nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2795 - 14000) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2795 - 14000) mod 7 ≡ (2795 mod 7 - 14000 mod 7) mod 7.

2795 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2795 = 2800-5 = 7 ⋅ 400 -5 = 7 ⋅ 400 - 7 + 2.

14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000 = 14000+0 = 7 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(2795 - 14000) mod 7 ≡ (2 - 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 52) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 52) mod 5 ≡ (72 mod 5 ⋅ 52 mod 5) mod 5.

72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.

52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 10 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 52) mod 5 ≡ (2 ⋅ 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1928 mod 227.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 192 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1921=192

2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 90 mod 227

4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 155 mod 227

8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 190 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 714207 mod 757.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

1: 7141=714

2: 7142=7141+1=7141⋅7141 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 335 mod 757

4: 7144=7142+2=7142⋅7142 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 189 mod 757

8: 7148=7144+4=7144⋅7144 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 142 mod 757

16: 71416=7148+8=7148⋅7148 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 482 mod 757

32: 71432=71416+16=71416⋅71416 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 682 mod 757

64: 71464=71432+32=71432⋅71432 ≡ 682⋅682=465124 ≡ 326 mod 757

128: 714128=71464+64=71464⋅71464 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 296 mod 757

714207

= 714128+64+8+4+2+1

= 714128⋅71464⋅7148⋅7144⋅7142⋅7141

≡ 296 ⋅ 326 ⋅ 142 ⋅ 189 ⋅ 335 ⋅ 714 mod 757
≡ 96496 ⋅ 142 ⋅ 189 ⋅ 335 ⋅ 714 mod 757 ≡ 357 ⋅ 142 ⋅ 189 ⋅ 335 ⋅ 714 mod 757
≡ 50694 ⋅ 189 ⋅ 335 ⋅ 714 mod 757 ≡ 732 ⋅ 189 ⋅ 335 ⋅ 714 mod 757
≡ 138348 ⋅ 335 ⋅ 714 mod 757 ≡ 574 ⋅ 335 ⋅ 714 mod 757
≡ 192290 ⋅ 714 mod 757 ≡ 12 ⋅ 714 mod 757
≡ 8568 mod 757 ≡ 241 mod 757

Es gilt also: 714207 ≡ 241 mod 757

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 32

=>79 = 2⋅32 + 15
=>32 = 2⋅15 + 2
=>15 = 7⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15)
= -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 79-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -7⋅32 +15⋅(79 -2⋅ 32)
= -7⋅32 +15⋅79 -30⋅ 32)
= 15⋅79 -37⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(79,32)=1 = 15⋅79 -37⋅32

oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅79 = -37⋅32

-37⋅32 = -15⋅79 + 1 |+79⋅32

-37⋅32 + 79⋅32 = -15⋅79 + 79⋅32 + 1

(-37 + 79) ⋅ 32 = (-15 + 32) ⋅ 79 + 1

42⋅32 = 17⋅79 + 1

Es gilt also: 42⋅32 = 17⋅79 +1

Somit 42⋅32 = 1 mod 79

42 ist also das Inverse von 32 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden