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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $59 \cdot {1,25}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $59$

f(1) = $59$ ⋅ $1,25$

f(2) = $59$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

f(3) = $59$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

f(4) = $59$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,25$ multipliziert. Da $1,25$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,25$ -fache, also auf $125$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 125% - 100% = 25 %

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 13% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$ ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $12 \cdot {0,87}^{4}$ ≈ 6,875.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2:

$12 \cdot {0,87}^{t}$	=	$2$	\|: $12$
${0,87}^{t}$	=	$\frac{1}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{6})$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (\frac{1}{6})$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{6})}{\lg (0,87)}$

t

=

12,8661

Nach ca. 12,866 Jahre ist also der Bestand = 2 Millionen Insekten.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer. Nach 11 Wochen zählt man bereits 29720,33 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 7 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 6000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Wochen der Bestand 29720.33 Nutzer ist, also f(11) = 29720.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ ein:

$4 000 a^{11}$	=	$29 720,33$	\|: $4 000$
$a^{11}$	=	$7,43008$	\| $\sqrt[11]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[11]{7,43008}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{7,43008}$ ≈ 1.2 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,2}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $4 000 \cdot {1,2}^{7}$ ≈ 14332,723.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer ist, also f(t) = 6000:

$4 000 \cdot {1,2}^{t}$	=	$6 000$	\|: $4 000$
${1,2}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,2}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,2)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,2)}$

t

=

2,2239

Nach ca. 2,224 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,2% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 56,88 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 8 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2.2}{100}$ ) ⋅ B = 0,978 ⋅ B. Somit ist das a=0,978.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,978}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 56.88 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 56.88. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,978}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.978⁶ = 56.88

c ⋅ 0.87505 = 56.88 | : 0.87505

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $65 \cdot {0,978}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $65 \cdot {0,978}^{8}$ ≈ 54,403.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$65 \cdot {0,978}^{t}$	=	$45$	\|: $65$
${0,978}^{t}$	=	$\frac{9}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,978}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{13})$
$t \cdot \lg (0,978)$	=	$\lg (\frac{9}{13})$	\|: $\lg (0,978)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{13})}{\lg (0,978)}$

t

=

16,5302

Nach ca. 16,53 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,065}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,065}^{t}$ ablesen: a=1.065.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.065( $2$ ) ≈ 11.01 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 20% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$ ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.2( $2$ ) ≈ 3.8 Wochen

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 20 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 11,2 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 11.2 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{11,2}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[11,2]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{11,2}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{11,2}}$ ≈ 0.94, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {0,94}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.