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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 - 1200) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 - 1200) mod 3 ≡ (60 mod 3 - 1200 mod 3) mod 3.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 3 ⋅ 20 +0.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(60 - 1200) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 77) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 77) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 77 mod 7) mod 7.

82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.

77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 11 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 77) mod 7 ≡ (5 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 30632 mod 491.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 306 -> x
2. mod(x²,491) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3061=306

2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 346 mod 491

4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 403 mod 491

8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 379 mod 491

16: 30616=3068+8=3068⋅3068 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 269 mod 491

32: 30632=30616+16=30616⋅30616 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 184 mod 491

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 507244 mod 571.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

1: 5071=507

2: 5072=5071+1=5071⋅5071 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 99 mod 571

4: 5074=5072+2=5072⋅5072 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 94 mod 571

8: 5078=5074+4=5074⋅5074 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 271 mod 571

16: 50716=5078+8=5078⋅5078 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 353 mod 571

32: 50732=50716+16=50716⋅50716 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 131 mod 571

64: 50764=50732+32=50732⋅50732 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 31 mod 571

128: 507128=50764+64=50764⋅50764 ≡ 31⋅31=961 ≡ 390 mod 571

507244

= 507128+64+32+16+4

= 507128⋅50764⋅50732⋅50716⋅5074

≡ 390 ⋅ 31 ⋅ 131 ⋅ 353 ⋅ 94 mod 571
≡ 12090 ⋅ 131 ⋅ 353 ⋅ 94 mod 571 ≡ 99 ⋅ 131 ⋅ 353 ⋅ 94 mod 571
≡ 12969 ⋅ 353 ⋅ 94 mod 571 ≡ 407 ⋅ 353 ⋅ 94 mod 571
≡ 143671 ⋅ 94 mod 571 ≡ 350 ⋅ 94 mod 571
≡ 32900 mod 571 ≡ 353 mod 571

Es gilt also: 507244 ≡ 353 mod 571

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45

=>97 = 2⋅45 + 7
=>45 = 6⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 45-6⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7)
= -2⋅45 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-2⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45)
= 13⋅97 -28⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -28⋅45

-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45

-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1

(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1

69⋅45 = 32⋅97 + 1

Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1

Somit 69⋅45 = 1 mod 97

69 ist also das Inverse von 45 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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