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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35997 - 271) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35997 - 271) mod 9 ≡ (35997 mod 9 - 271 mod 9) mod 9.
35997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35997
= 36000
271 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 271
= 270
Somit gilt:
(35997 - 271) mod 9 ≡ (6 - 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 58) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(41 ⋅ 58) mod 7 ≡ (41 mod 7 ⋅ 58 mod 7) mod 7.
41 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 35 + 6 = 5 ⋅ 7 + 6 ist.
58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(41 ⋅ 58) mod 7 ≡ (6 ⋅ 2) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31916 mod 769.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 319 -> x
2. mod(x²,769) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3191=319
2: 3192=3191+1=3191⋅3191 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 253 mod 769
4: 3194=3192+2=3192⋅3192 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 182 mod 769
8: 3198=3194+4=3194⋅3194 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 57 mod 769
16: 31916=3198+8=3198⋅3198 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 173 mod 769
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 285189 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:
189 = 128+32+16+8+4+1
1: 2851=285
2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 160 mod 523
4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 496 mod 523
8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 206 mod 523
16: 28516=2858+8=2858⋅2858 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 73 mod 523
32: 28532=28516+16=28516⋅28516 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 99 mod 523
64: 28564=28532+32=28532⋅28532 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 387 mod 523
128: 285128=28564+64=28564⋅28564 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 191 mod 523
285189
= 285128+32+16+8+4+1
= 285128⋅28532⋅28516⋅2858⋅2854⋅2851
≡ 191 ⋅ 99 ⋅ 73 ⋅ 206 ⋅ 496 ⋅ 285 mod 523
≡ 18909 ⋅ 73 ⋅ 206 ⋅ 496 ⋅ 285 mod 523 ≡ 81 ⋅ 73 ⋅ 206 ⋅ 496 ⋅ 285 mod 523
≡ 5913 ⋅ 206 ⋅ 496 ⋅ 285 mod 523 ≡ 160 ⋅ 206 ⋅ 496 ⋅ 285 mod 523
≡ 32960 ⋅ 496 ⋅ 285 mod 523 ≡ 11 ⋅ 496 ⋅ 285 mod 523
≡ 5456 ⋅ 285 mod 523 ≡ 226 ⋅ 285 mod 523
≡ 64410 mod 523 ≡ 81 mod 523
Es gilt also: 285189 ≡ 81 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 70.
Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70
| =>79 | = 1⋅70 + 9 |
| =>70 | = 7⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,70)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 70-7⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9) = 4⋅70 -31⋅ 9 (=1) |
| 9= 79-1⋅70 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70) = -31⋅79 +35⋅ 70 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70
oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅79 = +35⋅70
Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1
Somit 35⋅70 = 1 mod 79
35 ist also das Inverse von 70 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
