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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 000 000 x) - 4 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 000 000 x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10 000 000) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $\lg (10^{7}) + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $7 + \lg (x) - 4 \lg (x)$
= $- 3 \lg (x) + 7$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $3 k e^{k x - 2 k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $3 k e^{k x - 2 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x - 2 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $3 k e^{k x - 2 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $- 1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x - 2 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x - 2 k$	=	0	\| - ( $- 2 k$ )
$k x$	=	$2 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$2$

Wenn wir nun

2

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

2

) =

3 k e^{k \cdot 2 - 2 k} - 1

=

3 k - 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

2

) = 1 ablesen, es gilt somit:

$3 k - 1$	=	$1$	\| $+ 1$
$3 k$	=	$2$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,2} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{- 0,2 x + 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,2 x + 0,2}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,2} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{- 0,2 x + 0,2}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y + 3)$

$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y + 3)$	\| $- 0,2$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y + 3) - 0,2$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y + 3) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x + 3) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x + 3) + \frac{0,2}{0,2}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 7,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 20kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 7.3 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{7,3}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[7,3]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{7,3}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{7,3}}$ ≈ 0.91, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {0,91}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. Zu Beginn sind 50kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $50 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Tage, also f(10):

f(10) = $50 \cdot {0,92}^{10}$ ≈ 21,719.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$50 \cdot {0,92}^{t}$	=	$20$	\|: $50$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{2}{5})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{2}{5})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{2}{5})}{\lg (0,92)}$

t

=

10,9891

Nach ca. 10,989 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

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1. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben