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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 - 6998) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 - 6998) mod 7 ≡ (70 mod 7 - 6998 mod 7) mod 7.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70+0 = 7 ⋅ 10 +0.

6998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6998 = 7000-2 = 7 ⋅ 1000 -2 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 5.

Somit gilt:

(70 - 6998) mod 7 ≡ (0 - 5) mod 7 ≡ -5 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 60) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 60) mod 4 ≡ (51 mod 4 ⋅ 60 mod 4) mod 4.

51 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 12 ⋅ 4 + 3 ist.

60 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 15 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 60) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22932 mod 757.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 229 -> x
2. mod(x²,757) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2291=229

2: 2292=2291+1=2291⋅2291 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 208 mod 757

4: 2294=2292+2=2292⋅2292 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 115 mod 757

8: 2298=2294+4=2294⋅2294 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 356 mod 757

16: 22916=2298+8=2298⋅2298 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 317 mod 757

32: 22932=22916+16=22916⋅22916 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 565 mod 757

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18964 mod 311.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 64 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 64 an und zerlegen 64 in eine Summer von 2er-Potenzen:

64 = 64

1: 1891=189

2: 1892=1891+1=1891⋅1891 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 267 mod 311

4: 1894=1892+2=1892⋅1892 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 70 mod 311

8: 1898=1894+4=1894⋅1894 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 235 mod 311

16: 18916=1898+8=1898⋅1898 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 178 mod 311

32: 18932=18916+16=18916⋅18916 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 273 mod 311

64: 18964=18932+32=18932⋅18932 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 200 mod 311

18964

= 18964

= 18964

200 mod 311

Es gilt also: 18964 ≡ 200 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 95.

Also bestimme x, so dass 95 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 95

=>101 = 1⋅95 + 6
=>95 = 15⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,95)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 95-15⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(95 -15⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅95 +15⋅ 6)
= -1⋅95 +16⋅ 6 (=1)
6= 101-1⋅95 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅95 +16⋅(101 -1⋅ 95)
= -1⋅95 +16⋅101 -16⋅ 95)
= 16⋅101 -17⋅ 95 (=1)

Es gilt also: ggt(101,95)=1 = 16⋅101 -17⋅95

oder wenn man 16⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅101 = -17⋅95

-17⋅95 = -16⋅101 + 1 |+101⋅95

-17⋅95 + 101⋅95 = -16⋅101 + 101⋅95 + 1

(-17 + 101) ⋅ 95 = (-16 + 95) ⋅ 101 + 1

84⋅95 = 79⋅101 + 1

Es gilt also: 84⋅95 = 79⋅101 +1

Somit 84⋅95 = 1 mod 101

84 ist also das Inverse von 95 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.