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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (800 - 237) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(800 - 237) mod 8 ≡ (800 mod 8 - 237 mod 8) mod 8.

800 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800 = 800+0 = 8 ⋅ 100 +0.

237 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 237 = 240-3 = 8 ⋅ 30 -3 = 8 ⋅ 30 - 8 + 5.

Somit gilt:

(800 - 237) mod 8 ≡ (0 - 5) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 21) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 21) mod 3 ≡ (59 mod 3 ⋅ 21 mod 3) mod 3.

59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 57 + 2 = 19 ⋅ 3 + 2 ist.

21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 21) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1458 mod 419.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 145 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1451=145

2: 1452=1451+1=1451⋅1451 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 75 mod 419

4: 1454=1452+2=1452⋅1452 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 178 mod 419

8: 1458=1454+4=1454⋅1454 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 259 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 174152 mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:

152 = 128+16+8

1: 1741=174

2: 1742=1741+1=1741⋅1741 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 152 mod 443

4: 1744=1742+2=1742⋅1742 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 68 mod 443

8: 1748=1744+4=1744⋅1744 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 194 mod 443

16: 17416=1748+8=1748⋅1748 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 424 mod 443

32: 17432=17416+16=17416⋅17416 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 361 mod 443

64: 17464=17432+32=17432⋅17432 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 79 mod 443

128: 174128=17464+64=17464⋅17464 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 39 mod 443

174152

= 174128+16+8

= 174128⋅17416⋅1748

≡ 39 ⋅ 424 ⋅ 194 mod 443
≡ 16536 ⋅ 194 mod 443 ≡ 145 ⋅ 194 mod 443
≡ 28130 mod 443 ≡ 221 mod 443

Es gilt also: 174152 ≡ 221 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 23

=>61 = 2⋅23 + 15
=>23 = 1⋅15 + 8
=>15 = 1⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8)
= -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 23-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +2⋅(23 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅23 -2⋅ 15)
= 2⋅23 -3⋅ 15 (=1)
15= 61-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅23 -3⋅(61 -2⋅ 23)
= 2⋅23 -3⋅61 +6⋅ 23)
= -3⋅61 +8⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(61,23)=1 = -3⋅61 +8⋅23

oder wenn man -3⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅61 = +8⋅23

Es gilt also: 8⋅23 = 3⋅61 +1

Somit 8⋅23 = 1 mod 61

8 ist also das Inverse von 23 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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