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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{11}{6})}^{2}$ = $\frac{9}{36}$

${(x + \frac{11}{6})}^{2}$	=	$\frac{9}{36}$
${(x + \frac{11}{6})}^{2}$	=	$\frac{1}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + \frac{11}{6}

=

- \sqrt{\frac{1}{4}}

=

- \frac{1}{2}

$x + \frac{11}{6}$	=	$- \frac{1}{2}$	\| $- \frac{11}{6}$
x₁	=	$- \frac{7}{3}$

2. Fall

x + \frac{11}{6}

=

\sqrt{\frac{1}{4}}

=

\frac{1}{2}

$x + \frac{11}{6}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $- \frac{11}{6}$
x₂	=	$- \frac{4}{3}$

L={ $- \frac{7}{3}$ ; $- \frac{4}{3}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 + 4 x^{2} + x$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{8}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{8}$ = $\frac{- 1+9}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{8}$ = $\frac{- 1-9}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + x - 5$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{8})}^{2} - (- \frac{5}{4})$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{5}{4}$ = $\frac{1}{64}$ $+$ $\frac{80}{64}$ = $\frac{81}{64}$

x_1,2 = $- \frac{1}{8}$ ± $\sqrt{\frac{81}{64}}$

x₁ = $- \frac{1}{8}$ - $\frac{9}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

x₂ = $- \frac{1}{8}$ + $\frac{9}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

L={ $- 1,25$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 12 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 12 x + 16

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 3)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $x (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)