nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1499 + 1199) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1499 + 1199) mod 3 ≡ (1499 mod 3 + 1199 mod 3) mod 3.

1499 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499 = 1500-1 = 3 ⋅ 500 -1 = 3 ⋅ 500 - 3 + 2.

1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1200-1 = 3 ⋅ 400 -1 = 3 ⋅ 400 - 3 + 2.

Somit gilt:

(1499 + 1199) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 75) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 75) mod 5 ≡ (47 mod 5 ⋅ 75 mod 5) mod 5.

47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.

75 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 15 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 75) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 292128 mod 331.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 292 -> x
2. mod(x²,331) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2921=292

2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 197 mod 331

4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 82 mod 331

8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 104 mod 331

16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 224 mod 331

32: 29232=29216+16=29216⋅29216 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 195 mod 331

64: 29264=29232+32=29232⋅29232 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 291 mod 331

128: 292128=29264+64=29264⋅29264 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 276 mod 331

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 473110 mod 709.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:

110 = 64+32+8+4+2

1: 4731=473

2: 4732=4731+1=4731⋅4731 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 394 mod 709

4: 4734=4732+2=4732⋅4732 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 674 mod 709

8: 4738=4734+4=4734⋅4734 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 516 mod 709

16: 47316=4738+8=4738⋅4738 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 381 mod 709

32: 47332=47316+16=47316⋅47316 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 525 mod 709

64: 47364=47332+32=47332⋅47332 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 533 mod 709

473110

= 47364+32+8+4+2

= 47364⋅47332⋅4738⋅4734⋅4732

≡ 533 ⋅ 525 ⋅ 516 ⋅ 674 ⋅ 394 mod 709
≡ 279825 ⋅ 516 ⋅ 674 ⋅ 394 mod 709 ≡ 479 ⋅ 516 ⋅ 674 ⋅ 394 mod 709
≡ 247164 ⋅ 674 ⋅ 394 mod 709 ≡ 432 ⋅ 674 ⋅ 394 mod 709
≡ 291168 ⋅ 394 mod 709 ≡ 478 ⋅ 394 mod 709
≡ 188332 mod 709 ≡ 447 mod 709

Es gilt also: 473110 ≡ 447 mod 709

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 58

=>83 = 1⋅58 + 25
=>58 = 2⋅25 + 8
=>25 = 3⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-3⋅8
8= 58-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -3⋅(58 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -3⋅58 +6⋅ 25)
= -3⋅58 +7⋅ 25 (=1)
25= 83-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅58 +7⋅(83 -1⋅ 58)
= -3⋅58 +7⋅83 -7⋅ 58)
= 7⋅83 -10⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(83,58)=1 = 7⋅83 -10⋅58

oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅83 = -10⋅58

-10⋅58 = -7⋅83 + 1 |+83⋅58

-10⋅58 + 83⋅58 = -7⋅83 + 83⋅58 + 1

(-10 + 83) ⋅ 58 = (-7 + 58) ⋅ 83 + 1

73⋅58 = 51⋅83 + 1

Es gilt also: 73⋅58 = 51⋅83 +1

Somit 73⋅58 = 1 mod 83

73 ist also das Inverse von 58 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden