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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-4x1 +2x2 +2x3 = 22 (I) 4x1 +4x2 +x3 = -13 (II) -8x1 -4x2 +4x3 = 28 (III)

Lösung einblenden
-4x1 +2x2 +2x3 = 22 (I) 4x1 +4x2 +x3 = -13 (II) -8x1 -4x2 +4x3 = 28 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

2·(I) -1·(III)

-4x1 2x2 2x3 = 22 (I) ( -4 +4 )x1 +( 2 +4 )x2 +( 2 +1 )x3 = ( 22 -13 ) (II) ( -8 +8 )x1 +( 4 +4 )x2 +( 4 -4 )x3 = ( 44 -28 ) (III)
-4x1 +2x2 +2x3 = 22 (I) +6x2 +3x3 = 9 (II) +8x2 = 16 (III)

langsame Rechnung einblenden4·(II) -3·(III)

-4x1 2x2 2x3 = 22 (I) 6x2 3x3 = 9 (II) +( 24 -24 )x2 +( 12 +0)x3 = ( 36 -48 ) (III)
-4x1 +2x2 +2x3 = 22 (I) +6x2 +3x3 = 9 (II) +12x3 = -12 (III)
Zeile (III): +12x3 = -12

x3 = -1

eingesetzt in Zeile (II):

+6x2 +3·(-1 ) = 9 | +3
6 x2 = 12 | : 6

x2 = 2

eingesetzt in Zeile (I):

-4x1 +2·(2 ) +2·(-1 ) = 22 | -2
-4 x1 = 20 | : (-4)

x1 = -5

L={(-5 |2 |-1 )}

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

4x1 -2x2 +x3 = 24 (I) -5x1 +x2 -9x3 = 72 (II) 9x1 -3x2 +10x3 = -48 (III)

Lösung einblenden
4x1 -2x2 +x3 = 24 (I) -5x1 +x2 -9x3 = 72 (II) 9x1 -3x2 +10x3 = -48 (III)

langsame Rechnung einblenden5·(I) + 4·(II)

9·(I) -4·(III)

4x1 -2x2 1x3 = 24 (I) ( 20 -20 )x1 +( -10 +4 )x2 +( 5 -36 )x3 = ( 120 +288 ) (II) ( 36 -36 )x1 +( -18 +12 )x2 +( 9 -40 )x3 = ( 216 +192 ) (III)
4x1 -2x2 +x3 = 24 (I) -6x2 -31x3 = 408 (II) -6x2 -31x3 = 408 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -1·(III)

4x1 -2x2 1x3 = 24 (I) -6x2 -31x3 = 408 (II) +( -6 +6 )x2 +( -31 +31 )x3 = ( 408 -408 ) (III)
4x1 -2x2 +x3 = 24 (I) -6x2 -31x3 = 408 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

-6x2 -31·(0+t ) = 408 | -0+31t
-6 x2 = 408 +31t | : (-6)

x2 = -68 - 31 6 t

eingesetzt in Zeile (I):

4x1 -2·(-68 - 31 6 t ) +(0+t ) = 24 | -136 - 34 3 t
4 x1 = -112 - 34 3 t | : 4

x1 = -28 - 17 6 t

L={(-28 - 17 6 t|-68 - 31 6 t|0+t )}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 6s:

L={(-28 -17 s|-68 -31 s|0+6 s )}

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

3x1 -1x2 +4x3 = 9 (I) 3x1 +5x2 -2x3 = 27 (II) -3x1 +10x2 -10x3 = 3r +18 (III)

Lösung einblenden
3x1 -1x2 +4x3 = 9 (I) 3x1 +5x2 -2x3 = 27 (II) -3x1 +10x2 -10x3 = 3r +18 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -1·(II)

1·(I) + 1·(III)

3x1 -1x2 4x3 = 9 (I) ( 3 -3 )x1 +( -1 -5 )x2 +( 4 +2 )x3 = ( 9 -27 ) (II) ( 3 -3 )x1 +( -1 +10 )x2 +( 4 -10 )x3 = ( 9 + 3r +18 ) (III)
3x1 -1x2 +4x3 = 9 (I) -6x2 +6x3 = -18 (II) +9x2 -6x3 = 3r +27 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) + 2·(III)

3x1 -1x2 4x3 = 9 (I) -6x2 6x3 = -18 (II) +( -18 +18 )x2 +( 18 -12 )x3 = ( -54 + 6r +54 ) (III)
3x1 -1x2 +4x3 = 9 (I) -6x2 +6x3 = -18 (II) +6x3 = 6 r (III)
Zeile (III): +6x3 = 6 r

x3 = r

eingesetzt in Zeile (II):

-6x2 +6·( r ) = -18
-6x2 +6 r = -18 | +-6 r
-6 x2 = -6r -18 | : (-6)

x2 = r +3

eingesetzt in Zeile (I):

3x1 -1( r +3 ) +4·( r ) = 9
3x1 + ( -r -3 ) +4 r = 9 | -3r +3
3 x1 = -3r +12 | : 3

x1 = -r +4

L={( -r +4 | r +3 | r )}