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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 0,1 x^{2} - 0,2$ = $- 0,6$

$- 0,1 x^{2} - 0,2$	=	$- 0,6$	\| $+ 0,2$
$- 0,1 x^{2}$	=	$- 0,4$	\|: $(- 0,1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} + 2 x + 9$ = $(- 9 x - 7) \cdot (x + 5) + 52 x + 52$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} + 2 x + 9$	=	$(- 9 x - 7) \cdot (x + 5) + 52 x + 52$
$- 8 x^{2} + 2 x + 9$	=	$- 9 x^{2} - 52 x - 35 + 52 x + 52$
$- 8 x^{2} + 2 x + 9$	=	$- 9 x^{2} + 17$	\| $+ 9 x^{2}$ $- 17$

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 21 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 21 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 4}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{361}}{10}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{361}}{10}$ = $\frac{21+19}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{361}}{10}$ = $\frac{21-19}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 21 x + 4$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{21}{5} x + \frac{4}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{10})}^{2} - (\frac{4}{5})$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{4}{5}$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{80}{100}$ = $\frac{361}{100}$

x_1,2 = $\frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{361}{100}}$

x₁ = $\frac{21}{10}$ - $\frac{19}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = 0.2

x₂ = $\frac{21}{10}$ + $\frac{19}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = 4

L={ $0,2$ ; $4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 2 + 1) \cdot (- 2)$ = $2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 1) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)