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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (13996 - 278) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13996 - 278) mod 7 ≡ (13996 mod 7 - 278 mod 7) mod 7.

13996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13996 = 14000-4 = 7 ⋅ 2000 -4 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 3.

278 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 278 = 280-2 = 7 ⋅ 40 -2 = 7 ⋅ 40 - 7 + 5.

Somit gilt:

(13996 - 278) mod 7 ≡ (3 - 5) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 40) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 40) mod 7 ≡ (87 mod 7 ⋅ 40 mod 7) mod 7.

87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.

40 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 35 + 5 = 5 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 40) mod 7 ≡ (3 ⋅ 5) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 213⁶⁴ mod 367.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 213 -> x
2. mod(x²,367) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 213¹=213

2: 213²=213¹⁺¹=213¹⋅213¹ ≡ 213⋅213=45369 ≡ 228 mod 367

4: 213⁴=213²⁺²=213²⋅213² ≡ 228⋅228=51984 ≡ 237 mod 367

8: 213⁸=213⁴⁺⁴=213⁴⋅213⁴ ≡ 237⋅237=56169 ≡ 18 mod 367

16: 213¹⁶=213⁸⁺⁸=213⁸⋅213⁸ ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 367

32: 213³²=213¹⁶⁺¹⁶=213¹⁶⋅213¹⁶ ≡ 324⋅324=104976 ≡ 14 mod 367

64: 213⁶⁴=213³²⁺³²=213³²⋅213³² ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 367

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 660²¹⁷ mod 827.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:

217 = 128+64+16+8+1

1: 660¹=660

2: 660²=660¹⁺¹=660¹⋅660¹ ≡ 660⋅660=435600 ≡ 598 mod 827

4: 660⁴=660²⁺²=660²⋅660² ≡ 598⋅598=357604 ≡ 340 mod 827

8: 660⁸=660⁴⁺⁴=660⁴⋅660⁴ ≡ 340⋅340=115600 ≡ 647 mod 827

16: 660¹⁶=660⁸⁺⁸=660⁸⋅660⁸ ≡ 647⋅647=418609 ≡ 147 mod 827

32: 660³²=660¹⁶⁺¹⁶=660¹⁶⋅660¹⁶ ≡ 147⋅147=21609 ≡ 107 mod 827

64: 660⁶⁴=660³²⁺³²=660³²⋅660³² ≡ 107⋅107=11449 ≡ 698 mod 827

128: 660¹²⁸=660⁶⁴⁺⁶⁴=660⁶⁴⋅660⁶⁴ ≡ 698⋅698=487204 ≡ 101 mod 827

660²¹⁷

= 660^{128+64+16+8+1}

= 660¹²⁸⋅660⁶⁴⋅660¹⁶⋅660⁸⋅660¹

≡ 101 ⋅ 698 ⋅ 147 ⋅ 647 ⋅ 660 mod 827
≡ 70498 ⋅ 147 ⋅ 647 ⋅ 660 mod 827 ≡ 203 ⋅ 147 ⋅ 647 ⋅ 660 mod 827
≡ 29841 ⋅ 647 ⋅ 660 mod 827 ≡ 69 ⋅ 647 ⋅ 660 mod 827
≡ 44643 ⋅ 660 mod 827 ≡ 812 ⋅ 660 mod 827
≡ 535920 mod 827 ≡ 24 mod 827

Es gilt also: 660²¹⁷ ≡ 24 mod 827

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.

Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19

=>61	= 3⋅19 + 4
=>19	= 4⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 19-4⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1)
4= 61-3⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19) = -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19) = 5⋅61 -16⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19

oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅61 = -16⋅19

-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19

-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1

(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1

45⋅19 = 14⋅61 + 1

Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1

Somit 45⋅19 = 1 mod 61

45 ist also das Inverse von 19 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19

Schlüsselpaar für RSA