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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 + 9008) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 + 9008) mod 9 ≡ (89 mod 9 + 9008 mod 9) mod 9.

89 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 90-1 = 9 ⋅ 10 -1 = 9 ⋅ 10 - 9 + 8.

9008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9008 = 9000+8 = 9 ⋅ 1000 +8.

Somit gilt:

(89 + 9008) mod 9 ≡ (8 + 8) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 98) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 98) mod 9 ≡ (31 mod 9 ⋅ 98 mod 9) mod 9.

31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.

98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 98) mod 9 ≡ (4 ⋅ 8) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 53764 mod 661.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 537 -> x
2. mod(x²,661) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5371=537

2: 5372=5371+1=5371⋅5371 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 173 mod 661

4: 5374=5372+2=5372⋅5372 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 184 mod 661

8: 5378=5374+4=5374⋅5374 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 145 mod 661

16: 53716=5378+8=5378⋅5378 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 534 mod 661

32: 53732=53716+16=53716⋅53716 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 265 mod 661

64: 53764=53732+32=53732⋅53732 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 159 mod 661

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 394108 mod 491.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:

108 = 64+32+8+4

1: 3941=394

2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 80 mod 491

4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 17 mod 491

8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 491

16: 39416=3948+8=3948⋅3948 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 51 mod 491

32: 39432=39416+16=39416⋅39416 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 146 mod 491

64: 39464=39432+32=39432⋅39432 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 203 mod 491

394108

= 39464+32+8+4

= 39464⋅39432⋅3948⋅3944

≡ 203 ⋅ 146 ⋅ 289 ⋅ 17 mod 491
≡ 29638 ⋅ 289 ⋅ 17 mod 491 ≡ 178 ⋅ 289 ⋅ 17 mod 491
≡ 51442 ⋅ 17 mod 491 ≡ 378 ⋅ 17 mod 491
≡ 6426 mod 491 ≡ 43 mod 491

Es gilt also: 394108 ≡ 43 mod 491

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 78.

Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78

=>97 = 1⋅78 + 19
=>78 = 4⋅19 + 2
=>19 = 9⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,78)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 78-4⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19)
= -9⋅78 +37⋅ 19 (=1)
19= 97-1⋅78 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78)
= -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78)
= 37⋅97 -46⋅ 78 (=1)

Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78

oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -37⋅97 = -46⋅78

-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78

-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1

(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1

51⋅78 = 41⋅97 + 1

Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1

Somit 51⋅78 = 1 mod 97

51 ist also das Inverse von 78 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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