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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 0,08$ = $- 0,08$

$- 4 x^{2} - 0,08$	=	$- 0,08$	\| $+ 0,08$
$- 4 x^{2}$	=	$0$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{4}{5} x + \frac{4}{25}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{4}{5} x + \frac{4}{25}$	=	0	\|⋅ 25
$25 (x^{2} - \frac{4}{5} x + \frac{4}{25})$	=	0

$25 x^{2} - 20 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 4}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{50}$ = $\frac{2}{5}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} - 20 x + 4$ = 0 |: $25$

$x^{2} - \frac{4}{5} x + \frac{4}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{5})}^{2} - (\frac{4}{25})$ = $\frac{4}{25}$ $-$ $\frac{4}{25}$ = $\frac{0}{25}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{2}{5}$ ± 0 = $\frac{2}{5}$

L={ $\frac{2}{5}$ }

$\frac{2}{5}$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 13 x - 70$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 13 x - 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 560}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 13+27}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 13-27}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x - 70$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - 35$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- 35)$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $35$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{560}{16}$ = $\frac{729}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{729}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{27}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{27}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

L={ $- 10$ ; $3,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 2))$ = $3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} x \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)