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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 5 -2x und vereinfache:

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f(x)= 2 x 5 -2x

f'(x)= 10 x 4 -2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2⋅ sin( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 1 2 π an:

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f(x)= -2⋅ sin( x )

=>f'(x)= -2⋅ cos( x )

f'( 1 2 π ) = -2⋅ cos( 1 2 π ) = -2⋅0 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 2 ⋅ cos( x ) - 1 x 3 und vereinfache:

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f(x)= - 1 2 ⋅ cos( x ) - 1 x 3

= - 1 2 ⋅ cos( x ) - x -3

=> f'(x) = 1 2 ⋅ sin( x ) +3 x -4

f'(x)= 1 2 ⋅ sin( x ) + 3 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x -2 x 4 und vereinfache:

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f(x)= 5 x -2 x 4

= 5 x 1 2 -2 x 4

=> f'(x) = 5 2 x - 1 2 -8 x 3

f'(x)= 5 2 x -8 x 3

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t x 3 -7 x 2 im Punkt (1|ft(1)) den Wert -12 ?

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f(x)= t x 3 -7 x 2

= t x 1 3 -7 x 2

=> f'(x)= 1 3 t x - 2 3 -14x

=>f'(x)= t 3 ( x 3 ) 2 -14x

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= t 3 ( 1 3 ) 2 -14⋅1
= t 3⋅ 1 2 -14⋅1
= 1 3 t -14

Dieser Wert soll ja den Wert -12 besitzen, also gilt:

1 3 t -14 = -12 |⋅ 3
3( 1 3 t -14 ) = -36
t -42 = -36 | +42
t = 6

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 1 2 x 4 + 3 2 x +5 im Punkt P(0|f(0)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 1 2 x 4 + 3 2 x +5

=>f'(x)= -2 x 3 + 3 2 +0

f'(0) = -2⋅ 0 3 + 3 2 = -2⋅0 + 3 2 = 3 2 ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( 3 2 )) ≈ 56.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +3x +1 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 2 x 2 +3x +1 ab:

f'(x) = x +3

Es muss gelten:

x +3 = 2 | -3
x = -1

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= x 3 + 1 4 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -45 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -45 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-45°) ≈ -1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= x 3 + 1 4 t x

=>f'(x)= 3 x 2 + 1 4 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 3⋅ 0 2 + 1 4 t
= 1 4 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -1 betragen, also gilt:

1 4 t = -1 |⋅ 4
t = -4

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -8 und g(x)= - x 2 -2x +16 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -8 = - x 2 -2x +16 | + x 2 +2x -16
2 x 2 +2x -24 = 0 |:2

x 2 + x -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -12 ) 2⋅1

x1,2 = -1 ± 1 +48 2

x1,2 = -1 ± 49 2

x1 = -1 + 49 2 = -1 +7 2 = 6 2 = 3

x2 = -1 - 49 2 = -1 -7 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -12 ) = 1 4 + 12 = 1 4 + 48 4 = 49 4

x1,2 = - 1 2 ± 49 4

x1 = - 1 2 - 7 2 = - 8 2 = -4

x2 = - 1 2 + 7 2 = 6 2 = 3

L={ -4 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 = 6

g'(x)= -2x -2 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 -2 = -8

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 6 ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -8 ) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - ( - 82.9 )°| ≈ 163.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 163.4° = 16.6° .