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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (187 + 177) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(187 + 177) mod 9 ≡ (187 mod 9 + 177 mod 9) mod 9.
187 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 187
= 180
177 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177
= 180
Somit gilt:
(187 + 177) mod 9 ≡ (7 + 6) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 77) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 77) mod 7 ≡ (33 mod 7 ⋅ 77 mod 7) mod 7.
33 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 28 + 5 = 4 ⋅ 7 + 5 ist.
77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 11 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 77) mod 7 ≡ (5 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18016 mod 239.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 180 -> x
2. mod(x²,239) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1801=180
2: 1802=1801+1=1801⋅1801 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 135 mod 239
4: 1804=1802+2=1802⋅1802 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 61 mod 239
8: 1808=1804+4=1804⋅1804 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 136 mod 239
16: 18016=1808+8=1808⋅1808 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 93 mod 239
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 149152 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:
152 = 128+16+8
1: 1491=149
2: 1492=1491+1=1491⋅1491 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 302 mod 359
4: 1494=1492+2=1492⋅1492 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 18 mod 359
8: 1498=1494+4=1494⋅1494 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 359
16: 14916=1498+8=1498⋅1498 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 148 mod 359
32: 14932=14916+16=14916⋅14916 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 5 mod 359
64: 14964=14932+32=14932⋅14932 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 359
128: 149128=14964+64=14964⋅14964 ≡ 25⋅25=625 ≡ 266 mod 359
149152
= 149128+16+8
= 149128⋅14916⋅1498
≡ 266 ⋅ 148 ⋅ 324 mod 359
≡ 39368 ⋅ 324 mod 359 ≡ 237 ⋅ 324 mod 359
≡ 76788 mod 359 ≡ 321 mod 359
Es gilt also: 149152 ≡ 321 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54
| =>71 | = 1⋅54 + 17 |
| =>54 | = 3⋅17 + 3 |
| =>17 | = 5⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 17-5⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3) = -1⋅17 +6⋅ 3 (=1) |
| 3= 54-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17) = 6⋅54 -19⋅ 17 (=1) |
| 17= 71-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54) = -19⋅71 +25⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54
oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅71 = +25⋅54
Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1
Somit 25⋅54 = 1 mod 71
25 ist also das Inverse von 54 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.