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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\frac{1}{64})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $4$ ^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (\frac{1}{64})$ = $- 3$ , eben weil $4$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{64}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (50 x^{4}) + \lg (\frac{20}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{10})$ soweit wie möglich.

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$\lg (50 x^{4}) + \lg (\frac{20}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (50 x^{4}) + \lg (20 x^{- 4}) + \lg (\frac{1}{10})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (50) + \lg (x^{4}) + (\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) + (\lg (\frac{1}{10}) + \lg (1))$

= $\lg (50) + \lg (x^{4}) + \lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{4}}) + \lg (\frac{1}{10}) + \lg (1)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (20) - 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10}) + 0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (50) + 4 \lg (x) + \lg (20) - 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (10) + 0$

= $\lg (50) + \lg (20) - \lg (10)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50 \cdot 20}{10})$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{0,2 x - 0,4}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,4$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,4}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{0,2 x - 0,4}$ wird $e^{0,2 x - 0,4}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{0,2 x - 0,4}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{0,2 x - 0,4}$	=	$y$	\|: $- 3$
$e^{0,2 x - 0,4}$	=	$- \frac{1}{3} y$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$

$0,2 x - 0,4$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y)$	\| $+ 0,4$
$0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y) + 0,4$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} y) + \frac{0,4}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,4}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{3} x) + \frac{0,4}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,103}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,103}^{t}$ ablesen: a=1.103.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.103( $2$ ) ≈ 7.07 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 60,16 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 60 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 60.16 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 60.16. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $80 \cdot a^{t}$ ein:

$80 a^{8}$	=	$60,16$	\|: $80$
$a^{8}$	=	$0,752$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{0,752}$	≈ $- 0,965$
a₂	=	$\sqrt[8]{0,752}$	≈ $0,965$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,965$ ≈ 0.965 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,965}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $80 \cdot {0,965}^{9}$ ≈ 58,054.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$80 \cdot {0,965}^{t}$	=	$60$	\|: $80$
${0,965}^{t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,965}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{4})$
$t \cdot \lg (0,965)$	=	$\lg (\frac{3}{4})$	\|: $\lg (0,965)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{4})}{\lg (0,965)}$

t

=

8,0748

Nach ca. 8,075 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.

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Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

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