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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (195 + 100) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(195 + 100) mod 5 ≡ (195 mod 5 + 100 mod 5) mod 5.

195 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 195 = 190+5 = 5 ⋅ 38 +5.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100+0 = 5 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(195 + 100) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 86) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 86) mod 3 ≡ (57 mod 3 ⋅ 86 mod 3) mod 3.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.

86 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 28 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 86) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 72⁸ mod 223.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 72 -> x
2. mod(x²,223) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 72¹=72

2: 72²=72¹⁺¹=72¹⋅72¹ ≡ 72⋅72=5184 ≡ 55 mod 223

4: 72⁴=72²⁺²=72²⋅72² ≡ 55⋅55=3025 ≡ 126 mod 223

8: 72⁸=72⁴⁺⁴=72⁴⋅72⁴ ≡ 126⋅126=15876 ≡ 43 mod 223

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 327²⁵⁴ mod 347.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:

254 = 128+64+32+16+8+4+2

1: 327¹=327

2: 327²=327¹⁺¹=327¹⋅327¹ ≡ 327⋅327=106929 ≡ 53 mod 347

4: 327⁴=327²⁺²=327²⋅327² ≡ 53⋅53=2809 ≡ 33 mod 347

8: 327⁸=327⁴⁺⁴=327⁴⋅327⁴ ≡ 33⋅33=1089 ≡ 48 mod 347

16: 327¹⁶=327⁸⁺⁸=327⁸⋅327⁸ ≡ 48⋅48=2304 ≡ 222 mod 347

32: 327³²=327¹⁶⁺¹⁶=327¹⁶⋅327¹⁶ ≡ 222⋅222=49284 ≡ 10 mod 347

64: 327⁶⁴=327³²⁺³²=327³²⋅327³² ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 347

128: 327¹²⁸=327⁶⁴⁺⁶⁴=327⁶⁴⋅327⁶⁴ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 284 mod 347

327²⁵⁴

= 327^{128+64+32+16+8+4+2}

= 327¹²⁸⋅327⁶⁴⋅327³²⋅327¹⁶⋅327⁸⋅327⁴⋅327²

≡ 284 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ 222 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347
≡ 28400 ⋅ 10 ⋅ 222 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347 ≡ 293 ⋅ 10 ⋅ 222 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347
≡ 2930 ⋅ 222 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347 ≡ 154 ⋅ 222 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347
≡ 34188 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347 ≡ 182 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347
≡ 8736 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347 ≡ 61 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347
≡ 2013 ⋅ 53 mod 347 ≡ 278 ⋅ 53 mod 347
≡ 14734 mod 347 ≡ 160 mod 347

Es gilt also: 327²⁵⁴ ≡ 160 mod 347

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 35

=>61	= 1⋅35 + 26
=>35	= 1⋅26 + 9
=>26	= 2⋅9 + 8
=>9	= 1⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 26-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9) = 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9) = -1⋅26 +3⋅ 9 (=1)
9= 35-1⋅26	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅26 +3⋅(35 -1⋅ 26) = -1⋅26 +3⋅35 -3⋅ 26) = 3⋅35 -4⋅ 26 (=1)
26= 61-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅35 -4⋅(61 -1⋅ 35) = 3⋅35 -4⋅61 +4⋅ 35) = -4⋅61 +7⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(61,35)=1 = -4⋅61 +7⋅35

oder wenn man -4⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +4⋅61 = +7⋅35

Es gilt also: 7⋅35 = 4⋅61 +1

Somit 7⋅35 = 1 mod 61

7 ist also das Inverse von 35 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 35

Schlüsselpaar für RSA