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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 + 201) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 + 201) mod 5 ≡ (53 mod 5 + 201 mod 5) mod 5.

53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50+3 = 5 ⋅ 10 +3.

201 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 5 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(53 + 201) mod 5 ≡ (3 + 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 88) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 88) mod 5 ≡ (27 mod 5 ⋅ 88 mod 5) mod 5.

27 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 25 + 2 = 5 ⋅ 5 + 2 ist.

88 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 85 + 3 = 17 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 88) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 210128 mod 353.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 210 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2101=210

2: 2102=2101+1=2101⋅2101 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 328 mod 353

4: 2104=2102+2=2102⋅2102 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 272 mod 353

8: 2108=2104+4=2104⋅2104 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 207 mod 353

16: 21016=2108+8=2108⋅2108 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 136 mod 353

32: 21032=21016+16=21016⋅21016 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 140 mod 353

64: 21064=21032+32=21032⋅21032 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353

128: 210128=21064+64=21064⋅21064 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 127158 mod 227.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

1: 1271=127

2: 1272=1271+1=1271⋅1271 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 12 mod 227

4: 1274=1272+2=1272⋅1272 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 227

8: 1278=1274+4=1274⋅1274 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 79 mod 227

16: 12716=1278+8=1278⋅1278 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 112 mod 227

32: 12732=12716+16=12716⋅12716 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 59 mod 227

64: 12764=12732+32=12732⋅12732 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 76 mod 227

128: 127128=12764+64=12764⋅12764 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 101 mod 227

127158

= 127128+16+8+4+2

= 127128⋅12716⋅1278⋅1274⋅1272

≡ 101 ⋅ 112 ⋅ 79 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 227
≡ 11312 ⋅ 79 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 227 ≡ 189 ⋅ 79 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 227
≡ 14931 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 227 ≡ 176 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 227
≡ 25344 ⋅ 12 mod 227 ≡ 147 ⋅ 12 mod 227
≡ 1764 mod 227 ≡ 175 mod 227

Es gilt also: 127158 ≡ 175 mod 227

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 37

=>89 = 2⋅37 + 15
=>37 = 2⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 37-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(37 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅37 +4⋅ 15)
= -2⋅37 +5⋅ 15 (=1)
15= 89-2⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅37 +5⋅(89 -2⋅ 37)
= -2⋅37 +5⋅89 -10⋅ 37)
= 5⋅89 -12⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(89,37)=1 = 5⋅89 -12⋅37

oder wenn man 5⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅89 = -12⋅37

-12⋅37 = -5⋅89 + 1 |+89⋅37

-12⋅37 + 89⋅37 = -5⋅89 + 89⋅37 + 1

(-12 + 89) ⋅ 37 = (-5 + 37) ⋅ 89 + 1

77⋅37 = 32⋅89 + 1

Es gilt also: 77⋅37 = 32⋅89 +1

Somit 77⋅37 = 1 mod 89

77 ist also das Inverse von 37 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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