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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 21$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

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Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 21$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 18 x + 26 + 0$

= $3 x^{2} - 18 x + 26$

$f''(x) =$ $6 x - 18 + 0$

= $6 x - 18$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 18$	=	0	\| $+ 18$
$6 x$	=	$18$	\|: $6$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $3$ :

f'''( $3$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $3$ )≠0, haben wir bei x = $3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $3$ ) = $3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 26 \cdot 3 - 21$ = $3$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $3$ | $3$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $3 \cdot 3^{2} - 18 \cdot 3 + 26$

= $3 \cdot 9 - 54 + 26$

= $27 - 54 + 26$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 26 \cdot 3 - 21$ = $27 - 9 \cdot 9 + 78 - 21$ = $27 - 81 + 78 - 21$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $- 1$ ⋅3 + c

$3$ = $- 3$ + c | + $3$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $6$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 6.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $6$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 und $6$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $6$ ⋅ 6 = $18$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Ein Testfahrzeug fährt mit unterschiedlicher Geschwindigkeit auf einer Teststrecke. Dabei kann die Geschwindigkeit zur Zeit x (in Sekunden) für 0 ≤ x ≤ 10 durch die Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{5} x^{2} + 4 x + 3$ (in Meter pro Sekunde) angeben werden.

Wie schnell ist das Fahrzeug nach 8 Sekunden ?
Wie lang ist der Zeitraum, in dem das Fahrzeug mindestens $\frac{57}{5}$ m/s schnell fährt?
Bestimme die höchste Geschwindigkeit des Fahrzeugs im angegebenen Zeitraum.

Lösung einblenden

y-Wert bei x = 8
Hier müssen wir einfach die 8 in den Funktionsterm einsetzen:

f(8) = $- \frac{2}{5} \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 3$ = $- \frac{128}{5} + 32 + 3$ = $\frac{47}{5}$ ≈ 9.4 .

Nach 8 s beträgt also der Wert 9.4 m/s.

x-Bereich, wo f(x) > $\frac{57}{5}$

Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{57}{5}$ einnimmt:

$- \frac{2}{5} x^{2} + 4 x + 3$	=	$\frac{57}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{2}{5} x^{2} + 4 x + 3)$	=	$57$
$- 2 x^{2} + 20 x + 15$	=	$57$	\| $- 57$

- 2 x^{2} + 20 x - 42

= 0 |:2

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10+4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10-4}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Bei $3$ und $7$ sind also die einzigen Schnittstellen und der Wert dazwischen f(5) = $- \frac{2}{5} \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5 + 3$ = 13 ist größer.

In den 4 s zwischen $3$ s und $7$ s beträgt der Wert mindestens $\frac{57}{5}$ m/s.

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

Detail-Rechnung für den Hochpunkt (

5

13

) einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{5} x^{2} + 4 x + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- \frac{4}{5} x + 4 + 0$

= $- \frac{4}{5} x + 4$

$f''(x) =$ $- \frac{4}{5} + 0$

= $- \frac{4}{5}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- \frac{4}{5} x + 4$	=	0	\|⋅ 5
$5 (- \frac{4}{5} x + 4)$	=	0
$- 4 x + 20$	=	0	\| $- 20$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $5$ ) = $- \frac{4}{5}$ = $- \frac{4}{5}$ = $- \frac{4}{5}$ <0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $5$ ) = $- \frac{2}{5} \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5 + 3$ = $13$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $5$ | $13$ )

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 3 und f(10) = 3 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $5$ | $13$ ).

Der größte Wert beträgt somit $13$ m/s.