Sammelkorb: 
Klasse 5-6
Klasse 7-8
- Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Nullstellen mit Nullprodukt
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
y= 2x2-8x
Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.
Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden
| 2x2-8x | = | ||
| 2x(x-4) | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| x-4 | = | | +4 | |
| x2 | = | 4 |
L={
Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
y= x2-8x
Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.
Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden
| x2-8x | = | ||
| x(x-8) | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| x-8 | = | | +8 | |
| x2 | = | 8 |
L={
Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+82 = 4 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.
Der Scheitel hat also die Koordinaten S(4|y) mit y = 42-8⋅4 = 16-32 = -16.
Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=8 , Scheitel: S(4|-16).
x²+bx+c -> Scheitelform
Beispiel:
Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= x2+2x-2.
1. Weg
y= x2+2x-2
Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x2+2x) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.
= x2+2x+1-1-2
= (x+1)2-1-2
= (x+1)2-3
Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-3).
2. Weg
Wir betrachten nun nur x2+2x. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x2+2x-2 nur um -2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.
Von x2+2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.
| x2+2x | = | ||
| x(x+2) | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| x+2 | = | | -2 | |
| x2 | = | -2 |
Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).
y = (-1)2+2⋅(-1)-2 = 1-2-2 = -3
also: S(-1|-3).
ax²+bx+c -> Scheitelform
Beispiel:
Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= 3x2+24x-1.
1. Weg
y= 3x2+24x-1
= 3(x2+8x)-1
Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x2+8x) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.
= 3(x2+8x+16-16)-1
= 3(x2+8x+16)+3·(-16)-1
= 3(x+4)2-48-1
= 3(x+4)2-49
Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-49).
2. Weg
Wir betrachten nun nur 3x2+24x. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 3x2+24x-1 nur um -1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.
Von 3x2+24x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.
| 3x2+24x | = | ||
| 3x(x+8) | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| x+8 | = | | -8 | |
| x2 | = | -8 |
Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).
y = 3⋅(-4)2+24⋅(-4)-1 = 48-96-1 = -49
also: S(-4|-49).