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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24003 - 326) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24003 - 326) mod 8 ≡ (24003 mod 8 - 326 mod 8) mod 8.
24003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24003
= 24000
326 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 326
= 320
Somit gilt:
(24003 - 326) mod 8 ≡ (3 - 6) mod 8 ≡ -3 mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 79) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(59 ⋅ 79) mod 11 ≡ (59 mod 11 ⋅ 79 mod 11) mod 11.
59 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 5 ⋅ 11 + 4 ist.
79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.
Somit gilt:
(59 ⋅ 79) mod 11 ≡ (4 ⋅ 2) mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 70216 mod 751.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 702 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7021=702
2: 7022=7021+1=7021⋅7021 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 148 mod 751
4: 7024=7022+2=7022⋅7022 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 125 mod 751
8: 7028=7024+4=7024⋅7024 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 605 mod 751
16: 70216=7028+8=7028⋅7028 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 288 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30384 mod 607.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 84 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 84 an und zerlegen 84 in eine Summer von 2er-Potenzen:
84 = 64+16+4
1: 3031=303
2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 152 mod 607
4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 38 mod 607
8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 230 mod 607
16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 91 mod 607
32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 390 mod 607
64: 30364=30332+32=30332⋅30332 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 350 mod 607
30384
= 30364+16+4
= 30364⋅30316⋅3034
≡ 350 ⋅ 91 ⋅ 38 mod 607
≡ 31850 ⋅ 38 mod 607 ≡ 286 ⋅ 38 mod 607
≡ 10868 mod 607 ≡ 549 mod 607
Es gilt also: 30384 ≡ 549 mod 607
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 21.
Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 21
| =>53 | = 2⋅21 + 11 |
| =>21 | = 1⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,21)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 21-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1) |
| 11= 53-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅21 +2⋅(53 -2⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅53 -4⋅ 21) = 2⋅53 -5⋅ 21 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,21)=1 = 2⋅53 -5⋅21
oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅53 = -5⋅21
-5⋅21 = -2⋅53 + 1 |+53⋅21
-5⋅21 + 53⋅21 = -2⋅53 + 53⋅21 + 1
(-5 + 53) ⋅ 21 = (-2 + 21) ⋅ 53 + 1
48⋅21 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 48⋅21 = 19⋅53 +1
Somit 48⋅21 = 1 mod 53
48 ist also das Inverse von 21 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.