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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (995 + 502) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(995 + 502) mod 5 ≡ (995 mod 5 + 502 mod 5) mod 5.

995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 995 = 900+95 = 5 ⋅ 180 +95.

502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 502 = 500+2 = 5 ⋅ 100 +2.

Somit gilt:

(995 + 502) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 63) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 63) mod 9 ≡ (29 mod 9 ⋅ 63 mod 9) mod 9.

29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.

63 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 7 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 63) mod 9 ≡ (2 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 486128 mod 601.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 486 -> x
2. mod(x²,601) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4861=486

2: 4862=4861+1=4861⋅4861 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 3 mod 601

4: 4864=4862+2=4862⋅4862 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 601

8: 4868=4864+4=4864⋅4864 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 601

16: 48616=4868+8=4868⋅4868 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 551 mod 601

32: 48632=48616+16=48616⋅48616 ≡ 551⋅551=303601 ≡ 96 mod 601

64: 48664=48632+32=48632⋅48632 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 201 mod 601

128: 486128=48664+64=48664⋅48664 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 134 mod 601

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 387114 mod 461.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:

114 = 64+32+16+2

1: 3871=387

2: 3872=3871+1=3871⋅3871 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 405 mod 461

4: 3874=3872+2=3872⋅3872 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 370 mod 461

8: 3878=3874+4=3874⋅3874 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 444 mod 461

16: 38716=3878+8=3878⋅3878 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 289 mod 461

32: 38732=38716+16=38716⋅38716 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 80 mod 461

64: 38764=38732+32=38732⋅38732 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 407 mod 461

387114

= 38764+32+16+2

= 38764⋅38732⋅38716⋅3872

≡ 407 ⋅ 80 ⋅ 289 ⋅ 405 mod 461
≡ 32560 ⋅ 289 ⋅ 405 mod 461 ≡ 290 ⋅ 289 ⋅ 405 mod 461
≡ 83810 ⋅ 405 mod 461 ≡ 369 ⋅ 405 mod 461
≡ 149445 mod 461 ≡ 81 mod 461

Es gilt also: 387114 ≡ 81 mod 461

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 44

=>83 = 1⋅44 + 39
=>44 = 1⋅39 + 5
=>39 = 7⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 39-7⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5)
= -1⋅39 +8⋅ 5 (=1)
5= 44-1⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅39 +8⋅(44 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅44 -8⋅ 39)
= 8⋅44 -9⋅ 39 (=1)
39= 83-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 8⋅44 -9⋅(83 -1⋅ 44)
= 8⋅44 -9⋅83 +9⋅ 44)
= -9⋅83 +17⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(83,44)=1 = -9⋅83 +17⋅44

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +17⋅44

Es gilt also: 17⋅44 = 9⋅83 +1

Somit 17⋅44 = 1 mod 83

17 ist also das Inverse von 44 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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