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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8000 + 156) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8000 + 156) mod 8 ≡ (8000 mod 8 + 156 mod 8) mod 8.

8000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 8 ⋅ 1000 +0.

156 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156 = 160-4 = 8 ⋅ 20 -4 = 8 ⋅ 20 - 8 + 4.

Somit gilt:

(8000 + 156) mod 8 ≡ (0 + 4) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 33) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 33) mod 10 ≡ (15 mod 10 ⋅ 33 mod 10) mod 10.

15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.

33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 33) mod 10 ≡ (5 ⋅ 3) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 30964 mod 569.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 309 -> x
2. mod(x²,569) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3091=309

2: 3092=3091+1=3091⋅3091 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 458 mod 569

4: 3094=3092+2=3092⋅3092 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 372 mod 569

8: 3098=3094+4=3094⋅3094 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 117 mod 569

16: 30916=3098+8=3098⋅3098 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 33 mod 569

32: 30932=30916+16=30916⋅30916 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 520 mod 569

64: 30964=30932+32=30932⋅30932 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 125 mod 569

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 78169 mod 233.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:

169 = 128+32+8+1

1: 781=78

2: 782=781+1=781⋅781 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 26 mod 233

4: 784=782+2=782⋅782 ≡ 26⋅26=676 ≡ 210 mod 233

8: 788=784+4=784⋅784 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 63 mod 233

16: 7816=788+8=788⋅788 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 8 mod 233

32: 7832=7816+16=7816⋅7816 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 233

64: 7864=7832+32=7832⋅7832 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 135 mod 233

128: 78128=7864+64=7864⋅7864 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 51 mod 233

78169

= 78128+32+8+1

= 78128⋅7832⋅788⋅781

≡ 51 ⋅ 64 ⋅ 63 ⋅ 78 mod 233
≡ 3264 ⋅ 63 ⋅ 78 mod 233 ≡ 2 ⋅ 63 ⋅ 78 mod 233
≡ 126 ⋅ 78 mod 233
≡ 9828 mod 233 ≡ 42 mod 233

Es gilt also: 78169 ≡ 42 mod 233

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 60

=>79 = 1⋅60 + 19
=>60 = 3⋅19 + 3
=>19 = 6⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 60-3⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -6⋅(60 -3⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅60 +18⋅ 19)
= -6⋅60 +19⋅ 19 (=1)
19= 79-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅60 +19⋅(79 -1⋅ 60)
= -6⋅60 +19⋅79 -19⋅ 60)
= 19⋅79 -25⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(79,60)=1 = 19⋅79 -25⋅60

oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅79 = -25⋅60

-25⋅60 = -19⋅79 + 1 |+79⋅60

-25⋅60 + 79⋅60 = -19⋅79 + 79⋅60 + 1

(-25 + 79) ⋅ 60 = (-19 + 60) ⋅ 79 + 1

54⋅60 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 54⋅60 = 41⋅79 +1

Somit 54⋅60 = 1 mod 79

54 ist also das Inverse von 60 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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