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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (115 - 1795) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(115 - 1795) mod 6 ≡ (115 mod 6 - 1795 mod 6) mod 6.

115 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 115 = 120-5 = 6 ⋅ 20 -5 = 6 ⋅ 20 - 6 + 1.

1795 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1795 = 1800-5 = 6 ⋅ 300 -5 = 6 ⋅ 300 - 6 + 1.

Somit gilt:

(115 - 1795) mod 6 ≡ (1 - 1) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 41) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 41) mod 4 ≡ (28 mod 4 ⋅ 41 mod 4) mod 4.

28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.

41 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 10 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 41) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 66064 mod 773.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 660 -> x
2. mod(x²,773) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6601=660

2: 6602=6601+1=6601⋅6601 ≡ 660⋅660=435600 ≡ 401 mod 773

4: 6604=6602+2=6602⋅6602 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 17 mod 773

8: 6608=6604+4=6604⋅6604 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 773

16: 66016=6608+8=6608⋅6608 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 37 mod 773

32: 66032=66016+16=66016⋅66016 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 596 mod 773

64: 66064=66032+32=66032⋅66032 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 409 mod 773

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11561 mod 359.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:

61 = 32+16+8+4+1

1: 1151=115

2: 1152=1151+1=1151⋅1151 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 301 mod 359

4: 1154=1152+2=1152⋅1152 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 133 mod 359

8: 1158=1154+4=1154⋅1154 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 98 mod 359

16: 11516=1158+8=1158⋅1158 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 270 mod 359

32: 11532=11516+16=11516⋅11516 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 23 mod 359

11561

= 11532+16+8+4+1

= 11532⋅11516⋅1158⋅1154⋅1151

≡ 23 ⋅ 270 ⋅ 98 ⋅ 133 ⋅ 115 mod 359
≡ 6210 ⋅ 98 ⋅ 133 ⋅ 115 mod 359 ≡ 107 ⋅ 98 ⋅ 133 ⋅ 115 mod 359
≡ 10486 ⋅ 133 ⋅ 115 mod 359 ≡ 75 ⋅ 133 ⋅ 115 mod 359
≡ 9975 ⋅ 115 mod 359 ≡ 282 ⋅ 115 mod 359
≡ 32430 mod 359 ≡ 120 mod 359

Es gilt also: 11561 ≡ 120 mod 359

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 84.

Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 84

=>101 = 1⋅84 + 17
=>84 = 4⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 84-4⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(84 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅84 +4⋅ 17)
= -1⋅84 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-1⋅84 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅84 +5⋅(101 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +5⋅101 -5⋅ 84)
= 5⋅101 -6⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(101,84)=1 = 5⋅101 -6⋅84

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -6⋅84

-6⋅84 = -5⋅101 + 1 |+101⋅84

-6⋅84 + 101⋅84 = -5⋅101 + 101⋅84 + 1

(-6 + 101) ⋅ 84 = (-5 + 84) ⋅ 101 + 1

95⋅84 = 79⋅101 + 1

Es gilt also: 95⋅84 = 79⋅101 +1

Somit 95⋅84 = 1 mod 101

95 ist also das Inverse von 84 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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