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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24996 + 253) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24996 + 253) mod 5 ≡ (24996 mod 5 + 253 mod 5) mod 5.
24996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24996
= 24000
253 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 253
= 250
Somit gilt:
(24996 + 253) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 34) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 34) mod 7 ≡ (92 mod 7 ⋅ 34 mod 7) mod 7.
92 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 91 + 1 = 13 ⋅ 7 + 1 ist.
34 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 28 + 6 = 4 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 34) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1578 mod 239.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 157 -> x
2. mod(x²,239) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1571=157
2: 1572=1571+1=1571⋅1571 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 32 mod 239
4: 1574=1572+2=1572⋅1572 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 68 mod 239
8: 1578=1574+4=1574⋅1574 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 83 mod 239
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 499220 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:
220 = 128+64+16+8+4
1: 4991=499
2: 4992=4991+1=4991⋅4991 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 638 mod 809
4: 4994=4992+2=4992⋅4992 ≡ 638⋅638=407044 ≡ 117 mod 809
8: 4998=4994+4=4994⋅4994 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 745 mod 809
16: 49916=4998+8=4998⋅4998 ≡ 745⋅745=555025 ≡ 51 mod 809
32: 49932=49916+16=49916⋅49916 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 174 mod 809
64: 49964=49932+32=49932⋅49932 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 343 mod 809
128: 499128=49964+64=49964⋅49964 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 344 mod 809
499220
= 499128+64+16+8+4
= 499128⋅49964⋅49916⋅4998⋅4994
≡ 344 ⋅ 343 ⋅ 51 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809
≡ 117992 ⋅ 51 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809 ≡ 687 ⋅ 51 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809
≡ 35037 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809 ≡ 250 ⋅ 745 ⋅ 117 mod 809
≡ 186250 ⋅ 117 mod 809 ≡ 180 ⋅ 117 mod 809
≡ 21060 mod 809 ≡ 26 mod 809
Es gilt also: 499220 ≡ 26 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49
=>71 | = 1⋅49 + 22 |
=>49 | = 2⋅22 + 5 |
=>22 | = 4⋅5 + 2 |
=>5 | = 2⋅2 + 1 |
=>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
1= 5-2⋅2 | |||
2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
5= 49-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1) |
22= 71-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49
oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅71 = +29⋅49
Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1
Somit 29⋅49 = 1 mod 71
29 ist also das Inverse von 49 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.