Mathebattle EduRandomtasks

quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + \frac{1}{9})}^{2}$ = $\frac{25}{81}$

{(x + \frac{1}{9})}^{2}

=

\frac{25}{81}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + \frac{1}{9}

=

- \sqrt{\frac{25}{81}}

≈

- \frac{5}{9}

$x + \frac{1}{9}$	=	$- \frac{5}{9}$	\| $- \frac{1}{9}$
x₁	=	$- \frac{2}{3}$

2. Fall

x + \frac{1}{9}

=

\sqrt{\frac{25}{81}}

≈

\frac{5}{9}

$x + \frac{1}{9}$	=	$\frac{5}{9}$	\| $- \frac{1}{9}$
x₂	=	$\frac{4}{9}$

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $\frac{4}{9}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} - 4 x + 5$ = $(- 2 x - 1) \cdot (x - 5) - 4 x - 20$

Lösung einblenden

$- x^{2} - 4 x + 5$	=	$(- 2 x - 1) \cdot (x - 5) - 4 x - 20$
$- x^{2} - 4 x + 5$	=	$- 2 x^{2} + 9 x + 5 - 4 x - 20$
$- x^{2} - 4 x + 5$	=	$- 2 x^{2} + 5 x - 15$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 5 x$ $+ 15$

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $4$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 28 x + 50$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 28 x + 50

= 0 |:2

$2 x^{2} + 14 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 25}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{(- 4)}}{4}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 14 x + 25$ = 0 |: $2$

$x^{2} + 7 x + \frac{25}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (\frac{25}{2})$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{25}{2}$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{50}{4}$ = $- \frac{1}{4}$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|-3).
Es gilt dann ja: y = -3,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 - 5)$ = $9 a$ =-3.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 3) \cdot (x - 5)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)