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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (399 - 15995) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(399 - 15995) mod 8 ≡ (399 mod 8 - 15995 mod 8) mod 8.

399 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399 = 400-1 = 8 ⋅ 50 -1 = 8 ⋅ 50 - 8 + 7.

15995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15995 = 15000+995 = 8 ⋅ 1875 +995.

Somit gilt:

(399 - 15995) mod 8 ≡ (7 - 3) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 97) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 97) mod 8 ≡ (29 mod 8 ⋅ 97 mod 8) mod 8.

29 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 24 + 5 = 3 ⋅ 8 + 5 ist.

97 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 12 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 97) mod 8 ≡ (5 ⋅ 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39132 mod 857.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 391 -> x
2. mod(x²,857) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3911=391

2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 335 mod 857

4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 815 mod 857

8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 815⋅815=664225 ≡ 50 mod 857

16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 786 mod 857

32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 786⋅786=617796 ≡ 756 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 42396 mod 647.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 96 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 96 an und zerlegen 96 in eine Summer von 2er-Potenzen:

96 = 64+32

1: 4231=423

2: 4232=4231+1=4231⋅4231 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 357 mod 647

4: 4234=4232+2=4232⋅4232 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 637 mod 647

8: 4238=4234+4=4234⋅4234 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 100 mod 647

16: 42316=4238+8=4238⋅4238 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 295 mod 647

32: 42332=42316+16=42316⋅42316 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 327 mod 647

64: 42364=42332+32=42332⋅42332 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 174 mod 647

42396

= 42364+32

= 42364⋅42332

≡ 174 ⋅ 327 mod 647
≡ 56898 mod 647 ≡ 609 mod 647

Es gilt also: 42396 ≡ 609 mod 647

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30

=>67 = 2⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30)
= 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -29⋅30

-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30

-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1

(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1

38⋅30 = 17⋅67 + 1

Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1

Somit 38⋅30 = 1 mod 67

38 ist also das Inverse von 30 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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