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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (397 + 11998) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(397 + 11998) mod 4 ≡ (397 mod 4 + 11998 mod 4) mod 4.

397 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397 = 300+97 = 4 ⋅ 75 +97.

11998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998 = 11000+998 = 4 ⋅ 2750 +998.

Somit gilt:

(397 + 11998) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 51) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 51) mod 3 ≡ (82 mod 3 ⋅ 51 mod 3) mod 3.

82 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 27 ⋅ 3 + 1 ist.

51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 51) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6288 mod 863.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 628 -> x
2. mod(x²,863) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6281=628

2: 6282=6281+1=6281⋅6281 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 856 mod 863

4: 6284=6282+2=6282⋅6282 ≡ 856⋅856=732736 ≡ 49 mod 863

8: 6288=6284+4=6284⋅6284 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 675 mod 863

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 266246 mod 541.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

1: 2661=266

2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 426 mod 541

4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 241 mod 541

8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 194 mod 541

16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 307 mod 541

32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 115 mod 541

64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 241 mod 541

128: 266128=26664+64=26664⋅26664 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 194 mod 541

266246

= 266128+64+32+16+4+2

= 266128⋅26664⋅26632⋅26616⋅2664⋅2662

≡ 194 ⋅ 241 ⋅ 115 ⋅ 307 ⋅ 241 ⋅ 426 mod 541
≡ 46754 ⋅ 115 ⋅ 307 ⋅ 241 ⋅ 426 mod 541 ≡ 228 ⋅ 115 ⋅ 307 ⋅ 241 ⋅ 426 mod 541
≡ 26220 ⋅ 307 ⋅ 241 ⋅ 426 mod 541 ≡ 252 ⋅ 307 ⋅ 241 ⋅ 426 mod 541
≡ 77364 ⋅ 241 ⋅ 426 mod 541 ≡ 1 ⋅ 241 ⋅ 426 mod 541
≡ 241 ⋅ 426 mod 541
≡ 102666 mod 541 ≡ 417 mod 541

Es gilt also: 266246 ≡ 417 mod 541

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52

=>73 = 1⋅52 + 21
=>52 = 2⋅21 + 10
=>21 = 2⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-2⋅10
10= 52-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -2⋅(52 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅52 +4⋅ 21)
= -2⋅52 +5⋅ 21 (=1)
21= 73-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅52 +5⋅(73 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +5⋅73 -5⋅ 52)
= 5⋅73 -7⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(73,52)=1 = 5⋅73 -7⋅52

oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅73 = -7⋅52

-7⋅52 = -5⋅73 + 1 |+73⋅52

-7⋅52 + 73⋅52 = -5⋅73 + 73⋅52 + 1

(-7 + 73) ⋅ 52 = (-5 + 52) ⋅ 73 + 1

66⋅52 = 47⋅73 + 1

Es gilt also: 66⋅52 = 47⋅73 +1

Somit 66⋅52 = 1 mod 73

66 ist also das Inverse von 52 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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