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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x + 1} - 2$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x + 1} - 2$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -2 addiert wird, ist der Graph von $e^{x + 1} - 2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x + 1} - 2$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x + 1} - 2$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x + 1} - 2$ gegen $0 - 2$ = $- 2$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{4}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{10} x^{4}) - \lg (\frac{1}{25})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{4}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{10} x^{4}) - \lg (\frac{1}{25})$

= $\lg (4 x^{- 4}) + \lg (\frac{1}{10} x^{4}) - \lg (\frac{1}{25})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) + (\lg (\frac{1}{10}) + \lg (x^{4})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (1))$

= $\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) - 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) - 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (10) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 0$

= $\lg (25) - \lg (10) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{10} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,4 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,4 x}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,4 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4 e^{0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{0,4 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,4 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$4 e^{0,4 x}$	=	$y - 2$	\|: $4$
$e^{0,4 x}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$
$x$	=	$\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 16% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{16}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{16}{100}$ ) ⋅ B = 0,84 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,84.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.84( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 3.98 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 10 Milionen Bakterien. 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 34,63Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 11 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 210 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 34.63 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 34.63. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $10 \cdot a^{t}$ ein:

$10 a^{6}$	=	$34,63$	\|: $10$
$a^{6}$	=	$3,463$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{3,463}$	≈ $- 1,23$
a₂	=	$\sqrt[6]{3,463}$	≈ $1,23$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,23$ ≈ 1.23 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {1,23}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $10 \cdot {1,23}^{11}$ ≈ 97,489.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 210 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 210:

$10 \cdot {1,23}^{t}$	=	$210$	\|: $10$
${1,23}^{t}$	=	$21$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,23}^{t})$	=	$\lg (21)$
$t \cdot \lg (1,23)$	=	$\lg (21)$	\|: $\lg (1,23)$
$t$	=	$\frac{\lg (21)}{\lg (1,23)}$

t

=

14,7068

Nach ca. 14,707 Stunden ist also der Bestand = 210 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben