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cosh
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prozentale Änderung bestimmen
Beispiel:
Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?
f(0) =
f(1) = ⋅
f(2) = ⋅ ⋅
f(3) = ⋅ ⋅ ⋅
f(4) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
...
Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit multipliziert. Da < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das -fache, also auf % des vorherigen Funktionswertes.
Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %
c und a gegeben
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 15 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 21,9 Millionen Bakterien?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):
f(10) = ≈ 18,285.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 21.9 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 21.9:
= | |: | ||
= | |lg(⋅) | ||
= | |||
= | |: | ||
= |
= |
Nach ca. 19,11 Stunden ist also der Bestand = 21.9 Millionen Bakterien.
c und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Konto wird mit 7000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 8508,54€. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 10500€ angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.
Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 8508.54 € ist, also f(4) = 8508.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
= | |: | ||
= | | | ||
a1 | = |
|
=
|
a2 | = |
|
=
|
Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a=
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):
f(7) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10500 € ist, also f(t) = 10500:
|
= | |: |
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
= |
|
|
|
= |
|
|:
|
|
= |
|
|
= |
|
Nach ca. 8,31 Jahre ist also der Kontostand = 10500 €.
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 14% vermehrt. Nach 2 Wochen zählt man bereits 5198,4 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 11000 angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Wochen der Bestand 5198.4 Nutzer ist,
also f(2) = 5198.4. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 1.142 = 5198.4
c ⋅ 1.2996 = 5198.4 | : 1.2996
c = 4000
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):
f(5) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer ist, also f(t) = 11000:
|
= | |: |
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
= |
|
|
|
= |
|
|:
|
|
= |
|
|
= |
|
Nach ca. 7,721 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer.
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit
Bestimme die Verdopplungszeit.
Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.051(
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein Staat verliert jedes Jahr 4% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?
Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also Bneu
= B -
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga(
Also TH = log0.96(
Exponentialterm mit Halbwertszeit best.
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 8,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 10kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.
Von der allgemeinen Exponentialfunktion
Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga(
Also 8.3 = loga(
|
= | |
|
|
a1 | = |
|
≈
|
a2 | = |
|
≈
|
Das gesuchte a ist somit