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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 1,2)}^{2}$ = $0,01$

{(x + 1,2)}^{2}

=

0,01

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 1,2

=

- \sqrt{0,01}

=

- 0,1

$x + 1,2$	=	$- 0,1$	\| $- 1,2$
x₁	=	$- 1,3$

2. Fall

x + 1,2

=

\sqrt{0,01}

=

0,1

$x + 1,2$	=	$0,1$	\| $- 1,2$
x₂	=	$- 1,1$

L={ $- 1,3$ ; $- 1,1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{3}{5} x - \frac{8}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{3}{5} x - \frac{8}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{3}{5} x - \frac{8}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 3 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{10}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{3+13}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{3-13}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 3 x - 8$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{3}{5} x - \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{10})}^{2} - (- \frac{8}{5})$ = $\frac{9}{100}$ $+$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{9}{100}$ $+$ $\frac{160}{100}$ = $\frac{169}{100}$

x_1,2 = $\frac{3}{10}$ ± $\sqrt{\frac{169}{100}}$

x₁ = $\frac{3}{10}$ - $\frac{13}{10}$ = $- \frac{10}{10}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{10}$ + $\frac{13}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = 1.6

L={ $- 1$ ; $1,6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 6 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 6 x - 36

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 6$ ; $3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 1) \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)