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Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{7}{8}$
= $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{7}{4}$
= $\frac{7}{36}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 3 Schüler mit NWT-Profil, 2 Schüler mit sprachlichem Profil, 10 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{3}{20}$ ; "nicht NWT": $\frac{17}{20}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'NWT')=1- $\frac{68}{95}$ = $\frac{27}{95}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{190}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{51}{380}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{51}{380}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{68}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{3}{20}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{17}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{51}{380}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{51}{380}$ )
'NWT'-'NWT' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{51}{380}$ + $\frac{51}{380}$ + $\frac{3}{190}$ = $\frac{27}{95}$

Kombinatorik

Beispiel:

Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 3 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 5 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?

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Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 3 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 3 = 9 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 5 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 45 Möglichkeiten ergeben.

n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)

Beispiel:

Bei einer Lotterie werden aus einem Lostopf mit 49 durchnummerierten Kugeln immer 5 Gewinnerkugeln zufällig gezogen. Jeder Teilnehmer an der Lotterie tippt nun genau 5 Zahlen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man hierbei genau 2 der 5 Kugeln zufällig richtig tippt.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 5 der insgesamt 49 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 5 von 49 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten $(\begin{matrix} 49 \\ 5 \end{matrix})$ verwenden.

Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:

Es gibt

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 2 Kreuzchen auf 5 Kästchen zu verteilen.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 2 richtig getippten unter den 5 Gewinner-Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "2 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 5 Gewinner-Kugeln ziehen", also $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 3 falsch getippten unter den 44 Nicht-Gewinner-Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "3 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 44 Nicht-Gewinner-Kugeln ziehen", also $(\begin{matrix} 44 \\ 3 \end{matrix})$ Möglichkeiten.

Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ ⋅ $(\begin{matrix} 44 \\ 3 \end{matrix})$ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der richtig getippten mit jedem Fall der falsch getippten kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "5 Kugeln aus 49 Kugeln ziehen" $(\begin{matrix} 49 \\ 5 \end{matrix})$ ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{Anzahl der günstigen Fälle}{Anzahl aller möglichen Fälle}$ = $\frac{(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})⋅(\begin{matrix} 44 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 49 \\ 5 \end{matrix})}$ = $\frac{132440}{1906884}$ ≈ 0,0695 = 6,95%

nur verschiedene (mit Zurücklegen)

Beispiel:

Ein Glücksrad mit 11 gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 11 beschriftet sind, wird 7 mal gedreht.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine Zahl zweimal als Ergebnis erscheint?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)

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Anzahl der möglichen Fälle

Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Drehung) 11 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 11 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Drehung) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 11⋅11⋅...⋅11 = 11⁷ Möglichkeiten für eine solche Serie von Glücksraddrehungen gibt.

Anzahl der günstigen Fälle

Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 7 verschiedene Zahlen auftreten.

Es gibt

(\begin{matrix} 11 \\ 7 \end{matrix})

verschiedene Möglichkeiten 7 Kreuzchen auf 11 Kästchen zu verteilen.

Dazu betrachten wir erstmal die Anzahl der Möglichkeiten welche 7 Zahlen unter den 11 möglichen Zahlen vorkommen können. Auch dies kann man mit dem Modell bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 Zahlen von 11 möglichen anzukreuzen. Dies sind

(\begin{matrix} 11 \\ 7 \end{matrix})

Möglichkeiten verschiedene 7er-Pakete aus 11 Zahlen zu packen.

Bei jeder dieser $(\begin{matrix} 11 \\ 7 \end{matrix})$ Möglichkeiten kann dabei die Reihenfolge noch beliebig verändert werden. Hierfür gibt es 7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 Möglichkeiten. (7 Möglichkeiten für das erste Feld, 6 Möglichkeiten für das zweite ...)

Insgesamt kommen wir so auf $(\begin{matrix} 11 \\ 7 \end{matrix})$ ⋅7! = 1663200 Möglichkeiten.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:

P = $\frac{Anzahl der günstigen Fälle}{Anzahl aller möglichen Fälle}$ = $\frac{(\begin{matrix} 11 \\ 7 \end{matrix})⋅7!}{11⋅11⋅11⋅11⋅11⋅11⋅11}$ = $\frac{1663200}{19487171}$ ≈ 0,0853 = 8,53%

Ohne Zurücklegen rückwärts

Beispiel:

In einem Behälter sind 10 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen, P = $\frac{10}{21}$ . Bestimme eine mögliche Anzahl der blauen Kugeln.

