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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (797 - 81) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(797 - 81) mod 4 ≡ (797 mod 4 - 81 mod 4) mod 4.

797 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 797 = 700+97 = 4 ⋅ 175 +97.

81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80+1 = 4 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(797 - 81) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 92) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 92) mod 11 ≡ (47 mod 11 ⋅ 92 mod 11) mod 11.

47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.

92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 92) mod 11 ≡ (3 ⋅ 4) mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 15632 mod 397.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 156 -> x
2. mod(x²,397) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1561=156

2: 1562=1561+1=1561⋅1561 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 119 mod 397

4: 1564=1562+2=1562⋅1562 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 266 mod 397

8: 1568=1564+4=1564⋅1564 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 90 mod 397

16: 15616=1568+8=1568⋅1568 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 160 mod 397

32: 15632=15616+16=15616⋅15616 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 192 mod 397

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 93123 mod 277.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

1: 931=93

2: 932=931+1=931⋅931 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 62 mod 277

4: 934=932+2=932⋅932 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 243 mod 277

8: 938=934+4=934⋅934 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 48 mod 277

16: 9316=938+8=938⋅938 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 88 mod 277

32: 9332=9316+16=9316⋅9316 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 265 mod 277

64: 9364=9332+32=9332⋅9332 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 144 mod 277

93123

= 9364+32+16+8+2+1

= 9364⋅9332⋅9316⋅938⋅932⋅931

≡ 144 ⋅ 265 ⋅ 88 ⋅ 48 ⋅ 62 ⋅ 93 mod 277
≡ 38160 ⋅ 88 ⋅ 48 ⋅ 62 ⋅ 93 mod 277 ≡ 211 ⋅ 88 ⋅ 48 ⋅ 62 ⋅ 93 mod 277
≡ 18568 ⋅ 48 ⋅ 62 ⋅ 93 mod 277 ≡ 9 ⋅ 48 ⋅ 62 ⋅ 93 mod 277
≡ 432 ⋅ 62 ⋅ 93 mod 277 ≡ 155 ⋅ 62 ⋅ 93 mod 277
≡ 9610 ⋅ 93 mod 277 ≡ 192 ⋅ 93 mod 277
≡ 17856 mod 277 ≡ 128 mod 277

Es gilt also: 93123 ≡ 128 mod 277

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 60

=>101 = 1⋅60 + 41
=>60 = 1⋅41 + 19
=>41 = 2⋅19 + 3
=>19 = 6⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 41-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19)
= -6⋅41 +13⋅ 19 (=1)
19= 60-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅41 +13⋅(60 -1⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅60 -13⋅ 41)
= 13⋅60 -19⋅ 41 (=1)
41= 101-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅60 -19⋅(101 -1⋅ 60)
= 13⋅60 -19⋅101 +19⋅ 60)
= -19⋅101 +32⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(101,60)=1 = -19⋅101 +32⋅60

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +32⋅60

Es gilt also: 32⋅60 = 19⋅101 +1

Somit 32⋅60 = 1 mod 101

32 ist also das Inverse von 60 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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