Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} - x + 7$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} - x + 7$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x - 1 + 0$

= $3 x^{2} - 6 x - 1$

$f''(x) =$ $6 x - 6 + 0$

= $6 x - 6$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$6 x$	=	$6$	\|: $6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$ :

f'''( $1$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $1$ )≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $1$ ) = $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 + 7$ = $4$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $1$ | $4$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 - 1$

= $3 \cdot 1 - 6 - 1$

= $3 - 6 - 1$

= $- 4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 + 7$ = $1 - 3 \cdot 1 - 1 + 7$ = $1 - 3 - 1 + 7$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $- 4$ ⋅1 + c

$4$ = $- 4$ + c | + $4$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 4$ ⋅x + $8$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 8.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- 4 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $2$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 8 und $2$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $2$ ⋅ 8 = $8$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Der Verlauf eines Teilstücks einer Achterbahn kann für 0 ≤ x ≤ 6 durch den Graph einer Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{16} x^{3} + 3 x$ (alle Angaben in Meter). Der Startpunkt der Achterbahn ist bei x=0.

Auf welcher Höhe ist die Achterbahn, wenn sie in horizontaler Richtung 3 Meter vom Startpunkt entfernt ist?
Wie weit ist der höchste Punkt der Achterbahn in horizontaler Richtung vom Startpunkt entfernt?
Bestimme die Höhe des höchsten Punkts der Achterbahn.
Bestimme den Steigungswinkel an der steilsten Stelle der Achterbahn im angegebenen Bereich.

Lösung einblenden

y-Wert bei x = 3
Hier müssen wir einfach die 3 in den Funktionsterm einsetzen:

f(3) = $- \frac{1}{16} \cdot 3^{3} + 3 \cdot 3$ = $- \frac{27}{16} + 9$ = $\frac{117}{16}$ ≈ 7.31 .

Nach 3 m beträgt also der Wert 7.31 m.

x-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x-Wert des Hochpunkts.

Detail-Rechnung für den Hochpunkt (

4

8

) einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{16} x^{3} + 3 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{2} + 3$

$f''(x) =$ $- \frac{3}{8} x + 0$

= $- \frac{3}{8} x$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- \frac{3}{16} x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- \frac{3}{16} x^{2}$	=	$- 3$	\|⋅ $(- \frac{16}{3})$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Die Lösungen $- 4$ , $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $- 4$

f''( $- 4$ ) = $- \frac{3}{8} \cdot (- 4)$ = $\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$ >0

Das heißt bei x = $- 4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $- 4$ ) = $- \frac{1}{16} \cdot {(- 4)}^{3} + 3 \cdot (- 4)$ = $- 8$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $- 4$ | $- 8$ )

2.: x= $4$

f''( $4$ ) = $- \frac{3}{8} \cdot 4$ = $- \frac{3}{2}$ = $- \frac{3}{2}$ <0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $- \frac{1}{16} \cdot 4^{3} + 3 \cdot 4$ = $8$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $4$ | $8$ )

Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $4$ .

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 0 und f(6) = 4.5 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

Der größte Wert wird also nach $4$ m erreicht.

y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

(die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)
Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $4$ | $8$ ).

Der größte Wert beträgt somit $8$ m.

Maximaler Steigungswinkel

Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Steigung oder dem stärksten Gefälle, also die Extremstellen der Ableitungsfunktion bzw. die x-Werte der Wendepunkte.

Detail-Rechnung für alle Wendestellen von f einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{16} x^{3} + 3 x$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $- \frac{3}{16} x^{2} + 3$

$f''(x) =$ $- \frac{3}{8} x + 0$

= $- \frac{3}{8} x$

$f'''(x) =$ $- \frac{3}{8}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$- \frac{3}{8} x$	=	\|⋅ 8
$- 3 x$	=	\|:( $- 3$ )
$x$	=

Die Lösung x=0 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $0$ :

f'''( $0$ ) = $- \frac{3}{8}$ = $- \frac{3}{8}$

Da f'''( $0$ )≠0, haben wir bei x = $0$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $0$ ) = $- \frac{1}{16} \cdot {(0)}^{3} + 3 \cdot (0)$ = 0
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $0$ |0)

Jetzt berechnen wir die extremalen Tangentensteigungswerte in den Wendestellen:

f'( $0$ ) = $- \frac{3}{16} \cdot {(0)}^{2} + 3$ ≈ 3
Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Tangentensteigungswerte an den Rändern untersuchen:
f'(0) = $- \frac{3}{16} \cdot 0^{2} + 3$ ≈ 3
f'(6) = $- \frac{3}{16} \cdot 6^{2} + 3$ ≈ -3.75

Um jetzt die steilste Stelle zu finden, brauchen wir den betragsmäßig größten Ableitungswert, weil es ja egal ist ob hier der Graph steigt oder fällt. Dieser ist bei x = 6 mit f'(6) ≈ -3.75.

Für den Steigungswinkel gilt hier: tan(α) = |-3.75|, also α = arctan(3.75) ≈ 75.07° .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Anwendungsaufgaben

1.: x=-4

2.: x=4

1.: x= $- 4$

2.: x= $4$