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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 x 4 + 1 3 x 3 und vereinfache:

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f(x)= 3 x 4 + 1 3 x 3

f'(x)= 12 x 3 + x 2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2⋅ sin( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 1 2 π an:

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f(x)= -2⋅ sin( x )

=>f'(x)= -2⋅ cos( x )

f'( 1 2 π ) = -2⋅ cos( 1 2 π ) = -2⋅0 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 x 3 -5⋅ sin( x ) und vereinfache:

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f(x)= - 1 x 3 -5⋅ sin( x )

= - x -3 -5⋅ sin( x )

=> f'(x) = 3 x -4 -5⋅ cos( x )

f'(x)= 3 x 4 -5⋅ cos( x )

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 x 2 +3 x und vereinfache:

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f(x)= -3 x 2 +3 x

= -3 x 2 +3 x 1 2

=> f'(x) = -6x + 3 2 x - 1 2

f'(x)= -6x + 3 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t x 3 +4 x 2 im Punkt (1|ft(1)) den Wert 17 3 ?

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f(x)= t x 3 +4 x 2

= t x 1 3 +4 x 2

=> f'(x)= 1 3 t x - 2 3 +8x

=>f'(x)= t 3 ( x 3 ) 2 +8x

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= t 3 ( 1 3 ) 2 +8⋅1
= t 3⋅ 1 2 +8⋅1
= 1 3 t +8

Dieser Wert soll ja den Wert 17 3 besitzen, also gilt:

1 3 t +8 = 17 3 |⋅ 3
3( 1 3 t +8 ) = 17
t +24 = 17 | -24
t = -7

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= 1 2 x 3 - x +4 im Punkt P(-1|f(-1)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= 1 2 x 3 - x +4

=>f'(x)= 3 2 x 2 -1 +0

f'(-1) = 3 2 ⋅ ( -1 ) 2 -1 = 3 2 ⋅1 -1 = 3 2 -1 = 1 2 ≈ 0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( 1 2 )) ≈ 26.6°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= x 2 -10x -6 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= x 2 -10x -6 ab:

f'(x) = 2x -10

Es muss gelten:

2x -10 = 2 | +10
2x = 12 |:2
x = 6

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 6.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= - x 4 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -38.66 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -38.66 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-38.66°) ≈ -0.8

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= - x 4 + 1 5 t x

=>f'(x)= -4 x 3 + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -4⋅ 0 3 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -0.8 betragen, also gilt:

1 5 t = -0,8 |⋅ 5
t = -4

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -4 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -2x -2 und g(x)= - x 2 -2x +16 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -2x -2 = - x 2 -2x +16 | +2
x 2 -2x = - x 2 -2x +18 | + x 2 +2x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -2 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 -2 = 4

g'(x)= -2x -2 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 -2 = -8

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 4 ) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -8 ) ≈ -82.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |76° - ( - 82.9 )°| ≈ 158.9°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 158.9° = 21.1° .