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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16006 + 75) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16006 + 75) mod 8 ≡ (16006 mod 8 + 75 mod 8) mod 8.

16006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16006 = 16000+6 = 8 ⋅ 2000 +6.

75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 80-5 = 8 ⋅ 10 -5 = 8 ⋅ 10 - 8 + 3.

Somit gilt:

(16006 + 75) mod 8 ≡ (6 + 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 33) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 33) mod 10 ≡ (51 mod 10 ⋅ 33 mod 10) mod 10.

51 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 5 ⋅ 10 + 1 ist.

33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 33) mod 10 ≡ (1 ⋅ 3) mod 10 ≡ 3 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32464 mod 491.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 324 -> x
2. mod(x²,491) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3241=324

2: 3242=3241+1=3241⋅3241 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 393 mod 491

4: 3244=3242+2=3242⋅3242 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 275 mod 491

8: 3248=3244+4=3244⋅3244 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 11 mod 491

16: 32416=3248+8=3248⋅3248 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 491

32: 32432=32416+16=32416⋅32416 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 402 mod 491

64: 32464=32432+32=32432⋅32432 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 65 mod 491

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 49677 mod 751.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:

77 = 64+8+4+1

1: 4961=496

2: 4962=4961+1=4961⋅4961 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 439 mod 751

4: 4964=4962+2=4962⋅4962 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 465 mod 751

8: 4968=4964+4=4964⋅4964 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 688 mod 751

16: 49616=4968+8=4968⋅4968 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 214 mod 751

32: 49632=49616+16=49616⋅49616 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 736 mod 751

64: 49664=49632+32=49632⋅49632 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 225 mod 751

49677

= 49664+8+4+1

= 49664⋅4968⋅4964⋅4961

≡ 225 ⋅ 688 ⋅ 465 ⋅ 496 mod 751
≡ 154800 ⋅ 465 ⋅ 496 mod 751 ≡ 94 ⋅ 465 ⋅ 496 mod 751
≡ 43710 ⋅ 496 mod 751 ≡ 152 ⋅ 496 mod 751
≡ 75392 mod 751 ≡ 292 mod 751

Es gilt also: 49677 ≡ 292 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 86.

Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 86

=>97 = 1⋅86 + 11
=>86 = 7⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,86)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 86-7⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(86 -7⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅86 -35⋅ 11)
= 5⋅86 -39⋅ 11 (=1)
11= 97-1⋅86 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅86 -39⋅(97 -1⋅ 86)
= 5⋅86 -39⋅97 +39⋅ 86)
= -39⋅97 +44⋅ 86 (=1)

Es gilt also: ggt(97,86)=1 = -39⋅97 +44⋅86

oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +39⋅97 = +44⋅86

Es gilt also: 44⋅86 = 39⋅97 +1

Somit 44⋅86 = 1 mod 97

44 ist also das Inverse von 86 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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