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Normalenvektor ohne Kreuzprodukt

Beispiel:

Finde einen Vektor, der sowohl zu u = ( -2 -5 -1 ) als auch zu v = ( 5 3 0 ) orthogonal ist (der Nullvektor ist nicht erlaubt).

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Weil beim Vektor ( 5 3 0 ) in der x3-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( -3 5 t ) für jedes t orthogonal zu ( 5 3 0 ) , denn ( 5 3 0 ) ( -3 5 t ) =5(-3) + 35 + 0t = -15+15+0=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor ( -2 -5 -1 ) ( -3 5 t ) = -1⋅t -19 = 0 wird, also t=-19 = -19.

Der gesuchte Normalenvektor ist also n = ( -3 5 -19 )

Normalenvektor

Beispiel:

Finde einen Vektor, der sowohl zu u = ( 4 -23 1 ) als auch zu v = ( -3 0 5 ) orthogonal ist (der Nullvektor ist nicht erlaubt).

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Weil beim Vektor ( -3 0 5 ) in der x2-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( 5 t 3 ) für jedes t orthogonal zu ( -3 0 5 ) , denn ( -3 0 5 ) ( 5 t 3 ) =(-3)5 + 0t + 53 = -15+0+15=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor ( 4 -23 1 ) ( 5 t 3 ) = -23⋅t +23 = 0 wird, also t= 23 23 = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also n = ( 5 1 3 )

Gerade in E, die senkrecht auf g ist

Beispiel:

Bestimme eine Gerade h, die in der Ebene E: - x 1 +3 x 2 +6 x 3 = -28 liegt und orthogonal zur Geraden g: x = ( 4 2 -5 ) +t ( -5 0 3 ) verläuft.

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Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor rvh der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor n = ( -1 3 6 ) von E als auch zum Richungsvektor rvg = ( -5 0 3 ) von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor rvg = ( -5 0 3 ) in der x2-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( 3 t 5 ) für jedes t orthogonal zur Geraden, denn ( -5 0 3 ) ( 3 t 5 ) =(-5)3 + 0t + 35 = -15+0+15=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E ( -1 3 6 ) ( 3 t 5 ) = 3⋅t +27 = 0 wird, also t= - 27 3 =-9. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also rvh = ( 3 -9 5 ) .

Da n rvh = ( -5 0 3 ) ( 3 -9 5 ) =(-5)3 + 0(-9) + 35 = -15+0+15=0 ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
(4|2|-5) liegt in E, da:

-1 4 +3 2 +6 ( - 5 ) = -28

.

Die gesuchte Gerade ist also h: x = ( 4 2 -5 ) +t ( 3 -9 5 )

Ebene, die g beinhaltet und ortho zu F

Beispiel:

Bestimme eine Ebene E, in der die Gerade g: x = ( 3 5 -2 ) +t ( -1 -5 0 ) liegt und die orthogonal zur Ebene F: 4 x 1 +6 x 2 -2 x 3 = -4 steht.

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Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor n der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor nF = ( 4 6 -2 ) von F als auch zum Richungsvektor rv = ( -1 -5 0 ) von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor rv = ( -1 -5 0 ) in der x3-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( 5 -1 t ) für jedes t orthogonal zur Geraden, denn ( -1 -5 0 ) ( 5 -1 t ) =(-1)5 + (-5)(-1) + 0t = -5+5+0=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F ( 4 6 -2 ) ( 5 -1 t ) = -2⋅t +14 = 0 wird, also t= 14 2 =7. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also nE = ( 5 -1 7 ) , die Ebenengleichung also: 5 x 1 - x 2 +7 x 3 = d .

Da rv nE = ( -1 -5 0 ) ( 5 -1 7 ) =(-1)5 + (-5)(-1) + 07 = -5+5+0=0 ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt (3|5|-2) in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also (3|5|-2) in E ein:

5 3 -1 5 +7 ( - 2 ) = d

und erhalten d=-4.

Die gesuchte Ebene ist also E: 5 x 1 - x 2 +7 x 3 = -4

Gerade mit gl. Abstand zu E und F

Beispiel:

Der Punkt P(-10|-12|6) hat sowohl von der Ebene E: -2 x 1 -6 x 2 +3 x 3 = 12 als auch von der Ebene F: -6 x 1 -2 x 2 +3 x 3 = 4 den gleichen Abstand d = 14. Bestimme die Gleichung einer Geraden, deren Punkte auch alle den Abstand d=14 von E und von F haben.

