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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen
Beispiel:
Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.
Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:
Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.
=
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.
(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').
Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.
= | | | ||
= | |: | ||
= |
Die Lösung x= ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.
Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x0)=0 und f'''(x0)≠0).
Überprüfung bei x = :
f'''() = =
Da f'''()≠0, haben wir bei x = einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f() =
=
Man erhält so den Wendepunkt: WP(|
)
Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
Wir erhalten so also den Punkt B(1| ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅1 + c
= + c | +
= c
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅x +
Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 5.
Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:
= | | | ||
= | |:() | ||
= |
Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( |0).
Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 5 und ist, gilt für den Flächeninhalt:
A = ⋅ 5 = .
Anwendungsaufgaben
Beispiel:
Bei einer Computer-Simulations-App spielt unter anderem auch die Beliebtheit der Spielfigur eine Rolle. Dabei wird der Beliebtheitswert so programmiert, dass er zur Zeit x (in Tagen) für 0 ≤ x ≤ 5 mit der Funktion f mit (in Milligramm) berechnet wird.
- Zu welcher Zeit (in Tagen) ist die Spielfigur am beliebtesten?
- Bestimme den höchsten Beliebtheitswert im angegebenen Zeitraum.
- Zu welcher Zeit (in s) steigt der Beliebtheitswert der Spielfigur am stärksten?
- x-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x-Wert des Hochpunkts.
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (| ) einblendenDer einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei
.3 Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:
f(0) = 0 und f(5) = 1.11 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.
Der größte Wert wird also nach
Tage erreicht.3 - y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.
(die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)
Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei (
|3 6 Der größte Wert beträgt somit
6 - x-Wert beim stärksten Zuwachs
Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Zunahme, also der x-Wert mit der stärksten positiven Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Hochpunkt der ersten Ableitung f'(x).
Wir leiten also erstmal ab:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt von f' bei x= einblenden0 Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei
.0 Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:
Es gilt: f'(0) = 3, f'(5) = -5.33 und f'(
) = 3 (Hochpunkt).0 Da der Hochpunkt von f' am Rand liegt, ist der größte Ableitungswert bei x = 0.
Die stärkste Zunahme wird also nach
Tage erreicht.0