nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Normalenvektor ohne Kreuzprodukt

Beispiel:

Finde einen Vektor, der sowohl zu u = ( 2 1 -3 ) als auch zu v = ( 3 0 -2 ) orthogonal ist (der Nullvektor ist nicht erlaubt).

Lösung einblenden

Weil beim Vektor ( 3 0 -2 ) in der x2-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( -2 t -3 ) für jedes t orthogonal zu ( 3 0 -2 ) , denn ( 3 0 -2 ) ( -2 t -3 ) =3(-2) + 0t + (-2)(-3) = -6+0+6=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor ( 2 1 -3 ) ( -2 t -3 ) = 1⋅t +5 = 0 wird, also t=-5 = -5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also n = ( -2 -5 -3 )

Normalenvektor

Beispiel:

Finde einen Vektor, der sowohl zu u = ( 4 2 -4 ) als auch zu v = ( 4 1 -1 ) orthogonal ist (der Nullvektor ist nicht erlaubt).

Lösung einblenden

Da wir in keinem der beiden Vektoren eine "Null" in den Koordinaten finden, erhalten wir den Normalenvektor am schnellsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt):

n = ( 4 2 -4 ) × ( 4 1 -1 ) = ( 2 · ( -1 ) - ( -4 ) · 1 -4 · 4 - 4 · ( -1 ) 4 · 1 - 2 · 4 ) = ( -2 +4 -16 +4 4 -8 ) = ( 2 -12 -4 ) = 2⋅ ( 1 -6 -2 )

Gerade in E, die senkrecht auf g ist

Beispiel:

Bestimme eine Gerade h, die in der Ebene E: -2 x 1 - x 3 = -7 liegt und orthogonal zur Geraden g: x = ( 3 0 1 ) +t ( -6 -2 3 ) verläuft.

Lösung einblenden

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor rvh der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor n = ( -2 0 -1 ) von E als auch zum Richungsvektor rvg = ( -6 -2 3 ) von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor nE = ( -2 0 -1 ) in der x2-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( -1 t 2 ) für jedes t orthogonal zur Ebene, denn ( -2 0 -1 ) ( -1 t 2 ) =(-2)(-1) + 0t + (-1)2 = 2+0-2=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor rvg = ( -6 -2 3 ) ( -1 t 2 ) = -2⋅t +12 = 0 wird, also t= 12 2 =6. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also rvh = ( -1 6 2 ) .

Da n rvh = ( -6 -2 3 ) ( -1 6 2 ) =(-6)(-1) + (-2)6 + 32 = 6-12+6=0 ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
(3|0|1) liegt in E, da:

-2 3 -1 1 = -7

.

Die gesuchte Gerade ist also h: x = ( 3 0 1 ) +t ( -1 6 2 )

Ebene, die g beinhaltet und ortho zu F

Beispiel:

Bestimme eine Ebene E, in der die Gerade g: x = ( -5 -2 -4 ) +t ( 1 -1 1 ) liegt und die orthogonal zur Ebene F: - x 1 + x 3 = 6 steht.

Lösung einblenden

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor n der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor nF = ( -1 0 1 ) von F als auch zum Richungsvektor rv = ( 1 -1 1 ) von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor nF = ( -1 0 1 ) in der x2-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( 1 t 1 ) für jedes t orthogonal zur Ebene, denn ( -1 0 1 ) ( 1 t 1 ) =(-1)1 + 0t + 11 = -1+0+1=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor rv = ( 1 -1 1 ) ( 1 t 1 ) = -1⋅t +2 = 0 wird, also t=2. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also nE = ( 1 2 1 ) , die Ebenengleichung also: x 1 +2 x 2 + x 3 = d .

Da rv nE = ( 1 -1 1 ) ( 1 2 1 ) =11 + (-1)2 + 11 = 1-2+1=0 ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt (-5|-2|-4) in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also (-5|-2|-4) in E ein:

1 ( - 5 ) +2 ( - 2 ) +1 ( - 4 ) = d

und erhalten d=-13.

Die gesuchte Ebene ist also E: x 1 +2 x 2 + x 3 = -13

Gerade mit gl. Abstand zu E und F

Beispiel:

Der Punkt P(-6|8|8) hat sowohl von der Ebene E: -7 x 1 +4 x 2 +4 x 3 = -56 als auch von der Ebene F: 4 x 1 -7 x 2 +4 x 3 = -210 den gleichen Abstand d = 18. Bestimme die Gleichung einer Geraden, deren Punkte auch alle den Abstand d=18 von E und von F haben.

