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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (252 - 1005) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(252 - 1005) mod 5 ≡ (252 mod 5 - 1005 mod 5) mod 5.
252 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 252
= 250
1005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1005
= 1000
Somit gilt:
(252 - 1005) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 95) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 95) mod 7 ≡ (66 mod 7 ⋅ 95 mod 7) mod 7.
66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 9 ⋅ 7 + 3 ist.
95 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 91 + 4 = 13 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 95) mod 7 ≡ (3 ⋅ 4) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31616 mod 439.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 316 -> x
2. mod(x²,439) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3161=316
2: 3162=3161+1=3161⋅3161 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 203 mod 439
4: 3164=3162+2=3162⋅3162 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 382 mod 439
8: 3168=3164+4=3164⋅3164 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 176 mod 439
16: 31616=3168+8=3168⋅3168 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 246 mod 439
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 337114 mod 659.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:
114 = 64+32+16+2
1: 3371=337
2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 221 mod 659
4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 75 mod 659
8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 353 mod 659
16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 58 mod 659
32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 69 mod 659
64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 148 mod 659
337114
= 33764+32+16+2
= 33764⋅33732⋅33716⋅3372
≡ 148 ⋅ 69 ⋅ 58 ⋅ 221 mod 659
≡ 10212 ⋅ 58 ⋅ 221 mod 659 ≡ 327 ⋅ 58 ⋅ 221 mod 659
≡ 18966 ⋅ 221 mod 659 ≡ 514 ⋅ 221 mod 659
≡ 113594 mod 659 ≡ 246 mod 659
Es gilt also: 337114 ≡ 246 mod 659
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34
| =>61 | = 1⋅34 + 27 |
| =>34 | = 1⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 34-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1) |
| 27= 61-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +9⋅34
Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1
Somit 9⋅34 = 1 mod 61
9 ist also das Inverse von 34 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.