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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1601 - 2398) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1601 - 2398) mod 8 ≡ (1601 mod 8 - 2398 mod 8) mod 8.

1601 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601 = 1600+1 = 8 ⋅ 200 +1.

2398 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2398 = 2400-2 = 8 ⋅ 300 -2 = 8 ⋅ 300 - 8 + 6.

Somit gilt:

(1601 - 2398) mod 8 ≡ (1 - 6) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 81) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 81) mod 4 ≡ (89 mod 4 ⋅ 81 mod 4) mod 4.

89 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 22 ⋅ 4 + 1 ist.

81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 20 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 81) mod 4 ≡ (1 ⋅ 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24164 mod 337.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 241 -> x
2. mod(x²,337) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2411=241

2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 117 mod 337

4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 209 mod 337

8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 208 mod 337

16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 128 mod 337

32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 208 mod 337

64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 128 mod 337

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23591 mod 349.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:

91 = 64+16+8+2+1

1: 2351=235

2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 83 mod 349

4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 258 mod 349

8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 254 mod 349

16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 300 mod 349

32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 307 mod 349

64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 19 mod 349

23591

= 23564+16+8+2+1

= 23564⋅23516⋅2358⋅2352⋅2351

≡ 19 ⋅ 300 ⋅ 254 ⋅ 83 ⋅ 235 mod 349
≡ 5700 ⋅ 254 ⋅ 83 ⋅ 235 mod 349 ≡ 116 ⋅ 254 ⋅ 83 ⋅ 235 mod 349
≡ 29464 ⋅ 83 ⋅ 235 mod 349 ≡ 148 ⋅ 83 ⋅ 235 mod 349
≡ 12284 ⋅ 235 mod 349 ≡ 69 ⋅ 235 mod 349
≡ 16215 mod 349 ≡ 161 mod 349

Es gilt also: 23591 ≡ 161 mod 349

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 79.

Also bestimme x, so dass 79 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 79

=>83 = 1⋅79 + 4
=>79 = 19⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,79)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 79-19⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(79 -19⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅79 +19⋅ 4)
= -1⋅79 +20⋅ 4 (=1)
4= 83-1⋅79 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅79 +20⋅(83 -1⋅ 79)
= -1⋅79 +20⋅83 -20⋅ 79)
= 20⋅83 -21⋅ 79 (=1)

Es gilt also: ggt(83,79)=1 = 20⋅83 -21⋅79

oder wenn man 20⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -20⋅83 = -21⋅79

-21⋅79 = -20⋅83 + 1 |+83⋅79

-21⋅79 + 83⋅79 = -20⋅83 + 83⋅79 + 1

(-21 + 83) ⋅ 79 = (-20 + 79) ⋅ 83 + 1

62⋅79 = 59⋅83 + 1

Es gilt also: 62⋅79 = 59⋅83 +1

Somit 62⋅79 = 1 mod 83

62 ist also das Inverse von 79 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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