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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5000 - 2003) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5000 - 2003) mod 5 ≡ (5000 mod 5 - 2003 mod 5) mod 5.

5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000 = 5000+0 = 5 ⋅ 1000 +0.

2003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003 = 2000+3 = 5 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(5000 - 2003) mod 5 ≡ (0 - 3) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 37) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 37) mod 11 ≡ (50 mod 11 ⋅ 37 mod 11) mod 11.

50 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 44 + 6 = 4 ⋅ 11 + 6 ist.

37 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 33 + 4 = 3 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 37) mod 11 ≡ (6 ⋅ 4) mod 11 ≡ 24 mod 11 ≡ 2 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 778³² mod 983.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 778 -> x
2. mod(x²,983) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 778¹=778

2: 778²=778¹⁺¹=778¹⋅778¹ ≡ 778⋅778=605284 ≡ 739 mod 983

4: 778⁴=778²⁺²=778²⋅778² ≡ 739⋅739=546121 ≡ 556 mod 983

8: 778⁸=778⁴⁺⁴=778⁴⋅778⁴ ≡ 556⋅556=309136 ≡ 474 mod 983

16: 778¹⁶=778⁸⁺⁸=778⁸⋅778⁸ ≡ 474⋅474=224676 ≡ 552 mod 983

32: 778³²=778¹⁶⁺¹⁶=778¹⁶⋅778¹⁶ ≡ 552⋅552=304704 ≡ 957 mod 983

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 270²⁰⁵ mod 827.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 205 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 205 an und zerlegen 205 in eine Summer von 2er-Potenzen:

205 = 128+64+8+4+1

1: 270¹=270

2: 270²=270¹⁺¹=270¹⋅270¹ ≡ 270⋅270=72900 ≡ 124 mod 827

4: 270⁴=270²⁺²=270²⋅270² ≡ 124⋅124=15376 ≡ 490 mod 827

8: 270⁸=270⁴⁺⁴=270⁴⋅270⁴ ≡ 490⋅490=240100 ≡ 270 mod 827

16: 270¹⁶=270⁸⁺⁸=270⁸⋅270⁸ ≡ 270⋅270=72900 ≡ 124 mod 827

32: 270³²=270¹⁶⁺¹⁶=270¹⁶⋅270¹⁶ ≡ 124⋅124=15376 ≡ 490 mod 827

64: 270⁶⁴=270³²⁺³²=270³²⋅270³² ≡ 490⋅490=240100 ≡ 270 mod 827

128: 270¹²⁸=270⁶⁴⁺⁶⁴=270⁶⁴⋅270⁶⁴ ≡ 270⋅270=72900 ≡ 124 mod 827

270²⁰⁵

= 270^128+64+8+4+1

= 270¹²⁸⋅270⁶⁴⋅270⁸⋅270⁴⋅270¹

≡ 124 ⋅ 270 ⋅ 270 ⋅ 490 ⋅ 270 mod 827
≡ 33480 ⋅ 270 ⋅ 490 ⋅ 270 mod 827 ≡ 400 ⋅ 270 ⋅ 490 ⋅ 270 mod 827
≡ 108000 ⋅ 490 ⋅ 270 mod 827 ≡ 490 ⋅ 490 ⋅ 270 mod 827
≡ 240100 ⋅ 270 mod 827 ≡ 270 ⋅ 270 mod 827
≡ 72900 mod 827 ≡ 124 mod 827

Es gilt also: 270²⁰⁵ ≡ 124 mod 827

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68

=>83	= 1⋅68 + 15
=>68	= 4⋅15 + 8
=>15	= 1⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 68-4⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +2⋅(68 -4⋅ 15) = -1⋅15 +2⋅68 -8⋅ 15) = 2⋅68 -9⋅ 15 (=1)
15= 83-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅68 -9⋅(83 -1⋅ 68) = 2⋅68 -9⋅83 +9⋅ 68) = -9⋅83 +11⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(83,68)=1 = -9⋅83 +11⋅68

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +11⋅68

Es gilt also: 11⋅68 = 9⋅83 +1

Somit 11⋅68 = 1 mod 83

11 ist also das Inverse von 68 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 68

Schlüsselpaar für RSA