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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 2,6)}^{2}$ = $0,25$

{(x - 2,6)}^{2}

=

0,25

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 2,6

=

- \sqrt{0,25}

=

- 0,5

$x - 2,6$	=	$- 0,5$	\| $+ 2,6$
x₁	=	$2,1$

2. Fall

x - 2,6

=

\sqrt{0,25}

=

0,5

$x - 2,6$	=	$0,5$	\| $+ 2,6$
x₂	=	$3,1$

L={ $2,1$ ; $3,1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 6 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

3 x^{2} - 6 x + 6

= 0 |:3

$x^{2} - 2 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 2$ = $1$ $-$ $2$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 8 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 8 x - 10

= 0 |:2

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

L={ $- 5$ ; $1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 - 4)$ = $8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 3) \cdot (x - 4)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)