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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$0,4 x^{2} - 160$ = $480$

$0,4 x^{2} - 160$	=	$480$	\| $+ 160$
$0,4 x^{2}$	=	$640$	\|: $0,4$
$x^{2}$	=	$1 600$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1 600}$	= $- 40$
x₂	=	$\sqrt{1 600}$	= $40$

L={ $- 40$ ; $40$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{37}{4} x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{37}{4} x + 10$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{37}{4} x + 10)$	=	0

$4 x^{2} + 37 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 40}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 - 640}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{729}}{8}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{- 37+27}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{- 37-27}{8}$ = $\frac{- 64}{8}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 37 x + 40$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{37}{4} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{37}{8})}^{2} - 10$ = $\frac{1369}{64}$ $-$ $10$ = $\frac{1369}{64}$ $-$ $\frac{640}{64}$ = $\frac{729}{64}$

x_1,2 = $- \frac{37}{8}$ ± $\sqrt{\frac{729}{64}}$

x₁ = $- \frac{37}{8}$ - $\frac{27}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{37}{8}$ + $\frac{27}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

L={ $- 8$ ; $- 1,25$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2)$ = $- 2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 3) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)