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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 3,7)}^{2}$ = $0,04$

{(x - 3,7)}^{2}

=

0,04

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 3,7

=

- \sqrt{0,04}

=

- 0,2

$x - 3,7$	=	$- 0,2$	\| $+ 3,7$
x₁	=	$3,5$

2. Fall

x - 3,7

=

\sqrt{0,04}

=

0,2

$x - 3,7$	=	$0,2$	\| $+ 3,7$
x₂	=	$3,9$

L={ $3,5$ ; $3,9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 4 x + 9$ = $(2 x - 3) (x - 3) + 8 x$

Lösung einblenden

$3 x^{2} - 4 x + 9$	=	$(2 x - 3) (x - 3) + 8 x$
$3 x^{2} - 4 x + 9$	=	$2 x^{2} - 9 x + 9 + 8 x$
$3 x^{2} - 4 x + 9$	=	$2 x^{2} - x + 9$	\| $- 9$
$3 x^{2} - 4 x$	=	$2 x^{2} - x$	\| $- (2 x^{2} - x)$
$3 x^{2} - 2 x^{2} - 4 x + x$	=	0
$x^{2} - 3 x$	=	0
$x (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

L={0; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - x - 3$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{1+5}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{1-5}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

L={ $- 1$ ; $1,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 3)$ = $- 3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x + 1) (x - 3)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)