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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $2 e^{x} + 2$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht.

Da bei $2 e^{x} + 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 2 addiert wird, ist der Graph von $2 e^{x} + 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $2 e^{x} + 2$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $2 e^{x} + 2$ gegen $0 + 2$ = $2$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2} x) - \lg (\frac{10}{x^{4}}) + \lg (\frac{50}{x^{3}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{2} x) - \lg (\frac{10}{x^{4}}) + \lg (\frac{50}{x^{3}})$

= $- \lg (\frac{1}{2} x) - \lg (10 x^{- 4}) + \lg (50 x^{- 3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x)) - (\lg (10) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x) - \lg (10) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x) - \lg (10) + 4 \lg (x) + \lg (50) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) - \lg (x) - \lg (10) + 4 \lg (x) + \lg (50) - 3 \lg (x)$

= $\lg (50) - \lg (10) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50}{10} \cdot 2)$

= $\lg (10)$

= $1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 2} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $4 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 2}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 2} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$4 e^{x - 2}$	=	$y + 3$	\|: $4$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{4} y + \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,063}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,063}^{t}$ ablesen: a=1.063.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.063( $2$ ) ≈ 11.35 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 63,8 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 8 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 63.8 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 63.8. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ ein:

$80 a^{6}$	=	$63,8$	\|: $80$
$a^{6}$	=	$0,7975$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{0,7975}$	≈ $- 0,963$
a₂	=	$\sqrt[6]{0,7975}$	≈ $0,963$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,963$ ≈ 0.963 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,963}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $80 \cdot {0,963}^{8}$ ≈ 59,17.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$80 \cdot {0,963}^{t}$	=	$50$	\|: $80$
${0,963}^{t}$	=	$\frac{5}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,963}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{8})$
$t \cdot \lg (0,963)$	=	$\lg (\frac{5}{8})$	\|: $\lg (0,963)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{8})}{\lg (0,963)}$

t

=

12,4663

Nach ca. 12,466 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben