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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a2 = 5 und a6 = 9 . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 4 Schritten zwischen a2 und a6 kommt ja insgesamt 9 - 5 = 4 dazu, also pro 1 n kommt 4 4 = 1.

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm an = n + d .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a2 = 5 einsetzen:

5 = 2 + d

5 = 2 + d | -2

3 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: an = n +3 .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a0 = 1 2 und a4 = 81 2 . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a0 = 1 2 und a4 = 81 2 in den allgemeinen geometrischen Folgenterm an = c · a n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 1 2 = c · 1
II: 81 2 = c · a 4

Aus I ergibt sich ja sofort 1 2 = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: 81 2 = 1 2 a 4

1 2 a 4 = 81 2 |⋅2
a 4 = 81 | 4
a1 = - 81 4 = -3
a2 = 81 4 = 3

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: 1 2 = c

Der gesuchte Folgenterm an ist somit: an = 1 2 3 n

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a1 = -10 und a3 = -250 . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a1 = -10 und a3 = -250 in den allgemeinen geometrischen Folgenterm an = c · a n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: -10 = c · a
II: -250 = c · a 3

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: -10 1 a = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: -250 = - 10 a · a 3

also

II: -250 = -10 a 2

-10 a 2 = -250 |: ( -10 )
a 2 = 25 | 2
a1 = - 25 = -5
a2 = 25 = 5

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: -10 1 a = c

mit a=5 eingesetzt erhalten wir so: -2 = c

Der gesuchte Folgenterm an ist somit: an = -2 5 n