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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (900 + 1199) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(900 + 1199) mod 3 ≡ (900 mod 3 + 1199 mod 3) mod 3.
900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
Somit gilt:
(900 + 1199) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 36) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 36) mod 8 ≡ (52 mod 8 ⋅ 36 mod 8) mod 8.
52 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 6 ⋅ 8 + 4 ist.
36 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 32 + 4 = 4 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 36) mod 8 ≡ (4 ⋅ 4) mod 8 ≡ 16 mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12864 mod 389.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 128 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1281=128
2: 1282=1281+1=1281⋅1281 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 46 mod 389
4: 1284=1282+2=1282⋅1282 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 171 mod 389
8: 1288=1284+4=1284⋅1284 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 66 mod 389
16: 12816=1288+8=1288⋅1288 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 77 mod 389
32: 12832=12816+16=12816⋅12816 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 94 mod 389
64: 12864=12832+32=12832⋅12832 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 278 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 324175 mod 661.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:
175 = 128+32+8+4+2+1
1: 3241=324
2: 3242=3241+1=3241⋅3241 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 538 mod 661
4: 3244=3242+2=3242⋅3242 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 587 mod 661
8: 3248=3244+4=3244⋅3244 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 188 mod 661
16: 32416=3248+8=3248⋅3248 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 311 mod 661
32: 32432=32416+16=32416⋅32416 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 215 mod 661
64: 32464=32432+32=32432⋅32432 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 616 mod 661
128: 324128=32464+64=32464⋅32464 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 42 mod 661
324175
= 324128+32+8+4+2+1
= 324128⋅32432⋅3248⋅3244⋅3242⋅3241
≡ 42 ⋅ 215 ⋅ 188 ⋅ 587 ⋅ 538 ⋅ 324 mod 661
≡ 9030 ⋅ 188 ⋅ 587 ⋅ 538 ⋅ 324 mod 661 ≡ 437 ⋅ 188 ⋅ 587 ⋅ 538 ⋅ 324 mod 661
≡ 82156 ⋅ 587 ⋅ 538 ⋅ 324 mod 661 ≡ 192 ⋅ 587 ⋅ 538 ⋅ 324 mod 661
≡ 112704 ⋅ 538 ⋅ 324 mod 661 ≡ 334 ⋅ 538 ⋅ 324 mod 661
≡ 179692 ⋅ 324 mod 661 ≡ 561 ⋅ 324 mod 661
≡ 181764 mod 661 ≡ 650 mod 661
Es gilt also: 324175 ≡ 650 mod 661
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33
| =>97 | = 2⋅33 + 31 |
| =>33 | = 1⋅31 + 2 |
| =>31 | = 15⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-15⋅2 | |||
| 2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
| 31= 97-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33
oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅97 = -47⋅33
-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33
-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1
(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1
50⋅33 = 17⋅97 + 1
Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1
Somit 50⋅33 = 1 mod 97
50 ist also das Inverse von 33 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
