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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19995 + 48) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19995 + 48) mod 5 ≡ (19995 mod 5 + 48 mod 5) mod 5.

19995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19995 = 19000+995 = 5 ⋅ 3800 +995.

48 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40+8 = 5 ⋅ 8 +8.

Somit gilt:

(19995 + 48) mod 5 ≡ (0 + 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 40) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 40) mod 6 ≡ (85 mod 6 ⋅ 40 mod 6) mod 6.

85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.

40 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 6 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 40) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 59364 mod 881.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 593 -> x
2. mod(x²,881) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5931=593

2: 5932=5931+1=5931⋅5931 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 130 mod 881

4: 5934=5932+2=5932⋅5932 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 161 mod 881

8: 5938=5934+4=5934⋅5934 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 372 mod 881

16: 59316=5938+8=5938⋅5938 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 67 mod 881

32: 59332=59316+16=59316⋅59316 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 84 mod 881

64: 59364=59332+32=59332⋅59332 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 8 mod 881

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 60075 mod 859.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 75 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 75 an und zerlegen 75 in eine Summer von 2er-Potenzen:

75 = 64+8+2+1

1: 6001=600

2: 6002=6001+1=6001⋅6001 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 79 mod 859

4: 6004=6002+2=6002⋅6002 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 228 mod 859

8: 6008=6004+4=6004⋅6004 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 444 mod 859

16: 60016=6008+8=6008⋅6008 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 425 mod 859

32: 60032=60016+16=60016⋅60016 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 235 mod 859

64: 60064=60032+32=60032⋅60032 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 249 mod 859

60075

= 60064+8+2+1

= 60064⋅6008⋅6002⋅6001

≡ 249 ⋅ 444 ⋅ 79 ⋅ 600 mod 859
≡ 110556 ⋅ 79 ⋅ 600 mod 859 ≡ 604 ⋅ 79 ⋅ 600 mod 859
≡ 47716 ⋅ 600 mod 859 ≡ 471 ⋅ 600 mod 859
≡ 282600 mod 859 ≡ 848 mod 859

Es gilt also: 60075 ≡ 848 mod 859

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 38

=>101 = 2⋅38 + 25
=>38 = 1⋅25 + 13
=>25 = 1⋅13 + 12
=>13 = 1⋅12 + 1
=>12 = 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 25-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -1⋅(25 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅25 +1⋅ 13)
= -1⋅25 +2⋅ 13 (=1)
13= 38-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅25 +2⋅(38 -1⋅ 25)
= -1⋅25 +2⋅38 -2⋅ 25)
= 2⋅38 -3⋅ 25 (=1)
25= 101-2⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅38 -3⋅(101 -2⋅ 38)
= 2⋅38 -3⋅101 +6⋅ 38)
= -3⋅101 +8⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(101,38)=1 = -3⋅101 +8⋅38

oder wenn man -3⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅101 = +8⋅38

Es gilt also: 8⋅38 = 3⋅101 +1

Somit 8⋅38 = 1 mod 101

8 ist also das Inverse von 38 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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