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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} + 1,76$ = $- 0,2$

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$- 4 x^{2} + 1,76$	=	$- 0,2$	\| $- 1,76$
$- 4 x^{2}$	=	$- 1,96$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$\frac{1,96}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{1,96}{4}}$	= $- 0,7$
x₂	=	$\sqrt{\frac{1,96}{4}}$	= $0,7$

L={ $- 0,7$ ; $0,7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x^{2} - 3 x - 8$ = $(5 x - 4) \cdot (x - 4) + 21 x - 8$

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$6 x^{2} - 3 x - 8$	=	$(5 x - 4) \cdot (x - 4) + 21 x - 8$
$6 x^{2} - 3 x - 8$	=	$5 x^{2} - 24 x + 16 + 21 x - 8$
$6 x^{2} - 3 x - 8$	=	$5 x^{2} - 3 x + 8$	\| $+ 8$
$6 x^{2} - 3 x$	=	$5 x^{2} - 3 x + 16$	\| $- 5 x^{2}$ $+ 3 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 15 x + 14$ = 0

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$4 x^{2} - 15 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 14}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1}}{8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{15+1}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = $2$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{15-1}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 15 x + 14$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{15}{4} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{8})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{224}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $\frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $\frac{15}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = 1.75

x₂ = $\frac{15}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

L={ $1,75$ ; $2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 2) x$ .