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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (210 - 14003) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(210 - 14003) mod 7 ≡ (210 mod 7 - 14003 mod 7) mod 7.

210 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 210 = 210+0 = 7 ⋅ 30 +0.

14003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14003 = 14000+3 = 7 ⋅ 2000 +3.

Somit gilt:

(210 - 14003) mod 7 ≡ (0 - 3) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 58) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 58) mod 11 ≡ (64 mod 11 ⋅ 58 mod 11) mod 11.

64 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 55 + 9 = 5 ⋅ 11 + 9 ist.

58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 58) mod 11 ≡ (9 ⋅ 3) mod 11 ≡ 27 mod 11 ≡ 5 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 163⁶⁴ mod 223.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 163 -> x
2. mod(x²,223) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 163¹=163

2: 163²=163¹⁺¹=163¹⋅163¹ ≡ 163⋅163=26569 ≡ 32 mod 223

4: 163⁴=163²⁺²=163²⋅163² ≡ 32⋅32=1024 ≡ 132 mod 223

8: 163⁸=163⁴⁺⁴=163⁴⋅163⁴ ≡ 132⋅132=17424 ≡ 30 mod 223

16: 163¹⁶=163⁸⁺⁸=163⁸⋅163⁸ ≡ 30⋅30=900 ≡ 8 mod 223

32: 163³²=163¹⁶⁺¹⁶=163¹⁶⋅163¹⁶ ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 223

64: 163⁶⁴=163³²⁺³²=163³²⋅163³² ≡ 64⋅64=4096 ≡ 82 mod 223

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 124²¹⁹ mod 233.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

1: 124¹=124

2: 124²=124¹⁺¹=124¹⋅124¹ ≡ 124⋅124=15376 ≡ 231 mod 233

4: 124⁴=124²⁺²=124²⋅124² ≡ 231⋅231=53361 ≡ 4 mod 233

8: 124⁸=124⁴⁺⁴=124⁴⋅124⁴ ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 233

16: 124¹⁶=124⁸⁺⁸=124⁸⋅124⁸ ≡ 16⋅16=256 ≡ 23 mod 233

32: 124³²=124¹⁶⁺¹⁶=124¹⁶⋅124¹⁶ ≡ 23⋅23=529 ≡ 63 mod 233

64: 124⁶⁴=124³²⁺³²=124³²⋅124³² ≡ 63⋅63=3969 ≡ 8 mod 233

128: 124¹²⁸=124⁶⁴⁺⁶⁴=124⁶⁴⋅124⁶⁴ ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 233

124²¹⁹

= 124^{128+64+16+8+2+1}

= 124¹²⁸⋅124⁶⁴⋅124¹⁶⋅124⁸⋅124²⋅124¹

≡ 64 ⋅ 8 ⋅ 23 ⋅ 16 ⋅ 231 ⋅ 124 mod 233
≡ 512 ⋅ 23 ⋅ 16 ⋅ 231 ⋅ 124 mod 233 ≡ 46 ⋅ 23 ⋅ 16 ⋅ 231 ⋅ 124 mod 233
≡ 1058 ⋅ 16 ⋅ 231 ⋅ 124 mod 233 ≡ 126 ⋅ 16 ⋅ 231 ⋅ 124 mod 233
≡ 2016 ⋅ 231 ⋅ 124 mod 233 ≡ 152 ⋅ 231 ⋅ 124 mod 233
≡ 35112 ⋅ 124 mod 233 ≡ 162 ⋅ 124 mod 233
≡ 20088 mod 233 ≡ 50 mod 233

Es gilt also: 124²¹⁹ ≡ 50 mod 233

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 48

=>71	= 1⋅48 + 23
=>48	= 2⋅23 + 2
=>23	= 11⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 23-11⋅2
2= 48-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅23 -11⋅(48 -2⋅ 23) = 1⋅23 -11⋅48 +22⋅ 23) = -11⋅48 +23⋅ 23 (=1)
23= 71-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅48 +23⋅(71 -1⋅ 48) = -11⋅48 +23⋅71 -23⋅ 48) = 23⋅71 -34⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(71,48)=1 = 23⋅71 -34⋅48

oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -23⋅71 = -34⋅48

-34⋅48 = -23⋅71 + 1 |+71⋅48

-34⋅48 + 71⋅48 = -23⋅71 + 71⋅48 + 1

(-34 + 71) ⋅ 48 = (-23 + 48) ⋅ 71 + 1

37⋅48 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 37⋅48 = 25⋅71 +1

Somit 37⋅48 = 1 mod 71

37 ist also das Inverse von 48 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 48

Schlüsselpaar für RSA