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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 4 +3 x 3 und vereinfache:

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f(x)= x 4 +3 x 3

f'(x)= 4 x 3 +9 x 2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 2 3 x und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

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f(x)= - 2 3 x

= - 2 3 x -1

=> f'(x) = 2 3 x -2

=>f'(x)= 2 3 x 2

f'(1) = 2 3⋅ 1 2 = 2 3 ⋅1 = 2 3 ≈ 0.67

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 x 3 und vereinfache:

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f(x)= 1 x 3

= x -3

=> f'(x) = -3 x -4

f'(x)= - 3 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 4 x und vereinfache:

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f(x)= - 4 x

= -4 x - 1 2

=> f'(x) = 2 x - 3 2

f'(x)= 2 ( x ) 3

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t x 3 +7 x 2 im Punkt (1|ft(1)) den Wert 37 3 ?

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f(x)= t x 3 +7 x 2

= t x 1 3 +7 x 2

=> f'(x)= 1 3 t x - 2 3 +14x

=>f'(x)= t 3 ( x 3 ) 2 +14x

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= t 3 ( 1 3 ) 2 +14⋅1
= t 3⋅ 1 2 +14⋅1
= 1 3 t +14

Dieser Wert soll ja den Wert 37 3 besitzen, also gilt:

1 3 t +14 = 37 3 |⋅ 3
3( 1 3 t +14 ) = 37
t +42 = 37 | -42
t = -5

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 1 4 x 2 + 1 2 x im Punkt P(1|f(1)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 1 4 x 2 + 1 2 x

=>f'(x)= - 1 2 x + 1 2

f'(1) = - 1 2 ⋅1 + 1 2 = - 1 2 + 1 2 = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 4 +5x -7 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 2 x 4 +5x -7 ab:

f'(x) = 2 x 3 +5

Es muss gelten:

2 x 3 +5 = 3 | -5
2 x 3 = -2 |:2
x 3 = -1 | ⋅3
x = - 1 3 = -1

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= -2 x 3 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -38.66 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -38.66 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-38.66°) ≈ -0.8

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= -2 x 3 + 1 5 t x

=>f'(x)= -6 x 2 + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -6⋅ 0 2 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -0.8 betragen, also gilt:

1 5 t = -0,8 |⋅ 5
t = -4

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 - x -1 und g(x)= - x 2 - x +7 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 - x -1 = - x 2 - x +7 | +1
x 2 - x = - x 2 - x +8 | + x 2 + x
2 x 2 = 8 |:2
x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

L={ -2 ; 2 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 2 |f( 2 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 2 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -1 , also gilt mf = f'( 2 )= 2⋅2 -1 = 3

g'(x)= -2x -1 , also gilt mg = g'( 2 )= -2⋅2 -1 = -5

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 2 |f( 2 )): α = arctan( 3 ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( 2 |g( 2 )) gilt: β = arctan( -5 ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 78.7 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .