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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $37 \cdot {(\frac{19}{20})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $37$

f(1) = $37$ ⋅ $\frac{19}{20}$

f(2) = $37$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$

f(3) = $37$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$

f(4) = $37$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{19}{20}$ multipliziert. Da $\frac{19}{20}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{19}{20}$ -fache (oder auf das $\frac{95}{100}$ -fache), also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3% verzinst. Zu Beginn sind 7000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 11 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 11000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$ ) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,03}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $7 000 \cdot {1,03}^{11}$ ≈ 9689,637.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:

$7 000 \cdot {1,03}^{t}$	=	$11 000$	\|: $7 000$
${1,03}^{t}$	=	$\frac{11}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,03}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{7})$
$t \cdot \lg (1,03)$	=	$\lg (\frac{11}{7})$	\|: $\lg (1,03)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{7})}{\lg (1,03)}$

t

=

15,2911

Nach ca. 15,291 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 16 Milionen Bakterien. 4 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 44,31Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 416 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=16 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $16 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Stunden der Bestand 44.31 Millionen Bakterien ist, also f(4) = 44.31. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $16 \cdot a^{t}$ ein:

$16 a^{4}$	=	$44,31$	\|: $16$
$a^{4}$	=	$2,76938$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{2,76938}$	≈ $- 1,29$
a₂	=	$\sqrt[4]{2,76938}$	≈ $1,29$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,29$ ≈ 1.29 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $16 \cdot {1,29}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $16 \cdot {1,29}^{8}$ ≈ 122,698.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 416 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 416:

$16 \cdot {1,29}^{t}$	=	$416$	\|: $16$
${1,29}^{t}$	=	$26$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,29}^{t})$	=	$\lg (26)$
$t \cdot \lg (1,29)$	=	$\lg (26)$	\|: $\lg (1,29)$
$t$	=	$\frac{\lg (26)}{\lg (1,29)}$

t

=

12,7948

Nach ca. 12,795 Stunden ist also der Bestand = 416 Millionen Bakterien.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,8% seiner Bevölkerung. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 43,82 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2.8}{100}$ ) ⋅ B = 0,972 ⋅ B. Somit ist das a=0,972.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,972}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 43.82 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 43.82. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,972}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.972⁸ = 43.82

c ⋅ 0.79676 = 43.82 | : 0.79676

c = 55

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot {0,972}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $55 \cdot {0,972}^{9}$ ≈ 42,595.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55 \cdot {0,972}^{t}$	=	$45$	\|: $55$
${0,972}^{t}$	=	$\frac{9}{11}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,972}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{11})$
$t \cdot \lg (0,972)$	=	$\lg (\frac{9}{11})$	\|: $\lg (0,972)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{11})}{\lg (0,972)}$

t

=

7,066

Nach ca. 7,066 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,139}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,139}^{t}$ ablesen: a=1.139.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.139( $2$ ) ≈ 5.33 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1,3% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 1.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.3}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1.3}{100}$ ) ⋅ B = 1,013 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,013.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.013( $2$ ) ≈ 53.66 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 35 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 35 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{35}$	=	$2$	\| $\sqrt[35]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[35]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[35]{2}$ ≈ 1.02, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,02}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.