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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4004 + 403) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4004 + 403) mod 8 ≡ (4004 mod 8 + 403 mod 8) mod 8.

4004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004 = 4000+4 = 8 ⋅ 500 +4.

403 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403 = 400+3 = 8 ⋅ 50 +3.

Somit gilt:

(4004 + 403) mod 8 ≡ (4 + 3) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 18) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 18) mod 10 ≡ (66 mod 10 ⋅ 18 mod 10) mod 10.

66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.

18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 18) mod 10 ≡ (6 ⋅ 8) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 497¹⁶ mod 881.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 497 -> x
2. mod(x²,881) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 497¹=497

2: 497²=497¹⁺¹=497¹⋅497¹ ≡ 497⋅497=247009 ≡ 329 mod 881

4: 497⁴=497²⁺²=497²⋅497² ≡ 329⋅329=108241 ≡ 759 mod 881

8: 497⁸=497⁴⁺⁴=497⁴⋅497⁴ ≡ 759⋅759=576081 ≡ 788 mod 881

16: 497¹⁶=497⁸⁺⁸=497⁸⋅497⁸ ≡ 788⋅788=620944 ≡ 720 mod 881

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 250²²¹ mod 541.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

1: 250¹=250

2: 250²=250¹⁺¹=250¹⋅250¹ ≡ 250⋅250=62500 ≡ 285 mod 541

4: 250⁴=250²⁺²=250²⋅250² ≡ 285⋅285=81225 ≡ 75 mod 541

8: 250⁸=250⁴⁺⁴=250⁴⋅250⁴ ≡ 75⋅75=5625 ≡ 215 mod 541

16: 250¹⁶=250⁸⁺⁸=250⁸⋅250⁸ ≡ 215⋅215=46225 ≡ 240 mod 541

32: 250³²=250¹⁶⁺¹⁶=250¹⁶⋅250¹⁶ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 254 mod 541

64: 250⁶⁴=250³²⁺³²=250³²⋅250³² ≡ 254⋅254=64516 ≡ 137 mod 541

128: 250¹²⁸=250⁶⁴⁺⁶⁴=250⁶⁴⋅250⁶⁴ ≡ 137⋅137=18769 ≡ 375 mod 541

250²²¹

= 250^{128+64+16+8+4+1}

= 250¹²⁸⋅250⁶⁴⋅250¹⁶⋅250⁸⋅250⁴⋅250¹

≡ 375 ⋅ 137 ⋅ 240 ⋅ 215 ⋅ 75 ⋅ 250 mod 541
≡ 51375 ⋅ 240 ⋅ 215 ⋅ 75 ⋅ 250 mod 541 ≡ 521 ⋅ 240 ⋅ 215 ⋅ 75 ⋅ 250 mod 541
≡ 125040 ⋅ 215 ⋅ 75 ⋅ 250 mod 541 ≡ 69 ⋅ 215 ⋅ 75 ⋅ 250 mod 541
≡ 14835 ⋅ 75 ⋅ 250 mod 541 ≡ 228 ⋅ 75 ⋅ 250 mod 541
≡ 17100 ⋅ 250 mod 541 ≡ 329 ⋅ 250 mod 541
≡ 82250 mod 541 ≡ 18 mod 541

Es gilt also: 250²²¹ ≡ 18 mod 541

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

=>61	= 1⋅50 + 11
=>50	= 4⋅11 + 6
=>11	= 1⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 50-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11) = -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50) = 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +11⋅50

Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1

Somit 11⋅50 = 1 mod 61

11 ist also das Inverse von 50 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

Schlüsselpaar für RSA