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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (7996 + 8002) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7996 + 8002) mod 4 ≡ (7996 mod 4 + 8002 mod 4) mod 4.

7996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7996 = 7000+996 = 4 ⋅ 1750 +996.

8002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002 = 8000+2 = 4 ⋅ 2000 +2.

Somit gilt:

(7996 + 8002) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 31) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 31) mod 4 ≡ (35 mod 4 ⋅ 31 mod 4) mod 4.

35 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 32 + 3 = 8 ⋅ 4 + 3 ist.

31 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 7 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 31) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43332 mod 739.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 433 -> x
2. mod(x²,739) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4331=433

2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 522 mod 739

4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 532 mod 739

8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 532⋅532=283024 ≡ 726 mod 739

16: 43316=4338+8=4338⋅4338 ≡ 726⋅726=527076 ≡ 169 mod 739

32: 43332=43316+16=43316⋅43316 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 479 mod 739

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 449149 mod 877.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:

149 = 128+16+4+1

1: 4491=449

2: 4492=4491+1=4491⋅4491 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 768 mod 877

4: 4494=4492+2=4492⋅4492 ≡ 768⋅768=589824 ≡ 480 mod 877

8: 4498=4494+4=4494⋅4494 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 626 mod 877

16: 44916=4498+8=4498⋅4498 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 734 mod 877

32: 44932=44916+16=44916⋅44916 ≡ 734⋅734=538756 ≡ 278 mod 877

64: 44964=44932+32=44932⋅44932 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 108 mod 877

128: 449128=44964+64=44964⋅44964 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 263 mod 877

449149

= 449128+16+4+1

= 449128⋅44916⋅4494⋅4491

≡ 263 ⋅ 734 ⋅ 480 ⋅ 449 mod 877
≡ 193042 ⋅ 480 ⋅ 449 mod 877 ≡ 102 ⋅ 480 ⋅ 449 mod 877
≡ 48960 ⋅ 449 mod 877 ≡ 725 ⋅ 449 mod 877
≡ 325525 mod 877 ≡ 158 mod 877

Es gilt also: 449149 ≡ 158 mod 877

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 48

=>67 = 1⋅48 + 19
=>48 = 2⋅19 + 10
=>19 = 1⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 19-1⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(19 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅19 +1⋅ 10)
= -1⋅19 +2⋅ 10 (=1)
10= 48-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅19 +2⋅(48 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +2⋅48 -4⋅ 19)
= 2⋅48 -5⋅ 19 (=1)
19= 67-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅48 -5⋅(67 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -5⋅67 +5⋅ 48)
= -5⋅67 +7⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(67,48)=1 = -5⋅67 +7⋅48

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +7⋅48

Es gilt also: 7⋅48 = 5⋅67 +1

Somit 7⋅48 = 1 mod 67

7 ist also das Inverse von 48 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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