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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1806 - 1792) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1806 - 1792) mod 9 ≡ (1806 mod 9 - 1792 mod 9) mod 9.

1806 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1806 = 1800+6 = 9 ⋅ 200 +6.

1792 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1792 = 1800-8 = 9 ⋅ 200 -8 = 9 ⋅ 200 - 9 + 1.

Somit gilt:

(1806 - 1792) mod 9 ≡ (6 - 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 92) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 92) mod 7 ≡ (47 mod 7 ⋅ 92 mod 7) mod 7.

47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.

92 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 91 + 1 = 13 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 92) mod 7 ≡ (5 ⋅ 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6078 mod 1009.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 607 -> x
2. mod(x²,1009) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6071=607

2: 6072=6071+1=6071⋅6071 ≡ 607⋅607=368449 ≡ 164 mod 1009

4: 6074=6072+2=6072⋅6072 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 662 mod 1009

8: 6078=6074+4=6074⋅6074 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 338 mod 1009

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 615114 mod 761.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:

114 = 64+32+16+2

1: 6151=615

2: 6152=6151+1=6151⋅6151 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 8 mod 761

4: 6154=6152+2=6152⋅6152 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 761

8: 6158=6154+4=6154⋅6154 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 291 mod 761

16: 61516=6158+8=6158⋅6158 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 210 mod 761

32: 61532=61516+16=61516⋅61516 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 723 mod 761

64: 61564=61532+32=61532⋅61532 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 683 mod 761

615114

= 61564+32+16+2

= 61564⋅61532⋅61516⋅6152

≡ 683 ⋅ 723 ⋅ 210 ⋅ 8 mod 761
≡ 493809 ⋅ 210 ⋅ 8 mod 761 ≡ 681 ⋅ 210 ⋅ 8 mod 761
≡ 143010 ⋅ 8 mod 761 ≡ 703 ⋅ 8 mod 761
≡ 5624 mod 761 ≡ 297 mod 761

Es gilt also: 615114 ≡ 297 mod 761

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.

Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20

=>53 = 2⋅20 + 13
=>20 = 1⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 20-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13)
= 2⋅20 -3⋅ 13 (=1)
13= 53-2⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20)
= -3⋅53 +8⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +8⋅20

Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1

Somit 8⋅20 = 1 mod 53

8 ist also das Inverse von 20 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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