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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{2}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{x}) + 4 \lg (\frac{1}{x^{2}})$
= $\lg (x^{- 2}) + \lg (x^{- 1}) + 4 \lg (x^{- 2})$
= $- 2 \lg (x) - \lg (x) - 8 \lg (x)$
= $- 11 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $2$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 3} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 3} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$4 e^{x - 3}$	=	$y - 2$	\|: $4$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 3$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $59 \cdot {1,25}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $59$

f(1) = $59$ ⋅ $1,25$

f(2) = $59$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

f(3) = $59$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

f(4) = $59$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,25$ multipliziert. Da $1,25$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,25$ -fache, also auf $125$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 125% - 100% = 25 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seines Bestands. 10 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 3,12kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 3,9kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,89}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 3.12 kg ist, also f(10) = 3.12. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,89}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.89¹⁰ = 3.12

c ⋅ 0.31182 = 3.12 | : 0.31182

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,89}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $10 \cdot {0,89}^{8}$ ≈ 3,937.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.9 kg ist, also f(t) = 3.9:

$10 \cdot {0,89}^{t}$	=	$3,9$	\|: $10$
${0,89}^{t}$	=	$0,39$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,89}^{t})$	=	$\lg (0,39)$
$t \cdot \lg (0,89)$	=	$\lg (0,39)$	\|: $\lg (0,89)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,39)}{\lg (0,89)}$

t

=

8,0801

Nach ca. 8,08 Tage ist also der Bestand = 3.9 kg.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben