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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + 125$ = 0

$- 5 x^{2} + 125$	=	0	\| $- 125$
$- 5 x^{2}$	=	$- 125$	\|: $(- 5)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{25}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{25}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{25}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 15 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 25}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{15+5}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{15-5}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 15 x + 25$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{25}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - (\frac{25}{2})$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{25}{2}$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{200}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

L={ $2,5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 11 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 11 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 320}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{11+21}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{11-21}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 11 x - 40$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $20$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{320}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

L={ $- 2,5$ ; $8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 3)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $x (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)