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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14002 + 66) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14002 + 66) mod 7 ≡ (14002 mod 7 + 66 mod 7) mod 7.

14002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14002 = 14000+2 = 7 ⋅ 2000 +2.

66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 70-4 = 7 ⋅ 10 -4 = 7 ⋅ 10 - 7 + 3.

Somit gilt:

(14002 + 66) mod 7 ≡ (2 + 3) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 85) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 85) mod 9 ≡ (67 mod 9 ⋅ 85 mod 9) mod 9.

67 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 7 ⋅ 9 + 4 ist.

85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 81 + 4 = 9 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 85) mod 9 ≡ (4 ⋅ 4) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 212128 mod 599.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 212 -> x
2. mod(x²,599) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2121=212

2: 2122=2121+1=2121⋅2121 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 19 mod 599

4: 2124=2122+2=2122⋅2122 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 599

8: 2128=2124+4=2124⋅2124 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 338 mod 599

16: 21216=2128+8=2128⋅2128 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 434 mod 599

32: 21232=21216+16=21216⋅21216 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 270 mod 599

64: 21264=21232+32=21232⋅21232 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 421 mod 599

128: 212128=21264+64=21264⋅21264 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 536 mod 599

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 344175 mod 367.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

1: 3441=344

2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 162 mod 367

4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 187 mod 367

8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 104 mod 367

16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 173 mod 367

32: 34432=34416+16=34416⋅34416 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 202 mod 367

64: 34464=34432+32=34432⋅34432 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 67 mod 367

128: 344128=34464+64=34464⋅34464 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 85 mod 367

344175

= 344128+32+8+4+2+1

= 344128⋅34432⋅3448⋅3444⋅3442⋅3441

85 ⋅ 202 ⋅ 104 ⋅ 187 ⋅ 162 ⋅ 344 mod 367
17170 ⋅ 104 ⋅ 187 ⋅ 162 ⋅ 344 mod 367 ≡ 288 ⋅ 104 ⋅ 187 ⋅ 162 ⋅ 344 mod 367
29952 ⋅ 187 ⋅ 162 ⋅ 344 mod 367 ≡ 225 ⋅ 187 ⋅ 162 ⋅ 344 mod 367
42075 ⋅ 162 ⋅ 344 mod 367 ≡ 237 ⋅ 162 ⋅ 344 mod 367
38394 ⋅ 344 mod 367 ≡ 226 ⋅ 344 mod 367
77744 mod 367 ≡ 307 mod 367

Es gilt also: 344175 ≡ 307 mod 367

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89 = 1⋅53 + 36
=>53 = 1⋅36 + 17
=>36 = 2⋅17 + 2
=>17 = 8⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17)
= -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36)
= 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53)
= 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53)
= -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.