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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 - 146) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 - 146) mod 7 ≡ (76 mod 7 - 146 mod 7) mod 7.

76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70+6 = 7 ⋅ 10 +6.

146 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 146 = 140+6 = 7 ⋅ 20 +6.

Somit gilt:

(76 - 146) mod 7 ≡ (6 - 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 72) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 72) mod 7 ≡ (56 mod 7 ⋅ 72 mod 7) mod 7.

56 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 8 ⋅ 7 + 0 ist.

72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 10 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 72) mod 7 ≡ (0 ⋅ 2) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 531128 mod 577.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 531 -> x
2. mod(x²,577) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5311=531

2: 5312=5311+1=5311⋅5311 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 385 mod 577

4: 5314=5312+2=5312⋅5312 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 513 mod 577

8: 5318=5314+4=5314⋅5314 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 57 mod 577

16: 53116=5318+8=5318⋅5318 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 364 mod 577

32: 53132=53116+16=53116⋅53116 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 363 mod 577

64: 53164=53132+32=53132⋅53132 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 213 mod 577

128: 531128=53164+64=53164⋅53164 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 363 mod 577

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 222124 mod 499.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:

124 = 64+32+16+8+4

1: 2221=222

2: 2222=2221+1=2221⋅2221 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 382 mod 499

4: 2224=2222+2=2222⋅2222 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 216 mod 499

8: 2228=2224+4=2224⋅2224 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 249 mod 499

16: 22216=2228+8=2228⋅2228 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 125 mod 499

32: 22232=22216+16=22216⋅22216 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 156 mod 499

64: 22264=22232+32=22232⋅22232 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 384 mod 499

222124

= 22264+32+16+8+4

= 22264⋅22232⋅22216⋅2228⋅2224

384 ⋅ 156 ⋅ 125 ⋅ 249 ⋅ 216 mod 499
59904 ⋅ 125 ⋅ 249 ⋅ 216 mod 499 ≡ 24 ⋅ 125 ⋅ 249 ⋅ 216 mod 499
3000 ⋅ 249 ⋅ 216 mod 499 ≡ 6 ⋅ 249 ⋅ 216 mod 499
1494 ⋅ 216 mod 499 ≡ 496 ⋅ 216 mod 499
107136 mod 499 ≡ 350 mod 499

Es gilt also: 222124 ≡ 350 mod 499

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 32

=>67 = 2⋅32 + 3
=>32 = 10⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 32-10⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3)
= -1⋅32 +11⋅ 3 (=1)
3= 67-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅32 +11⋅(67 -2⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅67 -22⋅ 32)
= 11⋅67 -23⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(67,32)=1 = 11⋅67 -23⋅32

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -23⋅32

-23⋅32 = -11⋅67 + 1 |+67⋅32

-23⋅32 + 67⋅32 = -11⋅67 + 67⋅32 + 1

(-23 + 67) ⋅ 32 = (-11 + 32) ⋅ 67 + 1

44⋅32 = 21⋅67 + 1

Es gilt also: 44⋅32 = 21⋅67 +1

Somit 44⋅32 = 1 mod 67

44 ist also das Inverse von 32 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.