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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (355 + 6998) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(355 + 6998) mod 7 ≡ (355 mod 7 + 6998 mod 7) mod 7.

355 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 355 = 350+5 = 7 ⋅ 50 +5.

6998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6998 = 7000-2 = 7 ⋅ 1000 -2 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 5.

Somit gilt:

(355 + 6998) mod 7 ≡ (5 + 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 88) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 88) mod 9 ≡ (77 mod 9 ⋅ 88 mod 9) mod 9.

77 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 8 ⋅ 9 + 5 ist.

88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 88) mod 9 ≡ (5 ⋅ 7) mod 9 ≡ 35 mod 9 ≡ 8 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 108³² mod 257.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 108 -> x
2. mod(x²,257) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 108¹=108

2: 108²=108¹⁺¹=108¹⋅108¹ ≡ 108⋅108=11664 ≡ 99 mod 257

4: 108⁴=108²⁺²=108²⋅108² ≡ 99⋅99=9801 ≡ 35 mod 257

8: 108⁸=108⁴⁺⁴=108⁴⋅108⁴ ≡ 35⋅35=1225 ≡ 197 mod 257

16: 108¹⁶=108⁸⁺⁸=108⁸⋅108⁸ ≡ 197⋅197=38809 ≡ 2 mod 257

32: 108³²=108¹⁶⁺¹⁶=108¹⁶⋅108¹⁶ ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 387¹¹⁹ mod 599.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

1: 387¹=387

2: 387²=387¹⁺¹=387¹⋅387¹ ≡ 387⋅387=149769 ≡ 19 mod 599

4: 387⁴=387²⁺²=387²⋅387² ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 599

8: 387⁸=387⁴⁺⁴=387⁴⋅387⁴ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 338 mod 599

16: 387¹⁶=387⁸⁺⁸=387⁸⋅387⁸ ≡ 338⋅338=114244 ≡ 434 mod 599

32: 387³²=387¹⁶⁺¹⁶=387¹⁶⋅387¹⁶ ≡ 434⋅434=188356 ≡ 270 mod 599

64: 387⁶⁴=387³²⁺³²=387³²⋅387³² ≡ 270⋅270=72900 ≡ 421 mod 599

387¹¹⁹

= 387^{64+32+16+4+2+1}

= 387⁶⁴⋅387³²⋅387¹⁶⋅387⁴⋅387²⋅387¹

≡ 421 ⋅ 270 ⋅ 434 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 387 mod 599
≡ 113670 ⋅ 434 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 387 mod 599 ≡ 459 ⋅ 434 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 387 mod 599
≡ 199206 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 387 mod 599 ≡ 338 ⋅ 361 ⋅ 19 ⋅ 387 mod 599
≡ 122018 ⋅ 19 ⋅ 387 mod 599 ≡ 421 ⋅ 19 ⋅ 387 mod 599
≡ 7999 ⋅ 387 mod 599 ≡ 212 ⋅ 387 mod 599
≡ 82044 mod 599 ≡ 580 mod 599

Es gilt also: 387¹¹⁹ ≡ 580 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 90.

Also bestimme x, so dass 90 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 90

=>101	= 1⋅90 + 11
=>90	= 8⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,90)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 90-8⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(90 -8⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅90 +40⋅ 11) = -5⋅90 +41⋅ 11 (=1)
11= 101-1⋅90	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅90 +41⋅(101 -1⋅ 90) = -5⋅90 +41⋅101 -41⋅ 90) = 41⋅101 -46⋅ 90 (=1)

Es gilt also: ggt(101,90)=1 = 41⋅101 -46⋅90

oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -41⋅101 = -46⋅90

-46⋅90 = -41⋅101 + 1 |+101⋅90

-46⋅90 + 101⋅90 = -41⋅101 + 101⋅90 + 1

(-46 + 101) ⋅ 90 = (-41 + 90) ⋅ 101 + 1

55⋅90 = 49⋅101 + 1

Es gilt also: 55⋅90 = 49⋅101 +1

Somit 55⋅90 = 1 mod 101

55 ist also das Inverse von 90 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 90

Schlüsselpaar für RSA