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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19997 + 1199) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19997 + 1199) mod 4 ≡ (19997 mod 4 + 1199 mod 4) mod 4.

19997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997 = 19000+997 = 4 ⋅ 4750 +997.

1199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1100+99 = 4 ⋅ 275 +99.

Somit gilt:

(19997 + 1199) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 84) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 84) mod 5 ≡ (17 mod 5 ⋅ 84 mod 5) mod 5.

17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.

84 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 16 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 84) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 312⁸ mod 449.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 312 -> x
2. mod(x²,449) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 312¹=312

2: 312²=312¹⁺¹=312¹⋅312¹ ≡ 312⋅312=97344 ≡ 360 mod 449

4: 312⁴=312²⁺²=312²⋅312² ≡ 360⋅360=129600 ≡ 288 mod 449

8: 312⁸=312⁴⁺⁴=312⁴⋅312⁴ ≡ 288⋅288=82944 ≡ 328 mod 449

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 401¹⁸³ mod 911.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:

183 = 128+32+16+4+2+1

1: 401¹=401

2: 401²=401¹⁺¹=401¹⋅401¹ ≡ 401⋅401=160801 ≡ 465 mod 911

4: 401⁴=401²⁺²=401²⋅401² ≡ 465⋅465=216225 ≡ 318 mod 911

8: 401⁸=401⁴⁺⁴=401⁴⋅401⁴ ≡ 318⋅318=101124 ≡ 3 mod 911

16: 401¹⁶=401⁸⁺⁸=401⁸⋅401⁸ ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 911

32: 401³²=401¹⁶⁺¹⁶=401¹⁶⋅401¹⁶ ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 911

64: 401⁶⁴=401³²⁺³²=401³²⋅401³² ≡ 81⋅81=6561 ≡ 184 mod 911

128: 401¹²⁸=401⁶⁴⁺⁶⁴=401⁶⁴⋅401⁶⁴ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 149 mod 911

401¹⁸³

= 401^{128+32+16+4+2+1}

= 401¹²⁸⋅401³²⋅401¹⁶⋅401⁴⋅401²⋅401¹

≡ 149 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 318 ⋅ 465 ⋅ 401 mod 911
≡ 12069 ⋅ 9 ⋅ 318 ⋅ 465 ⋅ 401 mod 911 ≡ 226 ⋅ 9 ⋅ 318 ⋅ 465 ⋅ 401 mod 911
≡ 2034 ⋅ 318 ⋅ 465 ⋅ 401 mod 911 ≡ 212 ⋅ 318 ⋅ 465 ⋅ 401 mod 911
≡ 67416 ⋅ 465 ⋅ 401 mod 911 ≡ 2 ⋅ 465 ⋅ 401 mod 911
≡ 930 ⋅ 401 mod 911 ≡ 19 ⋅ 401 mod 911
≡ 7619 mod 911 ≡ 331 mod 911

Es gilt also: 401¹⁸³ ≡ 331 mod 911

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 37

=>79	= 2⋅37 + 5
=>37	= 7⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 37-7⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1)
5= 79-2⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅37 +15⋅(79 -2⋅ 37) = -2⋅37 +15⋅79 -30⋅ 37) = 15⋅79 -32⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(79,37)=1 = 15⋅79 -32⋅37

oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅79 = -32⋅37

-32⋅37 = -15⋅79 + 1 |+79⋅37

-32⋅37 + 79⋅37 = -15⋅79 + 79⋅37 + 1

(-32 + 79) ⋅ 37 = (-15 + 37) ⋅ 79 + 1

47⋅37 = 22⋅79 + 1

Es gilt also: 47⋅37 = 22⋅79 +1

Somit 47⋅37 = 1 mod 79

47 ist also das Inverse von 37 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 37

Schlüsselpaar für RSA