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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} - 5$

$f'(x) =$ $- x^{3} + 0$

= $- x^{3}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x - 2$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x - 2$

=> $f'(x) =$ $1 + 0$

= $1$

f'(-1) = $1$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{4} - \frac{1}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{4} - \frac{1}{x^{3}}$

= $- x^{4} - x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 4 x^{3} + 3 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} + \frac{3}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \sqrt[3]{x}$

= $5 x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $\frac{5}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $- \sqrt{x} + t x^{2}$ im Punkt (4|f_t(4)) den Wert $\frac{191}{4}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{x} + t x^{2}$

= $- x^{\frac{1}{2}} + t x^{2}$

=> f'(x)= $- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 t x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{4}} + 2 t \cdot 4$
= $- \frac{1}{2 \cdot 2} + 2 t \cdot 4$
= $- \frac{1}{4} + 8 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{191}{4}$ besitzen, also gilt:

$8 t - \frac{1}{4}$	=	$\frac{191}{4}$	\|⋅ 4
$4 (8 t - \frac{1}{4})$	=	$191$
$32 t - 1$	=	$191$	\| $+ 1$
$32 t$	=	$192$	\|: $32$
$t$	=	$6$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + 4$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + 4$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} + 0$

f'(0) = $\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2}$ = $0 - \frac{1}{2}$ = $- \frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $- \frac{1}{2}$ )) ≈ -26.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - x - 2$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $x^{2} - x - 2$ ab:

f'(x) = $2 x - 1$

Es muss gelten:

$2 x - 1$	=	$- 3$	\| $+ 1$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{4} + \frac{1}{4} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -36.87 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -36.87 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-36.87°) ≈ -0.75

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 2 x^{4} + \frac{1}{4} t x$

=> $f'(x) =$ $- 8 x^{3} + \frac{1}{4} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 8 \cdot 0^{3} + \frac{1}{4} t$
= $\frac{1}{4} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -0.75 betragen, also gilt:

$\frac{1}{4} t$	=	$- 0,75$	\|⋅ 4
$t$	=	$- 3$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -3 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 6$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 2 x + 6$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 6

=

- x^{2} + 2 x + 6

|

+ x^{2}

- 2 x

- 6

2 x^{2} - 2 x - 12

= 0 |:2

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 2$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3$ = $6$

$g'(x) =$ $- 2 x + 2$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 + 2$ = $- 4$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $6$ ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 4$ ) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - ( - 76 )°| ≈ 156.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 156.5° = 23.5° .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):