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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35000 + 287) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35000 + 287) mod 7 ≡ (35000 mod 7 + 287 mod 7) mod 7.

35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000 = 35000+0 = 7 ⋅ 5000 +0.

287 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 287 = 280+7 = 7 ⋅ 40 +7.

Somit gilt:

(35000 + 287) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 75) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 75) mod 11 ≡ (84 mod 11 ⋅ 75 mod 11) mod 11.

84 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 77 + 7 = 7 ⋅ 11 + 7 ist.

75 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 66 + 9 = 6 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 75) mod 11 ≡ (7 ⋅ 9) mod 11 ≡ 63 mod 11 ≡ 8 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50832 mod 659.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 508 -> x
2. mod(x²,659) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5081=508

2: 5082=5081+1=5081⋅5081 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 395 mod 659

4: 5084=5082+2=5082⋅5082 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 501 mod 659

8: 5088=5084+4=5084⋅5084 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 581 mod 659

16: 50816=5088+8=5088⋅5088 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 153 mod 659

32: 50832=50816+16=50816⋅50816 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 344 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 242122 mod 263.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

1: 2421=242

2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 178 mod 263

4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 124 mod 263

8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 122 mod 263

16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 156 mod 263

32: 24232=24216+16=24216⋅24216 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 140 mod 263

64: 24264=24232+32=24232⋅24232 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 138 mod 263

242122

= 24264+32+16+8+2

= 24264⋅24232⋅24216⋅2428⋅2422

≡ 138 ⋅ 140 ⋅ 156 ⋅ 122 ⋅ 178 mod 263
≡ 19320 ⋅ 156 ⋅ 122 ⋅ 178 mod 263 ≡ 121 ⋅ 156 ⋅ 122 ⋅ 178 mod 263
≡ 18876 ⋅ 122 ⋅ 178 mod 263 ≡ 203 ⋅ 122 ⋅ 178 mod 263
≡ 24766 ⋅ 178 mod 263 ≡ 44 ⋅ 178 mod 263
≡ 7832 mod 263 ≡ 205 mod 263

Es gilt also: 242122 ≡ 205 mod 263

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79 = 1⋅47 + 32
=>47 = 1⋅32 + 15
=>32 = 2⋅15 + 2
=>15 = 7⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15)
= -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32)
= -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32)
= 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47)
= 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47)
= -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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