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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8997 - 3592) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8997 - 3592) mod 9 ≡ (8997 mod 9 - 3592 mod 9) mod 9.
8997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997
= 9000
3592 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3592
= 3600
Somit gilt:
(8997 - 3592) mod 9 ≡ (6 - 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 67) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 67) mod 5 ≡ (31 mod 5 ⋅ 67 mod 5) mod 5.
31 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 6 ⋅ 5 + 1 ist.
67 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 65 + 2 = 13 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 67) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1848 mod 263.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 184 -> x
2. mod(x²,263) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1841=184
2: 1842=1841+1=1841⋅1841 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 192 mod 263
4: 1844=1842+2=1842⋅1842 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 44 mod 263
8: 1848=1844+4=1844⋅1844 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 95 mod 263
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 299163 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 2991=299
2: 2992=2991+1=2991⋅2991 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 707 mod 727
4: 2994=2992+2=2992⋅2992 ≡ 707⋅707=499849 ≡ 400 mod 727
8: 2998=2994+4=2994⋅2994 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 60 mod 727
16: 29916=2998+8=2998⋅2998 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 692 mod 727
32: 29932=29916+16=29916⋅29916 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 498 mod 727
64: 29964=29932+32=29932⋅29932 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 97 mod 727
128: 299128=29964+64=29964⋅29964 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 685 mod 727
299163
= 299128+32+2+1
= 299128⋅29932⋅2992⋅2991
≡ 685 ⋅ 498 ⋅ 707 ⋅ 299 mod 727
≡ 341130 ⋅ 707 ⋅ 299 mod 727 ≡ 167 ⋅ 707 ⋅ 299 mod 727
≡ 118069 ⋅ 299 mod 727 ≡ 295 ⋅ 299 mod 727
≡ 88205 mod 727 ≡ 238 mod 727
Es gilt also: 299163 ≡ 238 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 70.
Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70
| =>101 | = 1⋅70 + 31 |
| =>70 | = 2⋅31 + 8 |
| =>31 | = 3⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,70)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 31-3⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1) |
| 8= 70-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31)
= -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31) = 4⋅70 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 101-1⋅70 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70) = -9⋅101 +13⋅ 70 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +13⋅70
Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1
Somit 13⋅70 = 1 mod 101
13 ist also das Inverse von 70 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.