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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(2|3). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) -2

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = f(x) -2 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -2 in y-Richtung - also um 2 nach unten - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch um 2 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(2|1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- {(x - 2)}^{2} + 3$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) -2 = $- {(x - 2)}^{2} + 1$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-1|5). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x) -2

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f(x) -2 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -2 in y-Richtung - also um 2 nach unten - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch um 2 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-1|3).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- {(x + 1)}^{2} + 5$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) -2 = $- {(x + 1)}^{2} + 3$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(3|3). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(x +3) -1

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f(x +3) geht durch Verschiebung um -3 in x-Richtung - also um 3 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(x +3) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = 0.

Da g(x) = f(x +3) -1 gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -1 in y-Richtung - also um 1 nach unten - aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch um 1 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(0|2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 15 x^{2} + 4$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 15 x^{2} + 4$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} - 30 x + 0$

= $6 x^{2} - 30 x$

$f''(x) =$ $12 x - 30$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$6 x^{2} - 30 x$	=	0
$6 x \cdot (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

Die Lösungen 0, $5$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $0$

f''( $0$ ) = $12 \cdot 0 - 30$ = $0 - 30$ = $- 30$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $2 \cdot 0^{3} - 15 \cdot 0^{2} + 4$ = $4$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $4$ )

2.: x= $5$

f''( $5$ ) = $12 \cdot 5 - 30$ = $60 - 30$ = $30$ >0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $5$ ) = $2 \cdot 5^{3} - 15 \cdot 5^{2} + 4$ = $- 121$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $5$ | $- 121$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 100 x^{2} - 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{4} + 100 x^{2} - 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 8 x^{3} + 200 x + 0$

= $- 8 x^{3} + 200 x$

$f''(x) =$ $- 24 x^{2} + 200$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 8 x^{3} + 200 x$	=	0
$8 x \cdot (- x^{2} + 25)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 25$	=	0	\| $- 25$
$- x^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₃	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Die Lösungen $- 5$ , 0, $5$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 5$

f''( $- 5$ ) = $- 24 \cdot {(- 5)}^{2} + 200$ = $- 24 \cdot 25 + 200$ = $- 400$ <0

Das heißt bei x = $- 5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 5$ ) = $- 2 \cdot {(- 5)}^{4} + 100 \cdot {(- 5)}^{2} - 1$ = $1 249$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 5$ | $1 249$ )

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 24 \cdot 0^{2} + 200$ = $- 24 \cdot 0 + 200$ = $200$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- 2 \cdot 0^{4} + 100 \cdot 0^{2} - 1$ = $- 1$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $- 1$ )

3.: x= $5$

f''( $5$ ) = $- 24 \cdot 5^{2} + 200$ = $- 24 \cdot 25 + 200$ = $- 400$ <0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $5$ ) = $- 2 \cdot 5^{4} + 100 \cdot 5^{2} - 1$ = $1 249$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $5$ | $1 249$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 2$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} + 18 x + 24 + 0$

= $3 x^{2} + 18 x + 24$

$f''(x) =$ $6 x + 18 + 0$

= $6 x + 18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

3 x^{2} + 18 x + 24

= 0 |:3

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Die Lösungen $- 4$ , $- 2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 4$

f''( $- 4$ ) = $6 \cdot (- 4) + 18$ = $- 24 + 18$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $- 4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{3} + 9 \cdot {(- 4)}^{2} + 24 \cdot (- 4) + 2$ = $- 14$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 4$ | $- 14$ )

2.: x= $- 2$

f''( $- 2$ ) = $6 \cdot (- 2) + 18$ = $- 12 + 18$ = $6$ >0

Das heißt bei x = $- 2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{3} + 9 \cdot {(- 2)}^{2} + 24 \cdot (- 2) + 2$ = $- 18$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 2$ | $- 18$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Hochpunkt H(2|3) besitzt, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Hochpunkt H(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Hochpunkt H(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $- x^{2}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $- 2 x$ , f₁''(x)= $- 2$ , und somit f₁''(0) = -2 < 0.

Somit hat der Graph der Funktion $- x^{2}$ einen Hochpunkt H(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um 2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). $- {(x - 2)}^{2}$ hat also an der Stelle x = 2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $- x^{2}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ $- {(x - 2)}^{2} + 3$ einen Hochpunkt H(2|3), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

1.: x=0

2.: x=5

Extrempunkte (ganzrational)

1.: x=-5

2.: x=0

3.: x=5

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-4

2.: x=-2

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $0$

2.: x= $5$

1.: x= $- 5$

2.: x= $0$

3.: x= $5$

1.: x= $- 4$

2.: x= $- 2$