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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 - 146) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 - 146) mod 7 ≡ (76 mod 7 - 146 mod 7) mod 7.
76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76
= 70
146 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 146
= 140
Somit gilt:
(76 - 146) mod 7 ≡ (6 - 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 72) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 72) mod 7 ≡ (56 mod 7 ⋅ 72 mod 7) mod 7.
56 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 8 ⋅ 7 + 0 ist.
72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 10 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 72) mod 7 ≡ (0 ⋅ 2) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 531128 mod 577.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 531 -> x
2. mod(x²,577) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5311=531
2: 5312=5311+1=5311⋅5311 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 385 mod 577
4: 5314=5312+2=5312⋅5312 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 513 mod 577
8: 5318=5314+4=5314⋅5314 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 57 mod 577
16: 53116=5318+8=5318⋅5318 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 364 mod 577
32: 53132=53116+16=53116⋅53116 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 363 mod 577
64: 53164=53132+32=53132⋅53132 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 213 mod 577
128: 531128=53164+64=53164⋅53164 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 363 mod 577
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 222124 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:
124 = 64+32+16+8+4
1: 2221=222
2: 2222=2221+1=2221⋅2221 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 382 mod 499
4: 2224=2222+2=2222⋅2222 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 216 mod 499
8: 2228=2224+4=2224⋅2224 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 249 mod 499
16: 22216=2228+8=2228⋅2228 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 125 mod 499
32: 22232=22216+16=22216⋅22216 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 156 mod 499
64: 22264=22232+32=22232⋅22232 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 384 mod 499
222124
= 22264+32+16+8+4
= 22264⋅22232⋅22216⋅2228⋅2224
≡ 384 ⋅ 156 ⋅ 125 ⋅ 249 ⋅ 216 mod 499
≡ 59904 ⋅ 125 ⋅ 249 ⋅ 216 mod 499 ≡ 24 ⋅ 125 ⋅ 249 ⋅ 216 mod 499
≡ 3000 ⋅ 249 ⋅ 216 mod 499 ≡ 6 ⋅ 249 ⋅ 216 mod 499
≡ 1494 ⋅ 216 mod 499 ≡ 496 ⋅ 216 mod 499
≡ 107136 mod 499 ≡ 350 mod 499
Es gilt also: 222124 ≡ 350 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 32
| =>67 | = 2⋅32 + 3 |
| =>32 | = 10⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 32-10⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3) = -1⋅32 +11⋅ 3 (=1) |
| 3= 67-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅32 +11⋅(67 -2⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅67 -22⋅ 32) = 11⋅67 -23⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,32)=1 = 11⋅67 -23⋅32
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -23⋅32
-23⋅32 = -11⋅67 + 1 |+67⋅32
-23⋅32 + 67⋅32 = -11⋅67 + 67⋅32 + 1
(-23 + 67) ⋅ 32 = (-11 + 32) ⋅ 67 + 1
44⋅32 = 21⋅67 + 1
Es gilt also: 44⋅32 = 21⋅67 +1
Somit 44⋅32 = 1 mod 67
44 ist also das Inverse von 32 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.