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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 - 149) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 - 149) mod 3 ≡ (60 mod 3 - 149 mod 3) mod 3.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 3 ⋅ 20 +0.

149 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 149 = 150-1 = 3 ⋅ 50 -1 = 3 ⋅ 50 - 3 + 2.

Somit gilt:

(60 - 149) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 46) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 46) mod 3 ≡ (87 mod 3 ⋅ 46 mod 3) mod 3.

87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 87 + 0 = 29 ⋅ 3 + 0 ist.

46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 46) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 343¹²⁸ mod 929.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 343 -> x
2. mod(x²,929) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 343¹=343

2: 343²=343¹⁺¹=343¹⋅343¹ ≡ 343⋅343=117649 ≡ 595 mod 929

4: 343⁴=343²⁺²=343²⋅343² ≡ 595⋅595=354025 ≡ 76 mod 929

8: 343⁸=343⁴⁺⁴=343⁴⋅343⁴ ≡ 76⋅76=5776 ≡ 202 mod 929

16: 343¹⁶=343⁸⁺⁸=343⁸⋅343⁸ ≡ 202⋅202=40804 ≡ 857 mod 929

32: 343³²=343¹⁶⁺¹⁶=343¹⁶⋅343¹⁶ ≡ 857⋅857=734449 ≡ 539 mod 929

64: 343⁶⁴=343³²⁺³²=343³²⋅343³² ≡ 539⋅539=290521 ≡ 673 mod 929

128: 343¹²⁸=343⁶⁴⁺⁶⁴=343⁶⁴⋅343⁶⁴ ≡ 673⋅673=452929 ≡ 506 mod 929

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 362¹²⁵ mod 751.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:

125 = 64+32+16+8+4+1

1: 362¹=362

2: 362²=362¹⁺¹=362¹⋅362¹ ≡ 362⋅362=131044 ≡ 370 mod 751

4: 362⁴=362²⁺²=362²⋅362² ≡ 370⋅370=136900 ≡ 218 mod 751

8: 362⁸=362⁴⁺⁴=362⁴⋅362⁴ ≡ 218⋅218=47524 ≡ 211 mod 751

16: 362¹⁶=362⁸⁺⁸=362⁸⋅362⁸ ≡ 211⋅211=44521 ≡ 212 mod 751

32: 362³²=362¹⁶⁺¹⁶=362¹⁶⋅362¹⁶ ≡ 212⋅212=44944 ≡ 635 mod 751

64: 362⁶⁴=362³²⁺³²=362³²⋅362³² ≡ 635⋅635=403225 ≡ 689 mod 751

362¹²⁵

= 362^{64+32+16+8+4+1}

= 362⁶⁴⋅362³²⋅362¹⁶⋅362⁸⋅362⁴⋅362¹

≡ 689 ⋅ 635 ⋅ 212 ⋅ 211 ⋅ 218 ⋅ 362 mod 751
≡ 437515 ⋅ 212 ⋅ 211 ⋅ 218 ⋅ 362 mod 751 ≡ 433 ⋅ 212 ⋅ 211 ⋅ 218 ⋅ 362 mod 751
≡ 91796 ⋅ 211 ⋅ 218 ⋅ 362 mod 751 ≡ 174 ⋅ 211 ⋅ 218 ⋅ 362 mod 751
≡ 36714 ⋅ 218 ⋅ 362 mod 751 ≡ 666 ⋅ 218 ⋅ 362 mod 751
≡ 145188 ⋅ 362 mod 751 ≡ 245 ⋅ 362 mod 751
≡ 88690 mod 751 ≡ 72 mod 751

Es gilt also: 362¹²⁵ ≡ 72 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 40

=>71	= 1⋅40 + 31
=>40	= 1⋅31 + 9
=>31	= 3⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 31-3⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9) = -2⋅31 +7⋅ 9 (=1)
9= 40-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅31 +7⋅(40 -1⋅ 31) = -2⋅31 +7⋅40 -7⋅ 31) = 7⋅40 -9⋅ 31 (=1)
31= 71-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅40 -9⋅(71 -1⋅ 40) = 7⋅40 -9⋅71 +9⋅ 40) = -9⋅71 +16⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(71,40)=1 = -9⋅71 +16⋅40

oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅71 = +16⋅40

Es gilt also: 16⋅40 = 9⋅71 +1

Somit 16⋅40 = 1 mod 71

16 ist also das Inverse von 40 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 40

Schlüsselpaar für RSA