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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16008 - 39993) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16008 - 39993) mod 8 ≡ (16008 mod 8 - 39993 mod 8) mod 8.

16008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16008 = 16000+8 = 8 ⋅ 2000 +8.

39993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39993 = 39000+993 = 8 ⋅ 4875 +993.

Somit gilt:

(16008 - 39993) mod 8 ≡ (0 - 1) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 51) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 51) mod 5 ≡ (53 mod 5 ⋅ 51 mod 5) mod 5.

53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.

51 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 10 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 51) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 143⁸ mod 257.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 143 -> x
2. mod(x²,257) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 143¹=143

2: 143²=143¹⁺¹=143¹⋅143¹ ≡ 143⋅143=20449 ≡ 146 mod 257

4: 143⁴=143²⁺²=143²⋅143² ≡ 146⋅146=21316 ≡ 242 mod 257

8: 143⁸=143⁴⁺⁴=143⁴⋅143⁴ ≡ 242⋅242=58564 ≡ 225 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 223⁶³ mod 251.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

1: 223¹=223

2: 223²=223¹⁺¹=223¹⋅223¹ ≡ 223⋅223=49729 ≡ 31 mod 251

4: 223⁴=223²⁺²=223²⋅223² ≡ 31⋅31=961 ≡ 208 mod 251

8: 223⁸=223⁴⁺⁴=223⁴⋅223⁴ ≡ 208⋅208=43264 ≡ 92 mod 251

16: 223¹⁶=223⁸⁺⁸=223⁸⋅223⁸ ≡ 92⋅92=8464 ≡ 181 mod 251

32: 223³²=223¹⁶⁺¹⁶=223¹⁶⋅223¹⁶ ≡ 181⋅181=32761 ≡ 131 mod 251

223⁶³

= 223^{32+16+8+4+2+1}

= 223³²⋅223¹⁶⋅223⁸⋅223⁴⋅223²⋅223¹

≡ 131 ⋅ 181 ⋅ 92 ⋅ 208 ⋅ 31 ⋅ 223 mod 251
≡ 23711 ⋅ 92 ⋅ 208 ⋅ 31 ⋅ 223 mod 251 ≡ 117 ⋅ 92 ⋅ 208 ⋅ 31 ⋅ 223 mod 251
≡ 10764 ⋅ 208 ⋅ 31 ⋅ 223 mod 251 ≡ 222 ⋅ 208 ⋅ 31 ⋅ 223 mod 251
≡ 46176 ⋅ 31 ⋅ 223 mod 251 ≡ 243 ⋅ 31 ⋅ 223 mod 251
≡ 7533 ⋅ 223 mod 251 ≡ 3 ⋅ 223 mod 251
≡ 669 mod 251 ≡ 167 mod 251

Es gilt also: 223⁶³ ≡ 167 mod 251

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 33

=>71	= 2⋅33 + 5
=>33	= 6⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 33-6⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(33 -6⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅33 -12⋅ 5) = 2⋅33 -13⋅ 5 (=1)
5= 71-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅33 -13⋅(71 -2⋅ 33) = 2⋅33 -13⋅71 +26⋅ 33) = -13⋅71 +28⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(71,33)=1 = -13⋅71 +28⋅33

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +28⋅33

Es gilt also: 28⋅33 = 13⋅71 +1

Somit 28⋅33 = 1 mod 71

28 ist also das Inverse von 33 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 33

Schlüsselpaar für RSA