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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (158 + 12001) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(158 + 12001) mod 4 ≡ (158 mod 4 + 12001 mod 4) mod 4.

158 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 158 = 160-2 = 4 ⋅ 40 -2 = 4 ⋅ 40 - 4 + 2.

12001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001 = 12000+1 = 4 ⋅ 3000 +1.

Somit gilt:

(158 + 12001) mod 4 ≡ (2 + 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 49) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 49) mod 9 ≡ (24 mod 9 ⋅ 49 mod 9) mod 9.

24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.

49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 49) mod 9 ≡ (6 ⋅ 4) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 789128 mod 937.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 789 -> x
2. mod(x²,937) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7891=789

2: 7892=7891+1=7891⋅7891 ≡ 789⋅789=622521 ≡ 353 mod 937

4: 7894=7892+2=7892⋅7892 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 925 mod 937

8: 7898=7894+4=7894⋅7894 ≡ 925⋅925=855625 ≡ 144 mod 937

16: 78916=7898+8=7898⋅7898 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 122 mod 937

32: 78932=78916+16=78916⋅78916 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 829 mod 937

64: 78964=78932+32=78932⋅78932 ≡ 829⋅829=687241 ≡ 420 mod 937

128: 789128=78964+64=78964⋅78964 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 244 mod 937

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 476133 mod 691.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:

133 = 128+4+1

1: 4761=476

2: 4762=4761+1=4761⋅4761 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 619 mod 691

4: 4764=4762+2=4762⋅4762 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 347 mod 691

8: 4768=4764+4=4764⋅4764 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 175 mod 691

16: 47616=4768+8=4768⋅4768 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 221 mod 691

32: 47632=47616+16=47616⋅47616 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 471 mod 691

64: 47664=47632+32=47632⋅47632 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 30 mod 691

128: 476128=47664+64=47664⋅47664 ≡ 30⋅30=900 ≡ 209 mod 691

476133

= 476128+4+1

= 476128⋅4764⋅4761

≡ 209 ⋅ 347 ⋅ 476 mod 691
≡ 72523 ⋅ 476 mod 691 ≡ 659 ⋅ 476 mod 691
≡ 313684 mod 691 ≡ 661 mod 691

Es gilt also: 476133 ≡ 661 mod 691

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 43

=>79 = 1⋅43 + 36
=>43 = 1⋅36 + 7
=>36 = 5⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 36-5⋅7
7= 43-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅36 -5⋅(43 -1⋅ 36)
= 1⋅36 -5⋅43 +5⋅ 36)
= -5⋅43 +6⋅ 36 (=1)
36= 79-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅43 +6⋅(79 -1⋅ 43)
= -5⋅43 +6⋅79 -6⋅ 43)
= 6⋅79 -11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(79,43)=1 = 6⋅79 -11⋅43

oder wenn man 6⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅79 = -11⋅43

-11⋅43 = -6⋅79 + 1 |+79⋅43

-11⋅43 + 79⋅43 = -6⋅79 + 79⋅43 + 1

(-11 + 79) ⋅ 43 = (-6 + 43) ⋅ 79 + 1

68⋅43 = 37⋅79 + 1

Es gilt also: 68⋅43 = 37⋅79 +1

Somit 68⋅43 = 1 mod 79

68 ist also das Inverse von 43 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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