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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (159 - 81) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(159 - 81) mod 4 ≡ (159 mod 4 - 81 mod 4) mod 4.
159 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159
= 160
81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81
= 80
Somit gilt:
(159 - 81) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 70) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 70) mod 11 ≡ (44 mod 11 ⋅ 70 mod 11) mod 11.
44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.
70 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 6 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 70) mod 11 ≡ (0 ⋅ 4) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 68132 mod 761.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 681 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6811=681
2: 6812=6811+1=6811⋅6811 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 312 mod 761
4: 6814=6812+2=6812⋅6812 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 697 mod 761
8: 6818=6814+4=6814⋅6814 ≡ 697⋅697=485809 ≡ 291 mod 761
16: 68116=6818+8=6818⋅6818 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 210 mod 761
32: 68132=68116+16=68116⋅68116 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 723 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 305108 mod 461.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 108 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 108 an und zerlegen 108 in eine Summer von 2er-Potenzen:
108 = 64+32+8+4
1: 3051=305
2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 364 mod 461
4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 189 mod 461
8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 224 mod 461
16: 30516=3058+8=3058⋅3058 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 388 mod 461
32: 30532=30516+16=30516⋅30516 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 258 mod 461
64: 30564=30532+32=30532⋅30532 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 180 mod 461
305108
= 30564+32+8+4
= 30564⋅30532⋅3058⋅3054
≡ 180 ⋅ 258 ⋅ 224 ⋅ 189 mod 461
≡ 46440 ⋅ 224 ⋅ 189 mod 461 ≡ 340 ⋅ 224 ⋅ 189 mod 461
≡ 76160 ⋅ 189 mod 461 ≡ 95 ⋅ 189 mod 461
≡ 17955 mod 461 ≡ 437 mod 461
Es gilt also: 305108 ≡ 437 mod 461
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 32
| =>71 | = 2⋅32 + 7 |
| =>32 | = 4⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 32-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(32 -4⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅32 -8⋅ 7) = 2⋅32 -9⋅ 7 (=1) |
| 7= 71-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -9⋅(71 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -9⋅71 +18⋅ 32) = -9⋅71 +20⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,32)=1 = -9⋅71 +20⋅32
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +20⋅32
Es gilt also: 20⋅32 = 9⋅71 +1
Somit 20⋅32 = 1 mod 71
20 ist also das Inverse von 32 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.