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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 9 x 3 +2 und vereinfache:

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f(x)= 1 9 x 3 +2

f'(x)= 1 3 x 2 +0

= 1 3 x 2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2⋅ sin( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

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f(x)= -2⋅ sin( x )

=>f'(x)= -2⋅ cos( x )

f'( 0 ) = -2⋅ cos( 0 ) = -2⋅1 = -2

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x 2 und vereinfache:

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f(x)= 5 x 2

= 5 x -2

=> f'(x) = -10 x -3

f'(x)= - 10 x 3

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x +9 x 3 und vereinfache:

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f(x)= x +9 x 3

= x 1 2 +9 x 3

=> f'(x) = 1 2 x - 1 2 +27 x 2

f'(x)= 1 2 x +27 x 2

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t ( x 3 ) 2 +4 x 2 im Punkt (1|ft(1)) den Wert 22 3 ?

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f(x)= t ( x 3 ) 2 +4 x 2

= t x 2 3 +4 x 2

=> f'(x)= 2 3 t x - 1 3 +8x

=>f'(x)= 2 t 3 x 3 +8x

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 2 t 3⋅ 1 3 +8⋅1
= 2 t 3 +8⋅1
= 2 3 t +8

Dieser Wert soll ja den Wert 22 3 besitzen, also gilt:

2 3 t +8 = 22 3 |⋅ 3
3( 2 3 t +8 ) = 22
2t +24 = 22 | -24
2t = -2 |:2
t = -1

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 3 2 x 3 +3 x 2 +5 im Punkt P(-3|f(-3)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 3 2 x 3 +3 x 2 +5

=>f'(x)= 9 2 x 2 +6x +0

f'(-3) = 9 2 ⋅ ( -3 ) 2 +6⋅( -3 ) = 9 2 ⋅9 -18 = 81 2 -18 = 45 2 ≈ 22.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( 45 2 )) ≈ 87.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +9 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 2 x 2 +9 ab:

f'(x) = x

Es muss gelten:

x = -3

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= x 3 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 71.57 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 71.57 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(71.57°) ≈ 3.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= x 3 + 1 5 t x

=>f'(x)= 3 x 2 + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 3⋅ 0 2 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.001 betragen, also gilt:

1 5 t = 3,001 |⋅ 5
t = 15,005

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +3x -3 und g(x)= - x 2 +3x -1 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +3x -3 = - x 2 +3x -1 | +3
x 2 +3x = - x 2 +3x +2 | + x 2 -3x
2 x 2 = 2 |:2
x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 1 |f( 1 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 1 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +3 , also gilt mf = f'( 1 )= 2⋅1 +3 = 5

g'(x)= -2x +3 , also gilt mg = g'( 1 )= -2⋅1 +3 = 1

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 1 |f( 1 )): α = arctan( 5 ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( 1 |g( 1 )) gilt: β = arctan( 1 ) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - 45°| ≈ 33.7°