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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(1|-3). Für die Funktion g gilt : g(x) = - f(x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = - f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T wird also zu einem Hochpunkt H, der y-Wert wird dabei auf die andere Seite der x-Achse gespiegelt.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(1|3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x - 1)}^{2} - 3$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = - f(x) = $- {(x - 1)}^{2} + 3$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(3|-2). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x +2)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x +2) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -2 in x-Richtung - also um 2 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch um 2 nach links verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(1|-2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x - 3)}^{2} - 2$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x +2) = ${(x - 1)}^{2} - 2$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-2|-2). Für die Funktion g gilt : g(x) = $- \frac{1}{2}$ ⋅ f( $\frac{1}{2}$ ⋅ x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f( $\frac{1}{2}$ ⋅ x) geht durch Streckung um $2$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f( $\frac{1}{2}$ ⋅ x) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = -4.

Da g(x) = $- \frac{1}{2}$ ⋅ f( $\frac{1}{2}$ ⋅ x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung um 0.5 in y-Richtung aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T wird also zu einem Hochpunkt H, der y-Wert wird dabei mit dem Faktor $- \frac{1}{2}$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-4| $1$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 x^{2} + 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} + 3 x^{2} + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} + 6 x + 0$

= $3 x^{2} + 6 x$

$f''(x) =$ $6 x + 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3 x^{2} + 6 x$	=	0
$3 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Die Lösungen $- 2$ , 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 2$

f''( $- 2$ ) = $6 \cdot (- 2) + 6$ = $- 12 + 6$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $- 2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 3$ = $7$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 2$ | $7$ )

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $6 \cdot 0 + 6$ = $0 + 6$ = $6$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $0^{3} + 3 \cdot 0^{2} + 3$ = $3$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $3$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x - 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} + 6 x - 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x + 6 + 0$

= $2 x + 6$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Die Lösung x= $- 3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $- 3$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 1$ = $- 10$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $- 10$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 9 x^{2} - 15 x - 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{3} - 9 x^{2} - 15 x - 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 18 x - 15 + 0$

= $- 3 x^{2} - 18 x - 15$

$f''(x) =$ $- 6 x - 18 + 0$

= $- 6 x - 18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

- 3 x^{2} - 18 x - 15

= 0 |:3

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6+4}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6-4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

Die Lösungen $- 5$ , $- 1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 5$

f''( $- 5$ ) = $- 6 \cdot (- 5) - 18$ = $30 - 18$ = $12$ >0

Das heißt bei x = $- 5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{3} - 9 \cdot {(- 5)}^{2} - 15 \cdot (- 5) - 2$ = $- 27$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 5$ | $- 27$ )

2.: x= $- 1$

f''( $- 1$ ) = $- 6 \cdot (- 1) - 18$ = $6 - 18$ = $- 12$ <0

Das heißt bei x = $- 1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{3} - 9 \cdot {(- 1)}^{2} - 15 \cdot (- 1) - 2$ = $5$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 1$ | $5$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Hochpunkt H(-1|2) besitzt, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Hochpunkt H(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Hochpunkt H(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $- x^{2}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $- 2 x$ , f₁''(x)= $- 2$ , und somit f₁''(0) = -2 < 0.

Somit hat der Graph der Funktion $- x^{2}$ einen Hochpunkt H(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um -1 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). $- {(x + 1)}^{2}$ hat also an der Stelle x = -1 genau die gleichen Ableitungswerte wie $- x^{2}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ $- {(x + 1)}^{2} + 2$ einen Hochpunkt H(-1|2), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

1.: x=-2

2.: x=0

Extrempunkte (ganzrational)

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-5

2.: x=-1

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 2$

2.: x= $0$

1.: x= $- 5$

2.: x= $- 1$