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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20997 + 64) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20997 + 64) mod 7 ≡ (20997 mod 7 + 64 mod 7) mod 7.

20997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20997 = 21000-3 = 7 ⋅ 3000 -3 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 4.

64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 70-6 = 7 ⋅ 10 -6 = 7 ⋅ 10 - 7 + 1.

Somit gilt:

(20997 + 64) mod 7 ≡ (4 + 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 16) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 16) mod 5 ≡ (65 mod 5 ⋅ 16 mod 5) mod 5.

65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.

16 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 3 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 16) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4368 mod 887.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 436 -> x
2. mod(x²,887) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4361=436

2: 4362=4361+1=4361⋅4361 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 278 mod 887

4: 4364=4362+2=4362⋅4362 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 115 mod 887

8: 4368=4364+4=4364⋅4364 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 807 mod 887

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 180199 mod 229.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:

199 = 128+64+4+2+1

1: 1801=180

2: 1802=1801+1=1801⋅1801 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 111 mod 229

4: 1804=1802+2=1802⋅1802 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 184 mod 229

8: 1808=1804+4=1804⋅1804 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 193 mod 229

16: 18016=1808+8=1808⋅1808 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 151 mod 229

32: 18032=18016+16=18016⋅18016 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 130 mod 229

64: 18064=18032+32=18032⋅18032 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 183 mod 229

128: 180128=18064+64=18064⋅18064 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 55 mod 229

180199

= 180128+64+4+2+1

= 180128⋅18064⋅1804⋅1802⋅1801

≡ 55 ⋅ 183 ⋅ 184 ⋅ 111 ⋅ 180 mod 229
≡ 10065 ⋅ 184 ⋅ 111 ⋅ 180 mod 229 ≡ 218 ⋅ 184 ⋅ 111 ⋅ 180 mod 229
≡ 40112 ⋅ 111 ⋅ 180 mod 229 ≡ 37 ⋅ 111 ⋅ 180 mod 229
≡ 4107 ⋅ 180 mod 229 ≡ 214 ⋅ 180 mod 229
≡ 38520 mod 229 ≡ 48 mod 229

Es gilt also: 180199 ≡ 48 mod 229

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 60

=>101 = 1⋅60 + 41
=>60 = 1⋅41 + 19
=>41 = 2⋅19 + 3
=>19 = 6⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 41-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19)
= -6⋅41 +13⋅ 19 (=1)
19= 60-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅41 +13⋅(60 -1⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅60 -13⋅ 41)
= 13⋅60 -19⋅ 41 (=1)
41= 101-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅60 -19⋅(101 -1⋅ 60)
= 13⋅60 -19⋅101 +19⋅ 60)
= -19⋅101 +32⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(101,60)=1 = -19⋅101 +32⋅60

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +32⋅60

Es gilt also: 32⋅60 = 19⋅101 +1

Somit 32⋅60 = 1 mod 101

32 ist also das Inverse von 60 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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