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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

4x1 -1x2 -4x3 = 1 (I) -4x1 +4x2 +3x3 = -14 (II) 4x1 -4x2 -9x3 = 26 (III)

Lösung einblenden
4x1 -1x2 -4x3 = 1 (I) -4x1 +4x2 +3x3 = -14 (II) 4x1 -4x2 -9x3 = 26 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

1·(I) -1·(III)

4x1 -1x2 -4x3 = 1 (I) ( 4 -4 )x1 +( -1 +4 )x2 +( -4 +3 )x3 = ( 1 -14 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( -1 +4 )x2 +( -4 +9 )x3 = ( 1 -26 ) (III)
4x1 -1x2 -4x3 = 1 (I) +3x2 -1x3 = -13 (II) +3x2 +5x3 = -25 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -1·(III)

4x1 -1x2 -4x3 = 1 (I) 3x2 -1x3 = -13 (II) +( 3 -3 )x2 +( -1 -5 )x3 = ( -13 +25 ) (III)
4x1 -1x2 -4x3 = 1 (I) +3x2 -1x3 = -13 (II) -6x3 = 12 (III)
Zeile (III): -6x3 = 12

x3 = -2

eingesetzt in Zeile (II):

+3x2 -1(-2 ) = -13 | -2
3 x2 = -15 | : 3

x2 = -5

eingesetzt in Zeile (I):

4x1 -1(-5 ) -4·(-2 ) = 1 | -13
4 x1 = -12 | : 4

x1 = -3

L={(-3 |-5 |-2 )}

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-3x1 +x2 +5x3 = 0 (I) 6x1 -3x2 +x3 = -3 (II) -15x1 +7x2 +3x3 = 6 (III)

Lösung einblenden
-3x1 +x2 +5x3 = 0 (I) 6x1 -3x2 +x3 = -3 (II) -15x1 +7x2 +3x3 = 6 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) + 1·(II)

5·(I) -1·(III)

-3x1 1x2 5x3 = 0 (I) ( -6 +6 )x1 +( 2 -3 )x2 +( 10 +1 )x3 = (0 -3 ) (II) ( -15 +15 )x1 +( 5 -7 )x2 +( 25 -3 )x3 = (0 -6 ) (III)
-3x1 +x2 +5x3 = 0 (I) -1x2 +11x3 = -3 (II) -2x2 +22x3 = -6 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -1·(III)

-3x1 1x2 5x3 = 0 (I) -1x2 11x3 = -3 (II) +( -2 +2 )x2 +( 22 -22 )x3 = ( -6 +6 ) (III)
-3x1 +x2 +5x3 = 0 (I) -1x2 +11x3 = -3 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

-1x2 +11·(0+t ) = -3 | -0-11 t
-1 x2 = -3 -11 t | : (-1)

x2 = 3 +11 t

eingesetzt in Zeile (I):

-3x1 +(3 +11 t ) +5·(0+t ) = 0 | -3 -16 t
-3 x1 = -3 -16 t | : (-3)

x1 = 1 + 16 3 t

L={(1 + 16 3 t|3 +11 t|0+t )}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 3s:

L={(1 +16 s|3 +33 s|0+3 s )}

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

x1 -4x2 -1x3 = -23 (I) -2x1 +5x2 +8x3 = 64 (II) x1 -8x2 +19x3 = 60r +1 (III)

Lösung einblenden
x1 -4x2 -1x3 = -23 (I) -2x1 +5x2 +8x3 = 64 (II) x1 -8x2 +19x3 = 60r +1 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) + 1·(II)

1·(I) -1·(III)

1x1 -4x2 -1x3 = -23 (I) ( 2 -2 )x1 +( -8 +5 )x2 +( -2 +8 )x3 = ( -46 +64 ) (II) ( 1 -1 )x1 +( -4 +8 )x2 +( -1 -19 )x3 = ( -23 + ( -60r -1 ) ) (III)
x1 -4x2 -1x3 = -23 (I) -3x2 +6x3 = 18 (II) +4x2 -20x3 = -60r -24 (III)

langsame Rechnung einblenden4·(II) + 3·(III)

1x1 -4x2 -1x3 = -23 (I) -3x2 6x3 = 18 (II) +( -12 +12 )x2 +( 24 -60 )x3 = ( 72 + ( -180r -72 ) ) (III)
x1 -4x2 -1x3 = -23 (I) -3x2 +6x3 = 18 (II) -36x3 = -180 r (III)
Zeile (III): -36x3 = -180 r

x3 = 5 r

eingesetzt in Zeile (II):

-3x2 +6·(5 r ) = 18
-3x2 +30 r = 18 | +-30 r
-3 x2 = -30r +18 | : (-3)

x2 = 10r -6

eingesetzt in Zeile (I):

x1 -4·( 10r -6 ) -1(5 r ) = -23
x1 + ( -40r +24 ) -5 r = -23 | + 45r -24
1 x1 = 45r -47 | : 1

x1 = 45r -47

L={( 45r -47 | 10r -6 |5 r )}