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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (353 + 1800) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(353 + 1800) mod 9 ≡ (353 mod 9 + 1800 mod 9) mod 9.

353 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 353 = 360-7 = 9 ⋅ 40 -7 = 9 ⋅ 40 - 9 + 2.

1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 9 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(353 + 1800) mod 9 ≡ (2 + 0) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 41) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 41) mod 10 ≡ (20 mod 10 ⋅ 41 mod 10) mod 10.

20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.

41 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 4 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 41) mod 10 ≡ (0 ⋅ 1) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 221128 mod 523.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 221 -> x
2. mod(x²,523) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2211=221

2: 2212=2211+1=2211⋅2211 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 202 mod 523

4: 2214=2212+2=2212⋅2212 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 10 mod 523

8: 2218=2214+4=2214⋅2214 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 523

16: 22116=2218+8=2218⋅2218 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 63 mod 523

32: 22132=22116+16=22116⋅22116 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 308 mod 523

64: 22164=22132+32=22132⋅22132 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 201 mod 523

128: 221128=22164+64=22164⋅22164 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 130 mod 523

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 481235 mod 557.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:

235 = 128+64+32+8+2+1

1: 4811=481

2: 4812=4811+1=4811⋅4811 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 206 mod 557

4: 4814=4812+2=4812⋅4812 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 104 mod 557

8: 4818=4814+4=4814⋅4814 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 233 mod 557

16: 48116=4818+8=4818⋅4818 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 260 mod 557

32: 48132=48116+16=48116⋅48116 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 203 mod 557

64: 48164=48132+32=48132⋅48132 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 548 mod 557

128: 481128=48164+64=48164⋅48164 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 81 mod 557

481235

= 481128+64+32+8+2+1

= 481128⋅48164⋅48132⋅4818⋅4812⋅4811

81 ⋅ 548 ⋅ 203 ⋅ 233 ⋅ 206 ⋅ 481 mod 557
44388 ⋅ 203 ⋅ 233 ⋅ 206 ⋅ 481 mod 557 ≡ 385 ⋅ 203 ⋅ 233 ⋅ 206 ⋅ 481 mod 557
78155 ⋅ 233 ⋅ 206 ⋅ 481 mod 557 ≡ 175 ⋅ 233 ⋅ 206 ⋅ 481 mod 557
40775 ⋅ 206 ⋅ 481 mod 557 ≡ 114 ⋅ 206 ⋅ 481 mod 557
23484 ⋅ 481 mod 557 ≡ 90 ⋅ 481 mod 557
43290 mod 557 ≡ 401 mod 557

Es gilt also: 481235 ≡ 401 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

=>97 = 2⋅42 + 13
=>42 = 3⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13)
= -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-2⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42)
= 13⋅97 -30⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -30⋅42

-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42

-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1

(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1

67⋅42 = 29⋅97 + 1

Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1

Somit 67⋅42 = 1 mod 97

67 ist also das Inverse von 42 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.