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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 - 2500) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 - 2500) mod 5 ≡ (50 mod 5 - 2500 mod 5) mod 5.

50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50+0 = 5 ⋅ 10 +0.

2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500 = 2500+0 = 5 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(50 - 2500) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 60) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 60) mod 8 ≡ (87 mod 8 ⋅ 60 mod 8) mod 8.

87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 10 ⋅ 8 + 7 ist.

60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 60) mod 8 ≡ (7 ⋅ 4) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25632 mod 353.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 256 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2561=256

2: 2562=2561+1=2561⋅2561 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 231 mod 353

4: 2564=2562+2=2562⋅2562 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 58 mod 353

8: 2568=2564+4=2564⋅2564 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 187 mod 353

16: 25616=2568+8=2568⋅2568 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 22 mod 353

32: 25632=25616+16=25616⋅25616 ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 643190 mod 739.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

1: 6431=643

2: 6432=6431+1=6431⋅6431 ≡ 643⋅643=413449 ≡ 348 mod 739

4: 6434=6432+2=6432⋅6432 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 647 mod 739

8: 6438=6434+4=6434⋅6434 ≡ 647⋅647=418609 ≡ 335 mod 739

16: 64316=6438+8=6438⋅6438 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 636 mod 739

32: 64332=64316+16=64316⋅64316 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 263 mod 739

64: 64364=64332+32=64332⋅64332 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 442 mod 739

128: 643128=64364+64=64364⋅64364 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 268 mod 739

643190

= 643128+32+16+8+4+2

= 643128⋅64332⋅64316⋅6438⋅6434⋅6432

268 ⋅ 263 ⋅ 636 ⋅ 335 ⋅ 647 ⋅ 348 mod 739
70484 ⋅ 636 ⋅ 335 ⋅ 647 ⋅ 348 mod 739 ≡ 279 ⋅ 636 ⋅ 335 ⋅ 647 ⋅ 348 mod 739
177444 ⋅ 335 ⋅ 647 ⋅ 348 mod 739 ≡ 84 ⋅ 335 ⋅ 647 ⋅ 348 mod 739
28140 ⋅ 647 ⋅ 348 mod 739 ≡ 58 ⋅ 647 ⋅ 348 mod 739
37526 ⋅ 348 mod 739 ≡ 576 ⋅ 348 mod 739
200448 mod 739 ≡ 179 mod 739

Es gilt also: 643190 ≡ 179 mod 739

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 43

=>83 = 1⋅43 + 40
=>43 = 1⋅40 + 3
=>40 = 13⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 40-13⋅3
3= 43-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅40 -13⋅(43 -1⋅ 40)
= 1⋅40 -13⋅43 +13⋅ 40)
= -13⋅43 +14⋅ 40 (=1)
40= 83-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -13⋅43 +14⋅(83 -1⋅ 43)
= -13⋅43 +14⋅83 -14⋅ 43)
= 14⋅83 -27⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(83,43)=1 = 14⋅83 -27⋅43

oder wenn man 14⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -14⋅83 = -27⋅43

-27⋅43 = -14⋅83 + 1 |+83⋅43

-27⋅43 + 83⋅43 = -14⋅83 + 83⋅43 + 1

(-27 + 83) ⋅ 43 = (-14 + 43) ⋅ 83 + 1

56⋅43 = 29⋅83 + 1

Es gilt also: 56⋅43 = 29⋅83 +1

Somit 56⋅43 = 1 mod 83

56 ist also das Inverse von 43 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.