nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x 4 -3 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - x 4 -3 x 3

f'(x)= -4 x 3 -9 x 2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 sin( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 1 2 π an:

Lösung einblenden

f(x)= -3 sin( x )

=>f'(x)= -3 cos( x )

f'( 1 2 π ) = -3 cos( 1 2 π ) = -30 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 sin( x ) + 3 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -5 sin( x ) + 3 x 2

= -5 sin( x ) +3 x -2

=> f'(x) = -5 cos( x ) -6 x -3

f'(x)= -5 cos( x ) - 6 x 3

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - x

= - x 1 2

=> f'(x) = - 1 2 x - 1 2

f'(x)= - 1 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 7 x + t x 2 im Punkt (4|ft(4)) den Wert - 185 4 ?

Lösung einblenden

f(x)= 7 x + t x 2

= 7 x 1 2 + t x 2

=> f'(x)= 7 2 x - 1 2 +2 t x

=>f'(x)= 7 2 x +2 t x

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 7 2 4 +2 t 4
= 7 2 2 +2 t 4
= 7 4 +8 t

Dieser Wert soll ja den Wert - 185 4 besitzen, also gilt:

8t + 7 4 = - 185 4 |⋅ 4
4( 8t + 7 4 ) = -185
32t +7 = -185 | -7
32t = -192 |:32
t = -6

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 3 2 x 3 -2x +2 im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 3 2 x 3 -2x +2

=>f'(x)= 9 2 x 2 -2 +0

f'(1) = 9 2 1 2 -2 = 9 2 1 -2 = 9 2 -2 = 5 2 ≈ 2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( 5 2 )) ≈ 68.2°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 4 +51x -9 angelegt.

Bestimme x0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 2 x 4 +51x -9 ab:

f'(x) = 2 x 3 +51

Es muss gelten:

2 x 3 +51 = -3 | -51
2 x 3 = -54 |:2
x 3 = -27 | 3
x = - 27 3 = -3

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= - x 2 + 1 2 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -63.43 ° ?

Lösung einblenden

ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= - x 2 + 1 2 t x

=>f'(x)= -2x + 1 2 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -20 + 1 2 t
= 1 2 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

1 2 t = -2 |⋅ 2
t = -4

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 - x +1 und g(x)= - x 2 -3x +5 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 - x +1 = - x 2 -3x +5 | + x 2 +3x -5
2 x 2 +2x -4 = 0 |:2

x 2 + x -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +8 2

x1,2 = -1 ± 9 2

x1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

x2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

L={ -2 ; 1 }

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 1 |f( 1 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 1 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -1 , also gilt mf = f'( 1 )= 21 -1 = 1

g'(x)= -2x -3 , also gilt mg = g'( 1 )= -21 -3 = -5

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 1 |f( 1 )): α = arctan( 1 ) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( 1 |g( 1 )) gilt: β = arctan( -5 ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |45° - ( - 78.7 )°| ≈ 123.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 123.7° = 56.3° .