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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 4,6)}^{2}$ = $0,81$

{(x + 4,6)}^{2}

=

0,81

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 4,6

=

- \sqrt{0,81}

=

- 0,9

$x + 4,6$	=	$- 0,9$	\| $- 4,6$
x₁	=	$- 5,5$

2. Fall

x + 4,6

=

\sqrt{0,81}

=

0,9

$x + 4,6$	=	$0,9$	\| $- 4,6$
x₂	=	$- 3,7$

L={ $- 5,5$ ; $- 3,7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$80 - 18 x + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 18 x + 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{18+2}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{18-2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 9)}^{2} - 80$ = $81$ $-$ $80$ = $1$

x_1,2 = $9$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $9$ - $1$ = 8

x₂ = $9$ + $1$ = 10

L={ $8$ ; $10$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} - 80 x + 64$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} - 80 x + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{{(- 80)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 64}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{6 400 - 6 400}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{80}{50}$ = $\frac{8}{5}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} - 80 x + 64$ = 0 |: $25$

$x^{2} - \frac{16}{5} x + \frac{64}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{5})}^{2} - (\frac{64}{25})$ = $\frac{64}{25}$ $-$ $\frac{64}{25}$ = $\frac{0}{25}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{8}{5}$ ± 0 = $\frac{8}{5}$

L={ $\frac{8}{5}$ }

$\frac{8}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 3)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $x \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)