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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -3 +3 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -3 +3 zu jedem Funktionswert von e x noch 3 addiert wird, ist der Graph von e x -3 +3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei e x -3 +3 das x von e x durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt e x -3 +3 gegen ∞ .
  • Für x → - ∞ strebt e x -3 +3 gegen 0 +3 = 3 .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - k x · e k x - k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm - k x · e k x - k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|1) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = - k · 0 · e k ⋅0 - k + k = k = 1
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,1x -0,3 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e 0,1x -0,3 wird zu allen Funktionswerten von e 0,1x -0,3 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,1x -0,3 +3 = y | -3
e 0,1x -0,3 = y -3 |ln(⋅)
0,1x -0,3 = ln( y -3 )
0,1x -0,3 = ln( y -3 ) | +0,3
0,1x = ln( y -3 ) +0,3 |:0,1
x = 1 0,1 ln( y -3 ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( x -3 ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( x -3 ) + 0,3 0,1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 36⋅ 0,9 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 36

f(1) = 36 ⋅ 0,9

f(2) = 36 ⋅ 0,9 ⋅ 0,9

f(3) = 36 ⋅ 0,9 ⋅ 0,9 ⋅ 0,9

f(4) = 36 ⋅ 0,9 ⋅ 0,9 ⋅ 0,9 ⋅ 0,9

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,9 multipliziert. Da 0,9 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,9-fache, also auf 90 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. 7 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 4,52 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 11 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 13⋅ a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Jahre der Bestand 4.52 Millionen Insekten ist, also f(7) = 4.52. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 13⋅ a t ein:

13 a 7 = 4,52 |:13
a 7 = 4,52 13 | ⋅7
a = 4,52 13 7

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 4,52 13 7 ≈ 0.86 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13⋅ 0,86 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = 13⋅ 0,86 11 ≈ 2,474.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

13⋅ 0,86 t = 3 |:13
0,86 t = 3 13 |lg(⋅)
lg( 0,86 t ) = lg( 3 13 )
t · lg( 0,86 ) = lg( 3 13 ) |: lg( 0,86 )
t = lg( 3 13 ) lg( 0,86 )
t = 9,7222

Nach ca. 9,722 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.