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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $54 \cdot {(\frac{21}{20})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $54$

f(1) = $54$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(2) = $54$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(3) = $54$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(4) = $54$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{21}{20}$ multipliziert. Da $\frac{21}{20}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{21}{20}$ -fache (oder auf das $\frac{105}{100}$ -fache), also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 23 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 43 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=23 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $23 \cdot {1,08}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $23 \cdot {1,08}^{8}$ ≈ 42,571.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 43 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 43:

$23 \cdot {1,08}^{t}$	=	$43$	\|: $23$
${1,08}^{t}$	=	$\frac{43}{23}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,08}^{t})$	=	$\lg (\frac{43}{23})$
$t \cdot \lg (1,08)$	=	$\lg (\frac{43}{23})$	\|: $\lg (1,08)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{43}{23})}{\lg (1,08)}$

t

=

8,1302

Nach ca. 8,13 Stunden ist also der Bestand = 43 Millionen Bakterien.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 50kg vorhanden. Nach 2 Tagen nach sind nur noch 40,5kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 12 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40,5kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $50 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 40.5 kg ist, also f(2) = 40.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $50 \cdot a^{t}$ ein:

$50 a^{2}$	=	$40,5$	\|: $50$
$a^{2}$	=	$0,81$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{0,81}$	= $- 0,9$
a₂	=	$\sqrt{0,81}$	= $0,9$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,9$ ≈ 0.9 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $50 \cdot {0,9}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = $50 \cdot {0,9}^{12}$ ≈ 14,121.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40.5 kg ist, also f(t) = 40.5:

$50 \cdot {0,9}^{t}$	=	$40,5$	\|: $50$
${0,9}^{t}$	=	$0,81$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (0,81)$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (0,81)$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,81)}{\lg (0,9)}$

t

=

2

Nach ca. 2 Tage ist also der Bestand = 40.5 kg.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. 7 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 22,97Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 23,4 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$ ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,02}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Stunden der Bestand 22.97 Millionen Bakterien ist, also f(7) = 22.97. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,02}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.02⁷ = 22.97

c ⋅ 1.14869 = 22.97 | : 1.14869

c = 20

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {1,02}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $20 \cdot {1,02}^{4}$ ≈ 21,649.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 23.4 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 23.4:

$20 \cdot {1,02}^{t}$	=	$23,4$	\|: $20$
${1,02}^{t}$	=	$1,17$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,02}^{t})$	=	$\lg (1,17)$
$t \cdot \lg (1,02)$	=	$\lg (1,17)$	\|: $\lg (1,02)$
$t$	=	$\frac{\lg (1,17)}{\lg (1,02)}$

t

=

7,9284

Nach ca. 7,928 Stunden ist also der Bestand = 23.4 Millionen Bakterien.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,106}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,106}^{t}$ ablesen: a=1.106.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.106( $2$ ) ≈ 6.88 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 17% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{17}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{17}{100}$ ) ⋅ B = 0,83 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,83.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.83( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 3.72 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,1 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.1 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{3,1}$	=	$2$	\| $\sqrt[3,1]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{3,1}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{3,1}}$ ≈ 1.25, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,25}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.