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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (804 - 163) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(804 - 163) mod 8 ≡ (804 mod 8 - 163 mod 8) mod 8.

804 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804 = 800+4 = 8 ⋅ 100 +4.

163 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 163 = 160+3 = 8 ⋅ 20 +3.

Somit gilt:

(804 - 163) mod 8 ≡ (4 - 3) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 82) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 82) mod 6 ≡ (88 mod 6 ⋅ 82 mod 6) mod 6.

88 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 14 ⋅ 6 + 4 ist.

82 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 78 + 4 = 13 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 82) mod 6 ≡ (4 ⋅ 4) mod 6 ≡ 16 mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 368128 mod 991.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 368 -> x
2. mod(x²,991) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3681=368

2: 3682=3681+1=3681⋅3681 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 648 mod 991

4: 3684=3682+2=3682⋅3682 ≡ 648⋅648=419904 ≡ 711 mod 991

8: 3688=3684+4=3684⋅3684 ≡ 711⋅711=505521 ≡ 111 mod 991

16: 36816=3688+8=3688⋅3688 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 429 mod 991

32: 36832=36816+16=36816⋅36816 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 706 mod 991

64: 36864=36832+32=36832⋅36832 ≡ 706⋅706=498436 ≡ 954 mod 991

128: 368128=36864+64=36864⋅36864 ≡ 954⋅954=910116 ≡ 378 mod 991

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 304177 mod 347.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 177 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 177 an und zerlegen 177 in eine Summer von 2er-Potenzen:

177 = 128+32+16+1

1: 3041=304

2: 3042=3041+1=3041⋅3041 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 114 mod 347

4: 3044=3042+2=3042⋅3042 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 157 mod 347

8: 3048=3044+4=3044⋅3044 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 12 mod 347

16: 30416=3048+8=3048⋅3048 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 347

32: 30432=30416+16=30416⋅30416 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 263 mod 347

64: 30464=30432+32=30432⋅30432 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 116 mod 347

128: 304128=30464+64=30464⋅30464 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 270 mod 347

304177

= 304128+32+16+1

= 304128⋅30432⋅30416⋅3041

≡ 270 ⋅ 263 ⋅ 144 ⋅ 304 mod 347
≡ 71010 ⋅ 144 ⋅ 304 mod 347 ≡ 222 ⋅ 144 ⋅ 304 mod 347
≡ 31968 ⋅ 304 mod 347 ≡ 44 ⋅ 304 mod 347
≡ 13376 mod 347 ≡ 190 mod 347

Es gilt also: 304177 ≡ 190 mod 347

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 34

=>73 = 2⋅34 + 5
=>34 = 6⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 34-6⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5)
= -1⋅34 +7⋅ 5 (=1)
5= 73-2⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅34 +7⋅(73 -2⋅ 34)
= -1⋅34 +7⋅73 -14⋅ 34)
= 7⋅73 -15⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(73,34)=1 = 7⋅73 -15⋅34

oder wenn man 7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅73 = -15⋅34

-15⋅34 = -7⋅73 + 1 |+73⋅34

-15⋅34 + 73⋅34 = -7⋅73 + 73⋅34 + 1

(-15 + 73) ⋅ 34 = (-7 + 34) ⋅ 73 + 1

58⋅34 = 27⋅73 + 1

Es gilt also: 58⋅34 = 27⋅73 +1

Somit 58⋅34 = 1 mod 73

58 ist also das Inverse von 34 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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