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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{5} x^{5} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{5} x^{5} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 x^{4} + 5$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3}}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3}}$

= $- x^{- 3}$

=> f'(x) = $3 x^{- 4}$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{x^{4}}$

f'(1) = $\frac{3}{1^{4}}$ = $3 \cdot 1$ = $3$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{4}} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{4}} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

= $- \frac{3}{2} x^{- 4} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $6 x^{- 5} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{5}} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \sqrt{x} - \frac{7}{4} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \sqrt{x} - \frac{7}{4} x^{2}$

= $- 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{4} x^{2}$

=> f'(x) = $- 2 x^{- \frac{1}{2}} - \frac{7}{2} x$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{7}{2} x$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $t \sqrt[3]{x} + x$ im Punkt (1|f_t(1)) den Wert $\frac{4}{3}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t \sqrt[3]{x} + x$

= $t x^{\frac{1}{3}} + x$

=> f'(x)= $\frac{1}{3} t x^{- \frac{2}{3}} + 1$

=> $f'(x) =$ $\frac{t}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 1$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{t}{3 {(\sqrt[3]{1})}^{2}} + 1$
= $\frac{t}{3 \cdot 1^{2}} + 1$
= $\frac{1}{3} t + 1$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{4}{3}$ besitzen, also gilt:

$\frac{1}{3} t + 1$	=	$\frac{4}{3}$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} t + 1)$	=	$4$
$t + 3$	=	$4$	\| $- 3$
$t$	=	$1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 2 x^{2} + 7$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $x^{3} - 2 x^{2} + 7$

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} - 4 x + 0$

f'(0) = $3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0$ = $3 \cdot 0 + 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 10 x + 1$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 10 x + 1$ ab:

f'(x) = $3 x + 10$

Es muss gelten:

$3 x + 10$	=	$- 2$	\| $- 10$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{3} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 53.13 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 53.13 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(53.13°) ≈ 1.333

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $2 x^{3} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $6 \cdot 0^{2} + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.333 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$1,333$	\|⋅ 3
$t$	=	$3,999$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 6 x + 12$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 4 x + 24$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 6 x + 12

=

- x^{2} - 4 x + 24

|

+ x^{2}

+ 4 x

- 24

2 x^{2} - 2 x - 12

= 0 |:2

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 2$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 6$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 - 6$ = 0

$g'(x) =$ $- 2 x - 4$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 - 4$ = $- 10$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 10$ ) ≈ -84.3°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 84.3 )°| ≈ 84.3°

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):