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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 2 5 x 5 +2x und vereinfache:

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f(x)= - 2 5 x 5 +2x

f'(x)= -2 x 4 +2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3⋅ cos( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

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f(x)= 3⋅ cos( x )

=>f'(x)= -3⋅ sin( x )

f'( 0 ) = -3⋅ sin( 0 ) = -3⋅0 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 2 x 3 und vereinfache:

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f(x)= 5 2 x 3

= 5 2 x -3

=> f'(x) = - 15 2 x -4

f'(x)= - 15 2 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 6 x und vereinfache:

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f(x)= 6 x

= 6 x 1 2

=> f'(x) = 3 x - 1 2

f'(x)= 3 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= -5⋅ sin( x ) +5 t x im Punkt ( π |ft( π )) den Wert 35 ?

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f(x)= -5⋅ sin( x ) +5 t x

=>f'(x)= -5⋅ cos( x ) +5 t

Jetzt setzen wir x = π in die Ableitungsfunktion f' ein:

= -5⋅ cos( π ) +5 t
= -5⋅( -1 ) +5 t
= 5 +5 t

Dieser Wert soll ja den Wert 35 besitzen, also gilt:

5t +5 = 35 | -5
5t = 30 |:5
t = 6

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 1 2 x 3 - x 2 -5 im Punkt P(2|f(2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 1 2 x 3 - x 2 -5

=>f'(x)= 3 2 x 2 -2x +0

f'(2) = 3 2 ⋅ 2 2 -2⋅2 = 3 2 ⋅4 -4 = 6 -4 = 2

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( 2 )) ≈ 63.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= - 1 14 x 4 -96x -8 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= - 1 14 x 4 -96x -8 ab:

f'(x) = - 2 7 x 3 -96

Es muss gelten:

- 2 7 x 3 -96 = 2 | +96
- 2 7 x 3 = 98 |⋅ ( - 7 2 )
x 3 = -343 | ⋅3
x = - 343 3 = -7

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= - x 4 + 1 2 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 78.69 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 78.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(78.69°) ≈ 5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= - x 4 + 1 2 t x

=>f'(x)= -4 x 3 + 1 2 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -4⋅ 0 3 + 1 2 t
= 1 2 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 5 betragen, also gilt:

1 2 t = 5 |⋅ 2
t = 10

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -3x +3 und g(x)= - x 2 -3x +11 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -3x +3 = - x 2 -3x +11 | -3
x 2 -3x = - x 2 -3x +8 | + x 2 +3x
2 x 2 = 8 |:2
x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

L={ -2 ; 2 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 2 |f( 2 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 2 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -3 , also gilt mf = f'( 2 )= 2⋅2 -3 = 1

g'(x)= -2x -3 , also gilt mg = g'( 2 )= -2⋅2 -3 = -7

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 2 |f( 2 )): α = arctan( 1 ) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( 2 |g( 2 )) gilt: β = arctan( -7 ) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |45° - ( - 81.9 )°| ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .