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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} + 4$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 0$

= $\frac{3}{2} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{5}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{5}$

=> $f'(x) =$ $30 x^{4}$

f'(1) = $30 \cdot 1^{4}$ = $30 \cdot 1$ = $30$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{2 x}$

= $- \frac{5}{2} x^{- 1}$

=> f'(x) = $\frac{5}{2} x^{- 2}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{2 x^{2}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt[4]{x}$

= $- x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t \sqrt{x} + 5 x$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $\frac{7}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t \sqrt{x} + 5 x$

= $t x^{\frac{1}{2}} + 5 x$

=> f'(x)= $\frac{1}{2} t x^{- \frac{1}{2}} + 5$

=> $f'(x) =$ $\frac{t}{2 \sqrt{x}} + 5$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2} + 5$
= $\frac{t}{2} + 5$
= $\frac{1}{2} t + 5$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{7}{2}$ besitzen, also gilt:

$\frac{1}{2} t + 5$	=	$\frac{7}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} t + 5)$	=	$7$
$t + 10$	=	$7$	\| $- 10$
$t$	=	$- 3$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{4} - 2 x^{3}$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- x^{4} - 2 x^{3}$

=> $f'(x) =$ $- 4 x^{3} - 6 x^{2}$

f'(-1) = $- 4 \cdot {(- 1)}^{3} - 6 \cdot {(- 1)}^{2}$ = $- 4 \cdot (- 1) - 6 \cdot 1$ = $4 - 6$ = $- 2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $- 2$ )) ≈ -63.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 2 x - 1$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 2 x - 1$ ab:

f'(x) = $3 x^{3} + 2$

Es muss gelten:

$3 x^{3} + 2$	=	$- 1$	\| $- 2$
$3 x^{3}$	=	$- 3$	\|: $3$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{2} + \frac{1}{2} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -63.43 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{2} + \frac{1}{2} t x$

=> $f'(x) =$ $4 x + \frac{1}{2} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4 \cdot 0 + \frac{1}{2} t$
= $\frac{1}{2} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

$\frac{1}{2} t$	=	$- 2$	\|⋅ 2
$t$	=	$- 4$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 7 x + 13$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x + 19$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 7 x + 13

=

- x^{2} - 3 x + 19

|

+ x^{2}

+ 3 x

- 19

2 x^{2} - 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 7$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 - 7$ = $- 1$

$g'(x) =$ $- 2 x - 3$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 - 3$ = $- 9$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $- 1$ ) ≈ -45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 9$ ) ≈ -83.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |-45° - ( - 83.7 )°| ≈ 38.7°

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):