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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₃ = $- 1$ und a₉ = $- 9$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 6 Schritten zwischen a₃ und a₉ kommt ja insgesamt $- 9$ - ( - 1 ) = $- 8$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{-8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $- \frac{4}{3} n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₃ = $- 1$ einsetzen:

$- 1$ = $- \frac{4}{3} \cdot 3 + d$

$- 1$ = $- 4 + d$ | +4

3 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $- \frac{4}{3} n + 3$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $- 4$ und a₁ = $- 20$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $- 4$ und a₁ = $- 20$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 4$ = $c \cdot 1$
II: $- 20$ = $c \cdot a$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 4$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 20$ = $- 4 a$

$- 4 a$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$a$	=	$5$

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 4$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- 4 \cdot 5^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₁ = $\frac{8}{3}$ und a₅ = $\frac{128}{3}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₁ = $\frac{8}{3}$ und a₅ = $\frac{128}{3}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{8}{3}$ = $c \cdot a$
II: $\frac{128}{3}$ = $c \cdot a^{5}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $\frac{8}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{128}{3}$ = $\frac{8}{3 a} \cdot a^{5}$

also

II: $\frac{128}{3}$ = $\frac{8}{3} a^{4}$

$\frac{8}{3} a^{4}$	=	$\frac{128}{3}$	\|⋅ $\frac{3}{8}$
$a^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{8}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{4}{3}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{4}{3} \cdot 2^{n}$