Mathebattle EduRandomtasks

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{4})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{4})$
= $4 \lg (x)$
= $4 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- \frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $- \frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- \frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 1$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 1$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $- \frac{1}{2} \cdot a$ = $- \frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $- 1$ = $- \frac{1}{2} a$ | ⋅ $- 2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{x - 3} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{x - 3}$ wird $e^{x - 3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{x - 3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{x - 3}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{x - 3} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- e^{x - 3}$	=	$y + 1$	\|: $- 1$
$e^{x - 3}$	=	$- y - 1$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (- y - 1)$

$x - 3$	=	$\ln (- y - 1)$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (- y - 1) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- x - 1) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- x - 1) + 3$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,925}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,925}^{t}$ ablesen: a=0.925.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.925( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 8.89 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 30kg vorhanden. Nach 6 Tagen nach sind nur noch 15,94kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 4 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 15.94 kg ist, also f(6) = 15.94. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $30 \cdot a^{t}$ ein:

$30 a^{6}$	=	$15,94$	\|: $30$
$a^{6}$	=	$0,53133$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{0,53133}$	≈ $- 0,9$
a₂	=	$\sqrt[6]{0,53133}$	≈ $0,9$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,9$ ≈ 0.9 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot {0,9}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $30 \cdot {0,9}^{4}$ ≈ 19,683.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$30 \cdot {0,9}^{t}$	=	$10$	\|: $30$
${0,9}^{t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{3})$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (\frac{1}{3})$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{3})}{\lg (0,9)}$

t

=

10,4272

Nach ca. 10,427 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

2. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben