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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (4)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (4)$ = $1$ , eben weil $4$ ^$1$ = $4$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{62500} x^{4}) + \lg (\frac{25}{x^{6}}) + \lg (25 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{62500} x^{4}) + \lg (\frac{25}{x^{6}}) + \lg (25 x^{2})$

= $\lg (\frac{1}{62500} x^{4}) + \lg (25 x^{- 6}) + \lg (25 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{62500}) + \lg (x^{4}) + (\lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{6}})) + (\lg (25) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{62500}) + \lg (x^{4}) + \lg (25) + \lg (\frac{1}{x^{6}}) + \lg (25) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{62500}) + 4 \lg (x) + \lg (25) - 6 \lg (x) + \lg (25) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (62 500) + 4 \lg (x) + \lg (25) - 6 \lg (x) + \lg (25) + 2 \lg (x)$

= $- \lg (62 500) + \lg (25) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{62500} \cdot 25 \cdot 25)$

= $\lg (\frac{1}{100})$

= $\lg (10^{- 2})$

= $- 2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,1 x - 0,2} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{0,1 x - 0,2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,1 x - 0,2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,1 x - 0,2} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$e^{0,1 x - 0,2}$	=	$y - 3$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (y - 3)$

$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (y - 3)$	\| $+ 0,2$
$0,1 x$	=	$\ln (y - 3) + 0,2$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (y - 3) + \frac{0,2}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (x - 3) + \frac{0,2}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (x - 3) + \frac{0,2}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,896}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,896}^{t}$ ablesen: a=0.896.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.896( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 6.31 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 11%. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 13,55Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 41 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,11}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 13.55 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 13.55. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,11}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.11² = 13.55

c ⋅ 1.2321 = 13.55 | : 1.2321

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {1,11}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $11 \cdot {1,11}^{8}$ ≈ 25,35.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 41 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 41:

$11 \cdot {1,11}^{t}$	=	$41$	\|: $11$
${1,11}^{t}$	=	$\frac{41}{11}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,11}^{t})$	=	$\lg (\frac{41}{11})$
$t \cdot \lg (1,11)$	=	$\lg (\frac{41}{11})$	\|: $\lg (1,11)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{41}{11})}{\lg (1,11)}$

t

=

12,6071

Nach ca. 12,607 Stunden ist also der Bestand = 41 Millionen Bakterien.

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log berechnen (einfach)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

a und ein Funktionswert gegeben