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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-5|3). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x -2)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = f(x -2) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 2 in x-Richtung - also um 2 nach rechts - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der x-Wert wird jedoch um 2 nach rechts verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-3|3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- {(x + 5)}^{2} + 3$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x -2) = $- {(x + 3)}^{2} + 3$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(1|0). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) -3

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x) -3 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -3 in y-Richtung - also um 3 nach unten - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 3 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(1|-3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x - 1)}^{2}$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) -3 = ${(x - 1)}^{2} - 3$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(1|1). Für die Funktion g gilt : g(x) = $- 3$ ⋅ f(-x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f(-x) geht durch Spiegelung an der y-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(-x) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = -1.

Da g(x) = $- 3$ ⋅ f(-x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung um 3 in y-Richtung aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei mit dem Faktor $- 3$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-1| $- 3$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 8 x - 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} - 8 x - 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x - 8 + 0$

= $2 x - 8$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Die Lösung x= $4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $4$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 3$ = $- 19$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $4$ | $- 19$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{4} + 12 x^{3} + 40 x^{2} - 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + 12 x^{3} + 40 x^{2} - 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $4 x^{3} + 36 x^{2} + 80 x + 0$

= $4 x^{3} + 36 x^{2} + 80 x$

$f''(x) =$ $12 x^{2} + 72 x + 80$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 80 x$	=	0
$4 x (x^{2} + 9 x + 20)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₂ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₃ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Die Lösungen $- 5$ , $- 4$ , 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 5$

f''( $- 5$ ) = $12 \cdot {(- 5)}^{2} + 72 \cdot (- 5) + 80$ = $12 \cdot 25 - 360 + 80$ = $20$ >0

Das heißt bei x = $- 5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 5$ ) = ${(- 5)}^{4} + 12 \cdot {(- 5)}^{3} + 40 \cdot {(- 5)}^{2} - 2$ = $123$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 5$ | $123$ )

2.: x= $- 4$

f''( $- 4$ ) = $12 \cdot {(- 4)}^{2} + 72 \cdot (- 4) + 80$ = $12 \cdot 16 - 288 + 80$ = $- 16$ <0

Das heißt bei x = $- 4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{4} + 12 \cdot {(- 4)}^{3} + 40 \cdot {(- 4)}^{2} - 2$ = $126$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 4$ | $126$ )

3.: x= $0$

f''( $0$ ) = $12 \cdot 0^{2} + 72 \cdot 0 + 80$ = $12 \cdot 0 + 0 + 80$ = $80$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $0^{4} + 12 \cdot 0^{3} + 40 \cdot 0^{2} - 2$ = $- 2$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $- 2$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 6 x^{4} - 32 x^{3} - 36 x^{2}$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 x^{4} - 32 x^{3} - 36 x^{2}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 24 x^{3} - 96 x^{2} - 72 x$

$f''(x) =$ $- 72 x^{2} - 192 x - 72$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 24 x^{3} - 96 x^{2} - 72 x$	=	0
$- 24 x (x^{2} + 4 x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Die Lösungen $- 3$ , $- 1$ , 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $- 72 \cdot {(- 3)}^{2} - 192 \cdot (- 3) - 72$ = $- 72 \cdot 9 + 576 - 72$ = $- 144$ <0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $- 6 \cdot {(- 3)}^{4} - 32 \cdot {(- 3)}^{3} - 36 \cdot {(- 3)}^{2}$ = $54$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 3$ | $54$ )

2.: x= $- 1$

f''( $- 1$ ) = $- 72 \cdot {(- 1)}^{2} - 192 \cdot (- 1) - 72$ = $- 72 \cdot 1 + 192 - 72$ = $48$ >0

Das heißt bei x = $- 1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 1$ ) = $- 6 \cdot {(- 1)}^{4} - 32 \cdot {(- 1)}^{3} - 36 \cdot {(- 1)}^{2}$ = $- 10$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 1$ | $- 10$ )

3.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 72 \cdot 0^{2} - 192 \cdot 0 - 72$ = $- 72 \cdot 0 + 0 - 72$ = $- 72$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- 6 \cdot 0^{4} - 32 \cdot 0^{3} - 36 \cdot 0^{2}$ = 0
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ |0)

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Tiefpunkt T(2|1) besitzt, der sich nicht mit Hilfe der 2. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Tiefpunkt T(0|0) im Ursprung zu finden, der sich nicht mit Hilfe der 2. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Tiefpunkt T(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{2}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $2 x$ , f₁''(x)= $2$ , und somit f₁''(0) = 2 > 0.

Bei f₁(x)= $x^{2}$ lässt sich also der Tiefpunkt T(0|0) mit der 2. Ableitung nachweisen. Aber wir suchen ja eine Funktion, bei der das gerade nicht geht!
Also probieren wir es mal mit f₂(x)= $x^{4}$ , hier gilt dann:
f₂'(x)= $4 x^{3}$ , f₂''(x)= $12 x^{2}$ , und somit f₁''(0) = 0. Man sieht aber leicht, dass ...

f₂'(x)= $4 x^{3}$ < 0 für alle x < 0 und
f₂'(x)= $4 x^{3}$ > 0 für alle x > 0 ...

gilt. Es liegt also ein Vorzeichenwechsel in der 1. Ableitung von f₂(x)= $x^{4}$ vor.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{4}$ einen Tiefpunkt T(0|0), der sich nicht mit Hilfe der 2. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um 2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x - 2)}^{4}$ hat also an der Stelle x = 2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{4}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x - 2)}^{4} + 1$ einen Tiefpunkt T(2|1), der sich nicht mit Hilfe der 2. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

Extrempunkte (ganzrational)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-5

2.: x=-4

3.: x=0

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-3

2.: x=-1

3.: x=0

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 5$

2.: x= $- 4$

3.: x= $0$

1.: x= $- 3$

2.: x= $- 1$

3.: x= $0$