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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 - 1499) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 - 1499) mod 3 ≡ (62 mod 3 - 1499 mod 3) mod 3.

62 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60+2 = 3 ⋅ 20 +2.

1499 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499 = 1500-1 = 3 ⋅ 500 -1 = 3 ⋅ 500 - 3 + 2.

Somit gilt:

(62 - 1499) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 85) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 85) mod 7 ≡ (88 mod 7 ⋅ 85 mod 7) mod 7.

88 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 12 ⋅ 7 + 4 ist.

85 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 12 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 85) mod 7 ≡ (4 ⋅ 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 535¹⁶ mod 797.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 535 -> x
2. mod(x²,797) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 535¹=535

2: 535²=535¹⁺¹=535¹⋅535¹ ≡ 535⋅535=286225 ≡ 102 mod 797

4: 535⁴=535²⁺²=535²⋅535² ≡ 102⋅102=10404 ≡ 43 mod 797

8: 535⁸=535⁴⁺⁴=535⁴⋅535⁴ ≡ 43⋅43=1849 ≡ 255 mod 797

16: 535¹⁶=535⁸⁺⁸=535⁸⋅535⁸ ≡ 255⋅255=65025 ≡ 468 mod 797

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 777²⁵⁰ mod 881.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

1: 777¹=777

2: 777²=777¹⁺¹=777¹⋅777¹ ≡ 777⋅777=603729 ≡ 244 mod 881

4: 777⁴=777²⁺²=777²⋅777² ≡ 244⋅244=59536 ≡ 509 mod 881

8: 777⁸=777⁴⁺⁴=777⁴⋅777⁴ ≡ 509⋅509=259081 ≡ 67 mod 881

16: 777¹⁶=777⁸⁺⁸=777⁸⋅777⁸ ≡ 67⋅67=4489 ≡ 84 mod 881

32: 777³²=777¹⁶⁺¹⁶=777¹⁶⋅777¹⁶ ≡ 84⋅84=7056 ≡ 8 mod 881

64: 777⁶⁴=777³²⁺³²=777³²⋅777³² ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 881

128: 777¹²⁸=777⁶⁴⁺⁶⁴=777⁶⁴⋅777⁶⁴ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 572 mod 881

777²⁵⁰

= 777^{128+64+32+16+8+2}

= 777¹²⁸⋅777⁶⁴⋅777³²⋅777¹⁶⋅777⁸⋅777²

≡ 572 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 84 ⋅ 67 ⋅ 244 mod 881
≡ 36608 ⋅ 8 ⋅ 84 ⋅ 67 ⋅ 244 mod 881 ≡ 487 ⋅ 8 ⋅ 84 ⋅ 67 ⋅ 244 mod 881
≡ 3896 ⋅ 84 ⋅ 67 ⋅ 244 mod 881 ≡ 372 ⋅ 84 ⋅ 67 ⋅ 244 mod 881
≡ 31248 ⋅ 67 ⋅ 244 mod 881 ≡ 413 ⋅ 67 ⋅ 244 mod 881
≡ 27671 ⋅ 244 mod 881 ≡ 360 ⋅ 244 mod 881
≡ 87840 mod 881 ≡ 621 mod 881

Es gilt also: 777²⁵⁰ ≡ 621 mod 881

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 34

=>73	= 2⋅34 + 5
=>34	= 6⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 34-6⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1)
5= 73-2⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅34 +7⋅(73 -2⋅ 34) = -1⋅34 +7⋅73 -14⋅ 34) = 7⋅73 -15⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(73,34)=1 = 7⋅73 -15⋅34

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -15⋅34

-15⋅34 = -7⋅73 + 1 |+73⋅34

-15⋅34 + 73⋅34 = -7⋅73 + 73⋅34 + 1

(-15 + 73) ⋅ 34 = (-7 + 34) ⋅ 73 + 1

58⋅34 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 58⋅34 = 27⋅73 +1

Somit 58⋅34 = 1 mod 73

58 ist also das Inverse von 34 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 34

Schlüsselpaar für RSA