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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3000 - 61) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3000 - 61) mod 3 ≡ (3000 mod 3 - 61 mod 3) mod 3.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60+1 = 3 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(3000 - 61) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 21) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 21) mod 4 ≡ (95 mod 4 ⋅ 21 mod 4) mod 4.

95 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 92 + 3 = 23 ⋅ 4 + 3 ist.

21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 21) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23916 mod 359.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 239 -> x
2. mod(x²,359) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2391=239

2: 2392=2391+1=2391⋅2391 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 40 mod 359

4: 2394=2392+2=2392⋅2392 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 164 mod 359

8: 2398=2394+4=2394⋅2394 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 330 mod 359

16: 23916=2398+8=2398⋅2398 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 123 mod 359

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 235169 mod 619.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:

169 = 128+32+8+1

1: 2351=235

2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 134 mod 619

4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 5 mod 619

8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 619

16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 25⋅25=625 ≡ 6 mod 619

32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 619

64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 58 mod 619

128: 235128=23564+64=23564⋅23564 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 269 mod 619

235169

= 235128+32+8+1

= 235128⋅23532⋅2358⋅2351

≡ 269 ⋅ 36 ⋅ 25 ⋅ 235 mod 619
≡ 9684 ⋅ 25 ⋅ 235 mod 619 ≡ 399 ⋅ 25 ⋅ 235 mod 619
≡ 9975 ⋅ 235 mod 619 ≡ 71 ⋅ 235 mod 619
≡ 16685 mod 619 ≡ 591 mod 619

Es gilt also: 235169 ≡ 591 mod 619

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 44

=>73 = 1⋅44 + 29
=>44 = 1⋅29 + 15
=>29 = 1⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 29-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15)
= -1⋅29 +2⋅ 15 (=1)
15= 44-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +2⋅(44 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅44 -2⋅ 29)
= 2⋅44 -3⋅ 29 (=1)
29= 73-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅44 -3⋅(73 -1⋅ 44)
= 2⋅44 -3⋅73 +3⋅ 44)
= -3⋅73 +5⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(73,44)=1 = -3⋅73 +5⋅44

oder wenn man -3⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅73 = +5⋅44

Es gilt also: 5⋅44 = 3⋅73 +1

Somit 5⋅44 = 1 mod 73

5 ist also das Inverse von 44 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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