Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1794 + 29997) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1794 + 29997) mod 6 ≡ (1794 mod 6 + 29997 mod 6) mod 6.

1794 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1794 = 1800-6 = 6 ⋅ 300 -6 = 6 ⋅ 300 - 6 + 0.

29997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29997 = 30000-3 = 6 ⋅ 5000 -3 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 3.

Somit gilt:

(1794 + 29997) mod 6 ≡ (0 + 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 42) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 42) mod 11 ≡ (39 mod 11 ⋅ 42 mod 11) mod 11.

39 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 33 + 6 = 3 ⋅ 11 + 6 ist.

42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 42) mod 11 ≡ (6 ⋅ 9) mod 11 ≡ 54 mod 11 ≡ 10 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 285³² mod 829.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 285 -> x
2. mod(x²,829) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 285¹=285

2: 285²=285¹⁺¹=285¹⋅285¹ ≡ 285⋅285=81225 ≡ 812 mod 829

4: 285⁴=285²⁺²=285²⋅285² ≡ 812⋅812=659344 ≡ 289 mod 829

8: 285⁸=285⁴⁺⁴=285⁴⋅285⁴ ≡ 289⋅289=83521 ≡ 621 mod 829

16: 285¹⁶=285⁸⁺⁸=285⁸⋅285⁸ ≡ 621⋅621=385641 ≡ 156 mod 829

32: 285³²=285¹⁶⁺¹⁶=285¹⁶⋅285¹⁶ ≡ 156⋅156=24336 ≡ 295 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 751²⁵² mod 863.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:

252 = 128+64+32+16+8+4

1: 751¹=751

2: 751²=751¹⁺¹=751¹⋅751¹ ≡ 751⋅751=564001 ≡ 462 mod 863

4: 751⁴=751²⁺²=751²⋅751² ≡ 462⋅462=213444 ≡ 283 mod 863

8: 751⁸=751⁴⁺⁴=751⁴⋅751⁴ ≡ 283⋅283=80089 ≡ 693 mod 863

16: 751¹⁶=751⁸⁺⁸=751⁸⋅751⁸ ≡ 693⋅693=480249 ≡ 421 mod 863

32: 751³²=751¹⁶⁺¹⁶=751¹⁶⋅751¹⁶ ≡ 421⋅421=177241 ≡ 326 mod 863

64: 751⁶⁴=751³²⁺³²=751³²⋅751³² ≡ 326⋅326=106276 ≡ 127 mod 863

128: 751¹²⁸=751⁶⁴⁺⁶⁴=751⁶⁴⋅751⁶⁴ ≡ 127⋅127=16129 ≡ 595 mod 863

751²⁵²

= 751^{128+64+32+16+8+4}

= 751¹²⁸⋅751⁶⁴⋅751³²⋅751¹⁶⋅751⁸⋅751⁴

≡ 595 ⋅ 127 ⋅ 326 ⋅ 421 ⋅ 693 ⋅ 283 mod 863
≡ 75565 ⋅ 326 ⋅ 421 ⋅ 693 ⋅ 283 mod 863 ≡ 484 ⋅ 326 ⋅ 421 ⋅ 693 ⋅ 283 mod 863
≡ 157784 ⋅ 421 ⋅ 693 ⋅ 283 mod 863 ≡ 718 ⋅ 421 ⋅ 693 ⋅ 283 mod 863
≡ 302278 ⋅ 693 ⋅ 283 mod 863 ≡ 228 ⋅ 693 ⋅ 283 mod 863
≡ 158004 ⋅ 283 mod 863 ≡ 75 ⋅ 283 mod 863
≡ 21225 mod 863 ≡ 513 mod 863

Es gilt also: 751²⁵² ≡ 513 mod 863

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

=>61	= 1⋅50 + 11
=>50	= 4⋅11 + 6
=>11	= 1⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 50-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11) = -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50) = 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +11⋅50

Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1

Somit 11⋅50 = 1 mod 61

11 ist also das Inverse von 50 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

Schlüsselpaar für RSA