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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (305 - 244) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(305 - 244) mod 6 ≡ (305 mod 6 - 244 mod 6) mod 6.

305 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 305 = 300+5 = 6 ⋅ 50 +5.

244 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 244 = 240+4 = 6 ⋅ 40 +4.

Somit gilt:

(305 - 244) mod 6 ≡ (5 - 4) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 19) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 19) mod 6 ≡ (71 mod 6 ⋅ 19 mod 6) mod 6.

71 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 11 ⋅ 6 + 5 ist.

19 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 3 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 19) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5328 mod 967.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 532 -> x
2. mod(x²,967) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5321=532

2: 5322=5321+1=5321⋅5321 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 660 mod 967

4: 5324=5322+2=5322⋅5322 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 450 mod 967

8: 5328=5324+4=5324⋅5324 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 397 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 390113 mod 641.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 113 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 113 an und zerlegen 113 in eine Summer von 2er-Potenzen:

113 = 64+32+16+1

1: 3901=390

2: 3902=3901+1=3901⋅3901 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 183 mod 641

4: 3904=3902+2=3902⋅3902 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 157 mod 641

8: 3908=3904+4=3904⋅3904 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 291 mod 641

16: 39016=3908+8=3908⋅3908 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 69 mod 641

32: 39032=39016+16=39016⋅39016 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 274 mod 641

64: 39064=39032+32=39032⋅39032 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 79 mod 641

390113

= 39064+32+16+1

= 39064⋅39032⋅39016⋅3901

≡ 79 ⋅ 274 ⋅ 69 ⋅ 390 mod 641
≡ 21646 ⋅ 69 ⋅ 390 mod 641 ≡ 493 ⋅ 69 ⋅ 390 mod 641
≡ 34017 ⋅ 390 mod 641 ≡ 44 ⋅ 390 mod 641
≡ 17160 mod 641 ≡ 494 mod 641

Es gilt also: 390113 ≡ 494 mod 641

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30

=>67 = 2⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30)
= 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -29⋅30

-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30

-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1

(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1

38⋅30 = 17⋅67 + 1

Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1

Somit 38⋅30 = 1 mod 67

38 ist also das Inverse von 30 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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