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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1200 - 11998) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 - 11998) mod 3 ≡ (1200 mod 3 - 11998 mod 3) mod 3.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

11998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998 = 12000-2 = 3 ⋅ 4000 -2 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(1200 - 11998) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 62) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 62) mod 9 ≡ (17 mod 9 ⋅ 62 mod 9) mod 9.

17 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 9 + 8 = 1 ⋅ 9 + 8 ist.

62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 62) mod 9 ≡ (8 ⋅ 8) mod 9 ≡ 64 mod 9 ≡ 1 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 699¹⁶ mod 887.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 699 -> x
2. mod(x²,887) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 699¹=699

2: 699²=699¹⁺¹=699¹⋅699¹ ≡ 699⋅699=488601 ≡ 751 mod 887

4: 699⁴=699²⁺²=699²⋅699² ≡ 751⋅751=564001 ≡ 756 mod 887

8: 699⁸=699⁴⁺⁴=699⁴⋅699⁴ ≡ 756⋅756=571536 ≡ 308 mod 887

16: 699¹⁶=699⁸⁺⁸=699⁸⋅699⁸ ≡ 308⋅308=94864 ≡ 842 mod 887

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 402²⁵² mod 431.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:

252 = 128+64+32+16+8+4

1: 402¹=402

2: 402²=402¹⁺¹=402¹⋅402¹ ≡ 402⋅402=161604 ≡ 410 mod 431

4: 402⁴=402²⁺²=402²⋅402² ≡ 410⋅410=168100 ≡ 10 mod 431

8: 402⁸=402⁴⁺⁴=402⁴⋅402⁴ ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 431

16: 402¹⁶=402⁸⁺⁸=402⁸⋅402⁸ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 87 mod 431

32: 402³²=402¹⁶⁺¹⁶=402¹⁶⋅402¹⁶ ≡ 87⋅87=7569 ≡ 242 mod 431

64: 402⁶⁴=402³²⁺³²=402³²⋅402³² ≡ 242⋅242=58564 ≡ 379 mod 431

128: 402¹²⁸=402⁶⁴⁺⁶⁴=402⁶⁴⋅402⁶⁴ ≡ 379⋅379=143641 ≡ 118 mod 431

402²⁵²

= 402^{128+64+32+16+8+4}

= 402¹²⁸⋅402⁶⁴⋅402³²⋅402¹⁶⋅402⁸⋅402⁴

≡ 118 ⋅ 379 ⋅ 242 ⋅ 87 ⋅ 100 ⋅ 10 mod 431
≡ 44722 ⋅ 242 ⋅ 87 ⋅ 100 ⋅ 10 mod 431 ≡ 329 ⋅ 242 ⋅ 87 ⋅ 100 ⋅ 10 mod 431
≡ 79618 ⋅ 87 ⋅ 100 ⋅ 10 mod 431 ≡ 314 ⋅ 87 ⋅ 100 ⋅ 10 mod 431
≡ 27318 ⋅ 100 ⋅ 10 mod 431 ≡ 165 ⋅ 100 ⋅ 10 mod 431
≡ 16500 ⋅ 10 mod 431 ≡ 122 ⋅ 10 mod 431
≡ 1220 mod 431 ≡ 358 mod 431

Es gilt also: 402²⁵² ≡ 358 mod 431

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 35

=>73	= 2⋅35 + 3
=>35	= 11⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 73-2⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅35 +12⋅(73 -2⋅ 35) = -1⋅35 +12⋅73 -24⋅ 35) = 12⋅73 -25⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(73,35)=1 = 12⋅73 -25⋅35

oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅73 = -25⋅35

-25⋅35 = -12⋅73 + 1 |+73⋅35

-25⋅35 + 73⋅35 = -12⋅73 + 73⋅35 + 1

(-25 + 73) ⋅ 35 = (-12 + 35) ⋅ 73 + 1

48⋅35 = 23⋅73 + 1

Es gilt also: 48⋅35 = 23⋅73 +1

Somit 48⋅35 = 1 mod 73

48 ist also das Inverse von 35 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 35

Schlüsselpaar für RSA