Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-6\mathrm{+6}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 8\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ t\end{array}\right)$ = 8⋅t +16 = 0 wird, also t=$-\frac{16}{8}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 3+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-9\mathrm{+9}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = -2⋅t +24 = 0 wird, also t=$\frac{24}{2}$ = 12.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 12\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ 3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+3\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot 3=0-18\mathrm{+18}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ = -6⋅t +12 = 0 wird, also t=$\frac{12}{6}$=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-6)}+\mathrm{(-4)}\cdot 3=-12\mathrm{+24}-12=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|-3|-4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot 3=-3\mathrm{+0}\mathrm{+3}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = -2⋅t +14 = 0 wird, also t=$\frac{14}{2}$=$7$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{}{x}_1+7x_2+3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 1+0\cdot 7+1\cdot 3=-3\mathrm{+0}\mathrm{+3}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(2|3|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(2|3|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{}{x}_1+7x_2+3x_3=23$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·2-9·6\\ 9·9-2·2\\ 2·6-6·9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12-54\\ 81-4\\ 12-54\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42\\ 77\\ -42\end{array}\right)$ = -7⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -11\\ 6\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=11 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 6\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -11\\ 6\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot 4=20\mathrm{+0}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 4\end{array}\right)$ = -5⋅t -35 = 0 wird, also t=$-\frac{35}{5}$=$-7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{(-7)}+\mathrm{(-5)}\cdot 4=20\mathrm{+0}-20=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(1|4|-4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 4\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·1-0·0\\ 0·0-3·1\\ 3·0-4·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+0\\ 0-3\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0\end{array}\right)|$ = 25

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{25}=5$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+{\mathrm{(-3)}}^2+0^2}=\sqrt{25}=5$ gilt somit:

5 ⋅ k⋅5 = 25 | :25

k = $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{25}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 7\\ 0\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(7|1|0\right)$ oder C'$\left(-1|7|0\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ \mathrm{-8\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -2\\ 7\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ \mathrm{-8\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-3·\left(-3\right)-2·1+7·\left(-8-c\right)$ = $9-2+7\left(-8-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-7}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$