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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 36$ = 0

$4 x^{2} - 36$	=	0	\| $+ 36$
$4 x^{2}$	=	$36$	\|: $4$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x^{2} - 8 x + 5$ = $(- 7 x - 5) (x + 9) + 54 x + 42$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} - 8 x + 5$	=	$(- 7 x - 5) (x + 9) + 54 x + 42$
$- 6 x^{2} - 8 x + 5$	=	$- 7 x^{2} - 68 x - 45 + 54 x + 42$
$- 6 x^{2} - 8 x + 5$	=	$- 7 x^{2} - 14 x - 3$	\| $+ 7 x^{2}$ $+ 14 x$ $+ 3$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 2 x - 7$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 2 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{10}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{- 2+12}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{- 2-12}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 2 x - 7$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{2}{5} x - \frac{7}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{5})}^{2} - (- \frac{7}{5})$ = $\frac{1}{25}$ $+$ $\frac{7}{5}$ = $\frac{1}{25}$ $+$ $\frac{35}{25}$ = $\frac{36}{25}$

x_1,2 = $- \frac{1}{5}$ ± $\sqrt{\frac{36}{25}}$

x₁ = $- \frac{1}{5}$ - $\frac{6}{5}$ = $- \frac{7}{5}$ = -1.4

x₂ = $- \frac{1}{5}$ + $\frac{6}{5}$ = $\frac{5}{5}$ = 1

L={ $- 1,4$ ; $1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 3) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 3) (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)