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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15001 + 297) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15001 + 297) mod 3 ≡ (15001 mod 3 + 297 mod 3) mod 3.

15001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15001 = 15000+1 = 3 ⋅ 5000 +1.

297 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297 = 300-3 = 3 ⋅ 100 -3 = 3 ⋅ 100 - 3 + 0.

Somit gilt:

(15001 + 297) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 80) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 80) mod 5 ≡ (26 mod 5 ⋅ 80 mod 5) mod 5.

26 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 25 + 1 = 5 ⋅ 5 + 1 ist.

80 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 16 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 80) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24164 mod 281.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 241 -> x
2. mod(x²,281) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2411=241

2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 195 mod 281

4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 90 mod 281

8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 232 mod 281

16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 153 mod 281

32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 86 mod 281

64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 90 mod 281

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 16594 mod 313.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

1: 1651=165

2: 1652=1651+1=1651⋅1651 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 307 mod 313

4: 1654=1652+2=1652⋅1652 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 36 mod 313

8: 1658=1654+4=1654⋅1654 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 44 mod 313

16: 16516=1658+8=1658⋅1658 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 58 mod 313

32: 16532=16516+16=16516⋅16516 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 234 mod 313

64: 16564=16532+32=16532⋅16532 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 294 mod 313

16594

= 16564+16+8+4+2

= 16564⋅16516⋅1658⋅1654⋅1652

≡ 294 ⋅ 58 ⋅ 44 ⋅ 36 ⋅ 307 mod 313
≡ 17052 ⋅ 44 ⋅ 36 ⋅ 307 mod 313 ≡ 150 ⋅ 44 ⋅ 36 ⋅ 307 mod 313
≡ 6600 ⋅ 36 ⋅ 307 mod 313 ≡ 27 ⋅ 36 ⋅ 307 mod 313
≡ 972 ⋅ 307 mod 313 ≡ 33 ⋅ 307 mod 313
≡ 10131 mod 313 ≡ 115 mod 313

Es gilt also: 16594 ≡ 115 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24

=>61 = 2⋅24 + 13
=>24 = 1⋅13 + 11
=>13 = 1⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11)
= -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 24-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13)
= 6⋅24 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24)
= -11⋅61 +28⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +28⋅24

Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1

Somit 28⋅24 = 1 mod 61

28 ist also das Inverse von 24 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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