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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8004 - 323) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8004 - 323) mod 8 ≡ (8004 mod 8 - 323 mod 8) mod 8.
8004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004
= 8000
323 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 323
= 320
Somit gilt:
(8004 - 323) mod 8 ≡ (4 - 3) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 57) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 57) mod 6 ≡ (18 mod 6 ⋅ 57 mod 6) mod 6.
18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.
57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 9 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 57) mod 6 ≡ (0 ⋅ 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5868 mod 929.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 586 -> x
2. mod(x²,929) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5861=586
2: 5862=5861+1=5861⋅5861 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 595 mod 929
4: 5864=5862+2=5862⋅5862 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 76 mod 929
8: 5868=5864+4=5864⋅5864 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 202 mod 929
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 661204 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:
204 = 128+64+8+4
1: 6611=661
2: 6612=6611+1=6611⋅6611 ≡ 661⋅661=436921 ≡ 175 mod 877
4: 6614=6612+2=6612⋅6612 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 807 mod 877
8: 6618=6614+4=6614⋅6614 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 515 mod 877
16: 66116=6618+8=6618⋅6618 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 371 mod 877
32: 66132=66116+16=66116⋅66116 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 829 mod 877
64: 66164=66132+32=66132⋅66132 ≡ 829⋅829=687241 ≡ 550 mod 877
128: 661128=66164+64=66164⋅66164 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 812 mod 877
661204
= 661128+64+8+4
= 661128⋅66164⋅6618⋅6614
≡ 812 ⋅ 550 ⋅ 515 ⋅ 807 mod 877
≡ 446600 ⋅ 515 ⋅ 807 mod 877 ≡ 207 ⋅ 515 ⋅ 807 mod 877
≡ 106605 ⋅ 807 mod 877 ≡ 488 ⋅ 807 mod 877
≡ 393816 mod 877 ≡ 43 mod 877
Es gilt also: 661204 ≡ 43 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22
| =>61 | = 2⋅22 + 17 |
| =>22 | = 1⋅17 + 5 |
| =>17 | = 3⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 17-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 22-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1) |
| 17= 61-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +25⋅22
Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1
Somit 25⋅22 = 1 mod 61
25 ist also das Inverse von 22 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.