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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 10000000000x ) - lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 10000000000x ) - lg( x )
= lg( 10000000000 ) + lg( x ) - lg( x )
= lg( 10 10 ) + lg( x ) - lg( x )
= 10 + lg( x ) - lg( x )
= 10

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 1000 x 2 ) - lg( 1 20 x ) + lg( 50x ) soweit wie möglich.

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lg( 1 1000 x 2 ) - lg( 1 20 x ) + lg( 50x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 1000 ) + lg( x 2 ) - ( lg( 1 20 ) + lg( x ) ) + ( lg( 50 ) + lg( x ) )

= lg( 1 1000 ) + lg( x 2 ) - lg( 1 20 ) - lg( x ) + lg( 50 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 1000 ) +2 lg( x ) - lg( 1 20 ) - lg( x ) + lg( 50 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 1000 ) +2 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 20 ) - lg( x ) + lg( 50 ) + lg( x )

= 2 lg( x ) - lg( 1000 ) + lg( 50 ) + lg( 20 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 2 lg( x ) + lg( 1 1000 · 50 · 20 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 20 · 20 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 )

= 2 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e 0,2x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e 0,2x wird e 0,2x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e 0,2x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem -2 e 0,2x wird zu allen Funktionswerten von -2 e 0,2x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e 0,2x -3 = y | +3
-2 e 0,2x = y +3 |:-2
e 0,2x = - 1 2 y - 3 2 |ln(⋅)
0,2x = ln( - 1 2 y - 3 2 ) |:0,2
x = 1 0,2 ln( - 1 2 y - 3 2 )
x = 5 ln( - 1 2 y - 3 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 ln( - 1 2 x - 3 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 ln( - 1 2 x - 3 2 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,107 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,107 t ablesen: a=1.107.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.107(2) ≈ 6.82 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 17% abnimmt. 3 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 5,72 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 6 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also Bneu = B - 17 100 ⋅B = (1 - 17 100 ) ⋅ B = 0,83 ⋅ B. Somit ist das a=0,83.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,83 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 5.72 Millionen Insekten ist, also f(3) = 5.72. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,83 t ein:

c ⋅ 0.833 = 5.72

c ⋅ 0.57179 = 5.72 | : 0.57179

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,83 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 10 0,83 6 3,269.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.3:

10 0,83 t = 2,3 |:10
0,83 t = 0,23 |lg(⋅)
lg( 0,83 t ) = lg( 0,23 )
t · lg( 0,83 ) = lg( 0,23 ) |: lg( 0,83 )
t = lg( 0,23 ) lg( 0,83 )
t = 7,8875

Nach ca. 7,888 Jahre ist also der Bestand = 2.3 Millionen Insekten.