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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1598 + 400) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1598 + 400) mod 4 ≡ (1598 mod 4 + 400 mod 4) mod 4.

1598 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1598 = 1500+98 = 4 ⋅ 375 +98.

400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 4 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(1598 + 400) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 33) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 33) mod 4 ≡ (36 mod 4 ⋅ 33 mod 4) mod 4.

36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.

33 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 8 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 33) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 766128 mod 991.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 766 -> x
2. mod(x²,991) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7661=766

2: 7662=7661+1=7661⋅7661 ≡ 766⋅766=586756 ≡ 84 mod 991

4: 7664=7662+2=7662⋅7662 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 119 mod 991

8: 7668=7664+4=7664⋅7664 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 287 mod 991

16: 76616=7668+8=7668⋅7668 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 116 mod 991

32: 76632=76616+16=76616⋅76616 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 573 mod 991

64: 76664=76632+32=76632⋅76632 ≡ 573⋅573=328329 ≡ 308 mod 991

128: 766128=76664+64=76664⋅76664 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 719 mod 991

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28588 mod 509.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 88 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 88 an und zerlegen 88 in eine Summer von 2er-Potenzen:

88 = 64+16+8

1: 2851=285

2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 294 mod 509

4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 415 mod 509

8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 183 mod 509

16: 28516=2858+8=2858⋅2858 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 404 mod 509

32: 28532=28516+16=28516⋅28516 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 336 mod 509

64: 28564=28532+32=28532⋅28532 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 407 mod 509

28588

= 28564+16+8

= 28564⋅28516⋅2858

≡ 407 ⋅ 404 ⋅ 183 mod 509
≡ 164428 ⋅ 183 mod 509 ≡ 21 ⋅ 183 mod 509
≡ 3843 mod 509 ≡ 280 mod 509

Es gilt also: 28588 ≡ 280 mod 509

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46

=>89 = 1⋅46 + 43
=>46 = 1⋅43 + 3
=>43 = 14⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 43-14⋅3
3= 46-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43)
= -14⋅46 +15⋅ 43 (=1)
43= 89-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46)
= 15⋅89 -29⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46

oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅89 = -29⋅46

-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46

-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1

(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1

60⋅46 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1

Somit 60⋅46 = 1 mod 89

60 ist also das Inverse von 46 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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