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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (203 - 8003) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(203 - 8003) mod 4 ≡ (203 mod 4 - 8003 mod 4) mod 4.

203 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203 = 200+3 = 4 ⋅ 50 +3.

8003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8003 = 8000+3 = 4 ⋅ 2000 +3.

Somit gilt:

(203 - 8003) mod 4 ≡ (3 - 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 37) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 37) mod 6 ≡ (27 mod 6 ⋅ 37 mod 6) mod 6.

27 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 4 ⋅ 6 + 3 ist.

37 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 6 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 37) mod 6 ≡ (3 ⋅ 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 201¹²⁸ mod 541.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 201 -> x
2. mod(x²,541) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 201¹=201

2: 201²=201¹⁺¹=201¹⋅201¹ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 367 mod 541

4: 201⁴=201²⁺²=201²⋅201² ≡ 367⋅367=134689 ≡ 521 mod 541

8: 201⁸=201⁴⁺⁴=201⁴⋅201⁴ ≡ 521⋅521=271441 ≡ 400 mod 541

16: 201¹⁶=201⁸⁺⁸=201⁸⋅201⁸ ≡ 400⋅400=160000 ≡ 405 mod 541

32: 201³²=201¹⁶⁺¹⁶=201¹⁶⋅201¹⁶ ≡ 405⋅405=164025 ≡ 102 mod 541

64: 201⁶⁴=201³²⁺³²=201³²⋅201³² ≡ 102⋅102=10404 ≡ 125 mod 541

128: 201¹²⁸=201⁶⁴⁺⁶⁴=201⁶⁴⋅201⁶⁴ ≡ 125⋅125=15625 ≡ 477 mod 541

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 240²⁵⁵ mod 383.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

1: 240¹=240

2: 240²=240¹⁺¹=240¹⋅240¹ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 150 mod 383

4: 240⁴=240²⁺²=240²⋅240² ≡ 150⋅150=22500 ≡ 286 mod 383

8: 240⁸=240⁴⁺⁴=240⁴⋅240⁴ ≡ 286⋅286=81796 ≡ 217 mod 383

16: 240¹⁶=240⁸⁺⁸=240⁸⋅240⁸ ≡ 217⋅217=47089 ≡ 363 mod 383

32: 240³²=240¹⁶⁺¹⁶=240¹⁶⋅240¹⁶ ≡ 363⋅363=131769 ≡ 17 mod 383

64: 240⁶⁴=240³²⁺³²=240³²⋅240³² ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 383

128: 240¹²⁸=240⁶⁴⁺⁶⁴=240⁶⁴⋅240⁶⁴ ≡ 289⋅289=83521 ≡ 27 mod 383

240²⁵⁵

= 240^{128+64+32+16+8+4+2+1}

= 240¹²⁸⋅240⁶⁴⋅240³²⋅240¹⁶⋅240⁸⋅240⁴⋅240²⋅240¹

≡ 27 ⋅ 289 ⋅ 17 ⋅ 363 ⋅ 217 ⋅ 286 ⋅ 150 ⋅ 240 mod 383
≡ 7803 ⋅ 17 ⋅ 363 ⋅ 217 ⋅ 286 ⋅ 150 ⋅ 240 mod 383 ≡ 143 ⋅ 17 ⋅ 363 ⋅ 217 ⋅ 286 ⋅ 150 ⋅ 240 mod 383
≡ 2431 ⋅ 363 ⋅ 217 ⋅ 286 ⋅ 150 ⋅ 240 mod 383 ≡ 133 ⋅ 363 ⋅ 217 ⋅ 286 ⋅ 150 ⋅ 240 mod 383
≡ 48279 ⋅ 217 ⋅ 286 ⋅ 150 ⋅ 240 mod 383 ≡ 21 ⋅ 217 ⋅ 286 ⋅ 150 ⋅ 240 mod 383
≡ 4557 ⋅ 286 ⋅ 150 ⋅ 240 mod 383 ≡ 344 ⋅ 286 ⋅ 150 ⋅ 240 mod 383
≡ 98384 ⋅ 150 ⋅ 240 mod 383 ≡ 336 ⋅ 150 ⋅ 240 mod 383
≡ 50400 ⋅ 240 mod 383 ≡ 227 ⋅ 240 mod 383
≡ 54480 mod 383 ≡ 94 mod 383

Es gilt also: 240²⁵⁵ ≡ 94 mod 383

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46

=>59	= 1⋅46 + 13
=>46	= 3⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 46-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13) = 2⋅46 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46) = 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46) = -7⋅59 +9⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +9⋅46

Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1

Somit 9⋅46 = 1 mod 59

9 ist also das Inverse von 46 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46

Schlüsselpaar für RSA