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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

4x1 -1x2 -3x3 = 11 (I) 8x1 -6x2 -10x3 = 18 (II) -4x1 +7x2 -9x3 = -41 (III)

Lösung einblenden
4x1 -1x2 -3x3 = 11 (I) 8x1 -6x2 -10x3 = 18 (II) -4x1 +7x2 -9x3 = -41 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

1·(I) + 1·(III)

4x1 -1x2 -3x3 = 11 (I) ( 8 -8 )x1 +( -2 +6 )x2 +( -6 +10 )x3 = ( 22 -18 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( -1 +7 )x2 +( -3 -9 )x3 = ( 11 -41 ) (III)
4x1 -1x2 -3x3 = 11 (I) +4x2 +4x3 = 4 (II) +6x2 -12x3 = -30 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) -2·(III)

4x1 -1x2 -3x3 = 11 (I) 4x2 4x3 = 4 (II) +( 12 -12 )x2 +( 12 +24 )x3 = ( 12 +60 ) (III)
4x1 -1x2 -3x3 = 11 (I) +4x2 +4x3 = 4 (II) +36x3 = 72 (III)
Zeile (III): +36x3 = 72

x3 = 2

eingesetzt in Zeile (II):

+4x2 +4·(2 ) = 4 | -8
4 x2 = -4 | : 4

x2 = -1

eingesetzt in Zeile (I):

4x1 -1(-1 ) -3·(2 ) = 11 | +5
4 x1 = 16 | : 4

x1 = 4

L={(4 |-1 |2 )}

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

10x1 +9x2 +x3 = 440 (I) -2x1 +7x2 +6x3 = 440 (II) 14x1 -5x2 -11x3 = -440 (III)

Lösung einblenden
10x1 +9x2 +x3 = 440 (I) -2x1 +7x2 +6x3 = 440 (II) 14x1 -5x2 -11x3 = -440 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 5·(II)

7·(I) -5·(III)

10x1 9x2 1x3 = 440 (I) ( 10 -10 )x1 +( 9 +35 )x2 +( 1 +30 )x3 = ( 440 +2200 ) (II) ( 70 -70 )x1 +( 63 +25 )x2 +( 7 +55 )x3 = ( 3080 +2200 ) (III)
10x1 +9x2 +x3 = 440 (I) +44x2 +31x3 = 2640 (II) +88x2 +62x3 = 5280 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -1·(III)

10x1 9x2 1x3 = 440 (I) 44x2 31x3 = 2640 (II) +( 88 -88 )x2 +( 62 -62 )x3 = ( 5280 -5280 ) (III)
10x1 +9x2 +x3 = 440 (I) +44x2 +31x3 = 2640 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

+44x2 +31·(0+t ) = 2640 | -0-31 t
44 x2 = 2640 -31 t | : 44

x2 = 60 - 31 44 t

eingesetzt in Zeile (I):

10x1 +9·(60 - 31 44 t ) +(0+t ) = 440 | -540 + 235 44 t
10 x1 = -100 + 235 44 t | : 10

x1 = -10 + 47 88 t

L={(-10 + 47 88 t|60 - 31 44 t|0+t )}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 88s:

L={(-10 +47 s|60 -62 s|0+88 s )}

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-4x1 -2x2 +4x3 = 24 (I) 8x1 +x2 -17x3 = -93 (II) 8x1 -2x2 -14x3 = 60r -138 (III)

Lösung einblenden
-4x1 -2x2 +4x3 = 24 (I) 8x1 +x2 -17x3 = -93 (II) 8x1 -2x2 -14x3 = 60r -138 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) + 1·(II)

2·(I) + 1·(III)

-4x1 -2x2 4x3 = 24 (I) ( -8 +8 )x1 +( -4 +1 )x2 +( 8 -17 )x3 = ( 48 -93 ) (II) ( -8 +8 )x1 +( -4 -2 )x2 +( 8 -14 )x3 = ( 48 + 60r -138 ) (III)
-4x1 -2x2 +4x3 = 24 (I) -3x2 -9x3 = -45 (II) -6x2 -6x3 = 60r -90 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -1·(III)

-4x1 -2x2 4x3 = 24 (I) -3x2 -9x3 = -45 (II) +( -6 +6 )x2 +( -18 +6 )x3 = ( -90 + ( -60r +90 ) ) (III)
-4x1 -2x2 +4x3 = 24 (I) -3x2 -9x3 = -45 (II) -12x3 = -60 r (III)
Zeile (III): -12x3 = -60 r

x3 = 5 r

eingesetzt in Zeile (II):

-3x2 -9·(5 r ) = -45
-3x2 -45 r = -45 | +45 r
-3 x2 = 45r -45 | : (-3)

x2 = -15r +15

eingesetzt in Zeile (I):

-4x1 -2·( -15r +15 ) +4·(5 r ) = 24
-4x1 + ( 30r -30 ) +20 r = 24 | -50r +30
-4 x1 = -50r +54 | : (-4)

x1 = 25 2 r - 27 2

L={( 25 2 r - 27 2 | -15r +15 |5 r )}