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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 150 0,8 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 150

f(1) = 150 0,8

f(2) = 150 0,80,8

f(3) = 150 0,80,80,8

f(4) = 150 0,80,80,80,8

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,8 multipliziert. Da 0,8 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,8-fache, also auf 80 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 15 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 21,9 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 15 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = 15 1,02 10 18,285.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 21.9 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 21.9:

15 1,02 t = 21,9 |:15
1,02 t = 1,46 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 1,46 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 1,46 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 1,46 ) lg( 1,02 )
t = 19,1104

Nach ca. 19,11 Stunden ist also der Bestand = 21.9 Millionen Bakterien.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 8508,54€. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 10500€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 7000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 8508.54 € ist, also f(4) = 8508.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 7000 a t ein:

7000 a 4 = 8508,54 |:7000
a 4 = 1,21551 | 4
a1 = - 1,21551 4 = -1,05
a2 = 1,21551 4 = 1,05

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,05 ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 7000 1,05 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 7000 1,05 7 9849,703.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10500 € ist, also f(t) = 10500:

7000 1,05 t = 10500 |:7000
1,05 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,05 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,05 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,05 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,05 )
t = 8,3104

Nach ca. 8,31 Jahre ist also der Kontostand = 10500 €.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 14% vermehrt. Nach 2 Wochen zählt man bereits 5198,4 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 11000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also Bneu = B + 14 100 ⋅B = (1 + 14 100 ) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,14 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Wochen der Bestand 5198.4 Nutzer ist, also f(2) = 5198.4. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,14 t ein:

c ⋅ 1.142 = 5198.4

c ⋅ 1.2996 = 5198.4 | : 1.2996

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4000 1,14 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = 4000 1,14 5 7701,658.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer ist, also f(t) = 11000:

4000 1,14 t = 11000 |:4000
1,14 t = 11 4 |lg(⋅)
lg( 1,14 t ) = lg( 11 4 )
t · lg( 1,14 ) = lg( 11 4 ) |: lg( 1,14 )
t = lg( 11 4 ) lg( 1,14 )
t = 7,7205

Nach ca. 7,721 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,051 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,051 t ablesen: a=1.051.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.051(2) ≈ 13.93 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 4% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also Bneu = B - 4 100 ⋅B = (1 - 4 100 ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.96( 1 2 ) ≈ 16.98 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 8,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 10kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 8.3 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 8,3 = 1 2 | 8,3
a1 = - ( 1 2 ) 1 8,3 -0,92
a2 = ( 1 2 ) 1 8,3 0,92

Das gesuchte a ist somit 0,92 ≈ 0.92, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 10 0,92 t