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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5994 - 12004) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5994 - 12004) mod 6 ≡ (5994 mod 6 - 12004 mod 6) mod 6.

5994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5994 = 6000-6 = 6 ⋅ 1000 -6 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 0.

12004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004 = 12000+4 = 6 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(5994 - 12004) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 47) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 47) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 47 mod 7) mod 7.

82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.

47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 47) mod 7 ≡ (5 ⋅ 5) mod 7 ≡ 25 mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6078 mod 829.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 607 -> x
2. mod(x²,829) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6071=607

2: 6072=6071+1=6071⋅6071 ≡ 607⋅607=368449 ≡ 373 mod 829

4: 6074=6072+2=6072⋅6072 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 686 mod 829

8: 6078=6074+4=6074⋅6074 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 553 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 133186 mod 311.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 186 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 186 an und zerlegen 186 in eine Summer von 2er-Potenzen:

186 = 128+32+16+8+2

1: 1331=133

2: 1332=1331+1=1331⋅1331 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 273 mod 311

4: 1334=1332+2=1332⋅1332 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 200 mod 311

8: 1338=1334+4=1334⋅1334 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 192 mod 311

16: 13316=1338+8=1338⋅1338 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 166 mod 311

32: 13332=13316+16=13316⋅13316 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 188 mod 311

64: 13364=13332+32=13332⋅13332 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 201 mod 311

128: 133128=13364+64=13364⋅13364 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 282 mod 311

133186

= 133128+32+16+8+2

= 133128⋅13332⋅13316⋅1338⋅1332

≡ 282 ⋅ 188 ⋅ 166 ⋅ 192 ⋅ 273 mod 311
≡ 53016 ⋅ 166 ⋅ 192 ⋅ 273 mod 311 ≡ 146 ⋅ 166 ⋅ 192 ⋅ 273 mod 311
≡ 24236 ⋅ 192 ⋅ 273 mod 311 ≡ 289 ⋅ 192 ⋅ 273 mod 311
≡ 55488 ⋅ 273 mod 311 ≡ 130 ⋅ 273 mod 311
≡ 35490 mod 311 ≡ 36 mod 311

Es gilt also: 133186 ≡ 36 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 31

=>97 = 3⋅31 + 4
=>31 = 7⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4)
= -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 97-3⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅31 +8⋅(97 -3⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅97 -24⋅ 31)
= 8⋅97 -25⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(97,31)=1 = 8⋅97 -25⋅31

oder wenn man 8⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅97 = -25⋅31

-25⋅31 = -8⋅97 + 1 |+97⋅31

-25⋅31 + 97⋅31 = -8⋅97 + 97⋅31 + 1

(-25 + 97) ⋅ 31 = (-8 + 31) ⋅ 97 + 1

72⋅31 = 23⋅97 + 1

Es gilt also: 72⋅31 = 23⋅97 +1

Somit 72⋅31 = 1 mod 97

72 ist also das Inverse von 31 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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