nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(2|1). Für die Funktion g gilt : g(x) = -2⋅ f(x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Da g(x) = -2⋅ f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung um 2 in y-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei mit dem Faktor -2 multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(2|-2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= - ( x -2 ) 2 +1 , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = -2⋅ f(x) = -2( - ( x -2 ) 2 +1 ) .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-1|0). Für die Funktion g gilt : g(x) = f( 1 3 ⋅ x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Da g(x) = f( 1 3 ⋅ x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um 3 in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Das heißt auf jeder Höhe ist der Abstand zur y-Achse vom gestreckten (roten) Graph 3 mal so groß ist wie vom ursprünglichen (schwarzen) Graph

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch mit dem Faktor 3 multipliziert, weil ja bei x = -1 der kleinste Wert bei f(x) auftritt, bei f( 1 3 ⋅x) muss somit für x = -3 , also bei f( 1 3 ( - 3 )) der kleinste Wert auftreten.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-3|0).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ( x +1 ) 2 , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f( 1 3 ⋅ x) = ( 1 3 x +1 ) 2 .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-2|-1). Für die Funktion g gilt : g(x) = 2⋅ f( 1 2 ⋅ x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Der (blaue) Graph von f( 1 2 ⋅ x) geht durch Streckung um 2 in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f( 1 2 ⋅ x) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = -4.

Da g(x) = 2⋅ f( 1 2 ⋅ x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Streckung um 2 in y-Richtung aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch mit dem Faktor 2 multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-4|-2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit f(x)= x 2 -4x +4 :

Lösung einblenden

f(x)= x 2 -4x +4

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>f'(x)= 2x -4 +0

= 2x -4

f''(x)= 2 +0

= 2

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

2x -4 = 0 | +4
2x = 4 |:2
x = 2

Die Lösung x= 2 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f'(x0)>0).

f''(2 ) = 2 = 2 = 2 >0

Das heißt bei x = 2 ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(2 ) = 2 2 -42 +4 = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:(2 |0)

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit f(x)= -2 x 3 +15 x 2 -24x -1 :

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 3 +15 x 2 -24x -1

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>f'(x)= -6 x 2 +30x -24 +0

= -6 x 2 +30x -24

f''(x)= -12x +30 +0

= -12x +30

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

-6 x 2 +30x -24 = 0 |:6

- x 2 +5x -4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -5 ± 5 2 -4 · ( -1 ) · ( -4 ) 2( -1 )

x1,2 = -5 ± 25 -16 -2

x1,2 = -5 ± 9 -2

x1 = -5 + 9 -2 = -5 +3 -2 = -2 -2 = 1

x2 = -5 - 9 -2 = -5 -3 -2 = -8 -2 = 4

Die Lösungen 1 , 4 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f'(x0)>0).


1.: x=1

f''(1 ) = -121 +30 = -12 +30 = 18 >0

Das heißt bei x = 1 ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(1 ) = -2 1 3 +15 1 2 -241 -1 = -12
Man erhält so den Tiefpunkt T:(1 | -12 )


2.: x=4

f''(4 ) = -124 +30 = -48 +30 = -18 <0

Das heißt bei x = 4 ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(4 ) = -2 4 3 +15 4 2 -244 -1 = 15
Man erhält so den Hochpunkt H:(4 | 15 )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit f(x)= x 3 +12 x 2 +45x +3 :

Lösung einblenden

f(x)= x 3 +12 x 2 +45x +3

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>f'(x)= 3 x 2 +24x +45 +0

= 3 x 2 +24x +45

f''(x)= 6x +24 +0

= 6x +24

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

3 x 2 +24x +45 = 0 |:3

x 2 +8x +15 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -8 ± 8 2 -4 · 1 · 15 21

x1,2 = -8 ± 64 -60 2

x1,2 = -8 ± 4 2

x1 = -8 + 4 2 = -8 +2 2 = -6 2 = -3

x2 = -8 - 4 2 = -8 -2 2 = -10 2 = -5

Die Lösungen -5 , -3 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0 und f'(x0)>0).


1.: x=-5

f''(-5 ) = 6( -5 ) +24 = -30 +24 = -6 <0

Das heißt bei x = -5 ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(-5 ) = ( -5 ) 3 +12 ( -5 ) 2 +45( -5 ) +3 = -47
Man erhält so den Hochpunkt H:(-5 | -47 )


2.: x=-3

f''(-3 ) = 6( -3 ) +24 = -18 +24 = 6 >0

Das heißt bei x = -3 ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(-3 ) = ( -3 ) 3 +12 ( -3 ) 2 +45( -3 ) +3 = -51
Man erhält so den Tiefpunkt T:(-3 | -51 )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Sattelpunkt S(-2|2) besitzt, der sich nicht mit Hilfe der 3. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Sattelpunkt S(0|0) im Ursprung zu finden, der sich nicht mit Hilfe der 3. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Sattelpunkt S(0|0) ist wohl der Funktionsterm f1(x)= x 3

Hier gilt dann
f1'(x)= 3 x 2 , f1''(x)= 6x , f1'''(x)= 6 , und somit f1'''(0) = 6 ≠ 0.

Bei f1(x)= x 3 lässt sich also der Sattelpunkt S(0|0) mit der 3. Ableitung nachweisen. Aber wir suchen ja eine Funktion, bei der das gerade nicht geht!
Also probieren wir es mal mit f2(x)= x 5 , hier gilt dann:
f2'(x)= 5 x 4 , f2''(x)= 20 x 3 , f2'''(x)= 60 x 2 , und somit f1'''(0) = 0. Man sieht aber leicht, dass ...

  • f2''(x)= 20 x 3 < 0 für alle x < 0 und
  • f2''(x)= 20 x 3 > 0 für alle x > 0 ...

gilt. Es liegt also ein Vorzeichenwechsel in der 2. Ableitung von f2(x)= x 5 vor.

Somit hat der Graph der Funktion x 5 einen Sattelpunkt S(0|0), der sich nicht mit Hilfe der 3. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abblidung).

Wenn wir nun den Graph um -2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ( x +2 ) 5 hat also an der Stelle x = -2 genau die gleichen Ableitungswerte wie x 5 an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von f(x)= ( x +2 ) 5 +2 einen Sattelpunkt S(-2|2), der sich nicht mit Hilfe der 3. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.