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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9001 + 1197) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9001 + 1197) mod 3 ≡ (9001 mod 3 + 1197 mod 3) mod 3.

9001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9001 = 9000+1 = 3 ⋅ 3000 +1.

1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 3 ⋅ 400 -3 = 3 ⋅ 400 - 3 + 0.

Somit gilt:

(9001 + 1197) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 34) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 34) mod 9 ≡ (29 mod 9 ⋅ 34 mod 9) mod 9.

29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.

34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 34) mod 9 ≡ (2 ⋅ 7) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 12564 mod 269.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 125 -> x
2. mod(x²,269) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1251=125

2: 1252=1251+1=1251⋅1251 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 23 mod 269

4: 1254=1252+2=1252⋅1252 ≡ 23⋅23=529 ≡ 260 mod 269

8: 1258=1254+4=1254⋅1254 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 81 mod 269

16: 12516=1258+8=1258⋅1258 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 105 mod 269

32: 12532=12516+16=12516⋅12516 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 265 mod 269

64: 12564=12532+32=12532⋅12532 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 16 mod 269

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 253202 mod 421.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:

202 = 128+64+8+2

1: 2531=253

2: 2532=2531+1=2531⋅2531 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 17 mod 421

4: 2534=2532+2=2532⋅2532 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 421

8: 2538=2534+4=2534⋅2534 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 163 mod 421

16: 25316=2538+8=2538⋅2538 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 46 mod 421

32: 25332=25316+16=25316⋅25316 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 11 mod 421

64: 25364=25332+32=25332⋅25332 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 421

128: 253128=25364+64=25364⋅25364 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 327 mod 421

253202

= 253128+64+8+2

= 253128⋅25364⋅2538⋅2532

≡ 327 ⋅ 121 ⋅ 163 ⋅ 17 mod 421
≡ 39567 ⋅ 163 ⋅ 17 mod 421 ≡ 414 ⋅ 163 ⋅ 17 mod 421
≡ 67482 ⋅ 17 mod 421 ≡ 122 ⋅ 17 mod 421
≡ 2074 mod 421 ≡ 390 mod 421

Es gilt also: 253202 ≡ 390 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52

=>59 = 1⋅52 + 7
=>52 = 7⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 52-7⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7)
= -2⋅52 +15⋅ 7 (=1)
7= 59-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52)
= 15⋅59 -17⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52

oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅59 = -17⋅52

-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52

-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1

(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1

42⋅52 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1

Somit 42⋅52 = 1 mod 59

42 ist also das Inverse von 52 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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