Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-1)}=0\mathrm{+4}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ = 2⋅t -22 = 0 wird, also t=$\frac{22}{2}$ = 11.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}11\\ -4\\ -1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=5-5\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = 4⋅t -16 = 0 wird, also t=$\frac{16}{4}$ = 4.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -6\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-6)}\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}=0-18\mathrm{+18}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ = 3⋅t +27 = 0 wird, also t=$-\frac{27}{3}$=$-9$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ -6\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ -6\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-9)}+3\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}=-27\mathrm{+9}\mathrm{+18}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-1|-2|-3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=-5\mathrm{+0}\mathrm{+5}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = 1⋅t +31 = 0 wird, also t=$-31$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -31\\ -5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{-}{x}_1-31x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -31\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{(-31)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=-5\mathrm{+0}\mathrm{+5}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|-3|-2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|-3|-2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{-}{x}_1-31x_2-5x_3=107$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-3\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·6-\left(-3\right)·\left(-3\right)\\ -3·\left(-6\right)-6·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18-36\\ -36-9\\ 18-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-54\\ -45\\ -18\end{array}\right)$ = -9⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=18 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ 2\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·\left(-4\right)-4·2\\ 4·4-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·2-2·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8-8\\ 16-16\\ -8-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\\ 0\\ -16\end{array}\right)$ = -16⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=18 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-13\\ 6\\ 12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-13\\ 6\\ 12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3·2-\left(-6\right)·6\\ -6·3-\left(-2\right)·2\\ -2·6-3·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6+36\\ -18+4\\ -12-9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}42\\ -14\\ -21\end{array}\right)$ = -7⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)|$ = 98

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+3^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-6)}}^2+2^2+3^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 98 | :49

k = $\frac{\mathrm{98}}{\mathrm{49}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-12\\ 4\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-14\\ 7\\ 0\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}12\\ -4\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -1\\ -12\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-14|7|0\right)$ oder C'$\left(10|-1|-12\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ \mathrm{0\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 10\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ \mathrm{0\; -\; c}\end{array}\right)$ = $3·0+5·4+10·\left(-c\right)$ = $0+20-10c$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{2}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -2\end{array}\right)$