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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1597 - 237) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1597 - 237) mod 8 ≡ (1597 mod 8 - 237 mod 8) mod 8.

1597 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1597 = 1600-3 = 8 ⋅ 200 -3 = 8 ⋅ 200 - 8 + 5.

237 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 237 = 240-3 = 8 ⋅ 30 -3 = 8 ⋅ 30 - 8 + 5.

Somit gilt:

(1597 - 237) mod 8 ≡ (5 - 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 33) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 33) mod 10 ≡ (62 mod 10 ⋅ 33 mod 10) mod 10.

62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.

33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 33) mod 10 ≡ (2 ⋅ 3) mod 10 ≡ 6 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17764 mod 223.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 177 -> x
2. mod(x²,223) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1771=177

2: 1772=1771+1=1771⋅1771 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 109 mod 223

4: 1774=1772+2=1772⋅1772 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 62 mod 223

8: 1778=1774+4=1774⋅1774 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 53 mod 223

16: 17716=1778+8=1778⋅1778 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 133 mod 223

32: 17732=17716+16=17716⋅17716 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 72 mod 223

64: 17764=17732+32=17732⋅17732 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 55 mod 223

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 472149 mod 547.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:

149 = 128+16+4+1

1: 4721=472

2: 4722=4721+1=4721⋅4721 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 155 mod 547

4: 4724=4722+2=4722⋅4722 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 504 mod 547

8: 4728=4724+4=4724⋅4724 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 208 mod 547

16: 47216=4728+8=4728⋅4728 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 51 mod 547

32: 47232=47216+16=47216⋅47216 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 413 mod 547

64: 47264=47232+32=47232⋅47232 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 452 mod 547

128: 472128=47264+64=47264⋅47264 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 273 mod 547

472149

= 472128+16+4+1

= 472128⋅47216⋅4724⋅4721

≡ 273 ⋅ 51 ⋅ 504 ⋅ 472 mod 547
≡ 13923 ⋅ 504 ⋅ 472 mod 547 ≡ 248 ⋅ 504 ⋅ 472 mod 547
≡ 124992 ⋅ 472 mod 547 ≡ 276 ⋅ 472 mod 547
≡ 130272 mod 547 ≡ 86 mod 547

Es gilt also: 472149 ≡ 86 mod 547

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 25

=>67 = 2⋅25 + 17
=>25 = 1⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 25-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17)
= -2⋅25 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅25 +3⋅(67 -2⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅67 -6⋅ 25)
= 3⋅67 -8⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(67,25)=1 = 3⋅67 -8⋅25

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -8⋅25

-8⋅25 = -3⋅67 + 1 |+67⋅25

-8⋅25 + 67⋅25 = -3⋅67 + 67⋅25 + 1

(-8 + 67) ⋅ 25 = (-3 + 25) ⋅ 67 + 1

59⋅25 = 22⋅67 + 1

Es gilt also: 59⋅25 = 22⋅67 +1

Somit 59⋅25 = 1 mod 67

59 ist also das Inverse von 25 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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