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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $114 \cdot {1,4}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $114$

f(1) = $114$ ⋅ $1,4$

f(2) = $114$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

f(3) = $114$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

f(4) = $114$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,4$ multipliziert. Da $1,4$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,4$ -fache, also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 34000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$ ) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,16}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $4 000 \cdot {1,16}^{9}$ ≈ 15211,845.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 34000 Nutzer ist, also f(t) = 34000:

$4 000 \cdot {1,16}^{t}$	=	$34 000$	\|: $4 000$
${1,16}^{t}$	=	$\frac{17}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,16}^{t})$	=	$\lg (\frac{17}{2})$
$t \cdot \lg (1,16)$	=	$\lg (\frac{17}{2})$	\|: $\lg (1,16)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{17}{2})}{\lg (1,16)}$

t

=

14,419

Nach ca. 14,419 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 34000 Nutzer.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 2 Jahren beträgt der Kontostand bereits 6489,6€. a) Wie hoch ist der Kontostand 8 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 6489.6 € ist, also f(2) = 6489.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ ein:

$6 000 a^{2}$	=	$6 489,6$	\|: $6 000$
$a^{2}$	=	$1,0816$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{1,0816}$	= $- 1,04$
a₂	=	$\sqrt{1,0816}$	= $1,04$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,04$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $6 000 \cdot {1,04}^{8}$ ≈ 8211,414.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

$6 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$7 000$	\|: $6 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{7}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{6})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{7}{6})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{6})}{\lg (1,04)}$

t

=

3,9303

Nach ca. 3,93 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 13% abnimmt. 10 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 2,98 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 6 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,5 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$ ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 2.98 Millionen Insekten ist, also f(10) = 2.98. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,87}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.87¹⁰ = 2.98

c ⋅ 0.24842 = 2.98 | : 0.24842

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $12 \cdot {0,87}^{6}$ ≈ 5,204.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.5:

$12 \cdot {0,87}^{t}$	=	$4,5$	\|: $12$
${0,87}^{t}$	=	$0,375$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (0,375)$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (0,375)$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,375)}{\lg (0,87)}$

t

=

7,043

Nach ca. 7,043 Jahre ist also der Bestand = 4.5 Millionen Insekten.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,944}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,944}^{t}$ ablesen: a=0.944.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.944( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 12.03 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6,7% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 6.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6.7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6.7}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6.7}{100}$ ) ⋅ B = 1,067 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,067.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.067( $2$ ) ≈ 10.69 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 5 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 3000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 5 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{5}$	=	$2$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[5]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[5]{2}$ ≈ 1.15, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,15}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.