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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (400 - 11996) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(400 - 11996) mod 4 ≡ (400 mod 4 - 11996 mod 4) mod 4.
400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400
= 400
11996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11996
= 11000
Somit gilt:
(400 - 11996) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 60) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(29 ⋅ 60) mod 9 ≡ (29 mod 9 ⋅ 60 mod 9) mod 9.
29 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 27 + 2 = 3 ⋅ 9 + 2 ist.
60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(29 ⋅ 60) mod 9 ≡ (2 ⋅ 6) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31716 mod 433.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 317 -> x
2. mod(x²,433) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3171=317
2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 33 mod 433
4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 223 mod 433
8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 367 mod 433
16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 26 mod 433
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 472224 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 224 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 224 an und zerlegen 224 in eine Summer von 2er-Potenzen:
224 = 128+64+32
1: 4721=472
2: 4722=4721+1=4721⋅4721 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 303 mod 859
4: 4724=4722+2=4722⋅4722 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 755 mod 859
8: 4728=4724+4=4724⋅4724 ≡ 755⋅755=570025 ≡ 508 mod 859
16: 47216=4728+8=4728⋅4728 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 364 mod 859
32: 47232=47216+16=47216⋅47216 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 210 mod 859
64: 47264=47232+32=47232⋅47232 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 291 mod 859
128: 472128=47264+64=47264⋅47264 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 499 mod 859
472224
= 472128+64+32
= 472128⋅47264⋅47232
≡ 499 ⋅ 291 ⋅ 210 mod 859
≡ 145209 ⋅ 210 mod 859 ≡ 38 ⋅ 210 mod 859
≡ 7980 mod 859 ≡ 249 mod 859
Es gilt also: 472224 ≡ 249 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 88.
Also bestimme x, so dass 88 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 88
| =>101 | = 1⋅88 + 13 |
| =>88 | = 6⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,88)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 88-6⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(88 -6⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅88 -24⋅ 13) = 4⋅88 -27⋅ 13 (=1) |
| 13= 101-1⋅88 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅88 -27⋅(101 -1⋅ 88)
= 4⋅88 -27⋅101 +27⋅ 88) = -27⋅101 +31⋅ 88 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,88)=1 = -27⋅101 +31⋅88
oder wenn man -27⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅101 = +31⋅88
Es gilt also: 31⋅88 = 27⋅101 +1
Somit 31⋅88 = 1 mod 101
31 ist also das Inverse von 88 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.