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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2503 + 2502) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2503 + 2502) mod 5 ≡ (2503 mod 5 + 2502 mod 5) mod 5.

2503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2503 = 2500+3 = 5 ⋅ 500 +3.

2502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2502 = 2500+2 = 5 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(2503 + 2502) mod 5 ≡ (3 + 2) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 65) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 65) mod 7 ≡ (76 mod 7 ⋅ 65 mod 7) mod 7.

76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 10 ⋅ 7 + 6 ist.

65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 9 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 65) mod 7 ≡ (6 ⋅ 2) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 236³² mod 479.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,479) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 236¹=236

2: 236²=236¹⁺¹=236¹⋅236¹ ≡ 236⋅236=55696 ≡ 132 mod 479

4: 236⁴=236²⁺²=236²⋅236² ≡ 132⋅132=17424 ≡ 180 mod 479

8: 236⁸=236⁴⁺⁴=236⁴⋅236⁴ ≡ 180⋅180=32400 ≡ 307 mod 479

16: 236¹⁶=236⁸⁺⁸=236⁸⋅236⁸ ≡ 307⋅307=94249 ≡ 365 mod 479

32: 236³²=236¹⁶⁺¹⁶=236¹⁶⋅236¹⁶ ≡ 365⋅365=133225 ≡ 63 mod 479

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 505²³⁹ mod 659.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

1: 505¹=505

2: 505²=505¹⁺¹=505¹⋅505¹ ≡ 505⋅505=255025 ≡ 651 mod 659

4: 505⁴=505²⁺²=505²⋅505² ≡ 651⋅651=423801 ≡ 64 mod 659

8: 505⁸=505⁴⁺⁴=505⁴⋅505⁴ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 142 mod 659

16: 505¹⁶=505⁸⁺⁸=505⁸⋅505⁸ ≡ 142⋅142=20164 ≡ 394 mod 659

32: 505³²=505¹⁶⁺¹⁶=505¹⁶⋅505¹⁶ ≡ 394⋅394=155236 ≡ 371 mod 659

64: 505⁶⁴=505³²⁺³²=505³²⋅505³² ≡ 371⋅371=137641 ≡ 569 mod 659

128: 505¹²⁸=505⁶⁴⁺⁶⁴=505⁶⁴⋅505⁶⁴ ≡ 569⋅569=323761 ≡ 192 mod 659

505²³⁹

= 505^{128+64+32+8+4+2+1}

= 505¹²⁸⋅505⁶⁴⋅505³²⋅505⁸⋅505⁴⋅505²⋅505¹

≡ 192 ⋅ 569 ⋅ 371 ⋅ 142 ⋅ 64 ⋅ 651 ⋅ 505 mod 659
≡ 109248 ⋅ 371 ⋅ 142 ⋅ 64 ⋅ 651 ⋅ 505 mod 659 ≡ 513 ⋅ 371 ⋅ 142 ⋅ 64 ⋅ 651 ⋅ 505 mod 659
≡ 190323 ⋅ 142 ⋅ 64 ⋅ 651 ⋅ 505 mod 659 ≡ 531 ⋅ 142 ⋅ 64 ⋅ 651 ⋅ 505 mod 659
≡ 75402 ⋅ 64 ⋅ 651 ⋅ 505 mod 659 ≡ 276 ⋅ 64 ⋅ 651 ⋅ 505 mod 659
≡ 17664 ⋅ 651 ⋅ 505 mod 659 ≡ 530 ⋅ 651 ⋅ 505 mod 659
≡ 345030 ⋅ 505 mod 659 ≡ 373 ⋅ 505 mod 659
≡ 188365 mod 659 ≡ 550 mod 659

Es gilt also: 505²³⁹ ≡ 550 mod 659

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 54

=>97	= 1⋅54 + 43
=>54	= 1⋅43 + 11
=>43	= 3⋅11 + 10
=>11	= 1⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 43-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11) = 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11) = -1⋅43 +4⋅ 11 (=1)
11= 54-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅43 +4⋅(54 -1⋅ 43) = -1⋅43 +4⋅54 -4⋅ 43) = 4⋅54 -5⋅ 43 (=1)
43= 97-1⋅54	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅54 -5⋅(97 -1⋅ 54) = 4⋅54 -5⋅97 +5⋅ 54) = -5⋅97 +9⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(97,54)=1 = -5⋅97 +9⋅54

oder wenn man -5⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅97 = +9⋅54

Es gilt also: 9⋅54 = 5⋅97 +1

Somit 9⋅54 = 1 mod 97

9 ist also das Inverse von 54 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 54

Schlüsselpaar für RSA