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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (353 + 1800) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(353 + 1800) mod 9 ≡ (353 mod 9 + 1800 mod 9) mod 9.

353 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 353 = 360-7 = 9 ⋅ 40 -7 = 9 ⋅ 40 - 9 + 2.

1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 9 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(353 + 1800) mod 9 ≡ (2 + 0) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 41) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 41) mod 10 ≡ (20 mod 10 ⋅ 41 mod 10) mod 10.

20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.

41 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 4 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 41) mod 10 ≡ (0 ⋅ 1) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 221¹²⁸ mod 523.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 221 -> x
2. mod(x²,523) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 221¹=221

2: 221²=221¹⁺¹=221¹⋅221¹ ≡ 221⋅221=48841 ≡ 202 mod 523

4: 221⁴=221²⁺²=221²⋅221² ≡ 202⋅202=40804 ≡ 10 mod 523

8: 221⁸=221⁴⁺⁴=221⁴⋅221⁴ ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 523

16: 221¹⁶=221⁸⁺⁸=221⁸⋅221⁸ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 63 mod 523

32: 221³²=221¹⁶⁺¹⁶=221¹⁶⋅221¹⁶ ≡ 63⋅63=3969 ≡ 308 mod 523

64: 221⁶⁴=221³²⁺³²=221³²⋅221³² ≡ 308⋅308=94864 ≡ 201 mod 523

128: 221¹²⁸=221⁶⁴⁺⁶⁴=221⁶⁴⋅221⁶⁴ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 130 mod 523

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 481²³⁵ mod 557.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:

235 = 128+64+32+8+2+1

1: 481¹=481

2: 481²=481¹⁺¹=481¹⋅481¹ ≡ 481⋅481=231361 ≡ 206 mod 557

4: 481⁴=481²⁺²=481²⋅481² ≡ 206⋅206=42436 ≡ 104 mod 557

8: 481⁸=481⁴⁺⁴=481⁴⋅481⁴ ≡ 104⋅104=10816 ≡ 233 mod 557

16: 481¹⁶=481⁸⁺⁸=481⁸⋅481⁸ ≡ 233⋅233=54289 ≡ 260 mod 557

32: 481³²=481¹⁶⁺¹⁶=481¹⁶⋅481¹⁶ ≡ 260⋅260=67600 ≡ 203 mod 557

64: 481⁶⁴=481³²⁺³²=481³²⋅481³² ≡ 203⋅203=41209 ≡ 548 mod 557

128: 481¹²⁸=481⁶⁴⁺⁶⁴=481⁶⁴⋅481⁶⁴ ≡ 548⋅548=300304 ≡ 81 mod 557

481²³⁵

= 481^{128+64+32+8+2+1}

= 481¹²⁸⋅481⁶⁴⋅481³²⋅481⁸⋅481²⋅481¹

≡ 81 ⋅ 548 ⋅ 203 ⋅ 233 ⋅ 206 ⋅ 481 mod 557
≡ 44388 ⋅ 203 ⋅ 233 ⋅ 206 ⋅ 481 mod 557 ≡ 385 ⋅ 203 ⋅ 233 ⋅ 206 ⋅ 481 mod 557
≡ 78155 ⋅ 233 ⋅ 206 ⋅ 481 mod 557 ≡ 175 ⋅ 233 ⋅ 206 ⋅ 481 mod 557
≡ 40775 ⋅ 206 ⋅ 481 mod 557 ≡ 114 ⋅ 206 ⋅ 481 mod 557
≡ 23484 ⋅ 481 mod 557 ≡ 90 ⋅ 481 mod 557
≡ 43290 mod 557 ≡ 401 mod 557

Es gilt also: 481²³⁵ ≡ 401 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

=>97	= 2⋅42 + 13
=>42	= 3⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-2⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42) = -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42) = 13⋅97 -30⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -30⋅42

-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42

-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1

(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1

67⋅42 = 29⋅97 + 1

Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1

Somit 67⋅42 = 1 mod 97

67 ist also das Inverse von 42 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

Schlüsselpaar für RSA