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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 - 160) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 - 160) mod 4 ≡ (76 mod 4 - 160 mod 4) mod 4.

76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 80-4 = 4 ⋅ 20 -4 = 4 ⋅ 20 - 4 + 0.

160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 4 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(76 - 160) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 25) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 25) mod 5 ≡ (93 mod 5 ⋅ 25 mod 5) mod 5.

93 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 18 ⋅ 5 + 3 ist.

25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 25) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29264 mod 571.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 292 -> x
2. mod(x²,571) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2921=292

2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 185 mod 571

4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 536 mod 571

8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 83 mod 571

16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 37 mod 571

32: 29232=29216+16=29216⋅29216 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 227 mod 571

64: 29264=29232+32=29232⋅29232 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 139 mod 571

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 323180 mod 421.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 180 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 180 an und zerlegen 180 in eine Summer von 2er-Potenzen:

180 = 128+32+16+4

1: 3231=323

2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 342 mod 421

4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 347 mod 421

8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 3 mod 421

16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 421

32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 421

64: 32364=32332+32=32332⋅32332 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 246 mod 421

128: 323128=32364+64=32364⋅32364 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 313 mod 421

323180

= 323128+32+16+4

= 323128⋅32332⋅32316⋅3234

≡ 313 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 347 mod 421
≡ 25353 ⋅ 9 ⋅ 347 mod 421 ≡ 93 ⋅ 9 ⋅ 347 mod 421
≡ 837 ⋅ 347 mod 421 ≡ 416 ⋅ 347 mod 421
≡ 144352 mod 421 ≡ 370 mod 421

Es gilt also: 323180 ≡ 370 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.

Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64

=>79 = 1⋅64 + 15
=>64 = 4⋅15 + 4
=>15 = 3⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,64)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4)
= -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 64-4⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15)
= 4⋅64 -17⋅ 15 (=1)
15= 79-1⋅64 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64)
= -17⋅79 +21⋅ 64 (=1)

Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +21⋅64

Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1

Somit 21⋅64 = 1 mod 79

21 ist also das Inverse von 64 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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