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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{16}{81}$

$x^{2}$	=	$\frac{16}{81}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{16}{81}}$	≈ $- \frac{4}{9}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{16}{81}}$	≈ $\frac{4}{9}$

L={ $- \frac{4}{9}$ ; $\frac{4}{9}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 6 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 6 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 10$ = $9$ $-$ $10$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 8 x - 21$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 8 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 420}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{484}}{10}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{- 8+22}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{- 8-22}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 8 x - 21$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{8}{5} x - \frac{21}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{5})}^{2} - (- \frac{21}{5})$ = $\frac{16}{25}$ $+$ $\frac{21}{5}$ = $\frac{16}{25}$ $+$ $\frac{105}{25}$ = $\frac{121}{25}$

x_1,2 = $- \frac{4}{5}$ ± $\sqrt{\frac{121}{25}}$

x₁ = $- \frac{4}{5}$ - $\frac{11}{5}$ = $- \frac{15}{5}$ = -3

x₂ = $- \frac{4}{5}$ + $\frac{11}{5}$ = $\frac{7}{5}$ = 1.4

L={ $- 3$ ; $1,4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 3) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)