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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 ( 1 2 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 2 um: 1 2 = 2 -1

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis 4 suchen und 4 gerade 2² ist (also 2 = 4 = 4 1 2 ), formen wir 2 -1 noch so um, dass sie 4 als Basis hat:

2 -1 = ( 4 1 2 ) -1 = 4 - 1 2

log 4 ( 1 2 ) = log 4 ( 2 -1 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 2 -1 = 4 - 1 2 zur Basis 4 suchen, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 2 -1 = 4 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4 = 2 -1 = 4 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 4 ( 1 2 ) = log 4 ( 2 -1 ) = log 4 ( 4 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 4 - 1 2 = 1 2 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 2 x 3 ) + lg( 1 40 x 3 ) + lg( 20 x 2 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 2 x 3 ) + lg( 1 40 x 3 ) + lg( 20 x 2 )

= - lg( 1 2 x -3 ) + lg( 1 40 x -3 ) + lg( 20 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 2 ) + lg( 1 x 3 ) ) + ( lg( 1 40 ) + lg( 1 x 3 ) ) + ( lg( 20 ) + lg( x 2 ) )

= - lg( 1 2 ) - lg( 1 x 3 ) + lg( 1 40 ) + lg( 1 x 3 ) + lg( 20 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 2 ) +3 lg( x ) + lg( 1 40 ) -3 lg( x ) + lg( 20 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 2 ) +3 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 40 ) -3 lg( x ) + lg( 20 ) +2 lg( x )

= 2 lg( x ) - lg( 40 ) + lg( 20 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 2 lg( x ) + lg( 1 40 · 20 · 2 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 )

= 2 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e 0,4x -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e 0,4x wird e 0,4x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e 0,4x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem - e 0,4x wird zu allen Funktionswerten von - e 0,4x noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e 0,4x -2 = y | +2
- e 0,4x = y +2 |:-1
e 0,4x = -y -2 |ln(⋅)
0,4x = ln( -y -2 ) |:0,4
x = 1 0,4 ln( -y -2 )
x = 5 2 ln( -y -2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 2 ln( -x -2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 2 ln( -x -2 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,891 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,891 t ablesen: a=0.891.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.891( 1 2 ) ≈ 6.01 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7% verzinst. Zu Beginn sind 6000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 5 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 16000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also Bneu = B + 7 100 ⋅B = (1 + 7 100 ) ⋅ B = 1,07 ⋅ B. Somit ist das a=1,07.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,07 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 6000 1,07 5 8415,31.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 16000 € ist, also f(t) = 16000:

6000 1,07 t = 16000 |:6000
1,07 t = 8 3 |lg(⋅)
lg( 1,07 t ) = lg( 8 3 )
t · lg( 1,07 ) = lg( 8 3 ) |: lg( 1,07 )
t = lg( 8 3 ) lg( 1,07 )
t = 14,4967

Nach ca. 14,497 Jahre ist also der Kontostand = 16000 €.