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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3992 + 40008) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3992 + 40008) mod 8 ≡ (3992 mod 8 + 40008 mod 8) mod 8.
3992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3992
= 4000
40008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40008
= 40000
Somit gilt:
(3992 + 40008) mod 8 ≡ (0 + 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 59) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 59) mod 4 ≡ (65 mod 4 ⋅ 59 mod 4) mod 4.
65 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 16 ⋅ 4 + 1 ist.
59 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 14 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 59) mod 4 ≡ (1 ⋅ 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40916 mod 419.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 409 -> x
2. mod(x²,419) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4091=409
2: 4092=4091+1=4091⋅4091 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 100 mod 419
4: 4094=4092+2=4092⋅4092 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 363 mod 419
8: 4098=4094+4=4094⋅4094 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 203 mod 419
16: 40916=4098+8=4098⋅4098 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 147 mod 419
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10069 mod 257.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 69 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 69 an und zerlegen 69 in eine Summer von 2er-Potenzen:
69 = 64+4+1
1: 1001=100
2: 1002=1001+1=1001⋅1001 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 234 mod 257
4: 1004=1002+2=1002⋅1002 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 15 mod 257
8: 1008=1004+4=1004⋅1004 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 257
16: 10016=1008+8=1008⋅1008 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 253 mod 257
32: 10032=10016+16=10016⋅10016 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257
64: 10064=10032+32=10032⋅10032 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 257
10069
= 10064+4+1
= 10064⋅1004⋅1001
≡ 256 ⋅ 15 ⋅ 100 mod 257
≡ 3840 ⋅ 100 mod 257 ≡ 242 ⋅ 100 mod 257
≡ 24200 mod 257 ≡ 42 mod 257
Es gilt also: 10069 ≡ 42 mod 257
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 69
| =>101 | = 1⋅69 + 32 |
| =>69 | = 2⋅32 + 5 |
| =>32 | = 6⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 32-6⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5) = -2⋅32 +13⋅ 5 (=1) |
| 5= 69-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅32 +13⋅(69 -2⋅ 32)
= -2⋅32 +13⋅69 -26⋅ 32) = 13⋅69 -28⋅ 32 (=1) |
| 32= 101-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅69 -28⋅(101 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -28⋅101 +28⋅ 69) = -28⋅101 +41⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,69)=1 = -28⋅101 +41⋅69
oder wenn man -28⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +28⋅101 = +41⋅69
Es gilt also: 41⋅69 = 28⋅101 +1
Somit 41⋅69 = 1 mod 101
41 ist also das Inverse von 69 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.