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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $2 {(x + 5)}^{2} - 9$
und
$g(x) =$ $- 7$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$2 {(x + 5)}^{2} - 9$	=	$- 7$	\| $+ 9$
$2 {(x + 5)}^{2}$	=	$2$	\|: $2$
${(x + 5)}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 5

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x + 5$	=	$- 1$	\| $- 5$
x₁	=	$- 6$

2. Fall

x + 5

=

\sqrt{1}

=

1

$x + 5$	=	$1$	\| $- 5$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 6$ ) = $- 7$

g( $- 4$ ) = $- 7$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 6$ | $- 7$ ) und S₂( $- 4$ | $- 7$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 4$ = $- 8 x$

Lösung einblenden

4 x^{2} + 4

=

- 8 x

|

+ 8 x

4 x^{2} + 8 x + 4

= 0 |:4

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 5 x - 3$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 5 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 5+7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 5-7}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

L={ $- 3$ ; $0,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

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quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)