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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2408 - 314) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2408 - 314) mod 8 ≡ (2408 mod 8 - 314 mod 8) mod 8.

2408 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2408 = 2400+8 = 8 ⋅ 300 +8.

314 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 314 = 320-6 = 8 ⋅ 40 -6 = 8 ⋅ 40 - 8 + 2.

Somit gilt:

(2408 - 314) mod 8 ≡ (0 - 2) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 30) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 30) mod 8 ≡ (56 mod 8 ⋅ 30 mod 8) mod 8.

56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.

30 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 24 + 6 = 3 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 30) mod 8 ≡ (0 ⋅ 6) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 45664 mod 857.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 456 -> x
2. mod(x²,857) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4561=456

2: 4562=4561+1=4561⋅4561 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 542 mod 857

4: 4564=4562+2=4562⋅4562 ≡ 542⋅542=293764 ≡ 670 mod 857

8: 4568=4564+4=4564⋅4564 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 689 mod 857

16: 45616=4568+8=4568⋅4568 ≡ 689⋅689=474721 ≡ 800 mod 857

32: 45632=45616+16=45616⋅45616 ≡ 800⋅800=640000 ≡ 678 mod 857

64: 45664=45632+32=45632⋅45632 ≡ 678⋅678=459684 ≡ 332 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 120243 mod 311.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

1: 1201=120

2: 1202=1201+1=1201⋅1201 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 94 mod 311

4: 1204=1202+2=1202⋅1202 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 128 mod 311

8: 1208=1204+4=1204⋅1204 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 212 mod 311

16: 12016=1208+8=1208⋅1208 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 160 mod 311

32: 12032=12016+16=12016⋅12016 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 98 mod 311

64: 12064=12032+32=12032⋅12032 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 274 mod 311

128: 120128=12064+64=12064⋅12064 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 125 mod 311

120243

= 120128+64+32+16+2+1

= 120128⋅12064⋅12032⋅12016⋅1202⋅1201

125 ⋅ 274 ⋅ 98 ⋅ 160 ⋅ 94 ⋅ 120 mod 311
34250 ⋅ 98 ⋅ 160 ⋅ 94 ⋅ 120 mod 311 ≡ 40 ⋅ 98 ⋅ 160 ⋅ 94 ⋅ 120 mod 311
3920 ⋅ 160 ⋅ 94 ⋅ 120 mod 311 ≡ 188 ⋅ 160 ⋅ 94 ⋅ 120 mod 311
30080 ⋅ 94 ⋅ 120 mod 311 ≡ 224 ⋅ 94 ⋅ 120 mod 311
21056 ⋅ 120 mod 311 ≡ 219 ⋅ 120 mod 311
26280 mod 311 ≡ 156 mod 311

Es gilt also: 120243 ≡ 156 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38

=>79 = 2⋅38 + 3
=>38 = 12⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 38-12⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3)
= -1⋅38 +13⋅ 3 (=1)
3= 79-2⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅38 +13⋅(79 -2⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅79 -26⋅ 38)
= 13⋅79 -27⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(79,38)=1 = 13⋅79 -27⋅38

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -27⋅38

-27⋅38 = -13⋅79 + 1 |+79⋅38

-27⋅38 + 79⋅38 = -13⋅79 + 79⋅38 + 1

(-27 + 79) ⋅ 38 = (-13 + 38) ⋅ 79 + 1

52⋅38 = 25⋅79 + 1

Es gilt also: 52⋅38 = 25⋅79 +1

Somit 52⋅38 = 1 mod 79

52 ist also das Inverse von 38 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.