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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₁ = $4$ und a₆ = $14$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 5 Schritten zwischen a₁ und a₆ kommt ja insgesamt $14$ - 4 = $10$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{10}{5}$ = $2$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $2 n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₁ = $4$ einsetzen:

$4$ = $2 \cdot 1 + d$

$4$ = $2 + d$ | -2

2 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $2 n + 2$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $4$ und a₅ = $128$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $4$ und a₅ = $128$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $4$ = $c \cdot 1$
II: $128$ = $c \cdot a^{5}$

Aus I ergibt sich ja sofort $4$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $128$ = $4 a^{5}$

$4 a^{5}$	=	$128$	\|: $4$
$a^{5}$	=	$32$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[5]{32}$	= $2$

Von oben (I) wissen wir bereits: $4$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $4 \cdot 2^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₁ = $\frac{3}{4}$ und a₄ = $\frac{81}{4}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₁ = $\frac{3}{4}$ und a₄ = $\frac{81}{4}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{4}$ = $c \cdot a$
II: $\frac{81}{4}$ = $c \cdot a^{4}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{81}{4}$ = $\frac{3}{4 a} \cdot a^{4}$

also

II: $\frac{81}{4}$ = $\frac{3}{4} a^{3}$

$\frac{3}{4} a^{3}$	=	$\frac{81}{4}$	\|⋅ $\frac{4}{3}$
$a^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $3$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{1}{4}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{1}{4} \cdot 3^{n}$