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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{64}{81}$

$x^{2}$	=	$\frac{64}{81}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{64}{81}}$	≈ $- \frac{8}{9}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{64}{81}}$	≈ $\frac{8}{9}$

L={ $- \frac{8}{9}$ ; $\frac{8}{9}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x - 54 + 2 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 3 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 432}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 3+21}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 3-21}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 54$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 27$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- 27)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $27$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{432}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

L={ $- 6$ ; $4,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 26 x + 40$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} + 26 x + 40

= 0 |:2

$2 x^{2} + 13 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 13+3}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 13-3}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x + 20$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - 10$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $10$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{160}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

L={ $- 4$ ; $- 2,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 3) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 8 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 3) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - erst sortieren

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)