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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (353 + 277) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(353 + 277) mod 9 ≡ (353 mod 9 + 277 mod 9) mod 9.

353 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 353 = 360-7 = 9 ⋅ 40 -7 = 9 ⋅ 40 - 9 + 2.

277 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 277 = 270+7 = 9 ⋅ 30 +7.

Somit gilt:

(353 + 277) mod 9 ≡ (2 + 7) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 85) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 85) mod 4 ≡ (23 mod 4 ⋅ 85 mod 4) mod 4.

23 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 5 ⋅ 4 + 3 ist.

85 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 21 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 85) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 505¹²⁸ mod 509.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 505 -> x
2. mod(x²,509) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 505¹=505

2: 505²=505¹⁺¹=505¹⋅505¹ ≡ 505⋅505=255025 ≡ 16 mod 509

4: 505⁴=505²⁺²=505²⋅505² ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 509

8: 505⁸=505⁴⁺⁴=505⁴⋅505⁴ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 384 mod 509

16: 505¹⁶=505⁸⁺⁸=505⁸⋅505⁸ ≡ 384⋅384=147456 ≡ 355 mod 509

32: 505³²=505¹⁶⁺¹⁶=505¹⁶⋅505¹⁶ ≡ 355⋅355=126025 ≡ 302 mod 509

64: 505⁶⁴=505³²⁺³²=505³²⋅505³² ≡ 302⋅302=91204 ≡ 93 mod 509

128: 505¹²⁸=505⁶⁴⁺⁶⁴=505⁶⁴⋅505⁶⁴ ≡ 93⋅93=8649 ≡ 505 mod 509

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 866¹⁶² mod 877.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:

162 = 128+32+2

1: 866¹=866

2: 866²=866¹⁺¹=866¹⋅866¹ ≡ 866⋅866=749956 ≡ 121 mod 877

4: 866⁴=866²⁺²=866²⋅866² ≡ 121⋅121=14641 ≡ 609 mod 877

8: 866⁸=866⁴⁺⁴=866⁴⋅866⁴ ≡ 609⋅609=370881 ≡ 787 mod 877

16: 866¹⁶=866⁸⁺⁸=866⁸⋅866⁸ ≡ 787⋅787=619369 ≡ 207 mod 877

32: 866³²=866¹⁶⁺¹⁶=866¹⁶⋅866¹⁶ ≡ 207⋅207=42849 ≡ 753 mod 877

64: 866⁶⁴=866³²⁺³²=866³²⋅866³² ≡ 753⋅753=567009 ≡ 467 mod 877

128: 866¹²⁸=866⁶⁴⁺⁶⁴=866⁶⁴⋅866⁶⁴ ≡ 467⋅467=218089 ≡ 593 mod 877

866¹⁶²

= 866^128+32+2

= 866¹²⁸⋅866³²⋅866²

≡ 593 ⋅ 753 ⋅ 121 mod 877
≡ 446529 ⋅ 121 mod 877 ≡ 136 ⋅ 121 mod 877
≡ 16456 mod 877 ≡ 670 mod 877

Es gilt also: 866¹⁶² ≡ 670 mod 877

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 39.

Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 39

=>73	= 1⋅39 + 34
=>39	= 1⋅34 + 5
=>34	= 6⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,39)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 34-6⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(34 -6⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅34 +6⋅ 5) = -1⋅34 +7⋅ 5 (=1)
5= 39-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅34 +7⋅(39 -1⋅ 34) = -1⋅34 +7⋅39 -7⋅ 34) = 7⋅39 -8⋅ 34 (=1)
34= 73-1⋅39	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅39 -8⋅(73 -1⋅ 39) = 7⋅39 -8⋅73 +8⋅ 39) = -8⋅73 +15⋅ 39 (=1)

Es gilt also: ggt(73,39)=1 = -8⋅73 +15⋅39

oder wenn man -8⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅73 = +15⋅39

Es gilt also: 15⋅39 = 8⋅73 +1

Somit 15⋅39 = 1 mod 73

15 ist also das Inverse von 39 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 39

Schlüsselpaar für RSA