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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (305 + 17999) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(305 + 17999) mod 6 ≡ (305 mod 6 + 17999 mod 6) mod 6.

305 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 305 = 300+5 = 6 ⋅ 50 +5.

17999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17999 = 18000-1 = 6 ⋅ 3000 -1 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 5.

Somit gilt:

(305 + 17999) mod 6 ≡ (5 + 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 80) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 80) mod 8 ≡ (23 mod 8 ⋅ 80 mod 8) mod 8.

23 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 16 + 7 = 2 ⋅ 8 + 7 ist.

80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 80) mod 8 ≡ (7 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 421128 mod 547.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 421 -> x
2. mod(x²,547) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4211=421

2: 4212=4211+1=4211⋅4211 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 13 mod 547

4: 4214=4212+2=4212⋅4212 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 547

8: 4218=4214+4=4214⋅4214 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 117 mod 547

16: 42116=4218+8=4218⋅4218 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 14 mod 547

32: 42132=42116+16=42116⋅42116 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 547

64: 42164=42132+32=42132⋅42132 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 126 mod 547

128: 421128=42164+64=42164⋅42164 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 13 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 35569 mod 571.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:

69 = 64+4+1

1: 3551=355

2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 405 mod 571

4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 148 mod 571

8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 206 mod 571

16: 35516=3558+8=3558⋅3558 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 182 mod 571

32: 35532=35516+16=35516⋅35516 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 6 mod 571

64: 35564=35532+32=35532⋅35532 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 571

35569

= 35564+4+1

= 35564⋅3554⋅3551

≡ 36 ⋅ 148 ⋅ 355 mod 571
≡ 5328 ⋅ 355 mod 571 ≡ 189 ⋅ 355 mod 571
≡ 67095 mod 571 ≡ 288 mod 571

Es gilt also: 35569 ≡ 288 mod 571

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 47

=>73 = 1⋅47 + 26
=>47 = 1⋅26 + 21
=>26 = 1⋅21 + 5
=>21 = 4⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-4⋅5
5= 26-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -4⋅(26 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -4⋅26 +4⋅ 21)
= -4⋅26 +5⋅ 21 (=1)
21= 47-1⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅26 +5⋅(47 -1⋅ 26)
= -4⋅26 +5⋅47 -5⋅ 26)
= 5⋅47 -9⋅ 26 (=1)
26= 73-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅47 -9⋅(73 -1⋅ 47)
= 5⋅47 -9⋅73 +9⋅ 47)
= -9⋅73 +14⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(73,47)=1 = -9⋅73 +14⋅47

oder wenn man -9⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅73 = +14⋅47

Es gilt also: 14⋅47 = 9⋅73 +1

Somit 14⋅47 = 1 mod 73

14 ist also das Inverse von 47 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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