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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3000 + 28) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3000 + 28) mod 3 ≡ (3000 mod 3 + 28 mod 3) mod 3.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 30-2 = 3 ⋅ 10 -2 = 3 ⋅ 10 - 3 + 1.

Somit gilt:

(3000 + 28) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 60) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 60) mod 3 ≡ (41 mod 3 ⋅ 60 mod 3) mod 3.

41 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 39 + 2 = 13 ⋅ 3 + 2 ist.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 20 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 60) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 248128 mod 379.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 248 -> x
2. mod(x²,379) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2481=248

2: 2482=2481+1=2481⋅2481 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 106 mod 379

4: 2484=2482+2=2482⋅2482 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 245 mod 379

8: 2488=2484+4=2484⋅2484 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 143 mod 379

16: 24816=2488+8=2488⋅2488 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 362 mod 379

32: 24832=24816+16=24816⋅24816 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 289 mod 379

64: 24864=24832+32=24832⋅24832 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 141 mod 379

128: 248128=24864+64=24864⋅24864 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 173 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 130226 mod 283.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:

226 = 128+64+32+2

1: 1301=130

2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 203 mod 283

4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 174 mod 283

8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 278 mod 283

16: 13016=1308+8=1308⋅1308 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 25 mod 283

32: 13032=13016+16=13016⋅13016 ≡ 25⋅25=625 ≡ 59 mod 283

64: 13064=13032+32=13032⋅13032 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 85 mod 283

128: 130128=13064+64=13064⋅13064 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 150 mod 283

130226

= 130128+64+32+2

= 130128⋅13064⋅13032⋅1302

≡ 150 ⋅ 85 ⋅ 59 ⋅ 203 mod 283
≡ 12750 ⋅ 59 ⋅ 203 mod 283 ≡ 15 ⋅ 59 ⋅ 203 mod 283
≡ 885 ⋅ 203 mod 283 ≡ 36 ⋅ 203 mod 283
≡ 7308 mod 283 ≡ 233 mod 283

Es gilt also: 130226 ≡ 233 mod 283

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40

=>59 = 1⋅40 + 19
=>40 = 2⋅19 + 2
=>19 = 9⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 40-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19)
= -9⋅40 +19⋅ 19 (=1)
19= 59-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40)
= -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40)
= 19⋅59 -28⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -28⋅40

-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40

-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1

(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1

31⋅40 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1

Somit 31⋅40 = 1 mod 59

31 ist also das Inverse von 40 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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