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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2392 + 1605) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2392 + 1605) mod 8 ≡ (2392 mod 8 + 1605 mod 8) mod 8.
2392 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2392
= 2400
1605 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1605
= 1600
Somit gilt:
(2392 + 1605) mod 8 ≡ (0 + 5) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 63) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 63) mod 8 ≡ (54 mod 8 ⋅ 63 mod 8) mod 8.
54 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 48 + 6 = 6 ⋅ 8 + 6 ist.
63 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 56 + 7 = 7 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 63) mod 8 ≡ (6 ⋅ 7) mod 8 ≡ 42 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42532 mod 457.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 425 -> x
2. mod(x²,457) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4251=425
2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 110 mod 457
4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 218 mod 457
8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 453 mod 457
16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 16 mod 457
32: 42532=42516+16=42516⋅42516 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 457
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 149129 mod 331.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:
129 = 128+1
1: 1491=149
2: 1492=1491+1=1491⋅1491 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 24 mod 331
4: 1494=1492+2=1492⋅1492 ≡ 24⋅24=576 ≡ 245 mod 331
8: 1498=1494+4=1494⋅1494 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 114 mod 331
16: 14916=1498+8=1498⋅1498 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 87 mod 331
32: 14932=14916+16=14916⋅14916 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 287 mod 331
64: 14964=14932+32=14932⋅14932 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 281 mod 331
128: 149128=14964+64=14964⋅14964 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 183 mod 331
149129
= 149128+1
= 149128⋅1491
≡ 183 ⋅ 149 mod 331
≡ 27267 mod 331 ≡ 125 mod 331
Es gilt also: 149129 ≡ 125 mod 331
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 75
| =>83 | = 1⋅75 + 8 |
| =>75 | = 9⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 75-9⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(75 -9⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅75 -27⋅ 8) = 3⋅75 -28⋅ 8 (=1) |
| 8= 83-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅75 -28⋅(83 -1⋅ 75)
= 3⋅75 -28⋅83 +28⋅ 75) = -28⋅83 +31⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,75)=1 = -28⋅83 +31⋅75
oder wenn man -28⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +28⋅83 = +31⋅75
Es gilt also: 31⋅75 = 28⋅83 +1
Somit 31⋅75 = 1 mod 83
31 ist also das Inverse von 75 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.