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Schaubild bei allg. Scheitelform

Beispiel:

Die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 6$ ist eine quadratische Funktion. Bestimme den Scheitel ihres Schaubilds. Bestimme, ob sie nach oben oder unten geöffnet ist, und ob sie enger oder weiter als eine Normalparabel ist.

Lösung einblenden

Der gesuchte Funktionsterm $f(x) =$ $\frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 6$ ist ein Spezialfall von $a \cdot {(x - d)}^{2} + e$ . Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x = -1 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann f(-1) = 6. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-1|6).

Da das a= $\frac{1}{4}$ >0 ist, ist die Parabel nach nach oben geöffnet.

Und weil |a|=| $\frac{1}{4}$ |<1 ist, ist die Parabel weiter als die Normalparabel.

ax² aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm der gezeichneten Parabel.

Lösung einblenden

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm f(x) = ax² sein.

Und weil die Parabel nach oben geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a positiv sein.

An der Stelle x=1 ist der y-Wert gerade y=f(1)=a⋅1²=a. Hier können wir also das a ablesen.

An der Stelle x=1 kann man das 0,25 zwar nicht so gut ablesen, man kann aber auch f(2)=a⋅2²=4a einsetzen. Hier erkennt man nun sehr deutlich, f(2)=a⋅2²=4a=1 ist, also muss a= 0,25 sein.

So erhält man als Funktionsterm: $f(x) =$ $0,25 x^{2}$ .

Term aus Graph (allg.)

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm der gezeichneten Parabel.

Lösung einblenden

Man erkennt leicht, dass der Scheitel der abgebildeten Parabel in S(-4|-3) liegt, so dass der Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot {(x - d)}^{2} + e$ mit d = -4 und e = -3, also $f(x) =$ $a \cdot {(x + 4)}^{2} - 3$ sein muss.

Und weil die Parabel nach oben geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a positiv sein.

Um das a genau zu bestimmen, schauen wir uns einen Punkt an, dessen x-Wert 1 neben dem Scheitel liegt. An der Stelle x = -3 ist der y-Wert gerade y = f(-3) = $a \cdot {(- 3 + 4)}^{2} - 3$ = 1a -3. Hier können wir am Schaubild ablesen, dass y = f(-3) = 1a -3 = 1 ist.

1a -3 = 1 | +3

a = 4

So erhält man als Funktionsterm: $f(x) =$ $4 {(x + 4)}^{2} - 3$ .

ax² mit 2. Punkt bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm der Parabel mit dem Scheitel S(0|0) auf der der Punkt P(-2|-3) liegt.

Lösung einblenden

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y=ax² sein.

Wenn der Punkt P(-2|-3) auf der Parabel liegt, muss f(-2) = a⋅-2² = 4a = -3 gelten.

4a = -3 |:4

a = $- \frac{3}{4}$

So erhält man als Funktionsterm: $f(x) =$ $- \frac{3}{4} x^{2}$ .