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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (597 - 2998) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(597 - 2998) mod 3 ≡ (597 mod 3 - 2998 mod 3) mod 3.

597 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597 = 600-3 = 3 ⋅ 200 -3 = 3 ⋅ 200 - 3 + 0.

2998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998 = 3000-2 = 3 ⋅ 1000 -2 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(597 - 2998) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 58) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 58) mod 3 ≡ (35 mod 3 ⋅ 58 mod 3) mod 3.

35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.

58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 57 + 1 = 19 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 58) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 734128 mod 929.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 734 -> x
2. mod(x²,929) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7341=734

2: 7342=7341+1=7341⋅7341 ≡ 734⋅734=538756 ≡ 865 mod 929

4: 7344=7342+2=7342⋅7342 ≡ 865⋅865=748225 ≡ 380 mod 929

8: 7348=7344+4=7344⋅7344 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 405 mod 929

16: 73416=7348+8=7348⋅7348 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 521 mod 929

32: 73432=73416+16=73416⋅73416 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 173 mod 929

64: 73464=73432+32=73432⋅73432 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 201 mod 929

128: 734128=73464+64=73464⋅73464 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 454 mod 929

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39794 mod 599.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

1: 3971=397

2: 3972=3971+1=3971⋅3971 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 72 mod 599

4: 3974=3972+2=3972⋅3972 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 392 mod 599

8: 3978=3974+4=3974⋅3974 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 320 mod 599

16: 39716=3978+8=3978⋅3978 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 570 mod 599

32: 39732=39716+16=39716⋅39716 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 242 mod 599

64: 39764=39732+32=39732⋅39732 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 461 mod 599

39794

= 39764+16+8+4+2

= 39764⋅39716⋅3978⋅3974⋅3972

≡ 461 ⋅ 570 ⋅ 320 ⋅ 392 ⋅ 72 mod 599
≡ 262770 ⋅ 320 ⋅ 392 ⋅ 72 mod 599 ≡ 408 ⋅ 320 ⋅ 392 ⋅ 72 mod 599
≡ 130560 ⋅ 392 ⋅ 72 mod 599 ≡ 577 ⋅ 392 ⋅ 72 mod 599
≡ 226184 ⋅ 72 mod 599 ≡ 361 ⋅ 72 mod 599
≡ 25992 mod 599 ≡ 235 mod 599

Es gilt also: 39794 ≡ 235 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 94.

Also bestimme x, so dass 94 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 94

=>101 = 1⋅94 + 7
=>94 = 13⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,94)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 94-13⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(94 -13⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅94 +26⋅ 7)
= -2⋅94 +27⋅ 7 (=1)
7= 101-1⋅94 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅94 +27⋅(101 -1⋅ 94)
= -2⋅94 +27⋅101 -27⋅ 94)
= 27⋅101 -29⋅ 94 (=1)

Es gilt also: ggt(101,94)=1 = 27⋅101 -29⋅94

oder wenn man 27⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -27⋅101 = -29⋅94

-29⋅94 = -27⋅101 + 1 |+101⋅94

-29⋅94 + 101⋅94 = -27⋅101 + 101⋅94 + 1

(-29 + 101) ⋅ 94 = (-27 + 94) ⋅ 101 + 1

72⋅94 = 67⋅101 + 1

Es gilt also: 72⋅94 = 67⋅101 +1

Somit 72⋅94 = 1 mod 101

72 ist also das Inverse von 94 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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