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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,6.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, höchstens 25 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
42	0.5334
43	0.4587
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.6}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.6}$ ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.6⋅42) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
$P_{0.6}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.5334 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,9.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, mindestens 40 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
43	0.6352
44	0.4528
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \geq 40)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.9}^{n} (X \geq 40)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.9}^{n} (X \geq 40)$ = 1 - $P_{0.9}^{n} (X \leq 39)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.9}^{n} (X \leq 39)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.9}^{n} (X \leq 39)$ oder $P_{0.9}^{n} (X \leq 39)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{40}{0.9}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.9⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 39)$ ≈ 0.4528 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=44 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 44 sein, damit $P_{0.9}^{n} (X \leq 39)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.9}^{n} (X \geq 40)$ ≥ 0.5 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,6.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 39 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
65	0.4464
66	0.3883
67	0.3335
68	0.2828
69	0.2369
70	0.196
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.6}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.6}^{n} (X \geq 39)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.6}^{n} (X \geq 39)$ = 1 - $P_{0.6}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.6}^{n} (X \leq 38)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.6}^{n} (X \leq 38)$ oder $P_{0.6}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{0.6}$ ≈ 65 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.6⋅65) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=65:
$P_{0.6}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.4464 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=70 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 70 sein, damit $P_{0.6}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.6}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.8 gilt.

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