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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9002 - 1501) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9002 - 1501) mod 3 ≡ (9002 mod 3 - 1501 mod 3) mod 3.
9002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002
= 9000
1501 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501
= 1500
Somit gilt:
(9002 - 1501) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 85) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 85) mod 6 ≡ (46 mod 6 ⋅ 85 mod 6) mod 6.
46 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 7 ⋅ 6 + 4 ist.
85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 85) mod 6 ≡ (4 ⋅ 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3148 mod 349.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 314 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3141=314
2: 3142=3141+1=3141⋅3141 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 178 mod 349
4: 3144=3142+2=3142⋅3142 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 274 mod 349
8: 3148=3144+4=3144⋅3144 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 41 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 430204 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:
204 = 128+64+8+4
1: 4301=430
2: 4302=4301+1=4301⋅4301 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 448 mod 809
4: 4304=4302+2=4302⋅4302 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 72 mod 809
8: 4308=4304+4=4304⋅4304 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 330 mod 809
16: 43016=4308+8=4308⋅4308 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 494 mod 809
32: 43032=43016+16=43016⋅43016 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 527 mod 809
64: 43064=43032+32=43032⋅43032 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 242 mod 809
128: 430128=43064+64=43064⋅43064 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 316 mod 809
430204
= 430128+64+8+4
= 430128⋅43064⋅4308⋅4304
≡ 316 ⋅ 242 ⋅ 330 ⋅ 72 mod 809
≡ 76472 ⋅ 330 ⋅ 72 mod 809 ≡ 426 ⋅ 330 ⋅ 72 mod 809
≡ 140580 ⋅ 72 mod 809 ≡ 623 ⋅ 72 mod 809
≡ 44856 mod 809 ≡ 361 mod 809
Es gilt also: 430204 ≡ 361 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49
| =>71 | = 1⋅49 + 22 |
| =>49 | = 2⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 49-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1) |
| 22= 71-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49
oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅71 = +29⋅49
Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1
Somit 29⋅49 = 1 mod 71
29 ist also das Inverse von 49 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.