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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $33 \cdot {1,35}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $33$

f(1) = $33$ ⋅ $1,35$

f(2) = $33$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(3) = $33$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(4) = $33$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,35$ multipliziert. Da $1,35$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,35$ -fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. Zu Beginn sind 60kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Tage, also f(10):

f(10) = $60 \cdot {0,92}^{10}$ ≈ 26,063.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$60 \cdot {0,92}^{t}$	=	$30$	\|: $60$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{2})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{1}{2})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{2})}{\lg (0,92)}$

t

=

8,313

Nach ca. 8,313 Tage ist also der Bestand = 30 kg.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 7163,39€. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 10000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 7163.39 € ist, also f(10) = 7163.39. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ ein:

$4 000 a^{10}$	=	$7 163,39$	\|: $4 000$
$a^{10}$	=	$1,79085$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{1,79085}$	= $- 1,06$
a₂	=	$\sqrt[10]{1,79085}$	= $1,06$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,06$ ≈ 1.06 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $4 000 \cdot {1,06}^{4}$ ≈ 5049,908.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10000 € ist, also f(t) = 10000:

$4 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$10 000$	\|: $4 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{5}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{2})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{5}{2})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{2})}{\lg (1,06)}$

t

=

15,7252

Nach ca. 15,725 Jahre ist also der Kontostand = 10000 €.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6% seines Bestands. 2 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 35,34kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 5 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 0,94 ⋅ B. Somit ist das a=0,94.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,94}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 35.34 kg ist, also f(2) = 35.34. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,94}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.94² = 35.34

c ⋅ 0.8836 = 35.34 | : 0.8836

c = 40

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $40 \cdot {0,94}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $40 \cdot {0,94}^{5}$ ≈ 29,356.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$40 \cdot {0,94}^{t}$	=	$30$	\|: $40$
${0,94}^{t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,94}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{4})$
$t \cdot \lg (0,94)$	=	$\lg (\frac{3}{4})$	\|: $\lg (0,94)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{4})}{\lg (0,94)}$

t

=

4,6494

Nach ca. 4,649 Tage ist also der Bestand = 30 kg.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,12}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,12}^{t}$ ablesen: a=1.12.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.12( $2$ ) ≈ 6.12 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$ ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,32.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.32( $2$ ) ≈ 2.5 Stunden

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 3,5 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 3.5 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{3,5}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[3,5]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3,5}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3,5}}$ ≈ 0.82, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,82}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.