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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29995 - 11996) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29995 - 11996) mod 6 ≡ (29995 mod 6 - 11996 mod 6) mod 6.

29995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29995 = 30000-5 = 6 ⋅ 5000 -5 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 1.

11996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996 = 12000-4 = 6 ⋅ 2000 -4 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 2.

Somit gilt:

(29995 - 11996) mod 6 ≡ (1 - 2) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 78) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 78) mod 11 ≡ (21 mod 11 ⋅ 78 mod 11) mod 11.

21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.

78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 78) mod 11 ≡ (10 ⋅ 1) mod 11 ≡ 10 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 54916 mod 787.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 549 -> x
2. mod(x²,787) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5491=549

2: 5492=5491+1=5491⋅5491 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 767 mod 787

4: 5494=5492+2=5492⋅5492 ≡ 767⋅767=588289 ≡ 400 mod 787

8: 5498=5494+4=5494⋅5494 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 239 mod 787

16: 54916=5498+8=5498⋅5498 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 457 mod 787

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 225229 mod 541.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

1: 2251=225

2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 312 mod 541

4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 505 mod 541

8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 214 mod 541

16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 352 mod 541

32: 22532=22516+16=22516⋅22516 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 15 mod 541

64: 22564=22532+32=22532⋅22532 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 541

128: 225128=22564+64=22564⋅22564 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 312 mod 541

225229

= 225128+64+32+4+1

= 225128⋅22564⋅22532⋅2254⋅2251

312 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 505 ⋅ 225 mod 541
70200 ⋅ 15 ⋅ 505 ⋅ 225 mod 541 ≡ 411 ⋅ 15 ⋅ 505 ⋅ 225 mod 541
6165 ⋅ 505 ⋅ 225 mod 541 ≡ 214 ⋅ 505 ⋅ 225 mod 541
108070 ⋅ 225 mod 541 ≡ 411 ⋅ 225 mod 541
92475 mod 541 ≡ 505 mod 541

Es gilt also: 225229 ≡ 505 mod 541

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

=>53 = 1⋅31 + 22
=>31 = 1⋅22 + 9
=>22 = 2⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9)
= -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-1⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22)
= 5⋅31 -7⋅ 22 (=1)
22= 53-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31)
= 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31)
= -7⋅53 +12⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31

oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅53 = +12⋅31

Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1

Somit 12⋅31 = 1 mod 53

12 ist also das Inverse von 31 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.