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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (299 - 62) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(299 - 62) mod 6 ≡ (299 mod 6 - 62 mod 6) mod 6.

299 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299 = 300-1 = 6 ⋅ 50 -1 = 6 ⋅ 50 - 6 + 5.

62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60+2 = 6 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(299 - 62) mod 6 ≡ (5 - 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 21) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 21) mod 5 ≡ (74 mod 5 ⋅ 21 mod 5) mod 5.

74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.

21 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 4 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 21) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 550128 mod 599.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 550 -> x
2. mod(x²,599) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5501=550

2: 5502=5501+1=5501⋅5501 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 5 mod 599

4: 5504=5502+2=5502⋅5502 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 599

8: 5508=5504+4=5504⋅5504 ≡ 25⋅25=625 ≡ 26 mod 599

16: 55016=5508+8=5508⋅5508 ≡ 26⋅26=676 ≡ 77 mod 599

32: 55032=55016+16=55016⋅55016 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 538 mod 599

64: 55064=55032+32=55032⋅55032 ≡ 538⋅538=289444 ≡ 127 mod 599

128: 550128=55064+64=55064⋅55064 ≡ 127⋅127=16129 ≡ 555 mod 599

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 399231 mod 509.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

1: 3991=399

2: 3992=3991+1=3991⋅3991 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 393 mod 509

4: 3994=3992+2=3992⋅3992 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 222 mod 509

8: 3998=3994+4=3994⋅3994 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 420 mod 509

16: 39916=3998+8=3998⋅3998 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 286 mod 509

32: 39932=39916+16=39916⋅39916 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 356 mod 509

64: 39964=39932+32=39932⋅39932 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 504 mod 509

128: 399128=39964+64=39964⋅39964 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 25 mod 509

399231

= 399128+64+32+4+2+1

= 399128⋅39964⋅39932⋅3994⋅3992⋅3991

≡ 25 ⋅ 504 ⋅ 356 ⋅ 222 ⋅ 393 ⋅ 399 mod 509
≡ 12600 ⋅ 356 ⋅ 222 ⋅ 393 ⋅ 399 mod 509 ≡ 384 ⋅ 356 ⋅ 222 ⋅ 393 ⋅ 399 mod 509
≡ 136704 ⋅ 222 ⋅ 393 ⋅ 399 mod 509 ≡ 292 ⋅ 222 ⋅ 393 ⋅ 399 mod 509
≡ 64824 ⋅ 393 ⋅ 399 mod 509 ≡ 181 ⋅ 393 ⋅ 399 mod 509
≡ 71133 ⋅ 399 mod 509 ≡ 382 ⋅ 399 mod 509
≡ 152418 mod 509 ≡ 227 mod 509

Es gilt also: 399231 ≡ 227 mod 509

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

=>61 = 3⋅18 + 7
=>18 = 2⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 18-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7)
= 2⋅18 -5⋅ 7 (=1)
7= 61-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18)
= -5⋅61 +17⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +17⋅18

Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1

Somit 17⋅18 = 1 mod 61

17 ist also das Inverse von 18 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.