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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (122 - 39) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(122 - 39) mod 4 ≡ (122 mod 4 - 39 mod 4) mod 4.
122 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39
= 40
Somit gilt:
(122 - 39) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 19) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 19) mod 4 ≡ (68 mod 4 ⋅ 19 mod 4) mod 4.
68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.
19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 19) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 115128 mod 359.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 115 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1151=115
2: 1152=1151+1=1151⋅1151 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 301 mod 359
4: 1154=1152+2=1152⋅1152 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 133 mod 359
8: 1158=1154+4=1154⋅1154 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 98 mod 359
16: 11516=1158+8=1158⋅1158 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 270 mod 359
32: 11532=11516+16=11516⋅11516 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 23 mod 359
64: 11564=11532+32=11532⋅11532 ≡ 23⋅23=529 ≡ 170 mod 359
128: 115128=11564+64=11564⋅11564 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 180 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 191151 mod 389.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:
151 = 128+16+4+2+1
1: 1911=191
2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 304 mod 389
4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 223 mod 389
8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 326 mod 389
16: 19116=1918+8=1918⋅1918 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 79 mod 389
32: 19132=19116+16=19116⋅19116 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 17 mod 389
64: 19164=19132+32=19132⋅19132 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 389
128: 191128=19164+64=19164⋅19164 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 275 mod 389
191151
= 191128+16+4+2+1
= 191128⋅19116⋅1914⋅1912⋅1911
≡ 275 ⋅ 79 ⋅ 223 ⋅ 304 ⋅ 191 mod 389
≡ 21725 ⋅ 223 ⋅ 304 ⋅ 191 mod 389 ≡ 330 ⋅ 223 ⋅ 304 ⋅ 191 mod 389
≡ 73590 ⋅ 304 ⋅ 191 mod 389 ≡ 69 ⋅ 304 ⋅ 191 mod 389
≡ 20976 ⋅ 191 mod 389 ≡ 359 ⋅ 191 mod 389
≡ 68569 mod 389 ≡ 105 mod 389
Es gilt also: 191151 ≡ 105 mod 389
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27
| =>61 | = 2⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27) = 4⋅61 -9⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27
oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅61 = -9⋅27
-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27
-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1
(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1
52⋅27 = 23⋅61 + 1
Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1
Somit 52⋅27 = 1 mod 61
52 ist also das Inverse von 27 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
