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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - \frac{15}{32}$ = $\frac{1}{32}$

$2 x^{2} - \frac{15}{32}$	=	$\frac{1}{32}$	\| $+ \frac{15}{32}$
$2 x^{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$\frac{1}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{1}{4}}$	= $- \frac{1}{2}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{1}{4}}$	= $\frac{1}{2}$

L={ $- \frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{2}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - x - 1$ = $(- 5 x + 3) \cdot (x - 3) - 22 x + 18$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - x - 1$	=	$(- 5 x + 3) \cdot (x - 3) - 22 x + 18$
$- 4 x^{2} - x - 1$	=	$- 5 x^{2} + 18 x - 9 - 22 x + 18$
$- 4 x^{2} - x - 1$	=	$- 5 x^{2} - 4 x + 9$	\| $+ 5 x^{2}$ $+ 4 x$ $- 9$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} - 80 x + 64$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} - 80 x + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{{(- 80)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 64}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{6 400 - 6 400}}{50}$

x_1,2 = $\frac{+ 80 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{80}{50}$ = $\frac{8}{5}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} - 80 x + 64$ = 0 |: $25$

$x^{2} - \frac{16}{5} x + \frac{64}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{5})}^{2} - (\frac{64}{25})$ = $\frac{64}{25}$ $-$ $\frac{64}{25}$ = $\frac{0}{25}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{8}{5}$ ± 0 = $\frac{8}{5}$

L={ $\frac{8}{5}$ }

$\frac{8}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 2) \cdot (- 3)$ = $3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} (x + 2) x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch (+ Umformungen)II

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)