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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2708 - 365) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2708 - 365) mod 9 ≡ (2708 mod 9 - 365 mod 9) mod 9.

2708 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2708 = 2700+8 = 9 ⋅ 300 +8.

365 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 365 = 360+5 = 9 ⋅ 40 +5.

Somit gilt:

(2708 - 365) mod 9 ≡ (8 - 5) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 89) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 89) mod 7 ≡ (93 mod 7 ⋅ 89 mod 7) mod 7.

93 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 91 + 2 = 13 ⋅ 7 + 2 ist.

89 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 12 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 89) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 324⁸ mod 857.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 324 -> x
2. mod(x²,857) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 324¹=324

2: 324²=324¹⁺¹=324¹⋅324¹ ≡ 324⋅324=104976 ≡ 422 mod 857

4: 324⁴=324²⁺²=324²⋅324² ≡ 422⋅422=178084 ≡ 685 mod 857

8: 324⁸=324⁴⁺⁴=324⁴⋅324⁴ ≡ 685⋅685=469225 ≡ 446 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 458²⁵⁴ mod 719.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:

254 = 128+64+32+16+8+4+2

1: 458¹=458

2: 458²=458¹⁺¹=458¹⋅458¹ ≡ 458⋅458=209764 ≡ 535 mod 719

4: 458⁴=458²⁺²=458²⋅458² ≡ 535⋅535=286225 ≡ 63 mod 719

8: 458⁸=458⁴⁺⁴=458⁴⋅458⁴ ≡ 63⋅63=3969 ≡ 374 mod 719

16: 458¹⁶=458⁸⁺⁸=458⁸⋅458⁸ ≡ 374⋅374=139876 ≡ 390 mod 719

32: 458³²=458¹⁶⁺¹⁶=458¹⁶⋅458¹⁶ ≡ 390⋅390=152100 ≡ 391 mod 719

64: 458⁶⁴=458³²⁺³²=458³²⋅458³² ≡ 391⋅391=152881 ≡ 453 mod 719

128: 458¹²⁸=458⁶⁴⁺⁶⁴=458⁶⁴⋅458⁶⁴ ≡ 453⋅453=205209 ≡ 294 mod 719

458²⁵⁴

= 458^{128+64+32+16+8+4+2}

= 458¹²⁸⋅458⁶⁴⋅458³²⋅458¹⁶⋅458⁸⋅458⁴⋅458²

≡ 294 ⋅ 453 ⋅ 391 ⋅ 390 ⋅ 374 ⋅ 63 ⋅ 535 mod 719
≡ 133182 ⋅ 391 ⋅ 390 ⋅ 374 ⋅ 63 ⋅ 535 mod 719 ≡ 167 ⋅ 391 ⋅ 390 ⋅ 374 ⋅ 63 ⋅ 535 mod 719
≡ 65297 ⋅ 390 ⋅ 374 ⋅ 63 ⋅ 535 mod 719 ≡ 587 ⋅ 390 ⋅ 374 ⋅ 63 ⋅ 535 mod 719
≡ 228930 ⋅ 374 ⋅ 63 ⋅ 535 mod 719 ≡ 288 ⋅ 374 ⋅ 63 ⋅ 535 mod 719
≡ 107712 ⋅ 63 ⋅ 535 mod 719 ≡ 581 ⋅ 63 ⋅ 535 mod 719
≡ 36603 ⋅ 535 mod 719 ≡ 653 ⋅ 535 mod 719
≡ 349355 mod 719 ≡ 640 mod 719

Es gilt also: 458²⁵⁴ ≡ 640 mod 719

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 77.

Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 77

=>83	= 1⋅77 + 6
=>77	= 12⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,77)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 77-12⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(77 -12⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅77 +12⋅ 6) = -1⋅77 +13⋅ 6 (=1)
6= 83-1⋅77	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅77 +13⋅(83 -1⋅ 77) = -1⋅77 +13⋅83 -13⋅ 77) = 13⋅83 -14⋅ 77 (=1)

Es gilt also: ggt(83,77)=1 = 13⋅83 -14⋅77

oder wenn man 13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅83 = -14⋅77

-14⋅77 = -13⋅83 + 1 |+83⋅77

-14⋅77 + 83⋅77 = -13⋅83 + 83⋅77 + 1

(-14 + 83) ⋅ 77 = (-13 + 77) ⋅ 83 + 1

69⋅77 = 64⋅83 + 1

Es gilt also: 69⋅77 = 64⋅83 +1

Somit 69⋅77 = 1 mod 83

69 ist also das Inverse von 77 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 77

Schlüsselpaar für RSA