Mathebattle EduRandomtasks

reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{16}{25}$

$x^{2}$	=	$\frac{16}{25}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{16}{25}}$	= $- \frac{4}{5}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{16}{25}}$	= $\frac{4}{5}$

L={ $- \frac{4}{5}$ ; $\frac{4}{5}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{37}{5} x - \frac{24}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{37}{5} x - \frac{24}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{37}{5} x - \frac{24}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 37 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 + 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 849}}{10}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{- 37+43}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{1 849}}{10}$ = $\frac{- 37-43}{10}$ = $\frac{- 80}{10}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 37 x - 24$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{37}{5} x - \frac{24}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{37}{10})}^{2} - (- \frac{24}{5})$ = $\frac{1369}{100}$ $+$ $\frac{24}{5}$ = $\frac{1369}{100}$ $+$ $\frac{480}{100}$ = $\frac{1849}{100}$

x_1,2 = $- \frac{37}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{100}}$

x₁ = $- \frac{37}{10}$ - $\frac{43}{10}$ = $- \frac{80}{10}$ = -8

x₂ = $- \frac{37}{10}$ + $\frac{43}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = 0.6

L={ $- 8$ ; $0,6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - x - 36$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{1+17}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{1-17}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 36$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $18$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{288}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

L={ $- 4$ ; $4,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 4) (x + 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)