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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (300 - 2406) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(300 - 2406) mod 6 ≡ (300 mod 6 - 2406 mod 6) mod 6.

300 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 6 ⋅ 50 +0.

2406 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406 = 2400+6 = 6 ⋅ 400 +6.

Somit gilt:

(300 - 2406) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 98) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 98) mod 10 ≡ (89 mod 10 ⋅ 98 mod 10) mod 10.

89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.

98 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 9 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 98) mod 10 ≡ (9 ⋅ 8) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 353128 mod 487.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 353 -> x
2. mod(x²,487) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3531=353

2: 3532=3531+1=3531⋅3531 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 424 mod 487

4: 3534=3532+2=3532⋅3532 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 73 mod 487

8: 3538=3534+4=3534⋅3534 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 459 mod 487

16: 35316=3538+8=3538⋅3538 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 297 mod 487

32: 35332=35316+16=35316⋅35316 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 62 mod 487

64: 35364=35332+32=35332⋅35332 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 435 mod 487

128: 353128=35364+64=35364⋅35364 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 269 mod 487

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 869165 mod 929.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:

165 = 128+32+4+1

1: 8691=869

2: 8692=8691+1=8691⋅8691 ≡ 869⋅869=755161 ≡ 813 mod 929

4: 8694=8692+2=8692⋅8692 ≡ 813⋅813=660969 ≡ 450 mod 929

8: 8698=8694+4=8694⋅8694 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 907 mod 929

16: 86916=8698+8=8698⋅8698 ≡ 907⋅907=822649 ≡ 484 mod 929

32: 86932=86916+16=86916⋅86916 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 148 mod 929

64: 86964=86932+32=86932⋅86932 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 537 mod 929

128: 869128=86964+64=86964⋅86964 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 379 mod 929

869165

= 869128+32+4+1

= 869128⋅86932⋅8694⋅8691

≡ 379 ⋅ 148 ⋅ 450 ⋅ 869 mod 929
≡ 56092 ⋅ 450 ⋅ 869 mod 929 ≡ 352 ⋅ 450 ⋅ 869 mod 929
≡ 158400 ⋅ 869 mod 929 ≡ 470 ⋅ 869 mod 929
≡ 408430 mod 929 ≡ 599 mod 929

Es gilt also: 869165 ≡ 599 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 39.

Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 39

=>83 = 2⋅39 + 5
=>39 = 7⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 39-7⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5)
= -1⋅39 +8⋅ 5 (=1)
5= 83-2⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅39 +8⋅(83 -2⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅83 -16⋅ 39)
= 8⋅83 -17⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(83,39)=1 = 8⋅83 -17⋅39

oder wenn man 8⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅83 = -17⋅39

-17⋅39 = -8⋅83 + 1 |+83⋅39

-17⋅39 + 83⋅39 = -8⋅83 + 83⋅39 + 1

(-17 + 83) ⋅ 39 = (-8 + 39) ⋅ 83 + 1

66⋅39 = 31⋅83 + 1

Es gilt also: 66⋅39 = 31⋅83 +1

Somit 66⋅39 = 1 mod 83

66 ist also das Inverse von 39 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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