Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 3\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot 3+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+3\cdot \mathrm{(-5)}=15\mathrm{+0}-15=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = -7⋅t +7 = 0 wird, also t=$\frac{7}{7}$ = 1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -5\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 2\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -5\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ -5\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-5)}=0\mathrm{+10}-10=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ -5\end{array}\right)$ = 1⋅t +7 = 0 wird, also t=$-7$ = -7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -2\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot 4=-16\mathrm{+0}\mathrm{+16}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ 4\end{array}\right)$ = 5⋅t +40 = 0 wird, also t=$-\frac{40}{5}$=$-8$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 4+0\cdot \mathrm{(-8)}+4\cdot 4=-16\mathrm{+0}\mathrm{+16}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-5|-2|0\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+2\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 2=0-6\mathrm{+6}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ = 1⋅t +0 = 0 wird, also t=$0$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-3x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot 0+2\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot 2=0-6\mathrm{+6}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-3|1|5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-3|1|5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-3x_2+2x_3=7$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ 6\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-7\\ 6\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·6-\left(-6\right)·\left(-7\right)\\ -6·\left(-6\right)-\left(-7\right)·6\\ -7·\left(-7\right)-6·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-42\\ 36+42\\ 49+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ 78\\ 85\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=22 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 12\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 78\\ 85\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-12\mathrm{+12}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t -16 = 0 wird, also t=$\frac{16}{2}$=$8$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 8\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 8\end{array}\right)$=$\mathrm{(-6)}\cdot 2+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}+0\cdot 8=-12\mathrm{+12}\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-3|-5|4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 8\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·7-6·\left(-6\right)\\ 6·\left(-6\right)-9·7\\ 9·\left(-6\right)-\left(-2\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-14+36\\ -36-63\\ -54-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}22\\ -99\\ -66\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 6\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 6\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 6\end{array}\right)|$ = 484

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9^2+{\mathrm{(-2)}}^2+6^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+9^2+6^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 484 | :121

k = $\frac{\mathrm{484}}{\mathrm{121}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ 36\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 34\\ 30\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 9\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ -36\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}17\\ -38\\ -18\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(1|34|30\right)$ oder C'$\left(17|-38|-18\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-8\; -\; c}\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-8\; -\; c}\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ = $1·\left(-8-c\right)-1·1+1·\left(-1\right)$ = $-8-c-1-1$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-8\\ 1\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$