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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24996 + 253) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24996 + 253) mod 5 ≡ (24996 mod 5 + 253 mod 5) mod 5.

24996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24996 = 24000+996 = 5 ⋅ 4800 +996.

253 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 253 = 250+3 = 5 ⋅ 50 +3.

Somit gilt:

(24996 + 253) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 34) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 34) mod 7 ≡ (92 mod 7 ⋅ 34 mod 7) mod 7.

92 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 91 + 1 = 13 ⋅ 7 + 1 ist.

34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 34) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1578 mod 239.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 157 -> x
2. mod(x²,239) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1571=157

2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 32 mod 239

4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 68 mod 239

8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 83 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 499220 mod 809.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:

220 = 128+64+16+8+4

1: 4991=499

2: 4992=4991+1=4991⋅4991 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 638 mod 809

4: 4994=4992+2=4992⋅4992 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 117 mod 809

8: 4998=4994+4=4994⋅4994 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 745 mod 809

16: 49916=4998+8=4998⋅4998 ≡ 745⋅745=555025 ≡ 51 mod 809

32: 49932=49916+16=49916⋅49916 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 174 mod 809

64: 49964=49932+32=49932⋅49932 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 343 mod 809

128: 499128=49964+64=49964⋅49964 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 344 mod 809

499220

= 499128+64+16+8+4

= 499128⋅49964⋅49916⋅4998⋅4994

344 ⋅ 343 ⋅ 51 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809
117992 ⋅ 51 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809 ≡ 687 ⋅ 51 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809
35037 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809 ≡ 250 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809
186250 ⋅ 117 mod 809 ≡ 180 ⋅ 117 mod 809
21060 mod 809 ≡ 26 mod 809

Es gilt also: 499220 ≡ 26 mod 809

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.

Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49

=>71 = 1⋅49 + 22
=>49 = 2⋅22 + 5
=>22 = 4⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5)
= -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 49-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22)
= 9⋅49 -20⋅ 22 (=1)
22= 71-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49)
= -20⋅71 +29⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49

oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅71 = +29⋅49

Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1

Somit 29⋅49 = 1 mod 71

29 ist also das Inverse von 49 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.