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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 3,7)}^{2}$ = $0,25$

{(x + 3,7)}^{2}

=

0,25

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 3,7

=

- \sqrt{0,25}

=

- 0,5

$x + 3,7$	=	$- 0,5$	\| $- 3,7$
x₁	=	$- 4,2$

2. Fall

x + 3,7

=

\sqrt{0,25}

=

0,5

$x + 3,7$	=	$0,5$	\| $- 3,7$
x₂	=	$- 3,2$

L={ $- 4,2$ ; $- 3,2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 42 x + 150$ = 0

Lösung einblenden

3 x^{2} - 42 x + 150

= 0 |:3

$x^{2} - 14 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 50$ = $49$ $-$ $50$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 38 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 38 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 38 \pm \sqrt{{(- 38)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 38 \pm \sqrt{1 444 + 320}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 38 \pm \sqrt{1 764}}{10}$

x₁ = $\frac{38 + \sqrt{1 764}}{10}$ = $\frac{38+42}{10}$ = $\frac{80}{10}$ = $8$

x₂ = $\frac{38 - \sqrt{1 764}}{10}$ = $\frac{38-42}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 38 x - 16$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{38}{5} x - \frac{16}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{5})}^{2} - (- \frac{16}{5})$ = $\frac{361}{25}$ $+$ $\frac{16}{5}$ = $\frac{361}{25}$ $+$ $\frac{80}{25}$ = $\frac{441}{25}$

x_1,2 = $\frac{19}{5}$ ± $\sqrt{\frac{441}{25}}$

x₁ = $\frac{19}{5}$ - $\frac{21}{5}$ = $- \frac{2}{5}$ = -0.4

x₂ = $\frac{19}{5}$ + $\frac{21}{5}$ = $\frac{40}{5}$ = 8

L={ $- 0,4$ ; $8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (3 - 2) \cdot (3 - 5)$ = $- 2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x - 2) (x - 5)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)