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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1802 + 1808) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1802 + 1808) mod 9 ≡ (1802 mod 9 + 1808 mod 9) mod 9.
1802 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1802
= 1800
1808 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1808
= 1800
Somit gilt:
(1802 + 1808) mod 9 ≡ (2 + 8) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 62) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 62) mod 6 ≡ (44 mod 6 ⋅ 62 mod 6) mod 6.
44 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 7 ⋅ 6 + 2 ist.
62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 10 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 62) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2338 mod 463.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 233 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2331=233
2: 2332=2331+1=2331⋅2331 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 118 mod 463
4: 2334=2332+2=2332⋅2332 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 34 mod 463
8: 2338=2334+4=2334⋅2334 ≡ 34⋅34=1156 ≡ 230 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 317138 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 3171=317
2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 173 mod 809
4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 805 mod 809
8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 805⋅805=648025 ≡ 16 mod 809
16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 809
32: 31732=31716+16=31716⋅31716 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 7 mod 809
64: 31764=31732+32=31732⋅31732 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 809
128: 317128=31764+64=31764⋅31764 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 783 mod 809
317138
= 317128+8+2
= 317128⋅3178⋅3172
≡ 783 ⋅ 16 ⋅ 173 mod 809
≡ 12528 ⋅ 173 mod 809 ≡ 393 ⋅ 173 mod 809
≡ 67989 mod 809 ≡ 33 mod 809
Es gilt also: 317138 ≡ 33 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18
| =>61 | = 3⋅18 + 7 |
| =>18 | = 2⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 18-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +17⋅18
Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1
Somit 17⋅18 = 1 mod 61
17 ist also das Inverse von 18 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.