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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30000 + 2400) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30000 + 2400) mod 6 ≡ (30000 mod 6 + 2400 mod 6) mod 6.

30000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30000 = 30000+0 = 6 ⋅ 5000 +0.

2400 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 6 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(30000 + 2400) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 97) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 97) mod 3 ≡ (95 mod 3 ⋅ 97 mod 3) mod 3.

95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.

97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 97) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 60932 mod 617.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 609 -> x
2. mod(x²,617) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6091=609

2: 6092=6091+1=6091⋅6091 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 64 mod 617

4: 6094=6092+2=6092⋅6092 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 394 mod 617

8: 6098=6094+4=6094⋅6094 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 369 mod 617

16: 60916=6098+8=6098⋅6098 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 421 mod 617

32: 60932=60916+16=60916⋅60916 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 162 mod 617

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 62078 mod 929.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:

78 = 64+8+4+2

1: 6201=620

2: 6202=6201+1=6201⋅6201 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 723 mod 929

4: 6204=6202+2=6202⋅6202 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 631 mod 929

8: 6208=6204+4=6204⋅6204 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 549 mod 929

16: 62016=6208+8=6208⋅6208 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 405 mod 929

32: 62032=62016+16=62016⋅62016 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 521 mod 929

64: 62064=62032+32=62032⋅62032 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 173 mod 929

62078

= 62064+8+4+2

= 62064⋅6208⋅6204⋅6202

≡ 173 ⋅ 549 ⋅ 631 ⋅ 723 mod 929
≡ 94977 ⋅ 631 ⋅ 723 mod 929 ≡ 219 ⋅ 631 ⋅ 723 mod 929
≡ 138189 ⋅ 723 mod 929 ≡ 697 ⋅ 723 mod 929
≡ 503931 mod 929 ≡ 413 mod 929

Es gilt also: 62078 ≡ 413 mod 929

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37

=>59 = 1⋅37 + 22
=>37 = 1⋅22 + 15
=>22 = 1⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15)
= -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 37-1⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22)
= 3⋅37 -5⋅ 22 (=1)
22= 59-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37)
= 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37)
= -5⋅59 +8⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37

oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅59 = +8⋅37

Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1

Somit 8⋅37 = 1 mod 59

8 ist also das Inverse von 37 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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