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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{3}{5})}^{2}$ = $\frac{81}{25}$

{(x - \frac{3}{5})}^{2}

=

\frac{81}{25}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{3}{5}

=

- \sqrt{\frac{81}{25}}

=

- \frac{9}{5}

$x - \frac{3}{5}$	=	$- \frac{9}{5}$	\| $+ \frac{3}{5}$
x₁	=	$- \frac{6}{5}$ = -1.2

2. Fall

x - \frac{3}{5}

=

\sqrt{\frac{81}{25}}

=

\frac{9}{5}

$x - \frac{3}{5}$	=	$\frac{9}{5}$	\| $+ \frac{3}{5}$
x₂	=	$\frac{12}{5}$ = 2.4

L={ $- \frac{6}{5}$ ; $\frac{12}{5}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 10 + 3 x$ = $- 4 x^{2}$

Lösung einblenden

3 x - 10

=

- 4 x^{2}

|

+ 4 x^{2}

$4 x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{8}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{- 3+13}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{- 3-13}{8}$ = $\frac{- 16}{8}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 3 x - 10$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{8})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{160}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $- \frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $- \frac{3}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

L={ $- 2$ ; $1,25$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 3 x - 1$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 3 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{8}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{3+5}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{3-5}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 3 x - 1$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{8})}^{2} - (- \frac{1}{4})$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{16}{64}$ = $\frac{25}{64}$

x_1,2 = $\frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{25}{64}}$

x₁ = $\frac{3}{8}$ - $\frac{5}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{3}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

L={ $- 0,25$ ; $1$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 + 1)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 3) \cdot (x + 1)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)