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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})$
= $\lg (x^{- 3}) + \lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{- 3})$
= $- 3 \lg (x) - \frac{1}{2} \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- \frac{13}{2} \lg (x)$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k} - 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x - k) \cdot e^{x - \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - k$ = 0 ist, also für x = $k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$ ) = $((k) - k) \cdot e^{(k) - \frac{1}{2} k} - 2$ = $0 - 2$ = $- 2$ sein.
Da bei x = $k$ bei ( $x - k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$ | $- 2$ ) im abgebildeten Graph bei P(2| $- 2$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 2
Also gilt k = $2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{- 0,3 x + 0,9}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{- 0,3 x + 0,9}$ können die Funktionswerte von $3 e^{- 0,3 x + 0,9}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$y$	\|: $3$
$e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$\frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$

$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (\frac{1}{3} y)$	\| $- 0,9$
$- 0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y) - 0,9$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{3} y) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{3} x) + \frac{0,9}{0,3}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $78 \cdot {1,35}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $78$

f(1) = $78$ ⋅ $1,35$

f(2) = $78$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(3) = $78$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(4) = $78$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,35$ multipliziert. Da $1,35$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,35$ -fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 10kg vorhanden. Nach 6 Tagen nach sind nur noch 6,47kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 7 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 6,5kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 6.47 kg ist, also f(6) = 6.47. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $10 \cdot a^{t}$ ein:

$10 a^{6}$	=	$6,47$	\|: $10$
$a^{6}$	=	$0,647$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{0,647}$	≈ $- 0,93$
a₂	=	$\sqrt[6]{0,647}$	≈ $0,93$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,93$ ≈ 0.93 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $10 \cdot {0,93}^{7}$ ≈ 6,017.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.5 kg ist, also f(t) = 6.5:

$10 \cdot {0,93}^{t}$	=	$6,5$	\|: $10$
${0,93}^{t}$	=	$0,65$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (0,65)$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (0,65)$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,65)}{\lg (0,93)}$

t

=

5,936

Nach ca. 5,936 Tage ist also der Bestand = 6.5 kg.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben