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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19996 - 15000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19996 - 15000) mod 5 ≡ (19996 mod 5 - 15000 mod 5) mod 5.

19996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19996 = 19000+996 = 5 ⋅ 3800 +996.

15000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 5 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(19996 - 15000) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 52) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 52) mod 8 ≡ (42 mod 8 ⋅ 52 mod 8) mod 8.

42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.

52 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 6 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 52) mod 8 ≡ (2 ⋅ 4) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2138 mod 461.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 213 -> x
2. mod(x²,461) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2131=213

2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 191 mod 461

4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 62 mod 461

8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 156 mod 461

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11366 mod 229.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:

66 = 64+2

1: 1131=113

2: 1132=1131+1=1131⋅1131 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 174 mod 229

4: 1134=1132+2=1132⋅1132 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 48 mod 229

8: 1138=1134+4=1134⋅1134 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 14 mod 229

16: 11316=1138+8=1138⋅1138 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 229

32: 11332=11316+16=11316⋅11316 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 173 mod 229

64: 11364=11332+32=11332⋅11332 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 159 mod 229

11366

= 11364+2

= 11364⋅1132

≡ 159 ⋅ 174 mod 229
≡ 27666 mod 229 ≡ 186 mod 229

Es gilt also: 11366 ≡ 186 mod 229

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79 = 2⋅33 + 13
=>33 = 2⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13)
= 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33)
= -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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