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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20997 + 63) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20997 + 63) mod 7 ≡ (20997 mod 7 + 63 mod 7) mod 7.

20997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20997 = 21000-3 = 7 ⋅ 3000 -3 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 4.

63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 70-7 = 7 ⋅ 10 -7 = 7 ⋅ 10 - 7 + 0.

Somit gilt:

(20997 + 63) mod 7 ≡ (4 + 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 17) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 17) mod 9 ≡ (100 mod 9 ⋅ 17 mod 9) mod 9.

100 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 11 ⋅ 9 + 1 ist.

17 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 9 + 8 = 1 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 17) mod 9 ≡ (1 ⋅ 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 67216 mod 701.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 672 -> x
2. mod(x²,701) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6721=672

2: 6722=6721+1=6721⋅6721 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 140 mod 701

4: 6724=6722+2=6722⋅6722 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 673 mod 701

8: 6728=6724+4=6724⋅6724 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 83 mod 701

16: 67216=6728+8=6728⋅6728 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 580 mod 701

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 832228 mod 953.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:

228 = 128+64+32+4

1: 8321=832

2: 8322=8321+1=8321⋅8321 ≡ 832⋅832=692224 ≡ 346 mod 953

4: 8324=8322+2=8322⋅8322 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 591 mod 953

8: 8328=8324+4=8324⋅8324 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 483 mod 953

16: 83216=8328+8=8328⋅8328 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 757 mod 953

32: 83232=83216+16=83216⋅83216 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 296 mod 953

64: 83264=83232+32=83232⋅83232 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 893 mod 953

128: 832128=83264+64=83264⋅83264 ≡ 893⋅893=797449 ≡ 741 mod 953

832228

= 832128+64+32+4

= 832128⋅83264⋅83232⋅8324

741 ⋅ 893 ⋅ 296 ⋅ 591 mod 953
661713 ⋅ 296 ⋅ 591 mod 953 ≡ 331 ⋅ 296 ⋅ 591 mod 953
97976 ⋅ 591 mod 953 ≡ 770 ⋅ 591 mod 953
455070 mod 953 ≡ 489 mod 953

Es gilt also: 832228 ≡ 489 mod 953

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 69.

Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 69

=>79 = 1⋅69 + 10
=>69 = 6⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 69-6⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(69 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅69 +6⋅ 10)
= -1⋅69 +7⋅ 10 (=1)
10= 79-1⋅69 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅69 +7⋅(79 -1⋅ 69)
= -1⋅69 +7⋅79 -7⋅ 69)
= 7⋅79 -8⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(79,69)=1 = 7⋅79 -8⋅69

oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅79 = -8⋅69

-8⋅69 = -7⋅79 + 1 |+79⋅69

-8⋅69 + 79⋅69 = -7⋅79 + 79⋅69 + 1

(-8 + 79) ⋅ 69 = (-7 + 69) ⋅ 79 + 1

71⋅69 = 62⋅79 + 1

Es gilt also: 71⋅69 = 62⋅79 +1

Somit 71⋅69 = 1 mod 79

71 ist also das Inverse von 69 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.