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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{7}{9})}^{2}$ = $\frac{36}{81}$

${(x - \frac{7}{9})}^{2}$	=	$\frac{36}{81}$
${(x - \frac{7}{9})}^{2}$	=	$\frac{4}{9}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - \frac{7}{9}

=

- \sqrt{\frac{4}{9}}

≈

- \frac{2}{3}

$x - \frac{7}{9}$	=	$- \frac{2}{3}$	\| $+ \frac{7}{9}$
x₁	=	$\frac{1}{9}$

2. Fall

x - \frac{7}{9}

=

\sqrt{\frac{4}{9}}

≈

\frac{2}{3}

$x - \frac{7}{9}$	=	$\frac{2}{3}$	\| $+ \frac{7}{9}$
x₂	=	$\frac{13}{9}$

L={ $\frac{1}{9}$ ; $\frac{13}{9}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{59}{5} x + 18$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{59}{5} x + 18$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{59}{5} x + 18)$	=	0

$5 x^{2} + 59 x + 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 59 \pm \sqrt{59^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 90}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 59 \pm \sqrt{3 481 - 1 800}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 59 \pm \sqrt{1 681}}{10}$

x₁ = $\frac{- 59 + \sqrt{1 681}}{10}$ = $\frac{- 59+41}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

x₂ = $\frac{- 59 - \sqrt{1 681}}{10}$ = $\frac{- 59-41}{10}$ = $\frac{- 100}{10}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 59 x + 90$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{59}{5} x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{59}{10})}^{2} - 18$ = $\frac{3481}{100}$ $-$ $18$ = $\frac{3481}{100}$ $-$ $\frac{1800}{100}$ = $\frac{1681}{100}$

x_1,2 = $- \frac{59}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{100}}$

x₁ = $- \frac{59}{10}$ - $\frac{41}{10}$ = $- \frac{100}{10}$ = -10

x₂ = $- \frac{59}{10}$ + $\frac{41}{10}$ = $- \frac{18}{10}$ = -1.8

L={ $- 10$ ; $- 1,8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 18 x + 82$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 18 x + 82$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 82}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 328}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 9)}^{2} - 82$ = $81$ $-$ $82$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 1) \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)