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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (13996 + 27997) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13996 + 27997) mod 7 ≡ (13996 mod 7 + 27997 mod 7) mod 7.

13996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13996 = 14000-4 = 7 ⋅ 2000 -4 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 3.

27997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27997 = 28000-3 = 7 ⋅ 4000 -3 = 7 ⋅ 4000 - 7 + 4.

Somit gilt:

(13996 + 27997) mod 7 ≡ (3 + 4) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 89) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 89) mod 7 ≡ (65 mod 7 ⋅ 89 mod 7) mod 7.

65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 9 ⋅ 7 + 2 ist.

89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 89) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24664 mod 431.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 246 -> x
2. mod(x²,431) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2461=246

2: 2462=2461+1=2461⋅2461 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 176 mod 431

4: 2464=2462+2=2462⋅2462 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 375 mod 431

8: 2468=2464+4=2464⋅2464 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 119 mod 431

16: 24616=2468+8=2468⋅2468 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 369 mod 431

32: 24632=24616+16=24616⋅24616 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 396 mod 431

64: 24664=24632+32=24632⋅24632 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 363 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 253213 mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 213 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 213 an und zerlegen 213 in eine Summer von 2er-Potenzen:

213 = 128+64+16+4+1

1: 2531=253

2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 217 mod 443

4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 131 mod 443

8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 327 mod 443

16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 166 mod 443

32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 90 mod 443

64: 25364=25332+32=25332⋅25332 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 126 mod 443

128: 253128=25364+64=25364⋅25364 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 371 mod 443

253213

= 253128+64+16+4+1

= 253128⋅25364⋅25316⋅2534⋅2531

371 ⋅ 126 ⋅ 166 ⋅ 131 ⋅ 253 mod 443
46746 ⋅ 166 ⋅ 131 ⋅ 253 mod 443 ≡ 231 ⋅ 166 ⋅ 131 ⋅ 253 mod 443
38346 ⋅ 131 ⋅ 253 mod 443 ≡ 248 ⋅ 131 ⋅ 253 mod 443
32488 ⋅ 253 mod 443 ≡ 149 ⋅ 253 mod 443
37697 mod 443 ≡ 42 mod 443

Es gilt also: 253213 ≡ 42 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22

=>71 = 3⋅22 + 5
=>22 = 4⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5)
= -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 71-3⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22)
= 9⋅71 -29⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -29⋅22

-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22

-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1

(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1

42⋅22 = 13⋅71 + 1

Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1

Somit 42⋅22 = 1 mod 71

42 ist also das Inverse von 22 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.