Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (301 - 90) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(301 - 90) mod 3 ≡ (301 mod 3 - 90 mod 3) mod 3.

301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301 = 300+1 = 3 ⋅ 100 +1.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 3 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(301 - 90) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 75) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 75) mod 10 ≡ (40 mod 10 ⋅ 75 mod 10) mod 10.

40 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 4 ⋅ 10 + 0 ist.

75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 75) mod 10 ≡ (0 ⋅ 5) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 559⁸ mod 751.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 559 -> x
2. mod(x²,751) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 559¹=559

2: 559²=559¹⁺¹=559¹⋅559¹ ≡ 559⋅559=312481 ≡ 65 mod 751

4: 559⁴=559²⁺²=559²⋅559² ≡ 65⋅65=4225 ≡ 470 mod 751

8: 559⁸=559⁴⁺⁴=559⁴⋅559⁴ ≡ 470⋅470=220900 ≡ 106 mod 751

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 445²¹⁴ mod 557.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:

214 = 128+64+16+4+2

1: 445¹=445

2: 445²=445¹⁺¹=445¹⋅445¹ ≡ 445⋅445=198025 ≡ 290 mod 557

4: 445⁴=445²⁺²=445²⋅445² ≡ 290⋅290=84100 ≡ 550 mod 557

8: 445⁸=445⁴⁺⁴=445⁴⋅445⁴ ≡ 550⋅550=302500 ≡ 49 mod 557

16: 445¹⁶=445⁸⁺⁸=445⁸⋅445⁸ ≡ 49⋅49=2401 ≡ 173 mod 557

32: 445³²=445¹⁶⁺¹⁶=445¹⁶⋅445¹⁶ ≡ 173⋅173=29929 ≡ 408 mod 557

64: 445⁶⁴=445³²⁺³²=445³²⋅445³² ≡ 408⋅408=166464 ≡ 478 mod 557

128: 445¹²⁸=445⁶⁴⁺⁶⁴=445⁶⁴⋅445⁶⁴ ≡ 478⋅478=228484 ≡ 114 mod 557

445²¹⁴

= 445^{128+64+16+4+2}

= 445¹²⁸⋅445⁶⁴⋅445¹⁶⋅445⁴⋅445²

≡ 114 ⋅ 478 ⋅ 173 ⋅ 550 ⋅ 290 mod 557
≡ 54492 ⋅ 173 ⋅ 550 ⋅ 290 mod 557 ≡ 463 ⋅ 173 ⋅ 550 ⋅ 290 mod 557
≡ 80099 ⋅ 550 ⋅ 290 mod 557 ≡ 448 ⋅ 550 ⋅ 290 mod 557
≡ 246400 ⋅ 290 mod 557 ≡ 206 ⋅ 290 mod 557
≡ 59740 mod 557 ≡ 141 mod 557

Es gilt also: 445²¹⁴ ≡ 141 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38

=>67	= 1⋅38 + 29
=>38	= 1⋅29 + 9
=>29	= 3⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 29-3⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1)
9= 38-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +13⋅(38 -1⋅ 29) = -4⋅29 +13⋅38 -13⋅ 29) = 13⋅38 -17⋅ 29 (=1)
29= 67-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅38 -17⋅(67 -1⋅ 38) = 13⋅38 -17⋅67 +17⋅ 38) = -17⋅67 +30⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(67,38)=1 = -17⋅67 +30⋅38

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +30⋅38

Es gilt also: 30⋅38 = 17⋅67 +1

Somit 30⋅38 = 1 mod 67

30 ist also das Inverse von 38 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38

Schlüsselpaar für RSA