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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (326 + 319) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(326 + 319) mod 8 ≡ (326 mod 8 + 319 mod 8) mod 8.

326 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 326 = 320+6 = 8 ⋅ 40 +6.

319 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 319 = 320-1 = 8 ⋅ 40 -1 = 8 ⋅ 40 - 8 + 7.

Somit gilt:

(326 + 319) mod 8 ≡ (6 + 7) mod 8 ≡ 13 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 91) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 91) mod 4 ≡ (67 mod 4 ⋅ 91 mod 4) mod 4.

67 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 16 ⋅ 4 + 3 ist.

91 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 22 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 91) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5918 mod 691.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 591 -> x
2. mod(x²,691) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5911=591

2: 5912=5911+1=5911⋅5911 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 326 mod 691

4: 5914=5912+2=5912⋅5912 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 553 mod 691

8: 5918=5914+4=5914⋅5914 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 387 mod 691

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 20696 mod 269.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 96 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 96 an und zerlegen 96 in eine Summer von 2er-Potenzen:

96 = 64+32

1: 2061=206

2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 203 mod 269

4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 52 mod 269

8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 14 mod 269

16: 20616=2068+8=2068⋅2068 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 269

32: 20632=20616+16=20616⋅20616 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 218 mod 269

64: 20664=20632+32=20632⋅20632 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 180 mod 269

20696

= 20664+32

= 20664⋅20632

≡ 180 ⋅ 218 mod 269
≡ 39240 mod 269 ≡ 235 mod 269

Es gilt also: 20696 ≡ 235 mod 269

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 74.

Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 74

=>89 = 1⋅74 + 15
=>74 = 4⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,74)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 74-4⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(74 -4⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅74 +4⋅ 15)
= -1⋅74 +5⋅ 15 (=1)
15= 89-1⋅74 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅74 +5⋅(89 -1⋅ 74)
= -1⋅74 +5⋅89 -5⋅ 74)
= 5⋅89 -6⋅ 74 (=1)

Es gilt also: ggt(89,74)=1 = 5⋅89 -6⋅74

oder wenn man 5⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅89 = -6⋅74

-6⋅74 = -5⋅89 + 1 |+89⋅74

-6⋅74 + 89⋅74 = -5⋅89 + 89⋅74 + 1

(-6 + 89) ⋅ 74 = (-5 + 74) ⋅ 89 + 1

83⋅74 = 69⋅89 + 1

Es gilt also: 83⋅74 = 69⋅89 +1

Somit 83⋅74 = 1 mod 89

83 ist also das Inverse von 74 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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