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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} \cdot (e^{- x} + e^{x})$ = $- x^{3} \cdot (e^{- x} + e^{x})$ = $- x^{3} \cdot e^{x} - x^{3} \cdot e^{- x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x^{3} \cdot e^{x} - x^{3} \cdot e^{- x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- (x^{3} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{- x})$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- k x \cdot e^{k x - k} + k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $- k x \cdot e^{k x - k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|4) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $- k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - k} + k$ = $k$ = 4

$k$ = $4$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$4$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,4 x - 0,8}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,4 x - 0,8}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,4 x - 0,8}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,4 x - 0,8}$	=	$y$	\|: $3$
$e^{0,4 x - 0,8}$	=	$\frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$

$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,8$
$0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y) + 0,8$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} y) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,8}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,101}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,101}^{t}$ ablesen: a=1.101.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.101( $2$ ) ≈ 7.2 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 1034,23Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 108 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$ ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,32}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 1034.23 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 1034.23. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,32}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.32¹³ = 1034.23

c ⋅ 36.93696 = 1034.23 | : 36.93696

c = 28

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $28 \cdot {1,32}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $28 \cdot {1,32}^{9}$ ≈ 340,662.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 108 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 108:

$28 \cdot {1,32}^{t}$	=	$108$	\|: $28$
${1,32}^{t}$	=	$\frac{27}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,32}^{t})$	=	$\lg (\frac{27}{7})$
$t \cdot \lg (1,32)$	=	$\lg (\frac{27}{7})$	\|: $\lg (1,32)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{27}{7})}{\lg (1,32)}$

t

=

4,8623

Nach ca. 4,862 Stunden ist also der Bestand = 108 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben