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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (457 - 4504) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(457 - 4504) mod 9 ≡ (457 mod 9 - 4504 mod 9) mod 9.

457 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 457 = 450+7 = 9 ⋅ 50 +7.

4504 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4504 = 4500+4 = 9 ⋅ 500 +4.

Somit gilt:

(457 - 4504) mod 9 ≡ (7 - 4) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 60) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 60) mod 8 ≡ (20 mod 8 ⋅ 60 mod 8) mod 8.

20 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 16 + 4 = 2 ⋅ 8 + 4 ist.

60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 60) mod 8 ≡ (4 ⋅ 4) mod 8 ≡ 16 mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5688 mod 947.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 568 -> x
2. mod(x²,947) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5681=568

2: 5682=5681+1=5681⋅5681 ≡ 568⋅568=322624 ≡ 644 mod 947

4: 5684=5682+2=5682⋅5682 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 897 mod 947

8: 5688=5684+4=5684⋅5684 ≡ 897⋅897=804609 ≡ 606 mod 947

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 163179 mod 211.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 179 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 179 an und zerlegen 179 in eine Summer von 2er-Potenzen:

179 = 128+32+16+2+1

1: 1631=163

2: 1632=1631+1=1631⋅1631 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 194 mod 211

4: 1634=1632+2=1632⋅1632 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 78 mod 211

8: 1638=1634+4=1634⋅1634 ≡ 78⋅78=6084 ≡ 176 mod 211

16: 16316=1638+8=1638⋅1638 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 170 mod 211

32: 16332=16316+16=16316⋅16316 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 204 mod 211

64: 16364=16332+32=16332⋅16332 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 49 mod 211

128: 163128=16364+64=16364⋅16364 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 80 mod 211

163179

= 163128+32+16+2+1

= 163128⋅16332⋅16316⋅1632⋅1631

≡ 80 ⋅ 204 ⋅ 170 ⋅ 194 ⋅ 163 mod 211
≡ 16320 ⋅ 170 ⋅ 194 ⋅ 163 mod 211 ≡ 73 ⋅ 170 ⋅ 194 ⋅ 163 mod 211
≡ 12410 ⋅ 194 ⋅ 163 mod 211 ≡ 172 ⋅ 194 ⋅ 163 mod 211
≡ 33368 ⋅ 163 mod 211 ≡ 30 ⋅ 163 mod 211
≡ 4890 mod 211 ≡ 37 mod 211

Es gilt also: 163179 ≡ 37 mod 211

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 54

=>79 = 1⋅54 + 25
=>54 = 2⋅25 + 4
=>25 = 6⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 54-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -6⋅(54 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅54 +12⋅ 25)
= -6⋅54 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +13⋅(79 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +13⋅79 -13⋅ 54)
= 13⋅79 -19⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(79,54)=1 = 13⋅79 -19⋅54

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -19⋅54

-19⋅54 = -13⋅79 + 1 |+79⋅54

-19⋅54 + 79⋅54 = -13⋅79 + 79⋅54 + 1

(-19 + 79) ⋅ 54 = (-13 + 54) ⋅ 79 + 1

60⋅54 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 60⋅54 = 41⋅79 +1

Somit 60⋅54 = 1 mod 79

60 ist also das Inverse von 54 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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