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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 5 -4 und vereinfache:

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f(x)= x 5 -4

f'(x)= 5 x 4 +0

= 5 x 4

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 9 x und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

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f(x)= - 9 x

= -9 x -1

=> f'(x) = 9 x -2

=>f'(x)= 9 x 2

f'(2) = 9 2 2 = 9⋅( 1 4 ) = 9 4 ≈ 2.25

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5⋅ sin( x ) + 1 2 x 4 und vereinfache:

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f(x)= -5⋅ sin( x ) + 1 2 x 4

= -5⋅ sin( x ) + 1 2 x -4

=> f'(x) = -5⋅ cos( x ) -2 x -5

f'(x)= -5⋅ cos( x ) - 2 x 5

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 x und vereinfache:

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f(x)= 3 x

= 3 x 1 2

=> f'(x) = 3 2 x - 1 2

f'(x)= 3 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= - 8 x +2 t x 2 im Punkt (2|ft(2)) den Wert -30 ?

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f(x)= - 8 x +2 t x 2

=>f'(x)= 8 x 2 +4 t x

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 8 2 2 +4 t ⋅2
= 2 +8 t

Dieser Wert soll ja den Wert -30 besitzen, also gilt:

8t +2 = -30 | -2
8t = -32 |:8
t = -4

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 1 2 x 2 - x im Punkt P(3|f(3)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 1 2 x 2 - x

=>f'(x)= x -1

f'(3) = 3 -1 = 2

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( 2 )) ≈ 63.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= x 2 -13x +9 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= x 2 -13x +9 ab:

f'(x) = 2x -13

Es muss gelten:

2x -13 = -3 | +13
2x = 10 |:2
x = 5

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 3 x 3 + 1 2 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 82.41 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 82.41 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(82.41°) ≈ 7.505

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 3 x 3 + 1 2 t x

=>f'(x)= 9 x 2 + 1 2 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 9⋅ 0 2 + 1 2 t
= 1 2 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 7.505 betragen, also gilt:

1 2 t = 7,505 |⋅ 2
t = 15,01

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 + x -3 und g(x)= - x 2 + x +5 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 + x -3 = - x 2 + x +5 | +3
x 2 + x = - x 2 + x +8 | + x 2 - x
2 x 2 = 8 |:2
x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

L={ -2 ; 2 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 2 |f( 2 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 2 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +1 , also gilt mf = f'( 2 )= 2⋅2 +1 = 5

g'(x)= -2x +1 , also gilt mg = g'( 2 )= -2⋅2 +1 = -3

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 2 |f( 2 )): α = arctan( 5 ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( 2 |g( 2 )) gilt: β = arctan( -3 ) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 71.6 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .