Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 2+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+2\cdot 1=-2\mathrm{+0}\mathrm{+2}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 1\end{array}\right)$ = 3⋅t +6 = 0 wird, also t=$-\frac{6}{3}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot \mathrm{(-5)}=20\mathrm{+0}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = -3⋅t -9 = 0 wird, also t=$-\frac{9}{3}$ = -3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 11\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=5-5\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = 11⋅t -22 = 0 wird, also t=$\frac{22}{11}$=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 11\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 5+\mathrm{(-2)}\cdot 1+11\cdot 2=-20-2\mathrm{+22}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(5|1|4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+2\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 2=0-6\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ = 1⋅t -11 = 0 wird, also t=$11$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}11\\ -3\\ 2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $11x_1-3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}11\\ -3\\ 2\end{array}\right)$=$1\cdot 11+1\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-4)}\cdot 2=11-3-8=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|0|-1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|0|-1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $11x_1-3x_2+2x_3=42$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 6\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·6-0·0\\ 0·\left(-8\right)-\left(-8\right)·6\\ -8·0-6·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36+0\\ 0+48\\ 0+48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 48\\ 48\end{array}\right)$ = 12⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=30 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ 0\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-18\\ 18\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-12\mathrm{+12}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ t\end{array}\right)$ = -6⋅t +42 = 0 wird, also t=$\frac{42}{6}$=$7$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 7\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $4x_1-3x_2+7x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 7\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot 7=-12\mathrm{+12}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(1|4|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(1|4|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $4x_1-3x_2+7x_3=13$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·0-3·1\\ 3·0-4·0\\ 4·1-0·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-3\\ 0+0\\ 4+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)|$ = 75

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+0^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-3)}}^2+0^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ gilt somit:

5 ⋅ k⋅5 = 75 | :25

k = $\frac{\mathrm{75}}{\mathrm{25}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 15\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}9\\ 0\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13\\ 0\\ -9\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-5|0|15\right)$ oder C'$\left(13|0|-9\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{11\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{11\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $-5·\left(-2\right)-3·\left(11-c\right)+1·\left(-1\right)$ = $10-3\left(11-c\right)-1$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{8}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 11\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$