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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3495 + 20998) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3495 + 20998) mod 7 ≡ (3495 mod 7 + 20998 mod 7) mod 7.

3495 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3495 = 3500-5 = 7 ⋅ 500 -5 = 7 ⋅ 500 - 7 + 2.

20998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20998 = 21000-2 = 7 ⋅ 3000 -2 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 5.

Somit gilt:

(3495 + 20998) mod 7 ≡ (2 + 5) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 40) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 40) mod 8 ≡ (54 mod 8 ⋅ 40 mod 8) mod 8.

54 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 48 + 6 = 6 ⋅ 8 + 6 ist.

40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 40) mod 8 ≡ (6 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 275⁸ mod 419.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 275 -> x
2. mod(x²,419) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 275¹=275

2: 275²=275¹⁺¹=275¹⋅275¹ ≡ 275⋅275=75625 ≡ 205 mod 419

4: 275⁴=275²⁺²=275²⋅275² ≡ 205⋅205=42025 ≡ 125 mod 419

8: 275⁸=275⁴⁺⁴=275⁴⋅275⁴ ≡ 125⋅125=15625 ≡ 122 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 337¹⁸² mod 769.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:

182 = 128+32+16+4+2

1: 337¹=337

2: 337²=337¹⁺¹=337¹⋅337¹ ≡ 337⋅337=113569 ≡ 526 mod 769

4: 337⁴=337²⁺²=337²⋅337² ≡ 526⋅526=276676 ≡ 605 mod 769

8: 337⁸=337⁴⁺⁴=337⁴⋅337⁴ ≡ 605⋅605=366025 ≡ 750 mod 769

16: 337¹⁶=337⁸⁺⁸=337⁸⋅337⁸ ≡ 750⋅750=562500 ≡ 361 mod 769

32: 337³²=337¹⁶⁺¹⁶=337¹⁶⋅337¹⁶ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 360 mod 769

64: 337⁶⁴=337³²⁺³²=337³²⋅337³² ≡ 360⋅360=129600 ≡ 408 mod 769

128: 337¹²⁸=337⁶⁴⁺⁶⁴=337⁶⁴⋅337⁶⁴ ≡ 408⋅408=166464 ≡ 360 mod 769

337¹⁸²

= 337^{128+32+16+4+2}

= 337¹²⁸⋅337³²⋅337¹⁶⋅337⁴⋅337²

≡ 360 ⋅ 360 ⋅ 361 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769
≡ 129600 ⋅ 361 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769 ≡ 408 ⋅ 361 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769
≡ 147288 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769 ≡ 409 ⋅ 605 ⋅ 526 mod 769
≡ 247445 ⋅ 526 mod 769 ≡ 596 ⋅ 526 mod 769
≡ 313496 mod 769 ≡ 513 mod 769

Es gilt also: 337¹⁸² ≡ 513 mod 769

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 52

=>97	= 1⋅52 + 45
=>52	= 1⋅45 + 7
=>45	= 6⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 45-6⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1)
7= 52-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅45 +13⋅(52 -1⋅ 45) = -2⋅45 +13⋅52 -13⋅ 45) = 13⋅52 -15⋅ 45 (=1)
45= 97-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅52 -15⋅(97 -1⋅ 52) = 13⋅52 -15⋅97 +15⋅ 52) = -15⋅97 +28⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(97,52)=1 = -15⋅97 +28⋅52

oder wenn man -15⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +15⋅97 = +28⋅52

Es gilt also: 28⋅52 = 15⋅97 +1

Somit 28⋅52 = 1 mod 97

28 ist also das Inverse von 52 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 52

Schlüsselpaar für RSA