Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5997 + 18004) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5997 + 18004) mod 6 ≡ (5997 mod 6 + 18004 mod 6) mod 6.

5997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997 = 6000-3 = 6 ⋅ 1000 -3 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 3.

18004 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18004 = 18000+4 = 6 ⋅ 3000 +4.

Somit gilt:

(5997 + 18004) mod 6 ≡ (3 + 4) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 69) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 69) mod 6 ≡ (16 mod 6 ⋅ 69 mod 6) mod 6.

16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.

69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 69) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 318¹²⁸ mod 601.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 318 -> x
2. mod(x²,601) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 318¹=318

2: 318²=318¹⁺¹=318¹⋅318¹ ≡ 318⋅318=101124 ≡ 156 mod 601

4: 318⁴=318²⁺²=318²⋅318² ≡ 156⋅156=24336 ≡ 296 mod 601

8: 318⁸=318⁴⁺⁴=318⁴⋅318⁴ ≡ 296⋅296=87616 ≡ 471 mod 601

16: 318¹⁶=318⁸⁺⁸=318⁸⋅318⁸ ≡ 471⋅471=221841 ≡ 72 mod 601

32: 318³²=318¹⁶⁺¹⁶=318¹⁶⋅318¹⁶ ≡ 72⋅72=5184 ≡ 376 mod 601

64: 318⁶⁴=318³²⁺³²=318³²⋅318³² ≡ 376⋅376=141376 ≡ 141 mod 601

128: 318¹²⁸=318⁶⁴⁺⁶⁴=318⁶⁴⋅318⁶⁴ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 48 mod 601

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 306²⁴⁵ mod 373.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

1: 306¹=306

2: 306²=306¹⁺¹=306¹⋅306¹ ≡ 306⋅306=93636 ≡ 13 mod 373

4: 306⁴=306²⁺²=306²⋅306² ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 373

8: 306⁸=306⁴⁺⁴=306⁴⋅306⁴ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 213 mod 373

16: 306¹⁶=306⁸⁺⁸=306⁸⋅306⁸ ≡ 213⋅213=45369 ≡ 236 mod 373

32: 306³²=306¹⁶⁺¹⁶=306¹⁶⋅306¹⁶ ≡ 236⋅236=55696 ≡ 119 mod 373

64: 306⁶⁴=306³²⁺³²=306³²⋅306³² ≡ 119⋅119=14161 ≡ 360 mod 373

128: 306¹²⁸=306⁶⁴⁺⁶⁴=306⁶⁴⋅306⁶⁴ ≡ 360⋅360=129600 ≡ 169 mod 373

306²⁴⁵

= 306^{128+64+32+16+4+1}

= 306¹²⁸⋅306⁶⁴⋅306³²⋅306¹⁶⋅306⁴⋅306¹

≡ 169 ⋅ 360 ⋅ 119 ⋅ 236 ⋅ 169 ⋅ 306 mod 373
≡ 60840 ⋅ 119 ⋅ 236 ⋅ 169 ⋅ 306 mod 373 ≡ 41 ⋅ 119 ⋅ 236 ⋅ 169 ⋅ 306 mod 373
≡ 4879 ⋅ 236 ⋅ 169 ⋅ 306 mod 373 ≡ 30 ⋅ 236 ⋅ 169 ⋅ 306 mod 373
≡ 7080 ⋅ 169 ⋅ 306 mod 373 ≡ 366 ⋅ 169 ⋅ 306 mod 373
≡ 61854 ⋅ 306 mod 373 ≡ 309 ⋅ 306 mod 373
≡ 94554 mod 373 ≡ 185 mod 373

Es gilt also: 306²⁴⁵ ≡ 185 mod 373

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 32

=>79	= 2⋅32 + 15
=>32	= 2⋅15 + 2
=>15	= 7⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15) = 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 79-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -7⋅32 +15⋅(79 -2⋅ 32) = -7⋅32 +15⋅79 -30⋅ 32) = 15⋅79 -37⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(79,32)=1 = 15⋅79 -37⋅32

oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅79 = -37⋅32

-37⋅32 = -15⋅79 + 1 |+79⋅32

-37⋅32 + 79⋅32 = -15⋅79 + 79⋅32 + 1

(-37 + 79) ⋅ 32 = (-15 + 32) ⋅ 79 + 1

42⋅32 = 17⋅79 + 1

Es gilt also: 42⋅32 = 17⋅79 +1

Somit 42⋅32 = 1 mod 79

42 ist also das Inverse von 32 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 32

Schlüsselpaar für RSA