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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 40 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
95	0.7014
96	0.6711
97	0.6399
98	0.6081
99	0.5758
100	0.5433
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{n} (X \leq 40)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{40}{0.4}$ ≈ 100 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.4⋅100) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=100:
$P_{0.4}^{n} (X \leq 40)$ ≈ 0.5433 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=95 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 27 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
76	0.181
77	0.1586
78	0.1383
79	0.1201
80	0.1037
81	0.0892
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{n} (X \geq 27)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.4}^{n} (X \geq 27)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.4}^{n} (X \geq 27)$ = 1 - $P_{0.4}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.4}^{n} (X \leq 26)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.4}^{n} (X \leq 26)$ oder $P_{0.4}^{n} (X \leq 26)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{27}{0.4}$ ≈ 68 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.4⋅68) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=68:
$P_{0.4}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.4345 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=81 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 81 sein, damit $P_{0.4}^{n} (X \leq 26)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.4}^{n} (X \geq 27)$ ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 33 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
68	0.3582
69	0.3152
70	0.2752
71	0.2383
72	0.2048
73	0.1746
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \geq 33)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.5}^{n} (X \geq 33)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.5}^{n} (X \geq 33)$ = 1 - $P_{0.5}^{n} (X \leq 32)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.5}^{n} (X \leq 32)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.5}^{n} (X \leq 32)$ oder $P_{0.5}^{n} (X \leq 32)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.5}$ ≈ 66 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.5⋅66) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=66:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 32)$ ≈ 0.4511 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=73 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 73 sein, damit $P_{0.5}^{n} (X \leq 32)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.5}^{n} (X \geq 33)$ ≥ 0.8 gilt.

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