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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 0,1 x^{2}$ = $- 0,9$

$- 0,1 x^{2}$	=	$- 0,9$	\|: $(- 0,1)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$12 x + 2 x^{2}$ = $54$

Lösung einblenden

2 x^{2} + 12 x

=

54

|

- 54

2 x^{2} + 12 x - 54

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6+12}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6-12}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 3$ - $6$ = -9

x₂ = $- 3$ + $6$ = 3

L={ $- 9$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 15 x + 50$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 15 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15+5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{15-5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

L={ $5$ ; $10$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 5)$ = $- 4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} x (x - 5)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)