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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 + 2497) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 + 2497) mod 5 ≡ (100 mod 5 + 2497 mod 5) mod 5.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100+0 = 5 ⋅ 20 +0.

2497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2497 = 2400+97 = 5 ⋅ 480 +97.

Somit gilt:

(100 + 2497) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 63) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 63) mod 3 ≡ (53 mod 3 ⋅ 63 mod 3) mod 3.

53 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 51 + 2 = 17 ⋅ 3 + 2 ist.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 21 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 63) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 212⁶⁴ mod 349.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 212 -> x
2. mod(x²,349) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 212¹=212

2: 212²=212¹⁺¹=212¹⋅212¹ ≡ 212⋅212=44944 ≡ 272 mod 349

4: 212⁴=212²⁺²=212²⋅212² ≡ 272⋅272=73984 ≡ 345 mod 349

8: 212⁸=212⁴⁺⁴=212⁴⋅212⁴ ≡ 345⋅345=119025 ≡ 16 mod 349

16: 212¹⁶=212⁸⁺⁸=212⁸⋅212⁸ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 349

32: 212³²=212¹⁶⁺¹⁶=212¹⁶⋅212¹⁶ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 273 mod 349

64: 212⁶⁴=212³²⁺³²=212³²⋅212³² ≡ 273⋅273=74529 ≡ 192 mod 349

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 275²²¹ mod 281.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 221 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 221 an und zerlegen 221 in eine Summer von 2er-Potenzen:

221 = 128+64+16+8+4+1

1: 275¹=275

2: 275²=275¹⁺¹=275¹⋅275¹ ≡ 275⋅275=75625 ≡ 36 mod 281

4: 275⁴=275²⁺²=275²⋅275² ≡ 36⋅36=1296 ≡ 172 mod 281

8: 275⁸=275⁴⁺⁴=275⁴⋅275⁴ ≡ 172⋅172=29584 ≡ 79 mod 281

16: 275¹⁶=275⁸⁺⁸=275⁸⋅275⁸ ≡ 79⋅79=6241 ≡ 59 mod 281

32: 275³²=275¹⁶⁺¹⁶=275¹⁶⋅275¹⁶ ≡ 59⋅59=3481 ≡ 109 mod 281

64: 275⁶⁴=275³²⁺³²=275³²⋅275³² ≡ 109⋅109=11881 ≡ 79 mod 281

128: 275¹²⁸=275⁶⁴⁺⁶⁴=275⁶⁴⋅275⁶⁴ ≡ 79⋅79=6241 ≡ 59 mod 281

275²²¹

= 275^{128+64+16+8+4+1}

= 275¹²⁸⋅275⁶⁴⋅275¹⁶⋅275⁸⋅275⁴⋅275¹

≡ 59 ⋅ 79 ⋅ 59 ⋅ 79 ⋅ 172 ⋅ 275 mod 281
≡ 4661 ⋅ 59 ⋅ 79 ⋅ 172 ⋅ 275 mod 281 ≡ 165 ⋅ 59 ⋅ 79 ⋅ 172 ⋅ 275 mod 281
≡ 9735 ⋅ 79 ⋅ 172 ⋅ 275 mod 281 ≡ 181 ⋅ 79 ⋅ 172 ⋅ 275 mod 281
≡ 14299 ⋅ 172 ⋅ 275 mod 281 ≡ 249 ⋅ 172 ⋅ 275 mod 281
≡ 42828 ⋅ 275 mod 281 ≡ 116 ⋅ 275 mod 281
≡ 31900 mod 281 ≡ 147 mod 281

Es gilt also: 275²²¹ ≡ 147 mod 281

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46

=>89	= 1⋅46 + 43
=>46	= 1⋅43 + 3
=>43	= 14⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 43-14⋅3
3= 46-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅43 -14⋅(46 -1⋅ 43) = 1⋅43 -14⋅46 +14⋅ 43) = -14⋅46 +15⋅ 43 (=1)
43= 89-1⋅46	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -14⋅46 +15⋅(89 -1⋅ 46) = -14⋅46 +15⋅89 -15⋅ 46) = 15⋅89 -29⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(89,46)=1 = 15⋅89 -29⋅46

oder wenn man 15⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅89 = -29⋅46

-29⋅46 = -15⋅89 + 1 |+89⋅46

-29⋅46 + 89⋅46 = -15⋅89 + 89⋅46 + 1

(-29 + 89) ⋅ 46 = (-15 + 46) ⋅ 89 + 1

60⋅46 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 60⋅46 = 31⋅89 +1

Somit 60⋅46 = 1 mod 89

60 ist also das Inverse von 46 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 46

Schlüsselpaar für RSA