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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5001 + 151) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5001 + 151) mod 5 ≡ (5001 mod 5 + 151 mod 5) mod 5.

5001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5001 = 5000+1 = 5 ⋅ 1000 +1.

151 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151 = 150+1 = 5 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(5001 + 151) mod 5 ≡ (1 + 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 97) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 97) mod 10 ≡ (95 mod 10 ⋅ 97 mod 10) mod 10.

95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.

97 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 9 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 97) mod 10 ≡ (5 ⋅ 7) mod 10 ≡ 35 mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1178 mod 313.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 117 -> x
2. mod(x²,313) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1171=117

2: 1172=1171+1=1171⋅1171 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 230 mod 313

4: 1174=1172+2=1172⋅1172 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 3 mod 313

8: 1178=1174+4=1174⋅1174 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 313

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 229182 mod 487.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:

182 = 128+32+16+4+2

1: 2291=229

2: 2292=2291+1=2291⋅2291 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 332 mod 487

4: 2294=2292+2=2292⋅2292 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 162 mod 487

8: 2298=2294+4=2294⋅2294 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 433 mod 487

16: 22916=2298+8=2298⋅2298 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 481 mod 487

32: 22932=22916+16=22916⋅22916 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 36 mod 487

64: 22964=22932+32=22932⋅22932 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 322 mod 487

128: 229128=22964+64=22964⋅22964 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 440 mod 487

229182

= 229128+32+16+4+2

= 229128⋅22932⋅22916⋅2294⋅2292

≡ 440 ⋅ 36 ⋅ 481 ⋅ 162 ⋅ 332 mod 487
≡ 15840 ⋅ 481 ⋅ 162 ⋅ 332 mod 487 ≡ 256 ⋅ 481 ⋅ 162 ⋅ 332 mod 487
≡ 123136 ⋅ 162 ⋅ 332 mod 487 ≡ 412 ⋅ 162 ⋅ 332 mod 487
≡ 66744 ⋅ 332 mod 487 ≡ 25 ⋅ 332 mod 487
≡ 8300 mod 487 ≡ 21 mod 487

Es gilt also: 229182 ≡ 21 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 78.

Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78

=>97 = 1⋅78 + 19
=>78 = 4⋅19 + 2
=>19 = 9⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,78)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 78-4⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19)
= -9⋅78 +37⋅ 19 (=1)
19= 97-1⋅78 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78)
= -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78)
= 37⋅97 -46⋅ 78 (=1)

Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78

oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -37⋅97 = -46⋅78

-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78

-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1

(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1

51⋅78 = 41⋅97 + 1

Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1

Somit 51⋅78 = 1 mod 97

51 ist also das Inverse von 78 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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