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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 - 8000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 - 8000) mod 4 ≡ (79 mod 4 - 8000 mod 4) mod 4.
79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79
= 80
8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000
= 8000
Somit gilt:
(79 - 8000) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 62) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 62) mod 11 ≡ (61 mod 11 ⋅ 62 mod 11) mod 11.
61 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 55 + 6 = 5 ⋅ 11 + 6 ist.
62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 62) mod 11 ≡ (6 ⋅ 7) mod 11 ≡ 42 mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21564 mod 281.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 215 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2151=215
2: 2152=2151+1=2151⋅2151 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 141 mod 281
4: 2154=2152+2=2152⋅2152 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 211 mod 281
8: 2158=2154+4=2154⋅2154 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 123 mod 281
16: 21516=2158+8=2158⋅2158 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 236 mod 281
32: 21532=21516+16=21516⋅21516 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 58 mod 281
64: 21564=21532+32=21532⋅21532 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 273 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 211104 mod 463.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:
104 = 64+32+8
1: 2111=211
2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 73 mod 463
4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 236 mod 463
8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 136 mod 463
16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 439 mod 463
32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 113 mod 463
64: 21164=21132+32=21132⋅21132 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 268 mod 463
211104
= 21164+32+8
= 21164⋅21132⋅2118
≡ 268 ⋅ 113 ⋅ 136 mod 463
≡ 30284 ⋅ 136 mod 463 ≡ 189 ⋅ 136 mod 463
≡ 25704 mod 463 ≡ 239 mod 463
Es gilt also: 211104 ≡ 239 mod 463
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40
| =>97 | = 2⋅40 + 17 |
| =>40 | = 2⋅17 + 6 |
| =>17 | = 2⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 17-2⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6) = -1⋅17 +3⋅ 6 (=1) |
| 6= 40-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17)
= -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17) = 3⋅40 -7⋅ 17 (=1) |
| 17= 97-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40)
= 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40) = -7⋅97 +17⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +17⋅40
Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1
Somit 17⋅40 = 1 mod 97
17 ist also das Inverse von 40 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.