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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 {(x + 5)}^{2} - 19$ = $- 19$

$- 2 {(x + 5)}^{2} - 19$	=	$- 19$	\| $+ 19$
$- 2 {(x + 5)}^{2}$	=	$0$	\|: $(- 2)$
${(x + 5)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 5$	=	0

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
$x$	=	$- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{5}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{5}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 7 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{7+3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{7-3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x + 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

L={ $1$ ; $2,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 29 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 29 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{29^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{841 + 120}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 29 \pm \sqrt{961}}{10}$

x₁ = $\frac{- 29 + \sqrt{961}}{10}$ = $\frac{- 29+31}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

x₂ = $\frac{- 29 - \sqrt{961}}{10}$ = $\frac{- 29-31}{10}$ = $\frac{- 60}{10}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 29 x - 6$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{29}{5} x - \frac{6}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{10})}^{2} - (- \frac{6}{5})$ = $\frac{841}{100}$ $+$ $\frac{6}{5}$ = $\frac{841}{100}$ $+$ $\frac{120}{100}$ = $\frac{961}{100}$

x_1,2 = $- \frac{29}{10}$ ± $\sqrt{\frac{961}{100}}$

x₁ = $- \frac{29}{10}$ - $\frac{31}{10}$ = $- \frac{60}{10}$ = -6

x₂ = $- \frac{29}{10}$ + $\frac{31}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = 0.2

L={ $- 6$ ; $0,2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 3)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $x \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)