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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (\sqrt{64})$ .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{64}$ um: $\sqrt{64}$ = $64^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^{3}$

Also schreiben wir $\sqrt{64}$ = $64^{\frac{1}{2}}$ = ${(4^{3})}^{\frac{1}{2}}$ = $4^{\frac{3}{2}}$

$\log_{4} (\sqrt{64})$ = $\log_{4} (4^{\frac{3}{2}})$ heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $4^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: $\log_{4} (\sqrt{64})$ = $\log_{4} (4^{\frac{3}{2}})$ = $\frac{3}{2}$ , eben weil $4$ ^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{64}$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k x \cdot e^{k x + k} + 3 k$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $k x \cdot e^{k x + k}$ = 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
f_k( $0$ ) = $k \cdot 0 \cdot e^{k \cdot 0 + k} + 3 k$ = $3 k$ = -3

$3 k$ = $- 3$ |: $3$

$k$ = $- 1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$- 1$}

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $e^{0,2 x - 0,6} - 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $0,2 x - 0,6$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{0,2 x - 0,6}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{0,2 x - 0,6}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{0,2 x - 0,6}$ noch $- 3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{0,2 x - 0,6} - 3$	=	$y$	\| $+ 3$
$e^{0,2 x - 0,6}$	=	$y + 3$	\|ln(⋅)
$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y + 3)$

$0,2 x - 0,6$	=	$\ln (y + 3)$	\| $+ 0,6$
$0,2 x$	=	$\ln (y + 3) + 0,6$	\|: $0,2$
$x$	=	$\frac{1}{0,2} \ln (y + 3) + \frac{0,6}{0,2}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 3) + \frac{0,6}{0,2}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $\frac{1}{0,2} \ln (x + 3) + \frac{0,6}{0,2}$

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,039}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,039}^{t}$ ablesen: a=1.039.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.039( $2$ ) ≈ 18.12 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. 8 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 5,65 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 7 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,4 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 5.65 Millionen Insekten ist, also f(8) = 5.65. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $11 \cdot a^{t}$ ein:

$11 a^{8}$	=	$5,65$	\|: $11$
$a^{8}$	=	$0,51364$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{0,51364}$	≈ $- 0,92$
a₂	=	$\sqrt[8]{0,51364}$	≈ $0,92$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,92$ ≈ 0.92 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $11 \cdot {0,92}^{7}$ ≈ 6,136.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.4:

$11 \cdot {0,92}^{t}$	=	$3,4$	\|: $11$
${0,92}^{t}$	=	$0,3091$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (0,3091)$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (0,3091)$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,3091)}{\lg (0,92)}$

t

=

14,0809

Nach ca. 14,081 Jahre ist also der Bestand = 3.4 Millionen Insekten.

$3 k$	=	$- 3$	\|: $3$
$k$	=	$- 1$

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Maximale Definitionsmenge von f

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