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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (352 + 21006) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(352 + 21006) mod 7 ≡ (352 mod 7 + 21006 mod 7) mod 7.
352 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 352
= 350
21006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21006
= 21000
Somit gilt:
(352 + 21006) mod 7 ≡ (2 + 6) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 21) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 21) mod 11 ≡ (24 mod 11 ⋅ 21 mod 11) mod 11.
24 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 22 + 2 = 2 ⋅ 11 + 2 ist.
21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 21) mod 11 ≡ (2 ⋅ 10) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30816 mod 701.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 308 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3081=308
2: 3082=3081+1=3081⋅3081 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 229 mod 701
4: 3084=3082+2=3082⋅3082 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 567 mod 701
8: 3088=3084+4=3084⋅3084 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 431 mod 701
16: 30816=3088+8=3088⋅3088 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 697 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15886 mod 311.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 86 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 86 an und zerlegen 86 in eine Summer von 2er-Potenzen:
86 = 64+16+4+2
1: 1581=158
2: 1582=1581+1=1581⋅1581 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 84 mod 311
4: 1584=1582+2=1582⋅1582 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 214 mod 311
8: 1588=1584+4=1584⋅1584 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 79 mod 311
16: 15816=1588+8=1588⋅1588 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 21 mod 311
32: 15832=15816+16=15816⋅15816 ≡ 21⋅21=441 ≡ 130 mod 311
64: 15864=15832+32=15832⋅15832 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 106 mod 311
15886
= 15864+16+4+2
= 15864⋅15816⋅1584⋅1582
≡ 106 ⋅ 21 ⋅ 214 ⋅ 84 mod 311
≡ 2226 ⋅ 214 ⋅ 84 mod 311 ≡ 49 ⋅ 214 ⋅ 84 mod 311
≡ 10486 ⋅ 84 mod 311 ≡ 223 ⋅ 84 mod 311
≡ 18732 mod 311 ≡ 72 mod 311
Es gilt also: 15886 ≡ 72 mod 311
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 70.
Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 70
| =>89 | = 1⋅70 + 19 |
| =>70 | = 3⋅19 + 13 |
| =>19 | = 1⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,70)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 19-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 70-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅19 +3⋅(70 -3⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅70 -9⋅ 19) = 3⋅70 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 89-1⋅70 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅70 -11⋅(89 -1⋅ 70)
= 3⋅70 -11⋅89 +11⋅ 70) = -11⋅89 +14⋅ 70 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,70)=1 = -11⋅89 +14⋅70
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +14⋅70
Es gilt also: 14⋅70 = 11⋅89 +1
Somit 14⋅70 = 1 mod 89
14 ist also das Inverse von 70 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.