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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 - 13996) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 - 13996) mod 7 ≡ (63 mod 7 - 13996 mod 7) mod 7.

63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 70-7 = 7 ⋅ 10 -7 = 7 ⋅ 10 - 7 + 0.

13996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13996 = 14000-4 = 7 ⋅ 2000 -4 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 3.

Somit gilt:

(63 - 13996) mod 7 ≡ (0 - 3) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 99) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 99) mod 8 ≡ (18 mod 8 ⋅ 99 mod 8) mod 8.

18 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 2 ⋅ 8 + 2 ist.

99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 99) mod 8 ≡ (2 ⋅ 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 537⁶⁴ mod 757.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 537 -> x
2. mod(x²,757) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 537¹=537

2: 537²=537¹⁺¹=537¹⋅537¹ ≡ 537⋅537=288369 ≡ 709 mod 757

4: 537⁴=537²⁺²=537²⋅537² ≡ 709⋅709=502681 ≡ 33 mod 757

8: 537⁸=537⁴⁺⁴=537⁴⋅537⁴ ≡ 33⋅33=1089 ≡ 332 mod 757

16: 537¹⁶=537⁸⁺⁸=537⁸⋅537⁸ ≡ 332⋅332=110224 ≡ 459 mod 757

32: 537³²=537¹⁶⁺¹⁶=537¹⁶⋅537¹⁶ ≡ 459⋅459=210681 ≡ 235 mod 757

64: 537⁶⁴=537³²⁺³²=537³²⋅537³² ≡ 235⋅235=55225 ≡ 721 mod 757

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 98¹⁷⁵ mod 283.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

1: 98¹=98

2: 98²=98¹⁺¹=98¹⋅98¹ ≡ 98⋅98=9604 ≡ 265 mod 283

4: 98⁴=98²⁺²=98²⋅98² ≡ 265⋅265=70225 ≡ 41 mod 283

8: 98⁸=98⁴⁺⁴=98⁴⋅98⁴ ≡ 41⋅41=1681 ≡ 266 mod 283

16: 98¹⁶=98⁸⁺⁸=98⁸⋅98⁸ ≡ 266⋅266=70756 ≡ 6 mod 283

32: 98³²=98¹⁶⁺¹⁶=98¹⁶⋅98¹⁶ ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 283

64: 98⁶⁴=98³²⁺³²=98³²⋅98³² ≡ 36⋅36=1296 ≡ 164 mod 283

128: 98¹²⁸=98⁶⁴⁺⁶⁴=98⁶⁴⋅98⁶⁴ ≡ 164⋅164=26896 ≡ 11 mod 283

98¹⁷⁵

= 98^{128+32+8+4+2+1}

= 98¹²⁸⋅98³²⋅98⁸⋅98⁴⋅98²⋅98¹

≡ 11 ⋅ 36 ⋅ 266 ⋅ 41 ⋅ 265 ⋅ 98 mod 283
≡ 396 ⋅ 266 ⋅ 41 ⋅ 265 ⋅ 98 mod 283 ≡ 113 ⋅ 266 ⋅ 41 ⋅ 265 ⋅ 98 mod 283
≡ 30058 ⋅ 41 ⋅ 265 ⋅ 98 mod 283 ≡ 60 ⋅ 41 ⋅ 265 ⋅ 98 mod 283
≡ 2460 ⋅ 265 ⋅ 98 mod 283 ≡ 196 ⋅ 265 ⋅ 98 mod 283
≡ 51940 ⋅ 98 mod 283 ≡ 151 ⋅ 98 mod 283
≡ 14798 mod 283 ≡ 82 mod 283

Es gilt also: 98¹⁷⁵ ≡ 82 mod 283

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 66.

Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 66

=>83	= 1⋅66 + 17
=>66	= 3⋅17 + 15
=>17	= 1⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,66)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 17-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(17 -1⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅17 +7⋅ 15) = -7⋅17 +8⋅ 15 (=1)
15= 66-3⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅17 +8⋅(66 -3⋅ 17) = -7⋅17 +8⋅66 -24⋅ 17) = 8⋅66 -31⋅ 17 (=1)
17= 83-1⋅66	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅66 -31⋅(83 -1⋅ 66) = 8⋅66 -31⋅83 +31⋅ 66) = -31⋅83 +39⋅ 66 (=1)

Es gilt also: ggt(83,66)=1 = -31⋅83 +39⋅66

oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅83 = +39⋅66

Es gilt also: 39⋅66 = 31⋅83 +1

Somit 39⋅66 = 1 mod 83

39 ist also das Inverse von 66 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 66

Schlüsselpaar für RSA