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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (998 - 500) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(998 - 500) mod 5 ≡ (998 mod 5 - 500 mod 5) mod 5.

998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 998 = 900+98 = 5 ⋅ 180 +98.

500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 500 = 500+0 = 5 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(998 - 500) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 96) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 96) mod 6 ≡ (81 mod 6 ⋅ 96 mod 6) mod 6.

81 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 78 + 3 = 13 ⋅ 6 + 3 ist.

96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 96) mod 6 ≡ (3 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 425⁶⁴ mod 463.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 425 -> x
2. mod(x²,463) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 425¹=425

2: 425²=425¹⁺¹=425¹⋅425¹ ≡ 425⋅425=180625 ≡ 55 mod 463

4: 425⁴=425²⁺²=425²⋅425² ≡ 55⋅55=3025 ≡ 247 mod 463

8: 425⁸=425⁴⁺⁴=425⁴⋅425⁴ ≡ 247⋅247=61009 ≡ 356 mod 463

16: 425¹⁶=425⁸⁺⁸=425⁸⋅425⁸ ≡ 356⋅356=126736 ≡ 337 mod 463

32: 425³²=425¹⁶⁺¹⁶=425¹⁶⋅425¹⁶ ≡ 337⋅337=113569 ≡ 134 mod 463

64: 425⁶⁴=425³²⁺³²=425³²⋅425³² ≡ 134⋅134=17956 ≡ 362 mod 463

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 360²²¹ mod 601.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

1: 360¹=360

2: 360²=360¹⁺¹=360¹⋅360¹ ≡ 360⋅360=129600 ≡ 385 mod 601

4: 360⁴=360²⁺²=360²⋅360² ≡ 385⋅385=148225 ≡ 379 mod 601

8: 360⁸=360⁴⁺⁴=360⁴⋅360⁴ ≡ 379⋅379=143641 ≡ 2 mod 601

16: 360¹⁶=360⁸⁺⁸=360⁸⋅360⁸ ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 601

32: 360³²=360¹⁶⁺¹⁶=360¹⁶⋅360¹⁶ ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 601

64: 360⁶⁴=360³²⁺³²=360³²⋅360³² ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 601

128: 360¹²⁸=360⁶⁴⁺⁶⁴=360⁶⁴⋅360⁶⁴ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 27 mod 601

360²²¹

= 360^{128+64+16+8+4+1}

= 360¹²⁸⋅360⁶⁴⋅360¹⁶⋅360⁸⋅360⁴⋅360¹

≡ 27 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 379 ⋅ 360 mod 601
≡ 6912 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 379 ⋅ 360 mod 601 ≡ 301 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 379 ⋅ 360 mod 601
≡ 1204 ⋅ 2 ⋅ 379 ⋅ 360 mod 601 ≡ 2 ⋅ 2 ⋅ 379 ⋅ 360 mod 601
≡ 4 ⋅ 379 ⋅ 360 mod 601
≡ 1516 ⋅ 360 mod 601 ≡ 314 ⋅ 360 mod 601
≡ 113040 mod 601 ≡ 52 mod 601

Es gilt also: 360²²¹ ≡ 52 mod 601

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 78.

Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78

=>97	= 1⋅78 + 19
=>78	= 4⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,78)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 78-4⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19) = -9⋅78 +37⋅ 19 (=1)
19= 97-1⋅78	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78) = -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78) = 37⋅97 -46⋅ 78 (=1)

Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78

oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -37⋅97 = -46⋅78

-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78

-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1

(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1

51⋅78 = 41⋅97 + 1

Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1

Somit 51⋅78 = 1 mod 97

51 ist also das Inverse von 78 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78

Schlüsselpaar für RSA