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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32003 + 1603) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32003 + 1603) mod 8 ≡ (32003 mod 8 + 1603 mod 8) mod 8.

32003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32003 = 32000+3 = 8 ⋅ 4000 +3.

1603 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1603 = 1600+3 = 8 ⋅ 200 +3.

Somit gilt:

(32003 + 1603) mod 8 ≡ (3 + 3) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 16) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 16) mod 5 ≡ (27 mod 5 ⋅ 16 mod 5) mod 5.

27 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 25 + 2 = 5 ⋅ 5 + 2 ist.

16 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 3 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 16) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 72³² mod 211.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 72 -> x
2. mod(x²,211) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 72¹=72

2: 72²=72¹⁺¹=72¹⋅72¹ ≡ 72⋅72=5184 ≡ 120 mod 211

4: 72⁴=72²⁺²=72²⋅72² ≡ 120⋅120=14400 ≡ 52 mod 211

8: 72⁸=72⁴⁺⁴=72⁴⋅72⁴ ≡ 52⋅52=2704 ≡ 172 mod 211

16: 72¹⁶=72⁸⁺⁸=72⁸⋅72⁸ ≡ 172⋅172=29584 ≡ 44 mod 211

32: 72³²=72¹⁶⁺¹⁶=72¹⁶⋅72¹⁶ ≡ 44⋅44=1936 ≡ 37 mod 211

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 190²²⁰ mod 571.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:

220 = 128+64+16+8+4

1: 190¹=190

2: 190²=190¹⁺¹=190¹⋅190¹ ≡ 190⋅190=36100 ≡ 127 mod 571

4: 190⁴=190²⁺²=190²⋅190² ≡ 127⋅127=16129 ≡ 141 mod 571

8: 190⁸=190⁴⁺⁴=190⁴⋅190⁴ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 467 mod 571

16: 190¹⁶=190⁸⁺⁸=190⁸⋅190⁸ ≡ 467⋅467=218089 ≡ 538 mod 571

32: 190³²=190¹⁶⁺¹⁶=190¹⁶⋅190¹⁶ ≡ 538⋅538=289444 ≡ 518 mod 571

64: 190⁶⁴=190³²⁺³²=190³²⋅190³² ≡ 518⋅518=268324 ≡ 525 mod 571

128: 190¹²⁸=190⁶⁴⁺⁶⁴=190⁶⁴⋅190⁶⁴ ≡ 525⋅525=275625 ≡ 403 mod 571

190²²⁰

= 190^{128+64+16+8+4}

= 190¹²⁸⋅190⁶⁴⋅190¹⁶⋅190⁸⋅190⁴

≡ 403 ⋅ 525 ⋅ 538 ⋅ 467 ⋅ 141 mod 571
≡ 211575 ⋅ 538 ⋅ 467 ⋅ 141 mod 571 ≡ 305 ⋅ 538 ⋅ 467 ⋅ 141 mod 571
≡ 164090 ⋅ 467 ⋅ 141 mod 571 ≡ 213 ⋅ 467 ⋅ 141 mod 571
≡ 99471 ⋅ 141 mod 571 ≡ 117 ⋅ 141 mod 571
≡ 16497 mod 571 ≡ 509 mod 571

Es gilt also: 190²²⁰ ≡ 509 mod 571

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 92.

Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 92

=>101	= 1⋅92 + 9
=>92	= 10⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,92)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 92-10⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(92 -10⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅92 +40⋅ 9) = -4⋅92 +41⋅ 9 (=1)
9= 101-1⋅92	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅92 +41⋅(101 -1⋅ 92) = -4⋅92 +41⋅101 -41⋅ 92) = 41⋅101 -45⋅ 92 (=1)

Es gilt also: ggt(101,92)=1 = 41⋅101 -45⋅92

oder wenn man 41⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -41⋅101 = -45⋅92

-45⋅92 = -41⋅101 + 1 |+101⋅92

-45⋅92 + 101⋅92 = -41⋅101 + 101⋅92 + 1

(-45 + 101) ⋅ 92 = (-41 + 92) ⋅ 101 + 1

56⋅92 = 51⋅101 + 1

Es gilt also: 56⋅92 = 51⋅101 +1

Somit 56⋅92 = 1 mod 101

56 ist also das Inverse von 92 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 92

Schlüsselpaar für RSA