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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26996 - 3606) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26996 - 3606) mod 9 ≡ (26996 mod 9 - 3606 mod 9) mod 9.

26996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26996 = 27000-4 = 9 ⋅ 3000 -4 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 5.

3606 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3606 = 3600+6 = 9 ⋅ 400 +6.

Somit gilt:

(26996 - 3606) mod 9 ≡ (5 - 6) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 99) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 99) mod 11 ≡ (43 mod 11 ⋅ 99 mod 11) mod 11.

43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.

99 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 9 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 99) mod 11 ≡ (10 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 544⁶⁴ mod 937.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 544 -> x
2. mod(x²,937) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 544¹=544

2: 544²=544¹⁺¹=544¹⋅544¹ ≡ 544⋅544=295936 ≡ 781 mod 937

4: 544⁴=544²⁺²=544²⋅544² ≡ 781⋅781=609961 ≡ 911 mod 937

8: 544⁸=544⁴⁺⁴=544⁴⋅544⁴ ≡ 911⋅911=829921 ≡ 676 mod 937

16: 544¹⁶=544⁸⁺⁸=544⁸⋅544⁸ ≡ 676⋅676=456976 ≡ 657 mod 937

32: 544³²=544¹⁶⁺¹⁶=544¹⁶⋅544¹⁶ ≡ 657⋅657=431649 ≡ 629 mod 937

64: 544⁶⁴=544³²⁺³²=544³²⋅544³² ≡ 629⋅629=395641 ≡ 227 mod 937

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 300¹¹¹ mod 463.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:

111 = 64+32+8+4+2+1

1: 300¹=300

2: 300²=300¹⁺¹=300¹⋅300¹ ≡ 300⋅300=90000 ≡ 178 mod 463

4: 300⁴=300²⁺²=300²⋅300² ≡ 178⋅178=31684 ≡ 200 mod 463

8: 300⁸=300⁴⁺⁴=300⁴⋅300⁴ ≡ 200⋅200=40000 ≡ 182 mod 463

16: 300¹⁶=300⁸⁺⁸=300⁸⋅300⁸ ≡ 182⋅182=33124 ≡ 251 mod 463

32: 300³²=300¹⁶⁺¹⁶=300¹⁶⋅300¹⁶ ≡ 251⋅251=63001 ≡ 33 mod 463

64: 300⁶⁴=300³²⁺³²=300³²⋅300³² ≡ 33⋅33=1089 ≡ 163 mod 463

300¹¹¹

= 300^{64+32+8+4+2+1}

= 300⁶⁴⋅300³²⋅300⁸⋅300⁴⋅300²⋅300¹

≡ 163 ⋅ 33 ⋅ 182 ⋅ 200 ⋅ 178 ⋅ 300 mod 463
≡ 5379 ⋅ 182 ⋅ 200 ⋅ 178 ⋅ 300 mod 463 ≡ 286 ⋅ 182 ⋅ 200 ⋅ 178 ⋅ 300 mod 463
≡ 52052 ⋅ 200 ⋅ 178 ⋅ 300 mod 463 ≡ 196 ⋅ 200 ⋅ 178 ⋅ 300 mod 463
≡ 39200 ⋅ 178 ⋅ 300 mod 463 ≡ 308 ⋅ 178 ⋅ 300 mod 463
≡ 54824 ⋅ 300 mod 463 ≡ 190 ⋅ 300 mod 463
≡ 57000 mod 463 ≡ 51 mod 463

Es gilt also: 300¹¹¹ ≡ 51 mod 463

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 22

=>59	= 2⋅22 + 15
=>22	= 1⋅15 + 7
=>15	= 2⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15) = 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 59-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +3⋅(59 -2⋅ 22) = -2⋅22 +3⋅59 -6⋅ 22) = 3⋅59 -8⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(59,22)=1 = 3⋅59 -8⋅22

oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅59 = -8⋅22

-8⋅22 = -3⋅59 + 1 |+59⋅22

-8⋅22 + 59⋅22 = -3⋅59 + 59⋅22 + 1

(-8 + 59) ⋅ 22 = (-3 + 22) ⋅ 59 + 1

51⋅22 = 19⋅59 + 1

Es gilt also: 51⋅22 = 19⋅59 +1

Somit 51⋅22 = 1 mod 59

51 ist also das Inverse von 22 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 22

Schlüsselpaar für RSA