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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (212 - 139) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(212 - 139) mod 7 ≡ (212 mod 7 - 139 mod 7) mod 7.

212 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 212 = 210+2 = 7 ⋅ 30 +2.

139 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 139 = 140-1 = 7 ⋅ 20 -1 = 7 ⋅ 20 - 7 + 6.

Somit gilt:

(212 - 139) mod 7 ≡ (2 - 6) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 64) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 64) mod 11 ≡ (44 mod 11 ⋅ 64 mod 11) mod 11.

44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.

64 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 55 + 9 = 5 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 64) mod 11 ≡ (0 ⋅ 9) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 328¹⁶ mod 389.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 328 -> x
2. mod(x²,389) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 328¹=328

2: 328²=328¹⁺¹=328¹⋅328¹ ≡ 328⋅328=107584 ≡ 220 mod 389

4: 328⁴=328²⁺²=328²⋅328² ≡ 220⋅220=48400 ≡ 164 mod 389

8: 328⁸=328⁴⁺⁴=328⁴⋅328⁴ ≡ 164⋅164=26896 ≡ 55 mod 389

16: 328¹⁶=328⁸⁺⁸=328⁸⋅328⁸ ≡ 55⋅55=3025 ≡ 302 mod 389

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 354¹⁸¹ mod 613.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 181 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 181 an und zerlegen 181 in eine Summer von 2er-Potenzen:

181 = 128+32+16+4+1

1: 354¹=354

2: 354²=354¹⁺¹=354¹⋅354¹ ≡ 354⋅354=125316 ≡ 264 mod 613

4: 354⁴=354²⁺²=354²⋅354² ≡ 264⋅264=69696 ≡ 427 mod 613

8: 354⁸=354⁴⁺⁴=354⁴⋅354⁴ ≡ 427⋅427=182329 ≡ 268 mod 613

16: 354¹⁶=354⁸⁺⁸=354⁸⋅354⁸ ≡ 268⋅268=71824 ≡ 103 mod 613

32: 354³²=354¹⁶⁺¹⁶=354¹⁶⋅354¹⁶ ≡ 103⋅103=10609 ≡ 188 mod 613

64: 354⁶⁴=354³²⁺³²=354³²⋅354³² ≡ 188⋅188=35344 ≡ 403 mod 613

128: 354¹²⁸=354⁶⁴⁺⁶⁴=354⁶⁴⋅354⁶⁴ ≡ 403⋅403=162409 ≡ 577 mod 613

354¹⁸¹

= 354^{128+32+16+4+1}

= 354¹²⁸⋅354³²⋅354¹⁶⋅354⁴⋅354¹

≡ 577 ⋅ 188 ⋅ 103 ⋅ 427 ⋅ 354 mod 613
≡ 108476 ⋅ 103 ⋅ 427 ⋅ 354 mod 613 ≡ 588 ⋅ 103 ⋅ 427 ⋅ 354 mod 613
≡ 60564 ⋅ 427 ⋅ 354 mod 613 ≡ 490 ⋅ 427 ⋅ 354 mod 613
≡ 209230 ⋅ 354 mod 613 ≡ 197 ⋅ 354 mod 613
≡ 69738 mod 613 ≡ 469 mod 613

Es gilt also: 354¹⁸¹ ≡ 469 mod 613

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 71.

Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 71

=>83	= 1⋅71 + 12
=>71	= 5⋅12 + 11
=>12	= 1⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,71)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 71-5⋅12	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅12 -1⋅(71 -5⋅ 12) = 1⋅12 -1⋅71 +5⋅ 12) = -1⋅71 +6⋅ 12 (=1)
12= 83-1⋅71	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅71 +6⋅(83 -1⋅ 71) = -1⋅71 +6⋅83 -6⋅ 71) = 6⋅83 -7⋅ 71 (=1)

Es gilt also: ggt(83,71)=1 = 6⋅83 -7⋅71

oder wenn man 6⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅83 = -7⋅71

-7⋅71 = -6⋅83 + 1 |+83⋅71

-7⋅71 + 83⋅71 = -6⋅83 + 83⋅71 + 1

(-7 + 83) ⋅ 71 = (-6 + 71) ⋅ 83 + 1

76⋅71 = 65⋅83 + 1

Es gilt also: 76⋅71 = 65⋅83 +1

Somit 76⋅71 = 1 mod 83

76 ist also das Inverse von 71 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 71

Schlüsselpaar für RSA