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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 {(x - 7)}^{2}$
und
$g(x) =$ $- 32$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 2 {(x - 7)}^{2}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
${(x - 7)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 7

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x - 7$	=	$- 4$	\| $+ 7$
x₁	=	$3$

2. Fall

x - 7

=

\sqrt{16}

=

4

$x - 7$	=	$4$	\| $+ 7$
x₂	=	$11$

L={ $3$ ; $11$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $3$ ) = $- 32$

g( $11$ ) = $- 32$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $3$ | $- 32$ ) und S₂( $11$ | $- 32$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2} - x - 8$ = $(2 x - 5) (x + 3) - 2 x + 11$

Lösung einblenden

$3 x^{2} - x - 8$	=	$(2 x - 5) (x + 3) - 2 x + 11$
$3 x^{2} - x - 8$	=	$2 x^{2} + x - 15 - 2 x + 11$
$3 x^{2} - x - 8$	=	$2 x^{2} - x - 4$	\| $+ 8$
$3 x^{2} - x$	=	$2 x^{2} - x + 4$	\| $- 2 x^{2}$ $+ x$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 25 x + 50$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 25 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 50}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 400}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 25+15}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 25-15}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 25 x + 50$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{25}{2} x + 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{4})}^{2} - 25$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $25$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $\frac{400}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $- \frac{25}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $- \frac{25}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{25}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

L={ $- 10$ ; $- 2,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 4) (x + 2)$ .

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quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)