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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (234 + 597) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(234 + 597) mod 6 ≡ (234 mod 6 + 597 mod 6) mod 6.
234 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 234
= 240
597 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597
= 600
Somit gilt:
(234 + 597) mod 6 ≡ (0 + 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 65) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 65) mod 11 ≡ (78 mod 11 ⋅ 65 mod 11) mod 11.
78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.
65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 65) mod 11 ≡ (1 ⋅ 10) mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 708128 mod 887.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 708 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7081=708
2: 7082=7081+1=7081⋅7081 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 109 mod 887
4: 7084=7082+2=7082⋅7082 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 350 mod 887
8: 7088=7084+4=7084⋅7084 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 94 mod 887
16: 70816=7088+8=7088⋅7088 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 853 mod 887
32: 70832=70816+16=70816⋅70816 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 269 mod 887
64: 70864=70832+32=70832⋅70832 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 514 mod 887
128: 708128=70864+64=70864⋅70864 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 757 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 373132 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 132 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 132 an und zerlegen 132 in eine Summer von 2er-Potenzen:
132 = 128+4
1: 3731=373
2: 3732=3731+1=3731⋅3731 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 383 mod 401
4: 3734=3732+2=3732⋅3732 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 324 mod 401
8: 3738=3734+4=3734⋅3734 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 315 mod 401
16: 37316=3738+8=3738⋅3738 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 178 mod 401
32: 37332=37316+16=37316⋅37316 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 5 mod 401
64: 37364=37332+32=37332⋅37332 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 401
128: 373128=37364+64=37364⋅37364 ≡ 25⋅25=625 ≡ 224 mod 401
373132
= 373128+4
= 373128⋅3734
≡ 224 ⋅ 324 mod 401
≡ 72576 mod 401 ≡ 396 mod 401
Es gilt also: 373132 ≡ 396 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 28
| =>71 | = 2⋅28 + 15 |
| =>28 | = 1⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 28-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(28 -1⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅28 -7⋅ 15) = 7⋅28 -13⋅ 15 (=1) |
| 15= 71-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅28 -13⋅(71 -2⋅ 28)
= 7⋅28 -13⋅71 +26⋅ 28) = -13⋅71 +33⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,28)=1 = -13⋅71 +33⋅28
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +33⋅28
Es gilt also: 33⋅28 = 13⋅71 +1
Somit 33⋅28 = 1 mod 71
33 ist also das Inverse von 28 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.