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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{15} x^{5} - 4 x^{4}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- \frac{2}{15} x^{5} - 4 x^{4}$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{4} - 16 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

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$f(x) =$ $- \frac{1}{3} \cdot \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (x)$

f'( $0$ ) = $\frac{1}{3} \cdot \sin (0)$ = $\frac{1}{3} \cdot 0$ = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{3 x^{3}} - 2 x^{4}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\frac{8}{3 x^{3}} - 2 x^{4}$

= $\frac{8}{3} x^{- 3} - 2 x^{4}$

=> f'(x) = $- 8 x^{- 4} - 8 x^{3}$

$f'(x) =$ $- \frac{8}{x^{4}} - 8 x^{3}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} \sqrt{x}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- \frac{3}{2} \sqrt{x}$

= $- \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{4 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{2 t}{x} + 2 x$ im Punkt (-1|f_t(-1)) den Wert $0$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2 t}{x} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{2 t}{x^{2}} + 2$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{2 t}{{(- 1)}^{2}} + 2$
= $- 2 t + 2$

Dieser Wert soll ja den Wert $0$ besitzen, also gilt:

$- 2 t + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 2 t$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x$ im Punkt P(-3|f(-3)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{2} + \frac{3}{2}$

f'(-3) = $- \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} + \frac{3}{2}$ = $- \frac{3}{2} \cdot 9 + \frac{3}{2}$ = $- \frac{27}{2} + \frac{3}{2}$ = $- 12$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $- 12$ )) ≈ -85.2°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -85.2° + 180° = 94.8°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{4} - 50 x - 3$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{4} - 50 x - 3$ ab:

f'(x) = $- \frac{3}{4} x^{3} - 50$

Es muss gelten:

$- \frac{3}{4} x^{3} - 50$	=	$- 2$	\| $+ 50$
$- \frac{3}{4} x^{3}$	=	$48$	\|⋅ $(- \frac{4}{3})$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{2} + \frac{1}{2} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -82.41 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -82.41 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-82.41°) ≈ -7.505

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{2} + \frac{1}{2} t x$

=> $f'(x) =$ $4 x + \frac{1}{2} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4 \cdot 0 + \frac{1}{2} t$
= $\frac{1}{2} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -7.505 betragen, also gilt:

$\frac{1}{2} t$	=	$- 7,505$	\|⋅ 2
$t$	=	$- 15,01$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + x - 5$ und $g(x) =$ $- x^{2} + x + 3$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} + x - 5$	=	$- x^{2} + x + 3$	\| $+ 5$
$x^{2} + x$	=	$- x^{2} + x + 8$	\| $+ x^{2}$ $- x$
$2 x^{2}$	=	$8$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 1$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 + 1$ = $5$

$g'(x) =$ $- 2 x + 1$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 + 1$ = $- 3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $5$ ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 3$ ) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 71.6 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven