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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (250 - 497) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(250 - 497) mod 5 ≡ (250 mod 5 - 497 mod 5) mod 5.

250 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 250 = 250+0 = 5 ⋅ 50 +0.

497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 497 = 400+97 = 5 ⋅ 80 +97.

Somit gilt:

(250 - 497) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 59) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 59) mod 7 ≡ (19 mod 7 ⋅ 59 mod 7) mod 7.

19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.

59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 59) mod 7 ≡ (5 ⋅ 3) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21164 mod 367.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 211 -> x
2. mod(x²,367) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2111=211

2: 2112=2111+1=2111⋅2111 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 114 mod 367

4: 2114=2112+2=2112⋅2112 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 151 mod 367

8: 2118=2114+4=2114⋅2114 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 47 mod 367

16: 21116=2118+8=2118⋅2118 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 7 mod 367

32: 21132=21116+16=21116⋅21116 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 367

64: 21164=21132+32=21132⋅21132 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 199 mod 367

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 230232 mod 251.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:

232 = 128+64+32+8

1: 2301=230

2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 190 mod 251

4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 207 mod 251

8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 179 mod 251

16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 164 mod 251

32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 39 mod 251

64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 15 mod 251

128: 230128=23064+64=23064⋅23064 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 251

230232

= 230128+64+32+8

= 230128⋅23064⋅23032⋅2308

≡ 225 ⋅ 15 ⋅ 39 ⋅ 179 mod 251
≡ 3375 ⋅ 39 ⋅ 179 mod 251 ≡ 112 ⋅ 39 ⋅ 179 mod 251
≡ 4368 ⋅ 179 mod 251 ≡ 101 ⋅ 179 mod 251
≡ 18079 mod 251 ≡ 7 mod 251

Es gilt also: 230232 ≡ 7 mod 251

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24

=>67 = 2⋅24 + 19
=>24 = 1⋅19 + 5
=>19 = 3⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 19-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5)
= -1⋅19 +4⋅ 5 (=1)
5= 24-1⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19)
= -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19)
= 4⋅24 -5⋅ 19 (=1)
19= 67-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24)
= 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24)
= -5⋅67 +14⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +14⋅24

Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1

Somit 14⋅24 = 1 mod 67

14 ist also das Inverse von 24 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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