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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 3)}^{2} - 4$ = 0

${(x + 3)}^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
${(x + 3)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 3

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x + 3$	=	$- 2$	\| $- 3$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 3

=

\sqrt{4}

=

2

$x + 3$	=	$2$	\| $- 3$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{27}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{27}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{27}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 540}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{576}}{10}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{6+24}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = $3$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{6-24}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 6 x - 27$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{27}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{5})}^{2} - (- \frac{27}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{27}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{135}{25}$ = $\frac{144}{25}$

x_1,2 = $\frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{144}{25}}$

x₁ = $\frac{3}{5}$ - $\frac{12}{5}$ = $- \frac{9}{5}$ = -1.8

x₂ = $\frac{3}{5}$ + $\frac{12}{5}$ = $\frac{15}{5}$ = 3

L={ $- 1,8$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 36 x + 82$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 36 x + 82

= 0 |:2

$2 x^{2} - 18 x + 41$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 41}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 328}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 18 x + 41$ = 0 |: $2$

$x^{2} - 9 x + \frac{41}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - (\frac{41}{2})$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{41}{2}$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{82}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 4) (x + 2)$ .

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quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)