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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8003 - 78) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8003 - 78) mod 4 ≡ (8003 mod 4 - 78 mod 4) mod 4.
8003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8003
= 8000
78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78
= 80
Somit gilt:
(8003 - 78) mod 4 ≡ (3 - 2) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 61) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 61) mod 8 ≡ (96 mod 8 ⋅ 61 mod 8) mod 8.
96 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 12 ⋅ 8 + 0 ist.
61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 61) mod 8 ≡ (0 ⋅ 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3328 mod 499.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 332 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3321=332
2: 3322=3321+1=3321⋅3321 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 444 mod 499
4: 3324=3322+2=3322⋅3322 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 31 mod 499
8: 3328=3324+4=3324⋅3324 ≡ 31⋅31=961 ≡ 462 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 412239 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:
239 = 128+64+32+8+4+2+1
1: 4121=412
2: 4122=4121+1=4121⋅4121 ≡ 412⋅412=169744 ≡ 349 mod 491
4: 4124=4122+2=4122⋅4122 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 33 mod 491
8: 4128=4124+4=4124⋅4124 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 107 mod 491
16: 41216=4128+8=4128⋅4128 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 156 mod 491
32: 41232=41216+16=41216⋅41216 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 277 mod 491
64: 41264=41232+32=41232⋅41232 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 133 mod 491
128: 412128=41264+64=41264⋅41264 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 13 mod 491
412239
= 412128+64+32+8+4+2+1
= 412128⋅41264⋅41232⋅4128⋅4124⋅4122⋅4121
≡ 13 ⋅ 133 ⋅ 277 ⋅ 107 ⋅ 33 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491
≡ 1729 ⋅ 277 ⋅ 107 ⋅ 33 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491 ≡ 256 ⋅ 277 ⋅ 107 ⋅ 33 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491
≡ 70912 ⋅ 107 ⋅ 33 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491 ≡ 208 ⋅ 107 ⋅ 33 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491
≡ 22256 ⋅ 33 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491 ≡ 161 ⋅ 33 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491
≡ 5313 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491 ≡ 403 ⋅ 349 ⋅ 412 mod 491
≡ 140647 ⋅ 412 mod 491 ≡ 221 ⋅ 412 mod 491
≡ 91052 mod 491 ≡ 217 mod 491
Es gilt also: 412239 ≡ 217 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49
| =>71 | = 1⋅49 + 22 |
| =>49 | = 2⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 49-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1) |
| 22= 71-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49
oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅71 = +29⋅49
Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1
Somit 29⋅49 = 1 mod 71
29 ist also das Inverse von 49 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
