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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-2|1). Für die Funktion g gilt : g(x) = $- 3$ ⋅ f(x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = $- 3$ ⋅ f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung um 3 in y-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei mit dem Faktor $- 3$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-2| $- 3$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- {(x + 2)}^{2} + 1$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = $- 3$ ⋅ f(x) = $- 3 (- {(x + 2)}^{2} + 1)$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(0|-2). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x -3)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x -3) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 3 in x-Richtung - also um 3 nach rechts - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch um 3 nach rechts verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(3|-2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $x^{2} - 2$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x -3) = ${(x - 3)}^{2} - 2$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-2|3). Für die Funktion g gilt : g(x) = - f( $\frac{1}{3}$ ⋅ x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f( $\frac{1}{3}$ ⋅ x) geht durch Streckung um $3$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f( $\frac{1}{3}$ ⋅ x) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = -6.

Da g(x) = - f( $\frac{1}{3}$ ⋅ x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei auf die andere Seite der x-Achse gespiegelt.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-6|-3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x + 2 + 0$

= $2 x + 2$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Die Lösung x= $- 1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $- 1$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $- 1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 1$ = $- 2$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 1$ | $- 2$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x - 2 + 0$

= $2 x - 2$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $1$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $1^{2} - 2 \cdot 1 - 2$ = $- 3$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $1$ | $- 3$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 6 x^{4} - 64 x^{3} - 180 x^{2} + 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 x^{4} - 64 x^{3} - 180 x^{2} + 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 24 x^{3} - 192 x^{2} - 360 x + 0$

= $- 24 x^{3} - 192 x^{2} - 360 x$

$f''(x) =$ $- 72 x^{2} - 384 x - 360$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 24 x^{3} - 192 x^{2} - 360 x$	=	0
$- 24 x \cdot (x^{2} + 8 x + 15)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₂ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₃ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

Die Lösungen $- 5$ , $- 3$ , 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 5$

f''( $- 5$ ) = $- 72 \cdot {(- 5)}^{2} - 384 \cdot (- 5) - 360$ = $- 72 \cdot 25 + 1 920 - 360$ = $- 240$ <0

Das heißt bei x = $- 5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 5$ ) = $- 6 \cdot {(- 5)}^{4} - 64 \cdot {(- 5)}^{3} - 180 \cdot {(- 5)}^{2} + 1$ = $- 249$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 5$ | $- 249$ )

2.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $- 72 \cdot {(- 3)}^{2} - 384 \cdot (- 3) - 360$ = $- 72 \cdot 9 + 1 152 - 360$ = $144$ >0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $- 6 \cdot {(- 3)}^{4} - 64 \cdot {(- 3)}^{3} - 180 \cdot {(- 3)}^{2} + 1$ = $- 377$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $- 377$ )

3.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 72 \cdot 0^{2} - 384 \cdot 0 - 360$ = $- 72 \cdot 0 + 0 - 360$ = $- 360$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- 6 \cdot 0^{4} - 64 \cdot 0^{3} - 180 \cdot 0^{2} + 1$ = $1$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $1$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Sattelpunkt S(-3|-2) besitzt, der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Sattelpunkt S(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Sattelpunkt S(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{3}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $3 x^{2}$ , f₁''(x)= $6 x$ , f₁'''(x)= $6$ , und somit f₁'''(0) = 6 ≠ 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{3}$ einen Sattelpunkt S(0|0), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um -3 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x + 3)}^{3}$ hat also an der Stelle x = -3 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{3}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x + 3)}^{3} - 2$ einen Sattelpunkt S(-3|-2), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

Extrempunkte (ganzrational)

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-5

2.: x=-3

3.: x=0

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 5$

2.: x= $- 3$

3.: x= $0$