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Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ ⋅ $\frac{21}{22}$
= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{23}$ ⋅ $\frac{7}{22}$
= $\frac{21}{2024}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal 25-36"?

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Da ja ausschließlich nach '25-36' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '25-36' und 'nicht 25-36'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"25-36": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 25-36": $\frac{25}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 25-36' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '25-36' bzw. 0 mal '25-36'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '25-36')=1- $\frac{625}{1369}$ = $\frac{744}{1369}$

Ereignis	P
25-36 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> nicht 25-36	$\frac{300}{1369}$
nicht 25-36 -> 25-36	$\frac{300}{1369}$
nicht 25-36 -> nicht 25-36	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("25-36")= $\frac{12}{37}$ ; P("nicht 25-36")= $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'25-36'-'nicht 25-36' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'nicht 25-36'-'25-36' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'25-36'-'25-36' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{300}{1369}$ + $\frac{300}{1369}$ + $\frac{144}{1369}$ = $\frac{744}{1369}$

Kombinatorik

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 27 Schüler, in der 8b 24 Schüler und in der in der 8c 21 Schüler hat.

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Für die Kategorie '8a' gibt es 27 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 24 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 27 ⋅ 24 = 648 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 21 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 27 ⋅ 24 ⋅ 21 = 13608 Möglichkeiten ergeben.

n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)

Beispiel:

In einem Behälter sind 9 blaue, 10 gelbe und 14 grüne Kugeln. Es werden 18 Kugeln aus dem Behälter zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 4 Kugeln blau und genau 8 Kugeln grün sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Kugeln mit den Zahlen 1 bis 33 durchnummeriert wären.

Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 18 der insgesamt 33 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 18 von 33 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten $(\begin{matrix} 33 \\ 18 \end{matrix})$ verwenden.

Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:

Es gibt

(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 9 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen blauen unter den 9 blauen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 9 blauen Kugeln ziehen", also $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Es gibt

(\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 6 Kreuzchen auf 10 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 6 gezogenen gelben unter den 10 gelben Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "6 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 10 gelben Kugeln ziehen", also $(\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Es gibt

(\begin{matrix} 14 \\ 8 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 8 Kreuzchen auf 14 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 8 gezogenen grünen unter den 14 grünen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "8 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 14 grünen Kugeln ziehen", also $(\begin{matrix} 14 \\ 8 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$ ⋅ $(\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix})$ ⋅ $(\begin{matrix} 14 \\ 8 \end{matrix})$ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen blauen mit jedem Fall der gezogenen gelben uns mit jedem Fall der gezogenen grünen kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "18 Kugeln aus 33 Kugeln ziehen" $(\begin{matrix} 33 \\ 18 \end{matrix})$ ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{Anzahl der günstigen Fälle}{Anzahl aller möglichen Fälle}$ = $\frac{(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})⋅(\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix})⋅(\begin{matrix} 14 \\ 8 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 33 \\ 18 \end{matrix})}$ ≈ 0,0766 = 7,66%

nur verschiedene (mit Zurücklegen)

Beispiel:

Ein Glücksrad mit 12 gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 12 beschriftet sind, wird 7 mal gedreht.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine Zahl zweimal als Ergebnis erscheint?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Anzahl der möglichen Fälle

Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Drehung) 12 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 12 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Drehung) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 12⋅12⋅...⋅12 = 12⁷ Möglichkeiten für eine solche Serie von Glücksraddrehungen gibt.

Anzahl der günstigen Fälle

Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 7 verschiedene Zahlen auftreten.

Es gibt

(\begin{matrix} 12 \\ 7 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 7 Kreuzchen auf 12 Kästchen zu verteilen.

Dazu betrachten wir erstmal die Anzahl der Möglichkeiten welche 7 Zahlen unter den 12 möglichen Zahlen vorkommen können. Auch dies kann man mit dem Modell bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 Zahlen von 12 möglichen anzukreuzen. Dies sind

(\begin{matrix} 12 \\ 7 \end{matrix})

Möglichkeiten verschiedene 7er-Pakete aus 12 Zahlen zu packen.

Bei jeder dieser $(\begin{matrix} 12 \\ 7 \end{matrix})$ Möglichkeiten kann dabei die Reihenfolge noch beliebig verändert werden. Hierfür gibt es 7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten. (7 Möglichkeiten für das erste Feld, 6 Möglichkeiten für das zweite ...)

