Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₁ = $2$ und a₃ = $0$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 2 Schritten zwischen a₁ und a₃ kommt ja insgesamt $0$ - 2 = $- 2$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{-2}{2}$ = $- 1$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $- n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₁ = $2$ einsetzen:

$2$ = $- 1 + d$

$2$ = $- 1 + d$ | +1

3 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $- n + 3$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $\frac{1}{3}$ und a₂ = $\frac{4}{3}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $\frac{1}{3}$ und a₂ = $\frac{4}{3}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{3}$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{4}{3}$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{3}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{3} a^{2}$

$\frac{1}{3} a^{2}$	=	$\frac{4}{3}$	\|⋅ $3$
$a^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{1}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{1}{3} \cdot 2^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₂ = $9$ und a₆ = $729$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₂ = $9$ und a₆ = $729$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $9$ = $c \cdot a^{2}$
II: $729$ = $c \cdot a^{6}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $9$ ⋅ $\frac{1}{a^{2}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $729$ = $\frac{9}{a^{2}} \cdot a^{6}$

also

II: $729$ = $9 a^{4}$

$9 a^{4}$	=	$729$	\|: $9$
$a^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
a₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $9$ ⋅ $\frac{1}{a^{2}}$ = c

mit a= $3$ eingesetzt erhalten wir so: $1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $3^{n}$