Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35000 - 212) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35000 - 212) mod 7 ≡ (35000 mod 7 - 212 mod 7) mod 7.
35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000
= 35000
212 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 212
= 210
Somit gilt:
(35000 - 212) mod 7 ≡ (0 - 2) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 46) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 46) mod 6 ≡ (45 mod 6 ⋅ 46 mod 6) mod 6.
45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.
46 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 7 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 46) mod 6 ≡ (3 ⋅ 4) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 57216 mod 911.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 572 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5721=572
2: 5722=5721+1=5721⋅5721 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 135 mod 911
4: 5724=5722+2=5722⋅5722 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 5 mod 911
8: 5728=5724+4=5724⋅5724 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 911
16: 57216=5728+8=5728⋅5728 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 86077 mod 907.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 8601=860
2: 8602=8601+1=8601⋅8601 ≡ 860⋅860=739600 ≡ 395 mod 907
4: 8604=8602+2=8602⋅8602 ≡ 395⋅395=156025 ≡ 21 mod 907
8: 8608=8604+4=8604⋅8604 ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 907
16: 86016=8608+8=8608⋅8608 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 383 mod 907
32: 86032=86016+16=86016⋅86016 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 662 mod 907
64: 86064=86032+32=86032⋅86032 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 163 mod 907
86077
= 86064+8+4+1
= 86064⋅8608⋅8604⋅8601
≡ 163 ⋅ 441 ⋅ 21 ⋅ 860 mod 907
≡ 71883 ⋅ 21 ⋅ 860 mod 907 ≡ 230 ⋅ 21 ⋅ 860 mod 907
≡ 4830 ⋅ 860 mod 907 ≡ 295 ⋅ 860 mod 907
≡ 253700 mod 907 ≡ 647 mod 907
Es gilt also: 86077 ≡ 647 mod 907
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.
Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22
| =>61 | = 2⋅22 + 17 |
| =>22 | = 1⋅17 + 5 |
| =>17 | = 3⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,22)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 17-3⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5) = -2⋅17 +7⋅ 5 (=1) |
| 5= 22-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17) = 7⋅22 -9⋅ 17 (=1) |
| 17= 61-2⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22) = -9⋅61 +25⋅ 22 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22
oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +9⋅61 = +25⋅22
Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1
Somit 25⋅22 = 1 mod 61
25 ist also das Inverse von 22 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.