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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (118 - 1600) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(118 - 1600) mod 4 ≡ (118 mod 4 - 1600 mod 4) mod 4.

118 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 4 ⋅ 30 -2 = 4 ⋅ 30 - 4 + 2.

1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 4 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(118 - 1600) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 24) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 24) mod 8 ≡ (30 mod 8 ⋅ 24 mod 8) mod 8.

30 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 24 + 6 = 3 ⋅ 8 + 6 ist.

24 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 3 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 24) mod 8 ≡ (6 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 187⁸ mod 439.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 187 -> x
2. mod(x²,439) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 187¹=187

2: 187²=187¹⁺¹=187¹⋅187¹ ≡ 187⋅187=34969 ≡ 288 mod 439

4: 187⁴=187²⁺²=187²⋅187² ≡ 288⋅288=82944 ≡ 412 mod 439

8: 187⁸=187⁴⁺⁴=187⁴⋅187⁴ ≡ 412⋅412=169744 ≡ 290 mod 439

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 651¹²⁷ mod 883.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 127 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 127 an und zerlegen 127 in eine Summer von 2er-Potenzen:

127 = 64+32+16+8+4+2+1

1: 651¹=651

2: 651²=651¹⁺¹=651¹⋅651¹ ≡ 651⋅651=423801 ≡ 844 mod 883

4: 651⁴=651²⁺²=651²⋅651² ≡ 844⋅844=712336 ≡ 638 mod 883

8: 651⁸=651⁴⁺⁴=651⁴⋅651⁴ ≡ 638⋅638=407044 ≡ 864 mod 883

16: 651¹⁶=651⁸⁺⁸=651⁸⋅651⁸ ≡ 864⋅864=746496 ≡ 361 mod 883

32: 651³²=651¹⁶⁺¹⁶=651¹⁶⋅651¹⁶ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 520 mod 883

64: 651⁶⁴=651³²⁺³²=651³²⋅651³² ≡ 520⋅520=270400 ≡ 202 mod 883

651¹²⁷

= 651^{64+32+16+8+4+2+1}

= 651⁶⁴⋅651³²⋅651¹⁶⋅651⁸⋅651⁴⋅651²⋅651¹

≡ 202 ⋅ 520 ⋅ 361 ⋅ 864 ⋅ 638 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883
≡ 105040 ⋅ 361 ⋅ 864 ⋅ 638 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883 ≡ 846 ⋅ 361 ⋅ 864 ⋅ 638 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883
≡ 305406 ⋅ 864 ⋅ 638 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883 ≡ 771 ⋅ 864 ⋅ 638 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883
≡ 666144 ⋅ 638 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883 ≡ 362 ⋅ 638 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883
≡ 230956 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883 ≡ 493 ⋅ 844 ⋅ 651 mod 883
≡ 416092 ⋅ 651 mod 883 ≡ 199 ⋅ 651 mod 883
≡ 129549 mod 883 ≡ 631 mod 883

Es gilt also: 651¹²⁷ ≡ 631 mod 883

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

=>61	= 3⋅18 + 7
=>18	= 2⋅7 + 4
=>7	= 1⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 18-2⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7) = -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1)
7= 61-3⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18) = 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +17⋅18

Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1

Somit 17⋅18 = 1 mod 61

17 ist also das Inverse von 18 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

Schlüsselpaar für RSA