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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 1,38$ = $0,54$

$3 x^{2} - 1,38$	=	$0,54$	\| $+ 1,38$
$3 x^{2}$	=	$1,92$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$0,64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{0,64}$	= $- 0,8$
x₂	=	$\sqrt{0,64}$	= $0,8$

L={ $- 0,8$ ; $0,8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$21 x - 54$ = $- 5 x^{2}$

Lösung einblenden

21 x - 54

=

- 5 x^{2}

|

+ 5 x^{2}

$5 x^{2} + 21 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 1 080}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{1 521}}{10}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{1 521}}{10}$ = $\frac{- 21+39}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{1 521}}{10}$ = $\frac{- 21-39}{10}$ = $\frac{- 60}{10}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 21 x - 54$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{21}{5} x - \frac{54}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{10})}^{2} - (- \frac{54}{5})$ = $\frac{441}{100}$ $+$ $\frac{54}{5}$ = $\frac{441}{100}$ $+$ $\frac{1080}{100}$ = $\frac{1521}{100}$

x_1,2 = $- \frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{100}}$

x₁ = $- \frac{21}{10}$ - $\frac{39}{10}$ = $- \frac{60}{10}$ = -6

x₂ = $- \frac{21}{10}$ + $\frac{39}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = 1.8

L={ $- 6$ ; $1,8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 12 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 12 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 7}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{10}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{12+2}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{12-2}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 12 x + 7$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{12}{5} x + \frac{7}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{6}{5})}^{2} - (\frac{7}{5})$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{7}{5}$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{35}{25}$ = $\frac{1}{25}$

x_1,2 = $\frac{6}{5}$ ± $\sqrt{\frac{1}{25}}$

x₁ = $\frac{6}{5}$ - $\frac{1}{5}$ = $\frac{5}{5}$ = 1

x₂ = $\frac{6}{5}$ + $\frac{1}{5}$ = $\frac{7}{5}$ = 1.4

L={ $1$ ; $1,4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 2 + 1) \cdot (- 2 - 4)$ = $6 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 1) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)