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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4008 - 39993) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4008 - 39993) mod 8 ≡ (4008 mod 8 - 39993 mod 8) mod 8.
4008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4008
= 4000
39993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39993
= 39000
Somit gilt:
(4008 - 39993) mod 8 ≡ (0 - 1) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 98) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 98) mod 5 ≡ (81 mod 5 ⋅ 98 mod 5) mod 5.
81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.
98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 95 + 3 = 19 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 98) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 29616 mod 907.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 296 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2961=296
2: 2962=2961+1=2961⋅2961 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 544 mod 907
4: 2964=2962+2=2962⋅2962 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 254 mod 907
8: 2968=2964+4=2964⋅2964 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 119 mod 907
16: 29616=2968+8=2968⋅2968 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 556 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 465230 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:
230 = 128+64+32+4+2
1: 4651=465
2: 4652=4651+1=4651⋅4651 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 483 mod 877
4: 4654=4652+2=4652⋅4652 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 7 mod 877
8: 4658=4654+4=4654⋅4654 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 877
16: 46516=4658+8=4658⋅4658 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 647 mod 877
32: 46532=46516+16=46516⋅46516 ≡ 647⋅647=418609 ≡ 280 mod 877
64: 46564=46532+32=46532⋅46532 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 347 mod 877
128: 465128=46564+64=46564⋅46564 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 260 mod 877
465230
= 465128+64+32+4+2
= 465128⋅46564⋅46532⋅4654⋅4652
≡ 260 ⋅ 347 ⋅ 280 ⋅ 7 ⋅ 483 mod 877
≡ 90220 ⋅ 280 ⋅ 7 ⋅ 483 mod 877 ≡ 766 ⋅ 280 ⋅ 7 ⋅ 483 mod 877
≡ 214480 ⋅ 7 ⋅ 483 mod 877 ≡ 492 ⋅ 7 ⋅ 483 mod 877
≡ 3444 ⋅ 483 mod 877 ≡ 813 ⋅ 483 mod 877
≡ 392679 mod 877 ≡ 660 mod 877
Es gilt also: 465230 ≡ 660 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 88.
Also bestimme x, so dass 88 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 88
| =>97 | = 1⋅88 + 9 |
| =>88 | = 9⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,88)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 88-9⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(88 -9⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅88 -36⋅ 9) = 4⋅88 -39⋅ 9 (=1) |
| 9= 97-1⋅88 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅88 -39⋅(97 -1⋅ 88)
= 4⋅88 -39⋅97 +39⋅ 88) = -39⋅97 +43⋅ 88 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,88)=1 = -39⋅97 +43⋅88
oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +39⋅97 = +43⋅88
Es gilt also: 43⋅88 = 39⋅97 +1
Somit 43⋅88 = 1 mod 97
43 ist also das Inverse von 88 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
