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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1497 - 3000) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1497 - 3000) mod 3 ≡ (1497 mod 3 - 3000 mod 3) mod 3.

1497 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1497 = 1500-3 = 3 ⋅ 500 -3 = 3 ⋅ 500 - 3 + 0.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(1497 - 3000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 97) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 97) mod 11 ≡ (100 mod 11 ⋅ 97 mod 11) mod 11.

100 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 99 + 1 = 9 ⋅ 11 + 1 ist.

97 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 88 + 9 = 8 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 97) mod 11 ≡ (1 ⋅ 9) mod 11 ≡ 9 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6638 mod 929.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 663 -> x
2. mod(x²,929) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6631=663

2: 6632=6631+1=6631⋅6631 ≡ 663⋅663=439569 ≡ 152 mod 929

4: 6634=6632+2=6632⋅6632 ≡ 152⋅152=23104 ≡ 808 mod 929

8: 6638=6634+4=6634⋅6634 ≡ 808⋅808=652864 ≡ 706 mod 929

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 86291 mod 911.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 91 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 91 an und zerlegen 91 in eine Summer von 2er-Potenzen:

91 = 64+16+8+2+1

1: 8621=862

2: 8622=8621+1=8621⋅8621 ≡ 862⋅862=743044 ≡ 579 mod 911

4: 8624=8622+2=8622⋅8622 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 904 mod 911

8: 8628=8624+4=8624⋅8624 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 49 mod 911

16: 86216=8628+8=8628⋅8628 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 579 mod 911

32: 86232=86216+16=86216⋅86216 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 904 mod 911

64: 86264=86232+32=86232⋅86232 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 49 mod 911

86291

= 86264+16+8+2+1

= 86264⋅86216⋅8628⋅8622⋅8621

49 ⋅ 579 ⋅ 49 ⋅ 579 ⋅ 862 mod 911
28371 ⋅ 49 ⋅ 579 ⋅ 862 mod 911 ≡ 130 ⋅ 49 ⋅ 579 ⋅ 862 mod 911
6370 ⋅ 579 ⋅ 862 mod 911 ≡ 904 ⋅ 579 ⋅ 862 mod 911
523416 ⋅ 862 mod 911 ≡ 502 ⋅ 862 mod 911
432724 mod 911 ≡ 910 mod 911

Es gilt also: 86291 ≡ 910 mod 911

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 37

=>89 = 2⋅37 + 15
=>37 = 2⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 37-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(37 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅37 +4⋅ 15)
= -2⋅37 +5⋅ 15 (=1)
15= 89-2⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅37 +5⋅(89 -2⋅ 37)
= -2⋅37 +5⋅89 -10⋅ 37)
= 5⋅89 -12⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(89,37)=1 = 5⋅89 -12⋅37

oder wenn man 5⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅89 = -12⋅37

-12⋅37 = -5⋅89 + 1 |+89⋅37

-12⋅37 + 89⋅37 = -5⋅89 + 89⋅37 + 1

(-12 + 89) ⋅ 37 = (-5 + 37) ⋅ 89 + 1

77⋅37 = 32⋅89 + 1

Es gilt also: 77⋅37 = 32⋅89 +1

Somit 77⋅37 = 1 mod 89

77 ist also das Inverse von 37 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.