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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 3,8)}^{2}$ = $0,01$

{(x + 3,8)}^{2}

=

0,01

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 3,8

=

- \sqrt{0,01}

=

- 0,1

$x + 3,8$	=	$- 0,1$	\| $- 3,8$
x₁	=	$- 3,9$

2. Fall

x + 3,8

=

\sqrt{0,01}

=

0,1

$x + 3,8$	=	$0,1$	\| $- 3,8$
x₂	=	$- 3,7$

L={ $- 3,9$ ; $- 3,7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 12 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

$- x^{2} + 12 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 12 x - 36$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

L={ $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 9 x - 2$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 9 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{10}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{10}$ = $\frac{9+11}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{10}$ = $\frac{9-11}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 9 x - 2$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{9}{5} x - \frac{2}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{10})}^{2} - (- \frac{2}{5})$ = $\frac{81}{100}$ $+$ $\frac{2}{5}$ = $\frac{81}{100}$ $+$ $\frac{40}{100}$ = $\frac{121}{100}$

x_1,2 = $\frac{9}{10}$ ± $\sqrt{\frac{121}{100}}$

x₁ = $\frac{9}{10}$ - $\frac{11}{10}$ = $- \frac{2}{10}$ = -0.2

x₂ = $\frac{9}{10}$ + $\frac{11}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = 2

L={ $- 0,2$ ; $2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 2) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)