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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{5} (\sqrt{5})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{5}$ zur Basis $5$ , also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$ ^☐ = $\sqrt{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$ ^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$

$\log_{5} (\sqrt{5})$ = $\frac{1}{2}$ , eben weil $5$ ^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{20}{x^{7}}) + \lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{5}{2} x^{3})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{20}{x^{7}}) + \lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{5}{2} x^{3})$

= $\lg (20 x^{- 7}) + \lg (20 x^{4}) + \lg (\frac{5}{2} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) + (\lg (20) + \lg (x^{4})) + (\lg (\frac{5}{2}) + \lg (x^{3}))$

= $\lg (20) + \lg (\frac{1}{x^{7}}) + \lg (20) + \lg (x^{4}) + \lg (\frac{5}{2}) + \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (20) - 7 \lg (x) + \lg (20) + 4 \lg (x) + \lg (\frac{5}{2}) + 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (20) - 7 \lg (x) + \lg (20) + 4 \lg (x) + \lg (5) - \lg (2) + 3 \lg (x)$

= $\lg (20) + \lg (20) + \lg (5) - \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20 \cdot 20 \cdot 5}{2})$

= $\lg (1 000)$

= $\lg (10^{3})$

= $3$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{0,4 x} - 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{0,4 x}$ können die Funktionswerte von $2 e^{0,4 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $2 e^{0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2 e^{0,4 x}$ noch $- 2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{0,4 x} - 2$	=	$y$	\| $+ 2$
$2 e^{0,4 x}$	=	$y + 2$	\|: $2$
$e^{0,4 x}$	=	$\frac{1}{2} y + 1$	\|ln(⋅)
$0,4 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y + 1)$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (\frac{1}{2} y + 1)$
$x$	=	$\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{2} y + 1)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{2} x + 1)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{5}{2} \ln (\frac{1}{2} x + 1)$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$ ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.2( $2$ ) ≈ 3.8 Stunden

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. 4 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 21,49kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 25,4kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,92}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 21.49 kg ist, also f(4) = 21.49. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,92}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.92⁴ = 21.49

c ⋅ 0.71639 = 21.49 | : 0.71639

c = 30

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $30 \cdot {0,92}^{8}$ ≈ 15,397.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 25.4 kg ist, also f(t) = 25.4:

$30 \cdot {0,92}^{t}$	=	$25,4$	\|: $30$
${0,92}^{t}$	=	$0,8467$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (0,8467)$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (0,8467)$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,8467)}{\lg (0,92)}$

t

=

1,9957

Nach ca. 1,996 Tage ist also der Bestand = 25.4 kg.

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log berechnen

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben