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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15002 - 12000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15002 - 12000) mod 3 ≡ (15002 mod 3 - 12000 mod 3) mod 3.

15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002 = 15000+2 = 3 ⋅ 5000 +2.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(15002 - 12000) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 91) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 91) mod 4 ≡ (27 mod 4 ⋅ 91 mod 4) mod 4.

27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.

91 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 22 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 91) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 728³² mod 919.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 728 -> x
2. mod(x²,919) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 728¹=728

2: 728²=728¹⁺¹=728¹⋅728¹ ≡ 728⋅728=529984 ≡ 640 mod 919

4: 728⁴=728²⁺²=728²⋅728² ≡ 640⋅640=409600 ≡ 645 mod 919

8: 728⁸=728⁴⁺⁴=728⁴⋅728⁴ ≡ 645⋅645=416025 ≡ 637 mod 919

16: 728¹⁶=728⁸⁺⁸=728⁸⋅728⁸ ≡ 637⋅637=405769 ≡ 490 mod 919

32: 728³²=728¹⁶⁺¹⁶=728¹⁶⋅728¹⁶ ≡ 490⋅490=240100 ≡ 241 mod 919

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 493²⁰⁷ mod 601.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

1: 493¹=493

2: 493²=493¹⁺¹=493¹⋅493¹ ≡ 493⋅493=243049 ≡ 245 mod 601

4: 493⁴=493²⁺²=493²⋅493² ≡ 245⋅245=60025 ≡ 526 mod 601

8: 493⁸=493⁴⁺⁴=493⁴⋅493⁴ ≡ 526⋅526=276676 ≡ 216 mod 601

16: 493¹⁶=493⁸⁺⁸=493⁸⋅493⁸ ≡ 216⋅216=46656 ≡ 379 mod 601

32: 493³²=493¹⁶⁺¹⁶=493¹⁶⋅493¹⁶ ≡ 379⋅379=143641 ≡ 2 mod 601

64: 493⁶⁴=493³²⁺³²=493³²⋅493³² ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 601

128: 493¹²⁸=493⁶⁴⁺⁶⁴=493⁶⁴⋅493⁶⁴ ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 601

493²⁰⁷

= 493^{128+64+8+4+2+1}

= 493¹²⁸⋅493⁶⁴⋅493⁸⋅493⁴⋅493²⋅493¹

≡ 16 ⋅ 4 ⋅ 216 ⋅ 526 ⋅ 245 ⋅ 493 mod 601
≡ 64 ⋅ 216 ⋅ 526 ⋅ 245 ⋅ 493 mod 601
≡ 13824 ⋅ 526 ⋅ 245 ⋅ 493 mod 601 ≡ 1 ⋅ 526 ⋅ 245 ⋅ 493 mod 601
≡ 526 ⋅ 245 ⋅ 493 mod 601
≡ 128870 ⋅ 493 mod 601 ≡ 256 ⋅ 493 mod 601
≡ 126208 mod 601 ≡ 599 mod 601

Es gilt also: 493²⁰⁷ ≡ 599 mod 601

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 28

=>71	= 2⋅28 + 15
=>28	= 1⋅15 + 13
=>15	= 1⋅13 + 2
=>13	= 6⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 15-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13) = 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1)
13= 28-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅15 +7⋅(28 -1⋅ 15) = -6⋅15 +7⋅28 -7⋅ 15) = 7⋅28 -13⋅ 15 (=1)
15= 71-2⋅28	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅28 -13⋅(71 -2⋅ 28) = 7⋅28 -13⋅71 +26⋅ 28) = -13⋅71 +33⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(71,28)=1 = -13⋅71 +33⋅28

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +33⋅28

Es gilt also: 33⋅28 = 13⋅71 +1

Somit 33⋅28 = 1 mod 71

33 ist also das Inverse von 28 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 28

Schlüsselpaar für RSA