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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3495 + 20998) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3495 + 20998) mod 7 ≡ (3495 mod 7 + 20998 mod 7) mod 7.
3495 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3495
= 3500
20998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20998
= 21000
Somit gilt:
(3495 + 20998) mod 7 ≡ (2 + 5) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 40) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 40) mod 8 ≡ (54 mod 8 ⋅ 40 mod 8) mod 8.
54 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 48 + 6 = 6 ⋅ 8 + 6 ist.
40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 40) mod 8 ≡ (6 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2758 mod 419.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 275 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2751=275
2: 2752=2751+1=2751⋅2751 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 205 mod 419
4: 2754=2752+2=2752⋅2752 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 125 mod 419
8: 2758=2754+4=2754⋅2754 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 122 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 337182 mod 769.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:
182 = 128+32+16+4+2
1: 3371=337
2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 526 mod 769
4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 605 mod 769
8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 750 mod 769
16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 361 mod 769
32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 360 mod 769
64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 408 mod 769
128: 337128=33764+64=33764⋅33764 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 360 mod 769
337182
= 337128+32+16+4+2
= 337128⋅33732⋅33716⋅3374⋅3372
≡ 360 ⋅ 360 ⋅ 361 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769
≡ 129600 ⋅ 361 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769 ≡ 408 ⋅ 361 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769
≡ 147288 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769 ≡ 409 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769
≡ 247445 ⋅ 526 mod 769 ≡ 596 ⋅ 526 mod 769
≡ 313496 mod 769 ≡ 513 mod 769
Es gilt also: 337182 ≡ 513 mod 769
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 52
| =>97 | = 1⋅52 + 45 |
| =>52 | = 1⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-1⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(52 -1⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅52 -13⋅ 45) = 13⋅52 -15⋅ 45 (=1) |
| 45= 97-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅52 -15⋅(97 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -15⋅97 +15⋅ 52) = -15⋅97 +28⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,52)=1 = -15⋅97 +28⋅52
oder wenn man -15⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +15⋅97 = +28⋅52
Es gilt also: 28⋅52 = 15⋅97 +1
Somit 28⋅52 = 1 mod 97
28 ist also das Inverse von 52 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
