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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (282 - 7000) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(282 - 7000) mod 7 ≡ (282 mod 7 - 7000 mod 7) mod 7.

282 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 282 = 280+2 = 7 ⋅ 40 +2.

7000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7000 = 7000+0 = 7 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(282 - 7000) mod 7 ≡ (2 - 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 24) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 24) mod 3 ≡ (97 mod 3 ⋅ 24 mod 3) mod 3.

97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.

24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 24) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 40016 mod 487.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 400 -> x
2. mod(x²,487) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4001=400

2: 4002=4001+1=4001⋅4001 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 264 mod 487

4: 4004=4002+2=4002⋅4002 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 55 mod 487

8: 4008=4004+4=4004⋅4004 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 103 mod 487

16: 40016=4008+8=4008⋅4008 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 382 mod 487

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 555117 mod 613.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:

117 = 64+32+16+4+1

1: 5551=555

2: 5552=5551+1=5551⋅5551 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 299 mod 613

4: 5554=5552+2=5552⋅5552 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 516 mod 613

8: 5558=5554+4=5554⋅5554 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 214 mod 613

16: 55516=5558+8=5558⋅5558 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 434 mod 613

32: 55532=55516+16=55516⋅55516 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 165 mod 613

64: 55564=55532+32=55532⋅55532 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 253 mod 613

555117

= 55564+32+16+4+1

= 55564⋅55532⋅55516⋅5554⋅5551

≡ 253 ⋅ 165 ⋅ 434 ⋅ 516 ⋅ 555 mod 613
≡ 41745 ⋅ 434 ⋅ 516 ⋅ 555 mod 613 ≡ 61 ⋅ 434 ⋅ 516 ⋅ 555 mod 613
≡ 26474 ⋅ 516 ⋅ 555 mod 613 ≡ 115 ⋅ 516 ⋅ 555 mod 613
≡ 59340 ⋅ 555 mod 613 ≡ 492 ⋅ 555 mod 613
≡ 273060 mod 613 ≡ 275 mod 613

Es gilt also: 555117 ≡ 275 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 43

=>79 = 1⋅43 + 36
=>43 = 1⋅36 + 7
=>36 = 5⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 36-5⋅7
7= 43-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅36 -5⋅(43 -1⋅ 36)
= 1⋅36 -5⋅43 +5⋅ 36)
= -5⋅43 +6⋅ 36 (=1)
36= 79-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅43 +6⋅(79 -1⋅ 43)
= -5⋅43 +6⋅79 -6⋅ 43)
= 6⋅79 -11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(79,43)=1 = 6⋅79 -11⋅43

oder wenn man 6⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅79 = -11⋅43

-11⋅43 = -6⋅79 + 1 |+79⋅43

-11⋅43 + 79⋅43 = -6⋅79 + 79⋅43 + 1

(-11 + 79) ⋅ 43 = (-6 + 43) ⋅ 79 + 1

68⋅43 = 37⋅79 + 1

Es gilt also: 68⋅43 = 37⋅79 +1

Somit 68⋅43 = 1 mod 79

68 ist also das Inverse von 43 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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