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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 - 2398) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 - 2398) mod 6 ≡ (55 mod 6 - 2398 mod 6) mod 6.
55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55
= 60
2398 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398
= 2400
Somit gilt:
(55 - 2398) mod 6 ≡ (1 - 4) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 89) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 89) mod 3 ≡ (43 mod 3 ⋅ 89 mod 3) mod 3.
43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.
89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 89) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42516 mod 941.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 425 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4251=425
2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 894 mod 941
4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 894⋅894=799236 ≡ 327 mod 941
8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 596 mod 941
16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 459 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 450146 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 4501=450
2: 4502=4501+1=4501⋅4501 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 600 mod 673
4: 4504=4502+2=4502⋅4502 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 618 mod 673
8: 4508=4504+4=4504⋅4504 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 333 mod 673
16: 45016=4508+8=4508⋅4508 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 517 mod 673
32: 45032=45016+16=45016⋅45016 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 108 mod 673
64: 45064=45032+32=45032⋅45032 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 223 mod 673
128: 450128=45064+64=45064⋅45064 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 600 mod 673
450146
= 450128+16+2
= 450128⋅45016⋅4502
≡ 600 ⋅ 517 ⋅ 600 mod 673
≡ 310200 ⋅ 600 mod 673 ≡ 620 ⋅ 600 mod 673
≡ 372000 mod 673 ≡ 504 mod 673
Es gilt also: 450146 ≡ 504 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37
| =>59 | = 1⋅37 + 22 |
| =>37 | = 1⋅22 + 15 |
| =>22 | = 1⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 22-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 37-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22) = 3⋅37 -5⋅ 22 (=1) |
| 22= 59-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37)
= 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37) = -5⋅59 +8⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37
oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅59 = +8⋅37
Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1
Somit 8⋅37 = 1 mod 59
8 ist also das Inverse von 37 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.