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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30006 + 5998) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30006 + 5998) mod 6 ≡ (30006 mod 6 + 5998 mod 6) mod 6.

30006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30006 = 30000+6 = 6 ⋅ 5000 +6.

5998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 6 ⋅ 1000 -2 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 4.

Somit gilt:

(30006 + 5998) mod 6 ≡ (0 + 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 56) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 56) mod 8 ≡ (59 mod 8 ⋅ 56 mod 8) mod 8.

59 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 7 ⋅ 8 + 3 ist.

56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 56) mod 8 ≡ (3 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3498 mod 827.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 349 -> x
2. mod(x²,827) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3491=349

2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 232 mod 827

4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 69 mod 827

8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 626 mod 827

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 305104 mod 733.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:

104 = 64+32+8

1: 3051=305

2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 667 mod 733

4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 667⋅667=444889 ≡ 691 mod 733

8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 298 mod 733

16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 111 mod 733

32: 30532=30516+16=30516⋅30516 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 593 mod 733

64: 30564=30532+32=30532⋅30532 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 542 mod 733

305104

= 30564+32+8

= 30564⋅30532⋅3058

≡ 542 ⋅ 593 ⋅ 298 mod 733
≡ 321406 ⋅ 298 mod 733 ≡ 352 ⋅ 298 mod 733
≡ 104896 mod 733 ≡ 77 mod 733

Es gilt also: 305104 ≡ 77 mod 733

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 58

=>73 = 1⋅58 + 15
=>58 = 3⋅15 + 13
=>15 = 1⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 15-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13)
= -6⋅15 +7⋅ 13 (=1)
13= 58-3⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅15 +7⋅(58 -3⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅58 -21⋅ 15)
= 7⋅58 -27⋅ 15 (=1)
15= 73-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅58 -27⋅(73 -1⋅ 58)
= 7⋅58 -27⋅73 +27⋅ 58)
= -27⋅73 +34⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(73,58)=1 = -27⋅73 +34⋅58

oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅73 = +34⋅58

Es gilt also: 34⋅58 = 27⋅73 +1

Somit 34⋅58 = 1 mod 73

34 ist also das Inverse von 58 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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