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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (60 - 149) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(60 - 149) mod 3 ≡ (60 mod 3 - 149 mod 3) mod 3.
60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60
= 60
149 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 149
= 150
Somit gilt:
(60 - 149) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 46) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(87 ⋅ 46) mod 3 ≡ (87 mod 3 ⋅ 46 mod 3) mod 3.
87 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 87 + 0 = 29 ⋅ 3 + 0 ist.
46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(87 ⋅ 46) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 343128 mod 929.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 343 -> x
2. mod(x²,929) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3431=343
2: 3432=3431+1=3431⋅3431 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 595 mod 929
4: 3434=3432+2=3432⋅3432 ≡ 595⋅595=354025 ≡ 76 mod 929
8: 3438=3434+4=3434⋅3434 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 202 mod 929
16: 34316=3438+8=3438⋅3438 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 857 mod 929
32: 34332=34316+16=34316⋅34316 ≡ 857⋅857=734449 ≡ 539 mod 929
64: 34364=34332+32=34332⋅34332 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 673 mod 929
128: 343128=34364+64=34364⋅34364 ≡ 673⋅673=452929 ≡ 506 mod 929
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 362125 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 125 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 125 an und zerlegen 125 in eine Summer von 2er-Potenzen:
125 = 64+32+16+8+4+1
1: 3621=362
2: 3622=3621+1=3621⋅3621 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 370 mod 751
4: 3624=3622+2=3622⋅3622 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 218 mod 751
8: 3628=3624+4=3624⋅3624 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 211 mod 751
16: 36216=3628+8=3628⋅3628 ≡ 211⋅211=44521 ≡ 212 mod 751
32: 36232=36216+16=36216⋅36216 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 635 mod 751
64: 36264=36232+32=36232⋅36232 ≡ 635⋅635=403225 ≡ 689 mod 751
362125
= 36264+32+16+8+4+1
= 36264⋅36232⋅36216⋅3628⋅3624⋅3621
≡ 689 ⋅ 635 ⋅ 212 ⋅ 211 ⋅ 218 ⋅ 362 mod 751
≡ 437515 ⋅ 212 ⋅ 211 ⋅ 218 ⋅ 362 mod 751 ≡ 433 ⋅ 212 ⋅ 211 ⋅ 218 ⋅ 362 mod 751
≡ 91796 ⋅ 211 ⋅ 218 ⋅ 362 mod 751 ≡ 174 ⋅ 211 ⋅ 218 ⋅ 362 mod 751
≡ 36714 ⋅ 218 ⋅ 362 mod 751 ≡ 666 ⋅ 218 ⋅ 362 mod 751
≡ 145188 ⋅ 362 mod 751 ≡ 245 ⋅ 362 mod 751
≡ 88690 mod 751 ≡ 72 mod 751
Es gilt also: 362125 ≡ 72 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 40
| =>71 | = 1⋅40 + 31 |
| =>40 | = 1⋅31 + 9 |
| =>31 | = 3⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 31-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9) = -2⋅31 +7⋅ 9 (=1) |
| 9= 40-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +7⋅(40 -1⋅ 31)
= -2⋅31 +7⋅40 -7⋅ 31) = 7⋅40 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 71-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅40 -9⋅(71 -1⋅ 40)
= 7⋅40 -9⋅71 +9⋅ 40) = -9⋅71 +16⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,40)=1 = -9⋅71 +16⋅40
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +16⋅40
Es gilt also: 16⋅40 = 9⋅71 +1
Somit 16⋅40 = 1 mod 71
16 ist also das Inverse von 40 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
