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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 0,24$ = $- 2,19$

$- 3 x^{2} + 0,24$	=	$- 2,19$	\| $- 0,24$
$- 3 x^{2}$	=	$- 2,43$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$0,81$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{0,81}$	= $- 0,9$
x₂	=	$\sqrt{0,81}$	= $0,9$

L={ $- 0,9$ ; $0,9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 9 x - 7$ = $(- 5 x - 9) \cdot (x + 7) + 42 x + 44$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - 9 x - 7$	=	$(- 5 x - 9) \cdot (x + 7) + 42 x + 44$
$- 4 x^{2} - 9 x - 7$	=	$- 5 x^{2} - 44 x - 63 + 42 x + 44$
$- 4 x^{2} - 9 x - 7$	=	$- 5 x^{2} - 2 x - 19$	\| $+ 5 x^{2}$ $+ 2 x$ $+ 19$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $3$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 21 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 21 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 20}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 320}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{121}}{8}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{21+11}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{21-11}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 21 x + 20$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{21}{4} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{8})}^{2} - 5$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $5$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $\frac{320}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $\frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $\frac{21}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

x₂ = $\frac{21}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

L={ $1,25$ ; $4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)