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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - \frac{63}{25}$ = $\frac{9}{5}$

$3 x^{2} - \frac{63}{25}$	=	$\frac{9}{5}$	\| $+ \frac{63}{25}$
$3 x^{2}$	=	$\frac{108}{25}$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$\frac{36}{25}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{36}{25}}$	= $- \frac{6}{5}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{36}{25}}$	= $\frac{6}{5}$

L={ $- \frac{6}{5}$ ; $\frac{6}{5}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{32}{5} x - \frac{64}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{32}{5} x - \frac{64}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{32}{5} x - \frac{64}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 32 x - 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 64)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 + 1 280}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{2 304}}{10}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{2 304}}{10}$ = $\frac{- 32+48}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{2 304}}{10}$ = $\frac{- 32-48}{10}$ = $\frac{- 80}{10}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 32 x - 64$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{32}{5} x - \frac{64}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{16}{5})}^{2} - (- \frac{64}{5})$ = $\frac{256}{25}$ $+$ $\frac{64}{5}$ = $\frac{256}{25}$ $+$ $\frac{320}{25}$ = $\frac{576}{25}$

x_1,2 = $- \frac{16}{5}$ ± $\sqrt{\frac{576}{25}}$

x₁ = $- \frac{16}{5}$ - $\frac{24}{5}$ = $- \frac{40}{5}$ = -8

x₂ = $- \frac{16}{5}$ + $\frac{24}{5}$ = $\frac{8}{5}$ = 1.6

L={ $- 8$ ; $1,6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 5$ ± 0 = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 3)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- x \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)