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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (301 + 6002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(301 + 6002) mod 3 ≡ (301 mod 3 + 6002 mod 3) mod 3.
301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301
= 300
6002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6002
= 6000
Somit gilt:
(301 + 6002) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 37) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 37) mod 7 ≡ (29 mod 7 ⋅ 37 mod 7) mod 7.
29 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 4 ⋅ 7 + 1 ist.
37 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 5 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 37) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33016 mod 967.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 330 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3301=330
2: 3302=3301+1=3301⋅3301 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 596 mod 967
4: 3304=3302+2=3302⋅3302 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 327 mod 967
8: 3308=3304+4=3304⋅3304 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 559 mod 967
16: 33016=3308+8=3308⋅3308 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 140 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 347229 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:
229 = 128+64+32+4+1
1: 3471=347
2: 3472=3471+1=3471⋅3471 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 249 mod 751
4: 3474=3472+2=3472⋅3472 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 419 mod 751
8: 3478=3474+4=3474⋅3474 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 578 mod 751
16: 34716=3478+8=3478⋅3478 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 640 mod 751
32: 34732=34716+16=34716⋅34716 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 305 mod 751
64: 34764=34732+32=34732⋅34732 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 652 mod 751
128: 347128=34764+64=34764⋅34764 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 38 mod 751
347229
= 347128+64+32+4+1
= 347128⋅34764⋅34732⋅3474⋅3471
≡ 38 ⋅ 652 ⋅ 305 ⋅ 419 ⋅ 347 mod 751
≡ 24776 ⋅ 305 ⋅ 419 ⋅ 347 mod 751 ≡ 744 ⋅ 305 ⋅ 419 ⋅ 347 mod 751
≡ 226920 ⋅ 419 ⋅ 347 mod 751 ≡ 118 ⋅ 419 ⋅ 347 mod 751
≡ 49442 ⋅ 347 mod 751 ≡ 627 ⋅ 347 mod 751
≡ 217569 mod 751 ≡ 530 mod 751
Es gilt also: 347229 ≡ 530 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 28
| =>67 | = 2⋅28 + 11 |
| =>28 | = 2⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 28-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(28 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅28 -4⋅ 11) = 2⋅28 -5⋅ 11 (=1) |
| 11= 67-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -5⋅(67 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -5⋅67 +10⋅ 28) = -5⋅67 +12⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,28)=1 = -5⋅67 +12⋅28
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +12⋅28
Es gilt also: 12⋅28 = 5⋅67 +1
Somit 12⋅28 = 1 mod 67
12 ist also das Inverse von 28 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
