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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16002 + 401) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16002 + 401) mod 8 ≡ (16002 mod 8 + 401 mod 8) mod 8.
16002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16002
= 16000
401 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401
= 400
Somit gilt:
(16002 + 401) mod 8 ≡ (2 + 1) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 30) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 30) mod 7 ≡ (64 mod 7 ⋅ 30 mod 7) mod 7.
64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 9 ⋅ 7 + 1 ist.
30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 30) mod 7 ≡ (1 ⋅ 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 518128 mod 727.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 518 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5181=518
2: 5182=5181+1=5181⋅5181 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 61 mod 727
4: 5184=5182+2=5182⋅5182 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 86 mod 727
8: 5188=5184+4=5184⋅5184 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 126 mod 727
16: 51816=5188+8=5188⋅5188 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 609 mod 727
32: 51832=51816+16=51816⋅51816 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 111 mod 727
64: 51864=51832+32=51832⋅51832 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 689 mod 727
128: 518128=51864+64=51864⋅51864 ≡ 689⋅689=474721 ≡ 717 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12868 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:
68 = 64+4
1: 1281=128
2: 1282=1281+1=1281⋅1281 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 237 mod 241
4: 1284=1282+2=1282⋅1282 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 16 mod 241
8: 1288=1284+4=1284⋅1284 ≡ 16⋅16=256 ≡ 15 mod 241
16: 12816=1288+8=1288⋅1288 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 241
32: 12832=12816+16=12816⋅12816 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 15 mod 241
64: 12864=12832+32=12832⋅12832 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 241
12868
= 12864+4
= 12864⋅1284
≡ 225 ⋅ 16 mod 241
≡ 3600 mod 241 ≡ 226 mod 241
Es gilt also: 12868 ≡ 226 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 54
| =>59 | = 1⋅54 + 5 |
| =>54 | = 10⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 54-10⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(54 -10⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅54 +10⋅ 5) = -1⋅54 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅54 +11⋅(59 -1⋅ 54)
= -1⋅54 +11⋅59 -11⋅ 54) = 11⋅59 -12⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,54)=1 = 11⋅59 -12⋅54
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -12⋅54
-12⋅54 = -11⋅59 + 1 |+59⋅54
-12⋅54 + 59⋅54 = -11⋅59 + 59⋅54 + 1
(-12 + 59) ⋅ 54 = (-11 + 54) ⋅ 59 + 1
47⋅54 = 43⋅59 + 1
Es gilt also: 47⋅54 = 43⋅59 +1
Somit 47⋅54 = 1 mod 59
47 ist also das Inverse von 54 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.