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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16005 - 23992) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16005 - 23992) mod 8 ≡ (16005 mod 8 - 23992 mod 8) mod 8.
16005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16005
= 16000
23992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23992
= 23000
Somit gilt:
(16005 - 23992) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 20) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 20) mod 10 ≡ (55 mod 10 ⋅ 20 mod 10) mod 10.
55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.
20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 20) mod 10 ≡ (5 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 281128 mod 919.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 281 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2811=281
2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 846 mod 919
4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 846⋅846=715716 ≡ 734 mod 919
8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 734⋅734=538756 ≡ 222 mod 919
16: 28116=2818+8=2818⋅2818 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 577 mod 919
32: 28132=28116+16=28116⋅28116 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 251 mod 919
64: 28164=28132+32=28132⋅28132 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 509 mod 919
128: 281128=28164+64=28164⋅28164 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 842 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 376246 mod 761.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:
246 = 128+64+32+16+4+2
1: 3761=376
2: 3762=3761+1=3761⋅3761 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 591 mod 761
4: 3764=3762+2=3762⋅3762 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 743 mod 761
8: 3768=3764+4=3764⋅3764 ≡ 743⋅743=552049 ≡ 324 mod 761
16: 37616=3768+8=3768⋅3768 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 719 mod 761
32: 37632=37616+16=37616⋅37616 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 242 mod 761
64: 37664=37632+32=37632⋅37632 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 728 mod 761
128: 376128=37664+64=37664⋅37664 ≡ 728⋅728=529984 ≡ 328 mod 761
376246
= 376128+64+32+16+4+2
= 376128⋅37664⋅37632⋅37616⋅3764⋅3762
≡ 328 ⋅ 728 ⋅ 242 ⋅ 719 ⋅ 743 ⋅ 591 mod 761
≡ 238784 ⋅ 242 ⋅ 719 ⋅ 743 ⋅ 591 mod 761 ≡ 591 ⋅ 242 ⋅ 719 ⋅ 743 ⋅ 591 mod 761
≡ 143022 ⋅ 719 ⋅ 743 ⋅ 591 mod 761 ≡ 715 ⋅ 719 ⋅ 743 ⋅ 591 mod 761
≡ 514085 ⋅ 743 ⋅ 591 mod 761 ≡ 410 ⋅ 743 ⋅ 591 mod 761
≡ 304630 ⋅ 591 mod 761 ≡ 230 ⋅ 591 mod 761
≡ 135930 mod 761 ≡ 472 mod 761
Es gilt also: 376246 ≡ 472 mod 761
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 68
| =>79 | = 1⋅68 + 11 |
| =>68 | = 6⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 68-6⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(68 -6⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅68 +30⋅ 11) = -5⋅68 +31⋅ 11 (=1) |
| 11= 79-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅68 +31⋅(79 -1⋅ 68)
= -5⋅68 +31⋅79 -31⋅ 68) = 31⋅79 -36⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,68)=1 = 31⋅79 -36⋅68
oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -31⋅79 = -36⋅68
-36⋅68 = -31⋅79 + 1 |+79⋅68
-36⋅68 + 79⋅68 = -31⋅79 + 79⋅68 + 1
(-36 + 79) ⋅ 68 = (-31 + 68) ⋅ 79 + 1
43⋅68 = 37⋅79 + 1
Es gilt also: 43⋅68 = 37⋅79 +1
Somit 43⋅68 = 1 mod 79
43 ist also das Inverse von 68 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
