Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-6\mathrm{+6}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ t\end{array}\right)$ = 4⋅t -8 = 0 wird, also t=$\frac{8}{4}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-20\mathrm{+20}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}23\\ 4\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ = 23⋅t +46 = 0 wird, also t=$-\frac{46}{23}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}=0-6\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ = 1⋅t +2 = 0 wird, also t=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -3\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}=0-6\mathrm{+6}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-4|4|-3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}=-20\mathrm{+0}\mathrm{+20}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -4\end{array}\right)$ = -3⋅t +39 = 0 wird, also t=$\frac{39}{3}$=$13$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 13\\ -4\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1+13x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 13\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot 13+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}=-20\mathrm{+0}\mathrm{+20}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|-3|1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|-3|1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1+13x_2-4x_3=-23$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·\left(-1\right)-\left(-2\right)·\left(-2\right)\\ -2·\left(-2\right)-\left(-1\right)·\left(-1\right)\\ -1·\left(-2\right)-\left(-2\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-4\\ 4-1\\ 2-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}=-8\mathrm{+0}\mathrm{+8}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ -2\end{array}\right)$ = -2⋅t +26 = 0 wird, also t=$\frac{26}{2}$=$13$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 13\\ -2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-4x_1+13x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ 13\\ -2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot 13+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}=20-26\mathrm{+6}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-2|-4|-4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-2|-4|-4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-4x_1+13x_2-2x_3=-36$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·\left(-2\right)-\left(-1\right)·1\\ -1·2-\left(-2\right)·\left(-2\right)\\ -2·1-2·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4+1\\ -2-4\\ -2-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = -3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)|$ = 9

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+2^2+{\mathrm{(-1)}}^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 9 | :9

k = $\frac{9}{9}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 1\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-1|4|1\right)$ oder C'$\left(-3|0|-3\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{-6\; -\; c}\\ -2\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{-6\; -\; c}\\ -2\end{array}\right)$ = $0·1+3·\left(-6-c\right)+6·\left(-2\right)$ = $0+3\left(-6-c\right)-12$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$