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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 2)}^{2} - 9$ = 0

${(x - 2)}^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
${(x - 2)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 2

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x - 2$	=	$- 3$	\| $+ 2$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 2

=

\sqrt{9}

=

3

$x - 2$	=	$3$	\| $+ 2$
x₂	=	$5$

L={ $- 1$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$101 + 25 x^{2} + 100 x$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} + 100 x + 101$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 100 \pm \sqrt{100^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 101}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 100 \pm \sqrt{10 000 - 10 100}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 100 \pm \sqrt{(- 100)}}{50}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} + 100 x + 101$ = 0 |: $25$

$x^{2} + 4 x + \frac{101}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (\frac{101}{25})$ = $4$ $-$ $\frac{101}{25}$ = $\frac{100}{25}$ $-$ $\frac{101}{25}$ = $- \frac{1}{25}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 44 x + 63$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 44 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{{(- 44)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 63}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{1 936 - 1 260}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{676}}{10}$

x₁ = $\frac{44 + \sqrt{676}}{10}$ = $\frac{44+26}{10}$ = $\frac{70}{10}$ = $7$

x₂ = $\frac{44 - \sqrt{676}}{10}$ = $\frac{44-26}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 44 x + 63$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{44}{5} x + \frac{63}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{22}{5})}^{2} - (\frac{63}{5})$ = $\frac{484}{25}$ $-$ $\frac{63}{5}$ = $\frac{484}{25}$ $-$ $\frac{315}{25}$ = $\frac{169}{25}$

x_1,2 = $\frac{22}{5}$ ± $\sqrt{\frac{169}{25}}$

x₁ = $\frac{22}{5}$ - $\frac{13}{5}$ = $\frac{9}{5}$ = 1.8

x₂ = $\frac{22}{5}$ + $\frac{13}{5}$ = $\frac{35}{5}$ = 7

L={ $1,8$ ; $7$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|3).
Es gilt dann ja: y = 3,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 - 5)$ = $9 a$ =3.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x + 3) \cdot (x - 5)$ .

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quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)