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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (217 - 140) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(217 - 140) mod 7 ≡ (217 mod 7 - 140 mod 7) mod 7.

217 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 217 = 210+7 = 7 ⋅ 30 +7.

140 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 140 = 140+0 = 7 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(217 - 140) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 89) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 89) mod 3 ≡ (40 mod 3 ⋅ 89 mod 3) mod 3.

40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.

89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 89) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32364 mod 353.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 323 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3231=323

2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 194 mod 353

4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 218 mod 353

8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 222 mod 353

16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 217 mod 353

32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 140 mod 353

64: 32364=32332+32=32332⋅32332 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 472203 mod 827.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:

203 = 128+64+8+2+1

1: 4721=472

2: 4722=4721+1=4721⋅4721 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 321 mod 827

4: 4724=4722+2=4722⋅4722 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 493 mod 827

8: 4728=4724+4=4724⋅4724 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 738 mod 827

16: 47216=4728+8=4728⋅4728 ≡ 738⋅738=544644 ≡ 478 mod 827

32: 47232=47216+16=47216⋅47216 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 232 mod 827

64: 47264=47232+32=47232⋅47232 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 69 mod 827

128: 472128=47264+64=47264⋅47264 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 626 mod 827

472203

= 472128+64+8+2+1

= 472128⋅47264⋅4728⋅4722⋅4721

≡ 626 ⋅ 69 ⋅ 738 ⋅ 321 ⋅ 472 mod 827
≡ 43194 ⋅ 738 ⋅ 321 ⋅ 472 mod 827 ≡ 190 ⋅ 738 ⋅ 321 ⋅ 472 mod 827
≡ 140220 ⋅ 321 ⋅ 472 mod 827 ≡ 457 ⋅ 321 ⋅ 472 mod 827
≡ 146697 ⋅ 472 mod 827 ≡ 318 ⋅ 472 mod 827
≡ 150096 mod 827 ≡ 409 mod 827

Es gilt also: 472203 ≡ 409 mod 827

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 58

=>79 = 1⋅58 + 21
=>58 = 2⋅21 + 16
=>21 = 1⋅16 + 5
=>16 = 3⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 21-1⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -3⋅(21 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅21 +3⋅ 16)
= -3⋅21 +4⋅ 16 (=1)
16= 58-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅21 +4⋅(58 -2⋅ 21)
= -3⋅21 +4⋅58 -8⋅ 21)
= 4⋅58 -11⋅ 21 (=1)
21= 79-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅58 -11⋅(79 -1⋅ 58)
= 4⋅58 -11⋅79 +11⋅ 58)
= -11⋅79 +15⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(79,58)=1 = -11⋅79 +15⋅58

oder wenn man -11⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅79 = +15⋅58

Es gilt also: 15⋅58 = 11⋅79 +1

Somit 15⋅58 = 1 mod 79

15 ist also das Inverse von 58 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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