Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+3\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 3=0\mathrm{+9}-9=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ = -9⋅t +27 = 0 wird, also t=$\frac{27}{9}$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ t\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-25\mathrm{+25}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t +30 = 0 wird, also t=$-\frac{30}{2}$ = -15.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -15\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-11\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 1=0-3\mathrm{+3}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-11\\ 5\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ = -11⋅t -11 = 0 wird, also t=$-\frac{11}{11}$=$-1$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 1=0-3\mathrm{+3}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-3|1|-3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=4-4\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t +14 = 0 wird, also t=$-\frac{14}{2}$=$-7$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -7\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-4x_1-x_2-7x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -7\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{(-7)}=4-4\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-1|0|4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-1|0|4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-4x_1-x_2-7x_3=-24$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-4\right)-4·2\\ 4·4-2·\left(-4\right)\\ 2·2-\left(-4\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-8\\ 16+8\\ 4+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ 20\end{array}\right)$ = 4⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 5\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=6 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 5\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-8\right)-\left(-4\right)·\left(-8\right)\\ -4·\left(-4\right)-\left(-8\right)·\left(-8\right)\\ -8·\left(-8\right)-\left(-8\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64-32\\ 16-64\\ 64-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32\\ -48\\ 32\end{array}\right)$ = -16⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=12 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -8\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$.

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-7\right)-4·4\\ 4·\left(-4\right)-1·\left(-7\right)\\ 1·4-8·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56-16\\ -16+7\\ 4+32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72\\ -9\\ 36\end{array}\right)$ = -9⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ -4\end{array}\right)|$ = 162

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+8^2+4^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{8^2+1^2+{\mathrm{(-4)}}^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 162 | :81

k = $\frac{\mathrm{162}}{\mathrm{81}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}17\\ 10\\ -4\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-16\\ -2\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 6\\ 12\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(17|10|-4\right)$ oder C'$\left(-15|6|12\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{-2\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -10\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{-2\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $0·\left(-2\right)-5·\left(-2-c\right)-10·\left(-1\right)$ = $0-5\left(-2-c\right)+10$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-4}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$