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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (445 + 358) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(445 + 358) mod 9 ≡ (445 mod 9 + 358 mod 9) mod 9.

445 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 445 = 450-5 = 9 ⋅ 50 -5 = 9 ⋅ 50 - 9 + 4.

358 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 358 = 360-2 = 9 ⋅ 40 -2 = 9 ⋅ 40 - 9 + 7.

Somit gilt:

(445 + 358) mod 9 ≡ (4 + 7) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 20) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 20) mod 7 ≡ (16 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.

16 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 14 + 2 = 2 ⋅ 7 + 2 ist.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 20) mod 7 ≡ (2 ⋅ 6) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 587¹²⁸ mod 659.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 587 -> x
2. mod(x²,659) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 587¹=587

2: 587²=587¹⁺¹=587¹⋅587¹ ≡ 587⋅587=344569 ≡ 571 mod 659

4: 587⁴=587²⁺²=587²⋅587² ≡ 571⋅571=326041 ≡ 495 mod 659

8: 587⁸=587⁴⁺⁴=587⁴⋅587⁴ ≡ 495⋅495=245025 ≡ 536 mod 659

16: 587¹⁶=587⁸⁺⁸=587⁸⋅587⁸ ≡ 536⋅536=287296 ≡ 631 mod 659

32: 587³²=587¹⁶⁺¹⁶=587¹⁶⋅587¹⁶ ≡ 631⋅631=398161 ≡ 125 mod 659

64: 587⁶⁴=587³²⁺³²=587³²⋅587³² ≡ 125⋅125=15625 ≡ 468 mod 659

128: 587¹²⁸=587⁶⁴⁺⁶⁴=587⁶⁴⋅587⁶⁴ ≡ 468⋅468=219024 ≡ 236 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 161²³⁷ mod 251.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 237 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 237 an und zerlegen 237 in eine Summer von 2er-Potenzen:

237 = 128+64+32+8+4+1

1: 161¹=161

2: 161²=161¹⁺¹=161¹⋅161¹ ≡ 161⋅161=25921 ≡ 68 mod 251

4: 161⁴=161²⁺²=161²⋅161² ≡ 68⋅68=4624 ≡ 106 mod 251

8: 161⁸=161⁴⁺⁴=161⁴⋅161⁴ ≡ 106⋅106=11236 ≡ 192 mod 251

16: 161¹⁶=161⁸⁺⁸=161⁸⋅161⁸ ≡ 192⋅192=36864 ≡ 218 mod 251

32: 161³²=161¹⁶⁺¹⁶=161¹⁶⋅161¹⁶ ≡ 218⋅218=47524 ≡ 85 mod 251

64: 161⁶⁴=161³²⁺³²=161³²⋅161³² ≡ 85⋅85=7225 ≡ 197 mod 251

128: 161¹²⁸=161⁶⁴⁺⁶⁴=161⁶⁴⋅161⁶⁴ ≡ 197⋅197=38809 ≡ 155 mod 251

161²³⁷

= 161^{128+64+32+8+4+1}

= 161¹²⁸⋅161⁶⁴⋅161³²⋅161⁸⋅161⁴⋅161¹

≡ 155 ⋅ 197 ⋅ 85 ⋅ 192 ⋅ 106 ⋅ 161 mod 251
≡ 30535 ⋅ 85 ⋅ 192 ⋅ 106 ⋅ 161 mod 251 ≡ 164 ⋅ 85 ⋅ 192 ⋅ 106 ⋅ 161 mod 251
≡ 13940 ⋅ 192 ⋅ 106 ⋅ 161 mod 251 ≡ 135 ⋅ 192 ⋅ 106 ⋅ 161 mod 251
≡ 25920 ⋅ 106 ⋅ 161 mod 251 ≡ 67 ⋅ 106 ⋅ 161 mod 251
≡ 7102 ⋅ 161 mod 251 ≡ 74 ⋅ 161 mod 251
≡ 11914 mod 251 ≡ 117 mod 251

Es gilt also: 161²³⁷ ≡ 117 mod 251

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89	= 1⋅53 + 36
=>53	= 1⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53) = 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

Schlüsselpaar für RSA