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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (16)$ = $2$ , eben weil $4$ ^$2$ = $16$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25} x^{4}) + \lg (\frac{1}{1250} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50} x)$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{25} x^{4}) + \lg (\frac{1}{1250} x^{3}) - \lg (\frac{1}{50} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{1250}) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) - 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1250}) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) - 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (1 250) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) - \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (1 250) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 250} \cdot 50 \cdot 25)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{0,3 x - 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{0,3 x - 0,3}$ wird $e^{0,3 x - 0,3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{0,3 x - 0,3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{0,3 x - 0,3}$	=	$y$	\|: $- 1$
$e^{0,3 x - 0,3}$	=	$- 1 y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (- y)$

$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (- y)$	\| $+ 0,3$
$0,3 x$	=	$\ln (- y) + 0,3$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (- y) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (- x) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (- x) + \frac{0,3}{0,3}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,8 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.8 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{3,8}$	=	$2$	\| $\sqrt[3,8]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{3,8}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{3,8}}$ ≈ 1.2, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,2}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14% seines Bestands. 6 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 40,46kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 13 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$ ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,86}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 40.46 kg ist, also f(6) = 40.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,86}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.86⁶ = 40.46

c ⋅ 0.40457 = 40.46 | : 0.40457

c = 100

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $100 \cdot {0,86}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $100 \cdot {0,86}^{13}$ ≈ 14,076.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$100 \cdot {0,86}^{t}$	=	$10$	\|: $100$
${0,86}^{t}$	=	$\frac{1}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,86}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{10})$
$t \cdot \lg (0,86)$	=	$\lg (\frac{1}{10})$	\|: $\lg (0,86)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{10})}{\lg (0,86)}$

t

=

15,2668

Nach ca. 15,267 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

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log berechnen (einfach)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben