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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 5 x 5 -3 und vereinfache:

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f(x)= 1 5 x 5 -3

f'(x)= x 4 +0

= x 4

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 x 4 + x und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

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f(x)= -4 x 4 + x

=>f'(x)= -16 x 3 +1

f'(1) = -16⋅ 1 3 +1 = -16⋅1 +1 = -16 +1 = -15

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 x 3 und vereinfache:

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f(x)= - 1 x 3

= - x -3

=> f'(x) = 3 x -4

f'(x)= 3 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -9 x 2 -5 x und vereinfache:

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f(x)= -9 x 2 -5 x

= -9 x 2 -5 x 1 2

=> f'(x) = -18x - 5 2 x - 1 2

f'(x)= -18x - 5 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= - 8 x 2 + t x 2 im Punkt (2|ft(2)) den Wert 14 ?

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f(x)= - 8 x 2 + t x 2

=>f'(x)= 16 x 3 +2 t x

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 16 2 3 +2 t ⋅2
= 2 +4 t

Dieser Wert soll ja den Wert 14 besitzen, also gilt:

4t +2 = 14 | -2
4t = 12 |:4
t = 3

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 3 2 x 4 -2x im Punkt P(1|f(1)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 3 2 x 4 -2x

=>f'(x)= 6 x 3 -2

f'(1) = 6⋅ 1 3 -2 = 6⋅1 -2 = 6 -2 = 4

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( 4 )) ≈ 76°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -5x -7 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 2 x 2 -5x -7 ab:

f'(x) = x -5

Es muss gelten:

x -5 = -1 | +5
x = 4

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 3 x 3 + 1 2 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 63.43 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(63.43°) ≈ 2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 3 x 3 + 1 2 t x

=>f'(x)= 9 x 2 + 1 2 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 9⋅ 0 2 + 1 2 t
= 1 2 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 2 betragen, also gilt:

1 2 t = 2 |⋅ 2
t = 4

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -3x +1 und g(x)= - x 2 + x +7 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -3x +1 = - x 2 + x +7 | + x 2 - x -7
2 x 2 -4x -6 = 0 |:2

x 2 -2x -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -3 ) 2⋅1

x1,2 = +2 ± 4 +12 2

x1,2 = +2 ± 16 2

x1 = 2 + 16 2 = 2 +4 2 = 6 2 = 3

x2 = 2 - 16 2 = 2 -4 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = 1 ± 4

x1 = 1 - 2 = -1

x2 = 1 + 2 = 3

L={ -1 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -3 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 -3 = 3

g'(x)= -2x +1 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 +1 = -5

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 3 ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -5 ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 78.7 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .