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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3207 - 3194) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3207 - 3194) mod 8 ≡ (3207 mod 8 - 3194 mod 8) mod 8.
3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207
= 3200
3194 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3194
= 3200
Somit gilt:
(3207 - 3194) mod 8 ≡ (7 - 2) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 21) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 21) mod 10 ≡ (45 mod 10 ⋅ 21 mod 10) mod 10.
45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.
21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 21) mod 10 ≡ (5 ⋅ 1) mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 265128 mod 683.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 265 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2651=265
2: 2652=2651+1=2651⋅2651 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 559 mod 683
4: 2654=2652+2=2652⋅2652 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 350 mod 683
8: 2658=2654+4=2654⋅2654 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 243 mod 683
16: 26516=2658+8=2658⋅2658 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 311 mod 683
32: 26532=26516+16=26516⋅26516 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 418 mod 683
64: 26564=26532+32=26532⋅26532 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 559 mod 683
128: 265128=26564+64=26564⋅26564 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 350 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 878252 mod 941.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:
252 = 128+64+32+16+8+4
1: 8781=878
2: 8782=8781+1=8781⋅8781 ≡ 878⋅878=770884 ≡ 205 mod 941
4: 8784=8782+2=8782⋅8782 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 621 mod 941
8: 8788=8784+4=8784⋅8784 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 772 mod 941
16: 87816=8788+8=8788⋅8788 ≡ 772⋅772=595984 ≡ 331 mod 941
32: 87832=87816+16=87816⋅87816 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 405 mod 941
64: 87864=87832+32=87832⋅87832 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 291 mod 941
128: 878128=87864+64=87864⋅87864 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 932 mod 941
878252
= 878128+64+32+16+8+4
= 878128⋅87864⋅87832⋅87816⋅8788⋅8784
≡ 932 ⋅ 291 ⋅ 405 ⋅ 331 ⋅ 772 ⋅ 621 mod 941
≡ 271212 ⋅ 405 ⋅ 331 ⋅ 772 ⋅ 621 mod 941 ≡ 204 ⋅ 405 ⋅ 331 ⋅ 772 ⋅ 621 mod 941
≡ 82620 ⋅ 331 ⋅ 772 ⋅ 621 mod 941 ≡ 753 ⋅ 331 ⋅ 772 ⋅ 621 mod 941
≡ 249243 ⋅ 772 ⋅ 621 mod 941 ≡ 819 ⋅ 772 ⋅ 621 mod 941
≡ 632268 ⋅ 621 mod 941 ≡ 857 ⋅ 621 mod 941
≡ 532197 mod 941 ≡ 532 mod 941
Es gilt also: 878252 ≡ 532 mod 941
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27
| =>79 | = 2⋅27 + 25 |
| =>27 | = 1⋅25 + 2 |
| =>25 | = 12⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-12⋅2 | |||
| 2= 27-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1) |
| 25= 79-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27)
= -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27) = 13⋅79 -38⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -38⋅27
-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27
-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1
(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1
41⋅27 = 14⋅79 + 1
Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1
Somit 41⋅27 = 1 mod 79
41 ist also das Inverse von 27 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
