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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{1}{4})}^{2}$ = $\frac{64}{16}$

${(x - \frac{1}{4})}^{2}$	=	$\frac{64}{16}$
${(x - \frac{1}{4})}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - \frac{1}{4}

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x - \frac{1}{4}$	=	$- 2$	\| $+ \frac{1}{4}$
x₁	=	$- \frac{7}{4}$ = -1.75

2. Fall

x - \frac{1}{4}

=

\sqrt{4}

=

2

$x - \frac{1}{4}$	=	$2$	\| $+ \frac{1}{4}$
x₂	=	$\frac{9}{4}$ = 2.25

L={ $- \frac{7}{4}$ ; $\frac{9}{4}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 23 x + 56$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 23 x + 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 56}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 448}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{23+9}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{23-9}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 23 x + 56$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{23}{2} x + 28$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{4})}^{2} - 28$ = $\frac{529}{16}$ $-$ $28$ = $\frac{529}{16}$ $-$ $\frac{448}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{23}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{23}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

x₂ = $\frac{23}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

L={ $3,5$ ; $8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 32 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 32 x - 36

= 0 |:4

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 4$ - $5$ = -9

x₂ = $- 4$ + $5$ = 1

L={ $- 9$ ; $1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 5)$ = $- 6 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x + 2) \cdot (x - 5)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)