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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9995 - 504) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9995 - 504) mod 5 ≡ (9995 mod 5 - 504 mod 5) mod 5.

9995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9995 = 9000+995 = 5 ⋅ 1800 +995.

504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 504 = 500+4 = 5 ⋅ 100 +4.

Somit gilt:

(9995 - 504) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 54) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 54) mod 10 ≡ (85 mod 10 ⋅ 54 mod 10) mod 10.

85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.

54 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 5 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 54) mod 10 ≡ (5 ⋅ 4) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 98⁶⁴ mod 239.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 98 -> x
2. mod(x²,239) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 98¹=98

2: 98²=98¹⁺¹=98¹⋅98¹ ≡ 98⋅98=9604 ≡ 44 mod 239

4: 98⁴=98²⁺²=98²⋅98² ≡ 44⋅44=1936 ≡ 24 mod 239

8: 98⁸=98⁴⁺⁴=98⁴⋅98⁴ ≡ 24⋅24=576 ≡ 98 mod 239

16: 98¹⁶=98⁸⁺⁸=98⁸⋅98⁸ ≡ 98⋅98=9604 ≡ 44 mod 239

32: 98³²=98¹⁶⁺¹⁶=98¹⁶⋅98¹⁶ ≡ 44⋅44=1936 ≡ 24 mod 239

64: 98⁶⁴=98³²⁺³²=98³²⋅98³² ≡ 24⋅24=576 ≡ 98 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 293¹⁸⁹ mod 587.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

1: 293¹=293

2: 293²=293¹⁺¹=293¹⋅293¹ ≡ 293⋅293=85849 ≡ 147 mod 587

4: 293⁴=293²⁺²=293²⋅293² ≡ 147⋅147=21609 ≡ 477 mod 587

8: 293⁸=293⁴⁺⁴=293⁴⋅293⁴ ≡ 477⋅477=227529 ≡ 360 mod 587

16: 293¹⁶=293⁸⁺⁸=293⁸⋅293⁸ ≡ 360⋅360=129600 ≡ 460 mod 587

32: 293³²=293¹⁶⁺¹⁶=293¹⁶⋅293¹⁶ ≡ 460⋅460=211600 ≡ 280 mod 587

64: 293⁶⁴=293³²⁺³²=293³²⋅293³² ≡ 280⋅280=78400 ≡ 329 mod 587

128: 293¹²⁸=293⁶⁴⁺⁶⁴=293⁶⁴⋅293⁶⁴ ≡ 329⋅329=108241 ≡ 233 mod 587

293¹⁸⁹

= 293^{128+32+16+8+4+1}

= 293¹²⁸⋅293³²⋅293¹⁶⋅293⁸⋅293⁴⋅293¹

≡ 233 ⋅ 280 ⋅ 460 ⋅ 360 ⋅ 477 ⋅ 293 mod 587
≡ 65240 ⋅ 460 ⋅ 360 ⋅ 477 ⋅ 293 mod 587 ≡ 83 ⋅ 460 ⋅ 360 ⋅ 477 ⋅ 293 mod 587
≡ 38180 ⋅ 360 ⋅ 477 ⋅ 293 mod 587 ≡ 25 ⋅ 360 ⋅ 477 ⋅ 293 mod 587
≡ 9000 ⋅ 477 ⋅ 293 mod 587 ≡ 195 ⋅ 477 ⋅ 293 mod 587
≡ 93015 ⋅ 293 mod 587 ≡ 269 ⋅ 293 mod 587
≡ 78817 mod 587 ≡ 159 mod 587

Es gilt also: 293¹⁸⁹ ≡ 159 mod 587

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 58

=>83	= 1⋅58 + 25
=>58	= 2⋅25 + 8
=>25	= 3⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-3⋅8
8= 58-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -3⋅(58 -2⋅ 25) = 1⋅25 -3⋅58 +6⋅ 25) = -3⋅58 +7⋅ 25 (=1)
25= 83-1⋅58	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅58 +7⋅(83 -1⋅ 58) = -3⋅58 +7⋅83 -7⋅ 58) = 7⋅83 -10⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(83,58)=1 = 7⋅83 -10⋅58

oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅83 = -10⋅58

-10⋅58 = -7⋅83 + 1 |+83⋅58

-10⋅58 + 83⋅58 = -7⋅83 + 83⋅58 + 1

(-10 + 83) ⋅ 58 = (-7 + 58) ⋅ 83 + 1

73⋅58 = 51⋅83 + 1

Es gilt also: 73⋅58 = 51⋅83 +1

Somit 73⋅58 = 1 mod 83

73 ist also das Inverse von 58 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 58

Schlüsselpaar für RSA