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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (240 - 2405) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(240 - 2405) mod 6 ≡ (240 mod 6 - 2405 mod 6) mod 6.

240 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 6 ⋅ 40 +0.

2405 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2405 = 2400+5 = 6 ⋅ 400 +5.

Somit gilt:

(240 - 2405) mod 6 ≡ (0 - 5) mod 6 ≡ -5 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 38) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 38) mod 3 ≡ (63 mod 3 ⋅ 38 mod 3) mod 3.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.

38 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 12 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 38) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 284⁸ mod 349.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 284 -> x
2. mod(x²,349) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 284¹=284

2: 284²=284¹⁺¹=284¹⋅284¹ ≡ 284⋅284=80656 ≡ 37 mod 349

4: 284⁴=284²⁺²=284²⋅284² ≡ 37⋅37=1369 ≡ 322 mod 349

8: 284⁸=284⁴⁺⁴=284⁴⋅284⁴ ≡ 322⋅322=103684 ≡ 31 mod 349

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 547²⁰³ mod 571.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:

203 = 128+64+8+2+1

1: 547¹=547

2: 547²=547¹⁺¹=547¹⋅547¹ ≡ 547⋅547=299209 ≡ 5 mod 571

4: 547⁴=547²⁺²=547²⋅547² ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 571

8: 547⁸=547⁴⁺⁴=547⁴⋅547⁴ ≡ 25⋅25=625 ≡ 54 mod 571

16: 547¹⁶=547⁸⁺⁸=547⁸⋅547⁸ ≡ 54⋅54=2916 ≡ 61 mod 571

32: 547³²=547¹⁶⁺¹⁶=547¹⁶⋅547¹⁶ ≡ 61⋅61=3721 ≡ 295 mod 571

64: 547⁶⁴=547³²⁺³²=547³²⋅547³² ≡ 295⋅295=87025 ≡ 233 mod 571

128: 547¹²⁸=547⁶⁴⁺⁶⁴=547⁶⁴⋅547⁶⁴ ≡ 233⋅233=54289 ≡ 44 mod 571

547²⁰³

= 547^128+64+8+2+1

= 547¹²⁸⋅547⁶⁴⋅547⁸⋅547²⋅547¹

≡ 44 ⋅ 233 ⋅ 54 ⋅ 5 ⋅ 547 mod 571
≡ 10252 ⋅ 54 ⋅ 5 ⋅ 547 mod 571 ≡ 545 ⋅ 54 ⋅ 5 ⋅ 547 mod 571
≡ 29430 ⋅ 5 ⋅ 547 mod 571 ≡ 309 ⋅ 5 ⋅ 547 mod 571
≡ 1545 ⋅ 547 mod 571 ≡ 403 ⋅ 547 mod 571
≡ 220441 mod 571 ≡ 35 mod 571

Es gilt also: 547²⁰³ ≡ 35 mod 571

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 69.

Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 69

=>101	= 1⋅69 + 32
=>69	= 2⋅32 + 5
=>32	= 6⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 32-6⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5) = -2⋅32 +13⋅ 5 (=1)
5= 69-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅32 +13⋅(69 -2⋅ 32) = -2⋅32 +13⋅69 -26⋅ 32) = 13⋅69 -28⋅ 32 (=1)
32= 101-1⋅69	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅69 -28⋅(101 -1⋅ 69) = 13⋅69 -28⋅101 +28⋅ 69) = -28⋅101 +41⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(101,69)=1 = -28⋅101 +41⋅69

oder wenn man -28⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +28⋅101 = +41⋅69

Es gilt also: 41⋅69 = 28⋅101 +1

Somit 41⋅69 = 1 mod 101

41 ist also das Inverse von 69 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 69

Schlüsselpaar für RSA