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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (797 - 4001) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(797 - 4001) mod 8 ≡ (797 mod 8 - 4001 mod 8) mod 8.

797 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 797 = 800-3 = 8 ⋅ 100 -3 = 8 ⋅ 100 - 8 + 5.

4001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4001 = 4000+1 = 8 ⋅ 500 +1.

Somit gilt:

(797 - 4001) mod 8 ≡ (5 - 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 96) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 96) mod 11 ≡ (93 mod 11 ⋅ 96 mod 11) mod 11.

93 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 8 ⋅ 11 + 5 ist.

96 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 88 + 8 = 8 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 96) mod 11 ≡ (5 ⋅ 8) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33332 mod 727.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 333 -> x
2. mod(x²,727) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3331=333

2: 3332=3331+1=3331⋅3331 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 385 mod 727

4: 3334=3332+2=3332⋅3332 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 644 mod 727

8: 3338=3334+4=3334⋅3334 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 346 mod 727

16: 33316=3338+8=3338⋅3338 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 488 mod 727

32: 33332=33316+16=33316⋅33316 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 415 mod 727

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 337114 mod 859.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:

114 = 64+32+16+2

1: 3371=337

2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 181 mod 859

4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 119 mod 859

8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 417 mod 859

16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 371 mod 859

32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 201 mod 859

64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 28 mod 859

337114

= 33764+32+16+2

= 33764⋅33732⋅33716⋅3372

≡ 28 ⋅ 201 ⋅ 371 ⋅ 181 mod 859
≡ 5628 ⋅ 371 ⋅ 181 mod 859 ≡ 474 ⋅ 371 ⋅ 181 mod 859
≡ 175854 ⋅ 181 mod 859 ≡ 618 ⋅ 181 mod 859
≡ 111858 mod 859 ≡ 188 mod 859

Es gilt also: 337114 ≡ 188 mod 859

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.

Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76

=>89 = 1⋅76 + 13
=>76 = 5⋅13 + 11
=>13 = 1⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,76)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11)
= -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 76-5⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13)
= 6⋅76 -35⋅ 13 (=1)
13= 89-1⋅76 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76)
= -35⋅89 +41⋅ 76 (=1)

Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76

oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +35⋅89 = +41⋅76

Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1

Somit 41⋅76 = 1 mod 89

41 ist also das Inverse von 76 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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