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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20002 + 12003) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20002 + 12003) mod 4 ≡ (20002 mod 4 + 12003 mod 4) mod 4.

20002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20002 = 20000+2 = 4 ⋅ 5000 +2.

12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 4 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(20002 + 12003) mod 4 ≡ (2 + 3) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 96) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 96) mod 4 ≡ (42 mod 4 ⋅ 96 mod 4) mod 4.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 10 ⋅ 4 + 2 ist.

96 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 24 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 96) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 331128 mod 653.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 331 -> x
2. mod(x²,653) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3311=331

2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 510 mod 653

4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 206 mod 653

8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 644 mod 653

16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 81 mod 653

32: 33132=33116+16=33116⋅33116 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 31 mod 653

64: 33164=33132+32=33132⋅33132 ≡ 31⋅31=961 ≡ 308 mod 653

128: 331128=33164+64=33164⋅33164 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 179 mod 653

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 326202 mod 397.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:

202 = 128+64+8+2

1: 3261=326

2: 3262=3261+1=3261⋅3261 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 277 mod 397

4: 3264=3262+2=3262⋅3262 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 108 mod 397

8: 3268=3264+4=3264⋅3264 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 151 mod 397

16: 32616=3268+8=3268⋅3268 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 172 mod 397

32: 32632=32616+16=32616⋅32616 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 206 mod 397

64: 32664=32632+32=32632⋅32632 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 354 mod 397

128: 326128=32664+64=32664⋅32664 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 261 mod 397

326202

= 326128+64+8+2

= 326128⋅32664⋅3268⋅3262

≡ 261 ⋅ 354 ⋅ 151 ⋅ 277 mod 397
≡ 92394 ⋅ 151 ⋅ 277 mod 397 ≡ 290 ⋅ 151 ⋅ 277 mod 397
≡ 43790 ⋅ 277 mod 397 ≡ 120 ⋅ 277 mod 397
≡ 33240 mod 397 ≡ 289 mod 397

Es gilt also: 326202 ≡ 289 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22

=>71 = 3⋅22 + 5
=>22 = 4⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5)
= -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 71-3⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22)
= 9⋅71 -29⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -29⋅22

-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22

-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1

(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1

42⋅22 = 13⋅71 + 1

Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1

Somit 42⋅22 = 1 mod 71

42 ist also das Inverse von 22 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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