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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3204 - 3194) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3204 - 3194) mod 8 ≡ (3204 mod 8 - 3194 mod 8) mod 8.

3204 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3204 = 3200+4 = 8 ⋅ 400 +4.

3194 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3194 = 3200-6 = 8 ⋅ 400 -6 = 8 ⋅ 400 - 8 + 2.

Somit gilt:

(3204 - 3194) mod 8 ≡ (4 - 2) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 48) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 48) mod 11 ≡ (48 mod 11 ⋅ 48 mod 11) mod 11.

48 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 44 + 4 = 4 ⋅ 11 + 4 ist.

48 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 44 + 4 = 4 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 48) mod 11 ≡ (4 ⋅ 4) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5748 mod 691.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 574 -> x
2. mod(x²,691) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5741=574

2: 5742=5741+1=5741⋅5741 ≡ 574⋅574=329476 ≡ 560 mod 691

4: 5744=5742+2=5742⋅5742 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 577 mod 691

8: 5748=5744+4=5744⋅5744 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 558 mod 691

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 143206 mod 401.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:

206 = 128+64+8+4+2

1: 1431=143

2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 399 mod 401

4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 4 mod 401

8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 401

16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 401

32: 14332=14316+16=14316⋅14316 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 173 mod 401

64: 14364=14332+32=14332⋅14332 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 255 mod 401

128: 143128=14364+64=14364⋅14364 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 63 mod 401

143206

= 143128+64+8+4+2

= 143128⋅14364⋅1438⋅1434⋅1432

≡ 63 ⋅ 255 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 399 mod 401
≡ 16065 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 399 mod 401 ≡ 25 ⋅ 16 ⋅ 4 ⋅ 399 mod 401
≡ 400 ⋅ 4 ⋅ 399 mod 401
≡ 1600 ⋅ 399 mod 401 ≡ 397 ⋅ 399 mod 401
≡ 158403 mod 401 ≡ 8 mod 401

Es gilt also: 143206 ≡ 8 mod 401

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 46

=>59 = 1⋅46 + 13
=>46 = 3⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 46-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(46 -3⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅46 -6⋅ 13)
= 2⋅46 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅46 -7⋅(59 -1⋅ 46)
= 2⋅46 -7⋅59 +7⋅ 46)
= -7⋅59 +9⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(59,46)=1 = -7⋅59 +9⋅46

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +9⋅46

Es gilt also: 9⋅46 = 7⋅59 +1

Somit 9⋅46 = 1 mod 59

9 ist also das Inverse von 46 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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