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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31997 + 236) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31997 + 236) mod 8 ≡ (31997 mod 8 + 236 mod 8) mod 8.

31997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31997 = 31000+997 = 8 ⋅ 3875 +997.

236 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236 = 240-4 = 8 ⋅ 30 -4 = 8 ⋅ 30 - 8 + 4.

Somit gilt:

(31997 + 236) mod 8 ≡ (5 + 4) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 16) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 16) mod 3 ≡ (55 mod 3 ⋅ 16 mod 3) mod 3.

55 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 18 ⋅ 3 + 1 ist.

16 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 5 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 16) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 317⁶⁴ mod 829.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 317 -> x
2. mod(x²,829) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 317¹=317

2: 317²=317¹⁺¹=317¹⋅317¹ ≡ 317⋅317=100489 ≡ 180 mod 829

4: 317⁴=317²⁺²=317²⋅317² ≡ 180⋅180=32400 ≡ 69 mod 829

8: 317⁸=317⁴⁺⁴=317⁴⋅317⁴ ≡ 69⋅69=4761 ≡ 616 mod 829

16: 317¹⁶=317⁸⁺⁸=317⁸⋅317⁸ ≡ 616⋅616=379456 ≡ 603 mod 829

32: 317³²=317¹⁶⁺¹⁶=317¹⁶⋅317¹⁶ ≡ 603⋅603=363609 ≡ 507 mod 829

64: 317⁶⁴=317³²⁺³²=317³²⋅317³² ≡ 507⋅507=257049 ≡ 59 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 467²¹⁴ mod 823.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:

214 = 128+64+16+4+2

1: 467¹=467

2: 467²=467¹⁺¹=467¹⋅467¹ ≡ 467⋅467=218089 ≡ 817 mod 823

4: 467⁴=467²⁺²=467²⋅467² ≡ 817⋅817=667489 ≡ 36 mod 823

8: 467⁸=467⁴⁺⁴=467⁴⋅467⁴ ≡ 36⋅36=1296 ≡ 473 mod 823

16: 467¹⁶=467⁸⁺⁸=467⁸⋅467⁸ ≡ 473⋅473=223729 ≡ 696 mod 823

32: 467³²=467¹⁶⁺¹⁶=467¹⁶⋅467¹⁶ ≡ 696⋅696=484416 ≡ 492 mod 823

64: 467⁶⁴=467³²⁺³²=467³²⋅467³² ≡ 492⋅492=242064 ≡ 102 mod 823

128: 467¹²⁸=467⁶⁴⁺⁶⁴=467⁶⁴⋅467⁶⁴ ≡ 102⋅102=10404 ≡ 528 mod 823

467²¹⁴

= 467^{128+64+16+4+2}

= 467¹²⁸⋅467⁶⁴⋅467¹⁶⋅467⁴⋅467²

≡ 528 ⋅ 102 ⋅ 696 ⋅ 36 ⋅ 817 mod 823
≡ 53856 ⋅ 696 ⋅ 36 ⋅ 817 mod 823 ≡ 361 ⋅ 696 ⋅ 36 ⋅ 817 mod 823
≡ 251256 ⋅ 36 ⋅ 817 mod 823 ≡ 241 ⋅ 36 ⋅ 817 mod 823
≡ 8676 ⋅ 817 mod 823 ≡ 446 ⋅ 817 mod 823
≡ 364382 mod 823 ≡ 616 mod 823

Es gilt also: 467²¹⁴ ≡ 616 mod 823

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33

=>97	= 2⋅33 + 31
=>33	= 1⋅31 + 2
=>31	= 15⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-15⋅2
2= 33-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31) = 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1)
31= 97-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33) = -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -47⋅33

-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33

-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1

(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1

50⋅33 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1

Somit 50⋅33 = 1 mod 97

50 ist also das Inverse von 33 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33

Schlüsselpaar für RSA