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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1500 - 2503) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1500 - 2503) mod 5 ≡ (1500 mod 5 - 2503 mod 5) mod 5.

1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 5 ⋅ 300 +0.

2503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2503 = 2500+3 = 5 ⋅ 500 +3.

Somit gilt:

(1500 - 2503) mod 5 ≡ (0 - 3) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 18) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 18) mod 3 ≡ (34 mod 3 ⋅ 18 mod 3) mod 3.

34 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 11 ⋅ 3 + 1 ist.

18 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 6 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 18) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 679¹²⁸ mod 823.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 679 -> x
2. mod(x²,823) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 679¹=679

2: 679²=679¹⁺¹=679¹⋅679¹ ≡ 679⋅679=461041 ≡ 161 mod 823

4: 679⁴=679²⁺²=679²⋅679² ≡ 161⋅161=25921 ≡ 408 mod 823

8: 679⁸=679⁴⁺⁴=679⁴⋅679⁴ ≡ 408⋅408=166464 ≡ 218 mod 823

16: 679¹⁶=679⁸⁺⁸=679⁸⋅679⁸ ≡ 218⋅218=47524 ≡ 613 mod 823

32: 679³²=679¹⁶⁺¹⁶=679¹⁶⋅679¹⁶ ≡ 613⋅613=375769 ≡ 481 mod 823

64: 679⁶⁴=679³²⁺³²=679³²⋅679³² ≡ 481⋅481=231361 ≡ 98 mod 823

128: 679¹²⁸=679⁶⁴⁺⁶⁴=679⁶⁴⋅679⁶⁴ ≡ 98⋅98=9604 ≡ 551 mod 823

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 854²³¹ mod 929.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

1: 854¹=854

2: 854²=854¹⁺¹=854¹⋅854¹ ≡ 854⋅854=729316 ≡ 51 mod 929

4: 854⁴=854²⁺²=854²⋅854² ≡ 51⋅51=2601 ≡ 743 mod 929

8: 854⁸=854⁴⁺⁴=854⁴⋅854⁴ ≡ 743⋅743=552049 ≡ 223 mod 929

16: 854¹⁶=854⁸⁺⁸=854⁸⋅854⁸ ≡ 223⋅223=49729 ≡ 492 mod 929

32: 854³²=854¹⁶⁺¹⁶=854¹⁶⋅854¹⁶ ≡ 492⋅492=242064 ≡ 524 mod 929

64: 854⁶⁴=854³²⁺³²=854³²⋅854³² ≡ 524⋅524=274576 ≡ 521 mod 929

128: 854¹²⁸=854⁶⁴⁺⁶⁴=854⁶⁴⋅854⁶⁴ ≡ 521⋅521=271441 ≡ 173 mod 929

854²³¹

= 854^{128+64+32+4+2+1}

= 854¹²⁸⋅854⁶⁴⋅854³²⋅854⁴⋅854²⋅854¹

≡ 173 ⋅ 521 ⋅ 524 ⋅ 743 ⋅ 51 ⋅ 854 mod 929
≡ 90133 ⋅ 524 ⋅ 743 ⋅ 51 ⋅ 854 mod 929 ≡ 20 ⋅ 524 ⋅ 743 ⋅ 51 ⋅ 854 mod 929
≡ 10480 ⋅ 743 ⋅ 51 ⋅ 854 mod 929 ≡ 261 ⋅ 743 ⋅ 51 ⋅ 854 mod 929
≡ 193923 ⋅ 51 ⋅ 854 mod 929 ≡ 691 ⋅ 51 ⋅ 854 mod 929
≡ 35241 ⋅ 854 mod 929 ≡ 868 ⋅ 854 mod 929
≡ 741272 mod 929 ≡ 859 mod 929

Es gilt also: 854²³¹ ≡ 859 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32

=>73	= 2⋅32 + 9
=>32	= 3⋅9 + 5
=>9	= 1⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 9-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1)
5= 32-3⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9) = -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9) = 2⋅32 -7⋅ 9 (=1)
9= 73-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32) = 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32) = -7⋅73 +16⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32

oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅73 = +16⋅32

Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1

Somit 16⋅32 = 1 mod 73

16 ist also das Inverse von 32 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32

Schlüsselpaar für RSA