nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24008 - 8005) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24008 - 8005) mod 8 ≡ (24008 mod 8 - 8005 mod 8) mod 8.

24008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24008 = 24000+8 = 8 ⋅ 3000 +8.

8005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8005 = 8000+5 = 8 ⋅ 1000 +5.

Somit gilt:

(24008 - 8005) mod 8 ≡ (0 - 5) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 38) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 38) mod 11 ≡ (91 mod 11 ⋅ 38 mod 11) mod 11.

91 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 8 ⋅ 11 + 3 ist.

38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 38) mod 11 ≡ (3 ⋅ 5) mod 11 ≡ 15 mod 11 ≡ 4 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 173128 mod 227.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 173 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1731=173

2: 1732=1731+1=1731⋅1731 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 192 mod 227

4: 1734=1732+2=1732⋅1732 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 90 mod 227

8: 1738=1734+4=1734⋅1734 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 155 mod 227

16: 17316=1738+8=1738⋅1738 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 190 mod 227

32: 17332=17316+16=17316⋅17316 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 7 mod 227

64: 17364=17332+32=17332⋅17332 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 227

128: 173128=17364+64=17364⋅17364 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 131 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 200115 mod 257.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:

115 = 64+32+16+2+1

1: 2001=200

2: 2002=2001+1=2001⋅2001 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 165 mod 257

4: 2004=2002+2=2002⋅2002 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 240 mod 257

8: 2008=2004+4=2004⋅2004 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 32 mod 257

16: 20016=2008+8=2008⋅2008 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 253 mod 257

32: 20032=20016+16=20016⋅20016 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257

64: 20064=20032+32=20032⋅20032 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257

200115

= 20064+32+16+2+1

= 20064⋅20032⋅20016⋅2002⋅2001

≡ 256 ⋅ 16 ⋅ 253 ⋅ 165 ⋅ 200 mod 257
≡ 4096 ⋅ 253 ⋅ 165 ⋅ 200 mod 257 ≡ 241 ⋅ 253 ⋅ 165 ⋅ 200 mod 257
≡ 60973 ⋅ 165 ⋅ 200 mod 257 ≡ 64 ⋅ 165 ⋅ 200 mod 257
≡ 10560 ⋅ 200 mod 257 ≡ 23 ⋅ 200 mod 257
≡ 4600 mod 257 ≡ 231 mod 257

Es gilt also: 200115 ≡ 231 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67 = 1⋅54 + 13
=>54 = 4⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13)
= -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54)
= 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden