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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 - 181) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 - 181) mod 6 ≡ (12000 mod 6 - 181 mod 6) mod 6.

12000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 6 ⋅ 2000 +0.

181 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181 = 180+1 = 6 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(12000 - 181) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 41) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 41) mod 7 ≡ (56 mod 7 ⋅ 41 mod 7) mod 7.

56 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 8 ⋅ 7 + 0 ist.

41 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 35 + 6 = 5 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 41) mod 7 ≡ (0 ⋅ 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 622¹²⁸ mod 757.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 622 -> x
2. mod(x²,757) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 622¹=622

2: 622²=622¹⁺¹=622¹⋅622¹ ≡ 622⋅622=386884 ≡ 57 mod 757

4: 622⁴=622²⁺²=622²⋅622² ≡ 57⋅57=3249 ≡ 221 mod 757

8: 622⁸=622⁴⁺⁴=622⁴⋅622⁴ ≡ 221⋅221=48841 ≡ 393 mod 757

16: 622¹⁶=622⁸⁺⁸=622⁸⋅622⁸ ≡ 393⋅393=154449 ≡ 21 mod 757

32: 622³²=622¹⁶⁺¹⁶=622¹⁶⋅622¹⁶ ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 757

64: 622⁶⁴=622³²⁺³²=622³²⋅622³² ≡ 441⋅441=194481 ≡ 689 mod 757

128: 622¹²⁸=622⁶⁴⁺⁶⁴=622⁶⁴⋅622⁶⁴ ≡ 689⋅689=474721 ≡ 82 mod 757

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 256²⁴⁴ mod 373.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 244 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 244 an und zerlegen 244 in eine Summer von 2er-Potenzen:

244 = 128+64+32+16+4

1: 256¹=256

2: 256²=256¹⁺¹=256¹⋅256¹ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 261 mod 373

4: 256⁴=256²⁺²=256²⋅256² ≡ 261⋅261=68121 ≡ 235 mod 373

8: 256⁸=256⁴⁺⁴=256⁴⋅256⁴ ≡ 235⋅235=55225 ≡ 21 mod 373

16: 256¹⁶=256⁸⁺⁸=256⁸⋅256⁸ ≡ 21⋅21=441 ≡ 68 mod 373

32: 256³²=256¹⁶⁺¹⁶=256¹⁶⋅256¹⁶ ≡ 68⋅68=4624 ≡ 148 mod 373

64: 256⁶⁴=256³²⁺³²=256³²⋅256³² ≡ 148⋅148=21904 ≡ 270 mod 373

128: 256¹²⁸=256⁶⁴⁺⁶⁴=256⁶⁴⋅256⁶⁴ ≡ 270⋅270=72900 ≡ 165 mod 373

256²⁴⁴

= 256^{128+64+32+16+4}

= 256¹²⁸⋅256⁶⁴⋅256³²⋅256¹⁶⋅256⁴

≡ 165 ⋅ 270 ⋅ 148 ⋅ 68 ⋅ 235 mod 373
≡ 44550 ⋅ 148 ⋅ 68 ⋅ 235 mod 373 ≡ 163 ⋅ 148 ⋅ 68 ⋅ 235 mod 373
≡ 24124 ⋅ 68 ⋅ 235 mod 373 ≡ 252 ⋅ 68 ⋅ 235 mod 373
≡ 17136 ⋅ 235 mod 373 ≡ 351 ⋅ 235 mod 373
≡ 82485 mod 373 ≡ 52 mod 373

Es gilt also: 256²⁴⁴ ≡ 52 mod 373

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35

=>59	= 1⋅35 + 24
=>35	= 1⋅24 + 11
=>24	= 2⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 35-1⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24) = -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24) = 11⋅35 -16⋅ 24 (=1)
24= 59-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35) = 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35) = -16⋅59 +27⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35

oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅59 = +27⋅35

Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1

Somit 27⋅35 = 1 mod 59

27 ist also das Inverse von 35 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35

Schlüsselpaar für RSA