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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{11}{6})}^{2}$ = $\frac{16}{36}$

${(x + \frac{11}{6})}^{2}$	=	$\frac{16}{36}$
${(x + \frac{11}{6})}^{2}$	=	$\frac{4}{9}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + \frac{11}{6}

=

- \sqrt{\frac{4}{9}}

≈

- \frac{2}{3}

$x + \frac{11}{6}$	=	$- \frac{2}{3}$	\| $- \frac{11}{6}$
x₁	=	$- \frac{5}{2}$ = -2.5

2. Fall

x + \frac{11}{6}

=

\sqrt{\frac{4}{9}}

≈

\frac{2}{3}

$x + \frac{11}{6}$	=	$\frac{2}{3}$	\| $- \frac{11}{6}$
x₂	=	$- \frac{7}{6}$

L={ $- \frac{5}{2}$ ; $- \frac{7}{6}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 5$ ± 0 = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 21 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 21 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 10}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 21+19}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 21-19}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 21 x + 10$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{21}{2} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{4})}^{2} - 5$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $5$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $- \frac{21}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $- \frac{21}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{21}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

L={ $- 10$ ; $- 0,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 5)$ = $- 4 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} x \cdot (x - 5)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)