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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\log_{13} (507)$ - $\log_{13} (3)$ .

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$\log_{13} (507)$ - $\log_{13} (3)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\log_{13} (\frac{507}{3})$

= $\log_{13} (169)$

= $\log_{13} (13^{2})$

= 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $5 k e^{k x + 4 k} + 3$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $5 k e^{k x + 4 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + 4 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $5 k e^{k x + 4 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $3$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + 4 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + 4 k$	=	0	\| - ( $4 k$ )
$k x$	=	$- 4 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 4$

Wenn wir nun

- 4

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 4

) =

5 k e^{k \cdot (- 4) + 4 k} + 3

=

5 k + 3

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 4

) = -1 ablesen, es gilt somit:

$5 k + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$5 k$	=	$- 4$	\|: $5$
$k$	=	$- \frac{4}{5}$ = -0.8

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{4}{5}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 1} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 3$ vor $e^{x - 1}$ wird $e^{x - 1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 3 e^{x - 1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $- 3 e^{x - 1}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 3 e^{x - 1}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 3 e^{x - 1} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$- 3 e^{x - 1}$	=	$y + 1$	\|: $- 3$
$e^{x - 1}$	=	$- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$

$x - 1$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3})$	\| $+ 1$
$x$	=	$\ln (- \frac{1}{3} y - \frac{1}{3}) + 1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (- \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) + 1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (- \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}) + 1$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $150 \cdot {(\frac{27}{25})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $150$

f(1) = $150$ ⋅ $\frac{27}{25}$

f(2) = $150$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$

f(3) = $150$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$

f(4) = $150$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{27}{25}$ multipliziert. Da $\frac{27}{25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{27}{25}$ -fache (oder auf das $\frac{108}{100}$ -fache), also auf $108$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 108% - 100% = 8 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3% verzinst. Zu Beginn sind 6000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 9 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$ ) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,03}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $6 000 \cdot {1,03}^{9}$ ≈ 7828,639.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$6 000 \cdot {1,03}^{t}$	=	$9 000$	\|: $6 000$
${1,03}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,03}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,03)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,03)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,03)}$

t

=

13,7172

Nach ca. 13,717 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben