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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{5} + 4 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{5} + 4 x^{3}$

$f'(x) =$ $15 x^{4} + 12 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ 0 und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ 0

=> $f'(x) =$ 0

f'( $0$ ) = 0 = 0 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{9}{x^{4}} + 4 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{9}{x^{4}} + 4 x^{3}$

= $- 9 x^{- 4} + 4 x^{3}$

=> f'(x) = $36 x^{- 5} + 12 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{36}{x^{5}} + 12 x^{2}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + 4 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} + 4 \sqrt{x}$

= $4 x^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $8 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $8 x + \frac{2}{\sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $- \sin (x) + 3 t x$ im Punkt ( $\frac{3}{2} π$ |f_t( $\frac{3}{2} π$ )) den Wert $- 6$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (x) + 3 t x$

=> $f'(x) =$ $- \cos (x) + 3 t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{3}{2} π$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \cos (\frac{3}{2} π) + 3 t$
= $- 0 + 3 t$
= $3 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- 6$ besitzen, also gilt:

$3 t$	=	$- 6$	\|: $3$
$t$	=	$- 2$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} + 2 x^{2}$ im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} + 2 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{9}{2} x^{2} + 4 x$

f'(3) = $- \frac{9}{2} \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3$ = $- \frac{9}{2} \cdot 9 + 12$ = $- \frac{81}{2} + 12$ = $- \frac{57}{2}$ ≈ -28.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $- \frac{57}{2}$ )) ≈ -88°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -88° + 180° = 92°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 27 x - 8$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 27 x - 8$ ab:

f'(x) = $3 x^{3} + 27$

Es muss gelten:

$3 x^{3} + 27$	=	$3$	\| $- 27$
$3 x^{3}$	=	$- 24$	\|: $3$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{4} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -86.19 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -86.19 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-86.19°) ≈ -15.016

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $x^{4} + t x$

=> $f'(x) =$ $4 x^{3} + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4 \cdot 0^{3} + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -15.016 betragen, also gilt:

t

=

- 15,016

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x + 2$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 4$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - 2 x + 2$	=	$- x^{2} - 2 x + 4$	\| $- 2$
$x^{2} - 2 x$	=	$- x^{2} - 2 x + 2$	\| $+ x^{2}$ $+ 2 x$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 2$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 - 2$ = 0

$g'(x) =$ $- 2 x - 2$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 2$ = $- 4$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 4$ ) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 76 )°| ≈ 76°

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven