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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (153 + 1600) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(153 + 1600) mod 8 ≡ (153 mod 8 + 1600 mod 8) mod 8.
153 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 153
= 160
1600 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
Somit gilt:
(153 + 1600) mod 8 ≡ (1 + 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 70) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 70) mod 6 ≡ (93 mod 6 ⋅ 70 mod 6) mod 6.
93 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 15 ⋅ 6 + 3 ist.
70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 70) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51864 mod 547.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 518 -> x
2. mod(x²,547) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5181=518
2: 5182=5181+1=5181⋅5181 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 294 mod 547
4: 5184=5182+2=5182⋅5182 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 10 mod 547
8: 5188=5184+4=5184⋅5184 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 547
16: 51816=5188+8=5188⋅5188 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 154 mod 547
32: 51832=51816+16=51816⋅51816 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 195 mod 547
64: 51864=51832+32=51832⋅51832 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 282 mod 547
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 135131 mod 271.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:
131 = 128+2+1
1: 1351=135
2: 1352=1351+1=1351⋅1351 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 68 mod 271
4: 1354=1352+2=1352⋅1352 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 17 mod 271
8: 1358=1354+4=1354⋅1354 ≡ 17⋅17=289 ≡ 18 mod 271
16: 13516=1358+8=1358⋅1358 ≡ 18⋅18=324 ≡ 53 mod 271
32: 13532=13516+16=13516⋅13516 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 99 mod 271
64: 13564=13532+32=13532⋅13532 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 45 mod 271
128: 135128=13564+64=13564⋅13564 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 128 mod 271
135131
= 135128+2+1
= 135128⋅1352⋅1351
≡ 128 ⋅ 68 ⋅ 135 mod 271
≡ 8704 ⋅ 135 mod 271 ≡ 32 ⋅ 135 mod 271
≡ 4320 mod 271 ≡ 255 mod 271
Es gilt also: 135131 ≡ 255 mod 271
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 64.
Also bestimme x, so dass 64 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 64
| =>79 | = 1⋅64 + 15 |
| =>64 | = 4⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,64)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 64-4⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(64 -4⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅64 -16⋅ 15) = 4⋅64 -17⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-1⋅64 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅64 -17⋅(79 -1⋅ 64)
= 4⋅64 -17⋅79 +17⋅ 64) = -17⋅79 +21⋅ 64 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,64)=1 = -17⋅79 +21⋅64
oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅79 = +21⋅64
Es gilt also: 21⋅64 = 17⋅79 +1
Somit 21⋅64 = 1 mod 79
21 ist also das Inverse von 64 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.