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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (11997 - 120) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11997 - 120) mod 6 ≡ (11997 mod 6 - 120 mod 6) mod 6.

11997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997 = 12000-3 = 6 ⋅ 2000 -3 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 3.

120 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 6 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(11997 - 120) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 47) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 47) mod 7 ≡ (40 mod 7 ⋅ 47 mod 7) mod 7.

40 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 35 + 5 = 5 ⋅ 7 + 5 ist.

47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 47) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 140¹²⁸ mod 379.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 140 -> x
2. mod(x²,379) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 140¹=140

2: 140²=140¹⁺¹=140¹⋅140¹ ≡ 140⋅140=19600 ≡ 271 mod 379

4: 140⁴=140²⁺²=140²⋅140² ≡ 271⋅271=73441 ≡ 294 mod 379

8: 140⁸=140⁴⁺⁴=140⁴⋅140⁴ ≡ 294⋅294=86436 ≡ 24 mod 379

16: 140¹⁶=140⁸⁺⁸=140⁸⋅140⁸ ≡ 24⋅24=576 ≡ 197 mod 379

32: 140³²=140¹⁶⁺¹⁶=140¹⁶⋅140¹⁶ ≡ 197⋅197=38809 ≡ 151 mod 379

64: 140⁶⁴=140³²⁺³²=140³²⋅140³² ≡ 151⋅151=22801 ≡ 61 mod 379

128: 140¹²⁸=140⁶⁴⁺⁶⁴=140⁶⁴⋅140⁶⁴ ≡ 61⋅61=3721 ≡ 310 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 510²⁰² mod 599.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:

202 = 128+64+8+2

1: 510¹=510

2: 510²=510¹⁺¹=510¹⋅510¹ ≡ 510⋅510=260100 ≡ 134 mod 599

4: 510⁴=510²⁺²=510²⋅510² ≡ 134⋅134=17956 ≡ 585 mod 599

8: 510⁸=510⁴⁺⁴=510⁴⋅510⁴ ≡ 585⋅585=342225 ≡ 196 mod 599

16: 510¹⁶=510⁸⁺⁸=510⁸⋅510⁸ ≡ 196⋅196=38416 ≡ 80 mod 599

32: 510³²=510¹⁶⁺¹⁶=510¹⁶⋅510¹⁶ ≡ 80⋅80=6400 ≡ 410 mod 599

64: 510⁶⁴=510³²⁺³²=510³²⋅510³² ≡ 410⋅410=168100 ≡ 380 mod 599

128: 510¹²⁸=510⁶⁴⁺⁶⁴=510⁶⁴⋅510⁶⁴ ≡ 380⋅380=144400 ≡ 41 mod 599

510²⁰²

= 510^128+64+8+2

= 510¹²⁸⋅510⁶⁴⋅510⁸⋅510²

≡ 41 ⋅ 380 ⋅ 196 ⋅ 134 mod 599
≡ 15580 ⋅ 196 ⋅ 134 mod 599 ≡ 6 ⋅ 196 ⋅ 134 mod 599
≡ 1176 ⋅ 134 mod 599 ≡ 577 ⋅ 134 mod 599
≡ 77318 mod 599 ≡ 47 mod 599

Es gilt also: 510²⁰² ≡ 47 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 32

=>59	= 1⋅32 + 27
=>32	= 1⋅27 + 5
=>27	= 5⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 27-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1)
5= 32-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅27 +11⋅(32 -1⋅ 27) = -2⋅27 +11⋅32 -11⋅ 27) = 11⋅32 -13⋅ 27 (=1)
27= 59-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅32 -13⋅(59 -1⋅ 32) = 11⋅32 -13⋅59 +13⋅ 32) = -13⋅59 +24⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(59,32)=1 = -13⋅59 +24⋅32

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +24⋅32

Es gilt also: 24⋅32 = 13⋅59 +1

Somit 24⋅32 = 1 mod 59

24 ist also das Inverse von 32 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 32

Schlüsselpaar für RSA