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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14006 - 71) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14006 - 71) mod 7 ≡ (14006 mod 7 - 71 mod 7) mod 7.
14006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14006
= 14000
71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71
= 70
Somit gilt:
(14006 - 71) mod 7 ≡ (6 - 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 74) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 74) mod 8 ≡ (37 mod 8 ⋅ 74 mod 8) mod 8.
37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.
74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 9 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 74) mod 8 ≡ (5 ⋅ 2) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25516 mod 823.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 255 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2551=255
2: 2552=2551+1=2551⋅2551 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 8 mod 823
4: 2554=2552+2=2552⋅2552 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 823
8: 2558=2554+4=2554⋅2554 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 804 mod 823
16: 25516=2558+8=2558⋅2558 ≡ 804⋅804=646416 ≡ 361 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 392231 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:
231 = 128+64+32+4+2+1
1: 3921=392
2: 3922=3921+1=3921⋅3921 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 633 mod 769
4: 3924=3922+2=3922⋅3922 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 40 mod 769
8: 3928=3924+4=3924⋅3924 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 62 mod 769
16: 39216=3928+8=3928⋅3928 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 768 mod 769
32: 39232=39216+16=39216⋅39216 ≡ 768⋅768=589824 ≡ 1 mod 769
64: 39264=39232+32=39232⋅39232 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 769
128: 392128=39264+64=39264⋅39264 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 769
392231
= 392128+64+32+4+2+1
= 392128⋅39264⋅39232⋅3924⋅3922⋅3921
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 40 ⋅ 633 ⋅ 392 mod 769
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 40 ⋅ 633 ⋅ 392 mod 769
≡ 1 ⋅ 40 ⋅ 633 ⋅ 392 mod 769
≡ 40 ⋅ 633 ⋅ 392 mod 769
≡ 25320 ⋅ 392 mod 769 ≡ 712 ⋅ 392 mod 769
≡ 279104 mod 769 ≡ 726 mod 769
Es gilt also: 392231 ≡ 726 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 87.
Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87
| =>101 | = 1⋅87 + 14 |
| =>87 | = 6⋅14 + 3 |
| =>14 | = 4⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,87)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 14-4⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1) |
| 3= 87-6⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +5⋅(87 -6⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅87 -30⋅ 14) = 5⋅87 -31⋅ 14 (=1) |
| 14= 101-1⋅87 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅87 -31⋅(101 -1⋅ 87)
= 5⋅87 -31⋅101 +31⋅ 87) = -31⋅101 +36⋅ 87 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,87)=1 = -31⋅101 +36⋅87
oder wenn man -31⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅101 = +36⋅87
Es gilt also: 36⋅87 = 31⋅101 +1
Somit 36⋅87 = 1 mod 101
36 ist also das Inverse von 87 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
