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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - \frac{9}{16}$ = $1$

$4 x^{2} - \frac{9}{16}$	=	$1$	\| $+ \frac{9}{16}$
$4 x^{2}$	=	$\frac{25}{16}$	\|: $4$
$x^{2}$	=	$\frac{25}{64}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{25}{64}}$	≈ $- \frac{5}{8}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{25}{64}}$	≈ $\frac{5}{8}$

L={ $- \frac{5}{8}$ ; $\frac{5}{8}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{27}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{27}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{27}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 540}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{576}}{10}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{6+24}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = $3$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{6-24}{10}$ = $\frac{- 18}{10}$ = $- 1,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 6 x - 27$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{27}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{5})}^{2} - (- \frac{27}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{27}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{135}{25}$ = $\frac{144}{25}$

x_1,2 = $\frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{144}{25}}$

x₁ = $\frac{3}{5}$ - $\frac{12}{5}$ = $- \frac{9}{5}$ = -1.8

x₂ = $\frac{3}{5}$ + $\frac{12}{5}$ = $\frac{15}{5}$ = 3

L={ $- 1,8$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 12 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 12 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 6$ ± 0 = $- 6$

L={ $- 6$ }

$- 6$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 4)$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x - 2) \cdot (x - 4)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)