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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (248 - 2004) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(248 - 2004) mod 5 ≡ (248 mod 5 - 2004 mod 5) mod 5.

248 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248 = 240+8 = 5 ⋅ 48 +8.

2004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004 = 2000+4 = 5 ⋅ 400 +4.

Somit gilt:

(248 - 2004) mod 5 ≡ (3 - 4) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 49) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 49) mod 8 ≡ (72 mod 8 ⋅ 49 mod 8) mod 8.

72 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 9 ⋅ 8 + 0 ist.

49 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 6 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 49) mod 8 ≡ (0 ⋅ 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1888 mod 257.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 188 -> x
2. mod(x²,257) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1881=188

2: 1882=1881+1=1881⋅1881 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 135 mod 257

4: 1884=1882+2=1882⋅1882 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 235 mod 257

8: 1888=1884+4=1884⋅1884 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 227 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18278 mod 439.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:

78 = 64+8+4+2

1: 1821=182

2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 199 mod 439

4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 91 mod 439

8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 379 mod 439

16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 88 mod 439

32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 281 mod 439

64: 18264=18232+32=18232⋅18232 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 380 mod 439

18278

= 18264+8+4+2

= 18264⋅1828⋅1824⋅1822

≡ 380 ⋅ 379 ⋅ 91 ⋅ 199 mod 439
≡ 144020 ⋅ 91 ⋅ 199 mod 439 ≡ 28 ⋅ 91 ⋅ 199 mod 439
≡ 2548 ⋅ 199 mod 439 ≡ 353 ⋅ 199 mod 439
≡ 70247 mod 439 ≡ 7 mod 439

Es gilt also: 18278 ≡ 7 mod 439

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 71.

Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 71

=>83 = 1⋅71 + 12
=>71 = 5⋅12 + 11
=>12 = 1⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,71)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 71-5⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅12 -1⋅(71 -5⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅71 +5⋅ 12)
= -1⋅71 +6⋅ 12 (=1)
12= 83-1⋅71 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅71 +6⋅(83 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +6⋅83 -6⋅ 71)
= 6⋅83 -7⋅ 71 (=1)

Es gilt also: ggt(83,71)=1 = 6⋅83 -7⋅71

oder wenn man 6⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅83 = -7⋅71

-7⋅71 = -6⋅83 + 1 |+83⋅71

-7⋅71 + 83⋅71 = -6⋅83 + 83⋅71 + 1

(-7 + 83) ⋅ 71 = (-6 + 71) ⋅ 83 + 1

76⋅71 = 65⋅83 + 1

Es gilt also: 76⋅71 = 65⋅83 +1

Somit 76⋅71 = 1 mod 83

76 ist also das Inverse von 71 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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