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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (160 + 2397) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(160 + 2397) mod 8 ≡ (160 mod 8 + 2397 mod 8) mod 8.
160 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160
= 160
2397 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397
= 2400
Somit gilt:
(160 + 2397) mod 8 ≡ (0 + 5) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 95) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 95) mod 8 ≡ (92 mod 8 ⋅ 95 mod 8) mod 8.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
95 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 11 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 95) mod 8 ≡ (4 ⋅ 7) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 286128 mod 409.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 286 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2861=286
2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 405 mod 409
4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 16 mod 409
8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 409
16: 28616=2868+8=2868⋅2868 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 96 mod 409
32: 28632=28616+16=28616⋅28616 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 218 mod 409
64: 28664=28632+32=28632⋅28632 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 80 mod 409
128: 286128=28664+64=28664⋅28664 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 265 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 585225 mod 797.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:
225 = 128+64+32+1
1: 5851=585
2: 5852=5851+1=5851⋅5851 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 312 mod 797
4: 5854=5852+2=5852⋅5852 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 110 mod 797
8: 5858=5854+4=5854⋅5854 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 145 mod 797
16: 58516=5858+8=5858⋅5858 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 303 mod 797
32: 58532=58516+16=58516⋅58516 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 154 mod 797
64: 58564=58532+32=58532⋅58532 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 603 mod 797
128: 585128=58564+64=58564⋅58564 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 177 mod 797
585225
= 585128+64+32+1
= 585128⋅58564⋅58532⋅5851
≡ 177 ⋅ 603 ⋅ 154 ⋅ 585 mod 797
≡ 106731 ⋅ 154 ⋅ 585 mod 797 ≡ 730 ⋅ 154 ⋅ 585 mod 797
≡ 112420 ⋅ 585 mod 797 ≡ 43 ⋅ 585 mod 797
≡ 25155 mod 797 ≡ 448 mod 797
Es gilt also: 585225 ≡ 448 mod 797
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 48
| =>101 | = 2⋅48 + 5 |
| =>48 | = 9⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 48-9⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1) |
| 5= 101-2⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅48 -19⋅(101 -2⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅101 +38⋅ 48) = -19⋅101 +40⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,48)=1 = -19⋅101 +40⋅48
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +40⋅48
Es gilt also: 40⋅48 = 19⋅101 +1
Somit 40⋅48 = 1 mod 101
40 ist also das Inverse von 48 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.