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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2404 - 17995) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2404 - 17995) mod 6 ≡ (2404 mod 6 - 17995 mod 6) mod 6.
2404 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2404
= 2400
17995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17995
= 18000
Somit gilt:
(2404 - 17995) mod 6 ≡ (4 - 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 84) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 84) mod 3 ≡ (25 mod 3 ⋅ 84 mod 3) mod 3.
25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.
84 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 28 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 84) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21632 mod 223.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 216 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 49 mod 223
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 171 mod 223
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 28 mod 223
16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 28⋅28=784 ≡ 115 mod 223
32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 68 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 377130 mod 541.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:
130 = 128+2
1: 3771=377
2: 3772=3771+1=3771⋅3771 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 387 mod 541
4: 3774=3772+2=3772⋅3772 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 453 mod 541
8: 3778=3774+4=3774⋅3774 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 170 mod 541
16: 37716=3778+8=3778⋅3778 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 227 mod 541
32: 37732=37716+16=37716⋅37716 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 134 mod 541
64: 37764=37732+32=37732⋅37732 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 103 mod 541
128: 377128=37764+64=37764⋅37764 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 330 mod 541
377130
= 377128+2
= 377128⋅3772
≡ 330 ⋅ 387 mod 541
≡ 127710 mod 541 ≡ 34 mod 541
Es gilt also: 377130 ≡ 34 mod 541
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 24
| =>59 | = 2⋅24 + 11 |
| =>24 | = 2⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 24-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 59-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,24)=1 = 11⋅59 -27⋅24
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -27⋅24
-27⋅24 = -11⋅59 + 1 |+59⋅24
-27⋅24 + 59⋅24 = -11⋅59 + 59⋅24 + 1
(-27 + 59) ⋅ 24 = (-11 + 24) ⋅ 59 + 1
32⋅24 = 13⋅59 + 1
Es gilt also: 32⋅24 = 13⋅59 +1
Somit 32⋅24 = 1 mod 59
32 ist also das Inverse von 24 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.