Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (253 + 15001) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(253 + 15001) mod 5 ≡ (253 mod 5 + 15001 mod 5) mod 5.
253 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 253
= 250
15001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15001
= 15000
Somit gilt:
(253 + 15001) mod 5 ≡ (3 + 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 92) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 92) mod 4 ≡ (75 mod 4 ⋅ 92 mod 4) mod 4.
75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.
92 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 92 + 0 = 23 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 92) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22516 mod 373.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 225 -> x
2. mod(x²,373) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2251=225
2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 270 mod 373
4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 165 mod 373
8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 369 mod 373
16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 16 mod 373
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 181200 mod 389.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:
200 = 128+64+8
1: 1811=181
2: 1812=1811+1=1811⋅1811 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 85 mod 389
4: 1814=1812+2=1812⋅1812 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 223 mod 389
8: 1818=1814+4=1814⋅1814 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 326 mod 389
16: 18116=1818+8=1818⋅1818 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 79 mod 389
32: 18132=18116+16=18116⋅18116 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 17 mod 389
64: 18164=18132+32=18132⋅18132 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 389
128: 181128=18164+64=18164⋅18164 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 275 mod 389
181200
= 181128+64+8
= 181128⋅18164⋅1818
≡ 275 ⋅ 289 ⋅ 326 mod 389
≡ 79475 ⋅ 326 mod 389 ≡ 119 ⋅ 326 mod 389
≡ 38794 mod 389 ≡ 283 mod 389
Es gilt also: 181200 ≡ 283 mod 389
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 54
| =>97 | = 1⋅54 + 43 |
| =>54 | = 1⋅43 + 11 |
| =>43 | = 3⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 43-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11) = -1⋅43 +4⋅ 11 (=1) |
| 11= 54-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅43 +4⋅(54 -1⋅ 43)
= -1⋅43 +4⋅54 -4⋅ 43) = 4⋅54 -5⋅ 43 (=1) |
| 43= 97-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅54 -5⋅(97 -1⋅ 54)
= 4⋅54 -5⋅97 +5⋅ 54) = -5⋅97 +9⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,54)=1 = -5⋅97 +9⋅54
oder wenn man -5⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅97 = +9⋅54
Es gilt also: 9⋅54 = 5⋅97 +1
Somit 9⋅54 = 1 mod 97
9 ist also das Inverse von 54 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.