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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (34995 + 13994) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(34995 + 13994) mod 7 ≡ (34995 mod 7 + 13994 mod 7) mod 7.
34995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34995
= 35000
13994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13994
= 14000
Somit gilt:
(34995 + 13994) mod 7 ≡ (2 + 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 82) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 82) mod 8 ≡ (48 mod 8 ⋅ 82 mod 8) mod 8.
48 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 6 ⋅ 8 + 0 ist.
82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 82) mod 8 ≡ (0 ⋅ 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 38016 mod 547.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 380 -> x
2. mod(x²,547) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3801=380
2: 3802=3801+1=3801⋅3801 ≡ 380⋅380=144400 ≡ 539 mod 547
4: 3804=3802+2=3802⋅3802 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 64 mod 547
8: 3808=3804+4=3804⋅3804 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 267 mod 547
16: 38016=3808+8=3808⋅3808 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 179 mod 547
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 8666 mod 263.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 66 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 66 an und zerlegen 66 in eine Summer von 2er-Potenzen:
66 = 64+2
1: 861=86
2: 862=861+1=861⋅861 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 32 mod 263
4: 864=862+2=862⋅862 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 235 mod 263
8: 868=864+4=864⋅864 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 258 mod 263
16: 8616=868+8=868⋅868 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 25 mod 263
32: 8632=8616+16=8616⋅8616 ≡ 25⋅25=625 ≡ 99 mod 263
64: 8664=8632+32=8632⋅8632 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 70 mod 263
8666
= 8664+2
= 8664⋅862
≡ 70 ⋅ 32 mod 263
≡ 2240 mod 263 ≡ 136 mod 263
Es gilt also: 8666 ≡ 136 mod 263
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36
| =>89 | = 2⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 89-2⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36) = 17⋅89 -42⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -42⋅36
-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36
-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1
(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1
47⋅36 = 19⋅89 + 1
Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1
Somit 47⋅36 = 1 mod 89
47 ist also das Inverse von 36 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.