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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 5 x 5 -2 x 2 und vereinfache:

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f(x)= 1 5 x 5 -2 x 2

f'(x)= x 4 -4x

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 2 x 3 und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

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f(x)= 1 2 x 3

= 1 2 x -3

=> f'(x) = - 3 2 x -4

=>f'(x)= - 3 2 x 4

f'(1) = - 3 2⋅ 1 4 = - 3 2 ⋅1 = - 3 2 ≈ -1.5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 8 3 x 3 und vereinfache:

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f(x)= 8 3 x 3

= 8 3 x -3

=> f'(x) = -8 x -4

f'(x)= - 8 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x +2 x 4 und vereinfache:

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f(x)= - x +2 x 4

= - x 1 2 +2 x 4

=> f'(x) = - 1 2 x - 1 2 +8 x 3

f'(x)= - 1 2 x +8 x 3

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 5⋅ sin( x ) +3 t x im Punkt ( 0 |ft( 0 )) den Wert 23 ?

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f(x)= 5⋅ sin( x ) +3 t x

=>f'(x)= 5⋅ cos( x ) +3 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 5⋅ cos( 0 ) +3 t
= 5⋅1 +3 t
= 5 +3 t

Dieser Wert soll ja den Wert 23 besitzen, also gilt:

3t +5 = 23 | -5
3t = 18 |:3
t = 6

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 3 2 x 4 -2x +4 im Punkt P(-1|f(-1)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 3 2 x 4 -2x +4

=>f'(x)= 6 x 3 -2 +0

f'(-1) = 6⋅ ( -1 ) 3 -2 = 6⋅( -1 ) -2 = -6 -2 = -8

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( -8 )) ≈ -82.9°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= - 1 28 x 4 -47x -4 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= - 1 28 x 4 -47x -4 ab:

f'(x) = - 1 7 x 3 -47

Es muss gelten:

- 1 7 x 3 -47 = 2 | +47
- 1 7 x 3 = 49 |⋅ ( -7 )
x 3 = -343 | ⋅3
x = - 343 3 = -7

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 2 x 4 + 1 2 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 82.41 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 82.41 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(82.41°) ≈ 7.505

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 2 x 4 + 1 2 t x

=>f'(x)= 8 x 3 + 1 2 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 8⋅ 0 3 + 1 2 t
= 1 2 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 7.505 betragen, also gilt:

1 2 t = 7,505 |⋅ 2
t = 15,01

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 + x -9 und g(x)= - x 2 + x +9 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 + x -9 = - x 2 + x +9 | +9
x 2 + x = - x 2 + x +18 | + x 2 - x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +1 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 +1 = 7

g'(x)= -2x +1 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 +1 = -5

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 7 ) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -5 ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - ( - 78.7 )°| ≈ 160.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.6° = 19.4° .