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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{15} (\frac{1}{225})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{225}$ zur Basis $15$ , also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{225}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$ ^☐ = $\frac{1}{225}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $15$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $15$ ^☐ = $\frac{1}{225}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{15} (\frac{1}{225})$ = $- 2$ , eben weil $15$ ^{$- 2$} = $\frac{1}{225}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x - 4 k) \cdot e^{x - 2 k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x - 4 k) \cdot e^{x - 2 k}$ = 0 wird, wenn $x - 4 k$ = 0 ist, also für x = $4 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $4 k$ ) = $((4 k) - 4 k) \cdot e^{(4 k) - 2 k} - 3$ = $0 - 3$ = $- 3$ sein.
Da bei x = $4 k$ bei ( $x - 4 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $4 k$ | $- 3$ ) im abgebildeten Graph bei P(3| $- 3$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $4 k$ = 3
Also gilt k = $\frac{3}{4}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{4}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,4 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,4 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,4 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{0,4 x}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$0,4 x$	=	$\ln (y - 3)$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (y - 3)$
$x$	=	$\frac{5}{2} \ln (y - 3)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2} \ln (x - 3)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{5}{2} \ln (x - 3)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 0,98 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,98.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.98( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 34.31 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 19% vermehrt. Nach 13 Wochen zählt man bereits 28789,34 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 12 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 9000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{19}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{19}{100}$ ) ⋅ B = 1,19 ⋅ B. Somit ist das a=1,19.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,19}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 28789.34 Nutzer ist, also f(13) = 28789.34. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,19}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.19¹³ = 28789.34

c ⋅ 9.59645 = 28789.34 | : 9.59645

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,19}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $3 000 \cdot {1,19}^{12}$ ≈ 24192,725.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer ist, also f(t) = 9000:

$3 000 \cdot {1,19}^{t}$	=	$9 000$	\|: $3 000$
${1,19}^{t}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,19}^{t})$	=	$\lg (3)$
$t \cdot \lg (1,19)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (1,19)$
$t$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (1,19)}$

t

=

6,3156

Nach ca. 6,316 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

log berechnen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben