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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 + 150) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 + 150) mod 3 ≡ (88 mod 3 + 150 mod 3) mod 3.
88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88
= 90
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(88 + 150) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 97) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 97) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 97 mod 7) mod 7.
82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.
97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 97) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22332 mod 419.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 223 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2231=223
2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 287 mod 419
4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 245 mod 419
8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 108 mod 419
16: 22316=2238+8=2238⋅2238 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 351 mod 419
32: 22332=22316+16=22316⋅22316 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 15 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 228122 mod 257.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:
122 = 64+32+16+8+2
1: 2281=228
2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 70 mod 257
4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 17 mod 257
8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 17⋅17=289 ≡ 32 mod 257
16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 253 mod 257
32: 22832=22816+16=22816⋅22816 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257
64: 22864=22832+32=22832⋅22832 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257
228122
= 22864+32+16+8+2
= 22864⋅22832⋅22816⋅2288⋅2282
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 253 ⋅ 32 ⋅ 70 mod 257
≡ 4096 ⋅ 253 ⋅ 32 ⋅ 70 mod 257 ≡ 241 ⋅ 253 ⋅ 32 ⋅ 70 mod 257
≡ 60973 ⋅ 32 ⋅ 70 mod 257 ≡ 64 ⋅ 32 ⋅ 70 mod 257
≡ 2048 ⋅ 70 mod 257 ≡ 249 ⋅ 70 mod 257
≡ 17430 mod 257 ≡ 211 mod 257
Es gilt also: 228122 ≡ 211 mod 257
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46
| =>89 | = 1⋅46 + 43 |
| =>46 | = 1⋅43 + 3 |
| =>43 | = 14⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 43-14⋅3 | |||
| 3= 46-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1) |
| 43= 89-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46
oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅89 = -29⋅46
-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46
-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1
(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1
60⋅46 = 31⋅89 + 1
Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1
Somit 60⋅46 = 1 mod 89
60 ist also das Inverse von 46 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
