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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₃ = $6$ und a₁₂ = $9$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 9 Schritten zwischen a₃ und a₁₂ kommt ja insgesamt $9$ - 6 = $3$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{3}$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $\frac{1}{3} n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₃ = $6$ einsetzen:

$6$ = $\frac{1}{3} \cdot 3 + d$

$6$ = $1 + d$ | -1

5 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $\frac{1}{3} n + 5$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $- 4$ und a₃ = $- 108$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $- 4$ und a₃ = $- 108$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 4$ = $c \cdot 1$
II: $- 108$ = $c \cdot a^{3}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 4$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 108$ = $- 4 a^{3}$

$- 4 a^{3}$	=	$- 108$	\|: $(- 4)$
$a^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 4$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- 4 \cdot 3^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₁ = $8$ und a₅ = $128$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₁ = $8$ und a₅ = $128$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $8$ = $c \cdot a$
II: $128$ = $c \cdot a^{5}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $8$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $128$ = $\frac{8}{a} \cdot a^{5}$

also

II: $128$ = $8 a^{4}$

$8 a^{4}$	=	$128$	\|: $8$
$a^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $8$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $4$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $4 \cdot 2^{n}$