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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20001 + 1598) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20001 + 1598) mod 4 ≡ (20001 mod 4 + 1598 mod 4) mod 4.
20001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20001
= 20000
1598 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1598
= 1500
Somit gilt:
(20001 + 1598) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 45) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 45) mod 3 ≡ (32 mod 3 ⋅ 45 mod 3) mod 3.
32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 10 ⋅ 3 + 2 ist.
45 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 15 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 45) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23964 mod 353.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 239 -> x
2. mod(x²,353) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2391=239
2: 2392=2391+1=2391⋅2391 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 288 mod 353
4: 2394=2392+2=2392⋅2392 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 342 mod 353
8: 2398=2394+4=2394⋅2394 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 121 mod 353
16: 23916=2398+8=2398⋅2398 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 168 mod 353
32: 23932=23916+16=23916⋅23916 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 337 mod 353
64: 23964=23932+32=23932⋅23932 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 256 mod 353
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 191160 mod 241.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 160 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 160 an und zerlegen 160 in eine Summer von 2er-Potenzen:
160 = 128+32
1: 1911=191
2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 90 mod 241
4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 147 mod 241
8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 160 mod 241
16: 19116=1918+8=1918⋅1918 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 54 mod 241
32: 19132=19116+16=19116⋅19116 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 24 mod 241
64: 19164=19132+32=19132⋅19132 ≡ 24⋅24=576 ≡ 94 mod 241
128: 191128=19164+64=19164⋅19164 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 160 mod 241
191160
= 191128+32
= 191128⋅19132
≡ 160 ⋅ 24 mod 241
≡ 3840 mod 241 ≡ 225 mod 241
Es gilt also: 191160 ≡ 225 mod 241
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49
| =>71 | = 1⋅49 + 22 |
| =>49 | = 2⋅22 + 5 |
| =>22 | = 4⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 22-4⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5) = -2⋅22 +9⋅ 5 (=1) |
| 5= 49-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22) = 9⋅49 -20⋅ 22 (=1) |
| 22= 71-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49) = -20⋅71 +29⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49
oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +20⋅71 = +29⋅49
Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1
Somit 29⋅49 = 1 mod 71
29 ist also das Inverse von 49 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.