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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 0,1 x^{2} + 240$ = $- 10$

$- 0,1 x^{2} + 240$	=	$- 10$	\| $- 240$
$- 0,1 x^{2}$	=	$- 250$	\|: $(- 0,1)$
$x^{2}$	=	$2 500$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{2 500}$	= $- 50$
x₂	=	$\sqrt{2 500}$	= $50$

L={ $- 50$ ; $50$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 9 x + 2$ = $(4 x + 8) \cdot (x - 1) + 4$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 9 x + 2$	=	$(4 x + 8) \cdot (x - 1) + 4$
$5 x^{2} + 9 x + 2$	=	$4 x^{2} + 4 x - 8 + 4$
$5 x^{2} + 9 x + 2$	=	$4 x^{2} + 4 x - 4$	\| $- 4 x^{2}$ $- 4 x$ $+ 4$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 33 x + 54$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 33 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{{(- 33)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 54}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{1 089 - 864}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{225}}{8}$

x₁ = $\frac{33 + \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{33+15}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = $6$

x₂ = $\frac{33 - \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{33-15}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = $2,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 33 x + 54$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{33}{4} x + \frac{27}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{8})}^{2} - (\frac{27}{2})$ = $\frac{1089}{64}$ $-$ $\frac{27}{2}$ = $\frac{1089}{64}$ $-$ $\frac{864}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $\frac{33}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $\frac{33}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = 2.25

x₂ = $\frac{33}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

L={ $2,25$ ; $6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)