Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (144 - 2801) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(144 - 2801) mod 7 ≡ (144 mod 7 - 2801 mod 7) mod 7.

144 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 144 = 140+4 = 7 ⋅ 20 +4.

2801 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2801 = 2800+1 = 7 ⋅ 400 +1.

Somit gilt:

(144 - 2801) mod 7 ≡ (4 - 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 17) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 17) mod 5 ≡ (100 mod 5 ⋅ 17 mod 5) mod 5.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 20 ⋅ 5 + 0 ist.

17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 17) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 131¹²⁸ mod 389.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 131 -> x
2. mod(x²,389) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 131¹=131

2: 131²=131¹⁺¹=131¹⋅131¹ ≡ 131⋅131=17161 ≡ 45 mod 389

4: 131⁴=131²⁺²=131²⋅131² ≡ 45⋅45=2025 ≡ 80 mod 389

8: 131⁸=131⁴⁺⁴=131⁴⋅131⁴ ≡ 80⋅80=6400 ≡ 176 mod 389

16: 131¹⁶=131⁸⁺⁸=131⁸⋅131⁸ ≡ 176⋅176=30976 ≡ 245 mod 389

32: 131³²=131¹⁶⁺¹⁶=131¹⁶⋅131¹⁶ ≡ 245⋅245=60025 ≡ 119 mod 389

64: 131⁶⁴=131³²⁺³²=131³²⋅131³² ≡ 119⋅119=14161 ≡ 157 mod 389

128: 131¹²⁸=131⁶⁴⁺⁶⁴=131⁶⁴⋅131⁶⁴ ≡ 157⋅157=24649 ≡ 142 mod 389

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 729²¹⁹ mod 733.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

1: 729¹=729

2: 729²=729¹⁺¹=729¹⋅729¹ ≡ 729⋅729=531441 ≡ 16 mod 733

4: 729⁴=729²⁺²=729²⋅729² ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 733

8: 729⁸=729⁴⁺⁴=729⁴⋅729⁴ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 299 mod 733

16: 729¹⁶=729⁸⁺⁸=729⁸⋅729⁸ ≡ 299⋅299=89401 ≡ 708 mod 733

32: 729³²=729¹⁶⁺¹⁶=729¹⁶⋅729¹⁶ ≡ 708⋅708=501264 ≡ 625 mod 733

64: 729⁶⁴=729³²⁺³²=729³²⋅729³² ≡ 625⋅625=390625 ≡ 669 mod 733

128: 729¹²⁸=729⁶⁴⁺⁶⁴=729⁶⁴⋅729⁶⁴ ≡ 669⋅669=447561 ≡ 431 mod 733

729²¹⁹

= 729^{128+64+16+8+2+1}

= 729¹²⁸⋅729⁶⁴⋅729¹⁶⋅729⁸⋅729²⋅729¹

≡ 431 ⋅ 669 ⋅ 708 ⋅ 299 ⋅ 16 ⋅ 729 mod 733
≡ 288339 ⋅ 708 ⋅ 299 ⋅ 16 ⋅ 729 mod 733 ≡ 270 ⋅ 708 ⋅ 299 ⋅ 16 ⋅ 729 mod 733
≡ 191160 ⋅ 299 ⋅ 16 ⋅ 729 mod 733 ≡ 580 ⋅ 299 ⋅ 16 ⋅ 729 mod 733
≡ 173420 ⋅ 16 ⋅ 729 mod 733 ≡ 432 ⋅ 16 ⋅ 729 mod 733
≡ 6912 ⋅ 729 mod 733 ≡ 315 ⋅ 729 mod 733
≡ 229635 mod 733 ≡ 206 mod 733

Es gilt also: 729²¹⁹ ≡ 206 mod 733

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 72.

Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 72

=>101	= 1⋅72 + 29
=>72	= 2⋅29 + 14
=>29	= 2⋅14 + 1
=>14	= 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 29-2⋅14
14= 72-2⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅29 -2⋅(72 -2⋅ 29) = 1⋅29 -2⋅72 +4⋅ 29) = -2⋅72 +5⋅ 29 (=1)
29= 101-1⋅72	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅72 +5⋅(101 -1⋅ 72) = -2⋅72 +5⋅101 -5⋅ 72) = 5⋅101 -7⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(101,72)=1 = 5⋅101 -7⋅72

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -7⋅72

-7⋅72 = -5⋅101 + 1 |+101⋅72

-7⋅72 + 101⋅72 = -5⋅101 + 101⋅72 + 1

(-7 + 101) ⋅ 72 = (-5 + 72) ⋅ 101 + 1

94⋅72 = 67⋅101 + 1

Es gilt also: 94⋅72 = 67⋅101 +1

Somit 94⋅72 = 1 mod 101

94 ist also das Inverse von 72 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 72

Schlüsselpaar für RSA