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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (272 + 4503) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(272 + 4503) mod 9 ≡ (272 mod 9 + 4503 mod 9) mod 9.

272 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 272 = 270+2 = 9 ⋅ 30 +2.

4503 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4503 = 4500+3 = 9 ⋅ 500 +3.

Somit gilt:

(272 + 4503) mod 9 ≡ (2 + 3) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 28) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 28) mod 3 ≡ (41 mod 3 ⋅ 28 mod 3) mod 3.

41 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 39 + 2 = 13 ⋅ 3 + 2 ist.

28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 28) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7458 mod 919.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 745 -> x
2. mod(x²,919) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7451=745

2: 7452=7451+1=7451⋅7451 ≡ 745⋅745=555025 ≡ 868 mod 919

4: 7454=7452+2=7452⋅7452 ≡ 868⋅868=753424 ≡ 763 mod 919

8: 7458=7454+4=7454⋅7454 ≡ 763⋅763=582169 ≡ 442 mod 919

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 106134 mod 347.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:

134 = 128+4+2

1: 1061=106

2: 1062=1061+1=1061⋅1061 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 132 mod 347

4: 1064=1062+2=1062⋅1062 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 74 mod 347

8: 1068=1064+4=1064⋅1064 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 271 mod 347

16: 10616=1068+8=1068⋅1068 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 224 mod 347

32: 10632=10616+16=10616⋅10616 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 208 mod 347

64: 10664=10632+32=10632⋅10632 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 236 mod 347

128: 106128=10664+64=10664⋅10664 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 176 mod 347

106134

= 106128+4+2

= 106128⋅1064⋅1062

≡ 176 ⋅ 74 ⋅ 132 mod 347
≡ 13024 ⋅ 132 mod 347 ≡ 185 ⋅ 132 mod 347
≡ 24420 mod 347 ≡ 130 mod 347

Es gilt also: 106134 ≡ 130 mod 347

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44

=>59 = 1⋅44 + 15
=>44 = 2⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 44-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15)
= -1⋅44 +3⋅ 15 (=1)
15= 59-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44)
= 3⋅59 -4⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44

oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅59 = -4⋅44

-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44

-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1

(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1

55⋅44 = 41⋅59 + 1

Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1

Somit 55⋅44 = 1 mod 59

55 ist also das Inverse von 44 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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