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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (603 + 91) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(603 + 91) mod 3 ≡ (603 mod 3 + 91 mod 3) mod 3.

603 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 603 = 600+3 = 3 ⋅ 200 +3.

91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90+1 = 3 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(603 + 91) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 55) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 55) mod 5 ≡ (51 mod 5 ⋅ 55 mod 5) mod 5.

51 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 10 ⋅ 5 + 1 ist.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 11 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 55) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3578 mod 419.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 357 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3571=357

2: 3572=3571+1=3571⋅3571 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 73 mod 419

4: 3574=3572+2=3572⋅3572 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 301 mod 419

8: 3578=3574+4=3574⋅3574 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 97 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 289238 mod 313.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 238 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 238 an und zerlegen 238 in eine Summer von 2er-Potenzen:

238 = 128+64+32+8+4+2

1: 2891=289

2: 2892=2891+1=2891⋅2891 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 263 mod 313

4: 2894=2892+2=2892⋅2892 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 309 mod 313

8: 2898=2894+4=2894⋅2894 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 16 mod 313

16: 28916=2898+8=2898⋅2898 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 313

32: 28932=28916+16=28916⋅28916 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 119 mod 313

64: 28964=28932+32=28932⋅28932 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 76 mod 313

128: 289128=28964+64=28964⋅28964 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 142 mod 313

289238

= 289128+64+32+8+4+2

= 289128⋅28964⋅28932⋅2898⋅2894⋅2892

142 ⋅ 76 ⋅ 119 ⋅ 16 ⋅ 309 ⋅ 263 mod 313
10792 ⋅ 119 ⋅ 16 ⋅ 309 ⋅ 263 mod 313 ≡ 150 ⋅ 119 ⋅ 16 ⋅ 309 ⋅ 263 mod 313
17850 ⋅ 16 ⋅ 309 ⋅ 263 mod 313 ≡ 9 ⋅ 16 ⋅ 309 ⋅ 263 mod 313
144 ⋅ 309 ⋅ 263 mod 313
44496 ⋅ 263 mod 313 ≡ 50 ⋅ 263 mod 313
13150 mod 313 ≡ 4 mod 313

Es gilt also: 289238 ≡ 4 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 28

=>89 = 3⋅28 + 5
=>28 = 5⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 28-5⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5)
= 2⋅28 -11⋅ 5 (=1)
5= 89-3⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅28 -11⋅(89 -3⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅89 +33⋅ 28)
= -11⋅89 +35⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(89,28)=1 = -11⋅89 +35⋅28

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +35⋅28

Es gilt also: 35⋅28 = 11⋅89 +1

Somit 35⋅28 = 1 mod 89

35 ist also das Inverse von 28 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.