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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (173 - 445) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(173 - 445) mod 9 ≡ (173 mod 9 - 445 mod 9) mod 9.
173 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 173
= 180
445 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 445
= 450
Somit gilt:
(173 - 445) mod 9 ≡ (2 - 4) mod 9 ≡ -2 mod 9 ≡ 7 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 77) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 77) mod 8 ≡ (62 mod 8 ⋅ 77 mod 8) mod 8.
62 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 7 ⋅ 8 + 6 ist.
77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 77) mod 8 ≡ (6 ⋅ 5) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57216 mod 809.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 572 -> x
2. mod(x²,809) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5721=572
2: 5722=5721+1=5721⋅5721 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 348 mod 809
4: 5724=5722+2=5722⋅5722 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 563 mod 809
8: 5728=5724+4=5724⋅5724 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 650 mod 809
16: 57216=5728+8=5728⋅5728 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 202 mod 809
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 392219 mod 599.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:
219 = 128+64+16+8+2+1
1: 3921=392
2: 3922=3921+1=3921⋅3921 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 320 mod 599
4: 3924=3922+2=3922⋅3922 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 570 mod 599
8: 3928=3924+4=3924⋅3924 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 242 mod 599
16: 39216=3928+8=3928⋅3928 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 461 mod 599
32: 39232=39216+16=39216⋅39216 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 475 mod 599
64: 39264=39232+32=39232⋅39232 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 401 mod 599
128: 392128=39264+64=39264⋅39264 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 269 mod 599
392219
= 392128+64+16+8+2+1
= 392128⋅39264⋅39216⋅3928⋅3922⋅3921
≡ 269 ⋅ 401 ⋅ 461 ⋅ 242 ⋅ 320 ⋅ 392 mod 599
≡ 107869 ⋅ 461 ⋅ 242 ⋅ 320 ⋅ 392 mod 599 ≡ 49 ⋅ 461 ⋅ 242 ⋅ 320 ⋅ 392 mod 599
≡ 22589 ⋅ 242 ⋅ 320 ⋅ 392 mod 599 ≡ 426 ⋅ 242 ⋅ 320 ⋅ 392 mod 599
≡ 103092 ⋅ 320 ⋅ 392 mod 599 ≡ 64 ⋅ 320 ⋅ 392 mod 599
≡ 20480 ⋅ 392 mod 599 ≡ 114 ⋅ 392 mod 599
≡ 44688 mod 599 ≡ 362 mod 599
Es gilt also: 392219 ≡ 362 mod 599
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 58
| =>97 | = 1⋅58 + 39 |
| =>58 | = 1⋅39 + 19 |
| =>39 | = 2⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 39-2⋅19 | |||
| 19= 58-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅39 -2⋅(58 -1⋅ 39)
= 1⋅39 -2⋅58 +2⋅ 39) = -2⋅58 +3⋅ 39 (=1) |
| 39= 97-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +3⋅(97 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +3⋅97 -3⋅ 58) = 3⋅97 -5⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,58)=1 = 3⋅97 -5⋅58
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -5⋅58
-5⋅58 = -3⋅97 + 1 |+97⋅58
-5⋅58 + 97⋅58 = -3⋅97 + 97⋅58 + 1
(-5 + 97) ⋅ 58 = (-3 + 58) ⋅ 97 + 1
92⋅58 = 55⋅97 + 1
Es gilt also: 92⋅58 = 55⋅97 +1
Somit 92⋅58 = 1 mod 97
92 ist also das Inverse von 58 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
