Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=4-4\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = 4⋅t -20 = 0 wird, also t=$\frac{20}{4}$ = 5.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 5\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -3\end{array}\right)$=$3\cdot 4+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot \mathrm{(-3)}=12\mathrm{+0}-12=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ t\\ -3\end{array}\right)$ = -3⋅t -9 = 0 wird, also t=$-\frac{9}{3}$ = -3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=0-2\mathrm{+2}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -2\end{array}\right)$ = 1⋅t +7 = 0 wird, also t=$-7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\\ -2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ -6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\\ -2\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-7)}+\mathrm{(-5)}\cdot 1+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-2)}=-7-5\mathrm{+12}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(4|0|-2\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -6\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-1)}=0\mathrm{+4}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ = 2⋅t +10 = 0 wird, also t=$-\frac{10}{2}$=$-5$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-5x_1-4x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot \mathrm{(-1)}=0\mathrm{+4}-4=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|-1|-4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|-1|-4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-5x_1-4x_2-x_3=-12$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1·2-2·\left(-2\right)\\ 2·1-\left(-2\right)·2\\ -2·\left(-2\right)-1·1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2+4\\ 2+4\\ 4-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=3 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 4=0-20\mathrm{+20}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 4\end{array}\right)$ = -1⋅t -2 = 0 wird, also t=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 4\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-2x_1-5x_2+4x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ 4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-3)}\cdot 4=2\mathrm{+10}-12=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-3|-4|-5\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-3|-4|-5\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-2x_1-5x_2+4x_3=6$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 7\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6·\left(-6\right)-9·7\\ 9·\left(-6\right)-\left(-2\right)·\left(-6\right)\\ -2·7-6·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-36-63\\ -54-12\\ -14+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-99\\ -66\\ 22\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)|$ = 363

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+6^2+9^2}=\sqrt{121}=11$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{9^2+6^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{121}=11$ gilt somit:

11 ⋅ k⋅11 = 363 | :121

k = $\frac{\mathrm{363}}{\mathrm{121}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}27\\ 18\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}25\\ 24\\ 3\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-27\\ -18\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-29\\ -12\\ 15\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(25|24|3\right)$ oder C'$\left(-29|-12|15\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{0\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 0\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{0\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $4·\left(-2\right)-4·\left(-c\right)+0·\left(-1\right)$ = $-8+4c+0$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{2}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$