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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (457 - 448) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(457 - 448) mod 9 ≡ (457 mod 9 - 448 mod 9) mod 9.
457 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 457
= 450
448 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 448
= 450
Somit gilt:
(457 - 448) mod 9 ≡ (7 - 7) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 59) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 59) mod 7 ≡ (95 mod 7 ⋅ 59 mod 7) mod 7.
95 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 91 + 4 = 13 ⋅ 7 + 4 ist.
59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 59) mod 7 ≡ (4 ⋅ 3) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 486128 mod 619.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 486 -> x
2. mod(x²,619) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4861=486
2: 4862=4861+1=4861⋅4861 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 357 mod 619
4: 4864=4862+2=4862⋅4862 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 554 mod 619
8: 4868=4864+4=4864⋅4864 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 511 mod 619
16: 48616=4868+8=4868⋅4868 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 522 mod 619
32: 48632=48616+16=48616⋅48616 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 124 mod 619
64: 48664=48632+32=48632⋅48632 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 520 mod 619
128: 486128=48664+64=48664⋅48664 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 516 mod 619
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51794 mod 701.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:
94 = 64+16+8+4+2
1: 5171=517
2: 5172=5171+1=5171⋅5171 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 208 mod 701
4: 5174=5172+2=5172⋅5172 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 503 mod 701
8: 5178=5174+4=5174⋅5174 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 649 mod 701
16: 51716=5178+8=5178⋅5178 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 601 mod 701
32: 51732=51716+16=51716⋅51716 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 186 mod 701
64: 51764=51732+32=51732⋅51732 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 247 mod 701
51794
= 51764+16+8+4+2
= 51764⋅51716⋅5178⋅5174⋅5172
≡ 247 ⋅ 601 ⋅ 649 ⋅ 503 ⋅ 208 mod 701
≡ 148447 ⋅ 649 ⋅ 503 ⋅ 208 mod 701 ≡ 536 ⋅ 649 ⋅ 503 ⋅ 208 mod 701
≡ 347864 ⋅ 503 ⋅ 208 mod 701 ≡ 168 ⋅ 503 ⋅ 208 mod 701
≡ 84504 ⋅ 208 mod 701 ≡ 384 ⋅ 208 mod 701
≡ 79872 mod 701 ≡ 659 mod 701
Es gilt also: 51794 ≡ 659 mod 701
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24
| =>61 | = 2⋅24 + 13 |
| =>24 | = 1⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 24-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13) = 6⋅24 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24) = -11⋅61 +28⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +28⋅24
Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1
Somit 28⋅24 = 1 mod 61
28 ist also das Inverse von 24 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
