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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36007 - 4505) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36007 - 4505) mod 9 ≡ (36007 mod 9 - 4505 mod 9) mod 9.
36007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36007
= 36000
4505 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4505
= 4500
Somit gilt:
(36007 - 4505) mod 9 ≡ (7 - 5) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 15) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 15) mod 10 ≡ (52 mod 10 ⋅ 15 mod 10) mod 10.
52 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 5 ⋅ 10 + 2 ist.
15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 15) mod 10 ≡ (2 ⋅ 5) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26616 mod 503.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 266 -> x
2. mod(x²,503) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 336 mod 503
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 224 mod 503
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 379 mod 503
16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 286 mod 503
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 155180 mod 433.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:
180 = 128+32+16+4
1: 1551=155
2: 1552=1551+1=1551⋅1551 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 210 mod 433
4: 1554=1552+2=1552⋅1552 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 367 mod 433
8: 1558=1554+4=1554⋅1554 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 26 mod 433
16: 15516=1558+8=1558⋅1558 ≡ 26⋅26=676 ≡ 243 mod 433
32: 15532=15516+16=15516⋅15516 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 161 mod 433
64: 15564=15532+32=15532⋅15532 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 374 mod 433
128: 155128=15564+64=15564⋅15564 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 17 mod 433
155180
= 155128+32+16+4
= 155128⋅15532⋅15516⋅1554
≡ 17 ⋅ 161 ⋅ 243 ⋅ 367 mod 433
≡ 2737 ⋅ 243 ⋅ 367 mod 433 ≡ 139 ⋅ 243 ⋅ 367 mod 433
≡ 33777 ⋅ 367 mod 433 ≡ 3 ⋅ 367 mod 433
≡ 1101 mod 433 ≡ 235 mod 433
Es gilt also: 155180 ≡ 235 mod 433
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38
| =>73 | = 1⋅38 + 35 |
| =>38 | = 1⋅35 + 3 |
| =>35 | = 11⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 35-11⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1) |
| 3= 38-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35) = 12⋅38 -13⋅ 35 (=1) |
| 35= 73-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38)
= 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38) = -13⋅73 +25⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38
oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅73 = +25⋅38
Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1
Somit 25⋅38 = 1 mod 73
25 ist also das Inverse von 38 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
