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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 (128) .

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Wir suchen den Logarithmus von 128 zur Basis 2, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 128 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2 = 128 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 2 (128) = 7, eben weil 27 = 128 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 6 10 x - k +2 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 6 10 x - k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 2 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + 2 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 2, somit muss 2 k = 2 gelten;
    Also gilt k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e x -3 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e x -3 können die Funktionswerte von 4 e x -3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem 4 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von 4 e x -3 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e x -3 +1 = y | -1
4 e x -3 = y -1 |:4
e x -3 = 1 4 y - 1 4 |ln(⋅)
x -3 = ln( 1 4 y - 1 4 )
x -3 = ln( 1 4 y - 1 4 ) | +3
x = ln( 1 4 y - 1 4 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 4 x - 1 4 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 4 x - 1 4 ) +3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6,4% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 6.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6.4% dazukommen,
also Bneu = B + 6.4 100 ⋅B = (1 + 6.4 100 ) ⋅ B = 1,064 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,064.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.064(2) ≈ 11.17 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 14% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 8000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 88000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also Bneu = B + 14 100 ⋅B = (1 + 14 100 ) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 8000 1,14 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = 8000 1,14 8 22820,691.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 88000 Nutzer ist, also f(t) = 88000:

8000 1,14 t = 88000 |:8000
1,14 t = 11 |lg(⋅)
lg( 1,14 t ) = lg( 11 )
t · lg( 1,14 ) = lg( 11 ) |: lg( 1,14 )
t = lg( 11 ) lg( 1,14 )
t = 18,3006

Nach ca. 18,301 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 88000 Nutzer.