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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3 ( x +6 ) 2 -82 = -7

Lösung einblenden
3 ( x +6 ) 2 -82 = -7 | +82
3 ( x +6 ) 2 = 75 |:3
( x +6 ) 2 = 25 | ⋅2

1. Fall

x +6 = - 25 = -5
x +6 = -5 | -6
x1 = -11

2. Fall

x +6 = 25 = 5
x +6 = 5 | -6
x2 = -1

L={ -11 ; -1 }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 - 1 2 x - 1 2 = 0

Lösung einblenden
x 2 - 1 2 x - 1 2 = 0 |⋅ 2
2( x 2 - 1 2 x - 1 2 ) = 0

2 x 2 - x -1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 2 · ( -1 ) 2⋅2

x1,2 = +1 ± 1 +8 4

x1,2 = +1 ± 9 4

x1 = 1 + 9 4 = 1 +3 4 = 4 4 = 1

x2 = 1 - 9 4 = 1 -3 4 = -2 4 = -0,5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 x 2 - x -1 = 0 |: 2

x 2 - 1 2 x - 1 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 4 ) 2 - ( - 1 2 ) = 1 16 + 1 2 = 1 16 + 8 16 = 9 16

x1,2 = 1 4 ± 9 16

x1 = 1 4 - 3 4 = - 2 4 = -0.5

x2 = 1 4 + 3 4 = 4 4 = 1

L={ -0,5 ; 1 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 - x -3 = 0

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2 x 2 - x -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 2 · ( -3 ) 2⋅2

x1,2 = +1 ± 1 +24 4

x1,2 = +1 ± 25 4

x1 = 1 + 25 4 = 1 +5 4 = 6 4 = 1,5

x2 = 1 - 25 4 = 1 -5 4 = -4 4 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 x 2 - x -3 = 0 |: 2

x 2 - 1 2 x - 3 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 4 ) 2 - ( - 3 2 ) = 1 16 + 3 2 = 1 16 + 24 16 = 25 16

x1,2 = 1 4 ± 25 16

x1 = 1 4 - 5 4 = - 4 4 = -1

x2 = 1 4 + 5 4 = 6 4 = 1.5

L={ -1 ; 1,5 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

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Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(2|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +3 ) · ( x -2 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = a · ( -2 +3 ) · ( -2 -2 ) = -4a =-2.

Hieraus ergibt sich a= 1 2 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 1 2 ( x +3 ) ( x -2 ) .