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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1205 + 17994) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1205 + 17994) mod 6 ≡ (1205 mod 6 + 17994 mod 6) mod 6.

1205 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1205 = 1200+5 = 6 ⋅ 200 +5.

17994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17994 = 18000-6 = 6 ⋅ 3000 -6 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 0.

Somit gilt:

(1205 + 17994) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 26) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 26) mod 3 ≡ (59 mod 3 ⋅ 26 mod 3) mod 3.

59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 57 + 2 = 19 ⋅ 3 + 2 ist.

26 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 8 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 26) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1358 mod 269.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 135 -> x
2. mod(x²,269) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1351=135

2: 1352=1351+1=1351⋅1351 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 202 mod 269

4: 1354=1352+2=1352⋅1352 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 185 mod 269

8: 1358=1354+4=1354⋅1354 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 62 mod 269

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 299214 mod 661.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 214 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 214 an und zerlegen 214 in eine Summer von 2er-Potenzen:

214 = 128+64+16+4+2

1: 2991=299

2: 2992=2991+1=2991⋅2991 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 166 mod 661

4: 2994=2992+2=2992⋅2992 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 455 mod 661

8: 2998=2994+4=2994⋅2994 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 132 mod 661

16: 29916=2998+8=2998⋅2998 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 238 mod 661

32: 29932=29916+16=29916⋅29916 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 459 mod 661

64: 29964=29932+32=29932⋅29932 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 483 mod 661

128: 299128=29964+64=29964⋅29964 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 617 mod 661

299214

= 299128+64+16+4+2

= 299128⋅29964⋅29916⋅2994⋅2992

617 ⋅ 483 ⋅ 238 ⋅ 455 ⋅ 166 mod 661
298011 ⋅ 238 ⋅ 455 ⋅ 166 mod 661 ≡ 561 ⋅ 238 ⋅ 455 ⋅ 166 mod 661
133518 ⋅ 455 ⋅ 166 mod 661 ≡ 657 ⋅ 455 ⋅ 166 mod 661
298935 ⋅ 166 mod 661 ≡ 163 ⋅ 166 mod 661
27058 mod 661 ≡ 618 mod 661

Es gilt also: 299214 ≡ 618 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53 = 1⋅42 + 11
=>42 = 3⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11)
= 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42)
= -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.