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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 250x ) + lg( 50 x 8 ) - lg( 1 5 x 4 ) soweit wie möglich.

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- lg( 250x ) + lg( 50 x 8 ) - lg( 1 5 x 4 )

= - lg( 250x ) + lg( 50 x -8 ) - lg( 1 5 x -4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 250 ) + lg( x ) ) + ( lg( 50 ) + lg( 1 x 8 ) ) - ( lg( 1 5 ) + lg( 1 x 4 ) )

= - lg( 250 ) - lg( x ) + lg( 50 ) + lg( 1 x 8 ) - lg( 1 5 ) - lg( 1 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 250 ) - lg( x ) + lg( 50 ) -8 lg( x ) - lg( 1 5 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 250 ) - lg( x ) + lg( 50 ) -8 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 5 ) +4 lg( x )

= -5 lg( x ) - lg( 250 ) + lg( 50 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -5 lg( x ) + lg( 1 250 · 50 · 5 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 )

= -5 lg( x )

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-3) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -3.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -3 = -a = -a .

Es gilt also: -3 = -a | ⋅ -1

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e -0,1x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e -0,1x können die Funktionswerte von 2 e -0,1x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem 2 e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von 2 e -0,1x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e -0,1x -1 = y | +1
2 e -0,1x = y +1 |:2
e -0,1x = 1 2 y + 1 2 |ln(⋅)
-0,1x = ln( 1 2 y + 1 2 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( 1 2 y + 1 2 )
x = -10 ln( 1 2 y + 1 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( 1 2 x + 1 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( 1 2 x + 1 2 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 8% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also Bneu = B - 8 100 ⋅B = (1 - 8 100 ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,92.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.92( 1 2 ) ≈ 8.31 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,9% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 55,14 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 64,6 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.9% weggehen,
also Bneu = B - 3.9 100 ⋅B = (1 - 3.9 100 ) ⋅ B = 0,961 ⋅ B. Somit ist das a=0,961.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,961 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 55.14 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 55.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,961 t ein:

c ⋅ 0.9616 = 55.14

c ⋅ 0.78766 = 55.14 | : 0.78766

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 70 0,961 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 70 0,961 4 59,702.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 64.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 64.6:

70 0,961 t = 64,6 |:70
0,961 t = 0,9229 |lg(⋅)
lg( 0,961 t ) = lg( 0,9229 )
t · lg( 0,961 ) = lg( 0,9229 ) |: lg( 0,961 )
t = lg( 0,9229 ) lg( 0,961 )
t = 2,0169

Nach ca. 2,017 Jahre ist also der Bestand = 64.6 Millionen Einwohner.