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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23998 + 12003) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23998 + 12003) mod 6 ≡ (23998 mod 6 + 12003 mod 6) mod 6.

23998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998 = 24000-2 = 6 ⋅ 4000 -2 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 4.

12003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 6 ⋅ 2000 +3.

Somit gilt:

(23998 + 12003) mod 6 ≡ (4 + 3) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 71) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 71) mod 5 ≡ (93 mod 5 ⋅ 71 mod 5) mod 5.

93 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 18 ⋅ 5 + 3 ist.

71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 71) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 95128 mod 211.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 95 -> x
2. mod(x²,211) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 951=95

2: 952=951+1=951⋅951 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 163 mod 211

4: 954=952+2=952⋅952 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 194 mod 211

8: 958=954+4=954⋅954 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 78 mod 211

16: 9516=958+8=958⋅958 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 176 mod 211

32: 9532=9516+16=9516⋅9516 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 170 mod 211

64: 9564=9532+32=9532⋅9532 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 204 mod 211

128: 95128=9564+64=9564⋅9564 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 49 mod 211

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 263194 mod 269.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 194 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 194 an und zerlegen 194 in eine Summer von 2er-Potenzen:

194 = 128+64+2

1: 2631=263

2: 2632=2631+1=2631⋅2631 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 36 mod 269

4: 2634=2632+2=2632⋅2632 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 220 mod 269

8: 2638=2634+4=2634⋅2634 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 249 mod 269

16: 26316=2638+8=2638⋅2638 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 131 mod 269

32: 26332=26316+16=26316⋅26316 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 214 mod 269

64: 26364=26332+32=26332⋅26332 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 66 mod 269

128: 263128=26364+64=26364⋅26364 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 52 mod 269

263194

= 263128+64+2

= 263128⋅26364⋅2632

≡ 52 ⋅ 66 ⋅ 36 mod 269
≡ 3432 ⋅ 36 mod 269 ≡ 204 ⋅ 36 mod 269
≡ 7344 mod 269 ≡ 81 mod 269

Es gilt also: 263194 ≡ 81 mod 269

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32

=>83 = 2⋅32 + 19
=>32 = 1⋅19 + 13
=>19 = 1⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13)
= -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 32-1⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19)
= 3⋅32 -5⋅ 19 (=1)
19= 83-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32)
= 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32)
= -5⋅83 +13⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +13⋅32

Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1

Somit 13⋅32 = 1 mod 83

13 ist also das Inverse von 32 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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