nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (445 + 9005) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(445 + 9005) mod 9 ≡ (445 mod 9 + 9005 mod 9) mod 9.

445 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 445 = 450-5 = 9 ⋅ 50 -5 = 9 ⋅ 50 - 9 + 4.

9005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9005 = 9000+5 = 9 ⋅ 1000 +5.

Somit gilt:

(445 + 9005) mod 9 ≡ (4 + 5) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 21) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 21) mod 8 ≡ (73 mod 8 ⋅ 21 mod 8) mod 8.

73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.

21 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 16 + 5 = 2 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 21) mod 8 ≡ (1 ⋅ 5) mod 8 ≡ 5 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 174128 mod 359.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 174 -> x
2. mod(x²,359) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1741=174

2: 1742=1741+1=1741⋅1741 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 120 mod 359

4: 1744=1742+2=1742⋅1742 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 40 mod 359

8: 1748=1744+4=1744⋅1744 ≡ 40⋅40=1600 ≡ 164 mod 359

16: 17416=1748+8=1748⋅1748 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 330 mod 359

32: 17432=17416+16=17416⋅17416 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 123 mod 359

64: 17464=17432+32=17432⋅17432 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 51 mod 359

128: 174128=17464+64=17464⋅17464 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 88 mod 359

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 230139 mod 263.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:

139 = 128+8+2+1

1: 2301=230

2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 37 mod 263

4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 54 mod 263

8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 23 mod 263

16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 23⋅23=529 ≡ 3 mod 263

32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 263

64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 263

128: 230128=23064+64=23064⋅23064 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 249 mod 263

230139

= 230128+8+2+1

= 230128⋅2308⋅2302⋅2301

≡ 249 ⋅ 23 ⋅ 37 ⋅ 230 mod 263
≡ 5727 ⋅ 37 ⋅ 230 mod 263 ≡ 204 ⋅ 37 ⋅ 230 mod 263
≡ 7548 ⋅ 230 mod 263 ≡ 184 ⋅ 230 mod 263
≡ 42320 mod 263 ≡ 240 mod 263

Es gilt also: 230139 ≡ 240 mod 263

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 42

=>89 = 2⋅42 + 5
=>42 = 8⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 42-8⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(42 -8⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅42 +16⋅ 5)
= -2⋅42 +17⋅ 5 (=1)
5= 89-2⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅42 +17⋅(89 -2⋅ 42)
= -2⋅42 +17⋅89 -34⋅ 42)
= 17⋅89 -36⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(89,42)=1 = 17⋅89 -36⋅42

oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅89 = -36⋅42

-36⋅42 = -17⋅89 + 1 |+89⋅42

-36⋅42 + 89⋅42 = -17⋅89 + 89⋅42 + 1

(-36 + 89) ⋅ 42 = (-17 + 42) ⋅ 89 + 1

53⋅42 = 25⋅89 + 1

Es gilt also: 53⋅42 = 25⋅89 +1

Somit 53⋅42 = 1 mod 89

53 ist also das Inverse von 42 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden