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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (10003 - 5000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(10003 - 5000) mod 5 ≡ (10003 mod 5 - 5000 mod 5) mod 5.
10003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10003
= 10000
5000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5000
= 5000
Somit gilt:
(10003 - 5000) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 89) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 89) mod 11 ≡ (53 mod 11 ⋅ 89 mod 11) mod 11.
53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.
89 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 8 ⋅ 11 + 1 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 89) mod 11 ≡ (9 ⋅ 1) mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3058 mod 769.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 305 -> x
2. mod(x²,769) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3051=305
2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 745 mod 769
4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 745⋅745=555025 ≡ 576 mod 769
8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 337 mod 769
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 690232 mod 853.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:
232 = 128+64+32+8
1: 6901=690
2: 6902=6901+1=6901⋅6901 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 126 mod 853
4: 6904=6902+2=6902⋅6902 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 522 mod 853
8: 6908=6904+4=6904⋅6904 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 377 mod 853
16: 69016=6908+8=6908⋅6908 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 531 mod 853
32: 69032=69016+16=69016⋅69016 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 471 mod 853
64: 69064=69032+32=69032⋅69032 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 61 mod 853
128: 690128=69064+64=69064⋅69064 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 309 mod 853
690232
= 690128+64+32+8
= 690128⋅69064⋅69032⋅6908
≡ 309 ⋅ 61 ⋅ 471 ⋅ 377 mod 853
≡ 18849 ⋅ 471 ⋅ 377 mod 853 ≡ 83 ⋅ 471 ⋅ 377 mod 853
≡ 39093 ⋅ 377 mod 853 ≡ 708 ⋅ 377 mod 853
≡ 266916 mod 853 ≡ 780 mod 853
Es gilt also: 690232 ≡ 780 mod 853
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 86.
Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 86
| =>89 | = 1⋅86 + 3 |
| =>86 | = 28⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,86)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 86-28⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(86 -28⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅86 +28⋅ 3) = -1⋅86 +29⋅ 3 (=1) |
| 3= 89-1⋅86 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅86 +29⋅(89 -1⋅ 86)
= -1⋅86 +29⋅89 -29⋅ 86) = 29⋅89 -30⋅ 86 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,86)=1 = 29⋅89 -30⋅86
oder wenn man 29⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -29⋅89 = -30⋅86
-30⋅86 = -29⋅89 + 1 |+89⋅86
-30⋅86 + 89⋅86 = -29⋅89 + 89⋅86 + 1
(-30 + 89) ⋅ 86 = (-29 + 86) ⋅ 89 + 1
59⋅86 = 57⋅89 + 1
Es gilt also: 59⋅86 = 57⋅89 +1
Somit 59⋅86 = 1 mod 89
59 ist also das Inverse von 86 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.