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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (179 - 236) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(179 - 236) mod 6 ≡ (179 mod 6 - 236 mod 6) mod 6.

179 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 179 = 180-1 = 6 ⋅ 30 -1 = 6 ⋅ 30 - 6 + 5.

236 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 236 = 240-4 = 6 ⋅ 40 -4 = 6 ⋅ 40 - 6 + 2.

Somit gilt:

(179 - 236) mod 6 ≡ (5 - 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 27) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 27) mod 11 ≡ (94 mod 11 ⋅ 27 mod 11) mod 11.

94 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 8 ⋅ 11 + 6 ist.

27 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 22 + 5 = 2 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 27) mod 11 ≡ (6 ⋅ 5) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33932 mod 409.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 339 -> x
2. mod(x²,409) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3391=339

2: 3392=3391+1=3391⋅3391 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 401 mod 409

4: 3394=3392+2=3392⋅3392 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 64 mod 409

8: 3398=3394+4=3394⋅3394 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 6 mod 409

16: 33916=3398+8=3398⋅3398 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 409

32: 33932=33916+16=33916⋅33916 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 69 mod 409

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 75777 mod 887.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:

77 = 64+8+4+1

1: 7571=757

2: 7572=7571+1=7571⋅7571 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 47 mod 887

4: 7574=7572+2=7572⋅7572 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 435 mod 887

8: 7578=7574+4=7574⋅7574 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 294 mod 887

16: 75716=7578+8=7578⋅7578 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 397 mod 887

32: 75732=75716+16=75716⋅75716 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 610 mod 887

64: 75764=75732+32=75732⋅75732 ≡ 610⋅610=372100 ≡ 447 mod 887

75777

= 75764+8+4+1

= 75764⋅7578⋅7574⋅7571

≡ 447 ⋅ 294 ⋅ 435 ⋅ 757 mod 887
≡ 131418 ⋅ 435 ⋅ 757 mod 887 ≡ 142 ⋅ 435 ⋅ 757 mod 887
≡ 61770 ⋅ 757 mod 887 ≡ 567 ⋅ 757 mod 887
≡ 429219 mod 887 ≡ 798 mod 887

Es gilt also: 75777 ≡ 798 mod 887

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 94.

Also bestimme x, so dass 94 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 94

=>101 = 1⋅94 + 7
=>94 = 13⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,94)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 94-13⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(94 -13⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅94 +26⋅ 7)
= -2⋅94 +27⋅ 7 (=1)
7= 101-1⋅94 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅94 +27⋅(101 -1⋅ 94)
= -2⋅94 +27⋅101 -27⋅ 94)
= 27⋅101 -29⋅ 94 (=1)

Es gilt also: ggt(101,94)=1 = 27⋅101 -29⋅94

oder wenn man 27⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -27⋅101 = -29⋅94

-29⋅94 = -27⋅101 + 1 |+101⋅94

-29⋅94 + 101⋅94 = -27⋅101 + 101⋅94 + 1

(-29 + 101) ⋅ 94 = (-27 + 94) ⋅ 101 + 1

72⋅94 = 67⋅101 + 1

Es gilt also: 72⋅94 = 67⋅101 +1

Somit 72⋅94 = 1 mod 101

72 ist also das Inverse von 94 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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