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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (11998 - 82) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11998 - 82) mod 4 ≡ (11998 mod 4 - 82 mod 4) mod 4.

11998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998 = 11000+998 = 4 ⋅ 2750 +998.

82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80+2 = 4 ⋅ 20 +2.

Somit gilt:

(11998 - 82) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 92) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 92) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 92 mod 5) mod 5.

58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.

92 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 18 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 92) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 187¹⁶ mod 521.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 187 -> x
2. mod(x²,521) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 187¹=187

2: 187²=187¹⁺¹=187¹⋅187¹ ≡ 187⋅187=34969 ≡ 62 mod 521

4: 187⁴=187²⁺²=187²⋅187² ≡ 62⋅62=3844 ≡ 197 mod 521

8: 187⁸=187⁴⁺⁴=187⁴⋅187⁴ ≡ 197⋅197=38809 ≡ 255 mod 521

16: 187¹⁶=187⁸⁺⁸=187⁸⋅187⁸ ≡ 255⋅255=65025 ≡ 421 mod 521

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 290¹⁸² mod 317.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:

182 = 128+32+16+4+2

1: 290¹=290

2: 290²=290¹⁺¹=290¹⋅290¹ ≡ 290⋅290=84100 ≡ 95 mod 317

4: 290⁴=290²⁺²=290²⋅290² ≡ 95⋅95=9025 ≡ 149 mod 317

8: 290⁸=290⁴⁺⁴=290⁴⋅290⁴ ≡ 149⋅149=22201 ≡ 11 mod 317

16: 290¹⁶=290⁸⁺⁸=290⁸⋅290⁸ ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 317

32: 290³²=290¹⁶⁺¹⁶=290¹⁶⋅290¹⁶ ≡ 121⋅121=14641 ≡ 59 mod 317

64: 290⁶⁴=290³²⁺³²=290³²⋅290³² ≡ 59⋅59=3481 ≡ 311 mod 317

128: 290¹²⁸=290⁶⁴⁺⁶⁴=290⁶⁴⋅290⁶⁴ ≡ 311⋅311=96721 ≡ 36 mod 317

290¹⁸²

= 290^{128+32+16+4+2}

= 290¹²⁸⋅290³²⋅290¹⁶⋅290⁴⋅290²

≡ 36 ⋅ 59 ⋅ 121 ⋅ 149 ⋅ 95 mod 317
≡ 2124 ⋅ 121 ⋅ 149 ⋅ 95 mod 317 ≡ 222 ⋅ 121 ⋅ 149 ⋅ 95 mod 317
≡ 26862 ⋅ 149 ⋅ 95 mod 317 ≡ 234 ⋅ 149 ⋅ 95 mod 317
≡ 34866 ⋅ 95 mod 317 ≡ 313 ⋅ 95 mod 317
≡ 29735 mod 317 ≡ 254 mod 317

Es gilt also: 290¹⁸² ≡ 254 mod 317

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79	= 1⋅47 + 32
=>47	= 1⋅32 + 15
=>32	= 2⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32) = -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32) = 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47) = 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47) = -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

Schlüsselpaar für RSA