Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-4)}=0\mathrm{+20}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-17\\ 5\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ = -17⋅t -17 = 0 wird, also t=$-\frac{17}{17}$ = -1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -4\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -3\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}=-9\mathrm{+0}\mathrm{+9}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -3\end{array}\right)$ = 1⋅t -3 = 0 wird, also t=$3$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-3)}=0\mathrm{+15}-15=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ = -6⋅t -12 = 0 wird, also t=$-\frac{12}{6}$=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -3\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}+3\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=12-15\mathrm{+3}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-2|5|-2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ t\end{array}\right)$=$6\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 6+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=12-12\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t +6 = 0 wird, also t=$-\frac{6}{2}$=$-3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $2x_1+6x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -3\end{array}\right)$=$6\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 6+0\cdot \mathrm{(-3)}=12-12\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-2|1|1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-2|1|1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $2x_1+6x_2-3x_3=-1$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 8\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·4-8·\left(-8\right)\\ 8·8-4·4\\ 4·\left(-8\right)-\left(-8\right)·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32+64\\ 64-16\\ -32+64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32\\ 48\\ 32\end{array}\right)$ = 16⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=12 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 8\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot 5=15\mathrm{+0}-15=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = 2⋅t +16 = 0 wird, also t=$-\frac{16}{2}$=$-8$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -8\\ 5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-3x_1-8x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ -8\\ 5\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot \mathrm{(-8)}+5\cdot 5=-9-16\mathrm{+25}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(5|-1|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(5|-1|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-3x_1-8x_2+5x_3=3$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·2-1·1\\ 1·2-\left(-2\right)·2\\ -2·1-2·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-1\\ 2+4\\ -2-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)|$ = 27

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+2^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 27 | :9

k = $\frac{\mathrm{27}}{9}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -5\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 7\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(1|8|-5\right)$ oder C'$\left(-5|-4|7\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{-8\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{-8\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $-2·0+3·\left(-8-c\right)+6·\left(-1\right)$ = $0+3\left(-8-c\right)-6$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -8\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$