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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 4 x 3 ) + lg( 1 100 x 12 ) - lg( 1 25 x 4 ) soweit wie möglich.

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lg( 4 x 3 ) + lg( 1 100 x 12 ) - lg( 1 25 x 4 )

= lg( 4 x 3 ) + lg( 1 100 x -12 ) - lg( 1 25 x -4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 4 ) + lg( x 3 ) + ( lg( 1 100 ) + lg( 1 x 12 ) ) - ( lg( 1 25 ) + lg( 1 x 4 ) )

= lg( 4 ) + lg( x 3 ) + lg( 1 100 ) + lg( 1 x 12 ) - lg( 1 25 ) - lg( 1 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 4 ) +3 lg( x ) + lg( 1 100 ) -12 lg( x ) - lg( 1 25 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 4 ) +3 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 100 ) -12 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 25 ) +4 lg( x )

= -5 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 25 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -5 lg( x ) + lg( 1 100 · 25 · 4 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 )

= -5 lg( x )

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|2), also gilt f(0)=2.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 2 , also f(x)= 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 4.

In unseren Funktionsterm f(x)= 2 a x eingesezt bedeutet das: 4 = 2a = 2a .

Es gilt also: 4 = 2a | ⋅ 1 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e x -3 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e x -3 wird e x -3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e x -3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem -4 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von -4 e x -3 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e x -3 -2 = y | +2
-4 e x -3 = y +2 |:-4
e x -3 = - 1 4 y - 1 2 |ln(⋅)
x -3 = ln( - 1 4 y - 1 2 )
x -3 = ln( - 1 4 y - 1 2 ) | +3
x = ln( - 1 4 y - 1 2 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 4 x - 1 2 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 4 x - 1 2 ) +3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 7,3 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 7000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 7.3 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 7,3 = 2 | 7,3
a = 2 1 7,3

Das gesuchte a ist somit 2 1 7,3 ≈ 1.1, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 7000 1,1 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 109,58Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 11 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 84 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also Bneu = B + 29 100 ⋅B = (1 + 29 100 ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,29 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 109.58 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 109.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,29 t ein:

c ⋅ 1.2913 = 109.58

c ⋅ 27.39468 = 109.58 | : 27.39468

c = 4

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4 1,29 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = 4 1,29 11 65,849.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 84 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 84:

4 1,29 t = 84 |:4
1,29 t = 21 |lg(⋅)
lg( 1,29 t ) = lg( 21 )
t · lg( 1,29 ) = lg( 21 ) |: lg( 1,29 )
t = lg( 21 ) lg( 1,29 )
t = 11,9561

Nach ca. 11,956 Stunden ist also der Bestand = 84 Millionen Bakterien.