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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 + 17998) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 + 17998) mod 6 ≡ (56 mod 6 + 17998 mod 6) mod 6.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 60-4 = 6 ⋅ 10 -4 = 6 ⋅ 10 - 6 + 2.

17998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17998 = 18000-2 = 6 ⋅ 3000 -2 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 4.

Somit gilt:

(56 + 17998) mod 6 ≡ (2 + 4) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 37) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 37) mod 9 ≡ (91 mod 9 ⋅ 37 mod 9) mod 9.

91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.

37 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 4 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 37) mod 9 ≡ (1 ⋅ 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2798 mod 877.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 279 -> x
2. mod(x²,877) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2791=279

2: 2792=2791+1=2791⋅2791 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 665 mod 877

4: 2794=2792+2=2792⋅2792 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 217 mod 877

8: 2798=2794+4=2794⋅2794 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 608 mod 877

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36876 mod 463.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 76 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 76 an und zerlegen 76 in eine Summer von 2er-Potenzen:

76 = 64+8+4

1: 3681=368

2: 3682=3681+1=3681⋅3681 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 228 mod 463

4: 3684=3682+2=3682⋅3682 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 128 mod 463

8: 3688=3684+4=3684⋅3684 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 179 mod 463

16: 36816=3688+8=3688⋅3688 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 94 mod 463

32: 36832=36816+16=36816⋅36816 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 39 mod 463

64: 36864=36832+32=36832⋅36832 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 132 mod 463

36876

= 36864+8+4

= 36864⋅3688⋅3684

≡ 132 ⋅ 179 ⋅ 128 mod 463
≡ 23628 ⋅ 128 mod 463 ≡ 15 ⋅ 128 mod 463
≡ 1920 mod 463 ≡ 68 mod 463

Es gilt also: 36876 ≡ 68 mod 463

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 31

=>83 = 2⋅31 + 21
=>31 = 1⋅21 + 10
=>21 = 2⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-2⋅10
10= 31-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21)
= -2⋅31 +3⋅ 21 (=1)
21= 83-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅31 +3⋅(83 -2⋅ 31)
= -2⋅31 +3⋅83 -6⋅ 31)
= 3⋅83 -8⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(83,31)=1 = 3⋅83 -8⋅31

oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅83 = -8⋅31

-8⋅31 = -3⋅83 + 1 |+83⋅31

-8⋅31 + 83⋅31 = -3⋅83 + 83⋅31 + 1

(-8 + 83) ⋅ 31 = (-3 + 31) ⋅ 83 + 1

75⋅31 = 28⋅83 + 1

Es gilt also: 75⋅31 = 28⋅83 +1

Somit 75⋅31 = 1 mod 83

75 ist also das Inverse von 31 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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