Insgesamt kommen wir so auf $(\begin{matrix} 12 \\ 7 \end{matrix})$ ⋅7! = 3991680 Möglichkeiten.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{Anzahl der günstigen Fälle}{Anzahl aller möglichen Fälle}$ = $\frac{(\begin{matrix} 12 \\ 7 \end{matrix})⋅7!}{12⋅12⋅12⋅12⋅12⋅12⋅12}$ = $\frac{3991680}{35831808}$ ≈ 0,1114 = 11,14%

Ohne Zurücklegen rückwärts

Beispiel:

In einem Behälter sind 7 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, P(r-r) = $\frac{7}{15}$ . Bestimme die Anzahl der blauen Kugeln.

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Insgesamt sind also n + 7 Kugeln im Behälter.

Die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim ersten Versuch ist damit: $\frac{7}{n + 7}$

Wenn dann auch tatsächlich "rot" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim zweiten Versuch ist dann: $\frac{6}{n + 6}$

Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen ist also $\frac{7}{n + 7} \cdot \frac{6}{n + 6}$ . Da diese Wahrscheinlichkeit ja $\frac{7}{15}$ ist, gilt somit:

D=R\{ $- 7$ ; $- 6$ }

\frac{42}{(n + 7) \cdot (n + 6)}

=

\frac{7}{15}

Wir multiplizieren den Nenner $(n + 7) \cdot (n + 6)$ weg!

$\frac{42}{(n + 7) \cdot (n + 6)}$	=	$\frac{7}{15}$	\|⋅( $(n + 7) \cdot (n + 6)$ )
$\frac{42}{(n + 7) \cdot (n + 6)} \cdot (n + 7) \cdot (n + 6)$	=	$\frac{7}{15} \cdot (n + 7) \cdot (n + 6)$
$42 \frac{n + 7}{n + 7}$	=	$\frac{7}{15} (n + 7) \cdot (n + 6)$
$42$	=	$\frac{7}{15} (n + 7) \cdot (n + 6)$
$42$	=	$\frac{7}{15} n^{2} + \frac{91}{15} n + \frac{98}{5}$

$42$	=	$\frac{7}{15} n^{2} + \frac{91}{15} n + \frac{98}{5}$	\|⋅ 15
$630$	=	$15 (\frac{7}{15} n^{2} + \frac{91}{15} n + \frac{98}{5})$
$630$	=	$7 n^{2} + 91 n + 294$	\| $- 7 n^{2}$ $- 91 n$ $- 294$

- 7 n^{2} - 91 n + 336

= 0 |:7

$- n^{2} - 13 n + 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

n_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 48}}{2 \cdot (- 1)}$

n_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{- 2}$

n_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{361}}{- 2}$

n₁ = $\frac{13 + \sqrt{361}}{- 2}$ = $\frac{13+19}{- 2}$ = $\frac{32}{- 2}$ = $- 16$

n₂ = $\frac{13 - \sqrt{361}}{- 2}$ = $\frac{13-19}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- n^{2} - 13 n + 48$ = 0 |: $- 1$

$n^{2} + 13 n - 48$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 48)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $48$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{192}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{32}{2}$ = -16

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Es waren also 3 blaue Kugeln im Behälter.

2 Urnen

Beispiel:

In einem Behälter A sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Im Behälter B sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig aus Behälter A gezogen und in den Behälter B gelegt. Dann werden zwei Kugeln gleichzeitg aus Behälter B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Kugeln aus Behälter B beide blau sind.

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Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Behälter B nach der ersten Ziehung aus Behälter A bestückt ist:

1. Möglichkeit: 9 rote und 4 blaue

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine rote Kugel gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{5}$ .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, bestimmen:
P(blau-blau) = $\frac{4}{13}$ ⋅ $\frac{3}{12}$ = $\frac{1}{13}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine rote Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P1 = $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ = $\frac{3}{65}$

2. Möglichkeit: 8 rote und 5 blaue

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine blaue Kugel gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{2}{5}$ .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(blau-blau) = $\frac{5}{13}$ ⋅ $\frac{4}{12}$ = $\frac{5}{39}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine blaue Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P2 = $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{5}{39}$ = $\frac{2}{39}$

Beide Möglichkeiten zusammen:

Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen:

P = P1 + P2 = $\frac{3}{65}$ + $\frac{2}{39}$ = $\frac{19}{195}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

Kombinatorik

n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)

nur verschiedene (mit Zurücklegen)

Anzahl der möglichen Fälle

Anzahl der günstigen Fälle

Ohne Zurücklegen rückwärts

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

2 Urnen

1. Möglichkeit: 9 rote und 4 blaue

2. Möglichkeit: 8 rote und 5 blaue

Beide Möglichkeiten zusammen: