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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot (3 e^{2 x} + 3 e^{- 2 x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot (3 e^{- 2 x} + 3 e^{2 x})$ = $- x \cdot (3 e^{- 2 x} + 3 e^{2 x})$ = $- 3 x \cdot e^{2 x} - 3 x \cdot e^{- 2 x}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot (3 e^{2 x} + 3 e^{- 2 x})$ = $3 x \cdot e^{2 x} + 3 x \cdot e^{- 2 x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- 3 x \cdot e^{2 x} - 3 x \cdot e^{- 2 x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- (x \cdot 3 e^{2 x} + x \cdot 3 e^{- 2 x})$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k} + 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - k$ = 0 ist, also für x = $k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$ ) = $- ((k) - k) \cdot e^{(k) - \frac{1}{2} k} + 2$ = $0 + 2$ = $2$ sein.
Da bei x = $k$ bei ( $x - k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$ | $2$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $2$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 1
Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,3 x + 0,9} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{- 0,3 x + 0,9}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,3 x + 0,9}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,3 x + 0,9} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (y - 2)$

$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (y - 2)$	\| $- 0,9$
$- 0,3 x$	=	$\ln (y - 2) - 0,9$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (y - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (x - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (x - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4,1% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 4.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{4.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,959 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,959.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.959( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 16.56 Tage

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 57,19 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 12 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 60 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 57.19 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 57.19. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ ein:

$80 a^{10}$	=	$57,19$	\|: $80$
$a^{10}$	=	$0,71488$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{0,71488}$	≈ $- 0,967$
a₂	=	$\sqrt[10]{0,71488}$	≈ $0,967$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,967$ ≈ 0.967 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,967}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $80 \cdot {0,967}^{12}$ ≈ 53,482.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$80 \cdot {0,967}^{t}$	=	$60$	\|: $80$
${0,967}^{t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,967}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{4})$
$t \cdot \lg (0,967)$	=	$\lg (\frac{3}{4})$	\|: $\lg (0,967)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{4})}{\lg (0,967)}$

t

=

8,573

Nach ca. 8,573 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben