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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1201 + 6003) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1201 + 6003) mod 6 ≡ (1201 mod 6 + 6003 mod 6) mod 6.

1201 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 6 ⋅ 200 +1.

6003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003 = 6000+3 = 6 ⋅ 1000 +3.

Somit gilt:

(1201 + 6003) mod 6 ≡ (1 + 3) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 79) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 79) mod 5 ≡ (35 mod 5 ⋅ 79 mod 5) mod 5.

35 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 7 ⋅ 5 + 0 ist.

79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 79) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 160³² mod 317.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 160 -> x
2. mod(x²,317) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 160¹=160

2: 160²=160¹⁺¹=160¹⋅160¹ ≡ 160⋅160=25600 ≡ 240 mod 317

4: 160⁴=160²⁺²=160²⋅160² ≡ 240⋅240=57600 ≡ 223 mod 317

8: 160⁸=160⁴⁺⁴=160⁴⋅160⁴ ≡ 223⋅223=49729 ≡ 277 mod 317

16: 160¹⁶=160⁸⁺⁸=160⁸⋅160⁸ ≡ 277⋅277=76729 ≡ 15 mod 317

32: 160³²=160¹⁶⁺¹⁶=160¹⁶⋅160¹⁶ ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 317

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 594²²² mod 659.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

1: 594¹=594

2: 594²=594¹⁺¹=594¹⋅594¹ ≡ 594⋅594=352836 ≡ 271 mod 659

4: 594⁴=594²⁺²=594²⋅594² ≡ 271⋅271=73441 ≡ 292 mod 659

8: 594⁸=594⁴⁺⁴=594⁴⋅594⁴ ≡ 292⋅292=85264 ≡ 253 mod 659

16: 594¹⁶=594⁸⁺⁸=594⁸⋅594⁸ ≡ 253⋅253=64009 ≡ 86 mod 659

32: 594³²=594¹⁶⁺¹⁶=594¹⁶⋅594¹⁶ ≡ 86⋅86=7396 ≡ 147 mod 659

64: 594⁶⁴=594³²⁺³²=594³²⋅594³² ≡ 147⋅147=21609 ≡ 521 mod 659

128: 594¹²⁸=594⁶⁴⁺⁶⁴=594⁶⁴⋅594⁶⁴ ≡ 521⋅521=271441 ≡ 592 mod 659

594²²²

= 594^{128+64+16+8+4+2}

= 594¹²⁸⋅594⁶⁴⋅594¹⁶⋅594⁸⋅594⁴⋅594²

≡ 592 ⋅ 521 ⋅ 86 ⋅ 253 ⋅ 292 ⋅ 271 mod 659
≡ 308432 ⋅ 86 ⋅ 253 ⋅ 292 ⋅ 271 mod 659 ≡ 20 ⋅ 86 ⋅ 253 ⋅ 292 ⋅ 271 mod 659
≡ 1720 ⋅ 253 ⋅ 292 ⋅ 271 mod 659 ≡ 402 ⋅ 253 ⋅ 292 ⋅ 271 mod 659
≡ 101706 ⋅ 292 ⋅ 271 mod 659 ≡ 220 ⋅ 292 ⋅ 271 mod 659
≡ 64240 ⋅ 271 mod 659 ≡ 317 ⋅ 271 mod 659
≡ 85907 mod 659 ≡ 237 mod 659

Es gilt also: 594²²² ≡ 237 mod 659

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30

=>67	= 2⋅30 + 7
=>30	= 4⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30) = -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -29⋅30

-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30

-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1

(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1

38⋅30 = 17⋅67 + 1

Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1

Somit 38⋅30 = 1 mod 67

38 ist also das Inverse von 30 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30

Schlüsselpaar für RSA