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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30000 + 29996) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30000 + 29996) mod 6 ≡ (30000 mod 6 + 29996 mod 6) mod 6.

30000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30000 = 30000+0 = 6 ⋅ 5000 +0.

29996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29996 = 30000-4 = 6 ⋅ 5000 -4 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 2.

Somit gilt:

(30000 + 29996) mod 6 ≡ (0 + 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 69) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 69) mod 6 ≡ (70 mod 6 ⋅ 69 mod 6) mod 6.

70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.

69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 69) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 213⁸ mod 283.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 213 -> x
2. mod(x²,283) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 213¹=213

2: 213²=213¹⁺¹=213¹⋅213¹ ≡ 213⋅213=45369 ≡ 89 mod 283

4: 213⁴=213²⁺²=213²⋅213² ≡ 89⋅89=7921 ≡ 280 mod 283

8: 213⁸=213⁴⁺⁴=213⁴⋅213⁴ ≡ 280⋅280=78400 ≡ 9 mod 283

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 501²³⁴ mod 733.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:

234 = 128+64+32+8+2

1: 501¹=501

2: 501²=501¹⁺¹=501¹⋅501¹ ≡ 501⋅501=251001 ≡ 315 mod 733

4: 501⁴=501²⁺²=501²⋅501² ≡ 315⋅315=99225 ≡ 270 mod 733

8: 501⁸=501⁴⁺⁴=501⁴⋅501⁴ ≡ 270⋅270=72900 ≡ 333 mod 733

16: 501¹⁶=501⁸⁺⁸=501⁸⋅501⁸ ≡ 333⋅333=110889 ≡ 206 mod 733

32: 501³²=501¹⁶⁺¹⁶=501¹⁶⋅501¹⁶ ≡ 206⋅206=42436 ≡ 655 mod 733

64: 501⁶⁴=501³²⁺³²=501³²⋅501³² ≡ 655⋅655=429025 ≡ 220 mod 733

128: 501¹²⁸=501⁶⁴⁺⁶⁴=501⁶⁴⋅501⁶⁴ ≡ 220⋅220=48400 ≡ 22 mod 733

501²³⁴

= 501^{128+64+32+8+2}

= 501¹²⁸⋅501⁶⁴⋅501³²⋅501⁸⋅501²

≡ 22 ⋅ 220 ⋅ 655 ⋅ 333 ⋅ 315 mod 733
≡ 4840 ⋅ 655 ⋅ 333 ⋅ 315 mod 733 ≡ 442 ⋅ 655 ⋅ 333 ⋅ 315 mod 733
≡ 289510 ⋅ 333 ⋅ 315 mod 733 ≡ 708 ⋅ 333 ⋅ 315 mod 733
≡ 235764 ⋅ 315 mod 733 ≡ 471 ⋅ 315 mod 733
≡ 148365 mod 733 ≡ 299 mod 733

Es gilt also: 501²³⁴ ≡ 299 mod 733

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70

=>79	= 1⋅70 + 9
=>70	= 7⋅9 + 7
=>9	= 1⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 70-7⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9) = -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9) = 4⋅70 -31⋅ 9 (=1)
9= 79-1⋅70	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70) = 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70) = -31⋅79 +35⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70

oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅79 = +35⋅70

Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1

Somit 35⋅70 = 1 mod 79

35 ist also das Inverse von 70 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70

Schlüsselpaar für RSA