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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2}$ = $- 32$

$- 2 x^{2}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 14 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

$- x^{2} + 14 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 14+6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 14-6}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 14 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 14 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $7$ - $3$ = 4

x₂ = $7$ + $3$ = 10

L={ $4$ ; $10$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 15 x + 28$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 15 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 28}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{15+1}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{15-1}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 15 x + 28$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x + 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - 14$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $14$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{224}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

L={ $3,5$ ; $4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 2))$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} x \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)