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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- {(x + 2)}^{2} + 25$ = 0

$- {(x + 2)}^{2} + 25$	=	0	\| $- 25$
$- {(x + 2)}^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
${(x + 2)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x + 2$	=	$- 5$	\| $- 2$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 2

=

\sqrt{25}

=

5

$x + 2$	=	$5$	\| $- 2$
x₂	=	$3$

L={ $- 7$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 16 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} + 16 x + 18

= 0 |:2

$- x^{2} + 8 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 9}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 8+10}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 8-10}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x + 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x - 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $4$ - $5$ = -1

x₂ = $4$ + $5$ = 9

L={ $- 1$ ; $9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 33 x + 54$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 33 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 54}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 864}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 33+15}{8}$ = $\frac{- 18}{8}$ = $- 2,25$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 33-15}{8}$ = $\frac{- 48}{8}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 33 x + 54$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{33}{4} x + \frac{27}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{33}{8})}^{2} - (\frac{27}{2})$ = $\frac{1089}{64}$ $-$ $\frac{27}{2}$ = $\frac{1089}{64}$ $-$ $\frac{864}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $- \frac{33}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $- \frac{33}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{48}{8}$ = -6

x₂ = $- \frac{33}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $- \frac{18}{8}$ = -2.25

L={ $- 6$ ; $- 2,25$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)