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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (897 + 27) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(897 + 27) mod 3 ≡ (897 mod 3 + 27 mod 3) mod 3.

897 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 897 = 900-3 = 3 ⋅ 300 -3 = 3 ⋅ 300 - 3 + 0.

27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 30-3 = 3 ⋅ 10 -3 = 3 ⋅ 10 - 3 + 0.

Somit gilt:

(897 + 27) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 93) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 93) mod 7 ≡ (60 mod 7 ⋅ 93 mod 7) mod 7.

60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.

93 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 91 + 2 = 13 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 93) mod 7 ≡ (4 ⋅ 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1418 mod 239.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 141 -> x
2. mod(x²,239) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1411=141

2: 1412=1411+1=1411⋅1411 ≡ 141⋅141=19881 ≡ 44 mod 239

4: 1414=1412+2=1412⋅1412 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 24 mod 239

8: 1418=1414+4=1414⋅1414 ≡ 24⋅24=576 ≡ 98 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 202168 mod 409.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:

168 = 128+32+8

1: 2021=202

2: 2022=2021+1=2021⋅2021 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 313 mod 409

4: 2024=2022+2=2022⋅2022 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 218 mod 409

8: 2028=2024+4=2024⋅2024 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 80 mod 409

16: 20216=2028+8=2028⋅2028 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 265 mod 409

32: 20232=20216+16=20216⋅20216 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 286 mod 409

64: 20264=20232+32=20232⋅20232 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 405 mod 409

128: 202128=20264+64=20264⋅20264 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 16 mod 409

202168

= 202128+32+8

= 202128⋅20232⋅2028

16 ⋅ 286 ⋅ 80 mod 409
4576 ⋅ 80 mod 409 ≡ 77 ⋅ 80 mod 409
6160 mod 409 ≡ 25 mod 409

Es gilt also: 202168 ≡ 25 mod 409

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 32

=>101 = 3⋅32 + 5
=>32 = 6⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 32-6⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5)
= -2⋅32 +13⋅ 5 (=1)
5= 101-3⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅32 +13⋅(101 -3⋅ 32)
= -2⋅32 +13⋅101 -39⋅ 32)
= 13⋅101 -41⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(101,32)=1 = 13⋅101 -41⋅32

oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅101 = -41⋅32

-41⋅32 = -13⋅101 + 1 |+101⋅32

-41⋅32 + 101⋅32 = -13⋅101 + 101⋅32 + 1

(-41 + 101) ⋅ 32 = (-13 + 32) ⋅ 101 + 1

60⋅32 = 19⋅101 + 1

Es gilt also: 60⋅32 = 19⋅101 +1

Somit 60⋅32 = 1 mod 101

60 ist also das Inverse von 32 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.