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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 - 19998) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 - 19998) mod 5 ≡ (51 mod 5 - 19998 mod 5) mod 5.

51 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50+1 = 5 ⋅ 10 +1.

19998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998 = 19000+998 = 5 ⋅ 3800 +998.

Somit gilt:

(51 - 19998) mod 5 ≡ (1 - 3) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 85) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 85) mod 3 ≡ (29 mod 3 ⋅ 85 mod 3) mod 3.

29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 9 ⋅ 3 + 2 ist.

85 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 28 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 85) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3828 mod 787.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 382 -> x
2. mod(x²,787) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3821=382

2: 3822=3821+1=3821⋅3821 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 329 mod 787

4: 3824=3822+2=3822⋅3822 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 422 mod 787

8: 3828=3824+4=3824⋅3824 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 222 mod 787

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 58595 mod 829.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:

95 = 64+16+8+4+2+1

1: 5851=585

2: 5852=5851+1=5851⋅5851 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 677 mod 829

4: 5854=5852+2=5852⋅5852 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 721 mod 829

8: 5858=5854+4=5854⋅5854 ≡ 721⋅721=519841 ≡ 58 mod 829

16: 58516=5858+8=5858⋅5858 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 48 mod 829

32: 58532=58516+16=58516⋅58516 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 646 mod 829

64: 58564=58532+32=58532⋅58532 ≡ 646⋅646=417316 ≡ 329 mod 829

58595

= 58564+16+8+4+2+1

= 58564⋅58516⋅5858⋅5854⋅5852⋅5851

≡ 329 ⋅ 48 ⋅ 58 ⋅ 721 ⋅ 677 ⋅ 585 mod 829
≡ 15792 ⋅ 58 ⋅ 721 ⋅ 677 ⋅ 585 mod 829 ≡ 41 ⋅ 58 ⋅ 721 ⋅ 677 ⋅ 585 mod 829
≡ 2378 ⋅ 721 ⋅ 677 ⋅ 585 mod 829 ≡ 720 ⋅ 721 ⋅ 677 ⋅ 585 mod 829
≡ 519120 ⋅ 677 ⋅ 585 mod 829 ≡ 166 ⋅ 677 ⋅ 585 mod 829
≡ 112382 ⋅ 585 mod 829 ≡ 467 ⋅ 585 mod 829
≡ 273195 mod 829 ≡ 454 mod 829

Es gilt also: 58595 ≡ 454 mod 829

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29

=>73 = 2⋅29 + 15
=>29 = 1⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 29-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15)
= -1⋅29 +2⋅ 15 (=1)
15= 73-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29)
= 2⋅73 -5⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29

oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅73 = -5⋅29

-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29

-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1

(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1

68⋅29 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1

Somit 68⋅29 = 1 mod 73

68 ist also das Inverse von 29 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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