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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (245 + 2999) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(245 + 2999) mod 6 ≡ (245 mod 6 + 2999 mod 6) mod 6.
245 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245
= 240
2999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999
= 3000
Somit gilt:
(245 + 2999) mod 6 ≡ (5 + 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 81) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 81) mod 4 ≡ (18 mod 4 ⋅ 81 mod 4) mod 4.
18 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 4 ⋅ 4 + 2 ist.
81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 20 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 81) mod 4 ≡ (2 ⋅ 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 310128 mod 331.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 310 -> x
2. mod(x²,331) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3101=310
2: 3102=3101+1=3101⋅3101 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 110 mod 331
4: 3104=3102+2=3102⋅3102 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 184 mod 331
8: 3108=3104+4=3104⋅3104 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 94 mod 331
16: 31016=3108+8=3108⋅3108 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 230 mod 331
32: 31032=31016+16=31016⋅31016 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 271 mod 331
64: 31064=31032+32=31032⋅31032 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 290 mod 331
128: 310128=31064+64=31064⋅31064 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 26 mod 331
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 129168 mod 317.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:
168 = 128+32+8
1: 1291=129
2: 1292=1291+1=1291⋅1291 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 157 mod 317
4: 1294=1292+2=1292⋅1292 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 240 mod 317
8: 1298=1294+4=1294⋅1294 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 223 mod 317
16: 12916=1298+8=1298⋅1298 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 277 mod 317
32: 12932=12916+16=12916⋅12916 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 15 mod 317
64: 12964=12932+32=12932⋅12932 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 317
128: 129128=12964+64=12964⋅12964 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 222 mod 317
129168
= 129128+32+8
= 129128⋅12932⋅1298
≡ 222 ⋅ 15 ⋅ 223 mod 317
≡ 3330 ⋅ 223 mod 317 ≡ 160 ⋅ 223 mod 317
≡ 35680 mod 317 ≡ 176 mod 317
Es gilt also: 129168 ≡ 176 mod 317
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 52
| =>59 | = 1⋅52 + 7 |
| =>52 | = 7⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 52-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(52 -7⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅52 +14⋅ 7) = -2⋅52 +15⋅ 7 (=1) |
| 7= 59-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +15⋅(59 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +15⋅59 -15⋅ 52) = 15⋅59 -17⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,52)=1 = 15⋅59 -17⋅52
oder wenn man 15⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅59 = -17⋅52
-17⋅52 = -15⋅59 + 1 |+59⋅52
-17⋅52 + 59⋅52 = -15⋅59 + 59⋅52 + 1
(-17 + 59) ⋅ 52 = (-15 + 52) ⋅ 59 + 1
42⋅52 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 42⋅52 = 37⋅59 +1
Somit 42⋅52 = 1 mod 59
42 ist also das Inverse von 52 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.