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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 3 · ( e x + e -x ) vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 3 · ( e -x + e x ) = - x 3 · ( e -x + e x ) = - x 3 · e x - x 3 · e -x

Wenn man das mit f(x) = x 3 · ( e x + e -x ) vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = - x 3 · e x - x 3 · e -x gerade das Negative von f(x), also -f(x) = -( x 3 · e x + x 3 · e -x ) ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: 2 = 1 2 ⋅a = 1 2 a .

Es gilt also: 2 = 1 2 a | ⋅ 2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 ⋅ 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e 0,4x -1,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -1,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -1,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e 0,4x -1,2 können die Funktionswerte von 2 e 0,4x -1,2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e 0,4x -1,2 = y |:2
e 0,4x -1,2 = 1 2 y |ln(⋅)
0,4x -1,2 = ln( 1 2 y )
0,4x -1,2 = ln( 1 2 y ) | +1,2
0,4x = ln( 1 2 y ) +1,2 |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 2 y ) + 1,2 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( 1 2 x ) + 1,2 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( 1 2 x ) + 1,2 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5,5% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 5.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5.5% weggehen,
also Bneu = B - 5.5 100 ⋅B = (1 - 5.5 100 ) ⋅ B = 0,945 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,945.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.945( 1 2 ) ≈ 12.25 Tage

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,3% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 5 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55,2 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.3% weggehen,
also Bneu = B - 2.3 100 ⋅B = (1 - 2.3 100 ) ⋅ B = 0,977 ⋅ B. Somit ist das a=0,977.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 65⋅ 0,977 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 65⋅ 0,977 5 ≈ 57,861.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55.2 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55.2:

65⋅ 0,977 t = 55,2 |:65
0,977 t = 0,8492 |lg(⋅)
lg( 0,977 t ) = lg( 0,8492 )
t · lg( 0,977 ) = lg( 0,8492 ) |: lg( 0,977 )
t = lg( 0,8492 ) lg( 0,977 )
t = 7,0249

Nach ca. 7,025 Jahre ist also der Bestand = 55.2 Millionen Einwohner.