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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20996 - 1401) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20996 - 1401) mod 7 ≡ (20996 mod 7 - 1401 mod 7) mod 7.

20996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20996 = 21000-4 = 7 ⋅ 3000 -4 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 3.

1401 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1401 = 1400+1 = 7 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(20996 - 1401) mod 7 ≡ (3 - 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 15) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 15) mod 7 ≡ (67 mod 7 ⋅ 15 mod 7) mod 7.

67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 9 ⋅ 7 + 4 ist.

15 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 14 + 1 = 2 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 15) mod 7 ≡ (4 ⋅ 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20632 mod 227.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 206 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2061=206

2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 214 mod 227

4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 169 mod 227

8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 186 mod 227

16: 20616=2068+8=2068⋅2068 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 92 mod 227

32: 20632=20616+16=20616⋅20616 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 65 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 34491 mod 463.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:

91 = 64+16+8+2+1

1: 3441=344

2: 3442=3441+1=3441⋅3441 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 271 mod 463

4: 3444=3442+2=3442⋅3442 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 287 mod 463

8: 3448=3444+4=3444⋅3444 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 418 mod 463

16: 34416=3448+8=3448⋅3448 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 173 mod 463

32: 34432=34416+16=34416⋅34416 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 297 mod 463

64: 34464=34432+32=34432⋅34432 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 239 mod 463

34491

= 34464+16+8+2+1

= 34464⋅34416⋅3448⋅3442⋅3441

≡ 239 ⋅ 173 ⋅ 418 ⋅ 271 ⋅ 344 mod 463
≡ 41347 ⋅ 418 ⋅ 271 ⋅ 344 mod 463 ≡ 140 ⋅ 418 ⋅ 271 ⋅ 344 mod 463
≡ 58520 ⋅ 271 ⋅ 344 mod 463 ≡ 182 ⋅ 271 ⋅ 344 mod 463
≡ 49322 ⋅ 344 mod 463 ≡ 244 ⋅ 344 mod 463
≡ 83936 mod 463 ≡ 133 mod 463

Es gilt also: 34491 ≡ 133 mod 463

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43

=>59 = 1⋅43 + 16
=>43 = 2⋅16 + 11
=>16 = 1⋅11 + 5
=>11 = 2⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-2⋅5
5= 16-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11)
= -2⋅16 +3⋅ 11 (=1)
11= 43-2⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16)
= -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16)
= 3⋅43 -8⋅ 16 (=1)
16= 59-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43)
= 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43)
= -8⋅59 +11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43

oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅59 = +11⋅43

Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1

Somit 11⋅43 = 1 mod 59

11 ist also das Inverse von 43 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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