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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3207 + 165) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3207 + 165) mod 8 ≡ (3207 mod 8 + 165 mod 8) mod 8.

3207 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3207 = 3200+7 = 8 ⋅ 400 +7.

165 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 165 = 160+5 = 8 ⋅ 20 +5.

Somit gilt:

(3207 + 165) mod 8 ≡ (7 + 5) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 79) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 79) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 79 mod 7) mod 7.

82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.

79 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 11 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 79) mod 7 ≡ (5 ⋅ 2) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 181¹²⁸ mod 373.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 181 -> x
2. mod(x²,373) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 181¹=181

2: 181²=181¹⁺¹=181¹⋅181¹ ≡ 181⋅181=32761 ≡ 310 mod 373

4: 181⁴=181²⁺²=181²⋅181² ≡ 310⋅310=96100 ≡ 239 mod 373

8: 181⁸=181⁴⁺⁴=181⁴⋅181⁴ ≡ 239⋅239=57121 ≡ 52 mod 373

16: 181¹⁶=181⁸⁺⁸=181⁸⋅181⁸ ≡ 52⋅52=2704 ≡ 93 mod 373

32: 181³²=181¹⁶⁺¹⁶=181¹⁶⋅181¹⁶ ≡ 93⋅93=8649 ≡ 70 mod 373

64: 181⁶⁴=181³²⁺³²=181³²⋅181³² ≡ 70⋅70=4900 ≡ 51 mod 373

128: 181¹²⁸=181⁶⁴⁺⁶⁴=181⁶⁴⋅181⁶⁴ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 363 mod 373

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 471²¹⁹ mod 569.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

1: 471¹=471

2: 471²=471¹⁺¹=471¹⋅471¹ ≡ 471⋅471=221841 ≡ 500 mod 569

4: 471⁴=471²⁺²=471²⋅471² ≡ 500⋅500=250000 ≡ 209 mod 569

8: 471⁸=471⁴⁺⁴=471⁴⋅471⁴ ≡ 209⋅209=43681 ≡ 437 mod 569

16: 471¹⁶=471⁸⁺⁸=471⁸⋅471⁸ ≡ 437⋅437=190969 ≡ 354 mod 569

32: 471³²=471¹⁶⁺¹⁶=471¹⁶⋅471¹⁶ ≡ 354⋅354=125316 ≡ 136 mod 569

64: 471⁶⁴=471³²⁺³²=471³²⋅471³² ≡ 136⋅136=18496 ≡ 288 mod 569

128: 471¹²⁸=471⁶⁴⁺⁶⁴=471⁶⁴⋅471⁶⁴ ≡ 288⋅288=82944 ≡ 439 mod 569

471²¹⁹

= 471^{128+64+16+8+2+1}

= 471¹²⁸⋅471⁶⁴⋅471¹⁶⋅471⁸⋅471²⋅471¹

≡ 439 ⋅ 288 ⋅ 354 ⋅ 437 ⋅ 500 ⋅ 471 mod 569
≡ 126432 ⋅ 354 ⋅ 437 ⋅ 500 ⋅ 471 mod 569 ≡ 114 ⋅ 354 ⋅ 437 ⋅ 500 ⋅ 471 mod 569
≡ 40356 ⋅ 437 ⋅ 500 ⋅ 471 mod 569 ≡ 526 ⋅ 437 ⋅ 500 ⋅ 471 mod 569
≡ 229862 ⋅ 500 ⋅ 471 mod 569 ≡ 555 ⋅ 500 ⋅ 471 mod 569
≡ 277500 ⋅ 471 mod 569 ≡ 397 ⋅ 471 mod 569
≡ 186987 mod 569 ≡ 355 mod 569

Es gilt also: 471²¹⁹ ≡ 355 mod 569

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43

=>53	= 1⋅43 + 10
=>43	= 4⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 43-4⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10) = -3⋅43 +13⋅ 10 (=1)
10= 53-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43) = -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43) = 13⋅53 -16⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43

oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅53 = -16⋅43

-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43

-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1

(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1

37⋅43 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1

Somit 37⋅43 = 1 mod 53

37 ist also das Inverse von 43 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43

Schlüsselpaar für RSA