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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₂ = $1$ und a₆ = $- 3$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 4 Schritten zwischen a₂ und a₆ kommt ja insgesamt $- 3$ - 1 = $- 4$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{-4}{4}$ = $- 1$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $- n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₂ = $1$ einsetzen:

$1$ = $- 2 + d$

$1$ = $- 2 + d$ | +2

3 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $- n + 3$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $2$ und a₁ = $8$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $2$ und a₁ = $8$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $2$ = $c \cdot 1$
II: $8$ = $c \cdot a$

Aus I ergibt sich ja sofort $2$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $8$ = $2 a$

$2 a$	=	$8$	\|: $2$
$a$	=	$4$

Von oben (I) wissen wir bereits: $2$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $2 \cdot 4^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₁ = $- 1$ und a₅ = $- 16$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₁ = $- 1$ und a₅ = $- 16$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 1$ = $c \cdot a$
II: $- 16$ = $c \cdot a^{5}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 1$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 16$ = $- \frac{1}{a} \cdot a^{5}$

also

II: $- 16$ = $- a^{4}$

$- a^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$a^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 1$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $- \frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- \frac{1}{2} \cdot 2^{n}$