nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1402 - 3506) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1402 - 3506) mod 7 ≡ (1402 mod 7 - 3506 mod 7) mod 7.

1402 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1402 = 1400+2 = 7 ⋅ 200 +2.

3506 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3506 = 3500+6 = 7 ⋅ 500 +6.

Somit gilt:

(1402 - 3506) mod 7 ≡ (2 - 6) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 44) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 44) mod 3 ≡ (44 mod 3 ⋅ 44 mod 3) mod 3.

44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.

44 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 14 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 44) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 44764 mod 521.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 447 -> x
2. mod(x²,521) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4471=447

2: 4472=4471+1=4471⋅4471 ≡ 447⋅447=199809 ≡ 266 mod 521

4: 4474=4472+2=4472⋅4472 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 421 mod 521

8: 4478=4474+4=4474⋅4474 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 101 mod 521

16: 44716=4478+8=4478⋅4478 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 302 mod 521

32: 44732=44716+16=44716⋅44716 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 29 mod 521

64: 44764=44732+32=44732⋅44732 ≡ 29⋅29=841 ≡ 320 mod 521

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 260185 mod 293.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 185 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 185 an und zerlegen 185 in eine Summer von 2er-Potenzen:

185 = 128+32+16+8+1

1: 2601=260

2: 2602=2601+1=2601⋅2601 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 210 mod 293

4: 2604=2602+2=2602⋅2602 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 150 mod 293

8: 2608=2604+4=2604⋅2604 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 232 mod 293

16: 26016=2608+8=2608⋅2608 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 205 mod 293

32: 26032=26016+16=26016⋅26016 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 126 mod 293

64: 26064=26032+32=26032⋅26032 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 54 mod 293

128: 260128=26064+64=26064⋅26064 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 279 mod 293

260185

= 260128+32+16+8+1

= 260128⋅26032⋅26016⋅2608⋅2601

279 ⋅ 126 ⋅ 205 ⋅ 232 ⋅ 260 mod 293
35154 ⋅ 205 ⋅ 232 ⋅ 260 mod 293 ≡ 287 ⋅ 205 ⋅ 232 ⋅ 260 mod 293
58835 ⋅ 232 ⋅ 260 mod 293 ≡ 235 ⋅ 232 ⋅ 260 mod 293
54520 ⋅ 260 mod 293 ≡ 22 ⋅ 260 mod 293
5720 mod 293 ≡ 153 mod 293

Es gilt also: 260185 ≡ 153 mod 293

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 42

=>59 = 1⋅42 + 17
=>42 = 2⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17)
= -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 59-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅42 +5⋅(59 -1⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅59 -5⋅ 42)
= 5⋅59 -7⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(59,42)=1 = 5⋅59 -7⋅42

oder wenn man 5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅59 = -7⋅42

-7⋅42 = -5⋅59 + 1 |+59⋅42

-7⋅42 + 59⋅42 = -5⋅59 + 59⋅42 + 1

(-7 + 59) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 59 + 1

52⋅42 = 37⋅59 + 1

Es gilt also: 52⋅42 = 37⋅59 +1

Somit 52⋅42 = 1 mod 59

52 ist also das Inverse von 42 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.