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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (393 + 792) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(393 + 792) mod 8 ≡ (393 mod 8 + 792 mod 8) mod 8.

393 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 393 = 400-7 = 8 ⋅ 50 -7 = 8 ⋅ 50 - 8 + 1.

792 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 792 = 800-8 = 8 ⋅ 100 -8 = 8 ⋅ 100 - 8 + 0.

Somit gilt:

(393 + 792) mod 8 ≡ (1 + 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 53) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 53) mod 10 ≡ (60 mod 10 ⋅ 53 mod 10) mod 10.

60 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 6 ⋅ 10 + 0 ist.

53 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 5 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 53) mod 10 ≡ (0 ⋅ 3) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 488128 mod 853.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 488 -> x
2. mod(x²,853) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4881=488

2: 4882=4881+1=4881⋅4881 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 157 mod 853

4: 4884=4882+2=4882⋅4882 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 765 mod 853

8: 4888=4884+4=4884⋅4884 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 67 mod 853

16: 48816=4888+8=4888⋅4888 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 224 mod 853

32: 48832=48816+16=48816⋅48816 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 702 mod 853

64: 48864=48832+32=48832⋅48832 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 623 mod 853

128: 488128=48864+64=48864⋅48864 ≡ 623⋅623=388129 ≡ 14 mod 853

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28494 mod 941.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

1: 2841=284

2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 671 mod 941

4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 671⋅671=450241 ≡ 443 mod 941

8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 521 mod 941

16: 28416=2848+8=2848⋅2848 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 433 mod 941

32: 28432=28416+16=28416⋅28416 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 230 mod 941

64: 28464=28432+32=28432⋅28432 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 204 mod 941

28494

= 28464+16+8+4+2

= 28464⋅28416⋅2848⋅2844⋅2842

≡ 204 ⋅ 433 ⋅ 521 ⋅ 443 ⋅ 671 mod 941
≡ 88332 ⋅ 521 ⋅ 443 ⋅ 671 mod 941 ≡ 819 ⋅ 521 ⋅ 443 ⋅ 671 mod 941
≡ 426699 ⋅ 443 ⋅ 671 mod 941 ≡ 426 ⋅ 443 ⋅ 671 mod 941
≡ 188718 ⋅ 671 mod 941 ≡ 518 ⋅ 671 mod 941
≡ 347578 mod 941 ≡ 349 mod 941

Es gilt also: 28494 ≡ 349 mod 941

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46

=>67 = 1⋅46 + 21
=>46 = 2⋅21 + 4
=>21 = 5⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 46-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21)
= -5⋅46 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46)
= 11⋅67 -16⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -16⋅46

-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46

-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1

(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1

51⋅46 = 35⋅67 + 1

Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1

Somit 51⋅46 = 1 mod 67

51 ist also das Inverse von 46 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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