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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 + 19999) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 + 19999) mod 4 ≡ (39 mod 4 + 19999 mod 4) mod 4.

39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 40-1 = 4 ⋅ 10 -1 = 4 ⋅ 10 - 4 + 3.

19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999 = 19000+999 = 4 ⋅ 4750 +999.

Somit gilt:

(39 + 19999) mod 4 ≡ (3 + 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 16) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 16) mod 4 ≡ (86 mod 4 ⋅ 16 mod 4) mod 4.

86 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 21 ⋅ 4 + 2 ist.

16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 16) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 425128 mod 521.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 425 -> x
2. mod(x²,521) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4251=425

2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 359 mod 521

4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 359⋅359=128881 ≡ 194 mod 521

8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 124 mod 521

16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 267 mod 521

32: 42532=42516+16=42516⋅42516 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 433 mod 521

64: 42564=42532+32=42532⋅42532 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 450 mod 521

128: 425128=42564+64=42564⋅42564 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 352 mod 521

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 232231 mod 443.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

1: 2321=232

2: 2322=2321+1=2321⋅2321 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 221 mod 443

4: 2324=2322+2=2322⋅2322 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 111 mod 443

8: 2328=2324+4=2324⋅2324 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 360 mod 443

16: 23216=2328+8=2328⋅2328 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 244 mod 443

32: 23232=23216+16=23216⋅23216 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 174 mod 443

64: 23264=23232+32=23232⋅23232 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 152 mod 443

128: 232128=23264+64=23264⋅23264 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 68 mod 443

232231

= 232128+64+32+4+2+1

= 232128⋅23264⋅23232⋅2324⋅2322⋅2321

68 ⋅ 152 ⋅ 174 ⋅ 111 ⋅ 221 ⋅ 232 mod 443
10336 ⋅ 174 ⋅ 111 ⋅ 221 ⋅ 232 mod 443 ≡ 147 ⋅ 174 ⋅ 111 ⋅ 221 ⋅ 232 mod 443
25578 ⋅ 111 ⋅ 221 ⋅ 232 mod 443 ≡ 327 ⋅ 111 ⋅ 221 ⋅ 232 mod 443
36297 ⋅ 221 ⋅ 232 mod 443 ≡ 414 ⋅ 221 ⋅ 232 mod 443
91494 ⋅ 232 mod 443 ≡ 236 ⋅ 232 mod 443
54752 mod 443 ≡ 263 mod 443

Es gilt also: 232231 ≡ 263 mod 443

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 87.

Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 87

=>101 = 1⋅87 + 14
=>87 = 6⋅14 + 3
=>14 = 4⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 14-4⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(14 -4⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅14 +4⋅ 3)
= -1⋅14 +5⋅ 3 (=1)
3= 87-6⋅14 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅14 +5⋅(87 -6⋅ 14)
= -1⋅14 +5⋅87 -30⋅ 14)
= 5⋅87 -31⋅ 14 (=1)
14= 101-1⋅87 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅87 -31⋅(101 -1⋅ 87)
= 5⋅87 -31⋅101 +31⋅ 87)
= -31⋅101 +36⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(101,87)=1 = -31⋅101 +36⋅87

oder wenn man -31⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +31⋅101 = +36⋅87

Es gilt also: 36⋅87 = 31⋅101 +1

Somit 36⋅87 = 1 mod 101

36 ist also das Inverse von 87 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.