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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (802 + 23997) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(802 + 23997) mod 8 ≡ (802 mod 8 + 23997 mod 8) mod 8.

802 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 802 = 800+2 = 8 ⋅ 100 +2.

23997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23997 = 23000+997 = 8 ⋅ 2875 +997.

Somit gilt:

(802 + 23997) mod 8 ≡ (2 + 5) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 27) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 27) mod 10 ≡ (64 mod 10 ⋅ 27 mod 10) mod 10.

64 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 6 ⋅ 10 + 4 ist.

27 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 20 + 7 = 2 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 27) mod 10 ≡ (4 ⋅ 7) mod 10 ≡ 28 mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 51364 mod 757.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 513 -> x
2. mod(x²,757) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5131=513

2: 5132=5131+1=5131⋅5131 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 490 mod 757

4: 5134=5132+2=5132⋅5132 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 131 mod 757

8: 5138=5134+4=5134⋅5134 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 507 mod 757

16: 51316=5138+8=5138⋅5138 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 426 mod 757

32: 51332=51316+16=51316⋅51316 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 553 mod 757

64: 51364=51332+32=51332⋅51332 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 738 mod 757

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 85116 mod 223.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:

116 = 64+32+16+4

1: 851=85

2: 852=851+1=851⋅851 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 89 mod 223

4: 854=852+2=852⋅852 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 116 mod 223

8: 858=854+4=854⋅854 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 76 mod 223

16: 8516=858+8=858⋅858 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 201 mod 223

32: 8532=8516+16=8516⋅8516 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 38 mod 223

64: 8564=8532+32=8532⋅8532 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 106 mod 223

85116

= 8564+32+16+4

= 8564⋅8532⋅8516⋅854

≡ 106 ⋅ 38 ⋅ 201 ⋅ 116 mod 223
≡ 4028 ⋅ 201 ⋅ 116 mod 223 ≡ 14 ⋅ 201 ⋅ 116 mod 223
≡ 2814 ⋅ 116 mod 223 ≡ 138 ⋅ 116 mod 223
≡ 16008 mod 223 ≡ 175 mod 223

Es gilt also: 85116 ≡ 175 mod 223

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28

=>61 = 2⋅28 + 5
=>28 = 5⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5)
= 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 61-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28)
= -11⋅61 +24⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +24⋅28

Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1

Somit 24⋅28 = 1 mod 61

24 ist also das Inverse von 28 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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