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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (600 - 12000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(600 - 12000) mod 3 ≡ (600 mod 3 - 12000 mod 3) mod 3.

600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600 = 600+0 = 3 ⋅ 200 +0.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(600 - 12000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 48) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 48) mod 9 ≡ (79 mod 9 ⋅ 48 mod 9) mod 9.

79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.

48 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 5 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 48) mod 9 ≡ (7 ⋅ 3) mod 9 ≡ 21 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 250128 mod 733.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 250 -> x
2. mod(x²,733) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2501=250

2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 195 mod 733

4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 642 mod 733

8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 218 mod 733

16: 25016=2508+8=2508⋅2508 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 612 mod 733

32: 25032=25016+16=25016⋅25016 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 714 mod 733

64: 25064=25032+32=25032⋅25032 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 361 mod 733

128: 250128=25064+64=25064⋅25064 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 580 mod 733

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 192174 mod 421.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:

174 = 128+32+8+4+2

1: 1921=192

2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 237 mod 421

4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 176 mod 421

8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 243 mod 421

16: 19216=1928+8=1928⋅1928 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 109 mod 421

32: 19232=19216+16=19216⋅19216 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 93 mod 421

64: 19264=19232+32=19232⋅19232 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 229 mod 421

128: 192128=19264+64=19264⋅19264 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 237 mod 421

192174

= 192128+32+8+4+2

= 192128⋅19232⋅1928⋅1924⋅1922

237 ⋅ 93 ⋅ 243 ⋅ 176 ⋅ 237 mod 421
22041 ⋅ 243 ⋅ 176 ⋅ 237 mod 421 ≡ 149 ⋅ 243 ⋅ 176 ⋅ 237 mod 421
36207 ⋅ 176 ⋅ 237 mod 421 ≡ 1 ⋅ 176 ⋅ 237 mod 421
176 ⋅ 237 mod 421
41712 mod 421 ≡ 33 mod 421

Es gilt also: 192174 ≡ 33 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60

=>67 = 1⋅60 + 7
=>60 = 8⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 60-8⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7)
= 2⋅60 -17⋅ 7 (=1)
7= 67-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60)
= 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60)
= -17⋅67 +19⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +19⋅60

Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1

Somit 19⋅60 = 1 mod 67

19 ist also das Inverse von 60 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.