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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (401 - 1597) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(401 - 1597) mod 4 ≡ (401 mod 4 - 1597 mod 4) mod 4.

401 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401 = 400+1 = 4 ⋅ 100 +1.

1597 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1597 = 1500+97 = 4 ⋅ 375 +97.

Somit gilt:

(401 - 1597) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 74) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 74) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 74 mod 7) mod 7.

82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.

74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 10 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 74) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20316 mod 587.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 203 -> x
2. mod(x²,587) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2031=203

2: 2032=2031+1=2031⋅2031 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 119 mod 587

4: 2034=2032+2=2032⋅2032 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 73 mod 587

8: 2038=2034+4=2034⋅2034 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 46 mod 587

16: 20316=2038+8=2038⋅2038 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 355 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21772 mod 661.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 72 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 72 an und zerlegen 72 in eine Summer von 2er-Potenzen:

72 = 64+8

1: 2171=217

2: 2172=2171+1=2171⋅2171 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 158 mod 661

4: 2174=2172+2=2172⋅2172 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 507 mod 661

8: 2178=2174+4=2174⋅2174 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 581 mod 661

16: 21716=2178+8=2178⋅2178 ≡ 581⋅581=337561 ≡ 451 mod 661

32: 21732=21716+16=21716⋅21716 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 474 mod 661

64: 21764=21732+32=21732⋅21732 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 597 mod 661

21772

= 21764+8

= 21764⋅2178

≡ 597 ⋅ 581 mod 661
≡ 346857 mod 661 ≡ 493 mod 661

Es gilt also: 21772 ≡ 493 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 21.

Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21

=>53 = 2⋅21 + 11
=>21 = 1⋅11 + 10
=>11 = 1⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 21-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11)
= -1⋅21 +2⋅ 11 (=1)
11= 53-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21)
= 2⋅53 -5⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21

oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅53 = -5⋅21

-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21

-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1

(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1

48⋅21 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1

Somit 48⋅21 = 1 mod 53

48 ist also das Inverse von 21 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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