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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1995 - 19996) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1995 - 19996) mod 5 ≡ (1995 mod 5 - 19996 mod 5) mod 5.

1995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1995 = 1900+95 = 5 ⋅ 380 +95.

19996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19996 = 19000+996 = 5 ⋅ 3800 +996.

Somit gilt:

(1995 - 19996) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 61) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 61) mod 6 ≡ (54 mod 6 ⋅ 61 mod 6) mod 6.

54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 9 ⋅ 6 + 0 ist.

61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 61) mod 6 ≡ (0 ⋅ 1) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 796⁶⁴ mod 977.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 796 -> x
2. mod(x²,977) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 796¹=796

2: 796²=796¹⁺¹=796¹⋅796¹ ≡ 796⋅796=633616 ≡ 520 mod 977

4: 796⁴=796²⁺²=796²⋅796² ≡ 520⋅520=270400 ≡ 748 mod 977

8: 796⁸=796⁴⁺⁴=796⁴⋅796⁴ ≡ 748⋅748=559504 ≡ 660 mod 977

16: 796¹⁶=796⁸⁺⁸=796⁸⋅796⁸ ≡ 660⋅660=435600 ≡ 835 mod 977

32: 796³²=796¹⁶⁺¹⁶=796¹⁶⋅796¹⁶ ≡ 835⋅835=697225 ≡ 624 mod 977

64: 796⁶⁴=796³²⁺³²=796³²⋅796³² ≡ 624⋅624=389376 ≡ 530 mod 977

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 289²⁵⁴ mod 619.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:

254 = 128+64+32+16+8+4+2

1: 289¹=289

2: 289²=289¹⁺¹=289¹⋅289¹ ≡ 289⋅289=83521 ≡ 575 mod 619

4: 289⁴=289²⁺²=289²⋅289² ≡ 575⋅575=330625 ≡ 79 mod 619

8: 289⁸=289⁴⁺⁴=289⁴⋅289⁴ ≡ 79⋅79=6241 ≡ 51 mod 619

16: 289¹⁶=289⁸⁺⁸=289⁸⋅289⁸ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 125 mod 619

32: 289³²=289¹⁶⁺¹⁶=289¹⁶⋅289¹⁶ ≡ 125⋅125=15625 ≡ 150 mod 619

64: 289⁶⁴=289³²⁺³²=289³²⋅289³² ≡ 150⋅150=22500 ≡ 216 mod 619

128: 289¹²⁸=289⁶⁴⁺⁶⁴=289⁶⁴⋅289⁶⁴ ≡ 216⋅216=46656 ≡ 231 mod 619

289²⁵⁴

= 289^{128+64+32+16+8+4+2}

= 289¹²⁸⋅289⁶⁴⋅289³²⋅289¹⁶⋅289⁸⋅289⁴⋅289²

≡ 231 ⋅ 216 ⋅ 150 ⋅ 125 ⋅ 51 ⋅ 79 ⋅ 575 mod 619
≡ 49896 ⋅ 150 ⋅ 125 ⋅ 51 ⋅ 79 ⋅ 575 mod 619 ≡ 376 ⋅ 150 ⋅ 125 ⋅ 51 ⋅ 79 ⋅ 575 mod 619
≡ 56400 ⋅ 125 ⋅ 51 ⋅ 79 ⋅ 575 mod 619 ≡ 71 ⋅ 125 ⋅ 51 ⋅ 79 ⋅ 575 mod 619
≡ 8875 ⋅ 51 ⋅ 79 ⋅ 575 mod 619 ≡ 209 ⋅ 51 ⋅ 79 ⋅ 575 mod 619
≡ 10659 ⋅ 79 ⋅ 575 mod 619 ≡ 136 ⋅ 79 ⋅ 575 mod 619
≡ 10744 ⋅ 575 mod 619 ≡ 221 ⋅ 575 mod 619
≡ 127075 mod 619 ≡ 180 mod 619

Es gilt also: 289²⁵⁴ ≡ 180 mod 619

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45

=>79	= 1⋅45 + 34
=>45	= 1⋅34 + 11
=>34	= 3⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-3⋅11
11= 45-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34) = 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34) = -3⋅45 +4⋅ 34 (=1)
34= 79-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45) = -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45) = 4⋅79 -7⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -7⋅45

-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45

-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1

(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1

72⋅45 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1

Somit 72⋅45 = 1 mod 79

72 ist also das Inverse von 45 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45

Schlüsselpaar für RSA