Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₂ = $3$ und a₈ = $0$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 6 Schritten zwischen a₂ und a₈ kommt ja insgesamt $0$ - 3 = $- 3$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{-3}{6}$ = $- \frac{1}{2}$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $- \frac{1}{2} n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₂ = $3$ einsetzen:

$3$ = $- \frac{1}{2} \cdot 2 + d$

$3$ = $- 1 + d$ | +1

4 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $- \frac{1}{2} n + 4$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $- 2$ und a₁ = $- 8$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $- 2$ und a₁ = $- 8$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 2$ = $c \cdot 1$
II: $- 8$ = $c \cdot a$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 2$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 8$ = $- 2 a$

$- 2 a$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$a$	=	$4$

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 2$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- 2 \cdot 4^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₃ = $96$ und a₆ = $6 144$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₃ = $96$ und a₆ = $6 144$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $96$ = $c \cdot a^{3}$
II: $6 144$ = $c \cdot a^{6}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $96$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $6 144$ = $\frac{96}{a^{3}} \cdot a^{6}$

also

II: $6 144$ = $96 a^{3}$

$96 a^{3}$	=	$6 144$	\|: $96$
$a^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Von oben (I) wissen wir bereits: $96$ ⋅ $\frac{1}{a^{3}}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{3}{2}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{3}{2} \cdot 4^{n}$