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Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Eine Klasse möchte beim Schulfest ein Glücksrad mit Spielgeld anbieten. Dabei soll das Glücksrad in Sektoren aufgeteilt werden, in denen der Auszahlungsbetrag (z.B. 3€) drin steht. Nach langer Diskussion einigt man sich auf folgende Punkte:

Das Spiel mit dem Glücksrad muss fair sein
Der Einsatz soll 7€ betragen
Der minimale Auszahlungsbetrag soll 3€ sein
Der maximale Auszahlungsbetrag soll soll 28€ sein
Es sollen genau 4 Sektoren mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen auf dem Glücksrad sein

Finde eine Möglichkeit für solch ein Glücksrad und trage diese in die Tabelle ein.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	3			28
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-4			21
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	3			28
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-4			21
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{4}$			$\frac{1}{21}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$			$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{21}$ = $\frac{25}{84}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{25}{84}$ = $\frac{59}{84}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	3			28
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-4			21
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{4}$	$\frac{59}{168}$	$\frac{59}{168}$	$\frac{1}{21}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$			$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $2$ ) setzt.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	3	5	9	28
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-4	-2	2	21
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{4}$	$\frac{59}{168}$	$\frac{59}{168}$	$\frac{1}{21}$
Winkel	90°	126.43°	126.43°	17.14°
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{59}{84}$	$\frac{59}{84}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -4⋅ $\frac{1}{4}$ + -2⋅ $\frac{59}{168}$ + 2⋅ $\frac{59}{168}$ + 21⋅ $\frac{1}{21}$

= $- 1$ $- \frac{59}{84}$ $+$ $\frac{59}{84}$ $+$ $1$
= $- \frac{84}{84}$ $- \frac{59}{84}$ $+$ $\frac{59}{84}$ $+$ $\frac{84}{84}$
= $\frac{0}{84}$
= $0$

Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 7 blauen, 5 roten, 9 grünen und 3 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 24€. Bei rot erhält er 48€ und bei grün erhält er 8€. Welchen Betrag muss er bei weiß erhalten damit das Spiel fair ist, wenn der Einsatz 32€ beträgt ?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	blau	rot	grün	weiß
Zufallsgröße x_i	24	48	8	x
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-8	16	-24	x-32
P(X=x_i)	$\frac{7}{24}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{9}{24}$	$\frac{3}{24}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$7$	$10$	$3$	$\frac{3}{24}$ ⋅ x
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- \frac{7}{3}$	$\frac{10}{3}$	$- 9$	$\frac{3}{24}$ ⋅(x-32)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 32

$\frac{7}{24} \cdot 24 + \frac{5}{24} \cdot 48 + \frac{9}{24} \cdot 8 + \frac{3}{24} x$ = 32

7 + 10 + 3 + \frac{3}{24} x

= 32

$7 + 10 + 3 + \frac{1}{8} x$	=	$32$
$\frac{1}{8} x + 20$	=	$32$	\|⋅ 8
$8 (\frac{1}{8} x + 20)$	=	$256$
$x + 160$	=	$256$	\| $- 160$
$x$	=	$96$

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

\frac{7}{24} \cdot (- 8) + \frac{5}{24} \cdot 16 + \frac{9}{24} \cdot (- 24) + \frac{3}{24} (x - 32)

= 0

- \frac{7}{3} + \frac{10}{3} - 9 + \frac{1}{8} \cdot x + \frac{1}{8} \cdot (- 32)

= 0

$- \frac{7}{3} + \frac{10}{3} - 9 + \frac{1}{8} \cdot x + \frac{1}{8} \cdot (- 32)$	=	0
$- \frac{7}{3} + \frac{10}{3} - 9 + \frac{1}{8} x - 4$	=	0
$\frac{1}{8} x - 12$	=	0	\|⋅ 8
$8 (\frac{1}{8} x - 12)$	=	0
$x - 96$	=	0	\| $+ 96$
$x$	=	$96$

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 96€