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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $- 2 \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$- 2 \lg (\frac{1}{x})$
= $- 2 \lg (x^{- 1})$
= $2 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $1$ ), also gilt f(0)= $1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $f(x) =$ $a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $a$ = $a$ .

Es gilt also: $2$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 2} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $3 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 2}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 2} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$3 e^{x - 2}$	=	$y + 3$	\|: $3$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{3} y + 1$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + 1)$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + 1)$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + 1) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x + 1) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x + 1) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13,8% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 13.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13.8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13.8}{100}$ ) ⋅ B = 0,862 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,862.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.862( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.67 Tage

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 46,58 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50,3 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 46.58 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 46.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ ein:

$60 a^{10}$	=	$46,58$	\|: $60$
$a^{10}$	=	$0,77633$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{0,77633}$	≈ $- 0,975$
a₂	=	$\sqrt[10]{0,77633}$	≈ $0,975$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,975$ ≈ 0.975 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,975}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $60 \cdot {0,975}^{9}$ ≈ 47,774.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50.3 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50.3:

$60 \cdot {0,975}^{t}$	=	$50,3$	\|: $60$
${0,975}^{t}$	=	$0,8383$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,975}^{t})$	=	$\lg (0,8383)$
$t \cdot \lg (0,975)$	=	$\lg (0,8383)$	\|: $\lg (0,975)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,8383)}{\lg (0,975)}$

t

=

6,9666

Nach ca. 6,967 Jahre ist also der Bestand = 50.3 Millionen Einwohner.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben