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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2397 - 1794) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2397 - 1794) mod 6 ≡ (2397 mod 6 - 1794 mod 6) mod 6.

2397 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397 = 2400-3 = 6 ⋅ 400 -3 = 6 ⋅ 400 - 6 + 3.

1794 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1794 = 1800-6 = 6 ⋅ 300 -6 = 6 ⋅ 300 - 6 + 0.

Somit gilt:

(2397 - 1794) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 50) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 50) mod 6 ≡ (75 mod 6 ⋅ 50 mod 6) mod 6.

75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.

50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 50) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 8964 mod 211.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 89 -> x
2. mod(x²,211) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 891=89

2: 892=891+1=891⋅891 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 114 mod 211

4: 894=892+2=892⋅892 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 125 mod 211

8: 898=894+4=894⋅894 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 11 mod 211

16: 8916=898+8=898⋅898 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 211

32: 8932=8916+16=8916⋅8916 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 82 mod 211

64: 8964=8932+32=8932⋅8932 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 183 mod 211

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 280208 mod 509.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:

208 = 128+64+16

1: 2801=280

2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 14 mod 509

4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 509

8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 241 mod 509

16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 55 mod 509

32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 480 mod 509

64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 332 mod 509

128: 280128=28064+64=28064⋅28064 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 280 mod 509

280208

= 280128+64+16

= 280128⋅28064⋅28016

≡ 280 ⋅ 332 ⋅ 55 mod 509
≡ 92960 ⋅ 55 mod 509 ≡ 322 ⋅ 55 mod 509
≡ 17710 mod 509 ≡ 404 mod 509

Es gilt also: 280208 ≡ 404 mod 509

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60

=>71 = 1⋅60 + 11
=>60 = 5⋅11 + 5
=>11 = 2⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 60-5⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11)
= -2⋅60 +11⋅ 11 (=1)
11= 71-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60)
= -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60)
= 11⋅71 -13⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -13⋅60

-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60

-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1

(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1

58⋅60 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1

Somit 58⋅60 = 1 mod 71

58 ist also das Inverse von 60 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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