Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot \mathrm{(-5)}=20\mathrm{+0}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = 2⋅t -18 = 0 wird, also t=$\frac{18}{2}$ = 9.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 9\\ -5\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -3\end{array}\right)$=$3\cdot 3+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+3\cdot \mathrm{(-3)}=9\mathrm{+0}-9=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -3\end{array}\right)$ = -3⋅t +12 = 0 wird, also t=$\frac{12}{3}$ = 4.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ -9\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=12-12\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ -9\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ t\end{array}\right)$ = -9⋅t +36 = 0 wird, also t=$\frac{36}{9}$=$4$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot 4=12-12\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-3|1|-1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}=0-2\mathrm{+2}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ = -7⋅t +7 = 0 wird, also t=$\frac{7}{7}$=$1$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{}{x}_1+2x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}=0-2\mathrm{+2}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(5|-4|-5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(5|-4|-5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{}{x}_1+2x_2-x_3=2$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-8\\ -8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-8\right)-4·\left(-8\right)\\ 4·4-\left(-8\right)·\left(-8\right)\\ -8·\left(-8\right)-\left(-8\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64+32\\ 16-64\\ 64+32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}96\\ -48\\ 96\end{array}\right)$ = -48⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=24 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-17\\ -16\\ 8\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-17\\ -16\\ 8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·3-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·\left(-6\right)-3·3\\ 3·\left(-6\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18-36\\ 36-9\\ -18-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-54\\ 27\\ -54\end{array}\right)$ = 27⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ -18\\ -18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$.

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·6-\left(-3\right)·2\\ -3·3-2·6\\ 2·2-6·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36+6\\ -9-12\\ 4-18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}42\\ -21\\ -14\end{array}\right)$ = -7⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -3\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)|$ = 147

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+6^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-6)}}^2+3^2+2^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 147 | :49

k = $\frac{\mathrm{147}}{\mathrm{49}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-18\\ 9\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 15\\ 3\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}18\\ -9\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -3\\ -9\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-16|15|3\right)$ oder C'$\left(20|-3|-9\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ \mathrm{3\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ \mathrm{3\; -\; c}\end{array}\right)$ = $1·\left(-2\right)-1·\left(-4\right)+2·\left(3-c\right)$ = $-2+4+2\left(3-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{4}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ -1\end{array}\right)$