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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1402 - 3506) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1402 - 3506) mod 7 ≡ (1402 mod 7 - 3506 mod 7) mod 7.

1402 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1402 = 1400+2 = 7 ⋅ 200 +2.

3506 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3506 = 3500+6 = 7 ⋅ 500 +6.

Somit gilt:

(1402 - 3506) mod 7 ≡ (2 - 6) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 44) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 44) mod 3 ≡ (44 mod 3 ⋅ 44 mod 3) mod 3.

44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 44) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 447⁶⁴ mod 521.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 447 -> x
2. mod(x²,521) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 447¹=447

2: 447²=447¹⁺¹=447¹⋅447¹ ≡ 447⋅447=199809 ≡ 266 mod 521

4: 447⁴=447²⁺²=447²⋅447² ≡ 266⋅266=70756 ≡ 421 mod 521

8: 447⁸=447⁴⁺⁴=447⁴⋅447⁴ ≡ 421⋅421=177241 ≡ 101 mod 521

16: 447¹⁶=447⁸⁺⁸=447⁸⋅447⁸ ≡ 101⋅101=10201 ≡ 302 mod 521

32: 447³²=447¹⁶⁺¹⁶=447¹⁶⋅447¹⁶ ≡ 302⋅302=91204 ≡ 29 mod 521

64: 447⁶⁴=447³²⁺³²=447³²⋅447³² ≡ 29⋅29=841 ≡ 320 mod 521

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 260¹⁸⁵ mod 293.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

1: 260¹=260

2: 260²=260¹⁺¹=260¹⋅260¹ ≡ 260⋅260=67600 ≡ 210 mod 293

4: 260⁴=260²⁺²=260²⋅260² ≡ 210⋅210=44100 ≡ 150 mod 293

8: 260⁸=260⁴⁺⁴=260⁴⋅260⁴ ≡ 150⋅150=22500 ≡ 232 mod 293

16: 260¹⁶=260⁸⁺⁸=260⁸⋅260⁸ ≡ 232⋅232=53824 ≡ 205 mod 293

32: 260³²=260¹⁶⁺¹⁶=260¹⁶⋅260¹⁶ ≡ 205⋅205=42025 ≡ 126 mod 293

64: 260⁶⁴=260³²⁺³²=260³²⋅260³² ≡ 126⋅126=15876 ≡ 54 mod 293

128: 260¹²⁸=260⁶⁴⁺⁶⁴=260⁶⁴⋅260⁶⁴ ≡ 54⋅54=2916 ≡ 279 mod 293

260¹⁸⁵

= 260^{128+32+16+8+1}

= 260¹²⁸⋅260³²⋅260¹⁶⋅260⁸⋅260¹

≡ 279 ⋅ 126 ⋅ 205 ⋅ 232 ⋅ 260 mod 293
≡ 35154 ⋅ 205 ⋅ 232 ⋅ 260 mod 293 ≡ 287 ⋅ 205 ⋅ 232 ⋅ 260 mod 293
≡ 58835 ⋅ 232 ⋅ 260 mod 293 ≡ 235 ⋅ 232 ⋅ 260 mod 293
≡ 54520 ⋅ 260 mod 293 ≡ 22 ⋅ 260 mod 293
≡ 5720 mod 293 ≡ 153 mod 293

Es gilt also: 260¹⁸⁵ ≡ 153 mod 293

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42

=>59	= 1⋅42 + 17
=>42	= 2⋅17 + 8
=>17	= 2⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17) = 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42) = -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -7⋅42

-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42

-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1

(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1

52⋅42 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1

Somit 52⋅42 = 1 mod 59

52 ist also das Inverse von 42 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42

Schlüsselpaar für RSA