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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 {(x - 3)}^{2} - 35$ = $- 19$

$4 {(x - 3)}^{2} - 35$	=	$- 19$	\| $+ 35$
$4 {(x - 3)}^{2}$	=	$16$	\|: $4$
${(x - 3)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 3

=

\sqrt{4}

=

2

$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
x₂	=	$5$

L={ $1$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{34}{5} x + \frac{24}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{34}{5} x + \frac{24}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{34}{5} x + \frac{24}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 34 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{34^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 24}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{1 156 - 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 34 \pm \sqrt{676}}{10}$

x₁ = $\frac{- 34 + \sqrt{676}}{10}$ = $\frac{- 34+26}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

x₂ = $\frac{- 34 - \sqrt{676}}{10}$ = $\frac{- 34-26}{10}$ = $\frac{- 60}{10}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 34 x + 24$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{34}{5} x + \frac{24}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{5})}^{2} - (\frac{24}{5})$ = $\frac{289}{25}$ $-$ $\frac{24}{5}$ = $\frac{289}{25}$ $-$ $\frac{120}{25}$ = $\frac{169}{25}$

x_1,2 = $- \frac{17}{5}$ ± $\sqrt{\frac{169}{25}}$

x₁ = $- \frac{17}{5}$ - $\frac{13}{5}$ = $- \frac{30}{5}$ = -6

x₂ = $- \frac{17}{5}$ + $\frac{13}{5}$ = $- \frac{4}{5}$ = -0.8

L={ $- 6$ ; $- 0,8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 27 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 27 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 18}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 - 288}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{441}}{8}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{- 27+21}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{- 27-21}{8}$ = $\frac{- 48}{8}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 27 x + 18$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{27}{4} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{8})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $- \frac{27}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $- \frac{27}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $- \frac{48}{8}$ = -6

x₂ = $- \frac{27}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

L={ $- 6$ ; $- 0,75$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 2) (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)