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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (998 - 500) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(998 - 500) mod 5 ≡ (998 mod 5 - 500 mod 5) mod 5.

998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 998 = 900+98 = 5 ⋅ 180 +98.

500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 500 = 500+0 = 5 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(998 - 500) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 96) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 96) mod 6 ≡ (81 mod 6 ⋅ 96 mod 6) mod 6.

81 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 78 + 3 = 13 ⋅ 6 + 3 ist.

96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 96) mod 6 ≡ (3 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 42564 mod 463.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 425 -> x
2. mod(x²,463) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4251=425

2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 55 mod 463

4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 247 mod 463

8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 356 mod 463

16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 337 mod 463

32: 42532=42516+16=42516⋅42516 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 134 mod 463

64: 42564=42532+32=42532⋅42532 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 362 mod 463

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 360221 mod 601.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

1: 3601=360

2: 3602=3601+1=3601⋅3601 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 385 mod 601

4: 3604=3602+2=3602⋅3602 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 379 mod 601

8: 3608=3604+4=3604⋅3604 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 2 mod 601

16: 36016=3608+8=3608⋅3608 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 601

32: 36032=36016+16=36016⋅36016 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 601

64: 36064=36032+32=36032⋅36032 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 601

128: 360128=36064+64=36064⋅36064 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 27 mod 601

360221

= 360128+64+16+8+4+1

= 360128⋅36064⋅36016⋅3608⋅3604⋅3601

27 ⋅ 256 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 379 ⋅ 360 mod 601
6912 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 379 ⋅ 360 mod 601 ≡ 301 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 379 ⋅ 360 mod 601
1204 ⋅ 2 ⋅ 379 ⋅ 360 mod 601 ≡ 2 ⋅ 2 ⋅ 379 ⋅ 360 mod 601
4 ⋅ 379 ⋅ 360 mod 601
1516 ⋅ 360 mod 601 ≡ 314 ⋅ 360 mod 601
113040 mod 601 ≡ 52 mod 601

Es gilt also: 360221 ≡ 52 mod 601

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 78.

Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78

=>97 = 1⋅78 + 19
=>78 = 4⋅19 + 2
=>19 = 9⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,78)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 78-4⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19)
= -9⋅78 +37⋅ 19 (=1)
19= 97-1⋅78 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78)
= -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78)
= 37⋅97 -46⋅ 78 (=1)

Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78

oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -37⋅97 = -46⋅78

-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78

-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1

(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1

51⋅78 = 41⋅97 + 1

Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1

Somit 51⋅78 = 1 mod 97

51 ist also das Inverse von 78 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.