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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30005 + 180) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30005 + 180) mod 6 ≡ (30005 mod 6 + 180 mod 6) mod 6.

30005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30005 = 30000+5 = 6 ⋅ 5000 +5.

180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180 = 180+0 = 6 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(30005 + 180) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 84) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 84) mod 8 ≡ (99 mod 8 ⋅ 84 mod 8) mod 8.

99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.

84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 84) mod 8 ≡ (3 ⋅ 4) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3998 mod 661.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 399 -> x
2. mod(x²,661) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3991=399

2: 3992=3991+1=3991⋅3991 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 561 mod 661

4: 3994=3992+2=3992⋅3992 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 85 mod 661

8: 3998=3994+4=3994⋅3994 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 615 mod 661

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 111218 mod 229.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:

218 = 128+64+16+8+2

1: 1111=111

2: 1112=1111+1=1111⋅1111 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 184 mod 229

4: 1114=1112+2=1112⋅1112 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 193 mod 229

8: 1118=1114+4=1114⋅1114 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 151 mod 229

16: 11116=1118+8=1118⋅1118 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 130 mod 229

32: 11132=11116+16=11116⋅11116 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 183 mod 229

64: 11164=11132+32=11132⋅11132 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 55 mod 229

128: 111128=11164+64=11164⋅11164 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 48 mod 229

111218

= 111128+64+16+8+2

= 111128⋅11164⋅11116⋅1118⋅1112

48 ⋅ 55 ⋅ 130 ⋅ 151 ⋅ 184 mod 229
2640 ⋅ 130 ⋅ 151 ⋅ 184 mod 229 ≡ 121 ⋅ 130 ⋅ 151 ⋅ 184 mod 229
15730 ⋅ 151 ⋅ 184 mod 229 ≡ 158 ⋅ 151 ⋅ 184 mod 229
23858 ⋅ 184 mod 229 ≡ 42 ⋅ 184 mod 229
7728 mod 229 ≡ 171 mod 229

Es gilt also: 111218 ≡ 171 mod 229

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 47

=>97 = 2⋅47 + 3
=>47 = 15⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 47-15⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(47 -15⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅47 +15⋅ 3)
= -1⋅47 +16⋅ 3 (=1)
3= 97-2⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +16⋅(97 -2⋅ 47)
= -1⋅47 +16⋅97 -32⋅ 47)
= 16⋅97 -33⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(97,47)=1 = 16⋅97 -33⋅47

oder wenn man 16⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅97 = -33⋅47

-33⋅47 = -16⋅97 + 1 |+97⋅47

-33⋅47 + 97⋅47 = -16⋅97 + 97⋅47 + 1

(-33 + 97) ⋅ 47 = (-16 + 47) ⋅ 97 + 1

64⋅47 = 31⋅97 + 1

Es gilt also: 64⋅47 = 31⋅97 +1

Somit 64⋅47 = 1 mod 97

64 ist also das Inverse von 47 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.