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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18001 + 17991) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18001 + 17991) mod 9 ≡ (18001 mod 9 + 17991 mod 9) mod 9.

18001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18001 = 18000+1 = 9 ⋅ 2000 +1.

17991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17991 = 18000-9 = 9 ⋅ 2000 -9 = 9 ⋅ 2000 - 9 + 0.

Somit gilt:

(18001 + 17991) mod 9 ≡ (1 + 0) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 37) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 37) mod 5 ≡ (34 mod 5 ⋅ 37 mod 5) mod 5.

34 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 6 ⋅ 5 + 4 ist.

37 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 7 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 37) mod 5 ≡ (4 ⋅ 2) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 178128 mod 337.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 178 -> x
2. mod(x²,337) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1781=178

2: 1782=1781+1=1781⋅1781 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 6 mod 337

4: 1784=1782+2=1782⋅1782 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 337

8: 1788=1784+4=1784⋅1784 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 285 mod 337

16: 17816=1788+8=1788⋅1788 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 8 mod 337

32: 17832=17816+16=17816⋅17816 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 337

64: 17864=17832+32=17832⋅17832 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 52 mod 337

128: 178128=17864+64=17864⋅17864 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 8 mod 337

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 142139 mod 389.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:

139 = 128+8+2+1

1: 1421=142

2: 1422=1421+1=1421⋅1421 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 325 mod 389

4: 1424=1422+2=1422⋅1422 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 206 mod 389

8: 1428=1424+4=1424⋅1424 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 35 mod 389

16: 14216=1428+8=1428⋅1428 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 58 mod 389

32: 14232=14216+16=14216⋅14216 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 252 mod 389

64: 14264=14232+32=14232⋅14232 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 97 mod 389

128: 142128=14264+64=14264⋅14264 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 73 mod 389

142139

= 142128+8+2+1

= 142128⋅1428⋅1422⋅1421

≡ 73 ⋅ 35 ⋅ 325 ⋅ 142 mod 389
≡ 2555 ⋅ 325 ⋅ 142 mod 389 ≡ 221 ⋅ 325 ⋅ 142 mod 389
≡ 71825 ⋅ 142 mod 389 ≡ 249 ⋅ 142 mod 389
≡ 35358 mod 389 ≡ 348 mod 389

Es gilt also: 142139 ≡ 348 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 79.

Also bestimme x, so dass 79 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 79

=>83 = 1⋅79 + 4
=>79 = 19⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,79)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 79-19⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(79 -19⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅79 +19⋅ 4)
= -1⋅79 +20⋅ 4 (=1)
4= 83-1⋅79 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅79 +20⋅(83 -1⋅ 79)
= -1⋅79 +20⋅83 -20⋅ 79)
= 20⋅83 -21⋅ 79 (=1)

Es gilt also: ggt(83,79)=1 = 20⋅83 -21⋅79

oder wenn man 20⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -20⋅83 = -21⋅79

-21⋅79 = -20⋅83 + 1 |+83⋅79

-21⋅79 + 83⋅79 = -20⋅83 + 83⋅79 + 1

(-21 + 83) ⋅ 79 = (-20 + 79) ⋅ 83 + 1

62⋅79 = 59⋅83 + 1

Es gilt also: 62⋅79 = 59⋅83 +1

Somit 62⋅79 = 1 mod 83

62 ist also das Inverse von 79 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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