Mathebattle EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{4} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{4} + 4$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} + 0$

= $\frac{4}{3} x^{3}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x - 5$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x - 5$

=> $f'(x) =$ $5 + 0$

= $5$

f'(1) = $5$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x}$

= $- 3 x^{- 1}$

=> f'(x) = $3 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{x^{2}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{x} - 5 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{x} - 5 x^{4}$

= $- x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{4}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 20 x^{3}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{x}} - 20 x^{3}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{10}{x^{3}} + 2 t x^{2}$ im Punkt (2|f_t(2)) den Wert $- \frac{79}{8}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{10}{x^{3}} + 2 t x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{30}{x^{4}} + 4 t x$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{30}{2^{4}} + 4 t \cdot 2$
= $- \frac{15}{8} + 8 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- \frac{79}{8}$ besitzen, also gilt:

$8 t - \frac{15}{8}$	=	$- \frac{79}{8}$	\|⋅ 8
$8 (8 t - \frac{15}{8})$	=	$- 79$
$64 t - 15$	=	$- 79$	\| $+ 15$
$64 t$	=	$- 64$	\|: $64$
$t$	=	$- 1$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 6$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 6$

=> $f'(x) =$ $x - \frac{3}{2} + 0$

f'(0) = $0 - \frac{3}{2}$ = $0 - \frac{3}{2}$ = $- \frac{3}{2}$ ≈ -1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $- \frac{3}{2}$ )) ≈ -56.3°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -56.3° + 180° = 123.7°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + 17 x + 5$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} + 17 x + 5$ ab:

f'(x) = $2 x^{3} + 17$

Es muss gelten:

$2 x^{3} + 17$	=	$1$	\| $- 17$
$2 x^{3}$	=	$- 16$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{4} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 36.87 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 36.87 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(36.87°) ≈ 0.75

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $x^{2} + \frac{1}{4} t x$

=> $f'(x) =$ $2 x + \frac{1}{4} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $2 \cdot 0 + \frac{1}{4} t$
= $\frac{1}{4} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.75 betragen, also gilt:

$\frac{1}{4} t$	=	$0,75$	\|⋅ 4
$t$	=	$3$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 3 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - x + 1$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x + 13$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - x + 1

=

- x^{2} - 3 x + 13

|

+ x^{2}

+ 3 x

- 13

2 x^{2} + 2 x - 12

= 0 |:2

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $2$ |f( $2$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $2$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 1$ , also gilt m_f = f'( $2$ )= $2 \cdot 2 - 1$ = $3$

$g'(x) =$ $- 2 x - 3$ , also gilt m_g = g'( $2$ )= $- 2 \cdot 2 - 3$ = $- 7$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $2$ |f( $2$ )): α = arctan( $3$ ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $2$ |g( $2$ )) gilt: β = arctan( $- 7$ ) ≈ -81.9°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 81.9 )°| ≈ 153.5°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 153.5° = 26.5° .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):