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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{3}}) + 2 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{3}}) + 2 \lg (\frac{1}{x}) + \lg (x^{4})$
= $\lg (x^{- 3}) + 2 \lg (x^{- 1}) + \lg (x^{4})$
= $- 3 \lg (x) - 2 \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $- \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2) + \lg (\frac{5}{x^{2}}) - \lg (\frac{1 000}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (2) + \lg (\frac{5}{x^{2}}) - \lg (\frac{1 000}{x^{2}})$

= $\lg (2) + \lg (5 x^{- 2}) - \lg (1000 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (1) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (1000) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $\lg (2) + \lg (1) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (1000) - \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 0 + \lg (5) - 2 \lg (x) - \lg (1000) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 0 + \lg (5) - 2 \lg (x) - \lg (1 000) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (1 000) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000} \cdot 5 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,4 x - 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,4 x - 0,4}$ wird $e^{0,4 x - 0,4}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,4 x - 0,4}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,4 x - 0,4}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{0,4 x - 0,4}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$0,4 x - 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,4$
$0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) + 0,4$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,4}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5,7% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 5.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5.7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5.7}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{5.7}{100}$ ) ⋅ B = 0,943 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,943.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.943( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 11.81 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 25,66kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 11 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,92}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 25.66 kg ist, also f(8) = 25.66. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,92}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.92⁸ = 25.66

c ⋅ 0.51322 = 25.66 | : 0.51322

c = 50

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $50 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $50 \cdot {0,92}^{11}$ ≈ 19,982.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$50 \cdot {0,92}^{t}$	=	$30$	\|: $50$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{5})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{3}{5})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{5})}{\lg (0,92)}$

t

=

6,1264

Nach ca. 6,126 Tage ist also der Bestand = 30 kg.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben