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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 5)}^{2} - 5$ = $20$

${(x + 5)}^{2} - 5$	=	$20$	\| $+ 5$
${(x + 5)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 5

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x + 5$	=	$- 5$	\| $- 5$
x₁	=	$- 10$

2. Fall

x + 5

=

\sqrt{25}

=

5

$x + 5$	=	$5$	\| $- 5$
x₂	=	0

L={ $- 10$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{7}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{7}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{7}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 15 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{15+13}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{15-13}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 15 x + 7$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = 7

L={ $0,5$ ; $7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 32 x + 65$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 32 x + 65$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 65}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{1 024 - 1 040}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 32 x + 65$ = 0 |: $4$

$x^{2} - 8 x + \frac{65}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (\frac{65}{4})$ = $16$ $-$ $\frac{65}{4}$ = $\frac{64}{4}$ $-$ $\frac{65}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 - 1)$ = $- 4 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 4) \cdot (x - 1)$ .

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quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)