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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x 5 + 1 4 x 4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 5 + 1 4 x 4

f'(x)= 25 x 4 + x 3

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 x 4 und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 4

=>f'(x)= -8 x 3

f'(-1) = -8⋅ ( -1 ) 3 = -8⋅( -1 ) = 8

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 2

= 4 x -2

=> f'(x) = -8 x -3

f'(x)= - 8 x 3

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 9 2 x 5 + 3 4 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 9 2 x 5 + 3 4 x 3

= 9 2 x 5 + 3 4 x 1 3

=> f'(x) = 45 2 x 4 + 1 4 x - 2 3

f'(x)= 45 2 x 4 + 1 4 ( x 3 ) 2

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t x + x im Punkt (1|ft(1)) den Wert -3 ?

Lösung einblenden

f(x)= t x + x

=>f'(x)= - t x 2 +1

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= - t 1 2 +1
= - t +1

Dieser Wert soll ja den Wert -3 besitzen, also gilt:

-t +1 = -3 | -1
-t = -4 |:(-1 )
t = 4

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 1 4 x 3 - 1 2 x 2 +3 im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 1 4 x 3 - 1 2 x 2 +3

=>f'(x)= - 3 4 x 2 - x +0

f'(-2) = - 3 4 ⋅ ( -2 ) 2 - ( -2 ) = - 3 4 ⋅4 +2 = -3 +2 = -1

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( -1 )) ≈ -45°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -45° + 180° = 135°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 2 x 2 -15x -4 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 3 2 x 2 -15x -4 ab:

f'(x) = 3x -15

Es muss gelten:

3x -15 = 3 | +15
3x = 18 |:3
x = 6

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 6.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 2 x 3 + t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 75.96 ° ?

Lösung einblenden

ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(75.96°) ≈ 3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 2 x 3 + t x

=>f'(x)= 6 x 2 + t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 6⋅ 0 2 + t
= t

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.999 betragen, also gilt:

t = 3,999

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +3x -8 und g(x)= - x 2 +3x schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +3x -8 = - x 2 +3x | +8 + x 2 -3x
2 x 2 = 8 |:2
x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

L={ -2 ; 2 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 2 |f( 2 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 2 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +3 , also gilt mf = f'( 2 )= 2⋅2 +3 = 7

g'(x)= -2x +3 , also gilt mg = g'( 2 )= -2⋅2 +3 = -1

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 2 |f( 2 )): α = arctan( 7 ) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( 2 |g( 2 )) gilt: β = arctan( -1 ) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - ( - 45 )°| ≈ 126.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 126.9° = 53.1° .