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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (895 - 9008) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(895 - 9008) mod 9 ≡ (895 mod 9 - 9008 mod 9) mod 9.

895 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 895 = 900-5 = 9 ⋅ 100 -5 = 9 ⋅ 100 - 9 + 4.

9008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9008 = 9000+8 = 9 ⋅ 1000 +8.

Somit gilt:

(895 - 9008) mod 9 ≡ (4 - 8) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 63) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 63) mod 6 ≡ (75 mod 6 ⋅ 63 mod 6) mod 6.

75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.

63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 10 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 63) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21032 mod 251.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 210 -> x
2. mod(x²,251) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2101=210

2: 2102=2101+1=2101⋅2101 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 175 mod 251

4: 2104=2102+2=2102⋅2102 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 3 mod 251

8: 2108=2104+4=2104⋅2104 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 251

16: 21016=2108+8=2108⋅2108 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 251

32: 21032=21016+16=21016⋅21016 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 35 mod 251

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 143200 mod 307.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:

200 = 128+64+8

1: 1431=143

2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 187 mod 307

4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 278 mod 307

8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 227 mod 307

16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 260 mod 307

32: 14332=14316+16=14316⋅14316 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 60 mod 307

64: 14364=14332+32=14332⋅14332 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 223 mod 307

128: 143128=14364+64=14364⋅14364 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 302 mod 307

143200

= 143128+64+8

= 143128⋅14364⋅1438

302 ⋅ 223 ⋅ 227 mod 307
67346 ⋅ 227 mod 307 ≡ 113 ⋅ 227 mod 307
25651 mod 307 ≡ 170 mod 307

Es gilt also: 143200 ≡ 170 mod 307

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 40

=>71 = 1⋅40 + 31
=>40 = 1⋅31 + 9
=>31 = 3⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 31-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9)
= -2⋅31 +7⋅ 9 (=1)
9= 40-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅31 +7⋅(40 -1⋅ 31)
= -2⋅31 +7⋅40 -7⋅ 31)
= 7⋅40 -9⋅ 31 (=1)
31= 71-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅40 -9⋅(71 -1⋅ 40)
= 7⋅40 -9⋅71 +9⋅ 40)
= -9⋅71 +16⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(71,40)=1 = -9⋅71 +16⋅40

oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅71 = +16⋅40

Es gilt also: 16⋅40 = 9⋅71 +1

Somit 16⋅40 = 1 mod 71

16 ist also das Inverse von 40 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.