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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 21$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 21$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 18 x + 26 + 0$

= $3 x^{2} - 18 x + 26$

$f''(x) =$ $6 x - 18 + 0$

= $6 x - 18$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 18$	=	0	\| $+ 18$
$6 x$	=	$18$	\|: $6$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $3$ :

f'''( $3$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $3$ )≠0, haben wir bei x = $3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $3$ ) = $3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 26 \cdot 3 - 21$ = $3$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $3$ | $3$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $3 \cdot 3^{2} - 18 \cdot 3 + 26$

= $3 \cdot 9 - 54 + 26$

= $27 - 54 + 26$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 26 \cdot 3 - 21$ = $27 - 9 \cdot 9 + 78 - 21$ = $27 - 81 + 78 - 21$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $- 1$ ⋅3 + c

$3$ = $- 3$ + c | + $3$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $6$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 6.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $6$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 und $6$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $6$ ⋅ 6 = $18$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Ein Testfahrzeug fährt mit unterschiedlicher Geschwindigkeit auf einer Teststrecke. Dabei kann die Geschwindigkeit zur Zeit x (in Sekunden) für 0 ≤ x ≤ 6 durch die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 12$ (in Meter pro Sekunde) angeben werden.

Wie schnell ist das Fahrzeug nach 3 Sekunden ?
Bestimme die niedrigste Geschwindigkeit des Fahrzeugs im angegebenen Zeitraum.
Zu welcher Zeit (in s) bremst das Fahrzeug am stärksten ?

Lösung einblenden

y-Wert bei x = 3
Hier müssen wir einfach die 3 in den Funktionsterm einsetzen:

f(3) = $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 2 \cdot 3^{2} + 12$ = $9 - 18 + 12$ = $3$ .

Nach 3 s beträgt also der Wert 3 m/s.

y-Wert des Minimums (TP)

Gesucht ist der geringste Funktionswert, also der y-Wert des Tiefpunkts.

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (

4

\frac{4}{3}

) einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 12$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $x^{2} - 4 x + 0$

= $x^{2} - 4 x$

$f''(x) =$ $2 x - 4$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Die Lösungen 0, $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $0$

f''( $0$ ) = $2 \cdot 0 - 4$ = $0 - 4$ = $- 4$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0^{2} + 12$ = $12$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $12$ )

2.: x= $4$

f''( $4$ ) = $2 \cdot 4 - 4$ = $8 - 4$ = $4$ >0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - 2 \cdot 4^{2} + 12$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.333
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $4$ | $\frac{4}{3}$ )

≈ T:(4|1.333)

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 12 und f(6) = 12 sind aber beide nicht kleiner als der y-Wert des Tiefpunkt.

Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $4$ | $\frac{4}{3}$ ).

Der kleinste Wert beträgt somit $\frac{4}{3}$ m/s ≈ 1.33 s.

x-Wert bei der stärksten Abnahme

Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Abnahme, also der x-Wert mit der stärksten negativen Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Tiefpunkt der ersten Ableitung f'(x).

Wir leiten also erstmal ab:

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt von f' bei x=

2

einblenden

$f'(x) =$ $x^{2} - 4 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f''(x) =$ $2 x - 4$

$f'''(x) =$ $2 + 0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

$2 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)>0).

f'''( $2$ ) = $2$ = $2$ = $2$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.

Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $2$ .

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

Es gilt: f'(0) = 0, f'(6) = 12 und f'( $2$ ) = -4 (Tiefpunkt).

Da f'(0) und f'(6) nicht kleiner als f'( $2$ ) ist, ist der kleinste Ableitungswert bei x = 2.

Die stärkste Abnahme wird also nach $2$ s erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Anwendungsaufgaben

1.: x=0

2.: x=4

1.: x= $0$

2.: x= $4$