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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19997 - 162) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19997 - 162) mod 4 ≡ (19997 mod 4 - 162 mod 4) mod 4.

19997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997 = 19000+997 = 4 ⋅ 4750 +997.

162 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 162 = 160+2 = 4 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(19997 - 162) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 30) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 30) mod 9 ≡ (79 mod 9 ⋅ 30 mod 9) mod 9.

79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.

30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 30) mod 9 ≡ (7 ⋅ 3) mod 9 ≡ 21 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3098 mod 947.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 309 -> x
2. mod(x²,947) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3091=309

2: 3092=3091+1=3091⋅3091 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 781 mod 947

4: 3094=3092+2=3092⋅3092 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 93 mod 947

8: 3098=3094+4=3094⋅3094 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 126 mod 947

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 515110 mod 631.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:

110 = 64+32+8+4+2

1: 5151=515

2: 5152=5151+1=5151⋅5151 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 205 mod 631

4: 5154=5152+2=5152⋅5152 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 379 mod 631

8: 5158=5154+4=5154⋅5154 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 404 mod 631

16: 51516=5158+8=5158⋅5158 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 418 mod 631

32: 51532=51516+16=51516⋅51516 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 568 mod 631

64: 51564=51532+32=51532⋅51532 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 183 mod 631

515110

= 51564+32+8+4+2

= 51564⋅51532⋅5158⋅5154⋅5152

≡ 183 ⋅ 568 ⋅ 404 ⋅ 379 ⋅ 205 mod 631
≡ 103944 ⋅ 404 ⋅ 379 ⋅ 205 mod 631 ≡ 460 ⋅ 404 ⋅ 379 ⋅ 205 mod 631
≡ 185840 ⋅ 379 ⋅ 205 mod 631 ≡ 326 ⋅ 379 ⋅ 205 mod 631
≡ 123554 ⋅ 205 mod 631 ≡ 509 ⋅ 205 mod 631
≡ 104345 mod 631 ≡ 230 mod 631

Es gilt also: 515110 ≡ 230 mod 631

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29

=>73 = 2⋅29 + 15
=>29 = 1⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 29-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15)
= -1⋅29 +2⋅ 15 (=1)
15= 73-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29)
= 2⋅73 -5⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29

oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅73 = -5⋅29

-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29

-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1

(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1

68⋅29 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1

Somit 68⋅29 = 1 mod 73

68 ist also das Inverse von 29 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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