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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (299 - 24006) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(299 - 24006) mod 6 ≡ (299 mod 6 - 24006 mod 6) mod 6.
299 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299
= 300
24006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24006
= 24000
Somit gilt:
(299 - 24006) mod 6 ≡ (5 - 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 20) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 20) mod 10 ≡ (65 mod 10 ⋅ 20 mod 10) mod 10.
65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.
20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 20) mod 10 ≡ (5 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6728 mod 881.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 672 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6721=672
2: 6722=6721+1=6721⋅6721 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 512 mod 881
4: 6724=6722+2=6722⋅6722 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 487 mod 881
8: 6728=6724+4=6724⋅6724 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 180 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 750213 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 213 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 213 an und zerlegen 213 in eine Summer von 2er-Potenzen:
213 = 128+64+16+4+1
1: 7501=750
2: 7502=7501+1=7501⋅7501 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 72 mod 919
4: 7504=7502+2=7502⋅7502 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 589 mod 919
8: 7508=7504+4=7504⋅7504 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 458 mod 919
16: 75016=7508+8=7508⋅7508 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 232 mod 919
32: 75032=75016+16=75016⋅75016 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 522 mod 919
64: 75064=75032+32=75032⋅75032 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 460 mod 919
128: 750128=75064+64=75064⋅75064 ≡ 460⋅460=211600 ≡ 230 mod 919
750213
= 750128+64+16+4+1
= 750128⋅75064⋅75016⋅7504⋅7501
≡ 230 ⋅ 460 ⋅ 232 ⋅ 589 ⋅ 750 mod 919
≡ 105800 ⋅ 232 ⋅ 589 ⋅ 750 mod 919 ≡ 115 ⋅ 232 ⋅ 589 ⋅ 750 mod 919
≡ 26680 ⋅ 589 ⋅ 750 mod 919 ≡ 29 ⋅ 589 ⋅ 750 mod 919
≡ 17081 ⋅ 750 mod 919 ≡ 539 ⋅ 750 mod 919
≡ 404250 mod 919 ≡ 809 mod 919
Es gilt also: 750213 ≡ 809 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 41.
Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 41
| =>101 | = 2⋅41 + 19 |
| =>41 | = 2⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,41)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 41-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1) |
| 19= 101-2⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅41 +13⋅(101 -2⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅101 -26⋅ 41) = 13⋅101 -32⋅ 41 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,41)=1 = 13⋅101 -32⋅41
oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅101 = -32⋅41
-32⋅41 = -13⋅101 + 1 |+101⋅41
-32⋅41 + 101⋅41 = -13⋅101 + 101⋅41 + 1
(-32 + 101) ⋅ 41 = (-13 + 41) ⋅ 101 + 1
69⋅41 = 28⋅101 + 1
Es gilt also: 69⋅41 = 28⋅101 +1
Somit 69⋅41 = 1 mod 101
69 ist also das Inverse von 41 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
