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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 3,1)}^{2}$ = $0,01$

{(x + 3,1)}^{2}

=

0,01

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 3,1

=

- \sqrt{0,01}

=

- 0,1

$x + 3,1$	=	$- 0,1$	\| $- 3,1$
x₁	=	$- 3,2$

2. Fall

x + 3,1

=

\sqrt{0,01}

=

0,1

$x + 3,1$	=	$0,1$	\| $- 3,1$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 3,2$ ; $- 3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x - 24$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

5 x - 24

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 8$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 17 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 17 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{529}}{10}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{- 17+23}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = $0,6$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{529}}{10}$ = $\frac{- 17-23}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 17 x - 12$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{17}{5} x - \frac{12}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{10})}^{2} - (- \frac{12}{5})$ = $\frac{289}{100}$ $+$ $\frac{12}{5}$ = $\frac{289}{100}$ $+$ $\frac{240}{100}$ = $\frac{529}{100}$

x_1,2 = $- \frac{17}{10}$ ± $\sqrt{\frac{529}{100}}$

x₁ = $- \frac{17}{10}$ - $\frac{23}{10}$ = $- \frac{40}{10}$ = -4

x₂ = $- \frac{17}{10}$ + $\frac{23}{10}$ = $\frac{6}{10}$ = 0.6

L={ $- 4$ ; $0,6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 1) \cdot (x - 2)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)