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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 196$ = 0

$4 x^{2} - 196$	=	0	\| $+ 196$
$4 x^{2}$	=	$196$	\|: $4$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

L={ $- 7$ ; $7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = $(- 3 x + 6) \cdot (x + 4) + 5 x - 32$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$	=	$(- 3 x + 6) \cdot (x + 4) + 5 x - 32$
$- 2 x^{2} - 7 x - 3$	=	$- 3 x^{2} - 6 x + 24 + 5 x - 32$
$- 2 x^{2} - 7 x - 3$	=	$- 3 x^{2} - x - 8$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ x$ $+ 8$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

L={ $1$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 17 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 17 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 6}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{169}}{10}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{- 17+13}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{- 17-13}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 17 x + 6$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{17}{5} x + \frac{6}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{10})}^{2} - (\frac{6}{5})$ = $\frac{289}{100}$ $-$ $\frac{6}{5}$ = $\frac{289}{100}$ $-$ $\frac{120}{100}$ = $\frac{169}{100}$

x_1,2 = $- \frac{17}{10}$ ± $\sqrt{\frac{169}{100}}$

x₁ = $- \frac{17}{10}$ - $\frac{13}{10}$ = $- \frac{30}{10}$ = -3

x₂ = $- \frac{17}{10}$ + $\frac{13}{10}$ = $- \frac{4}{10}$ = -0.4

L={ $- 3$ ; $- 0,4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 5 + 4) \cdot (- 5 - 1)$ = $6 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 4) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)