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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 - 800) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 - 800) mod 4 ≡ (80 mod 4 - 800 mod 4) mod 4.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 4 ⋅ 20 +0.

800 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800 = 800+0 = 4 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(80 - 800) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 77) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 77) mod 3 ≡ (66 mod 3 ⋅ 77 mod 3) mod 3.

66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.

77 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 25 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 77) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 356⁶⁴ mod 463.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 356 -> x
2. mod(x²,463) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 356¹=356

2: 356²=356¹⁺¹=356¹⋅356¹ ≡ 356⋅356=126736 ≡ 337 mod 463

4: 356⁴=356²⁺²=356²⋅356² ≡ 337⋅337=113569 ≡ 134 mod 463

8: 356⁸=356⁴⁺⁴=356⁴⋅356⁴ ≡ 134⋅134=17956 ≡ 362 mod 463

16: 356¹⁶=356⁸⁺⁸=356⁸⋅356⁸ ≡ 362⋅362=131044 ≡ 15 mod 463

32: 356³²=356¹⁶⁺¹⁶=356¹⁶⋅356¹⁶ ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 463

64: 356⁶⁴=356³²⁺³²=356³²⋅356³² ≡ 225⋅225=50625 ≡ 158 mod 463

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 778²¹⁸ mod 1009.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:

218 = 128+64+16+8+2

1: 778¹=778

2: 778²=778¹⁺¹=778¹⋅778¹ ≡ 778⋅778=605284 ≡ 893 mod 1009

4: 778⁴=778²⁺²=778²⋅778² ≡ 893⋅893=797449 ≡ 339 mod 1009

8: 778⁸=778⁴⁺⁴=778⁴⋅778⁴ ≡ 339⋅339=114921 ≡ 904 mod 1009

16: 778¹⁶=778⁸⁺⁸=778⁸⋅778⁸ ≡ 904⋅904=817216 ≡ 935 mod 1009

32: 778³²=778¹⁶⁺¹⁶=778¹⁶⋅778¹⁶ ≡ 935⋅935=874225 ≡ 431 mod 1009

64: 778⁶⁴=778³²⁺³²=778³²⋅778³² ≡ 431⋅431=185761 ≡ 105 mod 1009

128: 778¹²⁸=778⁶⁴⁺⁶⁴=778⁶⁴⋅778⁶⁴ ≡ 105⋅105=11025 ≡ 935 mod 1009

778²¹⁸

= 778^{128+64+16+8+2}

= 778¹²⁸⋅778⁶⁴⋅778¹⁶⋅778⁸⋅778²

≡ 935 ⋅ 105 ⋅ 935 ⋅ 904 ⋅ 893 mod 1009
≡ 98175 ⋅ 935 ⋅ 904 ⋅ 893 mod 1009 ≡ 302 ⋅ 935 ⋅ 904 ⋅ 893 mod 1009
≡ 282370 ⋅ 904 ⋅ 893 mod 1009 ≡ 859 ⋅ 904 ⋅ 893 mod 1009
≡ 776536 ⋅ 893 mod 1009 ≡ 615 ⋅ 893 mod 1009
≡ 549195 mod 1009 ≡ 299 mod 1009

Es gilt also: 778²¹⁸ ≡ 299 mod 1009

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 87.

Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87

=>101	= 1⋅87 + 14
=>87	= 6⋅14 + 3
=>14	= 4⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 87-6⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅14 +5⋅(87 -6⋅ 14) = -1⋅14 +5⋅87 -30⋅ 14) = 5⋅87 -31⋅ 14 (=1)
14= 101-1⋅87	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅87 -31⋅(101 -1⋅ 87) = 5⋅87 -31⋅101 +31⋅ 87) = -31⋅101 +36⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(101,87)=1 = -31⋅101 +36⋅87

oder wenn man -31⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅101 = +36⋅87

Es gilt also: 36⋅87 = 31⋅101 +1

Somit 36⋅87 = 1 mod 101

36 ist also das Inverse von 87 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87

Schlüsselpaar für RSA