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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8004 - 323) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8004 - 323) mod 8 ≡ (8004 mod 8 - 323 mod 8) mod 8.

8004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004 = 8000+4 = 8 ⋅ 1000 +4.

323 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 323 = 320+3 = 8 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(8004 - 323) mod 8 ≡ (4 - 3) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 57) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 57) mod 6 ≡ (18 mod 6 ⋅ 57 mod 6) mod 6.

18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.

57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 54 + 3 = 9 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 57) mod 6 ≡ (0 ⋅ 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5868 mod 929.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 586 -> x
2. mod(x²,929) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5861=586

2: 5862=5861+1=5861⋅5861 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 595 mod 929

4: 5864=5862+2=5862⋅5862 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 76 mod 929

8: 5868=5864+4=5864⋅5864 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 202 mod 929

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 661204 mod 877.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:

204 = 128+64+8+4

1: 6611=661

2: 6612=6611+1=6611⋅6611 ≡ 661⋅661=436921 ≡ 175 mod 877

4: 6614=6612+2=6612⋅6612 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 807 mod 877

8: 6618=6614+4=6614⋅6614 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 515 mod 877

16: 66116=6618+8=6618⋅6618 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 371 mod 877

32: 66132=66116+16=66116⋅66116 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 829 mod 877

64: 66164=66132+32=66132⋅66132 ≡ 829⋅829=687241 ≡ 550 mod 877

128: 661128=66164+64=66164⋅66164 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 812 mod 877

661204

= 661128+64+8+4

= 661128⋅66164⋅6618⋅6614

812 ⋅ 550 ⋅ 515 ⋅ 807 mod 877
446600 ⋅ 515 ⋅ 807 mod 877 ≡ 207 ⋅ 515 ⋅ 807 mod 877
106605 ⋅ 807 mod 877 ≡ 488 ⋅ 807 mod 877
393816 mod 877 ≡ 43 mod 877

Es gilt also: 661204 ≡ 43 mod 877

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

=>61 = 2⋅22 + 17
=>22 = 1⋅17 + 5
=>17 = 3⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5)
= -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 22-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17)
= 7⋅22 -9⋅ 17 (=1)
17= 61-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22)
= -9⋅61 +25⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +25⋅22

Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1

Somit 25⋅22 = 1 mod 61

25 ist also das Inverse von 22 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.