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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{10} (\sqrt[5]{10})$ .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$ , also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$ ^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als $10^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$ ^☐ = $10^{\frac{1}{5}}$

$\log_{10} (\sqrt[5]{10})$ = $\frac{1}{5}$ , eben weil $10$ ^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $- k x \cdot e^{k x - k} + 2 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm

- k x \cdot e^{k x - k}

= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k(

0

) =

- k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 - k} + 2 k

=

2 k

= 3

$2 k$	=	$3$	\|: $2$
$k$	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 0,1 x + 0,3}$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x + 0,3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x + 0,3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 2$ vor $e^{- 0,1 x + 0,3}$ wird $e^{- 0,1 x + 0,3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- 2 e^{- 0,1 x + 0,3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- 2 e^{- 0,1 x + 0,3}$	=	$y$	\|: $- 2$
$e^{- 0,1 x + 0,3}$	=	$- \frac{1}{2} y$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x + 0,3$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$

$- 0,1 x + 0,3$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y)$	\| $- 0,3$
$- 0,1 x$	=	$\ln (- \frac{1}{2} y) - 0,3$	\|:( $- 0,1$ )
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{2} y) + \frac{0,3}{0,1}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,3}{0,1}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{1}{0,1} \ln (- \frac{1}{2} x) + \frac{0,3}{0,1}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3,2% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 3.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.2}{100}$ ) ⋅ B = 0,968 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,968.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.968( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 21.31 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 19% vermehrt. Nach 12 Wochen zählt man bereits 8064,24 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 4 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 1700 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{19}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{19}{100}$ ) ⋅ B = 1,19 ⋅ B. Somit ist das a=1,19.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,19}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 8064.24 Nutzer ist, also f(12) = 8064.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,19}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.19¹² = 8064.24

c ⋅ 8.06424 = 8064.24 | : 8.06424

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,19}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $1 000 \cdot {1,19}^{4}$ ≈ 2005,339.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 1700 Nutzer ist, also f(t) = 1700:

$1 000 \cdot {1,19}^{t}$	=	$1 700$	\|: $1 000$
${1,19}^{t}$	=	$\frac{17}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,19}^{t})$	=	$\lg (\frac{17}{10})$
$t \cdot \lg (1,19)$	=	$\lg (\frac{17}{10})$	\|: $\lg (1,19)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{17}{10})}{\lg (1,19)}$

t

=

3,0504

Nach ca. 3,05 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 1700 Nutzer.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

a und ein Funktionswert gegeben