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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34998 - 2794) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34998 - 2794) mod 7 ≡ (34998 mod 7 - 2794 mod 7) mod 7.

34998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34998 = 35000-2 = 7 ⋅ 5000 -2 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 5.

2794 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2794 = 2800-6 = 7 ⋅ 400 -6 = 7 ⋅ 400 - 7 + 1.

Somit gilt:

(34998 - 2794) mod 7 ≡ (5 - 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 40) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 40) mod 7 ≡ (17 mod 7 ⋅ 40 mod 7) mod 7.

17 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 14 + 3 = 2 ⋅ 7 + 3 ist.

40 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 35 + 5 = 5 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 40) mod 7 ≡ (3 ⋅ 5) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5028 mod 739.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 502 -> x
2. mod(x²,739) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5021=502

2: 5022=5021+1=5021⋅5021 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 5 mod 739

4: 5024=5022+2=5022⋅5022 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 739

8: 5028=5024+4=5024⋅5024 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 739

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 49062 mod 751.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 62 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 62 an und zerlegen 62 in eine Summer von 2er-Potenzen:

62 = 32+16+8+4+2

1: 4901=490

2: 4902=4901+1=4901⋅4901 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 531 mod 751

4: 4904=4902+2=4902⋅4902 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 336 mod 751

8: 4908=4904+4=4904⋅4904 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 246 mod 751

16: 49016=4908+8=4908⋅4908 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 436 mod 751

32: 49032=49016+16=49016⋅49016 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 93 mod 751

49062

= 49032+16+8+4+2

= 49032⋅49016⋅4908⋅4904⋅4902

≡ 93 ⋅ 436 ⋅ 246 ⋅ 336 ⋅ 531 mod 751
≡ 40548 ⋅ 246 ⋅ 336 ⋅ 531 mod 751 ≡ 745 ⋅ 246 ⋅ 336 ⋅ 531 mod 751
≡ 183270 ⋅ 336 ⋅ 531 mod 751 ≡ 26 ⋅ 336 ⋅ 531 mod 751
≡ 8736 ⋅ 531 mod 751 ≡ 475 ⋅ 531 mod 751
≡ 252225 mod 751 ≡ 640 mod 751

Es gilt also: 49062 ≡ 640 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 19.

Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19

=>53 = 2⋅19 + 15
=>19 = 1⋅15 + 4
=>15 = 3⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4)
= -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 19-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15)
= 4⋅19 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19)
= 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19)
= -5⋅53 +14⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +14⋅19

Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1

Somit 14⋅19 = 1 mod 53

14 ist also das Inverse von 19 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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