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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $129 \cdot {(\frac{9}{10})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $129$

f(1) = $129$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(2) = $129$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(3) = $129$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(4) = $129$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{9}{10}$ multipliziert. Da $\frac{9}{10}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{9}{10}$ -fache (oder auf das $\frac{90}{100}$ -fache), also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 13 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,8 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$ ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,88}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $12 \cdot {0,88}^{13}$ ≈ 2,277.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.8 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.8:

$12 \cdot {0,88}^{t}$	=	$3,8$	\|: $12$
${0,88}^{t}$	=	$0,3167$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,88}^{t})$	=	$\lg (0,3167)$
$t \cdot \lg (0,88)$	=	$\lg (0,3167)$	\|: $\lg (0,88)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,3167)}{\lg (0,88)}$

t

=

8,9945

Nach ca. 8,995 Jahre ist also der Bestand = 3.8 Millionen Insekten.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 23 Milionen Bakterien. 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 50,48Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 123 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=23 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $23 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 50.48 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 50.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $23 \cdot a^{t}$ ein:

$23 a^{6}$	=	$50,48$	\|: $23$
$a^{6}$	=	$2,19478$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{2,19478}$	≈ $- 1,14$
a₂	=	$\sqrt[6]{2,19478}$	≈ $1,14$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,14$ ≈ 1.14 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $23 \cdot {1,14}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $23 \cdot {1,14}^{10}$ ≈ 85,266.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 123 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 123:

$23 \cdot {1,14}^{t}$	=	$123$	\|: $23$
${1,14}^{t}$	=	$\frac{123}{23}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,14}^{t})$	=	$\lg (\frac{123}{23})$
$t \cdot \lg (1,14)$	=	$\lg (\frac{123}{23})$	\|: $\lg (1,14)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{123}{23})}{\lg (1,14)}$

t

=

12,7964

Nach ca. 12,796 Stunden ist also der Bestand = 123 Millionen Bakterien.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 10% vermehrt. Nach 8 Wochen zählt man bereits 15005,12 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 12000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 10% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{10}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{10}{100}$ ) ⋅ B = 1,1 ⋅ B. Somit ist das a=1,1.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,1}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 15005.12 Nutzer ist, also f(8) = 15005.12. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,1}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.1⁸ = 15005.12

c ⋅ 2.14359 = 15005.12 | : 2.14359

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,1}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $7 000 \cdot {1,1}^{9}$ ≈ 16505,634.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer ist, also f(t) = 12000:

$7 000 \cdot {1,1}^{t}$	=	$12 000$	\|: $7 000$
${1,1}^{t}$	=	$\frac{12}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,1}^{t})$	=	$\lg (\frac{12}{7})$
$t \cdot \lg (1,1)$	=	$\lg (\frac{12}{7})$	\|: $\lg (1,1)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{12}{7})}{\lg (1,1)}$

t

=

5,6552

Nach ca. 5,655 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,112}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,112}^{t}$ ablesen: a=1.112.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.112( $2$ ) ≈ 6.53 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 11% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 0,89 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,89.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.89( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 5.95 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 23,4 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 23.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{23,4}$	=	$2$	\| $\sqrt[23,4]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{23,4}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{23,4}}$ ≈ 1.03, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,03}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.