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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
y= x 2 +9x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +9x = 0
x ( x +9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +9 = 0 | -9
x2 = -9

L={ -9 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
y= x 2 +2x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +2x = 0
x ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

L={ -2 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -2+0 2 = -1 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-1|y) mit y = ( -1 ) 2 +2( -1 ) = 1 -2 = -1.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-2 und x2=0 , Scheitel: S(-1|-1).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= x 2 -8x -1 .

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1. Weg

y= x 2 -8x -1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -8x +16 -16 -1

= ( x -4 ) 2 -16 -1

= ( x -4 ) 2 -17

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-17).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -8x -1 nur um -1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -8x = 0
x ( x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -8 = 0 | +8
x2 = 8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = 4 2 -84 -1 = 16 -32 -1 = -17

also: S(4|-17).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= 3 x 2 -30x -5 .

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1. Weg

y= 3 x 2 -30x -5

= 3( x 2 -10x ) -5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 3( x 2 -10x +25 -25 ) -5

= 3( x 2 -10x +25 ) + 3 · ( -25 ) -5

= 3 ( x -5 ) 2 -75 -5

= 3 ( x -5 ) 2 -80

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-80).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 3 x 2 -30x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 3 x 2 -30x -5 nur um -5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 3 x 2 -30x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

3 x 2 -30x = 0
3 x ( x -10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -10 = 0 | +10
x2 = 10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = 3 5 2 -305 -5 = 75 -150 -5 = -80

also: S(5|-80).