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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (122 + 1196) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(122 + 1196) mod 6 ≡ (122 mod 6 + 1196 mod 6) mod 6.
122 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
1196 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196
= 1200
Somit gilt:
(122 + 1196) mod 6 ≡ (2 + 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 47) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(74 ⋅ 47) mod 7 ≡ (74 mod 7 ⋅ 47 mod 7) mod 7.
74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 10 ⋅ 7 + 4 ist.
47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(74 ⋅ 47) mod 7 ≡ (4 ⋅ 5) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 70128 mod 227.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 70 -> x
2. mod(x²,227) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 701=70
2: 702=701+1=701⋅701 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 133 mod 227
4: 704=702+2=702⋅702 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 210 mod 227
8: 708=704+4=704⋅704 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 62 mod 227
16: 7016=708+8=708⋅708 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 212 mod 227
32: 7032=7016+16=7016⋅7016 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 225 mod 227
64: 7064=7032+32=7032⋅7032 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 4 mod 227
128: 70128=7064+64=7064⋅7064 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 227
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 213137 mod 563.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 137 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 137 an und zerlegen 137 in eine Summer von 2er-Potenzen:
137 = 128+8+1
1: 2131=213
2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 329 mod 563
4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 145 mod 563
8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 194 mod 563
16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 478 mod 563
32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 469 mod 563
64: 21364=21332+32=21332⋅21332 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 391 mod 563
128: 213128=21364+64=21364⋅21364 ≡ 391⋅391=152881 ≡ 308 mod 563
213137
= 213128+8+1
= 213128⋅2138⋅2131
≡ 308 ⋅ 194 ⋅ 213 mod 563
≡ 59752 ⋅ 213 mod 563 ≡ 74 ⋅ 213 mod 563
≡ 15762 mod 563 ≡ 561 mod 563
Es gilt also: 213137 ≡ 561 mod 563
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 35
| =>101 | = 2⋅35 + 31 |
| =>35 | = 1⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 35-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(35 -1⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅35 -8⋅ 31) = 8⋅35 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 101-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅35 -9⋅(101 -2⋅ 35)
= 8⋅35 -9⋅101 +18⋅ 35) = -9⋅101 +26⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,35)=1 = -9⋅101 +26⋅35
oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅101 = +26⋅35
Es gilt also: 26⋅35 = 9⋅101 +1
Somit 26⋅35 = 1 mod 101
26 ist also das Inverse von 35 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.