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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1003 - 1000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1003 - 1000) mod 5 ≡ (1003 mod 5 - 1000 mod 5) mod 5.

1003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1003 = 1000+3 = 5 ⋅ 200 +3.

1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000 = 1000+0 = 5 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(1003 - 1000) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 82) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 82) mod 9 ≡ (24 mod 9 ⋅ 82 mod 9) mod 9.

24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.

82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 9 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 82) mod 9 ≡ (6 ⋅ 1) mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23764 mod 739.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 237 -> x
2. mod(x²,739) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2371=237

2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 5 mod 739

4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 739

8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 739

16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 433 mod 739

32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 522 mod 739

64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 532 mod 739

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 323226 mod 673.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:

226 = 128+64+32+2

1: 3231=323

2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 14 mod 673

4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 673

8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 55 mod 673

16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 333 mod 673

32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 517 mod 673

64: 32364=32332+32=32332⋅32332 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 108 mod 673

128: 323128=32364+64=32364⋅32364 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 223 mod 673

323226

= 323128+64+32+2

= 323128⋅32364⋅32332⋅3232

≡ 223 ⋅ 108 ⋅ 517 ⋅ 14 mod 673
≡ 24084 ⋅ 517 ⋅ 14 mod 673 ≡ 529 ⋅ 517 ⋅ 14 mod 673
≡ 273493 ⋅ 14 mod 673 ≡ 255 ⋅ 14 mod 673
≡ 3570 mod 673 ≡ 205 mod 673

Es gilt also: 323226 ≡ 205 mod 673

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 69.

Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 69

=>97 = 1⋅69 + 28
=>69 = 2⋅28 + 13
=>28 = 2⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 28-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(28 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅28 +12⋅ 13)
= -6⋅28 +13⋅ 13 (=1)
13= 69-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅28 +13⋅(69 -2⋅ 28)
= -6⋅28 +13⋅69 -26⋅ 28)
= 13⋅69 -32⋅ 28 (=1)
28= 97-1⋅69 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅69 -32⋅(97 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -32⋅97 +32⋅ 69)
= -32⋅97 +45⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(97,69)=1 = -32⋅97 +45⋅69

oder wenn man -32⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅97 = +45⋅69

Es gilt also: 45⋅69 = 32⋅97 +1

Somit 45⋅69 = 1 mod 97

45 ist also das Inverse von 69 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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