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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12004 - 80) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12004 - 80) mod 4 ≡ (12004 mod 4 - 80 mod 4) mod 4.

12004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004 = 12000+4 = 4 ⋅ 3000 +4.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 4 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(12004 - 80) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 27) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 27) mod 9 ≡ (47 mod 9 ⋅ 27 mod 9) mod 9.

47 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 5 ⋅ 9 + 2 ist.

27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 27) mod 9 ≡ (2 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3228 mod 683.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 322 -> x
2. mod(x²,683) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3221=322

2: 3222=3221+1=3221⋅3221 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 551 mod 683

4: 3224=3222+2=3222⋅3222 ≡ 551⋅551=303601 ≡ 349 mod 683

8: 3228=3224+4=3224⋅3224 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 227 mod 683

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 280227 mod 733.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

1: 2801=280

2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 702 mod 733

4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 228 mod 733

8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 674 mod 733

16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 549 mod 733

32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 138 mod 733

64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 719 mod 733

128: 280128=28064+64=28064⋅28064 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 196 mod 733

280227

= 280128+64+32+2+1

= 280128⋅28064⋅28032⋅2802⋅2801

196 ⋅ 719 ⋅ 138 ⋅ 702 ⋅ 280 mod 733
140924 ⋅ 138 ⋅ 702 ⋅ 280 mod 733 ≡ 188 ⋅ 138 ⋅ 702 ⋅ 280 mod 733
25944 ⋅ 702 ⋅ 280 mod 733 ≡ 289 ⋅ 702 ⋅ 280 mod 733
202878 ⋅ 280 mod 733 ≡ 570 ⋅ 280 mod 733
159600 mod 733 ≡ 539 mod 733

Es gilt also: 280227 ≡ 539 mod 733

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 54

=>59 = 1⋅54 + 5
=>54 = 10⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 54-10⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(54 -10⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅54 +10⋅ 5)
= -1⋅54 +11⋅ 5 (=1)
5= 59-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅54 +11⋅(59 -1⋅ 54)
= -1⋅54 +11⋅59 -11⋅ 54)
= 11⋅59 -12⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(59,54)=1 = 11⋅59 -12⋅54

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -12⋅54

-12⋅54 = -11⋅59 + 1 |+59⋅54

-12⋅54 + 59⋅54 = -11⋅59 + 59⋅54 + 1

(-12 + 59) ⋅ 54 = (-11 + 54) ⋅ 59 + 1

47⋅54 = 43⋅59 + 1

Es gilt also: 47⋅54 = 43⋅59 +1

Somit 47⋅54 = 1 mod 59

47 ist also das Inverse von 54 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.