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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (237 - 297) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(237 - 297) mod 6 ≡ (237 mod 6 - 297 mod 6) mod 6.

237 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 237 = 240-3 = 6 ⋅ 40 -3 = 6 ⋅ 40 - 6 + 3.

297 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297 = 300-3 = 6 ⋅ 50 -3 = 6 ⋅ 50 - 6 + 3.

Somit gilt:

(237 - 297) mod 6 ≡ (3 - 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 76) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 76) mod 8 ≡ (33 mod 8 ⋅ 76 mod 8) mod 8.

33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.

76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 9 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 76) mod 8 ≡ (1 ⋅ 4) mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4958 mod 727.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 495 -> x
2. mod(x²,727) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4951=495

2: 4952=4951+1=4951⋅4951 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 26 mod 727

4: 4954=4952+2=4952⋅4952 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 727

8: 4958=4954+4=4954⋅4954 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 420 mod 727

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 304166 mod 709.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 166 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 166 an und zerlegen 166 in eine Summer von 2er-Potenzen:

166 = 128+32+4+2

1: 3041=304

2: 3042=3041+1=3041⋅3041 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 246 mod 709

4: 3044=3042+2=3042⋅3042 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 251 mod 709

8: 3048=3044+4=3044⋅3044 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 609 mod 709

16: 30416=3048+8=3048⋅3048 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 74 mod 709

32: 30432=30416+16=30416⋅30416 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 513 mod 709

64: 30464=30432+32=30432⋅30432 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 130 mod 709

128: 304128=30464+64=30464⋅30464 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 593 mod 709

304166

= 304128+32+4+2

= 304128⋅30432⋅3044⋅3042

593 ⋅ 513 ⋅ 251 ⋅ 246 mod 709
304209 ⋅ 251 ⋅ 246 mod 709 ≡ 48 ⋅ 251 ⋅ 246 mod 709
12048 ⋅ 246 mod 709 ≡ 704 ⋅ 246 mod 709
173184 mod 709 ≡ 188 mod 709

Es gilt also: 304166 ≡ 188 mod 709

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60

=>67 = 1⋅60 + 7
=>60 = 8⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 60-8⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7)
= 2⋅60 -17⋅ 7 (=1)
7= 67-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60)
= 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60)
= -17⋅67 +19⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +19⋅60

Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1

Somit 19⋅60 = 1 mod 67

19 ist also das Inverse von 60 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.