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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34996 - 2802) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34996 - 2802) mod 7 ≡ (34996 mod 7 - 2802 mod 7) mod 7.
34996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34996
= 35000
2802 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2802
= 2800
Somit gilt:
(34996 - 2802) mod 7 ≡ (3 - 2) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 59) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 59) mod 10 ≡ (96 mod 10 ⋅ 59 mod 10) mod 10.
96 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 9 ⋅ 10 + 6 ist.
59 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 50 + 9 = 5 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 59) mod 10 ≡ (6 ⋅ 9) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 488128 mod 641.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 488 -> x
2. mod(x²,641) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4881=488
2: 4882=4881+1=4881⋅4881 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 333 mod 641
4: 4884=4882+2=4882⋅4882 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 637 mod 641
8: 4888=4884+4=4884⋅4884 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 16 mod 641
16: 48816=4888+8=4888⋅4888 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 641
32: 48832=48816+16=48816⋅48816 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 154 mod 641
64: 48864=48832+32=48832⋅48832 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 640 mod 641
128: 488128=48864+64=48864⋅48864 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 1 mod 641
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 444122 mod 727.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:
122 = 64+32+16+8+2
1: 4441=444
2: 4442=4441+1=4441⋅4441 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 119 mod 727
4: 4444=4442+2=4442⋅4442 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 348 mod 727
8: 4448=4444+4=4444⋅4444 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 422 mod 727
16: 44416=4448+8=4448⋅4448 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 696 mod 727
32: 44432=44416+16=44416⋅44416 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 234 mod 727
64: 44464=44432+32=44432⋅44432 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 231 mod 727
444122
= 44464+32+16+8+2
= 44464⋅44432⋅44416⋅4448⋅4442
≡ 231 ⋅ 234 ⋅ 696 ⋅ 422 ⋅ 119 mod 727
≡ 54054 ⋅ 696 ⋅ 422 ⋅ 119 mod 727 ≡ 256 ⋅ 696 ⋅ 422 ⋅ 119 mod 727
≡ 178176 ⋅ 422 ⋅ 119 mod 727 ≡ 61 ⋅ 422 ⋅ 119 mod 727
≡ 25742 ⋅ 119 mod 727 ≡ 297 ⋅ 119 mod 727
≡ 35343 mod 727 ≡ 447 mod 727
Es gilt also: 444122 ≡ 447 mod 727
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 80.
Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 80
| =>101 | = 1⋅80 + 21 |
| =>80 | = 3⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,80)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 80-3⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(80 -3⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅80 -15⋅ 21) = 5⋅80 -19⋅ 21 (=1) |
| 21= 101-1⋅80 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅80 -19⋅(101 -1⋅ 80)
= 5⋅80 -19⋅101 +19⋅ 80) = -19⋅101 +24⋅ 80 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,80)=1 = -19⋅101 +24⋅80
oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅101 = +24⋅80
Es gilt also: 24⋅80 = 19⋅101 +1
Somit 24⋅80 = 1 mod 101
24 ist also das Inverse von 80 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.