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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{2} x^{4}) + \lg (\frac{1}{1000} x) + \lg (5 x^{3})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{2} x^{4}) + \lg (\frac{1}{1000} x) + \lg (5 x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x)) + (\lg (5) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{1}{2}) - \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x) + \lg (5) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{2}) - 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1000}) + \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (2) - 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (1 000) + \lg (x) + \lg (5) + 3 \lg (x)$

= $- \lg (1 000) + \lg (5) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000} \cdot 5 \cdot 2)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 4$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 4$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 4^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,2} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{- 0,2 x + 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,2 x + 0,2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,2} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{- 0,2 x + 0,2}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y - 3)$

$- 0,2 x + 0,2$	=	$\ln (y - 3)$	\| $- 0,2$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y - 3) - 0,2$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y - 3) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x - 3) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x - 3) + \frac{0,2}{0,2}$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 3,7 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 3.7 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{3,7}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[3,7]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3,7}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3,7}}$ ≈ 0.83, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,83}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 1060,9€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 12 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 1500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$ ) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,03}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 1060.9 € ist, also f(2) = 1060.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,03}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.03² = 1060.9

c ⋅ 1.0609 = 1060.9 | : 1.0609

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,03}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $1 000 \cdot {1,03}^{12}$ ≈ 1425,761.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1500 € ist, also f(t) = 1500:

$1 000 \cdot {1,03}^{t}$	=	$1 500$	\|: $1 000$
${1,03}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,03}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,03)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,03)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,03)}$

t

=

13,7172

Nach ca. 13,717 Jahre ist also der Kontostand = 1500 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben