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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8003 - 78) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8003 - 78) mod 4 ≡ (8003 mod 4 - 78 mod 4) mod 4.

8003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8003 = 8000+3 = 4 ⋅ 2000 +3.

78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 80-2 = 4 ⋅ 20 -2 = 4 ⋅ 20 - 4 + 2.

Somit gilt:

(8003 - 78) mod 4 ≡ (3 - 2) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 61) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 61) mod 8 ≡ (96 mod 8 ⋅ 61 mod 8) mod 8.

96 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 12 ⋅ 8 + 0 ist.

61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 61) mod 8 ≡ (0 ⋅ 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 332⁸ mod 499.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 332 -> x
2. mod(x²,499) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 332¹=332

2: 332²=332¹⁺¹=332¹⋅332¹ ≡ 332⋅332=110224 ≡ 444 mod 499

4: 332⁴=332²⁺²=332²⋅332² ≡ 444⋅444=197136 ≡ 31 mod 499

8: 332⁸=332⁴⁺⁴=332⁴⋅332⁴ ≡ 31⋅31=961 ≡ 462 mod 499

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 412²³⁹ mod 491.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

1: 412¹=412

2: 412²=412¹⁺¹=412¹⋅412¹ ≡ 412⋅412=169744 ≡ 349 mod 491

4: 412⁴=412²⁺²=412²⋅412² ≡ 349⋅349=121801 ≡ 33 mod 491

8: 412⁸=412⁴⁺⁴=412⁴⋅412⁴ ≡ 33⋅33=1089 ≡ 107 mod 491

16: 412¹⁶=412⁸⁺⁸=412⁸⋅412⁸ ≡ 107⋅107=11449 ≡ 156 mod 491

32: 412³²=412¹⁶⁺¹⁶=412¹⁶⋅412¹⁶ ≡ 156⋅156=24336 ≡ 277 mod 491

64: 412⁶⁴=412³²⁺³²=412³²⋅412³² ≡ 277⋅277=76729 ≡ 133 mod 491

128: 412¹²⁸=412⁶⁴⁺⁶⁴=412⁶⁴⋅412⁶⁴ ≡ 133⋅133=17689 ≡ 13 mod 491

412²³⁹

= 412^{128+64+32+8+4+2+1}

= 412¹²⁸⋅412⁶⁴⋅412³²⋅412⁸⋅412⁴⋅412²⋅412¹

≡ 13 ⋅ 133 ⋅ 277 ⋅ 107 ⋅ 33 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491
≡ 1729 ⋅ 277 ⋅ 107 ⋅ 33 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491 ≡ 256 ⋅ 277 ⋅ 107 ⋅ 33 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491
≡ 70912 ⋅ 107 ⋅ 33 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491 ≡ 208 ⋅ 107 ⋅ 33 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491
≡ 22256 ⋅ 33 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491 ≡ 161 ⋅ 33 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491
≡ 5313 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491 ≡ 403 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491
≡ 140647 ⋅ 412 mod 491 ≡ 221 ⋅ 412 mod 491
≡ 91052 mod 491 ≡ 217 mod 491

Es gilt also: 412²³⁹ ≡ 217 mod 491

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.

Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49

=>71	= 1⋅49 + 22
=>49	= 2⋅22 + 5
=>22	= 4⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 49-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22) = -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1)
22= 71-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49) = 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49

oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅71 = +29⋅49

Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1

Somit 29⋅49 = 1 mod 71

29 ist also das Inverse von 49 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49

Schlüsselpaar für RSA