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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9997 - 19997) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9997 - 19997) mod 5 ≡ (9997 mod 5 - 19997 mod 5) mod 5.

9997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9997 = 9000+997 = 5 ⋅ 1800 +997.

19997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997 = 19000+997 = 5 ⋅ 3800 +997.

Somit gilt:

(9997 - 19997) mod 5 ≡ (2 - 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 28) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 28) mod 3 ≡ (21 mod 3 ⋅ 28 mod 3) mod 3.

21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.

28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 28) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26532 mod 269.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 265 -> x
2. mod(x²,269) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2651=265

2: 2652=2651+1=2651⋅2651 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 16 mod 269

4: 2654=2652+2=2652⋅2652 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 269

8: 2658=2654+4=2654⋅2654 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 169 mod 269

16: 26516=2658+8=2658⋅2658 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 47 mod 269

32: 26532=26516+16=26516⋅26516 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 57 mod 269

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 636107 mod 857.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 107 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 107 an und zerlegen 107 in eine Summer von 2er-Potenzen:

107 = 64+32+8+2+1

1: 6361=636

2: 6362=6361+1=6361⋅6361 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 849 mod 857

4: 6364=6362+2=6362⋅6362 ≡ 849⋅849=720801 ≡ 64 mod 857

8: 6368=6364+4=6364⋅6364 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 668 mod 857

16: 63616=6368+8=6368⋅6368 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 584 mod 857

32: 63632=63616+16=63616⋅63616 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 827 mod 857

64: 63664=63632+32=63632⋅63632 ≡ 827⋅827=683929 ≡ 43 mod 857

636107

= 63664+32+8+2+1

= 63664⋅63632⋅6368⋅6362⋅6361

≡ 43 ⋅ 827 ⋅ 668 ⋅ 849 ⋅ 636 mod 857
≡ 35561 ⋅ 668 ⋅ 849 ⋅ 636 mod 857 ≡ 424 ⋅ 668 ⋅ 849 ⋅ 636 mod 857
≡ 283232 ⋅ 849 ⋅ 636 mod 857 ≡ 422 ⋅ 849 ⋅ 636 mod 857
≡ 358278 ⋅ 636 mod 857 ≡ 52 ⋅ 636 mod 857
≡ 33072 mod 857 ≡ 506 mod 857

Es gilt also: 636107 ≡ 506 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 71.

Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 71

=>89 = 1⋅71 + 18
=>71 = 3⋅18 + 17
=>18 = 1⋅17 + 1
=>17 = 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,71)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 71-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅18 -1⋅(71 -3⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅71 +3⋅ 18)
= -1⋅71 +4⋅ 18 (=1)
18= 89-1⋅71 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅71 +4⋅(89 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +4⋅89 -4⋅ 71)
= 4⋅89 -5⋅ 71 (=1)

Es gilt also: ggt(89,71)=1 = 4⋅89 -5⋅71

oder wenn man 4⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅89 = -5⋅71

-5⋅71 = -4⋅89 + 1 |+89⋅71

-5⋅71 + 89⋅71 = -4⋅89 + 89⋅71 + 1

(-5 + 89) ⋅ 71 = (-4 + 71) ⋅ 89 + 1

84⋅71 = 67⋅89 + 1

Es gilt also: 84⋅71 = 67⋅89 +1

Somit 84⋅71 = 1 mod 89

84 ist also das Inverse von 71 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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