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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45001 - 275) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45001 - 275) mod 9 ≡ (45001 mod 9 - 275 mod 9) mod 9.

45001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45001 = 45000+1 = 9 ⋅ 5000 +1.

275 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 275 = 270+5 = 9 ⋅ 30 +5.

Somit gilt:

(45001 - 275) mod 9 ≡ (1 - 5) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 18) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 18) mod 6 ≡ (89 mod 6 ⋅ 18 mod 6) mod 6.

89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.

18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 18) mod 6 ≡ (5 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 197128 mod 449.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 197 -> x
2. mod(x²,449) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1971=197

2: 1972=1971+1=1971⋅1971 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 195 mod 449

4: 1974=1972+2=1972⋅1972 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 309 mod 449

8: 1978=1974+4=1974⋅1974 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 293 mod 449

16: 19716=1978+8=1978⋅1978 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 90 mod 449

32: 19732=19716+16=19716⋅19716 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 18 mod 449

64: 19764=19732+32=19732⋅19732 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 449

128: 197128=19764+64=19764⋅19764 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 359 mod 449

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17166 mod 479.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:

66 = 64+2

1: 1711=171

2: 1712=1711+1=1711⋅1711 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 22 mod 479

4: 1714=1712+2=1712⋅1712 ≡ 22⋅22=484 ≡ 5 mod 479

8: 1718=1714+4=1714⋅1714 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 479

16: 17116=1718+8=1718⋅1718 ≡ 25⋅25=625 ≡ 146 mod 479

32: 17132=17116+16=17116⋅17116 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 240 mod 479

64: 17164=17132+32=17132⋅17132 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 120 mod 479

17166

= 17164+2

= 17164⋅1712

≡ 120 ⋅ 22 mod 479
≡ 2640 mod 479 ≡ 245 mod 479

Es gilt also: 17166 ≡ 245 mod 479

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

=>97 = 2⋅42 + 13
=>42 = 3⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13)
= -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-2⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42)
= 13⋅97 -30⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -30⋅42

-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42

-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1

(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1

67⋅42 = 29⋅97 + 1

Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1

Somit 67⋅42 = 1 mod 97

67 ist also das Inverse von 42 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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