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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18000 - 893) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18000 - 893) mod 9 ≡ (18000 mod 9 - 893 mod 9) mod 9.
18000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000
= 18000
893 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 893
= 900
Somit gilt:
(18000 - 893) mod 9 ≡ (0 - 2) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 75) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 75) mod 6 ≡ (98 mod 6 ⋅ 75 mod 6) mod 6.
98 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 16 ⋅ 6 + 2 ist.
75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 75) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4388 mod 499.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 438 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4381=438
2: 4382=4381+1=4381⋅4381 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 228 mod 499
4: 4384=4382+2=4382⋅4382 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 88 mod 499
8: 4388=4384+4=4384⋅4384 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 259 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 182107 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:
107 = 64+32+8+2+1
1: 1821=182
2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 190 mod 499
4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 172 mod 499
8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 143 mod 499
16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 489 mod 499
32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 100 mod 499
64: 18264=18232+32=18232⋅18232 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 20 mod 499
182107
= 18264+32+8+2+1
= 18264⋅18232⋅1828⋅1822⋅1821
≡ 20 ⋅ 100 ⋅ 143 ⋅ 190 ⋅ 182 mod 499
≡ 2000 ⋅ 143 ⋅ 190 ⋅ 182 mod 499 ≡ 4 ⋅ 143 ⋅ 190 ⋅ 182 mod 499
≡ 572 ⋅ 190 ⋅ 182 mod 499 ≡ 73 ⋅ 190 ⋅ 182 mod 499
≡ 13870 ⋅ 182 mod 499 ≡ 397 ⋅ 182 mod 499
≡ 72254 mod 499 ≡ 398 mod 499
Es gilt also: 182107 ≡ 398 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31
| =>53 | = 1⋅31 + 22 |
| =>31 | = 1⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 31-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22) = 5⋅31 -7⋅ 22 (=1) |
| 22= 53-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31)
= 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31) = -7⋅53 +12⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31
oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅53 = +12⋅31
Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1
Somit 12⋅31 = 1 mod 53
12 ist also das Inverse von 31 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.