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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15997 + 23998) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15997 + 23998) mod 8 ≡ (15997 mod 8 + 23998 mod 8) mod 8.

15997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997 = 15000+997 = 8 ⋅ 1875 +997.

23998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23998 = 23000+998 = 8 ⋅ 2875 +998.

Somit gilt:

(15997 + 23998) mod 8 ≡ (5 + 6) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 85) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 85) mod 6 ≡ (56 mod 6 ⋅ 85 mod 6) mod 6.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 9 ⋅ 6 + 2 ist.

85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 85) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 231⁸ mod 233.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 231 -> x
2. mod(x²,233) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 231¹=231

2: 231²=231¹⁺¹=231¹⋅231¹ ≡ 231⋅231=53361 ≡ 4 mod 233

4: 231⁴=231²⁺²=231²⋅231² ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 233

8: 231⁸=231⁴⁺⁴=231⁴⋅231⁴ ≡ 16⋅16=256 ≡ 23 mod 233

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 306¹⁵⁹ mod 877.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 159 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 159 an und zerlegen 159 in eine Summer von 2er-Potenzen:

159 = 128+16+8+4+2+1

1: 306¹=306

2: 306²=306¹⁺¹=306¹⋅306¹ ≡ 306⋅306=93636 ≡ 674 mod 877

4: 306⁴=306²⁺²=306²⋅306² ≡ 674⋅674=454276 ≡ 867 mod 877

8: 306⁸=306⁴⁺⁴=306⁴⋅306⁴ ≡ 867⋅867=751689 ≡ 100 mod 877

16: 306¹⁶=306⁸⁺⁸=306⁸⋅306⁸ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 353 mod 877

32: 306³²=306¹⁶⁺¹⁶=306¹⁶⋅306¹⁶ ≡ 353⋅353=124609 ≡ 75 mod 877

64: 306⁶⁴=306³²⁺³²=306³²⋅306³² ≡ 75⋅75=5625 ≡ 363 mod 877

128: 306¹²⁸=306⁶⁴⁺⁶⁴=306⁶⁴⋅306⁶⁴ ≡ 363⋅363=131769 ≡ 219 mod 877

306¹⁵⁹

= 306^{128+16+8+4+2+1}

= 306¹²⁸⋅306¹⁶⋅306⁸⋅306⁴⋅306²⋅306¹

≡ 219 ⋅ 353 ⋅ 100 ⋅ 867 ⋅ 674 ⋅ 306 mod 877
≡ 77307 ⋅ 100 ⋅ 867 ⋅ 674 ⋅ 306 mod 877 ≡ 131 ⋅ 100 ⋅ 867 ⋅ 674 ⋅ 306 mod 877
≡ 13100 ⋅ 867 ⋅ 674 ⋅ 306 mod 877 ≡ 822 ⋅ 867 ⋅ 674 ⋅ 306 mod 877
≡ 712674 ⋅ 674 ⋅ 306 mod 877 ≡ 550 ⋅ 674 ⋅ 306 mod 877
≡ 370700 ⋅ 306 mod 877 ≡ 606 ⋅ 306 mod 877
≡ 185436 mod 877 ≡ 389 mod 877

Es gilt also: 306¹⁵⁹ ≡ 389 mod 877

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32

=>83	= 2⋅32 + 19
=>32	= 1⋅19 + 13
=>19	= 1⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 32-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19) = -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1)
19= 83-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32) = 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +13⋅32

Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1

Somit 13⋅32 = 1 mod 83

13 ist also das Inverse von 32 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32

Schlüsselpaar für RSA