Mathebattle EduRandomtasks

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x}) + \lg (50 x^{4}) - \lg (1000 x^{6})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$\lg (\frac{20}{x}) + \lg (50 x^{4}) - \lg (1000 x^{6})$

= $\lg (20 x^{- 1}) + \lg (50 x^{4}) - \lg (1000 x^{6})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) + (\lg (50) + \lg (x^{4})) - (\lg (1000) + \lg (x^{6}))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x}) + \lg (50) + \lg (x^{4}) - \lg (1000) - \lg (x^{6})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - \lg (x) + \lg (50) + 4 \lg (x) - \lg (1000) - 6 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - \lg (x) + \lg (50) + 4 \lg (x) - \lg (1 000) - 6 \lg (x)$

= $- 3 \lg (x) - \lg (1 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{20} \cdot 20)$

= $- 3 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 3 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{40}{x^{4}}) + \lg (2 x^{2}) - \lg (\frac{1}{20} x^{8})$ soweit wie möglich.

Lösung einblenden

$- \lg (\frac{40}{x^{4}}) + \lg (2 x^{2}) - \lg (\frac{1}{20} x^{8})$

= $- \lg (40 x^{- 4}) + \lg (2 x^{2}) - \lg (\frac{1}{20} x^{8})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (40) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (2) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{20}) + \lg (x^{8}))$

= $- \lg (40) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (2) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{20}) - \lg (x^{8})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (40) + 4 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{20}) - 8 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (40) + 4 \lg (x) + \lg (2) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (20) - 8 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (40) + \lg (20) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{40} \cdot 20 \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 2} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{x - 2}$ wird $e^{x - 2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{x - 2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- 2 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{x - 2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{x - 2} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- 2 e^{x - 2}$	=	$y - 3$	\|: $- 2$
$e^{x - 2}$	=	$- \frac{1}{2} y + \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$

$x - 2$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + \frac{3}{2})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y + \frac{3}{2}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) + 2$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3,1% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 3.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3.1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3.1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{3.1}{100}$ ) ⋅ B = 1,031 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,031.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.031( $2$ ) ≈ 22.7 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 20 Milionen Bakterien. 9 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 23,9Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 25,9 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Stunden der Bestand 23.9 Millionen Bakterien ist, also f(9) = 23.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $20 \cdot a^{t}$ ein:

$20 a^{9}$	=	$23,9$	\|: $20$
$a^{9}$	=	$1,195$	\| $\sqrt[9]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[9]{1,195}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[9]{1,195}$ ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $20 \cdot {1,02}^{5}$ ≈ 22,082.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 25.9 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 25.9:

$20 \cdot {1,02}^{t}$	=	$25,9$	\|: $20$
${1,02}^{t}$	=	$1,295$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (1,295)$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (1,295)$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (1,295)}{\lg (1,02)}$

t

=

13,0544

Nach ca. 13,054 Stunden ist also der Bestand = 25.9 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben