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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (33)$ liegt.

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $33$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $33$ ist.

Dabei kommt man auf $3^{3}$ = 3³ < $33$ und auf $3^{4}$ = 3⁴ > $33$ .

Und da wir bei $\log_{3} (33)$ ja das ☐ von 3^☐ = $33$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^{3}$ < $33$ < $3^{4}$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < $\log_{3} (33)$ < 4

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{- 0,2 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{- 0,2 x}$ können die Funktionswerte von $3 e^{- 0,2 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $3 e^{- 0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{- 0,2 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{- 0,2 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$3 e^{- 0,2 x}$	=	$y + 3$	\|: $3$
$e^{- 0,2 x}$	=	$\frac{1}{3} y + 1$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + 1)$	\|: $- 0,2$
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{3} y + 1)$
$x$	=	$- 5 \ln (\frac{1}{3} y + 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 5 \ln (\frac{1}{3} x + 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 5 \ln (\frac{1}{3} x + 1)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,139}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,139}^{t}$ ablesen: a=1.139.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.139( $2$ ) ≈ 5.33 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,2% seiner Bevölkerung. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 70,28 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 65,9 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.2}{100}$ ) ⋅ B = 0,968 ⋅ B. Somit ist das a=0,968.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,968}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 70.28 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 70.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,968}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.968² = 70.28

c ⋅ 0.93702 = 70.28 | : 0.93702

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot {0,968}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $75 \cdot {0,968}^{9}$ ≈ 55,968.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 65.9 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 65.9:

$75 \cdot {0,968}^{t}$	=	$65,9$	\|: $75$
${0,968}^{t}$	=	$0,8787$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,968}^{t})$	=	$\lg (0,8787)$
$t \cdot \lg (0,968)$	=	$\lg (0,8787)$	\|: $\lg (0,968)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,8787)}{\lg (0,968)}$

t

=

3,976

Nach ca. 3,976 Jahre ist also der Bestand = 65.9 Millionen Einwohner.

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log im Interval bestimmen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben