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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (273 - 279) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(273 - 279) mod 9 ≡ (273 mod 9 - 279 mod 9) mod 9.
273 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 273
= 270
279 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 279
= 270
Somit gilt:
(273 - 279) mod 9 ≡ (3 - 0) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 63) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 63) mod 10 ≡ (45 mod 10 ⋅ 63 mod 10) mod 10.
45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.
63 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 6 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 63) mod 10 ≡ (5 ⋅ 3) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 235128 mod 439.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 235 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2351=235
2: 2352=2351+1=2351⋅2351 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 350 mod 439
4: 2354=2352+2=2352⋅2352 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 19 mod 439
8: 2358=2354+4=2354⋅2354 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 439
16: 23516=2358+8=2358⋅2358 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 377 mod 439
32: 23532=23516+16=23516⋅23516 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 332 mod 439
64: 23564=23532+32=23532⋅23532 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 35 mod 439
128: 235128=23564+64=23564⋅23564 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 347 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 222196 mod 431.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 196 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 196 an und zerlegen 196 in eine Summer von 2er-Potenzen:
196 = 128+64+4
1: 2221=222
2: 2222=2221+1=2221⋅2221 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 150 mod 431
4: 2224=2222+2=2222⋅2222 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 88 mod 431
8: 2228=2224+4=2224⋅2224 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 417 mod 431
16: 22216=2228+8=2228⋅2228 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 196 mod 431
32: 22232=22216+16=22216⋅22216 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 57 mod 431
64: 22264=22232+32=22232⋅22232 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 232 mod 431
128: 222128=22264+64=22264⋅22264 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 380 mod 431
222196
= 222128+64+4
= 222128⋅22264⋅2224
≡ 380 ⋅ 232 ⋅ 88 mod 431
≡ 88160 ⋅ 88 mod 431 ≡ 236 ⋅ 88 mod 431
≡ 20768 mod 431 ≡ 80 mod 431
Es gilt also: 222196 ≡ 80 mod 431
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 88.
Also bestimme x, so dass 88 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 88
| =>101 | = 1⋅88 + 13 |
| =>88 | = 6⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,88)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 88-6⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(88 -6⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅88 -24⋅ 13) = 4⋅88 -27⋅ 13 (=1) |
| 13= 101-1⋅88 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅88 -27⋅(101 -1⋅ 88)
= 4⋅88 -27⋅101 +27⋅ 88) = -27⋅101 +31⋅ 88 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,88)=1 = -27⋅101 +31⋅88
oder wenn man -27⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅101 = +31⋅88
Es gilt also: 31⋅88 = 27⋅101 +1
Somit 31⋅88 = 1 mod 101
31 ist also das Inverse von 88 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.