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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34997 + 65) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34997 + 65) mod 7 ≡ (34997 mod 7 + 65 mod 7) mod 7.
34997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34997
= 35000
65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65
= 70
Somit gilt:
(34997 + 65) mod 7 ≡ (4 + 2) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 40) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 40) mod 7 ≡ (31 mod 7 ⋅ 40 mod 7) mod 7.
31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.
40 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 35 + 5 = 5 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 40) mod 7 ≡ (3 ⋅ 5) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 239128 mod 569.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 239 -> x
2. mod(x²,569) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2391=239
2: 2392=2391+1=2391⋅2391 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 221 mod 569
4: 2394=2392+2=2392⋅2392 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 476 mod 569
8: 2398=2394+4=2394⋅2394 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 114 mod 569
16: 23916=2398+8=2398⋅2398 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 478 mod 569
32: 23932=23916+16=23916⋅23916 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 315 mod 569
64: 23964=23932+32=23932⋅23932 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 219 mod 569
128: 239128=23964+64=23964⋅23964 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 165 mod 569
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 406169 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 4061=406
2: 4062=4061+1=4061⋅4061 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 292 mod 857
4: 4064=4062+2=4062⋅4062 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 421 mod 857
8: 4068=4064+4=4064⋅4064 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 699 mod 857
16: 40616=4068+8=4068⋅4068 ≡ 699⋅699=488601 ≡ 111 mod 857
32: 40632=40616+16=40616⋅40616 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 323 mod 857
64: 40664=40632+32=40632⋅40632 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 632 mod 857
128: 406128=40664+64=40664⋅40664 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 62 mod 857
406169
= 406128+32+8+1
= 406128⋅40632⋅4068⋅4061
≡ 62 ⋅ 323 ⋅ 699 ⋅ 406 mod 857
≡ 20026 ⋅ 699 ⋅ 406 mod 857 ≡ 315 ⋅ 699 ⋅ 406 mod 857
≡ 220185 ⋅ 406 mod 857 ≡ 793 ⋅ 406 mod 857
≡ 321958 mod 857 ≡ 583 mod 857
Es gilt also: 406169 ≡ 583 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 65
| =>71 | = 1⋅65 + 6 |
| =>65 | = 10⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 65-10⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(65 -10⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅65 +10⋅ 6) = -1⋅65 +11⋅ 6 (=1) |
| 6= 71-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅65 +11⋅(71 -1⋅ 65)
= -1⋅65 +11⋅71 -11⋅ 65) = 11⋅71 -12⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,65)=1 = 11⋅71 -12⋅65
oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅71 = -12⋅65
-12⋅65 = -11⋅71 + 1 |+71⋅65
-12⋅65 + 71⋅65 = -11⋅71 + 71⋅65 + 1
(-12 + 71) ⋅ 65 = (-11 + 65) ⋅ 71 + 1
59⋅65 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 59⋅65 = 54⋅71 +1
Somit 59⋅65 = 1 mod 71
59 ist also das Inverse von 65 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.