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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 3)}^{2} + 7$ = $11$

${(x - 3)}^{2} + 7$	=	$11$	\| $- 7$
${(x - 3)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 3

=

\sqrt{4}

=

2

$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
x₂	=	$5$

L={ $1$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 14 - 17 x$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 17 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 14}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 280}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{9}}{10}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{9}}{10}$ = $\frac{17+3}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{9}}{10}$ = $\frac{17-3}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 17 x + 14$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{17}{5} x + \frac{14}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{10})}^{2} - (\frac{14}{5})$ = $\frac{289}{100}$ $-$ $\frac{14}{5}$ = $\frac{289}{100}$ $-$ $\frac{280}{100}$ = $\frac{9}{100}$

x_1,2 = $\frac{17}{10}$ ± $\sqrt{\frac{9}{100}}$

x₁ = $\frac{17}{10}$ - $\frac{3}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = 1.4

x₂ = $\frac{17}{10}$ + $\frac{3}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = 2

L={ $1,4$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 8 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 8 x + 4

= 0 |:4

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 2)$ = $2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x - 1) \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)