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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9002 - 3000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9002 - 3000) mod 3 ≡ (9002 mod 3 - 3000 mod 3) mod 3.

9002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002 = 9000+2 = 3 ⋅ 3000 +2.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(9002 - 3000) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 82) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 82) mod 4 ≡ (87 mod 4 ⋅ 82 mod 4) mod 4.

87 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 21 ⋅ 4 + 3 ist.

82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 20 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 82) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 313¹⁶ mod 547.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 313 -> x
2. mod(x²,547) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 313¹=313

2: 313²=313¹⁺¹=313¹⋅313¹ ≡ 313⋅313=97969 ≡ 56 mod 547

4: 313⁴=313²⁺²=313²⋅313² ≡ 56⋅56=3136 ≡ 401 mod 547

8: 313⁸=313⁴⁺⁴=313⁴⋅313⁴ ≡ 401⋅401=160801 ≡ 530 mod 547

16: 313¹⁶=313⁸⁺⁸=313⁸⋅313⁸ ≡ 530⋅530=280900 ≡ 289 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 401¹⁸⁵ mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

1: 401¹=401

2: 401²=401¹⁺¹=401¹⋅401¹ ≡ 401⋅401=160801 ≡ 91 mod 487

4: 401⁴=401²⁺²=401²⋅401² ≡ 91⋅91=8281 ≡ 2 mod 487

8: 401⁸=401⁴⁺⁴=401⁴⋅401⁴ ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 487

16: 401¹⁶=401⁸⁺⁸=401⁸⋅401⁸ ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 487

32: 401³²=401¹⁶⁺¹⁶=401¹⁶⋅401¹⁶ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 487

64: 401⁶⁴=401³²⁺³²=401³²⋅401³² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 278 mod 487

128: 401¹²⁸=401⁶⁴⁺⁶⁴=401⁶⁴⋅401⁶⁴ ≡ 278⋅278=77284 ≡ 338 mod 487

401¹⁸⁵

= 401^{128+32+16+8+1}

= 401¹²⁸⋅401³²⋅401¹⁶⋅401⁸⋅401¹

≡ 338 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487
≡ 86528 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487 ≡ 329 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487
≡ 5264 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487 ≡ 394 ⋅ 4 ⋅ 401 mod 487
≡ 1576 ⋅ 401 mod 487 ≡ 115 ⋅ 401 mod 487
≡ 46115 mod 487 ≡ 337 mod 487

Es gilt also: 401¹⁸⁵ ≡ 337 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 82.

Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 82

=>101	= 1⋅82 + 19
=>82	= 4⋅19 + 6
=>19	= 3⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,82)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-3⋅6
6= 82-4⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -3⋅(82 -4⋅ 19) = 1⋅19 -3⋅82 +12⋅ 19) = -3⋅82 +13⋅ 19 (=1)
19= 101-1⋅82	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅82 +13⋅(101 -1⋅ 82) = -3⋅82 +13⋅101 -13⋅ 82) = 13⋅101 -16⋅ 82 (=1)

Es gilt also: ggt(101,82)=1 = 13⋅101 -16⋅82

oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅101 = -16⋅82

-16⋅82 = -13⋅101 + 1 |+101⋅82

-16⋅82 + 101⋅82 = -13⋅101 + 101⋅82 + 1

(-16 + 101) ⋅ 82 = (-13 + 82) ⋅ 101 + 1

85⋅82 = 69⋅101 + 1

Es gilt also: 85⋅82 = 69⋅101 +1

Somit 85⋅82 = 1 mod 101

85 ist also das Inverse von 82 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 82

Schlüsselpaar für RSA