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Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Eine Klasse möchte beim Schulfest ein Glücksrad mit Spielgeld anbieten. Dabei soll das Glücksrad in Sektoren aufgeteilt werden, in denen der Auszahlungsbetrag (z.B. 3€) drin steht. Nach langer Diskussion einigt man sich auf folgende Punkte:

Das Spiel mit dem Glücksrad muss fair sein
Der Einsatz soll 4€ betragen
Der minimale Auszahlungsbetrag soll 1€ sein
Der maximale Auszahlungsbetrag soll soll 14€ sein
Es sollen genau 4 Sektoren mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen auf dem Glücksrad sein

Finde eine Möglichkeit für solch ein Glücksrad und trage diese in die Tabelle ein.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1			14
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-3			10
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1			14
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-3			10
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{3}$			$\frac{1}{10}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$			$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{13}{30}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{13}{30}$ = $\frac{17}{30}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1			14
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-3			10
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{3}$	$\frac{17}{60}$	$\frac{17}{60}$	$\frac{1}{10}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$			$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $\frac{3}{2}$ ) setzt.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1	2.5	5.5	14
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-3	-1.5	1.5	10
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{3}$	$\frac{17}{60}$	$\frac{17}{60}$	$\frac{1}{10}$
Winkel	120°	102°	102°	36°
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{17}{40}$	$\frac{17}{40}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -3⋅ $\frac{1}{3}$ + -1.5⋅ $\frac{17}{60}$ + 1.5⋅ $\frac{17}{60}$ + 10⋅ $\frac{1}{10}$

= $- 1$ $- \frac{17}{40}$ $+$ $\frac{17}{40}$ $+$ $1$
= $- \frac{40}{40}$ $- \frac{17}{40}$ $+$ $\frac{17}{40}$ $+$ $\frac{40}{40}$
= $\frac{0}{40}$
= $0$

Erwartungswerte

Beispiel:

Ein Spieler darf einmal Würfeln. Bei einer 6 bekommt er 36€, bei einer 5 bekommt er 12€, bei einer 4 bekommt er 18€. Würfelt er eine 1, 2 oder 3 so bekommt er 4€. Wie hoch müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist (also so, dass der Einsatz gleich dem Erwartungswert der Auszahlung ist)?

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Auszahlungsbetrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	4	18	12	36
P(X=x_i)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$2$	$3$	$2$	$6$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 4⋅ $\frac{1}{2}$ + 18⋅ $\frac{1}{6}$ + 12⋅ $\frac{1}{6}$ + 36⋅ $\frac{1}{6}$

= $2$ $+$ $3$ $+$ $2$ $+$ $6$
= $13$

Wenn der Erwartungswert für die Auszahlung $13$ € ist, muss somit auch der Einsatz $13$ € betragen, damit das Spiel fair ist.