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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8002 - 396) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8002 - 396) mod 4 ≡ (8002 mod 4 - 396 mod 4) mod 4.

8002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002 = 8000+2 = 4 ⋅ 2000 +2.

396 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396 = 300+96 = 4 ⋅ 75 +96.

Somit gilt:

(8002 - 396) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 82) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 82) mod 8 ≡ (43 mod 8 ⋅ 82 mod 8) mod 8.

43 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 5 ⋅ 8 + 3 ist.

82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 82) mod 8 ≡ (3 ⋅ 2) mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 229⁶⁴ mod 643.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 229 -> x
2. mod(x²,643) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 229¹=229

2: 229²=229¹⁺¹=229¹⋅229¹ ≡ 229⋅229=52441 ≡ 358 mod 643

4: 229⁴=229²⁺²=229²⋅229² ≡ 358⋅358=128164 ≡ 207 mod 643

8: 229⁸=229⁴⁺⁴=229⁴⋅229⁴ ≡ 207⋅207=42849 ≡ 411 mod 643

16: 229¹⁶=229⁸⁺⁸=229⁸⋅229⁸ ≡ 411⋅411=168921 ≡ 455 mod 643

32: 229³²=229¹⁶⁺¹⁶=229¹⁶⋅229¹⁶ ≡ 455⋅455=207025 ≡ 622 mod 643

64: 229⁶⁴=229³²⁺³²=229³²⋅229³² ≡ 622⋅622=386884 ≡ 441 mod 643

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 255¹⁸⁹ mod 397.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

1: 255¹=255

2: 255²=255¹⁺¹=255¹⋅255¹ ≡ 255⋅255=65025 ≡ 314 mod 397

4: 255⁴=255²⁺²=255²⋅255² ≡ 314⋅314=98596 ≡ 140 mod 397

8: 255⁸=255⁴⁺⁴=255⁴⋅255⁴ ≡ 140⋅140=19600 ≡ 147 mod 397

16: 255¹⁶=255⁸⁺⁸=255⁸⋅255⁸ ≡ 147⋅147=21609 ≡ 171 mod 397

32: 255³²=255¹⁶⁺¹⁶=255¹⁶⋅255¹⁶ ≡ 171⋅171=29241 ≡ 260 mod 397

64: 255⁶⁴=255³²⁺³²=255³²⋅255³² ≡ 260⋅260=67600 ≡ 110 mod 397

128: 255¹²⁸=255⁶⁴⁺⁶⁴=255⁶⁴⋅255⁶⁴ ≡ 110⋅110=12100 ≡ 190 mod 397

255¹⁸⁹

= 255^{128+32+16+8+4+1}

= 255¹²⁸⋅255³²⋅255¹⁶⋅255⁸⋅255⁴⋅255¹

≡ 190 ⋅ 260 ⋅ 171 ⋅ 147 ⋅ 140 ⋅ 255 mod 397
≡ 49400 ⋅ 171 ⋅ 147 ⋅ 140 ⋅ 255 mod 397 ≡ 172 ⋅ 171 ⋅ 147 ⋅ 140 ⋅ 255 mod 397
≡ 29412 ⋅ 147 ⋅ 140 ⋅ 255 mod 397 ≡ 34 ⋅ 147 ⋅ 140 ⋅ 255 mod 397
≡ 4998 ⋅ 140 ⋅ 255 mod 397 ≡ 234 ⋅ 140 ⋅ 255 mod 397
≡ 32760 ⋅ 255 mod 397 ≡ 206 ⋅ 255 mod 397
≡ 52530 mod 397 ≡ 126 mod 397

Es gilt also: 255¹⁸⁹ ≡ 126 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 63

=>67	= 1⋅63 + 4
=>63	= 15⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 63-15⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(63 -15⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅63 +15⋅ 4) = -1⋅63 +16⋅ 4 (=1)
4= 67-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅63 +16⋅(67 -1⋅ 63) = -1⋅63 +16⋅67 -16⋅ 63) = 16⋅67 -17⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(67,63)=1 = 16⋅67 -17⋅63

oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅67 = -17⋅63

-17⋅63 = -16⋅67 + 1 |+67⋅63

-17⋅63 + 67⋅63 = -16⋅67 + 67⋅63 + 1

(-17 + 67) ⋅ 63 = (-16 + 63) ⋅ 67 + 1

50⋅63 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 50⋅63 = 47⋅67 +1

Somit 50⋅63 = 1 mod 67

50 ist also das Inverse von 63 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 63

Schlüsselpaar für RSA