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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{3}{2})}^{2}$ = $\frac{4}{4}$

${(x + \frac{3}{2})}^{2}$	=	$\frac{4}{4}$
${(x + \frac{3}{2})}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + \frac{3}{2}

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x + \frac{3}{2}$	=	$- 1$	\| $- \frac{3}{2}$
x₁	=	$- \frac{5}{2}$ = -2.5

2. Fall

x + \frac{3}{2}

=

\sqrt{1}

=

1

$x + \frac{3}{2}$	=	$1$	\| $- \frac{3}{2}$
x₂	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

L={ $- \frac{5}{2}$ ; $- \frac{1}{2}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} - 7 x - 9$ = $(- 6 x - 6) \cdot (x + 7) + 45 x + 30$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} - 7 x - 9$	=	$(- 6 x - 6) \cdot (x + 7) + 45 x + 30$
$- 5 x^{2} - 7 x - 9$	=	$- 6 x^{2} - 48 x - 42 + 45 x + 30$
$- 5 x^{2} - 7 x - 9$	=	$- 6 x^{2} - 3 x - 12$	\| $+ 6 x^{2}$ $+ 3 x$ $+ 12$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

L={ $1$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 9 x - 56$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 9 x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 448}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 9+23}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 9-23}{4}$ = $\frac{- 32}{4}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x - 56$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x - 28$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $28$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{448}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

L={ $- 8$ ; $3,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 5 + 4) \cdot (- 5 - 1)$ = $6 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x + 4) \cdot (x - 1)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)