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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (101 + 1495) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(101 + 1495) mod 5 ≡ (101 mod 5 + 1495 mod 5) mod 5.
101 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 101
= 100
1495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1495
= 1400
Somit gilt:
(101 + 1495) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 54) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 54) mod 6 ≡ (36 mod 6 ⋅ 54 mod 6) mod 6.
36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.
54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 9 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 54) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 76516 mod 863.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 765 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7651=765
2: 7652=7651+1=7651⋅7651 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 111 mod 863
4: 7654=7652+2=7652⋅7652 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 239 mod 863
8: 7658=7654+4=7654⋅7654 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 163 mod 863
16: 76516=7658+8=7658⋅7658 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 679 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 68467 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 6841=684
2: 6842=6841+1=6841⋅6841 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 625 mod 709
4: 6844=6842+2=6842⋅6842 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 675 mod 709
8: 6848=6844+4=6844⋅6844 ≡ 675⋅675=455625 ≡ 447 mod 709
16: 68416=6848+8=6848⋅6848 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 580 mod 709
32: 68432=68416+16=68416⋅68416 ≡ 580⋅580=336400 ≡ 334 mod 709
64: 68464=68432+32=68432⋅68432 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 243 mod 709
68467
= 68464+2+1
= 68464⋅6842⋅6841
≡ 243 ⋅ 625 ⋅ 684 mod 709
≡ 151875 ⋅ 684 mod 709 ≡ 149 ⋅ 684 mod 709
≡ 101916 mod 709 ≡ 529 mod 709
Es gilt also: 68467 ≡ 529 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 24
| =>53 | = 2⋅24 + 5 |
| =>24 | = 4⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 24-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 53-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅24 +5⋅(53 -2⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅53 -10⋅ 24) = 5⋅53 -11⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,24)=1 = 5⋅53 -11⋅24
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -11⋅24
-11⋅24 = -5⋅53 + 1 |+53⋅24
-11⋅24 + 53⋅24 = -5⋅53 + 53⋅24 + 1
(-11 + 53) ⋅ 24 = (-5 + 24) ⋅ 53 + 1
42⋅24 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 42⋅24 = 19⋅53 +1
Somit 42⋅24 = 1 mod 53
42 ist also das Inverse von 24 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.