Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ 5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 5=0-5\mathrm{+5}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ 5\end{array}\right)$ = 1⋅t +13 = 0 wird, also t=$-13$ = -13.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-13\\ -1\\ 5\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-20\mathrm{+20}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ = -1⋅t -3 = 0 wird, also t=$-3$ = -3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot 1=-4\mathrm{+0}\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 1\end{array}\right)$ = 3⋅t +21 = 0 wird, also t=$-\frac{21}{3}$=$-7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{(-7)}+4\cdot 1=-4\mathrm{+0}\mathrm{+4}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(1|5|-3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-5)}=-30\mathrm{+0}\mathrm{+30}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = 3⋅t -33 = 0 wird, also t=$\frac{33}{3}$=$11$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 11\\ -5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-6x_1+11x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ 11\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot 11+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-5)}=-30\mathrm{+0}\mathrm{+30}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(5|1|-5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(5|1|-5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-6x_1+11x_2-5x_3=6$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1·\left(-1\right)-2·\left(-2\right)\\ 2·2-\left(-2\right)·\left(-1\right)\\ -2·\left(-2\right)-\left(-1\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+4\\ 4-2\\ 4+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 6\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-8\\ -3\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 6\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·\left(-6\right)-6·6\\ 6·\left(-3\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·6-\left(-3\right)·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18-36\\ -18-36\\ -36-9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ -54\\ -45\end{array}\right)$ = -9⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 5\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 5\end{array}\right)$.

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9·\left(-6\right)-2·\left(-6\right)\\ 2·7-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·\left(-6\right)-\left(-9\right)·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}54+12\\ 14-36\\ 36+63\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}66\\ -22\\ 99\end{array}\right)$ = 11⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)|$ = 121

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-6)}}^2+{\mathrm{(-9)}}^2+2^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+{\mathrm{(-2)}}^2+9^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 121 | :121

k = $\frac{\mathrm{121}}{\mathrm{121}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -11\\ 11\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -7\\ -7\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(0|-11|11\right)$ oder C'$\left(-12|-7|-7\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ \mathrm{6\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -8\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ \mathrm{6\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-4·4-4·0-8·\left(6-c\right)$ = $-16+0-8\left(6-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{8}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$