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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27996 + 2798) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27996 + 2798) mod 7 ≡ (27996 mod 7 + 2798 mod 7) mod 7.

27996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27996 = 28000-4 = 7 ⋅ 4000 -4 = 7 ⋅ 4000 - 7 + 3.

2798 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2798 = 2800-2 = 7 ⋅ 400 -2 = 7 ⋅ 400 - 7 + 5.

Somit gilt:

(27996 + 2798) mod 7 ≡ (3 + 5) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 27) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 27) mod 4 ≡ (99 mod 4 ⋅ 27 mod 4) mod 4.

99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.

27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 27) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 188³² mod 257.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 188 -> x
2. mod(x²,257) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 188¹=188

2: 188²=188¹⁺¹=188¹⋅188¹ ≡ 188⋅188=35344 ≡ 135 mod 257

4: 188⁴=188²⁺²=188²⋅188² ≡ 135⋅135=18225 ≡ 235 mod 257

8: 188⁸=188⁴⁺⁴=188⁴⋅188⁴ ≡ 235⋅235=55225 ≡ 227 mod 257

16: 188¹⁶=188⁸⁺⁸=188⁸⋅188⁸ ≡ 227⋅227=51529 ≡ 129 mod 257

32: 188³²=188¹⁶⁺¹⁶=188¹⁶⋅188¹⁶ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 193 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 510¹⁹⁰ mod 881.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

1: 510¹=510

2: 510²=510¹⁺¹=510¹⋅510¹ ≡ 510⋅510=260100 ≡ 205 mod 881

4: 510⁴=510²⁺²=510²⋅510² ≡ 205⋅205=42025 ≡ 618 mod 881

8: 510⁸=510⁴⁺⁴=510⁴⋅510⁴ ≡ 618⋅618=381924 ≡ 451 mod 881

16: 510¹⁶=510⁸⁺⁸=510⁸⋅510⁸ ≡ 451⋅451=203401 ≡ 771 mod 881

32: 510³²=510¹⁶⁺¹⁶=510¹⁶⋅510¹⁶ ≡ 771⋅771=594441 ≡ 647 mod 881

64: 510⁶⁴=510³²⁺³²=510³²⋅510³² ≡ 647⋅647=418609 ≡ 134 mod 881

128: 510¹²⁸=510⁶⁴⁺⁶⁴=510⁶⁴⋅510⁶⁴ ≡ 134⋅134=17956 ≡ 336 mod 881

510¹⁹⁰

= 510^{128+32+16+8+4+2}

= 510¹²⁸⋅510³²⋅510¹⁶⋅510⁸⋅510⁴⋅510²

≡ 336 ⋅ 647 ⋅ 771 ⋅ 451 ⋅ 618 ⋅ 205 mod 881
≡ 217392 ⋅ 771 ⋅ 451 ⋅ 618 ⋅ 205 mod 881 ≡ 666 ⋅ 771 ⋅ 451 ⋅ 618 ⋅ 205 mod 881
≡ 513486 ⋅ 451 ⋅ 618 ⋅ 205 mod 881 ≡ 744 ⋅ 451 ⋅ 618 ⋅ 205 mod 881
≡ 335544 ⋅ 618 ⋅ 205 mod 881 ≡ 764 ⋅ 618 ⋅ 205 mod 881
≡ 472152 ⋅ 205 mod 881 ≡ 817 ⋅ 205 mod 881
≡ 167485 mod 881 ≡ 95 mod 881

Es gilt also: 510¹⁹⁰ ≡ 95 mod 881

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 30

=>97	= 3⋅30 + 7
=>30	= 4⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-3⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +13⋅(97 -3⋅ 30) = -3⋅30 +13⋅97 -39⋅ 30) = 13⋅97 -42⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(97,30)=1 = 13⋅97 -42⋅30

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -42⋅30

-42⋅30 = -13⋅97 + 1 |+97⋅30

-42⋅30 + 97⋅30 = -13⋅97 + 97⋅30 + 1

(-42 + 97) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 97 + 1

55⋅30 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 55⋅30 = 17⋅97 +1

Somit 55⋅30 = 1 mod 97

55 ist also das Inverse von 30 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 30

Schlüsselpaar für RSA