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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4999 - 503) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4999 - 503) mod 5 ≡ (4999 mod 5 - 503 mod 5) mod 5.

4999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4999 = 4000+999 = 5 ⋅ 800 +999.

503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 503 = 500+3 = 5 ⋅ 100 +3.

Somit gilt:

(4999 - 503) mod 5 ≡ (4 - 3) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 85) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 85) mod 7 ≡ (57 mod 7 ⋅ 85 mod 7) mod 7.

57 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 8 ⋅ 7 + 1 ist.

85 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 12 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 85) mod 7 ≡ (1 ⋅ 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2918 mod 367.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 291 -> x
2. mod(x²,367) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2911=291

2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 271 mod 367

4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 41 mod 367

8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 213 mod 367

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 176250 mod 439.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

1: 1761=176

2: 1762=1761+1=1761⋅1761 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 246 mod 439

4: 1764=1762+2=1762⋅1762 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 373 mod 439

8: 1768=1764+4=1764⋅1764 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 405 mod 439

16: 17616=1768+8=1768⋅1768 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 278 mod 439

32: 17632=17616+16=17616⋅17616 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 20 mod 439

64: 17664=17632+32=17632⋅17632 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 439

128: 176128=17664+64=17664⋅17664 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 204 mod 439

176250

= 176128+64+32+16+8+2

= 176128⋅17664⋅17632⋅17616⋅1768⋅1762

≡ 204 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 278 ⋅ 405 ⋅ 246 mod 439
≡ 81600 ⋅ 20 ⋅ 278 ⋅ 405 ⋅ 246 mod 439 ≡ 385 ⋅ 20 ⋅ 278 ⋅ 405 ⋅ 246 mod 439
≡ 7700 ⋅ 278 ⋅ 405 ⋅ 246 mod 439 ≡ 237 ⋅ 278 ⋅ 405 ⋅ 246 mod 439
≡ 65886 ⋅ 405 ⋅ 246 mod 439 ≡ 36 ⋅ 405 ⋅ 246 mod 439
≡ 14580 ⋅ 246 mod 439 ≡ 93 ⋅ 246 mod 439
≡ 22878 mod 439 ≡ 50 mod 439

Es gilt also: 176250 ≡ 50 mod 439

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38

=>79 = 2⋅38 + 3
=>38 = 12⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 38-12⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3)
= -1⋅38 +13⋅ 3 (=1)
3= 79-2⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅38 +13⋅(79 -2⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅79 -26⋅ 38)
= 13⋅79 -27⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(79,38)=1 = 13⋅79 -27⋅38

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -27⋅38

-27⋅38 = -13⋅79 + 1 |+79⋅38

-27⋅38 + 79⋅38 = -13⋅79 + 79⋅38 + 1

(-27 + 79) ⋅ 38 = (-13 + 38) ⋅ 79 + 1

52⋅38 = 25⋅79 + 1

Es gilt also: 52⋅38 = 25⋅79 +1

Somit 52⋅38 = 1 mod 79

52 ist also das Inverse von 38 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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