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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2}$

$f'(x) =$ $- x^{2} - 8 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} + 2 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=0 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{3} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $15 x^{2} + 2$

f'(0) = $15 \cdot 0^{2} + 2$ = $15 \cdot 0 + 2$ = $2$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{2} x^{3} - \frac{1}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{2} x^{3} - \frac{1}{x^{4}}$

= $\frac{9}{2} x^{3} - x^{- 4}$

=> f'(x) = $\frac{27}{2} x^{2} + 4 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $\frac{27}{2} x^{2} + \frac{4}{x^{5}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{x}$

= $2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 t \cdot \cos (x) + 3 x$ im Punkt ( $\frac{1}{2} π$ |f_t( $\frac{1}{2} π$ )) den Wert $15$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 t \cdot \cos (x) + 3 x$

=> $f'(x) =$ $- 3 t \cdot \sin (x) + 3$

Jetzt setzen wir x = $\frac{1}{2} π$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $- 3 t \cdot \sin (\frac{1}{2} π) + 3$
= $- 3 t \cdot 1 + 3$
= $- 3 t + 3$

Dieser Wert soll ja den Wert $15$ besitzen, also gilt:

$- 3 t + 3$	=	$15$	\| $- 3$
$- 3 t$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$t$	=	$- 4$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x - 4$ im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x - 4$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} + 0$

f'(1) = $\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -71.565° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{8} x^{4} - 111 x + 1$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{8} x^{4} - 111 x + 1$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{3} - 111$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{2} x^{3} - 111$	=	$- 3$	\| $+ 111$
$- \frac{1}{2} x^{3}$	=	$108$	\|⋅ $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 216$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{216}$	= $- 6$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -6.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 x^{2} + \frac{1}{3} t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 59.04 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 59.04 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(59.04°) ≈ 1.667

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $3 x^{2} + \frac{1}{3} t x$

=> $f'(x) =$ $6 x + \frac{1}{3} t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $6 \cdot 0 + \frac{1}{3} t$
= $\frac{1}{3} t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 1.667 betragen, also gilt:

$\frac{1}{3} t$	=	$1,667$	\|⋅ 3
$t$	=	$5,001$

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 5 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x - 1$ und $g(x) =$ $- x^{2} + x + 1$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + x - 1

=

- x^{2} + x + 1

|

- (- x^{2} + x + 1)

x^{4} + x^{2} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 1$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $4 \cdot 1^{3} + 1$ = $5$

$g'(x) =$ $- 2 x + 1$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 + 1$ = $- 1$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $5$ ) ≈ 78.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 1$ ) ≈ -45°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |78.7° - ( - 45 )°| ≈ 123.7°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 123.7° = 56.3° .

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Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):