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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-2|5). Für die Funktion g gilt : g(x) = - f(x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = - f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei auf die andere Seite der x-Achse gespiegelt.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-2|-5).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- {(x + 2)}^{2} + 5$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = - f(x) = ${(x + 2)}^{2} - 5$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-1|-4). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) +4

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x) +4 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 4 in y-Richtung - also um 4 nach oben - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 4 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-1|0).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x + 1)}^{2} - 4$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) +4 = ${(x + 1)}^{2}$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(2|2). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(-x) -3

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f(-x) geht durch Spiegelung an der y-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(-x) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = -2.

Da g(x) = f(-x) -3 gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -3 in y-Richtung - also um 3 nach unten - aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch um 3 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-2|-1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x + 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} - 2 x + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x - 2 + 0$

= $2 x - 2$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $1$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 2$ = $1$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $1$ | $1$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} + 6 x - 72 + 0$

= $6 x^{2} + 6 x - 72$

$f''(x) =$ $12 x + 6 + 0$

= $12 x + 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

6 x^{2} + 6 x - 72

= 0 |:6

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Die Lösungen $- 4$ , $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 4$

f''( $- 4$ ) = $12 \cdot (- 4) + 6$ = $- 48 + 6$ = $- 42$ <0

Das heißt bei x = $- 4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 3 \cdot {(- 4)}^{2} - 72 \cdot (- 4) - 2$ = $206$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 4$ | $206$ )

2.: x= $3$

f''( $3$ ) = $12 \cdot 3 + 6$ = $36 + 6$ = $42$ >0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $2 \cdot 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} - 72 \cdot 3 - 2$ = $- 137$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $3$ | $- 137$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 36 x + 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 36 x + 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 6 x^{2} + 6 x + 36 + 0$

= $- 6 x^{2} + 6 x + 36$

$f''(x) =$ $- 12 x + 6 + 0$

= $- 12 x + 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

- 6 x^{2} + 6 x + 36

= 0 |:6

$- x^{2} + x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Die Lösungen $- 2$ , $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 2$

f''( $- 2$ ) = $- 12 \cdot (- 2) + 6$ = $24 + 6$ = $30$ >0

Das heißt bei x = $- 2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 2$ ) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 36 \cdot (- 2) + 1$ = $- 43$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 2$ | $- 43$ )

2.: x= $3$

f''( $3$ ) = $- 12 \cdot 3 + 6$ = $- 36 + 6$ = $- 30$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 36 \cdot 3 + 1$ = $82$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $3$ | $82$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Hochpunkt H(-2|3) besitzt, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Hochpunkt H(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Hochpunkt H(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $- x^{2}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $- 2 x$ , f₁''(x)= $- 2$ , und somit f₁''(0) = -2 < 0.

Somit hat der Graph der Funktion $- x^{2}$ einen Hochpunkt H(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um -2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). $- {(x + 2)}^{2}$ hat also an der Stelle x = -2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $- x^{2}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ $- {(x + 2)}^{2} + 3$ einen Hochpunkt H(-2|3), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

Extrempunkte (ganzrational)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-4

2.: x=3

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-2

2.: x=3

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 4$

2.: x= $3$

1.: x= $- 2$

2.: x= $3$