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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-1x1 -2x2 +x3 = 3 (I) -2x1 -10x2 +8x3 = 18 (II) -1x1 -8x2 +13x3 = 45 (III)

Lösung einblenden
-1x1 -2x2 +x3 = 3 (I) -2x1 -10x2 +8x3 = 18 (II) -1x1 -8x2 +13x3 = 45 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

1·(I) -1·(III)

-1x1 -2x2 1x3 = 3 (I) ( -2 +2 )x1 +( -4 +10 )x2 +( 2 -8 )x3 = ( 6 -18 ) (II) ( -1 +1 )x1 +( -2 +8 )x2 +( 1 -13 )x3 = ( 3 -45 ) (III)
-1x1 -2x2 +x3 = 3 (I) +6x2 -6x3 = -12 (II) +6x2 -12x3 = -42 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -1·(III)

-1x1 -2x2 1x3 = 3 (I) 6x2 -6x3 = -12 (II) +( 6 -6 )x2 +( -6 +12 )x3 = ( -12 +42 ) (III)
-1x1 -2x2 +x3 = 3 (I) +6x2 -6x3 = -12 (II) +6x3 = 30 (III)
Zeile (III): +6x3 = 30

x3 = 5

eingesetzt in Zeile (II):

+6x2 -6·(5 ) = -12 | +30
6 x2 = 18 | : 6

x2 = 3

eingesetzt in Zeile (I):

-1x1 -2·(3 ) +(5 ) = 3 | +1
-1 x1 = 4 | : (-1)

x1 = -4

L={(-4 |3 |5 )}

3x3-LGS BF (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

x1 +x2 +x3 = -8 (I) 9x1 +x2 +9x3 = 24 (II) -8x1 -8x3 = -32 (III)

Lösung einblenden
x1 +x2 +x3 = -8 (I) 9x1 +x2 +9x3 = 24 (II) -8x1 -8x3 = -32 (III)

langsame Rechnung einblenden9·(I) -1·(II)

8·(I) + 1·(III)

1x1 1x2 1x3 = -8 (I) ( 9 -9 )x1 +( 9 -1 )x2 +( 9 -9 )x3 = ( -72 -24 ) (II) ( 8 -8 )x1 +( 8 +0)x2 +( 8 -8 )x3 = ( -64 -32 ) (III)
x1 +x2 +x3 = -8 (I) +8x2 = -96 (II) +8x2 = -96 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -1·(III)

1x1 1x2 1x3 = -8 (I) 8x2 = -96 (II) +( 8 -8 )x2 +(0+0)x3 = ( -96 +96 ) (III)
x1 +x2 +x3 = -8 (I) +8x2 = -96 (II) 0 = 0 (III)

Wir erkennen, dass in der 3. Zeile 0=0 steht (und in den oberen beiden Zeilen kein Widerspruch).

Wir könnten also für x3 jede beliebige Zahl einsetzen und könnten dann die oberen beiden Zeilen nach den anderen beiden Variablen auflösen und damit diese bestimmen.

Somit gibt es eine unendlich große Lösungsmenge.

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

2x1 +2x2 +3x3 = -3 (I) 2x1 +3x2 +6x3 = -9 (II) -2x1 +4x2 +33x3 = -54r -33 (III)

Lösung einblenden
2x1 +2x2 +3x3 = -3 (I) 2x1 +3x2 +6x3 = -9 (II) -2x1 +4x2 +33x3 = -54r -33 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -1·(II)

1·(I) + 1·(III)

2x1 2x2 3x3 = -3 (I) ( 2 -2 )x1 +( 2 -3 )x2 +( 3 -6 )x3 = ( -3 +9 ) (II) ( 2 -2 )x1 +( 2 +4 )x2 +( 3 +33 )x3 = ( -3 + ( -54r -33 ) ) (III)
2x1 +2x2 +3x3 = -3 (I) -1x2 -3x3 = 6 (II) +6x2 +36x3 = -54r -36 (III)

langsame Rechnung einblenden6·(II) + 1·(III)

2x1 2x2 3x3 = -3 (I) -1x2 -3x3 = 6 (II) +( -6 +6 )x2 +( -18 +36 )x3 = ( 36 + ( -54r -36 ) ) (III)
2x1 +2x2 +3x3 = -3 (I) -1x2 -3x3 = 6 (II) +18x3 = -54 r (III)
Zeile (III): +18x3 = -54 r

x3 = -3 r

eingesetzt in Zeile (II):

-1x2 -3·(-3 r ) = 6
-1x2 +9 r = 6 | +-9 r
-1 x2 = -9r +6 | : (-1)

x2 = 9r -6

eingesetzt in Zeile (I):

2x1 +2·( 9r -6 ) +3·(-3 r ) = -3
2x1 + ( 18r -12 ) -9 r = -3 | -9r +12
2 x1 = -9r +9 | : 2

x1 = - 9 2 r + 9 2

L={( - 9 2 r + 9 2 | 9r -6 |-3 r )}