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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (400 - 85) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(400 - 85) mod 8 ≡ (400 mod 8 - 85 mod 8) mod 8.
400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400
= 400
85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85
= 80
Somit gilt:
(400 - 85) mod 8 ≡ (0 - 5) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 72) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 72) mod 6 ≡ (78 mod 6 ⋅ 72 mod 6) mod 6.
78 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 13 ⋅ 6 + 0 ist.
72 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 12 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 72) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31116 mod 317.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 311 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3111=311
2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 36 mod 317
4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 28 mod 317
8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 28⋅28=784 ≡ 150 mod 317
16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 310 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56267 mod 653.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 5621=562
2: 5622=5621+1=5621⋅5621 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 445 mod 653
4: 5624=5622+2=5622⋅5622 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 166 mod 653
8: 5628=5624+4=5624⋅5624 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 130 mod 653
16: 56216=5628+8=5628⋅5628 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 575 mod 653
32: 56232=56216+16=56216⋅56216 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 207 mod 653
64: 56264=56232+32=56232⋅56232 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 404 mod 653
56267
= 56264+2+1
= 56264⋅5622⋅5621
≡ 404 ⋅ 445 ⋅ 562 mod 653
≡ 179780 ⋅ 562 mod 653 ≡ 205 ⋅ 562 mod 653
≡ 115210 mod 653 ≡ 282 mod 653
Es gilt also: 56267 ≡ 282 mod 653
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 52
| =>61 | = 1⋅52 + 9 |
| =>52 | = 5⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-5⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(52 -5⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅52 -20⋅ 9) = 4⋅52 -23⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅52 -23⋅(61 -1⋅ 52)
= 4⋅52 -23⋅61 +23⋅ 52) = -23⋅61 +27⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,52)=1 = -23⋅61 +27⋅52
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +27⋅52
Es gilt also: 27⋅52 = 23⋅61 +1
Somit 27⋅52 = 1 mod 61
27 ist also das Inverse von 52 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.