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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (397 + 11998) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(397 + 11998) mod 4 ≡ (397 mod 4 + 11998 mod 4) mod 4.
397 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397
= 300
11998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998
= 11000
Somit gilt:
(397 + 11998) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 51) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(82 ⋅ 51) mod 3 ≡ (82 mod 3 ⋅ 51 mod 3) mod 3.
82 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 27 ⋅ 3 + 1 ist.
51 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 51 + 0 = 17 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(82 ⋅ 51) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 6288 mod 863.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 628 -> x
2. mod(x²,863) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6281=628
2: 6282=6281+1=6281⋅6281 ≡ 628⋅628=394384 ≡ 856 mod 863
4: 6284=6282+2=6282⋅6282 ≡ 856⋅856=732736 ≡ 49 mod 863
8: 6288=6284+4=6284⋅6284 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 675 mod 863
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 266246 mod 541.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:
246 = 128+64+32+16+4+2
1: 2661=266
2: 2662=2661+1=2661⋅2661 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 426 mod 541
4: 2664=2662+2=2662⋅2662 ≡ 426⋅426=181476 ≡ 241 mod 541
8: 2668=2664+4=2664⋅2664 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 194 mod 541
16: 26616=2668+8=2668⋅2668 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 307 mod 541
32: 26632=26616+16=26616⋅26616 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 115 mod 541
64: 26664=26632+32=26632⋅26632 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 241 mod 541
128: 266128=26664+64=26664⋅26664 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 194 mod 541
266246
= 266128+64+32+16+4+2
= 266128⋅26664⋅26632⋅26616⋅2664⋅2662
≡ 194 ⋅ 241 ⋅ 115 ⋅ 307 ⋅ 241 ⋅ 426 mod 541
≡ 46754 ⋅ 115 ⋅ 307 ⋅ 241 ⋅ 426 mod 541 ≡ 228 ⋅ 115 ⋅ 307 ⋅ 241 ⋅ 426 mod 541
≡ 26220 ⋅ 307 ⋅ 241 ⋅ 426 mod 541 ≡ 252 ⋅ 307 ⋅ 241 ⋅ 426 mod 541
≡ 77364 ⋅ 241 ⋅ 426 mod 541 ≡ 1 ⋅ 241 ⋅ 426 mod 541
≡ 241 ⋅ 426 mod 541
≡ 102666 mod 541 ≡ 417 mod 541
Es gilt also: 266246 ≡ 417 mod 541
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52
| =>73 | = 1⋅52 + 21 |
| =>52 | = 2⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 52-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(52 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅52 +4⋅ 21) = -2⋅52 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +5⋅(73 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +5⋅73 -5⋅ 52) = 5⋅73 -7⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,52)=1 = 5⋅73 -7⋅52
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -7⋅52
-7⋅52 = -5⋅73 + 1 |+73⋅52
-7⋅52 + 73⋅52 = -5⋅73 + 73⋅52 + 1
(-7 + 73) ⋅ 52 = (-5 + 52) ⋅ 73 + 1
66⋅52 = 47⋅73 + 1
Es gilt also: 66⋅52 = 47⋅73 +1
Somit 66⋅52 = 1 mod 73
66 ist also das Inverse von 52 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
