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cosh
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Symmetrie e-Funktionen
Beispiel:
Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit vorliegt.
Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:
f(-x) = = =
Wenn man das mit f(x) = vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.
Es gilt also: f(-x) = f(x)
Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.
Term aus Graph bestimmen
Beispiel:
Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.
Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|), also gilt f(0)=.
In den allgemeinen Funktionsterm eingesezt bedeutet das: = = c ⋅ 1.
Dadurch wissen wir nun schon: c = , also .
Außerdem können wir den Punkt (1|) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = .
In unseren Funktionsterm eingesezt bedeutet das: = = .
Es gilt also: = | ⋅
4 = a
Somit ist der Funtionsterm:
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch den negativen Koeffizienten vor wird an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
prozentale Änderung bestimmen
Beispiel:
Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?
f(0) =
f(1) = ⋅
f(2) = ⋅ ⋅
f(3) = ⋅ ⋅ ⋅
f(4) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
...
Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit multipliziert. Da > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das -fache, also auf % des vorherigen Funktionswertes.
Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %
c und a gegeben
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 5%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 13 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 33 Millionen Bakterien?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):
f(8) = ≈ 19,207.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 33 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 33:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 19,093 Stunden ist also der Bestand = 33 Millionen Bakterien.
