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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $4 {(x - 2)}^{2} - 23$
und
$g(x) =$ $13$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$4 {(x - 2)}^{2} - 23$	=	$13$	\| $+ 23$
$4 {(x - 2)}^{2}$	=	$36$	\|: $4$
${(x - 2)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 2

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x - 2$	=	$- 3$	\| $+ 2$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 2

=

\sqrt{9}

=

3

$x - 2$	=	$3$	\| $+ 2$
x₂	=	$5$

L={ $- 1$ ; $5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $13$

g( $5$ ) = $13$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $13$ ) und S₂( $5$ | $13$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{17}{4} x + \frac{9}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{17}{4} x + \frac{9}{2}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{17}{4} x + \frac{9}{2})$	=	0

$4 x^{2} - 17 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 18}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1}}{8}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{17+1}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = $2,25$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{17-1}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 17 x + 18$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{17}{4} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{8})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $\frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $\frac{17}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = 2.25

L={ $2$ ; $2,25$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 8$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$2 x^{2}$	=	$8$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 1) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)