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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15996 + 2407) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15996 + 2407) mod 8 ≡ (15996 mod 8 + 2407 mod 8) mod 8.
15996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15996
= 15000
2407 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2407
= 2400
Somit gilt:
(15996 + 2407) mod 8 ≡ (4 + 7) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 72) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 72) mod 5 ≡ (18 mod 5 ⋅ 72 mod 5) mod 5.
18 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 15 + 3 = 3 ⋅ 5 + 3 ist.
72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 72) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 198128 mod 359.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 198 -> x
2. mod(x²,359) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1981=198
2: 1982=1981+1=1981⋅1981 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 73 mod 359
4: 1984=1982+2=1982⋅1982 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 303 mod 359
8: 1988=1984+4=1984⋅1984 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 264 mod 359
16: 19816=1988+8=1988⋅1988 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 50 mod 359
32: 19832=19816+16=19816⋅19816 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 346 mod 359
64: 19864=19832+32=19832⋅19832 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 169 mod 359
128: 198128=19864+64=19864⋅19864 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 200 mod 359
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 717131 mod 839.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:
131 = 128+2+1
1: 7171=717
2: 7172=7171+1=7171⋅7171 ≡ 717⋅717=514089 ≡ 621 mod 839
4: 7174=7172+2=7172⋅7172 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 540 mod 839
8: 7178=7174+4=7174⋅7174 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 467 mod 839
16: 71716=7178+8=7178⋅7178 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 788 mod 839
32: 71732=71716+16=71716⋅71716 ≡ 788⋅788=620944 ≡ 84 mod 839
64: 71764=71732+32=71732⋅71732 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 344 mod 839
128: 717128=71764+64=71764⋅71764 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 37 mod 839
717131
= 717128+2+1
= 717128⋅7172⋅7171
≡ 37 ⋅ 621 ⋅ 717 mod 839
≡ 22977 ⋅ 717 mod 839 ≡ 324 ⋅ 717 mod 839
≡ 232308 mod 839 ≡ 744 mod 839
Es gilt also: 717131 ≡ 744 mod 839
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 55
| =>97 | = 1⋅55 + 42 |
| =>55 | = 1⋅42 + 13 |
| =>42 | = 3⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 42-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 55-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅42 +13⋅(55 -1⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅55 -13⋅ 42) = 13⋅55 -17⋅ 42 (=1) |
| 42= 97-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅55 -17⋅(97 -1⋅ 55)
= 13⋅55 -17⋅97 +17⋅ 55) = -17⋅97 +30⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,55)=1 = -17⋅97 +30⋅55
oder wenn man -17⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅97 = +30⋅55
Es gilt also: 30⋅55 = 17⋅97 +1
Somit 30⋅55 = 1 mod 97
30 ist also das Inverse von 55 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
