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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (16)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (16)$ = $4$ , eben weil $2$ ^$4$ = $16$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $(x + 2 k) \cdot e^{x + k} + 2$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $(x + 2 k) \cdot e^{x + k}$ = 0 wird, wenn $x + 2 k$ = 0 ist, also für x = $- 2 k$ .
Dann muss ja der y-Wert f_k( $- 2 k$ ) = $((- 2 k) + 2 k) \cdot e^{(- 2 k) + k} + 2$ = $0 + 2$ = $2$ sein.
Da bei x = $- 2 k$ bei ( $x + 2 k$ ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $- 2 k$ | $2$ ) im abgebildeten Graph bei P(1| $2$ ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $- 2 k$ = 1
Also gilt k = $- \frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{1}{2}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,4 x - 0,8} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,4 x - 0,8$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,4 x - 0,8}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{0,4 x - 0,8}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,4 x - 0,8}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,4 x - 0,8} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$e^{0,4 x - 0,8}$	=	$y + 1$	\|ln(⋅)
$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (y + 1)$

$0,4 x - 0,8$	=	$\ln (y + 1)$	\| $+ 0,8$
$0,4 x$	=	$\ln (y + 1) + 0,8$	\|: $0,4$
$x$	=	$\frac{1}{0,4} \ln (y + 1) + \frac{0,8}{0,4}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,4} \ln (x + 1) + \frac{0,8}{0,4}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,4} \ln (x + 1) + \frac{0,8}{0,4}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,871}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,871}^{t}$ ablesen: a=0.871.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.871( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 5.02 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 8659,46€. a) Wie hoch ist der Kontostand 6 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 8700€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 8659.46 € ist, also f(4) = 8659.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ ein:

$8 000 a^{4}$	=	$8 659,46$	\|: $8 000$
$a^{4}$	=	$1,08243$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{1,08243}$	= $- 1,02$
a₂	=	$\sqrt[4]{1,08243}$	= $1,02$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,02$ ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $8 000 \cdot {1,02}^{6}$ ≈ 9009,299.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8700 € ist, also f(t) = 8700:

$8 000 \cdot {1,02}^{t}$	=	$8 700$	\|: $8 000$
${1,02}^{t}$	=	$\frac{87}{80}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (\frac{87}{80})$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (\frac{87}{80})$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{87}{80})}{\lg (1,02)}$

t

=

4,2359

Nach ca. 4,236 Jahre ist also der Kontostand = 8700 €.

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Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und ein Funktionswert gegeben