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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 {(x - 2)}^{2} + 12$
und
$g(x) =$ $15$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$3 {(x - 2)}^{2} + 12$	=	$15$	\| $- 12$
$3 {(x - 2)}^{2}$	=	$3$	\|: $3$
${(x - 2)}^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x - 2

=

- \sqrt{1}

=

- 1

$x - 2$	=	$- 1$	\| $+ 2$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 2

=

\sqrt{1}

=

1

$x - 2$	=	$1$	\| $+ 2$
x₂	=	$3$

L={ $1$ ; $3$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $1$ ) = $15$

g( $3$ ) = $15$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $1$ | $15$ ) und S₂( $3$ | $15$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 + 6 x + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

L={ $- 3$ }

$- 3$ ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 48 x + 64$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 48 x + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 48 \pm \sqrt{{(- 48)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 64}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 48 \pm \sqrt{2 304 - 1 280}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 48 \pm \sqrt{1 024}}{10}$

x₁ = $\frac{48 + \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{48+32}{10}$ = $\frac{80}{10}$ = $8$

x₂ = $\frac{48 - \sqrt{1 024}}{10}$ = $\frac{48-32}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 48 x + 64$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{48}{5} x + \frac{64}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{24}{5})}^{2} - (\frac{64}{5})$ = $\frac{576}{25}$ $-$ $\frac{64}{5}$ = $\frac{576}{25}$ $-$ $\frac{320}{25}$ = $\frac{256}{25}$

x_1,2 = $\frac{24}{5}$ ± $\sqrt{\frac{256}{25}}$

x₁ = $\frac{24}{5}$ - $\frac{16}{5}$ = $\frac{8}{5}$ = 1.6

x₂ = $\frac{24}{5}$ + $\frac{16}{5}$ = $\frac{40}{5}$ = 8

L={ $1,6$ ; $8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 4)$ = $- 4 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 1) (x - 4)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)