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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 · e 3 x 2 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 · e 3 ( -x ) 2 = x 2 · e 3 x 2

Wenn man das mit f(x) = x 2 · e 3 x 2 vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: 2 = 1 2 ⋅a = 1 2 a .

Es gilt also: 2 = 1 2 a | ⋅ 2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 ⋅ 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e 0,1x -0,1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e 0,1x -0,1 können die Funktionswerte von 2 e 0,1x -0,1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e 0,1x -0,1 = y |:2
e 0,1x -0,1 = 1 2 y |ln(⋅)
0,1x -0,1 = ln( 1 2 y )
0,1x -0,1 = ln( 1 2 y ) | +0,1
0,1x = ln( 1 2 y ) +0,1 |:0,1
x = 1 0,1 ln( 1 2 y ) + 0,1 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( 1 2 x ) + 0,1 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( 1 2 x ) + 0,1 0,1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 125⋅ 0,5 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 125

f(1) = 125 ⋅ 0,5

f(2) = 125 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5

f(3) = 125 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5

f(4) = 125 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,5 multipliziert. Da 0,5 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,5-fache, also auf 50 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 50% = 50 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 17%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 3 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 73 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also Bneu = B + 17 100 ⋅B = (1 + 17 100 ) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3⋅ 1,17 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = 3⋅ 1,17 5 ≈ 6,577.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 73 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 73:

3⋅ 1,17 t = 73 |:3
1,17 t = 73 3 |lg(⋅)
lg( 1,17 t ) = lg( 73 3 )
t · lg( 1,17 ) = lg( 73 3 ) |: lg( 1,17 )
t = lg( 73 3 ) lg( 1,17 )
t = 20,3298

Nach ca. 20,33 Stunden ist also der Bestand = 73 Millionen Bakterien.