Mathebattle EduRandomtasks

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 20 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
25	0.9095
26	0.8374
27	0.7437
28	0.6352
29	0.5213
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{20}{0.7}$ ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.7⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.5213 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, mindestens 21 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
30	0.4112
31	0.3121
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \geq 21)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.7}^{n} (X \geq 21)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.7}^{n} (X \geq 21)$ = 1 - $P_{0.7}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.7}^{n} (X \leq 20)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.7}^{n} (X \leq 20)$ oder $P_{0.7}^{n} (X \leq 20)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{0.7}$ ≈ 30 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.7⋅30) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=30:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.4112 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 31 sein, damit $P_{0.7}^{n} (X \leq 20)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.7}^{n} (X \geq 21)$ ≥ 0.6 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 34 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
212	0.7039
213	0.6936
214	0.6833
215	0.6728
216	0.6623
217	0.6516
218	0.6409
219	0.6301
220	0.6192
221	0.6083
222	0.5973
223	0.5862
224	0.5752
225	0.5641
226	0.553
227	0.5419
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.15}$ ≈ 227 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.15⋅227) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=227:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.5419 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=212 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)