Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 1)}^{2} - 44$ = $- 19$

${(x + 1)}^{2} - 44$	=	$- 19$	\| $+ 44$
${(x + 1)}^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 1

=

- \sqrt{25}

=

- 5

$x + 1$	=	$- 5$	\| $- 1$
x₁	=	$- 6$

2. Fall

x + 1

=

\sqrt{25}

=

5

$x + 1$	=	$5$	\| $- 1$
x₂	=	$4$

L={ $- 6$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} + 2 x - 7$ = $(2 x - 8) \cdot (x - 5) + 23 x - 47$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + 2 x - 7$	=	$(2 x - 8) \cdot (x - 5) + 23 x - 47$
$3 x^{2} + 2 x - 7$	=	$2 x^{2} - 18 x + 40 + 23 x - 47$
$3 x^{2} + 2 x - 7$	=	$2 x^{2} + 5 x - 7$	\| $+ 7$
$3 x^{2} + 2 x$	=	$2 x^{2} + 5 x$	\| $- (2 x^{2} + 5 x)$
$3 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x - 5 x$	=	0
$x^{2} - 3 x$	=	0
$x \cdot (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

L={0; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 27 x + 70$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 27 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 70}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 560}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{27+13}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = $10$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{27-13}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 27 x + 70$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{27}{2} x + 35$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{4})}^{2} - 35$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $35$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $\frac{560}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{27}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{27}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

x₂ = $\frac{27}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = 10

L={ $3,5$ ; $10$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 5 + 4) \cdot (- 5 + 1)$ = $4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 4) \cdot (x + 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)