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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 3 +4x und vereinfache:

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f(x)= 4 x 3 +4x

f'(x)= 12 x 2 +4

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 7 3 ⋅ cos( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

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f(x)= - 7 3 ⋅ cos( x )

=>f'(x)= 7 3 ⋅ sin( x )

f'( 0 ) = 7 3 ⋅ sin( 0 ) = 7 3 ⋅0 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 7 2 x 3 +4⋅ cos( x ) und vereinfache:

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f(x)= - 7 2 x 3 +4⋅ cos( x )

= - 7 2 x -3 +4⋅ cos( x )

=> f'(x) = 21 2 x -4 -4⋅ sin( x )

f'(x)= 21 2 x 4 -4⋅ sin( x )

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 ( x ) 3 und vereinfache:

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f(x)= -3 ( x ) 3

= -3 x 3 2

=> f'(x) = - 9 2 x 1 2

f'(x)= - 9 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 2⋅ sin( x ) +3 t x im Punkt ( 1 2 π |ft( 1 2 π )) den Wert 12 ?

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f(x)= 2⋅ sin( x ) +3 t x

=>f'(x)= 2⋅ cos( x ) +3 t

Jetzt setzen wir x = 1 2 π in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 2⋅ cos( 1 2 π ) +3 t
= 2⋅0 +3 t
= 3 t

Dieser Wert soll ja den Wert 12 besitzen, also gilt:

3t = 12 |:3
t = 4

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 1 2 x 4 - x im Punkt P(2|f(2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 1 2 x 4 - x

=>f'(x)= 2 x 3 -1

f'(2) = 2⋅ 2 3 -1 = 2⋅8 -1 = 16 -1 = 15

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( 15 )) ≈ 86.2°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= x 2 +11x +3 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= x 2 +11x +3 ab:

f'(x) = 2x +11

Es muss gelten:

2x +11 = -1 | -11
2x = -12 |:2
x = -6

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -6.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= -2 x 2 + 1 3 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 78.69 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 78.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(78.69°) ≈ 5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= -2 x 2 + 1 3 t x

=>f'(x)= -4x + 1 3 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -4⋅0 + 1 3 t
= 1 3 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 5 betragen, also gilt:

1 3 t = 5 |⋅ 3
t = 15

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +5x -12 und g(x)= - x 2 + x +4 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +5x -12 = - x 2 + x +4 | + x 2 - x -4
2 x 2 +4x -16 = 0 |:2

x 2 +2x -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -8 ) 2⋅1

x1,2 = -2 ± 4 +32 2

x1,2 = -2 ± 36 2

x1 = -2 + 36 2 = -2 +6 2 = 4 2 = 2

x2 = -2 - 36 2 = -2 -6 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -8 ) = 1+ 8 = 9

x1,2 = -1 ± 9

x1 = -1 - 3 = -4

x2 = -1 + 3 = 2

L={ -4 ; 2 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 2 |f( 2 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 2 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +5 , also gilt mf = f'( 2 )= 2⋅2 +5 = 9

g'(x)= -2x +1 , also gilt mg = g'( 2 )= -2⋅2 +1 = -3

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 2 |f( 2 )): α = arctan( 9 ) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( 2 |g( 2 )) gilt: β = arctan( -3 ) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |83.7° - ( - 71.6 )°| ≈ 155.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 155.3° = 24.7° .