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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(0|-1). Für die Funktion g gilt : g(x) = $- 2$ ⋅ f(x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = $- 2$ ⋅ f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung um 2 in y-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T wird also zu einem Hochpunkt H, der y-Wert wird dabei mit dem Faktor $- 2$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(0| $2$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $x^{2} - 1$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = $- 2$ ⋅ f(x) = $- 2 (x^{2} - 1)$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(2|-1). Für die Funktion g gilt : g(x) = f( $2$ ⋅ x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f( $2$ ⋅ x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um $\frac{1}{2}$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Das heißt auf jeder Höhe ist der Abstand zur y-Achse vom gestreckten (roten) Graph $\frac{1}{2}$ mal so groß ist wie vom ursprünglichen (schwarzen) Graph

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch mit dem Faktor $\frac{1}{2}$ multipliziert, weil ja bei x = 2 der kleinste Wert bei f(x) auftritt, bei f( $2$ ⋅x) muss somit für x = $1$ , also bei f( $2$ ⋅1) der kleinste Wert auftreten.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(1|-1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x - 2)}^{2} - 1$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f( $2$ ⋅ x) = ${(2 x - 2)}^{2} - 1$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-5|4). Für die Funktion g gilt : g(x) = - f(-x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f(-x) geht durch Spiegelung an der y-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(-x) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = 5.

Da g(x) = - f(-x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei auf die andere Seite der x-Achse gespiegelt.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(5|-4).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 9 x^{2} - 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 9 x^{2} - 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} - 18 x + 0$

= $6 x^{2} - 18 x$

$f''(x) =$ $12 x - 18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$6 x^{2} - 18 x$	=	0
$6 x \cdot (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

Die Lösungen 0, $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $0$

f''( $0$ ) = $12 \cdot 0 - 18$ = $0 - 18$ = $- 18$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $2 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} - 3$ = $- 3$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $- 3$ )

2.: x= $3$

f''( $3$ ) = $12 \cdot 3 - 18$ = $36 - 18$ = $18$ >0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $2 \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3^{2} - 3$ = $- 30$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $3$ | $- 30$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 72 x^{2} - 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 72 x^{2} - 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 12 x^{3} + 12 x^{2} + 144 x + 0$

= $- 12 x^{3} + 12 x^{2} + 144 x$

$f''(x) =$ $- 36 x^{2} + 24 x + 144$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 12 x^{3} + 12 x^{2} + 144 x$	=	0
$12 x \cdot (- x^{2} + x + 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Die Lösungen $- 3$ , 0, $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $- 36 \cdot {(- 3)}^{2} + 24 \cdot (- 3) + 144$ = $- 36 \cdot 9 - 72 + 144$ = $- 252$ <0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $- 3 \cdot {(- 3)}^{4} + 4 \cdot {(- 3)}^{3} + 72 \cdot {(- 3)}^{2} - 1$ = $296$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 3$ | $296$ )

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 36 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0 + 144$ = $- 36 \cdot 0 + 0 + 144$ = $144$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- 3 \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0^{3} + 72 \cdot 0^{2} - 1$ = $- 1$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $- 1$ )

3.: x= $4$

f''( $4$ ) = $- 36 \cdot 4^{2} + 24 \cdot 4 + 144$ = $- 36 \cdot 16 + 96 + 144$ = $- 336$ <0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $- 3 \cdot 4^{4} + 4 \cdot 4^{3} + 72 \cdot 4^{2} - 1$ = $639$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $4$ | $639$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 15 x^{2} + 36 x + 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} + 15 x^{2} + 36 x + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} + 30 x + 36 + 0$

= $6 x^{2} + 30 x + 36$

$f''(x) =$ $12 x + 30 + 0$

= $12 x + 30$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

6 x^{2} + 30 x + 36

= 0 |:6

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

Die Lösungen $- 3$ , $- 2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $12 \cdot (- 3) + 30$ = $- 36 + 30$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $2 \cdot {(- 3)}^{3} + 15 \cdot {(- 3)}^{2} + 36 \cdot (- 3) + 3$ = $- 24$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 3$ | $- 24$ )

2.: x= $- 2$

f''( $- 2$ ) = $12 \cdot (- 2) + 30$ = $- 24 + 30$ = $6$ >0

Das heißt bei x = $- 2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 2$ ) = $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 15 \cdot {(- 2)}^{2} + 36 \cdot (- 2) + 3$ = $- 25$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 2$ | $- 25$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Sattelpunkt S(2|3) besitzt, der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Sattelpunkt S(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Sattelpunkt S(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{3}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $3 x^{2}$ , f₁''(x)= $6 x$ , f₁'''(x)= $6$ , und somit f₁'''(0) = 6 ≠ 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{3}$ einen Sattelpunkt S(0|0), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um 2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x - 2)}^{3}$ hat also an der Stelle x = 2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{3}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x - 2)}^{3} + 3$ einen Sattelpunkt S(2|3), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

1.: x=0

2.: x=3

Extrempunkte (ganzrational)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-3

2.: x=0

3.: x=4

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-3

2.: x=-2

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $0$

2.: x= $3$

1.: x= $- 3$

2.: x= $0$

3.: x= $4$

1.: x= $- 3$

2.: x= $- 2$