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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 {(x - 4)}^{2} + 34$ = $2$

$- 2 {(x - 4)}^{2} + 34$	=	$2$	\| $- 34$
$- 2 {(x - 4)}^{2}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
${(x - 4)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
x₁	=	0

2. Fall

x - 4

=

\sqrt{16}

=

4

$x - 4$	=	$4$	\| $+ 4$
x₂	=	$8$

L={0; $8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{7}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{7}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{7}{2})$	=	0

$2 x^{2} - 9 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{9+5}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{9-5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x + 7$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

L={ $1$ ; $3,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 43 x - 70$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 43 x - 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{{(- 43)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{1 849 + 1 400}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{3 249}}{10}$

x₁ = $\frac{43 + \sqrt{3 249}}{10}$ = $\frac{43+57}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = $10$

x₂ = $\frac{43 - \sqrt{3 249}}{10}$ = $\frac{43-57}{10}$ = $\frac{- 14}{10}$ = $- 1,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 43 x - 70$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{43}{5} x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{43}{10})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{1849}{100}$ $+$ $14$ = $\frac{1849}{100}$ $+$ $\frac{1400}{100}$ = $\frac{3249}{100}$

x_1,2 = $\frac{43}{10}$ ± $\sqrt{\frac{3249}{100}}$

x₁ = $\frac{43}{10}$ - $\frac{57}{10}$ = $- \frac{14}{10}$ = -1.4

x₂ = $\frac{43}{10}$ + $\frac{57}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = 10

L={ $- 1,4$ ; $10$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)