nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23994 - 167) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23994 - 167) mod 8 ≡ (23994 mod 8 - 167 mod 8) mod 8.

23994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23994 = 23000+994 = 8 ⋅ 2875 +994.

167 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 167 = 160+7 = 8 ⋅ 20 +7.

Somit gilt:

(23994 - 167) mod 8 ≡ (2 - 7) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 58) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 58) mod 4 ≡ (19 mod 4 ⋅ 58 mod 4) mod 4.

19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.

58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 58) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33764 mod 379.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 337 -> x
2. mod(x²,379) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3371=337

2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 248 mod 379

4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 106 mod 379

8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 245 mod 379

16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 143 mod 379

32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 362 mod 379

64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 289 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 280176 mod 449.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:

176 = 128+32+16

1: 2801=280

2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 274 mod 449

4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 93 mod 449

8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 118 mod 449

16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 5 mod 449

32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 449

64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 25⋅25=625 ≡ 176 mod 449

128: 280128=28064+64=28064⋅28064 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 444 mod 449

280176

= 280128+32+16

= 280128⋅28032⋅28016

≡ 444 ⋅ 25 ⋅ 5 mod 449
≡ 11100 ⋅ 5 mod 449 ≡ 324 ⋅ 5 mod 449
≡ 1620 mod 449 ≡ 273 mod 449

Es gilt also: 280176 ≡ 273 mod 449

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 94.

Also bestimme x, so dass 94 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 94

=>101 = 1⋅94 + 7
=>94 = 13⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,94)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 94-13⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(94 -13⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅94 +26⋅ 7)
= -2⋅94 +27⋅ 7 (=1)
7= 101-1⋅94 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅94 +27⋅(101 -1⋅ 94)
= -2⋅94 +27⋅101 -27⋅ 94)
= 27⋅101 -29⋅ 94 (=1)

Es gilt also: ggt(101,94)=1 = 27⋅101 -29⋅94

oder wenn man 27⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -27⋅101 = -29⋅94

-29⋅94 = -27⋅101 + 1 |+101⋅94

-29⋅94 + 101⋅94 = -27⋅101 + 101⋅94 + 1

(-29 + 101) ⋅ 94 = (-27 + 94) ⋅ 101 + 1

72⋅94 = 67⋅101 + 1

Es gilt also: 72⋅94 = 67⋅101 +1

Somit 72⋅94 = 1 mod 101

72 ist also das Inverse von 94 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden