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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $104 \cdot {0,75}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $104$

f(1) = $104$ ⋅ $0,75$

f(2) = $104$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(3) = $104$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(4) = $104$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,75$ multipliziert. Da $0,75$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,75$ -fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seines Bestands. Zu Beginn sind 50kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 13 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$ ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $50 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $50 \cdot {0,87}^{13}$ ≈ 8,179.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$50 \cdot {0,87}^{t}$	=	$10$	\|: $50$
${0,87}^{t}$	=	$\frac{1}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{5})$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (\frac{1}{5})$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{5})}{\lg (0,87)}$

t

=

11,5569

Nach ca. 11,557 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 57,82 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 11 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 57.82 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 57.82. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $75 \cdot a^{t}$ ein:

$75 a^{8}$	=	$57,82$	\|: $75$
$a^{8}$	=	$0,77093$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{0,77093}$	≈ $- 0,968$
a₂	=	$\sqrt[8]{0,77093}$	≈ $0,968$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,968$ ≈ 0.968 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $75 \cdot {0,968}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $75 \cdot {0,968}^{11}$ ≈ 52,443.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$75 \cdot {0,968}^{t}$	=	$55$	\|: $75$
${0,968}^{t}$	=	$\frac{11}{15}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,968}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{15})$
$t \cdot \lg (0,968)$	=	$\lg (\frac{11}{15})$	\|: $\lg (0,968)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{15})}{\lg (0,968)}$

t

=

9,5364

Nach ca. 9,536 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. 8 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 3187,7€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 3187.7 € ist, also f(8) = 3187.7. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,06}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.06⁸ = 3187.7

c ⋅ 1.59385 = 3187.7 | : 1.59385

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $2 000 \cdot {1,06}^{7}$ ≈ 3007,261.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3000 € ist, also f(t) = 3000:

$2 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$3 000$	\|: $2 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,06)}$

t

=

6,9585

Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 3000 €.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {0,96}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,96}^{t}$ ablesen: a=0.96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.96( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 16.98 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3,5% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 3.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3.5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3.5}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{3.5}{100}$ ) ⋅ B = 1,035 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,035.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.035( $2$ ) ≈ 20.15 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,2 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 3000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{3,2}$	=	$2$	\| $\sqrt[3,2]{\cdot}$
$a$	=	$2^{\frac{1}{3,2}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{3,2}}$ ≈ 1.24, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $3 000 \cdot {1,24}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.