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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (278 - 205) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(278 - 205) mod 7 ≡ (278 mod 7 - 205 mod 7) mod 7.

278 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 278 = 280-2 = 7 ⋅ 40 -2 = 7 ⋅ 40 - 7 + 5.

205 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 205 = 210-5 = 7 ⋅ 30 -5 = 7 ⋅ 30 - 7 + 2.

Somit gilt:

(278 - 205) mod 7 ≡ (5 - 2) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 20) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 20) mod 6 ≡ (61 mod 6 ⋅ 20 mod 6) mod 6.

61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.

20 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 3 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 20) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 65216 mod 971.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 652 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6521=652

2: 6522=6521+1=6521⋅6521 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 777 mod 971

4: 6524=6522+2=6522⋅6522 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 738 mod 971

8: 6528=6524+4=6524⋅6524 ≡ 738⋅738=544644 ≡ 884 mod 971

16: 65216=6528+8=6528⋅6528 ≡ 884⋅884=781456 ≡ 772 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 205225 mod 229.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 225 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 225 an und zerlegen 225 in eine Summer von 2er-Potenzen:

225 = 128+64+32+1

1: 2051=205

2: 2052=2051+1=2051⋅2051 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 118 mod 229

4: 2054=2052+2=2052⋅2052 ≡ 118⋅118=13924 ≡ 184 mod 229

8: 2058=2054+4=2054⋅2054 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 193 mod 229

16: 20516=2058+8=2058⋅2058 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 151 mod 229

32: 20532=20516+16=20516⋅20516 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 130 mod 229

64: 20564=20532+32=20532⋅20532 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 183 mod 229

128: 205128=20564+64=20564⋅20564 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 55 mod 229

205225

= 205128+64+32+1

= 205128⋅20564⋅20532⋅2051

≡ 55 ⋅ 183 ⋅ 130 ⋅ 205 mod 229
≡ 10065 ⋅ 130 ⋅ 205 mod 229 ≡ 218 ⋅ 130 ⋅ 205 mod 229
≡ 28340 ⋅ 205 mod 229 ≡ 173 ⋅ 205 mod 229
≡ 35465 mod 229 ≡ 199 mod 229

Es gilt also: 205225 ≡ 199 mod 229

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67 = 1⋅54 + 13
=>54 = 4⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13)
= -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54)
= 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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