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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₈ = $4$ und a₂₄ = $8$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 16 Schritten zwischen a₈ und a₂₄ kommt ja insgesamt $8$ - 4 = $4$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{4}{16}$ = $\frac{1}{4}$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $\frac{1}{4} n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₈ = $4$ einsetzen:

$4$ = $\frac{1}{4} \cdot 8 + d$

$4$ = $2 + d$ | -2

2 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $\frac{1}{4} n + 2$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $- 1$ und a₁ = $- 4$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $- 1$ und a₁ = $- 4$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 1$ = $c \cdot 1$
II: $- 4$ = $c \cdot a$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 1$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 4$ = $- a$

$- a$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$a$	=	$4$

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- 4^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₁ = $- \frac{3}{2}$ und a₅ = $- 24$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₁ = $- \frac{3}{2}$ und a₅ = $- 24$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{3}{2}$ = $c \cdot a$
II: $- 24$ = $c \cdot a^{5}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- \frac{3}{2}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 24$ = $- \frac{3}{2 a} \cdot a^{5}$

also

II: $- 24$ = $- \frac{3}{2} a^{4}$

$- \frac{3}{2} a^{4}$	=	$- 24$	\|⋅ $(- \frac{2}{3})$
$a^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{3}{2}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $- \frac{3}{4}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- \frac{3}{4} \cdot 2^{n}$