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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15002 - 12000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15002 - 12000) mod 3 ≡ (15002 mod 3 - 12000 mod 3) mod 3.

15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002 = 15000+2 = 3 ⋅ 5000 +2.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(15002 - 12000) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 91) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 91) mod 4 ≡ (27 mod 4 ⋅ 91 mod 4) mod 4.

27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.

91 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 22 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 91) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 72832 mod 919.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 728 -> x
2. mod(x²,919) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7281=728

2: 7282=7281+1=7281⋅7281 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 640 mod 919

4: 7284=7282+2=7282⋅7282 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 645 mod 919

8: 7288=7284+4=7284⋅7284 ≡ 645⋅645=416025 ≡ 637 mod 919

16: 72816=7288+8=7288⋅7288 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 490 mod 919

32: 72832=72816+16=72816⋅72816 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 241 mod 919

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 493207 mod 601.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

1: 4931=493

2: 4932=4931+1=4931⋅4931 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 245 mod 601

4: 4934=4932+2=4932⋅4932 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 526 mod 601

8: 4938=4934+4=4934⋅4934 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 216 mod 601

16: 49316=4938+8=4938⋅4938 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 379 mod 601

32: 49332=49316+16=49316⋅49316 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 2 mod 601

64: 49364=49332+32=49332⋅49332 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 601

128: 493128=49364+64=49364⋅49364 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 601

493207

= 493128+64+8+4+2+1

= 493128⋅49364⋅4938⋅4934⋅4932⋅4931

16 ⋅ 4 ⋅ 216 ⋅ 526 ⋅ 245 ⋅ 493 mod 601
64 ⋅ 216 ⋅ 526 ⋅ 245 ⋅ 493 mod 601
13824 ⋅ 526 ⋅ 245 ⋅ 493 mod 601 ≡ 1 ⋅ 526 ⋅ 245 ⋅ 493 mod 601
526 ⋅ 245 ⋅ 493 mod 601
128870 ⋅ 493 mod 601 ≡ 256 ⋅ 493 mod 601
126208 mod 601 ≡ 599 mod 601

Es gilt also: 493207 ≡ 599 mod 601

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 28

=>71 = 2⋅28 + 15
=>28 = 1⋅15 + 13
=>15 = 1⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 15-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13)
= -6⋅15 +7⋅ 13 (=1)
13= 28-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅15 +7⋅(28 -1⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅28 -7⋅ 15)
= 7⋅28 -13⋅ 15 (=1)
15= 71-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅28 -13⋅(71 -2⋅ 28)
= 7⋅28 -13⋅71 +26⋅ 28)
= -13⋅71 +33⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(71,28)=1 = -13⋅71 +33⋅28

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +33⋅28

Es gilt also: 33⋅28 = 13⋅71 +1

Somit 33⋅28 = 1 mod 71

33 ist also das Inverse von 28 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.