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reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2}$ = $- 25$

$- x^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 5 x - 9$ = $(3 x + 7) \cdot (x - 6) + 19 x + 31$

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 5 x - 9$	=	$(3 x + 7) \cdot (x - 6) + 19 x + 31$
$4 x^{2} + 5 x - 9$	=	$3 x^{2} - 11 x - 42 + 19 x + 31$
$4 x^{2} + 5 x - 9$	=	$3 x^{2} + 8 x - 11$	\| $- 3 x^{2}$ $- 8 x$ $+ 11$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 6 x - 80$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 6 x - 80

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3+13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3-13}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 40)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $40$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $- 8$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 5 + 4) \cdot (- 5 - 3)$ = $8 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 4) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)