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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 23$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

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Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 23$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 18 x + 26 + 0$

= $3 x^{2} - 18 x + 26$

$f''(x) =$ $6 x - 18 + 0$

= $6 x - 18$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 18$	=	0	\| $+ 18$
$6 x$	=	$18$	\|: $6$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $3$ :

f'''( $3$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $3$ )≠0, haben wir bei x = $3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $3$ ) = $3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 26 \cdot 3 - 23$ = $1$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $3$ | $1$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $3 \cdot 3^{2} - 18 \cdot 3 + 26$

= $3 \cdot 9 - 54 + 26$

= $27 - 54 + 26$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 26 \cdot 3 - 23$ = $27 - 9 \cdot 9 + 78 - 23$ = $27 - 81 + 78 - 23$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $1$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $- 1$ ⋅3 + c

$1$ = $- 3$ + c | + $3$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $4$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 4.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $4$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 4 und $4$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $4$ ⋅ 4 = $8$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Ein Testfahrzeug fährt mit unterschiedlicher Geschwindigkeit auf einer Teststrecke. Dabei kann die Geschwindigkeit zur Zeit x (in Sekunden) für 0 ≤ x ≤ 6 durch die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{2} - 4 x + 7$ (in Meter pro Sekunde) angeben werden.

Wie schnell ist das Fahrzeug nach 5 Sekunden ?
Nach wie viel Sekunden ist das Fahrzeug erstmals $\frac{5}{3}$ m/s schnell?
Bestimme die niedrigste Geschwindigkeit des Fahrzeugs im angegebenen Zeitraum.

Lösung einblenden

y-Wert bei x = 5
Hier müssen wir einfach die 5 in den Funktionsterm einsetzen:

f(5) = $\frac{2}{3} \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 + 7$ = $\frac{50}{3} - 20 + 7$ = $\frac{11}{3}$ ≈ 3.67 .

Nach 5 s beträgt also der Wert 3.67 m/s.

x-Wert bei y = $\frac{5}{3}$

Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{5}{3}$ einnimmt:

$\frac{2}{3} x^{2} - 4 x + 7$	=	$\frac{5}{3}$	\|⋅ 3
$3 (\frac{2}{3} x^{2} - 4 x + 7)$	=	$5$
$2 x^{2} - 12 x + 21$	=	$5$	\| $- 5$

2 x^{2} - 12 x + 16

= 0 |:2

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

Der erste Wert mit y = $\frac{5}{3}$ m/s ist also bei x = 2 s.

y-Wert des Minimums (TP)

Gesucht ist der geringste Funktionswert, also der y-Wert des Tiefpunkts.

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (

3

1

) einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{2} - 4 x + 7$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $\frac{4}{3} x - 4 + 0$

= $\frac{4}{3} x - 4$

$f''(x) =$ $\frac{4}{3} + 0$

= $\frac{4}{3}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\frac{4}{3} x - 4$	=	0	\|⋅ 3
$3 (\frac{4}{3} x - 4)$	=	0
$4 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $3$ ) = $\frac{4}{3}$ = $\frac{4}{3}$ = $\frac{4}{3}$ >0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $3$ ) = $\frac{2}{3} \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 + 7$ = $1$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $3$ | $1$ )

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 7 und f(6) = 7 sind aber beide nicht kleiner als der y-Wert des Tiefpunkt.

Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $3$ | $1$ ).

Der kleinste Wert beträgt somit $1$ m/s.