nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4000 + 163) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4000 + 163) mod 4 ≡ (4000 mod 4 + 163 mod 4) mod 4.

4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 4 ⋅ 1000 +0.

163 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 163 = 160+3 = 4 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(4000 + 163) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 30) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 30) mod 8 ≡ (57 mod 8 ⋅ 30 mod 8) mod 8.

57 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 7 ⋅ 8 + 1 ist.

30 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 24 + 6 = 3 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 30) mod 8 ≡ (1 ⋅ 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 61532 mod 829.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 615 -> x
2. mod(x²,829) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6151=615

2: 6152=6151+1=6151⋅6151 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 201 mod 829

4: 6154=6152+2=6152⋅6152 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 609 mod 829

8: 6158=6154+4=6154⋅6154 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 318 mod 829

16: 61516=6158+8=6158⋅6158 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 815 mod 829

32: 61532=61516+16=61516⋅61516 ≡ 815⋅815=664225 ≡ 196 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 145157 mod 227.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 157 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 157 an und zerlegen 157 in eine Summer von 2er-Potenzen:

157 = 128+16+8+4+1

1: 1451=145

2: 1452=1451+1=1451⋅1451 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 141 mod 227

4: 1454=1452+2=1452⋅1452 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 132 mod 227

8: 1458=1454+4=1454⋅1454 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 172 mod 227

16: 14516=1458+8=1458⋅1458 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 74 mod 227

32: 14532=14516+16=14516⋅14516 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 28 mod 227

64: 14564=14532+32=14532⋅14532 ≡ 28⋅28=784 ≡ 103 mod 227

128: 145128=14564+64=14564⋅14564 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 167 mod 227

145157

= 145128+16+8+4+1

= 145128⋅14516⋅1458⋅1454⋅1451

≡ 167 ⋅ 74 ⋅ 172 ⋅ 132 ⋅ 145 mod 227
≡ 12358 ⋅ 172 ⋅ 132 ⋅ 145 mod 227 ≡ 100 ⋅ 172 ⋅ 132 ⋅ 145 mod 227
≡ 17200 ⋅ 132 ⋅ 145 mod 227 ≡ 175 ⋅ 132 ⋅ 145 mod 227
≡ 23100 ⋅ 145 mod 227 ≡ 173 ⋅ 145 mod 227
≡ 25085 mod 227 ≡ 115 mod 227

Es gilt also: 145157 ≡ 115 mod 227

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 78.

Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 78

=>83 = 1⋅78 + 5
=>78 = 15⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,78)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 78-15⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(78 -15⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅78 -30⋅ 5)
= 2⋅78 -31⋅ 5 (=1)
5= 83-1⋅78 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅78 -31⋅(83 -1⋅ 78)
= 2⋅78 -31⋅83 +31⋅ 78)
= -31⋅83 +33⋅ 78 (=1)

Es gilt also: ggt(83,78)=1 = -31⋅83 +33⋅78

oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅83 = +33⋅78

Es gilt also: 33⋅78 = 31⋅83 +1

Somit 33⋅78 = 1 mod 83

33 ist also das Inverse von 78 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden