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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{4} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{4} - 1$

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 0$

= $- 4 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{9}{2 x}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{9}{2 x}$

= $- \frac{9}{2} x^{- 1}$

=> f'(x) = $\frac{9}{2} x^{- 2}$

=> $f'(x) =$ $\frac{9}{2 x^{2}}$

f'(2) = $\frac{9}{2 \cdot 2^{2}}$ = $\frac{9}{2} \cdot (\frac{1}{4})$ = $\frac{9}{8}$ ≈ 1.13

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + \frac{8}{3 x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} + \frac{8}{3 x^{3}}$

= $2 x^{2} + \frac{8}{3} x^{- 3}$

=> f'(x) = $4 x - 8 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $4 x - \frac{8}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{8}{3} x^{4} - 2 \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{8}{3} x^{4} - 2 \sqrt[4]{x}$

= $- \frac{8}{3} x^{4} - 2 x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $- \frac{32}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $- \frac{32}{3} x^{3} - \frac{1}{2 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) + 3 t x$ im Punkt ( $\frac{3}{2} π$ |f_t( $\frac{3}{2} π$ )) den Wert $- 3$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) + 3 t x$

=> $f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) + 3 t$

Jetzt setzen wir x = $\frac{3}{2} π$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 3 t$
= $- 3 \cdot 0 + 3 t$
= $3 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- 3$ besitzen, also gilt:

$3 t$	=	$- 3$	\|: $3$
$t$	=	$- 1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} x^{3} - 7$ im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} x^{3} - 7$

=> $f'(x) =$ $2 x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 0$

f'(1) = $2 \cdot 1^{3} - \frac{9}{2} \cdot 1^{2}$ = $2 \cdot 1 - \frac{9}{2} \cdot 1$ = $2 - \frac{9}{2}$ = $- \frac{5}{2}$ ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $- \frac{5}{2}$ )) ≈ -68.2°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{8} x^{4} - 31 x + 6$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{8} x^{4} - 31 x + 6$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{3} - 31$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{2} x^{3} - 31$	=	$1$	\| $+ 31$
$- \frac{1}{2} x^{3}$	=	$32$	\|⋅ $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{1}{2} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 68.2 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 68.2 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(68.2°) ≈ 2.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{1}{2} t x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x + \frac{1}{2} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 6 \cdot 0 + \frac{1}{2} t$
= $\frac{1}{2} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.5 betragen, also gilt:

$\frac{1}{2} t$	=	$2,5$	\|⋅ 2
$t$	=	$5$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 1$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 4 x + 15$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 1

=

- x^{2} - 4 x + 15

|

+ x^{2}

+ 4 x

- 15

2 x^{2} + 4 x - 16

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2$ = $4$

$g'(x) =$ $- 2 x - 4$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 - 4$ = $- 8$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $4$ ) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 8$ ) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |76° - ( - 82.9 )°| ≈ 158.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 158.9° = 21.1° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):