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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2401 + 317) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2401 + 317) mod 8 ≡ (2401 mod 8 + 317 mod 8) mod 8.

2401 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2401 = 2400+1 = 8 ⋅ 300 +1.

317 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 317 = 320-3 = 8 ⋅ 40 -3 = 8 ⋅ 40 - 8 + 5.

Somit gilt:

(2401 + 317) mod 8 ≡ (1 + 5) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 59) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 59) mod 9 ≡ (94 mod 9 ⋅ 59 mod 9) mod 9.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 10 ⋅ 9 + 4 ist.

59 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 54 + 5 = 6 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 59) mod 9 ≡ (4 ⋅ 5) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 368128 mod 523.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 368 -> x
2. mod(x²,523) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3681=368

2: 3682=3681+1=3681⋅3681 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 490 mod 523

4: 3684=3682+2=3682⋅3682 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 43 mod 523

8: 3688=3684+4=3684⋅3684 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 280 mod 523

16: 36816=3688+8=3688⋅3688 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 473 mod 523

32: 36832=36816+16=36816⋅36816 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 408 mod 523

64: 36864=36832+32=36832⋅36832 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 150 mod 523

128: 368128=36864+64=36864⋅36864 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 11 mod 523

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 91867 mod 947.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:

67 = 64+2+1

1: 9181=918

2: 9182=9181+1=9181⋅9181 ≡ 918⋅918=842724 ≡ 841 mod 947

4: 9184=9182+2=9182⋅9182 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 819 mod 947

8: 9188=9184+4=9184⋅9184 ≡ 819⋅819=670761 ≡ 285 mod 947

16: 91816=9188+8=9188⋅9188 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 730 mod 947

32: 91832=91816+16=91816⋅91816 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 686 mod 947

64: 91864=91832+32=91832⋅91832 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 884 mod 947

91867

= 91864+2+1

= 91864⋅9182⋅9181

≡ 884 ⋅ 841 ⋅ 918 mod 947
≡ 743444 ⋅ 918 mod 947 ≡ 49 ⋅ 918 mod 947
≡ 44982 mod 947 ≡ 473 mod 947

Es gilt also: 91867 ≡ 473 mod 947

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 54

=>59 = 1⋅54 + 5
=>54 = 10⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 54-10⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(54 -10⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅54 +10⋅ 5)
= -1⋅54 +11⋅ 5 (=1)
5= 59-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅54 +11⋅(59 -1⋅ 54)
= -1⋅54 +11⋅59 -11⋅ 54)
= 11⋅59 -12⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(59,54)=1 = 11⋅59 -12⋅54

oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅59 = -12⋅54

-12⋅54 = -11⋅59 + 1 |+59⋅54

-12⋅54 + 59⋅54 = -11⋅59 + 59⋅54 + 1

(-12 + 59) ⋅ 54 = (-11 + 54) ⋅ 59 + 1

47⋅54 = 43⋅59 + 1

Es gilt also: 47⋅54 = 43⋅59 +1

Somit 47⋅54 = 1 mod 59

47 ist also das Inverse von 54 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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