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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{3} (6)$ liegt.

Wir suchen $3$ er-Potenzen in der Näher von $6$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $6$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $6$ und auf $3^{2}$ = 3² > $6$ .

Und da wir bei $\log_{3} (6)$ ja das ☐ von 3^☐ = $6$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $6$ < $3^{2}$ = 3²

Es gilt somit: 1 < $\log_{3} (6)$ < 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x^{4}}) - \lg (\frac{400}{x^{3}}) + \lg (20 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{20}{x^{4}}) - \lg (\frac{400}{x^{3}}) + \lg (20 x^{2})$

= $\lg (20 x^{- 4}) - \lg (400 x^{- 3}) + \lg (20 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - (\lg (400) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) + (\lg (20) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (400) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) + \lg (20) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - 4 \lg (x) - \lg (400) + 3 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - 4 \lg (x) - \lg (400) + 3 \lg (x) + \lg (20) + 2 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (400) + \lg (20) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{400} \cdot 20 \cdot 20)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{0,1 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{0,1 x}$ wird $e^{0,1 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{0,1 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- 4 e^{0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{0,1 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{0,1 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- 4 e^{0,1 x}$	=	$y + 2$	\|: $- 4$
$e^{0,1 x}$	=	$- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$
$x$	=	$10 \ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10 \ln (- \frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $10 \ln (- \frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $69 \cdot {1,4}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $69$

f(1) = $69$ ⋅ $1,4$

f(2) = $69$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

f(3) = $69$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

f(4) = $69$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,4$ multipliziert. Da $1,4$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,4$ -fache, also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 5067,08€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 6000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 5067.08 € ist, also f(8) = 5067.08. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ ein:

$4 000 a^{8}$	=	$5 067,08$	\|: $4 000$
$a^{8}$	=	$1,26677$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{1,26677}$	= $- 1,03$
a₂	=	$\sqrt[8]{1,26677}$	= $1,03$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,03$ ≈ 1.03 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,03}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $4 000 \cdot {1,03}^{9}$ ≈ 5219,093.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6000 € ist, also f(t) = 6000:

$4 000 \cdot {1,03}^{t}$	=	$6 000$	\|: $4 000$
${1,03}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,03}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,03)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,03)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,03)}$

t

=

13,7172

Nach ca. 13,717 Jahre ist also der Kontostand = 6000 €.

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log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben