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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(3|-5). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) +3

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = f(x) +3 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 3 in y-Richtung - also um 3 nach oben - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 3 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(3|-2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x - 3)}^{2} - 5$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) +3 = ${(x - 3)}^{2} - 2$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(5|-2). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x +2)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x +2) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -2 in x-Richtung - also um 2 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch um 2 nach links verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(3|-2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x - 5)}^{2} - 2$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x +2) = ${(x - 3)}^{2} - 2$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(1|2). Für die Funktion g gilt : g(x) = $2$ ⋅ f( $\frac{1}{2}$ ⋅ x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f( $\frac{1}{2}$ ⋅ x) geht durch Streckung um $2$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f( $\frac{1}{2}$ ⋅ x) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = 2.

Da g(x) = $2$ ⋅ f( $\frac{1}{2}$ ⋅ x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Streckung um 2 in y-Richtung aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch mit dem Faktor $2$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(2| $4$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 4$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 4$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x - 2 + 0$

= $2 x - 2$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $1$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 4$ = $- 5$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $1$ | $- 5$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} + 6 x - 9 + 0$

= $3 x^{2} + 6 x - 9$

$f''(x) =$ $6 x + 6 + 0$

= $6 x + 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

3 x^{2} + 6 x - 9

= 0 |:3

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Die Lösungen $- 3$ , $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $6 \cdot (- 3) + 6$ = $- 18 + 6$ = $- 12$ <0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{3} + 3 \cdot {(- 3)}^{2} - 9 \cdot (- 3) + 2$ = $29$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 3$ | $29$ )

2.: x= $1$

f''( $1$ ) = $6 \cdot 1 + 6$ = $6 + 6$ = $12$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 2$ = $- 3$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $1$ | $- 3$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 3 x^{2} - 120 x + 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 3 x^{2} - 120 x + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} - 6 x - 120 + 0$

= $6 x^{2} - 6 x - 120$

$f''(x) =$ $12 x - 6 + 0$

= $12 x - 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

6 x^{2} - 6 x - 120

= 0 |:6

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Die Lösungen $- 4$ , $5$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 4$

f''( $- 4$ ) = $12 \cdot (- 4) - 6$ = $- 48 - 6$ = $- 54$ <0

Das heißt bei x = $- 4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = $2 \cdot {(- 4)}^{3} - 3 \cdot {(- 4)}^{2} - 120 \cdot (- 4) + 2$ = $306$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 4$ | $306$ )

2.: x= $5$

f''( $5$ ) = $12 \cdot 5 - 6$ = $60 - 6$ = $54$ >0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $5$ ) = $2 \cdot 5^{3} - 3 \cdot 5^{2} - 120 \cdot 5 + 2$ = $- 423$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $5$ | $- 423$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Sattelpunkt S(2|-1) besitzt, der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Sattelpunkt S(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Sattelpunkt S(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{3}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $3 x^{2}$ , f₁''(x)= $6 x$ , f₁'''(x)= $6$ , und somit f₁'''(0) = 6 ≠ 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{3}$ einen Sattelpunkt S(0|0), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um 2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x - 2)}^{3}$ hat also an der Stelle x = 2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{3}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x - 2)}^{3} - 1$ einen Sattelpunkt S(2|-1), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

Extrempunkte (ganzrational)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-3

2.: x=1

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-4

2.: x=5

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 3$

2.: x= $1$

1.: x= $- 4$

2.: x= $5$