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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache $\log_{4} (\frac{4}{x}) + \log_{4} (x)$ so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\log_{4} (\frac{4}{x}) + \log_{4} (x)$
= $\log_{4} (4) - \log_{4} (x) + \log_{4} (x)$
= $1 - \log_{4} (x) + \log_{4} (x)$
= $1$

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term $- \lg (\frac{100}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{25} x^{6}) + \lg (4 x)$ soweit wie möglich.

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$- \lg (\frac{100}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{25} x^{6}) + \lg (4 x)$

= $- \lg (100 x^{- 4}) - \lg (\frac{1}{25} x^{6}) + \lg (4 x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $- (\lg (100) + \lg (\frac{1}{x^{4}})) - (\lg (\frac{1}{25}) + \lg (x^{6})) + (\lg (4) + \lg (x))$

= $- \lg (100) - \lg (\frac{1}{x^{4}}) - \lg (\frac{1}{25}) - \lg (x^{6}) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $- \lg (100) + 4 \lg (x) - \lg (\frac{1}{25}) - 6 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( $\frac{a}{b}$ ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $- \lg (100) + 4 \lg (x) - \lg (1) + \lg (25) - 6 \lg (x) + \lg (4) + \lg (x)$

= $- \lg (x) - \lg (100) + \lg (25) + \lg (4)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{100} \cdot 25 \cdot 4)$

= $- \lg (x) + \lg (\frac{1}{4} \cdot 4)$

= $- \lg (x) + \lg (1)$

= $- \lg (x)$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $4 e^{x - 3} - 1$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x - 3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x - 3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x - 3}$ können die Funktionswerte von $4 e^{x - 3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $4 e^{x - 3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4 e^{x - 3}$ noch $- 1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4 e^{x - 3} - 1$	=	$y$	\| $+ 1$
$4 e^{x - 3}$	=	$y + 1$	\|: $4$
$e^{x - 3}$	=	$\frac{1}{4} y + \frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$

$x - 3$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{4})$	\| $+ 3$
$x$	=	$\ln (\frac{1}{4} y + \frac{1}{4}) + 3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4}) + 3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\ln (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4}) + 3$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 23% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$ ) ⋅ B = 1,23 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,23.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.23( $2$ ) ≈ 3.35 Wochen

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,3% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 70 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 12 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 60,6 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{1.3}{100}$ ) ⋅ B = 0,987 ⋅ B. Somit ist das a=0,987.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,987}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $70 \cdot {0,987}^{12}$ ≈ 59,828.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60.6:

$70 \cdot {0,987}^{t}$	=	$60,6$	\|: $70$
${0,987}^{t}$	=	$0,8657$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,987}^{t})$	=	$\lg (0,8657)$
$t \cdot \lg (0,987)$	=	$\lg (0,8657)$	\|: $\lg (0,987)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,8657)}{\lg (0,987)}$

t

=

11,0213

Nach ca. 11,021 Jahre ist also der Bestand = 60.6 Millionen Einwohner.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Logarithmusgesetz einfach

Beide Logarithmusgesetze

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

c und a gegeben