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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2698 + 2709) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2698 + 2709) mod 9 ≡ (2698 mod 9 + 2709 mod 9) mod 9.
2698 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2698
= 2700
2709 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2709
= 2700
Somit gilt:
(2698 + 2709) mod 9 ≡ (7 + 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 27) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 27) mod 4 ≡ (76 mod 4 ⋅ 27 mod 4) mod 4.
76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.
27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 27) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35864 mod 541.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 358 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3581=358
2: 3582=3581+1=3581⋅3581 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 488 mod 541
4: 3584=3582+2=3582⋅3582 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 104 mod 541
8: 3588=3584+4=3584⋅3584 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 537 mod 541
16: 35816=3588+8=3588⋅3588 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 16 mod 541
32: 35832=35816+16=35816⋅35816 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 541
64: 35864=35832+32=35832⋅35832 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 75 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 133170 mod 313.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 1331=133
2: 1332=1331+1=1331⋅1331 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 161 mod 313
4: 1334=1332+2=1332⋅1332 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 255 mod 313
8: 1338=1334+4=1334⋅1334 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 234 mod 313
16: 13316=1338+8=1338⋅1338 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 294 mod 313
32: 13332=13316+16=13316⋅13316 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 48 mod 313
64: 13364=13332+32=13332⋅13332 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 113 mod 313
128: 133128=13364+64=13364⋅13364 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 249 mod 313
133170
= 133128+32+8+2
= 133128⋅13332⋅1338⋅1332
≡ 249 ⋅ 48 ⋅ 234 ⋅ 161 mod 313
≡ 11952 ⋅ 234 ⋅ 161 mod 313 ≡ 58 ⋅ 234 ⋅ 161 mod 313
≡ 13572 ⋅ 161 mod 313 ≡ 113 ⋅ 161 mod 313
≡ 18193 mod 313 ≡ 39 mod 313
Es gilt also: 133170 ≡ 39 mod 313
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 25
| =>73 | = 2⋅25 + 23 |
| =>25 | = 1⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 25-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23) = -11⋅25 +12⋅ 23 (=1) |
| 23= 73-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅25 +12⋅(73 -2⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅73 -24⋅ 25) = 12⋅73 -35⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,25)=1 = 12⋅73 -35⋅25
oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -12⋅73 = -35⋅25
-35⋅25 = -12⋅73 + 1 |+73⋅25
-35⋅25 + 73⋅25 = -12⋅73 + 73⋅25 + 1
(-35 + 73) ⋅ 25 = (-12 + 25) ⋅ 73 + 1
38⋅25 = 13⋅73 + 1
Es gilt also: 38⋅25 = 13⋅73 +1
Somit 38⋅25 = 1 mod 73
38 ist also das Inverse von 25 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
