Klasse 5 (G9)
Klasse 6 (G9)
Klasse 7 (G9)
Klasse 8 (G8)
Klasse 9-10 (G8)
Kursstufe (G8)
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27996 + 6993) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27996 + 6993) mod 7 ≡ (27996 mod 7 + 6993 mod 7) mod 7.
27996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27996
= 28000
6993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6993
= 7000
Somit gilt:
(27996 + 6993) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 96) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 96) mod 10 ≡ (35 mod 10 ⋅ 96 mod 10) mod 10.
35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.
96 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 9 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 96) mod 10 ≡ (5 ⋅ 6) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25264 mod 523.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 252 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2521=252
2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 221 mod 523
4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 202 mod 523
8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 10 mod 523
16: 25216=2528+8=2528⋅2528 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 523
32: 25232=25216+16=25216⋅25216 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 63 mod 523
64: 25264=25232+32=25232⋅25232 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 308 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 262185 mod 353.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:
185 = 128+32+16+8+1
1: 2621=262
2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 162 mod 353
4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 122 mod 353
8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 58 mod 353
16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 187 mod 353
32: 26232=26216+16=26216⋅26216 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 22 mod 353
64: 26264=26232+32=26232⋅26232 ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353
128: 262128=26264+64=26264⋅26264 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353
262185
= 262128+32+16+8+1
= 262128⋅26232⋅26216⋅2628⋅2621
≡ 217 ⋅ 22 ⋅ 187 ⋅ 58 ⋅ 262 mod 353
≡ 4774 ⋅ 187 ⋅ 58 ⋅ 262 mod 353 ≡ 185 ⋅ 187 ⋅ 58 ⋅ 262 mod 353
≡ 34595 ⋅ 58 ⋅ 262 mod 353 ≡ 1 ⋅ 58 ⋅ 262 mod 353
≡ 58 ⋅ 262 mod 353
≡ 15196 mod 353 ≡ 17 mod 353
Es gilt also: 262185 ≡ 17 mod 353
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34
| =>83 | = 2⋅34 + 15 |
| =>34 | = 2⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 34-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1) |
| 15= 83-2⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34)
= 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34
oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅83 = +22⋅34
Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1
Somit 22⋅34 = 1 mod 83
22 ist also das Inverse von 34 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
