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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x · ( 2 e x +2 e -x ) vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) · ( 2 e -x +2 e x ) = - x · ( 2 e -x +2 e x ) = -2 x · e x -2 x · e -x

Wenn man das mit f(x) = x · ( 2 e x +2 e -x ) = 2 x · e x +2 x · e -x vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = -2 x · e x -2 x · e -x gerade das Negative von f(x), also -f(x) = -( x · 2 e x + x · 2 e -x ) ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ( x - k ) · e x - 1 2 k -3 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm ( x - k ) · e x - 1 2 k = 0 wird, wenn x - k = 0 ist, also für x = k .
    Dann muss ja der y-Wert fk( k ) = ( ( k ) - k ) · e ( k ) - 1 2 k -3 = 0 -3 = -3 sein.
    Da bei x = k bei ( x - k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( k | -3 ) im abgebildeten Graph bei P(1| -3 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit k = 1
    Also gilt k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e 0,4x +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e 0,4x wird e 0,4x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e 0,4x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem - e 0,4x wird zu allen Funktionswerten von - e 0,4x noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e 0,4x +2 = y | -2
- e 0,4x = y -2 |:-1
e 0,4x = -y +2 |ln(⋅)
0,4x = ln( -y +2 ) |:0,4
x = 1 0,4 ln( -y +2 )
x = 5 2 ln( -y +2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 2 ln( -x +2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 2 ln( -x +2 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also Bneu = B + 20 100 ⋅B = (1 + 20 100 ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.2(2) ≈ 3.8 Stunden

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 100kg vorhanden. Nach 10 Tagen nach sind nur noch 43,44kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 6 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 70kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 100 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 43.44 kg ist, also f(10) = 43.44. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 100 a t ein:

100 a 10 = 43,44 |:100
a 10 = 43,44 100 | 10
a1 = - 43,44 100 10 -0,92
a2 = 43,44 100 10 0,92

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,92 ≈ 0.92 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 100 0,92 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = 100 0,92 6 60,636.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 kg ist, also f(t) = 70:

100 0,92 t = 70 |:100
0,92 t = 7 10 |lg(⋅)
lg( 0,92 t ) = lg( 7 10 )
t · lg( 0,92 ) = lg( 7 10 ) |: lg( 0,92 )
t = lg( 7 10 ) lg( 0,92 )
t = 4,2776

Nach ca. 4,278 Tage ist also der Bestand = 70 kg.