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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 4)}^{2}$ = $0,64$

{(x - 4)}^{2}

=

0,64

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt{0,64}

=

- 0,8

$x - 4$	=	$- 0,8$	\| $+ 4$
x₁	=	$3,2$

2. Fall

x - 4

=

\sqrt{0,64}

=

0,8

$x - 4$	=	$0,8$	\| $+ 4$
x₂	=	$4,8$

L={ $3,2$ ; $4,8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 48 x - 195$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} + 48 x - 195

= 0 |:3

$- x^{2} + 16 x - 65$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 65)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 260}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 16 x - 65$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 16 x + 65$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 65$ = $64$ $-$ $65$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 21 x - 20$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 21 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 + 400}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{841}}{10}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{21+29}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{841}}{10}$ = $\frac{21-29}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 21 x - 20$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{21}{5} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{10})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{441}{100}$ $+$ $4$ = $\frac{441}{100}$ $+$ $\frac{400}{100}$ = $\frac{841}{100}$

x_1,2 = $\frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{841}{100}}$

x₁ = $\frac{21}{10}$ - $\frac{29}{10}$ = $- \frac{8}{10}$ = -0.8

x₂ = $\frac{21}{10}$ + $\frac{29}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = 5

L={ $- 0,8$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 5 + 4) \cdot (- 5 - 1)$ = $6 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x + 4) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)