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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a6 = 13 und a15 = 25 . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 9 Schritten zwischen a6 und a15 kommt ja insgesamt 25 - 13 = 12 dazu, also pro 1 n kommt 12 9 = 4 3 .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm an = 4 3 n + d .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a6 = 13 einsetzen:

13 = 4 3 6 + d

13 = 8 + d | -8

5 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: an = 4 3 n +5 .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a0 = -2 und a2 = -8 . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a0 = -2 und a2 = -8 in den allgemeinen geometrischen Folgenterm an = c · a n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: -2 = c · 1
II: -8 = c · a 2

Aus I ergibt sich ja sofort -2 = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: -8 = -2 a 2

-2 a 2 = -8 |: ( -2 )
a 2 = 4 | 2
a1 = - 4 = -2
a2 = 4 = 2

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: -2 = c

Der gesuchte Folgenterm an ist somit: an = -2 2 n

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a1 = - 16 3 und a4 = - 1024 3 . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a1 = - 16 3 und a4 = - 1024 3 in den allgemeinen geometrischen Folgenterm an = c · a n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: - 16 3 = c · a
II: - 1024 3 = c · a 4

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: - 16 3 1 a = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: - 1024 3 = - 16 3 a · a 4

also

II: - 1024 3 = - 16 3 a 3

- 16 3 a 3 = - 1024 3 |⋅ ( - 3 16 )
a 3 = 64 | 3
a = 64 3 = 4

Von oben (I) wissen wir bereits: - 16 3 1 a = c

mit a=4 eingesetzt erhalten wir so: - 4 3 = c

Der gesuchte Folgenterm an ist somit: an = - 4 3 4 n