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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 10000000x ) +5 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 10000000x ) +5 lg( x )
= lg( 10000000 ) + lg( x ) +5 lg( x )
= lg( 10 7 ) + lg( x ) +5 lg( x )
= 7 + lg( x ) +5 lg( x )
= 6 lg( x ) +7

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ( x - k ) · e x - 1 2 k -2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm ( x - k ) · e x - 1 2 k = 0 wird, wenn x - k = 0 ist, also für x = k .
    Dann muss ja der y-Wert fk( k ) = ( ( k ) - k ) · e ( k ) - 1 2 k -2 = 0 -2 = -2 sein.
    Da bei x = k bei ( x - k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( k | -2 ) im abgebildeten Graph bei P(5| -2 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit k = 5
    Also gilt k = 5

Der abgebildete Graph ist somit der von f5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +0,3 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e -0,1x +0,3 wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x +0,3 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +0,3 +1 = y | -1
e -0,1x +0,3 = y -1 |ln(⋅)
-0,1x +0,3 = ln( y -1 )
-0,1x +0,3 = ln( y -1 ) | -0,3
-0,1x = ln( y -1 ) -0,3 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( y -1 ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( x -1 ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( x -1 ) + 0,3 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 20% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also Bneu = B + 20 100 ⋅B = (1 + 20 100 ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.2(2) ≈ 3.8 Wochen

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 25% vermehrt. Nach 10 Wochen zählt man bereits 46566,13 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 95000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also Bneu = B + 25 100 ⋅B = (1 + 25 100 ) ⋅ B = 1,25 ⋅ B. Somit ist das a=1,25.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,25 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 46566.13 Nutzer ist, also f(10) = 46566.13. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,25 t ein:

c ⋅ 1.2510 = 46566.13

c ⋅ 9.31323 = 46566.13 | : 9.31323

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5000 1,25 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = 5000 1,25 8 29802,322.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 95000 Nutzer ist, also f(t) = 95000:

5000 1,25 t = 95000 |:5000
1,25 t = 19 |lg(⋅)
lg( 1,25 t ) = lg( 19 )
t · lg( 1,25 ) = lg( 19 ) |: lg( 1,25 )
t = lg( 19 ) lg( 1,25 )
t = 13,1953

Nach ca. 13,195 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 95000 Nutzer.