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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $16 900$

$x^{2}$	=	$16 900$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16 900}$	= $- 130$
x₂	=	$\sqrt{16 900}$	= $130$

L={ $- 130$ ; $130$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 9$ = $6 x$

Lösung einblenden

x^{2} + 9

=

6 x

|

- 6 x

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 13 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 13 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 13+5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 13-5}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

L={ $- 9$ ; $- 4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x + 1) \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)