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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3604 + 2707) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3604 + 2707) mod 9 ≡ (3604 mod 9 + 2707 mod 9) mod 9.

3604 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3604 = 3600+4 = 9 ⋅ 400 +4.

2707 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2707 = 2700+7 = 9 ⋅ 300 +7.

Somit gilt:

(3604 + 2707) mod 9 ≡ (4 + 7) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 18) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 18) mod 9 ≡ (76 mod 9 ⋅ 18 mod 9) mod 9.

76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.

18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 18) mod 9 ≡ (4 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 234¹⁶ mod 353.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 234 -> x
2. mod(x²,353) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 234¹=234

2: 234²=234¹⁺¹=234¹⋅234¹ ≡ 234⋅234=54756 ≡ 41 mod 353

4: 234⁴=234²⁺²=234²⋅234² ≡ 41⋅41=1681 ≡ 269 mod 353

8: 234⁸=234⁴⁺⁴=234⁴⋅234⁴ ≡ 269⋅269=72361 ≡ 349 mod 353

16: 234¹⁶=234⁸⁺⁸=234⁸⋅234⁸ ≡ 349⋅349=121801 ≡ 16 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 419²²⁷ mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

1: 419¹=419

2: 419²=419¹⁺¹=419¹⋅419¹ ≡ 419⋅419=175561 ≡ 241 mod 487

4: 419⁴=419²⁺²=419²⋅419² ≡ 241⋅241=58081 ≡ 128 mod 487

8: 419⁸=419⁴⁺⁴=419⁴⋅419⁴ ≡ 128⋅128=16384 ≡ 313 mod 487

16: 419¹⁶=419⁸⁺⁸=419⁸⋅419⁸ ≡ 313⋅313=97969 ≡ 82 mod 487

32: 419³²=419¹⁶⁺¹⁶=419¹⁶⋅419¹⁶ ≡ 82⋅82=6724 ≡ 393 mod 487

64: 419⁶⁴=419³²⁺³²=419³²⋅419³² ≡ 393⋅393=154449 ≡ 70 mod 487

128: 419¹²⁸=419⁶⁴⁺⁶⁴=419⁶⁴⋅419⁶⁴ ≡ 70⋅70=4900 ≡ 30 mod 487

419²²⁷

= 419^{128+64+32+2+1}

= 419¹²⁸⋅419⁶⁴⋅419³²⋅419²⋅419¹

≡ 30 ⋅ 70 ⋅ 393 ⋅ 241 ⋅ 419 mod 487
≡ 2100 ⋅ 393 ⋅ 241 ⋅ 419 mod 487 ≡ 152 ⋅ 393 ⋅ 241 ⋅ 419 mod 487
≡ 59736 ⋅ 241 ⋅ 419 mod 487 ≡ 322 ⋅ 241 ⋅ 419 mod 487
≡ 77602 ⋅ 419 mod 487 ≡ 169 ⋅ 419 mod 487
≡ 70811 mod 487 ≡ 196 mod 487

Es gilt also: 419²²⁷ ≡ 196 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60

=>67	= 1⋅60 + 7
=>60	= 8⋅7 + 4
=>7	= 1⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 60-8⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7) = -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7) = 2⋅60 -17⋅ 7 (=1)
7= 67-1⋅60	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60) = 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60) = -17⋅67 +19⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +19⋅60

Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1

Somit 19⋅60 = 1 mod 67

19 ist also das Inverse von 60 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60

Schlüsselpaar für RSA