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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 4)}^{2}$ = 0

${(x + 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 4$	=	0

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 2 x^{2}$ = $6$

Lösung einblenden

2 x^{2} + x

=

6

|

- 6

$2 x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 1+7}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 1-7}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

L={ $- 2$ ; $1,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 21 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 21 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 10}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 21+19}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 21-19}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 21 x + 10$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{21}{2} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{4})}^{2} - 5$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $5$ = $\frac{441}{16}$ $-$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $- \frac{21}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $- \frac{21}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{21}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

L={ $- 10$ ; $- 0,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 1) (x - 1)$ .

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quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)