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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 20000000 ) + lg( 50 ) .

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lg( 20000000 ) + lg( 50 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= lg( 20000000 · 50 )

= lg( 1000000000 )

= lg( 10 9 )

= 9

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k e k x - k -2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann k e k x - k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x - k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm k e k x - k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei -2 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x - k = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x - k = 0 | - ( - k )
    k x = k |:( k )
    x = 1
    Wenn wir nun 1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(1 ) = k e k 1 - k -2 = k -2
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(1 ) = -1 ablesen, es gilt somit:
    k -2 = -1 | +2
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e 0,2x +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e 0,2x wird e 0,2x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e 0,2x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem -3 e 0,2x wird zu allen Funktionswerten von -3 e 0,2x noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e 0,2x +1 = y | -1
-3 e 0,2x = y -1 |:-3
e 0,2x = - 1 3 y + 1 3 |ln(⋅)
0,2x = ln( - 1 3 y + 1 3 ) |:0,2
x = 1 0,2 ln( - 1 3 y + 1 3 )
x = 5 ln( - 1 3 y + 1 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 ln( - 1 3 x + 1 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 ln( - 1 3 x + 1 3 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,924 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,924 t ablesen: a=0.924.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.924( 1 2 ) ≈ 8.77 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5% seines Bestands. Zu Beginn sind 20kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10,3kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also Bneu = B - 5 100 ⋅B = (1 - 5 100 ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 20 0,95 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = 20 0,95 12 10,807.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10.3 kg ist, also f(t) = 10.3:

20 0,95 t = 10,3 |:20
0,95 t = 0,515 |lg(⋅)
lg( 0,95 t ) = lg( 0,515 )
t · lg( 0,95 ) = lg( 0,515 ) |: lg( 0,95 )
t = lg( 0,515 ) lg( 0,95 )
t = 12,9371

Nach ca. 12,937 Tage ist also der Bestand = 10.3 kg.