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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2398 + 792) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2398 + 792) mod 8 ≡ (2398 mod 8 + 792 mod 8) mod 8.

2398 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398 = 2400-2 = 8 ⋅ 300 -2 = 8 ⋅ 300 - 8 + 6.

792 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 792 = 800-8 = 8 ⋅ 100 -8 = 8 ⋅ 100 - 8 + 0.

Somit gilt:

(2398 + 792) mod 8 ≡ (6 + 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 76) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 76) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 76 mod 11) mod 11.

30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.

76 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 66 + 10 = 6 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 76) mod 11 ≡ (8 ⋅ 10) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43364 mod 983.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 433 -> x
2. mod(x²,983) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4331=433

2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 719 mod 983

4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 886 mod 983

8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 886⋅886=784996 ≡ 562 mod 983

16: 43316=4338+8=4338⋅4338 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 301 mod 983

32: 43332=43316+16=43316⋅43316 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 165 mod 983

64: 43364=43332+32=43332⋅43332 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 684 mod 983

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23971 mod 739.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:

71 = 64+4+2+1

1: 2391=239

2: 2392=2391+1=2391⋅2391 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 218 mod 739

4: 2394=2392+2=2392⋅2392 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 228 mod 739

8: 2398=2394+4=2394⋅2394 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 254 mod 739

16: 23916=2398+8=2398⋅2398 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 223 mod 739

32: 23932=23916+16=23916⋅23916 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 216 mod 739

64: 23964=23932+32=23932⋅23932 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 99 mod 739

23971

= 23964+4+2+1

= 23964⋅2394⋅2392⋅2391

≡ 99 ⋅ 228 ⋅ 218 ⋅ 239 mod 739
≡ 22572 ⋅ 218 ⋅ 239 mod 739 ≡ 402 ⋅ 218 ⋅ 239 mod 739
≡ 87636 ⋅ 239 mod 739 ≡ 434 ⋅ 239 mod 739
≡ 103726 mod 739 ≡ 266 mod 739

Es gilt also: 23971 ≡ 266 mod 739

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45

=>97 = 2⋅45 + 7
=>45 = 6⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 45-6⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7)
= -2⋅45 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-2⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45)
= 13⋅97 -28⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -28⋅45

-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45

-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1

(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1

69⋅45 = 32⋅97 + 1

Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1

Somit 69⋅45 = 1 mod 97

69 ist also das Inverse von 45 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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