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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{23})$ liegt.

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{23}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{23}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3 < $\frac{1}{23}$ und auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2 > $\frac{1}{23}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{23})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{23}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
3^-3 = $\frac{1}{3^{3}}$ = $\frac{1}{27}$ < $\frac{1}{23}$ < $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{3} (\frac{1}{23})$ < -2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $e^{\frac{7}{10} x + k} + k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{7}{10} x + k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -1, somit muss $k$ = -1 gelten;
Also gilt k = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,4}$	=	$y$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (y)$

$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (y)$	\| $- 0,4$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y) - 0,4$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x) + \frac{0,4}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4,2% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 4.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4.2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{4.2}{100}$ ) ⋅ B = 0,958 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,958.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.958( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 16.15 Tage

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 28 Milionen Bakterien. 4 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 70,57Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 68 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=28 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $28 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Stunden der Bestand 70.57 Millionen Bakterien ist, also f(4) = 70.57. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $28 \cdot a^{t}$ ein:

$28 a^{4}$	=	$70,57$	\|: $28$
$a^{4}$	=	$2,52036$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{2,52036}$	≈ $- 1,26$
a₂	=	$\sqrt[4]{2,52036}$	≈ $1,26$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,26$ ≈ 1.26 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $28 \cdot {1,26}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $28 \cdot {1,26}^{5}$ ≈ 88,922.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 68 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 68:

$28 \cdot {1,26}^{t}$	=	$68$	\|: $28$
${1,26}^{t}$	=	$\frac{17}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,26}^{t})$	=	$\lg (\frac{17}{7})$
$t \cdot \lg (1,26)$	=	$\lg (\frac{17}{7})$	\|: $\lg (1,26)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{17}{7})}{\lg (1,26)}$

t

=

3,8393

Nach ca. 3,839 Stunden ist also der Bestand = 68 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben