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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} - 5 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{3} - 5 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 12 x^{2} - 10 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + 3 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} + 3 x$

=> $f'(x) =$ $8 x + 3$

f'(-1) = $8 \cdot (- 1) + 3$ = $- 8 + 3$ = $- 5$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{8}{3 x^{4}} - x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{8}{3 x^{4}} - x^{2}$

= $- \frac{8}{3} x^{- 4} - x^{2}$

=> f'(x) = $\frac{32}{3} x^{- 5} - 2 x$

$f'(x) =$ $\frac{32}{3 x^{5}} - 2 x$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \sqrt{x} + \frac{2}{3} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \sqrt{x} + \frac{2}{3} x^{5}$

= $5 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} x^{5}$

=> f'(x) = $\frac{5}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{10}{3} x^{4}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{2 \sqrt{x}} + \frac{10}{3} x^{4}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t \sqrt{x} + x^{2}$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $- \frac{1}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t \sqrt{x} + x^{2}$

= $t x^{\frac{1}{2}} + x^{2}$

=> f'(x)= $\frac{1}{2} t x^{- \frac{1}{2}} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $\frac{t}{2 \sqrt{x}} + 2 x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2} + 2 \cdot 1$
= $\frac{t}{2} + 2 \cdot 1$
= $\frac{1}{2} t + 2$

Dieser Wert soll ja den Wert $- \frac{1}{2}$ besitzen, also gilt:

$\frac{1}{2} t + 2$	=	$- \frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} t + 2)$	=	$- 1$
$t + 4$	=	$- 1$	\| $- 4$
$t$	=	$- 5$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - x^{2} - 3$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - x^{2} - 3$

=> $f'(x) =$ $x^{3} - 2 x + 0$

f'(-2) = ${(- 2)}^{3} - 2 \cdot (- 2)$ = $(- 8) + 4$ = $- 8 + 4$ = $- 4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $- 4$ )) ≈ -76°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 13 x + 6$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $x^{2} - 13 x + 6$ ab:

f'(x) = $2 x - 13$

Es muss gelten:

$2 x - 13$	=	$- 1$	\| $+ 13$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{3} + \frac{1}{5} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -50.19 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -50.19 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-50.19°) ≈ -1.2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $x^{3} + \frac{1}{5} t x$

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} + \frac{1}{5} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $3 \cdot 0^{2} + \frac{1}{5} t$
= $\frac{1}{5} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.2 betragen, also gilt:

$\frac{1}{5} t$	=	$- 1,2$	\|⋅ 5
$t$	=	$- 6$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x - 14$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 2 x + 2$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 6 x - 14

=

- x^{2} + 2 x + 2

|

+ x^{2}

- 2 x

- 2

2 x^{2} + 4 x - 16

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 6$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 + 6$ = $10$

$g'(x) =$ $- 2 x + 2$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 + 2$ = $- 2$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $10$ ) ≈ 84.3°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 2$ ) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |84.3° - ( - 63.4 )°| ≈ 147.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 147.7° = 32.3° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):