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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (156 - 8004) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(156 - 8004) mod 4 ≡ (156 mod 4 - 8004 mod 4) mod 4.

156 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156 = 160-4 = 4 ⋅ 40 -4 = 4 ⋅ 40 - 4 + 0.

8004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004 = 8000+4 = 4 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(156 - 8004) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 71) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 71) mod 5 ≡ (56 mod 5 ⋅ 71 mod 5) mod 5.

56 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 11 ⋅ 5 + 1 ist.

71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 71) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 441128 mod 631.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 441 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4411=441

2: 4412=4411+1=4411⋅4411 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 133 mod 631

4: 4414=4412+2=4412⋅4412 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 21 mod 631

8: 4418=4414+4=4414⋅4414 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 631

16: 44116=4418+8=4418⋅4418 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 133 mod 631

32: 44132=44116+16=44116⋅44116 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 21 mod 631

64: 44164=44132+32=44132⋅44132 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 631

128: 441128=44164+64=44164⋅44164 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 133 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 423205 mod 787.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 205 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 205 an und zerlegen 205 in eine Summer von 2er-Potenzen:

205 = 128+64+8+4+1

1: 4231=423

2: 4232=4231+1=4231⋅4231 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 280 mod 787

4: 4234=4232+2=4232⋅4232 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 487 mod 787

8: 4238=4234+4=4234⋅4234 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 282 mod 787

16: 42316=4238+8=4238⋅4238 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 37 mod 787

32: 42332=42316+16=42316⋅42316 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 582 mod 787

64: 42364=42332+32=42332⋅42332 ≡ 582⋅582=338724 ≡ 314 mod 787

128: 423128=42364+64=42364⋅42364 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 221 mod 787

423205

= 423128+64+8+4+1

= 423128⋅42364⋅4238⋅4234⋅4231

221 ⋅ 314 ⋅ 282 ⋅ 487 ⋅ 423 mod 787
69394 ⋅ 282 ⋅ 487 ⋅ 423 mod 787 ≡ 138 ⋅ 282 ⋅ 487 ⋅ 423 mod 787
38916 ⋅ 487 ⋅ 423 mod 787 ≡ 353 ⋅ 487 ⋅ 423 mod 787
171911 ⋅ 423 mod 787 ≡ 345 ⋅ 423 mod 787
145935 mod 787 ≡ 340 mod 787

Es gilt also: 423205 ≡ 340 mod 787

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50

=>73 = 1⋅50 + 23
=>50 = 2⋅23 + 4
=>23 = 5⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 23-5⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4)
= -1⋅23 +6⋅ 4 (=1)
4= 50-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23)
= 6⋅50 -13⋅ 23 (=1)
23= 73-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50)
= 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50)
= -13⋅73 +19⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +19⋅50

Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1

Somit 19⋅50 = 1 mod 73

19 ist also das Inverse von 50 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.