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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (162 + 392) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(162 + 392) mod 8 ≡ (162 mod 8 + 392 mod 8) mod 8.
162 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 162
= 160
392 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 392
= 400
Somit gilt:
(162 + 392) mod 8 ≡ (2 + 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 85) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 85) mod 10 ≡ (28 mod 10 ⋅ 85 mod 10) mod 10.
28 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 20 + 8 = 2 ⋅ 10 + 8 ist.
85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 85) mod 10 ≡ (8 ⋅ 5) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60616 mod 1009.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 606 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6061=606
2: 6062=6061+1=6061⋅6061 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 969 mod 1009
4: 6064=6062+2=6062⋅6062 ≡ 969⋅969=938961 ≡ 591 mod 1009
8: 6068=6064+4=6064⋅6064 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 167 mod 1009
16: 60616=6068+8=6068⋅6068 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 646 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 476187 mod 661.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:
187 = 128+32+16+8+2+1
1: 4761=476
2: 4762=4761+1=4761⋅4761 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 514 mod 661
4: 4764=4762+2=4762⋅4762 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 457 mod 661
8: 4768=4764+4=4764⋅4764 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 634 mod 661
16: 47616=4768+8=4768⋅4768 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 68 mod 661
32: 47632=47616+16=47616⋅47616 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 658 mod 661
64: 47664=47632+32=47632⋅47632 ≡ 658⋅658=432964 ≡ 9 mod 661
128: 476128=47664+64=47664⋅47664 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 661
476187
= 476128+32+16+8+2+1
= 476128⋅47632⋅47616⋅4768⋅4762⋅4761
≡ 81 ⋅ 658 ⋅ 68 ⋅ 634 ⋅ 514 ⋅ 476 mod 661
≡ 53298 ⋅ 68 ⋅ 634 ⋅ 514 ⋅ 476 mod 661 ≡ 418 ⋅ 68 ⋅ 634 ⋅ 514 ⋅ 476 mod 661
≡ 28424 ⋅ 634 ⋅ 514 ⋅ 476 mod 661 ≡ 1 ⋅ 634 ⋅ 514 ⋅ 476 mod 661
≡ 634 ⋅ 514 ⋅ 476 mod 661
≡ 325876 ⋅ 476 mod 661 ≡ 3 ⋅ 476 mod 661
≡ 1428 mod 661 ≡ 106 mod 661
Es gilt also: 476187 ≡ 106 mod 661
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58
| =>71 | = 1⋅58 + 13 |
| =>58 | = 4⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 58-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -11⋅58
-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58
-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1
(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1
60⋅58 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1
Somit 60⋅58 = 1 mod 71
60 ist also das Inverse von 58 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
