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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 4 {(x + 4)}^{2} + 8$
und
$g(x) =$ $- 28$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 4 {(x + 4)}^{2} + 8$	=	$- 28$	\| $- 8$
$- 4 {(x + 4)}^{2}$	=	$- 36$	\|: $(- 4)$
${(x + 4)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x + 4$	=	$- 3$	\| $- 4$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 4

=

\sqrt{9}

=

3

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 7$ ) = $- 28$

g( $- 1$ ) = $- 28$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 7$ | $- 28$ ) und S₂( $- 1$ | $- 28$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} - 5 x - 4$ = $(9 x - 8) \cdot (x + 4) - 33 x + 37$

Lösung einblenden

$10 x^{2} - 5 x - 4$	=	$(9 x - 8) \cdot (x + 4) - 33 x + 37$
$10 x^{2} - 5 x - 4$	=	$9 x^{2} + 28 x - 32 - 33 x + 37$
$10 x^{2} - 5 x - 4$	=	$9 x^{2} - 5 x + 5$	\| $+ 4$
$10 x^{2} - 5 x$	=	$9 x^{2} - 5 x + 9$	\| $- 9 x^{2}$ $+ 5 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 15 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 15 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 14}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1}}{8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{15+1}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = $2$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{15-1}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 15 x + 14$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{15}{4} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{8})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{224}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $\frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $\frac{15}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = 1.75

x₂ = $\frac{15}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

L={ $1,75$ ; $2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 - 2)$ = $- 4 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 3) \cdot (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)