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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3505 - 70) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3505 - 70) mod 7 ≡ (3505 mod 7 - 70 mod 7) mod 7.

3505 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3505 = 3500+5 = 7 ⋅ 500 +5.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70+0 = 7 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(3505 - 70) mod 7 ≡ (5 - 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 41) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 41) mod 5 ≡ (40 mod 5 ⋅ 41 mod 5) mod 5.

40 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 8 ⋅ 5 + 0 ist.

41 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 8 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 41) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22732 mod 523.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 227 -> x
2. mod(x²,523) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2271=227

2: 2272=2271+1=2271⋅2271 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 275 mod 523

4: 2274=2272+2=2272⋅2272 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 313 mod 523

8: 2278=2274+4=2274⋅2274 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 168 mod 523

16: 22716=2278+8=2278⋅2278 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 505 mod 523

32: 22732=22716+16=22716⋅22716 ≡ 505⋅505=255025 ≡ 324 mod 523

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 400140 mod 409.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:

140 = 128+8+4

1: 4001=400

2: 4002=4001+1=4001⋅4001 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 81 mod 409

4: 4004=4002+2=4002⋅4002 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 17 mod 409

8: 4008=4004+4=4004⋅4004 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 409

16: 40016=4008+8=4008⋅4008 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 85 mod 409

32: 40032=40016+16=40016⋅40016 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 272 mod 409

64: 40064=40032+32=40032⋅40032 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 364 mod 409

128: 400128=40064+64=40064⋅40064 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 389 mod 409

400140

= 400128+8+4

= 400128⋅4008⋅4004

≡ 389 ⋅ 289 ⋅ 17 mod 409
≡ 112421 ⋅ 17 mod 409 ≡ 355 ⋅ 17 mod 409
≡ 6035 mod 409 ≡ 309 mod 409

Es gilt also: 400140 ≡ 309 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 52

=>97 = 1⋅52 + 45
=>52 = 1⋅45 + 7
=>45 = 6⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 45-6⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7)
= -2⋅45 +13⋅ 7 (=1)
7= 52-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅45 +13⋅(52 -1⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅52 -13⋅ 45)
= 13⋅52 -15⋅ 45 (=1)
45= 97-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅52 -15⋅(97 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -15⋅97 +15⋅ 52)
= -15⋅97 +28⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(97,52)=1 = -15⋅97 +28⋅52

oder wenn man -15⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +15⋅97 = +28⋅52

Es gilt also: 28⋅52 = 15⋅97 +1

Somit 28⋅52 = 1 mod 97

28 ist also das Inverse von 52 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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