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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 38 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
69	0.8322
70	0.7985
71	0.7617
72	0.722
73	0.68
74	0.6362
75	0.5912
76	0.5456
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.5}$ ≈ 76 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.5⋅76) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=76:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5456 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=69 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 38 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
298	0.1198
299	0.1152
300	0.1107
301	0.1063
302	0.1021
303	0.0981
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \geq 38)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.15}^{n} (X \geq 38)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.15}^{n} (X \geq 38)$ = 1 - $P_{0.15}^{n} (X \leq 37)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.15}^{n} (X \leq 37)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.15}^{n} (X \leq 37)$ oder $P_{0.15}^{n} (X \leq 37)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.15}$ ≈ 253 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.15⋅253) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=253:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 37)$ ≈ 0.4766 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=303 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 303 sein, damit $P_{0.15}^{n} (X \leq 37)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.15}^{n} (X \geq 38)$ ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,25.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 31 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
144	0.1444
145	0.1342
146	0.1245
147	0.1154
148	0.1068
149	0.0988
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{n} (X \geq 31)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.25}^{n} (X \geq 31)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.25}^{n} (X \geq 31)$ = 1 - $P_{0.25}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.25}^{n} (X \leq 30)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.25}^{n} (X \leq 30)$ oder $P_{0.25}^{n} (X \leq 30)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.25}$ ≈ 124 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.25⋅124) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=124:
$P_{0.25}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.4656 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=149 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 149 sein, damit $P_{0.25}^{n} (X \leq 30)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.25}^{n} (X \geq 31)$ ≥ 0.9 gilt.

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