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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 118 1,1 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 118

f(1) = 118 1,1

f(2) = 118 1,11,1

f(3) = 118 1,11,11,1

f(4) = 118 1,11,11,11,1

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,1 multipliziert. Da 1,1 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,1-fache, also auf 110 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 23%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 29 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 11 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 129 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=29 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also Bneu = B + 23 100 ⋅B = (1 + 23 100 ) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 29 1,23 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = 29 1,23 11 282,718.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 129 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 129:

29 1,23 t = 129 |:29
1,23 t = 129 29 |lg(⋅)
lg( 1,23 t ) = lg( 129 29 )
t · lg( 1,23 ) = lg( 129 29 ) |: lg( 1,23 )
t = lg( 129 29 ) lg( 1,23 )
t = 7,2097

Nach ca. 7,21 Stunden ist also der Bestand = 129 Millionen Bakterien.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 60kg vorhanden. Nach 2 Tagen nach sind nur noch 53,02kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 10 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 60 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 53.02 kg ist, also f(2) = 53.02. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 60 a t ein:

60 a 2 = 53,02 |:60
a 2 = 0,88367 | 2
a1 = - 0,88367 -0,94
a2 = 0,88367 0,94

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,94 ≈ 0.94 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60 0,94 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Tage, also f(10):

f(10) = 60 0,94 10 32,317.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

60 0,94 t = 40 |:60
0,94 t = 2 3 |lg(⋅)
lg( 0,94 t ) = lg( 2 3 )
t · lg( 0,94 ) = lg( 2 3 ) |: lg( 0,94 )
t = lg( 2 3 ) lg( 0,94 )
t = 6,5529

Nach ca. 6,553 Tage ist also der Bestand = 40 kg.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 19% vermehrt. Nach 12 Wochen zählt man bereits 8064,24 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 8000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also Bneu = B + 19 100 ⋅B = (1 + 19 100 ) ⋅ B = 1,19 ⋅ B. Somit ist das a=1,19.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,19 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 8064.24 Nutzer ist, also f(12) = 8064.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,19 t ein:

c ⋅ 1.1912 = 8064.24

c ⋅ 8.06424 = 8064.24 | : 8.06424

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000 1,19 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = 1000 1,19 8 4021,385.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer ist, also f(t) = 8000:

1000 1,19 t = 8000 |:1000
1,19 t = 8 |lg(⋅)
lg( 1,19 t ) = lg( 8 )
t · lg( 1,19 ) = lg( 8 ) |: lg( 1,19 )
t = lg( 8 ) lg( 1,19 )
t = 11,954

Nach ca. 11,954 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,051 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,051 t ablesen: a=1.051.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.051(2) ≈ 13.93 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4,9% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 4.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.9% dazukommen,
also Bneu = B + 4.9 100 ⋅B = (1 + 4.9 100 ) ⋅ B = 1,049 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,049.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.049(2) ≈ 14.49 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 6,6 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 60kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 60 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 6.6 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 6,6 = 1 2 | 6,6
a1 = - ( 1 2 ) 1 6,6 -0,9
a2 = ( 1 2 ) 1 6,6 0,9

Das gesuchte a ist somit 0,9 ≈ 0.9, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 60 0,9 t