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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Beispiel:

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Das große Dreieck ist gleichschenklig.

Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 7 cm.

Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.85 cm.

Bestimme die fehlende Winkelweite α.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)= Gegenkathete Hypotenuse

Damit folgt sin(β)= 5.85cm 7cm =0.836 und somit β=56.7°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 33.3°.

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Beispiel:

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Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 24° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 24° = 66°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = 180° - ε 2 = 114° 2 = 57°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(57°) = g 7cm

Damit folgt g = sin(57°) ⋅ 7cm ≈ 5.9cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= g PQ

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(66°)= 5.9 PQ

Damit folgt: PQ = 5.9 sin(66°) = 6.5cm

Trigonometrie Anwendungen

Beispiel:

Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 21,2° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=16m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 29,9°. Wie hoch ist das Schulhaus?

Lösung einblenden

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(29.9°)= h x

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(21.2°)= h x + 16

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(29.9°)= h x | ⋅ x

(I) tan(29.9°) ⋅ x =h |:tan(29.9°)

(I) x = h tan(29.9°)

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(21.2°)= h x + 16 | ⋅ (x+ 16)

(II) tan(21.2°) ⋅ (x+ 16) = h |:tan(29.9°)

(II) x + 16= h tan(21.2°) | -16

(II) x = h tan(21.2°) - 16

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

h tan(29.9°) = h tan(21.2°) - 16

h 0.575 = h 0.3879 - 16

1 0.575 ⋅ h = 1 0.3879 ⋅ h - 16

1.7391 h = 2.5782 h - 16 | - 1.7391 + 16

16 = 0.8391 h | : 0.8391

19.068 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=19.1m hoch.

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Beispiel:

Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(1|-5), B(5|-5) und C(5|-2).

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

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Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 3 und (zwischen A und B) c = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b2 = 32 + 42

b2 = 9 + 16

b2 = 25

b = 25 5

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = Gegenkathete Ankathete = 3 4 = 0.75

Daraus folgt: α = arctan(0.75) ≈ 36.9°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-36.9° = 53.1°