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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12004 - 117) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12004 - 117) mod 6 ≡ (12004 mod 6 - 117 mod 6) mod 6.
12004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004
= 12000
117 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117
= 120
Somit gilt:
(12004 - 117) mod 6 ≡ (4 - 3) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 72) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 72) mod 11 ≡ (40 mod 11 ⋅ 72 mod 11) mod 11.
40 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 33 + 7 = 3 ⋅ 11 + 7 ist.
72 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 66 + 6 = 6 ⋅ 11 + 6 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 72) mod 11 ≡ (7 ⋅ 6) mod 11 ≡ 42 mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20316 mod 233.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 203 -> x
2. mod(x²,233) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2031=203
2: 2032=2031+1=2031⋅2031 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 201 mod 233
4: 2034=2032+2=2032⋅2032 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 92 mod 233
8: 2038=2034+4=2034⋅2034 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 76 mod 233
16: 20316=2038+8=2038⋅2038 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 184 mod 233
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 377170 mod 571.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 3771=377
2: 3772=3771+1=3771⋅3771 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 521 mod 571
4: 3774=3772+2=3772⋅3772 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 216 mod 571
8: 3778=3774+4=3774⋅3774 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 405 mod 571
16: 37716=3778+8=3778⋅3778 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 148 mod 571
32: 37732=37716+16=37716⋅37716 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 206 mod 571
64: 37764=37732+32=37732⋅37732 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 182 mod 571
128: 377128=37764+64=37764⋅37764 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 6 mod 571
377170
= 377128+32+8+2
= 377128⋅37732⋅3778⋅3772
≡ 6 ⋅ 206 ⋅ 405 ⋅ 521 mod 571
≡ 1236 ⋅ 405 ⋅ 521 mod 571 ≡ 94 ⋅ 405 ⋅ 521 mod 571
≡ 38070 ⋅ 521 mod 571 ≡ 384 ⋅ 521 mod 571
≡ 200064 mod 571 ≡ 214 mod 571
Es gilt also: 377170 ≡ 214 mod 571
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 29
| =>97 | = 3⋅29 + 10 |
| =>29 | = 2⋅10 + 9 |
| =>10 | = 1⋅9 + 1 |
| =>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-1⋅9 | |||
| 9= 29-2⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -1⋅(29 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅29 +2⋅ 10) = -1⋅29 +3⋅ 10 (=1) |
| 10= 97-3⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +3⋅(97 -3⋅ 29)
= -1⋅29 +3⋅97 -9⋅ 29) = 3⋅97 -10⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,29)=1 = 3⋅97 -10⋅29
oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅97 = -10⋅29
-10⋅29 = -3⋅97 + 1 |+97⋅29
-10⋅29 + 97⋅29 = -3⋅97 + 97⋅29 + 1
(-10 + 97) ⋅ 29 = (-3 + 29) ⋅ 97 + 1
87⋅29 = 26⋅97 + 1
Es gilt also: 87⋅29 = 26⋅97 +1
Somit 87⋅29 = 1 mod 97
87 ist also das Inverse von 29 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.