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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8999 + 600) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8999 + 600) mod 3 ≡ (8999 mod 3 + 600 mod 3) mod 3.

8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999 = 9000-1 = 3 ⋅ 3000 -1 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 2.

600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600 = 600+0 = 3 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(8999 + 600) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 32) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 32) mod 3 ≡ (97 mod 3 ⋅ 32 mod 3) mod 3.

97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.

32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 10 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 32) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2108 mod 593.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 210 -> x
2. mod(x²,593) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2101=210

2: 2102=2101+1=2101⋅2101 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 218 mod 593

4: 2104=2102+2=2102⋅2102 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 84 mod 593

8: 2108=2104+4=2104⋅2104 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 533 mod 593

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 81667 mod 853.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:

67 = 64+2+1

1: 8161=816

2: 8162=8161+1=8161⋅8161 ≡ 816⋅816=665856 ≡ 516 mod 853

4: 8164=8162+2=8162⋅8162 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 120 mod 853

8: 8168=8164+4=8164⋅8164 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 752 mod 853

16: 81616=8168+8=8168⋅8168 ≡ 752⋅752=565504 ≡ 818 mod 853

32: 81632=81616+16=81616⋅81616 ≡ 818⋅818=669124 ≡ 372 mod 853

64: 81664=81632+32=81632⋅81632 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 198 mod 853

81667

= 81664+2+1

= 81664⋅8162⋅8161

≡ 198 ⋅ 516 ⋅ 816 mod 853
≡ 102168 ⋅ 816 mod 853 ≡ 661 ⋅ 816 mod 853
≡ 539376 mod 853 ≡ 280 mod 853

Es gilt also: 81667 ≡ 280 mod 853

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55

=>97 = 1⋅55 + 42
=>55 = 1⋅42 + 13
=>42 = 3⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13)
= -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 55-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42)
= 13⋅55 -17⋅ 42 (=1)
42= 97-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55)
= 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55)
= -17⋅97 +30⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +30⋅55

Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1

Somit 30⋅55 = 1 mod 97

30 ist also das Inverse von 55 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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