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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 x ) -2 lg( 1 x 3 ) + lg( 1 x 2 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( 1 x ) -2 lg( 1 x 3 ) + lg( 1 x 2 )
= lg( x -1 ) -2 lg( x -3 ) + lg( x -2 )
= - lg( x ) +6 lg( x ) -2 lg( x )
= 3 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 2 x 5 ) + lg( 1 10 x 2 ) + lg( 50 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 2 x 5 ) + lg( 1 10 x 2 ) + lg( 50 x 3 )

= lg( 2 x -5 ) + lg( 1 10 x 2 ) + lg( 50 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 2 ) + lg( 1 x 5 ) + ( lg( 1 10 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 50 ) + lg( x 3 ) )

= lg( 2 ) + lg( 1 x 5 ) + lg( 1 10 ) + lg( x 2 ) + lg( 50 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 2 ) -5 lg( x ) + lg( 1 10 ) +2 lg( x ) + lg( 50 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 2 ) -5 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 10 ) +2 lg( x ) + lg( 50 ) +3 lg( x )

= lg( 50 ) - lg( 10 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 10 · 2 )

= lg( 10 )

= lg( 10 )

= 1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e x -1 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem e x -1 wird zu allen Funktionswerten von e x -1 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e x -1 -2 = y | +2
e x -1 = y +2 |ln(⋅)
x -1 = ln( y +2 )
x -1 = ln( y +2 ) | +1
x = ln( y +2 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( x +2 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( x +2 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also Bneu = B + 8 100 ⋅B = (1 + 8 100 ) ⋅ B = 1,08 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,08.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.08(2) ≈ 9.01 Stunden

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,9% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 6 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.9% weggehen,
also Bneu = B - 1.9 100 ⋅B = (1 - 1.9 100 ) ⋅ B = 0,981 ⋅ B. Somit ist das a=0,981.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 75⋅ 0,981 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 75⋅ 0,981 6 ≈ 66,846.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

75⋅ 0,981 t = 55 |:75
0,981 t = 11 15 |lg(⋅)
lg( 0,981 t ) = lg( 11 15 )
t · lg( 0,981 ) = lg( 11 15 ) |: lg( 0,981 )
t = lg( 11 15 ) lg( 0,981 )
t = 16,1684

Nach ca. 16,168 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.