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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 + 453) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 + 453) mod 9 ≡ (95 mod 9 + 453 mod 9) mod 9.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90+5 = 9 ⋅ 10 +5.

453 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 453 = 450+3 = 9 ⋅ 50 +3.

Somit gilt:

(95 + 453) mod 9 ≡ (5 + 3) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 77) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 77) mod 8 ≡ (61 mod 8 ⋅ 77 mod 8) mod 8.

61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.

77 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 9 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 77) mod 8 ≡ (5 ⋅ 5) mod 8 ≡ 25 mod 8 ≡ 1 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 45932 mod 463.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 459 -> x
2. mod(x²,463) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4591=459

2: 4592=4591+1=4591⋅4591 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 16 mod 463

4: 4594=4592+2=4592⋅4592 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 463

8: 4598=4594+4=4594⋅4594 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 253 mod 463

16: 45916=4598+8=4598⋅4598 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 115 mod 463

32: 45932=45916+16=45916⋅45916 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 261 mod 463

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 702112 mod 853.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:

112 = 64+32+16

1: 7021=702

2: 7022=7021+1=7021⋅7021 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 623 mod 853

4: 7024=7022+2=7022⋅7022 ≡ 623⋅623=388129 ≡ 14 mod 853

8: 7028=7024+4=7024⋅7024 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 853

16: 70216=7028+8=7028⋅7028 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 31 mod 853

32: 70232=70216+16=70216⋅70216 ≡ 31⋅31=961 ≡ 108 mod 853

64: 70264=70232+32=70232⋅70232 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 575 mod 853

702112

= 70264+32+16

= 70264⋅70232⋅70216

≡ 575 ⋅ 108 ⋅ 31 mod 853
≡ 62100 ⋅ 31 mod 853 ≡ 684 ⋅ 31 mod 853
≡ 21204 mod 853 ≡ 732 mod 853

Es gilt also: 702112 ≡ 732 mod 853

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47

=>73 = 1⋅47 + 26
=>47 = 1⋅26 + 21
=>26 = 1⋅21 + 5
=>21 = 4⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21)
= -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 47-1⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26)
= 5⋅47 -9⋅ 26 (=1)
26= 73-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47)
= 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47)
= -9⋅73 +14⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47

oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅73 = +14⋅47

Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1

Somit 14⋅47 = 1 mod 73

14 ist also das Inverse von 47 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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