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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (301 - 301) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(301 - 301) mod 3 ≡ (301 mod 3 - 301 mod 3) mod 3.

301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301 = 300+1 = 3 ⋅ 100 +1.

Somit gilt:

(301 - 301) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 73) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 73) mod 10 ≡ (80 mod 10 ⋅ 73 mod 10) mod 10.

80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.

73 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 7 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 73) mod 10 ≡ (0 ⋅ 3) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 596⁸ mod 661.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 596 -> x
2. mod(x²,661) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 596¹=596

2: 596²=596¹⁺¹=596¹⋅596¹ ≡ 596⋅596=355216 ≡ 259 mod 661

4: 596⁴=596²⁺²=596²⋅596² ≡ 259⋅259=67081 ≡ 320 mod 661

8: 596⁸=596⁴⁺⁴=596⁴⋅596⁴ ≡ 320⋅320=102400 ≡ 606 mod 661

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 114⁹⁵ mod 283.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:

95 = 64+16+8+4+2+1

1: 114¹=114

2: 114²=114¹⁺¹=114¹⋅114¹ ≡ 114⋅114=12996 ≡ 261 mod 283

4: 114⁴=114²⁺²=114²⋅114² ≡ 261⋅261=68121 ≡ 201 mod 283

8: 114⁸=114⁴⁺⁴=114⁴⋅114⁴ ≡ 201⋅201=40401 ≡ 215 mod 283

16: 114¹⁶=114⁸⁺⁸=114⁸⋅114⁸ ≡ 215⋅215=46225 ≡ 96 mod 283

32: 114³²=114¹⁶⁺¹⁶=114¹⁶⋅114¹⁶ ≡ 96⋅96=9216 ≡ 160 mod 283

64: 114⁶⁴=114³²⁺³²=114³²⋅114³² ≡ 160⋅160=25600 ≡ 130 mod 283

114⁹⁵

= 114^{64+16+8+4+2+1}

= 114⁶⁴⋅114¹⁶⋅114⁸⋅114⁴⋅114²⋅114¹

≡ 130 ⋅ 96 ⋅ 215 ⋅ 201 ⋅ 261 ⋅ 114 mod 283
≡ 12480 ⋅ 215 ⋅ 201 ⋅ 261 ⋅ 114 mod 283 ≡ 28 ⋅ 215 ⋅ 201 ⋅ 261 ⋅ 114 mod 283
≡ 6020 ⋅ 201 ⋅ 261 ⋅ 114 mod 283 ≡ 77 ⋅ 201 ⋅ 261 ⋅ 114 mod 283
≡ 15477 ⋅ 261 ⋅ 114 mod 283 ≡ 195 ⋅ 261 ⋅ 114 mod 283
≡ 50895 ⋅ 114 mod 283 ≡ 238 ⋅ 114 mod 283
≡ 27132 mod 283 ≡ 247 mod 283

Es gilt also: 114⁹⁵ ≡ 247 mod 283

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 45

=>83	= 1⋅45 + 38
=>45	= 1⋅38 + 7
=>38	= 5⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 38-5⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7) = -2⋅38 +11⋅ 7 (=1)
7= 45-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅38 +11⋅(45 -1⋅ 38) = -2⋅38 +11⋅45 -11⋅ 38) = 11⋅45 -13⋅ 38 (=1)
38= 83-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅45 -13⋅(83 -1⋅ 45) = 11⋅45 -13⋅83 +13⋅ 45) = -13⋅83 +24⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(83,45)=1 = -13⋅83 +24⋅45

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +24⋅45

Es gilt also: 24⋅45 = 13⋅83 +1

Somit 24⋅45 = 1 mod 83

24 ist also das Inverse von 45 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 45

Schlüsselpaar für RSA