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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (40 000)$ + $\lg (25)$ .

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$\lg (40 000)$ + $\lg (25)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40 000 \cdot 25)$

= $\lg (1 000 000)$

= $\lg (10^{6})$

= 6

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (25 x^{2}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{5}{x^{2}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (25 x^{2}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (\frac{5}{x^{2}})$

= $- \lg (25 x^{2}) + \lg (5 x^{2}) + \lg (5 x^{- 2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (25) + \lg (x^{2})) + (\lg (5) + \lg (x^{2})) + (\lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}}))$

= $- \lg (25) - \lg (x^{2}) + \lg (5) + \lg (x^{2}) + \lg (5) + \lg (\frac{1}{x^{2}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (25) - 2 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (5) - 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (25) - 2 \lg (x) + \lg (5) + 2 \lg (x) + \lg (5) - 2 \lg (x)$

= $- 2 \lg (x) - \lg (25) + \lg (5) + \lg (5)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 5 \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (\frac{1}{5} \cdot 5)$

= $- 2 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 2 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,2} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{0,2 x - 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,2} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{0,2 x - 0,2}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (y - 3)$

$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (y - 3)$	\| $+ 0,2$
$0,2 x$	=	$\ln (y - 3) + 0,2$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y - 3) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 3) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x - 3) + \frac{0,2}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,086}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,086}^{t}$ ablesen: a=1.086.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.086( $2$ ) ≈ 8.4 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 10% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$ ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,9}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $13 \cdot {0,9}^{5}$ ≈ 7,676.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.3:

$13 \cdot {0,9}^{t}$	=	$3,3$	\|: $13$
${0,9}^{t}$	=	$0,2538$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (0,2538)$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (0,2538)$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,2538)}{\lg (0,9)}$

t

=

13,0144

Nach ca. 13,014 Jahre ist also der Bestand = 3.3 Millionen Insekten.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben