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cosh
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Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote, 3 gelbe, 10 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal gelb"?
Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": ; "nicht gelb": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'gelb' bzw. 0 mal 'gelb'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'gelb')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| gelb -> gelb | |
| gelb -> nicht gelb | |
| nicht gelb -> gelb | |
| nicht gelb -> nicht gelb |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")=; P("nicht gelb")=;
Die relevanten Pfade sind:- 'gelb'-'nicht gelb' (P=)
- 'nicht gelb'-'gelb' (P=)
- 'gelb'-'gelb' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Kombinatorik
Beispiel:
In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 27 Schüler, in der 8b 27 Schüler und in der in der 8c 21 Schüler hat.
Für die Kategorie '8a' gibt es 27 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 27 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 27 ⋅ 27 = 729 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 21 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 27 ⋅ 27 ⋅ 21 = 15309 Möglichkeiten ergeben.
n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)
Beispiel:
Oma Hilde hat 8 Nougat-, 10 Krokant- und 16 Vollmilch-Ostereier in ein großes Osternest gepackt. Als eines ihrer Enkelkinder kommt, greift sie in das Nest und holt 13 Eier raus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 3 Nougateier und genau 4 Vollmilcheier sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Ostereier mit den Zahlen 1 bis 34 durchnummeriert wären.
Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 13 der insgesamt 34 Ostereier gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 13 von 34 Ostereier ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten verwenden.
Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:
Es gibt verschiedene Möglichkeiten 3 Kreuzchen auf 8 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 3 gezogenen Nougateier unter den 8 Nougateier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "3 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 8 Nougateier ziehen", also Möglichkeiten.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten 6 Kreuzchen auf 10 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 6 gezogenen Krokanteier unter den 10 Krokanteier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "6 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 10 Krokanteier ziehen", also Möglichkeiten.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 16 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen Vollmilcheier unter den 16 Vollmilcheier auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Ostereier ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 16 Vollmilcheier ziehen", also Möglichkeiten.
Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf ⋅ ⋅ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen Nougateier mit jedem Fall der gezogenen Krokanteier uns mit jedem Fall der gezogenen Vollmilcheier kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "13 Ostereier aus 34 Ostereier ziehen" ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P = = ≈ 0,0231 = 2,31%
nur verschiedene (mit Zurücklegen)
Beispiel:
Ein Zahlenschloss hat 6 Drehscheiben, auf denen jeweils die Zahlen von 1 bis 5 einstellbar sind. Es wird mit verbundenen Augen eine zufällige Zahlen-Kombination eingestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass darin alle 5 Zahlen enthalten sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Anzahl der möglichen Fälle
Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Zahlenschlossrad) 5 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 5 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Zahlenschlossrad) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 5⋅5⋅...⋅5 = 56 Möglichkeiten für eine Zahlenschlosseinstellungen gibt.
Anzahl der günstigen Fälle
Es gibt
Hierfür gibt es
Da ja nur Zahlen zwischen 1 und 5 möglich sind, gibt es somit
Jetzt bleiben noch 4 Felder (Zahlenschlossräder), die mit den anderen 4 Zahlen belegt werden können, wobei dabei jede Zahl genau einmal vorkommen
muss. Auch das ist ja ein bekanntes Modell (n Zahlen auf n Felder verteilen): Hier gibt es 4! = 4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten.
(4 Möglichkeiten für das erste Feld, 3 Möglichkeiten für das zweite ...)
Insgesamt erhalten wir somit
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P =
Ohne Zurücklegen rückwärts
Beispiel:
In einem Behälter sind 2 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, P(b-b) =
Insgesamt sind also n + 2 Kugeln im Behälter.
Die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim ersten Versuch ist damit:
Wenn dann auch tatsächlich
"blau" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann:
Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen ist also
D=R\{
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= |
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Wir multiplizieren den Nenner
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= |
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|⋅(
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= |
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= |
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= |
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= |
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= |
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= |
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= |
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|⋅ 45 |
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= |
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= |
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|
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
n1,2 =
n1,2 =
n1,2 =
n1 =
n2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die
ganze Gleichung durch "
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Es waren also 8 blaue Kugeln im Behälter.
2 Urnen
Beispiel:
In einem Behälter A sind 3 rote und 3 blaue Kugeln. Im Behälter B sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig aus Behälter A gezogen und in den Behälter B gelegt. Dann werden zwei Kugeln gleichzeitg aus Behälter B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Kugeln aus Behälter B beide blau sind.
Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Behälter B nach der ersten Ziehung aus Behälter A bestückt ist:
1. Möglichkeit: 7 rote und 4 blaue
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine rote Kugel gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, bestimmen:
P(blau-blau) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine rote
Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P1 =
2. Möglichkeit: 6 rote und 5 blaue
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine blaue Kugel gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(blau-blau) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine blaue
Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P2 =
Beide Möglichkeiten zusammen:
Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen:
P = P1 + P2 =
