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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 27 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 56 | 0.7324 |
| 57 | 0.6898 |
| 58 | 0.6454 |
| 59 | 0.5996 |
| 60 | 0.5532 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.7
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 60 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.45⋅60) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=60:
≈ 0.5532
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.
Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 39 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 85 | 0.1928 |
| 86 | 0.1659 |
| 87 | 0.1418 |
| 88 | 0.1204 |
| 89 | 0.1016 |
| 90 | 0.0851 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.9 |+ - 0.9
0.1 ≥ oder ≤ 0.1
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 78 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.5⋅78) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=78:
≈ 0.455
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=90 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.
n muss also mindestens 90 sein, damit ≤ 0.1 oder eben ≥ 0.9 gilt.
Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,8.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, mindestens 27 Treffer zu erzielen ?
| n | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 34 | 0.3674 |
| 35 | 0.255 |
| ... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.7
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.7 |+ - 0.7
0.3 ≥ oder ≤ 0.3
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 34 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.8⋅34) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=34:
≈ 0.3674
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.
n muss also mindestens 35 sein, damit ≤ 0.3 oder eben ≥ 0.7 gilt.
