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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5999 - 120) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5999 - 120) mod 3 ≡ (5999 mod 3 - 120 mod 3) mod 3.

5999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5999 = 6000-1 = 3 ⋅ 2000 -1 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 2.

120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 3 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(5999 - 120) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 74) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 74) mod 9 ≡ (56 mod 9 ⋅ 74 mod 9) mod 9.

56 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 6 ⋅ 9 + 2 ist.

74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 74) mod 9 ≡ (2 ⋅ 2) mod 9 ≡ 4 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 325⁸ mod 347.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 325 -> x
2. mod(x²,347) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 325¹=325

2: 325²=325¹⁺¹=325¹⋅325¹ ≡ 325⋅325=105625 ≡ 137 mod 347

4: 325⁴=325²⁺²=325²⋅325² ≡ 137⋅137=18769 ≡ 31 mod 347

8: 325⁸=325⁴⁺⁴=325⁴⋅325⁴ ≡ 31⋅31=961 ≡ 267 mod 347

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 67²⁴⁵ mod 223.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

1: 67¹=67

2: 67²=67¹⁺¹=67¹⋅67¹ ≡ 67⋅67=4489 ≡ 29 mod 223

4: 67⁴=67²⁺²=67²⋅67² ≡ 29⋅29=841 ≡ 172 mod 223

8: 67⁸=67⁴⁺⁴=67⁴⋅67⁴ ≡ 172⋅172=29584 ≡ 148 mod 223

16: 67¹⁶=67⁸⁺⁸=67⁸⋅67⁸ ≡ 148⋅148=21904 ≡ 50 mod 223

32: 67³²=67¹⁶⁺¹⁶=67¹⁶⋅67¹⁶ ≡ 50⋅50=2500 ≡ 47 mod 223

64: 67⁶⁴=67³²⁺³²=67³²⋅67³² ≡ 47⋅47=2209 ≡ 202 mod 223

128: 67¹²⁸=67⁶⁴⁺⁶⁴=67⁶⁴⋅67⁶⁴ ≡ 202⋅202=40804 ≡ 218 mod 223

67²⁴⁵

= 67^{128+64+32+16+4+1}

= 67¹²⁸⋅67⁶⁴⋅67³²⋅67¹⁶⋅67⁴⋅67¹

≡ 218 ⋅ 202 ⋅ 47 ⋅ 50 ⋅ 172 ⋅ 67 mod 223
≡ 44036 ⋅ 47 ⋅ 50 ⋅ 172 ⋅ 67 mod 223 ≡ 105 ⋅ 47 ⋅ 50 ⋅ 172 ⋅ 67 mod 223
≡ 4935 ⋅ 50 ⋅ 172 ⋅ 67 mod 223 ≡ 29 ⋅ 50 ⋅ 172 ⋅ 67 mod 223
≡ 1450 ⋅ 172 ⋅ 67 mod 223 ≡ 112 ⋅ 172 ⋅ 67 mod 223
≡ 19264 ⋅ 67 mod 223 ≡ 86 ⋅ 67 mod 223
≡ 5762 mod 223 ≡ 187 mod 223

Es gilt also: 67²⁴⁵ ≡ 187 mod 223

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51

=>89	= 1⋅51 + 38
=>51	= 1⋅38 + 13
=>38	= 2⋅13 + 12
=>13	= 1⋅12 + 1
=>12	= 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 38-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13) = 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13) = -1⋅38 +3⋅ 13 (=1)
13= 51-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅38 +3⋅(51 -1⋅ 38) = -1⋅38 +3⋅51 -3⋅ 38) = 3⋅51 -4⋅ 38 (=1)
38= 89-1⋅51	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅51 -4⋅(89 -1⋅ 51) = 3⋅51 -4⋅89 +4⋅ 51) = -4⋅89 +7⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(89,51)=1 = -4⋅89 +7⋅51

oder wenn man -4⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +4⋅89 = +7⋅51

Es gilt also: 7⋅51 = 4⋅89 +1

Somit 7⋅51 = 1 mod 89

7 ist also das Inverse von 51 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51

Schlüsselpaar für RSA