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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1999 - 2503) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1999 - 2503) mod 5 ≡ (1999 mod 5 - 2503 mod 5) mod 5.
1999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1999
= 1900
2503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2503
= 2500
Somit gilt:
(1999 - 2503) mod 5 ≡ (4 - 3) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 30) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 30) mod 7 ≡ (21 mod 7 ⋅ 30 mod 7) mod 7.
21 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 3 ⋅ 7 + 0 ist.
30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 30) mod 7 ≡ (0 ⋅ 2) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 10364 mod 271.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 103 -> x
2. mod(x²,271) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1031=103
2: 1032=1031+1=1031⋅1031 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 40 mod 271
4: 1034=1032+2=1032⋅1032 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 245 mod 271
8: 1038=1034+4=1034⋅1034 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 134 mod 271
16: 10316=1038+8=1038⋅1038 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 70 mod 271
32: 10332=10316+16=10316⋅10316 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 22 mod 271
64: 10364=10332+32=10332⋅10332 ≡ 22⋅22=484 ≡ 213 mod 271
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 263192 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 2631=263
2: 2632=2631+1=2631⋅2631 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 528 mod 827
4: 2634=2632+2=2632⋅2632 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 85 mod 827
8: 2638=2634+4=2634⋅2634 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 609 mod 827
16: 26316=2638+8=2638⋅2638 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 385 mod 827
32: 26332=26316+16=26316⋅26316 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 192 mod 827
64: 26364=26332+32=26332⋅26332 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 476 mod 827
128: 263128=26364+64=26364⋅26364 ≡ 476⋅476=226576 ≡ 805 mod 827
263192
= 263128+64
= 263128⋅26364
≡ 805 ⋅ 476 mod 827
≡ 383180 mod 827 ≡ 279 mod 827
Es gilt also: 263192 ≡ 279 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 98.
Also bestimme x, so dass 98 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 98
| =>101 | = 1⋅98 + 3 |
| =>98 | = 32⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,98)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 98-32⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(98 -32⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅98 +32⋅ 3) = -1⋅98 +33⋅ 3 (=1) |
| 3= 101-1⋅98 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅98 +33⋅(101 -1⋅ 98)
= -1⋅98 +33⋅101 -33⋅ 98) = 33⋅101 -34⋅ 98 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,98)=1 = 33⋅101 -34⋅98
oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -33⋅101 = -34⋅98
-34⋅98 = -33⋅101 + 1 |+101⋅98
-34⋅98 + 101⋅98 = -33⋅101 + 101⋅98 + 1
(-34 + 101) ⋅ 98 = (-33 + 98) ⋅ 101 + 1
67⋅98 = 65⋅101 + 1
Es gilt also: 67⋅98 = 65⋅101 +1
Somit 67⋅98 = 1 mod 101
67 ist also das Inverse von 98 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.