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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $0,36$

$x^{2}$	=	$0,36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{0,36}$	= $- 0,6$
x₂	=	$\sqrt{0,36}$	= $0,6$

L={ $- 0,6$ ; $0,6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 2 x + 2$ = $(- 3 x + 3) \cdot (x - 3) - 15 x + 23$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} - 2 x + 2$	=	$(- 3 x + 3) \cdot (x - 3) - 15 x + 23$
$- 2 x^{2} - 2 x + 2$	=	$- 3 x^{2} + 12 x - 9 - 15 x + 23$
$- 2 x^{2} - 2 x + 2$	=	$- 3 x^{2} - 3 x + 14$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 3 x$ $- 14$

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 4$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 27 x + 81$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 27 x + 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 81}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 - 648}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 27+9}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 27-9}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 27 x + 81$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{27}{2} x + \frac{81}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{4})}^{2} - (\frac{81}{2})$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $\frac{81}{2}$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $\frac{648}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{27}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{27}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{36}{4}$ = -9

x₂ = $- \frac{27}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

L={ $- 9$ ; $- 4,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)