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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35992 + 1800) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35992 + 1800) mod 9 ≡ (35992 mod 9 + 1800 mod 9) mod 9.

35992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35992 = 36000-8 = 9 ⋅ 4000 -8 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 1.

1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 9 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(35992 + 1800) mod 9 ≡ (1 + 0) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 70) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 70) mod 11 ≡ (51 mod 11 ⋅ 70 mod 11) mod 11.

51 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 44 + 7 = 4 ⋅ 11 + 7 ist.

70 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 6 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 70) mod 11 ≡ (7 ⋅ 4) mod 11 ≡ 28 mod 11 ≡ 6 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 29764 mod 631.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 297 -> x
2. mod(x²,631) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2971=297

2: 2972=2971+1=2971⋅2971 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 500 mod 631

4: 2974=2972+2=2972⋅2972 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 124 mod 631

8: 2978=2974+4=2974⋅2974 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 232 mod 631

16: 29716=2978+8=2978⋅2978 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 189 mod 631

32: 29732=29716+16=29716⋅29716 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 385 mod 631

64: 29764=29732+32=29732⋅29732 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 571 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 35799 mod 641.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 99 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 99 an und zerlegen 99 in eine Summer von 2er-Potenzen:

99 = 64+32+2+1

1: 3571=357

2: 3572=3571+1=3571⋅3571 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641

4: 3574=3572+2=3572⋅3572 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 562 mod 641

8: 3578=3574+4=3574⋅3574 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 472 mod 641

16: 35716=3578+8=3578⋅3578 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 357 mod 641

32: 35732=35716+16=35716⋅35716 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 531 mod 641

64: 35764=35732+32=35732⋅35732 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 562 mod 641

35799

= 35764+32+2+1

= 35764⋅35732⋅3572⋅3571

≡ 562 ⋅ 531 ⋅ 531 ⋅ 357 mod 641
≡ 298422 ⋅ 531 ⋅ 357 mod 641 ≡ 357 ⋅ 531 ⋅ 357 mod 641
≡ 189567 ⋅ 357 mod 641 ≡ 472 ⋅ 357 mod 641
≡ 168504 mod 641 ≡ 562 mod 641

Es gilt also: 35799 ≡ 562 mod 641

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 24

=>61 = 2⋅24 + 13
=>24 = 1⋅13 + 11
=>13 = 1⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 13-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11)
= -5⋅13 +6⋅ 11 (=1)
11= 24-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅13 +6⋅(24 -1⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅24 -6⋅ 13)
= 6⋅24 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅24 -11⋅(61 -2⋅ 24)
= 6⋅24 -11⋅61 +22⋅ 24)
= -11⋅61 +28⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(61,24)=1 = -11⋅61 +28⋅24

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +28⋅24

Es gilt also: 28⋅24 = 11⋅61 +1

Somit 28⋅24 = 1 mod 61

28 ist also das Inverse von 24 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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