nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (996 - 255) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(996 - 255) mod 5 ≡ (996 mod 5 - 255 mod 5) mod 5.

996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 996 = 900+96 = 5 ⋅ 180 +96.

255 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 255 = 250+5 = 5 ⋅ 50 +5.

Somit gilt:

(996 - 255) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 97) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 97) mod 4 ≡ (95 mod 4 ⋅ 97 mod 4) mod 4.

95 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 92 + 3 = 23 ⋅ 4 + 3 ist.

97 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 24 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 97) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50932 mod 971.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 509 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5091=509

2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 795 mod 971

4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 795⋅795=632025 ≡ 875 mod 971

8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 875⋅875=765625 ≡ 477 mod 971

16: 50916=5098+8=5098⋅5098 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 315 mod 971

32: 50932=50916+16=50916⋅50916 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 183 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 440225 mod 491.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:

225 = 128+64+32+1

1: 4401=440

2: 4402=4401+1=4401⋅4401 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 146 mod 491

4: 4404=4402+2=4402⋅4402 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 203 mod 491

8: 4408=4404+4=4404⋅4404 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 456 mod 491

16: 44016=4408+8=4408⋅4408 ≡ 456⋅456=207936 ≡ 243 mod 491

32: 44032=44016+16=44016⋅44016 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 129 mod 491

64: 44064=44032+32=44032⋅44032 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 438 mod 491

128: 440128=44064+64=44064⋅44064 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 354 mod 491

440225

= 440128+64+32+1

= 440128⋅44064⋅44032⋅4401

≡ 354 ⋅ 438 ⋅ 129 ⋅ 440 mod 491
≡ 155052 ⋅ 129 ⋅ 440 mod 491 ≡ 387 ⋅ 129 ⋅ 440 mod 491
≡ 49923 ⋅ 440 mod 491 ≡ 332 ⋅ 440 mod 491
≡ 146080 mod 491 ≡ 253 mod 491

Es gilt also: 440225 ≡ 253 mod 491

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 87.

Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 87

=>97 = 1⋅87 + 10
=>87 = 8⋅10 + 7
=>10 = 1⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 10-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7)
= -2⋅10 +3⋅ 7 (=1)
7= 87-8⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅10 +3⋅(87 -8⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅87 -24⋅ 10)
= 3⋅87 -26⋅ 10 (=1)
10= 97-1⋅87 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅87 -26⋅(97 -1⋅ 87)
= 3⋅87 -26⋅97 +26⋅ 87)
= -26⋅97 +29⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(97,87)=1 = -26⋅97 +29⋅87

oder wenn man -26⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +26⋅97 = +29⋅87

Es gilt also: 29⋅87 = 26⋅97 +1

Somit 29⋅87 = 1 mod 97

29 ist also das Inverse von 87 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden