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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 0,7)}^{2}$ = $0,64$

{(x - 0,7)}^{2}

=

0,64

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 0,7

=

- \sqrt{0,64}

=

- 0,8

$x - 0,7$	=	$- 0,8$	\| $+ 0,7$
x₁	=	$- 0,1$

2. Fall

x - 0,7

=

\sqrt{0,64}

=

0,8

$x - 0,7$	=	$0,8$	\| $+ 0,7$
x₂	=	$1,5$

L={ $- 0,1$ ; $1,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x + 2 x^{2}$ = $16$

Lösung einblenden

2 x^{2} - 4 x

=

16

|

- 16

2 x^{2} - 4 x - 16

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

L={ $- 2$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 2 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 2 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 320}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{324}}{10}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{2+18}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{2-18}{10}$ = $\frac{- 16}{10}$ = $- 1,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 2 x - 16$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{2}{5} x - \frac{16}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{5})}^{2} - (- \frac{16}{5})$ = $\frac{1}{25}$ $+$ $\frac{16}{5}$ = $\frac{1}{25}$ $+$ $\frac{80}{25}$ = $\frac{81}{25}$

x_1,2 = $\frac{1}{5}$ ± $\sqrt{\frac{81}{25}}$

x₁ = $\frac{1}{5}$ - $\frac{9}{5}$ = $- \frac{8}{5}$ = -1.6

x₂ = $\frac{1}{5}$ + $\frac{9}{5}$ = $\frac{10}{5}$ = 2

L={ $- 1,6$ ; $2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2)$ = $- 2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x + 3) x$ .

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quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)