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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 + 300) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 + 300) mod 3 ≡ (12000 mod 3 + 300 mod 3) mod 3.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 3 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(12000 + 300) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 36) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 36) mod 8 ≡ (84 mod 8 ⋅ 36 mod 8) mod 8.

84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.

36 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 32 + 4 = 4 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 36) mod 8 ≡ (4 ⋅ 4) mod 8 ≡ 16 mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 537¹⁶ mod 587.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 537 -> x
2. mod(x²,587) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 537¹=537

2: 537²=537¹⁺¹=537¹⋅537¹ ≡ 537⋅537=288369 ≡ 152 mod 587

4: 537⁴=537²⁺²=537²⋅537² ≡ 152⋅152=23104 ≡ 211 mod 587

8: 537⁸=537⁴⁺⁴=537⁴⋅537⁴ ≡ 211⋅211=44521 ≡ 496 mod 587

16: 537¹⁶=537⁸⁺⁸=537⁸⋅537⁸ ≡ 496⋅496=246016 ≡ 63 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 386²⁴⁶ mod 491.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

1: 386¹=386

2: 386²=386¹⁺¹=386¹⋅386¹ ≡ 386⋅386=148996 ≡ 223 mod 491

4: 386⁴=386²⁺²=386²⋅386² ≡ 223⋅223=49729 ≡ 138 mod 491

8: 386⁸=386⁴⁺⁴=386⁴⋅386⁴ ≡ 138⋅138=19044 ≡ 386 mod 491

16: 386¹⁶=386⁸⁺⁸=386⁸⋅386⁸ ≡ 386⋅386=148996 ≡ 223 mod 491

32: 386³²=386¹⁶⁺¹⁶=386¹⁶⋅386¹⁶ ≡ 223⋅223=49729 ≡ 138 mod 491

64: 386⁶⁴=386³²⁺³²=386³²⋅386³² ≡ 138⋅138=19044 ≡ 386 mod 491

128: 386¹²⁸=386⁶⁴⁺⁶⁴=386⁶⁴⋅386⁶⁴ ≡ 386⋅386=148996 ≡ 223 mod 491

386²⁴⁶

= 386^{128+64+32+16+4+2}

= 386¹²⁸⋅386⁶⁴⋅386³²⋅386¹⁶⋅386⁴⋅386²

≡ 223 ⋅ 386 ⋅ 138 ⋅ 223 ⋅ 138 ⋅ 223 mod 491
≡ 86078 ⋅ 138 ⋅ 223 ⋅ 138 ⋅ 223 mod 491 ≡ 153 ⋅ 138 ⋅ 223 ⋅ 138 ⋅ 223 mod 491
≡ 21114 ⋅ 223 ⋅ 138 ⋅ 223 mod 491 ≡ 1 ⋅ 223 ⋅ 138 ⋅ 223 mod 491
≡ 223 ⋅ 138 ⋅ 223 mod 491
≡ 30774 ⋅ 223 mod 491 ≡ 332 ⋅ 223 mod 491
≡ 74036 mod 491 ≡ 386 mod 491

Es gilt also: 386²⁴⁶ ≡ 386 mod 491

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 23

=>61	= 2⋅23 + 15
=>23	= 1⋅15 + 8
=>15	= 1⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 23-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +2⋅(23 -1⋅ 15) = -1⋅15 +2⋅23 -2⋅ 15) = 2⋅23 -3⋅ 15 (=1)
15= 61-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅23 -3⋅(61 -2⋅ 23) = 2⋅23 -3⋅61 +6⋅ 23) = -3⋅61 +8⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(61,23)=1 = -3⋅61 +8⋅23

oder wenn man -3⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅61 = +8⋅23

Es gilt also: 8⋅23 = 3⋅61 +1

Somit 8⋅23 = 1 mod 61

8 ist also das Inverse von 23 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 23

Schlüsselpaar für RSA