Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₄ = $7$ und a₈ = $9$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 4 Schritten zwischen a₄ und a₈ kommt ja insgesamt $9$ - 7 = $2$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $\frac{1}{2} n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₄ = $7$ einsetzen:

$7$ = $\frac{1}{2} \cdot 4 + d$

$7$ = $2 + d$ | -2

5 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $\frac{1}{2} n + 5$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $\frac{2}{3}$ und a₂ = $\frac{32}{3}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $\frac{2}{3}$ und a₂ = $\frac{32}{3}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{2}{3}$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{32}{3}$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{2}{3}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{32}{3}$ = $\frac{2}{3} a^{2}$

$\frac{2}{3} a^{2}$	=	$\frac{32}{3}$	\|⋅ $\frac{3}{2}$
$a^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
a₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{2}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{2}{3} \cdot 4^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₂ = $\frac{75}{4}$ und a₄ = $\frac{1875}{4}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₂ = $\frac{75}{4}$ und a₄ = $\frac{1875}{4}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{75}{4}$ = $c \cdot a^{2}$
II: $\frac{1875}{4}$ = $c \cdot a^{4}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $\frac{75}{4}$ ⋅ $\frac{1}{a^{2}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{1875}{4}$ = $\frac{75}{4 a^{2}} \cdot a^{4}$

also

II: $\frac{1875}{4}$ = $\frac{75}{4} a^{2}$

$\frac{75}{4} a^{2}$	=	$\frac{1875}{4}$	\|⋅ $\frac{4}{75}$
$a^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
a₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{75}{4}$ ⋅ $\frac{1}{a^{2}}$ = c

mit a= $5$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{3}{4}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{3}{4} \cdot 5^{n}$