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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (160 - 3205) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(160 - 3205) mod 8 ≡ (160 mod 8 - 3205 mod 8) mod 8.

160 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 8 ⋅ 20 +0.

3205 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3205 = 3200+5 = 8 ⋅ 400 +5.

Somit gilt:

(160 - 3205) mod 8 ≡ (0 - 5) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 86) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 86) mod 5 ≡ (25 mod 5 ⋅ 86 mod 5) mod 5.

25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.

86 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 85 + 1 = 17 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 86) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 19664 mod 331.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 196 -> x
2. mod(x²,331) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1961=196

2: 1962=1961+1=1961⋅1961 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 20 mod 331

4: 1964=1962+2=1962⋅1962 ≡ 20⋅20=400 ≡ 69 mod 331

8: 1968=1964+4=1964⋅1964 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 127 mod 331

16: 19616=1968+8=1968⋅1968 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 241 mod 331

32: 19632=19616+16=19616⋅19616 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 156 mod 331

64: 19664=19632+32=19632⋅19632 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 173 mod 331

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 313201 mod 839.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:

201 = 128+64+8+1

1: 3131=313

2: 3132=3131+1=3131⋅3131 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 645 mod 839

4: 3134=3132+2=3132⋅3132 ≡ 645⋅645=416025 ≡ 720 mod 839

8: 3138=3134+4=3134⋅3134 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 737 mod 839

16: 31316=3138+8=3138⋅3138 ≡ 737⋅737=543169 ≡ 336 mod 839

32: 31332=31316+16=31316⋅31316 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 470 mod 839

64: 31364=31332+32=31332⋅31332 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 243 mod 839

128: 313128=31364+64=31364⋅31364 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 319 mod 839

313201

= 313128+64+8+1

= 313128⋅31364⋅3138⋅3131

≡ 319 ⋅ 243 ⋅ 737 ⋅ 313 mod 839
≡ 77517 ⋅ 737 ⋅ 313 mod 839 ≡ 329 ⋅ 737 ⋅ 313 mod 839
≡ 242473 ⋅ 313 mod 839 ≡ 2 ⋅ 313 mod 839
≡ 626 mod 839

Es gilt also: 313201 ≡ 626 mod 839

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 25

=>71 = 2⋅25 + 21
=>25 = 1⋅21 + 4
=>21 = 5⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 25-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -5⋅(25 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅25 +5⋅ 21)
= -5⋅25 +6⋅ 21 (=1)
21= 71-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅25 +6⋅(71 -2⋅ 25)
= -5⋅25 +6⋅71 -12⋅ 25)
= 6⋅71 -17⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(71,25)=1 = 6⋅71 -17⋅25

oder wenn man 6⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅71 = -17⋅25

-17⋅25 = -6⋅71 + 1 |+71⋅25

-17⋅25 + 71⋅25 = -6⋅71 + 71⋅25 + 1

(-17 + 71) ⋅ 25 = (-6 + 25) ⋅ 71 + 1

54⋅25 = 19⋅71 + 1

Es gilt also: 54⋅25 = 19⋅71 +1

Somit 54⋅25 = 1 mod 71

54 ist also das Inverse von 25 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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