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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{11}{7})}^{2}$ = $\frac{4}{49}$

{(x + \frac{11}{7})}^{2}

=

\frac{4}{49}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + \frac{11}{7}

=

- \sqrt{\frac{4}{49}}

≈

- \frac{2}{7}

$x + \frac{11}{7}$	=	$- \frac{2}{7}$	\| $- \frac{11}{7}$
x₁	=	$- \frac{13}{7}$

2. Fall

x + \frac{11}{7}

=

\sqrt{\frac{4}{49}}

≈

\frac{2}{7}

$x + \frac{11}{7}$	=	$\frac{2}{7}$	\| $- \frac{11}{7}$
x₂	=	$- \frac{9}{7}$

L={ $- \frac{13}{7}$ ; $- \frac{9}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 4 x + 1$ = $(x - 2) \cdot (x - 8) + 21 x - 25$

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 4 x + 1$	=	$(x - 2) \cdot (x - 8) + 21 x - 25$
$2 x^{2} + 4 x + 1$	=	$x^{2} - 10 x + 16 + 21 x - 25$
$2 x^{2} + 4 x + 1$	=	$x^{2} + 11 x - 9$	\| $- x^{2}$ $- 11 x$ $+ 9$

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 19 x + 42$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 19 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 42}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 19+5}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 19-5}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 19 x + 42$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{19}{2} x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{4})}^{2} - 21$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $21$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $\frac{336}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{19}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{19}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{19}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

L={ $- 6$ ; $- 3,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 5)$ = $- 4 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} x \cdot (x - 5)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)