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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3206 - 317) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3206 - 317) mod 8 ≡ (3206 mod 8 - 317 mod 8) mod 8.

3206 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3206 = 3200+6 = 8 ⋅ 400 +6.

317 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 317 = 320-3 = 8 ⋅ 40 -3 = 8 ⋅ 40 - 8 + 5.

Somit gilt:

(3206 - 317) mod 8 ≡ (6 - 5) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 85) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 85) mod 9 ≡ (89 mod 9 ⋅ 85 mod 9) mod 9.

89 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 81 + 8 = 9 ⋅ 9 + 8 ist.

85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 81 + 4 = 9 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 85) mod 9 ≡ (8 ⋅ 4) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 74132 mod 953.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 741 -> x
2. mod(x²,953) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7411=741

2: 7412=7411+1=7411⋅7411 ≡ 741⋅741=549081 ≡ 153 mod 953

4: 7414=7412+2=7412⋅7412 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 537 mod 953

8: 7418=7414+4=7414⋅7414 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 563 mod 953

16: 74116=7418+8=7418⋅7418 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 573 mod 953

32: 74132=74116+16=74116⋅74116 ≡ 573⋅573=328329 ≡ 497 mod 953

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 57171 mod 809.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:

71 = 64+4+2+1

1: 5711=571

2: 5712=5711+1=5711⋅5711 ≡ 571⋅571=326041 ≡ 14 mod 809

4: 5714=5712+2=5712⋅5712 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 809

8: 5718=5714+4=5714⋅5714 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 393 mod 809

16: 57116=5718+8=5718⋅5718 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 739 mod 809

32: 57132=57116+16=57116⋅57116 ≡ 739⋅739=546121 ≡ 46 mod 809

64: 57164=57132+32=57132⋅57132 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 498 mod 809

57171

= 57164+4+2+1

= 57164⋅5714⋅5712⋅5711

≡ 498 ⋅ 196 ⋅ 14 ⋅ 571 mod 809
≡ 97608 ⋅ 14 ⋅ 571 mod 809 ≡ 528 ⋅ 14 ⋅ 571 mod 809
≡ 7392 ⋅ 571 mod 809 ≡ 111 ⋅ 571 mod 809
≡ 63381 mod 809 ≡ 279 mod 809

Es gilt also: 57171 ≡ 279 mod 809

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 68

=>97 = 1⋅68 + 29
=>68 = 2⋅29 + 10
=>29 = 2⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 29-2⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10)
= -1⋅29 +3⋅ 10 (=1)
10= 68-2⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +3⋅(68 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅68 -6⋅ 29)
= 3⋅68 -7⋅ 29 (=1)
29= 97-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅68 -7⋅(97 -1⋅ 68)
= 3⋅68 -7⋅97 +7⋅ 68)
= -7⋅97 +10⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(97,68)=1 = -7⋅97 +10⋅68

oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅97 = +10⋅68

Es gilt also: 10⋅68 = 7⋅97 +1

Somit 10⋅68 = 1 mod 97

10 ist also das Inverse von 68 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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