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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3202 - 8002) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3202 - 8002) mod 8 ≡ (3202 mod 8 - 8002 mod 8) mod 8.

3202 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3202 = 3200+2 = 8 ⋅ 400 +2.

8002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002 = 8000+2 = 8 ⋅ 1000 +2.

Somit gilt:

(3202 - 8002) mod 8 ≡ (2 - 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 20) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 20) mod 6 ≡ (50 mod 6 ⋅ 20 mod 6) mod 6.

50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.

20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 20) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 476⁶⁴ mod 701.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 476 -> x
2. mod(x²,701) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 476¹=476

2: 476²=476¹⁺¹=476¹⋅476¹ ≡ 476⋅476=226576 ≡ 153 mod 701

4: 476⁴=476²⁺²=476²⋅476² ≡ 153⋅153=23409 ≡ 276 mod 701

8: 476⁸=476⁴⁺⁴=476⁴⋅476⁴ ≡ 276⋅276=76176 ≡ 468 mod 701

16: 476¹⁶=476⁸⁺⁸=476⁸⋅476⁸ ≡ 468⋅468=219024 ≡ 312 mod 701

32: 476³²=476¹⁶⁺¹⁶=476¹⁶⋅476¹⁶ ≡ 312⋅312=97344 ≡ 606 mod 701

64: 476⁶⁴=476³²⁺³²=476³²⋅476³² ≡ 606⋅606=367236 ≡ 613 mod 701

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 340¹⁶⁸ mod 431.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:

168 = 128+32+8

1: 340¹=340

2: 340²=340¹⁺¹=340¹⋅340¹ ≡ 340⋅340=115600 ≡ 92 mod 431

4: 340⁴=340²⁺²=340²⋅340² ≡ 92⋅92=8464 ≡ 275 mod 431

8: 340⁸=340⁴⁺⁴=340⁴⋅340⁴ ≡ 275⋅275=75625 ≡ 200 mod 431

16: 340¹⁶=340⁸⁺⁸=340⁸⋅340⁸ ≡ 200⋅200=40000 ≡ 348 mod 431

32: 340³²=340¹⁶⁺¹⁶=340¹⁶⋅340¹⁶ ≡ 348⋅348=121104 ≡ 424 mod 431

64: 340⁶⁴=340³²⁺³²=340³²⋅340³² ≡ 424⋅424=179776 ≡ 49 mod 431

128: 340¹²⁸=340⁶⁴⁺⁶⁴=340⁶⁴⋅340⁶⁴ ≡ 49⋅49=2401 ≡ 246 mod 431

340¹⁶⁸

= 340^128+32+8

= 340¹²⁸⋅340³²⋅340⁸

≡ 246 ⋅ 424 ⋅ 200 mod 431
≡ 104304 ⋅ 200 mod 431 ≡ 2 ⋅ 200 mod 431
≡ 400 mod 431

Es gilt also: 340¹⁶⁸ ≡ 400 mod 431

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 90.

Also bestimme x, so dass 90 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 90

=>101	= 1⋅90 + 11
=>90	= 8⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,90)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 90-8⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(90 -8⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅90 +40⋅ 11) = -5⋅90 +41⋅ 11 (=1)
11= 101-1⋅90	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅90 +41⋅(101 -1⋅ 90) = -5⋅90 +41⋅101 -41⋅ 90) = 41⋅101 -46⋅ 90 (=1)

Es gilt also: ggt(101,90)=1 = 41⋅101 -46⋅90

oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -41⋅101 = -46⋅90

-46⋅90 = -41⋅101 + 1 |+101⋅90

-46⋅90 + 101⋅90 = -41⋅101 + 101⋅90 + 1

(-46 + 101) ⋅ 90 = (-41 + 90) ⋅ 101 + 1

55⋅90 = 49⋅101 + 1

Es gilt also: 55⋅90 = 49⋅101 +1

Somit 55⋅90 = 1 mod 101

55 ist also das Inverse von 90 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 90

Schlüsselpaar für RSA