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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3200 + 167) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3200 + 167) mod 8 ≡ (3200 mod 8 + 167 mod 8) mod 8.

3200 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3200 = 3200+0 = 8 ⋅ 400 +0.

167 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 167 = 160+7 = 8 ⋅ 20 +7.

Somit gilt:

(3200 + 167) mod 8 ≡ (0 + 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 95) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 95) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 95 mod 7) mod 7.

82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.

95 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 91 + 4 = 13 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 95) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 790128 mod 797.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 790 -> x
2. mod(x²,797) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7901=790

2: 7902=7901+1=7901⋅7901 ≡ 790⋅790=624100 ≡ 49 mod 797

4: 7904=7902+2=7902⋅7902 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 10 mod 797

8: 7908=7904+4=7904⋅7904 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 797

16: 79016=7908+8=7908⋅7908 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 436 mod 797

32: 79032=79016+16=79016⋅79016 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 410 mod 797

64: 79064=79032+32=79032⋅79032 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 730 mod 797

128: 790128=79064+64=79064⋅79064 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 504 mod 797

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 446162 mod 683.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:

162 = 128+32+2

1: 4461=446

2: 4462=4461+1=4461⋅4461 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 163 mod 683

4: 4464=4462+2=4462⋅4462 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 615 mod 683

8: 4468=4464+4=4464⋅4464 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 526 mod 683

16: 44616=4468+8=4468⋅4468 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 61 mod 683

32: 44632=44616+16=44616⋅44616 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 306 mod 683

64: 44664=44632+32=44632⋅44632 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 65 mod 683

128: 446128=44664+64=44664⋅44664 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 127 mod 683

446162

= 446128+32+2

= 446128⋅44632⋅4462

≡ 127 ⋅ 306 ⋅ 163 mod 683
≡ 38862 ⋅ 163 mod 683 ≡ 614 ⋅ 163 mod 683
≡ 100082 mod 683 ≡ 364 mod 683

Es gilt also: 446162 ≡ 364 mod 683

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59

=>71 = 1⋅59 + 12
=>59 = 4⋅12 + 11
=>12 = 1⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 59-4⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12)
= -1⋅59 +5⋅ 12 (=1)
12= 71-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59)
= 5⋅71 -6⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59

oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅71 = -6⋅59

-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59

-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1

(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1

65⋅59 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1

Somit 65⋅59 = 1 mod 71

65 ist also das Inverse von 59 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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