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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 5 -3 und vereinfache:

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f(x)= 2 x 5 -3

f'(x)= 10 x 4 +0

= 10 x 4

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 cos( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 0 an:

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f(x)= 5 cos( x )

=>f'(x)= -5 sin( x )

f'( 0 ) = -5 sin( 0 ) = -50 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 2 x 2 +3 cos( x ) und vereinfache:

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f(x)= - 1 2 x 2 +3 cos( x )

= - 1 2 x -2 +3 cos( x )

=> f'(x) = x -3 -3 sin( x )

f'(x)= 1 x 3 -3 sin( x )

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 5 4 x 4 + x und vereinfache:

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f(x)= - 5 4 x 4 + x

= - 5 4 x 4 + x 1 2

=> f'(x) = -5 x 3 + 1 2 x - 1 2

f'(x)= -5 x 3 + 1 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 3 t x 2 - x im Punkt (-1|ft(-1)) den Wert 41 ?

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f(x)= 3 t x 2 - x

=>f'(x)= - 6 t x 3 -1

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= - 6 t ( -1 ) 3 -1
= 6 t -1

Dieser Wert soll ja den Wert 41 besitzen, also gilt:

6t -1 = 41 | +1
6t = 42 |:6
t = 7

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 3 2 x 3 -2 x 2 -5 im Punkt P(-3|f(-3)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 3 2 x 3 -2 x 2 -5

=>f'(x)= - 9 2 x 2 -4x +0

f'(-3) = - 9 2 ( -3 ) 2 -4( -3 ) = - 9 2 9 +12 = - 81 2 +12 = - 57 2 ≈ -28.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( - 57 2 )) ≈ -88°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 71.565° an den Graph der Funktion f mit f(x)= x 2 -5x +4 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= x 2 -5x +4 ab:

f'(x) = 2x -5

Es muss gelten:

2x -5 = 3 | +5
2x = 8 |:2
x = 4

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= x 2 + 1 4 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 75.07 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 75.07 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(75.07°) ≈ 3.75

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= x 2 + 1 4 t x

=>f'(x)= 2x + 1 4 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 20 + 1 4 t
= 1 4 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 3.75 betragen, also gilt:

1 4 t = 3,75 |⋅ 4
t = 15

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -5x +9 und g(x)= - x 2 -3x +13 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -5x +9 = - x 2 -3x +13 | + x 2 +3x -13
2 x 2 -2x -4 = 0 |:2

x 2 - x -2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = +1 ± 1 +8 2

x1,2 = +1 ± 9 2

x1 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

x2 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -2 ) = 1 4 + 2 = 1 4 + 8 4 = 9 4

x1,2 = 1 2 ± 9 4

x1 = 1 2 - 3 2 = - 2 2 = -1

x2 = 1 2 + 3 2 = 4 2 = 2

L={ -1 ; 2 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 2 |f( 2 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 2 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -5 , also gilt mf = f'( 2 )= 22 -5 = -1

g'(x)= -2x -3 , also gilt mg = g'( 2 )= -22 -3 = -7

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 2 |f( 2 )): α = arctan( -1 ) ≈ -45°

und für den Steigungswinkel von g in S( 2 |g( 2 )) gilt: β = arctan( -7 ) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |-45° - ( - 81.9 )°| ≈ 36.9°