Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} + x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} + x^{2}$

$f'(x) =$ $9 x^{2} + 2 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{2} \cdot \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{2} \cdot \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $- \frac{7}{2} \cdot \sin (x)$

f'( $0$ ) = $- \frac{7}{2} \cdot \sin (0)$ = $- \frac{7}{2} \cdot 0$ = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{x^{4}} + 4 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{x^{4}} + 4 \cdot \cos (x)$

= $- 5 x^{- 4} + 4 \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $20 x^{- 5} - 4 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $\frac{20}{x^{5}} - 4 \cdot \sin (x)$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 5 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} + 5 \sqrt{x}$

= $2 x^{2} + 5 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $4 x + \frac{5}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $4 x + \frac{5}{2 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t \sqrt{x} + 7 x$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $\frac{17}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t \sqrt{x} + 7 x$

= $t x^{\frac{1}{2}} + 7 x$

=> f'(x)= $\frac{1}{2} t x^{- \frac{1}{2}} + 7$

=> $f'(x) =$ $\frac{t}{2 \sqrt{x}} + 7$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2} + 7$
= $\frac{t}{2} + 7$
= $\frac{1}{2} t + 7$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{17}{2}$ besitzen, also gilt:

$\frac{1}{2} t + 7$	=	$\frac{17}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} t + 7)$	=	$17$
$t + 14$	=	$17$	\| $- 14$
$t$	=	$3$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - x^{2}$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - x^{2}$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 2 x$

f'(2) = $\frac{3}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2$ = $\frac{3}{2} \cdot 4 - 4$ = $6 - 4$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $2$ )) ≈ 63.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{4} - 46 x + 1$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{4} - 46 x + 1$ ab:

f'(x) = $- \frac{3}{4} x^{3} - 46$

Es muss gelten:

$- \frac{3}{4} x^{3} - 46$	=	$2$	\| $+ 46$
$- \frac{3}{4} x^{3}$	=	$48$	\|⋅ $(- \frac{4}{3})$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{2} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 33.69 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 33.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(33.69°) ≈ 0.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 2 x^{2} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $- 4 x + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 4 \cdot 0 + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.667 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$0,667$	\|⋅ 3
$t$	=	$2,001$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 2 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x + 4$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 4 x + 8$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 2 x + 4

=

- x^{2} - 4 x + 8

|

+ x^{2}

+ 4 x

- 8

2 x^{2} + 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 2$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 2$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 - 2$ = 0

$g'(x) =$ $- 2 x - 4$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 4$ = $- 6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 6$ ) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 80.5 )°| ≈ 80.5°

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):