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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (5 000)$ + $\lg (2)$ .

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$\lg (5 000)$ + $\lg (2)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5 000 \cdot 2)$

= $\lg (10 000)$

= $\lg (10^{4})$

= 4

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2 x^{4}}) + \lg (\frac{1}{8} x^{3}) + \lg (\frac{4}{x^{6}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{2 x^{4}}) + \lg (\frac{1}{8} x^{3}) + \lg (\frac{4}{x^{6}})$

= $- \lg (\frac{1}{2} x^{- 4}) + \lg (\frac{1}{8} x^{3}) + \lg (4 x^{- 6})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (\frac{1}{8}) + \lg (x^{3})) + (\lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{6}}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{8}) + \lg (x^{3}) + \lg (4) + \lg (\frac{1}{x^{6}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8}) + 3 \lg (x) + \lg (4) - 6 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (8) + 3 \lg (x) + \lg (4) - 6 \lg (x)$

= $\lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $\lg (x) + \lg (1)$

= $\lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 2} + 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{x - 2}$ wird $e^{x - 2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{x - 2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $- 2 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{x - 2}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{x - 2} + 1$	=	$y$	\| $- 1$
$- 2 e^{x - 2}$	=	$y - 1$	\|: $- 2$
$e^{x - 2}$	=	$- \frac{1}{2} y + \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$

$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + \frac{1}{2}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14,7% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 14.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14.7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14.7}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{14.7}{100}$ ) ⋅ B = 0,853 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,853.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.853( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.36 Tage

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 70 Millionen Einwohner. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 50,57 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 12 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 40 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 50.57 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 50.57. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ ein:

$70 a^{10}$	=	$50,57$	\|: $70$
$a^{10}$	=	$0,72243$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{0,72243}$	≈ $- 0,968$
a₂	=	$\sqrt[10]{0,72243}$	≈ $0,968$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,968$ ≈ 0.968 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,968}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $70 \cdot {0,968}^{12}$ ≈ 47,381.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:

$70 \cdot {0,968}^{t}$	=	$40$	\|: $70$
${0,968}^{t}$	=	$\frac{4}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,968}^{t})$	=	$\lg (\frac{4}{7})$
$t \cdot \lg (0,968)$	=	$\lg (\frac{4}{7})$	\|: $\lg (0,968)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{4}{7})}{\lg (0,968)}$

t

=

17,2067

Nach ca. 17,207 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben