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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $2 \lg (\frac{1}{x})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2 \lg (\frac{1}{x})$
= $2 \lg (x^{- 1})$
= $- 2 \lg (x)$
= $- 2 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $1$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $1$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $1$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 2} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $3 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{x - 2}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{x - 2} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$3 e^{x - 2}$	=	$y + 2$	\|: $3$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) + 2$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 4,3 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 4.3 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,3}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[4,3]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,3}}$	≈ $- 0,851$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,3}}$	≈ $0,851$

Das gesuchte a ist somit $0,851$ ≈ 0.85, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,85}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 62,47 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$ ) ⋅ B = 0,97 ⋅ B. Somit ist das a=0,97.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,97}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 62.47 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 62.47. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,97}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.97⁶ = 62.47

c ⋅ 0.83297 = 62.47 | : 0.83297

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot {0,97}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $75 \cdot {0,97}^{7}$ ≈ 60,599.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$75 \cdot {0,97}^{t}$	=	$55$	\|: $75$
${0,97}^{t}$	=	$\frac{11}{15}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,97}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{15})$
$t \cdot \lg (0,97)$	=	$\lg (\frac{11}{15})$	\|: $\lg (0,97)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{15})}{\lg (0,97)}$

t

=

10,1826

Nach ca. 10,183 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben