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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45000 + 18008) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45000 + 18008) mod 9 ≡ (45000 mod 9 + 18008 mod 9) mod 9.
45000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45000
= 45000
18008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18008
= 18000
Somit gilt:
(45000 + 18008) mod 9 ≡ (0 + 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 16) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 16) mod 3 ≡ (18 mod 3 ⋅ 16 mod 3) mod 3.
18 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 6 ⋅ 3 + 0 ist.
16 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 5 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 16) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39932 mod 881.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 399 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3991=399
2: 3992=3991+1=3991⋅3991 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 621 mod 881
4: 3994=3992+2=3992⋅3992 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 644 mod 881
8: 3998=3994+4=3994⋅3994 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 666 mod 881
16: 39916=3998+8=3998⋅3998 ≡ 666⋅666=443556 ≡ 413 mod 881
32: 39932=39916+16=39916⋅39916 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 536 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 483251 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:
251 = 128+64+32+16+8+2+1
1: 4831=483
2: 4832=4831+1=4831⋅4831 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 568 mod 569
4: 4834=4832+2=4832⋅4832 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 1 mod 569
8: 4838=4834+4=4834⋅4834 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 569
16: 48316=4838+8=4838⋅4838 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 569
32: 48332=48316+16=48316⋅48316 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 569
64: 48364=48332+32=48332⋅48332 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 569
128: 483128=48364+64=48364⋅48364 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 569
483251
= 483128+64+32+16+8+2+1
= 483128⋅48364⋅48332⋅48316⋅4838⋅4832⋅4831
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 568 ⋅ 483 mod 569
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 568 ⋅ 483 mod 569
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 568 ⋅ 483 mod 569
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 568 ⋅ 483 mod 569
≡ 1 ⋅ 568 ⋅ 483 mod 569
≡ 568 ⋅ 483 mod 569
≡ 274344 mod 569 ≡ 86 mod 569
Es gilt also: 483251 ≡ 86 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84
| =>101 | = 1⋅84 + 17 |
| =>84 | = 4⋅17 + 16 |
| =>17 | = 1⋅16 + 1 |
| =>16 | = 16⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-1⋅16 | |||
| 16= 84-4⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17) = -1⋅84 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 101-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84) = 5⋅101 -6⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84
oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅101 = -6⋅84
-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84
-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1
(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1
95⋅84 = 79⋅101 + 1
Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1
Somit 95⋅84 = 1 mod 101
95 ist also das Inverse von 84 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
