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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (156 - 8004) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(156 - 8004) mod 4 ≡ (156 mod 4 - 8004 mod 4) mod 4.
156 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156
= 160
8004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004
= 8000
Somit gilt:
(156 - 8004) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 71) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 71) mod 5 ≡ (56 mod 5 ⋅ 71 mod 5) mod 5.
56 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 11 ⋅ 5 + 1 ist.
71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 71) mod 5 ≡ (1 ⋅ 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 441128 mod 631.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 441 -> x
2. mod(x²,631) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4411=441
2: 4412=4411+1=4411⋅4411 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 133 mod 631
4: 4414=4412+2=4412⋅4412 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 21 mod 631
8: 4418=4414+4=4414⋅4414 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 631
16: 44116=4418+8=4418⋅4418 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 133 mod 631
32: 44132=44116+16=44116⋅44116 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 21 mod 631
64: 44164=44132+32=44132⋅44132 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 631
128: 441128=44164+64=44164⋅44164 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 133 mod 631
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 423205 mod 787.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 205 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 205 an und zerlegen 205 in eine Summer von 2er-Potenzen:
205 = 128+64+8+4+1
1: 4231=423
2: 4232=4231+1=4231⋅4231 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 280 mod 787
4: 4234=4232+2=4232⋅4232 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 487 mod 787
8: 4238=4234+4=4234⋅4234 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 282 mod 787
16: 42316=4238+8=4238⋅4238 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 37 mod 787
32: 42332=42316+16=42316⋅42316 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 582 mod 787
64: 42364=42332+32=42332⋅42332 ≡ 582⋅582=338724 ≡ 314 mod 787
128: 423128=42364+64=42364⋅42364 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 221 mod 787
423205
= 423128+64+8+4+1
= 423128⋅42364⋅4238⋅4234⋅4231
≡ 221 ⋅ 314 ⋅ 282 ⋅ 487 ⋅ 423 mod 787
≡ 69394 ⋅ 282 ⋅ 487 ⋅ 423 mod 787 ≡ 138 ⋅ 282 ⋅ 487 ⋅ 423 mod 787
≡ 38916 ⋅ 487 ⋅ 423 mod 787 ≡ 353 ⋅ 487 ⋅ 423 mod 787
≡ 171911 ⋅ 423 mod 787 ≡ 345 ⋅ 423 mod 787
≡ 145935 mod 787 ≡ 340 mod 787
Es gilt also: 423205 ≡ 340 mod 787
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 50
| =>73 | = 1⋅50 + 23 |
| =>50 | = 2⋅23 + 4 |
| =>23 | = 5⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 23-5⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4) = -1⋅23 +6⋅ 4 (=1) |
| 4= 50-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅23 +6⋅(50 -2⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅50 -12⋅ 23) = 6⋅50 -13⋅ 23 (=1) |
| 23= 73-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅50 -13⋅(73 -1⋅ 50)
= 6⋅50 -13⋅73 +13⋅ 50) = -13⋅73 +19⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,50)=1 = -13⋅73 +19⋅50
oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅73 = +19⋅50
Es gilt also: 19⋅50 = 13⋅73 +1
Somit 19⋅50 = 1 mod 73
19 ist also das Inverse von 50 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.