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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 4,5)}^{2}$ = $0,16$

Lösung einblenden

{(x - 4,5)}^{2}

0,16

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 4,5

- \sqrt{0,16}

- 0,4

$x - 4,5$	=	$- 0,4$	\| $+ 4,5$
x₁	=	$4,1$

2. Fall

x - 4,5

\sqrt{0,16}

0,4

$x - 4,5$	=	$0,4$	\| $+ 4,5$
x₂	=	$4,9$

L={ $4,1$ ; $4,9$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{19}{2} x + 12$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{19}{2} x + 12$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{19}{2} x + 12)$	=	0

$2 x^{2} - 19 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{19+13}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{19-13}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

L={ $1,5$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 40 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

5 x^{2} + 40 x + 60

= 0 |:5

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 1) (x - 1)$ .