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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 (64) .

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Wir suchen den Logarithmus von 64 zur Basis 2, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 64 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2 = 64 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 2 (64) = 6, eben weil 26 = 64 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-2), also gilt f(0)=-2.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -2 , also f(x)= -2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -4.

In unseren Funktionsterm f(x)= -2 a x eingesezt bedeutet das: -4 = -2a = -2a .

Es gilt also: -4 = -2a | ⋅ - 1 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= -2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e -0,1x +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e -0,1x können die Funktionswerte von 3 e -0,1x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem 3 e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von 3 e -0,1x noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e -0,1x +3 = y | -3
3 e -0,1x = y -3 |:3
e -0,1x = 1 3 y -1 |ln(⋅)
-0,1x = ln( 1 3 y -1 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( 1 3 y -1 )
x = -10 ln( 1 3 y -1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( 1 3 x -1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( 1 3 x -1 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10,2 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 10.2 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 10,2 = 2 | 10,2
a1 = - 2 1 10,2 -1,07
a2 = 2 1 10,2 1,07

Das gesuchte a ist somit 1,07 ≈ 1.07, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 8000 1,07 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 14 Milionen Bakterien. 7 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 42,02Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 44 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=14 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 14 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Stunden der Bestand 42.02 Millionen Bakterien ist, also f(7) = 42.02. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 14 a t ein:

14 a 7 = 42,02 |:14
a 7 = 3,00143 | 7
a = 3,00143 7

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 3,00143 7 ≈ 1.17 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 14 1,17 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = 14 1,17 8 49,16.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 44 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 44:

14 1,17 t = 44 |:14
1,17 t = 22 7 |lg(⋅)
lg( 1,17 t ) = lg( 22 7 )
t · lg( 1,17 ) = lg( 22 7 ) |: lg( 1,17 )
t = lg( 22 7 ) lg( 1,17 )
t = 7,2937

Nach ca. 7,294 Stunden ist also der Bestand = 44 Millionen Bakterien.