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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5998 - 3000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5998 - 3000) mod 3 ≡ (5998 mod 3 - 3000 mod 3) mod 3.
5998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998
= 6000
3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
Somit gilt:
(5998 - 3000) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 52) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(78 ⋅ 52) mod 6 ≡ (78 mod 6 ⋅ 52 mod 6) mod 6.
78 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 13 ⋅ 6 + 0 ist.
52 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 8 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(78 ⋅ 52) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47764 mod 941.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 477 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4771=477
2: 4772=4771+1=4771⋅4771 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 748 mod 941
4: 4774=4772+2=4772⋅4772 ≡ 748⋅748=559504 ≡ 550 mod 941
8: 4778=4774+4=4774⋅4774 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 439 mod 941
16: 47716=4778+8=4778⋅4778 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 757 mod 941
32: 47732=47716+16=47716⋅47716 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 921 mod 941
64: 47764=47732+32=47732⋅47732 ≡ 921⋅921=848241 ≡ 400 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50390 mod 509.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:
90 = 64+16+8+2
1: 5031=503
2: 5032=5031+1=5031⋅5031 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 36 mod 509
4: 5034=5032+2=5032⋅5032 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 278 mod 509
8: 5038=5034+4=5034⋅5034 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 425 mod 509
16: 50316=5038+8=5038⋅5038 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 439 mod 509
32: 50332=50316+16=50316⋅50316 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 319 mod 509
64: 50364=50332+32=50332⋅50332 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 470 mod 509
50390
= 50364+16+8+2
= 50364⋅50316⋅5038⋅5032
≡ 470 ⋅ 439 ⋅ 425 ⋅ 36 mod 509
≡ 206330 ⋅ 425 ⋅ 36 mod 509 ≡ 185 ⋅ 425 ⋅ 36 mod 509
≡ 78625 ⋅ 36 mod 509 ≡ 239 ⋅ 36 mod 509
≡ 8604 mod 509 ≡ 460 mod 509
Es gilt also: 50390 ≡ 460 mod 509
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 21
| =>59 | = 2⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 59-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(59 -2⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅59 -10⋅ 21) = 5⋅59 -14⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,21)=1 = 5⋅59 -14⋅21
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -14⋅21
-14⋅21 = -5⋅59 + 1 |+59⋅21
-14⋅21 + 59⋅21 = -5⋅59 + 59⋅21 + 1
(-14 + 59) ⋅ 21 = (-5 + 21) ⋅ 59 + 1
45⋅21 = 16⋅59 + 1
Es gilt also: 45⋅21 = 16⋅59 +1
Somit 45⋅21 = 1 mod 59
45 ist also das Inverse von 21 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
