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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot 2 e^{x^{2}}$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot 2 e^{{(- x)}^{2}}$ = $- 2 x \cdot e^{x^{2}}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot 2 e^{x^{2}}$ = $2 x \cdot e^{x^{2}}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- 2 x \cdot e^{x^{2}}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- 2 x \cdot e^{x^{2}}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- \frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $- \frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- \frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- \frac{3}{2}$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- \frac{3}{2}$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{3}{2}$ = $- \frac{1}{2} \cdot a$ = $- \frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $- \frac{3}{2}$ = $- \frac{1}{2} a$ | ⋅ $- 2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{- 0,1 x} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{- 0,1 x}$ können die Funktionswerte von $3 e^{- 0,1 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $3 e^{- 0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{- 0,1 x}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{- 0,1 x} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$3 e^{- 0,1 x}$	=	$y + 1$	\|: $3$
$e^{- 0,1 x}$	=	$\frac{1}{3} y + \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$	\|: $- 0,1$
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$
$x$	=	$- 10 \ln (\frac{1}{3} y + \frac{1}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 10 \ln (\frac{1}{3} x + \frac{1}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 10 \ln (\frac{1}{3} x + \frac{1}{3})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 5% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,95.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.95( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 13.51 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 6 Jahren beträgt der Kontostand bereits 10720,77€. a) Wie hoch ist der Kontostand 13 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 13000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 10720.77 € ist, also f(6) = 10720.77. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ ein:

$8 000 a^{6}$	=	$10 720,77$	\|: $8 000$
$a^{6}$	=	$1,3401$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{1,3401}$	= $- 1,05$
a₂	=	$\sqrt[6]{1,3401}$	= $1,05$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,05$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,05}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $8 000 \cdot {1,05}^{13}$ ≈ 15085,193.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 13000 € ist, also f(t) = 13000:

$8 000 \cdot {1,05}^{t}$	=	$13 000$	\|: $8 000$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{13}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{13}{8})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{13}{8})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{13}{8})}{\lg (1,05)}$

t

=

9,9509

Nach ca. 9,951 Jahre ist also der Kontostand = 13000 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben