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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 - 3593) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 - 3593) mod 9 ≡ (82 mod 9 - 3593 mod 9) mod 9.

82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 90-8 = 9 ⋅ 10 -8 = 9 ⋅ 10 - 9 + 1.

3593 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3593 = 3600-7 = 9 ⋅ 400 -7 = 9 ⋅ 400 - 9 + 2.

Somit gilt:

(82 - 3593) mod 9 ≡ (1 - 2) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 75) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 75) mod 4 ≡ (98 mod 4 ⋅ 75 mod 4) mod 4.

98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.

75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 75) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 220128 mod 457.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 220 -> x
2. mod(x²,457) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2201=220

2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 415 mod 457

4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 393 mod 457

8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 440 mod 457

16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 289 mod 457

32: 22032=22016+16=22016⋅22016 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 347 mod 457

64: 22064=22032+32=22032⋅22032 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 218 mod 457

128: 220128=22064+64=22064⋅22064 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 453 mod 457

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 750154 mod 787.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:

154 = 128+16+8+2

1: 7501=750

2: 7502=7501+1=7501⋅7501 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 582 mod 787

4: 7504=7502+2=7502⋅7502 ≡ 582⋅582=338724 ≡ 314 mod 787

8: 7508=7504+4=7504⋅7504 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 221 mod 787

16: 75016=7508+8=7508⋅7508 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 47 mod 787

32: 75032=75016+16=75016⋅75016 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 635 mod 787

64: 75064=75032+32=75032⋅75032 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 281 mod 787

128: 750128=75064+64=75064⋅75064 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 261 mod 787

750154

= 750128+16+8+2

= 750128⋅75016⋅7508⋅7502

≡ 261 ⋅ 47 ⋅ 221 ⋅ 582 mod 787
≡ 12267 ⋅ 221 ⋅ 582 mod 787 ≡ 462 ⋅ 221 ⋅ 582 mod 787
≡ 102102 ⋅ 582 mod 787 ≡ 579 ⋅ 582 mod 787
≡ 336978 mod 787 ≡ 142 mod 787

Es gilt also: 750154 ≡ 142 mod 787

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 24

=>53 = 2⋅24 + 5
=>24 = 4⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5)
= -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 53-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅24 +5⋅(53 -2⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅53 -10⋅ 24)
= 5⋅53 -11⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(53,24)=1 = 5⋅53 -11⋅24

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -11⋅24

-11⋅24 = -5⋅53 + 1 |+53⋅24

-11⋅24 + 53⋅24 = -5⋅53 + 53⋅24 + 1

(-11 + 53) ⋅ 24 = (-5 + 24) ⋅ 53 + 1

42⋅24 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 42⋅24 = 19⋅53 +1

Somit 42⋅24 = 1 mod 53

42 ist also das Inverse von 24 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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