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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (202 - 999) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(202 - 999) mod 5 ≡ (202 mod 5 - 999 mod 5) mod 5.

202 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202 = 200+2 = 5 ⋅ 40 +2.

999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 999 = 900+99 = 5 ⋅ 180 +99.

Somit gilt:

(202 - 999) mod 5 ≡ (2 - 4) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 79) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 79) mod 11 ≡ (51 mod 11 ⋅ 79 mod 11) mod 11.

51 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 44 + 7 = 4 ⋅ 11 + 7 ist.

79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 79) mod 11 ≡ (7 ⋅ 2) mod 11 ≡ 14 mod 11 ≡ 3 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 72⁸ mod 241.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 72 -> x
2. mod(x²,241) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 72¹=72

2: 72²=72¹⁺¹=72¹⋅72¹ ≡ 72⋅72=5184 ≡ 123 mod 241

4: 72⁴=72²⁺²=72²⋅72² ≡ 123⋅123=15129 ≡ 187 mod 241

8: 72⁸=72⁴⁺⁴=72⁴⋅72⁴ ≡ 187⋅187=34969 ≡ 24 mod 241

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 515²¹⁷ mod 857.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

1: 515¹=515

2: 515²=515¹⁺¹=515¹⋅515¹ ≡ 515⋅515=265225 ≡ 412 mod 857

4: 515⁴=515²⁺²=515²⋅515² ≡ 412⋅412=169744 ≡ 58 mod 857

8: 515⁸=515⁴⁺⁴=515⁴⋅515⁴ ≡ 58⋅58=3364 ≡ 793 mod 857

16: 515¹⁶=515⁸⁺⁸=515⁸⋅515⁸ ≡ 793⋅793=628849 ≡ 668 mod 857

32: 515³²=515¹⁶⁺¹⁶=515¹⁶⋅515¹⁶ ≡ 668⋅668=446224 ≡ 584 mod 857

64: 515⁶⁴=515³²⁺³²=515³²⋅515³² ≡ 584⋅584=341056 ≡ 827 mod 857

128: 515¹²⁸=515⁶⁴⁺⁶⁴=515⁶⁴⋅515⁶⁴ ≡ 827⋅827=683929 ≡ 43 mod 857

515²¹⁷

= 515^{128+64+16+8+1}

= 515¹²⁸⋅515⁶⁴⋅515¹⁶⋅515⁸⋅515¹

≡ 43 ⋅ 827 ⋅ 668 ⋅ 793 ⋅ 515 mod 857
≡ 35561 ⋅ 668 ⋅ 793 ⋅ 515 mod 857 ≡ 424 ⋅ 668 ⋅ 793 ⋅ 515 mod 857
≡ 283232 ⋅ 793 ⋅ 515 mod 857 ≡ 422 ⋅ 793 ⋅ 515 mod 857
≡ 334646 ⋅ 515 mod 857 ≡ 416 ⋅ 515 mod 857
≡ 214240 mod 857 ≡ 847 mod 857

Es gilt also: 515²¹⁷ ≡ 847 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36

=>89	= 2⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 89-2⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36) = 17⋅89 -42⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36

oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅89 = -42⋅36

-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36

-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1

(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1

47⋅36 = 19⋅89 + 1

Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1

Somit 47⋅36 = 1 mod 89

47 ist also das Inverse von 36 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36

Schlüsselpaar für RSA