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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 x^{3} + x^{2}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ 0 und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ 0

=> $f'(x) =$ 0

f'(0) = 0 = 0 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3 x^{2}}$

= $- \frac{2}{3} x^{- 2}$

=> f'(x) = $\frac{4}{3} x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3 x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x} + \frac{5}{2} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{x} + \frac{5}{2} x^{5}$

= $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{2} x^{5}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{1}{2}} + \frac{25}{2} x^{4}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{25}{2} x^{4}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $6 \sqrt{x} + t x^{2}$ im Punkt (4|f_t(4)) den Wert $- \frac{61}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \sqrt{x} + t x^{2}$

= $6 x^{\frac{1}{2}} + t x^{2}$

=> f'(x)= $3 x^{- \frac{1}{2}} + 2 t x$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{\sqrt{x}} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{3}{\sqrt{4}} + 2 t \cdot 4$
= $\frac{3}{2} + 2 t \cdot 4$
= $\frac{3}{2} + 8 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- \frac{61}{2}$ besitzen, also gilt:

$8 t + \frac{3}{2}$	=	$- \frac{61}{2}$	\|⋅ 2
$2 (8 t + \frac{3}{2})$	=	$- 61$
$16 t + 3$	=	$- 61$	\| $- 3$
$16 t$	=	$- 64$	\|: $16$
$t$	=	$- 4$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} x^{3} + 6$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} - \frac{3}{2} x^{3} + 6$

=> $f'(x) =$ $- 2 x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 0$

f'(-1) = $- 2 \cdot {(- 1)}^{3} - \frac{9}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$ = $- 2 \cdot (- 1) - \frac{9}{2} \cdot 1$ = $2 - \frac{9}{2}$ = $- \frac{5}{2}$ ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $- \frac{5}{2}$ )) ≈ -68.2°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -68.2° + 180° = 111.8°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{20} x^{4} - 27 x - 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{20} x^{4} - 27 x - 9$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{5} x^{3} - 27$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{5} x^{3} - 27$	=	$- 2$	\| $+ 27$
$- \frac{1}{5} x^{3}$	=	$25$	\|⋅ $(- 5)$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{4} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -75.96 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -75.96 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-75.96°) ≈ -3.999

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 12 x^{3} + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 12 \cdot 0^{3} + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.999 betragen, also gilt:

t

=

- 3,999

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x + 4$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 4 x + 6$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - 4 x + 4$	=	$- x^{2} - 4 x + 6$	\| $- 4$
$x^{2} - 4 x$	=	$- x^{2} - 4 x + 2$	\| $+ x^{2}$ $+ 4 x$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 4$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 - 4$ = $- 2$

$g'(x) =$ $- 2 x - 4$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 4$ = $- 6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $- 2$ ) ≈ -63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 6$ ) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |-63.4° - ( - 80.5 )°| ≈ 17.1°

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

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Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven