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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{5}{7})}^{2}$ = $\frac{1}{49}$

Lösung einblenden

{(x - \frac{5}{7})}^{2}

\frac{1}{49}

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{5}{7}

- \sqrt{\frac{1}{49}}

≈

- \frac{1}{7}

$x - \frac{5}{7}$	=	$- \frac{1}{7}$	\| $+ \frac{5}{7}$
x₁	=	$\frac{4}{7}$

2. Fall

x - \frac{5}{7}

\sqrt{\frac{1}{49}}

≈

\frac{1}{7}

$x - \frac{5}{7}$	=	$\frac{1}{7}$	\| $+ \frac{5}{7}$
x₂	=	$\frac{6}{7}$

L={ $\frac{4}{7}$ ; $\frac{6}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 25$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 9 x - 56$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 9 x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 448}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 9+23}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 9-23}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x - 56$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x - 28$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $28$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{448}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

L={ $- 8$ ; $3,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 2) x$ .