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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 + 444) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 + 444) mod 9 ≡ (87 mod 9 + 444 mod 9) mod 9.

87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 90-3 = 9 ⋅ 10 -3 = 9 ⋅ 10 - 9 + 6.

444 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 444 = 450-6 = 9 ⋅ 50 -6 = 9 ⋅ 50 - 9 + 3.

Somit gilt:

(87 + 444) mod 9 ≡ (6 + 3) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 38) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 38) mod 3 ≡ (95 mod 3 ⋅ 38 mod 3) mod 3.

95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.

38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 38) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 59164 mod 787.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 591 -> x
2. mod(x²,787) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5911=591

2: 5912=5911+1=5911⋅5911 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 640 mod 787

4: 5914=5912+2=5912⋅5912 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 360 mod 787

8: 5918=5914+4=5914⋅5914 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 532 mod 787

16: 59116=5918+8=5918⋅5918 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 491 mod 787

32: 59132=59116+16=59116⋅59116 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 259 mod 787

64: 59164=59132+32=59132⋅59132 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 186 mod 787

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 369251 mod 397.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

1: 3691=369

2: 3692=3691+1=3691⋅3691 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 387 mod 397

4: 3694=3692+2=3692⋅3692 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 100 mod 397

8: 3698=3694+4=3694⋅3694 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 75 mod 397

16: 36916=3698+8=3698⋅3698 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 67 mod 397

32: 36932=36916+16=36916⋅36916 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 122 mod 397

64: 36964=36932+32=36932⋅36932 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 195 mod 397

128: 369128=36964+64=36964⋅36964 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 310 mod 397

369251

= 369128+64+32+16+8+2+1

= 369128⋅36964⋅36932⋅36916⋅3698⋅3692⋅3691

310 ⋅ 195 ⋅ 122 ⋅ 67 ⋅ 75 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397
60450 ⋅ 122 ⋅ 67 ⋅ 75 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397 ≡ 106 ⋅ 122 ⋅ 67 ⋅ 75 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397
12932 ⋅ 67 ⋅ 75 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397 ≡ 228 ⋅ 67 ⋅ 75 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397
15276 ⋅ 75 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397 ≡ 190 ⋅ 75 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397
14250 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397 ≡ 355 ⋅ 387 ⋅ 369 mod 397
137385 ⋅ 369 mod 397 ≡ 23 ⋅ 369 mod 397
8487 mod 397 ≡ 150 mod 397

Es gilt also: 369251 ≡ 150 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41

=>53 = 1⋅41 + 12
=>41 = 3⋅12 + 5
=>12 = 2⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5)
= -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 41-3⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12)
= 5⋅41 -17⋅ 12 (=1)
12= 53-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41)
= 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41)
= -17⋅53 +22⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41

oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅53 = +22⋅41

Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1

Somit 22⋅41 = 1 mod 53

22 ist also das Inverse von 41 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.