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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-3x1 -3x2 +2x3 = 22 (I) 3x1 +9x2 -8x3 = -28 (II) -6x1 +2x2 -10x3 = 60 (III)

Lösung einblenden
-3x1 -3x2 +2x3 = 22 (I) 3x1 +9x2 -8x3 = -28 (II) -6x1 +2x2 -10x3 = 60 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

2·(I) -1·(III)

-3x1 -3x2 2x3 = 22 (I) ( -3 +3 )x1 +( -3 +9 )x2 +( 2 -8 )x3 = ( 22 -28 ) (II) ( -6 +6 )x1 +( -6 -2 )x2 +( 4 +10 )x3 = ( 44 -60 ) (III)
-3x1 -3x2 +2x3 = 22 (I) +6x2 -6x3 = -6 (II) -8x2 +14x3 = -16 (III)

langsame Rechnung einblenden4·(II) + 3·(III)

-3x1 -3x2 2x3 = 22 (I) 6x2 -6x3 = -6 (II) +( 24 -24 )x2 +( -24 +42 )x3 = ( -24 -48 ) (III)
-3x1 -3x2 +2x3 = 22 (I) +6x2 -6x3 = -6 (II) +18x3 = -72 (III)
Zeile (III): +18x3 = -72

x3 = -4

eingesetzt in Zeile (II):

+6x2 -6·(-4 ) = -6 | -24
6 x2 = -30 | : 6

x2 = -5

eingesetzt in Zeile (I):

-3x1 -3·(-5 ) +2·(-4 ) = 22 | -7
-3 x1 = 15 | : (-3)

x1 = -5

L={(-5 |-5 |-4 )}

3x3-LGS BF (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

5x1 +x3 = 0 (I) 3x1 -8x2 -2x3 = 400 (II) 2x1 +8x2 +3x3 = -400 (III)

Lösung einblenden
5x1 +x3 = 0 (I) 3x1 -8x2 -2x3 = 400 (II) 2x1 +8x2 +3x3 = -400 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(I) -5·(II)

2·(I) -5·(III)

5x1 1x3 = 0 (I) ( 15 -15 )x1 +(0 +40 )x2 +( 3 +10 )x3 = (0 -2000 ) (II) ( 10 -10 )x1 +(0 -40 )x2 +( 2 -15 )x3 = (0 +2000 ) (III)
5x1 +x3 = 0 (I) +40x2 +13x3 = -2000 (II) -40x2 -13x3 = 2000 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) + 1·(III)

5x1 1x3 = 0 (I) 40x2 13x3 = -2000 (II) +( 40 -40 )x2 +( 13 -13 )x3 = ( -2000 +2000 ) (III)
5x1 +x3 = 0 (I) +40x2 +13x3 = -2000 (II) 0 = 0 (III)

Wir erkennen, dass in der 3. Zeile 0=0 steht (und in den oberen beiden Zeilen kein Widerspruch).

Wir könnten also für x3 jede beliebige Zahl einsetzen und könnten dann die oberen beiden Zeilen nach den anderen beiden Variablen auflösen und damit diese bestimmen.

Somit gibt es eine unendlich große Lösungsmenge.

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

2x1 +x2 +3x3 = -15 (I) -2x1 +x2 -4x3 = 12 (II) 4x1 -2x2 +2x3 = 6r -24 (III)

Lösung einblenden
2x1 +x2 +3x3 = -15 (I) -2x1 +x2 -4x3 = 12 (II) 4x1 -2x2 +2x3 = 6r -24 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

2·(I) -1·(III)

2x1 1x2 3x3 = -15 (I) ( 2 -2 )x1 +( 1 +1 )x2 +( 3 -4 )x3 = ( -15 +12 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( 2 +2 )x2 +( 6 -2 )x3 = ( -30 + ( -6r +24 ) ) (III)
2x1 +x2 +3x3 = -15 (I) +2x2 -1x3 = -3 (II) +4x2 +4x3 = -6r -6 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -1·(III)

2x1 1x2 3x3 = -15 (I) 2x2 -1x3 = -3 (II) +( 4 -4 )x2 +( -2 -4 )x3 = ( -6 + 6r +6 ) (III)
2x1 +x2 +3x3 = -15 (I) +2x2 -1x3 = -3 (II) -6x3 = 6 r (III)
Zeile (III): -6x3 = 6 r

x3 = -1 r

eingesetzt in Zeile (II):

+2x2 -1(-1 r ) = -3
+2x2 + r = -3 | +-1 r
2 x2 = -r -3 | : 2

x2 = - 1 2 r - 3 2

eingesetzt in Zeile (I):

2x1 +( - 1 2 r - 3 2 ) +3·(-1 r ) = -15
2x1 + ( - 1 2 r - 3 2 ) -3 r = -15 | + 7 2 r + 3 2
2 x1 = 7 2 r - 27 2 | : 2

x1 = 7 4 r - 27 4

L={( 7 4 r - 27 4 | - 1 2 r - 3 2 |-1 r )}