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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32000 + 798) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32000 + 798) mod 8 ≡ (32000 mod 8 + 798 mod 8) mod 8.
32000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32000
= 32000
798 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798
= 800
Somit gilt:
(32000 + 798) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 23) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 23) mod 8 ≡ (54 mod 8 ⋅ 23 mod 8) mod 8.
54 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 48 + 6 = 6 ⋅ 8 + 6 ist.
23 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 16 + 7 = 2 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 23) mod 8 ≡ (6 ⋅ 7) mod 8 ≡ 42 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 71116 mod 761.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 711 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7111=711
2: 7112=7111+1=7111⋅7111 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 217 mod 761
4: 7114=7112+2=7112⋅7112 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 668 mod 761
8: 7118=7114+4=7114⋅7114 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 278 mod 761
16: 71116=7118+8=7118⋅7118 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 423 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 315135 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:
135 = 128+4+2+1
1: 3151=315
2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 110 mod 461
4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 114 mod 461
8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 88 mod 461
16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 368 mod 461
32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 351 mod 461
64: 31564=31532+32=31532⋅31532 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 114 mod 461
128: 315128=31564+64=31564⋅31564 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 88 mod 461
315135
= 315128+4+2+1
= 315128⋅3154⋅3152⋅3151
≡ 88 ⋅ 114 ⋅ 110 ⋅ 315 mod 461
≡ 10032 ⋅ 110 ⋅ 315 mod 461 ≡ 351 ⋅ 110 ⋅ 315 mod 461
≡ 38610 ⋅ 315 mod 461 ≡ 347 ⋅ 315 mod 461
≡ 109305 mod 461 ≡ 48 mod 461
Es gilt also: 315135 ≡ 48 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 47
| =>61 | = 1⋅47 + 14 |
| =>47 | = 3⋅14 + 5 |
| =>14 | = 2⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 14-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5) = -1⋅14 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 47-3⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +3⋅(47 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅47 -9⋅ 14) = 3⋅47 -10⋅ 14 (=1) |
| 14= 61-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -10⋅(61 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -10⋅61 +10⋅ 47) = -10⋅61 +13⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,47)=1 = -10⋅61 +13⋅47
oder wenn man -10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +10⋅61 = +13⋅47
Es gilt also: 13⋅47 = 10⋅61 +1
Somit 13⋅47 = 1 mod 61
13 ist also das Inverse von 47 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.