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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (324 + 31993) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(324 + 31993) mod 8 ≡ (324 mod 8 + 31993 mod 8) mod 8.

324 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 324 = 320+4 = 8 ⋅ 40 +4.

31993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31993 = 31000+993 = 8 ⋅ 3875 +993.

Somit gilt:

(324 + 31993) mod 8 ≡ (4 + 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 62) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 62) mod 6 ≡ (38 mod 6 ⋅ 62 mod 6) mod 6.

38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.

62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 10 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 62) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33964 mod 389.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 339 -> x
2. mod(x²,389) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3391=339

2: 3392=3391+1=3391⋅3391 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 166 mod 389

4: 3394=3392+2=3392⋅3392 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 326 mod 389

8: 3398=3394+4=3394⋅3394 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 79 mod 389

16: 33916=3398+8=3398⋅3398 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 17 mod 389

32: 33932=33916+16=33916⋅33916 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 389

64: 33964=33932+32=33932⋅33932 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 275 mod 389

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 314102 mod 773.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:

102 = 64+32+4+2

1: 3141=314

2: 3142=3141+1=3141⋅3141 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 425 mod 773

4: 3144=3142+2=3142⋅3142 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 516 mod 773

8: 3148=3144+4=3144⋅3144 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 344 mod 773

16: 31416=3148+8=3148⋅3148 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 67 mod 773

32: 31432=31416+16=31416⋅31416 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 624 mod 773

64: 31464=31432+32=31432⋅31432 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 557 mod 773

314102

= 31464+32+4+2

= 31464⋅31432⋅3144⋅3142

≡ 557 ⋅ 624 ⋅ 516 ⋅ 425 mod 773
≡ 347568 ⋅ 516 ⋅ 425 mod 773 ≡ 491 ⋅ 516 ⋅ 425 mod 773
≡ 253356 ⋅ 425 mod 773 ≡ 585 ⋅ 425 mod 773
≡ 248625 mod 773 ≡ 492 mod 773

Es gilt also: 314102 ≡ 492 mod 773

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 35

=>89 = 2⋅35 + 19
=>35 = 1⋅19 + 16
=>19 = 1⋅16 + 3
=>16 = 5⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-5⋅3
3= 19-1⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16)
= -5⋅19 +6⋅ 16 (=1)
16= 35-1⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅19 +6⋅(35 -1⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅35 -6⋅ 19)
= 6⋅35 -11⋅ 19 (=1)
19= 89-2⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅35 -11⋅(89 -2⋅ 35)
= 6⋅35 -11⋅89 +22⋅ 35)
= -11⋅89 +28⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(89,35)=1 = -11⋅89 +28⋅35

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +28⋅35

Es gilt also: 28⋅35 = 11⋅89 +1

Somit 28⋅35 = 1 mod 89

28 ist also das Inverse von 35 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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