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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (401 - 325) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(401 - 325) mod 8 ≡ (401 mod 8 - 325 mod 8) mod 8.

401 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401 = 400+1 = 8 ⋅ 50 +1.

325 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 325 = 320+5 = 8 ⋅ 40 +5.

Somit gilt:

(401 - 325) mod 8 ≡ (1 - 5) mod 8 ≡ -4 mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 88) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 88) mod 3 ≡ (44 mod 3 ⋅ 88 mod 3) mod 3.

44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.

88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 87 + 1 = 29 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 88) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31316 mod 853.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 313 -> x
2. mod(x²,853) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3131=313

2: 3132=3131+1=3131⋅3131 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 727 mod 853

4: 3134=3132+2=3132⋅3132 ≡ 727⋅727=528529 ≡ 522 mod 853

8: 3138=3134+4=3134⋅3134 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 377 mod 853

16: 31316=3138+8=3138⋅3138 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 531 mod 853

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 449201 mod 563.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:

201 = 128+64+8+1

1: 4491=449

2: 4492=4491+1=4491⋅4491 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 47 mod 563

4: 4494=4492+2=4492⋅4492 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 520 mod 563

8: 4498=4494+4=4494⋅4494 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 160 mod 563

16: 44916=4498+8=4498⋅4498 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 265 mod 563

32: 44932=44916+16=44916⋅44916 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 413 mod 563

64: 44964=44932+32=44932⋅44932 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 543 mod 563

128: 449128=44964+64=44964⋅44964 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 400 mod 563

449201

= 449128+64+8+1

= 449128⋅44964⋅4498⋅4491

≡ 400 ⋅ 543 ⋅ 160 ⋅ 449 mod 563
≡ 217200 ⋅ 160 ⋅ 449 mod 563 ≡ 445 ⋅ 160 ⋅ 449 mod 563
≡ 71200 ⋅ 449 mod 563 ≡ 262 ⋅ 449 mod 563
≡ 117638 mod 563 ≡ 534 mod 563

Es gilt also: 449201 ≡ 534 mod 563

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 41.

Also bestimme x, so dass 41 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 41

=>79 = 1⋅41 + 38
=>41 = 1⋅38 + 3
=>38 = 12⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,41)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 38-12⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3)
= -1⋅38 +13⋅ 3 (=1)
3= 41-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅38 +13⋅(41 -1⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅41 -13⋅ 38)
= 13⋅41 -14⋅ 38 (=1)
38= 79-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅41 -14⋅(79 -1⋅ 41)
= 13⋅41 -14⋅79 +14⋅ 41)
= -14⋅79 +27⋅ 41 (=1)

Es gilt also: ggt(79,41)=1 = -14⋅79 +27⋅41

oder wenn man -14⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +14⋅79 = +27⋅41

Es gilt also: 27⋅41 = 14⋅79 +1

Somit 27⋅41 = 1 mod 79

27 ist also das Inverse von 41 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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