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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1597 + 1602) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1597 + 1602) mod 4 ≡ (1597 mod 4 + 1602 mod 4) mod 4.

1597 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1597 = 1500+97 = 4 ⋅ 375 +97.

1602 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1602 = 1600+2 = 4 ⋅ 400 +2.

Somit gilt:

(1597 + 1602) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 24) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 24) mod 6 ≡ (96 mod 6 ⋅ 24 mod 6) mod 6.

96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.

24 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 4 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 24) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 696¹⁶ mod 991.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 696 -> x
2. mod(x²,991) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 696¹=696

2: 696²=696¹⁺¹=696¹⋅696¹ ≡ 696⋅696=484416 ≡ 808 mod 991

4: 696⁴=696²⁺²=696²⋅696² ≡ 808⋅808=652864 ≡ 786 mod 991

8: 696⁸=696⁴⁺⁴=696⁴⋅696⁴ ≡ 786⋅786=617796 ≡ 403 mod 991

16: 696¹⁶=696⁸⁺⁸=696⁸⋅696⁸ ≡ 403⋅403=162409 ≡ 876 mod 991

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 144¹⁸⁹ mod 347.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

1: 144¹=144

2: 144²=144¹⁺¹=144¹⋅144¹ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 263 mod 347

4: 144⁴=144²⁺²=144²⋅144² ≡ 263⋅263=69169 ≡ 116 mod 347

8: 144⁸=144⁴⁺⁴=144⁴⋅144⁴ ≡ 116⋅116=13456 ≡ 270 mod 347

16: 144¹⁶=144⁸⁺⁸=144⁸⋅144⁸ ≡ 270⋅270=72900 ≡ 30 mod 347

32: 144³²=144¹⁶⁺¹⁶=144¹⁶⋅144¹⁶ ≡ 30⋅30=900 ≡ 206 mod 347

64: 144⁶⁴=144³²⁺³²=144³²⋅144³² ≡ 206⋅206=42436 ≡ 102 mod 347

128: 144¹²⁸=144⁶⁴⁺⁶⁴=144⁶⁴⋅144⁶⁴ ≡ 102⋅102=10404 ≡ 341 mod 347

144¹⁸⁹

= 144^{128+32+16+8+4+1}

= 144¹²⁸⋅144³²⋅144¹⁶⋅144⁸⋅144⁴⋅144¹

≡ 341 ⋅ 206 ⋅ 30 ⋅ 270 ⋅ 116 ⋅ 144 mod 347
≡ 70246 ⋅ 30 ⋅ 270 ⋅ 116 ⋅ 144 mod 347 ≡ 152 ⋅ 30 ⋅ 270 ⋅ 116 ⋅ 144 mod 347
≡ 4560 ⋅ 270 ⋅ 116 ⋅ 144 mod 347 ≡ 49 ⋅ 270 ⋅ 116 ⋅ 144 mod 347
≡ 13230 ⋅ 116 ⋅ 144 mod 347 ≡ 44 ⋅ 116 ⋅ 144 mod 347
≡ 5104 ⋅ 144 mod 347 ≡ 246 ⋅ 144 mod 347
≡ 35424 mod 347 ≡ 30 mod 347

Es gilt also: 144¹⁸⁹ ≡ 30 mod 347

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50

=>53	= 1⋅50 + 3
=>50	= 16⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 50-16⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1)
3= 53-1⋅50	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50) = -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50

oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅53 = -18⋅50

-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50

-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1

(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1

35⋅50 = 33⋅53 + 1

Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1

Somit 35⋅50 = 1 mod 53

35 ist also das Inverse von 50 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50

Schlüsselpaar für RSA