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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (797 + 79) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(797 + 79) mod 4 ≡ (797 mod 4 + 79 mod 4) mod 4.

797 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 797 = 700+97 = 4 ⋅ 175 +97.

79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 80-1 = 4 ⋅ 20 -1 = 4 ⋅ 20 - 4 + 3.

Somit gilt:

(797 + 79) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 35) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 35) mod 8 ≡ (84 mod 8 ⋅ 35 mod 8) mod 8.

84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.

35 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 32 + 3 = 4 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 35) mod 8 ≡ (4 ⋅ 3) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18864 mod 479.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 188 -> x
2. mod(x²,479) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1881=188

2: 1882=1881+1=1881⋅1881 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 377 mod 479

4: 1884=1882+2=1882⋅1882 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 345 mod 479

8: 1888=1884+4=1884⋅1884 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 233 mod 479

16: 18816=1888+8=1888⋅1888 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 162 mod 479

32: 18832=18816+16=18816⋅18816 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 378 mod 479

64: 18864=18832+32=18832⋅18832 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 142 mod 479

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 169184 mod 317.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 184 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 184 an und zerlegen 184 in eine Summer von 2er-Potenzen:

184 = 128+32+16+8

1: 1691=169

2: 1692=1691+1=1691⋅1691 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 31 mod 317

4: 1694=1692+2=1692⋅1692 ≡ 31⋅31=961 ≡ 10 mod 317

8: 1698=1694+4=1694⋅1694 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 317

16: 16916=1698+8=1698⋅1698 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 173 mod 317

32: 16932=16916+16=16916⋅16916 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 131 mod 317

64: 16964=16932+32=16932⋅16932 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 43 mod 317

128: 169128=16964+64=16964⋅16964 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 264 mod 317

169184

= 169128+32+16+8

= 169128⋅16932⋅16916⋅1698

≡ 264 ⋅ 131 ⋅ 173 ⋅ 100 mod 317
≡ 34584 ⋅ 173 ⋅ 100 mod 317 ≡ 31 ⋅ 173 ⋅ 100 mod 317
≡ 5363 ⋅ 100 mod 317 ≡ 291 ⋅ 100 mod 317
≡ 29100 mod 317 ≡ 253 mod 317

Es gilt also: 169184 ≡ 253 mod 317

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 76.

Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 76

=>83 = 1⋅76 + 7
=>76 = 10⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,76)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 76-10⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(76 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅76 +10⋅ 7)
= -1⋅76 +11⋅ 7 (=1)
7= 83-1⋅76 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅76 +11⋅(83 -1⋅ 76)
= -1⋅76 +11⋅83 -11⋅ 76)
= 11⋅83 -12⋅ 76 (=1)

Es gilt also: ggt(83,76)=1 = 11⋅83 -12⋅76

oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅83 = -12⋅76

-12⋅76 = -11⋅83 + 1 |+83⋅76

-12⋅76 + 83⋅76 = -11⋅83 + 83⋅76 + 1

(-12 + 83) ⋅ 76 = (-11 + 76) ⋅ 83 + 1

71⋅76 = 65⋅83 + 1

Es gilt also: 71⋅76 = 65⋅83 +1

Somit 71⋅76 = 1 mod 83

71 ist also das Inverse von 76 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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