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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 - 204) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 - 204) mod 7 ≡ (68 mod 7 - 204 mod 7) mod 7.
68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68
= 70
204 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204
= 210
Somit gilt:
(68 - 204) mod 7 ≡ (5 - 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 85) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 85) mod 6 ≡ (97 mod 6 ⋅ 85 mod 6) mod 6.
97 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 16 ⋅ 6 + 1 ist.
85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 85) mod 6 ≡ (1 ⋅ 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2908 mod 613.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 290 -> x
2. mod(x²,613) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2901=290
2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 119 mod 613
4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 62 mod 613
8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 166 mod 613
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 878201 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:
201 = 128+64+8+1
1: 8781=878
2: 8782=8781+1=8781⋅8781 ≡ 878⋅878=770884 ≡ 25 mod 883
4: 8784=8782+2=8782⋅8782 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 883
8: 8788=8784+4=8784⋅8784 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 339 mod 883
16: 87816=8788+8=8788⋅8788 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 131 mod 883
32: 87832=87816+16=87816⋅87816 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 384 mod 883
64: 87864=87832+32=87832⋅87832 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 878 mod 883
128: 878128=87864+64=87864⋅87864 ≡ 878⋅878=770884 ≡ 25 mod 883
878201
= 878128+64+8+1
= 878128⋅87864⋅8788⋅8781
≡ 25 ⋅ 878 ⋅ 339 ⋅ 878 mod 883
≡ 21950 ⋅ 339 ⋅ 878 mod 883 ≡ 758 ⋅ 339 ⋅ 878 mod 883
≡ 256962 ⋅ 878 mod 883 ≡ 9 ⋅ 878 mod 883
≡ 7902 mod 883 ≡ 838 mod 883
Es gilt also: 878201 ≡ 838 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18
| =>59 | = 3⋅18 + 5 |
| =>18 | = 3⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 18-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +23⋅18
Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1
Somit 23⋅18 = 1 mod 59
23 ist also das Inverse von 18 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.