Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17995 + 177) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17995 + 177) mod 6 ≡ (17995 mod 6 + 177 mod 6) mod 6.
17995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17995
= 18000
177 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177
= 180
Somit gilt:
(17995 + 177) mod 6 ≡ (1 + 3) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 57) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 57) mod 7 ≡ (25 mod 7 ⋅ 57 mod 7) mod 7.
25 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 21 + 4 = 3 ⋅ 7 + 4 ist.
57 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 8 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 57) mod 7 ≡ (4 ⋅ 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4828 mod 859.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 482 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4821=482
2: 4822=4821+1=4821⋅4821 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 394 mod 859
4: 4824=4822+2=4822⋅4822 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 616 mod 859
8: 4828=4824+4=4824⋅4824 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 637 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48169 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:
69 = 64+4+1
1: 4811=481
2: 4812=4811+1=4811⋅4811 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 878 mod 911
4: 4814=4812+2=4812⋅4812 ≡ 878⋅878=770884 ≡ 178 mod 911
8: 4818=4814+4=4814⋅4814 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 710 mod 911
16: 48116=4818+8=4818⋅4818 ≡ 710⋅710=504100 ≡ 317 mod 911
32: 48132=48116+16=48116⋅48116 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 279 mod 911
64: 48164=48132+32=48132⋅48132 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 406 mod 911
48169
= 48164+4+1
= 48164⋅4814⋅4811
≡ 406 ⋅ 178 ⋅ 481 mod 911
≡ 72268 ⋅ 481 mod 911 ≡ 299 ⋅ 481 mod 911
≡ 143819 mod 911 ≡ 792 mod 911
Es gilt also: 48169 ≡ 792 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 36
| =>67 | = 1⋅36 + 31 |
| =>36 | = 1⋅31 + 5 |
| =>31 | = 6⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-6⋅5 | |||
| 5= 36-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -6⋅(36 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -6⋅36 +6⋅ 31) = -6⋅36 +7⋅ 31 (=1) |
| 31= 67-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅36 +7⋅(67 -1⋅ 36)
= -6⋅36 +7⋅67 -7⋅ 36) = 7⋅67 -13⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,36)=1 = 7⋅67 -13⋅36
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -13⋅36
-13⋅36 = -7⋅67 + 1 |+67⋅36
-13⋅36 + 67⋅36 = -7⋅67 + 67⋅36 + 1
(-13 + 67) ⋅ 36 = (-7 + 36) ⋅ 67 + 1
54⋅36 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 54⋅36 = 29⋅67 +1
Somit 54⋅36 = 1 mod 67
54 ist also das Inverse von 36 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
