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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24003 + 182) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24003 + 182) mod 6 ≡ (24003 mod 6 + 182 mod 6) mod 6.

24003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24003 = 24000+3 = 6 ⋅ 4000 +3.

182 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 182 = 180+2 = 6 ⋅ 30 +2.

Somit gilt:

(24003 + 182) mod 6 ≡ (3 + 2) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 21) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 21) mod 3 ≡ (81 mod 3 ⋅ 21 mod 3) mod 3.

81 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 27 ⋅ 3 + 0 ist.

21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 21) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25532 mod 271.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 255 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2551=255

2: 2552=2551+1=2551⋅2551 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 256 mod 271

4: 2554=2552+2=2552⋅2552 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 225 mod 271

8: 2558=2554+4=2554⋅2554 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 219 mod 271

16: 25516=2558+8=2558⋅2558 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 265 mod 271

32: 25532=25516+16=25516⋅25516 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 36 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 212153 mod 317.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 153 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 153 an und zerlegen 153 in eine Summer von 2er-Potenzen:

153 = 128+16+8+1

1: 2121=212

2: 2122=2121+1=2121⋅2121 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 247 mod 317

4: 2124=2122+2=2122⋅2122 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 145 mod 317

8: 2128=2124+4=2124⋅2124 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 103 mod 317

16: 21216=2128+8=2128⋅2128 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 148 mod 317

32: 21232=21216+16=21216⋅21216 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 31 mod 317

64: 21264=21232+32=21232⋅21232 ≡ 31⋅31=961 ≡ 10 mod 317

128: 212128=21264+64=21264⋅21264 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 317

212153

= 212128+16+8+1

= 212128⋅21216⋅2128⋅2121

≡ 100 ⋅ 148 ⋅ 103 ⋅ 212 mod 317
≡ 14800 ⋅ 103 ⋅ 212 mod 317 ≡ 218 ⋅ 103 ⋅ 212 mod 317
≡ 22454 ⋅ 212 mod 317 ≡ 264 ⋅ 212 mod 317
≡ 55968 mod 317 ≡ 176 mod 317

Es gilt also: 212153 ≡ 176 mod 317

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 39.

Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 39

=>89 = 2⋅39 + 11
=>39 = 3⋅11 + 6
=>11 = 1⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6)
= -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 39-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +2⋅(39 -3⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅39 -6⋅ 11)
= 2⋅39 -7⋅ 11 (=1)
11= 89-2⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅39 -7⋅(89 -2⋅ 39)
= 2⋅39 -7⋅89 +14⋅ 39)
= -7⋅89 +16⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(89,39)=1 = -7⋅89 +16⋅39

oder wenn man -7⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅89 = +16⋅39

Es gilt also: 16⋅39 = 7⋅89 +1

Somit 16⋅39 = 1 mod 89

16 ist also das Inverse von 39 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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