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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 + 201) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 + 201) mod 5 ≡ (53 mod 5 + 201 mod 5) mod 5.
53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53
= 50
201 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201
= 200
Somit gilt:
(53 + 201) mod 5 ≡ (3 + 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 88) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27 ⋅ 88) mod 5 ≡ (27 mod 5 ⋅ 88 mod 5) mod 5.
27 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 25 + 2 = 5 ⋅ 5 + 2 ist.
88 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 85 + 3 = 17 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(27 ⋅ 88) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 210128 mod 353.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 210 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2101=210
2: 2102=2101+1=2101⋅2101 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 328 mod 353
4: 2104=2102+2=2102⋅2102 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 272 mod 353
8: 2108=2104+4=2104⋅2104 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 207 mod 353
16: 21016=2108+8=2108⋅2108 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 136 mod 353
32: 21032=21016+16=21016⋅21016 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 140 mod 353
64: 21064=21032+32=21032⋅21032 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353
128: 210128=21064+64=21064⋅21064 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 127158 mod 227.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 1271=127
2: 1272=1271+1=1271⋅1271 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 12 mod 227
4: 1274=1272+2=1272⋅1272 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 227
8: 1278=1274+4=1274⋅1274 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 79 mod 227
16: 12716=1278+8=1278⋅1278 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 112 mod 227
32: 12732=12716+16=12716⋅12716 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 59 mod 227
64: 12764=12732+32=12732⋅12732 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 76 mod 227
128: 127128=12764+64=12764⋅12764 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 101 mod 227
127158
= 127128+16+8+4+2
= 127128⋅12716⋅1278⋅1274⋅1272
≡ 101 ⋅ 112 ⋅ 79 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 227
≡ 11312 ⋅ 79 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 227 ≡ 189 ⋅ 79 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 227
≡ 14931 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 227 ≡ 176 ⋅ 144 ⋅ 12 mod 227
≡ 25344 ⋅ 12 mod 227 ≡ 147 ⋅ 12 mod 227
≡ 1764 mod 227 ≡ 175 mod 227
Es gilt also: 127158 ≡ 175 mod 227
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 37
| =>89 | = 2⋅37 + 15 |
| =>37 | = 2⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 37-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(37 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅37 +4⋅ 15) = -2⋅37 +5⋅ 15 (=1) |
| 15= 89-2⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +5⋅(89 -2⋅ 37)
= -2⋅37 +5⋅89 -10⋅ 37) = 5⋅89 -12⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,37)=1 = 5⋅89 -12⋅37
oder wenn man 5⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅89 = -12⋅37
-12⋅37 = -5⋅89 + 1 |+89⋅37
-12⋅37 + 89⋅37 = -5⋅89 + 89⋅37 + 1
(-12 + 89) ⋅ 37 = (-5 + 37) ⋅ 89 + 1
77⋅37 = 32⋅89 + 1
Es gilt also: 77⋅37 = 32⋅89 +1
Somit 77⋅37 = 1 mod 89
77 ist also das Inverse von 37 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
