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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1602 - 4004) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1602 - 4004) mod 4 ≡ (1602 mod 4 - 4004 mod 4) mod 4.

1602 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602 = 1600+2 = 4 ⋅ 400 +2.

4004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004 = 4000+4 = 4 ⋅ 1000 +4.

Somit gilt:

(1602 - 4004) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 17) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 17) mod 9 ≡ (34 mod 9 ⋅ 17 mod 9) mod 9.

34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.

17 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 9 + 8 = 1 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 17) mod 9 ≡ (7 ⋅ 8) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 112³² mod 241.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 112 -> x
2. mod(x²,241) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 112¹=112

2: 112²=112¹⁺¹=112¹⋅112¹ ≡ 112⋅112=12544 ≡ 12 mod 241

4: 112⁴=112²⁺²=112²⋅112² ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 241

8: 112⁸=112⁴⁺⁴=112⁴⋅112⁴ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 10 mod 241

16: 112¹⁶=112⁸⁺⁸=112⁸⋅112⁸ ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 241

32: 112³²=112¹⁶⁺¹⁶=112¹⁶⋅112¹⁶ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 119 mod 241

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 806²⁴⁹ mod 809.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 249 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 249 an und zerlegen 249 in eine Summer von 2er-Potenzen:

249 = 128+64+32+16+8+1

1: 806¹=806

2: 806²=806¹⁺¹=806¹⋅806¹ ≡ 806⋅806=649636 ≡ 9 mod 809

4: 806⁴=806²⁺²=806²⋅806² ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 809

8: 806⁸=806⁴⁺⁴=806⁴⋅806⁴ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 89 mod 809

16: 806¹⁶=806⁸⁺⁸=806⁸⋅806⁸ ≡ 89⋅89=7921 ≡ 640 mod 809

32: 806³²=806¹⁶⁺¹⁶=806¹⁶⋅806¹⁶ ≡ 640⋅640=409600 ≡ 246 mod 809

64: 806⁶⁴=806³²⁺³²=806³²⋅806³² ≡ 246⋅246=60516 ≡ 650 mod 809

128: 806¹²⁸=806⁶⁴⁺⁶⁴=806⁶⁴⋅806⁶⁴ ≡ 650⋅650=422500 ≡ 202 mod 809

806²⁴⁹

= 806^{128+64+32+16+8+1}

= 806¹²⁸⋅806⁶⁴⋅806³²⋅806¹⁶⋅806⁸⋅806¹

≡ 202 ⋅ 650 ⋅ 246 ⋅ 640 ⋅ 89 ⋅ 806 mod 809
≡ 131300 ⋅ 246 ⋅ 640 ⋅ 89 ⋅ 806 mod 809 ≡ 242 ⋅ 246 ⋅ 640 ⋅ 89 ⋅ 806 mod 809
≡ 59532 ⋅ 640 ⋅ 89 ⋅ 806 mod 809 ≡ 475 ⋅ 640 ⋅ 89 ⋅ 806 mod 809
≡ 304000 ⋅ 89 ⋅ 806 mod 809 ≡ 625 ⋅ 89 ⋅ 806 mod 809
≡ 55625 ⋅ 806 mod 809 ≡ 613 ⋅ 806 mod 809
≡ 494078 mod 809 ≡ 588 mod 809

Es gilt also: 806²⁴⁹ ≡ 588 mod 809

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 84.

Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 84

=>97	= 1⋅84 + 13
=>84	= 6⋅13 + 6
=>13	= 2⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,84)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 84-6⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -2⋅(84 -6⋅ 13) = 1⋅13 -2⋅84 +12⋅ 13) = -2⋅84 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-1⋅84	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅84 +13⋅(97 -1⋅ 84) = -2⋅84 +13⋅97 -13⋅ 84) = 13⋅97 -15⋅ 84 (=1)

Es gilt also: ggt(97,84)=1 = 13⋅97 -15⋅84

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -15⋅84

-15⋅84 = -13⋅97 + 1 |+97⋅84

-15⋅84 + 97⋅84 = -13⋅97 + 97⋅84 + 1

(-15 + 97) ⋅ 84 = (-13 + 84) ⋅ 97 + 1

82⋅84 = 71⋅97 + 1

Es gilt also: 82⋅84 = 71⋅97 +1

Somit 82⋅84 = 1 mod 97

82 ist also das Inverse von 84 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 84

Schlüsselpaar für RSA