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cosh
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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)
Beispiel:
Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-2|5). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x)
Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.
Da g(x) = f(x)
Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch um 3 nach unten verschoben.
Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-2|2).
Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.
Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)=
, der rot gezeichneten Graph
gehört zu g(x) = f(x)
Verschiebung/Streckung Extrempunkte
Beispiel:
Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(3|-3). Für die Funktion g gilt : g(x) = - f(x)
Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.
Da g(x) = - f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.
Der Tiefpunkt T wird also zu einem Hochpunkt H, der y-Wert wird dabei auf die andere Seite der x-Achse gespiegelt.
Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(3|3).
Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.
Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = - f(x) = .
Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)
Beispiel:
Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-1|3). Für die Funktion g gilt : g(x) = - f(-x)
Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.
Der (blaue) Graph von f(-x) geht durch Spiegelung an der y-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(-x) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = 1.
Da g(x) = - f(-x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse aus dem (blauen) Graph von f hervor.
Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei auf die andere Seite der x-Achse gespiegelt.
Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(1|-3).
Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.
Extrempunkte (ohne MNF)
Beispiel:
Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit :
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=>
=
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.
(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).
Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
= | | | ||
x2 | = |
Die Lösungen
,
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):
Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0
und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung:
f'(x0)=0 und f''(x0)>0).
1.: x=
f''() = = = <0
Das heißt bei x = ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f() =
=
Man erhält so den Hochpunkt H:(|
)
2.: x=
f''() = = = >0
Das heißt bei x = ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f() =
=
Man erhält so den Tiefpunkt T:(|
)
Extrempunkte (ganzrational)
Beispiel:
Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit :
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=>
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.
(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).
Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
= =
x2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Die Lösungen
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):
Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0
und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung:
f'(x0)=0 und f''(x0)>0).
1.: x=4
f''(
Das heißt bei x =
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(
Man erhält so den Hochpunkt H:(
2.: x=6
f''(
Das heißt bei x =
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(
Man erhält so den Tiefpunkt T:(
Extrempunkte (auch mit VZW)
Beispiel:
Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=>
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.
(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).
Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die
ganze Gleichung durch "
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Die Lösungen
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):
Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0
und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung:
f'(x0)=0 und f''(x0)>0).
1.: x=- 2
f''(
Das heißt bei x =
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(
Man erhält so den Tiefpunkt T:(
2.: x=- 1
f''(
Das heißt bei x =
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(
Man erhält so den Hochpunkt H:(
Beispielterm für Extrempunktkriterien
Beispiel:
Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Hochpunkt H(-1|3) besitzt, der sich nicht mit Hilfe der 2. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.
Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Hochpunkt H(0|0) im Ursprung zu finden, der sich nicht mit Hilfe der 2. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.
Die einfachste Möglichkeit für einen Hochpunkt H(0|0) ist wohl der Funktionsterm f1(x)=
Hier gilt dann
f1'(x)=
Bei f1(x)=
Also probieren wir es mal mit f2(x)=
f2'(x)=
- f2'(x)=
- 4 x 3 - f2'(x)=
- 4 x 3
gilt. Es liegt also ein Vorzeichenwechsel in der 1. Ableitung von f2(x)=
Somit hat der Graph der Funktion
Wenn wir nun den Graph um -1 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage).
Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.
Somit hat der Graph von