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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4008 + 2403) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4008 + 2403) mod 8 ≡ (4008 mod 8 + 2403 mod 8) mod 8.

4008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4008 = 4000+8 = 8 ⋅ 500 +8.

2403 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403 = 2400+3 = 8 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(4008 + 2403) mod 8 ≡ (0 + 3) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 56) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 56) mod 8 ≡ (54 mod 8 ⋅ 56 mod 8) mod 8.

54 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 48 + 6 = 6 ⋅ 8 + 6 ist.

56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 56) mod 8 ≡ (6 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 225³² mod 433.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 225 -> x
2. mod(x²,433) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 225¹=225

2: 225²=225¹⁺¹=225¹⋅225¹ ≡ 225⋅225=50625 ≡ 397 mod 433

4: 225⁴=225²⁺²=225²⋅225² ≡ 397⋅397=157609 ≡ 430 mod 433

8: 225⁸=225⁴⁺⁴=225⁴⋅225⁴ ≡ 430⋅430=184900 ≡ 9 mod 433

16: 225¹⁶=225⁸⁺⁸=225⁸⋅225⁸ ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 433

32: 225³²=225¹⁶⁺¹⁶=225¹⁶⋅225¹⁶ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 66 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 297²³⁶ mod 877.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 236 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 236 an und zerlegen 236 in eine Summer von 2er-Potenzen:

236 = 128+64+32+8+4

1: 297¹=297

2: 297²=297¹⁺¹=297¹⋅297¹ ≡ 297⋅297=88209 ≡ 509 mod 877

4: 297⁴=297²⁺²=297²⋅297² ≡ 509⋅509=259081 ≡ 366 mod 877

8: 297⁸=297⁴⁺⁴=297⁴⋅297⁴ ≡ 366⋅366=133956 ≡ 652 mod 877

16: 297¹⁶=297⁸⁺⁸=297⁸⋅297⁸ ≡ 652⋅652=425104 ≡ 636 mod 877

32: 297³²=297¹⁶⁺¹⁶=297¹⁶⋅297¹⁶ ≡ 636⋅636=404496 ≡ 199 mod 877

64: 297⁶⁴=297³²⁺³²=297³²⋅297³² ≡ 199⋅199=39601 ≡ 136 mod 877

128: 297¹²⁸=297⁶⁴⁺⁶⁴=297⁶⁴⋅297⁶⁴ ≡ 136⋅136=18496 ≡ 79 mod 877

297²³⁶

= 297^{128+64+32+8+4}

= 297¹²⁸⋅297⁶⁴⋅297³²⋅297⁸⋅297⁴

≡ 79 ⋅ 136 ⋅ 199 ⋅ 652 ⋅ 366 mod 877
≡ 10744 ⋅ 199 ⋅ 652 ⋅ 366 mod 877 ≡ 220 ⋅ 199 ⋅ 652 ⋅ 366 mod 877
≡ 43780 ⋅ 652 ⋅ 366 mod 877 ≡ 807 ⋅ 652 ⋅ 366 mod 877
≡ 526164 ⋅ 366 mod 877 ≡ 841 ⋅ 366 mod 877
≡ 307806 mod 877 ≡ 856 mod 877

Es gilt also: 297²³⁶ ≡ 856 mod 877

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24

=>79	= 3⋅24 + 7
=>24	= 3⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 24-3⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1)
7= 79-3⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅24 +7⋅(79 -3⋅ 24) = -2⋅24 +7⋅79 -21⋅ 24) = 7⋅79 -23⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(79,24)=1 = 7⋅79 -23⋅24

oder wenn man 7⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅79 = -23⋅24

-23⋅24 = -7⋅79 + 1 |+79⋅24

-23⋅24 + 79⋅24 = -7⋅79 + 79⋅24 + 1

(-23 + 79) ⋅ 24 = (-7 + 24) ⋅ 79 + 1

56⋅24 = 17⋅79 + 1

Es gilt also: 56⋅24 = 17⋅79 +1

Somit 56⋅24 = 1 mod 79

56 ist also das Inverse von 24 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 24

Schlüsselpaar für RSA