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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (195 + 100) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(195 + 100) mod 5 ≡ (195 mod 5 + 100 mod 5) mod 5.
195 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 195
= 190
100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100
= 100
Somit gilt:
(195 + 100) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (57 ⋅ 86) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(57 ⋅ 86) mod 3 ≡ (57 mod 3 ⋅ 86 mod 3) mod 3.
57 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 57 + 0 = 19 ⋅ 3 + 0 ist.
86 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 28 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(57 ⋅ 86) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 728 mod 223.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 72 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 721=72
2: 722=721+1=721⋅721 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 55 mod 223
4: 724=722+2=722⋅722 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 126 mod 223
8: 728=724+4=724⋅724 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 43 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 327254 mod 347.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:
254 = 128+64+32+16+8+4+2
1: 3271=327
2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 53 mod 347
4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 33 mod 347
8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 48 mod 347
16: 32716=3278+8=3278⋅3278 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 222 mod 347
32: 32732=32716+16=32716⋅32716 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 10 mod 347
64: 32764=32732+32=32732⋅32732 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 347
128: 327128=32764+64=32764⋅32764 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 284 mod 347
327254
= 327128+64+32+16+8+4+2
= 327128⋅32764⋅32732⋅32716⋅3278⋅3274⋅3272
≡ 284 ⋅ 100 ⋅ 10 ⋅ 222 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347
≡ 28400 ⋅ 10 ⋅ 222 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347 ≡ 293 ⋅ 10 ⋅ 222 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347
≡ 2930 ⋅ 222 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347 ≡ 154 ⋅ 222 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347
≡ 34188 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347 ≡ 182 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347
≡ 8736 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347 ≡ 61 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347
≡ 2013 ⋅ 53 mod 347 ≡ 278 ⋅ 53 mod 347
≡ 14734 mod 347 ≡ 160 mod 347
Es gilt also: 327254 ≡ 160 mod 347
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 35
| =>61 | = 1⋅35 + 26 |
| =>35 | = 1⋅26 + 9 |
| =>26 | = 2⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 26-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(26 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅26 +2⋅ 9) = -1⋅26 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 35-1⋅26 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅26 +3⋅(35 -1⋅ 26)
= -1⋅26 +3⋅35 -3⋅ 26) = 3⋅35 -4⋅ 26 (=1) |
| 26= 61-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅35 -4⋅(61 -1⋅ 35)
= 3⋅35 -4⋅61 +4⋅ 35) = -4⋅61 +7⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,35)=1 = -4⋅61 +7⋅35
oder wenn man -4⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +4⋅61 = +7⋅35
Es gilt also: 7⋅35 = 4⋅61 +1
Somit 7⋅35 = 1 mod 61
7 ist also das Inverse von 35 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
