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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19997 + 251) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19997 + 251) mod 5 ≡ (19997 mod 5 + 251 mod 5) mod 5.
19997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997
= 19000
251 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 251
= 250
Somit gilt:
(19997 + 251) mod 5 ≡ (2 + 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 87) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 87) mod 11 ≡ (29 mod 11 ⋅ 87 mod 11) mod 11.
29 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 22 + 7 = 2 ⋅ 11 + 7 ist.
87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 87) mod 11 ≡ (7 ⋅ 10) mod 11 ≡ 70 mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26516 mod 787.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 265 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2651=265
2: 2652=2651+1=2651⋅2651 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 182 mod 787
4: 2654=2652+2=2652⋅2652 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 70 mod 787
8: 2658=2654+4=2654⋅2654 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 178 mod 787
16: 26516=2658+8=2658⋅2658 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 204 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 174147 mod 251.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:
147 = 128+16+2+1
1: 1741=174
2: 1742=1741+1=1741⋅1741 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 156 mod 251
4: 1744=1742+2=1742⋅1742 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 240 mod 251
8: 1748=1744+4=1744⋅1744 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 121 mod 251
16: 17416=1748+8=1748⋅1748 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 83 mod 251
32: 17432=17416+16=17416⋅17416 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 112 mod 251
64: 17464=17432+32=17432⋅17432 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 245 mod 251
128: 174128=17464+64=17464⋅17464 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 36 mod 251
174147
= 174128+16+2+1
= 174128⋅17416⋅1742⋅1741
≡ 36 ⋅ 83 ⋅ 156 ⋅ 174 mod 251
≡ 2988 ⋅ 156 ⋅ 174 mod 251 ≡ 227 ⋅ 156 ⋅ 174 mod 251
≡ 35412 ⋅ 174 mod 251 ≡ 21 ⋅ 174 mod 251
≡ 3654 mod 251 ≡ 140 mod 251
Es gilt also: 174147 ≡ 140 mod 251
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 25
| =>59 | = 2⋅25 + 9 |
| =>25 | = 2⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 25-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(25 -2⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅25 -8⋅ 9) = 4⋅25 -11⋅ 9 (=1) |
| 9= 59-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅25 -11⋅(59 -2⋅ 25)
= 4⋅25 -11⋅59 +22⋅ 25) = -11⋅59 +26⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,25)=1 = -11⋅59 +26⋅25
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +26⋅25
Es gilt also: 26⋅25 = 11⋅59 +1
Somit 26⋅25 = 1 mod 59
26 ist also das Inverse von 25 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.