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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{5} + 4 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{5} + 4 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 10 x^{4} + 8 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{3}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{3}$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{4} x^{2}$

f'(-1) = $\frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{2}$ = $\frac{3}{4} \cdot 1$ = $\frac{3}{4}$ ≈ 0.75

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3 x^{2}}$

= $\frac{2}{3} x^{- 2}$

=> f'(x) = $- \frac{4}{3} x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{3 x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{2} x^{3} - 3 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{2} x^{3} - 3 \sqrt{x}$

= $- \frac{7}{2} x^{3} - 3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{21}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{21}{2} x^{2} - \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t \sqrt{x} - 7 x^{2}$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $- \frac{21}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t \sqrt{x} - 7 x^{2}$

= $t x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{2}$

=> f'(x)= $\frac{1}{2} t x^{- \frac{1}{2}} - 14 x$

=> $f'(x) =$ $\frac{t}{2 \sqrt{x}} - 14 x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2} - 14 \cdot 1$
= $\frac{t}{2} - 14 \cdot 1$
= $\frac{1}{2} t - 14$

Dieser Wert soll ja den Wert $- \frac{21}{2}$ besitzen, also gilt:

$\frac{1}{2} t - 14$	=	$- \frac{21}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} t - 14)$	=	$- 21$
$t - 28$	=	$- 21$	\| $+ 28$
$t$	=	$7$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 1$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 1$

=> $f'(x) =$ $- x - \frac{3}{2} + 0$

f'(-2) = $- (- 2) - \frac{3}{2}$ = $2 - \frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $\frac{1}{2}$ )) ≈ 26.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 11 x - 8$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $x^{2} - 11 x - 8$ ab:

f'(x) = $2 x - 11$

Es muss gelten:

$2 x - 11$	=	$1$	\| $+ 11$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{4} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -71.57 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-71.57°) ≈ -3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 2 x^{4} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $- 8 x^{3} + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 8 \cdot 0^{3} + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.001 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$- 3,001$	\|⋅ 3
$t$	=	$- 9,003$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -9 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 6$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 2 x + 2$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} + 2 x - 6$	=	$- x^{2} + 2 x + 2$	\| $+ 6$
$x^{2} + 2 x$	=	$- x^{2} + 2 x + 8$	\| $+ x^{2}$ $- 2 x$
$2 x^{2}$	=	$8$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 2$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 + 2$ = $6$

$g'(x) =$ $- 2 x + 2$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 + 2$ = $- 2$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $6$ ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 2$ ) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - ( - 63.4 )°| ≈ 143.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 143.9° = 36.1° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven