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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 - 149) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 - 149) mod 3 ≡ (91 mod 3 - 149 mod 3) mod 3.
91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91
= 90
149 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 149
= 150
Somit gilt:
(91 - 149) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 15) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36 ⋅ 15) mod 10 ≡ (36 mod 10 ⋅ 15 mod 10) mod 10.
36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.
15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(36 ⋅ 15) mod 10 ≡ (6 ⋅ 5) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28416 mod 307.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 284 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2841=284
2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 222 mod 307
4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 164 mod 307
8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 187 mod 307
16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 278 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 624131 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:
131 = 128+2+1
1: 6241=624
2: 6242=6241+1=6241⋅6241 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 135 mod 709
4: 6244=6242+2=6242⋅6242 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 500 mod 709
8: 6248=6244+4=6244⋅6244 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 432 mod 709
16: 62416=6248+8=6248⋅6248 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 157 mod 709
32: 62432=62416+16=62416⋅62416 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 543 mod 709
64: 62464=62432+32=62432⋅62432 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 614 mod 709
128: 624128=62464+64=62464⋅62464 ≡ 614⋅614=376996 ≡ 517 mod 709
624131
= 624128+2+1
= 624128⋅6242⋅6241
≡ 517 ⋅ 135 ⋅ 624 mod 709
≡ 69795 ⋅ 624 mod 709 ≡ 313 ⋅ 624 mod 709
≡ 195312 mod 709 ≡ 337 mod 709
Es gilt also: 624131 ≡ 337 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 90.
Also bestimme x, so dass 90 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 90
| =>97 | = 1⋅90 + 7 |
| =>90 | = 12⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,90)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 90-12⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(90 -12⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅90 +12⋅ 7) = -1⋅90 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-1⋅90 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅90 +13⋅(97 -1⋅ 90)
= -1⋅90 +13⋅97 -13⋅ 90) = 13⋅97 -14⋅ 90 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,90)=1 = 13⋅97 -14⋅90
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -14⋅90
-14⋅90 = -13⋅97 + 1 |+97⋅90
-14⋅90 + 97⋅90 = -13⋅97 + 97⋅90 + 1
(-14 + 97) ⋅ 90 = (-13 + 90) ⋅ 97 + 1
83⋅90 = 77⋅97 + 1
Es gilt also: 83⋅90 = 77⋅97 +1
Somit 83⋅90 = 1 mod 97
83 ist also das Inverse von 90 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.