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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35995 - 4498) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35995 - 4498) mod 9 ≡ (35995 mod 9 - 4498 mod 9) mod 9.

35995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35995 = 36000-5 = 9 ⋅ 4000 -5 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 4.

4498 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4498 = 4500-2 = 9 ⋅ 500 -2 = 9 ⋅ 500 - 9 + 7.

Somit gilt:

(35995 - 4498) mod 9 ≡ (4 - 7) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 39) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 39) mod 9 ≡ (74 mod 9 ⋅ 39 mod 9) mod 9.

74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.

39 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 4 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 39) mod 9 ≡ (2 ⋅ 3) mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 42464 mod 509.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 424 -> x
2. mod(x²,509) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4241=424

2: 4242=4241+1=4241⋅4241 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 99 mod 509

4: 4244=4242+2=4242⋅4242 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 130 mod 509

8: 4248=4244+4=4244⋅4244 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 103 mod 509

16: 42416=4248+8=4248⋅4248 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 429 mod 509

32: 42432=42416+16=42416⋅42416 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 292 mod 509

64: 42464=42432+32=42432⋅42432 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 261 mod 509

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 396133 mod 919.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:

133 = 128+4+1

1: 3961=396

2: 3962=3961+1=3961⋅3961 ≡ 396⋅396=156816 ≡ 586 mod 919

4: 3964=3962+2=3962⋅3962 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 609 mod 919

8: 3968=3964+4=3964⋅3964 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 524 mod 919

16: 39616=3968+8=3968⋅3968 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 714 mod 919

32: 39632=39616+16=39616⋅39616 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 670 mod 919

64: 39664=39632+32=39632⋅39632 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 428 mod 919

128: 396128=39664+64=39664⋅39664 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 303 mod 919

396133

= 396128+4+1

= 396128⋅3964⋅3961

≡ 303 ⋅ 609 ⋅ 396 mod 919
≡ 184527 ⋅ 396 mod 919 ≡ 727 ⋅ 396 mod 919
≡ 287892 mod 919 ≡ 245 mod 919

Es gilt also: 396133 ≡ 245 mod 919

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.

Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19

=>61 = 3⋅19 + 4
=>19 = 4⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 19-4⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4)
= -1⋅19 +5⋅ 4 (=1)
4= 61-3⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19)
= 5⋅61 -16⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19

oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅61 = -16⋅19

-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19

-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1

(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1

45⋅19 = 14⋅61 + 1

Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1

Somit 45⋅19 = 1 mod 61

45 ist also das Inverse von 19 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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