Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+3\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 3=0\mathrm{+3}-3=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ = -2⋅t +14 = 0 wird, also t=$\frac{14}{2}$ = 7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ t\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot 2+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-2\mathrm{+2}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ t\end{array}\right)$ = -6⋅t -12 = 0 wird, also t=$-\frac{12}{6}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ t\end{array}\right)$=$6\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 6+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=6-6\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t -13 = 0 wird, also t=$-13$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ -13\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ -13\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-2)}\cdot 6+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-13)}=-1-12\mathrm{+13}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-4|4|-1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 6\\ -13\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-1)}=0\mathrm{+4}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ = 2⋅t -8 = 0 wird, also t=$\frac{8}{2}$=$4$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $4x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot 4+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-1)}=0\mathrm{+4}-4=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-2|-4|-4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-2|-4|-4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $4x_1-4x_2-x_3=12$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 7\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 7\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 7\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7·7-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·\left(-4\right)-\left(-4\right)·7\\ -4·\left(-4\right)-7·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}49-16\\ 16+28\\ 16+28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}33\\ 44\\ 44\end{array}\right)$ = 11⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-19\\ 21\\ -12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-19\\ 21\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 7\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7·\left(-4\right)-4·7\\ 4·4-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·7-7·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-28-28\\ 16-16\\ -28-28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-56\\ 0\\ -56\end{array}\right)$ = -56⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ 7\\ 4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 7\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·2-6·3\\ 6·6-\left(-3\right)·2\\ -3·3-2·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-18\\ 36+6\\ -9-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-14\\ 42\\ -21\end{array}\right)$ = -7⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)|$ = 98

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-3)}}^2+2^2+6^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+{\mathrm{(-6)}}^2+3^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 98 | :49

k = $\frac{\mathrm{98}}{\mathrm{49}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}4\\ -12\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -10\\ 12\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 12\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ 14\\ 0\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(1|-10|12\right)$ oder C'$\left(-7|14|0\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-7\; -\; c}\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ -11\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-7\; -\; c}\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ = $2·\left(-7-c\right)-5·3-11·\left(-1\right)$ = $2\left(-7-c\right)-15+11$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-9}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-7\\ 3\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$