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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $25$

$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 6 + 11 x$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 11 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 6}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{8}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{- 11+5}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{- 11-5}{8}$ = $\frac{- 16}{8}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 11 x + 6$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{11}{4} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{8})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{121}{64}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{121}{64}$ $-$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{25}{64}$

x_1,2 = $- \frac{11}{8}$ ± $\sqrt{\frac{25}{64}}$

x₁ = $- \frac{11}{8}$ - $\frac{5}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{11}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

L={ $- 2$ ; $- 0,75$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 38 x + 21$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 38 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 38 \pm \sqrt{38^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 21}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 38 \pm \sqrt{1 444 - 420}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 38 \pm \sqrt{1 024}}{10}$

x₁ = $\frac{- 38 + \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{- 38+32}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

x₂ = $\frac{- 38 - \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{- 38-32}{10}$ = $\frac{- 70}{10}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 38 x + 21$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{38}{5} x + \frac{21}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{5})}^{2} - (\frac{21}{5})$ = $\frac{361}{25}$ $-$ $\frac{21}{5}$ = $\frac{361}{25}$ $-$ $\frac{105}{25}$ = $\frac{256}{25}$

x_1,2 = $- \frac{19}{5}$ ± $\sqrt{\frac{256}{25}}$

x₁ = $- \frac{19}{5}$ - $\frac{16}{5}$ = $- \frac{35}{5}$ = -7

x₂ = $- \frac{19}{5}$ + $\frac{16}{5}$ = $- \frac{3}{5}$ = -0.6

L={ $- 7$ ; $- 0,6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 2 + 1) \cdot (- 2 - 1)$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 1) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)