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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (x^{2})$ zu einem Vielfachen von $\lg (x)$ .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg (x^{2})$
= $2 \lg (x)$
= $2 \lg (x)$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $e^{\frac{7}{10} x - 3 k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{7}{10} x - 3 k}$ niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand $3 k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $3 k$
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 5, somit muss $3 k$ = 5 gelten;
Also gilt k = $\frac{5}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{5}{3}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 0,4 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,4 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,4 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{- 0,4 x}$ wird $e^{- 0,4 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{- 0,4 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 2 e^{- 0,4 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{- 0,4 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{- 0,4 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 2 e^{- 0,4 x}$	=	$y + 3$	\|: $- 2$
$e^{- 0,4 x}$	=	$- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,4 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$	\|: $- 0,4$
$x$	=	$- \frac{1}{0,4} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$
$x$	=	$- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{5}{2} \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4,8% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 4.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4.8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{4.8}{100}$ ) ⋅ B = 0,952 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,952.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.952( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 14.09 Tage

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,9% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 35 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.9}{100}$ ) ⋅ B = 0,961 ⋅ B. Somit ist das a=0,961.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot {0,961}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $75 \cdot {0,961}^{4}$ ≈ 63,967.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

$75 \cdot {0,961}^{t}$	=	$35$	\|: $75$
${0,961}^{t}$	=	$\frac{7}{15}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,961}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{15})$
$t \cdot \lg (0,961)$	=	$\lg (\frac{7}{15})$	\|: $\lg (0,961)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{15})}{\lg (0,961)}$

t

=

19,1585

Nach ca. 19,159 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.

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2. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben