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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4496 + 269) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4496 + 269) mod 9 ≡ (4496 mod 9 + 269 mod 9) mod 9.

4496 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4496 = 4500-4 = 9 ⋅ 500 -4 = 9 ⋅ 500 - 9 + 5.

269 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 269 = 270-1 = 9 ⋅ 30 -1 = 9 ⋅ 30 - 9 + 8.

Somit gilt:

(4496 + 269) mod 9 ≡ (5 + 8) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 98) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 98) mod 4 ≡ (34 mod 4 ⋅ 98 mod 4) mod 4.

34 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 8 ⋅ 4 + 2 ist.

98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 98) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4348 mod 479.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 434 -> x
2. mod(x²,479) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4341=434

2: 4342=4341+1=4341⋅4341 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 109 mod 479

4: 4344=4342+2=4342⋅4342 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 385 mod 479

8: 4348=4344+4=4344⋅4344 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 214 mod 479

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23182 mod 331.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 82 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 82 an und zerlegen 82 in eine Summer von 2er-Potenzen:

82 = 64+16+2

1: 2311=231

2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 70 mod 331

4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 266 mod 331

8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 253 mod 331

16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 126 mod 331

32: 23132=23116+16=23116⋅23116 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 319 mod 331

64: 23164=23132+32=23132⋅23132 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 144 mod 331

23182

= 23164+16+2

= 23164⋅23116⋅2312

≡ 144 ⋅ 126 ⋅ 70 mod 331
≡ 18144 ⋅ 70 mod 331 ≡ 270 ⋅ 70 mod 331
≡ 18900 mod 331 ≡ 33 mod 331

Es gilt also: 23182 ≡ 33 mod 331

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 20.

Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 20

=>67 = 3⋅20 + 7
=>20 = 2⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 20-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7)
= -1⋅20 +3⋅ 7 (=1)
7= 67-3⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅20 +3⋅(67 -3⋅ 20)
= -1⋅20 +3⋅67 -9⋅ 20)
= 3⋅67 -10⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(67,20)=1 = 3⋅67 -10⋅20

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -10⋅20

-10⋅20 = -3⋅67 + 1 |+67⋅20

-10⋅20 + 67⋅20 = -3⋅67 + 67⋅20 + 1

(-10 + 67) ⋅ 20 = (-3 + 20) ⋅ 67 + 1

57⋅20 = 17⋅67 + 1

Es gilt also: 57⋅20 = 17⋅67 +1

Somit 57⋅20 = 1 mod 67

57 ist also das Inverse von 20 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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