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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 3 · ( e x - e -x ) vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 3 · ( e -x - e x ) = - x 3 · ( e -x - e x ) = x 3 · e x - x 3 · e -x

Wenn man das mit f(x) = x 3 · ( e x - e -x ) = x 3 · e x - x 3 · e -x vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - k x · e k x - k +3 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm - k x · e k x - k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = - k · 0 · e k 0 - k +3 k = 3 k = 3
    3k = 3 |:3
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e x -1 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e x -1 können die Funktionswerte von 4 e x -1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem 4 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von 4 e x -1 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e x -1 +3 = y | -3
4 e x -1 = y -3 |:4
e x -1 = 1 4 y - 3 4 |ln(⋅)
x -1 = ln( 1 4 y - 3 4 )
x -1 = ln( 1 4 y - 3 4 ) | +1
x = ln( 1 4 y - 3 4 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 4 x - 3 4 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 4 x - 3 4 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also Bneu = B + 32 100 ⋅B = (1 + 32 100 ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,32.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.32(2) ≈ 2.5 Stunden

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Nach 12 Wochen zählt man bereits 23744,11 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 14000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also Bneu = B + 16 100 ⋅B = (1 + 16 100 ) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,16 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 23744.11 Nutzer ist, also f(12) = 23744.11. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,16 t ein:

c ⋅ 1.1612 = 23744.11

c ⋅ 5.93603 = 23744.11 | : 5.93603

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4000 1,16 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = 4000 1,16 5 8401,367.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 14000 Nutzer ist, also f(t) = 14000:

4000 1,16 t = 14000 |:4000
1,16 t = 7 2 |lg(⋅)
lg( 1,16 t ) = lg( 7 2 )
t · lg( 1,16 ) = lg( 7 2 ) |: lg( 1,16 )
t = lg( 7 2 ) lg( 1,16 )
t = 8,4407

Nach ca. 8,441 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 14000 Nutzer.