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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x 3 + x 2 und vereinfache:

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f(x)= - x 3 + x 2

f'(x)= -3 x 2 +2x

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 4 ⋅ sin( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

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f(x)= 5 4 ⋅ sin( x )

=>f'(x)= 5 4 ⋅ cos( x )

f'( 0 ) = 5 4 ⋅ cos( 0 ) = 5 4 ⋅1 = 5 4 ≈ 1.25

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x 4 + 5 3 ⋅ sin( x ) und vereinfache:

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f(x)= 5 x 4 + 5 3 ⋅ sin( x )

= 5 x -4 + 5 3 ⋅ sin( x )

=> f'(x) = -20 x -5 + 5 3 ⋅ cos( x )

f'(x)= - 20 x 5 + 5 3 ⋅ cos( x )

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 x 4 +5 x 4 und vereinfache:

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f(x)= 3 x 4 +5 x 4

= 3 x 4 +5 x 1 4

=> f'(x) = 12 x 3 + 5 4 x - 3 4

f'(x)= 12 x 3 + 5 4 ( x 4 ) 3

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t x 3 +3 x 2 im Punkt (1|ft(1)) den Wert 13 3 ?

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f(x)= t x 3 +3 x 2

= t x 1 3 +3 x 2

=> f'(x)= 1 3 t x - 2 3 +6x

=>f'(x)= t 3 ( x 3 ) 2 +6x

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= t 3 ( 1 3 ) 2 +6⋅1
= t 3⋅ 1 2 +6⋅1
= 1 3 t +6

Dieser Wert soll ja den Wert 13 3 besitzen, also gilt:

1 3 t +6 = 13 3 |⋅ 3
3( 1 3 t +6 ) = 13
t +18 = 13 | -18
t = -5

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 1 4 x 4 - 1 2 x 2 im Punkt P(-2|f(-2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 1 4 x 4 - 1 2 x 2

=>f'(x)= x 3 - x

f'(-2) = ( -2 ) 3 - ( -2 ) = ( -8 ) +2 = -8 +2 = -6

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( -6 )) ≈ -80.5°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -80.5° + 180° = 99.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 2 x 2 -8x -1 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 3 2 x 2 -8x -1 ab:

f'(x) = 3x -8

Es muss gelten:

3x -8 = 1 | +8
3x = 9 |:3
x = 3

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= - x 4 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 50.19 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 50.19 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(50.19°) ≈ 1.2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= - x 4 + 1 5 t x

=>f'(x)= -4 x 3 + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -4⋅ 0 3 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.2 betragen, also gilt:

1 5 t = 1,2 |⋅ 5
t = 6

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -2x +4 und g(x)= - x 2 -2x +6 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -2x +4 = - x 2 -2x +6 | -4
x 2 -2x = - x 2 -2x +2 | + x 2 +2x
2 x 2 = 2 |:2
x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 1 |f( 1 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 1 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -2 , also gilt mf = f'( 1 )= 2⋅1 -2 = 0

g'(x)= -2x -2 , also gilt mg = g'( 1 )= -2⋅1 -2 = -4

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 1 |f( 1 )): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( 1 |g( 1 )) gilt: β = arctan( -4 ) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 76 )°| ≈ 76°