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"Normalenvektor" ohne Kreuzprodukt

Beispiel:

Finde einen Vektor, der sowohl zu u = ( 0 -1 0 ) als auch zu v = ( -6 6 -3 ) orthogonal ist (der Nullvektor ist nicht erlaubt).

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In diesem Fall, wenn in einem Vektor zwei Nullen sind, wird es besonders einfach, den Normalenvektor zu finden:

Da ja der Vektor ( 0 -1 0 ) nur in der x2-Koordinate eine Zahl ungleich 0 besitzt, muss unser Normalenvektor an dieser Stelle unbedingt eine 0 haben, weil wir ja sonst dieses Produkt nicht mehr "wegbekommen" würden.

Es gilt also schon mal sicher für unseren Normalenvektor n = ( b 0 a ) , weil ( 0 -1 0 ) ( b 0 a ) = 0

Und weil ja aber auch ( -6 6 -3 ) ( b 0 a ) = 0 gelten muss, können wir beim Normalenvektor einfach die x1- und die x3-Koordinaten vom Vektor ( -6 6 -3 ) vertauschen und bei einer das Vorzeichen wechseln, denn:

( -6 6 -3 ) ( 3 0 -6 ) = (-6)3 + 60 + (-3)(-6) = 0

Somit wäre ( 3 0 -6 ) ein Normalenvektor zu den beiden gegebenen Vektoren.

"Normalenvektor" (orthog. Vektor)

Beispiel:

Finde einen Vektor, der sowohl zu u = ( -4 4 0 ) als auch zu v = ( 6 -3 -3 ) orthogonal ist (der Nullvektor ist nicht erlaubt).

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Weil beim Vektor ( -4 4 0 ) in der x3-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( -4 -4 t ) für jedes t orthogonal zu ( -4 4 0 ) , denn ( -4 4 0 ) ( -4 -4 t ) =(-4)(-4) + 4(-4) + 0t = 16-16+0=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor ( 6 -3 -3 ) ( -4 -4 t ) = -3⋅t -12 = 0 wird, also t= - 12 3 = -4.

Der gesuchte Normalenvektor ist also n = ( -4 -4 -4 )

Gerade in E, die senkrecht auf g ist

Beispiel:

Bestimme eine Gerade h, die in der Ebene E: -4 x 1 +2 x 2 + x 3 = -7 liegt und orthogonal zur Geraden g: x = ( 0 -2 -3 ) +t ( -4 0 -2 ) verläuft.

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Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor rvh der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor n = ( -4 2 1 ) von E als auch zum Richungsvektor rvg = ( -4 0 -2 ) von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor rvg = ( -4 0 -2 ) in der x2-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( -2 t 4 ) für jedes t orthogonal zur Geraden, denn ( -4 0 -2 ) ( -2 t 4 ) =(-4)(-2) + 0t + (-2)4 = 8+0-8=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E ( -4 2 1 ) ( -2 t 4 ) = 2⋅t +12 = 0 wird, also t= - 12 2 =-6. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also rvh = ( -2 -6 4 ) .

Da n rvh = ( -4 0 -2 ) ( -2 -6 4 ) =(-4)(-2) + 0(-6) + (-2)4 = 8+0-8=0 ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
(0|-2|-3) liegt in E, da:

-4 0 +2 ( - 2 ) +1 ( - 3 ) = -7

.

Die gesuchte Gerade ist also h: x = ( 0 -2 -3 ) +t ( -2 -6 4 )

Ebene, die g beinhaltet und ortho zu F

Beispiel:

Bestimme eine Ebene E, in der die Gerade g: x = ( 1 -4 5 ) +t ( 3 0 4 ) liegt und die orthogonal zur Ebene F: 6 x 1 +7 x 2 -6 x 3 = -3 steht.

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Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor n der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor nF = ( 6 7 -6 ) von F als auch zum Richungsvektor rv = ( 3 0 4 ) von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor rv = ( 3 0 4 ) in der x2-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( 4 t -3 ) für jedes t orthogonal zur Geraden, denn ( 3 0 4 ) ( 4 t -3 ) =34 + 0t + 4(-3) = 12+0-12=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F ( 6 7 -6 ) ( 4 t -3 ) = 7⋅t +42 = 0 wird, also t= - 42 7 =-6. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also nE = ( 4 -6 -3 ) , die Ebenengleichung also: 4 x 1 -6 x 2 -3 x 3 = d .

Da rv nE = ( 3 0 4 ) ( 4 -6 -3 ) =34 + 0(-6) + 4(-3) = 12+0-12=0 ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt (1|-4|5) in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also (1|-4|5) in E ein:

4 1 -6 ( - 4 ) -3 5 = d

und erhalten d=13.

