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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3493 + 20996) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3493 + 20996) mod 7 ≡ (3493 mod 7 + 20996 mod 7) mod 7.

3493 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3493 = 3500-7 = 7 ⋅ 500 -7 = 7 ⋅ 500 - 7 + 0.

20996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20996 = 21000-4 = 7 ⋅ 3000 -4 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 3.

Somit gilt:

(3493 + 20996) mod 7 ≡ (0 + 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 95) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 95) mod 8 ≡ (62 mod 8 ⋅ 95 mod 8) mod 8.

62 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 7 ⋅ 8 + 6 ist.

95 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 11 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 95) mod 8 ≡ (6 ⋅ 7) mod 8 ≡ 42 mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 328⁶⁴ mod 797.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 328 -> x
2. mod(x²,797) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 328¹=328

2: 328²=328¹⁺¹=328¹⋅328¹ ≡ 328⋅328=107584 ≡ 786 mod 797

4: 328⁴=328²⁺²=328²⋅328² ≡ 786⋅786=617796 ≡ 121 mod 797

8: 328⁸=328⁴⁺⁴=328⁴⋅328⁴ ≡ 121⋅121=14641 ≡ 295 mod 797

16: 328¹⁶=328⁸⁺⁸=328⁸⋅328⁸ ≡ 295⋅295=87025 ≡ 152 mod 797

32: 328³²=328¹⁶⁺¹⁶=328¹⁶⋅328¹⁶ ≡ 152⋅152=23104 ≡ 788 mod 797

64: 328⁶⁴=328³²⁺³²=328³²⋅328³² ≡ 788⋅788=620944 ≡ 81 mod 797

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 800¹⁷⁸ mod 983.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:

178 = 128+32+16+2

1: 800¹=800

2: 800²=800¹⁺¹=800¹⋅800¹ ≡ 800⋅800=640000 ≡ 67 mod 983

4: 800⁴=800²⁺²=800²⋅800² ≡ 67⋅67=4489 ≡ 557 mod 983

8: 800⁸=800⁴⁺⁴=800⁴⋅800⁴ ≡ 557⋅557=310249 ≡ 604 mod 983

16: 800¹⁶=800⁸⁺⁸=800⁸⋅800⁸ ≡ 604⋅604=364816 ≡ 123 mod 983

32: 800³²=800¹⁶⁺¹⁶=800¹⁶⋅800¹⁶ ≡ 123⋅123=15129 ≡ 384 mod 983

64: 800⁶⁴=800³²⁺³²=800³²⋅800³² ≡ 384⋅384=147456 ≡ 6 mod 983

128: 800¹²⁸=800⁶⁴⁺⁶⁴=800⁶⁴⋅800⁶⁴ ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 983

800¹⁷⁸

= 800^128+32+16+2

= 800¹²⁸⋅800³²⋅800¹⁶⋅800²

≡ 36 ⋅ 384 ⋅ 123 ⋅ 67 mod 983
≡ 13824 ⋅ 123 ⋅ 67 mod 983 ≡ 62 ⋅ 123 ⋅ 67 mod 983
≡ 7626 ⋅ 67 mod 983 ≡ 745 ⋅ 67 mod 983
≡ 49915 mod 983 ≡ 765 mod 983

Es gilt also: 800¹⁷⁸ ≡ 765 mod 983

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 60

=>101	= 1⋅60 + 41
=>60	= 1⋅41 + 19
=>41	= 2⋅19 + 3
=>19	= 6⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 41-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19) = 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1)
19= 60-1⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅41 +13⋅(60 -1⋅ 41) = -6⋅41 +13⋅60 -13⋅ 41) = 13⋅60 -19⋅ 41 (=1)
41= 101-1⋅60	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 13⋅60 -19⋅(101 -1⋅ 60) = 13⋅60 -19⋅101 +19⋅ 60) = -19⋅101 +32⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(101,60)=1 = -19⋅101 +32⋅60

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +32⋅60

Es gilt also: 32⋅60 = 19⋅101 +1

Somit 32⋅60 = 1 mod 101

32 ist also das Inverse von 60 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 60

Schlüsselpaar für RSA