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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17995 + 177) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17995 + 177) mod 6 ≡ (17995 mod 6 + 177 mod 6) mod 6.

17995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17995 = 18000-5 = 6 ⋅ 3000 -5 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 1.

177 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177 = 180-3 = 6 ⋅ 30 -3 = 6 ⋅ 30 - 6 + 3.

Somit gilt:

(17995 + 177) mod 6 ≡ (1 + 3) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 57) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 57) mod 7 ≡ (25 mod 7 ⋅ 57 mod 7) mod 7.

25 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 21 + 4 = 3 ⋅ 7 + 4 ist.

57 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 8 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 57) mod 7 ≡ (4 ⋅ 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4828 mod 859.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 482 -> x
2. mod(x²,859) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4821=482

2: 4822=4821+1=4821⋅4821 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 394 mod 859

4: 4824=4822+2=4822⋅4822 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 616 mod 859

8: 4828=4824+4=4824⋅4824 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 637 mod 859

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 48169 mod 911.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:

69 = 64+4+1

1: 4811=481

2: 4812=4811+1=4811⋅4811 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 878 mod 911

4: 4814=4812+2=4812⋅4812 ≡ 878⋅878=770884 ≡ 178 mod 911

8: 4818=4814+4=4814⋅4814 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 710 mod 911

16: 48116=4818+8=4818⋅4818 ≡ 710⋅710=504100 ≡ 317 mod 911

32: 48132=48116+16=48116⋅48116 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 279 mod 911

64: 48164=48132+32=48132⋅48132 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 406 mod 911

48169

= 48164+4+1

= 48164⋅4814⋅4811

≡ 406 ⋅ 178 ⋅ 481 mod 911
≡ 72268 ⋅ 481 mod 911 ≡ 299 ⋅ 481 mod 911
≡ 143819 mod 911 ≡ 792 mod 911

Es gilt also: 48169 ≡ 792 mod 911

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 36

=>67 = 1⋅36 + 31
=>36 = 1⋅31 + 5
=>31 = 6⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-6⋅5
5= 36-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅31 -6⋅(36 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -6⋅36 +6⋅ 31)
= -6⋅36 +7⋅ 31 (=1)
31= 67-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅36 +7⋅(67 -1⋅ 36)
= -6⋅36 +7⋅67 -7⋅ 36)
= 7⋅67 -13⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(67,36)=1 = 7⋅67 -13⋅36

oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅67 = -13⋅36

-13⋅36 = -7⋅67 + 1 |+67⋅36

-13⋅36 + 67⋅36 = -7⋅67 + 67⋅36 + 1

(-13 + 67) ⋅ 36 = (-7 + 36) ⋅ 67 + 1

54⋅36 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 54⋅36 = 29⋅67 +1

Somit 54⋅36 = 1 mod 67

54 ist also das Inverse von 36 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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