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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $48 \cdot {0,5}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $48$

f(1) = $48$ ⋅ $0,5$

f(2) = $48$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$

f(3) = $48$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$

f(4) = $48$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,5$ multipliziert. Da $0,5$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,5$ -fache, also auf $50$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 50% = 50 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 5 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 405 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$ ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $5 \cdot {1,26}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $5 \cdot {1,26}^{10}$ ≈ 50,428.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 405 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 405:

$5 \cdot {1,26}^{t}$	=	$405$	\|: $5$
${1,26}^{t}$	=	$81$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,26}^{t})$	=	$\lg (81)$
$t \cdot \lg (1,26)$	=	$\lg (81)$	\|: $\lg (1,26)$
$t$	=	$\frac{\lg (81)}{\lg (1,26)}$

t

=

19,0144

Nach ca. 19,014 Stunden ist also der Bestand = 405 Millionen Bakterien.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 22 Milionen Bakterien. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 27,11Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 32 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=22 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $22 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 27.11 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 27.11. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $22 \cdot a^{t}$ ein:

$22 a^{2}$	=	$27,11$	\|: $22$
$a^{2}$	=	$1,23227$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{1,23227}$	≈ $- 1,11$
a₂	=	$\sqrt{1,23227}$	≈ $1,11$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,11$ ≈ 1.11 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $22 \cdot {1,11}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $22 \cdot {1,11}^{10}$ ≈ 62,467.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 32 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 32:

$22 \cdot {1,11}^{t}$	=	$32$	\|: $22$
${1,11}^{t}$	=	$\frac{16}{11}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,11}^{t})$	=	$\lg (\frac{16}{11})$
$t \cdot \lg (1,11)$	=	$\lg (\frac{16}{11})$	\|: $\lg (1,11)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{16}{11})}{\lg (1,11)}$

t

=

3,5904

Nach ca. 3,59 Stunden ist also der Bestand = 32 Millionen Bakterien.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 17%. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 19,16Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 19,2 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$ ) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,17}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 19.16 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 19.16. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,17}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.17² = 19.16

c ⋅ 1.3689 = 19.16 | : 1.3689

c = 14

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $14 \cdot {1,17}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $14 \cdot {1,17}^{4}$ ≈ 26,234.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 19.2 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 19.2:

$14 \cdot {1,17}^{t}$	=	$19,2$	\|: $14$
${1,17}^{t}$	=	$1,3714$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,17}^{t})$	=	$\lg (1,3714)$
$t \cdot \lg (1,17)$	=	$\lg (1,3714)$	\|: $\lg (1,17)$
$t$	=	$\frac{\lg (1,3714)}{\lg (1,17)}$

t

=

2,0116

Nach ca. 2,012 Stunden ist also der Bestand = 19.2 Millionen Bakterien.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,858}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,858}^{t}$ ablesen: a=0.858.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.858( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.53 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10,4% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 10.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10.4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{10.4}{100}$ ) ⋅ B = 0,896 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,896.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.896( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 6.31 Tage

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 10 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 22,8 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 22.8 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{22,8}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[22,8]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $- 0,97$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $0,97$

Das gesuchte a ist somit $0,97$ ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,97}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.