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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1601 + 2004) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1601 + 2004) mod 4 ≡ (1601 mod 4 + 2004 mod 4) mod 4.
1601 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601
= 1600
2004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004
= 2000
Somit gilt:
(1601 + 2004) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 69) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 69) mod 11 ≡ (44 mod 11 ⋅ 69 mod 11) mod 11.
44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.
69 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 6 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 69) mod 11 ≡ (0 ⋅ 3) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 39564 mod 587.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 395 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3951=395
2: 3952=3951+1=3951⋅3951 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 470 mod 587
4: 3954=3952+2=3952⋅3952 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 188 mod 587
8: 3958=3954+4=3954⋅3954 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 124 mod 587
16: 39516=3958+8=3958⋅3958 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 114 mod 587
32: 39532=39516+16=39516⋅39516 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 82 mod 587
64: 39564=39532+32=39532⋅39532 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 267 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 241251 mod 311.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 251 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 251 an und zerlegen 251 in eine Summer von 2er-Potenzen:
251 = 128+64+32+16+8+2+1
1: 2411=241
2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 235 mod 311
4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 178 mod 311
8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 273 mod 311
16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 200 mod 311
32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 192 mod 311
64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 166 mod 311
128: 241128=24164+64=24164⋅24164 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 188 mod 311
241251
= 241128+64+32+16+8+2+1
= 241128⋅24164⋅24132⋅24116⋅2418⋅2412⋅2411
≡ 188 ⋅ 166 ⋅ 192 ⋅ 200 ⋅ 273 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311
≡ 31208 ⋅ 192 ⋅ 200 ⋅ 273 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311 ≡ 108 ⋅ 192 ⋅ 200 ⋅ 273 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311
≡ 20736 ⋅ 200 ⋅ 273 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311 ≡ 210 ⋅ 200 ⋅ 273 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311
≡ 42000 ⋅ 273 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311 ≡ 15 ⋅ 273 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311
≡ 4095 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311 ≡ 52 ⋅ 235 ⋅ 241 mod 311
≡ 12220 ⋅ 241 mod 311 ≡ 91 ⋅ 241 mod 311
≡ 21931 mod 311 ≡ 161 mod 311
Es gilt also: 241251 ≡ 161 mod 311
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38
| =>79 | = 2⋅38 + 3 |
| =>38 | = 12⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 38-12⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1) |
| 3= 79-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +13⋅(79 -2⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅79 -26⋅ 38) = 13⋅79 -27⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,38)=1 = 13⋅79 -27⋅38
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -27⋅38
-27⋅38 = -13⋅79 + 1 |+79⋅38
-27⋅38 + 79⋅38 = -13⋅79 + 79⋅38 + 1
(-27 + 79) ⋅ 38 = (-13 + 38) ⋅ 79 + 1
52⋅38 = 25⋅79 + 1
Es gilt also: 52⋅38 = 25⋅79 +1
Somit 52⋅38 = 1 mod 79
52 ist also das Inverse von 38 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
