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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 - 30005) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 - 30005) mod 6 ≡ (62 mod 6 - 30005 mod 6) mod 6.

62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60+2 = 6 ⋅ 10 +2.

30005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30005 = 30000+5 = 6 ⋅ 5000 +5.

Somit gilt:

(62 - 30005) mod 6 ≡ (2 - 5) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 38) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 38) mod 5 ≡ (36 mod 5 ⋅ 38 mod 5) mod 5.

36 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 7 ⋅ 5 + 1 ist.

38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 38) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 40964 mod 829.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 409 -> x
2. mod(x²,829) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4091=409

2: 4092=4091+1=4091⋅4091 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 652 mod 829

4: 4094=4092+2=4092⋅4092 ≡ 652⋅652=425104 ≡ 656 mod 829

8: 4098=4094+4=4094⋅4094 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 85 mod 829

16: 40916=4098+8=4098⋅4098 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 593 mod 829

32: 40932=40916+16=40916⋅40916 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 153 mod 829

64: 40964=40932+32=40932⋅40932 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 197 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 292201 mod 311.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:

201 = 128+64+8+1

1: 2921=292

2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 50 mod 311

4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 12 mod 311

8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 311

16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 210 mod 311

32: 29232=29216+16=29216⋅29216 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 249 mod 311

64: 29264=29232+32=29232⋅29232 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 112 mod 311

128: 292128=29264+64=29264⋅29264 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 104 mod 311

292201

= 292128+64+8+1

= 292128⋅29264⋅2928⋅2921

≡ 104 ⋅ 112 ⋅ 144 ⋅ 292 mod 311
≡ 11648 ⋅ 144 ⋅ 292 mod 311 ≡ 141 ⋅ 144 ⋅ 292 mod 311
≡ 20304 ⋅ 292 mod 311 ≡ 89 ⋅ 292 mod 311
≡ 25988 mod 311 ≡ 175 mod 311

Es gilt also: 292201 ≡ 175 mod 311

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 62.

Also bestimme x, so dass 62 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 62

=>67 = 1⋅62 + 5
=>62 = 12⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,62)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 62-12⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(62 -12⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅62 +24⋅ 5)
= -2⋅62 +25⋅ 5 (=1)
5= 67-1⋅62 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅62 +25⋅(67 -1⋅ 62)
= -2⋅62 +25⋅67 -25⋅ 62)
= 25⋅67 -27⋅ 62 (=1)

Es gilt also: ggt(67,62)=1 = 25⋅67 -27⋅62

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -27⋅62

-27⋅62 = -25⋅67 + 1 |+67⋅62

-27⋅62 + 67⋅62 = -25⋅67 + 67⋅62 + 1

(-27 + 67) ⋅ 62 = (-25 + 62) ⋅ 67 + 1

40⋅62 = 37⋅67 + 1

Es gilt also: 40⋅62 = 37⋅67 +1

Somit 40⋅62 = 1 mod 67

40 ist also das Inverse von 62 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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