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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (602 + 1498) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(602 + 1498) mod 3 ≡ (602 mod 3 + 1498 mod 3) mod 3.
602 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602
= 600
1498 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1498
= 1500
Somit gilt:
(602 + 1498) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 81) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 81) mod 8 ≡ (73 mod 8 ⋅ 81 mod 8) mod 8.
73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.
81 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 10 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 81) mod 8 ≡ (1 ⋅ 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21816 mod 587.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 218 -> x
2. mod(x²,587) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2181=218
2: 2182=2181+1=2181⋅2181 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 564 mod 587
4: 2184=2182+2=2182⋅2182 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 529 mod 587
8: 2188=2184+4=2184⋅2184 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 429 mod 587
16: 21816=2188+8=2188⋅2188 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 310 mod 587
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 82169 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:
169 = 128+32+8+1
1: 821=82
2: 822=821+1=821⋅821 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 32 mod 239
4: 824=822+2=822⋅822 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 68 mod 239
8: 828=824+4=824⋅824 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 83 mod 239
16: 8216=828+8=828⋅828 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 197 mod 239
32: 8232=8216+16=8216⋅8216 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 91 mod 239
64: 8264=8232+32=8232⋅8232 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 155 mod 239
128: 82128=8264+64=8264⋅8264 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 125 mod 239
82169
= 82128+32+8+1
= 82128⋅8232⋅828⋅821
≡ 125 ⋅ 91 ⋅ 83 ⋅ 82 mod 239
≡ 11375 ⋅ 83 ⋅ 82 mod 239 ≡ 142 ⋅ 83 ⋅ 82 mod 239
≡ 11786 ⋅ 82 mod 239 ≡ 75 ⋅ 82 mod 239
≡ 6150 mod 239 ≡ 175 mod 239
Es gilt also: 82169 ≡ 175 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.
Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48
| =>61 | = 1⋅48 + 13 |
| =>48 | = 3⋅13 + 9 |
| =>13 | = 1⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,48)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 13-1⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9) = -2⋅13 +3⋅ 9 (=1) |
| 9= 48-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13) = 3⋅48 -11⋅ 13 (=1) |
| 13= 61-1⋅48 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48) = -11⋅61 +14⋅ 48 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +14⋅48
Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1
Somit 14⋅48 = 1 mod 61
14 ist also das Inverse von 48 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.