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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2999 + 6000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2999 + 6000) mod 3 ≡ (2999 mod 3 + 6000 mod 3) mod 3.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(2999 + 6000) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 63) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 63) mod 5 ≡ (68 mod 5 ⋅ 63 mod 5) mod 5.

68 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 65 + 3 = 13 ⋅ 5 + 3 ist.

63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 63) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26332 mod 503.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 263 -> x
2. mod(x²,503) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2631=263

2: 2632=2631+1=2631⋅2631 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 258 mod 503

4: 2634=2632+2=2632⋅2632 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 168 mod 503

8: 2638=2634+4=2634⋅2634 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 56 mod 503

16: 26316=2638+8=2638⋅2638 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 118 mod 503

32: 26332=26316+16=26316⋅26316 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 343 mod 503

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 638170 mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:

170 = 128+32+8+2

1: 6381=638

2: 6382=6381+1=6381⋅6381 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 529 mod 661

4: 6384=6382+2=6382⋅6382 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 238 mod 661

8: 6388=6384+4=6384⋅6384 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 459 mod 661

16: 63816=6388+8=6388⋅6388 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 483 mod 661

32: 63832=63816+16=63816⋅63816 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 617 mod 661

64: 63864=63832+32=63832⋅63832 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 614 mod 661

128: 638128=63864+64=63864⋅63864 ≡ 614⋅614=376996 ≡ 226 mod 661

638170

= 638128+32+8+2

= 638128⋅63832⋅6388⋅6382

≡ 226 ⋅ 617 ⋅ 459 ⋅ 529 mod 661
≡ 139442 ⋅ 459 ⋅ 529 mod 661 ≡ 632 ⋅ 459 ⋅ 529 mod 661
≡ 290088 ⋅ 529 mod 661 ≡ 570 ⋅ 529 mod 661
≡ 301530 mod 661 ≡ 114 mod 661

Es gilt also: 638170 ≡ 114 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 54

=>73 = 1⋅54 + 19
=>54 = 2⋅19 + 16
=>19 = 1⋅16 + 3
=>16 = 5⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-5⋅3
3= 19-1⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16)
= -5⋅19 +6⋅ 16 (=1)
16= 54-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅19 +6⋅(54 -2⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅54 -12⋅ 19)
= 6⋅54 -17⋅ 19 (=1)
19= 73-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅54 -17⋅(73 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -17⋅73 +17⋅ 54)
= -17⋅73 +23⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(73,54)=1 = -17⋅73 +23⋅54

oder wenn man -17⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅73 = +23⋅54

Es gilt also: 23⋅54 = 17⋅73 +1

Somit 23⋅54 = 1 mod 73

23 ist also das Inverse von 54 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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