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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 - 20001) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 - 20001) mod 4 ≡ (39 mod 4 - 20001 mod 4) mod 4.

39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 40-1 = 4 ⋅ 10 -1 = 4 ⋅ 10 - 4 + 3.

20001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001 = 20000+1 = 4 ⋅ 5000 +1.

Somit gilt:

(39 - 20001) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 42) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 42) mod 9 ≡ (85 mod 9 ⋅ 42 mod 9) mod 9.

85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 81 + 4 = 9 ⋅ 9 + 4 ist.

42 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 36 + 6 = 4 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 42) mod 9 ≡ (4 ⋅ 6) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 72764 mod 739.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 727 -> x
2. mod(x²,739) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7271=727

2: 7272=7271+1=7271⋅7271 ≡ 727⋅727=528529 ≡ 144 mod 739

4: 7274=7272+2=7272⋅7272 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 44 mod 739

8: 7278=7274+4=7274⋅7274 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 458 mod 739

16: 72716=7278+8=7278⋅7278 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 627 mod 739

32: 72732=72716+16=72716⋅72716 ≡ 627⋅627=393129 ≡ 720 mod 739

64: 72764=72732+32=72732⋅72732 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 361 mod 739

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 318105 mod 647.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 105 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 105 an und zerlegen 105 in eine Summer von 2er-Potenzen:

105 = 64+32+8+1

1: 3181=318

2: 3182=3181+1=3181⋅3181 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 192 mod 647

4: 3184=3182+2=3182⋅3182 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 632 mod 647

8: 3188=3184+4=3184⋅3184 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 225 mod 647

16: 31816=3188+8=3188⋅3188 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 159 mod 647

32: 31832=31816+16=31816⋅31816 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 48 mod 647

64: 31864=31832+32=31832⋅31832 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 363 mod 647

318105

= 31864+32+8+1

= 31864⋅31832⋅3188⋅3181

≡ 363 ⋅ 48 ⋅ 225 ⋅ 318 mod 647
≡ 17424 ⋅ 225 ⋅ 318 mod 647 ≡ 602 ⋅ 225 ⋅ 318 mod 647
≡ 135450 ⋅ 318 mod 647 ≡ 227 ⋅ 318 mod 647
≡ 72186 mod 647 ≡ 369 mod 647

Es gilt also: 318105 ≡ 369 mod 647

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67 = 1⋅54 + 13
=>54 = 4⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13)
= -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54)
= 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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