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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 24 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
65	0.91
66	0.895
67	0.8785
68	0.8605
69	0.8411
70	0.8201
71	0.7979
72	0.7743
73	0.7496
74	0.7238
75	0.6971
76	0.6696
77	0.6415
78	0.6129
79	0.5839
80	0.5549
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.3}$ ≈ 80 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.3⋅80) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=80:
$P_{0.3}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.5549 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=65 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, mindestens 26 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
52	0.4449
53	0.3919
54	0.3417
55	0.295
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \geq 26)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.5}^{n} (X \geq 26)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.5}^{n} (X \geq 26)$ = 1 - $P_{0.5}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.5}^{n} (X \leq 25)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.5}^{n} (X \leq 25)$ oder $P_{0.5}^{n} (X \leq 25)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.5}$ ≈ 52 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.5⋅52) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=52:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.4449 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=55 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 55 sein, damit $P_{0.5}^{n} (X \leq 25)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.5}^{n} (X \geq 26)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 29 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
32	0.8782
33	0.7505
34	0.5924
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.85}$ ≈ 34 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.85⋅34) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=34:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.5924 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)