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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3200 - 3204) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3200 - 3204) mod 8 ≡ (3200 mod 8 - 3204 mod 8) mod 8.

3200 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3200 = 3200+0 = 8 ⋅ 400 +0.

3204 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3204 = 3200+4 = 8 ⋅ 400 +4.

Somit gilt:

(3200 - 3204) mod 8 ≡ (0 - 4) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 83) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 83) mod 10 ≡ (43 mod 10 ⋅ 83 mod 10) mod 10.

43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.

83 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 8 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 83) mod 10 ≡ (3 ⋅ 3) mod 10 ≡ 9 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 451¹⁶ mod 587.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 451 -> x
2. mod(x²,587) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 451¹=451

2: 451²=451¹⁺¹=451¹⋅451¹ ≡ 451⋅451=203401 ≡ 299 mod 587

4: 451⁴=451²⁺²=451²⋅451² ≡ 299⋅299=89401 ≡ 177 mod 587

8: 451⁸=451⁴⁺⁴=451⁴⋅451⁴ ≡ 177⋅177=31329 ≡ 218 mod 587

16: 451¹⁶=451⁸⁺⁸=451⁸⋅451⁸ ≡ 218⋅218=47524 ≡ 564 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 212¹⁹¹ mod 557.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

1: 212¹=212

2: 212²=212¹⁺¹=212¹⋅212¹ ≡ 212⋅212=44944 ≡ 384 mod 557

4: 212⁴=212²⁺²=212²⋅212² ≡ 384⋅384=147456 ≡ 408 mod 557

8: 212⁸=212⁴⁺⁴=212⁴⋅212⁴ ≡ 408⋅408=166464 ≡ 478 mod 557

16: 212¹⁶=212⁸⁺⁸=212⁸⋅212⁸ ≡ 478⋅478=228484 ≡ 114 mod 557

32: 212³²=212¹⁶⁺¹⁶=212¹⁶⋅212¹⁶ ≡ 114⋅114=12996 ≡ 185 mod 557

64: 212⁶⁴=212³²⁺³²=212³²⋅212³² ≡ 185⋅185=34225 ≡ 248 mod 557

128: 212¹²⁸=212⁶⁴⁺⁶⁴=212⁶⁴⋅212⁶⁴ ≡ 248⋅248=61504 ≡ 234 mod 557

212¹⁹¹

= 212^{128+32+16+8+4+2+1}

= 212¹²⁸⋅212³²⋅212¹⁶⋅212⁸⋅212⁴⋅212²⋅212¹

≡ 234 ⋅ 185 ⋅ 114 ⋅ 478 ⋅ 408 ⋅ 384 ⋅ 212 mod 557
≡ 43290 ⋅ 114 ⋅ 478 ⋅ 408 ⋅ 384 ⋅ 212 mod 557 ≡ 401 ⋅ 114 ⋅ 478 ⋅ 408 ⋅ 384 ⋅ 212 mod 557
≡ 45714 ⋅ 478 ⋅ 408 ⋅ 384 ⋅ 212 mod 557 ≡ 40 ⋅ 478 ⋅ 408 ⋅ 384 ⋅ 212 mod 557
≡ 19120 ⋅ 408 ⋅ 384 ⋅ 212 mod 557 ≡ 182 ⋅ 408 ⋅ 384 ⋅ 212 mod 557
≡ 74256 ⋅ 384 ⋅ 212 mod 557 ≡ 175 ⋅ 384 ⋅ 212 mod 557
≡ 67200 ⋅ 212 mod 557 ≡ 360 ⋅ 212 mod 557
≡ 76320 mod 557 ≡ 11 mod 557

Es gilt also: 212¹⁹¹ ≡ 11 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 84.

Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 84

=>97	= 1⋅84 + 13
=>84	= 6⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 84-6⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(84 -6⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅84 +12⋅ 13) = -2⋅84 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-1⋅84	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅84 +13⋅(97 -1⋅ 84) = -2⋅84 +13⋅97 -13⋅ 84) = 13⋅97 -15⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(97,84)=1 = 13⋅97 -15⋅84

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -15⋅84

-15⋅84 = -13⋅97 + 1 |+97⋅84

-15⋅84 + 97⋅84 = -13⋅97 + 97⋅84 + 1

(-15 + 97) ⋅ 84 = (-13 + 84) ⋅ 97 + 1

82⋅84 = 71⋅97 + 1

Es gilt also: 82⋅84 = 71⋅97 +1

Somit 82⋅84 = 1 mod 97

82 ist also das Inverse von 84 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 84

Schlüsselpaar für RSA