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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 + 1999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 + 1999) mod 4 ≡ (84 mod 4 + 1999 mod 4) mod 4.
84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84
= 80
1999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999
= 1900
Somit gilt:
(84 + 1999) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 43) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 43) mod 7 ≡ (81 mod 7 ⋅ 43 mod 7) mod 7.
81 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 11 ⋅ 7 + 4 ist.
43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 43) mod 7 ≡ (4 ⋅ 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4518 mod 521.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 451 -> x
2. mod(x²,521) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4511=451
2: 4512=4511+1=4511⋅4511 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 211 mod 521
4: 4514=4512+2=4512⋅4512 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 236 mod 521
8: 4518=4514+4=4514⋅4514 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 470 mod 521
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 673184 mod 719.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 184 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 184 an und zerlegen 184 in eine Summer von 2er-Potenzen:
184 = 128+32+16+8
1: 6731=673
2: 6732=6731+1=6731⋅6731 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 678 mod 719
4: 6734=6732+2=6732⋅6732 ≡ 678⋅678=459684 ≡ 243 mod 719
8: 6738=6734+4=6734⋅6734 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 91 mod 719
16: 67316=6738+8=6738⋅6738 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 372 mod 719
32: 67332=67316+16=67316⋅67316 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 336 mod 719
64: 67364=67332+32=67332⋅67332 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 13 mod 719
128: 673128=67364+64=67364⋅67364 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 719
673184
= 673128+32+16+8
= 673128⋅67332⋅67316⋅6738
≡ 169 ⋅ 336 ⋅ 372 ⋅ 91 mod 719
≡ 56784 ⋅ 372 ⋅ 91 mod 719 ≡ 702 ⋅ 372 ⋅ 91 mod 719
≡ 261144 ⋅ 91 mod 719 ≡ 147 ⋅ 91 mod 719
≡ 13377 mod 719 ≡ 435 mod 719
Es gilt also: 673184 ≡ 435 mod 719
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 65.
Also bestimme x, so dass 65 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 65
| =>71 | = 1⋅65 + 6 |
| =>65 | = 10⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,65)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 65-10⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(65 -10⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅65 +10⋅ 6) = -1⋅65 +11⋅ 6 (=1) |
| 6= 71-1⋅65 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅65 +11⋅(71 -1⋅ 65)
= -1⋅65 +11⋅71 -11⋅ 65) = 11⋅71 -12⋅ 65 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,65)=1 = 11⋅71 -12⋅65
oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅71 = -12⋅65
-12⋅65 = -11⋅71 + 1 |+71⋅65
-12⋅65 + 71⋅65 = -11⋅71 + 71⋅65 + 1
(-12 + 71) ⋅ 65 = (-11 + 65) ⋅ 71 + 1
59⋅65 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 59⋅65 = 54⋅71 +1
Somit 59⋅65 = 1 mod 71
59 ist also das Inverse von 65 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.