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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 0,9)}^{2}$ = $0,09$

{(x - 0,9)}^{2}

=

0,09

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 0,9

=

- \sqrt{0,09}

=

- 0,3

$x - 0,9$	=	$- 0,3$	\| $+ 0,9$
x₁	=	$0,6$

2. Fall

x - 0,9

=

\sqrt{0,09}

=

0,3

$x - 0,9$	=	$0,3$	\| $+ 0,9$
x₂	=	$1,2$

L={ $0,6$ ; $1,2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{27}{5} x - \frac{18}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{27}{5} x - \frac{18}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{27}{5} x - \frac{18}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 27 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 + 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{1 089}}{10}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{27+33}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = $6$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{27-33}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 27 x - 18$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{27}{5} x - \frac{18}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{10})}^{2} - (- \frac{18}{5})$ = $\frac{729}{100}$ $+$ $\frac{18}{5}$ = $\frac{729}{100}$ $+$ $\frac{360}{100}$ = $\frac{1089}{100}$

x_1,2 = $\frac{27}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{100}}$

x₁ = $\frac{27}{10}$ - $\frac{33}{10}$ = $- \frac{6}{10}$ = -0.6

x₂ = $\frac{27}{10}$ + $\frac{33}{10}$ = $\frac{60}{10}$ = 6

L={ $- 0,6$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 48 x + 64$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 48 x + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{48^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 64}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{2 304 - 1 280}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{1 024}}{10}$

x₁ = $\frac{- 48 + \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{- 48+32}{10}$ = $\frac{- 16}{10}$ = $- 1,6$

x₂ = $\frac{- 48 - \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{- 48-32}{10}$ = $\frac{- 80}{10}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 48 x + 64$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{48}{5} x + \frac{64}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{24}{5})}^{2} - (\frac{64}{5})$ = $\frac{576}{25}$ $-$ $\frac{64}{5}$ = $\frac{576}{25}$ $-$ $\frac{320}{25}$ = $\frac{256}{25}$

x_1,2 = $- \frac{24}{5}$ ± $\sqrt{\frac{256}{25}}$

x₁ = $- \frac{24}{5}$ - $\frac{16}{5}$ = $- \frac{40}{5}$ = -8

x₂ = $- \frac{24}{5}$ + $\frac{16}{5}$ = $- \frac{8}{5}$ = -1.6

L={ $- 8$ ; $- 1,6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $x (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)