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Normalenvektor

Beispiel:

Finde einen Vektor, der sowohl zu u = ( -5 -4 1 ) als auch zu v = ( 2 -3 -4 ) orthogonal ist (der Nullvektor ist nicht erlaubt).

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Da wir in keinem der beiden Vektoren eine "Null" in den Koordinaten finden, erhalten wir den Normalenvektor am schnellsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt):

n = ( -5 -4 1 ) × ( 2 -3 -4 ) = ( -4( - 4 )-1( - 3 ) 12-( - 5 )( - 4 ) -5( - 3 )-( - 4 )2 ) = ( 16-( - 3 ) 2-20 15-( - 8 ) ) = ( 19 -18 23 )

Gerade in E, die senkrecht auf g ist

Beispiel:

Bestimme eine Gerade h, die in der Ebene E: -6 x 1 +2 x 3 = -14 liegt und orthogonal zur Geraden g: x = ( 1 -1 -4 ) +t ( 4 -2 -2 ) verläuft.

Lösung einblenden

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor rvh der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor n = ( -6 0 2 ) von E als auch zum Richungsvektor rvg = ( 4 -2 -2 ) von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor nE = ( -6 0 2 ) in der x2-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( 2 t 6 ) für jedes t orthogonal zur Ebene, denn ( -6 0 2 ) ( 2 t 6 ) =(-6)2 + 0t + 26 = -12+0+12=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor rvg = ( 4 -2 -2 ) ( 2 t 6 ) = -2⋅t -4 = 0 wird, also t= - 4 2 =-2. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also rvh = ( 2 -2 6 ) .

Da n rvh = ( 4 -2 -2 ) ( 2 -2 6 ) =42 + (-2)(-2) + (-2)6 = 8+4-12=0 ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
(1|-1|-4) liegt in E, da:

-6 1 +2 ( - 4 ) = -14

.

Die gesuchte Gerade ist also h: x = ( 1 -1 -4 ) +t ( 2 -2 6 )

Ebene, die g beinhaltet und ortho zu F

Beispiel:

Bestimme eine Ebene E, in der die Gerade g: x = ( -1 0 1 ) +t ( 0 6 -5 ) liegt und die orthogonal zur Ebene F: 7 x 1 +3 x 2 + x 3 = 6 steht.

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Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor n der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor nF = ( 7 3 1 ) von F als auch zum Richungsvektor rv = ( 0 6 -5 ) von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor rv = ( 0 6 -5 ) in der x1-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( t 5 6 ) für jedes t orthogonal zur Geraden, denn ( 0 6 -5 ) ( t 5 6 ) =0t + 65 + (-5)6 = 0+30-30=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F ( 7 3 1 ) ( t 5 6 ) = 7⋅t +21 = 0 wird, also t= - 21 7 =-3. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also nE = ( -3 5 6 ) , die Ebenengleichung also: -3 x 1 +5 x 2 +6 x 3 = d .

Da rv nE = ( 0 6 -5 ) ( -3 5 6 ) =0(-3) + 65 + (-5)6 = 0+30-30=0 ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt (-1|0|1) in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also (-1|0|1) in E ein:

-3 ( - 1 ) +5 0 +6 1 = d

und erhalten d=9.

Die gesuchte Ebene ist also E: -3 x 1 +5 x 2 +6 x 3 = 9

Gerade mit gl. Abstand zu E und F

Beispiel:

Der Punkt P(8|-7|-6) hat sowohl von der Ebene E: -6 x 1 -7 x 2 -6 x 3 = -84 als auch von der Ebene F: -6 x 1 -6 x 2 -7 x 3 = -85 den gleichen Abstand d = 11. Bestimme die Gleichung einer Geraden, deren Punkte auch alle den Abstand d=11 von E und von F haben.

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Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor u muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: u ( -6 -7 -6 ) = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor u orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
u ( -6 -6 -7 ) = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu ( -6 -7 -6 ) als auch zu ( -6 -6 -7 ) ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

u = ( -6 -7 -6 ) × ( -6 -6 -7 ) = ( -7( - 7 )-( - 6 )( - 6 ) -6( - 6 )-( - 6 )( - 7 ) -6( - 6 )-( - 7 )( - 6 ) ) = ( 49-36 36-42 36-42 ) = ( 13 -6 -6 )

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=11 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts OP = ( 8 -7 -6 ) nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: x = ( 8 -7 -6 ) +t ( 13 -6 -6 ) .

