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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 5)}^{2} + 25$
und
$g(x) =$ $41$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 5)}^{2} + 25$	=	$41$	\| $- 25$
${(x - 5)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 5

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x - 5$	=	$- 4$	\| $+ 5$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 5

=

\sqrt{16}

=

4

$x - 5$	=	$4$	\| $+ 5$
x₂	=	$9$

L={ $1$ ; $9$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $41$

g( $9$ ) = $41$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $41$ ) und S₂( $9$ | $41$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + x - 2$ = $(- 3 x + 4) \cdot (x - 4) - 12 x + 18$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + x - 2$	=	$(- 3 x + 4) \cdot (x - 4) - 12 x + 18$
$- 2 x^{2} + x - 2$	=	$- 3 x^{2} + 16 x - 16 - 12 x + 18$
$- 2 x^{2} + x - 2$	=	$- 3 x^{2} + 4 x + 2$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 4 x$ $- 2$

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 1$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 11 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 11 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{11+7}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{11-7}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 11 x + 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

L={ $1$ ; $4,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 x \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)