Da g(x) = f(x) -4 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -4 in y-Richtung - also um 4 nach unten - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch um 4 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(0|0).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $-x^2+4$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) -4 = $-x^2$.

Da g(x) = f($\frac{1}{3}$ ⋅ x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um $3$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Das heißt auf jeder Höhe ist der Abstand zur y-Achse vom gestreckten (roten) Graph $3$ mal so groß ist wie vom ursprünglichen (schwarzen) Graph

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch mit dem Faktor $3$ multipliziert, weil ja bei x = -1 der kleinste Wert bei f(x) auftritt, bei f($\frac{1}{3}$⋅x) muss somit für x = $-3$ , also bei f($\frac{1}{3}$⋅( - 3 )) der kleinste Wert auftreten.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-3|-2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${\left(x+1\right)}^2-2$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f($\frac{1}{3}$ ⋅ x) = ${\left(\frac{1}{3}x+1\right)}^2-2$.

Der (blaue) Graph von f(x +4) geht durch Verschiebung um -4 in x-Richtung - also um 4 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(x +4) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = 0.

Da g(x) = $3$⋅ f(x +4) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Streckung um 3 in y-Richtung aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch mit dem Faktor $3$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(0|$3$).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

$\text{f(x)}=$ $x^2-10x-2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-10+0$

= $2x-10$

$\text{f''(x)}=$ $2+0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2x-10$	=	0	| $+10$
$2x$	=	$10$	|:$2$
$x$	=	$5$

Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($5$) = $2$= $2$= $2$ >0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($5$) = $5^2-10\cdot 5-2$ = $-27$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($5$| $-27$)

$\text{f(x)}=$ $x^3+3x^2-24x+3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+6x-24+0$

= $3x^2+6x-24$

$\text{f''(x)}=$ $6x+6+0$

= $6x+6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3x^2+6x-24$ = 0 |:3

$x^2+2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

Die Lösungen $-4$, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-4$

f''($-4$) = $6\cdot \left(-4\right)+6$= $-24+6$= $-18$ <0

Das heißt bei x = $-4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-4$) = ${\left(-4\right)}^3+3\cdot {\left(-4\right)}^2-24\cdot \left(-4\right)+3$ = $83$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-4$| $83$)

2.: x=$2$

f''($2$) = $6\cdot 2+6$= $12+6$= $18$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $2^3+3\cdot 2^2-24\cdot 2+3$ = $-25$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($2$| $-25$)

$\text{f(x)}=$ $-3x^4-20x^3-36x^2+2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-12x^3-60x^2-72x+0$

= $-12x^3-60x^2-72x$

$\text{f''(x)}=$ $-36x^2-120x-72$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-12x^3-60x^2-72x$	=	0
$-12x\left(x^2+5x+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-3$, $-2$, 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-3$

f''($-3$) = $-36\cdot {\left(-3\right)}^2-120\cdot \left(-3\right)-72$= $-36\cdot 9+360-72$= $-36$ <0

Das heißt bei x = $-3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-3$) = $-3\cdot {\left(-3\right)}^4-20\cdot {\left(-3\right)}^3-36\cdot {\left(-3\right)}^2+2$ = $-25$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-3$| $-25$)

2.: x=$-2$

f''($-2$) = $-36\cdot {\left(-2\right)}^2-120\cdot \left(-2\right)-72$= $-36\cdot 4+240-72$= $24$ >0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = $-3\cdot {\left(-2\right)}^4-20\cdot {\left(-2\right)}^3-36\cdot {\left(-2\right)}^2+2$ = $-30$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-2$| $-30$)

3.: x=$0$

f''($0$) = $-36\cdot 0^2-120\cdot 0-72$= $-36\cdot 0+0-72$= $-72$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $-3\cdot 0^4-20\cdot 0^3-36\cdot 0^2+2$ = $2$
Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $2$)

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Tiefpunkt T(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Tiefpunkt T(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^2$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $2x$, f₁''(x)= $2$, und somit f₁''(0) = 2 > 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^2$ einen Tiefpunkt T(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abblidung).

Wenn wir nun den Graph um -3 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${\left(x+3\right)}^2$ hat also an der Stelle x = -3 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^2$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $\text{f(x)}=$ ${\left(x+3\right)}^2-1$ einen Tiefpunkt T(-3|-1), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.