Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot \mathrm{(-3)}=0\mathrm{+15}-15=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ -3\end{array}\right)$ = -5⋅t -5 = 0 wird, also t=$-\frac{5}{5}$ = -1.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -3\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}=0-4\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -4\end{array}\right)$ = 1⋅t +19 = 0 wird, also t=$-19$ = -19.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-19\\ 1\\ -4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot 4=8\mathrm{+0}-8=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ t\\ 4\end{array}\right)$ = -2⋅t -20 = 0 wird, also t=$-\frac{20}{2}$=$-10$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ 4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ 4\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-10)}+\mathrm{(-4)}\cdot 4=-4\mathrm{+20}-16=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(5|5|4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -10\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot \mathrm{(-5)}=25\mathrm{+0}-25=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = 5⋅t -25 = 0 wird, also t=$\frac{25}{5}$=$5$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -5\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $5x_1+5x_2-5x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ -5\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 5+5\cdot 5+3\cdot \mathrm{(-5)}=-10\mathrm{+25}-15=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-2|5|2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-2|5|2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $5x_1+5x_2-5x_3=5$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·\left(-2\right)-\left(-2\right)·\left(-1\right)\\ -2·\left(-2\right)-\left(-1\right)·\left(-2\right)\\ -1·\left(-1\right)-\left(-2\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-2\\ 4-2\\ 1-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -3\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=6 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -4\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 3\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 13\\ -1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot 1=5\mathrm{+0}-5=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}5\\ 13\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 1\end{array}\right)$ = 13⋅t -26 = 0 wird, also t=$\frac{26}{13}$=$2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1+2x_2+x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 1\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot 2+\mathrm{(-5)}\cdot 1=5\mathrm{+0}-5=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|4|1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|4|1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1+2x_2+x_3=29$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2·2-2·1\\ 2·2-\left(-1\right)·2\\ -1·1-\left(-2\right)·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4-2\\ 4+2\\ -1+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)|$ = 18

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-1)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 18 | :9

k = $\frac{\mathrm{18}}{9}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 4\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 0\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-5|2|4\right)$ oder C'$\left(3|-6|0\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-3\; -\; c}\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{-3\; -\; c}\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ = $-3·\left(-3-c\right)-3·\left(-4\right)+0·\left(-1\right)$ = $-3\left(-3-c\right)+12+0$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-7}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -1\end{array}\right)$