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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14006 - 2104) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14006 - 2104) mod 7 ≡ (14006 mod 7 - 2104 mod 7) mod 7.

14006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14006 = 14000+6 = 7 ⋅ 2000 +6.

2104 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2104 = 2100+4 = 7 ⋅ 300 +4.

Somit gilt:

(14006 - 2104) mod 7 ≡ (6 - 4) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 33) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 33) mod 5 ≡ (52 mod 5 ⋅ 33 mod 5) mod 5.

52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 10 ⋅ 5 + 2 ist.

33 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 6 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 33) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 87032 mod 883.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 870 -> x
2. mod(x²,883) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8701=870

2: 8702=8701+1=8701⋅8701 ≡ 870⋅870=756900 ≡ 169 mod 883

4: 8704=8702+2=8702⋅8702 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 305 mod 883

8: 8708=8704+4=8704⋅8704 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 310 mod 883

16: 87016=8708+8=8708⋅8708 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 736 mod 883

32: 87032=87016+16=87016⋅87016 ≡ 736⋅736=541696 ≡ 417 mod 883

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 186202 mod 241.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:

202 = 128+64+8+2

1: 1861=186

2: 1862=1861+1=1861⋅1861 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 133 mod 241

4: 1864=1862+2=1862⋅1862 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 96 mod 241

8: 1868=1864+4=1864⋅1864 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 58 mod 241

16: 18616=1868+8=1868⋅1868 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 231 mod 241

32: 18632=18616+16=18616⋅18616 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 100 mod 241

64: 18664=18632+32=18632⋅18632 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 119 mod 241

128: 186128=18664+64=18664⋅18664 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 183 mod 241

186202

= 186128+64+8+2

= 186128⋅18664⋅1868⋅1862

≡ 183 ⋅ 119 ⋅ 58 ⋅ 133 mod 241
≡ 21777 ⋅ 58 ⋅ 133 mod 241 ≡ 87 ⋅ 58 ⋅ 133 mod 241
≡ 5046 ⋅ 133 mod 241 ≡ 226 ⋅ 133 mod 241
≡ 30058 mod 241 ≡ 174 mod 241

Es gilt also: 186202 ≡ 174 mod 241

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 49.

Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 49

=>89 = 1⋅49 + 40
=>49 = 1⋅40 + 9
=>40 = 4⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 40-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9)
= -2⋅40 +9⋅ 9 (=1)
9= 49-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅40 +9⋅(49 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅49 -9⋅ 40)
= 9⋅49 -11⋅ 40 (=1)
40= 89-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅49 -11⋅(89 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -11⋅89 +11⋅ 49)
= -11⋅89 +20⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(89,49)=1 = -11⋅89 +20⋅49

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +20⋅49

Es gilt also: 20⋅49 = 11⋅89 +1

Somit 20⋅49 = 1 mod 89

20 ist also das Inverse von 49 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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