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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $138 \cdot {(\frac{4}{5})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $138$

f(1) = $138$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(2) = $138$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(3) = $138$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(4) = $138$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{4}{5}$ multipliziert. Da $\frac{4}{5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{4}{5}$ -fache (oder auf das $\frac{80}{100}$ -fache), also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 11%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 13 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 53 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $13 \cdot {1,11}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $13 \cdot {1,11}^{9}$ ≈ 33,254.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 53 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 53:

$13 \cdot {1,11}^{t}$	=	$53$	\|: $13$
${1,11}^{t}$	=	$\frac{53}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,11}^{t})$	=	$\lg (\frac{53}{13})$
$t \cdot \lg (1,11)$	=	$\lg (\frac{53}{13})$	\|: $\lg (1,11)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{53}{13})}{\lg (1,11)}$

t

=

13,4663

Nach ca. 13,466 Stunden ist also der Bestand = 53 Millionen Bakterien.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 8000 Nutzer. Nach 2 Wochen zählt man bereits 12103,2 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 11 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 78000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Wochen der Bestand 12103.2 Nutzer ist, also f(2) = 12103.2. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ ein:

$8 000 a^{2}$	=	$12 103,2$	\|: $8 000$
$a^{2}$	=	$1,5129$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{1,5129}$	= $- 1,23$
a₂	=	$\sqrt{1,5129}$	= $1,23$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,23$ ≈ 1.23 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,23}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $8 000 \cdot {1,23}^{11}$ ≈ 77991,31.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 78000 Nutzer ist, also f(t) = 78000:

$8 000 \cdot {1,23}^{t}$	=	$78 000$	\|: $8 000$
${1,23}^{t}$	=	$\frac{39}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,23}^{t})$	=	$\lg (\frac{39}{4})$
$t \cdot \lg (1,23)$	=	$\lg (\frac{39}{4})$	\|: $\lg (1,23)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{39}{4})}{\lg (1,23)}$

t

=

11,0005

Nach ca. 11,001 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 78000 Nutzer.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 14% abnimmt. 2 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 7,4 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,5 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$ ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,86}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 7.4 Millionen Insekten ist, also f(2) = 7.4. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,86}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.86² = 7.4

c ⋅ 0.7396 = 7.4 | : 0.7396

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,86}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $10 \cdot {0,86}^{4}$ ≈ 5,47.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.5:

$10 \cdot {0,86}^{t}$	=	$3,5$	\|: $10$
${0,86}^{t}$	=	$0,35$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,86}^{t})$	=	$\lg (0,35)$
$t \cdot \lg (0,86)$	=	$\lg (0,35)$	\|: $\lg (0,86)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,35)}{\lg (0,86)}$

t

=

6,9606

Nach ca. 6,961 Jahre ist also der Bestand = 3.5 Millionen Insekten.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,062}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,062}^{t}$ ablesen: a=1.062.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.062( $2$ ) ≈ 11.52 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2,4% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 2.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2.4}{100}$ ) ⋅ B = 0,976 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,976.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.976( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 28.53 Tage

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 4,4 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 19 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 19 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,4}$	=	$2$	\| $\sqrt[4,4]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{4,4}}$	≈ $- 1,171$
a₂	=	$2^{\frac{1}{4,4}}$	≈ $1,171$

Das gesuchte a ist somit $1,171$ ≈ 1.17, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $19 \cdot {1,17}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.