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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1200 - 6002) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 - 6002) mod 6 ≡ (1200 mod 6 - 6002 mod 6) mod 6.

1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 6 ⋅ 200 +0.

6002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6002 = 6000+2 = 6 ⋅ 1000 +2.

Somit gilt:

(1200 - 6002) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 49) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 49) mod 4 ≡ (80 mod 4 ⋅ 49 mod 4) mod 4.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 20 ⋅ 4 + 0 ist.

49 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 12 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 49) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3868 mod 503.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 386 -> x
2. mod(x²,503) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3861=386

2: 3862=3861+1=3861⋅3861 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 108 mod 503

4: 3864=3862+2=3862⋅3862 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 95 mod 503

8: 3868=3864+4=3864⋅3864 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 474 mod 503

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 312114 mod 907.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:

114 = 64+32+16+2

1: 3121=312

2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 295 mod 907

4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 860 mod 907

8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 860⋅860=739600 ≡ 395 mod 907

16: 31216=3128+8=3128⋅3128 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 21 mod 907

32: 31232=31216+16=31216⋅31216 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 907

64: 31264=31232+32=31232⋅31232 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 383 mod 907

312114

= 31264+32+16+2

= 31264⋅31232⋅31216⋅3122

≡ 383 ⋅ 441 ⋅ 21 ⋅ 295 mod 907
≡ 168903 ⋅ 21 ⋅ 295 mod 907 ≡ 201 ⋅ 21 ⋅ 295 mod 907
≡ 4221 ⋅ 295 mod 907 ≡ 593 ⋅ 295 mod 907
≡ 174935 mod 907 ≡ 791 mod 907

Es gilt also: 312114 ≡ 791 mod 907

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59 = 1⋅48 + 11
=>48 = 4⋅11 + 4
=>11 = 2⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4)
= -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11)
= 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48)
= -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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