Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 4=4\mathrm{+0}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ 4\end{array}\right)$ = 1⋅t -17 = 0 wird, also t=$17$ = 17.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 17\\ 4\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=-2\mathrm{+0}\mathrm{+2}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -2\end{array}\right)$ = -2⋅t -6 = 0 wird, also t=$-\frac{6}{2}$ = -3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 1=0\mathrm{+3}-3=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ = -2⋅t +14 = 0 wird, also t=$\frac{14}{2}$=$7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}7\\ 3\\ 1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}7\\ 3\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot 7+1\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 1=0\mathrm{+3}-3=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-2|0|-3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot 4=20\mathrm{+0}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 4\end{array}\right)$ = 2⋅t -14 = 0 wird, also t=$\frac{14}{2}$=$7$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ 4\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1+7x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ 7\\ 4\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-5)}+2\cdot 7+\mathrm{(-1)}\cdot 4=-10\mathrm{+14}-4=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-3|2|3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-3|2|3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1+7x_2+4x_3=41$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ -6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ -6\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·7-\left(-6\right)·\left(-6\right)\\ -6·\left(-6\right)-7·7\\ 7·\left(-6\right)-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42-36\\ 36-49\\ -42-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-78\\ -13\\ -78\end{array}\right)$ = -13⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 6\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=33 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}33\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}33\\ -18\\ -18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ 6\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=-1\mathrm{+0}\mathrm{+1}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = 2⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{2}$=$0$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{-}{x}_1-x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot 0+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=-1\mathrm{+0}\mathrm{+1}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(2|-1|-1\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(2|-1|-1\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{-}{x}_1-x_3=-1$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1·4-8·4\\ 8·\left(-7\right)-4·4\\ 4·4-\left(-1\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4-32\\ -56-16\\ 16-7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36\\ -72\\ 9\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)|$ = 162

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+{\mathrm{(-1)}}^2+8^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+{\mathrm{(-8)}}^2+1^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 162 | :81

k = $\frac{\mathrm{162}}{\mathrm{81}}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-8\\ -16\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ -17\\ 10\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}8\\ 16\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 15\\ 6\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-4|-17|10\right)$ oder C'$\left(12|15|6\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{-7\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{-7\; -\; c}\end{array}\right)$ = $-3·\left(-2\right)+1·\left(-2\right)+4·\left(-7-c\right)$ = $6-2+4\left(-7-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-6}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$