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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9996 + 248) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9996 + 248) mod 5 ≡ (9996 mod 5 + 248 mod 5) mod 5.
9996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9996
= 9000
248 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248
= 240
Somit gilt:
(9996 + 248) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 38) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 38) mod 5 ≡ (74 mod 5 ⋅ 38 mod 5) mod 5.
74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.
38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 38) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 88128 mod 227.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 88 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 881=88
2: 882=881+1=881⋅881 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 26 mod 227
4: 884=882+2=882⋅882 ≡ 26⋅26=676 ≡ 222 mod 227
8: 888=884+4=884⋅884 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 25 mod 227
16: 8816=888+8=888⋅888 ≡ 25⋅25=625 ≡ 171 mod 227
32: 8832=8816+16=8816⋅8816 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 185 mod 227
64: 8864=8832+32=8832⋅8832 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 175 mod 227
128: 88128=8864+64=8864⋅8864 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 207 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 7361 mod 223.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:
61 = 32+16+8+4+1
1: 731=73
2: 732=731+1=731⋅731 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 200 mod 223
4: 734=732+2=732⋅732 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 83 mod 223
8: 738=734+4=734⋅734 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 199 mod 223
16: 7316=738+8=738⋅738 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 130 mod 223
32: 7332=7316+16=7316⋅7316 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 175 mod 223
7361
= 7332+16+8+4+1
= 7332⋅7316⋅738⋅734⋅731
≡ 175 ⋅ 130 ⋅ 199 ⋅ 83 ⋅ 73 mod 223
≡ 22750 ⋅ 199 ⋅ 83 ⋅ 73 mod 223 ≡ 4 ⋅ 199 ⋅ 83 ⋅ 73 mod 223
≡ 796 ⋅ 83 ⋅ 73 mod 223 ≡ 127 ⋅ 83 ⋅ 73 mod 223
≡ 10541 ⋅ 73 mod 223 ≡ 60 ⋅ 73 mod 223
≡ 4380 mod 223 ≡ 143 mod 223
Es gilt also: 7361 ≡ 143 mod 223
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 37
| =>67 | = 1⋅37 + 30 |
| =>37 | = 1⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 37-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(37 -1⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅37 -13⋅ 30) = 13⋅37 -16⋅ 30 (=1) |
| 30= 67-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅37 -16⋅(67 -1⋅ 37)
= 13⋅37 -16⋅67 +16⋅ 37) = -16⋅67 +29⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,37)=1 = -16⋅67 +29⋅37
oder wenn man -16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅67 = +29⋅37
Es gilt also: 29⋅37 = 16⋅67 +1
Somit 29⋅37 = 1 mod 67
29 ist also das Inverse von 37 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
