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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 12 x + 9 + 0$

= $3 x^{2} - 12 x + 9$

$f''(x) =$ $6 x - 12 + 0$

= $6 x - 12$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$6 x$	=	$12$	\|: $6$
$x$	=	$2$

Die Lösung x= $2$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $2$ :

f'''( $2$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $2$ )≠0, haben wir bei x = $2$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $2$ ) = $2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 1$ = $3$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $2$ | $3$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $3 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 9$

= $3 \cdot 4 - 24 + 9$

= $12 - 24 + 9$

= $- 3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 1$ = $8 - 6 \cdot 4 + 18 + 1$ = $8 - 24 + 18 + 1$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $- 3$ ⋅2 + c

$3$ = $- 6$ + c | + $6$

$9$ = c

also c= $9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 3$ ⋅x + $9$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 9.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- 3 x + 9$	=	0	\| $- 9$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $3$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 9 und $3$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $3$ ⋅ 9 = $\frac{27}{2}$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Ein Testfahrzeug fährt mit unterschiedlicher Geschwindigkeit auf einer Teststrecke. Dabei kann die Geschwindigkeit zur Zeit x (in Sekunden) für 0 ≤ x ≤ 4 durch die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} + 4 x^{2}$ (in Meter pro Sekunde) angeben werden.

Wie schnell ist das Fahrzeug nach 3 Sekunden ?
Zu welcher Zeit (in s) ist das Fahrzeug am schnellsten?
Bestimme die höchste Geschwindigkeit des Fahrzeugs im angegebenen Zeitraum.
Zu welcher Zeit (in s) beschleunigt das Fahrzeug am stärksten ?

Lösung einblenden

y-Wert bei x = 3
Hier müssen wir einfach die 3 in den Funktionsterm einsetzen:

f(3) = $- 3^{3} + 4 \cdot 3^{2}$ = $- 27 + 36$ = $9$ .

Nach 3 s beträgt also der Wert 9 m/s.

x-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x-Wert des Hochpunkts.

Detail-Rechnung für den Hochpunkt (

\frac{8}{3}

\frac{256}{27}

) einblenden

$f(x) =$ $- x^{3} + 4 x^{2}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 8 x$

$f''(x) =$ $- 6 x + 8$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- 3 x^{2} + 8 x$	=	0
$x (- 3 x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$- 3 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 3 x$	=	$- 8$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{8}{3}$

Die Lösungen 0, $\frac{8}{3}$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

1.: x= $0$

f''( $0$ ) = $- 6 \cdot 0 + 8$ = $0 + 8$ = $8$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $0$ ) = $- 0^{3} + 4 \cdot 0^{2}$ = 0
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $0$ |0)

2.: x= $\frac{8}{3}$

f''( $\frac{8}{3}$ ) = $- 6 \cdot (\frac{8}{3}) + 8$ = $- 16 + 8$ = $- 8$ <0

Das heißt bei x = $\frac{8}{3}$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $\frac{8}{3}$ ) = $- {(\frac{8}{3})}^{3} + 4 \cdot {(\frac{8}{3})}^{2}$ = $\frac{256}{27}$ ≈ 9.481
Man erhält so den Hochpunkt H:( $\frac{8}{3}$ | $\frac{256}{27}$ )

≈ H:(2.667|9.481)

Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $\frac{8}{3}$ .

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 0 und f(4) = 0 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

Der größte Wert wird also nach $\frac{8}{3}$ s ≈ 2.67 s erreicht.

y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

(die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)
Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $\frac{8}{3}$ | $\frac{256}{27}$ ).

Der größte Wert beträgt somit $\frac{256}{27}$ m/s ≈ 9.48 s.

x-Wert beim stärksten Zuwachs

Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Zunahme, also der x-Wert mit der stärksten positiven Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Hochpunkt der ersten Ableitung f'(x).

Wir leiten also erstmal ab:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt von f' bei x=

\frac{4}{3}

einblenden

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 8 x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f''(x) =$ $- 6 x + 8$

$f'''(x) =$ $- 6 + 0$

= $- 6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f''(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f''(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f' zu bestimmen.

$- 6 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 6 x$	=	$- 8$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$\frac{4}{3}$

Die Lösung x= $\frac{4}{3}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f'''(x):

Ist f'''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)>0).

f'''( $\frac{4}{3}$ ) = $- 6$ = $- 6$ = $- 6$ <0

Das heißt bei x = $\frac{4}{3}$ ist ein Hochpunkt.

Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $\frac{4}{3}$ .

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:

Es gilt: f'(0) = 0, f'(4) = -16 und f'( $\frac{4}{3}$ ) = 5.33 (Hochpunkt).

Da f'(0) und f'(4) nicht größer als f'( $\frac{4}{3}$ ) ist, ist der größte Ableitungswert bei x = 1.33.

Die stärkste Zunahme wird also nach $\frac{4}{3}$ s ≈ 1.33 s erreicht.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Anwendungsaufgaben

1.: x=0

2.: x= 8 3

1.: x= $0$

2.: x= $\frac{8}{3}$