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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₂ = $- 4$ und a₆ = $- 16$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 4 Schritten zwischen a₂ und a₆ kommt ja insgesamt $- 16$ - ( - 4 ) = $- 12$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{-12}{4}$ = $- 3$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $- 3 n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₂ = $- 4$ einsetzen:

$- 4$ = $- 3 \cdot 2 + d$

$- 4$ = $- 6 + d$ | +6

2 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $- 3 n + 2$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $- \frac{3}{2}$ und a₁ = $- 6$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $- \frac{3}{2}$ und a₁ = $- 6$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{3}{2}$ = $c \cdot 1$
II: $- 6$ = $c \cdot a$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{3}{2}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 6$ = $- \frac{3}{2} a$

$- \frac{3}{2} a$	=	$- 6$	\|⋅ 2
$- 3 a$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$a$	=	$4$

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{3}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- \frac{3}{2} \cdot 4^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₁ = $3$ und a₄ = $81$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₁ = $3$ und a₄ = $81$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $3$ = $c \cdot a$
II: $81$ = $c \cdot a^{4}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $3$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $81$ = $\frac{3}{a} \cdot a^{4}$

also

II: $81$ = $3 a^{3}$

$3 a^{3}$	=	$81$	\|: $3$
$a^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Von oben (I) wissen wir bereits: $3$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $3$ eingesetzt erhalten wir so: $1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $3^{n}$