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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{5} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{5} + 1$

$f'(x) =$ $15 x^{4} + 0$

= $15 x^{4}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x}$

= $- x^{- 1}$

=> f'(x) = $x^{- 2}$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2}}$

f'(1) = $\frac{1}{1^{2}}$ = $1$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ 0 und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ 0

=0

=> f'(x) = 0

$f'(x) =$ 0

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \sqrt[3]{x} + 2 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \sqrt[3]{x} + 2 x^{3}$

= $9 x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{3}$

=> f'(x) = $3 x^{- \frac{2}{3}} + 6 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 6 x^{2}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t {(\sqrt[3]{x})}^{2} - 2 x$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $- \frac{10}{3}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t {(\sqrt[3]{x})}^{2} - 2 x$

= $t x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

=> f'(x)= $\frac{2}{3} t x^{- \frac{1}{3}} - 2$

=> $f'(x) =$ $\frac{2 t}{3 \sqrt[3]{x}} - 2$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2 t}{3 \cdot \sqrt[3]{1}} - 2$
= $\frac{2 t}{3} - 2$
= $\frac{2}{3} t - 2$

Dieser Wert soll ja den Wert $- \frac{10}{3}$ besitzen, also gilt:

$\frac{2}{3} t - 2$	=	$- \frac{10}{3}$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} t - 2)$	=	$- 10$
$2 t - 6$	=	$- 10$	\| $+ 6$
$2 t$	=	$- 4$	\|: $2$
$t$	=	$- 2$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 4$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 4$

=> $f'(x) =$ $x - \frac{3}{2} + 0$

f'(0) = $0 - \frac{3}{2}$ = $0 - \frac{3}{2}$ = $- \frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $- \frac{3}{2}$ )) ≈ -56.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 6$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 6$ ab:

f'(x) = $x + 4$

Es muss gelten:

$x + 4$	=	$1$	\| $- 4$
$x$	=	$- 3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{2} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 86.19 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 86.19 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(86.19°) ≈ 15.016

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 6 \cdot 0 + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 15.016 betragen, also gilt:

t

=

15,016

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 7 x - 5$ und $g(x) =$ $- x^{2} + x + 3$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 7 x - 5

=

- x^{2} + x + 3

|

+ x^{2}

- x

- 3

2 x^{2} + 6 x - 8

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 4$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 7$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 + 7$ = $9$

$g'(x) =$ $- 2 x + 1$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 1$ = $- 1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $9$ ) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 1$ ) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |83.7° - ( - 45 )°| ≈ 128.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 128.7° = 51.3° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):