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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 3 5 x 5 -4 und vereinfache:

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f(x)= - 3 5 x 5 -4

f'(x)= -3 x 4 +0

= -3 x 4

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 2 ⋅ cos( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 1 2 π an:

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f(x)= 1 2 ⋅ cos( x )

=>f'(x)= - 1 2 ⋅ sin( x )

f'( 1 2 π ) = - 1 2 ⋅ sin( 1 2 π ) = - 1 2 ⋅1 = - 1 2 ≈ -0.5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)=0 und vereinfache:

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f(x)=0

=0

=> f'(x) = 0

f'(x)=0

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 7 4 x und vereinfache:

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f(x)= - 7 4 x

= - 7 4 x 1 2

=> f'(x) = - 7 8 x - 1 2

f'(x)= - 7 8 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t x -3x im Punkt (1|ft(1)) den Wert - 11 2 ?

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f(x)= t x -3x

= t x 1 2 -3x

=> f'(x)= 1 2 t x - 1 2 -3

=>f'(x)= t 2 x -3

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= t 2 -3
= t 2 -3
= 1 2 t -3

Dieser Wert soll ja den Wert - 11 2 besitzen, also gilt:

1 2 t -3 = - 11 2 |⋅ 2
2( 1 2 t -3 ) = -11
t -6 = -11 | +6
t = -5

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 1 2 x 2 + x im Punkt P(-2|f(-2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 1 2 x 2 + x

=>f'(x)= x +1

f'(-2) = -2 +1 = -1

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( -1 )) ≈ -45°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -6x +1 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 2 x 2 -6x +1 ab:

f'(x) = x -6

Es muss gelten:

x -6 = -3 | +6
x = 3

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 2 x 2 + t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -86.19 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -86.19 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-86.19°) ≈ -15.016

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 2 x 2 + t x

=>f'(x)= 4x + t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 4⋅0 + t
= t

Dieser Wert soll ja ungefähr -15.016 betragen, also gilt:

t = -15,016

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +4x -18 und g(x)= - x 2 +2x +6 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +4x -18 = - x 2 +2x +6 | + x 2 -2x -6
2 x 2 +2x -24 = 0 |:2

x 2 + x -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -12 ) 2⋅1

x1,2 = -1 ± 1 +48 2

x1,2 = -1 ± 49 2

x1 = -1 + 49 2 = -1 +7 2 = 6 2 = 3

x2 = -1 - 49 2 = -1 -7 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -12 ) = 1 4 + 12 = 1 4 + 48 4 = 49 4

x1,2 = - 1 2 ± 49 4

x1 = - 1 2 - 7 2 = - 8 2 = -4

x2 = - 1 2 + 7 2 = 6 2 = 3

L={ -4 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +4 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 +4 = 10

g'(x)= -2x +2 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 +2 = -4

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 10 ) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -4 ) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |84.3° - ( - 76 )°| ≈ 160.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.3° = 19.7° .