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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 {(x + 5)}^{2} + 100$ = 0

Lösung einblenden

$- 4 {(x + 5)}^{2} + 100$	=	0	\| $- 100$
$- 4 {(x + 5)}^{2}$	=	$- 100$	\|: $(- 4)$
${(x + 5)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 5

- \sqrt{25}

- 5

$x + 5$	=	$- 5$	\| $- 5$
x₁	=	$- 10$

2. Fall

x + 5

\sqrt{25}

5

$x + 5$	=	$5$	\| $- 5$
x₂	=	0

L={ $- 10$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 1 + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$- 1 + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 28 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 28 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 + 240}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{1 024}}{10}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{28+32}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{28-32}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 28 x - 12$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{28}{5} x - \frac{12}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{14}{5})}^{2} - (- \frac{12}{5})$ = $\frac{196}{25}$ $+$ $\frac{12}{5}$ = $\frac{196}{25}$ $+$ $\frac{60}{25}$ = $\frac{256}{25}$

x_1,2 = $\frac{14}{5}$ ± $\sqrt{\frac{256}{25}}$

x₁ = $\frac{14}{5}$ - $\frac{16}{5}$ = $- \frac{2}{5}$ = -0.4

x₂ = $\frac{14}{5}$ + $\frac{16}{5}$ = $\frac{30}{5}$ = 6

L={ $- 0,4$ ; $6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 2 + 1) \cdot (- 2 - 1)$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 1) \cdot (x - 1)$ .