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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{3} (\frac{1}{27})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$ , also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $3$ ^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{3} (\frac{1}{27})$ = $- 3$ , eben weil $3$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- e^{- \frac{8}{10} x + 4 k} + 5 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $- e^{- \frac{8}{10} x + 4 k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $5 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $5 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -4, somit muss $5 k$ = -4 gelten;
Also gilt k = $- \frac{4}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{4}{5}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,4 x - 0,8} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{0,4 x - 0,8}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,4 x - 0,8}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,4 x - 0,8} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{0,4 x - 0,8}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (y - 3)$

$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (y - 3)$	\| $+ 0,8$
$0,4 x$	=	$\ln (y - 3) + 0,8$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (y - 3) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (x - 3) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (x - 3) + \frac{0,8}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,888}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,888}^{t}$ ablesen: a=0.888.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.888( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 5.84 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 48,25 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 46,4 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 48.25 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 48.25. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $55 \cdot a^{t}$ ein:

$55 a^{10}$	=	$48,25$	\|: $55$
$a^{10}$	=	$0,87727$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{0,87727}$	≈ $- 0,987$
a₂	=	$\sqrt[10]{0,87727}$	≈ $0,987$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,987$ ≈ 0.987 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot {0,987}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $55 \cdot {0,987}^{4}$ ≈ 52,195.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 46.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 46.4:

$55 \cdot {0,987}^{t}$	=	$46,4$	\|: $55$
${0,987}^{t}$	=	$0,8436$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,987}^{t})$	=	$\lg (0,8436)$
$t \cdot \lg (0,987)$	=	$\lg (0,8436)$	\|: $\lg (0,987)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,8436)}{\lg (0,987)}$

t

=

12,9976

Nach ca. 12,998 Jahre ist also der Bestand = 46.4 Millionen Einwohner.

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Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

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c und ein Funktionswert gegeben