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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (801 + 4000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(801 + 4000) mod 4 ≡ (801 mod 4 + 4000 mod 4) mod 4.

801 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 801 = 800+1 = 4 ⋅ 200 +1.

4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 4 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(801 + 4000) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 32) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 32) mod 4 ≡ (47 mod 4 ⋅ 32 mod 4) mod 4.

47 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 11 ⋅ 4 + 3 ist.

32 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 8 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 32) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7948 mod 947.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 794 -> x
2. mod(x²,947) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7941=794

2: 7942=7941+1=7941⋅7941 ≡ 794⋅794=630436 ≡ 681 mod 947

4: 7944=7942+2=7942⋅7942 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 678 mod 947

8: 7948=7944+4=7944⋅7944 ≡ 678⋅678=459684 ≡ 389 mod 947

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17882 mod 347.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 82 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 82 an und zerlegen 82 in eine Summer von 2er-Potenzen:

82 = 64+16+2

1: 1781=178

2: 1782=1781+1=1781⋅1781 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 107 mod 347

4: 1784=1782+2=1782⋅1782 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 345 mod 347

8: 1788=1784+4=1784⋅1784 ≡ 345⋅345=119025 ≡ 4 mod 347

16: 17816=1788+8=1788⋅1788 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 347

32: 17832=17816+16=17816⋅17816 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 347

64: 17864=17832+32=17832⋅17832 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 300 mod 347

17882

= 17864+16+2

= 17864⋅17816⋅1782

≡ 300 ⋅ 16 ⋅ 107 mod 347
≡ 4800 ⋅ 107 mod 347 ≡ 289 ⋅ 107 mod 347
≡ 30923 mod 347 ≡ 40 mod 347

Es gilt also: 17882 ≡ 40 mod 347

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 51

=>89 = 1⋅51 + 38
=>51 = 1⋅38 + 13
=>38 = 2⋅13 + 12
=>13 = 1⋅12 + 1
=>12 = 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 38-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -1⋅(38 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅38 +2⋅ 13)
= -1⋅38 +3⋅ 13 (=1)
13= 51-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅38 +3⋅(51 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +3⋅51 -3⋅ 38)
= 3⋅51 -4⋅ 38 (=1)
38= 89-1⋅51 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅51 -4⋅(89 -1⋅ 51)
= 3⋅51 -4⋅89 +4⋅ 51)
= -4⋅89 +7⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(89,51)=1 = -4⋅89 +7⋅51

oder wenn man -4⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +4⋅89 = +7⋅51

Es gilt also: 7⋅51 = 4⋅89 +1

Somit 7⋅51 = 1 mod 89

7 ist also das Inverse von 51 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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