nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (116 - 800) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(116 - 800) mod 4 ≡ (116 mod 4 - 800 mod 4) mod 4.

116 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116 = 120-4 = 4 ⋅ 30 -4 = 4 ⋅ 30 - 4 + 0.

800 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800 = 800+0 = 4 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(116 - 800) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 27) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 27) mod 6 ≡ (86 mod 6 ⋅ 27 mod 6) mod 6.

86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.

27 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 4 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 27) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 241128 mod 701.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 241 -> x
2. mod(x²,701) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2411=241

2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 599 mod 701

4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 599⋅599=358801 ≡ 590 mod 701

8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 404 mod 701

16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 584 mod 701

32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 370 mod 701

64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 205 mod 701

128: 241128=24164+64=24164⋅24164 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 666 mod 701

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 477168 mod 673.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:

168 = 128+32+8

1: 4771=477

2: 4772=4771+1=4771⋅4771 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 55 mod 673

4: 4774=4772+2=4772⋅4772 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 333 mod 673

8: 4778=4774+4=4774⋅4774 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 517 mod 673

16: 47716=4778+8=4778⋅4778 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 108 mod 673

32: 47732=47716+16=47716⋅47716 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 223 mod 673

64: 47764=47732+32=47732⋅47732 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 600 mod 673

128: 477128=47764+64=47764⋅47764 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 618 mod 673

477168

= 477128+32+8

= 477128⋅47732⋅4778

≡ 618 ⋅ 223 ⋅ 517 mod 673
≡ 137814 ⋅ 517 mod 673 ≡ 522 ⋅ 517 mod 673
≡ 269874 mod 673 ≡ 1 mod 673

Es gilt also: 477168 ≡ 1 mod 673

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58

=>71 = 1⋅58 + 13
=>58 = 4⋅13 + 6
=>13 = 2⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-2⋅6
6= 58-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13)
= -2⋅58 +9⋅ 13 (=1)
13= 71-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58)
= 9⋅71 -11⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -11⋅58

-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58

-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1

(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1

60⋅58 = 49⋅71 + 1

Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1

Somit 60⋅58 = 1 mod 71

60 ist also das Inverse von 58 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden