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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} + \frac{12}{49}$ = $- \frac{52}{49}$

$- 4 x^{2} + \frac{12}{49}$	=	$- \frac{52}{49}$	\| $- \frac{12}{49}$
$- 4 x^{2}$	=	$- \frac{64}{49}$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$\frac{16}{49}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{16}{49}}$	≈ $- \frac{4}{7}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{16}{49}}$	≈ $\frac{4}{7}$

L={ $- \frac{4}{7}$ ; $\frac{4}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 9 x + 8$ = $(- 5 x + 5) \cdot (x + 4) - 3 x - 32$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - 9 x + 8$	=	$(- 5 x + 5) \cdot (x + 4) - 3 x - 32$
$- 4 x^{2} - 9 x + 8$	=	$- 5 x^{2} - 15 x + 20 - 3 x - 32$
$- 4 x^{2} - 9 x + 8$	=	$- 5 x^{2} - 18 x - 12$	\| $+ 5 x^{2}$ $+ 18 x$ $+ 12$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 72 x + 82$ = 0

Lösung einblenden

16 x^{2} + 72 x + 82

= 0 |:2

$8 x^{2} + 36 x + 41$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{36^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 41}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{1 296 - 1 312}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 36 \pm \sqrt{(- 16)}}{16}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 36 x + 41$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{41}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (\frac{41}{8})$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{41}{8}$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{82}{16}$ = $- \frac{1}{16}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 1) \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)