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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (287 + 7000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(287 + 7000) mod 7 ≡ (287 mod 7 + 7000 mod 7) mod 7.
287 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 287
= 280
7000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7000
= 7000
Somit gilt:
(287 + 7000) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 28) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 28) mod 3 ≡ (76 mod 3 ⋅ 28 mod 3) mod 3.
76 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 25 ⋅ 3 + 1 ist.
28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 28) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1638 mod 277.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 163 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1631=163
2: 1632=1631+1=1631⋅1631 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 254 mod 277
4: 1634=1632+2=1632⋅1632 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 252 mod 277
8: 1638=1634+4=1634⋅1634 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 71 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40591 mod 1009.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:
91 = 64+16+8+2+1
1: 4051=405
2: 4052=4051+1=4051⋅4051 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 567 mod 1009
4: 4054=4052+2=4052⋅4052 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 627 mod 1009
8: 4058=4054+4=4054⋅4054 ≡ 627⋅627=393129 ≡ 628 mod 1009
16: 40516=4058+8=4058⋅4058 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 874 mod 1009
32: 40532=40516+16=40516⋅40516 ≡ 874⋅874=763876 ≡ 63 mod 1009
64: 40564=40532+32=40532⋅40532 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 942 mod 1009
40591
= 40564+16+8+2+1
= 40564⋅40516⋅4058⋅4052⋅4051
≡ 942 ⋅ 874 ⋅ 628 ⋅ 567 ⋅ 405 mod 1009
≡ 823308 ⋅ 628 ⋅ 567 ⋅ 405 mod 1009 ≡ 973 ⋅ 628 ⋅ 567 ⋅ 405 mod 1009
≡ 611044 ⋅ 567 ⋅ 405 mod 1009 ≡ 599 ⋅ 567 ⋅ 405 mod 1009
≡ 339633 ⋅ 405 mod 1009 ≡ 609 ⋅ 405 mod 1009
≡ 246645 mod 1009 ≡ 449 mod 1009
Es gilt also: 40591 ≡ 449 mod 1009
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60
| =>71 | = 1⋅60 + 11 |
| =>60 | = 5⋅11 + 5 |
| =>11 | = 2⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-2⋅5 | |||
| 5= 60-5⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11) = -2⋅60 +11⋅ 11 (=1) |
| 11= 71-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60)
= -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60) = 11⋅71 -13⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60
oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅71 = -13⋅60
-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60
-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1
(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1
58⋅60 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1
Somit 58⋅60 = 1 mod 71
58 ist also das Inverse von 60 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.