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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x 3 +2 x 2 und vereinfache:

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f(x)= - x 3 +2 x 2

f'(x)= -3 x 2 +4x

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2⋅ cos( x ) und gib die Steigung von f an der Stelle x= 1 2 π an:

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f(x)= -2⋅ cos( x )

=>f'(x)= 2⋅ sin( x )

f'( 1 2 π ) = 2⋅ sin( 1 2 π ) = 2⋅1 = 2

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 3 und vereinfache:

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f(x)= 2 x 3

= 2 x -3

=> f'(x) = -6 x -4

f'(x)= - 6 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x 3 +7 x und vereinfache:

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f(x)= 5 x 3 +7 x

= 5 x 3 +7 x 1 2

=> f'(x) = 15 x 2 + 7 2 x - 1 2

f'(x)= 15 x 2 + 7 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= t ( x 3 ) 2 -5x im Punkt (1|ft(1)) den Wert - 13 3 ?

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f(x)= t ( x 3 ) 2 -5x

= t x 2 3 -5x

=> f'(x)= 2 3 t x - 1 3 -5

=>f'(x)= 2 t 3 x 3 -5

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 2 t 3⋅ 1 3 -5
= 2 t 3 -5
= 2 3 t -5

Dieser Wert soll ja den Wert - 13 3 besitzen, also gilt:

2 3 t -5 = - 13 3 |⋅ 3
3( 2 3 t -5 ) = -13
2t -15 = -13 | +15
2t = 2 |:2
t = 1

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= x 3 -2x im Punkt P(-1|f(-1)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= x 3 -2x

=>f'(x)= 3 x 2 -2

f'(-1) = 3⋅ ( -1 ) 2 -2 = 3⋅1 -2 = 3 -2 = 1

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( 1 )) ≈ 45°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= - 1 8 x 4 -31x +4 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= - 1 8 x 4 -31x +4 ab:

f'(x) = - 1 2 x 3 -31

Es muss gelten:

- 1 2 x 3 -31 = 1 | +31
- 1 2 x 3 = 32 |⋅ ( -2 )
x 3 = -64 | ⋅3
x = - 64 3 = -4

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -4.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= -3 x 2 + 1 5 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 50.19 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 50.19 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(50.19°) ≈ 1.2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= -3 x 2 + 1 5 t x

=>f'(x)= -6x + 1 5 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -6⋅0 + 1 5 t
= 1 5 t

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.2 betragen, also gilt:

1 5 t = 1,2 |⋅ 5
t = 6

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 6 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 + x -9 und g(x)= - x 2 + x +9 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 + x -9 = - x 2 + x +9 | +9
x 2 + x = - x 2 + x +18 | + x 2 - x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x +1 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 +1 = 7

g'(x)= -2x +1 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 +1 = -5

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 7 ) ≈ 81.9°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -5 ) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |81.9° - ( - 78.7 )°| ≈ 160.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 160.6° = 19.4° .