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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30005 + 180) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30005 + 180) mod 6 ≡ (30005 mod 6 + 180 mod 6) mod 6.

30005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30005 = 30000+5 = 6 ⋅ 5000 +5.

180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180 = 180+0 = 6 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(30005 + 180) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 84) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 84) mod 8 ≡ (99 mod 8 ⋅ 84 mod 8) mod 8.

99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.

84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 84) mod 8 ≡ (3 ⋅ 4) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 399⁸ mod 661.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 399 -> x
2. mod(x²,661) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 399¹=399

2: 399²=399¹⁺¹=399¹⋅399¹ ≡ 399⋅399=159201 ≡ 561 mod 661

4: 399⁴=399²⁺²=399²⋅399² ≡ 561⋅561=314721 ≡ 85 mod 661

8: 399⁸=399⁴⁺⁴=399⁴⋅399⁴ ≡ 85⋅85=7225 ≡ 615 mod 661

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 111²¹⁸ mod 229.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:

218 = 128+64+16+8+2

1: 111¹=111

2: 111²=111¹⁺¹=111¹⋅111¹ ≡ 111⋅111=12321 ≡ 184 mod 229

4: 111⁴=111²⁺²=111²⋅111² ≡ 184⋅184=33856 ≡ 193 mod 229

8: 111⁸=111⁴⁺⁴=111⁴⋅111⁴ ≡ 193⋅193=37249 ≡ 151 mod 229

16: 111¹⁶=111⁸⁺⁸=111⁸⋅111⁸ ≡ 151⋅151=22801 ≡ 130 mod 229

32: 111³²=111¹⁶⁺¹⁶=111¹⁶⋅111¹⁶ ≡ 130⋅130=16900 ≡ 183 mod 229

64: 111⁶⁴=111³²⁺³²=111³²⋅111³² ≡ 183⋅183=33489 ≡ 55 mod 229

128: 111¹²⁸=111⁶⁴⁺⁶⁴=111⁶⁴⋅111⁶⁴ ≡ 55⋅55=3025 ≡ 48 mod 229

111²¹⁸

= 111^{128+64+16+8+2}

= 111¹²⁸⋅111⁶⁴⋅111¹⁶⋅111⁸⋅111²

≡ 48 ⋅ 55 ⋅ 130 ⋅ 151 ⋅ 184 mod 229
≡ 2640 ⋅ 130 ⋅ 151 ⋅ 184 mod 229 ≡ 121 ⋅ 130 ⋅ 151 ⋅ 184 mod 229
≡ 15730 ⋅ 151 ⋅ 184 mod 229 ≡ 158 ⋅ 151 ⋅ 184 mod 229
≡ 23858 ⋅ 184 mod 229 ≡ 42 ⋅ 184 mod 229
≡ 7728 mod 229 ≡ 171 mod 229

Es gilt also: 111²¹⁸ ≡ 171 mod 229

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47

=>97	= 2⋅47 + 3
=>47	= 15⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 47-15⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3) = -1⋅47 +16⋅ 3 (=1)
3= 97-2⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47) = -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47) = 16⋅97 -33⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -33⋅47

-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47

-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1

(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1

64⋅47 = 31⋅97 + 1

Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1

Somit 64⋅47 = 1 mod 97

64 ist also das Inverse von 47 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47

Schlüsselpaar für RSA