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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (303 - 1202) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(303 - 1202) mod 3 ≡ (303 mod 3 - 1202 mod 3) mod 3.

303 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303 = 300+3 = 3 ⋅ 100 +3.

1202 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 3 ⋅ 400 +2.

Somit gilt:

(303 - 1202) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 73) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(17 ⋅ 73) mod 7 ≡ (17 mod 7 ⋅ 73 mod 7) mod 7.

17 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 14 + 3 = 2 ⋅ 7 + 3 ist.

73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 10 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(17 ⋅ 73) mod 7 ≡ (3 ⋅ 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 201¹²⁸ mod 271.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 201 -> x
2. mod(x²,271) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 201¹=201

2: 201²=201¹⁺¹=201¹⋅201¹ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 22 mod 271

4: 201⁴=201²⁺²=201²⋅201² ≡ 22⋅22=484 ≡ 213 mod 271

8: 201⁸=201⁴⁺⁴=201⁴⋅201⁴ ≡ 213⋅213=45369 ≡ 112 mod 271

16: 201¹⁶=201⁸⁺⁸=201⁸⋅201⁸ ≡ 112⋅112=12544 ≡ 78 mod 271

32: 201³²=201¹⁶⁺¹⁶=201¹⁶⋅201¹⁶ ≡ 78⋅78=6084 ≡ 122 mod 271

64: 201⁶⁴=201³²⁺³²=201³²⋅201³² ≡ 122⋅122=14884 ≡ 250 mod 271

128: 201¹²⁸=201⁶⁴⁺⁶⁴=201⁶⁴⋅201⁶⁴ ≡ 250⋅250=62500 ≡ 170 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 606¹¹⁹ mod 941.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

1: 606¹=606

2: 606²=606¹⁺¹=606¹⋅606¹ ≡ 606⋅606=367236 ≡ 246 mod 941

4: 606⁴=606²⁺²=606²⋅606² ≡ 246⋅246=60516 ≡ 292 mod 941

8: 606⁸=606⁴⁺⁴=606⁴⋅606⁴ ≡ 292⋅292=85264 ≡ 574 mod 941

16: 606¹⁶=606⁸⁺⁸=606⁸⋅606⁸ ≡ 574⋅574=329476 ≡ 126 mod 941

32: 606³²=606¹⁶⁺¹⁶=606¹⁶⋅606¹⁶ ≡ 126⋅126=15876 ≡ 820 mod 941

64: 606⁶⁴=606³²⁺³²=606³²⋅606³² ≡ 820⋅820=672400 ≡ 526 mod 941

606¹¹⁹

= 606^{64+32+16+4+2+1}

= 606⁶⁴⋅606³²⋅606¹⁶⋅606⁴⋅606²⋅606¹

≡ 526 ⋅ 820 ⋅ 126 ⋅ 292 ⋅ 246 ⋅ 606 mod 941
≡ 431320 ⋅ 126 ⋅ 292 ⋅ 246 ⋅ 606 mod 941 ≡ 342 ⋅ 126 ⋅ 292 ⋅ 246 ⋅ 606 mod 941
≡ 43092 ⋅ 292 ⋅ 246 ⋅ 606 mod 941 ≡ 747 ⋅ 292 ⋅ 246 ⋅ 606 mod 941
≡ 218124 ⋅ 246 ⋅ 606 mod 941 ≡ 753 ⋅ 246 ⋅ 606 mod 941
≡ 185238 ⋅ 606 mod 941 ≡ 802 ⋅ 606 mod 941
≡ 486012 mod 941 ≡ 456 mod 941

Es gilt also: 606¹¹⁹ ≡ 456 mod 941

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51

=>89	= 1⋅51 + 38
=>51	= 1⋅38 + 13
=>38	= 2⋅13 + 12
=>13	= 1⋅12 + 1
=>12	= 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 38-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13) = 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13) = -1⋅38 +3⋅ 13 (=1)
13= 51-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅38 +3⋅(51 -1⋅ 38) = -1⋅38 +3⋅51 -3⋅ 38) = 3⋅51 -4⋅ 38 (=1)
38= 89-1⋅51	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅51 -4⋅(89 -1⋅ 51) = 3⋅51 -4⋅89 +4⋅ 51) = -4⋅89 +7⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(89,51)=1 = -4⋅89 +7⋅51

oder wenn man -4⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +4⋅89 = +7⋅51

Es gilt also: 7⋅51 = 4⋅89 +1

Somit 7⋅51 = 1 mod 89

7 ist also das Inverse von 51 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51

Schlüsselpaar für RSA