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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 5)}^{2}$
und
$g(x) =$ $25$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

{(x - 5)}^{2}

=

25

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 5

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x - 5$	=	$- 5$	\| $+ 5$
x₁	=	0

2. Fall

x - 5

=

\sqrt{25}

=

5

$x - 5$	=	$5$	\| $+ 5$
x₂	=	$10$

L={0; $10$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g(0) = $25$

g( $10$ ) = $25$

Die Schnittpunkte sind also S₁(0| $25$ ) und S₂( $10$ | $25$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x^{2} + 2 x + 4$ = $(- 7 x + 5) \cdot (x + 2) + 11 x + 3$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} + 2 x + 4$	=	$(- 7 x + 5) \cdot (x + 2) + 11 x + 3$
$- 6 x^{2} + 2 x + 4$	=	$- 7 x^{2} - 9 x + 10 + 11 x + 3$
$- 6 x^{2} + 2 x + 4$	=	$- 7 x^{2} + 2 x + 13$	\| $- 4$
$- 6 x^{2} + 2 x$	=	$- 7 x^{2} + 2 x + 9$	\| $+ 7 x^{2}$ $- 2 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 30 x - 54$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 30 x - 54

= 0 |:2

$2 x^{2} - 15 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 216}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{15+21}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{15-21}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 15 x - 27$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x - \frac{27}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - (- \frac{27}{2})$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{27}{2}$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{216}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = 9

L={ $- 1,5$ ; $9$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $x \cdot (x - 2)$ .

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quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)