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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (400 + 16007) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(400 + 16007) mod 8 ≡ (400 mod 8 + 16007 mod 8) mod 8.
400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400
= 400
16007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16007
= 16000
Somit gilt:
(400 + 16007) mod 8 ≡ (0 + 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 58) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 58) mod 9 ≡ (83 mod 9 ⋅ 58 mod 9) mod 9.
83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.
58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 58) mod 9 ≡ (2 ⋅ 4) mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4918 mod 971.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 491 -> x
2. mod(x²,971) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4911=491
2: 4912=4911+1=4911⋅4911 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 273 mod 971
4: 4914=4912+2=4912⋅4912 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 733 mod 971
8: 4918=4914+4=4914⋅4914 ≡ 733⋅733=537289 ≡ 326 mod 971
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 414156 mod 739.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:
156 = 128+16+8+4
1: 4141=414
2: 4142=4141+1=4141⋅4141 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 687 mod 739
4: 4144=4142+2=4142⋅4142 ≡ 687⋅687=471969 ≡ 487 mod 739
8: 4148=4144+4=4144⋅4144 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 689 mod 739
16: 41416=4148+8=4148⋅4148 ≡ 689⋅689=474721 ≡ 283 mod 739
32: 41432=41416+16=41416⋅41416 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 277 mod 739
64: 41464=41432+32=41432⋅41432 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 612 mod 739
128: 414128=41464+64=41464⋅41464 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 610 mod 739
414156
= 414128+16+8+4
= 414128⋅41416⋅4148⋅4144
≡ 610 ⋅ 283 ⋅ 689 ⋅ 487 mod 739
≡ 172630 ⋅ 689 ⋅ 487 mod 739 ≡ 443 ⋅ 689 ⋅ 487 mod 739
≡ 305227 ⋅ 487 mod 739 ≡ 20 ⋅ 487 mod 739
≡ 9740 mod 739 ≡ 133 mod 739
Es gilt also: 414156 ≡ 133 mod 739
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54
| =>67 | = 1⋅54 + 13 |
| =>54 | = 4⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 54-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13) = -6⋅54 +25⋅ 13 (=1) |
| 13= 67-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54) = 25⋅67 -31⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54
oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -25⋅67 = -31⋅54
-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54
-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1
(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1
36⋅54 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1
Somit 36⋅54 = 1 mod 67
36 ist also das Inverse von 54 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.