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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-4x1 +2x2 -1x3 = -2 (I) -8x1 +7x2 = -13 (II) 4x1 +4x2 +11x3 = -16 (III)

Lösung einblenden
-4x1 +2x2 -1x3 = -2 (I) -8x1 +7x2 = -13 (II) 4x1 +4x2 +11x3 = -16 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

1·(I) + 1·(III)

-4x1 2x2 -1x3 = -2 (I) ( -8 +8 )x1 +( 4 -7 )x2 +( -2 +0)x3 = ( -4 +13 ) (II) ( -4 +4 )x1 +( 2 +4 )x2 +( -1 +11 )x3 = ( -2 -16 ) (III)
-4x1 +2x2 -1x3 = -2 (I) -3x2 -2x3 = 9 (II) +6x2 +10x3 = -18 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 1·(III)

-4x1 2x2 -1x3 = -2 (I) -3x2 -2x3 = 9 (II) +( -6 +6 )x2 +( -4 +10 )x3 = ( 18 -18 ) (III)
-4x1 +2x2 -1x3 = -2 (I) -3x2 -2x3 = 9 (II) +6x3 = 0 (III)
Zeile (III): +6x3 = 0

x3 = 0

eingesetzt in Zeile (II):

-3x2 -2·(0 ) = 9

x2 = -3

eingesetzt in Zeile (I):

-4x1 +2·(-3 ) -1(0 ) = -2 | +6
-4 x1 = 4 | : (-4)

x1 = -1

L={(-1 |-3 |0 )}

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

7x1 +2x2 -5x3 = 0 (I) 3x1 +2x2 -9x3 = -112 (II) 4x1 +4x3 = 112 (III)

Lösung einblenden
7x1 +2x2 -5x3 = 0 (I) 3x1 +2x2 -9x3 = -112 (II) 4x1 +4x3 = 112 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(I) -7·(II)

4·(I) -7·(III)

7x1 2x2 -5x3 = 0 (I) ( 21 -21 )x1 +( 6 -14 )x2 +( -15 +63 )x3 = (0 +784 ) (II) ( 28 -28 )x1 +( 8 +0)x2 +( -20 -28 )x3 = (0 -784 ) (III)
7x1 +2x2 -5x3 = 0 (I) -8x2 +48x3 = 784 (II) +8x2 -48x3 = -784 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) + 1·(III)

7x1 2x2 -5x3 = 0 (I) -8x2 48x3 = 784 (II) +( -8 +8 )x2 +( 48 -48 )x3 = ( 784 -784 ) (III)
7x1 +2x2 -5x3 = 0 (I) -8x2 +48x3 = 784 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

-8x2 +48·(0+t ) = 784 | -0-48 t
-8 x2 = 784 -48 t | : (-8)

x2 = -98 +6 t

eingesetzt in Zeile (I):

7x1 +2·(-98 +6 t ) -5·(0+t ) = 0 | +196-7 t
7 x1 = 196 -7 t | : 7

x1 = 28 -t

L={(28 -t|-98 +6 t|0+t )}

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-3x1 -2x2 -2x3 = 11 (I) 6x1 +6x2 -2x3 = -4 (II) 3x1 +2x3 = 24r -29 (III)

Lösung einblenden
-3x1 -2x2 -2x3 = 11 (I) 6x1 +6x2 -2x3 = -4 (II) 3x1 +2x3 = 24r -29 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) + 1·(II)

1·(I) + 1·(III)

-3x1 -2x2 -2x3 = 11 (I) ( -6 +6 )x1 +( -4 +6 )x2 +( -4 -2 )x3 = ( 22 -4 ) (II) ( -3 +3 )x1 +( -2 +0)x2 +( -2 +2 )x3 = ( 11 + 24r -29 ) (III)
-3x1 -2x2 -2x3 = 11 (I) +2x2 -6x3 = 18 (II) -2x2 = 24r -18 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) + 1·(III)

-3x1 -2x2 -2x3 = 11 (I) 2x2 -6x3 = 18 (II) +( 2 -2 )x2 +( -6 +0)x3 = ( 18 + 24r -18 ) (III)
-3x1 -2x2 -2x3 = 11 (I) +2x2 -6x3 = 18 (II) -6x3 = 24 r (III)
Zeile (III): -6x3 = 24 r

x3 = -4 r

eingesetzt in Zeile (II):

+2x2 -6·(-4 r ) = 18
+2x2 +24 r = 18 | +-24 r
2 x2 = -24r +18 | : 2

x2 = -12r +9

eingesetzt in Zeile (I):

-3x1 -2·( -12r +9 ) -2·(-4 r ) = 11
-3x1 + ( 24r -18 ) +8 r = 11 | -32r +18
-3 x1 = -32r +29 | : (-3)

x1 = 32 3 r - 29 3

L={( 32 3 r - 29 3 | -12r +9 |-4 r )}