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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (162 - 39) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(162 - 39) mod 4 ≡ (162 mod 4 - 39 mod 4) mod 4.

162 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 162 = 160+2 = 4 ⋅ 40 +2.

39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 40-1 = 4 ⋅ 10 -1 = 4 ⋅ 10 - 4 + 3.

Somit gilt:

(162 - 39) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 78) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 78) mod 11 ≡ (85 mod 11 ⋅ 78 mod 11) mod 11.

85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.

78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 78) mod 11 ≡ (8 ⋅ 1) mod 11 ≡ 8 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6998 mod 877.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 699 -> x
2. mod(x²,877) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6991=699

2: 6992=6991+1=6991⋅6991 ≡ 699⋅699=488601 ≡ 112 mod 877

4: 6994=6992+2=6992⋅6992 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 266 mod 877

8: 6998=6994+4=6994⋅6994 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 596 mod 877

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 354206 mod 1009.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:

206 = 128+64+8+4+2

1: 3541=354

2: 3542=3541+1=3541⋅3541 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 200 mod 1009

4: 3544=3542+2=3542⋅3542 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 649 mod 1009

8: 3548=3544+4=3544⋅3544 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 448 mod 1009

16: 35416=3548+8=3548⋅3548 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 922 mod 1009

32: 35432=35416+16=35416⋅35416 ≡ 922⋅922=850084 ≡ 506 mod 1009

64: 35464=35432+32=35432⋅35432 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 759 mod 1009

128: 354128=35464+64=35464⋅35464 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 951 mod 1009

354206

= 354128+64+8+4+2

= 354128⋅35464⋅3548⋅3544⋅3542

≡ 951 ⋅ 759 ⋅ 448 ⋅ 649 ⋅ 200 mod 1009
≡ 721809 ⋅ 448 ⋅ 649 ⋅ 200 mod 1009 ≡ 374 ⋅ 448 ⋅ 649 ⋅ 200 mod 1009
≡ 167552 ⋅ 649 ⋅ 200 mod 1009 ≡ 58 ⋅ 649 ⋅ 200 mod 1009
≡ 37642 ⋅ 200 mod 1009 ≡ 309 ⋅ 200 mod 1009
≡ 61800 mod 1009 ≡ 251 mod 1009

Es gilt also: 354206 ≡ 251 mod 1009

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 56.

Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 56

=>59 = 1⋅56 + 3
=>56 = 18⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 56-18⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(56 -18⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅56 +18⋅ 3)
= -1⋅56 +19⋅ 3 (=1)
3= 59-1⋅56 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅56 +19⋅(59 -1⋅ 56)
= -1⋅56 +19⋅59 -19⋅ 56)
= 19⋅59 -20⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(59,56)=1 = 19⋅59 -20⋅56

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -20⋅56

-20⋅56 = -19⋅59 + 1 |+59⋅56

-20⋅56 + 59⋅56 = -19⋅59 + 59⋅56 + 1

(-20 + 59) ⋅ 56 = (-19 + 56) ⋅ 59 + 1

39⋅56 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 39⋅56 = 37⋅59 +1

Somit 39⋅56 = 1 mod 59

39 ist also das Inverse von 56 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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