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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 4 x 4 -4 x 2 und vereinfache:

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f(x)= 1 4 x 4 -4 x 2

f'(x)= x 3 -8x

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 sin( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

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f(x)= -4 sin( x )

=>f'(x)= -4 cos( x )

f'( 0 ) = -4 cos( 0 ) = -41 = -4

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 4 x und vereinfache:

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f(x)= - 4 x

= -4 x -1

=> f'(x) = 4 x -2

f'(x)= 4 x 2

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x 2 -6 x und vereinfache:

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f(x)= 5 x 2 -6 x

= 5 x 2 -6 x 1 2

=> f'(x) = 10x -3 x - 1 2

f'(x)= 10x - 3 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 8 x +3 t x 2 im Punkt (-2|ft(-2)) den Wert 70 ?

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f(x)= 8 x +3 t x 2

=>f'(x)= - 8 x 2 +6 t x

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= - 8 ( -2 ) 2 +6 t ( -2 )
= -2 -12 t

Dieser Wert soll ja den Wert 70 besitzen, also gilt:

-12t -2 = 70 | +2
-12t = 72 |:(-12 )
t = -6

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 1 4 x 4 - 1 2 x 3 +2 im Punkt P(1|f(1)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 1 4 x 4 - 1 2 x 3 +2

=>f'(x)= x 3 - 3 2 x 2 +0

f'(1) = 1 3 - 3 2 1 2 = 1 - 3 2 1 = 1 - 3 2 = - 1 2 ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( - 1 2 )) ≈ -26.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 2 x 2 +12x +7 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 3 2 x 2 +12x +7 ab:

f'(x) = 3x +12

Es muss gelten:

3x +12 = 3 | -12
3x = -9 |:3
x = -3

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 2 x 3 + 1 2 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 77.47 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 77.47 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(77.47°) ≈ 4.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 2 x 3 + 1 2 t x

=>f'(x)= 6 x 2 + 1 2 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 6 0 2 + 1 2 t
= 1 2 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 4.5 betragen, also gilt:

1 2 t = 4,5 |⋅ 2
t = 9

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 9 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +2x -14 und g(x)= - x 2 +2x +4 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +2x -14 = - x 2 +2x +4 | +14
x 2 +2x = - x 2 +2x +18 | + x 2 -2x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +2 , also gilt mf = f'( 3 )= 23 +2 = 8

g'(x)= -2x +2 , also gilt mg = g'( 3 )= -23 +2 = -4

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 8 ) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -4 ) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |82.9° - ( - 76 )°| ≈ 158.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 158.9° = 21.1° .