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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 3 x 4 +3 und vereinfache:

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f(x)= 1 3 x 4 +3

f'(x)= 4 3 x 3 +0

= 4 3 x 3

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 cos( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 1 2 π an:

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f(x)= 4 cos( x )

=>f'(x)= -4 sin( x )

f'( 1 2 π ) = -4 sin( 1 2 π ) = -41 = -4

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x und vereinfache:

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f(x)= 4 x

= 4 x -1

=> f'(x) = -4 x -2

f'(x)= - 4 x 2

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 9 x 3 -2 x und vereinfache:

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f(x)= 9 x 3 -2 x

= 9 x 3 -2 x 1 2

=> f'(x) = 27 x 2 - x - 1 2

f'(x)= 27 x 2 - 1 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t x -2 x 2 im Punkt (-1|ft(-1)) den Wert 9 ?

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f(x)= t x -2 x 2

=>f'(x)= - t x 2 -4x

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= - t ( -1 ) 2 -4( -1 )
= - t +4

Dieser Wert soll ja den Wert 9 besitzen, also gilt:

-t +4 = 9 | -4
-t = 5 |:(-1 )
t = -5

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 3 2 x 4 +2 x 3 im Punkt P(-2|f(-2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 3 2 x 4 +2 x 3

=>f'(x)= 6 x 3 +6 x 2

f'(-2) = 6 ( -2 ) 3 +6 ( -2 ) 2 = 6( -8 ) +64 = -48 +24 = -24

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( -24 )) ≈ -87.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 2 x 2 +24x +3 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 3 2 x 2 +24x +3 ab:

f'(x) = 3x +24

Es muss gelten:

3x +24 = 3 | -24
3x = -21 |:3
x = -7

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= x 3 + 1 4 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 56.31 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 56.31 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(56.31°) ≈ 1.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= x 3 + 1 4 t x

=>f'(x)= 3 x 2 + 1 4 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 3 0 2 + 1 4 t
= 1 4 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.5 betragen, also gilt:

1 4 t = 1,5 |⋅ 4
t = 6

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 4 +2x -1 und g(x)= - x 2 +2x +1 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 4 +2x -1 = - x 2 +2x +1 | - ( - x 2 +2x +1 )
x 4 + x 2 -2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

u1,2 = -1 ± 1 +8 2

u1,2 = -1 ± 9 2

u1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

u2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -2 ) = 1 4 + 2 = 1 4 + 8 4 = 9 4

x1,2 = - 1 2 ± 9 4

x1 = - 1 2 - 3 2 = - 4 2 = -2

x2 = - 1 2 + 3 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -2

x 2 = -2 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 1 |f( 1 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 1 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 4 x 3 +2 , also gilt mf = f'( 1 )= 4 1 3 +2 = 6

g'(x)= -2x +2 , also gilt mg = g'( 1 )= -21 +2 = 0

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 1 |f( 1 )): α = arctan( 6 ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( 1 |g( 1 )) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - 0°| ≈ 80.5°