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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2003 - 199) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2003 - 199) mod 4 ≡ (2003 mod 4 - 199 mod 4) mod 4.
2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003
= 2000
199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 199
= 200
Somit gilt:
(2003 - 199) mod 4 ≡ (3 - 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 49) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 49) mod 8 ≡ (27 mod 8 ⋅ 49 mod 8) mod 8.
27 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 3 ⋅ 8 + 3 ist.
49 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 6 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 49) mod 8 ≡ (3 ⋅ 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27364 mod 467.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 273 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2731=273
2: 2732=2731+1=2731⋅2731 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 276 mod 467
4: 2734=2732+2=2732⋅2732 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 55 mod 467
8: 2738=2734+4=2734⋅2734 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 223 mod 467
16: 27316=2738+8=2738⋅2738 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 227 mod 467
32: 27332=27316+16=27316⋅27316 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 159 mod 467
64: 27364=27332+32=27332⋅27332 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 63 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20160 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:
60 = 32+16+8+4
1: 2011=201
2: 2012=2011+1=2011⋅2011 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 440 mod 449
4: 2014=2012+2=2012⋅2012 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 81 mod 449
8: 2018=2014+4=2014⋅2014 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 275 mod 449
16: 20116=2018+8=2018⋅2018 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 193 mod 449
32: 20132=20116+16=20116⋅20116 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 431 mod 449
20160
= 20132+16+8+4
= 20132⋅20116⋅2018⋅2014
≡ 431 ⋅ 193 ⋅ 275 ⋅ 81 mod 449
≡ 83183 ⋅ 275 ⋅ 81 mod 449 ≡ 118 ⋅ 275 ⋅ 81 mod 449
≡ 32450 ⋅ 81 mod 449 ≡ 122 ⋅ 81 mod 449
≡ 9882 mod 449 ≡ 4 mod 449
Es gilt also: 20160 ≡ 4 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36
| =>89 | = 2⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 89-2⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36) = 17⋅89 -42⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -42⋅36
-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36
-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1
(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1
47⋅36 = 19⋅89 + 1
Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1
Somit 47⋅36 = 1 mod 89
47 ist also das Inverse von 36 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.