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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-3|-1). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) +2

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = f(x) +2 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 2 in y-Richtung - also um 2 nach oben - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 2 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-3|1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x + 3)}^{2} - 1$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) +2 = ${(x + 3)}^{2} + 1$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(4|0). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x +1)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x +1) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -1 in x-Richtung - also um 1 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch um 1 nach links verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(3|0).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x - 4)}^{2}$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x +1) = ${(x - 3)}^{2}$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(3|-3). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x +1) +2

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f(x +1) geht durch Verschiebung um -1 in x-Richtung - also um 1 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(x +1) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = 2.

Da g(x) = f(x +1) +2 gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 2 in y-Richtung - also um 2 nach oben - aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 2 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(2|-1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 8 x + 4$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} + 8 x + 4$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x + 8 + 0$

= $2 x + 8$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Die Lösung x= $- 4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $- 4$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $- 4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) + 4$ = $- 12$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 4$ | $- 12$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 6 x + 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} - 6 x + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x - 6 + 0$

= $2 x - 6$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $3$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 2$ = $- 7$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $3$ | $- 7$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 27 x^{2} + 120 x - 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} + 27 x^{2} + 120 x - 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} + 54 x + 120 + 0$

= $6 x^{2} + 54 x + 120$

$f''(x) =$ $12 x + 54 + 0$

= $12 x + 54$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

6 x^{2} + 54 x + 120

= 0 |:6

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Die Lösungen $- 5$ , $- 4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 5$

f''( $- 5$ ) = $12 \cdot (- 5) + 54$ = $- 60 + 54$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $- 5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 5$ ) = $2 \cdot {(- 5)}^{3} + 27 \cdot {(- 5)}^{2} + 120 \cdot (- 5) - 3$ = $- 178$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 5$ | $- 178$ )

2.: x= $- 4$

f''( $- 4$ ) = $12 \cdot (- 4) + 54$ = $- 48 + 54$ = $6$ >0

Das heißt bei x = $- 4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 27 \cdot {(- 4)}^{2} + 120 \cdot (- 4) - 3$ = $- 179$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 4$ | $- 179$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Sattelpunkt S(2|2) besitzt, der sich nicht mit Hilfe der 3. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Sattelpunkt S(0|0) im Ursprung zu finden, der sich nicht mit Hilfe der 3. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Sattelpunkt S(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{3}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $3 x^{2}$ , f₁''(x)= $6 x$ , f₁'''(x)= $6$ , und somit f₁'''(0) = 6 ≠ 0.

Bei f₁(x)= $x^{3}$ lässt sich also der Sattelpunkt S(0|0) mit der 3. Ableitung nachweisen. Aber wir suchen ja eine Funktion, bei der das gerade nicht geht!
Also probieren wir es mal mit f₂(x)= $x^{5}$ , hier gilt dann:
f₂'(x)= $5 x^{4}$ , f₂''(x)= $20 x^{3}$ , f₂'''(x)= $60 x^{2}$ , und somit f₁'''(0) = 0. Man sieht aber leicht, dass ...

f₂''(x)= $20 x^{3}$ < 0 für alle x < 0 und
f₂''(x)= $20 x^{3}$ > 0 für alle x > 0 ...

gilt. Es liegt also ein Vorzeichenwechsel in der 2. Ableitung von f₂(x)= $x^{5}$ vor.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{5}$ einen Sattelpunkt S(0|0), der sich nicht mit Hilfe der 3. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um 2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x - 2)}^{5}$ hat also an der Stelle x = 2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{5}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x - 2)}^{5} + 2$ einen Sattelpunkt S(2|2), der sich nicht mit Hilfe der 3. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

Extrempunkte (ganzrational)

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-5

2.: x=-4

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 5$

2.: x= $- 4$