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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3001 - 1199) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3001 - 1199) mod 3 ≡ (3001 mod 3 - 1199 mod 3) mod 3.

3001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3001 = 3000+1 = 3 ⋅ 1000 +1.

1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1200-1 = 3 ⋅ 400 -1 = 3 ⋅ 400 - 3 + 2.

Somit gilt:

(3001 - 1199) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 94) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 94) mod 9 ≡ (48 mod 9 ⋅ 94 mod 9) mod 9.

48 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 5 ⋅ 9 + 3 ist.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 10 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 94) mod 9 ≡ (3 ⋅ 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1378 mod 311.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 137 -> x
2. mod(x²,311) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1371=137

2: 1372=1371+1=1371⋅1371 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 109 mod 311

4: 1374=1372+2=1372⋅1372 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 63 mod 311

8: 1378=1374+4=1374⋅1374 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 237 mod 311

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 443119 mod 983.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

1: 4431=443

2: 4432=4431+1=4431⋅4431 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 632 mod 983

4: 4434=4432+2=4432⋅4432 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 326 mod 983

8: 4438=4434+4=4434⋅4434 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 112 mod 983

16: 44316=4438+8=4438⋅4438 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 748 mod 983

32: 44332=44316+16=44316⋅44316 ≡ 748⋅748=559504 ≡ 177 mod 983

64: 44364=44332+32=44332⋅44332 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 856 mod 983

443119

= 44364+32+16+4+2+1

= 44364⋅44332⋅44316⋅4434⋅4432⋅4431

856 ⋅ 177 ⋅ 748 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983
151512 ⋅ 748 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983 ≡ 130 ⋅ 748 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983
97240 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983 ≡ 906 ⋅ 326 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983
295356 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983 ≡ 456 ⋅ 632 ⋅ 443 mod 983
288192 ⋅ 443 mod 983 ≡ 173 ⋅ 443 mod 983
76639 mod 983 ≡ 948 mod 983

Es gilt also: 443119 ≡ 948 mod 983

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30

=>67 = 2⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30)
= 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -29⋅30

-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30

-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1

(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1

38⋅30 = 17⋅67 + 1

Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1

Somit 38⋅30 = 1 mod 67

38 ist also das Inverse von 30 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.