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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (319 - 3992) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(319 - 3992) mod 8 ≡ (319 mod 8 - 3992 mod 8) mod 8.

319 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 319 = 320-1 = 8 ⋅ 40 -1 = 8 ⋅ 40 - 8 + 7.

3992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3992 = 4000-8 = 8 ⋅ 500 -8 = 8 ⋅ 500 - 8 + 0.

Somit gilt:

(319 - 3992) mod 8 ≡ (7 - 0) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 61) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 61) mod 4 ≡ (30 mod 4 ⋅ 61 mod 4) mod 4.

30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.

61 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 15 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 61) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 236³² mod 269.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,269) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 236¹=236

2: 236²=236¹⁺¹=236¹⋅236¹ ≡ 236⋅236=55696 ≡ 13 mod 269

4: 236⁴=236²⁺²=236²⋅236² ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 269

8: 236⁸=236⁴⁺⁴=236⁴⋅236⁴ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 47 mod 269

16: 236¹⁶=236⁸⁺⁸=236⁸⋅236⁸ ≡ 47⋅47=2209 ≡ 57 mod 269

32: 236³²=236¹⁶⁺¹⁶=236¹⁶⋅236¹⁶ ≡ 57⋅57=3249 ≡ 21 mod 269

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 696²⁰⁹ mod 953.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:

209 = 128+64+16+1

1: 696¹=696

2: 696²=696¹⁺¹=696¹⋅696¹ ≡ 696⋅696=484416 ≡ 292 mod 953

4: 696⁴=696²⁺²=696²⋅696² ≡ 292⋅292=85264 ≡ 447 mod 953

8: 696⁸=696⁴⁺⁴=696⁴⋅696⁴ ≡ 447⋅447=199809 ≡ 632 mod 953

16: 696¹⁶=696⁸⁺⁸=696⁸⋅696⁸ ≡ 632⋅632=399424 ≡ 117 mod 953

32: 696³²=696¹⁶⁺¹⁶=696¹⁶⋅696¹⁶ ≡ 117⋅117=13689 ≡ 347 mod 953

64: 696⁶⁴=696³²⁺³²=696³²⋅696³² ≡ 347⋅347=120409 ≡ 331 mod 953

128: 696¹²⁸=696⁶⁴⁺⁶⁴=696⁶⁴⋅696⁶⁴ ≡ 331⋅331=109561 ≡ 919 mod 953

696²⁰⁹

= 696^128+64+16+1

= 696¹²⁸⋅696⁶⁴⋅696¹⁶⋅696¹

≡ 919 ⋅ 331 ⋅ 117 ⋅ 696 mod 953
≡ 304189 ⋅ 117 ⋅ 696 mod 953 ≡ 182 ⋅ 117 ⋅ 696 mod 953
≡ 21294 ⋅ 696 mod 953 ≡ 328 ⋅ 696 mod 953
≡ 228288 mod 953 ≡ 521 mod 953

Es gilt also: 696²⁰⁹ ≡ 521 mod 953

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53	= 1⋅42 + 11
=>42	= 3⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42) = 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

Schlüsselpaar für RSA