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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (603 + 91) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(603 + 91) mod 3 ≡ (603 mod 3 + 91 mod 3) mod 3.

603 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 603 = 600+3 = 3 ⋅ 200 +3.

91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90+1 = 3 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(603 + 91) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 55) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 55) mod 5 ≡ (51 mod 5 ⋅ 55 mod 5) mod 5.

51 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 10 ⋅ 5 + 1 ist.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 11 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 55) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 357⁸ mod 419.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 357 -> x
2. mod(x²,419) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 357¹=357

2: 357²=357¹⁺¹=357¹⋅357¹ ≡ 357⋅357=127449 ≡ 73 mod 419

4: 357⁴=357²⁺²=357²⋅357² ≡ 73⋅73=5329 ≡ 301 mod 419

8: 357⁸=357⁴⁺⁴=357⁴⋅357⁴ ≡ 301⋅301=90601 ≡ 97 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 289²³⁸ mod 313.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

1: 289¹=289

2: 289²=289¹⁺¹=289¹⋅289¹ ≡ 289⋅289=83521 ≡ 263 mod 313

4: 289⁴=289²⁺²=289²⋅289² ≡ 263⋅263=69169 ≡ 309 mod 313

8: 289⁸=289⁴⁺⁴=289⁴⋅289⁴ ≡ 309⋅309=95481 ≡ 16 mod 313

16: 289¹⁶=289⁸⁺⁸=289⁸⋅289⁸ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 313

32: 289³²=289¹⁶⁺¹⁶=289¹⁶⋅289¹⁶ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 119 mod 313

64: 289⁶⁴=289³²⁺³²=289³²⋅289³² ≡ 119⋅119=14161 ≡ 76 mod 313

128: 289¹²⁸=289⁶⁴⁺⁶⁴=289⁶⁴⋅289⁶⁴ ≡ 76⋅76=5776 ≡ 142 mod 313

289²³⁸

= 289^{128+64+32+8+4+2}

= 289¹²⁸⋅289⁶⁴⋅289³²⋅289⁸⋅289⁴⋅289²

≡ 142 ⋅ 76 ⋅ 119 ⋅ 16 ⋅ 309 ⋅ 263 mod 313
≡ 10792 ⋅ 119 ⋅ 16 ⋅ 309 ⋅ 263 mod 313 ≡ 150 ⋅ 119 ⋅ 16 ⋅ 309 ⋅ 263 mod 313
≡ 17850 ⋅ 16 ⋅ 309 ⋅ 263 mod 313 ≡ 9 ⋅ 16 ⋅ 309 ⋅ 263 mod 313
≡ 144 ⋅ 309 ⋅ 263 mod 313
≡ 44496 ⋅ 263 mod 313 ≡ 50 ⋅ 263 mod 313
≡ 13150 mod 313 ≡ 4 mod 313

Es gilt also: 289²³⁸ ≡ 4 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 28

=>89	= 3⋅28 + 5
=>28	= 5⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 89-3⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅28 -11⋅(89 -3⋅ 28) = 2⋅28 -11⋅89 +33⋅ 28) = -11⋅89 +35⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(89,28)=1 = -11⋅89 +35⋅28

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +35⋅28

Es gilt also: 35⋅28 = 11⋅89 +1

Somit 35⋅28 = 1 mod 89

35 ist also das Inverse von 28 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 28

Schlüsselpaar für RSA