Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0-4\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ = -1⋅t -2 = 0 wird, also t=$-2$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -4\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ t\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 2+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-10\mathrm{+10}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ t\end{array}\right)$ = 5⋅t +35 = 0 wird, also t=$-\frac{35}{5}$ = -7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ -7\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=10-10\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ t\end{array}\right)$ = -2⋅t -2 = 0 wird, also t=$-\frac{2}{2}$=$-1$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}=8-10\mathrm{+2}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(1|5|0\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-3)}=0\mathrm{+3}-3=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -3\end{array}\right)$ = -1⋅t +2 = 0 wird, also t=$2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $2x_1-x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 2+4\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}=-2-4\mathrm{+6}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-5|2|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-5|2|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $2x_1-x_2-3x_3=-12$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -7\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7·\left(-4\right)-4·4\\ 4·\left(-7\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·4-\left(-7\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}28-16\\ -28-16\\ -16-49\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -44\\ -65\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -7\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-12\\ 44\\ 65\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 1=0\mathrm{+5}-5=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 1\end{array}\right)$ = 4⋅t -28 = 0 wird, also t=$\frac{28}{4}$=$7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ 1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ 1\end{array}\right)$=$4\cdot 7+\mathrm{(-5)}\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot 1=28-25-3=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(3|-3|5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ 1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·7-6·6\\ 6·\left(-6\right)-9·7\\ 9·6-2·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14-36\\ -36-63\\ 54+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-22\\ -99\\ 66\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ 6\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)|$ = 484

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ 6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9^2+2^2+6^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+9^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 484 | :121

k = $\frac{\mathrm{484}}{\mathrm{121}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ 36\\ -24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}17\\ 38\\ -18\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 9\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ 2\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ -36\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -34\\ 30\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(17|38|-18\right)$ oder C'$\left(1|-34|30\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{7\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ \mathrm{7\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $-3·5-4·\left(7-c\right)-3·\left(-1\right)$ = $-15-4\left(7-c\right)+3$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{10}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 7\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ -1\end{array}\right)$