Mathebattle EduRandomtasks

1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{5} (25 x) - \log_{5} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{5} (25 x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (25) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $\log_{5} (5^{2}) + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $2 + \log_{5} (x) - \log_{5} (x)$
= $2$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $2 k e^{\frac{1}{3} k x - \frac{1}{3} k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2 k e^{\frac{1}{3} k x - \frac{1}{3} k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $\frac{1}{3} k x - \frac{1}{3} k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $2 k e^{\frac{1}{3} k x - \frac{1}{3} k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $- 1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

\frac{1}{3} k x - \frac{1}{3} k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$\frac{1}{3} k x - \frac{1}{3} k$	=	0	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} k x - \frac{1}{3} k)$	=	0
$k x - k$	=	0	\| - ( $- k$ )
$k x$	=	$k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$1$

Wenn wir nun

1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

1

) =

2 k e^{\frac{1}{3} k \cdot 1 - \frac{1}{3} k} - 1

=

2 k - 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

1

) = 4 ablesen, es gilt somit:

$2 k - 1$	=	$4$	\| $+ 1$
$2 k$	=	$5$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{5}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,3 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,3 x}$ wird $e^{0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- 3 e^{0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{0,3 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,3 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- 3 e^{0,3 x}$	=	$y + 2$	\|: $- 3$
$e^{0,3 x}$	=	$- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$
$x$	=	$\frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{3} y - \frac{2}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{3} x - \frac{2}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{3} x - \frac{2}{3})$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $46 \cdot {0,55}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $46$

f(1) = $46$ ⋅ $0,55$

f(2) = $46$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

f(3) = $46$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

f(4) = $46$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$ ⋅ $0,55$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,55$ multipliziert. Da $0,55$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,55$ -fache, also auf $55$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 30,16Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 119 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$ ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,26}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 30.16 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 30.16. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,26}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.26² = 30.16

c ⋅ 1.5876 = 30.16 | : 1.5876

c = 19

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $19 \cdot {1,26}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $19 \cdot {1,26}^{5}$ ≈ 60,34.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 119 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 119:

$19 \cdot {1,26}^{t}$	=	$119$	\|: $19$
${1,26}^{t}$	=	$\frac{119}{19}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,26}^{t})$	=	$\lg (\frac{119}{19})$
$t \cdot \lg (1,26)$	=	$\lg (\frac{119}{19})$	\|: $\lg (1,26)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{119}{19})}{\lg (1,26)}$

t

=

7,9385

Nach ca. 7,939 Stunden ist also der Bestand = 119 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben