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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (803 + 82) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(803 + 82) mod 8 ≡ (803 mod 8 + 82 mod 8) mod 8.

803 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 803 = 800+3 = 8 ⋅ 100 +3.

82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80+2 = 8 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(803 + 82) mod 8 ≡ (3 + 2) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 72) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 72) mod 7 ≡ (32 mod 7 ⋅ 72 mod 7) mod 7.

32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.

72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 10 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 72) mod 7 ≡ (4 ⋅ 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 9316 mod 271.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 93 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 931=93

2: 932=931+1=931⋅931 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 248 mod 271

4: 934=932+2=932⋅932 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 258 mod 271

8: 938=934+4=934⋅934 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 169 mod 271

16: 9316=938+8=938⋅938 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 106 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 53565 mod 631.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:

65 = 64+1

1: 5351=535

2: 5352=5351+1=5351⋅5351 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 382 mod 631

4: 5354=5352+2=5352⋅5352 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 163 mod 631

8: 5358=5354+4=5354⋅5354 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 67 mod 631

16: 53516=5358+8=5358⋅5358 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 72 mod 631

32: 53532=53516+16=53516⋅53516 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 136 mod 631

64: 53564=53532+32=53532⋅53532 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 197 mod 631

53565

= 53564+1

= 53564⋅5351

197 ⋅ 535 mod 631
105395 mod 631 ≡ 18 mod 631

Es gilt also: 53565 ≡ 18 mod 631

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 44

=>83 = 1⋅44 + 39
=>44 = 1⋅39 + 5
=>39 = 7⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 39-7⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5)
= -1⋅39 +8⋅ 5 (=1)
5= 44-1⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅39 +8⋅(44 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅44 -8⋅ 39)
= 8⋅44 -9⋅ 39 (=1)
39= 83-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 8⋅44 -9⋅(83 -1⋅ 44)
= 8⋅44 -9⋅83 +9⋅ 44)
= -9⋅83 +17⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(83,44)=1 = -9⋅83 +17⋅44

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +17⋅44

Es gilt also: 17⋅44 = 9⋅83 +1

Somit 17⋅44 = 1 mod 83

17 ist also das Inverse von 44 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.