Mathebattle EduRandomtasks

2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (\frac{1}{\sqrt{x}})$
= $\lg (x^{- \frac{1}{2}})$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$
= $- \frac{1}{2} \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $2$ ), also gilt f(0)= $2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $2$ , also $f(x) =$ $2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $2 \cdot a$ = $2 a$ .

Es gilt also: $4$ = $2 a$ | ⋅ $\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{x - 3} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{x - 3}$ wird $e^{x - 3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{x - 3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- 4 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{x - 3}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{x - 3} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- 4 e^{x - 3}$	=	$y - 3$	\|: $- 4$
$e^{x - 3}$	=	$- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$

$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y + \frac{3}{4}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) + 3$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,897}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,897}^{t}$ ablesen: a=0.897.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.897( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 6.38 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 7% abnimmt. 3 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 10,46 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 9 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,93}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 10.46 Millionen Insekten ist, also f(3) = 10.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,93}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.93³ = 10.46

c ⋅ 0.80436 = 10.46 | : 0.80436

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $13 \cdot {0,93}^{5}$ ≈ 9,044.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 9:

$13 \cdot {0,93}^{t}$	=	$9$	\|: $13$
${0,93}^{t}$	=	$\frac{9}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{13})$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (\frac{9}{13})$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{13})}{\lg (0,93)}$

t

=

5,0671

Nach ca. 5,067 Jahre ist also der Bestand = 9 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

2. Logarithmusgesetz einfach

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben