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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 4)}^{2} - 34$ = $- 9$

Lösung einblenden

${(x + 4)}^{2} - 34$	=	$- 9$	\| $+ 34$
${(x + 4)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

- \sqrt{25}

- 5

$x + 4$	=	$- 5$	\| $- 4$
x₁	=	$- 9$

2. Fall

x + 4

\sqrt{25}

5

$x + 4$	=	$5$	\| $- 4$
x₂	=	$1$

L={ $- 9$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} + 9 x + 7$ = $(9 x + 5) (x + 8) - 68 x - 24$

Lösung einblenden

$10 x^{2} + 9 x + 7$	=	$(9 x + 5) (x + 8) - 68 x - 24$
$10 x^{2} + 9 x + 7$	=	$9 x^{2} + 77 x + 40 - 68 x - 24$
$10 x^{2} + 9 x + 7$	=	$9 x^{2} + 9 x + 16$	\| $- 7$
$10 x^{2} + 9 x$	=	$9 x^{2} + 9 x + 9$	\| $- 9 x^{2}$ $- 9 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 19 x + 90$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 19 x + 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 90}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{19+1}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{19-1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{2})}^{2} - 90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{19}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

x₂ = $\frac{19}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

L={ $9$ ; $10$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 1)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 4) (x + 1)$ .