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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 + 354) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 + 354) mod 7 ≡ (70 mod 7 + 354 mod 7) mod 7.
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70
= 70
354 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 354
= 350
Somit gilt:
(70 + 354) mod 7 ≡ (0 + 4) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 66) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 66) mod 8 ≡ (42 mod 8 ⋅ 66 mod 8) mod 8.
42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.
66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 66) mod 8 ≡ (2 ⋅ 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 602128 mod 853.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 602 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6021=602
2: 6022=6021+1=6021⋅6021 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 732 mod 853
4: 6024=6022+2=6022⋅6022 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 140 mod 853
8: 6028=6024+4=6024⋅6024 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 834 mod 853
16: 60216=6028+8=6028⋅6028 ≡ 834⋅834=695556 ≡ 361 mod 853
32: 60232=60216+16=60216⋅60216 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 665 mod 853
64: 60264=60232+32=60232⋅60232 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 371 mod 853
128: 602128=60264+64=60264⋅60264 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 308 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 631216 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:
216 = 128+64+16+8
1: 6311=631
2: 6312=6311+1=6311⋅6311 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 873 mod 937
4: 6314=6312+2=6312⋅6312 ≡ 873⋅873=762129 ≡ 348 mod 937
8: 6318=6314+4=6314⋅6314 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 231 mod 937
16: 63116=6318+8=6318⋅6318 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 889 mod 937
32: 63132=63116+16=63116⋅63116 ≡ 889⋅889=790321 ≡ 430 mod 937
64: 63164=63132+32=63132⋅63132 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 311 mod 937
128: 631128=63164+64=63164⋅63164 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 210 mod 937
631216
= 631128+64+16+8
= 631128⋅63164⋅63116⋅6318
≡ 210 ⋅ 311 ⋅ 889 ⋅ 231 mod 937
≡ 65310 ⋅ 889 ⋅ 231 mod 937 ≡ 657 ⋅ 889 ⋅ 231 mod 937
≡ 584073 ⋅ 231 mod 937 ≡ 322 ⋅ 231 mod 937
≡ 74382 mod 937 ≡ 359 mod 937
Es gilt also: 631216 ≡ 359 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 23
| =>53 | = 2⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 53-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(53 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅53 -20⋅ 23) = 10⋅53 -23⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,23)=1 = 10⋅53 -23⋅23
oder wenn man 10⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅53 = -23⋅23
-23⋅23 = -10⋅53 + 1 |+53⋅23
-23⋅23 + 53⋅23 = -10⋅53 + 53⋅23 + 1
(-23 + 53) ⋅ 23 = (-10 + 23) ⋅ 53 + 1
30⋅23 = 13⋅53 + 1
Es gilt also: 30⋅23 = 13⋅53 +1
Somit 30⋅23 = 1 mod 53
30 ist also das Inverse von 23 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.