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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2103 + 1394) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2103 + 1394) mod 7 ≡ (2103 mod 7 + 1394 mod 7) mod 7.
2103 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2103
= 2100
1394 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1394
= 1400
Somit gilt:
(2103 + 1394) mod 7 ≡ (3 + 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 60) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 60) mod 11 ≡ (26 mod 11 ⋅ 60 mod 11) mod 11.
26 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 22 + 4 = 2 ⋅ 11 + 4 ist.
60 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 55 + 5 = 5 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 60) mod 11 ≡ (4 ⋅ 5) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1968 mod 389.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 196 -> x
2. mod(x²,389) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1961=196
2: 1962=1961+1=1961⋅1961 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 294 mod 389
4: 1964=1962+2=1962⋅1962 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 78 mod 389
8: 1968=1964+4=1964⋅1964 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 249 mod 389
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 130210 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 210 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 210 an und zerlegen 210 in eine Summer von 2er-Potenzen:
210 = 128+64+16+2
1: 1301=130
2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 124 mod 233
4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 231 mod 233
8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 4 mod 233
16: 13016=1308+8=1308⋅1308 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 233
32: 13032=13016+16=13016⋅13016 ≡ 16⋅16=256 ≡ 23 mod 233
64: 13064=13032+32=13032⋅13032 ≡ 23⋅23=529 ≡ 63 mod 233
128: 130128=13064+64=13064⋅13064 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 8 mod 233
130210
= 130128+64+16+2
= 130128⋅13064⋅13016⋅1302
≡ 8 ⋅ 63 ⋅ 16 ⋅ 124 mod 233
≡ 504 ⋅ 16 ⋅ 124 mod 233 ≡ 38 ⋅ 16 ⋅ 124 mod 233
≡ 608 ⋅ 124 mod 233 ≡ 142 ⋅ 124 mod 233
≡ 17608 mod 233 ≡ 133 mod 233
Es gilt also: 130210 ≡ 133 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 55
| =>79 | = 1⋅55 + 24 |
| =>55 | = 2⋅24 + 7 |
| =>24 | = 3⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 24-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 55-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅24 +7⋅(55 -2⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅55 -14⋅ 24) = 7⋅55 -16⋅ 24 (=1) |
| 24= 79-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅55 -16⋅(79 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -16⋅79 +16⋅ 55) = -16⋅79 +23⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,55)=1 = -16⋅79 +23⋅55
oder wenn man -16⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅79 = +23⋅55
Es gilt also: 23⋅55 = 16⋅79 +1
Somit 23⋅55 = 1 mod 79
23 ist also das Inverse von 55 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.