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Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor u muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: u ( -2 -6 3 ) = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor u orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
u ( -6 -2 3 ) = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu ( -2 -6 3 ) als auch zu ( -6 -2 3 ) ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

u = ( -2 -6 3 ) × ( -6 -2 3 ) = ( -6 · 3 - 3 · ( -2 ) 3 · ( -6 ) - ( -2 ) · 3 -2 · ( -2 ) - ( -6 ) · ( -6 ) ) = ( -18 +6 -18 +6 4 -36 ) = ( -12 -12 -32 ) = -4⋅ ( 3 3 8 )

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=14 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts OP = ( -10 -12 6 ) nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: x = ( -10 -12 6 ) +t ( 3 3 8 ) .

Gerade mit gl. Abstand zu E und F

Beispiel:

Der Punkt P(0|-9|18) hat sowohl von der Ebene E: 2 x 1 -3 x 2 +6 x 3 = -12 als auch von der Ebene F: 6 x 1 -3 x 2 +2 x 3 = -84 den gleichen Abstand d = 21. Bestimme die Gleichung einer Geraden, deren Punkte auch alle den Abstand d=21 von E und von F haben.

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Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor u muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: u ( 2 -3 6 ) = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor u orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
u ( 6 -3 2 ) = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu ( 2 -3 6 ) als auch zu ( 6 -3 2 ) ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

u = ( 2 -3 6 ) × ( 6 -3 2 ) = ( -3 · 2 - 6 · ( -3 ) 6 · 6 - 2 · 2 2 · ( -3 ) - ( -3 ) · 6 ) = ( -6 +18 36 -4 -6 +18 ) = ( 12 32 12 ) = 4⋅ ( 3 8 3 )

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=21 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts OP = ( 0 -9 18 ) nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: x = ( 0 -9 18 ) +t ( 3 8 3 ) .

Rechteck in einer Ebene finden

Beispiel:

Das Rechteck ABCD mit A(0|0|0) und B(-1|-2|2) liegt in der Ebene E: 2 x 1 + x 2 +2 x 3 = 0 und hat den Flächeninhalt 36.
Bestimme die Koordinaten eines möglichen Punkts C.

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Der Vektor BC muss orthogonal zu AB = ( -1 -2 2 ) sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss BC aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene n = ( 2 1 2 ) sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu ( -1 -2 2 ) als auch zu ( 2 1 2 ) sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅ BC = ( -1 -2 2 ) × ( 2 1 2 ) = ( -2 · 2 - 2 · 1 2 · 2 - ( -1 ) · 2 -1 · 1 - ( -2 ) · 2 ) = ( -4 -2 4 +2 -1 +4 ) = ( -6 6 3 ) = 3⋅ ( -2 2 1 )

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = | ( -1 -2 2 ) | | k· ( -2 2 1 ) | = 36

mit | ( -1 -2 2 ) | = (-1) 2 + (-2)2 + 2 2 = 9 = 3 und | ( -2 2 1 ) | = (-2) 2 + 22 + 1 2 = 9 = 3 gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 36 | :9

k = 36 9 = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
0C = 0B + 4⋅ ( -2 2 1 ) = ( -1 -2 2 ) + ( -8 8 4 ) = ( -9 6 6 )
bzw. 0C' = 0B - 4⋅ ( -2 2 1 ) = ( -1 -2 2 ) + ( 8 -8 -4 ) = ( 7 -10 -2 )

Die Koordinaten von C sind somit C(-9|6|6) oder C'(7|-10|-2).

Achsenpunkt für parallele Gerade

Beispiel:

Gegeben sind die Ebene E: x 1 - x 2 -2 x 3 = -2 und der Punkt P(1|-6|-1). P liegt nicht in E.

Bestimme eine Gerade g, die parallel zu E liegt, den Punkt P enthält und die x2-Achse schneidet.

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Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x2-Achse Qc(0|c|0). Damit muss Q cP = ( 1 -6 - c -1 ) der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu Q cP sein, also gilt:

0 = ( 1 -1 -2 ) ( 1 -6 - c -1 ) = 1 · 1 -1 · ( -6 - c ) -2 · ( -1 ) = 1 - ( -6 - c ) +2

1 - ( -6 - c ) +2 = 0
1 +6 + c +2 = 0
c +9 = 0 | -9
c = -9

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade Q -9P = ( 1 -6 - ( - 9 ) -1 ) = ( 1 3 -1 )

Die gesuchte Gerade ist also h: x = ( 1 -6 -1 ) +t ( 1 3 -1 )