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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 7)}^{2} - 25$
und
$g(x) =$ $- 21$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 7)}^{2} - 25$	=	$- 21$	\| $+ 25$
${(x - 7)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 7

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x - 7$	=	$- 2$	\| $+ 7$
x₁	=	$5$

2. Fall

x - 7

=

\sqrt{4}

=

2

$x - 7$	=	$2$	\| $+ 7$
x₂	=	$9$

L={ $5$ ; $9$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = $- 21$

g( $9$ ) = $- 21$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $5$ | $- 21$ ) und S₂( $9$ | $- 21$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 18 x + x^{2}$ = $- 81$

Lösung einblenden

x^{2} - 18 x

=

- 81

|

+ 81

$x^{2} - 18 x + 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{18}{2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 9)}^{2} - 81$ = $81$ $-$ $81$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $9$ ± 0 = $9$

L={ $9$ }

$9$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 24 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 24 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 720}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{1 296}}{10}$

x₁ = $\frac{- 24 + \sqrt{1 296}}{10}$ = $\frac{- 24+36}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = $1,2$

x₂ = $\frac{- 24 - \sqrt{1 296}}{10}$ = $\frac{- 24-36}{10}$ = $\frac{- 60}{10}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 24 x - 36$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{24}{5} x - \frac{36}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{12}{5})}^{2} - (- \frac{36}{5})$ = $\frac{144}{25}$ $+$ $\frac{36}{5}$ = $\frac{144}{25}$ $+$ $\frac{180}{25}$ = $\frac{324}{25}$

x_1,2 = $- \frac{12}{5}$ ± $\sqrt{\frac{324}{25}}$

x₁ = $- \frac{12}{5}$ - $\frac{18}{5}$ = $- \frac{30}{5}$ = -6

x₂ = $- \frac{12}{5}$ + $\frac{18}{5}$ = $\frac{6}{5}$ = 1.2

L={ $- 6$ ; $1,2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 1) (x - 1)$ .

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quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)