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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3000 + 15000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3000 + 15000) mod 3 ≡ (3000 mod 3 + 15000 mod 3) mod 3.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

15000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 3 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(3000 + 15000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 59) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 59) mod 8 ≡ (81 mod 8 ⋅ 59 mod 8) mod 8.

81 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 10 ⋅ 8 + 1 ist.

59 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 7 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 59) mod 8 ≡ (1 ⋅ 3) mod 8 ≡ 3 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 385128 mod 557.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 385 -> x
2. mod(x²,557) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3851=385

2: 3852=3851+1=3851⋅3851 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 63 mod 557

4: 3854=3852+2=3852⋅3852 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 70 mod 557

8: 3858=3854+4=3854⋅3854 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 444 mod 557

16: 38516=3858+8=3858⋅3858 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 515 mod 557

32: 38532=38516+16=38516⋅38516 ≡ 515⋅515=265225 ≡ 93 mod 557

64: 38564=38532+32=38532⋅38532 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 294 mod 557

128: 385128=38564+64=38564⋅38564 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 101 mod 557

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 534199 mod 691.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 199 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 199 an und zerlegen 199 in eine Summer von 2er-Potenzen:

199 = 128+64+4+2+1

1: 5341=534

2: 5342=5341+1=5341⋅5341 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 464 mod 691

4: 5344=5342+2=5342⋅5342 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 395 mod 691

8: 5348=5344+4=5344⋅5344 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 550 mod 691

16: 53416=5348+8=5348⋅5348 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 533 mod 691

32: 53432=53416+16=53416⋅53416 ≡ 533⋅533=284089 ≡ 88 mod 691

64: 53464=53432+32=53432⋅53432 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 143 mod 691

128: 534128=53464+64=53464⋅53464 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 410 mod 691

534199

= 534128+64+4+2+1

= 534128⋅53464⋅5344⋅5342⋅5341

≡ 410 ⋅ 143 ⋅ 395 ⋅ 464 ⋅ 534 mod 691
≡ 58630 ⋅ 395 ⋅ 464 ⋅ 534 mod 691 ≡ 586 ⋅ 395 ⋅ 464 ⋅ 534 mod 691
≡ 231470 ⋅ 464 ⋅ 534 mod 691 ≡ 676 ⋅ 464 ⋅ 534 mod 691
≡ 313664 ⋅ 534 mod 691 ≡ 641 ⋅ 534 mod 691
≡ 342294 mod 691 ≡ 249 mod 691

Es gilt also: 534199 ≡ 249 mod 691

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 42

=>101 = 2⋅42 + 17
=>42 = 2⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17)
= -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-2⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅42 +5⋅(101 -2⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅101 -10⋅ 42)
= 5⋅101 -12⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(101,42)=1 = 5⋅101 -12⋅42

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -12⋅42

-12⋅42 = -5⋅101 + 1 |+101⋅42

-12⋅42 + 101⋅42 = -5⋅101 + 101⋅42 + 1

(-12 + 101) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 101 + 1

89⋅42 = 37⋅101 + 1

Es gilt also: 89⋅42 = 37⋅101 +1

Somit 89⋅42 = 1 mod 101

89 ist also das Inverse von 42 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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