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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (901 - 1197) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(901 - 1197) mod 3 ≡ (901 mod 3 - 1197 mod 3) mod 3.

901 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 901 = 900+1 = 3 ⋅ 300 +1.

1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 3 ⋅ 400 -3 = 3 ⋅ 400 - 3 + 0.

Somit gilt:

(901 - 1197) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 96) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 96) mod 9 ≡ (99 mod 9 ⋅ 96 mod 9) mod 9.

99 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 11 ⋅ 9 + 0 ist.

96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 10 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 96) mod 9 ≡ (0 ⋅ 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39664 mod 859.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 396 -> x
2. mod(x²,859) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3961=396

2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 478 mod 859

4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 849 mod 859

8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 849⋅849=720801 ≡ 100 mod 859

16: 39616=3968+8=3968⋅3968 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 551 mod 859

32: 39632=39616+16=39616⋅39616 ≡ 551⋅551=303601 ≡ 374 mod 859

64: 39664=39632+32=39632⋅39632 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 718 mod 859

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 191154 mod 607.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:

154 = 128+16+8+2

1: 1911=191

2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 61 mod 607

4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 79 mod 607

8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 171 mod 607

16: 19116=1918+8=1918⋅1918 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 105 mod 607

32: 19132=19116+16=19116⋅19116 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 99 mod 607

64: 19164=19132+32=19132⋅19132 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 89 mod 607

128: 191128=19164+64=19164⋅19164 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 30 mod 607

191154

= 191128+16+8+2

= 191128⋅19116⋅1918⋅1912

≡ 30 ⋅ 105 ⋅ 171 ⋅ 61 mod 607
≡ 3150 ⋅ 171 ⋅ 61 mod 607 ≡ 115 ⋅ 171 ⋅ 61 mod 607
≡ 19665 ⋅ 61 mod 607 ≡ 241 ⋅ 61 mod 607
≡ 14701 mod 607 ≡ 133 mod 607

Es gilt also: 191154 ≡ 133 mod 607

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.

Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76

=>89 = 1⋅76 + 13
=>76 = 5⋅13 + 11
=>13 = 1⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,76)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11)
= -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 76-5⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13)
= 6⋅76 -35⋅ 13 (=1)
13= 89-1⋅76 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76)
= -35⋅89 +41⋅ 76 (=1)

Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76

oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +35⋅89 = +41⋅76

Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1

Somit 41⋅76 = 1 mod 89

41 ist also das Inverse von 76 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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