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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (152 - 11998) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(152 - 11998) mod 3 ≡ (152 mod 3 - 11998 mod 3) mod 3.

152 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152 = 150+2 = 3 ⋅ 50 +2.

11998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998 = 12000-2 = 3 ⋅ 4000 -2 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(152 - 11998) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 79) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 79) mod 9 ≡ (80 mod 9 ⋅ 79 mod 9) mod 9.

80 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 72 + 8 = 8 ⋅ 9 + 8 ist.

79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 79) mod 9 ≡ (8 ⋅ 7) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 243128 mod 461.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 243 -> x
2. mod(x²,461) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2431=243

2: 2432=2431+1=2431⋅2431 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 41 mod 461

4: 2434=2432+2=2432⋅2432 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 298 mod 461

8: 2438=2434+4=2434⋅2434 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 292 mod 461

16: 24316=2438+8=2438⋅2438 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 440 mod 461

32: 24332=24316+16=24316⋅24316 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 441 mod 461

64: 24364=24332+32=24332⋅24332 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 400 mod 461

128: 243128=24364+64=24364⋅24364 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 33 mod 461

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 190141 mod 269.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 141 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 141 an und zerlegen 141 in eine Summer von 2er-Potenzen:

141 = 128+8+4+1

1: 1901=190

2: 1902=1901+1=1901⋅1901 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 54 mod 269

4: 1904=1902+2=1902⋅1902 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 226 mod 269

8: 1908=1904+4=1904⋅1904 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 235 mod 269

16: 19016=1908+8=1908⋅1908 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 80 mod 269

32: 19032=19016+16=19016⋅19016 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 213 mod 269

64: 19064=19032+32=19032⋅19032 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 177 mod 269

128: 190128=19064+64=19064⋅19064 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 125 mod 269

190141

= 190128+8+4+1

= 190128⋅1908⋅1904⋅1901

≡ 125 ⋅ 235 ⋅ 226 ⋅ 190 mod 269
≡ 29375 ⋅ 226 ⋅ 190 mod 269 ≡ 54 ⋅ 226 ⋅ 190 mod 269
≡ 12204 ⋅ 190 mod 269 ≡ 99 ⋅ 190 mod 269
≡ 18810 mod 269 ≡ 249 mod 269

Es gilt also: 190141 ≡ 249 mod 269

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 42

=>79 = 1⋅42 + 37
=>42 = 1⋅37 + 5
=>37 = 7⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 37-7⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5)
= -2⋅37 +15⋅ 5 (=1)
5= 42-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅37 +15⋅(42 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅42 -15⋅ 37)
= 15⋅42 -17⋅ 37 (=1)
37= 79-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 15⋅42 -17⋅(79 -1⋅ 42)
= 15⋅42 -17⋅79 +17⋅ 42)
= -17⋅79 +32⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(79,42)=1 = -17⋅79 +32⋅42

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +32⋅42

Es gilt also: 32⋅42 = 17⋅79 +1

Somit 32⋅42 = 1 mod 79

32 ist also das Inverse von 42 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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