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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$0,3 x^{2} - 390$ = $690$

$0,3 x^{2} - 390$	=	$690$	\| $+ 390$
$0,3 x^{2}$	=	$1 080$	\|: $0,3$
$x^{2}$	=	$3 600$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{3 600}$	= $- 60$
x₂	=	$\sqrt{3 600}$	= $60$

L={ $- 60$ ; $60$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{2}{5} x - \frac{16}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{2}{5} x - \frac{16}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{2}{5} x - \frac{16}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 2 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 320}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{324}}{10}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{2+18}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{2-18}{10}$ = $\frac{- 16}{10}$ = $- 1,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 2 x - 16$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{2}{5} x - \frac{16}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{5})}^{2} - (- \frac{16}{5})$ = $\frac{1}{25}$ $+$ $\frac{16}{5}$ = $\frac{1}{25}$ $+$ $\frac{80}{25}$ = $\frac{81}{25}$

x_1,2 = $\frac{1}{5}$ ± $\sqrt{\frac{81}{25}}$

x₁ = $\frac{1}{5}$ - $\frac{9}{5}$ = $- \frac{8}{5}$ = -1.6

x₂ = $\frac{1}{5}$ + $\frac{9}{5}$ = $\frac{10}{5}$ = 2

L={ $- 1,6$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 8 x + 5$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 8 x + 5$ = 0 |: $4$

$x^{2} - 2 x + \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (\frac{5}{4})$ = $1$ $-$ $\frac{5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ $-$ $\frac{5}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 4)$ = $- 4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 1) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)