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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2497 - 5005) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2497 - 5005) mod 5 ≡ (2497 mod 5 - 5005 mod 5) mod 5.

2497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2497 = 2400+97 = 5 ⋅ 480 +97.

5005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5005 = 5000+5 = 5 ⋅ 1000 +5.

Somit gilt:

(2497 - 5005) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 58) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 58) mod 4 ≡ (100 mod 4 ⋅ 58 mod 4) mod 4.

100 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 25 ⋅ 4 + 0 ist.

58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 58) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33116 mod 421.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 331 -> x
2. mod(x²,421) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3311=331

2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 101 mod 421

4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 97 mod 421

8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 97⋅97=9409 ≡ 147 mod 421

16: 33116=3318+8=3318⋅3318 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 138 mod 421

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 470124 mod 601.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:

124 = 64+32+16+8+4

1: 4701=470

2: 4702=4701+1=4701⋅4701 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 333 mod 601

4: 4704=4702+2=4702⋅4702 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 305 mod 601

8: 4708=4704+4=4704⋅4704 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 471 mod 601

16: 47016=4708+8=4708⋅4708 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 72 mod 601

32: 47032=47016+16=47016⋅47016 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 376 mod 601

64: 47064=47032+32=47032⋅47032 ≡ 376⋅376=141376 ≡ 141 mod 601

470124

= 47064+32+16+8+4

= 47064⋅47032⋅47016⋅4708⋅4704

≡ 141 ⋅ 376 ⋅ 72 ⋅ 471 ⋅ 305 mod 601
≡ 53016 ⋅ 72 ⋅ 471 ⋅ 305 mod 601 ≡ 128 ⋅ 72 ⋅ 471 ⋅ 305 mod 601
≡ 9216 ⋅ 471 ⋅ 305 mod 601 ≡ 201 ⋅ 471 ⋅ 305 mod 601
≡ 94671 ⋅ 305 mod 601 ≡ 314 ⋅ 305 mod 601
≡ 95770 mod 601 ≡ 211 mod 601

Es gilt also: 470124 ≡ 211 mod 601

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18

=>59 = 3⋅18 + 5
=>18 = 3⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 18-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5)
= 2⋅18 -7⋅ 5 (=1)
5= 59-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18)
= -7⋅59 +23⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +23⋅18

Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1

Somit 23⋅18 = 1 mod 59

23 ist also das Inverse von 18 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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