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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3001 - 1199) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3001 - 1199) mod 3 ≡ (3001 mod 3 - 1199 mod 3) mod 3.
3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001
= 3000
1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
Somit gilt:
(3001 - 1199) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 94) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 94) mod 9 ≡ (48 mod 9 ⋅ 94 mod 9) mod 9.
48 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 5 ⋅ 9 + 3 ist.
94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 10 ⋅ 9 + 4 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 94) mod 9 ≡ (3 ⋅ 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1378 mod 311.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 137 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1371=137
2: 1372=1371+1=1371⋅1371 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 109 mod 311
4: 1374=1372+2=1372⋅1372 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 63 mod 311
8: 1378=1374+4=1374⋅1374 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 237 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 443119 mod 983.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:
119 = 64+32+16+4+2+1
1: 4431=443
2: 4432=4431+1=4431⋅4431 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 632 mod 983
4: 4434=4432+2=4432⋅4432 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 326 mod 983
8: 4438=4434+4=4434⋅4434 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 112 mod 983
16: 44316=4438+8=4438⋅4438 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 748 mod 983
32: 44332=44316+16=44316⋅44316 ≡ 748⋅748=559504 ≡ 177 mod 983
64: 44364=44332+32=44332⋅44332 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 856 mod 983
443119
= 44364+32+16+4+2+1
= 44364⋅44332⋅44316⋅4434⋅4432⋅4431
≡ 856 ⋅ 177 ⋅ 748 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983
≡ 151512 ⋅ 748 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983 ≡ 130 ⋅ 748 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983
≡ 97240 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983 ≡ 906 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983
≡ 295356 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983 ≡ 456 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983
≡ 288192 ⋅ 443 mod 983 ≡ 173 ⋅ 443 mod 983
≡ 76639 mod 983 ≡ 948 mod 983
Es gilt also: 443119 ≡ 948 mod 983
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30
=>67 | = 2⋅30 + 7 |
=>30 | = 4⋅7 + 2 |
=>7 | = 3⋅2 + 1 |
=>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
1= 7-3⋅2 | |||
2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
7= 67-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -29⋅30
-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30
-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1
(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1
38⋅30 = 17⋅67 + 1
Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1
Somit 38⋅30 = 1 mod 67
38 ist also das Inverse von 30 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.