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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus $\log_{12} (60)$ liegt.

Wir suchen $12$ er-Potenzen in der Näher von $60$ , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $60$ ist.

Dabei kommt man auf $12$ = 12¹ < $60$ und auf $12^{2}$ = 12² > $60$ .

Und da wir bei $\log_{12} (60)$ ja das ☐ von 12^☐ = $60$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
12¹ = $12$ < $60$ < $12^{2}$ = 12²

Es gilt somit: 1 < $\log_{12} (60)$ < 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{5}{4} x^{4}) + \lg (20 x^{3}) - \lg (\frac{1}{4} x^{7})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{5}{4} x^{4}) + \lg (20 x^{3}) - \lg (\frac{1}{4} x^{7})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{5}{4}) + \lg (x^{4}) + (\lg (20) + \lg (x^{3})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (x^{7}))$

= $\lg (\frac{5}{4}) + \lg (x^{4}) + \lg (20) + \lg (x^{3}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (x^{7})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{5}{4}) + 4 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) - 7 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (5) - \lg (4) + 4 \lg (x) + \lg (20) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) - 7 \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20 \cdot 5)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 0,4 x + 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x + 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x + 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{- 0,4 x + 0,4}$ wird $e^{- 0,4 x + 0,4}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{- 0,4 x + 0,4}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{- 0,4 x + 0,4}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$- 0,4 x + 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $- 0,4$
$- 0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) - 0,4$	\|:( $- 0,4$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,4}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,4}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,4}{0,4}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 17,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 17.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{17,7}$	=	$2$	\| $\sqrt[17,7]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{17,7}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{17,7}}$ ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,04}^{t}$

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 55,47 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 12 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50,6 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 55.47 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 55.47. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $60 \cdot a^{t}$ ein:

$60 a^{6}$	=	$55,47$	\|: $60$
$a^{6}$	=	$0,9245$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{0,9245}$	≈ $- 0,987$
a₂	=	$\sqrt[6]{0,9245}$	≈ $0,987$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,987$ ≈ 0.987 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,987}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $60 \cdot {0,987}^{12}$ ≈ 51,281.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50.6:

$60 \cdot {0,987}^{t}$	=	$50,6$	\|: $60$
${0,987}^{t}$	=	$0,8433$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,987}^{t})$	=	$\lg (0,8433)$
$t \cdot \lg (0,987)$	=	$\lg (0,8433)$	\|: $\lg (0,987)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,8433)}{\lg (0,987)}$

t

=

13,0248

Nach ca. 13,025 Jahre ist also der Bestand = 50.6 Millionen Einwohner.

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Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und ein Funktionswert gegeben