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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20004 + 163) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20004 + 163) mod 4 ≡ (20004 mod 4 + 163 mod 4) mod 4.

20004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20004 = 20000+4 = 4 ⋅ 5000 +4.

163 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 163 = 160+3 = 4 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(20004 + 163) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 29) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 29) mod 4 ≡ (19 mod 4 ⋅ 29 mod 4) mod 4.

19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.

29 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 7 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 29) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34616 mod 971.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 346 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3461=346

2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 283 mod 971

4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 467 mod 971

8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 585 mod 971

16: 34616=3468+8=3468⋅3468 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 433 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 510145 mod 593.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:

145 = 128+16+1

1: 5101=510

2: 5102=5101+1=5101⋅5101 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 366 mod 593

4: 5104=5102+2=5102⋅5102 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 531 mod 593

8: 5108=5104+4=5104⋅5104 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 286 mod 593

16: 51016=5108+8=5108⋅5108 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 555 mod 593

32: 51032=51016+16=51016⋅51016 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 258 mod 593

64: 51064=51032+32=51032⋅51032 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 148 mod 593

128: 510128=51064+64=51064⋅51064 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 556 mod 593

510145

= 510128+16+1

= 510128⋅51016⋅5101

556 ⋅ 555 ⋅ 510 mod 593
308580 ⋅ 510 mod 593 ≡ 220 ⋅ 510 mod 593
112200 mod 593 ≡ 123 mod 593

Es gilt also: 510145 ≡ 123 mod 593

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 44

=>79 = 1⋅44 + 35
=>44 = 1⋅35 + 9
=>35 = 3⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 35-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9)
= -1⋅35 +4⋅ 9 (=1)
9= 44-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +4⋅(44 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅44 -4⋅ 35)
= 4⋅44 -5⋅ 35 (=1)
35= 79-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅44 -5⋅(79 -1⋅ 44)
= 4⋅44 -5⋅79 +5⋅ 44)
= -5⋅79 +9⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(79,44)=1 = -5⋅79 +9⋅44

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +9⋅44

Es gilt also: 9⋅44 = 5⋅79 +1

Somit 9⋅44 = 1 mod 79

9 ist also das Inverse von 44 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.