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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, höchstens 21 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
37	0.646
38	0.5753
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{0.55}$ ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.55⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
$P_{0.55}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.5753 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,9.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, mindestens 23 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
25	0.4629
26	0.2591
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \geq 23)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.9}^{n} (X \geq 23)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.9}^{n} (X \geq 23)$ = 1 - $P_{0.9}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.9}^{n} (X \leq 22)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.9}^{n} (X \leq 22)$ oder $P_{0.9}^{n} (X \leq 22)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.9}$ ≈ 26 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.9⋅26) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=26:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.2591 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=26 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 26 sein, damit $P_{0.9}^{n} (X \leq 22)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.9}^{n} (X \geq 23)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,2.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, mindestens 33 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
165	0.469
166	0.4536
167	0.4384
168	0.4233
169	0.4084
170	0.3937
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{n} (X \geq 33)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.2}^{n} (X \geq 33)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.2}^{n} (X \geq 33)$ = 1 - $P_{0.2}^{n} (X \leq 32)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.2}^{n} (X \leq 32)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.2}^{n} (X \leq 32)$ oder $P_{0.2}^{n} (X \leq 32)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 20% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.2}$ ≈ 165 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.2⋅165) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=165:
$P_{0.2}^{n} (X \leq 32)$ ≈ 0.469 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=170 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 170 sein, damit $P_{0.2}^{n} (X \leq 32)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.2}^{n} (X \geq 33)$ ≥ 0.6 gilt.

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