Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (396 - 40008) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(396 - 40008) mod 8 ≡ (396 mod 8 - 40008 mod 8) mod 8.
396 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396
= 400
40008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40008
= 40000
Somit gilt:
(396 - 40008) mod 8 ≡ (4 - 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 96) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 96) mod 7 ≡ (42 mod 7 ⋅ 96 mod 7) mod 7.
42 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 6 ⋅ 7 + 0 ist.
96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 96) mod 7 ≡ (0 ⋅ 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30732 mod 449.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 307 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3071=307
2: 3072=3071+1=3071⋅3071 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 408 mod 449
4: 3074=3072+2=3072⋅3072 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 334 mod 449
8: 3078=3074+4=3074⋅3074 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 204 mod 449
16: 30716=3078+8=3078⋅3078 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 308 mod 449
32: 30732=30716+16=30716⋅30716 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 125 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 63297 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 6321=632
2: 6322=6321+1=6321⋅6321 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 552 mod 683
4: 6324=6322+2=6322⋅6322 ≡ 552⋅552=304704 ≡ 86 mod 683
8: 6328=6324+4=6324⋅6324 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 566 mod 683
16: 63216=6328+8=6328⋅6328 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 29 mod 683
32: 63232=63216+16=63216⋅63216 ≡ 29⋅29=841 ≡ 158 mod 683
64: 63264=63232+32=63232⋅63232 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 376 mod 683
63297
= 63264+32+1
= 63264⋅63232⋅6321
≡ 376 ⋅ 158 ⋅ 632 mod 683
≡ 59408 ⋅ 632 mod 683 ≡ 670 ⋅ 632 mod 683
≡ 423440 mod 683 ≡ 663 mod 683
Es gilt also: 63297 ≡ 663 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 83.
Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 83
| =>89 | = 1⋅83 + 6 |
| =>83 | = 13⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,83)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 83-13⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(83 -13⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅83 +13⋅ 6) = -1⋅83 +14⋅ 6 (=1) |
| 6= 89-1⋅83 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅83 +14⋅(89 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +14⋅89 -14⋅ 83) = 14⋅89 -15⋅ 83 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,83)=1 = 14⋅89 -15⋅83
oder wenn man 14⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -14⋅89 = -15⋅83
-15⋅83 = -14⋅89 + 1 |+89⋅83
-15⋅83 + 89⋅83 = -14⋅89 + 89⋅83 + 1
(-15 + 89) ⋅ 83 = (-14 + 83) ⋅ 89 + 1
74⋅83 = 69⋅89 + 1
Es gilt also: 74⋅83 = 69⋅89 +1
Somit 74⋅83 = 1 mod 89
74 ist also das Inverse von 83 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.