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Kursstufe
cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (158 - 12001) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(158 - 12001) mod 4 ≡ (158 mod 4 - 12001 mod 4) mod 4.
158 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 158
= 160
12001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001
= 12000
Somit gilt:
(158 - 12001) mod 4 ≡ (2 - 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 73) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 73) mod 3 ≡ (40 mod 3 ⋅ 73 mod 3) mod 3.
40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.
73 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 24 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 73) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40364 mod 977.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 403 -> x
2. mod(x²,977) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4031=403
2: 4032=4031+1=4031⋅4031 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 227 mod 977
4: 4034=4032+2=4032⋅4032 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 725 mod 977
8: 4038=4034+4=4034⋅4034 ≡ 725⋅725=525625 ≡ 976 mod 977
16: 40316=4038+8=4038⋅4038 ≡ 976⋅976=952576 ≡ 1 mod 977
32: 40332=40316+16=40316⋅40316 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 977
64: 40364=40332+32=40332⋅40332 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 977
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 470246 mod 857.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:
246 = 128+64+32+16+4+2
1: 4701=470
2: 4702=4701+1=4701⋅4701 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 651 mod 857
4: 4704=4702+2=4702⋅4702 ≡ 651⋅651=423801 ≡ 443 mod 857
8: 4708=4704+4=4704⋅4704 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 853 mod 857
16: 47016=4708+8=4708⋅4708 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 16 mod 857
32: 47032=47016+16=47016⋅47016 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 857
64: 47064=47032+32=47032⋅47032 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 404 mod 857
128: 470128=47064+64=47064⋅47064 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 386 mod 857
470246
= 470128+64+32+16+4+2
= 470128⋅47064⋅47032⋅47016⋅4704⋅4702
≡ 386 ⋅ 404 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 443 ⋅ 651 mod 857
≡ 155944 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 443 ⋅ 651 mod 857 ≡ 827 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 443 ⋅ 651 mod 857
≡ 211712 ⋅ 16 ⋅ 443 ⋅ 651 mod 857 ≡ 33 ⋅ 16 ⋅ 443 ⋅ 651 mod 857
≡ 528 ⋅ 443 ⋅ 651 mod 857
≡ 233904 ⋅ 651 mod 857 ≡ 800 ⋅ 651 mod 857
≡ 520800 mod 857 ≡ 601 mod 857
Es gilt also: 470246 ≡ 601 mod 857
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40
| =>59 | = 1⋅40 + 19 |
| =>40 | = 2⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 40-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19) = -9⋅40 +19⋅ 19 (=1) |
| 19= 59-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40)
= -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40) = 19⋅59 -28⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40
oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅59 = -28⋅40
-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40
-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1
(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1
31⋅40 = 21⋅59 + 1
Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1
Somit 31⋅40 = 1 mod 59
31 ist also das Inverse von 40 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
