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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2000 + 498) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2000 + 498) mod 5 ≡ (2000 mod 5 + 498 mod 5) mod 5.
2000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000
= 2000
498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 498
= 400
Somit gilt:
(2000 + 498) mod 5 ≡ (0 + 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 65) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25 ⋅ 65) mod 5 ≡ (25 mod 5 ⋅ 65 mod 5) mod 5.
25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.
65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(25 ⋅ 65) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32132 mod 601.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 321 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3211=321
2: 3212=3211+1=3211⋅3211 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 270 mod 601
4: 3214=3212+2=3212⋅3212 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 179 mod 601
8: 3218=3214+4=3214⋅3214 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 188 mod 601
16: 32116=3218+8=3218⋅3218 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 486 mod 601
32: 32132=32116+16=32116⋅32116 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 3 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 19878 mod 619.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:
78 = 64+8+4+2
1: 1981=198
2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 207 mod 619
4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 138 mod 619
8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 474 mod 619
16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 474⋅474=224676 ≡ 598 mod 619
32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 441 mod 619
64: 19864=19832+32=19832⋅19832 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 115 mod 619
19878
= 19864+8+4+2
= 19864⋅1988⋅1984⋅1982
≡ 115 ⋅ 474 ⋅ 138 ⋅ 207 mod 619
≡ 54510 ⋅ 138 ⋅ 207 mod 619 ≡ 38 ⋅ 138 ⋅ 207 mod 619
≡ 5244 ⋅ 207 mod 619 ≡ 292 ⋅ 207 mod 619
≡ 60444 mod 619 ≡ 401 mod 619
Es gilt also: 19878 ≡ 401 mod 619
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 62.
Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 62
| =>71 | = 1⋅62 + 9 |
| =>62 | = 6⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,62)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 62-6⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(62 -6⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅62 +6⋅ 9) = -1⋅62 +7⋅ 9 (=1) |
| 9= 71-1⋅62 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅62 +7⋅(71 -1⋅ 62)
= -1⋅62 +7⋅71 -7⋅ 62) = 7⋅71 -8⋅ 62 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,62)=1 = 7⋅71 -8⋅62
oder wenn man 7⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅71 = -8⋅62
-8⋅62 = -7⋅71 + 1 |+71⋅62
-8⋅62 + 71⋅62 = -7⋅71 + 71⋅62 + 1
(-8 + 71) ⋅ 62 = (-7 + 62) ⋅ 71 + 1
63⋅62 = 55⋅71 + 1
Es gilt also: 63⋅62 = 55⋅71 +1
Somit 63⋅62 = 1 mod 71
63 ist also das Inverse von 62 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.