Mathebattle EduRandomtasks

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.
Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 29 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
38	0.8482
39	0.7759
40	0.6913
41	0.599
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.7}$ ≈ 41 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.7⋅41) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=41:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.599 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=38 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.
Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 24 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
105	0.2717
106	0.2539
107	0.2369
108	0.2206
109	0.2051
110	0.1903
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \geq 24)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.25}^{n} (X \geq 24)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{n} (X \geq 24)$ = 1 - $P_{0.25}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.25}^{n} (X \leq 23)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.25}^{n} (X \leq 23)$ oder $P_{0.25}^{n} (X \leq 23)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.25}$ ≈ 96 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.25⋅96) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=96:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.4609 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=110 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 110 sein, damit $P_{0.25}^{n} (X \leq 23)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.25}^{n} (X \geq 24)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.
Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 37 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
272	0.2355
273	0.2279
274	0.2205
275	0.2132
276	0.2061
277	0.1992
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \geq 37)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.15}^{n} (X \geq 37)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.15}^{n} (X \geq 37)$ = 1 - $P_{0.15}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.15}^{n} (X \leq 36)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.15}^{n} (X \leq 36)$ oder $P_{0.15}^{n} (X \leq 36)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{37}{0.15}$ ≈ 247 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.15⋅247) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=247:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.4692 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=277 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 277 sein, damit $P_{0.15}^{n} (X \leq 36)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.15}^{n} (X \geq 37)$ ≥ 0.8 gilt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)