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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (902 - 2998) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(902 - 2998) mod 3 ≡ (902 mod 3 - 2998 mod 3) mod 3.

902 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 902 = 900+2 = 3 ⋅ 300 +2.

2998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998 = 3000-2 = 3 ⋅ 1000 -2 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(902 - 2998) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 25) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 25) mod 9 ≡ (81 mod 9 ⋅ 25 mod 9) mod 9.

81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 9 ⋅ 9 + 0 ist.

25 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 18 + 7 = 2 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 25) mod 9 ≡ (0 ⋅ 7) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 59016 mod 971.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 590 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5901=590

2: 5902=5901+1=5901⋅5901 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 482 mod 971

4: 5904=5902+2=5902⋅5902 ≡ 482⋅482=232324 ≡ 255 mod 971

8: 5908=5904+4=5904⋅5904 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 939 mod 971

16: 59016=5908+8=5908⋅5908 ≡ 939⋅939=881721 ≡ 53 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17468 mod 379.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 68 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 68 an und zerlegen 68 in eine Summer von 2er-Potenzen:

68 = 64+4

1: 1741=174

2: 1742=1741+1=1741⋅1741 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 335 mod 379

4: 1744=1742+2=1742⋅1742 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 41 mod 379

8: 1748=1744+4=1744⋅1744 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 165 mod 379

16: 17416=1748+8=1748⋅1748 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 316 mod 379

32: 17432=17416+16=17416⋅17416 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 179 mod 379

64: 17464=17432+32=17432⋅17432 ≡ 179⋅179=32041 ≡ 205 mod 379

17468

= 17464+4

= 17464⋅1744

≡ 205 ⋅ 41 mod 379
≡ 8405 mod 379 ≡ 67 mod 379

Es gilt also: 17468 ≡ 67 mod 379

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 78.

Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78

=>97 = 1⋅78 + 19
=>78 = 4⋅19 + 2
=>19 = 9⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,78)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 78-4⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19)
= -9⋅78 +37⋅ 19 (=1)
19= 97-1⋅78 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78)
= -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78)
= 37⋅97 -46⋅ 78 (=1)

Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78

oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -37⋅97 = -46⋅78

-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78

-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1

(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1

51⋅78 = 41⋅97 + 1

Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1

Somit 51⋅78 = 1 mod 97

51 ist also das Inverse von 78 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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