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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2403 + 6006) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2403 + 6006) mod 6 ≡ (2403 mod 6 + 6006 mod 6) mod 6.

2403 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403 = 2400+3 = 6 ⋅ 400 +3.

6006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6006 = 6000+6 = 6 ⋅ 1000 +6.

Somit gilt:

(2403 + 6006) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 35) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 35) mod 9 ≡ (76 mod 9 ⋅ 35 mod 9) mod 9.

76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.

35 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 27 + 8 = 3 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 35) mod 9 ≡ (4 ⋅ 8) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 448128 mod 719.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 448 -> x
2. mod(x²,719) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4481=448

2: 4482=4481+1=4481⋅4481 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 103 mod 719

4: 4484=4482+2=4482⋅4482 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 543 mod 719

8: 4488=4484+4=4484⋅4484 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 59 mod 719

16: 44816=4488+8=4488⋅4488 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 605 mod 719

32: 44832=44816+16=44816⋅44816 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 54 mod 719

64: 44864=44832+32=44832⋅44832 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 40 mod 719

128: 448128=44864+64=44864⋅44864 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 162 mod 719

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 214167 mod 233.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

1: 2141=214

2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 128 mod 233

4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 74 mod 233

8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 117 mod 233

16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 175 mod 233

32: 21432=21416+16=21416⋅21416 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 102 mod 233

64: 21464=21432+32=21432⋅21432 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 152 mod 233

128: 214128=21464+64=21464⋅21464 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 37 mod 233

214167

= 214128+32+4+2+1

= 214128⋅21432⋅2144⋅2142⋅2141

≡ 37 ⋅ 102 ⋅ 74 ⋅ 128 ⋅ 214 mod 233
≡ 3774 ⋅ 74 ⋅ 128 ⋅ 214 mod 233 ≡ 46 ⋅ 74 ⋅ 128 ⋅ 214 mod 233
≡ 3404 ⋅ 128 ⋅ 214 mod 233 ≡ 142 ⋅ 128 ⋅ 214 mod 233
≡ 18176 ⋅ 214 mod 233 ≡ 2 ⋅ 214 mod 233
≡ 428 mod 233 ≡ 195 mod 233

Es gilt also: 214167 ≡ 195 mod 233

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 69.

Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 69

=>79 = 1⋅69 + 10
=>69 = 6⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 69-6⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(69 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅69 +6⋅ 10)
= -1⋅69 +7⋅ 10 (=1)
10= 79-1⋅69 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅69 +7⋅(79 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +7⋅79 -7⋅ 69)
= 7⋅79 -8⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(79,69)=1 = 7⋅79 -8⋅69

oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅79 = -8⋅69

-8⋅69 = -7⋅79 + 1 |+79⋅69

-8⋅69 + 79⋅69 = -7⋅79 + 79⋅69 + 1

(-8 + 79) ⋅ 69 = (-7 + 69) ⋅ 79 + 1

71⋅69 = 62⋅79 + 1

Es gilt also: 71⋅69 = 62⋅79 +1

Somit 71⋅69 = 1 mod 79

71 ist also das Inverse von 69 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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