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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (705 - 700) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(705 - 700) mod 7 ≡ (705 mod 7 - 700 mod 7) mod 7.
705 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 705
= 700
700 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 700
= 700
Somit gilt:
(705 - 700) mod 7 ≡ (5 - 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 68) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 68) mod 4 ≡ (26 mod 4 ⋅ 68 mod 4) mod 4.
26 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 6 ⋅ 4 + 2 ist.
68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 68) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6138 mod 727.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 613 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6131=613
2: 6132=6131+1=6131⋅6131 ≡ 613⋅613=375769 ≡ 637 mod 727
4: 6134=6132+2=6132⋅6132 ≡ 637⋅637=405769 ≡ 103 mod 727
8: 6138=6134+4=6134⋅6134 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 431 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62263 mod 757.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:
63 = 32+16+8+4+2+1
1: 6221=622
2: 6222=6221+1=6221⋅6221 ≡ 622⋅622=386884 ≡ 57 mod 757
4: 6224=6222+2=6222⋅6222 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 221 mod 757
8: 6228=6224+4=6224⋅6224 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 393 mod 757
16: 62216=6228+8=6228⋅6228 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 21 mod 757
32: 62232=62216+16=62216⋅62216 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 757
62263
= 62232+16+8+4+2+1
= 62232⋅62216⋅6228⋅6224⋅6222⋅6221
≡ 441 ⋅ 21 ⋅ 393 ⋅ 221 ⋅ 57 ⋅ 622 mod 757
≡ 9261 ⋅ 393 ⋅ 221 ⋅ 57 ⋅ 622 mod 757 ≡ 177 ⋅ 393 ⋅ 221 ⋅ 57 ⋅ 622 mod 757
≡ 69561 ⋅ 221 ⋅ 57 ⋅ 622 mod 757 ≡ 674 ⋅ 221 ⋅ 57 ⋅ 622 mod 757
≡ 148954 ⋅ 57 ⋅ 622 mod 757 ≡ 582 ⋅ 57 ⋅ 622 mod 757
≡ 33174 ⋅ 622 mod 757 ≡ 623 ⋅ 622 mod 757
≡ 387506 mod 757 ≡ 679 mod 757
Es gilt also: 62263 ≡ 679 mod 757
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 68
| =>79 | = 1⋅68 + 11 |
| =>68 | = 6⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 68-6⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(68 -6⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅68 +30⋅ 11) = -5⋅68 +31⋅ 11 (=1) |
| 11= 79-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅68 +31⋅(79 -1⋅ 68)
= -5⋅68 +31⋅79 -31⋅ 68) = 31⋅79 -36⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,68)=1 = 31⋅79 -36⋅68
oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -31⋅79 = -36⋅68
-36⋅68 = -31⋅79 + 1 |+79⋅68
-36⋅68 + 79⋅68 = -31⋅79 + 79⋅68 + 1
(-36 + 79) ⋅ 68 = (-31 + 68) ⋅ 79 + 1
43⋅68 = 37⋅79 + 1
Es gilt also: 43⋅68 = 37⋅79 +1
Somit 43⋅68 = 1 mod 79
43 ist also das Inverse von 68 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.