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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (301 + 6002) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(301 + 6002) mod 3 ≡ (301 mod 3 + 6002 mod 3) mod 3.

301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301 = 300+1 = 3 ⋅ 100 +1.

6002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6002 = 6000+2 = 3 ⋅ 2000 +2.

Somit gilt:

(301 + 6002) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 37) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 37) mod 7 ≡ (29 mod 7 ⋅ 37 mod 7) mod 7.

29 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 4 ⋅ 7 + 1 ist.

37 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 5 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 37) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 330¹⁶ mod 967.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 330 -> x
2. mod(x²,967) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 330¹=330

2: 330²=330¹⁺¹=330¹⋅330¹ ≡ 330⋅330=108900 ≡ 596 mod 967

4: 330⁴=330²⁺²=330²⋅330² ≡ 596⋅596=355216 ≡ 327 mod 967

8: 330⁸=330⁴⁺⁴=330⁴⋅330⁴ ≡ 327⋅327=106929 ≡ 559 mod 967

16: 330¹⁶=330⁸⁺⁸=330⁸⋅330⁸ ≡ 559⋅559=312481 ≡ 140 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 347²²⁹ mod 751.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

1: 347¹=347

2: 347²=347¹⁺¹=347¹⋅347¹ ≡ 347⋅347=120409 ≡ 249 mod 751

4: 347⁴=347²⁺²=347²⋅347² ≡ 249⋅249=62001 ≡ 419 mod 751

8: 347⁸=347⁴⁺⁴=347⁴⋅347⁴ ≡ 419⋅419=175561 ≡ 578 mod 751

16: 347¹⁶=347⁸⁺⁸=347⁸⋅347⁸ ≡ 578⋅578=334084 ≡ 640 mod 751

32: 347³²=347¹⁶⁺¹⁶=347¹⁶⋅347¹⁶ ≡ 640⋅640=409600 ≡ 305 mod 751

64: 347⁶⁴=347³²⁺³²=347³²⋅347³² ≡ 305⋅305=93025 ≡ 652 mod 751

128: 347¹²⁸=347⁶⁴⁺⁶⁴=347⁶⁴⋅347⁶⁴ ≡ 652⋅652=425104 ≡ 38 mod 751

347²²⁹

= 347^{128+64+32+4+1}

= 347¹²⁸⋅347⁶⁴⋅347³²⋅347⁴⋅347¹

≡ 38 ⋅ 652 ⋅ 305 ⋅ 419 ⋅ 347 mod 751
≡ 24776 ⋅ 305 ⋅ 419 ⋅ 347 mod 751 ≡ 744 ⋅ 305 ⋅ 419 ⋅ 347 mod 751
≡ 226920 ⋅ 419 ⋅ 347 mod 751 ≡ 118 ⋅ 419 ⋅ 347 mod 751
≡ 49442 ⋅ 347 mod 751 ≡ 627 ⋅ 347 mod 751
≡ 217569 mod 751 ≡ 530 mod 751

Es gilt also: 347²²⁹ ≡ 530 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 28

=>67	= 2⋅28 + 11
=>28	= 2⋅11 + 6
=>11	= 1⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 28-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +2⋅(28 -2⋅ 11) = -1⋅11 +2⋅28 -4⋅ 11) = 2⋅28 -5⋅ 11 (=1)
11= 67-2⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅28 -5⋅(67 -2⋅ 28) = 2⋅28 -5⋅67 +10⋅ 28) = -5⋅67 +12⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(67,28)=1 = -5⋅67 +12⋅28

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +12⋅28

Es gilt also: 12⋅28 = 5⋅67 +1

Somit 12⋅28 = 1 mod 67

12 ist also das Inverse von 28 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 28

Schlüsselpaar für RSA