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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 1)}^{2} - 24$ = $- 8$

${(x + 1)}^{2} - 24$	=	$- 8$	\| $+ 24$
${(x + 1)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 1

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x + 1$	=	$- 4$	\| $- 1$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 1

=

\sqrt{16}

=

4

$x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
x₂	=	$3$

L={ $- 5$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} - 9 x - 5$ = $(- 6 x + 1) (x - 3) - 29 x + 4$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} - 9 x - 5$	=	$(- 6 x + 1) (x - 3) - 29 x + 4$
$- 5 x^{2} - 9 x - 5$	=	$- 6 x^{2} + 19 x - 3 - 29 x + 4$
$- 5 x^{2} - 9 x - 5$	=	$- 6 x^{2} - 10 x + 1$	\| $+ 6 x^{2}$ $+ 10 x$ $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 51 x + 54$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 51 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 51 \pm \sqrt{{(- 51)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 54}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 51 \pm \sqrt{2 601 - 1 080}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 51 \pm \sqrt{1 521}}{10}$

x₁ = $\frac{51 + \sqrt{1 521}}{10}$ = $\frac{51+39}{10}$ = $\frac{90}{10}$ = $9$

x₂ = $\frac{51 - \sqrt{1 521}}{10}$ = $\frac{51-39}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = $1,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 51 x + 54$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{51}{5} x + \frac{54}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{51}{10})}^{2} - (\frac{54}{5})$ = $\frac{2601}{100}$ $-$ $\frac{54}{5}$ = $\frac{2601}{100}$ $-$ $\frac{1080}{100}$ = $\frac{1521}{100}$

x_1,2 = $\frac{51}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{100}}$

x₁ = $\frac{51}{10}$ - $\frac{39}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = 1.2

x₂ = $\frac{51}{10}$ + $\frac{39}{10}$ = $\frac{90}{10}$ = 9

L={ $1,2$ ; $9$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x - 1) (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)