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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt{10 000 000})$ .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{10 000 000}$ um: $\sqrt{10 000 000}$ = ${10 000 000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $10 000 000$ eine Potenz ist: $10 000 000$ = $10^{7}$

Also schreiben wir $\sqrt{10 000 000}$ = ${10 000 000}^{\frac{1}{2}}$ = ${(10^{7})}^{\frac{1}{2}}$ = $10^{\frac{7}{2}}$

$\log_{10} (\sqrt{10 000 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{7}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $10^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{10} (\sqrt{10 000 000})$ = $\log_{10} (10^{\frac{7}{2}})$ = $\frac{7}{2}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{7}{2}$} = $\sqrt{10 000 000}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1 000}{x^{3}}) + \lg (50) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1 000}{x^{3}}) + \lg (50) + \lg (20 x^{2})$

= $- \lg (1000 x^{- 3}) + \lg (50) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (1000) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (50) + \lg (1)) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (1000) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (50) + \lg (1) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (1000) + 3 \lg (x) + \lg (50) + 0 + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1 000) + 3 \lg (x) + \lg (50) + 0 + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $5 \lg (x) - \lg (1 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $5 \lg (x) + \lg (1)$

= $5 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{- 0,2 x + 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{- 0,2 x + 0,4}$ wird $e^{- 0,2 x + 0,4}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{- 0,2 x + 0,4}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{- 0,2 x + 0,4}$	=	$y$	\|: $- 1$
$e^{- 0,2 x + 0,4}$	=	$- 1 y$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (- y)$

$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (- y)$	\| $- 0,4$
$- 0,2 x$	=	$\ln (- y) - 0,4$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (- y) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (- x) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (- x) + \frac{0,4}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,069}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,069}^{t}$ ablesen: a=1.069.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.069( $2$ ) ≈ 10.39 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 57,74 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 10 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 57.74 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 57.74. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ ein:

$60 a^{2}$	=	$57,74$	\|: $60$
$a^{2}$	=	$0,96233$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{0,96233}$	≈ $- 0,981$
a₂	=	$\sqrt{0,96233}$	≈ $0,981$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,981$ ≈ 0.981 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,981}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $60 \cdot {0,981}^{10}$ ≈ 49,527.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$60 \cdot {0,981}^{t}$	=	$50$	\|: $60$
${0,981}^{t}$	=	$\frac{5}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,981}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{6})$
$t \cdot \lg (0,981)$	=	$\lg (\frac{5}{6})$	\|: $\lg (0,981)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{6})}{\lg (0,981)}$

t

=

9,5044

Nach ca. 9,504 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.

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Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben