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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} - 4$

$f'(x) =$ $- x^{3} + 0$

= $- x^{3}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (x)$

=> $f'(x) =$ $- \cos (x)$

f'( $0$ ) = $- \cos (0)$ = $- 1$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{8}{x^{4}} - \frac{7}{3} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{8}{x^{4}} - \frac{7}{3} x^{3}$

= $- 8 x^{- 4} - \frac{7}{3} x^{3}$

=> f'(x) = $32 x^{- 5} - 7 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{32}{x^{5}} - 7 x^{2}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x}$

= $x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t \sqrt[3]{x} - 3 x$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $- \frac{5}{3}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t \sqrt[3]{x} - 3 x$

= $t x^{\frac{1}{3}} - 3 x$

=> f'(x)= $\frac{1}{3} t x^{- \frac{2}{3}} - 3$

=> $f'(x) =$ $\frac{t}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{3 {(\sqrt[3]{1})}^{2}} - 3$
= $\frac{t}{3 \cdot 1^{2}} - 3$
= $\frac{1}{3} t - 3$

Dieser Wert soll ja den Wert $- \frac{5}{3}$ besitzen, also gilt:

$\frac{1}{3} t - 3$	=	$- \frac{5}{3}$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} t - 3)$	=	$- 5$
$t - 9$	=	$- 5$	\| $+ 9$
$t$	=	$4$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 7$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 7$

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 3 x + 0$

f'(0) = $- 3 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0$ = $- 3 \cdot 0 + 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{20} x^{4} - 76 x - 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{20} x^{4} - 76 x - 9$ ab:

f'(x) = $- \frac{3}{5} x^{3} - 76$

Es muss gelten:

$- \frac{3}{5} x^{3} - 76$	=	$- 1$	\| $+ 76$
$- \frac{3}{5} x^{3}$	=	$75$	\|⋅ $(- \frac{5}{3})$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 x^{2} + \frac{1}{5} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -63.43 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $3 x^{2} + \frac{1}{5} t x$

=> $f'(x) =$ $6 x + \frac{1}{5} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $6 \cdot 0 + \frac{1}{5} t$
= $\frac{1}{5} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

$\frac{1}{5} t$	=	$- 2$	\|⋅ 5
$t$	=	$- 10$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -10 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 5 x - 12$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 5 x - 12

=

- x^{2} + 3 x

|

+ x^{2}

- 3 x

2 x^{2} + 2 x - 12

= 0 |:2

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 5$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 + 5$ = $9$

$g'(x) =$ $- 2 x + 3$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 + 3$ = $- 1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $9$ ) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 1$ ) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |83.7° - ( - 45 )°| ≈ 128.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 128.7° = 51.3° .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):