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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{25} (125)$ .

Man kann erkennen, dass $125$ eine Potenz ist: $125$ = $5^{3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = $25^{\frac{1}{2}}$ ), formen wir $5^{3}$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5^{3}$ = ${(25^{\frac{1}{2}})}^{3}$ = $25^{\frac{3}{2}}$

$\log_{25} (125)$ heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{3}$ = $25^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5^{3}$ = $25^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$ ^☐ = $5^{3}$ = $25^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{25} (125)$ = $\log_{25} (25^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $25$ ^{$\frac{3}{2}$} = $125$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- (x + 3 k) \cdot e^{x + \frac{3}{2} k} - 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- (x + 3 k) \cdot e^{x + \frac{3}{2} k}$ = 0 wird, wenn $x + 3 k$ = 0 ist, also für x = $- 3 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 3 k$ ) = $- ((- 3 k) + 3 k) \cdot e^{(- 3 k) + \frac{3}{2} k} - 2$ = $0 - 2$ = $- 2$ sein.
Da bei x = $- 3 k$ bei ( $x + 3 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 3 k$ | $- 2$ ) im abgebildeten Graph bei P(5| $- 2$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 3 k$ = 5
Also gilt k = $- \frac{5}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{5}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,3 x} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,3 x}$ wird $e^{- 0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- 3 e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{- 0,3 x}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,3 x} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- 3 e^{- 0,3 x}$	=	$y + 1$	\|: $- 3$
$e^{- 0,3 x}$	=	$- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{3} x - \frac{1}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{3} x - \frac{1}{3})$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $166 \cdot {0,6}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $166$

f(1) = $166$ ⋅ $0,6$

f(2) = $166$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(3) = $166$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(4) = $166$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,6$ multipliziert. Da $0,6$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,6$ -fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 100kg vorhanden. Nach 2 Tagen nach sind nur noch 79,21kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 5 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $100 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 79.21 kg ist, also f(2) = 79.21. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $100 \cdot a^{t}$ ein:

$100 a^{2}$	=	$79,21$	\|: $100$
$a^{2}$	=	$0,7921$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{0,7921}$	= $- 0,89$
a₂	=	$\sqrt{0,7921}$	= $0,89$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,89$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $100 \cdot {0,89}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $100 \cdot {0,89}^{5}$ ≈ 55,841.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$100 \cdot {0,89}^{t}$	=	$40$	\|: $100$
${0,89}^{t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,89}^{t})$	=	$\lg (\frac{2}{5})$
$t \cdot \lg (0,89)$	=	$\lg (\frac{2}{5})$	\|: $\lg (0,89)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{2}{5})}{\lg (0,89)}$

t

=

7,8629

Nach ca. 7,863 Tage ist also der Bestand = 40 kg.

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log berechnen (schwer)

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

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