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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{2} (128)$ - $\log_{2} (4)$ .

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$\log_{2} (128)$ - $\log_{2} (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{2} (\frac{128}{4})$

= $\log_{2} (32)$

= $\log_{2} (2^{5})$

= 5

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{3}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (2 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (50 x^{3}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (2 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (1)) - (\lg (2) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (50) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (1) - \lg (2) - \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 0 - \lg (2) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 0 - \lg (2) - 3 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (4) - \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50 \cdot 4}{2})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,4 x + 0,8} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{- 0,4 x + 0,8}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,4 x + 0,8}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,4 x + 0,8} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{- 0,4 x + 0,8}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,8$	=	$\ln (y - 1)$

$- 0,4 x + 0,8$	=	$\ln (y - 1)$	\| $- 0,8$
$- 0,4 x$	=	$\ln (y - 1) - 0,8$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (y - 1) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (x - 1) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (x - 1) + \frac{0,8}{0,4}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 22,8 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 40kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 40 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 22.8 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{22,8}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[22,8]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $- 0,97$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $0,97$

Das gesuchte a ist somit $0,97$ ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $40 \cdot {0,97}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,5% seiner Bevölkerung. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 65,19 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 5 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 60 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.5}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.5}{100}$ ) ⋅ B = 0,965 ⋅ B. Somit ist das a=0,965.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,965}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 65.19 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 65.19. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,965}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.965² = 65.19

c ⋅ 0.93123 = 65.19 | : 0.93123

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,965}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $70 \cdot {0,965}^{5}$ ≈ 58,578.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$70 \cdot {0,965}^{t}$	=	$60$	\|: $70$
${0,965}^{t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,965}^{t})$	=	$\lg (\frac{6}{7})$
$t \cdot \lg (0,965)$	=	$\lg (\frac{6}{7})$	\|: $\lg (0,965)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{6}{7})}{\lg (0,965)}$

t

=

4,3268

Nach ca. 4,327 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben