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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1000 + 9996) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1000 + 9996) mod 5 ≡ (1000 mod 5 + 9996 mod 5) mod 5.

1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000 = 1000+0 = 5 ⋅ 200 +0.

9996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9996 = 9000+996 = 5 ⋅ 1800 +996.

Somit gilt:

(1000 + 9996) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 35) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 35) mod 3 ≡ (24 mod 3 ⋅ 35 mod 3) mod 3.

24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.

35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 35) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4258 mod 839.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 425 -> x
2. mod(x²,839) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4251=425

2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 240 mod 839

4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 548 mod 839

8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 781 mod 839

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 230109 mod 359.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:

109 = 64+32+8+4+1

1: 2301=230

2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 127 mod 359

4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 333 mod 359

8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 317 mod 359

16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 328 mod 359

32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 243 mod 359

64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 173 mod 359

230109

= 23064+32+8+4+1

= 23064⋅23032⋅2308⋅2304⋅2301

173 ⋅ 243 ⋅ 317 ⋅ 333 ⋅ 230 mod 359
42039 ⋅ 317 ⋅ 333 ⋅ 230 mod 359 ≡ 36 ⋅ 317 ⋅ 333 ⋅ 230 mod 359
11412 ⋅ 333 ⋅ 230 mod 359 ≡ 283 ⋅ 333 ⋅ 230 mod 359
94239 ⋅ 230 mod 359 ≡ 181 ⋅ 230 mod 359
41630 mod 359 ≡ 345 mod 359

Es gilt also: 230109 ≡ 345 mod 359

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 48

=>71 = 1⋅48 + 23
=>48 = 2⋅23 + 2
=>23 = 11⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 48-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅23 -11⋅(48 -2⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅48 +22⋅ 23)
= -11⋅48 +23⋅ 23 (=1)
23= 71-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅48 +23⋅(71 -1⋅ 48)
= -11⋅48 +23⋅71 -23⋅ 48)
= 23⋅71 -34⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(71,48)=1 = 23⋅71 -34⋅48

oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -23⋅71 = -34⋅48

-34⋅48 = -23⋅71 + 1 |+71⋅48

-34⋅48 + 71⋅48 = -23⋅71 + 71⋅48 + 1

(-34 + 71) ⋅ 48 = (-23 + 48) ⋅ 71 + 1

37⋅48 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 37⋅48 = 25⋅71 +1

Somit 37⋅48 = 1 mod 71

37 ist also das Inverse von 48 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.