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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term 2 lg( x 2 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
2 lg( x 2 )
= 4 lg( x )
= 4 lg( x )

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-3) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -3.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -3 = -a = -a .

Es gilt also: -3 = -a | ⋅ -1

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e -0,1x +0,1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e -0,1x +0,1 wird e -0,1x +0,1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e -0,1x +0,1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e -0,1x +0,1 = y |:-3
e -0,1x +0,1 = - 1 3 y |ln(⋅)
-0,1x +0,1 = ln( - 1 3 y )
-0,1x +0,1 = ln( - 1 3 y ) | -0,1
-0,1x = ln( - 1 3 y ) -0,1 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( - 1 3 y ) + 0,1 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( - 1 3 x ) + 0,1 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( - 1 3 x ) + 0,1 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,058 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,058 t ablesen: a=1.058.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.058(2) ≈ 12.29 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 20% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 5000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 25000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also Bneu = B + 20 100 ⋅B = (1 + 20 100 ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5000⋅ 1,2 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = 5000⋅ 1,2 5 ≈ 12441,6.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 25000 Nutzer ist, also f(t) = 25000:

5000⋅ 1,2 t = 25000 |:5000
1,2 t = 5 |lg(⋅)
lg( 1,2 t ) = lg( 5 )
t · lg( 1,2 ) = lg( 5 ) |: lg( 1,2 )
t = lg( 5 ) lg( 1,2 )
t = 8,8275

Nach ca. 8,828 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 25000 Nutzer.