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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26996 - 3606) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26996 - 3606) mod 9 ≡ (26996 mod 9 - 3606 mod 9) mod 9.
26996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26996
= 27000
3606 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3606
= 3600
Somit gilt:
(26996 - 3606) mod 9 ≡ (5 - 6) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 99) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 99) mod 11 ≡ (43 mod 11 ⋅ 99 mod 11) mod 11.
43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.
99 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 9 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 99) mod 11 ≡ (10 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 54464 mod 937.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 544 -> x
2. mod(x²,937) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5441=544
2: 5442=5441+1=5441⋅5441 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 781 mod 937
4: 5444=5442+2=5442⋅5442 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 911 mod 937
8: 5448=5444+4=5444⋅5444 ≡ 911⋅911=829921 ≡ 676 mod 937
16: 54416=5448+8=5448⋅5448 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 657 mod 937
32: 54432=54416+16=54416⋅54416 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 629 mod 937
64: 54464=54432+32=54432⋅54432 ≡ 629⋅629=395641 ≡ 227 mod 937
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 300111 mod 463.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:
111 = 64+32+8+4+2+1
1: 3001=300
2: 3002=3001+1=3001⋅3001 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 178 mod 463
4: 3004=3002+2=3002⋅3002 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 200 mod 463
8: 3008=3004+4=3004⋅3004 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 182 mod 463
16: 30016=3008+8=3008⋅3008 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 251 mod 463
32: 30032=30016+16=30016⋅30016 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 33 mod 463
64: 30064=30032+32=30032⋅30032 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 163 mod 463
300111
= 30064+32+8+4+2+1
= 30064⋅30032⋅3008⋅3004⋅3002⋅3001
≡ 163 ⋅ 33 ⋅ 182 ⋅ 200 ⋅ 178 ⋅ 300 mod 463
≡ 5379 ⋅ 182 ⋅ 200 ⋅ 178 ⋅ 300 mod 463 ≡ 286 ⋅ 182 ⋅ 200 ⋅ 178 ⋅ 300 mod 463
≡ 52052 ⋅ 200 ⋅ 178 ⋅ 300 mod 463 ≡ 196 ⋅ 200 ⋅ 178 ⋅ 300 mod 463
≡ 39200 ⋅ 178 ⋅ 300 mod 463 ≡ 308 ⋅ 178 ⋅ 300 mod 463
≡ 54824 ⋅ 300 mod 463 ≡ 190 ⋅ 300 mod 463
≡ 57000 mod 463 ≡ 51 mod 463
Es gilt also: 300111 ≡ 51 mod 463
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 22
| =>59 | = 2⋅22 + 15 |
| =>22 | = 1⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 22-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 59-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +3⋅(59 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅59 -6⋅ 22) = 3⋅59 -8⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,22)=1 = 3⋅59 -8⋅22
oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅59 = -8⋅22
-8⋅22 = -3⋅59 + 1 |+59⋅22
-8⋅22 + 59⋅22 = -3⋅59 + 59⋅22 + 1
(-8 + 59) ⋅ 22 = (-3 + 22) ⋅ 59 + 1
51⋅22 = 19⋅59 + 1
Es gilt also: 51⋅22 = 19⋅59 +1
Somit 51⋅22 = 1 mod 59
51 ist also das Inverse von 22 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
