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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6998 + 13995) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6998 + 13995) mod 7 ≡ (6998 mod 7 + 13995 mod 7) mod 7.

6998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6998 = 7000-2 = 7 ⋅ 1000 -2 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 5.

13995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13995 = 14000-5 = 7 ⋅ 2000 -5 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 2.

Somit gilt:

(6998 + 13995) mod 7 ≡ (5 + 2) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 43) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 43) mod 8 ≡ (76 mod 8 ⋅ 43 mod 8) mod 8.

76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 9 ⋅ 8 + 4 ist.

43 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 5 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 43) mod 8 ≡ (4 ⋅ 3) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2848 mod 467.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 284 -> x
2. mod(x²,467) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2841=284

2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 332 mod 467

4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 12 mod 467

8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 467

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 62387 mod 859.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:

87 = 64+16+4+2+1

1: 6231=623

2: 6232=6231+1=6231⋅6231 ≡ 623⋅623=388129 ≡ 720 mod 859

4: 6234=6232+2=6232⋅6232 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 423 mod 859

8: 6238=6234+4=6234⋅6234 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 257 mod 859

16: 62316=6238+8=6238⋅6238 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 765 mod 859

32: 62332=62316+16=62316⋅62316 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 246 mod 859

64: 62364=62332+32=62332⋅62332 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 386 mod 859

62387

= 62364+16+4+2+1

= 62364⋅62316⋅6234⋅6232⋅6231

386 ⋅ 765 ⋅ 423 ⋅ 720 ⋅ 623 mod 859
295290 ⋅ 423 ⋅ 720 ⋅ 623 mod 859 ≡ 653 ⋅ 423 ⋅ 720 ⋅ 623 mod 859
276219 ⋅ 720 ⋅ 623 mod 859 ≡ 480 ⋅ 720 ⋅ 623 mod 859
345600 ⋅ 623 mod 859 ≡ 282 ⋅ 623 mod 859
175686 mod 859 ≡ 450 mod 859

Es gilt also: 62387 ≡ 450 mod 859

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 29

=>61 = 2⋅29 + 3
=>29 = 9⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 29-9⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3)
= -1⋅29 +10⋅ 3 (=1)
3= 61-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +10⋅(61 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +10⋅61 -20⋅ 29)
= 10⋅61 -21⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(61,29)=1 = 10⋅61 -21⋅29

oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅61 = -21⋅29

-21⋅29 = -10⋅61 + 1 |+61⋅29

-21⋅29 + 61⋅29 = -10⋅61 + 61⋅29 + 1

(-21 + 61) ⋅ 29 = (-10 + 29) ⋅ 61 + 1

40⋅29 = 19⋅61 + 1

Es gilt also: 40⋅29 = 19⋅61 +1

Somit 40⋅29 = 1 mod 61

40 ist also das Inverse von 29 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.