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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12003 + 202) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12003 + 202) mod 4 ≡ (12003 mod 4 + 202 mod 4) mod 4.

12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 4 ⋅ 3000 +3.

202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202 = 200+2 = 4 ⋅ 50 +2.

Somit gilt:

(12003 + 202) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 50) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 50) mod 9 ≡ (75 mod 9 ⋅ 50 mod 9) mod 9.

75 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 8 ⋅ 9 + 3 ist.

50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 50) mod 9 ≡ (3 ⋅ 5) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36932 mod 617.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 369 -> x
2. mod(x²,617) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3691=369

2: 3692=3691+1=3691⋅3691 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 421 mod 617

4: 3694=3692+2=3692⋅3692 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 162 mod 617

8: 3698=3694+4=3694⋅3694 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 330 mod 617

16: 36916=3698+8=3698⋅3698 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 308 mod 617

32: 36932=36916+16=36916⋅36916 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 463 mod 617

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 323158 mod 613.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

1: 3231=323

2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 119 mod 613

4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 62 mod 613

8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 166 mod 613

16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 584 mod 613

32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 228 mod 613

64: 32364=32332+32=32332⋅32332 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 492 mod 613

128: 323128=32364+64=32364⋅32364 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 542 mod 613

323158

= 323128+16+8+4+2

= 323128⋅32316⋅3238⋅3234⋅3232

542 ⋅ 584 ⋅ 166 ⋅ 62 ⋅ 119 mod 613
316528 ⋅ 166 ⋅ 62 ⋅ 119 mod 613 ≡ 220 ⋅ 166 ⋅ 62 ⋅ 119 mod 613
36520 ⋅ 62 ⋅ 119 mod 613 ≡ 353 ⋅ 62 ⋅ 119 mod 613
21886 ⋅ 119 mod 613 ≡ 431 ⋅ 119 mod 613
51289 mod 613 ≡ 410 mod 613

Es gilt also: 323158 ≡ 410 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 32

=>59 = 1⋅32 + 27
=>32 = 1⋅27 + 5
=>27 = 5⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 27-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5)
= -2⋅27 +11⋅ 5 (=1)
5= 32-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅27 +11⋅(32 -1⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅32 -11⋅ 27)
= 11⋅32 -13⋅ 27 (=1)
27= 59-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅32 -13⋅(59 -1⋅ 32)
= 11⋅32 -13⋅59 +13⋅ 32)
= -13⋅59 +24⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(59,32)=1 = -13⋅59 +24⋅32

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +24⋅32

Es gilt also: 24⋅32 = 13⋅59 +1

Somit 24⋅32 = 1 mod 59

24 ist also das Inverse von 32 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.