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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[3]{10})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als $10^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{3}}$

$\log_{10} (\sqrt[3]{10})$ = $\frac{1}{3}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $e^{\frac{6}{10} x - 2 k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{6}{10} x - 2 k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $3 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $3 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 5, somit muss $3 k$ = 5 gelten;
Also gilt k = $\frac{5}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{5}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{0,1 x - 0,1}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{0,1 x - 0,1}$ wird $e^{0,1 x - 0,1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{0,1 x - 0,1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{0,1 x - 0,1}$	=	$y$	\|: $- 2$
$e^{0,1 x - 0,1}$	=	$- \frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,1$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$

$0,1 x - 0,1$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$	\| $+ 0,1$
$0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y) + 0,1$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{2} y) + \frac{0,1}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,1}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,1}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 4% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.96( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 16.98 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5% seines Bestands. 2 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 18,05kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 11 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 16,3kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,95}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 18.05 kg ist, also f(2) = 18.05. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,95}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.95² = 18.05

c ⋅ 0.9025 = 18.05 | : 0.9025

c = 20

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {0,95}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $20 \cdot {0,95}^{11}$ ≈ 11,376.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 16.3 kg ist, also f(t) = 16.3:

$20 \cdot {0,95}^{t}$	=	$16,3$	\|: $20$
${0,95}^{t}$	=	$0,815$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,95}^{t})$	=	$\lg (0,815)$
$t \cdot \lg (0,95)$	=	$\lg (0,815)$	\|: $\lg (0,95)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,815)}{\lg (0,95)}$

t

=

3,9882

Nach ca. 3,988 Tage ist also der Bestand = 16.3 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben