Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-6x^2+11x-2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-12x+11+0$

= $3x^2-12x+11$

$\text{f''(x)}=$ $6x-12+0$

= $6x-12$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-12$	=	0	| $+12$
$6x$	=	$12$	|:$6$
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $2$:

f'''($2$) = $6+0$= $6$

Da f'''($2$)≠0, haben wir bei x = $2$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($2$) = $2^3-6\cdot 2^2+11\cdot 2-2$ = $4$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($2$| $4$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $3\cdot 2^2-12\cdot 2+11$

= $3\cdot 4-24+11$

= $12-24+11$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $2^3-6\cdot 2^2+11\cdot 2-2$ = $8-6\cdot 4+22-2$ = $8-24+22-2$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-1$⋅2 + c

$4$ = $-2$ + c | + $2$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x + $6$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 6.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-x+6$	=	0	| $-6$
$-x$	=	$-6$	|:($-1$)
$x$	=	$6$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $6$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 und $6$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $6$ ⋅ 6 = $18$.

1. x-Wert bei y = $\frac{31}{3}$

   Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{31}{3}$ einnimmt:

   $-\frac{2}{3}{x}^2+4x+5$	=	$\frac{31}{3}$	|⋅ 3
   $3\left(-\frac{2}{3}{x}^2+4x+5\right)$	=	$31$
   $-2x^2+12x+15$	=	$31$	| $-31$

   $-2x^2+12x-16$ = 0 |:2

   $-x^2+6x-8$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·\left(-1\right)·\left(-8\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

   x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-32}}{-2}$

   x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{4}}{-2}$

   x₁ = $\frac{-6+\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

   x₂ = $\frac{-6-\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{-2}$ = $4$

   .

   Der erste Wert mit y = $\frac{31}{3}$ m ist also bei x = 2 m.

2. x-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x-Wert des Hochpunkts.

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($3$| $11$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^2+4x+5$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}x+4+0$

   = $-\frac{4}{3}x+4$

   $\text{f''(x)}=$ $-\frac{4}{3}+0$

   = $-\frac{4}{3}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $-\frac{4}{3}x+4$	=	0	|⋅ 3
   $3\left(-\frac{4}{3}x+4\right)$	=	0
   $-4x+12$	=	0	| $-12$
   $-4x$	=	$-12$	|:($-4$)
   $x$	=	$3$

   Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

   f''($3$) = $-\frac{4}{3}$= $-\frac{4}{3}$= $-\frac{4}{3}$ <0

   Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($3$) = $-\frac{2}{3}\cdot 3^2+4\cdot 3+5$ = $11$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($3$| $11$)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $3$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 5 und f(6) = 5 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

   Der größte Wert wird also nach $3$ m erreicht.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

   (die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($3$| $11$).

   Der größte Wert beträgt somit $11$ m.