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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (1 000 000 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (1 000 000 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (1 000 000) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10^{6}) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $6 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 6$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{800 x^{2}}) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{800 x^{2}}) + \lg (20 x^{2})$

= $- \lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{800} x^{- 2}) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (1)) + (\lg (\frac{1}{800}) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $- \lg (\frac{1}{4}) - \lg (1) + \lg (\frac{1}{800}) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{4}) + 0 + \lg (\frac{1}{800}) - 2 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (4) + 0 + \lg (1) - \lg (800) - 2 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (800) + \lg (20) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800} \cdot 20 \cdot 4)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,3 x - 0,9} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{0,3 x - 0,9}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,3 x - 0,9}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,3 x - 0,9} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{0,3 x - 0,9}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (y - 2)$

$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (y - 2)$	\| $+ 0,9$
$0,3 x$	=	$\ln (y - 2) + 0,9$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (y - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (x - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (x - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 20 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 22,8 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 22.8 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{22,8}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[22,8]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $- 0,97$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $0,97$

Das gesuchte a ist somit $0,97$ ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {0,97}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7% verzinst. Zu Beginn sind 6000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 13 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 10000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 1,07 ⋅ B. Somit ist das a=1,07.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,07}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $6 000 \cdot {1,07}^{13}$ ≈ 14459,07.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10000 € ist, also f(t) = 10000:

$6 000 \cdot {1,07}^{t}$	=	$10 000$	\|: $6 000$
${1,07}^{t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,07}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{3})$
$t \cdot \lg (1,07)$	=	$\lg (\frac{5}{3})$	\|: $\lg (1,07)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{3})}{\lg (1,07)}$

t

=

7,55

Nach ca. 7,55 Jahre ist also der Kontostand = 10000 €.

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben