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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{14}{9})}^{2}$ = $\frac{1}{81}$

Lösung einblenden

{(x + \frac{14}{9})}^{2}

\frac{1}{81}

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + \frac{14}{9}

- \sqrt{\frac{1}{81}}

≈

- \frac{1}{9}

$x + \frac{14}{9}$	=	$- \frac{1}{9}$	\| $- \frac{14}{9}$
x₁	=	$- \frac{5}{3}$

2. Fall

x + \frac{14}{9}

\sqrt{\frac{1}{81}}

≈

\frac{1}{9}

$x + \frac{14}{9}$	=	$\frac{1}{9}$	\| $- \frac{14}{9}$
x₂	=	$- \frac{13}{9}$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- \frac{13}{9}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + x - 1$ = $(- 6 x - 8) \cdot (x - 8) - 42 x - 65$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + x - 1$	=	$(- 6 x - 8) \cdot (x - 8) - 42 x - 65$
$- 5 x^{2} + x - 1$	=	$- 6 x^{2} + 40 x + 64 - 42 x - 65$
$- 5 x^{2} + x - 1$	=	$- 6 x^{2} - 2 x - 1$	\| $+ 1$
$- 5 x^{2} + x$	=	$- 6 x^{2} - 2 x$	\| $- (- 6 x^{2} - 2 x)$
$- 5 x^{2} + 6 x^{2} + x + 2 x$	=	0
$x^{2} + 3 x$	=	0
$x \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $3$ - $5$ = -2

x₂ = $3$ + $5$ = 8

L={ $- 2$ ; $8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x - 1) \cdot (x - 3)$ .