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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{5} (\frac{1}{102})$ liegt.

Wir suchen $5$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{102}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{102}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{125}$ = $\frac{1}{5^{3}}$ = 5^-3 < $\frac{1}{102}$ und auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2 > $\frac{1}{102}$ .

Und da wir bei $\log_{5} (\frac{1}{102})$ ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{102}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
5^-3 = $\frac{1}{5^{3}}$ = $\frac{1}{125}$ < $\frac{1}{102}$ < $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^{2}}$ = 5^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{5} (\frac{1}{102})$ < -2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{20} x^{2}) + \lg (4 x^{2}) + \lg (5 x)$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{20} x^{2}) + \lg (4 x^{2}) + \lg (5 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{2}) + (\lg (4) + \lg (x^{2})) + (\lg (5) + \lg (x))$

= $\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (x^{2}) + \lg (5) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20}) + 2 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (5) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (20) + 2 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x) + \lg (5) + \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (20) + \lg (5) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 5 \cdot 4)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,4 x + 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$y$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (y)$

$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (y)$	\| $- 0,4$
$- 0,4 x$	=	$\ln (y) - 0,4$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (y) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (x) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (x) + \frac{0,4}{0,4}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $191 \cdot {1,4}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $191$

f(1) = $191$ ⋅ $1,4$

f(2) = $191$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

f(3) = $191$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

f(4) = $191$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,4$ multipliziert. Da $1,4$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,4$ -fache, also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 5474,28€. a) Wie hoch ist der Kontostand 10 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 4900€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 5474.28 € ist, also f(8) = 5474.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ ein:

$4 000 a^{8}$	=	$5 474,28$	\|: $4 000$
$a^{8}$	=	$1,36857$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{1,36857}$	= $- 1,04$
a₂	=	$\sqrt[8]{1,36857}$	= $1,04$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,04$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $4 000 \cdot {1,04}^{10}$ ≈ 5920,977.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4900 € ist, also f(t) = 4900:

$4 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$4 900$	\|: $4 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{49}{40}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{49}{40})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{49}{40})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{49}{40})}{\lg (1,04)}$

t

=

5,1743

Nach ca. 5,174 Jahre ist also der Kontostand = 4900 €.

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log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben