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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $142 \cdot {0,6}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $142$

f(1) = $142$ ⋅ $0,6$

f(2) = $142$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(3) = $142$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(4) = $142$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,6$ multipliziert. Da $0,6$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,6$ -fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 15% seines Bestands. Zu Beginn sind 70kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$ ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,85}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $70 \cdot {0,85}^{9}$ ≈ 16,213.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$70 \cdot {0,85}^{t}$	=	$20$	\|: $70$
${0,85}^{t}$	=	$\frac{2}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,85}^{t})$	=	$\lg (\frac{2}{7})$
$t \cdot \lg (0,85)$	=	$\lg (\frac{2}{7})$	\|: $\lg (0,85)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{2}{7})}{\lg (0,85)}$

t

=

7,7084

Nach ca. 7,708 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 70kg vorhanden. Nach 10 Tagen nach sind nur noch 24,41kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 11 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 24.41 kg ist, also f(10) = 24.41. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $70 \cdot a^{t}$ ein:

$70 a^{10}$	=	$24,41$	\|: $70$
$a^{10}$	=	$\frac{24,41}{70}$	\| $\sqrt[10]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[10]{\frac{24,41}{70}}$	≈ $- 0,9$
a₂	=	$\sqrt[10]{\frac{24,41}{70}}$	≈ $0,9$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,9$ ≈ 0.9 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,9}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $70 \cdot {0,9}^{11}$ ≈ 21,967.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$70 \cdot {0,9}^{t}$	=	$40$	\|: $70$
${0,9}^{t}$	=	$\frac{4}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (\frac{4}{7})$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (\frac{4}{7})$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{4}{7})}{\lg (0,9)}$

t

=

5,3114

Nach ca. 5,311 Tage ist also der Bestand = 40 kg.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 3787,43€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 6 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 4500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 3787.43 € ist, also f(4) = 3787.43. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.06⁴ = 3787.43

c ⋅ 1.26248 = 3787.43 | : 1.26248

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $3 000 \cdot {1,06}^{6}$ ≈ 4255,557.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4500 € ist, also f(t) = 4500:

$3 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$4 500$	\|: $3 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,06)}$

t

=

6,9585

Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 4500 €.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,107}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,107}^{t}$ ablesen: a=1.107.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.107( $2$ ) ≈ 6.82 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5,7% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 5.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5.7}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{5.7}{100}$ ) ⋅ B = 1,057 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,057.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.057( $2$ ) ≈ 12.5 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 2,5 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 11 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 2.5 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{2,5}$	=	$2$	\| $\sqrt[2,5]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{2,5}}$	≈ $- 1,32$
a₂	=	$2^{\frac{1}{2,5}}$	≈ $1,32$

Das gesuchte a ist somit $1,32$ ≈ 1.32, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $11 \cdot {1,32}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.