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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16008 - 39993) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16008 - 39993) mod 8 ≡ (16008 mod 8 - 39993 mod 8) mod 8.

16008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16008 = 16000+8 = 8 ⋅ 2000 +8.

39993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39993 = 39000+993 = 8 ⋅ 4875 +993.

Somit gilt:

(16008 - 39993) mod 8 ≡ (0 - 1) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 51) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 51) mod 5 ≡ (53 mod 5 ⋅ 51 mod 5) mod 5.

53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.

51 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 10 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 51) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1438 mod 257.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 143 -> x
2. mod(x²,257) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1431=143

2: 1432=1431+1=1431⋅1431 ≡ 143⋅143=20449 ≡ 146 mod 257

4: 1434=1432+2=1432⋅1432 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 242 mod 257

8: 1438=1434+4=1434⋅1434 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 225 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22363 mod 251.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 63 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 63 an und zerlegen 63 in eine Summer von 2er-Potenzen:

63 = 32+16+8+4+2+1

1: 2231=223

2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 31 mod 251

4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 31⋅31=961 ≡ 208 mod 251

8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 92 mod 251

16: 22316=2238+8=2238⋅2238 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 181 mod 251

32: 22332=22316+16=22316⋅22316 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 131 mod 251

22363

= 22332+16+8+4+2+1

= 22332⋅22316⋅2238⋅2234⋅2232⋅2231

131 ⋅ 181 ⋅ 92 ⋅ 208 ⋅ 31 ⋅ 223 mod 251
23711 ⋅ 92 ⋅ 208 ⋅ 31 ⋅ 223 mod 251 ≡ 117 ⋅ 92 ⋅ 208 ⋅ 31 ⋅ 223 mod 251
10764 ⋅ 208 ⋅ 31 ⋅ 223 mod 251 ≡ 222 ⋅ 208 ⋅ 31 ⋅ 223 mod 251
46176 ⋅ 31 ⋅ 223 mod 251 ≡ 243 ⋅ 31 ⋅ 223 mod 251
7533 ⋅ 223 mod 251 ≡ 3 ⋅ 223 mod 251
669 mod 251 ≡ 167 mod 251

Es gilt also: 22363 ≡ 167 mod 251

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 33

=>71 = 2⋅33 + 5
=>33 = 6⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 33-6⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(33 -6⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅33 -12⋅ 5)
= 2⋅33 -13⋅ 5 (=1)
5= 71-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅33 -13⋅(71 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -13⋅71 +26⋅ 33)
= -13⋅71 +28⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(71,33)=1 = -13⋅71 +28⋅33

oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅71 = +28⋅33

Es gilt also: 28⋅33 = 13⋅71 +1

Somit 28⋅33 = 1 mod 71

28 ist also das Inverse von 33 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.