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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3} - 3$

$f'(x) =$ $- x^{2} + 0$

= $- x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{5}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{5}$

=> $f'(x) =$ $- 25 x^{4}$

f'(-1) = $- 25 \cdot {(- 1)}^{4}$ = $- 25 \cdot 1$ = $- 25$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2 x}$

= $\frac{3}{2} x^{- 1}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{2}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{4} x^{2} - \frac{3}{\sqrt{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{4} x^{2} - \frac{3}{\sqrt{x}}$

= $\frac{7}{4} x^{2} - 3 x^{- \frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{7}{2} x + \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{2} x + \frac{3}{2 {(\sqrt{x})}^{3}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{6}{x} + 2 t x$ im Punkt (2|f_t(2)) den Wert $- \frac{31}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{x} + 2 t x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{6}{x^{2}} + 2 t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{6}{2^{2}} + 2 t$
= $- \frac{3}{2} + 2 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- \frac{31}{2}$ besitzen, also gilt:

$2 t - \frac{3}{2}$	=	$- \frac{31}{2}$	\|⋅ 2
$2 (2 t - \frac{3}{2})$	=	$- 31$
$4 t - 3$	=	$- 31$	\| $+ 3$
$4 t$	=	$- 28$	\|: $4$
$t$	=	$- 7$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} - 3 x^{2} - 7$ im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} - 3 x^{2} - 7$

=> $f'(x) =$ $\frac{9}{2} x^{2} - 6 x + 0$

f'(3) = $\frac{9}{2} \cdot 3^{2} - 6 \cdot 3$ = $\frac{9}{2} \cdot 9 - 18$ = $\frac{81}{2} - 18$ = $\frac{45}{2}$ ≈ 22.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $\frac{45}{2}$ )) ≈ 87.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{28} x^{4} - 149 x + 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{28} x^{4} - 149 x + 4$ ab:

f'(x) = $- \frac{3}{7} x^{3} - 149$

Es muss gelten:

$- \frac{3}{7} x^{3} - 149$	=	$- 2$	\| $+ 149$
$- \frac{3}{7} x^{3}$	=	$147$	\|⋅ $(- \frac{7}{3})$
$x^{3}$	=	$- 343$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{343}$	= $- 7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 x^{4} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -59.04 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -59.04 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-59.04°) ≈ -1.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $3 x^{4} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $12 x^{3} + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $12 \cdot 0^{3} + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.667 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$- 1,667$	\|⋅ 3
$t$	=	$- 5,001$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -5 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 3 x - 7$ und $g(x) =$ $- x^{2} - x + 9$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 3 x - 7

=

- x^{2} - x + 9

|

+ x^{2}

+ x

- 9

2 x^{2} + 4 x - 16

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 3$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 + 3$ = $7$

$g'(x) =$ $- 2 x - 1$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 - 1$ = $- 5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $7$ ) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 5$ ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - ( - 78.7 )°| ≈ 160.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.6° = 19.4° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):