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Ableiten (ganzrational)
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten an einem Punkt
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:
=>
f'(1) = = = =
Ableiten mit x im Nenner
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=> f'(x) =
Ableiten mit Wurzeln
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=> f'(x) =
Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)
Beispiel:
Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit im Punkt (1|ft(1)) den Wert ?
=
=> f'(x)=
=>
Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:
=
=
=
Dieser Wert soll ja den Wert besitzen, also gilt:
| = | |⋅ 2 | ||
| = | |||
| = | | | ||
| = |
Steigungswinkel
Beispiel:
Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit im Punkt P(-3|f(-3)):
Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).
Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:
=>
f'(-3) = = =
Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:
tan(α) = m.
Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:
α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( )) ≈ -80.5°.
Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:
α = -80.5° + 180° = 99.5°.
Steigungswinkel rückwärts
Beispiel:
In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit angelegt.
Bestimme x0.
Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.
Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.
Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 1 gelten.
Wir leiten somit f mit ab:
f'(x) =
Es muss gelten:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 5.
Steigungswinkel rückwärts (Param.)
Beispiel:
Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit für jedes t durch den Ursprung verläuft.
Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 38.66 ° ?
ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).
Für den Steigungswinkel α gilt ja:
tan(α)=m = =
Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 38.66 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:
m = tan(38.66°) ≈ 0.8
Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:
=>
Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein: f'(0) =
Dieser Wert soll ja ungefähr 0.8 betragen, also gilt:
Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.
=
=
|⋅ 5
=
Schnittwinkel zweier Kurven
Beispiel:
Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit und schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.
Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:
| = | | | ||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | | | ||
| x1 | = | = | |
| x2 | = | = |
L={ ; }
Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( |f( )).
Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:
, also gilt mf = f'( )= =
, also gilt mg = g'( )= =
Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m =
Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( |f( )): α = arctan( ) ≈ 84.3°
und für den Steigungswinkel von g in S( |g( )) gilt: β = arctan( ) ≈ -63.4°
An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.
γ = |α - β| = |84.3° -
Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 147.7° = 32.3° .