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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 38 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
81	0.9159
82	0.8999
83	0.882
84	0.8622
85	0.8405
86	0.8169
87	0.7916
88	0.7646
89	0.7362
90	0.7063
91	0.6754
92	0.6434
93	0.6108
94	0.5777
95	0.5444
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.4}$ ≈ 95 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.4⋅95) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=95:
$P_{0.4}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5444 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=81 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, mindestens 32 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
42	0.488
43	0.3855
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{n} (X \geq 32)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.75}^{n} (X \geq 32)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.75}^{n} (X \geq 32)$ = 1 - $P_{0.75}^{n} (X \leq 31)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.75}^{n} (X \leq 31)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.75}^{n} (X \leq 31)$ oder $P_{0.75}^{n} (X \leq 31)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{32}{0.75}$ ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.75⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
$P_{0.75}^{n} (X \leq 31)$ ≈ 0.3855 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 43 sein, damit $P_{0.75}^{n} (X \leq 31)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.75}^{n} (X \geq 32)$ ≥ 0.6 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 24 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
47	0.2448
48	0.1998
49	0.1609
50	0.1279
51	0.1004
52	0.0779
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{n} (X \geq 24)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.55}^{n} (X \geq 24)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.55}^{n} (X \geq 24)$ = 1 - $P_{0.55}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.55}^{n} (X \leq 23)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.55}^{n} (X \leq 23)$ oder $P_{0.55}^{n} (X \leq 23)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{24}{0.55}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.55⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.55}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.4143 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=52 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 52 sein, damit $P_{0.55}^{n} (X \leq 23)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.55}^{n} (X \geq 24)$ ≥ 0.9 gilt.

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