f(0) = $132$

f(1) = $132$ ⋅ $0.65$

f(2) = $132$ ⋅ $0.65$ ⋅ $0.65$

f(3) = $132$ ⋅ $0.65$ ⋅ $0.65$ ⋅ $0.65$

f(4) = $132$ ⋅ $0.65$ ⋅ $0.65$ ⋅ $0.65$ ⋅ $0.65$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0.65$ multipliziert. Da $0.65$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0.65$-fache, also auf $65$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.2}{100}$) ⋅ B = 0,988 ⋅ B. Somit ist das a=0,988.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {0.988}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $65\cdot {0.988}^8$ ≈ 59,016.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$65\cdot {0.988}^t$	=	$55$	|:$65$
${0.988}^t$	=	$\frac{11}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({0.988}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{13}\right)$
$t·\lg \left(0.988\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{13}\right)$	|: $\lg \left(0.988\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{13}\right)}{\lg \left(0.988\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,8375}$

Nach ca. 13,838 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 7.53 Millionen Insekten ist, also f(4) = 7.53. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ ein:

$12a^4$	=	$\mathrm{7,53}$	|:$12$
$a^4$	=	$\mathrm{0,6275}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{0,6275}}$	≈ $-\mathrm{0,89}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{0,6275}}$	≈ $\mathrm{0,89}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,89}$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {0.89}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $12\cdot {0.89}^{12}$ ≈ 2,964.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6:

$12\cdot {0.89}^t$	=	$6$	|:$12$
${0.89}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({0.89}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(0.89\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(0.89\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(0.89\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,948}$

Nach ca. 5,948 Jahre ist also der Bestand = 6 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.05}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 33.94 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 33.94. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.05}^t$ ein:

c ⋅ 1.05¹³ = 33.94

c ⋅ 1.88565 = 33.94 | : 1.88565

c = 18

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $18\cdot {1.05}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $18\cdot {1.05}^5$ ≈ 22,973.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 28 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 28:

$18\cdot {1.05}^t$	=	$28$	|:$18$
${1.05}^t$	=	$\frac{14}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.05}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{14}{9}\right)$
$t·\lg \left(1.05\right)$	=	$\lg \left(\frac{14}{9}\right)$	|: $\lg \left(1.05\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{14}{9}\right)}{\lg \left(1.05\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,0558}$

Nach ca. 9,056 Stunden ist also der Bestand = 28 Millionen Bakterien.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.096}^t$ ablesen: a=1.096.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.096($2$) ≈ 7.56 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 0,94 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,94.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.94($\frac{1}{2}$) ≈ 11.2 Tage

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmuis ist dies gleichbedeutend mit

$a^5$	=	$\frac{1}{2}$	|:$1$
$a^5$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[5]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.87, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {0.87}^t$