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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-2x1 +2x2 -2x3 = 2 (I) -2x1 -3x3 = 0 (II) -4x1 -3x3 = -6 (III)

Lösung einblenden
-2x1 +2x2 -2x3 = 2 (I) -2x1 -3x3 = 0 (II) -4x1 -3x3 = -6 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -1·(II)

2·(I) -1·(III)

-2x1 2x2 -2x3 = 2 (I) ( -2 +2 )x1 +( 2 +0)x2 +( -2 +3 )x3 = ( 2 +0) (II) ( -4 +4 )x1 +( 4 +0)x2 +( -4 +3 )x3 = ( 4 +6 ) (III)
-2x1 +2x2 -2x3 = 2 (I) +2x2 +x3 = 2 (II) +4x2 -1x3 = 10 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -1·(III)

-2x1 2x2 -2x3 = 2 (I) 2x2 1x3 = 2 (II) +( 4 -4 )x2 +( 2 +1 )x3 = ( 4 -10 ) (III)
-2x1 +2x2 -2x3 = 2 (I) +2x2 +x3 = 2 (II) +3x3 = -6 (III)
Zeile (III): +3x3 = -6

x3 = -2

eingesetzt in Zeile (II):

+2x2 +(-2 ) = 2 | +2
2 x2 = 4 | : 2

x2 = 2

eingesetzt in Zeile (I):

-2x1 +2·(2 ) -2·(-2 ) = 2 | -8
-2 x1 = -6 | : (-2)

x1 = 3

L={(3 |2 |-2 )}

3x3-LGS BF (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-5x1 +x2 -2x3 = 35 (I) -3x1 +2x2 +x3 = -70 (II) -2x1 -1x2 -3x3 = 106 (III)

Lösung einblenden
-5x1 +x2 -2x3 = 35 (I) -3x1 +2x2 +x3 = -70 (II) -2x1 -1x2 -3x3 = 106 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(I) -5·(II)

2·(I) -5·(III)

-5x1 1x2 -2x3 = 35 (I) ( -15 +15 )x1 +( 3 -10 )x2 +( -6 -5 )x3 = ( 105 +350 ) (II) ( -10 +10 )x1 +( 2 +5 )x2 +( -4 +15 )x3 = ( 70 -530 ) (III)
-5x1 +x2 -2x3 = 35 (I) -7x2 -11x3 = 455 (II) +7x2 +11x3 = -460 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) + 1·(III)

-5x1 1x2 -2x3 = 35 (I) -7x2 -11x3 = 455 (II) +( -7 +7 )x2 +( -11 +11 )x3 = ( 455 -460 ) (III)
-5x1 +x2 -2x3 = 35 (I) -7x2 -11x3 = 455 (II) 0 = -5 (III)
Wegen des Widerspruchs in der 3-ten Zeile hat das LGS eine leere Lösungsmenge!

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-1x1 -3x2 -2x3 = 6 (I) -1x1 +x2 = 0 (II) -1x1 +x2 +12x3 = 12 r (III)

Lösung einblenden
-1x1 -3x2 -2x3 = 6 (I) -1x1 +x2 = 0 (II) -1x1 +x2 +12x3 = 12 r (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -1·(II)

1·(I) -1·(III)

-1x1 -3x2 -2x3 = 6 (I) ( -1 +1 )x1 +( -3 -1 )x2 +( -2 +0)x3 = ( 6 +0) (II) ( -1 +1 )x1 +( -3 -1 )x2 +( -2 -12 )x3 = ( 6 -12 r ) (III)
-1x1 -3x2 -2x3 = 6 (I) -4x2 -2x3 = 6 (II) -4x2 -14x3 = -12r +6 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -1·(III)

-1x1 -3x2 -2x3 = 6 (I) -4x2 -2x3 = 6 (II) +( -4 +4 )x2 +( -2 +14 )x3 = ( 6 + 12r -6 ) (III)
-1x1 -3x2 -2x3 = 6 (I) -4x2 -2x3 = 6 (II) +12x3 = 12 r (III)
Zeile (III): +12x3 = 12 r

x3 = r

eingesetzt in Zeile (II):

-4x2 -2·( r ) = 6
-4x2 -2 r = 6 | +2 r
-4 x2 = 2r +6 | : (-4)

x2 = - 1 2 r - 3 2

eingesetzt in Zeile (I):

-1x1 -3·( - 1 2 r - 3 2 ) -2·( r ) = 6
-1x1 + ( 3 2 r + 9 2 ) -2 r = 6 | + 1 2 r - 9 2
-1 x1 = 1 2 r + 3 2 | : (-1)

x1 = - 1 2 r - 3 2

L={( - 1 2 r - 3 2 | - 1 2 r - 3 2 | r )}