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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (397 + 19998) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(397 + 19998) mod 4 ≡ (397 mod 4 + 19998 mod 4) mod 4.
397 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397
= 300
19998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998
= 19000
Somit gilt:
(397 + 19998) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 57) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 57) mod 5 ≡ (50 mod 5 ⋅ 57 mod 5) mod 5.
50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.
57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 57) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 67132 mod 811.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 671 -> x
2. mod(x²,811) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6711=671
2: 6712=6711+1=6711⋅6711 ≡ 671⋅671=450241 ≡ 136 mod 811
4: 6714=6712+2=6712⋅6712 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 654 mod 811
8: 6718=6714+4=6714⋅6714 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 319 mod 811
16: 67116=6718+8=6718⋅6718 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 386 mod 811
32: 67132=67116+16=67116⋅67116 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 583 mod 811
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 872147 mod 967.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:
147 = 128+16+2+1
1: 8721=872
2: 8722=8721+1=8721⋅8721 ≡ 872⋅872=760384 ≡ 322 mod 967
4: 8724=8722+2=8722⋅8722 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 215 mod 967
8: 8728=8724+4=8724⋅8724 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 776 mod 967
16: 87216=8728+8=8728⋅8728 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 702 mod 967
32: 87232=87216+16=87216⋅87216 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 601 mod 967
64: 87264=87232+32=87232⋅87232 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 510 mod 967
128: 872128=87264+64=87264⋅87264 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 944 mod 967
872147
= 872128+16+2+1
= 872128⋅87216⋅8722⋅8721
≡ 944 ⋅ 702 ⋅ 322 ⋅ 872 mod 967
≡ 662688 ⋅ 322 ⋅ 872 mod 967 ≡ 293 ⋅ 322 ⋅ 872 mod 967
≡ 94346 ⋅ 872 mod 967 ≡ 547 ⋅ 872 mod 967
≡ 476984 mod 967 ≡ 253 mod 967
Es gilt also: 872147 ≡ 253 mod 967
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48
| =>89 | = 1⋅48 + 41 |
| =>48 | = 1⋅41 + 7 |
| =>41 | = 5⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 41-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7) = -1⋅41 +6⋅ 7 (=1) |
| 7= 48-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41) = 6⋅48 -7⋅ 41 (=1) |
| 41= 89-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48)
= 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48) = -7⋅89 +13⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +13⋅48
Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1
Somit 13⋅48 = 1 mod 89
13 ist also das Inverse von 48 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
