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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $48 \cdot {(\frac{9}{10})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $48$

f(1) = $48$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(2) = $48$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(3) = $48$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(4) = $48$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{9}{10}$ multipliziert. Da $\frac{9}{10}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{9}{10}$ -fache (oder auf das $\frac{90}{100}$ -fache), also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 11% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 13 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,9 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,89}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $11 \cdot {0,89}^{13}$ ≈ 2,418.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.9:

$11 \cdot {0,89}^{t}$	=	$4,9$	\|: $11$
${0,89}^{t}$	=	$0,4455$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,89}^{t})$	=	$\lg (0,4455)$
$t \cdot \lg (0,89)$	=	$\lg (0,4455)$	\|: $\lg (0,89)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,4455)}{\lg (0,89)}$

t

=

6,9384

Nach ca. 6,938 Jahre ist also der Bestand = 4.9 Millionen Insekten.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 9407,41€. a) Wie hoch ist der Kontostand 11 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 10000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 9407.41 € ist, also f(10) = 9407.41. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $7 000 \cdot a^{t}$ ein:

$7 000 a^{10}$	=	$9 407,41$	\|: $7 000$
$a^{10}$	=	$1,34392$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{1,34392}$	= $- 1,03$
a₂	=	$\sqrt[10]{1,34392}$	= $1,03$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,03$ ≈ 1.03 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,03}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $7 000 \cdot {1,03}^{11}$ ≈ 9689,637.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10000 € ist, also f(t) = 10000:

$7 000 \cdot {1,03}^{t}$	=	$10 000$	\|: $7 000$
${1,03}^{t}$	=	$\frac{10}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,03}^{t})$	=	$\lg (\frac{10}{7})$
$t \cdot \lg (1,03)$	=	$\lg (\frac{10}{7})$	\|: $\lg (1,03)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{10}{7})}{\lg (1,03)}$

t

=

12,0666

Nach ca. 12,067 Jahre ist also der Kontostand = 10000 €.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 8% abnimmt. 8 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 5,65 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 13 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,4 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,92}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 5.65 Millionen Insekten ist, also f(8) = 5.65. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,92}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.92⁸ = 5.65

c ⋅ 0.51322 = 5.65 | : 0.51322

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $11 \cdot {0,92}^{13}$ ≈ 3,721.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.4:

$11 \cdot {0,92}^{t}$	=	$4,4$	\|: $11$
${0,92}^{t}$	=	$0,4$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (0,4)$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (0,4)$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,4)}{\lg (0,92)}$

t

=

10,9891

Nach ca. 10,989 Jahre ist also der Bestand = 4.4 Millionen Insekten.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,943}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,943}^{t}$ ablesen: a=0.943.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.943( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 11.81 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5,4% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 5.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5.4}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{5.4}{100}$ ) ⋅ B = 1,054 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,054.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.054( $2$ ) ≈ 13.18 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 6,6 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 90kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 90 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 6.6 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{6,6}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[6,6]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{6,6}}$	≈ $- 0,9$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{6,6}}$	≈ $0,9$

Das gesuchte a ist somit $0,9$ ≈ 0.9, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $90 \cdot {0,9}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.