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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1197 - 118) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1197 - 118) mod 3 ≡ (1197 mod 3 - 118 mod 3) mod 3.

1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197 = 1200-3 = 3 ⋅ 400 -3 = 3 ⋅ 400 - 3 + 0.

118 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 3 ⋅ 40 -2 = 3 ⋅ 40 - 3 + 1.

Somit gilt:

(1197 - 118) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 90) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 90) mod 8 ≡ (42 mod 8 ⋅ 90 mod 8) mod 8.

42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.

90 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 11 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 90) mod 8 ≡ (2 ⋅ 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 71164 mod 727.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 711 -> x
2. mod(x²,727) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7111=711

2: 7112=7111+1=7111⋅7111 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 256 mod 727

4: 7114=7112+2=7112⋅7112 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 106 mod 727

8: 7118=7114+4=7114⋅7114 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 331 mod 727

16: 71116=7118+8=7118⋅7118 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 511 mod 727

32: 71132=71116+16=71116⋅71116 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 128 mod 727

64: 71164=71132+32=71132⋅71132 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 390 mod 727

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 316134 mod 857.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:

134 = 128+4+2

1: 3161=316

2: 3162=3161+1=3161⋅3161 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 444 mod 857

4: 3164=3162+2=3162⋅3162 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 26 mod 857

8: 3168=3164+4=3164⋅3164 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 857

16: 31616=3168+8=3168⋅3168 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 195 mod 857

32: 31632=31616+16=31616⋅31616 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 317 mod 857

64: 31664=31632+32=31632⋅31632 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 220 mod 857

128: 316128=31664+64=31664⋅31664 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 408 mod 857

316134

= 316128+4+2

= 316128⋅3164⋅3162

≡ 408 ⋅ 26 ⋅ 444 mod 857
≡ 10608 ⋅ 444 mod 857 ≡ 324 ⋅ 444 mod 857
≡ 143856 mod 857 ≡ 737 mod 857

Es gilt also: 316134 ≡ 737 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 74.

Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 74

=>83 = 1⋅74 + 9
=>74 = 8⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,74)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 74-8⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(74 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅74 +32⋅ 9)
= -4⋅74 +33⋅ 9 (=1)
9= 83-1⋅74 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅74 +33⋅(83 -1⋅ 74)
= -4⋅74 +33⋅83 -33⋅ 74)
= 33⋅83 -37⋅ 74 (=1)

Es gilt also: ggt(83,74)=1 = 33⋅83 -37⋅74

oder wenn man 33⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅83 = -37⋅74

-37⋅74 = -33⋅83 + 1 |+83⋅74

-37⋅74 + 83⋅74 = -33⋅83 + 83⋅74 + 1

(-37 + 83) ⋅ 74 = (-33 + 74) ⋅ 83 + 1

46⋅74 = 41⋅83 + 1

Es gilt also: 46⋅74 = 41⋅83 +1

Somit 46⋅74 = 1 mod 83

46 ist also das Inverse von 74 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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