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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (251 + 20004) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(251 + 20004) mod 5 ≡ (251 mod 5 + 20004 mod 5) mod 5.
251 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 251
= 250
20004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20004
= 20000
Somit gilt:
(251 + 20004) mod 5 ≡ (1 + 4) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 68) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 68) mod 3 ≡ (66 mod 3 ⋅ 68 mod 3) mod 3.
66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.
68 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 22 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 68) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 72716 mod 877.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 727 -> x
2. mod(x²,877) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7271=727
2: 7272=7271+1=7271⋅7271 ≡ 727⋅727=528529 ≡ 575 mod 877
4: 7274=7272+2=7272⋅7272 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 873 mod 877
8: 7278=7274+4=7274⋅7274 ≡ 873⋅873=762129 ≡ 16 mod 877
16: 72716=7278+8=7278⋅7278 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 877
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 367139 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:
139 = 128+8+2+1
1: 3671=367
2: 3672=3671+1=3671⋅3671 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 390 mod 421
4: 3674=3672+2=3672⋅3672 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 119 mod 421
8: 3678=3674+4=3674⋅3674 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 268 mod 421
16: 36716=3678+8=3678⋅3678 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 254 mod 421
32: 36732=36716+16=36716⋅36716 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 103 mod 421
64: 36764=36732+32=36732⋅36732 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 84 mod 421
128: 367128=36764+64=36764⋅36764 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 320 mod 421
367139
= 367128+8+2+1
= 367128⋅3678⋅3672⋅3671
≡ 320 ⋅ 268 ⋅ 390 ⋅ 367 mod 421
≡ 85760 ⋅ 390 ⋅ 367 mod 421 ≡ 297 ⋅ 390 ⋅ 367 mod 421
≡ 115830 ⋅ 367 mod 421 ≡ 55 ⋅ 367 mod 421
≡ 20185 mod 421 ≡ 398 mod 421
Es gilt also: 367139 ≡ 398 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 87.
Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 87
| =>97 | = 1⋅87 + 10 |
| =>87 | = 8⋅10 + 7 |
| =>10 | = 1⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,87)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 10-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7) = -2⋅10 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 87-8⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅10 +3⋅(87 -8⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅87 -24⋅ 10) = 3⋅87 -26⋅ 10 (=1) |
| 10= 97-1⋅87 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅87 -26⋅(97 -1⋅ 87)
= 3⋅87 -26⋅97 +26⋅ 87) = -26⋅97 +29⋅ 87 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,87)=1 = -26⋅97 +29⋅87
oder wenn man -26⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +26⋅97 = +29⋅87
Es gilt also: 29⋅87 = 26⋅97 +1
Somit 29⋅87 = 1 mod 97
29 ist also das Inverse von 87 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
