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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29995 + 6000) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29995 + 6000) mod 6 ≡ (29995 mod 6 + 6000 mod 6) mod 6.

29995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29995 = 30000-5 = 6 ⋅ 5000 -5 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 1.

6000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 6 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(29995 + 6000) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 50) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 50) mod 9 ≡ (15 mod 9 ⋅ 50 mod 9) mod 9.

15 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 9 + 6 = 1 ⋅ 9 + 6 ist.

50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 50) mod 9 ≡ (6 ⋅ 5) mod 9 ≡ 30 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5188 mod 643.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 518 -> x
2. mod(x²,643) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5181=518

2: 5182=5181+1=5181⋅5181 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 193 mod 643

4: 5184=5182+2=5182⋅5182 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 598 mod 643

8: 5188=5184+4=5184⋅5184 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 96 mod 643

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24060 mod 257.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:

60 = 32+16+8+4

1: 2401=240

2: 2402=2401+1=2401⋅2401 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 32 mod 257

4: 2404=2402+2=2402⋅2402 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 253 mod 257

8: 2408=2404+4=2404⋅2404 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257

16: 24016=2408+8=2408⋅2408 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257

32: 24032=24016+16=24016⋅24016 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 1 mod 257

24060

= 24032+16+8+4

= 24032⋅24016⋅2408⋅2404

≡ 1 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 253 mod 257
≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 253 mod 257
≡ 4096 ⋅ 253 mod 257 ≡ 241 ⋅ 253 mod 257
≡ 60973 mod 257 ≡ 64 mod 257

Es gilt also: 24060 ≡ 64 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 38

=>53 = 1⋅38 + 15
=>38 = 2⋅15 + 8
=>15 = 1⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8)
= -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 38-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +2⋅(38 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅38 -4⋅ 15)
= 2⋅38 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅38 -5⋅(53 -1⋅ 38)
= 2⋅38 -5⋅53 +5⋅ 38)
= -5⋅53 +7⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(53,38)=1 = -5⋅53 +7⋅38

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +7⋅38

Es gilt also: 7⋅38 = 5⋅53 +1

Somit 7⋅38 = 1 mod 53

7 ist also das Inverse von 38 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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