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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\lg (10 x) - 2 \lg (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg (10 x) - 2 \lg (x)$
= $\lg (10) + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $1 + \lg (x) - 2 \lg (x)$
= $- \lg (x) + 1$

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $4 k e^{k x + 3 k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $4 k e^{k x + 3 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + 3 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $4 k e^{k x + 3 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + 3 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + 3 k$	=	0	\| - ( $3 k$ )
$k x$	=	$- 3 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 3$

Wenn wir nun

- 3

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 3

) =

4 k e^{k \cdot (- 3) + 3 k} + 1

=

4 k + 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 3

) = -2 ablesen, es gilt somit:

$4 k + 1$	=	$- 2$	\| $- 1$
$4 k$	=	$- 3$	\|: $4$
$k$	=	$- \frac{3}{4}$ = -0.75

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{3}{4}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,2 x + 0,6}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,2 x + 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,2 x + 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,2 x + 0,6}$	=	$y$	\|ln(⋅)
$- 0,2 x + 0,6$	=	$\ln (y)$

$- 0,2 x + 0,6$	=	$\ln (y)$	\| $- 0,6$
$- 0,2 x$	=	$\ln (y) - 0,6$	\|:( $- 0,2$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,2} \ln (y) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,2} \ln (x) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,2} \ln (x) + \frac{0,6}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$ ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,26.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.26( $2$ ) ≈ 3 Stunden

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt. 11 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 1,76 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 12 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Jahre der Bestand 1.76 Millionen Insekten ist, also f(11) = 1.76. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $12 \cdot a^{t}$ ein:

$12 a^{11}$	=	$1,76$	\|: $12$
$a^{11}$	=	$\frac{1,76}{12}$	\| $\sqrt[11]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[11]{\frac{1,76}{12}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{\frac{1,76}{12}}$ ≈ 0.84 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,84}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $12 \cdot {0,84}^{12}$ ≈ 1,481.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$12 \cdot {0,84}^{t}$	=	$3$	\|: $12$
${0,84}^{t}$	=	$\frac{1}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,84}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{4})$
$t \cdot \lg (0,84)$	=	$\lg (\frac{1}{4})$	\|: $\lg (0,84)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{4})}{\lg (0,84)}$

t

=

7,9511

Nach ca. 7,951 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.

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1. Logarithmusgesetz einfach

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und ein Funktionswert gegeben