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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35997 - 271) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35997 - 271) mod 9 ≡ (35997 mod 9 - 271 mod 9) mod 9.

35997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35997 = 36000-3 = 9 ⋅ 4000 -3 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 6.

271 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 271 = 270+1 = 9 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(35997 - 271) mod 9 ≡ (6 - 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 58) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 58) mod 7 ≡ (41 mod 7 ⋅ 58 mod 7) mod 7.

41 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 35 + 6 = 5 ⋅ 7 + 6 ist.

58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 58) mod 7 ≡ (6 ⋅ 2) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 319¹⁶ mod 769.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 319 -> x
2. mod(x²,769) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 319¹=319

2: 319²=319¹⁺¹=319¹⋅319¹ ≡ 319⋅319=101761 ≡ 253 mod 769

4: 319⁴=319²⁺²=319²⋅319² ≡ 253⋅253=64009 ≡ 182 mod 769

8: 319⁸=319⁴⁺⁴=319⁴⋅319⁴ ≡ 182⋅182=33124 ≡ 57 mod 769

16: 319¹⁶=319⁸⁺⁸=319⁸⋅319⁸ ≡ 57⋅57=3249 ≡ 173 mod 769

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 285¹⁸⁹ mod 523.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

1: 285¹=285

2: 285²=285¹⁺¹=285¹⋅285¹ ≡ 285⋅285=81225 ≡ 160 mod 523

4: 285⁴=285²⁺²=285²⋅285² ≡ 160⋅160=25600 ≡ 496 mod 523

8: 285⁸=285⁴⁺⁴=285⁴⋅285⁴ ≡ 496⋅496=246016 ≡ 206 mod 523

16: 285¹⁶=285⁸⁺⁸=285⁸⋅285⁸ ≡ 206⋅206=42436 ≡ 73 mod 523

32: 285³²=285¹⁶⁺¹⁶=285¹⁶⋅285¹⁶ ≡ 73⋅73=5329 ≡ 99 mod 523

64: 285⁶⁴=285³²⁺³²=285³²⋅285³² ≡ 99⋅99=9801 ≡ 387 mod 523

128: 285¹²⁸=285⁶⁴⁺⁶⁴=285⁶⁴⋅285⁶⁴ ≡ 387⋅387=149769 ≡ 191 mod 523

285¹⁸⁹

= 285^{128+32+16+8+4+1}

= 285¹²⁸⋅285³²⋅285¹⁶⋅285⁸⋅285⁴⋅285¹

≡ 191 ⋅ 99 ⋅ 73 ⋅ 206 ⋅ 496 ⋅ 285 mod 523
≡ 18909 ⋅ 73 ⋅ 206 ⋅ 496 ⋅ 285 mod 523 ≡ 81 ⋅ 73 ⋅ 206 ⋅ 496 ⋅ 285 mod 523
≡ 5913 ⋅ 206 ⋅ 496 ⋅ 285 mod 523 ≡ 160 ⋅ 206 ⋅ 496 ⋅ 285 mod 523
≡ 32960 ⋅ 496 ⋅ 285 mod 523 ≡ 11 ⋅ 496 ⋅ 285 mod 523
≡ 5456 ⋅ 285 mod 523 ≡ 226 ⋅ 285 mod 523
≡ 64410 mod 523 ≡ 81 mod 523

Es gilt also: 285¹⁸⁹ ≡ 81 mod 523

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70

=>79	= 1⋅70 + 9
=>70	= 7⋅9 + 7
=>9	= 1⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 70-7⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9) = -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9) = 4⋅70 -31⋅ 9 (=1)
9= 79-1⋅70	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70) = 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70) = -31⋅79 +35⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70

oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅79 = +35⋅70

Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1

Somit 35⋅70 = 1 mod 79

35 ist also das Inverse von 70 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70

Schlüsselpaar für RSA