nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (697 - 3500) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(697 - 3500) mod 7 ≡ (697 mod 7 - 3500 mod 7) mod 7.

697 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 697 = 700-3 = 7 ⋅ 100 -3 = 7 ⋅ 100 - 7 + 4.

3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500 = 3500+0 = 7 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(697 - 3500) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 92) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 92) mod 3 ≡ (81 mod 3 ⋅ 92 mod 3) mod 3.

81 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 27 ⋅ 3 + 0 ist.

92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 30 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 92) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3068 mod 691.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 306 -> x
2. mod(x²,691) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3061=306

2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 351 mod 691

4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 203 mod 691

8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 440 mod 691

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 262108 mod 349.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:

108 = 64+32+8+4

1: 2621=262

2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 240 mod 349

4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 15 mod 349

8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 349

16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 20 mod 349

32: 26232=26216+16=26216⋅26216 ≡ 20⋅20=400 ≡ 51 mod 349

64: 26264=26232+32=26232⋅26232 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 158 mod 349

262108

= 26264+32+8+4

= 26264⋅26232⋅2628⋅2624

≡ 158 ⋅ 51 ⋅ 225 ⋅ 15 mod 349
≡ 8058 ⋅ 225 ⋅ 15 mod 349 ≡ 31 ⋅ 225 ⋅ 15 mod 349
≡ 6975 ⋅ 15 mod 349 ≡ 344 ⋅ 15 mod 349
≡ 5160 mod 349 ≡ 274 mod 349

Es gilt also: 262108 ≡ 274 mod 349

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48

=>89 = 1⋅48 + 41
=>48 = 1⋅41 + 7
=>41 = 5⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 41-5⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7)
= -1⋅41 +6⋅ 7 (=1)
7= 48-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41)
= 6⋅48 -7⋅ 41 (=1)
41= 89-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48)
= 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48)
= -7⋅89 +13⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48

oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅89 = +13⋅48

Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1

Somit 13⋅48 = 1 mod 89

13 ist also das Inverse von 48 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden