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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1200 - 6004) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 - 6004) mod 6 ≡ (1200 mod 6 - 6004 mod 6) mod 6.

1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 6 ⋅ 200 +0.

6004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6004 = 6000+4 = 6 ⋅ 1000 +4.

Somit gilt:

(1200 - 6004) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 51) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 51) mod 3 ≡ (40 mod 3 ⋅ 51 mod 3) mod 3.

40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.

51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 51) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4188 mod 491.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 418 -> x
2. mod(x²,491) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4181=418

2: 4182=4181+1=4181⋅4181 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 419 mod 491

4: 4184=4182+2=4182⋅4182 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 274 mod 491

8: 4188=4184+4=4184⋅4184 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 444 mod 491

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 109159 mod 311.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:

159 = 128+16+8+4+2+1

1: 1091=109

2: 1092=1091+1=1091⋅1091 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 63 mod 311

4: 1094=1092+2=1092⋅1092 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 237 mod 311

8: 1098=1094+4=1094⋅1094 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 189 mod 311

16: 10916=1098+8=1098⋅1098 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 267 mod 311

32: 10932=10916+16=10916⋅10916 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 70 mod 311

64: 10964=10932+32=10932⋅10932 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 235 mod 311

128: 109128=10964+64=10964⋅10964 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 178 mod 311

109159

= 109128+16+8+4+2+1

= 109128⋅10916⋅1098⋅1094⋅1092⋅1091

≡ 178 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 109 mod 311
≡ 47526 ⋅ 189 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 109 mod 311 ≡ 254 ⋅ 189 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 109 mod 311
≡ 48006 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 109 mod 311 ≡ 112 ⋅ 237 ⋅ 63 ⋅ 109 mod 311
≡ 26544 ⋅ 63 ⋅ 109 mod 311 ≡ 109 ⋅ 63 ⋅ 109 mod 311
≡ 6867 ⋅ 109 mod 311 ≡ 25 ⋅ 109 mod 311
≡ 2725 mod 311 ≡ 237 mod 311

Es gilt also: 109159 ≡ 237 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 53

=>71 = 1⋅53 + 18
=>53 = 2⋅18 + 17
=>18 = 1⋅17 + 1
=>17 = 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 53-2⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅18 -1⋅(53 -2⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅53 +2⋅ 18)
= -1⋅53 +3⋅ 18 (=1)
18= 71-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅53 +3⋅(71 -1⋅ 53)
= -1⋅53 +3⋅71 -3⋅ 53)
= 3⋅71 -4⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(71,53)=1 = 3⋅71 -4⋅53

oder wenn man 3⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅71 = -4⋅53

-4⋅53 = -3⋅71 + 1 |+71⋅53

-4⋅53 + 71⋅53 = -3⋅71 + 71⋅53 + 1

(-4 + 71) ⋅ 53 = (-3 + 53) ⋅ 71 + 1

67⋅53 = 50⋅71 + 1

Es gilt also: 67⋅53 = 50⋅71 +1

Somit 67⋅53 = 1 mod 71

67 ist also das Inverse von 53 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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