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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $150 \cdot {0,8}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $150$

f(1) = $150$ ⋅ $0,8$

f(2) = $150$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$

f(3) = $150$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$

f(4) = $150$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$ ⋅ $0,8$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,8$ multipliziert. Da $0,8$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,8$ -fache, also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 15 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 21,9 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $15 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $15 \cdot {1,02}^{10}$ ≈ 18,285.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 21.9 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 21.9:

$15 \cdot {1,02}^{t}$	=	$21,9$	\|: $15$
${1,02}^{t}$	=	$1,46$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (1,46)$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (1,46)$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (1,46)}{\lg (1,02)}$

t

=

19,1104

Nach ca. 19,11 Stunden ist also der Bestand = 21.9 Millionen Bakterien.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 8508,54€. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 10500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 8508.54 € ist, also f(4) = 8508.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $7 000 \cdot a^{t}$ ein:

$7 000 a^{4}$	=	$8 508,54$	\|: $7 000$
$a^{4}$	=	$1,21551$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{1,21551}$	= $- 1,05$
a₂	=	$\sqrt[4]{1,21551}$	= $1,05$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,05$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,05}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $7 000 \cdot {1,05}^{7}$ ≈ 9849,703.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10500 € ist, also f(t) = 10500:

$7 000 \cdot {1,05}^{t}$	=	$10 500$	\|: $7 000$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,05)}$

t

=

8,3104

Nach ca. 8,31 Jahre ist also der Kontostand = 10500 €.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 14% vermehrt. Nach 2 Wochen zählt man bereits 5198,4 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 11000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$ ) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,14}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Wochen der Bestand 5198.4 Nutzer ist, also f(2) = 5198.4. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,14}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.14² = 5198.4

c ⋅ 1.2996 = 5198.4 | : 1.2996

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,14}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $4 000 \cdot {1,14}^{5}$ ≈ 7701,658.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer ist, also f(t) = 11000:

$4 000 \cdot {1,14}^{t}$	=	$11 000$	\|: $4 000$
${1,14}^{t}$	=	$\frac{11}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,14}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{4})$
$t \cdot \lg (1,14)$	=	$\lg (\frac{11}{4})$	\|: $\lg (1,14)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{4})}{\lg (1,14)}$

t

=

7,7205

Nach ca. 7,721 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,051}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,051}^{t}$ ablesen: a=1.051.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.051( $2$ ) ≈ 13.93 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 4% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.96( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 16.98 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 8,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 10kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 8.3 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{8,3}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[8,3]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{8,3}}$	≈ $- 0,92$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{8,3}}$	≈ $0,92$

Das gesuchte a ist somit $0,92$ ≈ 0.92, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,92}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.