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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (900 + 3002) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(900 + 3002) mod 3 ≡ (900 mod 3 + 3002 mod 3) mod 3.

900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 3 ⋅ 300 +0.

3002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002 = 3000+2 = 3 ⋅ 1000 +2.

Somit gilt:

(900 + 3002) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 94) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 94) mod 4 ≡ (32 mod 4 ⋅ 94 mod 4) mod 4.

32 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 8 ⋅ 4 + 0 ist.

94 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 92 + 2 = 23 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 94) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 55364 mod 919.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 553 -> x
2. mod(x²,919) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5531=553

2: 5532=5531+1=5531⋅5531 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 701 mod 919

4: 5534=5532+2=5532⋅5532 ≡ 701⋅701=491401 ≡ 655 mod 919

8: 5538=5534+4=5534⋅5534 ≡ 655⋅655=429025 ≡ 771 mod 919

16: 55316=5538+8=5538⋅5538 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 767 mod 919

32: 55332=55316+16=55316⋅55316 ≡ 767⋅767=588289 ≡ 129 mod 919

64: 55364=55332+32=55332⋅55332 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 99 mod 919

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 422102 mod 521.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:

102 = 64+32+4+2

1: 4221=422

2: 4222=4221+1=4221⋅4221 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 423 mod 521

4: 4224=4222+2=4222⋅4222 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 226 mod 521

8: 4228=4224+4=4224⋅4224 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 18 mod 521

16: 42216=4228+8=4228⋅4228 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 521

32: 42232=42216+16=42216⋅42216 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 255 mod 521

64: 42264=42232+32=42232⋅42232 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 421 mod 521

422102

= 42264+32+4+2

= 42264⋅42232⋅4224⋅4222

≡ 421 ⋅ 255 ⋅ 226 ⋅ 423 mod 521
≡ 107355 ⋅ 226 ⋅ 423 mod 521 ≡ 29 ⋅ 226 ⋅ 423 mod 521
≡ 6554 ⋅ 423 mod 521 ≡ 302 ⋅ 423 mod 521
≡ 127746 mod 521 ≡ 101 mod 521

Es gilt also: 422102 ≡ 101 mod 521

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29

=>73 = 2⋅29 + 15
=>29 = 1⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 29-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15)
= -1⋅29 +2⋅ 15 (=1)
15= 73-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29)
= 2⋅73 -5⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29

oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅73 = -5⋅29

-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29

-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1

(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1

68⋅29 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1

Somit 68⋅29 = 1 mod 73

68 ist also das Inverse von 29 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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