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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24995 - 10002) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24995 - 10002) mod 5 ≡ (24995 mod 5 - 10002 mod 5) mod 5.

24995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24995 = 24000+995 = 5 ⋅ 4800 +995.

10002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10002 = 10000+2 = 5 ⋅ 2000 +2.

Somit gilt:

(24995 - 10002) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 43) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 43) mod 9 ≡ (88 mod 9 ⋅ 43 mod 9) mod 9.

88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.

43 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 36 + 7 = 4 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 43) mod 9 ≡ (7 ⋅ 7) mod 9 ≡ 49 mod 9 ≡ 4 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 220128 mod 449.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 220 -> x
2. mod(x²,449) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2201=220

2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 357 mod 449

4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 357⋅357=127449 ≡ 382 mod 449

8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 448 mod 449

16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 1 mod 449

32: 22032=22016+16=22016⋅22016 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449

64: 22064=22032+32=22032⋅22032 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449

128: 220128=22064+64=22064⋅22064 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 449

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 656134 mod 727.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:

134 = 128+4+2

1: 6561=656

2: 6562=6561+1=6561⋅6561 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 679 mod 727

4: 6564=6562+2=6562⋅6562 ≡ 679⋅679=461041 ≡ 123 mod 727

8: 6568=6564+4=6564⋅6564 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 589 mod 727

16: 65616=6568+8=6568⋅6568 ≡ 589⋅589=346921 ≡ 142 mod 727

32: 65632=65616+16=65616⋅65616 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 535 mod 727

64: 65664=65632+32=65632⋅65632 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 514 mod 727

128: 656128=65664+64=65664⋅65664 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 295 mod 727

656134

= 656128+4+2

= 656128⋅6564⋅6562

≡ 295 ⋅ 123 ⋅ 679 mod 727
≡ 36285 ⋅ 679 mod 727 ≡ 662 ⋅ 679 mod 727
≡ 449498 mod 727 ≡ 212 mod 727

Es gilt also: 656134 ≡ 212 mod 727

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71 = 1⋅37 + 34
=>37 = 1⋅34 + 3
=>34 = 11⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34)
= -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37)
= -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37)
= 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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