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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $121$

$x^{2}$	=	$121$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{121}$	= $- 11$
x₂	=	$\sqrt{121}$	= $11$

L={ $- 11$ ; $11$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$38 x + 5 x^{2}$ = $- 21$

Lösung einblenden

5 x^{2} + 38 x

=

- 21

|

+ 21

$5 x^{2} + 38 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 38 \pm \sqrt{38^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 21}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 38 \pm \sqrt{1 444 - 420}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 38 \pm \sqrt{1 024}}{10}$

x₁ = $\frac{- 38 + \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{- 38+32}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

x₂ = $\frac{- 38 - \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{- 38-32}{10}$ = $\frac{- 70}{10}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 38 x + 21$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{38}{5} x + \frac{21}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{5})}^{2} - (\frac{21}{5})$ = $\frac{361}{25}$ $-$ $\frac{21}{5}$ = $\frac{361}{25}$ $-$ $\frac{105}{25}$ = $\frac{256}{25}$

x_1,2 = $- \frac{19}{5}$ ± $\sqrt{\frac{256}{25}}$

x₁ = $- \frac{19}{5}$ - $\frac{16}{5}$ = $- \frac{35}{5}$ = -7

x₂ = $- \frac{19}{5}$ + $\frac{16}{5}$ = $- \frac{3}{5}$ = -0.6

L={ $- 7$ ; $- 0,6$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 2 x - 20$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 2 x - 20

= 0 |:2

$2 x^{2} + x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 1+9}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 1-9}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 10$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- 5)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $5$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

L={ $- 2,5$ ; $2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 3 + 2) \cdot (- 3 - 1)$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 2) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)