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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31994 - 399) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31994 - 399) mod 8 ≡ (31994 mod 8 - 399 mod 8) mod 8.

31994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31994 = 31000+994 = 8 ⋅ 3875 +994.

399 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399 = 400-1 = 8 ⋅ 50 -1 = 8 ⋅ 50 - 8 + 7.

Somit gilt:

(31994 - 399) mod 8 ≡ (2 - 7) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 37) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 37) mod 3 ≡ (66 mod 3 ⋅ 37 mod 3) mod 3.

66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.

37 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 12 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 37) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5908 mod 941.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 590 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5901=590

2: 5902=5901+1=5901⋅5901 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 871 mod 941

4: 5904=5902+2=5902⋅5902 ≡ 871⋅871=758641 ≡ 195 mod 941

8: 5908=5904+4=5904⋅5904 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 385 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 633120 mod 877.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:

120 = 64+32+16+8

1: 6331=633

2: 6332=6331+1=6331⋅6331 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 777 mod 877

4: 6334=6332+2=6332⋅6332 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 353 mod 877

8: 6338=6334+4=6334⋅6334 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 75 mod 877

16: 63316=6338+8=6338⋅6338 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 363 mod 877

32: 63332=63316+16=63316⋅63316 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 219 mod 877

64: 63364=63332+32=63332⋅63332 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 603 mod 877

633120

= 63364+32+16+8

= 63364⋅63332⋅63316⋅6338

≡ 603 ⋅ 219 ⋅ 363 ⋅ 75 mod 877
≡ 132057 ⋅ 363 ⋅ 75 mod 877 ≡ 507 ⋅ 363 ⋅ 75 mod 877
≡ 184041 ⋅ 75 mod 877 ≡ 748 ⋅ 75 mod 877
≡ 56100 mod 877 ≡ 849 mod 877

Es gilt also: 633120 ≡ 849 mod 877

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 69.

Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 69

=>89 = 1⋅69 + 20
=>69 = 3⋅20 + 9
=>20 = 2⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 20-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(20 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅20 +8⋅ 9)
= -4⋅20 +9⋅ 9 (=1)
9= 69-3⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅20 +9⋅(69 -3⋅ 20)
= -4⋅20 +9⋅69 -27⋅ 20)
= 9⋅69 -31⋅ 20 (=1)
20= 89-1⋅69 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅69 -31⋅(89 -1⋅ 69)
= 9⋅69 -31⋅89 +31⋅ 69)
= -31⋅89 +40⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(89,69)=1 = -31⋅89 +40⋅69

oder wenn man -31⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅89 = +40⋅69

Es gilt also: 40⋅69 = 31⋅89 +1

Somit 40⋅69 = 1 mod 89

40 ist also das Inverse von 69 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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