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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (295 - 12004) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(295 - 12004) mod 6 ≡ (295 mod 6 - 12004 mod 6) mod 6.

295 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 295 = 300-5 = 6 ⋅ 50 -5 = 6 ⋅ 50 - 6 + 1.

12004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004 = 12000+4 = 6 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(295 - 12004) mod 6 ≡ (1 - 4) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 32) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 32) mod 8 ≡ (27 mod 8 ⋅ 32 mod 8) mod 8.

27 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 3 ⋅ 8 + 3 ist.

32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 32) mod 8 ≡ (3 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 391128 mod 523.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 391 -> x
2. mod(x²,523) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3911=391

2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 165 mod 523

4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 29 mod 523

8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 29⋅29=841 ≡ 318 mod 523

16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 185 mod 523

32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 230 mod 523

64: 39164=39132+32=39132⋅39132 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 77 mod 523

128: 391128=39164+64=39164⋅39164 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 176 mod 523

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 294163 mod 313.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:

163 = 128+32+2+1

1: 2941=294

2: 2942=2941+1=2941⋅2941 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 48 mod 313

4: 2944=2942+2=2942⋅2942 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 113 mod 313

8: 2948=2944+4=2944⋅2944 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 249 mod 313

16: 29416=2948+8=2948⋅2948 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 27 mod 313

32: 29432=29416+16=29416⋅29416 ≡ 27⋅27=729 ≡ 103 mod 313

64: 29464=29432+32=29432⋅29432 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 280 mod 313

128: 294128=29464+64=29464⋅29464 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 150 mod 313

294163

= 294128+32+2+1

= 294128⋅29432⋅2942⋅2941

≡ 150 ⋅ 103 ⋅ 48 ⋅ 294 mod 313
≡ 15450 ⋅ 48 ⋅ 294 mod 313 ≡ 113 ⋅ 48 ⋅ 294 mod 313
≡ 5424 ⋅ 294 mod 313 ≡ 103 ⋅ 294 mod 313
≡ 30282 mod 313 ≡ 234 mod 313

Es gilt also: 294163 ≡ 234 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 70

=>89 = 1⋅70 + 19
=>70 = 3⋅19 + 13
=>19 = 1⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13)
= -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 70-3⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅19 +3⋅(70 -3⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅70 -9⋅ 19)
= 3⋅70 -11⋅ 19 (=1)
19= 89-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅70 -11⋅(89 -1⋅ 70)
= 3⋅70 -11⋅89 +11⋅ 70)
= -11⋅89 +14⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(89,70)=1 = -11⋅89 +14⋅70

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +14⋅70

Es gilt also: 14⋅70 = 11⋅89 +1

Somit 14⋅70 = 1 mod 89

14 ist also das Inverse von 70 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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