nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0,4 x 2 = 360

Lösung einblenden
0,4 x 2 = 360 |:0,4
x 2 = 900 | ⋅2
x1 = - 900 = -30
x2 = 900 = 30

L={ -30 ; 30 }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 - 1 2 x + 1 16 = 0

Lösung einblenden
x 2 - 1 2 x + 1 16 = 0 |⋅ 16
16( x 2 - 1 2 x + 1 16 ) = 0

16 x 2 -8x +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 16 · 1 2⋅16

x1,2 = +8 ± 64 -64 32

x1,2 = +8 ± 0 32

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 8 32 = 1 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "16 " teilen:

16 x 2 -8x +1 = 0 |: 16

x 2 - 1 2 x + 1 16 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 4 ) 2 - ( 1 16 ) = 1 16 - 1 16 = 0 16 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 1 4 ± 0 = 1 4

L={ 1 4 }

1 4 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x 2 -43x -18 = 0

Lösung einblenden

5 x 2 -43x -18 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +43 ± ( -43 ) 2 -4 · 5 · ( -18 ) 2⋅5

x1,2 = +43 ± 1849 +360 10

x1,2 = +43 ± 2209 10

x1 = 43 + 2209 10 = 43 +47 10 = 90 10 = 9

x2 = 43 - 2209 10 = 43 -47 10 = -4 10 = -0,4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 -43x -18 = 0 |: 5

x 2 - 43 5 x - 18 5 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 43 10 ) 2 - ( - 18 5 ) = 1849 100 + 18 5 = 1849 100 + 360 100 = 2209 100

x1,2 = 43 10 ± 2209 100

x1 = 43 10 - 47 10 = - 4 10 = -0.4

x2 = 43 10 + 47 10 = 90 10 = 9

L={ -0,4 ; 9 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x -1 ) · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = a · ( 2 -1 ) · ( 2 -3 ) = -a =2.

Hieraus ergibt sich a=-2.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -2 ( x -1 ) · ( x -3 ) .