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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{6} x^{3} + 2$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- \frac{1}{6} x^{3} + 2$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 0$

= $- \frac{1}{2} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{5} - 3 x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

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$f(x) =$ $- 2 x^{5} - 3 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 10 x^{4} - 6 x$

f'(0) = $- 10 \cdot 0^{4} - 6 \cdot 0$ = $- 10 \cdot 0 + 0$ = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{x}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- \frac{7}{x}$

= $- 7 x^{- 1}$

=> f'(x) = $7 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{x^{2}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{\sqrt{x}}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- \frac{2}{\sqrt{x}}$

= $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $x^{- \frac{3}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(\sqrt{x})}^{3}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{3 t}{x^{2}} - 2 x$ im Punkt (-1|f_t(-1)) den Wert $- 20$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3 t}{x^{2}} - 2 x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{6 t}{x^{3}} - 2$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{6 t}{{(- 1)}^{3}} - 2$
= $6 t - 2$

Dieser Wert soll ja den Wert $- 20$ besitzen, also gilt:

$6 t - 2$	=	$- 20$	\| $+ 2$
$6 t$	=	$- 18$	\|: $6$
$t$	=	$- 3$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} + 3 x$ im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} + 3 x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{9}{2} x^{2} + 3$

f'(3) = $- \frac{9}{2} \cdot 3^{2} + 3$ = $- \frac{9}{2} \cdot 9 + 3$ = $- \frac{81}{2} + 3$ = $- \frac{75}{2}$ ≈ -37.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $- \frac{75}{2}$ )) ≈ -88.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 12 x - 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $x^{2} - 12 x - 9$ ab:

f'(x) = $2 x - 12$

Es muss gelten:

$2 x - 12$	=	$2$	\| $+ 12$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 x^{3} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 78.69 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 78.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(78.69°) ≈ 5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $3 x^{3} + t x$

=> $f'(x) =$ $9 x^{2} + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $9 \cdot 0^{2} + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 5 betragen, also gilt:

t

=

5

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x + 2$ und $g(x) =$ $- x^{2} - x + 14$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 3 x + 2

=

- x^{2} - x + 14

|

+ x^{2}

+ x

- 14

2 x^{2} - 2 x - 12

= 0 |:2

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 2$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 3$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 - 3$ = $3$

$g'(x) =$ $- 2 x - 1$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 - 1$ = $- 7$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $3$ ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 7$ ) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 81.9 )°| ≈ 153.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 153.5° = 26.5° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):