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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3505 - 21002) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3505 - 21002) mod 7 ≡ (3505 mod 7 - 21002 mod 7) mod 7.

3505 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3505 = 3500+5 = 7 ⋅ 500 +5.

21002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21002 = 21000+2 = 7 ⋅ 3000 +2.

Somit gilt:

(3505 - 21002) mod 7 ≡ (5 - 2) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 26) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 26) mod 5 ≡ (51 mod 5 ⋅ 26 mod 5) mod 5.

51 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 10 ⋅ 5 + 1 ist.

26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 26) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 191128 mod 577.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 191 -> x
2. mod(x²,577) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1911=191

2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 130 mod 577

4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 167 mod 577

8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 193 mod 577

16: 19116=1918+8=1918⋅1918 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 321 mod 577

32: 19132=19116+16=19116⋅19116 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 335 mod 577

64: 19164=19132+32=19132⋅19132 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 287 mod 577

128: 191128=19164+64=19164⋅19164 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 435 mod 577

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 524167 mod 751.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

1: 5241=524

2: 5242=5241+1=5241⋅5241 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 461 mod 751

4: 5244=5242+2=5242⋅5242 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 739 mod 751

8: 5248=5244+4=5244⋅5244 ≡ 739⋅739=546121 ≡ 144 mod 751

16: 52416=5248+8=5248⋅5248 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 459 mod 751

32: 52432=52416+16=52416⋅52416 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 401 mod 751

64: 52464=52432+32=52432⋅52432 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 87 mod 751

128: 524128=52464+64=52464⋅52464 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 59 mod 751

524167

= 524128+32+4+2+1

= 524128⋅52432⋅5244⋅5242⋅5241

≡ 59 ⋅ 401 ⋅ 739 ⋅ 461 ⋅ 524 mod 751
≡ 23659 ⋅ 739 ⋅ 461 ⋅ 524 mod 751 ≡ 378 ⋅ 739 ⋅ 461 ⋅ 524 mod 751
≡ 279342 ⋅ 461 ⋅ 524 mod 751 ≡ 721 ⋅ 461 ⋅ 524 mod 751
≡ 332381 ⋅ 524 mod 751 ≡ 439 ⋅ 524 mod 751
≡ 230036 mod 751 ≡ 230 mod 751

Es gilt also: 524167 ≡ 230 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 83.

Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 83

=>89 = 1⋅83 + 6
=>83 = 13⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,83)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 83-13⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(83 -13⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅83 +13⋅ 6)
= -1⋅83 +14⋅ 6 (=1)
6= 89-1⋅83 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅83 +14⋅(89 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +14⋅89 -14⋅ 83)
= 14⋅89 -15⋅ 83 (=1)

Es gilt also: ggt(89,83)=1 = 14⋅89 -15⋅83

oder wenn man 14⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -14⋅89 = -15⋅83

-15⋅83 = -14⋅89 + 1 |+89⋅83

-15⋅83 + 89⋅83 = -14⋅89 + 89⋅83 + 1

(-15 + 89) ⋅ 83 = (-14 + 83) ⋅ 89 + 1

74⋅83 = 69⋅89 + 1

Es gilt also: 74⋅83 = 69⋅89 +1

Somit 74⋅83 = 1 mod 89

74 ist also das Inverse von 83 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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