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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8000 - 16004) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8000 - 16004) mod 4 ≡ (8000 mod 4 - 16004 mod 4) mod 4.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

16004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 4 ⋅ 4000 +4.

Somit gilt:

(8000 - 16004) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 64) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 64) mod 4 ≡ (93 mod 4 ⋅ 64 mod 4) mod 4.

93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.

64 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 16 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 64) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 117¹²⁸ mod 353.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 117 -> x
2. mod(x²,353) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 117¹=117

2: 117²=117¹⁺¹=117¹⋅117¹ ≡ 117⋅117=13689 ≡ 275 mod 353

4: 117⁴=117²⁺²=117²⋅117² ≡ 275⋅275=75625 ≡ 83 mod 353

8: 117⁸=117⁴⁺⁴=117⁴⋅117⁴ ≡ 83⋅83=6889 ≡ 182 mod 353

16: 117¹⁶=117⁸⁺⁸=117⁸⋅117⁸ ≡ 182⋅182=33124 ≡ 295 mod 353

32: 117³²=117¹⁶⁺¹⁶=117¹⁶⋅117¹⁶ ≡ 295⋅295=87025 ≡ 187 mod 353

64: 117⁶⁴=117³²⁺³²=117³²⋅117³² ≡ 187⋅187=34969 ≡ 22 mod 353

128: 117¹²⁸=117⁶⁴⁺⁶⁴=117⁶⁴⋅117⁶⁴ ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 411¹²⁷ mod 467.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

1: 411¹=411

2: 411²=411¹⁺¹=411¹⋅411¹ ≡ 411⋅411=168921 ≡ 334 mod 467

4: 411⁴=411²⁺²=411²⋅411² ≡ 334⋅334=111556 ≡ 410 mod 467

8: 411⁸=411⁴⁺⁴=411⁴⋅411⁴ ≡ 410⋅410=168100 ≡ 447 mod 467

16: 411¹⁶=411⁸⁺⁸=411⁸⋅411⁸ ≡ 447⋅447=199809 ≡ 400 mod 467

32: 411³²=411¹⁶⁺¹⁶=411¹⁶⋅411¹⁶ ≡ 400⋅400=160000 ≡ 286 mod 467

64: 411⁶⁴=411³²⁺³²=411³²⋅411³² ≡ 286⋅286=81796 ≡ 71 mod 467

411¹²⁷

= 411^{64+32+16+8+4+2+1}

= 411⁶⁴⋅411³²⋅411¹⁶⋅411⁸⋅411⁴⋅411²⋅411¹

≡ 71 ⋅ 286 ⋅ 400 ⋅ 447 ⋅ 410 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467
≡ 20306 ⋅ 400 ⋅ 447 ⋅ 410 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467 ≡ 225 ⋅ 400 ⋅ 447 ⋅ 410 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467
≡ 90000 ⋅ 447 ⋅ 410 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467 ≡ 336 ⋅ 447 ⋅ 410 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467
≡ 150192 ⋅ 410 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467 ≡ 285 ⋅ 410 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467
≡ 116850 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467 ≡ 100 ⋅ 334 ⋅ 411 mod 467
≡ 33400 ⋅ 411 mod 467 ≡ 243 ⋅ 411 mod 467
≡ 99873 mod 467 ≡ 402 mod 467

Es gilt also: 411¹²⁷ ≡ 402 mod 467

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50

=>67	= 1⋅50 + 17
=>50	= 2⋅17 + 16
=>17	= 1⋅16 + 1
=>16	= 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 50-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17) = 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17) = -1⋅50 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50) = -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50) = 3⋅67 -4⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -4⋅50

-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50

-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1

(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1

63⋅50 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1

Somit 63⋅50 = 1 mod 67

63 ist also das Inverse von 50 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50

Schlüsselpaar für RSA