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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x + 5)}^{2} + 23$
und
$g(x) =$ $39$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x + 5)}^{2} + 23$	=	$39$	\| $- 23$
${(x + 5)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 5

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x + 5$	=	$- 4$	\| $- 5$
x₁	=	$- 9$

2. Fall

x + 5

=

\sqrt{16}

=

4

$x + 5$	=	$4$	\| $- 5$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 9$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 9$ ) = $39$

g( $- 1$ ) = $39$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 9$ | $39$ ) und S₂( $- 1$ | $39$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 6 + 4 x$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 17 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 17 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 18}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1}}{8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{- 17+1}{8}$ = $\frac{- 16}{8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{- 17-1}{8}$ = $\frac{- 18}{8}$ = $- 2,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 17 x + 18$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{17}{4} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{8})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $- \frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $- \frac{17}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $- \frac{18}{8}$ = -2.25

x₂ = $- \frac{17}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

L={ $- 2,25$ ; $- 2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 2) \cdot (- 3 - 5)$ = $8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 2) (x - 5)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)