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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (350 - 283) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(350 - 283) mod 7 ≡ (350 mod 7 - 283 mod 7) mod 7.
350 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 350
= 350
283 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 283
= 280
Somit gilt:
(350 - 283) mod 7 ≡ (0 - 3) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 44) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 44) mod 6 ≡ (27 mod 6 ⋅ 44 mod 6) mod 6.
27 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 4 ⋅ 6 + 3 ist.
44 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 7 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 44) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47764 mod 821.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 477 -> x
2. mod(x²,821) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4771=477
2: 4772=4771+1=4771⋅4771 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 112 mod 821
4: 4774=4772+2=4772⋅4772 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 229 mod 821
8: 4778=4774+4=4774⋅4774 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 718 mod 821
16: 47716=4778+8=4778⋅4778 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 757 mod 821
32: 47732=47716+16=47716⋅47716 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 812 mod 821
64: 47764=47732+32=47732⋅47732 ≡ 812⋅812=659344 ≡ 81 mod 821
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 528187 mod 557.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:
187 = 128+32+16+8+2+1
1: 5281=528
2: 5282=5281+1=5281⋅5281 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 284 mod 557
4: 5284=5282+2=5282⋅5282 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 448 mod 557
8: 5288=5284+4=5284⋅5284 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 184 mod 557
16: 52816=5288+8=5288⋅5288 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 436 mod 557
32: 52832=52816+16=52816⋅52816 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 159 mod 557
64: 52864=52832+32=52832⋅52832 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 216 mod 557
128: 528128=52864+64=52864⋅52864 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 425 mod 557
528187
= 528128+32+16+8+2+1
= 528128⋅52832⋅52816⋅5288⋅5282⋅5281
≡ 425 ⋅ 159 ⋅ 436 ⋅ 184 ⋅ 284 ⋅ 528 mod 557
≡ 67575 ⋅ 436 ⋅ 184 ⋅ 284 ⋅ 528 mod 557 ≡ 178 ⋅ 436 ⋅ 184 ⋅ 284 ⋅ 528 mod 557
≡ 77608 ⋅ 184 ⋅ 284 ⋅ 528 mod 557 ≡ 185 ⋅ 184 ⋅ 284 ⋅ 528 mod 557
≡ 34040 ⋅ 284 ⋅ 528 mod 557 ≡ 63 ⋅ 284 ⋅ 528 mod 557
≡ 17892 ⋅ 528 mod 557 ≡ 68 ⋅ 528 mod 557
≡ 35904 mod 557 ≡ 256 mod 557
Es gilt also: 528187 ≡ 256 mod 557
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52
| =>73 | = 1⋅52 + 21 |
| =>52 | = 2⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 52-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(52 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅52 +4⋅ 21) = -2⋅52 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +5⋅(73 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +5⋅73 -5⋅ 52) = 5⋅73 -7⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,52)=1 = 5⋅73 -7⋅52
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -7⋅52
-7⋅52 = -5⋅73 + 1 |+73⋅52
-7⋅52 + 73⋅52 = -5⋅73 + 73⋅52 + 1
(-7 + 73) ⋅ 52 = (-5 + 52) ⋅ 73 + 1
66⋅52 = 47⋅73 + 1
Es gilt also: 66⋅52 = 47⋅73 +1
Somit 66⋅52 = 1 mod 73
66 ist also das Inverse von 52 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
