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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 x 4 -3 und vereinfache:

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f(x)= -4 x 4 -3

f'(x)= -16 x 3 +0

= -16 x 3

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 2 ⋅ sin( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 1 2 π an:

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f(x)= - 1 2 ⋅ sin( x )

=>f'(x)= - 1 2 ⋅ cos( x )

f'( 1 2 π ) = - 1 2 ⋅ cos( 1 2 π ) = - 1 2 ⋅0 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 8 x 3 und vereinfache:

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f(x)= - 8 x 3

= -8 x -3

=> f'(x) = 24 x -4

f'(x)= 24 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 9 4 x +2 x 2 und vereinfache:

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f(x)= 9 4 x +2 x 2

= 9 4 x 1 2 +2 x 2

=> f'(x) = 9 8 x - 1 2 +4x

f'(x)= 9 8 x +4x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t ( x 3 ) 2 +5 x 2 im Punkt (1|ft(1)) den Wert 32 3 ?

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f(x)= t ( x 3 ) 2 +5 x 2

= t x 2 3 +5 x 2

=> f'(x)= 2 3 t x - 1 3 +10x

=>f'(x)= 2 t 3 x 3 +10x

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 2 t 3⋅ 1 3 +10⋅1
= 2 t 3 +10⋅1
= 2 3 t +10

Dieser Wert soll ja den Wert 32 3 besitzen, also gilt:

2 3 t +10 = 32 3 |⋅ 3
3( 2 3 t +10 ) = 32
2t +30 = 32 | -30
2t = 2 |:2
t = 1

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 1 4 x 3 + 1 2 x im Punkt P(-3|f(-3)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 1 4 x 3 + 1 2 x

=>f'(x)= - 3 4 x 2 + 1 2

f'(-3) = - 3 4 ⋅ ( -3 ) 2 + 1 2 = - 3 4 ⋅9 + 1 2 = - 27 4 + 1 2 = - 25 4 ≈ -6.25

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( - 25 4 )) ≈ -80.9°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -80.9° + 180° = 99.1°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 2 x 2 +8x +8 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 3 2 x 2 +8x +8 ab:

f'(x) = 3x +8

Es muss gelten:

3x +8 = -1 | -8
3x = -9 |:3
x = -3

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 3 x 3 + 1 2 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -77.47 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -77.47 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-77.47°) ≈ -4.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 3 x 3 + 1 2 t x

=>f'(x)= 9 x 2 + 1 2 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 9⋅ 0 2 + 1 2 t
= 1 2 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -4.5 betragen, also gilt:

1 2 t = -4,5 |⋅ 2
t = -9

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -9 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 - x +1 und g(x)= - x 2 - x +3 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 - x +1 = - x 2 - x +3 | -1
x 2 - x = - x 2 - x +2 | + x 2 + x
2 x 2 = 2 |:2
x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 1 |f( 1 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 1 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -1 , also gilt mf = f'( 1 )= 2⋅1 -1 = 1

g'(x)= -2x -1 , also gilt mg = g'( 1 )= -2⋅1 -1 = -3

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 1 |f( 1 )): α = arctan( 1 ) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( 1 |g( 1 )) gilt: β = arctan( -3 ) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |45° - ( - 71.6 )°| ≈ 116.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 116.6° = 63.4° .