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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 + 2101) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 + 2101) mod 7 ≡ (63 mod 7 + 2101 mod 7) mod 7.

63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 70-7 = 7 ⋅ 10 -7 = 7 ⋅ 10 - 7 + 0.

2101 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2101 = 2100+1 = 7 ⋅ 300 +1.

Somit gilt:

(63 + 2101) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 64) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 64) mod 11 ≡ (42 mod 11 ⋅ 64 mod 11) mod 11.

42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.

64 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 55 + 9 = 5 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 64) mod 11 ≡ (9 ⋅ 9) mod 11 ≡ 81 mod 11 ≡ 4 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 250128 mod 661.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 250 -> x
2. mod(x²,661) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2501=250

2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 366 mod 661

4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 434 mod 661

8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 632 mod 661

16: 25016=2508+8=2508⋅2508 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 180 mod 661

32: 25032=25016+16=25016⋅25016 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 11 mod 661

64: 25064=25032+32=25032⋅25032 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 661

128: 250128=25064+64=25064⋅25064 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 99 mod 661

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 390102 mod 967.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:

102 = 64+32+4+2

1: 3901=390

2: 3902=3901+1=3901⋅3901 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 281 mod 967

4: 3904=3902+2=3902⋅3902 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 634 mod 967

8: 3908=3904+4=3904⋅3904 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 651 mod 967

16: 39016=3908+8=3908⋅3908 ≡ 651⋅651=423801 ≡ 255 mod 967

32: 39032=39016+16=39016⋅39016 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 236 mod 967

64: 39064=39032+32=39032⋅39032 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 577 mod 967

390102

= 39064+32+4+2

= 39064⋅39032⋅3904⋅3902

≡ 577 ⋅ 236 ⋅ 634 ⋅ 281 mod 967
≡ 136172 ⋅ 634 ⋅ 281 mod 967 ≡ 792 ⋅ 634 ⋅ 281 mod 967
≡ 502128 ⋅ 281 mod 967 ≡ 255 ⋅ 281 mod 967
≡ 71655 mod 967 ≡ 97 mod 967

Es gilt also: 390102 ≡ 97 mod 967

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 77.

Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77

=>89 = 1⋅77 + 12
=>77 = 6⋅12 + 5
=>12 = 2⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,77)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5)
= -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 77-6⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12)
= 5⋅77 -32⋅ 12 (=1)
12= 89-1⋅77 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77)
= 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77)
= -32⋅89 +37⋅ 77 (=1)

Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77

oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅89 = +37⋅77

Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1

Somit 37⋅77 = 1 mod 89

37 ist also das Inverse von 77 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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