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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, höchstens 31 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
67	0.6311
68	0.5882
69	0.5449
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{n} (X \leq 31)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.45}$ ≈ 69 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.45⋅69) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=69:
$P_{0.45}^{n} (X \leq 31)$ ≈ 0.5449 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=67 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, mindestens 29 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
45	0.4017
46	0.3282
47	0.2625
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{n} (X \geq 29)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.65}^{n} (X \geq 29)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.65}^{n} (X \geq 29)$ = 1 - $P_{0.65}^{n} (X \leq 28)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.65}^{n} (X \leq 28)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.65}^{n} (X \leq 28)$ oder $P_{0.65}^{n} (X \leq 28)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.65}$ ≈ 45 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.65⋅45) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=45:
$P_{0.65}^{n} (X \leq 28)$ ≈ 0.4017 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=47 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 47 sein, damit $P_{0.65}^{n} (X \leq 28)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.65}^{n} (X \geq 29)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 25 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
54	0.2483
55	0.2094
56	0.1748
57	0.1446
58	0.1185
59	0.0963
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \geq 25)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.5}^{n} (X \geq 25)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.5}^{n} (X \geq 25)$ = 1 - $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ oder $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.5}$ ≈ 50 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.5⋅50) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=50:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.4439 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=59 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 59 sein, damit $P_{0.5}^{n} (X \leq 24)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.5}^{n} (X \geq 25)$ ≥ 0.9 gilt.

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