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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 15 x 5 -5 und vereinfache:

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f(x)= - 1 15 x 5 -5

f'(x)= - 1 3 x 4 +0

= - 1 3 x 4

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -8⋅ cos( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 1 2 π an:

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f(x)= -8⋅ cos( x )

=>f'(x)= 8⋅ sin( x )

f'( 1 2 π ) = 8⋅ sin( 1 2 π ) = 8⋅1 = 8

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 2 x und vereinfache:

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f(x)= 1 2 x

= 1 2 x -1

=> f'(x) = - 1 2 x -2

f'(x)= - 1 2 x 2

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 x und vereinfache:

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f(x)= -5 x

= -5 x 1 2

=> f'(x) = - 5 2 x - 1 2

f'(x)= - 5 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 6 x + t x 2 im Punkt (4|ft(4)) den Wert 99 2 ?

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f(x)= 6 x + t x 2

= 6 x 1 2 + t x 2

=> f'(x)= 3 x - 1 2 +2 t x

=>f'(x)= 3 x +2 t x

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 3 4 +2 t ⋅4
= 3 2 +2 t ⋅4
= 3 2 +8 t

Dieser Wert soll ja den Wert 99 2 besitzen, also gilt:

8t + 3 2 = 99 2 |⋅ 2
2( 8t + 3 2 ) = 99
16t +3 = 99 | -3
16t = 96 |:16
t = 6

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - x 3 + 3 2 x im Punkt P(2|f(2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - x 3 + 3 2 x

=>f'(x)= -3 x 2 + 3 2

f'(2) = -3⋅ 2 2 + 3 2 = -3⋅4 + 3 2 = -12 + 3 2 = - 21 2 ≈ -10.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( - 21 2 )) ≈ -84.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -4x +2 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 2 x 2 -4x +2 ab:

f'(x) = x -4

Es muss gelten:

x -4 = 3 | +4
x = 7

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= - x 2 + 1 4 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -66.04 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -66.04 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-66.04°) ≈ -2.25

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= - x 2 + 1 4 t x

=>f'(x)= -2x + 1 4 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -2⋅0 + 1 4 t
= 1 4 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -2.25 betragen, also gilt:

1 4 t = -2,25 |⋅ 4
t = -9

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -9 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -3x +2 und g(x)= - x 2 -3x +20 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -3x +2 = - x 2 -3x +20 | -2
x 2 -3x = - x 2 -3x +18 | + x 2 +3x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -3 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 -3 = 3

g'(x)= -2x -3 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 -3 = -9

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 3 ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -9 ) ≈ -83.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 83.7 )°| ≈ 155.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 155.3° = 24.7° .