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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{5} + 3 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{5} + 3 x^{3}$

$f'(x) =$ $25 x^{4} + 9 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (x)$

=> $f'(x) =$ $\frac{2}{3} \cdot \cos (x)$

f'( $0$ ) = $\frac{2}{3} \cdot \cos (0)$ = $\frac{2}{3} \cdot 1$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{3}}$

= $x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 3 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$

= $- 3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $5 \sqrt[3]{x} + t x$ im Punkt (8|f_t(8)) den Wert $- \frac{79}{12}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \sqrt[3]{x} + t x$

= $5 x^{\frac{1}{3}} + t x$

=> f'(x)= $\frac{5}{3} x^{- \frac{2}{3}} + t$

=> $f'(x) =$ $\frac{5}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + t$

Jetzt setzen wir x = 8 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{5}{3 {(\sqrt[3]{8})}^{2}} + t$
= $\frac{5}{3 \cdot 2^{2}} + t$
= $\frac{5}{12} + t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- \frac{79}{12}$ besitzen, also gilt:

$t + \frac{5}{12}$	=	$- \frac{79}{12}$	\|⋅ 12
$12 (t + \frac{5}{12})$	=	$- 79$
$12 t + 5$	=	$- 79$	\| $- 5$
$12 t$	=	$- 84$	\|: $12$
$t$	=	$- 7$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{2} - \frac{3}{2} x - 4$ im Punkt P(-3|f(-3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- x^{2} - \frac{3}{2} x - 4$

=> $f'(x) =$ $- 2 x - \frac{3}{2} + 0$

f'(-3) = $- 2 \cdot (- 3) - \frac{3}{2}$ = $6 - \frac{3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ ≈ 4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $\frac{9}{2}$ )) ≈ 77.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 19 x + 3$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 19 x + 3$ ab:

f'(x) = $3 x - 19$

Es muss gelten:

$3 x - 19$	=	$2$	\| $+ 19$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{4} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 53.13 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 53.13 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(53.13°) ≈ 1.333

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{4} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $8 x^{3} + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $8 \cdot 0^{3} + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.333 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$1,333$	\|⋅ 3
$t$	=	$3,999$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + x - 4$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x + 12$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + x - 4

=

- x^{2} - 3 x + 12

|

+ x^{2}

+ 3 x

- 12

2 x^{2} + 4 x - 16

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 1$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 + 1$ = $5$

$g'(x) =$ $- 2 x - 3$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 - 3$ = $- 7$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $5$ ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 7$ ) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 81.9 )°| ≈ 160.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.6° = 19.4° .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):