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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3199 - 239) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3199 - 239) mod 8 ≡ (3199 mod 8 - 239 mod 8) mod 8.

3199 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3199 = 3200-1 = 8 ⋅ 400 -1 = 8 ⋅ 400 - 8 + 7.

239 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239 = 240-1 = 8 ⋅ 30 -1 = 8 ⋅ 30 - 8 + 7.

Somit gilt:

(3199 - 239) mod 8 ≡ (7 - 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 52) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 52) mod 11 ≡ (47 mod 11 ⋅ 52 mod 11) mod 11.

47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.

52 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 44 + 8 = 4 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 52) mod 11 ≡ (3 ⋅ 8) mod 11 ≡ 24 mod 11 ≡ 2 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 17832 mod 271.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 178 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1781=178

2: 1782=1781+1=1781⋅1781 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 248 mod 271

4: 1784=1782+2=1782⋅1782 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 258 mod 271

8: 1788=1784+4=1784⋅1784 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 169 mod 271

16: 17816=1788+8=1788⋅1788 ≡ 169⋅169=28561 ≡ 106 mod 271

32: 17832=17816+16=17816⋅17816 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 125 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 39489 mod 587.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 89 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 89 an und zerlegen 89 in eine Summer von 2er-Potenzen:

89 = 64+16+8+1

1: 3941=394

2: 3942=3941+1=3941⋅3941 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 268 mod 587

4: 3944=3942+2=3942⋅3942 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 210 mod 587

8: 3948=3944+4=3944⋅3944 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 75 mod 587

16: 39416=3948+8=3948⋅3948 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 342 mod 587

32: 39432=39416+16=39416⋅39416 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 151 mod 587

64: 39464=39432+32=39432⋅39432 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 495 mod 587

39489

= 39464+16+8+1

= 39464⋅39416⋅3948⋅3941

≡ 495 ⋅ 342 ⋅ 75 ⋅ 394 mod 587
≡ 169290 ⋅ 75 ⋅ 394 mod 587 ≡ 234 ⋅ 75 ⋅ 394 mod 587
≡ 17550 ⋅ 394 mod 587 ≡ 527 ⋅ 394 mod 587
≡ 207638 mod 587 ≡ 427 mod 587

Es gilt also: 39489 ≡ 427 mod 587

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 54

=>97 = 1⋅54 + 43
=>54 = 1⋅43 + 11
=>43 = 3⋅11 + 10
=>11 = 1⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 43-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11)
= -1⋅43 +4⋅ 11 (=1)
11= 54-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅43 +4⋅(54 -1⋅ 43)
= -1⋅43 +4⋅54 -4⋅ 43)
= 4⋅54 -5⋅ 43 (=1)
43= 97-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅54 -5⋅(97 -1⋅ 54)
= 4⋅54 -5⋅97 +5⋅ 54)
= -5⋅97 +9⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(97,54)=1 = -5⋅97 +9⋅54

oder wenn man -5⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅97 = +9⋅54

Es gilt also: 9⋅54 = 5⋅97 +1

Somit 9⋅54 = 1 mod 97

9 ist also das Inverse von 54 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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