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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15001 + 1003) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15001 + 1003) mod 5 ≡ (15001 mod 5 + 1003 mod 5) mod 5.

15001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15001 = 15000+1 = 5 ⋅ 3000 +1.

1003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1003 = 1000+3 = 5 ⋅ 200 +3.

Somit gilt:

(15001 + 1003) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 47) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 47) mod 5 ≡ (31 mod 5 ⋅ 47 mod 5) mod 5.

31 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 6 ⋅ 5 + 1 ist.

47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 47) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 168128 mod 271.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 168 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1681=168

2: 1682=1681+1=1681⋅1681 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 40 mod 271

4: 1684=1682+2=1682⋅1682 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 245 mod 271

8: 1688=1684+4=1684⋅1684 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 134 mod 271

16: 16816=1688+8=1688⋅1688 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 70 mod 271

32: 16832=16816+16=16816⋅16816 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 22 mod 271

64: 16864=16832+32=16832⋅16832 ≡ 22⋅22=484 ≡ 213 mod 271

128: 168128=16864+64=16864⋅16864 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 112 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 131134 mod 251.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 134 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 134 an und zerlegen 134 in eine Summer von 2er-Potenzen:

134 = 128+4+2

1: 1311=131

2: 1312=1311+1=1311⋅1311 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 93 mod 251

4: 1314=1312+2=1312⋅1312 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 115 mod 251

8: 1318=1314+4=1314⋅1314 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 173 mod 251

16: 13116=1318+8=1318⋅1318 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 60 mod 251

32: 13132=13116+16=13116⋅13116 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 86 mod 251

64: 13164=13132+32=13132⋅13132 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 117 mod 251

128: 131128=13164+64=13164⋅13164 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 135 mod 251

131134

= 131128+4+2

= 131128⋅1314⋅1312

≡ 135 ⋅ 115 ⋅ 93 mod 251
≡ 15525 ⋅ 93 mod 251 ≡ 214 ⋅ 93 mod 251
≡ 19902 mod 251 ≡ 73 mod 251

Es gilt also: 131134 ≡ 73 mod 251

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 23

=>73 = 3⋅23 + 4
=>23 = 5⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 23-5⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(23 -5⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅23 +5⋅ 4)
= -1⋅23 +6⋅ 4 (=1)
4= 73-3⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅23 +6⋅(73 -3⋅ 23)
= -1⋅23 +6⋅73 -18⋅ 23)
= 6⋅73 -19⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(73,23)=1 = 6⋅73 -19⋅23

oder wenn man 6⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅73 = -19⋅23

-19⋅23 = -6⋅73 + 1 |+73⋅23

-19⋅23 + 73⋅23 = -6⋅73 + 73⋅23 + 1

(-19 + 73) ⋅ 23 = (-6 + 23) ⋅ 73 + 1

54⋅23 = 17⋅73 + 1

Es gilt also: 54⋅23 = 17⋅73 +1

Somit 54⋅23 = 1 mod 73

54 ist also das Inverse von 23 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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