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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 2,2)}^{2}$ = $0,64$

{(x + 2,2)}^{2}

=

0,64

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 2,2

=

- \sqrt{0,64}

=

- 0,8

$x + 2,2$	=	$- 0,8$	\| $- 2,2$
x₁	=	$- 3$

2. Fall

x + 2,2

=

\sqrt{0,64}

=

0,8

$x + 2,2$	=	$0,8$	\| $- 2,2$
x₂	=	$- 1,4$

L={ $- 3$ ; $- 1,4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 5 x + 1$ = $(- 3 x + 9) \cdot (x - 4) - 30 x + 34$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} - 5 x + 1$	=	$(- 3 x + 9) \cdot (x - 4) - 30 x + 34$
$- 2 x^{2} - 5 x + 1$	=	$- 3 x^{2} + 21 x - 36 - 30 x + 34$
$- 2 x^{2} - 5 x + 1$	=	$- 3 x^{2} - 9 x - 2$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 9 x$ $+ 2$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 49 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 49 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{{(- 49)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{2 401 + 200}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 49 \pm \sqrt{2 601}}{10}$

x₁ = $\frac{49 + \sqrt{2 601}}{10}$ = $\frac{49+51}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = $10$

x₂ = $\frac{49 - \sqrt{2 601}}{10}$ = $\frac{49-51}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 49 x - 10$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{49}{5} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{49}{10})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{2401}{100}$ $+$ $2$ = $\frac{2401}{100}$ $+$ $\frac{200}{100}$ = $\frac{2601}{100}$

x_1,2 = $\frac{49}{10}$ ± $\sqrt{\frac{2601}{100}}$

x₁ = $\frac{49}{10}$ - $\frac{51}{10}$ = $- \frac{2}{10}$ = -0.2

x₂ = $\frac{49}{10}$ + $\frac{51}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = 10

L={ $- 0,2$ ; $10$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 1))$ = $2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} x \cdot (x - 1)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)