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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (600 - 181) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(600 - 181) mod 6 ≡ (600 mod 6 - 181 mod 6) mod 6.

600 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600 = 600+0 = 6 ⋅ 100 +0.

181 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181 = 180+1 = 6 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(600 - 181) mod 6 ≡ (0 - 1) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 62) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 62) mod 9 ≡ (54 mod 9 ⋅ 62 mod 9) mod 9.

54 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 6 ⋅ 9 + 0 ist.

62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 62) mod 9 ≡ (0 ⋅ 8) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2148 mod 619.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 214 -> x
2. mod(x²,619) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2141=214

2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 609 mod 619

4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 100 mod 619

8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 96 mod 619

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 280149 mod 631.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:

149 = 128+16+4+1

1: 2801=280

2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 156 mod 631

4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 358 mod 631

8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 71 mod 631

16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 624 mod 631

32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 49 mod 631

64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 508 mod 631

128: 280128=28064+64=28064⋅28064 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 616 mod 631

280149

= 280128+16+4+1

= 280128⋅28016⋅2804⋅2801

≡ 616 ⋅ 624 ⋅ 358 ⋅ 280 mod 631
≡ 384384 ⋅ 358 ⋅ 280 mod 631 ≡ 105 ⋅ 358 ⋅ 280 mod 631
≡ 37590 ⋅ 280 mod 631 ≡ 361 ⋅ 280 mod 631
≡ 101080 mod 631 ≡ 120 mod 631

Es gilt also: 280149 ≡ 120 mod 631

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 56.

Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 56

=>79 = 1⋅56 + 23
=>56 = 2⋅23 + 10
=>23 = 2⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 23-2⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10)
= -3⋅23 +7⋅ 10 (=1)
10= 56-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +7⋅(56 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅56 -14⋅ 23)
= 7⋅56 -17⋅ 23 (=1)
23= 79-1⋅56 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅56 -17⋅(79 -1⋅ 56)
= 7⋅56 -17⋅79 +17⋅ 56)
= -17⋅79 +24⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(79,56)=1 = -17⋅79 +24⋅56

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +24⋅56

Es gilt also: 24⋅56 = 17⋅79 +1

Somit 24⋅56 = 1 mod 79

24 ist also das Inverse von 56 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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