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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (118 - 1600) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(118 - 1600) mod 4 ≡ (118 mod 4 - 1600 mod 4) mod 4.
118 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118
= 120
1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
Somit gilt:
(118 - 1600) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 24) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 24) mod 8 ≡ (30 mod 8 ⋅ 24 mod 8) mod 8.
30 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 24 + 6 = 3 ⋅ 8 + 6 ist.
24 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 3 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 24) mod 8 ≡ (6 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1878 mod 439.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 187 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1871=187
2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 288 mod 439
4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 412 mod 439
8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 290 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 651127 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:
127 = 64+32+16+8+4+2+1
1: 6511=651
2: 6512=6511+1=6511⋅6511 ≡ 651⋅651=423801 ≡ 844 mod 883
4: 6514=6512+2=6512⋅6512 ≡ 844⋅844=712336 ≡ 638 mod 883
8: 6518=6514+4=6514⋅6514 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 864 mod 883
16: 65116=6518+8=6518⋅6518 ≡ 864⋅864=746496 ≡ 361 mod 883
32: 65132=65116+16=65116⋅65116 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 520 mod 883
64: 65164=65132+32=65132⋅65132 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 202 mod 883
651127
= 65164+32+16+8+4+2+1
= 65164⋅65132⋅65116⋅6518⋅6514⋅6512⋅6511
≡ 202 ⋅ 520 ⋅ 361 ⋅ 864 ⋅ 638 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883
≡ 105040 ⋅ 361 ⋅ 864 ⋅ 638 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883 ≡ 846 ⋅ 361 ⋅ 864 ⋅ 638 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883
≡ 305406 ⋅ 864 ⋅ 638 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883 ≡ 771 ⋅ 864 ⋅ 638 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883
≡ 666144 ⋅ 638 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883 ≡ 362 ⋅ 638 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883
≡ 230956 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883 ≡ 493 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883
≡ 416092 ⋅ 651 mod 883 ≡ 199 ⋅ 651 mod 883
≡ 129549 mod 883 ≡ 631 mod 883
Es gilt also: 651127 ≡ 631 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.
Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18
| =>61 | = 3⋅18 + 7 |
| =>18 | = 2⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,18)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 18-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-3⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +17⋅18
Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1
Somit 17⋅18 = 1 mod 61
17 ist also das Inverse von 18 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
