Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{5} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{5} - 3$

$f'(x) =$ $20 x^{4} + 0$

= $20 x^{4}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{4}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{4}$

=> $f'(x) =$ $28 x^{3}$

f'(1) = $28 \cdot 1^{3}$ = $28 \cdot 1$ = $28$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{x^{3}}$

= $- 5 x^{- 3}$

=> f'(x) = $15 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{15}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3}$

= $x^{\frac{3}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $- {(\sqrt[3]{x})}^{2} + t x^{2}$ im Punkt (8|f_t(8)) den Wert $\frac{239}{3}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\sqrt[3]{x})}^{2} + t x^{2}$

= $- x^{\frac{2}{3}} + t x^{2}$

=> f'(x)= $- \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 t x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = 8 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{2}{3 \cdot \sqrt[3]{8}} + 2 t \cdot 8$
= $- \frac{2}{3 \cdot 2} + 2 t \cdot 8$
= $- \frac{1}{3} + 16 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{239}{3}$ besitzen, also gilt:

$16 t - \frac{1}{3}$	=	$\frac{239}{3}$	\|⋅ 3
$3 (16 t - \frac{1}{3})$	=	$239$
$48 t - 1$	=	$239$	\| $+ 1$
$48 t$	=	$240$	\|: $48$
$t$	=	$5$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{3}{2} x - 4$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $x^{2} + \frac{3}{2} x - 4$

=> $f'(x) =$ $2 x + \frac{3}{2} + 0$

f'(-2) = $2 \cdot (- 2) + \frac{3}{2}$ = $- 4 + \frac{3}{2}$ = $- \frac{5}{2}$ ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $- \frac{5}{2}$ )) ≈ -68.2°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 11 x - 2$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $x^{2} - 11 x - 2$ ab:

f'(x) = $2 x - 11$

Es muss gelten:

$2 x - 11$	=	$1$	\| $+ 11$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{4} + \frac{1}{2} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -82.41 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -82.41 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-82.41°) ≈ -7.505

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- x^{4} + \frac{1}{2} t x$

=> $f'(x) =$ $- 4 x^{3} + \frac{1}{2} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 4 \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} t$
= $\frac{1}{2} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -7.505 betragen, also gilt:

$\frac{1}{2} t$	=	$- 7,505$	\|⋅ 2
$t$	=	$- 15,01$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -15 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 6$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 4 x$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 6

=

- x^{2} + 4 x

|

+ x^{2}

- 4 x

2 x^{2} - 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3$ = $6$

$g'(x) =$ $- 2 x + 4$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 + 4$ = $- 2$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $6$ ) ≈ 80.5°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 2$ ) ≈ -63.4°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |80.5° - ( - 63.4 )°| ≈ 143.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 143.9° = 36.1° .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):