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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2997 - 1803) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2997 - 1803) mod 6 ≡ (2997 mod 6 - 1803 mod 6) mod 6.

2997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997 = 3000-3 = 6 ⋅ 500 -3 = 6 ⋅ 500 - 6 + 3.

1803 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1803 = 1800+3 = 6 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(2997 - 1803) mod 6 ≡ (3 - 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 67) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 67) mod 3 ≡ (92 mod 3 ⋅ 67 mod 3) mod 3.

92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 30 ⋅ 3 + 2 ist.

67 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 22 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 67) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 326128 mod 877.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 326 -> x
2. mod(x²,877) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3261=326

2: 3262=3261+1=3261⋅3261 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 159 mod 877

4: 3264=3262+2=3262⋅3262 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 725 mod 877

8: 3268=3264+4=3264⋅3264 ≡ 725⋅725=525625 ≡ 302 mod 877

16: 32616=3268+8=3268⋅3268 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 873 mod 877

32: 32632=32616+16=32616⋅32616 ≡ 873⋅873=762129 ≡ 16 mod 877

64: 32664=32632+32=32632⋅32632 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 877

128: 326128=32664+64=32664⋅32664 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 638 mod 877

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 273200 mod 397.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:

200 = 128+64+8

1: 2731=273

2: 2732=2731+1=2731⋅2731 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 290 mod 397

4: 2734=2732+2=2732⋅2732 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 333 mod 397

8: 2738=2734+4=2734⋅2734 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 126 mod 397

16: 27316=2738+8=2738⋅2738 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 393 mod 397

32: 27332=27316+16=27316⋅27316 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 16 mod 397

64: 27364=27332+32=27332⋅27332 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 397

128: 273128=27364+64=27364⋅27364 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 31 mod 397

273200

= 273128+64+8

= 273128⋅27364⋅2738

≡ 31 ⋅ 256 ⋅ 126 mod 397
≡ 7936 ⋅ 126 mod 397 ≡ 393 ⋅ 126 mod 397
≡ 49518 mod 397 ≡ 290 mod 397

Es gilt also: 273200 ≡ 290 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34

=>61 = 1⋅34 + 27
=>34 = 1⋅27 + 7
=>27 = 3⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7)
= -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 34-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27)
= 4⋅34 -5⋅ 27 (=1)
27= 61-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34)
= -5⋅61 +9⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +9⋅34

Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1

Somit 9⋅34 = 1 mod 61

9 ist also das Inverse von 34 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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