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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $84 \cdot {0,75}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $84$

f(1) = $84$ ⋅ $0,75$

f(2) = $84$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(3) = $84$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(4) = $84$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,75$ multipliziert. Da $0,75$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,75$ -fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. Zu Beginn sind 4000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 6 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 6000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $4 000 \cdot {1,06}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $4 000 \cdot {1,06}^{6}$ ≈ 5674,076.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6000 € ist, also f(t) = 6000:

$4 000 \cdot {1,06}^{t}$	=	$6 000$	\|: $4 000$
${1,06}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,06}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,06)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,06)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,06)}$

t

=

6,9585

Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 6000 €.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt. 11 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 2,01 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 12 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Jahre der Bestand 2.01 Millionen Insekten ist, also f(11) = 2.01. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $12 \cdot a^{t}$ ein:

$12 a^{11}$	=	$2,01$	\|: $12$
$a^{11}$	=	$\frac{2,01}{12}$	\| $\sqrt[11]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[11]{\frac{2,01}{12}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{\frac{2,01}{12}}$ ≈ 0.85 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,85}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $12 \cdot {0,85}^{12}$ ≈ 1,707.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2:

$12 \cdot {0,85}^{t}$	=	$2$	\|: $12$
${0,85}^{t}$	=	$\frac{1}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,85}^{t})$	=	$\lg (\frac{1}{6})$
$t \cdot \lg (0,85)$	=	$\lg (\frac{1}{6})$	\|: $\lg (0,85)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{6})}{\lg (0,85)}$

t

=

11,0249

Nach ca. 11,025 Jahre ist also der Bestand = 2 Millionen Insekten.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 11%. 11 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 66,19Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 71 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,11}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Stunden der Bestand 66.19 Millionen Bakterien ist, also f(11) = 66.19. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,11}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.11¹¹ = 66.19

c ⋅ 3.15176 = 66.19 | : 3.15176

c = 21

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $21 \cdot {1,11}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $21 \cdot {1,11}^{7}$ ≈ 43,599.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 71 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 71:

$21 \cdot {1,11}^{t}$	=	$71$	\|: $21$
${1,11}^{t}$	=	$\frac{71}{21}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,11}^{t})$	=	$\lg (\frac{71}{21})$
$t \cdot \lg (1,11)$	=	$\lg (\frac{71}{21})$	\|: $\lg (1,11)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{71}{21})}{\lg (1,11)}$

t

=

11,6726

Nach ca. 11,673 Stunden ist also der Bestand = 71 Millionen Bakterien.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,072}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,072}^{t}$ ablesen: a=1.072.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.072( $2$ ) ≈ 9.97 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$ ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.2( $2$ ) ≈ 3.8 Stunden

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 8,3 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 12 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 8.3 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{8,3}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[8,3]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{8,3}}$	≈ $- 0,92$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{8,3}}$	≈ $0,92$

Das gesuchte a ist somit $0,92$ ≈ 0.92, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $12 \cdot {0,92}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.