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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-3x1 -2x2 +2x3 = -17 (I) 3x1 -4x2 -11x3 = 38 (II) -6x1 -8x2 = -26 (III)

Lösung einblenden
-3x1 -2x2 +2x3 = -17 (I) 3x1 -4x2 -11x3 = 38 (II) -6x1 -8x2 = -26 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

2·(I) -1·(III)

-3x1 -2x2 2x3 = -17 (I) ( -3 +3 )x1 +( -2 -4 )x2 +( 2 -11 )x3 = ( -17 +38 ) (II) ( -6 +6 )x1 +( -4 +8 )x2 +( 4 +0)x3 = ( -34 +26 ) (III)
-3x1 -2x2 +2x3 = -17 (I) -6x2 -9x3 = 21 (II) +4x2 +4x3 = -8 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 3·(III)

-3x1 -2x2 2x3 = -17 (I) -6x2 -9x3 = 21 (II) +( -12 +12 )x2 +( -18 +12 )x3 = ( 42 -24 ) (III)
-3x1 -2x2 +2x3 = -17 (I) -6x2 -9x3 = 21 (II) -6x3 = 18 (III)
Zeile (III): -6x3 = 18

x3 = -3

eingesetzt in Zeile (II):

-6x2 -9·(-3 ) = 21 | -27
-6 x2 = -6 | : (-6)

x2 = 1

eingesetzt in Zeile (I):

-3x1 -2·(1 ) +2·(-3 ) = -17 | +8
-3 x1 = -9 | : (-3)

x1 = 3

L={(3 |1 |-3 )}

3x3-LGS BF (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

x1 +8x2 +10x3 = 0 (I) x1 -3x2 -8x3 = 22 (II) -2x1 +17x2 +34x3 = -65 (III)

Lösung einblenden
x1 +8x2 +10x3 = 0 (I) x1 -3x2 -8x3 = 22 (II) -2x1 +17x2 +34x3 = -65 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -1·(II)

2·(I) + 1·(III)

1x1 8x2 10x3 = 0 (I) ( 1 -1 )x1 +( 8 +3 )x2 +( 10 +8 )x3 = (0 -22 ) (II) ( 2 -2 )x1 +( 16 +17 )x2 +( 20 +34 )x3 = (0 -65 ) (III)
x1 +8x2 +10x3 = 0 (I) +11x2 +18x3 = -22 (II) +33x2 +54x3 = -65 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) -1·(III)

1x1 8x2 10x3 = 0 (I) 11x2 18x3 = -22 (II) +( 33 -33 )x2 +( 54 -54 )x3 = ( -66 +65 ) (III)
x1 +8x2 +10x3 = 0 (I) +11x2 +18x3 = -22 (II) 0 = -1 (III)
Wegen des Widerspruchs in der 3-ten Zeile hat das LGS eine leere Lösungsmenge!

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

4x1 +x2 +2x3 = 18 (I) -4x1 +2x2 +x3 = -18 (II) -4x1 -10x2 +x3 = 24r -18 (III)

Lösung einblenden
4x1 +x2 +2x3 = 18 (I) -4x1 +2x2 +x3 = -18 (II) -4x1 -10x2 +x3 = 24r -18 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

1·(I) + 1·(III)

4x1 1x2 2x3 = 18 (I) ( 4 -4 )x1 +( 1 +2 )x2 +( 2 +1 )x3 = ( 18 -18 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( 1 -10 )x2 +( 2 +1 )x3 = ( 18 + 24r -18 ) (III)
4x1 +x2 +2x3 = 18 (I) +3x2 +3x3 = 0 (II) -9x2 +3x3 = 24 r (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) + 1·(III)

4x1 1x2 2x3 = 18 (I) 3x2 3x3 = 0 (II) +( 9 -9 )x2 +( 9 +3 )x3 = (0 +24 r ) (III)
4x1 +x2 +2x3 = 18 (I) +3x2 +3x3 = 0 (II) +12x3 = 24 r (III)
Zeile (III): +12x3 = 24 r

x3 = 2 r

eingesetzt in Zeile (II):

+3x2 +3·(2 r ) = 0
+3x2 +6 r = 0 | +-6 r
3 x2 = -6 r | : 3

x2 = -2 r

eingesetzt in Zeile (I):

4x1 +(-2 r ) +2·(2 r ) = 18
4x1 -2 r +4 r = 18 | +-2 r
4 x1 = -2r +18 | : 4

x1 = - 1 2 r + 9 2

L={( - 1 2 r + 9 2 |-2 r |2 r )}