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reinquadratisch

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{196}{121}$

$x^{2}$	=	$\frac{196}{121}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{196}{121}}$	≈ $- \frac{14}{11}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{196}{121}}$	≈ $\frac{14}{11}$

L={ $- \frac{14}{11}$ ; $\frac{14}{11}$ }

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 7 x - 3$ = $(3 x + 5) \cdot (x - 6) + 12 x + 22$

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 7 x - 3$	=	$(3 x + 5) \cdot (x - 6) + 12 x + 22$
$4 x^{2} - 7 x - 3$	=	$3 x^{2} - 13 x - 30 + 12 x + 22$
$4 x^{2} - 7 x - 3$	=	$3 x^{2} - x - 8$	\| $- 3 x^{2}$ $+ x$ $+ 8$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

L={ $1$ ; $5$ }

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 22 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 22 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 8}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{324}}{10}$

x₁ = $\frac{- 22 + \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{- 22+18}{10}$ = $\frac{- 4}{10}$ = $- 0,4$

x₂ = $\frac{- 22 - \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{- 22-18}{10}$ = $\frac{- 40}{10}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 22 x + 8$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{22}{5} x + \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{5})}^{2} - (\frac{8}{5})$ = $\frac{121}{25}$ $-$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{121}{25}$ $-$ $\frac{40}{25}$ = $\frac{81}{25}$

x_1,2 = $- \frac{11}{5}$ ± $\sqrt{\frac{81}{25}}$

x₁ = $- \frac{11}{5}$ - $\frac{9}{5}$ = $- \frac{20}{5}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{5}$ + $\frac{9}{5}$ = $- \frac{2}{5}$ = -0.4

L={ $- 4$ ; $- 0,4$ }

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- 2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- 2 (x + 1) \cdot (x - 1)$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

reinquadratisch

a-b-c-Formel (MNF) - mit vereinfachen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)