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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (81)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (81)$ = $4$ , eben weil $3$ ^$4$ = $81$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- k x \cdot e^{k x - k} + k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $- k x \cdot e^{k x - k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $- k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - k} + k$ = $k$ = 2

$k$ = $2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 3} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{x - 3}$ wird $e^{x - 3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{x - 3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- 2 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{x - 3}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{x - 3} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- 2 e^{x - 3}$	=	$y + 2$	\|: $- 2$
$e^{x - 3}$	=	$- \frac{1}{2} y - 1$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - 1)$

$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - 1)$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - 1) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{2} x - 1) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{2} x - 1) + 3$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 4,6 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 80kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 80 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 4.6 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,6}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[4,6]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,6}}$	≈ $- 0,86$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,6}}$	≈ $0,86$

Das gesuchte a ist somit $0,86$ ≈ 0.86, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,86}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,9% seiner Bevölkerung. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 51,86 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 11 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 35 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2.9}{100}$ ) ⋅ B = 0,971 ⋅ B. Somit ist das a=0,971.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,971}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 51.86 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 51.86. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,971}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.971² = 51.86

c ⋅ 0.94284 = 51.86 | : 0.94284

c = 55

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot {0,971}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $55 \cdot {0,971}^{11}$ ≈ 39,79.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

$55 \cdot {0,971}^{t}$	=	$35$	\|: $55$
${0,971}^{t}$	=	$\frac{7}{11}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,971}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{11})$
$t \cdot \lg (0,971)$	=	$\lg (\frac{7}{11})$	\|: $\lg (0,971)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{11})}{\lg (0,971)}$

t

=

15,3586

Nach ca. 15,359 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.

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log berechnen (einfach)

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben