Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=5-5\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ -4\\ 13\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = 13⋅t +26 = 0 wird, also t=$-\frac{26}{13}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Da wir in keinem der beiden Vektoren eine "Null" in den Koordinaten finden, erhalten wir den Normalenvektor am schnellsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt):

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -14\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ t\end{array}\right)$=$4\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=16-16\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -14\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ t\end{array}\right)$ = -14⋅t -28 = 0 wird, also t=$-\frac{28}{14}$=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -14\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 4+\mathrm{(-3)}\cdot 4+\mathrm{(-14)}\cdot \mathrm{(-2)}=-16-12\mathrm{+28}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-4|-1|0\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 2+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+2\cdot 1=-2\mathrm{+0}\mathrm{+2}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ 1\end{array}\right)$ = -3⋅t -9 = 0 wird, also t=$-\frac{9}{3}$=$-3$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $2x_1-3x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 2+0\cdot \mathrm{(-3)}+2\cdot 1=-2\mathrm{+0}\mathrm{+2}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|-1|-4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|-1|-4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $2x_1-3x_2+x_3=7$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·4-\left(-2\right)·\left(-2\right)\\ -2·\left(-4\right)-4·4\\ 4·\left(-2\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-4\\ 8-16\\ -8-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-20\\ -8\\ -24\end{array}\right)$ = -4⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 6\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=12 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ -8\\ -4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}7\\ -8\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 6\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-6)}+6\cdot \mathrm{(-3)}=0\mathrm{+18}-18=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ = 3⋅t -33 = 0 wird, also t=$\frac{33}{3}$=$11$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}11\\ -6\\ -3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $11x_1-6x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}11\\ -6\\ -3\end{array}\right)$=$3\cdot 11+3\cdot \mathrm{(-6)}+5\cdot \mathrm{(-3)}=33-18-15=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(2|5|-4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(2|5|-4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $11x_1-6x_2-3x_3=4$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8·\left(-4\right)-\left(-1\right)·4\\ -1·7-4·\left(-4\right)\\ 4·4-\left(-8\right)·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32+4\\ -7+16\\ 16+56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 9\\ 72\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right)|$ = 324

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+{\mathrm{(-8)}}^2+{\mathrm{(-1)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+1^2+8^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 324 | :81

k = $\frac{\mathrm{324}}{\mathrm{81}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ 32\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -4\\ 31\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-16\\ -4\\ -32\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -12\\ -33\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(20|-4|31\right)$ oder C'$\left(-12|-12|-33\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ \mathrm{-2\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 9\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ \mathrm{-2\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-3·\left(-3\right)+0·\left(-3\right)+9·\left(-2-c\right)$ = $9+0+9\left(-2-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-1}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$