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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27996 + 6993) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27996 + 6993) mod 7 ≡ (27996 mod 7 + 6993 mod 7) mod 7.

27996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27996 = 28000-4 = 7 ⋅ 4000 -4 = 7 ⋅ 4000 - 7 + 3.

6993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6993 = 7000-7 = 7 ⋅ 1000 -7 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 0.

Somit gilt:

(27996 + 6993) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 96) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 96) mod 10 ≡ (35 mod 10 ⋅ 96 mod 10) mod 10.

35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.

96 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 9 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 96) mod 10 ≡ (5 ⋅ 6) mod 10 ≡ 30 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 252⁶⁴ mod 523.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 252 -> x
2. mod(x²,523) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 252¹=252

2: 252²=252¹⁺¹=252¹⋅252¹ ≡ 252⋅252=63504 ≡ 221 mod 523

4: 252⁴=252²⁺²=252²⋅252² ≡ 221⋅221=48841 ≡ 202 mod 523

8: 252⁸=252⁴⁺⁴=252⁴⋅252⁴ ≡ 202⋅202=40804 ≡ 10 mod 523

16: 252¹⁶=252⁸⁺⁸=252⁸⋅252⁸ ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 523

32: 252³²=252¹⁶⁺¹⁶=252¹⁶⋅252¹⁶ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 63 mod 523

64: 252⁶⁴=252³²⁺³²=252³²⋅252³² ≡ 63⋅63=3969 ≡ 308 mod 523

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 262¹⁸⁵ mod 353.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

1: 262¹=262

2: 262²=262¹⁺¹=262¹⋅262¹ ≡ 262⋅262=68644 ≡ 162 mod 353

4: 262⁴=262²⁺²=262²⋅262² ≡ 162⋅162=26244 ≡ 122 mod 353

8: 262⁸=262⁴⁺⁴=262⁴⋅262⁴ ≡ 122⋅122=14884 ≡ 58 mod 353

16: 262¹⁶=262⁸⁺⁸=262⁸⋅262⁸ ≡ 58⋅58=3364 ≡ 187 mod 353

32: 262³²=262¹⁶⁺¹⁶=262¹⁶⋅262¹⁶ ≡ 187⋅187=34969 ≡ 22 mod 353

64: 262⁶⁴=262³²⁺³²=262³²⋅262³² ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353

128: 262¹²⁸=262⁶⁴⁺⁶⁴=262⁶⁴⋅262⁶⁴ ≡ 131⋅131=17161 ≡ 217 mod 353

262¹⁸⁵

= 262^{128+32+16+8+1}

= 262¹²⁸⋅262³²⋅262¹⁶⋅262⁸⋅262¹

≡ 217 ⋅ 22 ⋅ 187 ⋅ 58 ⋅ 262 mod 353
≡ 4774 ⋅ 187 ⋅ 58 ⋅ 262 mod 353 ≡ 185 ⋅ 187 ⋅ 58 ⋅ 262 mod 353
≡ 34595 ⋅ 58 ⋅ 262 mod 353 ≡ 1 ⋅ 58 ⋅ 262 mod 353
≡ 58 ⋅ 262 mod 353
≡ 15196 mod 353 ≡ 17 mod 353

Es gilt also: 262¹⁸⁵ ≡ 17 mod 353

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34

=>83	= 2⋅34 + 15
=>34	= 2⋅15 + 4
=>15	= 3⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 34-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅15 +4⋅(34 -2⋅ 15) = -1⋅15 +4⋅34 -8⋅ 15) = 4⋅34 -9⋅ 15 (=1)
15= 83-2⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅34 -9⋅(83 -2⋅ 34) = 4⋅34 -9⋅83 +18⋅ 34) = -9⋅83 +22⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(83,34)=1 = -9⋅83 +22⋅34

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +22⋅34

Es gilt also: 22⋅34 = 9⋅83 +1

Somit 22⋅34 = 1 mod 83

22 ist also das Inverse von 34 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 34

Schlüsselpaar für RSA