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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- 3 e^{x - 1} - 1$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei $- 3 e^{x - 1} - 1$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -1 addiert wird, ist der Graph von $- 3 e^{x - 1} - 1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei $- 3 e^{x - 1} - 1$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $- 3 e^{x - 1} - 1$ gegen $- \infty$ .
Für x → - ∞ strebt $- 3 e^{x - 1} - 1$ gegen $0 - 1$ = $- 1$ .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 2$ ), also gilt f(0)= $- 2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 2$ , also $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- 2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 4$ = $- 2 \cdot a$ = $- 2 a$ .

Es gilt also: $- 4$ = $- 2 a$ | ⋅ $- \frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{0,2 x}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$0,2 x$	=	$\ln (y - 3)$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y - 3)$
$x$	=	$5 \ln (y - 3)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5 \ln (x - 3)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $5 \ln (x - 3)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4,8% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 4.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4.8}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{4.8}{100}$ ) ⋅ B = 1,048 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,048.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.048( $2$ ) ≈ 14.78 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 18% vermehrt. Nach 12 Wochen zählt man bereits 21862,78 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 13 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 33000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{18}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{18}{100}$ ) ⋅ B = 1,18 ⋅ B. Somit ist das a=1,18.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,18}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 21862.78 Nutzer ist, also f(12) = 21862.78. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,18}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.18¹² = 21862.78

c ⋅ 7.28759 = 21862.78 | : 7.28759

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,18}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $3 000 \cdot {1,18}^{13}$ ≈ 25798,078.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 33000 Nutzer ist, also f(t) = 33000:

$3 000 \cdot {1,18}^{t}$	=	$33 000$	\|: $3 000$
${1,18}^{t}$	=	$11$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,18}^{t})$	=	$\lg (11)$
$t \cdot \lg (1,18)$	=	$\lg (11)$	\|: $\lg (1,18)$
$t$	=	$\frac{\lg (11)}{\lg (1,18)}$

t

=

14,4875

Nach ca. 14,488 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 33000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben