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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (103 - 1999) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(103 - 1999) mod 5 ≡ (103 mod 5 - 1999 mod 5) mod 5.

103 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 103 = 100+3 = 5 ⋅ 20 +3.

1999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999 = 1900+99 = 5 ⋅ 380 +99.

Somit gilt:

(103 - 1999) mod 5 ≡ (3 - 4) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 22) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 22) mod 8 ≡ (65 mod 8 ⋅ 22 mod 8) mod 8.

65 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 8 ⋅ 8 + 1 ist.

22 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 16 + 6 = 2 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 22) mod 8 ≡ (1 ⋅ 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 67164 mod 883.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 671 -> x
2. mod(x²,883) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6711=671

2: 6712=6711+1=6711⋅6711 ≡ 671⋅671=450241 ≡ 794 mod 883

4: 6714=6712+2=6712⋅6712 ≡ 794⋅794=630436 ≡ 857 mod 883

8: 6718=6714+4=6714⋅6714 ≡ 857⋅857=734449 ≡ 676 mod 883

16: 67116=6718+8=6718⋅6718 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 465 mod 883

32: 67132=67116+16=67116⋅67116 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 773 mod 883

64: 67164=67132+32=67132⋅67132 ≡ 773⋅773=597529 ≡ 621 mod 883

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 288168 mod 409.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:

168 = 128+32+8

1: 2881=288

2: 2882=2881+1=2881⋅2881 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 326 mod 409

4: 2884=2882+2=2882⋅2882 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 345 mod 409

8: 2888=2884+4=2884⋅2884 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 6 mod 409

16: 28816=2888+8=2888⋅2888 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 409

32: 28832=28816+16=28816⋅28816 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 69 mod 409

64: 28864=28832+32=28832⋅28832 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 262 mod 409

128: 288128=28864+64=28864⋅28864 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 341 mod 409

288168

= 288128+32+8

= 288128⋅28832⋅2888

≡ 341 ⋅ 69 ⋅ 6 mod 409
≡ 23529 ⋅ 6 mod 409 ≡ 216 ⋅ 6 mod 409
≡ 1296 mod 409 ≡ 69 mod 409

Es gilt also: 288168 ≡ 69 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 56.

Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 56

=>101 = 1⋅56 + 45
=>56 = 1⋅45 + 11
=>45 = 4⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 45-4⋅11
11= 56-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅45 -4⋅(56 -1⋅ 45)
= 1⋅45 -4⋅56 +4⋅ 45)
= -4⋅56 +5⋅ 45 (=1)
45= 101-1⋅56 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅56 +5⋅(101 -1⋅ 56)
= -4⋅56 +5⋅101 -5⋅ 56)
= 5⋅101 -9⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(101,56)=1 = 5⋅101 -9⋅56

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -9⋅56

-9⋅56 = -5⋅101 + 1 |+101⋅56

-9⋅56 + 101⋅56 = -5⋅101 + 101⋅56 + 1

(-9 + 101) ⋅ 56 = (-5 + 56) ⋅ 101 + 1

92⋅56 = 51⋅101 + 1

Es gilt also: 92⋅56 = 51⋅101 +1

Somit 92⋅56 = 1 mod 101

92 ist also das Inverse von 56 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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