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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4497 + 45005) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4497 + 45005) mod 9 ≡ (4497 mod 9 + 45005 mod 9) mod 9.
4497 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4497
= 4500
45005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45005
= 45000
Somit gilt:
(4497 + 45005) mod 9 ≡ (6 + 5) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 48) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 48) mod 4 ≡ (28 mod 4 ⋅ 48 mod 4) mod 4.
28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.
48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 48) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 61264 mod 641.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 612 -> x
2. mod(x²,641) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6121=612
2: 6122=6121+1=6121⋅6121 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 200 mod 641
4: 6124=6122+2=6122⋅6122 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 258 mod 641
8: 6128=6124+4=6124⋅6124 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 541 mod 641
16: 61216=6128+8=6128⋅6128 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 385 mod 641
32: 61232=61216+16=61216⋅61216 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 154 mod 641
64: 61264=61232+32=61232⋅61232 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 640 mod 641
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 257178 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:
178 = 128+32+16+2
1: 2571=257
2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 305 mod 587
4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 279 mod 587
8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 357 mod 587
16: 25716=2578+8=2578⋅2578 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 70 mod 587
32: 25732=25716+16=25716⋅25716 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 204 mod 587
64: 25764=25732+32=25732⋅25732 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 526 mod 587
128: 257128=25764+64=25764⋅25764 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 199 mod 587
257178
= 257128+32+16+2
= 257128⋅25732⋅25716⋅2572
≡ 199 ⋅ 204 ⋅ 70 ⋅ 305 mod 587
≡ 40596 ⋅ 70 ⋅ 305 mod 587 ≡ 93 ⋅ 70 ⋅ 305 mod 587
≡ 6510 ⋅ 305 mod 587 ≡ 53 ⋅ 305 mod 587
≡ 16165 mod 587 ≡ 316 mod 587
Es gilt also: 257178 ≡ 316 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.