Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 3+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+3\cdot 2=-6\mathrm{+0}\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ 2\end{array}\right)$ = 1⋅t +2 = 0 wird, also t=$-2$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 5=0\mathrm{+5}-5=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ = -2⋅t -8 = 0 wird, also t=$-\frac{8}{2}$ = -4.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}=-8\mathrm{+0}\mathrm{+8}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -4\end{array}\right)$ = 2⋅t -10 = 0 wird, also t=$\frac{10}{2}$=$5$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}=-8\mathrm{+0}\mathrm{+8}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-4|-2|-5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ -5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 1=0-4\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ = 1⋅t -13 = 0 wird, also t=$13$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}13\\ -4\\ 1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $13x_1-4x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}13\\ -4\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot 13+1\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 1=0-4\mathrm{+4}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(5|0|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(5|0|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $13x_1-4x_2+x_3=68$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·1-\left(-8\right)·\left(-8\right)\\ -8·4-1·1\\ 1·\left(-8\right)-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-64\\ -32-1\\ -8-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-60\\ -33\\ -24\end{array}\right)$ = -3⋅$\left(\begin{array}{c}20\\ 11\\ 8\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 12\\ -24\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 11\\ 8\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-6)}=0\mathrm{+30}-30=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -6\end{array}\right)$ = -1⋅t -43 = 0 wird, also t=$-43$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-43\\ -5\\ -6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-43x_1-5x_2-6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-43\\ -5\\ -6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-43)}+5\cdot \mathrm{(-5)}+3\cdot \mathrm{(-6)}=43-25-18=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-5|0|-5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-5|0|-5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-43x_1-5x_2-6x_3=245$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·4-\left(-8\right)·\left(-7\right)\\ -8·4-1·4\\ 1·\left(-7\right)-\left(-4\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-56\\ -32-4\\ -7+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72\\ -36\\ 9\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -8\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 1\end{array}\right)|$ = 243

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+{\mathrm{(-4)}}^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-8)}}^2+{\mathrm{(-4)}}^2+1^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 243 | :81

k = $\frac{\mathrm{243}}{\mathrm{81}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-23\\ -16\\ -5\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}25\\ 8\\ -11\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-23|-16|-5\right)$ oder C'$\left(25|8|-11\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{4\; -\; c}\\ -2\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{4\; -\; c}\\ -2\end{array}\right)$ = $3·\left(-2\right)+4·\left(4-c\right)+7·\left(-2\right)$ = $-6+4\left(4-c\right)-14$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-1}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -2\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -2\end{array}\right)$