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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

2x1 +x2 +2x3 = 10 (I) 2x1 +3x2 +4x3 = 10 (II) -4x1 +2x2 -1x3 = -22 (III)

Lösung einblenden
2x1 +x2 +2x3 = 10 (I) 2x1 +3x2 +4x3 = 10 (II) -4x1 +2x2 -1x3 = -22 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -1·(II)

2·(I) + 1·(III)

2x1 1x2 2x3 = 10 (I) ( 2 -2 )x1 +( 1 -3 )x2 +( 2 -4 )x3 = ( 10 -10 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( 2 +2 )x2 +( 4 -1 )x3 = ( 20 -22 ) (III)
2x1 +x2 +2x3 = 10 (I) -2x2 -2x3 = 0 (II) +4x2 +3x3 = -2 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 1·(III)

2x1 1x2 2x3 = 10 (I) -2x2 -2x3 = 0 (II) +( -4 +4 )x2 +( -4 +3 )x3 = (0 -2 ) (III)
2x1 +x2 +2x3 = 10 (I) -2x2 -2x3 = 0 (II) -1x3 = -2 (III)
Zeile (III): -1x3 = -2

x3 = 2

eingesetzt in Zeile (II):

-2x2 -2·(2 ) = 0 | +4
-2 x2 = 4 | : (-2)

x2 = -2

eingesetzt in Zeile (I):

2x1 +(-2 ) +2·(2 ) = 10 | -2
2 x1 = 8 | : 2

x1 = 4

L={(4 |-2 |2 )}

3x3-LGS BF (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

4x1 +3x2 +x3 = 0 (I) +8x2 +x3 = 96 (II) 4x1 -21x2 -2x3 = -287 (III)

Lösung einblenden
4x1 +3x2 +x3 = 0 (I) +8x2 +x3 = 96 (II) 4x1 -21x2 -2x3 = -287 (III)

1·(I) -1·(III)

1 x1 +0 x2 +0 x3 = +1 (I) 0 x1 +1 x2 +0 x3 = +1 (II) ( 4 -4 )x1 +( 3 +21 )x2 +( 1 +2 )x3 = (0 +287 ) (III)
4x1 +3x2 +x3 = 0 (I) +8x2 +x3 = 96 (II) +24x2 +3x3 = 287 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) -1·(III)

4x1 3x2 1x3 = 0 (I) 8x2 1x3 = 96 (II) +( 24 -24 )x2 +( 3 -3 )x3 = ( 288 -287 ) (III)
4x1 +3x2 +x3 = 0 (I) +8x2 +x3 = 96 (II) 0 = 1 (III)
Wegen des Widerspruchs in der 3-ten Zeile hat das LGS eine leere Lösungsmenge!

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

2x1 -2x2 +3x3 = 6 (I) 4x1 -7x2 +5x3 = 11 (II) 4x1 -10x2 +3x3 = -4r +10 (III)

Lösung einblenden
2x1 -2x2 +3x3 = 6 (I) 4x1 -7x2 +5x3 = 11 (II) 4x1 -10x2 +3x3 = -4r +10 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

2·(I) -1·(III)

2x1 -2x2 3x3 = 6 (I) ( 4 -4 )x1 +( -4 +7 )x2 +( 6 -5 )x3 = ( 12 -11 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( -4 +10 )x2 +( 6 -3 )x3 = ( 12 + 4r -10 ) (III)
2x1 -2x2 +3x3 = 6 (I) +3x2 +x3 = 1 (II) +6x2 +3x3 = 4r +2 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -1·(III)

2x1 -2x2 3x3 = 6 (I) 3x2 1x3 = 1 (II) +( 6 -6 )x2 +( 2 -3 )x3 = ( 2 + ( -4r -2 ) ) (III)
2x1 -2x2 +3x3 = 6 (I) +3x2 +x3 = 1 (II) -1x3 = -4 r (III)
Zeile (III): -1x3 = -4 r

x3 = 4 r

eingesetzt in Zeile (II):

+3x2 +(4 r ) = 1
+3x2 +4 r = 1 | +-4 r
3 x2 = -4r +1 | : 3

x2 = - 4 3 r + 1 3

eingesetzt in Zeile (I):

2x1 -2·( - 4 3 r + 1 3 ) +3·(4 r ) = 6
2x1 + ( 8 3 r - 2 3 ) +12 r = 6 | - 44 3 r + 2 3
2 x1 = - 44 3 r + 20 3 | : 2

x1 = - 22 3 r + 10 3

L={( - 22 3 r + 10 3 | - 4 3 r + 1 3 |4 r )}