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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- e^{x - 1} + 1$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt wurde.

Da bei $- e^{x - 1} + 1$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 1 addiert wird, ist der Graph von $- e^{x - 1} + 1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.

Da bei $- e^{x - 1} + 1$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $- e^{x - 1} + 1$ gegen $- \infty$ .
Für x → - ∞ strebt $- e^{x - 1} + 1$ gegen $0 + 1$ = $1$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{1}{250 x^{2}}) + \lg (5)$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{1}{250 x^{2}}) + \lg (5)$

= $\lg (50 x^{3}) + \lg (\frac{1}{250} x^{- 2}) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) + (\lg (\frac{1}{250}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (5) + \lg (1))$

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{250}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (5) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250}) - 2 \lg (x) + \lg (5) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (250) - 2 \lg (x) + \lg (5) + 0$

= $\lg (x) - \lg (250) + \lg (50) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{250} \cdot 50 \cdot 5)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,2 x - 0,6}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,2 x - 0,6}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,2 x - 0,6}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,2 x - 0,6}$	=	$y$	\|: $3$
$e^{0,2 x - 0,6}$	=	$\frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$

$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,6$
$0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y) + 0,6$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{3} y) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,6}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 15% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 15% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{15}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{15}{100}$ ) ⋅ B = 1,15 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,15.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.15( $2$ ) ≈ 4.96 Wochen

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 15% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 10 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 5000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 15% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{15}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{15}{100}$ ) ⋅ B = 1,15 ⋅ B. Somit ist das a=1,15.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,15}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):

f(10) = $2 000 \cdot {1,15}^{10}$ ≈ 8091,115.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 5000 Nutzer ist, also f(t) = 5000:

$2 000 \cdot {1,15}^{t}$	=	$5 000$	\|: $2 000$
${1,15}^{t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,15}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{2})$
$t \cdot \lg (1,15)$	=	$\lg (\frac{5}{2})$	\|: $\lg (1,15)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{2})}{\lg (1,15)}$

t

=

6,5561

Nach ca. 6,556 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 5000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben