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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 0,1 x^{2} - 60$ = $- 60$

$- 0,1 x^{2} - 60$	=	$- 60$	\| $+ 60$
$- 0,1 x^{2}$	=	$0$	\|: $(- 0,1)$
$x^{2}$	=	$\frac{0}{0,1}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} - 5 x + 1$ = $(6 x + 2) (x - 9) + 57 x - 6$

Lösung einblenden

$7 x^{2} - 5 x + 1$	=	$(6 x + 2) (x - 9) + 57 x - 6$
$7 x^{2} - 5 x + 1$	=	$6 x^{2} - 52 x - 18 + 57 x - 6$
$7 x^{2} - 5 x + 1$	=	$6 x^{2} + 5 x - 24$	\| $- 6 x^{2}$ $- 5 x$ $+ 24$

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 32 x + 35$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 32 x + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 35}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 700}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{324}}{10}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{- 32+18}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{- 32-18}{10}$ = $\frac{- 50}{10}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 32 x + 35$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{32}{5} x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{16}{5})}^{2} - 7$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $7$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{175}{25}$ = $\frac{81}{25}$

x_1,2 = $- \frac{16}{5}$ ± $\sqrt{\frac{81}{25}}$

x₁ = $- \frac{16}{5}$ - $\frac{9}{5}$ = $- \frac{25}{5}$ = -5

x₂ = $- \frac{16}{5}$ + $\frac{9}{5}$ = $- \frac{7}{5}$ = -1.4

L={ $- 5$ ; $- 1,4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 3)$ = $2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x - 2) (x - 3)$ .

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reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)