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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,35.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 24 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
64	0.7119
65	0.679
66	0.6451
67	0.6105
68	0.5754
69	0.5402
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.35}$ ≈ 69 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.35⋅69) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=69:
$P_{0.35}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.5402 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=64 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, mindestens 38 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
45	0.3606
46	0.2457
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \geq 38)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.85}^{n} (X \geq 38)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{n} (X \geq 38)$ = 1 - $P_{0.85}^{n} (X \leq 37)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.85}^{n} (X \leq 37)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.85}^{n} (X \leq 37)$ oder $P_{0.85}^{n} (X \leq 37)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.85}$ ≈ 45 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.85⋅45) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=45:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 37)$ ≈ 0.3606 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=46 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 46 sein, damit $P_{0.85}^{n} (X \leq 37)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.85}^{n} (X \geq 38)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, mindestens 33 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
83	0.4406
84	0.406
85	0.3725
86	0.3403
87	0.3094
88	0.2802
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{n} (X \geq 33)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.4}^{n} (X \geq 33)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.4}^{n} (X \geq 33)$ = 1 - $P_{0.4}^{n} (X \leq 32)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.4}^{n} (X \leq 32)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.4}^{n} (X \leq 32)$ oder $P_{0.4}^{n} (X \leq 32)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.4}$ ≈ 83 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.4⋅83) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=83:
$P_{0.4}^{n} (X \leq 32)$ ≈ 0.4406 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=88 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 88 sein, damit $P_{0.4}^{n} (X \leq 32)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.4}^{n} (X \geq 33)$ ≥ 0.7 gilt.

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