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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18001 - 17995) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18001 - 17995) mod 6 ≡ (18001 mod 6 - 17995 mod 6) mod 6.
18001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18001
= 18000
17995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17995
= 18000
Somit gilt:
(18001 - 17995) mod 6 ≡ (1 - 1) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 18) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 18) mod 9 ≡ (76 mod 9 ⋅ 18 mod 9) mod 9.
76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.
18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 18) mod 9 ≡ (4 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45916 mod 479.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 459 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4591=459
2: 4592=4591+1=4591⋅4591 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 400 mod 479
4: 4594=4592+2=4592⋅4592 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 14 mod 479
8: 4598=4594+4=4594⋅4594 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 479
16: 45916=4598+8=4598⋅4598 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 96 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26999 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:
99 = 64+32+2+1
1: 2691=269
2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 365 mod 439
4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 208 mod 439
8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 242 mod 439
16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 177 mod 439
32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 160 mod 439
64: 26964=26932+32=26932⋅26932 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 138 mod 439
26999
= 26964+32+2+1
= 26964⋅26932⋅2692⋅2691
≡ 138 ⋅ 160 ⋅ 365 ⋅ 269 mod 439
≡ 22080 ⋅ 365 ⋅ 269 mod 439 ≡ 130 ⋅ 365 ⋅ 269 mod 439
≡ 47450 ⋅ 269 mod 439 ≡ 38 ⋅ 269 mod 439
≡ 10222 mod 439 ≡ 125 mod 439
Es gilt also: 26999 ≡ 125 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 66.
Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 66
| =>73 | = 1⋅66 + 7 |
| =>66 | = 9⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,66)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 66-9⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(66 -9⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅66 +18⋅ 7) = -2⋅66 +19⋅ 7 (=1) |
| 7= 73-1⋅66 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅66 +19⋅(73 -1⋅ 66)
= -2⋅66 +19⋅73 -19⋅ 66) = 19⋅73 -21⋅ 66 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,66)=1 = 19⋅73 -21⋅66
oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅73 = -21⋅66
-21⋅66 = -19⋅73 + 1 |+73⋅66
-21⋅66 + 73⋅66 = -19⋅73 + 73⋅66 + 1
(-21 + 73) ⋅ 66 = (-19 + 66) ⋅ 73 + 1
52⋅66 = 47⋅73 + 1
Es gilt also: 52⋅66 = 47⋅73 +1
Somit 52⋅66 = 1 mod 73
52 ist also das Inverse von 66 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.