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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4502 - 1794) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4502 - 1794) mod 9 ≡ (4502 mod 9 - 1794 mod 9) mod 9.

4502 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4502 = 4500+2 = 9 ⋅ 500 +2.

1794 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1794 = 1800-6 = 9 ⋅ 200 -6 = 9 ⋅ 200 - 9 + 3.

Somit gilt:

(4502 - 1794) mod 9 ≡ (2 - 3) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 100) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 100) mod 3 ≡ (51 mod 3 ⋅ 100 mod 3) mod 3.

51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.

100 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 33 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 100) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22516 mod 373.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 225 -> x
2. mod(x²,373) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2251=225

2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 270 mod 373

4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 165 mod 373

8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 369 mod 373

16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 16 mod 373

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 191185 mod 563.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

1: 1911=191

2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 449 mod 563

4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 47 mod 563

8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 520 mod 563

16: 19116=1918+8=1918⋅1918 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 160 mod 563

32: 19132=19116+16=19116⋅19116 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 265 mod 563

64: 19164=19132+32=19132⋅19132 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 413 mod 563

128: 191128=19164+64=19164⋅19164 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 543 mod 563

191185

= 191128+32+16+8+1

= 191128⋅19132⋅19116⋅1918⋅1911

≡ 543 ⋅ 265 ⋅ 160 ⋅ 520 ⋅ 191 mod 563
≡ 143895 ⋅ 160 ⋅ 520 ⋅ 191 mod 563 ≡ 330 ⋅ 160 ⋅ 520 ⋅ 191 mod 563
≡ 52800 ⋅ 520 ⋅ 191 mod 563 ≡ 441 ⋅ 520 ⋅ 191 mod 563
≡ 229320 ⋅ 191 mod 563 ≡ 179 ⋅ 191 mod 563
≡ 34189 mod 563 ≡ 409 mod 563

Es gilt also: 191185 ≡ 409 mod 563

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 35

=>79 = 2⋅35 + 9
=>35 = 3⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 35-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(35 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅35 +3⋅ 9)
= -1⋅35 +4⋅ 9 (=1)
9= 79-2⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅35 +4⋅(79 -2⋅ 35)
= -1⋅35 +4⋅79 -8⋅ 35)
= 4⋅79 -9⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(79,35)=1 = 4⋅79 -9⋅35

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -9⋅35

-9⋅35 = -4⋅79 + 1 |+79⋅35

-9⋅35 + 79⋅35 = -4⋅79 + 79⋅35 + 1

(-9 + 79) ⋅ 35 = (-4 + 35) ⋅ 79 + 1

70⋅35 = 31⋅79 + 1

Es gilt also: 70⋅35 = 31⋅79 +1

Somit 70⋅35 = 1 mod 79

70 ist also das Inverse von 35 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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