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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} x^{5} - x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} x^{5} - x^{2}$

$f'(x) =$ $4 x^{4} - 2 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3} \cdot \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $\frac{2}{3} \cdot \sin (x)$

f'( $\frac{1}{2} π$ ) = $\frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$ = $\frac{2}{3} \cdot 1$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$

= $2 x^{- 2} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $- 4 x^{- 3} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \sqrt[3]{x}$

= $- 5 x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $- \frac{5}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $5 \cdot \sin (x) + 3 t x$ im Punkt ( $- \frac{3}{2} π$ |f_t( $- \frac{3}{2} π$ )) den Wert $6$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \cdot \sin (x) + 3 t x$

=> $f'(x) =$ $5 \cdot \cos (x) + 3 t$

Jetzt setzen wir x = $- \frac{3}{2} π$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5 \cdot \cos ((- \frac{3}{2} π)) + 3 t$
= $5 \cdot 0 + 3 t$
= $3 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $6$ besitzen, also gilt:

$3 t$	=	$6$	\|: $3$
$t$	=	$2$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{3} - x^{2} - 2$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{3} - x^{2} - 2$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{4} x^{2} - 2 x + 0$

f'(0) = $\frac{3}{4} \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0$ = $\frac{3}{4} \cdot 0 + 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + 53 x + 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + 53 x + 7$ ab:

f'(x) = $2 x^{3} + 53$

Es muss gelten:

$2 x^{3} + 53$	=	$- 1$	\| $- 53$
$2 x^{3}$	=	$- 54$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 x^{4} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -59.04 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -59.04 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-59.04°) ≈ -1.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $3 x^{4} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $12 x^{3} + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $12 \cdot 0^{3} + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -1.667 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$- 1,667$	\|⋅ 3
$t$	=	$- 5,001$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -5 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - x - 3$ und $g(x) =$ $- x^{2} + 3 x + 3$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - x - 3

=

- x^{2} + 3 x + 3

|

+ x^{2}

- 3 x

- 3

2 x^{2} - 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 1$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 - 1$ = $5$

$g'(x) =$ $- 2 x + 3$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 + 3$ = $- 3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $5$ ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 3$ ) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 71.6 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):