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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2504 + 2505) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2504 + 2505) mod 5 ≡ (2504 mod 5 + 2505 mod 5) mod 5.

2504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2504 = 2500+4 = 5 ⋅ 500 +4.

2505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2505 = 2500+5 = 5 ⋅ 500 +5.

Somit gilt:

(2504 + 2505) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 22) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 22) mod 8 ≡ (90 mod 8 ⋅ 22 mod 8) mod 8.

90 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 11 ⋅ 8 + 2 ist.

22 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 16 + 6 = 2 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 22) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 834¹⁶ mod 883.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 834 -> x
2. mod(x²,883) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 834¹=834

2: 834²=834¹⁺¹=834¹⋅834¹ ≡ 834⋅834=695556 ≡ 635 mod 883

4: 834⁴=834²⁺²=834²⋅834² ≡ 635⋅635=403225 ≡ 577 mod 883

8: 834⁸=834⁴⁺⁴=834⁴⋅834⁴ ≡ 577⋅577=332929 ≡ 38 mod 883

16: 834¹⁶=834⁸⁺⁸=834⁸⋅834⁸ ≡ 38⋅38=1444 ≡ 561 mod 883

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 379²¹⁷ mod 773.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

1: 379¹=379

2: 379²=379¹⁺¹=379¹⋅379¹ ≡ 379⋅379=143641 ≡ 636 mod 773

4: 379⁴=379²⁺²=379²⋅379² ≡ 636⋅636=404496 ≡ 217 mod 773

8: 379⁸=379⁴⁺⁴=379⁴⋅379⁴ ≡ 217⋅217=47089 ≡ 709 mod 773

16: 379¹⁶=379⁸⁺⁸=379⁸⋅379⁸ ≡ 709⋅709=502681 ≡ 231 mod 773

32: 379³²=379¹⁶⁺¹⁶=379¹⁶⋅379¹⁶ ≡ 231⋅231=53361 ≡ 24 mod 773

64: 379⁶⁴=379³²⁺³²=379³²⋅379³² ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 773

128: 379¹²⁸=379⁶⁴⁺⁶⁴=379⁶⁴⋅379⁶⁴ ≡ 576⋅576=331776 ≡ 159 mod 773

379²¹⁷

= 379^{128+64+16+8+1}

= 379¹²⁸⋅379⁶⁴⋅379¹⁶⋅379⁸⋅379¹

≡ 159 ⋅ 576 ⋅ 231 ⋅ 709 ⋅ 379 mod 773
≡ 91584 ⋅ 231 ⋅ 709 ⋅ 379 mod 773 ≡ 370 ⋅ 231 ⋅ 709 ⋅ 379 mod 773
≡ 85470 ⋅ 709 ⋅ 379 mod 773 ≡ 440 ⋅ 709 ⋅ 379 mod 773
≡ 311960 ⋅ 379 mod 773 ≡ 441 ⋅ 379 mod 773
≡ 167139 mod 773 ≡ 171 mod 773

Es gilt also: 379²¹⁷ ≡ 171 mod 773

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 77.

Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 77

=>83	= 1⋅77 + 6
=>77	= 12⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,77)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 77-12⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(77 -12⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅77 +12⋅ 6) = -1⋅77 +13⋅ 6 (=1)
6= 83-1⋅77	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅77 +13⋅(83 -1⋅ 77) = -1⋅77 +13⋅83 -13⋅ 77) = 13⋅83 -14⋅ 77 (=1)

Es gilt also: ggt(83,77)=1 = 13⋅83 -14⋅77

oder wenn man 13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅83 = -14⋅77

-14⋅77 = -13⋅83 + 1 |+83⋅77

-14⋅77 + 83⋅77 = -13⋅83 + 83⋅77 + 1

(-14 + 83) ⋅ 77 = (-13 + 77) ⋅ 83 + 1

69⋅77 = 64⋅83 + 1

Es gilt also: 69⋅77 = 64⋅83 +1

Somit 69⋅77 = 1 mod 83

69 ist also das Inverse von 77 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 77

Schlüsselpaar für RSA