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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 x ) + lg( 1 x ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( 1 x ) + lg( 1 x )
= lg( x - 1 2 ) + lg( x -1 )
= - 1 2 lg( x ) - lg( x )
= - 3 2 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 50 x 3 ) - lg( 1 2 x 2 ) + lg( 1 100000 x ) soweit wie möglich.

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lg( 50 x 3 ) - lg( 1 2 x 2 ) + lg( 1 100000 x )

= lg( 50 x 3 ) - lg( 1 2 x 2 ) + lg( 1 100.000 x -1 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 50 ) + lg( x 3 ) - ( lg( 1 2 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 1 100.000 ) + lg( 1 x ) )

= lg( 50 ) + lg( x 3 ) - lg( 1 2 ) - lg( x 2 ) + lg( 1 100.000 ) + lg( 1 x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 50 ) +3 lg( x ) - lg( 1 2 ) -2 lg( x ) + lg( 1 100.000 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 50 ) +3 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 2 ) -2 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 100000 ) - lg( x )

= - lg( 100000 ) + lg( 50 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 100.000 · 50 · 2 )

= lg( 1 1000 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e 0,1x -0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e 0,1x -0,3 können die Funktionswerte von 2 e 0,1x -0,3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e 0,1x -0,3 = y |:2
e 0,1x -0,3 = 1 2 y |ln(⋅)
0,1x -0,3 = ln( 1 2 y )
0,1x -0,3 = ln( 1 2 y ) | +0,3
0,1x = ln( 1 2 y ) +0,3 |:0,1
x = 1 0,1 ln( 1 2 y ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( 1 2 x ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( 1 2 x ) + 0,3 0,1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 75⋅ ( 51 50 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 75

f(1) = 75 ⋅ 51 50

f(2) = 75 ⋅ 51 50 ⋅ 51 50

f(3) = 75 ⋅ 51 50 ⋅ 51 50 ⋅ 51 50

f(4) = 75 ⋅ 51 50 ⋅ 51 50 ⋅ 51 50 ⋅ 51 50

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 51 50 multipliziert. Da 51 50 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 51 50 -fache (oder auf das 102 100 -fache), also auf 102 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 102% - 100% = 2 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 3000 Nutzer. Nach 8 Wochen zählt man bereits 16768,52 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 63000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 3000⋅ a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 16768.52 Nutzer ist, also f(8) = 16768.52. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 3000⋅ a t ein:

3000 a 8 = 16768,52 |:3000
a 8 = 5,58951 | ⋅8
a1 = - 5,58951 8 = -1,24
a2 = 5,58951 8 = 1,24

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,24 ≈ 1.24 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000⋅ 1,24 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = 3000⋅ 1,24 5 ≈ 8794,875.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 63000 Nutzer ist, also f(t) = 63000:

3000⋅ 1,24 t = 63000 |:3000
1,24 t = 21 |lg(⋅)
lg( 1,24 t ) = lg( 21 )
t · lg( 1,24 ) = lg( 21 ) |: lg( 1,24 )
t = lg( 21 ) lg( 1,24 )
t = 14,1532

Nach ca. 14,153 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 63000 Nutzer.