Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x + 6)}^{2}$
und
$g(x) =$ $1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

{(x + 6)}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 6

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x + 6$	=	$- 1$	\| $- 6$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 6

=

\sqrt{1}

=

1

$x + 6$	=	$1$	\| $- 6$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 7$ ; $- 5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 7$ ) = $1$

g( $- 5$ ) = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 7$ | $1$ ) und S₂( $- 5$ | $1$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 9$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 17 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 17+7}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 17-7}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 17 x + 30$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - 15$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $15$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{240}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

L={ $- 6$ ; $- 2,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 2 + 1) \cdot (- 2)$ = $2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x + 1) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)