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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18000 - 18000) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18000 - 18000) mod 6 ≡ (18000 mod 6 - 18000 mod 6) mod 6.

18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000 = 18000+0 = 6 ⋅ 3000 +0.

18000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000 = 18000+0 = 6 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(18000 - 18000) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 69) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 69) mod 6 ≡ (94 mod 6 ⋅ 69 mod 6) mod 6.

94 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 15 ⋅ 6 + 4 ist.

69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 69) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36464 mod 503.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 364 -> x
2. mod(x²,503) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3641=364

2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 207 mod 503

4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 207⋅207=42849 ≡ 94 mod 503

8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 285 mod 503

16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 242 mod 503

32: 36432=36416+16=36416⋅36416 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 216 mod 503

64: 36464=36432+32=36432⋅36432 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 380 mod 503

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 239106 mod 293.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 106 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 106 an und zerlegen 106 in eine Summer von 2er-Potenzen:

106 = 64+32+8+2

1: 2391=239

2: 2392=2391+1=2391⋅2391 ≡ 239⋅239=57121 ≡ 279 mod 293

4: 2394=2392+2=2392⋅2392 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 196 mod 293

8: 2398=2394+4=2394⋅2394 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 33 mod 293

16: 23916=2398+8=2398⋅2398 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 210 mod 293

32: 23932=23916+16=23916⋅23916 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 150 mod 293

64: 23964=23932+32=23932⋅23932 ≡ 150⋅150=22500 ≡ 232 mod 293

239106

= 23964+32+8+2

= 23964⋅23932⋅2398⋅2392

≡ 232 ⋅ 150 ⋅ 33 ⋅ 279 mod 293
≡ 34800 ⋅ 33 ⋅ 279 mod 293 ≡ 226 ⋅ 33 ⋅ 279 mod 293
≡ 7458 ⋅ 279 mod 293 ≡ 133 ⋅ 279 mod 293
≡ 37107 mod 293 ≡ 189 mod 293

Es gilt also: 239106 ≡ 189 mod 293

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 72.

Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 72

=>89 = 1⋅72 + 17
=>72 = 4⋅17 + 4
=>17 = 4⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,72)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 72-4⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -4⋅(72 -4⋅ 17)
= 1⋅17 -4⋅72 +16⋅ 17)
= -4⋅72 +17⋅ 17 (=1)
17= 89-1⋅72 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅72 +17⋅(89 -1⋅ 72)
= -4⋅72 +17⋅89 -17⋅ 72)
= 17⋅89 -21⋅ 72 (=1)

Es gilt also: ggt(89,72)=1 = 17⋅89 -21⋅72

oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅89 = -21⋅72

-21⋅72 = -17⋅89 + 1 |+89⋅72

-21⋅72 + 89⋅72 = -17⋅89 + 89⋅72 + 1

(-21 + 89) ⋅ 72 = (-17 + 72) ⋅ 89 + 1

68⋅72 = 55⋅89 + 1

Es gilt also: 68⋅72 = 55⋅89 +1

Somit 68⋅72 = 1 mod 89

68 ist also das Inverse von 72 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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