Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}=0-4\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ = 3⋅t -6 = 0 wird, also t=$\frac{6}{3}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}=0-10\mathrm{+10}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ = -2⋅t -22 = 0 wird, also t=$-\frac{22}{2}$ = -11.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-11\\ 2\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}=0-4\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ = -1⋅t +13 = 0 wird, also t=$13$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}13\\ 4\\ -1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}13\\ 4\\ -1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 13+4\cdot 4+3\cdot \mathrm{(-1)}=-13\mathrm{+16}-3=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(4|5|3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}13\\ 4\\ -1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 4=0\mathrm{+8}-8=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ = 2⋅t +8 = 0 wird, also t=$-\frac{8}{2}$=$-4$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-4x_1+2x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-4)}+6\cdot 2+\mathrm{(-1)}\cdot 4=-8\mathrm{+12}-4=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(1|3|-5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(1|3|-5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-4x_1+2x_2+4x_3=-18$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·4-4·2\\ 4·\left(-4\right)-2·4\\ 2·2-\left(-4\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-8\\ -16-8\\ 4-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-24\\ -24\\ -12\end{array}\right)$ = -12⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=18 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -12\\ 12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}2\\ -12\\ 12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 8\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1·8-8·\left(-4\right)\\ 8·\left(-1\right)-\left(-4\right)·8\\ -4·\left(-4\right)-\left(-1\right)·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8+32\\ -8+32\\ 16-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ 24\\ 15\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 5\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=18 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 16\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -2\\ 16\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 5\end{array}\right)$.

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·7-\left(-4\right)·4\\ -4·\left(-4\right)-1·7\\ 1·4-8·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}56+16\\ 16-7\\ 4+32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}72\\ 9\\ 36\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)|$ = 162

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+8^2+{\mathrm{(-4)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{8^2+1^2+4^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 162 | :81

k = $\frac{\mathrm{162}}{\mathrm{81}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}16\\ 2\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}17\\ 10\\ 4\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-16\\ -2\\ -8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-15\\ 6\\ -12\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(17|10|4\right)$ oder C'$\left(-15|6|-12\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{-7\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ -9\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{-7\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $-5·0+3·\left(-7-c\right)-9·\left(-1\right)$ = $0+3\left(-7-c\right)+9$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-4}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -7\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$