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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2699 - 3594) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2699 - 3594) mod 9 ≡ (2699 mod 9 - 3594 mod 9) mod 9.

2699 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2699 = 2700-1 = 9 ⋅ 300 -1 = 9 ⋅ 300 - 9 + 8.

3594 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3594 = 3600-6 = 9 ⋅ 400 -6 = 9 ⋅ 400 - 9 + 3.

Somit gilt:

(2699 - 3594) mod 9 ≡ (8 - 3) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 18) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 18) mod 5 ≡ (44 mod 5 ⋅ 18 mod 5) mod 5.

44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.

18 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 15 + 3 = 3 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 18) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2458 mod 661.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 245 -> x
2. mod(x²,661) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2451=245

2: 2452=2451+1=2451⋅2451 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 535 mod 661

4: 2454=2452+2=2452⋅2452 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 12 mod 661

8: 2458=2454+4=2454⋅2454 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 661

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 191131 mod 613.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:

131 = 128+2+1

1: 1911=191

2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 314 mod 613

4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 516 mod 613

8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 214 mod 613

16: 19116=1918+8=1918⋅1918 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 434 mod 613

32: 19132=19116+16=19116⋅19116 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 165 mod 613

64: 19164=19132+32=19132⋅19132 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 253 mod 613

128: 191128=19164+64=19164⋅19164 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 257 mod 613

191131

= 191128+2+1

= 191128⋅1912⋅1911

≡ 257 ⋅ 314 ⋅ 191 mod 613
≡ 80698 ⋅ 191 mod 613 ≡ 395 ⋅ 191 mod 613
≡ 75445 mod 613 ≡ 46 mod 613

Es gilt also: 191131 ≡ 46 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 38

=>59 = 1⋅38 + 21
=>38 = 1⋅21 + 17
=>21 = 1⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17)
= -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 38-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21)
= 5⋅38 -9⋅ 21 (=1)
21= 59-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅38 -9⋅(59 -1⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅59 +9⋅ 38)
= -9⋅59 +14⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(59,38)=1 = -9⋅59 +14⋅38

oder wenn man -9⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅59 = +14⋅38

Es gilt also: 14⋅38 = 9⋅59 +1

Somit 14⋅38 = 1 mod 59

14 ist also das Inverse von 38 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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