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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2003 - 16004) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2003 - 16004) mod 4 ≡ (2003 mod 4 - 16004 mod 4) mod 4.

2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003 = 2000+3 = 4 ⋅ 500 +3.

16004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 4 ⋅ 4000 +4.

Somit gilt:

(2003 - 16004) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 86) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 86) mod 4 ≡ (30 mod 4 ⋅ 86 mod 4) mod 4.

30 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 7 ⋅ 4 + 2 ist.

86 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 21 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 86) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 48016 mod 677.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 480 -> x
2. mod(x²,677) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4801=480

2: 4802=4801+1=4801⋅4801 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 220 mod 677

4: 4804=4802+2=4802⋅4802 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 333 mod 677

8: 4808=4804+4=4804⋅4804 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 538 mod 677

16: 48016=4808+8=4808⋅4808 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 365 mod 677

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 452154 mod 661.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:

154 = 128+16+8+2

1: 4521=452

2: 4522=4521+1=4521⋅4521 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 55 mod 661

4: 4524=4522+2=4522⋅4522 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 381 mod 661

8: 4528=4524+4=4524⋅4524 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 402 mod 661

16: 45216=4528+8=4528⋅4528 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 320 mod 661

32: 45232=45216+16=45216⋅45216 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 606 mod 661

64: 45264=45232+32=45232⋅45232 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 381 mod 661

128: 452128=45264+64=45264⋅45264 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 402 mod 661

452154

= 452128+16+8+2

= 452128⋅45216⋅4528⋅4522

≡ 402 ⋅ 320 ⋅ 402 ⋅ 55 mod 661
≡ 128640 ⋅ 402 ⋅ 55 mod 661 ≡ 406 ⋅ 402 ⋅ 55 mod 661
≡ 163212 ⋅ 55 mod 661 ≡ 606 ⋅ 55 mod 661
≡ 33330 mod 661 ≡ 280 mod 661

Es gilt also: 452154 ≡ 280 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 55

=>83 = 1⋅55 + 28
=>55 = 1⋅28 + 27
=>28 = 1⋅27 + 1
=>27 = 27⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 28-1⋅27
27= 55-1⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅28 -1⋅(55 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -1⋅55 +1⋅ 28)
= -1⋅55 +2⋅ 28 (=1)
28= 83-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅55 +2⋅(83 -1⋅ 55)
= -1⋅55 +2⋅83 -2⋅ 55)
= 2⋅83 -3⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(83,55)=1 = 2⋅83 -3⋅55

oder wenn man 2⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅83 = -3⋅55

-3⋅55 = -2⋅83 + 1 |+83⋅55

-3⋅55 + 83⋅55 = -2⋅83 + 83⋅55 + 1

(-3 + 83) ⋅ 55 = (-2 + 55) ⋅ 83 + 1

80⋅55 = 53⋅83 + 1

Es gilt also: 80⋅55 = 53⋅83 +1

Somit 80⋅55 = 1 mod 83

80 ist also das Inverse von 55 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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