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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15993 + 3996) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15993 + 3996) mod 8 ≡ (15993 mod 8 + 3996 mod 8) mod 8.

15993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15993 = 15000+993 = 8 ⋅ 1875 +993.

3996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3996 = 4000-4 = 8 ⋅ 500 -4 = 8 ⋅ 500 - 8 + 4.

Somit gilt:

(15993 + 3996) mod 8 ≡ (1 + 4) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 58) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 58) mod 3 ≡ (20 mod 3 ⋅ 58 mod 3) mod 3.

20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.

58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 57 + 1 = 19 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 58) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 280128 mod 643.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 280 -> x
2. mod(x²,643) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2801=280

2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 597 mod 643

4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 597⋅597=356409 ≡ 187 mod 643

8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 247 mod 643

16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 567 mod 643

32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 567⋅567=321489 ≡ 632 mod 643

64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 121 mod 643

128: 280128=28064+64=28064⋅28064 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 495 mod 643

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 41087 mod 751.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:

87 = 64+16+4+2+1

1: 4101=410

2: 4102=4101+1=4101⋅4101 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 627 mod 751

4: 4104=4102+2=4102⋅4102 ≡ 627⋅627=393129 ≡ 356 mod 751

8: 4108=4104+4=4104⋅4104 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 568 mod 751

16: 41016=4108+8=4108⋅4108 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 445 mod 751

32: 41032=41016+16=41016⋅41016 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 512 mod 751

64: 41064=41032+32=41032⋅41032 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 45 mod 751

41087

= 41064+16+4+2+1

= 41064⋅41016⋅4104⋅4102⋅4101

≡ 45 ⋅ 445 ⋅ 356 ⋅ 627 ⋅ 410 mod 751
≡ 20025 ⋅ 356 ⋅ 627 ⋅ 410 mod 751 ≡ 499 ⋅ 356 ⋅ 627 ⋅ 410 mod 751
≡ 177644 ⋅ 627 ⋅ 410 mod 751 ≡ 408 ⋅ 627 ⋅ 410 mod 751
≡ 255816 ⋅ 410 mod 751 ≡ 476 ⋅ 410 mod 751
≡ 195160 mod 751 ≡ 651 mod 751

Es gilt also: 41087 ≡ 651 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 63

=>71 = 1⋅63 + 8
=>63 = 7⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 63-7⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(63 -7⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅63 +7⋅ 8)
= -1⋅63 +8⋅ 8 (=1)
8= 71-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅63 +8⋅(71 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +8⋅71 -8⋅ 63)
= 8⋅71 -9⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(71,63)=1 = 8⋅71 -9⋅63

oder wenn man 8⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅71 = -9⋅63

-9⋅63 = -8⋅71 + 1 |+71⋅63

-9⋅63 + 71⋅63 = -8⋅71 + 71⋅63 + 1

(-9 + 71) ⋅ 63 = (-8 + 63) ⋅ 71 + 1

62⋅63 = 55⋅71 + 1

Es gilt also: 62⋅63 = 55⋅71 +1

Somit 62⋅63 = 1 mod 71

62 ist also das Inverse von 63 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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