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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30001 + 3002) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30001 + 3002) mod 6 ≡ (30001 mod 6 + 3002 mod 6) mod 6.

30001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30001 = 30000+1 = 6 ⋅ 5000 +1.

3002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3002 = 3000+2 = 6 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(30001 + 3002) mod 6 ≡ (1 + 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 74) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 74) mod 11 ≡ (54 mod 11 ⋅ 74 mod 11) mod 11.

54 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 44 + 10 = 4 ⋅ 11 + 10 ist.

74 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 66 + 8 = 6 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 74) mod 11 ≡ (10 ⋅ 8) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5948 mod 659.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 594 -> x
2. mod(x²,659) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5941=594

2: 5942=5941+1=5941⋅5941 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 271 mod 659

4: 5944=5942+2=5942⋅5942 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 292 mod 659

8: 5948=5944+4=5944⋅5944 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 253 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18275 mod 557.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:

75 = 64+8+2+1

1: 1821=182

2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 261 mod 557

4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 167 mod 557

8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 39 mod 557

16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 407 mod 557

32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 220 mod 557

64: 18264=18232+32=18232⋅18232 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 498 mod 557

18275

= 18264+8+2+1

= 18264⋅1828⋅1822⋅1821

≡ 498 ⋅ 39 ⋅ 261 ⋅ 182 mod 557
≡ 19422 ⋅ 261 ⋅ 182 mod 557 ≡ 484 ⋅ 261 ⋅ 182 mod 557
≡ 126324 ⋅ 182 mod 557 ≡ 442 ⋅ 182 mod 557
≡ 80444 mod 557 ≡ 236 mod 557

Es gilt also: 18275 ≡ 236 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 52

=>67 = 1⋅52 + 15
=>52 = 3⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 52-3⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(52 -3⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅52 +6⋅ 15)
= -2⋅52 +7⋅ 15 (=1)
15= 67-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅52 +7⋅(67 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +7⋅67 -7⋅ 52)
= 7⋅67 -9⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(67,52)=1 = 7⋅67 -9⋅52

oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅67 = -9⋅52

-9⋅52 = -7⋅67 + 1 |+67⋅52

-9⋅52 + 67⋅52 = -7⋅67 + 67⋅52 + 1

(-9 + 67) ⋅ 52 = (-7 + 52) ⋅ 67 + 1

58⋅52 = 45⋅67 + 1

Es gilt also: 58⋅52 = 45⋅67 +1

Somit 58⋅52 = 1 mod 67

58 ist also das Inverse von 52 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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