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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) + 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) + 2 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) + 2 \lg (x)$
= $3 \lg (x) + 1$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{2}{x^{7}}) - \lg (\frac{8}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{4})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{2}{x^{7}}) - \lg (\frac{8}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{4})$

= $\lg (2 x^{- 7}) - \lg (8 x^{- 3}) - \lg (\frac{1}{4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) - (\lg (8) + \lg (\frac{1}{x^{3}})) - (\lg (\frac{1}{4}) + \lg (1))$

= $\lg (2) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) - \lg (8) - \lg (\frac{1}{x^{3}}) - \lg (\frac{1}{4}) - \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (2) - 7 \lg (x) - \lg (8) + 3 \lg (x) - \lg (\frac{1}{4}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (2) - 7 \lg (x) - \lg (8) + 3 \lg (x) - \lg (1) + \lg (4) + 0$

= $- 4 \lg (x) - \lg (8) + \lg (4) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 2)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{2} \cdot 2)$

= $- 4 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 4 \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{0,1 x - 0,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,1 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,1 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{0,1 x - 0,2}$ wird $e^{0,1 x - 0,2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{0,1 x - 0,2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{0,1 x - 0,2}$	=	$y$	\|: $- 1$
$e^{0,1 x - 0,2}$	=	$- 1 y$	\|ln(⋅)
$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (- y)$

$0,1 x - 0,2$	=	$\ln (- y)$	\| $+ 0,2$
$0,1 x$	=	$\ln (- y) + 0,2$	\|: $0,1$
$x$	=	$\frac{1}{0,1} \ln (- y) + \frac{0,2}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,1} \ln (- x) + \frac{0,2}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,1} \ln (- x) + \frac{0,2}{0,1}$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $119 \cdot {0,95}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $119$

f(1) = $119$ ⋅ $0,95$

f(2) = $119$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

f(3) = $119$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

f(4) = $119$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,95$ multipliziert. Da $0,95$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,95$ -fache, also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7% verzinst. Zu Beginn sind 6000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 7 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 16000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 1,07 ⋅ B. Somit ist das a=1,07.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,07}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $6 000 \cdot {1,07}^{7}$ ≈ 9634,689.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 16000 € ist, also f(t) = 16000:

$6 000 \cdot {1,07}^{t}$	=	$16 000$	\|: $6 000$
${1,07}^{t}$	=	$\frac{8}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,07}^{t})$	=	$\lg (\frac{8}{3})$
$t \cdot \lg (1,07)$	=	$\lg (\frac{8}{3})$	\|: $\lg (1,07)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{8}{3})}{\lg (1,07)}$

t

=

14,4967

Nach ca. 14,497 Jahre ist also der Kontostand = 16000 €.

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben