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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (141 - 1398) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(141 - 1398) mod 7 ≡ (141 mod 7 - 1398 mod 7) mod 7.
141 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 141
= 140
1398 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1398
= 1400
Somit gilt:
(141 - 1398) mod 7 ≡ (1 - 5) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 32) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 32) mod 6 ≡ (74 mod 6 ⋅ 32 mod 6) mod 6.
74 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 12 ⋅ 6 + 2 ist.
32 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 5 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 32) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 43332 mod 487.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 433 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4331=433
2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 481 mod 487
4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 36 mod 487
8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 322 mod 487
16: 43316=4338+8=4338⋅4338 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 440 mod 487
32: 43332=43316+16=43316⋅43316 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 261 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 565243 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:
243 = 128+64+32+16+2+1
1: 5651=565
2: 5652=5651+1=5651⋅5651 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 72 mod 727
4: 5654=5652+2=5652⋅5652 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 95 mod 727
8: 5658=5654+4=5654⋅5654 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 301 mod 727
16: 56516=5658+8=5658⋅5658 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 453 mod 727
32: 56532=56516+16=56516⋅56516 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 195 mod 727
64: 56564=56532+32=56532⋅56532 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 221 mod 727
128: 565128=56564+64=56564⋅56564 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 132 mod 727
565243
= 565128+64+32+16+2+1
= 565128⋅56564⋅56532⋅56516⋅5652⋅5651
≡ 132 ⋅ 221 ⋅ 195 ⋅ 453 ⋅ 72 ⋅ 565 mod 727
≡ 29172 ⋅ 195 ⋅ 453 ⋅ 72 ⋅ 565 mod 727 ≡ 92 ⋅ 195 ⋅ 453 ⋅ 72 ⋅ 565 mod 727
≡ 17940 ⋅ 453 ⋅ 72 ⋅ 565 mod 727 ≡ 492 ⋅ 453 ⋅ 72 ⋅ 565 mod 727
≡ 222876 ⋅ 72 ⋅ 565 mod 727 ≡ 414 ⋅ 72 ⋅ 565 mod 727
≡ 29808 ⋅ 565 mod 727 ≡ 1 ⋅ 565 mod 727
≡ 565 mod 727
Es gilt also: 565243 ≡ 565 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40
| =>97 | = 2⋅40 + 17 |
| =>40 | = 2⋅17 + 6 |
| =>17 | = 2⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 17-2⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6) = -1⋅17 +3⋅ 6 (=1) |
| 6= 40-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17)
= -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17) = 3⋅40 -7⋅ 17 (=1) |
| 17= 97-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40)
= 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40) = -7⋅97 +17⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +17⋅40
Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1
Somit 17⋅40 = 1 mod 97
17 ist also das Inverse von 40 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
