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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1199 + 80) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1199 + 80) mod 4 ≡ (1199 mod 4 + 80 mod 4) mod 4.

1199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1100+99 = 4 ⋅ 275 +99.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 4 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(1199 + 80) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 81) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 81) mod 5 ≡ (81 mod 5 ⋅ 81 mod 5) mod 5.

81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 81) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 399³² mod 467.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 399 -> x
2. mod(x²,467) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 399¹=399

2: 399²=399¹⁺¹=399¹⋅399¹ ≡ 399⋅399=159201 ≡ 421 mod 467

4: 399⁴=399²⁺²=399²⋅399² ≡ 421⋅421=177241 ≡ 248 mod 467

8: 399⁸=399⁴⁺⁴=399⁴⋅399⁴ ≡ 248⋅248=61504 ≡ 327 mod 467

16: 399¹⁶=399⁸⁺⁸=399⁸⋅399⁸ ≡ 327⋅327=106929 ≡ 453 mod 467

32: 399³²=399¹⁶⁺¹⁶=399¹⁶⋅399¹⁶ ≡ 453⋅453=205209 ≡ 196 mod 467

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 365²¹⁹ mod 409.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

1: 365¹=365

2: 365²=365¹⁺¹=365¹⋅365¹ ≡ 365⋅365=133225 ≡ 300 mod 409

4: 365⁴=365²⁺²=365²⋅365² ≡ 300⋅300=90000 ≡ 20 mod 409

8: 365⁸=365⁴⁺⁴=365⁴⋅365⁴ ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 409

16: 365¹⁶=365⁸⁺⁸=365⁸⋅365⁸ ≡ 400⋅400=160000 ≡ 81 mod 409

32: 365³²=365¹⁶⁺¹⁶=365¹⁶⋅365¹⁶ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 17 mod 409

64: 365⁶⁴=365³²⁺³²=365³²⋅365³² ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 409

128: 365¹²⁸=365⁶⁴⁺⁶⁴=365⁶⁴⋅365⁶⁴ ≡ 289⋅289=83521 ≡ 85 mod 409

365²¹⁹

= 365^{128+64+16+8+2+1}

= 365¹²⁸⋅365⁶⁴⋅365¹⁶⋅365⁸⋅365²⋅365¹

≡ 85 ⋅ 289 ⋅ 81 ⋅ 400 ⋅ 300 ⋅ 365 mod 409
≡ 24565 ⋅ 81 ⋅ 400 ⋅ 300 ⋅ 365 mod 409 ≡ 25 ⋅ 81 ⋅ 400 ⋅ 300 ⋅ 365 mod 409
≡ 2025 ⋅ 400 ⋅ 300 ⋅ 365 mod 409 ≡ 389 ⋅ 400 ⋅ 300 ⋅ 365 mod 409
≡ 155600 ⋅ 300 ⋅ 365 mod 409 ≡ 180 ⋅ 300 ⋅ 365 mod 409
≡ 54000 ⋅ 365 mod 409 ≡ 12 ⋅ 365 mod 409
≡ 4380 mod 409 ≡ 290 mod 409

Es gilt also: 365²¹⁹ ≡ 290 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 49.

Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 49

=>59	= 1⋅49 + 10
=>49	= 4⋅10 + 9
=>10	= 1⋅9 + 1
=>9	= 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 49-4⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -1⋅(49 -4⋅ 10) = 1⋅10 -1⋅49 +4⋅ 10) = -1⋅49 +5⋅ 10 (=1)
10= 59-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅49 +5⋅(59 -1⋅ 49) = -1⋅49 +5⋅59 -5⋅ 49) = 5⋅59 -6⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(59,49)=1 = 5⋅59 -6⋅49

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -6⋅49

-6⋅49 = -5⋅59 + 1 |+59⋅49

-6⋅49 + 59⋅49 = -5⋅59 + 59⋅49 + 1

(-6 + 59) ⋅ 49 = (-5 + 49) ⋅ 59 + 1

53⋅49 = 44⋅59 + 1

Es gilt also: 53⋅49 = 44⋅59 +1

Somit 53⋅49 = 1 mod 59

53 ist also das Inverse von 49 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 49

Schlüsselpaar für RSA