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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (804 - 24003) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(804 - 24003) mod 8 ≡ (804 mod 8 - 24003 mod 8) mod 8.

804 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804 = 800+4 = 8 ⋅ 100 +4.

24003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24003 = 24000+3 = 8 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(804 - 24003) mod 8 ≡ (4 - 3) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 90) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 90) mod 11 ≡ (97 mod 11 ⋅ 90 mod 11) mod 11.

97 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 88 + 9 = 8 ⋅ 11 + 9 ist.

90 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 8 ⋅ 11 + 2 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 90) mod 11 ≡ (9 ⋅ 2) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 488¹²⁸ mod 593.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 488 -> x
2. mod(x²,593) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 488¹=488

2: 488²=488¹⁺¹=488¹⋅488¹ ≡ 488⋅488=238144 ≡ 351 mod 593

4: 488⁴=488²⁺²=488²⋅488² ≡ 351⋅351=123201 ≡ 450 mod 593

8: 488⁸=488⁴⁺⁴=488⁴⋅488⁴ ≡ 450⋅450=202500 ≡ 287 mod 593

16: 488¹⁶=488⁸⁺⁸=488⁸⋅488⁸ ≡ 287⋅287=82369 ≡ 535 mod 593

32: 488³²=488¹⁶⁺¹⁶=488¹⁶⋅488¹⁶ ≡ 535⋅535=286225 ≡ 399 mod 593

64: 488⁶⁴=488³²⁺³²=488³²⋅488³² ≡ 399⋅399=159201 ≡ 277 mod 593

128: 488¹²⁸=488⁶⁴⁺⁶⁴=488⁶⁴⋅488⁶⁴ ≡ 277⋅277=76729 ≡ 232 mod 593

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 593²⁵⁵ mod 809.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

1: 593¹=593

2: 593²=593¹⁺¹=593¹⋅593¹ ≡ 593⋅593=351649 ≡ 543 mod 809

4: 593⁴=593²⁺²=593²⋅593² ≡ 543⋅543=294849 ≡ 373 mod 809

8: 593⁸=593⁴⁺⁴=593⁴⋅593⁴ ≡ 373⋅373=139129 ≡ 790 mod 809

16: 593¹⁶=593⁸⁺⁸=593⁸⋅593⁸ ≡ 790⋅790=624100 ≡ 361 mod 809

32: 593³²=593¹⁶⁺¹⁶=593¹⁶⋅593¹⁶ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 72 mod 809

64: 593⁶⁴=593³²⁺³²=593³²⋅593³² ≡ 72⋅72=5184 ≡ 330 mod 809

128: 593¹²⁸=593⁶⁴⁺⁶⁴=593⁶⁴⋅593⁶⁴ ≡ 330⋅330=108900 ≡ 494 mod 809

593²⁵⁵

= 593^{128+64+32+16+8+4+2+1}

= 593¹²⁸⋅593⁶⁴⋅593³²⋅593¹⁶⋅593⁸⋅593⁴⋅593²⋅593¹

≡ 494 ⋅ 330 ⋅ 72 ⋅ 361 ⋅ 790 ⋅ 373 ⋅ 543 ⋅ 593 mod 809
≡ 163020 ⋅ 72 ⋅ 361 ⋅ 790 ⋅ 373 ⋅ 543 ⋅ 593 mod 809 ≡ 411 ⋅ 72 ⋅ 361 ⋅ 790 ⋅ 373 ⋅ 543 ⋅ 593 mod 809
≡ 29592 ⋅ 361 ⋅ 790 ⋅ 373 ⋅ 543 ⋅ 593 mod 809 ≡ 468 ⋅ 361 ⋅ 790 ⋅ 373 ⋅ 543 ⋅ 593 mod 809
≡ 168948 ⋅ 790 ⋅ 373 ⋅ 543 ⋅ 593 mod 809 ≡ 676 ⋅ 790 ⋅ 373 ⋅ 543 ⋅ 593 mod 809
≡ 534040 ⋅ 373 ⋅ 543 ⋅ 593 mod 809 ≡ 100 ⋅ 373 ⋅ 543 ⋅ 593 mod 809
≡ 37300 ⋅ 543 ⋅ 593 mod 809 ≡ 86 ⋅ 543 ⋅ 593 mod 809
≡ 46698 ⋅ 593 mod 809 ≡ 585 ⋅ 593 mod 809
≡ 346905 mod 809 ≡ 653 mod 809

Es gilt also: 593²⁵⁵ ≡ 653 mod 809

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 23

=>61	= 2⋅23 + 15
=>23	= 1⋅15 + 8
=>15	= 1⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8) = -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 23-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +2⋅(23 -1⋅ 15) = -1⋅15 +2⋅23 -2⋅ 15) = 2⋅23 -3⋅ 15 (=1)
15= 61-2⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅23 -3⋅(61 -2⋅ 23) = 2⋅23 -3⋅61 +6⋅ 23) = -3⋅61 +8⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(61,23)=1 = -3⋅61 +8⋅23

oder wenn man -3⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅61 = +8⋅23

Es gilt also: 8⋅23 = 3⋅61 +1

Somit 8⋅23 = 1 mod 61

8 ist also das Inverse von 23 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 23

Schlüsselpaar für RSA