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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1197 + 15002) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1197 + 15002) mod 3 ≡ (1197 mod 3 + 15002 mod 3) mod 3.

1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 3 ⋅ 400 -3 = 3 ⋅ 400 - 3 + 0.

15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002 = 15000+2 = 3 ⋅ 5000 +2.

Somit gilt:

(1197 + 15002) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 85) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 85) mod 11 ≡ (20 mod 11 ⋅ 85 mod 11) mod 11.

20 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 11 + 9 = 1 ⋅ 11 + 9 ist.

85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 85) mod 11 ≡ (9 ⋅ 8) mod 11 ≡ 72 mod 11 ≡ 6 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 329128 mod 409.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 329 -> x
2. mod(x²,409) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3291=329

2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 265 mod 409

4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 286 mod 409

8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 405 mod 409

16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 16 mod 409

32: 32932=32916+16=32916⋅32916 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 409

64: 32964=32932+32=32932⋅32932 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 96 mod 409

128: 329128=32964+64=32964⋅32964 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 218 mod 409

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50972 mod 599.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 72 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 72 an und zerlegen 72 in eine Summer von 2er-Potenzen:

72 = 64+8

1: 5091=509

2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 313 mod 599

4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 332 mod 599

8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 8 mod 599

16: 50916=5098+8=5098⋅5098 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 599

32: 50932=50916+16=50916⋅50916 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 502 mod 599

64: 50964=50932+32=50932⋅50932 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 424 mod 599

50972

= 50964+8

= 50964⋅5098

424 ⋅ 8 mod 599
3392 mod 599 ≡ 397 mod 599

Es gilt also: 50972 ≡ 397 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34

=>61 = 1⋅34 + 27
=>34 = 1⋅27 + 7
=>27 = 3⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7)
= -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 34-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27)
= 4⋅34 -5⋅ 27 (=1)
27= 61-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34)
= -5⋅61 +9⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +9⋅34

Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1

Somit 9⋅34 = 1 mod 61

9 ist also das Inverse von 34 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.