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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 ( 1 8 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 8 um: 1 8 = 8 -1

Man kann erkennen, dass 8 eine Potenz ist: 8 = 2 3

Also schreiben wir 1 8 = 8 -1 = ( 2 3 ) -1 = 2 -3

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis 4 suchen und 4 gerade 2² ist (also 2 = 4 = 4 1 2 ), formen wir 2 -3 noch so um, dass sie 4 als Basis hat:

2 -3 = ( 4 1 2 ) -3 = 4 - 3 2

log 4 ( 1 8 ) = log 4 ( 2 -3 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 2 -3 = 4 - 3 2 zur Basis 4 suchen, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 2 -3 = 4 - 3 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4☐ = 2 -3 = 4 - 3 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 4 ( 1 8 ) = log 4 ( 2 -3 ) = log 4 ( 4 - 3 2 ) = - 3 2 , eben weil 4 - 3 2 = 1 8 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: 2 = 1 2 ⋅a = 1 2 a .

Es gilt also: 2 = 1 2 a | ⋅ 2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 ⋅ 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -3 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -3 können die Funktionswerte von 2 e x -3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem 2 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -3 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -3 -1 = y | +1
2 e x -3 = y +1 |:2
e x -3 = 1 2 y + 1 2 |ln(⋅)
x -3 = ln( 1 2 y + 1 2 )
x -3 = ln( 1 2 y + 1 2 ) | +3
x = ln( 1 2 y + 1 2 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x + 1 2 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x + 1 2 ) +3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 4,6 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 80kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 80 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 4.6 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 4,6 = 1 2 | ⋅4,6
a1 = - ( 1 2 ) 1 4,6 ≈ -0,86
a2 = ( 1 2 ) 1 4,6 ≈ 0,86

Das gesuchte a ist somit 0,86 ≈ 0.86, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 80⋅ 0,86 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. 2 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 42,32kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also Bneu = B - 8 100 ⋅B = (1 - 8 100 ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,92 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 42.32 kg ist, also f(2) = 42.32. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,92 t ein:

c ⋅ 0.922 = 42.32

c ⋅ 0.8464 = 42.32 | : 0.8464

c = 50

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 50⋅ 0,92 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = 50⋅ 0,92 8 ≈ 25,661.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

50⋅ 0,92 t = 20 |:50
0,92 t = 2 5 |lg(⋅)
lg( 0,92 t ) = lg( 2 5 )
t · lg( 0,92 ) = lg( 2 5 ) |: lg( 0,92 )
t = lg( 2 5 ) lg( 0,92 )
t = 10,9891

Nach ca. 10,989 Tage ist also der Bestand = 20 kg.