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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 - 2405) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 - 2405) mod 6 ≡ (64 mod 6 - 2405 mod 6) mod 6.

64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60+4 = 6 ⋅ 10 +4.

2405 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2405 = 2400+5 = 6 ⋅ 400 +5.

Somit gilt:

(64 - 2405) mod 6 ≡ (4 - 5) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 36) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 36) mod 4 ≡ (77 mod 4 ⋅ 36 mod 4) mod 4.

77 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 76 + 1 = 19 ⋅ 4 + 1 ist.

36 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 9 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 36) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23132 mod 503.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 231 -> x
2. mod(x²,503) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2311=231

2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 43 mod 503

4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 340 mod 503

8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 413 mod 503

16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 52 mod 503

32: 23132=23116+16=23116⋅23116 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 189 mod 503

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 183124 mod 383.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:

124 = 64+32+16+8+4

1: 1831=183

2: 1832=1831+1=1831⋅1831 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 168 mod 383

4: 1834=1832+2=1832⋅1832 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 265 mod 383

8: 1838=1834+4=1834⋅1834 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 136 mod 383

16: 18316=1838+8=1838⋅1838 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 112 mod 383

32: 18332=18316+16=18316⋅18316 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 288 mod 383

64: 18364=18332+32=18332⋅18332 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 216 mod 383

183124

= 18364+32+16+8+4

= 18364⋅18332⋅18316⋅1838⋅1834

≡ 216 ⋅ 288 ⋅ 112 ⋅ 136 ⋅ 265 mod 383
≡ 62208 ⋅ 112 ⋅ 136 ⋅ 265 mod 383 ≡ 162 ⋅ 112 ⋅ 136 ⋅ 265 mod 383
≡ 18144 ⋅ 136 ⋅ 265 mod 383 ≡ 143 ⋅ 136 ⋅ 265 mod 383
≡ 19448 ⋅ 265 mod 383 ≡ 298 ⋅ 265 mod 383
≡ 78970 mod 383 ≡ 72 mod 383

Es gilt also: 183124 ≡ 72 mod 383

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 63

=>67 = 1⋅63 + 4
=>63 = 15⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 63-15⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(63 -15⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅63 +15⋅ 4)
= -1⋅63 +16⋅ 4 (=1)
4= 67-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅63 +16⋅(67 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +16⋅67 -16⋅ 63)
= 16⋅67 -17⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(67,63)=1 = 16⋅67 -17⋅63

oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅67 = -17⋅63

-17⋅63 = -16⋅67 + 1 |+67⋅63

-17⋅63 + 67⋅63 = -16⋅67 + 67⋅63 + 1

(-17 + 67) ⋅ 63 = (-16 + 63) ⋅ 67 + 1

50⋅63 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 50⋅63 = 47⋅67 +1

Somit 50⋅63 = 1 mod 67

50 ist also das Inverse von 63 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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