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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 3)}^{2} - 9$ = 0

Lösung einblenden

${(x + 3)}^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
${(x + 3)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 3

- \sqrt{9}

- 3

$x + 3$	=	$- 3$	\| $- 3$
x₁	=	$- 6$

2. Fall

x + 3

\sqrt{9}

3

$x + 3$	=	$3$	\| $- 3$
x₂	=	0

L={ $- 6$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 9 x$ = $5$

Lösung einblenden

2 x^{2} + 9 x

5

- 5

$2 x^{2} + 9 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 9+11}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 9-11}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x - 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

L={ $- 5$ ; $0,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 64$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

L={ $- 8$ ; $8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 3))$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} x \cdot (x - 3)$ .