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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (600 + 57) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(600 + 57) mod 3 ≡ (600 mod 3 + 57 mod 3) mod 3.

600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600 = 600+0 = 3 ⋅ 200 +0.

57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 60-3 = 3 ⋅ 20 -3 = 3 ⋅ 20 - 3 + 0.

Somit gilt:

(600 + 57) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 32) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 32) mod 3 ≡ (94 mod 3 ⋅ 32 mod 3) mod 3.

94 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 93 + 1 = 31 ⋅ 3 + 1 ist.

32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 10 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 32) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 403128 mod 613.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 403 -> x
2. mod(x²,613) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4031=403

2: 4032=4031+1=4031⋅4031 ≡ 403⋅403=162409 ≡ 577 mod 613

4: 4034=4032+2=4032⋅4032 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 70 mod 613

8: 4038=4034+4=4034⋅4034 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 609 mod 613

16: 40316=4038+8=4038⋅4038 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 16 mod 613

32: 40332=40316+16=40316⋅40316 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 613

64: 40364=40332+32=40332⋅40332 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 558 mod 613

128: 403128=40364+64=40364⋅40364 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 573 mod 613

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 353212 mod 997.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 212 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 212 an und zerlegen 212 in eine Summer von 2er-Potenzen:

212 = 128+64+16+4

1: 3531=353

2: 3532=3531+1=3531⋅3531 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 981 mod 997

4: 3534=3532+2=3532⋅3532 ≡ 981⋅981=962361 ≡ 256 mod 997

8: 3538=3534+4=3534⋅3534 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 731 mod 997

16: 35316=3538+8=3538⋅3538 ≡ 731⋅731=534361 ≡ 966 mod 997

32: 35332=35316+16=35316⋅35316 ≡ 966⋅966=933156 ≡ 961 mod 997

64: 35364=35332+32=35332⋅35332 ≡ 961⋅961=923521 ≡ 299 mod 997

128: 353128=35364+64=35364⋅35364 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 668 mod 997

353212

= 353128+64+16+4

= 353128⋅35364⋅35316⋅3534

≡ 668 ⋅ 299 ⋅ 966 ⋅ 256 mod 997
≡ 199732 ⋅ 966 ⋅ 256 mod 997 ≡ 332 ⋅ 966 ⋅ 256 mod 997
≡ 320712 ⋅ 256 mod 997 ≡ 675 ⋅ 256 mod 997
≡ 172800 mod 997 ≡ 319 mod 997

Es gilt also: 353212 ≡ 319 mod 997

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31

=>73 = 2⋅31 + 11
=>31 = 2⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11)
= 5⋅31 -14⋅ 11 (=1)
11= 73-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31)
= 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31)
= -14⋅73 +33⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +33⋅31

Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1

Somit 33⋅31 = 1 mod 73

33 ist also das Inverse von 31 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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