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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 4 x 4 +2x und vereinfache:

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f(x)= - 1 4 x 4 +2x

f'(x)= - x 3 +2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 3 +3x und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

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f(x)= 4 x 3 +3x

=>f'(x)= 12 x 2 +3

f'(1) = 12⋅ 1 2 +3 = 12⋅1 +3 = 12 +3 = 15

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 3 x und vereinfache:

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f(x)= - 3 x

= -3 x -1

=> f'(x) = 3 x -2

f'(x)= 3 x 2

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 2 x 4 - 4 3 x 5 und vereinfache:

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f(x)= 1 2 x 4 - 4 3 x 5

= 1 2 x 1 4 - 4 3 x 5

=> f'(x) = 1 8 x - 3 4 - 20 3 x 4

f'(x)= 1 8 ( x 4 ) 3 - 20 3 x 4

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t x 3 +3x im Punkt (1|ft(1)) den Wert 1 ?

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f(x)= t x 3 +3x

= t x 1 3 +3x

=> f'(x)= 1 3 t x - 2 3 +3

=>f'(x)= t 3 ( x 3 ) 2 +3

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= t 3 ( 1 3 ) 2 +3
= t 3⋅ 1 2 +3
= 1 3 t +3

Dieser Wert soll ja den Wert 1 besitzen, also gilt:

1 3 t +3 = 1 |⋅ 3
3( 1 3 t +3 ) = 3
t +9 = 3 | -9
t = -6

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 3 2 x 4 +3 x 3 -3 im Punkt P(2|f(2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 3 2 x 4 +3 x 3 -3

=>f'(x)= -6 x 3 +9 x 2 +0

f'(2) = -6⋅ 2 3 +9⋅ 2 2 = -6⋅8 +9⋅4 = -48 +36 = -12

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( -12 )) ≈ -85.2°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -85.2° + 180° = 94.8°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 2 x 2 -23x +2 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 3 2 x 2 -23x +2 ab:

f'(x) = 3x -23

Es muss gelten:

3x -23 = -2 | +23
3x = 21 |:3
x = 7

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 2 x 2 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 45 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 45 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(45°) ≈ 1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 2 x 2 + 1 5 t x

=>f'(x)= 4x + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 4⋅0 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 1 betragen, also gilt:

1 5 t = 1 |⋅ 5
t = 5

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +2x -2 und g(x)= - x 2 +2x schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +2x -2 = - x 2 +2x | +2 + x 2 -2x
2 x 2 = 2 |:2
x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 1 |f( 1 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 1 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +2 , also gilt mf = f'( 1 )= 2⋅1 +2 = 4

g'(x)= -2x +2 , also gilt mg = g'( 1 )= -2⋅1 +2 = 0

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 1 |f( 1 )): α = arctan( 4 ) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( 1 |g( 1 )) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |76° - 0°| ≈ 76°