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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1200 - 42) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1200 - 42) mod 4 ≡ (1200 mod 4 - 42 mod 4) mod 4.

1200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 4 ⋅ 300 +0.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40+2 = 4 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(1200 - 42) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 66) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 66) mod 7 ≡ (74 mod 7 ⋅ 66 mod 7) mod 7.

74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 10 ⋅ 7 + 4 ist.

66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 9 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 66) mod 7 ≡ (4 ⋅ 3) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1068 mod 211.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 106 -> x
2. mod(x²,211) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1061=106

2: 1062=1061+1=1061⋅1061 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 53 mod 211

4: 1064=1062+2=1062⋅1062 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 66 mod 211

8: 1068=1064+4=1064⋅1064 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 136 mod 211

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 506228 mod 641.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:

228 = 128+64+32+4

1: 5061=506

2: 5062=5061+1=5061⋅5061 ≡ 506⋅506=256036 ≡ 277 mod 641

4: 5064=5062+2=5062⋅5062 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 450 mod 641

8: 5068=5064+4=5064⋅5064 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 585 mod 641

16: 50616=5068+8=5068⋅5068 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 572 mod 641

32: 50632=50616+16=50616⋅50616 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 274 mod 641

64: 50664=50632+32=50632⋅50632 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 79 mod 641

128: 506128=50664+64=50664⋅50664 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 472 mod 641

506228

= 506128+64+32+4

= 506128⋅50664⋅50632⋅5064

472 ⋅ 79 ⋅ 274 ⋅ 450 mod 641
37288 ⋅ 274 ⋅ 450 mod 641 ≡ 110 ⋅ 274 ⋅ 450 mod 641
30140 ⋅ 450 mod 641 ≡ 13 ⋅ 450 mod 641
5850 mod 641 ≡ 81 mod 641

Es gilt also: 506228 ≡ 81 mod 641

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 30

=>53 = 1⋅30 + 23
=>30 = 1⋅23 + 7
=>23 = 3⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 23-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(23 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅23 +9⋅ 7)
= -3⋅23 +10⋅ 7 (=1)
7= 30-1⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +10⋅(30 -1⋅ 23)
= -3⋅23 +10⋅30 -10⋅ 23)
= 10⋅30 -13⋅ 23 (=1)
23= 53-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 10⋅30 -13⋅(53 -1⋅ 30)
= 10⋅30 -13⋅53 +13⋅ 30)
= -13⋅53 +23⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(53,30)=1 = -13⋅53 +23⋅30

oder wenn man -13⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅53 = +23⋅30

Es gilt also: 23⋅30 = 13⋅53 +1

Somit 23⋅30 = 1 mod 53

23 ist also das Inverse von 30 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.