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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (7997 - 202) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(7997 - 202) mod 4 ≡ (7997 mod 4 - 202 mod 4) mod 4.
7997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7997
= 7000
202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202
= 200
Somit gilt:
(7997 - 202) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 88) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 88) mod 8 ≡ (64 mod 8 ⋅ 88 mod 8) mod 8.
64 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 8 ⋅ 8 + 0 ist.
88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 88) mod 8 ≡ (0 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2708 mod 443.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 270 -> x
2. mod(x²,443) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2701=270
2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 248 mod 443
4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 370 mod 443
8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 13 mod 443
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 481169 mod 521.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 4811=481
2: 4812=4811+1=4811⋅4811 ≡ 481⋅481=231361 ≡ 37 mod 521
4: 4814=4812+2=4812⋅4812 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 327 mod 521
8: 4818=4814+4=4814⋅4814 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 124 mod 521
16: 48116=4818+8=4818⋅4818 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 267 mod 521
32: 48132=48116+16=48116⋅48116 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 433 mod 521
64: 48164=48132+32=48132⋅48132 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 450 mod 521
128: 481128=48164+64=48164⋅48164 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 352 mod 521
481169
= 481128+32+8+1
= 481128⋅48132⋅4818⋅4811
≡ 352 ⋅ 433 ⋅ 124 ⋅ 481 mod 521
≡ 152416 ⋅ 124 ⋅ 481 mod 521 ≡ 284 ⋅ 124 ⋅ 481 mod 521
≡ 35216 ⋅ 481 mod 521 ≡ 309 ⋅ 481 mod 521
≡ 148629 mod 521 ≡ 144 mod 521
Es gilt also: 481169 ≡ 144 mod 521
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32
| =>73 | = 2⋅32 + 9 |
| =>32 | = 3⋅9 + 5 |
| =>9 | = 1⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 9-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1) |
| 5= 32-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9)
= -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9) = 2⋅32 -7⋅ 9 (=1) |
| 9= 73-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32)
= 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32) = -7⋅73 +16⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32
oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅73 = +16⋅32
Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1
Somit 16⋅32 = 1 mod 73
16 ist also das Inverse von 32 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.