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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{578})$ liegt.

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{578}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{578}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3 < $\frac{1}{578}$ und auf $\frac{1}{100}$ = $\frac{1}{10^{2}}$ = 10^-2 > $\frac{1}{578}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{578})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{578}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
10^-3 = $\frac{1}{10^{3}}$ = $\frac{1}{1000}$ < $\frac{1}{578}$ < $\frac{1}{100}$ = $\frac{1}{10^{2}}$ = 10^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{10} (\frac{1}{578})$ < -2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k x \cdot e^{k x + k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $k x \cdot e^{k x + k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 + k} + 3 k$ = $3 k$ = -3

$3 k$ = $- 3$ |: $3$

$k$ = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,4 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,4 x}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,4 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3 e^{0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{0,4 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,4 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$3 e^{0,4 x}$	=	$y + 2$	\|: $3$
$e^{0,4 x}$	=	$\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$
$x$	=	$\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,928}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,928}^{t}$ ablesen: a=0.928.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.928( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 9.28 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 7% abnimmt. 2 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 9,51 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 6 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 6,2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,93}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 9.51 Millionen Insekten ist, also f(2) = 9.51. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,93}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.93² = 9.51

c ⋅ 0.8649 = 9.51 | : 0.8649

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $11 \cdot {0,93}^{6}$ ≈ 7,117.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6.2:

$11 \cdot {0,93}^{t}$	=	$6,2$	\|: $11$
${0,93}^{t}$	=	$0,5636$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (0,5636)$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (0,5636)$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,5636)}{\lg (0,93)}$

t

=

7,9014

Nach ca. 7,901 Jahre ist also der Bestand = 6.2 Millionen Insekten.

$3 k$	=	$- 3$	\|: $3$
$k$	=	$- 1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben