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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(0|-3). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x +3)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = f(x +3) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -3 in x-Richtung - also um 3 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch um 3 nach links verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-3|-3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $x^{2} - 3$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x +3) = ${(x + 3)}^{2} - 3$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(2|0). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) -4

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x) -4 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -4 in y-Richtung - also um 4 nach unten - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 4 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(2|-4).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x - 2)}^{2}$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) -4 = ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-2|0). Für die Funktion g gilt : g(x) = f( $\frac{1}{3}$ ⋅ x) +3

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f( $\frac{1}{3}$ ⋅ x) geht durch Streckung um $3$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f( $\frac{1}{3}$ ⋅ x) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = -6.

Da g(x) = f( $\frac{1}{3}$ ⋅ x) +3 gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 3 in y-Richtung - also um 3 nach oben - aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 3 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-6|3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 6 x + 4$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} - 6 x + 4$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x - 6 + 0$

= $2 x - 6$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $3$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 4$ = $- 5$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $3$ | $- 5$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} + 18 x + 12 + 0$

= $6 x^{2} + 18 x + 12$

$f''(x) =$ $12 x + 18 + 0$

= $12 x + 18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

6 x^{2} + 18 x + 12

= 0 |:6

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Die Lösungen $- 2$ , $- 1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 2$

f''( $- 2$ ) = $12 \cdot (- 2) + 18$ = $- 24 + 18$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $- 2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 2$ ) = $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 9 \cdot {(- 2)}^{2} + 12 \cdot (- 2) - 2$ = $- 6$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 2$ | $- 6$ )

2.: x= $- 1$

f''( $- 1$ ) = $12 \cdot (- 1) + 18$ = $- 12 + 18$ = $6$ >0

Das heißt bei x = $- 1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 1$ ) = $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 12 \cdot (- 1) - 2$ = $- 7$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 1$ | $- 7$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} + 27 x$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{3} + 27 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 27$

$f''(x) =$ $- 6 x + 0$

= $- 6 x$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 3 x^{2} + 27$	=	0	\| $- 27$
$- 3 x^{2}$	=	$- 27$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Die Lösungen $- 3$ , $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $- 6 \cdot (- 3)$ = $18$ = $18$ >0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{3} + 27 \cdot (- 3)$ = $- 54$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $- 54$ )

2.: x= $3$

f''( $3$ ) = $- 6 \cdot 3$ = $- 18$ = $- 18$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $- 3^{3} + 27 \cdot 3$ = $54$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $3$ | $54$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Tiefpunkt T(1|2) besitzt, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Tiefpunkt T(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Tiefpunkt T(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{2}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $2 x$ , f₁''(x)= $2$ , und somit f₁''(0) = 2 > 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{2}$ einen Tiefpunkt T(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um 1 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x - 1)}^{2}$ hat also an der Stelle x = 1 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{2}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x - 1)}^{2} + 2$ einen Tiefpunkt T(1|2), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

Extrempunkte (ganzrational)

1.: x=-2

2.: x=-1

Extrempunkte (auch mit VZW)

1.: x=-3

2.: x=3

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 2$

2.: x= $- 1$

1.: x= $- 3$

2.: x= $3$