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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 · ( 3 e 2x +3 e -2x ) vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 · ( 3 e -2x +3 e 2x ) = x 2 · ( 3 e -2x +3 e 2x ) = 3 x 2 · e 2x +3 x 2 · e -2x

Wenn man das mit f(x) = x 2 · ( 3 e 2x +3 e -2x ) = 3 x 2 · e 2x +3 x 2 · e -2x vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - ( x + k ) · e x + 1 2 k -1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm - ( x + k ) · e x + 1 2 k = 0 wird, wenn x + k = 0 ist, also für x = -1 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(-1 k ) = - ( ( -1 k ) + k ) · e ( -1 k ) + 1 2 k -1 = 0 -1 = -1 sein.
    Da bei x = -1 k bei ( x + k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(-1 k | -1 ) im abgebildeten Graph bei P(2| -1 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit -1 k = 2
    Also gilt k = -2

Der abgebildete Graph ist somit der von f-2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,4x +1,2 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +1,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +1,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem e -0,4x +1,2 wird zu allen Funktionswerten von e -0,4x +1,2 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,4x +1,2 -3 = y | +3
e -0,4x +1,2 = y +3 |ln(⋅)
-0,4x +1,2 = ln( y +3 )
-0,4x +1,2 = ln( y +3 ) | -1,2
-0,4x = ln( y +3 ) -1,2 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( y +3 ) + 1,2 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( x +3 ) + 1,2 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( x +3 ) + 1,2 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3,5% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 3.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3.5% dazukommen,
also Bneu = B + 3.5 100 ⋅B = (1 + 3.5 100 ) ⋅ B = 1,035 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,035.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.035(2) ≈ 20.15 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 7029,96€. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 6900€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 6000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 7029.96 € ist, also f(8) = 7029.96. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 6000 a t ein:

6000 a 8 = 7029,96 |:6000
a 8 = 1,17166 | 8
a1 = - 1,17166 8 = -1,02
a2 = 1,17166 8 = 1,02

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,02 ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 6000 1,02 7 6892,114.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6900 € ist, also f(t) = 6900:

6000 1,02 t = 6900 |:6000
1,02 t = 23 20 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 23 20 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 23 20 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 23 20 ) lg( 1,02 )
t = 7,0577

Nach ca. 7,058 Jahre ist also der Kontostand = 6900 €.