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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 2 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{3} - 2 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x$

Ableiten an einem Punkt

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} - 3 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{3} - 3 x$

=> $f'(x) =$ $- 9 x^{2} - 3$

f'(1) = $- 9 \cdot 1^{2} - 3$ = $- 9 \cdot 1 - 3$ = $- 9 - 3$ = $- 12$

Ableiten mit x im Nenner

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \cdot \cos (x) - \frac{5}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \cdot \cos (x) - \frac{5}{x^{4}}$

= $5 \cdot \cos (x) - 5 x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 5 \cdot \sin (x) + 20 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot \sin (x) + \frac{20}{x^{5}}$

Ableiten mit Wurzeln

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{3} x^{4} + 6 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{3} x^{4} + 6 \sqrt{x}$

= $\frac{7}{3} x^{4} + 6 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{28}{3} x^{3} + 3 x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{28}{3} x^{3} + \frac{3}{\sqrt{x}}$

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f_t mit $f_{t} (x) =$ $6 \sqrt[3]{x} + t x^{2}$ im Punkt (8|f_t(8)) den Wert $\frac{225}{2}$ ?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \sqrt[3]{x} + t x^{2}$

= $6 x^{\frac{1}{3}} + t x^{2}$

=> f'(x)= $2 x^{- \frac{2}{3}} + 2 t x$

=> $f'(x) =$ $\frac{2}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 2 t x$

Jetzt setzen wir x = 8 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2}{{(\sqrt[3]{8})}^{2}} + 2 t \cdot 8$
= $\frac{2}{2^{2}} + 2 t \cdot 8$
= $\frac{2}{4} + 16 t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{225}{2}$ besitzen, also gilt:

$16 t + \frac{1}{2}$	=	$\frac{225}{2}$	\|⋅ 2
$2 (16 t + \frac{1}{2})$	=	$225$
$32 t + 1$	=	$225$	\| $- 1$
$32 t$	=	$224$	\|: $32$
$t$	=	$7$

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{4} - 2 x^{3} + 7$ im Punkt P(0|f(0)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $x^{4} - 2 x^{3} + 7$

=> $f'(x) =$ $4 x^{3} - 6 x^{2} + 0$

f'(0) = $4 \cdot 0^{3} - 6 \cdot 0^{2}$ = $4 \cdot 0 - 6 \cdot 0$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 22 x - 6$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 22 x - 6$ ab:

f'(x) = $3 x^{3} + 22$

Es muss gelten:

$3 x^{3} + 22$	=	$- 2$	\| $- 22$
$3 x^{3}$	=	$- 24$	\|: $3$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -2.

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Beispiel:

Begründe, dass der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{4} + t x$ für jedes t durch den Ursprung verläuft.

Für welches ganzzahlige t beträgt der Steigungswinkel des Graphen von f_t im Ursprung ungefähr 85.24 ° ?

Lösung einblenden

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 85.24 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(85.24°) ≈ 12.009

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + t x$

=> $f'(x) =$ $- 12 x^{3} + t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $- 12 \cdot 0^{3} + t$
= $t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 12.009 betragen, also gilt:

t

=

12,009

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 12 nehmen.

Schnittwinkel zweier Kurven

Beispiel:

Die Graphen der beiden Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 2$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 4$ schneiden sich in zwei Punkten. Berechne den Schnittwinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt mit dem positiven x-Wert.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 2 x - 2

=

- x^{2} - 2 x + 4

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 4

2 x^{2} + 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; $1$ }

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$ |f( $1$ )).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$f'(x) =$ $2 x + 2$ , also gilt m_f = f'( $1$ )= $2 \cdot 1 + 2$ = $4$

$g'(x) =$ $- 2 x - 2$ , also gilt m_g = g'( $1$ )= $- 2 \cdot 1 - 2$ = $- 4$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{y-Zuwachs}{x-Zuwachs}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$ |f( $1$ )): α = arctan( $4$ ) ≈ 76°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$ |g( $1$ )) gilt: β = arctan( $- 4$ ) ≈ -76°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |76° - ( - 76 )°| ≈ 152°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 152° = 28° .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt

Ableiten mit x im Nenner

Ableiten mit Wurzeln

Ableiten an Punkt mit Parameter (ration. Exp.)

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Steigungswinkel rückwärts (Param.)

Schnittwinkel zweier Kurven

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):