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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 + 79) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 + 79) mod 4 ≡ (12000 mod 4 + 79 mod 4) mod 4.

12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 4 ⋅ 3000 +0.

79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 80-1 = 4 ⋅ 20 -1 = 4 ⋅ 20 - 4 + 3.

Somit gilt:

(12000 + 79) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 97) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 97) mod 8 ≡ (88 mod 8 ⋅ 97 mod 8) mod 8.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.

97 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 12 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 97) mod 8 ≡ (0 ⋅ 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 230⁶⁴ mod 337.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 230 -> x
2. mod(x²,337) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 230¹=230

2: 230²=230¹⁺¹=230¹⋅230¹ ≡ 230⋅230=52900 ≡ 328 mod 337

4: 230⁴=230²⁺²=230²⋅230² ≡ 328⋅328=107584 ≡ 81 mod 337

8: 230⁸=230⁴⁺⁴=230⁴⋅230⁴ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 158 mod 337

16: 230¹⁶=230⁸⁺⁸=230⁸⋅230⁸ ≡ 158⋅158=24964 ≡ 26 mod 337

32: 230³²=230¹⁶⁺¹⁶=230¹⁶⋅230¹⁶ ≡ 26⋅26=676 ≡ 2 mod 337

64: 230⁶⁴=230³²⁺³²=230³²⋅230³² ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 337

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 778²²⁸ mod 887.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:

228 = 128+64+32+4

1: 778¹=778

2: 778²=778¹⁺¹=778¹⋅778¹ ≡ 778⋅778=605284 ≡ 350 mod 887

4: 778⁴=778²⁺²=778²⋅778² ≡ 350⋅350=122500 ≡ 94 mod 887

8: 778⁸=778⁴⁺⁴=778⁴⋅778⁴ ≡ 94⋅94=8836 ≡ 853 mod 887

16: 778¹⁶=778⁸⁺⁸=778⁸⋅778⁸ ≡ 853⋅853=727609 ≡ 269 mod 887

32: 778³²=778¹⁶⁺¹⁶=778¹⁶⋅778¹⁶ ≡ 269⋅269=72361 ≡ 514 mod 887

64: 778⁶⁴=778³²⁺³²=778³²⋅778³² ≡ 514⋅514=264196 ≡ 757 mod 887

128: 778¹²⁸=778⁶⁴⁺⁶⁴=778⁶⁴⋅778⁶⁴ ≡ 757⋅757=573049 ≡ 47 mod 887

778²²⁸

= 778^128+64+32+4

= 778¹²⁸⋅778⁶⁴⋅778³²⋅778⁴

≡ 47 ⋅ 757 ⋅ 514 ⋅ 94 mod 887
≡ 35579 ⋅ 514 ⋅ 94 mod 887 ≡ 99 ⋅ 514 ⋅ 94 mod 887
≡ 50886 ⋅ 94 mod 887 ≡ 327 ⋅ 94 mod 887
≡ 30738 mod 887 ≡ 580 mod 887

Es gilt also: 778²²⁸ ≡ 580 mod 887

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79	= 2⋅33 + 13
=>33	= 2⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13) = 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33) = 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33) = -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

Schlüsselpaar für RSA