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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (14996 - 2495) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(14996 - 2495) mod 5 ≡ (14996 mod 5 - 2495 mod 5) mod 5.
14996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14996
= 14000
2495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2495
= 2400
Somit gilt:
(14996 - 2495) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 71) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 71) mod 9 ≡ (82 mod 9 ⋅ 71 mod 9) mod 9.
82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 9 ⋅ 9 + 1 ist.
71 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 63 + 8 = 7 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 71) mod 9 ≡ (1 ⋅ 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4698 mod 1009.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 469 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4691=469
2: 4692=4691+1=4691⋅4691 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 1008 mod 1009
4: 4694=4692+2=4692⋅4692 ≡ 1008⋅1008=1016064 ≡ 1 mod 1009
8: 4698=4694+4=4694⋅4694 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 66571 mod 991.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:
71 = 64+4+2+1
1: 6651=665
2: 6652=6651+1=6651⋅6651 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 239 mod 991
4: 6654=6652+2=6652⋅6652 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 634 mod 991
8: 6658=6654+4=6654⋅6654 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 601 mod 991
16: 66516=6658+8=6658⋅6658 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 477 mod 991
32: 66532=66516+16=66516⋅66516 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 590 mod 991
64: 66564=66532+32=66532⋅66532 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 259 mod 991
66571
= 66564+4+2+1
= 66564⋅6654⋅6652⋅6651
≡ 259 ⋅ 634 ⋅ 239 ⋅ 665 mod 991
≡ 164206 ⋅ 239 ⋅ 665 mod 991 ≡ 691 ⋅ 239 ⋅ 665 mod 991
≡ 165149 ⋅ 665 mod 991 ≡ 643 ⋅ 665 mod 991
≡ 427595 mod 991 ≡ 474 mod 991
Es gilt also: 66571 ≡ 474 mod 991
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 72
| =>83 | = 1⋅72 + 11 |
| =>72 | = 6⋅11 + 6 |
| =>11 | = 1⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 11-1⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1) |
| 6= 72-6⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅11 +2⋅(72 -6⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅72 -12⋅ 11) = 2⋅72 -13⋅ 11 (=1) |
| 11= 83-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅72 -13⋅(83 -1⋅ 72)
= 2⋅72 -13⋅83 +13⋅ 72) = -13⋅83 +15⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,72)=1 = -13⋅83 +15⋅72
oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅83 = +15⋅72
Es gilt also: 15⋅72 = 13⋅83 +1
Somit 15⋅72 = 1 mod 83
15 ist also das Inverse von 72 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
