Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (70 - 6998) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(70 - 6998) mod 7 ≡ (70 mod 7 - 6998 mod 7) mod 7.
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70
= 70
6998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6998
= 7000
Somit gilt:
(70 - 6998) mod 7 ≡ (0 - 5) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 60) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 60) mod 4 ≡ (51 mod 4 ⋅ 60 mod 4) mod 4.
51 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 12 ⋅ 4 + 3 ist.
60 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 15 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 60) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22932 mod 757.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 229 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2291=229
2: 2292=2291+1=2291⋅2291 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 208 mod 757
4: 2294=2292+2=2292⋅2292 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 115 mod 757
8: 2298=2294+4=2294⋅2294 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 356 mod 757
16: 22916=2298+8=2298⋅2298 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 317 mod 757
32: 22932=22916+16=22916⋅22916 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 565 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18964 mod 311.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:
64 = 64
1: 1891=189
2: 1892=1891+1=1891⋅1891 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 267 mod 311
4: 1894=1892+2=1892⋅1892 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 70 mod 311
8: 1898=1894+4=1894⋅1894 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 235 mod 311
16: 18916=1898+8=1898⋅1898 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 178 mod 311
32: 18932=18916+16=18916⋅18916 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 273 mod 311
64: 18964=18932+32=18932⋅18932 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 200 mod 311
18964
= 18964
= 18964
≡ 200 mod 311
Es gilt also: 18964 ≡ 200 mod 311
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 95.
Also bestimme x, so dass 95 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 95
| =>101 | = 1⋅95 + 6 |
| =>95 | = 15⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,95)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 95-15⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(95 -15⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅95 +15⋅ 6) = -1⋅95 +16⋅ 6 (=1) |
| 6= 101-1⋅95 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅95 +16⋅(101 -1⋅ 95)
= -1⋅95 +16⋅101 -16⋅ 95) = 16⋅101 -17⋅ 95 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,95)=1 = 16⋅101 -17⋅95
oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -16⋅101 = -17⋅95
-17⋅95 = -16⋅101 + 1 |+101⋅95
-17⋅95 + 101⋅95 = -16⋅101 + 101⋅95 + 1
(-17 + 101) ⋅ 95 = (-16 + 95) ⋅ 101 + 1
84⋅95 = 79⋅101 + 1
Es gilt also: 84⋅95 = 79⋅101 +1
Somit 84⋅95 = 1 mod 101
84 ist also das Inverse von 95 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.