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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{7}{9})}^{2}$ = $\frac{64}{81}$

{(x - \frac{7}{9})}^{2}

=

\frac{64}{81}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{7}{9}

=

- \sqrt{\frac{64}{81}}

≈

- \frac{8}{9}

$x - \frac{7}{9}$	=	$- \frac{8}{9}$	\| $+ \frac{7}{9}$
x₁	=	$- \frac{1}{9}$

2. Fall

x - \frac{7}{9}

=

\sqrt{\frac{64}{81}}

≈

\frac{8}{9}

$x - \frac{7}{9}$	=	$\frac{8}{9}$	\| $+ \frac{7}{9}$
x₂	=	$\frac{5}{3}$

L={ $- \frac{1}{9}$ ; $\frac{5}{3}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 18 x + x^{2} + 81$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 18 x + 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{18}{2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 9)}^{2} - 81$ = $81$ $-$ $81$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $9$ ± 0 = $9$

L={ $9$ }

$9$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 7 x - 72$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 7 x - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 576}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{625}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 7+25}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{- 7-25}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x - 72$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $36$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{576}{16}$ = $\frac{625}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{625}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{25}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{25}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

L={ $- 8$ ; $4,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 3)$ = $2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x - 2) \cdot (x - 3)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)