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cosh
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Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.
Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch -2 addiert wird, ist der Graph von gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.
Da bei
das x von
durch ein 'x
Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
- Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
- Für x → ∞ strebt gegen .
- Für x → - ∞ strebt gegen = .
Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term soweit wie möglich.
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log() = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 35%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.
Die prozentuale Zunahme um 35% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 35% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,35 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=1,35.
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.35() ≈ 2.31 Stunden
c und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 9373,28€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.
Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 9373.28 € ist, also f(8) = 9373.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
| = | |: | ||
| = | | | ||
| a1 | = |
|
=
|
| a2 | = |
|
=
|
Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a=
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):
f(9) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:
|
|
= | |: |
|
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
Nach ca. 5,948 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.
