nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1801 + 120) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1801 + 120) mod 6 ≡ (1801 mod 6 + 120 mod 6) mod 6.

1801 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1801 = 1800+1 = 6 ⋅ 300 +1.

120 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 6 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(1801 + 120) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 75) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 75) mod 8 ≡ (37 mod 8 ⋅ 75 mod 8) mod 8.

37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.

75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 75) mod 8 ≡ (5 ⋅ 3) mod 8 ≡ 15 mod 8 ≡ 7 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 48532 mod 641.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 485 -> x
2. mod(x²,641) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4851=485

2: 4852=4851+1=4851⋅4851 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 619 mod 641

4: 4854=4852+2=4852⋅4852 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 484 mod 641

8: 4858=4854+4=4854⋅4854 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 291 mod 641

16: 48516=4858+8=4858⋅4858 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 69 mod 641

32: 48532=48516+16=48516⋅48516 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 274 mod 641

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 298192 mod 383.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:

192 = 128+64

1: 2981=298

2: 2982=2981+1=2981⋅2981 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 331 mod 383

4: 2984=2982+2=2982⋅2982 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 23 mod 383

8: 2988=2984+4=2984⋅2984 ≡ 23⋅23=529 ≡ 146 mod 383

16: 29816=2988+8=2988⋅2988 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 251 mod 383

32: 29832=29816+16=29816⋅29816 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 189 mod 383

64: 29864=29832+32=29832⋅29832 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 102 mod 383

128: 298128=29864+64=29864⋅29864 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 63 mod 383

298192

= 298128+64

= 298128⋅29864

63 ⋅ 102 mod 383
6426 mod 383 ≡ 298 mod 383

Es gilt also: 298192 ≡ 298 mod 383

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43

=>59 = 1⋅43 + 16
=>43 = 2⋅16 + 11
=>16 = 1⋅11 + 5
=>11 = 2⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 16-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11)
= -2⋅16 +3⋅ 11 (=1)
11= 43-2⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16)
= -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16)
= 3⋅43 -8⋅ 16 (=1)
16= 59-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43)
= 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43)
= -8⋅59 +11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43

oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅59 = +11⋅43

Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1

Somit 11⋅43 = 1 mod 59

11 ist also das Inverse von 43 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.