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nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4004 - 12002) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4004 - 12002) mod 4 ≡ (4004 mod 4 - 12002 mod 4) mod 4.
4004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004
= 4000
12002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
Somit gilt:
(4004 - 12002) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 100) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 100) mod 5 ≡ (85 mod 5 ⋅ 100 mod 5) mod 5.
85 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 85 + 0 = 17 ⋅ 5 + 0 ist.
100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 20 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 100) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1228 mod 373.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 122 -> x
2. mod(x²,373) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1221=122
2: 1222=1221+1=1221⋅1221 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 337 mod 373
4: 1224=1222+2=1222⋅1222 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 177 mod 373
8: 1228=1224+4=1224⋅1224 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 370 mod 373
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 254138 mod 379.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 138 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 138 an und zerlegen 138 in eine Summer von 2er-Potenzen:
138 = 128+8+2
1: 2541=254
2: 2542=2541+1=2541⋅2541 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 86 mod 379
4: 2544=2542+2=2542⋅2542 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 195 mod 379
8: 2548=2544+4=2544⋅2544 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 125 mod 379
16: 25416=2548+8=2548⋅2548 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 86 mod 379
32: 25432=25416+16=25416⋅25416 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 195 mod 379
64: 25464=25432+32=25432⋅25432 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 125 mod 379
128: 254128=25464+64=25464⋅25464 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 86 mod 379
254138
= 254128+8+2
= 254128⋅2548⋅2542
≡ 86 ⋅ 125 ⋅ 86 mod 379
≡ 10750 ⋅ 86 mod 379 ≡ 138 ⋅ 86 mod 379
≡ 11868 mod 379 ≡ 119 mod 379
Es gilt also: 254138 ≡ 119 mod 379
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44
| =>59 | = 1⋅44 + 15 |
| =>44 | = 2⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 44-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15) = -1⋅44 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 59-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44) = 3⋅59 -4⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44
oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅59 = -4⋅44
-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44
-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1
(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1
55⋅44 = 41⋅59 + 1
Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1
Somit 55⋅44 = 1 mod 59
55 ist also das Inverse von 44 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.