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Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.

  • Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen
  • auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen
  • es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein
  • bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen
  • um Kunden zu locken soll bei einem Feld 26€ ausgezahlt werden
Ordne den 5 Optionen so Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge zu, dass diese Bedingungen erfüllt sind.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 26
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 24
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 26
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 24
P(X) = P(Y) 1 2 1 24
Y ⋅ P(Y) -1 1

Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 2 26
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 0 24
P(X) = P(Y) 1 2 5 24 1 24
Y ⋅ P(Y) -1 0 1

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von 1 2 + 5 24 + 1 24 = 3 4
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- 3 4 = 1 4 .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 2 26
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 0 24
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 5 24 1 8 1 24
Y ⋅ P(Y) -1 0 1

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich 1) setzt.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 1 2 3 26
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 -1 0 1 24
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 5 24 1 8 1 24
Y ⋅ P(Y) -1 - 1 8 0 1 8 1

Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern - 1 10 sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit 1 8 multipliziert gerade um - 1 10 wächst.
Also x ⋅ 1 8 = - 1 10 => x= - 1 10 : 1 8 = - 4 5 = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist also 0.2

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 0.2 2 3 26
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 -1.8 0 1 24
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 5 24 1 8 1 24
Y ⋅ P(Y) -1 - 9 40 0 1 8 1

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -2⋅ 1 2 + -1.8⋅ 1 8 + 0⋅ 5 24 + 1⋅ 1 8 + 24⋅ 1 24

= -1 - 9 40 + 0+ 1 8 + 1
= - 40 40 - 9 40 + 0 40 + 5 40 + 40 40
= - 4 40
= - 1 10

-0.1

Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 9 blauen, 6 roten, 9 grünen und 6 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 10€. Bei rot erhält er 25€ und bei grün erhält er 20€. Welchen Betrag muss er bei weiß erhalten damit das Spiel fair ist, wenn der Einsatz 17€ beträgt ?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis blau rot grün weiß
Zufallsgröße xi 10 25 20 x
Zufallsgröße yi (Gewinn) -7 8 3 x-17
P(X=xi) 9 30 6 30 9 30 6 30
xi ⋅ P(X=xi) 3 5 6 6 30 ⋅ x
yi ⋅ P(Y=yi) - 21 10 8 5 9 10 6 30 ⋅(x-17)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 17

9 30 · 10 + 6 30 · 25 + 9 30 · 20 + 6 30 x = 17

3 +5 +6 + 6 30 x = 17

3 +5 +6 + 1 5 x = 17
1 5 x +14 = 17 |⋅ 5
5( 1 5 x +14 ) = 85
x +70 = 85 | -70
x = 15

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

9 30 · ( -7 ) + 6 30 · 8 + 9 30 · 3 + 6 30 ( x -17 ) = 0

- 21 10 + 8 5 + 9 10 + 1 5 · x + 1 5 · ( -17 ) = 0

- 21 10 + 8 5 + 9 10 + 1 5 x - 17 5 = 0
1 5 x -3 = 0 |⋅ 5
5( 1 5 x -3 ) = 0
x -15 = 0 | +15
x = 15

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 15