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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 4)}^{2} - 1$ = 0

${(x - 4)}^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
${(x - 4)}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x - 4$	=	$- 1$	\| $+ 4$
x₁	=	$3$

2. Fall

x - 4

=

\sqrt{1}

=

1

$x - 4$	=	$1$	\| $+ 4$
x₂	=	$5$

L={ $3$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 10$ = $- 2 x^{2}$

Lösung einblenden

x - 10

=

- 2 x^{2}

|

+ 2 x^{2}

$2 x^{2} + x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 1+9}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 1-9}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 10$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- 5)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $5$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

L={ $- 2,5$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 19 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 19 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{19+21}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = $10$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{19-21}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 19 x - 10$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{19}{2} x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{4})}^{2} - (- 5)$ = $\frac{361}{16}$ $+$ $5$ = $\frac{361}{16}$ $+$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $\frac{19}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $\frac{19}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{19}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = 10

L={ $- 0,5$ ; $10$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 2) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)