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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 4 (2) liegt.

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Wir suchen 4er-Potenzen in der Näher von 2, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 2 ist.

Dabei kommt man auf 1 = 40 < 2 und auf 4 = 41 > 2.

Und da wir bei log 4 (2) ja das ☐ von 4 = 2 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
40 = 1 < 2 < 4 = 41

Es gilt somit: 0 < log 4 (2) < 1

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 25 ) + lg( 20 x 2 ) + lg( 1 500000 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 25 ) + lg( 20 x 2 ) + lg( 1 500000 x 2 )

= lg( 25 ) + lg( 20 x 2 ) + lg( 1 500.000 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 25 ) + lg( 1 ) + ( lg( 20 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 1 500.000 ) + lg( 1 x 2 ) )

= lg( 25 ) + lg( 1 ) + lg( 20 ) + lg( x 2 ) + lg( 1 500.000 ) + lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 25 ) +0 + lg( 20 ) +2 lg( x ) + lg( 1 500.000 ) -2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 25 ) +0 + lg( 20 ) +2 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 500000 ) -2 lg( x )

= - lg( 500000 ) + lg( 25 ) + lg( 20 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 500.000 · 25 · 20 )

= lg( 1 1000 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e -0,1x +0,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e -0,1x +0,2 wird e -0,1x +0,2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e -0,1x +0,2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e -0,1x +0,2 = y |:-1
e -0,1x +0,2 = -1 y |ln(⋅)
-0,1x +0,2 = ln( -y )
-0,1x +0,2 = ln( -y ) | -0,2
-0,1x = ln( -y ) -0,2 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( -y ) + 0,2 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( -x ) + 0,2 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( -x ) + 0,2 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8,6% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 8.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8.6% weggehen,
also Bneu = B - 8.6 100 ⋅B = (1 - 8.6 100 ) ⋅ B = 0,914 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,914.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.914( 1 2 ) ≈ 7.71 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,8% seiner Bevölkerung. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 63,74 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 13 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 75,6 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.8% weggehen,
also Bneu = B - 2.8 100 ⋅B = (1 - 2.8 100 ) ⋅ B = 0,972 ⋅ B. Somit ist das a=0,972.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,972 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 63.74 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 63.74. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,972 t ein:

c ⋅ 0.9728 = 63.74

c ⋅ 0.79676 = 63.74 | : 0.79676

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,972 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = 80 0,972 13 55,303.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 75.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 75.6:

80 0,972 t = 75,6 |:80
0,972 t = 0,945 |lg(⋅)
lg( 0,972 t ) = lg( 0,945 )
t · lg( 0,972 ) = lg( 0,945 ) |: lg( 0,972 )
t = lg( 0,945 ) lg( 0,972 )
t = 1,992

Nach ca. 1,992 Jahre ist also der Bestand = 75.6 Millionen Einwohner.