nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (175 + 24003) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(175 + 24003) mod 6 ≡ (175 mod 6 + 24003 mod 6) mod 6.

175 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 175 = 180-5 = 6 ⋅ 30 -5 = 6 ⋅ 30 - 6 + 1.

24003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24003 = 24000+3 = 6 ⋅ 4000 +3.

Somit gilt:

(175 + 24003) mod 6 ≡ (1 + 3) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 27) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 27) mod 6 ≡ (56 mod 6 ⋅ 27 mod 6) mod 6.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.

27 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 4 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 27) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 45216 mod 547.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 452 -> x
2. mod(x²,547) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4521=452

2: 4522=4521+1=4521⋅4521 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 273 mod 547

4: 4524=4522+2=4522⋅4522 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 137 mod 547

8: 4528=4524+4=4524⋅4524 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 171 mod 547

16: 45216=4528+8=4528⋅4528 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 250 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 189100 mod 271.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 100 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 100 an und zerlegen 100 in eine Summer von 2er-Potenzen:

100 = 64+32+4

1: 1891=189

2: 1892=1891+1=1891⋅1891 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 220 mod 271

4: 1894=1892+2=1892⋅1892 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 162 mod 271

8: 1898=1894+4=1894⋅1894 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 228 mod 271

16: 18916=1898+8=1898⋅1898 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 223 mod 271

32: 18932=18916+16=18916⋅18916 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 136 mod 271

64: 18964=18932+32=18932⋅18932 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 68 mod 271

189100

= 18964+32+4

= 18964⋅18932⋅1894

≡ 68 ⋅ 136 ⋅ 162 mod 271
≡ 9248 ⋅ 162 mod 271 ≡ 34 ⋅ 162 mod 271
≡ 5508 mod 271 ≡ 88 mod 271

Es gilt also: 189100 ≡ 88 mod 271

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70

=>79 = 1⋅70 + 9
=>70 = 7⋅9 + 7
=>9 = 1⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7)
= -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 70-7⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9)
= 4⋅70 -31⋅ 9 (=1)
9= 79-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70)
= -31⋅79 +35⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70

oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅79 = +35⋅70

Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1

Somit 35⋅70 = 1 mod 79

35 ist also das Inverse von 70 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden