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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16003 - 41) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16003 - 41) mod 4 ≡ (16003 mod 4 - 41 mod 4) mod 4.

16003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003 = 16000+3 = 4 ⋅ 4000 +3.

41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40+1 = 4 ⋅ 10 +1.

Somit gilt:

(16003 - 41) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 36) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 36) mod 6 ≡ (77 mod 6 ⋅ 36 mod 6) mod 6.

77 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 12 ⋅ 6 + 5 ist.

36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 36) mod 6 ≡ (5 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1828 mod 349.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 182 -> x
2. mod(x²,349) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1821=182

2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 318 mod 349

4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 263 mod 349

8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 67 mod 349

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 446141 mod 467.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 141 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 141 an und zerlegen 141 in eine Summer von 2er-Potenzen:

141 = 128+8+4+1

1: 4461=446

2: 4462=4461+1=4461⋅4461 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 441 mod 467

4: 4464=4462+2=4462⋅4462 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 209 mod 467

8: 4468=4464+4=4464⋅4464 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 250 mod 467

16: 44616=4468+8=4468⋅4468 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 389 mod 467

32: 44632=44616+16=44616⋅44616 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 13 mod 467

64: 44664=44632+32=44632⋅44632 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 467

128: 446128=44664+64=44664⋅44664 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 74 mod 467

446141

= 446128+8+4+1

= 446128⋅4468⋅4464⋅4461

≡ 74 ⋅ 250 ⋅ 209 ⋅ 446 mod 467
≡ 18500 ⋅ 209 ⋅ 446 mod 467 ≡ 287 ⋅ 209 ⋅ 446 mod 467
≡ 59983 ⋅ 446 mod 467 ≡ 207 ⋅ 446 mod 467
≡ 92322 mod 467 ≡ 323 mod 467

Es gilt also: 446141 ≡ 323 mod 467

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46

=>59 = 1⋅46 + 13
=>46 = 3⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 46-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13)
= 2⋅46 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46)
= -7⋅59 +9⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +9⋅46

Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1

Somit 9⋅46 = 1 mod 59

9 ist also das Inverse von 46 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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