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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= 3 ( x -2 ) 2 -20
und
g(x)= -17 .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 ( x -2 ) 2 -20 = -17 | +20
3 ( x -2 ) 2 = 3 |:3
( x -2 ) 2 = 1 | ⋅2

1. Fall

x -2 = - 1 = -1
x -2 = -1 | +2
x1 = 1

2. Fall

x -2 = 1 = 1
x -2 = 1 | +2
x2 = 3

L={ 1 ; 3 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( 1 ) = -17

g( 3 ) = -17

Die Schnittpunkte sind also S1( 1 | -17 ) und S2( 3 | -17 ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-40 +5 x 2 = -46x

Lösung einblenden
5 x 2 -40 = -46x | +46x

5 x 2 +46x -40 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -46 ± 46 2 -4 · 5 · ( -40 ) 2⋅5

x1,2 = -46 ± 2116 +800 10

x1,2 = -46 ± 2916 10

x1 = -46 + 2916 10 = -46 +54 10 = 8 10 = 0,8

x2 = -46 - 2916 10 = -46 -54 10 = -100 10 = -10

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "5 " teilen:

5 x 2 +46x -40 = 0 |: 5

x 2 + 46 5 x -8 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 23 5 ) 2 - ( -8 ) = 529 25 + 8 = 529 25 + 200 25 = 729 25

x1,2 = - 23 5 ± 729 25

x1 = - 23 5 - 27 5 = - 50 5 = -10

x2 = - 23 5 + 27 5 = 4 5 = 0.8

L={ -10 ; 0,8 }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x 2 +15x -25 = 0

Lösung einblenden

4 x 2 +15x -25 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -15 ± 15 2 -4 · 4 · ( -25 ) 2⋅4

x1,2 = -15 ± 225 +400 8

x1,2 = -15 ± 625 8

x1 = -15 + 625 8 = -15 +25 8 = 10 8 = 1,25

x2 = -15 - 625 8 = -15 -25 8 = -40 8 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "4 " teilen:

4 x 2 +15x -25 = 0 |: 4

x 2 + 15 4 x - 25 4 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 15 8 ) 2 - ( - 25 4 ) = 225 64 + 25 4 = 225 64 + 400 64 = 625 64

x1,2 = - 15 8 ± 625 64

x1 = - 15 8 - 25 8 = - 40 8 = -5

x2 = - 15 8 + 25 8 = 10 8 = 1.25

L={ -5 ; 1,25 }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-1|0) und N2(0|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +1 ) · x sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = a · ( -2 +1 ) · ( -2 ) = 2a =1.

Hieraus ergibt sich a= 1 2 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 1 2 ( x +1 ) x .