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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1604 + 1602) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1604 + 1602) mod 4 ≡ (1604 mod 4 + 1602 mod 4) mod 4.
1604 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604
= 1600
1602 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602
= 1600
Somit gilt:
(1604 + 1602) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 24) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 24) mod 10 ≡ (28 mod 10 ⋅ 24 mod 10) mod 10.
28 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 20 + 8 = 2 ⋅ 10 + 8 ist.
24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 24) mod 10 ≡ (8 ⋅ 4) mod 10 ≡ 32 mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 357128 mod 557.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 357 -> x
2. mod(x²,557) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3571=357
2: 3572=3571+1=3571⋅3571 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 453 mod 557
4: 3574=3572+2=3572⋅3572 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 233 mod 557
8: 3578=3574+4=3574⋅3574 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 260 mod 557
16: 35716=3578+8=3578⋅3578 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 203 mod 557
32: 35732=35716+16=35716⋅35716 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 548 mod 557
64: 35764=35732+32=35732⋅35732 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 81 mod 557
128: 357128=35764+64=35764⋅35764 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 434 mod 557
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 228125 mod 311.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:
125 = 64+32+16+8+4+1
1: 2281=228
2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 47 mod 311
4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 32 mod 311
8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 91 mod 311
16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 195 mod 311
32: 22832=22816+16=22816⋅22816 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 83 mod 311
64: 22864=22832+32=22832⋅22832 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 47 mod 311
228125
= 22864+32+16+8+4+1
= 22864⋅22832⋅22816⋅2288⋅2284⋅2281
≡ 47 ⋅ 83 ⋅ 195 ⋅ 91 ⋅ 32 ⋅ 228 mod 311
≡ 3901 ⋅ 195 ⋅ 91 ⋅ 32 ⋅ 228 mod 311 ≡ 169 ⋅ 195 ⋅ 91 ⋅ 32 ⋅ 228 mod 311
≡ 32955 ⋅ 91 ⋅ 32 ⋅ 228 mod 311 ≡ 300 ⋅ 91 ⋅ 32 ⋅ 228 mod 311
≡ 27300 ⋅ 32 ⋅ 228 mod 311 ≡ 243 ⋅ 32 ⋅ 228 mod 311
≡ 7776 ⋅ 228 mod 311 ≡ 1 ⋅ 228 mod 311
≡ 228 mod 311
Es gilt also: 228125 ≡ 228 mod 311
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24
| =>67 | = 2⋅24 + 19 |
| =>24 | = 1⋅19 + 5 |
| =>19 | = 3⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 19-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5) = -1⋅19 +4⋅ 5 (=1) |
| 5= 24-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19)
= -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19) = 4⋅24 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 67-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24)
= 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24) = -5⋅67 +14⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +14⋅24
Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1
Somit 14⋅24 = 1 mod 67
14 ist also das Inverse von 24 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
