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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 - 205) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 - 205) mod 5 ≡ (95 mod 5 - 205 mod 5) mod 5.

95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90+5 = 5 ⋅ 18 +5.

205 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 205 = 200+5 = 5 ⋅ 40 +5.

Somit gilt:

(95 - 205) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 74) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 74) mod 5 ≡ (44 mod 5 ⋅ 74 mod 5) mod 5.

44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.

74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 74) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4538 mod 653.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 453 -> x
2. mod(x²,653) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4531=453

2: 4532=4531+1=4531⋅4531 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 167 mod 653

4: 4534=4532+2=4532⋅4532 ≡ 167⋅167=27889 ≡ 463 mod 653

8: 4538=4534+4=4534⋅4534 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 185 mod 653

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 148145 mod 229.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 145 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 145 an und zerlegen 145 in eine Summer von 2er-Potenzen:

145 = 128+16+1

1: 1481=148

2: 1482=1481+1=1481⋅1481 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 149 mod 229

4: 1484=1482+2=1482⋅1482 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 217 mod 229

8: 1488=1484+4=1484⋅1484 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 144 mod 229

16: 14816=1488+8=1488⋅1488 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 126 mod 229

32: 14832=14816+16=14816⋅14816 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 75 mod 229

64: 14864=14832+32=14832⋅14832 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 129 mod 229

128: 148128=14864+64=14864⋅14864 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 153 mod 229

148145

= 148128+16+1

= 148128⋅14816⋅1481

153 ⋅ 126 ⋅ 148 mod 229
19278 ⋅ 148 mod 229 ≡ 42 ⋅ 148 mod 229
6216 mod 229 ≡ 33 mod 229

Es gilt also: 148145 ≡ 33 mod 229

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 40

=>89 = 2⋅40 + 9
=>40 = 4⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 40-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9)
= -2⋅40 +9⋅ 9 (=1)
9= 89-2⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅40 +9⋅(89 -2⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅89 -18⋅ 40)
= 9⋅89 -20⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(89,40)=1 = 9⋅89 -20⋅40

oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅89 = -20⋅40

-20⋅40 = -9⋅89 + 1 |+89⋅40

-20⋅40 + 89⋅40 = -9⋅89 + 89⋅40 + 1

(-20 + 89) ⋅ 40 = (-9 + 40) ⋅ 89 + 1

69⋅40 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 69⋅40 = 31⋅89 +1

Somit 69⋅40 = 1 mod 89

69 ist also das Inverse von 40 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.