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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (245 + 1608) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(245 + 1608) mod 8 ≡ (245 mod 8 + 1608 mod 8) mod 8.

245 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245 = 240+5 = 8 ⋅ 30 +5.

1608 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1608 = 1600+8 = 8 ⋅ 200 +8.

Somit gilt:

(245 + 1608) mod 8 ≡ (5 + 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 56) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 56) mod 10 ≡ (26 mod 10 ⋅ 56 mod 10) mod 10.

26 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 20 + 6 = 2 ⋅ 10 + 6 ist.

56 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 50 + 6 = 5 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 56) mod 10 ≡ (6 ⋅ 6) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 777⁸ mod 857.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 777 -> x
2. mod(x²,857) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 777¹=777

2: 777²=777¹⁺¹=777¹⋅777¹ ≡ 777⋅777=603729 ≡ 401 mod 857

4: 777⁴=777²⁺²=777²⋅777² ≡ 401⋅401=160801 ≡ 542 mod 857

8: 777⁸=777⁴⁺⁴=777⁴⋅777⁴ ≡ 542⋅542=293764 ≡ 670 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 696²²¹ mod 733.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

1: 696¹=696

2: 696²=696¹⁺¹=696¹⋅696¹ ≡ 696⋅696=484416 ≡ 636 mod 733

4: 696⁴=696²⁺²=696²⋅696² ≡ 636⋅636=404496 ≡ 613 mod 733

8: 696⁸=696⁴⁺⁴=696⁴⋅696⁴ ≡ 613⋅613=375769 ≡ 473 mod 733

16: 696¹⁶=696⁸⁺⁸=696⁸⋅696⁸ ≡ 473⋅473=223729 ≡ 164 mod 733

32: 696³²=696¹⁶⁺¹⁶=696¹⁶⋅696¹⁶ ≡ 164⋅164=26896 ≡ 508 mod 733

64: 696⁶⁴=696³²⁺³²=696³²⋅696³² ≡ 508⋅508=258064 ≡ 48 mod 733

128: 696¹²⁸=696⁶⁴⁺⁶⁴=696⁶⁴⋅696⁶⁴ ≡ 48⋅48=2304 ≡ 105 mod 733

696²²¹

= 696^{128+64+16+8+4+1}

= 696¹²⁸⋅696⁶⁴⋅696¹⁶⋅696⁸⋅696⁴⋅696¹

≡ 105 ⋅ 48 ⋅ 164 ⋅ 473 ⋅ 613 ⋅ 696 mod 733
≡ 5040 ⋅ 164 ⋅ 473 ⋅ 613 ⋅ 696 mod 733 ≡ 642 ⋅ 164 ⋅ 473 ⋅ 613 ⋅ 696 mod 733
≡ 105288 ⋅ 473 ⋅ 613 ⋅ 696 mod 733 ≡ 469 ⋅ 473 ⋅ 613 ⋅ 696 mod 733
≡ 221837 ⋅ 613 ⋅ 696 mod 733 ≡ 471 ⋅ 613 ⋅ 696 mod 733
≡ 288723 ⋅ 696 mod 733 ≡ 654 ⋅ 696 mod 733
≡ 455184 mod 733 ≡ 724 mod 733

Es gilt also: 696²²¹ ≡ 724 mod 733

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30

=>83	= 2⋅30 + 23
=>30	= 1⋅23 + 7
=>23	= 3⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23) = -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 83-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30) = 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30) = -13⋅83 +36⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +36⋅30

Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1

Somit 36⋅30 = 1 mod 83

36 ist also das Inverse von 30 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30

Schlüsselpaar für RSA