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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1200 - 42) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1200 - 42) mod 4 ≡ (1200 mod 4 - 42 mod 4) mod 4.
1200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200
= 1200
42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42
= 40
Somit gilt:
(1200 - 42) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 66) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 66) mod 7 ≡ (74 mod 7 ⋅ 66 mod 7) mod 7.
74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 10 ⋅ 7 + 4 ist.
66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 9 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 66) mod 7 ≡ (4 ⋅ 3) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1068 mod 211.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 106 -> x
2. mod(x²,211) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1061=106
2: 1062=1061+1=1061⋅1061 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 53 mod 211
4: 1064=1062+2=1062⋅1062 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 66 mod 211
8: 1068=1064+4=1064⋅1064 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 136 mod 211
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 506228 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:
228 = 128+64+32+4
1: 5061=506
2: 5062=5061+1=5061⋅5061 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 277 mod 641
4: 5064=5062+2=5062⋅5062 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 450 mod 641
8: 5068=5064+4=5064⋅5064 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 585 mod 641
16: 50616=5068+8=5068⋅5068 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 572 mod 641
32: 50632=50616+16=50616⋅50616 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 274 mod 641
64: 50664=50632+32=50632⋅50632 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 79 mod 641
128: 506128=50664+64=50664⋅50664 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 472 mod 641
506228
= 506128+64+32+4
= 506128⋅50664⋅50632⋅5064
≡ 472 ⋅ 79 ⋅ 274 ⋅ 450 mod 641
≡ 37288 ⋅ 274 ⋅ 450 mod 641 ≡ 110 ⋅ 274 ⋅ 450 mod 641
≡ 30140 ⋅ 450 mod 641 ≡ 13 ⋅ 450 mod 641
≡ 5850 mod 641 ≡ 81 mod 641
Es gilt also: 506228 ≡ 81 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 30.
Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30
| =>53 | = 1⋅30 + 23 |
| =>30 | = 1⋅23 + 7 |
| =>23 | = 3⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,30)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 23-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7) = -3⋅23 +10⋅ 7 (=1) |
| 7= 30-1⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23) = 10⋅30 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 53-1⋅30 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30) = -13⋅53 +23⋅ 30 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30
oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅53 = +23⋅30
Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1
Somit 23⋅30 = 1 mod 53
23 ist also das Inverse von 30 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.