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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32000 - 32008) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32000 - 32008) mod 8 ≡ (32000 mod 8 - 32008 mod 8) mod 8.

32000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32000 = 32000+0 = 8 ⋅ 4000 +0.

32008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32008 = 32000+8 = 8 ⋅ 4000 +8.

Somit gilt:

(32000 - 32008) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 69) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 69) mod 11 ≡ (71 mod 11 ⋅ 69 mod 11) mod 11.

71 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 6 ⋅ 11 + 5 ist.

69 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 6 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 69) mod 11 ≡ (5 ⋅ 3) mod 11 ≡ 15 mod 11 ≡ 4 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 140¹⁶ mod 293.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 140 -> x
2. mod(x²,293) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 140¹=140

2: 140²=140¹⁺¹=140¹⋅140¹ ≡ 140⋅140=19600 ≡ 262 mod 293

4: 140⁴=140²⁺²=140²⋅140² ≡ 262⋅262=68644 ≡ 82 mod 293

8: 140⁸=140⁴⁺⁴=140⁴⋅140⁴ ≡ 82⋅82=6724 ≡ 278 mod 293

16: 140¹⁶=140⁸⁺⁸=140⁸⋅140⁸ ≡ 278⋅278=77284 ≡ 225 mod 293

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 222¹⁷⁵ mod 337.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

1: 222¹=222

2: 222²=222¹⁺¹=222¹⋅222¹ ≡ 222⋅222=49284 ≡ 82 mod 337

4: 222⁴=222²⁺²=222²⋅222² ≡ 82⋅82=6724 ≡ 321 mod 337

8: 222⁸=222⁴⁺⁴=222⁴⋅222⁴ ≡ 321⋅321=103041 ≡ 256 mod 337

16: 222¹⁶=222⁸⁺⁸=222⁸⋅222⁸ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 158 mod 337

32: 222³²=222¹⁶⁺¹⁶=222¹⁶⋅222¹⁶ ≡ 158⋅158=24964 ≡ 26 mod 337

64: 222⁶⁴=222³²⁺³²=222³²⋅222³² ≡ 26⋅26=676 ≡ 2 mod 337

128: 222¹²⁸=222⁶⁴⁺⁶⁴=222⁶⁴⋅222⁶⁴ ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 337

222¹⁷⁵

= 222^{128+32+8+4+2+1}

= 222¹²⁸⋅222³²⋅222⁸⋅222⁴⋅222²⋅222¹

≡ 4 ⋅ 26 ⋅ 256 ⋅ 321 ⋅ 82 ⋅ 222 mod 337
≡ 104 ⋅ 256 ⋅ 321 ⋅ 82 ⋅ 222 mod 337
≡ 26624 ⋅ 321 ⋅ 82 ⋅ 222 mod 337 ≡ 1 ⋅ 321 ⋅ 82 ⋅ 222 mod 337
≡ 321 ⋅ 82 ⋅ 222 mod 337
≡ 26322 ⋅ 222 mod 337 ≡ 36 ⋅ 222 mod 337
≡ 7992 mod 337 ≡ 241 mod 337

Es gilt also: 222¹⁷⁵ ≡ 241 mod 337

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40

=>97	= 2⋅40 + 17
=>40	= 2⋅17 + 6
=>17	= 2⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 17-2⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6) = -1⋅17 +3⋅ 6 (=1)
6= 40-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17) = -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17) = 3⋅40 -7⋅ 17 (=1)
17= 97-2⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40) = 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40) = -7⋅97 +17⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40

oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅97 = +17⋅40

Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1

Somit 17⋅40 = 1 mod 97

17 ist also das Inverse von 40 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40

Schlüsselpaar für RSA