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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4497 + 45005) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4497 + 45005) mod 9 ≡ (4497 mod 9 + 45005 mod 9) mod 9.

4497 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4497 = 4500-3 = 9 ⋅ 500 -3 = 9 ⋅ 500 - 9 + 6.

45005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45005 = 45000+5 = 9 ⋅ 5000 +5.

Somit gilt:

(4497 + 45005) mod 9 ≡ (6 + 5) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 48) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 48) mod 4 ≡ (28 mod 4 ⋅ 48 mod 4) mod 4.

28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.

48 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 12 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 48) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 61264 mod 641.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 612 -> x
2. mod(x²,641) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6121=612

2: 6122=6121+1=6121⋅6121 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 200 mod 641

4: 6124=6122+2=6122⋅6122 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 258 mod 641

8: 6128=6124+4=6124⋅6124 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 541 mod 641

16: 61216=6128+8=6128⋅6128 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 385 mod 641

32: 61232=61216+16=61216⋅61216 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 154 mod 641

64: 61264=61232+32=61232⋅61232 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 640 mod 641

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 257178 mod 587.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:

178 = 128+32+16+2

1: 2571=257

2: 2572=2571+1=2571⋅2571 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 305 mod 587

4: 2574=2572+2=2572⋅2572 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 279 mod 587

8: 2578=2574+4=2574⋅2574 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 357 mod 587

16: 25716=2578+8=2578⋅2578 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 70 mod 587

32: 25732=25716+16=25716⋅25716 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 204 mod 587

64: 25764=25732+32=25732⋅25732 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 526 mod 587

128: 257128=25764+64=25764⋅25764 ≡ 526⋅526=276676 ≡ 199 mod 587

257178

= 257128+32+16+2

= 257128⋅25732⋅25716⋅2572

199 ⋅ 204 ⋅ 70 ⋅ 305 mod 587
40596 ⋅ 70 ⋅ 305 mod 587 ≡ 93 ⋅ 70 ⋅ 305 mod 587
6510 ⋅ 305 mod 587 ≡ 53 ⋅ 305 mod 587
16165 mod 587 ≡ 316 mod 587

Es gilt also: 257178 ≡ 316 mod 587

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.

Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20

=>53 = 2⋅20 + 13
=>20 = 1⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 20-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13)
= 2⋅20 -3⋅ 13 (=1)
13= 53-2⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20)
= -3⋅53 +8⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +8⋅20

Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1

Somit 8⋅20 = 1 mod 53

8 ist also das Inverse von 20 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.