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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3592 - 457) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3592 - 457) mod 9 ≡ (3592 mod 9 - 457 mod 9) mod 9.

3592 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3592 = 3600-8 = 9 ⋅ 400 -8 = 9 ⋅ 400 - 9 + 1.

457 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 457 = 450+7 = 9 ⋅ 50 +7.

Somit gilt:

(3592 - 457) mod 9 ≡ (1 - 7) mod 9 ≡ -6 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 51) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 51) mod 10 ≡ (18 mod 10 ⋅ 51 mod 10) mod 10.

18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.

51 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 5 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 51) mod 10 ≡ (8 ⋅ 1) mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 44664 mod 821.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 446 -> x
2. mod(x²,821) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4461=446

2: 4462=4461+1=4461⋅4461 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 234 mod 821

4: 4464=4462+2=4462⋅4462 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 570 mod 821

8: 4468=4464+4=4464⋅4464 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 605 mod 821

16: 44616=4468+8=4468⋅4468 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 680 mod 821

32: 44632=44616+16=44616⋅44616 ≡ 680⋅680=462400 ≡ 177 mod 821

64: 44664=44632+32=44632⋅44632 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 131 mod 821

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 174196 mod 439.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:

196 = 128+64+4

1: 1741=174

2: 1742=1741+1=1741⋅1741 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 424 mod 439

4: 1744=1742+2=1742⋅1742 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 225 mod 439

8: 1748=1744+4=1744⋅1744 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 140 mod 439

16: 17416=1748+8=1748⋅1748 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 284 mod 439

32: 17432=17416+16=17416⋅17416 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 319 mod 439

64: 17464=17432+32=17432⋅17432 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 352 mod 439

128: 174128=17464+64=17464⋅17464 ≡ 352⋅352=123904 ≡ 106 mod 439

174196

= 174128+64+4

= 174128⋅17464⋅1744

≡ 106 ⋅ 352 ⋅ 225 mod 439
≡ 37312 ⋅ 225 mod 439 ≡ 436 ⋅ 225 mod 439
≡ 98100 mod 439 ≡ 203 mod 439

Es gilt also: 174196 ≡ 203 mod 439

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45

=>79 = 1⋅45 + 34
=>45 = 1⋅34 + 11
=>34 = 3⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-3⋅11
11= 45-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34)
= 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34)
= -3⋅45 +4⋅ 34 (=1)
34= 79-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45)
= -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45)
= 4⋅79 -7⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -7⋅45

-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45

-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1

(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1

72⋅45 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1

Somit 72⋅45 = 1 mod 79

72 ist also das Inverse von 45 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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