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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 - 1800) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 - 1800) mod 9 ≡ (86 mod 9 - 1800 mod 9) mod 9.

86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 90-4 = 9 ⋅ 10 -4 = 9 ⋅ 10 - 9 + 5.

1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 9 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(86 - 1800) mod 9 ≡ (5 - 0) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 66) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 66) mod 10 ≡ (28 mod 10 ⋅ 66 mod 10) mod 10.

28 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 20 + 8 = 2 ⋅ 10 + 8 ist.

66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 66) mod 10 ≡ (8 ⋅ 6) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4168 mod 967.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 416 -> x
2. mod(x²,967) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4161=416

2: 4162=4161+1=4161⋅4161 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 930 mod 967

4: 4164=4162+2=4162⋅4162 ≡ 930⋅930=864900 ≡ 402 mod 967

8: 4168=4164+4=4164⋅4164 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 115 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23195 mod 619.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:

95 = 64+16+8+4+2+1

1: 2311=231

2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 127 mod 619

4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 35 mod 619

8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 606 mod 619

16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 169 mod 619

32: 23132=23116+16=23116⋅23116 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 87 mod 619

64: 23164=23132+32=23132⋅23132 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 141 mod 619

23195

= 23164+16+8+4+2+1

= 23164⋅23116⋅2318⋅2314⋅2312⋅2311

≡ 141 ⋅ 169 ⋅ 606 ⋅ 35 ⋅ 127 ⋅ 231 mod 619
≡ 23829 ⋅ 606 ⋅ 35 ⋅ 127 ⋅ 231 mod 619 ≡ 307 ⋅ 606 ⋅ 35 ⋅ 127 ⋅ 231 mod 619
≡ 186042 ⋅ 35 ⋅ 127 ⋅ 231 mod 619 ≡ 342 ⋅ 35 ⋅ 127 ⋅ 231 mod 619
≡ 11970 ⋅ 127 ⋅ 231 mod 619 ≡ 209 ⋅ 127 ⋅ 231 mod 619
≡ 26543 ⋅ 231 mod 619 ≡ 545 ⋅ 231 mod 619
≡ 125895 mod 619 ≡ 238 mod 619

Es gilt also: 23195 ≡ 238 mod 619

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 28

=>53 = 1⋅28 + 25
=>28 = 1⋅25 + 3
=>25 = 8⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-8⋅3
3= 28-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -8⋅(28 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -8⋅28 +8⋅ 25)
= -8⋅28 +9⋅ 25 (=1)
25= 53-1⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅28 +9⋅(53 -1⋅ 28)
= -8⋅28 +9⋅53 -9⋅ 28)
= 9⋅53 -17⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(53,28)=1 = 9⋅53 -17⋅28

oder wenn man 9⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅53 = -17⋅28

-17⋅28 = -9⋅53 + 1 |+53⋅28

-17⋅28 + 53⋅28 = -9⋅53 + 53⋅28 + 1

(-17 + 53) ⋅ 28 = (-9 + 28) ⋅ 53 + 1

36⋅28 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 36⋅28 = 19⋅53 +1

Somit 36⋅28 = 1 mod 53

36 ist also das Inverse von 28 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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