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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{4} + \frac{1}{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{4} + \frac{1}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} + x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2 x}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2 x}$

= $- \frac{1}{2} x^{- 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- 2}$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2}}$

f'(1) = $\frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$ = $\frac{1}{2} \cdot 1$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{3 x}$

= $\frac{7}{3} x^{- 1}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{3} x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{3 x^{2}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{x} - 2 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{x} - 2 x^{5}$

= $- x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{5}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 10 x^{4}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{x}} - 10 x^{4}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{3 t}{x^{2}} - 3 x^{2}$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $- 48$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3 t}{x^{2}} - 3 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{6 t}{x^{3}} - 6 x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{6 t}{1^{3}} - 6 \cdot 1$
= $- 6 t - 6$

Dieser Wert soll ja den Wert $- 48$ besitzen, also gilt:

$- 6 t - 6$	=	$- 48$	\| $+ 6$
$- 6 t$	=	$- 42$	\|:( $- 6$ )
$t$	=	$7$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 2 x$ im Punkt P(-3|f(-3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- x^{2} - 2 x$

=> $f'(x) =$ $- 2 x - 2$

f'(-3) = $- 2 \cdot (- 3) - 2$ = $6 - 2$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $4$ )) ≈ 76°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 14 x - 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 14 x - 7$ ab:

f'(x) = $2 x^{3} - 14$

Es muss gelten:

$2 x^{3} - 14$	=	$2$	\| $+ 14$
$2 x^{3}$	=	$16$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{3} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -63.43 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- x^{3} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 3 \cdot 0^{2} + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$- 2$	\|⋅ 3
$t$	=	$- 6$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 3 x - 1$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x + 1$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} + 3 x - 1$	=	$- x^{2} + 3 x + 1$	\| $+ 1$
$x^{2} + 3 x$	=	$- x^{2} + 3 x + 2$	\| $+ x^{2}$ $- 3 x$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 3$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 + 3$ = $5$

$g'(x) =$ $- 2 x + 3$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 3$ = $1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $5$ ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $1$ ) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - 45°| ≈ 33.7°

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven