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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $175 \cdot {1,1}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $175$

f(1) = $175$ ⋅ $1,1$

f(2) = $175$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

f(3) = $175$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

f(4) = $175$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$ ⋅ $1,1$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,1$ multipliziert. Da $1,1$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,1$ -fache, also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,6% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 13 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 35 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{2.6}{100}$ ) ⋅ B = 0,974 ⋅ B. Somit ist das a=0,974.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $65 \cdot {0,974}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $65 \cdot {0,974}^{13}$ ≈ 46,151.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

$65 \cdot {0,974}^{t}$	=	$35$	\|: $65$
${0,974}^{t}$	=	$\frac{7}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,974}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{13})$
$t \cdot \lg (0,974)$	=	$\lg (\frac{7}{13})$	\|: $\lg (0,974)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{13})}{\lg (0,974)}$

t

=

23,4983

Nach ca. 23,498 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt. 8 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 3,28 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 9 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 6,6 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 3.28 Millionen Insekten ist, also f(8) = 3.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $10 \cdot a^{t}$ ein:

$10 a^{8}$	=	$3,28$	\|: $10$
$a^{8}$	=	$\frac{3,28}{10}$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{\frac{3,28}{10}}$	≈ $- 0,87$
a₂	=	$\sqrt[8]{\frac{3,28}{10}}$	≈ $0,87$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $0,87$ ≈ 0.87 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,87}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $10 \cdot {0,87}^{9}$ ≈ 2,855.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6.6:

$10 \cdot {0,87}^{t}$	=	$6,6$	\|: $10$
${0,87}^{t}$	=	$0,66$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,87}^{t})$	=	$\lg (0,66)$
$t \cdot \lg (0,87)$	=	$\lg (0,66)$	\|: $\lg (0,87)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,66)}{\lg (0,87)}$

t

=

2,9837

Nach ca. 2,984 Jahre ist also der Bestand = 6.6 Millionen Insekten.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. 9 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 19,79Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 7,1 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$ ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,29}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Stunden der Bestand 19.79 Millionen Bakterien ist, also f(9) = 19.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,29}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.29⁹ = 19.79

c ⋅ 9.89253 = 19.79 | : 9.89253

c = 2

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $2 \cdot {1,29}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $2 \cdot {1,29}^{8}$ ≈ 15,337.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 7.1 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 7.1:

$2 \cdot {1,29}^{t}$	=	$7,1$	\|: $2$
${1,29}^{t}$	=	$3,55$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,29}^{t})$	=	$\lg (3,55)$
$t \cdot \lg (1,29)$	=	$\lg (3,55)$	\|: $\lg (1,29)$
$t$	=	$\frac{\lg (3,55)}{\lg (1,29)}$

t

=

4,9754

Nach ca. 4,975 Stunden ist also der Bestand = 7.1 Millionen Bakterien.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,058}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,058}^{t}$ ablesen: a=1.058.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.058( $2$ ) ≈ 12.29 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1,7% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 1.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.7}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{1.7}{100}$ ) ⋅ B = 1,017 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,017.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.017( $2$ ) ≈ 41.12 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 60 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 13,5 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 60 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 13.5 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{13,5}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[13,5]{\cdot}$
$a$	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{13,5}}$

Das gesuchte a ist somit ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{13,5}}$ ≈ 0.95, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $60 \cdot {0,95}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.