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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (125)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (125)$ = $3$ , eben weil $5$ ^$3$ = $125$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{100} x^{2})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{20}) + \lg (\frac{1}{100} x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (1)) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (1)) + (\lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (1) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (1) + \lg (\frac{1}{100}) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) + 0 - \lg (\frac{1}{20}) + 0 + \lg (\frac{1}{100}) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) + 0 - \lg (1) + \lg (20) + 0 + \lg (1) - \lg (100) + 2 \lg (x)$

= $2 \lg (x) - \lg (100) + \lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 20 \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $2 \lg (x) + \lg (1)$

= $2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{- 0,3 x + 0,9}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{- 0,3 x + 0,9}$ können die Funktionswerte von $3 e^{- 0,3 x + 0,9}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$y$	\|: $3$
$e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$\frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$

$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$	\| $- 0,9$
$- 0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y) - 0,9$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{3} y) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,9}{0,3}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $72 \cdot {(\frac{21}{20})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $72$

f(1) = $72$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(2) = $72$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(3) = $72$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(4) = $72$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{21}{20}$ multipliziert. Da $\frac{21}{20}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{21}{20}$ -fache (oder auf das $\frac{105}{100}$ -fache), also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 7% abnimmt. 10 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 4,84 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 8 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,4 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,93}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 4.84 Millionen Insekten ist, also f(10) = 4.84. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,93}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.93¹⁰ = 4.84

c ⋅ 0.48398 = 4.84 | : 0.48398

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $10 \cdot {0,93}^{8}$ ≈ 5,596.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.4:

$10 \cdot {0,93}^{t}$	=	$3,4$	\|: $10$
${0,93}^{t}$	=	$0,34$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (0,34)$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (0,34)$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,34)}{\lg (0,93)}$

t

=

14,8656

Nach ca. 14,866 Jahre ist also der Bestand = 3.4 Millionen Insekten.

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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

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