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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (215 - 707) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(215 - 707) mod 7 ≡ (215 mod 7 - 707 mod 7) mod 7.

215 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 215 = 210+5 = 7 ⋅ 30 +5.

707 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 707 = 700+7 = 7 ⋅ 100 +7.

Somit gilt:

(215 - 707) mod 7 ≡ (5 - 0) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 25) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 25) mod 9 ≡ (92 mod 9 ⋅ 25 mod 9) mod 9.

92 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 10 ⋅ 9 + 2 ist.

25 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 18 + 7 = 2 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 25) mod 9 ≡ (2 ⋅ 7) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2498 mod 271.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 249 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2491=249

2: 2492=2491+1=2491⋅2491 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 213 mod 271

4: 2494=2492+2=2492⋅2492 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 112 mod 271

8: 2498=2494+4=2494⋅2494 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 78 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 51468 mod 599.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:

68 = 64+4

1: 5141=514

2: 5142=5141+1=5141⋅5141 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 37 mod 599

4: 5144=5142+2=5142⋅5142 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 171 mod 599

8: 5148=5144+4=5144⋅5144 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 489 mod 599

16: 51416=5148+8=5148⋅5148 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 120 mod 599

32: 51432=51416+16=51416⋅51416 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 24 mod 599

64: 51464=51432+32=51432⋅51432 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 599

51468

= 51464+4

= 51464⋅5144

576 ⋅ 171 mod 599
98496 mod 599 ≡ 260 mod 599

Es gilt also: 51468 ≡ 260 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 21.

Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 21

=>61 = 2⋅21 + 19
=>21 = 1⋅19 + 2
=>19 = 9⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 21-1⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19)
= -9⋅21 +10⋅ 19 (=1)
19= 61-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅21 +10⋅(61 -2⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅61 -20⋅ 21)
= 10⋅61 -29⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(61,21)=1 = 10⋅61 -29⋅21

oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅61 = -29⋅21

-29⋅21 = -10⋅61 + 1 |+61⋅21

-29⋅21 + 61⋅21 = -10⋅61 + 61⋅21 + 1

(-29 + 61) ⋅ 21 = (-10 + 21) ⋅ 61 + 1

32⋅21 = 11⋅61 + 1

Es gilt also: 32⋅21 = 11⋅61 +1

Somit 32⋅21 = 1 mod 61

32 ist also das Inverse von 21 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.