Mathebattle EduRandomtasks

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{4}) + \lg (\frac{10}{x^{6}}) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (5 x^{4}) + \lg (\frac{10}{x^{6}}) + \lg (20 x^{2})$

= $\lg (5 x^{4}) + \lg (10 x^{- 6}) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{4}) + (\lg (10) + \lg (\frac{1}{x^{6}})) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (5) + \lg (x^{4}) + \lg (10) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 4 \lg (x) + \lg (10) - 6 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 4 \lg (x) + \lg (10) - 6 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (10) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20 \cdot 10 \cdot 5)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,4 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,4 x}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,4 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $4 e^{0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{0,4 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,4 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$4 e^{0,4 x}$	=	$y + 3$	\|: $4$
$e^{0,4 x}$	=	$\frac{1}{4} y + \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$
$x$	=	$\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4})$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $180 \cdot {1,1}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $180$

f(1) = $180$ ⋅ $1,1$

f(2) = $180$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

f(3) = $180$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

f(4) = $180$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,1$ multipliziert. Da $1,1$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,1$ -fache, also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. Zu Beginn sind 5000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 13 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 5800€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$ ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,01}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $5 000 \cdot {1,01}^{13}$ ≈ 5690,466.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5800 € ist, also f(t) = 5800:

$5 000 \cdot {1,01}^{t}$	=	$5 800$	\|: $5 000$
${1,01}^{t}$	=	$\frac{29}{25}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,01}^{t})$	=	$\lg (\frac{29}{25})$
$t \cdot \lg (1,01)$	=	$\lg (\frac{29}{25})$	\|: $\lg (1,01)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{29}{25})}{\lg (1,01)}$

t

=

14,9161

Nach ca. 14,916 Jahre ist also der Kontostand = 5800 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben