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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{121} (11)$ .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 11 sondern zur Basis $121$ suchen und $121$ gerade 11² ist (also 11 = $\sqrt{121}$ = $121^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $11$ noch so um, dass sie $121$ als Basis hat:

$11$ = $121^{\frac{1}{2}}$

$\log_{121} (11)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $11$ = $121^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $121$ suchen, also die Hochzahl mit der man $121$ potenzieren muss, um auf $11$ = $121^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $121$ ^☐ = $11$ = $121^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{121} (11)$ = $\log_{121} (121^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $121$ ^{$\frac{1}{2}$} = $11$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,3 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,3 x}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,3 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4 e^{0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{0,3 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,3 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$4 e^{0,3 x}$	=	$y - 3$	\|: $4$
$e^{0,3 x}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$
$x$	=	$\frac{10}{3} \ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3} \ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{10}{3} \ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 20% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$ ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.2( $2$ ) ≈ 3.8 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 5154,56€. a) Wie hoch ist der Kontostand 12 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 5000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 5154.56 € ist, also f(8) = 5154.56. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $3 000 \cdot a^{t}$ ein:

$3 000 a^{8}$	=	$5 154,56$	\|: $3 000$
$a^{8}$	=	$1,71819$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{1,71819}$	= $- 1,07$
a₂	=	$\sqrt[8]{1,71819}$	= $1,07$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,07$ ≈ 1.07 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,07}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $3 000 \cdot {1,07}^{12}$ ≈ 6756,575.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:

$3 000 \cdot {1,07}^{t}$	=	$5 000$	\|: $3 000$
${1,07}^{t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,07}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{3})$
$t \cdot \lg (1,07)$	=	$\lg (\frac{5}{3})$	\|: $\lg (1,07)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{3})}{\lg (1,07)}$

t

=

7,55

Nach ca. 7,55 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (schwer)

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben