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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4003 - 15996) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4003 - 15996) mod 4 ≡ (4003 mod 4 - 15996 mod 4) mod 4.

4003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003 = 4000+3 = 4 ⋅ 1000 +3.

15996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15996 = 15000+996 = 4 ⋅ 3750 +996.

Somit gilt:

(4003 - 15996) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 82) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 82) mod 4 ≡ (63 mod 4 ⋅ 82 mod 4) mod 4.

63 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 15 ⋅ 4 + 3 ist.

82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 20 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 82) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 489¹²⁸ mod 769.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 489 -> x
2. mod(x²,769) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 489¹=489

2: 489²=489¹⁺¹=489¹⋅489¹ ≡ 489⋅489=239121 ≡ 731 mod 769

4: 489⁴=489²⁺²=489²⋅489² ≡ 731⋅731=534361 ≡ 675 mod 769

8: 489⁸=489⁴⁺⁴=489⁴⋅489⁴ ≡ 675⋅675=455625 ≡ 377 mod 769

16: 489¹⁶=489⁸⁺⁸=489⁸⋅489⁸ ≡ 377⋅377=142129 ≡ 633 mod 769

32: 489³²=489¹⁶⁺¹⁶=489¹⁶⋅489¹⁶ ≡ 633⋅633=400689 ≡ 40 mod 769

64: 489⁶⁴=489³²⁺³²=489³²⋅489³² ≡ 40⋅40=1600 ≡ 62 mod 769

128: 489¹²⁸=489⁶⁴⁺⁶⁴=489⁶⁴⋅489⁶⁴ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 768 mod 769

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 127²⁰⁷ mod 359.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

1: 127¹=127

2: 127²=127¹⁺¹=127¹⋅127¹ ≡ 127⋅127=16129 ≡ 333 mod 359

4: 127⁴=127²⁺²=127²⋅127² ≡ 333⋅333=110889 ≡ 317 mod 359

8: 127⁸=127⁴⁺⁴=127⁴⋅127⁴ ≡ 317⋅317=100489 ≡ 328 mod 359

16: 127¹⁶=127⁸⁺⁸=127⁸⋅127⁸ ≡ 328⋅328=107584 ≡ 243 mod 359

32: 127³²=127¹⁶⁺¹⁶=127¹⁶⋅127¹⁶ ≡ 243⋅243=59049 ≡ 173 mod 359

64: 127⁶⁴=127³²⁺³²=127³²⋅127³² ≡ 173⋅173=29929 ≡ 132 mod 359

128: 127¹²⁸=127⁶⁴⁺⁶⁴=127⁶⁴⋅127⁶⁴ ≡ 132⋅132=17424 ≡ 192 mod 359

127²⁰⁷

= 127^{128+64+8+4+2+1}

= 127¹²⁸⋅127⁶⁴⋅127⁸⋅127⁴⋅127²⋅127¹

≡ 192 ⋅ 132 ⋅ 328 ⋅ 317 ⋅ 333 ⋅ 127 mod 359
≡ 25344 ⋅ 328 ⋅ 317 ⋅ 333 ⋅ 127 mod 359 ≡ 214 ⋅ 328 ⋅ 317 ⋅ 333 ⋅ 127 mod 359
≡ 70192 ⋅ 317 ⋅ 333 ⋅ 127 mod 359 ≡ 187 ⋅ 317 ⋅ 333 ⋅ 127 mod 359
≡ 59279 ⋅ 333 ⋅ 127 mod 359 ≡ 44 ⋅ 333 ⋅ 127 mod 359
≡ 14652 ⋅ 127 mod 359 ≡ 292 ⋅ 127 mod 359
≡ 37084 mod 359 ≡ 107 mod 359

Es gilt also: 127²⁰⁷ ≡ 107 mod 359

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 37

=>89	= 2⋅37 + 15
=>37	= 2⋅15 + 7
=>15	= 2⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 37-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -2⋅(37 -2⋅ 15) = 1⋅15 -2⋅37 +4⋅ 15) = -2⋅37 +5⋅ 15 (=1)
15= 89-2⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅37 +5⋅(89 -2⋅ 37) = -2⋅37 +5⋅89 -10⋅ 37) = 5⋅89 -12⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(89,37)=1 = 5⋅89 -12⋅37

oder wenn man 5⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅89 = -12⋅37

-12⋅37 = -5⋅89 + 1 |+89⋅37

-12⋅37 + 89⋅37 = -5⋅89 + 89⋅37 + 1

(-12 + 89) ⋅ 37 = (-5 + 37) ⋅ 89 + 1

77⋅37 = 32⋅89 + 1

Es gilt also: 77⋅37 = 32⋅89 +1

Somit 77⋅37 = 1 mod 89

77 ist also das Inverse von 37 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 37

Schlüsselpaar für RSA