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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{4} - x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{4} - x^{2}$

$f'(x) =$ $8 x^{3} - 2 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{8}{3} \cdot \cos (x)$ und gib die Steigung von f an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{8}{3} \cdot \cos (x)$

=> $f'(x) =$ $\frac{8}{3} \cdot \sin (x)$

f'( $\frac{1}{2} π$ ) = $\frac{8}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$ = $\frac{8}{3} \cdot 1$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{3 x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{3 x^{3}}$

= $\frac{5}{3} x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 5 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$

= $- 3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $\frac{2 t}{x^{2}} + x$ im Punkt (-1|f_t(-1)) den Wert $13$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2 t}{x^{2}} + x$

=> $f'(x) =$ $- \frac{4 t}{x^{3}} + 1$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- \frac{4 t}{{(- 1)}^{3}} + 1$
= $4 t + 1$

Dieser Wert soll ja den Wert $13$ besitzen, also gilt:

$4 t + 1$	=	$13$	\| $- 1$
$4 t$	=	$12$	\|: $4$
$t$	=	$3$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{2} + 3 x$

f'(3) = $- \frac{3}{2} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3$ = $- \frac{3}{2} \cdot 9 + 9$ = $- \frac{27}{2} + 9$ = $- \frac{9}{2}$ ≈ -4.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( $- \frac{9}{2}$ )) ≈ -77.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 6 x + 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 6 x + 7$ ab:

f'(x) = $3 x + 6$

Es muss gelten:

$3 x + 6$	=	$- 3$	\| $- 6$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 x^{3} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr -78.69 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -78.69 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-78.69°) ≈ -5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $3 x^{3} + t x$

=> $f'(x) =$ $9 x^{2} + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $9 \cdot 0^{2} + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -5 betragen, also gilt:

t

=

- 5

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -5 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 7 x + 15$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 3 x + 21$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 7 x + 15

=

- x^{2} - 3 x + 21

|

+ x^{2}

+ 3 x

- 21

2 x^{2} - 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$ |f( $3$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 7$ , also gilt m_f = f'( $3$ )= $2 \cdot 3 - 7$ = $- 1$

$g'(x) =$ $- 2 x - 3$ , also gilt m_g = g'( $3$ )= $- 2 \cdot 3 - 3$ = $- 9$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$ |f( $3$ )): α = arctan( $- 1$ ) ≈ -45°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$ |g( $3$ )) gilt: β = arctan( $- 9$ ) ≈ -83.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |-45° - ( - 83.7 )°| ≈ 38.7°

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):