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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 22 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
25	0.7463
26	0.5615
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{22}{0.85}$ ≈ 26 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.85⋅26) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=26:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.5615 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, mindestens 30 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
59	0.5
60	0.4487
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \geq 30)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.5}^{n} (X \geq 30)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.5}^{n} (X \geq 30)$ = 1 - $P_{0.5}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.5}^{n} (X \leq 29)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.5}^{n} (X \leq 29)$ oder $P_{0.5}^{n} (X \leq 29)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{0.5}$ ≈ 60 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.5⋅60) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=60:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.4487 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=60 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 60 sein, damit $P_{0.5}^{n} (X \leq 29)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.5}^{n} (X \geq 30)$ ≥ 0.5 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 34 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
45	0.4543
46	0.3575
47	0.2718
48	0.1999
49	0.1424
50	0.0983
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.75}^{n} (X \geq 34)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.75}^{n} (X \geq 34)$ = 1 - $P_{0.75}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.75}^{n} (X \leq 33)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.75}^{n} (X \leq 33)$ oder $P_{0.75}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.75}$ ≈ 45 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.75⋅45) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=45:
$P_{0.75}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.4543 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=50 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 50 sein, damit $P_{0.75}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.75}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.9 gilt.

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