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Volumen eines Kegels

Beispiel:

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Ein Kegel dessen Grundfläche den Radius r = 5 mm hat, ist h = 6 mm hoch.
Berechne sein Volumen.

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Wir wenden einfach die Volumenformel für einen Kegel (mit einem Kreis als Grundfläche an):

V = 1 3 ⋅ G ⋅ h = 1 3 ⋅ π r2 ⋅ h
= 1 3 ⋅ π (5 mm)2 ⋅ 6 mm
= 1 3 ⋅ π ⋅ 25 mm² ⋅ 6 mm
≈ 50 π mm³
≈ 157.1 mm³

Kegelvolumen rückwärts

Beispiel:

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Ein Kegel dessen Grundfläche den Radius r = 6 m hat, besitzt das Volumen V = 113 m³.
Berechne seine Höhe.

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Wir setzen einfach alle gegebenen Werte in die Volumenformel für einen Kegel ein:

V = 1 3 ⋅ G ⋅ h
V = 1 3 ⋅ π r2 ⋅ h
113 m³ = 1 3 ⋅ π (6 m)2 ⋅ h
113 m³ = 1 3 ⋅ π ⋅ 36 m² ⋅ h
113 m³ = 37.7 m² ⋅ h | :37.7 m²
3 m ≈ h

Kegelvolumen mit Kante s

Beispiel:

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Ein Kegel hat als Grundfläche einen Kreis mit Radius r = 6 mm.
Der kürzeste Abstand vom Rand dieses Kreises zur Spitze beträgt s = 11 mm.
Berechne das Volumen des Kegels.

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In der Abbildung erkennen wir, dass man mit dem Satz des Pythagoras die fürs Volumen notwendige Höhe des Kegels berechnen kann:

r2 + h2 = s2

h2 = s2 - r2
= 112 - 62
≈ 85

h ≈ 9.22

Jetzt können wir mit der Volumenformel den Rauminhalt des Kegels berechnen:

V = 1 3 ⋅ G ⋅ h = 1 3 ⋅ π r2 ⋅ h
= 1 3 ⋅ π (6 mm)2 ⋅ 9.22 mm
= 1 3 ⋅ π ⋅ 36 mm² ⋅ 9.22 mm
≈ 110.635 π mm³
≈ 347.6 mm³

Mantel eines Kegels

Beispiel:

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Ein Kegel dessen Grundfläche den Radius r = 6 m hat, ist h = 6 m hoch.
Berechne den Flächeninhalt seines Mantels.

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Der Mantel eines Kegels hat die Form eines Kreisausschnitts. Dabei entspricht die Bogenlänge des Kreisausschnitts dem Umfang des Grundkreises des Kegels.

Der Radius des Kreisausschnitts ist dabei die Kantenlänge s des Kegels. Deswegen berechnen wir diese als erstes mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:

s2 = r2 + h2 = 36 + 36 = 72

s ≈ 8.49

Dieses s ist jetzt der Radius des Kreisausschnitts. Um dessen Flächeninhalt berechnen zu können, benötigen wir noch den Öffnungswinkel α. Diesen bekommen wir über die Bogenlänge des Kreisausschnitts, die ja dem Umfang des Grundkreises des Kegels entspricht, also:

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α 360° ⋅ 2π ⋅ s = 2π ⋅ r | : 2π

α 360° ⋅ s = r

Statt das α jetzt auszurechnen (Ergebnis wäre 254.4°) schauen wir uns direkt die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Kreisausschnitts und damit des Kegelmantels an und setzen die obige Gleichung ein:

M = α 360° ⋅ π ⋅ s2
= α 360° ⋅ s π ⋅ s
= r π ⋅ s
= π ⋅ 6 m⋅ 8.49 m
≈ 159.9 m²

Die Formel für den Mantelflächeninhalt ist also: M = π ⋅ r ⋅ s

Kegel Oberfläche rückwärts

Beispiel:

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Ein Kegel hat ein Grundfläche mit dem Radius r = 5 m und hat als Oberflächeninhalt O = 170.1 m².
Berechne das Volumen des Kegels.

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Die Oberfläche eines Kegels besteht aus dem Mantel und der kreisförmigen Grundfläche G.

Für zweitere gilt:
G = π ⋅ r2 = π ⋅ (5 m)2 ≈ 78.5 m²

Wenn wir diese 78.5 m² vom Oberflächeninhalt abziehen, erhalten wir den Flächeninhalt des Mantels:

M = 170.1 m² - 78.5 m² ≈ 91.6 m²

Die Formel für den Flächeninhalt des Mantel lautet:
M = π ⋅ r ⋅ s
91.6 m² = π ⋅ 5 m ⋅ s | : (π⋅5 m)

5.83 m ≈ s

Jetzt können wir mit dem Satz des Pythagoras die fürs Volumen notwendige Höhe des Kegels berechnen:

r2 + h2 = s2

h2 = s2 - r2
= 5.832 - 52
≈ 9

h ≈ 3

Jetzt können wir mit der Volumenformel den Rauminhalt des Kegels berechnen:

V = 1 3 ⋅ G ⋅ h = 1 3 ⋅ π r2 ⋅ h
= 1 3 ⋅ π (5 m)2 ⋅ 3 m
= 1 3 ⋅ π ⋅ 25 m² ⋅ 3 m
≈ 25.008 π m³
≈ 78.6 m³

Kegel Mantelfläche rückwärts

Beispiel:

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Ein Kegel hat den abgebildeten Mantel mit dem Flächeninhalt M = 126 mm² und dem Öffnungswinkel α = 322°.
Berechne das Volumen des Kegels.

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Der Mantel eines Kegels hat die Form eines Kreisausschnitts. Dabei entspricht die Bogenlänge des Kreisausschnitts dem Umfang des Grundkreises des Kegels.

Der Radius des Kreisausschnitts, der der Kantenlänge des Kegels entspricht, nennen wir s. Damit gilt für den Flächeninhalt des Kegelmantels, der die Form eines Kreisausschnitts mit Radius s hat:

M = α 360° ⋅ π ⋅ s2
126 = 322 360 ⋅ π ⋅ s2 | ⋅ 360 322 : π
s2 ≈ 44.84
s ≈ 6.7

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Auf der anderen Seite wissen wir ja aber auch, dass die Bogenlänge l = 322 360 ⋅ 2π ⋅ s des Mantels gerade dem Kreisumfang des Grundkreises des Kegels (2π ⋅ r) entspricht, also:

2π ⋅ r = 322 360 ⋅ 2π ⋅ 6.7 mm | : 2π

r = 322 360 ⋅ 6.7 mm ≈ 6 mm

Jetzt können wir mit dem Satz des Pythagoras die fürs Volumen notwendige Höhe des Kegels berechnen:

r2 + h2 = s2

h2 = s2 - r2
= 6.72 - 62
≈ 9

h ≈ 2.99

Jetzt können wir mit der Volumenformel den Rauminhalt des Kegels berechnen:

V = 1 3 ⋅ G ⋅ h = 1 3 ⋅ π r2 ⋅ h
= 1 3 ⋅ π (6 mm)2 ⋅ 2.99 mm
= 1 3 ⋅ π ⋅ 35.87 mm² ⋅ 2.99 mm
≈ 35.807 π mm³
≈ 112.5 mm³