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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-1|3). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x -2)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = f(x -2) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 2 in x-Richtung - also um 2 nach rechts - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der x-Wert wird jedoch um 2 nach rechts verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(1|3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- {(x + 1)}^{2} + 3$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x -2) = $- {(x - 1)}^{2} + 3$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-3|-3). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) +4

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x) +4 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 4 in y-Richtung - also um 4 nach oben - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 4 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-3|1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x + 3)}^{2} - 3$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) +4 = ${(x + 3)}^{2} + 1$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(5|1). Für die Funktion g gilt : g(x) = $2$ ⋅ f(x +4)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f(x +4) geht durch Verschiebung um -4 in x-Richtung - also um 4 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(x +4) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = 1.

Da g(x) = $2$ ⋅ f(x +4) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Streckung um 2 in y-Richtung aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch mit dem Faktor $2$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(1| $2$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 10 x + 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} - 10 x + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x - 10 + 0$

= $2 x - 10$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x - 10$	=	0	\| $+ 10$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $5$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $5$ ) = $5^{2} - 10 \cdot 5 + 3$ = $- 22$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $5$ | $- 22$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 10 x$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} + 10 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x + 10$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x + 10$	=	0	\| $- 10$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Die Lösung x= $- 5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $- 5$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $- 5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 5$ ) = ${(- 5)}^{2} + 10 \cdot (- 5)$ = $- 25$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 5$ | $- 25$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x - 9 + 0$

= $3 x^{2} - 6 x - 9$

$f''(x) =$ $6 x - 6 + 0$

= $6 x - 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

3 x^{2} - 6 x - 9

= 0 |:3

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Die Lösungen $- 1$ , $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 1$

f''( $- 1$ ) = $6 \cdot (- 1) - 6$ = $- 6 - 6$ = $- 12$ <0

Das heißt bei x = $- 1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 9 \cdot (- 1) + 3$ = $8$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 1$ | $8$ )

2.: x= $3$

f''( $3$ ) = $6 \cdot 3 - 6$ = $18 - 6$ = $12$ >0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $3^{3} - 3 \cdot 3^{2} - 9 \cdot 3 + 3$ = $- 24$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $3$ | $- 24$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Hochpunkt H(2|-3) besitzt, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Hochpunkt H(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Hochpunkt H(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $- x^{2}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $- 2 x$ , f₁''(x)= $- 2$ , und somit f₁''(0) = -2 < 0.

Somit hat der Graph der Funktion $- x^{2}$ einen Hochpunkt H(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um 2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). $- {(x - 2)}^{2}$ hat also an der Stelle x = 2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $- x^{2}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ $- {(x - 2)}^{2} - 3$ einen Hochpunkt H(2|-3), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

Extrempunkte (ganzrational)

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-1

2.: x=3

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 1$

2.: x= $3$