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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 19 ( 1 361 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 361 zur Basis 19, also die Hochzahl mit der man 19 potenzieren muss, um auf 1 361 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 19☐ = 1 361 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 19-Potenz zu schreiben versuchen, also 19☐ = 1 361

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 19 ( 1 361 ) = -2, eben weil 19-2 = 1 361 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -1.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: -1 = - 1 2 ⋅a = - 1 2 a .

Es gilt also: -1 = - 1 2 a | ⋅ -2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 ⋅ 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,3x -0,6 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e 0,3x -0,6 wird zu allen Funktionswerten von e 0,3x -0,6 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,3x -0,6 +3 = y | -3
e 0,3x -0,6 = y -3 |ln(⋅)
0,3x -0,6 = ln( y -3 )
0,3x -0,6 = ln( y -3 ) | +0,6
0,3x = ln( y -3 ) +0,6 |:0,3
x = 1 0,3 ln( y -3 ) + 0,6 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( x -3 ) + 0,6 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( x -3 ) + 0,6 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also Bneu = B - 2 100 ⋅B = (1 - 2 100 ) ⋅ B = 0,98 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,98.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.98( 1 2 ) ≈ 34.31 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt. 7 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 2,95 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 1,2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 10⋅ a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Jahre der Bestand 2.95 Millionen Insekten ist, also f(7) = 2.95. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 10⋅ a t ein:

10 a 7 = 2,95 |:10
a 7 = 2,95 10 | ⋅7
a = 2,95 10 7

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 2,95 10 7 ≈ 0.84 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10⋅ 0,84 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 10⋅ 0,84 4 ≈ 4,979.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.2:

10⋅ 0,84 t = 1,2 |:10
0,84 t = 0,12 |lg(⋅)
lg( 0,84 t ) = lg( 0,12 )
t · lg( 0,84 ) = lg( 0,12 ) |: lg( 0,84 )
t = lg( 0,12 ) lg( 0,84 )
t = 12,1607

Nach ca. 12,161 Jahre ist also der Bestand = 1.2 Millionen Insekten.