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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 4)}^{2} + 5$ = $14$

${(x + 4)}^{2} + 5$	=	$14$	\| $- 5$
${(x + 4)}^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

=

- \sqrt{9}

=

- 3

$x + 4$	=	$- 3$	\| $- 4$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 4

=

\sqrt{9}

=

3

$x + 4$	=	$3$	\| $- 4$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 8 x + 17$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 8 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 17$ = $16$ $-$ $17$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} - 24 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$16 x^{2} - 24 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{576 - 576}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{24}{32}$ = $\frac{3}{4}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} - 24 x + 9$ = 0 |: $16$

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (\frac{9}{16})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{9}{16}$ = $\frac{0}{16}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{3}{4}$ ± 0 = $\frac{3}{4}$

L={ $\frac{3}{4}$ }

$\frac{3}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 5 + 4) \cdot (- 5 - 3)$ = $8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} (x + 4) \cdot (x - 3)$ .

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quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)