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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1500 + 25005) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1500 + 25005) mod 5 ≡ (1500 mod 5 + 25005 mod 5) mod 5.

1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 5 ⋅ 300 +0.

25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005 = 25000+5 = 5 ⋅ 5000 +5.

Somit gilt:

(1500 + 25005) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 46) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 46) mod 10 ≡ (73 mod 10 ⋅ 46 mod 10) mod 10.

73 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 7 ⋅ 10 + 3 ist.

46 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 4 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 46) mod 10 ≡ (3 ⋅ 6) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 290128 mod 659.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 290 -> x
2. mod(x²,659) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2901=290

2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 407 mod 659

4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 240 mod 659

8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 267 mod 659

16: 29016=2908+8=2908⋅2908 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 117 mod 659

32: 29032=29016+16=29016⋅29016 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 509 mod 659

64: 29064=29032+32=29032⋅29032 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 94 mod 659

128: 290128=29064+64=29064⋅29064 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 269 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 765165 mod 839.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 165 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 165 an und zerlegen 165 in eine Summer von 2er-Potenzen:

165 = 128+32+4+1

1: 7651=765

2: 7652=7651+1=7651⋅7651 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 442 mod 839

4: 7654=7652+2=7652⋅7652 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 716 mod 839

8: 7658=7654+4=7654⋅7654 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 27 mod 839

16: 76516=7658+8=7658⋅7658 ≡ 27⋅27=729 ≡ 729 mod 839

32: 76532=76516+16=76516⋅76516 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 354 mod 839

64: 76564=76532+32=76532⋅76532 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 305 mod 839

128: 765128=76564+64=76564⋅76564 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 735 mod 839

765165

= 765128+32+4+1

= 765128⋅76532⋅7654⋅7651

≡ 735 ⋅ 354 ⋅ 716 ⋅ 765 mod 839
≡ 260190 ⋅ 716 ⋅ 765 mod 839 ≡ 100 ⋅ 716 ⋅ 765 mod 839
≡ 71600 ⋅ 765 mod 839 ≡ 285 ⋅ 765 mod 839
≡ 218025 mod 839 ≡ 724 mod 839

Es gilt also: 765165 ≡ 724 mod 839

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 40

=>89 = 2⋅40 + 9
=>40 = 4⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 40-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9)
= -2⋅40 +9⋅ 9 (=1)
9= 89-2⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅40 +9⋅(89 -2⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅89 -18⋅ 40)
= 9⋅89 -20⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(89,40)=1 = 9⋅89 -20⋅40

oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅89 = -20⋅40

-20⋅40 = -9⋅89 + 1 |+89⋅40

-20⋅40 + 89⋅40 = -9⋅89 + 89⋅40 + 1

(-20 + 89) ⋅ 40 = (-9 + 40) ⋅ 89 + 1

69⋅40 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 69⋅40 = 31⋅89 +1

Somit 69⋅40 = 1 mod 89

69 ist also das Inverse von 40 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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