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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (165 - 2406) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(165 - 2406) mod 8 ≡ (165 mod 8 - 2406 mod 8) mod 8.

165 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 165 = 160+5 = 8 ⋅ 20 +5.

2406 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406 = 2400+6 = 8 ⋅ 300 +6.

Somit gilt:

(165 - 2406) mod 8 ≡ (5 - 6) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 24) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 24) mod 11 ≡ (16 mod 11 ⋅ 24 mod 11) mod 11.

16 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 11 + 5 = 1 ⋅ 11 + 5 ist.

24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 24) mod 11 ≡ (5 ⋅ 2) mod 11 ≡ 10 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 59132 mod 659.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 591 -> x
2. mod(x²,659) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5911=591

2: 5912=5911+1=5911⋅5911 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 11 mod 659

4: 5914=5912+2=5912⋅5912 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 659

8: 5918=5914+4=5914⋅5914 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 143 mod 659

16: 59116=5918+8=5918⋅5918 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 20 mod 659

32: 59132=59116+16=59116⋅59116 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 176166 mod 557.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:

166 = 128+32+4+2

1: 1761=176

2: 1762=1761+1=1761⋅1761 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 341 mod 557

4: 1764=1762+2=1762⋅1762 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 425 mod 557

8: 1768=1764+4=1764⋅1764 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 157 mod 557

16: 17616=1768+8=1768⋅1768 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 141 mod 557

32: 17632=17616+16=17616⋅17616 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 386 mod 557

64: 17664=17632+32=17632⋅17632 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 277 mod 557

128: 176128=17664+64=17664⋅17664 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 420 mod 557

176166

= 176128+32+4+2

= 176128⋅17632⋅1764⋅1762

≡ 420 ⋅ 386 ⋅ 425 ⋅ 341 mod 557
≡ 162120 ⋅ 425 ⋅ 341 mod 557 ≡ 33 ⋅ 425 ⋅ 341 mod 557
≡ 14025 ⋅ 341 mod 557 ≡ 100 ⋅ 341 mod 557
≡ 34100 mod 557 ≡ 123 mod 557

Es gilt also: 176166 ≡ 123 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35

=>53 = 1⋅35 + 18
=>35 = 1⋅18 + 17
=>18 = 1⋅17 + 1
=>17 = 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 35-1⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18)
= -1⋅35 +2⋅ 18 (=1)
18= 53-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35)
= 2⋅53 -3⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -3⋅35

-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35

-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1

(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1

50⋅35 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1

Somit 50⋅35 = 1 mod 53

50 ist also das Inverse von 35 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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