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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3607 + 451) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3607 + 451) mod 9 ≡ (3607 mod 9 + 451 mod 9) mod 9.

3607 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3607 = 3600+7 = 9 ⋅ 400 +7.

451 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 451 = 450+1 = 9 ⋅ 50 +1.

Somit gilt:

(3607 + 451) mod 9 ≡ (7 + 1) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 47) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 47) mod 10 ≡ (96 mod 10 ⋅ 47 mod 10) mod 10.

96 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 9 ⋅ 10 + 6 ist.

47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 47) mod 10 ≡ (6 ⋅ 7) mod 10 ≡ 42 mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 262⁸ mod 863.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 262 -> x
2. mod(x²,863) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 262¹=262

2: 262²=262¹⁺¹=262¹⋅262¹ ≡ 262⋅262=68644 ≡ 467 mod 863

4: 262⁴=262²⁺²=262²⋅262² ≡ 467⋅467=218089 ≡ 613 mod 863

8: 262⁸=262⁴⁺⁴=262⁴⋅262⁴ ≡ 613⋅613=375769 ≡ 364 mod 863

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 503²¹⁸ mod 859.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:

218 = 128+64+16+8+2

1: 503¹=503

2: 503²=503¹⁺¹=503¹⋅503¹ ≡ 503⋅503=253009 ≡ 463 mod 859

4: 503⁴=503²⁺²=503²⋅503² ≡ 463⋅463=214369 ≡ 478 mod 859

8: 503⁸=503⁴⁺⁴=503⁴⋅503⁴ ≡ 478⋅478=228484 ≡ 849 mod 859

16: 503¹⁶=503⁸⁺⁸=503⁸⋅503⁸ ≡ 849⋅849=720801 ≡ 100 mod 859

32: 503³²=503¹⁶⁺¹⁶=503¹⁶⋅503¹⁶ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 551 mod 859

64: 503⁶⁴=503³²⁺³²=503³²⋅503³² ≡ 551⋅551=303601 ≡ 374 mod 859

128: 503¹²⁸=503⁶⁴⁺⁶⁴=503⁶⁴⋅503⁶⁴ ≡ 374⋅374=139876 ≡ 718 mod 859

503²¹⁸

= 503^{128+64+16+8+2}

= 503¹²⁸⋅503⁶⁴⋅503¹⁶⋅503⁸⋅503²

≡ 718 ⋅ 374 ⋅ 100 ⋅ 849 ⋅ 463 mod 859
≡ 268532 ⋅ 100 ⋅ 849 ⋅ 463 mod 859 ≡ 524 ⋅ 100 ⋅ 849 ⋅ 463 mod 859
≡ 52400 ⋅ 849 ⋅ 463 mod 859 ≡ 1 ⋅ 849 ⋅ 463 mod 859
≡ 849 ⋅ 463 mod 859
≡ 393087 mod 859 ≡ 524 mod 859

Es gilt also: 503²¹⁸ ≡ 524 mod 859

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 29

=>71	= 2⋅29 + 13
=>29	= 2⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-2⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +9⋅(71 -2⋅ 29) = -4⋅29 +9⋅71 -18⋅ 29) = 9⋅71 -22⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(71,29)=1 = 9⋅71 -22⋅29

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -22⋅29

-22⋅29 = -9⋅71 + 1 |+71⋅29

-22⋅29 + 71⋅29 = -9⋅71 + 71⋅29 + 1

(-22 + 71) ⋅ 29 = (-9 + 29) ⋅ 71 + 1

49⋅29 = 20⋅71 + 1

Es gilt also: 49⋅29 = 20⋅71 +1

Somit 49⋅29 = 1 mod 71

49 ist also das Inverse von 29 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 29

Schlüsselpaar für RSA