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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (397 + 20000) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(397 + 20000) mod 4 ≡ (397 mod 4 + 20000 mod 4) mod 4.

397 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397 = 300+97 = 4 ⋅ 75 +97.

20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 4 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(397 + 20000) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 24) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 24) mod 6 ≡ (46 mod 6 ⋅ 24 mod 6) mod 6.

46 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 7 ⋅ 6 + 4 ist.

24 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 4 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 24) mod 6 ≡ (4 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 603128 mod 691.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 603 -> x
2. mod(x²,691) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6031=603

2: 6032=6031+1=6031⋅6031 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 143 mod 691

4: 6034=6032+2=6032⋅6032 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 410 mod 691

8: 6038=6034+4=6034⋅6034 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 187 mod 691

16: 60316=6038+8=6038⋅6038 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 419 mod 691

32: 60332=60316+16=60316⋅60316 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 47 mod 691

64: 60364=60332+32=60332⋅60332 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 136 mod 691

128: 603128=60364+64=60364⋅60364 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 530 mod 691

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 145203 mod 233.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:

203 = 128+64+8+2+1

1: 1451=145

2: 1452=1451+1=1451⋅1451 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 55 mod 233

4: 1454=1452+2=1452⋅1452 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 229 mod 233

8: 1458=1454+4=1454⋅1454 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 16 mod 233

16: 14516=1458+8=1458⋅1458 ≡ 16⋅16=256 ≡ 23 mod 233

32: 14532=14516+16=14516⋅14516 ≡ 23⋅23=529 ≡ 63 mod 233

64: 14564=14532+32=14532⋅14532 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 8 mod 233

128: 145128=14564+64=14564⋅14564 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 233

145203

= 145128+64+8+2+1

= 145128⋅14564⋅1458⋅1452⋅1451

≡ 64 ⋅ 8 ⋅ 16 ⋅ 55 ⋅ 145 mod 233
≡ 512 ⋅ 16 ⋅ 55 ⋅ 145 mod 233 ≡ 46 ⋅ 16 ⋅ 55 ⋅ 145 mod 233
≡ 736 ⋅ 55 ⋅ 145 mod 233 ≡ 37 ⋅ 55 ⋅ 145 mod 233
≡ 2035 ⋅ 145 mod 233 ≡ 171 ⋅ 145 mod 233
≡ 24795 mod 233 ≡ 97 mod 233

Es gilt also: 145203 ≡ 97 mod 233

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 48

=>53 = 1⋅48 + 5
=>48 = 9⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 48-9⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(48 -9⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅48 -18⋅ 5)
= 2⋅48 -19⋅ 5 (=1)
5= 53-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅48 -19⋅(53 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -19⋅53 +19⋅ 48)
= -19⋅53 +21⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(53,48)=1 = -19⋅53 +21⋅48

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +21⋅48

Es gilt also: 21⋅48 = 19⋅53 +1

Somit 21⋅48 = 1 mod 53

21 ist also das Inverse von 48 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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