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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26997 - 2703) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26997 - 2703) mod 9 ≡ (26997 mod 9 - 2703 mod 9) mod 9.

26997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26997 = 27000-3 = 9 ⋅ 3000 -3 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 6.

2703 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2703 = 2700+3 = 9 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(26997 - 2703) mod 9 ≡ (6 - 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 60) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 60) mod 8 ≡ (63 mod 8 ⋅ 60 mod 8) mod 8.

63 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 56 + 7 = 7 ⋅ 8 + 7 ist.

60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 60) mod 8 ≡ (7 ⋅ 4) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 518128 mod 887.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 518 -> x
2. mod(x²,887) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5181=518

2: 5182=5181+1=5181⋅5181 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 450 mod 887

4: 5184=5182+2=5182⋅5182 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 264 mod 887

8: 5188=5184+4=5184⋅5184 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 510 mod 887

16: 51816=5188+8=5188⋅5188 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 209 mod 887

32: 51832=51816+16=51816⋅51816 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 218 mod 887

64: 51864=51832+32=51832⋅51832 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 513 mod 887

128: 518128=51864+64=51864⋅51864 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 617 mod 887

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 751146 mod 907.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:

146 = 128+16+2

1: 7511=751

2: 7512=7511+1=7511⋅7511 ≡ 751⋅751=564001 ≡ 754 mod 907

4: 7514=7512+2=7512⋅7512 ≡ 754⋅754=568516 ≡ 734 mod 907

8: 7518=7514+4=7514⋅7514 ≡ 734⋅734=538756 ≡ 905 mod 907

16: 75116=7518+8=7518⋅7518 ≡ 905⋅905=819025 ≡ 4 mod 907

32: 75132=75116+16=75116⋅75116 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 907

64: 75164=75132+32=75132⋅75132 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 907

128: 751128=75164+64=75164⋅75164 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 232 mod 907

751146

= 751128+16+2

= 751128⋅75116⋅7512

≡ 232 ⋅ 4 ⋅ 754 mod 907
≡ 928 ⋅ 754 mod 907 ≡ 21 ⋅ 754 mod 907
≡ 15834 mod 907 ≡ 415 mod 907

Es gilt also: 751146 ≡ 415 mod 907

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 55

=>59 = 1⋅55 + 4
=>55 = 13⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 55-13⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(55 -13⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅55 +13⋅ 4)
= -1⋅55 +14⋅ 4 (=1)
4= 59-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅55 +14⋅(59 -1⋅ 55)
= -1⋅55 +14⋅59 -14⋅ 55)
= 14⋅59 -15⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(59,55)=1 = 14⋅59 -15⋅55

oder wenn man 14⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -14⋅59 = -15⋅55

-15⋅55 = -14⋅59 + 1 |+59⋅55

-15⋅55 + 59⋅55 = -14⋅59 + 59⋅55 + 1

(-15 + 59) ⋅ 55 = (-14 + 55) ⋅ 59 + 1

44⋅55 = 41⋅59 + 1

Es gilt also: 44⋅55 = 41⋅59 +1

Somit 44⋅55 = 1 mod 59

44 ist also das Inverse von 55 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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