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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $2 x^{2} + x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \cdot \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \cdot \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $- 5 \cdot \sin (x)$

f'( $0$ ) = $- 5 \cdot \sin (0)$ = $- 5 \cdot 0$ = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}}$

= $- 2 x^{- 3}$

=> f'(x) = $6 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 2 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{2} - 2 \sqrt{x}$

= $- 2 x^{2} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 4 x - x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 4 x - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{2 t}{x^{3}} - 3 x^{2}$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $- 12$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2 t}{x^{3}} - 3 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{6 t}{x^{4}} - 6 x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{6 t}{1^{4}} - 6 \cdot 1$
= $- 6 t - 6$

Dieser Wert soll ja den Wert $- 12$ besitzen, also gilt:

$- 6 t - 6$	=	$- 12$	\| $+ 6$
$- 6 t$	=	$- 6$	\|:( $- 6$ )
$t$	=	$1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x - 4$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x - 4$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} + 0$

f'(2) = $\frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{1}{2}$ = $1 - \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $\frac{1}{2}$ )) ≈ 26.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 20 x + 1$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 20 x + 1$ ab:

f'(x) = $3 x - 20$

Es muss gelten:

$3 x - 20$	=	$1$	\| $+ 20$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{3} + \frac{1}{2} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 80.54 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 80.54 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(80.54°) ≈ 6.001

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 2 x^{3} + \frac{1}{2} t x$

=> $f'(x) =$ $- 6 x^{2} + \frac{1}{2} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 6 \cdot 0^{2} + \frac{1}{2} t$
= $\frac{1}{2} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 6.001 betragen, also gilt:

$\frac{1}{2} t$	=	$6,001$	\|⋅ 2
$t$	=	$12,002$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x + 2$ und $g(x) =$ $- x^{2} + x + 8$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 3 x + 2

=

- x^{2} + x + 8

|

+ x^{2}

- x

- 8

2 x^{2} - 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 3$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 - 3$ = $3$

$g'(x) =$ $- 2 x + 1$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 + 1$ = $- 5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $3$ ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 5$ ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 78.7 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):