Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (349 + 34998) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(349 + 34998) mod 7 ≡ (349 mod 7 + 34998 mod 7) mod 7.
349 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 349
= 350
34998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34998
= 35000
Somit gilt:
(349 + 34998) mod 7 ≡ (6 + 5) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 40) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 40) mod 8 ≡ (30 mod 8 ⋅ 40 mod 8) mod 8.
30 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 24 + 6 = 3 ⋅ 8 + 6 ist.
40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 40) mod 8 ≡ (6 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 51932 mod 797.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 519 -> x
2. mod(x²,797) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5191=519
2: 5192=5191+1=5191⋅5191 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 772 mod 797
4: 5194=5192+2=5192⋅5192 ≡ 772⋅772=595984 ≡ 625 mod 797
8: 5198=5194+4=5194⋅5194 ≡ 625⋅625=390625 ≡ 95 mod 797
16: 51916=5198+8=5198⋅5198 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 258 mod 797
32: 51932=51916+16=51916⋅51916 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 413 mod 797
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 578170 mod 613.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:
170 = 128+32+8+2
1: 5781=578
2: 5782=5781+1=5781⋅5781 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 612 mod 613
4: 5784=5782+2=5782⋅5782 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 1 mod 613
8: 5788=5784+4=5784⋅5784 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 613
16: 57816=5788+8=5788⋅5788 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 613
32: 57832=57816+16=57816⋅57816 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 613
64: 57864=57832+32=57832⋅57832 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 613
128: 578128=57864+64=57864⋅57864 ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 613
578170
= 578128+32+8+2
= 578128⋅57832⋅5788⋅5782
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 612 mod 613
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 612 mod 613
≡ 1 ⋅ 612 mod 613
≡ 612 mod 613
Es gilt also: 578170 ≡ 612 mod 613
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 52
| =>61 | = 1⋅52 + 9 |
| =>52 | = 5⋅9 + 7 |
| =>9 | = 1⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 9-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 52-5⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅9 +4⋅(52 -5⋅ 9)
= -3⋅9 +4⋅52 -20⋅ 9) = 4⋅52 -23⋅ 9 (=1) |
| 9= 61-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅52 -23⋅(61 -1⋅ 52)
= 4⋅52 -23⋅61 +23⋅ 52) = -23⋅61 +27⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,52)=1 = -23⋅61 +27⋅52
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +27⋅52
Es gilt also: 27⋅52 = 23⋅61 +1
Somit 27⋅52 = 1 mod 61
27 ist also das Inverse von 52 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.