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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (457 + 8997) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(457 + 8997) mod 9 ≡ (457 mod 9 + 8997 mod 9) mod 9.

457 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 457 = 450+7 = 9 ⋅ 50 +7.

8997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997 = 9000-3 = 9 ⋅ 1000 -3 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 6.

Somit gilt:

(457 + 8997) mod 9 ≡ (7 + 6) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 53) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 53) mod 8 ≡ (74 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.

74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 9 ⋅ 8 + 2 ist.

53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 53) mod 8 ≡ (2 ⋅ 5) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3498 mod 419.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 349 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3491=349

2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 291 mod 419

4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 43 mod 419

8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 173 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14061 mod 379.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:

61 = 32+16+8+4+1

1: 1401=140

2: 1402=1401+1=1401⋅1401 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 271 mod 379

4: 1404=1402+2=1402⋅1402 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 294 mod 379

8: 1408=1404+4=1404⋅1404 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 24 mod 379

16: 14016=1408+8=1408⋅1408 ≡ 24⋅24=576 ≡ 197 mod 379

32: 14032=14016+16=14016⋅14016 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 151 mod 379

14061

= 14032+16+8+4+1

= 14032⋅14016⋅1408⋅1404⋅1401

≡ 151 ⋅ 197 ⋅ 24 ⋅ 294 ⋅ 140 mod 379
≡ 29747 ⋅ 24 ⋅ 294 ⋅ 140 mod 379 ≡ 185 ⋅ 24 ⋅ 294 ⋅ 140 mod 379
≡ 4440 ⋅ 294 ⋅ 140 mod 379 ≡ 271 ⋅ 294 ⋅ 140 mod 379
≡ 79674 ⋅ 140 mod 379 ≡ 84 ⋅ 140 mod 379
≡ 11760 mod 379 ≡ 11 mod 379

Es gilt also: 14061 ≡ 11 mod 379

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.

Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19

=>61 = 3⋅19 + 4
=>19 = 4⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 19-4⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4)
= -1⋅19 +5⋅ 4 (=1)
4= 61-3⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19)
= 5⋅61 -16⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19

oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅61 = -16⋅19

-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19

-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1

(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1

45⋅19 = 14⋅61 + 1

Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1

Somit 45⋅19 = 1 mod 61

45 ist also das Inverse von 19 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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