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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (145 + 706) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(145 + 706) mod 7 ≡ (145 mod 7 + 706 mod 7) mod 7.
145 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145
= 140
706 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 706
= 700
Somit gilt:
(145 + 706) mod 7 ≡ (5 + 6) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 17) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 17) mod 6 ≡ (92 mod 6 ⋅ 17 mod 6) mod 6.
92 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 15 ⋅ 6 + 2 ist.
17 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 12 + 5 = 2 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 17) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 206128 mod 523.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 206 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2061=206
2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 73 mod 523
4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 99 mod 523
8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 387 mod 523
16: 20616=2068+8=2068⋅2068 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 191 mod 523
32: 20632=20616+16=20616⋅20616 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 394 mod 523
64: 20664=20632+32=20632⋅20632 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 428 mod 523
128: 206128=20664+64=20664⋅20664 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 134 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 291170 mod 419.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 2911=291
2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 43 mod 419
4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 173 mod 419
8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 180 mod 419
16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 137 mod 419
32: 29132=29116+16=29116⋅29116 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 333 mod 419
64: 29164=29132+32=29132⋅29132 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 273 mod 419
128: 291128=29164+64=29164⋅29164 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 366 mod 419
291170
= 291128+32+8+2
= 291128⋅29132⋅2918⋅2912
≡ 366 ⋅ 333 ⋅ 180 ⋅ 43 mod 419
≡ 121878 ⋅ 180 ⋅ 43 mod 419 ≡ 368 ⋅ 180 ⋅ 43 mod 419
≡ 66240 ⋅ 43 mod 419 ≡ 38 ⋅ 43 mod 419
≡ 1634 mod 419 ≡ 377 mod 419
Es gilt also: 291170 ≡ 377 mod 419
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 23
| =>61 | = 2⋅23 + 15 |
| =>23 | = 1⋅15 + 8 |
| =>15 | = 1⋅8 + 7 |
| =>8 | = 1⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 8-1⋅7 | |||
| 7= 15-1⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1) |
| 8= 23-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +2⋅(23 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅23 -2⋅ 15) = 2⋅23 -3⋅ 15 (=1) |
| 15= 61-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅23 -3⋅(61 -2⋅ 23)
= 2⋅23 -3⋅61 +6⋅ 23) = -3⋅61 +8⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,23)=1 = -3⋅61 +8⋅23
oder wenn man -3⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅61 = +8⋅23
Es gilt also: 8⋅23 = 3⋅61 +1
Somit 8⋅23 = 1 mod 61
8 ist also das Inverse von 23 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
