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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{25}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{5 000 x}) + \lg (2 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{25}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{5 000 x}) + \lg (2 x^{3})$

= $\lg (25 x^{- 2}) + \lg (\frac{1}{5000} x^{- 1}) + \lg (2 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + (\lg (\frac{1}{5000}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (2) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{2}}) + \lg (\frac{1}{5000}) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (2) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (25) - 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5000}) - \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (25) - 2 \lg (x) + \lg (1) - \lg (5 000) - \lg (x) + \lg (2) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (5 000) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5000} \cdot 25 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 3$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 3$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 3$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 3$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 3^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{- 0,3 x + 0,6}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{- 0,3 x + 0,6}$ wird $e^{- 0,3 x + 0,6}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{- 0,3 x + 0,6}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{- 0,3 x + 0,6}$	=	$y$	\|: $- 1$
$e^{- 0,3 x + 0,6}$	=	$- 1 y$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,6$	=	$\ln (- y)$

$- 0,3 x + 0,6$	=	$\ln (- y)$	\| $- 0,6$
$- 0,3 x$	=	$\ln (- y) - 0,6$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- y) + \frac{0,6}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (- x) + \frac{0,6}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (- x) + \frac{0,6}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7,1% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 7.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{7.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,929 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,929.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.929( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 9.41 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. 10 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 1104,62€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 12 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 1100€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$ ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,01}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 1104.62 € ist, also f(10) = 1104.62. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,01}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.01¹⁰ = 1104.62

c ⋅ 1.10462 = 1104.62 | : 1.10462

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,01}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $1 000 \cdot {1,01}^{12}$ ≈ 1126,825.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1100 € ist, also f(t) = 1100:

$1 000 \cdot {1,01}^{t}$	=	$1 100$	\|: $1 000$
${1,01}^{t}$	=	$\frac{11}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,01}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{10})$
$t \cdot \lg (1,01)$	=	$\lg (\frac{11}{10})$	\|: $\lg (1,01)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{10})}{\lg (1,01)}$

t

=

9,5786

Nach ca. 9,579 Jahre ist also der Kontostand = 1100 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben