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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1602 - 4004) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1602 - 4004) mod 4 ≡ (1602 mod 4 - 4004 mod 4) mod 4.
1602 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602
= 1600
4004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004
= 4000
Somit gilt:
(1602 - 4004) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 17) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34 ⋅ 17) mod 9 ≡ (34 mod 9 ⋅ 17 mod 9) mod 9.
34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.
17 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 9 + 8 = 1 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(34 ⋅ 17) mod 9 ≡ (7 ⋅ 8) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 11232 mod 241.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 112 -> x
2. mod(x²,241) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1121=112
2: 1122=1121+1=1121⋅1121 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 12 mod 241
4: 1124=1122+2=1122⋅1122 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 241
8: 1128=1124+4=1124⋅1124 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 10 mod 241
16: 11216=1128+8=1128⋅1128 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 241
32: 11232=11216+16=11216⋅11216 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 119 mod 241
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 806249 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:
249 = 128+64+32+16+8+1
1: 8061=806
2: 8062=8061+1=8061⋅8061 ≡ 806⋅806=649636 ≡ 9 mod 809
4: 8064=8062+2=8062⋅8062 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 809
8: 8068=8064+4=8064⋅8064 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 89 mod 809
16: 80616=8068+8=8068⋅8068 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 640 mod 809
32: 80632=80616+16=80616⋅80616 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 246 mod 809
64: 80664=80632+32=80632⋅80632 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 650 mod 809
128: 806128=80664+64=80664⋅80664 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 202 mod 809
806249
= 806128+64+32+16+8+1
= 806128⋅80664⋅80632⋅80616⋅8068⋅8061
≡ 202 ⋅ 650 ⋅ 246 ⋅ 640 ⋅ 89 ⋅ 806 mod 809
≡ 131300 ⋅ 246 ⋅ 640 ⋅ 89 ⋅ 806 mod 809 ≡ 242 ⋅ 246 ⋅ 640 ⋅ 89 ⋅ 806 mod 809
≡ 59532 ⋅ 640 ⋅ 89 ⋅ 806 mod 809 ≡ 475 ⋅ 640 ⋅ 89 ⋅ 806 mod 809
≡ 304000 ⋅ 89 ⋅ 806 mod 809 ≡ 625 ⋅ 89 ⋅ 806 mod 809
≡ 55625 ⋅ 806 mod 809 ≡ 613 ⋅ 806 mod 809
≡ 494078 mod 809 ≡ 588 mod 809
Es gilt also: 806249 ≡ 588 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 84
| =>97 | = 1⋅84 + 13 |
| =>84 | = 6⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 84-6⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(84 -6⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅84 +12⋅ 13) = -2⋅84 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 97-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅84 +13⋅(97 -1⋅ 84)
= -2⋅84 +13⋅97 -13⋅ 84) = 13⋅97 -15⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,84)=1 = 13⋅97 -15⋅84
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -15⋅84
-15⋅84 = -13⋅97 + 1 |+97⋅84
-15⋅84 + 97⋅84 = -13⋅97 + 97⋅84 + 1
(-15 + 97) ⋅ 84 = (-13 + 84) ⋅ 97 + 1
82⋅84 = 71⋅97 + 1
Es gilt also: 82⋅84 = 71⋅97 +1
Somit 82⋅84 = 1 mod 97
82 ist also das Inverse von 84 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
