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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28007 + 34994) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28007 + 34994) mod 7 ≡ (28007 mod 7 + 34994 mod 7) mod 7.

28007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28007 = 28000+7 = 7 ⋅ 4000 +7.

34994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34994 = 35000-6 = 7 ⋅ 5000 -6 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 1.

Somit gilt:

(28007 + 34994) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 34) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 34) mod 9 ≡ (15 mod 9 ⋅ 34 mod 9) mod 9.

15 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 9 + 6 = 1 ⋅ 9 + 6 ist.

34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 34) mod 9 ≡ (6 ⋅ 7) mod 9 ≡ 42 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 363¹⁶ mod 557.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 363 -> x
2. mod(x²,557) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 363¹=363

2: 363²=363¹⁺¹=363¹⋅363¹ ≡ 363⋅363=131769 ≡ 317 mod 557

4: 363⁴=363²⁺²=363²⋅363² ≡ 317⋅317=100489 ≡ 229 mod 557

8: 363⁸=363⁴⁺⁴=363⁴⋅363⁴ ≡ 229⋅229=52441 ≡ 83 mod 557

16: 363¹⁶=363⁸⁺⁸=363⁸⋅363⁸ ≡ 83⋅83=6889 ≡ 205 mod 557

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 84¹⁸² mod 239.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:

182 = 128+32+16+4+2

1: 84¹=84

2: 84²=84¹⁺¹=84¹⋅84¹ ≡ 84⋅84=7056 ≡ 125 mod 239

4: 84⁴=84²⁺²=84²⋅84² ≡ 125⋅125=15625 ≡ 90 mod 239

8: 84⁸=84⁴⁺⁴=84⁴⋅84⁴ ≡ 90⋅90=8100 ≡ 213 mod 239

16: 84¹⁶=84⁸⁺⁸=84⁸⋅84⁸ ≡ 213⋅213=45369 ≡ 198 mod 239

32: 84³²=84¹⁶⁺¹⁶=84¹⁶⋅84¹⁶ ≡ 198⋅198=39204 ≡ 8 mod 239

64: 84⁶⁴=84³²⁺³²=84³²⋅84³² ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 239

128: 84¹²⁸=84⁶⁴⁺⁶⁴=84⁶⁴⋅84⁶⁴ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 33 mod 239

84¹⁸²

= 84^{128+32+16+4+2}

= 84¹²⁸⋅84³²⋅84¹⁶⋅84⁴⋅84²

≡ 33 ⋅ 8 ⋅ 198 ⋅ 90 ⋅ 125 mod 239
≡ 264 ⋅ 198 ⋅ 90 ⋅ 125 mod 239 ≡ 25 ⋅ 198 ⋅ 90 ⋅ 125 mod 239
≡ 4950 ⋅ 90 ⋅ 125 mod 239 ≡ 170 ⋅ 90 ⋅ 125 mod 239
≡ 15300 ⋅ 125 mod 239 ≡ 4 ⋅ 125 mod 239
≡ 500 mod 239 ≡ 22 mod 239

Es gilt also: 84¹⁸² ≡ 22 mod 239

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68

=>71	= 1⋅68 + 3
=>68	= 22⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 68-22⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(68 -22⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅68 +22⋅ 3) = -1⋅68 +23⋅ 3 (=1)
3= 71-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅68 +23⋅(71 -1⋅ 68) = -1⋅68 +23⋅71 -23⋅ 68) = 23⋅71 -24⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(71,68)=1 = 23⋅71 -24⋅68

oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -23⋅71 = -24⋅68

-24⋅68 = -23⋅71 + 1 |+71⋅68

-24⋅68 + 71⋅68 = -23⋅71 + 71⋅68 + 1

(-24 + 71) ⋅ 68 = (-23 + 68) ⋅ 71 + 1

47⋅68 = 45⋅71 + 1

Es gilt also: 47⋅68 = 45⋅71 +1

Somit 47⋅68 = 1 mod 71

47 ist also das Inverse von 68 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68

Schlüsselpaar für RSA