Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3997 - 24008) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3997 - 24008) mod 8 ≡ (3997 mod 8 - 24008 mod 8) mod 8.

3997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997 = 4000-3 = 8 ⋅ 500 -3 = 8 ⋅ 500 - 8 + 5.

24008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24008 = 24000+8 = 8 ⋅ 3000 +8.

Somit gilt:

(3997 - 24008) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 74) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 74) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 74 mod 5) mod 5.

58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.

74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 74) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 413³² mod 941.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 413 -> x
2. mod(x²,941) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 413¹=413

2: 413²=413¹⁺¹=413¹⋅413¹ ≡ 413⋅413=170569 ≡ 248 mod 941

4: 413⁴=413²⁺²=413²⋅413² ≡ 248⋅248=61504 ≡ 339 mod 941

8: 413⁸=413⁴⁺⁴=413⁴⋅413⁴ ≡ 339⋅339=114921 ≡ 119 mod 941

16: 413¹⁶=413⁸⁺⁸=413⁸⋅413⁸ ≡ 119⋅119=14161 ≡ 46 mod 941

32: 413³²=413¹⁶⁺¹⁶=413¹⁶⋅413¹⁶ ≡ 46⋅46=2116 ≡ 234 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 487¹⁸⁶ mod 823.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 186 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 186 an und zerlegen 186 in eine Summer von 2er-Potenzen:

186 = 128+32+16+8+2

1: 487¹=487

2: 487²=487¹⁺¹=487¹⋅487¹ ≡ 487⋅487=237169 ≡ 145 mod 823

4: 487⁴=487²⁺²=487²⋅487² ≡ 145⋅145=21025 ≡ 450 mod 823

8: 487⁸=487⁴⁺⁴=487⁴⋅487⁴ ≡ 450⋅450=202500 ≡ 42 mod 823

16: 487¹⁶=487⁸⁺⁸=487⁸⋅487⁸ ≡ 42⋅42=1764 ≡ 118 mod 823

32: 487³²=487¹⁶⁺¹⁶=487¹⁶⋅487¹⁶ ≡ 118⋅118=13924 ≡ 756 mod 823

64: 487⁶⁴=487³²⁺³²=487³²⋅487³² ≡ 756⋅756=571536 ≡ 374 mod 823

128: 487¹²⁸=487⁶⁴⁺⁶⁴=487⁶⁴⋅487⁶⁴ ≡ 374⋅374=139876 ≡ 789 mod 823

487¹⁸⁶

= 487^{128+32+16+8+2}

= 487¹²⁸⋅487³²⋅487¹⁶⋅487⁸⋅487²

≡ 789 ⋅ 756 ⋅ 118 ⋅ 42 ⋅ 145 mod 823
≡ 596484 ⋅ 118 ⋅ 42 ⋅ 145 mod 823 ≡ 632 ⋅ 118 ⋅ 42 ⋅ 145 mod 823
≡ 74576 ⋅ 42 ⋅ 145 mod 823 ≡ 506 ⋅ 42 ⋅ 145 mod 823
≡ 21252 ⋅ 145 mod 823 ≡ 677 ⋅ 145 mod 823
≡ 98165 mod 823 ≡ 228 mod 823

Es gilt also: 487¹⁸⁶ ≡ 228 mod 823

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101	= 1⋅52 + 49
=>52	= 1⋅49 + 3
=>49	= 16⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49) = 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49) = -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52) = -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52) = 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

Schlüsselpaar für RSA