Mathebattle EduRandomtasks

reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{11}{32}$ = $\frac{3}{64}$

$x^{2} - \frac{11}{32}$	=	$\frac{3}{64}$	\| $+ \frac{11}{32}$
$x^{2}$	=	$\frac{25}{64}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{25}{64}}$	≈ $- \frac{5}{8}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{25}{64}}$	≈ $\frac{5}{8}$

L={ $- \frac{5}{8}$ ; $\frac{5}{8}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{49}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{49}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{49}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 7 x - 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 49)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 392}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 7+21}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 7-21}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x - 49$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - \frac{49}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{49}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{49}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{392}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

L={ $- 7$ ; $3,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} + 70 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} + 70 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 70 \pm \sqrt{70^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 49}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 70 \pm \sqrt{4 900 - 4 900}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 70 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 70}{50}$ = $- \frac{7}{5}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} + 70 x + 49$ = 0 |: $25$

$x^{2} + \frac{14}{5} x + \frac{49}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{5})}^{2} - (\frac{49}{25})$ = $\frac{49}{25}$ $-$ $\frac{49}{25}$ = $\frac{0}{25}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- \frac{7}{5}$ ± 0 = $- \frac{7}{5}$

L={ $- \frac{7}{5}$ }

$- \frac{7}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 1)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 4) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)