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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( x 4 ) +2 lg( 1 x ) +2 lg( 1 x 2 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( x 4 ) +2 lg( 1 x ) +2 lg( 1 x 2 )
= lg( x 4 ) +2 lg( x - 1 2 ) +2 lg( x -2 )
= 4 lg( x ) - lg( x ) -4 lg( x )
= - lg( x )

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= -3 k x · e k x -3 k +3 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm -3 k x · e k x -3 k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|5) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = -3 k · 0 · e k 0 -3 k +3 k = 3 k = 5
    3k = 5 |:3
    k = 5 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f 5 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e x -1 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e x -1 können die Funktionswerte von 3 e x -1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem 3 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von 3 e x -1 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e x -1 -3 = y | +3
3 e x -1 = y +3 |:3
e x -1 = 1 3 y +1 |ln(⋅)
x -1 = ln( 1 3 y +1 )
x -1 = ln( 1 3 y +1 ) | +1
x = ln( 1 3 y +1 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 3 x +1 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 3 x +1 ) +1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 69,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 69.7 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 69,7 = 2 | 69,7
a = 2 1 69,7

Das gesuchte a ist somit 2 1 69,7 ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 6000 1,01 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 23%. 11 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 29,25Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 23 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also Bneu = B + 23 100 ⋅B = (1 + 23 100 ) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,23 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Stunden der Bestand 29.25 Millionen Bakterien ist, also f(11) = 29.25. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,23 t ein:

c ⋅ 1.2311 = 29.25

c ⋅ 9.74891 = 29.25 | : 9.74891

c = 3

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3 1,23 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = 3 1,23 10 23,778.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 23 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 23:

3 1,23 t = 23 |:3
1,23 t = 23 3 |lg(⋅)
lg( 1,23 t ) = lg( 23 3 )
t · lg( 1,23 ) = lg( 23 3 ) |: lg( 1,23 )
t = lg( 23 3 ) lg( 1,23 )
t = 9,8393

Nach ca. 9,839 Stunden ist also der Bestand = 23 Millionen Bakterien.