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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 0,16$ = $0,16$

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$4 x^{2} + 0,16$	=	$0,16$	\| $- 0,16$
$4 x^{2}$	=	$0$	\|: $4$
$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} + 5 x - 7$ = $(9 x - 5) (x + 4) - 26 x + 38$

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$10 x^{2} + 5 x - 7$	=	$(9 x - 5) (x + 4) - 26 x + 38$
$10 x^{2} + 5 x - 7$	=	$9 x^{2} + 31 x - 20 - 26 x + 38$
$10 x^{2} + 5 x - 7$	=	$9 x^{2} + 5 x + 18$	\| $+ 7$
$10 x^{2} + 5 x$	=	$9 x^{2} + 5 x + 25$	\| $- 9 x^{2}$ $- 5 x$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 42 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 42 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 42 \pm \sqrt{42^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 16}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 42 \pm \sqrt{1 764 - 320}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 42 \pm \sqrt{1 444}}{10}$

x₁ = $\frac{- 42 + \sqrt{1 444}}{10}$ = $\frac{- 42+38}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

x₂ = $\frac{- 42 - \sqrt{1 444}}{10}$ = $\frac{- 42-38}{10}$ = $\frac{- 80}{10}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 42 x + 16$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{42}{5} x + \frac{16}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{5})}^{2} - (\frac{16}{5})$ = $\frac{441}{25}$ $-$ $\frac{16}{5}$ = $\frac{441}{25}$ $-$ $\frac{80}{25}$ = $\frac{361}{25}$

x_1,2 = $- \frac{21}{5}$ ± $\sqrt{\frac{361}{25}}$

x₁ = $- \frac{21}{5}$ - $\frac{19}{5}$ = $- \frac{40}{5}$ = -8

x₂ = $- \frac{21}{5}$ + $\frac{19}{5}$ = $- \frac{2}{5}$ = -0.4

L={ $- 8$ ; $- 0,4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 2)$ = $2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x - 1) (x - 2)$ .