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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 0,24$ = $0,84$

$3 x^{2} - 0,24$	=	$0,84$	\| $+ 0,24$
$3 x^{2}$	=	$1,08$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$\frac{1,08}{3}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{1,08}{3}}$	= $- 0,6$
x₂	=	$\sqrt{\frac{1,08}{3}}$	= $0,6$

L={ $- 0,6$ ; $0,6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$13 x + x^{2}$ = $- 30$

Lösung einblenden

x^{2} + 13 x

=

- 30

|

+ 30

$x^{2} + 13 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 13+7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 13-7}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

L={ $- 10$ ; $- 3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 17 x - 40$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 17 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 800}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1 089}}{10}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{- 17+33}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1 089}}{10}$ = $\frac{- 17-33}{10}$ = $\frac{- 50}{10}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 17 x - 40$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{17}{5} x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{10})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{289}{100}$ $+$ $8$ = $\frac{289}{100}$ $+$ $\frac{800}{100}$ = $\frac{1089}{100}$

x_1,2 = $- \frac{17}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{100}}$

x₁ = $- \frac{17}{10}$ - $\frac{33}{10}$ = $- \frac{50}{10}$ = -5

x₂ = $- \frac{17}{10}$ + $\frac{33}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = 1.6

L={ $- 5$ ; $1,6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 4) (x + 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)