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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28002 + 21007) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28002 + 21007) mod 7 ≡ (28002 mod 7 + 21007 mod 7) mod 7.

28002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28002 = 28000+2 = 7 ⋅ 4000 +2.

21007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21007 = 21000+7 = 7 ⋅ 3000 +7.

Somit gilt:

(28002 + 21007) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 20) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 20) mod 3 ≡ (46 mod 3 ⋅ 20 mod 3) mod 3.

46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.

20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 20) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 117128 mod 229.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 117 -> x
2. mod(x²,229) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1171=117

2: 1172=1171+1=1171⋅1171 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 178 mod 229

4: 1174=1172+2=1172⋅1172 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 82 mod 229

8: 1178=1174+4=1174⋅1174 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 83 mod 229

16: 11716=1178+8=1178⋅1178 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 19 mod 229

32: 11732=11716+16=11716⋅11716 ≡ 19⋅19=361 ≡ 132 mod 229

64: 11764=11732+32=11732⋅11732 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 20 mod 229

128: 117128=11764+64=11764⋅11764 ≡ 20⋅20=400 ≡ 171 mod 229

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 472232 mod 647.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:

232 = 128+64+32+8

1: 4721=472

2: 4722=4721+1=4721⋅4721 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 216 mod 647

4: 4724=4722+2=4722⋅4722 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 72 mod 647

8: 4728=4724+4=4724⋅4724 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 8 mod 647

16: 47216=4728+8=4728⋅4728 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 647

32: 47232=47216+16=47216⋅47216 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 214 mod 647

64: 47264=47232+32=47232⋅47232 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 506 mod 647

128: 472128=47264+64=47264⋅47264 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 471 mod 647

472232

= 472128+64+32+8

= 472128⋅47264⋅47232⋅4728

≡ 471 ⋅ 506 ⋅ 214 ⋅ 8 mod 647
≡ 238326 ⋅ 214 ⋅ 8 mod 647 ≡ 230 ⋅ 214 ⋅ 8 mod 647
≡ 49220 ⋅ 8 mod 647 ≡ 48 ⋅ 8 mod 647
≡ 384 mod 647

Es gilt also: 472232 ≡ 384 mod 647

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68

=>71 = 1⋅68 + 3
=>68 = 22⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 68-22⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(68 -22⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅68 +22⋅ 3)
= -1⋅68 +23⋅ 3 (=1)
3= 71-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅68 +23⋅(71 -1⋅ 68)
= -1⋅68 +23⋅71 -23⋅ 68)
= 23⋅71 -24⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(71,68)=1 = 23⋅71 -24⋅68

oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -23⋅71 = -24⋅68

-24⋅68 = -23⋅71 + 1 |+71⋅68

-24⋅68 + 71⋅68 = -23⋅71 + 71⋅68 + 1

(-24 + 71) ⋅ 68 = (-23 + 68) ⋅ 71 + 1

47⋅68 = 45⋅71 + 1

Es gilt also: 47⋅68 = 45⋅71 +1

Somit 47⋅68 = 1 mod 71

47 ist also das Inverse von 68 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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