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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2998 + 6003) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2998 + 6003) mod 3 ≡ (2998 mod 3 + 6003 mod 3) mod 3.
2998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998
= 3000
6003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003
= 6000
Somit gilt:
(2998 + 6003) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 56) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 56) mod 10 ≡ (16 mod 10 ⋅ 56 mod 10) mod 10.
16 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 10 + 6 = 1 ⋅ 10 + 6 ist.
56 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 50 + 6 = 5 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 56) mod 10 ≡ (6 ⋅ 6) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34416 mod 607.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 344 -> x
2. mod(x²,607) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3441=344
2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 578 mod 607
4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 234 mod 607
8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 126 mod 607
16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 94 mod 607
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 209102 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 2091=209
2: 2092=2091+1=2091⋅2091 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 110 mod 233
4: 2094=2092+2=2092⋅2092 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 217 mod 233
8: 2098=2094+4=2094⋅2094 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 23 mod 233
16: 20916=2098+8=2098⋅2098 ≡ 23⋅23=529 ≡ 63 mod 233
32: 20932=20916+16=20916⋅20916 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 8 mod 233
64: 20964=20932+32=20932⋅20932 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 233
209102
= 20964+32+4+2
= 20964⋅20932⋅2094⋅2092
≡ 64 ⋅ 8 ⋅ 217 ⋅ 110 mod 233
≡ 512 ⋅ 217 ⋅ 110 mod 233 ≡ 46 ⋅ 217 ⋅ 110 mod 233
≡ 9982 ⋅ 110 mod 233 ≡ 196 ⋅ 110 mod 233
≡ 21560 mod 233 ≡ 124 mod 233
Es gilt also: 209102 ≡ 124 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.
Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27
| =>61 | = 2⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,27)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-2⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27) = 4⋅61 -9⋅ 27 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27
oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -4⋅61 = -9⋅27
-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27
-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1
(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1
52⋅27 = 23⋅61 + 1
Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1
Somit 52⋅27 = 1 mod 61
52 ist also das Inverse von 27 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.