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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{4})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{4})$ = $- 1$ , eben weil $4$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $2$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,4} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{- 0,2 x + 0,4}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,2 x + 0,4}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,4} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{- 0,2 x + 0,4}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (y + 2)$

$- 0,2 x + 0,4$	=	$\ln (y + 2)$	\| $- 0,4$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y + 2) - 0,4$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y + 2) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x + 2) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x + 2) + \frac{0,4}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 6% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 0,94 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,94.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.94( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 11.2 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 6 Jahren beträgt der Kontostand bereits 10720,77€. a) Wie hoch ist der Kontostand 13 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 17000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 10720.77 € ist, also f(6) = 10720.77. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ ein:

$8 000 a^{6}$	=	$10 720,77$	\|: $8 000$
$a^{6}$	=	$1,3401$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{1,3401}$	= $- 1,05$
a₂	=	$\sqrt[6]{1,3401}$	= $1,05$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,05$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,05}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $8 000 \cdot {1,05}^{13}$ ≈ 15085,193.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 17000 € ist, also f(t) = 17000:

$8 000 \cdot {1,05}^{t}$	=	$17 000$	\|: $8 000$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{17}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{17}{8})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{17}{8})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{17}{8})}{\lg (1,05)}$

t

=

15,4493

Nach ca. 15,449 Jahre ist also der Kontostand = 17000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben