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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1601 - 76) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1601 - 76) mod 4 ≡ (1601 mod 4 - 76 mod 4) mod 4.
1601 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601
= 1600
76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76
= 80
Somit gilt:
(1601 - 76) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 88) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 88) mod 11 ≡ (19 mod 11 ⋅ 88 mod 11) mod 11.
19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.
88 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 8 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 88) mod 11 ≡ (8 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25964 mod 587.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 259 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2591=259
2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 163 mod 587
4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 154 mod 587
8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 236 mod 587
16: 25916=2598+8=2598⋅2598 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 518 mod 587
32: 25932=25916+16=25916⋅25916 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 65 mod 587
64: 25964=25932+32=25932⋅25932 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 116 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 91594 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:
94 = 64+16+8+4+2
1: 9151=915
2: 9152=9151+1=9151⋅9151 ≡ 915⋅915=837225 ≡ 16 mod 919
4: 9154=9152+2=9152⋅9152 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 919
8: 9158=9154+4=9154⋅9154 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 287 mod 919
16: 91516=9158+8=9158⋅9158 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 578 mod 919
32: 91532=91516+16=91516⋅91516 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 487 mod 919
64: 91564=91532+32=91532⋅91532 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 67 mod 919
91594
= 91564+16+8+4+2
= 91564⋅91516⋅9158⋅9154⋅9152
≡ 67 ⋅ 578 ⋅ 287 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 919
≡ 38726 ⋅ 287 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 919 ≡ 128 ⋅ 287 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 919
≡ 36736 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 919 ≡ 895 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 919
≡ 229120 ⋅ 16 mod 919 ≡ 289 ⋅ 16 mod 919
≡ 4624 mod 919 ≡ 29 mod 919
Es gilt also: 91594 ≡ 29 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 28
| =>67 | = 2⋅28 + 11 |
| =>28 | = 2⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 28-2⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(28 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅28 -4⋅ 11) = 2⋅28 -5⋅ 11 (=1) |
| 11= 67-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -5⋅(67 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -5⋅67 +10⋅ 28) = -5⋅67 +12⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,28)=1 = -5⋅67 +12⋅28
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +12⋅28
Es gilt also: 12⋅28 = 5⋅67 +1
Somit 12⋅28 = 1 mod 67
12 ist also das Inverse von 28 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
