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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 2)}^{2}$ = $0,01$

{(x - 2)}^{2}

=

0,01

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 2

=

- \sqrt{0,01}

=

- 0,1

$x - 2$	=	$- 0,1$	\| $+ 2$
x₁	=	$1,9$

2. Fall

x - 2

=

\sqrt{0,01}

=

0,1

$x - 2$	=	$0,1$	\| $+ 2$
x₂	=	$2,1$

L={ $1,9$ ; $2,1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} + 9 x + 5$ = $(8 x - 8) \cdot (x - 5) + 59 x - 20$

Lösung einblenden

$9 x^{2} + 9 x + 5$	=	$(8 x - 8) \cdot (x - 5) + 59 x - 20$
$9 x^{2} + 9 x + 5$	=	$8 x^{2} - 48 x + 40 + 59 x - 20$
$9 x^{2} + 9 x + 5$	=	$8 x^{2} + 11 x + 20$	\| $- 8 x^{2}$ $- 11 x$ $- 20$

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

L={ $- 3$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 21 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 21 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 49}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 392}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{21+7}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{21-7}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 21 x + 49$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{21}{2} x + \frac{49}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{4})}^{2} - (\frac{49}{2})$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $\frac{49}{2}$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $\frac{392}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{21}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{21}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

x₂ = $\frac{21}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = 7

L={ $3,5$ ; $7$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 3))$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} x \cdot (x - 3)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)