Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 4=0\mathrm{+20}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ = 3⋅t +45 = 0 wird, also t=$-\frac{45}{3}$ = -15.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 5\\ 4\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -3\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}=-9\mathrm{+0}\mathrm{+9}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ -3\end{array}\right)$ = 2⋅t +6 = 0 wird, also t=$-\frac{6}{2}$ = -3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=25-25\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ t\end{array}\right)$ = -6⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{6}$=$0$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-6)}\cdot 0=-25\mathrm{+25}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(1|4|1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 0\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ t\end{array}\right)$=$6\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 6+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=12-12\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ t\end{array}\right)$ = -3⋅t +24 = 0 wird, also t=$\frac{24}{3}$=$8$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 8\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $2x_1+6x_2+8x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 8\end{array}\right)$=$3\cdot 2+3\cdot 6+\mathrm{(-3)}\cdot 8=6\mathrm{+18}-24=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-1|5|-5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-1|5|-5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $2x_1+6x_2+8x_3=-12$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·7-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·\left(-6\right)-7·7\\ 7·\left(-6\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42-36\\ 36-49\\ -42-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-78\\ -13\\ -78\end{array}\right)$ = -13⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 6\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=22 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -12\\ -12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ -12\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 6\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=12-12\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t -34 = 0 wird, also t=$\frac{34}{2}$=$17$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 17\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-6x_1-2x_2+17x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 17\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-6)}+2\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 17=-30-4\mathrm{+34}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-2|2|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-2|2|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-6x_1-2x_2+17x_3=59$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -9\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -9\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·6-\left(-9\right)·7\\ -9·\left(-6\right)-\left(-2\right)·6\\ -2·7-6·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36+63\\ 54+12\\ -14+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}99\\ 66\\ 22\end{array}\right)$ = 11⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -9\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)|$ = 121

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -9\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+6^2+{\mathrm{(-9)}}^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9^2+6^2+2^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 121 | :121

k = $\frac{\mathrm{121}}{\mathrm{121}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 12\\ -7\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 0\\ -11\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(7|12|-7\right)$ oder C'$\left(-11|0|-11\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-2\; -\; c}\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-2\; -\; c}\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ = $-4·\left(-2-c\right)-4·0+0·\left(-1\right)$ = $-4\left(-2-c\right)+0+0$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-2}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$