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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₄ = $1$ und a₁₂ = $- 3$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 8 Schritten zwischen a₄ und a₁₂ kommt ja insgesamt $- 3$ - 1 = $- 4$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{-4}{8}$ = $- \frac{1}{2}$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $- \frac{1}{2} n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₄ = $1$ einsetzen:

$1$ = $- \frac{1}{2} \cdot 4 + d$

$1$ = $- 2 + d$ | +2

3 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $- \frac{1}{2} n + 3$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $\frac{4}{3}$ und a₂ = $\frac{64}{3}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $\frac{4}{3}$ und a₂ = $\frac{64}{3}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{4}{3}$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{64}{3}$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{4}{3}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{64}{3}$ = $\frac{4}{3} a^{2}$

$\frac{4}{3} a^{2}$	=	$\frac{64}{3}$	\|⋅ $\frac{3}{4}$
$a^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
a₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{4}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{4}{3} \cdot 4^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₂ = $16$ und a₅ = $1 024$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₂ = $16$ und a₅ = $1 024$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $16$ = $c \cdot a^{2}$
II: $1 024$ = $c \cdot a^{5}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $16$ ⋅ $\frac{1}{a^{2}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $1 024$ = $\frac{16}{a^{2}} \cdot a^{5}$

also

II: $1 024$ = $16 a^{3}$

$16 a^{3}$	=	$1 024$	\|: $16$
$a^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Von oben (I) wissen wir bereits: $16$ ⋅ $\frac{1}{a^{2}}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $4^{n}$