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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 2} - 3$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 2} - 3$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -3 addiert wird, ist der Graph von $e^{x - 2} - 3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x - 2} - 3$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x - 2} - 3$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x - 2} - 3$ gegen $0 - 3$ = $- 3$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{625 000 x}) + \lg (25 x^{3}) + \lg (\frac{25}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{625 000 x}) + \lg (25 x^{3}) + \lg (\frac{25}{x^{2}})$

= $\lg (\frac{1}{625.000} x^{- 1}) + \lg (25 x^{3}) + \lg (25 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{625.000}) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (25) + \lg (x^{3})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (\frac{1}{625.000}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (25) + \lg (x^{3}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{625.000}) - \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (25) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (625 000) - \lg (x) + \lg (25) + 3 \lg (x) + \lg (25) - 2 \lg (x)$

= $- \lg (625 000) + \lg (25) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{625.000} \cdot 25 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,1 x - 0,1} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{0,1 x - 0,1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,1 x - 0,1}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,1 x - 0,1} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{0,1 x - 0,1}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,1$	=	$\ln (y + 3)$

$0,1 x - 0,1$	=	$\ln (y + 3)$	\| $+ 0,1$
$0,1 x$	=	$\ln (y + 3) + 0,1$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (y + 3) + \frac{0,1}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 3) + \frac{0,1}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (x + 3) + \frac{0,1}{0,1}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 6,6 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 8000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 6.6 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{6,6}$	=	$2$	\| $\sqrt[6,6]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{6,6}}$	≈ $- 1,111$
a₂	=	$2^{\frac{1}{6,6}}$	≈ $1,111$

Das gesuchte a ist somit $1,111$ ≈ 1.11, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,11}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5% verzinst. Zu Beginn sind 4000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 7 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 6000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,05}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $4 000 \cdot {1,05}^{7}$ ≈ 5628,402.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6000 € ist, also f(t) = 6000:

$4 000 \cdot {1,05}^{t}$	=	$6 000$	\|: $4 000$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,05)}$

t

=

8,3104

Nach ca. 8,31 Jahre ist also der Kontostand = 6000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben