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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5994 - 12004) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5994 - 12004) mod 6 ≡ (5994 mod 6 - 12004 mod 6) mod 6.
5994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5994
= 6000
12004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004
= 12000
Somit gilt:
(5994 - 12004) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 47) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 47) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 47 mod 7) mod 7.
82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.
47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 47) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6078 mod 829.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 607 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6071=607
2: 6072=6071+1=6071⋅6071 ≡ 607⋅607=368449 ≡ 373 mod 829
4: 6074=6072+2=6072⋅6072 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 686 mod 829
8: 6078=6074+4=6074⋅6074 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 553 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 133186 mod 311.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 186 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 186 an und zerlegen 186 in eine Summer von 2er-Potenzen:
186 = 128+32+16+8+2
1: 1331=133
2: 1332=1331+1=1331⋅1331 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 273 mod 311
4: 1334=1332+2=1332⋅1332 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 200 mod 311
8: 1338=1334+4=1334⋅1334 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 192 mod 311
16: 13316=1338+8=1338⋅1338 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 166 mod 311
32: 13332=13316+16=13316⋅13316 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 188 mod 311
64: 13364=13332+32=13332⋅13332 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 201 mod 311
128: 133128=13364+64=13364⋅13364 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 282 mod 311
133186
= 133128+32+16+8+2
= 133128⋅13332⋅13316⋅1338⋅1332
≡ 282 ⋅ 188 ⋅ 166 ⋅ 192 ⋅ 273 mod 311
≡ 53016 ⋅ 166 ⋅ 192 ⋅ 273 mod 311 ≡ 146 ⋅ 166 ⋅ 192 ⋅ 273 mod 311
≡ 24236 ⋅ 192 ⋅ 273 mod 311 ≡ 289 ⋅ 192 ⋅ 273 mod 311
≡ 55488 ⋅ 273 mod 311 ≡ 130 ⋅ 273 mod 311
≡ 35490 mod 311 ≡ 36 mod 311
Es gilt also: 133186 ≡ 36 mod 311
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 31
| =>97 | = 3⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 97-3⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(97 -3⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅97 -24⋅ 31) = 8⋅97 -25⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,31)=1 = 8⋅97 -25⋅31
oder wenn man 8⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅97 = -25⋅31
-25⋅31 = -8⋅97 + 1 |+97⋅31
-25⋅31 + 97⋅31 = -8⋅97 + 97⋅31 + 1
(-25 + 97) ⋅ 31 = (-8 + 31) ⋅ 97 + 1
72⋅31 = 23⋅97 + 1
Es gilt also: 72⋅31 = 23⋅97 +1
Somit 72⋅31 = 1 mod 97
72 ist also das Inverse von 31 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
