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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (13995 + 144) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13995 + 144) mod 7 ≡ (13995 mod 7 + 144 mod 7) mod 7.

13995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13995 = 14000-5 = 7 ⋅ 2000 -5 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 2.

144 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 144 = 140+4 = 7 ⋅ 20 +4.

Somit gilt:

(13995 + 144) mod 7 ≡ (2 + 4) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 55) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 55) mod 11 ≡ (50 mod 11 ⋅ 55 mod 11) mod 11.

50 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 44 + 6 = 4 ⋅ 11 + 6 ist.

55 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 5 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 55) mod 11 ≡ (6 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 67032 mod 709.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 670 -> x
2. mod(x²,709) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6701=670

2: 6702=6701+1=6701⋅6701 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 103 mod 709

4: 6704=6702+2=6702⋅6702 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 683 mod 709

8: 6708=6704+4=6704⋅6704 ≡ 683⋅683=466489 ≡ 676 mod 709

16: 67016=6708+8=6708⋅6708 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 380 mod 709

32: 67032=67016+16=67016⋅67016 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 473 mod 709

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 455115 mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:

115 = 64+32+16+2+1

1: 4551=455

2: 4552=4551+1=4551⋅4551 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 50 mod 487

4: 4554=4552+2=4552⋅4552 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 65 mod 487

8: 4558=4554+4=4554⋅4554 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 329 mod 487

16: 45516=4558+8=4558⋅4558 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 127 mod 487

32: 45532=45516+16=45516⋅45516 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 58 mod 487

64: 45564=45532+32=45532⋅45532 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 442 mod 487

455115

= 45564+32+16+2+1

= 45564⋅45532⋅45516⋅4552⋅4551

≡ 442 ⋅ 58 ⋅ 127 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487
≡ 25636 ⋅ 127 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487 ≡ 312 ⋅ 127 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487
≡ 39624 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487 ≡ 177 ⋅ 50 ⋅ 455 mod 487
≡ 8850 ⋅ 455 mod 487 ≡ 84 ⋅ 455 mod 487
≡ 38220 mod 487 ≡ 234 mod 487

Es gilt also: 455115 ≡ 234 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37

=>53 = 1⋅37 + 16
=>37 = 2⋅16 + 5
=>16 = 3⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 37-2⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16)
= -3⋅37 +7⋅ 16 (=1)
16= 53-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37)
= -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37)
= 7⋅53 -10⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37

oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅53 = -10⋅37

-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37

-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1

(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1

43⋅37 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1

Somit 43⋅37 = 1 mod 53

43 ist also das Inverse von 37 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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