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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 + 600) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 + 600) mod 6 ≡ (59 mod 6 + 600 mod 6) mod 6.

59 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 60-1 = 6 ⋅ 10 -1 = 6 ⋅ 10 - 6 + 5.

600 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600 = 600+0 = 6 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(59 + 600) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 41) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 41) mod 11 ≡ (85 mod 11 ⋅ 41 mod 11) mod 11.

85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.

41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 41) mod 11 ≡ (8 ⋅ 8) mod 11 ≡ 64 mod 11 ≡ 9 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 74632 mod 821.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 746 -> x
2. mod(x²,821) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7461=746

2: 7462=7461+1=7461⋅7461 ≡ 746⋅746=556516 ≡ 699 mod 821

4: 7464=7462+2=7462⋅7462 ≡ 699⋅699=488601 ≡ 106 mod 821

8: 7468=7464+4=7464⋅7464 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 563 mod 821

16: 74616=7468+8=7468⋅7468 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 63 mod 821

32: 74632=74616+16=74616⋅74616 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 685 mod 821

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 327167 mod 449.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:

167 = 128+32+4+2+1

1: 3271=327

2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 67 mod 449

4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 448 mod 449

8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 1 mod 449

16: 32716=3278+8=3278⋅3278 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449

32: 32732=32716+16=32716⋅32716 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449

64: 32764=32732+32=32732⋅32732 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449

128: 327128=32764+64=32764⋅32764 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449

327167

= 327128+32+4+2+1

= 327128⋅32732⋅3274⋅3272⋅3271

≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 448 ⋅ 67 ⋅ 327 mod 449
≡ 1 ⋅ 448 ⋅ 67 ⋅ 327 mod 449
≡ 448 ⋅ 67 ⋅ 327 mod 449
≡ 30016 ⋅ 327 mod 449 ≡ 382 ⋅ 327 mod 449
≡ 124914 mod 449 ≡ 92 mod 449

Es gilt also: 327167 ≡ 92 mod 449

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 29

=>97 = 3⋅29 + 10
=>29 = 2⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 29-2⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10)
= -1⋅29 +3⋅ 10 (=1)
10= 97-3⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +3⋅(97 -3⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅97 -9⋅ 29)
= 3⋅97 -10⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(97,29)=1 = 3⋅97 -10⋅29

oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅97 = -10⋅29

-10⋅29 = -3⋅97 + 1 |+97⋅29

-10⋅29 + 97⋅29 = -3⋅97 + 97⋅29 + 1

(-10 + 97) ⋅ 29 = (-3 + 29) ⋅ 97 + 1

87⋅29 = 26⋅97 + 1

Es gilt also: 87⋅29 = 26⋅97 +1

Somit 87⋅29 = 1 mod 97

87 ist also das Inverse von 29 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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