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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{4}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{4}}$ = $4^{- \frac{1}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- \frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{- \frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{- \frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{1}{2}})$ = $- \frac{1}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{4}}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4} x^{5}) + \lg (\frac{1}{80} x) + \lg (2 x^{4})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{4} x^{5}) + \lg (\frac{1}{80} x) + \lg (2 x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{5})) + (\lg (\frac{1}{80}) + \lg (x)) + (\lg (2) + \lg (x^{4}))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{5}) + \lg (\frac{1}{80}) + \lg (x) + \lg (2) + \lg (x^{4})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) - 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{80}) + \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) - 5 \lg (x) + \lg (1) - \lg (80) + \lg (x) + \lg (2) + 4 \lg (x)$

= $- \lg (80) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80} \cdot 4 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 3} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 3}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 3} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$4 e^{x - 3}$	=	$y - 3$	\|: $4$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4}) + 3$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 35 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 35 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{35}$	=	$2$	\| $\sqrt[35]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[35]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[35]{2}$ ≈ 1.02, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,02}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. 12 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 4,6 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 6,2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Jahre der Bestand 4.6 Millionen Insekten ist, also f(12) = 4.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $11 \cdot a^{t}$ ein:

$11 a^{12}$	=	$4,6$	\|: $11$
$a^{12}$	=	$\frac{4,6}{11}$	\| $\sqrt[12]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[12]{\frac{4,6}{11}}$	≈ $- 0,93$
a₂	=	$\sqrt[12]{\frac{4,6}{11}}$	≈ $0,93$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,93$ ≈ 0.93 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $11 \cdot {0,93}^{4}$ ≈ 8,229.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6.2:

$11 \cdot {0,93}^{t}$	=	$6,2$	\|: $11$
${0,93}^{t}$	=	$0,5636$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (0,5636)$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (0,5636)$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,5636)}{\lg (0,93)}$

t

=

7,9014

Nach ca. 7,901 Jahre ist also der Bestand = 6.2 Millionen Insekten.

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log berechnen (schwer)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben