Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8001 + 119) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8001 + 119) mod 4 ≡ (8001 mod 4 + 119 mod 4) mod 4.
8001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8001
= 8000
119 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119
= 120
Somit gilt:
(8001 + 119) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 40) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 40) mod 3 ≡ (45 mod 3 ⋅ 40 mod 3) mod 3.
45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.
40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 40) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6018 mod 773.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 601 -> x
2. mod(x²,773) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6011=601
2: 6012=6011+1=6011⋅6011 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 210 mod 773
4: 6014=6012+2=6012⋅6012 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 39 mod 773
8: 6018=6014+4=6014⋅6014 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 748 mod 773
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 198201 mod 353.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 1981=198
2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 21 mod 353
4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 21⋅21=441 ≡ 88 mod 353
8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 331 mod 353
16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 131 mod 353
32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353
64: 19864=19832+32=19832⋅19832 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 140 mod 353
128: 198128=19864+64=19864⋅19864 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353
198201
= 198128+64+8+1
= 198128⋅19864⋅1988⋅1981
≡ 185 ⋅ 140 ⋅ 331 ⋅ 198 mod 353
≡ 25900 ⋅ 331 ⋅ 198 mod 353 ≡ 131 ⋅ 331 ⋅ 198 mod 353
≡ 43361 ⋅ 198 mod 353 ≡ 295 ⋅ 198 mod 353
≡ 58410 mod 353 ≡ 165 mod 353
Es gilt also: 198201 ≡ 165 mod 353
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23
| =>59 | = 2⋅23 + 13 |
| =>23 | = 1⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 23-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13) = 4⋅23 -7⋅ 13 (=1) |
| 13= 59-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23)
= 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23) = -7⋅59 +18⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +18⋅23
Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1
Somit 18⋅23 = 1 mod 59
18 ist also das Inverse von 23 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.