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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $61 \cdot {0,95}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $61$

f(1) = $61$ ⋅ $0,95$

f(2) = $61$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

f(3) = $61$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

f(4) = $61$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,95$ multipliziert. Da $0,95$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,95$ -fache, also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seines Bestands. Zu Beginn sind 20kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {0,89}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Tage, also f(10):

f(10) = $20 \cdot {0,89}^{10}$ ≈ 6,236.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$20 \cdot {0,89}^{t}$	=	$10$	\|: $20$
${0,89}^{t}$	=	$\frac{1}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,89}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{2})$
$t \cdot \lg (0,89)$	=	$\lg (\frac{1}{2})$	\|: $\lg (0,89)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{2})}{\lg (0,89)}$

t

=

5,948

Nach ca. 5,948 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. 9 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 2,55 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,5 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Jahre der Bestand 2.55 Millionen Insekten ist, also f(9) = 2.55. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $11 \cdot a^{t}$ ein:

$11 a^{9}$	=	$2,55$	\|: $11$
$a^{9}$	=	$\frac{2,55}{11}$	\| $\sqrt[9]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[9]{\frac{2,55}{11}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[9]{\frac{2,55}{11}}$ ≈ 0.85 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {0,85}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $11 \cdot {0,85}^{4}$ ≈ 5,742.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.5:

$11 \cdot {0,85}^{t}$	=	$3,5$	\|: $11$
${0,85}^{t}$	=	$0,3182$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,85}^{t})$	=	$\lg (0,3182)$
$t \cdot \lg (0,85)$	=	$\lg (0,3182)$	\|: $\lg (0,85)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,3182)}{\lg (0,85)}$

t

=

7,0458

Nach ca. 7,046 Jahre ist also der Bestand = 3.5 Millionen Insekten.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,9% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 57,93 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{1.9}{100}$ ) ⋅ B = 0,981 ⋅ B. Somit ist das a=0,981.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,981}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 57.93 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 57.93. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,981}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.981⁶ = 57.93

c ⋅ 0.89128 = 57.93 | : 0.89128

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $65 \cdot {0,981}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $65 \cdot {0,981}^{7}$ ≈ 56,832.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$65 \cdot {0,981}^{t}$	=	$55$	\|: $65$
${0,981}^{t}$	=	$\frac{11}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,981}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{13})$
$t \cdot \lg (0,981)$	=	$\lg (\frac{11}{13})$	\|: $\lg (0,981)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{13})}{\lg (0,981)}$

t

=

8,7085

Nach ca. 8,709 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,065}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,065}^{t}$ ablesen: a=1.065.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.065( $2$ ) ≈ 11.01 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 12% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$ ) ⋅ B = 1,12 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,12.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.12( $2$ ) ≈ 6.12 Wochen

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 5,3 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 17 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 17 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 5.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{5,3}$	=	$2$	\| $\sqrt[5,3]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{5,3}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{5,3}}$ ≈ 1.14, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $17 \cdot {1,14}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.