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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (240 - 2405) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(240 - 2405) mod 6 ≡ (240 mod 6 - 2405 mod 6) mod 6.

240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 6 ⋅ 40 +0.

2405 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2405 = 2400+5 = 6 ⋅ 400 +5.

Somit gilt:

(240 - 2405) mod 6 ≡ (0 - 5) mod 6 ≡ -5 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 38) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 38) mod 3 ≡ (63 mod 3 ⋅ 38 mod 3) mod 3.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.

38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 38) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2848 mod 349.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 284 -> x
2. mod(x²,349) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2841=284

2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 37 mod 349

4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 322 mod 349

8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 31 mod 349

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 547203 mod 571.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:

203 = 128+64+8+2+1

1: 5471=547

2: 5472=5471+1=5471⋅5471 ≡ 547⋅547=299209 ≡ 5 mod 571

4: 5474=5472+2=5472⋅5472 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 571

8: 5478=5474+4=5474⋅5474 ≡ 25⋅25=625 ≡ 54 mod 571

16: 54716=5478+8=5478⋅5478 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 61 mod 571

32: 54732=54716+16=54716⋅54716 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 295 mod 571

64: 54764=54732+32=54732⋅54732 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 233 mod 571

128: 547128=54764+64=54764⋅54764 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 44 mod 571

547203

= 547128+64+8+2+1

= 547128⋅54764⋅5478⋅5472⋅5471

44 ⋅ 233 ⋅ 54 ⋅ 5 ⋅ 547 mod 571
10252 ⋅ 54 ⋅ 5 ⋅ 547 mod 571 ≡ 545 ⋅ 54 ⋅ 5 ⋅ 547 mod 571
29430 ⋅ 5 ⋅ 547 mod 571 ≡ 309 ⋅ 5 ⋅ 547 mod 571
1545 ⋅ 547 mod 571 ≡ 403 ⋅ 547 mod 571
220441 mod 571 ≡ 35 mod 571

Es gilt also: 547203 ≡ 35 mod 571

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 69.

Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 69

=>101 = 1⋅69 + 32
=>69 = 2⋅32 + 5
=>32 = 6⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 32-6⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5)
= -2⋅32 +13⋅ 5 (=1)
5= 69-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅32 +13⋅(69 -2⋅ 32)
= -2⋅32 +13⋅69 -26⋅ 32)
= 13⋅69 -28⋅ 32 (=1)
32= 101-1⋅69 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅69 -28⋅(101 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -28⋅101 +28⋅ 69)
= -28⋅101 +41⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(101,69)=1 = -28⋅101 +41⋅69

oder wenn man -28⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +28⋅101 = +41⋅69

Es gilt also: 41⋅69 = 28⋅101 +1

Somit 41⋅69 = 1 mod 101

41 ist also das Inverse von 69 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.