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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

x1 -3x2 +x3 = 9 (I) -1x1 +9x2 +3x3 = -23 (II) 2x1 -18x2 -12x3 = 40 (III)

Lösung einblenden
x1 -3x2 +x3 = 9 (I) -1x1 +9x2 +3x3 = -23 (II) 2x1 -18x2 -12x3 = 40 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

2·(I) -1·(III)

1x1 -3x2 1x3 = 9 (I) ( 1 -1 )x1 +( -3 +9 )x2 +( 1 +3 )x3 = ( 9 -23 ) (II) ( 2 -2 )x1 +( -6 +18 )x2 +( 2 +12 )x3 = ( 18 -40 ) (III)
x1 -3x2 +x3 = 9 (I) +6x2 +4x3 = -14 (II) +12x2 +14x3 = -22 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -1·(III)

1x1 -3x2 1x3 = 9 (I) 6x2 4x3 = -14 (II) +( 12 -12 )x2 +( 8 -14 )x3 = ( -28 +22 ) (III)
x1 -3x2 +x3 = 9 (I) +6x2 +4x3 = -14 (II) -6x3 = -6 (III)
Zeile (III): -6x3 = -6

x3 = 1

eingesetzt in Zeile (II):

+6x2 +4·(1 ) = -14 | -4
6 x2 = -18 | : 6

x2 = -3

eingesetzt in Zeile (I):

x1 -3·(-3 ) +(1 ) = 9 | -10
1 x1 = -1 | : 1

x1 = -1

L={(-1 |-3 |1 )}

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-5x1 +x2 +7x3 = 0 (I) +x2 -3x3 = -15 (II) -5x1 -2x2 +16x3 = 45 (III)

Lösung einblenden
-5x1 +x2 +7x3 = 0 (I) +x2 -3x3 = -15 (II) -5x1 -2x2 +16x3 = 45 (III)

1·(I) -1·(III)

1 x1 +0 x2 +0 x3 = +1 (I) 0 x1 +1 x2 +0 x3 = +1 (II) ( -5 +5 )x1 +( 1 +2 )x2 +( 7 -16 )x3 = (0 -45 ) (III)
-5x1 +x2 +7x3 = 0 (I) +x2 -3x3 = -15 (II) +3x2 -9x3 = -45 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) -1·(III)

-5x1 1x2 7x3 = 0 (I) 1x2 -3x3 = -15 (II) +( 3 -3 )x2 +( -9 +9 )x3 = ( -45 +45 ) (III)
-5x1 +x2 +7x3 = 0 (I) +x2 -3x3 = -15 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

+x2 -3·(0+t ) = -15 | -0+3t
1 x2 = -15 +3t | : 1

x2 = -15 +3 t

eingesetzt in Zeile (I):

-5x1 +(-15 +3 t ) +7·(0+t ) = 0 | +15-10 t
-5 x1 = 15 -10 t | : (-5)

x1 = -3 +2 t

L={(-3 +2 t|-15 +3 t|0+t )}

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

3x1 -2x2 -4x3 = 0 (I) -6x1 -2x2 +2x3 = 6 (II) -6x1 +16x2 +22x3 = 8r -12 (III)

Lösung einblenden
3x1 -2x2 -4x3 = 0 (I) -6x1 -2x2 +2x3 = 6 (II) -6x1 +16x2 +22x3 = 8r -12 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) + 1·(II)

2·(I) + 1·(III)

3x1 -2x2 -4x3 = 0 (I) ( 6 -6 )x1 +( -4 -2 )x2 +( -8 +2 )x3 = (0 +6 ) (II) ( 6 -6 )x1 +( -4 +16 )x2 +( -8 +22 )x3 = (0 + 8r -12 ) (III)
3x1 -2x2 -4x3 = 0 (I) -6x2 -6x3 = 6 (II) +12x2 +14x3 = 8r -12 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 1·(III)

3x1 -2x2 -4x3 = 0 (I) -6x2 -6x3 = 6 (II) +( -12 +12 )x2 +( -12 +14 )x3 = ( 12 + 8r -12 ) (III)
3x1 -2x2 -4x3 = 0 (I) -6x2 -6x3 = 6 (II) +2x3 = 8 r (III)
Zeile (III): +2x3 = 8 r

x3 = 4 r

eingesetzt in Zeile (II):

-6x2 -6·(4 r ) = 6
-6x2 -24 r = 6 | +24 r
-6 x2 = 24r +6 | : (-6)

x2 = -4r -1

eingesetzt in Zeile (I):

3x1 -2·( -4r -1 ) -4·(4 r ) = 0
3x1 + ( 8r +2 ) -16 r = 0 | + 8r -2
3 x1 = 8r -2 | : 3

x1 = 8 3 r - 2 3

L={( 8 3 r - 2 3 | -4r -1 |4 r )}