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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} + 4$ = 0

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$- 4 x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 4 x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} - 7 x + 6$ = $(- 9 x - 5) \cdot (x - 9) - 83 x - 30$

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$- 8 x^{2} - 7 x + 6$	=	$(- 9 x - 5) \cdot (x - 9) - 83 x - 30$
$- 8 x^{2} - 7 x + 6$	=	$- 9 x^{2} + 76 x + 45 - 83 x - 30$
$- 8 x^{2} - 7 x + 6$	=	$- 9 x^{2} - 7 x + 15$	\| $- 6$
$- 8 x^{2} - 7 x$	=	$- 9 x^{2} - 7 x + 9$	\| $+ 9 x^{2}$ $+ 7 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 12 x - 32$ = 0

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$5 x^{2} + 12 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 640}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{784}}{10}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{784}}{10}$ = $\frac{- 12+28}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{784}}{10}$ = $\frac{- 12-28}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 12 x - 32$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{12}{5} x - \frac{32}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{6}{5})}^{2} - (- \frac{32}{5})$ = $\frac{36}{25}$ $+$ $\frac{32}{5}$ = $\frac{36}{25}$ $+$ $\frac{160}{25}$ = $\frac{196}{25}$

x_1,2 = $- \frac{6}{5}$ ± $\sqrt{\frac{196}{25}}$

x₁ = $- \frac{6}{5}$ - $\frac{14}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $- \frac{6}{5}$ + $\frac{14}{5}$ = $\frac{8}{5}$ = 1.6

L={ $- 4$ ; $1,6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 2 + 1) \cdot (- 2)$ = $2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 1) x$ .