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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (900 + 1199) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(900 + 1199) mod 3 ≡ (900 mod 3 + 1199 mod 3) mod 3.

900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 3 ⋅ 300 +0.

1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1200-1 = 3 ⋅ 400 -1 = 3 ⋅ 400 - 3 + 2.

Somit gilt:

(900 + 1199) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 36) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 36) mod 8 ≡ (52 mod 8 ⋅ 36 mod 8) mod 8.

52 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 6 ⋅ 8 + 4 ist.

36 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 32 + 4 = 4 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 36) mod 8 ≡ (4 ⋅ 4) mod 8 ≡ 16 mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 128⁶⁴ mod 389.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 128 -> x
2. mod(x²,389) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 128¹=128

2: 128²=128¹⁺¹=128¹⋅128¹ ≡ 128⋅128=16384 ≡ 46 mod 389

4: 128⁴=128²⁺²=128²⋅128² ≡ 46⋅46=2116 ≡ 171 mod 389

8: 128⁸=128⁴⁺⁴=128⁴⋅128⁴ ≡ 171⋅171=29241 ≡ 66 mod 389

16: 128¹⁶=128⁸⁺⁸=128⁸⋅128⁸ ≡ 66⋅66=4356 ≡ 77 mod 389

32: 128³²=128¹⁶⁺¹⁶=128¹⁶⋅128¹⁶ ≡ 77⋅77=5929 ≡ 94 mod 389

64: 128⁶⁴=128³²⁺³²=128³²⋅128³² ≡ 94⋅94=8836 ≡ 278 mod 389

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 324¹⁷⁵ mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

1: 324¹=324

2: 324²=324¹⁺¹=324¹⋅324¹ ≡ 324⋅324=104976 ≡ 538 mod 661

4: 324⁴=324²⁺²=324²⋅324² ≡ 538⋅538=289444 ≡ 587 mod 661

8: 324⁸=324⁴⁺⁴=324⁴⋅324⁴ ≡ 587⋅587=344569 ≡ 188 mod 661

16: 324¹⁶=324⁸⁺⁸=324⁸⋅324⁸ ≡ 188⋅188=35344 ≡ 311 mod 661

32: 324³²=324¹⁶⁺¹⁶=324¹⁶⋅324¹⁶ ≡ 311⋅311=96721 ≡ 215 mod 661

64: 324⁶⁴=324³²⁺³²=324³²⋅324³² ≡ 215⋅215=46225 ≡ 616 mod 661

128: 324¹²⁸=324⁶⁴⁺⁶⁴=324⁶⁴⋅324⁶⁴ ≡ 616⋅616=379456 ≡ 42 mod 661

324¹⁷⁵

= 324^{128+32+8+4+2+1}

= 324¹²⁸⋅324³²⋅324⁸⋅324⁴⋅324²⋅324¹

≡ 42 ⋅ 215 ⋅ 188 ⋅ 587 ⋅ 538 ⋅ 324 mod 661
≡ 9030 ⋅ 188 ⋅ 587 ⋅ 538 ⋅ 324 mod 661 ≡ 437 ⋅ 188 ⋅ 587 ⋅ 538 ⋅ 324 mod 661
≡ 82156 ⋅ 587 ⋅ 538 ⋅ 324 mod 661 ≡ 192 ⋅ 587 ⋅ 538 ⋅ 324 mod 661
≡ 112704 ⋅ 538 ⋅ 324 mod 661 ≡ 334 ⋅ 538 ⋅ 324 mod 661
≡ 179692 ⋅ 324 mod 661 ≡ 561 ⋅ 324 mod 661
≡ 181764 mod 661 ≡ 650 mod 661

Es gilt also: 324¹⁷⁵ ≡ 650 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33

=>97	= 2⋅33 + 31
=>33	= 1⋅31 + 2
=>31	= 15⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-15⋅2
2= 33-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31) = 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1)
31= 97-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -15⋅33 +16⋅(97 -2⋅ 33) = -15⋅33 +16⋅97 -32⋅ 33) = 16⋅97 -47⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(97,33)=1 = 16⋅97 -47⋅33

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -47⋅33

-47⋅33 = -16⋅97 + 1 |+97⋅33

-47⋅33 + 97⋅33 = -16⋅97 + 97⋅33 + 1

(-47 + 97) ⋅ 33 = (-16 + 33) ⋅ 97 + 1

50⋅33 = 17⋅97 + 1

Es gilt also: 50⋅33 = 17⋅97 +1

Somit 50⋅33 = 1 mod 97

50 ist also das Inverse von 33 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 33

Schlüsselpaar für RSA