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cosh
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lineare Gleichungen (einfach)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
-5x+3 = x-3
-5x+3 | = | x-3 | | -3 |
-5x | = | x-6 | | -x |
-6x | = | -6 | |:(-6) |
x | = | 1 |
L={ 1}
lineare Gleichungen (schwerer)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
-(4x+6)-5x = -2(3x-3)+x
-(4x+6)-5x | = | -2(3x-3)+x | |
-4x-6-5x | = | -6x+6+x | |
-9x-6 | = | -5x+6 | | +6 |
-9x | = | -5x+12 | | +5x |
-4x | = | 12 | |:(-4) |
x | = | -3 |
L={ -3}
lineare Gleichungen (Brüche)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
-718x-12 = -1318x+12
-718x-12 | = | -1318x+12 | |⋅ 18 |
-7x-9 | = | -13x+9 | | +9 +13x |
6x | = | 18 | |:6 |
x | = | 3 |
L={ 3}
lin. Gleich. - Anwendungen (ohne schwere)
Beispiel:
Rüdiger ist 8 Jahre älter als Detlef. Außerdem ist er genau zwei mal so alt wie Detlef. Wie alt ist Detlef?
x+8 | = | 2x | | -8 -2x |
-x | = | -8 | |:(-1) |
x | = | 8 |
L={ 8}
lineare Gleichungen - Anwendungen
Beispiel:
Rüdiger ist 15 Jahre älter als Detlef. Außerdem ist er genau vier mal so alt wie Detlef. Wie alt ist Detlef?
x+15 | = | 4x | | -15 -4x |
-3x | = | -15 | |:(-3) |
x | = | 5 |
L={ 5}
Geradengleichung durch 2 Punkte
Beispiel:
Eine Gerade geht durch die Punkte A(4|-5) und B(-5|1). Bestimme eine Geradengleichung von g.
Wenn man die beiden Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man am Steigungsdreieck jeweils die Differenzen der x-Werte und der y-Werte ablesen.
Dazu sortieren wir die beiden Punkte von links nach rechts:
links: (-5|1) und rechts: (4|-5)
Für die Differenzen subtrahieren wie nun immer die Werte des linken Punkts von denen des rechten:
Differenz der x-Werte: 4 -
Differenz der y-Werte: -5 -
Daraus ergibt sich für die Steigung m = Zuwachs in y-RichtungZuwachs in x-Richtung = -5 -14 -(-5) = -69 = -23.
Mit der nun bekonnten Steigung m wissen wir nun, dass die gesuchte Geradengleichung
y = -23⋅ x +c sein muss, wir müssen
jetzt also nur noch das c bestimmen.
Dazu können wir einfach einen der beiden Punkte in diese Geradengleichung einsetzen:
Punktprobe mit A(4|-5) in y = -23⋅ x +c :
-5 | = | -23⋅4+c | |
-5 | = | -83+c | |
-5 | = | c-83 | |⋅ 3 |
-15 | = | 3(c-83) | |
-15 | = | 3c-8 | | +15 -3c |
-3c | = | 7 | |:(-3) |
c | = | -73 |
Die gesuchte Geradengsleichung ist somit y = -23x-73.
Schnittpunkt zweier Geraden
Beispiel:
Deswegen muss man diesen eben berechnen. Lies dazu erst die beiden Funktionsterme aus dem Schaubild.
Da die die beiden Geraden an ihrem Schnittpunkt auch den gleichen y-Wert haben müssen, können wir die Terme einfach gleichsetzen um den gemeinsamen x-Wert zu erhalten:
13x+1 | = | 12x+4 | | -1 |
13x | = | 12x+3 | |⋅ 6 |
2x | = | 3x+18 | | -3x |
-x | = | 18 | |:(-1) |
x | = | -18 |
L={ -18}
Damit haben wir den x-Wert des Schnittpunkts. Diesen müssen wir nun noch links oder rechts einsetzen um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:
13⋅(-18)+1= -5 oder 12⋅(-18)+4= -5
Wir erhalten also den Schnittpunkt S(-18| -5).
lineare Ungleich. (nur graphisch)
Beispiel:
-13x < -2x-5
Der linke Term der Ungleichung -13x ist im Schaubild als rote Gerade y= -13x eingezeichnet, der rechte Term -2x-5 als die blaue Gerade : y= -2x-5.
Im Schaubild kann man leicht ablesen, dass die beiden Geraden sich bei x=-3 schneiden. Bei x=-3 ist also gerade der Grenzfall, wo die linke Seite und die rechte Seite gleich groß sind.
Im Schaubild sieht man sofort, dass links vom Schnittpunkt, also für x<-3 die blaue Gerade, also y= -2x-5 über der rote Gerade, also y= -13x liegt und rechts davon gerade umgekehrt.
Gesucht ist ja der Bereich, wo -13x < -2x-5 gilt, also wo die rote Gerade unter der blauen liegt.
Man sieht am Schaubild leicht, dass dies links vom Schnittpunkt bei x=-3 sein muss.
Es gilt also x<-3
lineare Ungleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Ungleichung:
5x+8 < 13x+24
Um die Ungleichung zu lösen, betrachten und lösen wir erst einmal die 'verwandte Gleichung':
5x+8 =
13x+24,
die ja den Grenzfall der Ungleichung darstellt.
5x+8 | = | 13x+24 | | -8 |
5x | = | 13x+16 | | -13x |
-8x | = | 16 | |:(-8) |
x | = | -2 |
Bei x= -2 ist also gerade der Grenzfall, wo die linke Seite und die rechte Seite gleich groß sind.
Man kann auch beide Seiten als Geraden betrachten, die sich dann bei x= -2 schneiden.
Das heißt auf der einen Seite von x=
-2 sind die Funktionswerte von
5x+8
größer als die von
13x+24, und auf der anderen Seite ist es gerade umgekehrt.
Um heraus zu bekommen, wo welcher Term größer ist, müssen wir einfach jeweils einen Wert in die Terme einsetzen:
Für die linke Seite von x= -2 wählen wir x=-3:
in
5x+8 eingesetzt: 5⋅(-3)+8 = -7 |
in
13x+24 eingesetzt: 13⋅(-3)+24 = -15 |
Für x=-3 und damit für alle x< -2 gilt:
5x+8 > 13x+24
also nicht 5x+8 < 13x+24
Für die rechte linke Seite von x= -2 wählen wir x=-1:
in
5x+8 eingesetzt: 5⋅(-1)+8 = 3 |
in
13x+24 eingesetzt: 13⋅(-1)+24 = 11 |
Für x=-1 und damit für alle x> -2 gilt:
5x+8 < 13x+24
x= -2
Der richtige Bereich muss somit rechts von x= -2 liegen, also muss x > -2 gelten.