Klasse 5 (G9)
Klasse 6 (G9)
Klasse 7 (G9)
Klasse 8 (G8)
Klasse 9-10 (G8)
Kursstufe (G8)
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3000 + 28) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3000 + 28) mod 3 ≡ (3000 mod 3 + 28 mod 3) mod 3.
3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28
= 30
Somit gilt:
(3000 + 28) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 60) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 60) mod 3 ≡ (41 mod 3 ⋅ 60 mod 3) mod 3.
41 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 39 + 2 = 13 ⋅ 3 + 2 ist.
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 20 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 60) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 248128 mod 379.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 248 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2481=248
2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 106 mod 379
4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 245 mod 379
8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 143 mod 379
16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 362 mod 379
32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 289 mod 379
64: 24864=24832+32=24832⋅24832 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 141 mod 379
128: 248128=24864+64=24864⋅24864 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 173 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 130226 mod 283.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:
226 = 128+64+32+2
1: 1301=130
2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 203 mod 283
4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 174 mod 283
8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 278 mod 283
16: 13016=1308+8=1308⋅1308 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 25 mod 283
32: 13032=13016+16=13016⋅13016 ≡ 25⋅25=625 ≡ 59 mod 283
64: 13064=13032+32=13032⋅13032 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 85 mod 283
128: 130128=13064+64=13064⋅13064 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 150 mod 283
130226
= 130128+64+32+2
= 130128⋅13064⋅13032⋅1302
≡ 150 ⋅ 85 ⋅ 59 ⋅ 203 mod 283
≡ 12750 ⋅ 59 ⋅ 203 mod 283 ≡ 15 ⋅ 59 ⋅ 203 mod 283
≡ 885 ⋅ 203 mod 283 ≡ 36 ⋅ 203 mod 283
≡ 7308 mod 283 ≡ 233 mod 283
Es gilt also: 130226 ≡ 233 mod 283
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40
| =>59 | = 1⋅40 + 19 |
| =>40 | = 2⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 40-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19) = -9⋅40 +19⋅ 19 (=1) |
| 19= 59-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40)
= -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40) = 19⋅59 -28⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40
oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅59 = -28⋅40
-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40
-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1
(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1
31⋅40 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1
Somit 31⋅40 = 1 mod 59
31 ist also das Inverse von 40 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
