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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -2 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -2 das x von e x durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt e x -2 gegen .
  • Für x → - ∞ strebt e x -2 gegen 0 .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 2 x 3 ) + lg( 2 x 2 ) + lg( 1 40 x ) soweit wie möglich.

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lg( 2 x 3 ) + lg( 2 x 2 ) + lg( 1 40 x )

= lg( 2 x 3 ) + lg( 2 x -2 ) + lg( 1 40 x -1 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 2 ) + lg( x 3 ) + ( lg( 2 ) + lg( 1 x 2 ) ) + ( lg( 1 40 ) + lg( 1 x ) )

= lg( 2 ) + lg( x 3 ) + lg( 2 ) + lg( 1 x 2 ) + lg( 1 40 ) + lg( 1 x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 2 ) +3 lg( x ) + lg( 2 ) -2 lg( x ) + lg( 1 40 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 2 ) +3 lg( x ) + lg( 2 ) -2 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 40 ) - lg( x )

= - lg( 40 ) + lg( 2 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 40 · 2 · 2 )

= lg( 1 10 )

= lg( 10 -1 )

= -1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e -0,1x +0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e -0,1x +0,3 können die Funktionswerte von 4 e -0,1x +0,3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e -0,1x +0,3 = y |:4
e -0,1x +0,3 = 1 4 y |ln(⋅)
-0,1x +0,3 = ln( 1 4 y )
-0,1x +0,3 = ln( 1 4 y ) | -0,3
-0,1x = ln( 1 4 y ) -0,3 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( 1 4 y ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( 1 4 x ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( 1 4 x ) + 0,3 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,054 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,054 t ablesen: a=1.054.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.054(2) ≈ 13.18 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 15% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 10,9kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 5 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also Bneu = B - 15 100 ⋅B = (1 - 15 100 ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,85 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 10.9 kg ist, also f(8) = 10.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,85 t ein:

c ⋅ 0.858 = 10.9

c ⋅ 0.27249 = 10.9 | : 0.27249

c = 40

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 40 0,85 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = 40 0,85 5 17,748.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

40 0,85 t = 10 |:40
0,85 t = 1 4 |lg(⋅)
lg( 0,85 t ) = lg( 1 4 )
t · lg( 0,85 ) = lg( 1 4 ) |: lg( 0,85 )
t = lg( 1 4 ) lg( 0,85 )
t = 8,53

Nach ca. 8,53 Tage ist also der Bestand = 10 kg.