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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 6 x 3 +5 und vereinfache:

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f(x)= - 1 6 x 3 +5

f'(x)= - 1 2 x 2 +0

= - 1 2 x 2

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 3 und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

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f(x)= 2 x 3

=>f'(x)= 6 x 2

f'(0) = 6⋅ 0 2 = 6⋅0 = 0

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2⋅ sin( x ) + 9 2 x 3 und vereinfache:

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f(x)= 2⋅ sin( x ) + 9 2 x 3

= 2⋅ sin( x ) + 9 2 x -3

=> f'(x) = 2⋅ cos( x ) - 27 2 x -4

f'(x)= 2⋅ cos( x ) - 27 2 x 4

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 x und vereinfache:

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f(x)= -4 x

= -4 x 1 2

=> f'(x) = -2 x - 1 2

f'(x)= - 2 x

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= -2 x + t x 2 im Punkt (4|ft(4)) den Wert 79 2 ?

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f(x)= -2 x + t x 2

= -2 x 1 2 + t x 2

=> f'(x)= - x - 1 2 +2 t x

=>f'(x)= - 1 x +2 t x

Jetzt setzen wir x = 4 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= - 1 4 +2 t ⋅4
= - 1 2 +2 t ⋅4
= - 1 2 +8 t

Dieser Wert soll ja den Wert 79 2 besitzen, also gilt:

8t - 1 2 = 79 2 |⋅ 2
2( 8t - 1 2 ) = 79
16t -1 = 79 | +1
16t = 80 |:16
t = 5

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= x 2 - 3 2 x im Punkt P(2|f(2)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= x 2 - 3 2 x

=>f'(x)= 2x - 3 2

f'(2) = 2⋅2 - 3 2 = 4 - 3 2 = 5 2 ≈ 2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( 5 2 )) ≈ 68.2°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ 63.435° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 4 x 4 +3x -1 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = 63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(63.435°) ≈ 2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = 2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = 2 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 1 4 x 4 +3x -1 ab:

f'(x) = x 3 +3

Es muss gelten:

x 3 +3 = 2 | -3
x 3 = -1 | ⋅3
x = - 1 3 = -1

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ -1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= -2 x 4 + 1 3 t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr -73.3 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -73.3 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-73.3°) ≈ -3.333

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= -2 x 4 + 1 3 t x

=>f'(x)= -8 x 3 + 1 3 t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = -8⋅ 0 3 + 1 3 t
= 1 3 t

Dieser Wert soll ja ungefähr -3.333 betragen, also gilt:

1 3 t = -3,333 |⋅ 3
t = -9,999

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -10 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -3x +1 und g(x)= - x 2 -3x +19 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -3x +1 = - x 2 -3x +19 | -1
x 2 -3x = - x 2 -3x +18 | + x 2 +3x
2 x 2 = 18 |:2
x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

L={ -3 ; 3 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 3 |f( 3 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 3 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -3 , also gilt mf = f'( 3 )= 2⋅3 -3 = 3

g'(x)= -2x -3 , also gilt mg = g'( 3 )= -2⋅3 -3 = -9

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 3 |f( 3 )): α = arctan( 3 ) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( 3 |g( 3 )) gilt: β = arctan( -9 ) ≈ -83.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 83.7 )°| ≈ 155.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 155.3° = 24.7° .