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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (403 + 40001) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(403 + 40001) mod 8 ≡ (403 mod 8 + 40001 mod 8) mod 8.

403 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403 = 400+3 = 8 ⋅ 50 +3.

40001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40001 = 40000+1 = 8 ⋅ 5000 +1.

Somit gilt:

(403 + 40001) mod 8 ≡ (3 + 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 73) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 73) mod 3 ≡ (92 mod 3 ⋅ 73 mod 3) mod 3.

92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 30 ⋅ 3 + 2 ist.

73 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 24 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 73) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2648 mod 433.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 264 -> x
2. mod(x²,433) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2641=264

2: 2642=2641+1=2641⋅2641 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 416 mod 433

4: 2644=2642+2=2642⋅2642 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 289 mod 433

8: 2648=2644+4=2644⋅2644 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 385 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 665162 mod 727.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:

162 = 128+32+2

1: 6651=665

2: 6652=6651+1=6651⋅6651 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 209 mod 727

4: 6654=6652+2=6652⋅6652 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 61 mod 727

8: 6658=6654+4=6654⋅6654 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 86 mod 727

16: 66516=6658+8=6658⋅6658 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 126 mod 727

32: 66532=66516+16=66516⋅66516 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 609 mod 727

64: 66564=66532+32=66532⋅66532 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 111 mod 727

128: 665128=66564+64=66564⋅66564 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 689 mod 727

665162

= 665128+32+2

= 665128⋅66532⋅6652

≡ 689 ⋅ 609 ⋅ 209 mod 727
≡ 419601 ⋅ 209 mod 727 ≡ 122 ⋅ 209 mod 727
≡ 25498 mod 727 ≡ 53 mod 727

Es gilt also: 665162 ≡ 53 mod 727

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.

Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64

=>79 = 1⋅64 + 15
=>64 = 4⋅15 + 4
=>15 = 3⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,64)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4)
= -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 64-4⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15)
= 4⋅64 -17⋅ 15 (=1)
15= 79-1⋅64 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64)
= -17⋅79 +21⋅ 64 (=1)

Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +21⋅64

Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1

Somit 21⋅64 = 1 mod 79

21 ist also das Inverse von 64 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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