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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $- 2 e^{x + 1} + 3$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^{x}$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei $- 2 e^{x + 1} + 3$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch 3 addiert wird, ist der Graph von $- 2 e^{x + 1} + 3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei $- 2 e^{x + 1} + 3$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
Für x → ∞ strebt $- 2 e^{x + 1} + 3$ gegen $- \infty$ .
Für x → - ∞ strebt $- 2 e^{x + 1} + 3$ gegen $0 + 3$ = $3$ .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{50 x}) + \lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{1}{10 000 x^{5}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{50 x}) + \lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{1}{10 000 x^{5}})$

= $- \lg (\frac{1}{50} x^{- 1}) + \lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{1}{10000} x^{- 5})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (20) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{1}{10000}) + \lg (\frac{1}{x^{5}}))$

= $- \lg (\frac{1}{50}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (20) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{1}{10000}) + \lg (\frac{1}{x^{5}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{50}) + \lg (x) + \lg (20) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{1}{10000}) - 5 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (50) + \lg (x) + \lg (20) + 4 \lg (x) + \lg (1) - \lg (10 000) - 5 \lg (x)$

= $- \lg (10 000) + \lg (50) + \lg (20)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000} \cdot 50 \cdot 20)$

= $\lg (\frac{1}{10})$

= $\lg (10^{- 1})$

= $- 1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{0,2 x - 0,2}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{0,2 x - 0,2}$ wird $e^{0,2 x - 0,2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{0,2 x - 0,2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{0,2 x - 0,2}$	=	$y$	\|: $- 2$
$e^{0,2 x - 0,2}$	=	$- \frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$

$0,2 x - 0,2$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$	\| $+ 0,2$
$0,2 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y) + 0,2$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{2} y) + \frac{0,2}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,2}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,2}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,02.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.02( $2$ ) ≈ 35 Stunden

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 7 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 407 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$ ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 \cdot {1,26}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $7 \cdot {1,26}^{10}$ ≈ 70,6.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 407 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 407:

$7 \cdot {1,26}^{t}$	=	$407$	\|: $7$
${1,26}^{t}$	=	$\frac{407}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,26}^{t})$	=	$\lg (\frac{407}{7})$
$t \cdot \lg (1,26)$	=	$\lg (\frac{407}{7})$	\|: $\lg (1,26)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{407}{7})}{\lg (1,26)}$

t

=

17,5798

Nach ca. 17,58 Stunden ist also der Bestand = 407 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben