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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1407 - 135) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1407 - 135) mod 7 ≡ (1407 mod 7 - 135 mod 7) mod 7.
1407 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1407
= 1400
135 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 135
= 140
Somit gilt:
(1407 - 135) mod 7 ≡ (0 - 2) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 25) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 25) mod 7 ≡ (89 mod 7 ⋅ 25 mod 7) mod 7.
89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.
25 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 21 + 4 = 3 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 25) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 70316 mod 997.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 703 -> x
2. mod(x²,997) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 7031=703
2: 7032=7031+1=7031⋅7031 ≡ 703⋅703=494209 ≡ 694 mod 997
4: 7034=7032+2=7032⋅7032 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 85 mod 997
8: 7038=7034+4=7034⋅7034 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 246 mod 997
16: 70316=7038+8=7038⋅7038 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 696 mod 997
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 402148 mod 409.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 148 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 148 an und zerlegen 148 in eine Summer von 2er-Potenzen:
148 = 128+16+4
1: 4021=402
2: 4022=4021+1=4021⋅4021 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 49 mod 409
4: 4024=4022+2=4022⋅4022 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 356 mod 409
8: 4028=4024+4=4024⋅4024 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 355 mod 409
16: 40216=4028+8=4028⋅4028 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409
32: 40232=40216+16=40216⋅40216 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 355 mod 409
64: 40264=40232+32=40232⋅40232 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 53 mod 409
128: 402128=40264+64=40264⋅40264 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 355 mod 409
402148
= 402128+16+4
= 402128⋅40216⋅4024
≡ 355 ⋅ 53 ⋅ 356 mod 409
≡ 18815 ⋅ 356 mod 409 ≡ 1 ⋅ 356 mod 409
≡ 356 mod 409
Es gilt also: 402148 ≡ 356 mod 409
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 29
| =>73 | = 2⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 73-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(73 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅73 -4⋅ 29) = 2⋅73 -5⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,29)=1 = 2⋅73 -5⋅29
oder wenn man 2⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅73 = -5⋅29
-5⋅29 = -2⋅73 + 1 |+73⋅29
-5⋅29 + 73⋅29 = -2⋅73 + 73⋅29 + 1
(-5 + 73) ⋅ 29 = (-2 + 29) ⋅ 73 + 1
68⋅29 = 27⋅73 + 1
Es gilt also: 68⋅29 = 27⋅73 +1
Somit 68⋅29 = 1 mod 73
68 ist also das Inverse von 29 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.