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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3503 - 344) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3503 - 344) mod 7 ≡ (3503 mod 7 - 344 mod 7) mod 7.

3503 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3503 = 3500+3 = 7 ⋅ 500 +3.

344 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 344 = 350-6 = 7 ⋅ 50 -6 = 7 ⋅ 50 - 7 + 1.

Somit gilt:

(3503 - 344) mod 7 ≡ (3 - 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 64) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 64) mod 7 ≡ (94 mod 7 ⋅ 64 mod 7) mod 7.

94 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 91 + 3 = 13 ⋅ 7 + 3 ist.

64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 9 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 64) mod 7 ≡ (3 ⋅ 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 130¹²⁸ mod 239.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 130 -> x
2. mod(x²,239) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 130¹=130

2: 130²=130¹⁺¹=130¹⋅130¹ ≡ 130⋅130=16900 ≡ 170 mod 239

4: 130⁴=130²⁺²=130²⋅130² ≡ 170⋅170=28900 ≡ 220 mod 239

8: 130⁸=130⁴⁺⁴=130⁴⋅130⁴ ≡ 220⋅220=48400 ≡ 122 mod 239

16: 130¹⁶=130⁸⁺⁸=130⁸⋅130⁸ ≡ 122⋅122=14884 ≡ 66 mod 239

32: 130³²=130¹⁶⁺¹⁶=130¹⁶⋅130¹⁶ ≡ 66⋅66=4356 ≡ 54 mod 239

64: 130⁶⁴=130³²⁺³²=130³²⋅130³² ≡ 54⋅54=2916 ≡ 48 mod 239

128: 130¹²⁸=130⁶⁴⁺⁶⁴=130⁶⁴⋅130⁶⁴ ≡ 48⋅48=2304 ≡ 153 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 538²³⁶ mod 829.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

1: 538¹=538

2: 538²=538¹⁺¹=538¹⋅538¹ ≡ 538⋅538=289444 ≡ 123 mod 829

4: 538⁴=538²⁺²=538²⋅538² ≡ 123⋅123=15129 ≡ 207 mod 829

8: 538⁸=538⁴⁺⁴=538⁴⋅538⁴ ≡ 207⋅207=42849 ≡ 570 mod 829

16: 538¹⁶=538⁸⁺⁸=538⁸⋅538⁸ ≡ 570⋅570=324900 ≡ 761 mod 829

32: 538³²=538¹⁶⁺¹⁶=538¹⁶⋅538¹⁶ ≡ 761⋅761=579121 ≡ 479 mod 829

64: 538⁶⁴=538³²⁺³²=538³²⋅538³² ≡ 479⋅479=229441 ≡ 637 mod 829

128: 538¹²⁸=538⁶⁴⁺⁶⁴=538⁶⁴⋅538⁶⁴ ≡ 637⋅637=405769 ≡ 388 mod 829

538²³⁶

= 538^{128+64+32+8+4}

= 538¹²⁸⋅538⁶⁴⋅538³²⋅538⁸⋅538⁴

≡ 388 ⋅ 637 ⋅ 479 ⋅ 570 ⋅ 207 mod 829
≡ 247156 ⋅ 479 ⋅ 570 ⋅ 207 mod 829 ≡ 114 ⋅ 479 ⋅ 570 ⋅ 207 mod 829
≡ 54606 ⋅ 570 ⋅ 207 mod 829 ≡ 721 ⋅ 570 ⋅ 207 mod 829
≡ 410970 ⋅ 207 mod 829 ≡ 615 ⋅ 207 mod 829
≡ 127305 mod 829 ≡ 468 mod 829

Es gilt also: 538²³⁶ ≡ 468 mod 829

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 46

=>53	= 1⋅46 + 7
=>46	= 6⋅7 + 4
=>7	= 1⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 46-6⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅7 +2⋅(46 -6⋅ 7) = -1⋅7 +2⋅46 -12⋅ 7) = 2⋅46 -13⋅ 7 (=1)
7= 53-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅46 -13⋅(53 -1⋅ 46) = 2⋅46 -13⋅53 +13⋅ 46) = -13⋅53 +15⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(53,46)=1 = -13⋅53 +15⋅46

oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅53 = +15⋅46

Es gilt also: 15⋅46 = 13⋅53 +1

Somit 15⋅46 = 1 mod 53

15 ist also das Inverse von 46 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 46

Schlüsselpaar für RSA