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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{1}{4})}^{2}$ = $\frac{64}{16}$

${(x + \frac{1}{4})}^{2}$	=	$\frac{64}{16}$
${(x + \frac{1}{4})}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + \frac{1}{4}

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x + \frac{1}{4}$	=	$- 2$	\| $- \frac{1}{4}$
x₁	=	$- \frac{9}{4}$ = -2.25

2. Fall

x + \frac{1}{4}

=

\sqrt{4}

=

2

$x + \frac{1}{4}$	=	$2$	\| $- \frac{1}{4}$
x₂	=	$\frac{7}{4}$ = 1.75

L={ $- \frac{9}{4}$ ; $\frac{7}{4}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$64 - 16 x$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

- 16 x + 64

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 16 x + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{16}{2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 64$ = $64$ $-$ $64$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $8$ ± 0 = $8$

L={ $8$ }

$8$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 12 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 12 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 6$ ± 0 = $- 6$

L={ $- 6$ }

$- 6$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 2)$ = $2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x - 1) \cdot (x - 2)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)