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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2800 + 14007) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2800 + 14007) mod 7 ≡ (2800 mod 7 + 14007 mod 7) mod 7.

2800 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2800 = 2800+0 = 7 ⋅ 400 +0.

14007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14007 = 14000+7 = 7 ⋅ 2000 +7.

Somit gilt:

(2800 + 14007) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 37) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 37) mod 6 ≡ (71 mod 6 ⋅ 37 mod 6) mod 6.

71 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 11 ⋅ 6 + 5 ist.

37 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 6 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 37) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 477128 mod 821.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 477 -> x
2. mod(x²,821) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4771=477

2: 4772=4771+1=4771⋅4771 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 112 mod 821

4: 4774=4772+2=4772⋅4772 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 229 mod 821

8: 4778=4774+4=4774⋅4774 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 718 mod 821

16: 47716=4778+8=4778⋅4778 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 757 mod 821

32: 47732=47716+16=47716⋅47716 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 812 mod 821

64: 47764=47732+32=47732⋅47732 ≡ 812⋅812=659344 ≡ 81 mod 821

128: 477128=47764+64=47764⋅47764 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 814 mod 821

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 83129 mod 223.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:

129 = 128+1

1: 831=83

2: 832=831+1=831⋅831 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 199 mod 223

4: 834=832+2=832⋅832 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 130 mod 223

8: 838=834+4=834⋅834 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 175 mod 223

16: 8316=838+8=838⋅838 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 74 mod 223

32: 8332=8316+16=8316⋅8316 ≡ 74⋅74=5476 ≡ 124 mod 223

64: 8364=8332+32=8332⋅8332 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 212 mod 223

128: 83128=8364+64=8364⋅8364 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 121 mod 223

83129

= 83128+1

= 83128⋅831

≡ 121 ⋅ 83 mod 223
≡ 10043 mod 223 ≡ 8 mod 223

Es gilt also: 83129 ≡ 8 mod 223

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 35

=>59 = 1⋅35 + 24
=>35 = 1⋅24 + 11
=>24 = 2⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11)
= -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 35-1⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅24 +11⋅(35 -1⋅ 24)
= -5⋅24 +11⋅35 -11⋅ 24)
= 11⋅35 -16⋅ 24 (=1)
24= 59-1⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅35 -16⋅(59 -1⋅ 35)
= 11⋅35 -16⋅59 +16⋅ 35)
= -16⋅59 +27⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(59,35)=1 = -16⋅59 +27⋅35

oder wenn man -16⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅59 = +27⋅35

Es gilt also: 27⋅35 = 16⋅59 +1

Somit 27⋅35 = 1 mod 59

27 ist also das Inverse von 35 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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