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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (135 + 280) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(135 + 280) mod 7 ≡ (135 mod 7 + 280 mod 7) mod 7.
135 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 135
= 140
280 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 280
= 280
Somit gilt:
(135 + 280) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 66) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 66) mod 3 ≡ (67 mod 3 ⋅ 66 mod 3) mod 3.
67 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 22 ⋅ 3 + 1 ist.
66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 66) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35216 mod 839.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 352 -> x
2. mod(x²,839) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3521=352
2: 3522=3521+1=3521⋅3521 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 571 mod 839
4: 3524=3522+2=3522⋅3522 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 509 mod 839
8: 3528=3524+4=3524⋅3524 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 669 mod 839
16: 35216=3528+8=3528⋅3528 ≡ 669⋅669=447561 ≡ 374 mod 839
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 563145 mod 631.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:
145 = 128+16+1
1: 5631=563
2: 5632=5631+1=5631⋅5631 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 207 mod 631
4: 5634=5632+2=5632⋅5632 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 572 mod 631
8: 5638=5634+4=5634⋅5634 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 326 mod 631
16: 56316=5638+8=5638⋅5638 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 268 mod 631
32: 56332=56316+16=56316⋅56316 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 521 mod 631
64: 56364=56332+32=56332⋅56332 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 111 mod 631
128: 563128=56364+64=56364⋅56364 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 332 mod 631
563145
= 563128+16+1
= 563128⋅56316⋅5631
≡ 332 ⋅ 268 ⋅ 563 mod 631
≡ 88976 ⋅ 563 mod 631 ≡ 5 ⋅ 563 mod 631
≡ 2815 mod 631 ≡ 291 mod 631
Es gilt also: 563145 ≡ 291 mod 631
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 43
| =>97 | = 2⋅43 + 11 |
| =>43 | = 3⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 43-3⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11) = -1⋅43 +4⋅ 11 (=1) |
| 11= 97-2⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅43 +4⋅(97 -2⋅ 43)
= -1⋅43 +4⋅97 -8⋅ 43) = 4⋅97 -9⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,43)=1 = 4⋅97 -9⋅43
oder wenn man 4⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅97 = -9⋅43
-9⋅43 = -4⋅97 + 1 |+97⋅43
-9⋅43 + 97⋅43 = -4⋅97 + 97⋅43 + 1
(-9 + 97) ⋅ 43 = (-4 + 43) ⋅ 97 + 1
88⋅43 = 39⋅97 + 1
Es gilt also: 88⋅43 = 39⋅97 +1
Somit 88⋅43 = 1 mod 97
88 ist also das Inverse von 43 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.