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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12002 + 124) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12002 + 124) mod 4 ≡ (12002 mod 4 + 124 mod 4) mod 4.
12002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002
= 12000
124 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 124
= 120
Somit gilt:
(12002 + 124) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 94) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 94) mod 7 ≡ (19 mod 7 ⋅ 94 mod 7) mod 7.
19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.
94 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 91 + 3 = 13 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 94) mod 7 ≡ (5 ⋅ 3) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20316 mod 269.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 203 -> x
2. mod(x²,269) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2031=203
2: 2032=2031+1=2031⋅2031 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 52 mod 269
4: 2034=2032+2=2032⋅2032 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 14 mod 269
8: 2038=2034+4=2034⋅2034 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 269
16: 20316=2038+8=2038⋅2038 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 218 mod 269
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 13983 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:
83 = 64+16+2+1
1: 1391=139
2: 1392=1391+1=1391⋅1391 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 208 mod 277
4: 1394=1392+2=1392⋅1392 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 52 mod 277
8: 1398=1394+4=1394⋅1394 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 211 mod 277
16: 13916=1398+8=1398⋅1398 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 201 mod 277
32: 13932=13916+16=13916⋅13916 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 236 mod 277
64: 13964=13932+32=13932⋅13932 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 19 mod 277
13983
= 13964+16+2+1
= 13964⋅13916⋅1392⋅1391
≡ 19 ⋅ 201 ⋅ 208 ⋅ 139 mod 277
≡ 3819 ⋅ 208 ⋅ 139 mod 277 ≡ 218 ⋅ 208 ⋅ 139 mod 277
≡ 45344 ⋅ 139 mod 277 ≡ 193 ⋅ 139 mod 277
≡ 26827 mod 277 ≡ 235 mod 277
Es gilt also: 13983 ≡ 235 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 84
| =>97 | = 1⋅84 + 13 |
| =>84 | = 6⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 84-6⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(84 -6⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅84 +12⋅ 13) = -2⋅84 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 97-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅84 +13⋅(97 -1⋅ 84)
= -2⋅84 +13⋅97 -13⋅ 84) = 13⋅97 -15⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,84)=1 = 13⋅97 -15⋅84
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -15⋅84
-15⋅84 = -13⋅97 + 1 |+97⋅84
-15⋅84 + 97⋅84 = -13⋅97 + 97⋅84 + 1
(-15 + 97) ⋅ 84 = (-13 + 84) ⋅ 97 + 1
82⋅84 = 71⋅97 + 1
Es gilt also: 82⋅84 = 71⋅97 +1
Somit 82⋅84 = 1 mod 97
82 ist also das Inverse von 84 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.