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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1800 + 45008) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1800 + 45008) mod 9 ≡ (1800 mod 9 + 45008 mod 9) mod 9.

1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 9 ⋅ 200 +0.

45008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45008 = 45000+8 = 9 ⋅ 5000 +8.

Somit gilt:

(1800 + 45008) mod 9 ≡ (0 + 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 15) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 15) mod 4 ≡ (27 mod 4 ⋅ 15 mod 4) mod 4.

27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.

15 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 3 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 15) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 217¹²⁸ mod 241.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 217 -> x
2. mod(x²,241) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 217¹=217

2: 217²=217¹⁺¹=217¹⋅217¹ ≡ 217⋅217=47089 ≡ 94 mod 241

4: 217⁴=217²⁺²=217²⋅217² ≡ 94⋅94=8836 ≡ 160 mod 241

8: 217⁸=217⁴⁺⁴=217⁴⋅217⁴ ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241

16: 217¹⁶=217⁸⁺⁸=217⁸⋅217⁸ ≡ 54⋅54=2916 ≡ 24 mod 241

32: 217³²=217¹⁶⁺¹⁶=217¹⁶⋅217¹⁶ ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241

64: 217⁶⁴=217³²⁺³²=217³²⋅217³² ≡ 94⋅94=8836 ≡ 160 mod 241

128: 217¹²⁸=217⁶⁴⁺⁶⁴=217⁶⁴⋅217⁶⁴ ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 306²³⁸ mod 643.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

1: 306¹=306

2: 306²=306¹⁺¹=306¹⋅306¹ ≡ 306⋅306=93636 ≡ 401 mod 643

4: 306⁴=306²⁺²=306²⋅306² ≡ 401⋅401=160801 ≡ 51 mod 643

8: 306⁸=306⁴⁺⁴=306⁴⋅306⁴ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 29 mod 643

16: 306¹⁶=306⁸⁺⁸=306⁸⋅306⁸ ≡ 29⋅29=841 ≡ 198 mod 643

32: 306³²=306¹⁶⁺¹⁶=306¹⁶⋅306¹⁶ ≡ 198⋅198=39204 ≡ 624 mod 643

64: 306⁶⁴=306³²⁺³²=306³²⋅306³² ≡ 624⋅624=389376 ≡ 361 mod 643

128: 306¹²⁸=306⁶⁴⁺⁶⁴=306⁶⁴⋅306⁶⁴ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 435 mod 643

306²³⁸

= 306^{128+64+32+8+4+2}

= 306¹²⁸⋅306⁶⁴⋅306³²⋅306⁸⋅306⁴⋅306²

≡ 435 ⋅ 361 ⋅ 624 ⋅ 29 ⋅ 51 ⋅ 401 mod 643
≡ 157035 ⋅ 624 ⋅ 29 ⋅ 51 ⋅ 401 mod 643 ≡ 143 ⋅ 624 ⋅ 29 ⋅ 51 ⋅ 401 mod 643
≡ 89232 ⋅ 29 ⋅ 51 ⋅ 401 mod 643 ≡ 498 ⋅ 29 ⋅ 51 ⋅ 401 mod 643
≡ 14442 ⋅ 51 ⋅ 401 mod 643 ≡ 296 ⋅ 51 ⋅ 401 mod 643
≡ 15096 ⋅ 401 mod 643 ≡ 307 ⋅ 401 mod 643
≡ 123107 mod 643 ≡ 294 mod 643

Es gilt also: 306²³⁸ ≡ 294 mod 643

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 79.

Also bestimme x, so dass 79 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 79

=>89	= 1⋅79 + 10
=>79	= 7⋅10 + 9
=>10	= 1⋅9 + 1
=>9	= 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,79)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 79-7⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -1⋅(79 -7⋅ 10) = 1⋅10 -1⋅79 +7⋅ 10) = -1⋅79 +8⋅ 10 (=1)
10= 89-1⋅79	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅79 +8⋅(89 -1⋅ 79) = -1⋅79 +8⋅89 -8⋅ 79) = 8⋅89 -9⋅ 79 (=1)

Es gilt also: ggt(89,79)=1 = 8⋅89 -9⋅79

oder wenn man 8⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅89 = -9⋅79

-9⋅79 = -8⋅89 + 1 |+89⋅79

-9⋅79 + 89⋅79 = -8⋅89 + 89⋅79 + 1

(-9 + 89) ⋅ 79 = (-8 + 79) ⋅ 89 + 1

80⋅79 = 71⋅89 + 1

Es gilt also: 80⋅79 = 71⋅89 +1

Somit 80⋅79 = 1 mod 89

80 ist also das Inverse von 79 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 79

Schlüsselpaar für RSA