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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (801 + 16003) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(801 + 16003) mod 4 ≡ (801 mod 4 + 16003 mod 4) mod 4.

801 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 801 = 800+1 = 4 ⋅ 200 +1.

16003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003 = 16000+3 = 4 ⋅ 4000 +3.

Somit gilt:

(801 + 16003) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 91) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 91) mod 4 ≡ (93 mod 4 ⋅ 91 mod 4) mod 4.

93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.

91 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 22 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 91) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 37532 mod 967.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 375 -> x
2. mod(x²,967) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3751=375

2: 3752=3751+1=3751⋅3751 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 410 mod 967

4: 3754=3752+2=3752⋅3752 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 809 mod 967

8: 3758=3754+4=3754⋅3754 ≡ 809⋅809=654481 ≡ 789 mod 967

16: 37516=3758+8=3758⋅3758 ≡ 789⋅789=622521 ≡ 740 mod 967

32: 37532=37516+16=37516⋅37516 ≡ 740⋅740=547600 ≡ 278 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 159179 mod 353.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:

179 = 128+32+16+2+1

1: 1591=159

2: 1592=1591+1=1591⋅1591 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 218 mod 353

4: 1594=1592+2=1592⋅1592 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 222 mod 353

8: 1598=1594+4=1594⋅1594 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 217 mod 353

16: 15916=1598+8=1598⋅1598 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 140 mod 353

32: 15932=15916+16=15916⋅15916 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353

64: 15964=15932+32=15932⋅15932 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353

128: 159128=15964+64=15964⋅15964 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 256 mod 353

159179

= 159128+32+16+2+1

= 159128⋅15932⋅15916⋅1592⋅1591

≡ 256 ⋅ 185 ⋅ 140 ⋅ 218 ⋅ 159 mod 353
≡ 47360 ⋅ 140 ⋅ 218 ⋅ 159 mod 353 ≡ 58 ⋅ 140 ⋅ 218 ⋅ 159 mod 353
≡ 8120 ⋅ 218 ⋅ 159 mod 353 ≡ 1 ⋅ 218 ⋅ 159 mod 353
≡ 218 ⋅ 159 mod 353
≡ 34662 mod 353 ≡ 68 mod 353

Es gilt also: 159179 ≡ 68 mod 353

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 24

=>53 = 2⋅24 + 5
=>24 = 4⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5)
= -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 53-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅24 +5⋅(53 -2⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅53 -10⋅ 24)
= 5⋅53 -11⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(53,24)=1 = 5⋅53 -11⋅24

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -11⋅24

-11⋅24 = -5⋅53 + 1 |+53⋅24

-11⋅24 + 53⋅24 = -5⋅53 + 53⋅24 + 1

(-11 + 53) ⋅ 24 = (-5 + 24) ⋅ 53 + 1

42⋅24 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 42⋅24 = 19⋅53 +1

Somit 42⋅24 = 1 mod 53

42 ist also das Inverse von 24 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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