Mathebattle EduRandomtasks

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,35.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 34 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
82	0.9091
83	0.8941
84	0.8776
85	0.8596
86	0.8401
87	0.8192
88	0.7968
89	0.7731
90	0.7482
91	0.7222
92	0.6952
93	0.6673
94	0.6388
95	0.6097
96	0.5803
97	0.5507
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.35}$ ≈ 97 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.35⋅97) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=97:
$P_{0.35}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.5507 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=82 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, mindestens 24 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
47	0.5
48	0.4427
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \geq 24)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.5}^{n} (X \geq 24)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.5}^{n} (X \geq 24)$ = 1 - $P_{0.5}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.5}^{n} (X \leq 23)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.5}^{n} (X \leq 23)$ oder $P_{0.5}^{n} (X \leq 23)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.5}$ ≈ 48 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.5⋅48) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=48:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.4427 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 48 sein, damit $P_{0.5}^{n} (X \leq 23)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.5}^{n} (X \geq 24)$ ≥ 0.5 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, mindestens 40 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
47	0.409
48	0.288
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \geq 40)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.85}^{n} (X \geq 40)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{n} (X \geq 40)$ = 1 - $P_{0.85}^{n} (X \leq 39)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.85}^{n} (X \leq 39)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.85}^{n} (X \leq 39)$ oder $P_{0.85}^{n} (X \leq 39)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{40}{0.85}$ ≈ 47 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.85⋅47) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=47:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 39)$ ≈ 0.409 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 48 sein, damit $P_{0.85}^{n} (X \leq 39)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.85}^{n} (X \geq 40)$ ≥ 0.7 gilt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)