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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 6)}^{2}$
und
$g(x) =$ $16$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

{(x - 6)}^{2}

=

16

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 6

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x - 6$	=	$- 4$	\| $+ 6$
x₁	=	$2$

2. Fall

x - 6

=

\sqrt{16}

=

4

$x - 6$	=	$4$	\| $+ 6$
x₂	=	$10$

L={ $2$ ; $10$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $16$

g( $10$ ) = $16$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $2$ | $16$ ) und S₂( $10$ | $16$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{28}{5} x + 3$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{28}{5} x + 3$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{28}{5} x + 3)$	=	0

$5 x^{2} + 28 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 15}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 300}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{484}}{10}$

x₁ = $\frac{- 28 + \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{- 28+22}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

x₂ = $\frac{- 28 - \sqrt{484}}{10}$ = $\frac{- 28-22}{10}$ = $\frac{- 50}{10}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 28 x + 15$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{28}{5} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{14}{5})}^{2} - 3$ = $\frac{196}{25}$ $-$ $3$ = $\frac{196}{25}$ $-$ $\frac{75}{25}$ = $\frac{121}{25}$

x_1,2 = $- \frac{14}{5}$ ± $\sqrt{\frac{121}{25}}$

x₁ = $- \frac{14}{5}$ - $\frac{11}{5}$ = $- \frac{25}{5}$ = -5

x₂ = $- \frac{14}{5}$ + $\frac{11}{5}$ = $- \frac{3}{5}$ = -0.6

L={ $- 5$ ; $- 0,6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 13 x - 70$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 13 x - 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 560}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 13+27}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 13-27}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x - 70$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - 35$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- 35)$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $35$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{560}{16}$ = $\frac{729}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{729}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{27}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{27}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

L={ $- 10$ ; $3,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 2) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)