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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 4 -2x und vereinfache:

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f(x)= 2 x 4 -2x

f'(x)= 8 x 3 -2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 4 3 ⋅ sin( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

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f(x)= - 4 3 ⋅ sin( x )

=>f'(x)= - 4 3 ⋅ cos( x )

f'( 0 ) = - 4 3 ⋅ cos( 0 ) = - 4 3 ⋅1 = - 4 3 ≈ -1.33

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 x 3 und vereinfache:

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f(x)= - 1 x 3

= - x -3

=> f'(x) = 3 x -4

f'(x)= 3 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 x 3 und vereinfache:

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f(x)= -4 x 3

= -4 x 1 3

=> f'(x) = - 4 3 x - 2 3

f'(x)= - 4 3 ( x 3 ) 2

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t x 3 +2x im Punkt (1|ft(1)) den Wert 13 3 ?

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f(x)= t x 3 +2x

= t x 1 3 +2x

=> f'(x)= 1 3 t x - 2 3 +2

=>f'(x)= t 3 ( x 3 ) 2 +2

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= t 3 ( 1 3 ) 2 +2
= t 3⋅ 1 2 +2
= 1 3 t +2

Dieser Wert soll ja den Wert 13 3 besitzen, also gilt:

1 3 t +2 = 13 3 |⋅ 3
3( 1 3 t +2 ) = 13
t +6 = 13 | -6
t = 7

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 1 4 x 3 - 1 2 x +5 im Punkt P(-2|f(-2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 1 4 x 3 - 1 2 x +5

=>f'(x)= 3 4 x 2 - 1 2 +0

f'(-2) = 3 4 ⋅ ( -2 ) 2 - 1 2 = 3 4 ⋅4 - 1 2 = 3 - 1 2 = 5 2 ≈ 2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( 5 2 )) ≈ 68.2°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 4 +55x -8 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 2 x 4 +55x -8 ab:

f'(x) = 2 x 3 +55

Es muss gelten:

2 x 3 +55 = 1 | -55
2 x 3 = -54 |:2
x 3 = -27 | ⋅3
x = - 27 3 = -3

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= - x 2 + t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -83.66 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -83.66 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-83.66°) ≈ -9

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= - x 2 + t x

=>f'(x)= -2x + t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -2⋅0 + t
= t

Dieser Wert soll ja ungefähr -9 betragen, also gilt:

t = -9

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -9 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +2x -12 und g(x)= - x 2 +2x +6 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +2x -12 = - x 2 +2x +6 | +12
x 2 +2x = - x 2 +2x +18 | + x 2 -2x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +2 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 +2 = 8

g'(x)= -2x +2 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 +2 = -4

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 8 ) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -4 ) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |82.9° - ( - 76 )°| ≈ 158.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 158.9° = 21.1° .