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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2000 - 41) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2000 - 41) mod 4 ≡ (2000 mod 4 - 41 mod 4) mod 4.

2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 4 ⋅ 500 +0.

41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40+1 = 4 ⋅ 10 +1.

Somit gilt:

(2000 - 41) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 50) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 50) mod 3 ≡ (90 mod 3 ⋅ 50 mod 3) mod 3.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 30 ⋅ 3 + 0 ist.

50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 50) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 37216 mod 449.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 372 -> x
2. mod(x²,449) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3721=372

2: 3722=3721+1=3721⋅3721 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 92 mod 449

4: 3724=3722+2=3722⋅3722 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 382 mod 449

8: 3728=3724+4=3724⋅3724 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 448 mod 449

16: 37216=3728+8=3728⋅3728 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 1 mod 449

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31565 mod 433.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:

65 = 64+1

1: 3151=315

2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 68 mod 433

4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 294 mod 433

8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 269 mod 433

16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 50 mod 433

32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 335 mod 433

64: 31564=31532+32=31532⋅31532 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 78 mod 433

31565

= 31564+1

= 31564⋅3151

≡ 78 ⋅ 315 mod 433
≡ 24570 mod 433 ≡ 322 mod 433

Es gilt also: 31565 ≡ 322 mod 433

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 41

=>79 = 1⋅41 + 38
=>41 = 1⋅38 + 3
=>38 = 12⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 38-12⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3)
= -1⋅38 +13⋅ 3 (=1)
3= 41-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅38 +13⋅(41 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅41 -13⋅ 38)
= 13⋅41 -14⋅ 38 (=1)
38= 79-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅41 -14⋅(79 -1⋅ 41)
= 13⋅41 -14⋅79 +14⋅ 41)
= -14⋅79 +27⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(79,41)=1 = -14⋅79 +27⋅41

oder wenn man -14⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅79 = +27⋅41

Es gilt also: 27⋅41 = 14⋅79 +1

Somit 27⋅41 = 1 mod 79

27 ist also das Inverse von 41 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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