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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 2)}^{2} - 9$ = 0

${(x + 2)}^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
${(x + 2)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x + 2$	=	$- 3$	\| $- 2$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 2

=

\sqrt{9}

=

3

$x + 2$	=	$3$	\| $- 2$
x₂	=	$1$

L={ $- 5$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x + 5 + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 8 x + 5$ = 0 |: $4$

$x^{2} - 2 x + \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (\frac{5}{4})$ = $1$ $-$ $\frac{5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ $-$ $\frac{5}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 29 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 29 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 30}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 - 480}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{361}}{8}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{29+19}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = $6$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{29-19}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 29 x + 30$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{29}{4} x + \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{29}{8})}^{2} - (\frac{15}{2})$ = $\frac{841}{64}$ $-$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{841}{64}$ $-$ $\frac{480}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $\frac{29}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $\frac{29}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

x₂ = $\frac{29}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

L={ $1,25$ ; $6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 1))$ = $2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} x \cdot (x - 1)$ .

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quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)