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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (300 + 59) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(300 + 59) mod 3 ≡ (300 mod 3 + 59 mod 3) mod 3.

300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 3 ⋅ 100 +0.

59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 60-1 = 3 ⋅ 20 -1 = 3 ⋅ 20 - 3 + 2.

Somit gilt:

(300 + 59) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 70) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 70) mod 10 ≡ (60 mod 10 ⋅ 70 mod 10) mod 10.

60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.

70 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 7 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 70) mod 10 ≡ (0 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4588 mod 863.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 458 -> x
2. mod(x²,863) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4581=458

2: 4582=4581+1=4581⋅4581 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 55 mod 863

4: 4584=4582+2=4582⋅4582 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 436 mod 863

8: 4588=4584+4=4584⋅4584 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 236 mod 863

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 378196 mod 797.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:

196 = 128+64+4

1: 3781=378

2: 3782=3781+1=3781⋅3781 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 221 mod 797

4: 3784=3782+2=3782⋅3782 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 224 mod 797

8: 3788=3784+4=3784⋅3784 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 762 mod 797

16: 37816=3788+8=3788⋅3788 ≡ 762⋅762=580644 ≡ 428 mod 797

32: 37832=37816+16=37816⋅37816 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 671 mod 797

64: 37864=37832+32=37832⋅37832 ≡ 671⋅671=450241 ≡ 733 mod 797

128: 378128=37864+64=37864⋅37864 ≡ 733⋅733=537289 ≡ 111 mod 797

378196

= 378128+64+4

= 378128⋅37864⋅3784

≡ 111 ⋅ 733 ⋅ 224 mod 797
≡ 81363 ⋅ 224 mod 797 ≡ 69 ⋅ 224 mod 797
≡ 15456 mod 797 ≡ 313 mod 797

Es gilt also: 378196 ≡ 313 mod 797

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 25

=>59 = 2⋅25 + 9
=>25 = 2⋅9 + 7
=>9 = 1⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7)
= -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 25-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅9 +4⋅(25 -2⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅25 -8⋅ 9)
= 4⋅25 -11⋅ 9 (=1)
9= 59-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅25 -11⋅(59 -2⋅ 25)
= 4⋅25 -11⋅59 +22⋅ 25)
= -11⋅59 +26⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(59,25)=1 = -11⋅59 +26⋅25

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +26⋅25

Es gilt also: 26⋅25 = 11⋅59 +1

Somit 26⋅25 = 1 mod 59

26 ist also das Inverse von 25 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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