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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4004 - 2400) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4004 - 2400) mod 8 ≡ (4004 mod 8 - 2400 mod 8) mod 8.

4004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004 = 4000+4 = 8 ⋅ 500 +4.

2400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 8 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(4004 - 2400) mod 8 ≡ (4 - 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 62) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 62) mod 10 ≡ (38 mod 10 ⋅ 62 mod 10) mod 10.

38 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 30 + 8 = 3 ⋅ 10 + 8 ist.

62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 62) mod 10 ≡ (8 ⋅ 2) mod 10 ≡ 16 mod 10 ≡ 6 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 285³² mod 941.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 285 -> x
2. mod(x²,941) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 285¹=285

2: 285²=285¹⁺¹=285¹⋅285¹ ≡ 285⋅285=81225 ≡ 299 mod 941

4: 285⁴=285²⁺²=285²⋅285² ≡ 299⋅299=89401 ≡ 6 mod 941

8: 285⁸=285⁴⁺⁴=285⁴⋅285⁴ ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 941

16: 285¹⁶=285⁸⁺⁸=285⁸⋅285⁸ ≡ 36⋅36=1296 ≡ 355 mod 941

32: 285³²=285¹⁶⁺¹⁶=285¹⁶⋅285¹⁶ ≡ 355⋅355=126025 ≡ 872 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 488²⁰⁰ mod 677.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:

200 = 128+64+8

1: 488¹=488

2: 488²=488¹⁺¹=488¹⋅488¹ ≡ 488⋅488=238144 ≡ 517 mod 677

4: 488⁴=488²⁺²=488²⋅488² ≡ 517⋅517=267289 ≡ 551 mod 677

8: 488⁸=488⁴⁺⁴=488⁴⋅488⁴ ≡ 551⋅551=303601 ≡ 305 mod 677

16: 488¹⁶=488⁸⁺⁸=488⁸⋅488⁸ ≡ 305⋅305=93025 ≡ 276 mod 677

32: 488³²=488¹⁶⁺¹⁶=488¹⁶⋅488¹⁶ ≡ 276⋅276=76176 ≡ 352 mod 677

64: 488⁶⁴=488³²⁺³²=488³²⋅488³² ≡ 352⋅352=123904 ≡ 13 mod 677

128: 488¹²⁸=488⁶⁴⁺⁶⁴=488⁶⁴⋅488⁶⁴ ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 677

488²⁰⁰

= 488^128+64+8

= 488¹²⁸⋅488⁶⁴⋅488⁸

≡ 169 ⋅ 13 ⋅ 305 mod 677
≡ 2197 ⋅ 305 mod 677 ≡ 166 ⋅ 305 mod 677
≡ 50630 mod 677 ≡ 532 mod 677

Es gilt also: 488²⁰⁰ ≡ 532 mod 677

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43

=>73	= 1⋅43 + 30
=>43	= 1⋅30 + 13
=>30	= 2⋅13 + 4
=>13	= 3⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13) = 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30) = -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30) = 7⋅43 -10⋅ 30 (=1)
30= 73-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43) = 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43) = -10⋅73 +17⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43

oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅73 = +17⋅43

Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1

Somit 17⋅43 = 1 mod 73

17 ist also das Inverse von 43 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43

Schlüsselpaar für RSA