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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{27})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{27})$ = $- 3$ , eben weil $3$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{5}{x^{2}}) - \lg (1000 x)$ soweit wie möglich.

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$\lg (2 x^{3}) + \lg (\frac{5}{x^{2}}) - \lg (1000 x)$

= $\lg (2 x^{3}) + \lg (5 x^{- 2}) - \lg (1000 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{3}) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (1000) + \lg (x))$

= $\lg (2) + \lg (x^{3}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (1000) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (5) - 2 \lg (x) - \lg (1000) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 3 \lg (x) + \lg (5) - 2 \lg (x) - \lg (1 000) - \lg (x)$

= $- \lg (1 000) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000} \cdot 5 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{x - 2} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x - 2}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x - 2} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{x - 2}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (y + 3)$

$x - 2$	=	$\ln (y + 3)$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (y + 3) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (x + 3) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (x + 3) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,943}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,943}^{t}$ ablesen: a=0.943.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.943( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 11.81 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. Zu Beginn sind 8000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 7 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 28000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $8 000 \cdot {1,06}^{7}$ ≈ 12029,042.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 28000 € ist, also f(t) = 28000:

$8 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$28 000$	\|: $8 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{7}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{2})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{7}{2})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{2})}{\lg (1,06)}$

t

=

21,4997

Nach ca. 21,5 Jahre ist also der Kontostand = 28000 €.

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log berechnen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben