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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2097 + 273) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2097 + 273) mod 7 ≡ (2097 mod 7 + 273 mod 7) mod 7.

2097 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2097 = 2100-3 = 7 ⋅ 300 -3 = 7 ⋅ 300 - 7 + 4.

273 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 273 = 280-7 = 7 ⋅ 40 -7 = 7 ⋅ 40 - 7 + 0.

Somit gilt:

(2097 + 273) mod 7 ≡ (4 + 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 92) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 92) mod 6 ≡ (97 mod 6 ⋅ 92 mod 6) mod 6.

97 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 16 ⋅ 6 + 1 ist.

92 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 15 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 92) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 274128 mod 277.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 274 -> x
2. mod(x²,277) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2741=274

2: 2742=2741+1=2741⋅2741 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 9 mod 277

4: 2744=2742+2=2742⋅2742 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 277

8: 2748=2744+4=2744⋅2744 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 190 mod 277

16: 27416=2748+8=2748⋅2748 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 90 mod 277

32: 27432=27416+16=27416⋅27416 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 67 mod 277

64: 27464=27432+32=27432⋅27432 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 57 mod 277

128: 274128=27464+64=27464⋅27464 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 202 mod 277

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26290 mod 269.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:

90 = 64+16+8+2

1: 2621=262

2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 49 mod 269

4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 249 mod 269

8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 131 mod 269

16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 214 mod 269

32: 26232=26216+16=26216⋅26216 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 66 mod 269

64: 26264=26232+32=26232⋅26232 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 52 mod 269

26290

= 26264+16+8+2

= 26264⋅26216⋅2628⋅2622

≡ 52 ⋅ 214 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269
≡ 11128 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269 ≡ 99 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269
≡ 12969 ⋅ 49 mod 269 ≡ 57 ⋅ 49 mod 269
≡ 2793 mod 269 ≡ 103 mod 269

Es gilt also: 26290 ≡ 103 mod 269

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52

=>59 = 1⋅52 + 7
=>52 = 7⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 52-7⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7)
= -2⋅52 +15⋅ 7 (=1)
7= 59-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52)
= 15⋅59 -17⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52

oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅59 = -17⋅52

-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52

-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1

(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1

42⋅52 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1

Somit 42⋅52 = 1 mod 59

42 ist also das Inverse von 52 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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