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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 ( 3 ) .

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Zuerst schreiben wir 3 um: 3 = 3 1 2

log 3 ( 3 ) = log 3 ( 3 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 3 1 2 zur Basis 3 suchen, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 3 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3☐ = 3 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 3 ( 3 ) = log 3 ( 3 1 2 ) = 1 2 , eben weil 3 1 2 = 3 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 1.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: 1 = 1 2 ⋅a = 1 2 a .

Es gilt also: 1 = 1 2 a | ⋅ 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 ⋅ 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +0,3 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e -0,1x +0,3 wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x +0,3 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +0,3 -1 = y | +1
e -0,1x +0,3 = y +1 |ln(⋅)
-0,1x +0,3 = ln( y +1 )
-0,1x +0,3 = ln( y +1 ) | -0,3
-0,1x = ln( y +1 ) -0,3 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( y +1 ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( x +1 ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( x +1 ) + 0,3 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6,1% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 6.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6.1% dazukommen,
also Bneu = B + 6.1 100 ⋅B = (1 + 6.1 100 ) ⋅ B = 1,061 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,061.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.061(2) ≈ 11.71 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 24% vermehrt. Nach 6 Wochen zählt man bereits 25446,51 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 4 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 57000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 24% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 24% dazukommen,
also Bneu = B + 24 100 ⋅B = (1 + 24 100 ) ⋅ B = 1,24 ⋅ B. Somit ist das a=1,24.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,24 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 25446.51 Nutzer ist, also f(6) = 25446.51. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,24 t ein:

c ⋅ 1.246 = 25446.51

c ⋅ 3.63522 = 25446.51 | : 3.63522

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 7000⋅ 1,24 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = 7000⋅ 1,24 4 ≈ 16549,496.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 57000 Nutzer ist, also f(t) = 57000:

7000⋅ 1,24 t = 57000 |:7000
1,24 t = 57 7 |lg(⋅)
lg( 1,24 t ) = lg( 57 7 )
t · lg( 1,24 ) = lg( 57 7 ) |: lg( 1,24 )
t = lg( 57 7 ) lg( 1,24 )
t = 9,7491

Nach ca. 9,749 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 57000 Nutzer.