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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5002 - 49) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5002 - 49) mod 5 ≡ (5002 mod 5 - 49 mod 5) mod 5.

5002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5002 = 5000+2 = 5 ⋅ 1000 +2.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40+9 = 5 ⋅ 8 +9.

Somit gilt:

(5002 - 49) mod 5 ≡ (2 - 4) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 91) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 91) mod 3 ≡ (26 mod 3 ⋅ 91 mod 3) mod 3.

26 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 8 ⋅ 3 + 2 ist.

91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 30 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 91) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 46532 mod 937.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 465 -> x
2. mod(x²,937) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4651=465

2: 4652=4651+1=4651⋅4651 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 715 mod 937

4: 4654=4652+2=4652⋅4652 ≡ 715⋅715=511225 ≡ 560 mod 937

8: 4658=4654+4=4654⋅4654 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 642 mod 937

16: 46516=4658+8=4658⋅4658 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 821 mod 937

32: 46532=46516+16=46516⋅46516 ≡ 821⋅821=674041 ≡ 338 mod 937

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 469156 mod 691.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:

156 = 128+16+8+4

1: 4691=469

2: 4692=4691+1=4691⋅4691 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 223 mod 691

4: 4694=4692+2=4692⋅4692 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 668 mod 691

8: 4698=4694+4=4694⋅4694 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 529 mod 691

16: 46916=4698+8=4698⋅4698 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 677 mod 691

32: 46932=46916+16=46916⋅46916 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 196 mod 691

64: 46964=46932+32=46932⋅46932 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 411 mod 691

128: 469128=46964+64=46964⋅46964 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 317 mod 691

469156

= 469128+16+8+4

= 469128⋅46916⋅4698⋅4694

≡ 317 ⋅ 677 ⋅ 529 ⋅ 668 mod 691
≡ 214609 ⋅ 529 ⋅ 668 mod 691 ≡ 399 ⋅ 529 ⋅ 668 mod 691
≡ 211071 ⋅ 668 mod 691 ≡ 316 ⋅ 668 mod 691
≡ 211088 mod 691 ≡ 333 mod 691

Es gilt also: 469156 ≡ 333 mod 691

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 60

=>79 = 1⋅60 + 19
=>60 = 3⋅19 + 3
=>19 = 6⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 60-3⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -6⋅(60 -3⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅60 +18⋅ 19)
= -6⋅60 +19⋅ 19 (=1)
19= 79-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅60 +19⋅(79 -1⋅ 60)
= -6⋅60 +19⋅79 -19⋅ 60)
= 19⋅79 -25⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(79,60)=1 = 19⋅79 -25⋅60

oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅79 = -25⋅60

-25⋅60 = -19⋅79 + 1 |+79⋅60

-25⋅60 + 79⋅60 = -19⋅79 + 79⋅60 + 1

(-25 + 79) ⋅ 60 = (-19 + 60) ⋅ 79 + 1

54⋅60 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 54⋅60 = 41⋅79 +1

Somit 54⋅60 = 1 mod 79

54 ist also das Inverse von 60 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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