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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 {(x - 5)}^{2} - 5$
und
$g(x) =$ $- 13$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 2 {(x - 5)}^{2} - 5$	=	$- 13$	\| $+ 5$
$- 2 {(x - 5)}^{2}$	=	$- 8$	\|: $(- 2)$
${(x - 5)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 5

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x - 5$	=	$- 2$	\| $+ 5$
x₁	=	$3$

2. Fall

x - 5

=

\sqrt{4}

=

2

$x - 5$	=	$2$	\| $+ 5$
x₂	=	$7$

L={ $3$ ; $7$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 13$

g( $7$ ) = $- 13$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $3$ | $- 13$ ) und S₂( $7$ | $- 13$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 2 x - 5$ = $(x - 1) \cdot (x - 4) + 16 x - 29$

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 2 x - 5$	=	$(x - 1) \cdot (x - 4) + 16 x - 29$
$2 x^{2} + 2 x - 5$	=	$x^{2} - 5 x + 4 + 16 x - 29$
$2 x^{2} + 2 x - 5$	=	$x^{2} + 11 x - 25$	\| $- x^{2}$ $- 11 x$ $+ 25$

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $4$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 17 x - 42$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 17 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 672}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{961}}{8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{961}}{8}$ = $\frac{- 17+31}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{961}}{8}$ = $\frac{- 17-31}{8}$ = $\frac{- 48}{8}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 17 x - 42$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{17}{4} x - \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{8})}^{2} - (- \frac{21}{2})$ = $\frac{289}{64}$ $+$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{289}{64}$ $+$ $\frac{672}{64}$ = $\frac{961}{64}$

x_1,2 = $- \frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{961}{64}}$

x₁ = $- \frac{17}{8}$ - $\frac{31}{8}$ = $- \frac{48}{8}$ = -6

x₂ = $- \frac{17}{8}$ + $\frac{31}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = 1.75

L={ $- 6$ ; $1,75$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 x \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)