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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3207 - 3194) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3207 - 3194) mod 8 ≡ (3207 mod 8 - 3194 mod 8) mod 8.

3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207 = 3200+7 = 8 ⋅ 400 +7.

3194 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3194 = 3200-6 = 8 ⋅ 400 -6 = 8 ⋅ 400 - 8 + 2.

Somit gilt:

(3207 - 3194) mod 8 ≡ (7 - 2) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 21) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 21) mod 10 ≡ (45 mod 10 ⋅ 21 mod 10) mod 10.

45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.

21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 21) mod 10 ≡ (5 ⋅ 1) mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 265¹²⁸ mod 683.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 265 -> x
2. mod(x²,683) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 265¹=265

2: 265²=265¹⁺¹=265¹⋅265¹ ≡ 265⋅265=70225 ≡ 559 mod 683

4: 265⁴=265²⁺²=265²⋅265² ≡ 559⋅559=312481 ≡ 350 mod 683

8: 265⁸=265⁴⁺⁴=265⁴⋅265⁴ ≡ 350⋅350=122500 ≡ 243 mod 683

16: 265¹⁶=265⁸⁺⁸=265⁸⋅265⁸ ≡ 243⋅243=59049 ≡ 311 mod 683

32: 265³²=265¹⁶⁺¹⁶=265¹⁶⋅265¹⁶ ≡ 311⋅311=96721 ≡ 418 mod 683

64: 265⁶⁴=265³²⁺³²=265³²⋅265³² ≡ 418⋅418=174724 ≡ 559 mod 683

128: 265¹²⁸=265⁶⁴⁺⁶⁴=265⁶⁴⋅265⁶⁴ ≡ 559⋅559=312481 ≡ 350 mod 683

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 878²⁵² mod 941.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:

252 = 128+64+32+16+8+4

1: 878¹=878

2: 878²=878¹⁺¹=878¹⋅878¹ ≡ 878⋅878=770884 ≡ 205 mod 941

4: 878⁴=878²⁺²=878²⋅878² ≡ 205⋅205=42025 ≡ 621 mod 941

8: 878⁸=878⁴⁺⁴=878⁴⋅878⁴ ≡ 621⋅621=385641 ≡ 772 mod 941

16: 878¹⁶=878⁸⁺⁸=878⁸⋅878⁸ ≡ 772⋅772=595984 ≡ 331 mod 941

32: 878³²=878¹⁶⁺¹⁶=878¹⁶⋅878¹⁶ ≡ 331⋅331=109561 ≡ 405 mod 941

64: 878⁶⁴=878³²⁺³²=878³²⋅878³² ≡ 405⋅405=164025 ≡ 291 mod 941

128: 878¹²⁸=878⁶⁴⁺⁶⁴=878⁶⁴⋅878⁶⁴ ≡ 291⋅291=84681 ≡ 932 mod 941

878²⁵²

= 878^{128+64+32+16+8+4}

= 878¹²⁸⋅878⁶⁴⋅878³²⋅878¹⁶⋅878⁸⋅878⁴

≡ 932 ⋅ 291 ⋅ 405 ⋅ 331 ⋅ 772 ⋅ 621 mod 941
≡ 271212 ⋅ 405 ⋅ 331 ⋅ 772 ⋅ 621 mod 941 ≡ 204 ⋅ 405 ⋅ 331 ⋅ 772 ⋅ 621 mod 941
≡ 82620 ⋅ 331 ⋅ 772 ⋅ 621 mod 941 ≡ 753 ⋅ 331 ⋅ 772 ⋅ 621 mod 941
≡ 249243 ⋅ 772 ⋅ 621 mod 941 ≡ 819 ⋅ 772 ⋅ 621 mod 941
≡ 632268 ⋅ 621 mod 941 ≡ 857 ⋅ 621 mod 941
≡ 532197 mod 941 ≡ 532 mod 941

Es gilt also: 878²⁵² ≡ 532 mod 941

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27

=>79	= 2⋅27 + 25
=>27	= 1⋅25 + 2
=>25	= 12⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25) = 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-2⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27) = -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27) = 13⋅79 -38⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -38⋅27

-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27

-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1

(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1

41⋅27 = 14⋅79 + 1

Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1

Somit 41⋅27 = 1 mod 79

41 ist also das Inverse von 27 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27

Schlüsselpaar für RSA