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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + x$

$f'(x) =$ $x^{4} + 1$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (x)$

=> $f'(x) =$ $3 \cdot \cos (x)$

f'( $0$ ) = $3 \cdot \cos (0)$ = $3 \cdot 1$ = $3$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) - \frac{3}{4 x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) - \frac{3}{4 x^{4}}$

= $3 \cdot \sin (x) - \frac{3}{4} x^{- 4}$

=> f'(x) = $3 \cdot \cos (x) + 3 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + \frac{3}{x^{5}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$

= $- 3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{6}{x^{3}} + 3 t x^{2}$ im Punkt (-2|f_t(-2)) den Wert $\frac{279}{8}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{x^{3}} + 3 t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{18}{x^{4}} + 6 t x$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{18}{{(- 2)}^{4}} + 6 t \cdot (- 2)$
= $- \frac{9}{8} - 12 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{279}{8}$ besitzen, also gilt:

$- 12 t - \frac{9}{8}$	=	$\frac{279}{8}$	\|⋅ 8
$8 (- 12 t - \frac{9}{8})$	=	$279$
$- 96 t - 9$	=	$279$	\| $+ 9$
$- 96 t$	=	$288$	\|:( $- 96$ )
$t$	=	$- 3$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} - 3 x - 5$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3} - 3 x - 5$

=> $f'(x) =$ $\frac{9}{2} x^{2} - 3 + 0$

f'(-2) = $\frac{9}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 3$ = $\frac{9}{2} \cdot 4 - 3$ = $18 - 3$ = $15$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $15$ )) ≈ 86.2°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 7$ ab:

f'(x) = $x + 2$

Es muss gelten:

$x + 2$	=	$3$	\| $- 2$
$x$	=	$1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{3} + \frac{1}{4} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 45 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 45 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(45°) ≈ 1

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{3} + \frac{1}{4} t x$

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} + \frac{1}{4} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $6 \cdot 0^{2} + \frac{1}{4} t$
= $\frac{1}{4} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1 betragen, also gilt:

$\frac{1}{4} t$	=	$1$	\|⋅ 4
$t$	=	$4$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - x - 4$ und $g(x) =$ $- x^{2} + x + 8$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - x - 4

=

- x^{2} + x + 8

|

+ x^{2}

- x

- 8

2 x^{2} - 2 x - 12

= 0 |:2

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 2$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 1$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 - 1$ = $5$

$g'(x) =$ $- 2 x + 1$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 + 1$ = $- 5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $5$ ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 5$ ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 78.7 )°| ≈ 157.4°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 157.4° = 22.6° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):