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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 100 ( 1 10 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 10 um: 1 10 = 10 -1

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis 100 suchen und 100 gerade 10² ist (also 10 = 100 = 100 1 2 ), formen wir 10 -1 noch so um, dass sie 100 als Basis hat:

10 -1 = ( 100 1 2 ) -1 = 100 - 1 2

log 100 ( 1 10 ) = log 100 ( 10 -1 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 10 -1 = 100 - 1 2 zur Basis 100 suchen, also die Hochzahl mit der man 100 potenzieren muss, um auf 10 -1 = 100 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 100☐ = 10 -1 = 100 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 100 ( 1 10 ) = log 100 ( 10 -1 ) = log 100 ( 100 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 100 - 1 2 = 1 10 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ( x - k ) · e x - 1 2 k -2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm ( x - k ) · e x - 1 2 k = 0 wird, wenn x - k = 0 ist, also für x = k .
    Dann muss ja der y-Wert fk( k ) = ( ( k ) - k ) · e ( k ) - 1 2 k -2 = 0 -2 = -2 sein.
    Da bei x = k bei ( x - k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( k | -2 ) im abgebildeten Graph bei P(1| -2 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit k = 1
    Also gilt k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,4x +0,8 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +0,8 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +0,8 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e -0,4x +0,8 wird zu allen Funktionswerten von e -0,4x +0,8 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,4x +0,8 +1 = y | -1
e -0,4x +0,8 = y -1 |ln(⋅)
-0,4x +0,8 = ln( y -1 )
-0,4x +0,8 = ln( y -1 ) | -0,8
-0,4x = ln( y -1 ) -0,8 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( y -1 ) + 0,8 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( x -1 ) + 0,8 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( x -1 ) + 0,8 0,4

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 98⋅ 1,4 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 98

f(1) = 98 ⋅ 1,4

f(2) = 98 ⋅ 1,4 ⋅ 1,4

f(3) = 98 ⋅ 1,4 ⋅ 1,4 ⋅ 1,4

f(4) = 98 ⋅ 1,4 ⋅ 1,4 ⋅ 1,4 ⋅ 1,4

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,4 multipliziert. Da 1,4 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,4-fache, also auf 140 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 9% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 10 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,7 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also Bneu = B - 9 100 ⋅B = (1 - 9 100 ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 11⋅ 0,91 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = 11⋅ 0,91 10 ≈ 4,284.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.7:

11⋅ 0,91 t = 2,7 |:11
0,91 t = 0,2455 |lg(⋅)
lg( 0,91 t ) = lg( 0,2455 )
t · lg( 0,91 ) = lg( 0,2455 ) |: lg( 0,91 )
t = lg( 0,2455 ) lg( 0,91 )
t = 14,8918

Nach ca. 14,892 Jahre ist also der Bestand = 2.7 Millionen Insekten.