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Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Eine Klasse möchte beim Schulfest ein Glücksrad mit Spielgeld anbieten. Dabei soll das Glücksrad in Sektoren aufgeteilt werden, in denen der Auszahlungsbetrag (z.B. 3€) drin steht. Nach langer Diskussion einigt man sich auf folgende Punkte:

Das Spiel mit dem Glücksrad muss fair sein
Der Einsatz soll 9€ betragen
Der minimale Auszahlungsbetrag soll 2€ sein
Der maximale Auszahlungsbetrag soll soll 21€ sein
Es sollen genau 4 Sektoren mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen auf dem Glücksrad sein

Finde eine Möglichkeit für solch ein Glücksrad und trage diese in die Tabelle ein.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	2			21
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-7			12
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	2			21
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-7			12
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{7}$			$\frac{1}{12}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$			$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{19}{84}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{19}{84}$ = $\frac{65}{84}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	2			21
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-7			12
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{7}$	$\frac{65}{168}$	$\frac{65}{168}$	$\frac{1}{12}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$			$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $\frac{7}{2}$ ) setzt.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	2	5.5	12.5	21
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-7	-3.5	3.5	12
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{7}$	$\frac{65}{168}$	$\frac{65}{168}$	$\frac{1}{12}$
Winkel	51.43°	139.29°	139.29°	30°
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{65}{48}$	$\frac{65}{48}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -7⋅ $\frac{1}{7}$ + -3.5⋅ $\frac{65}{168}$ + 3.5⋅ $\frac{65}{168}$ + 12⋅ $\frac{1}{12}$

= $- 1$ $- \frac{65}{48}$ $+$ $\frac{65}{48}$ $+$ $1$
= $- \frac{48}{48}$ $- \frac{65}{48}$ $+$ $\frac{65}{48}$ $+$ $\frac{48}{48}$
= $\frac{0}{48}$
= $0$

Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit 2€ beschriftet sind, 6 Kugeln, die mit 16€ und 5 Kugeln, die mit 28€ beschriftet sind. Bei dem Spiel bekommt man den Betrag, der auf der Kugel steht, ausbezahlt. Außerdem sind noch weitere 4 Kugeln in der Urne. Mit welchem Betrag müsste man diese beschriften, damit das Spiel bei einem Einsatz von 17,25€ fair wäre?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	2	16	28	?
Zufallsgröße x_i	2	16	28	x
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-15.25	-1.25	10.75	x-17.25
P(X=x_i)	$\frac{9}{24}$	$\frac{6}{24}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{4}{24}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{3}{4}$	$4$	$\frac{35}{6}$	$\frac{4}{24}$ ⋅ x
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- \frac{137.25}{24}$	$- \frac{7.5}{24}$	$\frac{53.75}{24}$	$\frac{4}{24}$ ⋅(x-17.25)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 17.25

$\frac{9}{24} \cdot 2 + \frac{6}{24} \cdot 16 + \frac{5}{24} \cdot 28 + \frac{4}{24} x$ = 17.25

\frac{3}{4} + 4 + \frac{35}{6} + \frac{4}{24} x

= 17.25

$\frac{3}{4} + 4 + \frac{35}{6} + \frac{1}{6} x$	=	$17,25$
$\frac{1}{6} x + \frac{127}{12}$	=	$17,25$	\|⋅ 12
$12 (\frac{1}{6} x + \frac{127}{12})$	=	$207$
$2 x + 127$	=	$207$	\| $- 127$
$2 x$	=	$80$	\|: $2$
$x$	=	$40$

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

\frac{9}{24} \cdot (- 15,25) + \frac{6}{24} \cdot (- 1,25) + \frac{5}{24} \cdot 10,75 + \frac{4}{24} (x - 17,25)

= 0

- \frac{45,75}{8} - \frac{1,25}{4} + \frac{53,75}{24} + \frac{1}{6} \cdot x + \frac{1}{6} \cdot (- 17,25)

= 0

$- 5,71875 - 0,3125 + 2,2396 + \frac{1}{6} x - 2,875$	=	0
$\frac{1}{6} x - 6,6667$	=	0	\|⋅ 6
$6 (\frac{1}{6} x - 6,6667)$	=	0
$x - 40$	=	0	\| $+ 40$
$x$	=	$40$

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 40€