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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (151 - 2997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(151 - 2997) mod 3 ≡ (151 mod 3 - 2997 mod 3) mod 3.
151 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 151
= 150
2997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997
= 3000
Somit gilt:
(151 - 2997) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 49) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 49) mod 3 ≡ (51 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.
51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.
49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 49) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6728 mod 727.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 672 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6721=672
2: 6722=6721+1=6721⋅6721 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 117 mod 727
4: 6724=6722+2=6722⋅6722 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 603 mod 727
8: 6728=6724+4=6724⋅6724 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 109 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 532132 mod 557.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 132 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 132 an und zerlegen 132 in eine Summer von 2er-Potenzen:
132 = 128+4
1: 5321=532
2: 5322=5321+1=5321⋅5321 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 68 mod 557
4: 5324=5322+2=5322⋅5322 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 168 mod 557
8: 5328=5324+4=5324⋅5324 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 374 mod 557
16: 53216=5328+8=5328⋅5328 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 69 mod 557
32: 53232=53216+16=53216⋅53216 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 305 mod 557
64: 53264=53232+32=53232⋅53232 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 6 mod 557
128: 532128=53264+64=53264⋅53264 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 557
532132
= 532128+4
= 532128⋅5324
≡ 36 ⋅ 168 mod 557
≡ 6048 mod 557 ≡ 478 mod 557
Es gilt also: 532132 ≡ 478 mod 557
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 58
| =>97 | = 1⋅58 + 39 |
| =>58 | = 1⋅39 + 19 |
| =>39 | = 2⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 39-2⋅19 | |||
| 19= 58-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅39 -2⋅(58 -1⋅ 39)
= 1⋅39 -2⋅58 +2⋅ 39) = -2⋅58 +3⋅ 39 (=1) |
| 39= 97-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +3⋅(97 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +3⋅97 -3⋅ 58) = 3⋅97 -5⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,58)=1 = 3⋅97 -5⋅58
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -5⋅58
-5⋅58 = -3⋅97 + 1 |+97⋅58
-5⋅58 + 97⋅58 = -3⋅97 + 97⋅58 + 1
(-5 + 97) ⋅ 58 = (-3 + 58) ⋅ 97 + 1
92⋅58 = 55⋅97 + 1
Es gilt also: 92⋅58 = 55⋅97 +1
Somit 92⋅58 = 1 mod 97
92 ist also das Inverse von 58 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
