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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32000 - 32008) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32000 - 32008) mod 8 ≡ (32000 mod 8 - 32008 mod 8) mod 8.
32000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32000
= 32000
32008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32008
= 32000
Somit gilt:
(32000 - 32008) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 69) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 ⋅ 69) mod 11 ≡ (71 mod 11 ⋅ 69 mod 11) mod 11.
71 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 6 ⋅ 11 + 5 ist.
69 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 6 ⋅ 11 + 3 ist.
Somit gilt:
(71 ⋅ 69) mod 11 ≡ (5 ⋅ 3) mod 11 ≡ 15 mod 11 ≡ 4 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14016 mod 293.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 140 -> x
2. mod(x²,293) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1401=140
2: 1402=1401+1=1401⋅1401 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 262 mod 293
4: 1404=1402+2=1402⋅1402 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 82 mod 293
8: 1408=1404+4=1404⋅1404 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 278 mod 293
16: 14016=1408+8=1408⋅1408 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 225 mod 293
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 222175 mod 337.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:
175 = 128+32+8+4+2+1
1: 2221=222
2: 2222=2221+1=2221⋅2221 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 82 mod 337
4: 2224=2222+2=2222⋅2222 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 321 mod 337
8: 2228=2224+4=2224⋅2224 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 256 mod 337
16: 22216=2228+8=2228⋅2228 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 158 mod 337
32: 22232=22216+16=22216⋅22216 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 26 mod 337
64: 22264=22232+32=22232⋅22232 ≡ 26⋅26=676 ≡ 2 mod 337
128: 222128=22264+64=22264⋅22264 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 337
222175
= 222128+32+8+4+2+1
= 222128⋅22232⋅2228⋅2224⋅2222⋅2221
≡ 4 ⋅ 26 ⋅ 256 ⋅ 321 ⋅ 82 ⋅ 222 mod 337
≡ 104 ⋅ 256 ⋅ 321 ⋅ 82 ⋅ 222 mod 337
≡ 26624 ⋅ 321 ⋅ 82 ⋅ 222 mod 337 ≡ 1 ⋅ 321 ⋅ 82 ⋅ 222 mod 337
≡ 321 ⋅ 82 ⋅ 222 mod 337
≡ 26322 ⋅ 222 mod 337 ≡ 36 ⋅ 222 mod 337
≡ 7992 mod 337 ≡ 241 mod 337
Es gilt also: 222175 ≡ 241 mod 337
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40
| =>97 | = 2⋅40 + 17 |
| =>40 | = 2⋅17 + 6 |
| =>17 | = 2⋅6 + 5 |
| =>6 | = 1⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 6-1⋅5 | |||
| 5= 17-2⋅6 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6) = -1⋅17 +3⋅ 6 (=1) |
| 6= 40-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17)
= -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17) = 3⋅40 -7⋅ 17 (=1) |
| 17= 97-2⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40)
= 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40) = -7⋅97 +17⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40
oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅97 = +17⋅40
Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1
Somit 17⋅40 = 1 mod 97
17 ist also das Inverse von 40 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
