Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2-x+7$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x-1+0$

= $3x^2-6x-1$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6+0$

= $6x-6$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$:

f'''($1$) = $6+0$= $6$

Da f'''($1$)≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($1$) = $1^3-3\cdot 1^2-1+7$ = $4$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($1$| $4$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(1)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1-1$

= $3\cdot 1-6-1$

= $3-6-1$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(1)}=$ $1^3-3\cdot 1^2-1+7$ = $1-3\cdot 1-1+7$ = $1-3-1+7$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-4$⋅1 + c

$4$ = $-4$ + c | + $4$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x + $8$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 8.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-4x+8$	=	0	| $-8$
$-4x$	=	$-8$	|:($-4$)
$x$	=	$2$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $2$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 8 und $2$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $2$ ⋅ 8 = $8$.

1. y-Wert bei x = 3

   Hier müssen wir einfach die 3 in den Funktionsterm einsetzen:

   f(3) = $-\frac{1}{4}\cdot 3^3+\frac{7}{4}\cdot 3^2$ = $-\frac{27}{4}+\frac{63}{4}$ = $9$ .

   Nach 3 s beträgt also der Wert 9 Liter.

2. x-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x-Wert des Hochpunkts.

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($\frac{14}{3}$| $\frac{343}{27}$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3+\frac{7}{4}{x}^2$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{7}{2}x$

   $\text{f''(x)}=$ $-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{7}{2}x$	=	0	|⋅ 4
   $4\left(-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{7}{2}x\right)$	=	0
   $-3x^2+14x$	=	0
   $x\left(-3x+14\right)$	=	0

   Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

   1. Fall:

   x1

   =

   0

   
   

   2. Fall:

   $-3x+14$	=	0	| $-14$
   $-3x$	=	$-14$	|:($-3$)
   x2	=	$\frac{14}{3}$

   Die Lösungen 0, $\frac{14}{3}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

   
   

   1.: x=$0$

   f''($0$) = $-\frac{3}{2}\cdot 0+\frac{7}{2}$= $0+\frac{7}{2}$= $\frac{7}{2}$ >0

   Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($0$) = $-\frac{1}{4}\cdot 0^3+\frac{7}{4}\cdot 0^2$ = 0
   Man erhält so den Tiefpunkt T:($0$|0)

   
   

   2.: x=$\frac{14}{3}$

   f''($\frac{14}{3}$) = $-\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{14}{3}\right)+\frac{7}{2}$= $-7+\frac{7}{2}$= $-\frac{7}{2}$ <0

   Das heißt bei x = $\frac{14}{3}$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($\frac{14}{3}$) = $-\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{14}{3}\right)}^3+\frac{7}{4}\cdot {\left(\frac{14}{3}\right)}^2$ = $\frac{343}{27}$ ≈ 12.704
   Man erhält so den Hochpunkt H:($\frac{14}{3}$| $\frac{343}{27}$)

   ≈ H:(4.667|12.704)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $\frac{14}{3}$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 0 und f(7) = 0 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

   Der größte Wert wird also nach $\frac{14}{3}$ s ≈ 4.67 s erreicht.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

   (die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($\frac{14}{3}$| $\frac{343}{27}$).

   Der größte Wert beträgt somit $\frac{343}{27}$ Liter ≈ 12.7 s.

4. x-Wert beim stärksten Zuwachs

   Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Zunahme, also der x-Wert mit der stärksten positiven Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Hochpunkt der ersten Ableitung f'(x).

   Wir leiten also erstmal ab:

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt von f' bei x=$\frac{7}{3}$ einblenden

   $\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{7}{2}x$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f''(x)}=$ $-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$

   $\text{f'''(x)}=$ $-\frac{3}{2}+0$

   = $-\frac{3}{2}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

   $-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$	=	0	|⋅ 2
   $2\left(-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}\right)$	=	0
   $-3x+7$	=	0	| $-7$
   $-3x$	=	$-7$	|:($-3$)
   $x$	=	$\frac{7}{3}$

   Die Lösung x= $\frac{7}{3}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

   Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)>0).

   f'''($\frac{7}{3}$) = $-\frac{3}{2}$= $-\frac{3}{2}$= $-\frac{3}{2}$ <0

   Das heißt bei x = $\frac{7}{3}$ ist ein Hochpunkt.
   

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $\frac{7}{3}$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

   Es gilt: f'(0) = 0, f'(7) = -12.25 und f'($\frac{7}{3}$) = 4.08 (Hochpunkt).

   Da f'(0) und f'(7) nicht größer als f'($\frac{7}{3}$) ist, ist der größte Ableitungswert bei x = 2.33.

   Die stärkste Zunahme wird also nach $\frac{7}{3}$ s ≈ 2.33 s erreicht.