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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 + 93) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 + 93) mod 3 ≡ (30 mod 3 + 93 mod 3) mod 3.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90+3 = 3 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(30 + 93) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 18) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 18) mod 11 ≡ (24 mod 11 ⋅ 18 mod 11) mod 11.

24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.

18 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 11 + 7 = 1 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 18) mod 11 ≡ (2 ⋅ 7) mod 11 ≡ 14 mod 11 ≡ 3 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 560³² mod 971.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 560 -> x
2. mod(x²,971) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 560¹=560

2: 560²=560¹⁺¹=560¹⋅560¹ ≡ 560⋅560=313600 ≡ 938 mod 971

4: 560⁴=560²⁺²=560²⋅560² ≡ 938⋅938=879844 ≡ 118 mod 971

8: 560⁸=560⁴⁺⁴=560⁴⋅560⁴ ≡ 118⋅118=13924 ≡ 330 mod 971

16: 560¹⁶=560⁸⁺⁸=560⁸⋅560⁸ ≡ 330⋅330=108900 ≡ 148 mod 971

32: 560³²=560¹⁶⁺¹⁶=560¹⁶⋅560¹⁶ ≡ 148⋅148=21904 ≡ 542 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 449¹⁸⁹ mod 613.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

1: 449¹=449

2: 449²=449¹⁺¹=449¹⋅449¹ ≡ 449⋅449=201601 ≡ 537 mod 613

4: 449⁴=449²⁺²=449²⋅449² ≡ 537⋅537=288369 ≡ 259 mod 613

8: 449⁸=449⁴⁺⁴=449⁴⋅449⁴ ≡ 259⋅259=67081 ≡ 264 mod 613

16: 449¹⁶=449⁸⁺⁸=449⁸⋅449⁸ ≡ 264⋅264=69696 ≡ 427 mod 613

32: 449³²=449¹⁶⁺¹⁶=449¹⁶⋅449¹⁶ ≡ 427⋅427=182329 ≡ 268 mod 613

64: 449⁶⁴=449³²⁺³²=449³²⋅449³² ≡ 268⋅268=71824 ≡ 103 mod 613

128: 449¹²⁸=449⁶⁴⁺⁶⁴=449⁶⁴⋅449⁶⁴ ≡ 103⋅103=10609 ≡ 188 mod 613

449¹⁸⁹

= 449^{128+32+16+8+4+1}

= 449¹²⁸⋅449³²⋅449¹⁶⋅449⁸⋅449⁴⋅449¹

≡ 188 ⋅ 268 ⋅ 427 ⋅ 264 ⋅ 259 ⋅ 449 mod 613
≡ 50384 ⋅ 427 ⋅ 264 ⋅ 259 ⋅ 449 mod 613 ≡ 118 ⋅ 427 ⋅ 264 ⋅ 259 ⋅ 449 mod 613
≡ 50386 ⋅ 264 ⋅ 259 ⋅ 449 mod 613 ≡ 120 ⋅ 264 ⋅ 259 ⋅ 449 mod 613
≡ 31680 ⋅ 259 ⋅ 449 mod 613 ≡ 417 ⋅ 259 ⋅ 449 mod 613
≡ 108003 ⋅ 449 mod 613 ≡ 115 ⋅ 449 mod 613
≡ 51635 mod 613 ≡ 143 mod 613

Es gilt also: 449¹⁸⁹ ≡ 143 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42

=>71	= 1⋅42 + 29
=>42	= 1⋅29 + 13
=>29	= 2⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 42-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29) = -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1)
29= 71-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42) = 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +22⋅42

Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1

Somit 22⋅42 = 1 mod 71

22 ist also das Inverse von 42 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42

Schlüsselpaar für RSA