Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (268 - 99) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(268 - 99) mod 9 ≡ (268 mod 9 - 99 mod 9) mod 9.
268 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 268
= 270
99 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99
= 90
Somit gilt:
(268 - 99) mod 9 ≡ (7 - 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 43) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 43) mod 5 ≡ (15 mod 5 ⋅ 43 mod 5) mod 5.
15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.
43 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 8 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 43) mod 5 ≡ (0 ⋅ 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2708 mod 683.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 270 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2701=270
2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 502 mod 683
4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 660 mod 683
8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 529 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 438167 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:
167 = 128+32+4+2+1
1: 4381=438
2: 4382=4381+1=4381⋅4381 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 453 mod 487
4: 4384=4382+2=4382⋅4382 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 182 mod 487
8: 4388=4384+4=4384⋅4384 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 8 mod 487
16: 43816=4388+8=4388⋅4388 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 487
32: 43832=43816+16=43816⋅43816 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 200 mod 487
64: 43864=43832+32=43832⋅43832 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 66 mod 487
128: 438128=43864+64=43864⋅43864 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 460 mod 487
438167
= 438128+32+4+2+1
= 438128⋅43832⋅4384⋅4382⋅4381
≡ 460 ⋅ 200 ⋅ 182 ⋅ 453 ⋅ 438 mod 487
≡ 92000 ⋅ 182 ⋅ 453 ⋅ 438 mod 487 ≡ 444 ⋅ 182 ⋅ 453 ⋅ 438 mod 487
≡ 80808 ⋅ 453 ⋅ 438 mod 487 ≡ 453 ⋅ 453 ⋅ 438 mod 487
≡ 205209 ⋅ 438 mod 487 ≡ 182 ⋅ 438 mod 487
≡ 79716 mod 487 ≡ 335 mod 487
Es gilt also: 438167 ≡ 335 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52
| =>59 | = 1⋅52 + 7 |
| =>52 | = 7⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 52-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52
oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅59 = -17⋅52
-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52
-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1
(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1
42⋅52 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1
Somit 42⋅52 = 1 mod 59
42 ist also das Inverse von 52 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.