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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + x + 3$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

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Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + x + 3$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x + 1 + 0$

= $3 x^{2} - 6 x + 1$

$f''(x) =$ $6 x - 6 + 0$

= $6 x - 6$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$6 x$	=	$6$	\|: $6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$ :

f'''( $1$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $1$ )≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $1$ ) = $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 1 + 3$ = $2$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $1$ | $2$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 + 1$

= $3 \cdot 1 - 6 + 1$

= $3 - 6 + 1$

= $- 2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 1 + 3$ = $1 - 3 \cdot 1 + 1 + 3$ = $1 - 3 + 1 + 3$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $- 2$ ⋅1 + c

$2$ = $- 2$ + c | + $2$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 2$ ⋅x + $4$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 4.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- 2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $2$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 4 und $2$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $2$ ⋅ 4 = $4$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Bei einer Computer-Simulations-App spielt unter anderem auch die Beliebtheit der Spielfigur eine Rolle. Dabei wird der Beliebtheitswert so programmiert, dass er zur Zeit x (in Tagen) für 0 ≤ x ≤ 10 mit der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{2}{5} x^{2} - 4 x + 11$ (in Beliebtheitspunkten) berechnet wird.

Wie hoch ist der Beliebtheitswert der Spielfigur nach 6 Tagen?
Nach wie vielen Tagen ist der Beliebtheitswert erstmals bei $\frac{7}{5}$ ?
Bestimme den niedrigsten Beliebtheitswert im angegebenen Zeitraum.

Lösung einblenden

y-Wert bei x = 6
Hier müssen wir einfach die 6 in den Funktionsterm einsetzen:

f(6) = $\frac{2}{5} \cdot 6^{2} - 4 \cdot 6 + 11$ = $\frac{72}{5} - 24 + 11$ = $\frac{7}{5}$ ≈ 1.4 .

Nach 6 Tage beträgt also der Wert 1.4 Beliebtheitspunkte.

x-Wert bei y = $\frac{7}{5}$

Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{7}{5}$ einnimmt:

$\frac{2}{5} x^{2} - 4 x + 11$	=	$\frac{7}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{2}{5} x^{2} - 4 x + 11)$	=	$7$
$2 x^{2} - 20 x + 55$	=	$7$	\| $- 7$

2 x^{2} - 20 x + 48

= 0 |:2

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

Der erste Wert mit y = $\frac{7}{5}$ Beliebtheitspunkte ist also bei x = 4 Tage.

y-Wert des Minimums (TP)

Gesucht ist der geringste Funktionswert, also der y-Wert des Tiefpunkts.

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (

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) einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{5} x^{2} - 4 x + 11$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $\frac{4}{5} x - 4 + 0$

= $\frac{4}{5} x - 4$

$f''(x) =$ $\frac{4}{5} + 0$

= $\frac{4}{5}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\frac{4}{5} x - 4$	=	0	\|⋅ 5
$5 (\frac{4}{5} x - 4)$	=	0
$4 x - 20$	=	0	\| $+ 20$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
$x$	=	$5$

Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $5$ ) = $\frac{4}{5}$ = $\frac{4}{5}$ = $\frac{4}{5}$ >0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $5$ ) = $\frac{2}{5} \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 + 11$ = $1$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $5$ | $1$ )

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 11 und f(10) = 11 sind aber beide nicht kleiner als der y-Wert des Tiefpunkt.

Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $5$ | $1$ ).

Der kleinste Wert beträgt somit $1$ Beliebtheitspunkte.