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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 {(x - 1)}^{2} - 19$
und
$g(x) =$ $- 16$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$3 {(x - 1)}^{2} - 19$	=	$- 16$	\| $+ 19$
$3 {(x - 1)}^{2}$	=	$3$	\|: $3$
${(x - 1)}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 1

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
x₁	=	0

2. Fall

x - 1

=

\sqrt{1}

=

1

$x - 1$	=	$1$	\| $+ 1$
x₂	=	$2$

L={0; $2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g(0) = $- 16$

g( $2$ ) = $- 16$

Die Schnittpunkte sind also S₁(0| $- 16$ ) und S₂( $2$ | $- 16$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{63}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{63}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{63}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 5 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 504}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 5+23}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 5-23}{4}$ = $\frac{- 28}{4}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 63$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{63}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{63}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{63}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{504}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

L={ $- 7$ ; $4,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 16 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 16 x + 16

= 0 |:4

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 3))$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} x (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)