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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $22 500$

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$x^{2}$	=	$22 500$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{22 500}$	= $- 150$
x₂	=	$\sqrt{22 500}$	= $150$

L={ $- 150$ ; $150$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 3 x + 2$ = $(- 2 x - 9) \cdot (x - 9) - 3 x - 79$

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$- x^{2} + 3 x + 2$	=	$(- 2 x - 9) \cdot (x - 9) - 3 x - 79$
$- x^{2} + 3 x + 2$	=	$- 2 x^{2} + 9 x + 81 - 3 x - 79$
$- x^{2} + 3 x + 2$	=	$- 2 x^{2} + 6 x + 2$	\| $- 2$
$- x^{2} + 3 x$	=	$- 2 x^{2} + 6 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 6 x)$
$- x^{2} + 2 x^{2} + 3 x - 6 x$	=	0
$x^{2} - 3 x$	=	0
$x \cdot (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

L={0; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 37 x - 30$ = 0

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$4 x^{2} + 37 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 + 480}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 849}}{8}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{1 849}}{8}$ = $\frac{- 37+43}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{1 849}}{8}$ = $\frac{- 37-43}{8}$ = $\frac{- 80}{8}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 37 x - 30$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{37}{4} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{37}{8})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{1369}{64}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{1369}{64}$ $+$ $\frac{480}{64}$ = $\frac{1849}{64}$

x_1,2 = $- \frac{37}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{64}}$

x₁ = $- \frac{37}{8}$ - $\frac{43}{8}$ = $- \frac{80}{8}$ = -10

x₂ = $- \frac{37}{8}$ + $\frac{43}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

L={ $- 10$ ; $0,75$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 x \cdot (x - 2)$ .