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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 158 0,55 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 158

f(1) = 158 0,55

f(2) = 158 0,550,55

f(3) = 158 0,550,550,55

f(4) = 158 0,550,550,550,55

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,55 multipliziert. Da 0,55 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,55-fache, also auf 55 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 32000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also Bneu = B + 16 100 ⋅B = (1 + 16 100 ) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 2000 1,16 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = 2000 1,16 5 4200,683.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 32000 Nutzer ist, also f(t) = 32000:

2000 1,16 t = 32000 |:2000
1,16 t = 16 |lg(⋅)
lg( 1,16 t ) = lg( 16 )
t · lg( 1,16 ) = lg( 16 ) |: lg( 1,16 )
t = lg( 16 ) lg( 1,16 )
t = 18,6807

Nach ca. 18,681 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 32000 Nutzer.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer. Nach 13 Wochen zählt man bereits 46192,07 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 26000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 6000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 46192.07 Nutzer ist, also f(13) = 46192.07. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 6000 a t ein:

6000 a 13 = 46192,07 |:6000
a 13 = 7,69868 | 13
a = 7,69868 13

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 7,69868 13 ≈ 1.17 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,17 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = 6000 1,17 9 24650,402.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 26000 Nutzer ist, also f(t) = 26000:

6000 1,17 t = 26000 |:6000
1,17 t = 13 3 |lg(⋅)
lg( 1,17 t ) = lg( 13 3 )
t · lg( 1,17 ) = lg( 13 3 ) |: lg( 1,17 )
t = lg( 13 3 ) lg( 1,17 )
t = 9,3395

Nach ca. 9,34 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 26000 Nutzer.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,2% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 61,7 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 5 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.2% weggehen,
also Bneu = B - 3.2 100 ⋅B = (1 - 3.2 100 ) ⋅ B = 0,968 ⋅ B. Somit ist das a=0,968.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,968 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 61.7 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 61.7. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,968 t ein:

c ⋅ 0.9686 = 61.7

c ⋅ 0.82272 = 61.7 | : 0.82272

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 75 0,968 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 75 0,968 5 63,744.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

75 0,968 t = 45 |:75
0,968 t = 3 5 |lg(⋅)
lg( 0,968 t ) = lg( 3 5 )
t · lg( 0,968 ) = lg( 3 5 ) |: lg( 0,968 )
t = lg( 3 5 ) lg( 0,968 )
t = 15,7065

Nach ca. 15,707 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,866 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,866 t ablesen: a=0.866.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.866( 1 2 ) ≈ 4.82 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 16% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also Bneu = B - 16 100 ⋅B = (1 - 16 100 ) ⋅ B = 0,84 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,84.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.84( 1 2 ) ≈ 3.98 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 10 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 34,3 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 34.3 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 34,3 = 1 2 | 34,3
a1 = - ( 1 2 ) 1 34,3 -0,98
a2 = ( 1 2 ) 1 34,3 0,98

Das gesuchte a ist somit 0,98 ≈ 0.98, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 10 0,98 t