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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (13995 + 144) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(13995 + 144) mod 7 ≡ (13995 mod 7 + 144 mod 7) mod 7.
13995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13995
= 14000
144 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 144
= 140
Somit gilt:
(13995 + 144) mod 7 ≡ (2 + 4) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 55) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 55) mod 11 ≡ (50 mod 11 ⋅ 55 mod 11) mod 11.
50 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 44 + 6 = 4 ⋅ 11 + 6 ist.
55 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 5 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 55) mod 11 ≡ (6 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 67032 mod 709.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 670 -> x
2. mod(x²,709) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6701=670
2: 6702=6701+1=6701⋅6701 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 103 mod 709
4: 6704=6702+2=6702⋅6702 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 683 mod 709
8: 6708=6704+4=6704⋅6704 ≡ 683⋅683=466489 ≡ 676 mod 709
16: 67016=6708+8=6708⋅6708 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 380 mod 709
32: 67032=67016+16=67016⋅67016 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 473 mod 709
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 455115 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:
115 = 64+32+16+2+1
1: 4551=455
2: 4552=4551+1=4551⋅4551 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 50 mod 487
4: 4554=4552+2=4552⋅4552 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 65 mod 487
8: 4558=4554+4=4554⋅4554 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 329 mod 487
16: 45516=4558+8=4558⋅4558 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 127 mod 487
32: 45532=45516+16=45516⋅45516 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 58 mod 487
64: 45564=45532+32=45532⋅45532 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 442 mod 487
455115
= 45564+32+16+2+1
= 45564⋅45532⋅45516⋅4552⋅4551
≡ 442 ⋅ 58 ⋅ 127 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487
≡ 25636 ⋅ 127 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487 ≡ 312 ⋅ 127 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487
≡ 39624 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487 ≡ 177 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487
≡ 8850 ⋅ 455 mod 487 ≡ 84 ⋅ 455 mod 487
≡ 38220 mod 487 ≡ 234 mod 487
Es gilt also: 455115 ≡ 234 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37
| =>53 | = 1⋅37 + 16 |
| =>37 | = 2⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 37-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16) = -3⋅37 +7⋅ 16 (=1) |
| 16= 53-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37)
= -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37) = 7⋅53 -10⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37
oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅53 = -10⋅37
-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37
-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1
(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1
43⋅37 = 30⋅53 + 1
Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1
Somit 43⋅37 = 1 mod 53
43 ist also das Inverse von 37 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
