Mathebattle EduRandomtasks

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-2|-4). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) +1

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = f(x) +1 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 1 in y-Richtung - also um 1 nach oben - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 1 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-2|-3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x + 2)}^{2} - 4$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) +1 = ${(x + 2)}^{2} - 3$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(1|-3). Für die Funktion g gilt : g(x) = f( $\frac{1}{3}$ ⋅ x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f( $\frac{1}{3}$ ⋅ x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um $3$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Das heißt auf jeder Höhe ist der Abstand zur y-Achse vom gestreckten (roten) Graph $3$ mal so groß ist wie vom ursprünglichen (schwarzen) Graph

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der x-Wert wird jedoch mit dem Faktor $3$ multipliziert, weil ja bei x = 1 der kleinste Wert bei f(x) auftritt, bei f( $\frac{1}{3}$ ⋅x) muss somit für x = $3$ , also bei f( $\frac{1}{3}$ ⋅3) der kleinste Wert auftreten.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(3|-3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x - 1)}^{2} - 3$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f( $\frac{1}{3}$ ⋅ x) = ${(\frac{1}{3} x - 1)}^{2} - 3$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(2|-2). Für die Funktion g gilt : g(x) = $3$ ⋅ f( $2$ ⋅ x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f( $2$ ⋅ x) geht durch Streckung um $\frac{1}{2}$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f( $2$ ⋅ x) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = 1.

Da g(x) = $3$ ⋅ f( $2$ ⋅ x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Streckung um 3 in y-Richtung aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch mit dem Faktor $3$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(1| $- 6$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} - 6 x + 0$

= $6 x^{2} - 6 x$

$f''(x) =$ $12 x - 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$6 x^{2} - 6 x$	=	0
$6 x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Die Lösungen 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $0$

f''( $0$ ) = $12 \cdot 0 - 6$ = $0 - 6$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} + 1$ = $1$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $1$ )

2.: x= $1$

f''( $1$ ) = $12 \cdot 1 - 6$ = $12 - 6$ = $6$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 1$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $1$ |0)

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $6 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x^{2} + 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x^{2} + 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $24 x^{3} + 48 x^{2} - 72 x + 0$

= $24 x^{3} + 48 x^{2} - 72 x$

$f''(x) =$ $72 x^{2} + 96 x - 72$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$24 x^{3} + 48 x^{2} - 72 x$	=	0
$24 x \cdot (x^{2} + 2 x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Die Lösungen $- 3$ , 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $72 \cdot {(- 3)}^{2} + 96 \cdot (- 3) - 72$ = $72 \cdot 9 - 288 - 72$ = $288$ >0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $6 \cdot {(- 3)}^{4} + 16 \cdot {(- 3)}^{3} - 36 \cdot {(- 3)}^{2} + 1$ = $- 269$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 3$ | $- 269$ )

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $72 \cdot 0^{2} + 96 \cdot 0 - 72$ = $72 \cdot 0 + 0 - 72$ = $- 72$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $6 \cdot 0^{4} + 16 \cdot 0^{3} - 36 \cdot 0^{2} + 1$ = $1$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $1$ )

3.: x= $1$

f''( $1$ ) = $72 \cdot 1^{2} + 96 \cdot 1 - 72$ = $72 \cdot 1 + 96 - 72$ = $96$ >0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $1$ ) = $6 \cdot 1^{4} + 16 \cdot 1^{3} - 36 \cdot 1^{2} + 1$ = $- 13$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $1$ | $- 13$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 15 x^{2} + 36 x - 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} + 15 x^{2} + 36 x - 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} + 30 x + 36 + 0$

= $6 x^{2} + 30 x + 36$

$f''(x) =$ $12 x + 30 + 0$

= $12 x + 30$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

6 x^{2} + 30 x + 36

= 0 |:6

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

Die Lösungen $- 3$ , $- 2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 3$

f''( $- 3$ ) = $12 \cdot (- 3) + 30$ = $- 36 + 30$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $- 3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 3$ ) = $2 \cdot {(- 3)}^{3} + 15 \cdot {(- 3)}^{2} + 36 \cdot (- 3) - 1$ = $- 28$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 3$ | $- 28$ )

2.: x= $- 2$

f''( $- 2$ ) = $12 \cdot (- 2) + 30$ = $- 24 + 30$ = $6$ >0

Das heißt bei x = $- 2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 2$ ) = $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 15 \cdot {(- 2)}^{2} + 36 \cdot (- 2) - 1$ = $- 29$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 2$ | $- 29$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Sattelpunkt S(-1|2) besitzt, der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Sattelpunkt S(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Sattelpunkt S(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{3}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $3 x^{2}$ , f₁''(x)= $6 x$ , f₁'''(x)= $6$ , und somit f₁'''(0) = 6 ≠ 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{3}$ einen Sattelpunkt S(0|0), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um -1 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x + 1)}^{3}$ hat also an der Stelle x = -1 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{3}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x + 1)}^{3} + 2$ einen Sattelpunkt S(-1|2), der sich mit Hilfe der 3. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

1.: x=0

2.: x=1

Extrempunkte (ganzrational)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-3

2.: x=0

3.: x=1

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-3

2.: x=-2

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $0$

2.: x= $1$

1.: x= $- 3$

2.: x= $0$

3.: x= $1$

1.: x= $- 3$

2.: x= $- 2$