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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Beispiel:

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Das große Dreieck ist gleichschenklig.

Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 5.5 cm.

Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 4.9 cm.

Bestimme die fehlende Winkelweite α.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)= Gegenkathete Hypotenuse

Damit folgt sin(β)= 4.9cm 5.5cm =0.891 und somit β=63°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 27°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+27°=β=63° gilt nun: α = 36°

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Beispiel:

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Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 25° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 25° = 65°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = 180° - ε 2 = 115° 2 = 57.5°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(57.5°) = g 5.5cm

Damit folgt g = sin(57.5°) ⋅ 5.5cm ≈ 4.6cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= g PQ

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(65°)= 4.6 PQ

Damit folgt: PQ = 4.6 sin(65°) = 5.1cm

Trigonometrie Anwendungen

Beispiel:

Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 17,4° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=6m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 20,8°. Wie hoch ist das Schulhaus?

Lösung einblenden

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(20.8°)= h x

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(17.4°)= h x + 6

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(20.8°)= h x | ⋅ x

(I) tan(20.8°) ⋅ x =h |:tan(20.8°)

(I) x = h tan(20.8°)

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(17.4°)= h x + 6 | ⋅ (x+ 6)

(II) tan(17.4°) ⋅ (x+ 6) = h |:tan(20.8°)

(II) x + 6= h tan(17.4°) | -6

(II) x = h tan(17.4°) - 6

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

h tan(20.8°) = h tan(17.4°) - 6

h 0.3799 = h 0.3134 - 6

1 0.3799 ⋅ h = 1 0.3134 ⋅ h - 6

2.6325 h = 3.191 h - 6 | - 2.6325 + 6

6 = 0.5585 h | : 0.5585

10.7433 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=10.7m hoch.

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Beispiel:

Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(1|0), B(5|3) und C(1|3).

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

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Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und C) b = 3 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c2 = 42 + 32

c2 = 16 + 9

c2 = 25

c = 25 5

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = Gegenkathete Ankathete = 4 3 ≈ 1.333

Daraus folgt: α = arctan(1.333) ≈ 53.1°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-53.1° = 36.9°