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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (173 - 445) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(173 - 445) mod 9 ≡ (173 mod 9 - 445 mod 9) mod 9.

173 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 173 = 180-7 = 9 ⋅ 20 -7 = 9 ⋅ 20 - 9 + 2.

445 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 445 = 450-5 = 9 ⋅ 50 -5 = 9 ⋅ 50 - 9 + 4.

Somit gilt:

(173 - 445) mod 9 ≡ (2 - 4) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 77) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 77) mod 8 ≡ (62 mod 8 ⋅ 77 mod 8) mod 8.

62 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 7 ⋅ 8 + 6 ist.

77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 77) mod 8 ≡ (6 ⋅ 5) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 572¹⁶ mod 809.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 572 -> x
2. mod(x²,809) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 572¹=572

2: 572²=572¹⁺¹=572¹⋅572¹ ≡ 572⋅572=327184 ≡ 348 mod 809

4: 572⁴=572²⁺²=572²⋅572² ≡ 348⋅348=121104 ≡ 563 mod 809

8: 572⁸=572⁴⁺⁴=572⁴⋅572⁴ ≡ 563⋅563=316969 ≡ 650 mod 809

16: 572¹⁶=572⁸⁺⁸=572⁸⋅572⁸ ≡ 650⋅650=422500 ≡ 202 mod 809

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 392²¹⁹ mod 599.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

1: 392¹=392

2: 392²=392¹⁺¹=392¹⋅392¹ ≡ 392⋅392=153664 ≡ 320 mod 599

4: 392⁴=392²⁺²=392²⋅392² ≡ 320⋅320=102400 ≡ 570 mod 599

8: 392⁸=392⁴⁺⁴=392⁴⋅392⁴ ≡ 570⋅570=324900 ≡ 242 mod 599

16: 392¹⁶=392⁸⁺⁸=392⁸⋅392⁸ ≡ 242⋅242=58564 ≡ 461 mod 599

32: 392³²=392¹⁶⁺¹⁶=392¹⁶⋅392¹⁶ ≡ 461⋅461=212521 ≡ 475 mod 599

64: 392⁶⁴=392³²⁺³²=392³²⋅392³² ≡ 475⋅475=225625 ≡ 401 mod 599

128: 392¹²⁸=392⁶⁴⁺⁶⁴=392⁶⁴⋅392⁶⁴ ≡ 401⋅401=160801 ≡ 269 mod 599

392²¹⁹

= 392^{128+64+16+8+2+1}

= 392¹²⁸⋅392⁶⁴⋅392¹⁶⋅392⁸⋅392²⋅392¹

≡ 269 ⋅ 401 ⋅ 461 ⋅ 242 ⋅ 320 ⋅ 392 mod 599
≡ 107869 ⋅ 461 ⋅ 242 ⋅ 320 ⋅ 392 mod 599 ≡ 49 ⋅ 461 ⋅ 242 ⋅ 320 ⋅ 392 mod 599
≡ 22589 ⋅ 242 ⋅ 320 ⋅ 392 mod 599 ≡ 426 ⋅ 242 ⋅ 320 ⋅ 392 mod 599
≡ 103092 ⋅ 320 ⋅ 392 mod 599 ≡ 64 ⋅ 320 ⋅ 392 mod 599
≡ 20480 ⋅ 392 mod 599 ≡ 114 ⋅ 392 mod 599
≡ 44688 mod 599 ≡ 362 mod 599

Es gilt also: 392²¹⁹ ≡ 362 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 58

=>97	= 1⋅58 + 39
=>58	= 1⋅39 + 19
=>39	= 2⋅19 + 1
=>19	= 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 39-2⋅19
19= 58-1⋅39	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅39 -2⋅(58 -1⋅ 39) = 1⋅39 -2⋅58 +2⋅ 39) = -2⋅58 +3⋅ 39 (=1)
39= 97-1⋅58	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅58 +3⋅(97 -1⋅ 58) = -2⋅58 +3⋅97 -3⋅ 58) = 3⋅97 -5⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(97,58)=1 = 3⋅97 -5⋅58

oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅97 = -5⋅58

-5⋅58 = -3⋅97 + 1 |+97⋅58

-5⋅58 + 97⋅58 = -3⋅97 + 97⋅58 + 1

(-5 + 97) ⋅ 58 = (-3 + 58) ⋅ 97 + 1

92⋅58 = 55⋅97 + 1

Es gilt also: 92⋅58 = 55⋅97 +1

Somit 92⋅58 = 1 mod 97

92 ist also das Inverse von 58 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 58

Schlüsselpaar für RSA