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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40002 + 31995) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40002 + 31995) mod 8 ≡ (40002 mod 8 + 31995 mod 8) mod 8.
40002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40002
= 40000
31995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31995
= 31000
Somit gilt:
(40002 + 31995) mod 8 ≡ (2 + 3) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 98) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 98) mod 11 ≡ (47 mod 11 ⋅ 98 mod 11) mod 11.
47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.
98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 98) mod 11 ≡ (3 ⋅ 10) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34916 mod 359.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 349 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3491=349
2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 100 mod 359
4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 307 mod 359
8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 191 mod 359
16: 34916=3498+8=3498⋅3498 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 222 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 281137 mod 523.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 2811=281
2: 2812=2811+1=2811⋅2811 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 511 mod 523
4: 2814=2812+2=2812⋅2812 ≡ 511⋅511=261121 ≡ 144 mod 523
8: 2818=2814+4=2814⋅2814 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 339 mod 523
16: 28116=2818+8=2818⋅2818 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 384 mod 523
32: 28132=28116+16=28116⋅28116 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 493 mod 523
64: 28164=28132+32=28132⋅28132 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 377 mod 523
128: 281128=28164+64=28164⋅28164 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 396 mod 523
281137
= 281128+8+1
= 281128⋅2818⋅2811
≡ 396 ⋅ 339 ⋅ 281 mod 523
≡ 134244 ⋅ 281 mod 523 ≡ 356 ⋅ 281 mod 523
≡ 100036 mod 523 ≡ 143 mod 523
Es gilt also: 281137 ≡ 143 mod 523
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36
| =>89 | = 2⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 89-2⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36) = 17⋅89 -42⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -42⋅36
-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36
-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1
(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1
47⋅36 = 19⋅89 + 1
Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1
Somit 47⋅36 = 1 mod 89
47 ist also das Inverse von 36 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.