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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4494 + 363) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4494 + 363) mod 9 ≡ (4494 mod 9 + 363 mod 9) mod 9.

4494 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4494 = 4500-6 = 9 ⋅ 500 -6 = 9 ⋅ 500 - 9 + 3.

363 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 363 = 360+3 = 9 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(4494 + 363) mod 9 ≡ (3 + 3) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 56) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 56) mod 8 ≡ (78 mod 8 ⋅ 56 mod 8) mod 8.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.

56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 56) mod 8 ≡ (6 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21464 mod 587.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 214 -> x
2. mod(x²,587) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2141=214

2: 2142=2141+1=2141⋅2141 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 10 mod 587

4: 2144=2142+2=2142⋅2142 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 587

8: 2148=2144+4=2144⋅2144 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 21 mod 587

16: 21416=2148+8=2148⋅2148 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 587

32: 21432=21416+16=21416⋅21416 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 184 mod 587

64: 21464=21432+32=21432⋅21432 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 397 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 140229 mod 251.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

1: 1401=140

2: 1402=1401+1=1401⋅1401 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 22 mod 251

4: 1404=1402+2=1402⋅1402 ≡ 22⋅22=484 ≡ 233 mod 251

8: 1408=1404+4=1404⋅1404 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 73 mod 251

16: 14016=1408+8=1408⋅1408 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 58 mod 251

32: 14032=14016+16=14016⋅14016 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 101 mod 251

64: 14064=14032+32=14032⋅14032 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 161 mod 251

128: 140128=14064+64=14064⋅14064 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 68 mod 251

140229

= 140128+64+32+4+1

= 140128⋅14064⋅14032⋅1404⋅1401

68 ⋅ 161 ⋅ 101 ⋅ 233 ⋅ 140 mod 251
10948 ⋅ 101 ⋅ 233 ⋅ 140 mod 251 ≡ 155 ⋅ 101 ⋅ 233 ⋅ 140 mod 251
15655 ⋅ 233 ⋅ 140 mod 251 ≡ 93 ⋅ 233 ⋅ 140 mod 251
21669 ⋅ 140 mod 251 ≡ 83 ⋅ 140 mod 251
11620 mod 251 ≡ 74 mod 251

Es gilt also: 140229 ≡ 74 mod 251

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18

=>59 = 3⋅18 + 5
=>18 = 3⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 18-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5)
= 2⋅18 -7⋅ 5 (=1)
5= 59-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18)
= -7⋅59 +23⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +23⋅18

Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1

Somit 23⋅18 = 1 mod 59

23 ist also das Inverse von 18 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.