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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2500 + 9998) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2500 + 9998) mod 5 ≡ (2500 mod 5 + 9998 mod 5) mod 5.
2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500
= 2500
9998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9998
= 9000
Somit gilt:
(2500 + 9998) mod 5 ≡ (0 + 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 72) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 72) mod 9 ≡ (79 mod 9 ⋅ 72 mod 9) mod 9.
79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.
72 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 8 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 72) mod 9 ≡ (7 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 64564 mod 859.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 645 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6451=645
2: 6452=6451+1=6451⋅6451 ≡ 645⋅645=416025 ≡ 269 mod 859
4: 6454=6452+2=6452⋅6452 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 205 mod 859
8: 6458=6454+4=6454⋅6454 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 793 mod 859
16: 64516=6458+8=6458⋅6458 ≡ 793⋅793=628849 ≡ 61 mod 859
32: 64532=64516+16=64516⋅64516 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 285 mod 859
64: 64564=64532+32=64532⋅64532 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 479 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 825200 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:
200 = 128+64+8
1: 8251=825
2: 8252=8251+1=8251⋅8251 ≡ 825⋅825=680625 ≡ 196 mod 839
4: 8254=8252+2=8252⋅8252 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 661 mod 839
8: 8258=8254+4=8254⋅8254 ≡ 661⋅661=436921 ≡ 641 mod 839
16: 82516=8258+8=8258⋅8258 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 610 mod 839
32: 82532=82516+16=82516⋅82516 ≡ 610⋅610=372100 ≡ 423 mod 839
64: 82564=82532+32=82532⋅82532 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 222 mod 839
128: 825128=82564+64=82564⋅82564 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 622 mod 839
825200
= 825128+64+8
= 825128⋅82564⋅8258
≡ 622 ⋅ 222 ⋅ 641 mod 839
≡ 138084 ⋅ 641 mod 839 ≡ 488 ⋅ 641 mod 839
≡ 312808 mod 839 ≡ 700 mod 839
Es gilt also: 825200 ≡ 700 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 70.
Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70
| =>79 | = 1⋅70 + 9 |
| =>70 | = 7⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,70)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 70-7⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9) = 4⋅70 -31⋅ 9 (=1) |
| 9= 79-1⋅70 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70) = -31⋅79 +35⋅ 70 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70
oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅79 = +35⋅70
Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1
Somit 35⋅70 = 1 mod 79
35 ist also das Inverse von 70 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
