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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (457 - 448) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(457 - 448) mod 9 ≡ (457 mod 9 - 448 mod 9) mod 9.

457 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 457 = 450+7 = 9 ⋅ 50 +7.

448 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 448 = 450-2 = 9 ⋅ 50 -2 = 9 ⋅ 50 - 9 + 7.

Somit gilt:

(457 - 448) mod 9 ≡ (7 - 7) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 59) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 59) mod 7 ≡ (95 mod 7 ⋅ 59 mod 7) mod 7.

95 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 91 + 4 = 13 ⋅ 7 + 4 ist.

59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 59) mod 7 ≡ (4 ⋅ 3) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 486128 mod 619.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 486 -> x
2. mod(x²,619) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4861=486

2: 4862=4861+1=4861⋅4861 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 357 mod 619

4: 4864=4862+2=4862⋅4862 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 554 mod 619

8: 4868=4864+4=4864⋅4864 ≡ 554⋅554=306916 ≡ 511 mod 619

16: 48616=4868+8=4868⋅4868 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 522 mod 619

32: 48632=48616+16=48616⋅48616 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 124 mod 619

64: 48664=48632+32=48632⋅48632 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 520 mod 619

128: 486128=48664+64=48664⋅48664 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 516 mod 619

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 51794 mod 701.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

1: 5171=517

2: 5172=5171+1=5171⋅5171 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 208 mod 701

4: 5174=5172+2=5172⋅5172 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 503 mod 701

8: 5178=5174+4=5174⋅5174 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 649 mod 701

16: 51716=5178+8=5178⋅5178 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 601 mod 701

32: 51732=51716+16=51716⋅51716 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 186 mod 701

64: 51764=51732+32=51732⋅51732 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 247 mod 701

51794

= 51764+16+8+4+2

= 51764⋅51716⋅5178⋅5174⋅5172

≡ 247 ⋅ 601 ⋅ 649 ⋅ 503 ⋅ 208 mod 701
≡ 148447 ⋅ 649 ⋅ 503 ⋅ 208 mod 701 ≡ 536 ⋅ 649 ⋅ 503 ⋅ 208 mod 701
≡ 347864 ⋅ 503 ⋅ 208 mod 701 ≡ 168 ⋅ 503 ⋅ 208 mod 701
≡ 84504 ⋅ 208 mod 701 ≡ 384 ⋅ 208 mod 701
≡ 79872 mod 701 ≡ 659 mod 701

Es gilt also: 51794 ≡ 659 mod 701

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24

=>61 = 2⋅24 + 13
=>24 = 1⋅13 + 11
=>13 = 1⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11)
= -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 24-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13)
= 6⋅24 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24)
= -11⋅61 +28⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +28⋅24

Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1

Somit 28⋅24 = 1 mod 61

28 ist also das Inverse von 24 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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