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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (10000)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $10000$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $10000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{10} (10000)$ = $4$ , eben weil $10$ ^$4$ = $10000$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $\frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $\frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $1$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $1$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $\frac{1}{2} \cdot a$ = $\frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $1$ = $\frac{1}{2} a$ | ⋅ $2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,4 x} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{- 0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,4 x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,4 x} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{- 0,4 x}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x$	=	$\ln (y - 1)$	\|: $- 0,4$
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (y - 1)$
$x$	=	$- \frac{5}{2} \ln (y - 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{5}{2} \ln (x - 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{5}{2} \ln (x - 1)$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $5 \cdot {1,25}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $5$

f(1) = $5$ ⋅ $1,25$

f(2) = $5$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

f(3) = $5$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

f(4) = $5$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,25$ multipliziert. Da $1,25$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,25$ -fache, also auf $125$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 125% - 100% = 25 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 6719,58€. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 6719.58 € ist, also f(10) = 6719.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $5 000 \cdot a^{t}$ ein:

$5 000 a^{10}$	=	$6 719,58$	\|: $5 000$
$a^{10}$	=	$1,34392$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{1,34392}$	= $- 1,03$
a₂	=	$\sqrt[10]{1,34392}$	= $1,03$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,03$ ≈ 1.03 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,03}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $5 000 \cdot {1,03}^{4}$ ≈ 5627,544.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

$5 000 \cdot {1,03}^{t}$	=	$7 000$	\|: $5 000$
${1,03}^{t}$	=	$\frac{7}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,03}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{5})$
$t \cdot \lg (1,03)$	=	$\lg (\frac{7}{5})$	\|: $\lg (1,03)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{5})}{\lg (1,03)}$

t

=

11,3831

Nach ca. 11,383 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.

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log berechnen (einfach)

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben