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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{2} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $2$ , also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{2} (64)$ = $6$ , eben weil $2$ ^$6$ = $64$ gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $\lg (\frac{1}{10}) - \lg (\frac{1}{25} x^{2}) + \lg (4 x^{2})$ soweit wie möglich.

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$\lg (\frac{1}{10}) - \lg (\frac{1}{25} x^{2}) + \lg (4 x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10}) + \lg (1) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{2})) + (\lg (4) + \lg (x^{2}))$

= $\lg (\frac{1}{10}) + \lg (1) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{2}) + \lg (4) + \lg (x^{2})$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10}) + 0 - \lg (\frac{1}{25}) - 2 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg (1) - \lg (10) + 0 - \lg (1) + \lg (25) - 2 \lg (x) + \lg (4) + 2 \lg (x)$

= $\lg (25) - \lg (10) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{10} \cdot 4)$

= $\lg (10)$

= $1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $2 e^{- 0,1 x} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,1 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,1 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{- 0,1 x}$ können die Funktionswerte von $2 e^{- 0,1 x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $2 e^{- 0,1 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2 e^{- 0,1 x}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2 e^{- 0,1 x} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$2 e^{- 0,1 x}$	=	$y + 1$	\|: $2$
$e^{- 0,1 x}$	=	$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 x$	=	$\ln (\frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$	\|: $- 0,1$
$x$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$
$x$	=	$- 10 \ln (\frac{1}{2} y + \frac{1}{2})$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- 10 \ln (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2})$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- 10 \ln (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2})$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,073}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,073}^{t}$ ablesen: a=1.073.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.073( $2$ ) ≈ 9.84 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seines Bestands. Zu Beginn sind 10kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 4,8kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$ ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,9}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $10 \cdot {0,9}^{6}$ ≈ 5,314.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.8 kg ist, also f(t) = 4.8:

$10 \cdot {0,9}^{t}$	=	$4,8$	\|: $10$
${0,9}^{t}$	=	$0,48$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (0,48)$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (0,48)$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,48)}{\lg (0,9)}$

t

=

6,9663

Nach ca. 6,966 Tage ist also der Bestand = 4.8 kg.

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log berechnen (einfach)

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

c und a gegeben