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Kursstufe
cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40005 + 396) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40005 + 396) mod 8 ≡ (40005 mod 8 + 396 mod 8) mod 8.
40005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40005
= 40000
396 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396
= 400
Somit gilt:
(40005 + 396) mod 8 ≡ (5 + 4) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 47) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 47) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 47 mod 7) mod 7.
58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.
47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 47) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 1998 mod 337.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 199 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1991=199
2: 1992=1991+1=1991⋅1991 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 172 mod 337
4: 1994=1992+2=1992⋅1992 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 265 mod 337
8: 1998=1994+4=1994⋅1994 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 129 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 544255 mod 743.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:
255 = 128+64+32+16+8+4+2+1
1: 5441=544
2: 5442=5441+1=5441⋅5441 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 222 mod 743
4: 5444=5442+2=5442⋅5442 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 246 mod 743
8: 5448=5444+4=5444⋅5444 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 333 mod 743
16: 54416=5448+8=5448⋅5448 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 182 mod 743
32: 54432=54416+16=54416⋅54416 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 432 mod 743
64: 54464=54432+32=54432⋅54432 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 131 mod 743
128: 544128=54464+64=54464⋅54464 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 72 mod 743
544255
= 544128+64+32+16+8+4+2+1
= 544128⋅54464⋅54432⋅54416⋅5448⋅5444⋅5442⋅5441
≡ 72 ⋅ 131 ⋅ 432 ⋅ 182 ⋅ 333 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743
≡ 9432 ⋅ 432 ⋅ 182 ⋅ 333 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743 ≡ 516 ⋅ 432 ⋅ 182 ⋅ 333 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743
≡ 222912 ⋅ 182 ⋅ 333 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743 ≡ 12 ⋅ 182 ⋅ 333 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743
≡ 2184 ⋅ 333 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743 ≡ 698 ⋅ 333 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743
≡ 232434 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743 ≡ 618 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743
≡ 152028 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743 ≡ 456 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743
≡ 101232 ⋅ 544 mod 743 ≡ 184 ⋅ 544 mod 743
≡ 100096 mod 743 ≡ 534 mod 743
Es gilt also: 544255 ≡ 534 mod 743
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32
| =>73 | = 2⋅32 + 9 |
| =>32 | = 3⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9) = 2⋅32 -7⋅ 9 (=1) |
| 9= 73-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32) = -7⋅73 +16⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32
oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅73 = +16⋅32
Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1
Somit 16⋅32 = 1 mod 73
16 ist also das Inverse von 32 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
