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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 6)}^{2} - 19$ = $- 3$

${(x - 6)}^{2} - 19$	=	$- 3$	\| $+ 19$
${(x - 6)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 6

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x - 6$	=	$- 4$	\| $+ 6$
x₁	=	$2$

2. Fall

x - 6

=

\sqrt{16}

=

4

$x - 6$	=	$4$	\| $+ 6$
x₂	=	$10$

L={ $2$ ; $10$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} + 2 x + 4$ = $(- 4 x - 4) \cdot (x - 9) - 38 x - 47$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} + 2 x + 4$	=	$(- 4 x - 4) \cdot (x - 9) - 38 x - 47$
$- 3 x^{2} + 2 x + 4$	=	$- 4 x^{2} + 32 x + 36 - 38 x - 47$
$- 3 x^{2} + 2 x + 4$	=	$- 4 x^{2} - 6 x - 11$	\| $+ 4 x^{2}$ $+ 6 x$ $+ 11$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 23 x - 35$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 23 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 + 560}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{1 089}}{8}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{- 23+33}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{1 089}}{8}$ = $\frac{- 23-33}{8}$ = $\frac{- 56}{8}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 23 x - 35$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{23}{4} x - \frac{35}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{8})}^{2} - (- \frac{35}{4})$ = $\frac{529}{64}$ $+$ $\frac{35}{4}$ = $\frac{529}{64}$ $+$ $\frac{560}{64}$ = $\frac{1089}{64}$

x_1,2 = $- \frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{64}}$

x₁ = $- \frac{23}{8}$ - $\frac{33}{8}$ = $- \frac{56}{8}$ = -7

x₂ = $- \frac{23}{8}$ + $\frac{33}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

L={ $- 7$ ; $1,25$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 5 + 4) \cdot (- 5 + 2)$ = $3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

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quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)