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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a2 = -2 und a4 = -8 . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 2 Schritten zwischen a2 und a4 kommt ja insgesamt -8 - ( - 2 ) = -6 dazu, also pro 1 n kommt -6 2 = -3.

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm an = -3n + d .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a2 = -2 einsetzen:

-2 = -32 + d

-2 = -6 + d | +6

4 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: an = -3n +4 .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a0 = - 2 3 und a2 = - 50 3 . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a0 = - 2 3 und a2 = - 50 3 in den allgemeinen geometrischen Folgenterm an = c · a n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: - 2 3 = c · 1
II: - 50 3 = c · a 2

Aus I ergibt sich ja sofort - 2 3 = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: - 50 3 = - 2 3 a 2

- 2 3 a 2 = - 50 3 |⋅ ( - 3 2 )
a 2 = 25 | 2
a1 = - 25 = -5
a2 = 25 = 5

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: - 2 3 = c

Der gesuchte Folgenterm an ist somit: an = - 2 3 5 n

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a2 = 6 und a7 = 192 . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a2 = 6 und a7 = 192 in den allgemeinen geometrischen Folgenterm an = c · a n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 6 = c · a 2
II: 192 = c · a 7

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: 6 1 a 2 = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: 192 = 6 a 2 · a 7

also

II: 192 = 6 a 5

6 a 5 = 192 |:6
a 5 = 32 | 5
a = 32 5 = 2

Von oben (I) wissen wir bereits: 6 1 a 2 = c

mit a=2 eingesetzt erhalten wir so: 3 2 = c

Der gesuchte Folgenterm an ist somit: an = 3 2 2 n