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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-2x1 -3x2 +2x3 = 23 (I) -4x1 +3x2 +10x3 = 25 (II) 4x1 +4x3 = 16 (III)

Lösung einblenden
-2x1 -3x2 +2x3 = 23 (I) -4x1 +3x2 +10x3 = 25 (II) 4x1 +4x3 = 16 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

2·(I) + 1·(III)

-2x1 -3x2 2x3 = 23 (I) ( -4 +4 )x1 +( -6 -3 )x2 +( 4 -10 )x3 = ( 46 -25 ) (II) ( -4 +4 )x1 +( -6 +0)x2 +( 4 +4 )x3 = ( 46 +16 ) (III)
-2x1 -3x2 +2x3 = 23 (I) -9x2 -6x3 = 21 (II) -6x2 +8x3 = 62 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -3·(III)

-2x1 -3x2 2x3 = 23 (I) -9x2 -6x3 = 21 (II) +( -18 +18 )x2 +( -12 -24 )x3 = ( 42 -186 ) (III)
-2x1 -3x2 +2x3 = 23 (I) -9x2 -6x3 = 21 (II) -36x3 = -144 (III)
Zeile (III): -36x3 = -144

x3 = 4

eingesetzt in Zeile (II):

-9x2 -6·(4 ) = 21 | +24
-9 x2 = 45 | : (-9)

x2 = -5

eingesetzt in Zeile (I):

-2x1 -3·(-5 ) +2·(4 ) = 23 | -23
-2 x1 = 0 | : (-2)

x1 = 0

L={(0 |-5 |4 )}

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

7x1 -3x2 +2x3 = 0 (I) 9x1 -2x2 -2x3 = 91 (II) -2x1 -1x2 +4x3 = -91 (III)

Lösung einblenden
7x1 -3x2 +2x3 = 0 (I) 9x1 -2x2 -2x3 = 91 (II) -2x1 -1x2 +4x3 = -91 (III)

langsame Rechnung einblenden9·(I) -7·(II)

2·(I) + 7·(III)

7x1 -3x2 2x3 = 0 (I) ( 63 -63 )x1 +( -27 +14 )x2 +( 18 +14 )x3 = (0 -637 ) (II) ( 14 -14 )x1 +( -6 -7 )x2 +( 4 +28 )x3 = (0 -637 ) (III)
7x1 -3x2 +2x3 = 0 (I) -13x2 +32x3 = -637 (II) -13x2 +32x3 = -637 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -1·(III)

7x1 -3x2 2x3 = 0 (I) -13x2 32x3 = -637 (II) +( -13 +13 )x2 +( 32 -32 )x3 = ( -637 +637 ) (III)
7x1 -3x2 +2x3 = 0 (I) -13x2 +32x3 = -637 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

-13x2 +32·(0+t ) = -637 | -0-32 t
-13 x2 = -637 -32 t | : (-13)

x2 = 49 + 32 13 t

eingesetzt in Zeile (I):

7x1 -3·(49 + 32 13 t ) +2·(0+t ) = 0 | +147+ 70 13 t
7 x1 = 147 + 70 13 t | : 7

x1 = 21 + 10 13 t

L={(21 + 10 13 t|49 + 32 13 t|0+t )}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 13s:

L={(21 +10 s|49 +32 s|0+13 s )}

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-2x1 +x2 -2x3 = 3 (I) 4x1 +8x3 = -12 (II) -2x1 +7x2 +7x3 = 6r -15 (III)

Lösung einblenden
-2x1 +x2 -2x3 = 3 (I) 4x1 +8x3 = -12 (II) -2x1 +7x2 +7x3 = 6r -15 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) + 1·(II)

1·(I) -1·(III)

-2x1 1x2 -2x3 = 3 (I) ( -4 +4 )x1 +( 2 +0)x2 +( -4 +8 )x3 = ( 6 -12 ) (II) ( -2 +2 )x1 +( 1 -7 )x2 +( -2 -7 )x3 = ( 3 + ( -6r +15 ) ) (III)
-2x1 +x2 -2x3 = 3 (I) +2x2 +4x3 = -6 (II) -6x2 -9x3 = -6r +18 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) + 1·(III)

-2x1 1x2 -2x3 = 3 (I) 2x2 4x3 = -6 (II) +( 6 -6 )x2 +( 12 -9 )x3 = ( -18 + ( -6r +18 ) ) (III)
-2x1 +x2 -2x3 = 3 (I) +2x2 +4x3 = -6 (II) +3x3 = -6 r (III)
Zeile (III): +3x3 = -6 r

x3 = -2 r

eingesetzt in Zeile (II):

+2x2 +4·(-2 r ) = -6
+2x2 -8 r = -6 | +8 r
2 x2 = 8r -6 | : 2

x2 = 4r -3

eingesetzt in Zeile (I):

-2x1 +( 4r -3 ) -2·(-2 r ) = 3
-2x1 + ( 4r -3 ) +4 r = 3 | -8r +3
-2 x1 = -8r +6 | : (-2)

x1 = 4r -3

L={( 4r -3 | 4r -3 |-2 r )}