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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{9} (\frac{1}{3})$ .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{3}$ um: $\frac{1}{3}$ = $3^{- 1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $3^{- 1}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{- 1}$ = ${(9^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{9} (\frac{1}{3})$ = $\log_{9} (3^{- 1})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$ ^☐ = $3^{- 1}$ = $9^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{9} (\frac{1}{3})$ = $\log_{9} (3^{- 1})$ = $\log_{9} (9^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $9$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{3}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x^{5}}) - \lg (\frac{1}{20 x}) - \lg (\frac{4 000}{x^{4}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{20}{x^{5}}) - \lg (\frac{1}{20 x}) - \lg (\frac{4 000}{x^{4}})$

= $\lg (20 x^{- 5}) - \lg (\frac{1}{20} x^{- 1}) - \lg (4000 x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (4000) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (\frac{1}{x}) - \lg (4000) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - 5 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) + \lg (x) - \lg (4000) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - 5 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) + \lg (x) - \lg (4 000) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (4 000) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000} \cdot 20 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{x - 2} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{x - 2}$ wird $e^{x - 2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{x - 2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{x - 2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{x - 2} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- e^{x - 2}$	=	$y - 3$	\|: $- 1$
$e^{x - 2}$	=	$- y + 3$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (- y + 3)$

$x - 2$	=	$\ln (- y + 3)$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (- y + 3) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- x + 3) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- x + 3) + 2$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 2,5 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 28 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 28 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 2.5 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{2,5}$	=	$2$	\| $\sqrt[2,5]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{2,5}}$	≈ $- 1,32$
a₂	=	$2^{\frac{1}{2,5}}$	≈ $1,32$

Das gesuchte a ist somit $1,32$ ≈ 1.32, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $28 \cdot {1,32}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,1% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 35 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,969 ⋅ B. Somit ist das a=0,969.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $65 \cdot {0,969}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $65 \cdot {0,969}^{9}$ ≈ 48,958.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

$65 \cdot {0,969}^{t}$	=	$35$	\|: $65$
${0,969}^{t}$	=	$\frac{7}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,969}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{13})$
$t \cdot \lg (0,969)$	=	$\lg (\frac{7}{13})$	\|: $\lg (0,969)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{13})}{\lg (0,969)}$

t

=

19,6579

Nach ca. 19,658 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.

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log berechnen (schwer)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben