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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1601 + 2004) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1601 + 2004) mod 4 ≡ (1601 mod 4 + 2004 mod 4) mod 4.

1601 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601 = 1600+1 = 4 ⋅ 400 +1.

2004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004 = 2000+4 = 4 ⋅ 500 +4.

Somit gilt:

(1601 + 2004) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 69) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 69) mod 11 ≡ (44 mod 11 ⋅ 69 mod 11) mod 11.

44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.

69 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 6 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 69) mod 11 ≡ (0 ⋅ 3) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 395⁶⁴ mod 587.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 395 -> x
2. mod(x²,587) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 395¹=395

2: 395²=395¹⁺¹=395¹⋅395¹ ≡ 395⋅395=156025 ≡ 470 mod 587

4: 395⁴=395²⁺²=395²⋅395² ≡ 470⋅470=220900 ≡ 188 mod 587

8: 395⁸=395⁴⁺⁴=395⁴⋅395⁴ ≡ 188⋅188=35344 ≡ 124 mod 587

16: 395¹⁶=395⁸⁺⁸=395⁸⋅395⁸ ≡ 124⋅124=15376 ≡ 114 mod 587

32: 395³²=395¹⁶⁺¹⁶=395¹⁶⋅395¹⁶ ≡ 114⋅114=12996 ≡ 82 mod 587

64: 395⁶⁴=395³²⁺³²=395³²⋅395³² ≡ 82⋅82=6724 ≡ 267 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 241²⁵¹ mod 311.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

1: 241¹=241

2: 241²=241¹⁺¹=241¹⋅241¹ ≡ 241⋅241=58081 ≡ 235 mod 311

4: 241⁴=241²⁺²=241²⋅241² ≡ 235⋅235=55225 ≡ 178 mod 311

8: 241⁸=241⁴⁺⁴=241⁴⋅241⁴ ≡ 178⋅178=31684 ≡ 273 mod 311

16: 241¹⁶=241⁸⁺⁸=241⁸⋅241⁸ ≡ 273⋅273=74529 ≡ 200 mod 311

32: 241³²=241¹⁶⁺¹⁶=241¹⁶⋅241¹⁶ ≡ 200⋅200=40000 ≡ 192 mod 311

64: 241⁶⁴=241³²⁺³²=241³²⋅241³² ≡ 192⋅192=36864 ≡ 166 mod 311

128: 241¹²⁸=241⁶⁴⁺⁶⁴=241⁶⁴⋅241⁶⁴ ≡ 166⋅166=27556 ≡ 188 mod 311

241²⁵¹

= 241^{128+64+32+16+8+2+1}

= 241¹²⁸⋅241⁶⁴⋅241³²⋅241¹⁶⋅241⁸⋅241²⋅241¹

≡ 188 ⋅ 166 ⋅ 192 ⋅ 200 ⋅ 273 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311
≡ 31208 ⋅ 192 ⋅ 200 ⋅ 273 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311 ≡ 108 ⋅ 192 ⋅ 200 ⋅ 273 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311
≡ 20736 ⋅ 200 ⋅ 273 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311 ≡ 210 ⋅ 200 ⋅ 273 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311
≡ 42000 ⋅ 273 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311 ≡ 15 ⋅ 273 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311
≡ 4095 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311 ≡ 52 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311
≡ 12220 ⋅ 241 mod 311 ≡ 91 ⋅ 241 mod 311
≡ 21931 mod 311 ≡ 161 mod 311

Es gilt also: 241²⁵¹ ≡ 161 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38

=>79	= 2⋅38 + 3
=>38	= 12⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 38-12⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1)
3= 79-2⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅38 +13⋅(79 -2⋅ 38) = -1⋅38 +13⋅79 -26⋅ 38) = 13⋅79 -27⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(79,38)=1 = 13⋅79 -27⋅38

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -27⋅38

-27⋅38 = -13⋅79 + 1 |+79⋅38

-27⋅38 + 79⋅38 = -13⋅79 + 79⋅38 + 1

(-27 + 79) ⋅ 38 = (-13 + 38) ⋅ 79 + 1

52⋅38 = 25⋅79 + 1

Es gilt also: 52⋅38 = 25⋅79 +1

Somit 52⋅38 = 1 mod 79

52 ist also das Inverse von 38 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38

Schlüsselpaar für RSA