nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 3 x 3 -4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 3 x 3 -4

f'(x)= x 2 +0

= x 2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - sin( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 1 2 π an:

Lösung einblenden

f(x)= - sin( x )

=>f'(x)= - cos( x )

f'( 1 2 π ) = - cos( 1 2 π ) = -0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x 2 - 9 2 x 4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2 - 9 2 x 4

= 5 x 2 - 9 2 x -4

=> f'(x) = 10x +18 x -5

f'(x)= 10x + 18 x 5

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x -3 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - x -3 x 3

= - x 1 2 -3 x 3

=> f'(x) = - 1 2 x - 1 2 -9 x 2

f'(x)= - 1 2 x -9 x 2

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= -2 x 3 + t x 2 im Punkt (8|ft(8)) den Wert - 289 6 ?

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 3 + t x 2

= -2 x 1 3 + t x 2

=> f'(x)= - 2 3 x - 2 3 +2 t x

=>f'(x)= - 2 3 ( x 3 ) 2 +2 t x

Jetzt setzen wir x = 8 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= - 2 3 ( 8 3 ) 2 +2 t ⋅8
= - 2 3⋅ 2 2 +2 t ⋅8
= - 2 12 +16 t

Dieser Wert soll ja den Wert - 289 6 besitzen, also gilt:

16t - 1 6 = - 289 6 |⋅ 6
6( 16t - 1 6 ) = -289
96t -1 = -289 | +1
96t = -288 |:96
t = -3

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 3 2 x 3 +2x im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 3 2 x 3 +2x

=>f'(x)= - 9 2 x 2 +2

f'(1) = - 9 2 ⋅ 1 2 +2 = - 9 2 ⋅1 +2 = - 9 2 +2 = - 5 2 ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( - 5 2 )) ≈ -68.2°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 4 x 4 +6x +5 angelegt.

Bestimme x0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 3 4 x 4 +6x +5 ab:

f'(x) = 3 x 3 +6

Es muss gelten:

3 x 3 +6 = 3 | -6
3 x 3 = -3 |:3
x 3 = -1 | ⋅3
x = - 1 3 = -1

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= - x 4 + 1 4 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -56.31 ° ?

Lösung einblenden

ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -56.31 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-56.31°) ≈ -1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= - x 4 + 1 4 t x

=>f'(x)= -4 x 3 + 1 4 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -4⋅ 0 3 + 1 4 t
= 1 4 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.5 betragen, also gilt:

1 4 t = -1,5 |⋅ 4
t = -6

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -4x +4 und g(x)= - x 2 -4x +22 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -4x +4 = - x 2 -4x +22 | -4
x 2 -4x = - x 2 -4x +18 | + x 2 +4x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -4 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 -4 = 2

g'(x)= -2x -4 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 -4 = -10

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 2 ) ≈ 63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -10 ) ≈ -84.3°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |63.4° - ( - 84.3 )°| ≈ 147.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 147.7° = 32.3° .