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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{2 x^{3}}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{2 x^{3}}$

= $\frac{5}{2} x^{- 3}$

=> f'(x) = $- \frac{15}{2} x^{- 4}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{15}{2 x^{4}}$

f'(1) = $- \frac{15}{2 \cdot 1^{4}}$ = $- \frac{15}{2} \cdot 1$ = $- \frac{15}{2}$ ≈ -7.5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (x) + \frac{4}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (x) + \frac{4}{x^{2}}$

= $- \frac{2}{3} \cdot \cos (x) + 4 x^{- 2}$

=> f'(x) = $\frac{2}{3} \cdot \sin (x) - 8 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (x) - \frac{8}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{2} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{2} \sqrt{x}$

= $- \frac{7}{2} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{4} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{4 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t \sqrt{x} + 7 x^{2}$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $\frac{29}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t \sqrt{x} + 7 x^{2}$

= $t x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{2}$

=> f'(x)= $\frac{1}{2} t x^{- \frac{1}{2}} + 14 x$

=> $f'(x) =$ $\frac{t}{2 \sqrt{x}} + 14 x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{2} + 14 \cdot 1$
= $\frac{t}{2} + 14 \cdot 1$
= $\frac{1}{2} t + 14$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{29}{2}$ besitzen, also gilt:

$\frac{1}{2} t + 14$	=	$\frac{29}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} t + 14)$	=	$29$
$t + 28$	=	$29$	\| $- 28$
$t$	=	$1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + 7$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + 7$

=> $f'(x) =$ $- 2 x^{3} + 3 x + 0$

f'(0) = $- 2 \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0$ = $- 2 \cdot 0 + 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{20} x^{4} - 76 x + 4$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{20} x^{4} - 76 x + 4$ ab:

f'(x) = $- \frac{3}{5} x^{3} - 76$

Es muss gelten:

$- \frac{3}{5} x^{3} - 76$	=	$- 1$	\| $+ 76$
$- \frac{3}{5} x^{3}$	=	$75$	\|⋅ $(- \frac{5}{3})$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{3} + \frac{1}{5} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 63.43 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(63.43°) ≈ 2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $x^{3} + \frac{1}{5} t x$

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} + \frac{1}{5} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $3 \cdot 0^{2} + \frac{1}{5} t$
= $\frac{1}{5} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2 betragen, also gilt:

$\frac{1}{5} t$	=	$2$	\|⋅ 5
$t$	=	$10$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{2} - x + 1$ und $g(x) =$ $- x^{2} - x + 4$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + x^{2} - x + 1

=

- x^{2} - x + 4

|

- (- x^{2} - x + 4)

x^{4} + 2 x^{2} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 2 x - 1$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $4 \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1$ = $5$

$g'(x) =$ $- 2 x - 1$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 1$ = $- 3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $5$ ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 3$ ) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 71.6 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):