Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 5=0-10\mathrm{+10}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ = -2⋅t -22 = 0 wird, also t=$-\frac{22}{2}$ = -11.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ -2\\ 5\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 4=0\mathrm{+20}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-10\\ 4\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 4\end{array}\right)$ = -10⋅t +40 = 0 wird, also t=$\frac{40}{10}$ = 4.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+3\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 3=0-9\mathrm{+9}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ = 3⋅t +6 = 0 wird, also t=$-\frac{6}{3}$=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 3\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 3\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+1\cdot 3=-6\mathrm{+3}\mathrm{+3}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-3|2|5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ 6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -6\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot 6+\mathrm{(-6)}\cdot 1=0\mathrm{+6}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ 1\end{array}\right)$ = -9⋅t -18 = 0 wird, also t=$-\frac{18}{9}$=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-2x_1+6x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ -4\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-9)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-4)}\cdot 6+6\cdot 1=18-24\mathrm{+6}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-2|1|5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-2|1|5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-2x_1+6x_2+x_3=15$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -1\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -8\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1·\left(-4\right)-\left(-4\right)·\left(-8\right)\\ -4·\left(-1\right)-\left(-8\right)·\left(-4\right)\\ -8·\left(-8\right)-\left(-1\right)·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-32\\ 4-32\\ 64-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-28\\ -28\\ 63\end{array}\right)$ = 7⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 9\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=18 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ -2\\ -8\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-18\\ -2\\ -8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 9\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 5=0\mathrm{+5}-5=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ = -2⋅t -36 = 0 wird, also t=$-\frac{36}{2}$=$-18$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-18\\ 1\\ 5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-18x_1+x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-18\\ 1\\ 5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-18)}+5\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 5=0\mathrm{+5}-5=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-2|-4|-3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-2|-4|-3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-18x_1+x_2+5x_3=17$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-6\right)-3·\left(-2\right)\\ 3·3-2·\left(-6\right)\\ 2·\left(-2\right)-\left(-6\right)·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36+6\\ 9+12\\ -4+18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}42\\ 21\\ 14\end{array}\right)$ = 7⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)|$ = 196

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+{\mathrm{(-6)}}^2+3^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+3^2+2^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 196 | :49

k = $\frac{\mathrm{196}}{\mathrm{49}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}26\\ 6\\ 11\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-22\\ -18\\ -5\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(26|6|11\right)$ oder C'$\left(-22|-18|-5\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ \mathrm{-6\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ \mathrm{-6\; -\; c}\end{array}\right)$ = $1·\left(-2\right)-1·\left(-3\right)+1·\left(-6-c\right)$ = $-2+3+\left(-6-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-5}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$