Da g(x) = f(x) +1 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 1 in y-Richtung - also um 1 nach oben - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 1 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(2|-4).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${\left(x-2\right)}^2-5$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) +1 = ${\left(x-2\right)}^2-4$.

Da g(x) = f($2$ ⋅ x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um $\frac{1}{2}$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Das heißt auf jeder Höhe ist der Abstand zur y-Achse vom gestreckten (roten) Graph $\frac{1}{2}$ mal so groß ist wie vom ursprünglichen (schwarzen) Graph

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der x-Wert wird jedoch mit dem Faktor $\frac{1}{2}$ multipliziert, weil ja bei x = 6 der größte Wert bei f(x) auftritt, bei f($2$⋅x) muss somit für x = $3$ , also bei f($2$⋅3) der größte Wert auftreten.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(3|2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $-{\left(x-6\right)}^2+2$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f($2$ ⋅ x) = $-{\left(2x-6\right)}^2+2$.

Der (blaue) Graph von f(x -3) geht durch Verschiebung um 3 in x-Richtung - also um 3 nach rechts - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(x -3) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = -2.

Da g(x) = $3$⋅ f(x -3) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Streckung um 3 in y-Richtung aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch mit dem Faktor $3$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-2|$-3$).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

$\text{f(x)}=$ $x^2-6x-3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2x-6+0$

= $2x-6$

$\text{f''(x)}=$ $2+0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2x-6$	=	0	| $+6$
$2x$	=	$6$	|:$2$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($3$) = $2$= $2$= $2$ >0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($3$) = $3^2-6\cdot 3-3$ = $-12$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($3$| $-12$)

$\text{f(x)}=$ $-2x^3-15x^2-36x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2-30x-36$

$\text{f''(x)}=$ $-12x-30+0$

= $-12x-30$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-6x^2-30x-36$ = 0 |:6

$-x^2-5x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-6\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-24}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{1}}{-2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{-2}$ = $-2$

Die Lösungen $-3$, $-2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-3$

f''($-3$) = $-12\cdot \left(-3\right)-30$= $36-30$= $6$ >0

Das heißt bei x = $-3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-3$) = $-2\cdot {\left(-3\right)}^3-15\cdot {\left(-3\right)}^2-36\cdot \left(-3\right)$ = $27$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-3$| $27$)

2.: x=$-2$

f''($-2$) = $-12\cdot \left(-2\right)-30$= $24-30$= $-6$ <0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = $-2\cdot {\left(-2\right)}^3-15\cdot {\left(-2\right)}^2-36\cdot \left(-2\right)$ = $28$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-2$| $28$)

$\text{f(x)}=$ $-x^3-3x^2+24x-2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-6x+24+0$

= $-3x^2-6x+24$

$\text{f''(x)}=$ $-6x-6+0$

= $-6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-3x^2-6x+24$ = 0 |:3

$-x^2-2x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·8}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+32}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{36}}{-2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{-2}$ = $-4$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

Die Lösungen $-4$, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-4$

f''($-4$) = $-6\cdot \left(-4\right)-6$= $24-6$= $18$ >0

Das heißt bei x = $-4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-4$) = $-{\left(-4\right)}^3-3\cdot {\left(-4\right)}^2+24\cdot \left(-4\right)-2$ = $-82$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-4$| $-82$)

2.: x=$2$

f''($2$) = $-6\cdot 2-6$= $-12-6$= $-18$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $-2^3-3\cdot 2^2+24\cdot 2-2$ = $26$
Man erhält so den Hochpunkt H:($2$| $26$)

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Sattelpunkt S(0|0) im Ursprung zu finden, der sich nicht mit Hilfe der 3. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Sattelpunkt S(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^3$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $3x^2$, f₁''(x)= $6x$, f₁'''(x)= $6$, und somit f₁'''(0) = 6 ≠ 0.

Bei f₁(x)= $x^3$ lässt sich also der Sattelpunkt S(0|0) mit der 3. Ableitung nachweisen. Aber wir suchen ja eine Funktion, bei der das gerade nicht geht!
Also probieren wir es mal mit f₂(x)= $x^5$, hier gilt dann:
f₂'(x)= $5x^4$, f₂''(x)= $20x^3$, f₂'''(x)= $60x^2$, und somit f₁'''(0) = 0. Man sieht aber leicht, dass ...

• f₂''(x)= $20x^3$ < 0 für alle x < 0 und
• f₂''(x)= $20x^3$ > 0 für alle x > 0 ...

gilt. Es liegt also ein Vorzeichenwechsel in der 2. Ableitung von f₂(x)= $x^5$ vor.

Somit hat der Graph der Funktion $x^5$ einen Sattelpunkt S(0|0), der sich nicht mit Hilfe der 3. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abblidung).

Wenn wir nun den Graph um 2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${\left(x-2\right)}^5$ hat also an der Stelle x = 2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^5$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $\text{f(x)}=$ ${\left(x-2\right)}^5+3$ einen Sattelpunkt S(2|3), der sich nicht mit Hilfe der 3. Ableitung, sondern nur mit einem Vorzeichenwechsel nachweisen lässt.