nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2100 + 211) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2100 + 211) mod 7 ≡ (2100 mod 7 + 211 mod 7) mod 7.

2100 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2100 = 2100+0 = 7 ⋅ 300 +0.

211 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 211 = 210+1 = 7 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(2100 + 211) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 49) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 49) mod 6 ≡ (84 mod 6 ⋅ 49 mod 6) mod 6.

84 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 14 ⋅ 6 + 0 ist.

49 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 8 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 49) mod 6 ≡ (0 ⋅ 1) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 46416 mod 643.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 464 -> x
2. mod(x²,643) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4641=464

2: 4642=4641+1=4641⋅4641 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 534 mod 643

4: 4644=4642+2=4642⋅4642 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 307 mod 643

8: 4648=4644+4=4644⋅4644 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 371 mod 643

16: 46416=4648+8=4648⋅4648 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 39 mod 643

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 174203 mod 307.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:

203 = 128+64+8+2+1

1: 1741=174

2: 1742=1741+1=1741⋅1741 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 190 mod 307

4: 1744=1742+2=1742⋅1742 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 181 mod 307

8: 1748=1744+4=1744⋅1744 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 219 mod 307

16: 17416=1748+8=1748⋅1748 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 69 mod 307

32: 17432=17416+16=17416⋅17416 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 156 mod 307

64: 17464=17432+32=17432⋅17432 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 83 mod 307

128: 174128=17464+64=17464⋅17464 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 135 mod 307

174203

= 174128+64+8+2+1

= 174128⋅17464⋅1748⋅1742⋅1741

≡ 135 ⋅ 83 ⋅ 219 ⋅ 190 ⋅ 174 mod 307
≡ 11205 ⋅ 219 ⋅ 190 ⋅ 174 mod 307 ≡ 153 ⋅ 219 ⋅ 190 ⋅ 174 mod 307
≡ 33507 ⋅ 190 ⋅ 174 mod 307 ≡ 44 ⋅ 190 ⋅ 174 mod 307
≡ 8360 ⋅ 174 mod 307 ≡ 71 ⋅ 174 mod 307
≡ 12354 mod 307 ≡ 74 mod 307

Es gilt also: 174203 ≡ 74 mod 307

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59

=>71 = 1⋅59 + 12
=>59 = 4⋅12 + 11
=>12 = 1⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 59-4⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12)
= -1⋅59 +5⋅ 12 (=1)
12= 71-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59)
= 5⋅71 -6⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59

oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅71 = -6⋅59

-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59

-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1

(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1

65⋅59 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1

Somit 65⋅59 = 1 mod 71

65 ist also das Inverse von 59 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden