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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34996 - 2802) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34996 - 2802) mod 7 ≡ (34996 mod 7 - 2802 mod 7) mod 7.

34996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34996 = 35000-4 = 7 ⋅ 5000 -4 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 3.

2802 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2802 = 2800+2 = 7 ⋅ 400 +2.

Somit gilt:

(34996 - 2802) mod 7 ≡ (3 - 2) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 59) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 59) mod 10 ≡ (96 mod 10 ⋅ 59 mod 10) mod 10.

96 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 9 ⋅ 10 + 6 ist.

59 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 50 + 9 = 5 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 59) mod 10 ≡ (6 ⋅ 9) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 488128 mod 641.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 488 -> x
2. mod(x²,641) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4881=488

2: 4882=4881+1=4881⋅4881 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 333 mod 641

4: 4884=4882+2=4882⋅4882 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 637 mod 641

8: 4888=4884+4=4884⋅4884 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 16 mod 641

16: 48816=4888+8=4888⋅4888 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 641

32: 48832=48816+16=48816⋅48816 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 154 mod 641

64: 48864=48832+32=48832⋅48832 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 640 mod 641

128: 488128=48864+64=48864⋅48864 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 1 mod 641

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 444122 mod 727.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

1: 4441=444

2: 4442=4441+1=4441⋅4441 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 119 mod 727

4: 4444=4442+2=4442⋅4442 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 348 mod 727

8: 4448=4444+4=4444⋅4444 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 422 mod 727

16: 44416=4448+8=4448⋅4448 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 696 mod 727

32: 44432=44416+16=44416⋅44416 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 234 mod 727

64: 44464=44432+32=44432⋅44432 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 231 mod 727

444122

= 44464+32+16+8+2

= 44464⋅44432⋅44416⋅4448⋅4442

231 ⋅ 234 ⋅ 696 ⋅ 422 ⋅ 119 mod 727
54054 ⋅ 696 ⋅ 422 ⋅ 119 mod 727 ≡ 256 ⋅ 696 ⋅ 422 ⋅ 119 mod 727
178176 ⋅ 422 ⋅ 119 mod 727 ≡ 61 ⋅ 422 ⋅ 119 mod 727
25742 ⋅ 119 mod 727 ≡ 297 ⋅ 119 mod 727
35343 mod 727 ≡ 447 mod 727

Es gilt also: 444122 ≡ 447 mod 727

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 80.

Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 80

=>101 = 1⋅80 + 21
=>80 = 3⋅21 + 17
=>21 = 1⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,80)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17)
= -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 80-3⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅21 +5⋅(80 -3⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅80 -15⋅ 21)
= 5⋅80 -19⋅ 21 (=1)
21= 101-1⋅80 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅80 -19⋅(101 -1⋅ 80)
= 5⋅80 -19⋅101 +19⋅ 80)
= -19⋅101 +24⋅ 80 (=1)

Es gilt also: ggt(101,80)=1 = -19⋅101 +24⋅80

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +24⋅80

Es gilt also: 24⋅80 = 19⋅101 +1

Somit 24⋅80 = 1 mod 101

24 ist also das Inverse von 80 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.