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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $x^{2} + 9 x$

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} + 9 x$	=	0
$x (x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₂	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
$y =$ $x^{2} + 5 x$

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} + 5 x$	=	0
$x (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{-5+0}{2}$ = -2.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2.5|y) mit y = ${(- 2,5)}^{2} + 5 \cdot (- 2,5)$ = $6,25 - 12,5$ = -6.25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-5 und x₂=0 , Scheitel: S(-2.5|-6.25).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 4 x + 3$ .

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1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 3$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 3$

= ${(x - 2)}^{2} - 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 3$ = $4 - 8 + 3$ = -1

also: S(2|-1).

ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $2 x^{2} - 20 x + 1$ .

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1. Weg

$y =$ $2 x^{2} - 20 x + 1$

= $2 (x^{2} - 10 x) + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 10 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 10 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $2 (x^{2} - 10 x + 25 - 25) + 1$

= $2 (x^{2} - 10 x + 25) + 2 \cdot (- 25) + 1$

= $2 {(x - 5)}^{2} - 50 + 1$

= $2 {(x - 5)}^{2} - 49$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-49).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $2 x^{2} - 20 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $2 x^{2} - 20 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $2 x^{2} - 20 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$2 x^{2} - 20 x$	=	0
$2 x (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₂	=	$10$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $2 \cdot 5^{2} - 20 \cdot 5 + 1$ = $50 - 100 + 1$ = -49

also: S(5|-49).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Nullstellen mit Nullprodukt

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

x²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

ax²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg