Mathebattle EduRandomtasks

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $4 \lg (\sqrt{x}) + \lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4 \lg (\sqrt{x}) + \lg (x^{2})$
= $4 \lg (x^{\frac{1}{2}}) + \lg (x^{2})$
= $2 \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{4}) + \lg (\frac{1}{8} x) - \lg (\frac{1}{2} x^{6})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (4 x^{4}) + \lg (\frac{1}{8} x) - \lg (\frac{1}{2} x^{6})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{4}) + (\lg (\frac{1}{8}) + \lg (x)) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{6}))$

= $\lg (4) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{8}) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{6})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8}) + \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) - 6 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (8) + \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) - 6 \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,3 x - 0,3} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{0,3 x - 0,3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,3 x - 0,3}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,3 x - 0,3} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{0,3 x - 0,3}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (y - 1)$

$0,3 x - 0,3$	=	$\ln (y - 1)$	\| $+ 0,3$
$0,3 x$	=	$\ln (y - 1) + 0,3$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (y - 1) + \frac{0,3}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (x - 1) + \frac{0,3}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (x - 1) + \frac{0,3}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4,7% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 4.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4.7}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{4.7}{100}$ ) ⋅ B = 1,047 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,047.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.047( $2$ ) ≈ 15.09 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 15% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,2 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$ ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,85}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $11 \cdot {0,85}^{4}$ ≈ 5,742.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.2:

$11 \cdot {0,85}^{t}$	=	$2,2$	\|: $11$
${0,85}^{t}$	=	$0,2$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,85}^{t})$	=	$\lg (0,2)$
$t \cdot \lg (0,85)$	=	$\lg (0,2)$	\|: $\lg (0,85)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,2)}{\lg (0,85)}$

t

=

9,9031

Nach ca. 9,903 Jahre ist also der Bestand = 2.2 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

2. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben