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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{1}{5})}^{2}$ = $\frac{1}{25}$

{(x + \frac{1}{5})}^{2}

=

\frac{1}{25}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + \frac{1}{5}

=

- \sqrt{\frac{1}{25}}

=

- \frac{1}{5}

$x + \frac{1}{5}$	=	$- \frac{1}{5}$	\| $- \frac{1}{5}$
x₁	=	$- \frac{2}{5}$ = -0.4

2. Fall

x + \frac{1}{5}

=

\sqrt{\frac{1}{25}}

=

\frac{1}{5}

$x + \frac{1}{5}$	=	$\frac{1}{5}$	\| $- \frac{1}{5}$
x₂	=	0

L={ $- \frac{2}{5}$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$36 + 24 x + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 24 x + 36

= 0 |:4

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 23 x + 45$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 23 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 45}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 23+13}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 23-13}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 23 x + 45$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{23}{2} x + \frac{45}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{4})}^{2} - (\frac{45}{2})$ = $\frac{529}{16}$ $-$ $\frac{45}{2}$ = $\frac{529}{16}$ $-$ $\frac{360}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{23}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{23}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{36}{4}$ = -9

x₂ = $- \frac{23}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

L={ $- 9$ ; $- 2,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 1) (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)