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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x + 7)}^{2} + 12$
und
$g(x) =$ $16$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x + 7)}^{2} + 12$	=	$16$	\| $- 12$
${(x + 7)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 7

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x + 7$	=	$- 2$	\| $- 7$
x₁	=	$- 9$

2. Fall

x + 7

=

\sqrt{4}

=

2

$x + 7$	=	$2$	\| $- 7$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 9$ ; $- 5$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 9$ ) = $16$

g( $- 5$ ) = $16$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 9$ | $16$ ) und S₂( $- 5$ | $16$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{45}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{45}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{45}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 13 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{13+23}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{13-23}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 13 x - 45$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x - \frac{45}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{45}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{45}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{360}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = 9

L={ $- 2,5$ ; $9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 16 x + 65$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 16 x + 65$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 260}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 65$ = $64$ $-$ $65$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 2) \cdot (- 3 + 1)$ = $2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 2) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)