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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (895 - 9008) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(895 - 9008) mod 9 ≡ (895 mod 9 - 9008 mod 9) mod 9.
895 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 895
= 900
9008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9008
= 9000
Somit gilt:
(895 - 9008) mod 9 ≡ (4 - 8) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 63) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 63) mod 6 ≡ (75 mod 6 ⋅ 63 mod 6) mod 6.
75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.
63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 10 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 63) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 21032 mod 251.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 210 -> x
2. mod(x²,251) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2101=210
2: 2102=2101+1=2101⋅2101 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 175 mod 251
4: 2104=2102+2=2102⋅2102 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 3 mod 251
8: 2108=2104+4=2104⋅2104 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 251
16: 21016=2108+8=2108⋅2108 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 251
32: 21032=21016+16=21016⋅21016 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 35 mod 251
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 143200 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:
200 = 128+64+8
1: 1431=143
2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 187 mod 307
4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 278 mod 307
8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 227 mod 307
16: 14316=1438+8=1438⋅1438 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 260 mod 307
32: 14332=14316+16=14316⋅14316 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 60 mod 307
64: 14364=14332+32=14332⋅14332 ≡ 60⋅60=3600 ≡ 223 mod 307
128: 143128=14364+64=14364⋅14364 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 302 mod 307
143200
= 143128+64+8
= 143128⋅14364⋅1438
≡ 302 ⋅ 223 ⋅ 227 mod 307
≡ 67346 ⋅ 227 mod 307 ≡ 113 ⋅ 227 mod 307
≡ 25651 mod 307 ≡ 170 mod 307
Es gilt also: 143200 ≡ 170 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 40
| =>71 | = 1⋅40 + 31 |
| =>40 | = 1⋅31 + 9 |
| =>31 | = 3⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 31-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9) = -2⋅31 +7⋅ 9 (=1) |
| 9= 40-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +7⋅(40 -1⋅ 31)
= -2⋅31 +7⋅40 -7⋅ 31) = 7⋅40 -9⋅ 31 (=1) |
| 31= 71-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅40 -9⋅(71 -1⋅ 40)
= 7⋅40 -9⋅71 +9⋅ 40) = -9⋅71 +16⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,40)=1 = -9⋅71 +16⋅40
oder wenn man -9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅71 = +16⋅40
Es gilt also: 16⋅40 = 9⋅71 +1
Somit 16⋅40 = 1 mod 71
16 ist also das Inverse von 40 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.