Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 2=2\mathrm{+0}-2=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 2\end{array}\right)$ = -3⋅t +3 = 0 wird, also t=$\frac{3}{3}$ = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot 4=-4\mathrm{+0}\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 4\end{array}\right)$ = -3⋅t +12 = 0 wird, also t=$\frac{12}{3}$ = 4.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 6\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 6\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot \mathrm{(-5)}=0\mathrm{+30}-30=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -5\end{array}\right)$ = 2⋅t -26 = 0 wird, also t=$\frac{26}{2}$=$13$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ -5\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ -5\end{array}\right)$=$2\cdot 13+1\cdot \mathrm{(-6)}+4\cdot \mathrm{(-5)}=26-6-20=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(1|-4|5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -11\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot 1+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot \mathrm{(-6)}=6\mathrm{+0}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -11\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ -6\end{array}\right)$ = -11⋅t +33 = 0 wird, also t=$\frac{33}{11}$=$3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -6\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{}{x}_1+3x_2-6x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -11\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-11)}\cdot 3+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-6)}=-3-33\mathrm{+36}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(0|-1|-3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(0|-1|-3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2-6x_3=15$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·6-\left(-3\right)·\left(-3\right)\\ -3·6-6·6\\ 6·\left(-3\right)-6·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-9\\ -18-36\\ -18-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}27\\ -54\\ -54\end{array}\right)$ = 27⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-1\mathrm{+1}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ t\end{array}\right)$ = 5⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{5}$=$0$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{}{x}_1-x_2=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot 0=-1\mathrm{+1}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(3|-3|-3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(3|-3|-3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{}{x}_1-x_2=6$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·\left(-2\right)-\left(-6\right)·6\\ -6·3-2·\left(-2\right)\\ 2·6-\left(-3\right)·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6+36\\ -18+4\\ 12+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}42\\ -14\\ 21\end{array}\right)$ = 7⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -6\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)|$ = 98

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+{\mathrm{(-3)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{6^2+{\mathrm{(-2)}}^2+3^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 98 | :49

k = $\frac{\mathrm{98}}{\mathrm{49}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ -7\\ 0\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 1\\ -12\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(14|-7|0\right)$ oder C'$\left(-10|1|-12\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{10\; -\; c}\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{10\; -\; c}\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ = $1·\left(10-c\right)-1·2-1·\left(-1\right)$ = $10-c-2+1$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{9}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 2\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$