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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8001 + 15998) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8001 + 15998) mod 4 ≡ (8001 mod 4 + 15998 mod 4) mod 4.
8001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8001
= 8000
15998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998
= 15000
Somit gilt:
(8001 + 15998) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 46) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 46) mod 7 ≡ (90 mod 7 ⋅ 46 mod 7) mod 7.
90 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 84 + 6 = 12 ⋅ 7 + 6 ist.
46 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 6 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 46) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27632 mod 509.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 276 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2761=276
2: 2762=2761+1=2761⋅2761 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 335 mod 509
4: 2764=2762+2=2762⋅2762 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 245 mod 509
8: 2768=2764+4=2764⋅2764 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 472 mod 509
16: 27616=2768+8=2768⋅2768 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 351 mod 509
32: 27632=27616+16=27616⋅27616 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 23 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29195 mod 797.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:
95 = 64+16+8+4+2+1
1: 2911=291
2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 199 mod 797
4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 548 mod 797
8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 632 mod 797
16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 127 mod 797
32: 29132=29116+16=29116⋅29116 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 189 mod 797
64: 29164=29132+32=29132⋅29132 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 653 mod 797
29195
= 29164+16+8+4+2+1
= 29164⋅29116⋅2918⋅2914⋅2912⋅2911
≡ 653 ⋅ 127 ⋅ 632 ⋅ 548 ⋅ 199 ⋅ 291 mod 797
≡ 82931 ⋅ 632 ⋅ 548 ⋅ 199 ⋅ 291 mod 797 ≡ 43 ⋅ 632 ⋅ 548 ⋅ 199 ⋅ 291 mod 797
≡ 27176 ⋅ 548 ⋅ 199 ⋅ 291 mod 797 ≡ 78 ⋅ 548 ⋅ 199 ⋅ 291 mod 797
≡ 42744 ⋅ 199 ⋅ 291 mod 797 ≡ 503 ⋅ 199 ⋅ 291 mod 797
≡ 100097 ⋅ 291 mod 797 ≡ 472 ⋅ 291 mod 797
≡ 137352 mod 797 ≡ 268 mod 797
Es gilt also: 29195 ≡ 268 mod 797
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48
| =>61 | = 1⋅48 + 13 |
| =>48 | = 3⋅13 + 9 |
| =>13 | = 1⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 13-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9) = -2⋅13 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 48-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13) = 3⋅48 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48) = -11⋅61 +14⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +14⋅48
Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1
Somit 14⋅48 = 1 mod 61
14 ist also das Inverse von 48 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
