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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (900 + 299) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(900 + 299) mod 3 ≡ (900 mod 3 + 299 mod 3) mod 3.

900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 3 ⋅ 300 +0.

299 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299 = 300-1 = 3 ⋅ 100 -1 = 3 ⋅ 100 - 3 + 2.

Somit gilt:

(900 + 299) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 62) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 62) mod 11 ≡ (23 mod 11 ⋅ 62 mod 11) mod 11.

23 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 22 + 1 = 2 ⋅ 11 + 1 ist.

62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 62) mod 11 ≡ (1 ⋅ 7) mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 114128 mod 271.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 114 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1141=114

2: 1142=1141+1=1141⋅1141 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 259 mod 271

4: 1144=1142+2=1142⋅1142 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 144 mod 271

8: 1148=1144+4=1144⋅1144 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 140 mod 271

16: 11416=1148+8=1148⋅1148 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 88 mod 271

32: 11432=11416+16=11416⋅11416 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 156 mod 271

64: 11464=11432+32=11432⋅11432 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 217 mod 271

128: 114128=11464+64=11464⋅11464 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 206 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 668207 mod 751.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

1: 6681=668

2: 6682=6681+1=6681⋅6681 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 130 mod 751

4: 6684=6682+2=6682⋅6682 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 378 mod 751

8: 6688=6684+4=6684⋅6684 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 194 mod 751

16: 66816=6688+8=6688⋅6688 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 86 mod 751

32: 66832=66816+16=66816⋅66816 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 637 mod 751

64: 66864=66832+32=66832⋅66832 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 229 mod 751

128: 668128=66864+64=66864⋅66864 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 622 mod 751

668207

= 668128+64+8+4+2+1

= 668128⋅66864⋅6688⋅6684⋅6682⋅6681

622 ⋅ 229 ⋅ 194 ⋅ 378 ⋅ 130 ⋅ 668 mod 751
142438 ⋅ 194 ⋅ 378 ⋅ 130 ⋅ 668 mod 751 ≡ 499 ⋅ 194 ⋅ 378 ⋅ 130 ⋅ 668 mod 751
96806 ⋅ 378 ⋅ 130 ⋅ 668 mod 751 ≡ 678 ⋅ 378 ⋅ 130 ⋅ 668 mod 751
256284 ⋅ 130 ⋅ 668 mod 751 ≡ 193 ⋅ 130 ⋅ 668 mod 751
25090 ⋅ 668 mod 751 ≡ 307 ⋅ 668 mod 751
205076 mod 751 ≡ 53 mod 751

Es gilt also: 668207 ≡ 53 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 74.

Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 74

=>79 = 1⋅74 + 5
=>74 = 14⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,74)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 74-14⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(74 -14⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅74 +14⋅ 5)
= -1⋅74 +15⋅ 5 (=1)
5= 79-1⋅74 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅74 +15⋅(79 -1⋅ 74)
= -1⋅74 +15⋅79 -15⋅ 74)
= 15⋅79 -16⋅ 74 (=1)

Es gilt also: ggt(79,74)=1 = 15⋅79 -16⋅74

oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅79 = -16⋅74

-16⋅74 = -15⋅79 + 1 |+79⋅74

-16⋅74 + 79⋅74 = -15⋅79 + 79⋅74 + 1

(-16 + 79) ⋅ 74 = (-15 + 74) ⋅ 79 + 1

63⋅74 = 59⋅79 + 1

Es gilt also: 63⋅74 = 59⋅79 +1

Somit 63⋅74 = 1 mod 79

63 ist also das Inverse von 74 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.