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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + x + 5$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + x + 5$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x + 1 + 0$

= $3 x^{2} - 6 x + 1$

$f''(x) =$ $6 x - 6 + 0$

= $6 x - 6$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$6 x$	=	$6$	\|: $6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$ :

f'''( $1$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $1$ )≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $1$ ) = $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 1 + 5$ = $4$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $1$ | $4$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 + 1$

= $3 \cdot 1 - 6 + 1$

= $3 - 6 + 1$

= $- 2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 1 + 5$ = $1 - 3 \cdot 1 + 1 + 5$ = $1 - 3 + 1 + 5$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $- 2$ ⋅1 + c

$4$ = $- 2$ + c | + $2$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 2$ ⋅x + $6$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 6.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- 2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $3$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 und $3$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $3$ ⋅ 6 = $9$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Ein Testfahrzeug fährt mit unterschiedlicher Geschwindigkeit auf einer Teststrecke. Dabei kann die Geschwindigkeit zur Zeit x (in Sekunden) für 0 ≤ x ≤ 8 durch die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 10$ (in Meter pro Sekunde) angeben werden.

Wie schnell ist das Fahrzeug nach 6 Sekunden ?
Wie lang ist der Zeitraum, in dem das Fahrzeug höchstens $\frac{13}{2}$ m/s schnell fährt?
Bestimme die niedrigste Geschwindigkeit des Fahrzeugs im angegebenen Zeitraum.

Lösung einblenden

y-Wert bei x = 6
Hier müssen wir einfach die 6 in den Funktionsterm einsetzen:

f(6) = $\frac{1}{2} \cdot 6^{2} - 4 \cdot 6 + 10$ = $18 - 24 + 10$ = $4$ .

Nach 6 s beträgt also der Wert 4 m/s.

x-Bereich, wo f(x) < $\frac{13}{2}$

Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{13}{2}$ einnimmt:

$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 10$	=	$\frac{13}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 10)$	=	$13$
$x^{2} - 8 x + 20$	=	$13$	\| $- 13$

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

Bei $1$ und $7$ sind also die einzigen Schnittstellen und der Wert dazwischen f(4) = $\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 + 10$ = 2 ist kleiner.

In den 6 s zwischen $1$ s und $7$ s beträgt der Wert höchstens $\frac{13}{2}$ m/s.

y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der geringste Funktionswert, also der y-Wert des Tiefpunkts.
Detail-Rechnung für den Tiefpunkt ( $4$ | $2$ ) einblenden
$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 10$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $x - 4 + 0$
= $x - 4$

$f''(x) =$ $1 + 0$
= $1$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$x - 4$ = 0 | $+ 4$

$x$ = $4$

Die Lösung x= $4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $4$ ) = $1$ = $1$ = $1$ >0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 + 10$ = $2$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $4$ | $2$ )

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 10 und f(8) = 10 sind aber beide nicht kleiner als der y-Wert des Tiefpunkt.
Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $4$ | $2$ ).

Der kleinste Wert beträgt somit $2$ m/s.