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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{5} - \frac{2}{3} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{5} - \frac{2}{3} x^{3}$

$f'(x) =$ $10 x^{4} - 2 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot \sin (x)$

f'( $\frac{1}{2} π$ ) = $\frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$ = $\frac{1}{2} \cdot 1$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{3 x}$

= $\frac{5}{3} x^{- 1}$

=> f'(x) = $- \frac{5}{3} x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{3 x^{2}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} - 2 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} - 2 x^{4}$

= $x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{4}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8 x^{3}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} - 8 x^{3}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 {(\sqrt[3]{x})}^{2} + t x^{2}$ im Punkt (8|f_t(8)) den Wert $- 113$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(\sqrt[3]{x})}^{2} + t x^{2}$

= $- 3 x^{\frac{2}{3}} + t x^{2}$

=> f'(x)= $- 2 x^{- \frac{1}{3}} + 2 t x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = 8 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{2}{\sqrt[3]{8}} + 2 t \cdot 8$
= $- \frac{2}{2} + 2 t \cdot 8$
= $- 1 + 16 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- 113$ besitzen, also gilt:

$16 t - 1$	=	$- 113$	\| $+ 1$
$16 t$	=	$- 112$	\|: $16$
$t$	=	$- 7$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{3} - x + 4$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{3} - x + 4$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{4} x^{2} - 1 + 0$

f'(0) = $\frac{3}{4} \cdot 0^{2} - 1$ = $\frac{3}{4} \cdot 0 - 1$ = $- 1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $- 1$ )) ≈ -45°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -45° + 180° = 135°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 6 x + 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 6 x + 9$ ab:

f'(x) = $x - 6$

Es muss gelten:

$x - 6$	=	$1$	\| $+ 6$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{3} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -75.96 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.96°) ≈ -3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{3} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $- 9 x^{2} + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 9 \cdot 0^{2} + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.999 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$- 3,999$	\|⋅ 3
$t$	=	$- 11,997$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -12 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{2} - 3 x + 3$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x + 6$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + x^{2} - 3 x + 3

=

- x^{2} - 3 x + 6

|

- (- x^{2} - 3 x + 6)

x^{4} + 2 x^{2} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 2 x - 3$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $4 \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 3$ = $3$

$g'(x) =$ $- 2 x - 3$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 3$ = $- 5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $3$ ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 5$ ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 78.7 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):