Mathebattle EduRandomtasks

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{2 500 x^{2}}) + \lg (50 x^{4}) + \lg (50 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{1}{2 500 x^{2}}) + \lg (50 x^{4}) + \lg (50 x^{2})$

= $\lg (\frac{1}{2500} x^{- 2}) + \lg (50 x^{4}) + \lg (50 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (50) + \lg (x^{4})) + (\lg (50) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{2500}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (50) + \lg (x^{4}) + \lg (50) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500}) - 2 \lg (x) + \lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (50) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (2 500) - 2 \lg (x) + \lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (50) + 2 \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (2 500) + \lg (50) + \lg (50)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2 500} \cdot 50 \cdot 50)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{50} \cdot 50)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,2} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{- 0,2 x + 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,2 x + 0,2}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,2} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{- 0,2 x + 0,2}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y + 1)$

$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y + 1)$	\| $- 0,2$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y + 1) - 0,2$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y + 1) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x + 1) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x + 1) + \frac{0,2}{0,2}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $81 \cdot {1,4}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $81$

f(1) = $81$ ⋅ $1,4$

f(2) = $81$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

f(3) = $81$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

f(4) = $81$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,4$ multipliziert. Da $1,4$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,4$ -fache, also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer. Nach 8 Wochen zählt man bereits 5316,89 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 11 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 5000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 5316.89 Nutzer ist, also f(8) = 5316.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ ein:

$2 000 a^{8}$	=	$5 316,89$	\|: $2 000$
$a^{8}$	=	$2,65845$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{2,65845}$	= $- 1,13$
a₂	=	$\sqrt[8]{2,65845}$	= $1,13$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,13$ ≈ 1.13 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,13}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $2 000 \cdot {1,13}^{11}$ ≈ 7671,722.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 5000 Nutzer ist, also f(t) = 5000:

$2 000 \cdot {1,13}^{t}$	=	$5 000$	\|: $2 000$
${1,13}^{t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,13}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{2})$
$t \cdot \lg (1,13)$	=	$\lg (\frac{5}{2})$	\|: $\lg (1,13)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{2})}{\lg (1,13)}$

t

=

7,4972

Nach ca. 7,497 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 5000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben