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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (214 - 140) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(214 - 140) mod 7 ≡ (214 mod 7 - 140 mod 7) mod 7.

214 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 214 = 210+4 = 7 ⋅ 30 +4.

140 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 140 = 140+0 = 7 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(214 - 140) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 95) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 95) mod 9 ≡ (97 mod 9 ⋅ 95 mod 9) mod 9.

97 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 10 ⋅ 9 + 7 ist.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 10 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 95) mod 9 ≡ (7 ⋅ 5) mod 9 ≡ 35 mod 9 ≡ 8 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24032 mod 349.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 240 -> x
2. mod(x²,349) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2401=240

2: 2402=2401+1=2401⋅2401 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 15 mod 349

4: 2404=2402+2=2402⋅2402 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 349

8: 2408=2404+4=2404⋅2404 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 20 mod 349

16: 24016=2408+8=2408⋅2408 ≡ 20⋅20=400 ≡ 51 mod 349

32: 24032=24016+16=24016⋅24016 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 158 mod 349

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 262162 mod 823.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:

162 = 128+32+2

1: 2621=262

2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 335 mod 823

4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 297 mod 823

8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 148 mod 823

16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 506 mod 823

32: 26232=26216+16=26216⋅26216 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 83 mod 823

64: 26264=26232+32=26232⋅26232 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 305 mod 823

128: 262128=26264+64=26264⋅26264 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 26 mod 823

262162

= 262128+32+2

= 262128⋅26232⋅2622

≡ 26 ⋅ 83 ⋅ 335 mod 823
≡ 2158 ⋅ 335 mod 823 ≡ 512 ⋅ 335 mod 823
≡ 171520 mod 823 ≡ 336 mod 823

Es gilt also: 262162 ≡ 336 mod 823

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 59

=>67 = 1⋅59 + 8
=>59 = 7⋅8 + 3
=>8 = 2⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3)
= -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 59-7⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅8 +3⋅(59 -7⋅ 8)
= -1⋅8 +3⋅59 -21⋅ 8)
= 3⋅59 -22⋅ 8 (=1)
8= 67-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅59 -22⋅(67 -1⋅ 59)
= 3⋅59 -22⋅67 +22⋅ 59)
= -22⋅67 +25⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(67,59)=1 = -22⋅67 +25⋅59

oder wenn man -22⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅67 = +25⋅59

Es gilt also: 25⋅59 = 22⋅67 +1

Somit 25⋅59 = 1 mod 67

25 ist also das Inverse von 59 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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