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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 12 x 4 + x 3 und vereinfache:

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f(x)= - 1 12 x 4 + x 3

f'(x)= - 1 3 x 3 +3 x 2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 2 und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

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f(x)= 2 x 2

= 2 x -2

=> f'(x) = -4 x -3

=>f'(x)= - 4 x 3

f'(2) = - 4 2 3 = -4⋅( 1 8 ) = - 1 2 ≈ -0.5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 4 x 3 - 5 4 ⋅ cos( x ) und vereinfache:

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f(x)= 5 4 x 3 - 5 4 ⋅ cos( x )

= 5 4 x -3 - 5 4 ⋅ cos( x )

=> f'(x) = - 15 4 x -4 + 5 4 ⋅ sin( x )

f'(x)= - 15 4 x 4 + 5 4 ⋅ sin( x )

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 x 3 + x 4 und vereinfache:

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f(x)= 3 x 3 + x 4

= 3 x 3 + x 1 4

=> f'(x) = 9 x 2 + 1 4 x - 3 4

f'(x)= 9 x 2 + 1 4 ( x 4 ) 3

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 2 t x + x im Punkt (-1|ft(-1)) den Wert 7 ?

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f(x)= 2 t x + x

=>f'(x)= - 2 t x 2 +1

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= - 2 t ( -1 ) 2 +1
= -2 t +1

Dieser Wert soll ja den Wert 7 besitzen, also gilt:

-2t +1 = 7 | -1
-2t = 6 |:(-2 )
t = -3

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - x 3 + 3 2 x +7 im Punkt P(1|f(1)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - x 3 + 3 2 x +7

=>f'(x)= -3 x 2 + 3 2 +0

f'(1) = -3⋅ 1 2 + 3 2 = -3⋅1 + 3 2 = -3 + 3 2 = - 3 2 ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( - 3 2 )) ≈ -56.3°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -56.3° + 180° = 123.7°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 16 x 4 -17x +2 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 16 x 4 -17x +2 ab:

f'(x) = 1 4 x 3 -17

Es muss gelten:

1 4 x 3 -17 = -1 | +17
1 4 x 3 = 16 |⋅4
x 3 = 64 | ⋅3
x = 64 3 = 4

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= - x 3 + 1 2 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 63.43 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(63.43°) ≈ 2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= - x 3 + 1 2 t x

=>f'(x)= -3 x 2 + 1 2 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -3⋅ 0 2 + 1 2 t
= 1 2 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 2 betragen, also gilt:

1 2 t = 2 |⋅ 2
t = 4

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +4x -19 und g(x)= - x 2 +4x -1 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +4x -19 = - x 2 +4x -1 | +19
x 2 +4x = - x 2 +4x +18 | + x 2 -4x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +4 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 +4 = 10

g'(x)= -2x +4 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 +4 = -2

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 10 ) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -2 ) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |84.3° - ( - 63.4 )°| ≈ 147.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 147.7° = 32.3° .