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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 14 (60) liegt.

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Wir suchen 14er-Potenzen in der Näher von 60, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 60 ist.

Dabei kommt man auf 14 = 141 < 60 und auf 14 2 = 142 > 60.

Und da wir bei log 14 (60) ja das ☐ von 14 = 60 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
141 = 14 < 60 < 14 2 = 142

Es gilt somit: 1 < log 14 (60) < 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - ( x -3 k ) · e x - 3 2 k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm - ( x -3 k ) · e x - 3 2 k = 0 wird, wenn x -3 k = 0 ist, also für x = 3 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(3 k ) = - ( ( 3 k ) -3 k ) · e ( 3 k ) - 3 2 k +2 = 0 +2 = 2 sein.
    Da bei x = 3 k bei ( x -3 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(3 k | 2 ) im abgebildeten Graph bei P(4| 2 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit 3 k = 4
    Also gilt k = 4 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f 4 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +0,2 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem e -0,1x +0,2 wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x +0,2 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +0,2 -3 = y | +3
e -0,1x +0,2 = y +3 |ln(⋅)
-0,1x +0,2 = ln( y +3 )
-0,1x +0,2 = ln( y +3 ) | -0,2
-0,1x = ln( y +3 ) -0,2 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( y +3 ) + 0,2 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( x +3 ) + 0,2 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( x +3 ) + 0,2 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5,9% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 5.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.9% dazukommen,
also Bneu = B + 5.9 100 ⋅B = (1 + 5.9 100 ) ⋅ B = 1,059 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,059.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.059(2) ≈ 12.09 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5% seines Bestands. 4 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 24,44kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 6 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also Bneu = B - 5 100 ⋅B = (1 - 5 100 ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,95 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 24.44 kg ist, also f(4) = 24.44. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,95 t ein:

c ⋅ 0.954 = 24.44

c ⋅ 0.81451 = 24.44 | : 0.81451

c = 30

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 30 0,95 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = 30 0,95 6 22,053.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

30 0,95 t = 20 |:30
0,95 t = 2 3 |lg(⋅)
lg( 0,95 t ) = lg( 2 3 )
t · lg( 0,95 ) = lg( 2 3 ) |: lg( 0,95 )
t = lg( 2 3 ) lg( 0,95 )
t = 7,9048

Nach ca. 7,905 Tage ist also der Bestand = 20 kg.