Lösung einblenden

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor u muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: u ( -7 4 4 ) = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor u orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
u ( 4 -7 4 ) = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu ( -7 4 4 ) als auch zu ( 4 -7 4 ) ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

u = ( -7 4 4 ) × ( 4 -7 4 ) = ( 4 · 4 - 4 · ( -7 ) 4 · 4 - ( -7 ) · 4 -7 · ( -7 ) - 4 · 4 ) = ( 16 +28 16 +28 49 -16 ) = ( 44 44 33 ) = 11⋅ ( 4 4 3 )

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=18 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts OP = ( -6 8 8 ) nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: x = ( -6 8 8 ) +t ( 4 4 3 ) .

Gerade mit gl. Abstand zu E und F

Beispiel:

Der Punkt P(4|12|12) hat sowohl von der Ebene E: 2 x 1 +4 x 2 +4 x 3 = -4 als auch von der Ebene F: 4 x 1 +4 x 2 +2 x 3 = -20 den gleichen Abstand d = 18. Bestimme die Gleichung einer Geraden, deren Punkte auch alle den Abstand d=18 von E und von F haben.

Lösung einblenden

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor u muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: u ( 2 4 4 ) = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor u orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
u ( 4 4 2 ) = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu ( 2 4 4 ) als auch zu ( 4 4 2 ) ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

u = ( 2 4 4 ) × ( 4 4 2 ) = ( 4 · 2 - 4 · 4 4 · 4 - 2 · 2 2 · 4 - 4 · 4 ) = ( 8 -16 16 -4 8 -16 ) = ( -8 12 -8 ) = 4⋅ ( -2 3 -2 )

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=18 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts OP = ( 4 12 12 ) nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: x = ( 4 12 12 ) +t ( -2 3 -2 ) .

Rechteck in einer Ebene finden

Beispiel:

Das Rechteck ABCD mit A(0|0|0) und B(-4|0|-3) liegt in der Ebene E: + x 2 = 0 und hat den Flächeninhalt 25.
Bestimme die Koordinaten eines möglichen Punkts C.

Lösung einblenden

Der Vektor BC muss orthogonal zu AB = ( -4 0 -3 ) sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss BC aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene n = ( 0 1 0 ) sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu ( -4 0 -3 ) als auch zu ( 0 1 0 ) sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅ BC = ( -4 0 -3 ) × ( 0 1 0 ) = ( 0 · 0 - ( -3 ) · 1 -3 · 0 - ( -4 ) · 0 -4 · 1 - 0 · 0 ) = ( 0 +3 0+0 -4 +0 ) = ( 3 0 -4 )

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = | ( -4 0 -3 ) | | k· ( -3 0 4 ) | = 25

mit | ( -4 0 -3 ) | = (-4) 2 + 02 + (-3) 2 = 25 = 5 und | ( -3 0 4 ) | = (-3) 2 + 02 + 4 2 = 25 = 5 gilt somit:

5 ⋅ k⋅5 = 25 | :25

k = 25 25 = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
0C = 0B + 1⋅ ( -3 0 4 ) = ( -4 0 -3 ) + ( -3 0 4 ) = ( -7 0 1 )
bzw. 0C' = 0B - 1⋅ ( -3 0 4 ) = ( -4 0 -3 ) + ( 3 0 -4 ) = ( -1 0 -7 )

Die Koordinaten von C sind somit C(-7|0|1) oder C'(-1|0|-7).

Achsenpunkt für parallele Gerade

Beispiel:

Gegeben sind die Ebene E: 3 x 1 -4 x 2 -7 x 3 = -84 und der Punkt P(3|-3|-1). P liegt nicht in E.

Bestimme eine Gerade g, die parallel zu E liegt, den Punkt P enthält und die x2-Achse schneidet.

Lösung einblenden

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x2-Achse Qc(0|c|0). Damit muss Q cP = ( 3 -3 - c -1 ) der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu Q cP sein, also gilt:

0 = ( 3 -4 -7 ) ( 3 -3 - c -1 ) = 3 · 3 -4 · ( -3 - c ) -7 · ( -1 ) = 9 -4( -3 - c ) +7

9 +12 +4c +7 = 0
4c +28 = 0 | -28
4c = -28 |:4
c = -7

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade Q -7P = ( 3 -3 - ( - 7 ) -1 ) = ( 3 4 -1 )

Die gesuchte Gerade ist also h: x = ( 3 -3 -1 ) +t ( 3 4 -1 )