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lineare Gleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
5x -1 = 6x -2

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5x -1 = 6x -2 | +1
5x = 6x -1 | -6x
-x = -1 |:(-1 )
x = 1

L={ 1 }

lineare Gleichungen (schwerer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
-7( 5x +4 ) +5x +2 = 2( -10x +27 )

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-7( 5x +4 ) +5x +2 = 2( -10x +27 )
-35x -28 +5x +2 = -20x +54
-30x -26 = -20x +54 | +26
-30x = -20x +80 | +20x
-10x = 80 |:(-10 )
x = -8

L={ -8 }

lineare Gleichungen (Brüche)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
8 15 x - 3 5 = 11 15 x - 8 5

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8 15 x - 3 5 = 11 15 x - 8 5 |⋅ 15
8x -9 = 11x -24 | +9 -11x
-3x = -15 |:(-3 )
x = 5

L={ 5 }

lin. Gleich. - Anwendungen (ohne schwere)

Beispiel:

Welche Zahl ist um 12 kleiner als ihr Vierfaches?

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x = 4x -12 | -4x
-3x = -12 |:(-3 )
x = 4

L={ 4 }

lineare Gleichungen - Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Trapez ist eine der beiden parallelen Grundseiten a=4cm lang. Die Höhe des Trapezes ist h=3cm, der Flächeninhalt A=18cm². Wie lang muss dann die andere Grundseite c sein?

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3 2 ( 4 + x ) = 18
6 + 3 2 x = 18
3 2 x +6 = 18 |⋅ 2
2( 3 2 x +6 ) = 36
3x +12 = 36 | -12
3x = 24 |:3
x = 8

L={ 8 }

Geradengleichung durch 2 Punkte

Beispiel:

Eine Gerade geht durch die Punkte A(-5|3) und B(-4|4). Bestimme eine Geradengleichung von g.

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Wenn man die beiden Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man am Steigungsdreieck jeweils die Differenzen der x-Werte und der y-Werte ablesen.

Dazu sortieren wir die beiden Punkte von links nach rechts:

links: (-5|3) und rechts: (-4|4)

Für die Differenzen subtrahieren wie nun immer die Werte des linken Punkts von denen des rechten:
Differenz der x-Werte: -4 - ( - 5 ) = 1
Differenz der y-Werte: 4 - 3 = 1

Daraus ergibt sich für die Steigung m = Zuwachs in y-Richtung Zuwachs in x-Richtung = 4 - 3 -4 - ( - 5 ) = 1 1 = 1.

Mit der nun bekonnten Steigung m wissen wir nun, dass die gesuchte Geradengleichung
y = 1⋅ x +c sein muss, wir müssen jetzt also nur noch das c bestimmen.

Dazu können wir einfach einen der beiden Punkte in diese Geradengleichung einsetzen:

Punktprobe mit A(-5|3) in y = 1⋅ x +c :

3 = ( -5 ) + c
3 = -5 + c
3 = c -5 | -3 - c
-c = -8 |:(-1 )
c = 8

Die gesuchte Geradengsleichung ist somit y = x +8 .

Schnittpunkt zweier Geraden

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man zwei Geraden. Dummerweise ist der Schnittpunkt außerhalb des Schaubild.
Deswegen muss man diesen eben berechnen. Lies dazu erst die beiden Funktionsterme aus dem Schaubild.

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Da die die beiden Geraden an ihrem Schnittpunkt auch den gleichen y-Wert haben müssen, können wir die Terme einfach gleichsetzen um den gemeinsamen x-Wert zu erhalten:

1 2 x +1 = 3 4 x +4 | -1
1 2 x = 3 4 x +3 |⋅ 4
2x = 3x +12 | -3x
-x = 12 |:(-1 )
x = -12

L={ -12 }

Damit haben wir den x-Wert des Schnittpunkts. Diesen müssen wir nun noch links oder rechts einsetzen um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:

1 2 ( -12 ) +1 = -5 oder 3 4 ( -12 ) +4 = -5

Wir erhalten also den Schnittpunkt S(-12 | -5 ).

lineare Ungleich. (nur graphisch)

Beispiel:

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Löse die folgende Ungleichung mit Hilfe des Schaubilds:
- 3 4 x +2 -2x -3

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Der linke Term der Ungleichung - 3 4 x +2 ist im Schaubild als rote Gerade y= - 3 4 x +2 eingezeichnet, der rechte Term -2x -3 als die blaue Gerade : y= -2x -3 .

Im Schaubild kann man leicht ablesen, dass die beiden Geraden sich bei x=-4 schneiden. Bei x=-4 ist also gerade der Grenzfall, wo die linke Seite und die rechte Seite gleich groß sind.

Im Schaubild sieht man sofort, dass links vom Schnittpunkt, also für x<-4 die blaue Gerade, also y= -2x -3 über der rote Gerade, also y= - 3 4 x +2 liegt und rechts davon gerade umgekehrt.

Gesucht ist ja der Bereich, wo - 3 4 x +2 -2x -3 gilt, also wo die rote Gerade über der blauen liegt.

Man sieht am Schaubild leicht, dass dies rechts vom Schnittpunkt bei x=-4 sein muss.

Es gilt also x≥-4

(Für x=-4 ist die Ungleichung ja auch erfüllt)

lineare Ungleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Ungleichung:
x +1 < 4x +10

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Um die Ungleichung zu lösen, betrachten und lösen wir erst einmal die 'verwandte Gleichung':
x +1 = 4x +10 ,
die ja den Grenzfall der Ungleichung darstellt.

x +1 = 4x +10 | -1
x = 4x +9 | -4x
-3x = 9 |:(-3 )
x = -3

Bei x= -3 ist also gerade der Grenzfall, wo die linke Seite und die rechte Seite gleich groß sind.

Man kann auch beide Seiten als Geraden betrachten, die sich dann bei x= -3 schneiden.

Das heißt auf der einen Seite von x= -3 sind die Funktionswerte von x +1 größer als die von 4x +10 , und auf der anderen Seite ist es gerade umgekehrt.
Um heraus zu bekommen, wo welcher Term größer ist, müssen wir einfach jeweils einen Wert in die Terme einsetzen:

Für die linke Seite von x= -3 wählen wir x=-4:

in x +1 eingesetzt:
-4 +1 =
-3
in 4x +10 eingesetzt:
4( -4 ) +10 =
-6

Für x=-4 und damit für alle x< -3 gilt:

x +1 > 4x +10

also nicht x +1 < 4x +10

Für die rechte linke Seite von x= -3 wählen wir x=-2:

in x +1 eingesetzt:
-2 +1 =
-1
in 4x +10 eingesetzt:
4( -2 ) +10 =
2

Für x=-2 und damit für alle x> -3 gilt:

x +1 < 4x +10

Schnittpunkt bei
x= -3

Der richtige Bereich muss somit rechts von x= -3 liegen, also muss x > -3 gelten.