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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14002 - 70) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14002 - 70) mod 7 ≡ (14002 mod 7 - 70 mod 7) mod 7.
14002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14002
= 14000
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70
= 70
Somit gilt:
(14002 - 70) mod 7 ≡ (2 - 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 60) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 60) mod 8 ≡ (80 mod 8 ⋅ 60 mod 8) mod 8.
80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.
60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 60) mod 8 ≡ (0 ⋅ 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14764 mod 383.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 147 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1471=147
2: 1472=1471+1=1471⋅1471 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 161 mod 383
4: 1474=1472+2=1472⋅1472 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 260 mod 383
8: 1478=1474+4=1474⋅1474 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 192 mod 383
16: 14716=1478+8=1478⋅1478 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 96 mod 383
32: 14732=14716+16=14716⋅14716 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 24 mod 383
64: 14764=14732+32=14732⋅14732 ≡ 24⋅24=576 ≡ 193 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 405223 mod 499.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:
223 = 128+64+16+8+4+2+1
1: 4051=405
2: 4052=4051+1=4051⋅4051 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 353 mod 499
4: 4054=4052+2=4052⋅4052 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 358 mod 499
8: 4058=4054+4=4054⋅4054 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 420 mod 499
16: 40516=4058+8=4058⋅4058 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 253 mod 499
32: 40532=40516+16=40516⋅40516 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 137 mod 499
64: 40564=40532+32=40532⋅40532 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 306 mod 499
128: 405128=40564+64=40564⋅40564 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 323 mod 499
405223
= 405128+64+16+8+4+2+1
= 405128⋅40564⋅40516⋅4058⋅4054⋅4052⋅4051
≡ 323 ⋅ 306 ⋅ 253 ⋅ 420 ⋅ 358 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499
≡ 98838 ⋅ 253 ⋅ 420 ⋅ 358 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499 ≡ 36 ⋅ 253 ⋅ 420 ⋅ 358 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499
≡ 9108 ⋅ 420 ⋅ 358 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499 ≡ 126 ⋅ 420 ⋅ 358 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499
≡ 52920 ⋅ 358 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499 ≡ 26 ⋅ 358 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499
≡ 9308 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499 ≡ 326 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499
≡ 115078 ⋅ 405 mod 499 ≡ 308 ⋅ 405 mod 499
≡ 124740 mod 499 ≡ 489 mod 499
Es gilt also: 405223 ≡ 489 mod 499
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 80.
Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 80
| =>101 | = 1⋅80 + 21 |
| =>80 | = 3⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,80)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 80-3⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(80 -3⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅80 -15⋅ 21) = 5⋅80 -19⋅ 21 (=1) |
| 21= 101-1⋅80 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅80 -19⋅(101 -1⋅ 80)
= 5⋅80 -19⋅101 +19⋅ 80) = -19⋅101 +24⋅ 80 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,80)=1 = -19⋅101 +24⋅80
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +24⋅80
Es gilt also: 24⋅80 = 19⋅101 +1
Somit 24⋅80 = 1 mod 101
24 ist also das Inverse von 80 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
