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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 7)}^{2} + 3$
und
$g(x) =$ $4$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 7)}^{2} + 3$	=	$4$	\| $- 3$
${(x - 7)}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 7

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x - 7$	=	$- 1$	\| $+ 7$
x₁	=	$6$

2. Fall

x - 7

=

\sqrt{1}

=

1

$x - 7$	=	$1$	\| $+ 7$
x₂	=	$8$

L={ $6$ ; $8$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $6$ ) = $4$

g( $8$ ) = $4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $6$ | $4$ ) und S₂( $8$ | $4$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{27}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{27}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{27}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 3 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 3+15}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 3-15}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 27$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{27}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{27}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{27}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{216}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

L={ $- 4,5$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 17 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 17 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{17+23}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = $10$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{17-23}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 17 x - 30$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{17}{2} x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{4})}^{2} - (- 15)$ = $\frac{289}{16}$ $+$ $15$ = $\frac{289}{16}$ $+$ $\frac{240}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $\frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $\frac{17}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{17}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = 10

L={ $- 1,5$ ; $10$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 4)$ = $4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x - 1) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)