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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32000 - 1595) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32000 - 1595) mod 8 ≡ (32000 mod 8 - 1595 mod 8) mod 8.
32000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32000
= 32000
1595 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1595
= 1600
Somit gilt:
(32000 - 1595) mod 8 ≡ (0 - 3) mod 8 ≡ -3 mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 47) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 47) mod 3 ≡ (25 mod 3 ⋅ 47 mod 3) mod 3.
25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.
47 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 15 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 47) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29216 mod 307.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 292 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2921=292
2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 225 mod 307
4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 277 mod 307
8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 286 mod 307
16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 134 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 225162 mod 347.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 2251=225
2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 310 mod 347
4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 328 mod 347
8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 14 mod 347
16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 347
32: 22532=22516+16=22516⋅22516 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 246 mod 347
64: 22564=22532+32=22532⋅22532 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 138 mod 347
128: 225128=22564+64=22564⋅22564 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 306 mod 347
225162
= 225128+32+2
= 225128⋅22532⋅2252
≡ 306 ⋅ 246 ⋅ 310 mod 347
≡ 75276 ⋅ 310 mod 347 ≡ 324 ⋅ 310 mod 347
≡ 100440 mod 347 ≡ 157 mod 347
Es gilt also: 225162 ≡ 157 mod 347
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 58
| =>67 | = 1⋅58 + 9 |
| =>58 | = 6⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 58-6⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(58 -6⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅58 +12⋅ 9) = -2⋅58 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 67-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +13⋅(67 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +13⋅67 -13⋅ 58) = 13⋅67 -15⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,58)=1 = 13⋅67 -15⋅58
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -15⋅58
-15⋅58 = -13⋅67 + 1 |+67⋅58
-15⋅58 + 67⋅58 = -13⋅67 + 67⋅58 + 1
(-15 + 67) ⋅ 58 = (-13 + 58) ⋅ 67 + 1
52⋅58 = 45⋅67 + 1
Es gilt also: 52⋅58 = 45⋅67 +1
Somit 52⋅58 = 1 mod 67
52 ist also das Inverse von 58 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.