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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (324 - 2404) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(324 - 2404) mod 8 ≡ (324 mod 8 - 2404 mod 8) mod 8.

324 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 324 = 320+4 = 8 ⋅ 40 +4.

2404 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2404 = 2400+4 = 8 ⋅ 300 +4.

Somit gilt:

(324 - 2404) mod 8 ≡ (4 - 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 44) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 44) mod 11 ≡ (44 mod 11 ⋅ 44 mod 11) mod 11.

44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.

44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 44) mod 11 ≡ (0 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28832 mod 709.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 288 -> x
2. mod(x²,709) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2881=288

2: 2882=2881+1=2881⋅2881 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 700 mod 709

4: 2884=2882+2=2882⋅2882 ≡ 700⋅700=490000 ≡ 81 mod 709

8: 2888=2884+4=2884⋅2884 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 180 mod 709

16: 28816=2888+8=2888⋅2888 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 495 mod 709

32: 28832=28816+16=28816⋅28816 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 420 mod 709

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 253201 mod 311.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:

201 = 128+64+8+1

1: 2531=253

2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 254 mod 311

4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 139 mod 311

8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 39 mod 311

16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 277 mod 311

32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 223 mod 311

64: 25364=25332+32=25332⋅25332 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 280 mod 311

128: 253128=25364+64=25364⋅25364 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 28 mod 311

253201

= 253128+64+8+1

= 253128⋅25364⋅2538⋅2531

≡ 28 ⋅ 280 ⋅ 39 ⋅ 253 mod 311
≡ 7840 ⋅ 39 ⋅ 253 mod 311 ≡ 65 ⋅ 39 ⋅ 253 mod 311
≡ 2535 ⋅ 253 mod 311 ≡ 47 ⋅ 253 mod 311
≡ 11891 mod 311 ≡ 73 mod 311

Es gilt also: 253201 ≡ 73 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 68

=>73 = 1⋅68 + 5
=>68 = 13⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 68-13⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(68 -13⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅68 -26⋅ 5)
= 2⋅68 -27⋅ 5 (=1)
5= 73-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅68 -27⋅(73 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -27⋅73 +27⋅ 68)
= -27⋅73 +29⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(73,68)=1 = -27⋅73 +29⋅68

oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅73 = +29⋅68

Es gilt also: 29⋅68 = 27⋅73 +1

Somit 29⋅68 = 1 mod 73

29 ist also das Inverse von 68 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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