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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 3,4)}^{2}$ = $0,01$

{(x + 3,4)}^{2}

=

0,01

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 3,4

=

- \sqrt{0,01}

=

- 0,1

$x + 3,4$	=	$- 0,1$	\| $- 3,4$
x₁	=	$- 3,5$

2. Fall

x + 3,4

=

\sqrt{0,01}

=

0,1

$x + 3,4$	=	$0,1$	\| $- 3,4$
x₂	=	$- 3,3$

L={ $- 3,5$ ; $- 3,3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 28 + 3 x + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 7$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 19 x - 63$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 19 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 1 008}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1 369}}{8}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 19+37}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = $2,25$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 19-37}{8}$ = $\frac{- 56}{8}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 19 x - 63$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{19}{4} x - \frac{63}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{8})}^{2} - (- \frac{63}{4})$ = $\frac{361}{64}$ $+$ $\frac{63}{4}$ = $\frac{361}{64}$ $+$ $\frac{1008}{64}$ = $\frac{1369}{64}$

x_1,2 = $- \frac{19}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{64}}$

x₁ = $- \frac{19}{8}$ - $\frac{37}{8}$ = $- \frac{56}{8}$ = -7

x₂ = $- \frac{19}{8}$ + $\frac{37}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = 2.25

L={ $- 7$ ; $2,25$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 3))$ = $4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} x \cdot (x - 3)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)