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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= -2 ( x -7 ) 2
und
g(x)= -2 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

-2 ( x -7 ) 2 = -2 |: ( -2 )
( x -7 ) 2 = 1 | 2

1. Fall

x -7 = - 1 = -1
x -7 = -1 | +7
x1 = 6

2. Fall

x -7 = 1 = 1
x -7 = 1 | +7
x2 = 8

L={ 6 ; 8 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( 6 ) = -2

g( 8 ) = -2

Die Schnittpunkte sind also S1( 6 | -2 ) und S2( 8 | -2 ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 + 3 2 x - 27 2 = 0

Lösung einblenden
x 2 + 3 2 x - 27 2 = 0 |⋅ 2
2( x 2 + 3 2 x - 27 2 ) = 0

2 x 2 +3x -27 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 2 · ( -27 ) 22

x1,2 = -3 ± 9 +216 4

x1,2 = -3 ± 225 4

x1 = -3 + 225 4 = -3 +15 4 = 12 4 = 3

x2 = -3 - 225 4 = -3 -15 4 = -18 4 = -4,5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 x 2 +3x -27 = 0 |: 2

x 2 + 3 2 x - 27 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 4 ) 2 - ( - 27 2 ) = 9 16 + 27 2 = 9 16 + 216 16 = 225 16

x1,2 = - 3 4 ± 225 16

x1 = - 3 4 - 15 4 = - 18 4 = -4.5

x2 = - 3 4 + 15 4 = 12 4 = 3

L={ -4,5 ; 3 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x 2 -11x -21 = 0

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2 x 2 -11x -21 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +11 ± ( -11 ) 2 -4 · 2 · ( -21 ) 22

x1,2 = +11 ± 121 +168 4

x1,2 = +11 ± 289 4

x1 = 11 + 289 4 = 11 +17 4 = 28 4 = 7

x2 = 11 - 289 4 = 11 -17 4 = -6 4 = -1,5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 x 2 -11x -21 = 0 |: 2

x 2 - 11 2 x - 21 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 11 4 ) 2 - ( - 21 2 ) = 121 16 + 21 2 = 121 16 + 168 16 = 289 16

x1,2 = 11 4 ± 289 16

x1 = 11 4 - 17 4 = - 6 4 = -1.5

x2 = 11 4 + 17 4 = 28 4 = 7

L={ -1,5 ; 7 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +3 ) · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = a · ( -1 +3 ) · ( -1 -3 ) = -8a =-2.

Hieraus ergibt sich a= 1 4 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 1 4 ( x +3 ) ( x -3 ) .