nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3996 - 200) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3996 - 200) mod 4 ≡ (3996 mod 4 - 200 mod 4) mod 4.

3996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3996 = 3000+996 = 4 ⋅ 750 +996.

200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200 = 200+0 = 4 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(3996 - 200) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 32) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 32) mod 9 ≡ (91 mod 9 ⋅ 32 mod 9) mod 9.

91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.

32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 32) mod 9 ≡ (1 ⋅ 5) mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2598 mod 263.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 259 -> x
2. mod(x²,263) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2591=259

2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 16 mod 263

4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 263

8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 49 mod 263

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 606232 mod 919.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:

232 = 128+64+32+8

1: 6061=606

2: 6062=6061+1=6061⋅6061 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 555 mod 919

4: 6064=6062+2=6062⋅6062 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 160 mod 919

8: 6068=6064+4=6064⋅6064 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 787 mod 919

16: 60616=6068+8=6068⋅6068 ≡ 787⋅787=619369 ≡ 882 mod 919

32: 60632=60616+16=60616⋅60616 ≡ 882⋅882=777924 ≡ 450 mod 919

64: 60664=60632+32=60632⋅60632 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 320 mod 919

128: 606128=60664+64=60664⋅60664 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 391 mod 919

606232

= 606128+64+32+8

= 606128⋅60664⋅60632⋅6068

391 ⋅ 320 ⋅ 450 ⋅ 787 mod 919
125120 ⋅ 450 ⋅ 787 mod 919 ≡ 136 ⋅ 450 ⋅ 787 mod 919
61200 ⋅ 787 mod 919 ≡ 546 ⋅ 787 mod 919
429702 mod 919 ≡ 529 mod 919

Es gilt also: 606232 ≡ 529 mod 919

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 32

=>79 = 2⋅32 + 15
=>32 = 2⋅15 + 2
=>15 = 7⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15)
= -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 79-2⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -7⋅32 +15⋅(79 -2⋅ 32)
= -7⋅32 +15⋅79 -30⋅ 32)
= 15⋅79 -37⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(79,32)=1 = 15⋅79 -37⋅32

oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅79 = -37⋅32

-37⋅32 = -15⋅79 + 1 |+79⋅32

-37⋅32 + 79⋅32 = -15⋅79 + 79⋅32 + 1

(-37 + 79) ⋅ 32 = (-15 + 32) ⋅ 79 + 1

42⋅32 = 17⋅79 + 1

Es gilt also: 42⋅32 = 17⋅79 +1

Somit 42⋅32 = 1 mod 79

42 ist also das Inverse von 32 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.