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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3001 - 62) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3001 - 62) mod 6 ≡ (3001 mod 6 - 62 mod 6) mod 6.
3001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001
= 3000
62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62
= 60
Somit gilt:
(3001 - 62) mod 6 ≡ (1 - 2) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 54) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 54) mod 5 ≡ (61 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.
61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.
54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 54) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4318 mod 719.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 431 -> x
2. mod(x²,719) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4311=431
2: 4312=4311+1=4311⋅4311 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 259 mod 719
4: 4314=4312+2=4312⋅4312 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 214 mod 719
8: 4318=4314+4=4314⋅4314 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 499 mod 719
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 716166 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 7161=716
2: 7162=7161+1=7161⋅7161 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 121 mod 727
4: 7164=7162+2=7162⋅7162 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 101 mod 727
8: 7168=7164+4=7164⋅7164 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 23 mod 727
16: 71616=7168+8=7168⋅7168 ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 727
32: 71632=71616+16=71616⋅71616 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 673 mod 727
64: 71664=71632+32=71632⋅71632 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 8 mod 727
128: 716128=71664+64=71664⋅71664 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 727
716166
= 716128+32+4+2
= 716128⋅71632⋅7164⋅7162
≡ 64 ⋅ 673 ⋅ 101 ⋅ 121 mod 727
≡ 43072 ⋅ 101 ⋅ 121 mod 727 ≡ 179 ⋅ 101 ⋅ 121 mod 727
≡ 18079 ⋅ 121 mod 727 ≡ 631 ⋅ 121 mod 727
≡ 76351 mod 727 ≡ 16 mod 727
Es gilt also: 716166 ≡ 16 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 47
| =>61 | = 1⋅47 + 14 |
| =>47 | = 3⋅14 + 5 |
| =>14 | = 2⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 14-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5) = -1⋅14 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-3⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +3⋅(47 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅47 -9⋅ 14) = 3⋅47 -10⋅ 14 (=1) |
| 14= 61-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -10⋅(61 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -10⋅61 +10⋅ 47) = -10⋅61 +13⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,47)=1 = -10⋅61 +13⋅47
oder wenn man -10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅61 = +13⋅47
Es gilt also: 13⋅47 = 10⋅61 +1
Somit 13⋅47 = 1 mod 61
13 ist also das Inverse von 47 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.