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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35999 - 4496) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35999 - 4496) mod 9 ≡ (35999 mod 9 - 4496 mod 9) mod 9.

35999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35999 = 36000-1 = 9 ⋅ 4000 -1 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 8.

4496 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4496 = 4500-4 = 9 ⋅ 500 -4 = 9 ⋅ 500 - 9 + 5.

Somit gilt:

(35999 - 4496) mod 9 ≡ (8 - 5) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 58) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 58) mod 9 ≡ (39 mod 9 ⋅ 58 mod 9) mod 9.

39 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 4 ⋅ 9 + 3 ist.

58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 58) mod 9 ≡ (3 ⋅ 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 13332 mod 401.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 133 -> x
2. mod(x²,401) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1331=133

2: 1332=1331+1=1331⋅1331 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 45 mod 401

4: 1334=1332+2=1332⋅1332 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 20 mod 401

8: 1338=1334+4=1334⋅1334 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 401

16: 13316=1338+8=1338⋅1338 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 1 mod 401

32: 13332=13316+16=13316⋅13316 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 401

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 77279 mod 859.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:

79 = 64+8+4+2+1

1: 7721=772

2: 7722=7721+1=7721⋅7721 ≡ 772⋅772=595984 ≡ 697 mod 859

4: 7724=7722+2=7722⋅7722 ≡ 697⋅697=485809 ≡ 474 mod 859

8: 7728=7724+4=7724⋅7724 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 477 mod 859

16: 77216=7728+8=7728⋅7728 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 753 mod 859

32: 77232=77216+16=77216⋅77216 ≡ 753⋅753=567009 ≡ 69 mod 859

64: 77264=77232+32=77232⋅77232 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 466 mod 859

77279

= 77264+8+4+2+1

= 77264⋅7728⋅7724⋅7722⋅7721

≡ 466 ⋅ 477 ⋅ 474 ⋅ 697 ⋅ 772 mod 859
≡ 222282 ⋅ 474 ⋅ 697 ⋅ 772 mod 859 ≡ 660 ⋅ 474 ⋅ 697 ⋅ 772 mod 859
≡ 312840 ⋅ 697 ⋅ 772 mod 859 ≡ 164 ⋅ 697 ⋅ 772 mod 859
≡ 114308 ⋅ 772 mod 859 ≡ 61 ⋅ 772 mod 859
≡ 47092 mod 859 ≡ 706 mod 859

Es gilt also: 77279 ≡ 706 mod 859

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 47

=>53 = 1⋅47 + 6
=>47 = 7⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 47-7⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(47 -7⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅47 +7⋅ 6)
= -1⋅47 +8⋅ 6 (=1)
6= 53-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +8⋅(53 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +8⋅53 -8⋅ 47)
= 8⋅53 -9⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(53,47)=1 = 8⋅53 -9⋅47

oder wenn man 8⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅53 = -9⋅47

-9⋅47 = -8⋅53 + 1 |+53⋅47

-9⋅47 + 53⋅47 = -8⋅53 + 53⋅47 + 1

(-9 + 53) ⋅ 47 = (-8 + 47) ⋅ 53 + 1

44⋅47 = 39⋅53 + 1

Es gilt also: 44⋅47 = 39⋅53 +1

Somit 44⋅47 = 1 mod 53

44 ist also das Inverse von 47 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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