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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{1}{2})}^{2}$ = $\frac{4}{16}$

${(x - \frac{1}{2})}^{2}$	=	$\frac{4}{16}$
${(x - \frac{1}{2})}^{2}$	=	$\frac{1}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - \frac{1}{2}

=

- \sqrt{\frac{1}{4}}

=

- \frac{1}{2}

$x - \frac{1}{2}$	=	$- \frac{1}{2}$	\| $+ \frac{1}{2}$
x₁	=	0

2. Fall

x - \frac{1}{2}

=

\sqrt{\frac{1}{4}}

=

\frac{1}{2}

$x - \frac{1}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\| $+ \frac{1}{2}$
x₂	=	$1$

L={0; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 5 x - 2$ = $(- 2 x + 2) (x + 9) + 26 x - 24$

Lösung einblenden

$- x^{2} + 5 x - 2$	=	$(- 2 x + 2) (x + 9) + 26 x - 24$
$- x^{2} + 5 x - 2$	=	$- 2 x^{2} - 16 x + 18 + 26 x - 24$
$- x^{2} + 5 x - 2$	=	$- 2 x^{2} + 10 x - 6$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 10 x$ $+ 6$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $1$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 12 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 12 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 7}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{10}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{12+2}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{12-2}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 12 x + 7$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{12}{5} x + \frac{7}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{6}{5})}^{2} - (\frac{7}{5})$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{7}{5}$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{35}{25}$ = $\frac{1}{25}$

x_1,2 = $\frac{6}{5}$ ± $\sqrt{\frac{1}{25}}$

x₁ = $\frac{6}{5}$ - $\frac{1}{5}$ = $\frac{5}{5}$ = 1

x₂ = $\frac{6}{5}$ + $\frac{1}{5}$ = $\frac{7}{5}$ = 1.4

L={ $1$ ; $1,4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 - 2)$ = $6 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x + 3) (x - 2)$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)