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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 361 ( 19 ) .

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Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis 361 suchen und 361 gerade 19² ist (also 19 = 361 = 361 1 2 ), formen wir 19 noch so um, dass sie 361 als Basis hat:

19 = 361 1 2

log 361 ( 19 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 19 = 361 1 2 zur Basis 361 suchen, also die Hochzahl mit der man 361 potenzieren muss, um auf 19 = 361 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 361☐ = 19 = 361 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 361 ( 19 ) = log 361 ( 361 1 2 ) = 1 2 , eben weil 361 1 2 = 19 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - k x · e k x - k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm - k x · e k x - k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|1) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = - k · 0 · e k ⋅0 - k + k = k = 1
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,2 = y |ln(⋅)
0,2x -0,2 = ln( y )
0,2x -0,2 = ln( y ) | +0,2
0,2x = ln( y ) +0,2 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x ) + 0,2 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,101 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,101 t ablesen: a=1.101.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.101(2) ≈ 7.2 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt. 2 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 6,89 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 1,9 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 10⋅ a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 6.89 Millionen Insekten ist, also f(2) = 6.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 10⋅ a t ein:

10 a 2 = 6,89 |:10
a 2 = 0,689 | ⋅2
a1 = - 0,689 ≈ -0,83
a2 = 0,689 ≈ 0,83

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,83 ≈ 0.83 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10⋅ 0,83 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 10⋅ 0,83 4 ≈ 4,746.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.9:

10⋅ 0,83 t = 1,9 |:10
0,83 t = 0,19 |lg(⋅)
lg( 0,83 t ) = lg( 0,19 )
t · lg( 0,83 ) = lg( 0,19 ) |: lg( 0,83 )
t = lg( 0,19 ) lg( 0,83 )
t = 8,9129

Nach ca. 8,913 Jahre ist also der Bestand = 1.9 Millionen Insekten.