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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{23})$ liegt.

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{23}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{23}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^{3}}$ = 3^-3 < $\frac{1}{23}$ und auf $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2 > $\frac{1}{23}$ .

Und da wir bei $\log_{3} (\frac{1}{23})$ ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{23}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
3^-3 = $\frac{1}{3^{3}}$ = $\frac{1}{27}$ < $\frac{1}{23}$ < $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = 3^-2

Es gilt somit: -3 < $\log_{3} (\frac{1}{23})$ < -2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $4 k e^{k x + 3 k} + 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $4 k e^{k x + 3 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + 3 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $4 k e^{k x + 3 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $3$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + 3 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + 3 k$	=	0	\| - ( $3 k$ )
$k x$	=	$- 3 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 3$

Wenn wir nun

- 3

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 3

) =

4 k e^{k \cdot (- 3) + 3 k} + 3

=

4 k + 3

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 3

) = 0 ablesen, es gilt somit:

$4 k + 3$	=	0	\| $- 3$
$4 k$	=	$- 3$	\|: $4$
$k$	=	$- \frac{3}{4}$ = -0.75

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{3}{4}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,1 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,1 x}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,1 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4 e^{0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{0,1 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,1 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$4 e^{0,1 x}$	=	$y - 3$	\|: $4$
$e^{0,1 x}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$
$x$	=	$10 \ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10 \ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $10 \ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,081}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,081}^{t}$ ablesen: a=1.081.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.081( $2$ ) ≈ 8.9 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,1% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,969 ⋅ B. Somit ist das a=0,969.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,969}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $80 \cdot {0,969}^{9}$ ≈ 60,257.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$80 \cdot {0,969}^{t}$	=	$50$	\|: $80$
${0,969}^{t}$	=	$\frac{5}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,969}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{8})$
$t \cdot \lg (0,969)$	=	$\lg (\frac{5}{8})$	\|: $\lg (0,969)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{8})}{\lg (0,969)}$

t

=

14,9252

Nach ca. 14,925 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.

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log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben