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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8996 + 35995) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8996 + 35995) mod 9 ≡ (8996 mod 9 + 35995 mod 9) mod 9.
8996 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8996
= 9000
35995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35995
= 36000
Somit gilt:
(8996 + 35995) mod 9 ≡ (5 + 4) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 31) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 31) mod 6 ≡ (93 mod 6 ⋅ 31 mod 6) mod 6.
93 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 15 ⋅ 6 + 3 ist.
31 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 5 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 31) mod 6 ≡ (3 ⋅ 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 55664 mod 683.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 556 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5561=556
2: 5562=5561+1=5561⋅5561 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 420 mod 683
4: 5564=5562+2=5562⋅5562 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 186 mod 683
8: 5568=5564+4=5564⋅5564 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 446 mod 683
16: 55616=5568+8=5568⋅5568 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 163 mod 683
32: 55632=55616+16=55616⋅55616 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 615 mod 683
64: 55664=55632+32=55632⋅55632 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 526 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 624163 mod 827.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 163 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 163 an und zerlegen 163 in eine Summer von 2er-Potenzen:
163 = 128+32+2+1
1: 6241=624
2: 6242=6241+1=6241⋅6241 ≡ 624⋅624=389376 ≡ 686 mod 827
4: 6244=6242+2=6242⋅6242 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 33 mod 827
8: 6248=6244+4=6244⋅6244 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 262 mod 827
16: 62416=6248+8=6248⋅6248 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 3 mod 827
32: 62432=62416+16=62416⋅62416 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 827
64: 62464=62432+32=62432⋅62432 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 827
128: 624128=62464+64=62464⋅62464 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 772 mod 827
624163
= 624128+32+2+1
= 624128⋅62432⋅6242⋅6241
≡ 772 ⋅ 9 ⋅ 686 ⋅ 624 mod 827
≡ 6948 ⋅ 686 ⋅ 624 mod 827 ≡ 332 ⋅ 686 ⋅ 624 mod 827
≡ 227752 ⋅ 624 mod 827 ≡ 327 ⋅ 624 mod 827
≡ 204048 mod 827 ≡ 606 mod 827
Es gilt also: 624163 ≡ 606 mod 827
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 77.
Also bestimme x, so dass 77 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 77
| =>89 | = 1⋅77 + 12 |
| =>77 | = 6⋅12 + 5 |
| =>12 | = 2⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,77)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 12-2⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(12 -2⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅12 +4⋅ 5) = -2⋅12 +5⋅ 5 (=1) |
| 5= 77-6⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅12 +5⋅(77 -6⋅ 12)
= -2⋅12 +5⋅77 -30⋅ 12) = 5⋅77 -32⋅ 12 (=1) |
| 12= 89-1⋅77 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅77 -32⋅(89 -1⋅ 77)
= 5⋅77 -32⋅89 +32⋅ 77) = -32⋅89 +37⋅ 77 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,77)=1 = -32⋅89 +37⋅77
oder wenn man -32⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +32⋅89 = +37⋅77
Es gilt also: 37⋅77 = 32⋅89 +1
Somit 37⋅77 = 1 mod 89
37 ist also das Inverse von 77 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.