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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2}$

$f'(x) =$ $- 15 x^{2} - \frac{4}{3} x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{5} + 2 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{5} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $15 x^{4} + 2$

f'(0) = $15 \cdot 0^{4} + 2$ = $15 \cdot 0 + 2$ = $2$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (x) - \frac{8}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (x) - \frac{8}{x^{2}}$

= $- \sin (x) - 8 x^{- 2}$

=> f'(x) = $- \cos (x) + 16 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \cos (x) + \frac{16}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{x}$

= $- 2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) + 5 t x$ im Punkt ( $\frac{1}{2} π$ |f_t( $\frac{1}{2} π$ )) den Wert $27$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) + 5 t x$

=> $f'(x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 5 t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{1}{2} π$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 5 t$
= $2 \cdot 1 + 5 t$
= $2 + 5 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $27$ besitzen, also gilt:

$5 t + 2$	=	$27$	\| $- 2$
$5 t$	=	$25$	\|: $5$
$t$	=	$5$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2$

=> $f'(x) =$ $- x + \frac{3}{2} + 0$

f'(0) = $- 0 + \frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $\frac{3}{2}$ )) ≈ 56.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{28} x^{4} - 46 x - 3$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{28} x^{4} - 46 x - 3$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{7} x^{3} - 46$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{7} x^{3} - 46$	=	$3$	\| $+ 46$
$- \frac{1}{7} x^{3}$	=	$49$	\|⋅ $(- 7)$
$x^{3}$	=	$- 343$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{343}$	= $- 7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{2} + \frac{1}{4} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -75.07 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.07 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.07°) ≈ -3.75

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- x^{2} + \frac{1}{4} t x$

=> $f'(x) =$ $- 2 x + \frac{1}{4} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 2 \cdot 0 + \frac{1}{4} t$
= $\frac{1}{4} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.75 betragen, also gilt:

$\frac{1}{4} t$	=	$- 3,75$	\|⋅ 4
$t$	=	$- 15$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x + 3$ und $g(x) =$ $- x^{2} - x + 7$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 3 x + 3

=

- x^{2} - x + 7

|

+ x^{2}

+ x

- 7

2 x^{2} - 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 3$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 - 3$ = $1$

$g'(x) =$ $- 2 x - 1$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 - 1$ = $- 5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $1$ ) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 5$ ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |45° - ( - 78.7 )°| ≈ 123.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 123.7° = 56.3° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):