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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $27 \cdot {(\frac{21}{20})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $27$

f(1) = $27$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(2) = $27$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(3) = $27$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(4) = $27$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{21}{20}$ multipliziert. Da $\frac{21}{20}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{21}{20}$ -fache (oder auf das $\frac{105}{100}$ -fache), also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 16 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 36 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=16 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $16 \cdot {1,08}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $16 \cdot {1,08}^{4}$ ≈ 21,768.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 36 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 36:

$16 \cdot {1,08}^{t}$	=	$36$	\|: $16$
${1,08}^{t}$	=	$\frac{9}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,08}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{4})$
$t \cdot \lg (1,08)$	=	$\lg (\frac{9}{4})$	\|: $\lg (1,08)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{4})}{\lg (1,08)}$

t

=

10,5369

Nach ca. 10,537 Stunden ist also der Bestand = 36 Millionen Bakterien.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 5474,28€. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 4300€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 5474.28 € ist, also f(8) = 5474.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $4 000 \cdot a^{t}$ ein:

$4 000 a^{8}$	=	$5 474,28$	\|: $4 000$
$a^{8}$	=	$1,36857$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{1,36857}$	= $- 1,04$
a₂	=	$\sqrt[8]{1,36857}$	= $1,04$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,04$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $4 000 \cdot {1,04}^{4}$ ≈ 4679,434.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4300 € ist, also f(t) = 4300:

$4 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$4 300$	\|: $4 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{43}{40}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{43}{40})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{43}{40})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{43}{40})}{\lg (1,04)}$

t

=

1,8439

Nach ca. 1,844 Jahre ist also der Kontostand = 4300 €.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 22% vermehrt. Nach 12 Wochen zählt man bereits 10872,21 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 13 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 5000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 22% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 22% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{22}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{22}{100}$ ) ⋅ B = 1,22 ⋅ B. Somit ist das a=1,22.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,22}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 10872.21 Nutzer ist, also f(12) = 10872.21. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,22}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.22¹² = 10872.21

c ⋅ 10.87221 = 10872.21 | : 10.87221

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,22}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $1 000 \cdot {1,22}^{13}$ ≈ 13264,1.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 5000 Nutzer ist, also f(t) = 5000:

$1 000 \cdot {1,22}^{t}$	=	$5 000$	\|: $1 000$
${1,22}^{t}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,22}^{t})$	=	$\lg (5)$
$t \cdot \lg (1,22)$	=	$\lg (5)$	\|: $\lg (1,22)$
$t$	=	$\frac{\lg (5)}{\lg (1,22)}$

t

=

8,0937

Nach ca. 8,094 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 5000 Nutzer.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,059}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,059}^{t}$ ablesen: a=1.059.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.059( $2$ ) ≈ 12.09 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 1,08 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,08.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.08( $2$ ) ≈ 9.01 Stunden

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 4,7 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 5000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,7}$	=	$2$	\| $\sqrt[4,7]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{4,7}}$	≈ $- 1,159$
a₂	=	$2^{\frac{1}{4,7}}$	≈ $1,159$

Das gesuchte a ist somit $1,159$ ≈ 1.16, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $5 000 \cdot {1,16}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.