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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $1,44$

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$x^{2}$	=	$1,44$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1,44}$	= $- 1,2$
x₂	=	$\sqrt{1,44}$	= $1,2$

L={ $- 1,2$ ; $1,2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x - 7$ = $(- x - 1) \cdot (x - 6) + 3$

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$5 x - 7$	=	$(- x - 1) \cdot (x - 6) + 3$
$5 x - 7$	=	$- x^{2} + 5 x + 6 + 3$
$5 x - 7$	=	$- x^{2} + 5 x + 9$	\| $+ 7$
$5 x$	=	$- x^{2} + 5 x + 16$	\| $+ x^{2}$ $- 5 x$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 11 x + 14$ = 0

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$2 x^{2} + 11 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 11+3}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 11-3}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 14$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - 7$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $7$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{112}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

L={ $- 3,5$ ; $- 2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 + 1)$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 3) \cdot (x + 1)$ .