nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1200 - 1800) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 - 1800) mod 6 ≡ (1200 mod 6 - 1800 mod 6) mod 6.

1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 6 ⋅ 200 +0.

1800 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 6 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(1200 - 1800) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 49) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 49) mod 3 ≡ (23 mod 3 ⋅ 49 mod 3) mod 3.

23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.

49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 49) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22016 mod 571.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 220 -> x
2. mod(x²,571) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2201=220

2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 436 mod 571

4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 524 mod 571

8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 496 mod 571

16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 486 mod 571

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20194 mod 547.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

1: 2011=201

2: 2012=2011+1=2011⋅2011 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 470 mod 547

4: 2014=2012+2=2012⋅2012 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 459 mod 547

8: 2018=2014+4=2014⋅2014 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 86 mod 547

16: 20116=2018+8=2018⋅2018 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 285 mod 547

32: 20132=20116+16=20116⋅20116 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 269 mod 547

64: 20164=20132+32=20132⋅20132 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 157 mod 547

20194

= 20164+16+8+4+2

= 20164⋅20116⋅2018⋅2014⋅2012

≡ 157 ⋅ 285 ⋅ 86 ⋅ 459 ⋅ 470 mod 547
≡ 44745 ⋅ 86 ⋅ 459 ⋅ 470 mod 547 ≡ 438 ⋅ 86 ⋅ 459 ⋅ 470 mod 547
≡ 37668 ⋅ 459 ⋅ 470 mod 547 ≡ 472 ⋅ 459 ⋅ 470 mod 547
≡ 216648 ⋅ 470 mod 547 ≡ 36 ⋅ 470 mod 547
≡ 16920 mod 547 ≡ 510 mod 547

Es gilt also: 20194 ≡ 510 mod 547

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 64.

Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 64

=>97 = 1⋅64 + 33
=>64 = 1⋅33 + 31
=>33 = 1⋅31 + 2
=>31 = 15⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,64)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 31-15⋅2
2= 33-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅31 -15⋅(33 -1⋅ 31)
= 1⋅31 -15⋅33 +15⋅ 31)
= -15⋅33 +16⋅ 31 (=1)
31= 64-1⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -15⋅33 +16⋅(64 -1⋅ 33)
= -15⋅33 +16⋅64 -16⋅ 33)
= 16⋅64 -31⋅ 33 (=1)
33= 97-1⋅64 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 16⋅64 -31⋅(97 -1⋅ 64)
= 16⋅64 -31⋅97 +31⋅ 64)
= -31⋅97 +47⋅ 64 (=1)

Es gilt also: ggt(97,64)=1 = -31⋅97 +47⋅64

oder wenn man -31⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅97 = +47⋅64

Es gilt also: 47⋅64 = 31⋅97 +1

Somit 47⋅64 = 1 mod 97

47 ist also das Inverse von 64 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden