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reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x^{2} - 0,27$ = $- 0,27$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} - 0,27$	=	$- 0,27$	\| $+ 0,27$
$- 3 x^{2}$	=	$0$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + x + 4$ = $(4 x + 3) \cdot (x - 3) + 10 x + 17$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + x + 4$	=	$(4 x + 3) \cdot (x - 3) + 10 x + 17$
$5 x^{2} + x + 4$	=	$4 x^{2} - 9 x - 9 + 10 x + 17$
$5 x^{2} + x + 4$	=	$4 x^{2} + x + 8$	\| $- 4$
$5 x^{2} + x$	=	$4 x^{2} + x + 4$	\| $- 4 x^{2}$ $- x$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 25 x + 63$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 25 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 63}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 504}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 25+11}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 25-11}{4}$ = $\frac{- 36}{4}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 25 x + 63$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{25}{2} x + \frac{63}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{4})}^{2} - (\frac{63}{2})$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $\frac{63}{2}$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $\frac{504}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{25}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{25}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{36}{4}$ = -9

x₂ = $- \frac{25}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

L={ $- 9$ ; $- 3,5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 1 + 2) \cdot (- 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 2) x$ .