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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9004 - 27001) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9004 - 27001) mod 9 ≡ (9004 mod 9 - 27001 mod 9) mod 9.
9004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9004
= 9000
27001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27001
= 27000
Somit gilt:
(9004 - 27001) mod 9 ≡ (4 - 1) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 67) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 67) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 67 mod 7) mod 7.
20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.
67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 9 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 67) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6768 mod 823.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 676 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6761=676
2: 6762=6761+1=6761⋅6761 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 211 mod 823
4: 6764=6762+2=6762⋅6762 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 79 mod 823
8: 6768=6764+4=6764⋅6764 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 480 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 167114 mod 457.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:
114 = 64+32+16+2
1: 1671=167
2: 1672=1671+1=1671⋅1671 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 12 mod 457
4: 1674=1672+2=1672⋅1672 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 457
8: 1678=1674+4=1674⋅1674 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 171 mod 457
16: 16716=1678+8=1678⋅1678 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 450 mod 457
32: 16732=16716+16=16716⋅16716 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 49 mod 457
64: 16764=16732+32=16732⋅16732 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 116 mod 457
167114
= 16764+32+16+2
= 16764⋅16732⋅16716⋅1672
≡ 116 ⋅ 49 ⋅ 450 ⋅ 12 mod 457
≡ 5684 ⋅ 450 ⋅ 12 mod 457 ≡ 200 ⋅ 450 ⋅ 12 mod 457
≡ 90000 ⋅ 12 mod 457 ≡ 428 ⋅ 12 mod 457
≡ 5136 mod 457 ≡ 109 mod 457
Es gilt also: 167114 ≡ 109 mod 457
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.
Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76
| =>89 | = 1⋅76 + 13 |
| =>76 | = 5⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,76)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 76-5⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13) = 6⋅76 -35⋅ 13 (=1) |
| 13= 89-1⋅76 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76) = -35⋅89 +41⋅ 76 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +41⋅76
Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1
Somit 41⋅76 = 1 mod 89
41 ist also das Inverse von 76 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
