Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ t\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-15\mathrm{+15}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ t\end{array}\right)$ = 1⋅t -7 = 0 wird, also t=$7$ = 7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 7\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-2\mathrm{+2}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ t\end{array}\right)$ = 4⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{4}$ = 0.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-2\mathrm{+2}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ t\end{array}\right)$ = -2⋅t +4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot 2=-2\mathrm{+2}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-1|-1|2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+2\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 2=0\mathrm{+10}-10=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ = 2⋅t +26 = 0 wird, also t=$-\frac{26}{2}$=$-13$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-13\\ 5\\ 2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-13x_1+5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-13\\ 5\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-13)}+2\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 2=0\mathrm{+10}-10=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-1|4|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-1|4|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-13x_1+5x_2+2x_3=39$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·6-2·\left(-3\right)\\ 2·2-6·6\\ 6·\left(-3\right)-\left(-3\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18+6\\ 4-36\\ -18+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -32\\ -12\end{array}\right)$ = -4⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 3\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=21 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}16\\ -9\\ 6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}16\\ -9\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 8\\ 3\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -3\end{array}\right)$=$3\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot \mathrm{(-3)}=12\mathrm{+0}-12=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -3\end{array}\right)$ = -2⋅t +4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$=$2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $4x_1+2x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}=-8-4\mathrm{+12}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-3|-5|4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-3|-5|4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $4x_1+2x_2-3x_3=-34$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·6-2·7\\ 2·6-\left(-9\right)·6\\ -9·7-6·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-14\\ 12+54\\ -63-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}22\\ 66\\ -99\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)|$ = 484

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-9)}}^2+6^2+2^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2+9^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 484 | :121

k = $\frac{\mathrm{484}}{\mathrm{121}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ -24\\ 36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-17\\ -18\\ 38\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ 24\\ -36\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 30\\ -34\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-17|-18|38\right)$ oder C'$\left(-1|30|-34\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-9\; -\; c}\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 10\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-9\; -\; c}\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ = $-2·\left(-9-c\right)-4·\left(-3\right)+10·\left(-1\right)$ = $-2\left(-9-c\right)+12-10$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -3\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$