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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot (e^{x} + e^{- x})$ vorliegt.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot (e^{- x} + e^{x})$ = $- x \cdot (e^{- x} + e^{x})$ = $- x \cdot e^{x} - x \cdot e^{- x}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot (e^{x} + e^{- x})$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x \cdot e^{x} - x \cdot e^{- x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- (x \cdot e^{x} + x \cdot e^{- x})$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x - 2 k) \cdot e^{x - k} - 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x - 2 k) \cdot e^{x - k}$ = 0 wird, wenn $x - 2 k$ = 0 ist, also für x = $2 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $2 k$ ) = $((2 k) - 2 k) \cdot e^{(2 k) - k} - 3$ = $0 - 3$ = $- 3$ sein.
Da bei x = $2 k$ bei ( $x - 2 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $2 k$ | $- 3$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $- 3$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $2 k$ = 1
Also gilt k = $\frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 3} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $4 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 3}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 3} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$4 e^{x - 3}$	=	$y + 3$	\|: $4$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{4} y + \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{3}{4}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{3}{4}) + 3$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 23,4 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 23.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{23,4}$	=	$2$	\| $\sqrt[23,4]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{23,4}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{23,4}}$ ≈ 1.03, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,03}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 17%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 15 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 85 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$ ) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $15 \cdot {1,17}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $15 \cdot {1,17}^{12}$ ≈ 98,701.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 85 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 85:

$15 \cdot {1,17}^{t}$	=	$85$	\|: $15$
${1,17}^{t}$	=	$\frac{17}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,17}^{t})$	=	$\lg (\frac{17}{3})$
$t \cdot \lg (1,17)$	=	$\lg (\frac{17}{3})$	\|: $\lg (1,17)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{17}{3})}{\lg (1,17)}$

t

=

11,0482

Nach ca. 11,048 Stunden ist also der Bestand = 85 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Symmetrie e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben