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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 1)}^{2} + 6$
und
$g(x) =$ $10$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 1)}^{2} + 6$	=	$10$	\| $- 6$
${(x - 1)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 1

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x - 1$	=	$- 2$	\| $+ 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 1

=

\sqrt{4}

=

2

$x - 1$	=	$2$	\| $+ 1$
x₂	=	$3$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $10$

g( $3$ ) = $10$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $10$ ) und S₂( $3$ | $10$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{45}{4} x + \frac{81}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{45}{4} x + \frac{81}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + \frac{45}{4} x + \frac{81}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 45 x + 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 45 \pm \sqrt{45^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 81}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 45 \pm \sqrt{2 025 - 1 296}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 45 \pm \sqrt{729}}{8}$

x₁ = $\frac{- 45 + \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{- 45+27}{8}$ = $\frac{- 18}{8}$ = $- 2,25$

x₂ = $\frac{- 45 - \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{- 45-27}{8}$ = $\frac{- 72}{8}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 45 x + 81$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{45}{4} x + \frac{81}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{45}{8})}^{2} - (\frac{81}{4})$ = $\frac{2025}{64}$ $-$ $\frac{81}{4}$ = $\frac{2025}{64}$ $-$ $\frac{1296}{64}$ = $\frac{729}{64}$

x_1,2 = $- \frac{45}{8}$ ± $\sqrt{\frac{729}{64}}$

x₁ = $- \frac{45}{8}$ - $\frac{27}{8}$ = $- \frac{72}{8}$ = -9

x₂ = $- \frac{45}{8}$ + $\frac{27}{8}$ = $- \frac{18}{8}$ = -2.25

L={ $- 9$ ; $- 2,25$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 39 x + 54$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 39 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 39 \pm \sqrt{39^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 54}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 39 \pm \sqrt{1 521 - 1 080}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 39 \pm \sqrt{441}}{10}$

x₁ = $\frac{- 39 + \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{- 39+21}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

x₂ = $\frac{- 39 - \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{- 39-21}{10}$ = $\frac{- 60}{10}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 39 x + 54$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{39}{5} x + \frac{54}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{39}{10})}^{2} - (\frac{54}{5})$ = $\frac{1521}{100}$ $-$ $\frac{54}{5}$ = $\frac{1521}{100}$ $-$ $\frac{1080}{100}$ = $\frac{441}{100}$

x_1,2 = $- \frac{39}{10}$ ± $\sqrt{\frac{441}{100}}$

x₁ = $- \frac{39}{10}$ - $\frac{21}{10}$ = $- \frac{60}{10}$ = -6

x₂ = $- \frac{39}{10}$ + $\frac{21}{10}$ = $- \frac{18}{10}$ = -1.8

L={ $- 6$ ; $- 1,8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 1 - 1) \cdot (- 1 - 3)$ = $8 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x - 1) (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)