nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9996 + 145) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9996 + 145) mod 5 ≡ (9996 mod 5 + 145 mod 5) mod 5.

9996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9996 = 9000+996 = 5 ⋅ 1800 +996.

145 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145 = 140+5 = 5 ⋅ 28 +5.

Somit gilt:

(9996 + 145) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 30) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 30) mod 9 ≡ (19 mod 9 ⋅ 30 mod 9) mod 9.

19 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ist.

30 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 27 + 3 = 3 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 30) mod 9 ≡ (1 ⋅ 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2918 mod 359.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 291 -> x
2. mod(x²,359) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2911=291

2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 316 mod 359

4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 54 mod 359

8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 44 mod 359

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 229207 mod 691.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

1: 2291=229

2: 2292=2291+1=2291⋅2291 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 616 mod 691

4: 2294=2292+2=2292⋅2292 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 97 mod 691

8: 2298=2294+4=2294⋅2294 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 426 mod 691

16: 22916=2298+8=2298⋅2298 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 434 mod 691

32: 22932=22916+16=22916⋅22916 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 404 mod 691

64: 22964=22932+32=22932⋅22932 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 140 mod 691

128: 229128=22964+64=22964⋅22964 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 252 mod 691

229207

= 229128+64+8+4+2+1

= 229128⋅22964⋅2298⋅2294⋅2292⋅2291

252 ⋅ 140 ⋅ 426 ⋅ 97 ⋅ 616 ⋅ 229 mod 691
35280 ⋅ 426 ⋅ 97 ⋅ 616 ⋅ 229 mod 691 ≡ 39 ⋅ 426 ⋅ 97 ⋅ 616 ⋅ 229 mod 691
16614 ⋅ 97 ⋅ 616 ⋅ 229 mod 691 ≡ 30 ⋅ 97 ⋅ 616 ⋅ 229 mod 691
2910 ⋅ 616 ⋅ 229 mod 691 ≡ 146 ⋅ 616 ⋅ 229 mod 691
89936 ⋅ 229 mod 691 ≡ 106 ⋅ 229 mod 691
24274 mod 691 ≡ 89 mod 691

Es gilt also: 229207 ≡ 89 mod 691

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 70

=>89 = 1⋅70 + 19
=>70 = 3⋅19 + 13
=>19 = 1⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13)
= -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 70-3⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅19 +3⋅(70 -3⋅ 19)
= -2⋅19 +3⋅70 -9⋅ 19)
= 3⋅70 -11⋅ 19 (=1)
19= 89-1⋅70 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅70 -11⋅(89 -1⋅ 70)
= 3⋅70 -11⋅89 +11⋅ 70)
= -11⋅89 +14⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(89,70)=1 = -11⋅89 +14⋅70

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +14⋅70

Es gilt also: 14⋅70 = 11⋅89 +1

Somit 14⋅70 = 1 mod 89

14 ist also das Inverse von 70 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.