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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9003 + 3001) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9003 + 3001) mod 3 ≡ (9003 mod 3 + 3001 mod 3) mod 3.

9003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003 = 9000+3 = 3 ⋅ 3000 +3.

3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001 = 3000+1 = 3 ⋅ 1000 +1.

Somit gilt:

(9003 + 3001) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 94) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 94) mod 4 ≡ (78 mod 4 ⋅ 94 mod 4) mod 4.

78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 76 + 2 = 19 ⋅ 4 + 2 ist.

94 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 92 + 2 = 23 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 94) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 183⁸ mod 433.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 183 -> x
2. mod(x²,433) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 183¹=183

2: 183²=183¹⁺¹=183¹⋅183¹ ≡ 183⋅183=33489 ≡ 148 mod 433

4: 183⁴=183²⁺²=183²⋅183² ≡ 148⋅148=21904 ≡ 254 mod 433

8: 183⁸=183⁴⁺⁴=183⁴⋅183⁴ ≡ 254⋅254=64516 ≡ 432 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 92⁶³ mod 293.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

1: 92¹=92

2: 92²=92¹⁺¹=92¹⋅92¹ ≡ 92⋅92=8464 ≡ 260 mod 293

4: 92⁴=92²⁺²=92²⋅92² ≡ 260⋅260=67600 ≡ 210 mod 293

8: 92⁸=92⁴⁺⁴=92⁴⋅92⁴ ≡ 210⋅210=44100 ≡ 150 mod 293

16: 92¹⁶=92⁸⁺⁸=92⁸⋅92⁸ ≡ 150⋅150=22500 ≡ 232 mod 293

32: 92³²=92¹⁶⁺¹⁶=92¹⁶⋅92¹⁶ ≡ 232⋅232=53824 ≡ 205 mod 293

92⁶³

= 92^{32+16+8+4+2+1}

= 92³²⋅92¹⁶⋅92⁸⋅92⁴⋅92²⋅92¹

≡ 205 ⋅ 232 ⋅ 150 ⋅ 210 ⋅ 260 ⋅ 92 mod 293
≡ 47560 ⋅ 150 ⋅ 210 ⋅ 260 ⋅ 92 mod 293 ≡ 94 ⋅ 150 ⋅ 210 ⋅ 260 ⋅ 92 mod 293
≡ 14100 ⋅ 210 ⋅ 260 ⋅ 92 mod 293 ≡ 36 ⋅ 210 ⋅ 260 ⋅ 92 mod 293
≡ 7560 ⋅ 260 ⋅ 92 mod 293 ≡ 235 ⋅ 260 ⋅ 92 mod 293
≡ 61100 ⋅ 92 mod 293 ≡ 156 ⋅ 92 mod 293
≡ 14352 mod 293 ≡ 288 mod 293

Es gilt also: 92⁶³ ≡ 288 mod 293

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 33

=>83	= 2⋅33 + 17
=>33	= 1⋅17 + 16
=>17	= 1⋅16 + 1
=>16	= 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 33-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -1⋅(33 -1⋅ 17) = 1⋅17 -1⋅33 +1⋅ 17) = -1⋅33 +2⋅ 17 (=1)
17= 83-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅33 +2⋅(83 -2⋅ 33) = -1⋅33 +2⋅83 -4⋅ 33) = 2⋅83 -5⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(83,33)=1 = 2⋅83 -5⋅33

oder wenn man 2⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅83 = -5⋅33

-5⋅33 = -2⋅83 + 1 |+83⋅33

-5⋅33 + 83⋅33 = -2⋅83 + 83⋅33 + 1

(-5 + 83) ⋅ 33 = (-2 + 33) ⋅ 83 + 1

78⋅33 = 31⋅83 + 1

Es gilt also: 78⋅33 = 31⋅83 +1

Somit 78⋅33 = 1 mod 83

78 ist also das Inverse von 33 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 33

Schlüsselpaar für RSA