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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{1 250 x^{9}})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{1}{25 x^{4}}) - \lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{1 250 x^{9}})$

= $- \lg (\frac{1}{25} x^{- 4}) - \lg (\frac{1}{50}) + \lg (\frac{1}{1250} x^{- 9})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (\frac{1}{50}) + \lg (1)) + (\lg (\frac{1}{1250}) + \lg (\frac{1}{x^{9}}))$

= $- \lg (\frac{1}{25}) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{50}) - \lg (1) + \lg (\frac{1}{1250}) + \lg (\frac{1}{x^{9}})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{1}{25}) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{50}) + 0 + \lg (\frac{1}{1250}) - 9 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (1) + \lg (25) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (50) + 0 + \lg (1) - \lg (1 250) - 9 \lg (x)$

= $- 5 \lg (x) - \lg (1 250) + \lg (50) + \lg (25)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{1 250} \cdot 50 \cdot 25)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (\frac{1}{25} \cdot 25)$

= $- 5 \lg (x) + \lg (1)$

= $- 5 \lg (x)$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{5}{2 x}) + \lg (50 x^{2}) - \lg (\frac{1}{5} x^{3})$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{5}{2 x}) + \lg (50 x^{2}) - \lg (\frac{1}{5} x^{3})$

= $- \lg (\frac{5}{2} x^{- 1}) + \lg (50 x^{2}) - \lg (\frac{1}{5} x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (\frac{5}{2}) + \lg (\frac{1}{x})) + (\lg (50) + \lg (x^{2})) - (\lg (\frac{1}{5}) + \lg (x^{3}))$

= $- \lg (\frac{5}{2}) - \lg (\frac{1}{x}) + \lg (50) + \lg (x^{2}) - \lg (\frac{1}{5}) - \lg (x^{3})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (\frac{5}{2}) + \lg (x) + \lg (50) + 2 \lg (x) - \lg (\frac{1}{5}) - 3 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (5) + \lg (2) + \lg (x) + \lg (50) + 2 \lg (x) - \lg (1) + \lg (5) - 3 \lg (x)$

= $\lg (50) + \lg (2)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50 \cdot 2)$

= $\lg (100)$

= $\lg (10^{2})$

= $2$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{0,3 x} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{0,3 x}$ wird $e^{0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $- 2 e^{0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- 2 e^{0,3 x}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{0,3 x} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$- 2 e^{0,3 x}$	=	$y + 3$	\|: $- 2$
$e^{0,3 x}$	=	$- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$0,3 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$	\|: $0,3$
$x$	=	$\frac{1}{0,3} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$
$x$	=	$\frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} y - \frac{3}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{10}{3} \ln (- \frac{1}{2} x - \frac{3}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,084}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,084}^{t}$ ablesen: a=1.084.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.084( $2$ ) ≈ 8.59 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. Zu Beginn sind 8000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 6 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 8800€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$ ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,01}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $8 000 \cdot {1,01}^{6}$ ≈ 8492,161.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8800 € ist, also f(t) = 8800:

$8 000 \cdot {1,01}^{t}$	=	$8 800$	\|: $8 000$
${1,01}^{t}$	=	$\frac{11}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,01}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{10})$
$t \cdot \lg (1,01)$	=	$\lg (\frac{11}{10})$	\|: $\lg (1,01)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{10})}{\lg (1,01)}$

t

=

9,5786

Nach ca. 9,579 Jahre ist also der Kontostand = 8800 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Beide Logarithmusgesetze

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben