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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - 1,3)}^{2}$ = $0,04$

Lösung einblenden

{(x - 1,3)}^{2}

0,04

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - 1,3

- \sqrt{0,04}

- 0,2

$x - 1,3$	=	$- 0,2$	\| $+ 1,3$
x₁	=	$1,1$

2. Fall

x - 1,3

\sqrt{0,04}

0,2

$x - 1,3$	=	$0,2$	\| $+ 1,3$
x₂	=	$1,5$

L={ $1,1$ ; $1,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10 x^{2} + x + 8$ = $(9 x + 9) \cdot (x - 4) + 23 x + 44$

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$10 x^{2} + x + 8$	=	$(9 x + 9) \cdot (x - 4) + 23 x + 44$
$10 x^{2} + x + 8$	=	$9 x^{2} - 27 x - 36 + 23 x + 44$
$10 x^{2} + x + 8$	=	$9 x^{2} - 4 x + 8$	\| $- 8$
$10 x^{2} + x$	=	$9 x^{2} - 4 x$	\| $- (9 x^{2} - 4 x)$
$10 x^{2} - 9 x^{2} + x + 4 x$	=	0
$x^{2} + 5 x$	=	0
$x \cdot (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; 0}

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 12 x + 36$ = 0

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$x^{2} + 12 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 6$ ± 0 = $- 6$

L={ $- 6$ }

$- 6$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2)$ = $- 2 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 3) x$ .