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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1600 - 1201) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1600 - 1201) mod 4 ≡ (1600 mod 4 - 1201 mod 4) mod 4.

1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 4 ⋅ 400 +0.

1201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 4 ⋅ 300 +1.

Somit gilt:

(1600 - 1201) mod 4 ≡ (0 - 1) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 90) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 90) mod 6 ≡ (55 mod 6 ⋅ 90 mod 6) mod 6.

55 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 9 ⋅ 6 + 1 ist.

90 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 15 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 90) mod 6 ≡ (1 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 537¹²⁸ mod 563.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 537 -> x
2. mod(x²,563) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 537¹=537

2: 537²=537¹⁺¹=537¹⋅537¹ ≡ 537⋅537=288369 ≡ 113 mod 563

4: 537⁴=537²⁺²=537²⋅537² ≡ 113⋅113=12769 ≡ 383 mod 563

8: 537⁸=537⁴⁺⁴=537⁴⋅537⁴ ≡ 383⋅383=146689 ≡ 309 mod 563

16: 537¹⁶=537⁸⁺⁸=537⁸⋅537⁸ ≡ 309⋅309=95481 ≡ 334 mod 563

32: 537³²=537¹⁶⁺¹⁶=537¹⁶⋅537¹⁶ ≡ 334⋅334=111556 ≡ 82 mod 563

64: 537⁶⁴=537³²⁺³²=537³²⋅537³² ≡ 82⋅82=6724 ≡ 531 mod 563

128: 537¹²⁸=537⁶⁴⁺⁶⁴=537⁶⁴⋅537⁶⁴ ≡ 531⋅531=281961 ≡ 461 mod 563

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 419²²⁰ mod 709.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 220 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 220 an und zerlegen 220 in eine Summer von 2er-Potenzen:

220 = 128+64+16+8+4

1: 419¹=419

2: 419²=419¹⁺¹=419¹⋅419¹ ≡ 419⋅419=175561 ≡ 438 mod 709

4: 419⁴=419²⁺²=419²⋅419² ≡ 438⋅438=191844 ≡ 414 mod 709

8: 419⁸=419⁴⁺⁴=419⁴⋅419⁴ ≡ 414⋅414=171396 ≡ 527 mod 709

16: 419¹⁶=419⁸⁺⁸=419⁸⋅419⁸ ≡ 527⋅527=277729 ≡ 510 mod 709

32: 419³²=419¹⁶⁺¹⁶=419¹⁶⋅419¹⁶ ≡ 510⋅510=260100 ≡ 606 mod 709

64: 419⁶⁴=419³²⁺³²=419³²⋅419³² ≡ 606⋅606=367236 ≡ 683 mod 709

128: 419¹²⁸=419⁶⁴⁺⁶⁴=419⁶⁴⋅419⁶⁴ ≡ 683⋅683=466489 ≡ 676 mod 709

419²²⁰

= 419^{128+64+16+8+4}

= 419¹²⁸⋅419⁶⁴⋅419¹⁶⋅419⁸⋅419⁴

≡ 676 ⋅ 683 ⋅ 510 ⋅ 527 ⋅ 414 mod 709
≡ 461708 ⋅ 510 ⋅ 527 ⋅ 414 mod 709 ≡ 149 ⋅ 510 ⋅ 527 ⋅ 414 mod 709
≡ 75990 ⋅ 527 ⋅ 414 mod 709 ≡ 127 ⋅ 527 ⋅ 414 mod 709
≡ 66929 ⋅ 414 mod 709 ≡ 283 ⋅ 414 mod 709
≡ 117162 mod 709 ≡ 177 mod 709

Es gilt also: 419²²⁰ ≡ 177 mod 709

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 74.

Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 74

=>83	= 1⋅74 + 9
=>74	= 8⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,74)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 74-8⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(74 -8⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅74 +32⋅ 9) = -4⋅74 +33⋅ 9 (=1)
9= 83-1⋅74	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅74 +33⋅(83 -1⋅ 74) = -4⋅74 +33⋅83 -33⋅ 74) = 33⋅83 -37⋅ 74 (=1)

Es gilt also: ggt(83,74)=1 = 33⋅83 -37⋅74

oder wenn man 33⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅83 = -37⋅74

-37⋅74 = -33⋅83 + 1 |+83⋅74

-37⋅74 + 83⋅74 = -33⋅83 + 83⋅74 + 1

(-37 + 83) ⋅ 74 = (-33 + 74) ⋅ 83 + 1

46⋅74 = 41⋅83 + 1

Es gilt also: 46⋅74 = 41⋅83 +1

Somit 46⋅74 = 1 mod 83

46 ist also das Inverse von 74 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 74

Schlüsselpaar für RSA