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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (122 - 39) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(122 - 39) mod 4 ≡ (122 mod 4 - 39 mod 4) mod 4.

122 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 4 ⋅ 30 +2.

39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 40-1 = 4 ⋅ 10 -1 = 4 ⋅ 10 - 4 + 3.

Somit gilt:

(122 - 39) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 19) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 19) mod 4 ≡ (68 mod 4 ⋅ 19 mod 4) mod 4.

68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.

19 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 4 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 19) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 115128 mod 359.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 115 -> x
2. mod(x²,359) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1151=115

2: 1152=1151+1=1151⋅1151 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 301 mod 359

4: 1154=1152+2=1152⋅1152 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 133 mod 359

8: 1158=1154+4=1154⋅1154 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 98 mod 359

16: 11516=1158+8=1158⋅1158 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 270 mod 359

32: 11532=11516+16=11516⋅11516 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 23 mod 359

64: 11564=11532+32=11532⋅11532 ≡ 23⋅23=529 ≡ 170 mod 359

128: 115128=11564+64=11564⋅11564 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 180 mod 359

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 191151 mod 389.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:

151 = 128+16+4+2+1

1: 1911=191

2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 304 mod 389

4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 223 mod 389

8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 326 mod 389

16: 19116=1918+8=1918⋅1918 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 79 mod 389

32: 19132=19116+16=19116⋅19116 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 17 mod 389

64: 19164=19132+32=19132⋅19132 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 389

128: 191128=19164+64=19164⋅19164 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 275 mod 389

191151

= 191128+16+4+2+1

= 191128⋅19116⋅1914⋅1912⋅1911

≡ 275 ⋅ 79 ⋅ 223 ⋅ 304 ⋅ 191 mod 389
≡ 21725 ⋅ 223 ⋅ 304 ⋅ 191 mod 389 ≡ 330 ⋅ 223 ⋅ 304 ⋅ 191 mod 389
≡ 73590 ⋅ 304 ⋅ 191 mod 389 ≡ 69 ⋅ 304 ⋅ 191 mod 389
≡ 20976 ⋅ 191 mod 389 ≡ 359 ⋅ 191 mod 389
≡ 68569 mod 389 ≡ 105 mod 389

Es gilt also: 191151 ≡ 105 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27

=>61 = 2⋅27 + 7
=>27 = 3⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7)
= -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 61-2⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27)
= 4⋅61 -9⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27

oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅61 = -9⋅27

-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27

-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1

(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1

52⋅27 = 23⋅61 + 1

Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1

Somit 52⋅27 = 1 mod 61

52 ist also das Inverse von 27 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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