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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 6)}^{2} - 1$ = 0

${(x + 6)}^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
${(x + 6)}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 6

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x + 6$	=	$- 1$	\| $- 6$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 6

=

\sqrt{1}

=

1

$x + 6$	=	$1$	\| $- 6$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 7$ ; $- 5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + x + 6$ = $(- 3 x - 7) \cdot (x + 9) + 30 x + 63$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + x + 6$	=	$(- 3 x - 7) \cdot (x + 9) + 30 x + 63$
$- 2 x^{2} + x + 6$	=	$- 3 x^{2} - 34 x - 63 + 30 x + 63$
$- 2 x^{2} + x + 6$	=	$- 3 x^{2} - 4 x$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 4 x$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 19 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 19 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{441}}{10}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{- 19+21}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{- 19-21}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 19 x - 4$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{19}{5} x - \frac{4}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{10})}^{2} - (- \frac{4}{5})$ = $\frac{361}{100}$ $+$ $\frac{4}{5}$ = $\frac{361}{100}$ $+$ $\frac{80}{100}$ = $\frac{441}{100}$

x_1,2 = $- \frac{19}{10}$ ± $\sqrt{\frac{441}{100}}$

x₁ = $- \frac{19}{10}$ - $\frac{21}{10}$ = $- \frac{40}{10}$ = -4

x₂ = $- \frac{19}{10}$ + $\frac{21}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = 0.2

L={ $- 4$ ; $0,2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 1) \cdot (x - 1)$ .

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quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)