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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15003 - 599) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15003 - 599) mod 3 ≡ (15003 mod 3 - 599 mod 3) mod 3.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

599 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599 = 600-1 = 3 ⋅ 200 -1 = 3 ⋅ 200 - 3 + 2.

Somit gilt:

(15003 - 599) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 88) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 88) mod 8 ≡ (20 mod 8 ⋅ 88 mod 8) mod 8.

20 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 16 + 4 = 2 ⋅ 8 + 4 ist.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 88) mod 8 ≡ (4 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 47516 mod 911.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 475 -> x
2. mod(x²,911) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4751=475

2: 4752=4751+1=4751⋅4751 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 608 mod 911

4: 4754=4752+2=4752⋅4752 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 709 mod 911

8: 4758=4754+4=4754⋅4754 ≡ 709⋅709=502681 ≡ 720 mod 911

16: 47516=4758+8=4758⋅4758 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 41 mod 911

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 790157 mod 809.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:

157 = 128+16+8+4+1

1: 7901=790

2: 7902=7901+1=7901⋅7901 ≡ 790⋅790=624100 ≡ 361 mod 809

4: 7904=7902+2=7902⋅7902 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 72 mod 809

8: 7908=7904+4=7904⋅7904 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 330 mod 809

16: 79016=7908+8=7908⋅7908 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 494 mod 809

32: 79032=79016+16=79016⋅79016 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 527 mod 809

64: 79064=79032+32=79032⋅79032 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 242 mod 809

128: 790128=79064+64=79064⋅79064 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 316 mod 809

790157

= 790128+16+8+4+1

= 790128⋅79016⋅7908⋅7904⋅7901

≡ 316 ⋅ 494 ⋅ 330 ⋅ 72 ⋅ 790 mod 809
≡ 156104 ⋅ 330 ⋅ 72 ⋅ 790 mod 809 ≡ 776 ⋅ 330 ⋅ 72 ⋅ 790 mod 809
≡ 256080 ⋅ 72 ⋅ 790 mod 809 ≡ 436 ⋅ 72 ⋅ 790 mod 809
≡ 31392 ⋅ 790 mod 809 ≡ 650 ⋅ 790 mod 809
≡ 513500 mod 809 ≡ 594 mod 809

Es gilt also: 790157 ≡ 594 mod 809

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 62.

Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 62

=>67 = 1⋅62 + 5
=>62 = 12⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,62)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 62-12⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(62 -12⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅62 +24⋅ 5)
= -2⋅62 +25⋅ 5 (=1)
5= 67-1⋅62 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅62 +25⋅(67 -1⋅ 62)
= -2⋅62 +25⋅67 -25⋅ 62)
= 25⋅67 -27⋅ 62 (=1)

Es gilt also: ggt(67,62)=1 = 25⋅67 -27⋅62

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -27⋅62

-27⋅62 = -25⋅67 + 1 |+67⋅62

-27⋅62 + 67⋅62 = -25⋅67 + 67⋅62 + 1

(-27 + 67) ⋅ 62 = (-25 + 62) ⋅ 67 + 1

40⋅62 = 37⋅67 + 1

Es gilt also: 40⋅62 = 37⋅67 +1

Somit 40⋅62 = 1 mod 67

40 ist also das Inverse von 62 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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