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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 + 150) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 + 150) mod 3 ≡ (88 mod 3 + 150 mod 3) mod 3.

88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 90-2 = 3 ⋅ 30 -2 = 3 ⋅ 30 - 3 + 1.

150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 3 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(88 + 150) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 97) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 97) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 97 mod 7) mod 7.

82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.

97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 97) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22332 mod 419.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 223 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2231=223

2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 287 mod 419

4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 245 mod 419

8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 108 mod 419

16: 22316=2238+8=2238⋅2238 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 351 mod 419

32: 22332=22316+16=22316⋅22316 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 15 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 228122 mod 257.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

1: 2281=228

2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 70 mod 257

4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 17 mod 257

8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 17⋅17=289 ≡ 32 mod 257

16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 253 mod 257

32: 22832=22816+16=22816⋅22816 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257

64: 22864=22832+32=22832⋅22832 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257

228122

= 22864+32+16+8+2

= 22864⋅22832⋅22816⋅2288⋅2282

≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 253 ⋅ 32 ⋅ 70 mod 257
≡ 4096 ⋅ 253 ⋅ 32 ⋅ 70 mod 257 ≡ 241 ⋅ 253 ⋅ 32 ⋅ 70 mod 257
≡ 60973 ⋅ 32 ⋅ 70 mod 257 ≡ 64 ⋅ 32 ⋅ 70 mod 257
≡ 2048 ⋅ 70 mod 257 ≡ 249 ⋅ 70 mod 257
≡ 17430 mod 257 ≡ 211 mod 257

Es gilt also: 228122 ≡ 211 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46

=>89 = 1⋅46 + 43
=>46 = 1⋅43 + 3
=>43 = 14⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 43-14⋅3
3= 46-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43)
= 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43)
= -14⋅46 +15⋅ 43 (=1)
43= 89-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46)
= -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46)
= 15⋅89 -29⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46

oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅89 = -29⋅46

-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46

-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1

(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1

60⋅46 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1

Somit 60⋅46 = 1 mod 89

60 ist also das Inverse von 46 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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