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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2097 - 1399) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2097 - 1399) mod 7 ≡ (2097 mod 7 - 1399 mod 7) mod 7.

2097 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2097 = 2100-3 = 7 ⋅ 300 -3 = 7 ⋅ 300 - 7 + 4.

1399 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1399 = 1400-1 = 7 ⋅ 200 -1 = 7 ⋅ 200 - 7 + 6.

Somit gilt:

(2097 - 1399) mod 7 ≡ (4 - 6) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 51) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 51) mod 9 ≡ (47 mod 9 ⋅ 51 mod 9) mod 9.

47 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 5 ⋅ 9 + 2 ist.

51 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 45 + 6 = 5 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 51) mod 9 ≡ (2 ⋅ 6) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 422¹²⁸ mod 659.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 422 -> x
2. mod(x²,659) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 422¹=422

2: 422²=422¹⁺¹=422¹⋅422¹ ≡ 422⋅422=178084 ≡ 154 mod 659

4: 422⁴=422²⁺²=422²⋅422² ≡ 154⋅154=23716 ≡ 651 mod 659

8: 422⁸=422⁴⁺⁴=422⁴⋅422⁴ ≡ 651⋅651=423801 ≡ 64 mod 659

16: 422¹⁶=422⁸⁺⁸=422⁸⋅422⁸ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 142 mod 659

32: 422³²=422¹⁶⁺¹⁶=422¹⁶⋅422¹⁶ ≡ 142⋅142=20164 ≡ 394 mod 659

64: 422⁶⁴=422³²⁺³²=422³²⋅422³² ≡ 394⋅394=155236 ≡ 371 mod 659

128: 422¹²⁸=422⁶⁴⁺⁶⁴=422⁶⁴⋅422⁶⁴ ≡ 371⋅371=137641 ≡ 569 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 470²⁴⁶ mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

1: 470¹=470

2: 470²=470¹⁺¹=470¹⋅470¹ ≡ 470⋅470=220900 ≡ 126 mod 661

4: 470⁴=470²⁺²=470²⋅470² ≡ 126⋅126=15876 ≡ 12 mod 661

8: 470⁸=470⁴⁺⁴=470⁴⋅470⁴ ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 661

16: 470¹⁶=470⁸⁺⁸=470⁸⋅470⁸ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 245 mod 661

32: 470³²=470¹⁶⁺¹⁶=470¹⁶⋅470¹⁶ ≡ 245⋅245=60025 ≡ 535 mod 661

64: 470⁶⁴=470³²⁺³²=470³²⋅470³² ≡ 535⋅535=286225 ≡ 12 mod 661

128: 470¹²⁸=470⁶⁴⁺⁶⁴=470⁶⁴⋅470⁶⁴ ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 661

470²⁴⁶

= 470^{128+64+32+16+4+2}

= 470¹²⁸⋅470⁶⁴⋅470³²⋅470¹⁶⋅470⁴⋅470²

≡ 144 ⋅ 12 ⋅ 535 ⋅ 245 ⋅ 12 ⋅ 126 mod 661
≡ 1728 ⋅ 535 ⋅ 245 ⋅ 12 ⋅ 126 mod 661 ≡ 406 ⋅ 535 ⋅ 245 ⋅ 12 ⋅ 126 mod 661
≡ 217210 ⋅ 245 ⋅ 12 ⋅ 126 mod 661 ≡ 402 ⋅ 245 ⋅ 12 ⋅ 126 mod 661
≡ 98490 ⋅ 12 ⋅ 126 mod 661 ≡ 1 ⋅ 12 ⋅ 126 mod 661
≡ 12 ⋅ 126 mod 661
≡ 1512 mod 661 ≡ 190 mod 661

Es gilt also: 470²⁴⁶ ≡ 190 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 60

=>79	= 1⋅60 + 19
=>60	= 3⋅19 + 3
=>19	= 6⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 60-3⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -6⋅(60 -3⋅ 19) = 1⋅19 -6⋅60 +18⋅ 19) = -6⋅60 +19⋅ 19 (=1)
19= 79-1⋅60	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅60 +19⋅(79 -1⋅ 60) = -6⋅60 +19⋅79 -19⋅ 60) = 19⋅79 -25⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(79,60)=1 = 19⋅79 -25⋅60

oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅79 = -25⋅60

-25⋅60 = -19⋅79 + 1 |+79⋅60

-25⋅60 + 79⋅60 = -19⋅79 + 79⋅60 + 1

(-25 + 79) ⋅ 60 = (-19 + 60) ⋅ 79 + 1

54⋅60 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 54⋅60 = 41⋅79 +1

Somit 54⋅60 = 1 mod 79

54 ist also das Inverse von 60 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 60

Schlüsselpaar für RSA