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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (114 - 6006) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(114 - 6006) mod 6 ≡ (114 mod 6 - 6006 mod 6) mod 6.

114 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 114 = 120-6 = 6 ⋅ 20 -6 = 6 ⋅ 20 - 6 + 0.

6006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6006 = 6000+6 = 6 ⋅ 1000 +6.

Somit gilt:

(114 - 6006) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 21) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 21) mod 3 ≡ (53 mod 3 ⋅ 21 mod 3) mod 3.

53 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 51 + 2 = 17 ⋅ 3 + 2 ist.

21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 21) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 66532 mod 757.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 665 -> x
2. mod(x²,757) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6651=665

2: 6652=6651+1=6651⋅6651 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 137 mod 757

4: 6654=6652+2=6652⋅6652 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 601 mod 757

8: 6658=6654+4=6654⋅6654 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 112 mod 757

16: 66516=6658+8=6658⋅6658 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 432 mod 757

32: 66532=66516+16=66516⋅66516 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 402 mod 757

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 412169 mod 883.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:

169 = 128+32+8+1

1: 4121=412

2: 4122=4121+1=4121⋅4121 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 208 mod 883

4: 4124=4122+2=4122⋅4122 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 880 mod 883

8: 4128=4124+4=4124⋅4124 ≡ 880⋅880=774400 ≡ 9 mod 883

16: 41216=4128+8=4128⋅4128 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 883

32: 41232=41216+16=41216⋅41216 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 380 mod 883

64: 41264=41232+32=41232⋅41232 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 471 mod 883

128: 412128=41264+64=41264⋅41264 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 208 mod 883

412169

= 412128+32+8+1

= 412128⋅41232⋅4128⋅4121

≡ 208 ⋅ 380 ⋅ 9 ⋅ 412 mod 883
≡ 79040 ⋅ 9 ⋅ 412 mod 883 ≡ 453 ⋅ 9 ⋅ 412 mod 883
≡ 4077 ⋅ 412 mod 883 ≡ 545 ⋅ 412 mod 883
≡ 224540 mod 883 ≡ 258 mod 883

Es gilt also: 412169 ≡ 258 mod 883

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 51

=>67 = 1⋅51 + 16
=>51 = 3⋅16 + 3
=>16 = 5⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-5⋅3
3= 51-3⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -5⋅(51 -3⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅51 +15⋅ 16)
= -5⋅51 +16⋅ 16 (=1)
16= 67-1⋅51 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅51 +16⋅(67 -1⋅ 51)
= -5⋅51 +16⋅67 -16⋅ 51)
= 16⋅67 -21⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(67,51)=1 = 16⋅67 -21⋅51

oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅67 = -21⋅51

-21⋅51 = -16⋅67 + 1 |+67⋅51

-21⋅51 + 67⋅51 = -16⋅67 + 67⋅51 + 1

(-21 + 67) ⋅ 51 = (-16 + 51) ⋅ 67 + 1

46⋅51 = 35⋅67 + 1

Es gilt also: 46⋅51 = 35⋅67 +1

Somit 46⋅51 = 1 mod 67

46 ist also das Inverse von 51 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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