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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₃ = $1$ und a₁₅ = $- 3$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 12 Schritten zwischen a₃ und a₁₅ kommt ja insgesamt $- 3$ - 1 = $- 4$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{-4}{12}$ = $- \frac{1}{3}$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $- \frac{1}{3} n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₃ = $1$ einsetzen:

$1$ = $- \frac{1}{3} \cdot 3 + d$

$1$ = $- 1 + d$ | +1

2 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $- \frac{1}{3} n + 2$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $- 1$ und a₂ = $- 25$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $- 1$ und a₂ = $- 25$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 1$ = $c \cdot 1$
II: $- 25$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 1$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 25$ = $- a^{2}$

$- a^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$a^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
a₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- 5^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₃ = $96$ und a₅ = $1 536$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₃ = $96$ und a₅ = $1 536$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $96$ = $c \cdot a^{3}$
II: $1 536$ = $c \cdot a^{5}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $96$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $1 536$ = $\frac{96}{a^{3}} \cdot a^{5}$

also

II: $1 536$ = $96 a^{2}$

$96 a^{2}$	=	$1 536$	\|: $96$
$a^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
a₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $96$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{3}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{3}{2} \cdot 4^{n}$