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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 40 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
151	0.7013
152	0.6845
153	0.6674
154	0.65
155	0.6324
156	0.6146
157	0.5967
158	0.5787
159	0.5605
160	0.5424
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \leq 40)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{40}{0.25}$ ≈ 160 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.25⋅160) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=160:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 40)$ ≈ 0.5424 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=151 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 25 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
51	0.3899
52	0.3389
53	0.2916
54	0.2483
55	0.2094
56	0.1748
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \geq 25)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.5}^{n} (X \geq 25)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.5}^{n} (X \geq 25)$ = 1 - $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ oder $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.5}$ ≈ 50 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.5⋅50) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=50:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.4439 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 56 sein, damit $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.5}^{n} (X \geq 25)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, mindestens 34 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
62	0.4376
63	0.3841
64	0.3336
65	0.2866
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.55}^{n} (X \geq 34)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.55}^{n} (X \geq 34)$ = 1 - $P_{0.55}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.55}^{n} (X \leq 33)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.55}^{n} (X \leq 33)$ oder $P_{0.55}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.55}$ ≈ 62 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.55⋅62) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=62:
$P_{0.55}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.4376 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=65 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 65 sein, damit $P_{0.55}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.55}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.7 gilt.

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