Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-6x^2+10x+2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-12x+10+0$

= $3x^2-12x+10$

$\text{f''(x)}=$ $6x-12+0$

= $6x-12$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-12$	=	0	| $+12$
$6x$	=	$12$	|:$6$
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $2$:

f'''($2$) = $6+0$= $6$

Da f'''($2$)≠0, haben wir bei x = $2$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($2$) = $2^3-6\cdot 2^2+10\cdot 2+2$ = $6$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($2$| $6$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $3\cdot 2^2-12\cdot 2+10$

= $3\cdot 4-24+10$

= $12-24+10$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $2^3-6\cdot 2^2+10\cdot 2+2$ = $8-6\cdot 4+20+2$ = $8-24+20+2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-2$⋅2 + c

$6$ = $-4$ + c | + $4$

$10$ = c

also c= $10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $10$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 10.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-2x+10$	=	0	| $-10$
$-2x$	=	$-10$	|:($-2$)
$x$	=	$5$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $5$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 10 und $5$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $5$ ⋅ 10 = $25$.

1. x-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x-Wert des Tiefpunkts.

   Detail-Rechnung für den Tiefpunkt ($6$| $3$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{6}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+21$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-3x+0$

   = $\frac{1}{2}{x}^2-3x$

   $\text{f''(x)}=$ $x-3$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $\frac{1}{2}{x}^2-3x$	=	0	|⋅ 2
   $2\left(\frac{1}{2}{x}^2-3x\right)$	=	0
   $x^2-6x$	=	0
   $x\left(x-6\right)$	=	0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   x1

   =

   0

   
   

   2. Fall:

   $x-6$	=	0	| $+6$
   x2	=	$6$

   Die Lösungen 0, $6$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

   
   

   1.: x=$0$

   f''($0$) = $0-3$= $-3$= $-3$ <0

   Das heißt bei x = $0$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($0$) = $\frac{1}{6}\cdot 0^3-\frac{3}{2}\cdot 0^2+21$ = $21$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($0$| $21$)

   
   

   2.: x=$6$

   f''($6$) = $6-3$= $3$= $3$ >0

   Das heißt bei x = $6$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($6$) = $\frac{1}{6}\cdot 6^3-\frac{3}{2}\cdot 6^2+21$ = $3$
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($6$| $3$)

   Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $6$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 21 und f(9) = 21 sind aber beide nicht kleiner als der y-Wert des Tiefpunkt.

   Der kleinste Wert wird also nach $6$ m erreicht.

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der geringste Funktionswert, also der y-Wert des Tiefpunkts.

   (die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)

   Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($6$| $3$).

   Der kleinste Wert beträgt somit $3$ m.

3. x-Wert bei der stärksten Abnahme

   Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Abnahme, also der x-Wert mit der stärksten negativen Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Tiefpunkt der ersten Ableitung f'(x).

   Wir leiten also erstmal ab:

   Detail-Rechnung für den Tiefpunkt von f' bei x=$3$ einblenden

   $\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-3x$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f''(x)}=$ $x-3$

   $\text{f'''(x)}=$ $1+0$

   = $1$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

   $x-3$	=	0	| $+3$
   $x$	=	$3$

   Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

   Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)>0).

   f'''($3$) = $1$= $1$= $1$ >0

   Das heißt bei x = $3$ ist ein Tiefpunkt.
   

   Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $3$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

   Es gilt: f'(0) = 0, f'(9) = 13.5 und f'($3$) = -4.5 (Tiefpunkt).

   Da f'(0) und f'(9) nicht kleiner als f'($3$) ist, ist der kleinste Ableitungswert bei x = 3.

   Die stärkste Abnahme wird also nach $3$ m erreicht.

4. Maximaler Steigungswinkel

   Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Steigung oder dem stärksten Gefälle, also die Extremstellen der Ableitungsfunktion bzw. die x-Werte der Wendepunkte.

   Detail-Rechnung für alle Wendestellen von f einblenden

   $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{6}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+21$

   Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

   $\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2-3x+0$

   = $\frac{1}{2}{x}^2-3x$

   
   

   $\text{f''(x)}=$ $x-3$

   
   

   $\text{f'''(x)}=$ $1+0$

   = $1$

   Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

   (Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

   Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

   $x-3$	=	0	| $+3$
   $x$	=	$3$

   Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

   Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

   Überprüfung bei x = $3$:

   f'''($3$) = $1+0$= $1$

   Da f'''($3$)≠0, haben wir bei x = $3$ einen Wendepunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
   f($3$) = $\frac{1}{6}\cdot 3^3-\frac{3}{2}\cdot 3^2+21$ = $12$
   Man erhält so den Wendepunkt: WP($3$| $12$)

   Jetzt berechnen wir die extremalen Tangentensteigungswerte in den Wendestellen:

   f'($3$) = $\frac{1}{2}\cdot 3^2-3\cdot 3$ ≈ -4.5
   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Tangentensteigungswerte an den Rändern untersuchen:
   f'(0) = $\frac{1}{2}\cdot 0^2-3\cdot 0$ ≈ 0
   f'(9) = $\frac{1}{2}\cdot 9^2-3\cdot 9$ ≈ 13.5

   Um jetzt die steilste Stelle zu finden, brauchen wir den betragsmäßig größten Ableitungswert, weil es ja egal ist ob hier der Graph steigt oder fällt. Dieser ist bei x = 9 mit f'(9) ≈ 13.5.

   Für den Steigungswinkel gilt hier: tan(α) = |13.5|, also α = arctan(13.5) ≈ 85.76° .