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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + x + 5$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + x + 5$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x + 1 + 0$

= $3 x^{2} - 6 x + 1$

$f''(x) =$ $6 x - 6 + 0$

= $6 x - 6$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$6 x$	=	$6$	\|: $6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$ :

f'''( $1$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $1$ )≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $1$ ) = $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 1 + 5$ = $4$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $1$ | $4$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 + 1$

= $3 \cdot 1 - 6 + 1$

= $3 - 6 + 1$

= $- 2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 1 + 5$ = $1 - 3 \cdot 1 + 1 + 5$ = $1 - 3 + 1 + 5$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $- 2$ ⋅1 + c

$4$ = $- 2$ + c | + $2$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 2$ ⋅x + $6$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 6.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- 2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $3$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 und $3$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $3$ ⋅ 6 = $9$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Bei einer Computer-Simulations-App spielt unter anderem auch die Beliebtheit der Spielfigur eine Rolle. Dabei wird der Beliebtheitswert so programmiert, dass er zur Zeit x (in Tagen) für 0 ≤ x ≤ 4 mit der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 4 x^{2} + 12$ (in Beliebtheitspunkten) berechnet wird.

Wie hoch ist der Beliebtheitswert der Spielfigur nach 3 Tagen?
Bestimme den niedrigsten Beliebtheitswert im angegebenen Zeitraum.
Zu welcher Zeit (in Tagen) sinkt der Beliebtheitswert der Spielfigur am stärksten?

Lösung einblenden

y-Wert bei x = 3
Hier müssen wir einfach die 3 in den Funktionsterm einsetzen:

f(3) = $3^{3} - 4 \cdot 3^{2} + 12$ = $27 - 36 + 12$ = $3$ .

Nach 3 Tage beträgt also der Wert 3 Beliebtheitspunkte.

y-Wert des Minimums (TP)

Gesucht ist der geringste Funktionswert, also der y-Wert des Tiefpunkts.

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (

\frac{8}{3}

\frac{68}{27}

) einblenden

$f(x) =$ $x^{3} - 4 x^{2} + 12$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $3 x^{2} - 8 x + 0$

= $3 x^{2} - 8 x$

$f''(x) =$ $6 x - 8$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3 x^{2} - 8 x$	=	0
$x (3 x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$3 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$3 x$	=	$8$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{8}{3}$

Die Lösungen 0, $\frac{8}{3}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $0$

f''( $0$ ) = $6 \cdot 0 - 8$ = $0 - 8$ = $- 8$ <0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $0^{3} - 4 \cdot 0^{2} + 12$ = $12$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $0$ | $12$ )

2.: x= $\frac{8}{3}$

f''( $\frac{8}{3}$ ) = $6 \cdot (\frac{8}{3}) - 8$ = $16 - 8$ = $8$ >0

Das heißt bei x = $\frac{8}{3}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $\frac{8}{3}$ ) = ${(\frac{8}{3})}^{3} - 4 \cdot {(\frac{8}{3})}^{2} + 12$ = $\frac{68}{27}$ ≈ 2.519
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $\frac{8}{3}$ | $\frac{68}{27}$ )

≈ T:(2.667|2.519)

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 12 und f(4) = 12 sind aber beide nicht kleiner als der y-Wert des Tiefpunkt.

Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $\frac{8}{3}$ | $\frac{68}{27}$ ).

Der kleinste Wert beträgt somit $\frac{68}{27}$ Beliebtheitspunkte ≈ 2.52 Tage.

x-Wert bei der stärksten Abnahme

Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Abnahme, also der x-Wert mit der stärksten negativen Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Tiefpunkt der ersten Ableitung f'(x).

Wir leiten also erstmal ab:

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt von f' bei x=

\frac{4}{3}

einblenden

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 8 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f''(x) =$ $6 x - 8$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

$6 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$6 x$	=	$8$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{4}{3}$

Die Lösung x= $\frac{4}{3}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)>0).

f'''( $\frac{4}{3}$ ) = $6$ = $6$ = $6$ >0

Das heißt bei x = $\frac{4}{3}$ ist ein Tiefpunkt.

Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $\frac{4}{3}$ .

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

Es gilt: f'(0) = 0, f'(4) = 16 und f'( $\frac{4}{3}$ ) = -5.33 (Tiefpunkt).

Da f'(0) und f'(4) nicht kleiner als f'( $\frac{4}{3}$ ) ist, ist der kleinste Ableitungswert bei x = 1.33.

Die stärkste Abnahme wird also nach $\frac{4}{3}$ Tage ≈ 1.33 Tage erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Anwendungsaufgaben

1.: x=0

2.: x= 8 3

1.: x= $0$

2.: x= $\frac{8}{3}$