Klasse 5 (G9)
Klasse 6 (G9)
Klasse 7 (G9)
Klasse 8 (G8)
Klasse 9-10 (G8)
Kursstufe (G8)
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (199 + 201) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(199 + 201) mod 4 ≡ (199 mod 4 + 201 mod 4) mod 4.
199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 199
= 200
201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201
= 200
Somit gilt:
(199 + 201) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 89) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 89) mod 6 ≡ (91 mod 6 ⋅ 89 mod 6) mod 6.
91 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 15 ⋅ 6 + 1 ist.
89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 89) mod 6 ≡ (1 ⋅ 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 624128 mod 739.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 624 -> x
2. mod(x²,739) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6241=624
2: 6242=6241+1=6241⋅6241 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 662 mod 739
4: 6244=6242+2=6242⋅6242 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 17 mod 739
8: 6248=6244+4=6244⋅6244 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 739
16: 62416=6248+8=6248⋅6248 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 14 mod 739
32: 62432=62416+16=62416⋅62416 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 739
64: 62464=62432+32=62432⋅62432 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 727 mod 739
128: 624128=62464+64=62464⋅62464 ≡ 727⋅727=528529 ≡ 144 mod 739
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 130119 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:
119 = 64+32+16+4+2+1
1: 1301=130
2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 222 mod 269
4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 57 mod 269
8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 21 mod 269
16: 13016=1308+8=1308⋅1308 ≡ 21⋅21=441 ≡ 172 mod 269
32: 13032=13016+16=13016⋅13016 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 263 mod 269
64: 13064=13032+32=13032⋅13032 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 36 mod 269
130119
= 13064+32+16+4+2+1
= 13064⋅13032⋅13016⋅1304⋅1302⋅1301
≡ 36 ⋅ 263 ⋅ 172 ⋅ 57 ⋅ 222 ⋅ 130 mod 269
≡ 9468 ⋅ 172 ⋅ 57 ⋅ 222 ⋅ 130 mod 269 ≡ 53 ⋅ 172 ⋅ 57 ⋅ 222 ⋅ 130 mod 269
≡ 9116 ⋅ 57 ⋅ 222 ⋅ 130 mod 269 ≡ 239 ⋅ 57 ⋅ 222 ⋅ 130 mod 269
≡ 13623 ⋅ 222 ⋅ 130 mod 269 ≡ 173 ⋅ 222 ⋅ 130 mod 269
≡ 38406 ⋅ 130 mod 269 ≡ 208 ⋅ 130 mod 269
≡ 27040 mod 269 ≡ 140 mod 269
Es gilt also: 130119 ≡ 140 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 29
| =>83 | = 2⋅29 + 25 |
| =>29 | = 1⋅25 + 4 |
| =>25 | = 6⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-6⋅4 | |||
| 4= 29-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -6⋅(29 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅29 +6⋅ 25) = -6⋅29 +7⋅ 25 (=1) |
| 25= 83-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅29 +7⋅(83 -2⋅ 29)
= -6⋅29 +7⋅83 -14⋅ 29) = 7⋅83 -20⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,29)=1 = 7⋅83 -20⋅29
oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅83 = -20⋅29
-20⋅29 = -7⋅83 + 1 |+83⋅29
-20⋅29 + 83⋅29 = -7⋅83 + 83⋅29 + 1
(-20 + 83) ⋅ 29 = (-7 + 29) ⋅ 83 + 1
63⋅29 = 22⋅83 + 1
Es gilt also: 63⋅29 = 22⋅83 +1
Somit 63⋅29 = 1 mod 83
63 ist also das Inverse von 29 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
