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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 4000 ) + lg( 25 ) .

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lg( 4000 ) + lg( 25 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= lg( 4000 · 25 )

= lg( 100000 )

= lg( 10 5 )

= 5

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 6 10 x + k +6 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 6 10 x + k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 6 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + 6 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -3, somit muss 6 k = -3 gelten;
    Also gilt k = - 1 2

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 1 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e 0,3x -0,9 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,9 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,9 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e 0,3x -0,9 können die Funktionswerte von 4 e 0,3x -0,9 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e 0,3x -0,9 = y |:4
e 0,3x -0,9 = 1 4 y |ln(⋅)
0,3x -0,9 = ln( 1 4 y )
0,3x -0,9 = ln( 1 4 y ) | +0,9
0,3x = ln( 1 4 y ) +0,9 |:0,3
x = 1 0,3 ln( 1 4 y ) + 0,9 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( 1 4 x ) + 0,9 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( 1 4 x ) + 0,9 0,3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 34,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 80kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 80 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 34.3 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 34,3 = 1 2 | 34,3
a1 = - ( 1 2 ) 1 34,3 -0,98
a2 = ( 1 2 ) 1 34,3 0,98

Das gesuchte a ist somit 0,98 ≈ 0.98, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 80 0,98 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 30,13kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 9 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also Bneu = B - 10 100 ⋅B = (1 - 10 100 ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,9 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 30.13 kg ist, also f(8) = 30.13. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,9 t ein:

c ⋅ 0.98 = 30.13

c ⋅ 0.43047 = 30.13 | : 0.43047

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 70 0,9 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = 70 0,9 9 27,119.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

70 0,9 t = 40 |:70
0,9 t = 4 7 |lg(⋅)
lg( 0,9 t ) = lg( 4 7 )
t · lg( 0,9 ) = lg( 4 7 ) |: lg( 0,9 )
t = lg( 4 7 ) lg( 0,9 )
t = 5,3114

Nach ca. 5,311 Tage ist also der Bestand = 40 kg.