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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (11997 + 8997) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11997 + 8997) mod 3 ≡ (11997 mod 3 + 8997 mod 3) mod 3.

11997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997 = 12000-3 = 3 ⋅ 4000 -3 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 0.

8997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997 = 9000-3 = 3 ⋅ 3000 -3 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(11997 + 8997) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 64) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 64) mod 3 ≡ (49 mod 3 ⋅ 64 mod 3) mod 3.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

64 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 21 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 64) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 625⁶⁴ mod 743.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 625 -> x
2. mod(x²,743) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 625¹=625

2: 625²=625¹⁺¹=625¹⋅625¹ ≡ 625⋅625=390625 ≡ 550 mod 743

4: 625⁴=625²⁺²=625²⋅625² ≡ 550⋅550=302500 ≡ 99 mod 743

8: 625⁸=625⁴⁺⁴=625⁴⋅625⁴ ≡ 99⋅99=9801 ≡ 142 mod 743

16: 625¹⁶=625⁸⁺⁸=625⁸⋅625⁸ ≡ 142⋅142=20164 ≡ 103 mod 743

32: 625³²=625¹⁶⁺¹⁶=625¹⁶⋅625¹⁶ ≡ 103⋅103=10609 ≡ 207 mod 743

64: 625⁶⁴=625³²⁺³²=625³²⋅625³² ≡ 207⋅207=42849 ≡ 498 mod 743

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 421²³⁰ mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:

230 = 128+64+32+4+2

1: 421¹=421

2: 421²=421¹⁺¹=421¹⋅421¹ ≡ 421⋅421=177241 ≡ 41 mod 443

4: 421⁴=421²⁺²=421²⋅421² ≡ 41⋅41=1681 ≡ 352 mod 443

8: 421⁸=421⁴⁺⁴=421⁴⋅421⁴ ≡ 352⋅352=123904 ≡ 307 mod 443

16: 421¹⁶=421⁸⁺⁸=421⁸⋅421⁸ ≡ 307⋅307=94249 ≡ 333 mod 443

32: 421³²=421¹⁶⁺¹⁶=421¹⁶⋅421¹⁶ ≡ 333⋅333=110889 ≡ 139 mod 443

64: 421⁶⁴=421³²⁺³²=421³²⋅421³² ≡ 139⋅139=19321 ≡ 272 mod 443

128: 421¹²⁸=421⁶⁴⁺⁶⁴=421⁶⁴⋅421⁶⁴ ≡ 272⋅272=73984 ≡ 3 mod 443

421²³⁰

= 421^{128+64+32+4+2}

= 421¹²⁸⋅421⁶⁴⋅421³²⋅421⁴⋅421²

≡ 3 ⋅ 272 ⋅ 139 ⋅ 352 ⋅ 41 mod 443
≡ 816 ⋅ 139 ⋅ 352 ⋅ 41 mod 443 ≡ 373 ⋅ 139 ⋅ 352 ⋅ 41 mod 443
≡ 51847 ⋅ 352 ⋅ 41 mod 443 ≡ 16 ⋅ 352 ⋅ 41 mod 443
≡ 5632 ⋅ 41 mod 443 ≡ 316 ⋅ 41 mod 443
≡ 12956 mod 443 ≡ 109 mod 443

Es gilt also: 421²³⁰ ≡ 109 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43

=>73	= 1⋅43 + 30
=>43	= 1⋅30 + 13
=>30	= 2⋅13 + 4
=>13	= 3⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-3⋅4
4= 30-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -3⋅(30 -2⋅ 13) = 1⋅13 -3⋅30 +6⋅ 13) = -3⋅30 +7⋅ 13 (=1)
13= 43-1⋅30	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅30 +7⋅(43 -1⋅ 30) = -3⋅30 +7⋅43 -7⋅ 30) = 7⋅43 -10⋅ 30 (=1)
30= 73-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅43 -10⋅(73 -1⋅ 43) = 7⋅43 -10⋅73 +10⋅ 43) = -10⋅73 +17⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(73,43)=1 = -10⋅73 +17⋅43

oder wenn man -10⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅73 = +17⋅43

Es gilt also: 17⋅43 = 10⋅73 +1

Somit 17⋅43 = 1 mod 73

17 ist also das Inverse von 43 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 43

Schlüsselpaar für RSA