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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (123 - 299) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(123 - 299) mod 3 ≡ (123 mod 3 - 299 mod 3) mod 3.

123 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 3 ⋅ 40 +3.

299 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299 = 300-1 = 3 ⋅ 100 -1 = 3 ⋅ 100 - 3 + 2.

Somit gilt:

(123 - 299) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 68) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 68) mod 3 ≡ (42 mod 3 ⋅ 68 mod 3) mod 3.

42 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 14 ⋅ 3 + 0 ist.

68 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 22 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 68) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 9168 mod 919.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 916 -> x
2. mod(x²,919) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 9161=916

2: 9162=9161+1=9161⋅9161 ≡ 916⋅916=839056 ≡ 9 mod 919

4: 9164=9162+2=9162⋅9162 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 919

8: 9168=9164+4=9164⋅9164 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 128 mod 919

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 198144 mod 439.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 144 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 144 an und zerlegen 144 in eine Summer von 2er-Potenzen:

144 = 128+16

1: 1981=198

2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 133 mod 439

4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 129 mod 439

8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 398 mod 439

16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 364 mod 439

32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 357 mod 439

64: 19864=19832+32=19832⋅19832 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 139 mod 439

128: 198128=19864+64=19864⋅19864 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 5 mod 439

198144

= 198128+16

= 198128⋅19816

≡ 5 ⋅ 364 mod 439
≡ 1820 mod 439 ≡ 64 mod 439

Es gilt also: 198144 ≡ 64 mod 439

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 23

=>67 = 2⋅23 + 21
=>23 = 1⋅21 + 2
=>21 = 10⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21)
= -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -10⋅23 +11⋅(67 -2⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅67 -22⋅ 23)
= 11⋅67 -32⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(67,23)=1 = 11⋅67 -32⋅23

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -32⋅23

-32⋅23 = -11⋅67 + 1 |+67⋅23

-32⋅23 + 67⋅23 = -11⋅67 + 67⋅23 + 1

(-32 + 67) ⋅ 23 = (-11 + 23) ⋅ 67 + 1

35⋅23 = 12⋅67 + 1

Es gilt also: 35⋅23 = 12⋅67 +1

Somit 35⋅23 = 1 mod 67

35 ist also das Inverse von 23 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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