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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1802 + 27007) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1802 + 27007) mod 9 ≡ (1802 mod 9 + 27007 mod 9) mod 9.
1802 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1802
= 1800
27007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27007
= 27000
Somit gilt:
(1802 + 27007) mod 9 ≡ (2 + 7) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 59) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(65 ⋅ 59) mod 10 ≡ (65 mod 10 ⋅ 59 mod 10) mod 10.
65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.
59 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 50 + 9 = 5 ⋅ 10 + 9 ist.
Somit gilt:
(65 ⋅ 59) mod 10 ≡ (5 ⋅ 9) mod 10 ≡ 45 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 216128 mod 593.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 216 -> x
2. mod(x²,593) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2161=216
2: 2162=2161+1=2161⋅2161 ≡ 216⋅216=46656 ≡ 402 mod 593
4: 2164=2162+2=2162⋅2162 ≡ 402⋅402=161604 ≡ 308 mod 593
8: 2168=2164+4=2164⋅2164 ≡ 308⋅308=94864 ≡ 577 mod 593
16: 21616=2168+8=2168⋅2168 ≡ 577⋅577=332929 ≡ 256 mod 593
32: 21632=21616+16=21616⋅21616 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 306 mod 593
64: 21664=21632+32=21632⋅21632 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 535 mod 593
128: 216128=21664+64=21664⋅21664 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 399 mod 593
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 213126 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:
126 = 64+32+16+8+4+2
1: 2131=213
2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 218 mod 277
4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 157 mod 277
8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 273 mod 277
16: 21316=2138+8=2138⋅2138 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 16 mod 277
32: 21332=21316+16=21316⋅21316 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 277
64: 21364=21332+32=21332⋅21332 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 164 mod 277
213126
= 21364+32+16+8+4+2
= 21364⋅21332⋅21316⋅2138⋅2134⋅2132
≡ 164 ⋅ 256 ⋅ 16 ⋅ 273 ⋅ 157 ⋅ 218 mod 277
≡ 41984 ⋅ 16 ⋅ 273 ⋅ 157 ⋅ 218 mod 277 ≡ 157 ⋅ 16 ⋅ 273 ⋅ 157 ⋅ 218 mod 277
≡ 2512 ⋅ 273 ⋅ 157 ⋅ 218 mod 277 ≡ 19 ⋅ 273 ⋅ 157 ⋅ 218 mod 277
≡ 5187 ⋅ 157 ⋅ 218 mod 277 ≡ 201 ⋅ 157 ⋅ 218 mod 277
≡ 31557 ⋅ 218 mod 277 ≡ 256 ⋅ 218 mod 277
≡ 55808 mod 277 ≡ 131 mod 277
Es gilt also: 213126 ≡ 131 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 44
| =>73 | = 1⋅44 + 29 |
| =>44 | = 1⋅29 + 15 |
| =>29 | = 1⋅15 + 14 |
| =>15 | = 1⋅14 + 1 |
| =>14 | = 14⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-1⋅14 | |||
| 14= 29-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -1⋅(29 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅29 +1⋅ 15) = -1⋅29 +2⋅ 15 (=1) |
| 15= 44-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +2⋅(44 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +2⋅44 -2⋅ 29) = 2⋅44 -3⋅ 29 (=1) |
| 29= 73-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅44 -3⋅(73 -1⋅ 44)
= 2⋅44 -3⋅73 +3⋅ 44) = -3⋅73 +5⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,44)=1 = -3⋅73 +5⋅44
oder wenn man -3⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅73 = +5⋅44
Es gilt also: 5⋅44 = 3⋅73 +1
Somit 5⋅44 = 1 mod 73
5 ist also das Inverse von 44 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
