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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 2 x 3 -3x und vereinfache:

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f(x)= 1 2 x 3 -3x

f'(x)= 3 2 x 2 -3

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5⋅ sin( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

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f(x)= -5⋅ sin( x )

=>f'(x)= -5⋅ cos( x )

f'( 0 ) = -5⋅ cos( 0 ) = -5⋅1 = -5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 3 + 9 2 ⋅ cos( x ) und vereinfache:

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f(x)= 2 x 3 + 9 2 ⋅ cos( x )

= 2 x -3 + 9 2 ⋅ cos( x )

=> f'(x) = -6 x -4 - 9 2 ⋅ sin( x )

f'(x)= - 6 x 4 - 9 2 ⋅ sin( x )

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 x und vereinfache:

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f(x)= -3 x

= -3 x 1 2

=> f'(x) = - 3 2 x - 1 2

f'(x)= - 3 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t x +6 x 2 im Punkt (1|ft(1)) den Wert 14 ?

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f(x)= t x +6 x 2

= t x 1 2 +6 x 2

=> f'(x)= 1 2 t x - 1 2 +12x

=>f'(x)= t 2 x +12x

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= t 2 +12⋅1
= t 2 +12⋅1
= 1 2 t +12

Dieser Wert soll ja den Wert 14 besitzen, also gilt:

1 2 t +12 = 14 |⋅ 2
2( 1 2 t +12 ) = 28
t +24 = 28 | -24
t = 4

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 3 2 x 2 -2x im Punkt P(2|f(2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 3 2 x 2 -2x

=>f'(x)= 3x -2

f'(2) = 3⋅2 -2 = 6 -2 = 4

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( 4 )) ≈ 76°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 4 +19x +4 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 2 x 4 +19x +4 ab:

f'(x) = 2 x 3 +19

Es muss gelten:

2 x 3 +19 = 3 | -19
2 x 3 = -16 |:2
x 3 = -8 | ⋅3
x = - 8 3 = -2

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -2.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= x 3 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -57.99 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -57.99 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-57.99°) ≈ -1.6

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= x 3 + 1 5 t x

=>f'(x)= 3 x 2 + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 3⋅ 0 2 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.6 betragen, also gilt:

1 5 t = -1,6 |⋅ 5
t = -8

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -4x +5 und g(x)= - x 2 -2x +17 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -4x +5 = - x 2 -2x +17 | + x 2 +2x -17
2 x 2 -2x -12 = 0 |:2

x 2 - x -6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -6 ) 2⋅1

x1,2 = +1 ± 1 +24 2

x1,2 = +1 ± 25 2

x1 = 1 + 25 2 = 1 +5 2 = 6 2 = 3

x2 = 1 - 25 2 = 1 -5 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -6 ) = 1 4 + 6 = 1 4 + 24 4 = 25 4

x1,2 = 1 2 ± 25 4

x1 = 1 2 - 5 2 = - 4 2 = -2

x2 = 1 2 + 5 2 = 6 2 = 3

L={ -2 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -4 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 -4 = 2

g'(x)= -2x -2 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 -2 = -8

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 2 ) ≈ 63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -8 ) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |63.4° - ( - 82.9 )°| ≈ 146.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 146.3° = 33.7° .