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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (397 + 19998) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(397 + 19998) mod 4 ≡ (397 mod 4 + 19998 mod 4) mod 4.

397 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397 = 300+97 = 4 ⋅ 75 +97.

19998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998 = 19000+998 = 4 ⋅ 4750 +998.

Somit gilt:

(397 + 19998) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 57) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 57) mod 5 ≡ (50 mod 5 ⋅ 57 mod 5) mod 5.

50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.

57 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 55 + 2 = 11 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 57) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 67132 mod 811.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 671 -> x
2. mod(x²,811) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6711=671

2: 6712=6711+1=6711⋅6711 ≡ 671⋅671=450241 ≡ 136 mod 811

4: 6714=6712+2=6712⋅6712 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 654 mod 811

8: 6718=6714+4=6714⋅6714 ≡ 654⋅654=427716 ≡ 319 mod 811

16: 67116=6718+8=6718⋅6718 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 386 mod 811

32: 67132=67116+16=67116⋅67116 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 583 mod 811

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 872147 mod 967.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:

147 = 128+16+2+1

1: 8721=872

2: 8722=8721+1=8721⋅8721 ≡ 872⋅872=760384 ≡ 322 mod 967

4: 8724=8722+2=8722⋅8722 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 215 mod 967

8: 8728=8724+4=8724⋅8724 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 776 mod 967

16: 87216=8728+8=8728⋅8728 ≡ 776⋅776=602176 ≡ 702 mod 967

32: 87232=87216+16=87216⋅87216 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 601 mod 967

64: 87264=87232+32=87232⋅87232 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 510 mod 967

128: 872128=87264+64=87264⋅87264 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 944 mod 967

872147

= 872128+16+2+1

= 872128⋅87216⋅8722⋅8721

≡ 944 ⋅ 702 ⋅ 322 ⋅ 872 mod 967
≡ 662688 ⋅ 322 ⋅ 872 mod 967 ≡ 293 ⋅ 322 ⋅ 872 mod 967
≡ 94346 ⋅ 872 mod 967 ≡ 547 ⋅ 872 mod 967
≡ 476984 mod 967 ≡ 253 mod 967

Es gilt also: 872147 ≡ 253 mod 967

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48

=>89 = 1⋅48 + 41
=>48 = 1⋅41 + 7
=>41 = 5⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 41-5⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7)
= -1⋅41 +6⋅ 7 (=1)
7= 48-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41)
= 6⋅48 -7⋅ 41 (=1)
41= 89-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48)
= 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48)
= -7⋅89 +13⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48

oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅89 = +13⋅48

Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1

Somit 13⋅48 = 1 mod 89

13 ist also das Inverse von 48 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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