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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8002 - 201) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8002 - 201) mod 4 ≡ (8002 mod 4 - 201 mod 4) mod 4.

8002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002 = 8000+2 = 4 ⋅ 2000 +2.

201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 4 ⋅ 50 +1.

Somit gilt:

(8002 - 201) mod 4 ≡ (2 - 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 46) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 46) mod 4 ≡ (59 mod 4 ⋅ 46 mod 4) mod 4.

59 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 14 ⋅ 4 + 3 ist.

46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 46) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14432 mod 311.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 144 -> x
2. mod(x²,311) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1441=144

2: 1442=1441+1=1441⋅1441 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 210 mod 311

4: 1444=1442+2=1442⋅1442 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 249 mod 311

8: 1448=1444+4=1444⋅1444 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 112 mod 311

16: 14416=1448+8=1448⋅1448 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 104 mod 311

32: 14432=14416+16=14416⋅14416 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 242 mod 311

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 65383 mod 977.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:

83 = 64+16+2+1

1: 6531=653

2: 6532=6531+1=6531⋅6531 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 437 mod 977

4: 6534=6532+2=6532⋅6532 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 454 mod 977

8: 6538=6534+4=6534⋅6534 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 946 mod 977

16: 65316=6538+8=6538⋅6538 ≡ 946⋅946=894916 ≡ 961 mod 977

32: 65332=65316+16=65316⋅65316 ≡ 961⋅961=923521 ≡ 256 mod 977

64: 65364=65332+32=65332⋅65332 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 77 mod 977

65383

= 65364+16+2+1

= 65364⋅65316⋅6532⋅6531

≡ 77 ⋅ 961 ⋅ 437 ⋅ 653 mod 977
≡ 73997 ⋅ 437 ⋅ 653 mod 977 ≡ 722 ⋅ 437 ⋅ 653 mod 977
≡ 315514 ⋅ 653 mod 977 ≡ 920 ⋅ 653 mod 977
≡ 600760 mod 977 ≡ 882 mod 977

Es gilt also: 65383 ≡ 882 mod 977

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 59

=>101 = 1⋅59 + 42
=>59 = 1⋅42 + 17
=>42 = 2⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17)
= -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42)
= 5⋅59 -7⋅ 42 (=1)
42= 101-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅59 -7⋅(101 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -7⋅101 +7⋅ 59)
= -7⋅101 +12⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(101,59)=1 = -7⋅101 +12⋅59

oder wenn man -7⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅101 = +12⋅59

Es gilt also: 12⋅59 = 7⋅101 +1

Somit 12⋅59 = 1 mod 101

12 ist also das Inverse von 59 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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