Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=-2\mathrm{+0}\mathrm{+2}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ -2\\ 5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -2\end{array}\right)$ = -2⋅t -4 = 0 wird, also t=$-\frac{4}{2}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ t\end{array}\right)$=$3\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot 3+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-6\mathrm{+6}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ t\end{array}\right)$ = -2⋅t -28 = 0 wird, also t=$-\frac{28}{2}$ = -14.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -14\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ t\end{array}\right)$=$5\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=5-5\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t -17 = 0 wird, also t=$-17$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -17\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -17\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot 1+\mathrm{(-3)}\cdot 5+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-17)}=-2-15\mathrm{+17}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(4|-1|-4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -17\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=4-4\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t +23 = 0 wird, also t=$23$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 23\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2+23x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -6\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 23\end{array}\right)$=$1\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-6)}\cdot \mathrm{(-4)}+\mathrm{(-1)}\cdot 23=-1\mathrm{+24}-23=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-5|1|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-5|1|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $\mathrm{-}{x}_1-4x_2+23x_3=1$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·4-\left(-8\right)·8\\ -8·\left(-8\right)-4·4\\ 4·8-8·\left(-8\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32+64\\ 64-16\\ 32+64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}96\\ 48\\ 96\end{array}\right)$ = 48⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=24 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}10\\ 16\\ -16\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}10\\ 16\\ -16\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-1)}+1\cdot \mathrm{(-4)}=0\mathrm{+4}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ = -2⋅t -22 = 0 wird, also t=$-\frac{22}{2}$=$-11$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-11\\ -1\\ -4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 6\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-11\\ -1\\ -4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-11)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-1)}+6\cdot \mathrm{(-4)}=22\mathrm{+2}-24=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-1|-4|-3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-11\\ -1\\ -4\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2·2-\left(-2\right)·1\\ -2·2-1·2\\ 1·1-2·2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+2\\ -4-2\\ 1-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -6\\ -3\end{array}\right)$ = -3⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)|$ = 18

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+2^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-2)}}^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 18 | :9

k = $\frac{\mathrm{18}}{9}$ = 2

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 0\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 2⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -4\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-3|6|0\right)$ oder C'$\left(5|-2|-4\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ \mathrm{-2\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -8\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ \mathrm{-2\; -\; c}\end{array}\right)$ = $3·0+2·\left(-4\right)-8·\left(-2-c\right)$ = $0-8-8\left(-2-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-1}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -1\end{array}\right)$