Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30000 + 29996) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30000 + 29996) mod 6 ≡ (30000 mod 6 + 29996 mod 6) mod 6.
30000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30000
= 30000
29996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29996
= 30000
Somit gilt:
(30000 + 29996) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 69) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 ⋅ 69) mod 6 ≡ (70 mod 6 ⋅ 69 mod 6) mod 6.
70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.
69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(70 ⋅ 69) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2138 mod 283.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 213 -> x
2. mod(x²,283) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2131=213
2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 89 mod 283
4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 280 mod 283
8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 9 mod 283
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 501234 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:
234 = 128+64+32+8+2
1: 5011=501
2: 5012=5011+1=5011⋅5011 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 315 mod 733
4: 5014=5012+2=5012⋅5012 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 270 mod 733
8: 5018=5014+4=5014⋅5014 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 333 mod 733
16: 50116=5018+8=5018⋅5018 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 206 mod 733
32: 50132=50116+16=50116⋅50116 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 655 mod 733
64: 50164=50132+32=50132⋅50132 ≡ 655⋅655=429025 ≡ 220 mod 733
128: 501128=50164+64=50164⋅50164 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 22 mod 733
501234
= 501128+64+32+8+2
= 501128⋅50164⋅50132⋅5018⋅5012
≡ 22 ⋅ 220 ⋅ 655 ⋅ 333 ⋅ 315 mod 733
≡ 4840 ⋅ 655 ⋅ 333 ⋅ 315 mod 733 ≡ 442 ⋅ 655 ⋅ 333 ⋅ 315 mod 733
≡ 289510 ⋅ 333 ⋅ 315 mod 733 ≡ 708 ⋅ 333 ⋅ 315 mod 733
≡ 235764 ⋅ 315 mod 733 ≡ 471 ⋅ 315 mod 733
≡ 148365 mod 733 ≡ 299 mod 733
Es gilt also: 501234 ≡ 299 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 70.
Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70
| =>79 | = 1⋅70 + 9 |
| =>70 | = 7⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,70)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 70-7⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9) = 4⋅70 -31⋅ 9 (=1) |
| 9= 79-1⋅70 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70) = -31⋅79 +35⋅ 70 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70
oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅79 = +35⋅70
Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1
Somit 35⋅70 = 1 mod 79
35 ist also das Inverse von 70 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
