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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{5} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{5} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 20 x^{4} + 4$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (x)$

f'( $\frac{1}{2} π$ ) = $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$ = $\frac{1}{2} \cdot 1$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x}$

= $- 2 x^{- 1}$

=> f'(x) = $2 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x^{2}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x} - 9 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{x} - 9 x^{3}$

= $3 x^{\frac{1}{2}} - 9 x^{3}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 27 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{x}} - 27 x^{2}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $- \frac{6}{x} + t x^{2}$ im Punkt (2|f_t(2)) den Wert $\frac{43}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{6}{x} + t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $\frac{6}{x^{2}} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{6}{2^{2}} + 2 t \cdot 2$
= $\frac{3}{2} + 4 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{43}{2}$ besitzen, also gilt:

$4 t + \frac{3}{2}$	=	$\frac{43}{2}$	\|⋅ 2
$2 (4 t + \frac{3}{2})$	=	$43$
$8 t + 3$	=	$43$	\| $- 3$
$8 t$	=	$40$	\|: $8$
$t$	=	$5$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + 6$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + 6$

=> $f'(x) =$ $- 2 x^{3} + 3 x + 0$

f'(0) = $- 2 \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0$ = $- 2 \cdot 0 + 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 2 x + 2$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 2 x + 2$ ab:

f'(x) = $3 x^{3} + 2$

Es muss gelten:

$3 x^{3} + 2$	=	$- 1$	\| $- 2$
$3 x^{3}$	=	$- 3$	\|: $3$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{2} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -53.13 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -53.13 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-53.13°) ≈ -1.333

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- x^{2} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $- 2 x + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 2 \cdot 0 + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.333 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$- 1,333$	\|⋅ 3
$t$	=	$- 3,999$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 3 x - 3$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x - 1$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + 3 x - 3

=

- x^{2} + 3 x - 1

|

- (- x^{2} + 3 x - 1)

x^{4} + x^{2} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 3$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $4 \cdot 1^{3} + 3$ = $7$

$g'(x) =$ $- 2 x + 3$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 3$ = $1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $7$ ) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $1$ ) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - 45°| ≈ 36.9°

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):