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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{4} - 2 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{4} - 2 x^{2}$

$f'(x) =$ $16 x^{3} - 4 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{x}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{x}$

= $4 x^{- 1}$

=> f'(x) = $- 4 x^{- 2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{2}}$

f'(2) = $- \frac{4}{2^{2}}$ = $- 4 \cdot (\frac{1}{4})$ = $- 1$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{6}{x^{3}} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{6}{x^{3}} + 4$

= $- 6 x^{- 3} + 4$

=> f'(x) = $18 x^{- 4} + 0$

$f'(x) =$ $\frac{18}{x^{4}} + 0$

= $\frac{18}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt[4]{x} + 5 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt[4]{x} + 5 x^{5}$

= $2 x^{\frac{1}{4}} + 5 x^{5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{3}{4}} + 25 x^{4}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 25 x^{4}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{2 t}{x} - 2 x^{2}$ im Punkt (-1|f_t(-1)) den Wert $12$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2 t}{x} - 2 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{2 t}{x^{2}} - 4 x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{2 t}{{(- 1)}^{2}} - 4 \cdot (- 1)$
= $- 2 t + 4$

Dieser Wert soll ja den Wert $12$ besitzen, also gilt:

$- 2 t + 4$	=	$12$	\| $- 4$
$- 2 t$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$- 4$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + 3$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + 3$

=> $f'(x) =$ $x^{3} + 3 x^{2} + 0$

f'(-1) = ${(- 1)}^{3} + 3 \cdot {(- 1)}^{2}$ = $(- 1) + 3 \cdot 1$ = $- 1 + 3$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $2$ )) ≈ 63.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{8} x^{4} - 34 x - 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{8} x^{4} - 34 x - 7$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{3} - 34$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{2} x^{3} - 34$	=	$- 2$	\| $+ 34$
$- \frac{1}{2} x^{3}$	=	$32$	\|⋅ $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{2} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -63.43 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- x^{2} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $- 2 x + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 2 \cdot 0 + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$- 2$	\|⋅ 3
$t$	=	$- 6$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -6 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x - 3$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 5$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 4 x - 3

=

- x^{2} - 2 x + 5

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 5

2 x^{2} + 6 x - 8

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 4$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 4$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 + 4$ = $6$

$g'(x) =$ $- 2 x - 2$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 2$ = $- 4$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $6$ ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 4$ ) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - ( - 76 )°| ≈ 156.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 156.5° = 23.5° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):