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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $144$

$x^{2}$	=	$144$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{144}$	= $- 12$
x₂	=	$\sqrt{144}$	= $12$

L={ $- 12$ ; $12$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} + 2 x - 9$ = $(6 x - 3) \cdot (x + 8) - 46 x + 13$

Lösung einblenden

$7 x^{2} + 2 x - 9$	=	$(6 x - 3) \cdot (x + 8) - 46 x + 13$
$7 x^{2} + 2 x - 9$	=	$6 x^{2} + 45 x - 24 - 46 x + 13$
$7 x^{2} + 2 x - 9$	=	$6 x^{2} - x - 11$	\| $- 6 x^{2}$ $+ x$ $+ 11$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 26 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 26 x - 14

= 0 |:2

$2 x^{2} - 13 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{13+15}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{13-15}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 13 x - 7$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = 7

L={ $- 0,5$ ; $7$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 2)$ = $2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x - 1) \cdot (x - 2)$ .

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reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)