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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2097 + 273) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2097 + 273) mod 7 ≡ (2097 mod 7 + 273 mod 7) mod 7.
2097 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2097
= 2100
273 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 273
= 280
Somit gilt:
(2097 + 273) mod 7 ≡ (4 + 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 92) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 92) mod 6 ≡ (97 mod 6 ⋅ 92 mod 6) mod 6.
97 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 16 ⋅ 6 + 1 ist.
92 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 15 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 92) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 274128 mod 277.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 274 -> x
2. mod(x²,277) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2741=274
2: 2742=2741+1=2741⋅2741 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 9 mod 277
4: 2744=2742+2=2742⋅2742 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 277
8: 2748=2744+4=2744⋅2744 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 190 mod 277
16: 27416=2748+8=2748⋅2748 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 90 mod 277
32: 27432=27416+16=27416⋅27416 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 67 mod 277
64: 27464=27432+32=27432⋅27432 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 57 mod 277
128: 274128=27464+64=27464⋅27464 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 202 mod 277
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26290 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:
90 = 64+16+8+2
1: 2621=262
2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 49 mod 269
4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 249 mod 269
8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 131 mod 269
16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 214 mod 269
32: 26232=26216+16=26216⋅26216 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 66 mod 269
64: 26264=26232+32=26232⋅26232 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 52 mod 269
26290
= 26264+16+8+2
= 26264⋅26216⋅2628⋅2622
≡ 52 ⋅ 214 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269
≡ 11128 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269 ≡ 99 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269
≡ 12969 ⋅ 49 mod 269 ≡ 57 ⋅ 49 mod 269
≡ 2793 mod 269 ≡ 103 mod 269
Es gilt also: 26290 ≡ 103 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52
| =>59 | = 1⋅52 + 7 |
| =>52 | = 7⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 52-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52
oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅59 = -17⋅52
-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52
-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1
(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1
42⋅52 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1
Somit 42⋅52 = 1 mod 59
42 ist also das Inverse von 52 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
