Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{2}{7})}^{2}$ = $\frac{4}{49}$

{(x - \frac{2}{7})}^{2}

=

\frac{4}{49}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{2}{7}

=

- \sqrt{\frac{4}{49}}

≈

- \frac{2}{7}

$x - \frac{2}{7}$	=	$- \frac{2}{7}$	\| $+ \frac{2}{7}$
x₁	=	0

2. Fall

x - \frac{2}{7}

=

\sqrt{\frac{4}{49}}

≈

\frac{2}{7}

$x - \frac{2}{7}$	=	$\frac{2}{7}$	\| $+ \frac{2}{7}$
x₂	=	$\frac{4}{7}$

L={0; $\frac{4}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} + 7 x + 8$ = $(9 x - 3) (x - 7) + 70 x - 13$

Lösung einblenden

$10 x^{2} + 7 x + 8$	=	$(9 x - 3) (x - 7) + 70 x - 13$
$10 x^{2} + 7 x + 8$	=	$9 x^{2} - 66 x + 21 + 70 x - 13$
$10 x^{2} + 7 x + 8$	=	$9 x^{2} + 4 x + 8$	\| $- 8$
$10 x^{2} + 7 x$	=	$9 x^{2} + 4 x$	\| $- (9 x^{2} + 4 x)$
$10 x^{2} - 9 x^{2} + 7 x - 4 x$	=	0
$x^{2} + 3 x$	=	0
$x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 20 x + 26$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 20 x + 26

= 0 |:2

$2 x^{2} - 10 x + 13$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 13}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 10 x + 13$ = 0 |: $2$

$x^{2} - 5 x + \frac{13}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (\frac{13}{2})$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{13}{2}$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{26}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 - 1)$ = $- 3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x + 3) (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)