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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{13}{25}$ = $\frac{3}{25}$

$x^{2} - \frac{13}{25}$	=	$\frac{3}{25}$	\| $+ \frac{13}{25}$
$x^{2}$	=	$\frac{16}{25}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{16}{25}}$	= $- \frac{4}{5}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{16}{25}}$	= $\frac{4}{5}$

L={ $- \frac{4}{5}$ ; $\frac{4}{5}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{5}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{5}{2}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{5}{2})$	=	0

$4 x^{2} + 13 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 10}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{8}$ = $\frac{- 13+3}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{8}$ = $\frac{- 13-3}{8}$ = $\frac{- 16}{8}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 13 x + 10$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{160}{64}$ = $\frac{9}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{9}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{3}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

L={ $- 2$ ; $- 1,25$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 6 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 6 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 10$ = $9$ $-$ $10$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 - 4)$ = $- 6 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x + 3) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)