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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 4 3 x 3 -4 x 2 und vereinfache:

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f(x)= - 4 3 x 3 -4 x 2

f'(x)= -4 x 2 -8x

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 2 x und gib die Steigung von f an der Stelle x=2 an:

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f(x)= - 2 x

= -2 x -1

=> f'(x) = 2 x -2

=>f'(x)= 2 x 2

f'(2) = 2 2 2 = 2⋅( 1 4 ) = 1 2 ≈ 0.5

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x 4 +5 x 3 und vereinfache:

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f(x)= 5 x 4 +5 x 3

= 5 x -4 +5 x 3

=> f'(x) = -20 x -5 +15 x 2

f'(x)= - 20 x 5 +15 x 2

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 2 x - 3 4 x 3 und vereinfache:

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f(x)= 5 2 x - 3 4 x 3

= 5 2 x 1 2 - 3 4 x 3

=> f'(x) = 5 4 x - 1 2 - 9 4 x 2

f'(x)= 5 4 x - 9 4 x 2

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von ft mit ft(x)= 3⋅ sin( x ) +5 t x im Punkt ( 3 2 π |ft( 3 2 π )) den Wert 15 ?

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f(x)= 3⋅ sin( x ) +5 t x

=>f'(x)= 3⋅ cos( x ) +5 t

Jetzt setzen wir x = 3 2 π in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 3⋅ cos( 3 2 π ) +5 t
= 3⋅0 +5 t
= 5 t

Dieser Wert soll ja den Wert 15 besitzen, also gilt:

5t = 15 |:5
t = 3

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit f(x)= - 1 4 x 3 + x 2 +4 im Punkt P(3|f(3)):

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Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(3|f(3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 3 in die Ableitungsfunktion ein:

f(x)= - 1 4 x 3 + x 2 +4

=>f'(x)= - 3 4 x 2 +2x +0

f'(3) = - 3 4 ⋅ 3 2 +2⋅3 = - 3 4 ⋅9 +6 = - 27 4 +6 = - 3 4 ≈ -0.75

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(3)) = arctan( - 3 4 )) ≈ -36.9°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x0|f(x0)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -45° an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 20 x 4 -76x +7 angelegt.

Bestimme x0.

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Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x0, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x0 können wir ja aber mit m = f'(x0) berechnen, also muss f'(x0) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit f(x)= 3 20 x 4 -76x +7 ab:

f'(x) = 3 5 x 3 -76

Es muss gelten:

3 5 x 3 -76 = -1 | +76
3 5 x 3 = 75 |⋅ 5 3
x 3 = 125 | ⋅3
x = 125 3 = 5

Die gesuchte Stelle ist somit x0 ≈ 5.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 2 x 3 + t x für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von ft im Ursprung ungefähr 63.43 ° ?

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ft(0) = 0, also verläuft der Graph von ft für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = Gegenkathete Ankathete = y-Zuwachs x-Zuwachs

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(63.43°) ≈ 2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion ft' bei x=0 berechnen:

f(x)= 2 x 3 + t x

=>f'(x)= 6 x 2 + t

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = 6⋅ 0 2 + t
= t

Dieser Wert soll ja ungefähr 2 betragen, also gilt:

t = 2

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 2 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit f(x)= x 2 - x +2 und g(x)= - x 2 - x +4 schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 - x +2 = - x 2 - x +4 | -2
x 2 - x = - x 2 - x +2 | + x 2 + x
2 x 2 = 2 |:2
x 2 = 1 | ⋅2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

L={ -1 ; 1 }

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Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( 1 |f( 1 )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = 1 in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

f'(x)= 2x -1 , also gilt mf = f'( 1 )= 2⋅1 -1 = 1

g'(x)= -2x -1 , also gilt mg = g'( 1 )= -2⋅1 -1 = -3

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = y-Zuwachs x-Zuwachs

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( 1 |f( 1 )): α = arctan( 1 ) ≈ 45°

und für den Steigungswinkel von g in S( 1 |g( 1 )) gilt: β = arctan( -3 ) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |45° - ( - 71.6 )°| ≈ 116.6°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 116.6° = 63.4° .