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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (325 + 1592) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(325 + 1592) mod 8 ≡ (325 mod 8 + 1592 mod 8) mod 8.
325 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 325
= 320
1592 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1592
= 1600
Somit gilt:
(325 + 1592) mod 8 ≡ (5 + 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 51) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 51) mod 8 ≡ (84 mod 8 ⋅ 51 mod 8) mod 8.
84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.
51 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 6 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 51) mod 8 ≡ (4 ⋅ 3) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2208 mod 311.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 220 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2201=220
2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 195 mod 311
4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 83 mod 311
8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 47 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 570188 mod 941.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:
188 = 128+32+16+8+4
1: 5701=570
2: 5702=5701+1=5701⋅5701 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 255 mod 941
4: 5704=5702+2=5702⋅5702 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 96 mod 941
8: 5708=5704+4=5704⋅5704 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 747 mod 941
16: 57016=5708+8=5708⋅5708 ≡ 747⋅747=558009 ≡ 937 mod 941
32: 57032=57016+16=57016⋅57016 ≡ 937⋅937=877969 ≡ 16 mod 941
64: 57064=57032+32=57032⋅57032 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 941
128: 570128=57064+64=57064⋅57064 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 607 mod 941
570188
= 570128+32+16+8+4
= 570128⋅57032⋅57016⋅5708⋅5704
≡ 607 ⋅ 16 ⋅ 937 ⋅ 747 ⋅ 96 mod 941
≡ 9712 ⋅ 937 ⋅ 747 ⋅ 96 mod 941 ≡ 302 ⋅ 937 ⋅ 747 ⋅ 96 mod 941
≡ 282974 ⋅ 747 ⋅ 96 mod 941 ≡ 674 ⋅ 747 ⋅ 96 mod 941
≡ 503478 ⋅ 96 mod 941 ≡ 43 ⋅ 96 mod 941
≡ 4128 mod 941 ≡ 364 mod 941
Es gilt also: 570188 ≡ 364 mod 941
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 38
| =>83 | = 2⋅38 + 7 |
| =>38 | = 5⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 38-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7) = -2⋅38 +11⋅ 7 (=1) |
| 7= 83-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅38 +11⋅(83 -2⋅ 38)
= -2⋅38 +11⋅83 -22⋅ 38) = 11⋅83 -24⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,38)=1 = 11⋅83 -24⋅38
oder wenn man 11⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅83 = -24⋅38
-24⋅38 = -11⋅83 + 1 |+83⋅38
-24⋅38 + 83⋅38 = -11⋅83 + 83⋅38 + 1
(-24 + 83) ⋅ 38 = (-11 + 38) ⋅ 83 + 1
59⋅38 = 27⋅83 + 1
Es gilt also: 59⋅38 = 27⋅83 +1
Somit 59⋅38 = 1 mod 83
59 ist also das Inverse von 38 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.