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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3500 + 1396) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3500 + 1396) mod 7 ≡ (3500 mod 7 + 1396 mod 7) mod 7.

3500 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3500 = 3500+0 = 7 ⋅ 500 +0.

1396 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1396 = 1400-4 = 7 ⋅ 200 -4 = 7 ⋅ 200 - 7 + 3.

Somit gilt:

(3500 + 1396) mod 7 ≡ (0 + 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 21) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 21) mod 3 ≡ (70 mod 3 ⋅ 21 mod 3) mod 3.

70 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 69 + 1 = 23 ⋅ 3 + 1 ist.

21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 21) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 30416 mod 311.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 304 -> x
2. mod(x²,311) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3041=304

2: 3042=3041+1=3041⋅3041 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 49 mod 311

4: 3044=3042+2=3042⋅3042 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 224 mod 311

8: 3048=3044+4=3044⋅3044 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 105 mod 311

16: 30416=3048+8=3048⋅3048 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 140 mod 311

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 158123 mod 263.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 123 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 123 an und zerlegen 123 in eine Summer von 2er-Potenzen:

123 = 64+32+16+8+2+1

1: 1581=158

2: 1582=1581+1=1581⋅1581 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 242 mod 263

4: 1584=1582+2=1582⋅1582 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 178 mod 263

8: 1588=1584+4=1584⋅1584 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 124 mod 263

16: 15816=1588+8=1588⋅1588 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 122 mod 263

32: 15832=15816+16=15816⋅15816 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 156 mod 263

64: 15864=15832+32=15832⋅15832 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 140 mod 263

158123

= 15864+32+16+8+2+1

= 15864⋅15832⋅15816⋅1588⋅1582⋅1581

≡ 140 ⋅ 156 ⋅ 122 ⋅ 124 ⋅ 242 ⋅ 158 mod 263
≡ 21840 ⋅ 122 ⋅ 124 ⋅ 242 ⋅ 158 mod 263 ≡ 11 ⋅ 122 ⋅ 124 ⋅ 242 ⋅ 158 mod 263
≡ 1342 ⋅ 124 ⋅ 242 ⋅ 158 mod 263 ≡ 27 ⋅ 124 ⋅ 242 ⋅ 158 mod 263
≡ 3348 ⋅ 242 ⋅ 158 mod 263 ≡ 192 ⋅ 242 ⋅ 158 mod 263
≡ 46464 ⋅ 158 mod 263 ≡ 176 ⋅ 158 mod 263
≡ 27808 mod 263 ≡ 193 mod 263

Es gilt also: 158123 ≡ 193 mod 263

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 54

=>79 = 1⋅54 + 25
=>54 = 2⋅25 + 4
=>25 = 6⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 54-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -6⋅(54 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅54 +12⋅ 25)
= -6⋅54 +13⋅ 25 (=1)
25= 79-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +13⋅(79 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +13⋅79 -13⋅ 54)
= 13⋅79 -19⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(79,54)=1 = 13⋅79 -19⋅54

oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅79 = -19⋅54

-19⋅54 = -13⋅79 + 1 |+79⋅54

-19⋅54 + 79⋅54 = -13⋅79 + 79⋅54 + 1

(-19 + 79) ⋅ 54 = (-13 + 54) ⋅ 79 + 1

60⋅54 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 60⋅54 = 41⋅79 +1

Somit 60⋅54 = 1 mod 79

60 ist also das Inverse von 54 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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