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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39996 - 796) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39996 - 796) mod 8 ≡ (39996 mod 8 - 796 mod 8) mod 8.
39996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39996
= 39000
796 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 796
= 800
Somit gilt:
(39996 - 796) mod 8 ≡ (4 - 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 84) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 84) mod 11 ≡ (84 mod 11 ⋅ 84 mod 11) mod 11.
84 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 77 + 7 = 7 ⋅ 11 + 7 ist.
84 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 77 + 7 = 7 ⋅ 11 + 7 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 84) mod 11 ≡ (7 ⋅ 7) mod 11 ≡ 49 mod 11 ≡ 5 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 76816 mod 883.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 768 -> x
2. mod(x²,883) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7681=768
2: 7682=7681+1=7681⋅7681 ≡ 768⋅768=589824 ≡ 863 mod 883
4: 7684=7682+2=7682⋅7682 ≡ 863⋅863=744769 ≡ 400 mod 883
8: 7688=7684+4=7684⋅7684 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 177 mod 883
16: 76816=7688+8=7688⋅7688 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 424 mod 883
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 87473 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 8741=874
2: 8742=8741+1=8741⋅8741 ≡ 874⋅874=763876 ≡ 458 mod 911
4: 8744=8742+2=8742⋅8742 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 234 mod 911
8: 8748=8744+4=8744⋅8744 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 96 mod 911
16: 87416=8748+8=8748⋅8748 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 106 mod 911
32: 87432=87416+16=87416⋅87416 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 304 mod 911
64: 87464=87432+32=87432⋅87432 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 405 mod 911
87473
= 87464+8+1
= 87464⋅8748⋅8741
≡ 405 ⋅ 96 ⋅ 874 mod 911
≡ 38880 ⋅ 874 mod 911 ≡ 618 ⋅ 874 mod 911
≡ 540132 mod 911 ≡ 820 mod 911
Es gilt also: 87473 ≡ 820 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59
| =>71 | = 1⋅59 + 12 |
| =>59 | = 4⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 59-4⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12) = -1⋅59 +5⋅ 12 (=1) |
| 12= 71-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59) = 5⋅71 -6⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59
oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅71 = -6⋅59
-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59
-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1
(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1
65⋅59 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1
Somit 65⋅59 = 1 mod 71
65 ist also das Inverse von 59 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.