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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2}$ = $- 300$

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$- 3 x^{2}$	=	$- 300$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$100$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{100}$	= $- 10$
x₂	=	$\sqrt{100}$	= $10$

L={ $- 10$ ; $10$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 5 x - 2$ = $(- 4 x - 3) \cdot (x + 6) + 32 x + 25$

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$- 3 x^{2} + 5 x - 2$	=	$(- 4 x - 3) \cdot (x + 6) + 32 x + 25$
$- 3 x^{2} + 5 x - 2$	=	$- 4 x^{2} - 27 x - 18 + 32 x + 25$
$- 3 x^{2} + 5 x - 2$	=	$- 4 x^{2} + 5 x + 7$	\| $+ 2$
$- 3 x^{2} + 5 x$	=	$- 4 x^{2} + 5 x + 9$	\| $+ 4 x^{2}$ $- 5 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 32 x + 65$ = 0

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$4 x^{2} + 32 x + 65$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 65}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 1 040}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 32 x + 65$ = 0 |: $4$

$x^{2} + 8 x + \frac{65}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (\frac{65}{4})$ = $16$ $-$ $\frac{65}{4}$ = $\frac{64}{4}$ $-$ $\frac{65}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 5)$ = $- 4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} x \cdot (x - 5)$ .