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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2000 - 1204) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2000 - 1204) mod 4 ≡ (2000 mod 4 - 1204 mod 4) mod 4.

2000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 4 ⋅ 500 +0.

1204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204 = 1200+4 = 4 ⋅ 300 +4.

Somit gilt:

(2000 - 1204) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 80) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 80) mod 6 ≡ (54 mod 6 ⋅ 80 mod 6) mod 6.

54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 9 ⋅ 6 + 0 ist.

80 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 78 + 2 = 13 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 80) mod 6 ≡ (0 ⋅ 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 181¹²⁸ mod 269.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 181 -> x
2. mod(x²,269) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 181¹=181

2: 181²=181¹⁺¹=181¹⋅181¹ ≡ 181⋅181=32761 ≡ 212 mod 269

4: 181⁴=181²⁺²=181²⋅181² ≡ 212⋅212=44944 ≡ 21 mod 269

8: 181⁸=181⁴⁺⁴=181⁴⋅181⁴ ≡ 21⋅21=441 ≡ 172 mod 269

16: 181¹⁶=181⁸⁺⁸=181⁸⋅181⁸ ≡ 172⋅172=29584 ≡ 263 mod 269

32: 181³²=181¹⁶⁺¹⁶=181¹⁶⋅181¹⁶ ≡ 263⋅263=69169 ≡ 36 mod 269

64: 181⁶⁴=181³²⁺³²=181³²⋅181³² ≡ 36⋅36=1296 ≡ 220 mod 269

128: 181¹²⁸=181⁶⁴⁺⁶⁴=181⁶⁴⋅181⁶⁴ ≡ 220⋅220=48400 ≡ 249 mod 269

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 482²³⁰ mod 881.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:

230 = 128+64+32+4+2

1: 482¹=482

2: 482²=482¹⁺¹=482¹⋅482¹ ≡ 482⋅482=232324 ≡ 621 mod 881

4: 482⁴=482²⁺²=482²⋅482² ≡ 621⋅621=385641 ≡ 644 mod 881

8: 482⁸=482⁴⁺⁴=482⁴⋅482⁴ ≡ 644⋅644=414736 ≡ 666 mod 881

16: 482¹⁶=482⁸⁺⁸=482⁸⋅482⁸ ≡ 666⋅666=443556 ≡ 413 mod 881

32: 482³²=482¹⁶⁺¹⁶=482¹⁶⋅482¹⁶ ≡ 413⋅413=170569 ≡ 536 mod 881

64: 482⁶⁴=482³²⁺³²=482³²⋅482³² ≡ 536⋅536=287296 ≡ 90 mod 881

128: 482¹²⁸=482⁶⁴⁺⁶⁴=482⁶⁴⋅482⁶⁴ ≡ 90⋅90=8100 ≡ 171 mod 881

482²³⁰

= 482^{128+64+32+4+2}

= 482¹²⁸⋅482⁶⁴⋅482³²⋅482⁴⋅482²

≡ 171 ⋅ 90 ⋅ 536 ⋅ 644 ⋅ 621 mod 881
≡ 15390 ⋅ 536 ⋅ 644 ⋅ 621 mod 881 ≡ 413 ⋅ 536 ⋅ 644 ⋅ 621 mod 881
≡ 221368 ⋅ 644 ⋅ 621 mod 881 ≡ 237 ⋅ 644 ⋅ 621 mod 881
≡ 152628 ⋅ 621 mod 881 ≡ 215 ⋅ 621 mod 881
≡ 133515 mod 881 ≡ 484 mod 881

Es gilt also: 482²³⁰ ≡ 484 mod 881

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

=>53	= 1⋅31 + 22
=>31	= 1⋅22 + 9
=>22	= 2⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-1⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22) = -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22) = 5⋅31 -7⋅ 22 (=1)
22= 53-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31) = 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31) = -7⋅53 +12⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31

oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅53 = +12⋅31

Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1

Somit 12⋅31 = 1 mod 53

12 ist also das Inverse von 31 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

Schlüsselpaar für RSA