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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{15} x^{5} + 5$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\frac{1}{15} x^{5} + 5$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} x^{4} + 0$

= $\frac{1}{3} x^{4}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $0$ an:

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$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x)$

=> $f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x)$

f'( $0$ ) = $- 3 \cdot \cos (0)$ = $- 3 \cdot 1$ = $- 3$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{8}{3 x^{4}} - \frac{2}{3} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- \frac{8}{3 x^{4}} - \frac{2}{3} \cdot \cos (x)$

= $- \frac{8}{3} x^{- 4} - \frac{2}{3} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $\frac{32}{3} x^{- 5} + \frac{2}{3} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $\frac{32}{3 x^{5}} + \frac{2}{3} \cdot \sin (x)$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{3} x^{3} + \sqrt{x}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- \frac{5}{3} x^{3} + \sqrt{x}$

= $- \frac{5}{3} x^{3} + x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 5 x^{2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 5 x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\sqrt{x} + t x^{2}$ im Punkt (4|f_t(4)) den Wert $- \frac{95}{4}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} + t x^{2}$

= $x^{\frac{1}{2}} + t x^{2}$

=> f'(x)= $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 t x$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{4}} + 2 t \cdot 4$
= $\frac{1}{2 \cdot 2} + 2 t \cdot 4$
= $\frac{1}{4} + 8 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- \frac{95}{4}$ besitzen, also gilt:

$8 t + \frac{1}{4}$	=	$- \frac{95}{4}$	\|⋅ 4
$4 (8 t + \frac{1}{4})$	=	$- 95$
$32 t + 1$	=	$- 95$	\| $- 1$
$32 t$	=	$- 96$	\|: $32$
$t$	=	$- 3$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 3$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{2} + x + 0$

f'(0) = $- \frac{3}{4} \cdot 0^{2} + 0$ = $- \frac{3}{4} \cdot 0 + 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{28} x^{4} - 150 x + 6$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{28} x^{4} - 150 x + 6$ ab:

f'(x) = $- \frac{3}{7} x^{3} - 150$

Es muss gelten:

$- \frac{3}{7} x^{3} - 150$	=	$- 3$	\| $+ 150$
$- \frac{3}{7} x^{3}$	=	$147$	\|⋅ $(- \frac{7}{3})$
$x^{3}$	=	$- 343$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{343}$	= $- 7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{2} + \frac{1}{5} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 57.99 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 57.99 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(57.99°) ≈ 1.6

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{2} + \frac{1}{5} t x$

=> $f'(x) =$ $4 x + \frac{1}{5} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4 \cdot 0 + \frac{1}{5} t$
= $\frac{1}{5} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.6 betragen, also gilt:

$\frac{1}{5} t$	=	$1,6$	\|⋅ 5
$t$	=	$8$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 8 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 6 x + 11$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 17$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 6 x + 11

=

- x^{2} - 2 x + 17

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 17

2 x^{2} - 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 6$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 - 6$ = 0

$g'(x) =$ $- 2 x - 2$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 - 2$ = $- 8$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 8$ ) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 82.9 )°| ≈ 82.9°

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):