Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{5} - 4 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{5} - 4 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 20 x^{4} - 12 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $\sin (x)$

f'( $0$ ) = $\sin (0)$ = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{9}{2 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{9}{2 x^{2}}$

= $- \frac{9}{2} x^{- 2}$

=> f'(x) = $9 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{x}$

= $- 2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{t}{x} - 3 x^{2}$ im Punkt (-1|f_t(-1)) den Wert $9$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{t}{x} - 3 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{t}{x^{2}} - 6 x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{t}{{(- 1)}^{2}} - 6 \cdot (- 1)$
= $- t + 6$

Dieser Wert soll ja den Wert $9$ besitzen, also gilt:

$- t + 6$	=	$9$	\| $- 6$
$- t$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$- 3$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} - 2 x^{2} + 6$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} - 2 x^{2} + 6$

=> $f'(x) =$ $\frac{9}{2} x^{2} - 4 x + 0$

f'(2) = $\frac{9}{2} \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2$ = $\frac{9}{2} \cdot 4 - 8$ = $18 - 8$ = $10$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $10$ )) ≈ 84.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - x + 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - x + 7$ ab:

f'(x) = $x^{3} - 1$

Es muss gelten:

$x^{3} - 1$	=	$- 2$	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{4} + \frac{1}{2} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -56.31 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -56.31 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-56.31°) ≈ -1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $x^{4} + \frac{1}{2} t x$

=> $f'(x) =$ $4 x^{3} + \frac{1}{2} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4 \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} t$
= $\frac{1}{2} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.5 betragen, also gilt:

$\frac{1}{2} t$	=	$- 1,5$	\|⋅ 2
$t$	=	$- 3$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -3 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x - 14$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 4 x - 2$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 6 x - 14

=

- x^{2} + 4 x - 2

|

+ x^{2}

- 4 x

+ 2

2 x^{2} + 2 x - 12

= 0 |:2

$x^{2} + x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 6$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 + 6$ = $10$

$g'(x) =$ $- 2 x + 4$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 + 4$ = 0

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $10$ ) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |84.3° - 0°| ≈ 84.3°

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven