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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3504 - 35003) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3504 - 35003) mod 7 ≡ (3504 mod 7 - 35003 mod 7) mod 7.
3504 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3504
= 3500
35003 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35003
= 35000
Somit gilt:
(3504 - 35003) mod 7 ≡ (4 - 3) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 70) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 70) mod 6 ≡ (18 mod 6 ⋅ 70 mod 6) mod 6.
18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.
70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 70) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26032 mod 337.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 260 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2601=260
2: 2602=2601+1=2601⋅2601 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 200 mod 337
4: 2604=2602+2=2602⋅2602 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 234 mod 337
8: 2608=2604+4=2604⋅2604 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 162 mod 337
16: 26016=2608+8=2608⋅2608 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 295 mod 337
32: 26032=26016+16=26016⋅26016 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 79 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 97250 mod 293.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:
250 = 128+64+32+16+8+2
1: 971=97
2: 972=971+1=971⋅971 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 33 mod 293
4: 974=972+2=972⋅972 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 210 mod 293
8: 978=974+4=974⋅974 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 150 mod 293
16: 9716=978+8=978⋅978 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 232 mod 293
32: 9732=9716+16=9716⋅9716 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 205 mod 293
64: 9764=9732+32=9732⋅9732 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 126 mod 293
128: 97128=9764+64=9764⋅9764 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 54 mod 293
97250
= 97128+64+32+16+8+2
= 97128⋅9764⋅9732⋅9716⋅978⋅972
≡ 54 ⋅ 126 ⋅ 205 ⋅ 232 ⋅ 150 ⋅ 33 mod 293
≡ 6804 ⋅ 205 ⋅ 232 ⋅ 150 ⋅ 33 mod 293 ≡ 65 ⋅ 205 ⋅ 232 ⋅ 150 ⋅ 33 mod 293
≡ 13325 ⋅ 232 ⋅ 150 ⋅ 33 mod 293 ≡ 140 ⋅ 232 ⋅ 150 ⋅ 33 mod 293
≡ 32480 ⋅ 150 ⋅ 33 mod 293 ≡ 250 ⋅ 150 ⋅ 33 mod 293
≡ 37500 ⋅ 33 mod 293 ≡ 289 ⋅ 33 mod 293
≡ 9537 mod 293 ≡ 161 mod 293
Es gilt also: 97250 ≡ 161 mod 293
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
