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Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(0|1). Für die Funktion g gilt : g(x) = $- 3$ ⋅ f(x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Da g(x) = $- 3$ ⋅ f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung um 3 in y-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei mit dem Faktor $- 3$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(0| $- 3$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- x^{2} + 1$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = $- 3$ ⋅ f(x) = $- 3 (- x^{2} + 1)$ .

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Hochpunkt H(0|1). Für die Funktion g gilt : g(x) = $- 3$ ⋅ f(x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Da g(x) = $- 3$ ⋅ f(x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse und Streckung um 3 in y-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H wird also zu einem Tiefpunkt T, der y-Wert wird dabei mit dem Faktor $- 3$ multipliziert.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(0| $- 3$ ).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $- x^{2} + 1$ , der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = $- 3$ ⋅ f(x) = $- 3 (- x^{2} + 1)$ .

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Beispiel:

Der Graph einer Funktion f besitzt einen Tiefpunkt T(-3|-1). Für die Funktion g gilt : g(x) = - f(-x)

Gib einen Extrempunkt des Graphen von g an.

Lösung einblenden

Der (blaue) Graph von f(-x) geht durch Spiegelung an der y-Achse aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(-x) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = 3.

Da g(x) = - f(-x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T wird also zu einem Hochpunkt H, der y-Wert wird dabei auf die andere Seite der x-Achse gespiegelt.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(3|1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Extrempunkte (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x - 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} - 4 x - 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $2 x - 4 + 0$

= $2 x - 4$

$f''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $2$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $2^{2} - 4 \cdot 2 - 3$ = $- 7$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $2$ | $- 7$ )

Extrempunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 9 x^{2} - 24 x + 1$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{3} - 9 x^{2} - 24 x + 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} - 18 x - 24 + 0$

= $- 3 x^{2} - 18 x - 24$

$f''(x) =$ $- 6 x - 18 + 0$

= $- 6 x - 18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

- 3 x^{2} - 18 x - 24

= 0 |:3

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Die Lösungen $- 4$ , $- 2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 4$

f''( $- 4$ ) = $- 6 \cdot (- 4) - 18$ = $24 - 18$ = $6$ >0

Das heißt bei x = $- 4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = $- {(- 4)}^{3} - 9 \cdot {(- 4)}^{2} - 24 \cdot (- 4) + 1$ = $17$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 4$ | $17$ )

2.: x= $- 2$

f''( $- 2$ ) = $- 6 \cdot (- 2) - 18$ = $12 - 18$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $- 2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 2$ ) = $- {(- 2)}^{3} - 9 \cdot {(- 2)}^{2} - 24 \cdot (- 2) + 1$ = $21$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $- 2$ | $21$ )

Extrempunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 3$ :

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 4 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 0$

= $- 4 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x$

$f''(x) =$ $- 12 x^{2} + 48 x - 32$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 4 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x$	=	0
$4 x \cdot (- x^{2} + 6 x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6+2}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6-2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

Die Lösungen 0, $2$ , $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 12 \cdot 0^{2} + 48 \cdot 0 - 32$ = $- 12 \cdot 0 + 0 - 32$ = $- 32$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- 0^{4} + 8 \cdot 0^{3} - 16 \cdot 0^{2} + 3$ = $3$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $3$ )

2.: x= $2$

f''( $2$ ) = $- 12 \cdot 2^{2} + 48 \cdot 2 - 32$ = $- 12 \cdot 4 + 96 - 32$ = $16$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $2$ ) = $- 2^{4} + 8 \cdot 2^{3} - 16 \cdot 2^{2} + 3$ = $- 13$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $2$ | $- 13$ )

3.: x= $4$

f''( $4$ ) = $- 12 \cdot 4^{2} + 48 \cdot 4 - 32$ = $- 12 \cdot 16 + 192 - 32$ = $- 32$ <0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $- 4^{4} + 8 \cdot 4^{3} - 16 \cdot 4^{2} + 3$ = $3$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $4$ | $3$ )

Beispielterm für Extrempunktkriterien

Beispiel:

Gib einen Term einer Funktion an, deren Graph einen Hochpunkt H(1|-1) besitzt, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Lösung einblenden

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Hochpunkt H(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Hochpunkt H(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $- x^{2}$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $- 2 x$ , f₁''(x)= $- 2$ , und somit f₁''(0) = -2 < 0.

Somit hat der Graph der Funktion $- x^{2}$ einen Hochpunkt H(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abbildung ).

Wenn wir nun den Graph um 1 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). $- {(x - 1)}^{2}$ hat also an der Stelle x = 1 genau die gleichen Ableitungswerte wie $- x^{2}$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $f(x) =$ $- {(x - 1)}^{2} - 1$ einen Hochpunkt H(1|-1), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Versch./Streck. Extrempkt (ohne x-Streckung)

Verschiebung/Streckung Extrempunkte

Versch./Streck. Extrempkt (2-fach)

Extrempunkte (ohne MNF)

Extrempunkte (ganzrational)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=-4

2.: x=-2

Extrempunkte (auch mit VZW)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

1.: x=0

2.: x=2

3.: x=4

Beispielterm für Extrempunktkriterien

1.: x= $- 4$

2.: x= $- 2$

1.: x= $0$

2.: x= $2$

3.: x= $4$