Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} x^{5} + 3 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} x^{5} + 3 x^{3}$

$f'(x) =$ $4 x^{4} + 9 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} - 2 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{3} - 2 x$

=> $f'(x) =$ $- 12 x^{2} - 2$

f'(1) = $- 12 \cdot 1^{2} - 2$ = $- 12 \cdot 1 - 2$ = $- 12 - 2$ = $- 14$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3 x^{2}}$

= $\frac{2}{3} x^{- 2}$

=> f'(x) = $- \frac{4}{3} x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{3 x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x}$

= $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t \sqrt[3]{x} + 2 x$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $\frac{7}{3}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t \sqrt[3]{x} + 2 x$

= $t x^{\frac{1}{3}} + 2 x$

=> f'(x)= $\frac{1}{3} t x^{- \frac{2}{3}} + 2$

=> $f'(x) =$ $\frac{t}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 2$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{3 {(\sqrt[3]{1})}^{2}} + 2$
= $\frac{t}{3 \cdot 1^{2}} + 2$
= $\frac{1}{3} t + 2$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{7}{3}$ besitzen, also gilt:

$\frac{1}{3} t + 2$	=	$\frac{7}{3}$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} t + 2)$	=	$7$
$t + 6$	=	$7$	\| $- 6$
$t$	=	$1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - x^{3} - 1$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - x^{3} - 1$

=> $f'(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + 0$

f'(2) = $2^{3} - 3 \cdot 2^{2}$ = $8 - 3 \cdot 4$ = $8 - 12$ = $- 4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $- 4$ )) ≈ -76°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -76° + 180° = 104°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 21 x + 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 21 x + 9$ ab:

f'(x) = $3 x - 21$

Es muss gelten:

$3 x - 21$	=	$- 3$	\| $+ 21$
$3 x$	=	$18$	\|: $3$
$x$	=	$6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{3} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 75.96 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(75.96°) ≈ 3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{3} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 9 x^{2} + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 9 \cdot 0^{2} + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.999 betragen, also gilt:

t

=

3,999

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x - 11$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 4 x - 3$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} + 4 x - 11$	=	$- x^{2} + 4 x - 3$	\| $+ 11$
$x^{2} + 4 x$	=	$- x^{2} + 4 x + 8$	\| $+ x^{2}$ $- 4 x$
$2 x^{2}$	=	$8$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 4$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 + 4$ = $8$

$g'(x) =$ $- 2 x + 4$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 + 4$ = 0

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $8$ ) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan(0) ≈ 0°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |82.9° - 0°| ≈ 82.9°

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven