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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30003 - 1203) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30003 - 1203) mod 6 ≡ (30003 mod 6 - 1203 mod 6) mod 6.

30003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30003 = 30000+3 = 6 ⋅ 5000 +3.

1203 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203 = 1200+3 = 6 ⋅ 200 +3.

Somit gilt:

(30003 - 1203) mod 6 ≡ (3 - 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 60) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 60) mod 10 ≡ (44 mod 10 ⋅ 60 mod 10) mod 10.

44 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 4 ⋅ 10 + 4 ist.

60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 60) mod 10 ≡ (4 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23664 mod 601.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,601) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2361=236

2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 404 mod 601

4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 345 mod 601

8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 27 mod 601

16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 27⋅27=729 ≡ 128 mod 601

32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 157 mod 601

64: 23664=23632+32=23632⋅23632 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 8 mod 601

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23399 mod 587.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:

99 = 64+32+2+1

1: 2331=233

2: 2332=2331+1=2331⋅2331 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 285 mod 587

4: 2334=2332+2=2332⋅2332 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 219 mod 587

8: 2338=2334+4=2334⋅2334 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 414 mod 587

16: 23316=2338+8=2338⋅2338 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 579 mod 587

32: 23332=23316+16=23316⋅23316 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 64 mod 587

64: 23364=23332+32=23332⋅23332 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 574 mod 587

23399

= 23364+32+2+1

= 23364⋅23332⋅2332⋅2331

≡ 574 ⋅ 64 ⋅ 285 ⋅ 233 mod 587
≡ 36736 ⋅ 285 ⋅ 233 mod 587 ≡ 342 ⋅ 285 ⋅ 233 mod 587
≡ 97470 ⋅ 233 mod 587 ≡ 28 ⋅ 233 mod 587
≡ 6524 mod 587 ≡ 67 mod 587

Es gilt also: 23399 ≡ 67 mod 587

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 47

=>59 = 1⋅47 + 12
=>47 = 3⋅12 + 11
=>12 = 1⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 47-3⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅12 -1⋅(47 -3⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅47 +3⋅ 12)
= -1⋅47 +4⋅ 12 (=1)
12= 59-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +4⋅(59 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +4⋅59 -4⋅ 47)
= 4⋅59 -5⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(59,47)=1 = 4⋅59 -5⋅47

oder wenn man 4⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅59 = -5⋅47

-5⋅47 = -4⋅59 + 1 |+59⋅47

-5⋅47 + 59⋅47 = -4⋅59 + 59⋅47 + 1

(-5 + 59) ⋅ 47 = (-4 + 47) ⋅ 59 + 1

54⋅47 = 43⋅59 + 1

Es gilt also: 54⋅47 = 43⋅59 +1

Somit 54⋅47 = 1 mod 59

54 ist also das Inverse von 47 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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