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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x + 2)}^{2} + 11$
und
$g(x) =$ $27$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x + 2)}^{2} + 11$	=	$27$	\| $- 11$
${(x + 2)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x + 2$	=	$- 4$	\| $- 2$
x₁	=	$- 6$

2. Fall

x + 2

=

\sqrt{16}

=

4

$x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
x₂	=	$2$

L={ $- 6$ ; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 6$ ) = $27$

g( $2$ ) = $27$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 6$ | $27$ ) und S₂( $2$ | $27$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{1}{4} x - \frac{7}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{1}{4} x - \frac{7}{2}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{1}{4} x - \frac{7}{2})$	=	0

$4 x^{2} - x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{225}}{8}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{1+15}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{1-15}{8}$ = $\frac{- 14}{8}$ = $- 1,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - x - 14$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{1}{4} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{8})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{224}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $\frac{1}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $\frac{1}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{14}{8}$ = -1.75

x₂ = $\frac{1}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

L={ $- 1,75$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 37 x + 42$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 37 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 - 840}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{529}}{10}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{- 37+23}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{- 37-23}{10}$ = $\frac{- 60}{10}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 37 x + 42$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{37}{5} x + \frac{42}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{37}{10})}^{2} - (\frac{42}{5})$ = $\frac{1369}{100}$ $-$ $\frac{42}{5}$ = $\frac{1369}{100}$ $-$ $\frac{840}{100}$ = $\frac{529}{100}$

x_1,2 = $- \frac{37}{10}$ ± $\sqrt{\frac{529}{100}}$

x₁ = $- \frac{37}{10}$ - $\frac{23}{10}$ = $- \frac{60}{10}$ = -6

x₂ = $- \frac{37}{10}$ + $\frac{23}{10}$ = $- \frac{14}{10}$ = -1.4

L={ $- 6$ ; $- 1,4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 1) \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)