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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- {(x + 5)}^{2}$
und
$g(x) =$ $- 4$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- {(x + 5)}^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
${(x + 5)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 5

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x + 5$	=	$- 2$	\| $- 5$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 5

=

\sqrt{4}

=

2

$x + 5$	=	$2$	\| $- 5$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 7$ ) = $- 4$

g( $- 3$ ) = $- 4$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 7$ | $- 4$ ) und S₂( $- 3$ | $- 4$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 8 x + 5$ = $(x - 5) (x - 8) + x - 38$

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 8 x + 5$	=	$(x - 5) (x - 8) + x - 38$
$2 x^{2} - 8 x + 5$	=	$x^{2} - 13 x + 40 + x - 38$
$2 x^{2} - 8 x + 5$	=	$x^{2} - 12 x + 2$	\| $- x^{2}$ $+ 12 x$ $- 2$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 40 x + 101$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 40 x + 101$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 101}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{1 600 - 1 616}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 40 \pm \sqrt{(- 16)}}{8}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 40 x + 101$ = 0 |: $4$

$x^{2} + 10 x + \frac{101}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (\frac{101}{4})$ = $25$ $-$ $\frac{101}{4}$ = $\frac{100}{4}$ $-$ $\frac{101}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 4) (x + 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)