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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19999 - 4003) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19999 - 4003) mod 4 ≡ (19999 mod 4 - 4003 mod 4) mod 4.
19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999
= 19000
4003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003
= 4000
Somit gilt:
(19999 - 4003) mod 4 ≡ (3 - 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 42) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 42) mod 6 ≡ (62 mod 6 ⋅ 42 mod 6) mod 6.
62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 10 ⋅ 6 + 2 ist.
42 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 7 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 42) mod 6 ≡ (2 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2698 mod 587.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 269 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2691=269
2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 160 mod 587
4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 359 mod 587
8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 328 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 139102 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 1391=139
2: 1392=1391+1=1391⋅1391 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 376 mod 421
4: 1394=1392+2=1392⋅1392 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 341 mod 421
8: 1398=1394+4=1394⋅1394 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 85 mod 421
16: 13916=1398+8=1398⋅1398 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 68 mod 421
32: 13932=13916+16=13916⋅13916 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 414 mod 421
64: 13964=13932+32=13932⋅13932 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 49 mod 421
139102
= 13964+32+4+2
= 13964⋅13932⋅1394⋅1392
≡ 49 ⋅ 414 ⋅ 341 ⋅ 376 mod 421
≡ 20286 ⋅ 341 ⋅ 376 mod 421 ≡ 78 ⋅ 341 ⋅ 376 mod 421
≡ 26598 ⋅ 376 mod 421 ≡ 75 ⋅ 376 mod 421
≡ 28200 mod 421 ≡ 414 mod 421
Es gilt also: 139102 ≡ 414 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18
| =>61 | = 3⋅18 + 7 |
| =>18 | = 2⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 18-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +17⋅18
Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1
Somit 17⋅18 = 1 mod 61
17 ist also das Inverse von 18 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
