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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1200 + 601) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 + 601) mod 3 ≡ (1200 mod 3 + 601 mod 3) mod 3.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 3 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(1200 + 601) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 89) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 89) mod 3 ≡ (16 mod 3 ⋅ 89 mod 3) mod 3.

16 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 5 ⋅ 3 + 1 ist.

89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 89) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18332 mod 359.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 183 -> x
2. mod(x²,359) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1831=183

2: 1832=1831+1=1831⋅1831 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 102 mod 359

4: 1834=1832+2=1832⋅1832 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 352 mod 359

8: 1838=1834+4=1834⋅1834 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 49 mod 359

16: 18316=1838+8=1838⋅1838 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 247 mod 359

32: 18332=18316+16=18316⋅18316 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 338 mod 359

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 138106 mod 419.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:

106 = 64+32+8+2

1: 1381=138

2: 1382=1381+1=1381⋅1381 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 189 mod 419

4: 1384=1382+2=1382⋅1382 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 106 mod 419

8: 1388=1384+4=1384⋅1384 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 342 mod 419

16: 13816=1388+8=1388⋅1388 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 63 mod 419

32: 13832=13816+16=13816⋅13816 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 198 mod 419

64: 13864=13832+32=13832⋅13832 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 237 mod 419

138106

= 13864+32+8+2

= 13864⋅13832⋅1388⋅1382

≡ 237 ⋅ 198 ⋅ 342 ⋅ 189 mod 419
≡ 46926 ⋅ 342 ⋅ 189 mod 419 ≡ 417 ⋅ 342 ⋅ 189 mod 419
≡ 142614 ⋅ 189 mod 419 ≡ 154 ⋅ 189 mod 419
≡ 29106 mod 419 ≡ 195 mod 419

Es gilt also: 138106 ≡ 195 mod 419

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18

=>59 = 3⋅18 + 5
=>18 = 3⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 18-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5)
= 2⋅18 -7⋅ 5 (=1)
5= 59-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18)
= -7⋅59 +23⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +23⋅18

Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1

Somit 23⋅18 = 1 mod 59

23 ist also das Inverse von 18 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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