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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 33 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
118	0.8038
119	0.7883
120	0.7721
121	0.7554
122	0.7381
123	0.7204
124	0.7023
125	0.6837
126	0.6648
127	0.6455
128	0.6261
129	0.6064
130	0.5865
131	0.5666
132	0.5466
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.25}$ ≈ 132 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.25⋅132) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=132:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.5466 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=118 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 35 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
41	0.4195
42	0.2894
43	0.187
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \geq 35)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.85}^{n} (X \geq 35)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{n} (X \geq 35)$ = 1 - $P_{0.85}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.85}^{n} (X \leq 34)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.85}^{n} (X \leq 34)$ oder $P_{0.85}^{n} (X \leq 34)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.85}$ ≈ 41 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.85⋅41) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=41:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.4195 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 43 sein, damit $P_{0.85}^{n} (X \leq 34)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.85}^{n} (X \geq 35)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, mindestens 21 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
140	0.4638
141	0.4498
142	0.436
143	0.4223
144	0.4087
145	0.3954
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \geq 21)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.15}^{n} (X \geq 21)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.15}^{n} (X \geq 21)$ = 1 - $P_{0.15}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.15}^{n} (X \leq 20)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.15}^{n} (X \leq 20)$ oder $P_{0.15}^{n} (X \leq 20)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{0.15}$ ≈ 140 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.15⋅140) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=140:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.4638 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=145 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 145 sein, damit $P_{0.15}^{n} (X \leq 20)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.15}^{n} (X \geq 21)$ ≥ 0.6 gilt.

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