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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{169}{25}$

$x^{2}$	=	$\frac{169}{25}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{169}{25}}$	= $- \frac{13}{5}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{169}{25}}$	= $\frac{13}{5}$

L={ $- \frac{13}{5}$ ; $\frac{13}{5}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 3 x - 5$ = $(- 3 x + 9) \cdot (x - 2) - 4 x - 3$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + 3 x - 5$	=	$(- 3 x + 9) \cdot (x - 2) - 4 x - 3$
$- 2 x^{2} + 3 x - 5$	=	$- 3 x^{2} + 15 x - 18 - 4 x - 3$
$- 2 x^{2} + 3 x - 5$	=	$- 3 x^{2} + 11 x - 21$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 11 x$ $+ 21$

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 6 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} - 6 x - 36

= 0 |:2

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

L={ $- 3$ ; $6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 1) \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)