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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (1)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{5} (1)$ = $0$ , eben weil $5$ ^$0$ = $1$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{50}{x}) - \lg (1000 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (2 x^{4}) + \lg (\frac{50}{x}) - \lg (1000 x^{3})$

= $\lg (2 x^{4}) + \lg (50 x^{- 1}) - \lg (1000 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (x^{4}) + (\lg (50) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (1000) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (2) + \lg (x^{4}) + \lg (50) + \lg (\frac{1}{x}) - \lg (1000) - \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x) - \lg (1000) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (50) - \lg (x) - \lg (1 000) - 3 \lg (x)$

= $- \lg (1 000) + \lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000} \cdot 50 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,3 x - 0,9}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,3 x - 0,9}$ wird $e^{0,3 x - 0,9}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,3 x - 0,9}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,3 x - 0,9}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{0,3 x - 0,9}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,9$
$0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) + 0,9$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,9}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,924}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,924}^{t}$ ablesen: a=0.924.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.924( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 8.77 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer. Nach 2 Wochen zählt man bereits 6051,6 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 7000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Wochen der Bestand 6051.6 Nutzer ist, also f(2) = 6051.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ ein:

$4 000 a^{2}$	=	$6 051,6$	\|: $4 000$
$a^{2}$	=	$1,5129$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{1,5129}$	= $- 1,23$
a₂	=	$\sqrt{1,5129}$	= $1,23$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,23$ ≈ 1.23 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,23}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $4 000 \cdot {1,23}^{5}$ ≈ 11261,223.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 7000 Nutzer ist, also f(t) = 7000:

$4 000 \cdot {1,23}^{t}$	=	$7 000$	\|: $4 000$
${1,23}^{t}$	=	$\frac{7}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,23}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{4})$
$t \cdot \lg (1,23)$	=	$\lg (\frac{7}{4})$	\|: $\lg (1,23)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{4})}{\lg (1,23)}$

t

=

2,7033

Nach ca. 2,703 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 7000 Nutzer.

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log berechnen (einfach)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben