nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (198 - 123) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(198 - 123) mod 4 ≡ (198 mod 4 - 123 mod 4) mod 4.

198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198 = 200-2 = 4 ⋅ 50 -2 = 4 ⋅ 50 - 4 + 2.

123 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 4 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(198 - 123) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 71) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 71) mod 11 ≡ (78 mod 11 ⋅ 71 mod 11) mod 11.

78 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 77 + 1 = 7 ⋅ 11 + 1 ist.

71 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 6 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 71) mod 11 ≡ (1 ⋅ 5) mod 11 ≡ 5 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33332 mod 607.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 333 -> x
2. mod(x²,607) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3331=333

2: 3332=3331+1=3331⋅3331 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 415 mod 607

4: 3334=3332+2=3332⋅3332 ≡ 415⋅415=172225 ≡ 444 mod 607

8: 3338=3334+4=3334⋅3334 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 468 mod 607

16: 33316=3338+8=3338⋅3338 ≡ 468⋅468=219024 ≡ 504 mod 607

32: 33332=33316+16=33316⋅33316 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 290 mod 607

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 216118 mod 479.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:

118 = 64+32+16+4+2

1: 2161=216

2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 193 mod 479

4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 366 mod 479

8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 315 mod 479

16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 72 mod 479

32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 394 mod 479

64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 40 mod 479

216118

= 21664+32+16+4+2

= 21664⋅21632⋅21616⋅2164⋅2162

≡ 40 ⋅ 394 ⋅ 72 ⋅ 366 ⋅ 193 mod 479
≡ 15760 ⋅ 72 ⋅ 366 ⋅ 193 mod 479 ≡ 432 ⋅ 72 ⋅ 366 ⋅ 193 mod 479
≡ 31104 ⋅ 366 ⋅ 193 mod 479 ≡ 448 ⋅ 366 ⋅ 193 mod 479
≡ 163968 ⋅ 193 mod 479 ≡ 150 ⋅ 193 mod 479
≡ 28950 mod 479 ≡ 210 mod 479

Es gilt also: 216118 ≡ 210 mod 479

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 92.

Also bestimme x, so dass 92 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 92

=>97 = 1⋅92 + 5
=>92 = 18⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,92)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 92-18⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(92 -18⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅92 +36⋅ 5)
= -2⋅92 +37⋅ 5 (=1)
5= 97-1⋅92 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅92 +37⋅(97 -1⋅ 92)
= -2⋅92 +37⋅97 -37⋅ 92)
= 37⋅97 -39⋅ 92 (=1)

Es gilt also: ggt(97,92)=1 = 37⋅97 -39⋅92

oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -37⋅97 = -39⋅92

-39⋅92 = -37⋅97 + 1 |+97⋅92

-39⋅92 + 97⋅92 = -37⋅97 + 97⋅92 + 1

(-39 + 97) ⋅ 92 = (-37 + 92) ⋅ 97 + 1

58⋅92 = 55⋅97 + 1

Es gilt also: 58⋅92 = 55⋅97 +1

Somit 58⋅92 = 1 mod 97

58 ist also das Inverse von 92 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden