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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 - 2495) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 - 2495) mod 5 ≡ (98 mod 5 - 2495 mod 5) mod 5.
98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98
= 90
2495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2495
= 2400
Somit gilt:
(98 - 2495) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 75) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 75) mod 11 ≡ (87 mod 11 ⋅ 75 mod 11) mod 11.
87 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 77 + 10 = 7 ⋅ 11 + 10 ist.
75 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 66 + 9 = 6 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 75) mod 11 ≡ (10 ⋅ 9) mod 11 ≡ 90 mod 11 ≡ 2 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48216 mod 683.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 482 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4821=482
2: 4822=4821+1=4821⋅4821 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 104 mod 683
4: 4824=4822+2=4822⋅4822 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 571 mod 683
8: 4828=4824+4=4824⋅4824 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 250 mod 683
16: 48216=4828+8=4828⋅4828 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 347 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 287154 mod 563.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:
154 = 128+16+8+2
1: 2871=287
2: 2872=2871+1=2871⋅2871 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 171 mod 563
4: 2874=2872+2=2872⋅2872 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 528 mod 563
8: 2878=2874+4=2874⋅2874 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 99 mod 563
16: 28716=2878+8=2878⋅2878 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 230 mod 563
32: 28732=28716+16=28716⋅28716 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 541 mod 563
64: 28764=28732+32=28732⋅28732 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 484 mod 563
128: 287128=28764+64=28764⋅28764 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 48 mod 563
287154
= 287128+16+8+2
= 287128⋅28716⋅2878⋅2872
≡ 48 ⋅ 230 ⋅ 99 ⋅ 171 mod 563
≡ 11040 ⋅ 99 ⋅ 171 mod 563 ≡ 343 ⋅ 99 ⋅ 171 mod 563
≡ 33957 ⋅ 171 mod 563 ≡ 177 ⋅ 171 mod 563
≡ 30267 mod 563 ≡ 428 mod 563
Es gilt also: 287154 ≡ 428 mod 563
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24
| =>79 | = 3⋅24 + 7 |
| =>24 | = 3⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 24-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-3⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅24 +7⋅(79 -3⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅79 -21⋅ 24) = 7⋅79 -23⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,24)=1 = 7⋅79 -23⋅24
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -23⋅24
-23⋅24 = -7⋅79 + 1 |+79⋅24
-23⋅24 + 79⋅24 = -7⋅79 + 79⋅24 + 1
(-23 + 79) ⋅ 24 = (-7 + 24) ⋅ 79 + 1
56⋅24 = 17⋅79 + 1
Es gilt also: 56⋅24 = 17⋅79 +1
Somit 56⋅24 = 1 mod 79
56 ist also das Inverse von 24 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.