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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8000 - 16004) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8000 - 16004) mod 4 ≡ (8000 mod 4 - 16004 mod 4) mod 4.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

16004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 4 ⋅ 4000 +4.

Somit gilt:

(8000 - 16004) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 64) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 64) mod 4 ≡ (93 mod 4 ⋅ 64 mod 4) mod 4.

93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.

64 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 16 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 64) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 117128 mod 353.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 117 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1171=117

2: 1172=1171+1=1171⋅1171 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 275 mod 353

4: 1174=1172+2=1172⋅1172 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 83 mod 353

8: 1178=1174+4=1174⋅1174 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 182 mod 353

16: 11716=1178+8=1178⋅1178 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 295 mod 353

32: 11732=11716+16=11716⋅11716 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 187 mod 353

64: 11764=11732+32=11732⋅11732 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 22 mod 353

128: 117128=11764+64=11764⋅11764 ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 411127 mod 467.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

1: 4111=411

2: 4112=4111+1=4111⋅4111 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 334 mod 467

4: 4114=4112+2=4112⋅4112 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 410 mod 467

8: 4118=4114+4=4114⋅4114 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 447 mod 467

16: 41116=4118+8=4118⋅4118 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 400 mod 467

32: 41132=41116+16=41116⋅41116 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 286 mod 467

64: 41164=41132+32=41132⋅41132 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 71 mod 467

411127

= 41164+32+16+8+4+2+1

= 41164⋅41132⋅41116⋅4118⋅4114⋅4112⋅4111

71 ⋅ 286 ⋅ 400 ⋅ 447 ⋅ 410 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467
20306 ⋅ 400 ⋅ 447 ⋅ 410 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467 ≡ 225 ⋅ 400 ⋅ 447 ⋅ 410 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467
90000 ⋅ 447 ⋅ 410 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467 ≡ 336 ⋅ 447 ⋅ 410 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467
150192 ⋅ 410 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467 ≡ 285 ⋅ 410 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467
116850 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467 ≡ 100 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467
33400 ⋅ 411 mod 467 ≡ 243 ⋅ 411 mod 467
99873 mod 467 ≡ 402 mod 467

Es gilt also: 411127 ≡ 402 mod 467

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50

=>67 = 1⋅50 + 17
=>50 = 2⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 50-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17)
= -1⋅50 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50)
= 3⋅67 -4⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -4⋅50

-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50

-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1

(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1

63⋅50 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1

Somit 63⋅50 = 1 mod 67

63 ist also das Inverse von 50 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.