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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (801 + 15999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(801 + 15999) mod 4 ≡ (801 mod 4 + 15999 mod 4) mod 4.
801 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 801
= 800
15999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999
= 15000
Somit gilt:
(801 + 15999) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 43) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 43) mod 7 ≡ (52 mod 7 ⋅ 43 mod 7) mod 7.
52 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 49 + 3 = 7 ⋅ 7 + 3 ist.
43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 43) mod 7 ≡ (3 ⋅ 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 45432 mod 823.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 454 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4541=454
2: 4542=4541+1=4541⋅4541 ≡ 454⋅454=206116 ≡ 366 mod 823
4: 4544=4542+2=4542⋅4542 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 630 mod 823
8: 4548=4544+4=4544⋅4544 ≡ 630⋅630=396900 ≡ 214 mod 823
16: 45416=4548+8=4548⋅4548 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 531 mod 823
32: 45432=45416+16=45416⋅45416 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 495 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 510192 mod 607.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 5101=510
2: 5102=5101+1=5101⋅5101 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 304 mod 607
4: 5104=5102+2=5102⋅5102 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 152 mod 607
8: 5108=5104+4=5104⋅5104 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 38 mod 607
16: 51016=5108+8=5108⋅5108 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 230 mod 607
32: 51032=51016+16=51016⋅51016 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 91 mod 607
64: 51064=51032+32=51032⋅51032 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 390 mod 607
128: 510128=51064+64=51064⋅51064 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 350 mod 607
510192
= 510128+64
= 510128⋅51064
≡ 350 ⋅ 390 mod 607
≡ 136500 mod 607 ≡ 532 mod 607
Es gilt also: 510192 ≡ 532 mod 607
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22
| =>71 | = 3⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 71-3⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22) = 9⋅71 -29⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -29⋅22
-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22
-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1
(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1
42⋅22 = 13⋅71 + 1
Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1
Somit 42⋅22 = 1 mod 71
42 ist also das Inverse von 22 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.