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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (898 + 300) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(898 + 300) mod 3 ≡ (898 mod 3 + 300 mod 3) mod 3.

898 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898 = 900-2 = 3 ⋅ 300 -2 = 3 ⋅ 300 - 3 + 1.

300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 3 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(898 + 300) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 85) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 85) mod 4 ≡ (54 mod 4 ⋅ 85 mod 4) mod 4.

54 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 52 + 2 = 13 ⋅ 4 + 2 ist.

85 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 21 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 85) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 16164 mod 233.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 161 -> x
2. mod(x²,233) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1611=161

2: 1612=1611+1=1611⋅1611 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 58 mod 233

4: 1614=1612+2=1612⋅1612 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 102 mod 233

8: 1618=1614+4=1614⋅1614 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 152 mod 233

16: 16116=1618+8=1618⋅1618 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 37 mod 233

32: 16132=16116+16=16116⋅16116 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 204 mod 233

64: 16164=16132+32=16132⋅16132 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 142 mod 233

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 387167 mod 431.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

1: 3871=387

2: 3872=3871+1=3871⋅3871 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 212 mod 431

4: 3874=3872+2=3872⋅3872 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 120 mod 431

8: 3878=3874+4=3874⋅3874 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 177 mod 431

16: 38716=3878+8=3878⋅3878 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 297 mod 431

32: 38732=38716+16=38716⋅38716 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 285 mod 431

64: 38764=38732+32=38732⋅38732 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 197 mod 431

128: 387128=38764+64=38764⋅38764 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 19 mod 431

387167

= 387128+32+4+2+1

= 387128⋅38732⋅3874⋅3872⋅3871

≡ 19 ⋅ 285 ⋅ 120 ⋅ 212 ⋅ 387 mod 431
≡ 5415 ⋅ 120 ⋅ 212 ⋅ 387 mod 431 ≡ 243 ⋅ 120 ⋅ 212 ⋅ 387 mod 431
≡ 29160 ⋅ 212 ⋅ 387 mod 431 ≡ 283 ⋅ 212 ⋅ 387 mod 431
≡ 59996 ⋅ 387 mod 431 ≡ 87 ⋅ 387 mod 431
≡ 33669 mod 431 ≡ 51 mod 431

Es gilt also: 387167 ≡ 51 mod 431

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 28

=>53 = 1⋅28 + 25
=>28 = 1⋅25 + 3
=>25 = 8⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-8⋅3
3= 28-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -8⋅(28 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -8⋅28 +8⋅ 25)
= -8⋅28 +9⋅ 25 (=1)
25= 53-1⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅28 +9⋅(53 -1⋅ 28)
= -8⋅28 +9⋅53 -9⋅ 28)
= 9⋅53 -17⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(53,28)=1 = 9⋅53 -17⋅28

oder wenn man 9⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅53 = -17⋅28

-17⋅28 = -9⋅53 + 1 |+53⋅28

-17⋅28 + 53⋅28 = -9⋅53 + 53⋅28 + 1

(-17 + 53) ⋅ 28 = (-9 + 28) ⋅ 53 + 1

36⋅28 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 36⋅28 = 19⋅53 +1

Somit 36⋅28 = 1 mod 53

36 ist also das Inverse von 28 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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