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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 3,5)}^{2}$ = $0,09$

{(x + 3,5)}^{2}

=

0,09

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 3,5

=

- \sqrt{0,09}

=

- 0,3

$x + 3,5$	=	$- 0,3$	\| $- 3,5$
x₁	=	$- 3,8$

2. Fall

x + 3,5

=

\sqrt{0,09}

=

0,3

$x + 3,5$	=	$0,3$	\| $- 3,5$
x₂	=	$- 3,2$

L={ $- 3,8$ ; $- 3,2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{1}{5} x - \frac{18}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{1}{5} x - \frac{18}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{1}{5} x - \frac{18}{5})$	=	0

$5 x^{2} + x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{361}}{10}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{361}}{10}$ = $\frac{- 1+19}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{361}}{10}$ = $\frac{- 1-19}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + x - 18$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{1}{5} x - \frac{18}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{10})}^{2} - (- \frac{18}{5})$ = $\frac{1}{100}$ $+$ $\frac{18}{5}$ = $\frac{1}{100}$ $+$ $\frac{360}{100}$ = $\frac{361}{100}$

x_1,2 = $- \frac{1}{10}$ ± $\sqrt{\frac{361}{100}}$

x₁ = $- \frac{1}{10}$ - $\frac{19}{10}$ = $- \frac{20}{10}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{10}$ + $\frac{19}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = 1.8

L={ $- 2$ ; $1,8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 12 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} - 12 x + 16

= 0 |:2

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 + 1)$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 3) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)