Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{13}{8})}^{2}$ = $\frac{49}{64}$

{(x - \frac{13}{8})}^{2}

=

\frac{49}{64}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{13}{8}

=

- \sqrt{\frac{49}{64}}

≈

- \frac{7}{8}

$x - \frac{13}{8}$	=	$- \frac{7}{8}$	\| $+ \frac{13}{8}$
x₁	=	$\frac{3}{4}$ = 0.75

2. Fall

x - \frac{13}{8}

=

\sqrt{\frac{49}{64}}

≈

\frac{7}{8}

$x - \frac{13}{8}$	=	$\frac{7}{8}$	\| $+ \frac{13}{8}$
x₂	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

L={ $\frac{3}{4}$ ; $\frac{5}{2}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$17 x + 5 x^{2}$ = $12$

Lösung einblenden

5 x^{2} + 17 x

=

12

|

- 12

$5 x^{2} + 17 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{529}}{10}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{- 17+23}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{- 17-23}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 17 x - 12$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{17}{5} x - \frac{12}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{10})}^{2} - (- \frac{12}{5})$ = $\frac{289}{100}$ $+$ $\frac{12}{5}$ = $\frac{289}{100}$ $+$ $\frac{240}{100}$ = $\frac{529}{100}$

x_1,2 = $- \frac{17}{10}$ ± $\sqrt{\frac{529}{100}}$

x₁ = $- \frac{17}{10}$ - $\frac{23}{10}$ = $- \frac{40}{10}$ = -4

x₂ = $- \frac{17}{10}$ + $\frac{23}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = 0.6

L={ $- 4$ ; $0,6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 6 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 6 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 6+14}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 6-14}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 40)$ = $9$ $+$ $40$ = $49$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 3$ - $7$ = -10

x₂ = $- 3$ + $7$ = 4

L={ $- 10$ ; $4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 1)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 2) (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)