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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 · ( e x + e -x ) vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 · ( e -x + e x ) = x 2 · ( e -x + e x ) = x 2 · e x + x 2 · e -x

Wenn man das mit f(x) = x 2 · ( e x + e -x ) vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 8 10 x + k +3 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 8 10 x + k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 3 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + 3 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -6, somit muss 3 k = -6 gelten;
    Also gilt k = -2

Der abgebildete Graph ist somit der von f-2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,9 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,9 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,9 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem e -0,3x +0,9 wird zu allen Funktionswerten von e -0,3x +0,9 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,9 -3 = y | +3
e -0,3x +0,9 = y +3 |ln(⋅)
-0,3x +0,9 = ln( y +3 )
-0,3x +0,9 = ln( y +3 ) | -0,9
-0,3x = ln( y +3 ) -0,9 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y +3 ) + 0,9 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x +3 ) + 0,9 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x +3 ) + 0,9 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8,5% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 8.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8.5% weggehen,
also Bneu = B - 8.5 100 ⋅B = (1 - 8.5 100 ) ⋅ B = 0,915 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,915.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.915( 1 2 ) ≈ 7.8 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 25% vermehrt. Nach 3 Wochen zählt man bereits 15625 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 58000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also Bneu = B + 25 100 ⋅B = (1 + 25 100 ) ⋅ B = 1,25 ⋅ B. Somit ist das a=1,25.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,25 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 15625 Nutzer ist, also f(3) = 15625. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,25 t ein:

c ⋅ 1.253 = 15625

c ⋅ 1.95313 = 15625 | : 1.95313

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 8000 1,25 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = 8000 1,25 5 24414,063.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 58000 Nutzer ist, also f(t) = 58000:

8000 1,25 t = 58000 |:8000
1,25 t = 29 4 |lg(⋅)
lg( 1,25 t ) = lg( 29 4 )
t · lg( 1,25 ) = lg( 29 4 ) |: lg( 1,25 )
t = lg( 29 4 ) lg( 1,25 )
t = 8,8777

Nach ca. 8,878 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 58000 Nutzer.