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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26999 + 27003) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26999 + 27003) mod 9 ≡ (26999 mod 9 + 27003 mod 9) mod 9.

26999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26999 = 27000-1 = 9 ⋅ 3000 -1 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 8.

27003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27003 = 27000+3 = 9 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(26999 + 27003) mod 9 ≡ (8 + 3) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 60) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 60) mod 5 ≡ (89 mod 5 ⋅ 60 mod 5) mod 5.

89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.

60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 60) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 258⁶⁴ mod 557.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 258 -> x
2. mod(x²,557) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 258¹=258

2: 258²=258¹⁺¹=258¹⋅258¹ ≡ 258⋅258=66564 ≡ 281 mod 557

4: 258⁴=258²⁺²=258²⋅258² ≡ 281⋅281=78961 ≡ 424 mod 557

8: 258⁸=258⁴⁺⁴=258⁴⋅258⁴ ≡ 424⋅424=179776 ≡ 422 mod 557

16: 258¹⁶=258⁸⁺⁸=258⁸⋅258⁸ ≡ 422⋅422=178084 ≡ 401 mod 557

32: 258³²=258¹⁶⁺¹⁶=258¹⁶⋅258¹⁶ ≡ 401⋅401=160801 ≡ 385 mod 557

64: 258⁶⁴=258³²⁺³²=258³²⋅258³² ≡ 385⋅385=148225 ≡ 63 mod 557

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 473¹⁹¹ mod 503.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

1: 473¹=473

2: 473²=473¹⁺¹=473¹⋅473¹ ≡ 473⋅473=223729 ≡ 397 mod 503

4: 473⁴=473²⁺²=473²⋅473² ≡ 397⋅397=157609 ≡ 170 mod 503

8: 473⁸=473⁴⁺⁴=473⁴⋅473⁴ ≡ 170⋅170=28900 ≡ 229 mod 503

16: 473¹⁶=473⁸⁺⁸=473⁸⋅473⁸ ≡ 229⋅229=52441 ≡ 129 mod 503

32: 473³²=473¹⁶⁺¹⁶=473¹⁶⋅473¹⁶ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 42 mod 503

64: 473⁶⁴=473³²⁺³²=473³²⋅473³² ≡ 42⋅42=1764 ≡ 255 mod 503

128: 473¹²⁸=473⁶⁴⁺⁶⁴=473⁶⁴⋅473⁶⁴ ≡ 255⋅255=65025 ≡ 138 mod 503

473¹⁹¹

= 473^{128+32+16+8+4+2+1}

= 473¹²⁸⋅473³²⋅473¹⁶⋅473⁸⋅473⁴⋅473²⋅473¹

≡ 138 ⋅ 42 ⋅ 129 ⋅ 229 ⋅ 170 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503
≡ 5796 ⋅ 129 ⋅ 229 ⋅ 170 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503 ≡ 263 ⋅ 129 ⋅ 229 ⋅ 170 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503
≡ 33927 ⋅ 229 ⋅ 170 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503 ≡ 226 ⋅ 229 ⋅ 170 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503
≡ 51754 ⋅ 170 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503 ≡ 448 ⋅ 170 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503
≡ 76160 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503 ≡ 207 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503
≡ 82179 ⋅ 473 mod 503 ≡ 190 ⋅ 473 mod 503
≡ 89870 mod 503 ≡ 336 mod 503

Es gilt also: 473¹⁹¹ ≡ 336 mod 503

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 24

=>53	= 2⋅24 + 5
=>24	= 4⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5) = -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 53-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅24 +5⋅(53 -2⋅ 24) = -1⋅24 +5⋅53 -10⋅ 24) = 5⋅53 -11⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(53,24)=1 = 5⋅53 -11⋅24

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -11⋅24

-11⋅24 = -5⋅53 + 1 |+53⋅24

-11⋅24 + 53⋅24 = -5⋅53 + 53⋅24 + 1

(-11 + 53) ⋅ 24 = (-5 + 24) ⋅ 53 + 1

42⋅24 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 42⋅24 = 19⋅53 +1

Somit 42⋅24 = 1 mod 53

42 ist also das Inverse von 24 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 24

Schlüsselpaar für RSA