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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 + 31992) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 + 31992) mod 8 ≡ (76 mod 8 + 31992 mod 8) mod 8.

76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 80-4 = 8 ⋅ 10 -4 = 8 ⋅ 10 - 8 + 4.

31992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31992 = 31000+992 = 8 ⋅ 3875 +992.

Somit gilt:

(76 + 31992) mod 8 ≡ (4 + 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 44) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 44) mod 3 ≡ (72 mod 3 ⋅ 44 mod 3) mod 3.

72 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 24 ⋅ 3 + 0 ist.

44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 44) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 400128 mod 619.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 400 -> x
2. mod(x²,619) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4001=400

2: 4002=4001+1=4001⋅4001 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 298 mod 619

4: 4004=4002+2=4002⋅4002 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 287 mod 619

8: 4008=4004+4=4004⋅4004 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 42 mod 619

16: 40016=4008+8=4008⋅4008 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 526 mod 619

32: 40032=40016+16=40016⋅40016 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 602 mod 619

64: 40064=40032+32=40032⋅40032 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 289 mod 619

128: 400128=40064+64=40064⋅40064 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 575 mod 619

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22796 mod 509.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 96 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 96 an und zerlegen 96 in eine Summer von 2er-Potenzen:

96 = 64+32

1: 2271=227

2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 120 mod 509

4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 148 mod 509

8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 17 mod 509

16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 509

32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 45 mod 509

64: 22764=22732+32=22732⋅22732 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 498 mod 509

22796

= 22764+32

= 22764⋅22732

498 ⋅ 45 mod 509
22410 mod 509 ≡ 14 mod 509

Es gilt also: 22796 ≡ 14 mod 509

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 42

=>67 = 1⋅42 + 25
=>42 = 1⋅25 + 17
=>25 = 1⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 25-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17)
= -2⋅25 +3⋅ 17 (=1)
17= 42-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅25 +3⋅(42 -1⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅42 -3⋅ 25)
= 3⋅42 -5⋅ 25 (=1)
25= 67-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅42 -5⋅(67 -1⋅ 42)
= 3⋅42 -5⋅67 +5⋅ 42)
= -5⋅67 +8⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(67,42)=1 = -5⋅67 +8⋅42

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +8⋅42

Es gilt also: 8⋅42 = 5⋅67 +1

Somit 8⋅42 = 1 mod 67

8 ist also das Inverse von 42 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.