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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen
Beispiel:
Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.
Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:
Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.
=
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.
(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').
Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.
= | | | ||
= | |: | ||
= |
Die Lösung x= ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.
Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x0)=0 und f'''(x0)≠0).
Überprüfung bei x = :
f'''() = =
Da f'''()≠0, haben wir bei x = einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f() =
=
Man erhält so den Wendepunkt: WP(|
)
Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
Wir erhalten so also den Punkt B(2| ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
=
⋅
= + c | +
= c
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅x +
Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 6.
Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:
= | | | ||
= | |:() | ||
= |
Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( |0).
Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 und ist, gilt für den Flächeninhalt:
A = ⋅ 6 = .
Anwendungsaufgaben
Beispiel:
Bei einer Computer-Simulations-App spielt unter anderem auch die Beliebtheit der Spielfigur eine Rolle. Dabei wird der Beliebtheitswert so programmiert, dass er zur Zeit x (in Tagen) für 0 ≤ x ≤ 8 mit der Funktion f mit (in Milligramm) berechnet wird.
- Nach wie vielen Tagen ist der Beliebtheitswert erstmals bei ?
- Zu welcher Zeit (in Tagen) ist die Spielfigur am unbeliebtesten?
- Bestimme den niedrigsten Beliebtheitswert im angegebenen Zeitraum.
- x-Wert bei y =
Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert einnimmt:
= |⋅ 2 = = | = 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
+ 8 ± 64 - 28 2 x1,2 =
+ 8 ± 36 2 x1 =
8 + 36 2 8 + 6 2 14 2 7 x2 =
8 - 36 2 8 - 6 2 2 2 1 Der erste Wert mit y =
13 2 - x-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x-Wert des Tiefpunkts.
Detail-Rechnung für den Tiefpunkt ( |4 2 Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei
.4 Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert auftreten könnte:
f(0) = 10 und f(8) = 10 sind aber beide nicht kleiner als der y-Wert des Tiefpunkt.
Der kleinste Wert wird also nach
Tage erreicht.4 - y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der geringste Funktionswert, also der y-Wert des Tiefpunkts.
(die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)
Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei (
|4 2 Der kleinste Wert beträgt somit
2