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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (496 + 1502) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(496 + 1502) mod 5 ≡ (496 mod 5 + 1502 mod 5) mod 5.

496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 496 = 400+96 = 5 ⋅ 80 +96.

1502 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502 = 1500+2 = 5 ⋅ 300 +2.

Somit gilt:

(496 + 1502) mod 5 ≡ (1 + 2) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 36) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 36) mod 10 ≡ (31 mod 10 ⋅ 36 mod 10) mod 10.

31 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 3 ⋅ 10 + 1 ist.

36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 36) mod 10 ≡ (1 ⋅ 6) mod 10 ≡ 6 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 328¹⁶ mod 383.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 328 -> x
2. mod(x²,383) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 328¹=328

2: 328²=328¹⁺¹=328¹⋅328¹ ≡ 328⋅328=107584 ≡ 344 mod 383

4: 328⁴=328²⁺²=328²⋅328² ≡ 344⋅344=118336 ≡ 372 mod 383

8: 328⁸=328⁴⁺⁴=328⁴⋅328⁴ ≡ 372⋅372=138384 ≡ 121 mod 383

16: 328¹⁶=328⁸⁺⁸=328⁸⋅328⁸ ≡ 121⋅121=14641 ≡ 87 mod 383

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 440²⁴⁷ mod 503.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

1: 440¹=440

2: 440²=440¹⁺¹=440¹⋅440¹ ≡ 440⋅440=193600 ≡ 448 mod 503

4: 440⁴=440²⁺²=440²⋅440² ≡ 448⋅448=200704 ≡ 7 mod 503

8: 440⁸=440⁴⁺⁴=440⁴⋅440⁴ ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 503

16: 440¹⁶=440⁸⁺⁸=440⁸⋅440⁸ ≡ 49⋅49=2401 ≡ 389 mod 503

32: 440³²=440¹⁶⁺¹⁶=440¹⁶⋅440¹⁶ ≡ 389⋅389=151321 ≡ 421 mod 503

64: 440⁶⁴=440³²⁺³²=440³²⋅440³² ≡ 421⋅421=177241 ≡ 185 mod 503

128: 440¹²⁸=440⁶⁴⁺⁶⁴=440⁶⁴⋅440⁶⁴ ≡ 185⋅185=34225 ≡ 21 mod 503

440²⁴⁷

= 440^{128+64+32+16+4+2+1}

= 440¹²⁸⋅440⁶⁴⋅440³²⋅440¹⁶⋅440⁴⋅440²⋅440¹

≡ 21 ⋅ 185 ⋅ 421 ⋅ 389 ⋅ 7 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503
≡ 3885 ⋅ 421 ⋅ 389 ⋅ 7 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503 ≡ 364 ⋅ 421 ⋅ 389 ⋅ 7 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503
≡ 153244 ⋅ 389 ⋅ 7 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503 ≡ 332 ⋅ 389 ⋅ 7 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503
≡ 129148 ⋅ 7 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503 ≡ 380 ⋅ 7 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503
≡ 2660 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503 ≡ 145 ⋅ 448 ⋅ 440 mod 503
≡ 64960 ⋅ 440 mod 503 ≡ 73 ⋅ 440 mod 503
≡ 32120 mod 503 ≡ 431 mod 503

Es gilt also: 440²⁴⁷ ≡ 431 mod 503

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

=>61	= 2⋅22 + 17
=>22	= 1⋅17 + 5
=>17	= 3⋅5 + 2
=>5	= 2⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5) = 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 22-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17) = -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1)
17= 61-2⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22) = 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +25⋅22

Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1

Somit 25⋅22 = 1 mod 61

25 ist also das Inverse von 22 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

Schlüsselpaar für RSA