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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
y= x 2 -6x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -6x = 0
x · ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x2 = 6

L={0; 6 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
y= 4 x 2 -8x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

4 x 2 -8x = 0
4 x · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

L={0; 2 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+2 2 = 1 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(1|y) mit y = 4⋅ 1 2 -8⋅1 = 4 -8 = -4.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=2 , Scheitel: S(1|-4).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= x 2 -8x +4 .

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1. Weg

y= x 2 -8x +4

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -8x +16 -16 +4

= ( x -4 ) 2 -16 +4

= ( x -4 ) 2 -12

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-12).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -8x +4 nur um 4 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -8x = 0
x · ( x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -8 = 0 | +8
x2 = 8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = 4 2 -8⋅4 +4 = 16 -32 +4 = -12

also: S(4|-12).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= x 2 +2x -1 .

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1. Weg

y= x 2 +2x -1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +2x +1 -1 -1

= x 2 +2x +1 + 1 · ( -1 ) -1

= ( x +1 ) 2 -1 -1

= ( x +1 ) 2 -2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-2).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +2x -1 nur um -1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +2x = 0
x · ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ( -1 ) 2 +2⋅( -1 ) -1 = 1 -2 -1 = -2

also: S(-1|-2).