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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 4 (3) liegt.

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Wir suchen 4er-Potenzen in der Näher von 3, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 3 ist.

Dabei kommt man auf 1 = 40 < 3 und auf 4 = 41 > 3.

Und da wir bei log 4 (3) ja das ☐ von 4 = 3 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
40 = 1 < 3 < 4 = 41

Es gilt somit: 0 < log 4 (3) < 1

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -1.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: -1 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: -1 = - 1 2 a | ⋅ -2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e x -3 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e x -3 wird e x -3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e x -3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem -4 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von -4 e x -3 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e x -3 +2 = y | -2
-4 e x -3 = y -2 |:-4
e x -3 = - 1 4 y + 1 2 |ln(⋅)
x -3 = ln( - 1 4 y + 1 2 )
x -3 = ln( - 1 4 y + 1 2 ) | +3
x = ln( - 1 4 y + 1 2 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 4 x + 1 2 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 4 x + 1 2 ) +3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,944 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,944 t ablesen: a=0.944.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.944( 1 2 ) ≈ 12.03 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 7% abnimmt. 4 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 9,72 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 5,9 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also Bneu = B - 7 100 ⋅B = (1 - 7 100 ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,93 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 9.72 Millionen Insekten ist, also f(4) = 9.72. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,93 t ein:

c ⋅ 0.934 = 9.72

c ⋅ 0.74805 = 9.72 | : 0.74805

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13 0,93 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 13 0,93 5 9,044.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5.9:

13 0,93 t = 5,9 |:13
0,93 t = 0,4538 |lg(⋅)
lg( 0,93 t ) = lg( 0,4538 )
t · lg( 0,93 ) = lg( 0,4538 ) |: lg( 0,93 )
t = lg( 0,4538 ) lg( 0,93 )
t = 10,8873

Nach ca. 10,887 Jahre ist also der Bestand = 5.9 Millionen Insekten.