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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{3} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{3} + 5$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 0$

= $\frac{1}{2} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{2 x^{3}}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{2 x^{3}}$

= $\frac{9}{2} x^{- 3}$

=> f'(x) = $- \frac{27}{2} x^{- 4}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{27}{2 x^{4}}$

f'(2) = $- \frac{27}{2 \cdot 2^{4}}$ = $- \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{16})$ = $- \frac{27}{32}$ ≈ -0.84

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (x) + \frac{2}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (x) + \frac{2}{x^{4}}$

= $- \cos (x) + 2 x^{- 4}$

=> f'(x) = $\sin (x) - 8 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $\sin (x) - \frac{8}{x^{5}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} - x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} - x^{4}$

= $x^{\frac{1}{2}} - x^{4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{3}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} - 4 x^{3}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{4}{x} + t x^{2}$ im Punkt (-2|f_t(-2)) den Wert $7$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{x} + t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{2}} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{4}{{(- 2)}^{2}} + 2 t \cdot (- 2)$
= $- 1 - 4 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $7$ besitzen, also gilt:

$- 4 t - 1$	=	$7$	\| $+ 1$
$- 4 t$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$- 2$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x$

=> $f'(x) =$ $x + \frac{3}{2}$

f'(-2) = $- 2 + \frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2} + \frac{3}{2}$ = $- 2 + \frac{3}{2}$ = $- \frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $- \frac{1}{2}$ )) ≈ -26.6°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -26.6° + 180° = 153.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x + 5$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x + 5$ ab:

f'(x) = $x^{3} + 4$

Es muss gelten:

$x^{3} + 4$	=	$3$	\| $- 4$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 33.69 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 33.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(33.69°) ≈ 0.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 6 \cdot 0 + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.667 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$0,667$	\|⋅ 3
$t$	=	$2,001$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 2 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 6$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 2 x + 6$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 6

=

- x^{2} + 2 x + 6

|

+ x^{2}

- 2 x

- 6

2 x^{2} - 2 x - 12

= 0 |:2

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 2$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3$ = $6$

$g'(x) =$ $- 2 x + 2$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 + 2$ = $- 4$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $6$ ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 4$ ) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - ( - 76 )°| ≈ 156.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 156.5° = 23.5° .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):