Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-3\mathrm{+3}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t -14 = 0 wird, also t=$\frac{14}{2}$ = 7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 7\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot 1=-5\mathrm{+0}\mathrm{+5}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 1\end{array}\right)$ = 2⋅t +20 = 0 wird, also t=$-\frac{20}{2}$ = -10.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -10\\ 1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ -4\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}=-25\mathrm{+0}\mathrm{+25}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = -5⋅t +10 = 0 wird, also t=$\frac{10}{5}$=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -5\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot 2+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-5)}=-25\mathrm{+0}\mathrm{+25}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-4|2|-4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 16\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot 3+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+3\cdot \mathrm{(-4)}=12\mathrm{+0}-12=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 16\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -4\end{array}\right)$ = 16⋅t +32 = 0 wird, also t=$-\frac{32}{16}$=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -4\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $3x_1-2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 16\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot 3+16\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-4)}=12-32\mathrm{+20}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-1|1|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-1|1|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $3x_1-2x_2-4x_3=-5$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -7\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -7\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ -6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ -7\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-6\right)-\left(-7\right)·\left(-7\right)\\ -7·\left(-6\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·\left(-7\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-49\\ 42-36\\ 42-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-13\\ 6\\ 6\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=33 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -18\\ -21\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -18\\ -21\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}13\\ -6\\ -6\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -19\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ t\end{array}\right)$=$5\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=10-10\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -19\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ t\end{array}\right)$ = -19⋅t -19 = 0 wird, also t=$-\frac{19}{19}$=$-1$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $2x_1+5x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ -19\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)$=$3\cdot 2+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-19)}\cdot \mathrm{(-1)}=6-25\mathrm{+19}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|-4|4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|-4|4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $2x_1+5x_2-x_3=-16$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·3-2·2\\ 2·\left(-6\right)-3·3\\ 3·2-6·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18-4\\ -12-9\\ 6+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14\\ -21\\ 42\end{array}\right)$ = -7⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)|$ = 98

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{3^2+6^2+2^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+3^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 98 | :49

k = $\frac{\mathrm{98}}{\mathrm{49}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 12\\ -10\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 12\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 14\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-1|12|-10\right)$ oder C'$\left(7|0|14\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \mathrm{6\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \mathrm{6\; -\; c}\end{array}\right)$ = $4·1+3·0+4·\left(6-c\right)$ = $4+0+4\left(6-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{7}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$