Die gesuchte Ebene ist also E: 4 x 1 -6 x 2 -3 x 3 = 13

Gerade mit gl. Abstand zu E und F

Beispiel:

Der Punkt P(5|-3|-6) hat sowohl von der Ebene E: 6 x 1 -3 x 2 -6 x 3 = -6 als auch von der Ebene F: -3 x 1 -6 x 2 +6 x 3 = -114 den gleichen Abstand d = 9. Bestimme die Gleichung einer Geraden, deren Punkte auch alle den Abstand d=9 von E und von F haben.

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Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor u muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: u ( 6 -3 -6 ) = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor u orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
u ( -3 -6 6 ) = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu ( 6 -3 -6 ) als auch zu ( -3 -6 6 ) ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

u = ( 6 -3 -6 ) × ( -3 -6 6 ) = ( -3 · 6 - ( -6 ) · ( -6 ) -6 · ( -3 ) - 6 · 6 6 · ( -6 ) - ( -3 ) · ( -3 ) ) = ( -18 -36 18 -36 -36 -9 ) = ( -54 -18 -45 ) = -9⋅ ( 6 2 5 )

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts OP = ( 5 -3 -6 ) nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: x = ( 5 -3 -6 ) +t ( 6 2 5 ) .

Gerade mit gl. Abstand zu E und F

Beispiel:

Der Punkt P(5|-2|-4) hat sowohl von der Ebene E: 4 x 1 -2 x 2 -4 x 3 = 4 als auch von der Ebene F: 4 x 1 -4 x 2 -2 x 3 = 0 den gleichen Abstand d = 6. Bestimme die Gleichung einer Geraden, deren Punkte auch alle den Abstand d=6 von E und von F haben.

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Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor u muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: u ( 4 -2 -4 ) = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor u orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
u ( 4 -4 -2 ) = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu ( 4 -2 -4 ) als auch zu ( 4 -4 -2 ) ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

u = ( 4 -2 -4 ) × ( 4 -4 -2 ) = ( -2 · ( -2 ) - ( -4 ) · ( -4 ) -4 · 4 - 4 · ( -2 ) 4 · ( -4 ) - ( -2 ) · 4 ) = ( 4 -16 -16 +8 -16 +8 ) = ( -12 -8 -8 ) = -4⋅ ( 3 2 2 )

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=6 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts OP = ( 5 -2 -4 ) nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: x = ( 5 -2 -4 ) +t ( 3 2 2 ) .

Rechteck in einer Ebene finden

Beispiel:

Das Rechteck ABCD mit A(0|0|0) und B(6|-2|-3) liegt in der Ebene E: -2 x 1 +3 x 2 -6 x 3 = 0 und hat den Flächeninhalt 196.
Bestimme die Koordinaten eines möglichen Punkts C.

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Der Vektor BC muss orthogonal zu AB = ( 6 -2 -3 ) sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss BC aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene n = ( -2 3 -6 ) sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu ( 6 -2 -3 ) als auch zu ( -2 3 -6 ) sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅ BC = ( 6 -2 -3 ) × ( -2 3 -6 ) = ( -2 · ( -6 ) - ( -3 ) · 3 -3 · ( -2 ) - 6 · ( -6 ) 6 · 3 - ( -2 ) · ( -2 ) ) = ( 12 +9 6 +36 18 -4 ) = ( 21 42 14 ) = 7⋅ ( 3 6 2 )

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = | ( 6 -2 -3 ) | | k· ( 3 6 2 ) | = 196

mit | ( 6 -2 -3 ) | = 6 2 + (-2)2 + (-3) 2 = 49 = 7 und | ( 3 6 2 ) | = 3 2 + 62 + 2 2 = 49 = 7 gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 196 | :49

k = 196 49 = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
0C = 0B + 4⋅ ( 3 6 2 ) = ( 6 -2 -3 ) + ( 12 24 8 ) = ( 18 22 5 )
bzw. 0C' = 0B - 4⋅ ( 3 6 2 ) = ( 6 -2 -3 ) + ( -12 -24 -8 ) = ( -6 -26 -11 )

Die Koordinaten von C sind somit C(18|22|5) oder C'(-6|-26|-11).

Achsenpunkt für parallele Gerade

Beispiel:

Gegeben sind die Ebene E: 3 x 1 +5 x 2 -11 x 3 = -165 und der Punkt P(1|-5|7). P liegt nicht in E.

Bestimme eine Gerade g, die parallel zu E liegt, den Punkt P enthält und die x3-Achse schneidet.

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Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x3-Achse Qc(0|0|c). Damit muss Q cP = ( 1 -5 7 - c ) der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu Q cP sein, also gilt:

0 = ( 3 5 -11 ) ( 1 -5 7 - c ) = 3 · 1 + 5 · ( -5 ) -11 · ( 7 - c ) = 3 -25 -11( 7 - c )

3 -25 -11( 7 - c ) = 0
3 -25 -77 +11c = 0
11c -99 = 0 | +99
11c = 99 |:11
c = 9

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade Q 9P = ( 1 -5 7 - 9 ) = ( 1 -5 -2 )

Die gesuchte Gerade ist also h: x = ( 1 -5 7 ) +t ( 1 -5 -2 )