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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2}$ = $- 20$

$- 5 x^{2}$	=	$- 20$	\|: $(- 5)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} - 7 x + 9$ = $(- 9 x + 8) \cdot (x - 7) - 74 x + 70$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} - 7 x + 9$	=	$(- 9 x + 8) \cdot (x - 7) - 74 x + 70$
$- 8 x^{2} - 7 x + 9$	=	$- 9 x^{2} + 71 x - 56 - 74 x + 70$
$- 8 x^{2} - 7 x + 9$	=	$- 9 x^{2} - 3 x + 14$	\| $+ 9 x^{2}$ $+ 3 x$ $- 14$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

L={ $- 1$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 13 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 13 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 13+19}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 13-19}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x - 24$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $12$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{192}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

L={ $- 8$ ; $1,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 3)$ = $2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x - 2) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)