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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x -3,8 ) 2 = 0,25

Lösung einblenden
( x -3,8 ) 2 = 0,25 | ⋅2

1. Fall

x -3,8 = - 0,25 = -0,5
x -3,8 = -0,5 | +3,8
x1 = 3,3

2. Fall

x -3,8 = 0,25 = 0,5
x -3,8 = 0,5 | +3,8
x2 = 4,3

L={ 3,3 ; 4,3 }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 +8x = -16 x 2

Lösung einblenden
8x +2 = -16 x 2 | +16 x 2
16 x 2 +8x +2 = 0 |:2

8 x 2 +4x +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 8 · 1 2⋅8

x1,2 = -4 ± 16 -32 16

x1,2 = -4 ± ( -16 ) 16

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "8 " teilen:

8 x 2 +4x +1 = 0 |: 8

x 2 + 1 2 x + 1 8 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 4 ) 2 - ( 1 8 ) = 1 16 - 1 8 = 1 16 - 2 16 = - 1 16

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x 2 -41x +42 = 0

Lösung einblenden

5 x 2 -41x +42 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +41 ± ( -41 ) 2 -4 · 5 · 42 2⋅5

x1,2 = +41 ± 1681 -840 10

x1,2 = +41 ± 841 10

x1 = 41 + 841 10 = 41 +29 10 = 70 10 = 7

x2 = 41 - 841 10 = 41 -29 10 = 12 10 = 1,2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 -41x +42 = 0 |: 5

x 2 - 41 5 x + 42 5 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 41 10 ) 2 - ( 42 5 ) = 1681 100 - 42 5 = 1681 100 - 840 100 = 841 100

x1,2 = 41 10 ± 841 100

x1 = 41 10 - 29 10 = 12 10 = 1.2

x2 = 41 10 + 29 10 = 70 10 = 7

L={ 1,2 ; 7 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

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Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-4|0) und N2(-1|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +4 ) · ( x +1 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = a · ( -3 +4 ) · ( -3 +1 ) = -2a =-1.

Hieraus ergibt sich a= 1 2 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 1 2 ( x +4 ) · ( x +1 ) .