nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (500 + 20000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(500 + 20000) mod 5 ≡ (500 mod 5 + 20000 mod 5) mod 5.

500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 500 = 500+0 = 5 ⋅ 100 +0.

20000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 5 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(500 + 20000) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 36) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 36) mod 11 ≡ (18 mod 11 ⋅ 36 mod 11) mod 11.

18 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 11 + 7 = 1 ⋅ 11 + 7 ist.

36 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 33 + 3 = 3 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 36) mod 11 ≡ (7 ⋅ 3) mod 11 ≡ 21 mod 11 ≡ 10 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2518 mod 479.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 251 -> x
2. mod(x²,479) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2511=251

2: 2512=2511+1=2511⋅2511 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 252 mod 479

4: 2514=2512+2=2512⋅2512 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 276 mod 479

8: 2518=2514+4=2514⋅2514 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 15 mod 479

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 336219 mod 907.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

1: 3361=336

2: 3362=3361+1=3361⋅3361 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 428 mod 907

4: 3364=3362+2=3362⋅3362 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 877 mod 907

8: 3368=3364+4=3364⋅3364 ≡ 877⋅877=769129 ≡ 900 mod 907

16: 33616=3368+8=3368⋅3368 ≡ 900⋅900=810000 ≡ 49 mod 907

32: 33632=33616+16=33616⋅33616 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 587 mod 907

64: 33664=33632+32=33632⋅33632 ≡ 587⋅587=344569 ≡ 816 mod 907

128: 336128=33664+64=33664⋅33664 ≡ 816⋅816=665856 ≡ 118 mod 907

336219

= 336128+64+16+8+2+1

= 336128⋅33664⋅33616⋅3368⋅3362⋅3361

≡ 118 ⋅ 816 ⋅ 49 ⋅ 900 ⋅ 428 ⋅ 336 mod 907
≡ 96288 ⋅ 49 ⋅ 900 ⋅ 428 ⋅ 336 mod 907 ≡ 146 ⋅ 49 ⋅ 900 ⋅ 428 ⋅ 336 mod 907
≡ 7154 ⋅ 900 ⋅ 428 ⋅ 336 mod 907 ≡ 805 ⋅ 900 ⋅ 428 ⋅ 336 mod 907
≡ 724500 ⋅ 428 ⋅ 336 mod 907 ≡ 714 ⋅ 428 ⋅ 336 mod 907
≡ 305592 ⋅ 336 mod 907 ≡ 840 ⋅ 336 mod 907
≡ 282240 mod 907 ≡ 163 mod 907

Es gilt also: 336219 ≡ 163 mod 907

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 55

=>83 = 1⋅55 + 28
=>55 = 1⋅28 + 27
=>28 = 1⋅27 + 1
=>27 = 27⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 28-1⋅27
27= 55-1⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅28 -1⋅(55 -1⋅ 28)
= 1⋅28 -1⋅55 +1⋅ 28)
= -1⋅55 +2⋅ 28 (=1)
28= 83-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅55 +2⋅(83 -1⋅ 55)
= -1⋅55 +2⋅83 -2⋅ 55)
= 2⋅83 -3⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(83,55)=1 = 2⋅83 -3⋅55

oder wenn man 2⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅83 = -3⋅55

-3⋅55 = -2⋅83 + 1 |+83⋅55

-3⋅55 + 83⋅55 = -2⋅83 + 83⋅55 + 1

(-3 + 83) ⋅ 55 = (-2 + 55) ⋅ 83 + 1

80⋅55 = 53⋅83 + 1

Es gilt also: 80⋅55 = 53⋅83 +1

Somit 80⋅55 = 1 mod 83

80 ist also das Inverse von 55 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden