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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2000 - 1204) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2000 - 1204) mod 4 ≡ (2000 mod 4 - 1204 mod 4) mod 4.

2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 4 ⋅ 500 +0.

1204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204 = 1200+4 = 4 ⋅ 300 +4.

Somit gilt:

(2000 - 1204) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 80) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 80) mod 6 ≡ (54 mod 6 ⋅ 80 mod 6) mod 6.

54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 9 ⋅ 6 + 0 ist.

80 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 78 + 2 = 13 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 80) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 181128 mod 269.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 181 -> x
2. mod(x²,269) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1811=181

2: 1812=1811+1=1811⋅1811 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 212 mod 269

4: 1814=1812+2=1812⋅1812 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 21 mod 269

8: 1818=1814+4=1814⋅1814 ≡ 21⋅21=441 ≡ 172 mod 269

16: 18116=1818+8=1818⋅1818 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 263 mod 269

32: 18132=18116+16=18116⋅18116 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 36 mod 269

64: 18164=18132+32=18132⋅18132 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 220 mod 269

128: 181128=18164+64=18164⋅18164 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 249 mod 269

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 482230 mod 881.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:

230 = 128+64+32+4+2

1: 4821=482

2: 4822=4821+1=4821⋅4821 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 621 mod 881

4: 4824=4822+2=4822⋅4822 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 644 mod 881

8: 4828=4824+4=4824⋅4824 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 666 mod 881

16: 48216=4828+8=4828⋅4828 ≡ 666⋅666=443556 ≡ 413 mod 881

32: 48232=48216+16=48216⋅48216 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 536 mod 881

64: 48264=48232+32=48232⋅48232 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 90 mod 881

128: 482128=48264+64=48264⋅48264 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 171 mod 881

482230

= 482128+64+32+4+2

= 482128⋅48264⋅48232⋅4824⋅4822

171 ⋅ 90 ⋅ 536 ⋅ 644 ⋅ 621 mod 881
15390 ⋅ 536 ⋅ 644 ⋅ 621 mod 881 ≡ 413 ⋅ 536 ⋅ 644 ⋅ 621 mod 881
221368 ⋅ 644 ⋅ 621 mod 881 ≡ 237 ⋅ 644 ⋅ 621 mod 881
152628 ⋅ 621 mod 881 ≡ 215 ⋅ 621 mod 881
133515 mod 881 ≡ 484 mod 881

Es gilt also: 482230 ≡ 484 mod 881

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

=>53 = 1⋅31 + 22
=>31 = 1⋅22 + 9
=>22 = 2⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9)
= -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-1⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22)
= 5⋅31 -7⋅ 22 (=1)
22= 53-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31)
= 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31)
= -7⋅53 +12⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31

oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅53 = +12⋅31

Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1

Somit 12⋅31 = 1 mod 53

12 ist also das Inverse von 31 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.