Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 - 94) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 - 94) mod 9 ≡ (86 mod 9 - 94 mod 9) mod 9.
86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86
= 90
94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94
= 90
Somit gilt:
(86 - 94) mod 9 ≡ (5 - 4) mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 52) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 52) mod 10 ≡ (71 mod 10 ⋅ 52 mod 10) mod 10.
71 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 7 ⋅ 10 + 1 ist.
52 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 5 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 52) mod 10 ≡ (1 ⋅ 2) mod 10 ≡ 2 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 655128 mod 733.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 655 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6551=655
2: 6552=6551+1=6551⋅6551 ≡ 655⋅655=429025 ≡ 220 mod 733
4: 6554=6552+2=6552⋅6552 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 22 mod 733
8: 6558=6554+4=6554⋅6554 ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 733
16: 65516=6558+8=6558⋅6558 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 429 mod 733
32: 65532=65516+16=65516⋅65516 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 58 mod 733
64: 65564=65532+32=65532⋅65532 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 432 mod 733
128: 655128=65564+64=65564⋅65564 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 442 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12563 mod 283.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:
63 = 32+16+8+4+2+1
1: 1251=125
2: 1252=1251+1=1251⋅1251 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 60 mod 283
4: 1254=1252+2=1252⋅1252 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 204 mod 283
8: 1258=1254+4=1254⋅1254 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 15 mod 283
16: 12516=1258+8=1258⋅1258 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 283
32: 12532=12516+16=12516⋅12516 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 251 mod 283
12563
= 12532+16+8+4+2+1
= 12532⋅12516⋅1258⋅1254⋅1252⋅1251
≡ 251 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 204 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283
≡ 56475 ⋅ 15 ⋅ 204 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283 ≡ 158 ⋅ 15 ⋅ 204 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283
≡ 2370 ⋅ 204 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283 ≡ 106 ⋅ 204 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283
≡ 21624 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283 ≡ 116 ⋅ 60 ⋅ 125 mod 283
≡ 6960 ⋅ 125 mod 283 ≡ 168 ⋅ 125 mod 283
≡ 21000 mod 283 ≡ 58 mod 283
Es gilt also: 12563 ≡ 58 mod 283
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42
| =>59 | = 1⋅42 + 17 |
| =>42 | = 2⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 42-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 59-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42) = 5⋅59 -7⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42
oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅59 = -7⋅42
-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42
-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1
(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1
52⋅42 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1
Somit 52⋅42 = 1 mod 59
52 ist also das Inverse von 42 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
