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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{5} x^{5} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{5} x^{5} + x$

$f'(x) =$ $2 x^{4} + 1$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ 0 und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ 0

=> $f'(x) =$ 0

f'( $0$ ) = 0 = 0 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (x) + \frac{3}{2 x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (x) + \frac{3}{2 x^{3}}$

= $- \sin (x) + \frac{3}{2} x^{- 3}$

=> f'(x) = $- \cos (x) - \frac{9}{2} x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- \cos (x) - \frac{9}{2 x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{x}$

= $3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) + 5 t x$ im Punkt ( $0$ |f_t( $0$ )) den Wert $- 27$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) + 5 t x$

=> $f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) + 5 t$

Jetzt setzen wir x = $0$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 2 \cdot \cos (0) + 5 t$
= $- 2 \cdot 1 + 5 t$
= $- 2 + 5 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- 27$ besitzen, also gilt:

$5 t - 2$	=	$- 27$	\| $+ 2$
$5 t$	=	$- 25$	\|: $5$
$t$	=	$- 5$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} + x^{2} + 4$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} + x^{2} + 4$

=> $f'(x) =$ $- 2 x^{3} + 2 x + 0$

f'(-2) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{3} + 2 \cdot (- 2)$ = $- 2 \cdot (- 8) - 4$ = $16 - 4$ = $12$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $12$ )) ≈ 85.2°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x + 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x + 4$ ab:

f'(x) = $x^{3} + 4$

Es muss gelten:

$x^{3} + 4$	=	$3$	\| $- 4$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{3} + \frac{1}{5} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 71.57 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(71.57°) ≈ 3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{3} + \frac{1}{5} t x$

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} + \frac{1}{5} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $6 \cdot 0^{2} + \frac{1}{5} t$
= $\frac{1}{5} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.001 betragen, also gilt:

$\frac{1}{5} t$	=	$3,001$	\|⋅ 5
$t$	=	$15,005$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 5 x + 9$ und $g(x) =$ $- x^{2} - x + 15$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 5 x + 9

=

- x^{2} - x + 15

|

+ x^{2}

+ x

- 15

2 x^{2} - 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 5$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 - 5$ = $1$

$g'(x) =$ $- 2 x - 1$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 - 1$ = $- 7$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $1$ ) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 7$ ) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |45° - ( - 81.9 )°| ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):