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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 - 1999) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 - 1999) mod 4 ≡ (44 mod 4 - 1999 mod 4) mod 4.

44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40+4 = 4 ⋅ 10 +4.

1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999 = 1900+99 = 4 ⋅ 475 +99.

Somit gilt:

(44 - 1999) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 65) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 65) mod 10 ≡ (83 mod 10 ⋅ 65 mod 10) mod 10.

83 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 8 ⋅ 10 + 3 ist.

65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 65) mod 10 ≡ (3 ⋅ 5) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3608 mod 397.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 360 -> x
2. mod(x²,397) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3601=360

2: 3602=3601+1=3601⋅3601 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 178 mod 397

4: 3604=3602+2=3602⋅3602 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 321 mod 397

8: 3608=3604+4=3604⋅3604 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 218 mod 397

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 289172 mod 853.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 172 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 172 an und zerlegen 172 in eine Summer von 2er-Potenzen:

172 = 128+32+8+4

1: 2891=289

2: 2892=2891+1=2891⋅2891 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 780 mod 853

4: 2894=2892+2=2892⋅2892 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 211 mod 853

8: 2898=2894+4=2894⋅2894 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 165 mod 853

16: 28916=2898+8=2898⋅2898 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 782 mod 853

32: 28932=28916+16=28916⋅28916 ≡ 782⋅782=611524 ≡ 776 mod 853

64: 28964=28932+32=28932⋅28932 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 811 mod 853

128: 289128=28964+64=28964⋅28964 ≡ 811⋅811=657721 ≡ 58 mod 853

289172

= 289128+32+8+4

= 289128⋅28932⋅2898⋅2894

≡ 58 ⋅ 776 ⋅ 165 ⋅ 211 mod 853
≡ 45008 ⋅ 165 ⋅ 211 mod 853 ≡ 652 ⋅ 165 ⋅ 211 mod 853
≡ 107580 ⋅ 211 mod 853 ≡ 102 ⋅ 211 mod 853
≡ 21522 mod 853 ≡ 197 mod 853

Es gilt also: 289172 ≡ 197 mod 853

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 56.

Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 56

=>79 = 1⋅56 + 23
=>56 = 2⋅23 + 10
=>23 = 2⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 23-2⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10)
= -3⋅23 +7⋅ 10 (=1)
10= 56-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +7⋅(56 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅56 -14⋅ 23)
= 7⋅56 -17⋅ 23 (=1)
23= 79-1⋅56 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅56 -17⋅(79 -1⋅ 56)
= 7⋅56 -17⋅79 +17⋅ 56)
= -17⋅79 +24⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(79,56)=1 = -17⋅79 +24⋅56

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +24⋅56

Es gilt also: 24⋅56 = 17⋅79 +1

Somit 24⋅56 = 1 mod 79

24 ist also das Inverse von 56 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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