- Klasse 5-6
- Klasse 7-8
- Klasse 9-10
- Kursstufe
- COSH
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1200 - 1800) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1200 - 1800) mod 6 ≡ (1200 mod 6 - 1800 mod 6) mod 6.
1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
1800 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800
= 1800
Somit gilt:
(1200 - 1800) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 49) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23 ⋅ 49) mod 3 ≡ (23 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.
23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.
49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(23 ⋅ 49) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22016 mod 571.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 220 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2201=220
2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 436 mod 571
4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 524 mod 571
8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 496 mod 571
16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 486 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20194 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:
94 = 64+16+8+4+2
1: 2011=201
2: 2012=2011+1=2011⋅2011 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 470 mod 547
4: 2014=2012+2=2012⋅2012 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 459 mod 547
8: 2018=2014+4=2014⋅2014 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 86 mod 547
16: 20116=2018+8=2018⋅2018 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 285 mod 547
32: 20132=20116+16=20116⋅20116 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 269 mod 547
64: 20164=20132+32=20132⋅20132 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 157 mod 547
20194
= 20164+16+8+4+2
= 20164⋅20116⋅2018⋅2014⋅2012
≡ 157 ⋅ 285 ⋅ 86 ⋅ 459 ⋅ 470 mod 547
≡ 44745 ⋅ 86 ⋅ 459 ⋅ 470 mod 547 ≡ 438 ⋅ 86 ⋅ 459 ⋅ 470 mod 547
≡ 37668 ⋅ 459 ⋅ 470 mod 547 ≡ 472 ⋅ 459 ⋅ 470 mod 547
≡ 216648 ⋅ 470 mod 547 ≡ 36 ⋅ 470 mod 547
≡ 16920 mod 547 ≡ 510 mod 547
Es gilt also: 20194 ≡ 510 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 64
=>97 | = 1⋅64 + 33 |
=>64 | = 1⋅33 + 31 |
=>33 | = 1⋅31 + 2 |
=>31 | = 15⋅2 + 1 |
=>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
1= 31-15⋅2 | |||
2= 33-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31) = -15⋅33 +16⋅ 31 (=1) |
31= 64-1⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -15⋅33 +16⋅(64 -1⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅64 -16⋅ 33) = 16⋅64 -31⋅ 33 (=1) |
33= 97-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 16⋅64 -31⋅(97 -1⋅ 64)
= 16⋅64 -31⋅97 +31⋅ 64) = -31⋅97 +47⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,64)=1 = -31⋅97 +47⋅64
oder wenn man -31⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅97 = +47⋅64
Es gilt also: 47⋅64 = 31⋅97 +1
Somit 47⋅64 = 1 mod 97
47 ist also das Inverse von 64 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.