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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig.

Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 7 cm.

Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.85 cm.

Bestimme die fehlende Winkelweite α.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)= $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

Damit folgt sin(β)= $\frac{5.85cm}{7cm}$ =0.836 und somit β=56.7°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 33.3°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+33.3°=β=56.7° gilt nun: α = 23.4°

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 30° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 30° = 60°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(60°) = $\frac{g}{6.5cm}$

Damit folgt g = sin(60°) ⋅ 6.5cm ≈ 5.6cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+30°) gleich groß sein. Damit gilt 60° = α + 30°, woraus folgt: α = 30°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 30° = 60°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{PQ}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(60°)= $\frac{5.6}{PQ}$

Damit folgt: PQ = $\frac{5.6}{sin(60°)}$ ≈ 6.5cm

Trigonometrie Anwendungen

Beispiel:

Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 25,1° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=20m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 38,4°. Wie hoch ist das Schulhaus?

Lösung einblenden

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(38.4°)= $\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(25.1°)= $\frac{h}{x + 20}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(38.4°)= $\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(38.4°) ⋅ x =h |:tan(38.4°)

(I) x = $\frac{h}{tan(38.4°)}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(25.1°)= $\frac{h}{x + 20}$ | ⋅ (x+ 20)

(II) tan(25.1°) ⋅ (x+ 20) = h |:tan(38.4°)

(II) x + 20= $\frac{h}{tan(25.1°)}$ | -20

(II) x = $\frac{h}{tan(25.1°)}$ - 20

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{tan(38.4°)}$ = $\frac{h}{tan(25.1°)}$ - 20

$\frac{h}{0.7926}$ = $\frac{h}{0.4684}$ - 20

$\frac{1}{0.7926}$ ⋅ h = $\frac{1}{0.4684}$ ⋅ h - 20

1.2617 h = 2.1348 h - 20 | - 1.2617 + 20

20 = 0.8731 h | : 0.8731

22.9073 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=22.9m hoch.

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Beispiel:

Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(1|-3), B(5|3) und C(1|3).

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Lösung einblenden

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und C) b = 6 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 4² + 6²

c² = 16 + 36

c² = 52

c = $\sqrt{52}$ ≈ 7.21

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{4}{6}$ ≈ 0.667

Daraus folgt: α = arctan(0.667) ≈ 33.7°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-33.7° = 56.3°

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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Trigonometrie Anwendungen

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem