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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 {(x - 2)}^{2}$
und
$g(x) =$ $- 18$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 2 {(x - 2)}^{2}$	=	$- 18$	\|: $(- 2)$
${(x - 2)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 2

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x - 2$	=	$- 3$	\| $+ 2$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 2

=

\sqrt{9}

=

3

$x - 2$	=	$3$	\| $+ 2$
x₂	=	$5$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $- 18$

g( $5$ ) = $- 18$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $- 18$ ) und S₂( $5$ | $- 18$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 9 x - 4$ = $(- 3 x - 7) \cdot (x + 2) - 5 x - 10$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} - 9 x - 4$	=	$(- 3 x - 7) \cdot (x + 2) - 5 x - 10$
$- 2 x^{2} - 9 x - 4$	=	$- 3 x^{2} - 13 x - 14 - 5 x - 10$
$- 2 x^{2} - 9 x - 4$	=	$- 3 x^{2} - 18 x - 24$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 18 x$ $+ 24$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 39 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 39 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 + 160}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 681}}{8}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{1 681}}{8}$ = $\frac{39+41}{8}$ = $\frac{80}{8}$ = $10$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{1 681}}{8}$ = $\frac{39-41}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 39 x - 10$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{39}{4} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{39}{8})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{1521}{64}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{1521}{64}$ $+$ $\frac{160}{64}$ = $\frac{1681}{64}$

x_1,2 = $\frac{39}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{64}}$

x₁ = $\frac{39}{8}$ - $\frac{41}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{39}{8}$ + $\frac{41}{8}$ = $\frac{80}{8}$ = 10

L={ $- 0,25$ ; $10$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- x \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)