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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 3 x 3 +3x und vereinfache:

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f(x)= 1 3 x 3 +3x

f'(x)= x 2 +3

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 x 4 +5 und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

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f(x)= -3 x 4 +5

=>f'(x)= -12 x 3 +0

= -12 x 3

f'(1) = -12⋅ 1 3 = -12⋅1 = -12

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 4 x 5 - 9 4 x 4 und vereinfache:

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f(x)= 5 4 x 5 - 9 4 x 4

= 5 4 x 5 - 9 4 x -4

=> f'(x) = 25 4 x 4 +9 x -5

f'(x)= 25 4 x 4 + 9 x 5

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 2 x und vereinfache:

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f(x)= - 1 2 x

= - 1 2 x 1 2

=> f'(x) = - 1 4 x - 1 2

f'(x)= - 1 4 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= -5 x + t x im Punkt (4|ft(4)) den Wert - 9 4 ?

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f(x)= -5 x + t x

= -5 x 1 2 + t x

=> f'(x)= - 5 2 x - 1 2 + t

=>f'(x)= - 5 2 x + t

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= - 5 2⋅ 4 + t
= - 5 2⋅ 2 + t
= - 5 4 + t

Dieser Wert soll ja den Wert - 9 4 besitzen, also gilt:

t - 5 4 = - 9 4 |⋅ 4
4( t - 5 4 ) = -9
4t -5 = -9 | +5
4t = -4 |:4
t = -1

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 1 4 x 2 - 1 2 x im Punkt P(-2|f(-2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 1 4 x 2 - 1 2 x

=>f'(x)= - 1 2 x - 1 2

f'(-2) = - 1 2 ⋅( -2 ) - 1 2 = 1 - 1 2 = 1 2 ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( 1 2 )) ≈ 26.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= - 1 8 x 4 -30x +2 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= - 1 8 x 4 -30x +2 ab:

f'(x) = - 1 2 x 3 -30

Es muss gelten:

- 1 2 x 3 -30 = 2 | +30
- 1 2 x 3 = 32 |⋅ ( -2 )
x 3 = -64 | ⋅3
x = - 64 3 = -4

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 3 x 2 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 67.38 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 67.38 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(67.38°) ≈ 2.4

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 3 x 2 + 1 5 t x

=>f'(x)= 6x + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 6⋅0 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.4 betragen, also gilt:

1 5 t = 2,4 |⋅ 5
t = 12

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +1 und g(x)= - x 2 -4x +7 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +1 = - x 2 -4x +7 | + x 2 +4x -7
2 x 2 +4x -6 = 0 |:2

x 2 +2x -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 2⋅1

x1,2 = -2 ± 4 +12 2

x1,2 = -2 ± 16 2

x1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

x2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = -1 ± 4

x1 = -1 - 2 = -3

x2 = -1 + 2 = 1

L={ -3 ; 1 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 1 |f( 1 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 1 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x , also gilt mf = f'( 1 )= 2⋅1 = 2

g'(x)= -2x -4 , also gilt mg = g'( 1 )= -2⋅1 -4 = -6

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 1 |f( 1 )): α = arctan( 2 ) ≈ 63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( 1 |g( 1 )) gilt: β = arctan( -6 ) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |63.4° - ( - 80.5 )°| ≈ 143.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 143.9° = 36.1° .