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Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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log berechnen
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Wir suchen den Logarithmus von
Also was muss in das Kästchen, damit
An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag
des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als
Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:
Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Auch mit dem positiven Koeffizienten
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|: |
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|
= |
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|ln(⋅) |
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= |
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|: |
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= |
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|
|
|
= |
|
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 10% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?
Die prozentuale Zunahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 10% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.1(
c und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. 10 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 5,32 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,6 Millionen dieser Insekten?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 5.32 Millionen Insekten ist,
also f(10) = 5.32. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
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= | |: |
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= | |
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| a1 | = |
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≈
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| a2 | = |
|
≈
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Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a=
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):
f(5) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.6:
|
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
|
Nach ca. 12,013 Jahre ist also der Bestand = 4.6 Millionen Insekten.
