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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12003 + 202) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12003 + 202) mod 4 ≡ (12003 mod 4 + 202 mod 4) mod 4.
12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003
= 12000
202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202
= 200
Somit gilt:
(12003 + 202) mod 4 ≡ (3 + 2) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 50) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 50) mod 9 ≡ (75 mod 9 ⋅ 50 mod 9) mod 9.
75 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 8 ⋅ 9 + 3 ist.
50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 50) mod 9 ≡ (3 ⋅ 5) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36932 mod 617.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 369 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3691=369
2: 3692=3691+1=3691⋅3691 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 421 mod 617
4: 3694=3692+2=3692⋅3692 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 162 mod 617
8: 3698=3694+4=3694⋅3694 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 330 mod 617
16: 36916=3698+8=3698⋅3698 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 308 mod 617
32: 36932=36916+16=36916⋅36916 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 463 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 323158 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 3231=323
2: 3232=3231+1=3231⋅3231 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 119 mod 613
4: 3234=3232+2=3232⋅3232 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 62 mod 613
8: 3238=3234+4=3234⋅3234 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 166 mod 613
16: 32316=3238+8=3238⋅3238 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 584 mod 613
32: 32332=32316+16=32316⋅32316 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 228 mod 613
64: 32364=32332+32=32332⋅32332 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 492 mod 613
128: 323128=32364+64=32364⋅32364 ≡ 492⋅492=242064 ≡ 542 mod 613
323158
= 323128+16+8+4+2
= 323128⋅32316⋅3238⋅3234⋅3232
≡ 542 ⋅ 584 ⋅ 166 ⋅ 62 ⋅ 119 mod 613
≡ 316528 ⋅ 166 ⋅ 62 ⋅ 119 mod 613 ≡ 220 ⋅ 166 ⋅ 62 ⋅ 119 mod 613
≡ 36520 ⋅ 62 ⋅ 119 mod 613 ≡ 353 ⋅ 62 ⋅ 119 mod 613
≡ 21886 ⋅ 119 mod 613 ≡ 431 ⋅ 119 mod 613
≡ 51289 mod 613 ≡ 410 mod 613
Es gilt also: 323158 ≡ 410 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 32
| =>59 | = 1⋅32 + 27 |
| =>32 | = 1⋅27 + 5 |
| =>27 | = 5⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 27-5⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(27 -5⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅27 +10⋅ 5) = -2⋅27 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅27 +11⋅(32 -1⋅ 27)
= -2⋅27 +11⋅32 -11⋅ 27) = 11⋅32 -13⋅ 27 (=1) |
| 27= 59-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 11⋅32 -13⋅(59 -1⋅ 32)
= 11⋅32 -13⋅59 +13⋅ 32) = -13⋅59 +24⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,32)=1 = -13⋅59 +24⋅32
oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅59 = +24⋅32
Es gilt also: 24⋅32 = 13⋅59 +1
Somit 24⋅32 = 1 mod 59
24 ist also das Inverse von 32 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.