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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40000 - 248) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40000 - 248) mod 8 ≡ (40000 mod 8 - 248 mod 8) mod 8.

40000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40000 = 40000+0 = 8 ⋅ 5000 +0.

248 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248 = 240+8 = 8 ⋅ 30 +8.

Somit gilt:

(40000 - 248) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 31) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 31) mod 8 ≡ (44 mod 8 ⋅ 31 mod 8) mod 8.

44 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 5 ⋅ 8 + 4 ist.

31 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 24 + 7 = 3 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 31) mod 8 ≡ (4 ⋅ 7) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 198⁶⁴ mod 293.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 198 -> x
2. mod(x²,293) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 198¹=198

2: 198²=198¹⁺¹=198¹⋅198¹ ≡ 198⋅198=39204 ≡ 235 mod 293

4: 198⁴=198²⁺²=198²⋅198² ≡ 235⋅235=55225 ≡ 141 mod 293

8: 198⁸=198⁴⁺⁴=198⁴⋅198⁴ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 250 mod 293

16: 198¹⁶=198⁸⁺⁸=198⁸⋅198⁸ ≡ 250⋅250=62500 ≡ 91 mod 293

32: 198³²=198¹⁶⁺¹⁶=198¹⁶⋅198¹⁶ ≡ 91⋅91=8281 ≡ 77 mod 293

64: 198⁶⁴=198³²⁺³²=198³²⋅198³² ≡ 77⋅77=5929 ≡ 69 mod 293

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 801¹⁹¹ mod 811.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

1: 801¹=801

2: 801²=801¹⁺¹=801¹⋅801¹ ≡ 801⋅801=641601 ≡ 100 mod 811

4: 801⁴=801²⁺²=801²⋅801² ≡ 100⋅100=10000 ≡ 268 mod 811

8: 801⁸=801⁴⁺⁴=801⁴⋅801⁴ ≡ 268⋅268=71824 ≡ 456 mod 811

16: 801¹⁶=801⁸⁺⁸=801⁸⋅801⁸ ≡ 456⋅456=207936 ≡ 320 mod 811

32: 801³²=801¹⁶⁺¹⁶=801¹⁶⋅801¹⁶ ≡ 320⋅320=102400 ≡ 214 mod 811

64: 801⁶⁴=801³²⁺³²=801³²⋅801³² ≡ 214⋅214=45796 ≡ 380 mod 811

128: 801¹²⁸=801⁶⁴⁺⁶⁴=801⁶⁴⋅801⁶⁴ ≡ 380⋅380=144400 ≡ 42 mod 811

801¹⁹¹

= 801^{128+32+16+8+4+2+1}

= 801¹²⁸⋅801³²⋅801¹⁶⋅801⁸⋅801⁴⋅801²⋅801¹

≡ 42 ⋅ 214 ⋅ 320 ⋅ 456 ⋅ 268 ⋅ 100 ⋅ 801 mod 811
≡ 8988 ⋅ 320 ⋅ 456 ⋅ 268 ⋅ 100 ⋅ 801 mod 811 ≡ 67 ⋅ 320 ⋅ 456 ⋅ 268 ⋅ 100 ⋅ 801 mod 811
≡ 21440 ⋅ 456 ⋅ 268 ⋅ 100 ⋅ 801 mod 811 ≡ 354 ⋅ 456 ⋅ 268 ⋅ 100 ⋅ 801 mod 811
≡ 161424 ⋅ 268 ⋅ 100 ⋅ 801 mod 811 ≡ 35 ⋅ 268 ⋅ 100 ⋅ 801 mod 811
≡ 9380 ⋅ 100 ⋅ 801 mod 811 ≡ 459 ⋅ 100 ⋅ 801 mod 811
≡ 45900 ⋅ 801 mod 811 ≡ 484 ⋅ 801 mod 811
≡ 387684 mod 811 ≡ 26 mod 811

Es gilt also: 801¹⁹¹ ≡ 26 mod 811

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 78.

Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78

=>97	= 1⋅78 + 19
=>78	= 4⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,78)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 78-4⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19) = -9⋅78 +37⋅ 19 (=1)
19= 97-1⋅78	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78) = -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78) = 37⋅97 -46⋅ 78 (=1)

Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78

oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -37⋅97 = -46⋅78

-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78

-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1

(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1

51⋅78 = 41⋅97 + 1

Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1

Somit 51⋅78 = 1 mod 97

51 ist also das Inverse von 78 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78

Schlüsselpaar für RSA