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quadr. Linearterm

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x - \frac{19}{10})}^{2}$ = $\frac{49}{100}$

{(x - \frac{19}{10})}^{2}

=

\frac{49}{100}

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

x - \frac{19}{10}

=

- \sqrt{\frac{49}{100}}

=

- \frac{7}{10}

$x - \frac{19}{10}$	=	$- \frac{7}{10}$	\| $+ \frac{19}{10}$
x₁	=	$\frac{6}{5}$ = 1.2

2. Fall

x - \frac{19}{10}

=

\sqrt{\frac{49}{100}}

=

\frac{7}{10}

$x - \frac{19}{10}$	=	$\frac{7}{10}$	\| $+ \frac{19}{10}$
x₂	=	$\frac{13}{5}$ = 2.6

L={ $\frac{6}{5}$ ; $\frac{13}{5}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 x^{2} + 4 x - 2$ = $(8 x + 6) (x - 1) + 2 x + 9$

Lösung einblenden

$9 x^{2} + 4 x - 2$	=	$(8 x + 6) (x - 1) + 2 x + 9$
$9 x^{2} + 4 x - 2$	=	$8 x^{2} - 2 x - 6 + 2 x + 9$
$9 x^{2} + 4 x - 2$	=	$8 x^{2} + 3$	\| $- 8 x^{2}$ $- 3$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

L={ $- 5$ ; $1$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 28 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 28 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 49}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 784}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 28}{8}$ = $- \frac{7}{2}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 28 x + 49$ = 0 |: $4$

$x^{2} + 7 x + \frac{49}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (\frac{49}{4})$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{49}{4}$ = $\frac{0}{4}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- \frac{7}{2}$ ± 0 = $- \frac{7}{2}$

L={ $- \frac{7}{2}$ }

$- \frac{7}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2 - 2)$ = $- 4 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{2} (x + 3) (x - 2)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Linearterm

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)