Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3001 - 1199) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3001 - 1199) mod 3 ≡ (3001 mod 3 - 1199 mod 3) mod 3.

3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001 = 3000+1 = 3 ⋅ 1000 +1.

1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1200-1 = 3 ⋅ 400 -1 = 3 ⋅ 400 - 3 + 2.

Somit gilt:

(3001 - 1199) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 94) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 94) mod 9 ≡ (48 mod 9 ⋅ 94 mod 9) mod 9.

48 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 5 ⋅ 9 + 3 ist.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 10 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 94) mod 9 ≡ (3 ⋅ 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 137⁸ mod 311.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 137 -> x
2. mod(x²,311) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 137¹=137

2: 137²=137¹⁺¹=137¹⋅137¹ ≡ 137⋅137=18769 ≡ 109 mod 311

4: 137⁴=137²⁺²=137²⋅137² ≡ 109⋅109=11881 ≡ 63 mod 311

8: 137⁸=137⁴⁺⁴=137⁴⋅137⁴ ≡ 63⋅63=3969 ≡ 237 mod 311

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 443¹¹⁹ mod 983.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

1: 443¹=443

2: 443²=443¹⁺¹=443¹⋅443¹ ≡ 443⋅443=196249 ≡ 632 mod 983

4: 443⁴=443²⁺²=443²⋅443² ≡ 632⋅632=399424 ≡ 326 mod 983

8: 443⁸=443⁴⁺⁴=443⁴⋅443⁴ ≡ 326⋅326=106276 ≡ 112 mod 983

16: 443¹⁶=443⁸⁺⁸=443⁸⋅443⁸ ≡ 112⋅112=12544 ≡ 748 mod 983

32: 443³²=443¹⁶⁺¹⁶=443¹⁶⋅443¹⁶ ≡ 748⋅748=559504 ≡ 177 mod 983

64: 443⁶⁴=443³²⁺³²=443³²⋅443³² ≡ 177⋅177=31329 ≡ 856 mod 983

443¹¹⁹

= 443^{64+32+16+4+2+1}

= 443⁶⁴⋅443³²⋅443¹⁶⋅443⁴⋅443²⋅443¹

≡ 856 ⋅ 177 ⋅ 748 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983
≡ 151512 ⋅ 748 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983 ≡ 130 ⋅ 748 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983
≡ 97240 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983 ≡ 906 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983
≡ 295356 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983 ≡ 456 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983
≡ 288192 ⋅ 443 mod 983 ≡ 173 ⋅ 443 mod 983
≡ 76639 mod 983 ≡ 948 mod 983

Es gilt also: 443¹¹⁹ ≡ 948 mod 983

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30

=>67	= 2⋅30 + 7
=>30	= 4⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30) = -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -29⋅30

-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30

-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1

(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1

38⋅30 = 17⋅67 + 1

Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1

Somit 38⋅30 = 1 mod 67

38 ist also das Inverse von 30 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30

Schlüsselpaar für RSA