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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{36}{64}$

$x^{2}$	=	$\frac{36}{64}$
$x^{2}$	=	$\frac{9}{16}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{9}{16}}$	= $- \frac{3}{4}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{9}{16}}$	= $\frac{3}{4}$

L={ $- \frac{3}{4}$ ; $\frac{3}{4}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 36 x - 96$ = 0

Lösung einblenden

- 3 x^{2} + 36 x - 96

= 0 |:3

$- x^{2} + 12 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 12+4}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 12-4}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 12 x - 32$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 12 x + 32$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 32$ = $36$ $-$ $32$ = $4$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $6$ - $2$ = 4

x₂ = $6$ + $2$ = 8

L={ $4$ ; $8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 34 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 34 x - 18

= 0 |:2

$2 x^{2} - 17 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{17+19}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{17-19}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 17 x - 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{17}{2} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{4})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{289}{16}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{289}{16}$ $+$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $\frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $\frac{17}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{17}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = 9

L={ $- 0,5$ ; $9$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 1)$ = $- 2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x + 4) \cdot (x + 1)$ .

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reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)