Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$0,1 x^{2} - 320$ = $320$

Lösung einblenden

$0,1 x^{2} - 320$	=	$320$	\| $+ 320$
$0,1 x^{2}$	=	$640$	\|: $0,1$
$x^{2}$	=	$6 400$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{6 400}$	= $- 80$
x₂	=	$\sqrt{6 400}$	= $80$

L={ $- 80$ ; $80$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 8 x + 3$ = $(- 2 x - 1) \cdot (x - 5) - 16 x - 2$

Lösung einblenden

$- x^{2} - 8 x + 3$	=	$(- 2 x - 1) \cdot (x - 5) - 16 x - 2$
$- x^{2} - 8 x + 3$	=	$- 2 x^{2} + 9 x + 5 - 16 x - 2$
$- x^{2} - 8 x + 3$	=	$- 2 x^{2} - 7 x + 3$	\| $- 3$
$- x^{2} - 8 x$	=	$- 2 x^{2} - 7 x$	\| $- (- 2 x^{2} - 7 x)$
$- x^{2} + 2 x^{2} - 8 x + 7 x$	=	0
$x^{2} - x$	=	0
$x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

L={0; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 10 x + 26$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 10 x + 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 26$ = $25$ $-$ $26$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 - 2)$ = $- 4 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 3) \cdot (x - 2)$ .