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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15001 - 9003) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15001 - 9003) mod 3 ≡ (15001 mod 3 - 9003 mod 3) mod 3.

15001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15001 = 15000+1 = 3 ⋅ 5000 +1.

9003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003 = 9000+3 = 3 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(15001 - 9003) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 42) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 42) mod 5 ≡ (91 mod 5 ⋅ 42 mod 5) mod 5.

91 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 18 ⋅ 5 + 1 ist.

42 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 8 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 42) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 235¹²⁸ mod 239.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 235 -> x
2. mod(x²,239) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 235¹=235

2: 235²=235¹⁺¹=235¹⋅235¹ ≡ 235⋅235=55225 ≡ 16 mod 239

4: 235⁴=235²⁺²=235²⋅235² ≡ 16⋅16=256 ≡ 17 mod 239

8: 235⁸=235⁴⁺⁴=235⁴⋅235⁴ ≡ 17⋅17=289 ≡ 50 mod 239

16: 235¹⁶=235⁸⁺⁸=235⁸⋅235⁸ ≡ 50⋅50=2500 ≡ 110 mod 239

32: 235³²=235¹⁶⁺¹⁶=235¹⁶⋅235¹⁶ ≡ 110⋅110=12100 ≡ 150 mod 239

64: 235⁶⁴=235³²⁺³²=235³²⋅235³² ≡ 150⋅150=22500 ≡ 34 mod 239

128: 235¹²⁸=235⁶⁴⁺⁶⁴=235⁶⁴⋅235⁶⁴ ≡ 34⋅34=1156 ≡ 200 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 90¹⁸⁷ mod 229.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

1: 90¹=90

2: 90²=90¹⁺¹=90¹⋅90¹ ≡ 90⋅90=8100 ≡ 85 mod 229

4: 90⁴=90²⁺²=90²⋅90² ≡ 85⋅85=7225 ≡ 126 mod 229

8: 90⁸=90⁴⁺⁴=90⁴⋅90⁴ ≡ 126⋅126=15876 ≡ 75 mod 229

16: 90¹⁶=90⁸⁺⁸=90⁸⋅90⁸ ≡ 75⋅75=5625 ≡ 129 mod 229

32: 90³²=90¹⁶⁺¹⁶=90¹⁶⋅90¹⁶ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 153 mod 229

64: 90⁶⁴=90³²⁺³²=90³²⋅90³² ≡ 153⋅153=23409 ≡ 51 mod 229

128: 90¹²⁸=90⁶⁴⁺⁶⁴=90⁶⁴⋅90⁶⁴ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 82 mod 229

90¹⁸⁷

= 90^{128+32+16+8+2+1}

= 90¹²⁸⋅90³²⋅90¹⁶⋅90⁸⋅90²⋅90¹

≡ 82 ⋅ 153 ⋅ 129 ⋅ 75 ⋅ 85 ⋅ 90 mod 229
≡ 12546 ⋅ 129 ⋅ 75 ⋅ 85 ⋅ 90 mod 229 ≡ 180 ⋅ 129 ⋅ 75 ⋅ 85 ⋅ 90 mod 229
≡ 23220 ⋅ 75 ⋅ 85 ⋅ 90 mod 229 ≡ 91 ⋅ 75 ⋅ 85 ⋅ 90 mod 229
≡ 6825 ⋅ 85 ⋅ 90 mod 229 ≡ 184 ⋅ 85 ⋅ 90 mod 229
≡ 15640 ⋅ 90 mod 229 ≡ 68 ⋅ 90 mod 229
≡ 6120 mod 229 ≡ 166 mod 229

Es gilt also: 90¹⁸⁷ ≡ 166 mod 229

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 35

=>61	= 1⋅35 + 26
=>35	= 1⋅26 + 9
=>26	= 2⋅9 + 8
=>9	= 1⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 26-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9) = 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9) = -1⋅26 +3⋅ 9 (=1)
9= 35-1⋅26	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅26 +3⋅(35 -1⋅ 26) = -1⋅26 +3⋅35 -3⋅ 26) = 3⋅35 -4⋅ 26 (=1)
26= 61-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅35 -4⋅(61 -1⋅ 35) = 3⋅35 -4⋅61 +4⋅ 35) = -4⋅61 +7⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(61,35)=1 = -4⋅61 +7⋅35

oder wenn man -4⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +4⋅61 = +7⋅35

Es gilt also: 7⋅35 = 4⋅61 +1

Somit 7⋅35 = 1 mod 61

7 ist also das Inverse von 35 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 35

Schlüsselpaar für RSA