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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (161 - 81) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(161 - 81) mod 4 ≡ (161 mod 4 - 81 mod 4) mod 4.

161 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 161 = 160+1 = 4 ⋅ 40 +1.

81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80+1 = 4 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(161 - 81) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 15) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 15) mod 5 ≡ (15 mod 5 ⋅ 15 mod 5) mod 5.

15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.

15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 15) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14816 mod 281.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 148 -> x
2. mod(x²,281) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1481=148

2: 1482=1481+1=1481⋅1481 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 267 mod 281

4: 1484=1482+2=1482⋅1482 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 196 mod 281

8: 1488=1484+4=1484⋅1484 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 200 mod 281

16: 14816=1488+8=1488⋅1488 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 98 mod 281

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 51090 mod 661.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:

90 = 64+16+8+2

1: 5101=510

2: 5102=5101+1=5101⋅5101 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 327 mod 661

4: 5104=5102+2=5102⋅5102 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 508 mod 661

8: 5108=5104+4=5104⋅5104 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 274 mod 661

16: 51016=5108+8=5108⋅5108 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 383 mod 661

32: 51032=51016+16=51016⋅51016 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 608 mod 661

64: 51064=51032+32=51032⋅51032 ≡ 608⋅608=369664 ≡ 165 mod 661

51090

= 51064+16+8+2

= 51064⋅51016⋅5108⋅5102

≡ 165 ⋅ 383 ⋅ 274 ⋅ 327 mod 661
≡ 63195 ⋅ 274 ⋅ 327 mod 661 ≡ 400 ⋅ 274 ⋅ 327 mod 661
≡ 109600 ⋅ 327 mod 661 ≡ 535 ⋅ 327 mod 661
≡ 174945 mod 661 ≡ 441 mod 661

Es gilt also: 51090 ≡ 441 mod 661

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 72.

Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 72

=>97 = 1⋅72 + 25
=>72 = 2⋅25 + 22
=>25 = 1⋅22 + 3
=>22 = 7⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 22-7⋅3
3= 25-1⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅22 -7⋅(25 -1⋅ 22)
= 1⋅22 -7⋅25 +7⋅ 22)
= -7⋅25 +8⋅ 22 (=1)
22= 72-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -7⋅25 +8⋅(72 -2⋅ 25)
= -7⋅25 +8⋅72 -16⋅ 25)
= 8⋅72 -23⋅ 25 (=1)
25= 97-1⋅72 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 8⋅72 -23⋅(97 -1⋅ 72)
= 8⋅72 -23⋅97 +23⋅ 72)
= -23⋅97 +31⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(97,72)=1 = -23⋅97 +31⋅72

oder wenn man -23⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +23⋅97 = +31⋅72

Es gilt also: 31⋅72 = 23⋅97 +1

Somit 31⋅72 = 1 mod 97

31 ist also das Inverse von 72 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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