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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (304 - 601) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(304 - 601) mod 6 ≡ (304 mod 6 - 601 mod 6) mod 6.

304 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 304 = 300+4 = 6 ⋅ 50 +4.

601 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 6 ⋅ 100 +1.

Somit gilt:

(304 - 601) mod 6 ≡ (4 - 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 43) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 43) mod 7 ≡ (59 mod 7 ⋅ 43 mod 7) mod 7.

59 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 8 ⋅ 7 + 3 ist.

43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 43) mod 7 ≡ (3 ⋅ 1) mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23632 mod 577.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,577) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2361=236

2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 304 mod 577

4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 96 mod 577

8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 561 mod 577

16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 256 mod 577

32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 335 mod 577

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 82672 mod 829.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 72 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 72 an und zerlegen 72 in eine Summer von 2er-Potenzen:

72 = 64+8

1: 8261=826

2: 8262=8261+1=8261⋅8261 ≡ 826⋅826=682276 ≡ 9 mod 829

4: 8264=8262+2=8262⋅8262 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 829

8: 8268=8264+4=8264⋅8264 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 758 mod 829

16: 82616=8268+8=8268⋅8268 ≡ 758⋅758=574564 ≡ 67 mod 829

32: 82632=82616+16=82616⋅82616 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 344 mod 829

64: 82664=82632+32=82632⋅82632 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 618 mod 829

82672

= 82664+8

= 82664⋅8268

618 ⋅ 758 mod 829
468444 mod 829 ≡ 59 mod 829

Es gilt also: 82672 ≡ 59 mod 829

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.

Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64

=>79 = 1⋅64 + 15
=>64 = 4⋅15 + 4
=>15 = 3⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,64)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4)
= -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 64-4⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15)
= 4⋅64 -17⋅ 15 (=1)
15= 79-1⋅64 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64)
= -17⋅79 +21⋅ 64 (=1)

Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +21⋅64

Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1

Somit 21⋅64 = 1 mod 79

21 ist also das Inverse von 64 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.