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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (256)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (256)$ = $8$ , eben weil $2$ ^$8$ = $256$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{5}{10} x + 3 k} + 6 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{5}{10} x + 3 k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $6 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $6 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -2, somit muss $6 k$ = -2 gelten;
Also gilt k = $- \frac{1}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{1}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,2} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{- 0,2 x + 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,2 x + 0,2}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,2} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$e^{- 0,2 x + 0,2}$	=	$y + 2$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y + 2)$

$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y + 2)$	\| $- 0,2$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y + 2) - 0,2$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y + 2) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x + 2) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x + 2) + \frac{0,2}{0,2}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $181 \cdot {1,05}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $181$

f(1) = $181$ ⋅ $1,05$

f(2) = $181$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$

f(3) = $181$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$

f(4) = $181$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,05$ multipliziert. Da $1,05$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,05$ -fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 14% abnimmt. 6 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 4,05 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 7 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 1,6 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$ ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,86}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 4.05 Millionen Insekten ist, also f(6) = 4.05. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,86}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.86⁶ = 4.05

c ⋅ 0.40457 = 4.05 | : 0.40457

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,86}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $10 \cdot {0,86}^{7}$ ≈ 3,479.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.6:

$10 \cdot {0,86}^{t}$	=	$1,6$	\|: $10$
${0,86}^{t}$	=	$0,16$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,86}^{t})$	=	$\lg (0,16)$
$t \cdot \lg (0,86)$	=	$\lg (0,16)$	\|: $\lg (0,86)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,16)}{\lg (0,86)}$

t

=

12,1506

Nach ca. 12,151 Jahre ist also der Bestand = 1.6 Millionen Insekten.

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Maximale Definitionsmenge von f

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