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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: $\lg (0,004)$ - $\lg (4)$ .

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$\lg (0,004)$ - $\lg (4)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg (\frac{0.004}{4})$

= $\lg (0,001)$

= $\lg (10^{- 3})$

= -3

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $5 k e^{k x + 4 k} + 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $5 k e^{k x + 4 k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x + 4 k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $5 k e^{k x + 4 k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x + 4 k

= 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x + 4 k$	=	0	\| - ( $4 k$ )
$k x$	=	$- 4 k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$- 4$

Wenn wir nun

- 4

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

- 4

) =

5 k e^{k \cdot (- 4) + 4 k} + 1

=

5 k + 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

- 4

) = -3 ablesen, es gilt somit:

$5 k + 1$	=	$- 3$	\| $- 1$
$5 k$	=	$- 4$	\|: $5$
$k$	=	$- \frac{4}{5}$ = -0.8

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- \frac{4}{5}$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 2} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 2}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4 e^{x - 2}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 2} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$4 e^{x - 2}$	=	$y - 3$	\|: $4$
$e^{x - 2}$	=	$\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$

$x - 2$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4})$	\| $+ 2$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y - \frac{3}{4}) + 2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4}) + 2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x - \frac{3}{4}) + 2$

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 22,8 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 50kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 50 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 22.8 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{22,8}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[22,8]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $- 0,97$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $0,97$

Das gesuchte a ist somit $0,97$ ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $50 \cdot {0,97}^{t}$

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seines Bestands. Zu Beginn sind 10kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 12 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$ ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,93}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = $10 \cdot {0,93}^{12}$ ≈ 4,186.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6 kg ist, also f(t) = 6:

$10 \cdot {0,93}^{t}$	=	$6$	\|: $10$
${0,93}^{t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{5})$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (\frac{3}{5})$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{5})}{\lg (0,93)}$

t

=

7,039

Nach ca. 7,039 Tage ist also der Bestand = 6 kg.

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

c und a gegeben