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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 {(x - 1)}^{2} + 14$
und
$g(x) =$ $12$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 2 {(x - 1)}^{2} + 14$	=	$12$	\| $- 14$
$- 2 {(x - 1)}^{2}$	=	$- 2$	\|: $(- 2)$
${(x - 1)}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 1

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
x₁	=	0

2. Fall

x - 1

=

\sqrt{1}

=

1

$x - 1$	=	$1$	\| $+ 1$
x₂	=	$2$

L={0; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g(0) = $12$

g( $2$ ) = $12$

Die Schnittpunkte sind also S₁(0| $12$ ) und S₂( $2$ | $12$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{1}{4} x - \frac{9}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{1}{4} x - \frac{9}{2}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{1}{4} x - \frac{9}{2})$	=	0

$4 x^{2} - x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{8}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{1+17}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = $2,25$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{1-17}{8}$ = $\frac{- 16}{8}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - x - 18$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{1}{4} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{8})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $\frac{1}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $\frac{1}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = 2.25

L={ $- 2$ ; $2,25$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 6 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 6 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 10$ = $9$ $-$ $10$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2)$ = $- 2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 3) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)