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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4001 - 233) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4001 - 233) mod 8 ≡ (4001 mod 8 - 233 mod 8) mod 8.

4001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4001 = 4000+1 = 8 ⋅ 500 +1.

233 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 233 = 240-7 = 8 ⋅ 30 -7 = 8 ⋅ 30 - 8 + 1.

Somit gilt:

(4001 - 233) mod 8 ≡ (1 - 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 94) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 94) mod 9 ≡ (24 mod 9 ⋅ 94 mod 9) mod 9.

24 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 18 + 6 = 2 ⋅ 9 + 6 ist.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 10 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 94) mod 9 ≡ (6 ⋅ 4) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 333³² mod 563.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 333 -> x
2. mod(x²,563) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 333¹=333

2: 333²=333¹⁺¹=333¹⋅333¹ ≡ 333⋅333=110889 ≡ 541 mod 563

4: 333⁴=333²⁺²=333²⋅333² ≡ 541⋅541=292681 ≡ 484 mod 563

8: 333⁸=333⁴⁺⁴=333⁴⋅333⁴ ≡ 484⋅484=234256 ≡ 48 mod 563

16: 333¹⁶=333⁸⁺⁸=333⁸⋅333⁸ ≡ 48⋅48=2304 ≡ 52 mod 563

32: 333³²=333¹⁶⁺¹⁶=333¹⁶⋅333¹⁶ ≡ 52⋅52=2704 ≡ 452 mod 563

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 507²³³ mod 523.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 233 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 233 an und zerlegen 233 in eine Summer von 2er-Potenzen:

233 = 128+64+32+8+1

1: 507¹=507

2: 507²=507¹⁺¹=507¹⋅507¹ ≡ 507⋅507=257049 ≡ 256 mod 523

4: 507⁴=507²⁺²=507²⋅507² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 161 mod 523

8: 507⁸=507⁴⁺⁴=507⁴⋅507⁴ ≡ 161⋅161=25921 ≡ 294 mod 523

16: 507¹⁶=507⁸⁺⁸=507⁸⋅507⁸ ≡ 294⋅294=86436 ≡ 141 mod 523

32: 507³²=507¹⁶⁺¹⁶=507¹⁶⋅507¹⁶ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 7 mod 523

64: 507⁶⁴=507³²⁺³²=507³²⋅507³² ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 523

128: 507¹²⁸=507⁶⁴⁺⁶⁴=507⁶⁴⋅507⁶⁴ ≡ 49⋅49=2401 ≡ 309 mod 523

507²³³

= 507^{128+64+32+8+1}

= 507¹²⁸⋅507⁶⁴⋅507³²⋅507⁸⋅507¹

≡ 309 ⋅ 49 ⋅ 7 ⋅ 294 ⋅ 507 mod 523
≡ 15141 ⋅ 7 ⋅ 294 ⋅ 507 mod 523 ≡ 497 ⋅ 7 ⋅ 294 ⋅ 507 mod 523
≡ 3479 ⋅ 294 ⋅ 507 mod 523 ≡ 341 ⋅ 294 ⋅ 507 mod 523
≡ 100254 ⋅ 507 mod 523 ≡ 361 ⋅ 507 mod 523
≡ 183027 mod 523 ≡ 500 mod 523

Es gilt also: 507²³³ ≡ 500 mod 523

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40

=>67	= 1⋅40 + 27
=>40	= 1⋅27 + 13
=>27	= 2⋅13 + 1
=>13	= 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 27-2⋅13
13= 40-1⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅27 -2⋅(40 -1⋅ 27) = 1⋅27 -2⋅40 +2⋅ 27) = -2⋅40 +3⋅ 27 (=1)
27= 67-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅40 +3⋅(67 -1⋅ 40) = -2⋅40 +3⋅67 -3⋅ 40) = 3⋅67 -5⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(67,40)=1 = 3⋅67 -5⋅40

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -5⋅40

-5⋅40 = -3⋅67 + 1 |+67⋅40

-5⋅40 + 67⋅40 = -3⋅67 + 67⋅40 + 1

(-5 + 67) ⋅ 40 = (-3 + 40) ⋅ 67 + 1

62⋅40 = 37⋅67 + 1

Es gilt also: 62⋅40 = 37⋅67 +1

Somit 62⋅40 = 1 mod 67

62 ist also das Inverse von 40 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40

Schlüsselpaar für RSA