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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1500 + 12003) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1500 + 12003) mod 3 ≡ (1500 mod 3 + 12003 mod 3) mod 3.

1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 3 ⋅ 500 +0.

12003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 3 ⋅ 4000 +3.

Somit gilt:

(1500 + 12003) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 96) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 96) mod 6 ≡ (89 mod 6 ⋅ 96 mod 6) mod 6.

89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.

96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 96) mod 6 ≡ (5 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 391128 mod 619.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 391 -> x
2. mod(x²,619) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3911=391

2: 3912=3911+1=3911⋅3911 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 607 mod 619

4: 3914=3912+2=3912⋅3912 ≡ 607⋅607=368449 ≡ 144 mod 619

8: 3918=3914+4=3914⋅3914 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 309 mod 619

16: 39116=3918+8=3918⋅3918 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 155 mod 619

32: 39132=39116+16=39116⋅39116 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 503 mod 619

64: 39164=39132+32=39132⋅39132 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 457 mod 619

128: 391128=39164+64=39164⋅39164 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 246 mod 619

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18683 mod 227.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:

83 = 64+16+2+1

1: 1861=186

2: 1862=1861+1=1861⋅1861 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 92 mod 227

4: 1864=1862+2=1862⋅1862 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 65 mod 227

8: 1868=1864+4=1864⋅1864 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 139 mod 227

16: 18616=1868+8=1868⋅1868 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 26 mod 227

32: 18632=18616+16=18616⋅18616 ≡ 26⋅26=676 ≡ 222 mod 227

64: 18664=18632+32=18632⋅18632 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 25 mod 227

18683

= 18664+16+2+1

= 18664⋅18616⋅1862⋅1861

≡ 25 ⋅ 26 ⋅ 92 ⋅ 186 mod 227
≡ 650 ⋅ 92 ⋅ 186 mod 227 ≡ 196 ⋅ 92 ⋅ 186 mod 227
≡ 18032 ⋅ 186 mod 227 ≡ 99 ⋅ 186 mod 227
≡ 18414 mod 227 ≡ 27 mod 227

Es gilt also: 18683 ≡ 27 mod 227

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

=>61 = 2⋅22 + 17
=>22 = 1⋅17 + 5
=>17 = 3⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5)
= -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 22-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17)
= 7⋅22 -9⋅ 17 (=1)
17= 61-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22)
= -9⋅61 +25⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +25⋅22

Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1

Somit 25⋅22 = 1 mod 61

25 ist also das Inverse von 22 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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