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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 1)}^{2} - 4$ = 0

${(x - 1)}^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
${(x - 1)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 1

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x - 1$	=	$- 2$	\| $+ 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 1

=

\sqrt{4}

=

2

$x - 1$	=	$2$	\| $+ 1$
x₂	=	$3$

L={ $- 1$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{11}{2} x - 20$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{11}{2} x - 20$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{11}{2} x - 20)$	=	0

$2 x^{2} + 11 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 320}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 11+21}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 11-21}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x - 40$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $20$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{320}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

L={ $- 8$ ; $2,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 34 x - 48$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 34 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{{(- 34)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{1 156 + 960}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{2 116}}{10}$

x₁ = $\frac{34 + \sqrt{2 116}}{10}$ = $\frac{34+46}{10}$ = $\frac{80}{10}$ = $8$

x₂ = $\frac{34 - \sqrt{2 116}}{10}$ = $\frac{34-46}{10}$ = $\frac{- 12}{10}$ = $- 1,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 34 x - 48$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{34}{5} x - \frac{48}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{5})}^{2} - (- \frac{48}{5})$ = $\frac{289}{25}$ $+$ $\frac{48}{5}$ = $\frac{289}{25}$ $+$ $\frac{240}{25}$ = $\frac{529}{25}$

x_1,2 = $\frac{17}{5}$ ± $\sqrt{\frac{529}{25}}$

x₁ = $\frac{17}{5}$ - $\frac{23}{5}$ = $- \frac{6}{5}$ = -1.2

x₂ = $\frac{17}{5}$ + $\frac{23}{5}$ = $\frac{40}{5}$ = 8

L={ $- 1,2$ ; $8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 2) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)