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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14997 - 3002) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14997 - 3002) mod 3 ≡ (14997 mod 3 - 3002 mod 3) mod 3.

14997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997 = 15000-3 = 3 ⋅ 5000 -3 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 0.

3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002 = 3000+2 = 3 ⋅ 1000 +2.

Somit gilt:

(14997 - 3002) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 31) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 31) mod 7 ≡ (64 mod 7 ⋅ 31 mod 7) mod 7.

64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 9 ⋅ 7 + 1 ist.

31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 31) mod 7 ≡ (1 ⋅ 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 37232 mod 541.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 372 -> x
2. mod(x²,541) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3721=372

2: 3722=3721+1=3721⋅3721 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 429 mod 541

4: 3724=3722+2=3722⋅3722 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 101 mod 541

8: 3728=3724+4=3724⋅3724 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 463 mod 541

16: 37216=3728+8=3728⋅3728 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 133 mod 541

32: 37232=37216+16=37216⋅37216 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 377 mod 541

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 557165 mod 733.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:

165 = 128+32+4+1

1: 5571=557

2: 5572=5571+1=5571⋅5571 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 190 mod 733

4: 5574=5572+2=5572⋅5572 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 183 mod 733

8: 5578=5574+4=5574⋅5574 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 504 mod 733

16: 55716=5578+8=5578⋅5578 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 398 mod 733

32: 55732=55716+16=55716⋅55716 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 76 mod 733

64: 55764=55732+32=55732⋅55732 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 645 mod 733

128: 557128=55764+64=55764⋅55764 ≡ 645⋅645=416025 ≡ 414 mod 733

557165

= 557128+32+4+1

= 557128⋅55732⋅5574⋅5571

≡ 414 ⋅ 76 ⋅ 183 ⋅ 557 mod 733
≡ 31464 ⋅ 183 ⋅ 557 mod 733 ≡ 678 ⋅ 183 ⋅ 557 mod 733
≡ 124074 ⋅ 557 mod 733 ≡ 197 ⋅ 557 mod 733
≡ 109729 mod 733 ≡ 512 mod 733

Es gilt also: 557165 ≡ 512 mod 733

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 73.

Also bestimme x, so dass 73 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 73

=>83 = 1⋅73 + 10
=>73 = 7⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,73)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 73-7⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(73 -7⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅73 +21⋅ 10)
= -3⋅73 +22⋅ 10 (=1)
10= 83-1⋅73 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅73 +22⋅(83 -1⋅ 73)
= -3⋅73 +22⋅83 -22⋅ 73)
= 22⋅83 -25⋅ 73 (=1)

Es gilt also: ggt(83,73)=1 = 22⋅83 -25⋅73

oder wenn man 22⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -22⋅83 = -25⋅73

-25⋅73 = -22⋅83 + 1 |+83⋅73

-25⋅73 + 83⋅73 = -22⋅83 + 83⋅73 + 1

(-25 + 83) ⋅ 73 = (-22 + 73) ⋅ 83 + 1

58⋅73 = 51⋅83 + 1

Es gilt also: 58⋅73 = 51⋅83 +1

Somit 58⋅73 = 1 mod 83

58 ist also das Inverse von 73 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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