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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1198 - 601) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1198 - 601) mod 3 ≡ (1198 mod 3 - 601 mod 3) mod 3.

1198 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1200-2 = 3 ⋅ 400 -2 = 3 ⋅ 400 - 3 + 1.

601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 3 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(1198 - 601) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 26) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 26) mod 5 ≡ (57 mod 5 ⋅ 26 mod 5) mod 5.

57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.

26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 26) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 47832 mod 683.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 478 -> x
2. mod(x²,683) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4781=478

2: 4782=4781+1=4781⋅4781 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 362 mod 683

4: 4784=4782+2=4782⋅4782 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 591 mod 683

8: 4788=4784+4=4784⋅4784 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 268 mod 683

16: 47816=4788+8=4788⋅4788 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 109 mod 683

32: 47832=47816+16=47816⋅47816 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 270 mod 683

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 128114 mod 379.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:

114 = 64+32+16+2

1: 1281=128

2: 1282=1281+1=1281⋅1281 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 87 mod 379

4: 1284=1282+2=1282⋅1282 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 368 mod 379

8: 1288=1284+4=1284⋅1284 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 121 mod 379

16: 12816=1288+8=1288⋅1288 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 239 mod 379

32: 12832=12816+16=12816⋅12816 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 271 mod 379

64: 12864=12832+32=12832⋅12832 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 294 mod 379

128114

= 12864+32+16+2

= 12864⋅12832⋅12816⋅1282

≡ 294 ⋅ 271 ⋅ 239 ⋅ 87 mod 379
≡ 79674 ⋅ 239 ⋅ 87 mod 379 ≡ 84 ⋅ 239 ⋅ 87 mod 379
≡ 20076 ⋅ 87 mod 379 ≡ 368 ⋅ 87 mod 379
≡ 32016 mod 379 ≡ 180 mod 379

Es gilt also: 128114 ≡ 180 mod 379

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50

=>73 = 1⋅50 + 23
=>50 = 2⋅23 + 4
=>23 = 5⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 23-5⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4)
= -1⋅23 +6⋅ 4 (=1)
4= 50-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23)
= 6⋅50 -13⋅ 23 (=1)
23= 73-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50)
= 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50)
= -13⋅73 +19⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +19⋅50

Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1

Somit 19⋅50 = 1 mod 73

19 ist also das Inverse von 50 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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