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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{9})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{9})$ = $- 2$ , eben weil $3$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{9}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{1}{500 x^{6}}) + \lg (25 x^{4})$ soweit wie möglich.

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$\lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{1}{500 x^{6}}) + \lg (25 x^{4})$

= $\lg (2 x^{2}) + \lg (\frac{1}{500} x^{- 6}) + \lg (25 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) + (\lg (\frac{1}{500}) + \lg (\frac{1}{x^{6}})) + (\lg (25) + \lg (x^{4}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{500}) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (25) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{500}) - 6 \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (500) - 6 \lg (x) + \lg (25) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (500) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500} \cdot 25 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{0,2 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{0,2 x}$ wird $e^{0,2 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{0,2 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- 2 e^{0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{0,2 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{0,2 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- 2 e^{0,2 x}$	=	$y + 2$	\|: $- 2$
$e^{0,2 x}$	=	$- \frac{1}{2} y - 1$	\|ln(⋅)
$0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - 1)$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{2} y - 1)$
$x$	=	$5 \ln (- \frac{1}{2} y - 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5 \ln (- \frac{1}{2} x - 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $5 \ln (- \frac{1}{2} x - 1)$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 17,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 2000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 17.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{17,7}$	=	$2$	\| $\sqrt[17,7]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{17,7}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{17,7}}$ ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,04}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. Zu Beginn sind 3000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 9 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 3500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $3 000 \cdot {1,02}^{9}$ ≈ 3585,278.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3500 € ist, also f(t) = 3500:

$3 000 \cdot {1,02}^{t}$	=	$3 500$	\|: $3 000$
${1,02}^{t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{6})$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (\frac{7}{6})$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{6})}{\lg (1,02)}$

t

=

7,7844

Nach ca. 7,784 Jahre ist also der Kontostand = 3500 €.

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log berechnen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben