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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache log 14 ( 196x ) - log 14 ( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
log 14 ( 196x ) - log 14 ( x )
= log 14 ( 196 ) + log 14 ( x ) - log 14 ( x )
= log 14 ( 14 2 ) + log 14 ( x ) - log 14 ( x )
= 2 + log 14 ( x ) - log 14 ( x )
= 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ( x - k ) · e x - 1 2 k -1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm ( x - k ) · e x - 1 2 k = 0 wird, wenn x - k = 0 ist, also für x = k .
    Dann muss ja der y-Wert fk( k ) = ( ( k ) - k ) · e ( k ) - 1 2 k -1 = 0 -1 = -1 sein.
    Da bei x = k bei ( x - k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( k | -1 ) im abgebildeten Graph bei P(1| -1 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit k = 1
    Also gilt k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e 0,2x -0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e 0,2x -0,4 können die Funktionswerte von 3 e 0,2x -0,4 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e 0,2x -0,4 = y |:3
e 0,2x -0,4 = 1 3 y |ln(⋅)
0,2x -0,4 = ln( 1 3 y )
0,2x -0,4 = ln( 1 3 y ) | +0,4
0,2x = ln( 1 3 y ) +0,4 |:0,2
x = 1 0,2 ln( 1 3 y ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( 1 3 x ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( 1 3 x ) + 0,4 0,2

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 145 1,5 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 145

f(1) = 145 1,5

f(2) = 145 1,51,5

f(3) = 145 1,51,51,5

f(4) = 145 1,51,51,51,5

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,5 multipliziert. Da 1,5 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,5-fache, also auf 150 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 150% - 100% = 50 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4% verzinst. Zu Beginn sind 2000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 5 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 3000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also Bneu = B + 4 100 ⋅B = (1 + 4 100 ) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 2000 1,04 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 2000 1,04 5 2433,306.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3000 € ist, also f(t) = 3000:

2000 1,04 t = 3000 |:2000
1,04 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,04 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,04 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,04 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,04 )
t = 10,338

Nach ca. 10,338 Jahre ist also der Kontostand = 3000 €.