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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt[5]{2})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{2}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\sqrt[5]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{2}$ als $2^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{5}}$

$\log_{2} (\sqrt[5]{2})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{2}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $e^{\frac{6}{10} x - k} + 2 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{6}{10} x - k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $2 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $2 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 2, somit muss $2 k$ = 2 gelten;
Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 2} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $3 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 2} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$3 e^{x - 2}$	=	$y - 3$	\|: $3$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{3} y - 1$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - 1)$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - 1)$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y - 1) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x - 1) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x - 1) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 0,98 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,98.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.98( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 34.31 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. 6 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 5674,08€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 6000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 5674.08 € ist, also f(6) = 5674.08. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.06⁶ = 5674.08

c ⋅ 1.41852 = 5674.08 | : 1.41852

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $4 000 \cdot {1,06}^{4}$ ≈ 5049,908.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6000 € ist, also f(t) = 6000:

$4 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$6 000$	\|: $4 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,06)}$

t

=

6,9585

Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 6000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben