Mathebattle EduRandomtasks

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(2|-1). Für die Funktion g gilt : g(x) = $2$ ⋅ f(x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = $2$ ⋅ f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um 2 in y-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch mit dem Faktor $2$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(2| $- 2$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${(x - 2)}^{2} - 1$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = $2$ ⋅ f(x) = $2 ({(x - 2)}^{2} - 1)$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(-1|1). Für die Funktion g gilt : g(x) = f( $\frac{1}{3}$ ⋅ x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = f( $\frac{1}{3}$ ⋅ x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um $3$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Das heißt auf jeder Höhe ist der Abstand zur y-Achse vom gestreckten (roten) Graph $3$ mal so groß ist wie vom ursprünglichen (schwarzen) Graph

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der x-Wert wird jedoch mit dem Faktor $3$ multipliziert, weil ja bei x = -1 der größte Wert bei f(x) auftritt, bei f( $\frac{1}{3}$ ⋅x) muss somit für x = $- 3$ , also bei f( $\frac{1}{3}$ ⋅( - 3 )) der größte Wert auftreten.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-3|1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- {(x + 1)}^{2} + 1$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f( $\frac{1}{3}$ ⋅ x) = $- {(\frac{1}{3} x + 1)}^{2} + 1$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(1|3). Für die Funktion g gilt : g(x) = f(-x) -2

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f(-x) geht durch Spiegelung an der y-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(-x) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = -1.

Da g(x) = f(-x) -2 gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -2 in y-Richtung - also um 2 nach unten - aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch um 2 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-1|1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + 6 x^{2} + 4$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} + 6 x^{2} + 4$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} + 12 x + 0$

= $3 x^{2} + 12 x$

$f''(x) =$ $6 x + 12$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3 x^{2} + 12 x$	=	0
$3 x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Die Lösungen $- 4$ , 0 sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 4$

f''( $- 4$ ) = $6 \cdot (- 4) + 12$ = $- 24 + 12$ = $- 12$ <0

Das heißt bei x = $- 4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{3} + 6 \cdot {(- 4)}^{2} + 4$ = $36$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 4$ | $36$ )

2.: x= $0$

f''( $0$ ) = $6 \cdot 0 + 12$ = $0 + 12$ = $12$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $0^{3} + 6 \cdot 0^{2} + 4$ = $4$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ | $4$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + 40 x^{3} - 144 x^{2} + 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + 40 x^{3} - 144 x^{2} + 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 12 x^{3} + 120 x^{2} - 288 x + 0$

= $- 12 x^{3} + 120 x^{2} - 288 x$

$f''(x) =$ $- 36 x^{2} + 240 x - 288$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 12 x^{3} + 120 x^{2} - 288 x$	=	0
$12 x (- x^{2} + 10 x - 24)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 10+2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₃ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 10-2}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

Die Lösungen 0, $4$ , $6$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 36 \cdot 0^{2} + 240 \cdot 0 - 288$ = $- 36 \cdot 0 + 0 - 288$ = $- 288$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- 3 \cdot 0^{4} + 40 \cdot 0^{3} - 144 \cdot 0^{2} + 1$ = $1$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $1$ )

2.: x= $4$

f''( $4$ ) = $- 36 \cdot 4^{2} + 240 \cdot 4 - 288$ = $- 36 \cdot 16 + 960 - 288$ = $96$ >0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $- 3 \cdot 4^{4} + 40 \cdot 4^{3} - 144 \cdot 4^{2} + 1$ = $- 511$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $4$ | $- 511$ )

3.: x= $6$

f''( $6$ ) = $- 36 \cdot 6^{2} + 240 \cdot 6 - 288$ = $- 36 \cdot 36 + 1 440 - 288$ = $- 144$ <0

Das heißt bei x = $6$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $6$ ) = $- 3 \cdot 6^{4} + 40 \cdot 6^{3} - 144 \cdot 6^{2} + 1$ = $- 431$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $6$ | $- 431$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 27 x^{2} + 120 x$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 27 x^{2} + 120 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $6 x^{2} - 54 x + 120$

$f''(x) =$ $12 x - 54 + 0$

= $12 x - 54$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

6 x^{2} - 54 x + 120

= 0 |:6

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Die Lösungen $4$ , $5$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $4$

f''( $4$ ) = $12 \cdot 4 - 54$ = $48 - 54$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $2 \cdot 4^{3} - 27 \cdot 4^{2} + 120 \cdot 4$ = $176$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $4$ | $176$ )

2.: x= $5$

f''( $5$ ) = $12 \cdot 5 - 54$ = $60 - 54$ = $6$ >0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $5$ ) = $2 \cdot 5^{3} - 27 \cdot 5^{2} + 120 \cdot 5$ = $175$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $5$ | $175$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Tiefpunkt T(2|3) besitzt, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Tiefpunkt T(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Tiefpunkt T(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^{2}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $2 x$ , f₁''(x)= $2$ , und somit f₁''(0) = 2 > 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^{2}$ einen Tiefpunkt T(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um 2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${(x - 2)}^{2}$ hat also an der Stelle x = 2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^{2}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ ${(x - 2)}^{2} + 3$ einen Tiefpunkt T(2|3), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

1.: x=-4

2.: x=0

Extrempunkte (ganzrational)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=0

2.: x=4

3.: x=6

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=4

2.: x=5

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 4$

2.: x= $0$

1.: x= $0$

2.: x= $4$

3.: x= $6$

1.: x= $4$

2.: x= $5$