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lineare Gleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
-9x +3 = -10x -2

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-9x +3 = -10x -2 | -3
-9x = -10x -5 | +10x
x = -5

L={ -5 }

lineare Gleichungen (schwerer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
-( 2x -2 ) -4x -5 = 2( 3 -2x ) -1

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-( 2x -2 ) -4x -5 = 2( 3 -2x ) -1
-2x +2 -4x -5 = -4x +6 -1
-6x -3 = -4x +5 | +3
-6x = -4x +8 | +4x
-2x = 8 |:(-2 )
x = -4

L={ -4 }

lineare Gleichungen (Brüche)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
3 4 x - 1 2 = 3x - 29 4

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3 4 x - 1 2 = 3x - 29 4 |⋅ 4
3x -2 = 12x -29 | +2 -12x
-9x = -27 |:(-9 )
x = 3

L={ 3 }

lin. Gleich. - Anwendungen (ohne schwere)

Beispiel:

Rüdiger ist in 20 Jahren genau sechs mal so alt wie heute. Wie alt ist er heute?

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x +20 = 6x | -20 -6x
-5x = -20 |:(-5 )
x = 4

L={ 4 }

lineare Gleichungen - Anwendungen

Beispiel:

Rüdiger ist 5 Jahre älter als Detlef. Außerdem ist er genau zwei mal so alt wie Detlef. Wie alt ist Detlef?

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x +5 = 2x | -5 -2x
-x = -5 |:(-1 )
x = 5

L={ 5 }

Geradengleichung durch 2 Punkte

Beispiel:

Eine Gerade geht durch die Punkte A(4|5) und B(-5|-3). Bestimme eine Geradengleichung von g.

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Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wenn man die beiden Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man am Steigungsdreieck jeweils die Differenzen der x-Werte und der y-Werte ablesen.

Dazu sortieren wir die beiden Punkte von links nach rechts:

links: (-5|-3) und rechts: (4|5)

Für die Differenzen subtrahieren wie nun immer die Werte des linken Punkts von denen des rechten:
Differenz der x-Werte: 4 - ( - 5 ) = 9
Differenz der y-Werte: 5 - ( - 3 ) = 8

Daraus ergibt sich für die Steigung m = Zuwachs in y-Richtung Zuwachs in x-Richtung = 5 - ( - 3 ) 4 - ( - 5 ) = 8 9 = 8 9 .

Mit der nun bekonnten Steigung m wissen wir nun, dass die gesuchte Geradengleichung
y = 8 9 ⋅ x +c sein muss, wir müssen jetzt also nur noch das c bestimmen.

Dazu können wir einfach einen der beiden Punkte in diese Geradengleichung einsetzen:

Punktprobe mit A(4|5) in y = 8 9 ⋅ x +c :

5 = 8 9 4 + c
5 = 32 9 + c
5 = c + 32 9 |⋅ 9
45 = 9( c + 32 9 )
45 = 9c +32 | -45 -9c
-9c = -13 |:(-9 )
c = 13 9

Die gesuchte Geradengsleichung ist somit y = 8 9 x + 13 9 .

Schnittpunkt zweier Geraden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man zwei Geraden. Dummerweise ist der Schnittpunkt außerhalb des Schaubild.
Deswegen muss man diesen eben berechnen. Lies dazu erst die beiden Funktionsterme aus dem Schaubild.

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Da die die beiden Geraden an ihrem Schnittpunkt auch den gleichen y-Wert haben müssen, können wir die Terme einfach gleichsetzen um den gemeinsamen x-Wert zu erhalten:

x -3 = 1 3 x +5 | +3
x = 1 3 x +8 |⋅ 3
3x = x +24 | - x
2x = 24 |:2
x = 12

L={ 12 }

Damit haben wir den x-Wert des Schnittpunkts. Diesen müssen wir nun noch links oder rechts einsetzen um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:

12 -3 = 9 oder 1 3 12 +5 = 9

Wir erhalten also den Schnittpunkt S(12 | 9 ).

lineare Ungleich. (nur graphisch)

Beispiel:

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Löse die folgende Ungleichung mit Hilfe des Schaubilds:
x 3x -4

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Der linke Term der Ungleichung x ist im Schaubild als blaue Gerade y= x eingezeichnet, der rechte Term 3x -4 als die rote Gerade : y= 3x -4 .

Im Schaubild kann man leicht ablesen, dass die beiden Geraden sich bei x=2 schneiden. Bei x=2 ist also gerade der Grenzfall, wo die linke Seite und die rechte Seite gleich groß sind.

Im Schaubild sieht man sofort, dass links vom Schnittpunkt, also für x<2 die blaue Gerade, also y= x über der rote Gerade, also y= 3x -4 liegt und rechts davon gerade umgekehrt.

Gesucht ist ja der Bereich, wo x 3x -4 gilt, also wo die blaue Gerade unter der roten liegt.

Man sieht am Schaubild leicht, dass dies rechts vom Schnittpunkt bei x=2 sein muss.

Es gilt also x≥2

(Für x=2 ist die Ungleichung ja auch erfüllt)

lineare Ungleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Ungleichung:
-5x +6 > 4x -39

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Um die Ungleichung zu lösen, betrachten und lösen wir erst einmal die 'verwandte Gleichung':
-5x +6 = 4x -39 ,
die ja den Grenzfall der Ungleichung darstellt.

-5x +6 = 4x -39 | -6
-5x = 4x -45 | -4x
-9x = -45 |:(-9 )
x = 5

Bei x= 5 ist also gerade der Grenzfall, wo die linke Seite und die rechte Seite gleich groß sind.

Man kann auch beide Seiten als Geraden betrachten, die sich dann bei x= 5 schneiden.

Das heißt auf der einen Seite von x= 5 sind die Funktionswerte von -5x +6 größer als die von 4x -39 , und auf der anderen Seite ist es gerade umgekehrt.
Um heraus zu bekommen, wo welcher Term größer ist, müssen wir einfach jeweils einen Wert in die Terme einsetzen:

Für die linke Seite von x= 5 wählen wir x=4:

in -5x +6 eingesetzt:
-54 +6 =
-14
in 4x -39 eingesetzt:
44 -39 =
-23

Für x=4 und damit für alle x< 5 gilt:

-5x +6 > 4x -39

Für die rechte linke Seite von x= 5 wählen wir x=6:

in -5x +6 eingesetzt:
-56 +6 =
-24
in 4x -39 eingesetzt:
46 -39 =
-15

Für x=6 und damit für alle x> 5 gilt:

-5x +6 < 4x -39

also nicht -5x +6 > 4x -39

Schnittpunkt bei
x= 5

Der richtige Bereich muss somit links von x= 5 liegen, also muss x < 5 gelten.