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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (203 - 803) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(203 - 803) mod 4 ≡ (203 mod 4 - 803 mod 4) mod 4.

203 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203 = 200+3 = 4 ⋅ 50 +3.

803 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 803 = 800+3 = 4 ⋅ 200 +3.

Somit gilt:

(203 - 803) mod 4 ≡ (3 - 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 18) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 18) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 18 mod 7) mod 7.

58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.

18 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 14 + 4 = 2 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 18) mod 7 ≡ (2 ⋅ 4) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 58132 mod 811.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 581 -> x
2. mod(x²,811) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5811=581

2: 5812=5811+1=5811⋅5811 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 185 mod 811

4: 5814=5812+2=5812⋅5812 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 163 mod 811

8: 5818=5814+4=5814⋅5814 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 617 mod 811

16: 58116=5818+8=5818⋅5818 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 330 mod 811

32: 58132=58116+16=58116⋅58116 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 226 mod 811

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 302167 mod 863.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

1: 3021=302

2: 3022=3021+1=3021⋅3021 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 589 mod 863

4: 3024=3022+2=3022⋅3022 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 858 mod 863

8: 3028=3024+4=3024⋅3024 ≡ 858⋅858=736164 ≡ 25 mod 863

16: 30216=3028+8=3028⋅3028 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 863

32: 30232=30216+16=30216⋅30216 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 549 mod 863

64: 30264=30232+32=30232⋅30232 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 214 mod 863

128: 302128=30264+64=30264⋅30264 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 57 mod 863

302167

= 302128+32+4+2+1

= 302128⋅30232⋅3024⋅3022⋅3021

≡ 57 ⋅ 549 ⋅ 858 ⋅ 589 ⋅ 302 mod 863
≡ 31293 ⋅ 858 ⋅ 589 ⋅ 302 mod 863 ≡ 225 ⋅ 858 ⋅ 589 ⋅ 302 mod 863
≡ 193050 ⋅ 589 ⋅ 302 mod 863 ≡ 601 ⋅ 589 ⋅ 302 mod 863
≡ 353989 ⋅ 302 mod 863 ≡ 159 ⋅ 302 mod 863
≡ 48018 mod 863 ≡ 553 mod 863

Es gilt also: 302167 ≡ 553 mod 863

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67 = 1⋅54 + 13
=>54 = 4⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13)
= -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54)
= 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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