Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3592 - 27007) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3592 - 27007) mod 9 ≡ (3592 mod 9 - 27007 mod 9) mod 9.

3592 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3592 = 3600-8 = 9 ⋅ 400 -8 = 9 ⋅ 400 - 9 + 1.

27007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27007 = 27000+7 = 9 ⋅ 3000 +7.

Somit gilt:

(3592 - 27007) mod 9 ≡ (1 - 7) mod 9 ≡ -6 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 34) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 34) mod 6 ≡ (84 mod 6 ⋅ 34 mod 6) mod 6.

84 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 14 ⋅ 6 + 0 ist.

34 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 5 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 34) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 612⁶⁴ mod 773.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 612 -> x
2. mod(x²,773) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 612¹=612

2: 612²=612¹⁺¹=612¹⋅612¹ ≡ 612⋅612=374544 ≡ 412 mod 773

4: 612⁴=612²⁺²=612²⋅612² ≡ 412⋅412=169744 ≡ 457 mod 773

8: 612⁸=612⁴⁺⁴=612⁴⋅612⁴ ≡ 457⋅457=208849 ≡ 139 mod 773

16: 612¹⁶=612⁸⁺⁸=612⁸⋅612⁸ ≡ 139⋅139=19321 ≡ 769 mod 773

32: 612³²=612¹⁶⁺¹⁶=612¹⁶⋅612¹⁶ ≡ 769⋅769=591361 ≡ 16 mod 773

64: 612⁶⁴=612³²⁺³²=612³²⋅612³² ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 773

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 219⁶⁰ mod 293.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:

60 = 32+16+8+4

1: 219¹=219

2: 219²=219¹⁺¹=219¹⋅219¹ ≡ 219⋅219=47961 ≡ 202 mod 293

4: 219⁴=219²⁺²=219²⋅219² ≡ 202⋅202=40804 ≡ 77 mod 293

8: 219⁸=219⁴⁺⁴=219⁴⋅219⁴ ≡ 77⋅77=5929 ≡ 69 mod 293

16: 219¹⁶=219⁸⁺⁸=219⁸⋅219⁸ ≡ 69⋅69=4761 ≡ 73 mod 293

32: 219³²=219¹⁶⁺¹⁶=219¹⁶⋅219¹⁶ ≡ 73⋅73=5329 ≡ 55 mod 293

219⁶⁰

= 219^32+16+8+4

= 219³²⋅219¹⁶⋅219⁸⋅219⁴

≡ 55 ⋅ 73 ⋅ 69 ⋅ 77 mod 293
≡ 4015 ⋅ 69 ⋅ 77 mod 293 ≡ 206 ⋅ 69 ⋅ 77 mod 293
≡ 14214 ⋅ 77 mod 293 ≡ 150 ⋅ 77 mod 293
≡ 11550 mod 293 ≡ 123 mod 293

Es gilt also: 219⁶⁰ ≡ 123 mod 293

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

=>61	= 3⋅18 + 7
=>18	= 2⋅7 + 4
=>7	= 1⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 18-2⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7) = -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1)
7= 61-3⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18) = 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +17⋅18

Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1

Somit 17⋅18 = 1 mod 61

17 ist also das Inverse von 18 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

Schlüsselpaar für RSA