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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (\frac{1}{4089})$ liegt.

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{4089}$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{4089}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{10^{4}}$ = 10^-4 < $\frac{1}{4089}$ und auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3 > $\frac{1}{4089}$ .

Und da wir bei $\log_{10} (\frac{1}{4089})$ ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{4089}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10^-4 = $\frac{1}{10^{4}}$ = $\frac{1}{10000}$ < $\frac{1}{4089}$ < $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{10^{3}}$ = 10^-3

Es gilt somit: -4 < $\log_{10} (\frac{1}{4089})$ < -3

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x + 2 k) \cdot e^{x + k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x + 2 k) \cdot e^{x + k}$ = 0 wird, wenn $x + 2 k$ = 0 ist, also für x = $- 2 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 2 k$ ) = $((- 2 k) + 2 k) \cdot e^{(- 2 k) + k} + 1$ = $0 + 1$ = $1$ sein.
Da bei x = $- 2 k$ bei ( $x + 2 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 2 k$ | $1$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $1$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 2 k$ = 1
Also gilt k = $- \frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{0,2 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{0,2 x}$ können die Funktionswerte von $4 e^{0,2 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4 e^{0,2 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{0,2 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{0,2 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$4 e^{0,2 x}$	=	$y - 2$	\|: $4$
$e^{0,2 x}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$0,2 x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$
$x$	=	$5 \ln (\frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5 \ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $5 \ln (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,113}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,113}^{t}$ ablesen: a=1.113.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.113( $2$ ) ≈ 6.47 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 30kg vorhanden. Nach 4 Tagen nach sind nur noch 21,49kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 5 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 21.49 kg ist, also f(4) = 21.49. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $30 \cdot a^{t}$ ein:

$30 a^{4}$	=	$21,49$	\|: $30$
$a^{4}$	=	$0,71633$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{0,71633}$	≈ $- 0,92$
a₂	=	$\sqrt[4]{0,71633}$	≈ $0,92$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,92$ ≈ 0.92 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $30 \cdot {0,92}^{5}$ ≈ 19,772.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$30 \cdot {0,92}^{t}$	=	$20$	\|: $30$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{2}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{2}{3})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{2}{3})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{2}{3})}{\lg (0,92)}$

t

=

4,8628

Nach ca. 4,863 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

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log im Interval bestimmen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben