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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (11997 - 120) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11997 - 120) mod 6 ≡ (11997 mod 6 - 120 mod 6) mod 6.

11997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997 = 12000-3 = 6 ⋅ 2000 -3 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 3.

120 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 6 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(11997 - 120) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 47) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 47) mod 7 ≡ (40 mod 7 ⋅ 47 mod 7) mod 7.

40 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 35 + 5 = 5 ⋅ 7 + 5 ist.

47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 47) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 140128 mod 379.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 140 -> x
2. mod(x²,379) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1401=140

2: 1402=1401+1=1401⋅1401 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 271 mod 379

4: 1404=1402+2=1402⋅1402 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 294 mod 379

8: 1408=1404+4=1404⋅1404 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 24 mod 379

16: 14016=1408+8=1408⋅1408 ≡ 24⋅24=576 ≡ 197 mod 379

32: 14032=14016+16=14016⋅14016 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 151 mod 379

64: 14064=14032+32=14032⋅14032 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 61 mod 379

128: 140128=14064+64=14064⋅14064 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 310 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 510202 mod 599.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:

202 = 128+64+8+2

1: 5101=510

2: 5102=5101+1=5101⋅5101 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 134 mod 599

4: 5104=5102+2=5102⋅5102 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 585 mod 599

8: 5108=5104+4=5104⋅5104 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 196 mod 599

16: 51016=5108+8=5108⋅5108 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 80 mod 599

32: 51032=51016+16=51016⋅51016 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 410 mod 599

64: 51064=51032+32=51032⋅51032 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 380 mod 599

128: 510128=51064+64=51064⋅51064 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 41 mod 599

510202

= 510128+64+8+2

= 510128⋅51064⋅5108⋅5102

41 ⋅ 380 ⋅ 196 ⋅ 134 mod 599
15580 ⋅ 196 ⋅ 134 mod 599 ≡ 6 ⋅ 196 ⋅ 134 mod 599
1176 ⋅ 134 mod 599 ≡ 577 ⋅ 134 mod 599
77318 mod 599 ≡ 47 mod 599

Es gilt also: 510202 ≡ 47 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 32

=>59 = 1⋅32 + 27
=>32 = 1⋅27 + 5
=>27 = 5⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 27-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5)
= -2⋅27 +11⋅ 5 (=1)
5= 32-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅27 +11⋅(32 -1⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅32 -11⋅ 27)
= 11⋅32 -13⋅ 27 (=1)
27= 59-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅32 -13⋅(59 -1⋅ 32)
= 11⋅32 -13⋅59 +13⋅ 32)
= -13⋅59 +24⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(59,32)=1 = -13⋅59 +24⋅32

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +24⋅32

Es gilt also: 24⋅32 = 13⋅59 +1

Somit 24⋅32 = 1 mod 59

24 ist also das Inverse von 32 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.