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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35996 + 9003) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35996 + 9003) mod 9 ≡ (35996 mod 9 + 9003 mod 9) mod 9.

35996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35996 = 36000-4 = 9 ⋅ 4000 -4 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 5.

9003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003 = 9000+3 = 9 ⋅ 1000 +3.

Somit gilt:

(35996 + 9003) mod 9 ≡ (5 + 3) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 63) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 63) mod 5 ≡ (64 mod 5 ⋅ 63 mod 5) mod 5.

64 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 12 ⋅ 5 + 4 ist.

63 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 12 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 63) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1868 mod 433.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 186 -> x
2. mod(x²,433) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1861=186

2: 1862=1861+1=1861⋅1861 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 389 mod 433

4: 1864=1862+2=1862⋅1862 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 204 mod 433

8: 1868=1864+4=1864⋅1864 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 48 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 244202 mod 601.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:

202 = 128+64+8+2

1: 2441=244

2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 37 mod 601

4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 167 mod 601

8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 243 mod 601

16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 151 mod 601

32: 24432=24416+16=24416⋅24416 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 564 mod 601

64: 24464=24432+32=24432⋅24432 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 167 mod 601

128: 244128=24464+64=24464⋅24464 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 243 mod 601

244202

= 244128+64+8+2

= 244128⋅24464⋅2448⋅2442

≡ 243 ⋅ 167 ⋅ 243 ⋅ 37 mod 601
≡ 40581 ⋅ 243 ⋅ 37 mod 601 ≡ 314 ⋅ 243 ⋅ 37 mod 601
≡ 76302 ⋅ 37 mod 601 ≡ 576 ⋅ 37 mod 601
≡ 21312 mod 601 ≡ 277 mod 601

Es gilt also: 244202 ≡ 277 mod 601

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 31

=>73 = 2⋅31 + 11
=>31 = 2⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(31 -2⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅31 -10⋅ 11)
= 5⋅31 -14⋅ 11 (=1)
11= 73-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅31 -14⋅(73 -2⋅ 31)
= 5⋅31 -14⋅73 +28⋅ 31)
= -14⋅73 +33⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(73,31)=1 = -14⋅73 +33⋅31

oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅73 = +33⋅31

Es gilt also: 33⋅31 = 14⋅73 +1

Somit 33⋅31 = 1 mod 73

33 ist also das Inverse von 31 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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