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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-4x1 +4x2 -3x3 = 20 (I) 8x1 -6x2 +3x3 = -44 (II) -8x1 +2x2 -3x3 = 28 (III)

Lösung einblenden
-4x1 +4x2 -3x3 = 20 (I) 8x1 -6x2 +3x3 = -44 (II) -8x1 +2x2 -3x3 = 28 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) + 1·(II)

2·(I) -1·(III)

-4x1 4x2 -3x3 = 20 (I) ( -8 +8 )x1 +( 8 -6 )x2 +( -6 +3 )x3 = ( 40 -44 ) (II) ( -8 +8 )x1 +( 8 -2 )x2 +( -6 +3 )x3 = ( 40 -28 ) (III)
-4x1 +4x2 -3x3 = 20 (I) +2x2 -3x3 = -4 (II) +6x2 -3x3 = 12 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) -1·(III)

-4x1 4x2 -3x3 = 20 (I) 2x2 -3x3 = -4 (II) +( 6 -6 )x2 +( -9 +3 )x3 = ( -12 -12 ) (III)
-4x1 +4x2 -3x3 = 20 (I) +2x2 -3x3 = -4 (II) -6x3 = -24 (III)
Zeile (III): -6x3 = -24

x3 = 4

eingesetzt in Zeile (II):

+2x2 -3·(4 ) = -4 | +12
2 x2 = 8 | : 2

x2 = 4

eingesetzt in Zeile (I):

-4x1 +4·(4 ) -3·(4 ) = 20 | -4
-4 x1 = 16 | : (-4)

x1 = -4

L={(-4 |4 |4 )}

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

x1 -3x2 = -13 (I) 2x1 +7x2 -6x3 = 13 (II) -5x1 -24x2 +18x3 = -52 (III)

Lösung einblenden
x1 -3x2 = -13 (I) 2x1 +7x2 -6x3 = 13 (II) -5x1 -24x2 +18x3 = -52 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

5·(I) + 1·(III)

1x1 -3x2 = -13 (I) ( 2 -2 )x1 +( -6 -7 )x2 +(0 +6 )x3 = ( -26 -13 ) (II) ( 5 -5 )x1 +( -15 -24 )x2 +(0 +18 )x3 = ( -65 -52 ) (III)
x1 -3x2 = -13 (I) -13x2 +6x3 = -39 (II) -39x2 +18x3 = -117 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) -1·(III)

1x1 -3x2 = -13 (I) -13x2 6x3 = -39 (II) +( -39 +39 )x2 +( 18 -18 )x3 = ( -117 +117 ) (III)
x1 -3x2 = -13 (I) -13x2 +6x3 = -39 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

-13x2 +6·(0+t ) = -39 | -0-6 t
-13 x2 = -39 -6 t | : (-13)

x2 = 3 + 6 13 t

eingesetzt in Zeile (I):

x1 -3·(3 + 6 13 t ) = -13 | +9+ 18 13 t
1 x1 = -4 + 18 13 t | : 1

x1 = -4 + 18 13 t

L={(-4 + 18 13 t|3 + 6 13 t|0+t )}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 13s:

L={(-4 +18 s|3 +6 s|0+13 s )}

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-1x1 +x2 -1x3 = -10 (I) -2x1 -8x3 = -42 (II) 2x1 -4x2 -3x3 = 4r -2 (III)

Lösung einblenden
-1x1 +x2 -1x3 = -10 (I) -2x1 -8x3 = -42 (II) 2x1 -4x2 -3x3 = 4r -2 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

2·(I) + 1·(III)

-1x1 1x2 -1x3 = -10 (I) ( -2 +2 )x1 +( 2 +0)x2 +( -2 +8 )x3 = ( -20 +42 ) (II) ( -2 +2 )x1 +( 2 -4 )x2 +( -2 -3 )x3 = ( -20 + 4r -2 ) (III)
-1x1 +x2 -1x3 = -10 (I) +2x2 +6x3 = 22 (II) -2x2 -5x3 = 4r -22 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) + 1·(III)

-1x1 1x2 -1x3 = -10 (I) 2x2 6x3 = 22 (II) +( 2 -2 )x2 +( 6 -5 )x3 = ( 22 + 4r -22 ) (III)
-1x1 +x2 -1x3 = -10 (I) +2x2 +6x3 = 22 (II) +x3 = 4 r (III)
Zeile (III): +x3 = 4 r

x3 = 4 r

eingesetzt in Zeile (II):

+2x2 +6·(4 r ) = 22
+2x2 +24 r = 22 | +-24 r
2 x2 = -24r +22 | : 2

x2 = -12r +11

eingesetzt in Zeile (I):

-1x1 +( -12r +11 ) -1(4 r ) = -10
-1x1 + ( -12r +11 ) -4 r = -10 | + 16r -11
-1 x1 = 16r -21 | : (-1)

x1 = -16r +21

L={( -16r +21 | -12r +11 |4 r )}