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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (254 + 198) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(254 + 198) mod 5 ≡ (254 mod 5 + 198 mod 5) mod 5.

254 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 254 = 250+4 = 5 ⋅ 50 +4.

198 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198 = 190+8 = 5 ⋅ 38 +8.

Somit gilt:

(254 + 198) mod 5 ≡ (4 + 3) mod 5 ≡ 7 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 74) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 74) mod 11 ≡ (80 mod 11 ⋅ 74 mod 11) mod 11.

80 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 7 ⋅ 11 + 3 ist.

74 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 66 + 8 = 6 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 74) mod 11 ≡ (3 ⋅ 8) mod 11 ≡ 24 mod 11 ≡ 2 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3068 mod 331.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 306 -> x
2. mod(x²,331) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3061=306

2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 294 mod 331

4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 45 mod 331

8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 39 mod 331

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 142236 mod 241.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

1: 1421=142

2: 1422=1421+1=1421⋅1421 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 161 mod 241

4: 1424=1422+2=1422⋅1422 ≡ 161⋅161=25921 ≡ 134 mod 241

8: 1428=1424+4=1424⋅1424 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 122 mod 241

16: 14216=1428+8=1428⋅1428 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 183 mod 241

32: 14232=14216+16=14216⋅14216 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 231 mod 241

64: 14264=14232+32=14232⋅14232 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 100 mod 241

128: 142128=14264+64=14264⋅14264 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 119 mod 241

142236

= 142128+64+32+8+4

= 142128⋅14264⋅14232⋅1428⋅1424

≡ 119 ⋅ 100 ⋅ 231 ⋅ 122 ⋅ 134 mod 241
≡ 11900 ⋅ 231 ⋅ 122 ⋅ 134 mod 241 ≡ 91 ⋅ 231 ⋅ 122 ⋅ 134 mod 241
≡ 21021 ⋅ 122 ⋅ 134 mod 241 ≡ 54 ⋅ 122 ⋅ 134 mod 241
≡ 6588 ⋅ 134 mod 241 ≡ 81 ⋅ 134 mod 241
≡ 10854 mod 241 ≡ 9 mod 241

Es gilt also: 142236 ≡ 9 mod 241

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 54

=>79 = 1⋅54 + 25
=>54 = 2⋅25 + 4
=>25 = 6⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 54-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -6⋅(54 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅54 +12⋅ 25)
= -6⋅54 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +13⋅(79 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +13⋅79 -13⋅ 54)
= 13⋅79 -19⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(79,54)=1 = 13⋅79 -19⋅54

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -19⋅54

-19⋅54 = -13⋅79 + 1 |+79⋅54

-19⋅54 + 79⋅54 = -13⋅79 + 79⋅54 + 1

(-19 + 79) ⋅ 54 = (-13 + 54) ⋅ 79 + 1

60⋅54 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 60⋅54 = 41⋅79 +1

Somit 60⋅54 = 1 mod 79

60 ist also das Inverse von 54 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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