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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2103 - 70) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2103 - 70) mod 7 ≡ (2103 mod 7 - 70 mod 7) mod 7.
2103 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2103
= 2100
70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70
= 70
Somit gilt:
(2103 - 70) mod 7 ≡ (3 - 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 67) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 67) mod 5 ≡ (29 mod 5 ⋅ 67 mod 5) mod 5.
29 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 25 + 4 = 5 ⋅ 5 + 4 ist.
67 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 65 + 2 = 13 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 67) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 49564 mod 859.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 495 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4951=495
2: 4952=4951+1=4951⋅4951 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 210 mod 859
4: 4954=4952+2=4952⋅4952 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 291 mod 859
8: 4958=4954+4=4954⋅4954 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 499 mod 859
16: 49516=4958+8=4958⋅4958 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 750 mod 859
32: 49532=49516+16=49516⋅49516 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 714 mod 859
64: 49564=49532+32=49532⋅49532 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 409 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 258149 mod 797.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 413 mod 797
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 11 mod 797
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 797
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 295 mod 797
32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 152 mod 797
64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 788 mod 797
128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 788⋅788=620944 ≡ 81 mod 797
258149
= 258128+16+4+1
= 258128⋅25816⋅2584⋅2581
≡ 81 ⋅ 295 ⋅ 11 ⋅ 258 mod 797
≡ 23895 ⋅ 11 ⋅ 258 mod 797 ≡ 782 ⋅ 11 ⋅ 258 mod 797
≡ 8602 ⋅ 258 mod 797 ≡ 632 ⋅ 258 mod 797
≡ 163056 mod 797 ≡ 468 mod 797
Es gilt also: 258149 ≡ 468 mod 797
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 42
| =>79 | = 1⋅42 + 37 |
| =>42 | = 1⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 42-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(42 -1⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅42 -15⋅ 37) = 15⋅42 -17⋅ 37 (=1) |
| 37= 79-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 15⋅42 -17⋅(79 -1⋅ 42)
= 15⋅42 -17⋅79 +17⋅ 42) = -17⋅79 +32⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,42)=1 = -17⋅79 +32⋅42
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +32⋅42
Es gilt also: 32⋅42 = 17⋅79 +1
Somit 32⋅42 = 1 mod 79
32 ist also das Inverse von 42 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.