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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16000 + 4006) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16000 + 4006) mod 8 ≡ (16000 mod 8 + 4006 mod 8) mod 8.

16000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 8 ⋅ 2000 +0.

4006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4006 = 4000+6 = 8 ⋅ 500 +6.

Somit gilt:

(16000 + 4006) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 20) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 20) mod 10 ≡ (100 mod 10 ⋅ 20 mod 10) mod 10.

100 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 10 ⋅ 10 + 0 ist.

20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 20) mod 10 ≡ (0 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 428³² mod 563.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 428 -> x
2. mod(x²,563) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 428¹=428

2: 428²=428¹⁺¹=428¹⋅428¹ ≡ 428⋅428=183184 ≡ 209 mod 563

4: 428⁴=428²⁺²=428²⋅428² ≡ 209⋅209=43681 ≡ 330 mod 563

8: 428⁸=428⁴⁺⁴=428⁴⋅428⁴ ≡ 330⋅330=108900 ≡ 241 mod 563

16: 428¹⁶=428⁸⁺⁸=428⁸⋅428⁸ ≡ 241⋅241=58081 ≡ 92 mod 563

32: 428³²=428¹⁶⁺¹⁶=428¹⁶⋅428¹⁶ ≡ 92⋅92=8464 ≡ 19 mod 563

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 369¹⁵² mod 857.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 152 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 152 an und zerlegen 152 in eine Summer von 2er-Potenzen:

152 = 128+16+8

1: 369¹=369

2: 369²=369¹⁺¹=369¹⋅369¹ ≡ 369⋅369=136161 ≡ 755 mod 857

4: 369⁴=369²⁺²=369²⋅369² ≡ 755⋅755=570025 ≡ 120 mod 857

8: 369⁸=369⁴⁺⁴=369⁴⋅369⁴ ≡ 120⋅120=14400 ≡ 688 mod 857

16: 369¹⁶=369⁸⁺⁸=369⁸⋅369⁸ ≡ 688⋅688=473344 ≡ 280 mod 857

32: 369³²=369¹⁶⁺¹⁶=369¹⁶⋅369¹⁶ ≡ 280⋅280=78400 ≡ 413 mod 857

64: 369⁶⁴=369³²⁺³²=369³²⋅369³² ≡ 413⋅413=170569 ≡ 26 mod 857

128: 369¹²⁸=369⁶⁴⁺⁶⁴=369⁶⁴⋅369⁶⁴ ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 857

369¹⁵²

= 369^128+16+8

= 369¹²⁸⋅369¹⁶⋅369⁸

≡ 676 ⋅ 280 ⋅ 688 mod 857
≡ 189280 ⋅ 688 mod 857 ≡ 740 ⋅ 688 mod 857
≡ 509120 mod 857 ≡ 62 mod 857

Es gilt also: 369¹⁵² ≡ 62 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 47

=>67	= 1⋅47 + 20
=>47	= 2⋅20 + 7
=>20	= 2⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 20-2⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1)
7= 47-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅20 +3⋅(47 -2⋅ 20) = -1⋅20 +3⋅47 -6⋅ 20) = 3⋅47 -7⋅ 20 (=1)
20= 67-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅47 -7⋅(67 -1⋅ 47) = 3⋅47 -7⋅67 +7⋅ 47) = -7⋅67 +10⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(67,47)=1 = -7⋅67 +10⋅47

oder wenn man -7⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅67 = +10⋅47

Es gilt also: 10⋅47 = 7⋅67 +1

Somit 10⋅47 = 1 mod 67

10 ist also das Inverse von 47 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 47

Schlüsselpaar für RSA