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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit f(x)= x 3 -6 x 2 +10x -2 (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

f(x)= x 3 -6 x 2 +10x -2

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

f'(x)= 3 x 2 -12x +10 +0

= 3 x 2 -12x +10


f''(x)= 6x -12 +0

= 6x -12


f'''(x)= 6 +0

= 6

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

6x -12 = 0 | +12
6x = 12 |:6
x = 2

Die Lösung x= 2 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x0)=0 und f'''(x0)≠0).

Überprüfung bei x = 2 :

f'''(2 ) = 6 +0 = 6

Da f'''(2 )≠0, haben wir bei x = 2 einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(2 ) = 2 3 -6 2 2 +102 -2 = 2
Man erhält so den Wendepunkt: WP(2 | 2 )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(2)= 3 2 2 -122 +10

= 34 -24 +10

= 12 -24 +10

= -2

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -2 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(2)= 2 3 -6 2 2 +102 -2 = 8 -64 +20 -2 = 8 -24 +20 -2 = 2

Wir erhalten so also den Punkt B(2| 2 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

2 = -2 ⋅2 + c

2 = -4 + c | + 4

6 = c

also c= 6

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -2 ⋅x + 6

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Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 6.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

-2x +6 = 0 | -6
-2x = -6 |:(-2 )
x = 3

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( 3 |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 und 3 ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = 1 2 3 ⋅ 6 = 9.

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Ein Wirkstoff wird in den menschlichen Körper aufgenommen. Man geht davon aus, dass sich die Konzentration des Wirkstoffs im Blut zur Zeit x (in Minuten) für 0 ≤ x ≤ 6 durch die Funktion f mit f(x)= - 1 3 x 3 +2 x 2 (in Milligramm) beschreiben lässt.

  1. Wie viel mg des Wirkstoffs sind nach 5 Minuten im Blut?
  2. Zu welcher Zeit (in s) ist die Konzentration des Wirkstoffs im Blut am größten?
  3. Bestimme die höchste Konzentration des Wirkstoffs im Blut im angegebenen Zeitraum.

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  1. y-Wert bei x = 5

    Hier müssen wir einfach die 5 in den Funktionsterm einsetzen:

    f(5) = - 1 3 5 3 +2 5 2 = - 125 3 +50 = 25 3 ≈ 8.33 .

    Nach 5 min beträgt also der Wert 8.33 mg.

  2. x-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x-Wert des Hochpunkts.

    Detail-Rechnung für den Hochpunkt (4 | 32 3 ) einblenden

    Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei 4 .

    Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

    f(0) = 0 und f(6) = 0 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

    Der größte Wert wird also nach 4 min erreicht.

  3. y-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

    (die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)

    Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei (4 | 32 3 ).

    Der größte Wert beträgt somit 32 3 mg ≈ 10.67 min.