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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1196 - 606) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1196 - 606) mod 6 ≡ (1196 mod 6 - 606 mod 6) mod 6.

1196 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196 = 1200-4 = 6 ⋅ 200 -4 = 6 ⋅ 200 - 6 + 2.

606 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 606 = 600+6 = 6 ⋅ 100 +6.

Somit gilt:

(1196 - 606) mod 6 ≡ (2 - 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 44) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 44) mod 9 ≡ (73 mod 9 ⋅ 44 mod 9) mod 9.

73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.

44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 44) mod 9 ≡ (1 ⋅ 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 119⁶⁴ mod 389.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 119 -> x
2. mod(x²,389) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 119¹=119

2: 119²=119¹⁺¹=119¹⋅119¹ ≡ 119⋅119=14161 ≡ 157 mod 389

4: 119⁴=119²⁺²=119²⋅119² ≡ 157⋅157=24649 ≡ 142 mod 389

8: 119⁸=119⁴⁺⁴=119⁴⋅119⁴ ≡ 142⋅142=20164 ≡ 325 mod 389

16: 119¹⁶=119⁸⁺⁸=119⁸⋅119⁸ ≡ 325⋅325=105625 ≡ 206 mod 389

32: 119³²=119¹⁶⁺¹⁶=119¹⁶⋅119¹⁶ ≡ 206⋅206=42436 ≡ 35 mod 389

64: 119⁶⁴=119³²⁺³²=119³²⋅119³² ≡ 35⋅35=1225 ≡ 58 mod 389

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 634²³⁰ mod 977.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:

230 = 128+64+32+4+2

1: 634¹=634

2: 634²=634¹⁺¹=634¹⋅634¹ ≡ 634⋅634=401956 ≡ 409 mod 977

4: 634⁴=634²⁺²=634²⋅634² ≡ 409⋅409=167281 ≡ 214 mod 977

8: 634⁸=634⁴⁺⁴=634⁴⋅634⁴ ≡ 214⋅214=45796 ≡ 854 mod 977

16: 634¹⁶=634⁸⁺⁸=634⁸⋅634⁸ ≡ 854⋅854=729316 ≡ 474 mod 977

32: 634³²=634¹⁶⁺¹⁶=634¹⁶⋅634¹⁶ ≡ 474⋅474=224676 ≡ 943 mod 977

64: 634⁶⁴=634³²⁺³²=634³²⋅634³² ≡ 943⋅943=889249 ≡ 179 mod 977

128: 634¹²⁸=634⁶⁴⁺⁶⁴=634⁶⁴⋅634⁶⁴ ≡ 179⋅179=32041 ≡ 777 mod 977

634²³⁰

= 634^{128+64+32+4+2}

= 634¹²⁸⋅634⁶⁴⋅634³²⋅634⁴⋅634²

≡ 777 ⋅ 179 ⋅ 943 ⋅ 214 ⋅ 409 mod 977
≡ 139083 ⋅ 943 ⋅ 214 ⋅ 409 mod 977 ≡ 349 ⋅ 943 ⋅ 214 ⋅ 409 mod 977
≡ 329107 ⋅ 214 ⋅ 409 mod 977 ≡ 835 ⋅ 214 ⋅ 409 mod 977
≡ 178690 ⋅ 409 mod 977 ≡ 876 ⋅ 409 mod 977
≡ 358284 mod 977 ≡ 702 mod 977

Es gilt also: 634²³⁰ ≡ 702 mod 977

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 82.

Also bestimme x, so dass 82 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 82

=>101	= 1⋅82 + 19
=>82	= 4⋅19 + 6
=>19	= 3⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,82)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-3⋅6
6= 82-4⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -3⋅(82 -4⋅ 19) = 1⋅19 -3⋅82 +12⋅ 19) = -3⋅82 +13⋅ 19 (=1)
19= 101-1⋅82	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅82 +13⋅(101 -1⋅ 82) = -3⋅82 +13⋅101 -13⋅ 82) = 13⋅101 -16⋅ 82 (=1)

Es gilt also: ggt(101,82)=1 = 13⋅101 -16⋅82

oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅101 = -16⋅82

-16⋅82 = -13⋅101 + 1 |+101⋅82

-16⋅82 + 101⋅82 = -13⋅101 + 101⋅82 + 1

(-16 + 101) ⋅ 82 = (-13 + 82) ⋅ 101 + 1

85⋅82 = 69⋅101 + 1

Es gilt also: 85⋅82 = 69⋅101 +1

Somit 85⋅82 = 1 mod 101

85 ist also das Inverse von 82 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 82

Schlüsselpaar für RSA