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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 39 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
75	0.9087
76	0.8889
77	0.8666
78	0.8417
79	0.8143
80	0.7846
81	0.7526
82	0.7188
83	0.6833
84	0.6464
85	0.6086
86	0.5702
87	0.5315
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{n} (X \leq 39)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{0.45}$ ≈ 87 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.45⋅87) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=87:
$P_{0.45}^{n} (X \leq 39)$ ≈ 0.5315 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=75 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,35.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 34 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
110	0.1587
111	0.1432
112	0.1287
113	0.1154
114	0.1032
115	0.0921
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.35}^{n} (X \geq 34)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.35}^{n} (X \geq 34)$ = 1 - $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ oder $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.35}$ ≈ 97 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.35⋅97) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=97:
$P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.4661 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=115 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 115 sein, damit $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.35}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 35 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
61	0.9
62	0.8736
63	0.8432
64	0.8091
65	0.7715
66	0.7307
67	0.6873
68	0.6418
69	0.595
70	0.5475
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.5}$ ≈ 70 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.5⋅70) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=70:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.5475 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=61 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)