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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (324 + 31993) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(324 + 31993) mod 8 ≡ (324 mod 8 + 31993 mod 8) mod 8.
324 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 324
= 320
31993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31993
= 31000
Somit gilt:
(324 + 31993) mod 8 ≡ (4 + 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 62) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(38 ⋅ 62) mod 6 ≡ (38 mod 6 ⋅ 62 mod 6) mod 6.
38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.
62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 10 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(38 ⋅ 62) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33964 mod 389.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 339 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3391=339
2: 3392=3391+1=3391⋅3391 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 166 mod 389
4: 3394=3392+2=3392⋅3392 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 326 mod 389
8: 3398=3394+4=3394⋅3394 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 79 mod 389
16: 33916=3398+8=3398⋅3398 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 17 mod 389
32: 33932=33916+16=33916⋅33916 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 389
64: 33964=33932+32=33932⋅33932 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 275 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 314102 mod 773.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 3141=314
2: 3142=3141+1=3141⋅3141 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 425 mod 773
4: 3144=3142+2=3142⋅3142 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 516 mod 773
8: 3148=3144+4=3144⋅3144 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 344 mod 773
16: 31416=3148+8=3148⋅3148 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 67 mod 773
32: 31432=31416+16=31416⋅31416 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 624 mod 773
64: 31464=31432+32=31432⋅31432 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 557 mod 773
314102
= 31464+32+4+2
= 31464⋅31432⋅3144⋅3142
≡ 557 ⋅ 624 ⋅ 516 ⋅ 425 mod 773
≡ 347568 ⋅ 516 ⋅ 425 mod 773 ≡ 491 ⋅ 516 ⋅ 425 mod 773
≡ 253356 ⋅ 425 mod 773 ≡ 585 ⋅ 425 mod 773
≡ 248625 mod 773 ≡ 492 mod 773
Es gilt also: 314102 ≡ 492 mod 773
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 35
| =>89 | = 2⋅35 + 19 |
| =>35 | = 1⋅19 + 16 |
| =>19 | = 1⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 19-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1) |
| 16= 35-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅19 +6⋅(35 -1⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅35 -6⋅ 19) = 6⋅35 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 89-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅35 -11⋅(89 -2⋅ 35)
= 6⋅35 -11⋅89 +22⋅ 35) = -11⋅89 +28⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,35)=1 = -11⋅89 +28⋅35
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +28⋅35
Es gilt also: 28⋅35 = 11⋅89 +1
Somit 28⋅35 = 1 mod 89
28 ist also das Inverse von 35 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
