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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3504 - 35003) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3504 - 35003) mod 7 ≡ (3504 mod 7 - 35003 mod 7) mod 7.

3504 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3504 = 3500+4 = 7 ⋅ 500 +4.

35003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35003 = 35000+3 = 7 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(3504 - 35003) mod 7 ≡ (4 - 3) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 70) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 70) mod 6 ≡ (18 mod 6 ⋅ 70 mod 6) mod 6.

18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.

70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 70) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 260³² mod 337.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 260 -> x
2. mod(x²,337) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 260¹=260

2: 260²=260¹⁺¹=260¹⋅260¹ ≡ 260⋅260=67600 ≡ 200 mod 337

4: 260⁴=260²⁺²=260²⋅260² ≡ 200⋅200=40000 ≡ 234 mod 337

8: 260⁸=260⁴⁺⁴=260⁴⋅260⁴ ≡ 234⋅234=54756 ≡ 162 mod 337

16: 260¹⁶=260⁸⁺⁸=260⁸⋅260⁸ ≡ 162⋅162=26244 ≡ 295 mod 337

32: 260³²=260¹⁶⁺¹⁶=260¹⁶⋅260¹⁶ ≡ 295⋅295=87025 ≡ 79 mod 337

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 97²⁵⁰ mod 293.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

1: 97¹=97

2: 97²=97¹⁺¹=97¹⋅97¹ ≡ 97⋅97=9409 ≡ 33 mod 293

4: 97⁴=97²⁺²=97²⋅97² ≡ 33⋅33=1089 ≡ 210 mod 293

8: 97⁸=97⁴⁺⁴=97⁴⋅97⁴ ≡ 210⋅210=44100 ≡ 150 mod 293

16: 97¹⁶=97⁸⁺⁸=97⁸⋅97⁸ ≡ 150⋅150=22500 ≡ 232 mod 293

32: 97³²=97¹⁶⁺¹⁶=97¹⁶⋅97¹⁶ ≡ 232⋅232=53824 ≡ 205 mod 293

64: 97⁶⁴=97³²⁺³²=97³²⋅97³² ≡ 205⋅205=42025 ≡ 126 mod 293

128: 97¹²⁸=97⁶⁴⁺⁶⁴=97⁶⁴⋅97⁶⁴ ≡ 126⋅126=15876 ≡ 54 mod 293

97²⁵⁰

= 97^{128+64+32+16+8+2}

= 97¹²⁸⋅97⁶⁴⋅97³²⋅97¹⁶⋅97⁸⋅97²

≡ 54 ⋅ 126 ⋅ 205 ⋅ 232 ⋅ 150 ⋅ 33 mod 293
≡ 6804 ⋅ 205 ⋅ 232 ⋅ 150 ⋅ 33 mod 293 ≡ 65 ⋅ 205 ⋅ 232 ⋅ 150 ⋅ 33 mod 293
≡ 13325 ⋅ 232 ⋅ 150 ⋅ 33 mod 293 ≡ 140 ⋅ 232 ⋅ 150 ⋅ 33 mod 293
≡ 32480 ⋅ 150 ⋅ 33 mod 293 ≡ 250 ⋅ 150 ⋅ 33 mod 293
≡ 37500 ⋅ 33 mod 293 ≡ 289 ⋅ 33 mod 293
≡ 9537 mod 293 ≡ 161 mod 293

Es gilt also: 97²⁵⁰ ≡ 161 mod 293

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.

Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20

=>53	= 2⋅20 + 13
=>20	= 1⋅13 + 7
=>13	= 1⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,20)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 20-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13) = -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1)
13= 53-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20) = 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1)

Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +8⋅20

Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1

Somit 8⋅20 = 1 mod 53

8 ist also das Inverse von 20 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20

Schlüsselpaar für RSA