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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (10000 - 2005) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10000 - 2005) mod 5 ≡ (10000 mod 5 - 2005 mod 5) mod 5.

10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000 = 10000+0 = 5 ⋅ 2000 +0.

2005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2005 = 2000+5 = 5 ⋅ 400 +5.

Somit gilt:

(10000 - 2005) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 35) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 35) mod 10 ≡ (42 mod 10 ⋅ 35 mod 10) mod 10.

42 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 4 ⋅ 10 + 2 ist.

35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 35) mod 10 ≡ (2 ⋅ 5) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 83³² mod 269.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 83 -> x
2. mod(x²,269) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 83¹=83

2: 83²=83¹⁺¹=83¹⋅83¹ ≡ 83⋅83=6889 ≡ 164 mod 269

4: 83⁴=83²⁺²=83²⋅83² ≡ 164⋅164=26896 ≡ 265 mod 269

8: 83⁸=83⁴⁺⁴=83⁴⋅83⁴ ≡ 265⋅265=70225 ≡ 16 mod 269

16: 83¹⁶=83⁸⁺⁸=83⁸⋅83⁸ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 269

32: 83³²=83¹⁶⁺¹⁶=83¹⁶⋅83¹⁶ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 169 mod 269

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 560²¹⁸ mod 577.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:

218 = 128+64+16+8+2

1: 560¹=560

2: 560²=560¹⁺¹=560¹⋅560¹ ≡ 560⋅560=313600 ≡ 289 mod 577

4: 560⁴=560²⁺²=560²⋅560² ≡ 289⋅289=83521 ≡ 433 mod 577

8: 560⁸=560⁴⁺⁴=560⁴⋅560⁴ ≡ 433⋅433=187489 ≡ 541 mod 577

16: 560¹⁶=560⁸⁺⁸=560⁸⋅560⁸ ≡ 541⋅541=292681 ≡ 142 mod 577

32: 560³²=560¹⁶⁺¹⁶=560¹⁶⋅560¹⁶ ≡ 142⋅142=20164 ≡ 546 mod 577

64: 560⁶⁴=560³²⁺³²=560³²⋅560³² ≡ 546⋅546=298116 ≡ 384 mod 577

128: 560¹²⁸=560⁶⁴⁺⁶⁴=560⁶⁴⋅560⁶⁴ ≡ 384⋅384=147456 ≡ 321 mod 577

560²¹⁸

= 560^{128+64+16+8+2}

= 560¹²⁸⋅560⁶⁴⋅560¹⁶⋅560⁸⋅560²

≡ 321 ⋅ 384 ⋅ 142 ⋅ 541 ⋅ 289 mod 577
≡ 123264 ⋅ 142 ⋅ 541 ⋅ 289 mod 577 ≡ 363 ⋅ 142 ⋅ 541 ⋅ 289 mod 577
≡ 51546 ⋅ 541 ⋅ 289 mod 577 ≡ 193 ⋅ 541 ⋅ 289 mod 577
≡ 104413 ⋅ 289 mod 577 ≡ 553 ⋅ 289 mod 577
≡ 159817 mod 577 ≡ 565 mod 577

Es gilt also: 560²¹⁸ ≡ 565 mod 577

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 26.

Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 26

=>61	= 2⋅26 + 9
=>26	= 2⋅9 + 8
=>9	= 1⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,26)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 26-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9) = 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9) = -1⋅26 +3⋅ 9 (=1)
9= 61-2⋅26	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅26 +3⋅(61 -2⋅ 26) = -1⋅26 +3⋅61 -6⋅ 26) = 3⋅61 -7⋅ 26 (=1)

Es gilt also: ggt(61,26)=1 = 3⋅61 -7⋅26

oder wenn man 3⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅61 = -7⋅26

-7⋅26 = -3⋅61 + 1 |+61⋅26

-7⋅26 + 61⋅26 = -3⋅61 + 61⋅26 + 1

(-7 + 61) ⋅ 26 = (-3 + 26) ⋅ 61 + 1

54⋅26 = 23⋅61 + 1

Es gilt also: 54⋅26 = 23⋅61 +1

Somit 54⋅26 = 1 mod 61

54 ist also das Inverse von 26 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 26

Schlüsselpaar für RSA