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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x -0,8 ) 2 = 0,01

Lösung einblenden
( x -0,8 ) 2 = 0,01 | ⋅2

1. Fall

x -0,8 = - 0,01 = -0,1
x -0,8 = -0,1 | +0,8
x1 = 0,7

2. Fall

x -0,8 = 0,01 = 0,1
x -0,8 = 0,1 | +0,8
x2 = 0,9

L={ 0,7 ; 0,9 }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 - 43 5 x - 18 5 = 0

Lösung einblenden
x 2 - 43 5 x - 18 5 = 0 |⋅ 5
5( x 2 - 43 5 x - 18 5 ) = 0

5 x 2 -43x -18 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +43 ± ( -43 ) 2 -4 · 5 · ( -18 ) 2⋅5

x1,2 = +43 ± 1849 +360 10

x1,2 = +43 ± 2209 10

x1 = 43 + 2209 10 = 43 +47 10 = 90 10 = 9

x2 = 43 - 2209 10 = 43 -47 10 = -4 10 = -0,4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 -43x -18 = 0 |: 5

x 2 - 43 5 x - 18 5 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 43 10 ) 2 - ( - 18 5 ) = 1849 100 + 18 5 = 1849 100 + 360 100 = 2209 100

x1,2 = 43 10 ± 2209 100

x1 = 43 10 - 47 10 = - 4 10 = -0.4

x2 = 43 10 + 47 10 = 90 10 = 9

L={ -0,4 ; 9 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x 2 -23x -35 = 0

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4 x 2 -23x -35 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +23 ± ( -23 ) 2 -4 · 4 · ( -35 ) 2⋅4

x1,2 = +23 ± 529 +560 8

x1,2 = +23 ± 1089 8

x1 = 23 + 1089 8 = 23 +33 8 = 56 8 = 7

x2 = 23 - 1089 8 = 23 -33 8 = -10 8 = -1,25

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "4 " teilen:

4 x 2 -23x -35 = 0 |: 4

x 2 - 23 4 x - 35 4 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 23 8 ) 2 - ( - 35 4 ) = 529 64 + 35 4 = 529 64 + 560 64 = 1089 64

x1,2 = 23 8 ± 1089 64

x1 = 23 8 - 33 8 = - 10 8 = -1.25

x2 = 23 8 + 33 8 = 56 8 = 7

L={ -1,25 ; 7 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

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Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x -1 ) · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = a · ( 0 -1 ) · ( 0 -3 ) = 3a =-1.

Hieraus ergibt sich a= - 1 3 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= - 1 3 ( x -1 ) · ( x -3 ) .