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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $0,36$

$x^{2}$	=	$0,36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{0,36}$	= $- 0,6$
x₂	=	$\sqrt{0,36}$	= $0,6$

L={ $- 0,6$ ; $0,6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{22}{5} x + \frac{8}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{22}{5} x + \frac{8}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{22}{5} x + \frac{8}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 22 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 8}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{324}}{10}$

x₁ = $\frac{- 22 + \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{- 22+18}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

x₂ = $\frac{- 22 - \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{- 22-18}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 22 x + 8$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{22}{5} x + \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{5})}^{2} - (\frac{8}{5})$ = $\frac{121}{25}$ $-$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{121}{25}$ $-$ $\frac{40}{25}$ = $\frac{81}{25}$

x_1,2 = $- \frac{11}{5}$ ± $\sqrt{\frac{81}{25}}$

x₁ = $- \frac{11}{5}$ - $\frac{9}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{5}$ + $\frac{9}{5}$ = $- \frac{2}{5}$ = -0.4

L={ $- 4$ ; $- 0,4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 11 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 11 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 11+13}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 11-13}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x - 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

L={ $- 6$ ; $0,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 - 4)$ = $- 6 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 3) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)