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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19999 - 4003) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19999 - 4003) mod 4 ≡ (19999 mod 4 - 4003 mod 4) mod 4.

19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999 = 19000+999 = 4 ⋅ 4750 +999.

4003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003 = 4000+3 = 4 ⋅ 1000 +3.

Somit gilt:

(19999 - 4003) mod 4 ≡ (3 - 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 42) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 42) mod 6 ≡ (62 mod 6 ⋅ 42 mod 6) mod 6.

62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 10 ⋅ 6 + 2 ist.

42 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 7 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 42) mod 6 ≡ (2 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2698 mod 587.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 269 -> x
2. mod(x²,587) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2691=269

2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 160 mod 587

4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 359 mod 587

8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 328 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 139102 mod 421.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:

102 = 64+32+4+2

1: 1391=139

2: 1392=1391+1=1391⋅1391 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 376 mod 421

4: 1394=1392+2=1392⋅1392 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 341 mod 421

8: 1398=1394+4=1394⋅1394 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 85 mod 421

16: 13916=1398+8=1398⋅1398 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 68 mod 421

32: 13932=13916+16=13916⋅13916 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 414 mod 421

64: 13964=13932+32=13932⋅13932 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 49 mod 421

139102

= 13964+32+4+2

= 13964⋅13932⋅1394⋅1392

≡ 49 ⋅ 414 ⋅ 341 ⋅ 376 mod 421
≡ 20286 ⋅ 341 ⋅ 376 mod 421 ≡ 78 ⋅ 341 ⋅ 376 mod 421
≡ 26598 ⋅ 376 mod 421 ≡ 75 ⋅ 376 mod 421
≡ 28200 mod 421 ≡ 414 mod 421

Es gilt also: 139102 ≡ 414 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

=>61 = 3⋅18 + 7
=>18 = 2⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 18-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7)
= 2⋅18 -5⋅ 7 (=1)
7= 61-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18)
= -5⋅61 +17⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +17⋅18

Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1

Somit 17⋅18 = 1 mod 61

17 ist also das Inverse von 18 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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