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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14006 - 3494) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14006 - 3494) mod 7 ≡ (14006 mod 7 - 3494 mod 7) mod 7.

14006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14006 = 14000+6 = 7 ⋅ 2000 +6.

3494 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3494 = 3500-6 = 7 ⋅ 500 -6 = 7 ⋅ 500 - 7 + 1.

Somit gilt:

(14006 - 3494) mod 7 ≡ (6 - 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 19) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 19) mod 5 ≡ (18 mod 5 ⋅ 19 mod 5) mod 5.

18 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 15 + 3 = 3 ⋅ 5 + 3 ist.

19 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 15 + 4 = 3 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 19) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 90128 mod 271.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 90 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 901=90

2: 902=901+1=901⋅901 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 241 mod 271

4: 904=902+2=902⋅902 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 87 mod 271

8: 908=904+4=904⋅904 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 252 mod 271

16: 9016=908+8=908⋅908 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 90 mod 271

32: 9032=9016+16=9016⋅9016 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 241 mod 271

64: 9064=9032+32=9032⋅9032 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 87 mod 271

128: 90128=9064+64=9064⋅9064 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 252 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 372118 mod 443.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:

118 = 64+32+16+4+2

1: 3721=372

2: 3722=3721+1=3721⋅3721 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 168 mod 443

4: 3724=3722+2=3722⋅3722 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 315 mod 443

8: 3728=3724+4=3724⋅3724 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 436 mod 443

16: 37216=3728+8=3728⋅3728 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 49 mod 443

32: 37232=37216+16=37216⋅37216 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 186 mod 443

64: 37264=37232+32=37232⋅37232 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 42 mod 443

372118

= 37264+32+16+4+2

= 37264⋅37232⋅37216⋅3724⋅3722

≡ 42 ⋅ 186 ⋅ 49 ⋅ 315 ⋅ 168 mod 443
≡ 7812 ⋅ 49 ⋅ 315 ⋅ 168 mod 443 ≡ 281 ⋅ 49 ⋅ 315 ⋅ 168 mod 443
≡ 13769 ⋅ 315 ⋅ 168 mod 443 ≡ 36 ⋅ 315 ⋅ 168 mod 443
≡ 11340 ⋅ 168 mod 443 ≡ 265 ⋅ 168 mod 443
≡ 44520 mod 443 ≡ 220 mod 443

Es gilt also: 372118 ≡ 220 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.

Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20

=>53 = 2⋅20 + 13
=>20 = 1⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 20-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13)
= 2⋅20 -3⋅ 13 (=1)
13= 53-2⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20)
= -3⋅53 +8⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +8⋅20

Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1

Somit 8⋅20 = 1 mod 53

8 ist also das Inverse von 20 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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