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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₄ = $3$ und a₁₂ = $1$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 8 Schritten zwischen a₄ und a₁₂ kommt ja insgesamt $1$ - 3 = $- 2$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{-2}{8}$ = $- \frac{1}{4}$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $- \frac{1}{4} n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₄ = $3$ einsetzen:

$3$ = $- \frac{1}{4} \cdot 4 + d$

$3$ = $- 1 + d$ | +1

4 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $- \frac{1}{4} n + 4$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $- \frac{1}{4}$ und a₂ = $- \frac{9}{4}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $- \frac{1}{4}$ und a₂ = $- \frac{9}{4}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{4}$ = $c \cdot 1$
II: $- \frac{9}{4}$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{1}{4}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{9}{4}$ = $- \frac{1}{4} a^{2}$

$- \frac{1}{4} a^{2}$	=	$- \frac{9}{4}$	\|⋅ $(- 4)$
$a^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
a₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{1}{4}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- \frac{1}{4} \cdot 3^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₃ = $- 256$ und a₅ = $- 4 096$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₃ = $- 256$ und a₅ = $- 4 096$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 256$ = $c \cdot a^{3}$
II: $- 4 096$ = $c \cdot a^{5}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 256$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 4 096$ = $- \frac{256}{a^{3}} \cdot a^{5}$

also

II: $- 4 096$ = $- 256 a^{2}$

$- 256 a^{2}$	=	$- 4 096$	\|: $(- 256)$
$a^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
a₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 256$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $- 4$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- 4 \cdot 4^{n}$