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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 20$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 20$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 18 x + 26 + 0$

= $3 x^{2} - 18 x + 26$

$f''(x) =$ $6 x - 18 + 0$

= $6 x - 18$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 18$	=	0	\| $+ 18$
$6 x$	=	$18$	\|: $6$
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $3$ :

f'''( $3$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $3$ )≠0, haben wir bei x = $3$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $3$ ) = $3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 26 \cdot 3 - 20$ = $4$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $3$ | $4$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $3 \cdot 3^{2} - 18 \cdot 3 + 26$

= $3 \cdot 9 - 54 + 26$

= $27 - 54 + 26$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 26 \cdot 3 - 20$ = $27 - 9 \cdot 9 + 78 - 20$ = $27 - 81 + 78 - 20$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $- 1$ ⋅3 + c

$4$ = $- 3$ + c | + $3$

$7$ = c

also c= $7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x + $7$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 7.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- x + 7$	=	0	\| $- 7$
$- x$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$7$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $7$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 7 und $7$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $7$ ⋅ 7 = $\frac{49}{2}$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

In einen Wassertank fließt Wasser ein und wieder aus. Das Volumen des im Tank befindlichen Wassers kann zur Zeit x mit 0 ≤ x ≤ 8 (x in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 9$ (in Litern) angeben werden.

Nach wie viel Sekunden sind erstmals $\frac{11}{2}$ Liter Wasser im Tank?
Zu welcher Zeit (in s) ist am wenigsten Wasser im Tank?
Bestimme die kleinste Wassermenge.

Lösung einblenden

x-Wert bei y = $\frac{11}{2}$

Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{11}{2}$ einnimmt:

$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 9$	=	$\frac{11}{2}$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 9)$	=	$11$
$x^{2} - 8 x + 18$	=	$11$	\| $- 11$

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

Der erste Wert mit y = $\frac{11}{2}$ Liter ist also bei x = 1 s.

x-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x-Wert des Tiefpunkts.
Detail-Rechnung für den Tiefpunkt ( $4$ | $1$ ) einblenden
$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 9$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $x - 4 + 0$
= $x - 4$

$f''(x) =$ $1 + 0$
= $1$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$x - 4$ = 0 | $+ 4$

$x$ = $4$

Die Lösung x= $4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $4$ ) = $1$ = $1$ = $1$ >0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $4$ ) = $\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 + 9$ = $1$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $4$ | $1$ )
Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $4$ .

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 9 und f(8) = 9 sind aber beide nicht kleiner als der y-Wert des Tiefpunkt.

Der kleinste Wert wird also nach $4$ s erreicht.
y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der geringste Funktionswert, also der y-Wert des Tiefpunkts.

(die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)
Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $4$ | $1$ ).

Der kleinste Wert beträgt somit $1$ Liter.