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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45000 + 18008) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45000 + 18008) mod 9 ≡ (45000 mod 9 + 18008 mod 9) mod 9.

45000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45000 = 45000+0 = 9 ⋅ 5000 +0.

18008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18008 = 18000+8 = 9 ⋅ 2000 +8.

Somit gilt:

(45000 + 18008) mod 9 ≡ (0 + 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 16) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 16) mod 3 ≡ (18 mod 3 ⋅ 16 mod 3) mod 3.

18 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 6 ⋅ 3 + 0 ist.

16 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 5 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 16) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 399³² mod 881.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 399 -> x
2. mod(x²,881) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 399¹=399

2: 399²=399¹⁺¹=399¹⋅399¹ ≡ 399⋅399=159201 ≡ 621 mod 881

4: 399⁴=399²⁺²=399²⋅399² ≡ 621⋅621=385641 ≡ 644 mod 881

8: 399⁸=399⁴⁺⁴=399⁴⋅399⁴ ≡ 644⋅644=414736 ≡ 666 mod 881

16: 399¹⁶=399⁸⁺⁸=399⁸⋅399⁸ ≡ 666⋅666=443556 ≡ 413 mod 881

32: 399³²=399¹⁶⁺¹⁶=399¹⁶⋅399¹⁶ ≡ 413⋅413=170569 ≡ 536 mod 881

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 483²⁵¹ mod 569.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

1: 483¹=483

2: 483²=483¹⁺¹=483¹⋅483¹ ≡ 483⋅483=233289 ≡ 568 mod 569

4: 483⁴=483²⁺²=483²⋅483² ≡ 568⋅568=322624 ≡ 1 mod 569

8: 483⁸=483⁴⁺⁴=483⁴⋅483⁴ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 569

16: 483¹⁶=483⁸⁺⁸=483⁸⋅483⁸ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 569

32: 483³²=483¹⁶⁺¹⁶=483¹⁶⋅483¹⁶ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 569

64: 483⁶⁴=483³²⁺³²=483³²⋅483³² ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 569

128: 483¹²⁸=483⁶⁴⁺⁶⁴=483⁶⁴⋅483⁶⁴ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 569

483²⁵¹

= 483^{128+64+32+16+8+2+1}

= 483¹²⁸⋅483⁶⁴⋅483³²⋅483¹⁶⋅483⁸⋅483²⋅483¹

≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 568 ⋅ 483 mod 569
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 568 ⋅ 483 mod 569
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 568 ⋅ 483 mod 569
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 568 ⋅ 483 mod 569
≡ 1 ⋅ 568 ⋅ 483 mod 569
≡ 568 ⋅ 483 mod 569
≡ 274344 mod 569 ≡ 86 mod 569

Es gilt also: 483²⁵¹ ≡ 86 mod 569

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 84.

Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84

=>101	= 1⋅84 + 17
=>84	= 4⋅17 + 16
=>17	= 1⋅16 + 1
=>16	= 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 84-4⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17) = 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17) = -1⋅84 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-1⋅84	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84) = -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84) = 5⋅101 -6⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -6⋅84

-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84

-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1

(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1

95⋅84 = 79⋅101 + 1

Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1

Somit 95⋅84 = 1 mod 101

95 ist also das Inverse von 84 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84

Schlüsselpaar für RSA