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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2997 + 1196) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2997 + 1196) mod 6 ≡ (2997 mod 6 + 1196 mod 6) mod 6.

2997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997 = 3000-3 = 6 ⋅ 500 -3 = 6 ⋅ 500 - 6 + 3.

1196 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196 = 1200-4 = 6 ⋅ 200 -4 = 6 ⋅ 200 - 6 + 2.

Somit gilt:

(2997 + 1196) mod 6 ≡ (3 + 2) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 46) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 46) mod 8 ≡ (85 mod 8 ⋅ 46 mod 8) mod 8.

85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 10 ⋅ 8 + 5 ist.

46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 46) mod 8 ≡ (5 ⋅ 6) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 228¹²⁸ mod 397.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 228 -> x
2. mod(x²,397) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 228¹=228

2: 228²=228¹⁺¹=228¹⋅228¹ ≡ 228⋅228=51984 ≡ 374 mod 397

4: 228⁴=228²⁺²=228²⋅228² ≡ 374⋅374=139876 ≡ 132 mod 397

8: 228⁸=228⁴⁺⁴=228⁴⋅228⁴ ≡ 132⋅132=17424 ≡ 353 mod 397

16: 228¹⁶=228⁸⁺⁸=228⁸⋅228⁸ ≡ 353⋅353=124609 ≡ 348 mod 397

32: 228³²=228¹⁶⁺¹⁶=228¹⁶⋅228¹⁶ ≡ 348⋅348=121104 ≡ 19 mod 397

64: 228⁶⁴=228³²⁺³²=228³²⋅228³² ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 397

128: 228¹²⁸=228⁶⁴⁺⁶⁴=228⁶⁴⋅228⁶⁴ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 105 mod 397

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 425²⁵² mod 463.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:

252 = 128+64+32+16+8+4

1: 425¹=425

2: 425²=425¹⁺¹=425¹⋅425¹ ≡ 425⋅425=180625 ≡ 55 mod 463

4: 425⁴=425²⁺²=425²⋅425² ≡ 55⋅55=3025 ≡ 247 mod 463

8: 425⁸=425⁴⁺⁴=425⁴⋅425⁴ ≡ 247⋅247=61009 ≡ 356 mod 463

16: 425¹⁶=425⁸⁺⁸=425⁸⋅425⁸ ≡ 356⋅356=126736 ≡ 337 mod 463

32: 425³²=425¹⁶⁺¹⁶=425¹⁶⋅425¹⁶ ≡ 337⋅337=113569 ≡ 134 mod 463

64: 425⁶⁴=425³²⁺³²=425³²⋅425³² ≡ 134⋅134=17956 ≡ 362 mod 463

128: 425¹²⁸=425⁶⁴⁺⁶⁴=425⁶⁴⋅425⁶⁴ ≡ 362⋅362=131044 ≡ 15 mod 463

425²⁵²

= 425^{128+64+32+16+8+4}

= 425¹²⁸⋅425⁶⁴⋅425³²⋅425¹⁶⋅425⁸⋅425⁴

≡ 15 ⋅ 362 ⋅ 134 ⋅ 337 ⋅ 356 ⋅ 247 mod 463
≡ 5430 ⋅ 134 ⋅ 337 ⋅ 356 ⋅ 247 mod 463 ≡ 337 ⋅ 134 ⋅ 337 ⋅ 356 ⋅ 247 mod 463
≡ 45158 ⋅ 337 ⋅ 356 ⋅ 247 mod 463 ≡ 247 ⋅ 337 ⋅ 356 ⋅ 247 mod 463
≡ 83239 ⋅ 356 ⋅ 247 mod 463 ≡ 362 ⋅ 356 ⋅ 247 mod 463
≡ 128872 ⋅ 247 mod 463 ≡ 158 ⋅ 247 mod 463
≡ 39026 mod 463 ≡ 134 mod 463

Es gilt also: 425²⁵² ≡ 134 mod 463

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 44

=>53	= 1⋅44 + 9
=>44	= 4⋅9 + 8
=>9	= 1⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9) = 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44) = -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(53,44)=1 = 5⋅53 -6⋅44

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -6⋅44

-6⋅44 = -5⋅53 + 1 |+53⋅44

-6⋅44 + 53⋅44 = -5⋅53 + 53⋅44 + 1

(-6 + 53) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 53 + 1

47⋅44 = 39⋅53 + 1

Es gilt also: 47⋅44 = 39⋅53 +1

Somit 47⋅44 = 1 mod 53

47 ist also das Inverse von 44 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 44

Schlüsselpaar für RSA