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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 2,8)}^{2}$ = $0,16$

{(x + 2,8)}^{2}

=

0,16

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 2,8

=

- \sqrt{0,16}

=

- 0,4

$x + 2,8$	=	$- 0,4$	\| $- 2,8$
x₁	=	$- 3,2$

2. Fall

x + 2,8

=

\sqrt{0,16}

=

0,4

$x + 2,8$	=	$0,4$	\| $- 2,8$
x₂	=	$- 2,4$

L={ $- 3,2$ ; $- 2,4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 31 x + 4 x^{2} + 42$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 31 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 42}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 672}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{289}}{8}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{31+17}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = $6$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{31-17}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 31 x + 42$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{31}{4} x + \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{31}{8})}^{2} - (\frac{21}{2})$ = $\frac{961}{64}$ $-$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{961}{64}$ $-$ $\frac{672}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $\frac{31}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $\frac{31}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = 1.75

x₂ = $\frac{31}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

L={ $1,75$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 48 x + 27$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 48 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{48^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 27}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{2 304 - 540}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{1 764}}{10}$

x₁ = $\frac{- 48 + \sqrt{1 764}}{10}$ = $\frac{- 48+42}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

x₂ = $\frac{- 48 - \sqrt{1 764}}{10}$ = $\frac{- 48-42}{10}$ = $\frac{- 90}{10}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 48 x + 27$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{48}{5} x + \frac{27}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{24}{5})}^{2} - (\frac{27}{5})$ = $\frac{576}{25}$ $-$ $\frac{27}{5}$ = $\frac{576}{25}$ $-$ $\frac{135}{25}$ = $\frac{441}{25}$

x_1,2 = $- \frac{24}{5}$ ± $\sqrt{\frac{441}{25}}$

x₁ = $- \frac{24}{5}$ - $\frac{21}{5}$ = $- \frac{45}{5}$ = -9

x₂ = $- \frac{24}{5}$ + $\frac{21}{5}$ = $- \frac{3}{5}$ = -0.6

L={ $- 9$ ; $- 0,6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 1) \cdot (x - 1)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)