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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $0,04$

$x^{2}$	=	$0,04$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{0,04}$	= $- 0,2$
x₂	=	$\sqrt{0,04}$	= $0,2$

L={ $- 0,2$ ; $0,2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{23}{2} x + \frac{45}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{23}{2} x + \frac{45}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{23}{2} x + \frac{45}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 23 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 45}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 23+13}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 23-13}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 23 x + 45$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{23}{2} x + \frac{45}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{4})}^{2} - (\frac{45}{2})$ = $\frac{529}{16}$ $-$ $\frac{45}{2}$ = $\frac{529}{16}$ $-$ $\frac{360}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{23}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{23}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{36}{4}$ = -9

x₂ = $- \frac{23}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

L={ $- 9$ ; $- 2,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 8 x + 17$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 8 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 17$ = $16$ $-$ $17$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 2)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 x (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)