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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1403 + 64) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1403 + 64) mod 7 ≡ (1403 mod 7 + 64 mod 7) mod 7.

1403 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1403 = 1400+3 = 7 ⋅ 200 +3.

64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 70-6 = 7 ⋅ 10 -6 = 7 ⋅ 10 - 7 + 1.

Somit gilt:

(1403 + 64) mod 7 ≡ (3 + 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 95) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 95) mod 9 ≡ (65 mod 9 ⋅ 95 mod 9) mod 9.

65 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 7 ⋅ 9 + 2 ist.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 10 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 95) mod 9 ≡ (2 ⋅ 5) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 169³² mod 233.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 169 -> x
2. mod(x²,233) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 169¹=169

2: 169²=169¹⁺¹=169¹⋅169¹ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 135 mod 233

4: 169⁴=169²⁺²=169²⋅169² ≡ 135⋅135=18225 ≡ 51 mod 233

8: 169⁸=169⁴⁺⁴=169⁴⋅169⁴ ≡ 51⋅51=2601 ≡ 38 mod 233

16: 169¹⁶=169⁸⁺⁸=169⁸⋅169⁸ ≡ 38⋅38=1444 ≡ 46 mod 233

32: 169³²=169¹⁶⁺¹⁶=169¹⁶⋅169¹⁶ ≡ 46⋅46=2116 ≡ 19 mod 233

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 146²⁴⁹ mod 439.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:

249 = 128+64+32+16+8+1

1: 146¹=146

2: 146²=146¹⁺¹=146¹⋅146¹ ≡ 146⋅146=21316 ≡ 244 mod 439

4: 146⁴=146²⁺²=146²⋅146² ≡ 244⋅244=59536 ≡ 271 mod 439

8: 146⁸=146⁴⁺⁴=146⁴⋅146⁴ ≡ 271⋅271=73441 ≡ 128 mod 439

16: 146¹⁶=146⁸⁺⁸=146⁸⋅146⁸ ≡ 128⋅128=16384 ≡ 141 mod 439

32: 146³²=146¹⁶⁺¹⁶=146¹⁶⋅146¹⁶ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 126 mod 439

64: 146⁶⁴=146³²⁺³²=146³²⋅146³² ≡ 126⋅126=15876 ≡ 72 mod 439

128: 146¹²⁸=146⁶⁴⁺⁶⁴=146⁶⁴⋅146⁶⁴ ≡ 72⋅72=5184 ≡ 355 mod 439

146²⁴⁹

= 146^{128+64+32+16+8+1}

= 146¹²⁸⋅146⁶⁴⋅146³²⋅146¹⁶⋅146⁸⋅146¹

≡ 355 ⋅ 72 ⋅ 126 ⋅ 141 ⋅ 128 ⋅ 146 mod 439
≡ 25560 ⋅ 126 ⋅ 141 ⋅ 128 ⋅ 146 mod 439 ≡ 98 ⋅ 126 ⋅ 141 ⋅ 128 ⋅ 146 mod 439
≡ 12348 ⋅ 141 ⋅ 128 ⋅ 146 mod 439 ≡ 56 ⋅ 141 ⋅ 128 ⋅ 146 mod 439
≡ 7896 ⋅ 128 ⋅ 146 mod 439 ≡ 433 ⋅ 128 ⋅ 146 mod 439
≡ 55424 ⋅ 146 mod 439 ≡ 110 ⋅ 146 mod 439
≡ 16060 mod 439 ≡ 256 mod 439

Es gilt also: 146²⁴⁹ ≡ 256 mod 439

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 34

=>97	= 2⋅34 + 29
=>34	= 1⋅29 + 5
=>29	= 5⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 29-5⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(29 -5⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅29 +5⋅ 5) = -1⋅29 +6⋅ 5 (=1)
5= 34-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅29 +6⋅(34 -1⋅ 29) = -1⋅29 +6⋅34 -6⋅ 29) = 6⋅34 -7⋅ 29 (=1)
29= 97-2⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 6⋅34 -7⋅(97 -2⋅ 34) = 6⋅34 -7⋅97 +14⋅ 34) = -7⋅97 +20⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(97,34)=1 = -7⋅97 +20⋅34

oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅97 = +20⋅34

Es gilt also: 20⋅34 = 7⋅97 +1

Somit 20⋅34 = 1 mod 97

20 ist also das Inverse von 34 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 34

Schlüsselpaar für RSA