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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1600 - 1200) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1600 - 1200) mod 4 ≡ (1600 mod 4 - 1200 mod 4) mod 4.

1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 4 ⋅ 400 +0.

1200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 4 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(1600 - 1200) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 94) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 94) mod 6 ≡ (33 mod 6 ⋅ 94 mod 6) mod 6.

33 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 5 ⋅ 6 + 3 ist.

94 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 15 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 94) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 547128 mod 641.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 547 -> x
2. mod(x²,641) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5471=547

2: 5472=5471+1=5471⋅5471 ≡ 547⋅547=299209 ≡ 503 mod 641

4: 5474=5472+2=5472⋅5472 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 455 mod 641

8: 5478=5474+4=5474⋅5474 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 623 mod 641

16: 54716=5478+8=5478⋅5478 ≡ 623⋅623=388129 ≡ 324 mod 641

32: 54732=54716+16=54716⋅54716 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 493 mod 641

64: 54764=54732+32=54732⋅54732 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 110 mod 641

128: 547128=54764+64=54764⋅54764 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 562 mod 641

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 125141 mod 311.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 141 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 141 an und zerlegen 141 in eine Summer von 2er-Potenzen:

141 = 128+8+4+1

1: 1251=125

2: 1252=1251+1=1251⋅1251 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 75 mod 311

4: 1254=1252+2=1252⋅1252 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 27 mod 311

8: 1258=1254+4=1254⋅1254 ≡ 27⋅27=729 ≡ 107 mod 311

16: 12516=1258+8=1258⋅1258 ≡ 107⋅107=11449 ≡ 253 mod 311

32: 12532=12516+16=12516⋅12516 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 254 mod 311

64: 12564=12532+32=12532⋅12532 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 139 mod 311

128: 125128=12564+64=12564⋅12564 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 39 mod 311

125141

= 125128+8+4+1

= 125128⋅1258⋅1254⋅1251

≡ 39 ⋅ 107 ⋅ 27 ⋅ 125 mod 311
≡ 4173 ⋅ 27 ⋅ 125 mod 311 ≡ 130 ⋅ 27 ⋅ 125 mod 311
≡ 3510 ⋅ 125 mod 311 ≡ 89 ⋅ 125 mod 311
≡ 11125 mod 311 ≡ 240 mod 311

Es gilt also: 125141 ≡ 240 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 44

=>83 = 1⋅44 + 39
=>44 = 1⋅39 + 5
=>39 = 7⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 39-7⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5)
= -1⋅39 +8⋅ 5 (=1)
5= 44-1⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅39 +8⋅(44 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅44 -8⋅ 39)
= 8⋅44 -9⋅ 39 (=1)
39= 83-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 8⋅44 -9⋅(83 -1⋅ 44)
= 8⋅44 -9⋅83 +9⋅ 44)
= -9⋅83 +17⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(83,44)=1 = -9⋅83 +17⋅44

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +17⋅44

Es gilt also: 17⋅44 = 9⋅83 +1

Somit 17⋅44 = 1 mod 83

17 ist also das Inverse von 44 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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