Mathebattle EduRandomtasks

reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$0,4 x^{2} + 4,8$ = $5,2$

$0,4 x^{2} + 4,8$	=	$5,2$	\| $- 4,8$
$0,4 x^{2}$	=	$0,4$	\|: $0,4$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x - 5$ = $(- x - 8) \cdot (x + 7) + 28 x + 43$

Lösung einblenden

$7 x - 5$	=	$(- x - 8) \cdot (x + 7) + 28 x + 43$
$7 x - 5$	=	$- x^{2} - 15 x - 56 + 28 x + 43$
$7 x - 5$	=	$- x^{2} + 13 x - 13$	\| $+ x^{2}$ $- 13 x$ $+ 13$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 3 x - 20$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 3 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 3+13}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 3-13}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 20$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{160}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

L={ $- 4$ ; $2,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2)$ = $- 2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x + 3) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)