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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4494 + 908) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4494 + 908) mod 9 ≡ (4494 mod 9 + 908 mod 9) mod 9.

4494 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4494 = 4500-6 = 9 ⋅ 500 -6 = 9 ⋅ 500 - 9 + 3.

908 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 908 = 900+8 = 9 ⋅ 100 +8.

Somit gilt:

(4494 + 908) mod 9 ≡ (3 + 8) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 25) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 25) mod 6 ≡ (64 mod 6 ⋅ 25 mod 6) mod 6.

64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 10 ⋅ 6 + 4 ist.

25 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 4 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 25) mod 6 ≡ (4 ⋅ 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 318¹⁶ mod 491.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 318 -> x
2. mod(x²,491) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 318¹=318

2: 318²=318¹⁺¹=318¹⋅318¹ ≡ 318⋅318=101124 ≡ 469 mod 491

4: 318⁴=318²⁺²=318²⋅318² ≡ 469⋅469=219961 ≡ 484 mod 491

8: 318⁸=318⁴⁺⁴=318⁴⋅318⁴ ≡ 484⋅484=234256 ≡ 49 mod 491

16: 318¹⁶=318⁸⁺⁸=318⁸⋅318⁸ ≡ 49⋅49=2401 ≡ 437 mod 491

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 397²¹⁷ mod 881.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

1: 397¹=397

2: 397²=397¹⁺¹=397¹⋅397¹ ≡ 397⋅397=157609 ≡ 791 mod 881

4: 397⁴=397²⁺²=397²⋅397² ≡ 791⋅791=625681 ≡ 171 mod 881

8: 397⁸=397⁴⁺⁴=397⁴⋅397⁴ ≡ 171⋅171=29241 ≡ 168 mod 881

16: 397¹⁶=397⁸⁺⁸=397⁸⋅397⁸ ≡ 168⋅168=28224 ≡ 32 mod 881

32: 397³²=397¹⁶⁺¹⁶=397¹⁶⋅397¹⁶ ≡ 32⋅32=1024 ≡ 143 mod 881

64: 397⁶⁴=397³²⁺³²=397³²⋅397³² ≡ 143⋅143=20449 ≡ 186 mod 881

128: 397¹²⁸=397⁶⁴⁺⁶⁴=397⁶⁴⋅397⁶⁴ ≡ 186⋅186=34596 ≡ 237 mod 881

397²¹⁷

= 397^{128+64+16+8+1}

= 397¹²⁸⋅397⁶⁴⋅397¹⁶⋅397⁸⋅397¹

≡ 237 ⋅ 186 ⋅ 32 ⋅ 168 ⋅ 397 mod 881
≡ 44082 ⋅ 32 ⋅ 168 ⋅ 397 mod 881 ≡ 32 ⋅ 32 ⋅ 168 ⋅ 397 mod 881
≡ 1024 ⋅ 168 ⋅ 397 mod 881 ≡ 143 ⋅ 168 ⋅ 397 mod 881
≡ 24024 ⋅ 397 mod 881 ≡ 237 ⋅ 397 mod 881
≡ 94089 mod 881 ≡ 703 mod 881

Es gilt also: 397²¹⁷ ≡ 703 mod 881

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32

=>83	= 2⋅32 + 19
=>32	= 1⋅19 + 13
=>19	= 1⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 32-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19) = -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1)
19= 83-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32) = 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +13⋅32

Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1

Somit 13⋅32 = 1 mod 83

13 ist also das Inverse von 32 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32

Schlüsselpaar für RSA