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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$0,1 x^{2} - 2,5$ = $2,4$

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$0,1 x^{2} - 2,5$	=	$2,4$	\| $+ 2,5$
$0,1 x^{2}$	=	$4,9$	\|: $0,1$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

L={ $- 7$ ; $7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} - 8 x + 1$ = $(8 x + 1) (x - 5) + 27 x + 6$

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$9 x^{2} - 8 x + 1$	=	$(8 x + 1) (x - 5) + 27 x + 6$
$9 x^{2} - 8 x + 1$	=	$8 x^{2} - 39 x - 5 + 27 x + 6$
$9 x^{2} - 8 x + 1$	=	$8 x^{2} - 12 x + 1$	\| $- 1$
$9 x^{2} - 8 x$	=	$8 x^{2} - 12 x$	\| $- (8 x^{2} - 12 x)$
$9 x^{2} - 8 x^{2} - 8 x + 12 x$	=	0
$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 33 x + 8$ = 0

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$4 x^{2} + 33 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 128}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{961}}{8}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{961}}{8}$ = $\frac{- 33+31}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{961}}{8}$ = $\frac{- 33-31}{8}$ = $\frac{- 64}{8}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 33 x + 8$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{33}{4} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{33}{8})}^{2} - 2$ = $\frac{1089}{64}$ $-$ $2$ = $\frac{1089}{64}$ $-$ $\frac{128}{64}$ = $\frac{961}{64}$

x_1,2 = $- \frac{33}{8}$ ± $\sqrt{\frac{961}{64}}$

x₁ = $- \frac{33}{8}$ - $\frac{31}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{33}{8}$ + $\frac{31}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

L={ $- 8$ ; $- 0,25$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x - 1) (x - 3)$ .