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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 0,16$ = $- 0,52$

$- 4 x^{2} - 0,16$	=	$- 0,52$	\| $+ 0,16$
$- 4 x^{2}$	=	$- 0,36$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$\frac{0,36}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{0,36}{4}}$	= $- 0,3$
x₂	=	$\sqrt{\frac{0,36}{4}}$	= $0,3$

L={ $- 0,3$ ; $0,3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} - 2 x - 1$ = $(- 9 x + 8) \cdot (x + 3) + 20 x - 27$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} - 2 x - 1$	=	$(- 9 x + 8) \cdot (x + 3) + 20 x - 27$
$- 8 x^{2} - 2 x - 1$	=	$- 9 x^{2} - 19 x + 24 + 20 x - 27$
$- 8 x^{2} - 2 x - 1$	=	$- 9 x^{2} + x - 3$	\| $+ 9 x^{2}$ $- x$ $+ 3$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 33 x - 56$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 33 x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{{(- 33)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{1 089 + 1 120}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{2 209}}{10}$

x₁ = $\frac{33 + \sqrt{2 209}}{10}$ = $\frac{33+47}{10}$ = $\frac{80}{10}$ = $8$

x₂ = $\frac{33 - \sqrt{2 209}}{10}$ = $\frac{33-47}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 33 x - 56$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{33}{5} x - \frac{56}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{10})}^{2} - (- \frac{56}{5})$ = $\frac{1089}{100}$ $+$ $\frac{56}{5}$ = $\frac{1089}{100}$ $+$ $\frac{1120}{100}$ = $\frac{2209}{100}$

x_1,2 = $\frac{33}{10}$ ± $\sqrt{\frac{2209}{100}}$

x₁ = $\frac{33}{10}$ - $\frac{47}{10}$ = $- \frac{14}{10}$ = -1.4

x₂ = $\frac{33}{10}$ + $\frac{47}{10}$ = $\frac{80}{10}$ = 8

L={ $- 1,4$ ; $8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 2) x$ .

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reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)