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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (116 + 3001) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(116 + 3001) mod 6 ≡ (116 mod 6 + 3001 mod 6) mod 6.
116 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116
= 120
3001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001
= 3000
Somit gilt:
(116 + 3001) mod 6 ≡ (2 + 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 24) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 24) mod 9 ≡ (62 mod 9 ⋅ 24 mod 9) mod 9.
62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.
24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 24) mod 9 ≡ (8 ⋅ 6) mod 9 ≡ 48 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1118 mod 311.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 111 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1111=111
2: 1112=1111+1=1111⋅1111 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 192 mod 311
4: 1114=1112+2=1112⋅1112 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 166 mod 311
8: 1118=1114+4=1114⋅1114 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 188 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 164221 mod 317.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:
221 = 128+64+16+8+4+1
1: 1641=164
2: 1642=1641+1=1641⋅1641 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 268 mod 317
4: 1644=1642+2=1642⋅1642 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 182 mod 317
8: 1648=1644+4=1644⋅1644 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 156 mod 317
16: 16416=1648+8=1648⋅1648 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 244 mod 317
32: 16432=16416+16=16416⋅16416 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 257 mod 317
64: 16464=16432+32=16432⋅16432 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 113 mod 317
128: 164128=16464+64=16464⋅16464 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 89 mod 317
164221
= 164128+64+16+8+4+1
= 164128⋅16464⋅16416⋅1648⋅1644⋅1641
≡ 89 ⋅ 113 ⋅ 244 ⋅ 156 ⋅ 182 ⋅ 164 mod 317
≡ 10057 ⋅ 244 ⋅ 156 ⋅ 182 ⋅ 164 mod 317 ≡ 230 ⋅ 244 ⋅ 156 ⋅ 182 ⋅ 164 mod 317
≡ 56120 ⋅ 156 ⋅ 182 ⋅ 164 mod 317 ≡ 11 ⋅ 156 ⋅ 182 ⋅ 164 mod 317
≡ 1716 ⋅ 182 ⋅ 164 mod 317 ≡ 131 ⋅ 182 ⋅ 164 mod 317
≡ 23842 ⋅ 164 mod 317 ≡ 67 ⋅ 164 mod 317
≡ 10988 mod 317 ≡ 210 mod 317
Es gilt also: 164221 ≡ 210 mod 317
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45
| =>97 | = 2⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-2⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45) = 13⋅97 -28⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -28⋅45
-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45
-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1
(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1
69⋅45 = 32⋅97 + 1
Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1
Somit 69⋅45 = 1 mod 97
69 ist also das Inverse von 45 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
