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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 x) - 3 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $6 + \lg (x) - 3 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x) + 6$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x - 5 k) \cdot e^{x - \frac{5}{2} k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x - 5 k) \cdot e^{x - \frac{5}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x - 5 k$ = 0 ist, also für x = $5 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $5 k$ ) = $- ((5 k) - 5 k) \cdot e^{(5 k) - \frac{5}{2} k} + 1$ = $0 + 1$ = $1$ sein.
Da bei x = $5 k$ bei ( $x - 5 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $5 k$ | $1$ ) im abgebildeten Graph bei P(2| $1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $5 k$ = 2
Also gilt k = $\frac{2}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{5}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{0,1 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{0,1 x}$ wird $e^{0,1 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{0,1 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- 2 e^{0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{0,1 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{0,1 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- 2 e^{0,1 x}$	=	$y - 3$	\|: $- 2$
$e^{0,1 x}$	=	$- \frac{1}{2} y + \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$
$x$	=	$10 \ln (- \frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10 \ln (- \frac{1}{2} x + \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $10 \ln (- \frac{1}{2} x + \frac{3}{2})$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $26 \cdot {1,4}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $26$

f(1) = $26$ ⋅ $1,4$

f(2) = $26$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

f(3) = $26$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

f(4) = $26$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,4$ multipliziert. Da $1,4$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,4$ -fache, also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. 11 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 53,63Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 63 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,08}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Stunden der Bestand 53.63 Millionen Bakterien ist, also f(11) = 53.63. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,08}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.08¹¹ = 53.63

c ⋅ 2.33164 = 53.63 | : 2.33164

c = 23

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $23 \cdot {1,08}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $23 \cdot {1,08}^{12}$ ≈ 57,918.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 63 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 63:

$23 \cdot {1,08}^{t}$	=	$63$	\|: $23$
${1,08}^{t}$	=	$\frac{63}{23}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,08}^{t})$	=	$\lg (\frac{63}{23})$
$t \cdot \lg (1,08)$	=	$\lg (\frac{63}{23})$	\|: $\lg (1,08)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{63}{23})}{\lg (1,08)}$

t

=

13,0929

Nach ca. 13,093 Stunden ist also der Bestand = 63 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben