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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 6 x^{2} + 10 x + 2$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 6 x^{2} + 10 x + 2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 12 x + 10 + 0$

= $3 x^{2} - 12 x + 10$

$f''(x) =$ $6 x - 12 + 0$

= $6 x - 12$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$6 x$	=	$12$	\|: $6$
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $2$ :

f'''( $2$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $2$ )≠0, haben wir bei x = $2$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $2$ ) = $2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 + 2$ = $6$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $2$ | $6$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $3 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 10$

= $3 \cdot 4 - 24 + 10$

= $12 - 24 + 10$

= $- 2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 + 2$ = $8 - 6 \cdot 4 + 20 + 2$ = $8 - 24 + 20 + 2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $6$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $- 2$ ⋅2 + c

$6$ = $- 4$ + c | + $4$

$10$ = c

also c= $10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 2$ ⋅x + $10$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 10.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- 2 x + 10$	=	0	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $5$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 10 und $5$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $5$ ⋅ 10 = $25$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Ein Wirkstoff wird in den menschlichen Körper aufgenommen. Man geht davon aus, dass sich die Konzentration des Wirkstoffs im Blut zur Zeit x (in Minuten) für 0 ≤ x ≤ 6 durch die Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{2} + 4 x + 1$ (in Milligramm) beschreiben lässt.

Nach wie viel Minuten sind erstmals $\frac{13}{3}$ mg des Wirkstoffs im Blut?
Zu welcher Zeit (in min) ist die Konzentration des Wirkstoffs im Blut am größten?
Bestimme die höchste Konzentration des Wirkstoffs im Blut im angegebenen Zeitraum.

Lösung einblenden

x-Wert bei y = $\frac{13}{3}$

Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{13}{3}$ einnimmt:

$- \frac{2}{3} x^{2} + 4 x + 1$	=	$\frac{13}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x^{2} + 4 x + 1)$	=	$13$
$- 2 x^{2} + 12 x + 3$	=	$13$	\| $- 13$

- 2 x^{2} + 12 x - 10

= 0 |:2

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6+4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6-4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

Der erste Wert mit y = $\frac{13}{3}$ mg ist also bei x = 1 min.

x-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x-Wert des Hochpunkts.

Detail-Rechnung für den Hochpunkt (

3

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) einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{2} + 4 x + 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- \frac{4}{3} x + 4 + 0$

= $- \frac{4}{3} x + 4$

$f''(x) =$ $- \frac{4}{3} + 0$

= $- \frac{4}{3}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- \frac{4}{3} x + 4$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{4}{3} x + 4)$	=	0
$- 4 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $3$ ) = $- \frac{4}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $- \frac{2}{3} \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 + 1$ = $7$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $3$ | $7$ )

Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $3$ .

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 1 und f(6) = 1 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

Der größte Wert wird also nach $3$ min erreicht.

y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

(die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)
Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $3$ | $7$ ).

Der größte Wert beträgt somit $7$ mg.