Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}=0-9\mathrm{+9}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ = 3⋅t -9 = 0 wird, also t=$\frac{9}{3}$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -3\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=5-5\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ t\end{array}\right)$ = -7⋅t +7 = 0 wird, also t=$\frac{7}{7}$ = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ t\end{array}\right)$=$6\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 6+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=30-30\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ t\end{array}\right)$ = 1⋅t +13 = 0 wird, also t=$-13$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ -13\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ -13\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 5+3\cdot 6+1\cdot \mathrm{(-13)}=-5\mathrm{+18}-13=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(2|0|-4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 6\\ -13\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -11\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}=-10\mathrm{+0}\mathrm{+10}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -11\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -2\end{array}\right)$ = -11⋅t +11 = 0 wird, also t=$\frac{11}{11}$=$1$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ -2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1+x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -11\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ -2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-11)}\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}=5-11\mathrm{+6}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(2|-2|-5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(2|-2|-5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1+x_2-2x_3=-2$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-8\right)-\left(-8\right)·\left(-8\right)\\ -8·4-\left(-8\right)·\left(-8\right)\\ -8·\left(-8\right)-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-64\\ -32-64\\ 64-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96\\ -96\\ 48\end{array}\right)$ = 48⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=36 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-26\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-26\\ 12\\ -24\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·9-9·6\\ 9·\left(-2\right)-6·9\\ 6·6-\left(-2\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18-54\\ -18-54\\ 36-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72\\ -72\\ 32\end{array}\right)$ = -8⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ -4\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=22 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ -4\\ 18\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}9\\ -4\\ 18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ -4\end{array}\right)$.

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·3-\left(-2\right)·\left(-6\right)\\ -2·\left(-2\right)-6·3\\ 6·\left(-6\right)-\left(-3\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9-12\\ 4-18\\ -36-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-21\\ -14\\ -42\end{array}\right)$ = -7⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)|$ = 49

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+{\mathrm{(-3)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3^2+2^2+6^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 49 | :49

k = $\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{49}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -1\\ 4\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -8\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(9|-1|4\right)$ oder C'$\left(3|-5|-8\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ \mathrm{-6\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ \mathrm{-6\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-1·\left(-2\right)+1·\left(-1\right)+1·\left(-6-c\right)$ = $2-1+\left(-6-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-5}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$