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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 0,03$ = $0,03$

$x^{2} + 0,03$	=	$0,03$	\| $- 0,03$
$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$23 x + 30$ = $- 2 x^{2}$

Lösung einblenden

23 x + 30

=

- 2 x^{2}

|

+ 2 x^{2}

$2 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 240}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 23+17}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 23-17}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 23 x + 30$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{23}{2} x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{4})}^{2} - 15$ = $\frac{529}{16}$ $-$ $15$ = $\frac{529}{16}$ $-$ $\frac{240}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{23}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{23}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{23}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

L={ $- 10$ ; $- 1,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 - 1)$ = $- 4 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 4) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)