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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (248 - 155) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(248 - 155) mod 8 ≡ (248 mod 8 - 155 mod 8) mod 8.
248 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248
= 240
155 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 155
= 160
Somit gilt:
(248 - 155) mod 8 ≡ (0 - 3) mod 8 ≡ -3 mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 70) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 70) mod 5 ≡ (53 mod 5 ⋅ 70 mod 5) mod 5.
53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.
70 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 14 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 70) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6768 mod 727.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 676 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6761=676
2: 6762=6761+1=6761⋅6761 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 420 mod 727
4: 6764=6762+2=6762⋅6762 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 466 mod 727
8: 6768=6764+4=6764⋅6764 ≡ 466⋅466=217156 ≡ 510 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 450121 mod 677.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 121 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 121 an und zerlegen 121 in eine Summer von 2er-Potenzen:
121 = 64+32+16+8+1
1: 4501=450
2: 4502=4501+1=4501⋅4501 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 77 mod 677
4: 4504=4502+2=4502⋅4502 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 513 mod 677
8: 4508=4504+4=4504⋅4504 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 493 mod 677
16: 45016=4508+8=4508⋅4508 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 6 mod 677
32: 45032=45016+16=45016⋅45016 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 677
64: 45064=45032+32=45032⋅45032 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 619 mod 677
450121
= 45064+32+16+8+1
= 45064⋅45032⋅45016⋅4508⋅4501
≡ 619 ⋅ 36 ⋅ 6 ⋅ 493 ⋅ 450 mod 677
≡ 22284 ⋅ 6 ⋅ 493 ⋅ 450 mod 677 ≡ 620 ⋅ 6 ⋅ 493 ⋅ 450 mod 677
≡ 3720 ⋅ 493 ⋅ 450 mod 677 ≡ 335 ⋅ 493 ⋅ 450 mod 677
≡ 165155 ⋅ 450 mod 677 ≡ 644 ⋅ 450 mod 677
≡ 289800 mod 677 ≡ 44 mod 677
Es gilt also: 450121 ≡ 44 mod 677
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68
| =>101 | = 1⋅68 + 33 |
| =>68 | = 2⋅33 + 2 |
| =>33 | = 16⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 33-16⋅2 | |||
| 2= 68-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1) |
| 33= 101-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -49⋅68
-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68
-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1
(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1
52⋅68 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1
Somit 52⋅68 = 1 mod 101
52 ist also das Inverse von 68 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.