Mathebattle EduRandomtasks

reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 36$ = 0

$- x^{2} + 36$	=	0	\| $- 36$
$- x^{2}$	=	$- 36$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

L={ $- 6$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$50 - 56 x + 16 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

16 x^{2} - 56 x + 50

= 0 |:2

$8 x^{2} - 28 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 25}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 800}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{(- 16)}}{16}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 28 x + 25$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{25}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (\frac{25}{8})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{25}{8}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{50}{16}$ = $- \frac{1}{16}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 19 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 19 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 18}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1}}{10}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1}}{10}$ = $\frac{- 19+1}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1}}{10}$ = $\frac{- 19-1}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 19 x + 18$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{19}{5} x + \frac{18}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{10})}^{2} - (\frac{18}{5})$ = $\frac{361}{100}$ $-$ $\frac{18}{5}$ = $\frac{361}{100}$ $-$ $\frac{360}{100}$ = $\frac{1}{100}$

x_1,2 = $- \frac{19}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1}{100}}$

x₁ = $- \frac{19}{10}$ - $\frac{1}{10}$ = $- \frac{20}{10}$ = -2

x₂ = $- \frac{19}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $- \frac{18}{10}$ = -1.8

L={ $- 2$ ; $- 1,8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 4)$ = $4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x - 1) (x - 4)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)