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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 + 2999) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 + 2999) mod 6 ≡ (55 mod 6 + 2999 mod 6) mod 6.

55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 60-5 = 6 ⋅ 10 -5 = 6 ⋅ 10 - 6 + 1.

2999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 6 ⋅ 500 -1 = 6 ⋅ 500 - 6 + 5.

Somit gilt:

(55 + 2999) mod 6 ≡ (1 + 5) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 75) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 75) mod 7 ≡ (57 mod 7 ⋅ 75 mod 7) mod 7.

57 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 8 ⋅ 7 + 1 ist.

75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 10 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 75) mod 7 ≡ (1 ⋅ 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 84128 mod 241.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 84 -> x
2. mod(x²,241) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 841=84

2: 842=841+1=841⋅841 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 67 mod 241

4: 844=842+2=842⋅842 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 151 mod 241

8: 848=844+4=844⋅844 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 147 mod 241

16: 8416=848+8=848⋅848 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 160 mod 241

32: 8432=8416+16=8416⋅8416 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241

64: 8464=8432+32=8432⋅8432 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 24 mod 241

128: 84128=8464+64=8464⋅8464 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 323208 mod 857.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:

208 = 128+64+16

1: 3231=323

2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 632 mod 857

4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 62 mod 857

8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 416 mod 857

16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 799 mod 857

32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 799⋅799=638401 ≡ 793 mod 857

64: 32364=32332+32=32332⋅32332 ≡ 793⋅793=628849 ≡ 668 mod 857

128: 323128=32364+64=32364⋅32364 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 584 mod 857

323208

= 323128+64+16

= 323128⋅32364⋅32316

≡ 584 ⋅ 668 ⋅ 799 mod 857
≡ 390112 ⋅ 799 mod 857 ≡ 177 ⋅ 799 mod 857
≡ 141423 mod 857 ≡ 18 mod 857

Es gilt also: 323208 ≡ 18 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67 = 1⋅54 + 13
=>54 = 4⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13)
= -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54)
= 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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