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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (236 - 12006) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(236 - 12006) mod 6 ≡ (236 mod 6 - 12006 mod 6) mod 6.

236 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236 = 240-4 = 6 ⋅ 40 -4 = 6 ⋅ 40 - 6 + 2.

12006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12006 = 12000+6 = 6 ⋅ 2000 +6.

Somit gilt:

(236 - 12006) mod 6 ≡ (2 - 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 68) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 68) mod 11 ≡ (92 mod 11 ⋅ 68 mod 11) mod 11.

92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.

68 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 6 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 68) mod 11 ≡ (4 ⋅ 2) mod 11 ≡ 8 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 82128 mod 239.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 82 -> x
2. mod(x²,239) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 821=82

2: 822=821+1=821⋅821 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 32 mod 239

4: 824=822+2=822⋅822 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 68 mod 239

8: 828=824+4=824⋅824 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 83 mod 239

16: 8216=828+8=828⋅828 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 197 mod 239

32: 8232=8216+16=8216⋅8216 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 91 mod 239

64: 8264=8232+32=8232⋅8232 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 155 mod 239

128: 82128=8264+64=8264⋅8264 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 125 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14393 mod 211.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:

93 = 64+16+8+4+1

1: 1431=143

2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 193 mod 211

4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 113 mod 211

8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 109 mod 211

16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 65 mod 211

32: 14332=14316+16=14316⋅14316 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 5 mod 211

64: 14364=14332+32=14332⋅14332 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 211

14393

= 14364+16+8+4+1

= 14364⋅14316⋅1438⋅1434⋅1431

≡ 25 ⋅ 65 ⋅ 109 ⋅ 113 ⋅ 143 mod 211
≡ 1625 ⋅ 109 ⋅ 113 ⋅ 143 mod 211 ≡ 148 ⋅ 109 ⋅ 113 ⋅ 143 mod 211
≡ 16132 ⋅ 113 ⋅ 143 mod 211 ≡ 96 ⋅ 113 ⋅ 143 mod 211
≡ 10848 ⋅ 143 mod 211 ≡ 87 ⋅ 143 mod 211
≡ 12441 mod 211 ≡ 203 mod 211

Es gilt also: 14393 ≡ 203 mod 211

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 92.

Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 92

=>101 = 1⋅92 + 9
=>92 = 10⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,92)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 92-10⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(92 -10⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅92 +40⋅ 9)
= -4⋅92 +41⋅ 9 (=1)
9= 101-1⋅92 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅92 +41⋅(101 -1⋅ 92)
= -4⋅92 +41⋅101 -41⋅ 92)
= 41⋅101 -45⋅ 92 (=1)

Es gilt also: ggt(101,92)=1 = 41⋅101 -45⋅92

oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -41⋅101 = -45⋅92

-45⋅92 = -41⋅101 + 1 |+101⋅92

-45⋅92 + 101⋅92 = -41⋅101 + 101⋅92 + 1

(-45 + 101) ⋅ 92 = (-41 + 92) ⋅ 101 + 1

56⋅92 = 51⋅101 + 1

Es gilt also: 56⋅92 = 51⋅101 +1

Somit 56⋅92 = 1 mod 101

56 ist also das Inverse von 92 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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