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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{49}{100}$

Lösung einblenden

$x^{2}$	=	$\frac{49}{100}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{49}{100}}$	= $- \frac{7}{10}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{49}{100}}$	= $\frac{7}{10}$

L={ $- \frac{7}{10}$ ; $\frac{7}{10}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x + 4$ = $(- x - 6) \cdot (x - 2) + 8 x - 4$

Lösung einblenden

$4 x + 4$	=	$(- x - 6) \cdot (x - 2) + 8 x - 4$
$4 x + 4$	=	$- x^{2} - 4 x + 12 + 8 x - 4$
$4 x + 4$	=	$- x^{2} + 4 x + 8$	\| $- 4$
$4 x$	=	$- x^{2} + 4 x + 4$	\| $+ x^{2}$ $- 4 x$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 20 x + 50$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 20 x + 50

= 0 |:2

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 5$ ± 0 = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1 - 1)$ = $- 2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x + 2) \cdot (x - 1)$ .