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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{4} + x^{2}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{4} + x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} + 2 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

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$f(x) =$ $x^{3} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} + 2$

f'(1) = $3 \cdot 1^{2} + 2$ = $3 \cdot 1 + 2$ = $3 + 2$ = $5$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{4 x^{2}}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- \frac{7}{4 x^{2}}$

= $- \frac{7}{4} x^{- 2}$

=> f'(x) = $\frac{7}{2} x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{2 x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{3} \sqrt{x}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- \frac{5}{3} \sqrt{x}$

= $- \frac{5}{3} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{5}{6} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{6 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{3 t}{x} - 3 x^{2}$ im Punkt (-1|f_t(-1)) den Wert $24$ ?

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$f(x) =$ $\frac{3 t}{x} - 3 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3 t}{x^{2}} - 6 x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{3 t}{{(- 1)}^{2}} - 6 \cdot (- 1)$
= $- 3 t + 6$

Dieser Wert soll ja den Wert $24$ besitzen, also gilt:

$- 3 t + 6$	=	$24$	\| $- 6$
$- 3 t$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$t$	=	$- 6$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 2 x$ im Punkt P(2|f(2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - 2 x$

=> $f'(x) =$ $3 x - 2$

f'(2) = $3 \cdot 2 - 2$ = $6 - 2$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $4$ )) ≈ 76°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 12 x - 1$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 12 x - 1$ ab:

f'(x) = $3 x + 12$

Es muss gelten:

$3 x + 12$	=	$3$	\| $- 12$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{3} + \frac{1}{5} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 21.8 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 21.8 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(21.8°) ≈ 0.4

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- x^{3} + \frac{1}{5} t x$

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{1}{5} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 3 \cdot 0^{2} + \frac{1}{5} t$
= $\frac{1}{5} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.4 betragen, also gilt:

$\frac{1}{5} t$	=	$0,4$	\|⋅ 5
$t$	=	$2$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 2 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - x + 1$ und $g(x) =$ $- x^{2} - x + 9$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - x + 1$	=	$- x^{2} - x + 9$	\| $- 1$
$x^{2} - x$	=	$- x^{2} - x + 8$	\| $+ x^{2}$ $+ x$
$2 x^{2}$	=	$8$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 1$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 - 1$ = $3$

$g'(x) =$ $- 2 x - 1$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 - 1$ = $- 5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $3$ ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 5$ ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 78.7 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven