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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15004 - 246) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15004 - 246) mod 5 ≡ (15004 mod 5 - 246 mod 5) mod 5.
15004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15004
= 15000
246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246
= 240
Somit gilt:
(15004 - 246) mod 5 ≡ (4 - 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 59) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 59) mod 4 ≡ (22 mod 4 ⋅ 59 mod 4) mod 4.
22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.
59 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 14 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 59) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 443128 mod 521.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 443 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4431=443
2: 4432=4431+1=4431⋅4431 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 353 mod 521
4: 4434=4432+2=4432⋅4432 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 90 mod 521
8: 4438=4434+4=4434⋅4434 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 285 mod 521
16: 44316=4438+8=4438⋅4438 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 470 mod 521
32: 44332=44316+16=44316⋅44316 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 517 mod 521
64: 44364=44332+32=44332⋅44332 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 16 mod 521
128: 443128=44364+64=44364⋅44364 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 359251 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:
251 = 128+64+32+16+8+2+1
1: 3591=359
2: 3592=3591+1=3591⋅3591 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 55 mod 421
4: 3594=3592+2=3592⋅3592 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 78 mod 421
8: 3598=3594+4=3594⋅3594 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 190 mod 421
16: 35916=3598+8=3598⋅3598 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 315 mod 421
32: 35932=35916+16=35916⋅35916 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 290 mod 421
64: 35964=35932+32=35932⋅35932 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 321 mod 421
128: 359128=35964+64=35964⋅35964 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 317 mod 421
359251
= 359128+64+32+16+8+2+1
= 359128⋅35964⋅35932⋅35916⋅3598⋅3592⋅3591
≡ 317 ⋅ 321 ⋅ 290 ⋅ 315 ⋅ 190 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421
≡ 101757 ⋅ 290 ⋅ 315 ⋅ 190 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421 ≡ 296 ⋅ 290 ⋅ 315 ⋅ 190 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421
≡ 85840 ⋅ 315 ⋅ 190 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421 ≡ 377 ⋅ 315 ⋅ 190 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421
≡ 118755 ⋅ 190 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421 ≡ 33 ⋅ 190 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421
≡ 6270 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421 ≡ 376 ⋅ 55 ⋅ 359 mod 421
≡ 20680 ⋅ 359 mod 421 ≡ 51 ⋅ 359 mod 421
≡ 18309 mod 421 ≡ 206 mod 421
Es gilt also: 359251 ≡ 206 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 51
| =>59 | = 1⋅51 + 8 |
| =>51 | = 6⋅8 + 3 |
| =>8 | = 2⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 8-2⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1) |
| 3= 51-6⋅8 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅8 +3⋅(51 -6⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅51 -18⋅ 8) = 3⋅51 -19⋅ 8 (=1) |
| 8= 59-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅51 -19⋅(59 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -19⋅59 +19⋅ 51) = -19⋅59 +22⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,51)=1 = -19⋅59 +22⋅51
oder wenn man -19⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅59 = +22⋅51
Es gilt also: 22⋅51 = 19⋅59 +1
Somit 22⋅51 = 1 mod 59
22 ist also das Inverse von 51 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
