nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 2 3 x 3 - x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 2 3 x 3 - x 2

f'(x)= -2 x 2 -2x

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 x 4 und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 4

=>f'(x)= -8 x 3

f'(-1) = -8⋅ ( -1 ) 3 = -8⋅( -1 ) = 8

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 3 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4 3 x 2

= 4 3 x -2

=> f'(x) = - 8 3 x -3

f'(x)= - 8 3 x 3

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 x 5 -7 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -3 x 5 -7 x

= -3 x 5 -7 x 1 2

=> f'(x) = -15 x 4 - 7 2 x - 1 2

f'(x)= -15 x 4 - 7 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= - 4 x 2 +3 t x 2 im Punkt (2|ft(2)) den Wert 85 ?

Lösung einblenden

f(x)= - 4 x 2 +3 t x 2

=>f'(x)= 8 x 3 +6 t x

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 8 2 3 +6 t ⋅2
= 1 +12 t

Dieser Wert soll ja den Wert 85 besitzen, also gilt:

12t +1 = 85 | -1
12t = 84 |:12
t = 7

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 1 4 x 2 - x +7 im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 1 4 x 2 - x +7

=>f'(x)= 1 2 x -1 +0

f'(0) = 1 2 ⋅0 -1 = 0 -1 = -1

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( -1 )) ≈ -45°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -45° + 180° = 135°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 8 x 4 -30x +9 angelegt.

Bestimme x0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 8 x 4 -30x +9 ab:

f'(x) = 1 2 x 3 -30

Es muss gelten:

1 2 x 3 -30 = 2 | +30
1 2 x 3 = 32 |⋅2
x 3 = 64 | ⋅3
x = 64 3 = 4

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= - x 4 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -38.66 ° ?

Lösung einblenden

ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -38.66 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-38.66°) ≈ -0.8

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= - x 4 + 1 5 t x

=>f'(x)= -4 x 3 + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -4⋅ 0 3 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -0.8 betragen, also gilt:

1 5 t = -0,8 |⋅ 5
t = -4

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 - x -5 und g(x)= - x 2 - x +13 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 - x -5 = - x 2 - x +13 | +5
x 2 - x = - x 2 - x +18 | + x 2 + x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -1 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 -1 = 5

g'(x)= -2x -1 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 -1 = -7

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 5 ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -7 ) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 81.9 )°| ≈ 160.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.6° = 19.4° .