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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -3 -3 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -3 -3 zu jedem Funktionswert von e x noch -3 addiert wird, ist der Graph von e x -3 -3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Da bei e x -3 -3 das x von e x durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt e x -3 -3 gegen ∞ .
  • Für x → - ∞ strebt e x -3 -3 gegen 0 -3 = -3 .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 1.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: 1 = 1 2 ⋅a = 1 2 a .

Es gilt also: 1 = 1 2 a | ⋅ 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 ⋅ 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e 0,1x -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e 0,1x wird e 0,1x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e 0,1x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem -3 e 0,1x wird zu allen Funktionswerten von -3 e 0,1x noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e 0,1x -2 = y | +2
-3 e 0,1x = y +2 |:-3
e 0,1x = - 1 3 y - 2 3 |ln(⋅)
0,1x = ln( - 1 3 y - 2 3 ) |:0,1
x = 1 0,1 ln( - 1 3 y - 2 3 )
x = 10 ln( - 1 3 y - 2 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 ln( - 1 3 x - 2 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 ln( - 1 3 x - 2 3 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 60⋅ ( 9 10 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 60

f(1) = 60 ⋅ 9 10

f(2) = 60 ⋅ 9 10 ⋅ 9 10

f(3) = 60 ⋅ 9 10 ⋅ 9 10 ⋅ 9 10

f(4) = 60 ⋅ 9 10 ⋅ 9 10 ⋅ 9 10 ⋅ 9 10

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 9 10 multipliziert. Da 9 10 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 9 10 -fache (oder auf das 90 100 -fache), also auf 90 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 2 Jahren beträgt der Kontostand bereits 4579,6€. a) Wie hoch ist der Kontostand 13 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 4600€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 4000⋅ a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 4579.6 € ist, also f(2) = 4579.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 4000⋅ a t ein:

4000 a 2 = 4579,6 |:4000
a 2 = 1,1449 | ⋅2
a1 = - 1,1449 = -1,07
a2 = 1,1449 = 1,07

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,07 ≈ 1.07 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4000⋅ 1,07 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = 4000⋅ 1,07 13 ≈ 9639,38.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4600 € ist, also f(t) = 4600:

4000⋅ 1,07 t = 4600 |:4000
1,07 t = 23 20 |lg(⋅)
lg( 1,07 t ) = lg( 23 20 )
t · lg( 1,07 ) = lg( 23 20 ) |: lg( 1,07 )
t = lg( 23 20 ) lg( 1,07 )
t = 2,0657

Nach ca. 2,066 Jahre ist also der Kontostand = 4600 €.