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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 2 (56) liegt.

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Wir suchen 2er-Potenzen in der Näher von 56, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 56 ist.

Dabei kommt man auf 2 5 = 25 < 56 und auf 2 6 = 26 > 56.

Und da wir bei log 2 (56) ja das ☐ von 2 = 56 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
25 = 2 5 < 56 < 2 6 = 26

Es gilt somit: 5 < log 2 (56) < 6

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k e k x + k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann k e k x + k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x + k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm k e k x + k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei 2 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x + k = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x + k = 0 | - ( k )
    k x = - k |:( k )
    x = -1
    Wenn wir nun -1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(-1 ) = k e k ( -1 ) + k +2 = k +2
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(-1 ) = 0 ablesen, es gilt somit:
    k +2 = 0 | -2
    k = -2

Der abgebildete Graph ist somit der von f-2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,4x -0,8 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -0,8 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -0,8 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e 0,4x -0,8 wird zu allen Funktionswerten von e 0,4x -0,8 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,4x -0,8 +3 = y | -3
e 0,4x -0,8 = y -3 |ln(⋅)
0,4x -0,8 = ln( y -3 )
0,4x -0,8 = ln( y -3 ) | +0,8
0,4x = ln( y -3 ) +0,8 |:0,4
x = 1 0,4 ln( y -3 ) + 0,8 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( x -3 ) + 0,8 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( x -3 ) + 0,8 0,4

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 166 0,6 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 166

f(1) = 166 0,6

f(2) = 166 0,60,6

f(3) = 166 0,60,60,6

f(4) = 166 0,60,60,60,6

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,6 multipliziert. Da 0,6 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,6-fache, also auf 60 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 5000 Nutzer. Nach 5 Wochen zählt man bereits 10501,71 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 14000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 5000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 10501.71 Nutzer ist, also f(5) = 10501.71. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 5000 a t ein:

5000 a 5 = 10501,71 |:5000
a 5 = 2,10034 | 5
a = 2,10034 5

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 2,10034 5 ≈ 1.16 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5000 1,16 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = 5000 1,16 9 19014,806.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 14000 Nutzer ist, also f(t) = 14000:

5000 1,16 t = 14000 |:5000
1,16 t = 14 5 |lg(⋅)
lg( 1,16 t ) = lg( 14 5 )
t · lg( 1,16 ) = lg( 14 5 ) |: lg( 1,16 )
t = lg( 14 5 ) lg( 1,16 )
t = 6,9372

Nach ca. 6,937 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 14000 Nutzer.