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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 + 1498) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 + 1498) mod 3 ≡ (12000 mod 3 + 1498 mod 3) mod 3.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498 = 1500-2 = 3 ⋅ 500 -2 = 3 ⋅ 500 - 3 + 1.

Somit gilt:

(12000 + 1498) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 75) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 75) mod 3 ≡ (30 mod 3 ⋅ 75 mod 3) mod 3.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 10 ⋅ 3 + 0 ist.

75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 75) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23732 mod 293.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 237 -> x
2. mod(x²,293) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2371=237

2: 2372=2371+1=2371⋅2371 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 206 mod 293

4: 2374=2372+2=2372⋅2372 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 244 mod 293

8: 2378=2374+4=2374⋅2374 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 57 mod 293

16: 23716=2378+8=2378⋅2378 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 26 mod 293

32: 23732=23716+16=23716⋅23716 ≡ 26⋅26=676 ≡ 90 mod 293

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 273122 mod 311.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 122 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 122 an und zerlegen 122 in eine Summer von 2er-Potenzen:

122 = 64+32+16+8+2

1: 2731=273

2: 2732=2731+1=2731⋅2731 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 200 mod 311

4: 2734=2732+2=2732⋅2732 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 192 mod 311

8: 2738=2734+4=2734⋅2734 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 166 mod 311

16: 27316=2738+8=2738⋅2738 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 188 mod 311

32: 27332=27316+16=27316⋅27316 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 201 mod 311

64: 27364=27332+32=27332⋅27332 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 282 mod 311

273122

= 27364+32+16+8+2

= 27364⋅27332⋅27316⋅2738⋅2732

≡ 282 ⋅ 201 ⋅ 188 ⋅ 166 ⋅ 200 mod 311
≡ 56682 ⋅ 188 ⋅ 166 ⋅ 200 mod 311 ≡ 80 ⋅ 188 ⋅ 166 ⋅ 200 mod 311
≡ 15040 ⋅ 166 ⋅ 200 mod 311 ≡ 112 ⋅ 166 ⋅ 200 mod 311
≡ 18592 ⋅ 200 mod 311 ≡ 243 ⋅ 200 mod 311
≡ 48600 mod 311 ≡ 84 mod 311

Es gilt also: 273122 ≡ 84 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29

=>73 = 2⋅29 + 15
=>29 = 1⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 29-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15)
= -1⋅29 +2⋅ 15 (=1)
15= 73-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29)
= 2⋅73 -5⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29

oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅73 = -5⋅29

-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29

-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1

(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1

68⋅29 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1

Somit 68⋅29 = 1 mod 73

68 ist also das Inverse von 29 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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