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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3207 + 165) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3207 + 165) mod 8 ≡ (3207 mod 8 + 165 mod 8) mod 8.
3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207
= 3200
165 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 165
= 160
Somit gilt:
(3207 + 165) mod 8 ≡ (7 + 5) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 79) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 79) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 79 mod 7) mod 7.
82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.
79 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 11 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 79) mod 7 ≡ (5 ⋅ 2) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 181128 mod 373.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 181 -> x
2. mod(x²,373) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1811=181
2: 1812=1811+1=1811⋅1811 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 310 mod 373
4: 1814=1812+2=1812⋅1812 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 239 mod 373
8: 1818=1814+4=1814⋅1814 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 52 mod 373
16: 18116=1818+8=1818⋅1818 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 93 mod 373
32: 18132=18116+16=18116⋅18116 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 70 mod 373
64: 18164=18132+32=18132⋅18132 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 51 mod 373
128: 181128=18164+64=18164⋅18164 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 363 mod 373
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 471219 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:
219 = 128+64+16+8+2+1
1: 4711=471
2: 4712=4711+1=4711⋅4711 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 500 mod 569
4: 4714=4712+2=4712⋅4712 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 209 mod 569
8: 4718=4714+4=4714⋅4714 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 437 mod 569
16: 47116=4718+8=4718⋅4718 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 354 mod 569
32: 47132=47116+16=47116⋅47116 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 136 mod 569
64: 47164=47132+32=47132⋅47132 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 288 mod 569
128: 471128=47164+64=47164⋅47164 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 439 mod 569
471219
= 471128+64+16+8+2+1
= 471128⋅47164⋅47116⋅4718⋅4712⋅4711
≡ 439 ⋅ 288 ⋅ 354 ⋅ 437 ⋅ 500 ⋅ 471 mod 569
≡ 126432 ⋅ 354 ⋅ 437 ⋅ 500 ⋅ 471 mod 569 ≡ 114 ⋅ 354 ⋅ 437 ⋅ 500 ⋅ 471 mod 569
≡ 40356 ⋅ 437 ⋅ 500 ⋅ 471 mod 569 ≡ 526 ⋅ 437 ⋅ 500 ⋅ 471 mod 569
≡ 229862 ⋅ 500 ⋅ 471 mod 569 ≡ 555 ⋅ 500 ⋅ 471 mod 569
≡ 277500 ⋅ 471 mod 569 ≡ 397 ⋅ 471 mod 569
≡ 186987 mod 569 ≡ 355 mod 569
Es gilt also: 471219 ≡ 355 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43
| =>53 | = 1⋅43 + 10 |
| =>43 | = 4⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 43-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10) = -3⋅43 +13⋅ 10 (=1) |
| 10= 53-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43)
= -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43) = 13⋅53 -16⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43
oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅53 = -16⋅43
-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43
-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1
(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1
37⋅43 = 30⋅53 + 1
Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1
Somit 37⋅43 = 1 mod 53
37 ist also das Inverse von 43 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
