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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1199 - 2397) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1199 - 2397) mod 6 ≡ (1199 mod 6 - 2397 mod 6) mod 6.
1199 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
2397 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397
= 2400
Somit gilt:
(1199 - 2397) mod 6 ≡ (5 - 3) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 48) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 48) mod 9 ≡ (67 mod 9 ⋅ 48 mod 9) mod 9.
67 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 7 ⋅ 9 + 4 ist.
48 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 5 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 48) mod 9 ≡ (4 ⋅ 3) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1948 mod 349.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 194 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1941=194
2: 1942=1941+1=1941⋅1941 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 293 mod 349
4: 1944=1942+2=1942⋅1942 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 344 mod 349
8: 1948=1944+4=1944⋅1944 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 25 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 95201 mod 283.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 951=95
2: 952=951+1=951⋅951 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 252 mod 283
4: 954=952+2=952⋅952 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 112 mod 283
8: 958=954+4=954⋅954 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 92 mod 283
16: 9516=958+8=958⋅958 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 257 mod 283
32: 9532=9516+16=9516⋅9516 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 110 mod 283
64: 9564=9532+32=9532⋅9532 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 214 mod 283
128: 95128=9564+64=9564⋅9564 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 233 mod 283
95201
= 95128+64+8+1
= 95128⋅9564⋅958⋅951
≡ 233 ⋅ 214 ⋅ 92 ⋅ 95 mod 283
≡ 49862 ⋅ 92 ⋅ 95 mod 283 ≡ 54 ⋅ 92 ⋅ 95 mod 283
≡ 4968 ⋅ 95 mod 283 ≡ 157 ⋅ 95 mod 283
≡ 14915 mod 283 ≡ 199 mod 283
Es gilt also: 95201 ≡ 199 mod 283
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45
| =>97 | = 2⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-2⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45) = 13⋅97 -28⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -28⋅45
-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45
-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1
(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1
69⋅45 = 32⋅97 + 1
Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1
Somit 69⋅45 = 1 mod 97
69 ist also das Inverse von 45 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.