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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 {(x - 7)}^{2} - 31$ = $- 19$

Lösung einblenden

$3 {(x - 7)}^{2} - 31$	=	$- 19$	\| $+ 31$
$3 {(x - 7)}^{2}$	=	$12$	\|: $3$
${(x - 7)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 7

- \sqrt{4}

- 2

$x - 7$	=	$- 2$	\| $+ 7$
x₁	=	$5$

2. Fall

x - 7

\sqrt{4}

2

$x - 7$	=	$2$	\| $+ 7$
x₂	=	$9$

L={ $5$ ; $9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} - 9 x + 7$ = $(- 8 x + 1) \cdot (x + 7) + 46 x + 25$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} - 9 x + 7$	=	$(- 8 x + 1) \cdot (x + 7) + 46 x + 25$
$- 7 x^{2} - 9 x + 7$	=	$- 8 x^{2} - 55 x + 7 + 46 x + 25$
$- 7 x^{2} - 9 x + 7$	=	$- 8 x^{2} - 9 x + 32$	\| $- 7$
$- 7 x^{2} - 9 x$	=	$- 8 x^{2} - 9 x + 25$	\| $+ 8 x^{2}$ $+ 9 x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 8 x + 17$ = 0

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$x^{2} + 8 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 17$ = $16$ $-$ $17$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 4)$ = $- 4 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x + 1) \cdot (x - 4)$ .