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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (400 - 803) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(400 - 803) mod 4 ≡ (400 mod 4 - 803 mod 4) mod 4.

400 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 4 ⋅ 100 +0.

803 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 803 = 800+3 = 4 ⋅ 200 +3.

Somit gilt:

(400 - 803) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 54) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 54) mod 8 ≡ (64 mod 8 ⋅ 54 mod 8) mod 8.

64 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 8 ⋅ 8 + 0 ist.

54 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 48 + 6 = 6 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 54) mod 8 ≡ (0 ⋅ 6) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 709⁸ mod 941.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 709 -> x
2. mod(x²,941) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 709¹=709

2: 709²=709¹⁺¹=709¹⋅709¹ ≡ 709⋅709=502681 ≡ 187 mod 941

4: 709⁴=709²⁺²=709²⋅709² ≡ 187⋅187=34969 ≡ 152 mod 941

8: 709⁸=709⁴⁺⁴=709⁴⋅709⁴ ≡ 152⋅152=23104 ≡ 520 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 217²¹⁸ mod 677.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:

218 = 128+64+16+8+2

1: 217¹=217

2: 217²=217¹⁺¹=217¹⋅217¹ ≡ 217⋅217=47089 ≡ 376 mod 677

4: 217⁴=217²⁺²=217²⋅217² ≡ 376⋅376=141376 ≡ 560 mod 677

8: 217⁸=217⁴⁺⁴=217⁴⋅217⁴ ≡ 560⋅560=313600 ≡ 149 mod 677

16: 217¹⁶=217⁸⁺⁸=217⁸⋅217⁸ ≡ 149⋅149=22201 ≡ 537 mod 677

32: 217³²=217¹⁶⁺¹⁶=217¹⁶⋅217¹⁶ ≡ 537⋅537=288369 ≡ 644 mod 677

64: 217⁶⁴=217³²⁺³²=217³²⋅217³² ≡ 644⋅644=414736 ≡ 412 mod 677

128: 217¹²⁸=217⁶⁴⁺⁶⁴=217⁶⁴⋅217⁶⁴ ≡ 412⋅412=169744 ≡ 494 mod 677

217²¹⁸

= 217^{128+64+16+8+2}

= 217¹²⁸⋅217⁶⁴⋅217¹⁶⋅217⁸⋅217²

≡ 494 ⋅ 412 ⋅ 537 ⋅ 149 ⋅ 376 mod 677
≡ 203528 ⋅ 537 ⋅ 149 ⋅ 376 mod 677 ≡ 428 ⋅ 537 ⋅ 149 ⋅ 376 mod 677
≡ 229836 ⋅ 149 ⋅ 376 mod 677 ≡ 333 ⋅ 149 ⋅ 376 mod 677
≡ 49617 ⋅ 376 mod 677 ≡ 196 ⋅ 376 mod 677
≡ 73696 mod 677 ≡ 580 mod 677

Es gilt also: 217²¹⁸ ≡ 580 mod 677

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32

=>83	= 2⋅32 + 19
=>32	= 1⋅19 + 13
=>19	= 1⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 19-1⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(19 -1⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅19 +2⋅ 13) = -2⋅19 +3⋅ 13 (=1)
13= 32-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅19 +3⋅(32 -1⋅ 19) = -2⋅19 +3⋅32 -3⋅ 19) = 3⋅32 -5⋅ 19 (=1)
19= 83-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅32 -5⋅(83 -2⋅ 32) = 3⋅32 -5⋅83 +10⋅ 32) = -5⋅83 +13⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(83,32)=1 = -5⋅83 +13⋅32

oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅83 = +13⋅32

Es gilt also: 13⋅32 = 5⋅83 +1

Somit 13⋅32 = 1 mod 83

13 ist also das Inverse von 32 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 32

Schlüsselpaar für RSA