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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35992 + 899) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35992 + 899) mod 9 ≡ (35992 mod 9 + 899 mod 9) mod 9.

35992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35992 = 36000-8 = 9 ⋅ 4000 -8 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 1.

899 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 899 = 900-1 = 9 ⋅ 100 -1 = 9 ⋅ 100 - 9 + 8.

Somit gilt:

(35992 + 899) mod 9 ≡ (1 + 8) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 79) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 79) mod 5 ≡ (24 mod 5 ⋅ 79 mod 5) mod 5.

24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.

79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 79) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 112³² mod 239.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 112 -> x
2. mod(x²,239) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 112¹=112

2: 112²=112¹⁺¹=112¹⋅112¹ ≡ 112⋅112=12544 ≡ 116 mod 239

4: 112⁴=112²⁺²=112²⋅112² ≡ 116⋅116=13456 ≡ 72 mod 239

8: 112⁸=112⁴⁺⁴=112⁴⋅112⁴ ≡ 72⋅72=5184 ≡ 165 mod 239

16: 112¹⁶=112⁸⁺⁸=112⁸⋅112⁸ ≡ 165⋅165=27225 ≡ 218 mod 239

32: 112³²=112¹⁶⁺¹⁶=112¹⁶⋅112¹⁶ ≡ 218⋅218=47524 ≡ 202 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 238²⁰⁸ mod 397.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:

208 = 128+64+16

1: 238¹=238

2: 238²=238¹⁺¹=238¹⋅238¹ ≡ 238⋅238=56644 ≡ 270 mod 397

4: 238⁴=238²⁺²=238²⋅238² ≡ 270⋅270=72900 ≡ 249 mod 397

8: 238⁸=238⁴⁺⁴=238⁴⋅238⁴ ≡ 249⋅249=62001 ≡ 69 mod 397

16: 238¹⁶=238⁸⁺⁸=238⁸⋅238⁸ ≡ 69⋅69=4761 ≡ 394 mod 397

32: 238³²=238¹⁶⁺¹⁶=238¹⁶⋅238¹⁶ ≡ 394⋅394=155236 ≡ 9 mod 397

64: 238⁶⁴=238³²⁺³²=238³²⋅238³² ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 397

128: 238¹²⁸=238⁶⁴⁺⁶⁴=238⁶⁴⋅238⁶⁴ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 209 mod 397

238²⁰⁸

= 238^128+64+16

= 238¹²⁸⋅238⁶⁴⋅238¹⁶

≡ 209 ⋅ 81 ⋅ 394 mod 397
≡ 16929 ⋅ 394 mod 397 ≡ 255 ⋅ 394 mod 397
≡ 100470 mod 397 ≡ 29 mod 397

Es gilt also: 238²⁰⁸ ≡ 29 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 90.

Also bestimme x, so dass 90 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 90

=>97	= 1⋅90 + 7
=>90	= 12⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,90)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 90-12⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(90 -12⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅90 +12⋅ 7) = -1⋅90 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-1⋅90	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅90 +13⋅(97 -1⋅ 90) = -1⋅90 +13⋅97 -13⋅ 90) = 13⋅97 -14⋅ 90 (=1)

Es gilt also: ggt(97,90)=1 = 13⋅97 -14⋅90

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -14⋅90

-14⋅90 = -13⋅97 + 1 |+97⋅90

-14⋅90 + 97⋅90 = -13⋅97 + 97⋅90 + 1

(-14 + 97) ⋅ 90 = (-13 + 90) ⋅ 97 + 1

83⋅90 = 77⋅97 + 1

Es gilt also: 83⋅90 = 77⋅97 +1

Somit 83⋅90 = 1 mod 97

83 ist also das Inverse von 90 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 90

Schlüsselpaar für RSA