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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₄ = $8$ und a₁₂ = $14$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 8 Schritten zwischen a₄ und a₁₂ kommt ja insgesamt $14$ - 8 = $6$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{6}{8}$ = $\frac{3}{4}$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $\frac{3}{4} n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₄ = $8$ einsetzen:

$8$ = $\frac{3}{4} \cdot 4 + d$

$8$ = $3 + d$ | -3

5 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $\frac{3}{4} n + 5$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $- \frac{1}{2}$ und a₂ = $- 2$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $- \frac{1}{2}$ und a₂ = $- 2$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot 1$
II: $- 2$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{1}{2}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 2$ = $- \frac{1}{2} a^{2}$

$- \frac{1}{2} a^{2}$	=	$- 2$	\|⋅ $(- 2)$
$a^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- \frac{1}{2} \cdot 2^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₁ = $\frac{10}{3}$ und a₃ = $\frac{250}{3}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₁ = $\frac{10}{3}$ und a₃ = $\frac{250}{3}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{10}{3}$ = $c \cdot a$
II: $\frac{250}{3}$ = $c \cdot a^{3}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $\frac{10}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{250}{3}$ = $\frac{10}{3 a} \cdot a^{3}$

also

II: $\frac{250}{3}$ = $\frac{10}{3} a^{2}$

$\frac{10}{3} a^{2}$	=	$\frac{250}{3}$	\|⋅ $\frac{3}{10}$
$a^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
a₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{10}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $5$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{2}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{2}{3} \cdot 5^{n}$