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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 33 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
700.9094
710.8911
720.8705
730.8478
740.8229
750.7959
760.7671
770.7364
780.7043
790.6708
800.6364
810.6012
820.5655
830.5297
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: P0.4n (X33) ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 33 0.4 ≈ 83 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.4⋅83) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=83:
P0.4n (X33) ≈ 0.5297 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=70 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 20 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
290.364
300.2696
310.1924
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: P0.7n (X20) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.7n (X20) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.7n (X20) = 1 - P0.7n (X19) ≥ 0.8 |+ P0.7n (X19) - 0.8

0.2 ≥ P0.7n (X19) oder P0.7n (X19) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 20 0.7 ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.7⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
P0.7n (X19) ≈ 0.364 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 31 sein, damit P0.7n (X19) ≤ 0.2 oder eben P0.7n (X20) ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 27 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
550.3939
560.3444
570.2983
580.2559
590.2175
600.1831
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: P0.5n (X27) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.5n (X27) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.5n (X27) = 1 - P0.5n (X26) ≥ 0.8 |+ P0.5n (X26) - 0.8

0.2 ≥ P0.5n (X26) oder P0.5n (X26) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 27 0.5 ≈ 54 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.5⋅54) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=54:
P0.5n (X26) ≈ 0.446 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=60 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 60 sein, damit P0.5n (X26) ≤ 0.2 oder eben P0.5n (X27) ≥ 0.8 gilt.