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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 + 15000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 + 15000) mod 3 ≡ (12000 mod 3 + 15000 mod 3) mod 3.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 3 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(12000 + 15000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 35) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 35) mod 3 ≡ (46 mod 3 ⋅ 35 mod 3) mod 3.

46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.

35 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 33 + 2 = 11 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 35) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 65064 mod 691.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 650 -> x
2. mod(x²,691) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6501=650

2: 6502=6501+1=6501⋅6501 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 299 mod 691

4: 6504=6502+2=6502⋅6502 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 262 mod 691

8: 6508=6504+4=6504⋅6504 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 235 mod 691

16: 65016=6508+8=6508⋅6508 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 636 mod 691

32: 65032=65016+16=65016⋅65016 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 261 mod 691

64: 65064=65032+32=65032⋅65032 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 403 mod 691

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 493143 mod 769.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:

143 = 128+8+4+2+1

1: 4931=493

2: 4932=4931+1=4931⋅4931 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 45 mod 769

4: 4934=4932+2=4932⋅4932 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 487 mod 769

8: 4938=4934+4=4934⋅4934 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 317 mod 769

16: 49316=4938+8=4938⋅4938 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 519 mod 769

32: 49332=49316+16=49316⋅49316 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 211 mod 769

64: 49364=49332+32=49332⋅49332 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 688 mod 769

128: 493128=49364+64=49364⋅49364 ≡ 688⋅688=473344 ≡ 409 mod 769

493143

= 493128+8+4+2+1

= 493128⋅4938⋅4934⋅4932⋅4931

≡ 409 ⋅ 317 ⋅ 487 ⋅ 45 ⋅ 493 mod 769
≡ 129653 ⋅ 487 ⋅ 45 ⋅ 493 mod 769 ≡ 461 ⋅ 487 ⋅ 45 ⋅ 493 mod 769
≡ 224507 ⋅ 45 ⋅ 493 mod 769 ≡ 728 ⋅ 45 ⋅ 493 mod 769
≡ 32760 ⋅ 493 mod 769 ≡ 462 ⋅ 493 mod 769
≡ 227766 mod 769 ≡ 142 mod 769

Es gilt also: 493143 ≡ 142 mod 769

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68

=>71 = 1⋅68 + 3
=>68 = 22⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 68-22⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(68 -22⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅68 +22⋅ 3)
= -1⋅68 +23⋅ 3 (=1)
3= 71-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅68 +23⋅(71 -1⋅ 68)
= -1⋅68 +23⋅71 -23⋅ 68)
= 23⋅71 -24⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(71,68)=1 = 23⋅71 -24⋅68

oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -23⋅71 = -24⋅68

-24⋅68 = -23⋅71 + 1 |+71⋅68

-24⋅68 + 71⋅68 = -23⋅71 + 71⋅68 + 1

(-24 + 71) ⋅ 68 = (-23 + 68) ⋅ 71 + 1

47⋅68 = 45⋅71 + 1

Es gilt also: 47⋅68 = 45⋅71 +1

Somit 47⋅68 = 1 mod 71

47 ist also das Inverse von 68 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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