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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 3 x 3 -5x und vereinfache:

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f(x)= 2 3 x 3 -5x

f'(x)= 2 x 2 -5

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 5 +2x und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

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f(x)= x 5 +2x

=>f'(x)= 5 x 4 +2

f'(-1) = 5⋅ ( -1 ) 4 +2 = 5⋅1 +2 = 5 +2 = 7

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 2 3 ⋅ sin( x ) + 5 x 4 und vereinfache:

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f(x)= - 2 3 ⋅ sin( x ) + 5 x 4

= - 2 3 ⋅ sin( x ) +5 x -4

=> f'(x) = - 2 3 ⋅ cos( x ) -20 x -5

f'(x)= - 2 3 ⋅ cos( x ) - 20 x 5

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x und vereinfache:

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f(x)= x

= x 1 2

=> f'(x) = 1 2 x - 1 2

f'(x)= 1 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 2 t x +3x im Punkt (-1|ft(-1)) den Wert -11 ?

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f(x)= 2 t x +3x

=>f'(x)= - 2 t x 2 +3

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= - 2 t ( -1 ) 2 +3
= -2 t +3

Dieser Wert soll ja den Wert -11 besitzen, also gilt:

-2t +3 = -11 | -3
-2t = -14 |:(-2 )
t = 7

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 1 4 x 3 - 1 2 x 2 -5 im Punkt P(-3|f(-3)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 1 4 x 3 - 1 2 x 2 -5

=>f'(x)= - 3 4 x 2 - x +0

f'(-3) = - 3 4 ⋅ ( -3 ) 2 - ( -3 ) = - 3 4 ⋅9 +3 = - 27 4 +3 = - 15 4 ≈ -3.75

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( - 15 4 )) ≈ -75.1°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -75.1° + 180° = 104.9°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 16 x 4 -13x -6 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 16 x 4 -13x -6 ab:

f'(x) = 1 4 x 3 -13

Es muss gelten:

1 4 x 3 -13 = 3 | +13
1 4 x 3 = 16 |⋅4
x 3 = 64 | ⋅3
x = 64 3 = 4

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= -2 x 3 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 45 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 45 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(45°) ≈ 1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= -2 x 3 + 1 5 t x

=>f'(x)= -6 x 2 + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -6⋅ 0 2 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 1 betragen, also gilt:

1 5 t = 1 |⋅ 5
t = 5

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -4x +5 und g(x)= - x 2 -4x +7 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -4x +5 = - x 2 -4x +7 | -5
x 2 -4x = - x 2 -4x +2 | + x 2 +4x
2 x 2 = 2 |:2
x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 1 |f( 1 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 1 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -4 , also gilt mf = f'( 1 )= 2⋅1 -4 = -2

g'(x)= -2x -4 , also gilt mg = g'( 1 )= -2⋅1 -4 = -6

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 1 |f( 1 )): α = arctan( -2 ) ≈ -63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( 1 |g( 1 )) gilt: β = arctan( -6 ) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |-63.4° - ( - 80.5 )°| ≈ 17.1°