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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4999 - 1996) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4999 - 1996) mod 5 ≡ (4999 mod 5 - 1996 mod 5) mod 5.

4999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4999 = 4000+999 = 5 ⋅ 800 +999.

1996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996 = 1900+96 = 5 ⋅ 380 +96.

Somit gilt:

(4999 - 1996) mod 5 ≡ (4 - 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 36) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 36) mod 10 ≡ (83 mod 10 ⋅ 36 mod 10) mod 10.

83 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 8 ⋅ 10 + 3 ist.

36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 36) mod 10 ≡ (3 ⋅ 6) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 79664 mod 859.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 796 -> x
2. mod(x²,859) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7961=796

2: 7962=7961+1=7961⋅7961 ≡ 796⋅796=633616 ≡ 533 mod 859

4: 7964=7962+2=7962⋅7962 ≡ 533⋅533=284089 ≡ 619 mod 859

8: 7968=7964+4=7964⋅7964 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 47 mod 859

16: 79616=7968+8=7968⋅7968 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 491 mod 859

32: 79632=79616+16=79616⋅79616 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 561 mod 859

64: 79664=79632+32=79632⋅79632 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 327 mod 859

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 578227 mod 857.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

1: 5781=578

2: 5782=5781+1=5781⋅5781 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 711 mod 857

4: 5784=5782+2=5782⋅5782 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 748 mod 857

8: 5788=5784+4=5784⋅5784 ≡ 748⋅748=559504 ≡ 740 mod 857

16: 57816=5788+8=5788⋅5788 ≡ 740⋅740=547600 ≡ 834 mod 857

32: 57832=57816+16=57816⋅57816 ≡ 834⋅834=695556 ≡ 529 mod 857

64: 57864=57832+32=57832⋅57832 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 459 mod 857

128: 578128=57864+64=57864⋅57864 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 716 mod 857

578227

= 578128+64+32+2+1

= 578128⋅57864⋅57832⋅5782⋅5781

716 ⋅ 459 ⋅ 529 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
328644 ⋅ 529 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857 ≡ 413 ⋅ 529 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
218477 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857 ≡ 799 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
568089 ⋅ 578 mod 857 ≡ 755 ⋅ 578 mod 857
436390 mod 857 ≡ 177 mod 857

Es gilt also: 578227 ≡ 177 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 38

=>101 = 2⋅38 + 25
=>38 = 1⋅25 + 13
=>25 = 1⋅13 + 12
=>13 = 1⋅12 + 1
=>12 = 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 25-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -1⋅(25 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅25 +1⋅ 13)
= -1⋅25 +2⋅ 13 (=1)
13= 38-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅25 +2⋅(38 -1⋅ 25)
= -1⋅25 +2⋅38 -2⋅ 25)
= 2⋅38 -3⋅ 25 (=1)
25= 101-2⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅38 -3⋅(101 -2⋅ 38)
= 2⋅38 -3⋅101 +6⋅ 38)
= -3⋅101 +8⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(101,38)=1 = -3⋅101 +8⋅38

oder wenn man -3⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅101 = +8⋅38

Es gilt also: 8⋅38 = 3⋅101 +1

Somit 8⋅38 = 1 mod 101

8 ist also das Inverse von 38 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.