$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+3x^2$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+6x$

$\text{f(x)}=$ $4x^5$

=>$\text{f'(x)}=$ $20x^4$

f'(-1) = $20\cdot {\left(-1\right)}^4$ = $20\cdot 1$ = $20$

$\text{f(x)}=$ $-5x^3-\frac{3}{4x^2}$

= $-5x^3-\frac{3}{4}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $-15x^2+\frac{3}{2}{x}^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2+\frac{3}{2x^3}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{8}{\sqrt{x}}$

= $8x^{-\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-4x^{-\frac{3}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{{\left(\sqrt{x}\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $-7{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2+tx$

= $-7x^{\frac{2}{3}}+tx$

=> f'(x)= $-\frac{14}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}+t$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{14}{3\sqrt[3]{x}}+t$

Jetzt setzen wir x = 8 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{14}{3\cdot \sqrt[3]{8}}+t$
= $-\frac{14}{3\cdot 2}+t$
= $-\frac{7}{3}+t$

Dieser Wert soll ja den Wert $-\frac{4}{3}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2-2x+3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x-2+0$

f'(-2) = $-2\cdot \left(-2\right)-2$ = $4-2$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-x+5$ ab:

f'(x) = $2x-1$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $x^3+\frac{1}{2}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+\frac{1}{2}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $3\cdot 0^2+\frac{1}{2}t$
= $\frac{1}{2}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-2$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3-4$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3-4$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-4$ = $-6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-6$) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 80.5 )°| ≈ 80.5°