Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 1=0-5\mathrm{+5}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ = -3⋅t -9 = 0 wird, also t=$-\frac{9}{3}$ = -3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-4)}=0-8\mathrm{+8}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-13\\ 1\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ = -13⋅t +26 = 0 wird, also t=$\frac{26}{13}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot 2=-8\mathrm{+0}\mathrm{+8}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 2\end{array}\right)$ = -2⋅t -14 = 0 wird, also t=$-\frac{14}{2}$=$-7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{(-7)}+4\cdot 2=-8\mathrm{+0}\mathrm{+8}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(4|-5|4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ 6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot 3+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+3\cdot 6=-18\mathrm{+0}\mathrm{+18}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ 6\end{array}\right)$ = -5⋅t -15 = 0 wird, also t=$-\frac{15}{5}$=$-3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $3x_1-3x_2+6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 3+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot 6=-9\mathrm{+15}-6=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|3|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|3|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $3x_1-3x_2+6x_3=3$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·4-\left(-2\right)·\left(-2\right)\\ -2·4-4·4\\ 4·\left(-2\right)-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-4\\ -8-16\\ -8-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ -24\end{array}\right)$ = 12⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=18 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}13\\ 12\\ -6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}13\\ 12\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 13\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=5-5\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 13\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ t\end{array}\right)$ = 13⋅t +26 = 0 wird, also t=$-\frac{26}{13}$=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1-x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 13\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+13\cdot \mathrm{(-2)}=25\mathrm{+1}-26=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|-2|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|-2|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1-x_2-2x_3=-24$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·3-2·\left(-6\right)\\ 2·\left(-2\right)-\left(-6\right)·3\\ -6·\left(-6\right)-3·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9+12\\ -4+18\\ 36+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}21\\ 14\\ 42\end{array}\right)$ = 7⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)|$ = 147

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-6)}}^2+3^2+2^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3^2+2^2+6^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 147 | :49

k = $\frac{\mathrm{147}}{\mathrm{49}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 9\\ 20\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ -18\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ -3\\ -16\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(3|9|20\right)$ oder C'$\left(-15|-3|-16\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ \mathrm{8\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ -11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ \mathrm{8\; -\; c}\end{array}\right)$ = $5·\left(-4\right)-3·\left(-3\right)-11·\left(8-c\right)$ = $-20+9-11\left(8-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{9}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -1\end{array}\right)$