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quadr. Linearterm als Graph

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 {(x + 6)}^{2} - 16$
und
$g(x) =$ $- 48$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$- 2 {(x + 6)}^{2} - 16$	=	$- 48$	\| $+ 16$
$- 2 {(x + 6)}^{2}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
${(x + 6)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 6

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x + 6$	=	$- 4$	\| $- 6$
x₁	=	$- 10$

2. Fall

x + 6

=

\sqrt{16}

=

4

$x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
x₂	=	$- 2$

L={ $- 10$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 10$ ) = $- 48$

g( $- 2$ ) = $- 48$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 10$ | $- 48$ ) und S₂( $- 2$ | $- 48$ ).

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 10 x + 26$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 10 x + 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 26$ = $25$ $-$ $26$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 7 x - 72$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 7 x - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 576}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{625}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{7+25}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{7-25}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 72$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $36$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{576}{16}$ = $\frac{625}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{625}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{25}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{25}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

L={ $- 4,5$ ; $8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 3)$ = $2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x - 2) \cdot (x - 3)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm als Graph

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)