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VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

Zwei Drittel aller Personen aus einer Umfrage schauen gerne die Nachrichten im Fernsehen auf Kanal 1. Die eine Hälfte davon, das sind 20 Personen, sehen zusätzlich auch noch die Nachrichtensendung von Kanal 2. Dagegen sehen sich 15 aller befragten Personen gerne nur die Nachrichten von Kanal 2 an. Wie viele der befragen Personen sehen sich weder die Nachrichten in Kanal 1, noch in Kanal 2 gerne an?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Kanal1

$\overline{A}$ : nicht Kanal1, also nicht Kanal1

$B$ : Kanal2

$\overline{B}$ : nicht Kanal2, also nicht Kanal2

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Kanal2)
$A$ (Kanal1)	20	40
$\overline{A}$ (nicht Kanal1)	15
		60

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

20 + H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 40

Somit gilt: H(A ∩ $\overline{B}$ ) = 40 - 20 = 20

	$B$ (Kanal2)	$\overline{B}$ (nicht Kanal2)
$A$ (Kanal1)	20	20	40
$\overline{A}$ (nicht Kanal1)	15
			60

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

20 + 15 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 20 + 15 = 35

	$B$ (Kanal2)	$\overline{B}$ (nicht Kanal2)
$A$ (Kanal1)	20	20	40
$\overline{A}$ (nicht Kanal1)	15
	35		60

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

40 + H( $\overline{A}$ ) = 60

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ) = 60 - 40 = 20

	$B$ (Kanal2)	$\overline{B}$ (nicht Kanal2)
$A$ (Kanal1)	20	20	40
$\overline{A}$ (nicht Kanal1)	15		20
	35		60

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

15 + H( $\overline{A}$ ∩ $\overline{B}$ ) = 20

Somit gilt: H( $\overline{A}$ ∩ $\overline{B}$ ) = 20 - 15 = 5

	$B$ (Kanal2)	$\overline{B}$ (nicht Kanal2)
$A$ (Kanal1)	20	20	40
$\overline{A}$ (nicht Kanal1)	15	5	20
	35		60

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

35 + H( $\overline{B}$ ) = 60

Somit gilt: H( $\overline{B}$ ) = 60 - 35 = 25

	$B$ (Kanal2)	$\overline{B}$ (nicht Kanal2)
$A$ (Kanal1)	20	20	40
$\overline{A}$ (nicht Kanal1)	15	5	20
	35	25	60

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

	$B$ (Kanal2)	$\overline{B}$ (nicht Kanal2)
$A$ (Kanal1)	20	20	40
$\overline{A}$ (nicht Kanal1)	15	5	20
	35	25	60

Der gesuchte Wert, weder Nachrichten auf Kanal 1 noch auf Kanal 2, ist also 5.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

Unter den Schülerinnen und Schülern eines Gymnasiums erhalten 35% in ihrer Freizeit ein Musikunterricht und 69,75% betreiben eine Sportart im Verein. 16,25% der Schülerinnen und Schüler erhalten keinen Musikunterricht und betreiben auch keine Sportart im Verein.Wie viele der Schülerinnen und Schüler erhalten Musikunterricht und betreiben zusätzlich noch eine Sportart im Verein?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Musikunterricht

$\overline{A}$ : nicht Musikunterricht, also kein Musikunterricht

$B$ : Sportart

$\overline{B}$ : nicht Sportart, also keine Sportart

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Sportart)	$\overline{B}$ (keine Sportart)
$A$ (Musikunterricht)			0,35
$\overline{A}$ (kein Musikunterricht)		0,1625
	0,6975

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (Sportart)	$\overline{B}$ (keine Sportart)
$A$ (Musikunterricht)	0,21	0,14	0,35
$\overline{A}$ (kein Musikunterricht)	0,4875	0,1625	0,65
	0,6975	0,3025	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (Sportart)	$\overline{B}$ (keine Sportart)
$A$ (Musikunterricht)	0,21	0,14	0,35
$\overline{A}$ (kein Musikunterricht)	0,4875	0,1625	0,65
	0,6975	0,3025	1

Der gesuchte Wert, Prozentsatz an Schülerinnen und Schüler mit Musikunterricht und Sportart, ist also 0.21 = 21%.

