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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2698 + 2709) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2698 + 2709) mod 9 ≡ (2698 mod 9 + 2709 mod 9) mod 9.

2698 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2698 = 2700-2 = 9 ⋅ 300 -2 = 9 ⋅ 300 - 9 + 7.

2709 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2709 = 2700+9 = 9 ⋅ 300 +9.

Somit gilt:

(2698 + 2709) mod 9 ≡ (7 + 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 27) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 27) mod 4 ≡ (76 mod 4 ⋅ 27 mod 4) mod 4.

76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.

27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 27) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 35864 mod 541.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 358 -> x
2. mod(x²,541) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3581=358

2: 3582=3581+1=3581⋅3581 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 488 mod 541

4: 3584=3582+2=3582⋅3582 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 104 mod 541

8: 3588=3584+4=3584⋅3584 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 537 mod 541

16: 35816=3588+8=3588⋅3588 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 16 mod 541

32: 35832=35816+16=35816⋅35816 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 541

64: 35864=35832+32=35832⋅35832 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 75 mod 541

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 133170 mod 313.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:

170 = 128+32+8+2

1: 1331=133

2: 1332=1331+1=1331⋅1331 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 161 mod 313

4: 1334=1332+2=1332⋅1332 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 255 mod 313

8: 1338=1334+4=1334⋅1334 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 234 mod 313

16: 13316=1338+8=1338⋅1338 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 294 mod 313

32: 13332=13316+16=13316⋅13316 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 48 mod 313

64: 13364=13332+32=13332⋅13332 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 113 mod 313

128: 133128=13364+64=13364⋅13364 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 249 mod 313

133170

= 133128+32+8+2

= 133128⋅13332⋅1338⋅1332

≡ 249 ⋅ 48 ⋅ 234 ⋅ 161 mod 313
≡ 11952 ⋅ 234 ⋅ 161 mod 313 ≡ 58 ⋅ 234 ⋅ 161 mod 313
≡ 13572 ⋅ 161 mod 313 ≡ 113 ⋅ 161 mod 313
≡ 18193 mod 313 ≡ 39 mod 313

Es gilt also: 133170 ≡ 39 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 25

=>73 = 2⋅25 + 23
=>25 = 1⋅23 + 2
=>23 = 11⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 25-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23)
= -11⋅25 +12⋅ 23 (=1)
23= 73-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅25 +12⋅(73 -2⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅73 -24⋅ 25)
= 12⋅73 -35⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(73,25)=1 = 12⋅73 -35⋅25

oder wenn man 12⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅73 = -35⋅25

-35⋅25 = -12⋅73 + 1 |+73⋅25

-35⋅25 + 73⋅25 = -12⋅73 + 73⋅25 + 1

(-35 + 73) ⋅ 25 = (-12 + 25) ⋅ 73 + 1

38⋅25 = 13⋅73 + 1

Es gilt also: 38⋅25 = 13⋅73 +1

Somit 38⋅25 = 1 mod 73

38 ist also das Inverse von 25 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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