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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + \frac{16}{9}$ = $\frac{32}{9}$

$4 x^{2} + \frac{16}{9}$	=	$\frac{32}{9}$	\| $- \frac{16}{9}$
$4 x^{2}$	=	$\frac{16}{9}$	\|: $4$
$x^{2}$	=	$\frac{4}{9}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{4}{9}}$	≈ $- \frac{2}{3}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{4}{9}}$	≈ $\frac{2}{3}$

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $\frac{2}{3}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 35 x - 90$ = 0

Lösung einblenden

5 x^{2} + 35 x - 90

= 0 |:5

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 14 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 14 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 8}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{10}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{10}$ = $\frac{14+6}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{10}$ = $\frac{14-6}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 14 x + 8$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{5})}^{2} - (\frac{8}{5})$ = $\frac{49}{25}$ $-$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{49}{25}$ $-$ $\frac{40}{25}$ = $\frac{9}{25}$

x_1,2 = $\frac{7}{5}$ ± $\sqrt{\frac{9}{25}}$

x₁ = $\frac{7}{5}$ - $\frac{3}{5}$ = $\frac{4}{5}$ = 0.8

x₂ = $\frac{7}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $\frac{10}{5}$ = 2

L={ $0,8$ ; $2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 4)$ = $- 3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} x \cdot (x - 4)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)