nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (160 + 2397) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(160 + 2397) mod 8 ≡ (160 mod 8 + 2397 mod 8) mod 8.

160 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 8 ⋅ 20 +0.

2397 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397 = 2400-3 = 8 ⋅ 300 -3 = 8 ⋅ 300 - 8 + 5.

Somit gilt:

(160 + 2397) mod 8 ≡ (0 + 5) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 95) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 95) mod 8 ≡ (92 mod 8 ⋅ 95 mod 8) mod 8.

92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.

95 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 11 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 95) mod 8 ≡ (4 ⋅ 7) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 286128 mod 409.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 286 -> x
2. mod(x²,409) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2861=286

2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 405 mod 409

4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 16 mod 409

8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 409

16: 28616=2868+8=2868⋅2868 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 96 mod 409

32: 28632=28616+16=28616⋅28616 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 218 mod 409

64: 28664=28632+32=28632⋅28632 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 80 mod 409

128: 286128=28664+64=28664⋅28664 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 265 mod 409

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 585225 mod 797.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:

225 = 128+64+32+1

1: 5851=585

2: 5852=5851+1=5851⋅5851 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 312 mod 797

4: 5854=5852+2=5852⋅5852 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 110 mod 797

8: 5858=5854+4=5854⋅5854 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 145 mod 797

16: 58516=5858+8=5858⋅5858 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 303 mod 797

32: 58532=58516+16=58516⋅58516 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 154 mod 797

64: 58564=58532+32=58532⋅58532 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 603 mod 797

128: 585128=58564+64=58564⋅58564 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 177 mod 797

585225

= 585128+64+32+1

= 585128⋅58564⋅58532⋅5851

177 ⋅ 603 ⋅ 154 ⋅ 585 mod 797
106731 ⋅ 154 ⋅ 585 mod 797 ≡ 730 ⋅ 154 ⋅ 585 mod 797
112420 ⋅ 585 mod 797 ≡ 43 ⋅ 585 mod 797
25155 mod 797 ≡ 448 mod 797

Es gilt also: 585225 ≡ 448 mod 797

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 48

=>101 = 2⋅48 + 5
=>48 = 9⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 48-9⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5)
= 2⋅48 -19⋅ 5 (=1)
5= 101-2⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅48 -19⋅(101 -2⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅101 +38⋅ 48)
= -19⋅101 +40⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(101,48)=1 = -19⋅101 +40⋅48

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +40⋅48

Es gilt also: 40⋅48 = 19⋅101 +1

Somit 40⋅48 = 1 mod 101

40 ist also das Inverse von 48 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.