Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 7)}^{2} - 40$ = $- 15$

${(x + 7)}^{2} - 40$	=	$- 15$	\| $+ 40$
${(x + 7)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 7

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x + 7$	=	$- 5$	\| $- 7$
x₁	=	$- 12$

2. Fall

x + 7

=

\sqrt{25}

=

5

$x + 7$	=	$5$	\| $- 7$
x₂	=	$- 2$

L={ $- 12$ ; $- 2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{11}{2} x - 20$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{11}{2} x - 20$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{11}{2} x - 20)$	=	0

$2 x^{2} - 11 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 320}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{11+21}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{11-21}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 11 x - 40$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $20$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{320}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

L={ $- 2,5$ ; $8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 30 x - 100$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 30 x - 100

= 0 |:2

$2 x^{2} + 15 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 400}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{625}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 15+25}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 15-25}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 15 x - 50$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x - 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - (- 25)$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $25$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{400}{16}$ = $\frac{625}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{625}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{25}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{25}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

L={ $- 10$ ; $2,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 - 1)$ = $- 4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 4) (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)