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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 2 15 x 5 + 1 2 x 2 und vereinfache:

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f(x)= - 2 15 x 5 + 1 2 x 2

f'(x)= - 2 3 x 4 + x

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 2 x und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

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f(x)= - 2 x

= -2 x -1

=> f'(x) = 2 x -2

=>f'(x)= 2 x 2

f'(1) = 2 1 2 = 2⋅1 = 2

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 4 - cos( x ) und vereinfache:

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f(x)= 4 x 4 - cos( x )

= 4 x -4 - cos( x )

=> f'(x) = -16 x -5 + sin( x )

f'(x)= - 16 x 5 + sin( x )

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 ( x ) 3 und vereinfache:

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f(x)= -5 ( x ) 3

= -5 x 3 2

=> f'(x) = - 15 2 x 1 2

f'(x)= - 15 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t x 3 -4 x 2 im Punkt (1|ft(1)) den Wert -6 ?

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f(x)= t x 3 -4 x 2

= t x 1 3 -4 x 2

=> f'(x)= 1 3 t x - 2 3 -8x

=>f'(x)= t 3 ( x 3 ) 2 -8x

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= t 3 ( 1 3 ) 2 -8⋅1
= t 3⋅ 1 2 -8⋅1
= 1 3 t -8

Dieser Wert soll ja den Wert -6 besitzen, also gilt:

1 3 t -8 = -6 |⋅ 3
3( 1 3 t -8 ) = -18
t -24 = -18 | +24
t = 6

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 3 2 x 3 -3 x 2 im Punkt P(-2|f(-2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 3 2 x 3 -3 x 2

=>f'(x)= - 9 2 x 2 -6x

f'(-2) = - 9 2 ⋅ ( -2 ) 2 -6⋅( -2 ) = - 9 2 ⋅4 +12 = -18 +12 = -6

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( -6 )) ≈ -80.5°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -80.5° + 180° = 99.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= - 1 10 x 4 -49x -3 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= - 1 10 x 4 -49x -3 ab:

f'(x) = - 2 5 x 3 -49

Es muss gelten:

- 2 5 x 3 -49 = 1 | +49
- 2 5 x 3 = 50 |⋅ ( - 5 2 )
x 3 = -125 | ⋅3
x = - 125 3 = -5

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= x 4 + 1 3 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 63.43 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(63.43°) ≈ 2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= x 4 + 1 3 t x

=>f'(x)= 4 x 3 + 1 3 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 4⋅ 0 3 + 1 3 t
= 1 3 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 2 betragen, also gilt:

1 3 t = 2 |⋅ 3
t = 6

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 + x -5 und g(x)= - x 2 + x +3 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 + x -5 = - x 2 + x +3 | +5
x 2 + x = - x 2 + x +8 | + x 2 - x
2 x 2 = 8 |:2
x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

L={ -2 ; 2 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 2 |f( 2 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 2 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +1 , also gilt mf = f'( 2 )= 2⋅2 +1 = 5

g'(x)= -2x +1 , also gilt mg = g'( 2 )= -2⋅2 +1 = -3

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 2 |f( 2 )): α = arctan( 5 ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( 2 |g( 2 )) gilt: β = arctan( -3 ) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 71.6 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .