nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (273 - 279) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(273 - 279) mod 9 ≡ (273 mod 9 - 279 mod 9) mod 9.

273 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 273 = 270+3 = 9 ⋅ 30 +3.

279 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 279 = 270+9 = 9 ⋅ 30 +9.

Somit gilt:

(273 - 279) mod 9 ≡ (3 - 0) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 63) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 63) mod 10 ≡ (45 mod 10 ⋅ 63 mod 10) mod 10.

45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.

63 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 6 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 63) mod 10 ≡ (5 ⋅ 3) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 235128 mod 439.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 235 -> x
2. mod(x²,439) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2351=235

2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 350 mod 439

4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 19 mod 439

8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 439

16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 377 mod 439

32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 332 mod 439

64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 35 mod 439

128: 235128=23564+64=23564⋅23564 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 347 mod 439

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 222196 mod 431.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:

196 = 128+64+4

1: 2221=222

2: 2222=2221+1=2221⋅2221 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 150 mod 431

4: 2224=2222+2=2222⋅2222 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 88 mod 431

8: 2228=2224+4=2224⋅2224 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 417 mod 431

16: 22216=2228+8=2228⋅2228 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 196 mod 431

32: 22232=22216+16=22216⋅22216 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 57 mod 431

64: 22264=22232+32=22232⋅22232 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 232 mod 431

128: 222128=22264+64=22264⋅22264 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 380 mod 431

222196

= 222128+64+4

= 222128⋅22264⋅2224

380 ⋅ 232 ⋅ 88 mod 431
88160 ⋅ 88 mod 431 ≡ 236 ⋅ 88 mod 431
20768 mod 431 ≡ 80 mod 431

Es gilt also: 222196 ≡ 80 mod 431

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 88.

Also bestimme x, so dass 88 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 88

=>101 = 1⋅88 + 13
=>88 = 6⋅13 + 10
=>13 = 1⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,88)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 13-1⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10)
= -3⋅13 +4⋅ 10 (=1)
10= 88-6⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅13 +4⋅(88 -6⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅88 -24⋅ 13)
= 4⋅88 -27⋅ 13 (=1)
13= 101-1⋅88 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅88 -27⋅(101 -1⋅ 88)
= 4⋅88 -27⋅101 +27⋅ 88)
= -27⋅101 +31⋅ 88 (=1)

Es gilt also: ggt(101,88)=1 = -27⋅101 +31⋅88

oder wenn man -27⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅101 = +31⋅88

Es gilt also: 31⋅88 = 27⋅101 +1

Somit 31⋅88 = 1 mod 101

31 ist also das Inverse von 88 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.