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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1806 + 909) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1806 + 909) mod 9 ≡ (1806 mod 9 + 909 mod 9) mod 9.
1806 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1806
= 1800
909 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 909
= 900
Somit gilt:
(1806 + 909) mod 9 ≡ (6 + 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 19) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 19) mod 6 ≡ (19 mod 6 ⋅ 19 mod 6) mod 6.
19 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 3 ⋅ 6 + 1 ist.
19 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 3 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 19) mod 6 ≡ (1 ⋅ 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 848128 mod 883.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 848 -> x
2. mod(x²,883) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8481=848
2: 8482=8481+1=8481⋅8481 ≡ 848⋅848=719104 ≡ 342 mod 883
4: 8484=8482+2=8482⋅8482 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 408 mod 883
8: 8488=8484+4=8484⋅8484 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 460 mod 883
16: 84816=8488+8=8488⋅8488 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 563 mod 883
32: 84832=84816+16=84816⋅84816 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 855 mod 883
64: 84864=84832+32=84832⋅84832 ≡ 855⋅855=731025 ≡ 784 mod 883
128: 848128=84864+64=84864⋅84864 ≡ 784⋅784=614656 ≡ 88 mod 883
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 218229 mod 479.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:
229 = 128+64+32+4+1
1: 2181=218
2: 2182=2181+1=2181⋅2181 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 103 mod 479
4: 2184=2182+2=2182⋅2182 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 71 mod 479
8: 2188=2184+4=2184⋅2184 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 251 mod 479
16: 21816=2188+8=2188⋅2188 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 252 mod 479
32: 21832=21816+16=21816⋅21816 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 276 mod 479
64: 21864=21832+32=21832⋅21832 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 15 mod 479
128: 218128=21864+64=21864⋅21864 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 479
218229
= 218128+64+32+4+1
= 218128⋅21864⋅21832⋅2184⋅2181
≡ 225 ⋅ 15 ⋅ 276 ⋅ 71 ⋅ 218 mod 479
≡ 3375 ⋅ 276 ⋅ 71 ⋅ 218 mod 479 ≡ 22 ⋅ 276 ⋅ 71 ⋅ 218 mod 479
≡ 6072 ⋅ 71 ⋅ 218 mod 479 ≡ 324 ⋅ 71 ⋅ 218 mod 479
≡ 23004 ⋅ 218 mod 479 ≡ 12 ⋅ 218 mod 479
≡ 2616 mod 479 ≡ 221 mod 479
Es gilt also: 218229 ≡ 221 mod 479
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63
| =>83 | = 1⋅63 + 20 |
| =>63 | = 3⋅20 + 3 |
| =>20 | = 6⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 20-6⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3) = -1⋅20 +7⋅ 3 (=1) |
| 3= 63-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20) = 7⋅63 -22⋅ 20 (=1) |
| 20= 83-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63)
= 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63) = -22⋅83 +29⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63
oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +22⋅83 = +29⋅63
Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1
Somit 29⋅63 = 1 mod 83
29 ist also das Inverse von 63 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
