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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (300 - 23996) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(300 - 23996) mod 6 ≡ (300 mod 6 - 23996 mod 6) mod 6.
300 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300
= 300
23996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23996
= 24000
Somit gilt:
(300 - 23996) mod 6 ≡ (0 - 2) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 24) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 24) mod 8 ≡ (37 mod 8 ⋅ 24 mod 8) mod 8.
37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.
24 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 3 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 24) mod 8 ≡ (5 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25564 mod 769.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 255 -> x
2. mod(x²,769) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2551=255
2: 2552=2551+1=2551⋅2551 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 429 mod 769
4: 2554=2552+2=2552⋅2552 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 250 mod 769
8: 2558=2554+4=2554⋅2554 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 211 mod 769
16: 25516=2558+8=2558⋅2558 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 688 mod 769
32: 25532=25516+16=25516⋅25516 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 409 mod 769
64: 25564=25532+32=25532⋅25532 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 408 mod 769
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48098 mod 563.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:
98 = 64+32+2
1: 4801=480
2: 4802=4801+1=4801⋅4801 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 133 mod 563
4: 4804=4802+2=4802⋅4802 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 236 mod 563
8: 4808=4804+4=4804⋅4804 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 522 mod 563
16: 48016=4808+8=4808⋅4808 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 555 mod 563
32: 48032=48016+16=48016⋅48016 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 64 mod 563
64: 48064=48032+32=48032⋅48032 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 155 mod 563
48098
= 48064+32+2
= 48064⋅48032⋅4802
≡ 155 ⋅ 64 ⋅ 133 mod 563
≡ 9920 ⋅ 133 mod 563 ≡ 349 ⋅ 133 mod 563
≡ 46417 mod 563 ≡ 251 mod 563
Es gilt also: 48098 ≡ 251 mod 563
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18
| =>61 | = 3⋅18 + 7 |
| =>18 | = 2⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 18-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +17⋅18
Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1
Somit 17⋅18 = 1 mod 61
17 ist also das Inverse von 18 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.