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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{4}{7})}^{2}$ = $\frac{9}{49}$

{(x - \frac{4}{7})}^{2}

=

\frac{9}{49}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{4}{7}

=

- \sqrt{\frac{9}{49}}

≈

- \frac{3}{7}

$x - \frac{4}{7}$	=	$- \frac{3}{7}$	\| $+ \frac{4}{7}$
x₁	=	$\frac{1}{7}$

2. Fall

x - \frac{4}{7}

=

\sqrt{\frac{9}{49}}

≈

\frac{3}{7}

$x - \frac{4}{7}$	=	$\frac{3}{7}$	\| $+ \frac{4}{7}$
x₂	=	$1$

L={ $\frac{1}{7}$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{27}{4} x + \frac{9}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{27}{4} x + \frac{9}{2}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - \frac{27}{4} x + \frac{9}{2})$	=	0

$4 x^{2} - 27 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 18}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 288}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{441}}{8}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{27+21}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = $6$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{27-21}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 27 x + 18$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{27}{4} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{8})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $\frac{27}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $\frac{27}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{27}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

L={ $0,75$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 - 1) \cdot (- 1 - 3)$ = $8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)