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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (198 - 77) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(198 - 77) mod 4 ≡ (198 mod 4 - 77 mod 4) mod 4.

198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198 = 200-2 = 4 ⋅ 50 -2 = 4 ⋅ 50 - 4 + 2.

77 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 80-3 = 4 ⋅ 20 -3 = 4 ⋅ 20 - 4 + 1.

Somit gilt:

(198 - 77) mod 4 ≡ (2 - 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 63) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 63) mod 11 ≡ (19 mod 11 ⋅ 63 mod 11) mod 11.

19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.

63 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 55 + 8 = 5 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 63) mod 11 ≡ (8 ⋅ 8) mod 11 ≡ 64 mod 11 ≡ 9 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 242¹²⁸ mod 647.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 242 -> x
2. mod(x²,647) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 242¹=242

2: 242²=242¹⁺¹=242¹⋅242¹ ≡ 242⋅242=58564 ≡ 334 mod 647

4: 242⁴=242²⁺²=242²⋅242² ≡ 334⋅334=111556 ≡ 272 mod 647

8: 242⁸=242⁴⁺⁴=242⁴⋅242⁴ ≡ 272⋅272=73984 ≡ 226 mod 647

16: 242¹⁶=242⁸⁺⁸=242⁸⋅242⁸ ≡ 226⋅226=51076 ≡ 610 mod 647

32: 242³²=242¹⁶⁺¹⁶=242¹⁶⋅242¹⁶ ≡ 610⋅610=372100 ≡ 75 mod 647

64: 242⁶⁴=242³²⁺³²=242³²⋅242³² ≡ 75⋅75=5625 ≡ 449 mod 647

128: 242¹²⁸=242⁶⁴⁺⁶⁴=242⁶⁴⋅242⁶⁴ ≡ 449⋅449=201601 ≡ 384 mod 647

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 274¹¹¹ mod 647.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:

111 = 64+32+8+4+2+1

1: 274¹=274

2: 274²=274¹⁺¹=274¹⋅274¹ ≡ 274⋅274=75076 ≡ 24 mod 647

4: 274⁴=274²⁺²=274²⋅274² ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 647

8: 274⁸=274⁴⁺⁴=274⁴⋅274⁴ ≡ 576⋅576=331776 ≡ 512 mod 647

16: 274¹⁶=274⁸⁺⁸=274⁸⋅274⁸ ≡ 512⋅512=262144 ≡ 109 mod 647

32: 274³²=274¹⁶⁺¹⁶=274¹⁶⋅274¹⁶ ≡ 109⋅109=11881 ≡ 235 mod 647

64: 274⁶⁴=274³²⁺³²=274³²⋅274³² ≡ 235⋅235=55225 ≡ 230 mod 647

274¹¹¹

= 274^{64+32+8+4+2+1}

= 274⁶⁴⋅274³²⋅274⁸⋅274⁴⋅274²⋅274¹

≡ 230 ⋅ 235 ⋅ 512 ⋅ 576 ⋅ 24 ⋅ 274 mod 647
≡ 54050 ⋅ 512 ⋅ 576 ⋅ 24 ⋅ 274 mod 647 ≡ 349 ⋅ 512 ⋅ 576 ⋅ 24 ⋅ 274 mod 647
≡ 178688 ⋅ 576 ⋅ 24 ⋅ 274 mod 647 ≡ 116 ⋅ 576 ⋅ 24 ⋅ 274 mod 647
≡ 66816 ⋅ 24 ⋅ 274 mod 647 ≡ 175 ⋅ 24 ⋅ 274 mod 647
≡ 4200 ⋅ 274 mod 647 ≡ 318 ⋅ 274 mod 647
≡ 87132 mod 647 ≡ 434 mod 647

Es gilt also: 274¹¹¹ ≡ 434 mod 647

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 50

=>59	= 1⋅50 + 9
=>50	= 5⋅9 + 5
=>9	= 1⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 9-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1)
5= 50-5⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅9 +2⋅(50 -5⋅ 9) = -1⋅9 +2⋅50 -10⋅ 9) = 2⋅50 -11⋅ 9 (=1)
9= 59-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅50 -11⋅(59 -1⋅ 50) = 2⋅50 -11⋅59 +11⋅ 50) = -11⋅59 +13⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(59,50)=1 = -11⋅59 +13⋅50

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +13⋅50

Es gilt also: 13⋅50 = 11⋅59 +1

Somit 13⋅50 = 1 mod 59

13 ist also das Inverse von 50 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 50

Schlüsselpaar für RSA