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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19996 - 20000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19996 - 20000) mod 4 ≡ (19996 mod 4 - 20000 mod 4) mod 4.

19996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19996 = 19000+996 = 4 ⋅ 4750 +996.

20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 4 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(19996 - 20000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 69) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 69) mod 6 ≡ (81 mod 6 ⋅ 69 mod 6) mod 6.

81 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 78 + 3 = 13 ⋅ 6 + 3 ist.

69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 69) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 44016 mod 617.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 440 -> x
2. mod(x²,617) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4401=440

2: 4402=4401+1=4401⋅4401 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 479 mod 617

4: 4404=4402+2=4402⋅4402 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 534 mod 617

8: 4408=4404+4=4404⋅4404 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 102 mod 617

16: 44016=4408+8=4408⋅4408 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 532 mod 617

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 98166 mod 307.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:

166 = 128+32+4+2

1: 981=98

2: 982=981+1=981⋅981 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 87 mod 307

4: 984=982+2=982⋅982 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 201 mod 307

8: 988=984+4=984⋅984 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 184 mod 307

16: 9816=988+8=988⋅988 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 86 mod 307

32: 9832=9816+16=9816⋅9816 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 28 mod 307

64: 9864=9832+32=9832⋅9832 ≡ 28⋅28=784 ≡ 170 mod 307

128: 98128=9864+64=9864⋅9864 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 42 mod 307

98166

= 98128+32+4+2

= 98128⋅9832⋅984⋅982

≡ 42 ⋅ 28 ⋅ 201 ⋅ 87 mod 307
≡ 1176 ⋅ 201 ⋅ 87 mod 307 ≡ 255 ⋅ 201 ⋅ 87 mod 307
≡ 51255 ⋅ 87 mod 307 ≡ 293 ⋅ 87 mod 307
≡ 25491 mod 307 ≡ 10 mod 307

Es gilt also: 98166 ≡ 10 mod 307

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 45

=>59 = 1⋅45 + 14
=>45 = 3⋅14 + 3
=>14 = 4⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3)
= -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 45-3⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +5⋅(45 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅45 -15⋅ 14)
= 5⋅45 -16⋅ 14 (=1)
14= 59-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅45 -16⋅(59 -1⋅ 45)
= 5⋅45 -16⋅59 +16⋅ 45)
= -16⋅59 +21⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(59,45)=1 = -16⋅59 +21⋅45

oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅59 = +21⋅45

Es gilt also: 21⋅45 = 16⋅59 +1

Somit 21⋅45 = 1 mod 59

21 ist also das Inverse von 45 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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