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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1497 - 1504) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1497 - 1504) mod 5 ≡ (1497 mod 5 - 1504 mod 5) mod 5.

1497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497 = 1400+97 = 5 ⋅ 280 +97.

1504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1504 = 1500+4 = 5 ⋅ 300 +4.

Somit gilt:

(1497 - 1504) mod 5 ≡ (2 - 4) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 33) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 33) mod 5 ≡ (65 mod 5 ⋅ 33 mod 5) mod 5.

65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.

33 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 6 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 33) mod 5 ≡ (0 ⋅ 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 841128 mod 883.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 841 -> x
2. mod(x²,883) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8411=841

2: 8412=8411+1=8411⋅8411 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 881 mod 883

4: 8414=8412+2=8412⋅8412 ≡ 881⋅881=776161 ≡ 4 mod 883

8: 8418=8414+4=8414⋅8414 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 883

16: 84116=8418+8=8418⋅8418 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 883

32: 84132=84116+16=84116⋅84116 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 194 mod 883

64: 84164=84132+32=84132⋅84132 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 550 mod 883

128: 841128=84164+64=84164⋅84164 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 514 mod 883

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 355167 mod 491.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

1: 3551=355

2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 329 mod 491

4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 221 mod 491

8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 232 mod 491

16: 35516=3558+8=3558⋅3558 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 305 mod 491

32: 35532=35516+16=35516⋅35516 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 226 mod 491

64: 35564=35532+32=35532⋅35532 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 12 mod 491

128: 355128=35564+64=35564⋅35564 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 491

355167

= 355128+32+4+2+1

= 355128⋅35532⋅3554⋅3552⋅3551

≡ 144 ⋅ 226 ⋅ 221 ⋅ 329 ⋅ 355 mod 491
≡ 32544 ⋅ 221 ⋅ 329 ⋅ 355 mod 491 ≡ 138 ⋅ 221 ⋅ 329 ⋅ 355 mod 491
≡ 30498 ⋅ 329 ⋅ 355 mod 491 ≡ 56 ⋅ 329 ⋅ 355 mod 491
≡ 18424 ⋅ 355 mod 491 ≡ 257 ⋅ 355 mod 491
≡ 91235 mod 491 ≡ 400 mod 491

Es gilt also: 355167 ≡ 400 mod 491

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23

=>53 = 2⋅23 + 7
=>23 = 3⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7)
= -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 53-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23)
= 10⋅53 -23⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23

oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅53 = -23⋅23

-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23

-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1

(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1

30⋅23 = 13⋅53 + 1

Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1

Somit 30⋅23 = 1 mod 53

30 ist also das Inverse von 23 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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