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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1996 + 159) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1996 + 159) mod 4 ≡ (1996 mod 4 + 159 mod 4) mod 4.

1996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996 = 1900+96 = 4 ⋅ 475 +96.

159 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159 = 160-1 = 4 ⋅ 40 -1 = 4 ⋅ 40 - 4 + 3.

Somit gilt:

(1996 + 159) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 39) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 39) mod 8 ≡ (80 mod 8 ⋅ 39 mod 8) mod 8.

80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.

39 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 32 + 7 = 4 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 39) mod 8 ≡ (0 ⋅ 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 601¹⁶ mod 769.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 601 -> x
2. mod(x²,769) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 601¹=601

2: 601²=601¹⁺¹=601¹⋅601¹ ≡ 601⋅601=361201 ≡ 540 mod 769

4: 601⁴=601²⁺²=601²⋅601² ≡ 540⋅540=291600 ≡ 149 mod 769

8: 601⁸=601⁴⁺⁴=601⁴⋅601⁴ ≡ 149⋅149=22201 ≡ 669 mod 769

16: 601¹⁶=601⁸⁺⁸=601⁸⋅601⁸ ≡ 669⋅669=447561 ≡ 3 mod 769

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 467²⁰⁷ mod 773.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

1: 467¹=467

2: 467²=467¹⁺¹=467¹⋅467¹ ≡ 467⋅467=218089 ≡ 103 mod 773

4: 467⁴=467²⁺²=467²⋅467² ≡ 103⋅103=10609 ≡ 560 mod 773

8: 467⁸=467⁴⁺⁴=467⁴⋅467⁴ ≡ 560⋅560=313600 ≡ 535 mod 773

16: 467¹⁶=467⁸⁺⁸=467⁸⋅467⁸ ≡ 535⋅535=286225 ≡ 215 mod 773

32: 467³²=467¹⁶⁺¹⁶=467¹⁶⋅467¹⁶ ≡ 215⋅215=46225 ≡ 618 mod 773

64: 467⁶⁴=467³²⁺³²=467³²⋅467³² ≡ 618⋅618=381924 ≡ 62 mod 773

128: 467¹²⁸=467⁶⁴⁺⁶⁴=467⁶⁴⋅467⁶⁴ ≡ 62⋅62=3844 ≡ 752 mod 773

467²⁰⁷

= 467^{128+64+8+4+2+1}

= 467¹²⁸⋅467⁶⁴⋅467⁸⋅467⁴⋅467²⋅467¹

≡ 752 ⋅ 62 ⋅ 535 ⋅ 560 ⋅ 103 ⋅ 467 mod 773
≡ 46624 ⋅ 535 ⋅ 560 ⋅ 103 ⋅ 467 mod 773 ≡ 244 ⋅ 535 ⋅ 560 ⋅ 103 ⋅ 467 mod 773
≡ 130540 ⋅ 560 ⋅ 103 ⋅ 467 mod 773 ≡ 676 ⋅ 560 ⋅ 103 ⋅ 467 mod 773
≡ 378560 ⋅ 103 ⋅ 467 mod 773 ≡ 563 ⋅ 103 ⋅ 467 mod 773
≡ 57989 ⋅ 467 mod 773 ≡ 14 ⋅ 467 mod 773
≡ 6538 mod 773 ≡ 354 mod 773

Es gilt also: 467²⁰⁷ ≡ 354 mod 773

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41

=>53	= 1⋅41 + 12
=>41	= 3⋅12 + 5
=>12	= 2⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 12-2⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1)
5= 41-3⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅12 +5⋅(41 -3⋅ 12) = -2⋅12 +5⋅41 -15⋅ 12) = 5⋅41 -17⋅ 12 (=1)
12= 53-1⋅41	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅41 -17⋅(53 -1⋅ 41) = 5⋅41 -17⋅53 +17⋅ 41) = -17⋅53 +22⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(53,41)=1 = -17⋅53 +22⋅41

oder wenn man -17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅53 = +22⋅41

Es gilt also: 22⋅41 = 17⋅53 +1

Somit 22⋅41 = 1 mod 53

22 ist also das Inverse von 41 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 41

Schlüsselpaar für RSA