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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (442 - 2698) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(442 - 2698) mod 9 ≡ (442 mod 9 - 2698 mod 9) mod 9.

442 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 442 = 450-8 = 9 ⋅ 50 -8 = 9 ⋅ 50 - 9 + 1.

2698 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2698 = 2700-2 = 9 ⋅ 300 -2 = 9 ⋅ 300 - 9 + 7.

Somit gilt:

(442 - 2698) mod 9 ≡ (1 - 7) mod 9 ≡ -6 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 24) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 24) mod 6 ≡ (84 mod 6 ⋅ 24 mod 6) mod 6.

84 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 14 ⋅ 6 + 0 ist.

24 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 4 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 24) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 91432 mod 937.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 914 -> x
2. mod(x²,937) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 9141=914

2: 9142=9141+1=9141⋅9141 ≡ 914⋅914=835396 ≡ 529 mod 937

4: 9144=9142+2=9142⋅9142 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 615 mod 937

8: 9148=9144+4=9144⋅9144 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 614 mod 937

16: 91416=9148+8=9148⋅9148 ≡ 614⋅614=376996 ≡ 322 mod 937

32: 91432=91416+16=91416⋅91416 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 614 mod 937

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 369118 mod 941.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:

118 = 64+32+16+4+2

1: 3691=369

2: 3692=3691+1=3691⋅3691 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 657 mod 941

4: 3694=3692+2=3692⋅3692 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 671 mod 941

8: 3698=3694+4=3694⋅3694 ≡ 671⋅671=450241 ≡ 443 mod 941

16: 36916=3698+8=3698⋅3698 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 521 mod 941

32: 36932=36916+16=36916⋅36916 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 433 mod 941

64: 36964=36932+32=36932⋅36932 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 230 mod 941

369118

= 36964+32+16+4+2

= 36964⋅36932⋅36916⋅3694⋅3692

≡ 230 ⋅ 433 ⋅ 521 ⋅ 671 ⋅ 657 mod 941
≡ 99590 ⋅ 521 ⋅ 671 ⋅ 657 mod 941 ≡ 785 ⋅ 521 ⋅ 671 ⋅ 657 mod 941
≡ 408985 ⋅ 671 ⋅ 657 mod 941 ≡ 591 ⋅ 671 ⋅ 657 mod 941
≡ 396561 ⋅ 657 mod 941 ≡ 400 ⋅ 657 mod 941
≡ 262800 mod 941 ≡ 261 mod 941

Es gilt also: 369118 ≡ 261 mod 941

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 19.

Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19

=>53 = 2⋅19 + 15
=>19 = 1⋅15 + 4
=>15 = 3⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 15-3⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4)
= -1⋅15 +4⋅ 4 (=1)
4= 19-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15)
= 4⋅19 -5⋅ 15 (=1)
15= 53-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19)
= 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19)
= -5⋅53 +14⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19

oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅53 = +14⋅19

Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1

Somit 14⋅19 = 1 mod 53

14 ist also das Inverse von 19 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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