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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (241 - 1600) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(241 - 1600) mod 8 ≡ (241 mod 8 - 1600 mod 8) mod 8.

241 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 241 = 240+1 = 8 ⋅ 30 +1.

1600 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 8 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(241 - 1600) mod 8 ≡ (1 - 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 74) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 ⋅ 74) mod 4 ≡ (57 mod 4 ⋅ 74 mod 4) mod 4.

57 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 14 ⋅ 4 + 1 ist.

74 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 18 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(57 ⋅ 74) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6616 mod 211.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 66 -> x
2. mod(x²,211) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 661=66

2: 662=661+1=661⋅661 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 136 mod 211

4: 664=662+2=662⋅662 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 139 mod 211

8: 668=664+4=664⋅664 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 120 mod 211

16: 6616=668+8=668⋅668 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 52 mod 211

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 86587 mod 911.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:

87 = 64+16+4+2+1

1: 8651=865

2: 8652=8651+1=8651⋅8651 ≡ 865⋅865=748225 ≡ 294 mod 911

4: 8654=8652+2=8652⋅8652 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 802 mod 911

8: 8658=8654+4=8654⋅8654 ≡ 802⋅802=643204 ≡ 38 mod 911

16: 86516=8658+8=8658⋅8658 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 533 mod 911

32: 86532=86516+16=86516⋅86516 ≡ 533⋅533=284089 ≡ 768 mod 911

64: 86564=86532+32=86532⋅86532 ≡ 768⋅768=589824 ≡ 407 mod 911

86587

= 86564+16+4+2+1

= 86564⋅86516⋅8654⋅8652⋅8651

≡ 407 ⋅ 533 ⋅ 802 ⋅ 294 ⋅ 865 mod 911
≡ 216931 ⋅ 802 ⋅ 294 ⋅ 865 mod 911 ≡ 113 ⋅ 802 ⋅ 294 ⋅ 865 mod 911
≡ 90626 ⋅ 294 ⋅ 865 mod 911 ≡ 437 ⋅ 294 ⋅ 865 mod 911
≡ 128478 ⋅ 865 mod 911 ≡ 27 ⋅ 865 mod 911
≡ 23355 mod 911 ≡ 580 mod 911

Es gilt also: 86587 ≡ 580 mod 911

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 80.

Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 80

=>101 = 1⋅80 + 21
=>80 = 3⋅21 + 17
=>21 = 1⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,80)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17)
= -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 80-3⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅21 +5⋅(80 -3⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅80 -15⋅ 21)
= 5⋅80 -19⋅ 21 (=1)
21= 101-1⋅80 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅80 -19⋅(101 -1⋅ 80)
= 5⋅80 -19⋅101 +19⋅ 80)
= -19⋅101 +24⋅ 80 (=1)

Es gilt also: ggt(101,80)=1 = -19⋅101 +24⋅80

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +24⋅80

Es gilt also: 24⋅80 = 19⋅101 +1

Somit 24⋅80 = 1 mod 101

24 ist also das Inverse von 80 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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