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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (400 + 7996) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(400 + 7996) mod 4 ≡ (400 mod 4 + 7996 mod 4) mod 4.

400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 4 ⋅ 100 +0.

7996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996 = 7000+996 = 4 ⋅ 1750 +996.

Somit gilt:

(400 + 7996) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 39) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 39) mod 9 ≡ (53 mod 9 ⋅ 39 mod 9) mod 9.

53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.

39 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 4 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 39) mod 9 ≡ (8 ⋅ 3) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50932 mod 601.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 509 -> x
2. mod(x²,601) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5091=509

2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 50 mod 601

4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 96 mod 601

8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 201 mod 601

16: 50916=5098+8=5098⋅5098 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 134 mod 601

32: 50932=50916+16=50916⋅50916 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 527 mod 601

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 267114 mod 373.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:

114 = 64+32+16+2

1: 2671=267

2: 2672=2671+1=2671⋅2671 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 46 mod 373

4: 2674=2672+2=2672⋅2672 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 251 mod 373

8: 2678=2674+4=2674⋅2674 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 337 mod 373

16: 26716=2678+8=2678⋅2678 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 177 mod 373

32: 26732=26716+16=26716⋅26716 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 370 mod 373

64: 26764=26732+32=26732⋅26732 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 9 mod 373

267114

= 26764+32+16+2

= 26764⋅26732⋅26716⋅2672

≡ 9 ⋅ 370 ⋅ 177 ⋅ 46 mod 373
≡ 3330 ⋅ 177 ⋅ 46 mod 373 ≡ 346 ⋅ 177 ⋅ 46 mod 373
≡ 61242 ⋅ 46 mod 373 ≡ 70 ⋅ 46 mod 373
≡ 3220 mod 373 ≡ 236 mod 373

Es gilt also: 267114 ≡ 236 mod 373

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 29

=>71 = 2⋅29 + 13
=>29 = 2⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13)
= -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅29 +9⋅(71 -2⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅71 -18⋅ 29)
= 9⋅71 -22⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(71,29)=1 = 9⋅71 -22⋅29

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -22⋅29

-22⋅29 = -9⋅71 + 1 |+71⋅29

-22⋅29 + 71⋅29 = -9⋅71 + 71⋅29 + 1

(-22 + 71) ⋅ 29 = (-9 + 29) ⋅ 71 + 1

49⋅29 = 20⋅71 + 1

Es gilt also: 49⋅29 = 20⋅71 +1

Somit 49⋅29 = 1 mod 71

49 ist also das Inverse von 29 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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