Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=-1\mathrm{+0}\mathrm{+1}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = -1⋅t +3 = 0 wird, also t=$3$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=12-12\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t -14 = 0 wird, also t=$\frac{14}{2}$ = 7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 7\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -6\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -6\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot 6+\mathrm{(-6)}\cdot 4=0\mathrm{+24}-24=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -6\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 6\\ 4\end{array}\right)$ = -20⋅t -60 = 0 wird, also t=$-\frac{60}{20}$=$-3$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-20\\ -6\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-20)}\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-6)}\cdot 6+\mathrm{(-6)}\cdot 4=60-36-24=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|-5|3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-3\mathrm{+3}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t -23 = 0 wird, also t=$-23$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -23\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{}{x}_1-3x_2-23x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 6\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ -23\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 1+6\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-23)}=-5-18\mathrm{+23}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(2|3|4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(2|3|4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{}{x}_1-3x_2-23x_3=-99$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·\left(-8\right)-\left(-4\right)·8\\ -4·\left(-4\right)-\left(-8\right)·\left(-8\right)\\ -8·8-8·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-64+32\\ 16-64\\ -64+32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-32\\ -48\\ -32\end{array}\right)$ = -16⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=12 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-9\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ 8\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ 1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot \mathrm{(-4)}=20\mathrm{+0}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -4\end{array}\right)$ = 7⋅t -14 = 0 wird, also t=$\frac{14}{7}$=$2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $5x_1+2x_2-4x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 7\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 5+7\cdot 2+1\cdot \mathrm{(-4)}=-10\mathrm{+14}-4=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|4|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|4|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $5x_1+2x_2-4x_3=28$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -9\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -9\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·6-\left(-9\right)·7\\ -9·\left(-6\right)-\left(-2\right)·6\\ -2·7-6·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36+63\\ 54+12\\ -14+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}99\\ 66\\ 22\end{array}\right)$ = 11⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -9\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)|$ = 363

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -9\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+6^2+{\mathrm{(-9)}}^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9^2+6^2+2^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 363 | :121

k = $\frac{\mathrm{363}}{\mathrm{121}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}25\\ 24\\ -3\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-27\\ -18\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-29\\ -12\\ -15\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(25|24|-3\right)$ oder C'$\left(-29|-12|-15\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ \mathrm{2\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ \mathrm{2\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-3·\left(-4\right)+3·\left(-5\right)-3·\left(2-c\right)$ = $12-15-3\left(2-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{3}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -5\\ -1\end{array}\right)$