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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 0,004 ) - lg( 4 ) .

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lg( 0,004 ) - lg( 4 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= lg( 0.004 4 )

= lg( 0,001 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= 5 k e k x +4 k +1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann 5 k e k x +4 k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x +4 k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm 5 k e k x +4 k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei 1 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x +4 k = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x +4 k = 0 | - ( 4 k )
    k x = -4 k |:( k )
    x = -4
    Wenn wir nun -4 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(-4 ) = 5 k e k ( -4 ) +4 k +1 = 5k +1
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(-4 ) = -3 ablesen, es gilt somit:
    5k +1 = -3 | -1
    5k = -4 |:5
    k = - 4 5 = -0.8

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 4 5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e x -2 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e x -2 können die Funktionswerte von 4 e x -2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem 4 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von 4 e x -2 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e x -2 +3 = y | -3
4 e x -2 = y -3 |:4
e x -2 = 1 4 y - 3 4 |ln(⋅)
x -2 = ln( 1 4 y - 3 4 )
x -2 = ln( 1 4 y - 3 4 ) | +2
x = ln( 1 4 y - 3 4 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 4 x - 3 4 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 4 x - 3 4 ) +2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 22,8 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 50kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 50 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 22.8 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 22,8 = 1 2 | 22,8
a1 = - ( 1 2 ) 1 22,8 -0,97
a2 = ( 1 2 ) 1 22,8 0,97

Das gesuchte a ist somit 0,97 ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 50 0,97 t

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seines Bestands. Zu Beginn sind 10kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also Bneu = B - 7 100 ⋅B = (1 - 7 100 ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,93 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = 10 0,93 12 4,186.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6 kg ist, also f(t) = 6:

10 0,93 t = 6 |:10
0,93 t = 3 5 |lg(⋅)
lg( 0,93 t ) = lg( 3 5 )
t · lg( 0,93 ) = lg( 3 5 ) |: lg( 0,93 )
t = lg( 3 5 ) lg( 0,93 )
t = 7,039

Nach ca. 7,039 Tage ist also der Bestand = 6 kg.