nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (124 + 29997) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(124 + 29997) mod 6 ≡ (124 mod 6 + 29997 mod 6) mod 6.

124 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 124 = 120+4 = 6 ⋅ 20 +4.

29997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29997 = 30000-3 = 6 ⋅ 5000 -3 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 3.

Somit gilt:

(124 + 29997) mod 6 ≡ (4 + 3) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 76) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 76) mod 7 ≡ (72 mod 7 ⋅ 76 mod 7) mod 7.

72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 10 ⋅ 7 + 2 ist.

76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 10 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 76) mod 7 ≡ (2 ⋅ 6) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 49432 mod 557.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 494 -> x
2. mod(x²,557) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4941=494

2: 4942=4941+1=4941⋅4941 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 70 mod 557

4: 4944=4942+2=4942⋅4942 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 444 mod 557

8: 4948=4944+4=4944⋅4944 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 515 mod 557

16: 49416=4948+8=4948⋅4948 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 93 mod 557

32: 49432=49416+16=49416⋅49416 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 294 mod 557

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 582206 mod 881.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 206 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 206 an und zerlegen 206 in eine Summer von 2er-Potenzen:

206 = 128+64+8+4+2

1: 5821=582

2: 5822=5821+1=5821⋅5821 ≡ 582⋅582=338724 ≡ 420 mod 881

4: 5824=5822+2=5822⋅5822 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 200 mod 881

8: 5828=5824+4=5824⋅5824 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 355 mod 881

16: 58216=5828+8=5828⋅5828 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 42 mod 881

32: 58232=58216+16=58216⋅58216 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 2 mod 881

64: 58264=58232+32=58232⋅58232 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 881

128: 582128=58264+64=58264⋅58264 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 881

582206

= 582128+64+8+4+2

= 582128⋅58264⋅5828⋅5824⋅5822

≡ 16 ⋅ 4 ⋅ 355 ⋅ 200 ⋅ 420 mod 881
≡ 64 ⋅ 355 ⋅ 200 ⋅ 420 mod 881
≡ 22720 ⋅ 200 ⋅ 420 mod 881 ≡ 695 ⋅ 200 ⋅ 420 mod 881
≡ 139000 ⋅ 420 mod 881 ≡ 683 ⋅ 420 mod 881
≡ 286860 mod 881 ≡ 535 mod 881

Es gilt also: 582206 ≡ 535 mod 881

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 85.

Also bestimme x, so dass 85 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 85

=>101 = 1⋅85 + 16
=>85 = 5⋅16 + 5
=>16 = 3⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,85)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 85-5⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -3⋅(85 -5⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅85 +15⋅ 16)
= -3⋅85 +16⋅ 16 (=1)
16= 101-1⋅85 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅85 +16⋅(101 -1⋅ 85)
= -3⋅85 +16⋅101 -16⋅ 85)
= 16⋅101 -19⋅ 85 (=1)

Es gilt also: ggt(101,85)=1 = 16⋅101 -19⋅85

oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅101 = -19⋅85

-19⋅85 = -16⋅101 + 1 |+101⋅85

-19⋅85 + 101⋅85 = -16⋅101 + 101⋅85 + 1

(-19 + 101) ⋅ 85 = (-16 + 85) ⋅ 101 + 1

82⋅85 = 69⋅101 + 1

Es gilt also: 82⋅85 = 69⋅101 +1

Somit 82⋅85 = 1 mod 101

82 ist also das Inverse von 85 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden