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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4496 + 457) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4496 + 457) mod 9 ≡ (4496 mod 9 + 457 mod 9) mod 9.

4496 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4496 = 4500-4 = 9 ⋅ 500 -4 = 9 ⋅ 500 - 9 + 5.

457 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 457 = 450+7 = 9 ⋅ 50 +7.

Somit gilt:

(4496 + 457) mod 9 ≡ (5 + 7) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 85) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 85) mod 4 ≡ (35 mod 4 ⋅ 85 mod 4) mod 4.

35 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 32 + 3 = 8 ⋅ 4 + 3 ist.

85 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 21 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 85) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 367¹²⁸ mod 691.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 367 -> x
2. mod(x²,691) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 367¹=367

2: 367²=367¹⁺¹=367¹⋅367¹ ≡ 367⋅367=134689 ≡ 635 mod 691

4: 367⁴=367²⁺²=367²⋅367² ≡ 635⋅635=403225 ≡ 372 mod 691

8: 367⁸=367⁴⁺⁴=367⁴⋅367⁴ ≡ 372⋅372=138384 ≡ 184 mod 691

16: 367¹⁶=367⁸⁺⁸=367⁸⋅367⁸ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 688 mod 691

32: 367³²=367¹⁶⁺¹⁶=367¹⁶⋅367¹⁶ ≡ 688⋅688=473344 ≡ 9 mod 691

64: 367⁶⁴=367³²⁺³²=367³²⋅367³² ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 691

128: 367¹²⁸=367⁶⁴⁺⁶⁴=367⁶⁴⋅367⁶⁴ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 342 mod 691

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 186²²¹ mod 569.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

1: 186¹=186

2: 186²=186¹⁺¹=186¹⋅186¹ ≡ 186⋅186=34596 ≡ 456 mod 569

4: 186⁴=186²⁺²=186²⋅186² ≡ 456⋅456=207936 ≡ 251 mod 569

8: 186⁸=186⁴⁺⁴=186⁴⋅186⁴ ≡ 251⋅251=63001 ≡ 411 mod 569

16: 186¹⁶=186⁸⁺⁸=186⁸⋅186⁸ ≡ 411⋅411=168921 ≡ 497 mod 569

32: 186³²=186¹⁶⁺¹⁶=186¹⁶⋅186¹⁶ ≡ 497⋅497=247009 ≡ 63 mod 569

64: 186⁶⁴=186³²⁺³²=186³²⋅186³² ≡ 63⋅63=3969 ≡ 555 mod 569

128: 186¹²⁸=186⁶⁴⁺⁶⁴=186⁶⁴⋅186⁶⁴ ≡ 555⋅555=308025 ≡ 196 mod 569

186²²¹

= 186^{128+64+16+8+4+1}

= 186¹²⁸⋅186⁶⁴⋅186¹⁶⋅186⁸⋅186⁴⋅186¹

≡ 196 ⋅ 555 ⋅ 497 ⋅ 411 ⋅ 251 ⋅ 186 mod 569
≡ 108780 ⋅ 497 ⋅ 411 ⋅ 251 ⋅ 186 mod 569 ≡ 101 ⋅ 497 ⋅ 411 ⋅ 251 ⋅ 186 mod 569
≡ 50197 ⋅ 411 ⋅ 251 ⋅ 186 mod 569 ≡ 125 ⋅ 411 ⋅ 251 ⋅ 186 mod 569
≡ 51375 ⋅ 251 ⋅ 186 mod 569 ≡ 165 ⋅ 251 ⋅ 186 mod 569
≡ 41415 ⋅ 186 mod 569 ≡ 447 ⋅ 186 mod 569
≡ 83142 mod 569 ≡ 68 mod 569

Es gilt also: 186²²¹ ≡ 68 mod 569

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 50

=>83	= 1⋅50 + 33
=>50	= 1⋅33 + 17
=>33	= 1⋅17 + 16
=>17	= 1⋅16 + 1
=>16	= 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 33-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -1⋅(33 -1⋅ 17) = 1⋅17 -1⋅33 +1⋅ 17) = -1⋅33 +2⋅ 17 (=1)
17= 50-1⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅33 +2⋅(50 -1⋅ 33) = -1⋅33 +2⋅50 -2⋅ 33) = 2⋅50 -3⋅ 33 (=1)
33= 83-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅50 -3⋅(83 -1⋅ 50) = 2⋅50 -3⋅83 +3⋅ 50) = -3⋅83 +5⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(83,50)=1 = -3⋅83 +5⋅50

oder wenn man -3⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅83 = +5⋅50

Es gilt also: 5⋅50 = 3⋅83 +1

Somit 5⋅50 = 1 mod 83

5 ist also das Inverse von 50 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 50

Schlüsselpaar für RSA