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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{4} + \frac{3}{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{4} + \frac{3}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $8 x^{3} + 3 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{4} \cdot \sin (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{4} \cdot \sin (x)$

=> $f'(x) =$ $\frac{5}{4} \cdot \cos (x)$

f'( $0$ ) = $\frac{5}{4} \cdot \cos (0)$ = $\frac{5}{4} \cdot 1$ = $\frac{5}{4}$ ≈ 1.25

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{x^{3}}$

= $4 x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 12 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{12}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{2} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{2} \sqrt{x}$

= $- \frac{7}{2} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{4} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{4 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 t x^{3} - 4 x$ im Punkt (2|f_t(2)) den Wert $104$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 t x^{3} - 4 x$

=> $f'(x) =$ $9 t x^{2} - 4$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $9 t \cdot 2^{2} - 4$
= $36 t - 4$

Dieser Wert soll ja den Wert $104$ besitzen, also gilt:

$36 t - 4$	=	$104$	\| $+ 4$
$36 t$	=	$108$	\|: $36$
$t$	=	$3$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x$

=> $f'(x) =$ $- x^{3} + \frac{1}{2}$

f'(-2) = $- {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2}$ = $- (- 8) + \frac{1}{2}$ = $8 + \frac{1}{2}$ = $\frac{17}{2}$ ≈ 8.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $\frac{17}{2}$ )) ≈ 83.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 10 x + 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 10 x + 9$ ab:

f'(x) = $x + 10$

Es muss gelten:

$x + 10$	=	$3$	\| $- 10$
$x$	=	$- 7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{2} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -71.57 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-71.57°) ≈ -3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 6 \cdot 0 + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.001 betragen, also gilt:

t

=

- 3,001

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -3 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x + 5$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 4 x + 13$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - 4 x + 5$	=	$- x^{2} - 4 x + 13$	\| $- 5$
$x^{2} - 4 x$	=	$- x^{2} - 4 x + 8$	\| $+ x^{2}$ $+ 4 x$
$2 x^{2}$	=	$8$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 4$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 - 4$ = 0

$g'(x) =$ $- 2 x - 4$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 - 4$ = $- 8$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 8$ ) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 82.9 )°| ≈ 82.9°

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven