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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 2,3)}^{2}$ = $0,64$

Lösung einblenden

{(x - 2,3)}^{2}

0,64

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 2,3

- \sqrt{0,64}

- 0,8

$x - 2,3$	=	$- 0,8$	\| $+ 2,3$
x₁	=	$1,5$

2. Fall

x - 2,3

\sqrt{0,64}

0,8

$x - 2,3$	=	$0,8$	\| $+ 2,3$
x₂	=	$3,1$

L={ $1,5$ ; $3,1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} - x + 6$ = $(7 x + 7) \cdot (x - 3) + 13 x + 28$

Lösung einblenden

$8 x^{2} - x + 6$	=	$(7 x + 7) \cdot (x - 3) + 13 x + 28$
$8 x^{2} - x + 6$	=	$7 x^{2} - 14 x - 21 + 13 x + 28$
$8 x^{2} - x + 6$	=	$7 x^{2} - x + 7$	\| $- 6$
$8 x^{2} - x$	=	$7 x^{2} - x + 1$	\| $- 7 x^{2}$ $+ x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 14 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 14 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 7$ ± 0 = $- 7$

L={ $- 7$ }

$- 7$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 + 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 3) \cdot (x + 1)$ .