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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{10} (964)$ liegt.

Wir suchen $10$ er-Potenzen in der Näher von $964$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $964$ ist.

Dabei kommt man auf $10^{2}$ = 10² < $964$ und auf $10^{3}$ = 10³ > $964$ .

Und da wir bei $\log_{10} (964)$ ja das ☐ von 10^☐ = $964$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
10² = $10^{2}$ < $964$ < $10^{3}$ = 10³

Es gilt somit: 2 < $\log_{10} (964)$ < 3

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{500} x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{2}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{500} x^{3})$

= $\lg (2 x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{500} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (1)) + (\lg (\frac{1}{500}) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (1) + \lg (\frac{1}{500}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) - 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 0 + \lg (\frac{1}{500}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 0 + \lg (1) - \lg (500) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (500) + \lg (25) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500} \cdot 25 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,2} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{0,2 x - 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,2}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,2} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$e^{0,2 x - 0,2}$	=	$y - 1$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (y - 1)$

$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (y - 1)$	\| $+ 0,2$
$0,2 x$	=	$\ln (y - 1) + 0,2$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y - 1) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 1) + \frac{0,2}{0,2}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 4,4 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,4}$	=	$2$	\| $\sqrt[4,4]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{4,4}}$	≈ $- 1,171$
a₂	=	$2^{\frac{1}{4,4}}$	≈ $1,171$

Das gesuchte a ist somit $1,171$ ≈ 1.17, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,17}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer. Nach 12 Wochen zählt man bereits 35664,4 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 14000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 35664.4 Nutzer ist, also f(12) = 35664.4. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ ein:

$4 000 a^{12}$	=	$35 664,4$	\|: $4 000$
$a^{12}$	=	$8,9161$	\| $\sqrt[12]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[12]{8,9161}$	= $- 1,2$
a₂	=	$\sqrt[12]{8,9161}$	= $1,2$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,2$ ≈ 1.2 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,2}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $4 000 \cdot {1,2}^{8}$ ≈ 17199,268.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 14000 Nutzer ist, also f(t) = 14000:

$4 000 \cdot {1,2}^{t}$	=	$14 000$	\|: $4 000$
${1,2}^{t}$	=	$\frac{7}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,2}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{2})$
$t \cdot \lg (1,2)$	=	$\lg (\frac{7}{2})$	\|: $\lg (1,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{2})}{\lg (1,2)}$

t

=

6,8712

Nach ca. 6,871 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 14000 Nutzer.

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log im Interval bestimmen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben