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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₁ = $7$ und a₃ = $15$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 2 Schritten zwischen a₁ und a₃ kommt ja insgesamt $15$ - 7 = $8$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{8}{2}$ = $4$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $4 n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₁ = $7$ einsetzen:

$7$ = $4 \cdot 1 + d$

$7$ = $4 + d$ | -4

3 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $4 n + 3$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $1$ und a₅ = $32$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $1$ und a₅ = $32$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $1$ = $c \cdot 1$
II: $32$ = $c \cdot a^{5}$

Aus I ergibt sich ja sofort $1$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $32$ = $a^{5}$

$a^{5}$	=	$32$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[5]{32}$	= $2$

Von oben (I) wissen wir bereits: $1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $2^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₁ = $- \frac{5}{4}$ und a₃ = $- \frac{125}{4}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₁ = $- \frac{5}{4}$ und a₃ = $- \frac{125}{4}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{5}{4}$ = $c \cdot a$
II: $- \frac{125}{4}$ = $c \cdot a^{3}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- \frac{5}{4}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{125}{4}$ = $- \frac{5}{4 a} \cdot a^{3}$

also

II: $- \frac{125}{4}$ = $- \frac{5}{4} a^{2}$

$- \frac{5}{4} a^{2}$	=	$- \frac{125}{4}$	\|⋅ $(- \frac{4}{5})$
$a^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
a₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{5}{4}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $5$ eingesetzt erhalten wir so: $- \frac{1}{4}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- \frac{1}{4} \cdot 5^{n}$