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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{4} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{4} - 3$

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 0$

= $- 4 x^{3}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 2 x$

f'(-1) = $- 2 \cdot (- 1)$ = $2$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4 x}$

= $\frac{1}{4} x^{- 1}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{4} x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{4 x^{2}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\sqrt{x})}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\sqrt{x})}^{3}$

= $- 2 x^{\frac{3}{2}}$

=> f'(x) = $- 3 x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{10}{x^{2}} + 3 t x^{2}$ im Punkt (2|f_t(2)) den Wert $- \frac{53}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{10}{x^{2}} + 3 t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{20}{x^{3}} + 6 t x$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{20}{2^{3}} + 6 t \cdot 2$
= $- \frac{5}{2} + 12 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- \frac{53}{2}$ besitzen, also gilt:

$12 t - \frac{5}{2}$	=	$- \frac{53}{2}$	\|⋅ 2
$2 (12 t - \frac{5}{2})$	=	$- 53$
$24 t - 5$	=	$- 53$	\| $+ 5$
$24 t$	=	$- 48$	\|: $24$
$t$	=	$- 2$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - x - 3$ im Punkt P(-3|f(-3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} - x - 3$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 1 + 0$

f'(-3) = $\frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 1$ = $\frac{3}{2} \cdot 9 - 1$ = $\frac{27}{2} - 1$ = $\frac{25}{2}$ ≈ 12.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $\frac{25}{2}$ )) ≈ 85.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + x - 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + x - 9$ ab:

f'(x) = $2 x^{3} + 1$

Es muss gelten:

$2 x^{3} + 1$	=	$3$	\| $- 1$
$2 x^{3}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{4} + \frac{1}{4} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 66.04 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 66.04 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(66.04°) ≈ 2.25

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{4} + \frac{1}{4} t x$

=> $f'(x) =$ $8 x^{3} + \frac{1}{4} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $8 \cdot 0^{3} + \frac{1}{4} t$
= $\frac{1}{4} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.25 betragen, also gilt:

$\frac{1}{4} t$	=	$2,25$	\|⋅ 4
$t$	=	$9$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 9 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 7 x - 6$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 7 x - 6

=

- x^{2} + 3 x

|

+ x^{2}

- 3 x

2 x^{2} + 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 7$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 + 7$ = $9$

$g'(x) =$ $- 2 x + 3$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 3$ = $1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $9$ ) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $1$ ) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |83.7° - 45°| ≈ 38.7°

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):