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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (202 - 3998) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(202 - 3998) mod 4 ≡ (202 mod 4 - 3998 mod 4) mod 4.

202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202 = 200+2 = 4 ⋅ 50 +2.

3998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3998 = 3000+998 = 4 ⋅ 750 +998.

Somit gilt:

(202 - 3998) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 88) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 88) mod 9 ≡ (79 mod 9 ⋅ 88 mod 9) mod 9.

79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.

88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 88) mod 9 ≡ (7 ⋅ 7) mod 9 ≡ 49 mod 9 ≡ 4 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 823⁶⁴ mod 983.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 823 -> x
2. mod(x²,983) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 823¹=823

2: 823²=823¹⁺¹=823¹⋅823¹ ≡ 823⋅823=677329 ≡ 42 mod 983

4: 823⁴=823²⁺²=823²⋅823² ≡ 42⋅42=1764 ≡ 781 mod 983

8: 823⁸=823⁴⁺⁴=823⁴⋅823⁴ ≡ 781⋅781=609961 ≡ 501 mod 983

16: 823¹⁶=823⁸⁺⁸=823⁸⋅823⁸ ≡ 501⋅501=251001 ≡ 336 mod 983

32: 823³²=823¹⁶⁺¹⁶=823¹⁶⋅823¹⁶ ≡ 336⋅336=112896 ≡ 834 mod 983

64: 823⁶⁴=823³²⁺³²=823³²⋅823³² ≡ 834⋅834=695556 ≡ 575 mod 983

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 164¹¹¹ mod 349.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:

111 = 64+32+8+4+2+1

1: 164¹=164

2: 164²=164¹⁺¹=164¹⋅164¹ ≡ 164⋅164=26896 ≡ 23 mod 349

4: 164⁴=164²⁺²=164²⋅164² ≡ 23⋅23=529 ≡ 180 mod 349

8: 164⁸=164⁴⁺⁴=164⁴⋅164⁴ ≡ 180⋅180=32400 ≡ 292 mod 349

16: 164¹⁶=164⁸⁺⁸=164⁸⋅164⁸ ≡ 292⋅292=85264 ≡ 108 mod 349

32: 164³²=164¹⁶⁺¹⁶=164¹⁶⋅164¹⁶ ≡ 108⋅108=11664 ≡ 147 mod 349

64: 164⁶⁴=164³²⁺³²=164³²⋅164³² ≡ 147⋅147=21609 ≡ 320 mod 349

164¹¹¹

= 164^{64+32+8+4+2+1}

= 164⁶⁴⋅164³²⋅164⁸⋅164⁴⋅164²⋅164¹

≡ 320 ⋅ 147 ⋅ 292 ⋅ 180 ⋅ 23 ⋅ 164 mod 349
≡ 47040 ⋅ 292 ⋅ 180 ⋅ 23 ⋅ 164 mod 349 ≡ 274 ⋅ 292 ⋅ 180 ⋅ 23 ⋅ 164 mod 349
≡ 80008 ⋅ 180 ⋅ 23 ⋅ 164 mod 349 ≡ 87 ⋅ 180 ⋅ 23 ⋅ 164 mod 349
≡ 15660 ⋅ 23 ⋅ 164 mod 349 ≡ 304 ⋅ 23 ⋅ 164 mod 349
≡ 6992 ⋅ 164 mod 349 ≡ 12 ⋅ 164 mod 349
≡ 1968 mod 349 ≡ 223 mod 349

Es gilt also: 164¹¹¹ ≡ 223 mod 349

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38

=>79	= 2⋅38 + 3
=>38	= 12⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 38-12⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1)
3= 79-2⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅38 +13⋅(79 -2⋅ 38) = -1⋅38 +13⋅79 -26⋅ 38) = 13⋅79 -27⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(79,38)=1 = 13⋅79 -27⋅38

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -27⋅38

-27⋅38 = -13⋅79 + 1 |+79⋅38

-27⋅38 + 79⋅38 = -13⋅79 + 79⋅38 + 1

(-27 + 79) ⋅ 38 = (-13 + 38) ⋅ 79 + 1

52⋅38 = 25⋅79 + 1

Es gilt also: 52⋅38 = 25⋅79 +1

Somit 52⋅38 = 1 mod 79

52 ist also das Inverse von 38 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38

Schlüsselpaar für RSA