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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - 4 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - 4 x^{3}$

$f'(x) =$ $x^{3} - 12 x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3}}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3}}$

= $\frac{1}{2} x^{- 3}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- 4}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{4}}$

f'(1) = $- \frac{3}{2 \cdot 1^{4}}$ = $- \frac{3}{2} \cdot 1$ = $- \frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{2 x^{2}} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{2 x^{2}} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$

= $- \frac{7}{2} x^{- 2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $7 x^{- 3} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{x^{3}} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \sqrt{x}$

= $- 4 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{\sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 6 \sqrt{x} + t x^{2}$ im Punkt (4|f_t(4)) den Wert $- \frac{115}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \sqrt{x} + t x^{2}$

= $- 6 x^{\frac{1}{2}} + t x^{2}$

=> f'(x)= $- 3 x^{- \frac{1}{2}} + 2 t x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{\sqrt{x}} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{3}{\sqrt{4}} + 2 t \cdot 4$
= $- \frac{3}{2} + 2 t \cdot 4$
= $- \frac{3}{2} + 8 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- \frac{115}{2}$ besitzen, also gilt:

$8 t - \frac{3}{2}$	=	$- \frac{115}{2}$	\|⋅ 2
$2 (8 t - \frac{3}{2})$	=	$- 115$
$16 t - 3$	=	$- 115$	\| $+ 3$
$16 t$	=	$- 112$	\|: $16$
$t$	=	$- 7$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} + \frac{3}{2} x + 4$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- x^{3} + \frac{3}{2} x + 4$

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{3}{2} + 0$

f'(0) = $- 3 \cdot 0^{2} + \frac{3}{2}$ = $- 3 \cdot 0 + \frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $\frac{3}{2}$ )) ≈ 56.3°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 5$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 5$ ab:

f'(x) = $x + 3$

Es muss gelten:

$x + 3$	=	$- 2$	\| $- 3$
$x$	=	$- 5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{4} + \frac{1}{2} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -78.69 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -78.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-78.69°) ≈ -5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $x^{4} + \frac{1}{2} t x$

=> $f'(x) =$ $4 x^{3} + \frac{1}{2} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $4 \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} t$
= $\frac{1}{2} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -5 betragen, also gilt:

$\frac{1}{2} t$	=	$- 5$	\|⋅ 2
$t$	=	$- 10$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -10 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 7 x - 7$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x - 1$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 7 x - 7

=

- x^{2} + 3 x - 1

|

+ x^{2}

- 3 x

+ 1

2 x^{2} + 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 7$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 + 7$ = $9$

$g'(x) =$ $- 2 x + 3$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 3$ = $1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $9$ ) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $1$ ) ≈ 45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |83.7° - 45°| ≈ 38.7°

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):