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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35007 - 217) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35007 - 217) mod 7 ≡ (35007 mod 7 - 217 mod 7) mod 7.

35007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35007 = 35000+7 = 7 ⋅ 5000 +7.

217 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 217 = 210+7 = 7 ⋅ 30 +7.

Somit gilt:

(35007 - 217) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 23) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 23) mod 6 ≡ (40 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.

40 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 6 ⋅ 6 + 4 ist.

23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 23) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22432 mod 379.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 224 -> x
2. mod(x²,379) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2241=224

2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 148 mod 379

4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 301 mod 379

8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 20 mod 379

16: 22416=2248+8=2248⋅2248 ≡ 20⋅20=400 ≡ 21 mod 379

32: 22432=22416+16=22416⋅22416 ≡ 21⋅21=441 ≡ 62 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 508117 mod 857.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 117 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 117 an und zerlegen 117 in eine Summer von 2er-Potenzen:

117 = 64+32+16+4+1

1: 5081=508

2: 5082=5081+1=5081⋅5081 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 107 mod 857

4: 5084=5082+2=5082⋅5082 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 308 mod 857

8: 5088=5084+4=5084⋅5084 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 594 mod 857

16: 50816=5088+8=5088⋅5088 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 609 mod 857

32: 50832=50816+16=50816⋅50816 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 657 mod 857

64: 50864=50832+32=50832⋅50832 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 578 mod 857

508117

= 50864+32+16+4+1

= 50864⋅50832⋅50816⋅5084⋅5081

≡ 578 ⋅ 657 ⋅ 609 ⋅ 308 ⋅ 508 mod 857
≡ 379746 ⋅ 609 ⋅ 308 ⋅ 508 mod 857 ≡ 95 ⋅ 609 ⋅ 308 ⋅ 508 mod 857
≡ 57855 ⋅ 308 ⋅ 508 mod 857 ≡ 436 ⋅ 308 ⋅ 508 mod 857
≡ 134288 ⋅ 508 mod 857 ≡ 596 ⋅ 508 mod 857
≡ 302768 mod 857 ≡ 247 mod 857

Es gilt also: 508117 ≡ 247 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23

=>59 = 2⋅23 + 13
=>23 = 1⋅13 + 10
=>13 = 1⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 13-1⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10)
= -3⋅13 +4⋅ 10 (=1)
10= 23-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13)
= 4⋅23 -7⋅ 13 (=1)
13= 59-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23)
= 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23)
= -7⋅59 +18⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +18⋅23

Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1

Somit 18⋅23 = 1 mod 59

18 ist also das Inverse von 23 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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