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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4999 - 1996) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4999 - 1996) mod 5 ≡ (4999 mod 5 - 1996 mod 5) mod 5.

4999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4999 = 4000+999 = 5 ⋅ 800 +999.

1996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996 = 1900+96 = 5 ⋅ 380 +96.

Somit gilt:

(4999 - 1996) mod 5 ≡ (4 - 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 36) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 36) mod 10 ≡ (83 mod 10 ⋅ 36 mod 10) mod 10.

83 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 8 ⋅ 10 + 3 ist.

36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 36) mod 10 ≡ (3 ⋅ 6) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 796⁶⁴ mod 859.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 796 -> x
2. mod(x²,859) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 796¹=796

2: 796²=796¹⁺¹=796¹⋅796¹ ≡ 796⋅796=633616 ≡ 533 mod 859

4: 796⁴=796²⁺²=796²⋅796² ≡ 533⋅533=284089 ≡ 619 mod 859

8: 796⁸=796⁴⁺⁴=796⁴⋅796⁴ ≡ 619⋅619=383161 ≡ 47 mod 859

16: 796¹⁶=796⁸⁺⁸=796⁸⋅796⁸ ≡ 47⋅47=2209 ≡ 491 mod 859

32: 796³²=796¹⁶⁺¹⁶=796¹⁶⋅796¹⁶ ≡ 491⋅491=241081 ≡ 561 mod 859

64: 796⁶⁴=796³²⁺³²=796³²⋅796³² ≡ 561⋅561=314721 ≡ 327 mod 859

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 578²²⁷ mod 857.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

1: 578¹=578

2: 578²=578¹⁺¹=578¹⋅578¹ ≡ 578⋅578=334084 ≡ 711 mod 857

4: 578⁴=578²⁺²=578²⋅578² ≡ 711⋅711=505521 ≡ 748 mod 857

8: 578⁸=578⁴⁺⁴=578⁴⋅578⁴ ≡ 748⋅748=559504 ≡ 740 mod 857

16: 578¹⁶=578⁸⁺⁸=578⁸⋅578⁸ ≡ 740⋅740=547600 ≡ 834 mod 857

32: 578³²=578¹⁶⁺¹⁶=578¹⁶⋅578¹⁶ ≡ 834⋅834=695556 ≡ 529 mod 857

64: 578⁶⁴=578³²⁺³²=578³²⋅578³² ≡ 529⋅529=279841 ≡ 459 mod 857

128: 578¹²⁸=578⁶⁴⁺⁶⁴=578⁶⁴⋅578⁶⁴ ≡ 459⋅459=210681 ≡ 716 mod 857

578²²⁷

= 578^{128+64+32+2+1}

= 578¹²⁸⋅578⁶⁴⋅578³²⋅578²⋅578¹

≡ 716 ⋅ 459 ⋅ 529 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
≡ 328644 ⋅ 529 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857 ≡ 413 ⋅ 529 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
≡ 218477 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857 ≡ 799 ⋅ 711 ⋅ 578 mod 857
≡ 568089 ⋅ 578 mod 857 ≡ 755 ⋅ 578 mod 857
≡ 436390 mod 857 ≡ 177 mod 857

Es gilt also: 578²²⁷ ≡ 177 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 38

=>101	= 2⋅38 + 25
=>38	= 1⋅25 + 13
=>25	= 1⋅13 + 12
=>13	= 1⋅12 + 1
=>12	= 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 25-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -1⋅(25 -1⋅ 13) = 1⋅13 -1⋅25 +1⋅ 13) = -1⋅25 +2⋅ 13 (=1)
13= 38-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅25 +2⋅(38 -1⋅ 25) = -1⋅25 +2⋅38 -2⋅ 25) = 2⋅38 -3⋅ 25 (=1)
25= 101-2⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅38 -3⋅(101 -2⋅ 38) = 2⋅38 -3⋅101 +6⋅ 38) = -3⋅101 +8⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(101,38)=1 = -3⋅101 +8⋅38

oder wenn man -3⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅101 = +8⋅38

Es gilt also: 8⋅38 = 3⋅101 +1

Somit 8⋅38 = 1 mod 101

8 ist also das Inverse von 38 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 38

Schlüsselpaar für RSA