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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7.
Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 29 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
380.8482
390.7759
400.6913
410.599
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: P0.7n (X29) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 29 0.7 ≈ 41 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.7⋅41) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=41:
P0.7n (X29) ≈ 0.599 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=38 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.
Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 24 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
1050.2717
1060.2539
1070.2369
1080.2206
1090.2051
1100.1903
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: P0.25n (X24) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.25n (X24) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.25n (X24) = 1 - P0.25n (X23) ≥ 0.8 |+ P0.25n (X23) - 0.8

0.2 ≥ P0.25n (X23) oder P0.25n (X23) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 24 0.25 ≈ 96 Versuchen auch ungefähr 24 (≈0.25⋅96) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=96:
P0.25n (X23) ≈ 0.4609 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=110 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 110 sein, damit P0.25n (X23) ≤ 0.2 oder eben P0.25n (X24) ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.
Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 37 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
2720.2355
2730.2279
2740.2205
2750.2132
2760.2061
2770.1992
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: P0.15n (X37) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.15n (X37) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.15n (X37) = 1 - P0.15n (X36) ≥ 0.8 |+ P0.15n (X36) - 0.8

0.2 ≥ P0.15n (X36) oder P0.15n (X36) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 37 0.15 ≈ 247 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.15⋅247) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=247:
P0.15n (X36) ≈ 0.4692 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=277 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 277 sein, damit P0.15n (X36) ≤ 0.2 oder eben P0.15n (X37) ≥ 0.8 gilt.