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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (151 - 2997) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(151 - 2997) mod 3 ≡ (151 mod 3 - 2997 mod 3) mod 3.

151 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 3 ⋅ 50 +1.

2997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997 = 3000-3 = 3 ⋅ 1000 -3 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(151 - 2997) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 49) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 49) mod 3 ≡ (51 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.

51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 49) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6728 mod 727.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 672 -> x
2. mod(x²,727) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6721=672

2: 6722=6721+1=6721⋅6721 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 117 mod 727

4: 6724=6722+2=6722⋅6722 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 603 mod 727

8: 6728=6724+4=6724⋅6724 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 109 mod 727

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 532132 mod 557.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 132 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 132 an und zerlegen 132 in eine Summer von 2er-Potenzen:

132 = 128+4

1: 5321=532

2: 5322=5321+1=5321⋅5321 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 68 mod 557

4: 5324=5322+2=5322⋅5322 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 168 mod 557

8: 5328=5324+4=5324⋅5324 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 374 mod 557

16: 53216=5328+8=5328⋅5328 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 69 mod 557

32: 53232=53216+16=53216⋅53216 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 305 mod 557

64: 53264=53232+32=53232⋅53232 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 6 mod 557

128: 532128=53264+64=53264⋅53264 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 557

532132

= 532128+4

= 532128⋅5324

≡ 36 ⋅ 168 mod 557
≡ 6048 mod 557 ≡ 478 mod 557

Es gilt also: 532132 ≡ 478 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 58

=>97 = 1⋅58 + 39
=>58 = 1⋅39 + 19
=>39 = 2⋅19 + 1
=>19 = 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 39-2⋅19
19= 58-1⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅39 -2⋅(58 -1⋅ 39)
= 1⋅39 -2⋅58 +2⋅ 39)
= -2⋅58 +3⋅ 39 (=1)
39= 97-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅58 +3⋅(97 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +3⋅97 -3⋅ 58)
= 3⋅97 -5⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(97,58)=1 = 3⋅97 -5⋅58

oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅97 = -5⋅58

-5⋅58 = -3⋅97 + 1 |+97⋅58

-5⋅58 + 97⋅58 = -3⋅97 + 97⋅58 + 1

(-5 + 97) ⋅ 58 = (-3 + 58) ⋅ 97 + 1

92⋅58 = 55⋅97 + 1

Es gilt also: 92⋅58 = 55⋅97 +1

Somit 92⋅58 = 1 mod 97

92 ist also das Inverse von 58 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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