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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 {(x - 3)}^{2} + 23$
und
$g(x) =$ $39$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$4 {(x - 3)}^{2} + 23$	=	$39$	\| $- 23$
$4 {(x - 3)}^{2}$	=	$16$	\|: $4$
${(x - 3)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 3

=

\sqrt{4}

=

2

$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
x₂	=	$5$

L={ $1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $39$

g( $5$ ) = $39$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $39$ ) und S₂( $5$ | $39$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 7$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 7$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{11}{2} x + 7)$	=	0

$2 x^{2} + 11 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 14}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 11+3}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 11-3}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 14$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - 7$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $7$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{112}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

L={ $- 3,5$ ; $- 2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 39 x + 54$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 39 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 54}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 - 1 080}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{441}}{10}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{39+21}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{39-21}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 39 x + 54$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{39}{5} x + \frac{54}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{39}{10})}^{2} - (\frac{54}{5})$ = $\frac{1521}{100}$ $-$ $\frac{54}{5}$ = $\frac{1521}{100}$ $-$ $\frac{1080}{100}$ = $\frac{441}{100}$

x_1,2 = $\frac{39}{10}$ ± $\sqrt{\frac{441}{100}}$

x₁ = $\frac{39}{10}$ - $\frac{21}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = 1.8

x₂ = $\frac{39}{10}$ + $\frac{21}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = 6

L={ $1,8$ ; $6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 1) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)