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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14996 + 14997) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14996 + 14997) mod 5 ≡ (14996 mod 5 + 14997 mod 5) mod 5.

14996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14996 = 14000+996 = 5 ⋅ 2800 +996.

14997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997 = 14000+997 = 5 ⋅ 2800 +997.

Somit gilt:

(14996 + 14997) mod 5 ≡ (1 + 2) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 18) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 18) mod 6 ≡ (36 mod 6 ⋅ 18 mod 6) mod 6.

36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.

18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 18) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 215128 mod 331.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 215 -> x
2. mod(x²,331) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2151=215

2: 2152=2151+1=2151⋅2151 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 216 mod 331

4: 2154=2152+2=2152⋅2152 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 316 mod 331

8: 2158=2154+4=2154⋅2154 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 225 mod 331

16: 21516=2158+8=2158⋅2158 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 313 mod 331

32: 21532=21516+16=21516⋅21516 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 324 mod 331

64: 21564=21532+32=21532⋅21532 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 49 mod 331

128: 215128=21564+64=21564⋅21564 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 84 mod 331

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 139110 mod 283.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:

110 = 64+32+8+4+2

1: 1391=139

2: 1392=1391+1=1391⋅1391 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 77 mod 283

4: 1394=1392+2=1392⋅1392 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 269 mod 283

8: 1398=1394+4=1394⋅1394 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 196 mod 283

16: 13916=1398+8=1398⋅1398 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 211 mod 283

32: 13932=13916+16=13916⋅13916 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 90 mod 283

64: 13964=13932+32=13932⋅13932 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 176 mod 283

139110

= 13964+32+8+4+2

= 13964⋅13932⋅1398⋅1394⋅1392

≡ 176 ⋅ 90 ⋅ 196 ⋅ 269 ⋅ 77 mod 283
≡ 15840 ⋅ 196 ⋅ 269 ⋅ 77 mod 283 ≡ 275 ⋅ 196 ⋅ 269 ⋅ 77 mod 283
≡ 53900 ⋅ 269 ⋅ 77 mod 283 ≡ 130 ⋅ 269 ⋅ 77 mod 283
≡ 34970 ⋅ 77 mod 283 ≡ 161 ⋅ 77 mod 283
≡ 12397 mod 283 ≡ 228 mod 283

Es gilt also: 139110 ≡ 228 mod 283

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 79.

Also bestimme x, so dass 79 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 79

=>89 = 1⋅79 + 10
=>79 = 7⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,79)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 79-7⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(79 -7⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅79 +7⋅ 10)
= -1⋅79 +8⋅ 10 (=1)
10= 89-1⋅79 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅79 +8⋅(89 -1⋅ 79)
= -1⋅79 +8⋅89 -8⋅ 79)
= 8⋅89 -9⋅ 79 (=1)

Es gilt also: ggt(89,79)=1 = 8⋅89 -9⋅79

oder wenn man 8⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅89 = -9⋅79

-9⋅79 = -8⋅89 + 1 |+89⋅79

-9⋅79 + 89⋅79 = -8⋅89 + 89⋅79 + 1

(-9 + 89) ⋅ 79 = (-8 + 79) ⋅ 89 + 1

80⋅79 = 71⋅89 + 1

Es gilt also: 80⋅79 = 71⋅89 +1

Somit 80⋅79 = 1 mod 89

80 ist also das Inverse von 79 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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