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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₂ = $- 2$ und a₄ = $- 8$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 2 Schritten zwischen a₂ und a₄ kommt ja insgesamt $- 8$ - ( - 2 ) = $- 6$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{-6}{2}$ = $- 3$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $- 3 n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₂ = $- 2$ einsetzen:

$- 2$ = $- 3 \cdot 2 + d$

$- 2$ = $- 6 + d$ | +6

4 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $- 3 n + 4$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $- \frac{2}{3}$ und a₂ = $- \frac{50}{3}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $- \frac{2}{3}$ und a₂ = $- \frac{50}{3}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{2}{3}$ = $c \cdot 1$
II: $- \frac{50}{3}$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{2}{3}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{50}{3}$ = $- \frac{2}{3} a^{2}$

$- \frac{2}{3} a^{2}$	=	$- \frac{50}{3}$	\|⋅ $(- \frac{3}{2})$
$a^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
a₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{2}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- \frac{2}{3} \cdot 5^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₂ = $6$ und a₇ = $192$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₂ = $6$ und a₇ = $192$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $6$ = $c \cdot a^{2}$
II: $192$ = $c \cdot a^{7}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $6$ ⋅ $\frac{1}{a^{2}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $192$ = $\frac{6}{a^{2}} \cdot a^{7}$

also

II: $192$ = $6 a^{5}$

$6 a^{5}$	=	$192$	\|: $6$
$a^{5}$	=	$32$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[5]{32}$	= $2$

Von oben (I) wissen wir bereits: $6$ ⋅ $\frac{1}{a^{2}}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{3}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{3}{2} \cdot 2^{n}$