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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1402 + 353) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1402 + 353) mod 7 ≡ (1402 mod 7 + 353 mod 7) mod 7.
1402 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1402
= 1400
353 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 353
= 350
Somit gilt:
(1402 + 353) mod 7 ≡ (2 + 3) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 92) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 92) mod 7 ≡ (36 mod 7 ⋅ 92 mod 7) mod 7.
36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.
92 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 91 + 1 = 13 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 92) mod 7 ≡ (1 ⋅ 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3018 mod 557.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 301 -> x
2. mod(x²,557) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3011=301
2: 3012=3011+1=3011⋅3011 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 367 mod 557
4: 3014=3012+2=3012⋅3012 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 452 mod 557
8: 3018=3014+4=3014⋅3014 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 442 mod 557
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 515118 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:
118 = 64+32+16+4+2
1: 5151=515
2: 5152=5151+1=5151⋅5151 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 460 mod 929
4: 5154=5152+2=5152⋅5152 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 717 mod 929
8: 5158=5154+4=5154⋅5154 ≡ 717⋅717=514089 ≡ 352 mod 929
16: 51516=5158+8=5158⋅5158 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 347 mod 929
32: 51532=51516+16=51516⋅51516 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 568 mod 929
64: 51564=51532+32=51532⋅51532 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 261 mod 929
515118
= 51564+32+16+4+2
= 51564⋅51532⋅51516⋅5154⋅5152
≡ 261 ⋅ 568 ⋅ 347 ⋅ 717 ⋅ 460 mod 929
≡ 148248 ⋅ 347 ⋅ 717 ⋅ 460 mod 929 ≡ 537 ⋅ 347 ⋅ 717 ⋅ 460 mod 929
≡ 186339 ⋅ 717 ⋅ 460 mod 929 ≡ 539 ⋅ 717 ⋅ 460 mod 929
≡ 386463 ⋅ 460 mod 929 ≡ 928 ⋅ 460 mod 929
≡ 426880 mod 929 ≡ 469 mod 929
Es gilt also: 515118 ≡ 469 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 72
| =>89 | = 1⋅72 + 17 |
| =>72 | = 4⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 72-4⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(72 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅72 +16⋅ 17) = -4⋅72 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 89-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅72 +17⋅(89 -1⋅ 72)
= -4⋅72 +17⋅89 -17⋅ 72) = 17⋅89 -21⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,72)=1 = 17⋅89 -21⋅72
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -21⋅72
-21⋅72 = -17⋅89 + 1 |+89⋅72
-21⋅72 + 89⋅72 = -17⋅89 + 89⋅72 + 1
(-21 + 89) ⋅ 72 = (-17 + 72) ⋅ 89 + 1
68⋅72 = 55⋅89 + 1
Es gilt also: 68⋅72 = 55⋅89 +1
Somit 68⋅72 = 1 mod 89
68 ist also das Inverse von 72 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.