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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (145 + 1504) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(145 + 1504) mod 5 ≡ (145 mod 5 + 1504 mod 5) mod 5.

145 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145 = 140+5 = 5 ⋅ 28 +5.

1504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1504 = 1500+4 = 5 ⋅ 300 +4.

Somit gilt:

(145 + 1504) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 38) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 38) mod 3 ≡ (63 mod 3 ⋅ 38 mod 3) mod 3.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.

38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 38) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5788 mod 797.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 578 -> x
2. mod(x²,797) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5781=578

2: 5782=5781+1=5781⋅5781 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 141 mod 797

4: 5784=5782+2=5782⋅5782 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 753 mod 797

8: 5788=5784+4=5784⋅5784 ≡ 753⋅753=567009 ≡ 342 mod 797

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 440120 mod 647.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:

120 = 64+32+16+8

1: 4401=440

2: 4402=4401+1=4401⋅4401 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 147 mod 647

4: 4404=4402+2=4402⋅4402 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 258 mod 647

8: 4408=4404+4=4404⋅4404 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 570 mod 647

16: 44016=4408+8=4408⋅4408 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 106 mod 647

32: 44032=44016+16=44016⋅44016 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 237 mod 647

64: 44064=44032+32=44032⋅44032 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 527 mod 647

440120

= 44064+32+16+8

= 44064⋅44032⋅44016⋅4408

≡ 527 ⋅ 237 ⋅ 106 ⋅ 570 mod 647
≡ 124899 ⋅ 106 ⋅ 570 mod 647 ≡ 28 ⋅ 106 ⋅ 570 mod 647
≡ 2968 ⋅ 570 mod 647 ≡ 380 ⋅ 570 mod 647
≡ 216600 mod 647 ≡ 502 mod 647

Es gilt also: 440120 ≡ 502 mod 647

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 92.

Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 92

=>97 = 1⋅92 + 5
=>92 = 18⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,92)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 92-18⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(92 -18⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅92 +36⋅ 5)
= -2⋅92 +37⋅ 5 (=1)
5= 97-1⋅92 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅92 +37⋅(97 -1⋅ 92)
= -2⋅92 +37⋅97 -37⋅ 92)
= 37⋅97 -39⋅ 92 (=1)

Es gilt also: ggt(97,92)=1 = 37⋅97 -39⋅92

oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -37⋅97 = -39⋅92

-39⋅92 = -37⋅97 + 1 |+97⋅92

-39⋅92 + 97⋅92 = -37⋅97 + 97⋅92 + 1

(-39 + 97) ⋅ 92 = (-37 + 92) ⋅ 97 + 1

58⋅92 = 55⋅97 + 1

Es gilt also: 58⋅92 = 55⋅97 +1

Somit 58⋅92 = 1 mod 97

58 ist also das Inverse von 92 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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