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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 {(x + 1)}^{2} + 17$
und
$g(x) =$ $67$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$2 {(x + 1)}^{2} + 17$	=	$67$	\| $- 17$
$2 {(x + 1)}^{2}$	=	$50$	\|: $2$
${(x + 1)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 1

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x + 1$	=	$- 5$	\| $- 1$
x₁	=	$- 6$

2. Fall

x + 1

=

\sqrt{25}

=

5

$x + 1$	=	$5$	\| $- 1$
x₂	=	$4$

L={ $- 6$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 6$ ) = $67$

g( $4$ ) = $67$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 6$ | $67$ ) und S₂( $4$ | $67$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 18 x + x^{2} + 82$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 18 x + 82$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 82}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 328}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 9)}^{2} - 82$ = $81$ $-$ $82$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 29 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 29 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{29^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 20}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{841 - 400}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{441}}{10}$

x₁ = $\frac{- 29 + \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{- 29+21}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

x₂ = $\frac{- 29 - \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{- 29-21}{10}$ = $\frac{- 50}{10}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 29 x + 20$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{29}{5} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{10})}^{2} - 4$ = $\frac{841}{100}$ $-$ $4$ = $\frac{841}{100}$ $-$ $\frac{400}{100}$ = $\frac{441}{100}$

x_1,2 = $- \frac{29}{10}$ ± $\sqrt{\frac{441}{100}}$

x₁ = $- \frac{29}{10}$ - $\frac{21}{10}$ = $- \frac{50}{10}$ = -5

x₂ = $- \frac{29}{10}$ + $\frac{21}{10}$ = $- \frac{8}{10}$ = -0.8

L={ $- 5$ ; $- 0,8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 3) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)