Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (36000 - 1808) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(36000 - 1808) mod 9 ≡ (36000 mod 9 - 1808 mod 9) mod 9.
36000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36000
= 36000
1808 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1808
= 1800
Somit gilt:
(36000 - 1808) mod 9 ≡ (0 - 8) mod 9 ≡ -8 mod 9 ≡ 1 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 27) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 27) mod 10 ≡ (80 mod 10 ⋅ 27 mod 10) mod 10.
80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.
27 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 20 + 7 = 2 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 27) mod 10 ≡ (0 ⋅ 7) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38016 mod 827.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 380 -> x
2. mod(x²,827) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3801=380
2: 3802=3801+1=3801⋅3801 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 502 mod 827
4: 3804=3802+2=3802⋅3802 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 596 mod 827
8: 3808=3804+4=3804⋅3804 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 433 mod 827
16: 38016=3808+8=3808⋅3808 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 587 mod 827
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 250162 mod 743.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:
162 = 128+32+2
1: 2501=250
2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 88 mod 743
4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 314 mod 743
8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 520 mod 743
16: 25016=2508+8=2508⋅2508 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 691 mod 743
32: 25032=25016+16=25016⋅25016 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 475 mod 743
64: 25064=25032+32=25032⋅25032 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 496 mod 743
128: 250128=25064+64=25064⋅25064 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 83 mod 743
250162
= 250128+32+2
= 250128⋅25032⋅2502
≡ 83 ⋅ 475 ⋅ 88 mod 743
≡ 39425 ⋅ 88 mod 743 ≡ 46 ⋅ 88 mod 743
≡ 4048 mod 743 ≡ 333 mod 743
Es gilt also: 250162 ≡ 333 mod 743
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 28.
Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 28
| =>61 | = 2⋅28 + 5 |
| =>28 | = 5⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,28)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 28-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(28 -5⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅28 -10⋅ 5) = 2⋅28 -11⋅ 5 (=1) |
| 5= 61-2⋅28 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅28 -11⋅(61 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -11⋅61 +22⋅ 28) = -11⋅61 +24⋅ 28 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,28)=1 = -11⋅61 +24⋅28
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +24⋅28
Es gilt also: 24⋅28 = 11⋅61 +1
Somit 24⋅28 = 1 mod 61
24 ist also das Inverse von 28 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.