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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 1,53$ = $0,9$

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$3 x^{2} - 1,53$	=	$0,9$	\| $+ 1,53$
$3 x^{2}$	=	$2,43$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$0,81$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{0,81}$	= $- 0,9$
x₂	=	$\sqrt{0,81}$	= $0,9$

L={ $- 0,9$ ; $0,9$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 8 x - 20$ = 0

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$x^{2} - 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{8+12}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{8-12}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $4$ - $6$ = -2

x₂ = $4$ + $6$ = 10

L={ $- 2$ ; $10$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

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$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 4)$ = $- 4 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 1) (x - 4)$ .