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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (302 - 900) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(302 - 900) mod 3 ≡ (302 mod 3 - 900 mod 3) mod 3.

302 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 302 = 300+2 = 3 ⋅ 100 +2.

900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 3 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(302 - 900) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 60) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 60) mod 3 ≡ (66 mod 3 ⋅ 60 mod 3) mod 3.

66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 20 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 60) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 275¹⁶ mod 383.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 275 -> x
2. mod(x²,383) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 275¹=275

2: 275²=275¹⁺¹=275¹⋅275¹ ≡ 275⋅275=75625 ≡ 174 mod 383

4: 275⁴=275²⁺²=275²⋅275² ≡ 174⋅174=30276 ≡ 19 mod 383

8: 275⁸=275⁴⁺⁴=275⁴⋅275⁴ ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 383

16: 275¹⁶=275⁸⁺⁸=275⁸⋅275⁸ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 101 mod 383

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 800²⁵¹ mod 883.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

1: 800¹=800

2: 800²=800¹⁺¹=800¹⋅800¹ ≡ 800⋅800=640000 ≡ 708 mod 883

4: 800⁴=800²⁺²=800²⋅800² ≡ 708⋅708=501264 ≡ 603 mod 883

8: 800⁸=800⁴⁺⁴=800⁴⋅800⁴ ≡ 603⋅603=363609 ≡ 696 mod 883

16: 800¹⁶=800⁸⁺⁸=800⁸⋅800⁸ ≡ 696⋅696=484416 ≡ 532 mod 883

32: 800³²=800¹⁶⁺¹⁶=800¹⁶⋅800¹⁶ ≡ 532⋅532=283024 ≡ 464 mod 883

64: 800⁶⁴=800³²⁺³²=800³²⋅800³² ≡ 464⋅464=215296 ≡ 727 mod 883

128: 800¹²⁸=800⁶⁴⁺⁶⁴=800⁶⁴⋅800⁶⁴ ≡ 727⋅727=528529 ≡ 495 mod 883

800²⁵¹

= 800^{128+64+32+16+8+2+1}

= 800¹²⁸⋅800⁶⁴⋅800³²⋅800¹⁶⋅800⁸⋅800²⋅800¹

≡ 495 ⋅ 727 ⋅ 464 ⋅ 532 ⋅ 696 ⋅ 708 ⋅ 800 mod 883
≡ 359865 ⋅ 464 ⋅ 532 ⋅ 696 ⋅ 708 ⋅ 800 mod 883 ≡ 484 ⋅ 464 ⋅ 532 ⋅ 696 ⋅ 708 ⋅ 800 mod 883
≡ 224576 ⋅ 532 ⋅ 696 ⋅ 708 ⋅ 800 mod 883 ≡ 294 ⋅ 532 ⋅ 696 ⋅ 708 ⋅ 800 mod 883
≡ 156408 ⋅ 696 ⋅ 708 ⋅ 800 mod 883 ≡ 117 ⋅ 696 ⋅ 708 ⋅ 800 mod 883
≡ 81432 ⋅ 708 ⋅ 800 mod 883 ≡ 196 ⋅ 708 ⋅ 800 mod 883
≡ 138768 ⋅ 800 mod 883 ≡ 137 ⋅ 800 mod 883
≡ 109600 mod 883 ≡ 108 mod 883

Es gilt also: 800²⁵¹ ≡ 108 mod 883

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 51

=>73	= 1⋅51 + 22
=>51	= 2⋅22 + 7
=>22	= 3⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 22-3⋅7
7= 51-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅22 -3⋅(51 -2⋅ 22) = 1⋅22 -3⋅51 +6⋅ 22) = -3⋅51 +7⋅ 22 (=1)
22= 73-1⋅51	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅51 +7⋅(73 -1⋅ 51) = -3⋅51 +7⋅73 -7⋅ 51) = 7⋅73 -10⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(73,51)=1 = 7⋅73 -10⋅51

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -10⋅51

-10⋅51 = -7⋅73 + 1 |+73⋅51

-10⋅51 + 73⋅51 = -7⋅73 + 73⋅51 + 1

(-10 + 73) ⋅ 51 = (-7 + 51) ⋅ 73 + 1

63⋅51 = 44⋅73 + 1

Es gilt also: 63⋅51 = 44⋅73 +1

Somit 63⋅51 = 1 mod 73

63 ist also das Inverse von 51 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 51

Schlüsselpaar für RSA