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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 6)}^{2} - 4$ = 0

${(x + 6)}^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
${(x + 6)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 6

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x + 6$	=	$- 2$	\| $- 6$
x₁	=	$- 8$

2. Fall

x + 6

=

\sqrt{4}

=

2

$x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 8$ ; $- 4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{49}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{49}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{49}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 7 x - 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 49)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 392}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{7+21}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{7-21}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 49$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{49}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{49}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{49}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{392}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = 7

L={ $- 3,5$ ; $7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 24 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$16 x^{2} + 24 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 576}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 24}{32}$ = $- \frac{3}{4}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} + 24 x + 9$ = 0 |: $16$

$x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{9}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (\frac{9}{16})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{9}{16}$ = $\frac{0}{16}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- \frac{3}{4}$ ± 0 = $- \frac{3}{4}$

L={ $- \frac{3}{4}$ }

$- \frac{3}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 2))$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} x (x - 2)$ .

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quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)