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Term aus Verschiebung (Streck.) bestimmen

Beispiel:

Der Graph von f mit $f(x) =$ $1 - \frac{5}{x}$ wird um den Faktor 3 in y-Richtung gestreckt und an der x-Achse gespiegelt und um 1 nach unten verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

Lösung einblenden

Bei der Verschiebung um 1 nach unten, bzw. -1 nach oben wird zu jedem Funktionswert noch -1 dazu addiert, also ein -1 an den Funktionsterm hinten angehängt.

Die Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten 3 vor dem ganzen Funktionsterm.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor dem Term, also - 3.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $g(x) =$ $- 3 (1 - \frac{5}{x}) - 1$

Verschiebung am Graph erkennen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph von $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 2$ in schwarzer Farbe.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g, deren Graph in rot eingezeichnet ist.

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass der rote Graph nicht verschoben, sondern gestreckt und gespiegelt wurde und damit der Funktionterm die Form $a \cdot (- 2 x^{2} + 2)$ haben muss.

Man kann beispielsweise an der Stelle x=0 diesen Streckfaktor a bestimmen: Da g(0)= $a \cdot (- 2 \cdot 0^{2} + 2)$ = $2 a$ gilt, und sich am roten Graph an der Stelle x=0 der Funktionswert g(0)=-2 ablesen lässt, muss gelten:

$2 a$ = -2|: $2$
a ≈ -1
Man erhält somit für den gesuchten Funktionsterm g(x)= $- (- 2 x^{2} + 2)$ .

Verschiebung am Term erkennen

Beispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g mit $g(x) =$ $- 4 (- 2 {(x - 2)}^{3} + 4 (x - 2))$ aus dem Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 4 x$ entsteht.

Lösung einblenden

Man erkennt sofort, dass das 'x' in g(x) in f(x) durch (x -2) ersetzt wurde. Das bedeutet, dass in g die Funktionswerte von f von den um 2 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei g um 2 größer als bei f) Für den Graph bedeutet das, dass er um 2 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Die -4 als Koeffizient vor dem Term bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor -4 multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um -4 gestreckt. (das negative Vorzeichen von -4 ändert das Vorzeichen der Funktionswerte und bewirkt somit noch zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.)