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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-1|4). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) -4

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = f(x) -4 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -4 in y-Richtung - also um 4 nach unten - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch um 4 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-1|0).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- {(x + 1)}^{2} + 4$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) -4 = $- {(x + 1)}^{2}$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(1|-1). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) +2

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x) +2 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 2 in y-Richtung - also um 2 nach oben - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 2 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(1|1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x - 1)}^{2} - 1$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) +2 = ${(x - 1)}^{2} + 1$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-1|4). Für die Funktion g gilt : g(x) = - f(x -1)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f(x -1) geht durch Verschiebung um 1 in x-Richtung - also um 1 nach rechts - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(x -1) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = 0.

Da g(x) = - f(x -1) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei auf die andere Seite der x-Achse gespiegelt.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(0|-4).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x + 6 + 0$

= $2 x + 6$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Die Lösung x= $- 3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $- 3$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 1$ = $- 8$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $- 8$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 6 x + 9$

$f''(x) =$ $- 6 x - 6 + 0$

= $- 6 x - 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

- 3 x^{2} - 6 x + 9

= 0 |:3

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2+4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2-4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Die Lösungen $- 3$ , $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $- 6 \cdot (- 3) - 6$ = $18 - 6$ = $12$ >0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{3} - 3 \cdot {(- 3)}^{2} + 9 \cdot (- 3)$ = $- 27$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $- 27$ )

2.: x= $1$

f''( $1$ ) = $- 6 \cdot 1 - 6$ = $- 6 - 6$ = $- 12$ <0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $- 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 9 \cdot 1$ = $5$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $1$ | $5$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 6 x^{4} - 64 x^{3} - 180 x^{2} - 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 x^{4} - 64 x^{3} - 180 x^{2} - 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 24 x^{3} - 192 x^{2} - 360 x + 0$

= $- 24 x^{3} - 192 x^{2} - 360 x$

$f''(x) =$ $- 72 x^{2} - 384 x - 360$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 24 x^{3} - 192 x^{2} - 360 x$	=	0
$- 24 x (x^{2} + 8 x + 15)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₂ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₃ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

Die Lösungen $- 5$ , $- 3$ , 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 5$

f''( $- 5$ ) = $- 72 \cdot {(- 5)}^{2} - 384 \cdot (- 5) - 360$ = $- 72 \cdot 25 + 1 920 - 360$ = $- 240$ <0

Das heißt bei x = $- 5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 5$ ) = $- 6 \cdot {(- 5)}^{4} - 64 \cdot {(- 5)}^{3} - 180 \cdot {(- 5)}^{2} - 3$ = $- 253$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 5$ | $- 253$ )

2.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $- 72 \cdot {(- 3)}^{2} - 384 \cdot (- 3) - 360$ = $- 72 \cdot 9 + 1 152 - 360$ = $144$ >0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $- 6 \cdot {(- 3)}^{4} - 64 \cdot {(- 3)}^{3} - 180 \cdot {(- 3)}^{2} - 3$ = $- 381$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $- 381$ )

3.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 72 \cdot 0^{2} - 384 \cdot 0 - 360$ = $- 72 \cdot 0 + 0 - 360$ = $- 360$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- 6 \cdot 0^{4} - 64 \cdot 0^{3} - 180 \cdot 0^{2} - 3$ = $- 3$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $- 3$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Sattelpunkt S(1|3) besitzt, der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

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Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Sattelpunkt S(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Sattelpunkt S(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{3}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $3 x^{2}$ , f₁''(x)= $6 x$ , f₁'''(x)= $6$ , und somit f₁'''(0) = 6 ≠ 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{3}$ einen Sattelpunkt S(0|0), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um 1 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x - 1)}^{3}$ hat also an der Stelle x = 1 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{3}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x - 1)}^{3} + 3$ einen Sattelpunkt S(1|3), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

Extrempunkte (ganzrational)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-3

2.: x=1

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-5

2.: x=-3

3.: x=0

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 3$

2.: x= $1$

1.: x= $- 5$

2.: x= $- 3$

3.: x= $0$