Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14006 - 71) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14006 - 71) mod 7 ≡ (14006 mod 7 - 71 mod 7) mod 7.

14006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14006 = 14000+6 = 7 ⋅ 2000 +6.

71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70+1 = 7 ⋅ 10 +1.

Somit gilt:

(14006 - 71) mod 7 ≡ (6 - 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 74) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 74) mod 8 ≡ (37 mod 8 ⋅ 74 mod 8) mod 8.

37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.

74 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 9 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 74) mod 8 ≡ (5 ⋅ 2) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 255¹⁶ mod 823.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 255 -> x
2. mod(x²,823) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 255¹=255

2: 255²=255¹⁺¹=255¹⋅255¹ ≡ 255⋅255=65025 ≡ 8 mod 823

4: 255⁴=255²⁺²=255²⋅255² ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 823

8: 255⁸=255⁴⁺⁴=255⁴⋅255⁴ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 804 mod 823

16: 255¹⁶=255⁸⁺⁸=255⁸⋅255⁸ ≡ 804⋅804=646416 ≡ 361 mod 823

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 392²³¹ mod 769.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

1: 392¹=392

2: 392²=392¹⁺¹=392¹⋅392¹ ≡ 392⋅392=153664 ≡ 633 mod 769

4: 392⁴=392²⁺²=392²⋅392² ≡ 633⋅633=400689 ≡ 40 mod 769

8: 392⁸=392⁴⁺⁴=392⁴⋅392⁴ ≡ 40⋅40=1600 ≡ 62 mod 769

16: 392¹⁶=392⁸⁺⁸=392⁸⋅392⁸ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 768 mod 769

32: 392³²=392¹⁶⁺¹⁶=392¹⁶⋅392¹⁶ ≡ 768⋅768=589824 ≡ 1 mod 769

64: 392⁶⁴=392³²⁺³²=392³²⋅392³² ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 769

128: 392¹²⁸=392⁶⁴⁺⁶⁴=392⁶⁴⋅392⁶⁴ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 769

392²³¹

= 392^{128+64+32+4+2+1}

= 392¹²⁸⋅392⁶⁴⋅392³²⋅392⁴⋅392²⋅392¹

≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 40 ⋅ 633 ⋅ 392 mod 769
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 40 ⋅ 633 ⋅ 392 mod 769
≡ 1 ⋅ 40 ⋅ 633 ⋅ 392 mod 769
≡ 40 ⋅ 633 ⋅ 392 mod 769
≡ 25320 ⋅ 392 mod 769 ≡ 712 ⋅ 392 mod 769
≡ 279104 mod 769 ≡ 726 mod 769

Es gilt also: 392²³¹ ≡ 726 mod 769

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 87.

Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87

=>101	= 1⋅87 + 14
=>87	= 6⋅14 + 3
=>14	= 4⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 87-6⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅14 +5⋅(87 -6⋅ 14) = -1⋅14 +5⋅87 -30⋅ 14) = 5⋅87 -31⋅ 14 (=1)
14= 101-1⋅87	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅87 -31⋅(101 -1⋅ 87) = 5⋅87 -31⋅101 +31⋅ 87) = -31⋅101 +36⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(101,87)=1 = -31⋅101 +36⋅87

oder wenn man -31⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅101 = +36⋅87

Es gilt also: 36⋅87 = 31⋅101 +1

Somit 36⋅87 = 1 mod 101

36 ist also das Inverse von 87 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87

Schlüsselpaar für RSA