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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₁ = $7$ und a₄ = $13$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 3 Schritten zwischen a₁ und a₄ kommt ja insgesamt $13$ - 7 = $6$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{6}{3}$ = $2$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $2 n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₁ = $7$ einsetzen:

$7$ = $2 \cdot 1 + d$

$7$ = $2 + d$ | -2

5 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $2 n + 5$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $\frac{1}{3}$ und a₃ = $\frac{64}{3}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $\frac{1}{3}$ und a₃ = $\frac{64}{3}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{3}$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{64}{3}$ = $c \cdot a^{3}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{3}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{64}{3}$ = $\frac{1}{3} a^{3}$

$\frac{1}{3} a^{3}$	=	$\frac{64}{3}$	\|⋅ $3$
$a^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{1}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{1}{3} \cdot 4^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₃ = $- \frac{500}{3}$ und a₅ = $- \frac{12500}{3}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₃ = $- \frac{500}{3}$ und a₅ = $- \frac{12500}{3}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{500}{3}$ = $c \cdot a^{3}$
II: $- \frac{12500}{3}$ = $c \cdot a^{5}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- \frac{500}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{12500}{3}$ = $- \frac{500}{3 a^{3}} \cdot a^{5}$

also

II: $- \frac{12500}{3}$ = $- \frac{500}{3} a^{2}$

$- \frac{500}{3} a^{2}$	=	$- \frac{12500}{3}$	\|⋅ $(- \frac{3}{500})$
$a^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
a₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{500}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c

mit a= $5$ eingesetzt erhalten wir so: $- \frac{4}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- \frac{4}{3} \cdot 5^{n}$