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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-3|0). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x -3)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = f(x -3) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 3 in x-Richtung - also um 3 nach rechts - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch um 3 nach rechts verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(0|0).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x + 3)}^{2}$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x -3) = $x^{2}$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-1|0). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x -4)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x -4) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 4 in x-Richtung - also um 4 nach rechts - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch um 4 nach rechts verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(3|0).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x + 1)}^{2}$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x -4) = ${(x - 3)}^{2}$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-1|-4). Für die Funktion g gilt : g(x) = f( $\frac{1}{2}$ ⋅ x) +2

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f( $\frac{1}{2}$ ⋅ x) geht durch Streckung um $2$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f( $\frac{1}{2}$ ⋅ x) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = -2.

Da g(x) = f( $\frac{1}{2}$ ⋅ x) +2 gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 2 in y-Richtung - also um 2 nach oben - aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 2 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-2|-2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x + 6 + 0$

= $2 x + 6$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Die Lösung x= $- 3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $- 3$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 3$ = $- 6$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $- 6$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} + 12 x - 15 + 0$

= $3 x^{2} + 12 x - 15$

$f''(x) =$ $6 x + 12 + 0$

= $6 x + 12$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

3 x^{2} + 12 x - 15

= 0 |:3

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Die Lösungen $- 5$ , $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 5$

f''( $- 5$ ) = $6 \cdot (- 5) + 12$ = $- 30 + 12$ = $- 18$ <0

Das heißt bei x = $- 5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 5$ ) = ${(- 5)}^{3} + 6 \cdot {(- 5)}^{2} - 15 \cdot (- 5) + 3$ = $103$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 5$ | $103$ )

2.: x= $1$

f''( $1$ ) = $6 \cdot 1 + 12$ = $6 + 12$ = $18$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 15 \cdot 1 + 3$ = $- 5$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $1$ | $- 5$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} - 6 x - 72 + 0$

= $6 x^{2} - 6 x - 72$

$f''(x) =$ $12 x - 6 + 0$

= $12 x - 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

6 x^{2} - 6 x - 72

= 0 |:6

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Die Lösungen $- 3$ , $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $12 \cdot (- 3) - 6$ = $- 36 - 6$ = $- 42$ <0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $2 \cdot {(- 3)}^{3} - 3 \cdot {(- 3)}^{2} - 72 \cdot (- 3) - 1$ = $134$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 3$ | $134$ )

2.: x= $4$

f''( $4$ ) = $12 \cdot 4 - 6$ = $48 - 6$ = $42$ >0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $2 \cdot 4^{3} - 3 \cdot 4^{2} - 72 \cdot 4 - 1$ = $- 209$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $4$ | $- 209$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Tiefpunkt T(-2|-2) besitzt, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Tiefpunkt T(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Tiefpunkt T(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{2}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $2 x$ , f₁''(x)= $2$ , und somit f₁''(0) = 2 > 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{2}$ einen Tiefpunkt T(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um -2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x + 2)}^{2}$ hat also an der Stelle x = -2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{2}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x + 2)}^{2} - 2$ einen Tiefpunkt T(-2|-2), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

Extrempunkte (ganzrational)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-5

2.: x=1

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-3

2.: x=4

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 5$

2.: x= $1$

1.: x= $- 3$

2.: x= $4$