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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (301 - 2397) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(301 - 2397) mod 6 ≡ (301 mod 6 - 2397 mod 6) mod 6.

301 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301 = 300+1 = 6 ⋅ 50 +1.

2397 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397 = 2400-3 = 6 ⋅ 400 -3 = 6 ⋅ 400 - 6 + 3.

Somit gilt:

(301 - 2397) mod 6 ≡ (1 - 3) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 28) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 28) mod 4 ≡ (78 mod 4 ⋅ 28 mod 4) mod 4.

78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 76 + 2 = 19 ⋅ 4 + 2 ist.

28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 28) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 537⁶⁴ mod 571.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 537 -> x
2. mod(x²,571) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 537¹=537

2: 537²=537¹⁺¹=537¹⋅537¹ ≡ 537⋅537=288369 ≡ 14 mod 571

4: 537⁴=537²⁺²=537²⋅537² ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 571

8: 537⁸=537⁴⁺⁴=537⁴⋅537⁴ ≡ 196⋅196=38416 ≡ 159 mod 571

16: 537¹⁶=537⁸⁺⁸=537⁸⋅537⁸ ≡ 159⋅159=25281 ≡ 157 mod 571

32: 537³²=537¹⁶⁺¹⁶=537¹⁶⋅537¹⁶ ≡ 157⋅157=24649 ≡ 96 mod 571

64: 537⁶⁴=537³²⁺³²=537³²⋅537³² ≡ 96⋅96=9216 ≡ 80 mod 571

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 437²⁵⁰ mod 983.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

1: 437¹=437

2: 437²=437¹⁺¹=437¹⋅437¹ ≡ 437⋅437=190969 ≡ 267 mod 983

4: 437⁴=437²⁺²=437²⋅437² ≡ 267⋅267=71289 ≡ 513 mod 983

8: 437⁸=437⁴⁺⁴=437⁴⋅437⁴ ≡ 513⋅513=263169 ≡ 708 mod 983

16: 437¹⁶=437⁸⁺⁸=437⁸⋅437⁸ ≡ 708⋅708=501264 ≡ 917 mod 983

32: 437³²=437¹⁶⁺¹⁶=437¹⁶⋅437¹⁶ ≡ 917⋅917=840889 ≡ 424 mod 983

64: 437⁶⁴=437³²⁺³²=437³²⋅437³² ≡ 424⋅424=179776 ≡ 870 mod 983

128: 437¹²⁸=437⁶⁴⁺⁶⁴=437⁶⁴⋅437⁶⁴ ≡ 870⋅870=756900 ≡ 973 mod 983

437²⁵⁰

= 437^{128+64+32+16+8+2}

= 437¹²⁸⋅437⁶⁴⋅437³²⋅437¹⁶⋅437⁸⋅437²

≡ 973 ⋅ 870 ⋅ 424 ⋅ 917 ⋅ 708 ⋅ 267 mod 983
≡ 846510 ⋅ 424 ⋅ 917 ⋅ 708 ⋅ 267 mod 983 ≡ 147 ⋅ 424 ⋅ 917 ⋅ 708 ⋅ 267 mod 983
≡ 62328 ⋅ 917 ⋅ 708 ⋅ 267 mod 983 ≡ 399 ⋅ 917 ⋅ 708 ⋅ 267 mod 983
≡ 365883 ⋅ 708 ⋅ 267 mod 983 ≡ 207 ⋅ 708 ⋅ 267 mod 983
≡ 146556 ⋅ 267 mod 983 ≡ 89 ⋅ 267 mod 983
≡ 23763 mod 983 ≡ 171 mod 983

Es gilt also: 437²⁵⁰ ≡ 171 mod 983

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

=>61	= 1⋅50 + 11
=>50	= 4⋅11 + 6
=>11	= 1⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6) = -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 50-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11) = -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11) = 2⋅50 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50) = 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50) = -9⋅61 +11⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +11⋅50

Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1

Somit 11⋅50 = 1 mod 61

11 ist also das Inverse von 50 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

Schlüsselpaar für RSA