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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14997 + 12000) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14997 + 12000) mod 3 ≡ (14997 mod 3 + 12000 mod 3) mod 3.

14997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997 = 15000-3 = 3 ⋅ 5000 -3 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 0.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(14997 + 12000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 99) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 99) mod 10 ≡ (50 mod 10 ⋅ 99 mod 10) mod 10.

50 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 5 ⋅ 10 + 0 ist.

99 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 90 + 9 = 9 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 99) mod 10 ≡ (0 ⋅ 9) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 203128 mod 223.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 203 -> x
2. mod(x²,223) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2031=203

2: 2032=2031+1=2031⋅2031 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 177 mod 223

4: 2034=2032+2=2032⋅2032 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 109 mod 223

8: 2038=2034+4=2034⋅2034 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 62 mod 223

16: 20316=2038+8=2038⋅2038 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 53 mod 223

32: 20332=20316+16=20316⋅20316 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 133 mod 223

64: 20364=20332+32=20332⋅20332 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 72 mod 223

128: 203128=20364+64=20364⋅20364 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 55 mod 223

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 197103 mod 251.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 103 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 103 an und zerlegen 103 in eine Summer von 2er-Potenzen:

103 = 64+32+4+2+1

1: 1971=197

2: 1972=1971+1=1971⋅1971 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 155 mod 251

4: 1974=1972+2=1972⋅1972 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 180 mod 251

8: 1978=1974+4=1974⋅1974 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 21 mod 251

16: 19716=1978+8=1978⋅1978 ≡ 21⋅21=441 ≡ 190 mod 251

32: 19732=19716+16=19716⋅19716 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 207 mod 251

64: 19764=19732+32=19732⋅19732 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 179 mod 251

197103

= 19764+32+4+2+1

= 19764⋅19732⋅1974⋅1972⋅1971

≡ 179 ⋅ 207 ⋅ 180 ⋅ 155 ⋅ 197 mod 251
≡ 37053 ⋅ 180 ⋅ 155 ⋅ 197 mod 251 ≡ 156 ⋅ 180 ⋅ 155 ⋅ 197 mod 251
≡ 28080 ⋅ 155 ⋅ 197 mod 251 ≡ 219 ⋅ 155 ⋅ 197 mod 251
≡ 33945 ⋅ 197 mod 251 ≡ 60 ⋅ 197 mod 251
≡ 11820 mod 251 ≡ 23 mod 251

Es gilt also: 197103 ≡ 23 mod 251

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 29

=>53 = 1⋅29 + 24
=>29 = 1⋅24 + 5
=>24 = 4⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5)
= -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 29-1⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅24 +5⋅(29 -1⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅29 -5⋅ 24)
= 5⋅29 -6⋅ 24 (=1)
24= 53-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅29 -6⋅(53 -1⋅ 29)
= 5⋅29 -6⋅53 +6⋅ 29)
= -6⋅53 +11⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(53,29)=1 = -6⋅53 +11⋅29

oder wenn man -6⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅53 = +11⋅29

Es gilt also: 11⋅29 = 6⋅53 +1

Somit 11⋅29 = 1 mod 53

11 ist also das Inverse von 29 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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