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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(3|-2). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) +3

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = f(x) +3 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 3 in y-Richtung - also um 3 nach oben - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 3 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(3|1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x - 3)}^{2} - 2$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) +3 = ${(x - 3)}^{2} + 1$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(0|-1). Für die Funktion g gilt : g(x) = $3$ ⋅ f(x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = $3$ ⋅ f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um 3 in y-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch mit dem Faktor $3$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(0| $- 3$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $x^{2} - 1$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = $3$ ⋅ f(x) = $3 (x^{2} - 1)$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(3|0). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(-x) -2

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f(-x) geht durch Spiegelung an der y-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(-x) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = -3.

Da g(x) = f(-x) -2 gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -2 in y-Richtung - also um 2 nach unten - aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 2 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-3|-2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x - 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} + 6 x - 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x + 6 + 0$

= $2 x + 6$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Die Lösung x= $- 3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $- 3$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 2$ = $- 11$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $- 11$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 12 x^{3} - 12 x^{2} + 72 x$

$f''(x) =$ $- 36 x^{2} - 24 x + 72$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 12 x^{3} - 12 x^{2} + 72 x$	=	0
$- 12 x (x^{2} + x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Die Lösungen $- 3$ , 0, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $- 36 \cdot {(- 3)}^{2} - 24 \cdot (- 3) + 72$ = $- 36 \cdot 9 + 72 + 72$ = $- 180$ <0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $- 3 \cdot {(- 3)}^{4} - 4 \cdot {(- 3)}^{3} + 36 \cdot {(- 3)}^{2}$ = $189$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 3$ | $189$ )

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 36 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0 + 72$ = $- 36 \cdot 0 + 0 + 72$ = $72$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- 3 \cdot 0^{4} - 4 \cdot 0^{3} + 36 \cdot 0^{2}$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ |0)

3.: x= $2$

f''( $2$ ) = $- 36 \cdot 2^{2} - 24 \cdot 2 + 72$ = $- 36 \cdot 4 - 48 + 72$ = $- 120$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $- 3 \cdot 2^{4} - 4 \cdot 2^{3} + 36 \cdot 2^{2}$ = $64$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $2$ | $64$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $4 x^{3} + 12 x^{2} + 8 x + 0$

= $4 x^{3} + 12 x^{2} + 8 x$

$f''(x) =$ $12 x^{2} + 24 x + 8$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$4 x^{3} + 12 x^{2} + 8 x$	=	0
$4 x (x^{2} + 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₂ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₃ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Die Lösungen $- 2$ , $- 1$ , 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 2$

f''( $- 2$ ) = $12 \cdot {(- 2)}^{2} + 24 \cdot (- 2) + 8$ = $12 \cdot 4 - 48 + 8$ = $8$ >0

Das heißt bei x = $- 2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{4} + 4 \cdot {(- 2)}^{3} + 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 3$ = $- 3$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 2$ | $- 3$ )

2.: x= $- 1$

f''( $- 1$ ) = $12 \cdot {(- 1)}^{2} + 24 \cdot (- 1) + 8$ = $12 \cdot 1 - 24 + 8$ = $- 4$ <0

Das heißt bei x = $- 1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{4} + 4 \cdot {(- 1)}^{3} + 4 \cdot {(- 1)}^{2} - 3$ = $- 2$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 1$ | $- 2$ )

3.: x= $0$

f''( $0$ ) = $12 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0 + 8$ = $12 \cdot 0 + 0 + 8$ = $8$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $0^{4} + 4 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} - 3$ = $- 3$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $- 3$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Sattelpunkt S(-3|-2) besitzt, der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Sattelpunkt S(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Sattelpunkt S(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{3}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $3 x^{2}$ , f₁''(x)= $6 x$ , f₁'''(x)= $6$ , und somit f₁'''(0) = 6 ≠ 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{3}$ einen Sattelpunkt S(0|0), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um -3 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x + 3)}^{3}$ hat also an der Stelle x = -3 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{3}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x + 3)}^{3} - 2$ einen Sattelpunkt S(-3|-2), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

Extrempunkte (ganzrational)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-3

2.: x=0

3.: x=2

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-2

2.: x=-1

3.: x=0

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 3$

2.: x= $0$

3.: x= $2$

1.: x= $- 2$

2.: x= $- 1$

3.: x= $0$