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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 5 x 5 + 3 4 x 2 und vereinfache:

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f(x)= 1 5 x 5 + 3 4 x 2

f'(x)= x 4 + 3 2 x

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 x 5 +5 x 2 und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

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f(x)= -4 x 5 +5 x 2

=>f'(x)= -20 x 4 +10x

f'(0) = -20⋅ 0 4 +10⋅0 = -20⋅0 +0 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 2 und vereinfache:

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f(x)= 4 x 2

= 4 x -2

=> f'(x) = -8 x -3

f'(x)= - 8 x 3

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 x und vereinfache:

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f(x)= -2 x

= -2 x 1 2

=> f'(x) = - x - 1 2

f'(x)= - 1 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= - 8 x 2 + t x 2 im Punkt (-2|ft(-2)) den Wert 22 ?

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f(x)= - 8 x 2 + t x 2

=>f'(x)= 16 x 3 +2 t x

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 16 ( -2 ) 3 +2 t ⋅( -2 )
= -2 -4 t

Dieser Wert soll ja den Wert 22 besitzen, also gilt:

-4t -2 = 22 | +2
-4t = 24 |:(-4 )
t = -6

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 1 2 x 2 - x +6 im Punkt P(3|f(3)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 1 2 x 2 - x +6

=>f'(x)= x -1 +0

f'(3) = 3 -1 = 2

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( 2 )) ≈ 63.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 10 x 4 -48x +2 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 10 x 4 -48x +2 ab:

f'(x) = 2 5 x 3 -48

Es muss gelten:

2 5 x 3 -48 = 2 | +48
2 5 x 3 = 50 |⋅ 5 2
x 3 = 125 | ⋅3
x = 125 3 = 5

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= - x 3 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 38.66 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 38.66 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(38.66°) ≈ 0.8

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= - x 3 + 1 5 t x

=>f'(x)= -3 x 2 + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -3⋅ 0 2 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.8 betragen, also gilt:

1 5 t = 0,8 |⋅ 5
t = 4

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 + x -1 und g(x)= - x 2 + x +1 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 + x -1 = - x 2 + x +1 | +1
x 2 + x = - x 2 + x +2 | + x 2 - x
2 x 2 = 2 |:2
x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 1 |f( 1 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 1 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +1 , also gilt mf = f'( 1 )= 2⋅1 +1 = 3

g'(x)= -2x +1 , also gilt mg = g'( 1 )= -2⋅1 +1 = -1

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 1 |f( 1 )): α = arctan( 3 ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( 1 |g( 1 )) gilt: β = arctan( -1 ) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 45 )°| ≈ 116.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 116.6° = 63.4° .