Mathebattle EduRandomtasks

reinquadratisch (+ Umformungen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $36$

$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

L={ $- 6$ ; $6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 14 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} - 14 x + 60

= 0 |:2

$- x^{2} - 7 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 30}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{7+13}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{7-13}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x + 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x - 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 10$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 9 x - 81$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 9 x - 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 81)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 648}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{9+27}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = $9$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{9-27}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x - 81$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{81}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{81}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{81}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{648}{16}$ = $\frac{729}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{729}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{27}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{27}{4}$ = $\frac{36}{4}$ = 9

L={ $- 4,5$ ; $9$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 + 1)$ = $3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x + 3) (x + 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)