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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 1,3)}^{2}$ = $0,49$

{(x - 1,3)}^{2}

=

0,49

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 1,3

=

- \sqrt{0,49}

=

- 0,7

$x - 1,3$	=	$- 0,7$	\| $+ 1,3$
x₁	=	$0,6$

2. Fall

x - 1,3

=

\sqrt{0,49}

=

0,7

$x - 1,3$	=	$0,7$	\| $+ 1,3$
x₂	=	$2$

L={ $0,6$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{15}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 7 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 7+13}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 7-13}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

L={ $- 5$ ; $1,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 13 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 13 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{13+3}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{13-3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 13 x + 20$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - 10$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $10$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{160}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

L={ $2,5$ ; $4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 2))$ = $3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} x \cdot (x - 2)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)