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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}}) + \lg (x^{4})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}}) + \lg (x^{4})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x) + 4 \lg (x)$
= $\frac{7}{2} \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (1) - \lg (\frac{1}{50} x^{2}) + \lg (2 x^{2})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (1) - \lg (\frac{1}{50} x^{2}) + \lg (2 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (1) + \lg (1) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{2})) + (\lg (2) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (1) + \lg (1) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x^{2}) + \lg (2) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (1) + 0 - \lg (\frac{1}{50}) - 2 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) + 0 - \lg (1) + \lg (50) - 2 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50 \cdot 2)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{0,2 x}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$0,2 x$	=	$\ln (y - 1)$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y - 1)$
$x$	=	$5 \ln (y - 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5 \ln (x - 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $5 \ln (x - 1)$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $52 \cdot {1,25}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $52$

f(1) = $52$ ⋅ $1,25$

f(2) = $52$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

f(3) = $52$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

f(4) = $52$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,25$ multipliziert. Da $1,25$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,25$ -fache, also auf $125$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 125% - 100% = 25 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seines Bestands. 6 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 21,68kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 4 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$ ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 21.68 kg ist, also f(6) = 21.68. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.87⁶ = 21.68

c ⋅ 0.43363 = 21.68 | : 0.43363

c = 50

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $50 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $50 \cdot {0,87}^{4}$ ≈ 28,645.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$50 \cdot {0,87}^{t}$	=	$10$	\|: $50$
${0,87}^{t}$	=	$\frac{1}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{5})$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (\frac{1}{5})$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{5})}{\lg (0,87)}$

t

=

11,5569

Nach ca. 11,557 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben