nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27996 + 2798) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27996 + 2798) mod 7 ≡ (27996 mod 7 + 2798 mod 7) mod 7.

27996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27996 = 28000-4 = 7 ⋅ 4000 -4 = 7 ⋅ 4000 - 7 + 3.

2798 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2798 = 2800-2 = 7 ⋅ 400 -2 = 7 ⋅ 400 - 7 + 5.

Somit gilt:

(27996 + 2798) mod 7 ≡ (3 + 5) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 27) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 27) mod 4 ≡ (99 mod 4 ⋅ 27 mod 4) mod 4.

99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.

27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 27) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18832 mod 257.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 188 -> x
2. mod(x²,257) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1881=188

2: 1882=1881+1=1881⋅1881 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 135 mod 257

4: 1884=1882+2=1882⋅1882 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 235 mod 257

8: 1888=1884+4=1884⋅1884 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 227 mod 257

16: 18816=1888+8=1888⋅1888 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 129 mod 257

32: 18832=18816+16=18816⋅18816 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 193 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 510190 mod 881.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

1: 5101=510

2: 5102=5101+1=5101⋅5101 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 205 mod 881

4: 5104=5102+2=5102⋅5102 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 618 mod 881

8: 5108=5104+4=5104⋅5104 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 451 mod 881

16: 51016=5108+8=5108⋅5108 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 771 mod 881

32: 51032=51016+16=51016⋅51016 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 647 mod 881

64: 51064=51032+32=51032⋅51032 ≡ 647⋅647=418609 ≡ 134 mod 881

128: 510128=51064+64=51064⋅51064 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 336 mod 881

510190

= 510128+32+16+8+4+2

= 510128⋅51032⋅51016⋅5108⋅5104⋅5102

336 ⋅ 647 ⋅ 771 ⋅ 451 ⋅ 618 ⋅ 205 mod 881
217392 ⋅ 771 ⋅ 451 ⋅ 618 ⋅ 205 mod 881 ≡ 666 ⋅ 771 ⋅ 451 ⋅ 618 ⋅ 205 mod 881
513486 ⋅ 451 ⋅ 618 ⋅ 205 mod 881 ≡ 744 ⋅ 451 ⋅ 618 ⋅ 205 mod 881
335544 ⋅ 618 ⋅ 205 mod 881 ≡ 764 ⋅ 618 ⋅ 205 mod 881
472152 ⋅ 205 mod 881 ≡ 817 ⋅ 205 mod 881
167485 mod 881 ≡ 95 mod 881

Es gilt also: 510190 ≡ 95 mod 881

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 30

=>97 = 3⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-3⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(97 -3⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅97 -39⋅ 30)
= 13⋅97 -42⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(97,30)=1 = 13⋅97 -42⋅30

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -42⋅30

-42⋅30 = -13⋅97 + 1 |+97⋅30

-42⋅30 + 97⋅30 = -13⋅97 + 97⋅30 + 1

(-42 + 97) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 97 + 1

55⋅30 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 55⋅30 = 17⋅97 +1

Somit 55⋅30 = 1 mod 97

55 ist also das Inverse von 30 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.