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Fläche zwischen Wendetangente und Achsen
Beispiel:
Die Wendetangente des Graphen der Funktion f mit (Tangente im Wendepunkt) schließt mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.
Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:
Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.
=
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.
(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').
Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.
= | | | ||
= | |: | ||
= |
Die Lösung x= ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.
Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x0)=0 und f'''(x0)≠0).
Überprüfung bei x = :
f'''() = =
Da f'''()≠0, haben wir bei x = einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f() =
=
Man erhält so den Wendepunkt: WP(|
)
Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
Wir erhalten so also den Punkt B(3| ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅3 + c
= + c | +
= c
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅x +
Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 10.
Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:
= | | | ||
= | |:() | ||
= |
Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( |0).
Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 10 und ist, gilt für den Flächeninhalt:
A = ⋅ 10 = .
Anwendungsaufgaben
Beispiel:
Ein Testfahrzeug fährt mit unterschiedlicher Geschwindigkeit auf einer Teststrecke. Dabei kann die Geschwindigkeit zur Zeit x (in Sekunden) für 0 ≤ x ≤ 5 durch die Funktion f mit (in Meter pro Sekunde) angeben werden.
- Wie schnell ist das Fahrzeug nach 3 Sekunden ?
- Zu welcher Zeit (in s) ist das Fahrzeug am schnellsten?
- Zu welcher Zeit (in s) beschleunigt das Fahrzeug am stärksten ?
- y-Wert bei x = 3
Hier müssen wir einfach die 3 in den Funktionsterm einsetzen:
f(3) = = = .
Nach 3 s beträgt also der Wert 9 m/s.
- x-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x-Wert des Hochpunkts.
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (| ) einblendenDer einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei .
Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:
f(0) = 0 und f(5) = 0 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.
Der größte Wert wird also nach s ≈ 3.33 s erreicht.
- x-Wert beim stärksten Zuwachs
Gesucht ist die Stelle mit der stärksten Zunahme, also der x-Wert mit der stärksten positiven Steigung, und dieser liegt beim x-Wert des Hochpunkt der ersten Ableitung f'(x).
Wir leiten also erstmal ab:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt von f' bei x= einblendenDer einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei .
Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert in der Ableitung auftreten könnte:
Es gilt: f'(0) = 0, f'(5) = -12.5 und f'() = 4.17 (Hochpunkt).
Da f'(0) und f'(5) nicht größer als f'() ist, ist der größte Ableitungswert bei x = 1.67.
Die stärkste Zunahme wird also nach s ≈ 1.67 s erreicht.