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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (352 - 693) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(352 - 693) mod 7 ≡ (352 mod 7 - 693 mod 7) mod 7.

352 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 352 = 350+2 = 7 ⋅ 50 +2.

693 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 693 = 700-7 = 7 ⋅ 100 -7 = 7 ⋅ 100 - 7 + 0.

Somit gilt:

(352 - 693) mod 7 ≡ (2 - 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 33) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 33) mod 3 ≡ (40 mod 3 ⋅ 33 mod 3) mod 3.

40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.

33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 11 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 33) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 61232 mod 787.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 612 -> x
2. mod(x²,787) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6121=612

2: 6122=6121+1=6121⋅6121 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 719 mod 787

4: 6124=6122+2=6122⋅6122 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 689 mod 787

8: 6128=6124+4=6124⋅6124 ≡ 689⋅689=474721 ≡ 160 mod 787

16: 61216=6128+8=6128⋅6128 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 416 mod 787

32: 61232=61216+16=61216⋅61216 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 703 mod 787

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 888128 mod 929.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:

128 = 128

1: 8881=888

2: 8882=8881+1=8881⋅8881 ≡ 888⋅888=788544 ≡ 752 mod 929

4: 8884=8882+2=8882⋅8882 ≡ 752⋅752=565504 ≡ 672 mod 929

8: 8888=8884+4=8884⋅8884 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 90 mod 929

16: 88816=8888+8=8888⋅8888 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 668 mod 929

32: 88832=88816+16=88816⋅88816 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 304 mod 929

64: 88864=88832+32=88832⋅88832 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 445 mod 929

128: 888128=88864+64=88864⋅88864 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 148 mod 929

888128

= 888128

= 888128

≡ 148 mod 929

Es gilt also: 888128 ≡ 148 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27

=>59 = 2⋅27 + 5
=>27 = 5⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 27-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5)
= -2⋅27 +11⋅ 5 (=1)
5= 59-2⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27)
= 11⋅59 -24⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -24⋅27

-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27

-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1

(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1

35⋅27 = 16⋅59 + 1

Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1

Somit 35⋅27 = 1 mod 59

35 ist also das Inverse von 27 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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