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Differenz zweier Funktionswerte

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im nebenstehenden Schaubild sind die Graphen zweier linearen Funktionen f (in blauer Farbe) und g (in rot) eingezeichnet.
Bestimme die Differenz der Funktionswerte f(0)-g(0), achte dabei auch auf das Vorzeichen.

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Man liest einfach an der Stelle x=0 die y-Werte der jeweiligen Geradenpunkte ab (die roten Punkte im Schaubild) und erhält:
f(0)=-1
g(0)=2
Als Differenz ergibt sich also f(0)-g(0) = -1-2 = -3

Punkt auf Gerade bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(d|-1) liegt auf der Geraden mit der Gleichung y= 2 3 x -3

Welchen Wert muss dann d haben?

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Wir setzten einfach den Punkt P(d|-1) in die Geradengleichung y= 2 3 x -3 ein:

d für x und -1 für y

-1= 2 3 d -3

Und lösen dann nach d auf.

-1= 2 3 d -3 | +3

2= 2 3 ⋅d |⋅ 3 2

3= d

Zur Probe setzen wir den Punkt P(3|-1) noch in die Geradengleichung ein:

-1 = 2 3 3 -3 -> passt ;-)

y-Wert aus Schaubild ablesen

Beispiel:

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Entnimm aus dem Schaubild näherungsweise den Funktionswert f(-2) .

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Aus der Zeichnung kann man erkennen, dass an der Stelle x=-2 der (in der Abblidung rechts rote) Punkt (-2|f(-2)) auf der Höhe y=2.3 liegt.

Steigung aus Schaubild bestimmen

Beispiel:

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Bestimme die Steigung m der abgebildeten linearen Funktion.

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Aus der Zeichnung kann man ein Steigungsdreieck erkennen, bei dem man nach rechts 3 und nach oben -2 (bzw. 2 nach unten) abtragen kann. Daraus ergibt sich für die Steigung m= Zuwachs in y-Richtung Zuwachs in x-Richtung = - 2 3 .

m und c bestimmen

Beispiel:

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Bestimme die Steigung m und den y-Achsenabschnitt c der abgebildeten linearen Funktion.

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Aus der Zeichnung erkennt man sofort, dass die Gerade die y-Achse bei y=-2 schneidet. Es gilt also c=-2 .

Jetzt muss man das Steigungsdreieck am besten direkt am y-Achsenabschnitt ablesen.
Um genau auf einem Kästchen zu landen muss man sich nun um 4 nach rechts und um 3 nach oben bewegen. Daraus ergibt sich für die Steigung m= Zuwachs in y-Richtung Zuwachs in x-Richtung = 3 4 .

Die Geradengleichung heißt dann: y= 3 4 x -2

Steigung aus 2 Punkten

Beispiel:

Eine lineare Funktion geht durch die Punkte A(-5|2) und B(-4|0). Bestimme die Steigung dieser linearen Funktion.

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Wenn man die beiden Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man am Steigungsdreieck jeweils die Differenzen der x-Werte und der y-Werte ablesen.

Dazu sortieren wir die beiden Punkte von links nach rechts:

links: (-5|2) und rechts: (-4|0)

Für die Differenzen subtrahieren wie nun immer die Werte des linken Punkts von denen des rechten:
Differenz der x-Werte: -4 - ( - 5 ) = 1
Differenz der y-Werte: 0 - 2 = -2

Daraus ergibt sich für die Steigung m = Zuwachs in y-Richtung Zuwachs in x-Richtung = 0 - 2 -4 - ( - 5 ) = -2 1 = -2.

Gerade einzeichnen

Beispiel:

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Zeichne die Gerade in das rechts stehende Koordinatensystem ein.

f(x)= - 1 5 x -2

Hinweis: Du kannst Punkte setzen indem du auf das Koordinatensystem klickst. Deine Punkte werden automatisch zu einer Geraden ergänzt. Durch Doppelklicken auf das Koordinatensystem kannst du alle bisherigen Elemente löschen.

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Die Gleichung entspricht der Form y=mx+c , wobei m die Steigung und c die Verschiebung in y-Richtung ist.

Da die Gerade immer bei y=c die y-Achse schneidet, Kann man den ersten Punkt also schon mal auf Sy(0|-2 ) setzen.

Von hier aus zeichnet man danach das Steigungsdreieck ein. Dazu betrachtet man die Steigung m = Zuwachs in y-Richtung Zuwachs in x-Richtung = - 1 5 .

Man trägt also den Nenner der Steigung m (hier: 5) nach rechts
und den Zähler der Steigung m (hier: -1) nach oben (bei negativen Steigungen eben nach unten) ab.

Die Verbindungsgerade von Sy(0|-2 ) mit dem anderen Ende des Steigungsdreiecks liefert uns die gesuchte Gerade mit dem Funktionsterm f(x)= - 1 5 x -2 .

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 7.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 7.4 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 2 des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= 7.4 2 =3,7
Zuordnungsvorschrift: y = 3,7 ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 3 Minuten 4,5 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 4.5 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (3) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 3 des Wertes bei 3 sein muss.
Also: m= 4.5 3 =1,5
Zuordnungsvorschrift: y = 1,5 ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 6, wenn die Größe B den Wert 21.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt Größe B ein, wenn die Größe A den Wert 3.5 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 21.6 = m⋅6.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 21.6 durch den Wert von Größe A (6) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 6 des Wertes bei 6 sein muss.
Also: m= 21.6 6 =3,6
Zuordnungsvorschrift: y = 3,6 ⋅ x

y-Wert bei x = 3.5

Da der/die Größe A den Wert 3.5 hat, muss man einfach 3.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Größe B zu erhalten:
y=3,6 ⋅ 3.5 = 12.6

.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Ein Prepaid-Anbieter verlangt immer den gleichen Preis pro Minute Telefonieren mit dem Handy. Auf einem Werbeplakat steht, dass 5 Minuten nur 45ct kosten. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man den telefonierten Minuten den Preis in Cent zuordnen kann.

Wie lange kann man für 90 Cent telefonieren?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 45 = m⋅5.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Preis, nämlich 45 durch den Wert von Minuten (5) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 5 des Wertes bei 5 sein muss.
Also: m= 45 5 =9
Zuordnungsvorschrift: y = 9 ⋅ x

x-Wert bei y = 90

Da der/die Preis den Wert 90 hat, muss man 90 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Minuten zu erhalten:
90 = 9 ⋅ x.
Das klappt mit x = 90 9 , weil dann 90 = 9 90 9 .
Somit gilt für x (Minuten) = 90 9 = 10.

Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)

Beispiel:

Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 2 LKWs genau 30 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 7 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)

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Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:

LKW-AnzahlFahrten-Anzahl
2 LKWs30 Fahrten
( : 2 )( ⋅ 2 )
1 LKWs60 Fahrten
( ⋅ 7 )( : 7 )
7 LKWs 60 7 Fahrten

Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also 60 7 = 8 4 7 ≈ 8.571 Fahrten