Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=2-2\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ t\end{array}\right)$ = 7⋅t -14 = 0 wird, also t=$\frac{14}{7}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 5=5\mathrm{+0}-5=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -7\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = -7⋅t +7 = 0 wird, also t=$\frac{7}{7}$ = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 1+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-5\mathrm{+5}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = 1⋅t -11 = 0 wird, also t=$11$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 11\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 11\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-6)}\cdot 1+1\cdot 11=-5-6\mathrm{+11}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-3|-3|0\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 11\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-1)}=0\mathrm{+1}-1=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ = -2⋅t +8 = 0 wird, also t=$\frac{8}{2}$=$4$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $4x_1-x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 4+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-1)}=-8\mathrm{+2}\mathrm{+6}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(5|-4|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(5|-4|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $4x_1-x_2-x_3=22$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-6\right)-\left(-6\right)·0\\ -6·8-0·\left(-6\right)\\ 0·0-8·8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48+0\\ -48+0\\ 0-64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-48\\ -48\\ -64\end{array}\right)$ = -16⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 4\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=20 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 13\\ -12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 13\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 4\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ t\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-20\mathrm{+20}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t -11 = 0 wird, also t=$-11$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -11\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1+4x_2-11x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -11\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-5)}+1\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-11)}=-15\mathrm{+4}\mathrm{+11}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(3|3|-2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(3|3|-2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1+4x_2-11x_3=19$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-4\right)-\left(-1\right)·4\\ -1·\left(-7\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·4-\left(-8\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32+4\\ 7-16\\ -16-56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -9\\ -72\end{array}\right)$ = -9⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)|$ = 162

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+{\mathrm{(-8)}}^2+{\mathrm{(-1)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+1^2+8^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 162 | :81

k = $\frac{\mathrm{162}}{\mathrm{81}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -6\\ 15\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ -17\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-12|-6|15\right)$ oder C'$\left(4|-10|-17\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{11\; -\; c}\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -10\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{11\; -\; c}\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ = $-5·\left(11-c\right)+0·1-10·\left(-2\right)$ = $-5\left(11-c\right)+0+20$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{7}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}11\\ 1\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -2\end{array}\right)$