nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5003 + 4999) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5003 + 4999) mod 5 ≡ (5003 mod 5 + 4999 mod 5) mod 5.

5003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5003 = 5000+3 = 5 ⋅ 1000 +3.

4999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4999 = 4000+999 = 5 ⋅ 800 +999.

Somit gilt:

(5003 + 4999) mod 5 ≡ (3 + 4) mod 5 ≡ 7 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 23) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 23) mod 3 ≡ (24 mod 3 ⋅ 23 mod 3) mod 3.

24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.

23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 23) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3818 mod 647.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 381 -> x
2. mod(x²,647) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3811=381

2: 3812=3811+1=3811⋅3811 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 233 mod 647

4: 3814=3812+2=3812⋅3812 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 588 mod 647

8: 3818=3814+4=3814⋅3814 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 246 mod 647

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43671 mod 733.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 71 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 71 an und zerlegen 71 in eine Summer von 2er-Potenzen:

71 = 64+4+2+1

1: 4361=436

2: 4362=4361+1=4361⋅4361 ≡ 436⋅436=190096 ≡ 249 mod 733

4: 4364=4362+2=4362⋅4362 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 429 mod 733

8: 4368=4364+4=4364⋅4364 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 58 mod 733

16: 43616=4368+8=4368⋅4368 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 432 mod 733

32: 43632=43616+16=43616⋅43616 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 442 mod 733

64: 43664=43632+32=43632⋅43632 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 386 mod 733

43671

= 43664+4+2+1

= 43664⋅4364⋅4362⋅4361

≡ 386 ⋅ 429 ⋅ 249 ⋅ 436 mod 733
≡ 165594 ⋅ 249 ⋅ 436 mod 733 ≡ 669 ⋅ 249 ⋅ 436 mod 733
≡ 166581 ⋅ 436 mod 733 ≡ 190 ⋅ 436 mod 733
≡ 82840 mod 733 ≡ 11 mod 733

Es gilt also: 43671 ≡ 11 mod 733

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 22

=>71 = 3⋅22 + 5
=>22 = 4⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5)
= -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 71-3⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +9⋅(71 -3⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅71 -27⋅ 22)
= 9⋅71 -29⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(71,22)=1 = 9⋅71 -29⋅22

oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅71 = -29⋅22

-29⋅22 = -9⋅71 + 1 |+71⋅22

-29⋅22 + 71⋅22 = -9⋅71 + 71⋅22 + 1

(-29 + 71) ⋅ 22 = (-9 + 22) ⋅ 71 + 1

42⋅22 = 13⋅71 + 1

Es gilt also: 42⋅22 = 13⋅71 +1

Somit 42⋅22 = 1 mod 71

42 ist also das Inverse von 22 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden