Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot \mathrm{(-1)}=4\mathrm{+0}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 13\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = 13⋅t -26 = 0 wird, also t=$\frac{26}{13}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-5)}=0\mathrm{+15}-15=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-23\\ 1\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -5\end{array}\right)$ = -23⋅t -23 = 0 wird, also t=$-\frac{23}{23}$ = -1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ 6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 4=4\mathrm{+0}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 4\end{array}\right)$ = -9⋅t +27 = 0 wird, also t=$\frac{27}{9}$=$3$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -9\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-9)}\cdot 3+6\cdot 4=3-27\mathrm{+24}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-4|2|2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ t\end{array}\right)$=$4\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=16-16\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ t\end{array}\right)$ = 4⋅t -12 = 0 wird, also t=$\frac{12}{4}$=$3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $4x_1+4x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 3\end{array}\right)$=$4\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 4+0\cdot 3=16-16\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|-2|-3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|-2|-3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $4x_1+4x_2+3x_3=-33$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·4-4·7\\ 4·4-7·4\\ 7·7-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-28\\ 16-28\\ 49-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ 33\end{array}\right)$ = -3⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -11\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}29\\ 12\\ 12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}29\\ 12\\ 12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -11\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-8\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·\left(-8\right)-\left(-8\right)·\left(-8\right)\\ -8·\left(-4\right)-\left(-8\right)·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64-16\\ 32-64\\ 32-64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}48\\ -32\\ -32\end{array}\right)$ = 16⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=24 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ -16\\ -8\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-15\\ -16\\ -8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -2\end{array}\right)$.

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·6-\left(-3\right)·3\\ -3·2-6·6\\ 6·3-2·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12+9\\ -6-36\\ 18-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}21\\ -42\\ 14\end{array}\right)$ = 7⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ -3\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)|$ = 196

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ -3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+2^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3^2+{\mathrm{(-6)}}^2+2^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 196 | :49

k = $\frac{\mathrm{196}}{\mathrm{49}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}12\\ -24\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ -22\\ 5\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-12\\ 24\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 26\\ -11\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(18|-22|5\right)$ oder C'$\left(-6|26|-11\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-4\; -\; c}\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-4\; -\; c}\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ = $-5·\left(-4-c\right)+2·2-11·\left(-1\right)$ = $-5\left(-4-c\right)+4+11$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-7}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$