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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12003 + 201) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12003 + 201) mod 4 ≡ (12003 mod 4 + 201 mod 4) mod 4.

12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 4 ⋅ 3000 +3.

201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 4 ⋅ 50 +1.

Somit gilt:

(12003 + 201) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 82) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 82) mod 6 ≡ (68 mod 6 ⋅ 82 mod 6) mod 6.

68 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 11 ⋅ 6 + 2 ist.

82 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 78 + 4 = 13 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 82) mod 6 ≡ (2 ⋅ 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 258128 mod 641.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 258 -> x
2. mod(x²,641) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2581=258

2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 541 mod 641

4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 385 mod 641

8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 154 mod 641

16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 640 mod 641

32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 1 mod 641

64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 641

128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 641

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 499132 mod 773.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 132 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 132 an und zerlegen 132 in eine Summer von 2er-Potenzen:

132 = 128+4

1: 4991=499

2: 4992=4991+1=4991⋅4991 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 95 mod 773

4: 4994=4992+2=4992⋅4992 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 522 mod 773

8: 4998=4994+4=4994⋅4994 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 388 mod 773

16: 49916=4998+8=4998⋅4998 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 582 mod 773

32: 49932=49916+16=49916⋅49916 ≡ 582⋅582=338724 ≡ 150 mod 773

64: 49964=49932+32=49932⋅49932 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 83 mod 773

128: 499128=49964+64=49964⋅49964 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 705 mod 773

499132

= 499128+4

= 499128⋅4994

≡ 705 ⋅ 522 mod 773
≡ 368010 mod 773 ≡ 62 mod 773

Es gilt also: 499132 ≡ 62 mod 773

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 33

=>83 = 2⋅33 + 17
=>33 = 1⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 33-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(33 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅33 +1⋅ 17)
= -1⋅33 +2⋅ 17 (=1)
17= 83-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅33 +2⋅(83 -2⋅ 33)
= -1⋅33 +2⋅83 -4⋅ 33)
= 2⋅83 -5⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(83,33)=1 = 2⋅83 -5⋅33

oder wenn man 2⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅83 = -5⋅33

-5⋅33 = -2⋅83 + 1 |+83⋅33

-5⋅33 + 83⋅33 = -2⋅83 + 83⋅33 + 1

(-5 + 83) ⋅ 33 = (-2 + 33) ⋅ 83 + 1

78⋅33 = 31⋅83 + 1

Es gilt also: 78⋅33 = 31⋅83 +1

Somit 78⋅33 = 1 mod 83

78 ist also das Inverse von 33 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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