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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= $e^{x - 2} - 3$ .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x - 2} - 3$ zu jedem Funktionswert von $e^{x}$ noch -3 addiert wird, ist der Graph von $e^{x - 2} - 3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x - 2} - 3$ das x von $e^{x}$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
Für x → ∞ strebt $e^{x - 2} - 3$ gegen $\infty$ .
Für x → - ∞ strebt $e^{x - 2} - 3$ gegen $0 - 3$ = $- 3$ .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k e^{k x + k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k e^{k x + k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $k e^{k x + k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + k

= 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + k$	=	0	\| - ( $k$ )
$k x$	=	$- k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 1$

Wenn wir nun

- 1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 1

) =

k e^{k \cdot (- 1) + k} + 1

=

k + 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 1

) = -4 ablesen, es gilt somit:

$k + 1$	=	$- 4$	\| $- 1$
$k$	=	$- 5$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 5$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{- 0,3 x + 0,9} + 2$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x + 0,9$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x + 0,9}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{- 0,3 x + 0,9}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{- 0,3 x + 0,9}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{- 0,3 x + 0,9} + 2$	=	$y$	\| $- 2$
$e^{- 0,3 x + 0,9}$	=	$y - 2$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (y - 2)$

$- 0,3 x + 0,9$	=	$\ln (y - 2)$	\| $- 0,9$
$- 0,3 x$	=	$\ln (y - 2) - 0,9$	\|:( $- 0,3$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (y - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,3} \ln (x - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,3} \ln (x - 2) + \frac{0,9}{0,3}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,919}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,919}^{t}$ ablesen: a=0.919.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.919( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 8.21 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 3787,43€. a) Wie hoch ist der Kontostand 10 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 4500€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 3787.43 € ist, also f(4) = 3787.43. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $3 000 \cdot a^{t}$ ein:

$3 000 a^{4}$	=	$3 787,43$	\|: $3 000$
$a^{4}$	=	$1,26248$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{1,26248}$	= $- 1,06$
a₂	=	$\sqrt[4]{1,26248}$	= $1,06$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,06$ ≈ 1.06 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $3 000 \cdot {1,06}^{10}$ ≈ 5372,543.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4500 € ist, also f(t) = 4500:

$3 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$4 500$	\|: $3 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,06)}$

t

=

6,9585

Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 4500 €.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Eigenschaften von e-Funktionen

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben