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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 4$

$f'(x) =$ $x^{2} + 0$

= $x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}}$

= $- 2 x^{- 2}$

=> f'(x) = $4 x^{- 3}$

=> $f'(x) =$ $\frac{4}{x^{3}}$

f'(2) = $\frac{4}{2^{3}}$ = $4 \cdot (\frac{1}{8})$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{3 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{3 x^{2}}$

= $\frac{7}{3} x^{- 2}$

=> f'(x) = $- \frac{14}{3} x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{14}{3 x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{5} - 5 {(\sqrt{x})}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{5} - 5 {(\sqrt{x})}^{3}$

= $4 x^{5} - 5 x^{\frac{3}{2}}$

=> f'(x) = $20 x^{4} - \frac{15}{2} x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $20 x^{4} - \frac{15}{2} \sqrt{x}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $4 x^{3} + t x^{2}$ im Punkt (-2|f_t(-2)) den Wert $68$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} + t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $12 x^{2} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $12 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 t \cdot (- 2)$
= $48 - 4 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $68$ besitzen, also gilt:

$- 4 t + 48$	=	$68$	\| $- 48$
$- 4 t$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$- 5$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} + 2 x^{2}$ im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} + 2 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{9}{2} x^{2} + 4 x$

f'(3) = $- \frac{9}{2} \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3$ = $- \frac{9}{2} \cdot 9 + 12$ = $- \frac{81}{2} + 12$ = $- \frac{57}{2}$ ≈ -28.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $- \frac{57}{2}$ )) ≈ -88°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -88° + 180° = 92°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{20} x^{4} - 23 x + 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{20} x^{4} - 23 x + 7$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{5} x^{3} - 23$

Es muss gelten:

$\frac{1}{5} x^{3} - 23$	=	$2$	\| $+ 23$
$\frac{1}{5} x^{3}$	=	$25$	\|⋅ $5$
$x^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{3} + \frac{1}{5} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -60.95 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -60.95 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-60.95°) ≈ -1.8

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $x^{3} + \frac{1}{5} t x$

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} + \frac{1}{5} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $3 \cdot 0^{2} + \frac{1}{5} t$
= $\frac{1}{5} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.8 betragen, also gilt:

$\frac{1}{5} t$	=	$- 1,8$	\|⋅ 5
$t$	=	$- 9$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -9 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - x - 3$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x + 3$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - x - 3

=

- x^{2} + 3 x + 3

|

+ x^{2}

- 3 x

- 3

2 x^{2} - 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 1$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 - 1$ = $5$

$g'(x) =$ $- 2 x + 3$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 + 3$ = $- 3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $5$ ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 3$ ) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 71.6 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):