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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 100 x ) +5 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 100 x ) +5 lg( x )
= lg( 100 ) - lg( x ) +5 lg( x )
= lg( 10 2 ) - lg( x ) +5 lg( x )
= 2 - lg( x ) +5 lg( x )
= 4 lg( x ) +2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 100 x ) - lg( 1 20 x 4 ) - lg( 1 5 x 10 ) soweit wie möglich.

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- lg( 100 x ) - lg( 1 20 x 4 ) - lg( 1 5 x 10 )

= - lg( 100 x -1 ) - lg( 1 20 x -4 ) - lg( 1 5 x 10 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 100 ) + lg( 1 x ) ) - ( lg( 1 20 ) + lg( 1 x 4 ) ) - ( lg( 1 5 ) + lg( x 10 ) )

= - lg( 100 ) - lg( 1 x ) - lg( 1 20 ) - lg( 1 x 4 ) - lg( 1 5 ) - lg( x 10 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 100 ) + lg( x ) - lg( 1 20 ) +4 lg( x ) - lg( 1 5 ) -10 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 100 ) + lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 20 ) +4 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 5 ) -10 lg( x )

= -5 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 20 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -5 lg( x ) + lg( 1 100 · 20 · 5 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 )

= -5 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -2 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -2 können die Funktionswerte von 2 e x -2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem 2 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -2 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -2 -1 = y | +1
2 e x -2 = y +1 |:2
e x -2 = 1 2 y + 1 2 |ln(⋅)
x -2 = ln( 1 2 y + 1 2 )
x -2 = ln( 1 2 y + 1 2 ) | +2
x = ln( 1 2 y + 1 2 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x + 1 2 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x + 1 2 ) +2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 17% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also Bneu = B - 17 100 ⋅B = (1 - 17 100 ) ⋅ B = 0,83 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,83.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.83( 1 2 ) ≈ 3.72 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 5202€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 8 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 5500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,02 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 5202 € ist, also f(2) = 5202. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,02 t ein:

c ⋅ 1.022 = 5202

c ⋅ 1.0404 = 5202 | : 1.0404

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5000 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 5000 1,02 8 5858,297.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5500 € ist, also f(t) = 5500:

5000 1,02 t = 5500 |:5000
1,02 t = 11 10 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 11 10 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 11 10 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 11 10 ) lg( 1,02 )
t = 4,813

Nach ca. 4,813 Jahre ist also der Kontostand = 5500 €.