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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2709 - 35994) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2709 - 35994) mod 9 ≡ (2709 mod 9 - 35994 mod 9) mod 9.

2709 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2709 = 2700+9 = 9 ⋅ 300 +9.

35994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35994 = 36000-6 = 9 ⋅ 4000 -6 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 3.

Somit gilt:

(2709 - 35994) mod 9 ≡ (0 - 3) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 34) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 34) mod 7 ≡ (93 mod 7 ⋅ 34 mod 7) mod 7.

93 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 91 + 2 = 13 ⋅ 7 + 2 ist.

34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 34) mod 7 ≡ (2 ⋅ 6) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 741128 mod 769.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 741 -> x
2. mod(x²,769) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7411=741

2: 7412=7411+1=7411⋅7411 ≡ 741⋅741=549081 ≡ 15 mod 769

4: 7414=7412+2=7412⋅7412 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 769

8: 7418=7414+4=7414⋅7414 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 640 mod 769

16: 74116=7418+8=7418⋅7418 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 492 mod 769

32: 74132=74116+16=74116⋅74116 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 598 mod 769

64: 74164=74132+32=74132⋅74132 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 19 mod 769

128: 741128=74164+64=74164⋅74164 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 769

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 257130 mod 401.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:

130 = 128+2

1: 2571=257

2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 285 mod 401

4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 223 mod 401

8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 5 mod 401

16: 25716=2578+8=2578⋅2578 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 401

32: 25732=25716+16=25716⋅25716 ≡ 25⋅25=625 ≡ 224 mod 401

64: 25764=25732+32=25732⋅25732 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 51 mod 401

128: 257128=25764+64=25764⋅25764 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 195 mod 401

257130

= 257128+2

= 257128⋅2572

≡ 195 ⋅ 285 mod 401
≡ 55575 mod 401 ≡ 237 mod 401

Es gilt also: 257130 ≡ 237 mod 401

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68

=>71 = 1⋅68 + 3
=>68 = 22⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 68-22⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(68 -22⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅68 +22⋅ 3)
= -1⋅68 +23⋅ 3 (=1)
3= 71-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅68 +23⋅(71 -1⋅ 68)
= -1⋅68 +23⋅71 -23⋅ 68)
= 23⋅71 -24⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(71,68)=1 = 23⋅71 -24⋅68

oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -23⋅71 = -24⋅68

-24⋅68 = -23⋅71 + 1 |+71⋅68

-24⋅68 + 71⋅68 = -23⋅71 + 71⋅68 + 1

(-24 + 71) ⋅ 68 = (-23 + 68) ⋅ 71 + 1

47⋅68 = 45⋅71 + 1

Es gilt also: 47⋅68 = 45⋅71 +1

Somit 47⋅68 = 1 mod 71

47 ist also das Inverse von 68 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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