Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1802 + 27007) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1802 + 27007) mod 9 ≡ (1802 mod 9 + 27007 mod 9) mod 9.

1802 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1802 = 1800+2 = 9 ⋅ 200 +2.

27007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27007 = 27000+7 = 9 ⋅ 3000 +7.

Somit gilt:

(1802 + 27007) mod 9 ≡ (2 + 7) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 59) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 59) mod 10 ≡ (65 mod 10 ⋅ 59 mod 10) mod 10.

65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.

59 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 50 + 9 = 5 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 59) mod 10 ≡ (5 ⋅ 9) mod 10 ≡ 45 mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 216¹²⁸ mod 593.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 216 -> x
2. mod(x²,593) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 216¹=216

2: 216²=216¹⁺¹=216¹⋅216¹ ≡ 216⋅216=46656 ≡ 402 mod 593

4: 216⁴=216²⁺²=216²⋅216² ≡ 402⋅402=161604 ≡ 308 mod 593

8: 216⁸=216⁴⁺⁴=216⁴⋅216⁴ ≡ 308⋅308=94864 ≡ 577 mod 593

16: 216¹⁶=216⁸⁺⁸=216⁸⋅216⁸ ≡ 577⋅577=332929 ≡ 256 mod 593

32: 216³²=216¹⁶⁺¹⁶=216¹⁶⋅216¹⁶ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 306 mod 593

64: 216⁶⁴=216³²⁺³²=216³²⋅216³² ≡ 306⋅306=93636 ≡ 535 mod 593

128: 216¹²⁸=216⁶⁴⁺⁶⁴=216⁶⁴⋅216⁶⁴ ≡ 535⋅535=286225 ≡ 399 mod 593

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 213¹²⁶ mod 277.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:

126 = 64+32+16+8+4+2

1: 213¹=213

2: 213²=213¹⁺¹=213¹⋅213¹ ≡ 213⋅213=45369 ≡ 218 mod 277

4: 213⁴=213²⁺²=213²⋅213² ≡ 218⋅218=47524 ≡ 157 mod 277

8: 213⁸=213⁴⁺⁴=213⁴⋅213⁴ ≡ 157⋅157=24649 ≡ 273 mod 277

16: 213¹⁶=213⁸⁺⁸=213⁸⋅213⁸ ≡ 273⋅273=74529 ≡ 16 mod 277

32: 213³²=213¹⁶⁺¹⁶=213¹⁶⋅213¹⁶ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 277

64: 213⁶⁴=213³²⁺³²=213³²⋅213³² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 164 mod 277

213¹²⁶

= 213^{64+32+16+8+4+2}

= 213⁶⁴⋅213³²⋅213¹⁶⋅213⁸⋅213⁴⋅213²

≡ 164 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 273 ⋅ 157 ⋅ 218 mod 277
≡ 41984 ⋅ 16 ⋅ 273 ⋅ 157 ⋅ 218 mod 277 ≡ 157 ⋅ 16 ⋅ 273 ⋅ 157 ⋅ 218 mod 277
≡ 2512 ⋅ 273 ⋅ 157 ⋅ 218 mod 277 ≡ 19 ⋅ 273 ⋅ 157 ⋅ 218 mod 277
≡ 5187 ⋅ 157 ⋅ 218 mod 277 ≡ 201 ⋅ 157 ⋅ 218 mod 277
≡ 31557 ⋅ 218 mod 277 ≡ 256 ⋅ 218 mod 277
≡ 55808 mod 277 ≡ 131 mod 277

Es gilt also: 213¹²⁶ ≡ 131 mod 277

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 44

=>73	= 1⋅44 + 29
=>44	= 1⋅29 + 15
=>29	= 1⋅15 + 14
=>15	= 1⋅14 + 1
=>14	= 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 29-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15) = 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1)
15= 44-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅29 +2⋅(44 -1⋅ 29) = -1⋅29 +2⋅44 -2⋅ 29) = 2⋅44 -3⋅ 29 (=1)
29= 73-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅44 -3⋅(73 -1⋅ 44) = 2⋅44 -3⋅73 +3⋅ 44) = -3⋅73 +5⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(73,44)=1 = -3⋅73 +5⋅44

oder wenn man -3⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅73 = +5⋅44

Es gilt also: 5⋅44 = 3⋅73 +1

Somit 5⋅44 = 1 mod 73

5 ist also das Inverse von 44 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 44

Schlüsselpaar für RSA