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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 1$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- x^{3} - 1$

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 0$

= $- 3 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{3} \cdot \sin (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

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$f(x) =$ $\frac{4}{3} \cdot \sin (x)$

=> $f'(x) =$ $\frac{4}{3} \cdot \cos (x)$

f'( $0$ ) = $\frac{4}{3} \cdot \cos (0)$ = $\frac{4}{3} \cdot 1$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{4 x^{3}} - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- \frac{3}{4 x^{3}} - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)$

= $- \frac{3}{4} x^{- 3} - \frac{1}{4} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $\frac{9}{4} x^{- 4} + \frac{1}{4} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{4 x^{4}} + \frac{1}{4} \cdot \sin (x)$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x} + \frac{3}{4} x^{3}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $3 \sqrt{x} + \frac{3}{4} x^{3}$

= $3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{4} x^{3}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{9}{4} x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{x}} + \frac{9}{4} x^{2}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $5 \cdot \sin (x) + 2 t x$ im Punkt ( $\frac{1}{2} π$ |f_t( $\frac{1}{2} π$ )) den Wert $2$ ?

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$f(x) =$ $5 \cdot \sin (x) + 2 t x$

=> $f'(x) =$ $5 \cdot \cos (x) + 2 t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{1}{2} π$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 2 t$
= $5 \cdot 0 + 2 t$
= $2 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $2$ besitzen, also gilt:

$2 t$	=	$2$	\|: $2$
$t$	=	$1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} - 2 x + 2$ im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} - 2 x + 2$

=> $f'(x) =$ $\frac{9}{2} x^{2} - 2 + 0$

f'(3) = $\frac{9}{2} \cdot 3^{2} - 2$ = $\frac{9}{2} \cdot 9 - 2$ = $\frac{81}{2} - 2$ = $\frac{77}{2}$ ≈ 38.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $\frac{77}{2}$ )) ≈ 88.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + 29 x + 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + 29 x + 7$ ab:

f'(x) = $x^{3} + 29$

Es muss gelten:

$x^{3} + 29$	=	$2$	\| $- 29$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{1}{2} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 80.54 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 80.54 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(80.54°) ≈ 6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{1}{2} t x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x + \frac{1}{2} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 6 \cdot 0 + \frac{1}{2} t$
= $\frac{1}{2} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 6.001 betragen, also gilt:

$\frac{1}{2} t$	=	$6,001$	\|⋅ 2
$t$	=	$12,002$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 3 x - 17$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x + 1$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} + 3 x - 17$	=	$- x^{2} + 3 x + 1$	\| $+ 17$
$x^{2} + 3 x$	=	$- x^{2} + 3 x + 18$	\| $+ x^{2}$ $- 3 x$
$2 x^{2}$	=	$18$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 3$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 + 3$ = $9$

$g'(x) =$ $- 2 x + 3$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 + 3$ = $- 3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $9$ ) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 3$ ) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |83.7° - ( - 71.6 )°| ≈ 155.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 155.3° = 24.7° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven