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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (241 - 24000) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(241 - 24000) mod 8 ≡ (241 mod 8 - 24000 mod 8) mod 8.

241 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241 = 240+1 = 8 ⋅ 30 +1.

24000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000 = 24000+0 = 8 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(241 - 24000) mod 8 ≡ (1 - 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 39) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 39) mod 9 ≡ (47 mod 9 ⋅ 39 mod 9) mod 9.

47 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 5 ⋅ 9 + 2 ist.

39 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 4 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 39) mod 9 ≡ (2 ⋅ 3) mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28616 mod 479.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 286 -> x
2. mod(x²,479) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2861=286

2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 366 mod 479

4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 315 mod 479

8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 72 mod 479

16: 28616=2868+8=2868⋅2868 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 394 mod 479

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 225201 mod 227.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:

201 = 128+64+8+1

1: 2251=225

2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 4 mod 227

4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 227

8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 16⋅16=256 ≡ 29 mod 227

16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 29⋅29=841 ≡ 160 mod 227

32: 22532=22516+16=22516⋅22516 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 176 mod 227

64: 22564=22532+32=22532⋅22532 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 104 mod 227

128: 225128=22564+64=22564⋅22564 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 147 mod 227

225201

= 225128+64+8+1

= 225128⋅22564⋅2258⋅2251

≡ 147 ⋅ 104 ⋅ 29 ⋅ 225 mod 227
≡ 15288 ⋅ 29 ⋅ 225 mod 227 ≡ 79 ⋅ 29 ⋅ 225 mod 227
≡ 2291 ⋅ 225 mod 227 ≡ 21 ⋅ 225 mod 227
≡ 4725 mod 227 ≡ 185 mod 227

Es gilt also: 225201 ≡ 185 mod 227

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 63

=>79 = 1⋅63 + 16
=>63 = 3⋅16 + 15
=>16 = 1⋅15 + 1
=>15 = 15⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-1⋅15
15= 63-3⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -1⋅(63 -3⋅ 16)
= 1⋅16 -1⋅63 +3⋅ 16)
= -1⋅63 +4⋅ 16 (=1)
16= 79-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅63 +4⋅(79 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +4⋅79 -4⋅ 63)
= 4⋅79 -5⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(79,63)=1 = 4⋅79 -5⋅63

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -5⋅63

-5⋅63 = -4⋅79 + 1 |+79⋅63

-5⋅63 + 79⋅63 = -4⋅79 + 79⋅63 + 1

(-5 + 79) ⋅ 63 = (-4 + 63) ⋅ 79 + 1

74⋅63 = 59⋅79 + 1

Es gilt also: 74⋅63 = 59⋅79 +1

Somit 74⋅63 = 1 mod 79

74 ist also das Inverse von 63 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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