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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (328 + 2397) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(328 + 2397) mod 8 ≡ (328 mod 8 + 2397 mod 8) mod 8.

328 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 328 = 320+8 = 8 ⋅ 40 +8.

2397 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397 = 2400-3 = 8 ⋅ 300 -3 = 8 ⋅ 300 - 8 + 5.

Somit gilt:

(328 + 2397) mod 8 ≡ (0 + 5) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 88) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 88) mod 6 ≡ (81 mod 6 ⋅ 88 mod 6) mod 6.

81 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 78 + 3 = 13 ⋅ 6 + 3 ist.

88 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 14 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 88) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 458³² mod 733.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 458 -> x
2. mod(x²,733) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 458¹=458

2: 458²=458¹⁺¹=458¹⋅458¹ ≡ 458⋅458=209764 ≡ 126 mod 733

4: 458⁴=458²⁺²=458²⋅458² ≡ 126⋅126=15876 ≡ 483 mod 733

8: 458⁸=458⁴⁺⁴=458⁴⋅458⁴ ≡ 483⋅483=233289 ≡ 195 mod 733

16: 458¹⁶=458⁸⁺⁸=458⁸⋅458⁸ ≡ 195⋅195=38025 ≡ 642 mod 733

32: 458³²=458¹⁶⁺¹⁶=458¹⁶⋅458¹⁶ ≡ 642⋅642=412164 ≡ 218 mod 733

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 477¹⁸¹ mod 659.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:

181 = 128+32+16+4+1

1: 477¹=477

2: 477²=477¹⁺¹=477¹⋅477¹ ≡ 477⋅477=227529 ≡ 174 mod 659

4: 477⁴=477²⁺²=477²⋅477² ≡ 174⋅174=30276 ≡ 621 mod 659

8: 477⁸=477⁴⁺⁴=477⁴⋅477⁴ ≡ 621⋅621=385641 ≡ 126 mod 659

16: 477¹⁶=477⁸⁺⁸=477⁸⋅477⁸ ≡ 126⋅126=15876 ≡ 60 mod 659

32: 477³²=477¹⁶⁺¹⁶=477¹⁶⋅477¹⁶ ≡ 60⋅60=3600 ≡ 305 mod 659

64: 477⁶⁴=477³²⁺³²=477³²⋅477³² ≡ 305⋅305=93025 ≡ 106 mod 659

128: 477¹²⁸=477⁶⁴⁺⁶⁴=477⁶⁴⋅477⁶⁴ ≡ 106⋅106=11236 ≡ 33 mod 659

477¹⁸¹

= 477^{128+32+16+4+1}

= 477¹²⁸⋅477³²⋅477¹⁶⋅477⁴⋅477¹

≡ 33 ⋅ 305 ⋅ 60 ⋅ 621 ⋅ 477 mod 659
≡ 10065 ⋅ 60 ⋅ 621 ⋅ 477 mod 659 ≡ 180 ⋅ 60 ⋅ 621 ⋅ 477 mod 659
≡ 10800 ⋅ 621 ⋅ 477 mod 659 ≡ 256 ⋅ 621 ⋅ 477 mod 659
≡ 158976 ⋅ 477 mod 659 ≡ 157 ⋅ 477 mod 659
≡ 74889 mod 659 ≡ 422 mod 659

Es gilt also: 477¹⁸¹ ≡ 422 mod 659

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42

=>59	= 1⋅42 + 17
=>42	= 2⋅17 + 8
=>17	= 2⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17) = 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42) = -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -7⋅42

-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42

-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1

(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1

52⋅42 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1

Somit 52⋅42 = 1 mod 59

52 ist also das Inverse von 42 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42

Schlüsselpaar für RSA