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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{5} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{5} - x$

$f'(x) =$ $- 5 x^{4} - 1$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2 x^{2}}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2 x^{2}}$

= $\frac{3}{2} x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 3 x^{- 3}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{x^{3}}$

f'(1) = $- \frac{3}{1^{3}}$ = $- 3 \cdot 1$ = $- 3$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{2} \cdot \cos (x) + \frac{4}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{2} \cdot \cos (x) + \frac{4}{x^{4}}$

= $\frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 4 x^{- 4}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) - 16 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) - \frac{16}{x^{5}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} + 2 \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{3} + 2 \sqrt[4]{x}$

= $- 3 x^{3} + 2 x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $- 9 x^{2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} + \frac{1}{2 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\sqrt{x} + t x^{2}$ im Punkt (4|f_t(4)) den Wert $\frac{65}{4}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} + t x^{2}$

= $x^{\frac{1}{2}} + t x^{2}$

=> f'(x)= $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 t x$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{4}} + 2 t \cdot 4$
= $\frac{1}{2 \cdot 2} + 2 t \cdot 4$
= $\frac{1}{4} + 8 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{65}{4}$ besitzen, also gilt:

$8 t + \frac{1}{4}$	=	$\frac{65}{4}$	\|⋅ 4
$4 (8 t + \frac{1}{4})$	=	$65$
$32 t + 1$	=	$65$	\| $- 1$
$32 t$	=	$64$	\|: $32$
$t$	=	$2$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 2 x^{2}$ im Punkt P(-3|f(-3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- x^{3} - 2 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x$

f'(-3) = $- 3 \cdot {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 3)$ = $- 3 \cdot 9 + 12$ = $- 27 + 12$ = $- 15$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $- 15$ )) ≈ -86.2°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -86.2° + 180° = 93.8°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{14} x^{4} - 99 x - 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{14} x^{4} - 99 x - 7$ ab:

f'(x) = $- \frac{2}{7} x^{3} - 99$

Es muss gelten:

$- \frac{2}{7} x^{3} - 99$	=	$- 1$	\| $+ 99$
$- \frac{2}{7} x^{3}$	=	$98$	\|⋅ $(- \frac{7}{2})$
$x^{3}$	=	$- 343$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{343}$	= $- 7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{2} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -69.44 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -69.44 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-69.44°) ≈ -2.666

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 2 x^{2} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $- 4 x + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 4 \cdot 0 + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2.666 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$- 2,666$	\|⋅ 3
$t$	=	$- 7,998$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -8 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - x + 3$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x + 7$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - x + 3

=

- x^{2} - 3 x + 7

|

+ x^{2}

+ 3 x

- 7

2 x^{2} + 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 2$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 1$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 - 1$ = $1$

$g'(x) =$ $- 2 x - 3$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 3$ = $- 5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $1$ ) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 5$ ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |45° - ( - 78.7 )°| ≈ 123.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 123.7° = 56.3° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):