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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4509 + 4508) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4509 + 4508) mod 9 ≡ (4509 mod 9 + 4508 mod 9) mod 9.

4509 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4509 = 4500+9 = 9 ⋅ 500 +9.

4508 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4508 = 4500+8 = 9 ⋅ 500 +8.

Somit gilt:

(4509 + 4508) mod 9 ≡ (0 + 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 52) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 52) mod 4 ≡ (93 mod 4 ⋅ 52 mod 4) mod 4.

93 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 92 + 1 = 23 ⋅ 4 + 1 ist.

52 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 52 + 0 = 13 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 52) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 26332 mod 677.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 263 -> x
2. mod(x²,677) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2631=263

2: 2632=2631+1=2631⋅2631 ≡ 263⋅263=69169 ≡ 115 mod 677

4: 2634=2632+2=2632⋅2632 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 362 mod 677

8: 2638=2634+4=2634⋅2634 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 383 mod 677

16: 26316=2638+8=2638⋅2638 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 457 mod 677

32: 26332=26316+16=26316⋅26316 ≡ 457⋅457=208849 ≡ 333 mod 677

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 79142 mod 211.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 142 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 142 an und zerlegen 142 in eine Summer von 2er-Potenzen:

142 = 128+8+4+2

1: 791=79

2: 792=791+1=791⋅791 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 122 mod 211

4: 794=792+2=792⋅792 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 114 mod 211

8: 798=794+4=794⋅794 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 125 mod 211

16: 7916=798+8=798⋅798 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 11 mod 211

32: 7932=7916+16=7916⋅7916 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 211

64: 7964=7932+32=7932⋅7932 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 82 mod 211

128: 79128=7964+64=7964⋅7964 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 183 mod 211

79142

= 79128+8+4+2

= 79128⋅798⋅794⋅792

≡ 183 ⋅ 125 ⋅ 114 ⋅ 122 mod 211
≡ 22875 ⋅ 114 ⋅ 122 mod 211 ≡ 87 ⋅ 114 ⋅ 122 mod 211
≡ 9918 ⋅ 122 mod 211 ≡ 1 ⋅ 122 mod 211
≡ 122 mod 211

Es gilt also: 79142 ≡ 122 mod 211

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 45

=>83 = 1⋅45 + 38
=>45 = 1⋅38 + 7
=>38 = 5⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 38-5⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7)
= -2⋅38 +11⋅ 7 (=1)
7= 45-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅38 +11⋅(45 -1⋅ 38)
= -2⋅38 +11⋅45 -11⋅ 38)
= 11⋅45 -13⋅ 38 (=1)
38= 83-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅45 -13⋅(83 -1⋅ 45)
= 11⋅45 -13⋅83 +13⋅ 45)
= -13⋅83 +24⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(83,45)=1 = -13⋅83 +24⋅45

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +24⋅45

Es gilt also: 24⋅45 = 13⋅83 +1

Somit 24⋅45 = 1 mod 83

24 ist also das Inverse von 45 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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