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Kursstufe
cosh
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log berechnen (schwer)
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Zuerst schreiben wir
Man kann erkennen, dass
Also schreiben wir
Also was muss in das Kästchen, damit
Damit steht die Lösung praktisch schon da:
Term aus Graph bestimmen
Beispiel:
Bestimme den Funktionsterm
Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|
In den allgemeinen Funktionsterm
Dadurch wissen wir nun schon: c =
Außerdem können wir den Punkt (1|
In unseren Funktionsterm
Es gilt also:
Somit ist der Funtionsterm:
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch den negativen Koeffizienten
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|: |
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|
= |
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|ln(⋅) |
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= |
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|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?
Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also Bneu
= B -
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga(
Also TH = log0.88(
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 11% abnimmt. 9 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 4,2 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 10 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,3 Millionen dieser Insekten?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also Bneu
= B -
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Jahre der Bestand 4.2 Millionen Insekten ist,
also f(9) = 4.2. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 0.899 = 4.2
c ⋅ 0.35036 = 4.2 | : 0.35036
c = 12
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):
f(10) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.3:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
|
|:
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= |
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|
= |
|
Nach ca. 14,175 Jahre ist also der Bestand = 2.3 Millionen Insekten.
