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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{64}})$ .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{64}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{64}}$ = $64^{- \frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^{3}$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{64}}$ = $64^{- \frac{1}{2}}$ = ${(4^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ = $4^{- \frac{3}{2}}$

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{64}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{- \frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{- \frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{- \frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{64}})$ = $\log_{4} (4^{- \frac{3}{2}})$ = $- \frac{3}{2}$ , eben weil $4$ ^{$- \frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{64}}$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{x - 1} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{x - 1}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{x - 1} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- e^{x - 1}$	=	$y + 2$	\|: $- 1$
$e^{x - 1}$	=	$- y - 2$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- y - 2)$

$x - 1$	=	$\ln (- y - 2)$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- y - 2) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- x - 2) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- x - 2) + 1$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$ ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,88.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.88( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 5.42 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 11% abnimmt. 9 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 4,2 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 10 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,3 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,89}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Jahre der Bestand 4.2 Millionen Insekten ist, also f(9) = 4.2. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,89}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.89⁹ = 4.2

c ⋅ 0.35036 = 4.2 | : 0.35036

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,89}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $12 \cdot {0,89}^{10}$ ≈ 3,742.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.3:

$12 \cdot {0,89}^{t}$	=	$2,3$	\|: $12$
${0,89}^{t}$	=	$0,1917$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,89}^{t})$	=	$\lg (0,1917)$
$t \cdot \lg (0,89)$	=	$\lg (0,1917)$	\|: $\lg (0,89)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,1917)}{\lg (0,89)}$

t

=

14,1746

Nach ca. 14,175 Jahre ist also der Bestand = 2.3 Millionen Insekten.

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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

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