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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (324 - 2404) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(324 - 2404) mod 8 ≡ (324 mod 8 - 2404 mod 8) mod 8.
324 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 324
= 320
2404 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2404
= 2400
Somit gilt:
(324 - 2404) mod 8 ≡ (4 - 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 44) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 44) mod 11 ≡ (44 mod 11 ⋅ 44 mod 11) mod 11.
44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.
44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 44) mod 11 ≡ (0 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28832 mod 709.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 288 -> x
2. mod(x²,709) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2881=288
2: 2882=2881+1=2881⋅2881 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 700 mod 709
4: 2884=2882+2=2882⋅2882 ≡ 700⋅700=490000 ≡ 81 mod 709
8: 2888=2884+4=2884⋅2884 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 180 mod 709
16: 28816=2888+8=2888⋅2888 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 495 mod 709
32: 28832=28816+16=28816⋅28816 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 420 mod 709
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 253201 mod 311.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 2531=253
2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 254 mod 311
4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 139 mod 311
8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 39 mod 311
16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 277 mod 311
32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 223 mod 311
64: 25364=25332+32=25332⋅25332 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 280 mod 311
128: 253128=25364+64=25364⋅25364 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 28 mod 311
253201
= 253128+64+8+1
= 253128⋅25364⋅2538⋅2531
≡ 28 ⋅ 280 ⋅ 39 ⋅ 253 mod 311
≡ 7840 ⋅ 39 ⋅ 253 mod 311 ≡ 65 ⋅ 39 ⋅ 253 mod 311
≡ 2535 ⋅ 253 mod 311 ≡ 47 ⋅ 253 mod 311
≡ 11891 mod 311 ≡ 73 mod 311
Es gilt also: 253201 ≡ 73 mod 311
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 68
| =>73 | = 1⋅68 + 5 |
| =>68 | = 13⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 68-13⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(68 -13⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅68 -26⋅ 5) = 2⋅68 -27⋅ 5 (=1) |
| 5= 73-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -27⋅(73 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -27⋅73 +27⋅ 68) = -27⋅73 +29⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,68)=1 = -27⋅73 +29⋅68
oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅73 = +29⋅68
Es gilt also: 29⋅68 = 27⋅73 +1
Somit 29⋅68 = 1 mod 73
29 ist also das Inverse von 68 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
