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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15000 + 92) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15000 + 92) mod 3 ≡ (15000 mod 3 + 92 mod 3) mod 3.

15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 3 ⋅ 5000 +0.

92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90+2 = 3 ⋅ 30 +2.

Somit gilt:

(15000 + 92) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 50) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 50) mod 6 ≡ (92 mod 6 ⋅ 50 mod 6) mod 6.

92 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 15 ⋅ 6 + 2 ist.

50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 50) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 405¹²⁸ mod 719.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 405 -> x
2. mod(x²,719) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 405¹=405

2: 405²=405¹⁺¹=405¹⋅405¹ ≡ 405⋅405=164025 ≡ 93 mod 719

4: 405⁴=405²⁺²=405²⋅405² ≡ 93⋅93=8649 ≡ 21 mod 719

8: 405⁸=405⁴⁺⁴=405⁴⋅405⁴ ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 719

16: 405¹⁶=405⁸⁺⁸=405⁸⋅405⁸ ≡ 441⋅441=194481 ≡ 351 mod 719

32: 405³²=405¹⁶⁺¹⁶=405¹⁶⋅405¹⁶ ≡ 351⋅351=123201 ≡ 252 mod 719

64: 405⁶⁴=405³²⁺³²=405³²⋅405³² ≡ 252⋅252=63504 ≡ 232 mod 719

128: 405¹²⁸=405⁶⁴⁺⁶⁴=405⁶⁴⋅405⁶⁴ ≡ 232⋅232=53824 ≡ 618 mod 719

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 467¹⁹⁰ mod 727.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

1: 467¹=467

2: 467²=467¹⁺¹=467¹⋅467¹ ≡ 467⋅467=218089 ≡ 716 mod 727

4: 467⁴=467²⁺²=467²⋅467² ≡ 716⋅716=512656 ≡ 121 mod 727

8: 467⁸=467⁴⁺⁴=467⁴⋅467⁴ ≡ 121⋅121=14641 ≡ 101 mod 727

16: 467¹⁶=467⁸⁺⁸=467⁸⋅467⁸ ≡ 101⋅101=10201 ≡ 23 mod 727

32: 467³²=467¹⁶⁺¹⁶=467¹⁶⋅467¹⁶ ≡ 23⋅23=529 ≡ 529 mod 727

64: 467⁶⁴=467³²⁺³²=467³²⋅467³² ≡ 529⋅529=279841 ≡ 673 mod 727

128: 467¹²⁸=467⁶⁴⁺⁶⁴=467⁶⁴⋅467⁶⁴ ≡ 673⋅673=452929 ≡ 8 mod 727

467¹⁹⁰

= 467^{128+32+16+8+4+2}

= 467¹²⁸⋅467³²⋅467¹⁶⋅467⁸⋅467⁴⋅467²

≡ 8 ⋅ 529 ⋅ 23 ⋅ 101 ⋅ 121 ⋅ 716 mod 727
≡ 4232 ⋅ 23 ⋅ 101 ⋅ 121 ⋅ 716 mod 727 ≡ 597 ⋅ 23 ⋅ 101 ⋅ 121 ⋅ 716 mod 727
≡ 13731 ⋅ 101 ⋅ 121 ⋅ 716 mod 727 ≡ 645 ⋅ 101 ⋅ 121 ⋅ 716 mod 727
≡ 65145 ⋅ 121 ⋅ 716 mod 727 ≡ 442 ⋅ 121 ⋅ 716 mod 727
≡ 53482 ⋅ 716 mod 727 ≡ 411 ⋅ 716 mod 727
≡ 294276 mod 727 ≡ 568 mod 727

Es gilt also: 467¹⁹⁰ ≡ 568 mod 727

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 66.

Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 66

=>83	= 1⋅66 + 17
=>66	= 3⋅17 + 15
=>17	= 1⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,66)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 17-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(17 -1⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅17 +7⋅ 15) = -7⋅17 +8⋅ 15 (=1)
15= 66-3⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅17 +8⋅(66 -3⋅ 17) = -7⋅17 +8⋅66 -24⋅ 17) = 8⋅66 -31⋅ 17 (=1)
17= 83-1⋅66	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅66 -31⋅(83 -1⋅ 66) = 8⋅66 -31⋅83 +31⋅ 66) = -31⋅83 +39⋅ 66 (=1)

Es gilt also: ggt(83,66)=1 = -31⋅83 +39⋅66

oder wenn man -31⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅83 = +39⋅66

Es gilt also: 39⋅66 = 31⋅83 +1

Somit 39⋅66 = 1 mod 83

39 ist also das Inverse von 66 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 66

Schlüsselpaar für RSA