Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+2\cdot 5+\mathrm{(-5)}\cdot 2=0\mathrm{+10}-10=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 5\\ 2\end{array}\right)$ = 4⋅t -12 = 0 wird, also t=$\frac{12}{4}$ = 3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 2\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 4\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+4\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 4=0-16\mathrm{+16}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ = 2⋅t -36 = 0 wird, also t=$\frac{36}{2}$ = 18.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ -4\\ 4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ -3\end{array}\right)$=$3\cdot 2+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+2\cdot \mathrm{(-3)}=6\mathrm{+0}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ -3\end{array}\right)$ = 1⋅t +7 = 0 wird, also t=$-7$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -7\\ -3\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}2\\ -7\\ -3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 2+1\cdot \mathrm{(-7)}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}=-2-7\mathrm{+9}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(0|5|0\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -7\\ -3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 2\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ -2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-2)}+2\cdot \mathrm{(-2)}=0\mathrm{+4}-4=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ = -4⋅t +0 = 0 wird, also t=$\frac{0}{4}$=$0$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 0+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}+4\cdot \mathrm{(-2)}=0\mathrm{+8}-8=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(1|-4|-3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(1|-4|-3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-2x_2-2x_3=14$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -7\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -7\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-7\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·4-\left(-7\right)·\left(-7\right)\\ -7·\left(-4\right)-4·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-28-16\\ -16-49\\ 28-16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-44\\ -65\\ 12\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-15\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-15\\ 4\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}44\\ 65\\ -12\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ -4\\ 4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-7\\ -4\\ 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·\left(-4\right)-4·\left(-7\right)\\ 4·4-\left(-7\right)·\left(-4\right)\\ -7·\left(-7\right)-\left(-4\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16+28\\ 16-28\\ 49+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}44\\ -12\\ 65\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-29\\ -12\\ 12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-29\\ -12\\ 12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}44\\ -12\\ 65\end{array}\right)$.

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1·1-2·\left(-2\right)\\ 2·\left(-2\right)-2·1\\ 2·\left(-2\right)-\left(-1\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1+4\\ -4-2\\ -4-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)|$ = 27

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+{\mathrm{(-1)}}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+{\mathrm{(-2)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{9}=3$ gilt somit:

3 ⋅ k⋅3 = 27 | :9

k = $\frac{\mathrm{27}}{9}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -7\\ -4\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ 6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 8\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(5|-7|-4\right)$ oder C'$\left(-1|5|8\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ \mathrm{-4\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -9\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ \mathrm{-4\; -\; c}\end{array}\right)$ = $3·\left(-4\right)+1·3-9·\left(-4-c\right)$ = $-12+3-9\left(-4-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-3}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ -1\end{array}\right)$