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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (\frac{1}{8})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{8}$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{8}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $\frac{1}{8}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$ -Potenz zu schreiben versuchen, also $2$ ^☐ = $\frac{1}{8}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (\frac{1}{8})$ = $- 3$ , eben weil $2$ ^{$- 3$} = $\frac{1}{8}$ gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- 1$ ), also gilt f(0)= $- 1$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 1$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- 1$ , also $f(x) =$ $- a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- 2$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- 2$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- 2$ = $- a$ = $- a$ .

Es gilt also: $- 2$ = $- a$ | ⋅ $- 1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- 2^{x}$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $3 e^{0,4 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{0,4 x}$ können die Funktionswerte von $3 e^{0,4 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3 e^{0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3 e^{0,4 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3 e^{0,4 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$3 e^{0,4 x}$	=	$y + 2$	\|: $3$
$e^{0,4 x}$	=	$\frac{1}{3} y + \frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$
$x$	=	$\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{3} y + \frac{2}{3})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{3} x + \frac{2}{3})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$ ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,32.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.32( $2$ ) ≈ 2.5 Stunden

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 52,83 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 5 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 53,4 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 52.83 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 52.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $55 \cdot a^{t}$ ein:

$55 a^{4}$	=	$52,83$	\|: $55$
$a^{4}$	=	$0,96055$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{0,96055}$	≈ $- 0,99$
a₂	=	$\sqrt[4]{0,96055}$	≈ $0,99$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,99$ ≈ 0.99 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot {0,99}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $55 \cdot {0,99}^{5}$ ≈ 52,304.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 53.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 53.4:

$55 \cdot {0,99}^{t}$	=	$53,4$	\|: $55$
${0,99}^{t}$	=	$0,9709$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,99}^{t})$	=	$\lg (0,9709)$
$t \cdot \lg (0,99)$	=	$\lg (0,9709)$	\|: $\lg (0,99)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,9709)}{\lg (0,99)}$

t

=

2,9384

Nach ca. 2,938 Jahre ist also der Bestand = 53.4 Millionen Einwohner.

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Term aus Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben