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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9005 - 4498) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9005 - 4498) mod 9 ≡ (9005 mod 9 - 4498 mod 9) mod 9.

9005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9005 = 9000+5 = 9 ⋅ 1000 +5.

4498 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4498 = 4500-2 = 9 ⋅ 500 -2 = 9 ⋅ 500 - 9 + 7.

Somit gilt:

(9005 - 4498) mod 9 ≡ (5 - 7) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 93) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 93) mod 11 ≡ (87 mod 11 ⋅ 93 mod 11) mod 11.

87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.

93 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 8 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 93) mod 11 ≡ (10 ⋅ 5) mod 11 ≡ 50 mod 11 ≡ 6 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 448128 mod 691.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 448 -> x
2. mod(x²,691) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4481=448

2: 4482=4481+1=4481⋅4481 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 314 mod 691

4: 4484=4482+2=4482⋅4482 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 474 mod 691

8: 4488=4484+4=4484⋅4484 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 101 mod 691

16: 44816=4488+8=4488⋅4488 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 527 mod 691

32: 44832=44816+16=44816⋅44816 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 638 mod 691

64: 44864=44832+32=44832⋅44832 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 45 mod 691

128: 448128=44864+64=44864⋅44864 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 643 mod 691

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 429154 mod 439.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:

154 = 128+16+8+2

1: 4291=429

2: 4292=4291+1=4291⋅4291 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 100 mod 439

4: 4294=4292+2=4292⋅4292 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 342 mod 439

8: 4298=4294+4=4294⋅4294 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 190 mod 439

16: 42916=4298+8=4298⋅4298 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 102 mod 439

32: 42932=42916+16=42916⋅42916 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 307 mod 439

64: 42964=42932+32=42932⋅42932 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 303 mod 439

128: 429128=42964+64=42964⋅42964 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 58 mod 439

429154

= 429128+16+8+2

= 429128⋅42916⋅4298⋅4292

≡ 58 ⋅ 102 ⋅ 190 ⋅ 100 mod 439
≡ 5916 ⋅ 190 ⋅ 100 mod 439 ≡ 209 ⋅ 190 ⋅ 100 mod 439
≡ 39710 ⋅ 100 mod 439 ≡ 200 ⋅ 100 mod 439
≡ 20000 mod 439 ≡ 245 mod 439

Es gilt also: 429154 ≡ 245 mod 439

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 86.

Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 86

=>97 = 1⋅86 + 11
=>86 = 7⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,86)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 86-7⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(86 -7⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅86 -35⋅ 11)
= 5⋅86 -39⋅ 11 (=1)
11= 97-1⋅86 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅86 -39⋅(97 -1⋅ 86)
= 5⋅86 -39⋅97 +39⋅ 86)
= -39⋅97 +44⋅ 86 (=1)

Es gilt also: ggt(97,86)=1 = -39⋅97 +44⋅86

oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +39⋅97 = +44⋅86

Es gilt also: 44⋅86 = 39⋅97 +1

Somit 44⋅86 = 1 mod 97

44 ist also das Inverse von 86 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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