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cosh
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prozentale Änderung bestimmen
Beispiel:
Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?
f(0) =
f(1) = ⋅
f(2) = ⋅ ⋅
f(3) = ⋅ ⋅ ⋅
f(4) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
...
Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit multipliziert. Da < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das -fache (oder auf das -fache), also auf % des vorherigen Funktionswertes.
Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %
c und a gegeben
Beispiel:
In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 11% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 13 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,9 Millionen dieser Insekten?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):
f(13) = ≈ 2,418.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.9:
= | |: | ||
= | |lg(⋅) | ||
= | |||
= | |: | ||
= |
= |
Nach ca. 6,938 Jahre ist also der Bestand = 4.9 Millionen Insekten.
c und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Konto wird mit 7000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 9407,41€. a) Wie hoch ist der Kontostand 11 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 10000€ angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.
Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 9407.41 € ist, also f(10) = 9407.41. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
= | |: | ||
= | | | ||
a1 | = |
|
=
|
a2 | = |
|
=
|
Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a=
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):
f(11) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10000 € ist, also f(t) = 10000:
|
= | |: |
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
= |
|
|
|
= |
|
|:
|
|
= |
|
|
= |
|
Nach ca. 12,067 Jahre ist also der Kontostand = 10000 €.
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 8% abnimmt. 8 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 5,65 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 13 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,4 Millionen dieser Insekten?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also Bneu
= B -
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 5.65 Millionen Insekten ist,
also f(8) = 5.65. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 0.928 = 5.65
c ⋅ 0.51322 = 5.65 | : 0.51322
c = 11
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):
f(13) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.4:
|
= | |: |
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
= |
|
|
|
= |
|
|:
|
|
= |
|
|
= |
|
Nach ca. 10,989 Jahre ist also der Bestand = 4.4 Millionen Insekten.
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit
Bestimme die Halbwertszeit.
Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga(
Also TH = log0.943(
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein Konto wird mit 5,4% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.
Die prozentuale Zunahme um 5.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.4% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.054(
Exponentialterm mit Halbwertszeit best.
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 6,6 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 90kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.
Von der allgemeinen Exponentialfunktion
Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga(
Also 6.6 = loga(
|
= | |
|
|
a1 | = |
|
≈
|
a2 | = |
|
≈
|
Das gesuchte a ist somit