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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 52$ = $2$

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 52$	=	$2$	\| $- 52$
$- 2 {(x + 2)}^{2}$	=	$- 50$	\|: $(- 2)$
${(x + 2)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x + 2$	=	$- 5$	\| $- 2$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 2

=

\sqrt{25}

=

5

$x + 2$	=	$5$	\| $- 2$
x₂	=	$3$

L={ $- 7$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} - 8 x + 9$ = $(6 x - 7) \cdot (x - 2) + 5 x - 10$

Lösung einblenden

$7 x^{2} - 8 x + 9$	=	$(6 x - 7) \cdot (x - 2) + 5 x - 10$
$7 x^{2} - 8 x + 9$	=	$6 x^{2} - 19 x + 14 + 5 x - 10$
$7 x^{2} - 8 x + 9$	=	$6 x^{2} - 14 x + 4$	\| $- 6 x^{2}$ $+ 14 x$ $- 4$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + x - 21$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 1+13}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 1-13}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 21$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{21}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

L={ $- 3,5$ ; $3$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

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quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)