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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 0,36$ = $- 0,62$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + 0,36$	=	$- 0,62$	\| $- 0,36$
$- 2 x^{2}$	=	$- 0,98$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$\frac{0,98}{2}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{0,98}{2}}$	= $- 0,7$
x₂	=	$\sqrt{\frac{0,98}{2}}$	= $0,7$

L={ $- 0,7$ ; $0,7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$- 4 + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

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$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

L={ $- 1$ ; $7$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 3)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $x \cdot (x - 3)$ .