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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 2000000 ) + lg( 50 ) .

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lg( 2000000 ) + lg( 50 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= lg( 2000000 · 50 )

= lg( 100000000 )

= lg( 10 8 )

= 8

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= -3 k x · e k x -3 k +5 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm -3 k x · e k x -3 k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = -3 k · 0 · e k 0 -3 k +5 k = 5 k = 2
    5k = 2 |:5
    k = 2 5 = 0.4

Der abgebildete Graph ist somit der von f 2 5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e 0,3x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e 0,3x wird e 0,3x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e 0,3x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem -2 e 0,3x wird zu allen Funktionswerten von -2 e 0,3x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e 0,3x -3 = y | +3
-2 e 0,3x = y +3 |:-2
e 0,3x = - 1 2 y - 3 2 |ln(⋅)
0,3x = ln( - 1 2 y - 3 2 ) |:0,3
x = 1 0,3 ln( - 1 2 y - 3 2 )
x = 10 3 ln( - 1 2 y - 3 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 3 ln( - 1 2 x - 3 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 3 ln( - 1 2 x - 3 2 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,051 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,051 t ablesen: a=1.051.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.051(2) ≈ 13.93 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 2081,21€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 2300€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also Bneu = B + 1 100 ⋅B = (1 + 1 100 ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,01 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 2081.21 € ist, also f(4) = 2081.21. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,01 t ein:

c ⋅ 1.014 = 2081.21

c ⋅ 1.0406 = 2081.21 | : 1.0406

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 2000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 2000 1,01 5 2102,02.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2300 € ist, also f(t) = 2300:

2000 1,01 t = 2300 |:2000
1,01 t = 23 20 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 23 20 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 23 20 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 23 20 ) lg( 1,01 )
t = 14,046

Nach ca. 14,046 Jahre ist also der Kontostand = 2300 €.