Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 3+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-3\mathrm{+3}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t -4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot 2=-10\mathrm{+0}\mathrm{+10}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ -11\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 2\end{array}\right)$ = -11⋅t -22 = 0 wird, also t=$-\frac{22}{11}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 3\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+3\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 3=0\mathrm{+12}-12=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 4\\ 3\end{array}\right)$ = 1⋅t -7 = 0 wird, also t=$7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 3\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 3\end{array}\right)$=$0\cdot 7+3\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 3=0\mathrm{+12}-12=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|-1|5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot \mathrm{(-1)}=5\mathrm{+0}-5=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = 3⋅t -33 = 0 wird, also t=$\frac{33}{3}$=$11$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 11\\ -1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $5x_1+11x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 11\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot 5+0\cdot 11+5\cdot \mathrm{(-1)}=5\mathrm{+0}-5=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|0|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|0|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $5x_1+11x_2-x_3=-23$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·2-\left(-2\right)·1\\ -2·\left(-2\right)-1·2\\ 1·1-2·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+2\\ 4-2\\ 1+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 5\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=3 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 2\\ 5\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}=-20\mathrm{+0}\mathrm{+20}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = -3⋅t -21 = 0 wird, also t=$-\frac{21}{3}$=$-7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -7\\ -5\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-4\\ -7\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{(-7)}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}=-20\mathrm{+0}\mathrm{+20}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-4|-1|-2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -7\\ -5\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-6\right)-2·7\\ 2·6-9·\left(-6\right)\\ 9·7-\left(-6\right)·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36-14\\ 12+54\\ 63+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}22\\ 66\\ 99\end{array}\right)$ = 11⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 9\end{array}\right)|$ = 363

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9^2+{\mathrm{(-6)}}^2+2^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+6^2+9^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 363 | :121

k = $\frac{\mathrm{363}}{\mathrm{121}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}6\\ 18\\ 27\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}15\\ 12\\ 29\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -6\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-6\\ -18\\ -27\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -24\\ -25\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(15|12|29\right)$ oder C'$\left(3|-24|-25\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ \mathrm{-8\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ \mathrm{-8\; -\; c}\end{array}\right)$ = $5·3+5·\left(-2\right)+5·\left(-8-c\right)$ = $15-10+5\left(-8-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-7}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$