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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12003 + 122) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12003 + 122) mod 3 ≡ (12003 mod 3 + 122 mod 3) mod 3.

12003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 3 ⋅ 4000 +3.

122 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 3 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(12003 + 122) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 61) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 61) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 61 mod 5) mod 5.

58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.

61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 61) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34816 mod 857.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 348 -> x
2. mod(x²,857) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3481=348

2: 3482=3481+1=3481⋅3481 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 267 mod 857

4: 3484=3482+2=3482⋅3482 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 158 mod 857

8: 3488=3484+4=3484⋅3484 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 111 mod 857

16: 34816=3488+8=3488⋅3488 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 323 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17265 mod 211.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:

65 = 64+1

1: 1721=172

2: 1722=1721+1=1721⋅1721 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 44 mod 211

4: 1724=1722+2=1722⋅1722 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 37 mod 211

8: 1728=1724+4=1724⋅1724 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 103 mod 211

16: 17216=1728+8=1728⋅1728 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 59 mod 211

32: 17232=17216+16=17216⋅17216 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 105 mod 211

64: 17264=17232+32=17232⋅17232 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 53 mod 211

17265

= 17264+1

= 17264⋅1721

≡ 53 ⋅ 172 mod 211
≡ 9116 mod 211 ≡ 43 mod 211

Es gilt also: 17265 ≡ 43 mod 211

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 43

=>83 = 1⋅43 + 40
=>43 = 1⋅40 + 3
=>40 = 13⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 40-13⋅3
3= 43-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅40 -13⋅(43 -1⋅ 40)
= 1⋅40 -13⋅43 +13⋅ 40)
= -13⋅43 +14⋅ 40 (=1)
40= 83-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -13⋅43 +14⋅(83 -1⋅ 43)
= -13⋅43 +14⋅83 -14⋅ 43)
= 14⋅83 -27⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(83,43)=1 = 14⋅83 -27⋅43

oder wenn man 14⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -14⋅83 = -27⋅43

-27⋅43 = -14⋅83 + 1 |+83⋅43

-27⋅43 + 83⋅43 = -14⋅83 + 83⋅43 + 1

(-27 + 83) ⋅ 43 = (-14 + 43) ⋅ 83 + 1

56⋅43 = 29⋅83 + 1

Es gilt also: 56⋅43 = 29⋅83 +1

Somit 56⋅43 = 1 mod 83

56 ist also das Inverse von 43 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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