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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (600 - 12000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(600 - 12000) mod 3 ≡ (600 mod 3 - 12000 mod 3) mod 3.
600 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 600
= 600
12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
Somit gilt:
(600 - 12000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 48) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 48) mod 9 ≡ (79 mod 9 ⋅ 48 mod 9) mod 9.
79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.
48 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 5 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 48) mod 9 ≡ (7 ⋅ 3) mod 9 ≡ 21 mod 9 ≡ 3 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 250128 mod 733.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 250 -> x
2. mod(x²,733) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2501=250
2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 195 mod 733
4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 642 mod 733
8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 642⋅642=412164 ≡ 218 mod 733
16: 25016=2508+8=2508⋅2508 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 612 mod 733
32: 25032=25016+16=25016⋅25016 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 714 mod 733
64: 25064=25032+32=25032⋅25032 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 361 mod 733
128: 250128=25064+64=25064⋅25064 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 580 mod 733
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 192174 mod 421.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 174 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 174 an und zerlegen 174 in eine Summer von 2er-Potenzen:
174 = 128+32+8+4+2
1: 1921=192
2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 237 mod 421
4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 176 mod 421
8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 243 mod 421
16: 19216=1928+8=1928⋅1928 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 109 mod 421
32: 19232=19216+16=19216⋅19216 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 93 mod 421
64: 19264=19232+32=19232⋅19232 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 229 mod 421
128: 192128=19264+64=19264⋅19264 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 237 mod 421
192174
= 192128+32+8+4+2
= 192128⋅19232⋅1928⋅1924⋅1922
≡ 237 ⋅ 93 ⋅ 243 ⋅ 176 ⋅ 237 mod 421
≡ 22041 ⋅ 243 ⋅ 176 ⋅ 237 mod 421 ≡ 149 ⋅ 243 ⋅ 176 ⋅ 237 mod 421
≡ 36207 ⋅ 176 ⋅ 237 mod 421 ≡ 1 ⋅ 176 ⋅ 237 mod 421
≡ 176 ⋅ 237 mod 421
≡ 41712 mod 421 ≡ 33 mod 421
Es gilt also: 192174 ≡ 33 mod 421
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60
| =>67 | = 1⋅60 + 7 |
| =>60 | = 8⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 60-8⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7) = 2⋅60 -17⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60)
= 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60) = -17⋅67 +19⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +19⋅60
Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1
Somit 19⋅60 = 1 mod 67
19 ist also das Inverse von 60 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.