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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (595 - 597) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(595 - 597) mod 6 ≡ (595 mod 6 - 597 mod 6) mod 6.

595 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 595 = 600-5 = 6 ⋅ 100 -5 = 6 ⋅ 100 - 6 + 1.

597 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 597 = 600-3 = 6 ⋅ 100 -3 = 6 ⋅ 100 - 6 + 3.

Somit gilt:

(595 - 597) mod 6 ≡ (1 - 3) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 50) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 50) mod 9 ≡ (98 mod 9 ⋅ 50 mod 9) mod 9.

98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.

50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 50) mod 9 ≡ (8 ⋅ 5) mod 9 ≡ 40 mod 9 ≡ 4 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 177⁶⁴ mod 503.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 177 -> x
2. mod(x²,503) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 177¹=177

2: 177²=177¹⁺¹=177¹⋅177¹ ≡ 177⋅177=31329 ≡ 143 mod 503

4: 177⁴=177²⁺²=177²⋅177² ≡ 143⋅143=20449 ≡ 329 mod 503

8: 177⁸=177⁴⁺⁴=177⁴⋅177⁴ ≡ 329⋅329=108241 ≡ 96 mod 503

16: 177¹⁶=177⁸⁺⁸=177⁸⋅177⁸ ≡ 96⋅96=9216 ≡ 162 mod 503

32: 177³²=177¹⁶⁺¹⁶=177¹⁶⋅177¹⁶ ≡ 162⋅162=26244 ≡ 88 mod 503

64: 177⁶⁴=177³²⁺³²=177³²⋅177³² ≡ 88⋅88=7744 ≡ 199 mod 503

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 544¹²⁵ mod 797.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

1: 544¹=544

2: 544²=544¹⁺¹=544¹⋅544¹ ≡ 544⋅544=295936 ≡ 249 mod 797

4: 544⁴=544²⁺²=544²⋅544² ≡ 249⋅249=62001 ≡ 632 mod 797

8: 544⁸=544⁴⁺⁴=544⁴⋅544⁴ ≡ 632⋅632=399424 ≡ 127 mod 797

16: 544¹⁶=544⁸⁺⁸=544⁸⋅544⁸ ≡ 127⋅127=16129 ≡ 189 mod 797

32: 544³²=544¹⁶⁺¹⁶=544¹⁶⋅544¹⁶ ≡ 189⋅189=35721 ≡ 653 mod 797

64: 544⁶⁴=544³²⁺³²=544³²⋅544³² ≡ 653⋅653=426409 ≡ 14 mod 797

544¹²⁵

= 544^{64+32+16+8+4+1}

= 544⁶⁴⋅544³²⋅544¹⁶⋅544⁸⋅544⁴⋅544¹

≡ 14 ⋅ 653 ⋅ 189 ⋅ 127 ⋅ 632 ⋅ 544 mod 797
≡ 9142 ⋅ 189 ⋅ 127 ⋅ 632 ⋅ 544 mod 797 ≡ 375 ⋅ 189 ⋅ 127 ⋅ 632 ⋅ 544 mod 797
≡ 70875 ⋅ 127 ⋅ 632 ⋅ 544 mod 797 ≡ 739 ⋅ 127 ⋅ 632 ⋅ 544 mod 797
≡ 93853 ⋅ 632 ⋅ 544 mod 797 ≡ 604 ⋅ 632 ⋅ 544 mod 797
≡ 381728 ⋅ 544 mod 797 ≡ 762 ⋅ 544 mod 797
≡ 414528 mod 797 ≡ 88 mod 797

Es gilt also: 544¹²⁵ ≡ 88 mod 797

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71	= 1⋅37 + 34
=>37	= 1⋅34 + 3
=>34	= 11⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34) = 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37) = -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

Schlüsselpaar für RSA