Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1205 + 17994) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1205 + 17994) mod 6 ≡ (1205 mod 6 + 17994 mod 6) mod 6.

1205 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1205 = 1200+5 = 6 ⋅ 200 +5.

17994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17994 = 18000-6 = 6 ⋅ 3000 -6 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 0.

Somit gilt:

(1205 + 17994) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 26) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 26) mod 3 ≡ (59 mod 3 ⋅ 26 mod 3) mod 3.

59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 57 + 2 = 19 ⋅ 3 + 2 ist.

26 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 8 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 26) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 135⁸ mod 269.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 135 -> x
2. mod(x²,269) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 135¹=135

2: 135²=135¹⁺¹=135¹⋅135¹ ≡ 135⋅135=18225 ≡ 202 mod 269

4: 135⁴=135²⁺²=135²⋅135² ≡ 202⋅202=40804 ≡ 185 mod 269

8: 135⁸=135⁴⁺⁴=135⁴⋅135⁴ ≡ 185⋅185=34225 ≡ 62 mod 269

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 299²¹⁴ mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:

214 = 128+64+16+4+2

1: 299¹=299

2: 299²=299¹⁺¹=299¹⋅299¹ ≡ 299⋅299=89401 ≡ 166 mod 661

4: 299⁴=299²⁺²=299²⋅299² ≡ 166⋅166=27556 ≡ 455 mod 661

8: 299⁸=299⁴⁺⁴=299⁴⋅299⁴ ≡ 455⋅455=207025 ≡ 132 mod 661

16: 299¹⁶=299⁸⁺⁸=299⁸⋅299⁸ ≡ 132⋅132=17424 ≡ 238 mod 661

32: 299³²=299¹⁶⁺¹⁶=299¹⁶⋅299¹⁶ ≡ 238⋅238=56644 ≡ 459 mod 661

64: 299⁶⁴=299³²⁺³²=299³²⋅299³² ≡ 459⋅459=210681 ≡ 483 mod 661

128: 299¹²⁸=299⁶⁴⁺⁶⁴=299⁶⁴⋅299⁶⁴ ≡ 483⋅483=233289 ≡ 617 mod 661

299²¹⁴

= 299^{128+64+16+4+2}

= 299¹²⁸⋅299⁶⁴⋅299¹⁶⋅299⁴⋅299²

≡ 617 ⋅ 483 ⋅ 238 ⋅ 455 ⋅ 166 mod 661
≡ 298011 ⋅ 238 ⋅ 455 ⋅ 166 mod 661 ≡ 561 ⋅ 238 ⋅ 455 ⋅ 166 mod 661
≡ 133518 ⋅ 455 ⋅ 166 mod 661 ≡ 657 ⋅ 455 ⋅ 166 mod 661
≡ 298935 ⋅ 166 mod 661 ≡ 163 ⋅ 166 mod 661
≡ 27058 mod 661 ≡ 618 mod 661

Es gilt also: 299²¹⁴ ≡ 618 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53	= 1⋅42 + 11
=>42	= 3⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42) = 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

Schlüsselpaar für RSA