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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1597 + 24000) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1597 + 24000) mod 8 ≡ (1597 mod 8 + 24000 mod 8) mod 8.

1597 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1597 = 1600-3 = 8 ⋅ 200 -3 = 8 ⋅ 200 - 8 + 5.

24000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000 = 24000+0 = 8 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(1597 + 24000) mod 8 ≡ (5 + 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 86) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 86) mod 7 ≡ (30 mod 7 ⋅ 86 mod 7) mod 7.

30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.

86 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 12 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 86) mod 7 ≡ (2 ⋅ 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 359¹⁶ mod 743.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 359 -> x
2. mod(x²,743) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 359¹=359

2: 359²=359¹⁺¹=359¹⋅359¹ ≡ 359⋅359=128881 ≡ 342 mod 743

4: 359⁴=359²⁺²=359²⋅359² ≡ 342⋅342=116964 ≡ 313 mod 743

8: 359⁸=359⁴⁺⁴=359⁴⋅359⁴ ≡ 313⋅313=97969 ≡ 636 mod 743

16: 359¹⁶=359⁸⁺⁸=359⁸⋅359⁸ ≡ 636⋅636=404496 ≡ 304 mod 743

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 652¹⁹¹ mod 839.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

1: 652¹=652

2: 652²=652¹⁺¹=652¹⋅652¹ ≡ 652⋅652=425104 ≡ 570 mod 839

4: 652⁴=652²⁺²=652²⋅652² ≡ 570⋅570=324900 ≡ 207 mod 839

8: 652⁸=652⁴⁺⁴=652⁴⋅652⁴ ≡ 207⋅207=42849 ≡ 60 mod 839

16: 652¹⁶=652⁸⁺⁸=652⁸⋅652⁸ ≡ 60⋅60=3600 ≡ 244 mod 839

32: 652³²=652¹⁶⁺¹⁶=652¹⁶⋅652¹⁶ ≡ 244⋅244=59536 ≡ 806 mod 839

64: 652⁶⁴=652³²⁺³²=652³²⋅652³² ≡ 806⋅806=649636 ≡ 250 mod 839

128: 652¹²⁸=652⁶⁴⁺⁶⁴=652⁶⁴⋅652⁶⁴ ≡ 250⋅250=62500 ≡ 414 mod 839

652¹⁹¹

= 652^{128+32+16+8+4+2+1}

= 652¹²⁸⋅652³²⋅652¹⁶⋅652⁸⋅652⁴⋅652²⋅652¹

≡ 414 ⋅ 806 ⋅ 244 ⋅ 60 ⋅ 207 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839
≡ 333684 ⋅ 244 ⋅ 60 ⋅ 207 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839 ≡ 601 ⋅ 244 ⋅ 60 ⋅ 207 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839
≡ 146644 ⋅ 60 ⋅ 207 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839 ≡ 658 ⋅ 60 ⋅ 207 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839
≡ 39480 ⋅ 207 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839 ≡ 47 ⋅ 207 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839
≡ 9729 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839 ≡ 500 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839
≡ 285000 ⋅ 652 mod 839 ≡ 579 ⋅ 652 mod 839
≡ 377508 mod 839 ≡ 797 mod 839

Es gilt also: 652¹⁹¹ ≡ 797 mod 839

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 39.

Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 39

=>59	= 1⋅39 + 20
=>39	= 1⋅20 + 19
=>20	= 1⋅19 + 1
=>19	= 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 20-1⋅19
19= 39-1⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅20 -1⋅(39 -1⋅ 20) = 1⋅20 -1⋅39 +1⋅ 20) = -1⋅39 +2⋅ 20 (=1)
20= 59-1⋅39	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅39 +2⋅(59 -1⋅ 39) = -1⋅39 +2⋅59 -2⋅ 39) = 2⋅59 -3⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(59,39)=1 = 2⋅59 -3⋅39

oder wenn man 2⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅59 = -3⋅39

-3⋅39 = -2⋅59 + 1 |+59⋅39

-3⋅39 + 59⋅39 = -2⋅59 + 59⋅39 + 1

(-3 + 59) ⋅ 39 = (-2 + 39) ⋅ 59 + 1

56⋅39 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 56⋅39 = 37⋅59 +1

Somit 56⋅39 = 1 mod 59

56 ist also das Inverse von 39 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 39

Schlüsselpaar für RSA