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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 4,6)}^{2}$ = $0,81$

{(x - 4,6)}^{2}

=

0,81

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 4,6

=

- \sqrt{0,81}

=

- 0,9

$x - 4,6$	=	$- 0,9$	\| $+ 4,6$
x₁	=	$3,7$

2. Fall

x - 4,6

=

\sqrt{0,81}

=

0,9

$x - 4,6$	=	$0,9$	\| $+ 4,6$
x₂	=	$5,5$

L={ $3,7$ ; $5,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{25}{2} x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{25}{2} x + 36$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{25}{2} x + 36)$	=	0

$2 x^{2} - 25 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 72}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 576}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{25+7}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{25-7}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 25 x + 72$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{25}{2} x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{4})}^{2} - 36$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $36$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $\frac{576}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{25}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{25}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

x₂ = $\frac{25}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

L={ $4,5$ ; $8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 14 x + 48$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 14 x + 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14+2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14-2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 48$ = $49$ $-$ $48$ = $1$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $7$ - $1$ = 6

x₂ = $7$ + $1$ = 8

L={ $6$ ; $8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 4)$ = $- 2 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x - 1) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)