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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 4 -5 x 3 und vereinfache:

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f(x)= x 4 -5 x 3

f'(x)= 4 x 3 -15 x 2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 4 3 x 4 und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

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f(x)= - 4 3 x 4

=>f'(x)= - 16 3 x 3

f'(0) = - 16 3 ⋅ 0 3 = - 16 3 ⋅0 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x und vereinfache:

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f(x)= 4 x

= 4 x -1

=> f'(x) = -4 x -2

f'(x)= - 4 x 2

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 3 4 x und vereinfache:

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f(x)= - 3 4 x

= - 3 4 x 1 2

=> f'(x) = - 3 8 x - 1 2

f'(x)= - 3 8 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 5 t ⋅ sin( x ) +4x im Punkt ( 0 |ft( 0 )) den Wert 19 ?

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f(x)= 5 t ⋅ sin( x ) +4x

=>f'(x)= 5 t ⋅ cos( x ) +4

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 5 t ⋅ cos( 0 ) +4
= 5 t ⋅1 +4
= 5 t +4

Dieser Wert soll ja den Wert 19 besitzen, also gilt:

5t +4 = 19 | -4
5t = 15 |:5
t = 3

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 3 2 x 2 +3x -5 im Punkt P(1|f(1)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 3 2 x 2 +3x -5

=>f'(x)= -3x +3 +0

f'(1) = -3⋅1 +3 = -3 +3 = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= - 1 8 x 4 -29x +1 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= - 1 8 x 4 -29x +1 ab:

f'(x) = - 1 2 x 3 -29

Es muss gelten:

- 1 2 x 3 -29 = 3 | +29
- 1 2 x 3 = 32 |⋅ ( -2 )
x 3 = -64 | ⋅3
x = - 64 3 = -4

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= -3 x 2 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 38.66 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 38.66 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(38.66°) ≈ 0.8

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= -3 x 2 + 1 5 t x

=>f'(x)= -6x + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -6⋅0 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.8 betragen, also gilt:

1 5 t = 0,8 |⋅ 5
t = 4

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -3x +3 und g(x)= - x 2 -3x +11 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -3x +3 = - x 2 -3x +11 | -3
x 2 -3x = - x 2 -3x +8 | + x 2 +3x
2 x 2 = 8 |:2
x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

L={ -2 ; 2 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 2 |f( 2 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 2 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -3 , also gilt mf = f'( 2 )= 2⋅2 -3 = 1

g'(x)= -2x -3 , also gilt mg = g'( 2 )= -2⋅2 -3 = -7

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 2 |f( 2 )): α = arctan( 1 ) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( 2 |g( 2 )) gilt: β = arctan( -7 ) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |45° - ( - 81.9 )°| ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .