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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{5} + 4 x^{2}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 4 x^{5} + 4 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 20 x^{4} + 8 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

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$f(x) =$ $\cos (x)$

=> $f'(x) =$ $- \sin (x)$

f'( $0$ ) = $- \sin (0)$ = $- 0$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} \cdot \cos (x) + \frac{1}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} \cdot \cos (x) + \frac{1}{x^{4}}$

= $\frac{1}{4} \cdot \cos (x) + x^{- 4}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{4} \cdot \sin (x) - 4 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{4} \cdot \sin (x) - \frac{4}{x^{5}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt[3]{x} - 5 x^{2}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 2 \sqrt[3]{x} - 5 x^{2}$

= $- 2 x^{\frac{1}{3}} - 5 x^{2}$

=> f'(x) = $- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 10 x$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 10 x$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{6}{x^{2}} + 3 t x^{2}$ im Punkt (-2|f_t(-2)) den Wert $\frac{51}{2}$ ?

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$f(x) =$ $\frac{6}{x^{2}} + 3 t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{12}{x^{3}} + 6 t x$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{12}{{(- 2)}^{3}} + 6 t \cdot (- 2)$
= $\frac{3}{2} - 12 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{51}{2}$ besitzen, also gilt:

$- 12 t + \frac{3}{2}$	=	$\frac{51}{2}$	\|⋅ 2
$2 (- 12 t + \frac{3}{2})$	=	$51$
$- 24 t + 3$	=	$51$	\| $- 3$
$- 24 t$	=	$48$	\|:( $- 24$ )
$t$	=	$- 2$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{2} x + 6$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{2} x + 6$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{4} x^{2} - \frac{1}{2} + 0$

f'(2) = $\frac{3}{4} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2}$ = $\frac{3}{4} \cdot 4 - \frac{1}{2}$ = $3 - \frac{1}{2}$ = $\frac{5}{2}$ ≈ 2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $\frac{5}{2}$ )) ≈ 68.2°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 16 x + 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 16 x + 7$ ab:

f'(x) = $3 x - 16$

Es muss gelten:

$3 x - 16$	=	$2$	\| $+ 16$
$3 x$	=	$18$	\|: $3$
$x$	=	$6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{3} + \frac{1}{4} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 51.34 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 51.34 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(51.34°) ≈ 1.25

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $x^{3} + \frac{1}{4} t x$

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} + \frac{1}{4} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $3 \cdot 0^{2} + \frac{1}{4} t$
= $\frac{1}{4} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.25 betragen, also gilt:

$\frac{1}{4} t$	=	$1,25$	\|⋅ 4
$t$	=	$5$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 7$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 9$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 2 x - 7

=

- x^{2} - 2 x + 9

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 9

2 x^{2} + 4 x - 16

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 2$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 + 2$ = $6$

$g'(x) =$ $- 2 x - 2$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 - 2$ = $- 6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $6$ ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 6$ ) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - ( - 80.5 )°| ≈ 161°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 161° = 19° .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):