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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 - 8001) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 - 8001) mod 4 ≡ (43 mod 4 - 8001 mod 4) mod 4.
43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43
= 40
8001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8001
= 8000
Somit gilt:
(43 - 8001) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 23) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 23) mod 7 ≡ (70 mod 7 ⋅ 23 mod 7) mod 7.
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.
23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 23) mod 7 ≡ (0 ⋅ 2) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9132 mod 229.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 91 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 911=91
2: 912=911+1=911⋅911 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 37 mod 229
4: 914=912+2=912⋅912 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 224 mod 229
8: 918=914+4=914⋅914 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 25 mod 229
16: 9116=918+8=918⋅918 ≡ 25⋅25=625 ≡ 167 mod 229
32: 9132=9116+16=9116⋅9116 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 180 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 388253 mod 599.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:
253 = 128+64+32+16+8+4+1
1: 3881=388
2: 3882=3881+1=3881⋅3881 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 195 mod 599
4: 3884=3882+2=3882⋅3882 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 288 mod 599
8: 3888=3884+4=3884⋅3884 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 282 mod 599
16: 38816=3888+8=3888⋅3888 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 456 mod 599
32: 38832=38816+16=38816⋅38816 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 83 mod 599
64: 38864=38832+32=38832⋅38832 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 300 mod 599
128: 388128=38864+64=38864⋅38864 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 150 mod 599
388253
= 388128+64+32+16+8+4+1
= 388128⋅38864⋅38832⋅38816⋅3888⋅3884⋅3881
≡ 150 ⋅ 300 ⋅ 83 ⋅ 456 ⋅ 282 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599
≡ 45000 ⋅ 83 ⋅ 456 ⋅ 282 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599 ≡ 75 ⋅ 83 ⋅ 456 ⋅ 282 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599
≡ 6225 ⋅ 456 ⋅ 282 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599 ≡ 235 ⋅ 456 ⋅ 282 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599
≡ 107160 ⋅ 282 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599 ≡ 538 ⋅ 282 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599
≡ 151716 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599 ≡ 169 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599
≡ 48672 ⋅ 388 mod 599 ≡ 153 ⋅ 388 mod 599
≡ 59364 mod 599 ≡ 63 mod 599
Es gilt also: 388253 ≡ 63 mod 599
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 63.
Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 63
| =>73 | = 1⋅63 + 10 |
| =>63 | = 6⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,63)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 63-6⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(63 -6⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅63 +18⋅ 10) = -3⋅63 +19⋅ 10 (=1) |
| 10= 73-1⋅63 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅63 +19⋅(73 -1⋅ 63)
= -3⋅63 +19⋅73 -19⋅ 63) = 19⋅73 -22⋅ 63 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,63)=1 = 19⋅73 -22⋅63
oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅73 = -22⋅63
-22⋅63 = -19⋅73 + 1 |+73⋅63
-22⋅63 + 73⋅63 = -19⋅73 + 73⋅63 + 1
(-22 + 73) ⋅ 63 = (-19 + 63) ⋅ 73 + 1
51⋅63 = 44⋅73 + 1
Es gilt also: 51⋅63 = 44⋅73 +1
Somit 51⋅63 = 1 mod 73
51 ist also das Inverse von 63 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
