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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24995 - 47) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24995 - 47) mod 5 ≡ (24995 mod 5 - 47 mod 5) mod 5.

24995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24995 = 24000+995 = 5 ⋅ 4800 +995.

47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40+7 = 5 ⋅ 8 +7.

Somit gilt:

(24995 - 47) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 23) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 23) mod 10 ≡ (42 mod 10 ⋅ 23 mod 10) mod 10.

42 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 4 ⋅ 10 + 2 ist.

23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 23) mod 10 ≡ (2 ⋅ 3) mod 10 ≡ 6 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 139128 mod 347.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 139 -> x
2. mod(x²,347) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1391=139

2: 1392=1391+1=1391⋅1391 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 236 mod 347

4: 1394=1392+2=1392⋅1392 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 176 mod 347

8: 1398=1394+4=1394⋅1394 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 93 mod 347

16: 13916=1398+8=1398⋅1398 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 321 mod 347

32: 13932=13916+16=13916⋅13916 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 329 mod 347

64: 13964=13932+32=13932⋅13932 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 324 mod 347

128: 139128=13964+64=13964⋅13964 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 182 mod 347

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 137149 mod 281.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:

149 = 128+16+4+1

1: 1371=137

2: 1372=1371+1=1371⋅1371 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 223 mod 281

4: 1374=1372+2=1372⋅1372 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 273 mod 281

8: 1378=1374+4=1374⋅1374 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 64 mod 281

16: 13716=1378+8=1378⋅1378 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 162 mod 281

32: 13732=13716+16=13716⋅13716 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 111 mod 281

64: 13764=13732+32=13732⋅13732 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 238 mod 281

128: 137128=13764+64=13764⋅13764 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 163 mod 281

137149

= 137128+16+4+1

= 137128⋅13716⋅1374⋅1371

≡ 163 ⋅ 162 ⋅ 273 ⋅ 137 mod 281
≡ 26406 ⋅ 273 ⋅ 137 mod 281 ≡ 273 ⋅ 273 ⋅ 137 mod 281
≡ 74529 ⋅ 137 mod 281 ≡ 64 ⋅ 137 mod 281
≡ 8768 mod 281 ≡ 57 mod 281

Es gilt also: 137149 ≡ 57 mod 281

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 53

=>59 = 1⋅53 + 6
=>53 = 8⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 53-8⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(53 -8⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅53 +8⋅ 6)
= -1⋅53 +9⋅ 6 (=1)
6= 59-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅53 +9⋅(59 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +9⋅59 -9⋅ 53)
= 9⋅59 -10⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(59,53)=1 = 9⋅59 -10⋅53

oder wenn man 9⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅59 = -10⋅53

-10⋅53 = -9⋅59 + 1 |+59⋅53

-10⋅53 + 59⋅53 = -9⋅59 + 59⋅53 + 1

(-10 + 59) ⋅ 53 = (-9 + 53) ⋅ 59 + 1

49⋅53 = 44⋅59 + 1

Es gilt also: 49⋅53 = 44⋅59 +1

Somit 49⋅53 = 1 mod 59

49 ist also das Inverse von 53 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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