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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 {(x + 6)}^{2} + 75$ = 0

Lösung einblenden

$- 3 {(x + 6)}^{2} + 75$	=	0	\| $- 75$
$- 3 {(x + 6)}^{2}$	=	$- 75$	\|: $(- 3)$
${(x + 6)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 6

- \sqrt{25}

- 5

$x + 6$	=	$- 5$	\| $- 6$
x₁	=	$- 11$

2. Fall

x + 6

\sqrt{25}

5

$x + 6$	=	$5$	\| $- 6$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 11$ ; $- 1$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 + 4 x^{2} + 31 x$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 31 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 + 128}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{1 089}}{8}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{- 31+33}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{- 31-33}{8}$ = $\frac{- 64}{8}$ = $- 8$

L={ $- 8$ ; $0,25$ }

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 13 x + 21$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 13 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 21}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 13+1}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 13-1}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

L={ $- 3,5$ ; $- 3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 - 3)$ = $- 6 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 4) (x - 3)$ .