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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1497 + 901) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1497 + 901) mod 3 ≡ (1497 mod 3 + 901 mod 3) mod 3.

1497 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497 = 1500-3 = 3 ⋅ 500 -3 = 3 ⋅ 500 - 3 + 0.

901 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 901 = 900+1 = 3 ⋅ 300 +1.

Somit gilt:

(1497 + 901) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 91) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 91) mod 9 ≡ (61 mod 9 ⋅ 91 mod 9) mod 9.

61 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 54 + 7 = 6 ⋅ 9 + 7 ist.

91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 91) mod 9 ≡ (7 ⋅ 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1208 mod 277.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 120 -> x
2. mod(x²,277) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1201=120

2: 1202=1201+1=1201⋅1201 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 273 mod 277

4: 1204=1202+2=1202⋅1202 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 16 mod 277

8: 1208=1204+4=1204⋅1204 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 277

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11786 mod 211.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 86 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 86 an und zerlegen 86 in eine Summer von 2er-Potenzen:

86 = 64+16+4+2

1: 1171=117

2: 1172=1171+1=1171⋅1171 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 185 mod 211

4: 1174=1172+2=1172⋅1172 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 43 mod 211

8: 1178=1174+4=1174⋅1174 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 161 mod 211

16: 11716=1178+8=1178⋅1178 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 179 mod 211

32: 11732=11716+16=11716⋅11716 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 180 mod 211

64: 11764=11732+32=11732⋅11732 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 117 mod 211

11786

= 11764+16+4+2

= 11764⋅11716⋅1174⋅1172

≡ 117 ⋅ 179 ⋅ 43 ⋅ 185 mod 211
≡ 20943 ⋅ 43 ⋅ 185 mod 211 ≡ 54 ⋅ 43 ⋅ 185 mod 211
≡ 2322 ⋅ 185 mod 211 ≡ 1 ⋅ 185 mod 211
≡ 185 mod 211

Es gilt also: 11786 ≡ 185 mod 211

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34

=>83 = 2⋅34 + 15
=>34 = 2⋅15 + 4
=>15 = 3⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4)
= -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 34-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15)
= 4⋅34 -9⋅ 15 (=1)
15= 83-2⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34)
= -9⋅83 +22⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +22⋅34

Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1

Somit 22⋅34 = 1 mod 83

22 ist also das Inverse von 34 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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