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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + \frac{136}{49}$ = $- \frac{64}{49}$

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$- 2 x^{2} + \frac{136}{49}$	=	$- \frac{64}{49}$	\| $- \frac{136}{49}$
$- 2 x^{2}$	=	$- \frac{200}{49}$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$\frac{100}{49}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{100}{49}}$	≈ $- \frac{10}{7}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{100}{49}}$	≈ $\frac{10}{7}$

L={ $- \frac{10}{7}$ ; $\frac{10}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 8 x - 1$ = $(- 2 x - 4) \cdot (x - 2) - 8 x - 8$

Lösung einblenden

$- x^{2} - 8 x - 1$	=	$(- 2 x - 4) \cdot (x - 2) - 8 x - 8$
$- x^{2} - 8 x - 1$	=	$- 2 x^{2} + 8 - 8 x - 8$
$- x^{2} - 8 x - 1$	=	$- 2 x^{2} - 8 x$	\| $+ 1$ $+ 2 x^{2}$ $+ 8 x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 12 x + 37$ = 0

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$x^{2} - 12 x + 37$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 148}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 37$ = $36$ $-$ $37$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 2) x$ .