Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0-1\mathrm{+1}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ = -5⋅t -5 = 0 wird, also t=$-\frac{5}{5}$ = -1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot \mathrm{(-1)}=4\mathrm{+0}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = -2⋅t -10 = 0 wird, also t=$-\frac{10}{2}$ = -5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+2\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 2=0-4\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ = -2⋅t +4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=-4\mathrm{+6}-2=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(0|0|-1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 4=0-12\mathrm{+12}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ = 3⋅t +9 = 0 wird, also t=$-\frac{9}{3}$=$-3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 4\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-3x_1-3x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-3)}+4\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 4=0-12\mathrm{+12}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|2|1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|2|1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-3x_1-3x_2+4x_3=10$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -9\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -9\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-9\\ -2\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·\left(-6\right)-\left(-9\right)·\left(-2\right)\\ -9·\left(-9\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·\left(-2\right)-\left(-2\right)·\left(-9\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12-18\\ 81-36\\ 12-18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ 45\\ -6\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 15\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=11 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -9\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 15\\ -2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 9\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-8\mathrm{+8}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 9\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ t\end{array}\right)$ = 9⋅t +18 = 0 wird, also t=$-\frac{18}{9}$=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 9\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -2\end{array}\right)$=$3\cdot 2+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+9\cdot \mathrm{(-2)}=6\mathrm{+12}-18=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(5|-5|1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ -2\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·6-2·7\\ 2·6-\left(-9\right)·6\\ -9·7-6·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-14\\ 12+54\\ -63-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}22\\ 66\\ -99\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)|$ = 121

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-9)}}^2+6^2+2^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2+9^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 121 | :121

k = $\frac{\mathrm{121}}{\mathrm{121}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 0\\ 11\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 12\\ -7\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-11|0|11\right)$ oder C'$\left(-7|12|-7\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-6\; -\; c}\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 8\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-6\; -\; c}\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ = $1·\left(-6-c\right)+4·2+8·\left(-1\right)$ = $-6-c+8-8$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-6}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$