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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 2$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x + 2 + 0$

= $3 x^{2} - 6 x + 2$

$f''(x) =$ $6 x - 6 + 0$

= $6 x - 6$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$6 x$	=	$6$	\|: $6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$ :

f'''( $1$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $1$ )≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $1$ ) = $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + 2$ = $2$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $1$ | $2$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 + 2$

= $3 \cdot 1 - 6 + 2$

= $3 - 6 + 2$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + 2$ = $1 - 3 \cdot 1 + 2 + 2$ = $1 - 3 + 2 + 2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $- 1$ ⋅1 + c

$2$ = $- 1$ + c | + $1$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $3$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 3.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $3$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 und $3$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $3$ ⋅ 3 = $\frac{9}{2}$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

In einen Wassertank fließt Wasser ein und wieder aus. Das Volumen des im Tank befindlichen Wassers kann zur Zeit x mit 0 ≤ x ≤ 8 (x in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x + 2$ (in Litern) angeben werden.

Wie viel Wasser ist nach 7 Sekunden im Tank?
Nach wie viel Sekunden sind erstmals $8$ Liter Wasser im Tank?
Bestimme die maximale Wassermenge.

Lösung einblenden

y-Wert bei x = 7
Hier müssen wir einfach die 7 in den Funktionsterm einsetzen:

f(7) = $- \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 2$ = $- \frac{49}{2} + 28 + 2$ = $\frac{11}{2}$ = 5.5 .

Nach 7 s beträgt also der Wert 5.5 Liter.

x-Wert bei y = $8$

Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $8$ einnimmt:

$- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x + 2$	=	$8$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x + 2)$	=	$16$
$- x^{2} + 8 x + 4$	=	$16$	\| $- 16$

$- x^{2} + 8 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8+4}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8-4}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

Der erste Wert mit y = $8$ Liter ist also bei x = 2 s.

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

Detail-Rechnung für den Hochpunkt (

4

10

) einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x + 2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- x + 4 + 0$

= $- x + 4$

$f''(x) =$ $- 1 + 0$

= $- 1$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Die Lösung x= $4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $4$ ) = $- 1$ = $- 1$ = $- 1$ <0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $- \frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 2$ = $10$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $4$ | $10$ )

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 2 und f(8) = 2 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $4$ | $10$ ).

Der größte Wert beträgt somit $10$ Liter.