In diesem Fall, wenn in einem Vektor zwei Nullen sind, wird es besonders einfach, den Normalenvektor zu finden:

Da ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ nur in der x₁-Koordinate eine Zahl ungleich 0 besitzt, muss unser Normalenvektor an dieser Stelle unbedingt eine 0 haben, weil wir ja sonst dieses Produkt nicht mehr "wegbekommen" würden.

Es gilt also schon mal sicher für unseren Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ b\end{array}\right)$, weil $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ∘ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ b\end{array}\right)$= 0

Und weil ja aber auch $\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ ∘ $\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ b\end{array}\right)$= 0 gelten muss, können wir beim Normalenvektor einfach die x₃- und die x₂-Koordinaten vom Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ vertauschen und bei einer das Vorzeichen wechseln, denn:

$\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ ∘ $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ = $\mathrm{(-6)}\cdot 0+\mathrm{(-5)}\cdot 4+4\cdot 5$ = 0

Somit wäre $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ ein Normalenvektor zu den beiden gegebenen Vektoren.

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 1=0\mathrm{+5}-5=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}17\\ 6\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ = 17⋅t +34 = 0 wird, also t=$-\frac{34}{17}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -6\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-6)}=-12\mathrm{+0}\mathrm{+12}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ -6\end{array}\right)$ = -2⋅t -30 = 0 wird, also t=$-\frac{30}{2}$=$-15$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -15\\ -6\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -15\\ -6\end{array}\right)$=$6\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-15)}+3\cdot \mathrm{(-6)}=-12\mathrm{+30}-18=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|-1|-5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ -5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -15\\ -6\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot 5=15\mathrm{+0}-15=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ t\\ 5\end{array}\right)$ = -3⋅t -48 = 0 wird, also t=$-\frac{48}{3}$=$-16$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -16\\ 5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-3x_1-16x_2+5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ -16\\ 5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-3)}+0\cdot \mathrm{(-16)}+\mathrm{(-3)}\cdot 5=15\mathrm{+0}-15=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(0|-4|-1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(0|-4|-1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-3x_1-16x_2+5x_3=59$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-2\right)-\left(-2\right)·9\\ -2·6-9·\left(-2\right)\\ 9·9-6·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12+18\\ -12+18\\ 81-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 45\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 15\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=33 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}29\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}29\\ 18\\ -6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 15\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+2\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 2=0-10\mathrm{+10}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ = -1⋅t -1 = 0 wird, also t=$-1$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot 2=1\mathrm{+5}-6=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(3|2|5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(3|2|5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{-}{x}_1-5x_2+2x_3=-3$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1·2-\left(-2\right)·2\\ -2·1-2·2\\ 2·2-1·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2+4\\ -2-4\\ 4-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ 3\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)|$ = 36

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+1^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+{\mathrm{(-2)}}^2+1^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 36 | :9

k = $\frac{\mathrm{36}}{9}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ -7\\ 2\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -6\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(10|-7|2\right)$ oder C'$\left(-6|9|-6\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ \mathrm{9\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ \mathrm{9\; -\; c}\end{array}\right)$ = $4·\left(-3\right)-3·\left(-5\right)+3·\left(9-c\right)$ = $-12+15+3\left(9-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -1\end{array}\right)$