Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{15} x^{5} - 3 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{15} x^{5} - 3 x^{3}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} x^{4} - 9 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 4$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{2} + 4$

=> $f'(x) =$ $- 8 x + 0$

= $- 8 x$

f'(0) = $- 8 \cdot 0$ = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{8}{3} x^{3} - \frac{7}{3 x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{8}{3} x^{3} - \frac{7}{3 x^{4}}$

= $- \frac{8}{3} x^{3} - \frac{7}{3} x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 8 x^{2} + \frac{28}{3} x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- 8 x^{2} + \frac{28}{3 x^{5}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \sqrt{x} - 3 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \sqrt{x} - 3 x^{3}$

= $- 5 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{3}$

=> f'(x) = $- \frac{5}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 9 x^{2}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{2 \sqrt{x}} - 9 x^{2}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{8}{x^{3}} + 3 t x^{2}$ im Punkt (-2|f_t(-2)) den Wert $\frac{117}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{x^{3}} + 3 t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{24}{x^{4}} + 6 t x$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{24}{{(- 2)}^{4}} + 6 t \cdot (- 2)$
= $- \frac{3}{2} - 12 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{117}{2}$ besitzen, also gilt:

$- 12 t - \frac{3}{2}$	=	$\frac{117}{2}$	\|⋅ 2
$2 (- 12 t - \frac{3}{2})$	=	$117$
$- 24 t - 3$	=	$117$	\| $+ 3$
$- 24 t$	=	$120$	\|:( $- 24$ )
$t$	=	$- 5$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{4} + 3 x^{2}$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{4} + 3 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- 6 x^{3} + 6 x$

f'(-1) = $- 6 \cdot {(- 1)}^{3} + 6 \cdot (- 1)$ = $- 6 \cdot (- 1) - 6$ = $6 - 6$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + 51 x + 1$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + 51 x + 1$ ab:

f'(x) = $2 x^{3} + 51$

Es muss gelten:

$2 x^{3} + 51$	=	$- 3$	\| $- 51$
$2 x^{3}$	=	$- 54$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -75.96 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.96°) ≈ -3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $x^{2} + t x$

=> $f'(x) =$ $2 x + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $2 \cdot 0 + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.999 betragen, also gilt:

t

=

- 3,999

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 1$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 17$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - 2 x - 1$	=	$- x^{2} - 2 x + 17$	\| $+ 1$
$x^{2} - 2 x$	=	$- x^{2} - 2 x + 18$	\| $+ x^{2}$ $+ 2 x$
$2 x^{2}$	=	$18$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 2$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 - 2$ = $4$

$g'(x) =$ $- 2 x - 2$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 - 2$ = $- 8$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $4$ ) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 8$ ) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |76° - ( - 82.9 )°| ≈ 158.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 158.9° = 21.1° .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven