Da g(x) = f(x +4) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -4 in x-Richtung - also um 4 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch um 4 nach links verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-2|-3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${\left(x-2\right)}^2-3$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x +4) = ${\left(x+2\right)}^2-3$.

Da g(x) = f($\frac{1}{2}$ ⋅ x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um $2$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Das heißt auf jeder Höhe ist der Abstand zur y-Achse vom gestreckten (roten) Graph $2$ mal so groß ist wie vom ursprünglichen (schwarzen) Graph

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch mit dem Faktor $2$ multipliziert, weil ja bei x = -1 der kleinste Wert bei f(x) auftritt, bei f($\frac{1}{2}$⋅x) muss somit für x = $-2$ , also bei f($\frac{1}{2}$⋅( - 2 )) der kleinste Wert auftreten.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-2|-3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${\left(x+1\right)}^2-3$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f($\frac{1}{2}$ ⋅ x) = ${\left(\frac{1}{2}x+1\right)}^2-3$.

Der (blaue) Graph von f(x -3) geht durch Verschiebung um 3 in x-Richtung - also um 3 nach rechts - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(x -3) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = 0.

Da g(x) = - f(x -3) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T wird also zu einem Hochpunkt H, der y-Wert wird dabei auf die andere Seite der x-Achse gespiegelt.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(0|5).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

$\text{f(x)}=$ $2x^3-3x^2+2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2-6x+0$

= $6x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $12x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$6x^2-6x$	=	0
$6x\left(x-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x=$0$

f''($0$) = $12\cdot 0-6$= $0-6$= $-6$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $2\cdot 0^3-3\cdot 0^2+2$ = $2$
Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $2$)

2.: x=$1$

f''($1$) = $12\cdot 1-6$= $12-6$= $6$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($1$) = $2\cdot 1^3-3\cdot 1^2+2$ = $1$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($1$| $1$)

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+3x^2+36x-1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+6x+36+0$

= $-6x^2+6x+36$

$\text{f''(x)}=$ $-12x+6+0$

= $-12x+6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-6x^2+6x+36$ = 0 |:6

$-x^2+x+6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·\left(-1\right)·6}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{25}}{-2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{-2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

Die Lösungen $-2$, $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x=$-2$

f''($-2$) = $-12\cdot \left(-2\right)+6$= $24+6$= $30$ >0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = $-2\cdot {\left(-2\right)}^3+3\cdot {\left(-2\right)}^2+36\cdot \left(-2\right)-1$ = $-45$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-2$| $-45$)

2.: x=$3$

f''($3$) = $-12\cdot 3+6$= $-36+6$= $-30$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($3$) = $-2\cdot 3^3+3\cdot 3^2+36\cdot 3-1$ = $80$
Man erhält so den Hochpunkt H:($3$| $80$)

$\text{f(x)}=$ $2x^3+3x^2-72x-3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+6x-72+0$

= $6x^2+6x-72$

$\text{f''(x)}=$ $12x+6+0$

= $12x+6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$6x^2+6x-72$ = 0 |:6

$x^2+x-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-12\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

Die Lösungen $-4$, $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x=$-4$

f''($-4$) = $12\cdot \left(-4\right)+6$= $-48+6$= $-42$ <0

Das heißt bei x = $-4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-4$) = $2\cdot {\left(-4\right)}^3+3\cdot {\left(-4\right)}^2-72\cdot \left(-4\right)-3$ = $205$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-4$| $205$)

2.: x=$3$

f''($3$) = $12\cdot 3+6$= $36+6$= $42$ >0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($3$) = $2\cdot 3^3+3\cdot 3^2-72\cdot 3-3$ = $-138$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($3$| $-138$)

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Sattelpunkt S(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Sattelpunkt S(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^3$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $3x^2$, f₁''(x)= $6x$, f₁'''(x)= $6$, und somit f₁'''(0) = 6 ≠ 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^3$ einen Sattelpunkt S(0|0), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um 2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${\left(x-2\right)}^3$ hat also an der Stelle x = 2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^3$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $\text{f(x)}=$ ${\left(x-2\right)}^3+2$ einen Sattelpunkt S(2|2), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.