Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 4=0\mathrm{+4}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ = -5⋅t -15 = 0 wird, also t=$-\frac{15}{5}$ = -3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=6-6\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t -3 = 0 wird, also t=$-3$ = -3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 3+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-9\mathrm{+9}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = -3⋅t -6 = 0 wird, also t=$-\frac{6}{3}$=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -2\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 3+0\cdot \mathrm{(-2)}=-9\mathrm{+9}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-5|4|-1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ 4\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot 3=-3\mathrm{+0}\mathrm{+3}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = -2⋅t +10 = 0 wird, also t=$\frac{10}{2}$=$5$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 5+4\cdot 3=-2-10\mathrm{+12}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|-5|-1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|-5|-1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{}{x}_1+5x_2+3x_3=-24$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·6-6·\left(-2\right)\\ 6·\left(-3\right)-\left(-2\right)·6\\ -2·\left(-2\right)-\left(-3\right)·\left(-3\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18+12\\ -18+12\\ 4-9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -5\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=14 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ 12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ 12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 5\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·8-\left(-1\right)·4\\ -1·\left(-1\right)-8·8\\ 8·4-4·\left(-1\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32+4\\ 1-64\\ 32+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ -63\\ 36\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ -1\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$.

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-7\right)-4·4\\ 4·4-\left(-1\right)·\left(-7\right)\\ -1·4-8·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56-16\\ 16-7\\ -4-32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72\\ 9\\ -36\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ -4\end{array}\right)|$ = 81

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-1)}}^2+8^2+4^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-8)}}^2+1^2+{\mathrm{(-4)}}^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 81 | :81

k = $\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{81}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-9\\ 9\\ 0\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ 8\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-9|9|0\right)$ oder C'$\left(7|7|8\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{13\; -\; c}\\ -2\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{13\; -\; c}\\ -2\end{array}\right)$ = $-3·1+5·\left(13-c\right)+6·\left(-2\right)$ = $-3+5\left(13-c\right)-12$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 13\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right)$