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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3001 + 14999) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3001 + 14999) mod 3 ≡ (3001 mod 3 + 14999 mod 3) mod 3.

3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001 = 3000+1 = 3 ⋅ 1000 +1.

14999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999 = 15000-1 = 3 ⋅ 5000 -1 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(3001 + 14999) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 63) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 63) mod 7 ≡ (59 mod 7 ⋅ 63 mod 7) mod 7.

59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.

63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 63) mod 7 ≡ (3 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 411³² mod 593.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 411 -> x
2. mod(x²,593) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 411¹=411

2: 411²=411¹⁺¹=411¹⋅411¹ ≡ 411⋅411=168921 ≡ 509 mod 593

4: 411⁴=411²⁺²=411²⋅411² ≡ 509⋅509=259081 ≡ 533 mod 593

8: 411⁸=411⁴⁺⁴=411⁴⋅411⁴ ≡ 533⋅533=284089 ≡ 42 mod 593

16: 411¹⁶=411⁸⁺⁸=411⁸⋅411⁸ ≡ 42⋅42=1764 ≡ 578 mod 593

32: 411³²=411¹⁶⁺¹⁶=411¹⁶⋅411¹⁶ ≡ 578⋅578=334084 ≡ 225 mod 593

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 483²²⁰ mod 809.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:

220 = 128+64+16+8+4

1: 483¹=483

2: 483²=483¹⁺¹=483¹⋅483¹ ≡ 483⋅483=233289 ≡ 297 mod 809

4: 483⁴=483²⁺²=483²⋅483² ≡ 297⋅297=88209 ≡ 28 mod 809

8: 483⁸=483⁴⁺⁴=483⁴⋅483⁴ ≡ 28⋅28=784 ≡ 784 mod 809

16: 483¹⁶=483⁸⁺⁸=483⁸⋅483⁸ ≡ 784⋅784=614656 ≡ 625 mod 809

32: 483³²=483¹⁶⁺¹⁶=483¹⁶⋅483¹⁶ ≡ 625⋅625=390625 ≡ 687 mod 809

64: 483⁶⁴=483³²⁺³²=483³²⋅483³² ≡ 687⋅687=471969 ≡ 322 mod 809

128: 483¹²⁸=483⁶⁴⁺⁶⁴=483⁶⁴⋅483⁶⁴ ≡ 322⋅322=103684 ≡ 132 mod 809

483²²⁰

= 483^{128+64+16+8+4}

= 483¹²⁸⋅483⁶⁴⋅483¹⁶⋅483⁸⋅483⁴

≡ 132 ⋅ 322 ⋅ 625 ⋅ 784 ⋅ 28 mod 809
≡ 42504 ⋅ 625 ⋅ 784 ⋅ 28 mod 809 ≡ 436 ⋅ 625 ⋅ 784 ⋅ 28 mod 809
≡ 272500 ⋅ 784 ⋅ 28 mod 809 ≡ 676 ⋅ 784 ⋅ 28 mod 809
≡ 529984 ⋅ 28 mod 809 ≡ 89 ⋅ 28 mod 809
≡ 2492 mod 809 ≡ 65 mod 809

Es gilt also: 483²²⁰ ≡ 65 mod 809

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44

=>67	= 1⋅44 + 23
=>44	= 1⋅23 + 21
=>23	= 1⋅21 + 2
=>21	= 10⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21) = 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 44-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -10⋅23 +11⋅(44 -1⋅ 23) = -10⋅23 +11⋅44 -11⋅ 23) = 11⋅44 -21⋅ 23 (=1)
23= 67-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅44 -21⋅(67 -1⋅ 44) = 11⋅44 -21⋅67 +21⋅ 44) = -21⋅67 +32⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(67,44)=1 = -21⋅67 +32⋅44

oder wenn man -21⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅67 = +32⋅44

Es gilt also: 32⋅44 = 21⋅67 +1

Somit 32⋅44 = 1 mod 67

32 ist also das Inverse von 44 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 44

Schlüsselpaar für RSA