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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21002 - 7007) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21002 - 7007) mod 7 ≡ (21002 mod 7 - 7007 mod 7) mod 7.

21002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21002 = 21000+2 = 7 ⋅ 3000 +2.

7007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7007 = 7000+7 = 7 ⋅ 1000 +7.

Somit gilt:

(21002 - 7007) mod 7 ≡ (2 - 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 84) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 84) mod 9 ≡ (92 mod 9 ⋅ 84 mod 9) mod 9.

92 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 10 ⋅ 9 + 2 ist.

84 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 81 + 3 = 9 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 84) mod 9 ≡ (2 ⋅ 3) mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 19232 mod 317.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 192 -> x
2. mod(x²,317) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1921=192

2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 92 mod 317

4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 222 mod 317

8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 149 mod 317

16: 19216=1928+8=1928⋅1928 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 11 mod 317

32: 19232=19216+16=19216⋅19216 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 317

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 516232 mod 587.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:

232 = 128+64+32+8

1: 5161=516

2: 5162=5161+1=5161⋅5161 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 345 mod 587

4: 5164=5162+2=5162⋅5162 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 451 mod 587

8: 5168=5164+4=5164⋅5164 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 299 mod 587

16: 51616=5168+8=5168⋅5168 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 177 mod 587

32: 51632=51616+16=51616⋅51616 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 218 mod 587

64: 51664=51632+32=51632⋅51632 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 564 mod 587

128: 516128=51664+64=51664⋅51664 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 529 mod 587

516232

= 516128+64+32+8

= 516128⋅51664⋅51632⋅5168

≡ 529 ⋅ 564 ⋅ 218 ⋅ 299 mod 587
≡ 298356 ⋅ 218 ⋅ 299 mod 587 ≡ 160 ⋅ 218 ⋅ 299 mod 587
≡ 34880 ⋅ 299 mod 587 ≡ 247 ⋅ 299 mod 587
≡ 73853 mod 587 ≡ 478 mod 587

Es gilt also: 516232 ≡ 478 mod 587

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45

=>97 = 2⋅45 + 7
=>45 = 6⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 45-6⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7)
= -2⋅45 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-2⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45)
= 13⋅97 -28⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -28⋅45

-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45

-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1

(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1

69⋅45 = 32⋅97 + 1

Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1

Somit 69⋅45 = 1 mod 97

69 ist also das Inverse von 45 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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