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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 38 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
211	0.9043
212	0.899
213	0.8936
214	0.888
215	0.8822
216	0.8762
217	0.87
218	0.8636
219	0.857
220	0.8503
221	0.8433
222	0.8362
223	0.8289
224	0.8214
225	0.8138
226	0.8059
227	0.7979
228	0.7898
229	0.7814
230	0.7729
231	0.7643
232	0.7555
233	0.7465
234	0.7374
235	0.7282
236	0.7189
237	0.7094
238	0.6998
239	0.6901
240	0.6803
241	0.6704
242	0.6604
243	0.6504
244	0.6402
245	0.63
246	0.6197
247	0.6094
248	0.599
249	0.5886
250	0.5781
251	0.5676
252	0.5571
253	0.5466
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.15}$ ≈ 253 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.15⋅253) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=253:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5466 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=211 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, mindestens 36 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
55	0.4662
56	0.3955
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{n} (X \geq 36)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.65}^{n} (X \geq 36)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.65}^{n} (X \geq 36)$ = 1 - $P_{0.65}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.65}^{n} (X \leq 35)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.65}^{n} (X \leq 35)$ oder $P_{0.65}^{n} (X \leq 35)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.65}$ ≈ 55 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.65⋅55) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=55:
$P_{0.65}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.4662 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=56 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 56 sein, damit $P_{0.65}^{n} (X \leq 35)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.65}^{n} (X \geq 36)$ ≥ 0.6 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 26 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
100	0.1631
101	0.1483
102	0.1344
103	0.1216
104	0.1098
105	0.0988
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{n} (X \geq 26)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.3}^{n} (X \geq 26)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.3}^{n} (X \geq 26)$ = 1 - $P_{0.3}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.3}^{n} (X \leq 25)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.3}^{n} (X \leq 25)$ oder $P_{0.3}^{n} (X \leq 25)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.3}$ ≈ 87 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.3⋅87) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=87:
$P_{0.3}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.4503 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=105 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 105 sein, damit $P_{0.3}^{n} (X \leq 25)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.3}^{n} (X \geq 26)$ ≥ 0.9 gilt.

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