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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (157 + 396) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(157 + 396) mod 8 ≡ (157 mod 8 + 396 mod 8) mod 8.
157 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157
= 160
396 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396
= 400
Somit gilt:
(157 + 396) mod 8 ≡ (5 + 4) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 85) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 85) mod 3 ≡ (96 mod 3 ⋅ 85 mod 3) mod 3.
96 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 32 ⋅ 3 + 0 ist.
85 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 28 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 85) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14264 mod 463.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 142 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1421=142
2: 1422=1421+1=1421⋅1421 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 255 mod 463
4: 1424=1422+2=1422⋅1422 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 205 mod 463
8: 1428=1424+4=1424⋅1424 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 355 mod 463
16: 14216=1428+8=1428⋅1428 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 89 mod 463
32: 14232=14216+16=14216⋅14216 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 50 mod 463
64: 14264=14232+32=14232⋅14232 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 185 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 251160 mod 401.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 2511=251
2: 2512=2511+1=2511⋅2511 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 44 mod 401
4: 2514=2512+2=2512⋅2512 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 332 mod 401
8: 2518=2514+4=2514⋅2514 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 350 mod 401
16: 25116=2518+8=2518⋅2518 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 195 mod 401
32: 25132=25116+16=25116⋅25116 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 331 mod 401
64: 25164=25132+32=25132⋅25132 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 88 mod 401
128: 251128=25164+64=25164⋅25164 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 125 mod 401
251160
= 251128+32
= 251128⋅25132
≡ 125 ⋅ 331 mod 401
≡ 41375 mod 401 ≡ 72 mod 401
Es gilt also: 251160 ≡ 72 mod 401
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43
| =>53 | = 1⋅43 + 10 |
| =>43 | = 4⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 43-4⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10) = -3⋅43 +13⋅ 10 (=1) |
| 10= 53-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43)
= -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43) = 13⋅53 -16⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43
oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅53 = -16⋅43
-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43
-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1
(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1
37⋅43 = 30⋅53 + 1
Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1
Somit 37⋅43 = 1 mod 53
37 ist also das Inverse von 43 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.