Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 2+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+2\cdot 3=-6\mathrm{+0}\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = -5⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{5}$ = 0.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 3\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ t\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 2+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-6\mathrm{+6}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ t\end{array}\right)$ = 3⋅t +9 = 0 wird, also t=$-\frac{9}{3}$ = -3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-3)}=0\mathrm{+3}-3=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ = 1⋅t +7 = 0 wird, also t=$-7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ -3\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ -3\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-7)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=-7\mathrm{+4}\mathrm{+3}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-2|-5|3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -1\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot 3=6\mathrm{+0}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = -3⋅t -12 = 0 wird, also t=$-\frac{12}{3}$=$-4$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-2x_1-4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 3\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-2)}\cdot 3=-6\mathrm{+12}-6=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(5|-1|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(5|-1|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-2x_1-4x_2+3x_3=-6$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·0-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·\left(-3\right)-0·0\\ 0·\left(-4\right)-\left(-3\right)·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-16\\ 12+0\\ 0-9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\\ 12\\ -9\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=10 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -8\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ -12\\ 9\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -9\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-6)}\cdot 1=6\mathrm{+0}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -9\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ 1\end{array}\right)$ = -9⋅t -27 = 0 wird, also t=$-\frac{27}{9}$=$-3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-6x_1-3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -9\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 1\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-9)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 1=-30\mathrm{+27}\mathrm{+3}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-3|1|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-3|1|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-6x_1-3x_2+x_3=18$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·3-\left(-2\right)·2\\ -2·6-3·3\\ 3·2-\left(-6\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18+4\\ -12-9\\ 6+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-14\\ -21\\ 42\end{array}\right)$ = -7⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -6\end{array}\right)|$ = 196

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3^2+{\mathrm{(-6)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+3^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 196 | :49

k = $\frac{\mathrm{196}}{\mathrm{49}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ 12\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ 6\\ -26\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ -12\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -18\\ 22\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(11|6|-26\right)$ oder C'$\left(-5|-18|22\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{0\; -\; c}\\ -2\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 10\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{0\; -\; c}\\ -2\end{array}\right)$ = $0·5+4·\left(-c\right)+10·\left(-2\right)$ = $0-4c-20$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-5}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -2\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -2\end{array}\right)$