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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2}$ = $144$

$4 x^{2}$	=	$144$	\|: $4$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

L={ $- 6$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 90 - 41 x + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 41 x - 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{{(- 41)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 90)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{1 681 + 1 800}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{3 481}}{10}$

x₁ = $\frac{41 + \sqrt{3 481}}{10}$ = $\frac{41+59}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = $10$

x₂ = $\frac{41 - \sqrt{3 481}}{10}$ = $\frac{41-59}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 41 x - 90$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{41}{5} x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{41}{10})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{1681}{100}$ $+$ $18$ = $\frac{1681}{100}$ $+$ $\frac{1800}{100}$ = $\frac{3481}{100}$

x_1,2 = $\frac{41}{10}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{100}}$

x₁ = $\frac{41}{10}$ - $\frac{59}{10}$ = $- \frac{18}{10}$ = -1.8

x₂ = $\frac{41}{10}$ + $\frac{59}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = 10

L={ $- 1,8$ ; $10$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 45 x + 81$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 45 x + 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 45 \pm \sqrt{{(- 45)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 81}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 45 \pm \sqrt{2 025 - 1 296}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 45 \pm \sqrt{729}}{8}$

x₁ = $\frac{45 + \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{45+27}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = $9$

x₂ = $\frac{45 - \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{45-27}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = $2,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 45 x + 81$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{45}{4} x + \frac{81}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{45}{8})}^{2} - (\frac{81}{4})$ = $\frac{2025}{64}$ $-$ $\frac{81}{4}$ = $\frac{2025}{64}$ $-$ $\frac{1296}{64}$ = $\frac{729}{64}$

x_1,2 = $\frac{45}{8}$ ± $\sqrt{\frac{729}{64}}$

x₁ = $\frac{45}{8}$ - $\frac{27}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = 2.25

x₂ = $\frac{45}{8}$ + $\frac{27}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = 9

L={ $2,25$ ; $9$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 x \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)