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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1996 + 159) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1996 + 159) mod 4 ≡ (1996 mod 4 + 159 mod 4) mod 4.

1996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996 = 1900+96 = 4 ⋅ 475 +96.

159 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159 = 160-1 = 4 ⋅ 40 -1 = 4 ⋅ 40 - 4 + 3.

Somit gilt:

(1996 + 159) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 39) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 39) mod 8 ≡ (80 mod 8 ⋅ 39 mod 8) mod 8.

80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.

39 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 32 + 7 = 4 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 39) mod 8 ≡ (0 ⋅ 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 60116 mod 769.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 601 -> x
2. mod(x²,769) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6011=601

2: 6012=6011+1=6011⋅6011 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 540 mod 769

4: 6014=6012+2=6012⋅6012 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 149 mod 769

8: 6018=6014+4=6014⋅6014 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 669 mod 769

16: 60116=6018+8=6018⋅6018 ≡ 669⋅669=447561 ≡ 3 mod 769

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 467207 mod 773.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

1: 4671=467

2: 4672=4671+1=4671⋅4671 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 103 mod 773

4: 4674=4672+2=4672⋅4672 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 560 mod 773

8: 4678=4674+4=4674⋅4674 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 535 mod 773

16: 46716=4678+8=4678⋅4678 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 215 mod 773

32: 46732=46716+16=46716⋅46716 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 618 mod 773

64: 46764=46732+32=46732⋅46732 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 62 mod 773

128: 467128=46764+64=46764⋅46764 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 752 mod 773

467207

= 467128+64+8+4+2+1

= 467128⋅46764⋅4678⋅4674⋅4672⋅4671

752 ⋅ 62 ⋅ 535 ⋅ 560 ⋅ 103 ⋅ 467 mod 773
46624 ⋅ 535 ⋅ 560 ⋅ 103 ⋅ 467 mod 773 ≡ 244 ⋅ 535 ⋅ 560 ⋅ 103 ⋅ 467 mod 773
130540 ⋅ 560 ⋅ 103 ⋅ 467 mod 773 ≡ 676 ⋅ 560 ⋅ 103 ⋅ 467 mod 773
378560 ⋅ 103 ⋅ 467 mod 773 ≡ 563 ⋅ 103 ⋅ 467 mod 773
57989 ⋅ 467 mod 773 ≡ 14 ⋅ 467 mod 773
6538 mod 773 ≡ 354 mod 773

Es gilt also: 467207 ≡ 354 mod 773

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41

=>53 = 1⋅41 + 12
=>41 = 3⋅12 + 5
=>12 = 2⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5)
= -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 41-3⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12)
= 5⋅41 -17⋅ 12 (=1)
12= 53-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41)
= -17⋅53 +22⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41

oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅53 = +22⋅41

Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1

Somit 22⋅41 = 1 mod 53

22 ist also das Inverse von 41 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.