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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (365 - 273) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(365 - 273) mod 9 ≡ (365 mod 9 - 273 mod 9) mod 9.

365 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 365 = 360+5 = 9 ⋅ 40 +5.

273 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 273 = 270+3 = 9 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(365 - 273) mod 9 ≡ (5 - 3) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 77) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 77) mod 5 ≡ (73 mod 5 ⋅ 77 mod 5) mod 5.

73 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 14 ⋅ 5 + 3 ist.

77 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 15 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 77) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31164 mod 911.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 311 -> x
2. mod(x²,911) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3111=311

2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 155 mod 911

4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 339 mod 911

8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 135 mod 911

16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 5 mod 911

32: 31132=31116+16=31116⋅31116 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 911

64: 31164=31132+32=31132⋅31132 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 911

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36587 mod 587.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:

87 = 64+16+4+2+1

1: 3651=365

2: 3652=3651+1=3651⋅3651 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 563 mod 587

4: 3654=3652+2=3652⋅3652 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 576 mod 587

8: 3658=3654+4=3654⋅3654 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 121 mod 587

16: 36516=3658+8=3658⋅3658 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 553 mod 587

32: 36532=36516+16=36516⋅36516 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 569 mod 587

64: 36564=36532+32=36532⋅36532 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 324 mod 587

36587

= 36564+16+4+2+1

= 36564⋅36516⋅3654⋅3652⋅3651

≡ 324 ⋅ 553 ⋅ 576 ⋅ 563 ⋅ 365 mod 587
≡ 179172 ⋅ 576 ⋅ 563 ⋅ 365 mod 587 ≡ 137 ⋅ 576 ⋅ 563 ⋅ 365 mod 587
≡ 78912 ⋅ 563 ⋅ 365 mod 587 ≡ 254 ⋅ 563 ⋅ 365 mod 587
≡ 143002 ⋅ 365 mod 587 ≡ 361 ⋅ 365 mod 587
≡ 131765 mod 587 ≡ 277 mod 587

Es gilt also: 36587 ≡ 277 mod 587

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 68

=>73 = 1⋅68 + 5
=>68 = 13⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 68-13⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(68 -13⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅68 -26⋅ 5)
= 2⋅68 -27⋅ 5 (=1)
5= 73-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅68 -27⋅(73 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -27⋅73 +27⋅ 68)
= -27⋅73 +29⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(73,68)=1 = -27⋅73 +29⋅68

oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅73 = +29⋅68

Es gilt also: 29⋅68 = 27⋅73 +1

Somit 29⋅68 = 1 mod 73

29 ist also das Inverse von 68 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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