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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{3}{2})}^{2}$ = $\frac{64}{36}$

${(x + \frac{3}{2})}^{2}$	=	$\frac{64}{36}$
${(x + \frac{3}{2})}^{2}$	=	$\frac{16}{9}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + \frac{3}{2}

=

- \sqrt{\frac{16}{9}}

≈

- \frac{4}{3}

$x + \frac{3}{2}$	=	$- \frac{4}{3}$	\| $- \frac{3}{2}$
x₁	=	$- \frac{17}{6}$

2. Fall

x + \frac{3}{2}

=

\sqrt{\frac{16}{9}}

≈

\frac{4}{3}

$x + \frac{3}{2}$	=	$\frac{4}{3}$	\| $- \frac{3}{2}$
x₂	=	$- \frac{1}{6}$

L={ $- \frac{17}{6}$ ; $- \frac{1}{6}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 2 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 2 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 2$ = $1$ $-$ $2$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 49 x + 72$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 49 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 72}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 - 1 440}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{961}}{10}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{961}}{10}$ = $\frac{- 49+31}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{961}}{10}$ = $\frac{- 49-31}{10}$ = $\frac{- 80}{10}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 49 x + 72$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{49}{5} x + \frac{72}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{49}{10})}^{2} - (\frac{72}{5})$ = $\frac{2401}{100}$ $-$ $\frac{72}{5}$ = $\frac{2401}{100}$ $-$ $\frac{1440}{100}$ = $\frac{961}{100}$

x_1,2 = $- \frac{49}{10}$ ± $\sqrt{\frac{961}{100}}$

x₁ = $- \frac{49}{10}$ - $\frac{31}{10}$ = $- \frac{80}{10}$ = -8

x₂ = $- \frac{49}{10}$ + $\frac{31}{10}$ = $- \frac{18}{10}$ = -1.8

L={ $- 8$ ; $- 1,8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 + 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 3) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)