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quadr. Linearterm mit Umformungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 3)}^{2} - 16$ = 0

${(x + 3)}^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
${(x + 3)}^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 3

=

- \sqrt{16}

=

- 4

$x + 3$	=	$- 4$	\| $- 3$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 3

=

\sqrt{16}

=

4

$x + 3$	=	$4$	\| $- 3$
x₂	=	$1$

L={ $- 7$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{21}{5} x + \frac{4}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{21}{5} x + \frac{4}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{21}{5} x + \frac{4}{5})$	=	0

$5 x^{2} - 21 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 4}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 80}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{361}}{10}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{361}}{10}$ = $\frac{21+19}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{361}}{10}$ = $\frac{21-19}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = $0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 21 x + 4$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{21}{5} x + \frac{4}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{10})}^{2} - (\frac{4}{5})$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{4}{5}$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{80}{100}$ = $\frac{361}{100}$

x_1,2 = $\frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{361}{100}}$

x₁ = $\frac{21}{10}$ - $\frac{19}{10}$ = $\frac{2}{10}$ = 0.2

x₂ = $\frac{21}{10}$ + $\frac{19}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = 4

L={ $0,2$ ; $4$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} + 30 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} + 30 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 900}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 30 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 30}{50}$ = $- \frac{3}{5}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} + 30 x + 9$ = 0 |: $25$

$x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{9}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{5})}^{2} - (\frac{9}{25})$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{9}{25}$ = $\frac{0}{25}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- \frac{3}{5}$ ± 0 = $- \frac{3}{5}$

L={ $- \frac{3}{5}$ }

$- \frac{3}{5}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot 1 \cdot (1 - 5)$ = $- 4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{4} x \cdot (x - 5)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm mit Umformungen

a-b-c-Formel (MNF) - mit Durchmult.

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)