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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (7996 + 796) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7996 + 796) mod 4 ≡ (7996 mod 4 + 796 mod 4) mod 4.

7996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996 = 7000+996 = 4 ⋅ 1750 +996.

796 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 796 = 700+96 = 4 ⋅ 175 +96.

Somit gilt:

(7996 + 796) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 55) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 55) mod 5 ≡ (83 mod 5 ⋅ 55 mod 5) mod 5.

83 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 16 ⋅ 5 + 3 ist.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 11 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 55) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 433⁶⁴ mod 811.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 433 -> x
2. mod(x²,811) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 433¹=433

2: 433²=433¹⁺¹=433¹⋅433¹ ≡ 433⋅433=187489 ≡ 148 mod 811

4: 433⁴=433²⁺²=433²⋅433² ≡ 148⋅148=21904 ≡ 7 mod 811

8: 433⁸=433⁴⁺⁴=433⁴⋅433⁴ ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 811

16: 433¹⁶=433⁸⁺⁸=433⁸⋅433⁸ ≡ 49⋅49=2401 ≡ 779 mod 811

32: 433³²=433¹⁶⁺¹⁶=433¹⁶⋅433¹⁶ ≡ 779⋅779=606841 ≡ 213 mod 811

64: 433⁶⁴=433³²⁺³²=433³²⋅433³² ≡ 213⋅213=45369 ≡ 764 mod 811

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 288²³⁵ mod 293.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:

235 = 128+64+32+8+2+1

1: 288¹=288

2: 288²=288¹⁺¹=288¹⋅288¹ ≡ 288⋅288=82944 ≡ 25 mod 293

4: 288⁴=288²⁺²=288²⋅288² ≡ 25⋅25=625 ≡ 39 mod 293

8: 288⁸=288⁴⁺⁴=288⁴⋅288⁴ ≡ 39⋅39=1521 ≡ 56 mod 293

16: 288¹⁶=288⁸⁺⁸=288⁸⋅288⁸ ≡ 56⋅56=3136 ≡ 206 mod 293

32: 288³²=288¹⁶⁺¹⁶=288¹⁶⋅288¹⁶ ≡ 206⋅206=42436 ≡ 244 mod 293

64: 288⁶⁴=288³²⁺³²=288³²⋅288³² ≡ 244⋅244=59536 ≡ 57 mod 293

128: 288¹²⁸=288⁶⁴⁺⁶⁴=288⁶⁴⋅288⁶⁴ ≡ 57⋅57=3249 ≡ 26 mod 293

288²³⁵

= 288^{128+64+32+8+2+1}

= 288¹²⁸⋅288⁶⁴⋅288³²⋅288⁸⋅288²⋅288¹

≡ 26 ⋅ 57 ⋅ 244 ⋅ 56 ⋅ 25 ⋅ 288 mod 293
≡ 1482 ⋅ 244 ⋅ 56 ⋅ 25 ⋅ 288 mod 293 ≡ 17 ⋅ 244 ⋅ 56 ⋅ 25 ⋅ 288 mod 293
≡ 4148 ⋅ 56 ⋅ 25 ⋅ 288 mod 293 ≡ 46 ⋅ 56 ⋅ 25 ⋅ 288 mod 293
≡ 2576 ⋅ 25 ⋅ 288 mod 293 ≡ 232 ⋅ 25 ⋅ 288 mod 293
≡ 5800 ⋅ 288 mod 293 ≡ 233 ⋅ 288 mod 293
≡ 67104 mod 293 ≡ 7 mod 293

Es gilt also: 288²³⁵ ≡ 7 mod 293

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 68

=>73	= 1⋅68 + 5
=>68	= 13⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 68-13⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(68 -13⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅68 -26⋅ 5) = 2⋅68 -27⋅ 5 (=1)
5= 73-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅68 -27⋅(73 -1⋅ 68) = 2⋅68 -27⋅73 +27⋅ 68) = -27⋅73 +29⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(73,68)=1 = -27⋅73 +29⋅68

oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅73 = +29⋅68

Es gilt also: 29⋅68 = 27⋅73 +1

Somit 29⋅68 = 1 mod 73

29 ist also das Inverse von 68 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 68

Schlüsselpaar für RSA