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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (145 + 25004) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(145 + 25004) mod 5 ≡ (145 mod 5 + 25004 mod 5) mod 5.

145 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145 = 140+5 = 5 ⋅ 28 +5.

25004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25004 = 25000+4 = 5 ⋅ 5000 +4.

Somit gilt:

(145 + 25004) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 94) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 94) mod 8 ≡ (67 mod 8 ⋅ 94 mod 8) mod 8.

67 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 8 ⋅ 8 + 3 ist.

94 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 11 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 94) mod 8 ≡ (3 ⋅ 6) mod 8 ≡ 18 mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11664 mod 317.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 116 -> x
2. mod(x²,317) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1161=116

2: 1162=1161+1=1161⋅1161 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 142 mod 317

4: 1164=1162+2=1162⋅1162 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 193 mod 317

8: 1168=1164+4=1164⋅1164 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 160 mod 317

16: 11616=1168+8=1168⋅1168 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 240 mod 317

32: 11632=11616+16=11616⋅11616 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 223 mod 317

64: 11664=11632+32=11632⋅11632 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 277 mod 317

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 330134 mod 631.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:

134 = 128+4+2

1: 3301=330

2: 3302=3301+1=3301⋅3301 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 368 mod 631

4: 3304=3302+2=3302⋅3302 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 390 mod 631

8: 3308=3304+4=3304⋅3304 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 29 mod 631

16: 33016=3308+8=3308⋅3308 ≡ 29⋅29=841 ≡ 210 mod 631

32: 33032=33016+16=33016⋅33016 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 561 mod 631

64: 33064=33032+32=33032⋅33032 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 483 mod 631

128: 330128=33064+64=33064⋅33064 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 450 mod 631

330134

= 330128+4+2

= 330128⋅3304⋅3302

≡ 450 ⋅ 390 ⋅ 368 mod 631
≡ 175500 ⋅ 368 mod 631 ≡ 82 ⋅ 368 mod 631
≡ 30176 mod 631 ≡ 519 mod 631

Es gilt also: 330134 ≡ 519 mod 631

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 23

=>67 = 2⋅23 + 21
=>23 = 1⋅21 + 2
=>21 = 10⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21)
= -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -10⋅23 +11⋅(67 -2⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅67 -22⋅ 23)
= 11⋅67 -32⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(67,23)=1 = 11⋅67 -32⋅23

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -32⋅23

-32⋅23 = -11⋅67 + 1 |+67⋅23

-32⋅23 + 67⋅23 = -11⋅67 + 67⋅23 + 1

(-32 + 67) ⋅ 23 = (-11 + 23) ⋅ 67 + 1

35⋅23 = 12⋅67 + 1

Es gilt also: 35⋅23 = 12⋅67 +1

Somit 35⋅23 = 1 mod 67

35 ist also das Inverse von 23 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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