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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2005 - 99) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2005 - 99) mod 5 ≡ (2005 mod 5 - 99 mod 5) mod 5.

2005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2005 = 2000+5 = 5 ⋅ 400 +5.

99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 90+9 = 5 ⋅ 18 +9.

Somit gilt:

(2005 - 99) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 97) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21 ⋅ 97) mod 7 ≡ (21 mod 7 ⋅ 97 mod 7) mod 7.

21 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 3 ⋅ 7 + 0 ist.

97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(21 ⋅ 97) mod 7 ≡ (0 ⋅ 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5938 mod 709.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 593 -> x
2. mod(x²,709) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5931=593

2: 5932=5931+1=5931⋅5931 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 694 mod 709

4: 5934=5932+2=5932⋅5932 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 225 mod 709

8: 5938=5934+4=5934⋅5934 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 286 mod 709

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 88194 mod 937.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

1: 8811=881

2: 8812=8811+1=8811⋅8811 ≡ 881⋅881=776161 ≡ 325 mod 937

4: 8814=8812+2=8812⋅8812 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 681 mod 937

8: 8818=8814+4=8814⋅8814 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 883 mod 937

16: 88116=8818+8=8818⋅8818 ≡ 883⋅883=779689 ≡ 105 mod 937

32: 88132=88116+16=88116⋅88116 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 718 mod 937

64: 88164=88132+32=88132⋅88132 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 174 mod 937

88194

= 88164+16+8+4+2

= 88164⋅88116⋅8818⋅8814⋅8812

174 ⋅ 105 ⋅ 883 ⋅ 681 ⋅ 325 mod 937
18270 ⋅ 883 ⋅ 681 ⋅ 325 mod 937 ≡ 467 ⋅ 883 ⋅ 681 ⋅ 325 mod 937
412361 ⋅ 681 ⋅ 325 mod 937 ≡ 81 ⋅ 681 ⋅ 325 mod 937
55161 ⋅ 325 mod 937 ≡ 815 ⋅ 325 mod 937
264875 mod 937 ≡ 641 mod 937

Es gilt also: 88194 ≡ 641 mod 937

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42

=>61 = 1⋅42 + 19
=>42 = 2⋅19 + 4
=>19 = 4⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 19-4⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4)
= -1⋅19 +5⋅ 4 (=1)
4= 42-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19)
= 5⋅42 -11⋅ 19 (=1)
19= 61-1⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42)
= -11⋅61 +16⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +16⋅42

Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1

Somit 16⋅42 = 1 mod 61

16 ist also das Inverse von 42 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.