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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (319 - 3992) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(319 - 3992) mod 8 ≡ (319 mod 8 - 3992 mod 8) mod 8.
319 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 319
= 320
3992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3992
= 4000
Somit gilt:
(319 - 3992) mod 8 ≡ (7 - 0) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 61) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 61) mod 4 ≡ (30 mod 4 ⋅ 61 mod 4) mod 4.
30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.
61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 61) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23632 mod 269.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,269) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2361=236
2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 13 mod 269
4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 269
8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 47 mod 269
16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 57 mod 269
32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 21 mod 269
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 696209 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:
209 = 128+64+16+1
1: 6961=696
2: 6962=6961+1=6961⋅6961 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 292 mod 953
4: 6964=6962+2=6962⋅6962 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 447 mod 953
8: 6968=6964+4=6964⋅6964 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 632 mod 953
16: 69616=6968+8=6968⋅6968 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 117 mod 953
32: 69632=69616+16=69616⋅69616 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 347 mod 953
64: 69664=69632+32=69632⋅69632 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 331 mod 953
128: 696128=69664+64=69664⋅69664 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 919 mod 953
696209
= 696128+64+16+1
= 696128⋅69664⋅69616⋅6961
≡ 919 ⋅ 331 ⋅ 117 ⋅ 696 mod 953
≡ 304189 ⋅ 117 ⋅ 696 mod 953 ≡ 182 ⋅ 117 ⋅ 696 mod 953
≡ 21294 ⋅ 696 mod 953 ≡ 328 ⋅ 696 mod 953
≡ 228288 mod 953 ≡ 521 mod 953
Es gilt also: 696209 ≡ 521 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42
| =>53 | = 1⋅42 + 11 |
| =>42 | = 3⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 42-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1) |
| 11= 53-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42
oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅53 = +24⋅42
Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1
Somit 24⋅42 = 1 mod 53
24 ist also das Inverse von 42 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