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Insgesamt sind also n + 10 Kugeln im Behälter.

Die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim ersten Versuch ist damit: $\frac{10}{n + 10}$

Wenn dann auch tatsächlich "rot" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann: $\frac{n}{n + 9}$

Zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen kann ja aber auch erst blau und dann rot bedeuten. Die Wahrscheinlichkeit für diesem Fall wäre dann $\frac{n}{n + 10}$ ⋅ $\frac{10}{n + 9}$ ⋅

Die Wahrscheinlichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen ist also $2 \frac{10}{n + 10} \cdot \frac{n}{n + 9}$ . Da diese Wahrscheinlichkeit ja $\frac{10}{21}$ ist, gilt somit:

D=R\{ $- 10$ ; $- 9$ }

\frac{20 n}{(n + 10) (n + 9)}

=

\frac{10}{21}

Wir multiplizieren den Nenner $(n + 10) (n + 9)$ weg!

$\frac{20 n}{(n + 10) \cdot (n + 9)}$	=	$\frac{10}{21}$	\|⋅( $(n + 10) (n + 9)$ )
$\frac{20 n}{(n + 10) \cdot (n + 9)} \cdot (n + 10) (n + 9)$	=	$\frac{10}{21} \cdot (n + 10) (n + 9)$
$\frac{20 n (n + 10)}{n + 10}$	=	$\frac{10}{21} (n + 10) (n + 9)$
$20 n$	=	$\frac{10}{21} (n + 10) (n + 9)$
$20 n$	=	$\frac{10}{21} n^{2} + \frac{190}{21} n + \frac{300}{7}$

$20 n$	=	$\frac{10}{21} n^{2} + \frac{190}{21} n + \frac{300}{7}$	\|⋅ 21
$420 n$	=	$21 (\frac{10}{21} n^{2} + \frac{190}{21} n + \frac{300}{7})$
$420 n$	=	$10 n^{2} + 190 n + 900$	\| $- 10 n^{2}$ $- 190 n$ $- 900$

- 10 n^{2} + 230 n - 900

= 0 |:10

$- n^{2} + 23 n - 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

n_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 90)}}{2 \cdot (- 1)}$

n_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{- 2}$

n_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

n₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 23+13}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

n₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 23-13}{- 2}$ = $\frac{- 36}{- 2}$ = $18$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- n^{2} + 23 n - 90$ = 0 |: $- 1$

$n^{2} - 23 n + 90$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{2})}^{2} - 90$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $90$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{23}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{23}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{36}{2}$ = 18

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Es waren also 5 oder 18 blaue Kugeln im Behälter.

2 Urnen

Beispiel:

In einem Behälter A sind 2 rote und 3 blaue Kugeln. Im Behälter B sind 2 rote und 8 blaue Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig aus Behälter A gezogen und in den Behälter B gelegt. Dann werden zwei Kugeln gleichzeitg aus Behälter B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Kugeln aus Behälter B beide blau sind.

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Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Behälter B nach der ersten Ziehung aus Behälter A bestückt ist:

1. Möglichkeit: 3 rote und 8 blaue

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine rote Kugel gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{2}{5}$ .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, bestimmen:
P(blau-blau) = $\frac{8}{11}$ ⋅ $\frac{7}{10}$ = $\frac{28}{55}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine rote Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P1 = $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{28}{55}$ = $\frac{56}{275}$

2. Möglichkeit: 2 rote und 9 blaue

Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine blaue Kugel gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist $\frac{3}{5}$ .

Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(blau-blau) = $\frac{9}{11}$ ⋅ $\frac{8}{10}$ = $\frac{36}{55}$

Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine blaue Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P2 = $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{36}{55}$ = $\frac{108}{275}$

Beide Möglichkeiten zusammen:

Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen:

P = P1 + P2 = $\frac{56}{275}$ + $\frac{108}{275}$ = $\frac{164}{275}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

Kombinatorik

n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)

nur verschiedene (mit Zurücklegen)

Anzahl der möglichen Fälle

Anzahl der günstigen Fälle

Ohne Zurücklegen rückwärts

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

2 Urnen

1. Möglichkeit: 3 rote und 8 blaue

2. Möglichkeit: 2 rote und 9 blaue

Beide Möglichkeiten zusammen: