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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₃ = $7$ und a₉ = $15$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 6 Schritten zwischen a₃ und a₉ kommt ja insgesamt $15$ - 7 = $8$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $\frac{4}{3} n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₃ = $7$ einsetzen:

$7$ = $\frac{4}{3} \cdot 3 + d$

$7$ = $4 + d$ | -4

3 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $\frac{4}{3} n + 3$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $4$ und a₂ = $100$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $4$ und a₂ = $100$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $4$ = $c \cdot 1$
II: $100$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $4$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $100$ = $4 a^{2}$

$4 a^{2}$	=	$100$	\|: $4$
$a^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
a₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $4$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $4 \cdot 5^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₃ = $- 125$ und a₅ = $- 3 125$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₃ = $- 125$ und a₅ = $- 3 125$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 125$ = $c \cdot a^{3}$
II: $- 3 125$ = $c \cdot a^{5}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 125$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 3 125$ = $- \frac{125}{a^{3}} \cdot a^{5}$

also

II: $- 3 125$ = $- 125 a^{2}$

$- 125 a^{2}$	=	$- 3 125$	\|: $(- 125)$
$a^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
a₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 125$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c

mit a= $5$ eingesetzt erhalten wir so: $- 1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- 5^{n}$