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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 - 71) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 - 71) mod 7 ≡ (75 mod 7 - 71 mod 7) mod 7.

75 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70+5 = 7 ⋅ 10 +5.

71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70+1 = 7 ⋅ 10 +1.

Somit gilt:

(75 - 71) mod 7 ≡ (5 - 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 95) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 95) mod 8 ≡ (68 mod 8 ⋅ 95 mod 8) mod 8.

68 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 64 + 4 = 8 ⋅ 8 + 4 ist.

95 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 11 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 95) mod 8 ≡ (4 ⋅ 7) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 44016 mod 941.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 440 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4401=440

2: 4402=4401+1=4401⋅4401 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 695 mod 941

4: 4404=4402+2=4402⋅4402 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 292 mod 941

8: 4408=4404+4=4404⋅4404 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 574 mod 941

16: 44016=4408+8=4408⋅4408 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 126 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 261131 mod 347.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:

131 = 128+2+1

1: 2611=261

2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 109 mod 347

4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 83 mod 347

8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 296 mod 347

16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 172 mod 347

32: 26132=26116+16=26116⋅26116 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 89 mod 347

64: 26164=26132+32=26132⋅26132 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 287 mod 347

128: 261128=26164+64=26164⋅26164 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 130 mod 347

261131

= 261128+2+1

= 261128⋅2612⋅2611

≡ 130 ⋅ 109 ⋅ 261 mod 347
≡ 14170 ⋅ 261 mod 347 ≡ 290 ⋅ 261 mod 347
≡ 75690 mod 347 ≡ 44 mod 347

Es gilt also: 261131 ≡ 44 mod 347

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 59

=>73 = 1⋅59 + 14
=>59 = 4⋅14 + 3
=>14 = 4⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3)
= -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 59-4⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +5⋅(59 -4⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅59 -20⋅ 14)
= 5⋅59 -21⋅ 14 (=1)
14= 73-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅59 -21⋅(73 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -21⋅73 +21⋅ 59)
= -21⋅73 +26⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(73,59)=1 = -21⋅73 +26⋅59

oder wenn man -21⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +21⋅73 = +26⋅59

Es gilt also: 26⋅59 = 21⋅73 +1

Somit 26⋅59 = 1 mod 73

26 ist also das Inverse von 59 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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