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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (116 + 3001) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(116 + 3001) mod 6 ≡ (116 mod 6 + 3001 mod 6) mod 6.

116 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116 = 120-4 = 6 ⋅ 20 -4 = 6 ⋅ 20 - 6 + 2.

3001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001 = 3000+1 = 6 ⋅ 500 +1.

Somit gilt:

(116 + 3001) mod 6 ≡ (2 + 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 24) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 24) mod 9 ≡ (62 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.

62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.

24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 24) mod 9 ≡ (8 ⋅ 6) mod 9 ≡ 48 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 111⁸ mod 311.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 111 -> x
2. mod(x²,311) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 111¹=111

2: 111²=111¹⁺¹=111¹⋅111¹ ≡ 111⋅111=12321 ≡ 192 mod 311

4: 111⁴=111²⁺²=111²⋅111² ≡ 192⋅192=36864 ≡ 166 mod 311

8: 111⁸=111⁴⁺⁴=111⁴⋅111⁴ ≡ 166⋅166=27556 ≡ 188 mod 311

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 164²²¹ mod 317.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

1: 164¹=164

2: 164²=164¹⁺¹=164¹⋅164¹ ≡ 164⋅164=26896 ≡ 268 mod 317

4: 164⁴=164²⁺²=164²⋅164² ≡ 268⋅268=71824 ≡ 182 mod 317

8: 164⁸=164⁴⁺⁴=164⁴⋅164⁴ ≡ 182⋅182=33124 ≡ 156 mod 317

16: 164¹⁶=164⁸⁺⁸=164⁸⋅164⁸ ≡ 156⋅156=24336 ≡ 244 mod 317

32: 164³²=164¹⁶⁺¹⁶=164¹⁶⋅164¹⁶ ≡ 244⋅244=59536 ≡ 257 mod 317

64: 164⁶⁴=164³²⁺³²=164³²⋅164³² ≡ 257⋅257=66049 ≡ 113 mod 317

128: 164¹²⁸=164⁶⁴⁺⁶⁴=164⁶⁴⋅164⁶⁴ ≡ 113⋅113=12769 ≡ 89 mod 317

164²²¹

= 164^{128+64+16+8+4+1}

= 164¹²⁸⋅164⁶⁴⋅164¹⁶⋅164⁸⋅164⁴⋅164¹

≡ 89 ⋅ 113 ⋅ 244 ⋅ 156 ⋅ 182 ⋅ 164 mod 317
≡ 10057 ⋅ 244 ⋅ 156 ⋅ 182 ⋅ 164 mod 317 ≡ 230 ⋅ 244 ⋅ 156 ⋅ 182 ⋅ 164 mod 317
≡ 56120 ⋅ 156 ⋅ 182 ⋅ 164 mod 317 ≡ 11 ⋅ 156 ⋅ 182 ⋅ 164 mod 317
≡ 1716 ⋅ 182 ⋅ 164 mod 317 ≡ 131 ⋅ 182 ⋅ 164 mod 317
≡ 23842 ⋅ 164 mod 317 ≡ 67 ⋅ 164 mod 317
≡ 10988 mod 317 ≡ 210 mod 317

Es gilt also: 164²²¹ ≡ 210 mod 317

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45

=>97	= 2⋅45 + 7
=>45	= 6⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 45-6⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-2⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45) = -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45) = 13⋅97 -28⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -28⋅45

-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45

-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1

(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1

69⋅45 = 32⋅97 + 1

Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1

Somit 69⋅45 = 1 mod 97

69 ist also das Inverse von 45 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45

Schlüsselpaar für RSA