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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{5 x^{3}}) - \lg (\frac{125}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{25} x)$ soweit wie möglich.

$- \lg (\frac{1}{5 x^{3}}) - \lg (\frac{125}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{25} x)$

= $- \lg (\frac{1}{5} x^{- 3}) - \lg (125 x^{- 2}) - \lg (\frac{1}{25} x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (125) + \lg (\frac{1}{x^{2}})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x))$

= $- \lg (\frac{1}{5}) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (125) - \lg (\frac{1}{x^{2}}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{5}) + 3 \lg (x) - \lg (125) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (5) + 3 \lg (x) - \lg (125) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - \lg (x)$

= $4 \lg (x) - \lg (125) + \lg (25) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{125} \cdot 25 \cdot 5)$

= $4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $4 \lg (x) + \lg (1)$

= $4 \lg (x)$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k x \cdot e^{k x + k} + k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $k x \cdot e^{k x + k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-1) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 + k} + k$ = $k$ = -1

$k$ = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{0,4 x} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{0,4 x}$ wird $e^{0,4 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{0,4 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $- 4 e^{0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{0,4 x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{0,4 x} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$- 4 e^{0,4 x}$	=	$y - 2$	\|: $- 4$
$e^{0,4 x}$	=	$- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$
$x$	=	$\frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{4} y + \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{4} x + \frac{1}{2})$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 4,3 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 4.3 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,3}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[4,3]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,3}}$	≈ $- 0,851$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,3}}$	≈ $0,851$

Das gesuchte a ist somit $0,851$ ≈ 0.85, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,85}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer. Nach 6 Wochen zählt man bereits 3138,43 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 10 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 21000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 3138.43 Nutzer ist, also f(6) = 3138.43. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $1 000 \cdot a^{t}$ ein:

$1 000 a^{6}$	=	$3 138,43$	\|: $1 000$
$a^{6}$	=	$3,13843$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{3,13843}$	= $- 1,21$
a₂	=	$\sqrt[6]{3,13843}$	= $1,21$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,21$ ≈ 1.21 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,21}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):

f(10) = $1 000 \cdot {1,21}^{10}$ ≈ 6727,5.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 21000 Nutzer ist, also f(t) = 21000:

$1 000 \cdot {1,21}^{t}$	=	$21 000$	\|: $1 000$
${1,21}^{t}$	=	$21$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,21}^{t})$	=	$\lg (21)$
$t \cdot \lg (1,21)$	=	$\lg (21)$	\|: $\lg (1,21)$
$t$	=	$\frac{\lg (21)}{\lg (1,21)}$

t

=

15,9717

Nach ca. 15,972 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 21000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben