Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2700 - 279) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2700 - 279) mod 9 ≡ (2700 mod 9 - 279 mod 9) mod 9.
2700 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2700
= 2700
279 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 279
= 270
Somit gilt:
(2700 - 279) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 49) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 49) mod 8 ≡ (40 mod 8 ⋅ 49 mod 8) mod 8.
40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.
49 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 6 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 49) mod 8 ≡ (0 ⋅ 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24216 mod 353.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 242 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2421=242
2: 2422=2421+1=2421⋅2421 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 319 mod 353
4: 2424=2422+2=2422⋅2422 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 97 mod 353
8: 2428=2424+4=2424⋅2424 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 231 mod 353
16: 24216=2428+8=2428⋅2428 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 58 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 266167 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 167 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 167 an und zerlegen 167 in eine Summer von 2er-Potenzen:
167 = 128+32+4+2+1
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 408 mod 409
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 1 mod 409
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 409
16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 409
32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 409
64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 409
128: 266128=26664+64=26664⋅26664 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 409
266167
= 266128+32+4+2+1
= 266128⋅26632⋅2664⋅2662⋅2661
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 408 ⋅ 266 mod 409
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 408 ⋅ 266 mod 409
≡ 1 ⋅ 408 ⋅ 266 mod 409
≡ 408 ⋅ 266 mod 409
≡ 108528 mod 409 ≡ 143 mod 409
Es gilt also: 266167 ≡ 143 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 36
| =>53 | = 1⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 53-1⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,36)=1 = 17⋅53 -25⋅36
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -25⋅36
-25⋅36 = -17⋅53 + 1 |+53⋅36
-25⋅36 + 53⋅36 = -17⋅53 + 53⋅36 + 1
(-25 + 53) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 53 + 1
28⋅36 = 19⋅53 + 1
Es gilt also: 28⋅36 = 19⋅53 +1
Somit 28⋅36 = 1 mod 53
28 ist also das Inverse von 36 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.