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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45000 + 1801) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45000 + 1801) mod 9 ≡ (45000 mod 9 + 1801 mod 9) mod 9.
45000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45000
= 45000
1801 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1801
= 1800
Somit gilt:
(45000 + 1801) mod 9 ≡ (0 + 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 16) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 16) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 16 mod 10) mod 10.
84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.
16 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 10 + 6 = 1 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 16) mod 10 ≡ (4 ⋅ 6) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 368128 mod 491.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 368 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3681=368
2: 3682=3681+1=3681⋅3681 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 399 mod 491
4: 3684=3682+2=3682⋅3682 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 117 mod 491
8: 3688=3684+4=3684⋅3684 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 432 mod 491
16: 36816=3688+8=3688⋅3688 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 44 mod 491
32: 36832=36816+16=36816⋅36816 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 463 mod 491
64: 36864=36832+32=36832⋅36832 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 293 mod 491
128: 368128=36864+64=36864⋅36864 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 415 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 346204 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:
204 = 128+64+8+4
1: 3461=346
2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 401 mod 487
4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 91 mod 487
8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 2 mod 487
16: 34616=3468+8=3468⋅3468 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 487
32: 34632=34616+16=34616⋅34616 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 487
64: 34664=34632+32=34632⋅34632 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 487
128: 346128=34664+64=34664⋅34664 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 278 mod 487
346204
= 346128+64+8+4
= 346128⋅34664⋅3468⋅3464
≡ 278 ⋅ 256 ⋅ 2 ⋅ 91 mod 487
≡ 71168 ⋅ 2 ⋅ 91 mod 487 ≡ 66 ⋅ 2 ⋅ 91 mod 487
≡ 132 ⋅ 91 mod 487
≡ 12012 mod 487 ≡ 324 mod 487
Es gilt also: 346204 ≡ 324 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44
| =>59 | = 1⋅44 + 15 |
| =>44 | = 2⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 44-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15) = -1⋅44 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 59-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44) = 3⋅59 -4⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44
oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅59 = -4⋅44
-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44
-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1
(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1
55⋅44 = 41⋅59 + 1
Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1
Somit 55⋅44 = 1 mod 59
55 ist also das Inverse von 44 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
