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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + \frac{1}{7}$ = $- \frac{18}{49}$

$- x^{2} + \frac{1}{7}$	=	$- \frac{18}{49}$	\| $- \frac{1}{7}$
$- x^{2}$	=	$- \frac{25}{49}$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$\frac{25}{49}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{25}{49}}$	≈ $- \frac{5}{7}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{25}{49}}$	≈ $\frac{5}{7}$

L={ $- \frac{5}{7}$ ; $\frac{5}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} + 4 x + 5$ = $(6 x - 1) \cdot (x - 4) + 30 x + 3$

Lösung einblenden

$7 x^{2} + 4 x + 5$	=	$(6 x - 1) \cdot (x - 4) + 30 x + 3$
$7 x^{2} + 4 x + 5$	=	$6 x^{2} - 25 x + 4 + 30 x + 3$
$7 x^{2} + 4 x + 5$	=	$6 x^{2} + 5 x + 7$	\| $- 6 x^{2}$ $- 5 x$ $- 7$

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 9 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 9 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{9+7}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = $2$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{9-7}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 9 x + 2$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{8})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{32}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $\frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $\frac{9}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{9}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

L={ $0,25$ ; $2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 3)$ = $- 2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} x \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)