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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 - 8001) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 - 8001) mod 4 ≡ (43 mod 4 - 8001 mod 4) mod 4.

43 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40+3 = 4 ⋅ 10 +3.

8001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8001 = 8000+1 = 4 ⋅ 2000 +1.

Somit gilt:

(43 - 8001) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 23) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 23) mod 7 ≡ (70 mod 7 ⋅ 23 mod 7) mod 7.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

23 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 3 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 23) mod 7 ≡ (0 ⋅ 2) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 91³² mod 229.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 91 -> x
2. mod(x²,229) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 91¹=91

2: 91²=91¹⁺¹=91¹⋅91¹ ≡ 91⋅91=8281 ≡ 37 mod 229

4: 91⁴=91²⁺²=91²⋅91² ≡ 37⋅37=1369 ≡ 224 mod 229

8: 91⁸=91⁴⁺⁴=91⁴⋅91⁴ ≡ 224⋅224=50176 ≡ 25 mod 229

16: 91¹⁶=91⁸⁺⁸=91⁸⋅91⁸ ≡ 25⋅25=625 ≡ 167 mod 229

32: 91³²=91¹⁶⁺¹⁶=91¹⁶⋅91¹⁶ ≡ 167⋅167=27889 ≡ 180 mod 229

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 388²⁵³ mod 599.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 253 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 253 an und zerlegen 253 in eine Summer von 2er-Potenzen:

253 = 128+64+32+16+8+4+1

1: 388¹=388

2: 388²=388¹⁺¹=388¹⋅388¹ ≡ 388⋅388=150544 ≡ 195 mod 599

4: 388⁴=388²⁺²=388²⋅388² ≡ 195⋅195=38025 ≡ 288 mod 599

8: 388⁸=388⁴⁺⁴=388⁴⋅388⁴ ≡ 288⋅288=82944 ≡ 282 mod 599

16: 388¹⁶=388⁸⁺⁸=388⁸⋅388⁸ ≡ 282⋅282=79524 ≡ 456 mod 599

32: 388³²=388¹⁶⁺¹⁶=388¹⁶⋅388¹⁶ ≡ 456⋅456=207936 ≡ 83 mod 599

64: 388⁶⁴=388³²⁺³²=388³²⋅388³² ≡ 83⋅83=6889 ≡ 300 mod 599

128: 388¹²⁸=388⁶⁴⁺⁶⁴=388⁶⁴⋅388⁶⁴ ≡ 300⋅300=90000 ≡ 150 mod 599

388²⁵³

= 388^{128+64+32+16+8+4+1}

= 388¹²⁸⋅388⁶⁴⋅388³²⋅388¹⁶⋅388⁸⋅388⁴⋅388¹

≡ 150 ⋅ 300 ⋅ 83 ⋅ 456 ⋅ 282 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599
≡ 45000 ⋅ 83 ⋅ 456 ⋅ 282 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599 ≡ 75 ⋅ 83 ⋅ 456 ⋅ 282 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599
≡ 6225 ⋅ 456 ⋅ 282 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599 ≡ 235 ⋅ 456 ⋅ 282 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599
≡ 107160 ⋅ 282 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599 ≡ 538 ⋅ 282 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599
≡ 151716 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599 ≡ 169 ⋅ 288 ⋅ 388 mod 599
≡ 48672 ⋅ 388 mod 599 ≡ 153 ⋅ 388 mod 599
≡ 59364 mod 599 ≡ 63 mod 599

Es gilt also: 388²⁵³ ≡ 63 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 63

=>73	= 1⋅63 + 10
=>63	= 6⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 63-6⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(63 -6⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅63 +18⋅ 10) = -3⋅63 +19⋅ 10 (=1)
10= 73-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅63 +19⋅(73 -1⋅ 63) = -3⋅63 +19⋅73 -19⋅ 63) = 19⋅73 -22⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(73,63)=1 = 19⋅73 -22⋅63

oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅73 = -22⋅63

-22⋅63 = -19⋅73 + 1 |+73⋅63

-22⋅63 + 73⋅63 = -19⋅73 + 73⋅63 + 1

(-22 + 73) ⋅ 63 = (-19 + 63) ⋅ 73 + 1

51⋅63 = 44⋅73 + 1

Es gilt also: 51⋅63 = 44⋅73 +1

Somit 51⋅63 = 1 mod 73

51 ist also das Inverse von 63 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 63

Schlüsselpaar für RSA