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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (200)$ + $\lg (5)$ .

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$\lg (200)$ + $\lg (5)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200 \cdot 5)$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= 3

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{50} x^{2}) + \lg (\frac{25}{x^{3}}) + \lg (20 x)$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{50} x^{2}) + \lg (\frac{25}{x^{3}}) + \lg (20 x)$

= $\lg (\frac{1}{50} x^{2}) + \lg (25 x^{- 3}) + \lg (20 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{2}) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (20) + \lg (x))$

= $\lg (\frac{1}{50}) + \lg (x^{2}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (20) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}) + 2 \lg (x) + \lg (25) - 3 \lg (x) + \lg (20) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (50) + 2 \lg (x) + \lg (25) - 3 \lg (x) + \lg (20) + \lg (x)$

= $- \lg (50) + \lg (25) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50} \cdot 25 \cdot 20)$

= $\lg (10)$

= $1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,1 x + 0,3} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x + 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x + 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{- 0,1 x + 0,3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,1 x + 0,3}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,1 x + 0,3} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{- 0,1 x + 0,3}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x + 0,3$	=	$\ln (y + 1)$

$- 0,1 x + 0,3$	=	$\ln (y + 1)$	\| $- 0,3$
$- 0,1 x$	=	$\ln (y + 1) - 0,3$	\|:( $- 0,1$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (y + 1) + \frac{0,3}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,1} \ln (x + 1) + \frac{0,3}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,1} \ln (x + 1) + \frac{0,3}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,048}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,048}^{t}$ ablesen: a=1.048.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.048( $2$ ) ≈ 14.78 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,1% seiner Bevölkerung. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 67,15 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 11 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 68,6 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{1.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,989 ⋅ B. Somit ist das a=0,989.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,989}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 67.15 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 67.15. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,989}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.989¹⁰ = 67.15

c ⋅ 0.89529 = 67.15 | : 0.89529

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot {0,989}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $75 \cdot {0,989}^{11}$ ≈ 66,408.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 68.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 68.6:

$75 \cdot {0,989}^{t}$	=	$68,6$	\|: $75$
${0,989}^{t}$	=	$0,9147$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,989}^{t})$	=	$\lg (0,9147)$
$t \cdot \lg (0,989)$	=	$\lg (0,9147)$	\|: $\lg (0,989)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,9147)}{\lg (0,989)}$

t

=

8,0607

Nach ca. 8,061 Jahre ist also der Bestand = 68.6 Millionen Einwohner.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben