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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28003 - 138) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28003 - 138) mod 7 ≡ (28003 mod 7 - 138 mod 7) mod 7.

28003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28003 = 28000+3 = 7 ⋅ 4000 +3.

138 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 138 = 140-2 = 7 ⋅ 20 -2 = 7 ⋅ 20 - 7 + 5.

Somit gilt:

(28003 - 138) mod 7 ≡ (3 - 5) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 77) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 77) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 77 mod 10) mod 10.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

77 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70 + 7 = 7 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 77) mod 10 ≡ (4 ⋅ 7) mod 10 ≡ 28 mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 622⁶⁴ mod 953.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 622 -> x
2. mod(x²,953) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 622¹=622

2: 622²=622¹⁺¹=622¹⋅622¹ ≡ 622⋅622=386884 ≡ 919 mod 953

4: 622⁴=622²⁺²=622²⋅622² ≡ 919⋅919=844561 ≡ 203 mod 953

8: 622⁸=622⁴⁺⁴=622⁴⋅622⁴ ≡ 203⋅203=41209 ≡ 230 mod 953

16: 622¹⁶=622⁸⁺⁸=622⁸⋅622⁸ ≡ 230⋅230=52900 ≡ 485 mod 953

32: 622³²=622¹⁶⁺¹⁶=622¹⁶⋅622¹⁶ ≡ 485⋅485=235225 ≡ 787 mod 953

64: 622⁶⁴=622³²⁺³²=622³²⋅622³² ≡ 787⋅787=619369 ≡ 872 mod 953

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 319¹⁸² mod 787.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:

182 = 128+32+16+4+2

1: 319¹=319

2: 319²=319¹⁺¹=319¹⋅319¹ ≡ 319⋅319=101761 ≡ 238 mod 787

4: 319⁴=319²⁺²=319²⋅319² ≡ 238⋅238=56644 ≡ 767 mod 787

8: 319⁸=319⁴⁺⁴=319⁴⋅319⁴ ≡ 767⋅767=588289 ≡ 400 mod 787

16: 319¹⁶=319⁸⁺⁸=319⁸⋅319⁸ ≡ 400⋅400=160000 ≡ 239 mod 787

32: 319³²=319¹⁶⁺¹⁶=319¹⁶⋅319¹⁶ ≡ 239⋅239=57121 ≡ 457 mod 787

64: 319⁶⁴=319³²⁺³²=319³²⋅319³² ≡ 457⋅457=208849 ≡ 294 mod 787

128: 319¹²⁸=319⁶⁴⁺⁶⁴=319⁶⁴⋅319⁶⁴ ≡ 294⋅294=86436 ≡ 653 mod 787

319¹⁸²

= 319^{128+32+16+4+2}

= 319¹²⁸⋅319³²⋅319¹⁶⋅319⁴⋅319²

≡ 653 ⋅ 457 ⋅ 239 ⋅ 767 ⋅ 238 mod 787
≡ 298421 ⋅ 239 ⋅ 767 ⋅ 238 mod 787 ≡ 148 ⋅ 239 ⋅ 767 ⋅ 238 mod 787
≡ 35372 ⋅ 767 ⋅ 238 mod 787 ≡ 744 ⋅ 767 ⋅ 238 mod 787
≡ 570648 ⋅ 238 mod 787 ≡ 73 ⋅ 238 mod 787
≡ 17374 mod 787 ≡ 60 mod 787

Es gilt also: 319¹⁸² ≡ 60 mod 787

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 69.

Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 69

=>89	= 1⋅69 + 20
=>69	= 3⋅20 + 9
=>20	= 2⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 20-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(20 -2⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅20 +8⋅ 9) = -4⋅20 +9⋅ 9 (=1)
9= 69-3⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅20 +9⋅(69 -3⋅ 20) = -4⋅20 +9⋅69 -27⋅ 20) = 9⋅69 -31⋅ 20 (=1)
20= 89-1⋅69	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅69 -31⋅(89 -1⋅ 69) = 9⋅69 -31⋅89 +31⋅ 69) = -31⋅89 +40⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(89,69)=1 = -31⋅89 +40⋅69

oder wenn man -31⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅89 = +40⋅69

Es gilt also: 40⋅69 = 31⋅89 +1

Somit 40⋅69 = 1 mod 89

40 ist also das Inverse von 69 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 69

Schlüsselpaar für RSA