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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3200 - 402) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3200 - 402) mod 8 ≡ (3200 mod 8 - 402 mod 8) mod 8.
3200 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3200
= 3200
402 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 402
= 400
Somit gilt:
(3200 - 402) mod 8 ≡ (0 - 2) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 70) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 70) mod 4 ≡ (19 mod 4 ⋅ 70 mod 4) mod 4.
19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.
70 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 68 + 2 = 17 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 70) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 44516 mod 487.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 445 -> x
2. mod(x²,487) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4451=445
2: 4452=4451+1=4451⋅4451 ≡ 445⋅445=198025 ≡ 303 mod 487
4: 4454=4452+2=4452⋅4452 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 253 mod 487
8: 4458=4454+4=4454⋅4454 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 212 mod 487
16: 44516=4458+8=4458⋅4458 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 140 mod 487
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28665 mod 881.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 2861=286
2: 2862=2861+1=2861⋅2861 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 744 mod 881
4: 2864=2862+2=2862⋅2862 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 268 mod 881
8: 2868=2864+4=2864⋅2864 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 463 mod 881
16: 28616=2868+8=2868⋅2868 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 286 mod 881
32: 28632=28616+16=28616⋅28616 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 744 mod 881
64: 28664=28632+32=28632⋅28632 ≡ 744⋅744=553536 ≡ 268 mod 881
28665
= 28664+1
= 28664⋅2861
≡ 268 ⋅ 286 mod 881
≡ 76648 mod 881 ≡ 1 mod 881
Es gilt also: 28665 ≡ 1 mod 881
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 48
| =>89 | = 1⋅48 + 41 |
| =>48 | = 1⋅41 + 7 |
| =>41 | = 5⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 41-5⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(41 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅41 +5⋅ 7) = -1⋅41 +6⋅ 7 (=1) |
| 7= 48-1⋅41 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅41 +6⋅(48 -1⋅ 41)
= -1⋅41 +6⋅48 -6⋅ 41) = 6⋅48 -7⋅ 41 (=1) |
| 41= 89-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅48 -7⋅(89 -1⋅ 48)
= 6⋅48 -7⋅89 +7⋅ 48) = -7⋅89 +13⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,48)=1 = -7⋅89 +13⋅48
oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅89 = +13⋅48
Es gilt also: 13⋅48 = 7⋅89 +1
Somit 13⋅48 = 1 mod 89
13 ist also das Inverse von 48 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.