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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15996 + 2407) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15996 + 2407) mod 8 ≡ (15996 mod 8 + 2407 mod 8) mod 8.

15996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15996 = 15000+996 = 8 ⋅ 1875 +996.

2407 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2407 = 2400+7 = 8 ⋅ 300 +7.

Somit gilt:

(15996 + 2407) mod 8 ≡ (4 + 7) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 72) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 72) mod 5 ≡ (18 mod 5 ⋅ 72 mod 5) mod 5.

18 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 15 + 3 = 3 ⋅ 5 + 3 ist.

72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 72) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 198128 mod 359.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 198 -> x
2. mod(x²,359) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1981=198

2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 73 mod 359

4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 303 mod 359

8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 264 mod 359

16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 50 mod 359

32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 346 mod 359

64: 19864=19832+32=19832⋅19832 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 169 mod 359

128: 198128=19864+64=19864⋅19864 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 200 mod 359

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 717131 mod 839.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:

131 = 128+2+1

1: 7171=717

2: 7172=7171+1=7171⋅7171 ≡ 717⋅717=514089 ≡ 621 mod 839

4: 7174=7172+2=7172⋅7172 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 540 mod 839

8: 7178=7174+4=7174⋅7174 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 467 mod 839

16: 71716=7178+8=7178⋅7178 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 788 mod 839

32: 71732=71716+16=71716⋅71716 ≡ 788⋅788=620944 ≡ 84 mod 839

64: 71764=71732+32=71732⋅71732 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 344 mod 839

128: 717128=71764+64=71764⋅71764 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 37 mod 839

717131

= 717128+2+1

= 717128⋅7172⋅7171

≡ 37 ⋅ 621 ⋅ 717 mod 839
≡ 22977 ⋅ 717 mod 839 ≡ 324 ⋅ 717 mod 839
≡ 232308 mod 839 ≡ 744 mod 839

Es gilt also: 717131 ≡ 744 mod 839

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55

=>97 = 1⋅55 + 42
=>55 = 1⋅42 + 13
=>42 = 3⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13)
= -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 55-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42)
= 13⋅55 -17⋅ 42 (=1)
42= 97-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55)
= 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55)
= -17⋅97 +30⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55

oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅97 = +30⋅55

Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1

Somit 30⋅55 = 1 mod 97

30 ist also das Inverse von 55 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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