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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus $\log_{4} (64)$ .

Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$ , also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$ ^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

$\log_{4} (64)$ = $3$ , eben weil $4$ ^$3$ = $64$ gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k} (x) =$ $k e^{k x - k} - 1$ . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von f_k für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k e^{k x - k}$ niemals = 0 werden.
Wenn der Exponent $k x - k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k e^{k x - k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $- 1$ erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.

Wir müssen also den Exponent

k x - k

= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

$k x - k$	=	0	\| - ( $- k$ )
$k x$	=	$k$	\|:( $k$ )
$x$	=	$1$

Wenn wir nun

1

in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
f_k(

1

) =

k e^{k \cdot 1 - k} - 1

=

k - 1

im abgebildeten Term können wir aber ja f(

1

) = 0 ablesen, es gilt somit:

$k - 1$	=	0	\| $+ 1$
$k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $- e^{- 0,3 x} + 3$ ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion $\bar{f}$ .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^{c}}$ )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $- 0,3 x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{- 0,3 x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $- 1$ vor $e^{- 0,3 x}$ wird $e^{- 0,3 x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $- e^{- 0,3 x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $- e^{- 0,3 x}$ wird zu allen Funktionswerten von $- e^{- 0,3 x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$- e^{- 0,3 x} + 3$	=	$y$	\| $- 3$
$- e^{- 0,3 x}$	=	$y - 3$	\|: $- 1$
$e^{- 0,3 x}$	=	$- y + 3$	\|ln(⋅)
$- 0,3 x$	=	$\ln (- y + 3)$	\|: $- 0,3$
$x$	=	$- \frac{1}{0,3} \ln (- y + 3)$
$x$	=	$- \frac{10}{3} \ln (- y + 3)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $- \frac{10}{3} \ln (- x + 3)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\bar{f}$ (x) = $- \frac{10}{3} \ln (- x + 3)$

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $156 \cdot {0,6}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $156$

f(1) = $156$ ⋅ $0,6$

f(2) = $156$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(3) = $156$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(4) = $156$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,6$ multipliziert. Da $0,6$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,6$ -fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,6% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 8 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 60 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.6}{100}$ ) ⋅ B = 0,964 ⋅ B. Somit ist das a=0,964.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $80 \cdot {0,964}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $80 \cdot {0,964}^{8}$ ≈ 59,663.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$80 \cdot {0,964}^{t}$	=	$60$	\|: $80$
${0,964}^{t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,964}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{4})$
$t \cdot \lg (0,964)$	=	$\lg (\frac{3}{4})$	\|: $\lg (0,964)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{4})}{\lg (0,964)}$

t

=

7,8464

Nach ca. 7,846 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.

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Parameter mit Graph bestimmen

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Maximale Definitionsmenge von f

Wertemenge von f

Umkehrfunktion

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben