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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36009 + 181) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36009 + 181) mod 9 ≡ (36009 mod 9 + 181 mod 9) mod 9.
36009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36009
= 36000
181 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181
= 180
Somit gilt:
(36009 + 181) mod 9 ≡ (0 + 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 63) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 63) mod 6 ≡ (98 mod 6 ⋅ 63 mod 6) mod 6.
98 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 16 ⋅ 6 + 2 ist.
63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 10 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 63) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 300128 mod 383.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 300 -> x
2. mod(x²,383) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3001=300
2: 3002=3001+1=3001⋅3001 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 378 mod 383
4: 3004=3002+2=3002⋅3002 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 25 mod 383
8: 3008=3004+4=3004⋅3004 ≡ 25⋅25=625 ≡ 242 mod 383
16: 30016=3008+8=3008⋅3008 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 348 mod 383
32: 30032=30016+16=30016⋅30016 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 76 mod 383
64: 30064=30032+32=30032⋅30032 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 31 mod 383
128: 300128=30064+64=30064⋅30064 ≡ 31⋅31=961 ≡ 195 mod 383
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 89250 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:
250 = 128+64+32+16+8+2
1: 891=89
2: 892=891+1=891⋅891 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 209 mod 241
4: 894=892+2=892⋅892 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 60 mod 241
8: 898=894+4=894⋅894 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 226 mod 241
16: 8916=898+8=898⋅898 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 225 mod 241
32: 8932=8916+16=8916⋅8916 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 15 mod 241
64: 8964=8932+32=8932⋅8932 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 241
128: 89128=8964+64=8964⋅8964 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 15 mod 241
89250
= 89128+64+32+16+8+2
= 89128⋅8964⋅8932⋅8916⋅898⋅892
≡ 15 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 225 ⋅ 226 ⋅ 209 mod 241
≡ 3375 ⋅ 15 ⋅ 225 ⋅ 226 ⋅ 209 mod 241 ≡ 1 ⋅ 15 ⋅ 225 ⋅ 226 ⋅ 209 mod 241
≡ 15 ⋅ 225 ⋅ 226 ⋅ 209 mod 241
≡ 3375 ⋅ 226 ⋅ 209 mod 241 ≡ 1 ⋅ 226 ⋅ 209 mod 241
≡ 226 ⋅ 209 mod 241
≡ 47234 mod 241 ≡ 239 mod 241
Es gilt also: 89250 ≡ 239 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 64
| =>97 | = 1⋅64 + 33 |
| =>64 | = 1⋅33 + 31 |
| =>33 | = 1⋅31 + 2 |
| =>31 | = 15⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 31-15⋅2 | |||
| 2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
| 31= 64-1⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(64 -1⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅64 -16⋅ 33) = 16⋅64 -31⋅ 33 (=1) |
| 33= 97-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 16⋅64 -31⋅(97 -1⋅ 64)
= 16⋅64 -31⋅97 +31⋅ 64) = -31⋅97 +47⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,64)=1 = -31⋅97 +47⋅64
oder wenn man -31⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅97 = +47⋅64
Es gilt also: 47⋅64 = 31⋅97 +1
Somit 47⋅64 = 1 mod 97
47 ist also das Inverse von 64 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
