Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+2x+4$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+2+0$

= $3x^2-6x+2$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6+0$

= $6x-6$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$:

f'''($1$) = $6+0$= $6$

Da f'''($1$)≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($1$) = $1^3-3\cdot 1^2+2\cdot 1+4$ = $4$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($1$| $4$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(1)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1+2$

= $3\cdot 1-6+2$

= $3-6+2$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(1)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+2\cdot 1+4$ = $1-3\cdot 1+2+4$ = $1-3+2+4$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-1$⋅1 + c

$4$ = $-1$ + c | + $1$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x + $5$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 5.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-x+5$	=	0	| $-5$
$-x$	=	$-5$	|:($-1$)
$x$	=	$5$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $5$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 5 und $5$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $5$ ⋅ 5 = $\frac{25}{2}$.

1. x-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x-Wert des Hochpunkts.

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($3$| $6$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{9}{x}^3+3x$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^2+3$

   $\text{f''(x)}=$ $-\frac{2}{3}x+0$

   = $-\frac{2}{3}x$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $-\frac{1}{3}{x}^2+3$	=	0	| $-3$
   $-\frac{1}{3}{x}^2$	=	$-3$	|⋅ $\left(-3\right)$
   $x^2$	=	$9$	|
   x1	=	$-\sqrt{9}$	= $-3$
   x2	=	$\sqrt{9}$	= $3$

   Die Lösungen $-3$, $3$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

   
   

   1.: x=$-3$

   f''($-3$) = $-\frac{2}{3}\cdot \left(-3\right)$= $2$= $2$ >0

   Das heißt bei x = $-3$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($-3$) = $-\frac{1}{9}\cdot {\left(-3\right)}^3+3\cdot \left(-3\right)$ = $-6$
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($-3$| $-6$)

   
   

   2.: x=$3$

   f''($3$) = $-\frac{2}{3}\cdot 3$= $-2$= $-2$ <0

   Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($3$) = $-\frac{1}{9}\cdot 3^3+3\cdot 3$ = $6$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($3$| $6$)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $3$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 0 und f(5) = 1.11 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

   Der größte Wert wird also nach $3$ Tage erreicht.

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

   (die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($3$| $6$).

   Der größte Wert beträgt somit $6$ .

3. x-Wert beim stärksten Zuwachs

   Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Zunahme, also der x-Wert mit der stärksten positiven Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Hochpunkt der ersten Ableitung f'(x).

   Wir leiten also erstmal ab:

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt von f' bei x=$0$ einblenden

   $\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^2+3$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f''(x)}=$ $-\frac{2}{3}x+0$

   = $-\frac{2}{3}x$

   $\text{f'''(x)}=$ $-\frac{2}{3}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

   $-\frac{2}{3}x$	=	0	|⋅ 3
   $-2x$	=	0	|:($-2$)
   $x$	=	0

   Die Lösung x=0 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

   Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

   f'''($0$) = $-\frac{2}{3}$= $-\frac{2}{3}$= $-\frac{2}{3}$ <0

   Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
   

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $0$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

   Es gilt: f'(0) = 3, f'(5) = -5.33 und f'($0$) = 3 (Hochpunkt).

   Da der Hochpunkt von f' am Rand liegt, ist der größte Ableitungswert bei x = 0.

   Die stärkste Zunahme wird also nach $0$ Tage erreicht.