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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30003 - 1203) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30003 - 1203) mod 6 ≡ (30003 mod 6 - 1203 mod 6) mod 6.
30003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30003
= 30000
1203 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203
= 1200
Somit gilt:
(30003 - 1203) mod 6 ≡ (3 - 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 60) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 60) mod 10 ≡ (44 mod 10 ⋅ 60 mod 10) mod 10.
44 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 4 ⋅ 10 + 4 ist.
60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 60) mod 10 ≡ (4 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23664 mod 601.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2361=236
2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 404 mod 601
4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 345 mod 601
8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 27 mod 601
16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 27⋅27=729 ≡ 128 mod 601
32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 157 mod 601
64: 23664=23632+32=23632⋅23632 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 8 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23399 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:
99 = 64+32+2+1
1: 2331=233
2: 2332=2331+1=2331⋅2331 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 285 mod 587
4: 2334=2332+2=2332⋅2332 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 219 mod 587
8: 2338=2334+4=2334⋅2334 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 414 mod 587
16: 23316=2338+8=2338⋅2338 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 579 mod 587
32: 23332=23316+16=23316⋅23316 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 64 mod 587
64: 23364=23332+32=23332⋅23332 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 574 mod 587
23399
= 23364+32+2+1
= 23364⋅23332⋅2332⋅2331
≡ 574 ⋅ 64 ⋅ 285 ⋅ 233 mod 587
≡ 36736 ⋅ 285 ⋅ 233 mod 587 ≡ 342 ⋅ 285 ⋅ 233 mod 587
≡ 97470 ⋅ 233 mod 587 ≡ 28 ⋅ 233 mod 587
≡ 6524 mod 587 ≡ 67 mod 587
Es gilt also: 23399 ≡ 67 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 47
| =>59 | = 1⋅47 + 12 |
| =>47 | = 3⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 47-3⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(47 -3⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅47 +3⋅ 12) = -1⋅47 +4⋅ 12 (=1) |
| 12= 59-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +4⋅(59 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +4⋅59 -4⋅ 47) = 4⋅59 -5⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,47)=1 = 4⋅59 -5⋅47
oder wenn man 4⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅59 = -5⋅47
-5⋅47 = -4⋅59 + 1 |+59⋅47
-5⋅47 + 59⋅47 = -4⋅59 + 59⋅47 + 1
(-5 + 59) ⋅ 47 = (-4 + 47) ⋅ 59 + 1
54⋅47 = 43⋅59 + 1
Es gilt also: 54⋅47 = 43⋅59 +1
Somit 54⋅47 = 1 mod 59
54 ist also das Inverse von 47 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
