nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (320 + 407) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(320 + 407) mod 8 ≡ (320 mod 8 + 407 mod 8) mod 8.

320 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 320 = 320+0 = 8 ⋅ 40 +0.

407 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 407 = 400+7 = 8 ⋅ 50 +7.

Somit gilt:

(320 + 407) mod 8 ≡ (0 + 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 46) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 46) mod 8 ≡ (94 mod 8 ⋅ 46 mod 8) mod 8.

94 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 11 ⋅ 8 + 6 ist.

46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 46) mod 8 ≡ (6 ⋅ 6) mod 8 ≡ 36 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3288 mod 941.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 328 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3281=328

2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 310 mod 941

4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 118 mod 941

8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 750 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 372152 mod 439.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:

152 = 128+16+8

1: 3721=372

2: 3722=3721+1=3721⋅3721 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 99 mod 439

4: 3724=3722+2=3722⋅3722 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 143 mod 439

8: 3728=3724+4=3724⋅3724 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 255 mod 439

16: 37216=3728+8=3728⋅3728 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 53 mod 439

32: 37232=37216+16=37216⋅37216 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 175 mod 439

64: 37264=37232+32=37232⋅37232 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 334 mod 439

128: 372128=37264+64=37264⋅37264 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 50 mod 439

372152

= 372128+16+8

= 372128⋅37216⋅3728

50 ⋅ 53 ⋅ 255 mod 439
2650 ⋅ 255 mod 439 ≡ 16 ⋅ 255 mod 439
4080 mod 439 ≡ 129 mod 439

Es gilt also: 372152 ≡ 129 mod 439

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30

=>67 = 2⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30)
= 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -29⋅30

-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30

-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1

(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1

38⋅30 = 17⋅67 + 1

Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1

Somit 38⋅30 = 1 mod 67

38 ist also das Inverse von 30 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.