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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26995 + 178) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26995 + 178) mod 9 ≡ (26995 mod 9 + 178 mod 9) mod 9.

26995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26995 = 27000-5 = 9 ⋅ 3000 -5 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 4.

178 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 178 = 180-2 = 9 ⋅ 20 -2 = 9 ⋅ 20 - 9 + 7.

Somit gilt:

(26995 + 178) mod 9 ≡ (4 + 7) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 56) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 56) mod 4 ≡ (96 mod 4 ⋅ 56 mod 4) mod 4.

96 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 24 ⋅ 4 + 0 ist.

56 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 14 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 56) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 64516 mod 877.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 645 -> x
2. mod(x²,877) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6451=645

2: 6452=6451+1=6451⋅6451 ≡ 645⋅645=416025 ≡ 327 mod 877

4: 6454=6452+2=6452⋅6452 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 812 mod 877

8: 6458=6454+4=6454⋅6454 ≡ 812⋅812=659344 ≡ 717 mod 877

16: 64516=6458+8=6458⋅6458 ≡ 717⋅717=514089 ≡ 167 mod 877

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 405139 mod 769.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:

139 = 128+8+2+1

1: 4051=405

2: 4052=4051+1=4051⋅4051 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 228 mod 769

4: 4054=4052+2=4052⋅4052 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 461 mod 769

8: 4058=4054+4=4054⋅4054 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 277 mod 769

16: 40516=4058+8=4058⋅4058 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 598 mod 769

32: 40532=40516+16=40516⋅40516 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 19 mod 769

64: 40564=40532+32=40532⋅40532 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 769

128: 405128=40564+64=40564⋅40564 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 360 mod 769

405139

= 405128+8+2+1

= 405128⋅4058⋅4052⋅4051

≡ 360 ⋅ 277 ⋅ 228 ⋅ 405 mod 769
≡ 99720 ⋅ 228 ⋅ 405 mod 769 ≡ 519 ⋅ 228 ⋅ 405 mod 769
≡ 118332 ⋅ 405 mod 769 ≡ 675 ⋅ 405 mod 769
≡ 273375 mod 769 ≡ 380 mod 769

Es gilt also: 405139 ≡ 380 mod 769

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 84.

Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84

=>101 = 1⋅84 + 17
=>84 = 4⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 84-4⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17)
= -1⋅84 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-1⋅84 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84)
= 5⋅101 -6⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -6⋅84

-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84

-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1

(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1

95⋅84 = 79⋅101 + 1

Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1

Somit 95⋅84 = 1 mod 101

95 ist also das Inverse von 84 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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