Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14997 - 3002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14997 - 3002) mod 3 ≡ (14997 mod 3 - 3002 mod 3) mod 3.
14997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997
= 15000
3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002
= 3000
Somit gilt:
(14997 - 3002) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 31) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 31) mod 7 ≡ (64 mod 7 ⋅ 31 mod 7) mod 7.
64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 9 ⋅ 7 + 1 ist.
31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 31) mod 7 ≡ (1 ⋅ 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37232 mod 541.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 372 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3721=372
2: 3722=3721+1=3721⋅3721 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 429 mod 541
4: 3724=3722+2=3722⋅3722 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 101 mod 541
8: 3728=3724+4=3724⋅3724 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 463 mod 541
16: 37216=3728+8=3728⋅3728 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 133 mod 541
32: 37232=37216+16=37216⋅37216 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 377 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 557165 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:
165 = 128+32+4+1
1: 5571=557
2: 5572=5571+1=5571⋅5571 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 190 mod 733
4: 5574=5572+2=5572⋅5572 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 183 mod 733
8: 5578=5574+4=5574⋅5574 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 504 mod 733
16: 55716=5578+8=5578⋅5578 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 398 mod 733
32: 55732=55716+16=55716⋅55716 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 76 mod 733
64: 55764=55732+32=55732⋅55732 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 645 mod 733
128: 557128=55764+64=55764⋅55764 ≡ 645⋅645=416025 ≡ 414 mod 733
557165
= 557128+32+4+1
= 557128⋅55732⋅5574⋅5571
≡ 414 ⋅ 76 ⋅ 183 ⋅ 557 mod 733
≡ 31464 ⋅ 183 ⋅ 557 mod 733 ≡ 678 ⋅ 183 ⋅ 557 mod 733
≡ 124074 ⋅ 557 mod 733 ≡ 197 ⋅ 557 mod 733
≡ 109729 mod 733 ≡ 512 mod 733
Es gilt also: 557165 ≡ 512 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 73.
Also bestimme x, so dass 73 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 73
| =>83 | = 1⋅73 + 10 |
| =>73 | = 7⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,73)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 73-7⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(73 -7⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅73 +21⋅ 10) = -3⋅73 +22⋅ 10 (=1) |
| 10= 83-1⋅73 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅73 +22⋅(83 -1⋅ 73)
= -3⋅73 +22⋅83 -22⋅ 73) = 22⋅83 -25⋅ 73 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,73)=1 = 22⋅83 -25⋅73
oder wenn man 22⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -22⋅83 = -25⋅73
-25⋅73 = -22⋅83 + 1 |+83⋅73
-25⋅73 + 83⋅73 = -22⋅83 + 83⋅73 + 1
(-25 + 83) ⋅ 73 = (-22 + 73) ⋅ 83 + 1
58⋅73 = 51⋅83 + 1
Es gilt also: 58⋅73 = 51⋅83 +1
Somit 58⋅73 = 1 mod 83
58 ist also das Inverse von 73 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
