f(0) = $24$

f(1) = $24$ ⋅ $0.75$

f(2) = $24$ ⋅ $0.75$ ⋅ $0.75$

f(3) = $24$ ⋅ $0.75$ ⋅ $0.75$ ⋅ $0.75$

f(4) = $24$ ⋅ $0.75$ ⋅ $0.75$ ⋅ $0.75$ ⋅ $0.75$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0.75$ multipliziert. Da $0.75$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0.75$-fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {1.04}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $3000\cdot {1.04}^{12}$ ≈ 4803,097.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4000 € ist, also f(t) = 4000:

$3000\cdot {1.04}^t$	=	$4000$	|:$3000$
${1.04}^t$	=	$\frac{4}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.04}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{3}\right)$
$t·\lg \left(1.04\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{3}\right)$	|: $\lg \left(1.04\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{4}{3}\right)}{\lg \left(1.04\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,335}$

Nach ca. 7,335 Jahre ist also der Kontostand = 4000 €.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 25.66 kg ist, also f(8) = 25.66. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot a^t$ ein:

$50a^8$	=	$\mathrm{25,66}$	|:$50$
$a^8$	=	$\mathrm{0,5132}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{0,5132}}$	≈ $-\mathrm{0,92}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{0,5132}}$	≈ $\mathrm{0,92}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,92}$ ≈ 0.92 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot {0.92}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $50\cdot {0.92}^9$ ≈ 23,608.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$50\cdot {0.92}^t$	=	$20$	|:$50$
${0.92}^t$	=	$\frac{2}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({0.92}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{5}\right)$
$t·\lg \left(0.92\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{5}\right)$	|: $\lg \left(0.92\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{5}\right)}{\lg \left(0.92\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,9891}$

Nach ca. 10,989 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.06}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 7969.24 € ist, also f(8) = 7969.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.06}^t$ ein:

c ⋅ 1.06⁸ = 7969.24

c ⋅ 1.59385 = 7969.24 | : 1.59385

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {1.06}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $5000\cdot {1.06}^4$ ≈ 6312,385.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6000 € ist, also f(t) = 6000:

$5000\cdot {1.06}^t$	=	$6000$	|:$5000$
${1.06}^t$	=	$\frac{6}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({1.06}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{5}\right)$
$t·\lg \left(1.06\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{5}\right)$	|: $\lg \left(1.06\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{6}{5}\right)}{\lg \left(1.06\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,129}$

Nach ca. 3,129 Jahre ist also der Kontostand = 6000 €.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{1.125}^t$ ablesen: a=1.125.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.125($2$) ≈ 5.88 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 3.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3.8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3.8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{3.8}{100}$) ⋅ B = 1,038 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,038.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.038($2$) ≈ 18.59 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 30 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 34.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmuis ist dies gleichbedeutend mit

$a^{34.3}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{34.3}}$	≈ $-\mathrm{0,98}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{34.3}}$	≈ $\mathrm{0,98}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,98}$ ≈ 0.98, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {0.98}^t$