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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $147 \cdot {1,45}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $147$

f(1) = $147$ ⋅ $1,45$

f(2) = $147$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(3) = $147$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(4) = $147$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,45$ multipliziert. Da $1,45$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,45$ -fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,8% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 10 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3.8}{100}$ ) ⋅ B = 0,962 ⋅ B. Somit ist das a=0,962.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $55 \cdot {0,962}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $55 \cdot {0,962}^{10}$ ≈ 37,335.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55 \cdot {0,962}^{t}$	=	$45$	\|: $55$
${0,962}^{t}$	=	$\frac{9}{11}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,962}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{11})$
$t \cdot \lg (0,962)$	=	$\lg (\frac{9}{11})$	\|: $\lg (0,962)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{11})}{\lg (0,962)}$

t

=

5,1798

Nach ca. 5,18 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 10kg vorhanden. Nach 4 Tagen nach sind nur noch 7,81kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 11 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 6,1kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 7.81 kg ist, also f(4) = 7.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $10 \cdot a^{t}$ ein:

$10 a^{4}$	=	$7,81$	\|: $10$
$a^{4}$	=	$0,781$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{0,781}$	≈ $- 0,94$
a₂	=	$\sqrt[4]{0,781}$	≈ $0,94$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,94$ ≈ 0.94 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,94}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $10 \cdot {0,94}^{11}$ ≈ 5,063.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.1 kg ist, also f(t) = 6.1:

$10 \cdot {0,94}^{t}$	=	$6,1$	\|: $10$
${0,94}^{t}$	=	$0,61$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,94}^{t})$	=	$\lg (0,61)$
$t \cdot \lg (0,94)$	=	$\lg (0,61)$	\|: $\lg (0,94)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,61)}{\lg (0,94)}$

t

=

7,9886

Nach ca. 7,989 Tage ist also der Bestand = 6.1 kg.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. 8 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 12750,78€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 15000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 12750.78 € ist, also f(8) = 12750.78. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.06⁸ = 12750.78

c ⋅ 1.59385 = 12750.78 | : 1.59385

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $8 000 \cdot {1,06}^{7}$ ≈ 12029,042.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 15000 € ist, also f(t) = 15000:

$8 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$15 000$	\|: $8 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{15}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{15}{8})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{15}{8})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{15}{8})}{\lg (1,06)}$

t

=

10,7881

Nach ca. 10,788 Jahre ist also der Kontostand = 15000 €.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,124}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,124}^{t}$ ablesen: a=1.124.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.124( $2$ ) ≈ 5.93 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$ ) ⋅ B = 0,97 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,97.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.97( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 22.76 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 4,6 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 12 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 4.6 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,6}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[4,6]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,6}}$	≈ $- 0,86$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{4,6}}$	≈ $0,86$

Das gesuchte a ist somit $0,86$ ≈ 0.86, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,86}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.