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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14996 - 2495) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14996 - 2495) mod 5 ≡ (14996 mod 5 - 2495 mod 5) mod 5.

14996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14996 = 14000+996 = 5 ⋅ 2800 +996.

2495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2495 = 2400+95 = 5 ⋅ 480 +95.

Somit gilt:

(14996 - 2495) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 71) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 71) mod 9 ≡ (82 mod 9 ⋅ 71 mod 9) mod 9.

82 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 81 + 1 = 9 ⋅ 9 + 1 ist.

71 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 63 + 8 = 7 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 71) mod 9 ≡ (1 ⋅ 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4698 mod 1009.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 469 -> x
2. mod(x²,1009) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4691=469

2: 4692=4691+1=4691⋅4691 ≡ 469⋅469=219961 ≡ 1008 mod 1009

4: 4694=4692+2=4692⋅4692 ≡ 1008⋅1008=1016064 ≡ 1 mod 1009

8: 4698=4694+4=4694⋅4694 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 1009

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 66571 mod 991.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:

71 = 64+4+2+1

1: 6651=665

2: 6652=6651+1=6651⋅6651 ≡ 665⋅665=442225 ≡ 239 mod 991

4: 6654=6652+2=6652⋅6652 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 634 mod 991

8: 6658=6654+4=6654⋅6654 ≡ 634⋅634=401956 ≡ 601 mod 991

16: 66516=6658+8=6658⋅6658 ≡ 601⋅601=361201 ≡ 477 mod 991

32: 66532=66516+16=66516⋅66516 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 590 mod 991

64: 66564=66532+32=66532⋅66532 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 259 mod 991

66571

= 66564+4+2+1

= 66564⋅6654⋅6652⋅6651

≡ 259 ⋅ 634 ⋅ 239 ⋅ 665 mod 991
≡ 164206 ⋅ 239 ⋅ 665 mod 991 ≡ 691 ⋅ 239 ⋅ 665 mod 991
≡ 165149 ⋅ 665 mod 991 ≡ 643 ⋅ 665 mod 991
≡ 427595 mod 991 ≡ 474 mod 991

Es gilt also: 66571 ≡ 474 mod 991

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 72.

Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 72

=>83 = 1⋅72 + 11
=>72 = 6⋅11 + 6
=>11 = 1⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6)
= -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 72-6⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +2⋅(72 -6⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅72 -12⋅ 11)
= 2⋅72 -13⋅ 11 (=1)
11= 83-1⋅72 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅72 -13⋅(83 -1⋅ 72)
= 2⋅72 -13⋅83 +13⋅ 72)
= -13⋅83 +15⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(83,72)=1 = -13⋅83 +15⋅72

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +15⋅72

Es gilt also: 15⋅72 = 13⋅83 +1

Somit 15⋅72 = 1 mod 83

15 ist also das Inverse von 72 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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