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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3493 + 20996) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3493 + 20996) mod 7 ≡ (3493 mod 7 + 20996 mod 7) mod 7.

3493 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3493 = 3500-7 = 7 ⋅ 500 -7 = 7 ⋅ 500 - 7 + 0.

20996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20996 = 21000-4 = 7 ⋅ 3000 -4 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 3.

Somit gilt:

(3493 + 20996) mod 7 ≡ (0 + 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 95) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 95) mod 8 ≡ (62 mod 8 ⋅ 95 mod 8) mod 8.

62 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 7 ⋅ 8 + 6 ist.

95 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 11 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 95) mod 8 ≡ (6 ⋅ 7) mod 8 ≡ 42 mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32864 mod 797.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 328 -> x
2. mod(x²,797) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3281=328

2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 786 mod 797

4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 786⋅786=617796 ≡ 121 mod 797

8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 295 mod 797

16: 32816=3288+8=3288⋅3288 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 152 mod 797

32: 32832=32816+16=32816⋅32816 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 788 mod 797

64: 32864=32832+32=32832⋅32832 ≡ 788⋅788=620944 ≡ 81 mod 797

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 800178 mod 983.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:

178 = 128+32+16+2

1: 8001=800

2: 8002=8001+1=8001⋅8001 ≡ 800⋅800=640000 ≡ 67 mod 983

4: 8004=8002+2=8002⋅8002 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 557 mod 983

8: 8008=8004+4=8004⋅8004 ≡ 557⋅557=310249 ≡ 604 mod 983

16: 80016=8008+8=8008⋅8008 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 123 mod 983

32: 80032=80016+16=80016⋅80016 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 384 mod 983

64: 80064=80032+32=80032⋅80032 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 6 mod 983

128: 800128=80064+64=80064⋅80064 ≡ 6⋅6=36 ≡ 36 mod 983

800178

= 800128+32+16+2

= 800128⋅80032⋅80016⋅8002

36 ⋅ 384 ⋅ 123 ⋅ 67 mod 983
13824 ⋅ 123 ⋅ 67 mod 983 ≡ 62 ⋅ 123 ⋅ 67 mod 983
7626 ⋅ 67 mod 983 ≡ 745 ⋅ 67 mod 983
49915 mod 983 ≡ 765 mod 983

Es gilt also: 800178 ≡ 765 mod 983

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 60

=>101 = 1⋅60 + 41
=>60 = 1⋅41 + 19
=>41 = 2⋅19 + 3
=>19 = 6⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-6⋅3
3= 41-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -6⋅(41 -2⋅ 19)
= 1⋅19 -6⋅41 +12⋅ 19)
= -6⋅41 +13⋅ 19 (=1)
19= 60-1⋅41 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅41 +13⋅(60 -1⋅ 41)
= -6⋅41 +13⋅60 -13⋅ 41)
= 13⋅60 -19⋅ 41 (=1)
41= 101-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅60 -19⋅(101 -1⋅ 60)
= 13⋅60 -19⋅101 +19⋅ 60)
= -19⋅101 +32⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(101,60)=1 = -19⋅101 +32⋅60

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +32⋅60

Es gilt also: 32⋅60 = 19⋅101 +1

Somit 32⋅60 = 1 mod 101

32 ist also das Inverse von 60 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.