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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + 5$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

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Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + 5$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x + 0$

= $3 x^{2} - 6 x$

$f''(x) =$ $6 x - 6$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$6 x$	=	$6$	\|: $6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$ :

f'''( $1$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $1$ )≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $1$ ) = $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 5$ = $3$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $1$ | $3$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1$

= $3 \cdot 1 - 6$

= $3 - 6$

= $- 3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 5$ = $1 - 3 \cdot 1 + 5$ = $1 - 3 + 5$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $- 3$ ⋅1 + c

$3$ = $- 3$ + c | + $3$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 3$ ⋅x + $6$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 6.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- 3 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $2$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 und $2$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $2$ ⋅ 6 = $6$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Der Verlauf eines Teilstücks einer Achterbahn kann für 0 ≤ x ≤ 6 durch den Graph einer Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{2} + 4 x + 1$ (alle Angaben in Meter). Der Startpunkt der Achterbahn ist bei x=0.

Auf welcher Höhe ist die Achterbahn, wenn sie in horizontaler Richtung 2 Meter vom Startpunkt entfernt ist?
Wie lang ist die horizontale Strecke in dem Bereich, in dem die Achterbahn auf einer Höhe von mindestens $\frac{19}{3}$ m verläuft?
Bestimme die Höhe des höchsten Punkts der Achterbahn.

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y-Wert bei x = 2
Hier müssen wir einfach die 2 in den Funktionsterm einsetzen:

f(2) = $- \frac{2}{3} \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 1$ = $- \frac{8}{3} + 8 + 1$ = $\frac{19}{3}$ ≈ 6.33 .

Nach 2 m beträgt also der Wert 6.33 m.

x-Bereich, wo f(x) > $\frac{19}{3}$

Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{19}{3}$ einnimmt:

$- \frac{2}{3} x^{2} + 4 x + 1$	=	$\frac{19}{3}$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{2}{3} x^{2} + 4 x + 1)$	=	$19$
$- 2 x^{2} + 12 x + 3$	=	$19$	\| $- 19$

- 2 x^{2} + 12 x - 16

= 0 |:2

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6+2}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6-2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

Bei $2$ und $4$ sind also die einzigen Schnittstellen und der Wert dazwischen f(3) = $- \frac{2}{3} \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 + 1$ = 7 ist größer.

In den 2 m zwischen $2$ m und $4$ m beträgt der Wert mindestens $\frac{19}{3}$ m.

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

Detail-Rechnung für den Hochpunkt (

3

7

) einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{2} + 4 x + 1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- \frac{4}{3} x + 4 + 0$

= $- \frac{4}{3} x + 4$

$f''(x) =$ $- \frac{4}{3} + 0$

= $- \frac{4}{3}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- \frac{4}{3} x + 4$	=	0	\|⋅ 3
$3 (- \frac{4}{3} x + 4)$	=	0
$- 4 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $3$ ) = $- \frac{4}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $- \frac{2}{3} \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 + 1$ = $7$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $3$ | $7$ )

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 1 und f(6) = 1 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $3$ | $7$ ).

Der größte Wert beträgt somit $7$ m.