Gerade in E, die senkrecht auf g ist

Beispiel:

Bestimme eine Gerade h, die in der Ebene E: -6 x 1 - x 3 = -26 liegt und orthogonal zur Geraden g: x = ( 5 -5 -4 ) +t ( -4 -5 6 ) verläuft.

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Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor rvh der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor n = ( -6 0 -1 ) von E als auch zum Richungsvektor rvg = ( -4 -5 6 ) von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor nE = ( -6 0 -1 ) in der x2-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( -1 t 6 ) für jedes t orthogonal zur Ebene, denn ( -6 0 -1 ) ( -1 t 6 ) =(-6)(-1) + 0t + (-1)6 = 6+0-6=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor rvg = ( -4 -5 6 ) ( -1 t 6 ) = -5⋅t +40 = 0 wird, also t= 40 5 =8. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also rvh = ( -1 8 6 ) .

Da n rvh = ( -4 -5 6 ) ( -1 8 6 ) =(-4)(-1) + (-5)8 + 66 = 4-40+36=0 ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
(5|-5|-4) liegt in E, da:

-6 5 -1 ( - 4 ) = -26

.

Die gesuchte Gerade ist also h: x = ( 5 -5 -4 ) +t ( -1 8 6 )

Quadrat in einer Ebene finden

Beispiel:

Das Rechteck ABCD mit A(0|0|0) und B(2|6|9) liegt in der Ebene E: 6 x 1 +7 x 2 -6 x 3 = 0 und hat den Flächeninhalt 484.
Bestimme die Koordinaten eines möglichen Punkts C.

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Der Vektor BC muss orthogonal zu AB = ( 2 6 9 ) sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss BC aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene n = ( 6 7 -6 ) sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu ( 2 6 9 ) als auch zu ( 6 7 -6 ) sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅ BC = ( 2 6 9 ) × ( 6 7 -6 ) = ( 6( - 6 )-97 96-2( - 6 ) 27-66 ) = ( -36-63 54-( - 12 ) 14-36 ) = ( -99 66 -22 ) = -11⋅ ( 9 -6 2 )

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = | ( 2 6 9 ) | | k⋅ ( 9 -6 2 ) | = 484

mit | ( 2 6 9 ) | = 2 2 + 62 + 9 2 = 121 = 11 und | ( 9 -6 2 ) | = 9 2 + (-6)2 + 2 2 = 121 = 11 gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 484 | :121

k = 484 121 = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
0C = 0B + 4⋅ ( 9 -6 2 ) = ( 2 6 9 ) + ( 36 -24 8 ) = ( 38 -18 17 )
bzw. 0C' = 0B - 4⋅ ( 9 -6 2 ) = ( 2 6 9 ) + ( -36 24 -8 ) = ( -34 30 1 )

Die Koordinaten von C sind somit C(38|-18|17) oder C'(-34|30|1).

Achsenpunkt für parallele Gerade

Beispiel:

Gegeben sind die Ebene E: -2 x 1 +4 x 2 -4 x 3 = 4 und der Punkt P(4|-7|-1). P liegt nicht in E.

Bestimme eine Gerade g, die parallel zu E liegt, den Punkt P enthält und die x2-Achse schneidet.

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Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x2-Achse Qc(0|c|0). Damit muss Q cP = ( 4 -7 - c -1 ) der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu Q cP sein, also gilt:

0 = ( -2 4 -4 ) ( 4 -7 - c -1 ) = -2 · 4 + 4 · ( -7 - c ) -4 · ( -1 ) = -8 +4( -7 - c ) +4

-8 +4( -7 - c ) +4 = 0
-8 -4c -28 +4 = 0
-4c -32 = 0 | +32
-4c = 32 |:(-4 )
c = -8

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade Q -8P = ( 4 -7 - ( - 8 ) -1 ) = ( 4 1 -1 )

Die gesuchte Gerade ist also h: x = ( 4 -7 -1 ) +t ( 4 1 -1 )