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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2392 - 153) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2392 - 153) mod 8 ≡ (2392 mod 8 - 153 mod 8) mod 8.

2392 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2392 = 2400-8 = 8 ⋅ 300 -8 = 8 ⋅ 300 - 8 + 0.

153 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 153 = 160-7 = 8 ⋅ 20 -7 = 8 ⋅ 20 - 8 + 1.

Somit gilt:

(2392 - 153) mod 8 ≡ (0 - 1) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 84) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 84) mod 11 ≡ (51 mod 11 ⋅ 84 mod 11) mod 11.

51 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 44 + 7 = 4 ⋅ 11 + 7 ist.

84 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 77 + 7 = 7 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 84) mod 11 ≡ (7 ⋅ 7) mod 11 ≡ 49 mod 11 ≡ 5 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 41316 mod 479.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 413 -> x
2. mod(x²,479) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4131=413

2: 4132=4131+1=4131⋅4131 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 45 mod 479

4: 4134=4132+2=4132⋅4132 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 109 mod 479

8: 4138=4134+4=4134⋅4134 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 385 mod 479

16: 41316=4138+8=4138⋅4138 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 214 mod 479

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 451122 mod 467.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

1: 4511=451

2: 4512=4511+1=4511⋅4511 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 256 mod 467

4: 4514=4512+2=4512⋅4512 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 156 mod 467

8: 4518=4514+4=4514⋅4514 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 52 mod 467

16: 45116=4518+8=4518⋅4518 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 369 mod 467

32: 45132=45116+16=45116⋅45116 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 264 mod 467

64: 45164=45132+32=45132⋅45132 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 113 mod 467

451122

= 45164+32+16+8+2

= 45164⋅45132⋅45116⋅4518⋅4512

≡ 113 ⋅ 264 ⋅ 369 ⋅ 52 ⋅ 256 mod 467
≡ 29832 ⋅ 369 ⋅ 52 ⋅ 256 mod 467 ≡ 411 ⋅ 369 ⋅ 52 ⋅ 256 mod 467
≡ 151659 ⋅ 52 ⋅ 256 mod 467 ≡ 351 ⋅ 52 ⋅ 256 mod 467
≡ 18252 ⋅ 256 mod 467 ≡ 39 ⋅ 256 mod 467
≡ 9984 mod 467 ≡ 177 mod 467

Es gilt also: 451122 ≡ 177 mod 467

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 60

=>71 = 1⋅60 + 11
=>60 = 5⋅11 + 5
=>11 = 2⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 60-5⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -2⋅(60 -5⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅60 +10⋅ 11)
= -2⋅60 +11⋅ 11 (=1)
11= 71-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅60 +11⋅(71 -1⋅ 60)
= -2⋅60 +11⋅71 -11⋅ 60)
= 11⋅71 -13⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(71,60)=1 = 11⋅71 -13⋅60

oder wenn man 11⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅71 = -13⋅60

-13⋅60 = -11⋅71 + 1 |+71⋅60

-13⋅60 + 71⋅60 = -11⋅71 + 71⋅60 + 1

(-13 + 71) ⋅ 60 = (-11 + 60) ⋅ 71 + 1

58⋅60 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 58⋅60 = 49⋅71 +1

Somit 58⋅60 = 1 mod 71

58 ist also das Inverse von 60 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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