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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15997 + 23998) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15997 + 23998) mod 8 ≡ (15997 mod 8 + 23998 mod 8) mod 8.
15997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997
= 15000
23998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998
= 23000
Somit gilt:
(15997 + 23998) mod 8 ≡ (5 + 6) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 85) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 85) mod 6 ≡ (56 mod 6 ⋅ 85 mod 6) mod 6.
56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.
85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 85) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2318 mod 233.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 231 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2311=231
2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 4 mod 233
4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 233
8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 16⋅16=256 ≡ 23 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 306159 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:
159 = 128+16+8+4+2+1
1: 3061=306
2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 674 mod 877
4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 867 mod 877
8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 867⋅867=751689 ≡ 100 mod 877
16: 30616=3068+8=3068⋅3068 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 353 mod 877
32: 30632=30616+16=30616⋅30616 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 75 mod 877
64: 30664=30632+32=30632⋅30632 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 363 mod 877
128: 306128=30664+64=30664⋅30664 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 219 mod 877
306159
= 306128+16+8+4+2+1
= 306128⋅30616⋅3068⋅3064⋅3062⋅3061
≡ 219 ⋅ 353 ⋅ 100 ⋅ 867 ⋅ 674 ⋅ 306 mod 877
≡ 77307 ⋅ 100 ⋅ 867 ⋅ 674 ⋅ 306 mod 877 ≡ 131 ⋅ 100 ⋅ 867 ⋅ 674 ⋅ 306 mod 877
≡ 13100 ⋅ 867 ⋅ 674 ⋅ 306 mod 877 ≡ 822 ⋅ 867 ⋅ 674 ⋅ 306 mod 877
≡ 712674 ⋅ 674 ⋅ 306 mod 877 ≡ 550 ⋅ 674 ⋅ 306 mod 877
≡ 370700 ⋅ 306 mod 877 ≡ 606 ⋅ 306 mod 877
≡ 185436 mod 877 ≡ 389 mod 877
Es gilt also: 306159 ≡ 389 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32
| =>83 | = 2⋅32 + 19 |
| =>32 | = 1⋅19 + 13 |
| =>19 | = 1⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 19-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1) |
| 13= 32-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1) |
| 19= 83-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32)
= 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32
oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅83 = +13⋅32
Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1
Somit 13⋅32 = 1 mod 83
13 ist also das Inverse von 32 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
