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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20000 + 504) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20000 + 504) mod 5 ≡ (20000 mod 5 + 504 mod 5) mod 5.

20000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 5 ⋅ 4000 +0.

504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 504 = 500+4 = 5 ⋅ 100 +4.

Somit gilt:

(20000 + 504) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 67) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 67) mod 6 ≡ (39 mod 6 ⋅ 67 mod 6) mod 6.

39 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 6 ⋅ 6 + 3 ist.

67 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 11 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 67) mod 6 ≡ (3 ⋅ 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 392128 mod 683.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 392 -> x
2. mod(x²,683) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3921=392

2: 3922=3921+1=3921⋅3921 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 672 mod 683

4: 3924=3922+2=3922⋅3922 ≡ 672⋅672=451584 ≡ 121 mod 683

8: 3928=3924+4=3924⋅3924 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 298 mod 683

16: 39216=3928+8=3928⋅3928 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 14 mod 683

32: 39232=39216+16=39216⋅39216 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 683

64: 39264=39232+32=39232⋅39232 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 168 mod 683

128: 392128=39264+64=39264⋅39264 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 221 mod 683

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 263224 mod 347.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:

224 = 128+64+32

1: 2631=263

2: 2632=2631+1=2631⋅2631 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 116 mod 347

4: 2634=2632+2=2632⋅2632 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 270 mod 347

8: 2638=2634+4=2634⋅2634 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 30 mod 347

16: 26316=2638+8=2638⋅2638 ≡ 30⋅30=900 ≡ 206 mod 347

32: 26332=26316+16=26316⋅26316 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 102 mod 347

64: 26364=26332+32=26332⋅26332 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 341 mod 347

128: 263128=26364+64=26364⋅26364 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 36 mod 347

263224

= 263128+64+32

= 263128⋅26364⋅26332

≡ 36 ⋅ 341 ⋅ 102 mod 347
≡ 12276 ⋅ 102 mod 347 ≡ 131 ⋅ 102 mod 347
≡ 13362 mod 347 ≡ 176 mod 347

Es gilt also: 263224 ≡ 176 mod 347

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 63

=>79 = 1⋅63 + 16
=>63 = 3⋅16 + 15
=>16 = 1⋅15 + 1
=>15 = 15⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-1⋅15
15= 63-3⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -1⋅(63 -3⋅ 16)
= 1⋅16 -1⋅63 +3⋅ 16)
= -1⋅63 +4⋅ 16 (=1)
16= 79-1⋅63 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅63 +4⋅(79 -1⋅ 63)
= -1⋅63 +4⋅79 -4⋅ 63)
= 4⋅79 -5⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(79,63)=1 = 4⋅79 -5⋅63

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -5⋅63

-5⋅63 = -4⋅79 + 1 |+79⋅63

-5⋅63 + 79⋅63 = -4⋅79 + 79⋅63 + 1

(-5 + 79) ⋅ 63 = (-4 + 63) ⋅ 79 + 1

74⋅63 = 59⋅79 + 1

Es gilt also: 74⋅63 = 59⋅79 +1

Somit 74⋅63 = 1 mod 79

74 ist also das Inverse von 63 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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