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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14000 + 136) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14000 + 136) mod 7 ≡ (14000 mod 7 + 136 mod 7) mod 7.

14000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14000 = 14000+0 = 7 ⋅ 2000 +0.

136 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 136 = 140-4 = 7 ⋅ 20 -4 = 7 ⋅ 20 - 7 + 3.

Somit gilt:

(14000 + 136) mod 7 ≡ (0 + 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 78) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 78) mod 5 ≡ (74 mod 5 ⋅ 78 mod 5) mod 5.

74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.

78 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 75 + 3 = 15 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 78) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 387128 mod 971.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 387 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3871=387

2: 3872=3871+1=3871⋅3871 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 235 mod 971

4: 3874=3872+2=3872⋅3872 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 849 mod 971

8: 3878=3874+4=3874⋅3874 ≡ 849⋅849=720801 ≡ 319 mod 971

16: 38716=3878+8=3878⋅3878 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 777 mod 971

32: 38732=38716+16=38716⋅38716 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 738 mod 971

64: 38764=38732+32=38732⋅38732 ≡ 738⋅738=544644 ≡ 884 mod 971

128: 387128=38764+64=38764⋅38764 ≡ 884⋅884=781456 ≡ 772 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 356133 mod 461.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:

133 = 128+4+1

1: 3561=356

2: 3562=3561+1=3561⋅3561 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 422 mod 461

4: 3564=3562+2=3562⋅3562 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 138 mod 461

8: 3568=3564+4=3564⋅3564 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 143 mod 461

16: 35616=3568+8=3568⋅3568 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 165 mod 461

32: 35632=35616+16=35616⋅35616 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 26 mod 461

64: 35664=35632+32=35632⋅35632 ≡ 26⋅26=676 ≡ 215 mod 461

128: 356128=35664+64=35664⋅35664 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 125 mod 461

356133

= 356128+4+1

= 356128⋅3564⋅3561

≡ 125 ⋅ 138 ⋅ 356 mod 461
≡ 17250 ⋅ 356 mod 461 ≡ 193 ⋅ 356 mod 461
≡ 68708 mod 461 ≡ 19 mod 461

Es gilt also: 356133 ≡ 19 mod 461

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 47

=>59 = 1⋅47 + 12
=>47 = 3⋅12 + 11
=>12 = 1⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 47-3⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅12 -1⋅(47 -3⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅47 +3⋅ 12)
= -1⋅47 +4⋅ 12 (=1)
12= 59-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +4⋅(59 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +4⋅59 -4⋅ 47)
= 4⋅59 -5⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(59,47)=1 = 4⋅59 -5⋅47

oder wenn man 4⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅59 = -5⋅47

-5⋅47 = -4⋅59 + 1 |+59⋅47

-5⋅47 + 59⋅47 = -4⋅59 + 59⋅47 + 1

(-5 + 59) ⋅ 47 = (-4 + 47) ⋅ 59 + 1

54⋅47 = 43⋅59 + 1

Es gilt also: 54⋅47 = 43⋅59 +1

Somit 54⋅47 = 1 mod 59

54 ist also das Inverse von 47 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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