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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{7}{10})}^{2}$ = $\frac{49}{100}$

{(x + \frac{7}{10})}^{2}

=

\frac{49}{100}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + \frac{7}{10}

=

- \sqrt{\frac{49}{100}}

=

- \frac{7}{10}

$x + \frac{7}{10}$	=	$- \frac{7}{10}$	\| $- \frac{7}{10}$
x₁	=	$- \frac{7}{5}$ = -1.4

2. Fall

x + \frac{7}{10}

=

\sqrt{\frac{49}{100}}

=

\frac{7}{10}

$x + \frac{7}{10}$	=	$\frac{7}{10}$	\| $- \frac{7}{10}$
x₂	=	0

L={ $- \frac{7}{5}$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 3 x + 3$ = $(- 4 x - 3) \cdot (x - 1) + 3 x + 6$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} + 3 x + 3$	=	$(- 4 x - 3) \cdot (x - 1) + 3 x + 6$
$- 3 x^{2} + 3 x + 3$	=	$- 4 x^{2} + x + 3 + 3 x + 6$
$- 3 x^{2} + 3 x + 3$	=	$- 4 x^{2} + 4 x + 9$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 4 x$ $- 9$

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 2$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 37 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 37 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 + 480}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 849}}{8}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{1 849}}{8}$ = $\frac{- 37+43}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{1 849}}{8}$ = $\frac{- 37-43}{8}$ = $\frac{- 80}{8}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 37 x - 30$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{37}{4} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{37}{8})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{1369}{64}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{1369}{64}$ $+$ $\frac{480}{64}$ = $\frac{1849}{64}$

x_1,2 = $- \frac{37}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{64}}$

x₁ = $- \frac{37}{8}$ - $\frac{43}{8}$ = $- \frac{80}{8}$ = -10

x₂ = $- \frac{37}{8}$ + $\frac{43}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

L={ $- 10$ ; $0,75$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 2) \cdot (- 3 - 3)$ = $6 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 2) \cdot (x - 3)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)