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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (150 + 200) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(150 + 200) mod 5 ≡ (150 mod 5 + 200 mod 5) mod 5.
150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
200 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200
= 200
Somit gilt:
(150 + 200) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 89) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 89) mod 10 ≡ (55 mod 10 ⋅ 89 mod 10) mod 10.
55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.
89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 89) mod 10 ≡ (5 ⋅ 9) mod 10 ≡ 45 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 988 mod 241.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 98 -> x
2. mod(x²,241) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 981=98
2: 982=981+1=981⋅981 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241
4: 984=982+2=982⋅982 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 91 mod 241
8: 988=984+4=984⋅984 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 87 mod 241
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 377103 mod 773.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 103 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 103 an und zerlegen 103 in eine Summer von 2er-Potenzen:
103 = 64+32+4+2+1
1: 3771=377
2: 3772=3771+1=3771⋅3771 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 670 mod 773
4: 3774=3772+2=3772⋅3772 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 560 mod 773
8: 3778=3774+4=3774⋅3774 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 535 mod 773
16: 37716=3778+8=3778⋅3778 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 215 mod 773
32: 37732=37716+16=37716⋅37716 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 618 mod 773
64: 37764=37732+32=37732⋅37732 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 62 mod 773
377103
= 37764+32+4+2+1
= 37764⋅37732⋅3774⋅3772⋅3771
≡ 62 ⋅ 618 ⋅ 560 ⋅ 670 ⋅ 377 mod 773
≡ 38316 ⋅ 560 ⋅ 670 ⋅ 377 mod 773 ≡ 439 ⋅ 560 ⋅ 670 ⋅ 377 mod 773
≡ 245840 ⋅ 670 ⋅ 377 mod 773 ≡ 26 ⋅ 670 ⋅ 377 mod 773
≡ 17420 ⋅ 377 mod 773 ≡ 414 ⋅ 377 mod 773
≡ 156078 mod 773 ≡ 705 mod 773
Es gilt also: 377103 ≡ 705 mod 773
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 35
| =>89 | = 2⋅35 + 19 |
| =>35 | = 1⋅19 + 16 |
| =>19 | = 1⋅16 + 3 |
| =>16 | = 5⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-5⋅3 | |||
| 3= 19-1⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16) = -5⋅19 +6⋅ 16 (=1) |
| 16= 35-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅19 +6⋅(35 -1⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅35 -6⋅ 19) = 6⋅35 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 89-2⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 6⋅35 -11⋅(89 -2⋅ 35)
= 6⋅35 -11⋅89 +22⋅ 35) = -11⋅89 +28⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,35)=1 = -11⋅89 +28⋅35
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +28⋅35
Es gilt also: 28⋅35 = 11⋅89 +1
Somit 28⋅35 = 1 mod 89
28 ist also das Inverse von 35 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.