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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 3 (33) liegt.

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Wir suchen 3er-Potenzen in der Näher von 33, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 33 ist.

Dabei kommt man auf 3 3 = 33 < 33 und auf 3 4 = 34 > 33.

Und da wir bei log 3 (33) ja das ☐ von 3 = 33 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
33 = 3 3 < 33 < 3 4 = 34

Es gilt somit: 3 < log 3 (33) < 4

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 4.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 4 = a = a .

Es gilt also: 4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e -0,2x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e -0,2x können die Funktionswerte von 3 e -0,2x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem 3 e -0,2x wird zu allen Funktionswerten von 3 e -0,2x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e -0,2x -3 = y | +3
3 e -0,2x = y +3 |:3
e -0,2x = 1 3 y +1 |ln(⋅)
-0,2x = ln( 1 3 y +1 ) |:-0,2
x = - 1 0,2 ln( 1 3 y +1 )
x = -5 ln( 1 3 y +1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -5 ln( 1 3 x +1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -5 ln( 1 3 x +1 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,139 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,139 t ablesen: a=1.139.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.139(2) ≈ 5.33 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,2% seiner Bevölkerung. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 70,28 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 65,9 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.2% weggehen,
also Bneu = B - 3.2 100 ⋅B = (1 - 3.2 100 ) ⋅ B = 0,968 ⋅ B. Somit ist das a=0,968.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,968 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 70.28 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 70.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,968 t ein:

c ⋅ 0.9682 = 70.28

c ⋅ 0.93702 = 70.28 | : 0.93702

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 75 0,968 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 75 0,968 9 55,968.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 65.9 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 65.9:

75 0,968 t = 65,9 |:75
0,968 t = 0,8787 |lg(⋅)
lg( 0,968 t ) = lg( 0,8787 )
t · lg( 0,968 ) = lg( 0,8787 ) |: lg( 0,968 )
t = lg( 0,8787 ) lg( 0,968 )
t = 3,976

Nach ca. 3,976 Jahre ist also der Bestand = 65.9 Millionen Einwohner.