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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{1}{2})}^{2}$ = $\frac{16}{4}$

${(x - \frac{1}{2})}^{2}$	=	$\frac{16}{4}$
${(x - \frac{1}{2})}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - \frac{1}{2}

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x - \frac{1}{2}$	=	$- 2$	\| $+ \frac{1}{2}$
x₁	=	$- \frac{3}{2}$ = -1.5

2. Fall

x - \frac{1}{2}

=

\sqrt{4}

=

2

$x - \frac{1}{2}$	=	$2$	\| $+ \frac{1}{2}$
x₂	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

L={ $- \frac{3}{2}$ ; $\frac{5}{2}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 10 x + x^{2}$ = $- 25$

Lösung einblenden

x^{2} - 10 x

=

- 25

|

+ 25

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 13 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 13 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{13+23}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{13-23}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 13 x - 45$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{45}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{45}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{45}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{360}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = 9

L={ $- 2,5$ ; $9$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 3 + 2) \cdot (- 3 - 5)$ = $8 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 2) (x - 5)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)