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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26997 + 4498) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26997 + 4498) mod 9 ≡ (26997 mod 9 + 4498 mod 9) mod 9.

26997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26997 = 27000-3 = 9 ⋅ 3000 -3 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 6.

4498 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4498 = 4500-2 = 9 ⋅ 500 -2 = 9 ⋅ 500 - 9 + 7.

Somit gilt:

(26997 + 4498) mod 9 ≡ (6 + 7) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 61) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 61) mod 8 ≡ (95 mod 8 ⋅ 61 mod 8) mod 8.

95 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 11 ⋅ 8 + 7 ist.

61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 61) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 847¹²⁸ mod 859.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 847 -> x
2. mod(x²,859) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 847¹=847

2: 847²=847¹⁺¹=847¹⋅847¹ ≡ 847⋅847=717409 ≡ 144 mod 859

4: 847⁴=847²⁺²=847²⋅847² ≡ 144⋅144=20736 ≡ 120 mod 859

8: 847⁸=847⁴⁺⁴=847⁴⋅847⁴ ≡ 120⋅120=14400 ≡ 656 mod 859

16: 847¹⁶=847⁸⁺⁸=847⁸⋅847⁸ ≡ 656⋅656=430336 ≡ 836 mod 859

32: 847³²=847¹⁶⁺¹⁶=847¹⁶⋅847¹⁶ ≡ 836⋅836=698896 ≡ 529 mod 859

64: 847⁶⁴=847³²⁺³²=847³²⋅847³² ≡ 529⋅529=279841 ≡ 666 mod 859

128: 847¹²⁸=847⁶⁴⁺⁶⁴=847⁶⁴⋅847⁶⁴ ≡ 666⋅666=443556 ≡ 312 mod 859

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 837²⁴⁸ mod 907.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:

248 = 128+64+32+16+8

1: 837¹=837

2: 837²=837¹⁺¹=837¹⋅837¹ ≡ 837⋅837=700569 ≡ 365 mod 907

4: 837⁴=837²⁺²=837²⋅837² ≡ 365⋅365=133225 ≡ 803 mod 907

8: 837⁸=837⁴⁺⁴=837⁴⋅837⁴ ≡ 803⋅803=644809 ≡ 839 mod 907

16: 837¹⁶=837⁸⁺⁸=837⁸⋅837⁸ ≡ 839⋅839=703921 ≡ 89 mod 907

32: 837³²=837¹⁶⁺¹⁶=837¹⁶⋅837¹⁶ ≡ 89⋅89=7921 ≡ 665 mod 907

64: 837⁶⁴=837³²⁺³²=837³²⋅837³² ≡ 665⋅665=442225 ≡ 516 mod 907

128: 837¹²⁸=837⁶⁴⁺⁶⁴=837⁶⁴⋅837⁶⁴ ≡ 516⋅516=266256 ≡ 505 mod 907

837²⁴⁸

= 837^{128+64+32+16+8}

= 837¹²⁸⋅837⁶⁴⋅837³²⋅837¹⁶⋅837⁸

≡ 505 ⋅ 516 ⋅ 665 ⋅ 89 ⋅ 839 mod 907
≡ 260580 ⋅ 665 ⋅ 89 ⋅ 839 mod 907 ≡ 271 ⋅ 665 ⋅ 89 ⋅ 839 mod 907
≡ 180215 ⋅ 89 ⋅ 839 mod 907 ≡ 629 ⋅ 89 ⋅ 839 mod 907
≡ 55981 ⋅ 839 mod 907 ≡ 654 ⋅ 839 mod 907
≡ 548706 mod 907 ≡ 878 mod 907

Es gilt also: 837²⁴⁸ ≡ 878 mod 907

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 25

=>59	= 2⋅25 + 9
=>25	= 2⋅9 + 7
=>9	= 1⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 25-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅9 +4⋅(25 -2⋅ 9) = -3⋅9 +4⋅25 -8⋅ 9) = 4⋅25 -11⋅ 9 (=1)
9= 59-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅25 -11⋅(59 -2⋅ 25) = 4⋅25 -11⋅59 +22⋅ 25) = -11⋅59 +26⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(59,25)=1 = -11⋅59 +26⋅25

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +26⋅25

Es gilt also: 26⋅25 = 11⋅59 +1

Somit 26⋅25 = 1 mod 59

26 ist also das Inverse von 25 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 25

Schlüsselpaar für RSA