Mathebattle EduRandomtasks

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $149 \cdot {1,45}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $149$

f(1) = $149$ ⋅ $1,45$

f(2) = $149$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(3) = $149$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(4) = $149$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,45$ multipliziert. Da $1,45$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,45$ -fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seines Bestands. Zu Beginn sind 30kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$ ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $30 \cdot {0,91}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $30 \cdot {0,91}^{8}$ ≈ 14,108.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$30 \cdot {0,91}^{t}$	=	$10$	\|: $30$
${0,91}^{t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,91}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{3})$
$t \cdot \lg (0,91)$	=	$\lg (\frac{1}{3})$	\|: $\lg (0,91)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{3})}{\lg (0,91)}$

t

=

11,6489

Nach ca. 11,649 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 2960,49€. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 2960.49 € ist, also f(10) = 2960.49. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $2 000 \cdot a^{t}$ ein:

$2 000 a^{10}$	=	$2 960,49$	\|: $2 000$
$a^{10}$	=	$1,48025$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{1,48025}$	= $- 1,04$
a₂	=	$\sqrt[10]{1,48025}$	= $1,04$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,04$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $2 000 \cdot {1,04}^{4}$ ≈ 2339,717.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3000 € ist, also f(t) = 3000:

$2 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$3 000$	\|: $2 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,04)}$

t

=

10,338

Nach ca. 10,338 Jahre ist also der Kontostand = 3000 €.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seines Bestands. 4 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 84,93kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 6 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 92,2kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B. Somit ist das a=0,96.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,96}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 84.93 kg ist, also f(4) = 84.93. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,96}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.96⁴ = 84.93

c ⋅ 0.84935 = 84.93 | : 0.84935

c = 100

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $100 \cdot {0,96}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $100 \cdot {0,96}^{6}$ ≈ 78,276.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 92.2 kg ist, also f(t) = 92.2:

$100 \cdot {0,96}^{t}$	=	$92,2$	\|: $100$
${0,96}^{t}$	=	$0,922$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,96}^{t})$	=	$\lg (0,922)$
$t \cdot \lg (0,96)$	=	$\lg (0,922)$	\|: $\lg (0,96)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,922)}{\lg (0,96)}$

t

=

1,9894

Nach ca. 1,989 Tage ist also der Bestand = 92.2 kg.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,893}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,893}^{t}$ ablesen: a=0.893.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.893( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 6.12 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$ ) ⋅ B = 0,97 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,97.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.97( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 22.76 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 5,9 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 70kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 70 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 5.9 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{5,9}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[5,9]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{5,9}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{5,9}}$ ≈ 0.89, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,89}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.