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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,9.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, höchstens 33 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
36	0.7121
37	0.5136
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.9}$ ≈ 37 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.9⋅37) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=37:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.5136 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 34 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
158	0.1343
159	0.125
160	0.1163
161	0.108
162	0.1001
163	0.0928
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.25}^{n} (X \geq 34)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{n} (X \geq 34)$ = 1 - $P_{0.25}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.25}^{n} (X \leq 33)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.25}^{n} (X \leq 33)$ oder $P_{0.25}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.25}$ ≈ 136 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.25⋅136) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=136:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.4671 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=163 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 163 sein, damit $P_{0.25}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.25}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 32 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
38	0.3412
39	0.2223
40	0.1354
41	0.0774
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \geq 32)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.85}^{n} (X \geq 32)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.85}^{n} (X \geq 32)$ = 1 - $P_{0.85}^{n} (X \leq 31)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.85}^{n} (X \leq 31)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.85}^{n} (X \leq 31)$ oder $P_{0.85}^{n} (X \leq 31)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{32}{0.85}$ ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.85⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 31)$ ≈ 0.3412 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 41 sein, damit $P_{0.85}^{n} (X \leq 31)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.85}^{n} (X \geq 32)$ ≥ 0.9 gilt.

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