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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27006 + 270) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27006 + 270) mod 9 ≡ (27006 mod 9 + 270 mod 9) mod 9.
27006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27006
= 27000
270 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 270
= 270
Somit gilt:
(27006 + 270) mod 9 ≡ (6 + 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 91) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 91) mod 3 ≡ (26 mod 3 ⋅ 91 mod 3) mod 3.
26 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 8 ⋅ 3 + 2 ist.
91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 30 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 91) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 183128 mod 509.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 183 -> x
2. mod(x²,509) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1831=183
2: 1832=1831+1=1831⋅1831 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 404 mod 509
4: 1834=1832+2=1832⋅1832 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 336 mod 509
8: 1838=1834+4=1834⋅1834 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 407 mod 509
16: 18316=1838+8=1838⋅1838 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 224 mod 509
32: 18332=18316+16=18316⋅18316 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 294 mod 509
64: 18364=18332+32=18332⋅18332 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 415 mod 509
128: 183128=18364+64=18364⋅18364 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 183 mod 509
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 696208 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:
208 = 128+64+16
1: 6961=696
2: 6962=6961+1=6961⋅6961 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 407 mod 929
4: 6964=6962+2=6962⋅6962 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 287 mod 929
8: 6968=6964+4=6964⋅6964 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 617 mod 929
16: 69616=6968+8=6968⋅6968 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 728 mod 929
32: 69632=69616+16=69616⋅69616 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 454 mod 929
64: 69664=69632+32=69632⋅69632 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 807 mod 929
128: 696128=69664+64=69664⋅69664 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 20 mod 929
696208
= 696128+64+16
= 696128⋅69664⋅69616
≡ 20 ⋅ 807 ⋅ 728 mod 929
≡ 16140 ⋅ 728 mod 929 ≡ 347 ⋅ 728 mod 929
≡ 252616 mod 929 ≡ 857 mod 929
Es gilt also: 696208 ≡ 857 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 47
| =>71 | = 1⋅47 + 24 |
| =>47 | = 1⋅24 + 23 |
| =>24 | = 1⋅23 + 1 |
| =>23 | = 23⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 24-1⋅23 | |||
| 23= 47-1⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅24 -1⋅(47 -1⋅ 24)
= 1⋅24 -1⋅47 +1⋅ 24) = -1⋅47 +2⋅ 24 (=1) |
| 24= 71-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅47 +2⋅(71 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +2⋅71 -2⋅ 47) = 2⋅71 -3⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,47)=1 = 2⋅71 -3⋅47
oder wenn man 2⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅71 = -3⋅47
-3⋅47 = -2⋅71 + 1 |+71⋅47
-3⋅47 + 71⋅47 = -2⋅71 + 71⋅47 + 1
(-3 + 71) ⋅ 47 = (-2 + 47) ⋅ 71 + 1
68⋅47 = 45⋅71 + 1
Es gilt also: 68⋅47 = 45⋅71 +1
Somit 68⋅47 = 1 mod 71
68 ist also das Inverse von 47 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.