Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15002 - 2495) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15002 - 2495) mod 5 ≡ (15002 mod 5 - 2495 mod 5) mod 5.
15002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002
= 15000
2495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2495
= 2400
Somit gilt:
(15002 - 2495) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 69) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 69) mod 9 ≡ (73 mod 9 ⋅ 69 mod 9) mod 9.
73 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 8 ⋅ 9 + 1 ist.
69 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 7 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 69) mod 9 ≡ (1 ⋅ 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29716 mod 853.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 297 -> x
2. mod(x²,853) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2971=297
2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 350 mod 853
4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 521 mod 853
8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 187 mod 853
16: 29716=2978+8=2978⋅2978 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 849 mod 853
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 47774 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 74 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 74 an und zerlegen 74 in eine Summer von 2er-Potenzen:
74 = 64+8+2
1: 4771=477
2: 4772=4771+1=4771⋅4771 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 299 mod 733
4: 4774=4772+2=4772⋅4772 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 708 mod 733
8: 4778=4774+4=4774⋅4774 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 625 mod 733
16: 47716=4778+8=4778⋅4778 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 669 mod 733
32: 47732=47716+16=47716⋅47716 ≡ 669⋅669=447561 ≡ 431 mod 733
64: 47764=47732+32=47732⋅47732 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 312 mod 733
47774
= 47764+8+2
= 47764⋅4778⋅4772
≡ 312 ⋅ 625 ⋅ 299 mod 733
≡ 195000 ⋅ 299 mod 733 ≡ 22 ⋅ 299 mod 733
≡ 6578 mod 733 ≡ 714 mod 733
Es gilt also: 47774 ≡ 714 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 58
| =>67 | = 1⋅58 + 9 |
| =>58 | = 6⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 58-6⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(58 -6⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅58 +12⋅ 9) = -2⋅58 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 67-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +13⋅(67 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +13⋅67 -13⋅ 58) = 13⋅67 -15⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,58)=1 = 13⋅67 -15⋅58
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -15⋅58
-15⋅58 = -13⋅67 + 1 |+67⋅58
-15⋅58 + 67⋅58 = -13⋅67 + 67⋅58 + 1
(-15 + 67) ⋅ 58 = (-13 + 58) ⋅ 67 + 1
52⋅58 = 45⋅67 + 1
Es gilt also: 52⋅58 = 45⋅67 +1
Somit 52⋅58 = 1 mod 67
52 ist also das Inverse von 58 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.