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Der PCR-Test für eine Coronainfektion zeigt in 93% aller Fälle, in denen eine Corona-Infektion vorliegt, das richtige Ergebnis, also „Corona-positiv“ an. In 2% aller Fälle, in denen keine Corona-Infektion vorliegt, zeigt er jedoch ebenfalls „Corona-positiv“ an. Zu einem Zeitpunkt sind 50% der Personen, die sich testen lassen, tatsächlich an Corona erkrankt.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zu diesem Zeitpunkt, dass man an tatsächlich an Corona erkrankt ist, wenn man das Testergebnis „Corona-positiv“ aus diesem PCR-Test erhält?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Coronainfektion

$\overline{A}$ : nicht Coronainfektion, also kein Corona

$B$ : positiver Test

$\overline{B}$ : nicht positiver Test, also negativer Test

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (positiver Test)	$\overline{B}$ (negativer Test)
$A$ (Coronainfektion)			0,5
$\overline{A}$ (kein Corona)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (positiver Test)	$\overline{B}$ (negativer Test)
$A$ (Coronainfektion)			0,5
$\overline{A}$ (kein Corona)			0,5
			1

=0,5

Coronainfektion

=0,5

kein Corona

positiver Test

=0,07

negativer Test

=0,02

positiver Test

negativer Test

=0,035

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Coronainfektion" sind es 7%, also $P_{A} (\overline{B})$ ,
die Wahrscheinlichkeit
$P (A \cap \overline{B})$ = $P (A)$ ⋅ $P_{A} (\overline{B})$ = 0,5 ⋅ 0,07 = 0,035
berechnen.

	$\overline{B}$ (negativer Test)
$A$ (Coronainfektion)	0,035	0,5
$\overline{A}$ (kein Corona)		0,5
		1

=0,5

Coronainfektion

=0,5

kein Corona

positiver Test

=0,07

negativer Test

=0,02

positiver Test

negativer Test

=0,035

=0,01

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "kein Corona" sind es 2%, also $P_{\overline{A}} (B)$ ,
die Wahrscheinlichkeit
$P (\overline{A} \cap B)$ = $P (\overline{A})$ ⋅ $P_{\overline{A}} (B)$ = 0,5 ⋅ 0,02 = 0,01
berechnen.

	$B$ (positiver Test)	$\overline{B}$ (negativer Test)
$A$ (Coronainfektion)		0,035	0,5
$\overline{A}$ (kein Corona)	0,01		0,5
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (positiver Test)	$\overline{B}$ (negativer Test)
$A$ (Coronainfektion)	0,465	0,035	0,5
$\overline{A}$ (kein Corona)	0,01	0,49	0,5
	0,475	0,525	1

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit für eine Coronainfektion nach positivem Test", also die Wahrscheinlichkeit für $A$ (Coronainfektion) unter der Vorraussetzung, dass $B$ (positiver Test) bereits eingetroffen ist - kurz $P_{B} (A)$ .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $B$ (positiver Test) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $B$ (positiver Test) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ (Coronainfektion) weiter.)

=0,475

positiver Test

=0,525

negativer Test

=x

Coronainfektion

kein Corona

Coronainfektion

kein Corona

=0,465

=0,01

=0,035

=0,49

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
$P (B)$ ⋅ $P_{B} (A)$ = $P (B \cap A)$ | : $P (B)$

$P_{B} (A)$ = $\frac{P(B \cap A)}{P(B)}$

oder hier im speziellen:
0,475 ⋅ x = 0,465 = |:0,475
also
$P_{B} (A)$ = x = $\frac{0,465}{0,475}$ ≈ 0,9789

Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit für eine Coronainfektion nach positivem Test) ist also 0,9789 = 97,89%.

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