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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26997 + 4498) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26997 + 4498) mod 9 ≡ (26997 mod 9 + 4498 mod 9) mod 9.
26997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26997
= 27000
4498 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4498
= 4500
Somit gilt:
(26997 + 4498) mod 9 ≡ (6 + 7) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 61) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 61) mod 8 ≡ (95 mod 8 ⋅ 61 mod 8) mod 8.
95 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 11 ⋅ 8 + 7 ist.
61 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 7 ⋅ 8 + 5 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 61) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 847128 mod 859.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 847 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8471=847
2: 8472=8471+1=8471⋅8471 ≡ 847⋅847=717409 ≡ 144 mod 859
4: 8474=8472+2=8472⋅8472 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 120 mod 859
8: 8478=8474+4=8474⋅8474 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 656 mod 859
16: 84716=8478+8=8478⋅8478 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 836 mod 859
32: 84732=84716+16=84716⋅84716 ≡ 836⋅836=698896 ≡ 529 mod 859
64: 84764=84732+32=84732⋅84732 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 666 mod 859
128: 847128=84764+64=84764⋅84764 ≡ 666⋅666=443556 ≡ 312 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 837248 mod 907.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:
248 = 128+64+32+16+8
1: 8371=837
2: 8372=8371+1=8371⋅8371 ≡ 837⋅837=700569 ≡ 365 mod 907
4: 8374=8372+2=8372⋅8372 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 803 mod 907
8: 8378=8374+4=8374⋅8374 ≡ 803⋅803=644809 ≡ 839 mod 907
16: 83716=8378+8=8378⋅8378 ≡ 839⋅839=703921 ≡ 89 mod 907
32: 83732=83716+16=83716⋅83716 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 665 mod 907
64: 83764=83732+32=83732⋅83732 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 516 mod 907
128: 837128=83764+64=83764⋅83764 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 505 mod 907
837248
= 837128+64+32+16+8
= 837128⋅83764⋅83732⋅83716⋅8378
≡ 505 ⋅ 516 ⋅ 665 ⋅ 89 ⋅ 839 mod 907
≡ 260580 ⋅ 665 ⋅ 89 ⋅ 839 mod 907 ≡ 271 ⋅ 665 ⋅ 89 ⋅ 839 mod 907
≡ 180215 ⋅ 89 ⋅ 839 mod 907 ≡ 629 ⋅ 89 ⋅ 839 mod 907
≡ 55981 ⋅ 839 mod 907 ≡ 654 ⋅ 839 mod 907
≡ 548706 mod 907 ≡ 878 mod 907
Es gilt also: 837248 ≡ 878 mod 907
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 25
| =>59 | = 2⋅25 + 9 |
| =>25 | = 2⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 25-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(25 -2⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅25 -8⋅ 9) = 4⋅25 -11⋅ 9 (=1) |
| 9= 59-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅25 -11⋅(59 -2⋅ 25)
= 4⋅25 -11⋅59 +22⋅ 25) = -11⋅59 +26⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,25)=1 = -11⋅59 +26⋅25
oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅59 = +26⋅25
Es gilt also: 26⋅25 = 11⋅59 +1
Somit 26⋅25 = 1 mod 59
26 ist also das Inverse von 25 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
