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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (177 - 357) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(177 - 357) mod 9 ≡ (177 mod 9 - 357 mod 9) mod 9.
177 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177
= 180
357 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 357
= 360
Somit gilt:
(177 - 357) mod 9 ≡ (6 - 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 60) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 60) mod 7 ≡ (49 mod 7 ⋅ 60 mod 7) mod 7.
49 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 49 + 0 = 7 ⋅ 7 + 0 ist.
60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 60) mod 7 ≡ (0 ⋅ 4) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2908 mod 647.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 290 -> x
2. mod(x²,647) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2901=290
2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 637 mod 647
4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 100 mod 647
8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 295 mod 647
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 627161 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 6271=627
2: 6272=6271+1=6271⋅6271 ≡ 627⋅627=393129 ≡ 343 mod 709
4: 6274=6272+2=6272⋅6272 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 664 mod 709
8: 6278=6274+4=6274⋅6274 ≡ 664⋅664=440896 ≡ 607 mod 709
16: 62716=6278+8=6278⋅6278 ≡ 607⋅607=368449 ≡ 478 mod 709
32: 62732=62716+16=62716⋅62716 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 186 mod 709
64: 62764=62732+32=62732⋅62732 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 564 mod 709
128: 627128=62764+64=62764⋅62764 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 464 mod 709
627161
= 627128+32+1
= 627128⋅62732⋅6271
≡ 464 ⋅ 186 ⋅ 627 mod 709
≡ 86304 ⋅ 627 mod 709 ≡ 515 ⋅ 627 mod 709
≡ 322905 mod 709 ≡ 310 mod 709
Es gilt also: 627161 ≡ 310 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 31
| =>89 | = 2⋅31 + 27 |
| =>31 | = 1⋅27 + 4 |
| =>27 | = 6⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 27-6⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(27 -6⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅27 +6⋅ 4) = -1⋅27 +7⋅ 4 (=1) |
| 4= 31-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +7⋅(31 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +7⋅31 -7⋅ 27) = 7⋅31 -8⋅ 27 (=1) |
| 27= 89-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅31 -8⋅(89 -2⋅ 31)
= 7⋅31 -8⋅89 +16⋅ 31) = -8⋅89 +23⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,31)=1 = -8⋅89 +23⋅31
oder wenn man -8⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅89 = +23⋅31
Es gilt also: 23⋅31 = 8⋅89 +1
Somit 23⋅31 = 1 mod 89
23 ist also das Inverse von 31 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.