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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35000 + 1401) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35000 + 1401) mod 7 ≡ (35000 mod 7 + 1401 mod 7) mod 7.

35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000 = 35000+0 = 7 ⋅ 5000 +0.

1401 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1401 = 1400+1 = 7 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(35000 + 1401) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 32) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 32) mod 11 ≡ (98 mod 11 ⋅ 32 mod 11) mod 11.

98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.

32 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 22 + 10 = 2 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 32) mod 11 ≡ (10 ⋅ 10) mod 11 ≡ 100 mod 11 ≡ 1 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50164 mod 599.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 501 -> x
2. mod(x²,599) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5011=501

2: 5012=5011+1=5011⋅5011 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 20 mod 599

4: 5014=5012+2=5012⋅5012 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 599

8: 5018=5014+4=5014⋅5014 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 67 mod 599

16: 50116=5018+8=5018⋅5018 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 296 mod 599

32: 50132=50116+16=50116⋅50116 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 162 mod 599

64: 50164=50132+32=50132⋅50132 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 487 mod 599

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 645140 mod 859.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:

140 = 128+8+4

1: 6451=645

2: 6452=6451+1=6451⋅6451 ≡ 645⋅645=416025 ≡ 269 mod 859

4: 6454=6452+2=6452⋅6452 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 205 mod 859

8: 6458=6454+4=6454⋅6454 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 793 mod 859

16: 64516=6458+8=6458⋅6458 ≡ 793⋅793=628849 ≡ 61 mod 859

32: 64532=64516+16=64516⋅64516 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 285 mod 859

64: 64564=64532+32=64532⋅64532 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 479 mod 859

128: 645128=64564+64=64564⋅64564 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 88 mod 859

645140

= 645128+8+4

= 645128⋅6458⋅6454

≡ 88 ⋅ 793 ⋅ 205 mod 859
≡ 69784 ⋅ 205 mod 859 ≡ 205 ⋅ 205 mod 859
≡ 42025 mod 859 ≡ 793 mod 859

Es gilt also: 645140 ≡ 793 mod 859

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 55

=>79 = 1⋅55 + 24
=>55 = 2⋅24 + 7
=>24 = 3⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 24-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7)
= -2⋅24 +7⋅ 7 (=1)
7= 55-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅24 +7⋅(55 -2⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅55 -14⋅ 24)
= 7⋅55 -16⋅ 24 (=1)
24= 79-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅55 -16⋅(79 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -16⋅79 +16⋅ 55)
= -16⋅79 +23⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(79,55)=1 = -16⋅79 +23⋅55

oder wenn man -16⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅79 = +23⋅55

Es gilt also: 23⋅55 = 16⋅79 +1

Somit 23⋅55 = 1 mod 79

23 ist also das Inverse von 55 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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