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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 - 2500) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 - 2500) mod 5 ≡ (50 mod 5 - 2500 mod 5) mod 5.

50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50+0 = 5 ⋅ 10 +0.

2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500 = 2500+0 = 5 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(50 - 2500) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 60) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 60) mod 8 ≡ (87 mod 8 ⋅ 60 mod 8) mod 8.

87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 10 ⋅ 8 + 7 ist.

60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 60) mod 8 ≡ (7 ⋅ 4) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 256³² mod 353.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 256 -> x
2. mod(x²,353) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 256¹=256

2: 256²=256¹⁺¹=256¹⋅256¹ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 231 mod 353

4: 256⁴=256²⁺²=256²⋅256² ≡ 231⋅231=53361 ≡ 58 mod 353

8: 256⁸=256⁴⁺⁴=256⁴⋅256⁴ ≡ 58⋅58=3364 ≡ 187 mod 353

16: 256¹⁶=256⁸⁺⁸=256⁸⋅256⁸ ≡ 187⋅187=34969 ≡ 22 mod 353

32: 256³²=256¹⁶⁺¹⁶=256¹⁶⋅256¹⁶ ≡ 22⋅22=484 ≡ 131 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 643¹⁹⁰ mod 739.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 190 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 190 an und zerlegen 190 in eine Summer von 2er-Potenzen:

190 = 128+32+16+8+4+2

1: 643¹=643

2: 643²=643¹⁺¹=643¹⋅643¹ ≡ 643⋅643=413449 ≡ 348 mod 739

4: 643⁴=643²⁺²=643²⋅643² ≡ 348⋅348=121104 ≡ 647 mod 739

8: 643⁸=643⁴⁺⁴=643⁴⋅643⁴ ≡ 647⋅647=418609 ≡ 335 mod 739

16: 643¹⁶=643⁸⁺⁸=643⁸⋅643⁸ ≡ 335⋅335=112225 ≡ 636 mod 739

32: 643³²=643¹⁶⁺¹⁶=643¹⁶⋅643¹⁶ ≡ 636⋅636=404496 ≡ 263 mod 739

64: 643⁶⁴=643³²⁺³²=643³²⋅643³² ≡ 263⋅263=69169 ≡ 442 mod 739

128: 643¹²⁸=643⁶⁴⁺⁶⁴=643⁶⁴⋅643⁶⁴ ≡ 442⋅442=195364 ≡ 268 mod 739

643¹⁹⁰

= 643^{128+32+16+8+4+2}

= 643¹²⁸⋅643³²⋅643¹⁶⋅643⁸⋅643⁴⋅643²

≡ 268 ⋅ 263 ⋅ 636 ⋅ 335 ⋅ 647 ⋅ 348 mod 739
≡ 70484 ⋅ 636 ⋅ 335 ⋅ 647 ⋅ 348 mod 739 ≡ 279 ⋅ 636 ⋅ 335 ⋅ 647 ⋅ 348 mod 739
≡ 177444 ⋅ 335 ⋅ 647 ⋅ 348 mod 739 ≡ 84 ⋅ 335 ⋅ 647 ⋅ 348 mod 739
≡ 28140 ⋅ 647 ⋅ 348 mod 739 ≡ 58 ⋅ 647 ⋅ 348 mod 739
≡ 37526 ⋅ 348 mod 739 ≡ 576 ⋅ 348 mod 739
≡ 200448 mod 739 ≡ 179 mod 739

Es gilt also: 643¹⁹⁰ ≡ 179 mod 739

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 43

=>83	= 1⋅43 + 40
=>43	= 1⋅40 + 3
=>40	= 13⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 40-13⋅3
3= 43-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅40 -13⋅(43 -1⋅ 40) = 1⋅40 -13⋅43 +13⋅ 40) = -13⋅43 +14⋅ 40 (=1)
40= 83-1⋅43	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -13⋅43 +14⋅(83 -1⋅ 43) = -13⋅43 +14⋅83 -14⋅ 43) = 14⋅83 -27⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(83,43)=1 = 14⋅83 -27⋅43

oder wenn man 14⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -14⋅83 = -27⋅43

-27⋅43 = -14⋅83 + 1 |+83⋅43

-27⋅43 + 83⋅43 = -14⋅83 + 83⋅43 + 1

(-27 + 83) ⋅ 43 = (-14 + 43) ⋅ 83 + 1

56⋅43 = 29⋅83 + 1

Es gilt also: 56⋅43 = 29⋅83 +1

Somit 56⋅43 = 1 mod 83

56 ist also das Inverse von 43 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 43

Schlüsselpaar für RSA