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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (116 - 1205) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(116 - 1205) mod 6 ≡ (116 mod 6 - 1205 mod 6) mod 6.

116 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116 = 120-4 = 6 ⋅ 20 -4 = 6 ⋅ 20 - 6 + 2.

1205 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1205 = 1200+5 = 6 ⋅ 200 +5.

Somit gilt:

(116 - 1205) mod 6 ≡ (2 - 5) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 88) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 88) mod 8 ≡ (98 mod 8 ⋅ 88 mod 8) mod 8.

98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 88) mod 8 ≡ (2 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 298¹²⁸ mod 337.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 298 -> x
2. mod(x²,337) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 298¹=298

2: 298²=298¹⁺¹=298¹⋅298¹ ≡ 298⋅298=88804 ≡ 173 mod 337

4: 298⁴=298²⁺²=298²⋅298² ≡ 173⋅173=29929 ≡ 273 mod 337

8: 298⁸=298⁴⁺⁴=298⁴⋅298⁴ ≡ 273⋅273=74529 ≡ 52 mod 337

16: 298¹⁶=298⁸⁺⁸=298⁸⋅298⁸ ≡ 52⋅52=2704 ≡ 8 mod 337

32: 298³²=298¹⁶⁺¹⁶=298¹⁶⋅298¹⁶ ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 337

64: 298⁶⁴=298³²⁺³²=298³²⋅298³² ≡ 64⋅64=4096 ≡ 52 mod 337

128: 298¹²⁸=298⁶⁴⁺⁶⁴=298⁶⁴⋅298⁶⁴ ≡ 52⋅52=2704 ≡ 8 mod 337

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 502¹⁸⁷ mod 601.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

1: 502¹=502

2: 502²=502¹⁺¹=502¹⋅502¹ ≡ 502⋅502=252004 ≡ 185 mod 601

4: 502⁴=502²⁺²=502²⋅502² ≡ 185⋅185=34225 ≡ 569 mod 601

8: 502⁸=502⁴⁺⁴=502⁴⋅502⁴ ≡ 569⋅569=323761 ≡ 423 mod 601

16: 502¹⁶=502⁸⁺⁸=502⁸⋅502⁸ ≡ 423⋅423=178929 ≡ 432 mod 601

32: 502³²=502¹⁶⁺¹⁶=502¹⁶⋅502¹⁶ ≡ 432⋅432=186624 ≡ 314 mod 601

64: 502⁶⁴=502³²⁺³²=502³²⋅502³² ≡ 314⋅314=98596 ≡ 32 mod 601

128: 502¹²⁸=502⁶⁴⁺⁶⁴=502⁶⁴⋅502⁶⁴ ≡ 32⋅32=1024 ≡ 423 mod 601

502¹⁸⁷

= 502^{128+32+16+8+2+1}

= 502¹²⁸⋅502³²⋅502¹⁶⋅502⁸⋅502²⋅502¹

≡ 423 ⋅ 314 ⋅ 432 ⋅ 423 ⋅ 185 ⋅ 502 mod 601
≡ 132822 ⋅ 432 ⋅ 423 ⋅ 185 ⋅ 502 mod 601 ≡ 1 ⋅ 432 ⋅ 423 ⋅ 185 ⋅ 502 mod 601
≡ 432 ⋅ 423 ⋅ 185 ⋅ 502 mod 601
≡ 182736 ⋅ 185 ⋅ 502 mod 601 ≡ 32 ⋅ 185 ⋅ 502 mod 601
≡ 5920 ⋅ 502 mod 601 ≡ 511 ⋅ 502 mod 601
≡ 256522 mod 601 ≡ 496 mod 601

Es gilt also: 502¹⁸⁷ ≡ 496 mod 601

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 32

=>61	= 1⋅32 + 29
=>32	= 1⋅29 + 3
=>29	= 9⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 29-9⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3) = -1⋅29 +10⋅ 3 (=1)
3= 32-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅29 +10⋅(32 -1⋅ 29) = -1⋅29 +10⋅32 -10⋅ 29) = 10⋅32 -11⋅ 29 (=1)
29= 61-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 10⋅32 -11⋅(61 -1⋅ 32) = 10⋅32 -11⋅61 +11⋅ 32) = -11⋅61 +21⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(61,32)=1 = -11⋅61 +21⋅32

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +21⋅32

Es gilt also: 21⋅32 = 11⋅61 +1

Somit 21⋅32 = 1 mod 61

21 ist also das Inverse von 32 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 32

Schlüsselpaar für RSA