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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (177 - 186) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(177 - 186) mod 9 ≡ (177 mod 9 - 186 mod 9) mod 9.

177 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177 = 180-3 = 9 ⋅ 20 -3 = 9 ⋅ 20 - 9 + 6.

186 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 186 = 180+6 = 9 ⋅ 20 +6.

Somit gilt:

(177 - 186) mod 9 ≡ (6 - 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 89) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 89) mod 3 ≡ (26 mod 3 ⋅ 89 mod 3) mod 3.

26 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 8 ⋅ 3 + 2 ist.

89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 89) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 144³² mod 229.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 144 -> x
2. mod(x²,229) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 144¹=144

2: 144²=144¹⁺¹=144¹⋅144¹ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 126 mod 229

4: 144⁴=144²⁺²=144²⋅144² ≡ 126⋅126=15876 ≡ 75 mod 229

8: 144⁸=144⁴⁺⁴=144⁴⋅144⁴ ≡ 75⋅75=5625 ≡ 129 mod 229

16: 144¹⁶=144⁸⁺⁸=144⁸⋅144⁸ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 153 mod 229

32: 144³²=144¹⁶⁺¹⁶=144¹⁶⋅144¹⁶ ≡ 153⋅153=23409 ≡ 51 mod 229

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 559²³⁵ mod 607.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:

235 = 128+64+32+8+2+1

1: 559¹=559

2: 559²=559¹⁺¹=559¹⋅559¹ ≡ 559⋅559=312481 ≡ 483 mod 607

4: 559⁴=559²⁺²=559²⋅559² ≡ 483⋅483=233289 ≡ 201 mod 607

8: 559⁸=559⁴⁺⁴=559⁴⋅559⁴ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 339 mod 607

16: 559¹⁶=559⁸⁺⁸=559⁸⋅559⁸ ≡ 339⋅339=114921 ≡ 198 mod 607

32: 559³²=559¹⁶⁺¹⁶=559¹⁶⋅559¹⁶ ≡ 198⋅198=39204 ≡ 356 mod 607

64: 559⁶⁴=559³²⁺³²=559³²⋅559³² ≡ 356⋅356=126736 ≡ 480 mod 607

128: 559¹²⁸=559⁶⁴⁺⁶⁴=559⁶⁴⋅559⁶⁴ ≡ 480⋅480=230400 ≡ 347 mod 607

559²³⁵

= 559^{128+64+32+8+2+1}

= 559¹²⁸⋅559⁶⁴⋅559³²⋅559⁸⋅559²⋅559¹

≡ 347 ⋅ 480 ⋅ 356 ⋅ 339 ⋅ 483 ⋅ 559 mod 607
≡ 166560 ⋅ 356 ⋅ 339 ⋅ 483 ⋅ 559 mod 607 ≡ 242 ⋅ 356 ⋅ 339 ⋅ 483 ⋅ 559 mod 607
≡ 86152 ⋅ 339 ⋅ 483 ⋅ 559 mod 607 ≡ 565 ⋅ 339 ⋅ 483 ⋅ 559 mod 607
≡ 191535 ⋅ 483 ⋅ 559 mod 607 ≡ 330 ⋅ 483 ⋅ 559 mod 607
≡ 159390 ⋅ 559 mod 607 ≡ 356 ⋅ 559 mod 607
≡ 199004 mod 607 ≡ 515 mod 607

Es gilt also: 559²³⁵ ≡ 515 mod 607

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48

=>61	= 1⋅48 + 13
=>48	= 3⋅13 + 9
=>13	= 1⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 13-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9) = -2⋅13 +3⋅ 9 (=1)
9= 48-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13) = -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13) = 3⋅48 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48) = 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48) = -11⋅61 +14⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +14⋅48

Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1

Somit 14⋅48 = 1 mod 61

14 ist also das Inverse von 48 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48

Schlüsselpaar für RSA