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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (299 - 24006) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(299 - 24006) mod 6 ≡ (299 mod 6 - 24006 mod 6) mod 6.

299 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299 = 300-1 = 6 ⋅ 50 -1 = 6 ⋅ 50 - 6 + 5.

24006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24006 = 24000+6 = 6 ⋅ 4000 +6.

Somit gilt:

(299 - 24006) mod 6 ≡ (5 - 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 20) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 20) mod 10 ≡ (65 mod 10 ⋅ 20 mod 10) mod 10.

65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.

20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 20) mod 10 ≡ (5 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 672⁸ mod 881.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 672 -> x
2. mod(x²,881) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 672¹=672

2: 672²=672¹⁺¹=672¹⋅672¹ ≡ 672⋅672=451584 ≡ 512 mod 881

4: 672⁴=672²⁺²=672²⋅672² ≡ 512⋅512=262144 ≡ 487 mod 881

8: 672⁸=672⁴⁺⁴=672⁴⋅672⁴ ≡ 487⋅487=237169 ≡ 180 mod 881

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 750²¹³ mod 919.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 213 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 213 an und zerlegen 213 in eine Summer von 2er-Potenzen:

213 = 128+64+16+4+1

1: 750¹=750

2: 750²=750¹⁺¹=750¹⋅750¹ ≡ 750⋅750=562500 ≡ 72 mod 919

4: 750⁴=750²⁺²=750²⋅750² ≡ 72⋅72=5184 ≡ 589 mod 919

8: 750⁸=750⁴⁺⁴=750⁴⋅750⁴ ≡ 589⋅589=346921 ≡ 458 mod 919

16: 750¹⁶=750⁸⁺⁸=750⁸⋅750⁸ ≡ 458⋅458=209764 ≡ 232 mod 919

32: 750³²=750¹⁶⁺¹⁶=750¹⁶⋅750¹⁶ ≡ 232⋅232=53824 ≡ 522 mod 919

64: 750⁶⁴=750³²⁺³²=750³²⋅750³² ≡ 522⋅522=272484 ≡ 460 mod 919

128: 750¹²⁸=750⁶⁴⁺⁶⁴=750⁶⁴⋅750⁶⁴ ≡ 460⋅460=211600 ≡ 230 mod 919

750²¹³

= 750^{128+64+16+4+1}

= 750¹²⁸⋅750⁶⁴⋅750¹⁶⋅750⁴⋅750¹

≡ 230 ⋅ 460 ⋅ 232 ⋅ 589 ⋅ 750 mod 919
≡ 105800 ⋅ 232 ⋅ 589 ⋅ 750 mod 919 ≡ 115 ⋅ 232 ⋅ 589 ⋅ 750 mod 919
≡ 26680 ⋅ 589 ⋅ 750 mod 919 ≡ 29 ⋅ 589 ⋅ 750 mod 919
≡ 17081 ⋅ 750 mod 919 ≡ 539 ⋅ 750 mod 919
≡ 404250 mod 919 ≡ 809 mod 919

Es gilt also: 750²¹³ ≡ 809 mod 919

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 41

=>101	= 2⋅41 + 19
=>41	= 2⋅19 + 3
=>19	= 6⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 41-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19) = 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19) = -6⋅41 +13⋅ 19 (=1)
19= 101-2⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅41 +13⋅(101 -2⋅ 41) = -6⋅41 +13⋅101 -26⋅ 41) = 13⋅101 -32⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(101,41)=1 = 13⋅101 -32⋅41

oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅101 = -32⋅41

-32⋅41 = -13⋅101 + 1 |+101⋅41

-32⋅41 + 101⋅41 = -13⋅101 + 101⋅41 + 1

(-32 + 101) ⋅ 41 = (-13 + 41) ⋅ 101 + 1

69⋅41 = 28⋅101 + 1

Es gilt also: 69⋅41 = 28⋅101 +1

Somit 69⋅41 = 1 mod 101

69 ist also das Inverse von 41 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 41

Schlüsselpaar für RSA