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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3995 - 3992) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3995 - 3992) mod 8 ≡ (3995 mod 8 - 3992 mod 8) mod 8.

3995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3995 = 4000-5 = 8 ⋅ 500 -5 = 8 ⋅ 500 - 8 + 3.

3992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3992 = 4000-8 = 8 ⋅ 500 -8 = 8 ⋅ 500 - 8 + 0.

Somit gilt:

(3995 - 3992) mod 8 ≡ (3 - 0) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 97) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 97) mod 7 ≡ (70 mod 7 ⋅ 97 mod 7) mod 7.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 97) mod 7 ≡ (0 ⋅ 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 81432 mod 997.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 814 -> x
2. mod(x²,997) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8141=814

2: 8142=8141+1=8141⋅8141 ≡ 814⋅814=662596 ≡ 588 mod 997

4: 8144=8142+2=8142⋅8142 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 782 mod 997

8: 8148=8144+4=8144⋅8144 ≡ 782⋅782=611524 ≡ 363 mod 997

16: 81416=8148+8=8148⋅8148 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 165 mod 997

32: 81432=81416+16=81416⋅81416 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 306 mod 997

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 261135 mod 457.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 135 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 135 an und zerlegen 135 in eine Summer von 2er-Potenzen:

135 = 128+4+2+1

1: 2611=261

2: 2612=2611+1=2611⋅2611 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 28 mod 457

4: 2614=2612+2=2612⋅2612 ≡ 28⋅28=784 ≡ 327 mod 457

8: 2618=2614+4=2614⋅2614 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 448 mod 457

16: 26116=2618+8=2618⋅2618 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 81 mod 457

32: 26132=26116+16=26116⋅26116 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 163 mod 457

64: 26164=26132+32=26132⋅26132 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 63 mod 457

128: 261128=26164+64=26164⋅26164 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 313 mod 457

261135

= 261128+4+2+1

= 261128⋅2614⋅2612⋅2611

≡ 313 ⋅ 327 ⋅ 28 ⋅ 261 mod 457
≡ 102351 ⋅ 28 ⋅ 261 mod 457 ≡ 440 ⋅ 28 ⋅ 261 mod 457
≡ 12320 ⋅ 261 mod 457 ≡ 438 ⋅ 261 mod 457
≡ 114318 mod 457 ≡ 68 mod 457

Es gilt also: 261135 ≡ 68 mod 457

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 47

=>61 = 1⋅47 + 14
=>47 = 3⋅14 + 5
=>14 = 2⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 14-2⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(14 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅14 +2⋅ 5)
= -1⋅14 +3⋅ 5 (=1)
5= 47-3⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +3⋅(47 -3⋅ 14)
= -1⋅14 +3⋅47 -9⋅ 14)
= 3⋅47 -10⋅ 14 (=1)
14= 61-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅47 -10⋅(61 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -10⋅61 +10⋅ 47)
= -10⋅61 +13⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(61,47)=1 = -10⋅61 +13⋅47

oder wenn man -10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅61 = +13⋅47

Es gilt also: 13⋅47 = 10⋅61 +1

Somit 13⋅47 = 1 mod 61

13 ist also das Inverse von 47 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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