Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=-5\mathrm{+0}\mathrm{+5}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = -5⋅t +25 = 0 wird, also t=$\frac{25}{5}$ = 5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -5\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot 2=10\mathrm{+0}-10=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 13\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 2\end{array}\right)$ = 13⋅t -26 = 0 wird, also t=$\frac{26}{13}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ -4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}=0-20\mathrm{+20}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ = -2⋅t +44 = 0 wird, also t=$\frac{44}{2}$=$22$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}22\\ 5\\ -4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}22\\ 5\\ -4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 22+4\cdot 5+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}=-44\mathrm{+20}\mathrm{+24}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(5|1|-2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}22\\ 5\\ -4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -61\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-6)}\cdot 5=30\mathrm{+0}-30=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -61\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = -61⋅t -61 = 0 wird, also t=$-\frac{61}{61}$=$-1$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -1\\ 5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-6x_1-x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -61\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -1\\ 5\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-61)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 5=-36\mathrm{+61}-25=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-1|2|-4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-1|2|-4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-6x_1-x_2+5x_3=-16$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·0-3·3\\ 3·4-0·0\\ 0·3-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-9\\ 12+0\\ 0-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9\\ 12\\ -16\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=15 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 15\\ 9\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 15\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -12\\ 16\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=-1\mathrm{+0}\mathrm{+1}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = -1⋅t -2 = 0 wird, also t=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=-3\mathrm{+2}\mathrm{+1}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-1|1|-2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-1|1|-2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-x_3=1$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·2-\left(-2\right)·1\\ -2·\left(-2\right)-\left(-1\right)·2\\ -1·1-2·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+2\\ 4+2\\ -1+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)|$ = 18

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-1)}}^2+2^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 18 | :9

k = $\frac{\mathrm{18}}{9}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 0\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -4\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(3|6|0\right)$ oder C'$\left(-5|-2|-4\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ \mathrm{-9\; -\; c}\\ -2\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -9\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ \mathrm{-9\; -\; c}\\ -2\end{array}\right)$ = $-5·4-1·\left(-9-c\right)-9·\left(-2\right)$ = $-20-\left(-9-c\right)+18$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-7}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ -9\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -2\end{array}\right)$