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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 1000x ) + lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 1000x ) + lg( x )
= lg( 1000 ) + lg( x ) + lg( x )
= lg( 10 3 ) + lg( x ) + lg( x )
= 3 + lg( x ) + lg( x )
= 2 lg( x ) +3

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - ( x +3 k ) · e x + 3 2 k -1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm - ( x +3 k ) · e x + 3 2 k = 0 wird, wenn x +3 k = 0 ist, also für x = -3 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(-3 k ) = - ( ( -3 k ) +3 k ) · e ( -3 k ) + 3 2 k -1 = 0 -1 = -1 sein.
    Da bei x = -3 k bei ( x +3 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(-3 k | -1 ) im abgebildeten Graph bei P(2| -1 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit -3 k = 2
    Also gilt k = - 2 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 2 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e -0,4x +0,8 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +0,8 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +0,8 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e -0,4x +0,8 können die Funktionswerte von 3 e -0,4x +0,8 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e -0,4x +0,8 = y |:3
e -0,4x +0,8 = 1 3 y |ln(⋅)
-0,4x +0,8 = ln( 1 3 y )
-0,4x +0,8 = ln( 1 3 y ) | -0,8
-0,4x = ln( 1 3 y ) -0,8 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( 1 3 y ) + 0,8 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( 1 3 x ) + 0,8 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( 1 3 x ) + 0,8 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 12% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also Bneu = B + 12 100 ⋅B = (1 + 12 100 ) ⋅ B = 1,12 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,12.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.12(2) ≈ 6.12 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 6077,53€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 5000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 6077.53 € ist, also f(4) = 6077.53. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 5000 a t ein:

5000 a 4 = 6077,53 |:5000
a 4 = 1,21551 | 4
a1 = - 1,21551 4 = -1,05
a2 = 1,21551 4 = 1,05

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,05 ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5000 1,05 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 5000 1,05 9 7756,641.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7500 € ist, also f(t) = 7500:

5000 1,05 t = 7500 |:5000
1,05 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,05 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,05 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,05 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,05 )
t = 8,3104

Nach ca. 8,31 Jahre ist also der Kontostand = 7500 €.