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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit f(x)= x 3 -9 x 2 +25x -17 (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

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Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

f(x)= x 3 -9 x 2 +25x -17

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

f'(x)= 3 x 2 -18x +25 +0

= 3 x 2 -18x +25


f''(x)= 6x -18 +0

= 6x -18


f'''(x)= 6 +0

= 6

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

6x -18 = 0 | +18
6x = 18 |:6
x = 3

Die Lösung x= 3 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x0)=0 und f'''(x0)≠0).

Überprüfung bei x = 3 :

f'''(3 ) = 6 +0 = 6

Da f'''(3 )≠0, haben wir bei x = 3 einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(3 ) = 3 3 -9 3 2 +253 -17 = 4
Man erhält so den Wendepunkt: WP(3 | 4 )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(3)= 3 3 2 -183 +25

= 39 -54 +25

= 27 -54 +25

= -2

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -2 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(3)= 3 3 -9 3 2 +253 -17 = 27 -99 +75 -17 = 27 -81 +75 -17 = 4

Wir erhalten so also den Punkt B(3| 4 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

4 = -2 ⋅3 + c

4 = -6 + c | + 6

10 = c

also c= 10

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -2 ⋅x + 10

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Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 10.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

-2x +10 = 0 | -10
-2x = -10 |:(-2 )
x = 5

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( 5 |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 10 und 5 ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = 1 2 5 ⋅ 10 = 25.

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Bei einer Computer-Simulations-App spielt unter anderem auch die Beliebtheit der Spielfigur eine Rolle. Dabei wird der Beliebtheitswert so programmiert, dass er zur Zeit x (in Tagen) für 0 ≤ x ≤ 10 mit der Funktion f mit f(x)= 2 5 x 2 -4x +13 (in Beliebtheitspunkten) berechnet wird.

  1. Wie hoch ist der Beliebtheitswert der Spielfigur nach 3 Tagen?
  2. Zu welcher Zeit (in Tagen) ist die Spielfigur am unbeliebtesten?
  3. Bestimme den niedrigsten Beliebtheitswert im angegebenen Zeitraum.

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  1. y-Wert bei x = 3

    Hier müssen wir einfach die 3 in den Funktionsterm einsetzen:

    f(3) = 2 5 3 2 -43 +13 = 18 5 -12 +13 = 23 5 = 4.6 .

    Nach 3 Tage beträgt also der Wert 4.6 Beliebtheitspunkte.

  2. x-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x-Wert des Tiefpunkts.

    Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (5 | 3 ) einblenden

    Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei 5 .

    Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert auftreten könnte:

    f(0) = 13 und f(10) = 13 sind aber beide nicht kleiner als der y-Wert des Tiefpunkt.

    Der kleinste Wert wird also nach 5 Tage erreicht.

  3. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der geringste Funktionswert, also der y-Wert des Tiefpunkts.

    (die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)

    Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei (5 | 3 ).

    Der kleinste Wert beträgt somit 3 Beliebtheitspunkte.