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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32008 + 1607) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32008 + 1607) mod 8 ≡ (32008 mod 8 + 1607 mod 8) mod 8.
32008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32008
= 32000
1607 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1607
= 1600
Somit gilt:
(32008 + 1607) mod 8 ≡ (0 + 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 86) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 86) mod 8 ≡ (72 mod 8 ⋅ 86 mod 8) mod 8.
72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.
86 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 10 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 86) mod 8 ≡ (0 ⋅ 6) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5648 mod 971.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 564 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5641=564
2: 5642=5641+1=5641⋅5641 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 579 mod 971
4: 5644=5642+2=5642⋅5642 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 246 mod 971
8: 5648=5644+4=5644⋅5644 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 314 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 544178 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:
178 = 128+32+16+2
1: 5441=544
2: 5442=5441+1=5441⋅5441 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 651 mod 809
4: 5444=5442+2=5442⋅5442 ≡ 651⋅651=423801 ≡ 694 mod 809
8: 5448=5444+4=5444⋅5444 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 281 mod 809
16: 54416=5448+8=5448⋅5448 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 488 mod 809
32: 54432=54416+16=54416⋅54416 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 298 mod 809
64: 54464=54432+32=54432⋅54432 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 623 mod 809
128: 544128=54464+64=54464⋅54464 ≡ 623⋅623=388129 ≡ 618 mod 809
544178
= 544128+32+16+2
= 544128⋅54432⋅54416⋅5442
≡ 618 ⋅ 298 ⋅ 488 ⋅ 651 mod 809
≡ 184164 ⋅ 488 ⋅ 651 mod 809 ≡ 521 ⋅ 488 ⋅ 651 mod 809
≡ 254248 ⋅ 651 mod 809 ≡ 222 ⋅ 651 mod 809
≡ 144522 mod 809 ≡ 520 mod 809
Es gilt also: 544178 ≡ 520 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 27
| =>89 | = 3⋅27 + 8 |
| =>27 | = 3⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 27-3⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(27 -3⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅27 -9⋅ 8) = 3⋅27 -10⋅ 8 (=1) |
| 8= 89-3⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅27 -10⋅(89 -3⋅ 27)
= 3⋅27 -10⋅89 +30⋅ 27) = -10⋅89 +33⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,27)=1 = -10⋅89 +33⋅27
oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅89 = +33⋅27
Es gilt also: 33⋅27 = 10⋅89 +1
Somit 33⋅27 = 1 mod 89
33 ist also das Inverse von 27 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.