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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (5002 - 49) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(5002 - 49) mod 5 ≡ (5002 mod 5 - 49 mod 5) mod 5.
5002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5002
= 5000
49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49
= 40
Somit gilt:
(5002 - 49) mod 5 ≡ (2 - 4) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 91) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 91) mod 3 ≡ (26 mod 3 ⋅ 91 mod 3) mod 3.
26 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 8 ⋅ 3 + 2 ist.
91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 30 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 91) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46532 mod 937.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 465 -> x
2. mod(x²,937) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4651=465
2: 4652=4651+1=4651⋅4651 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 715 mod 937
4: 4654=4652+2=4652⋅4652 ≡ 715⋅715=511225 ≡ 560 mod 937
8: 4658=4654+4=4654⋅4654 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 642 mod 937
16: 46516=4658+8=4658⋅4658 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 821 mod 937
32: 46532=46516+16=46516⋅46516 ≡ 821⋅821=674041 ≡ 338 mod 937
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 469156 mod 691.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:
156 = 128+16+8+4
1: 4691=469
2: 4692=4691+1=4691⋅4691 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 223 mod 691
4: 4694=4692+2=4692⋅4692 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 668 mod 691
8: 4698=4694+4=4694⋅4694 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 529 mod 691
16: 46916=4698+8=4698⋅4698 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 677 mod 691
32: 46932=46916+16=46916⋅46916 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 196 mod 691
64: 46964=46932+32=46932⋅46932 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 411 mod 691
128: 469128=46964+64=46964⋅46964 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 317 mod 691
469156
= 469128+16+8+4
= 469128⋅46916⋅4698⋅4694
≡ 317 ⋅ 677 ⋅ 529 ⋅ 668 mod 691
≡ 214609 ⋅ 529 ⋅ 668 mod 691 ≡ 399 ⋅ 529 ⋅ 668 mod 691
≡ 211071 ⋅ 668 mod 691 ≡ 316 ⋅ 668 mod 691
≡ 211088 mod 691 ≡ 333 mod 691
Es gilt also: 469156 ≡ 333 mod 691
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 60
| =>79 | = 1⋅60 + 19 |
| =>60 | = 3⋅19 + 3 |
| =>19 | = 6⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-6⋅3 | |||
| 3= 60-3⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -6⋅(60 -3⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅60 +18⋅ 19) = -6⋅60 +19⋅ 19 (=1) |
| 19= 79-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅60 +19⋅(79 -1⋅ 60)
= -6⋅60 +19⋅79 -19⋅ 60) = 19⋅79 -25⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,60)=1 = 19⋅79 -25⋅60
oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅79 = -25⋅60
-25⋅60 = -19⋅79 + 1 |+79⋅60
-25⋅60 + 79⋅60 = -19⋅79 + 79⋅60 + 1
(-25 + 79) ⋅ 60 = (-19 + 60) ⋅ 79 + 1
54⋅60 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 54⋅60 = 41⋅79 +1
Somit 54⋅60 = 1 mod 79
54 ist also das Inverse von 60 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
