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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (269 + 94) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(269 + 94) mod 9 ≡ (269 mod 9 + 94 mod 9) mod 9.

269 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 269 = 270-1 = 9 ⋅ 30 -1 = 9 ⋅ 30 - 9 + 8.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90+4 = 9 ⋅ 10 +4.

Somit gilt:

(269 + 94) mod 9 ≡ (8 + 4) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 44) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 44) mod 8 ≡ (44 mod 8 ⋅ 44 mod 8) mod 8.

44 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 5 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 44) mod 8 ≡ (4 ⋅ 4) mod 8 ≡ 16 mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 171⁶⁴ mod 571.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 171 -> x
2. mod(x²,571) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 171¹=171

2: 171²=171¹⁺¹=171¹⋅171¹ ≡ 171⋅171=29241 ≡ 120 mod 571

4: 171⁴=171²⁺²=171²⋅171² ≡ 120⋅120=14400 ≡ 125 mod 571

8: 171⁸=171⁴⁺⁴=171⁴⋅171⁴ ≡ 125⋅125=15625 ≡ 208 mod 571

16: 171¹⁶=171⁸⁺⁸=171⁸⋅171⁸ ≡ 208⋅208=43264 ≡ 439 mod 571

32: 171³²=171¹⁶⁺¹⁶=171¹⁶⋅171¹⁶ ≡ 439⋅439=192721 ≡ 294 mod 571

64: 171⁶⁴=171³²⁺³²=171³²⋅171³² ≡ 294⋅294=86436 ≡ 215 mod 571

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 573¹⁸⁵ mod 887.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

1: 573¹=573

2: 573²=573¹⁺¹=573¹⋅573¹ ≡ 573⋅573=328329 ≡ 139 mod 887

4: 573⁴=573²⁺²=573²⋅573² ≡ 139⋅139=19321 ≡ 694 mod 887

8: 573⁸=573⁴⁺⁴=573⁴⋅573⁴ ≡ 694⋅694=481636 ≡ 882 mod 887

16: 573¹⁶=573⁸⁺⁸=573⁸⋅573⁸ ≡ 882⋅882=777924 ≡ 25 mod 887

32: 573³²=573¹⁶⁺¹⁶=573¹⁶⋅573¹⁶ ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 887

64: 573⁶⁴=573³²⁺³²=573³²⋅573³² ≡ 625⋅625=390625 ≡ 345 mod 887

128: 573¹²⁸=573⁶⁴⁺⁶⁴=573⁶⁴⋅573⁶⁴ ≡ 345⋅345=119025 ≡ 167 mod 887

573¹⁸⁵

= 573^{128+32+16+8+1}

= 573¹²⁸⋅573³²⋅573¹⁶⋅573⁸⋅573¹

≡ 167 ⋅ 625 ⋅ 25 ⋅ 882 ⋅ 573 mod 887
≡ 104375 ⋅ 25 ⋅ 882 ⋅ 573 mod 887 ≡ 596 ⋅ 25 ⋅ 882 ⋅ 573 mod 887
≡ 14900 ⋅ 882 ⋅ 573 mod 887 ≡ 708 ⋅ 882 ⋅ 573 mod 887
≡ 624456 ⋅ 573 mod 887 ≡ 8 ⋅ 573 mod 887
≡ 4584 mod 887 ≡ 149 mod 887

Es gilt also: 573¹⁸⁵ ≡ 149 mod 887

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 38

=>89	= 2⋅38 + 13
=>38	= 2⋅13 + 12
=>13	= 1⋅12 + 1
=>12	= 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 38-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13) = 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13) = -1⋅38 +3⋅ 13 (=1)
13= 89-2⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅38 +3⋅(89 -2⋅ 38) = -1⋅38 +3⋅89 -6⋅ 38) = 3⋅89 -7⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(89,38)=1 = 3⋅89 -7⋅38

oder wenn man 3⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅89 = -7⋅38

-7⋅38 = -3⋅89 + 1 |+89⋅38

-7⋅38 + 89⋅38 = -3⋅89 + 89⋅38 + 1

(-7 + 89) ⋅ 38 = (-3 + 38) ⋅ 89 + 1

82⋅38 = 35⋅89 + 1

Es gilt also: 82⋅38 = 35⋅89 +1

Somit 82⋅38 = 1 mod 89

82 ist also das Inverse von 38 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 38

Schlüsselpaar für RSA