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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2}$ = $243$

$3 x^{2}$	=	$243$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$81$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{81}$	= $- 9$
x₂	=	$\sqrt{81}$	= $9$

L={ $- 9$ ; $9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 6 x - 9$ = $(- 3 x + 7) (x - 4) - 5 x + 4$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + 6 x - 9$	=	$(- 3 x + 7) (x - 4) - 5 x + 4$
$- 2 x^{2} + 6 x - 9$	=	$- 3 x^{2} + 19 x - 28 - 5 x + 4$
$- 2 x^{2} + 6 x - 9$	=	$- 3 x^{2} + 14 x - 24$	\| $+ 3 x^{2}$ $- 14 x$ $+ 24$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 19 x - 5$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 19 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{441}}{8}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{- 19+21}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{- 19-21}{8}$ = $\frac{- 40}{8}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 19 x - 5$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{19}{4} x - \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{8})}^{2} - (- \frac{5}{4})$ = $\frac{361}{64}$ $+$ $\frac{5}{4}$ = $\frac{361}{64}$ $+$ $\frac{80}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $- \frac{19}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $- \frac{19}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $- \frac{40}{8}$ = -5

x₂ = $- \frac{19}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

L={ $- 5$ ; $0,25$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 4)$ = $- 2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x - 1) (x - 4)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)