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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{4} - 5 x^{2}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $2 x^{4} - 5 x^{2}$

$f'(x) =$ $8 x^{3} - 10 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{4} \cdot \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{4} \cdot \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $\frac{7}{4} \cdot \sin (x)$

f'( $\frac{1}{2} π$ ) = $\frac{7}{4} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$ = $\frac{7}{4} \cdot 1$ = $\frac{7}{4}$ ≈ 1.75

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) - \frac{3}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) - \frac{3}{x^{4}}$

= $4 \cdot \cos (x) - 3 x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 4 \cdot \sin (x) + 12 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) + \frac{12}{x^{5}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{5} + \frac{2}{3} \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{5} + \frac{2}{3} \sqrt[4]{x}$

= $5 x^{5} + \frac{2}{3} x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $25 x^{4} + \frac{1}{6} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $25 x^{4} + \frac{1}{6 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 5 t x$ im Punkt ( $\frac{3}{2} π$ |f_t( $\frac{3}{2} π$ )) den Wert $- 10$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 5 t x$

=> $f'(x) =$ $2 \cdot \cos (x) + 5 t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{3}{2} π$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 5 t$
= $2 \cdot 0 + 5 t$
= $5 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- 10$ besitzen, also gilt:

$5 t$	=	$- 10$	\|: $5$
$t$	=	$- 2$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ im Punkt P(-3|f(-3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x$

f'(-3) = $- 3 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3)$ = $- 3 \cdot 9 + 9$ = $- 27 + 9$ = $- 18$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $- 18$ )) ≈ -86.8°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 9 x - 8$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 9 x - 8$ ab:

f'(x) = $3 x - 9$

Es muss gelten:

$3 x - 9$	=	$3$	\| $+ 9$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{3} + \frac{1}{2} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -77.47 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -77.47 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-77.47°) ≈ -4.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 2 x^{3} + \frac{1}{2} t x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x^{2} + \frac{1}{2} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 6 \cdot 0^{2} + \frac{1}{2} t$
= $\frac{1}{2} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -4.5 betragen, also gilt:

$\frac{1}{2} t$	=	$- 4,5$	\|⋅ 2
$t$	=	$- 9$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -9 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x + 4$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x + 12$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - 3 x + 4$	=	$- x^{2} - 3 x + 12$	\| $- 4$
$x^{2} - 3 x$	=	$- x^{2} - 3 x + 8$	\| $+ x^{2}$ $+ 3 x$
$2 x^{2}$	=	$8$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 3$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 - 3$ = $1$

$g'(x) =$ $- 2 x - 3$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 - 3$ = $- 7$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $1$ ) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 7$ ) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |45° - ( - 81.9 )°| ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven