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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (269 + 2697) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(269 + 2697) mod 9 ≡ (269 mod 9 + 2697 mod 9) mod 9.

269 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 269 = 270-1 = 9 ⋅ 30 -1 = 9 ⋅ 30 - 9 + 8.

2697 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2697 = 2700-3 = 9 ⋅ 300 -3 = 9 ⋅ 300 - 9 + 6.

Somit gilt:

(269 + 2697) mod 9 ≡ (8 + 6) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 61) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 61) mod 6 ≡ (88 mod 6 ⋅ 61 mod 6) mod 6.

88 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 14 ⋅ 6 + 4 ist.

61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 61) mod 6 ≡ (4 ⋅ 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 511⁶⁴ mod 673.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 511 -> x
2. mod(x²,673) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 511¹=511

2: 511²=511¹⁺¹=511¹⋅511¹ ≡ 511⋅511=261121 ≡ 670 mod 673

4: 511⁴=511²⁺²=511²⋅511² ≡ 670⋅670=448900 ≡ 9 mod 673

8: 511⁸=511⁴⁺⁴=511⁴⋅511⁴ ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 673

16: 511¹⁶=511⁸⁺⁸=511⁸⋅511⁸ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 504 mod 673

32: 511³²=511¹⁶⁺¹⁶=511¹⁶⋅511¹⁶ ≡ 504⋅504=254016 ≡ 295 mod 673

64: 511⁶⁴=511³²⁺³²=511³²⋅511³² ≡ 295⋅295=87025 ≡ 208 mod 673

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 244¹³⁰ mod 331.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:

130 = 128+2

1: 244¹=244

2: 244²=244¹⁺¹=244¹⋅244¹ ≡ 244⋅244=59536 ≡ 287 mod 331

4: 244⁴=244²⁺²=244²⋅244² ≡ 287⋅287=82369 ≡ 281 mod 331

8: 244⁸=244⁴⁺⁴=244⁴⋅244⁴ ≡ 281⋅281=78961 ≡ 183 mod 331

16: 244¹⁶=244⁸⁺⁸=244⁸⋅244⁸ ≡ 183⋅183=33489 ≡ 58 mod 331

32: 244³²=244¹⁶⁺¹⁶=244¹⁶⋅244¹⁶ ≡ 58⋅58=3364 ≡ 54 mod 331

64: 244⁶⁴=244³²⁺³²=244³²⋅244³² ≡ 54⋅54=2916 ≡ 268 mod 331

128: 244¹²⁸=244⁶⁴⁺⁶⁴=244⁶⁴⋅244⁶⁴ ≡ 268⋅268=71824 ≡ 328 mod 331

244¹³⁰

= 244¹²⁸⁺²

= 244¹²⁸⋅244²

≡ 328 ⋅ 287 mod 331
≡ 94136 mod 331 ≡ 132 mod 331

Es gilt also: 244¹³⁰ ≡ 132 mod 331

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79	= 1⋅47 + 32
=>47	= 1⋅32 + 15
=>32	= 2⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32) = -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32) = 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47) = 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47) = -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

Schlüsselpaar für RSA