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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (204 - 16001) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(204 - 16001) mod 4 ≡ (204 mod 4 - 16001 mod 4) mod 4.

204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204 = 200+4 = 4 ⋅ 50 +4.

16001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001 = 16000+1 = 4 ⋅ 4000 +1.

Somit gilt:

(204 - 16001) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 58) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 58) mod 3 ≡ (36 mod 3 ⋅ 58 mod 3) mod 3.

36 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 12 ⋅ 3 + 0 ist.

58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 57 + 1 = 19 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 58) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 19532 mod 347.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 195 -> x
2. mod(x²,347) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1951=195

2: 1952=1951+1=1951⋅1951 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 202 mod 347

4: 1954=1952+2=1952⋅1952 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 205 mod 347

8: 1958=1954+4=1954⋅1954 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 38 mod 347

16: 19516=1958+8=1958⋅1958 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 56 mod 347

32: 19532=19516+16=19516⋅19516 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 13 mod 347

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43864 mod 499.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:

64 = 64

1: 4381=438

2: 4382=4381+1=4381⋅4381 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 228 mod 499

4: 4384=4382+2=4382⋅4382 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 88 mod 499

8: 4388=4384+4=4384⋅4384 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 259 mod 499

16: 43816=4388+8=4388⋅4388 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 215 mod 499

32: 43832=43816+16=43816⋅43816 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 317 mod 499

64: 43864=43832+32=43832⋅43832 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 190 mod 499

43864

= 43864

= 43864

≡ 190 mod 499

Es gilt also: 43864 ≡ 190 mod 499

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 39.

Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 39

=>89 = 2⋅39 + 11
=>39 = 3⋅11 + 6
=>11 = 1⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6)
= -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 39-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +2⋅(39 -3⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅39 -6⋅ 11)
= 2⋅39 -7⋅ 11 (=1)
11= 89-2⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅39 -7⋅(89 -2⋅ 39)
= 2⋅39 -7⋅89 +14⋅ 39)
= -7⋅89 +16⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(89,39)=1 = -7⋅89 +16⋅39

oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅89 = +16⋅39

Es gilt also: 16⋅39 = 7⋅89 +1

Somit 16⋅39 = 1 mod 89

16 ist also das Inverse von 39 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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