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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 + 29) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 + 29) mod 3 ≡ (33 mod 3 + 29 mod 3) mod 3.

33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30+3 = 3 ⋅ 10 +3.

29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 30-1 = 3 ⋅ 10 -1 = 3 ⋅ 10 - 3 + 2.

Somit gilt:

(33 + 29) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 67) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 67) mod 6 ≡ (83 mod 6 ⋅ 67 mod 6) mod 6.

83 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 78 + 5 = 13 ⋅ 6 + 5 ist.

67 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 11 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 67) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 465¹⁶ mod 683.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 465 -> x
2. mod(x²,683) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 465¹=465

2: 465²=465¹⁺¹=465¹⋅465¹ ≡ 465⋅465=216225 ≡ 397 mod 683

4: 465⁴=465²⁺²=465²⋅465² ≡ 397⋅397=157609 ≡ 519 mod 683

8: 465⁸=465⁴⁺⁴=465⁴⋅465⁴ ≡ 519⋅519=269361 ≡ 259 mod 683

16: 465¹⁶=465⁸⁺⁸=465⁸⋅465⁸ ≡ 259⋅259=67081 ≡ 147 mod 683

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 180¹²⁶ mod 239.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:

126 = 64+32+16+8+4+2

1: 180¹=180

2: 180²=180¹⁺¹=180¹⋅180¹ ≡ 180⋅180=32400 ≡ 135 mod 239

4: 180⁴=180²⁺²=180²⋅180² ≡ 135⋅135=18225 ≡ 61 mod 239

8: 180⁸=180⁴⁺⁴=180⁴⋅180⁴ ≡ 61⋅61=3721 ≡ 136 mod 239

16: 180¹⁶=180⁸⁺⁸=180⁸⋅180⁸ ≡ 136⋅136=18496 ≡ 93 mod 239

32: 180³²=180¹⁶⁺¹⁶=180¹⁶⋅180¹⁶ ≡ 93⋅93=8649 ≡ 45 mod 239

64: 180⁶⁴=180³²⁺³²=180³²⋅180³² ≡ 45⋅45=2025 ≡ 113 mod 239

180¹²⁶

= 180^{64+32+16+8+4+2}

= 180⁶⁴⋅180³²⋅180¹⁶⋅180⁸⋅180⁴⋅180²

≡ 113 ⋅ 45 ⋅ 93 ⋅ 136 ⋅ 61 ⋅ 135 mod 239
≡ 5085 ⋅ 93 ⋅ 136 ⋅ 61 ⋅ 135 mod 239 ≡ 66 ⋅ 93 ⋅ 136 ⋅ 61 ⋅ 135 mod 239
≡ 6138 ⋅ 136 ⋅ 61 ⋅ 135 mod 239 ≡ 163 ⋅ 136 ⋅ 61 ⋅ 135 mod 239
≡ 22168 ⋅ 61 ⋅ 135 mod 239 ≡ 180 ⋅ 61 ⋅ 135 mod 239
≡ 10980 ⋅ 135 mod 239 ≡ 225 ⋅ 135 mod 239
≡ 30375 mod 239 ≡ 22 mod 239

Es gilt also: 180¹²⁶ ≡ 22 mod 239

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42

=>71	= 1⋅42 + 29
=>42	= 1⋅29 + 13
=>29	= 2⋅13 + 3
=>13	= 4⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 29-2⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13) = 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1)
13= 42-1⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29) = -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1)
29= 71-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42) = 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +22⋅42

Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1

Somit 22⋅42 = 1 mod 71

22 ist also das Inverse von 42 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42

Schlüsselpaar für RSA