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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3000 - 61) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3000 - 61) mod 3 ≡ (3000 mod 3 - 61 mod 3) mod 3.
3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000
= 3000
61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61
= 60
Somit gilt:
(3000 - 61) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 21) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 21) mod 4 ≡ (95 mod 4 ⋅ 21 mod 4) mod 4.
95 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 92 + 3 = 23 ⋅ 4 + 3 ist.
21 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 5 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 21) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23916 mod 359.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 239 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2391=239
2: 2392=2391+1=2391⋅2391 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 40 mod 359
4: 2394=2392+2=2392⋅2392 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 164 mod 359
8: 2398=2394+4=2394⋅2394 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 330 mod 359
16: 23916=2398+8=2398⋅2398 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 123 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 235169 mod 619.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 2351=235
2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 134 mod 619
4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 5 mod 619
8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 619
16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 25⋅25=625 ≡ 6 mod 619
32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 619
64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 58 mod 619
128: 235128=23564+64=23564⋅23564 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 269 mod 619
235169
= 235128+32+8+1
= 235128⋅23532⋅2358⋅2351
≡ 269 ⋅ 36 ⋅ 25 ⋅ 235 mod 619
≡ 9684 ⋅ 25 ⋅ 235 mod 619 ≡ 399 ⋅ 25 ⋅ 235 mod 619
≡ 9975 ⋅ 235 mod 619 ≡ 71 ⋅ 235 mod 619
≡ 16685 mod 619 ≡ 591 mod 619
Es gilt also: 235169 ≡ 591 mod 619
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 44
| =>73 | = 1⋅44 + 29 |
| =>44 | = 1⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 44-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(44 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅44 -2⋅ 29) = 2⋅44 -3⋅ 29 (=1) |
| 29= 73-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅44 -3⋅(73 -1⋅ 44)
= 2⋅44 -3⋅73 +3⋅ 44) = -3⋅73 +5⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,44)=1 = -3⋅73 +5⋅44
oder wenn man -3⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅73 = +5⋅44
Es gilt also: 5⋅44 = 3⋅73 +1
Somit 5⋅44 = 1 mod 73
5 ist also das Inverse von 44 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
