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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (121 + 58) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(121 + 58) mod 6 ≡ (121 mod 6 + 58 mod 6) mod 6.

121 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121 = 120+1 = 6 ⋅ 20 +1.

58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 60-2 = 6 ⋅ 10 -2 = 6 ⋅ 10 - 6 + 4.

Somit gilt:

(121 + 58) mod 6 ≡ (1 + 4) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 53) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 53) mod 8 ≡ (79 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.

79 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 9 ⋅ 8 + 7 ist.

53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 53) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 526128 mod 941.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 526 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5261=526

2: 5262=5261+1=5261⋅5261 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 22 mod 941

4: 5264=5262+2=5262⋅5262 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 941

8: 5268=5264+4=5264⋅5264 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 888 mod 941

16: 52616=5268+8=5268⋅5268 ≡ 888⋅888=788544 ≡ 927 mod 941

32: 52632=52616+16=52616⋅52616 ≡ 927⋅927=859329 ≡ 196 mod 941

64: 52664=52632+32=52632⋅52632 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 776 mod 941

128: 526128=52664+64=52664⋅52664 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 877 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 728250 mod 811.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

1: 7281=728

2: 7282=7281+1=7281⋅7281 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 401 mod 811

4: 7284=7282+2=7282⋅7282 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 223 mod 811

8: 7288=7284+4=7284⋅7284 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 258 mod 811

16: 72816=7288+8=7288⋅7288 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 62 mod 811

32: 72832=72816+16=72816⋅72816 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 600 mod 811

64: 72864=72832+32=72832⋅72832 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 727 mod 811

128: 728128=72864+64=72864⋅72864 ≡ 727⋅727=528529 ≡ 568 mod 811

728250

= 728128+64+32+16+8+2

= 728128⋅72864⋅72832⋅72816⋅7288⋅7282

568 ⋅ 727 ⋅ 600 ⋅ 62 ⋅ 258 ⋅ 401 mod 811
412936 ⋅ 600 ⋅ 62 ⋅ 258 ⋅ 401 mod 811 ≡ 137 ⋅ 600 ⋅ 62 ⋅ 258 ⋅ 401 mod 811
82200 ⋅ 62 ⋅ 258 ⋅ 401 mod 811 ≡ 289 ⋅ 62 ⋅ 258 ⋅ 401 mod 811
17918 ⋅ 258 ⋅ 401 mod 811 ≡ 76 ⋅ 258 ⋅ 401 mod 811
19608 ⋅ 401 mod 811 ≡ 144 ⋅ 401 mod 811
57744 mod 811 ≡ 163 mod 811

Es gilt also: 728250 ≡ 163 mod 811

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 79.

Also bestimme x, so dass 79 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 79

=>89 = 1⋅79 + 10
=>79 = 7⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,79)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 79-7⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(79 -7⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅79 +7⋅ 10)
= -1⋅79 +8⋅ 10 (=1)
10= 89-1⋅79 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅79 +8⋅(89 -1⋅ 79)
= -1⋅79 +8⋅89 -8⋅ 79)
= 8⋅89 -9⋅ 79 (=1)

Es gilt also: ggt(89,79)=1 = 8⋅89 -9⋅79

oder wenn man 8⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅89 = -9⋅79

-9⋅79 = -8⋅89 + 1 |+89⋅79

-9⋅79 + 89⋅79 = -8⋅89 + 89⋅79 + 1

(-9 + 89) ⋅ 79 = (-8 + 79) ⋅ 89 + 1

80⋅79 = 71⋅89 + 1

Es gilt also: 80⋅79 = 71⋅89 +1

Somit 80⋅79 = 1 mod 89

80 ist also das Inverse von 79 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.