nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 9 x 3 +4x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 9 x 3 +4x

f'(x)= 1 3 x 2 +4

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 4 sin( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

Lösung einblenden

f(x)= 5 4 sin( x )

=>f'(x)= 5 4 cos( x )

f'( 0 ) = 5 4 cos( 0 ) = 5 4 1 = 5 4 ≈ 1.25

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 4 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 4 x 3

= -4 x -3

=> f'(x) = 12 x -4

f'(x)= 12 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 3

= 2 x 1 3

=> f'(x) = 2 3 x - 2 3

f'(x)= 2 3 ( x 3 ) 2

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 10 x + t x 2 im Punkt (2|ft(2)) den Wert - 29 2 ?

Lösung einblenden

f(x)= 10 x + t x 2

=>f'(x)= - 10 x 2 +2 t x

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= - 10 2 2 +2 t 2
= - 5 2 +4 t

Dieser Wert soll ja den Wert - 29 2 besitzen, also gilt:

4t - 5 2 = - 29 2 |⋅ 2
2( 4t - 5 2 ) = -29
8t -5 = -29 | +5
8t = -24 |:8
t = -3

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= x 3 - 3 2 x -7 im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= x 3 - 3 2 x -7

=>f'(x)= 3 x 2 - 3 2 +0

f'(-1) = 3 ( -1 ) 2 - 3 2 = 31 - 3 2 = 3 - 3 2 = 3 2 ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( 3 2 )) ≈ 56.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 4 x 4 -79x +8 angelegt.

Bestimme x0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 3 4 x 4 -79x +8 ab:

f'(x) = 3 x 3 -79

Es muss gelten:

3 x 3 -79 = 2 | +79
3 x 3 = 81 |:3
x 3 = 27 | 3
x = 27 3 = 3

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= -2 x 4 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -45 ° ?

Lösung einblenden

ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -45 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-45°) ≈ -1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= -2 x 4 + 1 5 t x

=>f'(x)= -8 x 3 + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -8 0 3 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -1 betragen, also gilt:

1 5 t = -1 |⋅ 5
t = -5

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -5 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +4x -20 und g(x)= - x 2 +2x +4 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +4x -20 = - x 2 +2x +4 | + x 2 -2x -4
2 x 2 +2x -24 = 0 |:2

x 2 + x -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +48 2

x1,2 = -1 ± 49 2

x1 = -1 + 49 2 = -1 +7 2 = 6 2 = 3

x2 = -1 - 49 2 = -1 -7 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -12 ) = 1 4 + 12 = 1 4 + 48 4 = 49 4

x1,2 = - 1 2 ± 49 4

x1 = - 1 2 - 7 2 = - 8 2 = -4

x2 = - 1 2 + 7 2 = 6 2 = 3

L={ -4 ; 3 }

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +4 , also gilt mf = f'( 3 )= 23 +4 = 10

g'(x)= -2x +2 , also gilt mg = g'( 3 )= -23 +2 = -4

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 10 ) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -4 ) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |84.3° - ( - 76 )°| ≈ 160.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.3° = 19.7° .