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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{4} (2)$ liegt.

Wir suchen $4$ er-Potenzen in der Näher von $2$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$ .

Und da wir bei $\log_{4} (2)$ ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < $\log_{4} (2)$ < 1

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (25) + \lg (20 x^{2}) + \lg (\frac{1}{500 000 x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (25) + \lg (20 x^{2}) + \lg (\frac{1}{500 000 x^{2}})$

= $\lg (25) + \lg (20 x^{2}) + \lg (\frac{1}{500.000} x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (1) + (\lg (20) + \lg (x^{2})) + (\lg (\frac{1}{500.000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (25) + \lg (1) + \lg (20) + \lg (x^{2}) + \lg (\frac{1}{500.000}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) + 0 + \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{500.000}) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) + 0 + \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (500 000) - 2 \lg (x)$

= $- \lg (500 000) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500.000} \cdot 25 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{1000})$

= $\lg (10^{- 3})$

= $- 3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{- 0,1 x + 0,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{- 0,1 x + 0,2}$ wird $e^{- 0,1 x + 0,2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{- 0,1 x + 0,2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{- 0,1 x + 0,2}$	=	$y$	\|: $- 1$
$e^{- 0,1 x + 0,2}$	=	$- 1 y$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x + 0,2$	=	$\ln (- y)$

$- 0,1 x + 0,2$	=	$\ln (- y)$	\| $- 0,2$
$- 0,1 x$	=	$\ln (- y) - 0,2$	\|:( $- 0,1$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (- y) + \frac{0,2}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,1} \ln (- x) + \frac{0,2}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,1} \ln (- x) + \frac{0,2}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8,6% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 8.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8.6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8.6}{100}$ ) ⋅ B = 0,914 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,914.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.914( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.71 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,8% seiner Bevölkerung. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 63,74 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 13 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 75,6 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2.8}{100}$ ) ⋅ B = 0,972 ⋅ B. Somit ist das a=0,972.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,972}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 63.74 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 63.74. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,972}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.972⁸ = 63.74

c ⋅ 0.79676 = 63.74 | : 0.79676

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,972}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $80 \cdot {0,972}^{13}$ ≈ 55,303.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 75.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 75.6:

$80 \cdot {0,972}^{t}$	=	$75,6$	\|: $80$
${0,972}^{t}$	=	$0,945$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,972}^{t})$	=	$\lg (0,945)$
$t \cdot \lg (0,972)$	=	$\lg (0,945)$	\|: $\lg (0,972)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,945)}{\lg (0,972)}$

t

=

1,992

Nach ca. 1,992 Jahre ist also der Bestand = 75.6 Millionen Einwohner.

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log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben