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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5 x}) - \lg (\frac{1 250}{x^{3}}) + \lg (\frac{25}{x^{4}})$ soweit wie möglich.

$- \lg (\frac{1}{5 x}) - \lg (\frac{1 250}{x^{3}}) + \lg (\frac{25}{x^{4}})$

= $- \lg (\frac{1}{5} x^{- 1}) - \lg (1250 x^{- 3}) + \lg (25 x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x})) - (\lg (1250) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x}) - \lg (1250) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) + \lg (x) - \lg (1250) + 3 \lg (x) + \lg (25) - 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) + \lg (x) - \lg (1 250) + 3 \lg (x) + \lg (25) - 4 \lg (x)$

= $- \lg (1 250) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1250} \cdot 25 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $2$ ), also gilt f(0)= $2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $2$ , also $f(x) =$ $2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $2 \cdot a$ = $2 a$ .

Es gilt also: $4$ = $2 a$ | ⋅ $\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,3 x - 0,6} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{0,3 x - 0,6}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,3 x - 0,6}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,3 x - 0,6} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{0,3 x - 0,6}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,6$	=	$\ln (y - 3)$

$0,3 x - 0,6$	=	$\ln (y - 3)$	\| $+ 0,6$
$0,3 x$	=	$\ln (y - 3) + 0,6$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (y - 3) + \frac{0,6}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (x - 3) + \frac{0,6}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (x - 3) + \frac{0,6}{0,3}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 9,6 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 10kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 9.6 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{9,6}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[9,6]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{9,6}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{9,6}}$ ≈ 0.93, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,93}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 11402,26€. a) Wie hoch ist der Kontostand 11 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 11402.26 € ist, also f(10) = 11402.26. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $7 000 \cdot a^{t}$ ein:

$7 000 a^{10}$	=	$11 402,26$	\|: $7 000$
$a^{10}$	=	$1,62889$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{1,62889}$	= $- 1,05$
a₂	=	$\sqrt[10]{1,62889}$	= $1,05$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,05$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,05}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $7 000 \cdot {1,05}^{11}$ ≈ 11972,376.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$7 000 \cdot {1,05}^{t}$	=	$9 000$	\|: $7 000$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{9}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{7})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{9}{7})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{7})}{\lg (1,05)}$

t

=

5,1509

Nach ca. 5,151 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben