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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ ${(x - 5)}^{2}$
und
$g(x) =$ 0.

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

${(x - 5)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 5$	=	0

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
$x$	=	$5$

L={ $5$ }

$5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $5$ ) = 0

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $5$ |0).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 40 + 46 x + 5 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 46 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{46^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{2 116 + 800}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{2 916}}{10}$

x₁ = $\frac{- 46 + \sqrt{2 916}}{10}$ = $\frac{- 46+54}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

x₂ = $\frac{- 46 - \sqrt{2 916}}{10}$ = $\frac{- 46-54}{10}$ = $\frac{- 100}{10}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 46 x - 40$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{46}{5} x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{5})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{529}{25}$ $+$ $8$ = $\frac{529}{25}$ $+$ $\frac{200}{25}$ = $\frac{729}{25}$

x_1,2 = $- \frac{23}{5}$ ± $\sqrt{\frac{729}{25}}$

x₁ = $- \frac{23}{5}$ - $\frac{27}{5}$ = $- \frac{50}{5}$ = -10

x₂ = $- \frac{23}{5}$ + $\frac{27}{5}$ = $\frac{4}{5}$ = 0.8

L={ $- 10$ ; $0,8$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 26 x - 63$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 26 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{26^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{676 + 1 260}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{1 936}}{10}$

x₁ = $\frac{- 26 + \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{- 26+44}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

x₂ = $\frac{- 26 - \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{- 26-44}{10}$ = $\frac{- 70}{10}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 26 x - 63$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{26}{5} x - \frac{63}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{5})}^{2} - (- \frac{63}{5})$ = $\frac{169}{25}$ $+$ $\frac{63}{5}$ = $\frac{169}{25}$ $+$ $\frac{315}{25}$ = $\frac{484}{25}$

x_1,2 = $- \frac{13}{5}$ ± $\sqrt{\frac{484}{25}}$

x₁ = $- \frac{13}{5}$ - $\frac{22}{5}$ = $- \frac{35}{5}$ = -7

x₂ = $- \frac{13}{5}$ + $\frac{22}{5}$ = $\frac{9}{5}$ = 1.8

L={ $- 7$ ; $1,8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 - 5)$ = $- 8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 4) \cdot (x - 5)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)