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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (13996 + 27997) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13996 + 27997) mod 7 ≡ (13996 mod 7 + 27997 mod 7) mod 7.

13996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13996 = 14000-4 = 7 ⋅ 2000 -4 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 3.

27997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27997 = 28000-3 = 7 ⋅ 4000 -3 = 7 ⋅ 4000 - 7 + 4.

Somit gilt:

(13996 + 27997) mod 7 ≡ (3 + 4) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 89) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 89) mod 7 ≡ (65 mod 7 ⋅ 89 mod 7) mod 7.

65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 9 ⋅ 7 + 2 ist.

89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 89) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 246⁶⁴ mod 431.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 246 -> x
2. mod(x²,431) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 246¹=246

2: 246²=246¹⁺¹=246¹⋅246¹ ≡ 246⋅246=60516 ≡ 176 mod 431

4: 246⁴=246²⁺²=246²⋅246² ≡ 176⋅176=30976 ≡ 375 mod 431

8: 246⁸=246⁴⁺⁴=246⁴⋅246⁴ ≡ 375⋅375=140625 ≡ 119 mod 431

16: 246¹⁶=246⁸⁺⁸=246⁸⋅246⁸ ≡ 119⋅119=14161 ≡ 369 mod 431

32: 246³²=246¹⁶⁺¹⁶=246¹⁶⋅246¹⁶ ≡ 369⋅369=136161 ≡ 396 mod 431

64: 246⁶⁴=246³²⁺³²=246³²⋅246³² ≡ 396⋅396=156816 ≡ 363 mod 431

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 253²¹³ mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 213 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 213 an und zerlegen 213 in eine Summer von 2er-Potenzen:

213 = 128+64+16+4+1

1: 253¹=253

2: 253²=253¹⁺¹=253¹⋅253¹ ≡ 253⋅253=64009 ≡ 217 mod 443

4: 253⁴=253²⁺²=253²⋅253² ≡ 217⋅217=47089 ≡ 131 mod 443

8: 253⁸=253⁴⁺⁴=253⁴⋅253⁴ ≡ 131⋅131=17161 ≡ 327 mod 443

16: 253¹⁶=253⁸⁺⁸=253⁸⋅253⁸ ≡ 327⋅327=106929 ≡ 166 mod 443

32: 253³²=253¹⁶⁺¹⁶=253¹⁶⋅253¹⁶ ≡ 166⋅166=27556 ≡ 90 mod 443

64: 253⁶⁴=253³²⁺³²=253³²⋅253³² ≡ 90⋅90=8100 ≡ 126 mod 443

128: 253¹²⁸=253⁶⁴⁺⁶⁴=253⁶⁴⋅253⁶⁴ ≡ 126⋅126=15876 ≡ 371 mod 443

253²¹³

= 253^{128+64+16+4+1}

= 253¹²⁸⋅253⁶⁴⋅253¹⁶⋅253⁴⋅253¹

≡ 371 ⋅ 126 ⋅ 166 ⋅ 131 ⋅ 253 mod 443
≡ 46746 ⋅ 166 ⋅ 131 ⋅ 253 mod 443 ≡ 231 ⋅ 166 ⋅ 131 ⋅ 253 mod 443
≡ 38346 ⋅ 131 ⋅ 253 mod 443 ≡ 248 ⋅ 131 ⋅ 253 mod 443
≡ 32488 ⋅ 253 mod 443 ≡ 149 ⋅ 253 mod 443
≡ 37697 mod 443 ≡ 42 mod 443

Es gilt also: 253²¹³ ≡ 42 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22

=>71	= 3⋅22 + 5
=>22	= 4⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 71-3⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22) = -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22) = 9⋅71 -29⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -29⋅22

-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22

-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1

(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1

42⋅22 = 13⋅71 + 1

Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1

Somit 42⋅22 = 1 mod 71

42 ist also das Inverse von 22 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22

Schlüsselpaar für RSA