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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1499 + 12000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1499 + 12000) mod 3 ≡ (1499 mod 3 + 12000 mod 3) mod 3.

1499 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499 = 1500-1 = 3 ⋅ 500 -1 = 3 ⋅ 500 - 3 + 2.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(1499 + 12000) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 99) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 99) mod 6 ≡ (74 mod 6 ⋅ 99 mod 6) mod 6.

74 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 12 ⋅ 6 + 2 ist.

99 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 16 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 99) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 242¹²⁸ mod 257.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 242 -> x
2. mod(x²,257) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 242¹=242

2: 242²=242¹⁺¹=242¹⋅242¹ ≡ 242⋅242=58564 ≡ 225 mod 257

4: 242⁴=242²⁺²=242²⋅242² ≡ 225⋅225=50625 ≡ 253 mod 257

8: 242⁸=242⁴⁺⁴=242⁴⋅242⁴ ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257

16: 242¹⁶=242⁸⁺⁸=242⁸⋅242⁸ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257

32: 242³²=242¹⁶⁺¹⁶=242¹⁶⋅242¹⁶ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257

64: 242⁶⁴=242³²⁺³²=242³²⋅242³² ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 257

128: 242¹²⁸=242⁶⁴⁺⁶⁴=242⁶⁴⋅242⁶⁴ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 562²²³ mod 641.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

1: 562¹=562

2: 562²=562¹⁺¹=562¹⋅562¹ ≡ 562⋅562=315844 ≡ 472 mod 641

4: 562⁴=562²⁺²=562²⋅562² ≡ 472⋅472=222784 ≡ 357 mod 641

8: 562⁸=562⁴⁺⁴=562⁴⋅562⁴ ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641

16: 562¹⁶=562⁸⁺⁸=562⁸⋅562⁸ ≡ 531⋅531=281961 ≡ 562 mod 641

32: 562³²=562¹⁶⁺¹⁶=562¹⁶⋅562¹⁶ ≡ 562⋅562=315844 ≡ 472 mod 641

64: 562⁶⁴=562³²⁺³²=562³²⋅562³² ≡ 472⋅472=222784 ≡ 357 mod 641

128: 562¹²⁸=562⁶⁴⁺⁶⁴=562⁶⁴⋅562⁶⁴ ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641

562²²³

= 562^{128+64+16+8+4+2+1}

= 562¹²⁸⋅562⁶⁴⋅562¹⁶⋅562⁸⋅562⁴⋅562²⋅562¹

≡ 531 ⋅ 357 ⋅ 562 ⋅ 531 ⋅ 357 ⋅ 472 ⋅ 562 mod 641
≡ 189567 ⋅ 562 ⋅ 531 ⋅ 357 ⋅ 472 ⋅ 562 mod 641 ≡ 472 ⋅ 562 ⋅ 531 ⋅ 357 ⋅ 472 ⋅ 562 mod 641
≡ 265264 ⋅ 531 ⋅ 357 ⋅ 472 ⋅ 562 mod 641 ≡ 531 ⋅ 531 ⋅ 357 ⋅ 472 ⋅ 562 mod 641
≡ 281961 ⋅ 357 ⋅ 472 ⋅ 562 mod 641 ≡ 562 ⋅ 357 ⋅ 472 ⋅ 562 mod 641
≡ 200634 ⋅ 472 ⋅ 562 mod 641 ≡ 1 ⋅ 472 ⋅ 562 mod 641
≡ 472 ⋅ 562 mod 641
≡ 265264 mod 641 ≡ 531 mod 641

Es gilt also: 562²²³ ≡ 531 mod 641

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 21.

Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 21

=>61	= 2⋅21 + 19
=>21	= 1⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 21-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1)
19= 61-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅21 +10⋅(61 -2⋅ 21) = -9⋅21 +10⋅61 -20⋅ 21) = 10⋅61 -29⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(61,21)=1 = 10⋅61 -29⋅21

oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅61 = -29⋅21

-29⋅21 = -10⋅61 + 1 |+61⋅21

-29⋅21 + 61⋅21 = -10⋅61 + 61⋅21 + 1

(-29 + 61) ⋅ 21 = (-10 + 21) ⋅ 61 + 1

32⋅21 = 11⋅61 + 1

Es gilt also: 32⋅21 = 11⋅61 +1

Somit 32⋅21 = 1 mod 61

32 ist also das Inverse von 21 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 21

Schlüsselpaar für RSA