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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 + 19999) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 + 19999) mod 4 ≡ (39 mod 4 + 19999 mod 4) mod 4.

39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 40-1 = 4 ⋅ 10 -1 = 4 ⋅ 10 - 4 + 3.

19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999 = 19000+999 = 4 ⋅ 4750 +999.

Somit gilt:

(39 + 19999) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 16) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 16) mod 4 ≡ (86 mod 4 ⋅ 16 mod 4) mod 4.

86 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 21 ⋅ 4 + 2 ist.

16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 16) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 425¹²⁸ mod 521.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 425 -> x
2. mod(x²,521) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 425¹=425

2: 425²=425¹⁺¹=425¹⋅425¹ ≡ 425⋅425=180625 ≡ 359 mod 521

4: 425⁴=425²⁺²=425²⋅425² ≡ 359⋅359=128881 ≡ 194 mod 521

8: 425⁸=425⁴⁺⁴=425⁴⋅425⁴ ≡ 194⋅194=37636 ≡ 124 mod 521

16: 425¹⁶=425⁸⁺⁸=425⁸⋅425⁸ ≡ 124⋅124=15376 ≡ 267 mod 521

32: 425³²=425¹⁶⁺¹⁶=425¹⁶⋅425¹⁶ ≡ 267⋅267=71289 ≡ 433 mod 521

64: 425⁶⁴=425³²⁺³²=425³²⋅425³² ≡ 433⋅433=187489 ≡ 450 mod 521

128: 425¹²⁸=425⁶⁴⁺⁶⁴=425⁶⁴⋅425⁶⁴ ≡ 450⋅450=202500 ≡ 352 mod 521

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 232²³¹ mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

1: 232¹=232

2: 232²=232¹⁺¹=232¹⋅232¹ ≡ 232⋅232=53824 ≡ 221 mod 443

4: 232⁴=232²⁺²=232²⋅232² ≡ 221⋅221=48841 ≡ 111 mod 443

8: 232⁸=232⁴⁺⁴=232⁴⋅232⁴ ≡ 111⋅111=12321 ≡ 360 mod 443

16: 232¹⁶=232⁸⁺⁸=232⁸⋅232⁸ ≡ 360⋅360=129600 ≡ 244 mod 443

32: 232³²=232¹⁶⁺¹⁶=232¹⁶⋅232¹⁶ ≡ 244⋅244=59536 ≡ 174 mod 443

64: 232⁶⁴=232³²⁺³²=232³²⋅232³² ≡ 174⋅174=30276 ≡ 152 mod 443

128: 232¹²⁸=232⁶⁴⁺⁶⁴=232⁶⁴⋅232⁶⁴ ≡ 152⋅152=23104 ≡ 68 mod 443

232²³¹

= 232^{128+64+32+4+2+1}

= 232¹²⁸⋅232⁶⁴⋅232³²⋅232⁴⋅232²⋅232¹

≡ 68 ⋅ 152 ⋅ 174 ⋅ 111 ⋅ 221 ⋅ 232 mod 443
≡ 10336 ⋅ 174 ⋅ 111 ⋅ 221 ⋅ 232 mod 443 ≡ 147 ⋅ 174 ⋅ 111 ⋅ 221 ⋅ 232 mod 443
≡ 25578 ⋅ 111 ⋅ 221 ⋅ 232 mod 443 ≡ 327 ⋅ 111 ⋅ 221 ⋅ 232 mod 443
≡ 36297 ⋅ 221 ⋅ 232 mod 443 ≡ 414 ⋅ 221 ⋅ 232 mod 443
≡ 91494 ⋅ 232 mod 443 ≡ 236 ⋅ 232 mod 443
≡ 54752 mod 443 ≡ 263 mod 443

Es gilt also: 232²³¹ ≡ 263 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 87.

Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87

=>101	= 1⋅87 + 14
=>87	= 6⋅14 + 3
=>14	= 4⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3) = -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 87-6⋅14	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅14 +5⋅(87 -6⋅ 14) = -1⋅14 +5⋅87 -30⋅ 14) = 5⋅87 -31⋅ 14 (=1)
14= 101-1⋅87	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅87 -31⋅(101 -1⋅ 87) = 5⋅87 -31⋅101 +31⋅ 87) = -31⋅101 +36⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(101,87)=1 = -31⋅101 +36⋅87

oder wenn man -31⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅101 = +36⋅87

Es gilt also: 36⋅87 = 31⋅101 +1

Somit 36⋅87 = 1 mod 101

36 ist also das Inverse von 87 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87

Schlüsselpaar für RSA