Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=5-5\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ t\end{array}\right)$ = -2⋅t -24 = 0 wird, also t=$-\frac{24}{2}$ = -12.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ -12\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+3\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 3=0-6\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ = -7⋅t -28 = 0 wird, also t=$-\frac{28}{7}$ = -4.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -3\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-1)}=0\mathrm{+1}-1=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ = -1⋅t -1 = 0 wird, also t=$-1$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-1)}=0\mathrm{+1}-1=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-5|-5|-5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ -5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=5-5\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ t\end{array}\right)$ = -5⋅t +25 = 0 wird, also t=$\frac{25}{5}$=$5$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1-x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-5)}\cdot 5=20\mathrm{+5}-25=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(0|-2|5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(0|-2|5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1-x_2+5x_3=27$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ -2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-9\\ -6\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -9\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-2\right)-\left(-2\right)·\left(-9\right)\\ -2·\left(-6\right)-\left(-9\right)·\left(-2\right)\\ -9·\left(-9\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12-18\\ 12-18\\ 81-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 45\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 15\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=33 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-29\\ -18\\ -6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-29\\ -18\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 15\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 6\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot 6+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+6\cdot \mathrm{(-6)}=36\mathrm{+0}-36=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ t\\ -6\end{array}\right)$ = 4⋅t -48 = 0 wird, also t=$\frac{48}{4}$=$12$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ -6\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ -6\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 6+4\cdot 12+6\cdot \mathrm{(-6)}=-12\mathrm{+48}-36=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(0|1|-1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 12\\ -6\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·2-2·1\\ 2·\left(-2\right)-1·2\\ 1·1-\left(-2\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4-2\\ -4-2\\ 1-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ = -3⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)|$ = 9

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+{\mathrm{(-2)}}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 9 | :9

k = $\frac{9}{9}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 1\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(3|0|3\right)$ oder C'$\left(-1|-4|1\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ \mathrm{9\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ \mathrm{9\; -\; c}\end{array}\right)$ = $2·\left(-2\right)+1·2-2·\left(9-c\right)$ = $-4+2-2\left(9-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$