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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (304 - 601) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(304 - 601) mod 6 ≡ (304 mod 6 - 601 mod 6) mod 6.
304 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 304
= 300
601 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601
= 600
Somit gilt:
(304 - 601) mod 6 ≡ (4 - 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 43) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 43) mod 7 ≡ (59 mod 7 ⋅ 43 mod 7) mod 7.
59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.
43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 43) mod 7 ≡ (3 ⋅ 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23632 mod 577.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2361=236
2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 304 mod 577
4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 96 mod 577
8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 561 mod 577
16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 256 mod 577
32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 335 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 82672 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 72 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 72 an und zerlegen 72 in eine Summer von 2er-Potenzen:
72 = 64+8
1: 8261=826
2: 8262=8261+1=8261⋅8261 ≡ 826⋅826=682276 ≡ 9 mod 829
4: 8264=8262+2=8262⋅8262 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 829
8: 8268=8264+4=8264⋅8264 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 758 mod 829
16: 82616=8268+8=8268⋅8268 ≡ 758⋅758=574564 ≡ 67 mod 829
32: 82632=82616+16=82616⋅82616 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 344 mod 829
64: 82664=82632+32=82632⋅82632 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 618 mod 829
82672
= 82664+8
= 82664⋅8268
≡ 618 ⋅ 758 mod 829
≡ 468444 mod 829 ≡ 59 mod 829
Es gilt also: 82672 ≡ 59 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64
| =>79 | = 1⋅64 + 15 |
| =>64 | = 4⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 64-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15) = 4⋅64 -17⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64) = -17⋅79 +21⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +21⋅64
Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1
Somit 21⋅64 = 1 mod 79
21 ist also das Inverse von 64 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.