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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (4 x^{3}) + \lg (\frac{1}{100 x^{12}}) - \lg (\frac{1}{25 x^{4}})$ soweit wie möglich.

$\lg (4 x^{3}) + \lg (\frac{1}{100 x^{12}}) - \lg (\frac{1}{25 x^{4}})$

= $\lg (4 x^{3}) + \lg (\frac{1}{100} x^{- 12}) - \lg (\frac{1}{25} x^{- 4})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (4) + \lg (x^{3}) + (\lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{12}})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{4}}))$

= $\lg (4) + \lg (x^{3}) + \lg (\frac{1}{100}) + \lg (\frac{1}{x^{12}}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{4}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (4) + 3 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100}) - 12 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) + 4 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (4) + 3 \lg (x) + \lg (1) - \lg (100) - 12 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) + 4 \lg (x)$

= $- 5 \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $2$ ), also gilt f(0)= $2$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $2$ , also $f(x) =$ $2 \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $4$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $2 \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $2 \cdot a$ = $2 a$ .

Es gilt also: $4$ = $2 a$ | ⋅ $\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $2 \cdot 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 e^{x - 3} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 4$ vor $e^{x - 3}$ wird $e^{x - 3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 4 e^{x - 3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $- 4 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 4 e^{x - 3}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 4 e^{x - 3} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$- 4 e^{x - 3}$	=	$y + 2$	\|: $- 4$
$e^{x - 3}$	=	$- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$

$x - 3$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{4} y - \frac{1}{2}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 3$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 7,3 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 7000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 7.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{7,3}$	=	$2$	\| $\sqrt[7,3]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{7,3}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{7,3}}$ ≈ 1.1, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,1}^{t}$

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 109,58Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 11 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 84 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$ ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,29}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 109.58 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 109.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,29}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.29¹³ = 109.58

c ⋅ 27.39468 = 109.58 | : 27.39468

c = 4

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 \cdot {1,29}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $4 \cdot {1,29}^{11}$ ≈ 65,849.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 84 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 84:

$4 \cdot {1,29}^{t}$	=	$84$	\|: $4$
${1,29}^{t}$	=	$21$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,29}^{t})$	=	$\lg (21)$
$t \cdot \lg (1,29)$	=	$\lg (21)$	\|: $\lg (1,29)$
$t$	=	$\frac{\lg (21)}{\lg (1,29)}$

t

=

11,9561

Nach ca. 11,956 Stunden ist also der Bestand = 84 Millionen Bakterien.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

a und ein Funktionswert gegeben