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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1607 + 32008) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1607 + 32008) mod 8 ≡ (1607 mod 8 + 32008 mod 8) mod 8.

1607 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1607 = 1600+7 = 8 ⋅ 200 +7.

32008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32008 = 32000+8 = 8 ⋅ 4000 +8.

Somit gilt:

(1607 + 32008) mod 8 ≡ (7 + 0) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 40) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 40) mod 9 ≡ (62 mod 9 ⋅ 40 mod 9) mod 9.

62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.

40 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 4 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 40) mod 9 ≡ (8 ⋅ 4) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20664 mod 223.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 206 -> x
2. mod(x²,223) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2061=206

2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 66 mod 223

4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 119 mod 223

8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 112 mod 223

16: 20616=2068+8=2068⋅2068 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 56 mod 223

32: 20632=20616+16=20616⋅20616 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 14 mod 223

64: 20664=20632+32=20632⋅20632 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 223

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 350124 mod 557.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:

124 = 64+32+16+8+4

1: 3501=350

2: 3502=3501+1=3501⋅3501 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 517 mod 557

4: 3504=3502+2=3502⋅3502 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 486 mod 557

8: 3508=3504+4=3504⋅3504 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 28 mod 557

16: 35016=3508+8=3508⋅3508 ≡ 28⋅28=784 ≡ 227 mod 557

32: 35032=35016+16=35016⋅35016 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 285 mod 557

64: 35064=35032+32=35032⋅35032 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 460 mod 557

350124

= 35064+32+16+8+4

= 35064⋅35032⋅35016⋅3508⋅3504

≡ 460 ⋅ 285 ⋅ 227 ⋅ 28 ⋅ 486 mod 557
≡ 131100 ⋅ 227 ⋅ 28 ⋅ 486 mod 557 ≡ 205 ⋅ 227 ⋅ 28 ⋅ 486 mod 557
≡ 46535 ⋅ 28 ⋅ 486 mod 557 ≡ 304 ⋅ 28 ⋅ 486 mod 557
≡ 8512 ⋅ 486 mod 557 ≡ 157 ⋅ 486 mod 557
≡ 76302 mod 557 ≡ 550 mod 557

Es gilt also: 350124 ≡ 550 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71 = 1⋅37 + 34
=>37 = 1⋅34 + 3
=>34 = 11⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34)
= -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37)
= 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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