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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{3}{2})}^{2}$ = $\frac{25}{16}$

{(x - \frac{3}{2})}^{2}

=

\frac{25}{16}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{3}{2}

=

- \sqrt{\frac{25}{16}}

=

- \frac{5}{4}

$x - \frac{3}{2}$	=	$- \frac{5}{4}$	\| $+ \frac{3}{2}$
x₁	=	$\frac{1}{4}$ = 0.25

2. Fall

x - \frac{3}{2}

=

\sqrt{\frac{25}{16}}

=

\frac{5}{4}

$x - \frac{3}{2}$	=	$\frac{5}{4}$	\| $+ \frac{3}{2}$
x₂	=	$\frac{11}{4}$ = 2.75

L={ $\frac{1}{4}$ ; $\frac{11}{4}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 8 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

$- x^{2} + 8 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{- 8+12}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{- 2}$ = $\frac{- 8-12}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $4$ - $6$ = -2

x₂ = $4$ + $6$ = 10

L={ $- 2$ ; $10$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 5 x - 21$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 5 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 336}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{361}}{8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{- 5+19}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{- 5-19}{8}$ = $\frac{- 24}{8}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 5 x - 21$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{5}{4} x - \frac{21}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{8})}^{2} - (- \frac{21}{4})$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{21}{4}$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{336}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $- \frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $- \frac{5}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = 1.75

L={ $- 3$ ; $1,75$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 4) (x + 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)