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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9006 + 17994) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9006 + 17994) mod 9 ≡ (9006 mod 9 + 17994 mod 9) mod 9.

9006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9006 = 9000+6 = 9 ⋅ 1000 +6.

17994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17994 = 18000-6 = 9 ⋅ 2000 -6 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 3.

Somit gilt:

(9006 + 17994) mod 9 ≡ (6 + 3) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 71) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 71) mod 3 ≡ (62 mod 3 ⋅ 71 mod 3) mod 3.

62 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 20 ⋅ 3 + 2 ist.

71 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 69 + 2 = 23 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 71) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 446¹²⁸ mod 857.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 446 -> x
2. mod(x²,857) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 446¹=446

2: 446²=446¹⁺¹=446¹⋅446¹ ≡ 446⋅446=198916 ≡ 92 mod 857

4: 446⁴=446²⁺²=446²⋅446² ≡ 92⋅92=8464 ≡ 751 mod 857

8: 446⁸=446⁴⁺⁴=446⁴⋅446⁴ ≡ 751⋅751=564001 ≡ 95 mod 857

16: 446¹⁶=446⁸⁺⁸=446⁸⋅446⁸ ≡ 95⋅95=9025 ≡ 455 mod 857

32: 446³²=446¹⁶⁺¹⁶=446¹⁶⋅446¹⁶ ≡ 455⋅455=207025 ≡ 488 mod 857

64: 446⁶⁴=446³²⁺³²=446³²⋅446³² ≡ 488⋅488=238144 ≡ 755 mod 857

128: 446¹²⁸=446⁶⁴⁺⁶⁴=446⁶⁴⋅446⁶⁴ ≡ 755⋅755=570025 ≡ 120 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 447¹⁸⁷ mod 659.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

1: 447¹=447

2: 447²=447¹⁺¹=447¹⋅447¹ ≡ 447⋅447=199809 ≡ 132 mod 659

4: 447⁴=447²⁺²=447²⋅447² ≡ 132⋅132=17424 ≡ 290 mod 659

8: 447⁸=447⁴⁺⁴=447⁴⋅447⁴ ≡ 290⋅290=84100 ≡ 407 mod 659

16: 447¹⁶=447⁸⁺⁸=447⁸⋅447⁸ ≡ 407⋅407=165649 ≡ 240 mod 659

32: 447³²=447¹⁶⁺¹⁶=447¹⁶⋅447¹⁶ ≡ 240⋅240=57600 ≡ 267 mod 659

64: 447⁶⁴=447³²⁺³²=447³²⋅447³² ≡ 267⋅267=71289 ≡ 117 mod 659

128: 447¹²⁸=447⁶⁴⁺⁶⁴=447⁶⁴⋅447⁶⁴ ≡ 117⋅117=13689 ≡ 509 mod 659

447¹⁸⁷

= 447^{128+32+16+8+2+1}

= 447¹²⁸⋅447³²⋅447¹⁶⋅447⁸⋅447²⋅447¹

≡ 509 ⋅ 267 ⋅ 240 ⋅ 407 ⋅ 132 ⋅ 447 mod 659
≡ 135903 ⋅ 240 ⋅ 407 ⋅ 132 ⋅ 447 mod 659 ≡ 149 ⋅ 240 ⋅ 407 ⋅ 132 ⋅ 447 mod 659
≡ 35760 ⋅ 407 ⋅ 132 ⋅ 447 mod 659 ≡ 174 ⋅ 407 ⋅ 132 ⋅ 447 mod 659
≡ 70818 ⋅ 132 ⋅ 447 mod 659 ≡ 305 ⋅ 132 ⋅ 447 mod 659
≡ 40260 ⋅ 447 mod 659 ≡ 61 ⋅ 447 mod 659
≡ 27267 mod 659 ≡ 248 mod 659

Es gilt also: 447¹⁸⁷ ≡ 248 mod 659

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 68

=>97	= 1⋅68 + 29
=>68	= 2⋅29 + 10
=>29	= 2⋅10 + 9
=>10	= 1⋅9 + 1
=>9	= 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 29-2⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10) = 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1)
10= 68-2⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅29 +3⋅(68 -2⋅ 29) = -1⋅29 +3⋅68 -6⋅ 29) = 3⋅68 -7⋅ 29 (=1)
29= 97-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅68 -7⋅(97 -1⋅ 68) = 3⋅68 -7⋅97 +7⋅ 68) = -7⋅97 +10⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(97,68)=1 = -7⋅97 +10⋅68

oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅97 = +10⋅68

Es gilt also: 10⋅68 = 7⋅97 +1

Somit 10⋅68 = 1 mod 97

10 ist also das Inverse von 68 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 68

Schlüsselpaar für RSA