Sammelkorb: 
Klasse 5-6
Klasse 7-8
- Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Nullstellen mit Nullprodukt
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.
Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| x2 | = | = 1.6 |
L={
Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.
Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
L={
Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen = 2.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.
Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2.5|y) mit y = = = -25.
Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=5 , Scheitel: S(2.5|-25).
x²+bx+c -> Scheitelform
Beispiel:
Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit .
1. Weg
Man erweitert die ersten beiden Summanden ( ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.
=
=
=
Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-26).
2. Weg
Wir betrachten nun nur . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie nur um nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.
Von können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).
y = = = -26
also: S(5|-26).
ax²+bx+c -> Scheitelform
Beispiel:
Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit .
1. Weg
Man erweitert die ersten beiden Summanden ( ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.
=
=
=
=
Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-5).
2. Weg
Wir betrachten nun nur . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie nur um nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.
Von können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).
y = = = -5
also: S(3|-5).