Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32006 + 8000) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32006 + 8000) mod 8 ≡ (32006 mod 8 + 8000 mod 8) mod 8.

32006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32006 = 32000+6 = 8 ⋅ 4000 +6.

8000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 8 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(32006 + 8000) mod 8 ≡ (6 + 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 33) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 33) mod 8 ≡ (53 mod 8 ⋅ 33 mod 8) mod 8.

53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.

33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 33) mod 8 ≡ (5 ⋅ 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 774¹⁶ mod 967.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 774 -> x
2. mod(x²,967) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 774¹=774

2: 774²=774¹⁺¹=774¹⋅774¹ ≡ 774⋅774=599076 ≡ 503 mod 967

4: 774⁴=774²⁺²=774²⋅774² ≡ 503⋅503=253009 ≡ 622 mod 967

8: 774⁸=774⁴⁺⁴=774⁴⋅774⁴ ≡ 622⋅622=386884 ≡ 84 mod 967

16: 774¹⁶=774⁸⁺⁸=774⁸⋅774⁸ ≡ 84⋅84=7056 ≡ 287 mod 967

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 557¹⁸⁷ mod 829.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

1: 557¹=557

2: 557²=557¹⁺¹=557¹⋅557¹ ≡ 557⋅557=310249 ≡ 203 mod 829

4: 557⁴=557²⁺²=557²⋅557² ≡ 203⋅203=41209 ≡ 588 mod 829

8: 557⁸=557⁴⁺⁴=557⁴⋅557⁴ ≡ 588⋅588=345744 ≡ 51 mod 829

16: 557¹⁶=557⁸⁺⁸=557⁸⋅557⁸ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 114 mod 829

32: 557³²=557¹⁶⁺¹⁶=557¹⁶⋅557¹⁶ ≡ 114⋅114=12996 ≡ 561 mod 829

64: 557⁶⁴=557³²⁺³²=557³²⋅557³² ≡ 561⋅561=314721 ≡ 530 mod 829

128: 557¹²⁸=557⁶⁴⁺⁶⁴=557⁶⁴⋅557⁶⁴ ≡ 530⋅530=280900 ≡ 698 mod 829

557¹⁸⁷

= 557^{128+32+16+8+2+1}

= 557¹²⁸⋅557³²⋅557¹⁶⋅557⁸⋅557²⋅557¹

≡ 698 ⋅ 561 ⋅ 114 ⋅ 51 ⋅ 203 ⋅ 557 mod 829
≡ 391578 ⋅ 114 ⋅ 51 ⋅ 203 ⋅ 557 mod 829 ≡ 290 ⋅ 114 ⋅ 51 ⋅ 203 ⋅ 557 mod 829
≡ 33060 ⋅ 51 ⋅ 203 ⋅ 557 mod 829 ≡ 729 ⋅ 51 ⋅ 203 ⋅ 557 mod 829
≡ 37179 ⋅ 203 ⋅ 557 mod 829 ≡ 703 ⋅ 203 ⋅ 557 mod 829
≡ 142709 ⋅ 557 mod 829 ≡ 121 ⋅ 557 mod 829
≡ 67397 mod 829 ≡ 248 mod 829

Es gilt also: 557¹⁸⁷ ≡ 248 mod 829

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 40

=>89	= 2⋅40 + 9
=>40	= 4⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 40-4⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1)
9= 89-2⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅40 +9⋅(89 -2⋅ 40) = -2⋅40 +9⋅89 -18⋅ 40) = 9⋅89 -20⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(89,40)=1 = 9⋅89 -20⋅40

oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅89 = -20⋅40

-20⋅40 = -9⋅89 + 1 |+89⋅40

-20⋅40 + 89⋅40 = -9⋅89 + 89⋅40 + 1

(-20 + 89) ⋅ 40 = (-9 + 40) ⋅ 89 + 1

69⋅40 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 69⋅40 = 31⋅89 +1

Somit 69⋅40 = 1 mod 89

69 ist also das Inverse von 40 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 40

Schlüsselpaar für RSA