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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35996 + 94) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35996 + 94) mod 9 ≡ (35996 mod 9 + 94 mod 9) mod 9.
35996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35996
= 36000
94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94
= 90
Somit gilt:
(35996 + 94) mod 9 ≡ (5 + 4) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 15) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 15) mod 4 ≡ (35 mod 4 ⋅ 15 mod 4) mod 4.
35 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 32 + 3 = 8 ⋅ 4 + 3 ist.
15 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 3 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 15) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38064 mod 919.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 380 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3801=380
2: 3802=3801+1=3801⋅3801 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 117 mod 919
4: 3804=3802+2=3802⋅3802 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 823 mod 919
8: 3808=3804+4=3804⋅3804 ≡ 823⋅823=677329 ≡ 26 mod 919
16: 38016=3808+8=3808⋅3808 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 919
32: 38032=38016+16=38016⋅38016 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 233 mod 919
64: 38064=38032+32=38032⋅38032 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 68 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 37294 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:
94 = 64+16+8+4+2
1: 3721=372
2: 3722=3721+1=3721⋅3721 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 540 mod 547
4: 3724=3722+2=3722⋅3722 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 49 mod 547
8: 3728=3724+4=3724⋅3724 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 213 mod 547
16: 37216=3728+8=3728⋅3728 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 515 mod 547
32: 37232=37216+16=37216⋅37216 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 477 mod 547
64: 37264=37232+32=37232⋅37232 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 524 mod 547
37294
= 37264+16+8+4+2
= 37264⋅37216⋅3728⋅3724⋅3722
≡ 524 ⋅ 515 ⋅ 213 ⋅ 49 ⋅ 540 mod 547
≡ 269860 ⋅ 213 ⋅ 49 ⋅ 540 mod 547 ≡ 189 ⋅ 213 ⋅ 49 ⋅ 540 mod 547
≡ 40257 ⋅ 49 ⋅ 540 mod 547 ≡ 326 ⋅ 49 ⋅ 540 mod 547
≡ 15974 ⋅ 540 mod 547 ≡ 111 ⋅ 540 mod 547
≡ 59940 mod 547 ≡ 317 mod 547
Es gilt also: 37294 ≡ 317 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 39
| =>73 | = 1⋅39 + 34 |
| =>39 | = 1⋅34 + 5 |
| =>34 | = 6⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 34-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 39-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅34 +7⋅(39 -1⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅39 -7⋅ 34) = 7⋅39 -8⋅ 34 (=1) |
| 34= 73-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅39 -8⋅(73 -1⋅ 39)
= 7⋅39 -8⋅73 +8⋅ 39) = -8⋅73 +15⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,39)=1 = -8⋅73 +15⋅39
oder wenn man -8⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅73 = +15⋅39
Es gilt also: 15⋅39 = 8⋅73 +1
Somit 15⋅39 = 1 mod 73
15 ist also das Inverse von 39 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.