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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1604 + 1996) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1604 + 1996) mod 4 ≡ (1604 mod 4 + 1996 mod 4) mod 4.

1604 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604 = 1600+4 = 4 ⋅ 400 +4.

1996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996 = 1900+96 = 4 ⋅ 475 +96.

Somit gilt:

(1604 + 1996) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 38) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 38) mod 7 ≡ (75 mod 7 ⋅ 38 mod 7) mod 7.

75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 10 ⋅ 7 + 5 ist.

38 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 5 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 38) mod 7 ≡ (5 ⋅ 3) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 182128 mod 547.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 182 -> x
2. mod(x²,547) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1821=182

2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 304 mod 547

4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 520 mod 547

8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 182 mod 547

16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 304 mod 547

32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 520 mod 547

64: 18264=18232+32=18232⋅18232 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 182 mod 547

128: 182128=18264+64=18264⋅18264 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 304 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 238141 mod 461.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 141 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 141 an und zerlegen 141 in eine Summer von 2er-Potenzen:

141 = 128+8+4+1

1: 2381=238

2: 2382=2381+1=2381⋅2381 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 402 mod 461

4: 2384=2382+2=2382⋅2382 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 254 mod 461

8: 2388=2384+4=2384⋅2384 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 437 mod 461

16: 23816=2388+8=2388⋅2388 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 115 mod 461

32: 23832=23816+16=23816⋅23816 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 317 mod 461

64: 23864=23832+32=23832⋅23832 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 452 mod 461

128: 238128=23864+64=23864⋅23864 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 81 mod 461

238141

= 238128+8+4+1

= 238128⋅2388⋅2384⋅2381

≡ 81 ⋅ 437 ⋅ 254 ⋅ 238 mod 461
≡ 35397 ⋅ 254 ⋅ 238 mod 461 ≡ 361 ⋅ 254 ⋅ 238 mod 461
≡ 91694 ⋅ 238 mod 461 ≡ 416 ⋅ 238 mod 461
≡ 99008 mod 461 ≡ 354 mod 461

Es gilt also: 238141 ≡ 354 mod 461

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45

=>97 = 2⋅45 + 7
=>45 = 6⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 45-6⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7)
= -2⋅45 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-2⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45)
= 13⋅97 -28⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -28⋅45

-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45

-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1

(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1

69⋅45 = 32⋅97 + 1

Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1

Somit 69⋅45 = 1 mod 97

69 ist also das Inverse von 45 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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