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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39999 + 3201) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39999 + 3201) mod 8 ≡ (39999 mod 8 + 3201 mod 8) mod 8.

39999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39999 = 39000+999 = 8 ⋅ 4875 +999.

3201 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3201 = 3200+1 = 8 ⋅ 400 +1.

Somit gilt:

(39999 + 3201) mod 8 ≡ (7 + 1) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 32) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 32) mod 3 ≡ (25 mod 3 ⋅ 32 mod 3) mod 3.

25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.

32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 10 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 32) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 796¹²⁸ mod 967.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 796 -> x
2. mod(x²,967) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 796¹=796

2: 796²=796¹⁺¹=796¹⋅796¹ ≡ 796⋅796=633616 ≡ 231 mod 967

4: 796⁴=796²⁺²=796²⋅796² ≡ 231⋅231=53361 ≡ 176 mod 967

8: 796⁸=796⁴⁺⁴=796⁴⋅796⁴ ≡ 176⋅176=30976 ≡ 32 mod 967

16: 796¹⁶=796⁸⁺⁸=796⁸⋅796⁸ ≡ 32⋅32=1024 ≡ 57 mod 967

32: 796³²=796¹⁶⁺¹⁶=796¹⁶⋅796¹⁶ ≡ 57⋅57=3249 ≡ 348 mod 967

64: 796⁶⁴=796³²⁺³²=796³²⋅796³² ≡ 348⋅348=121104 ≡ 229 mod 967

128: 796¹²⁸=796⁶⁴⁺⁶⁴=796⁶⁴⋅796⁶⁴ ≡ 229⋅229=52441 ≡ 223 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 556²⁴⁶ mod 883.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

1: 556¹=556

2: 556²=556¹⁺¹=556¹⋅556¹ ≡ 556⋅556=309136 ≡ 86 mod 883

4: 556⁴=556²⁺²=556²⋅556² ≡ 86⋅86=7396 ≡ 332 mod 883

8: 556⁸=556⁴⁺⁴=556⁴⋅556⁴ ≡ 332⋅332=110224 ≡ 732 mod 883

16: 556¹⁶=556⁸⁺⁸=556⁸⋅556⁸ ≡ 732⋅732=535824 ≡ 726 mod 883

32: 556³²=556¹⁶⁺¹⁶=556¹⁶⋅556¹⁶ ≡ 726⋅726=527076 ≡ 808 mod 883

64: 556⁶⁴=556³²⁺³²=556³²⋅556³² ≡ 808⋅808=652864 ≡ 327 mod 883

128: 556¹²⁸=556⁶⁴⁺⁶⁴=556⁶⁴⋅556⁶⁴ ≡ 327⋅327=106929 ≡ 86 mod 883

556²⁴⁶

= 556^{128+64+32+16+4+2}

= 556¹²⁸⋅556⁶⁴⋅556³²⋅556¹⁶⋅556⁴⋅556²

≡ 86 ⋅ 327 ⋅ 808 ⋅ 726 ⋅ 332 ⋅ 86 mod 883
≡ 28122 ⋅ 808 ⋅ 726 ⋅ 332 ⋅ 86 mod 883 ≡ 749 ⋅ 808 ⋅ 726 ⋅ 332 ⋅ 86 mod 883
≡ 605192 ⋅ 726 ⋅ 332 ⋅ 86 mod 883 ≡ 337 ⋅ 726 ⋅ 332 ⋅ 86 mod 883
≡ 244662 ⋅ 332 ⋅ 86 mod 883 ≡ 71 ⋅ 332 ⋅ 86 mod 883
≡ 23572 ⋅ 86 mod 883 ≡ 614 ⋅ 86 mod 883
≡ 52804 mod 883 ≡ 707 mod 883

Es gilt also: 556²⁴⁶ ≡ 707 mod 883

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 21.

Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 21

=>59	= 2⋅21 + 17
=>21	= 1⋅17 + 4
=>17	= 4⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17) = 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅21 +5⋅(59 -2⋅ 21) = -4⋅21 +5⋅59 -10⋅ 21) = 5⋅59 -14⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(59,21)=1 = 5⋅59 -14⋅21

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -14⋅21

-14⋅21 = -5⋅59 + 1 |+59⋅21

-14⋅21 + 59⋅21 = -5⋅59 + 59⋅21 + 1

(-14 + 59) ⋅ 21 = (-5 + 21) ⋅ 59 + 1

45⋅21 = 16⋅59 + 1

Es gilt also: 45⋅21 = 16⋅59 +1

Somit 45⋅21 = 1 mod 59

45 ist also das Inverse von 21 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 21

Schlüsselpaar für RSA