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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1599 - 1601) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1599 - 1601) mod 4 ≡ (1599 mod 4 - 1601 mod 4) mod 4.
1599 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1599
= 1500
1601 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601
= 1600
Somit gilt:
(1599 - 1601) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 34) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 34) mod 3 ≡ (68 mod 3 ⋅ 34 mod 3) mod 3.
68 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 22 ⋅ 3 + 2 ist.
34 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 11 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 34) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 20664 mod 313.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 206 -> x
2. mod(x²,313) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2061=206
2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 181 mod 313
4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 209 mod 313
8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 174 mod 313
16: 20616=2068+8=2068⋅2068 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 228 mod 313
32: 20632=20616+16=20616⋅20616 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 26 mod 313
64: 20664=20632+32=20632⋅20632 ≡ 26⋅26=676 ≡ 50 mod 313
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 262218 mod 269.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:
218 = 128+64+16+8+2
1: 2621=262
2: 2622=2621+1=2621⋅2621 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 49 mod 269
4: 2624=2622+2=2622⋅2622 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 249 mod 269
8: 2628=2624+4=2624⋅2624 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 131 mod 269
16: 26216=2628+8=2628⋅2628 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 214 mod 269
32: 26232=26216+16=26216⋅26216 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 66 mod 269
64: 26264=26232+32=26232⋅26232 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 52 mod 269
128: 262128=26264+64=26264⋅26264 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 14 mod 269
262218
= 262128+64+16+8+2
= 262128⋅26264⋅26216⋅2628⋅2622
≡ 14 ⋅ 52 ⋅ 214 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269
≡ 728 ⋅ 214 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269 ≡ 190 ⋅ 214 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269
≡ 40660 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269 ≡ 41 ⋅ 131 ⋅ 49 mod 269
≡ 5371 ⋅ 49 mod 269 ≡ 260 ⋅ 49 mod 269
≡ 12740 mod 269 ≡ 97 mod 269
Es gilt also: 262218 ≡ 97 mod 269
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72
| =>79 | = 1⋅72 + 7 |
| =>72 | = 10⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 72-10⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7) = -3⋅72 +31⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72)
= -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72) = 31⋅79 -34⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72
oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -31⋅79 = -34⋅72
-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72
-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1
(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1
45⋅72 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1
Somit 45⋅72 = 1 mod 79
45 ist also das Inverse von 72 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
