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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 132 0.65 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 132

f(1) = 132 0.65

f(2) = 132 0.650.65

f(3) = 132 0.650.650.65

f(4) = 132 0.650.650.650.65

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0.65 multipliziert. Da 0.65 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0.65-fache, also auf 65 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 8 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.2% weggehen,
also Bneu = B - 1.2 100 ⋅B = (1 - 1.2 100 ) ⋅ B = 0,988 ⋅ B. Somit ist das a=0,988.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 65 0.988 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 65 0.988 8 59,016.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

65 0.988 t = 55 |:65
0.988 t = 11 13 |lg(⋅)
lg( 0.988 t ) = lg( 11 13 )
t · lg( 0.988 ) = lg( 11 13 ) |: lg( 0.988 )
t = lg( 11 13 ) lg( 0.988 )
t = 13,8375

Nach ca. 13,838 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt. 4 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 7,53 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 12 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 6 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 12 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 7.53 Millionen Insekten ist, also f(4) = 7.53. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 12 a t ein:

12 a 4 = 7,53 |:12
a 4 = 0,6275 | 4
a1 = - 0,6275 4 -0,89
a2 = 0,6275 4 0,89

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,89 ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 12 0.89 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = 12 0.89 12 2,964.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6:

12 0.89 t = 6 |:12
0.89 t = 1 2 |lg(⋅)
lg( 0.89 t ) = lg( 1 2 )
t · lg( 0.89 ) = lg( 1 2 ) |: lg( 0.89 )
t = lg( 1 2 ) lg( 0.89 )
t = 5,948

Nach ca. 5,948 Jahre ist also der Bestand = 6 Millionen Insekten.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 5%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 33,94Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 28 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also Bneu = B + 5 100 ⋅B = (1 + 5 100 ) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1.05 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 33.94 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 33.94. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1.05 t ein:

c ⋅ 1.0513 = 33.94

c ⋅ 1.88565 = 33.94 | : 1.88565

c = 18

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 18 1.05 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = 18 1.05 5 22,973.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 28 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 28:

18 1.05 t = 28 |:18
1.05 t = 14 9 |lg(⋅)
lg( 1.05 t ) = lg( 14 9 )
t · lg( 1.05 ) = lg( 14 9 ) |: lg( 1.05 )
t = lg( 14 9 ) lg( 1.05 )
t = 9,0558

Nach ca. 9,056 Stunden ist also der Bestand = 28 Millionen Bakterien.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1.096 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1.096 t ablesen: a=1.096.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.096(2) ≈ 7.56 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also Bneu = B - 6 100 ⋅B = (1 - 6 100 ) ⋅ B = 0,94 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,94.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.94( 1 2 ) ≈ 11.2 Tage

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 5 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 10kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 5 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmuis ist dies gleichbedeutend mit

a 5 = 1 2 |:1
a 5 = 1 2 | 5
a = 1 2 5

Das gesuchte a ist somit 1 2 5 ≈ 0.87, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 10 0.87 t