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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16000 - 3999) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16000 - 3999) mod 4 ≡ (16000 mod 4 - 3999 mod 4) mod 4.

16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 4 ⋅ 4000 +0.

3999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3999 = 3000+999 = 4 ⋅ 750 +999.

Somit gilt:

(16000 - 3999) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 25) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 25) mod 4 ≡ (55 mod 4 ⋅ 25 mod 4) mod 4.

55 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 52 + 3 = 13 ⋅ 4 + 3 ist.

25 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 6 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 25) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 374128 mod 601.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 374 -> x
2. mod(x²,601) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3741=374

2: 3742=3741+1=3741⋅3741 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 444 mod 601

4: 3744=3742+2=3742⋅3742 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 8 mod 601

8: 3748=3744+4=3744⋅3744 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 601

16: 37416=3748+8=3748⋅3748 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 490 mod 601

32: 37432=37416+16=37416⋅37416 ≡ 490⋅490=240100 ≡ 301 mod 601

64: 37464=37432+32=37432⋅37432 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 451 mod 601

128: 374128=37464+64=37464⋅37464 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 263 mod 601

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 205171 mod 239.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 171 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 171 an und zerlegen 171 in eine Summer von 2er-Potenzen:

171 = 128+32+8+2+1

1: 2051=205

2: 2052=2051+1=2051⋅2051 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 200 mod 239

4: 2054=2052+2=2052⋅2052 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 87 mod 239

8: 2058=2054+4=2054⋅2054 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 160 mod 239

16: 20516=2058+8=2058⋅2058 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 27 mod 239

32: 20532=20516+16=20516⋅20516 ≡ 27⋅27=729 ≡ 12 mod 239

64: 20564=20532+32=20532⋅20532 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 239

128: 205128=20564+64=20564⋅20564 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 182 mod 239

205171

= 205128+32+8+2+1

= 205128⋅20532⋅2058⋅2052⋅2051

≡ 182 ⋅ 12 ⋅ 160 ⋅ 200 ⋅ 205 mod 239
≡ 2184 ⋅ 160 ⋅ 200 ⋅ 205 mod 239 ≡ 33 ⋅ 160 ⋅ 200 ⋅ 205 mod 239
≡ 5280 ⋅ 200 ⋅ 205 mod 239 ≡ 22 ⋅ 200 ⋅ 205 mod 239
≡ 4400 ⋅ 205 mod 239 ≡ 98 ⋅ 205 mod 239
≡ 20090 mod 239 ≡ 14 mod 239

Es gilt also: 205171 ≡ 14 mod 239

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 52

=>67 = 1⋅52 + 15
=>52 = 3⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 52-3⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(52 -3⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅52 +6⋅ 15)
= -2⋅52 +7⋅ 15 (=1)
15= 67-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅52 +7⋅(67 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +7⋅67 -7⋅ 52)
= 7⋅67 -9⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(67,52)=1 = 7⋅67 -9⋅52

oder wenn man 7⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅67 = -9⋅52

-9⋅52 = -7⋅67 + 1 |+67⋅52

-9⋅52 + 67⋅52 = -7⋅67 + 67⋅52 + 1

(-9 + 67) ⋅ 52 = (-7 + 52) ⋅ 67 + 1

58⋅52 = 45⋅67 + 1

Es gilt also: 58⋅52 = 45⋅67 +1

Somit 58⋅52 = 1 mod 67

58 ist also das Inverse von 52 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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