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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 3)}^{2}$ = $0,36$

{(x - 3)}^{2}

=

0,36

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt{0,36}

=

- 0,6

$x - 3$	=	$- 0,6$	\| $+ 3$
x₁	=	$2,4$

2. Fall

x - 3

=

\sqrt{0,36}

=

0,6

$x - 3$	=	$0,6$	\| $+ 3$
x₂	=	$3,6$

L={ $2,4$ ; $3,6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 72$ = $- 23 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} - 72

=

- 23 x

|

+ 23 x

$4 x^{2} + 23 x - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 + 1 152}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{1 681}}{8}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{1 681}}{8}$ = $\frac{- 23+41}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = $2,25$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{1 681}}{8}$ = $\frac{- 23-41}{8}$ = $\frac{- 64}{8}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 23 x - 72$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{23}{4} x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{8})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{529}{64}$ $+$ $18$ = $\frac{529}{64}$ $+$ $\frac{1152}{64}$ = $\frac{1681}{64}$

x_1,2 = $- \frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{64}}$

x₁ = $- \frac{23}{8}$ - $\frac{41}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{23}{8}$ + $\frac{41}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = 2.25

L={ $- 8$ ; $2,25$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $- 2$ ; $9$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 5 + 4) \cdot (- 5 - 3)$ = $8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 4) \cdot (x - 3)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)