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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{5} + 5 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{5} + 5 x^{4}$

$f'(x) =$ $15 x^{4} + 20 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{5} - 5 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{5} - 5 x$

=> $f'(x) =$ $15 x^{4} - 5$

f'(-1) = $15 \cdot {(- 1)}^{4} - 5$ = $15 \cdot 1 - 5$ = $15 - 5$ = $10$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{4}} - x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{x^{4}} - x^{5}$

= $3 x^{- 4} - x^{5}$

=> f'(x) = $- 12 x^{- 5} - 5 x^{4}$

$f'(x) =$ $- \frac{12}{x^{5}} - 5 x^{4}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \sqrt[3]{x} - 5 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \sqrt[3]{x} - 5 x^{2}$

= $5 x^{\frac{1}{3}} - 5 x^{2}$

=> f'(x) = $\frac{5}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 10 x$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 10 x$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{2}{x^{2}} + t x^{2}$ im Punkt (2|f_t(2)) den Wert $\frac{7}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}} + t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{4}{2^{3}} + 2 t \cdot 2$
= $- \frac{1}{2} + 4 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{7}{2}$ besitzen, also gilt:

$4 t - \frac{1}{2}$	=	$\frac{7}{2}$	\|⋅ 2
$2 (4 t - \frac{1}{2})$	=	$7$
$8 t - 1$	=	$7$	\| $+ 1$
$8 t$	=	$8$	\|: $8$
$t$	=	$1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{2} x + 4$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{2} x + 4$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{2} + \frac{1}{2} + 0$

f'(-2) = $- \frac{3}{4} \cdot {(- 2)}^{2} + \frac{1}{2}$ = $- \frac{3}{4} \cdot 4 + \frac{1}{2}$ = $- 3 + \frac{1}{2}$ = $- \frac{5}{2}$ ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $- \frac{5}{2}$ )) ≈ -68.2°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -68.2° + 180° = 111.8°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{8} x^{4} - 30 x - 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{8} x^{4} - 30 x - 7$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{2} x^{3} - 30$

Es muss gelten:

$\frac{1}{2} x^{3} - 30$	=	$2$	\| $+ 30$
$\frac{1}{2} x^{3}$	=	$32$	\|⋅ $2$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{4} + \frac{1}{5} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -57.99 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -57.99 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-57.99°) ≈ -1.6

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + \frac{1}{5} t x$

=> $f'(x) =$ $- 12 x^{3} + \frac{1}{5} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 12 \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} t$
= $\frac{1}{5} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.6 betragen, also gilt:

$\frac{1}{5} t$	=	$- 1,6$	\|⋅ 5
$t$	=	$- 8$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 3 x - 3$ und $g(x) =$ $- x^{2} + x + 1$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 3 x - 3

=

- x^{2} + x + 1

|

+ x^{2}

- x

- 1

2 x^{2} + 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 2$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 3$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 + 3$ = $5$

$g'(x) =$ $- 2 x + 1$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 1$ = $- 1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $5$ ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 1$ ) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 45 )°| ≈ 123.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 123.7° = 56.3° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):