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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-2|4). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) -4

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = f(x) -4 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -4 in y-Richtung - also um 4 nach unten - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch um 4 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-2|0).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- {(x + 2)}^{2} + 4$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) -4 = $- {(x + 2)}^{2}$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-1|-4). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) +4

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x) +4 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 4 in y-Richtung - also um 4 nach oben - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 4 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-1|0).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x + 1)}^{2} - 4$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) +4 = ${(x + 1)}^{2}$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(3|-2). Für die Funktion g gilt : g(x) = $- 2$ ⋅ f(-x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f(-x) geht durch Spiegelung an der y-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(-x) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = -3.

Da g(x) = $- 2$ ⋅ f(-x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung um 2 in y-Richtung aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T wird also zu einem Hochpunkt H, der y-Wert wird dabei mit dem Faktor $- 2$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-3| $4$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 9 x^{2} + 4$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} - 18 x + 0$

= $6 x^{2} - 18 x$

$f''(x) =$ $12 x - 18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$6 x^{2} - 18 x$	=	0
$6 x \cdot (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

Die Lösungen 0, $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $0$

f''( $0$ ) = $12 \cdot 0 - 18$ = $0 - 18$ = $- 18$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $2 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 4$ = $4$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $4$ )

2.: x= $3$

f''( $3$ ) = $12 \cdot 3 - 18$ = $36 - 18$ = $18$ >0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $2 \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 4$ = $- 23$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $3$ | $- 23$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2} + 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2} + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $12 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x + 0$

= $12 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x$

$f''(x) =$ $36 x^{2} + 24 x - 72$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x$	=	0
$12 x \cdot (x^{2} + x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Die Lösungen $- 3$ , 0, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $36 \cdot {(- 3)}^{2} + 24 \cdot (- 3) - 72$ = $36 \cdot 9 - 72 - 72$ = $180$ >0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $3 \cdot {(- 3)}^{4} + 4 \cdot {(- 3)}^{3} - 36 \cdot {(- 3)}^{2} + 2$ = $- 187$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $- 187$ )

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $36 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0 - 72$ = $36 \cdot 0 + 0 - 72$ = $- 72$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $3 \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0^{3} - 36 \cdot 0^{2} + 2$ = $2$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $2$ )

3.: x= $2$

f''( $2$ ) = $36 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 72$ = $36 \cdot 4 + 48 - 72$ = $120$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $3 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} - 36 \cdot 2^{2} + 2$ = $- 62$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $2$ | $- 62$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} + 18 x - 60 + 0$

= $6 x^{2} + 18 x - 60$

$f''(x) =$ $12 x + 18 + 0$

= $12 x + 18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

6 x^{2} + 18 x - 60

= 0 |:6

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Die Lösungen $- 5$ , $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 5$

f''( $- 5$ ) = $12 \cdot (- 5) + 18$ = $- 60 + 18$ = $- 42$ <0

Das heißt bei x = $- 5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 5$ ) = $2 \cdot {(- 5)}^{3} + 9 \cdot {(- 5)}^{2} - 60 \cdot (- 5) + 3$ = $278$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 5$ | $278$ )

2.: x= $2$

f''( $2$ ) = $12 \cdot 2 + 18$ = $24 + 18$ = $42$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 60 \cdot 2 + 3$ = $- 65$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $2$ | $- 65$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Hochpunkt H(-2|3) besitzt, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Hochpunkt H(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Hochpunkt H(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $- x^{2}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $- 2 x$ , f₁''(x)= $- 2$ , und somit f₁''(0) = -2 < 0.

Somit hat der Graph der Funktion $- x^{2}$ einen Hochpunkt H(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um -2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). $- {(x + 2)}^{2}$ hat also an der Stelle x = -2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $- x^{2}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ $- {(x + 2)}^{2} + 3$ einen Hochpunkt H(-2|3), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

1.: x=0

2.: x=3

Extrempunkte (ganzrational)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-3

2.: x=0

3.: x=2

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-5

2.: x=2

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $0$

2.: x= $3$

1.: x= $- 3$

2.: x= $0$

3.: x= $2$

1.: x= $- 5$

2.: x= $2$