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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (595 - 1200) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(595 - 1200) mod 6 ≡ (595 mod 6 - 1200 mod 6) mod 6.
595 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 595
= 600
1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
Somit gilt:
(595 - 1200) mod 6 ≡ (1 - 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 75) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 75) mod 10 ≡ (15 mod 10 ⋅ 75 mod 10) mod 10.
15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.
75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 75) mod 10 ≡ (5 ⋅ 5) mod 10 ≡ 25 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11332 mod 281.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 113 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1131=113
2: 1132=1131+1=1131⋅1131 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 124 mod 281
4: 1134=1132+2=1132⋅1132 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 202 mod 281
8: 1138=1134+4=1134⋅1134 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 59 mod 281
16: 11316=1138+8=1138⋅1138 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 109 mod 281
32: 11332=11316+16=11316⋅11316 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 79 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28171 mod 347.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:
71 = 64+4+2+1
1: 2811=281
2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 192 mod 347
4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 82 mod 347
8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 131 mod 347
16: 28116=2818+8=2818⋅2818 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 158 mod 347
32: 28132=28116+16=28116⋅28116 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 327 mod 347
64: 28164=28132+32=28132⋅28132 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 53 mod 347
28171
= 28164+4+2+1
= 28164⋅2814⋅2812⋅2811
≡ 53 ⋅ 82 ⋅ 192 ⋅ 281 mod 347
≡ 4346 ⋅ 192 ⋅ 281 mod 347 ≡ 182 ⋅ 192 ⋅ 281 mod 347
≡ 34944 ⋅ 281 mod 347 ≡ 244 ⋅ 281 mod 347
≡ 68564 mod 347 ≡ 205 mod 347
Es gilt also: 28171 ≡ 205 mod 347
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 47
| =>61 | = 1⋅47 + 14 |
| =>47 | = 3⋅14 + 5 |
| =>14 | = 2⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 14-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5) = -1⋅14 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-3⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +3⋅(47 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅47 -9⋅ 14) = 3⋅47 -10⋅ 14 (=1) |
| 14= 61-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -10⋅(61 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -10⋅61 +10⋅ 47) = -10⋅61 +13⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,47)=1 = -10⋅61 +13⋅47
oder wenn man -10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅61 = +13⋅47
Es gilt also: 13⋅47 = 10⋅61 +1
Somit 13⋅47 = 1 mod 61
13 ist also das Inverse von 47 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.