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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36007 - 4505) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36007 - 4505) mod 9 ≡ (36007 mod 9 - 4505 mod 9) mod 9.

36007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36007 = 36000+7 = 9 ⋅ 4000 +7.

4505 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4505 = 4500+5 = 9 ⋅ 500 +5.

Somit gilt:

(36007 - 4505) mod 9 ≡ (7 - 5) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 15) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 15) mod 10 ≡ (52 mod 10 ⋅ 15 mod 10) mod 10.

52 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 5 ⋅ 10 + 2 ist.

15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 15) mod 10 ≡ (2 ⋅ 5) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26616 mod 503.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 266 -> x
2. mod(x²,503) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2661=266

2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 336 mod 503

4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 224 mod 503

8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 379 mod 503

16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 286 mod 503

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 155180 mod 433.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:

180 = 128+32+16+4

1: 1551=155

2: 1552=1551+1=1551⋅1551 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 210 mod 433

4: 1554=1552+2=1552⋅1552 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 367 mod 433

8: 1558=1554+4=1554⋅1554 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 26 mod 433

16: 15516=1558+8=1558⋅1558 ≡ 26⋅26=676 ≡ 243 mod 433

32: 15532=15516+16=15516⋅15516 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 161 mod 433

64: 15564=15532+32=15532⋅15532 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 374 mod 433

128: 155128=15564+64=15564⋅15564 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 17 mod 433

155180

= 155128+32+16+4

= 155128⋅15532⋅15516⋅1554

≡ 17 ⋅ 161 ⋅ 243 ⋅ 367 mod 433
≡ 2737 ⋅ 243 ⋅ 367 mod 433 ≡ 139 ⋅ 243 ⋅ 367 mod 433
≡ 33777 ⋅ 367 mod 433 ≡ 3 ⋅ 367 mod 433
≡ 1101 mod 433 ≡ 235 mod 433

Es gilt also: 155180 ≡ 235 mod 433

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38

=>73 = 1⋅38 + 35
=>38 = 1⋅35 + 3
=>35 = 11⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3)
= -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 38-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35)
= 12⋅38 -13⋅ 35 (=1)
35= 73-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38)
= 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38)
= -13⋅73 +25⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +25⋅38

Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1

Somit 25⋅38 = 1 mod 73

25 ist also das Inverse von 38 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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