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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, höchstens 38 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
68	0.6041
69	0.5513
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.55}$ ≈ 69 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.55⋅69) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=69:
$P_{0.55}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5513 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=68 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 27 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
32	0.3456
33	0.2174
34	0.1267
35	0.0689
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \geq 27)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.85}^{n} (X \geq 27)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{n} (X \geq 27)$ = 1 - $P_{0.85}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.85}^{n} (X \leq 26)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.85}^{n} (X \leq 26)$ oder $P_{0.85}^{n} (X \leq 26)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{27}{0.85}$ ≈ 32 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.85⋅32) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=32:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.3456 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 35 sein, damit $P_{0.85}^{n} (X \leq 26)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.85}^{n} (X \geq 27)$ ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,9.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 39 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
43	0.4325
44	0.2744
45	0.1585
46	0.084
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.9}^{n} (X \geq 39)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.9}^{n} (X \geq 39)$ = 1 - $P_{0.9}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.9}^{n} (X \leq 38)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.9}^{n} (X \leq 38)$ oder $P_{0.9}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{0.9}$ ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.9⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.4325 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=46 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 46 sein, damit $P_{0.9}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.9}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.9 gilt.

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