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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1498 - 30) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1498 - 30) mod 3 ≡ (1498 mod 3 - 30 mod 3) mod 3.

1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498 = 1500-2 = 3 ⋅ 500 -2 = 3 ⋅ 500 - 3 + 1.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(1498 - 30) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 55) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 55) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 55 mod 7) mod 7.

58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.

55 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 49 + 6 = 7 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 55) mod 7 ≡ (2 ⋅ 6) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1418 mod 419.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 141 -> x
2. mod(x²,419) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1411=141

2: 1412=1411+1=1411⋅1411 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 188 mod 419

4: 1414=1412+2=1412⋅1412 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 148 mod 419

8: 1418=1414+4=1414⋅1414 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 116 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 561137 mod 839.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:

137 = 128+8+1

1: 5611=561

2: 5612=5611+1=5611⋅5611 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 96 mod 839

4: 5614=5612+2=5612⋅5612 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 826 mod 839

8: 5618=5614+4=5614⋅5614 ≡ 826⋅826=682276 ≡ 169 mod 839

16: 56116=5618+8=5618⋅5618 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 35 mod 839

32: 56132=56116+16=56116⋅56116 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 386 mod 839

64: 56164=56132+32=56132⋅56132 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 493 mod 839

128: 561128=56164+64=56164⋅56164 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 578 mod 839

561137

= 561128+8+1

= 561128⋅5618⋅5611

≡ 578 ⋅ 169 ⋅ 561 mod 839
≡ 97682 ⋅ 561 mod 839 ≡ 358 ⋅ 561 mod 839
≡ 200838 mod 839 ≡ 317 mod 839

Es gilt also: 561137 ≡ 317 mod 839

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 55

=>71 = 1⋅55 + 16
=>55 = 3⋅16 + 7
=>16 = 2⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 16-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(16 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅16 +6⋅ 7)
= -3⋅16 +7⋅ 7 (=1)
7= 55-3⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅16 +7⋅(55 -3⋅ 16)
= -3⋅16 +7⋅55 -21⋅ 16)
= 7⋅55 -24⋅ 16 (=1)
16= 71-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅55 -24⋅(71 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -24⋅71 +24⋅ 55)
= -24⋅71 +31⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(71,55)=1 = -24⋅71 +31⋅55

oder wenn man -24⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +24⋅71 = +31⋅55

Es gilt also: 31⋅55 = 24⋅71 +1

Somit 31⋅55 = 1 mod 71

31 ist also das Inverse von 55 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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