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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1501 + 9003) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1501 + 9003) mod 3 ≡ (1501 mod 3 + 9003 mod 3) mod 3.

1501 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501 = 1500+1 = 3 ⋅ 500 +1.

9003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003 = 9000+3 = 3 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(1501 + 9003) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 29) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 29) mod 4 ≡ (84 mod 4 ⋅ 29 mod 4) mod 4.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 21 ⋅ 4 + 0 ist.

29 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 7 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 29) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 85332 mod 967.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 853 -> x
2. mod(x²,967) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8531=853

2: 8532=8531+1=8531⋅8531 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 425 mod 967

4: 8534=8532+2=8532⋅8532 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 763 mod 967

8: 8538=8534+4=8534⋅8534 ≡ 763⋅763=582169 ≡ 35 mod 967

16: 85316=8538+8=8538⋅8538 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 258 mod 967

32: 85332=85316+16=85316⋅85316 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 808 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 445122 mod 857.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

1: 4451=445

2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 58 mod 857

4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 793 mod 857

8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 793⋅793=628849 ≡ 668 mod 857

16: 44516=4458+8=4458⋅4458 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 584 mod 857

32: 44532=44516+16=44516⋅44516 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 827 mod 857

64: 44564=44532+32=44532⋅44532 ≡ 827⋅827=683929 ≡ 43 mod 857

445122

= 44564+32+16+8+2

= 44564⋅44532⋅44516⋅4458⋅4452

≡ 43 ⋅ 827 ⋅ 584 ⋅ 668 ⋅ 58 mod 857
≡ 35561 ⋅ 584 ⋅ 668 ⋅ 58 mod 857 ≡ 424 ⋅ 584 ⋅ 668 ⋅ 58 mod 857
≡ 247616 ⋅ 668 ⋅ 58 mod 857 ≡ 800 ⋅ 668 ⋅ 58 mod 857
≡ 534400 ⋅ 58 mod 857 ≡ 489 ⋅ 58 mod 857
≡ 28362 mod 857 ≡ 81 mod 857

Es gilt also: 445122 ≡ 81 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 42

=>67 = 1⋅42 + 25
=>42 = 1⋅25 + 17
=>25 = 1⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 25-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17)
= -2⋅25 +3⋅ 17 (=1)
17= 42-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅25 +3⋅(42 -1⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅42 -3⋅ 25)
= 3⋅42 -5⋅ 25 (=1)
25= 67-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅42 -5⋅(67 -1⋅ 42)
= 3⋅42 -5⋅67 +5⋅ 42)
= -5⋅67 +8⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(67,42)=1 = -5⋅67 +8⋅42

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +8⋅42

Es gilt also: 8⋅42 = 5⋅67 +1

Somit 8⋅42 = 1 mod 67

8 ist also das Inverse von 42 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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