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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1197 - 298) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1197 - 298) mod 6 ≡ (1197 mod 6 - 298 mod 6) mod 6.

1197 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 6 ⋅ 200 -3 = 6 ⋅ 200 - 6 + 3.

298 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298 = 300-2 = 6 ⋅ 50 -2 = 6 ⋅ 50 - 6 + 4.

Somit gilt:

(1197 - 298) mod 6 ≡ (3 - 4) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 98) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 98) mod 10 ≡ (67 mod 10 ⋅ 98 mod 10) mod 10.

67 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 60 + 7 = 6 ⋅ 10 + 7 ist.

98 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 9 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 98) mod 10 ≡ (7 ⋅ 8) mod 10 ≡ 56 mod 10 ≡ 6 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 48164 mod 647.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 481 -> x
2. mod(x²,647) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4811=481

2: 4812=4811+1=4811⋅4811 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 382 mod 647

4: 4814=4812+2=4812⋅4812 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 349 mod 647

8: 4818=4814+4=4814⋅4814 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 165 mod 647

16: 48116=4818+8=4818⋅4818 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 51 mod 647

32: 48132=48116+16=48116⋅48116 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 13 mod 647

64: 48164=48132+32=48132⋅48132 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 647

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 431143 mod 797.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:

143 = 128+8+4+2+1

1: 4311=431

2: 4312=4311+1=4311⋅4311 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 60 mod 797

4: 4314=4312+2=4312⋅4312 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 412 mod 797

8: 4318=4314+4=4314⋅4314 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 780 mod 797

16: 43116=4318+8=4318⋅4318 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 289 mod 797

32: 43132=43116+16=43116⋅43116 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 633 mod 797

64: 43164=43132+32=43132⋅43132 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 595 mod 797

128: 431128=43164+64=43164⋅43164 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 157 mod 797

431143

= 431128+8+4+2+1

= 431128⋅4318⋅4314⋅4312⋅4311

≡ 157 ⋅ 780 ⋅ 412 ⋅ 60 ⋅ 431 mod 797
≡ 122460 ⋅ 412 ⋅ 60 ⋅ 431 mod 797 ≡ 519 ⋅ 412 ⋅ 60 ⋅ 431 mod 797
≡ 213828 ⋅ 60 ⋅ 431 mod 797 ≡ 232 ⋅ 60 ⋅ 431 mod 797
≡ 13920 ⋅ 431 mod 797 ≡ 371 ⋅ 431 mod 797
≡ 159901 mod 797 ≡ 501 mod 797

Es gilt also: 431143 ≡ 501 mod 797

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 31

=>83 = 2⋅31 + 21
=>31 = 1⋅21 + 10
=>21 = 2⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-2⋅10
10= 31-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21)
= -2⋅31 +3⋅ 21 (=1)
21= 83-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅31 +3⋅(83 -2⋅ 31)
= -2⋅31 +3⋅83 -6⋅ 31)
= 3⋅83 -8⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(83,31)=1 = 3⋅83 -8⋅31

oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅83 = -8⋅31

-8⋅31 = -3⋅83 + 1 |+83⋅31

-8⋅31 + 83⋅31 = -3⋅83 + 83⋅31 + 1

(-8 + 83) ⋅ 31 = (-3 + 31) ⋅ 83 + 1

75⋅31 = 28⋅83 + 1

Es gilt also: 75⋅31 = 28⋅83 +1

Somit 75⋅31 = 1 mod 83

75 ist also das Inverse von 31 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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