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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50} x) - \lg (\frac{1 000}{x^{3}}) + \lg (20 x)$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{50} x) - \lg (\frac{1 000}{x^{3}}) + \lg (20 x)$

= $- \lg (\frac{1}{50} x) - \lg (1000 x^{- 3}) + \lg (20 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x)) - (\lg (1000) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (20) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x) - \lg (1000) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (20) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x) - \lg (1000) + 3 \lg (x) + \lg (20) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) - \lg (x) - \lg (1 000) + 3 \lg (x) + \lg (20) + \lg (x)$

= $3 \lg (x) - \lg (1 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- \frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $- \frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- \frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 1$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 1$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $- \frac{1}{2} \cdot a$ = $- \frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $- 1$ = $- \frac{1}{2} a$ | ⋅ $- 2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{0,3 x - 0,9}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{0,3 x - 0,9}$ wird $e^{0,3 x - 0,9}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{0,3 x - 0,9}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{0,3 x - 0,9}$	=	$y$	\|: $- 4$
$e^{0,3 x - 0,9}$	=	$- \frac{1}{4} y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$

$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y)$	\| $+ 0,9$
$0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y) + 0,9$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} y) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{4} x) + \frac{0,9}{0,3}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,3 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 2000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{3,3}$	=	$2$	\| $\sqrt[3,3]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{3,3}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{3,3}}$ ≈ 1.23, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,23}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 21 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 11 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 91 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=21 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$ ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $21 \cdot {1,2}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $21 \cdot {1,2}^{11}$ ≈ 156,032.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 91 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 91:

$21 \cdot {1,2}^{t}$	=	$91$	\|: $21$
${1,2}^{t}$	=	$\frac{13}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,2}^{t})$	=	$\lg (\frac{13}{3})$
$t \cdot \lg (1,2)$	=	$\lg (\frac{13}{3})$	\|: $\lg (1,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{13}{3})}{\lg (1,2)}$

t

=

8,0426

Nach ca. 8,043 Stunden ist also der Bestand = 91 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben