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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, höchstens 28 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
93	0.5598
94	0.5329
95	0.506
96	0.4793
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{n} (X \leq 28)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{0.3}$ ≈ 93 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.3⋅93) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=93:
$P_{0.3}^{n} (X \leq 28)$ ≈ 0.5598 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=95 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,9.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 27 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
30	0.3526
31	0.1932
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \geq 27)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.9}^{n} (X \geq 27)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.9}^{n} (X \geq 27)$ = 1 - $P_{0.9}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.9}^{n} (X \leq 26)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.9}^{n} (X \leq 26)$ oder $P_{0.9}^{n} (X \leq 26)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{27}{0.9}$ ≈ 30 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.9⋅30) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=30:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.3526 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 31 sein, damit $P_{0.9}^{n} (X \leq 26)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.9}^{n} (X \geq 27)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, mindestens 33 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
132	0.4666
133	0.4468
134	0.4273
135	0.408
136	0.3891
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \geq 33)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.25}^{n} (X \geq 33)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{n} (X \geq 33)$ = 1 - $P_{0.25}^{n} (X \leq 32)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.25}^{n} (X \leq 32)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.25}^{n} (X \leq 32)$ oder $P_{0.25}^{n} (X \leq 32)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.25}$ ≈ 132 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.25⋅132) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=132:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 32)$ ≈ 0.4666 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=136 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 136 sein, damit $P_{0.25}^{n} (X \leq 32)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.25}^{n} (X \geq 33)$ ≥ 0.6 gilt.

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