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cosh
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Symmetrie e-Funktionen
Beispiel:
Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit vorliegt.
Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:
f(-x) = = =
Wenn man das mit f(x) = = vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.
Es gilt also: f(-x) = f(x)
Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Da das k ja ein fester Wert ist, kann niemals = 0 werden.
- Wenn der Exponent
jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm
recht
schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei
erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt. - Wir müssen also den Exponent
= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
Wenn wir nun in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:= 0 | - ( ) = |:( ) =
fk() = =
im abgebildeten Term können wir aber ja f() = -2 ablesen, es gilt somit:= | = |: = = -1.5
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Auch mit dem positiven Koeffizienten vor können die Funktionswerte von alles zwischen 0 und ∞ annehmen.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14,6% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.
Die prozentuale Abnahme um 14.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14.6% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,854 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=0,854.
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga().
Also TH = log0.854() ≈ 4.39 Tage
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Staat verliert jedes Jahr 1,3% seiner Bevölkerung. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 72,05 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 70 Millionen Einwohner?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Die prozentuale Abnahme um 1.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.3% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,987 ⋅ B. Somit ist das a=0,987.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Anfangswert c sein muss.
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 72.05 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 72.05. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
c ⋅ 0.9878 = 72.05
c ⋅ 0.90061 = 72.05 | : 0.90061
c = 80
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):
f(9) = ≈ 71,112.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 70:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 10,205 Jahre ist also der Bestand = 70 Millionen Einwohner.
