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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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ortho. zu 2 Vek (Normalenvektor) ohne Kreuzprodukt
Beispiel:
Finde einen Vektor, der sowohl zu = als auch zu = orthogonal ist (der Nullvektor ist nicht erlaubt).
In diesem Fall, wenn in einem Vektor zwei Nullen sind, wird es besonders einfach, den Normalenvektor zu finden:
Da ja der Vektor nur in der x2-Koordinate eine Zahl ungleich 0 besitzt, muss unser Normalenvektor an dieser Stelle unbedingt eine 0 haben, weil wir ja sonst dieses Produkt nicht mehr "wegbekommen" würden.
Es gilt also schon mal sicher für unseren Normalenvektor = , weil ∘ = 0
Und weil ja aber auch ∘ = 0 gelten muss, können wir beim Normalenvektor einfach die x1- und die x3-Koordinaten vom Vektor vertauschen und bei einer das Vorzeichen wechseln, denn:
∘ = = 0
Somit wäre ein Normalenvektor zu den beiden gegebenen Vektoren.
orthog. zu 2 Vektoren (Normalenvektor)
Beispiel:
Finde einen Vektor, der sowohl zu = als auch zu = orthogonal ist (der Nullvektor ist nicht erlaubt).
Weil beim Vektor in der x2-Koordinate
eine 0 steht, wäre ja der Vektor für jedes t orthogonal zu , denn
Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor ⋅ =
-1⋅t
Der gesuchte Normalenvektor ist also =
Gerade in E, die senkrecht auf g ist
Beispiel:
Bestimme eine Gerade h, die in der Ebene E: liegt und orthogonal zur Geraden g: verläuft.
Da die gesuchte Gerade h
in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor der gesuchten Geraden h
sowohl zum Normalenvektor = von E als auch zum
Richungsvektor = von g orthogonal stehen.
Weil beim Normalenvektor = in der x1-Koordinaten
eine 0 steht, wäre ja der Vektor für jedes t orthogonal zur Ebene, denn
Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor =⋅ =
1⋅t
Da ⋅=
Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
liegt in E, da:
Die gesuchte Gerade ist also h:
Ebene, die g beinhaltet und ortho zu F
Beispiel:
Bestimme eine Ebene E, in der die Gerade g: liegt und die orthogonal zur Ebene F: steht.
Da die gesuchte Ebene
die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor der gesuchten Ebene E
sowohl zum Normalenvektor = von F als auch zum
Richungsvektor = von g orthogonal stehen.
Weil beim Richungsvektor = in der x2-Koordinaten
eine 0 steht, wäre ja der Vektor für jedes t orthogonal zur Geraden, denn
Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F ⋅ =
2⋅t
Da ⋅=
Die gesuchte Ebene ist also E:
Gerade mit gl. Abstand zu E und F
Beispiel:
Der Punkt P hat sowohl von der Ebene E: als auch von der Ebene F: den gleichen Abstand d = 9. Bestimme die Gleichung einer Geraden, deren Punkte auch alle den Abstand d=9 von E und von F haben.
Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: ⋅ = 0.
Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor
orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
⋅ = 0.
Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu als auch zu ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:
= -3⋅
Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts = nehmen.
Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: .
Gerade in E, die senkrecht auf g ist
Beispiel:
Bestimme eine Gerade h, die in der Ebene E: liegt und orthogonal zur Geraden g: verläuft.
Da die gesuchte Gerade h
in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor der gesuchten Geraden h
sowohl zum Normalenvektor = von E als auch zum
Richungsvektor = von g orthogonal stehen.
Weil beim Normalenvektor = in der x3-Koordinaten
eine 0 steht, wäre ja der Vektor für jedes t orthogonal zur Ebene, denn
Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor =⋅ =
2⋅t
Da ⋅=
Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
liegt in E, da:
Die gesuchte Gerade ist also h:
Rechteck in einer Ebene finden
Beispiel:
Das Rechteck ABCD mit A und B liegt in der Ebene E: und hat den Flächeninhalt 81.
Bestimme die Koordinaten eines möglichen Punkts C.
Der Vektor muss orthogonal zu = sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene = sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.
Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu als auch zu sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:
k⋅ = -9⋅
Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:
A = ⋅ = 81
mit = und = gilt somit:
9 ⋅ k⋅9 = 81 | :81
k = = 1
Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
= + 1⋅
= + =
bzw. =
- 1⋅ = + =
Die Koordinaten von C sind somit C oder C'.
Achsenpunkt für parallele Gerade
Beispiel:
Gegeben sind die Ebene E: und der Punkt P. P liegt nicht in E.
Bestimme eine Gerade g, die parallel zu E liegt, den Punkt P enthält und die x2-Achse schneidet.
Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x2-Achse Qc(0|c|0). Damit muss = der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.
Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu sein, also gilt:
0 = ⋅ = =
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade = =
Die gesuchte Gerade ist also h: