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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (202 - 3998) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(202 - 3998) mod 4 ≡ (202 mod 4 - 3998 mod 4) mod 4.
202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202
= 200
3998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3998
= 3000
Somit gilt:
(202 - 3998) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 88) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 88) mod 9 ≡ (79 mod 9 ⋅ 88 mod 9) mod 9.
79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.
88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 88) mod 9 ≡ (7 ⋅ 7) mod 9 ≡ 49 mod 9 ≡ 4 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 82364 mod 983.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 823 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8231=823
2: 8232=8231+1=8231⋅8231 ≡ 823⋅823=677329 ≡ 42 mod 983
4: 8234=8232+2=8232⋅8232 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 781 mod 983
8: 8238=8234+4=8234⋅8234 ≡ 781⋅781=609961 ≡ 501 mod 983
16: 82316=8238+8=8238⋅8238 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 336 mod 983
32: 82332=82316+16=82316⋅82316 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 834 mod 983
64: 82364=82332+32=82332⋅82332 ≡ 834⋅834=695556 ≡ 575 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 164111 mod 349.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:
111 = 64+32+8+4+2+1
1: 1641=164
2: 1642=1641+1=1641⋅1641 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 23 mod 349
4: 1644=1642+2=1642⋅1642 ≡ 23⋅23=529 ≡ 180 mod 349
8: 1648=1644+4=1644⋅1644 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 292 mod 349
16: 16416=1648+8=1648⋅1648 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 108 mod 349
32: 16432=16416+16=16416⋅16416 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 147 mod 349
64: 16464=16432+32=16432⋅16432 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 320 mod 349
164111
= 16464+32+8+4+2+1
= 16464⋅16432⋅1648⋅1644⋅1642⋅1641
≡ 320 ⋅ 147 ⋅ 292 ⋅ 180 ⋅ 23 ⋅ 164 mod 349
≡ 47040 ⋅ 292 ⋅ 180 ⋅ 23 ⋅ 164 mod 349 ≡ 274 ⋅ 292 ⋅ 180 ⋅ 23 ⋅ 164 mod 349
≡ 80008 ⋅ 180 ⋅ 23 ⋅ 164 mod 349 ≡ 87 ⋅ 180 ⋅ 23 ⋅ 164 mod 349
≡ 15660 ⋅ 23 ⋅ 164 mod 349 ≡ 304 ⋅ 23 ⋅ 164 mod 349
≡ 6992 ⋅ 164 mod 349 ≡ 12 ⋅ 164 mod 349
≡ 1968 mod 349 ≡ 223 mod 349
Es gilt also: 164111 ≡ 223 mod 349
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 38
| =>79 | = 2⋅38 + 3 |
| =>38 | = 12⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 38-12⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(38 -12⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅38 +12⋅ 3) = -1⋅38 +13⋅ 3 (=1) |
| 3= 79-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅38 +13⋅(79 -2⋅ 38)
= -1⋅38 +13⋅79 -26⋅ 38) = 13⋅79 -27⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,38)=1 = 13⋅79 -27⋅38
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -27⋅38
-27⋅38 = -13⋅79 + 1 |+79⋅38
-27⋅38 + 79⋅38 = -13⋅79 + 79⋅38 + 1
(-27 + 79) ⋅ 38 = (-13 + 38) ⋅ 79 + 1
52⋅38 = 25⋅79 + 1
Es gilt also: 52⋅38 = 25⋅79 +1
Somit 52⋅38 = 1 mod 79
52 ist also das Inverse von 38 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
