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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34993 - 145) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34993 - 145) mod 7 ≡ (34993 mod 7 - 145 mod 7) mod 7.
34993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34993
= 35000
145 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145
= 140
Somit gilt:
(34993 - 145) mod 7 ≡ (0 - 5) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 28) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 28) mod 5 ≡ (96 mod 5 ⋅ 28 mod 5) mod 5.
96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 95 + 1 = 19 ⋅ 5 + 1 ist.
28 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 25 + 3 = 5 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 28) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1628 mod 379.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 162 -> x
2. mod(x²,379) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1621=162
2: 1622=1621+1=1621⋅1621 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 93 mod 379
4: 1624=1622+2=1622⋅1622 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 311 mod 379
8: 1628=1624+4=1624⋅1624 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 76 mod 379
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 376117 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:
117 = 64+32+16+4+1
1: 3761=376
2: 3762=3761+1=3761⋅3761 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 338 mod 727
4: 3764=3762+2=3762⋅3762 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 105 mod 727
8: 3768=3764+4=3764⋅3764 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 120 mod 727
16: 37616=3768+8=3768⋅3768 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 587 mod 727
32: 37632=37616+16=37616⋅37616 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 698 mod 727
64: 37664=37632+32=37632⋅37632 ≡ 698⋅698=487204 ≡ 114 mod 727
376117
= 37664+32+16+4+1
= 37664⋅37632⋅37616⋅3764⋅3761
≡ 114 ⋅ 698 ⋅ 587 ⋅ 105 ⋅ 376 mod 727
≡ 79572 ⋅ 587 ⋅ 105 ⋅ 376 mod 727 ≡ 329 ⋅ 587 ⋅ 105 ⋅ 376 mod 727
≡ 193123 ⋅ 105 ⋅ 376 mod 727 ≡ 468 ⋅ 105 ⋅ 376 mod 727
≡ 49140 ⋅ 376 mod 727 ≡ 431 ⋅ 376 mod 727
≡ 162056 mod 727 ≡ 662 mod 727
Es gilt also: 376117 ≡ 662 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -25⋅36
-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36
-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1
(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1
28⋅36 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1
Somit 28⋅36 = 1 mod 53
28 ist also das Inverse von 36 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.