Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-1)}=0\mathrm{+4}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-17\\ -3\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ = -17⋅t +17 = 0 wird, also t=$\frac{17}{17}$ = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ t\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-8\mathrm{+8}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ 13\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ t\end{array}\right)$ = 13⋅t +26 = 0 wird, also t=$-\frac{26}{13}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=12-12\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{2}$=$0$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 0\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 0\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 0=-12\mathrm{+12}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(4|5|2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 0\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot \mathrm{(-4)}=16\mathrm{+0}-16=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -4\end{array}\right)$ = -2⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{2}$=$0$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -4\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $4x_1-4x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}=-20\mathrm{+0}\mathrm{+20}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-3|2|5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-3|2|5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $4x_1-4x_3=-32$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·\left(-4\right)-\left(-3\right)·0\\ -3·\left(-3\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·0-0·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ 9-16\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ 0\end{array}\right)$ = -7⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=10 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-10\mathrm{+10}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ t\end{array}\right)$ = -2⋅t +22 = 0 wird, also t=$\frac{22}{2}$=$11$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 11\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $2x_1-5x_2+11x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 11\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot 11=-10\mathrm{+10}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(3|-5|-4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(3|-5|-4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $2x_1-5x_2+11x_3=-13$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·2-\left(-6\right)·3\\ -6·\left(-6\right)-\left(-3\right)·2\\ -3·3-\left(-2\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4+18\\ 36+6\\ -9-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14\\ 42\\ -21\end{array}\right)$ = -7⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)|$ = 98

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-3)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2+3^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 98 | :49

k = $\frac{\mathrm{98}}{\mathrm{49}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -14\\ 0\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}4\\ 12\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 10\\ -12\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-7|-14|0\right)$ oder C'$\left(1|10|-12\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{-10\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{-10\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $-1·1-2·\left(-10-c\right)+5·\left(-1\right)$ = $-1-2\left(-10-c\right)-5$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-7}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ -10\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -1\end{array}\right)$