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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (10003 - 5000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10003 - 5000) mod 5 ≡ (10003 mod 5 - 5000 mod 5) mod 5.

10003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10003 = 10000+3 = 5 ⋅ 2000 +3.

5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000 = 5000+0 = 5 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(10003 - 5000) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 89) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 89) mod 11 ≡ (53 mod 11 ⋅ 89 mod 11) mod 11.

53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.

89 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 8 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 89) mod 11 ≡ (9 ⋅ 1) mod 11 ≡ 9 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3058 mod 769.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 305 -> x
2. mod(x²,769) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3051=305

2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 745 mod 769

4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 745⋅745=555025 ≡ 576 mod 769

8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 337 mod 769

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 690232 mod 853.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:

232 = 128+64+32+8

1: 6901=690

2: 6902=6901+1=6901⋅6901 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 126 mod 853

4: 6904=6902+2=6902⋅6902 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 522 mod 853

8: 6908=6904+4=6904⋅6904 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 377 mod 853

16: 69016=6908+8=6908⋅6908 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 531 mod 853

32: 69032=69016+16=69016⋅69016 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 471 mod 853

64: 69064=69032+32=69032⋅69032 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 61 mod 853

128: 690128=69064+64=69064⋅69064 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 309 mod 853

690232

= 690128+64+32+8

= 690128⋅69064⋅69032⋅6908

309 ⋅ 61 ⋅ 471 ⋅ 377 mod 853
18849 ⋅ 471 ⋅ 377 mod 853 ≡ 83 ⋅ 471 ⋅ 377 mod 853
39093 ⋅ 377 mod 853 ≡ 708 ⋅ 377 mod 853
266916 mod 853 ≡ 780 mod 853

Es gilt also: 690232 ≡ 780 mod 853

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 86.

Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 86

=>89 = 1⋅86 + 3
=>86 = 28⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,86)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 86-28⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(86 -28⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅86 +28⋅ 3)
= -1⋅86 +29⋅ 3 (=1)
3= 89-1⋅86 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅86 +29⋅(89 -1⋅ 86)
= -1⋅86 +29⋅89 -29⋅ 86)
= 29⋅89 -30⋅ 86 (=1)

Es gilt also: ggt(89,86)=1 = 29⋅89 -30⋅86

oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -29⋅89 = -30⋅86

-30⋅86 = -29⋅89 + 1 |+89⋅86

-30⋅86 + 89⋅86 = -29⋅89 + 89⋅86 + 1

(-30 + 89) ⋅ 86 = (-29 + 86) ⋅ 89 + 1

59⋅86 = 57⋅89 + 1

Es gilt also: 59⋅86 = 57⋅89 +1

Somit 59⋅86 = 1 mod 89

59 ist also das Inverse von 86 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.