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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1403 + 64) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1403 + 64) mod 7 ≡ (1403 mod 7 + 64 mod 7) mod 7.
1403 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1403
= 1400
64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64
= 70
Somit gilt:
(1403 + 64) mod 7 ≡ (3 + 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 95) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 95) mod 9 ≡ (65 mod 9 ⋅ 95 mod 9) mod 9.
65 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 7 ⋅ 9 + 2 ist.
95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 10 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 95) mod 9 ≡ (2 ⋅ 5) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16932 mod 233.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 169 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1691=169
2: 1692=1691+1=1691⋅1691 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 135 mod 233
4: 1694=1692+2=1692⋅1692 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 51 mod 233
8: 1698=1694+4=1694⋅1694 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 38 mod 233
16: 16916=1698+8=1698⋅1698 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 46 mod 233
32: 16932=16916+16=16916⋅16916 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 19 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 146249 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:
249 = 128+64+32+16+8+1
1: 1461=146
2: 1462=1461+1=1461⋅1461 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 244 mod 439
4: 1464=1462+2=1462⋅1462 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 271 mod 439
8: 1468=1464+4=1464⋅1464 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 128 mod 439
16: 14616=1468+8=1468⋅1468 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 141 mod 439
32: 14632=14616+16=14616⋅14616 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 126 mod 439
64: 14664=14632+32=14632⋅14632 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 72 mod 439
128: 146128=14664+64=14664⋅14664 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 355 mod 439
146249
= 146128+64+32+16+8+1
= 146128⋅14664⋅14632⋅14616⋅1468⋅1461
≡ 355 ⋅ 72 ⋅ 126 ⋅ 141 ⋅ 128 ⋅ 146 mod 439
≡ 25560 ⋅ 126 ⋅ 141 ⋅ 128 ⋅ 146 mod 439 ≡ 98 ⋅ 126 ⋅ 141 ⋅ 128 ⋅ 146 mod 439
≡ 12348 ⋅ 141 ⋅ 128 ⋅ 146 mod 439 ≡ 56 ⋅ 141 ⋅ 128 ⋅ 146 mod 439
≡ 7896 ⋅ 128 ⋅ 146 mod 439 ≡ 433 ⋅ 128 ⋅ 146 mod 439
≡ 55424 ⋅ 146 mod 439 ≡ 110 ⋅ 146 mod 439
≡ 16060 mod 439 ≡ 256 mod 439
Es gilt also: 146249 ≡ 256 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 34
| =>97 | = 2⋅34 + 29 |
| =>34 | = 1⋅29 + 5 |
| =>29 | = 5⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 29-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(29 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅29 +5⋅ 5) = -1⋅29 +6⋅ 5 (=1) |
| 5= 34-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +6⋅(34 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +6⋅34 -6⋅ 29) = 6⋅34 -7⋅ 29 (=1) |
| 29= 97-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅34 -7⋅(97 -2⋅ 34)
= 6⋅34 -7⋅97 +14⋅ 34) = -7⋅97 +20⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,34)=1 = -7⋅97 +20⋅34
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +20⋅34
Es gilt also: 20⋅34 = 7⋅97 +1
Somit 20⋅34 = 1 mod 97
20 ist also das Inverse von 34 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
