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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 6)}^{2}$ = 0

${(x + 6)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 6$	=	0

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
$x$	=	$- 6$

L={ $- 6$ }

$- 6$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} - x + 6$ = $(9 x - 7) (x + 1) + 7 x - 12$

Lösung einblenden

$10 x^{2} - x + 6$	=	$(9 x - 7) (x + 1) + 7 x - 12$
$10 x^{2} - x + 6$	=	$9 x^{2} + 2 x - 7 + 7 x - 12$
$10 x^{2} - x + 6$	=	$9 x^{2} + 9 x - 19$	\| $- 9 x^{2}$ $- 9 x$ $+ 19$

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 33 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 33 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 + 280}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 369}}{10}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{- 33+37}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{1 369}}{10}$ = $\frac{- 33-37}{10}$ = $\frac{- 70}{10}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 33 x - 14$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{33}{5} x - \frac{14}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{33}{10})}^{2} - (- \frac{14}{5})$ = $\frac{1089}{100}$ $+$ $\frac{14}{5}$ = $\frac{1089}{100}$ $+$ $\frac{280}{100}$ = $\frac{1369}{100}$

x_1,2 = $- \frac{33}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{100}}$

x₁ = $- \frac{33}{10}$ - $\frac{37}{10}$ = $- \frac{70}{10}$ = -7

x₂ = $- \frac{33}{10}$ + $\frac{37}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = 0.4

L={ $- 7$ ; $0,4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 5)$ = $- 4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} x (x - 5)$ .

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quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)