nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3999 + 396) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3999 + 396) mod 4 ≡ (3999 mod 4 + 396 mod 4) mod 4.

3999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999 = 3000+999 = 4 ⋅ 750 +999.

396 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396 = 300+96 = 4 ⋅ 75 +96.

Somit gilt:

(3999 + 396) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 39) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 39) mod 10 ≡ (15 mod 10 ⋅ 39 mod 10) mod 10.

15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.

39 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 30 + 9 = 3 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 39) mod 10 ≡ (5 ⋅ 9) mod 10 ≡ 45 mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18216 mod 229.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 182 -> x
2. mod(x²,229) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1821=182

2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 148 mod 229

4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 149 mod 229

8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 217 mod 229

16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 144 mod 229

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 304122 mod 659.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

1: 3041=304

2: 3042=3041+1=3041⋅3041 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 156 mod 659

4: 3044=3042+2=3042⋅3042 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 612 mod 659

8: 3048=3044+4=3044⋅3044 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 232 mod 659

16: 30416=3048+8=3048⋅3048 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 445 mod 659

32: 30432=30416+16=30416⋅30416 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 325 mod 659

64: 30464=30432+32=30432⋅30432 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 185 mod 659

304122

= 30464+32+16+8+2

= 30464⋅30432⋅30416⋅3048⋅3042

≡ 185 ⋅ 325 ⋅ 445 ⋅ 232 ⋅ 156 mod 659
≡ 60125 ⋅ 445 ⋅ 232 ⋅ 156 mod 659 ≡ 156 ⋅ 445 ⋅ 232 ⋅ 156 mod 659
≡ 69420 ⋅ 232 ⋅ 156 mod 659 ≡ 225 ⋅ 232 ⋅ 156 mod 659
≡ 52200 ⋅ 156 mod 659 ≡ 139 ⋅ 156 mod 659
≡ 21684 mod 659 ≡ 596 mod 659

Es gilt also: 304122 ≡ 596 mod 659

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 48

=>73 = 1⋅48 + 25
=>48 = 1⋅25 + 23
=>25 = 1⋅23 + 2
=>23 = 11⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 25-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅23 -11⋅(25 -1⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅25 +11⋅ 23)
= -11⋅25 +12⋅ 23 (=1)
23= 48-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅25 +12⋅(48 -1⋅ 25)
= -11⋅25 +12⋅48 -12⋅ 25)
= 12⋅48 -23⋅ 25 (=1)
25= 73-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 12⋅48 -23⋅(73 -1⋅ 48)
= 12⋅48 -23⋅73 +23⋅ 48)
= -23⋅73 +35⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(73,48)=1 = -23⋅73 +35⋅48

oder wenn man -23⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅73 = +35⋅48

Es gilt also: 35⋅48 = 23⋅73 +1

Somit 35⋅48 = 1 mod 73

35 ist also das Inverse von 48 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden