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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5000 - 14997) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5000 - 14997) mod 5 ≡ (5000 mod 5 - 14997 mod 5) mod 5.

5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000 = 5000+0 = 5 ⋅ 1000 +0.

14997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14997 = 14000+997 = 5 ⋅ 2800 +997.

Somit gilt:

(5000 - 14997) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 84) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 84) mod 10 ≡ (67 mod 10 ⋅ 84 mod 10) mod 10.

67 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 60 + 7 = 6 ⋅ 10 + 7 ist.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 84) mod 10 ≡ (7 ⋅ 4) mod 10 ≡ 28 mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24964 mod 631.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 249 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2491=249

2: 2492=2491+1=2491⋅2491 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 163 mod 631

4: 2494=2492+2=2492⋅2492 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 67 mod 631

8: 2498=2494+4=2494⋅2494 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 72 mod 631

16: 24916=2498+8=2498⋅2498 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 136 mod 631

32: 24932=24916+16=24916⋅24916 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 197 mod 631

64: 24964=24932+32=24932⋅24932 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 318 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 521128 mod 557.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 128 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 128 an und zerlegen 128 in eine Summer von 2er-Potenzen:

128 = 128

1: 5211=521

2: 5212=5211+1=5211⋅5211 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 182 mod 557

4: 5214=5212+2=5212⋅5212 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 261 mod 557

8: 5218=5214+4=5214⋅5214 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 167 mod 557

16: 52116=5218+8=5218⋅5218 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 39 mod 557

32: 52132=52116+16=52116⋅52116 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 407 mod 557

64: 52164=52132+32=52132⋅52132 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 220 mod 557

128: 521128=52164+64=52164⋅52164 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 498 mod 557

521128

= 521128

= 521128

498 mod 557

Es gilt also: 521128 ≡ 498 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 37

=>89 = 2⋅37 + 15
=>37 = 2⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 37-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(37 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅37 +4⋅ 15)
= -2⋅37 +5⋅ 15 (=1)
15= 89-2⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅37 +5⋅(89 -2⋅ 37)
= -2⋅37 +5⋅89 -10⋅ 37)
= 5⋅89 -12⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(89,37)=1 = 5⋅89 -12⋅37

oder wenn man 5⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅89 = -12⋅37

-12⋅37 = -5⋅89 + 1 |+89⋅37

-12⋅37 + 89⋅37 = -5⋅89 + 89⋅37 + 1

(-12 + 89) ⋅ 37 = (-5 + 37) ⋅ 89 + 1

77⋅37 = 32⋅89 + 1

Es gilt also: 77⋅37 = 32⋅89 +1

Somit 77⋅37 = 1 mod 89

77 ist also das Inverse von 37 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.