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log im Intervall bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (783 232 522)$ liegt.

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $783 232 522$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $783 232 522$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{8}$ = 10⁸ < $783 232 522$ und auf $10^{9}$ = 10⁹ > $783 232 522$ .

Und da wir bei $\log_{10} (783 232 522)$ ja das ☐ von 10^☐ = $783 232 522$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 8 und 9 liegen, wegen:
10⁸ = $10^{8}$ < $783 232 522$ < $10^{9}$ = 10⁹

Es gilt somit: 8 < $\log_{10} (783 232 522)$ < 9

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{8} x^{4}) + \lg (\frac{2}{x^{5}}) + \lg (\frac{4}{x})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{8} x^{4}) + \lg (\frac{2}{x^{5}}) + \lg (\frac{4}{x})$

= $\lg (\frac{1}{8} x^{4}) + \lg (2 x^{- 5}) + \lg (4 x^{- 1})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8}) + \lg (x^{4}) + (\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{5}})) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x}))$

= $\lg (\frac{1}{8}) + \lg (x^{4}) + \lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{5}}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8}) + 4 \lg (x) + \lg (2) - 5 \lg (x) + \lg (4) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (8) + 4 \lg (x) + \lg (2) - 5 \lg (x) + \lg (4) - \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,2} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{- 0,2 x + 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,2 x + 0,2}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,2} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{- 0,2 x + 0,2}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y - 1)$

$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y - 1)$	\| $- 0,2$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y - 1) - 0,2$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y - 1) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,2}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,922}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,922}^{t}$ ablesen: a=0.922.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.922( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 8.54 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer. Nach 3 Wochen zählt man bereits 11439,74 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 7 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 16000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 11439.74 Nutzer ist, also f(3) = 11439.74. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ ein:

$6 000 a^{3}$	=	$11 439,74$	\|: $6 000$
$a^{3}$	=	$1,90662$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{1,90662}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{1,90662}$ ≈ 1.24 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,24}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $6 000 \cdot {1,24}^{7}$ ≈ 27046.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 16000 Nutzer ist, also f(t) = 16000:

$6 000 \cdot {1,24}^{t}$	=	$16 000$	\|: $6 000$
${1,24}^{t}$	=	$\frac{8}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,24}^{t})$	=	$\lg (\frac{8}{3})$
$t \cdot \lg (1,24)$	=	$\lg (\frac{8}{3})$	\|: $\lg (1,24)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{8}{3})}{\lg (1,24)}$

t

=

4,5596

Nach ca. 4,56 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 16000 Nutzer.

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log im Intervall bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben