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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1201 - 6003) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1201 - 6003) mod 6 ≡ (1201 mod 6 - 6003 mod 6) mod 6.
1201 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201
= 1200
6003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003
= 6000
Somit gilt:
(1201 - 6003) mod 6 ≡ (1 - 3) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 33) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 33) mod 3 ≡ (66 mod 3 ⋅ 33 mod 3) mod 3.
66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.
33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 11 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 33) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22616 mod 311.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 226 -> x
2. mod(x²,311) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2261=226
2: 2262=2261+1=2261⋅2261 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 72 mod 311
4: 2264=2262+2=2262⋅2262 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 208 mod 311
8: 2268=2264+4=2264⋅2264 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 35 mod 311
16: 22616=2268+8=2268⋅2268 ≡ 35⋅35=1225 ≡ 292 mod 311
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 564133 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 133 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 133 an und zerlegen 133 in eine Summer von 2er-Potenzen:
133 = 128+4+1
1: 5641=564
2: 5642=5641+1=5641⋅5641 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 529 mod 587
4: 5644=5642+2=5642⋅5642 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 429 mod 587
8: 5648=5644+4=5644⋅5644 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 310 mod 587
16: 56416=5648+8=5648⋅5648 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 419 mod 587
32: 56432=56416+16=56416⋅56416 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 48 mod 587
64: 56464=56432+32=56432⋅56432 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 543 mod 587
128: 564128=56464+64=56464⋅56464 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 175 mod 587
564133
= 564128+4+1
= 564128⋅5644⋅5641
≡ 175 ⋅ 429 ⋅ 564 mod 587
≡ 75075 ⋅ 564 mod 587 ≡ 526 ⋅ 564 mod 587
≡ 296664 mod 587 ≡ 229 mod 587
Es gilt also: 564133 ≡ 229 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 75
| =>79 | = 1⋅75 + 4 |
| =>75 | = 18⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 75-18⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(75 -18⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅75 +18⋅ 4) = -1⋅75 +19⋅ 4 (=1) |
| 4= 79-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅75 +19⋅(79 -1⋅ 75)
= -1⋅75 +19⋅79 -19⋅ 75) = 19⋅79 -20⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,75)=1 = 19⋅79 -20⋅75
oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅79 = -20⋅75
-20⋅75 = -19⋅79 + 1 |+79⋅75
-20⋅75 + 79⋅75 = -19⋅79 + 79⋅75 + 1
(-20 + 79) ⋅ 75 = (-19 + 75) ⋅ 79 + 1
59⋅75 = 56⋅79 + 1
Es gilt also: 59⋅75 = 56⋅79 +1
Somit 59⋅75 = 1 mod 79
59 ist also das Inverse von 75 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.