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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30002 - 1196) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30002 - 1196) mod 6 ≡ (30002 mod 6 - 1196 mod 6) mod 6.
30002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30002
= 30000
1196 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196
= 1200
Somit gilt:
(30002 - 1196) mod 6 ≡ (2 - 2) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 50) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 50) mod 9 ≡ (48 mod 9 ⋅ 50 mod 9) mod 9.
48 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 5 ⋅ 9 + 3 ist.
50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 50) mod 9 ≡ (3 ⋅ 5) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23116 mod 367.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 231 -> x
2. mod(x²,367) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2311=231
2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 146 mod 367
4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 30 mod 367
8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 30⋅30=900 ≡ 166 mod 367
16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 31 mod 367
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28597 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 97 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 97 an und zerlegen 97 in eine Summer von 2er-Potenzen:
97 = 64+32+1
1: 2851=285
2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 402 mod 929
4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 887 mod 929
8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 887⋅887=786769 ≡ 835 mod 929
16: 28516=2858+8=2858⋅2858 ≡ 835⋅835=697225 ≡ 475 mod 929
32: 28532=28516+16=28516⋅28516 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 807 mod 929
64: 28564=28532+32=28532⋅28532 ≡ 807⋅807=651249 ≡ 20 mod 929
28597
= 28564+32+1
= 28564⋅28532⋅2851
≡ 20 ⋅ 807 ⋅ 285 mod 929
≡ 16140 ⋅ 285 mod 929 ≡ 347 ⋅ 285 mod 929
≡ 98895 mod 929 ≡ 421 mod 929
Es gilt also: 28597 ≡ 421 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 42
| =>79 | = 1⋅42 + 37 |
| =>42 | = 1⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 42-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(42 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅42 -15⋅ 37) = 15⋅42 -17⋅ 37 (=1) |
| 37= 79-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 15⋅42 -17⋅(79 -1⋅ 42)
= 15⋅42 -17⋅79 +17⋅ 42) = -17⋅79 +32⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,42)=1 = -17⋅79 +32⋅42
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +32⋅42
Es gilt also: 32⋅42 = 17⋅79 +1
Somit 32⋅42 = 1 mod 79
32 ist also das Inverse von 42 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.