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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} + \frac{172}{25}$ = $- \frac{84}{25}$

$- 4 x^{2} + \frac{172}{25}$	=	$- \frac{84}{25}$	\| $- \frac{172}{25}$
$- 4 x^{2}$	=	$- \frac{256}{25}$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$\frac{64}{25}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{64}{25}}$	= $- \frac{8}{5}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{64}{25}}$	= $\frac{8}{5}$

L={ $- \frac{8}{5}$ ; $\frac{8}{5}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 18 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 18 x + 36

= 0 |:2

$x^{2} + 9 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 9+3}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 9-3}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

L={ $- 6$ ; $- 3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 3 + 2) \cdot (- 3)$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 2) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)