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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 5)}^{2} + 18$
und
$g(x) =$ $19$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 5)}^{2} + 18$	=	$19$	\| $- 18$
${(x - 5)}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 5

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
x₁	=	$4$

2. Fall

x - 5

=

\sqrt{1}

=

1

$x - 5$	=	$1$	\| $+ 5$
x₂	=	$6$

L={ $4$ ; $6$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $4$ ) = $19$

g( $6$ ) = $19$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $4$ | $19$ ) und S₂( $6$ | $19$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x + x^{2}$ = $- 17$

Lösung einblenden

x^{2} - 8 x

=

- 17

|

+ 17

$x^{2} - 8 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 17$ = $16$ $-$ $17$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 41 x - 90$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 41 x - 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 90)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 + 1 800}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{3 481}}{10}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{3 481}}{10}$ = $\frac{- 41+59}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{3 481}}{10}$ = $\frac{- 41-59}{10}$ = $\frac{- 100}{10}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 41 x - 90$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{41}{5} x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{41}{10})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{1681}{100}$ $+$ $18$ = $\frac{1681}{100}$ $+$ $\frac{1800}{100}$ = $\frac{3481}{100}$

x_1,2 = $- \frac{41}{10}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{100}}$

x₁ = $- \frac{41}{10}$ - $\frac{59}{10}$ = $- \frac{100}{10}$ = -10

x₂ = $- \frac{41}{10}$ + $\frac{59}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = 1.8

L={ $- 10$ ; $1,8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 4)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x - 1) \cdot (x - 4)$ .

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quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)