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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (298 - 298) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(298 - 298) mod 3 ≡ (298 mod 3 - 298 mod 3) mod 3.

298 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298 = 300-2 = 3 ⋅ 100 -2 = 3 ⋅ 100 - 3 + 1.

Somit gilt:

(298 - 298) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 49) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 49) mod 7 ≡ (96 mod 7 ⋅ 49 mod 7) mod 7.

96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.

49 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 49 + 0 = 7 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 49) mod 7 ≡ (5 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 441¹⁶ mod 887.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 441 -> x
2. mod(x²,887) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 441¹=441

2: 441²=441¹⁺¹=441¹⋅441¹ ≡ 441⋅441=194481 ≡ 228 mod 887

4: 441⁴=441²⁺²=441²⋅441² ≡ 228⋅228=51984 ≡ 538 mod 887

8: 441⁸=441⁴⁺⁴=441⁴⋅441⁴ ≡ 538⋅538=289444 ≡ 282 mod 887

16: 441¹⁶=441⁸⁺⁸=441⁸⋅441⁸ ≡ 282⋅282=79524 ≡ 581 mod 887

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 610¹⁸³ mod 647.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

1: 610¹=610

2: 610²=610¹⁺¹=610¹⋅610¹ ≡ 610⋅610=372100 ≡ 75 mod 647

4: 610⁴=610²⁺²=610²⋅610² ≡ 75⋅75=5625 ≡ 449 mod 647

8: 610⁸=610⁴⁺⁴=610⁴⋅610⁴ ≡ 449⋅449=201601 ≡ 384 mod 647

16: 610¹⁶=610⁸⁺⁸=610⁸⋅610⁸ ≡ 384⋅384=147456 ≡ 587 mod 647

32: 610³²=610¹⁶⁺¹⁶=610¹⁶⋅610¹⁶ ≡ 587⋅587=344569 ≡ 365 mod 647

64: 610⁶⁴=610³²⁺³²=610³²⋅610³² ≡ 365⋅365=133225 ≡ 590 mod 647

128: 610¹²⁸=610⁶⁴⁺⁶⁴=610⁶⁴⋅610⁶⁴ ≡ 590⋅590=348100 ≡ 14 mod 647

610¹⁸³

= 610^{128+32+16+4+2+1}

= 610¹²⁸⋅610³²⋅610¹⁶⋅610⁴⋅610²⋅610¹

≡ 14 ⋅ 365 ⋅ 587 ⋅ 449 ⋅ 75 ⋅ 610 mod 647
≡ 5110 ⋅ 587 ⋅ 449 ⋅ 75 ⋅ 610 mod 647 ≡ 581 ⋅ 587 ⋅ 449 ⋅ 75 ⋅ 610 mod 647
≡ 341047 ⋅ 449 ⋅ 75 ⋅ 610 mod 647 ≡ 78 ⋅ 449 ⋅ 75 ⋅ 610 mod 647
≡ 35022 ⋅ 75 ⋅ 610 mod 647 ≡ 84 ⋅ 75 ⋅ 610 mod 647
≡ 6300 ⋅ 610 mod 647 ≡ 477 ⋅ 610 mod 647
≡ 290970 mod 647 ≡ 467 mod 647

Es gilt also: 610¹⁸³ ≡ 467 mod 647

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 21.

Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21

=>53	= 2⋅21 + 11
=>21	= 1⋅11 + 10
=>11	= 1⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 21-1⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11) = 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1)
11= 53-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21) = -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21) = 2⋅53 -5⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -5⋅21

-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21

-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1

(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1

48⋅21 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1

Somit 48⋅21 = 1 mod 53

48 ist also das Inverse von 21 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21

Schlüsselpaar für RSA