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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 0,2)}^{2}$ = $0,09$

{(x + 0,2)}^{2}

=

0,09

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x + 0,2

=

- \sqrt{0,09}

=

- 0,3

$x + 0,2$	=	$- 0,3$	\| $- 0,2$
x₁	=	$- 0,5$

2. Fall

x + 0,2

=

\sqrt{0,09}

=

0,3

$x + 0,2$	=	$0,3$	\| $- 0,2$
x₂	=	$0,1$

L={ $- 0,5$ ; $0,1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 16 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

- 2 x^{2} - 16 x - 14

= 0 |:2

$- x^{2} - 8 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{8+6}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{8-6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 4$ - $3$ = -7

x₂ = $- 4$ + $3$ = -1

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 31 x - 28$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 31 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 + 560}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{1 521}}{10}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{1 521}}{10}$ = $\frac{- 31+39}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = $0,8$

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{1 521}}{10}$ = $\frac{- 31-39}{10}$ = $\frac{- 70}{10}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 31 x - 28$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{31}{5} x - \frac{28}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{10})}^{2} - (- \frac{28}{5})$ = $\frac{961}{100}$ $+$ $\frac{28}{5}$ = $\frac{961}{100}$ $+$ $\frac{560}{100}$ = $\frac{1521}{100}$

x_1,2 = $- \frac{31}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{100}}$

x₁ = $- \frac{31}{10}$ - $\frac{39}{10}$ = $- \frac{70}{10}$ = -7

x₂ = $- \frac{31}{10}$ + $\frac{39}{10}$ = $\frac{8}{10}$ = 0.8

L={ $- 7$ ; $0,8$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 1))$ = $2 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} x \cdot (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)