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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36009 + 45008) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36009 + 45008) mod 9 ≡ (36009 mod 9 + 45008 mod 9) mod 9.

36009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36009 = 36000+9 = 9 ⋅ 4000 +9.

45008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45008 = 45000+8 = 9 ⋅ 5000 +8.

Somit gilt:

(36009 + 45008) mod 9 ≡ (0 + 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 35) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 35) mod 3 ≡ (52 mod 3 ⋅ 35 mod 3) mod 3.

52 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 51 + 1 = 17 ⋅ 3 + 1 ist.

35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 35) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43016 mod 523.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 430 -> x
2. mod(x²,523) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4301=430

2: 4302=4301+1=4301⋅4301 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 281 mod 523

4: 4304=4302+2=4302⋅4302 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 511 mod 523

8: 4308=4304+4=4304⋅4304 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 144 mod 523

16: 43016=4308+8=4308⋅4308 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 339 mod 523

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21881 mod 433.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:

81 = 64+16+1

1: 2181=218

2: 2182=2181+1=2181⋅2181 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 327 mod 433

4: 2184=2182+2=2182⋅2182 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 411 mod 433

8: 2188=2184+4=2184⋅2184 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 51 mod 433

16: 21816=2188+8=2188⋅2188 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 3 mod 433

32: 21832=21816+16=21816⋅21816 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 433

64: 21864=21832+32=21832⋅21832 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 433

21881

= 21864+16+1

= 21864⋅21816⋅2181

≡ 81 ⋅ 3 ⋅ 218 mod 433
≡ 243 ⋅ 218 mod 433
≡ 52974 mod 433 ≡ 148 mod 433

Es gilt also: 21881 ≡ 148 mod 433

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 52

=>97 = 1⋅52 + 45
=>52 = 1⋅45 + 7
=>45 = 6⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 45-6⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7)
= -2⋅45 +13⋅ 7 (=1)
7= 52-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅45 +13⋅(52 -1⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅52 -13⋅ 45)
= 13⋅52 -15⋅ 45 (=1)
45= 97-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅52 -15⋅(97 -1⋅ 52)
= 13⋅52 -15⋅97 +15⋅ 52)
= -15⋅97 +28⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(97,52)=1 = -15⋅97 +28⋅52

oder wenn man -15⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +15⋅97 = +28⋅52

Es gilt also: 28⋅52 = 15⋅97 +1

Somit 28⋅52 = 1 mod 97

28 ist also das Inverse von 52 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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