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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19996 - 20000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19996 - 20000) mod 4 ≡ (19996 mod 4 - 20000 mod 4) mod 4.
19996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19996
= 19000
20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000
= 20000
Somit gilt:
(19996 - 20000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 69) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 69) mod 6 ≡ (81 mod 6 ⋅ 69 mod 6) mod 6.
81 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 78 + 3 = 13 ⋅ 6 + 3 ist.
69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 69) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44016 mod 617.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 440 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4401=440
2: 4402=4401+1=4401⋅4401 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 479 mod 617
4: 4404=4402+2=4402⋅4402 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 534 mod 617
8: 4408=4404+4=4404⋅4404 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 102 mod 617
16: 44016=4408+8=4408⋅4408 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 532 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 98166 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 981=98
2: 982=981+1=981⋅981 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 87 mod 307
4: 984=982+2=982⋅982 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 201 mod 307
8: 988=984+4=984⋅984 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 184 mod 307
16: 9816=988+8=988⋅988 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 86 mod 307
32: 9832=9816+16=9816⋅9816 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 28 mod 307
64: 9864=9832+32=9832⋅9832 ≡ 28⋅28=784 ≡ 170 mod 307
128: 98128=9864+64=9864⋅9864 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 42 mod 307
98166
= 98128+32+4+2
= 98128⋅9832⋅984⋅982
≡ 42 ⋅ 28 ⋅ 201 ⋅ 87 mod 307
≡ 1176 ⋅ 201 ⋅ 87 mod 307 ≡ 255 ⋅ 201 ⋅ 87 mod 307
≡ 51255 ⋅ 87 mod 307 ≡ 293 ⋅ 87 mod 307
≡ 25491 mod 307 ≡ 10 mod 307
Es gilt also: 98166 ≡ 10 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 45
| =>59 | = 1⋅45 + 14 |
| =>45 | = 3⋅14 + 3 |
| =>14 | = 4⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 14-4⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1) |
| 3= 45-3⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +5⋅(45 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅45 -15⋅ 14) = 5⋅45 -16⋅ 14 (=1) |
| 14= 59-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅45 -16⋅(59 -1⋅ 45)
= 5⋅45 -16⋅59 +16⋅ 45) = -16⋅59 +21⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,45)=1 = -16⋅59 +21⋅45
oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅59 = +21⋅45
Es gilt also: 21⋅45 = 16⋅59 +1
Somit 21⋅45 = 1 mod 59
21 ist also das Inverse von 45 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
