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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (447 + 449) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(447 + 449) mod 9 ≡ (447 mod 9 + 449 mod 9) mod 9.
447 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 447
= 450
449 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 449
= 450
Somit gilt:
(447 + 449) mod 9 ≡ (6 + 8) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 94) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 94) mod 7 ≡ (98 mod 7 ⋅ 94 mod 7) mod 7.
98 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 98 + 0 = 14 ⋅ 7 + 0 ist.
94 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 91 + 3 = 13 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 94) mod 7 ≡ (0 ⋅ 3) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3128 mod 491.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 312 -> x
2. mod(x²,491) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3121=312
2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 126 mod 491
4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 164 mod 491
8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 382 mod 491
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 320101 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 101 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 101 an und zerlegen 101 in eine Summer von 2er-Potenzen:
101 = 64+32+4+1
1: 3201=320
2: 3202=3201+1=3201⋅3201 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 111 mod 547
4: 3204=3202+2=3202⋅3202 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 287 mod 547
8: 3208=3204+4=3204⋅3204 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 319 mod 547
16: 32016=3208+8=3208⋅3208 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 19 mod 547
32: 32032=32016+16=32016⋅32016 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 547
64: 32064=32032+32=32032⋅32032 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 135 mod 547
320101
= 32064+32+4+1
= 32064⋅32032⋅3204⋅3201
≡ 135 ⋅ 361 ⋅ 287 ⋅ 320 mod 547
≡ 48735 ⋅ 287 ⋅ 320 mod 547 ≡ 52 ⋅ 287 ⋅ 320 mod 547
≡ 14924 ⋅ 320 mod 547 ≡ 155 ⋅ 320 mod 547
≡ 49600 mod 547 ≡ 370 mod 547
Es gilt also: 320101 ≡ 370 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 30
| =>83 | = 2⋅30 + 23 |
| =>30 | = 1⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 30-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 83-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅30 -13⋅(83 -2⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅83 +26⋅ 30) = -13⋅83 +36⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,30)=1 = -13⋅83 +36⋅30
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +36⋅30
Es gilt also: 36⋅30 = 13⋅83 +1
Somit 36⋅30 = 1 mod 83
36 ist also das Inverse von 30 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.