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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 24 0.75 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 24

f(1) = 24 0.75

f(2) = 24 0.750.75

f(3) = 24 0.750.750.75

f(4) = 24 0.750.750.750.75

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0.75 multipliziert. Da 0.75 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0.75-fache, also auf 75 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4% verzinst. Zu Beginn sind 3000€ auf dem Konto.
a) Wie hoch ist der Kontostand nach 12 Jahren?
b) Wann ist der Kontostand auf 4000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also Bneu = B + 4 100 ⋅B = (1 + 4 100 ) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000 1.04 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = 3000 1.04 12 4803,097.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4000 € ist, also f(t) = 4000:

3000 1.04 t = 4000 |:3000
1.04 t = 4 3 |lg(⋅)
lg( 1.04 t ) = lg( 4 3 )
t · lg( 1.04 ) = lg( 4 3 ) |: lg( 1.04 )
t = lg( 4 3 ) lg( 1.04 )
t = 7,335

Nach ca. 7,335 Jahre ist also der Kontostand = 4000 €.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 50kg vorhanden. Nach 8 Tagen nach sind nur noch 25,66kg dieses Elements vorhanden.
a) Wie viel kg des Elements sind 9 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden?
b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 50 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 25.66 kg ist, also f(8) = 25.66. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 50 a t ein:

50 a 8 = 25,66 |:50
a 8 = 0,5132 | 8
a1 = - 0,5132 8 -0,92
a2 = 0,5132 8 0,92

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,92 ≈ 0.92 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 50 0.92 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = 50 0.92 9 23,608.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

50 0.92 t = 20 |:50
0.92 t = 2 5 |lg(⋅)
lg( 0.92 t ) = lg( 2 5 )
t · lg( 0.92 ) = lg( 2 5 ) |: lg( 0.92 )
t = lg( 2 5 ) lg( 0.92 )
t = 10,9891

Nach ca. 10,989 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. 8 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 7969,24€ auf dem Konto.
a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung?
b) Wann ist der Kontostand auf 6000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also Bneu = B + 6 100 ⋅B = (1 + 6 100 ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1.06 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 7969.24 € ist, also f(8) = 7969.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1.06 t ein:

c ⋅ 1.068 = 7969.24

c ⋅ 1.59385 = 7969.24 | : 1.59385

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5000 1.06 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 5000 1.06 4 6312,385.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6000 € ist, also f(t) = 6000:

5000 1.06 t = 6000 |:5000
1.06 t = 6 5 |lg(⋅)
lg( 1.06 t ) = lg( 6 5 )
t · lg( 1.06 ) = lg( 6 5 ) |: lg( 1.06 )
t = lg( 6 5 ) lg( 1.06 )
t = 3,129

Nach ca. 3,129 Jahre ist also der Kontostand = 6000 €.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1.125 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1.125 t ablesen: a=1.125.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.125(2) ≈ 5.88 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3,8% verzinst.
Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 3.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3.8% dazukommen,
also Bneu = B + 3.8 100 ⋅B = (1 + 3.8 100 ) ⋅ B = 1,038 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,038.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.038(2) ≈ 18.59 Jahre

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 30 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 34,3 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?
Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 30 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 34.3 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmuis ist dies gleichbedeutend mit

a 34.3 = 1 2 | 34.3
a1 = - ( 1 2 ) 1 34.3 -0,98
a2 = ( 1 2 ) 1 34.3 0,98

Das gesuchte a ist somit 0,98 ≈ 0.98, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 30 0.98 t