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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (797 - 4001) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(797 - 4001) mod 8 ≡ (797 mod 8 - 4001 mod 8) mod 8.
797 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 797
= 800
4001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4001
= 4000
Somit gilt:
(797 - 4001) mod 8 ≡ (5 - 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 96) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 96) mod 11 ≡ (93 mod 11 ⋅ 96 mod 11) mod 11.
93 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 8 ⋅ 11 + 5 ist.
96 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 88 + 8 = 8 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 96) mod 11 ≡ (5 ⋅ 8) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33332 mod 727.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 333 -> x
2. mod(x²,727) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3331=333
2: 3332=3331+1=3331⋅3331 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 385 mod 727
4: 3334=3332+2=3332⋅3332 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 644 mod 727
8: 3338=3334+4=3334⋅3334 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 346 mod 727
16: 33316=3338+8=3338⋅3338 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 488 mod 727
32: 33332=33316+16=33316⋅33316 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 415 mod 727
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 337114 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:
114 = 64+32+16+2
1: 3371=337
2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 181 mod 859
4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 119 mod 859
8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 417 mod 859
16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 371 mod 859
32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 201 mod 859
64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 28 mod 859
337114
= 33764+32+16+2
= 33764⋅33732⋅33716⋅3372
≡ 28 ⋅ 201 ⋅ 371 ⋅ 181 mod 859
≡ 5628 ⋅ 371 ⋅ 181 mod 859 ≡ 474 ⋅ 371 ⋅ 181 mod 859
≡ 175854 ⋅ 181 mod 859 ≡ 618 ⋅ 181 mod 859
≡ 111858 mod 859 ≡ 188 mod 859
Es gilt also: 337114 ≡ 188 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 76.
Also bestimme x, so dass 76 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 76
| =>89 | = 1⋅76 + 13 |
| =>76 | = 5⋅13 + 11 |
| =>13 | = 1⋅11 + 2 |
| =>11 | = 5⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,76)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-5⋅2 | |||
| 2= 13-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -5⋅(13 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅13 +5⋅ 11) = -5⋅13 +6⋅ 11 (=1) |
| 11= 76-5⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅13 +6⋅(76 -5⋅ 13)
= -5⋅13 +6⋅76 -30⋅ 13) = 6⋅76 -35⋅ 13 (=1) |
| 13= 89-1⋅76 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅76 -35⋅(89 -1⋅ 76)
= 6⋅76 -35⋅89 +35⋅ 76) = -35⋅89 +41⋅ 76 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,76)=1 = -35⋅89 +41⋅76
oder wenn man -35⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +35⋅89 = +41⋅76
Es gilt also: 41⋅76 = 35⋅89 +1
Somit 41⋅76 = 1 mod 89
41 ist also das Inverse von 76 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
