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cosh
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log berechnen (schwer)
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Zuerst schreiben wir
Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis
Also was muss in das Kästchen, damit
Damit steht die Lösung praktisch schon da:
Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
|
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= |
|
|
|
|
|
= |
|
|ln(⋅) |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Exponentialterm mit Halbwertszeit best.
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 14,2 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 17 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.
Von der allgemeinen Exponentialfunktion
Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).
Also 14.2 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit
|
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= | |
|
|
| a1 | = |
|
≈
|
| a2 | = |
|
≈
|
Das gesuchte a ist somit
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Konto wird mit 3% verzinst. 8 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 2533,54€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 13 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 2800€ angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 2533.54 € ist,
also f(8) = 2533.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 1.038 = 2533.54
c ⋅ 1.26677 = 2533.54 | : 1.26677
c = 2000
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):
f(13) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2800 € ist, also f(t) = 2800:
|
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= | |: |
|
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
Nach ca. 11,383 Jahre ist also der Kontostand = 2800 €.
