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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29995 - 11996) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29995 - 11996) mod 6 ≡ (29995 mod 6 - 11996 mod 6) mod 6.

29995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29995 = 30000-5 = 6 ⋅ 5000 -5 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 1.

11996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996 = 12000-4 = 6 ⋅ 2000 -4 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 2.

Somit gilt:

(29995 - 11996) mod 6 ≡ (1 - 2) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 78) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 78) mod 11 ≡ (21 mod 11 ⋅ 78 mod 11) mod 11.

21 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 11 + 10 = 1 ⋅ 11 + 10 ist.

78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 78) mod 11 ≡ (10 ⋅ 1) mod 11 ≡ 10 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 549¹⁶ mod 787.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 549 -> x
2. mod(x²,787) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 549¹=549

2: 549²=549¹⁺¹=549¹⋅549¹ ≡ 549⋅549=301401 ≡ 767 mod 787

4: 549⁴=549²⁺²=549²⋅549² ≡ 767⋅767=588289 ≡ 400 mod 787

8: 549⁸=549⁴⁺⁴=549⁴⋅549⁴ ≡ 400⋅400=160000 ≡ 239 mod 787

16: 549¹⁶=549⁸⁺⁸=549⁸⋅549⁸ ≡ 239⋅239=57121 ≡ 457 mod 787

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 225²²⁹ mod 541.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

1: 225¹=225

2: 225²=225¹⁺¹=225¹⋅225¹ ≡ 225⋅225=50625 ≡ 312 mod 541

4: 225⁴=225²⁺²=225²⋅225² ≡ 312⋅312=97344 ≡ 505 mod 541

8: 225⁸=225⁴⁺⁴=225⁴⋅225⁴ ≡ 505⋅505=255025 ≡ 214 mod 541

16: 225¹⁶=225⁸⁺⁸=225⁸⋅225⁸ ≡ 214⋅214=45796 ≡ 352 mod 541

32: 225³²=225¹⁶⁺¹⁶=225¹⁶⋅225¹⁶ ≡ 352⋅352=123904 ≡ 15 mod 541

64: 225⁶⁴=225³²⁺³²=225³²⋅225³² ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 541

128: 225¹²⁸=225⁶⁴⁺⁶⁴=225⁶⁴⋅225⁶⁴ ≡ 225⋅225=50625 ≡ 312 mod 541

225²²⁹

= 225^{128+64+32+4+1}

= 225¹²⁸⋅225⁶⁴⋅225³²⋅225⁴⋅225¹

≡ 312 ⋅ 225 ⋅ 15 ⋅ 505 ⋅ 225 mod 541
≡ 70200 ⋅ 15 ⋅ 505 ⋅ 225 mod 541 ≡ 411 ⋅ 15 ⋅ 505 ⋅ 225 mod 541
≡ 6165 ⋅ 505 ⋅ 225 mod 541 ≡ 214 ⋅ 505 ⋅ 225 mod 541
≡ 108070 ⋅ 225 mod 541 ≡ 411 ⋅ 225 mod 541
≡ 92475 mod 541 ≡ 505 mod 541

Es gilt also: 225²²⁹ ≡ 505 mod 541

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

=>53	= 1⋅31 + 22
=>31	= 1⋅22 + 9
=>22	= 2⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-1⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22) = -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22) = 5⋅31 -7⋅ 22 (=1)
22= 53-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31) = 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31) = -7⋅53 +12⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31

oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅53 = +12⋅31

Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1

Somit 12⋅31 = 1 mod 53

12 ist also das Inverse von 31 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

Schlüsselpaar für RSA