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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30005 - 24002) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30005 - 24002) mod 6 ≡ (30005 mod 6 - 24002 mod 6) mod 6.

30005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30005 = 30000+5 = 6 ⋅ 5000 +5.

24002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24002 = 24000+2 = 6 ⋅ 4000 +2.

Somit gilt:

(30005 - 24002) mod 6 ≡ (5 - 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 33) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 33) mod 6 ≡ (38 mod 6 ⋅ 33 mod 6) mod 6.

38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.

33 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 5 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 33) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 334⁸ mod 599.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 334 -> x
2. mod(x²,599) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 334¹=334

2: 334²=334¹⁺¹=334¹⋅334¹ ≡ 334⋅334=111556 ≡ 142 mod 599

4: 334⁴=334²⁺²=334²⋅334² ≡ 142⋅142=20164 ≡ 397 mod 599

8: 334⁸=334⁴⁺⁴=334⁴⋅334⁴ ≡ 397⋅397=157609 ≡ 72 mod 599

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 434²⁵⁰ mod 449.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

1: 434¹=434

2: 434²=434¹⁺¹=434¹⋅434¹ ≡ 434⋅434=188356 ≡ 225 mod 449

4: 434⁴=434²⁺²=434²⋅434² ≡ 225⋅225=50625 ≡ 337 mod 449

8: 434⁸=434⁴⁺⁴=434⁴⋅434⁴ ≡ 337⋅337=113569 ≡ 421 mod 449

16: 434¹⁶=434⁸⁺⁸=434⁸⋅434⁸ ≡ 421⋅421=177241 ≡ 335 mod 449

32: 434³²=434¹⁶⁺¹⁶=434¹⁶⋅434¹⁶ ≡ 335⋅335=112225 ≡ 424 mod 449

64: 434⁶⁴=434³²⁺³²=434³²⋅434³² ≡ 424⋅424=179776 ≡ 176 mod 449

128: 434¹²⁸=434⁶⁴⁺⁶⁴=434⁶⁴⋅434⁶⁴ ≡ 176⋅176=30976 ≡ 444 mod 449

434²⁵⁰

= 434^{128+64+32+16+8+2}

= 434¹²⁸⋅434⁶⁴⋅434³²⋅434¹⁶⋅434⁸⋅434²

≡ 444 ⋅ 176 ⋅ 424 ⋅ 335 ⋅ 421 ⋅ 225 mod 449
≡ 78144 ⋅ 424 ⋅ 335 ⋅ 421 ⋅ 225 mod 449 ≡ 18 ⋅ 424 ⋅ 335 ⋅ 421 ⋅ 225 mod 449
≡ 7632 ⋅ 335 ⋅ 421 ⋅ 225 mod 449 ≡ 448 ⋅ 335 ⋅ 421 ⋅ 225 mod 449
≡ 150080 ⋅ 421 ⋅ 225 mod 449 ≡ 114 ⋅ 421 ⋅ 225 mod 449
≡ 47994 ⋅ 225 mod 449 ≡ 400 ⋅ 225 mod 449
≡ 90000 mod 449 ≡ 200 mod 449

Es gilt also: 434²⁵⁰ ≡ 200 mod 449

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 48

=>101	= 2⋅48 + 5
=>48	= 9⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 48-9⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5) = 2⋅48 -19⋅ 5 (=1)
5= 101-2⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅48 -19⋅(101 -2⋅ 48) = 2⋅48 -19⋅101 +38⋅ 48) = -19⋅101 +40⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(101,48)=1 = -19⋅101 +40⋅48

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +40⋅48

Es gilt also: 40⋅48 = 19⋅101 +1

Somit 40⋅48 = 1 mod 101

40 ist also das Inverse von 48 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 48

Schlüsselpaar für RSA