Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot 1+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot \mathrm{(-5)}=5\mathrm{+0}-5=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = -9⋅t -18 = 0 wird, also t=$-\frac{18}{9}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -5\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=12-12\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ t\end{array}\right)$ = 1⋅t +13 = 0 wird, also t=$-13$ = -13.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -13\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}=0-12\mathrm{+12}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ = 3⋅t -27 = 0 wird, also t=$\frac{27}{3}$=$9$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ -4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ -4\end{array}\right)$=$0\cdot 9+\mathrm{(-4)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}=0-12\mathrm{+12}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(0|1|1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ -4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 1+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-5\mathrm{+5}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = 3⋅t +9 = 0 wird, also t=$-\frac{9}{3}$=$-3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ -3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1+x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ -3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-6)}\cdot 1+3\cdot \mathrm{(-3)}=15-6-9=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-2|-5|-2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-2|-5|-2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1+x_2-3x_3=11$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -1\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·8-\left(-1\right)·4\\ -1·\left(-1\right)-4·8\\ 4·4-8·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64+4\\ 1-32\\ 16+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}68\\ -31\\ 24\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ 24\\ -3\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 24\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-68\\ 31\\ -24\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 4\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-8\right)-4·4\\ 4·\left(-8\right)-\left(-8\right)·\left(-8\right)\\ -8·4-\left(-8\right)·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64-16\\ -32-64\\ -32-64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48\\ -96\\ -96\end{array}\right)$ = 48⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=24 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-17\\ -16\\ 8\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-17\\ -16\\ 8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$.

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·0-\left(-3\right)·1\\ -3·0-\left(-4\right)·0\\ -4·1-0·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+3\\ 0+0\\ -4+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)|$ = 25

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+0^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{25}=5$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-3)}}^2+0^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ gilt somit:

5 ⋅ k⋅5 = 25 | :25

k = $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{25}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -7\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-7|0|1\right)$ oder C'$\left(-1|0|-7\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ \mathrm{1\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 10\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ \mathrm{1\; -\; c}\end{array}\right)$ = $0·1+5·2+10·\left(1-c\right)$ = $0+10+10\left(1-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{2}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$