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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,8.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 25 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
28	0.9388
29	0.8596
30	0.7448
31	0.6069
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.8}$ ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.8⋅31) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.6069 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=28 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 31 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
60	0.2576
61	0.2159
62	0.1789
63	0.1467
64	0.119
65	0.0956
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{n} (X \geq 31)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.55}^{n} (X \geq 31)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.55}^{n} (X \geq 31)$ = 1 - $P_{0.55}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.55}^{n} (X \leq 30)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.55}^{n} (X \leq 30)$ oder $P_{0.55}^{n} (X \leq 30)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.55}$ ≈ 56 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.55⋅56) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=56:
$P_{0.55}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.4662 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=65 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 65 sein, damit $P_{0.55}^{n} (X \leq 30)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.55}^{n} (X \geq 31)$ ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 31 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
36	0.4594
37	0.3155
38	0.2014
39	0.1201
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \geq 31)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.85}^{n} (X \geq 31)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{n} (X \geq 31)$ = 1 - $P_{0.85}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.85}^{n} (X \leq 30)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.85}^{n} (X \leq 30)$ oder $P_{0.85}^{n} (X \leq 30)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.85}$ ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.85⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.4594 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 39 sein, damit $P_{0.85}^{n} (X \leq 30)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.85}^{n} (X \geq 31)$ ≥ 0.8 gilt.

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