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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1000 - 25000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1000 - 25000) mod 5 ≡ (1000 mod 5 - 25000 mod 5) mod 5.

1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000 = 1000+0 = 5 ⋅ 200 +0.

25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000 = 25000+0 = 5 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(1000 - 25000) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 66) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 66) mod 10 ≡ (68 mod 10 ⋅ 66 mod 10) mod 10.

68 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 60 + 8 = 6 ⋅ 10 + 8 ist.

66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 66) mod 10 ≡ (8 ⋅ 6) mod 10 ≡ 48 mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 186¹⁶ mod 313.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 186 -> x
2. mod(x²,313) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 186¹=186

2: 186²=186¹⁺¹=186¹⋅186¹ ≡ 186⋅186=34596 ≡ 166 mod 313

4: 186⁴=186²⁺²=186²⋅186² ≡ 166⋅166=27556 ≡ 12 mod 313

8: 186⁸=186⁴⁺⁴=186⁴⋅186⁴ ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 313

16: 186¹⁶=186⁸⁺⁸=186⁸⋅186⁸ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 78 mod 313

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 266¹⁷⁵ mod 577.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

1: 266¹=266

2: 266²=266¹⁺¹=266¹⋅266¹ ≡ 266⋅266=70756 ≡ 362 mod 577

4: 266⁴=266²⁺²=266²⋅266² ≡ 362⋅362=131044 ≡ 65 mod 577

8: 266⁸=266⁴⁺⁴=266⁴⋅266⁴ ≡ 65⋅65=4225 ≡ 186 mod 577

16: 266¹⁶=266⁸⁺⁸=266⁸⋅266⁸ ≡ 186⋅186=34596 ≡ 553 mod 577

32: 266³²=266¹⁶⁺¹⁶=266¹⁶⋅266¹⁶ ≡ 553⋅553=305809 ≡ 576 mod 577

64: 266⁶⁴=266³²⁺³²=266³²⋅266³² ≡ 576⋅576=331776 ≡ 1 mod 577

128: 266¹²⁸=266⁶⁴⁺⁶⁴=266⁶⁴⋅266⁶⁴ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 577

266¹⁷⁵

= 266^{128+32+8+4+2+1}

= 266¹²⁸⋅266³²⋅266⁸⋅266⁴⋅266²⋅266¹

≡ 1 ⋅ 576 ⋅ 186 ⋅ 65 ⋅ 362 ⋅ 266 mod 577
≡ 576 ⋅ 186 ⋅ 65 ⋅ 362 ⋅ 266 mod 577
≡ 107136 ⋅ 65 ⋅ 362 ⋅ 266 mod 577 ≡ 391 ⋅ 65 ⋅ 362 ⋅ 266 mod 577
≡ 25415 ⋅ 362 ⋅ 266 mod 577 ≡ 27 ⋅ 362 ⋅ 266 mod 577
≡ 9774 ⋅ 266 mod 577 ≡ 542 ⋅ 266 mod 577
≡ 144172 mod 577 ≡ 499 mod 577

Es gilt also: 266¹⁷⁵ ≡ 499 mod 577

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27

=>59	= 2⋅27 + 5
=>27	= 5⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 27-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1)
5= 59-2⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅27 +11⋅(59 -2⋅ 27) = -2⋅27 +11⋅59 -22⋅ 27) = 11⋅59 -24⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(59,27)=1 = 11⋅59 -24⋅27

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -24⋅27

-24⋅27 = -11⋅59 + 1 |+59⋅27

-24⋅27 + 59⋅27 = -11⋅59 + 59⋅27 + 1

(-24 + 59) ⋅ 27 = (-11 + 27) ⋅ 59 + 1

35⋅27 = 16⋅59 + 1

Es gilt also: 35⋅27 = 16⋅59 +1

Somit 35⋅27 = 1 mod 59

35 ist also das Inverse von 27 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 27

Schlüsselpaar für RSA