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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6998 + 35005) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6998 + 35005) mod 7 ≡ (6998 mod 7 + 35005 mod 7) mod 7.

6998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6998 = 7000-2 = 7 ⋅ 1000 -2 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 5.

35005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35005 = 35000+5 = 7 ⋅ 5000 +5.

Somit gilt:

(6998 + 35005) mod 7 ≡ (5 + 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 41) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 41) mod 10 ≡ (63 mod 10 ⋅ 41 mod 10) mod 10.

63 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 6 ⋅ 10 + 3 ist.

41 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 40 + 1 = 4 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 41) mod 10 ≡ (3 ⋅ 1) mod 10 ≡ 3 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2768 mod 673.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 276 -> x
2. mod(x²,673) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2761=276

2: 2762=2761+1=2761⋅2761 ≡ 276⋅276=76176 ≡ 127 mod 673

4: 2764=2762+2=2762⋅2762 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 650 mod 673

8: 2768=2764+4=2764⋅2764 ≡ 650⋅650=422500 ≡ 529 mod 673

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 240104 mod 593.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:

104 = 64+32+8

1: 2401=240

2: 2402=2401+1=2401⋅2401 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 79 mod 593

4: 2404=2402+2=2402⋅2402 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 311 mod 593

8: 2408=2404+4=2404⋅2404 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 62 mod 593

16: 24016=2408+8=2408⋅2408 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 286 mod 593

32: 24032=24016+16=24016⋅24016 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 555 mod 593

64: 24064=24032+32=24032⋅24032 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 258 mod 593

240104

= 24064+32+8

= 24064⋅24032⋅2408

≡ 258 ⋅ 555 ⋅ 62 mod 593
≡ 143190 ⋅ 62 mod 593 ≡ 277 ⋅ 62 mod 593
≡ 17174 mod 593 ≡ 570 mod 593

Es gilt also: 240104 ≡ 570 mod 593

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 26.

Also bestimme x, so dass 26 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 26

=>59 = 2⋅26 + 7
=>26 = 3⋅7 + 5
=>7 = 1⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,26)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 7-1⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5)
= -2⋅7 +3⋅ 5 (=1)
5= 26-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅7 +3⋅(26 -3⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅26 -9⋅ 7)
= 3⋅26 -11⋅ 7 (=1)
7= 59-2⋅26 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅26 -11⋅(59 -2⋅ 26)
= 3⋅26 -11⋅59 +22⋅ 26)
= -11⋅59 +25⋅ 26 (=1)

Es gilt also: ggt(59,26)=1 = -11⋅59 +25⋅26

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +25⋅26

Es gilt also: 25⋅26 = 11⋅59 +1

Somit 25⋅26 = 1 mod 59

25 ist also das Inverse von 26 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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