Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 4)}^{2} + 12$ = $21$

${(x + 4)}^{2} + 12$	=	$21$	\| $- 12$
${(x + 4)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x + 4$	=	$- 3$	\| $- 4$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 4

=

\sqrt{9}

=

3

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 7 x + \frac{53}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 7 x + \frac{53}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} + 7 x + \frac{53}{4})$	=	0

$4 x^{2} + 28 x + 53$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 53}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 848}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{(- 64)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 28 x + 53$ = 0 |: $4$

$x^{2} + 7 x + \frac{53}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (\frac{53}{4})$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{53}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 57 x + 70$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 57 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 57 \pm \sqrt{57^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 70}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 57 \pm \sqrt{3 249 - 1 400}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 57 \pm \sqrt{1 849}}{10}$

x₁ = $\frac{- 57 + \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{- 57+43}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

x₂ = $\frac{- 57 - \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{- 57-43}{10}$ = $\frac{- 100}{10}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 57 x + 70$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{57}{5} x + 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{57}{10})}^{2} - 14$ = $\frac{3249}{100}$ $-$ $14$ = $\frac{3249}{100}$ $-$ $\frac{1400}{100}$ = $\frac{1849}{100}$

x_1,2 = $- \frac{57}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{100}}$

x₁ = $- \frac{57}{10}$ - $\frac{43}{10}$ = $- \frac{100}{10}$ = -10

x₂ = $- \frac{57}{10}$ + $\frac{43}{10}$ = $- \frac{14}{10}$ = -1.4

L={ $- 10$ ; $- 1,4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 - 2)$ = $- 4 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 3) \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)