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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3}$

$f'(x) =$ $x^{4} + x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{3} x^{4}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{4}{3} x^{4}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{16}{3} x^{3}$

f'(-1) = $- \frac{16}{3} \cdot {(- 1)}^{3}$ = $- \frac{16}{3} \cdot (- 1)$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}}$

= $2 x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 4 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} - 2$

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 0$

= $3 x^{2}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t {(\sqrt[3]{x})}^{2} + 5 x$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $\frac{19}{3}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t {(\sqrt[3]{x})}^{2} + 5 x$

= $t x^{\frac{2}{3}} + 5 x$

=> f'(x)= $\frac{2}{3} t x^{- \frac{1}{3}} + 5$

=> $f'(x) =$ $\frac{2 t}{3 \sqrt[3]{x}} + 5$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2 t}{3 \cdot \sqrt[3]{1}} + 5$
= $\frac{2 t}{3} + 5$
= $\frac{2}{3} t + 5$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{19}{3}$ besitzen, also gilt:

$\frac{2}{3} t + 5$	=	$\frac{19}{3}$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} t + 5)$	=	$19$
$2 t + 15$	=	$19$	\| $- 15$
$2 t$	=	$4$	\|: $2$
$t$	=	$2$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 5$ im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 5$

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 3 x + 0$

f'(3) = $- 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3$ = $- 3 \cdot 9 + 9$ = $- 27 + 9$ = $- 18$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $- 18$ )) ≈ -86.8°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + 3 x + 5$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + 3 x + 5$ ab:

f'(x) = $2 x^{3} + 3$

Es muss gelten:

$2 x^{3} + 3$	=	$1$	\| $- 3$
$2 x^{3}$	=	$- 2$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 x^{3} + \frac{1}{4} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 63.43 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(63.43°) ≈ 2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $3 x^{3} + \frac{1}{4} t x$

=> $f'(x) =$ $9 x^{2} + \frac{1}{4} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $9 \cdot 0^{2} + \frac{1}{4} t$
= $\frac{1}{4} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2 betragen, also gilt:

$\frac{1}{4} t$	=	$2$	\|⋅ 4
$t$	=	$8$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 8 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + x - 10$ und $g(x) =$ $- x^{2} - x + 14$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + x - 10

=

- x^{2} - x + 14

|

+ x^{2}

+ x

- 14

2 x^{2} + 2 x - 24

= 0 |:2

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 4$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 1$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 + 1$ = $7$

$g'(x) =$ $- 2 x - 1$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 - 1$ = $- 7$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $7$ ) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 7$ ) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - ( - 81.9 )°| ≈ 163.8°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 163.8° = 16.2° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):