Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 4)}^{2} - 15$ = $1$

${(x - 4)}^{2} - 15$	=	$1$	\| $+ 15$
${(x - 4)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
x₁	=	0

2. Fall

x - 4

=

\sqrt{16}

=

4

$x - 4$	=	$4$	\| $+ 4$
x₂	=	$8$

L={0; $8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 9$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{13}{2} x + 9)$	=	0

$2 x^{2} + 13 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 13+5}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 13-5}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x + 18$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - 9$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $9$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

L={ $- 4,5$ ; $- 2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 8 x + 17$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 8 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 17$ = $16$ $-$ $17$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|-3).
Es gilt dann ja: y = -3,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 - 5)$ = $9 a$ =-3.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 3) (x - 5)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)