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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{3} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 12 x^{2} - 4$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{4 x^{2}}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{4 x^{2}}$

= $- \frac{7}{4} x^{- 2}$

=> f'(x) = $\frac{7}{2} x^{- 3}$

=> $f'(x) =$ $\frac{7}{2 x^{3}}$

f'(1) = $\frac{7}{2 \cdot 1^{3}}$ = $\frac{7}{2} \cdot 1$ = $\frac{7}{2}$ ≈ 3.5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{x^{2}} - 2 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{x^{2}} - 2 \cdot \sin (x)$

= $5 x^{- 2} - 2 \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $- 10 x^{- 3} - 2 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{10}{x^{3}} - 2 \cdot \cos (x)$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} + 4 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} + 4 x^{2}$

= $x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 x$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 8 x$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 t x^{5} + 4 x$ im Punkt (-2|f_t(-2)) den Wert $- 476$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 t x^{5} + 4 x$

=> $f'(x) =$ $15 t x^{4} + 4$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $15 t \cdot {(- 2)}^{4} + 4$
= $240 t + 4$

Dieser Wert soll ja den Wert $- 476$ besitzen, also gilt:

$240 t + 4$	=	$- 476$	\| $- 4$
$240 t$	=	$- 480$	\|: $240$
$t$	=	$- 2$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - x$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - x$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{2} x - 1$

f'(2) = $\frac{1}{2} \cdot 2 - 1$ = $1 - 1$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 16 x - 8$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $x^{2} - 16 x - 8$ ab:

f'(x) = $2 x - 16$

Es muss gelten:

$2 x - 16$	=	$- 2$	\| $+ 16$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{4} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 80.54 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 80.54 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(80.54°) ≈ 6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{4} + t x$

=> $f'(x) =$ $8 x^{3} + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $8 \cdot 0^{3} + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 6.001 betragen, also gilt:

t

=

6,001

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x + 3$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x + 21$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - 3 x + 3$	=	$- x^{2} - 3 x + 21$	\| $- 3$
$x^{2} - 3 x$	=	$- x^{2} - 3 x + 18$	\| $+ x^{2}$ $+ 3 x$
$2 x^{2}$	=	$18$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 3$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 - 3$ = $3$

$g'(x) =$ $- 2 x - 3$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 - 3$ = $- 9$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $3$ ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 9$ ) ≈ -83.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 83.7 )°| ≈ 155.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 155.3° = 24.7° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven