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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4502 + 8997) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4502 + 8997) mod 9 ≡ (4502 mod 9 + 8997 mod 9) mod 9.

4502 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4502 = 4500+2 = 9 ⋅ 500 +2.

8997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997 = 9000-3 = 9 ⋅ 1000 -3 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 6.

Somit gilt:

(4502 + 8997) mod 9 ≡ (2 + 6) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 68) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 68) mod 3 ≡ (35 mod 3 ⋅ 68 mod 3) mod 3.

35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.

68 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 22 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 68) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6698 mod 937.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 669 -> x
2. mod(x²,937) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6691=669

2: 6692=6691+1=6691⋅6691 ≡ 669⋅669=447561 ≡ 612 mod 937

4: 6694=6692+2=6692⋅6692 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 681 mod 937

8: 6698=6694+4=6694⋅6694 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 883 mod 937

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 434229 mod 971.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

1: 4341=434

2: 4342=4341+1=4341⋅4341 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 953 mod 971

4: 4344=4342+2=4342⋅4342 ≡ 953⋅953=908209 ≡ 324 mod 971

8: 4348=4344+4=4344⋅4344 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 108 mod 971

16: 43416=4348+8=4348⋅4348 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 12 mod 971

32: 43432=43416+16=43416⋅43416 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 971

64: 43464=43432+32=43432⋅43432 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 345 mod 971

128: 434128=43464+64=43464⋅43464 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 563 mod 971

434229

= 434128+64+32+4+1

= 434128⋅43464⋅43432⋅4344⋅4341

≡ 563 ⋅ 345 ⋅ 144 ⋅ 324 ⋅ 434 mod 971
≡ 194235 ⋅ 144 ⋅ 324 ⋅ 434 mod 971 ≡ 35 ⋅ 144 ⋅ 324 ⋅ 434 mod 971
≡ 5040 ⋅ 324 ⋅ 434 mod 971 ≡ 185 ⋅ 324 ⋅ 434 mod 971
≡ 59940 ⋅ 434 mod 971 ≡ 709 ⋅ 434 mod 971
≡ 307706 mod 971 ≡ 870 mod 971

Es gilt also: 434229 ≡ 870 mod 971

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 36

=>67 = 1⋅36 + 31
=>36 = 1⋅31 + 5
=>31 = 6⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-6⋅5
5= 36-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅31 -6⋅(36 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -6⋅36 +6⋅ 31)
= -6⋅36 +7⋅ 31 (=1)
31= 67-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅36 +7⋅(67 -1⋅ 36)
= -6⋅36 +7⋅67 -7⋅ 36)
= 7⋅67 -13⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(67,36)=1 = 7⋅67 -13⋅36

oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅67 = -13⋅36

-13⋅36 = -7⋅67 + 1 |+67⋅36

-13⋅36 + 67⋅36 = -7⋅67 + 67⋅36 + 1

(-13 + 67) ⋅ 36 = (-7 + 36) ⋅ 67 + 1

54⋅36 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 54⋅36 = 29⋅67 +1

Somit 54⋅36 = 1 mod 67

54 ist also das Inverse von 36 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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