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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 + 117) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 + 117) mod 3 ≡ (63 mod 3 + 117 mod 3) mod 3.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60+3 = 3 ⋅ 20 +3.

117 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117 = 120-3 = 3 ⋅ 40 -3 = 3 ⋅ 40 - 3 + 0.

Somit gilt:

(63 + 117) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 36) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 36) mod 4 ≡ (98 mod 4 ⋅ 36 mod 4) mod 4.

98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.

36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 36) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 35816 mod 379.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 358 -> x
2. mod(x²,379) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3581=358

2: 3582=3581+1=3581⋅3581 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 62 mod 379

4: 3584=3582+2=3582⋅3582 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 54 mod 379

8: 3588=3584+4=3584⋅3584 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 263 mod 379

16: 35816=3588+8=3588⋅3588 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 191 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 384208 mod 661.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:

208 = 128+64+16

1: 3841=384

2: 3842=3841+1=3841⋅3841 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 53 mod 661

4: 3844=3842+2=3842⋅3842 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 165 mod 661

8: 3848=3844+4=3844⋅3844 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 124 mod 661

16: 38416=3848+8=3848⋅3848 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 173 mod 661

32: 38432=38416+16=38416⋅38416 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 184 mod 661

64: 38464=38432+32=38432⋅38432 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 145 mod 661

128: 384128=38464+64=38464⋅38464 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 534 mod 661

384208

= 384128+64+16

= 384128⋅38464⋅38416

≡ 534 ⋅ 145 ⋅ 173 mod 661
≡ 77430 ⋅ 173 mod 661 ≡ 93 ⋅ 173 mod 661
≡ 16089 mod 661 ≡ 225 mod 661

Es gilt also: 384208 ≡ 225 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 34

=>97 = 2⋅34 + 29
=>34 = 1⋅29 + 5
=>29 = 5⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 29-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(29 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅29 +5⋅ 5)
= -1⋅29 +6⋅ 5 (=1)
5= 34-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +6⋅(34 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +6⋅34 -6⋅ 29)
= 6⋅34 -7⋅ 29 (=1)
29= 97-2⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅34 -7⋅(97 -2⋅ 34)
= 6⋅34 -7⋅97 +14⋅ 34)
= -7⋅97 +20⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(97,34)=1 = -7⋅97 +20⋅34

oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅97 = +20⋅34

Es gilt also: 20⋅34 = 7⋅97 +1

Somit 20⋅34 = 1 mod 97

20 ist also das Inverse von 34 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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