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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (101 + 5000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(101 + 5000) mod 5 ≡ (101 mod 5 + 5000 mod 5) mod 5.

101 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 101 = 100+1 = 5 ⋅ 20 +1.

5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000 = 5000+0 = 5 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(101 + 5000) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 37) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 37) mod 5 ≡ (89 mod 5 ⋅ 37 mod 5) mod 5.

89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.

37 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 7 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 37) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 41032 mod 997.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 410 -> x
2. mod(x²,997) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4101=410

2: 4102=4101+1=4101⋅4101 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 604 mod 997

4: 4104=4102+2=4102⋅4102 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 911 mod 997

8: 4108=4104+4=4104⋅4104 ≡ 911⋅911=829921 ≡ 417 mod 997

16: 41016=4108+8=4108⋅4108 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 411 mod 997

32: 41032=41016+16=41016⋅41016 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 428 mod 997

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 236170 mod 331.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:

170 = 128+32+8+2

1: 2361=236

2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 88 mod 331

4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 131 mod 331

8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 280 mod 331

16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 284 mod 331

32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 223 mod 331

64: 23664=23632+32=23632⋅23632 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 79 mod 331

128: 236128=23664+64=23664⋅23664 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 283 mod 331

236170

= 236128+32+8+2

= 236128⋅23632⋅2368⋅2362

≡ 283 ⋅ 223 ⋅ 280 ⋅ 88 mod 331
≡ 63109 ⋅ 280 ⋅ 88 mod 331 ≡ 219 ⋅ 280 ⋅ 88 mod 331
≡ 61320 ⋅ 88 mod 331 ≡ 85 ⋅ 88 mod 331
≡ 7480 mod 331 ≡ 198 mod 331

Es gilt also: 236170 ≡ 198 mod 331

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 63

=>67 = 1⋅63 + 4
=>63 = 15⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 63-15⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(63 -15⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅63 +15⋅ 4)
= -1⋅63 +16⋅ 4 (=1)
4= 67-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅63 +16⋅(67 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +16⋅67 -16⋅ 63)
= 16⋅67 -17⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(67,63)=1 = 16⋅67 -17⋅63

oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅67 = -17⋅63

-17⋅63 = -16⋅67 + 1 |+67⋅63

-17⋅63 + 67⋅63 = -16⋅67 + 67⋅63 + 1

(-17 + 67) ⋅ 63 = (-16 + 63) ⋅ 67 + 1

50⋅63 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 50⋅63 = 47⋅67 +1

Somit 50⋅63 = 1 mod 67

50 ist also das Inverse von 63 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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