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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35007 - 217) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35007 - 217) mod 7 ≡ (35007 mod 7 - 217 mod 7) mod 7.
35007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35007
= 35000
217 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 217
= 210
Somit gilt:
(35007 - 217) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 23) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 23) mod 6 ≡ (40 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.
40 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 6 ⋅ 6 + 4 ist.
23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 23) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22432 mod 379.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 224 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2241=224
2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 148 mod 379
4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 301 mod 379
8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 20 mod 379
16: 22416=2248+8=2248⋅2248 ≡ 20⋅20=400 ≡ 21 mod 379
32: 22432=22416+16=22416⋅22416 ≡ 21⋅21=441 ≡ 62 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 508117 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:
117 = 64+32+16+4+1
1: 5081=508
2: 5082=5081+1=5081⋅5081 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 107 mod 857
4: 5084=5082+2=5082⋅5082 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 308 mod 857
8: 5088=5084+4=5084⋅5084 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 594 mod 857
16: 50816=5088+8=5088⋅5088 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 609 mod 857
32: 50832=50816+16=50816⋅50816 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 657 mod 857
64: 50864=50832+32=50832⋅50832 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 578 mod 857
508117
= 50864+32+16+4+1
= 50864⋅50832⋅50816⋅5084⋅5081
≡ 578 ⋅ 657 ⋅ 609 ⋅ 308 ⋅ 508 mod 857
≡ 379746 ⋅ 609 ⋅ 308 ⋅ 508 mod 857 ≡ 95 ⋅ 609 ⋅ 308 ⋅ 508 mod 857
≡ 57855 ⋅ 308 ⋅ 508 mod 857 ≡ 436 ⋅ 308 ⋅ 508 mod 857
≡ 134288 ⋅ 508 mod 857 ≡ 596 ⋅ 508 mod 857
≡ 302768 mod 857 ≡ 247 mod 857
Es gilt also: 508117 ≡ 247 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23
| =>59 | = 2⋅23 + 13 |
| =>23 | = 1⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 23-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13) = 4⋅23 -7⋅ 13 (=1) |
| 13= 59-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23)
= 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23) = -7⋅59 +18⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +18⋅23
Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1
Somit 18⋅23 = 1 mod 59
18 ist also das Inverse von 23 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
