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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (180 - 359) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(180 - 359) mod 9 ≡ (180 mod 9 - 359 mod 9) mod 9.

180 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180 = 180+0 = 9 ⋅ 20 +0.

359 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 359 = 360-1 = 9 ⋅ 40 -1 = 9 ⋅ 40 - 9 + 8.

Somit gilt:

(180 - 359) mod 9 ≡ (0 - 8) mod 9 ≡ -8 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 79) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 79) mod 3 ≡ (95 mod 3 ⋅ 79 mod 3) mod 3.

95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.

79 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 26 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 79) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 371¹²⁸ mod 929.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 371 -> x
2. mod(x²,929) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 371¹=371

2: 371²=371¹⁺¹=371¹⋅371¹ ≡ 371⋅371=137641 ≡ 149 mod 929

4: 371⁴=371²⁺²=371²⋅371² ≡ 149⋅149=22201 ≡ 834 mod 929

8: 371⁸=371⁴⁺⁴=371⁴⋅371⁴ ≡ 834⋅834=695556 ≡ 664 mod 929

16: 371¹⁶=371⁸⁺⁸=371⁸⋅371⁸ ≡ 664⋅664=440896 ≡ 550 mod 929

32: 371³²=371¹⁶⁺¹⁶=371¹⁶⋅371¹⁶ ≡ 550⋅550=302500 ≡ 575 mod 929

64: 371⁶⁴=371³²⁺³²=371³²⋅371³² ≡ 575⋅575=330625 ≡ 830 mod 929

128: 371¹²⁸=371⁶⁴⁺⁶⁴=371⁶⁴⋅371⁶⁴ ≡ 830⋅830=688900 ≡ 511 mod 929

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 637¹⁸¹ mod 947.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:

181 = 128+32+16+4+1

1: 637¹=637

2: 637²=637¹⁺¹=637¹⋅637¹ ≡ 637⋅637=405769 ≡ 453 mod 947

4: 637⁴=637²⁺²=637²⋅637² ≡ 453⋅453=205209 ≡ 657 mod 947

8: 637⁸=637⁴⁺⁴=637⁴⋅637⁴ ≡ 657⋅657=431649 ≡ 764 mod 947

16: 637¹⁶=637⁸⁺⁸=637⁸⋅637⁸ ≡ 764⋅764=583696 ≡ 344 mod 947

32: 637³²=637¹⁶⁺¹⁶=637¹⁶⋅637¹⁶ ≡ 344⋅344=118336 ≡ 908 mod 947

64: 637⁶⁴=637³²⁺³²=637³²⋅637³² ≡ 908⋅908=824464 ≡ 574 mod 947

128: 637¹²⁸=637⁶⁴⁺⁶⁴=637⁶⁴⋅637⁶⁴ ≡ 574⋅574=329476 ≡ 867 mod 947

637¹⁸¹

= 637^{128+32+16+4+1}

= 637¹²⁸⋅637³²⋅637¹⁶⋅637⁴⋅637¹

≡ 867 ⋅ 908 ⋅ 344 ⋅ 657 ⋅ 637 mod 947
≡ 787236 ⋅ 344 ⋅ 657 ⋅ 637 mod 947 ≡ 279 ⋅ 344 ⋅ 657 ⋅ 637 mod 947
≡ 95976 ⋅ 657 ⋅ 637 mod 947 ≡ 329 ⋅ 657 ⋅ 637 mod 947
≡ 216153 ⋅ 637 mod 947 ≡ 237 ⋅ 637 mod 947
≡ 150969 mod 947 ≡ 396 mod 947

Es gilt also: 637¹⁸¹ ≡ 396 mod 947

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 41

=>101	= 2⋅41 + 19
=>41	= 2⋅19 + 3
=>19	= 6⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 41-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19) = 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1)
19= 101-2⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅41 +13⋅(101 -2⋅ 41) = -6⋅41 +13⋅101 -26⋅ 41) = 13⋅101 -32⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(101,41)=1 = 13⋅101 -32⋅41

oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅101 = -32⋅41

-32⋅41 = -13⋅101 + 1 |+101⋅41

-32⋅41 + 101⋅41 = -13⋅101 + 101⋅41 + 1

(-32 + 101) ⋅ 41 = (-13 + 41) ⋅ 101 + 1

69⋅41 = 28⋅101 + 1

Es gilt also: 69⋅41 = 28⋅101 +1

Somit 69⋅41 = 1 mod 101

69 ist also das Inverse von 41 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 41

Schlüsselpaar für RSA