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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (141 - 1398) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(141 - 1398) mod 7 ≡ (141 mod 7 - 1398 mod 7) mod 7.

141 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 141 = 140+1 = 7 ⋅ 20 +1.

1398 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1398 = 1400-2 = 7 ⋅ 200 -2 = 7 ⋅ 200 - 7 + 5.

Somit gilt:

(141 - 1398) mod 7 ≡ (1 - 5) mod 7 ≡ -4 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 32) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 32) mod 6 ≡ (74 mod 6 ⋅ 32 mod 6) mod 6.

74 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 12 ⋅ 6 + 2 ist.

32 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 5 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 32) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 433³² mod 487.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 433 -> x
2. mod(x²,487) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 433¹=433

2: 433²=433¹⁺¹=433¹⋅433¹ ≡ 433⋅433=187489 ≡ 481 mod 487

4: 433⁴=433²⁺²=433²⋅433² ≡ 481⋅481=231361 ≡ 36 mod 487

8: 433⁸=433⁴⁺⁴=433⁴⋅433⁴ ≡ 36⋅36=1296 ≡ 322 mod 487

16: 433¹⁶=433⁸⁺⁸=433⁸⋅433⁸ ≡ 322⋅322=103684 ≡ 440 mod 487

32: 433³²=433¹⁶⁺¹⁶=433¹⁶⋅433¹⁶ ≡ 440⋅440=193600 ≡ 261 mod 487

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 565²⁴³ mod 727.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

1: 565¹=565

2: 565²=565¹⁺¹=565¹⋅565¹ ≡ 565⋅565=319225 ≡ 72 mod 727

4: 565⁴=565²⁺²=565²⋅565² ≡ 72⋅72=5184 ≡ 95 mod 727

8: 565⁸=565⁴⁺⁴=565⁴⋅565⁴ ≡ 95⋅95=9025 ≡ 301 mod 727

16: 565¹⁶=565⁸⁺⁸=565⁸⋅565⁸ ≡ 301⋅301=90601 ≡ 453 mod 727

32: 565³²=565¹⁶⁺¹⁶=565¹⁶⋅565¹⁶ ≡ 453⋅453=205209 ≡ 195 mod 727

64: 565⁶⁴=565³²⁺³²=565³²⋅565³² ≡ 195⋅195=38025 ≡ 221 mod 727

128: 565¹²⁸=565⁶⁴⁺⁶⁴=565⁶⁴⋅565⁶⁴ ≡ 221⋅221=48841 ≡ 132 mod 727

565²⁴³

= 565^{128+64+32+16+2+1}

= 565¹²⁸⋅565⁶⁴⋅565³²⋅565¹⁶⋅565²⋅565¹

≡ 132 ⋅ 221 ⋅ 195 ⋅ 453 ⋅ 72 ⋅ 565 mod 727
≡ 29172 ⋅ 195 ⋅ 453 ⋅ 72 ⋅ 565 mod 727 ≡ 92 ⋅ 195 ⋅ 453 ⋅ 72 ⋅ 565 mod 727
≡ 17940 ⋅ 453 ⋅ 72 ⋅ 565 mod 727 ≡ 492 ⋅ 453 ⋅ 72 ⋅ 565 mod 727
≡ 222876 ⋅ 72 ⋅ 565 mod 727 ≡ 414 ⋅ 72 ⋅ 565 mod 727
≡ 29808 ⋅ 565 mod 727 ≡ 1 ⋅ 565 mod 727
≡ 565 mod 727

Es gilt also: 565²⁴³ ≡ 565 mod 727

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40

=>97	= 2⋅40 + 17
=>40	= 2⋅17 + 6
=>17	= 2⋅6 + 5
=>6	= 1⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 17-2⋅6	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅6 -1⋅(17 -2⋅ 6) = 1⋅6 -1⋅17 +2⋅ 6) = -1⋅17 +3⋅ 6 (=1)
6= 40-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅17 +3⋅(40 -2⋅ 17) = -1⋅17 +3⋅40 -6⋅ 17) = 3⋅40 -7⋅ 17 (=1)
17= 97-2⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅40 -7⋅(97 -2⋅ 40) = 3⋅40 -7⋅97 +14⋅ 40) = -7⋅97 +17⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(97,40)=1 = -7⋅97 +17⋅40

oder wenn man -7⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅97 = +17⋅40

Es gilt also: 17⋅40 = 7⋅97 +1

Somit 17⋅40 = 1 mod 97

17 ist also das Inverse von 40 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 40

Schlüsselpaar für RSA