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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (162 + 392) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(162 + 392) mod 8 ≡ (162 mod 8 + 392 mod 8) mod 8.

162 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 162 = 160+2 = 8 ⋅ 20 +2.

392 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 392 = 400-8 = 8 ⋅ 50 -8 = 8 ⋅ 50 - 8 + 0.

Somit gilt:

(162 + 392) mod 8 ≡ (2 + 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 85) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 85) mod 10 ≡ (28 mod 10 ⋅ 85 mod 10) mod 10.

28 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 20 + 8 = 2 ⋅ 10 + 8 ist.

85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 85) mod 10 ≡ (8 ⋅ 5) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 606¹⁶ mod 1009.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 606 -> x
2. mod(x²,1009) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 606¹=606

2: 606²=606¹⁺¹=606¹⋅606¹ ≡ 606⋅606=367236 ≡ 969 mod 1009

4: 606⁴=606²⁺²=606²⋅606² ≡ 969⋅969=938961 ≡ 591 mod 1009

8: 606⁸=606⁴⁺⁴=606⁴⋅606⁴ ≡ 591⋅591=349281 ≡ 167 mod 1009

16: 606¹⁶=606⁸⁺⁸=606⁸⋅606⁸ ≡ 167⋅167=27889 ≡ 646 mod 1009

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 476¹⁸⁷ mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

1: 476¹=476

2: 476²=476¹⁺¹=476¹⋅476¹ ≡ 476⋅476=226576 ≡ 514 mod 661

4: 476⁴=476²⁺²=476²⋅476² ≡ 514⋅514=264196 ≡ 457 mod 661

8: 476⁸=476⁴⁺⁴=476⁴⋅476⁴ ≡ 457⋅457=208849 ≡ 634 mod 661

16: 476¹⁶=476⁸⁺⁸=476⁸⋅476⁸ ≡ 634⋅634=401956 ≡ 68 mod 661

32: 476³²=476¹⁶⁺¹⁶=476¹⁶⋅476¹⁶ ≡ 68⋅68=4624 ≡ 658 mod 661

64: 476⁶⁴=476³²⁺³²=476³²⋅476³² ≡ 658⋅658=432964 ≡ 9 mod 661

128: 476¹²⁸=476⁶⁴⁺⁶⁴=476⁶⁴⋅476⁶⁴ ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 661

476¹⁸⁷

= 476^{128+32+16+8+2+1}

= 476¹²⁸⋅476³²⋅476¹⁶⋅476⁸⋅476²⋅476¹

≡ 81 ⋅ 658 ⋅ 68 ⋅ 634 ⋅ 514 ⋅ 476 mod 661
≡ 53298 ⋅ 68 ⋅ 634 ⋅ 514 ⋅ 476 mod 661 ≡ 418 ⋅ 68 ⋅ 634 ⋅ 514 ⋅ 476 mod 661
≡ 28424 ⋅ 634 ⋅ 514 ⋅ 476 mod 661 ≡ 1 ⋅ 634 ⋅ 514 ⋅ 476 mod 661
≡ 634 ⋅ 514 ⋅ 476 mod 661
≡ 325876 ⋅ 476 mod 661 ≡ 3 ⋅ 476 mod 661
≡ 1428 mod 661 ≡ 106 mod 661

Es gilt also: 476¹⁸⁷ ≡ 106 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

=>71	= 1⋅58 + 13
=>58	= 4⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 58-4⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-1⋅58	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58) = -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -11⋅58

-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58

-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1

(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1

60⋅58 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1

Somit 60⋅58 = 1 mod 71

60 ist also das Inverse von 58 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

Schlüsselpaar für RSA