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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20000 - 800) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20000 - 800) mod 4 ≡ (20000 mod 4 - 800 mod 4) mod 4.
20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000
= 20000
800 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800
= 800
Somit gilt:
(20000 - 800) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 75) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 75) mod 8 ≡ (51 mod 8 ⋅ 75 mod 8) mod 8.
51 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 6 ⋅ 8 + 3 ist.
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 75) mod 8 ≡ (3 ⋅ 3) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23732 mod 461.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 237 -> x
2. mod(x²,461) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2371=237
2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 388 mod 461
4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 258 mod 461
8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 180 mod 461
16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 130 mod 461
32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 304 mod 461
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49069 mod 653.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:
69 = 64+4+1
1: 4901=490
2: 4902=4901+1=4901⋅4901 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 449 mod 653
4: 4904=4902+2=4902⋅4902 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 477 mod 653
8: 4908=4904+4=4904⋅4904 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 285 mod 653
16: 49016=4908+8=4908⋅4908 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 253 mod 653
32: 49032=49016+16=49016⋅49016 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 15 mod 653
64: 49064=49032+32=49032⋅49032 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 653
49069
= 49064+4+1
= 49064⋅4904⋅4901
≡ 225 ⋅ 477 ⋅ 490 mod 653
≡ 107325 ⋅ 490 mod 653 ≡ 233 ⋅ 490 mod 653
≡ 114170 mod 653 ≡ 548 mod 653
Es gilt also: 49069 ≡ 548 mod 653
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58
| =>71 | = 1⋅58 + 13 |
| =>58 | = 4⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 58-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -11⋅58
-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58
-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1
(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1
60⋅58 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1
Somit 60⋅58 = 1 mod 71
60 ist also das Inverse von 58 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.