Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 2)}^{2} + 12$ = $21$

${(x - 2)}^{2} + 12$	=	$21$	\| $- 12$
${(x - 2)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 2

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x - 2$	=	$- 3$	\| $+ 2$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 2

=

\sqrt{9}

=

3

$x - 2$	=	$3$	\| $+ 2$
x₂	=	$5$

L={ $- 1$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 6 x + 7$ = $(- 5 x - 1) \cdot (x - 1) - 9 x + 12$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - 6 x + 7$	=	$(- 5 x - 1) \cdot (x - 1) - 9 x + 12$
$- 4 x^{2} - 6 x + 7$	=	$- 5 x^{2} + 4 x + 1 - 9 x + 12$
$- 4 x^{2} - 6 x + 7$	=	$- 5 x^{2} - 5 x + 13$	\| $+ 5 x^{2}$ $+ 5 x$ $- 13$

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 2$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 17 x - 9$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 17 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 17+19}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{- 17-19}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 17 x - 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{289}{16}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{289}{16}$ $+$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{36}{4}$ = -9

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

L={ $- 9$ ; $0,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 2) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)