Mathebattle EduRandomtasks

reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{25}{49}$

$x^{2}$	=	$\frac{25}{49}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{25}{49}}$	≈ $- \frac{5}{7}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{25}{49}}$	≈ $\frac{5}{7}$

L={ $- \frac{5}{7}$ ; $\frac{5}{7}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x^{2} - 7 x - 7$ = $(- 7 x + 2) \cdot (x - 4) - 33 x + 6$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} - 7 x - 7$	=	$(- 7 x + 2) \cdot (x - 4) - 33 x + 6$
$- 6 x^{2} - 7 x - 7$	=	$- 7 x^{2} + 30 x - 8 - 33 x + 6$
$- 6 x^{2} - 7 x - 7$	=	$- 7 x^{2} - 3 x - 2$	\| $+ 7 x^{2}$ $+ 3 x$ $+ 2$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

L={ $- 1$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 5 x - 25$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 5 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 25)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{5+15}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{5-15}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 25$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{25}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{25}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{25}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{200}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

L={ $- 2,5$ ; $5$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 2 + 1) \cdot (- 2 - 1)$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x + 1) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)