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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (181 + 2396) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(181 + 2396) mod 6 ≡ (181 mod 6 + 2396 mod 6) mod 6.

181 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181 = 180+1 = 6 ⋅ 30 +1.

2396 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2396 = 2400-4 = 6 ⋅ 400 -4 = 6 ⋅ 400 - 6 + 2.

Somit gilt:

(181 + 2396) mod 6 ≡ (1 + 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 84) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 84) mod 11 ≡ (94 mod 11 ⋅ 84 mod 11) mod 11.

94 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 8 ⋅ 11 + 6 ist.

84 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 77 + 7 = 7 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 84) mod 11 ≡ (6 ⋅ 7) mod 11 ≡ 42 mod 11 ≡ 9 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 117¹²⁸ mod 241.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 117 -> x
2. mod(x²,241) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 117¹=117

2: 117²=117¹⁺¹=117¹⋅117¹ ≡ 117⋅117=13689 ≡ 193 mod 241

4: 117⁴=117²⁺²=117²⋅117² ≡ 193⋅193=37249 ≡ 135 mod 241

8: 117⁸=117⁴⁺⁴=117⁴⋅117⁴ ≡ 135⋅135=18225 ≡ 150 mod 241

16: 117¹⁶=117⁸⁺⁸=117⁸⋅117⁸ ≡ 150⋅150=22500 ≡ 87 mod 241

32: 117³²=117¹⁶⁺¹⁶=117¹⁶⋅117¹⁶ ≡ 87⋅87=7569 ≡ 98 mod 241

64: 117⁶⁴=117³²⁺³²=117³²⋅117³² ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241

128: 117¹²⁸=117⁶⁴⁺⁶⁴=117⁶⁴⋅117⁶⁴ ≡ 205⋅205=42025 ≡ 91 mod 241

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 297⁷⁴ mod 379.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 74 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 74 an und zerlegen 74 in eine Summer von 2er-Potenzen:

74 = 64+8+2

1: 297¹=297

2: 297²=297¹⁺¹=297¹⋅297¹ ≡ 297⋅297=88209 ≡ 281 mod 379

4: 297⁴=297²⁺²=297²⋅297² ≡ 281⋅281=78961 ≡ 129 mod 379

8: 297⁸=297⁴⁺⁴=297⁴⋅297⁴ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 344 mod 379

16: 297¹⁶=297⁸⁺⁸=297⁸⋅297⁸ ≡ 344⋅344=118336 ≡ 88 mod 379

32: 297³²=297¹⁶⁺¹⁶=297¹⁶⋅297¹⁶ ≡ 88⋅88=7744 ≡ 164 mod 379

64: 297⁶⁴=297³²⁺³²=297³²⋅297³² ≡ 164⋅164=26896 ≡ 366 mod 379

297⁷⁴

= 297⁶⁴⁺⁸⁺²

= 297⁶⁴⋅297⁸⋅297²

≡ 366 ⋅ 344 ⋅ 281 mod 379
≡ 125904 ⋅ 281 mod 379 ≡ 76 ⋅ 281 mod 379
≡ 21356 mod 379 ≡ 132 mod 379

Es gilt also: 297⁷⁴ ≡ 132 mod 379

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50

=>53	= 1⋅50 + 3
=>50	= 16⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 50-16⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1)
3= 53-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50) = -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -18⋅50

-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50

-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1

(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1

35⋅50 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1

Somit 35⋅50 = 1 mod 53

35 ist also das Inverse von 50 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50

Schlüsselpaar für RSA