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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (403 + 801) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(403 + 801) mod 4 ≡ (403 mod 4 + 801 mod 4) mod 4.

403 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403 = 400+3 = 4 ⋅ 100 +3.

801 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 801 = 800+1 = 4 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(403 + 801) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 60) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 60) mod 6 ≡ (28 mod 6 ⋅ 60 mod 6) mod 6.

28 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 4 ⋅ 6 + 4 ist.

60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 10 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 60) mod 6 ≡ (4 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 490⁶⁴ mod 613.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 490 -> x
2. mod(x²,613) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 490¹=490

2: 490²=490¹⁺¹=490¹⋅490¹ ≡ 490⋅490=240100 ≡ 417 mod 613

4: 490⁴=490²⁺²=490²⋅490² ≡ 417⋅417=173889 ≡ 410 mod 613

8: 490⁸=490⁴⁺⁴=490⁴⋅490⁴ ≡ 410⋅410=168100 ≡ 138 mod 613

16: 490¹⁶=490⁸⁺⁸=490⁸⋅490⁸ ≡ 138⋅138=19044 ≡ 41 mod 613

32: 490³²=490¹⁶⁺¹⁶=490¹⁶⋅490¹⁶ ≡ 41⋅41=1681 ≡ 455 mod 613

64: 490⁶⁴=490³²⁺³²=490³²⋅490³² ≡ 455⋅455=207025 ≡ 444 mod 613

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 261¹⁷⁵ mod 607.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

1: 261¹=261

2: 261²=261¹⁺¹=261¹⋅261¹ ≡ 261⋅261=68121 ≡ 137 mod 607

4: 261⁴=261²⁺²=261²⋅261² ≡ 137⋅137=18769 ≡ 559 mod 607

8: 261⁸=261⁴⁺⁴=261⁴⋅261⁴ ≡ 559⋅559=312481 ≡ 483 mod 607

16: 261¹⁶=261⁸⁺⁸=261⁸⋅261⁸ ≡ 483⋅483=233289 ≡ 201 mod 607

32: 261³²=261¹⁶⁺¹⁶=261¹⁶⋅261¹⁶ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 339 mod 607

64: 261⁶⁴=261³²⁺³²=261³²⋅261³² ≡ 339⋅339=114921 ≡ 198 mod 607

128: 261¹²⁸=261⁶⁴⁺⁶⁴=261⁶⁴⋅261⁶⁴ ≡ 198⋅198=39204 ≡ 356 mod 607

261¹⁷⁵

= 261^{128+32+8+4+2+1}

= 261¹²⁸⋅261³²⋅261⁸⋅261⁴⋅261²⋅261¹

≡ 356 ⋅ 339 ⋅ 483 ⋅ 559 ⋅ 137 ⋅ 261 mod 607
≡ 120684 ⋅ 483 ⋅ 559 ⋅ 137 ⋅ 261 mod 607 ≡ 498 ⋅ 483 ⋅ 559 ⋅ 137 ⋅ 261 mod 607
≡ 240534 ⋅ 559 ⋅ 137 ⋅ 261 mod 607 ≡ 162 ⋅ 559 ⋅ 137 ⋅ 261 mod 607
≡ 90558 ⋅ 137 ⋅ 261 mod 607 ≡ 115 ⋅ 137 ⋅ 261 mod 607
≡ 15755 ⋅ 261 mod 607 ≡ 580 ⋅ 261 mod 607
≡ 151380 mod 607 ≡ 237 mod 607

Es gilt also: 261¹⁷⁵ ≡ 237 mod 607

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35

=>101	= 2⋅35 + 31
=>35	= 1⋅31 + 4
=>31	= 7⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 35-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31) = -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31) = 8⋅35 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-2⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35) = 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35) = -9⋅101 +26⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +26⋅35

Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1

Somit 26⋅35 = 1 mod 101

26 ist also das Inverse von 35 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35

Schlüsselpaar für RSA