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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₂ = $6$ und a₇ = $11$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 5 Schritten zwischen a₂ und a₇ kommt ja insgesamt $11$ - 6 = $5$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{5}{5}$ = $1$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₂ = $6$ einsetzen:

$6$ = $2 + d$

$6$ = $2 + d$ | -2

4 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $n + 4$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $- 3$ und a₁ = $- 6$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $- 3$ und a₁ = $- 6$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 3$ = $c \cdot 1$
II: $- 6$ = $c \cdot a$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 3$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 6$ = $- 3 a$

$- 3 a$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$a$	=	$2$

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 3$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- 3 \cdot 2^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₁ = $\frac{1}{2}$ und a₆ = $16$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₁ = $\frac{1}{2}$ und a₆ = $16$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot a$
II: $16$ = $c \cdot a^{6}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $16$ = $\frac{1}{2 a} \cdot a^{6}$

also

II: $16$ = $\frac{1}{2} a^{5}$

$\frac{1}{2} a^{5}$	=	$16$	\|⋅ $2$
$a^{5}$	=	$32$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[5]{32}$	= $2$

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{1}{4}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{1}{4} \cdot 2^{n}$