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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{16}{9})}^{2}$ = $\frac{81}{81}$

${(x - \frac{16}{9})}^{2}$	=	$\frac{81}{81}$
${(x - \frac{16}{9})}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - \frac{16}{9}

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x - \frac{16}{9}$	=	$- 1$	\| $+ \frac{16}{9}$
x₁	=	$\frac{7}{9}$

2. Fall

x - \frac{16}{9}

=

\sqrt{1}

=

1

$x - \frac{16}{9}$	=	$1$	\| $+ \frac{16}{9}$
x₂	=	$\frac{25}{9}$

L={ $\frac{7}{9}$ ; $\frac{25}{9}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 2 x - 3$ = $(- 3 x + 3) \cdot (x - 5) - 17 x + 32$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + 2 x - 3$	=	$(- 3 x + 3) \cdot (x - 5) - 17 x + 32$
$- 2 x^{2} + 2 x - 3$	=	$- 3 x^{2} + 18 x - 15 - 17 x + 32$
$- 2 x^{2} + 2 x - 3$	=	$- 3 x^{2} + x + 17$	\| $+ 3 x^{2}$ $- x$ $- 17$

$x^{2} + x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 5$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 13 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 13 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{13+3}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{13-3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 13 x + 20$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - 10$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $10$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{160}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

L={ $2,5$ ; $4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 2) x$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)