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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20002 + 4000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20002 + 4000) mod 4 ≡ (20002 mod 4 + 4000 mod 4) mod 4.

20002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002 = 20000+2 = 4 ⋅ 5000 +2.

4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 4 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(20002 + 4000) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 52) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 52) mod 11 ≡ (41 mod 11 ⋅ 52 mod 11) mod 11.

41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.

52 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 44 + 8 = 4 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 52) mod 11 ≡ (8 ⋅ 8) mod 11 ≡ 64 mod 11 ≡ 9 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23832 mod 409.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 238 -> x
2. mod(x²,409) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2381=238

2: 2382=2381+1=2381⋅2381 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 202 mod 409

4: 2384=2382+2=2382⋅2382 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 313 mod 409

8: 2388=2384+4=2384⋅2384 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 218 mod 409

16: 23816=2388+8=2388⋅2388 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 80 mod 409

32: 23832=23816+16=23816⋅23816 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 265 mod 409

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 434224 mod 599.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:

224 = 128+64+32

1: 4341=434

2: 4342=4341+1=4341⋅4341 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 270 mod 599

4: 4344=4342+2=4342⋅4342 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 421 mod 599

8: 4348=4344+4=4344⋅4344 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 536 mod 599

16: 43416=4348+8=4348⋅4348 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 375 mod 599

32: 43432=43416+16=43416⋅43416 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 459 mod 599

64: 43464=43432+32=43432⋅43432 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 432 mod 599

128: 434128=43464+64=43464⋅43464 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 335 mod 599

434224

= 434128+64+32

= 434128⋅43464⋅43432

≡ 335 ⋅ 432 ⋅ 459 mod 599
≡ 144720 ⋅ 459 mod 599 ≡ 361 ⋅ 459 mod 599
≡ 165699 mod 599 ≡ 375 mod 599

Es gilt also: 434224 ≡ 375 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 83.

Also bestimme x, so dass 83 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 83

=>89 = 1⋅83 + 6
=>83 = 13⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,83)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 83-13⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(83 -13⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅83 +13⋅ 6)
= -1⋅83 +14⋅ 6 (=1)
6= 89-1⋅83 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅83 +14⋅(89 -1⋅ 83)
= -1⋅83 +14⋅89 -14⋅ 83)
= 14⋅89 -15⋅ 83 (=1)

Es gilt also: ggt(89,83)=1 = 14⋅89 -15⋅83

oder wenn man 14⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -14⋅89 = -15⋅83

-15⋅83 = -14⋅89 + 1 |+89⋅83

-15⋅83 + 89⋅83 = -14⋅89 + 89⋅83 + 1

(-15 + 89) ⋅ 83 = (-14 + 83) ⋅ 89 + 1

74⋅83 = 69⋅89 + 1

Es gilt also: 74⋅83 = 69⋅89 +1

Somit 74⋅83 = 1 mod 89

74 ist also das Inverse von 83 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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