Mathebattle EduRandomtasks

log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k} + 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x + k) \cdot e^{x + \frac{1}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + k$ = 0 ist, also für x = $- 1 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 1 k$ ) = $((- 1 k) + k) \cdot e^{(- 1 k) + \frac{1}{2} k} + 2$ = $0 + 2$ = $2$ sein.
Da bei x = $- 1 k$ bei ( $x + k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 1 k$ | $2$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $2$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 1 k$ = 1
Also gilt k = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,4} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{- 0,2 x + 0,4}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,2 x + 0,4}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,4} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{- 0,2 x + 0,4}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (y - 3)$

$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (y - 3)$	\| $- 0,4$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y - 3) - 0,4$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y - 3) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x - 3) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x - 3) + \frac{0,4}{0,2}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $73 \cdot {1,15}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $73$

f(1) = $73$ ⋅ $1,15$

f(2) = $73$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

f(3) = $73$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

f(4) = $73$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$ ⋅ $1,15$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,15$ multipliziert. Da $1,15$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,15$ -fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 12% vermehrt. Nach 5 Wochen zählt man bereits 7049,37 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 10000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$ ) ⋅ B = 1,12 ⋅ B. Somit ist das a=1,12.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,12}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 7049.37 Nutzer ist, also f(5) = 7049.37. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,12}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.12⁵ = 7049.37

c ⋅ 1.76234 = 7049.37 | : 1.76234

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,12}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $4 000 \cdot {1,12}^{8}$ ≈ 9903,853.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer ist, also f(t) = 10000:

$4 000 \cdot {1,12}^{t}$	=	$10 000$	\|: $4 000$
${1,12}^{t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,12}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{2})$
$t \cdot \lg (1,12)$	=	$\lg (\frac{5}{2})$	\|: $\lg (1,12)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{2})}{\lg (1,12)}$

t

=

8,0852

Nach ca. 8,085 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen (einfach)

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben