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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15004 - 246) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15004 - 246) mod 5 ≡ (15004 mod 5 - 246 mod 5) mod 5.

15004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15004 = 15000+4 = 5 ⋅ 3000 +4.

246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 5 ⋅ 48 +6.

Somit gilt:

(15004 - 246) mod 5 ≡ (4 - 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 59) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 59) mod 4 ≡ (22 mod 4 ⋅ 59 mod 4) mod 4.

22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.

59 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 14 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 59) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 443¹²⁸ mod 521.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 443 -> x
2. mod(x²,521) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 443¹=443

2: 443²=443¹⁺¹=443¹⋅443¹ ≡ 443⋅443=196249 ≡ 353 mod 521

4: 443⁴=443²⁺²=443²⋅443² ≡ 353⋅353=124609 ≡ 90 mod 521

8: 443⁸=443⁴⁺⁴=443⁴⋅443⁴ ≡ 90⋅90=8100 ≡ 285 mod 521

16: 443¹⁶=443⁸⁺⁸=443⁸⋅443⁸ ≡ 285⋅285=81225 ≡ 470 mod 521

32: 443³²=443¹⁶⁺¹⁶=443¹⁶⋅443¹⁶ ≡ 470⋅470=220900 ≡ 517 mod 521

64: 443⁶⁴=443³²⁺³²=443³²⋅443³² ≡ 517⋅517=267289 ≡ 16 mod 521

128: 443¹²⁸=443⁶⁴⁺⁶⁴=443⁶⁴⋅443⁶⁴ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 521

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 359²⁵¹ mod 421.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:

251 = 128+64+32+16+8+2+1

1: 359¹=359

2: 359²=359¹⁺¹=359¹⋅359¹ ≡ 359⋅359=128881 ≡ 55 mod 421

4: 359⁴=359²⁺²=359²⋅359² ≡ 55⋅55=3025 ≡ 78 mod 421

8: 359⁸=359⁴⁺⁴=359⁴⋅359⁴ ≡ 78⋅78=6084 ≡ 190 mod 421

16: 359¹⁶=359⁸⁺⁸=359⁸⋅359⁸ ≡ 190⋅190=36100 ≡ 315 mod 421

32: 359³²=359¹⁶⁺¹⁶=359¹⁶⋅359¹⁶ ≡ 315⋅315=99225 ≡ 290 mod 421

64: 359⁶⁴=359³²⁺³²=359³²⋅359³² ≡ 290⋅290=84100 ≡ 321 mod 421

128: 359¹²⁸=359⁶⁴⁺⁶⁴=359⁶⁴⋅359⁶⁴ ≡ 321⋅321=103041 ≡ 317 mod 421

359²⁵¹

= 359^{128+64+32+16+8+2+1}

= 359¹²⁸⋅359⁶⁴⋅359³²⋅359¹⁶⋅359⁸⋅359²⋅359¹

≡ 317 ⋅ 321 ⋅ 290 ⋅ 315 ⋅ 190 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421
≡ 101757 ⋅ 290 ⋅ 315 ⋅ 190 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421 ≡ 296 ⋅ 290 ⋅ 315 ⋅ 190 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421
≡ 85840 ⋅ 315 ⋅ 190 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421 ≡ 377 ⋅ 315 ⋅ 190 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421
≡ 118755 ⋅ 190 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421 ≡ 33 ⋅ 190 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421
≡ 6270 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421 ≡ 376 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421
≡ 20680 ⋅ 359 mod 421 ≡ 51 ⋅ 359 mod 421
≡ 18309 mod 421 ≡ 206 mod 421

Es gilt also: 359²⁵¹ ≡ 206 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 51

=>59	= 1⋅51 + 8
=>51	= 6⋅8 + 3
=>8	= 2⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 51-6⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅8 +3⋅(51 -6⋅ 8) = -1⋅8 +3⋅51 -18⋅ 8) = 3⋅51 -19⋅ 8 (=1)
8= 59-1⋅51	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅51 -19⋅(59 -1⋅ 51) = 3⋅51 -19⋅59 +19⋅ 51) = -19⋅59 +22⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(59,51)=1 = -19⋅59 +22⋅51

oder wenn man -19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅59 = +22⋅51

Es gilt also: 22⋅51 = 19⋅59 +1

Somit 22⋅51 = 1 mod 59

22 ist also das Inverse von 51 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 51

Schlüsselpaar für RSA