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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2408 - 314) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2408 - 314) mod 8 ≡ (2408 mod 8 - 314 mod 8) mod 8.

2408 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2408 = 2400+8 = 8 ⋅ 300 +8.

314 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 314 = 320-6 = 8 ⋅ 40 -6 = 8 ⋅ 40 - 8 + 2.

Somit gilt:

(2408 - 314) mod 8 ≡ (0 - 2) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 30) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 30) mod 8 ≡ (56 mod 8 ⋅ 30 mod 8) mod 8.

56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.

30 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 24 + 6 = 3 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 30) mod 8 ≡ (0 ⋅ 6) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 456⁶⁴ mod 857.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 456 -> x
2. mod(x²,857) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 456¹=456

2: 456²=456¹⁺¹=456¹⋅456¹ ≡ 456⋅456=207936 ≡ 542 mod 857

4: 456⁴=456²⁺²=456²⋅456² ≡ 542⋅542=293764 ≡ 670 mod 857

8: 456⁸=456⁴⁺⁴=456⁴⋅456⁴ ≡ 670⋅670=448900 ≡ 689 mod 857

16: 456¹⁶=456⁸⁺⁸=456⁸⋅456⁸ ≡ 689⋅689=474721 ≡ 800 mod 857

32: 456³²=456¹⁶⁺¹⁶=456¹⁶⋅456¹⁶ ≡ 800⋅800=640000 ≡ 678 mod 857

64: 456⁶⁴=456³²⁺³²=456³²⋅456³² ≡ 678⋅678=459684 ≡ 332 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 120²⁴³ mod 311.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

1: 120¹=120

2: 120²=120¹⁺¹=120¹⋅120¹ ≡ 120⋅120=14400 ≡ 94 mod 311

4: 120⁴=120²⁺²=120²⋅120² ≡ 94⋅94=8836 ≡ 128 mod 311

8: 120⁸=120⁴⁺⁴=120⁴⋅120⁴ ≡ 128⋅128=16384 ≡ 212 mod 311

16: 120¹⁶=120⁸⁺⁸=120⁸⋅120⁸ ≡ 212⋅212=44944 ≡ 160 mod 311

32: 120³²=120¹⁶⁺¹⁶=120¹⁶⋅120¹⁶ ≡ 160⋅160=25600 ≡ 98 mod 311

64: 120⁶⁴=120³²⁺³²=120³²⋅120³² ≡ 98⋅98=9604 ≡ 274 mod 311

128: 120¹²⁸=120⁶⁴⁺⁶⁴=120⁶⁴⋅120⁶⁴ ≡ 274⋅274=75076 ≡ 125 mod 311

120²⁴³

= 120^{128+64+32+16+2+1}

= 120¹²⁸⋅120⁶⁴⋅120³²⋅120¹⁶⋅120²⋅120¹

≡ 125 ⋅ 274 ⋅ 98 ⋅ 160 ⋅ 94 ⋅ 120 mod 311
≡ 34250 ⋅ 98 ⋅ 160 ⋅ 94 ⋅ 120 mod 311 ≡ 40 ⋅ 98 ⋅ 160 ⋅ 94 ⋅ 120 mod 311
≡ 3920 ⋅ 160 ⋅ 94 ⋅ 120 mod 311 ≡ 188 ⋅ 160 ⋅ 94 ⋅ 120 mod 311
≡ 30080 ⋅ 94 ⋅ 120 mod 311 ≡ 224 ⋅ 94 ⋅ 120 mod 311
≡ 21056 ⋅ 120 mod 311 ≡ 219 ⋅ 120 mod 311
≡ 26280 mod 311 ≡ 156 mod 311

Es gilt also: 120²⁴³ ≡ 156 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38

=>79	= 2⋅38 + 3
=>38	= 12⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 38-12⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1)
3= 79-2⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅38 +13⋅(79 -2⋅ 38) = -1⋅38 +13⋅79 -26⋅ 38) = 13⋅79 -27⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(79,38)=1 = 13⋅79 -27⋅38

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -27⋅38

-27⋅38 = -13⋅79 + 1 |+79⋅38

-27⋅38 + 79⋅38 = -13⋅79 + 79⋅38 + 1

(-27 + 79) ⋅ 38 = (-13 + 38) ⋅ 79 + 1

52⋅38 = 25⋅79 + 1

Es gilt also: 52⋅38 = 25⋅79 +1

Somit 52⋅38 = 1 mod 79

52 ist also das Inverse von 38 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38

Schlüsselpaar für RSA