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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - \frac{20}{49}$ = $\frac{142}{49}$

$2 x^{2} - \frac{20}{49}$	=	$\frac{142}{49}$	\| $+ \frac{20}{49}$
$2 x^{2}$	=	$\frac{162}{49}$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$\frac{81}{49}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{81}{49}}$	≈ $- \frac{9}{7}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{81}{49}}$	≈ $\frac{9}{7}$

L={ $- \frac{9}{7}$ ; $\frac{9}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$28 x + 49 + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 28 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 49}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 784}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 28}{8}$ = $- \frac{7}{2}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 28 x + 49$ = 0 |: $4$

$x^{2} + 7 x + \frac{49}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (\frac{49}{4})$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{49}{4}$ = $\frac{0}{4}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- \frac{7}{2}$ ± 0 = $- \frac{7}{2}$

L={ $- \frac{7}{2}$ }

$- \frac{7}{2}$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 18 x + 80$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 18 x + 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 18 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 18+2}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{- 18 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 18-2}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 80$ = $81$ $-$ $80$ = $1$

x_1,2 = $- 9$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 9$ - $1$ = -10

x₂ = $- 9$ + $1$ = -8

L={ $- 10$ ; $- 8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 1)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 4) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)