Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3000 + 1502) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3000 + 1502) mod 3 ≡ (3000 mod 3 + 1502 mod 3) mod 3.
3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502
= 1500
Somit gilt:
(3000 + 1502) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 78) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 78) mod 10 ≡ (15 mod 10 ⋅ 78 mod 10) mod 10.
15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.
78 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 70 + 8 = 7 ⋅ 10 + 8 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 78) mod 10 ≡ (5 ⋅ 8) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 64716 mod 709.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 647 -> x
2. mod(x²,709) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6471=647
2: 6472=6471+1=6471⋅6471 ≡ 647⋅647=418609 ≡ 299 mod 709
4: 6474=6472+2=6472⋅6472 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 67 mod 709
8: 6478=6474+4=6474⋅6474 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 235 mod 709
16: 64716=6478+8=6478⋅6478 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 632 mod 709
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 364116 mod 953.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:
116 = 64+32+16+4
1: 3641=364
2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 29 mod 953
4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 29⋅29=841 ≡ 841 mod 953
8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 155 mod 953
16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 200 mod 953
32: 36432=36416+16=36416⋅36416 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 927 mod 953
64: 36464=36432+32=36432⋅36432 ≡ 927⋅927=859329 ≡ 676 mod 953
364116
= 36464+32+16+4
= 36464⋅36432⋅36416⋅3644
≡ 676 ⋅ 927 ⋅ 200 ⋅ 841 mod 953
≡ 626652 ⋅ 200 ⋅ 841 mod 953 ≡ 531 ⋅ 200 ⋅ 841 mod 953
≡ 106200 ⋅ 841 mod 953 ≡ 417 ⋅ 841 mod 953
≡ 350697 mod 953 ≡ 946 mod 953
Es gilt also: 364116 ≡ 946 mod 953
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31
| =>53 | = 1⋅31 + 22 |
| =>31 | = 1⋅22 + 9 |
| =>22 | = 2⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 22-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 31-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22) = 5⋅31 -7⋅ 22 (=1) |
| 22= 53-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31)
= 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31) = -7⋅53 +12⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31
oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅53 = +12⋅31
Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1
Somit 12⋅31 = 1 mod 53
12 ist also das Inverse von 31 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.