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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (123 + 36) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(123 + 36) mod 4 ≡ (123 mod 4 + 36 mod 4) mod 4.

123 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 4 ⋅ 30 +3.

36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 40-4 = 4 ⋅ 10 -4 = 4 ⋅ 10 - 4 + 0.

Somit gilt:

(123 + 36) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 26) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 26) mod 3 ≡ (78 mod 3 ⋅ 26 mod 3) mod 3.

78 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 26 ⋅ 3 + 0 ist.

26 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 8 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 26) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 19032 mod 347.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 190 -> x
2. mod(x²,347) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1901=190

2: 1902=1901+1=1901⋅1901 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 12 mod 347

4: 1904=1902+2=1902⋅1902 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 347

8: 1908=1904+4=1904⋅1904 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 263 mod 347

16: 19016=1908+8=1908⋅1908 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 116 mod 347

32: 19032=19016+16=19016⋅19016 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 270 mod 347

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 601110 mod 941.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:

110 = 64+32+8+4+2

1: 6011=601

2: 6012=6011+1=6011⋅6011 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 798 mod 941

4: 6014=6012+2=6012⋅6012 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 688 mod 941

8: 6018=6014+4=6014⋅6014 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 21 mod 941

16: 60116=6018+8=6018⋅6018 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 941

32: 60132=60116+16=60116⋅60116 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 635 mod 941

64: 60164=60132+32=60132⋅60132 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 477 mod 941

601110

= 60164+32+8+4+2

= 60164⋅60132⋅6018⋅6014⋅6012

≡ 477 ⋅ 635 ⋅ 21 ⋅ 688 ⋅ 798 mod 941
≡ 302895 ⋅ 21 ⋅ 688 ⋅ 798 mod 941 ≡ 834 ⋅ 21 ⋅ 688 ⋅ 798 mod 941
≡ 17514 ⋅ 688 ⋅ 798 mod 941 ≡ 576 ⋅ 688 ⋅ 798 mod 941
≡ 396288 ⋅ 798 mod 941 ≡ 127 ⋅ 798 mod 941
≡ 101346 mod 941 ≡ 659 mod 941

Es gilt also: 601110 ≡ 659 mod 941

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 34

=>73 = 2⋅34 + 5
=>34 = 6⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 34-6⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5)
= -1⋅34 +7⋅ 5 (=1)
5= 73-2⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅34 +7⋅(73 -2⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅73 -14⋅ 34)
= 7⋅73 -15⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(73,34)=1 = 7⋅73 -15⋅34

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -15⋅34

-15⋅34 = -7⋅73 + 1 |+73⋅34

-15⋅34 + 73⋅34 = -7⋅73 + 73⋅34 + 1

(-15 + 73) ⋅ 34 = (-7 + 34) ⋅ 73 + 1

58⋅34 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 58⋅34 = 27⋅73 +1

Somit 58⋅34 = 1 mod 73

58 ist also das Inverse von 34 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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