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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 + 4504) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 + 4504) mod 9 ≡ (81 mod 9 + 4504 mod 9) mod 9.
81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81
= 90
4504 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4504
= 4500
Somit gilt:
(81 + 4504) mod 9 ≡ (0 + 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 56) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(96 ⋅ 56) mod 10 ≡ (96 mod 10 ⋅ 56 mod 10) mod 10.
96 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 9 ⋅ 10 + 6 ist.
56 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 50 + 6 = 5 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(96 ⋅ 56) mod 10 ≡ (6 ⋅ 6) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28932 mod 541.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 289 -> x
2. mod(x²,541) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2891=289
2: 2892=2891+1=2891⋅2891 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 207 mod 541
4: 2894=2892+2=2892⋅2892 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 110 mod 541
8: 2898=2894+4=2894⋅2894 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 198 mod 541
16: 28916=2898+8=2898⋅2898 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 252 mod 541
32: 28932=28916+16=28916⋅28916 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 207 mod 541
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17666 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:
66 = 64+2
1: 1761=176
2: 1762=1761+1=1761⋅1761 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 220 mod 233
4: 1764=1762+2=1762⋅1762 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 169 mod 233
8: 1768=1764+4=1764⋅1764 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 135 mod 233
16: 17616=1768+8=1768⋅1768 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 51 mod 233
32: 17632=17616+16=17616⋅17616 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 38 mod 233
64: 17664=17632+32=17632⋅17632 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 46 mod 233
17666
= 17664+2
= 17664⋅1762
≡ 46 ⋅ 220 mod 233
≡ 10120 mod 233 ≡ 101 mod 233
Es gilt also: 17666 ≡ 101 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 51.
Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 51
| =>67 | = 1⋅51 + 16 |
| =>51 | = 3⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,51)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 51-3⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(51 -3⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅51 +15⋅ 16) = -5⋅51 +16⋅ 16 (=1) |
| 16= 67-1⋅51 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅51 +16⋅(67 -1⋅ 51)
= -5⋅51 +16⋅67 -16⋅ 51) = 16⋅67 -21⋅ 51 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,51)=1 = 16⋅67 -21⋅51
oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅67 = -21⋅51
-21⋅51 = -16⋅67 + 1 |+67⋅51
-21⋅51 + 67⋅51 = -16⋅67 + 67⋅51 + 1
(-21 + 67) ⋅ 51 = (-16 + 51) ⋅ 67 + 1
46⋅51 = 35⋅67 + 1
Es gilt also: 46⋅51 = 35⋅67 +1
Somit 46⋅51 = 1 mod 67
46 ist also das Inverse von 51 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.