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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x + 3)}^{2}$
und
$g(x) =$ $1$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

{(x + 3)}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 3

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
x₁	=	$- 4$

2. Fall

x + 3

=

\sqrt{1}

=

1

$x + 3$	=	$1$	\| $- 3$
x₂	=	$- 2$

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 4$ ) = $1$

g( $- 2$ ) = $1$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 4$ | $1$ ) und S₂( $- 2$ | $1$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 8 - 15 x$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 15 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{15+17}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{15-17}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 15 x - 8$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $4$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

L={ $- 0,5$ ; $8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 17 x + 35$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 17 x + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 35}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{17+3}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{17-3}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 17 x + 35$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{17}{2} x + \frac{35}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{4})}^{2} - (\frac{35}{2})$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{35}{2}$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{280}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{17}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

x₂ = $\frac{17}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

L={ $3,5$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 3)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- x \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)