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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (11999 + 57) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11999 + 57) mod 3 ≡ (11999 mod 3 + 57 mod 3) mod 3.

11999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999 = 12000-1 = 3 ⋅ 4000 -1 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 2.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 60-3 = 3 ⋅ 20 -3 = 3 ⋅ 20 - 3 + 0.

Somit gilt:

(11999 + 57) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 35) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 35) mod 10 ≡ (34 mod 10 ⋅ 35 mod 10) mod 10.

34 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 3 ⋅ 10 + 4 ist.

35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 35) mod 10 ≡ (4 ⋅ 5) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 10632 mod 251.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 106 -> x
2. mod(x²,251) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1061=106

2: 1062=1061+1=1061⋅1061 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 192 mod 251

4: 1064=1062+2=1062⋅1062 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 218 mod 251

8: 1068=1064+4=1064⋅1064 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 85 mod 251

16: 10616=1068+8=1068⋅1068 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 197 mod 251

32: 10632=10616+16=10616⋅10616 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 155 mod 251

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 193155 mod 443.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:

155 = 128+16+8+2+1

1: 1931=193

2: 1932=1931+1=1931⋅1931 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 37 mod 443

4: 1934=1932+2=1932⋅1932 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 40 mod 443

8: 1938=1934+4=1934⋅1934 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 271 mod 443

16: 19316=1938+8=1938⋅1938 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 346 mod 443

32: 19332=19316+16=19316⋅19316 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 106 mod 443

64: 19364=19332+32=19332⋅19332 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 161 mod 443

128: 193128=19364+64=19364⋅19364 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 227 mod 443

193155

= 193128+16+8+2+1

= 193128⋅19316⋅1938⋅1932⋅1931

≡ 227 ⋅ 346 ⋅ 271 ⋅ 37 ⋅ 193 mod 443
≡ 78542 ⋅ 271 ⋅ 37 ⋅ 193 mod 443 ≡ 131 ⋅ 271 ⋅ 37 ⋅ 193 mod 443
≡ 35501 ⋅ 37 ⋅ 193 mod 443 ≡ 61 ⋅ 37 ⋅ 193 mod 443
≡ 2257 ⋅ 193 mod 443 ≡ 42 ⋅ 193 mod 443
≡ 8106 mod 443 ≡ 132 mod 443

Es gilt also: 193155 ≡ 132 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18

=>59 = 3⋅18 + 5
=>18 = 3⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 18-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5)
= 2⋅18 -7⋅ 5 (=1)
5= 59-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18)
= -7⋅59 +23⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +23⋅18

Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1

Somit 23⋅18 = 1 mod 59

23 ist also das Inverse von 18 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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