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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + \frac{69}{25}$ = $- \frac{78}{25}$

$- 3 x^{2} + \frac{69}{25}$	=	$- \frac{78}{25}$	\| $- \frac{69}{25}$
$- 3 x^{2}$	=	$- \frac{147}{25}$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$\frac{49}{25}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{49}{25}}$	= $- \frac{7}{5}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{49}{25}}$	= $\frac{7}{5}$

L={ $- \frac{7}{5}$ ; $\frac{7}{5}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{45}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{45}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{45}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 13 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{13+23}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{13-23}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 13 x - 45$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{45}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{45}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{45}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{360}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = 9

L={ $- 2,5$ ; $9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 20 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} - 20 x + 18

= 0 |:2

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

L={ $1$ ; $9$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-6|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 6 + 4) \cdot (- 6 + 2)$ = $8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)