Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (121 + 58) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(121 + 58) mod 6 ≡ (121 mod 6 + 58 mod 6) mod 6.

121 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121 = 120+1 = 6 ⋅ 20 +1.

58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 60-2 = 6 ⋅ 10 -2 = 6 ⋅ 10 - 6 + 4.

Somit gilt:

(121 + 58) mod 6 ≡ (1 + 4) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 53) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 53) mod 8 ≡ (79 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.

79 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 9 ⋅ 8 + 7 ist.

53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 53) mod 8 ≡ (7 ⋅ 5) mod 8 ≡ 35 mod 8 ≡ 3 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 526¹²⁸ mod 941.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 526 -> x
2. mod(x²,941) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 526¹=526

2: 526²=526¹⁺¹=526¹⋅526¹ ≡ 526⋅526=276676 ≡ 22 mod 941

4: 526⁴=526²⁺²=526²⋅526² ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 941

8: 526⁸=526⁴⁺⁴=526⁴⋅526⁴ ≡ 484⋅484=234256 ≡ 888 mod 941

16: 526¹⁶=526⁸⁺⁸=526⁸⋅526⁸ ≡ 888⋅888=788544 ≡ 927 mod 941

32: 526³²=526¹⁶⁺¹⁶=526¹⁶⋅526¹⁶ ≡ 927⋅927=859329 ≡ 196 mod 941

64: 526⁶⁴=526³²⁺³²=526³²⋅526³² ≡ 196⋅196=38416 ≡ 776 mod 941

128: 526¹²⁸=526⁶⁴⁺⁶⁴=526⁶⁴⋅526⁶⁴ ≡ 776⋅776=602176 ≡ 877 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 728²⁵⁰ mod 811.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

1: 728¹=728

2: 728²=728¹⁺¹=728¹⋅728¹ ≡ 728⋅728=529984 ≡ 401 mod 811

4: 728⁴=728²⁺²=728²⋅728² ≡ 401⋅401=160801 ≡ 223 mod 811

8: 728⁸=728⁴⁺⁴=728⁴⋅728⁴ ≡ 223⋅223=49729 ≡ 258 mod 811

16: 728¹⁶=728⁸⁺⁸=728⁸⋅728⁸ ≡ 258⋅258=66564 ≡ 62 mod 811

32: 728³²=728¹⁶⁺¹⁶=728¹⁶⋅728¹⁶ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 600 mod 811

64: 728⁶⁴=728³²⁺³²=728³²⋅728³² ≡ 600⋅600=360000 ≡ 727 mod 811

128: 728¹²⁸=728⁶⁴⁺⁶⁴=728⁶⁴⋅728⁶⁴ ≡ 727⋅727=528529 ≡ 568 mod 811

728²⁵⁰

= 728^{128+64+32+16+8+2}

= 728¹²⁸⋅728⁶⁴⋅728³²⋅728¹⁶⋅728⁸⋅728²

≡ 568 ⋅ 727 ⋅ 600 ⋅ 62 ⋅ 258 ⋅ 401 mod 811
≡ 412936 ⋅ 600 ⋅ 62 ⋅ 258 ⋅ 401 mod 811 ≡ 137 ⋅ 600 ⋅ 62 ⋅ 258 ⋅ 401 mod 811
≡ 82200 ⋅ 62 ⋅ 258 ⋅ 401 mod 811 ≡ 289 ⋅ 62 ⋅ 258 ⋅ 401 mod 811
≡ 17918 ⋅ 258 ⋅ 401 mod 811 ≡ 76 ⋅ 258 ⋅ 401 mod 811
≡ 19608 ⋅ 401 mod 811 ≡ 144 ⋅ 401 mod 811
≡ 57744 mod 811 ≡ 163 mod 811

Es gilt also: 728²⁵⁰ ≡ 163 mod 811

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 79.

Also bestimme x, so dass 79 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 79

=>89	= 1⋅79 + 10
=>79	= 7⋅10 + 9
=>10	= 1⋅9 + 1
=>9	= 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,79)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 79-7⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -1⋅(79 -7⋅ 10) = 1⋅10 -1⋅79 +7⋅ 10) = -1⋅79 +8⋅ 10 (=1)
10= 89-1⋅79	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅79 +8⋅(89 -1⋅ 79) = -1⋅79 +8⋅89 -8⋅ 79) = 8⋅89 -9⋅ 79 (=1)

Es gilt also: ggt(89,79)=1 = 8⋅89 -9⋅79

oder wenn man 8⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅89 = -9⋅79

-9⋅79 = -8⋅89 + 1 |+89⋅79

-9⋅79 + 89⋅79 = -8⋅89 + 89⋅79 + 1

(-9 + 89) ⋅ 79 = (-8 + 79) ⋅ 89 + 1

80⋅79 = 71⋅89 + 1

Es gilt also: 80⋅79 = 71⋅89 +1

Somit 80⋅79 = 1 mod 89

80 ist also das Inverse von 79 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 79

Schlüsselpaar für RSA