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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-4x1 +x2 +x3 = -17 (I) 4x1 -10x2 +2x3 = 50 (II) 4x1 -19x2 +11x3 = 77 (III)

Lösung einblenden
-4x1 +x2 +x3 = -17 (I) 4x1 -10x2 +2x3 = 50 (II) 4x1 -19x2 +11x3 = 77 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

1·(I) + 1·(III)

-4x1 1x2 1x3 = -17 (I) ( -4 +4 )x1 +( 1 -10 )x2 +( 1 +2 )x3 = ( -17 +50 ) (II) ( -4 +4 )x1 +( 1 -19 )x2 +( 1 +11 )x3 = ( -17 +77 ) (III)
-4x1 +x2 +x3 = -17 (I) -9x2 +3x3 = 33 (II) -18x2 +12x3 = 60 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -1·(III)

-4x1 1x2 1x3 = -17 (I) -9x2 3x3 = 33 (II) +( -18 +18 )x2 +( 6 -12 )x3 = ( 66 -60 ) (III)
-4x1 +x2 +x3 = -17 (I) -9x2 +3x3 = 33 (II) -6x3 = 6 (III)
Zeile (III): -6x3 = 6

x3 = -1

eingesetzt in Zeile (II):

-9x2 +3·(-1 ) = 33 | +3
-9 x2 = 36 | : (-9)

x2 = -4

eingesetzt in Zeile (I):

-4x1 +(-4 ) +(-1 ) = -17 | +5
-4 x1 = -12 | : (-4)

x1 = 3

L={(3 |-4 |-1 )}

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-7x1 +x2 +2x3 = 0 (I) -1x1 +9x2 +x3 = -868 (II) -5x1 -17x2 = 1736 (III)

Lösung einblenden
-7x1 +x2 +2x3 = 0 (I) -1x1 +9x2 +x3 = -868 (II) -5x1 -17x2 = 1736 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -7·(II)

5·(I) -7·(III)

-7x1 1x2 2x3 = 0 (I) ( -7 +7 )x1 +( 1 -63 )x2 +( 2 -7 )x3 = (0 +6076 ) (II) ( -35 +35 )x1 +( 5 +119 )x2 +( 10 +0)x3 = (0 -12152 ) (III)
-7x1 +x2 +2x3 = 0 (I) -62x2 -5x3 = 6076 (II) +124x2 +10x3 = -12152 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 1·(III)

-7x1 1x2 2x3 = 0 (I) -62x2 -5x3 = 6076 (II) +( -124 +124 )x2 +( -10 +10 )x3 = ( 12152 -12152 ) (III)
-7x1 +x2 +2x3 = 0 (I) -62x2 -5x3 = 6076 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

-62x2 -5·(0+t ) = 6076 | -0+5t
-62 x2 = 6076 +5t | : (-62)

x2 = -98 - 5 62 t

eingesetzt in Zeile (I):

-7x1 +(-98 - 5 62 t ) +2·(0+t ) = 0 | +98- 119 62 t
-7 x1 = 98 - 119 62 t | : (-7)

x1 = -14 + 17 62 t

L={(-14 + 17 62 t|-98 - 5 62 t|0+t )}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 62s:

L={(-14 +17 s|-98 -5 s|0+62 s )}

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

4x1 -2x2 -2x3 = 20 (I) 8x1 -6x2 -6x3 = 44 (II) 8x1 +4x3 = 8r +32 (III)

Lösung einblenden
4x1 -2x2 -2x3 = 20 (I) 8x1 -6x2 -6x3 = 44 (II) 8x1 +4x3 = 8r +32 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

2·(I) -1·(III)

4x1 -2x2 -2x3 = 20 (I) ( 8 -8 )x1 +( -4 +6 )x2 +( -4 +6 )x3 = ( 40 -44 ) (II) ( 8 -8 )x1 +( -4 +0)x2 +( -4 -4 )x3 = ( 40 + ( -8r -32 ) ) (III)
4x1 -2x2 -2x3 = 20 (I) +2x2 +2x3 = -4 (II) -4x2 -8x3 = -8r +8 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 1·(III)

4x1 -2x2 -2x3 = 20 (I) 2x2 2x3 = -4 (II) +( 4 -4 )x2 +( 4 -8 )x3 = ( -8 + ( -8r +8 ) ) (III)
4x1 -2x2 -2x3 = 20 (I) +2x2 +2x3 = -4 (II) -4x3 = -8 r (III)
Zeile (III): -4x3 = -8 r

x3 = 2 r

eingesetzt in Zeile (II):

+2x2 +2·(2 r ) = -4
+2x2 +4 r = -4 | +-4 r
2 x2 = -4r -4 | : 2

x2 = -2r -2

eingesetzt in Zeile (I):

4x1 -2·( -2r -2 ) -2·(2 r ) = 20
4x1 + ( 4r +4 ) -4 r = 20 | -4
4 x1 = 16 | : 4

x1 = 4

L={(4 | -2r -2 |2 r )}