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Kursstufe
cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1597 + 24000) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1597 + 24000) mod 8 ≡ (1597 mod 8 + 24000 mod 8) mod 8.
1597 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1597
= 1600
24000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000
= 24000
Somit gilt:
(1597 + 24000) mod 8 ≡ (5 + 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 86) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 86) mod 7 ≡ (30 mod 7 ⋅ 86 mod 7) mod 7.
30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.
86 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 12 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 86) mod 7 ≡ (2 ⋅ 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35916 mod 743.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 359 -> x
2. mod(x²,743) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3591=359
2: 3592=3591+1=3591⋅3591 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 342 mod 743
4: 3594=3592+2=3592⋅3592 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 313 mod 743
8: 3598=3594+4=3594⋅3594 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 636 mod 743
16: 35916=3598+8=3598⋅3598 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 304 mod 743
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 652191 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:
191 = 128+32+16+8+4+2+1
1: 6521=652
2: 6522=6521+1=6521⋅6521 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 570 mod 839
4: 6524=6522+2=6522⋅6522 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 207 mod 839
8: 6528=6524+4=6524⋅6524 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 60 mod 839
16: 65216=6528+8=6528⋅6528 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 244 mod 839
32: 65232=65216+16=65216⋅65216 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 806 mod 839
64: 65264=65232+32=65232⋅65232 ≡ 806⋅806=649636 ≡ 250 mod 839
128: 652128=65264+64=65264⋅65264 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 414 mod 839
652191
= 652128+32+16+8+4+2+1
= 652128⋅65232⋅65216⋅6528⋅6524⋅6522⋅6521
≡ 414 ⋅ 806 ⋅ 244 ⋅ 60 ⋅ 207 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839
≡ 333684 ⋅ 244 ⋅ 60 ⋅ 207 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839 ≡ 601 ⋅ 244 ⋅ 60 ⋅ 207 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839
≡ 146644 ⋅ 60 ⋅ 207 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839 ≡ 658 ⋅ 60 ⋅ 207 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839
≡ 39480 ⋅ 207 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839 ≡ 47 ⋅ 207 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839
≡ 9729 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839 ≡ 500 ⋅ 570 ⋅ 652 mod 839
≡ 285000 ⋅ 652 mod 839 ≡ 579 ⋅ 652 mod 839
≡ 377508 mod 839 ≡ 797 mod 839
Es gilt also: 652191 ≡ 797 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 39
| =>59 | = 1⋅39 + 20 |
| =>39 | = 1⋅20 + 19 |
| =>20 | = 1⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 20-1⋅19 | |||
| 19= 39-1⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅20 -1⋅(39 -1⋅ 20)
= 1⋅20 -1⋅39 +1⋅ 20) = -1⋅39 +2⋅ 20 (=1) |
| 20= 59-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅39 +2⋅(59 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +2⋅59 -2⋅ 39) = 2⋅59 -3⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,39)=1 = 2⋅59 -3⋅39
oder wenn man 2⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅59 = -3⋅39
-3⋅39 = -2⋅59 + 1 |+59⋅39
-3⋅39 + 59⋅39 = -2⋅59 + 59⋅39 + 1
(-3 + 59) ⋅ 39 = (-2 + 39) ⋅ 59 + 1
56⋅39 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 56⋅39 = 37⋅59 +1
Somit 56⋅39 = 1 mod 59
56 ist also das Inverse von 39 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
