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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Beispiel:

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Das große Dreieck ist gleichschenklig.

Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 6 cm.

Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.05 cm.

Bestimme die fehlende Winkelweite α.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)= Gegenkathete Hypotenuse

Damit folgt sin(β)= 5.05cm 6cm =0.842 und somit β=57.3°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 32.7°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+32.7°=β=57.3° gilt nun: α = 24.6°

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Beispiel:

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Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 28° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 28° = 62°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = 180° - ε 2 = 118° 2 = 59°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(59°) = g 6cm

Damit folgt g = sin(59°) ⋅ 6cm ≈ 5.1cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= g PQ

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(62°)= 5.1 PQ

Damit folgt: PQ = 5.1 sin(62°) = 5.8cm

Trigonometrie Anwendungen

Beispiel:

Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 18,4° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=11m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 24,3°. Wie hoch ist das Schulhaus?

Lösung einblenden

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(24.3°)= h x

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(18.4°)= h x + 11

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(24.3°)= h x | ⋅ x

(I) tan(24.3°) ⋅ x =h |:tan(24.3°)

(I) x = h tan(24.3°)

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(18.4°)= h x + 11 | ⋅ (x+ 11)

(II) tan(18.4°) ⋅ (x+ 11) = h |:tan(24.3°)

(II) x + 11= h tan(18.4°) | -11

(II) x = h tan(18.4°) - 11

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

h tan(24.3°) = h tan(18.4°) - 11

h 0.4515 = h 0.3327 - 11

1 0.4515 ⋅ h = 1 0.3327 ⋅ h - 11

2.2148 h = 3.0061 h - 11 | - 2.2148 + 11

11 = 0.7914 h | : 0.7914

13.9002 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=13.9m hoch.

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Beispiel:

Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-5|1), B(-1|1) und C(-1|4).

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

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Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 3 und (zwischen A und B) c = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b2 = 32 + 42

b2 = 9 + 16

b2 = 25

b = 25 5

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = Gegenkathete Ankathete = 3 4 = 0.75

Daraus folgt: α = arctan(0.75) ≈ 36.9°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-36.9° = 53.1°