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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (153 + 1600) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(153 + 1600) mod 8 ≡ (153 mod 8 + 1600 mod 8) mod 8.

153 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 153 = 160-7 = 8 ⋅ 20 -7 = 8 ⋅ 20 - 8 + 1.

1600 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 8 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(153 + 1600) mod 8 ≡ (1 + 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 70) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 70) mod 6 ≡ (93 mod 6 ⋅ 70 mod 6) mod 6.

93 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 15 ⋅ 6 + 3 ist.

70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 70) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 51864 mod 547.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 518 -> x
2. mod(x²,547) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5181=518

2: 5182=5181+1=5181⋅5181 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 294 mod 547

4: 5184=5182+2=5182⋅5182 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 10 mod 547

8: 5188=5184+4=5184⋅5184 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 547

16: 51816=5188+8=5188⋅5188 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 154 mod 547

32: 51832=51816+16=51816⋅51816 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 195 mod 547

64: 51864=51832+32=51832⋅51832 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 282 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 135131 mod 271.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:

131 = 128+2+1

1: 1351=135

2: 1352=1351+1=1351⋅1351 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 68 mod 271

4: 1354=1352+2=1352⋅1352 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 17 mod 271

8: 1358=1354+4=1354⋅1354 ≡ 17⋅17=289 ≡ 18 mod 271

16: 13516=1358+8=1358⋅1358 ≡ 18⋅18=324 ≡ 53 mod 271

32: 13532=13516+16=13516⋅13516 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 99 mod 271

64: 13564=13532+32=13532⋅13532 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 45 mod 271

128: 135128=13564+64=13564⋅13564 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 128 mod 271

135131

= 135128+2+1

= 135128⋅1352⋅1351

128 ⋅ 68 ⋅ 135 mod 271
8704 ⋅ 135 mod 271 ≡ 32 ⋅ 135 mod 271
4320 mod 271 ≡ 255 mod 271

Es gilt also: 135131 ≡ 255 mod 271

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.

Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64

=>79 = 1⋅64 + 15
=>64 = 4⋅15 + 4
=>15 = 3⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,64)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4)
= -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 64-4⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15)
= 4⋅64 -17⋅ 15 (=1)
15= 79-1⋅64 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64)
= -17⋅79 +21⋅ 64 (=1)

Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +21⋅64

Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1

Somit 21⋅64 = 1 mod 79

21 ist also das Inverse von 64 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.