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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 3)}^{2} - 25$ = 0

${(x - 3)}^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
${(x - 3)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x - 3$	=	$- 5$	\| $+ 3$
x₁	=	$- 2$

2. Fall

x - 3

=

\sqrt{25}

=

5

$x - 3$	=	$5$	\| $+ 3$
x₂	=	$8$

L={ $- 2$ ; $8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 4 x + 7$ = $(4 x - 7) \cdot (x + 9) - 27 x + 85$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 4 x + 7$	=	$(4 x - 7) \cdot (x + 9) - 27 x + 85$
$5 x^{2} + 4 x + 7$	=	$4 x^{2} + 29 x - 63 - 27 x + 85$
$5 x^{2} + 4 x + 7$	=	$4 x^{2} + 2 x + 22$	\| $- 4 x^{2}$ $- 2 x$ $- 22$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 12 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 12 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 7}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{4}}{10}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{- 12+2}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{- 12-2}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 12 x + 7$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{12}{5} x + \frac{7}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{6}{5})}^{2} - (\frac{7}{5})$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{7}{5}$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{35}{25}$ = $\frac{1}{25}$

x_1,2 = $- \frac{6}{5}$ ± $\sqrt{\frac{1}{25}}$

x₁ = $- \frac{6}{5}$ - $\frac{1}{5}$ = $- \frac{7}{5}$ = -1.4

x₂ = $- \frac{6}{5}$ + $\frac{1}{5}$ = $- \frac{5}{5}$ = -1

L={ $- 1,4$ ; $- 1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 2) \cdot (- 3)$ = $3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x + 2) x$ .

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quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)