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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 - 255) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 - 255) mod 5 ≡ (99 mod 5 - 255 mod 5) mod 5.
99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99
= 90
255 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 255
= 250
Somit gilt:
(99 - 255) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 82) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 82) mod 8 ≡ (90 mod 8 ⋅ 82 mod 8) mod 8.
90 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 11 ⋅ 8 + 2 ist.
82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 82) mod 8 ≡ (2 ⋅ 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35332 mod 863.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 353 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3531=353
2: 3532=3531+1=3531⋅3531 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 337 mod 863
4: 3534=3532+2=3532⋅3532 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 516 mod 863
8: 3538=3534+4=3534⋅3534 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 452 mod 863
16: 35316=3538+8=3538⋅3538 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 636 mod 863
32: 35332=35316+16=35316⋅35316 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 612 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 442188 mod 829.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 188 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 188 an und zerlegen 188 in eine Summer von 2er-Potenzen:
188 = 128+32+16+8+4
1: 4421=442
2: 4422=4421+1=4421⋅4421 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 549 mod 829
4: 4424=4422+2=4422⋅4422 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 474 mod 829
8: 4428=4424+4=4424⋅4424 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 17 mod 829
16: 44216=4428+8=4428⋅4428 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 829
32: 44232=44216+16=44216⋅44216 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 621 mod 829
64: 44264=44232+32=44232⋅44232 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 156 mod 829
128: 442128=44264+64=44264⋅44264 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 295 mod 829
442188
= 442128+32+16+8+4
= 442128⋅44232⋅44216⋅4428⋅4424
≡ 295 ⋅ 621 ⋅ 289 ⋅ 17 ⋅ 474 mod 829
≡ 183195 ⋅ 289 ⋅ 17 ⋅ 474 mod 829 ≡ 815 ⋅ 289 ⋅ 17 ⋅ 474 mod 829
≡ 235535 ⋅ 17 ⋅ 474 mod 829 ≡ 99 ⋅ 17 ⋅ 474 mod 829
≡ 1683 ⋅ 474 mod 829 ≡ 25 ⋅ 474 mod 829
≡ 11850 mod 829 ≡ 244 mod 829
Es gilt also: 442188 ≡ 244 mod 829
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46
| =>67 | = 1⋅46 + 21 |
| =>46 | = 2⋅21 + 4 |
| =>21 | = 5⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-5⋅4 | |||
| 4= 46-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21) = -5⋅46 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46) = 11⋅67 -16⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -16⋅46
-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46
-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1
(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1
51⋅46 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1
Somit 51⋅46 = 1 mod 67
51 ist also das Inverse von 46 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.