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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (320 + 407) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(320 + 407) mod 8 ≡ (320 mod 8 + 407 mod 8) mod 8.
320 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 320
= 320
407 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 407
= 400
Somit gilt:
(320 + 407) mod 8 ≡ (0 + 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 46) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(94 ⋅ 46) mod 8 ≡ (94 mod 8 ⋅ 46 mod 8) mod 8.
94 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 11 ⋅ 8 + 6 ist.
46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(94 ⋅ 46) mod 8 ≡ (6 ⋅ 6) mod 8 ≡ 36 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3288 mod 941.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 328 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3281=328
2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 310 mod 941
4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 118 mod 941
8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 750 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 372152 mod 439.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:
152 = 128+16+8
1: 3721=372
2: 3722=3721+1=3721⋅3721 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 99 mod 439
4: 3724=3722+2=3722⋅3722 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 143 mod 439
8: 3728=3724+4=3724⋅3724 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 255 mod 439
16: 37216=3728+8=3728⋅3728 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 53 mod 439
32: 37232=37216+16=37216⋅37216 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 175 mod 439
64: 37264=37232+32=37232⋅37232 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 334 mod 439
128: 372128=37264+64=37264⋅37264 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 50 mod 439
372152
= 372128+16+8
= 372128⋅37216⋅3728
≡ 50 ⋅ 53 ⋅ 255 mod 439
≡ 2650 ⋅ 255 mod 439 ≡ 16 ⋅ 255 mod 439
≡ 4080 mod 439 ≡ 129 mod 439
Es gilt also: 372152 ≡ 129 mod 439
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30
| =>67 | = 2⋅30 + 7 |
| =>30 | = 4⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 30-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7) = -3⋅30 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-2⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30) = 13⋅67 -29⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30
oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅67 = -29⋅30
-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30
-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1
(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1
38⋅30 = 17⋅67 + 1
Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1
Somit 38⋅30 = 1 mod 67
38 ist also das Inverse von 30 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.