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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{5}{7})}^{2}$ = $\frac{9}{49}$

{(x + \frac{5}{7})}^{2}

=

\frac{9}{49}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + \frac{5}{7}

=

- \sqrt{\frac{9}{49}}

≈

- \frac{3}{7}

$x + \frac{5}{7}$	=	$- \frac{3}{7}$	\| $- \frac{5}{7}$
x₁	=	$- \frac{8}{7}$

2. Fall

x + \frac{5}{7}

=

\sqrt{\frac{9}{49}}

≈

\frac{3}{7}

$x + \frac{5}{7}$	=	$\frac{3}{7}$	\| $- \frac{5}{7}$
x₂	=	$- \frac{2}{7}$

L={ $- \frac{8}{7}$ ; $- \frac{2}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 14 + 12 x$ = $- 2 x^{2}$

Lösung einblenden

12 x - 14

=

- 2 x^{2}

|

+ 2 x^{2}

2 x^{2} + 12 x - 14

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

L={ $- 7$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 23 x + 28$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 23 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 28}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 448}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{81}}{8}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{81}}{8}$ = $\frac{23+9}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{81}}{8}$ = $\frac{23-9}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 23 x + 28$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{23}{4} x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{8})}^{2} - 7$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $7$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{448}{64}$ = $\frac{81}{64}$

x_1,2 = $\frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{81}{64}}$

x₁ = $\frac{23}{8}$ - $\frac{9}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = 1.75

x₂ = $\frac{23}{8}$ + $\frac{9}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

L={ $1,75$ ; $4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 4)$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x - 1) (x - 4)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)