Mathebattle EduRandomtasks

Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot (2 e^{x} - 2 e^{- x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${(- x)}^{3} \cdot (2 e^{- x} - 2 e^{x})$ = $- x^{3} \cdot (2 e^{- x} - 2 e^{x})$ = $2 x^{3} \cdot e^{x} - 2 x^{3} \cdot e^{- x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^{3} \cdot (2 e^{x} - 2 e^{- x})$ = $2 x^{3} \cdot e^{x} - 2 x^{3} \cdot e^{- x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- 3 k x \cdot e^{k x - 3 k} + 5 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm

- 3 k x \cdot e^{k x - 3 k}

= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k(

0

) =

- 3 k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - 3 k} + 5 k

=

5 k

= 3

$5 k$	=	$3$	\|: $5$
$k$	=	$\frac{3}{5}$ = 0.6

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{5}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,2}$	=	$y$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (y)$

$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (y)$	\| $+ 0,2$
$0,2 x$	=	$\ln (y) + 0,2$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x) + \frac{0,2}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 16% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{16}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{16}{100}$ ) ⋅ B = 0,84 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,84.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.84( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 3.98 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3% verzinst. 10 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 2687,83€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 12 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 2300€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$ ) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,03}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 2687.83 € ist, also f(10) = 2687.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,03}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.03¹⁰ = 2687.83

c ⋅ 1.34392 = 2687.83 | : 1.34392

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,03}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $2 000 \cdot {1,03}^{12}$ ≈ 2851,522.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2300 € ist, also f(t) = 2300:

$2 000 \cdot {1,03}^{t}$	=	$2 300$	\|: $2 000$
${1,03}^{t}$	=	$\frac{23}{20}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,03}^{t})$	=	$\lg (\frac{23}{20})$
$t \cdot \lg (1,03)$	=	$\lg (\frac{23}{20})$	\|: $\lg (1,03)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{23}{20})}{\lg (1,03)}$

t

=

4,7283

Nach ca. 4,728 Jahre ist also der Kontostand = 2300 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben