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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1200 + 1600) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 + 1600) mod 4 ≡ (1200 mod 4 + 1600 mod 4) mod 4.

1200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 4 ⋅ 300 +0.

1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 4 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(1200 + 1600) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 83) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 83) mod 9 ≡ (44 mod 9 ⋅ 83 mod 9) mod 9.

44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.

83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 83) mod 9 ≡ (8 ⋅ 2) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 110128 mod 239.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 110 -> x
2. mod(x²,239) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1101=110

2: 1102=1101+1=1101⋅1101 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 150 mod 239

4: 1104=1102+2=1102⋅1102 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 34 mod 239

8: 1108=1104+4=1104⋅1104 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 200 mod 239

16: 11016=1108+8=1108⋅1108 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 87 mod 239

32: 11032=11016+16=11016⋅11016 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 160 mod 239

64: 11064=11032+32=11032⋅11032 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 27 mod 239

128: 110128=11064+64=11064⋅11064 ≡ 27⋅27=729 ≡ 12 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 341167 mod 421.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

1: 3411=341

2: 3412=3411+1=3411⋅3411 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 85 mod 421

4: 3414=3412+2=3412⋅3412 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 68 mod 421

8: 3418=3414+4=3414⋅3414 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 414 mod 421

16: 34116=3418+8=3418⋅3418 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 49 mod 421

32: 34132=34116+16=34116⋅34116 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 296 mod 421

64: 34164=34132+32=34132⋅34132 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 48 mod 421

128: 341128=34164+64=34164⋅34164 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 199 mod 421

341167

= 341128+32+4+2+1

= 341128⋅34132⋅3414⋅3412⋅3411

≡ 199 ⋅ 296 ⋅ 68 ⋅ 85 ⋅ 341 mod 421
≡ 58904 ⋅ 68 ⋅ 85 ⋅ 341 mod 421 ≡ 385 ⋅ 68 ⋅ 85 ⋅ 341 mod 421
≡ 26180 ⋅ 85 ⋅ 341 mod 421 ≡ 78 ⋅ 85 ⋅ 341 mod 421
≡ 6630 ⋅ 341 mod 421 ≡ 315 ⋅ 341 mod 421
≡ 107415 mod 421 ≡ 60 mod 421

Es gilt also: 341167 ≡ 60 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 87.

Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 87

=>97 = 1⋅87 + 10
=>87 = 8⋅10 + 7
=>10 = 1⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 10-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7)
= -2⋅10 +3⋅ 7 (=1)
7= 87-8⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅10 +3⋅(87 -8⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅87 -24⋅ 10)
= 3⋅87 -26⋅ 10 (=1)
10= 97-1⋅87 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅87 -26⋅(97 -1⋅ 87)
= 3⋅87 -26⋅97 +26⋅ 87)
= -26⋅97 +29⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(97,87)=1 = -26⋅97 +29⋅87

oder wenn man -26⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +26⋅97 = +29⋅87

Es gilt also: 29⋅87 = 26⋅97 +1

Somit 29⋅87 = 1 mod 97

29 ist also das Inverse von 87 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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