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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (100 000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $100 000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100 000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $100 000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (100 000)$ = $5$ , eben weil $10$ ^$5$ = $100 000$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 3$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 3$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 0,3 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{- 0,3 x}$ wird $e^{- 0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{- 0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- 2 e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{- 0,3 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{- 0,3 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- 2 e^{- 0,3 x}$	=	$y - 2$	\|: $- 2$
$e^{- 0,3 x}$	=	$- \frac{1}{2} y + 1$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + 1)$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} y + 1)$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} y + 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} x + 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} x + 1)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5,1% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 5.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{5.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,949 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,949.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.949( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 13.24 Tage

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 51,35 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 11 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 51.35 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 51.35. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $55 \cdot a^{t}$ ein:

$55 a^{4}$	=	$51,35$	\|: $55$
$a^{4}$	=	$0,93364$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{0,93364}$	≈ $- 0,983$
a₂	=	$\sqrt[4]{0,93364}$	≈ $0,983$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,983$ ≈ 0.983 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot {0,983}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $55 \cdot {0,983}^{11}$ ≈ 45,546.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55 \cdot {0,983}^{t}$	=	$45$	\|: $55$
${0,983}^{t}$	=	$\frac{9}{11}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,983}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{11})$
$t \cdot \lg (0,983)$	=	$\lg (\frac{9}{11})$	\|: $\lg (0,983)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{11})}{\lg (0,983)}$

t

=

11,7035

Nach ca. 11,704 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

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Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

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