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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, höchstens 38 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
84	0.5624
85	0.5232
86	0.4842
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.45}$ ≈ 84 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.45⋅84) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=84:
$P_{0.45}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5624 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=85 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 28 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
131	0.1441
132	0.1335
133	0.1235
134	0.114
135	0.1051
136	0.0968
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \geq 28)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.25}^{n} (X \geq 28)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{n} (X \geq 28)$ = 1 - $P_{0.25}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.25}^{n} (X \leq 27)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.25}^{n} (X \leq 27)$ oder $P_{0.25}^{n} (X \leq 27)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{0.25}$ ≈ 112 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.25⋅112) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=112:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.4638 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=136 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 136 sein, damit $P_{0.25}^{n} (X \leq 27)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.25}^{n} (X \geq 28)$ ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, mindestens 39 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
133	0.4002
134	0.3787
135	0.3577
136	0.3373
137	0.3174
138	0.2982
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.3}^{n} (X \geq 39)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.3}^{n} (X \geq 39)$ = 1 - $P_{0.3}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.3}^{n} (X \leq 38)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.3}^{n} (X \leq 38)$ oder $P_{0.3}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{0.3}$ ≈ 130 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.3⋅130) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=130:
$P_{0.3}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.467 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=138 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 138 sein, damit $P_{0.3}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.3}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.7 gilt.

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