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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 4 -4x und vereinfache:

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f(x)= x 4 -4x

f'(x)= 4 x 3 -4

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 2 ⋅ cos( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 1 2 π an:

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f(x)= 1 2 ⋅ cos( x )

=>f'(x)= - 1 2 ⋅ sin( x )

f'( 1 2 π ) = - 1 2 ⋅ sin( 1 2 π ) = - 1 2 ⋅1 = - 1 2 ≈ -0.5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2⋅ sin( x ) + 2 x 3 und vereinfache:

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f(x)= 2⋅ sin( x ) + 2 x 3

= 2⋅ sin( x ) +2 x -3

=> f'(x) = 2⋅ cos( x ) -6 x -4

f'(x)= 2⋅ cos( x ) - 6 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 4 x und vereinfache:

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f(x)= 1 4 x

= 1 4 x 1 2

=> f'(x) = 1 8 x - 1 2

f'(x)= 1 8 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 4 t ⋅ cos( x ) +4x im Punkt ( 3 2 π |ft( 3 2 π )) den Wert 16 ?

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f(x)= 4 t ⋅ cos( x ) +4x

=>f'(x)= -4 t ⋅ sin( x ) +4

Jetzt setzen wir x = 3 2 π in die Ableitungsfunktion f' ein:

= -4 t ⋅ sin( 3 2 π ) +4
= -4 t ⋅( -1 ) +4
= 4 t +4

Dieser Wert soll ja den Wert 16 besitzen, also gilt:

4t +4 = 16 | -4
4t = 12 |:4
t = 3

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= x 3 - 3 2 x +1 im Punkt P(0|f(0)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= x 3 - 3 2 x +1

=>f'(x)= 3 x 2 - 3 2 +0

f'(0) = 3⋅ 0 2 - 3 2 = 3⋅0 - 3 2 = - 3 2 ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( - 3 2 )) ≈ -56.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 4 x 4 +26x +9 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 4 x 4 +26x +9 ab:

f'(x) = x 3 +26

Es muss gelten:

x 3 +26 = -1 | -26
x 3 = -27 | ⋅3
x = - 27 3 = -3

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 3 x 4 + t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -75.96 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.96°) ≈ -3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 3 x 4 + t x

=>f'(x)= 12 x 3 + t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 12⋅ 0 3 + t
= t

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.999 betragen, also gilt:

t = -3,999

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -2x -2 und g(x)= - x 2 -2x +16 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -2x -2 = - x 2 -2x +16 | +2
x 2 -2x = - x 2 -2x +18 | + x 2 +2x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -2 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 -2 = 4

g'(x)= -2x -2 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 -2 = -8

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 4 ) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -8 ) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |76° - ( - 82.9 )°| ≈ 158.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 158.9° = 21.1° .