Mathebattle EduRandomtasks

reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{36}{49}$

$x^{2}$	=	$\frac{36}{49}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{36}{49}}$	≈ $- \frac{6}{7}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{36}{49}}$	≈ $\frac{6}{7}$

L={ $- \frac{6}{7}$ ; $\frac{6}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 15 + 7 x$ = $- 2 x^{2}$

Lösung einblenden

7 x - 15

=

- 2 x^{2}

|

+ 2 x^{2}

$2 x^{2} + 7 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 7+13}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 7-13}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

L={ $- 5$ ; $1,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 37 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 37 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 + 480}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 849}}{8}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{1 849}}{8}$ = $\frac{- 37+43}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{1 849}}{8}$ = $\frac{- 37-43}{8}$ = $\frac{- 80}{8}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 37 x - 30$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{37}{4} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{37}{8})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{1369}{64}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{1369}{64}$ $+$ $\frac{480}{64}$ = $\frac{1849}{64}$

x_1,2 = $- \frac{37}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{64}}$

x₁ = $- \frac{37}{8}$ - $\frac{43}{8}$ = $- \frac{80}{8}$ = -10

x₂ = $- \frac{37}{8}$ + $\frac{43}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

L={ $- 10$ ; $0,75$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 2) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)