Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot \mathrm{(-5)}+5\cdot 1=0-5\mathrm{+5}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -5\\ 1\end{array}\right)$ = 1⋅t -13 = 0 wird, also t=$13$ = 13.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}13\\ -5\\ 1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-20\mathrm{+20}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t +46 = 0 wird, also t=$-\frac{46}{2}$ = -23.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -23\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=12-12\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ t\end{array}\right)$ = 2⋅t -4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 2\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-4)}+0\cdot 2=12-12\mathrm{+0}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(4|-2|1\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -2\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-2)}=0\mathrm{+6}-6=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -2\end{array}\right)$ = -1⋅t -7 = 0 wird, also t=$-7$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ -2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $-7x_1-3x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-7\\ -3\\ -2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-7)}+3\cdot \mathrm{(-3)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-2)}=7-9\mathrm{+2}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(3|2|-2\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(3|2|-2\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $-7x_1-3x_2-2x_3=-23$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·8-6·0\\ 6·6-0·8\\ 0·0-8·6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64+0\\ 36+0\\ 0-48\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}64\\ 36\\ -48\end{array}\right)$ = 4⋅$\left(\begin{array}{c}16\\ 9\\ -12\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=30 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 18\\ 18\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 18\\ 18\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}16\\ 9\\ -12\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 8\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8·1-\left(-4\right)·8\\ -4·\left(-4\right)-1·1\\ 1·8-8·\left(-4\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8+32\\ 16-1\\ 8+32\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40\\ 15\\ 40\end{array}\right)$ = 5⋅$\left(\begin{array}{c}8\\ 3\\ 8\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=9 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}17\\ 8\\ -4\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}17\\ 8\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 3\\ 8\end{array}\right)$.

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-7\\ 4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1·\left(-4\right)-\left(-8\right)·4\\ -8·\left(-7\right)-4·\left(-4\right)\\ 4·4-\left(-1\right)·\left(-7\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+32\\ 56+16\\ 16-7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}36\\ 72\\ 9\end{array}\right)$ = 9⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)|$ = 81

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+{\mathrm{(-1)}}^2+{\mathrm{(-8)}}^2}=\sqrt{81}=9$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+8^2+1^2}=\sqrt{81}=9$ gilt somit:

9 ⋅ k⋅9 = 81 | :81

k = $\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{81}}$ = 1

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 1⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 7\\ -7\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 1⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ -8\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ -8\\ -1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -9\\ -9\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(8|7|-7\right)$ oder C'$\left(0|-9|-9\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₁-Achse Q_c(c|0|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}\mathrm{5\; -\; c}\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}\mathrm{5\; -\; c}\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ = $2·\left(5-c\right)+1·2+2·\left(-1\right)$ = $2\left(5-c\right)+2-2$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{5}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -1\end{array}\right)$