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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (696 - 278) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(696 - 278) mod 7 ≡ (696 mod 7 - 278 mod 7) mod 7.

696 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 696 = 700-4 = 7 ⋅ 100 -4 = 7 ⋅ 100 - 7 + 3.

278 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 278 = 280-2 = 7 ⋅ 40 -2 = 7 ⋅ 40 - 7 + 5.

Somit gilt:

(696 - 278) mod 7 ≡ (3 - 5) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 32) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 32) mod 7 ≡ (96 mod 7 ⋅ 32 mod 7) mod 7.

96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.

32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 32) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29716 mod 331.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 297 -> x
2. mod(x²,331) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2971=297

2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 163 mod 331

4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 89 mod 331

8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 308 mod 331

16: 29716=2978+8=2978⋅2978 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 198 mod 331

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 159202 mod 313.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:

202 = 128+64+8+2

1: 1591=159

2: 1592=1591+1=1591⋅1591 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 241 mod 313

4: 1594=1592+2=1592⋅1592 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 176 mod 313

8: 1598=1594+4=1594⋅1594 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 302 mod 313

16: 15916=1598+8=1598⋅1598 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 121 mod 313

32: 15932=15916+16=15916⋅15916 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 243 mod 313

64: 15964=15932+32=15932⋅15932 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 205 mod 313

128: 159128=15964+64=15964⋅15964 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 83 mod 313

159202

= 159128+64+8+2

= 159128⋅15964⋅1598⋅1592

≡ 83 ⋅ 205 ⋅ 302 ⋅ 241 mod 313
≡ 17015 ⋅ 302 ⋅ 241 mod 313 ≡ 113 ⋅ 302 ⋅ 241 mod 313
≡ 34126 ⋅ 241 mod 313 ≡ 9 ⋅ 241 mod 313
≡ 2169 mod 313 ≡ 291 mod 313

Es gilt also: 159202 ≡ 291 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 79.

Also bestimme x, so dass 79 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 79

=>89 = 1⋅79 + 10
=>79 = 7⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,79)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 79-7⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(79 -7⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅79 +7⋅ 10)
= -1⋅79 +8⋅ 10 (=1)
10= 89-1⋅79 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅79 +8⋅(89 -1⋅ 79)
= -1⋅79 +8⋅89 -8⋅ 79)
= 8⋅89 -9⋅ 79 (=1)

Es gilt also: ggt(89,79)=1 = 8⋅89 -9⋅79

oder wenn man 8⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅89 = -9⋅79

-9⋅79 = -8⋅89 + 1 |+89⋅79

-9⋅79 + 89⋅79 = -8⋅89 + 89⋅79 + 1

(-9 + 89) ⋅ 79 = (-8 + 79) ⋅ 89 + 1

80⋅79 = 71⋅89 + 1

Es gilt also: 80⋅79 = 71⋅89 +1

Somit 80⋅79 = 1 mod 89

80 ist also das Inverse von 79 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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