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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36009 + 181) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36009 + 181) mod 9 ≡ (36009 mod 9 + 181 mod 9) mod 9.

36009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36009 = 36000+9 = 9 ⋅ 4000 +9.

181 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 181 = 180+1 = 9 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(36009 + 181) mod 9 ≡ (0 + 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 63) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 63) mod 6 ≡ (98 mod 6 ⋅ 63 mod 6) mod 6.

98 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 16 ⋅ 6 + 2 ist.

63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 10 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 63) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 300¹²⁸ mod 383.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 300 -> x
2. mod(x²,383) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 300¹=300

2: 300²=300¹⁺¹=300¹⋅300¹ ≡ 300⋅300=90000 ≡ 378 mod 383

4: 300⁴=300²⁺²=300²⋅300² ≡ 378⋅378=142884 ≡ 25 mod 383

8: 300⁸=300⁴⁺⁴=300⁴⋅300⁴ ≡ 25⋅25=625 ≡ 242 mod 383

16: 300¹⁶=300⁸⁺⁸=300⁸⋅300⁸ ≡ 242⋅242=58564 ≡ 348 mod 383

32: 300³²=300¹⁶⁺¹⁶=300¹⁶⋅300¹⁶ ≡ 348⋅348=121104 ≡ 76 mod 383

64: 300⁶⁴=300³²⁺³²=300³²⋅300³² ≡ 76⋅76=5776 ≡ 31 mod 383

128: 300¹²⁸=300⁶⁴⁺⁶⁴=300⁶⁴⋅300⁶⁴ ≡ 31⋅31=961 ≡ 195 mod 383

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 89²⁵⁰ mod 241.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

1: 89¹=89

2: 89²=89¹⁺¹=89¹⋅89¹ ≡ 89⋅89=7921 ≡ 209 mod 241

4: 89⁴=89²⁺²=89²⋅89² ≡ 209⋅209=43681 ≡ 60 mod 241

8: 89⁸=89⁴⁺⁴=89⁴⋅89⁴ ≡ 60⋅60=3600 ≡ 226 mod 241

16: 89¹⁶=89⁸⁺⁸=89⁸⋅89⁸ ≡ 226⋅226=51076 ≡ 225 mod 241

32: 89³²=89¹⁶⁺¹⁶=89¹⁶⋅89¹⁶ ≡ 225⋅225=50625 ≡ 15 mod 241

64: 89⁶⁴=89³²⁺³²=89³²⋅89³² ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 241

128: 89¹²⁸=89⁶⁴⁺⁶⁴=89⁶⁴⋅89⁶⁴ ≡ 225⋅225=50625 ≡ 15 mod 241

89²⁵⁰

= 89^{128+64+32+16+8+2}

= 89¹²⁸⋅89⁶⁴⋅89³²⋅89¹⁶⋅89⁸⋅89²

≡ 15 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 225 ⋅ 226 ⋅ 209 mod 241
≡ 3375 ⋅ 15 ⋅ 225 ⋅ 226 ⋅ 209 mod 241 ≡ 1 ⋅ 15 ⋅ 225 ⋅ 226 ⋅ 209 mod 241
≡ 15 ⋅ 225 ⋅ 226 ⋅ 209 mod 241
≡ 3375 ⋅ 226 ⋅ 209 mod 241 ≡ 1 ⋅ 226 ⋅ 209 mod 241
≡ 226 ⋅ 209 mod 241
≡ 47234 mod 241 ≡ 239 mod 241

Es gilt also: 89²⁵⁰ ≡ 239 mod 241

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 64.

Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 64

=>97	= 1⋅64 + 33
=>64	= 1⋅33 + 31
=>33	= 1⋅31 + 2
=>31	= 15⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,64)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-15⋅2
2= 33-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31) = 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1)
31= 64-1⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -15⋅33 +16⋅(64 -1⋅ 33) = -15⋅33 +16⋅64 -16⋅ 33) = 16⋅64 -31⋅ 33 (=1)
33= 97-1⋅64	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 16⋅64 -31⋅(97 -1⋅ 64) = 16⋅64 -31⋅97 +31⋅ 64) = -31⋅97 +47⋅ 64 (=1)

Es gilt also: ggt(97,64)=1 = -31⋅97 +47⋅64

oder wenn man -31⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅97 = +47⋅64

Es gilt also: 47⋅64 = 31⋅97 +1

Somit 47⋅64 = 1 mod 97

47 ist also das Inverse von 64 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 64

Schlüsselpaar für RSA