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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 24 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
48	0.8002
49	0.7597
50	0.716
51	0.6699
52	0.6219
53	0.5729
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.45}$ ≈ 53 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.45⋅53) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=53:
$P_{0.45}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.5729 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 31 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
230	0.2331
231	0.2249
232	0.2169
233	0.2091
234	0.2016
235	0.1941
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \geq 31)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.15}^{n} (X \geq 31)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.15}^{n} (X \geq 31)$ = 1 - $P_{0.15}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.15}^{n} (X \leq 30)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.15}^{n} (X \leq 30)$ oder $P_{0.15}^{n} (X \leq 30)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.15}$ ≈ 207 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.15⋅207) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=207:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.4664 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=235 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 235 sein, damit $P_{0.15}^{n} (X \leq 30)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.15}^{n} (X \geq 31)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,9.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, höchstens 39 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
43	0.6352
44	0.4528
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 39)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{0.9}$ ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.9⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 39)$ ≈ 0.6352 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

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Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)