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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2396 + 2399) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2396 + 2399) mod 6 ≡ (2396 mod 6 + 2399 mod 6) mod 6.

2396 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2396 = 2400-4 = 6 ⋅ 400 -4 = 6 ⋅ 400 - 6 + 2.

2399 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2399 = 2400-1 = 6 ⋅ 400 -1 = 6 ⋅ 400 - 6 + 5.

Somit gilt:

(2396 + 2399) mod 6 ≡ (2 + 5) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 94) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 94) mod 8 ≡ (34 mod 8 ⋅ 94 mod 8) mod 8.

34 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 4 ⋅ 8 + 2 ist.

94 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 11 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 94) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3518 mod 661.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 351 -> x
2. mod(x²,661) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3511=351

2: 3512=3511+1=3511⋅3511 ≡ 351⋅351=123201 ≡ 255 mod 661

4: 3514=3512+2=3512⋅3512 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 247 mod 661

8: 3518=3514+4=3514⋅3514 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 197 mod 661

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 64215 mod 211.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

1: 641=64

2: 642=641+1=641⋅641 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 87 mod 211

4: 644=642+2=642⋅642 ≡ 87⋅87=7569 ≡ 184 mod 211

8: 648=644+4=644⋅644 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 96 mod 211

16: 6416=648+8=648⋅648 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 143 mod 211

32: 6432=6416+16=6416⋅6416 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 193 mod 211

64: 6464=6432+32=6432⋅6432 ≡ 193⋅193=37249 ≡ 113 mod 211

128: 64128=6464+64=6464⋅6464 ≡ 113⋅113=12769 ≡ 109 mod 211

64215

= 64128+64+16+4+2+1

= 64128⋅6464⋅6416⋅644⋅642⋅641

109 ⋅ 113 ⋅ 143 ⋅ 184 ⋅ 87 ⋅ 64 mod 211
12317 ⋅ 143 ⋅ 184 ⋅ 87 ⋅ 64 mod 211 ≡ 79 ⋅ 143 ⋅ 184 ⋅ 87 ⋅ 64 mod 211
11297 ⋅ 184 ⋅ 87 ⋅ 64 mod 211 ≡ 114 ⋅ 184 ⋅ 87 ⋅ 64 mod 211
20976 ⋅ 87 ⋅ 64 mod 211 ≡ 87 ⋅ 87 ⋅ 64 mod 211
7569 ⋅ 64 mod 211 ≡ 184 ⋅ 64 mod 211
11776 mod 211 ≡ 171 mod 211

Es gilt also: 64215 ≡ 171 mod 211

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 25

=>59 = 2⋅25 + 9
=>25 = 2⋅9 + 7
=>9 = 1⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7)
= -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 25-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅9 +4⋅(25 -2⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅25 -8⋅ 9)
= 4⋅25 -11⋅ 9 (=1)
9= 59-2⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅25 -11⋅(59 -2⋅ 25)
= 4⋅25 -11⋅59 +22⋅ 25)
= -11⋅59 +26⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(59,25)=1 = -11⋅59 +26⋅25

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +26⋅25

Es gilt also: 26⋅25 = 11⋅59 +1

Somit 26⋅25 = 1 mod 59

26 ist also das Inverse von 25 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.