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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23994 - 237) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23994 - 237) mod 6 ≡ (23994 mod 6 - 237 mod 6) mod 6.

23994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23994 = 24000-6 = 6 ⋅ 4000 -6 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 0.

237 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 237 = 240-3 = 6 ⋅ 40 -3 = 6 ⋅ 40 - 6 + 3.

Somit gilt:

(23994 - 237) mod 6 ≡ (0 - 3) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 84) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 84) mod 8 ≡ (87 mod 8 ⋅ 84 mod 8) mod 8.

87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 10 ⋅ 8 + 7 ist.

84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 84) mod 8 ≡ (7 ⋅ 4) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 47516 mod 823.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 475 -> x
2. mod(x²,823) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4751=475

2: 4752=4751+1=4751⋅4751 ≡ 475⋅475=225625 ≡ 123 mod 823

4: 4754=4752+2=4752⋅4752 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 315 mod 823

8: 4758=4754+4=4754⋅4754 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 465 mod 823

16: 47516=4758+8=4758⋅4758 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 599 mod 823

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 182178 mod 263.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:

178 = 128+32+16+2

1: 1821=182

2: 1822=1821+1=1821⋅1821 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 249 mod 263

4: 1824=1822+2=1822⋅1822 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 196 mod 263

8: 1828=1824+4=1824⋅1824 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 18 mod 263

16: 18216=1828+8=1828⋅1828 ≡ 18⋅18=324 ≡ 61 mod 263

32: 18232=18216+16=18216⋅18216 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 39 mod 263

64: 18264=18232+32=18232⋅18232 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 206 mod 263

128: 182128=18264+64=18264⋅18264 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 93 mod 263

182178

= 182128+32+16+2

= 182128⋅18232⋅18216⋅1822

≡ 93 ⋅ 39 ⋅ 61 ⋅ 249 mod 263
≡ 3627 ⋅ 61 ⋅ 249 mod 263 ≡ 208 ⋅ 61 ⋅ 249 mod 263
≡ 12688 ⋅ 249 mod 263 ≡ 64 ⋅ 249 mod 263
≡ 15936 mod 263 ≡ 156 mod 263

Es gilt also: 182178 ≡ 156 mod 263

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 32

=>53 = 1⋅32 + 21
=>32 = 1⋅21 + 11
=>21 = 1⋅11 + 10
=>11 = 1⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 21-1⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11)
= -1⋅21 +2⋅ 11 (=1)
11= 32-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅21 +2⋅(32 -1⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅32 -2⋅ 21)
= 2⋅32 -3⋅ 21 (=1)
21= 53-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅32 -3⋅(53 -1⋅ 32)
= 2⋅32 -3⋅53 +3⋅ 32)
= -3⋅53 +5⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(53,32)=1 = -3⋅53 +5⋅32

oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅53 = +5⋅32

Es gilt also: 5⋅32 = 3⋅53 +1

Somit 5⋅32 = 1 mod 53

5 ist also das Inverse von 32 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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