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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3996 + 3998) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3996 + 3998) mod 4 ≡ (3996 mod 4 + 3998 mod 4) mod 4.

3996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3996 = 3000+996 = 4 ⋅ 750 +996.

3998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3998 = 3000+998 = 4 ⋅ 750 +998.

Somit gilt:

(3996 + 3998) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 63) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 63) mod 7 ≡ (23 mod 7 ⋅ 63 mod 7) mod 7.

23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.

63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 63) mod 7 ≡ (2 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 713128 mod 751.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 713 -> x
2. mod(x²,751) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7131=713

2: 7132=7131+1=7131⋅7131 ≡ 713⋅713=508369 ≡ 693 mod 751

4: 7134=7132+2=7132⋅7132 ≡ 693⋅693=480249 ≡ 360 mod 751

8: 7138=7134+4=7134⋅7134 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 428 mod 751

16: 71316=7138+8=7138⋅7138 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 691 mod 751

32: 71332=71316+16=71316⋅71316 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 596 mod 751

64: 71364=71332+32=71332⋅71332 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 744 mod 751

128: 713128=71364+64=71364⋅71364 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 49 mod 751

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 514122 mod 937.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

1: 5141=514

2: 5142=5141+1=5141⋅5141 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 899 mod 937

4: 5144=5142+2=5142⋅5142 ≡ 899⋅899=808201 ≡ 507 mod 937

8: 5148=5144+4=5144⋅5144 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 311 mod 937

16: 51416=5148+8=5148⋅5148 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 210 mod 937

32: 51432=51416+16=51416⋅51416 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 61 mod 937

64: 51464=51432+32=51432⋅51432 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 910 mod 937

514122

= 51464+32+16+8+2

= 51464⋅51432⋅51416⋅5148⋅5142

≡ 910 ⋅ 61 ⋅ 210 ⋅ 311 ⋅ 899 mod 937
≡ 55510 ⋅ 210 ⋅ 311 ⋅ 899 mod 937 ≡ 227 ⋅ 210 ⋅ 311 ⋅ 899 mod 937
≡ 47670 ⋅ 311 ⋅ 899 mod 937 ≡ 820 ⋅ 311 ⋅ 899 mod 937
≡ 255020 ⋅ 899 mod 937 ≡ 156 ⋅ 899 mod 937
≡ 140244 mod 937 ≡ 631 mod 937

Es gilt also: 514122 ≡ 631 mod 937

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 59

=>101 = 1⋅59 + 42
=>59 = 1⋅42 + 17
=>42 = 2⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17)
= -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42)
= 5⋅59 -7⋅ 42 (=1)
42= 101-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅59 -7⋅(101 -1⋅ 59)
= 5⋅59 -7⋅101 +7⋅ 59)
= -7⋅101 +12⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(101,59)=1 = -7⋅101 +12⋅59

oder wenn man -7⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅101 = +12⋅59

Es gilt also: 12⋅59 = 7⋅101 +1

Somit 12⋅59 = 1 mod 101

12 ist also das Inverse von 59 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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