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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{6}{5})}^{2}$ = $\frac{4}{25}$

{(x - \frac{6}{5})}^{2}

=

\frac{4}{25}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{6}{5}

=

- \sqrt{\frac{4}{25}}

=

- \frac{2}{5}

$x - \frac{6}{5}$	=	$- \frac{2}{5}$	\| $+ \frac{6}{5}$
x₁	=	$\frac{4}{5}$ = 0.8

2. Fall

x - \frac{6}{5}

=

\sqrt{\frac{4}{25}}

=

\frac{2}{5}

$x - \frac{6}{5}$	=	$\frac{2}{5}$	\| $+ \frac{6}{5}$
x₂	=	$\frac{8}{5}$ = 1.6

L={ $\frac{4}{5}$ ; $\frac{8}{5}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 12 x + x^{2}$ = $- 36$

Lösung einblenden

x^{2} - 12 x

=

- 36

|

+ 36

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

L={ $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 19 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 19 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 19+21}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 19-21}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 19 x - 10$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{19}{2} x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{4})}^{2} - (- 5)$ = $\frac{361}{16}$ $+$ $5$ = $\frac{361}{16}$ $+$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $- \frac{19}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $- \frac{19}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{19}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

L={ $- 10$ ; $0,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 2)$ = $2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x - 1) (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)