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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (215 - 707) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(215 - 707) mod 7 ≡ (215 mod 7 - 707 mod 7) mod 7.

215 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 215 = 210+5 = 7 ⋅ 30 +5.

707 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 707 = 700+7 = 7 ⋅ 100 +7.

Somit gilt:

(215 - 707) mod 7 ≡ (5 - 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 25) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 25) mod 9 ≡ (92 mod 9 ⋅ 25 mod 9) mod 9.

92 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 10 ⋅ 9 + 2 ist.

25 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 18 + 7 = 2 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 25) mod 9 ≡ (2 ⋅ 7) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 249⁸ mod 271.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 249 -> x
2. mod(x²,271) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 249¹=249

2: 249²=249¹⁺¹=249¹⋅249¹ ≡ 249⋅249=62001 ≡ 213 mod 271

4: 249⁴=249²⁺²=249²⋅249² ≡ 213⋅213=45369 ≡ 112 mod 271

8: 249⁸=249⁴⁺⁴=249⁴⋅249⁴ ≡ 112⋅112=12544 ≡ 78 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 514⁶⁸ mod 599.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:

68 = 64+4

1: 514¹=514

2: 514²=514¹⁺¹=514¹⋅514¹ ≡ 514⋅514=264196 ≡ 37 mod 599

4: 514⁴=514²⁺²=514²⋅514² ≡ 37⋅37=1369 ≡ 171 mod 599

8: 514⁸=514⁴⁺⁴=514⁴⋅514⁴ ≡ 171⋅171=29241 ≡ 489 mod 599

16: 514¹⁶=514⁸⁺⁸=514⁸⋅514⁸ ≡ 489⋅489=239121 ≡ 120 mod 599

32: 514³²=514¹⁶⁺¹⁶=514¹⁶⋅514¹⁶ ≡ 120⋅120=14400 ≡ 24 mod 599

64: 514⁶⁴=514³²⁺³²=514³²⋅514³² ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 599

514⁶⁸

= 514⁶⁴⁺⁴

= 514⁶⁴⋅514⁴

≡ 576 ⋅ 171 mod 599
≡ 98496 mod 599 ≡ 260 mod 599

Es gilt also: 514⁶⁸ ≡ 260 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 21.

Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 21

=>61	= 2⋅21 + 19
=>21	= 1⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 21-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1)
19= 61-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅21 +10⋅(61 -2⋅ 21) = -9⋅21 +10⋅61 -20⋅ 21) = 10⋅61 -29⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(61,21)=1 = 10⋅61 -29⋅21

oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅61 = -29⋅21

-29⋅21 = -10⋅61 + 1 |+61⋅21

-29⋅21 + 61⋅21 = -10⋅61 + 61⋅21 + 1

(-29 + 61) ⋅ 21 = (-10 + 21) ⋅ 61 + 1

32⋅21 = 11⋅61 + 1

Es gilt also: 32⋅21 = 11⋅61 +1

Somit 32⋅21 = 1 mod 61

32 ist also das Inverse von 21 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 21

Schlüsselpaar für RSA