nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 25 x ) + lg( 20 x ) + lg( 2 x 2 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

- lg( 1 25 x ) + lg( 20 x ) + lg( 2 x 2 )

= - lg( 1 25 x ) + lg( 20 x -1 ) + lg( 2 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 25 ) + lg( x ) ) + ( lg( 20 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 2 ) + lg( x 2 ) )

= - lg( 1 25 ) - lg( x ) + lg( 20 ) + lg( 1 x ) + lg( 2 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 25 ) - lg( x ) + lg( 20 ) - lg( x ) + lg( 2 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 25 ) - lg( x ) + lg( 20 ) - lg( x ) + lg( 2 ) +2 lg( x )

= lg( 25 ) + lg( 20 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 25 · 20 · 2 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 1.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 1 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 1 = 1 2 a | ⋅ 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,4x +0,4 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e -0,4x +0,4 wird zu allen Funktionswerten von e -0,4x +0,4 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,4x +0,4 +1 = y | -1
e -0,4x +0,4 = y -1 |ln(⋅)
-0,4x +0,4 = ln( y -1 )
-0,4x +0,4 = ln( y -1 ) | -0,4
-0,4x = ln( y -1 ) -0,4 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( y -1 ) + 0,4 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( x -1 ) + 0,4 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( x -1 ) + 0,4 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 18% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also Bneu = B - 18 100 ⋅B = (1 - 18 100 ) ⋅ B = 0,82 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,82.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.82( 1 2 ) ≈ 3.49 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 40kg vorhanden. Nach 6 Tagen nach sind nur noch 21,26kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=40 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 40 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 21.26 kg ist, also f(6) = 21.26. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 40 a t ein:

40 a 6 = 21,26 |:40
a 6 = 0,5315 | 6
a1 = - 0,5315 6 -0,9
a2 = 0,5315 6 0,9

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,9 ≈ 0.9 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 40 0,9 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = 40 0,9 8 17,219.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

40 0,9 t = 10 |:40
0,9 t = 1 4 |lg(⋅)
lg( 0,9 t ) = lg( 1 4 )
t · lg( 0,9 ) = lg( 1 4 ) |: lg( 0,9 )
t = lg( 1 4 ) lg( 0,9 )
t = 13,1576

Nach ca. 13,158 Tage ist also der Bestand = 10 kg.