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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16005 - 23992) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16005 - 23992) mod 8 ≡ (16005 mod 8 - 23992 mod 8) mod 8.

16005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16005 = 16000+5 = 8 ⋅ 2000 +5.

23992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23992 = 23000+992 = 8 ⋅ 2875 +992.

Somit gilt:

(16005 - 23992) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 20) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 20) mod 10 ≡ (55 mod 10 ⋅ 20 mod 10) mod 10.

55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.

20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 20) mod 10 ≡ (5 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 281¹²⁸ mod 919.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 281 -> x
2. mod(x²,919) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 281¹=281

2: 281²=281¹⁺¹=281¹⋅281¹ ≡ 281⋅281=78961 ≡ 846 mod 919

4: 281⁴=281²⁺²=281²⋅281² ≡ 846⋅846=715716 ≡ 734 mod 919

8: 281⁸=281⁴⁺⁴=281⁴⋅281⁴ ≡ 734⋅734=538756 ≡ 222 mod 919

16: 281¹⁶=281⁸⁺⁸=281⁸⋅281⁸ ≡ 222⋅222=49284 ≡ 577 mod 919

32: 281³²=281¹⁶⁺¹⁶=281¹⁶⋅281¹⁶ ≡ 577⋅577=332929 ≡ 251 mod 919

64: 281⁶⁴=281³²⁺³²=281³²⋅281³² ≡ 251⋅251=63001 ≡ 509 mod 919

128: 281¹²⁸=281⁶⁴⁺⁶⁴=281⁶⁴⋅281⁶⁴ ≡ 509⋅509=259081 ≡ 842 mod 919

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 376²⁴⁶ mod 761.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 246 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 246 an und zerlegen 246 in eine Summer von 2er-Potenzen:

246 = 128+64+32+16+4+2

1: 376¹=376

2: 376²=376¹⁺¹=376¹⋅376¹ ≡ 376⋅376=141376 ≡ 591 mod 761

4: 376⁴=376²⁺²=376²⋅376² ≡ 591⋅591=349281 ≡ 743 mod 761

8: 376⁸=376⁴⁺⁴=376⁴⋅376⁴ ≡ 743⋅743=552049 ≡ 324 mod 761

16: 376¹⁶=376⁸⁺⁸=376⁸⋅376⁸ ≡ 324⋅324=104976 ≡ 719 mod 761

32: 376³²=376¹⁶⁺¹⁶=376¹⁶⋅376¹⁶ ≡ 719⋅719=516961 ≡ 242 mod 761

64: 376⁶⁴=376³²⁺³²=376³²⋅376³² ≡ 242⋅242=58564 ≡ 728 mod 761

128: 376¹²⁸=376⁶⁴⁺⁶⁴=376⁶⁴⋅376⁶⁴ ≡ 728⋅728=529984 ≡ 328 mod 761

376²⁴⁶

= 376^{128+64+32+16+4+2}

= 376¹²⁸⋅376⁶⁴⋅376³²⋅376¹⁶⋅376⁴⋅376²

≡ 328 ⋅ 728 ⋅ 242 ⋅ 719 ⋅ 743 ⋅ 591 mod 761
≡ 238784 ⋅ 242 ⋅ 719 ⋅ 743 ⋅ 591 mod 761 ≡ 591 ⋅ 242 ⋅ 719 ⋅ 743 ⋅ 591 mod 761
≡ 143022 ⋅ 719 ⋅ 743 ⋅ 591 mod 761 ≡ 715 ⋅ 719 ⋅ 743 ⋅ 591 mod 761
≡ 514085 ⋅ 743 ⋅ 591 mod 761 ≡ 410 ⋅ 743 ⋅ 591 mod 761
≡ 304630 ⋅ 591 mod 761 ≡ 230 ⋅ 591 mod 761
≡ 135930 mod 761 ≡ 472 mod 761

Es gilt also: 376²⁴⁶ ≡ 472 mod 761

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 68

=>79	= 1⋅68 + 11
=>68	= 6⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 68-6⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(68 -6⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅68 +30⋅ 11) = -5⋅68 +31⋅ 11 (=1)
11= 79-1⋅68	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅68 +31⋅(79 -1⋅ 68) = -5⋅68 +31⋅79 -31⋅ 68) = 31⋅79 -36⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(79,68)=1 = 31⋅79 -36⋅68

oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -31⋅79 = -36⋅68

-36⋅68 = -31⋅79 + 1 |+79⋅68

-36⋅68 + 79⋅68 = -31⋅79 + 79⋅68 + 1

(-36 + 79) ⋅ 68 = (-31 + 68) ⋅ 79 + 1

43⋅68 = 37⋅79 + 1

Es gilt also: 43⋅68 = 37⋅79 +1

Somit 43⋅68 = 1 mod 79

43 ist also das Inverse von 68 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 68

Schlüsselpaar für RSA