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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (155 - 49) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(155 - 49) mod 5 ≡ (155 mod 5 - 49 mod 5) mod 5.

155 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 155 = 150+5 = 5 ⋅ 30 +5.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40+9 = 5 ⋅ 8 +9.

Somit gilt:

(155 - 49) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 52) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 52) mod 5 ≡ (28 mod 5 ⋅ 52 mod 5) mod 5.

28 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 25 + 3 = 5 ⋅ 5 + 3 ist.

52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 10 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 52) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1378 mod 283.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 137 -> x
2. mod(x²,283) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1371=137

2: 1372=1371+1=1371⋅1371 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 91 mod 283

4: 1374=1372+2=1372⋅1372 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 74 mod 283

8: 1378=1374+4=1374⋅1374 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 99 mod 283

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 418208 mod 607.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:

208 = 128+64+16

1: 4181=418

2: 4182=4181+1=4181⋅4181 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 515 mod 607

4: 4184=4182+2=4182⋅4182 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 573 mod 607

8: 4188=4184+4=4184⋅4184 ≡ 573⋅573=328329 ≡ 549 mod 607

16: 41816=4188+8=4188⋅4188 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 329 mod 607

32: 41832=41816+16=41816⋅41816 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 195 mod 607

64: 41864=41832+32=41832⋅41832 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 391 mod 607

128: 418128=41864+64=41864⋅41864 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 524 mod 607

418208

= 418128+64+16

= 418128⋅41864⋅41816

524 ⋅ 391 ⋅ 329 mod 607
204884 ⋅ 329 mod 607 ≡ 325 ⋅ 329 mod 607
106925 mod 607 ≡ 93 mod 607

Es gilt also: 418208 ≡ 93 mod 607

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 31

=>83 = 2⋅31 + 21
=>31 = 1⋅21 + 10
=>21 = 2⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-2⋅10
10= 31-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21)
= -2⋅31 +3⋅ 21 (=1)
21= 83-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅31 +3⋅(83 -2⋅ 31)
= -2⋅31 +3⋅83 -6⋅ 31)
= 3⋅83 -8⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(83,31)=1 = 3⋅83 -8⋅31

oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅83 = -8⋅31

-8⋅31 = -3⋅83 + 1 |+83⋅31

-8⋅31 + 83⋅31 = -3⋅83 + 83⋅31 + 1

(-8 + 83) ⋅ 31 = (-3 + 31) ⋅ 83 + 1

75⋅31 = 28⋅83 + 1

Es gilt also: 75⋅31 = 28⋅83 +1

Somit 75⋅31 = 1 mod 83

75 ist also das Inverse von 31 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.