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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7004 - 212) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7004 - 212) mod 7 ≡ (7004 mod 7 - 212 mod 7) mod 7.
7004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7004
= 7000
212 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 212
= 210
Somit gilt:
(7004 - 212) mod 7 ≡ (4 - 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 78) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 ⋅ 78) mod 8 ≡ (60 mod 8 ⋅ 78 mod 8) mod 8.
60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.
78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(60 ⋅ 78) mod 8 ≡ (4 ⋅ 6) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 321128 mod 587.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 321 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3211=321
2: 3212=3211+1=3211⋅3211 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 316 mod 587
4: 3214=3212+2=3212⋅3212 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 66 mod 587
8: 3218=3214+4=3214⋅3214 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 247 mod 587
16: 32116=3218+8=3218⋅3218 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 548 mod 587
32: 32132=32116+16=32116⋅32116 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 347 mod 587
64: 32164=32132+32=32132⋅32132 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 74 mod 587
128: 321128=32164+64=32164⋅32164 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 193 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 976239 mod 1009.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:
239 = 128+64+32+8+4+2+1
1: 9761=976
2: 9762=9761+1=9761⋅9761 ≡ 976⋅976=952576 ≡ 80 mod 1009
4: 9764=9762+2=9762⋅9762 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 346 mod 1009
8: 9768=9764+4=9764⋅9764 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 654 mod 1009
16: 97616=9768+8=9768⋅9768 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 909 mod 1009
32: 97632=97616+16=97616⋅97616 ≡ 909⋅909=826281 ≡ 919 mod 1009
64: 97664=97632+32=97632⋅97632 ≡ 919⋅919=844561 ≡ 28 mod 1009
128: 976128=97664+64=97664⋅97664 ≡ 28⋅28=784 ≡ 784 mod 1009
976239
= 976128+64+32+8+4+2+1
= 976128⋅97664⋅97632⋅9768⋅9764⋅9762⋅9761
≡ 784 ⋅ 28 ⋅ 919 ⋅ 654 ⋅ 346 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009
≡ 21952 ⋅ 919 ⋅ 654 ⋅ 346 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009 ≡ 763 ⋅ 919 ⋅ 654 ⋅ 346 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009
≡ 701197 ⋅ 654 ⋅ 346 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009 ≡ 951 ⋅ 654 ⋅ 346 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009
≡ 621954 ⋅ 346 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009 ≡ 410 ⋅ 346 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009
≡ 141860 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009 ≡ 600 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009
≡ 48000 ⋅ 976 mod 1009 ≡ 577 ⋅ 976 mod 1009
≡ 563152 mod 1009 ≡ 130 mod 1009
Es gilt also: 976239 ≡ 130 mod 1009
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 58
| =>79 | = 1⋅58 + 21 |
| =>58 | = 2⋅21 + 16 |
| =>21 | = 1⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 21-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(21 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅21 +3⋅ 16) = -3⋅21 +4⋅ 16 (=1) |
| 16= 58-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅21 +4⋅(58 -2⋅ 21)
= -3⋅21 +4⋅58 -8⋅ 21) = 4⋅58 -11⋅ 21 (=1) |
| 21= 79-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅58 -11⋅(79 -1⋅ 58)
= 4⋅58 -11⋅79 +11⋅ 58) = -11⋅79 +15⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,58)=1 = -11⋅79 +15⋅58
oder wenn man -11⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅79 = +15⋅58
Es gilt also: 15⋅58 = 11⋅79 +1
Somit 15⋅58 = 1 mod 79
15 ist also das Inverse von 58 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
