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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (11996 - 39) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11996 - 39) mod 4 ≡ (11996 mod 4 - 39 mod 4) mod 4.

11996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996 = 11000+996 = 4 ⋅ 2750 +996.

39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 40-1 = 4 ⋅ 10 -1 = 4 ⋅ 10 - 4 + 3.

Somit gilt:

(11996 - 39) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 74) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 74) mod 10 ≡ (35 mod 10 ⋅ 74 mod 10) mod 10.

35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.

74 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 7 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 74) mod 10 ≡ (5 ⋅ 4) mod 10 ≡ 20 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 592⁸ mod 907.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 592 -> x
2. mod(x²,907) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 592¹=592

2: 592²=592¹⁺¹=592¹⋅592¹ ≡ 592⋅592=350464 ≡ 362 mod 907

4: 592⁴=592²⁺²=592²⋅592² ≡ 362⋅362=131044 ≡ 436 mod 907

8: 592⁸=592⁴⁺⁴=592⁴⋅592⁴ ≡ 436⋅436=190096 ≡ 533 mod 907

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 330²²⁷ mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

1: 330¹=330

2: 330²=330¹⁺¹=330¹⋅330¹ ≡ 330⋅330=108900 ≡ 369 mod 389

4: 330⁴=330²⁺²=330²⋅330² ≡ 369⋅369=136161 ≡ 11 mod 389

8: 330⁸=330⁴⁺⁴=330⁴⋅330⁴ ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 389

16: 330¹⁶=330⁸⁺⁸=330⁸⋅330⁸ ≡ 121⋅121=14641 ≡ 248 mod 389

32: 330³²=330¹⁶⁺¹⁶=330¹⁶⋅330¹⁶ ≡ 248⋅248=61504 ≡ 42 mod 389

64: 330⁶⁴=330³²⁺³²=330³²⋅330³² ≡ 42⋅42=1764 ≡ 208 mod 389

128: 330¹²⁸=330⁶⁴⁺⁶⁴=330⁶⁴⋅330⁶⁴ ≡ 208⋅208=43264 ≡ 85 mod 389

330²²⁷

= 330^{128+64+32+2+1}

= 330¹²⁸⋅330⁶⁴⋅330³²⋅330²⋅330¹

≡ 85 ⋅ 208 ⋅ 42 ⋅ 369 ⋅ 330 mod 389
≡ 17680 ⋅ 42 ⋅ 369 ⋅ 330 mod 389 ≡ 175 ⋅ 42 ⋅ 369 ⋅ 330 mod 389
≡ 7350 ⋅ 369 ⋅ 330 mod 389 ≡ 348 ⋅ 369 ⋅ 330 mod 389
≡ 128412 ⋅ 330 mod 389 ≡ 42 ⋅ 330 mod 389
≡ 13860 mod 389 ≡ 245 mod 389

Es gilt also: 330²²⁷ ≡ 245 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 45

=>83	= 1⋅45 + 38
=>45	= 1⋅38 + 7
=>38	= 5⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 38-5⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7) = -2⋅38 +11⋅ 7 (=1)
7= 45-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅38 +11⋅(45 -1⋅ 38) = -2⋅38 +11⋅45 -11⋅ 38) = 11⋅45 -13⋅ 38 (=1)
38= 83-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅45 -13⋅(83 -1⋅ 45) = 11⋅45 -13⋅83 +13⋅ 45) = -13⋅83 +24⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(83,45)=1 = -13⋅83 +24⋅45

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +24⋅45

Es gilt also: 24⋅45 = 13⋅83 +1

Somit 24⋅45 = 1 mod 83

24 ist also das Inverse von 45 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 45

Schlüsselpaar für RSA