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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16006 - 240) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16006 - 240) mod 8 ≡ (16006 mod 8 - 240 mod 8) mod 8.

16006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16006 = 16000+6 = 8 ⋅ 2000 +6.

240 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 8 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(16006 - 240) mod 8 ≡ (6 - 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 17) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 17) mod 10 ≡ (40 mod 10 ⋅ 17 mod 10) mod 10.

40 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 4 ⋅ 10 + 0 ist.

17 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 10 + 7 = 1 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 17) mod 10 ≡ (0 ⋅ 7) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 293⁸ mod 307.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 293 -> x
2. mod(x²,307) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 293¹=293

2: 293²=293¹⁺¹=293¹⋅293¹ ≡ 293⋅293=85849 ≡ 196 mod 307

4: 293⁴=293²⁺²=293²⋅293² ≡ 196⋅196=38416 ≡ 41 mod 307

8: 293⁸=293⁴⁺⁴=293⁴⋅293⁴ ≡ 41⋅41=1681 ≡ 146 mod 307

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 162¹⁷⁹ mod 311.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:

179 = 128+32+16+2+1

1: 162¹=162

2: 162²=162¹⁺¹=162¹⋅162¹ ≡ 162⋅162=26244 ≡ 120 mod 311

4: 162⁴=162²⁺²=162²⋅162² ≡ 120⋅120=14400 ≡ 94 mod 311

8: 162⁸=162⁴⁺⁴=162⁴⋅162⁴ ≡ 94⋅94=8836 ≡ 128 mod 311

16: 162¹⁶=162⁸⁺⁸=162⁸⋅162⁸ ≡ 128⋅128=16384 ≡ 212 mod 311

32: 162³²=162¹⁶⁺¹⁶=162¹⁶⋅162¹⁶ ≡ 212⋅212=44944 ≡ 160 mod 311

64: 162⁶⁴=162³²⁺³²=162³²⋅162³² ≡ 160⋅160=25600 ≡ 98 mod 311

128: 162¹²⁸=162⁶⁴⁺⁶⁴=162⁶⁴⋅162⁶⁴ ≡ 98⋅98=9604 ≡ 274 mod 311

162¹⁷⁹

= 162^{128+32+16+2+1}

= 162¹²⁸⋅162³²⋅162¹⁶⋅162²⋅162¹

≡ 274 ⋅ 160 ⋅ 212 ⋅ 120 ⋅ 162 mod 311
≡ 43840 ⋅ 212 ⋅ 120 ⋅ 162 mod 311 ≡ 300 ⋅ 212 ⋅ 120 ⋅ 162 mod 311
≡ 63600 ⋅ 120 ⋅ 162 mod 311 ≡ 156 ⋅ 120 ⋅ 162 mod 311
≡ 18720 ⋅ 162 mod 311 ≡ 60 ⋅ 162 mod 311
≡ 9720 mod 311 ≡ 79 mod 311

Es gilt also: 162¹⁷⁹ ≡ 79 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27

=>79	= 2⋅27 + 25
=>27	= 1⋅25 + 2
=>25	= 12⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-12⋅2
2= 27-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -12⋅(27 -1⋅ 25) = 1⋅25 -12⋅27 +12⋅ 25) = -12⋅27 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-2⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -12⋅27 +13⋅(79 -2⋅ 27) = -12⋅27 +13⋅79 -26⋅ 27) = 13⋅79 -38⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(79,27)=1 = 13⋅79 -38⋅27

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -38⋅27

-38⋅27 = -13⋅79 + 1 |+79⋅27

-38⋅27 + 79⋅27 = -13⋅79 + 79⋅27 + 1

(-38 + 79) ⋅ 27 = (-13 + 27) ⋅ 79 + 1

41⋅27 = 14⋅79 + 1

Es gilt also: 41⋅27 = 14⋅79 +1

Somit 41⋅27 = 1 mod 79

41 ist also das Inverse von 27 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 27

Schlüsselpaar für RSA