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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2103 - 70) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2103 - 70) mod 7 ≡ (2103 mod 7 - 70 mod 7) mod 7.

2103 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2103 = 2100+3 = 7 ⋅ 300 +3.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70+0 = 7 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(2103 - 70) mod 7 ≡ (3 - 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 67) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 67) mod 5 ≡ (29 mod 5 ⋅ 67 mod 5) mod 5.

29 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 25 + 4 = 5 ⋅ 5 + 4 ist.

67 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 65 + 2 = 13 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 67) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 49564 mod 859.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 495 -> x
2. mod(x²,859) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4951=495

2: 4952=4951+1=4951⋅4951 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 210 mod 859

4: 4954=4952+2=4952⋅4952 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 291 mod 859

8: 4958=4954+4=4954⋅4954 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 499 mod 859

16: 49516=4958+8=4958⋅4958 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 750 mod 859

32: 49532=49516+16=49516⋅49516 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 714 mod 859

64: 49564=49532+32=49532⋅49532 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 409 mod 859

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 258149 mod 797.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:

149 = 128+16+4+1

1: 2581=258

2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 413 mod 797

4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 11 mod 797

8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 797

16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 295 mod 797

32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 152 mod 797

64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 788 mod 797

128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 788⋅788=620944 ≡ 81 mod 797

258149

= 258128+16+4+1

= 258128⋅25816⋅2584⋅2581

81 ⋅ 295 ⋅ 11 ⋅ 258 mod 797
23895 ⋅ 11 ⋅ 258 mod 797 ≡ 782 ⋅ 11 ⋅ 258 mod 797
8602 ⋅ 258 mod 797 ≡ 632 ⋅ 258 mod 797
163056 mod 797 ≡ 468 mod 797

Es gilt also: 258149 ≡ 468 mod 797

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 42

=>79 = 1⋅42 + 37
=>42 = 1⋅37 + 5
=>37 = 7⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 37-7⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5)
= -2⋅37 +15⋅ 5 (=1)
5= 42-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅37 +15⋅(42 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅42 -15⋅ 37)
= 15⋅42 -17⋅ 37 (=1)
37= 79-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 15⋅42 -17⋅(79 -1⋅ 42)
= 15⋅42 -17⋅79 +17⋅ 42)
= -17⋅79 +32⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(79,42)=1 = -17⋅79 +32⋅42

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +32⋅42

Es gilt also: 32⋅42 = 17⋅79 +1

Somit 32⋅42 = 1 mod 79

32 ist also das Inverse von 42 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.