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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9996 + 145) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9996 + 145) mod 5 ≡ (9996 mod 5 + 145 mod 5) mod 5.

9996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9996 = 9000+996 = 5 ⋅ 1800 +996.

145 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145 = 140+5 = 5 ⋅ 28 +5.

Somit gilt:

(9996 + 145) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 30) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 30) mod 9 ≡ (19 mod 9 ⋅ 30 mod 9) mod 9.

19 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ist.

30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 30) mod 9 ≡ (1 ⋅ 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 291⁸ mod 359.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 291 -> x
2. mod(x²,359) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 291¹=291

2: 291²=291¹⁺¹=291¹⋅291¹ ≡ 291⋅291=84681 ≡ 316 mod 359

4: 291⁴=291²⁺²=291²⋅291² ≡ 316⋅316=99856 ≡ 54 mod 359

8: 291⁸=291⁴⁺⁴=291⁴⋅291⁴ ≡ 54⋅54=2916 ≡ 44 mod 359

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 229²⁰⁷ mod 691.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

1: 229¹=229

2: 229²=229¹⁺¹=229¹⋅229¹ ≡ 229⋅229=52441 ≡ 616 mod 691

4: 229⁴=229²⁺²=229²⋅229² ≡ 616⋅616=379456 ≡ 97 mod 691

8: 229⁸=229⁴⁺⁴=229⁴⋅229⁴ ≡ 97⋅97=9409 ≡ 426 mod 691

16: 229¹⁶=229⁸⁺⁸=229⁸⋅229⁸ ≡ 426⋅426=181476 ≡ 434 mod 691

32: 229³²=229¹⁶⁺¹⁶=229¹⁶⋅229¹⁶ ≡ 434⋅434=188356 ≡ 404 mod 691

64: 229⁶⁴=229³²⁺³²=229³²⋅229³² ≡ 404⋅404=163216 ≡ 140 mod 691

128: 229¹²⁸=229⁶⁴⁺⁶⁴=229⁶⁴⋅229⁶⁴ ≡ 140⋅140=19600 ≡ 252 mod 691

229²⁰⁷

= 229^{128+64+8+4+2+1}

= 229¹²⁸⋅229⁶⁴⋅229⁸⋅229⁴⋅229²⋅229¹

≡ 252 ⋅ 140 ⋅ 426 ⋅ 97 ⋅ 616 ⋅ 229 mod 691
≡ 35280 ⋅ 426 ⋅ 97 ⋅ 616 ⋅ 229 mod 691 ≡ 39 ⋅ 426 ⋅ 97 ⋅ 616 ⋅ 229 mod 691
≡ 16614 ⋅ 97 ⋅ 616 ⋅ 229 mod 691 ≡ 30 ⋅ 97 ⋅ 616 ⋅ 229 mod 691
≡ 2910 ⋅ 616 ⋅ 229 mod 691 ≡ 146 ⋅ 616 ⋅ 229 mod 691
≡ 89936 ⋅ 229 mod 691 ≡ 106 ⋅ 229 mod 691
≡ 24274 mod 691 ≡ 89 mod 691

Es gilt also: 229²⁰⁷ ≡ 89 mod 691

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 70

=>89	= 1⋅70 + 19
=>70	= 3⋅19 + 13
=>19	= 1⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 70-3⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅19 +3⋅(70 -3⋅ 19) = -2⋅19 +3⋅70 -9⋅ 19) = 3⋅70 -11⋅ 19 (=1)
19= 89-1⋅70	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅70 -11⋅(89 -1⋅ 70) = 3⋅70 -11⋅89 +11⋅ 70) = -11⋅89 +14⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(89,70)=1 = -11⋅89 +14⋅70

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +14⋅70

Es gilt also: 14⋅70 = 11⋅89 +1

Somit 14⋅70 = 1 mod 89

14 ist also das Inverse von 70 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 70

Schlüsselpaar für RSA