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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{3}{8})}^{2}$ = $\frac{36}{64}$

${(x - \frac{3}{8})}^{2}$	=	$\frac{36}{64}$
${(x - \frac{3}{8})}^{2}$	=	$\frac{9}{16}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - \frac{3}{8}

=

- \sqrt{\frac{9}{16}}

=

- \frac{3}{4}

$x - \frac{3}{8}$	=	$- \frac{3}{4}$	\| $+ \frac{3}{8}$
x₁	=	$- \frac{3}{8}$

2. Fall

x - \frac{3}{8}

=

\sqrt{\frac{9}{16}}

=

\frac{3}{4}

$x - \frac{3}{8}$	=	$\frac{3}{4}$	\| $+ \frac{3}{8}$
x₂	=	$\frac{9}{8}$

L={ $- \frac{3}{8}$ ; $\frac{9}{8}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 64$ = $32 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 64

=

32 x

|

- 32 x

4 x^{2} - 32 x + 64

= 0 |:4

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 12 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 12 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{8}$ = $\frac{3}{2}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 12 x + 9$ = 0 |: $4$

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (\frac{9}{4})$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{0}{4}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{3}{2}$ ± 0 = $\frac{3}{2}$

L={ $\frac{3}{2}$ }

$\frac{3}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4)$ = $4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 3) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)