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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,8.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 33 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 39 | 0.82 |
| 40 | 0.7141 |
| 41 | 0.5931 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 41 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.8⋅41) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=41:
≈ 0.5931
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.
Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, mindestens 31 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 122 | 0.507 |
| 123 | 0.4862 |
| 124 | 0.4656 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.5 |+ - 0.5
0.5 ≥ oder ≤ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 124 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.25⋅124) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=124:
≈ 0.4656
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=123 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.
n muss also mindestens 123 sein, damit ≤ 0.5 oder eben ≥ 0.5 gilt.
Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 32 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 38 | 0.3412 |
| 39 | 0.2223 |
| 40 | 0.1354 |
| 41 | 0.0774 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.9 |+ - 0.9
0.1 ≥ oder ≤ 0.1
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.85⋅38) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
≈ 0.3412
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.
n muss also mindestens 41 sein, damit ≤ 0.1 oder eben ≥ 0.9 gilt.
