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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30005 + 295) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30005 + 295) mod 6 ≡ (30005 mod 6 + 295 mod 6) mod 6.
30005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30005
= 30000
295 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 295
= 300
Somit gilt:
(30005 + 295) mod 6 ≡ (5 + 1) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 47) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 47) mod 8 ≡ (33 mod 8 ⋅ 47 mod 8) mod 8.
33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.
47 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 5 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 47) mod 8 ≡ (1 ⋅ 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62532 mod 1009.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 625 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6251=625
2: 6252=6251+1=6251⋅6251 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 142 mod 1009
4: 6254=6252+2=6252⋅6252 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 993 mod 1009
8: 6258=6254+4=6254⋅6254 ≡ 993⋅993=986049 ≡ 256 mod 1009
16: 62516=6258+8=6258⋅6258 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 960 mod 1009
32: 62532=62516+16=62516⋅62516 ≡ 960⋅960=921600 ≡ 383 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 225146 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 146 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 146 an und zerlegen 146 in eine Summer von 2er-Potenzen:
146 = 128+16+2
1: 2251=225
2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 53 mod 269
4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 119 mod 269
8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 173 mod 269
16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 70 mod 269
32: 22532=22516+16=22516⋅22516 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 58 mod 269
64: 22564=22532+32=22532⋅22532 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 136 mod 269
128: 225128=22564+64=22564⋅22564 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 204 mod 269
225146
= 225128+16+2
= 225128⋅22516⋅2252
≡ 204 ⋅ 70 ⋅ 53 mod 269
≡ 14280 ⋅ 53 mod 269 ≡ 23 ⋅ 53 mod 269
≡ 1219 mod 269 ≡ 143 mod 269
Es gilt also: 225146 ≡ 143 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47
| =>53 | = 1⋅47 + 6 |
| =>47 | = 7⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 47-7⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6) = -1⋅47 +8⋅ 6 (=1) |
| 6= 53-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47) = 8⋅53 -9⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47
oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅53 = -9⋅47
-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47
-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1
(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1
44⋅47 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1
Somit 44⋅47 = 1 mod 53
44 ist also das Inverse von 47 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.