nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 3 +5 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 3 +5

f'(x)= 6 x 2 +0

= 6 x 2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 7 3 ⋅ cos( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

Lösung einblenden

f(x)= - 7 3 ⋅ cos( x )

=>f'(x)= 7 3 ⋅ sin( x )

f'( 0 ) = 7 3 ⋅ sin( 0 ) = 7 3 ⋅0 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 4 x 4 + 4 3 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 4 x 4 + 4 3 x 2

= 1 4 x 4 + 4 3 x -2

=> f'(x) = x 3 - 8 3 x -3

f'(x)= x 3 - 8 3 x 3

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 9 4 x 2 -7 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 9 4 x 2 -7 x

= - 9 4 x 2 -7 x 1 2

=> f'(x) = - 9 2 x - 7 2 x - 1 2

f'(x)= - 9 2 x - 7 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 5 t ⋅ sin( x ) +6x im Punkt ( 0 |ft( 0 )) den Wert 31 ?

Lösung einblenden

f(x)= 5 t ⋅ sin( x ) +6x

=>f'(x)= 5 t ⋅ cos( x ) +6

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 5 t ⋅ cos( 0 ) +6
= 5 t ⋅1 +6
= 5 t +6

Dieser Wert soll ja den Wert 31 besitzen, also gilt:

5t +6 = 31 | -6
5t = 25 |:5
t = 5

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 3 2 x 4 +2 x 3 im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 3 2 x 4 +2 x 3

=>f'(x)= 6 x 3 +6 x 2

f'(-1) = 6⋅ ( -1 ) 3 +6⋅ ( -1 ) 2 = 6⋅( -1 ) +6⋅1 = -6 +6 = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -5x +4 angelegt.

Bestimme x0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 2 x 2 -5x +4 ab:

f'(x) = x -5

Es muss gelten:

x -5 = -2 | +5
x = 3

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= - x 4 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 38.66 ° ?

Lösung einblenden

ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 38.66 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(38.66°) ≈ 0.8

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= - x 4 + 1 5 t x

=>f'(x)= -4 x 3 + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -4⋅ 0 3 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.8 betragen, also gilt:

1 5 t = 0,8 |⋅ 5
t = 4

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -3x +2 und g(x)= - x 2 -3x +20 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -3x +2 = - x 2 -3x +20 | -2
x 2 -3x = - x 2 -3x +18 | + x 2 +3x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -3 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 -3 = 3

g'(x)= -2x -3 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 -3 = -9

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 3 ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -9 ) ≈ -83.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 83.7 )°| ≈ 155.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 155.3° = 24.7° .