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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 4)}^{2} - 17$ = $8$

${(x + 4)}^{2} - 17$	=	$8$	\| $+ 17$
${(x + 4)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x + 4$	=	$- 5$	\| $- 4$
x₁	=	$- 9$

2. Fall

x + 4

=

\sqrt{25}

=

5

$x + 4$	=	$5$	\| $- 4$
x₂	=	$1$

L={ $- 9$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{25}{16}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{25}{16}$	=	0	\|⋅ 16
$16 (x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{25}{16})$	=	0

$16 x^{2} - 40 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{1 600 - 1 600}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 40 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{40}{32}$ = $\frac{5}{4}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} - 40 x + 25$ = 0 |: $16$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{25}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (\frac{25}{16})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{25}{16}$ = $\frac{0}{16}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{5}{4}$ ± 0 = $\frac{5}{4}$

L={ $\frac{5}{4}$ }

$\frac{5}{4}$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 11 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 11 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 6}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{10}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{10}$ = $\frac{11+1}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = $1,2$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{10}$ = $\frac{11-1}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 11 x + 6$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{11}{5} x + \frac{6}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{10})}^{2} - (\frac{6}{5})$ = $\frac{121}{100}$ $-$ $\frac{6}{5}$ = $\frac{121}{100}$ $-$ $\frac{120}{100}$ = $\frac{1}{100}$

x_1,2 = $\frac{11}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1}{100}}$

x₁ = $\frac{11}{10}$ - $\frac{1}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = 1

x₂ = $\frac{11}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = 1.2

L={ $1$ ; $1,2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 1) (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)