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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $23 \cdot {0,9}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $23$

f(1) = $23$ ⋅ $0,9$

f(2) = $23$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$

f(3) = $23$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$

f(4) = $23$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,9$ multipliziert. Da $0,9$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,9$ -fache, also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,2% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 12 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.2}{100}$ ) ⋅ B = 0,968 ⋅ B. Somit ist das a=0,968.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot {0,968}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $55 \cdot {0,968}^{12}$ ≈ 37,228.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55 \cdot {0,968}^{t}$	=	$45$	\|: $55$
${0,968}^{t}$	=	$\frac{9}{11}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,968}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{11})$
$t \cdot \lg (0,968)$	=	$\lg (\frac{9}{11})$	\|: $\lg (0,968)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{11})}{\lg (0,968)}$

t

=

6,1701

Nach ca. 6,17 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 27 Milionen Bakterien. 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 163,44Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 327 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=27 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $27 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 163.44 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 163.44. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $27 \cdot a^{t}$ ein:

$27 a^{6}$	=	$163,44$	\|: $27$
$a^{6}$	=	$6,05333$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{6,05333}$	≈ $- 1,35$
a₂	=	$\sqrt[6]{6,05333}$	≈ $1,35$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,35$ ≈ 1.35 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $27 \cdot {1,35}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $27 \cdot {1,35}^{12}$ ≈ 989,393.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 327 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 327:

$27 \cdot {1,35}^{t}$	=	$327$	\|: $27$
${1,35}^{t}$	=	$\frac{109}{9}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,35}^{t})$	=	$\lg (\frac{109}{9})$
$t \cdot \lg (1,35)$	=	$\lg (\frac{109}{9})$	\|: $\lg (1,35)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{109}{9})}{\lg (1,35)}$

t

=

8,3108

Nach ca. 8,311 Stunden ist also der Bestand = 327 Millionen Bakterien.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,1% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 53,81 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 5 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 57,3 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,969 ⋅ B. Somit ist das a=0,969.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,969}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 53.81 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 53.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,969}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.969⁶ = 53.81

c ⋅ 0.82783 = 53.81 | : 0.82783

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $65 \cdot {0,969}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $65 \cdot {0,969}^{5}$ ≈ 55,531.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 57.3 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 57.3:

$65 \cdot {0,969}^{t}$	=	$57,3$	\|: $65$
${0,969}^{t}$	=	$0,8815$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,969}^{t})$	=	$\lg (0,8815)$
$t \cdot \lg (0,969)$	=	$\lg (0,8815)$	\|: $\lg (0,969)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,8815)}{\lg (0,969)}$

t

=

4,0053

Nach ca. 4,005 Jahre ist also der Bestand = 57.3 Millionen Einwohner.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,909}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,909}^{t}$ ablesen: a=0.909.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.909( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.26 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 5% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,95.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.95( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 13.51 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 30 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 22,8 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 30 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 22.8 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{22,8}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[22,8]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $- 0,97$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{22,8}}$	≈ $0,97$

Das gesuchte a ist somit $0,97$ ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot {0,97}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.