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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 5x ) + lg( 2 x 5 ) + lg( 10 x 4 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 5x ) + lg( 2 x 5 ) + lg( 10 x 4 )

= lg( 5x ) + lg( 2 x -5 ) + lg( 10 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 5 ) + lg( x ) + ( lg( 2 ) + lg( 1 x 5 ) ) + ( lg( 10 ) + lg( x 4 ) )

= lg( 5 ) + lg( x ) + lg( 2 ) + lg( 1 x 5 ) + lg( 10 ) + lg( x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 5 ) + lg( x ) + lg( 2 ) -5 lg( x ) + lg( 10 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 5 ) + lg( x ) + lg( 2 ) -5 lg( x ) + lg( 10 ) +4 lg( x )

= lg( 10 ) + lg( 5 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 10 · 5 · 2 )

= lg( 100 )

= lg( 10 2 )

= 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 20 ) + lg( 20 x 4 ) + lg( 5 2 x 4 ) soweit wie möglich.

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lg( 20 ) + lg( 20 x 4 ) + lg( 5 2 x 4 )

= lg( 20 ) + lg( 20 x -4 ) + lg( 5 2 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 20 ) + lg( 1 ) + ( lg( 20 ) + lg( 1 x 4 ) ) + ( lg( 5 2 ) + lg( x 4 ) )

= lg( 20 ) + lg( 1 ) + lg( 20 ) + lg( 1 x 4 ) + lg( 5 2 ) + lg( x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 20 ) +0 + lg( 20 ) -4 lg( x ) + lg( 5 2 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 20 ) +0 + lg( 20 ) -4 lg( x ) + lg( 5 ) - lg( 2 ) +4 lg( x )

= lg( 20 ) + lg( 20 ) + lg( 5 ) - lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 20 · 20 · 5 2 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e 0,4x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e 0,4x können die Funktionswerte von 4 e 0,4x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem 4 e 0,4x wird zu allen Funktionswerten von 4 e 0,4x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e 0,4x -3 = y | +3
4 e 0,4x = y +3 |:4
e 0,4x = 1 4 y + 3 4 |ln(⋅)
0,4x = ln( 1 4 y + 3 4 ) |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 4 y + 3 4 )
x = 5 2 ln( 1 4 y + 3 4 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 2 ln( 1 4 x + 3 4 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 2 ln( 1 4 x + 3 4 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4,4% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 4.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.4% dazukommen,
also Bneu = B + 4.4 100 ⋅B = (1 + 4.4 100 ) ⋅ B = 1,044 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,044.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.044(2) ≈ 16.1 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer. Nach 3 Wochen zählt man bereits 6083,5 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 24000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 4000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 6083.5 Nutzer ist, also f(3) = 6083.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 4000 a t ein:

4000 a 3 = 6083,5 |:4000
a 3 = 1,52088 | 3
a = 1,52088 3

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,52088 3 ≈ 1.15 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4000 1,15 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = 4000 1,15 9 14071,505.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 24000 Nutzer ist, also f(t) = 24000:

4000 1,15 t = 24000 |:4000
1,15 t = 6 |lg(⋅)
lg( 1,15 t ) = lg( 6 )
t · lg( 1,15 ) = lg( 6 ) |: lg( 1,15 )
t = lg( 6 ) lg( 1,15 )
t = 12,8201

Nach ca. 12,82 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 24000 Nutzer.