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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 2)}^{2}$ = $0,09$

{(x - 2)}^{2}

=

0,09

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 2

=

- \sqrt{0,09}

=

- 0,3

$x - 2$	=	$- 0,3$	\| $+ 2$
x₁	=	$1,7$

2. Fall

x - 2

=

\sqrt{0,09}

=

0,3

$x - 2$	=	$0,3$	\| $+ 2$
x₂	=	$2,3$

L={ $1,7$ ; $2,3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{31}{5} x + \frac{6}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{31}{5} x + \frac{6}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{31}{5} x + \frac{6}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 31 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 6}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 120}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{841}}{10}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{31+29}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{31-29}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 31 x + 6$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{31}{5} x + \frac{6}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{31}{10})}^{2} - (\frac{6}{5})$ = $\frac{961}{100}$ $-$ $\frac{6}{5}$ = $\frac{961}{100}$ $-$ $\frac{120}{100}$ = $\frac{841}{100}$

x_1,2 = $\frac{31}{10}$ ± $\sqrt{\frac{841}{100}}$

x₁ = $\frac{31}{10}$ - $\frac{29}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = 0.2

x₂ = $\frac{31}{10}$ + $\frac{29}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = 6

L={ $0,2$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} - 40 x + 17$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} - 40 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 17}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{1 600 - 1 700}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{(- 100)}}{50}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} - 40 x + 17$ = 0 |: $25$

$x^{2} - \frac{8}{5} x + \frac{17}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{5})}^{2} - (\frac{17}{25})$ = $\frac{16}{25}$ $-$ $\frac{17}{25}$ = $- \frac{1}{25}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- x \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)