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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2699 - 3594) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2699 - 3594) mod 9 ≡ (2699 mod 9 - 3594 mod 9) mod 9.
2699 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2699
= 2700
3594 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3594
= 3600
Somit gilt:
(2699 - 3594) mod 9 ≡ (8 - 3) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 18) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 18) mod 5 ≡ (44 mod 5 ⋅ 18 mod 5) mod 5.
44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.
18 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 15 + 3 = 3 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 18) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2458 mod 661.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 245 -> x
2. mod(x²,661) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2451=245
2: 2452=2451+1=2451⋅2451 ≡ 245⋅245=60025 ≡ 535 mod 661
4: 2454=2452+2=2452⋅2452 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 12 mod 661
8: 2458=2454+4=2454⋅2454 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 661
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 191131 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:
131 = 128+2+1
1: 1911=191
2: 1912=1911+1=1911⋅1911 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 314 mod 613
4: 1914=1912+2=1912⋅1912 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 516 mod 613
8: 1918=1914+4=1914⋅1914 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 214 mod 613
16: 19116=1918+8=1918⋅1918 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 434 mod 613
32: 19132=19116+16=19116⋅19116 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 165 mod 613
64: 19164=19132+32=19132⋅19132 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 253 mod 613
128: 191128=19164+64=19164⋅19164 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 257 mod 613
191131
= 191128+2+1
= 191128⋅1912⋅1911
≡ 257 ⋅ 314 ⋅ 191 mod 613
≡ 80698 ⋅ 191 mod 613 ≡ 395 ⋅ 191 mod 613
≡ 75445 mod 613 ≡ 46 mod 613
Es gilt also: 191131 ≡ 46 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 38
| =>59 | = 1⋅38 + 21 |
| =>38 | = 1⋅21 + 17 |
| =>21 | = 1⋅17 + 4 |
| =>17 | = 4⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-4⋅4 | |||
| 4= 21-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1) |
| 17= 38-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅21 +5⋅(38 -1⋅ 21)
= -4⋅21 +5⋅38 -5⋅ 21) = 5⋅38 -9⋅ 21 (=1) |
| 21= 59-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅38 -9⋅(59 -1⋅ 38)
= 5⋅38 -9⋅59 +9⋅ 38) = -9⋅59 +14⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,38)=1 = -9⋅59 +14⋅38
oder wenn man -9⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅59 = +14⋅38
Es gilt also: 14⋅38 = 9⋅59 +1
Somit 14⋅38 = 1 mod 59
14 ist also das Inverse von 38 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
