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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{5} - 2$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 3 x^{5} - 2$

$f'(x) =$ $- 15 x^{4} + 0$

= $- 15 x^{4}$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{4} x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

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$f(x) =$ $\frac{5}{4} x^{2}$

=> $f'(x) =$ $\frac{5}{2} x$

f'(1) = $\frac{5}{2} \cdot 1$ = $\frac{5}{2}$ ≈ 2.5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{3}{2 x^{2}}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 3 x^{2} + \frac{3}{2 x^{2}}$

= $- 3 x^{2} + \frac{3}{2} x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 6 x - 3 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- 6 x - \frac{3}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \sqrt{x}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 5 \sqrt{x}$

= $- 5 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{5}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{2 \sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 3 t x$ im Punkt ( $- \frac{1}{2} π$ |f_t( $- \frac{1}{2} π$ )) den Wert $- 2$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 3 t x$

=> $f'(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) + 3 t$

Jetzt setzen wir x = $- \frac{1}{2} π$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 4 \cdot \sin ((- \frac{1}{2} π)) + 3 t$
= $- 4 \cdot (- 1) + 3 t$
= $4 + 3 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $- 2$ besitzen, also gilt:

$3 t + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
$3 t$	=	$- 6$	\|: $3$
$t$	=	$- 2$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} + x^{3}$ im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{4} + x^{3}$

=> $f'(x) =$ $- x^{3} + 3 x^{2}$

f'(1) = $- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2}$ = $- 1 + 3 \cdot 1$ = $- 1 + 3$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $2$ )) ≈ 63.4°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 9$ angelegt.

Bestimme x_0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 9$ ab:

f'(x) = $3 x$

Es muss gelten:

$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -1.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{2} + \frac{1}{2} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 68.2 ° ?

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f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 68.2 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(68.2°) ≈ 2.5

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 2 x^{2} + \frac{1}{2} t x$

=> $f'(x) =$ $- 4 x + \frac{1}{2} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 4 \cdot 0 + \frac{1}{2} t$
= $\frac{1}{2} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2.5 betragen, also gilt:

$\frac{1}{2} t$	=	$2,5$	\|⋅ 2
$t$	=	$5$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x + 4$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 4 x + 6$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - 4 x + 4$	=	$- x^{2} - 4 x + 6$	\| $- 4$
$x^{2} - 4 x$	=	$- x^{2} - 4 x + 2$	\| $+ x^{2}$ $+ 4 x$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x - 4$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 - 4$ = $- 2$

$g'(x) =$ $- 2 x - 4$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 4$ = $- 6$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $- 2$ ) ≈ -63.4°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 6$ ) ≈ -80.5°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |-63.4° - ( - 80.5 )°| ≈ 17.1°

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

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Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

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