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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32003 + 1603) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32003 + 1603) mod 8 ≡ (32003 mod 8 + 1603 mod 8) mod 8.

32003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32003 = 32000+3 = 8 ⋅ 4000 +3.

1603 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1603 = 1600+3 = 8 ⋅ 200 +3.

Somit gilt:

(32003 + 1603) mod 8 ≡ (3 + 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 16) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 16) mod 5 ≡ (27 mod 5 ⋅ 16 mod 5) mod 5.

27 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 25 + 2 = 5 ⋅ 5 + 2 ist.

16 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 3 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 16) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7232 mod 211.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 72 -> x
2. mod(x²,211) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 721=72

2: 722=721+1=721⋅721 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 120 mod 211

4: 724=722+2=722⋅722 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 52 mod 211

8: 728=724+4=724⋅724 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 172 mod 211

16: 7216=728+8=728⋅728 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 44 mod 211

32: 7232=7216+16=7216⋅7216 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 37 mod 211

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 190220 mod 571.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:

220 = 128+64+16+8+4

1: 1901=190

2: 1902=1901+1=1901⋅1901 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 127 mod 571

4: 1904=1902+2=1902⋅1902 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 141 mod 571

8: 1908=1904+4=1904⋅1904 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 467 mod 571

16: 19016=1908+8=1908⋅1908 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 538 mod 571

32: 19032=19016+16=19016⋅19016 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 518 mod 571

64: 19064=19032+32=19032⋅19032 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 525 mod 571

128: 190128=19064+64=19064⋅19064 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 403 mod 571

190220

= 190128+64+16+8+4

= 190128⋅19064⋅19016⋅1908⋅1904

403 ⋅ 525 ⋅ 538 ⋅ 467 ⋅ 141 mod 571
211575 ⋅ 538 ⋅ 467 ⋅ 141 mod 571 ≡ 305 ⋅ 538 ⋅ 467 ⋅ 141 mod 571
164090 ⋅ 467 ⋅ 141 mod 571 ≡ 213 ⋅ 467 ⋅ 141 mod 571
99471 ⋅ 141 mod 571 ≡ 117 ⋅ 141 mod 571
16497 mod 571 ≡ 509 mod 571

Es gilt also: 190220 ≡ 509 mod 571

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 92.

Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 92

=>101 = 1⋅92 + 9
=>92 = 10⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,92)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 92-10⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(92 -10⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅92 +40⋅ 9)
= -4⋅92 +41⋅ 9 (=1)
9= 101-1⋅92 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅92 +41⋅(101 -1⋅ 92)
= -4⋅92 +41⋅101 -41⋅ 92)
= 41⋅101 -45⋅ 92 (=1)

Es gilt also: ggt(101,92)=1 = 41⋅101 -45⋅92

oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -41⋅101 = -45⋅92

-45⋅92 = -41⋅101 + 1 |+101⋅92

-45⋅92 + 101⋅92 = -41⋅101 + 101⋅92 + 1

(-45 + 101) ⋅ 92 = (-41 + 92) ⋅ 101 + 1

56⋅92 = 51⋅101 + 1

Es gilt also: 56⋅92 = 51⋅101 +1

Somit 56⋅92 = 1 mod 101

56 ist also das Inverse von 92 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.