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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1604 + 1602) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1604 + 1602) mod 4 ≡ (1604 mod 4 + 1602 mod 4) mod 4.

1604 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604 = 1600+4 = 4 ⋅ 400 +4.

1602 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602 = 1600+2 = 4 ⋅ 400 +2.

Somit gilt:

(1604 + 1602) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 24) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 24) mod 10 ≡ (28 mod 10 ⋅ 24 mod 10) mod 10.

28 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 20 + 8 = 2 ⋅ 10 + 8 ist.

24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 24) mod 10 ≡ (8 ⋅ 4) mod 10 ≡ 32 mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 357¹²⁸ mod 557.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 357 -> x
2. mod(x²,557) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 357¹=357

2: 357²=357¹⁺¹=357¹⋅357¹ ≡ 357⋅357=127449 ≡ 453 mod 557

4: 357⁴=357²⁺²=357²⋅357² ≡ 453⋅453=205209 ≡ 233 mod 557

8: 357⁸=357⁴⁺⁴=357⁴⋅357⁴ ≡ 233⋅233=54289 ≡ 260 mod 557

16: 357¹⁶=357⁸⁺⁸=357⁸⋅357⁸ ≡ 260⋅260=67600 ≡ 203 mod 557

32: 357³²=357¹⁶⁺¹⁶=357¹⁶⋅357¹⁶ ≡ 203⋅203=41209 ≡ 548 mod 557

64: 357⁶⁴=357³²⁺³²=357³²⋅357³² ≡ 548⋅548=300304 ≡ 81 mod 557

128: 357¹²⁸=357⁶⁴⁺⁶⁴=357⁶⁴⋅357⁶⁴ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 434 mod 557

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 228¹²⁵ mod 311.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

1: 228¹=228

2: 228²=228¹⁺¹=228¹⋅228¹ ≡ 228⋅228=51984 ≡ 47 mod 311

4: 228⁴=228²⁺²=228²⋅228² ≡ 47⋅47=2209 ≡ 32 mod 311

8: 228⁸=228⁴⁺⁴=228⁴⋅228⁴ ≡ 32⋅32=1024 ≡ 91 mod 311

16: 228¹⁶=228⁸⁺⁸=228⁸⋅228⁸ ≡ 91⋅91=8281 ≡ 195 mod 311

32: 228³²=228¹⁶⁺¹⁶=228¹⁶⋅228¹⁶ ≡ 195⋅195=38025 ≡ 83 mod 311

64: 228⁶⁴=228³²⁺³²=228³²⋅228³² ≡ 83⋅83=6889 ≡ 47 mod 311

228¹²⁵

= 228^{64+32+16+8+4+1}

= 228⁶⁴⋅228³²⋅228¹⁶⋅228⁸⋅228⁴⋅228¹

≡ 47 ⋅ 83 ⋅ 195 ⋅ 91 ⋅ 32 ⋅ 228 mod 311
≡ 3901 ⋅ 195 ⋅ 91 ⋅ 32 ⋅ 228 mod 311 ≡ 169 ⋅ 195 ⋅ 91 ⋅ 32 ⋅ 228 mod 311
≡ 32955 ⋅ 91 ⋅ 32 ⋅ 228 mod 311 ≡ 300 ⋅ 91 ⋅ 32 ⋅ 228 mod 311
≡ 27300 ⋅ 32 ⋅ 228 mod 311 ≡ 243 ⋅ 32 ⋅ 228 mod 311
≡ 7776 ⋅ 228 mod 311 ≡ 1 ⋅ 228 mod 311
≡ 228 mod 311

Es gilt also: 228¹²⁵ ≡ 228 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24

=>67	= 2⋅24 + 19
=>24	= 1⋅19 + 5
=>19	= 3⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 19-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5) = -1⋅19 +4⋅ 5 (=1)
5= 24-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19) = -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19) = 4⋅24 -5⋅ 19 (=1)
19= 67-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24) = 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24) = -5⋅67 +14⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +14⋅24

Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1

Somit 14⋅24 = 1 mod 67

14 ist also das Inverse von 24 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24

Schlüsselpaar für RSA