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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19999 + 1201) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19999 + 1201) mod 4 ≡ (19999 mod 4 + 1201 mod 4) mod 4.
19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999
= 19000
1201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201
= 1200
Somit gilt:
(19999 + 1201) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 60) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 60) mod 8 ≡ (79 mod 8 ⋅ 60 mod 8) mod 8.
79 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 9 ⋅ 8 + 7 ist.
60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 60) mod 8 ≡ (7 ⋅ 4) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 16232 mod 311.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 162 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1621=162
2: 1622=1621+1=1621⋅1621 ≡ 162⋅162=26244 ≡ 120 mod 311
4: 1624=1622+2=1622⋅1622 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 94 mod 311
8: 1628=1624+4=1624⋅1624 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 128 mod 311
16: 16216=1628+8=1628⋅1628 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 212 mod 311
32: 16232=16216+16=16216⋅16216 ≡ 212⋅212=44944 ≡ 160 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 296216 mod 641.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 216 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 216 an und zerlegen 216 in eine Summer von 2er-Potenzen:
216 = 128+64+16+8
1: 2961=296
2: 2962=2961+1=2961⋅2961 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 440 mod 641
4: 2964=2962+2=2962⋅2962 ≡ 440⋅440=193600 ≡ 18 mod 641
8: 2968=2964+4=2964⋅2964 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 641
16: 29616=2968+8=2968⋅2968 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 493 mod 641
32: 29632=29616+16=29616⋅29616 ≡ 493⋅493=243049 ≡ 110 mod 641
64: 29664=29632+32=29632⋅29632 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 562 mod 641
128: 296128=29664+64=29664⋅29664 ≡ 562⋅562=315844 ≡ 472 mod 641
296216
= 296128+64+16+8
= 296128⋅29664⋅29616⋅2968
≡ 472 ⋅ 562 ⋅ 493 ⋅ 324 mod 641
≡ 265264 ⋅ 493 ⋅ 324 mod 641 ≡ 531 ⋅ 493 ⋅ 324 mod 641
≡ 261783 ⋅ 324 mod 641 ≡ 255 ⋅ 324 mod 641
≡ 82620 mod 641 ≡ 572 mod 641
Es gilt also: 296216 ≡ 572 mod 641
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 84.
Also bestimme x, so dass 84 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 84
| =>89 | = 1⋅84 + 5 |
| =>84 | = 16⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,84)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 84-16⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(84 -16⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅84 +16⋅ 5) = -1⋅84 +17⋅ 5 (=1) |
| 5= 89-1⋅84 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅84 +17⋅(89 -1⋅ 84)
= -1⋅84 +17⋅89 -17⋅ 84) = 17⋅89 -18⋅ 84 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,84)=1 = 17⋅89 -18⋅84
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -18⋅84
-18⋅84 = -17⋅89 + 1 |+89⋅84
-18⋅84 + 89⋅84 = -17⋅89 + 89⋅84 + 1
(-18 + 89) ⋅ 84 = (-17 + 84) ⋅ 89 + 1
71⋅84 = 67⋅89 + 1
Es gilt also: 71⋅84 = 67⋅89 +1
Somit 71⋅84 = 1 mod 89
71 ist also das Inverse von 84 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.