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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2500 + 9998) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2500 + 9998) mod 5 ≡ (2500 mod 5 + 9998 mod 5) mod 5.

2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500 = 2500+0 = 5 ⋅ 500 +0.

9998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9998 = 9000+998 = 5 ⋅ 1800 +998.

Somit gilt:

(2500 + 9998) mod 5 ≡ (0 + 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 72) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 72) mod 9 ≡ (79 mod 9 ⋅ 72 mod 9) mod 9.

79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.

72 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 8 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 72) mod 9 ≡ (7 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 64564 mod 859.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 645 -> x
2. mod(x²,859) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6451=645

2: 6452=6451+1=6451⋅6451 ≡ 645⋅645=416025 ≡ 269 mod 859

4: 6454=6452+2=6452⋅6452 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 205 mod 859

8: 6458=6454+4=6454⋅6454 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 793 mod 859

16: 64516=6458+8=6458⋅6458 ≡ 793⋅793=628849 ≡ 61 mod 859

32: 64532=64516+16=64516⋅64516 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 285 mod 859

64: 64564=64532+32=64532⋅64532 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 479 mod 859

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 825200 mod 839.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:

200 = 128+64+8

1: 8251=825

2: 8252=8251+1=8251⋅8251 ≡ 825⋅825=680625 ≡ 196 mod 839

4: 8254=8252+2=8252⋅8252 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 661 mod 839

8: 8258=8254+4=8254⋅8254 ≡ 661⋅661=436921 ≡ 641 mod 839

16: 82516=8258+8=8258⋅8258 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 610 mod 839

32: 82532=82516+16=82516⋅82516 ≡ 610⋅610=372100 ≡ 423 mod 839

64: 82564=82532+32=82532⋅82532 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 222 mod 839

128: 825128=82564+64=82564⋅82564 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 622 mod 839

825200

= 825128+64+8

= 825128⋅82564⋅8258

≡ 622 ⋅ 222 ⋅ 641 mod 839
≡ 138084 ⋅ 641 mod 839 ≡ 488 ⋅ 641 mod 839
≡ 312808 mod 839 ≡ 700 mod 839

Es gilt also: 825200 ≡ 700 mod 839

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 70

=>79 = 1⋅70 + 9
=>70 = 7⋅9 + 7
=>9 = 1⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7)
= -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 70-7⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅9 +4⋅(70 -7⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅70 -28⋅ 9)
= 4⋅70 -31⋅ 9 (=1)
9= 79-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅70 -31⋅(79 -1⋅ 70)
= 4⋅70 -31⋅79 +31⋅ 70)
= -31⋅79 +35⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(79,70)=1 = -31⋅79 +35⋅70

oder wenn man -31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅79 = +35⋅70

Es gilt also: 35⋅70 = 31⋅79 +1

Somit 35⋅70 = 1 mod 79

35 ist also das Inverse von 70 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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