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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 3 {(x - 7)}^{2}$
und
$g(x) =$ $- 12$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 3 {(x - 7)}^{2}$	=	$- 12$	\|: $(- 3)$
${(x - 7)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 7

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x - 7$	=	$- 2$	\| $+ 7$
x₁	=	$5$

2. Fall

x - 7

=

\sqrt{4}

=

2

$x - 7$	=	$2$	\| $+ 7$
x₂	=	$9$

L={ $5$ ; $9$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = $- 12$

g( $9$ ) = $- 12$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $5$ | $- 12$ ) und S₂( $9$ | $- 12$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 x^{2} + 7 x - 8$ = $(7 x + 8) (x + 1) - 15 x - 26$

Lösung einblenden

$8 x^{2} + 7 x - 8$	=	$(7 x + 8) (x + 1) - 15 x - 26$
$8 x^{2} + 7 x - 8$	=	$7 x^{2} + 15 x + 8 - 15 x - 26$
$8 x^{2} + 7 x - 8$	=	$7 x^{2} - 18$	\| $- 7 x^{2}$ $+ 18$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 5 x - 7$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 5 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{5+9}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{5-9}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 7$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

L={ $- 1$ ; $3,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 + 1)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 3) (x + 1)$ .

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quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)