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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{1}{3})}^{2}$ = $\frac{49}{36}$

{(x - \frac{1}{3})}^{2}

=

\frac{49}{36}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{1}{3}

=

- \sqrt{\frac{49}{36}}

≈

- \frac{7}{6}

$x - \frac{1}{3}$	=	$- \frac{7}{6}$	\| $+ \frac{1}{3}$
x₁	=	$- \frac{5}{6}$

2. Fall

x - \frac{1}{3}

=

\sqrt{\frac{49}{36}}

≈

\frac{7}{6}

$x - \frac{1}{3}$	=	$\frac{7}{6}$	\| $+ \frac{1}{3}$
x₂	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

L={ $- \frac{5}{6}$ ; $\frac{3}{2}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 13 x + 40$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 13 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 13+3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 13-3}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

L={ $- 8$ ; $- 5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 44 x - 9$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 44 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 44 \pm \sqrt{44^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 44 \pm \sqrt{1 936 + 180}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 44 \pm \sqrt{2 116}}{10}$

x₁ = $\frac{- 44 + \sqrt{2 116}}{10}$ = $\frac{- 44+46}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

x₂ = $\frac{- 44 - \sqrt{2 116}}{10}$ = $\frac{- 44-46}{10}$ = $\frac{- 90}{10}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 44 x - 9$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{44}{5} x - \frac{9}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{22}{5})}^{2} - (- \frac{9}{5})$ = $\frac{484}{25}$ $+$ $\frac{9}{5}$ = $\frac{484}{25}$ $+$ $\frac{45}{25}$ = $\frac{529}{25}$

x_1,2 = $- \frac{22}{5}$ ± $\sqrt{\frac{529}{25}}$

x₁ = $- \frac{22}{5}$ - $\frac{23}{5}$ = $- \frac{45}{5}$ = -9

x₂ = $- \frac{22}{5}$ + $\frac{23}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 0.2

L={ $- 9$ ; $0,2$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)