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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1597 + 1602) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1597 + 1602) mod 4 ≡ (1597 mod 4 + 1602 mod 4) mod 4.
1597 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1597
= 1500
1602 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602
= 1600
Somit gilt:
(1597 + 1602) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 24) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 24) mod 6 ≡ (96 mod 6 ⋅ 24 mod 6) mod 6.
96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.
24 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 4 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 24) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 69616 mod 991.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 696 -> x
2. mod(x²,991) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6961=696
2: 6962=6961+1=6961⋅6961 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 808 mod 991
4: 6964=6962+2=6962⋅6962 ≡ 808⋅808=652864 ≡ 786 mod 991
8: 6968=6964+4=6964⋅6964 ≡ 786⋅786=617796 ≡ 403 mod 991
16: 69616=6968+8=6968⋅6968 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 876 mod 991
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 144189 mod 347.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:
189 = 128+32+16+8+4+1
1: 1441=144
2: 1442=1441+1=1441⋅1441 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 263 mod 347
4: 1444=1442+2=1442⋅1442 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 116 mod 347
8: 1448=1444+4=1444⋅1444 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 270 mod 347
16: 14416=1448+8=1448⋅1448 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 30 mod 347
32: 14432=14416+16=14416⋅14416 ≡ 30⋅30=900 ≡ 206 mod 347
64: 14464=14432+32=14432⋅14432 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 102 mod 347
128: 144128=14464+64=14464⋅14464 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 341 mod 347
144189
= 144128+32+16+8+4+1
= 144128⋅14432⋅14416⋅1448⋅1444⋅1441
≡ 341 ⋅ 206 ⋅ 30 ⋅ 270 ⋅ 116 ⋅ 144 mod 347
≡ 70246 ⋅ 30 ⋅ 270 ⋅ 116 ⋅ 144 mod 347 ≡ 152 ⋅ 30 ⋅ 270 ⋅ 116 ⋅ 144 mod 347
≡ 4560 ⋅ 270 ⋅ 116 ⋅ 144 mod 347 ≡ 49 ⋅ 270 ⋅ 116 ⋅ 144 mod 347
≡ 13230 ⋅ 116 ⋅ 144 mod 347 ≡ 44 ⋅ 116 ⋅ 144 mod 347
≡ 5104 ⋅ 144 mod 347 ≡ 246 ⋅ 144 mod 347
≡ 35424 mod 347 ≡ 30 mod 347
Es gilt also: 144189 ≡ 30 mod 347
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50
| =>53 | = 1⋅50 + 3 |
| =>50 | = 16⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 50-16⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1) |
| 3= 53-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -18⋅50
-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50
-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1
(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1
35⋅50 = 33⋅53 + 1
Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1
Somit 35⋅50 = 1 mod 53
35 ist also das Inverse von 50 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
