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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-3x1 -3x2 +4x3 = -19 (I) -6x1 -3x2 +10x3 = -28 (II) 3x1 +9x2 +12x3 = 27 (III)

Lösung einblenden
-3x1 -3x2 +4x3 = -19 (I) -6x1 -3x2 +10x3 = -28 (II) 3x1 +9x2 +12x3 = 27 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

1·(I) + 1·(III)

-3x1 -3x2 4x3 = -19 (I) ( -6 +6 )x1 +( -6 +3 )x2 +( 8 -10 )x3 = ( -38 +28 ) (II) ( -3 +3 )x1 +( -3 +9 )x2 +( 4 +12 )x3 = ( -19 +27 ) (III)
-3x1 -3x2 +4x3 = -19 (I) -3x2 -2x3 = -10 (II) +6x2 +16x3 = 8 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 1·(III)

-3x1 -3x2 4x3 = -19 (I) -3x2 -2x3 = -10 (II) +( -6 +6 )x2 +( -4 +16 )x3 = ( -20 +8 ) (III)
-3x1 -3x2 +4x3 = -19 (I) -3x2 -2x3 = -10 (II) +12x3 = -12 (III)
Zeile (III): +12x3 = -12

x3 = -1

eingesetzt in Zeile (II):

-3x2 -2·(-1 ) = -10 | -2
-3 x2 = -12 | : (-3)

x2 = 4

eingesetzt in Zeile (I):

-3x1 -3·(4 ) +4·(-1 ) = -19 | +16
-3 x1 = -3 | : (-3)

x1 = 1

L={(1 |4 |-1 )}

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-6x1 -9x2 +x3 = -108 (I) -2x1 +3x2 -4x3 = 0 (II) -2x1 -15x2 +9x3 = -108 (III)

Lösung einblenden
-6x1 -9x2 +x3 = -108 (I) -2x1 +3x2 -4x3 = 0 (II) -2x1 -15x2 +9x3 = -108 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -3·(II)

1·(I) -3·(III)

-6x1 -9x2 1x3 = -108 (I) ( -6 +6 )x1 +( -9 -9 )x2 +( 1 +12 )x3 = ( -108 +0) (II) ( -6 +6 )x1 +( -9 +45 )x2 +( 1 -27 )x3 = ( -108 +324 ) (III)
-6x1 -9x2 +x3 = -108 (I) -18x2 +13x3 = -108 (II) +36x2 -26x3 = 216 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 1·(III)

-6x1 -9x2 1x3 = -108 (I) -18x2 13x3 = -108 (II) +( -36 +36 )x2 +( 26 -26 )x3 = ( -216 +216 ) (III)
-6x1 -9x2 +x3 = -108 (I) -18x2 +13x3 = -108 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

-18x2 +13·(0+t ) = -108 | -0-13 t
-18 x2 = -108 -13 t | : (-18)

x2 = 6 + 13 18 t

eingesetzt in Zeile (I):

-6x1 -9·(6 + 13 18 t ) +(0+t ) = -108 | +54+ 11 2 t
-6 x1 = -54 + 11 2 t | : (-6)

x1 = 9 - 11 12 t

L={(9 - 11 12 t|6 + 13 18 t|0+t )}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 36s:

L={(9 -33 s|6 +26 s|0+36 s )}

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-3x1 +2x2 -2x3 = 12 (I) -3x1 +4x2 -4x3 = 12 (II) -6x1 -4x3 = 20r +24 (III)

Lösung einblenden
-3x1 +2x2 -2x3 = 12 (I) -3x1 +4x2 -4x3 = 12 (II) -6x1 -4x3 = 20r +24 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -1·(II)

2·(I) -1·(III)

-3x1 2x2 -2x3 = 12 (I) ( -3 +3 )x1 +( 2 -4 )x2 +( -2 +4 )x3 = ( 12 -12 ) (II) ( -6 +6 )x1 +( 4 +0)x2 +( -4 +4 )x3 = ( 24 + ( -20r -24 ) ) (III)
-3x1 +2x2 -2x3 = 12 (I) -2x2 +2x3 = 0 (II) +4x2 = -20 r (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 1·(III)

-3x1 2x2 -2x3 = 12 (I) -2x2 2x3 = 0 (II) +( -4 +4 )x2 +( 4 +0)x3 = (0 -20 r ) (III)
-3x1 +2x2 -2x3 = 12 (I) -2x2 +2x3 = 0 (II) +4x3 = -20 r (III)
Zeile (III): +4x3 = -20 r

x3 = -5 r

eingesetzt in Zeile (II):

-2x2 +2·(-5 r ) = 0
-2x2 -10 r = 0 | +10 r
-2 x2 = 10 r | : (-2)

x2 = -5 r

eingesetzt in Zeile (I):

-3x1 +2·(-5 r ) -2·(-5 r ) = 12
-3x1 -10 r +10 r = 12

x1 = -4

L={(-4 |-5 r |-5 r )}