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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{8}{5})}^{2}$ = $\frac{49}{25}$

{(x - \frac{8}{5})}^{2}

=

\frac{49}{25}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{8}{5}

=

- \sqrt{\frac{49}{25}}

=

- \frac{7}{5}

$x - \frac{8}{5}$	=	$- \frac{7}{5}$	\| $+ \frac{8}{5}$
x₁	=	$\frac{1}{5}$ = 0.2

2. Fall

x - \frac{8}{5}

=

\sqrt{\frac{49}{25}}

=

\frac{7}{5}

$x - \frac{8}{5}$	=	$\frac{7}{5}$	\| $+ \frac{8}{5}$
x₂	=	$3$

L={ $\frac{1}{5}$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$13 x + 5 x^{2} + 8$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 13 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 8}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{10}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{10}$ = $\frac{- 13+3}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{10}$ = $\frac{- 13-3}{10}$ = $\frac{- 16}{10}$ = $- 1,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 13 x + 8$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{13}{5} x + \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{10})}^{2} - (\frac{8}{5})$ = $\frac{169}{100}$ $-$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{169}{100}$ $-$ $\frac{160}{100}$ = $\frac{9}{100}$

x_1,2 = $- \frac{13}{10}$ ± $\sqrt{\frac{9}{100}}$

x₁ = $- \frac{13}{10}$ - $\frac{3}{10}$ = $- \frac{16}{10}$ = -1.6

x₂ = $- \frac{13}{10}$ + $\frac{3}{10}$ = $- \frac{10}{10}$ = -1

L={ $- 1,6$ ; $- 1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{256}}{10}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{256}}{10}$ = $\frac{- 4+16}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = $1,2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{256}}{10}$ = $\frac{- 4-16}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 4 x - 12$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{4}{5} x - \frac{12}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{5})}^{2} - (- \frac{12}{5})$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{12}{5}$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{60}{25}$ = $\frac{64}{25}$

x_1,2 = $- \frac{2}{5}$ ± $\sqrt{\frac{64}{25}}$

x₁ = $- \frac{2}{5}$ - $\frac{8}{5}$ = $- \frac{10}{5}$ = -2

x₂ = $- \frac{2}{5}$ + $\frac{8}{5}$ = $\frac{6}{5}$ = 1.2

L={ $- 2$ ; $1,2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 3)$ = $- 2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} x \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)