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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12002 + 24005) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12002 + 24005) mod 6 ≡ (12002 mod 6 + 24005 mod 6) mod 6.
12002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
24005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24005
= 24000
Somit gilt:
(12002 + 24005) mod 6 ≡ (2 + 5) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 39) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(100 ⋅ 39) mod 10 ≡ (100 mod 10 ⋅ 39 mod 10) mod 10.
100 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 10 ⋅ 10 + 0 ist.
39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(100 ⋅ 39) mod 10 ≡ (0 ⋅ 9) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44516 mod 521.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 445 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4451=445
2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 45 mod 521
4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 462 mod 521
8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 355 mod 521
16: 44516=4458+8=4458⋅4458 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 464 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47866 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:
66 = 64+2
1: 4781=478
2: 4782=4781+1=4781⋅4781 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 299 mod 971
4: 4784=4782+2=4782⋅4782 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 69 mod 971
8: 4788=4784+4=4784⋅4784 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 877 mod 971
16: 47816=4788+8=4788⋅4788 ≡ 877⋅877=769129 ≡ 97 mod 971
32: 47832=47816+16=47816⋅47816 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 670 mod 971
64: 47864=47832+32=47832⋅47832 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 298 mod 971
47866
= 47864+2
= 47864⋅4782
≡ 298 ⋅ 299 mod 971
≡ 89102 mod 971 ≡ 741 mod 971
Es gilt also: 47866 ≡ 741 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 42
| =>67 | = 1⋅42 + 25 |
| =>42 | = 1⋅25 + 17 |
| =>25 | = 1⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 25-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 42-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅25 +3⋅(42 -1⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅42 -3⋅ 25) = 3⋅42 -5⋅ 25 (=1) |
| 25= 67-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅42 -5⋅(67 -1⋅ 42)
= 3⋅42 -5⋅67 +5⋅ 42) = -5⋅67 +8⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,42)=1 = -5⋅67 +8⋅42
oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅67 = +8⋅42
Es gilt also: 8⋅42 = 5⋅67 +1
Somit 8⋅42 = 1 mod 67
8 ist also das Inverse von 42 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.