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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (345 - 2103) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(345 - 2103) mod 7 ≡ (345 mod 7 - 2103 mod 7) mod 7.

345 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 345 = 350-5 = 7 ⋅ 50 -5 = 7 ⋅ 50 - 7 + 2.

2103 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2103 = 2100+3 = 7 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(345 - 2103) mod 7 ≡ (2 - 3) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 44) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 44) mod 5 ≡ (44 mod 5 ⋅ 44 mod 5) mod 5.

44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.

44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 44) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26264 mod 599.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 262 -> x
2. mod(x²,599) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2621=262

2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 358 mod 599

4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 577 mod 599

8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 484 mod 599

16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 47 mod 599

32: 26232=26216+16=26216⋅26216 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 412 mod 599

64: 26264=26232+32=26232⋅26232 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 227 mod 599

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 208142 mod 257.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:

142 = 128+8+4+2

1: 2081=208

2: 2082=2081+1=2081⋅2081 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 88 mod 257

4: 2084=2082+2=2082⋅2082 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 34 mod 257

8: 2088=2084+4=2084⋅2084 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 128 mod 257

16: 20816=2088+8=2088⋅2088 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 193 mod 257

32: 20832=20816+16=20816⋅20816 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 241 mod 257

64: 20864=20832+32=20832⋅20832 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257

128: 208128=20864+64=20864⋅20864 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257

208142

= 208128+8+4+2

= 208128⋅2088⋅2084⋅2082

≡ 1 ⋅ 128 ⋅ 34 ⋅ 88 mod 257
≡ 128 ⋅ 34 ⋅ 88 mod 257
≡ 4352 ⋅ 88 mod 257 ≡ 240 ⋅ 88 mod 257
≡ 21120 mod 257 ≡ 46 mod 257

Es gilt also: 208142 ≡ 46 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47

=>97 = 2⋅47 + 3
=>47 = 15⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 47-15⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3)
= -1⋅47 +16⋅ 3 (=1)
3= 97-2⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47)
= 16⋅97 -33⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -33⋅47

-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47

-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1

(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1

64⋅47 = 31⋅97 + 1

Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1

Somit 64⋅47 = 1 mod 97

64 ist also das Inverse von 47 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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