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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16001 + 167) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16001 + 167) mod 8 ≡ (16001 mod 8 + 167 mod 8) mod 8.
16001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001
= 16000
167 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 167
= 160
Somit gilt:
(16001 + 167) mod 8 ≡ (1 + 7) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 66) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 66) mod 7 ≡ (59 mod 7 ⋅ 66 mod 7) mod 7.
59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.
66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 9 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 66) mod 7 ≡ (3 ⋅ 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17116 mod 547.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 171 -> x
2. mod(x²,547) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1711=171
2: 1712=1711+1=1711⋅1711 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 250 mod 547
4: 1714=1712+2=1712⋅1712 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 142 mod 547
8: 1718=1714+4=1714⋅1714 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 472 mod 547
16: 17116=1718+8=1718⋅1718 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 155 mod 547
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 715168 mod 787.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:
168 = 128+32+8
1: 7151=715
2: 7152=7151+1=7151⋅7151 ≡ 715⋅715=511225 ≡ 462 mod 787
4: 7154=7152+2=7152⋅7152 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 167 mod 787
8: 7158=7154+4=7154⋅7154 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 344 mod 787
16: 71516=7158+8=7158⋅7158 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 286 mod 787
32: 71532=71516+16=71516⋅71516 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 735 mod 787
64: 71564=71532+32=71532⋅71532 ≡ 735⋅735=540225 ≡ 343 mod 787
128: 715128=71564+64=71564⋅71564 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 386 mod 787
715168
= 715128+32+8
= 715128⋅71532⋅7158
≡ 386 ⋅ 735 ⋅ 344 mod 787
≡ 283710 ⋅ 344 mod 787 ≡ 390 ⋅ 344 mod 787
≡ 134160 mod 787 ≡ 370 mod 787
Es gilt also: 715168 ≡ 370 mod 787
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18
| =>59 | = 3⋅18 + 5 |
| =>18 | = 3⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 18-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +23⋅18
Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1
Somit 23⋅18 = 1 mod 59
23 ist also das Inverse von 18 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.