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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 11 ( 11 ) .

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Zuerst schreiben wir 11 um: 11 = 11 1 2

log 11 ( 11 ) = log 11 ( 11 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 11 1 2 zur Basis 11 suchen, also die Hochzahl mit der man 11 potenzieren muss, um auf 11 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 11 = 11 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 11 ( 11 ) = log 11 ( 11 1 2 ) = 1 2 , eben weil 11 1 2 = 11 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 125 x 3 ) - lg( 1 5 x 2 ) + lg( 25 x 3 ) soweit wie möglich.

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- lg( 125 x 3 ) - lg( 1 5 x 2 ) + lg( 25 x 3 )

= - lg( 125 x -3 ) - lg( 1 5 x 2 ) + lg( 25 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 125 ) + lg( 1 x 3 ) ) - ( lg( 1 5 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 25 ) + lg( x 3 ) )

= - lg( 125 ) - lg( 1 x 3 ) - lg( 1 5 ) - lg( x 2 ) + lg( 25 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 125 ) +3 lg( x ) - lg( 1 5 ) -2 lg( x ) + lg( 25 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 125 ) +3 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 5 ) -2 lg( x ) + lg( 25 ) +3 lg( x )

= 4 lg( x ) - lg( 125 ) + lg( 25 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 4 lg( x ) + lg( 1 125 · 25 · 5 )

= 4 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= 4 lg( x ) + lg( 1 )

= 4 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e 0,4x +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e 0,4x können die Funktionswerte von 3 e 0,4x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem 3 e 0,4x wird zu allen Funktionswerten von 3 e 0,4x noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e 0,4x +3 = y | -3
3 e 0,4x = y -3 |:3
e 0,4x = 1 3 y -1 |ln(⋅)
0,4x = ln( 1 3 y -1 ) |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 3 y -1 )
x = 5 2 ln( 1 3 y -1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 2 ln( 1 3 x -1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 2 ln( 1 3 x -1 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,904 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,904 t ablesen: a=0.904.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.904( 1 2 ) ≈ 6.87 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. 6 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 8492,16€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 8800€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also Bneu = B + 1 100 ⋅B = (1 + 1 100 ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,01 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 8492.16 € ist, also f(6) = 8492.16. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,01 t ein:

c ⋅ 1.016 = 8492.16

c ⋅ 1.06152 = 8492.16 | : 1.06152

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 8000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 8000 1,01 7 8577,083.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8800 € ist, also f(t) = 8800:

8000 1,01 t = 8800 |:8000
1,01 t = 11 10 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 11 10 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 11 10 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 11 10 ) lg( 1,01 )
t = 9,5786

Nach ca. 9,579 Jahre ist also der Kontostand = 8800 €.