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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{5}{3})}^{2}$ = $\frac{16}{9}$

Lösung einblenden

{(x - \frac{5}{3})}^{2}

\frac{16}{9}

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{5}{3}

- \sqrt{\frac{16}{9}}

≈

- \frac{4}{3}

$x - \frac{5}{3}$	=	$- \frac{4}{3}$	\| $+ \frac{5}{3}$
x₁	=	$\frac{1}{3}$

2. Fall

x - \frac{5}{3}

\sqrt{\frac{16}{9}}

≈

\frac{4}{3}

$x - \frac{5}{3}$	=	$\frac{4}{3}$	\| $+ \frac{5}{3}$
x₂	=	$3$

L={ $\frac{1}{3}$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} + 5 x - 5$ = $(6 x - 2) (x + 6) - 28 x + 7$

Lösung einblenden

$7 x^{2} + 5 x - 5$	=	$(6 x - 2) (x + 6) - 28 x + 7$
$7 x^{2} + 5 x - 5$	=	$6 x^{2} + 34 x - 12 - 28 x + 7$
$7 x^{2} + 5 x - 5$	=	$6 x^{2} + 6 x - 5$	\| $+ 5$
$7 x^{2} + 5 x$	=	$6 x^{2} + 6 x$	\| $- (6 x^{2} + 6 x)$
$7 x^{2} - 6 x^{2} + 5 x - 6 x$	=	0
$x^{2} - x$	=	0
$x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

L={0; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11+5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11-5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

L={ $3$ ; $8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 4 + 2) \cdot (- 4)$ = $8 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 2) x$ .