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VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

Zwei Drittel aller Personen aus einer Umfrage schauen gerne die Nachrichten im Fernsehen auf Kanal 1. Die eine Hälfte davon, das sind 100 Personen, sehen zusätzlich auch noch die Nachrichtensendung von Kanal 2. Dagegen sehen sich 80 aller befragten Personen gerne nur die Nachrichten von Kanal 2 an. Wie viele der befragen Personen sehen sich weder die Nachrichten in Kanal 1, noch in Kanal 2 gerne an?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Kanal1

$\overline{A}$ : nicht Kanal1, also nicht Kanal1

$B$ : Kanal2

$\overline{B}$ : nicht Kanal2, also nicht Kanal2

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Kanal2)
$A$ (Kanal1)	100	200
$\overline{A}$ (nicht Kanal1)	80
		300

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

100 + H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 200

Somit gilt: H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 200 - 100 = 100

	$B$ (Kanal2)	$\overline{B}$ (nicht Kanal2)
$A$ (Kanal1)	100	100	200
$\overline{A}$ (nicht Kanal1)	80
			300

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

100 + 80 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 100 + 80 = 180

	$B$ (Kanal2)	$\overline{B}$ (nicht Kanal2)
$A$ (Kanal1)	100	100	200
$\overline{A}$ (nicht Kanal1)	80
	180		300

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

200 + H( $\overline{A}$ ) = 300

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ) = 300 - 200 = 100

	$B$ (Kanal2)	$\overline{B}$ (nicht Kanal2)
$A$ (Kanal1)	100	100	200
$\overline{A}$ (nicht Kanal1)	80		100
	180		300

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

80 + H( $\overline{A}$ ∩ $\overline{B}$ ) = 100

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ∩ $\overline{B}$ ) = 100 - 80 = 20

	$B$ (Kanal2)	$\overline{B}$ (nicht Kanal2)
$A$ (Kanal1)	100	100	200
$\overline{A}$ (nicht Kanal1)	80	20	100
	180		300

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

180 + H( $\overline{B}$ ) = 300

Somit gilt: H( $\overline{B}$ ) = 300 - 180 = 120

	$B$ (Kanal2)	$\overline{B}$ (nicht Kanal2)
$A$ (Kanal1)	100	100	200
$\overline{A}$ (nicht Kanal1)	80	20	100
	180	120	300

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

	$B$ (Kanal2)	$\overline{B}$ (nicht Kanal2)
$A$ (Kanal1)	100	100	200
$\overline{A}$ (nicht Kanal1)	80	20	100
	180	120	300

Der gesuchte Wert, weder Nachrichten auf Kanal 1 noch auf Kanal 2, ist also 20.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

Unter den Schülerinnen und Schülern eines Gymnasiums erhalten 40% in ihrer Freizeit ein Musikunterricht und 75% betreiben eine Sportart im Verein. 9% der Schülerinnen und Schüler erhalten keinen Musikunterricht und betreiben auch keine Sportart im Verein.Wie viele der Schülerinnen und Schüler erhalten Musikunterricht und betreiben zusätzlich noch eine Sportart im Verein?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Musikunterricht

$\overline{A}$ : nicht Musikunterricht, also kein Musikunterricht

$B$ : Sportart

$\overline{B}$ : nicht Sportart, also keine Sportart

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Sportart)	$\overline{B}$ (keine Sportart)
$A$ (Musikunterricht)			0,4
$\overline{A}$ (kein Musikunterricht)		0,09
	0,75

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (Sportart)	$\overline{B}$ (keine Sportart)
$A$ (Musikunterricht)	0,24	0,16	0,4
$\overline{A}$ (kein Musikunterricht)	0,51	0,09	0,6
	0,75	0,25	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (Sportart)	$\overline{B}$ (keine Sportart)
$A$ (Musikunterricht)	0,24	0,16	0,4
$\overline{A}$ (kein Musikunterricht)	0,51	0,09	0,6
	0,75	0,25	1

Der gesuchte Wert, Prozentsatz an Schülerinnen und Schüler mit Musikunterricht und Sportart, ist also 0.24 = 24%.

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Eva hat einen E-Mail-Account, dessen Adresse auf einer Website steht. Ewa 60% ihrer Mails sind Spam. Sie installiert nun eine Spam-Filter, der 85% aller Spam-Mails aussortiert. Jedoch werden auch 2% aller Mails, die kein Spam sind fälschlicherweise aussortiert.Wie wahrscheinlich ist es, dass eine nicht aussortierte Mail dennoch Spam ist?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Spam

$\overline{A}$ : nicht Spam, also kein Spam

$B$ : aussortiert

$\overline{B}$ : nicht aussortiert, also nicht aussortiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (aussortiert)	$\overline{B}$ (nicht aussortiert)
$A$ (Spam)			0,6
$\overline{A}$ (kein Spam)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (aussortiert)	$\overline{B}$ (nicht aussortiert)
$A$ (Spam)			0,6
$\overline{A}$ (kein Spam)			0,4
			1

=0,6

Spam

=0,4

kein Spam

=0,85

aussortiert

nicht aussortiert

=0,02

aussortiert

nicht aussortiert

=0,51

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Spam" sind es 85%, also $P_{A} (B)$ ,
die Wahrscheinlichkeit
$P (A \cap B)$ = $P (A)$ ⋅ $P_{A} (B)$ = 0,6 ⋅ 0,85 = 0,51
berechnen.

	$B$ (aussortiert)
$A$ (Spam)	0,51	0,6
$\overline{A}$ (kein Spam)		0,4
		1

=0,6

Spam

=0,4

kein Spam

=0,85

aussortiert

nicht aussortiert

=0,02

aussortiert

nicht aussortiert

=0,51

=0,008

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "kein Spam" sind es 2%, also $P_{\overline{A}} (B)$ ,
die Wahrscheinlichkeit
$P (\overline{A} \cap B)$ = $P (\overline{A})$ ⋅ $P_{\overline{A}} (B)$ = 0,4 ⋅ 0,02 = 0,008
berechnen.

	$B$ (aussortiert)
$A$ (Spam)	0,51	0,6
$\overline{A}$ (kein Spam)	0,008	0,4
		1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (aussortiert)	$\overline{B}$ (nicht aussortiert)
$A$ (Spam)	0,51	0,09	0,6
$\overline{A}$ (kein Spam)	0,008	0,392	0,4
	0,518	0,482	1

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit dass eine nicht aussortierte Mail dennoch Spam ist", also die Wahrscheinlichkeit für $A$ (Spam) unter der Vorraussetzung, dass $\overline{B}$ (nicht aussortiert) bereits eingetroffen ist - kurz $P_{\overline{B}} (A)$ .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $\overline{B}$ (nicht aussortiert) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $\overline{B}$ (nicht aussortiert) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ (Spam) weiter.)

=0,518

aussortiert

=0,482

nicht aussortiert

Spam

kein Spam

=x

Spam

kein Spam

=0,51

=0,008

=0,09

=0,392

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
$P (\overline{B})$ ⋅ $P_{\overline{B}} (A)$ = $P (\overline{B} \cap A)$ | : $P (\overline{B})$

$P_{\overline{B}} (A)$ = $\frac{P(\overline{B} \cap A)}{P(\overline{B})}$

oder hier im speziellen:
0,482 ⋅ x = 0,09 = |:0,482
also
$P_{\overline{B}} (A)$ = x = $\frac{0,09}{0,482}$ ≈ 0,1867

Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit dass eine nicht aussortierte Mail dennoch Spam ist) ist also 0,1867 = 18,67%.

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