nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1400 + 3494) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1400 + 3494) mod 7 ≡ (1400 mod 7 + 3494 mod 7) mod 7.

1400 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1400 = 1400+0 = 7 ⋅ 200 +0.

3494 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3494 = 3500-6 = 7 ⋅ 500 -6 = 7 ⋅ 500 - 7 + 1.

Somit gilt:

(1400 + 3494) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 31) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 31) mod 8 ≡ (26 mod 8 ⋅ 31 mod 8) mod 8.

26 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 3 ⋅ 8 + 2 ist.

31 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 24 + 7 = 3 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 31) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2248 mod 379.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 224 -> x
2. mod(x²,379) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2241=224

2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 148 mod 379

4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 301 mod 379

8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 301⋅301=90601 ≡ 20 mod 379

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 35880 mod 653.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:

80 = 64+16

1: 3581=358

2: 3582=3581+1=3581⋅3581 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 176 mod 653

4: 3584=3582+2=3582⋅3582 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 285 mod 653

8: 3588=3584+4=3584⋅3584 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 253 mod 653

16: 35816=3588+8=3588⋅3588 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 15 mod 653

32: 35832=35816+16=35816⋅35816 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 653

64: 35864=35832+32=35832⋅35832 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 344 mod 653

35880

= 35864+16

= 35864⋅35816

344 ⋅ 15 mod 653
5160 mod 653 ≡ 589 mod 653

Es gilt also: 35880 ≡ 589 mod 653

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 54

=>71 = 1⋅54 + 17
=>54 = 3⋅17 + 3
=>17 = 5⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 17-5⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(17 -5⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅17 +5⋅ 3)
= -1⋅17 +6⋅ 3 (=1)
3= 54-3⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅17 +6⋅(54 -3⋅ 17)
= -1⋅17 +6⋅54 -18⋅ 17)
= 6⋅54 -19⋅ 17 (=1)
17= 71-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅54 -19⋅(71 -1⋅ 54)
= 6⋅54 -19⋅71 +19⋅ 54)
= -19⋅71 +25⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(71,54)=1 = -19⋅71 +25⋅54

oder wenn man -19⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅71 = +25⋅54

Es gilt also: 25⋅54 = 19⋅71 +1

Somit 25⋅54 = 1 mod 71

25 ist also das Inverse von 54 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.