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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $105 \cdot {(\frac{49}{50})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $105$

f(1) = $105$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(2) = $105$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(3) = $105$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(4) = $105$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{49}{50}$ multipliziert. Da $\frac{49}{50}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{49}{50}$ -fache (oder auf das $\frac{98}{100}$ -fache), also auf $98$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 98% = 2 %

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$ ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $10 \cdot {0,88}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $10 \cdot {0,88}^{4}$ ≈ 5,997.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.2:

$10 \cdot {0,88}^{t}$	=	$2,2$	\|: $10$
${0,88}^{t}$	=	$0,22$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,88}^{t})$	=	$\lg (0,22)$
$t \cdot \lg (0,88)$	=	$\lg (0,22)$	\|: $\lg (0,88)$
$t$	=	$\frac{\lg (0,22)}{\lg (0,88)}$

t

=

11,8445

Nach ca. 11,845 Jahre ist also der Bestand = 2.2 Millionen Insekten.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 6 Jahren beträgt der Kontostand bereits 8492,16€. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 8600€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 8492.16 € ist, also f(6) = 8492.16. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $8 000 \cdot a^{t}$ ein:

$8 000 a^{6}$	=	$8 492,16$	\|: $8 000$
$a^{6}$	=	$1,06152$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[6]{1,06152}$	= $- 1,01$
a₂	=	$\sqrt[6]{1,06152}$	= $1,01$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,01$ ≈ 1.01 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,01}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $8 000 \cdot {1,01}^{4}$ ≈ 8324,832.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8600 € ist, also f(t) = 8600:

$8 000 \cdot {1,01}^{t}$	=	$8 600$	\|: $8 000$
${1,01}^{t}$	=	$\frac{43}{40}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,01}^{t})$	=	$\lg (\frac{43}{40})$
$t \cdot \lg (1,01)$	=	$\lg (\frac{43}{40})$	\|: $\lg (1,01)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{43}{40})}{\lg (1,01)}$

t

=

7,2682

Nach ca. 7,268 Jahre ist also der Kontostand = 8600 €.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. 2 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 59,25kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 13 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 60kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {0,92}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 59.25 kg ist, also f(2) = 59.25. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {0,92}^{t}$ ein:

c ⋅ 0.92² = 59.25

c ⋅ 0.8464 = 59.25 | : 0.8464

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $70 \cdot {0,92}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $70 \cdot {0,92}^{13}$ ≈ 23,678.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 kg ist, also f(t) = 60:

$70 \cdot {0,92}^{t}$	=	$60$	\|: $70$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{6}{7})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{6}{7})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{6}{7})}{\lg (0,92)}$

t

=

1,8487

Nach ca. 1,849 Tage ist also der Bestand = 60 kg.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,067}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,067}^{t}$ ablesen: a=1.067.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.067( $2$ ) ≈ 10.69 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 23%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$ ) ⋅ B = 1,23 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,23.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.23( $2$ ) ≈ 3.35 Stunden

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 20 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 34,3 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also 34.3 = log_a( $\frac{1}{2}$ ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{34,3}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $\sqrt[34,3]{\cdot}$
a₁	=	$- {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{34,3}}$	≈ $- 0,98$
a₂	=	${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{34,3}}$	≈ $0,98$

Das gesuchte a ist somit $0,98$ ≈ 0.98, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $20 \cdot {0,98}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.