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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 + 444) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 + 444) mod 9 ≡ (87 mod 9 + 444 mod 9) mod 9.

87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 90-3 = 9 ⋅ 10 -3 = 9 ⋅ 10 - 9 + 6.

444 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 444 = 450-6 = 9 ⋅ 50 -6 = 9 ⋅ 50 - 9 + 3.

Somit gilt:

(87 + 444) mod 9 ≡ (6 + 3) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 38) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 38) mod 3 ≡ (95 mod 3 ⋅ 38 mod 3) mod 3.

95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.

38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 38) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 591⁶⁴ mod 787.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 591 -> x
2. mod(x²,787) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 591¹=591

2: 591²=591¹⁺¹=591¹⋅591¹ ≡ 591⋅591=349281 ≡ 640 mod 787

4: 591⁴=591²⁺²=591²⋅591² ≡ 640⋅640=409600 ≡ 360 mod 787

8: 591⁸=591⁴⁺⁴=591⁴⋅591⁴ ≡ 360⋅360=129600 ≡ 532 mod 787

16: 591¹⁶=591⁸⁺⁸=591⁸⋅591⁸ ≡ 532⋅532=283024 ≡ 491 mod 787

32: 591³²=591¹⁶⁺¹⁶=591¹⁶⋅591¹⁶ ≡ 491⋅491=241081 ≡ 259 mod 787

64: 591⁶⁴=591³²⁺³²=591³²⋅591³² ≡ 259⋅259=67081 ≡ 186 mod 787

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 369²⁵¹ mod 397.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

1: 369¹=369

2: 369²=369¹⁺¹=369¹⋅369¹ ≡ 369⋅369=136161 ≡ 387 mod 397

4: 369⁴=369²⁺²=369²⋅369² ≡ 387⋅387=149769 ≡ 100 mod 397

8: 369⁸=369⁴⁺⁴=369⁴⋅369⁴ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 75 mod 397

16: 369¹⁶=369⁸⁺⁸=369⁸⋅369⁸ ≡ 75⋅75=5625 ≡ 67 mod 397

32: 369³²=369¹⁶⁺¹⁶=369¹⁶⋅369¹⁶ ≡ 67⋅67=4489 ≡ 122 mod 397

64: 369⁶⁴=369³²⁺³²=369³²⋅369³² ≡ 122⋅122=14884 ≡ 195 mod 397

128: 369¹²⁸=369⁶⁴⁺⁶⁴=369⁶⁴⋅369⁶⁴ ≡ 195⋅195=38025 ≡ 310 mod 397

369²⁵¹

= 369^{128+64+32+16+8+2+1}

= 369¹²⁸⋅369⁶⁴⋅369³²⋅369¹⁶⋅369⁸⋅369²⋅369¹

≡ 310 ⋅ 195 ⋅ 122 ⋅ 67 ⋅ 75 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397
≡ 60450 ⋅ 122 ⋅ 67 ⋅ 75 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397 ≡ 106 ⋅ 122 ⋅ 67 ⋅ 75 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397
≡ 12932 ⋅ 67 ⋅ 75 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397 ≡ 228 ⋅ 67 ⋅ 75 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397
≡ 15276 ⋅ 75 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397 ≡ 190 ⋅ 75 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397
≡ 14250 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397 ≡ 355 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397
≡ 137385 ⋅ 369 mod 397 ≡ 23 ⋅ 369 mod 397
≡ 8487 mod 397 ≡ 150 mod 397

Es gilt also: 369²⁵¹ ≡ 150 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41

=>53	= 1⋅41 + 12
=>41	= 3⋅12 + 5
=>12	= 2⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 41-3⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12) = -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1)
12= 53-1⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41) = 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41

oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅53 = +22⋅41

Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1

Somit 22⋅41 = 1 mod 53

22 ist also das Inverse von 41 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41

Schlüsselpaar für RSA