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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3592 + 36003) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3592 + 36003) mod 9 ≡ (3592 mod 9 + 36003 mod 9) mod 9.
3592 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3592
= 3600
36003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36003
= 36000
Somit gilt:
(3592 + 36003) mod 9 ≡ (1 + 3) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 90) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 90) mod 6 ≡ (74 mod 6 ⋅ 90 mod 6) mod 6.
74 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 12 ⋅ 6 + 2 ist.
90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 90) mod 6 ≡ (2 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6088 mod 761.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 608 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6081=608
2: 6082=6081+1=6081⋅6081 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 579 mod 761
4: 6084=6082+2=6082⋅6082 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 401 mod 761
8: 6088=6084+4=6084⋅6084 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 230 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 309124 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:
124 = 64+32+16+8+4
1: 3091=309
2: 3092=3091+1=3091⋅3091 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 276 mod 577
4: 3094=3092+2=3092⋅3092 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 12 mod 577
8: 3098=3094+4=3094⋅3094 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 577
16: 30916=3098+8=3098⋅3098 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 541 mod 577
32: 30932=30916+16=30916⋅30916 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 142 mod 577
64: 30964=30932+32=30932⋅30932 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 546 mod 577
309124
= 30964+32+16+8+4
= 30964⋅30932⋅30916⋅3098⋅3094
≡ 546 ⋅ 142 ⋅ 541 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 577
≡ 77532 ⋅ 541 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 577 ≡ 214 ⋅ 541 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 577
≡ 115774 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 577 ≡ 374 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 577
≡ 53856 ⋅ 12 mod 577 ≡ 195 ⋅ 12 mod 577
≡ 2340 mod 577 ≡ 32 mod 577
Es gilt also: 309124 ≡ 32 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 42
| =>79 | = 1⋅42 + 37 |
| =>42 | = 1⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 42-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(42 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅42 -15⋅ 37) = 15⋅42 -17⋅ 37 (=1) |
| 37= 79-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 15⋅42 -17⋅(79 -1⋅ 42)
= 15⋅42 -17⋅79 +17⋅ 42) = -17⋅79 +32⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,42)=1 = -17⋅79 +32⋅42
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +32⋅42
Es gilt also: 32⋅42 = 17⋅79 +1
Somit 32⋅42 = 1 mod 79
32 ist also das Inverse von 42 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.