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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1997 - 149) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1997 - 149) mod 5 ≡ (1997 mod 5 - 149 mod 5) mod 5.

1997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997 = 1900+97 = 5 ⋅ 380 +97.

149 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 149 = 140+9 = 5 ⋅ 28 +9.

Somit gilt:

(1997 - 149) mod 5 ≡ (2 - 4) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 67) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 67) mod 6 ≡ (91 mod 6 ⋅ 67 mod 6) mod 6.

91 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 15 ⋅ 6 + 1 ist.

67 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 11 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 67) mod 6 ≡ (1 ⋅ 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25264 mod 257.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 252 -> x
2. mod(x²,257) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2521=252

2: 2522=2521+1=2521⋅2521 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 25 mod 257

4: 2524=2522+2=2522⋅2522 ≡ 25⋅25=625 ≡ 111 mod 257

8: 2528=2524+4=2524⋅2524 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 242 mod 257

16: 25216=2528+8=2528⋅2528 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 225 mod 257

32: 25232=25216+16=25216⋅25216 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 253 mod 257

64: 25264=25232+32=25232⋅25232 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 16 mod 257

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 283114 mod 349.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:

114 = 64+32+16+2

1: 2831=283

2: 2832=2831+1=2831⋅2831 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 168 mod 349

4: 2834=2832+2=2832⋅2832 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 304 mod 349

8: 2838=2834+4=2834⋅2834 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 280 mod 349

16: 28316=2838+8=2838⋅2838 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 224 mod 349

32: 28332=28316+16=28316⋅28316 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 269 mod 349

64: 28364=28332+32=28332⋅28332 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 118 mod 349

283114

= 28364+32+16+2

= 28364⋅28332⋅28316⋅2832

≡ 118 ⋅ 269 ⋅ 224 ⋅ 168 mod 349
≡ 31742 ⋅ 224 ⋅ 168 mod 349 ≡ 332 ⋅ 224 ⋅ 168 mod 349
≡ 74368 ⋅ 168 mod 349 ≡ 31 ⋅ 168 mod 349
≡ 5208 mod 349 ≡ 322 mod 349

Es gilt also: 283114 ≡ 322 mod 349

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 42

=>101 = 2⋅42 + 17
=>42 = 2⋅17 + 8
=>17 = 2⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17)
= -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-2⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅42 +5⋅(101 -2⋅ 42)
= -2⋅42 +5⋅101 -10⋅ 42)
= 5⋅101 -12⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(101,42)=1 = 5⋅101 -12⋅42

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -12⋅42

-12⋅42 = -5⋅101 + 1 |+101⋅42

-12⋅42 + 101⋅42 = -5⋅101 + 101⋅42 + 1

(-12 + 101) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 101 + 1

89⋅42 = 37⋅101 + 1

Es gilt also: 89⋅42 = 37⋅101 +1

Somit 89⋅42 = 1 mod 101

89 ist also das Inverse von 42 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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