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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₈ = $8$ und a₂₈ = $23$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 20 Schritten zwischen a₈ und a₂₈ kommt ja insgesamt $23$ - 8 = $15$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{15}{20}$ = $\frac{3}{4}$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $\frac{3}{4} n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₈ = $8$ einsetzen:

$8$ = $\frac{3}{4} \cdot 8 + d$

$8$ = $6 + d$ | -6

2 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $\frac{3}{4} n + 2$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $\frac{1}{3}$ und a₁ = $\frac{5}{3}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $\frac{1}{3}$ und a₁ = $\frac{5}{3}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{3}$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{5}{3}$ = $c \cdot a$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{3}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{3} a$

$\frac{1}{3} a$	=	$\frac{5}{3}$	\|⋅ 3
$a$	=	$5$

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{1}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{1}{3} \cdot 5^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₃ = $- 64$ und a₅ = $- 1 024$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₃ = $- 64$ und a₅ = $- 1 024$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 64$ = $c \cdot a^{3}$
II: $- 1 024$ = $c \cdot a^{5}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 64$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 1 024$ = $- \frac{64}{a^{3}} \cdot a^{5}$

also

II: $- 1 024$ = $- 64 a^{2}$

$- 64 a^{2}$	=	$- 1 024$	\|: $(- 64)$
$a^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
a₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 64$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $- 1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- 4^{n}$