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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1201 + 1800) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1201 + 1800) mod 6 ≡ (1201 mod 6 + 1800 mod 6) mod 6.
1201 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201
= 1200
1800 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800
= 1800
Somit gilt:
(1201 + 1800) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 47) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 47) mod 10 ≡ (43 mod 10 ⋅ 47 mod 10) mod 10.
43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.
47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 47) mod 10 ≡ (3 ⋅ 7) mod 10 ≡ 21 mod 10 ≡ 1 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2098 mod 401.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 209 -> x
2. mod(x²,401) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2091=209
2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 373 mod 401
4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 383 mod 401
8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 324 mod 401
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 512124 mod 653.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:
124 = 64+32+16+8+4
1: 5121=512
2: 5122=5121+1=5121⋅5121 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 291 mod 653
4: 5124=5122+2=5122⋅5122 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 444 mod 653
8: 5128=5124+4=5124⋅5124 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 583 mod 653
16: 51216=5128+8=5128⋅5128 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 329 mod 653
32: 51232=51216+16=51216⋅51216 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 496 mod 653
64: 51264=51232+32=51232⋅51232 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 488 mod 653
512124
= 51264+32+16+8+4
= 51264⋅51232⋅51216⋅5128⋅5124
≡ 488 ⋅ 496 ⋅ 329 ⋅ 583 ⋅ 444 mod 653
≡ 242048 ⋅ 329 ⋅ 583 ⋅ 444 mod 653 ≡ 438 ⋅ 329 ⋅ 583 ⋅ 444 mod 653
≡ 144102 ⋅ 583 ⋅ 444 mod 653 ≡ 442 ⋅ 583 ⋅ 444 mod 653
≡ 257686 ⋅ 444 mod 653 ≡ 404 ⋅ 444 mod 653
≡ 179376 mod 653 ≡ 454 mod 653
Es gilt also: 512124 ≡ 454 mod 653
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 46.
Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46
| =>59 | = 1⋅46 + 13 |
| =>46 | = 3⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,46)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 46-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13) = 2⋅46 -7⋅ 13 (=1) |
| 13= 59-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46) = -7⋅59 +9⋅ 46 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +9⋅46
Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1
Somit 9⋅46 = 1 mod 59
9 ist also das Inverse von 46 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.