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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2400 - 1198) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2400 - 1198) mod 6 ≡ (2400 mod 6 - 1198 mod 6) mod 6.
2400 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400
= 2400
1198 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198
= 1200
Somit gilt:
(2400 - 1198) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 48) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 48) mod 6 ≡ (72 mod 6 ⋅ 48 mod 6) mod 6.
72 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 12 ⋅ 6 + 0 ist.
48 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 8 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 48) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 282128 mod 523.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 282 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2821=282
2: 2822=2821+1=2821⋅2821 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 28 mod 523
4: 2824=2822+2=2822⋅2822 ≡ 28⋅28=784 ≡ 261 mod 523
8: 2828=2824+4=2824⋅2824 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 131 mod 523
16: 28216=2828+8=2828⋅2828 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 425 mod 523
32: 28232=28216+16=28216⋅28216 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 190 mod 523
64: 28264=28232+32=28232⋅28232 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 13 mod 523
128: 282128=28264+64=28264⋅28264 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 265176 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:
176 = 128+32+16
1: 2651=265
2: 2652=2651+1=2651⋅2651 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 246 mod 769
4: 2654=2652+2=2652⋅2652 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 534 mod 769
8: 2658=2654+4=2654⋅2654 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 626 mod 769
16: 26516=2658+8=2658⋅2658 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 455 mod 769
32: 26532=26516+16=26516⋅26516 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 164 mod 769
64: 26564=26532+32=26532⋅26532 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 750 mod 769
128: 265128=26564+64=26564⋅26564 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 361 mod 769
265176
= 265128+32+16
= 265128⋅26532⋅26516
≡ 361 ⋅ 164 ⋅ 455 mod 769
≡ 59204 ⋅ 455 mod 769 ≡ 760 ⋅ 455 mod 769
≡ 345800 mod 769 ≡ 519 mod 769
Es gilt also: 265176 ≡ 519 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68
| =>101 | = 1⋅68 + 33 |
| =>68 | = 2⋅33 + 2 |
| =>33 | = 16⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 33-16⋅2 | |||
| 2= 68-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33) = -16⋅68 +33⋅ 33 (=1) |
| 33= 101-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68) = 33⋅101 -49⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -49⋅68
-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68
-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1
(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1
52⋅68 = 35⋅101 + 1
Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1
Somit 52⋅68 = 1 mod 101
52 ist also das Inverse von 68 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
