Mathebattle EduRandomtasks

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{10 x^{5}}) - \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4 x})$ soweit wie möglich.

$\lg (\frac{1}{10 x^{5}}) - \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4 x})$

= $\lg (\frac{1}{10} x^{- 5}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 4}) - \lg (\frac{1}{4} x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (\frac{1}{10}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10}) - 5 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (10) - 5 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + \lg (x)$

= $\lg (25) - \lg (10) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{10} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,4 x + 1,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 1,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 1,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,4 x + 1,2}$	=	$y$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 1,2$	=	$\ln (y)$

$- 0,4 x + 1,2$	=	$\ln (y)$	\| $- 1,2$
$- 0,4 x$	=	$\ln (y) - 1,2$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (y) + \frac{1,2}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (x) + \frac{1,2}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (x) + \frac{1,2}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,122}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,122}^{t}$ ablesen: a=1.122.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.122( $2$ ) ≈ 6.02 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer. Nach 10 Wochen zählt man bereits 3394,57 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 1300 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 3394.57 Nutzer ist, also f(10) = 3394.57. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $1 000 \cdot a^{t}$ ein:

$1 000 a^{10}$	=	$3 394,57$	\|: $1 000$
$a^{10}$	=	$3,39457$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{3,39457}$	= $- 1,13$
a₂	=	$\sqrt[10]{3,39457}$	= $1,13$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,13$ ≈ 1.13 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,13}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $1 000 \cdot {1,13}^{8}$ ≈ 2658,444.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 1300 Nutzer ist, also f(t) = 1300:

$1 000 \cdot {1,13}^{t}$	=	$1 300$	\|: $1 000$
${1,13}^{t}$	=	$\frac{13}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,13}^{t})$	=	$\lg (\frac{13}{10})$
$t \cdot \lg (1,13)$	=	$\lg (\frac{13}{10})$	\|: $\lg (1,13)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{13}{10})}{\lg (1,13)}$

t

=

2,1467

Nach ca. 2,147 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 1300 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben