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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20004 + 163) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20004 + 163) mod 4 ≡ (20004 mod 4 + 163 mod 4) mod 4.
20004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20004
= 20000
163 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 163
= 160
Somit gilt:
(20004 + 163) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 29) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 29) mod 4 ≡ (19 mod 4 ⋅ 29 mod 4) mod 4.
19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.
29 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 7 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 29) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34616 mod 971.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 346 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3461=346
2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 283 mod 971
4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 467 mod 971
8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 585 mod 971
16: 34616=3468+8=3468⋅3468 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 433 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 510145 mod 593.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:
145 = 128+16+1
1: 5101=510
2: 5102=5101+1=5101⋅5101 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 366 mod 593
4: 5104=5102+2=5102⋅5102 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 531 mod 593
8: 5108=5104+4=5104⋅5104 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 286 mod 593
16: 51016=5108+8=5108⋅5108 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 555 mod 593
32: 51032=51016+16=51016⋅51016 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 258 mod 593
64: 51064=51032+32=51032⋅51032 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 148 mod 593
128: 510128=51064+64=51064⋅51064 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 556 mod 593
510145
= 510128+16+1
= 510128⋅51016⋅5101
≡ 556 ⋅ 555 ⋅ 510 mod 593
≡ 308580 ⋅ 510 mod 593 ≡ 220 ⋅ 510 mod 593
≡ 112200 mod 593 ≡ 123 mod 593
Es gilt also: 510145 ≡ 123 mod 593
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44
| =>79 | = 1⋅44 + 35 |
| =>44 | = 1⋅35 + 9 |
| =>35 | = 3⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 35-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9) = -1⋅35 +4⋅ 9 (=1) |
| 9= 44-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35) = 4⋅44 -5⋅ 35 (=1) |
| 35= 79-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44) = -5⋅79 +9⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44
oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅79 = +9⋅44
Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1
Somit 9⋅44 = 1 mod 79
9 ist also das Inverse von 44 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.