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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16008 - 24007) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16008 - 24007) mod 8 ≡ (16008 mod 8 - 24007 mod 8) mod 8.

16008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16008 = 16000+8 = 8 ⋅ 2000 +8.

24007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24007 = 24000+7 = 8 ⋅ 3000 +7.

Somit gilt:

(16008 - 24007) mod 8 ≡ (0 - 7) mod 8 ≡ -7 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 53) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 53) mod 10 ≡ (70 mod 10 ⋅ 53 mod 10) mod 10.

70 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 7 ⋅ 10 + 0 ist.

53 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 5 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 53) mod 10 ≡ (0 ⋅ 3) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7028 mod 877.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 702 -> x
2. mod(x²,877) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7021=702

2: 7022=7021+1=7021⋅7021 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 807 mod 877

4: 7024=7022+2=7022⋅7022 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 515 mod 877

8: 7028=7024+4=7024⋅7024 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 371 mod 877

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 586174 mod 983.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:

174 = 128+32+8+4+2

1: 5861=586

2: 5862=5861+1=5861⋅5861 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 329 mod 983

4: 5864=5862+2=5862⋅5862 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 111 mod 983

8: 5868=5864+4=5864⋅5864 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 525 mod 983

16: 58616=5868+8=5868⋅5868 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 385 mod 983

32: 58632=58616+16=58616⋅58616 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 775 mod 983

64: 58664=58632+32=58632⋅58632 ≡ 775⋅775=600625 ≡ 12 mod 983

128: 586128=58664+64=58664⋅58664 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 983

586174

= 586128+32+8+4+2

= 586128⋅58632⋅5868⋅5864⋅5862

≡ 144 ⋅ 775 ⋅ 525 ⋅ 111 ⋅ 329 mod 983
≡ 111600 ⋅ 525 ⋅ 111 ⋅ 329 mod 983 ≡ 521 ⋅ 525 ⋅ 111 ⋅ 329 mod 983
≡ 273525 ⋅ 111 ⋅ 329 mod 983 ≡ 251 ⋅ 111 ⋅ 329 mod 983
≡ 27861 ⋅ 329 mod 983 ≡ 337 ⋅ 329 mod 983
≡ 110873 mod 983 ≡ 777 mod 983

Es gilt also: 586174 ≡ 777 mod 983

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50

=>67 = 1⋅50 + 17
=>50 = 2⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 50-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17)
= -1⋅50 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50)
= 3⋅67 -4⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -4⋅50

-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50

-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1

(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1

63⋅50 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1

Somit 63⋅50 = 1 mod 67

63 ist also das Inverse von 50 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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