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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2691 - 4500) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2691 - 4500) mod 9 ≡ (2691 mod 9 - 4500 mod 9) mod 9.
2691 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2691
= 2700
4500 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4500
= 4500
Somit gilt:
(2691 - 4500) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 76) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 76) mod 4 ≡ (17 mod 4 ⋅ 76 mod 4) mod 4.
17 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 4 ⋅ 4 + 1 ist.
76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 76) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 61132 mod 617.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 611 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6111=611
2: 6112=6111+1=6111⋅6111 ≡ 611⋅611=373321 ≡ 36 mod 617
4: 6114=6112+2=6112⋅6112 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 62 mod 617
8: 6118=6114+4=6114⋅6114 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 142 mod 617
16: 61116=6118+8=6118⋅6118 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 420 mod 617
32: 61132=61116+16=61116⋅61116 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 555 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 517116 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:
116 = 64+32+16+4
1: 5171=517
2: 5172=5171+1=5171⋅5171 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 138 mod 577
4: 5174=5172+2=5172⋅5172 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 3 mod 577
8: 5178=5174+4=5174⋅5174 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 577
16: 51716=5178+8=5178⋅5178 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 577
32: 51732=51716+16=51716⋅51716 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 214 mod 577
64: 51764=51732+32=51732⋅51732 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 213 mod 577
517116
= 51764+32+16+4
= 51764⋅51732⋅51716⋅5174
≡ 213 ⋅ 214 ⋅ 81 ⋅ 3 mod 577
≡ 45582 ⋅ 81 ⋅ 3 mod 577 ≡ 576 ⋅ 81 ⋅ 3 mod 577
≡ 46656 ⋅ 3 mod 577 ≡ 496 ⋅ 3 mod 577
≡ 1488 mod 577 ≡ 334 mod 577
Es gilt also: 517116 ≡ 334 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 52
| =>67 | = 1⋅52 + 15 |
| =>52 | = 3⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 52-3⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(52 -3⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅52 +6⋅ 15) = -2⋅52 +7⋅ 15 (=1) |
| 15= 67-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +7⋅(67 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +7⋅67 -7⋅ 52) = 7⋅67 -9⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,52)=1 = 7⋅67 -9⋅52
oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅67 = -9⋅52
-9⋅52 = -7⋅67 + 1 |+67⋅52
-9⋅52 + 67⋅52 = -7⋅67 + 67⋅52 + 1
(-9 + 67) ⋅ 52 = (-7 + 52) ⋅ 67 + 1
58⋅52 = 45⋅67 + 1
Es gilt also: 58⋅52 = 45⋅67 +1
Somit 58⋅52 = 1 mod 67
58 ist also das Inverse von 52 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.