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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2002 + 1602) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2002 + 1602) mod 4 ≡ (2002 mod 4 + 1602 mod 4) mod 4.

2002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002 = 2000+2 = 4 ⋅ 500 +2.

1602 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602 = 1600+2 = 4 ⋅ 400 +2.

Somit gilt:

(2002 + 1602) mod 4 ≡ (2 + 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 78) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 78) mod 5 ≡ (28 mod 5 ⋅ 78 mod 5) mod 5.

28 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 25 + 3 = 5 ⋅ 5 + 3 ist.

78 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 75 + 3 = 15 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 78) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 41664 mod 683.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 416 -> x
2. mod(x²,683) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4161=416

2: 4162=4161+1=4161⋅4161 ≡ 416⋅416=173056 ≡ 257 mod 683

4: 4164=4162+2=4162⋅4162 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 481 mod 683

8: 4168=4164+4=4164⋅4164 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 507 mod 683

16: 41616=4168+8=4168⋅4168 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 241 mod 683

32: 41632=41616+16=41616⋅41616 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 26 mod 683

64: 41664=41632+32=41632⋅41632 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 683

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 237119 mod 311.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

1: 2371=237

2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 189 mod 311

4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 267 mod 311

8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 70 mod 311

16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 235 mod 311

32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 178 mod 311

64: 23764=23732+32=23732⋅23732 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 273 mod 311

237119

= 23764+32+16+4+2+1

= 23764⋅23732⋅23716⋅2374⋅2372⋅2371

≡ 273 ⋅ 178 ⋅ 235 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311
≡ 48594 ⋅ 235 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311 ≡ 78 ⋅ 235 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311
≡ 18330 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311 ≡ 292 ⋅ 267 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311
≡ 77964 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311 ≡ 214 ⋅ 189 ⋅ 237 mod 311
≡ 40446 ⋅ 237 mod 311 ≡ 16 ⋅ 237 mod 311
≡ 3792 mod 311 ≡ 60 mod 311

Es gilt also: 237119 ≡ 60 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37

=>53 = 1⋅37 + 16
=>37 = 2⋅16 + 5
=>16 = 3⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 37-2⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16)
= -3⋅37 +7⋅ 16 (=1)
16= 53-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37)
= -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37)
= 7⋅53 -10⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37

oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅53 = -10⋅37

-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37

-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1

(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1

43⋅37 = 30⋅53 + 1

Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1

Somit 43⋅37 = 1 mod 53

43 ist also das Inverse von 37 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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