Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 1\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+1\cdot \mathrm{(-4)}+4\cdot 1=0-4\mathrm{+4}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-11\\ 5\\ -2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -4\\ 1\end{array}\right)$ = -11⋅t -22 = 0 wird, also t=$-\frac{22}{11}$ = -2.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 1\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-5)}\cdot 4+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-5)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=-20\mathrm{+20}\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ -5\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ t\end{array}\right)$ = -5⋅t -35 = 0 wird, also t=$-\frac{35}{5}$ = -7.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ -7\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -4\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -4\end{array}\right)$=$4\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot \mathrm{(-4)}=20\mathrm{+0}-20=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -4\end{array}\right)$ = 2⋅t -4 = 0 wird, also t=$\frac{4}{2}$=$2$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$=$\mathrm{(-4)}\cdot 5+2\cdot 2+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-4)}=-20\mathrm{+4}\mathrm{+16}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-4|2|-5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -4\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -4\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Ebene, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ t\end{array}\right)$=$5\cdot 3+\mathrm{(-3)}\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=15-15\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ t\end{array}\right)$ = -4⋅t -8 = 0 wird, also t=$-\frac{8}{4}$=$-2$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -2\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $3x_1+5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -4\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ -2\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot 3+\mathrm{(-1)}\cdot 5+\mathrm{(-4)}\cdot \mathrm{(-2)}=-3-5\mathrm{+8}=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(4|4|4\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(4|4|4\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $3x_1+5x_2-2x_3=24$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}7\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-4\\ 7\\ -4\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}7\\ -4\\ -4\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 7\\ -4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ -4\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7·\left(-4\right)-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·7-\left(-4\right)·\left(-4\right)\\ -4·\left(-4\right)-7·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-28-16\\ -28-16\\ 16-49\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-44\\ -44\\ -33\end{array}\right)$ = -11⋅$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 3\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=27 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-26\\ 21\\ -12\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-26\\ 21\\ -12\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 3\end{array}\right)$.

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -1\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot 3+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+3\cdot \mathrm{(-1)}=3\mathrm{+0}-3=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ t\\ -1\end{array}\right)$ = -1⋅t +11 = 0 wird, also t=$11$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 11\\ -1\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}3\\ 11\\ -1\end{array}\right)$=$1\cdot 3+0\cdot 11+3\cdot \mathrm{(-1)}=3\mathrm{+0}-3=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(-1|-4|4\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 11\\ -1\end{array}\right)$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·2-6·6\\ 6·3-2·2\\ 2·6-\left(-3\right)·3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6-36\\ 18-4\\ 12+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-42\\ 14\\ 21\end{array}\right)$ = 7⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)|$ = 147

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{2^2+{\mathrm{(-3)}}^2+6^2}=\sqrt{49}=7$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-6)}}^2+2^2+3^2}=\sqrt{49}=7$ gilt somit:

7 ⋅ k⋅7 = 147 | :49

k = $\frac{\mathrm{147}}{\mathrm{49}}$ = 3

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 3⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\\ 9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 3\\ 15\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 3⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}18\\ -6\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -9\\ -3\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-16|3|15\right)$ oder C'$\left(20|-9|-3\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ \mathrm{-12\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 3\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ \mathrm{-12\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $-4·\left(-3\right)+3·\left(-12-c\right)+3·\left(-1\right)$ = $12+3\left(-12-c\right)-3$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{\mathrm{-9}}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ -12\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ -1\end{array}\right)$