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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (158 - 12001) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(158 - 12001) mod 4 ≡ (158 mod 4 - 12001 mod 4) mod 4.

158 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 158 = 160-2 = 4 ⋅ 40 -2 = 4 ⋅ 40 - 4 + 2.

12001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001 = 12000+1 = 4 ⋅ 3000 +1.

Somit gilt:

(158 - 12001) mod 4 ≡ (2 - 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 73) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 73) mod 3 ≡ (40 mod 3 ⋅ 73 mod 3) mod 3.

40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.

73 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 24 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 73) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 403⁶⁴ mod 977.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 403 -> x
2. mod(x²,977) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 403¹=403

2: 403²=403¹⁺¹=403¹⋅403¹ ≡ 403⋅403=162409 ≡ 227 mod 977

4: 403⁴=403²⁺²=403²⋅403² ≡ 227⋅227=51529 ≡ 725 mod 977

8: 403⁸=403⁴⁺⁴=403⁴⋅403⁴ ≡ 725⋅725=525625 ≡ 976 mod 977

16: 403¹⁶=403⁸⁺⁸=403⁸⋅403⁸ ≡ 976⋅976=952576 ≡ 1 mod 977

32: 403³²=403¹⁶⁺¹⁶=403¹⁶⋅403¹⁶ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 977

64: 403⁶⁴=403³²⁺³²=403³²⋅403³² ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 977

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 470²⁴⁶ mod 857.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

1: 470¹=470

2: 470²=470¹⁺¹=470¹⋅470¹ ≡ 470⋅470=220900 ≡ 651 mod 857

4: 470⁴=470²⁺²=470²⋅470² ≡ 651⋅651=423801 ≡ 443 mod 857

8: 470⁸=470⁴⁺⁴=470⁴⋅470⁴ ≡ 443⋅443=196249 ≡ 853 mod 857

16: 470¹⁶=470⁸⁺⁸=470⁸⋅470⁸ ≡ 853⋅853=727609 ≡ 16 mod 857

32: 470³²=470¹⁶⁺¹⁶=470¹⁶⋅470¹⁶ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 857

64: 470⁶⁴=470³²⁺³²=470³²⋅470³² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 404 mod 857

128: 470¹²⁸=470⁶⁴⁺⁶⁴=470⁶⁴⋅470⁶⁴ ≡ 404⋅404=163216 ≡ 386 mod 857

470²⁴⁶

= 470^{128+64+32+16+4+2}

= 470¹²⁸⋅470⁶⁴⋅470³²⋅470¹⁶⋅470⁴⋅470²

≡ 386 ⋅ 404 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 443 ⋅ 651 mod 857
≡ 155944 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 443 ⋅ 651 mod 857 ≡ 827 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 443 ⋅ 651 mod 857
≡ 211712 ⋅ 16 ⋅ 443 ⋅ 651 mod 857 ≡ 33 ⋅ 16 ⋅ 443 ⋅ 651 mod 857
≡ 528 ⋅ 443 ⋅ 651 mod 857
≡ 233904 ⋅ 651 mod 857 ≡ 800 ⋅ 651 mod 857
≡ 520800 mod 857 ≡ 601 mod 857

Es gilt also: 470²⁴⁶ ≡ 601 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40

=>59	= 1⋅40 + 19
=>40	= 2⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 40-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19) = -9⋅40 +19⋅ 19 (=1)
19= 59-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40) = -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40) = 19⋅59 -28⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -28⋅40

-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40

-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1

(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1

31⋅40 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1

Somit 31⋅40 = 1 mod 59

31 ist also das Inverse von 40 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40

Schlüsselpaar für RSA