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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 - 800) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 - 800) mod 4 ≡ (80 mod 4 - 800 mod 4) mod 4.
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
800 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800
= 800
Somit gilt:
(80 - 800) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 77) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 77) mod 3 ≡ (66 mod 3 ⋅ 77 mod 3) mod 3.
66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.
77 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 25 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 77) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 35664 mod 463.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 356 -> x
2. mod(x²,463) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3561=356
2: 3562=3561+1=3561⋅3561 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 337 mod 463
4: 3564=3562+2=3562⋅3562 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 134 mod 463
8: 3568=3564+4=3564⋅3564 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 362 mod 463
16: 35616=3568+8=3568⋅3568 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 15 mod 463
32: 35632=35616+16=35616⋅35616 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 463
64: 35664=35632+32=35632⋅35632 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 158 mod 463
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 778218 mod 1009.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:
218 = 128+64+16+8+2
1: 7781=778
2: 7782=7781+1=7781⋅7781 ≡ 778⋅778=605284 ≡ 893 mod 1009
4: 7784=7782+2=7782⋅7782 ≡ 893⋅893=797449 ≡ 339 mod 1009
8: 7788=7784+4=7784⋅7784 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 904 mod 1009
16: 77816=7788+8=7788⋅7788 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 935 mod 1009
32: 77832=77816+16=77816⋅77816 ≡ 935⋅935=874225 ≡ 431 mod 1009
64: 77864=77832+32=77832⋅77832 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 105 mod 1009
128: 778128=77864+64=77864⋅77864 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 935 mod 1009
778218
= 778128+64+16+8+2
= 778128⋅77864⋅77816⋅7788⋅7782
≡ 935 ⋅ 105 ⋅ 935 ⋅ 904 ⋅ 893 mod 1009
≡ 98175 ⋅ 935 ⋅ 904 ⋅ 893 mod 1009 ≡ 302 ⋅ 935 ⋅ 904 ⋅ 893 mod 1009
≡ 282370 ⋅ 904 ⋅ 893 mod 1009 ≡ 859 ⋅ 904 ⋅ 893 mod 1009
≡ 776536 ⋅ 893 mod 1009 ≡ 615 ⋅ 893 mod 1009
≡ 549195 mod 1009 ≡ 299 mod 1009
Es gilt also: 778218 ≡ 299 mod 1009
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 87.
Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87
| =>101 | = 1⋅87 + 14 |
| =>87 | = 6⋅14 + 3 |
| =>14 | = 4⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,87)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 14-4⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1) |
| 3= 87-6⋅14 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅14 +5⋅(87 -6⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅87 -30⋅ 14) = 5⋅87 -31⋅ 14 (=1) |
| 14= 101-1⋅87 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅87 -31⋅(101 -1⋅ 87)
= 5⋅87 -31⋅101 +31⋅ 87) = -31⋅101 +36⋅ 87 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,87)=1 = -31⋅101 +36⋅87
oder wenn man -31⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅101 = +36⋅87
Es gilt also: 36⋅87 = 31⋅101 +1
Somit 36⋅87 = 1 mod 101
36 ist also das Inverse von 87 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
