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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 + 1004) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 + 1004) mod 5 ≡ (55 mod 5 + 1004 mod 5) mod 5.
55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55
= 50
1004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1004
= 1000
Somit gilt:
(55 + 1004) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 15) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 15) mod 9 ≡ (18 mod 9 ⋅ 15 mod 9) mod 9.
18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.
15 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 9 + 6 = 1 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 15) mod 9 ≡ (0 ⋅ 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 77764 mod 967.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 777 -> x
2. mod(x²,967) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7771=777
2: 7772=7771+1=7771⋅7771 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 321 mod 967
4: 7774=7772+2=7772⋅7772 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 539 mod 967
8: 7778=7774+4=7774⋅7774 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 421 mod 967
16: 77716=7778+8=7778⋅7778 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 280 mod 967
32: 77732=77716+16=77716⋅77716 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 73 mod 967
64: 77764=77732+32=77732⋅77732 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 494 mod 967
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27468 mod 617.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:
68 = 64+4
1: 2741=274
2: 2742=2741+1=2741⋅2741 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 419 mod 617
4: 2744=2742+2=2742⋅2742 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 333 mod 617
8: 2748=2744+4=2744⋅2744 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 446 mod 617
16: 27416=2748+8=2748⋅2748 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 242 mod 617
32: 27432=27416+16=27416⋅27416 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 566 mod 617
64: 27464=27432+32=27432⋅27432 ≡ 566⋅566=320356 ≡ 133 mod 617
27468
= 27464+4
= 27464⋅2744
≡ 133 ⋅ 333 mod 617
≡ 44289 mod 617 ≡ 482 mod 617
Es gilt also: 27468 ≡ 482 mod 617
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21
| =>53 | = 2⋅21 + 11 |
| =>21 | = 1⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 21-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1) |
| 11= 53-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21) = 2⋅53 -5⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21
oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅53 = -5⋅21
-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21
-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1
(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1
48⋅21 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1
Somit 48⋅21 = 1 mod 53
48 ist also das Inverse von 21 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.