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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (299 - 62) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(299 - 62) mod 6 ≡ (299 mod 6 - 62 mod 6) mod 6.

299 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299 = 300-1 = 6 ⋅ 50 -1 = 6 ⋅ 50 - 6 + 5.

62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60+2 = 6 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(299 - 62) mod 6 ≡ (5 - 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 21) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 21) mod 5 ≡ (74 mod 5 ⋅ 21 mod 5) mod 5.

74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.

21 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 4 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 21) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 550¹²⁸ mod 599.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 550 -> x
2. mod(x²,599) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 550¹=550

2: 550²=550¹⁺¹=550¹⋅550¹ ≡ 550⋅550=302500 ≡ 5 mod 599

4: 550⁴=550²⁺²=550²⋅550² ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 599

8: 550⁸=550⁴⁺⁴=550⁴⋅550⁴ ≡ 25⋅25=625 ≡ 26 mod 599

16: 550¹⁶=550⁸⁺⁸=550⁸⋅550⁸ ≡ 26⋅26=676 ≡ 77 mod 599

32: 550³²=550¹⁶⁺¹⁶=550¹⁶⋅550¹⁶ ≡ 77⋅77=5929 ≡ 538 mod 599

64: 550⁶⁴=550³²⁺³²=550³²⋅550³² ≡ 538⋅538=289444 ≡ 127 mod 599

128: 550¹²⁸=550⁶⁴⁺⁶⁴=550⁶⁴⋅550⁶⁴ ≡ 127⋅127=16129 ≡ 555 mod 599

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 399²³¹ mod 509.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

1: 399¹=399

2: 399²=399¹⁺¹=399¹⋅399¹ ≡ 399⋅399=159201 ≡ 393 mod 509

4: 399⁴=399²⁺²=399²⋅399² ≡ 393⋅393=154449 ≡ 222 mod 509

8: 399⁸=399⁴⁺⁴=399⁴⋅399⁴ ≡ 222⋅222=49284 ≡ 420 mod 509

16: 399¹⁶=399⁸⁺⁸=399⁸⋅399⁸ ≡ 420⋅420=176400 ≡ 286 mod 509

32: 399³²=399¹⁶⁺¹⁶=399¹⁶⋅399¹⁶ ≡ 286⋅286=81796 ≡ 356 mod 509

64: 399⁶⁴=399³²⁺³²=399³²⋅399³² ≡ 356⋅356=126736 ≡ 504 mod 509

128: 399¹²⁸=399⁶⁴⁺⁶⁴=399⁶⁴⋅399⁶⁴ ≡ 504⋅504=254016 ≡ 25 mod 509

399²³¹

= 399^{128+64+32+4+2+1}

= 399¹²⁸⋅399⁶⁴⋅399³²⋅399⁴⋅399²⋅399¹

≡ 25 ⋅ 504 ⋅ 356 ⋅ 222 ⋅ 393 ⋅ 399 mod 509
≡ 12600 ⋅ 356 ⋅ 222 ⋅ 393 ⋅ 399 mod 509 ≡ 384 ⋅ 356 ⋅ 222 ⋅ 393 ⋅ 399 mod 509
≡ 136704 ⋅ 222 ⋅ 393 ⋅ 399 mod 509 ≡ 292 ⋅ 222 ⋅ 393 ⋅ 399 mod 509
≡ 64824 ⋅ 393 ⋅ 399 mod 509 ≡ 181 ⋅ 393 ⋅ 399 mod 509
≡ 71133 ⋅ 399 mod 509 ≡ 382 ⋅ 399 mod 509
≡ 152418 mod 509 ≡ 227 mod 509

Es gilt also: 399²³¹ ≡ 227 mod 509

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

=>61	= 3⋅18 + 7
=>18	= 2⋅7 + 4
=>7	= 1⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 18-2⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7) = -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1)
7= 61-3⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18) = 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +17⋅18

Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1

Somit 17⋅18 = 1 mod 61

17 ist also das Inverse von 18 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

Schlüsselpaar für RSA