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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 27 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
56	0.7324
57	0.6898
58	0.6454
59	0.5996
60	0.5532
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{27}{0.45}$ ≈ 60 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.45⋅60) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=60:
$P_{0.45}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.5532 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 39 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
85	0.1928
86	0.1659
87	0.1418
88	0.1204
89	0.1016
90	0.0851
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.5}^{n} (X \geq 39)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.5}^{n} (X \geq 39)$ = 1 - $P_{0.5}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.5}^{n} (X \leq 38)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.5}^{n} (X \leq 38)$ oder $P_{0.5}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{0.5}$ ≈ 78 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.5⋅78) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=78:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.455 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=90 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 90 sein, damit $P_{0.5}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.5}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,8.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, mindestens 27 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
34	0.3674
35	0.255
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \geq 27)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.8}^{n} (X \geq 27)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.8}^{n} (X \geq 27)$ = 1 - $P_{0.8}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.8}^{n} (X \leq 26)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.8}^{n} (X \leq 26)$ oder $P_{0.8}^{n} (X \leq 26)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{27}{0.8}$ ≈ 34 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.8⋅34) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=34:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.3674 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 35 sein, damit $P_{0.8}^{n} (X \leq 26)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.8}^{n} (X \geq 27)$ ≥ 0.7 gilt.

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