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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (196 + 800) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(196 + 800) mod 4 ≡ (196 mod 4 + 800 mod 4) mod 4.

196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 196 = 200-4 = 4 ⋅ 50 -4 = 4 ⋅ 50 - 4 + 0.

800 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800 = 800+0 = 4 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(196 + 800) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 73) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 73) mod 8 ≡ (49 mod 8 ⋅ 73 mod 8) mod 8.

49 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 6 ⋅ 8 + 1 ist.

73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 73) mod 8 ≡ (1 ⋅ 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 256¹⁶ mod 757.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 256 -> x
2. mod(x²,757) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 256¹=256

2: 256²=256¹⁺¹=256¹⋅256¹ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 434 mod 757

4: 256⁴=256²⁺²=256²⋅256² ≡ 434⋅434=188356 ≡ 620 mod 757

8: 256⁸=256⁴⁺⁴=256⁴⋅256⁴ ≡ 620⋅620=384400 ≡ 601 mod 757

16: 256¹⁶=256⁸⁺⁸=256⁸⋅256⁸ ≡ 601⋅601=361201 ≡ 112 mod 757

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 327²¹³ mod 547.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 213 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 213 an und zerlegen 213 in eine Summer von 2er-Potenzen:

213 = 128+64+16+4+1

1: 327¹=327

2: 327²=327¹⁺¹=327¹⋅327¹ ≡ 327⋅327=106929 ≡ 264 mod 547

4: 327⁴=327²⁺²=327²⋅327² ≡ 264⋅264=69696 ≡ 227 mod 547

8: 327⁸=327⁴⁺⁴=327⁴⋅327⁴ ≡ 227⋅227=51529 ≡ 111 mod 547

16: 327¹⁶=327⁸⁺⁸=327⁸⋅327⁸ ≡ 111⋅111=12321 ≡ 287 mod 547

32: 327³²=327¹⁶⁺¹⁶=327¹⁶⋅327¹⁶ ≡ 287⋅287=82369 ≡ 319 mod 547

64: 327⁶⁴=327³²⁺³²=327³²⋅327³² ≡ 319⋅319=101761 ≡ 19 mod 547

128: 327¹²⁸=327⁶⁴⁺⁶⁴=327⁶⁴⋅327⁶⁴ ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 547

327²¹³

= 327^{128+64+16+4+1}

= 327¹²⁸⋅327⁶⁴⋅327¹⁶⋅327⁴⋅327¹

≡ 361 ⋅ 19 ⋅ 287 ⋅ 227 ⋅ 327 mod 547
≡ 6859 ⋅ 287 ⋅ 227 ⋅ 327 mod 547 ≡ 295 ⋅ 287 ⋅ 227 ⋅ 327 mod 547
≡ 84665 ⋅ 227 ⋅ 327 mod 547 ≡ 427 ⋅ 227 ⋅ 327 mod 547
≡ 96929 ⋅ 327 mod 547 ≡ 110 ⋅ 327 mod 547
≡ 35970 mod 547 ≡ 415 mod 547

Es gilt also: 327²¹³ ≡ 415 mod 547

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 51.

Also bestimme x, so dass 51 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 51

=>67	= 1⋅51 + 16
=>51	= 3⋅16 + 3
=>16	= 5⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,51)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-5⋅3
3= 51-3⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅16 -5⋅(51 -3⋅ 16) = 1⋅16 -5⋅51 +15⋅ 16) = -5⋅51 +16⋅ 16 (=1)
16= 67-1⋅51	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅51 +16⋅(67 -1⋅ 51) = -5⋅51 +16⋅67 -16⋅ 51) = 16⋅67 -21⋅ 51 (=1)

Es gilt also: ggt(67,51)=1 = 16⋅67 -21⋅51

oder wenn man 16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -16⋅67 = -21⋅51

-21⋅51 = -16⋅67 + 1 |+67⋅51

-21⋅51 + 67⋅51 = -16⋅67 + 67⋅51 + 1

(-21 + 67) ⋅ 51 = (-16 + 51) ⋅ 67 + 1

46⋅51 = 35⋅67 + 1

Es gilt also: 46⋅51 = 35⋅67 +1

Somit 46⋅51 = 1 mod 67

46 ist also das Inverse von 51 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 51

Schlüsselpaar für RSA