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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{3} (81 x) - \log_{3} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{3} (81 x) - \log_{3} (x)$
= $\log_{3} (81) + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $\log_{3} (3^{4}) + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $4 + \log_{3} (x) - \log_{3} (x)$
= $4$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k x \cdot e^{k x + k} + 2 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm

k x \cdot e^{k x + k}

= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k(

0

) =

k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 + k} + 2 k

=

2 k

= -3

$2 k$	=	$- 3$	\|: $2$
$k$	=	$- \frac{3}{2}$ = -1.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{3}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{x - 2} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $2 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $2 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $2 e^{x - 2}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{x - 2} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$2 e^{x - 2}$	=	$y + 2$	\|: $2$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{2} y + 1$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{2} y + 1)$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{2} y + 1)$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y + 1) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{2} x + 1) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{2} x + 1) + 2$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 3,7 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 3.7 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{3,7}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[3,7]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3,7}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3,7}}$ ≈ 0.83, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,83}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 35%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 10 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 510 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 35% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 35% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{35}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{35}{100}$ ) ⋅ B = 1,35 ⋅ B. Somit ist das a=1,35.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {1,35}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $10 \cdot {1,35}^{9}$ ≈ 148,937.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 510 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 510:

$10 \cdot {1,35}^{t}$	=	$510$	\|: $10$
${1,35}^{t}$	=	$51$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,35}^{t})$	=	$\lg (51)$
$t \cdot \lg (1,35)$	=	$\lg (51)$	\|: $\lg (1,35)$
$t$	=	$\frac{\lg (51)}{\lg (1,35)}$

t

=

13,1015

Nach ca. 13,102 Stunden ist also der Bestand = 510 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben