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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32003 + 39995) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32003 + 39995) mod 8 ≡ (32003 mod 8 + 39995 mod 8) mod 8.
32003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32003
= 32000
39995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39995
= 39000
Somit gilt:
(32003 + 39995) mod 8 ≡ (3 + 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 84) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 84) mod 3 ≡ (37 mod 3 ⋅ 84 mod 3) mod 3.
37 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 12 ⋅ 3 + 1 ist.
84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 84) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5938 mod 761.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 593 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5931=593
2: 5932=5931+1=5931⋅5931 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 67 mod 761
4: 5934=5932+2=5932⋅5932 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 684 mod 761
8: 5938=5934+4=5934⋅5934 ≡ 684⋅684=467856 ≡ 602 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 473192 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 4731=473
2: 4732=4731+1=4731⋅4731 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 534 mod 911
4: 4734=4732+2=4732⋅4732 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 13 mod 911
8: 4738=4734+4=4734⋅4734 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 911
16: 47316=4738+8=4738⋅4738 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 320 mod 911
32: 47332=47316+16=47316⋅47316 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 368 mod 911
64: 47364=47332+32=47332⋅47332 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 596 mod 911
128: 473128=47364+64=47364⋅47364 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 837 mod 911
473192
= 473128+64
= 473128⋅47364
≡ 837 ⋅ 596 mod 911
≡ 498852 mod 911 ≡ 535 mod 911
Es gilt also: 473192 ≡ 535 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24
| =>59 | = 2⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -27⋅24
-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24
-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1
(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1
32⋅24 = 13⋅59 + 1
Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1
Somit 32⋅24 = 1 mod 59
32 ist also das Inverse von 24 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
