Mathebattle EduRandomtasks

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-4|-1). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x -3)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = f(x -3) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 3 in x-Richtung - also um 3 nach rechts - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch um 3 nach rechts verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-1|-1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x + 4)}^{2} - 1$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x -3) = ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(3|4). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) -2

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x) -2 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -2 in y-Richtung - also um 2 nach unten - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch um 2 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(3|2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- {(x - 3)}^{2} + 4$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) -2 = $- {(x - 3)}^{2} + 2$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-6|-1). Für die Funktion g gilt : g(x) = f( $2$ ⋅ x) +2

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f( $2$ ⋅ x) geht durch Streckung um $\frac{1}{2}$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f( $2$ ⋅ x) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = -3.

Da g(x) = f( $2$ ⋅ x) +2 gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 2 in y-Richtung - also um 2 nach oben - aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 2 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-3|1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 8 x - 4$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} - 8 x - 4$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x - 8 + 0$

= $2 x - 8$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Die Lösung x= $4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $4$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 4$ = $- 20$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $4$ | $- 20$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2} + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 x + 0$

= $- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 x$

$f''(x) =$ $- 12 x^{2} + 24 x - 8$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 8 x$	=	0
$4 x \cdot (- x^{2} + 3 x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Die Lösungen 0, $1$ , $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 12 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0 - 8$ = $- 12 \cdot 0 + 0 - 8$ = $- 8$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- 0^{4} + 4 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0^{2} + 2$ = $2$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $2$ )

2.: x= $1$

f''( $1$ ) = $- 12 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 8$ = $- 12 \cdot 1 + 24 - 8$ = $4$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $- 1^{4} + 4 \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 2$ = $1$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $1$ | $1$ )

3.: x= $2$

f''( $2$ ) = $- 12 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 8$ = $- 12 \cdot 4 + 48 - 8$ = $- 8$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $- 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 2$ = $2$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $2$ | $2$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 6 x^{2} - 18 x + 24 + 0$

= $- 6 x^{2} - 18 x + 24$

$f''(x) =$ $- 12 x - 18 + 0$

= $- 12 x - 18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

- 6 x^{2} - 18 x + 24

= 0 |:6

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Die Lösungen $- 4$ , $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 4$

f''( $- 4$ ) = $- 12 \cdot (- 4) - 18$ = $48 - 18$ = $30$ >0

Das heißt bei x = $- 4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = $- 2 \cdot {(- 4)}^{3} - 9 \cdot {(- 4)}^{2} + 24 \cdot (- 4) - 2$ = $- 114$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 4$ | $- 114$ )

2.: x= $1$

f''( $1$ ) = $- 12 \cdot 1 - 18$ = $- 12 - 18$ = $- 30$ <0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 2$ = $11$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $1$ | $11$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Tiefpunkt T(-1|2) besitzt, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Tiefpunkt T(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Tiefpunkt T(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{2}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $2 x$ , f₁''(x)= $2$ , und somit f₁''(0) = 2 > 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{2}$ einen Tiefpunkt T(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um -1 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x + 1)}^{2}$ hat also an der Stelle x = -1 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{2}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x + 1)}^{2} + 2$ einen Tiefpunkt T(-1|2), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

Extrempunkte (ganzrational)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=0

2.: x=1

3.: x=2

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-4

2.: x=1

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $0$

2.: x= $1$

3.: x= $2$

1.: x= $- 4$

2.: x= $1$