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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{3} - 1$

$f'(x) =$ $- 15 x^{2} + 0$

= $- 15 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3}}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3}}$

= $\frac{1}{3} x^{- 3}$

=> f'(x) = $- x^{- 4}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{1}{x^{4}}$

f'(2) = $- \frac{1}{2^{4}}$ = $- (\frac{1}{16})$ ≈ -0.06

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}} + 3 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}} + 3 \cdot \sin (x)$

= $2 x^{- 2} + 3 \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $- 4 x^{- 3} + 3 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}} + 3 \cdot \cos (x)$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{3} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{3} + 1$

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 0$

= $- 3 x^{2}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t x^{4} + 4 x^{2}$ im Punkt (-2|f_t(-2)) den Wert $48$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} + 4 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $4 t x^{3} + 8 x$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 t \cdot {(- 2)}^{3} + 8 \cdot (- 2)$
= $- 32 t - 16$

Dieser Wert soll ja den Wert $48$ besitzen, also gilt:

$- 32 t - 16$	=	$48$	\| $+ 16$
$- 32 t$	=	$64$	\|:( $- 32$ )
$t$	=	$- 2$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{4} - 3 x$ im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{4} - 3 x$

=> $f'(x) =$ $6 x^{3} - 3$

f'(1) = $6 \cdot 1^{3} - 3$ = $6 \cdot 1 - 3$ = $6 - 3$ = $3$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $3$ )) ≈ 71.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{16} x^{4} - 19 x - 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{16} x^{4} - 19 x - 9$ ab:

f'(x) = $\frac{1}{4} x^{3} - 19$

Es muss gelten:

$\frac{1}{4} x^{3} - 19$	=	$- 3$	\| $+ 19$
$\frac{1}{4} x^{3}$	=	$16$	\|⋅ $4$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{1}{4} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -75.07 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.07 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.07°) ≈ -3.75

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{1}{4} t x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x + \frac{1}{4} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 6 \cdot 0 + \frac{1}{4} t$
= $\frac{1}{4} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.75 betragen, also gilt:

$\frac{1}{4} t$	=	$- 3,75$	\|⋅ 4
$t$	=	$- 15$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - x$ und $g(x) =$ $- x^{2} + x + 4$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - x

=

- x^{2} + x + 4

|

+ x^{2}

- x

- 4

2 x^{2} - 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 1$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 - 1$ = $3$

$g'(x) =$ $- 2 x + 1$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 + 1$ = $- 3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $3$ ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 3$ ) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 71.6 )°| ≈ 143.2°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 143.2° = 36.8° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):