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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (11997 + 304) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11997 + 304) mod 6 ≡ (11997 mod 6 + 304 mod 6) mod 6.

11997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997 = 12000-3 = 6 ⋅ 2000 -3 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 3.

304 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 304 = 300+4 = 6 ⋅ 50 +4.

Somit gilt:

(11997 + 304) mod 6 ≡ (3 + 4) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 28) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 28) mod 7 ≡ (33 mod 7 ⋅ 28 mod 7) mod 7.

33 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 28 + 5 = 4 ⋅ 7 + 5 ist.

28 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 4 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 28) mod 7 ≡ (5 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 393³² mod 613.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 393 -> x
2. mod(x²,613) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 393¹=393

2: 393²=393¹⁺¹=393¹⋅393¹ ≡ 393⋅393=154449 ≡ 586 mod 613

4: 393⁴=393²⁺²=393²⋅393² ≡ 586⋅586=343396 ≡ 116 mod 613

8: 393⁸=393⁴⁺⁴=393⁴⋅393⁴ ≡ 116⋅116=13456 ≡ 583 mod 613

16: 393¹⁶=393⁸⁺⁸=393⁸⋅393⁸ ≡ 583⋅583=339889 ≡ 287 mod 613

32: 393³²=393¹⁶⁺¹⁶=393¹⁶⋅393¹⁶ ≡ 287⋅287=82369 ≡ 227 mod 613

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 163²⁵⁰ mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

1: 163¹=163

2: 163²=163¹⁺¹=163¹⋅163¹ ≡ 163⋅163=26569 ≡ 117 mod 389

4: 163⁴=163²⁺²=163²⋅163² ≡ 117⋅117=13689 ≡ 74 mod 389

8: 163⁸=163⁴⁺⁴=163⁴⋅163⁴ ≡ 74⋅74=5476 ≡ 30 mod 389

16: 163¹⁶=163⁸⁺⁸=163⁸⋅163⁸ ≡ 30⋅30=900 ≡ 122 mod 389

32: 163³²=163¹⁶⁺¹⁶=163¹⁶⋅163¹⁶ ≡ 122⋅122=14884 ≡ 102 mod 389

64: 163⁶⁴=163³²⁺³²=163³²⋅163³² ≡ 102⋅102=10404 ≡ 290 mod 389

128: 163¹²⁸=163⁶⁴⁺⁶⁴=163⁶⁴⋅163⁶⁴ ≡ 290⋅290=84100 ≡ 76 mod 389

163²⁵⁰

= 163^{128+64+32+16+8+2}

= 163¹²⁸⋅163⁶⁴⋅163³²⋅163¹⁶⋅163⁸⋅163²

≡ 76 ⋅ 290 ⋅ 102 ⋅ 122 ⋅ 30 ⋅ 117 mod 389
≡ 22040 ⋅ 102 ⋅ 122 ⋅ 30 ⋅ 117 mod 389 ≡ 256 ⋅ 102 ⋅ 122 ⋅ 30 ⋅ 117 mod 389
≡ 26112 ⋅ 122 ⋅ 30 ⋅ 117 mod 389 ≡ 49 ⋅ 122 ⋅ 30 ⋅ 117 mod 389
≡ 5978 ⋅ 30 ⋅ 117 mod 389 ≡ 143 ⋅ 30 ⋅ 117 mod 389
≡ 4290 ⋅ 117 mod 389 ≡ 11 ⋅ 117 mod 389
≡ 1287 mod 389 ≡ 120 mod 389

Es gilt also: 163²⁵⁰ ≡ 120 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 58

=>67	= 1⋅58 + 9
=>58	= 6⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 58-6⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(58 -6⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅58 +12⋅ 9) = -2⋅58 +13⋅ 9 (=1)
9= 67-1⋅58	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅58 +13⋅(67 -1⋅ 58) = -2⋅58 +13⋅67 -13⋅ 58) = 13⋅67 -15⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(67,58)=1 = 13⋅67 -15⋅58

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -15⋅58

-15⋅58 = -13⋅67 + 1 |+67⋅58

-15⋅58 + 67⋅58 = -13⋅67 + 67⋅58 + 1

(-15 + 67) ⋅ 58 = (-13 + 58) ⋅ 67 + 1

52⋅58 = 45⋅67 + 1

Es gilt also: 52⋅58 = 45⋅67 +1

Somit 52⋅58 = 1 mod 67

52 ist also das Inverse von 58 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 58

Schlüsselpaar für RSA