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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 3 -4x und vereinfache:

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f(x)= 2 x 3 -4x

f'(x)= 6 x 2 -4

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 5 -2 x 4 und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

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f(x)= x 5 -2 x 4

=>f'(x)= 5 x 4 -8 x 3

f'(0) = 5⋅ 0 4 -8⋅ 0 3 = 5⋅0 -8⋅0 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 5 2 x 3 und vereinfache:

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f(x)= - 5 2 x 3

= - 5 2 x -3

=> f'(x) = 15 2 x -4

f'(x)= 15 2 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x 4 + 2 3 x 3 und vereinfache:

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f(x)= - x 4 + 2 3 x 3

= - x 1 4 + 2 3 x 3

=> f'(x) = - 1 4 x - 3 4 +2 x 2

f'(x)= - 1 4 ( x 4 ) 3 +2 x 2

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 3⋅ sin( x ) +5 t x im Punkt ( 3 2 π |ft( 3 2 π )) den Wert -15 ?

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f(x)= 3⋅ sin( x ) +5 t x

=>f'(x)= 3⋅ cos( x ) +5 t

Jetzt setzen wir x = 3 2 π in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 3⋅ cos( 3 2 π ) +5 t
= 3⋅0 +5 t
= 5 t

Dieser Wert soll ja den Wert -15 besitzen, also gilt:

5t = -15 |:5
t = -3

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 3 2 x 2 -3x im Punkt P(-3|f(-3)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 3 2 x 2 -3x

=>f'(x)= -3x -3

f'(-3) = -3⋅( -3 ) -3 = 9 -3 = 6

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( 6 )) ≈ 80.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= - 3 28 x 4 -145x +8 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= - 3 28 x 4 -145x +8 ab:

f'(x) = - 3 7 x 3 -145

Es muss gelten:

- 3 7 x 3 -145 = 2 | +145
- 3 7 x 3 = 147 |⋅ ( - 7 3 )
x 3 = -343 | ⋅3
x = - 343 3 = -7

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -7.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 3 x 2 + 1 2 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -63.43 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-63.43°) ≈ -2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 3 x 2 + 1 2 t x

=>f'(x)= 6x + 1 2 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 6⋅0 + 1 2 t
= 1 2 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -2 betragen, also gilt:

1 2 t = -2 |⋅ 2
t = -4

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 +2x -14 und g(x)= - x 2 +2x +4 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 +2x -14 = - x 2 +2x +4 | +14
x 2 +2x = - x 2 +2x +18 | + x 2 -2x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +2 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 +2 = 8

g'(x)= -2x +2 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 +2 = -4

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 8 ) ≈ 82.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -4 ) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |82.9° - ( - 76 )°| ≈ 158.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 158.9° = 21.1° .