f(0) = $145$

f(1) = $145$ ⋅ $\mathrm{0,9}$

f(2) = $145$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$

f(3) = $145$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$

f(4) = $145$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,9}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,9}$-fache, also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6\cdot {\mathrm{1,08}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $6\cdot {\mathrm{1,08}}^4$ ≈ 8,163.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 26 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 26:

$6\cdot {\mathrm{1,08}}^t$	=	$26$	|:$6$
${\mathrm{1,08}}^t$	=	$\frac{13}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,08}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,08}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,053}$

Nach ca. 19,053 Stunden ist also der Bestand = 26 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Stunden der Bestand 104.06 Millionen Bakterien ist, also f(9) = 104.06. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ ein:

$13a^9$	=	$\mathrm{104,06}$	|:$13$
$a^9$	=	$\mathrm{8,00462}$	|
$a$	=	$\sqrt[9]{\mathrm{8,00462}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[9]{\mathrm{8,00462}}$ ≈ 1.26 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{1,26}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $13\cdot {\mathrm{1,26}}^{13}$ ≈ 262,277.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 313 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 313:

$13\cdot {\mathrm{1,26}}^t$	=	$313$	|:$13$
${\mathrm{1,26}}^t$	=	$\frac{313}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,26}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{313}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$	=	$\lg \left(\frac{313}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{313}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,26}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,765}$

Nach ca. 13,765 Stunden ist also der Bestand = 313 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 10% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{10}{100}$⋅B = (1 + $\frac{10}{100}$) ⋅ B = 1,1 ⋅ B. Somit ist das a=1,1.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,1}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 7986 Nutzer ist, also f(3) = 7986. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,1}}^t$ ein:

c ⋅ 1.1³ = 7986

c ⋅ 1.331 = 7986 | : 1.331

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $6000\cdot {\mathrm{1,1}}^8$ ≈ 12861,533.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer ist, also f(t) = 10000:

$6000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$	=	$10000$	|:$6000$
${\mathrm{1,1}}^t$	=	$\frac{5}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,1}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,1}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,3596}$

Nach ca. 5,36 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,123}}^t$ ablesen: a=1.123.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.123($2$) ≈ 5.98 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 14.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14.7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14.7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14.7}{100}$) ⋅ B = 0,853 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,853.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.853($\frac{1}{2}$) ≈ 4.36 Tage

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 60 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 11.2 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{11,2}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{11,2}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{11,2}}}$ ≈ 0.94, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,94}}^t$