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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15001 - 903) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15001 - 903) mod 3 ≡ (15001 mod 3 - 903 mod 3) mod 3.

15001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15001 = 15000+1 = 3 ⋅ 5000 +1.

903 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 903 = 900+3 = 3 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(15001 - 903) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 78) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 78) mod 7 ≡ (67 mod 7 ⋅ 78 mod 7) mod 7.

67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 9 ⋅ 7 + 4 ist.

78 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 11 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 78) mod 7 ≡ (4 ⋅ 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 735128 mod 911.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 735 -> x
2. mod(x²,911) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7351=735

2: 7352=7351+1=7351⋅7351 ≡ 735⋅735=540225 ≡ 2 mod 911

4: 7354=7352+2=7352⋅7352 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 911

8: 7358=7354+4=7354⋅7354 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 911

16: 73516=7358+8=7358⋅7358 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 911

32: 73532=73516+16=73516⋅73516 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 855 mod 911

64: 73564=73532+32=73532⋅73532 ≡ 855⋅855=731025 ≡ 403 mod 911

128: 735128=73564+64=73564⋅73564 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 251 mod 911

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 61879 mod 757.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:

79 = 64+8+4+2+1

1: 6181=618

2: 6182=6181+1=6181⋅6181 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 396 mod 757

4: 6184=6182+2=6182⋅6182 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 117 mod 757

8: 6188=6184+4=6184⋅6184 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 63 mod 757

16: 61816=6188+8=6188⋅6188 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 184 mod 757

32: 61832=61816+16=61816⋅61816 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 548 mod 757

64: 61864=61832+32=61832⋅61832 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 532 mod 757

61879

= 61864+8+4+2+1

= 61864⋅6188⋅6184⋅6182⋅6181

≡ 532 ⋅ 63 ⋅ 117 ⋅ 396 ⋅ 618 mod 757
≡ 33516 ⋅ 117 ⋅ 396 ⋅ 618 mod 757 ≡ 208 ⋅ 117 ⋅ 396 ⋅ 618 mod 757
≡ 24336 ⋅ 396 ⋅ 618 mod 757 ≡ 112 ⋅ 396 ⋅ 618 mod 757
≡ 44352 ⋅ 618 mod 757 ≡ 446 ⋅ 618 mod 757
≡ 275628 mod 757 ≡ 80 mod 757

Es gilt also: 61879 ≡ 80 mod 757

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70

=>101 = 1⋅70 + 31
=>70 = 2⋅31 + 8
=>31 = 3⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8)
= -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 70-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31)
= 4⋅70 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70)
= -9⋅101 +13⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +13⋅70

Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1

Somit 13⋅70 = 1 mod 101

13 ist also das Inverse von 70 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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