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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (116 - 1205) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(116 - 1205) mod 6 ≡ (116 mod 6 - 1205 mod 6) mod 6.
116 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116
= 120
1205 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1205
= 1200
Somit gilt:
(116 - 1205) mod 6 ≡ (2 - 5) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 88) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 88) mod 8 ≡ (98 mod 8 ⋅ 88 mod 8) mod 8.
98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.
88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 88) mod 8 ≡ (2 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 298128 mod 337.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 298 -> x
2. mod(x²,337) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2981=298
2: 2982=2981+1=2981⋅2981 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 173 mod 337
4: 2984=2982+2=2982⋅2982 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 273 mod 337
8: 2988=2984+4=2984⋅2984 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 52 mod 337
16: 29816=2988+8=2988⋅2988 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 8 mod 337
32: 29832=29816+16=29816⋅29816 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 337
64: 29864=29832+32=29832⋅29832 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 52 mod 337
128: 298128=29864+64=29864⋅29864 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 8 mod 337
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 502187 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:
187 = 128+32+16+8+2+1
1: 5021=502
2: 5022=5021+1=5021⋅5021 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 185 mod 601
4: 5024=5022+2=5022⋅5022 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 569 mod 601
8: 5028=5024+4=5024⋅5024 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 423 mod 601
16: 50216=5028+8=5028⋅5028 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 432 mod 601
32: 50232=50216+16=50216⋅50216 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 314 mod 601
64: 50264=50232+32=50232⋅50232 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 32 mod 601
128: 502128=50264+64=50264⋅50264 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 423 mod 601
502187
= 502128+32+16+8+2+1
= 502128⋅50232⋅50216⋅5028⋅5022⋅5021
≡ 423 ⋅ 314 ⋅ 432 ⋅ 423 ⋅ 185 ⋅ 502 mod 601
≡ 132822 ⋅ 432 ⋅ 423 ⋅ 185 ⋅ 502 mod 601 ≡ 1 ⋅ 432 ⋅ 423 ⋅ 185 ⋅ 502 mod 601
≡ 432 ⋅ 423 ⋅ 185 ⋅ 502 mod 601
≡ 182736 ⋅ 185 ⋅ 502 mod 601 ≡ 32 ⋅ 185 ⋅ 502 mod 601
≡ 5920 ⋅ 502 mod 601 ≡ 511 ⋅ 502 mod 601
≡ 256522 mod 601 ≡ 496 mod 601
Es gilt also: 502187 ≡ 496 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 32
| =>61 | = 1⋅32 + 29 |
| =>32 | = 1⋅29 + 3 |
| =>29 | = 9⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 29-9⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3) = -1⋅29 +10⋅ 3 (=1) |
| 3= 32-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +10⋅(32 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +10⋅32 -10⋅ 29) = 10⋅32 -11⋅ 29 (=1) |
| 29= 61-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅32 -11⋅(61 -1⋅ 32)
= 10⋅32 -11⋅61 +11⋅ 32) = -11⋅61 +21⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,32)=1 = -11⋅61 +21⋅32
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +21⋅32
Es gilt also: 21⋅32 = 11⋅61 +1
Somit 21⋅32 = 1 mod 61
21 ist also das Inverse von 32 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
