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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1400 + 3494) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1400 + 3494) mod 7 ≡ (1400 mod 7 + 3494 mod 7) mod 7.

1400 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1400 = 1400+0 = 7 ⋅ 200 +0.

3494 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3494 = 3500-6 = 7 ⋅ 500 -6 = 7 ⋅ 500 - 7 + 1.

Somit gilt:

(1400 + 3494) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 31) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 31) mod 8 ≡ (26 mod 8 ⋅ 31 mod 8) mod 8.

26 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 3 ⋅ 8 + 2 ist.

31 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 24 + 7 = 3 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 31) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 224⁸ mod 379.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 224 -> x
2. mod(x²,379) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 224¹=224

2: 224²=224¹⁺¹=224¹⋅224¹ ≡ 224⋅224=50176 ≡ 148 mod 379

4: 224⁴=224²⁺²=224²⋅224² ≡ 148⋅148=21904 ≡ 301 mod 379

8: 224⁸=224⁴⁺⁴=224⁴⋅224⁴ ≡ 301⋅301=90601 ≡ 20 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 358⁸⁰ mod 653.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:

80 = 64+16

1: 358¹=358

2: 358²=358¹⁺¹=358¹⋅358¹ ≡ 358⋅358=128164 ≡ 176 mod 653

4: 358⁴=358²⁺²=358²⋅358² ≡ 176⋅176=30976 ≡ 285 mod 653

8: 358⁸=358⁴⁺⁴=358⁴⋅358⁴ ≡ 285⋅285=81225 ≡ 253 mod 653

16: 358¹⁶=358⁸⁺⁸=358⁸⋅358⁸ ≡ 253⋅253=64009 ≡ 15 mod 653

32: 358³²=358¹⁶⁺¹⁶=358¹⁶⋅358¹⁶ ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 653

64: 358⁶⁴=358³²⁺³²=358³²⋅358³² ≡ 225⋅225=50625 ≡ 344 mod 653

358⁸⁰

= 358⁶⁴⁺¹⁶

= 358⁶⁴⋅358¹⁶

≡ 344 ⋅ 15 mod 653
≡ 5160 mod 653 ≡ 589 mod 653

Es gilt also: 358⁸⁰ ≡ 589 mod 653

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54

=>71	= 1⋅54 + 17
=>54	= 3⋅17 + 3
=>17	= 5⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 17-5⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3) = -1⋅17 +6⋅ 3 (=1)
3= 54-3⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17) = -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17) = 6⋅54 -19⋅ 17 (=1)
17= 71-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54) = 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54) = -19⋅71 +25⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54

oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅71 = +25⋅54

Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1

Somit 25⋅54 = 1 mod 71

25 ist also das Inverse von 54 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54

Schlüsselpaar für RSA