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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (237 - 297) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(237 - 297) mod 6 ≡ (237 mod 6 - 297 mod 6) mod 6.
237 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 237
= 240
297 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297
= 300
Somit gilt:
(237 - 297) mod 6 ≡ (3 - 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 76) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 76) mod 8 ≡ (33 mod 8 ⋅ 76 mod 8) mod 8.
33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.
76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 9 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 76) mod 8 ≡ (1 ⋅ 4) mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4958 mod 727.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 495 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4951=495
2: 4952=4951+1=4951⋅4951 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 26 mod 727
4: 4954=4952+2=4952⋅4952 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 727
8: 4958=4954+4=4954⋅4954 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 420 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 304166 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:
166 = 128+32+4+2
1: 3041=304
2: 3042=3041+1=3041⋅3041 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 246 mod 709
4: 3044=3042+2=3042⋅3042 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 251 mod 709
8: 3048=3044+4=3044⋅3044 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 609 mod 709
16: 30416=3048+8=3048⋅3048 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 74 mod 709
32: 30432=30416+16=30416⋅30416 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 513 mod 709
64: 30464=30432+32=30432⋅30432 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 130 mod 709
128: 304128=30464+64=30464⋅30464 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 593 mod 709
304166
= 304128+32+4+2
= 304128⋅30432⋅3044⋅3042
≡ 593 ⋅ 513 ⋅ 251 ⋅ 246 mod 709
≡ 304209 ⋅ 251 ⋅ 246 mod 709 ≡ 48 ⋅ 251 ⋅ 246 mod 709
≡ 12048 ⋅ 246 mod 709 ≡ 704 ⋅ 246 mod 709
≡ 173184 mod 709 ≡ 188 mod 709
Es gilt also: 304166 ≡ 188 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60
| =>67 | = 1⋅60 + 7 |
| =>60 | = 8⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 60-8⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7) = 2⋅60 -17⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60)
= 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60) = -17⋅67 +19⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +19⋅60
Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1
Somit 19⋅60 = 1 mod 67
19 ist also das Inverse von 60 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.