nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 3 +3x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 3 +3x

f'(x)= 3 x 2 +3

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5⋅ sin( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

Lösung einblenden

f(x)= 5⋅ sin( x )

=>f'(x)= 5⋅ cos( x )

f'( 0 ) = 5⋅ cos( 0 ) = 5⋅1 = 5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 3

= 3 x -3

=> f'(x) = -9 x -4

f'(x)= - 9 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 3 + 7 3 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 3 + 7 3 x

= 2 x 3 + 7 3 x 1 2

=> f'(x) = 6 x 2 + 7 6 x - 1 2

f'(x)= 6 x 2 + 7 6 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 5 x + t x im Punkt (4|ft(4)) den Wert 1 4 ?

Lösung einblenden

f(x)= 5 x + t x

= 5 x 1 2 + t x

=> f'(x)= 5 2 x - 1 2 + t

=>f'(x)= 5 2 x + t

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 5 2⋅ 4 + t
= 5 2⋅ 2 + t
= 5 4 + t

Dieser Wert soll ja den Wert 1 4 besitzen, also gilt:

t + 5 4 = 1 4 |⋅ 4
4( t + 5 4 ) = 1
4t +5 = 1 | -5
4t = -4 |:4
t = -1

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 1 2 x 4 - x +7 im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 1 2 x 4 - x +7

=>f'(x)= 2 x 3 -1 +0

f'(-1) = 2⋅ ( -1 ) 3 -1 = 2⋅( -1 ) -1 = -2 -1 = -3

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( -3 )) ≈ -71.6°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -71.6° + 180° = 108.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 2 x 2 +13x +3 angelegt.

Bestimme x0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 3 2 x 2 +13x +3 ab:

f'(x) = 3x +13

Es muss gelten:

3x +13 = -2 | -13
3x = -15 |:3
x = -5

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= x 2 + 1 3 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 75.96 ° ?

Lösung einblenden

ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(75.96°) ≈ 3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= x 2 + 1 3 t x

=>f'(x)= 2x + 1 3 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 2⋅0 + 1 3 t
= 1 3 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.999 betragen, also gilt:

1 3 t = 3,999 |⋅ 3
t = 11,997

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -8 und g(x)= - x 2 -2x +16 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -8 = - x 2 -2x +16 | + x 2 +2x -16
2 x 2 +2x -24 = 0 |:2

x 2 + x -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -12 ) 2⋅1

x1,2 = -1 ± 1 +48 2

x1,2 = -1 ± 49 2

x1 = -1 + 49 2 = -1 +7 2 = 6 2 = 3

x2 = -1 - 49 2 = -1 -7 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -12 ) = 1 4 + 12 = 1 4 + 48 4 = 49 4

x1,2 = - 1 2 ± 49 4

x1 = - 1 2 - 7 2 = - 8 2 = -4

x2 = - 1 2 + 7 2 = 6 2 = 3

L={ -4 ; 3 }

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 = 6

g'(x)= -2x -2 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 -2 = -8

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 6 ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -8 ) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - ( - 82.9 )°| ≈ 163.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 163.4° = 16.6° .