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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} - 5$

$f'(x) =$ $12 x^{2} + 0$

= $12 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x)$

f'( $0$ ) = $- 3 \cdot \sin (0)$ = $- 3 \cdot 0$ = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) + \frac{3}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) + \frac{3}{x^{2}}$

= $- 3 \cdot \cos (x) + 3 x^{- 2}$

=> f'(x) = $3 \cdot \sin (x) - 6 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (x) - \frac{6}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x}$

= $x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 t x^{4} - 3 x$ im Punkt (-1|f_t(-1)) den Wert $33$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 t x^{4} - 3 x$

=> $f'(x) =$ $12 t x^{3} - 3$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $12 t \cdot {(- 1)}^{3} - 3$
= $- 12 t - 3$

Dieser Wert soll ja den Wert $33$ besitzen, also gilt:

$- 12 t - 3$	=	$33$	\| $+ 3$
$- 12 t$	=	$36$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$- 3$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 5$ im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 5$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 3 x + 0$

f'(3) = $\frac{3}{2} \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3$ = $\frac{3}{2} \cdot 9 - 9$ = $\frac{27}{2} - 9$ = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $\frac{9}{2}$ )) ≈ 77.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{16} x^{4} - 13 x + 6$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{16} x^{4} - 13 x + 6$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{4} x^{3} - 13$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{4} x^{3} - 13$	=	$3$	\| $+ 13$
$- \frac{1}{4} x^{3}$	=	$16$	\|⋅ $(- 4)$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{2} + \frac{1}{2} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -45 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -45 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-45°) ≈ -1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{2} + \frac{1}{2} t x$

=> $f'(x) =$ $4 x + \frac{1}{2} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4 \cdot 0 + \frac{1}{2} t$
= $\frac{1}{2} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1 betragen, also gilt:

$\frac{1}{2} t$	=	$- 1$	\|⋅ 2
$t$	=	$- 2$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -2 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 5$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 11$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 2 x - 5

=

- x^{2} - 2 x + 11

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 11

2 x^{2} + 4 x - 16

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 2$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 + 2$ = $6$

$g'(x) =$ $- 2 x - 2$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 - 2$ = $- 6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $6$ ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 6$ ) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - ( - 80.5 )°| ≈ 161°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 161° = 19° .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):