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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 ( 1 10.000.000 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 10.000.000 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 1 10.000.000 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 1 10.000.000 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 10-Potenz zu schreiben versuchen, also 10 = 1 10.000.000

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 10 ( 1 10.000.000 ) = -7, eben weil 10-7 = 1 10.000.000 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 4 x 3 ) - lg( 16 x 6 ) + lg( 4x ) soweit wie möglich.

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lg( 4 x 3 ) - lg( 16 x 6 ) + lg( 4x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 4 ) + lg( x 3 ) - ( lg( 16 ) + lg( x 6 ) ) + ( lg( 4 ) + lg( x ) )

= lg( 4 ) + lg( x 3 ) - lg( 16 ) - lg( x 6 ) + lg( 4 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 4 ) +3 lg( x ) - lg( 16 ) -6 lg( x ) + lg( 4 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 4 ) +3 lg( x ) - lg( 16 ) -6 lg( x ) + lg( 4 ) + lg( x )

= -2 lg( x ) - lg( 16 ) + lg( 4 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -2 lg( x ) + lg( 1 16 · 4 · 4 )

= -2 lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= -2 lg( x ) + lg( 1 )

= -2 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e x -1 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem -3 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von -3 e x -1 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e x -1 +3 = y | -3
-3 e x -1 = y -3 |:-3
e x -1 = - 1 3 y +1 |ln(⋅)
x -1 = ln( - 1 3 y +1 )
x -1 = ln( - 1 3 y +1 ) | +1
x = ln( - 1 3 y +1 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 3 x +1 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 3 x +1 ) +1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,2 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 3.2 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 3,2 = 2 | 3,2
a = 2 1 3,2

Das gesuchte a ist somit 2 1 3,2 ≈ 1.24, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 6000 1,24 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 23%. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 33,28Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 122 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also Bneu = B + 23 100 ⋅B = (1 + 23 100 ) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,23 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 33.28 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 33.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,23 t ein:

c ⋅ 1.232 = 33.28

c ⋅ 1.5129 = 33.28 | : 1.5129

c = 22

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 22 1,23 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = 22 1,23 5 61,937.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 122 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 122:

22 1,23 t = 122 |:22
1,23 t = 61 11 |lg(⋅)
lg( 1,23 t ) = lg( 61 11 )
t · lg( 1,23 ) = lg( 61 11 ) |: lg( 1,23 )
t = lg( 61 11 ) lg( 1,23 )
t = 8,2747

Nach ca. 8,275 Stunden ist also der Bestand = 122 Millionen Bakterien.