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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} + \frac{1}{9} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + \frac{1}{9} x^{3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} + \frac{1}{3} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \cdot \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x)$

f'( $0$ ) = $- 4 \cdot \sin (0)$ = $- 4 \cdot 0$ = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{2}} - \frac{7}{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{x^{2}} - \frac{7}{2} \cdot \cos (x)$

= $3 x^{- 2} - \frac{7}{2} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $- 6 x^{- 3} + \frac{7}{2} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{x^{3}} + \frac{7}{2} \cdot \sin (x)$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \sqrt{x} + \frac{2}{3} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \sqrt{x} + \frac{2}{3} x^{3}$

= $- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} x^{3}$

=> f'(x) = $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + 2 x^{2}$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{\sqrt{x}} + 2 x^{2}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{2}{x} + t x$ im Punkt (2|f_t(2)) den Wert $- \frac{7}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x} + t x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}} + t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{2}{2^{2}} + t$
= $- \frac{1}{2} + t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- \frac{7}{2}$ besitzen, also gilt:

$t - \frac{1}{2}$	=	$- \frac{7}{2}$	\|⋅ 2
$2 (t - \frac{1}{2})$	=	$- 7$
$2 t - 1$	=	$- 7$	\| $+ 1$
$2 t$	=	$- 6$	\|: $2$
$t$	=	$- 3$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} + x^{2}$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} + x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 2 x^{3} + 2 x$

f'(2) = $- 2 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2$ = $- 2 \cdot 8 + 4$ = $- 16 + 4$ = $- 12$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $- 12$ )) ≈ -85.2°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{16} x^{4} - 46 x - 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{16} x^{4} - 46 x - 4$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{4} x^{3} - 46$

Es muss gelten:

$\frac{3}{4} x^{3} - 46$	=	$2$	\| $+ 46$
$\frac{3}{4} x^{3}$	=	$48$	\|⋅ $\frac{4}{3}$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 x^{4} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -85.24 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -85.24 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-85.24°) ≈ -12.009

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $3 x^{4} + t x$

=> $f'(x) =$ $12 x^{3} + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $12 \cdot 0^{3} + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -12.009 betragen, also gilt:

t

=

- 12,009

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -12 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + x$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x + 6$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + x

=

- x^{2} - 3 x + 6

|

+ x^{2}

+ 3 x

- 6

2 x^{2} + 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 1$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 + 1$ = $3$

$g'(x) =$ $- 2 x - 3$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 3$ = $- 5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $3$ ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 5$ ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 78.7 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):