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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1000 + 9996) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1000 + 9996) mod 5 ≡ (1000 mod 5 + 9996 mod 5) mod 5.
1000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1000
= 1000
9996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9996
= 9000
Somit gilt:
(1000 + 9996) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 35) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24 ⋅ 35) mod 3 ≡ (24 mod 3 ⋅ 35 mod 3) mod 3.
24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.
35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(24 ⋅ 35) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4258 mod 839.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 425 -> x
2. mod(x²,839) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4251=425
2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 240 mod 839
4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 548 mod 839
8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 781 mod 839
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 230109 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 109 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 109 an und zerlegen 109 in eine Summer von 2er-Potenzen:
109 = 64+32+8+4+1
1: 2301=230
2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 127 mod 359
4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 333 mod 359
8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 317 mod 359
16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 328 mod 359
32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 243 mod 359
64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 173 mod 359
230109
= 23064+32+8+4+1
= 23064⋅23032⋅2308⋅2304⋅2301
≡ 173 ⋅ 243 ⋅ 317 ⋅ 333 ⋅ 230 mod 359
≡ 42039 ⋅ 317 ⋅ 333 ⋅ 230 mod 359 ≡ 36 ⋅ 317 ⋅ 333 ⋅ 230 mod 359
≡ 11412 ⋅ 333 ⋅ 230 mod 359 ≡ 283 ⋅ 333 ⋅ 230 mod 359
≡ 94239 ⋅ 230 mod 359 ≡ 181 ⋅ 230 mod 359
≡ 41630 mod 359 ≡ 345 mod 359
Es gilt also: 230109 ≡ 345 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 48
| =>71 | = 1⋅48 + 23 |
| =>48 | = 2⋅23 + 2 |
| =>23 | = 11⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 23-11⋅2 | |||
| 2= 48-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅23 -11⋅(48 -2⋅ 23)
= 1⋅23 -11⋅48 +22⋅ 23) = -11⋅48 +23⋅ 23 (=1) |
| 23= 71-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -11⋅48 +23⋅(71 -1⋅ 48)
= -11⋅48 +23⋅71 -23⋅ 48) = 23⋅71 -34⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,48)=1 = 23⋅71 -34⋅48
oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -23⋅71 = -34⋅48
-34⋅48 = -23⋅71 + 1 |+71⋅48
-34⋅48 + 71⋅48 = -23⋅71 + 71⋅48 + 1
(-34 + 71) ⋅ 48 = (-23 + 48) ⋅ 71 + 1
37⋅48 = 25⋅71 + 1
Es gilt also: 37⋅48 = 25⋅71 +1
Somit 37⋅48 = 1 mod 71
37 ist also das Inverse von 48 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.