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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2802 + 274) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2802 + 274) mod 7 ≡ (2802 mod 7 + 274 mod 7) mod 7.
2802 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2802
= 2800
274 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 274
= 280
Somit gilt:
(2802 + 274) mod 7 ≡ (2 + 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 31) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39 ⋅ 31) mod 5 ≡ (39 mod 5 ⋅ 31 mod 5) mod 5.
39 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 7 ⋅ 5 + 4 ist.
31 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 6 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(39 ⋅ 31) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15764 mod 229.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 157 -> x
2. mod(x²,229) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1571=157
2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 146 mod 229
4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 19 mod 229
8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 19⋅19=361 ≡ 132 mod 229
16: 15716=1578+8=1578⋅1578 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 20 mod 229
32: 15732=15716+16=15716⋅15716 ≡ 20⋅20=400 ≡ 171 mod 229
64: 15764=15732+32=15732⋅15732 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 158 mod 229
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28498 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 98 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 98 an und zerlegen 98 in eine Summer von 2er-Potenzen:
98 = 64+32+2
1: 2841=284
2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 353 mod 613
4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 170 mod 613
8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 89 mod 613
16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 565 mod 613
32: 28432=28416+16=28416⋅28416 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 465 mod 613
64: 28464=28432+32=28432⋅28432 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 449 mod 613
28498
= 28464+32+2
= 28464⋅28432⋅2842
≡ 449 ⋅ 465 ⋅ 353 mod 613
≡ 208785 ⋅ 353 mod 613 ≡ 365 ⋅ 353 mod 613
≡ 128845 mod 613 ≡ 115 mod 613
Es gilt also: 28498 ≡ 115 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 31
| =>101 | = 3⋅31 + 8 |
| =>31 | = 3⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 31-3⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1) |
| 8= 101-3⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +4⋅(101 -3⋅ 31)
= -1⋅31 +4⋅101 -12⋅ 31) = 4⋅101 -13⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,31)=1 = 4⋅101 -13⋅31
oder wenn man 4⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅101 = -13⋅31
-13⋅31 = -4⋅101 + 1 |+101⋅31
-13⋅31 + 101⋅31 = -4⋅101 + 101⋅31 + 1
(-13 + 101) ⋅ 31 = (-4 + 31) ⋅ 101 + 1
88⋅31 = 27⋅101 + 1
Es gilt also: 88⋅31 = 27⋅101 +1
Somit 88⋅31 = 1 mod 101
88 ist also das Inverse von 31 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.