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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 - 205) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 - 205) mod 5 ≡ (95 mod 5 - 205 mod 5) mod 5.
95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95
= 90
205 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 205
= 200
Somit gilt:
(95 - 205) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 74) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 74) mod 5 ≡ (44 mod 5 ⋅ 74 mod 5) mod 5.
44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.
74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 74) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4538 mod 653.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 453 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4531=453
2: 4532=4531+1=4531⋅4531 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 167 mod 653
4: 4534=4532+2=4532⋅4532 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 463 mod 653
8: 4538=4534+4=4534⋅4534 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 185 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 148145 mod 229.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:
145 = 128+16+1
1: 1481=148
2: 1482=1481+1=1481⋅1481 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 149 mod 229
4: 1484=1482+2=1482⋅1482 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 217 mod 229
8: 1488=1484+4=1484⋅1484 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 144 mod 229
16: 14816=1488+8=1488⋅1488 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 126 mod 229
32: 14832=14816+16=14816⋅14816 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 75 mod 229
64: 14864=14832+32=14832⋅14832 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 129 mod 229
128: 148128=14864+64=14864⋅14864 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 153 mod 229
148145
= 148128+16+1
= 148128⋅14816⋅1481
≡ 153 ⋅ 126 ⋅ 148 mod 229
≡ 19278 ⋅ 148 mod 229 ≡ 42 ⋅ 148 mod 229
≡ 6216 mod 229 ≡ 33 mod 229
Es gilt also: 148145 ≡ 33 mod 229
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 40
| =>89 | = 2⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 89-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(89 -2⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅89 -18⋅ 40) = 9⋅89 -20⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,40)=1 = 9⋅89 -20⋅40
oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅89 = -20⋅40
-20⋅40 = -9⋅89 + 1 |+89⋅40
-20⋅40 + 89⋅40 = -9⋅89 + 89⋅40 + 1
(-20 + 89) ⋅ 40 = (-9 + 40) ⋅ 89 + 1
69⋅40 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 69⋅40 = 31⋅89 +1
Somit 69⋅40 = 1 mod 89
69 ist also das Inverse von 40 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.