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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 2,2)}^{2}$ = $0,25$

{(x + 2,2)}^{2}

=

0,25

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 2,2

=

- \sqrt{0,25}

=

- 0,5

$x + 2,2$	=	$- 0,5$	\| $- 2,2$
x₁	=	$- 2,7$

2. Fall

x + 2,2

=

\sqrt{0,25}

=

0,5

$x + 2,2$	=	$0,5$	\| $- 2,2$
x₂	=	$- 1,7$

L={ $- 2,7$ ; $- 1,7$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{17}{2} x - 15$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{17}{2} x - 15$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{17}{2} x - 15)$	=	0

$2 x^{2} + 17 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 17+23}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 17-23}{4}$ = $\frac{- 40}{4}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 17 x - 30$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - (- 15)$ = $\frac{289}{16}$ $+$ $15$ = $\frac{289}{16}$ $+$ $\frac{240}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{40}{4}$ = -10

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

L={ $- 10$ ; $1,5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 25 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 25 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 6}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{529}}{8}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{25+23}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = $6$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{529}}{8}$ = $\frac{25-23}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 25 x + 6$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{25}{4} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{8})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{625}{64}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{625}{64}$ $-$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{529}{64}$

x_1,2 = $\frac{25}{8}$ ± $\sqrt{\frac{529}{64}}$

x₁ = $\frac{25}{8}$ - $\frac{23}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{25}{8}$ + $\frac{23}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

L={ $0,25$ ; $6$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 1) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)