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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 0,4)}^{2}$ = $0,04$

Lösung einblenden

{(x + 0,4)}^{2}

0,04

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 0,4

- \sqrt{0,04}

- 0,2

$x + 0,4$	=	$- 0,2$	\| $- 0,4$
x₁	=	$- 0,6$

2. Fall

x + 0,4

\sqrt{0,04}

0,2

$x + 0,4$	=	$0,2$	\| $- 0,4$
x₂	=	$- 0,2$

L={ $- 0,6$ ; $- 0,2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} - 7 x + 8$ = $(7 x + 8) \cdot (x - 3) + 8 x + 32$

Lösung einblenden

$8 x^{2} - 7 x + 8$	=	$(7 x + 8) \cdot (x - 3) + 8 x + 32$
$8 x^{2} - 7 x + 8$	=	$7 x^{2} - 13 x - 24 + 8 x + 32$
$8 x^{2} - 7 x + 8$	=	$7 x^{2} - 5 x + 8$	\| $- 8$
$8 x^{2} - 7 x$	=	$7 x^{2} - 5 x$	\| $- (7 x^{2} - 5 x)$
$8 x^{2} - 7 x^{2} - 7 x + 5 x$	=	0
$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

L={0; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} - 40 x + 17$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} - 40 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 17}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{1 600 - 1 700}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{(- 100)}}{50}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} - 40 x + 17$ = 0 |: $25$

$x^{2} - \frac{8}{5} x + \frac{17}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{5})}^{2} - (\frac{17}{25})$ = $\frac{16}{25}$ $-$ $\frac{17}{25}$ = $- \frac{1}{25}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 4) \cdot (x + 2)$ .