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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 2,1)}^{2}$ = $0,36$

{(x + 2,1)}^{2}

=

0,36

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 2,1

=

- \sqrt{0,36}

=

- 0,6

$x + 2,1$	=	$- 0,6$	\| $- 2,1$
x₁	=	$- 2,7$

2. Fall

x + 2,1

=

\sqrt{0,36}

=

0,6

$x + 2,1$	=	$0,6$	\| $- 2,1$
x₂	=	$- 1,5$

L={ $- 2,7$ ; $- 1,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 21 x$ = $18$

Lösung einblenden

4 x^{2} - 21 x

=

18

|

- 18

$4 x^{2} - 21 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 + 288}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{729}}{8}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{21+27}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = $6$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{729}}{8}$ = $\frac{21-27}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 21 x - 18$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{21}{4} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{8})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{729}{64}$

x_1,2 = $\frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{729}{64}}$

x₁ = $\frac{21}{8}$ - $\frac{27}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{21}{8}$ + $\frac{27}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

L={ $- 0,75$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 18 x + 81$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 18 x + 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 81$ = $81$ $-$ $81$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 9$ ± 0 = $- 9$

L={ $- 9$ }

$- 9$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 5 + 4) \cdot (- 5 + 2)$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 4) (x + 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)