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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 - 160) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 - 160) mod 4 ≡ (76 mod 4 - 160 mod 4) mod 4.
76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76
= 80
160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160
= 160
Somit gilt:
(76 - 160) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 25) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 25) mod 5 ≡ (93 mod 5 ⋅ 25 mod 5) mod 5.
93 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 18 ⋅ 5 + 3 ist.
25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 25) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29264 mod 571.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 292 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2921=292
2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 185 mod 571
4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 536 mod 571
8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 83 mod 571
16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 37 mod 571
32: 29232=29216+16=29216⋅29216 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 227 mod 571
64: 29264=29232+32=29232⋅29232 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 139 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 323180 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:
180 = 128+32+16+4
1: 3231=323
2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 342 mod 421
4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 347 mod 421
8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 3 mod 421
16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 421
32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 421
64: 32364=32332+32=32332⋅32332 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 246 mod 421
128: 323128=32364+64=32364⋅32364 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 313 mod 421
323180
= 323128+32+16+4
= 323128⋅32332⋅32316⋅3234
≡ 313 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 347 mod 421
≡ 25353 ⋅ 9 ⋅ 347 mod 421 ≡ 93 ⋅ 9 ⋅ 347 mod 421
≡ 837 ⋅ 347 mod 421 ≡ 416 ⋅ 347 mod 421
≡ 144352 mod 421 ≡ 370 mod 421
Es gilt also: 323180 ≡ 370 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64
| =>79 | = 1⋅64 + 15 |
| =>64 | = 4⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 64-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15) = 4⋅64 -17⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64) = -17⋅79 +21⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +21⋅64
Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1
Somit 21⋅64 = 1 mod 79
21 ist also das Inverse von 64 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
