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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 2,4)}^{2}$ = $0,36$

Lösung einblenden

{(x - 2,4)}^{2}

0,36

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 2,4

- \sqrt{0,36}

- 0,6

$x - 2,4$	=	$- 0,6$	\| $+ 2,4$
x₁	=	$1,8$

2. Fall

x - 2,4

\sqrt{0,36}

0,6

$x - 2,4$	=	$0,6$	\| $+ 2,4$
x₂	=	$3$

L={ $1,8$ ; $3$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - 9 x - 7$ = $(2 x + 2) \cdot (x - 5) - 5 x + 3$

Lösung einblenden

$3 x^{2} - 9 x - 7$	=	$(2 x + 2) \cdot (x - 5) - 5 x + 3$
$3 x^{2} - 9 x - 7$	=	$2 x^{2} - 8 x - 10 - 5 x + 3$
$3 x^{2} - 9 x - 7$	=	$2 x^{2} - 13 x - 7$	\| $+ 7$
$3 x^{2} - 9 x$	=	$2 x^{2} - 13 x$	\| $- (2 x^{2} - 13 x)$
$3 x^{2} - 2 x^{2} - 9 x + 13 x$	=	0
$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 2 x - 40$ = 0

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2 x^{2} + 2 x - 40

= 0 |:2

$x^{2} + x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 5$ ; $4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 5 + 4) \cdot (- 5 - 3)$ = $8 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 4) \cdot (x - 3)$ .