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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{5} - x$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $3 x^{5} - x$

$f'(x) =$ $15 x^{4} - 1$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{x^{2}}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{x^{2}}$

= $9 x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 18 x^{- 3}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{18}{x^{3}}$

f'(2) = $- \frac{18}{2^{3}}$ = $- 18 \cdot (\frac{1}{8})$ = $- \frac{9}{4}$ ≈ -2.25

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}} + 5 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}} + 5 \cdot \cos (x)$

= $2 x^{- 2} + 5 \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $- 4 x^{- 3} - 5 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}} - 5 \cdot \sin (x)$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{2} x^{4} + \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\frac{5}{2} x^{4} + \sqrt[3]{x}$

= $\frac{5}{2} x^{4} + x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $10 x^{3} + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $10 x^{3} + \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 t \cdot \sin (x) + 7 x$ im Punkt ( $- π$ |f_t( $- π$ )) den Wert $17$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 t \cdot \sin (x) + 7 x$

=> $f'(x) =$ $2 t \cdot \cos (x) + 7$

Jetzt setzen wir x = $- π$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 t \cdot \cos ((- π)) + 7$
= $2 t \cdot (- 1) + 7$
= $- 2 t + 7$

Dieser Wert soll ja den Wert $17$ besitzen, also gilt:

$- 2 t + 7$	=	$17$	\| $- 7$
$- 2 t$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$- 5$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 2 x$ im Punkt P(-3|f(-3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- x^{2} - 2 x$

=> $f'(x) =$ $- 2 x - 2$

f'(-3) = $- 2 \cdot (- 3) - 2$ = $6 - 2$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $4$ )) ≈ 76°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 20 x + 5$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 20 x + 5$ ab:

f'(x) = $3 x - 20$

Es muss gelten:

$3 x - 20$	=	$1$	\| $+ 20$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{2} + \frac{1}{5} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 63.43 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(63.43°) ≈ 2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- x^{2} + \frac{1}{5} t x$

=> $f'(x) =$ $- 2 x + \frac{1}{5} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 2 \cdot 0 + \frac{1}{5} t$
= $\frac{1}{5} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2 betragen, also gilt:

$\frac{1}{5} t$	=	$2$	\|⋅ 5
$t$	=	$10$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 1$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 5$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 2 x - 1

=

- x^{2} - 2 x + 5

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 5

2 x^{2} + 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 2$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 + 2$ = $4$

$g'(x) =$ $- 2 x - 2$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 2$ = $- 4$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $4$ ) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 4$ ) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |76° - ( - 76 )°| ≈ 152°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 152° = 28° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):