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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (39993 - 403) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(39993 - 403) mod 8 ≡ (39993 mod 8 - 403 mod 8) mod 8.
39993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39993
= 39000
403 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403
= 400
Somit gilt:
(39993 - 403) mod 8 ≡ (1 - 3) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 77) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 77) mod 7 ≡ (77 mod 7 ⋅ 77 mod 7) mod 7.
77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 11 ⋅ 7 + 0 ist.
77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 11 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 77) mod 7 ≡ (0 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3948 mod 571.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 394 -> x
2. mod(x²,571) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3941=394
2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 495 mod 571
4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 495⋅495=245025 ≡ 66 mod 571
8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 359 mod 571
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 520228 mod 569.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:
228 = 128+64+32+4
1: 5201=520
2: 5202=5201+1=5201⋅5201 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 125 mod 569
4: 5204=5202+2=5202⋅5202 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 262 mod 569
8: 5208=5204+4=5204⋅5204 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 364 mod 569
16: 52016=5208+8=5208⋅5208 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 488 mod 569
32: 52032=52016+16=52016⋅52016 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 302 mod 569
64: 52064=52032+32=52032⋅52032 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 164 mod 569
128: 520128=52064+64=52064⋅52064 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 153 mod 569
520228
= 520128+64+32+4
= 520128⋅52064⋅52032⋅5204
≡ 153 ⋅ 164 ⋅ 302 ⋅ 262 mod 569
≡ 25092 ⋅ 302 ⋅ 262 mod 569 ≡ 56 ⋅ 302 ⋅ 262 mod 569
≡ 16912 ⋅ 262 mod 569 ≡ 411 ⋅ 262 mod 569
≡ 107682 mod 569 ≡ 141 mod 569
Es gilt also: 520228 ≡ 141 mod 569
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72
| =>79 | = 1⋅72 + 7 |
| =>72 | = 10⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 72-10⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7) = -3⋅72 +31⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72)
= -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72) = 31⋅79 -34⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72
oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -31⋅79 = -34⋅72
-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72
-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1
(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1
45⋅72 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1
Somit 45⋅72 = 1 mod 79
45 ist also das Inverse von 72 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.