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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1204 + 121) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1204 + 121) mod 4 ≡ (1204 mod 4 + 121 mod 4) mod 4.
1204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204
= 1200
121 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121
= 120
Somit gilt:
(1204 + 121) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 100) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 100) mod 10 ≡ (68 mod 10 ⋅ 100 mod 10) mod 10.
68 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 60 + 8 = 6 ⋅ 10 + 8 ist.
100 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 10 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 100) mod 10 ≡ (8 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 24464 mod 433.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 244 -> x
2. mod(x²,433) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2441=244
2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 215 mod 433
4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 327 mod 433
8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 411 mod 433
16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 51 mod 433
32: 24432=24416+16=24416⋅24416 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 3 mod 433
64: 24464=24432+32=24432⋅24432 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 433
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 340129 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:
129 = 128+1
1: 3401=340
2: 3402=3401+1=3401⋅3401 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 246 mod 421
4: 3404=3402+2=3402⋅3402 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 313 mod 421
8: 3408=3404+4=3404⋅3404 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 297 mod 421
16: 34016=3408+8=3408⋅3408 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 220 mod 421
32: 34032=34016+16=34016⋅34016 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 406 mod 421
64: 34064=34032+32=34032⋅34032 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 225 mod 421
128: 340128=34064+64=34064⋅34064 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 105 mod 421
340129
= 340128+1
= 340128⋅3401
≡ 105 ⋅ 340 mod 421
≡ 35700 mod 421 ≡ 336 mod 421
Es gilt also: 340129 ≡ 336 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 69
| =>97 | = 1⋅69 + 28 |
| =>69 | = 2⋅28 + 13 |
| =>28 | = 2⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 28-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(28 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅28 +12⋅ 13) = -6⋅28 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 69-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅28 +13⋅(69 -2⋅ 28)
= -6⋅28 +13⋅69 -26⋅ 28) = 13⋅69 -32⋅ 28 (=1) |
| 28= 97-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅69 -32⋅(97 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -32⋅97 +32⋅ 69) = -32⋅97 +45⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,69)=1 = -32⋅97 +45⋅69
oder wenn man -32⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +32⋅97 = +45⋅69
Es gilt also: 45⋅69 = 32⋅97 +1
Somit 45⋅69 = 1 mod 97
45 ist also das Inverse von 69 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
