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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 - 182) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 - 182) mod 6 ≡ (59 mod 6 - 182 mod 6) mod 6.
59 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59
= 60
182 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 182
= 180
Somit gilt:
(59 - 182) mod 6 ≡ (5 - 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 84) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 84) mod 11 ≡ (31 mod 11 ⋅ 84 mod 11) mod 11.
31 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 22 + 9 = 2 ⋅ 11 + 9 ist.
84 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 77 + 7 = 7 ⋅ 11 + 7 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 84) mod 11 ≡ (9 ⋅ 7) mod 11 ≡ 63 mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49832 mod 907.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 498 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4981=498
2: 4982=4981+1=4981⋅4981 ≡ 498⋅498=248004 ≡ 393 mod 907
4: 4984=4982+2=4982⋅4982 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 259 mod 907
8: 4988=4984+4=4984⋅4984 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 870 mod 907
16: 49816=4988+8=4988⋅4988 ≡ 870⋅870=756900 ≡ 462 mod 907
32: 49832=49816+16=49816⋅49816 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 299 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34083 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:
83 = 64+16+2+1
1: 3401=340
2: 3402=3401+1=3401⋅3401 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 2 mod 359
4: 3404=3402+2=3402⋅3402 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 359
8: 3408=3404+4=3404⋅3404 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 359
16: 34016=3408+8=3408⋅3408 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 359
32: 34032=34016+16=34016⋅34016 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 198 mod 359
64: 34064=34032+32=34032⋅34032 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 73 mod 359
34083
= 34064+16+2+1
= 34064⋅34016⋅3402⋅3401
≡ 73 ⋅ 256 ⋅ 2 ⋅ 340 mod 359
≡ 18688 ⋅ 2 ⋅ 340 mod 359 ≡ 20 ⋅ 2 ⋅ 340 mod 359
≡ 40 ⋅ 340 mod 359
≡ 13600 mod 359 ≡ 317 mod 359
Es gilt also: 34083 ≡ 317 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31
| =>73 | = 2⋅31 + 11 |
| =>31 | = 2⋅11 + 9 |
| =>11 | = 1⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 11-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 31-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11) = 5⋅31 -14⋅ 11 (=1) |
| 11= 73-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31)
= 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31) = -14⋅73 +33⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31
oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅73 = +33⋅31
Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1
Somit 33⋅31 = 1 mod 73
33 ist also das Inverse von 31 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.