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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1599 - 1601) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1599 - 1601) mod 4 ≡ (1599 mod 4 - 1601 mod 4) mod 4.

1599 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1599 = 1500+99 = 4 ⋅ 375 +99.

1601 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601 = 1600+1 = 4 ⋅ 400 +1.

Somit gilt:

(1599 - 1601) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 34) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 34) mod 3 ≡ (68 mod 3 ⋅ 34 mod 3) mod 3.

68 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 22 ⋅ 3 + 2 ist.

34 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 11 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 34) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 206⁶⁴ mod 313.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 206 -> x
2. mod(x²,313) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 206¹=206

2: 206²=206¹⁺¹=206¹⋅206¹ ≡ 206⋅206=42436 ≡ 181 mod 313

4: 206⁴=206²⁺²=206²⋅206² ≡ 181⋅181=32761 ≡ 209 mod 313

8: 206⁸=206⁴⁺⁴=206⁴⋅206⁴ ≡ 209⋅209=43681 ≡ 174 mod 313

16: 206¹⁶=206⁸⁺⁸=206⁸⋅206⁸ ≡ 174⋅174=30276 ≡ 228 mod 313

32: 206³²=206¹⁶⁺¹⁶=206¹⁶⋅206¹⁶ ≡ 228⋅228=51984 ≡ 26 mod 313

64: 206⁶⁴=206³²⁺³²=206³²⋅206³² ≡ 26⋅26=676 ≡ 50 mod 313

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 262²¹⁸ mod 269.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:

218 = 128+64+16+8+2

1: 262¹=262

2: 262²=262¹⁺¹=262¹⋅262¹ ≡ 262⋅262=68644 ≡ 49 mod 269

4: 262⁴=262²⁺²=262²⋅262² ≡ 49⋅49=2401 ≡ 249 mod 269

8: 262⁸=262⁴⁺⁴=262⁴⋅262⁴ ≡ 249⋅249=62001 ≡ 131 mod 269

16: 262¹⁶=262⁸⁺⁸=262⁸⋅262⁸ ≡ 131⋅131=17161 ≡ 214 mod 269

32: 262³²=262¹⁶⁺¹⁶=262¹⁶⋅262¹⁶ ≡ 214⋅214=45796 ≡ 66 mod 269

64: 262⁶⁴=262³²⁺³²=262³²⋅262³² ≡ 66⋅66=4356 ≡ 52 mod 269

128: 262¹²⁸=262⁶⁴⁺⁶⁴=262⁶⁴⋅262⁶⁴ ≡ 52⋅52=2704 ≡ 14 mod 269

262²¹⁸

= 262^{128+64+16+8+2}

= 262¹²⁸⋅262⁶⁴⋅262¹⁶⋅262⁸⋅262²

≡ 14 ⋅ 52 ⋅ 214 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269
≡ 728 ⋅ 214 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269 ≡ 190 ⋅ 214 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269
≡ 40660 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269 ≡ 41 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269
≡ 5371 ⋅ 49 mod 269 ≡ 260 ⋅ 49 mod 269
≡ 12740 mod 269 ≡ 97 mod 269

Es gilt also: 262²¹⁸ ≡ 97 mod 269

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 72.

Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72

=>79	= 1⋅72 + 7
=>72	= 10⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 72-10⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7) = -3⋅72 +31⋅ 7 (=1)
7= 79-1⋅72	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72) = -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72) = 31⋅79 -34⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72

oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -31⋅79 = -34⋅72

-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72

-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1

(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1

45⋅72 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1

Somit 45⋅72 = 1 mod 79

45 ist also das Inverse von 72 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72

Schlüsselpaar für RSA