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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (803 + 31995) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(803 + 31995) mod 8 ≡ (803 mod 8 + 31995 mod 8) mod 8.
803 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 803
= 800
31995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31995
= 31000
Somit gilt:
(803 + 31995) mod 8 ≡ (3 + 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 58) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 58) mod 7 ≡ (68 mod 7 ⋅ 58 mod 7) mod 7.
68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.
58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 58) mod 7 ≡ (5 ⋅ 2) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8848 mod 1009.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 884 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8841=884
2: 8842=8841+1=8841⋅8841 ≡ 884⋅884=781456 ≡ 490 mod 1009
4: 8844=8842+2=8842⋅8842 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 967 mod 1009
8: 8848=8844+4=8844⋅8844 ≡ 967⋅967=935089 ≡ 755 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 185173 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 173 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 173 an und zerlegen 173 in eine Summer von 2er-Potenzen:
173 = 128+32+8+4+1
1: 1851=185
2: 1852=1851+1=1851⋅1851 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 138 mod 383
4: 1854=1852+2=1852⋅1852 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 277 mod 383
8: 1858=1854+4=1854⋅1854 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 129 mod 383
16: 18516=1858+8=1858⋅1858 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 172 mod 383
32: 18532=18516+16=18516⋅18516 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 93 mod 383
64: 18564=18532+32=18532⋅18532 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 223 mod 383
128: 185128=18564+64=18564⋅18564 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 322 mod 383
185173
= 185128+32+8+4+1
= 185128⋅18532⋅1858⋅1854⋅1851
≡ 322 ⋅ 93 ⋅ 129 ⋅ 277 ⋅ 185 mod 383
≡ 29946 ⋅ 129 ⋅ 277 ⋅ 185 mod 383 ≡ 72 ⋅ 129 ⋅ 277 ⋅ 185 mod 383
≡ 9288 ⋅ 277 ⋅ 185 mod 383 ≡ 96 ⋅ 277 ⋅ 185 mod 383
≡ 26592 ⋅ 185 mod 383 ≡ 165 ⋅ 185 mod 383
≡ 30525 mod 383 ≡ 268 mod 383
Es gilt also: 185173 ≡ 268 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 24.
Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24
| =>79 | = 3⋅24 + 7 |
| =>24 | = 3⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,24)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 24-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-3⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅24 +7⋅(79 -3⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅79 -21⋅ 24) = 7⋅79 -23⋅ 24 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,24)=1 = 7⋅79 -23⋅24
oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅79 = -23⋅24
-23⋅24 = -7⋅79 + 1 |+79⋅24
-23⋅24 + 79⋅24 = -7⋅79 + 79⋅24 + 1
(-23 + 79) ⋅ 24 = (-7 + 24) ⋅ 79 + 1
56⋅24 = 17⋅79 + 1
Es gilt also: 56⋅24 = 17⋅79 +1
Somit 56⋅24 = 1 mod 79
56 ist also das Inverse von 24 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.