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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26998 + 3602) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26998 + 3602) mod 9 ≡ (26998 mod 9 + 3602 mod 9) mod 9.

26998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26998 = 27000-2 = 9 ⋅ 3000 -2 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 7.

3602 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3602 = 3600+2 = 9 ⋅ 400 +2.

Somit gilt:

(26998 + 3602) mod 9 ≡ (7 + 2) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 69) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 69) mod 9 ≡ (33 mod 9 ⋅ 69 mod 9) mod 9.

33 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 27 + 6 = 3 ⋅ 9 + 6 ist.

69 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 7 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 69) mod 9 ≡ (6 ⋅ 6) mod 9 ≡ 36 mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 37264 mod 547.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 372 -> x
2. mod(x²,547) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3721=372

2: 3722=3721+1=3721⋅3721 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 540 mod 547

4: 3724=3722+2=3722⋅3722 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 49 mod 547

8: 3728=3724+4=3724⋅3724 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 213 mod 547

16: 37216=3728+8=3728⋅3728 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 515 mod 547

32: 37232=37216+16=37216⋅37216 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 477 mod 547

64: 37264=37232+32=37232⋅37232 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 524 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 402131 mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:

131 = 128+2+1

1: 4021=402

2: 4022=4021+1=4021⋅4021 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 407 mod 487

4: 4024=4022+2=4022⋅4022 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 69 mod 487

8: 4028=4024+4=4024⋅4024 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 378 mod 487

16: 40216=4028+8=4028⋅4028 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 193 mod 487

32: 40232=40216+16=40216⋅40216 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 237 mod 487

64: 40264=40232+32=40232⋅40232 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 164 mod 487

128: 402128=40264+64=40264⋅40264 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 111 mod 487

402131

= 402128+2+1

= 402128⋅4022⋅4021

≡ 111 ⋅ 407 ⋅ 402 mod 487
≡ 45177 ⋅ 402 mod 487 ≡ 373 ⋅ 402 mod 487
≡ 149946 mod 487 ≡ 437 mod 487

Es gilt also: 402131 ≡ 437 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 43

=>53 = 1⋅43 + 10
=>43 = 4⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 43-4⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(43 -4⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅43 +12⋅ 10)
= -3⋅43 +13⋅ 10 (=1)
10= 53-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅43 +13⋅(53 -1⋅ 43)
= -3⋅43 +13⋅53 -13⋅ 43)
= 13⋅53 -16⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(53,43)=1 = 13⋅53 -16⋅43

oder wenn man 13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅53 = -16⋅43

-16⋅43 = -13⋅53 + 1 |+53⋅43

-16⋅43 + 53⋅43 = -13⋅53 + 53⋅43 + 1

(-16 + 53) ⋅ 43 = (-13 + 43) ⋅ 53 + 1

37⋅43 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 37⋅43 = 30⋅53 +1

Somit 37⋅43 = 1 mod 53

37 ist also das Inverse von 43 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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