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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (496 + 1502) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(496 + 1502) mod 5 ≡ (496 mod 5 + 1502 mod 5) mod 5.
496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 496
= 400
1502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502
= 1500
Somit gilt:
(496 + 1502) mod 5 ≡ (1 + 2) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 36) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 36) mod 10 ≡ (31 mod 10 ⋅ 36 mod 10) mod 10.
31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.
36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 36) mod 10 ≡ (1 ⋅ 6) mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32816 mod 383.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 328 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3281=328
2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 344 mod 383
4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 372 mod 383
8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 121 mod 383
16: 32816=3288+8=3288⋅3288 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 87 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 440247 mod 503.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:
247 = 128+64+32+16+4+2+1
1: 4401=440
2: 4402=4401+1=4401⋅4401 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 448 mod 503
4: 4404=4402+2=4402⋅4402 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 7 mod 503
8: 4408=4404+4=4404⋅4404 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 503
16: 44016=4408+8=4408⋅4408 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 389 mod 503
32: 44032=44016+16=44016⋅44016 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 421 mod 503
64: 44064=44032+32=44032⋅44032 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 185 mod 503
128: 440128=44064+64=44064⋅44064 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 21 mod 503
440247
= 440128+64+32+16+4+2+1
= 440128⋅44064⋅44032⋅44016⋅4404⋅4402⋅4401
≡ 21 ⋅ 185 ⋅ 421 ⋅ 389 ⋅ 7 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503
≡ 3885 ⋅ 421 ⋅ 389 ⋅ 7 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503 ≡ 364 ⋅ 421 ⋅ 389 ⋅ 7 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503
≡ 153244 ⋅ 389 ⋅ 7 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503 ≡ 332 ⋅ 389 ⋅ 7 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503
≡ 129148 ⋅ 7 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503 ≡ 380 ⋅ 7 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503
≡ 2660 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503 ≡ 145 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503
≡ 64960 ⋅ 440 mod 503 ≡ 73 ⋅ 440 mod 503
≡ 32120 mod 503 ≡ 431 mod 503
Es gilt also: 440247 ≡ 431 mod 503
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22
| =>61 | = 2⋅22 + 17 |
| =>22 | = 1⋅17 + 5 |
| =>17 | = 3⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 17-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 22-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1) |
| 17= 61-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +25⋅22
Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1
Somit 25⋅22 = 1 mod 61
25 ist also das Inverse von 22 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
