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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{5}{3})}^{2}$ = $\frac{25}{9}$

{(x + \frac{5}{3})}^{2}

=

\frac{25}{9}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + \frac{5}{3}

=

- \sqrt{\frac{25}{9}}

≈

- \frac{5}{3}

$x + \frac{5}{3}$	=	$- \frac{5}{3}$	\| $- \frac{5}{3}$
x₁	=	$- \frac{10}{3}$

2. Fall

x + \frac{5}{3}

=

\sqrt{\frac{25}{9}}

≈

\frac{5}{3}

$x + \frac{5}{3}$	=	$\frac{5}{3}$	\| $- \frac{5}{3}$
x₂	=	0

L={ $- \frac{10}{3}$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 35 x + 4 x^{2} - 9$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 35 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 + 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 369}}{8}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{35+37}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = $9$

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{35-37}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 35 x - 9$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{35}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{35}{8})}^{2} - (- \frac{9}{4})$ = $\frac{1225}{64}$ $+$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{1225}{64}$ $+$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{1369}{64}$

x_1,2 = $\frac{35}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{64}}$

x₁ = $\frac{35}{8}$ - $\frac{37}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{35}{8}$ + $\frac{37}{8}$ = $\frac{72}{8}$ = 9

L={ $- 0,25$ ; $9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 25 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

5 x^{2} + 25 x + 30

= 0 |:5

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 - 4)$ = $8 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 3) \cdot (x - 4)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)