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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (183 + 66) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(183 + 66) mod 6 ≡ (183 mod 6 + 66 mod 6) mod 6.

183 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 183 = 180+3 = 6 ⋅ 30 +3.

66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60+6 = 6 ⋅ 10 +6.

Somit gilt:

(183 + 66) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 22) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 22) mod 8 ≡ (69 mod 8 ⋅ 22 mod 8) mod 8.

69 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 64 + 5 = 8 ⋅ 8 + 5 ist.

22 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 16 + 6 = 2 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 22) mod 8 ≡ (5 ⋅ 6) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 19832 mod 487.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 198 -> x
2. mod(x²,487) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1981=198

2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 244 mod 487

4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 122 mod 487

8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 274 mod 487

16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 78 mod 487

32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 240 mod 487

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 279151 mod 769.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:

151 = 128+16+4+2+1

1: 2791=279

2: 2792=2791+1=2791⋅2791 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 172 mod 769

4: 2794=2792+2=2792⋅2792 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 362 mod 769

8: 2798=2794+4=2794⋅2794 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 314 mod 769

16: 27916=2798+8=2798⋅2798 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 164 mod 769

32: 27932=27916+16=27916⋅27916 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 750 mod 769

64: 27964=27932+32=27932⋅27932 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 361 mod 769

128: 279128=27964+64=27964⋅27964 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 360 mod 769

279151

= 279128+16+4+2+1

= 279128⋅27916⋅2794⋅2792⋅2791

≡ 360 ⋅ 164 ⋅ 362 ⋅ 172 ⋅ 279 mod 769
≡ 59040 ⋅ 362 ⋅ 172 ⋅ 279 mod 769 ≡ 596 ⋅ 362 ⋅ 172 ⋅ 279 mod 769
≡ 215752 ⋅ 172 ⋅ 279 mod 769 ≡ 432 ⋅ 172 ⋅ 279 mod 769
≡ 74304 ⋅ 279 mod 769 ≡ 480 ⋅ 279 mod 769
≡ 133920 mod 769 ≡ 114 mod 769

Es gilt also: 279151 ≡ 114 mod 769

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 67.

Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 67

=>71 = 1⋅67 + 4
=>67 = 16⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,67)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 67-16⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(67 -16⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅67 +16⋅ 4)
= -1⋅67 +17⋅ 4 (=1)
4= 71-1⋅67 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅67 +17⋅(71 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +17⋅71 -17⋅ 67)
= 17⋅71 -18⋅ 67 (=1)

Es gilt also: ggt(71,67)=1 = 17⋅71 -18⋅67

oder wenn man 17⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅71 = -18⋅67

-18⋅67 = -17⋅71 + 1 |+71⋅67

-18⋅67 + 71⋅67 = -17⋅71 + 71⋅67 + 1

(-18 + 71) ⋅ 67 = (-17 + 67) ⋅ 71 + 1

53⋅67 = 50⋅71 + 1

Es gilt also: 53⋅67 = 50⋅71 +1

Somit 53⋅67 = 1 mod 71

53 ist also das Inverse von 67 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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