Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot 3=-15\mathrm{+0}\mathrm{+15}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = -1⋅t +29 = 0 wird, also t=$29$ = 29.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 29\\ 3\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 3\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-5)}\cdot 3=15\mathrm{+0}-15=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-5\\ t\\ 3\end{array}\right)$ = 2⋅t -4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$ = 2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ t\end{array}\right)$=$1\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot 1+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=1-1\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t -2 = 0 wird, also t=$-2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-3)}\cdot 1+1\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=-3\mathrm{+1}\mathrm{+2}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-4|-3|-3\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0-3\mathrm{+3}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ = -2⋅t +10 = 0 wird, also t=$\frac{10}{2}$=$5$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $5x_1+x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot 5+\mathrm{(-3)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}=0-3\mathrm{+3}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(-4|-5|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(-4|-5|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $5x_1+x_2-3x_3=-25$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 9\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-2\right)-9·9\\ 9·\left(-6\right)-\left(-2\right)·\left(-2\right)\\ -2·9-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12-81\\ -54-4\\ -18-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-69\\ -58\\ -54\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=11 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-11\\ -6\\ 9\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-11\\ -6\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}69\\ 58\\ 54\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0-1\mathrm{+1}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ = -1⋅t -2 = 0 wird, also t=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-2x_1+x_2-x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{(-1)}\cdot 1+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-1)}=0-1\mathrm{+1}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(2|-5|-3\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(2|-5|-3\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-2x_1+x_2-x_3=-6$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ -7\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4·4-\left(-8\right)·\left(-7\right)\\ -8·4-1·4\\ 1·\left(-7\right)-\left(-4\right)·4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16-56\\ -32-4\\ -7+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-72\\ -36\\ 9\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -8\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 1\end{array}\right)|$ = 243

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{1^2+{\mathrm{(-4)}}^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-8)}}^2+{\mathrm{(-4)}}^2+1^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 243 | :81

k = $\frac{\mathrm{243}}{\mathrm{81}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-24\\ -12\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-23\\ -16\\ -5\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}-8\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}24\\ 12\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}25\\ 8\\ -11\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-23|-16|-5\right)$ oder C'$\left(25|8|-11\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₃-Achse Q_c(0|0|c). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ \mathrm{-7\; -\; c}\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -6\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ \mathrm{-7\; -\; c}\end{array}\right)$ = $0·\left(-2\right)-4·3-6·\left(-7-c\right)$ = $0-12-6\left(-7-c\right)$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-5}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -2\end{array}\right)$