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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{5} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{5} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 25 x^{4} + 3$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{4} + 5 x^{3}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{4} + 5 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $8 x^{3} + 15 x^{2}$

f'(0) = $8 \cdot 0^{3} + 15 \cdot 0^{2}$ = $8 \cdot 0 + 15 \cdot 0$ = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{x^{3}}$

= $5 x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 15 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{15}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} - 2 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} - 2 x^{3}$

= $x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} - 6 x^{2}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $4 \cdot \sin (x) + 4 t x$ im Punkt ( $- π$ |f_t( $- π$ )) den Wert $8$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \cdot \sin (x) + 4 t x$

=> $f'(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 4 t$

Jetzt setzen wir x = $- π$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 \cdot \cos ((- π)) + 4 t$
= $4 \cdot (- 1) + 4 t$
= $- 4 + 4 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $8$ besitzen, also gilt:

$4 t - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$4 t$	=	$12$	\|: $4$
$t$	=	$3$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - x - 5$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - x - 5$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 1 + 0$

f'(0) = $\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - 1$ = $\frac{3}{2} \cdot 0 - 1$ = $- 1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $- 1$ )) ≈ -45°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -45° + 180° = 135°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{20} x^{4} - 78 x + 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{20} x^{4} - 78 x + 7$ ab:

f'(x) = $- \frac{3}{5} x^{3} - 78$

Es muss gelten:

$- \frac{3}{5} x^{3} - 78$	=	$- 3$	\| $+ 78$
$- \frac{3}{5} x^{3}$	=	$75$	\|⋅ $(- \frac{5}{3})$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 x^{4} + \frac{1}{2} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 45 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 45 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(45°) ≈ 1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $3 x^{4} + \frac{1}{2} t x$

=> $f'(x) =$ $12 x^{3} + \frac{1}{2} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $12 \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} t$
= $\frac{1}{2} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1 betragen, also gilt:

$\frac{1}{2} t$	=	$1$	\|⋅ 2
$t$	=	$2$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 2 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - x + 1$ und $g(x) =$ $- x^{2} + x + 5$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - x + 1

=

- x^{2} + x + 5

|

+ x^{2}

- x

- 5

2 x^{2} - 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 1$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 - 1$ = $3$

$g'(x) =$ $- 2 x + 1$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 + 1$ = $- 3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $3$ ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 3$ ) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 71.6 )°| ≈ 143.2°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 143.2° = 36.8° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):