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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} - x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} - x^{4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} - 4 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (x)$

f'( $\frac{1}{2} π$ ) = $\frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$ = $\frac{2}{3} \cdot 1$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (x) - \frac{1}{3 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \cos (x) - \frac{1}{3 x^{2}}$

= $2 \cdot \cos (x) - \frac{1}{3} x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 2 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3} x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) + \frac{2}{3 x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \sqrt[4]{x}$

= $- 4 x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t \sqrt[3]{x} + 6 x^{2}$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $\frac{35}{3}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t \sqrt[3]{x} + 6 x^{2}$

= $t x^{\frac{1}{3}} + 6 x^{2}$

=> f'(x)= $\frac{1}{3} t x^{- \frac{2}{3}} + 12 x$

=> $f'(x) =$ $\frac{t}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 12 x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{3 {(\sqrt[3]{1})}^{2}} + 12 \cdot 1$
= $\frac{t}{3 \cdot 1^{2}} + 12 \cdot 1$
= $\frac{1}{3} t + 12$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{35}{3}$ besitzen, also gilt:

$\frac{1}{3} t + 12$	=	$\frac{35}{3}$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} t + 12)$	=	$35$
$t + 36$	=	$35$	\| $- 36$
$t$	=	$- 1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 1$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 1$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{4} x^{2} + x + 0$

f'(-1) = $\frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{2} - 1$ = $\frac{3}{4} \cdot 1 - 1$ = $\frac{3}{4} - 1$ = $- \frac{1}{4}$ ≈ -0.25

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $- \frac{1}{4}$ )) ≈ -14°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 24 x + 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 24 x + 9$ ab:

f'(x) = $3 x - 24$

Es muss gelten:

$3 x - 24$	=	$- 3$	\| $+ 24$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{4} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 84.29 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 84.29 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(84.29°) ≈ 10.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{4} + t x$

=> $f'(x) =$ $8 x^{3} + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $8 \cdot 0^{3} + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 10.001 betragen, also gilt:

t

=

10,001

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 5 x - 4$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 5 x - 4

=

- x^{2} + 3 x

|

+ x^{2}

- 3 x

2 x^{2} + 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 2$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 5$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 + 5$ = $7$

$g'(x) =$ $- 2 x + 3$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 3$ = $1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $7$ ) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $1$ ) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - 45°| ≈ 36.9°

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):