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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21000 + 211) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21000 + 211) mod 7 ≡ (21000 mod 7 + 211 mod 7) mod 7.
21000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21000
= 21000
211 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 211
= 210
Somit gilt:
(21000 + 211) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 98) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 98) mod 11 ≡ (62 mod 11 ⋅ 98 mod 11) mod 11.
62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.
98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 98) mod 11 ≡ (7 ⋅ 10) mod 11 ≡ 70 mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 346128 mod 359.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 346 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3461=346
2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 169 mod 359
4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 200 mod 359
8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 151 mod 359
16: 34616=3468+8=3468⋅3468 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 184 mod 359
32: 34632=34616+16=34616⋅34616 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 110 mod 359
64: 34664=34632+32=34632⋅34632 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 253 mod 359
128: 346128=34664+64=34664⋅34664 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 107 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 303193 mod 467.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 193 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 193 an und zerlegen 193 in eine Summer von 2er-Potenzen:
193 = 128+64+1
1: 3031=303
2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 277 mod 467
4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 141 mod 467
8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 267 mod 467
16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 305 mod 467
32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 92 mod 467
64: 30364=30332+32=30332⋅30332 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 58 mod 467
128: 303128=30364+64=30364⋅30364 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 95 mod 467
303193
= 303128+64+1
= 303128⋅30364⋅3031
≡ 95 ⋅ 58 ⋅ 303 mod 467
≡ 5510 ⋅ 303 mod 467 ≡ 373 ⋅ 303 mod 467
≡ 113019 mod 467 ≡ 5 mod 467
Es gilt also: 303193 ≡ 5 mod 467
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 56.
Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 56
| =>73 | = 1⋅56 + 17 |
| =>56 | = 3⋅17 + 5 |
| =>17 | = 3⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,56)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 17-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 56-3⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅17 +7⋅(56 -3⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅56 -21⋅ 17) = 7⋅56 -23⋅ 17 (=1) |
| 17= 73-1⋅56 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅56 -23⋅(73 -1⋅ 56)
= 7⋅56 -23⋅73 +23⋅ 56) = -23⋅73 +30⋅ 56 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,56)=1 = -23⋅73 +30⋅56
oder wenn man -23⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅73 = +30⋅56
Es gilt also: 30⋅56 = 23⋅73 +1
Somit 30⋅56 = 1 mod 73
30 ist also das Inverse von 56 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.