nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 + 597) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 + 597) mod 3 ≡ (28 mod 3 + 597 mod 3) mod 3.

28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 30-2 = 3 ⋅ 10 -2 = 3 ⋅ 10 - 3 + 1.

597 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597 = 600-3 = 3 ⋅ 200 -3 = 3 ⋅ 200 - 3 + 0.

Somit gilt:

(28 + 597) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 83) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 83) mod 6 ≡ (31 mod 6 ⋅ 83 mod 6) mod 6.

31 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 5 ⋅ 6 + 1 ist.

83 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 78 + 5 = 13 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 83) mod 6 ≡ (1 ⋅ 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 249128 mod 307.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 249 -> x
2. mod(x²,307) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2491=249

2: 2492=2491+1=2491⋅2491 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 294 mod 307

4: 2494=2492+2=2492⋅2492 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 169 mod 307

8: 2498=2494+4=2494⋅2494 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 10 mod 307

16: 24916=2498+8=2498⋅2498 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 307

32: 24932=24916+16=24916⋅24916 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 176 mod 307

64: 24964=24932+32=24932⋅24932 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 276 mod 307

128: 249128=24964+64=24964⋅24964 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 40 mod 307

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 661155 mod 727.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:

155 = 128+16+8+2+1

1: 6611=661

2: 6612=6611+1=6611⋅6611 ≡ 661⋅661=436921 ≡ 721 mod 727

4: 6614=6612+2=6612⋅6612 ≡ 721⋅721=519841 ≡ 36 mod 727

8: 6618=6614+4=6614⋅6614 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 569 mod 727

16: 66116=6618+8=6618⋅6618 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 246 mod 727

32: 66132=66116+16=66116⋅66116 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 175 mod 727

64: 66164=66132+32=66132⋅66132 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 91 mod 727

128: 661128=66164+64=66164⋅66164 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 284 mod 727

661155

= 661128+16+8+2+1

= 661128⋅66116⋅6618⋅6612⋅6611

≡ 284 ⋅ 246 ⋅ 569 ⋅ 721 ⋅ 661 mod 727
≡ 69864 ⋅ 569 ⋅ 721 ⋅ 661 mod 727 ≡ 72 ⋅ 569 ⋅ 721 ⋅ 661 mod 727
≡ 40968 ⋅ 721 ⋅ 661 mod 727 ≡ 256 ⋅ 721 ⋅ 661 mod 727
≡ 184576 ⋅ 661 mod 727 ≡ 645 ⋅ 661 mod 727
≡ 426345 mod 727 ≡ 323 mod 727

Es gilt also: 661155 ≡ 323 mod 727

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 43

=>79 = 1⋅43 + 36
=>43 = 1⋅36 + 7
=>36 = 5⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 36-5⋅7
7= 43-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅36 -5⋅(43 -1⋅ 36)
= 1⋅36 -5⋅43 +5⋅ 36)
= -5⋅43 +6⋅ 36 (=1)
36= 79-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅43 +6⋅(79 -1⋅ 43)
= -5⋅43 +6⋅79 -6⋅ 43)
= 6⋅79 -11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(79,43)=1 = 6⋅79 -11⋅43

oder wenn man 6⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅79 = -11⋅43

-11⋅43 = -6⋅79 + 1 |+79⋅43

-11⋅43 + 79⋅43 = -6⋅79 + 79⋅43 + 1

(-11 + 79) ⋅ 43 = (-6 + 43) ⋅ 79 + 1

68⋅43 = 37⋅79 + 1

Es gilt also: 68⋅43 = 37⋅79 +1

Somit 68⋅43 = 1 mod 79

68 ist also das Inverse von 43 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden