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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2703 + 3595) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2703 + 3595) mod 9 ≡ (2703 mod 9 + 3595 mod 9) mod 9.

2703 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2703 = 2700+3 = 9 ⋅ 300 +3.

3595 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3595 = 3600-5 = 9 ⋅ 400 -5 = 9 ⋅ 400 - 9 + 4.

Somit gilt:

(2703 + 3595) mod 9 ≡ (3 + 4) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 26) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 26) mod 8 ≡ (40 mod 8 ⋅ 26 mod 8) mod 8.

40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.

26 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 3 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 26) mod 8 ≡ (0 ⋅ 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 275¹²⁸ mod 547.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 275 -> x
2. mod(x²,547) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 275¹=275

2: 275²=275¹⁺¹=275¹⋅275¹ ≡ 275⋅275=75625 ≡ 139 mod 547

4: 275⁴=275²⁺²=275²⋅275² ≡ 139⋅139=19321 ≡ 176 mod 547

8: 275⁸=275⁴⁺⁴=275⁴⋅275⁴ ≡ 176⋅176=30976 ≡ 344 mod 547

16: 275¹⁶=275⁸⁺⁸=275⁸⋅275⁸ ≡ 344⋅344=118336 ≡ 184 mod 547

32: 275³²=275¹⁶⁺¹⁶=275¹⁶⋅275¹⁶ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 489 mod 547

64: 275⁶⁴=275³²⁺³²=275³²⋅275³² ≡ 489⋅489=239121 ≡ 82 mod 547

128: 275¹²⁸=275⁶⁴⁺⁶⁴=275⁶⁴⋅275⁶⁴ ≡ 82⋅82=6724 ≡ 160 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 182¹⁸¹ mod 587.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:

181 = 128+32+16+4+1

1: 182¹=182

2: 182²=182¹⁺¹=182¹⋅182¹ ≡ 182⋅182=33124 ≡ 252 mod 587

4: 182⁴=182²⁺²=182²⋅182² ≡ 252⋅252=63504 ≡ 108 mod 587

8: 182⁸=182⁴⁺⁴=182⁴⋅182⁴ ≡ 108⋅108=11664 ≡ 511 mod 587

16: 182¹⁶=182⁸⁺⁸=182⁸⋅182⁸ ≡ 511⋅511=261121 ≡ 493 mod 587

32: 182³²=182¹⁶⁺¹⁶=182¹⁶⋅182¹⁶ ≡ 493⋅493=243049 ≡ 31 mod 587

64: 182⁶⁴=182³²⁺³²=182³²⋅182³² ≡ 31⋅31=961 ≡ 374 mod 587

128: 182¹²⁸=182⁶⁴⁺⁶⁴=182⁶⁴⋅182⁶⁴ ≡ 374⋅374=139876 ≡ 170 mod 587

182¹⁸¹

= 182^{128+32+16+4+1}

= 182¹²⁸⋅182³²⋅182¹⁶⋅182⁴⋅182¹

≡ 170 ⋅ 31 ⋅ 493 ⋅ 108 ⋅ 182 mod 587
≡ 5270 ⋅ 493 ⋅ 108 ⋅ 182 mod 587 ≡ 574 ⋅ 493 ⋅ 108 ⋅ 182 mod 587
≡ 282982 ⋅ 108 ⋅ 182 mod 587 ≡ 48 ⋅ 108 ⋅ 182 mod 587
≡ 5184 ⋅ 182 mod 587 ≡ 488 ⋅ 182 mod 587
≡ 88816 mod 587 ≡ 179 mod 587

Es gilt also: 182¹⁸¹ ≡ 179 mod 587

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.

Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49

=>71	= 1⋅49 + 22
=>49	= 2⋅22 + 5
=>22	= 4⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 49-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22) = -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1)
22= 71-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49) = 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49

oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅71 = +29⋅49

Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1

Somit 29⋅49 = 1 mod 71

29 ist also das Inverse von 49 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49

Schlüsselpaar für RSA