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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5003 + 4999) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5003 + 4999) mod 5 ≡ (5003 mod 5 + 4999 mod 5) mod 5.
5003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5003
= 5000
4999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4999
= 4000
Somit gilt:
(5003 + 4999) mod 5 ≡ (3 + 4) mod 5 ≡ 7 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 23) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 23) mod 3 ≡ (24 mod 3 ⋅ 23 mod 3) mod 3.
24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.
23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 23) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3818 mod 647.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 381 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3811=381
2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 233 mod 647
4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 588 mod 647
8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 246 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43671 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:
71 = 64+4+2+1
1: 4361=436
2: 4362=4361+1=4361⋅4361 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 249 mod 733
4: 4364=4362+2=4362⋅4362 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 429 mod 733
8: 4368=4364+4=4364⋅4364 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 58 mod 733
16: 43616=4368+8=4368⋅4368 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 432 mod 733
32: 43632=43616+16=43616⋅43616 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 442 mod 733
64: 43664=43632+32=43632⋅43632 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 386 mod 733
43671
= 43664+4+2+1
= 43664⋅4364⋅4362⋅4361
≡ 386 ⋅ 429 ⋅ 249 ⋅ 436 mod 733
≡ 165594 ⋅ 249 ⋅ 436 mod 733 ≡ 669 ⋅ 249 ⋅ 436 mod 733
≡ 166581 ⋅ 436 mod 733 ≡ 190 ⋅ 436 mod 733
≡ 82840 mod 733 ≡ 11 mod 733
Es gilt also: 43671 ≡ 11 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22
| =>71 | = 3⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22) = 9⋅71 -29⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -29⋅22
-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22
-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1
(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1
42⋅22 = 13⋅71 + 1
Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1
Somit 42⋅22 = 1 mod 71
42 ist also das Inverse von 22 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
