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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} - 4 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} - 4 x^{4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} - 16 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \cdot \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \cdot \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $4 \cdot \sin (x)$

f'( $\frac{1}{2} π$ ) = $4 \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$ = $4 \cdot 1$ = $4$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{9}{2 x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{9}{2 x^{3}}$

= $- \frac{9}{2} x^{- 3}$

=> f'(x) = $\frac{27}{2} x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{27}{2 x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{x} + \frac{4}{3} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{x} + \frac{4}{3} x^{5}$

= $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{5}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{20}{3} x^{4}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{20}{3} x^{4}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) + 4 t x$ im Punkt ( $\frac{1}{2} π$ |f_t( $\frac{1}{2} π$ )) den Wert $20$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) + 4 t x$

=> $f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) + 4 t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{1}{2} π$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 4 t$
= $- 2 \cdot 0 + 4 t$
= $4 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $20$ besitzen, also gilt:

$4 t$	=	$20$	\|: $4$
$t$	=	$5$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - \frac{3}{2}$

f'(-2) = $\frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - \frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{3}{2}$ = $6 - \frac{3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $\frac{9}{2}$ )) ≈ 77.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{20} x^{4} - 24 x + 3$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{20} x^{4} - 24 x + 3$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{5} x^{3} - 24$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{5} x^{3} - 24$	=	$1$	\| $+ 24$
$- \frac{1}{5} x^{3}$	=	$25$	\|⋅ $(- 5)$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{4} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 80.54 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 80.54 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(80.54°) ≈ 6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- x^{4} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 4 x^{3} + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 4 \cdot 0^{3} + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 6.001 betragen, also gilt:

t

=

6,001

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 3 x - 2$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x + 6$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 3 x - 2

=

- x^{2} - 3 x + 6

|

+ x^{2}

+ 3 x

- 6

2 x^{2} + 6 x - 8

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 4$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 3$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 + 3$ = $5$

$g'(x) =$ $- 2 x - 3$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 3$ = $- 5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $5$ ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 5$ ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 78.7 )°| ≈ 157.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 157.4° = 22.6° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):