Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}=0-12\mathrm{+12}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ = 7⋅t +14 = 0 wird, also t=$-\frac{14}{7}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -4\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 3+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+3\cdot 5=-15\mathrm{+0}\mathrm{+15}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = -5⋅t +15 = 0 wird, also t=$\frac{15}{5}$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -4\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ 6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+6\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 6=0-6\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ 6\end{array}\right)$ = -3⋅t -30 = 0 wird, also t=$-\frac{30}{3}$=$-10$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ -1\\ 6\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-10\\ -1\\ 6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-10)}+6\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 6=0-6\mathrm{+6}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-1|-1|2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -1\\ 6\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 3+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=6-6\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = 1⋅t -5 = 0 wird, also t=$5$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $2x_1+3x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 2+1\cdot 3+1\cdot 5=-8\mathrm{+3}\mathrm{+5}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(0|2|-5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(0|2|-5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $2x_1+3x_2+5x_3=-19$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1·1-\left(-2\right)·2\\ -2·\left(-2\right)-2·1\\ 2·2-1·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+4\\ 4-2\\ 4+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 6\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=6 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 6\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot 5=20\mathrm{+0}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = -2⋅t +4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$=$2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-4x_1+2x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot 5=20\mathrm{+0}-20=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(0|0|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(0|0|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-4x_1+2x_2+5x_3=10$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-6\right)-\left(-2\right)·7\\ -2·\left(-6\right)-9·\left(-6\right)\\ 9·7-6·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36+14\\ 12+54\\ 63+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-22\\ 66\\ 99\end{array}\right)$ = 11⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)|$ = 484

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9^2+6^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+6^2+9^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 484 | :121

k = $\frac{\mathrm{484}}{\mathrm{121}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ 24\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 30\\ 34\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ -24\\ -36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}17\\ -18\\ -38\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(1|30|34\right)$ oder C'$\left(17|-18|-38\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{3\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{3\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $-4·1-3·\left(3-c\right)+2·\left(-1\right)$ = $-4-3\left(3-c\right)-2$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{5}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$