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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4497 - 17997) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4497 - 17997) mod 9 ≡ (4497 mod 9 - 17997 mod 9) mod 9.

4497 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4497 = 4500-3 = 9 ⋅ 500 -3 = 9 ⋅ 500 - 9 + 6.

17997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17997 = 18000-3 = 9 ⋅ 2000 -3 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 6.

Somit gilt:

(4497 - 17997) mod 9 ≡ (6 - 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 39) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 39) mod 11 ≡ (91 mod 11 ⋅ 39 mod 11) mod 11.

91 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 8 ⋅ 11 + 3 ist.

39 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 33 + 6 = 3 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 39) mod 11 ≡ (3 ⋅ 6) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 221128 mod 419.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 221 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2211=221

2: 2212=2211+1=2211⋅2211 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 237 mod 419

4: 2214=2212+2=2212⋅2212 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 23 mod 419

8: 2218=2214+4=2214⋅2214 ≡ 23⋅23=529 ≡ 110 mod 419

16: 22116=2218+8=2218⋅2218 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 368 mod 419

32: 22132=22116+16=22116⋅22116 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 87 mod 419

64: 22164=22132+32=22132⋅22132 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 27 mod 419

128: 221128=22164+64=22164⋅22164 ≡ 27⋅27=729 ≡ 310 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 380192 mod 461.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:

192 = 128+64

1: 3801=380

2: 3802=3801+1=3801⋅3801 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 107 mod 461

4: 3804=3802+2=3802⋅3802 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 385 mod 461

8: 3808=3804+4=3804⋅3804 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 244 mod 461

16: 38016=3808+8=3808⋅3808 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 67 mod 461

32: 38032=38016+16=38016⋅38016 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 340 mod 461

64: 38064=38032+32=38032⋅38032 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 350 mod 461

128: 380128=38064+64=38064⋅38064 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 335 mod 461

380192

= 380128+64

= 380128⋅38064

≡ 335 ⋅ 350 mod 461
≡ 117250 mod 461 ≡ 156 mod 461

Es gilt also: 380192 ≡ 156 mod 461

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48

=>61 = 1⋅48 + 13
=>48 = 3⋅13 + 9
=>13 = 1⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 13-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9)
= -2⋅13 +3⋅ 9 (=1)
9= 48-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13)
= 3⋅48 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48)
= -11⋅61 +14⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +14⋅48

Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1

Somit 14⋅48 = 1 mod 61

14 ist also das Inverse von 48 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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