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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 x 5 +2x und vereinfache:

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f(x)= -4 x 5 +2x

f'(x)= -20 x 4 +2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 9 4 ⋅ sin( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

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f(x)= 9 4 ⋅ sin( x )

=>f'(x)= 9 4 ⋅ cos( x )

f'( 0 ) = 9 4 ⋅ cos( 0 ) = 9 4 ⋅1 = 9 4 ≈ 2.25

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 5 3 x 4 -3⋅ sin( x ) und vereinfache:

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f(x)= - 5 3 x 4 -3⋅ sin( x )

= - 5 3 x -4 -3⋅ sin( x )

=> f'(x) = 20 3 x -5 -3⋅ cos( x )

f'(x)= 20 3 x 5 -3⋅ cos( x )

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 x 2 + 9 2 x und vereinfache:

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f(x)= -2 x 2 + 9 2 x

= -2 x 2 + 9 2 x 1 2

=> f'(x) = -4x + 9 4 x - 1 2

f'(x)= -4x + 9 4 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t x -3x im Punkt (1|ft(1)) den Wert -10 ?

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f(x)= t x -3x

=>f'(x)= - t x 2 -3

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= - t 1 2 -3
= - t -3

Dieser Wert soll ja den Wert -10 besitzen, also gilt:

-t -3 = -10 | +3
-t = -7 |:(-1 )
t = 7

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 1 2 x 3 - x im Punkt P(-1|f(-1)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 1 2 x 3 - x

=>f'(x)= 3 2 x 2 -1

f'(-1) = 3 2 ⋅ ( -1 ) 2 -1 = 3 2 ⋅1 -1 = 3 2 -1 = 1 2 ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( 1 2 )) ≈ 26.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 4 x 4 -23x +3 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 3 4 x 4 -23x +3 ab:

f'(x) = 3 x 3 -23

Es muss gelten:

3 x 3 -23 = 1 | +23
3 x 3 = 24 |:3
x 3 = 8 | ⋅3
x = 8 3 = 2

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 2.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 3 x 2 + 1 3 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -69.44 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -69.44 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-69.44°) ≈ -2.666

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 3 x 2 + 1 3 t x

=>f'(x)= 6x + 1 3 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 6⋅0 + 1 3 t
= 1 3 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -2.666 betragen, also gilt:

1 3 t = -2,666 |⋅ 3
t = -7,998

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 + x -1 und g(x)= - x 2 + x +1 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 + x -1 = - x 2 + x +1 | +1
x 2 + x = - x 2 + x +2 | + x 2 - x
2 x 2 = 2 |:2
x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 1 |f( 1 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 1 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +1 , also gilt mf = f'( 1 )= 2⋅1 +1 = 3

g'(x)= -2x +1 , also gilt mg = g'( 1 )= -2⋅1 +1 = -1

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 1 |f( 1 )): α = arctan( 3 ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( 1 |g( 1 )) gilt: β = arctan( -1 ) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 45 )°| ≈ 116.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 116.6° = 63.4° .