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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (234 - 2400) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(234 - 2400) mod 8 ≡ (234 mod 8 - 2400 mod 8) mod 8.

234 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 234 = 240-6 = 8 ⋅ 30 -6 = 8 ⋅ 30 - 8 + 2.

2400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 8 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(234 - 2400) mod 8 ≡ (2 - 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 82) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 82) mod 9 ≡ (64 mod 9 ⋅ 82 mod 9) mod 9.

64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.

82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 9 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 82) mod 9 ≡ (1 ⋅ 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2958 mod 733.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 295 -> x
2. mod(x²,733) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2951=295

2: 2952=2951+1=2951⋅2951 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 531 mod 733

4: 2954=2952+2=2952⋅2952 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 489 mod 733

8: 2958=2954+4=2954⋅2954 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 163 mod 733

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 314154 mod 397.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:

154 = 128+16+8+2

1: 3141=314

2: 3142=3141+1=3141⋅3141 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 140 mod 397

4: 3144=3142+2=3142⋅3142 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 147 mod 397

8: 3148=3144+4=3144⋅3144 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 171 mod 397

16: 31416=3148+8=3148⋅3148 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 260 mod 397

32: 31432=31416+16=31416⋅31416 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 110 mod 397

64: 31464=31432+32=31432⋅31432 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 190 mod 397

128: 314128=31464+64=31464⋅31464 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 370 mod 397

314154

= 314128+16+8+2

= 314128⋅31416⋅3148⋅3142

≡ 370 ⋅ 260 ⋅ 171 ⋅ 140 mod 397
≡ 96200 ⋅ 171 ⋅ 140 mod 397 ≡ 126 ⋅ 171 ⋅ 140 mod 397
≡ 21546 ⋅ 140 mod 397 ≡ 108 ⋅ 140 mod 397
≡ 15120 mod 397 ≡ 34 mod 397

Es gilt also: 314154 ≡ 34 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35

=>59 = 1⋅35 + 24
=>35 = 1⋅24 + 11
=>24 = 2⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11)
= -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 35-1⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24)
= 11⋅35 -16⋅ 24 (=1)
24= 59-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35)
= -16⋅59 +27⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35

oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅59 = +27⋅35

Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1

Somit 27⋅35 = 1 mod 59

27 ist also das Inverse von 35 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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