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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 - 94) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 - 94) mod 9 ≡ (86 mod 9 - 94 mod 9) mod 9.

86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 90-4 = 9 ⋅ 10 -4 = 9 ⋅ 10 - 9 + 5.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90+4 = 9 ⋅ 10 +4.

Somit gilt:

(86 - 94) mod 9 ≡ (5 - 4) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 52) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 52) mod 10 ≡ (71 mod 10 ⋅ 52 mod 10) mod 10.

71 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 7 ⋅ 10 + 1 ist.

52 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 5 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 52) mod 10 ≡ (1 ⋅ 2) mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 655¹²⁸ mod 733.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 655 -> x
2. mod(x²,733) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 655¹=655

2: 655²=655¹⁺¹=655¹⋅655¹ ≡ 655⋅655=429025 ≡ 220 mod 733

4: 655⁴=655²⁺²=655²⋅655² ≡ 220⋅220=48400 ≡ 22 mod 733

8: 655⁸=655⁴⁺⁴=655⁴⋅655⁴ ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 733

16: 655¹⁶=655⁸⁺⁸=655⁸⋅655⁸ ≡ 484⋅484=234256 ≡ 429 mod 733

32: 655³²=655¹⁶⁺¹⁶=655¹⁶⋅655¹⁶ ≡ 429⋅429=184041 ≡ 58 mod 733

64: 655⁶⁴=655³²⁺³²=655³²⋅655³² ≡ 58⋅58=3364 ≡ 432 mod 733

128: 655¹²⁸=655⁶⁴⁺⁶⁴=655⁶⁴⋅655⁶⁴ ≡ 432⋅432=186624 ≡ 442 mod 733

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 125⁶³ mod 283.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

1: 125¹=125

2: 125²=125¹⁺¹=125¹⋅125¹ ≡ 125⋅125=15625 ≡ 60 mod 283

4: 125⁴=125²⁺²=125²⋅125² ≡ 60⋅60=3600 ≡ 204 mod 283

8: 125⁸=125⁴⁺⁴=125⁴⋅125⁴ ≡ 204⋅204=41616 ≡ 15 mod 283

16: 125¹⁶=125⁸⁺⁸=125⁸⋅125⁸ ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 283

32: 125³²=125¹⁶⁺¹⁶=125¹⁶⋅125¹⁶ ≡ 225⋅225=50625 ≡ 251 mod 283

125⁶³

= 125^{32+16+8+4+2+1}

= 125³²⋅125¹⁶⋅125⁸⋅125⁴⋅125²⋅125¹

≡ 251 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 204 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283
≡ 56475 ⋅ 15 ⋅ 204 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283 ≡ 158 ⋅ 15 ⋅ 204 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283
≡ 2370 ⋅ 204 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283 ≡ 106 ⋅ 204 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283
≡ 21624 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283 ≡ 116 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283
≡ 6960 ⋅ 125 mod 283 ≡ 168 ⋅ 125 mod 283
≡ 21000 mod 283 ≡ 58 mod 283

Es gilt also: 125⁶³ ≡ 58 mod 283

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42

=>59	= 1⋅42 + 17
=>42	= 2⋅17 + 8
=>17	= 2⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17) = 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42) = -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -7⋅42

-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42

-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1

(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1

52⋅42 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1

Somit 52⋅42 = 1 mod 59

52 ist also das Inverse von 42 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42

Schlüsselpaar für RSA