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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₄ = $- 2$ und a₈ = $- 8$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 4 Schritten zwischen a₄ und a₈ kommt ja insgesamt $- 8$ - ( - 2 ) = $- 6$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{-6}{4}$ = $- \frac{3}{2}$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $- \frac{3}{2} n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₄ = $- 2$ einsetzen:

$- 2$ = $- \frac{3}{2} \cdot 4 + d$

$- 2$ = $- 6 + d$ | +6

4 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $- \frac{3}{2} n + 4$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $- \frac{3}{2}$ und a₄ = $- 24$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $- \frac{3}{2}$ und a₄ = $- 24$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{3}{2}$ = $c \cdot 1$
II: $- 24$ = $c \cdot a^{4}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{3}{2}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 24$ = $- \frac{3}{2} a^{4}$

$- \frac{3}{2} a^{4}$	=	$- 24$	\|⋅ $(- \frac{2}{3})$
$a^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{3}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- \frac{3}{2} \cdot 2^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₃ = $- \frac{27}{2}$ und a₅ = $- \frac{243}{2}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₃ = $- \frac{27}{2}$ und a₅ = $- \frac{243}{2}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{27}{2}$ = $c \cdot a^{3}$
II: $- \frac{243}{2}$ = $c \cdot a^{5}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- \frac{27}{2}$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{243}{2}$ = $- \frac{27}{2 a^{3}} \cdot a^{5}$

also

II: $- \frac{243}{2}$ = $- \frac{27}{2} a^{2}$

$- \frac{27}{2} a^{2}$	=	$- \frac{243}{2}$	\|⋅ $(- \frac{2}{27})$
$a^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
a₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{27}{2}$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c

mit a= $3$ eingesetzt erhalten wir so: $- \frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- \frac{1}{2} \cdot 3^{n}$