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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $51 \cdot {(\frac{9}{10})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $51$

f(1) = $51$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(2) = $51$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(3) = $51$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(4) = $51$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{9}{10}$ multipliziert. Da $\frac{9}{10}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{9}{10}$ -fache (oder auf das $\frac{90}{100}$ -fache), also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 11 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 24000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$ ) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,16}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $4 000 \cdot {1,16}^{11}$ ≈ 20469,059.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 24000 Nutzer ist, also f(t) = 24000:

$4 000 \cdot {1,16}^{t}$	=	$24 000$	\|: $4 000$
${1,16}^{t}$	=	$6$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,16}^{t})$	=	$\lg (6)$
$t \cdot \lg (1,16)$	=	$\lg (6)$	\|: $\lg (1,16)$
$t$	=	$\frac{\lg (6)}{\lg (1,16)}$

t

=

12,0722

Nach ca. 12,072 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 24000 Nutzer.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. 13 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 4,4 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 14 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 5,2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Jahre der Bestand 4.4 Millionen Insekten ist, also f(13) = 4.4. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $13 \cdot a^{t}$ ein:

$13 a^{13}$	=	$4,4$	\|: $13$
$a^{13}$	=	$\frac{4,4}{13}$	\| $\sqrt[13]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[13]{\frac{4,4}{13}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[13]{\frac{4,4}{13}}$ ≈ 0.92 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=14 Jahre, also f(14):

f(14) = $13 \cdot {0,92}^{14}$ ≈ 4,046.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5.2:

$13 \cdot {0,92}^{t}$	=	$5,2$	\|: $13$
${0,92}^{t}$	=	$0,4$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (0,4)$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (0,4)$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,4)}{\lg (0,92)}$

t

=

10,9891

Nach ca. 10,989 Jahre ist also der Bestand = 5.2 Millionen Insekten.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 4161,6€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 13 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 4200€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,02}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 4161.6 € ist, also f(2) = 4161.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,02}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.02² = 4161.6

c ⋅ 1.0404 = 4161.6 | : 1.0404

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $4 000 \cdot {1,02}^{13}$ ≈ 5174,427.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4200 € ist, also f(t) = 4200:

$4 000 \cdot {1,02}^{t}$	=	$4 200$	\|: $4 000$
${1,02}^{t}$	=	$\frac{21}{20}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (\frac{21}{20})$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (\frac{21}{20})$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{21}{20})}{\lg (1,02)}$

t

=

2,4638

Nach ca. 2,464 Jahre ist also der Kontostand = 4200 €.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,94}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,94}^{t}$ ablesen: a=0.94.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.94( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 11.2 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6,4% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 6.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6.4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{6.4}{100}$ ) ⋅ B = 0,936 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,936.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.936( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 10.48 Tage

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,8 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.8 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{3,8}$	=	$2$	\| $\sqrt[3,8]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{3,8}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{3,8}}$ ≈ 1.2, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,2}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.