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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $175 \cdot {(\frac{27}{25})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $175$

f(1) = $175$ ⋅ $\frac{27}{25}$

f(2) = $175$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$

f(3) = $175$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$

f(4) = $175$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$ ⋅ $\frac{27}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{27}{25}$ multipliziert. Da $\frac{27}{25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{27}{25}$ -fache (oder auf das $\frac{108}{100}$ -fache), also auf $108$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 108% - 100% = 8 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3% verzinst. Zu Beginn sind 7000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 7 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$ ) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,03}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $7 000 \cdot {1,03}^{7}$ ≈ 8609,117.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$7 000 \cdot {1,03}^{t}$	=	$9 000$	\|: $7 000$
${1,03}^{t}$	=	$\frac{9}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,03}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{7})$
$t \cdot \lg (1,03)$	=	$\lg (\frac{9}{7})$	\|: $\lg (1,03)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{7})}{\lg (1,03)}$

t

=

8,5022

Nach ca. 8,502 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 50kg vorhanden. Nach 2 Tagen nach sind nur noch 41,41kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 12 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $50 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 41.41 kg ist, also f(2) = 41.41. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $50 \cdot a^{t}$ ein:

$50 a^{2}$	=	$41,41$	\|: $50$
$a^{2}$	=	$0,8282$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{0,8282}$	≈ $- 0,91$
a₂	=	$\sqrt{0,8282}$	≈ $0,91$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,91$ ≈ 0.91 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $50 \cdot {0,91}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = $50 \cdot {0,91}^{12}$ ≈ 16,124.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$50 \cdot {0,91}^{t}$	=	$30$	\|: $50$
${0,91}^{t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,91}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{5})$
$t \cdot \lg (0,91)$	=	$\lg (\frac{3}{5})$	\|: $\lg (0,91)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{5})}{\lg (0,91)}$

t

=

5,4164

Nach ca. 5,416 Tage ist also der Bestand = 30 kg.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 14% abnimmt. 9 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 2,83 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 12 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 1,5 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$ ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,86}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Jahre der Bestand 2.83 Millionen Insekten ist, also f(9) = 2.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,86}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.86⁹ = 2.83

c ⋅ 0.25733 = 2.83 | : 0.25733

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,86}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $11 \cdot {0,86}^{12}$ ≈ 1,8.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.5:

$11 \cdot {0,86}^{t}$	=	$1,5$	\|: $11$
${0,86}^{t}$	=	$0,1364$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,86}^{t})$	=	$\lg (0,1364)$
$t \cdot \lg (0,86)$	=	$\lg (0,1364)$	\|: $\lg (0,86)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,1364)}{\lg (0,86)}$

t

=

13,2086

Nach ca. 13,209 Jahre ist also der Bestand = 1.5 Millionen Insekten.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,059}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,059}^{t}$ ablesen: a=1.059.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.059( $2$ ) ≈ 12.09 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5,5% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 5.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5.5}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{5.5}{100}$ ) ⋅ B = 1,055 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,055.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.055( $2$ ) ≈ 12.95 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 7,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 20kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 7.3 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{7,3}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[7,3]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{7,3}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{7,3}}$ ≈ 0.91, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {0,91}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.