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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 5)}^{2} + 24$ = $25$

Lösung einblenden

${(x - 5)}^{2} + 24$	=	$25$	\| $- 24$
${(x - 5)}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 5

- \sqrt{1}

- 1

$x - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
x₁	=	$4$

2. Fall

x - 5

\sqrt{1}

1

$x - 5$	=	$1$	\| $+ 5$
x₂	=	$6$

L={ $4$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x^{2} - 3 x + 9$ = $(5 x + 3) \cdot (x + 2) - 17 x + 9$

Lösung einblenden

$6 x^{2} - 3 x + 9$	=	$(5 x + 3) \cdot (x + 2) - 17 x + 9$
$6 x^{2} - 3 x + 9$	=	$5 x^{2} + 13 x + 6 - 17 x + 9$
$6 x^{2} - 3 x + 9$	=	$5 x^{2} - 4 x + 15$	\| $- 5 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 15$

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 100$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 100$	=	0	\| $+ 100$
$x^{2}$	=	$100$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{100}$	= $- 10$
x₂	=	$\sqrt{100}$	= $10$

L={ $- 10$ ; $10$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x - 1) \cdot (x - 3)$ .