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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
y= 5 x 2 -5x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

5 x 2 -5x = 0
5 x · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
y= x 2 -2x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -2x = 0
x · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

L={0; 2 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+2 2 = 1 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(1|y) mit y = 1 2 -2⋅1 = 1 -2 = -1.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=2 , Scheitel: S(1|-1).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= x 2 -10x +1 .

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1. Weg

y= x 2 -10x +1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -10x +25 -25 +1

= ( x -5 ) 2 -25 +1

= ( x -5 ) 2 -24

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-24).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -10x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -10x +1 nur um 1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -10x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -10x = 0
x · ( x -10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -10 = 0 | +10
x2 = 10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = 5 2 -10⋅5 +1 = 25 -50 +1 = -24

also: S(5|-24).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= 2 x 2 -16x +3 .

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1. Weg

y= 2 x 2 -16x +3

= 2( x 2 -8x ) +3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 2( x 2 -8x +16 -16 ) +3

= 2( x 2 -8x +16 ) + 2 · ( -16 ) +3

= 2 ( x -4 ) 2 -32 +3

= 2 ( x -4 ) 2 -29

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-29).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 2 x 2 -16x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 2 x 2 -16x +3 nur um 3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 2 x 2 -16x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

2 x 2 -16x = 0
2 x · ( x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -8 = 0 | +8
x2 = 8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = 2⋅ 4 2 -16⋅4 +3 = 32 -64 +3 = -29

also: S(4|-29).