0,4}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,4 x - 0,4}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,4 x - 0,4}$	=	$y$	\|: $4$
$e^{0,4 x - 0,4}$	=	$\frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$

$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (\frac{1}{4} y)$	\| $+ 0,4$
$0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y) + 0,4$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{4} y) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{4} x) + \frac{0,4}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6,9% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 6.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6.9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{6.9}{100}$ ) ⋅ B = 0,931 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,931.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.931( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 9.69 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 1040,4€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 6 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 1200€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,02}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 1040.4 € ist, also f(2) = 1040.4. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,02}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.02² = 1040.4

c ⋅ 1.0404 = 1040.4 | : 1.0404

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $1 000 \cdot {1,02}^{6}$ ≈ 1126,162.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1200 € ist, also f(t) = 1200:

$1 000 \cdot {1,02}^{t}$	=	$1 200$	\|: $1 000$
${1,02}^{t}$	=	$\frac{6}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (\frac{6}{5})$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (\frac{6}{5})$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{6}{5})}{\lg (1,02)}$

t

=

9,2069

Nach ca. 9,207 Jahre ist also der Kontostand = 1200 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben