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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit f(x)= x 3 -6 x 2 +10x -2 (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

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Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

f(x)= x 3 -6 x 2 +10x -2

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

f'(x)= 3 x 2 -12x +10 +0

= 3 x 2 -12x +10


f''(x)= 6x -12 +0

= 6x -12


f'''(x)= 6 +0

= 6

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

6x -12 = 0 | +12
6x = 12 |:6
x = 2

Die Lösung x= 2 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x0)=0 und f'''(x0)≠0).

Überprüfung bei x = 2 :

f'''(2 ) = 6 +0 = 6

Da f'''(2 )≠0, haben wir bei x = 2 einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(2 ) = 2 3 -6 2 2 +102 -2 = 2
Man erhält so den Wendepunkt: WP(2 | 2 )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'(2)= 3 2 2 -122 +10

= 34 -24 +10

= 12 -24 +10

= -2

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -2 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(2)= 2 3 -6 2 2 +102 -2 = 8 -64 +20 -2 = 8 -24 +20 -2 = 2

Wir erhalten so also den Punkt B(2| 2 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

2 = -2 2 + c

2 = -4 + c | + 4

6 = c

also c= 6

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -2 ⋅x + 6

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Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 6.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

-2x +6 = 0 | -6
-2x = -6 |:(-2 )
x = 3

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( 3 |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 und 3 ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = 1 2 3 ⋅ 6 = 9.

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Bei einer Computer-Simulations-App spielt unter anderem auch die Beliebtheit der Spielfigur eine Rolle. Dabei wird der Beliebtheitswert so programmiert, dass er zur Zeit x (in Tagen) für 0 ≤ x ≤ 8 mit der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -4x +10 (in Milligramm) berechnet wird.

  1. Nach wie vielen Tagen ist der Beliebtheitswert erstmals bei 13 2 ?
  2. Zu welcher Zeit (in Tagen) ist die Spielfigur am unbeliebtesten?
  3. Bestimme den niedrigsten Beliebtheitswert im angegebenen Zeitraum.

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  1. x-Wert bei y = 13 2

    Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert 13 2 einnimmt:

    1 2 x 2 -4x +10 = 13 2 |⋅ 2
    2( 1 2 x 2 -4x +10 ) = 13
    x 2 -8x +20 = 13 | -13

    x 2 -8x +7 = 0

    eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

    x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 7 21

    x1,2 = +8 ± 64 -28 2

    x1,2 = +8 ± 36 2

    x1 = 8 + 36 2 = 8 +6 2 = 14 2 = 7

    x2 = 8 - 36 2 = 8 -6 2 = 2 2 = 1 .

    Der erste Wert mit y = 13 2 ist also bei x = 1 Tage.

  2. x-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x-Wert des Tiefpunkts.

    Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (4 | 2 ) einblenden

    Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei 4 .

    Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert auftreten könnte:

    f(0) = 10 und f(8) = 10 sind aber beide nicht kleiner als der y-Wert des Tiefpunkt.

    Der kleinste Wert wird also nach 4 Tage erreicht.

  3. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der geringste Funktionswert, also der y-Wert des Tiefpunkts.

    (die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)

    Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei (4 | 2 ).

    Der kleinste Wert beträgt somit 2 .