Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 3)}^{2} + 18$
und
$g(x) =$ $34$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 3)}^{2} + 18$	=	$34$	\| $- 18$
${(x - 3)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x - 3$	=	$- 4$	\| $+ 3$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 3

=

\sqrt{16}

=

4

$x - 3$	=	$4$	\| $+ 3$
x₂	=	$7$

L={ $- 1$ ; $7$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 1$ ) = $34$

g( $7$ ) = $34$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 1$ | $34$ ) und S₂( $7$ | $34$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} - 7 x + 8$ = $(- 8 x + 5) \cdot (x - 1) - 20 x + 38$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} - 7 x + 8$	=	$(- 8 x + 5) \cdot (x - 1) - 20 x + 38$
$- 7 x^{2} - 7 x + 8$	=	$- 8 x^{2} + 13 x - 5 - 20 x + 38$
$- 7 x^{2} - 7 x + 8$	=	$- 8 x^{2} - 7 x + 33$	\| $- 8$
$- 7 x^{2} - 7 x$	=	$- 8 x^{2} - 7 x + 25$	\| $+ 8 x^{2}$ $+ 7 x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 21 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 21 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 + 288}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{729}}{8}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{21+27}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = $6$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{21-27}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 21 x - 18$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{21}{4} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{8})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{729}{64}$

x_1,2 = $\frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{729}{64}}$

x₁ = $\frac{21}{8}$ - $\frac{27}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{21}{8}$ + $\frac{27}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

L={ $- 0,75$ ; $6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 2 + 1) \cdot (- 2 - 4)$ = $6 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 1) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)