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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (5 x^{2}) + \lg (5 x^{4}) + \lg (\frac{1}{250 x^{6}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (5 x^{2}) + \lg (5 x^{4}) + \lg (\frac{1}{250 x^{6}})$

= $\lg (5 x^{2}) + \lg (5 x^{4}) + \lg (\frac{1}{250} x^{- 6})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) + (\lg (5) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{1}{250}) + \lg (\frac{1}{x^{6}}))$

= $\lg (5) + \lg (x^{2}) + \lg (5) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{250}) + \lg (\frac{1}{x^{6}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (5) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{250}) - 6 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (5) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (250) - 6 \lg (x)$

= $- \lg (250) + \lg (5) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250} \cdot 5 \cdot 5)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{1250} x^{4}) + \lg (50 x^{2}) - \lg (\frac{1}{25} x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{1250} x^{4}) + \lg (50 x^{2}) - \lg (\frac{1}{25} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (x^{4}) + (\lg (50) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (x^{4}) + \lg (50) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1250}) + 4 \lg (x) + \lg (50) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (1 250) + 4 \lg (x) + \lg (50) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - 3 \lg (x)$

= $3 \lg (x) - \lg (1 250) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 250} \cdot 50 \cdot 25)$

= $3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $3 \lg (x) + \lg (1)$

= $3 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,3 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,3 x}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,3 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $4 e^{0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{0,3 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,3 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$4 e^{0,3 x}$	=	$y + 2$	\|: $4$
$e^{0,3 x}$	=	$\frac{1}{4} y + \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$0,3 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$
$x$	=	$\frac{10}{3} \ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3} \ln (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{10}{3} \ln (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$ ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,29.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.29( $2$ ) ≈ 2.72 Stunden

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seines Bestands. 10 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 19,94kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B. Somit ist das a=0,96.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,96}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 19.94 kg ist, also f(10) = 19.94. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,96}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.96¹⁰ = 19.94

c ⋅ 0.66483 = 19.94 | : 0.66483

c = 30

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot {0,96}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $30 \cdot {0,96}^{8}$ ≈ 21,642.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$30 \cdot {0,96}^{t}$	=	$20$	\|: $30$
${0,96}^{t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,96}^{t})$	=	$\lg (\frac{2}{3})$
$t \cdot \lg (0,96)$	=	$\lg (\frac{2}{3})$	\|: $\lg (0,96)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{2}{3})}{\lg (0,96)}$

t

=

9,9325

Nach ca. 9,933 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

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Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben