Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot 2=-10\mathrm{+0}\mathrm{+10}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 2\end{array}\right)$ = 1⋅t -2 = 0 wird, also t=$2$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=-4\mathrm{+0}\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -4\end{array}\right)$ = 3⋅t -9 = 0 wird, also t=$\frac{9}{3}$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 6+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+6\cdot 5=-30\mathrm{+0}\mathrm{+30}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = 8⋅t -24 = 0 wird, also t=$\frac{24}{8}$=$3$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 5\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 5\end{array}\right)$=$1\cdot 6+8\cdot 3+\mathrm{(-6)}\cdot 5=6\mathrm{+24}-30=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(2|5|-1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 10\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=16-16\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 10\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ t\end{array}\right)$ = 10⋅t +40 = 0 wird, also t=$-\frac{40}{10}$=$-4$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -4\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-4x_1-4x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 10\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}+10\cdot \mathrm{(-4)}=20\mathrm{+20}-40=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-5|4|-5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-5|4|-5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-4x_1-4x_2-4x_3=24$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·3-3·\left(-2\right)\\ 3·\left(-6\right)-\left(-2\right)·3\\ -2·\left(-2\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18+6\\ -18+6\\ 4-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ -32\end{array}\right)$ = -4⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 8\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=7 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -6\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 8\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·\left(-4\right)-\left(-4\right)·4\\ -4·\left(-2\right)-4·\left(-4\right)\\ 4·4-\left(-2\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8+16\\ 8+16\\ 16-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 12\end{array}\right)$ = 12⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=18 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}14\\ -6\\ -12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}14\\ -6\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$.

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·4-1·4\\ 1·\left(-7\right)-\left(-4\right)·4\\ -4·4-\left(-8\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32-4\\ -7+16\\ -16-56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ 9\\ -72\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -8\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -8\end{array}\right)|$ = 162

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+{\mathrm{(-8)}}^2+1^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+1^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 162 | :81

k = $\frac{\mathrm{162}}{\mathrm{81}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ 2\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -6\\ -15\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ -2\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -10\\ 17\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-12|-6|-15\right)$ oder C'$\left(4|-10|17\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ \mathrm{3\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ \mathrm{3\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-1·\left(-3\right)-5·2-7·\left(3-c\right)$ = $3-10-7\left(3-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{4}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$