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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19999 + 157) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19999 + 157) mod 4 ≡ (19999 mod 4 + 157 mod 4) mod 4.

19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999 = 19000+999 = 4 ⋅ 4750 +999.

157 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157 = 160-3 = 4 ⋅ 40 -3 = 4 ⋅ 40 - 4 + 1.

Somit gilt:

(19999 + 157) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 42) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 42) mod 6 ≡ (30 mod 6 ⋅ 42 mod 6) mod 6.

30 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 5 ⋅ 6 + 0 ist.

42 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 42 + 0 = 7 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 42) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1888 mod 239.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 188 -> x
2. mod(x²,239) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1881=188

2: 1882=1881+1=1881⋅1881 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 211 mod 239

4: 1884=1882+2=1882⋅1882 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 67 mod 239

8: 1888=1884+4=1884⋅1884 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 187 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 484145 mod 619.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:

145 = 128+16+1

1: 4841=484

2: 4842=4841+1=4841⋅4841 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 274 mod 619

4: 4844=4842+2=4842⋅4842 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 177 mod 619

8: 4848=4844+4=4844⋅4844 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 379 mod 619

16: 48416=4848+8=4848⋅4848 ≡ 379⋅379=143641 ≡ 33 mod 619

32: 48432=48416+16=48416⋅48416 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 470 mod 619

64: 48464=48432+32=48432⋅48432 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 536 mod 619

128: 484128=48464+64=48464⋅48464 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 80 mod 619

484145

= 484128+16+1

= 484128⋅48416⋅4841

≡ 80 ⋅ 33 ⋅ 484 mod 619
≡ 2640 ⋅ 484 mod 619 ≡ 164 ⋅ 484 mod 619
≡ 79376 mod 619 ≡ 144 mod 619

Es gilt also: 484145 ≡ 144 mod 619

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

=>61 = 2⋅22 + 17
=>22 = 1⋅17 + 5
=>17 = 3⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5)
= -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 22-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17)
= 7⋅22 -9⋅ 17 (=1)
17= 61-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22)
= -9⋅61 +25⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +25⋅22

Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1

Somit 25⋅22 = 1 mod 61

25 ist also das Inverse von 22 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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