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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $36$

$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

L={ $- 6$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 7 x + 6$ = $(4 x + 7) \cdot (x + 3) - 13 x - 9$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 7 x + 6$	=	$(4 x + 7) \cdot (x + 3) - 13 x - 9$
$5 x^{2} + 7 x + 6$	=	$4 x^{2} + 19 x + 21 - 13 x - 9$
$5 x^{2} + 7 x + 6$	=	$4 x^{2} + 6 x + 12$	\| $- 4 x^{2}$ $- 6 x$ $- 12$

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 29 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 29 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{29^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{841 + 384}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{1 225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 29 + \sqrt{1 225}}{8}$ = $\frac{- 29+35}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 29 - \sqrt{1 225}}{8}$ = $\frac{- 29-35}{8}$ = $\frac{- 64}{8}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 29 x - 24$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{29}{4} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{8})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{841}{64}$ $+$ $6$ = $\frac{841}{64}$ $+$ $\frac{384}{64}$ = $\frac{1225}{64}$

x_1,2 = $- \frac{29}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{64}}$

x₁ = $- \frac{29}{8}$ - $\frac{35}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{29}{8}$ + $\frac{35}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

L={ $- 8$ ; $0,75$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 5)$ = $- 3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x - 1) \cdot (x - 5)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)