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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24996 + 253) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24996 + 253) mod 5 ≡ (24996 mod 5 + 253 mod 5) mod 5.

24996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24996 = 24000+996 = 5 ⋅ 4800 +996.

253 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 253 = 250+3 = 5 ⋅ 50 +3.

Somit gilt:

(24996 + 253) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 34) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 34) mod 7 ≡ (92 mod 7 ⋅ 34 mod 7) mod 7.

92 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 91 + 1 = 13 ⋅ 7 + 1 ist.

34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 34) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 157⁸ mod 239.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 157 -> x
2. mod(x²,239) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 157¹=157

2: 157²=157¹⁺¹=157¹⋅157¹ ≡ 157⋅157=24649 ≡ 32 mod 239

4: 157⁴=157²⁺²=157²⋅157² ≡ 32⋅32=1024 ≡ 68 mod 239

8: 157⁸=157⁴⁺⁴=157⁴⋅157⁴ ≡ 68⋅68=4624 ≡ 83 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 499²²⁰ mod 809.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:

220 = 128+64+16+8+4

1: 499¹=499

2: 499²=499¹⁺¹=499¹⋅499¹ ≡ 499⋅499=249001 ≡ 638 mod 809

4: 499⁴=499²⁺²=499²⋅499² ≡ 638⋅638=407044 ≡ 117 mod 809

8: 499⁸=499⁴⁺⁴=499⁴⋅499⁴ ≡ 117⋅117=13689 ≡ 745 mod 809

16: 499¹⁶=499⁸⁺⁸=499⁸⋅499⁸ ≡ 745⋅745=555025 ≡ 51 mod 809

32: 499³²=499¹⁶⁺¹⁶=499¹⁶⋅499¹⁶ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 174 mod 809

64: 499⁶⁴=499³²⁺³²=499³²⋅499³² ≡ 174⋅174=30276 ≡ 343 mod 809

128: 499¹²⁸=499⁶⁴⁺⁶⁴=499⁶⁴⋅499⁶⁴ ≡ 343⋅343=117649 ≡ 344 mod 809

499²²⁰

= 499^{128+64+16+8+4}

= 499¹²⁸⋅499⁶⁴⋅499¹⁶⋅499⁸⋅499⁴

≡ 344 ⋅ 343 ⋅ 51 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809
≡ 117992 ⋅ 51 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809 ≡ 687 ⋅ 51 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809
≡ 35037 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809 ≡ 250 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809
≡ 186250 ⋅ 117 mod 809 ≡ 180 ⋅ 117 mod 809
≡ 21060 mod 809 ≡ 26 mod 809

Es gilt also: 499²²⁰ ≡ 26 mod 809

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.

Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49

=>71	= 1⋅49 + 22
=>49	= 2⋅22 + 5
=>22	= 4⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 49-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22) = -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1)
22= 71-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49) = 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49

oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅71 = +29⋅49

Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1

Somit 29⋅49 = 1 mod 71

29 ist also das Inverse von 49 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49

Schlüsselpaar für RSA