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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 x 5 - 3 2 x und vereinfache:

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f(x)= -2 x 5 - 3 2 x

f'(x)= -10 x 4 - 3 2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 x 5 +3 x 4 und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 5 +3 x 4

=>f'(x)= -10 x 4 +12 x 3

f'(-1) = -10⋅ ( -1 ) 4 +12⋅ ( -1 ) 3 = -10⋅1 +12⋅( -1 ) = -10 -12 = -22

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 5 4 x 3 und vereinfache:

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f(x)= - 5 4 x 3

= - 5 4 x -3

=> f'(x) = 15 4 x -4

f'(x)= 15 4 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 x und vereinfache:

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f(x)= -3 x

= -3 x 1 2

=> f'(x) = - 3 2 x - 1 2

f'(x)= - 3 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 2 x + t x 2 im Punkt (4|ft(4)) den Wert 113 2 ?

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f(x)= 2 x + t x 2

= 2 x 1 2 + t x 2

=> f'(x)= x - 1 2 +2 t x

=>f'(x)= 1 x +2 t x

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 1 4 +2 t ⋅4
= 1 2 +2 t ⋅4
= 1 2 +8 t

Dieser Wert soll ja den Wert 113 2 besitzen, also gilt:

8t + 1 2 = 113 2 |⋅ 2
2( 8t + 1 2 ) = 113
16t +1 = 113 | -1
16t = 112 |:16
t = 7

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 3 2 x 4 -3 x 3 +3 im Punkt P(-2|f(-2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 3 2 x 4 -3 x 3 +3

=>f'(x)= -6 x 3 -9 x 2 +0

f'(-2) = -6⋅ ( -2 ) 3 -9⋅ ( -2 ) 2 = -6⋅( -8 ) -9⋅4 = 48 -36 = 12

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( 12 )) ≈ 85.2°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 2 x 2 +4x -3 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 3 2 x 2 +4x -3 ab:

f'(x) = 3x +4

Es muss gelten:

3x +4 = -2 | -4
3x = -6 |:3
x = -2

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -2.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= - x 2 + 1 2 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 71.57 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(71.57°) ≈ 3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= - x 2 + 1 2 t x

=>f'(x)= -2x + 1 2 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -2⋅0 + 1 2 t
= 1 2 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.001 betragen, also gilt:

1 2 t = 3,001 |⋅ 2
t = 6,002

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -2x -1 und g(x)= - x 2 -2x +17 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -2x -1 = - x 2 -2x +17 | +1
x 2 -2x = - x 2 -2x +18 | + x 2 +2x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -2 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 -2 = 4

g'(x)= -2x -2 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 -2 = -8

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 4 ) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -8 ) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |76° - ( - 82.9 )°| ≈ 158.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 158.9° = 21.1° .