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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 20$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 20$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 18 x + 26 + 0$

= $3 x^{2} - 18 x + 26$

$f''(x) =$ $6 x - 18 + 0$

= $6 x - 18$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 18$	=	0	\| $+ 18$
$6 x$	=	$18$	\|: $6$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $3$ :

f'''( $3$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $3$ )≠0, haben wir bei x = $3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $3$ ) = $3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 26 \cdot 3 - 20$ = $4$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $3$ | $4$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $3 \cdot 3^{2} - 18 \cdot 3 + 26$

= $3 \cdot 9 - 54 + 26$

= $27 - 54 + 26$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 26 \cdot 3 - 20$ = $27 - 9 \cdot 9 + 78 - 20$ = $27 - 81 + 78 - 20$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $- 1$ ⋅3 + c

$4$ = $- 3$ + c | + $3$

$7$ = c

also c= $7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $7$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 7.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- x + 7$	=	0	\| $- 7$
$- x$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$7$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $7$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 7 und $7$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $7$ ⋅ 7 = $\frac{49}{2}$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Ein Testfahrzeug fährt mit unterschiedlicher Geschwindigkeit auf einer Teststrecke. Dabei kann die Geschwindigkeit zur Zeit x (in Sekunden) für 0 ≤ x ≤ 9 durch die Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ (in Meter pro Sekunde) angeben werden.

Wie schnell ist das Fahrzeug nach 3 Sekunden ?
Bestimme die höchste Geschwindigkeit des Fahrzeugs im angegebenen Zeitraum.
Zu welcher Zeit (in s) beschleunigt das Fahrzeug am stärksten ?

Lösung einblenden

y-Wert bei x = 3
Hier müssen wir einfach die 3 in den Funktionsterm einsetzen:

f(3) = $- \frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{3}{2} \cdot 3^{2}$ = $- \frac{9}{2} + \frac{27}{2}$ = $9$ .

Nach 3 s beträgt also der Wert 9 m/s.

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

Detail-Rechnung für den Hochpunkt (

6

18

) einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x$

$f''(x) =$ $- x + 3$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x$	=	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x)$	=
$- x^{2} + 6 x$	=
$x (- x + 6)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

Die Lösungen 0, $6$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 0 + 3$ = $0 + 3$ = $3$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- \frac{1}{6} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0^{2}$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ |0)

2.: x= $6$

f''( $6$ ) = $- 6 + 3$ = $- 6 + 3$ = $- 3$ <0

Das heißt bei x = $6$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $6$ ) = $- \frac{1}{6} \cdot 6^{3} + \frac{3}{2} \cdot 6^{2}$ = $18$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $6$ | $18$ )

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 0 und f(9) = 0 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $6$ | $18$ ).

Der größte Wert beträgt somit $18$ m/s.

x-Wert beim stärksten Zuwachs

Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Zunahme, also der x-Wert mit der stärksten positiven Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Hochpunkt der ersten Ableitung f'(x).

Wir leiten also erstmal ab:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt von f' bei x=

3

einblenden

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f''(x) =$ $- x + 3$

$f'''(x) =$ $- 1 + 0$

= $- 1$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)>0).

f'''( $3$ ) = $- 1$ = $- 1$ = $- 1$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.

Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $3$ .

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

Es gilt: f'(0) = 0, f'(9) = -13.5 und f'( $3$ ) = 4.5 (Hochpunkt).

Da f'(0) und f'(9) nicht größer als f'( $3$ ) ist, ist der größte Ableitungswert bei x = 3.

Die stärkste Zunahme wird also nach $3$ s erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Anwendungsaufgaben

1.: x=0

2.: x=6

1.: x= $0$

2.: x= $6$