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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $1 600$

$x^{2}$	=	$1 600$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1 600}$	= $- 40$
x₂	=	$\sqrt{1 600}$	= $40$

L={ $- 40$ ; $40$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 + 4 x^{2}$ = $35 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} - 9

=

35 x

|

- 35 x

$4 x^{2} - 35 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 + 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 369}}{8}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{35+37}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = $9$

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{35-37}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 35 x - 9$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{35}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{35}{8})}^{2} - (- \frac{9}{4})$ = $\frac{1225}{64}$ $+$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{1225}{64}$ $+$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{1369}{64}$

x_1,2 = $\frac{35}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{64}}$

x₁ = $\frac{35}{8}$ - $\frac{37}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{35}{8}$ + $\frac{37}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = 9

L={ $- 0,25$ ; $9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} - 100 x + 100$ = 0

Lösung einblenden

25 x^{2} - 100 x + 100

= 0 |:25

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 1) (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)