nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1997 + 10000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1997 + 10000) mod 5 ≡ (1997 mod 5 + 10000 mod 5) mod 5.

1997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997 = 1900+97 = 5 ⋅ 380 +97.

10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000 = 10000+0 = 5 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(1997 + 10000) mod 5 ≡ (2 + 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 65) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 65) mod 11 ≡ (85 mod 11 ⋅ 65 mod 11) mod 11.

85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.

65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 65) mod 11 ≡ (8 ⋅ 10) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 56116 mod 941.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 561 -> x
2. mod(x²,941) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5611=561

2: 5612=5611+1=5611⋅5611 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 427 mod 941

4: 5614=5612+2=5612⋅5612 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 716 mod 941

8: 5618=5614+4=5614⋅5614 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 752 mod 941

16: 56116=5618+8=5618⋅5618 ≡ 752⋅752=565504 ≡ 904 mod 941

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 689202 mod 911.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:

202 = 128+64+8+2

1: 6891=689

2: 6892=6891+1=6891⋅6891 ≡ 689⋅689=474721 ≡ 90 mod 911

4: 6894=6892+2=6892⋅6892 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 812 mod 911

8: 6898=6894+4=6894⋅6894 ≡ 812⋅812=659344 ≡ 691 mod 911

16: 68916=6898+8=6898⋅6898 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 117 mod 911

32: 68932=68916+16=68916⋅68916 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 24 mod 911

64: 68964=68932+32=68932⋅68932 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 911

128: 689128=68964+64=68964⋅68964 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 172 mod 911

689202

= 689128+64+8+2

= 689128⋅68964⋅6898⋅6892

172 ⋅ 576 ⋅ 691 ⋅ 90 mod 911
99072 ⋅ 691 ⋅ 90 mod 911 ≡ 684 ⋅ 691 ⋅ 90 mod 911
472644 ⋅ 90 mod 911 ≡ 746 ⋅ 90 mod 911
67140 mod 911 ≡ 637 mod 911

Es gilt also: 689202 ≡ 637 mod 911

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 55.

Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 55

=>101 = 1⋅55 + 46
=>55 = 1⋅46 + 9
=>46 = 5⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,55)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 46-5⋅9
9= 55-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅46 -5⋅(55 -1⋅ 46)
= 1⋅46 -5⋅55 +5⋅ 46)
= -5⋅55 +6⋅ 46 (=1)
46= 101-1⋅55 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅55 +6⋅(101 -1⋅ 55)
= -5⋅55 +6⋅101 -6⋅ 55)
= 6⋅101 -11⋅ 55 (=1)

Es gilt also: ggt(101,55)=1 = 6⋅101 -11⋅55

oder wenn man 6⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅101 = -11⋅55

-11⋅55 = -6⋅101 + 1 |+101⋅55

-11⋅55 + 101⋅55 = -6⋅101 + 101⋅55 + 1

(-11 + 101) ⋅ 55 = (-6 + 55) ⋅ 101 + 1

90⋅55 = 49⋅101 + 1

Es gilt also: 90⋅55 = 49⋅101 +1

Somit 90⋅55 = 1 mod 101

90 ist also das Inverse von 55 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.