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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23994 - 167) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23994 - 167) mod 8 ≡ (23994 mod 8 - 167 mod 8) mod 8.
23994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23994
= 23000
167 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 167
= 160
Somit gilt:
(23994 - 167) mod 8 ≡ (2 - 7) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 58) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 58) mod 4 ≡ (19 mod 4 ⋅ 58 mod 4) mod 4.
19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.
58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 58) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33764 mod 379.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 337 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3371=337
2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 248 mod 379
4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 106 mod 379
8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 245 mod 379
16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 143 mod 379
32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 362 mod 379
64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 289 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 280176 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:
176 = 128+32+16
1: 2801=280
2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 274 mod 449
4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 93 mod 449
8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 118 mod 449
16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 5 mod 449
32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 449
64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 25⋅25=625 ≡ 176 mod 449
128: 280128=28064+64=28064⋅28064 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 444 mod 449
280176
= 280128+32+16
= 280128⋅28032⋅28016
≡ 444 ⋅ 25 ⋅ 5 mod 449
≡ 11100 ⋅ 5 mod 449 ≡ 324 ⋅ 5 mod 449
≡ 1620 mod 449 ≡ 273 mod 449
Es gilt also: 280176 ≡ 273 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 94.
Also bestimme x, so dass 94 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 94
| =>101 | = 1⋅94 + 7 |
| =>94 | = 13⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,94)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 94-13⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(94 -13⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅94 +26⋅ 7) = -2⋅94 +27⋅ 7 (=1) |
| 7= 101-1⋅94 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅94 +27⋅(101 -1⋅ 94)
= -2⋅94 +27⋅101 -27⋅ 94) = 27⋅101 -29⋅ 94 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,94)=1 = 27⋅101 -29⋅94
oder wenn man 27⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -27⋅101 = -29⋅94
-29⋅94 = -27⋅101 + 1 |+101⋅94
-29⋅94 + 101⋅94 = -27⋅101 + 101⋅94 + 1
(-29 + 101) ⋅ 94 = (-27 + 94) ⋅ 101 + 1
72⋅94 = 67⋅101 + 1
Es gilt also: 72⋅94 = 67⋅101 +1
Somit 72⋅94 = 1 mod 101
72 ist also das Inverse von 94 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
