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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-1|0). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) +2

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = f(x) +2 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 2 in y-Richtung - also um 2 nach oben - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 2 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-1|2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x + 1)}^{2}$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) +2 = ${(x + 1)}^{2} + 2$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(1|-2). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x +2)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x +2) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -2 in x-Richtung - also um 2 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch um 2 nach links verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-1|-2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x - 1)}^{2} - 2$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x +2) = ${(x + 1)}^{2} - 2$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(0|-4). Für die Funktion g gilt : g(x) = - f(x +1)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f(x +1) geht durch Verschiebung um -1 in x-Richtung - also um 1 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(x +1) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = -1.

Da g(x) = - f(x +1) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T wird also zu einem Hochpunkt H, der y-Wert wird dabei auf die andere Seite der x-Achse gespiegelt.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-1|4).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x + 6 + 0$

= $2 x + 6$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Die Lösung x= $- 3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $- 3$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 2$ = $- 7$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $- 7$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} - 12 x^{2} + 45 x + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} - 24 x + 45 + 0$

= $3 x^{2} - 24 x + 45$

$f''(x) =$ $6 x - 24 + 0$

= $6 x - 24$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

3 x^{2} - 24 x + 45

= 0 |:3

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Die Lösungen $3$ , $5$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $3$

f''( $3$ ) = $6 \cdot 3 - 24$ = $18 - 24$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 \cdot 3 + 2$ = $56$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $3$ | $56$ )

2.: x= $5$

f''( $5$ ) = $6 \cdot 5 - 24$ = $30 - 24$ = $6$ >0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $5$ ) = $5^{3} - 12 \cdot 5^{2} + 45 \cdot 5 + 2$ = $52$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $5$ | $52$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 27 x + 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} - 27 x + 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} - 27 + 0$

= $3 x^{2} - 27$

$f''(x) =$ $6 x + 0$

= $6 x$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3 x^{2} - 27$	=	0	\| $+ 27$
$3 x^{2}$	=	$27$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Die Lösungen $- 3$ , $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $6 \cdot (- 3)$ = $- 18$ = $- 18$ <0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{3} - 27 \cdot (- 3) + 1$ = $55$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 3$ | $55$ )

2.: x= $3$

f''( $3$ ) = $6 \cdot 3$ = $18$ = $18$ >0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $3^{3} - 27 \cdot 3 + 1$ = $- 53$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $3$ | $- 53$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Tiefpunkt T(-2|2) besitzt, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Tiefpunkt T(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Tiefpunkt T(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{2}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $2 x$ , f₁''(x)= $2$ , und somit f₁''(0) = 2 > 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{2}$ einen Tiefpunkt T(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um -2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x + 2)}^{2}$ hat also an der Stelle x = -2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{2}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x + 2)}^{2} + 2$ einen Tiefpunkt T(-2|2), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

Extrempunkte (ganzrational)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=3

2.: x=5

Extrempunkte (auch mit VZW)

1.: x=-3

2.: x=3

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $3$

2.: x= $5$

1.: x= $- 3$

2.: x= $3$