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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{5} + x$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 3 x^{5} + x$

$f'(x) =$ $- 15 x^{4} + 1$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + 2 x^{4}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

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$f(x) =$ $x^{5} + 2 x^{4}$

=> $f'(x) =$ $5 x^{4} + 8 x^{3}$

f'(1) = $5 \cdot 1^{4} + 8 \cdot 1^{3}$ = $5 \cdot 1 + 8 \cdot 1$ = $5 + 8$ = $13$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{4} + \frac{4}{x^{4}}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $3 x^{4} + \frac{4}{x^{4}}$

= $3 x^{4} + 4 x^{- 4}$

=> f'(x) = $12 x^{3} - 16 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $12 x^{3} - \frac{16}{x^{5}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- \sqrt[3]{x}$

= $- x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $- \sin (x) + 5 t x$ im Punkt ( $- π$ |f_t( $- π$ )) den Wert $31$ ?

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$f(x) =$ $- \sin (x) + 5 t x$

=> $f'(x) =$ $- \cos (x) + 5 t$

Jetzt setzen wir x = $- π$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \cos ((- π)) + 5 t$
= $- (- 1) + 5 t$
= $1 + 5 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $31$ besitzen, also gilt:

$5 t + 1$	=	$31$	\| $- 1$
$5 t$	=	$30$	\|: $5$
$t$	=	$6$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{4} - 2 x^{3}$ im Punkt P(-2|f(-2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{4} - 2 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $- 6 x^{3} - 6 x^{2}$

f'(-2) = $- 6 \cdot {(- 2)}^{3} - 6 \cdot {(- 2)}^{2}$ = $- 6 \cdot (- 8) - 6 \cdot 4$ = $48 - 24$ = $24$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $24$ )) ≈ 87.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 23 x + 8$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 23 x + 8$ ab:

f'(x) = $3 x + 23$

Es muss gelten:

$3 x + 23$	=	$2$	\| $- 23$
$3 x$	=	$- 21$	\|: $3$
$x$	=	$- 7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{2} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 59.04 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 59.04 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(59.04°) ≈ 1.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- x^{2} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $- 2 x + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 2 \cdot 0 + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.667 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$1,667$	\|⋅ 3
$t$	=	$5,001$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x + 4$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x + 6$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - 3 x + 4$	=	$- x^{2} - 3 x + 6$	\| $- 4$
$x^{2} - 3 x$	=	$- x^{2} - 3 x + 2$	\| $+ x^{2}$ $+ 3 x$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 3$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 - 3$ = $- 1$

$g'(x) =$ $- 2 x - 3$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 3$ = $- 5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $- 1$ ) ≈ -45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 5$ ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |-45° - ( - 78.7 )°| ≈ 33.7°

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven