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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20003 - 1203) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20003 - 1203) mod 4 ≡ (20003 mod 4 - 1203 mod 4) mod 4.

20003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003 = 20000+3 = 4 ⋅ 5000 +3.

1203 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203 = 1200+3 = 4 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(20003 - 1203) mod 4 ≡ (3 - 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 100) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 100) mod 10 ≡ (74 mod 10 ⋅ 100 mod 10) mod 10.

74 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 7 ⋅ 10 + 4 ist.

100 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 10 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 100) mod 10 ≡ (4 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 60364 mod 877.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 603 -> x
2. mod(x²,877) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6031=603

2: 6032=6031+1=6031⋅6031 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 531 mod 877

4: 6034=6032+2=6032⋅6032 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 444 mod 877

8: 6038=6034+4=6034⋅6034 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 688 mod 877

16: 60316=6038+8=6038⋅6038 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 641 mod 877

32: 60332=60316+16=60316⋅60316 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 445 mod 877

64: 60364=60332+32=60332⋅60332 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 700 mod 877

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 213101 mod 691.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 101 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 101 an und zerlegen 101 in eine Summer von 2er-Potenzen:

101 = 64+32+4+1

1: 2131=213

2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 454 mod 691

4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 198 mod 691

8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 508 mod 691

16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 321 mod 691

32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 82 mod 691

64: 21364=21332+32=21332⋅21332 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 505 mod 691

213101

= 21364+32+4+1

= 21364⋅21332⋅2134⋅2131

≡ 505 ⋅ 82 ⋅ 198 ⋅ 213 mod 691
≡ 41410 ⋅ 198 ⋅ 213 mod 691 ≡ 641 ⋅ 198 ⋅ 213 mod 691
≡ 126918 ⋅ 213 mod 691 ≡ 465 ⋅ 213 mod 691
≡ 99045 mod 691 ≡ 232 mod 691

Es gilt also: 213101 ≡ 232 mod 691

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40

=>67 = 1⋅40 + 27
=>40 = 1⋅27 + 13
=>27 = 2⋅13 + 1
=>13 = 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 27-2⋅13
13= 40-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅27 -2⋅(40 -1⋅ 27)
= 1⋅27 -2⋅40 +2⋅ 27)
= -2⋅40 +3⋅ 27 (=1)
27= 67-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅40 +3⋅(67 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +3⋅67 -3⋅ 40)
= 3⋅67 -5⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(67,40)=1 = 3⋅67 -5⋅40

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -5⋅40

-5⋅40 = -3⋅67 + 1 |+67⋅40

-5⋅40 + 67⋅40 = -3⋅67 + 67⋅40 + 1

(-5 + 67) ⋅ 40 = (-3 + 40) ⋅ 67 + 1

62⋅40 = 37⋅67 + 1

Es gilt also: 62⋅40 = 37⋅67 +1

Somit 62⋅40 = 1 mod 67

62 ist also das Inverse von 40 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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