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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 + 39) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 + 39) mod 4 ≡ (83 mod 4 + 39 mod 4) mod 4.

83 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80+3 = 4 ⋅ 20 +3.

39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 40-1 = 4 ⋅ 10 -1 = 4 ⋅ 10 - 4 + 3.

Somit gilt:

(83 + 39) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 73) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 73) mod 10 ≡ (43 mod 10 ⋅ 73 mod 10) mod 10.

43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.

73 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 7 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 73) mod 10 ≡ (3 ⋅ 3) mod 10 ≡ 9 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22964 mod 353.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 229 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2291=229

2: 2292=2291+1=2291⋅2291 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 197 mod 353

4: 2294=2292+2=2292⋅2292 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 332 mod 353

8: 2298=2294+4=2294⋅2294 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 88 mod 353

16: 22916=2298+8=2298⋅2298 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 331 mod 353

32: 22932=22916+16=22916⋅22916 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 131 mod 353

64: 22964=22932+32=22932⋅22932 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 40899 mod 487.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:

99 = 64+32+2+1

1: 4081=408

2: 4082=4081+1=4081⋅4081 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 397 mod 487

4: 4084=4082+2=4082⋅4082 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 308 mod 487

8: 4088=4084+4=4084⋅4084 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 386 mod 487

16: 40816=4088+8=4088⋅4088 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 461 mod 487

32: 40832=40816+16=40816⋅40816 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 189 mod 487

64: 40864=40832+32=40832⋅40832 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 170 mod 487

40899

= 40864+32+2+1

= 40864⋅40832⋅4082⋅4081

≡ 170 ⋅ 189 ⋅ 397 ⋅ 408 mod 487
≡ 32130 ⋅ 397 ⋅ 408 mod 487 ≡ 475 ⋅ 397 ⋅ 408 mod 487
≡ 188575 ⋅ 408 mod 487 ≡ 106 ⋅ 408 mod 487
≡ 43248 mod 487 ≡ 392 mod 487

Es gilt also: 40899 ≡ 392 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 31

=>59 = 1⋅31 + 28
=>31 = 1⋅28 + 3
=>28 = 9⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 28-9⋅3
3= 31-1⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅28 -9⋅(31 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -9⋅31 +9⋅ 28)
= -9⋅31 +10⋅ 28 (=1)
28= 59-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅31 +10⋅(59 -1⋅ 31)
= -9⋅31 +10⋅59 -10⋅ 31)
= 10⋅59 -19⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(59,31)=1 = 10⋅59 -19⋅31

oder wenn man 10⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅59 = -19⋅31

-19⋅31 = -10⋅59 + 1 |+59⋅31

-19⋅31 + 59⋅31 = -10⋅59 + 59⋅31 + 1

(-19 + 59) ⋅ 31 = (-10 + 31) ⋅ 59 + 1

40⋅31 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 40⋅31 = 21⋅59 +1

Somit 40⋅31 = 1 mod 59

40 ist also das Inverse von 31 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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