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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 2$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 12 x + 11 + 0$

= $3 x^{2} - 12 x + 11$

$f''(x) =$ $6 x - 12 + 0$

= $6 x - 12$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$6 x$	=	$12$	\|: $6$
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $2$ :

f'''( $2$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $2$ )≠0, haben wir bei x = $2$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $2$ ) = $2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 11 \cdot 2 - 2$ = $4$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $2$ | $4$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $3 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 11$

= $3 \cdot 4 - 24 + 11$

= $12 - 24 + 11$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 11 \cdot 2 - 2$ = $8 - 6 \cdot 4 + 22 - 2$ = $8 - 24 + 22 - 2$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $- 1$ ⋅2 + c

$4$ = $- 2$ + c | + $2$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $6$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 6.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $6$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 und $6$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $6$ ⋅ 6 = $18$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

In einen Wassertank fließt Wasser ein und wieder aus. Das Volumen des im Tank befindlichen Wassers kann zur Zeit x mit 0 ≤ x ≤ 6 (x in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{16} x^{3} + 3 x$ (in Litern) angeben werden.

Wie viel Wasser ist nach 3 Sekunden im Tank?
Bestimme die maximale Wassermenge.
Zu welcher Zeit (in s) nimmt das Wasservolumen im Tank am stärksten zu?

Lösung einblenden

y-Wert bei x = 3
Hier müssen wir einfach die 3 in den Funktionsterm einsetzen:

f(3) = $- \frac{1}{16} \cdot 3^{3} + 3 \cdot 3$ = $- \frac{27}{16} + 9$ = $\frac{117}{16}$ ≈ 7.31 .

Nach 3 s beträgt also der Wert 7.31 Liter.

y-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

Detail-Rechnung für den Hochpunkt (

4

8

) einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{16} x^{3} + 3 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{2} + 3$

$f''(x) =$ $- \frac{3}{8} x + 0$

= $- \frac{3}{8} x$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- \frac{3}{16} x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- \frac{3}{16} x^{2}$	=	$- 3$	\|⋅ $(- \frac{16}{3})$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Die Lösungen $- 4$ , $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 4$

f''( $- 4$ ) = $- \frac{3}{8} \cdot (- 4)$ = $\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ >0

Das heißt bei x = $- 4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = $- \frac{1}{16} \cdot {(- 4)}^{3} + 3 \cdot (- 4)$ = $- 8$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 4$ | $- 8$ )

2.: x= $4$

f''( $4$ ) = $- \frac{3}{8} \cdot 4$ = $- \frac{3}{2}$ = $- \frac{3}{2}$ <0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $- \frac{1}{16} \cdot 4^{3} + 3 \cdot 4$ = $8$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $4$ | $8$ )

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 0 und f(6) = 4.5 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $4$ | $8$ ).

Der größte Wert beträgt somit $8$ Liter.

x-Wert beim stärksten Zuwachs

Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Zunahme, also der x-Wert mit der stärksten positiven Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Hochpunkt der ersten Ableitung f'(x).

Wir leiten also erstmal ab:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt von f' bei x=

0

einblenden

$f'(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{2} + 3$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f''(x) =$ $- \frac{3}{8} x + 0$

= $- \frac{3}{8} x$

$f'''(x) =$ $- \frac{3}{8}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

$- \frac{3}{8} x$	=	\|⋅ 8
$- 3 x$	=	\|:( $- 3$ )
$x$	=

Die Lösung x=0 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)>0).

f'''( $0$ ) = $- \frac{3}{8}$ = $- \frac{3}{8}$ = $- \frac{3}{8}$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.

Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $0$ .

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

Es gilt: f'(0) = 3, f'(6) = -3.75 und f'( $0$ ) = 3 (Hochpunkt).

Da der Hochpunkt von f' am Rand liegt, ist der größte Ableitungswert bei x = 0.

Die stärkste Zunahme wird also nach $0$ s erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Anwendungsaufgaben

1.: x=-4

2.: x=4

1.: x= $- 4$

2.: x= $4$