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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{10}{81}$ = $\frac{5}{27}$

$x^{2} - \frac{10}{81}$	=	$\frac{5}{27}$	\| $+ \frac{10}{81}$
$x^{2}$	=	$\frac{25}{81}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{25}{81}}$	≈ $- \frac{5}{9}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{25}{81}}$	≈ $\frac{5}{9}$

L={ $- \frac{5}{9}$ ; $\frac{5}{9}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x^{2} + 8 x + 9$ = $(- 8 x + 6) \cdot (x - 8) - 54 x + 41$

Lösung einblenden

$- 7 x^{2} + 8 x + 9$	=	$(- 8 x + 6) \cdot (x - 8) - 54 x + 41$
$- 7 x^{2} + 8 x + 9$	=	$- 8 x^{2} + 70 x - 48 - 54 x + 41$
$- 7 x^{2} + 8 x + 9$	=	$- 8 x^{2} + 16 x - 7$	\| $+ 8 x^{2}$ $- 16 x$ $+ 7$

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 22 x - 42$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 22 x - 42

= 0 |:2

$2 x^{2} - 11 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{11+17}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = $7$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{11-17}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 11 x - 21$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x - \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - (- \frac{21}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = 7

L={ $- 1,5$ ; $7$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x - 1) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)