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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{4})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{4})$ = $- 1$ , eben weil $4$ ^{$- 1$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (20 x^{4}) - \lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{4 x^{4}})$ soweit wie möglich.

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$\lg (20 x^{4}) - \lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{4 x^{4}})$

= $\lg (20 x^{4}) - \lg (\frac{1}{2}) + \lg (\frac{1}{4} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (x^{4}) - (\lg (\frac{1}{2}) + \lg (1)) + (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (20) + \lg (x^{4}) - \lg (\frac{1}{2}) - \lg (1) + \lg (\frac{1}{4}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{2}) + 0 + \lg (\frac{1}{4}) - 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (2) + 0 + \lg (1) - \lg (4) - 4 \lg (x)$

= $\lg (20) - \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{4} \cdot 2)$

= $\lg (10)$

= $1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,3 x - 0,9}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x - 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x - 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,3 x - 0,9}$ wird $e^{0,3 x - 0,9}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,3 x - 0,9}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,3 x - 0,9}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{0,3 x - 0,9}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$0,3 x - 0,9$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,9$
$0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) + 0,9$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,9}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,914}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,914}^{t}$ ablesen: a=0.914.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.914( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.71 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 25% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 11 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 8000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{25}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{25}{100}$ ) ⋅ B = 1,25 ⋅ B. Somit ist das a=1,25.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,25}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $1 000 \cdot {1,25}^{11}$ ≈ 11641,532.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer ist, also f(t) = 8000:

$1 000 \cdot {1,25}^{t}$	=	$8 000$	\|: $1 000$
${1,25}^{t}$	=	$8$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,25}^{t})$	=	$\lg (8)$
$t \cdot \lg (1,25)$	=	$\lg (8)$	\|: $\lg (1,25)$
$t$	=	$\frac{\lg (8)}{\lg (1,25)}$

t

=

9,3189

Nach ca. 9,319 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer.

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log berechnen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben