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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5998 - 3000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5998 - 3000) mod 3 ≡ (5998 mod 3 - 3000 mod 3) mod 3.

5998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 3 ⋅ 2000 -2 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 1.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(5998 - 3000) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 52) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 52) mod 6 ≡ (78 mod 6 ⋅ 52 mod 6) mod 6.

78 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 78 + 0 = 13 ⋅ 6 + 0 ist.

52 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 8 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 52) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 47764 mod 941.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 477 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4771=477

2: 4772=4771+1=4771⋅4771 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 748 mod 941

4: 4774=4772+2=4772⋅4772 ≡ 748⋅748=559504 ≡ 550 mod 941

8: 4778=4774+4=4774⋅4774 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 439 mod 941

16: 47716=4778+8=4778⋅4778 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 757 mod 941

32: 47732=47716+16=47716⋅47716 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 921 mod 941

64: 47764=47732+32=47732⋅47732 ≡ 921⋅921=848241 ≡ 400 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 50390 mod 509.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:

90 = 64+16+8+2

1: 5031=503

2: 5032=5031+1=5031⋅5031 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 36 mod 509

4: 5034=5032+2=5032⋅5032 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 278 mod 509

8: 5038=5034+4=5034⋅5034 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 425 mod 509

16: 50316=5038+8=5038⋅5038 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 439 mod 509

32: 50332=50316+16=50316⋅50316 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 319 mod 509

64: 50364=50332+32=50332⋅50332 ≡ 319⋅319=101761 ≡ 470 mod 509

50390

= 50364+16+8+2

= 50364⋅50316⋅5038⋅5032

≡ 470 ⋅ 439 ⋅ 425 ⋅ 36 mod 509
≡ 206330 ⋅ 425 ⋅ 36 mod 509 ≡ 185 ⋅ 425 ⋅ 36 mod 509
≡ 78625 ⋅ 36 mod 509 ≡ 239 ⋅ 36 mod 509
≡ 8604 mod 509 ≡ 460 mod 509

Es gilt also: 50390 ≡ 460 mod 509

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 21.

Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 21

=>59 = 2⋅21 + 17
=>21 = 1⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17)
= -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅21 +5⋅(59 -2⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅59 -10⋅ 21)
= 5⋅59 -14⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(59,21)=1 = 5⋅59 -14⋅21

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -14⋅21

-14⋅21 = -5⋅59 + 1 |+59⋅21

-14⋅21 + 59⋅21 = -5⋅59 + 59⋅21 + 1

(-14 + 59) ⋅ 21 = (-5 + 21) ⋅ 59 + 1

45⋅21 = 16⋅59 + 1

Es gilt also: 45⋅21 = 16⋅59 +1

Somit 45⋅21 = 1 mod 59

45 ist also das Inverse von 21 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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