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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₂ = $6$ und a₅ = $9$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 3 Schritten zwischen a₂ und a₅ kommt ja insgesamt $9$ - 6 = $3$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{3}{3}$ = $1$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₂ = $6$ einsetzen:

$6$ = $2 + d$

$6$ = $2 + d$ | -2

4 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $n + 4$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $\frac{1}{2}$ und a₄ = $\frac{81}{2}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden
Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $\frac{1}{2}$ und a₄ = $\frac{81}{2}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{81}{2}$ = $c \cdot a^{4}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{81}{2}$ = $\frac{1}{2} a^{4}$

$\frac{1}{2} a^{4}$ = $\frac{81}{2}$ |⋅ $2$

$a^{4}$ = $81$ | $\sqrt[4]{\cdot}$

a₁ = $- \sqrt[4]{81}$ = $- 3$

a₂ = $\sqrt[4]{81}$ = $3$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{1}{2} \cdot 3^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₁ = $- 2$ und a₃ = $- 18$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden
Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₁ = $- 2$ und a₃ = $- 18$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 2$ = $c \cdot a$
II: $- 18$ = $c \cdot a^{3}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 2$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 18$ = $- \frac{2}{a} \cdot a^{3}$

also

II: $- 18$ = $- 2 a^{2}$

$- 2 a^{2}$ = $- 18$ |: $(- 2)$

$a^{2}$ = $9$ | $\sqrt[2]{\cdot}$

a₁ = $- \sqrt{9}$ = $- 3$

a₂ = $\sqrt{9}$ = $3$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 2$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $3$ eingesetzt erhalten wir so: $- \frac{2}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- \frac{2}{3} \cdot 3^{n}$

$\frac{1}{2} a^{4}$	=	$\frac{81}{2}$	\|⋅ $2$
$a^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
a₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

$- 2 a^{2}$	=	$- 18$	\|: $(- 2)$
$a^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
a₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$