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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen

Beispiel:

Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} - x + 7$ (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.

Lösung einblenden

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} - x + 7$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x - 1 + 0$

= $3 x^{2} - 6 x - 1$

$f''(x) =$ $6 x - 6 + 0$

= $6 x - 6$

$f'''(x) =$ $6 + 0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$6 x$	=	$6$	\|: $6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$ :

f'''( $1$ ) = $6 + 0$ = $6$

Da f'''( $1$ )≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( $1$ ) = $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 + 7$ = $4$
Man erhält so den Wendepunkt: WP( $1$ | $4$ )

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 - 1$

= $3 \cdot 1 - 6 - 1$

= $3 - 6 - 1$

= $- 4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 + 7$ = $1 - 3 \cdot 1 - 1 + 7$ = $1 - 3 - 1 + 7$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $- 4$ ⋅1 + c

$4$ = $- 4$ + c | + $4$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 4$ ⋅x + $8$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 8.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$- 4 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $2$ |0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 8 und $2$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $2$ ⋅ 8 = $8$ .

Anwendungsaufgaben

Beispiel:

Ein Wirkstoff wird in den menschlichen Körper aufgenommen. Man geht davon aus, dass sich die Konzentration des Wirkstoffs im Blut zur Zeit x (in Minuten) für 0 ≤ x ≤ 10 durch die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{2}{5} x^{2} - 4 x + 11$ (in Milligramm) beschreiben lässt.

Wenn höchstens $\frac{7}{5}$ mg des Wirkstoffs im Blut sind, ist die Wirkung kaum noch zu spüren. Für wie lange ist dies der Fall?
Zu welcher Zeit (in min) ist die Konzentration des Wirkstoffs im Blut am kleinsten?
Bestimme die niedrigste Konzentration des Wirkstoffs im Blut im angegebenen Zeitraum.

Lösung einblenden

x-Bereich, wo f(x) < $\frac{7}{5}$

Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{7}{5}$ einnimmt:

$\frac{2}{5} x^{2} - 4 x + 11$	=	$\frac{7}{5}$	\|⋅ 5
$5 (\frac{2}{5} x^{2} - 4 x + 11)$	=	$7$
$2 x^{2} - 20 x + 55$	=	$7$	\| $- 7$

2 x^{2} - 20 x + 48

= 0 |:2

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

Bei $4$ und $6$ sind also die einzigen Schnittstellen und der Wert dazwischen f(5) = $\frac{2}{5} \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 + 11$ = 1 ist kleiner.

In den 2 min zwischen $4$ min und $6$ min beträgt der Wert höchstens $\frac{7}{5}$ mg.

x-Wert des Minimums (TP)

Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x-Wert des Tiefpunkts.

Detail-Rechnung für den Tiefpunkt (

5

1

) einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{5} x^{2} - 4 x + 11$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(x) =$ $\frac{4}{5} x - 4 + 0$

= $\frac{4}{5} x - 4$

$f''(x) =$ $\frac{4}{5} + 0$

= $\frac{4}{5}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\frac{4}{5} x - 4$	=	0	\|⋅ 5
$5 (\frac{4}{5} x - 4)$	=	0
$4 x - 20$	=	0	\| $+ 20$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
$x$	=	$5$

Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)>0).

f''( $5$ ) = $\frac{4}{5}$ = $\frac{4}{5}$ = $\frac{4}{5}$ >0

Das heißt bei x = $5$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f( $5$ ) = $\frac{2}{5} \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 + 11$ = $1$
Man erhält so den Tiefpunkt T:( $5$ | $1$ )

Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $5$ .

Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch kleinerer Funktionswert auftreten könnte:

f(0) = 11 und f(10) = 11 sind aber beide nicht kleiner als der y-Wert des Tiefpunkt.

Der kleinste Wert wird also nach $5$ min erreicht.

y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der geringste Funktionswert, also der y-Wert des Tiefpunkts.

(die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)
Der einzige Tiefpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ( $5$ | $1$ ).

Der kleinste Wert beträgt somit $1$ mg.