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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} + \frac{256}{49}$ = $- \frac{68}{49}$

$- 4 x^{2} + \frac{256}{49}$	=	$- \frac{68}{49}$	\| $- \frac{256}{49}$
$- 4 x^{2}$	=	$- \frac{324}{49}$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$\frac{81}{49}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{81}{49}}$	≈ $- \frac{9}{7}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{81}{49}}$	≈ $\frac{9}{7}$

L={ $- \frac{9}{7}$ ; $\frac{9}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 30 x + 75$ = 0

Lösung einblenden

3 x^{2} - 30 x + 75

= 0 |:3

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 5 x - 7$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 5 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 5+9}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 5-9}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 7$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

L={ $- 3,5$ ; $1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 1)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 2) (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)