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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1796 - 303) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1796 - 303) mod 6 ≡ (1796 mod 6 - 303 mod 6) mod 6.

1796 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796 = 1800-4 = 6 ⋅ 300 -4 = 6 ⋅ 300 - 6 + 2.

303 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303 = 300+3 = 6 ⋅ 50 +3.

Somit gilt:

(1796 - 303) mod 6 ≡ (2 - 3) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 54) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 54) mod 5 ≡ (42 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.

42 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 8 ⋅ 5 + 2 ist.

54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 54) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 452⁸ mod 743.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 452 -> x
2. mod(x²,743) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 452¹=452

2: 452²=452¹⁺¹=452¹⋅452¹ ≡ 452⋅452=204304 ≡ 722 mod 743

4: 452⁴=452²⁺²=452²⋅452² ≡ 722⋅722=521284 ≡ 441 mod 743

8: 452⁸=452⁴⁺⁴=452⁴⋅452⁴ ≡ 441⋅441=194481 ≡ 558 mod 743

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 303²⁴⁷ mod 397.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

1: 303¹=303

2: 303²=303¹⁺¹=303¹⋅303¹ ≡ 303⋅303=91809 ≡ 102 mod 397

4: 303⁴=303²⁺²=303²⋅303² ≡ 102⋅102=10404 ≡ 82 mod 397

8: 303⁸=303⁴⁺⁴=303⁴⋅303⁴ ≡ 82⋅82=6724 ≡ 372 mod 397

16: 303¹⁶=303⁸⁺⁸=303⁸⋅303⁸ ≡ 372⋅372=138384 ≡ 228 mod 397

32: 303³²=303¹⁶⁺¹⁶=303¹⁶⋅303¹⁶ ≡ 228⋅228=51984 ≡ 374 mod 397

64: 303⁶⁴=303³²⁺³²=303³²⋅303³² ≡ 374⋅374=139876 ≡ 132 mod 397

128: 303¹²⁸=303⁶⁴⁺⁶⁴=303⁶⁴⋅303⁶⁴ ≡ 132⋅132=17424 ≡ 353 mod 397

303²⁴⁷

= 303^{128+64+32+16+4+2+1}

= 303¹²⁸⋅303⁶⁴⋅303³²⋅303¹⁶⋅303⁴⋅303²⋅303¹

≡ 353 ⋅ 132 ⋅ 374 ⋅ 228 ⋅ 82 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397
≡ 46596 ⋅ 374 ⋅ 228 ⋅ 82 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397 ≡ 147 ⋅ 374 ⋅ 228 ⋅ 82 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397
≡ 54978 ⋅ 228 ⋅ 82 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397 ≡ 192 ⋅ 228 ⋅ 82 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397
≡ 43776 ⋅ 82 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397 ≡ 106 ⋅ 82 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397
≡ 8692 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397 ≡ 355 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397
≡ 36210 ⋅ 303 mod 397 ≡ 83 ⋅ 303 mod 397
≡ 25149 mod 397 ≡ 138 mod 397

Es gilt also: 303²⁴⁷ ≡ 138 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

=>97	= 2⋅42 + 13
=>42	= 3⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-2⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42) = -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42) = 13⋅97 -30⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -30⋅42

-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42

-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1

(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1

67⋅42 = 29⋅97 + 1

Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1

Somit 67⋅42 = 1 mod 97

67 ist also das Inverse von 42 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

Schlüsselpaar für RSA