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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-2|-1). Für die Funktion g gilt : g(x) = $- 2$ ⋅ f(x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = $- 2$ ⋅ f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung um 2 in y-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T wird also zu einem Hochpunkt H, der y-Wert wird dabei mit dem Faktor $- 2$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-2| $2$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x + 2)}^{2} - 1$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = $- 2$ ⋅ f(x) = $- 2 ({(x + 2)}^{2} - 1)$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-2|2). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(-x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(-x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der y-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der x-Wert wird jedoch auf die andere Seite der y-Achse gespiegelt, weil ja bei x = -2 der größte Wert bei f(x) auftritt, bei f(-x) muss somit für x = -( - 2 ), also bei f(2) der größte Wert auftreten.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(2|2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- {(x + 2)}^{2} + 2$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(-x) = $- {(x - 2)}^{2} + 2$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-4|1). Für die Funktion g gilt : g(x) = $3$ ⋅ f(-x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f(-x) geht durch Spiegelung an der y-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(-x) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = 4.

Da g(x) = $3$ ⋅ f(-x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Streckung um 3 in y-Richtung aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch mit dem Faktor $3$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(4| $3$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 10 x - 4$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} - 10 x - 4$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x - 10 + 0$

= $2 x - 10$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x - 10$	=	0	\| $+ 10$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $5$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $5$ ) = $5^{2} - 10 \cdot 5 - 4$ = $- 29$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $5$ | $- 29$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} - 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} - 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x + 0$

= $4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$

$f''(x) =$ $12 x^{2} + 24 x - 16$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$4 x^{3} + 12 x^{2} - 16 x$	=	0
$4 x \cdot (x^{2} + 3 x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Die Lösungen $- 4$ , 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 4$

f''( $- 4$ ) = $12 \cdot {(- 4)}^{2} + 24 \cdot (- 4) - 16$ = $12 \cdot 16 - 96 - 16$ = $80$ >0

Das heißt bei x = $- 4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{4} + 4 \cdot {(- 4)}^{3} - 8 \cdot {(- 4)}^{2} - 1$ = $- 129$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 4$ | $- 129$ )

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $12 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0 - 16$ = $12 \cdot 0 + 0 - 16$ = $- 16$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $0^{4} + 4 \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0^{2} - 1$ = $- 1$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $- 1$ )

3.: x= $1$

f''( $1$ ) = $12 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$ = $12 \cdot 1 + 24 - 16$ = $20$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $1^{4} + 4 \cdot 1^{3} - 8 \cdot 1^{2} - 1$ = $- 4$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $1$ | $- 4$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} - 6 x - 36 + 0$

= $6 x^{2} - 6 x - 36$

$f''(x) =$ $12 x - 6 + 0$

= $12 x - 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

6 x^{2} - 6 x - 36

= 0 |:6

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Die Lösungen $- 2$ , $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 2$

f''( $- 2$ ) = $12 \cdot (- 2) - 6$ = $- 24 - 6$ = $- 30$ <0

Das heißt bei x = $- 2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 2$ ) = $2 \cdot {(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 36 \cdot (- 2) + 2$ = $46$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 2$ | $46$ )

2.: x= $3$

f''( $3$ ) = $12 \cdot 3 - 6$ = $36 - 6$ = $30$ >0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $2 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} - 36 \cdot 3 + 2$ = $- 79$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $3$ | $- 79$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Tiefpunkt T(-1|2) besitzt, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Tiefpunkt T(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Tiefpunkt T(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{2}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $2 x$ , f₁''(x)= $2$ , und somit f₁''(0) = 2 > 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{2}$ einen Tiefpunkt T(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um -1 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x + 1)}^{2}$ hat also an der Stelle x = -1 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{2}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x + 1)}^{2} + 2$ einen Tiefpunkt T(-1|2), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

Extrempunkte (ganzrational)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-4

2.: x=0

3.: x=1

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-2

2.: x=3

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 4$

2.: x= $0$

3.: x= $1$

1.: x= $- 2$

2.: x= $3$