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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\sqrt{2})$ .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

$\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{2} (\sqrt{2})$ = $\log_{2} (2^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $2$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- 2 k x \cdot e^{k x - 2 k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm

- 2 k x \cdot e^{k x - 2 k}

= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|4) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k(

0

) =

- 2 k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - 2 k} + 3 k

=

3 k

= 4

$3 k$	=	$4$	\|: $3$
$k$	=	$\frac{4}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{4}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,4 x - 1,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 1,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 1,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,4 x - 1,2}$ wird $e^{0,4 x - 1,2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,4 x - 1,2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,4 x - 1,2}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{0,4 x - 1,2}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 1,2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$0,4 x - 1,2$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $+ 1,2$
$0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) + 1,2$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{1,2}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{1,2}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{1,2}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,095}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,095}^{t}$ ablesen: a=1.095.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.095( $2$ ) ≈ 7.64 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,8% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 55,48 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 12 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 40 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.8}{100}$ ) ⋅ B = 0,962 ⋅ B. Somit ist das a=0,962.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,962}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 55.48 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 55.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,962}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.962⁶ = 55.48

c ⋅ 0.79259 = 55.48 | : 0.79259

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,962}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $70 \cdot {0,962}^{12}$ ≈ 43,974.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:

$70 \cdot {0,962}^{t}$	=	$40$	\|: $70$
${0,962}^{t}$	=	$\frac{4}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,962}^{t})$	=	$\lg (\frac{4}{7})$
$t \cdot \lg (0,962)$	=	$\lg (\frac{4}{7})$	\|: $\lg (0,962)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{4}{7})}{\lg (0,962)}$

t

=

14,4451

Nach ca. 14,445 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.

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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

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