Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (237 + 65) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(237 + 65) mod 6 ≡ (237 mod 6 + 65 mod 6) mod 6.
237 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 237
= 240
65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65
= 60
Somit gilt:
(237 + 65) mod 6 ≡ (3 + 5) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 81) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 81) mod 11 ≡ (16 mod 11 ⋅ 81 mod 11) mod 11.
16 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 11 + 5 = 1 ⋅ 11 + 5 ist.
81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 81) mod 11 ≡ (5 ⋅ 4) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 387128 mod 719.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 387 -> x
2. mod(x²,719) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3871=387
2: 3872=3871+1=3871⋅3871 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 217 mod 719
4: 3874=3872+2=3872⋅3872 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 354 mod 719
8: 3878=3874+4=3874⋅3874 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 210 mod 719
16: 38716=3878+8=3878⋅3878 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 241 mod 719
32: 38732=38716+16=38716⋅38716 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 561 mod 719
64: 38764=38732+32=38732⋅38732 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 518 mod 719
128: 387128=38764+64=38764⋅38764 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 137 mod 719
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 279104 mod 619.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:
104 = 64+32+8
1: 2791=279
2: 2792=2791+1=2791⋅2791 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 466 mod 619
4: 2794=2792+2=2792⋅2792 ≡ 466⋅466=217156 ≡ 506 mod 619
8: 2798=2794+4=2794⋅2794 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 389 mod 619
16: 27916=2798+8=2798⋅2798 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 285 mod 619
32: 27932=27916+16=27916⋅27916 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 136 mod 619
64: 27964=27932+32=27932⋅27932 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 545 mod 619
279104
= 27964+32+8
= 27964⋅27932⋅2798
≡ 545 ⋅ 136 ⋅ 389 mod 619
≡ 74120 ⋅ 389 mod 619 ≡ 459 ⋅ 389 mod 619
≡ 178551 mod 619 ≡ 279 mod 619
Es gilt also: 279104 ≡ 279 mod 619
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 23
| =>67 | = 2⋅23 + 21 |
| =>23 | = 1⋅21 + 2 |
| =>21 | = 10⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-10⋅2 | |||
| 2= 23-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -10⋅23 +11⋅(67 -2⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅67 -22⋅ 23) = 11⋅67 -32⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,23)=1 = 11⋅67 -32⋅23
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -32⋅23
-32⋅23 = -11⋅67 + 1 |+67⋅23
-32⋅23 + 67⋅23 = -11⋅67 + 67⋅23 + 1
(-32 + 67) ⋅ 23 = (-11 + 23) ⋅ 67 + 1
35⋅23 = 12⋅67 + 1
Es gilt also: 35⋅23 = 12⋅67 +1
Somit 35⋅23 = 1 mod 67
35 ist also das Inverse von 23 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.