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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (297 + 11997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(297 + 11997) mod 3 ≡ (297 mod 3 + 11997 mod 3) mod 3.
297 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297
= 300
11997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 12000
Somit gilt:
(297 + 11997) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 94) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 94) mod 10 ≡ (22 mod 10 ⋅ 94 mod 10) mod 10.
22 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 2 ⋅ 10 + 2 ist.
94 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 9 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 94) mod 10 ≡ (2 ⋅ 4) mod 10 ≡ 8 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5088 mod 751.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 508 -> x
2. mod(x²,751) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5081=508
2: 5082=5081+1=5081⋅5081 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 471 mod 751
4: 5084=5082+2=5082⋅5082 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 296 mod 751
8: 5088=5084+4=5084⋅5084 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 500 mod 751
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 27490 mod 557.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:
90 = 64+16+8+2
1: 2741=274
2: 2742=2741+1=2741⋅2741 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 438 mod 557
4: 2744=2742+2=2742⋅2742 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 236 mod 557
8: 2748=2744+4=2744⋅2744 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 553 mod 557
16: 27416=2748+8=2748⋅2748 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 16 mod 557
32: 27432=27416+16=27416⋅27416 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 557
64: 27464=27432+32=27432⋅27432 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 367 mod 557
27490
= 27464+16+8+2
= 27464⋅27416⋅2748⋅2742
≡ 367 ⋅ 16 ⋅ 553 ⋅ 438 mod 557
≡ 5872 ⋅ 553 ⋅ 438 mod 557 ≡ 302 ⋅ 553 ⋅ 438 mod 557
≡ 167006 ⋅ 438 mod 557 ≡ 463 ⋅ 438 mod 557
≡ 202794 mod 557 ≡ 46 mod 557
Es gilt also: 27490 ≡ 46 mod 557
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 80.
Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 80
| =>89 | = 1⋅80 + 9 |
| =>80 | = 8⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,80)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 80-8⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(80 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅80 +8⋅ 9) = -1⋅80 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 89-1⋅80 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅80 +9⋅(89 -1⋅ 80)
= -1⋅80 +9⋅89 -9⋅ 80) = 9⋅89 -10⋅ 80 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,80)=1 = 9⋅89 -10⋅80
oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅89 = -10⋅80
-10⋅80 = -9⋅89 + 1 |+89⋅80
-10⋅80 + 89⋅80 = -9⋅89 + 89⋅80 + 1
(-10 + 89) ⋅ 80 = (-9 + 80) ⋅ 89 + 1
79⋅80 = 71⋅89 + 1
Es gilt also: 79⋅80 = 71⋅89 +1
Somit 79⋅80 = 1 mod 89
79 ist also das Inverse von 80 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
