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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -( x +1 ) .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -( x +1 ) das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von e -( x +1 ) gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei e -( x +1 ) das x von e x durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt e -( x +1 ) gegen 0 .
  • Für x → - ∞ strebt e -( x +1 ) gegen ∞ .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-3) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -3.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -3 = -a = -a .

Es gilt also: -3 = -a | ⋅ -1

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e 0,1x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e 0,1x können die Funktionswerte von 2 e 0,1x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem 2 e 0,1x wird zu allen Funktionswerten von 2 e 0,1x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e 0,1x -1 = y | +1
2 e 0,1x = y +1 |:2
e 0,1x = 1 2 y + 1 2 |ln(⋅)
0,1x = ln( 1 2 y + 1 2 ) |:0,1
x = 1 0,1 ln( 1 2 y + 1 2 )
x = 10 ln( 1 2 y + 1 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 ln( 1 2 x + 1 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 ln( 1 2 x + 1 2 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 164⋅ 0,65 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 164

f(1) = 164 ⋅ 0,65

f(2) = 164 ⋅ 0,65 ⋅ 0,65

f(3) = 164 ⋅ 0,65 ⋅ 0,65 ⋅ 0,65

f(4) = 164 ⋅ 0,65 ⋅ 0,65 ⋅ 0,65 ⋅ 0,65

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,65 multipliziert. Da 0,65 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,65-fache, also auf 65 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 23 Milionen Bakterien. 9 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 35,68Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 33 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=23 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 23⋅ a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Stunden der Bestand 35.68 Millionen Bakterien ist, also f(9) = 35.68. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 23⋅ a t ein:

23 a 9 = 35,68 |:23
a 9 = 1,5513 | ⋅9
a = 1,5513 9

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,5513 9 ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 23⋅ 1,05 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = 23⋅ 1,05 12 ≈ 41,305.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 33 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 33:

23⋅ 1,05 t = 33 |:23
1,05 t = 33 23 |lg(⋅)
lg( 1,05 t ) = lg( 33 23 )
t · lg( 1,05 ) = lg( 33 23 ) |: lg( 1,05 )
t = lg( 33 23 ) lg( 1,05 )
t = 7,3993

Nach ca. 7,399 Stunden ist also der Bestand = 33 Millionen Bakterien.