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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23997 + 1596) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23997 + 1596) mod 8 ≡ (23997 mod 8 + 1596 mod 8) mod 8.

23997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23997 = 23000+997 = 8 ⋅ 2875 +997.

1596 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596 = 1600-4 = 8 ⋅ 200 -4 = 8 ⋅ 200 - 8 + 4.

Somit gilt:

(23997 + 1596) mod 8 ≡ (5 + 4) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 20) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 20) mod 4 ≡ (57 mod 4 ⋅ 20 mod 4) mod 4.

57 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 14 ⋅ 4 + 1 ist.

20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 20) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 236³² mod 337.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,337) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 236¹=236

2: 236²=236¹⁺¹=236¹⋅236¹ ≡ 236⋅236=55696 ≡ 91 mod 337

4: 236⁴=236²⁺²=236²⋅236² ≡ 91⋅91=8281 ≡ 193 mod 337

8: 236⁸=236⁴⁺⁴=236⁴⋅236⁴ ≡ 193⋅193=37249 ≡ 179 mod 337

16: 236¹⁶=236⁸⁺⁸=236⁸⋅236⁸ ≡ 179⋅179=32041 ≡ 26 mod 337

32: 236³²=236¹⁶⁺¹⁶=236¹⁶⋅236¹⁶ ≡ 26⋅26=676 ≡ 2 mod 337

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 670¹⁴⁸ mod 977.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 148 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 148 an und zerlegen 148 in eine Summer von 2er-Potenzen:

148 = 128+16+4

1: 670¹=670

2: 670²=670¹⁺¹=670¹⋅670¹ ≡ 670⋅670=448900 ≡ 457 mod 977

4: 670⁴=670²⁺²=670²⋅670² ≡ 457⋅457=208849 ≡ 748 mod 977

8: 670⁸=670⁴⁺⁴=670⁴⋅670⁴ ≡ 748⋅748=559504 ≡ 660 mod 977

16: 670¹⁶=670⁸⁺⁸=670⁸⋅670⁸ ≡ 660⋅660=435600 ≡ 835 mod 977

32: 670³²=670¹⁶⁺¹⁶=670¹⁶⋅670¹⁶ ≡ 835⋅835=697225 ≡ 624 mod 977

64: 670⁶⁴=670³²⁺³²=670³²⋅670³² ≡ 624⋅624=389376 ≡ 530 mod 977

128: 670¹²⁸=670⁶⁴⁺⁶⁴=670⁶⁴⋅670⁶⁴ ≡ 530⋅530=280900 ≡ 501 mod 977

670¹⁴⁸

= 670^128+16+4

= 670¹²⁸⋅670¹⁶⋅670⁴

≡ 501 ⋅ 835 ⋅ 748 mod 977
≡ 418335 ⋅ 748 mod 977 ≡ 179 ⋅ 748 mod 977
≡ 133892 mod 977 ≡ 43 mod 977

Es gilt also: 670¹⁴⁸ ≡ 43 mod 977

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59	= 1⋅48 + 11
=>48	= 4⋅11 + 4
=>11	= 2⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11) = -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48) = 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

Schlüsselpaar für RSA