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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2}$ = $- 9$

$- x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$90 - 28 x + 2 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} - 28 x + 90

= 0 |:2

$x^{2} - 14 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{14+4}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{14-4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 45$ = $49$ $-$ $45$ = $4$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $7$ - $2$ = 5

x₂ = $7$ + $2$ = 9

L={ $5$ ; $9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 39 x + 54$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 39 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 54}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 - 1 080}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{441}}{10}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{39+21}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{441}}{10}$ = $\frac{39-21}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 39 x + 54$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{39}{5} x + \frac{54}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{39}{10})}^{2} - (\frac{54}{5})$ = $\frac{1521}{100}$ $-$ $\frac{54}{5}$ = $\frac{1521}{100}$ $-$ $\frac{1080}{100}$ = $\frac{441}{100}$

x_1,2 = $\frac{39}{10}$ ± $\sqrt{\frac{441}{100}}$

x₁ = $\frac{39}{10}$ - $\frac{21}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = 1.8

x₂ = $\frac{39}{10}$ + $\frac{21}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = 6

L={ $1,8$ ; $6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 1) (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)