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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 2)}^{2} - 7$ = $- 3$

${(x + 2)}^{2} - 7$	=	$- 3$	\| $+ 7$
${(x + 2)}^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

=

- \sqrt{4}

=

- 2

$x + 2$	=	$- 2$	\| $- 2$
x₁	=	$- 4$

2. Fall

x + 2

=

\sqrt{4}

=

2

$x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
x₂	=	0

L={ $- 4$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x + 9$ = $(- x + 5) \cdot (x + 3) + 13 x - 11$

Lösung einblenden

$9 x + 9$	=	$(- x + 5) \cdot (x + 3) + 13 x - 11$
$9 x + 9$	=	$- x^{2} + 2 x + 15 + 13 x - 11$
$9 x + 9$	=	$- x^{2} + 15 x + 4$	\| $+ x^{2}$ $- 15 x$ $- 4$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

L={ $1$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 26 x + 5$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 26 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 100}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{576}}{10}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{26+24}{10}$ = $\frac{50}{10}$ = $5$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{576}}{10}$ = $\frac{26-24}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 26 x + 5$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{26}{5} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{5})}^{2} - 1$ = $\frac{169}{25}$ $-$ $1$ = $\frac{169}{25}$ $-$ $\frac{25}{25}$ = $\frac{144}{25}$

x_1,2 = $\frac{13}{5}$ ± $\sqrt{\frac{144}{25}}$

x₁ = $\frac{13}{5}$ - $\frac{12}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 0.2

x₂ = $\frac{13}{5}$ + $\frac{12}{5}$ = $\frac{25}{5}$ = 5

L={ $0,2$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 + 1)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 3) \cdot (x + 1)$ .

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quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)