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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + \frac{1}{7}$ = $- \frac{57}{49}$

Lösung einblenden

$- x^{2} + \frac{1}{7}$	=	$- \frac{57}{49}$	\| $- \frac{1}{7}$
$- x^{2}$	=	$- \frac{64}{49}$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$\frac{64}{49}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{64}{49}}$	≈ $- \frac{8}{7}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{64}{49}}$	≈ $\frac{8}{7}$

L={ $- \frac{8}{7}$ ; $\frac{8}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 1 + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$- 1 + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 24 x + 37$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 24 x + 37$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 37}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 592}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 24 x + 37$ = 0 |: $4$

$x^{2} + 6 x + \frac{37}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (\frac{37}{4})$ = $9$ $-$ $\frac{37}{4}$ = $\frac{36}{4}$ $-$ $\frac{37}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 2 + 1) \cdot (- 2)$ = $2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 1) x$ .