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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4002 + 16004) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4002 + 16004) mod 8 ≡ (4002 mod 8 + 16004 mod 8) mod 8.

4002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4002 = 4000+2 = 8 ⋅ 500 +2.

16004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 8 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(4002 + 16004) mod 8 ≡ (2 + 4) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 69) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 69) mod 7 ≡ (19 mod 7 ⋅ 69 mod 7) mod 7.

19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.

69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 9 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 69) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50032 mod 881.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 500 -> x
2. mod(x²,881) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5001=500

2: 5002=5001+1=5001⋅5001 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 677 mod 881

4: 5004=5002+2=5002⋅5002 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 209 mod 881

8: 5008=5004+4=5004⋅5004 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 512 mod 881

16: 50016=5008+8=5008⋅5008 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 487 mod 881

32: 50032=50016+16=50016⋅50016 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 180 mod 881

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23667 mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:

67 = 64+2+1

1: 2361=236

2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 178 mod 487

4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 29 mod 487

8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 29⋅29=841 ≡ 354 mod 487

16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 157 mod 487

32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 299 mod 487

64: 23664=23632+32=23632⋅23632 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 280 mod 487

23667

= 23664+2+1

= 23664⋅2362⋅2361

280 ⋅ 178 ⋅ 236 mod 487
49840 ⋅ 236 mod 487 ≡ 166 ⋅ 236 mod 487
39176 mod 487 ≡ 216 mod 487

Es gilt also: 23667 ≡ 216 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 23

=>67 = 2⋅23 + 21
=>23 = 1⋅21 + 2
=>21 = 10⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-10⋅2
2= 23-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21)
= -10⋅23 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -10⋅23 +11⋅(67 -2⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅67 -22⋅ 23)
= 11⋅67 -32⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(67,23)=1 = 11⋅67 -32⋅23

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -32⋅23

-32⋅23 = -11⋅67 + 1 |+67⋅23

-32⋅23 + 67⋅23 = -11⋅67 + 67⋅23 + 1

(-32 + 67) ⋅ 23 = (-11 + 23) ⋅ 67 + 1

35⋅23 = 12⋅67 + 1

Es gilt also: 35⋅23 = 12⋅67 +1

Somit 35⋅23 = 1 mod 67

35 ist also das Inverse von 23 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.