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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4008 + 2403) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4008 + 2403) mod 8 ≡ (4008 mod 8 + 2403 mod 8) mod 8.
4008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4008
= 4000
2403 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403
= 2400
Somit gilt:
(4008 + 2403) mod 8 ≡ (0 + 3) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 56) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 56) mod 8 ≡ (54 mod 8 ⋅ 56 mod 8) mod 8.
54 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 48 + 6 = 6 ⋅ 8 + 6 ist.
56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 56) mod 8 ≡ (6 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22532 mod 433.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 225 -> x
2. mod(x²,433) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2251=225
2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 397 mod 433
4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 430 mod 433
8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 9 mod 433
16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 433
32: 22532=22516+16=22516⋅22516 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 66 mod 433
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 297236 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:
236 = 128+64+32+8+4
1: 2971=297
2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 509 mod 877
4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 366 mod 877
8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 652 mod 877
16: 29716=2978+8=2978⋅2978 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 636 mod 877
32: 29732=29716+16=29716⋅29716 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 199 mod 877
64: 29764=29732+32=29732⋅29732 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 136 mod 877
128: 297128=29764+64=29764⋅29764 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 79 mod 877
297236
= 297128+64+32+8+4
= 297128⋅29764⋅29732⋅2978⋅2974
≡ 79 ⋅ 136 ⋅ 199 ⋅ 652 ⋅ 366 mod 877
≡ 10744 ⋅ 199 ⋅ 652 ⋅ 366 mod 877 ≡ 220 ⋅ 199 ⋅ 652 ⋅ 366 mod 877
≡ 43780 ⋅ 652 ⋅ 366 mod 877 ≡ 807 ⋅ 652 ⋅ 366 mod 877
≡ 526164 ⋅ 366 mod 877 ≡ 841 ⋅ 366 mod 877
≡ 307806 mod 877 ≡ 856 mod 877
Es gilt also: 297236 ≡ 856 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24
| =>79 | = 3⋅24 + 7 |
| =>24 | = 3⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 24-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-3⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅24 +7⋅(79 -3⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅79 -21⋅ 24) = 7⋅79 -23⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,24)=1 = 7⋅79 -23⋅24
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -23⋅24
-23⋅24 = -7⋅79 + 1 |+79⋅24
-23⋅24 + 79⋅24 = -7⋅79 + 79⋅24 + 1
(-23 + 79) ⋅ 24 = (-7 + 24) ⋅ 79 + 1
56⋅24 = 17⋅79 + 1
Es gilt also: 56⋅24 = 17⋅79 +1
Somit 56⋅24 = 1 mod 79
56 ist also das Inverse von 24 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
