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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2093 - 141) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2093 - 141) mod 7 ≡ (2093 mod 7 - 141 mod 7) mod 7.

2093 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2093 = 2100-7 = 7 ⋅ 300 -7 = 7 ⋅ 300 - 7 + 0.

141 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 141 = 140+1 = 7 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(2093 - 141) mod 7 ≡ (0 - 1) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 78) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 78) mod 7 ≡ (56 mod 7 ⋅ 78 mod 7) mod 7.

56 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 8 ⋅ 7 + 0 ist.

78 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 11 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 78) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33664 mod 389.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 336 -> x
2. mod(x²,389) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3361=336

2: 3362=3361+1=3361⋅3361 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 86 mod 389

4: 3364=3362+2=3362⋅3362 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 5 mod 389

8: 3368=3364+4=3364⋅3364 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 389

16: 33616=3368+8=3368⋅3368 ≡ 25⋅25=625 ≡ 236 mod 389

32: 33632=33616+16=33616⋅33616 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 69 mod 389

64: 33664=33632+32=33632⋅33632 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 93 mod 389

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 266114 mod 877.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:

114 = 64+32+16+2

1: 2661=266

2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 596 mod 877

4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 31 mod 877

8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 31⋅31=961 ≡ 84 mod 877

16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 40 mod 877

32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 723 mod 877

64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 37 mod 877

266114

= 26664+32+16+2

= 26664⋅26632⋅26616⋅2662

≡ 37 ⋅ 723 ⋅ 40 ⋅ 596 mod 877
≡ 26751 ⋅ 40 ⋅ 596 mod 877 ≡ 441 ⋅ 40 ⋅ 596 mod 877
≡ 17640 ⋅ 596 mod 877 ≡ 100 ⋅ 596 mod 877
≡ 59600 mod 877 ≡ 841 mod 877

Es gilt also: 266114 ≡ 841 mod 877

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 38

=>97 = 2⋅38 + 21
=>38 = 1⋅21 + 17
=>21 = 1⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17)
= -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 38-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21)
= 5⋅38 -9⋅ 21 (=1)
21= 97-2⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅38 -9⋅(97 -2⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅97 +18⋅ 38)
= -9⋅97 +23⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(97,38)=1 = -9⋅97 +23⋅38

oder wenn man -9⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅97 = +23⋅38

Es gilt also: 23⋅38 = 9⋅97 +1

Somit 23⋅38 = 1 mod 97

23 ist also das Inverse von 38 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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