Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=-4\mathrm{+0}\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -4\end{array}\right)$ = -10⋅t -20 = 0 wird, also t=$-\frac{20}{10}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -4\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-3)}=0\mathrm{+15}-15=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ = -2⋅t +2 = 0 wird, also t=$\frac{2}{2}$ = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 5\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot \mathrm{(-6)}=30\mathrm{+0}-30=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -6\end{array}\right)$ = -5⋅t -50 = 0 wird, also t=$-\frac{50}{5}$=$-10$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -10\\ -6\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ -10\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot 5+0\cdot \mathrm{(-10)}+5\cdot \mathrm{(-6)}=30\mathrm{+0}-30=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-1|-2|2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -10\\ -6\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-6)}=0\mathrm{+30}-30=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -6\end{array}\right)$ = -1⋅t +31 = 0 wird, also t=$31$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}31\\ -5\\ -6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $31x_1-5x_2-6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}31\\ -5\\ -6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 31+1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}=-31-5\mathrm{+36}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-2|4|-1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-2|4|-1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $31x_1-5x_2-6x_3=-76$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}8\\ -4\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·8-8·8\\ 8·\left(-4\right)-8·8\\ 8·8-\left(-4\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-64\\ -32-64\\ 64-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-96\\ -96\\ 48\end{array}\right)$ = 48⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=36 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}22\\ -12\\ 24\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}22\\ -12\\ 24\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot 2=4\mathrm{+0}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 2\end{array}\right)$ = 1⋅t +0 = 0 wird, also t=$0$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-2x_1+2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot 0+\mathrm{(-2)}\cdot 2=4\mathrm{+0}-4=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(5|-1|5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(5|-1|5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-2x_1+2x_3=0$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·6-3·3\\ 3·2-\left(-6\right)·6\\ -6·3-\left(-2\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12-9\\ 6+36\\ -18+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-21\\ 42\\ -14\end{array}\right)$ = -7⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)|$ = 147

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-6)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2+3^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3^2+{\mathrm{(-6)}}^2+2^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 147 | :49

k = $\frac{\mathrm{147}}{\mathrm{49}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}9\\ -18\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -20\\ 9\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-9\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 16\\ -3\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(3|-20|9\right)$ oder C'$\left(-15|16|-3\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ \mathrm{-9\; -\; c}\\ -2\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ \mathrm{-9\; -\; c}\\ -2\end{array}\right)$ = $0·\left(-5\right)+4·\left(-9-c\right)-6·\left(-2\right)$ = $0+4\left(-9-c\right)+12$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-6}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -2\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -9\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -2\end{array}\right)$