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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (202 + 5001) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(202 + 5001) mod 5 ≡ (202 mod 5 + 5001 mod 5) mod 5.

202 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202 = 200+2 = 5 ⋅ 40 +2.

5001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5001 = 5000+1 = 5 ⋅ 1000 +1.

Somit gilt:

(202 + 5001) mod 5 ≡ (2 + 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 81) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 81) mod 11 ≡ (27 mod 11 ⋅ 81 mod 11) mod 11.

27 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 22 + 5 = 2 ⋅ 11 + 5 ist.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 81) mod 11 ≡ (5 ⋅ 4) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 227⁸ mod 643.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 227 -> x
2. mod(x²,643) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 227¹=227

2: 227²=227¹⁺¹=227¹⋅227¹ ≡ 227⋅227=51529 ≡ 89 mod 643

4: 227⁴=227²⁺²=227²⋅227² ≡ 89⋅89=7921 ≡ 205 mod 643

8: 227⁸=227⁴⁺⁴=227⁴⋅227⁴ ≡ 205⋅205=42025 ≡ 230 mod 643

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 336²³⁰ mod 401.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:

230 = 128+64+32+4+2

1: 336¹=336

2: 336²=336¹⁺¹=336¹⋅336¹ ≡ 336⋅336=112896 ≡ 215 mod 401

4: 336⁴=336²⁺²=336²⋅336² ≡ 215⋅215=46225 ≡ 110 mod 401

8: 336⁸=336⁴⁺⁴=336⁴⋅336⁴ ≡ 110⋅110=12100 ≡ 70 mod 401

16: 336¹⁶=336⁸⁺⁸=336⁸⋅336⁸ ≡ 70⋅70=4900 ≡ 88 mod 401

32: 336³²=336¹⁶⁺¹⁶=336¹⁶⋅336¹⁶ ≡ 88⋅88=7744 ≡ 125 mod 401

64: 336⁶⁴=336³²⁺³²=336³²⋅336³² ≡ 125⋅125=15625 ≡ 387 mod 401

128: 336¹²⁸=336⁶⁴⁺⁶⁴=336⁶⁴⋅336⁶⁴ ≡ 387⋅387=149769 ≡ 196 mod 401

336²³⁰

= 336^{128+64+32+4+2}

= 336¹²⁸⋅336⁶⁴⋅336³²⋅336⁴⋅336²

≡ 196 ⋅ 387 ⋅ 125 ⋅ 110 ⋅ 215 mod 401
≡ 75852 ⋅ 125 ⋅ 110 ⋅ 215 mod 401 ≡ 63 ⋅ 125 ⋅ 110 ⋅ 215 mod 401
≡ 7875 ⋅ 110 ⋅ 215 mod 401 ≡ 256 ⋅ 110 ⋅ 215 mod 401
≡ 28160 ⋅ 215 mod 401 ≡ 90 ⋅ 215 mod 401
≡ 19350 mod 401 ≡ 102 mod 401

Es gilt also: 336²³⁰ ≡ 102 mod 401

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 87.

Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87

=>101	= 1⋅87 + 14
=>87	= 6⋅14 + 3
=>14	= 4⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 87-6⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅14 +5⋅(87 -6⋅ 14) = -1⋅14 +5⋅87 -30⋅ 14) = 5⋅87 -31⋅ 14 (=1)
14= 101-1⋅87	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅87 -31⋅(101 -1⋅ 87) = 5⋅87 -31⋅101 +31⋅ 87) = -31⋅101 +36⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(101,87)=1 = -31⋅101 +36⋅87

oder wenn man -31⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅101 = +36⋅87

Es gilt also: 36⋅87 = 31⋅101 +1

Somit 36⋅87 = 1 mod 101

36 ist also das Inverse von 87 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87

Schlüsselpaar für RSA