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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 15 x 5 +5 und vereinfache:

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f(x)= 1 15 x 5 +5

f'(x)= 1 3 x 4 +0

= 1 3 x 4

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 sin( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

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f(x)= -3 sin( x )

=>f'(x)= -3 cos( x )

f'( 0 ) = -3 cos( 0 ) = -31 = -3

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 8 3 x 4 - 2 3 cos( x ) und vereinfache:

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f(x)= - 8 3 x 4 - 2 3 cos( x )

= - 8 3 x -4 - 2 3 cos( x )

=> f'(x) = 32 3 x -5 + 2 3 sin( x )

f'(x)= 32 3 x 5 + 2 3 sin( x )

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 5 3 x 3 + x und vereinfache:

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f(x)= - 5 3 x 3 + x

= - 5 3 x 3 + x 1 2

=> f'(x) = -5 x 2 + 1 2 x - 1 2

f'(x)= -5 x 2 + 1 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= x + t x 2 im Punkt (4|ft(4)) den Wert - 95 4 ?

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f(x)= x + t x 2

= x 1 2 + t x 2

=> f'(x)= 1 2 x - 1 2 +2 t x

=>f'(x)= 1 2 x +2 t x

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 1 2 4 +2 t 4
= 1 2 2 +2 t 4
= 1 4 +8 t

Dieser Wert soll ja den Wert - 95 4 besitzen, also gilt:

8t + 1 4 = - 95 4 |⋅ 4
4( 8t + 1 4 ) = -95
32t +1 = -95 | -1
32t = -96 |:32
t = -3

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 1 4 x 3 + 1 2 x 2 -3 im Punkt P(0|f(0)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 1 4 x 3 + 1 2 x 2 -3

=>f'(x)= - 3 4 x 2 + x +0

f'(0) = - 3 4 0 2 +0 = - 3 4 0 +0 = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ .

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= - 3 28 x 4 -150x +6 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= - 3 28 x 4 -150x +6 ab:

f'(x) = - 3 7 x 3 -150

Es muss gelten:

- 3 7 x 3 -150 = -3 | +150
- 3 7 x 3 = 147 |⋅ ( - 7 3 )
x 3 = -343 | 3
x = - 343 3 = -7

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 2 x 2 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 57.99 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 57.99 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(57.99°) ≈ 1.6

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 2 x 2 + 1 5 t x

=>f'(x)= 4x + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 40 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.6 betragen, also gilt:

1 5 t = 1,6 |⋅ 5
t = 8

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 8 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -6x +11 und g(x)= - x 2 -2x +17 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -6x +11 = - x 2 -2x +17 | + x 2 +2x -17
2 x 2 -4x -6 = 0 |:2

x 2 -2x -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -3 ) 21

x1,2 = +2 ± 4 +12 2

x1,2 = +2 ± 16 2

x1 = 2 + 16 2 = 2 +4 2 = 6 2 = 3

x2 = 2 - 16 2 = 2 -4 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = 1 ± 4

x1 = 1 - 2 = -1

x2 = 1 + 2 = 3

L={ -1 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -6 , also gilt mf = f'( 3 )= 23 -6 = 0

g'(x)= -2x -2 , also gilt mg = g'( 3 )= -23 -2 = -8

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -8 ) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 82.9 )°| ≈ 82.9°