Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 5=0\mathrm{+20}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}11\\ 3\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ = 11⋅t +22 = 0 wird, also t=$-\frac{22}{11}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 5\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0-2\mathrm{+2}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ = 1⋅t -7 = 0 wird, also t=$7$ = 7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 7\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ t\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 2+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-6\mathrm{+6}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ t\end{array}\right)$ = 7⋅t +14 = 0 wird, also t=$-\frac{14}{7}$=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 7\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-2)}\cdot 2+7\cdot \mathrm{(-2)}=18-4-14=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(5|-5|1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-3)}=0\mathrm{+15}-15=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ = 5⋅t +35 = 0 wird, also t=$-\frac{35}{5}$=$-7$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ -5\\ -3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-7x_1-5x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-7\\ -5\\ -3\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-7)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}=-35\mathrm{+20}\mathrm{+15}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(0|0|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(0|0|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-7x_1-5x_2-3x_3=-6$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 7\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·4-7·7\\ 7·4-4·4\\ 4·7-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-49\\ 28-16\\ 28-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-33\\ 12\\ 12\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}-11\\ 4\\ 4\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=18 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}22\\ 8\\ 14\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}22\\ 8\\ 14\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-11\\ 4\\ 4\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+2\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 2=0\mathrm{+8}-8=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-8\\ -5\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ = -8⋅t -16 = 0 wird, also t=$-\frac{16}{8}$=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 2=0\mathrm{+8}-8=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-4|-3|5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 2\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·2-1·2\\ 1·1-2·2\\ 2·2-\left(-2\right)·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4-2\\ 1-4\\ 4+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ = -3⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)|$ = 36

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+{\mathrm{(-2)}}^2+1^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+1^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 36 | :9

k = $\frac{\mathrm{36}}{9}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 2\\ -7\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 9\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(10|2|-7\right)$ oder C'$\left(-6|-6|9\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{4\; -\; c}\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{4\; -\; c}\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ = $3·\left(4-c\right)+5·\left(-5\right)-11·\left(-2\right)$ = $3\left(4-c\right)-25+22$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{3}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -2\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -2\end{array}\right)$