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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 + 12002) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 + 12002) mod 3 ≡ (87 mod 3 + 12002 mod 3) mod 3.

87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 90-3 = 3 ⋅ 30 -3 = 3 ⋅ 30 - 3 + 0.

12002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002 = 12000+2 = 3 ⋅ 4000 +2.

Somit gilt:

(87 + 12002) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 62) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 62) mod 11 ≡ (97 mod 11 ⋅ 62 mod 11) mod 11.

97 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 88 + 9 = 8 ⋅ 11 + 9 ist.

62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 62) mod 11 ≡ (9 ⋅ 7) mod 11 ≡ 63 mod 11 ≡ 8 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 48916 mod 557.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 489 -> x
2. mod(x²,557) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4891=489

2: 4892=4891+1=4891⋅4891 ≡ 489⋅489=239121 ≡ 168 mod 557

4: 4894=4892+2=4892⋅4892 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 374 mod 557

8: 4898=4894+4=4894⋅4894 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 69 mod 557

16: 48916=4898+8=4898⋅4898 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 305 mod 557

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 618121 mod 983.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 121 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 121 an und zerlegen 121 in eine Summer von 2er-Potenzen:

121 = 64+32+16+8+1

1: 6181=618

2: 6182=6181+1=6181⋅6181 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 520 mod 983

4: 6184=6182+2=6182⋅6182 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 75 mod 983

8: 6188=6184+4=6184⋅6184 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 710 mod 983

16: 61816=6188+8=6188⋅6188 ≡ 710⋅710=504100 ≡ 804 mod 983

32: 61832=61816+16=61816⋅61816 ≡ 804⋅804=646416 ≡ 585 mod 983

64: 61864=61832+32=61832⋅61832 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 141 mod 983

618121

= 61864+32+16+8+1

= 61864⋅61832⋅61816⋅6188⋅6181

≡ 141 ⋅ 585 ⋅ 804 ⋅ 710 ⋅ 618 mod 983
≡ 82485 ⋅ 804 ⋅ 710 ⋅ 618 mod 983 ≡ 896 ⋅ 804 ⋅ 710 ⋅ 618 mod 983
≡ 720384 ⋅ 710 ⋅ 618 mod 983 ≡ 828 ⋅ 710 ⋅ 618 mod 983
≡ 587880 ⋅ 618 mod 983 ≡ 46 ⋅ 618 mod 983
≡ 28428 mod 983 ≡ 904 mod 983

Es gilt also: 618121 ≡ 904 mod 983

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 32

=>67 = 2⋅32 + 3
=>32 = 10⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 32-10⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(32 -10⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅32 +10⋅ 3)
= -1⋅32 +11⋅ 3 (=1)
3= 67-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅32 +11⋅(67 -2⋅ 32)
= -1⋅32 +11⋅67 -22⋅ 32)
= 11⋅67 -23⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(67,32)=1 = 11⋅67 -23⋅32

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -23⋅32

-23⋅32 = -11⋅67 + 1 |+67⋅32

-23⋅32 + 67⋅32 = -11⋅67 + 67⋅32 + 1

(-23 + 67) ⋅ 32 = (-11 + 32) ⋅ 67 + 1

44⋅32 = 21⋅67 + 1

Es gilt also: 44⋅32 = 21⋅67 +1

Somit 44⋅32 = 1 mod 67

44 ist also das Inverse von 32 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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