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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₈ = $3$ und a₂₀ = $0$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 12 Schritten zwischen a₈ und a₂₀ kommt ja insgesamt $0$ - 3 = $- 3$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{-3}{12}$ = $- \frac{1}{4}$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $- \frac{1}{4} n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₈ = $3$ einsetzen:

$3$ = $- \frac{1}{4} \cdot 8 + d$

$3$ = $- 2 + d$ | +2

5 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $- \frac{1}{4} n + 5$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $- \frac{2}{3}$ und a₁ = $- \frac{8}{3}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $- \frac{2}{3}$ und a₁ = $- \frac{8}{3}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{2}{3}$ = $c \cdot 1$
II: $- \frac{8}{3}$ = $c \cdot a$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{2}{3}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{8}{3}$ = $- \frac{2}{3} a$

$- \frac{2}{3} a$	=	$- \frac{8}{3}$	\|⋅ 3
$- 2 a$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$a$	=	$4$

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{2}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- \frac{2}{3} \cdot 4^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₃ = $- 27$ und a₇ = $- 2 187$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₃ = $- 27$ und a₇ = $- 2 187$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 27$ = $c \cdot a^{3}$
II: $- 2 187$ = $c \cdot a^{7}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 27$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 2 187$ = $- \frac{27}{a^{3}} \cdot a^{7}$

also

II: $- 2 187$ = $- 27 a^{4}$

$- 27 a^{4}$	=	$- 2 187$	\|: $(- 27)$
$a^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
a₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 27$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c

mit a= $3$ eingesetzt erhalten wir so: $- 1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- 3^{n}$