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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2400 - 1198) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2400 - 1198) mod 6 ≡ (2400 mod 6 - 1198 mod 6) mod 6.

2400 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400 = 2400+0 = 6 ⋅ 400 +0.

1198 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1200-2 = 6 ⋅ 200 -2 = 6 ⋅ 200 - 6 + 4.

Somit gilt:

(2400 - 1198) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 48) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 48) mod 6 ≡ (72 mod 6 ⋅ 48 mod 6) mod 6.

72 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 12 ⋅ 6 + 0 ist.

48 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 8 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 48) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 282128 mod 523.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 282 -> x
2. mod(x²,523) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2821=282

2: 2822=2821+1=2821⋅2821 ≡ 282⋅282=79524 ≡ 28 mod 523

4: 2824=2822+2=2822⋅2822 ≡ 28⋅28=784 ≡ 261 mod 523

8: 2828=2824+4=2824⋅2824 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 131 mod 523

16: 28216=2828+8=2828⋅2828 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 425 mod 523

32: 28232=28216+16=28216⋅28216 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 190 mod 523

64: 28264=28232+32=28232⋅28232 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 13 mod 523

128: 282128=28264+64=28264⋅28264 ≡ 13⋅13=169 ≡ 169 mod 523

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 265176 mod 769.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 176 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 176 an und zerlegen 176 in eine Summer von 2er-Potenzen:

176 = 128+32+16

1: 2651=265

2: 2652=2651+1=2651⋅2651 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 246 mod 769

4: 2654=2652+2=2652⋅2652 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 534 mod 769

8: 2658=2654+4=2654⋅2654 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 626 mod 769

16: 26516=2658+8=2658⋅2658 ≡ 626⋅626=391876 ≡ 455 mod 769

32: 26532=26516+16=26516⋅26516 ≡ 455⋅455=207025 ≡ 164 mod 769

64: 26564=26532+32=26532⋅26532 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 750 mod 769

128: 265128=26564+64=26564⋅26564 ≡ 750⋅750=562500 ≡ 361 mod 769

265176

= 265128+32+16

= 265128⋅26532⋅26516

≡ 361 ⋅ 164 ⋅ 455 mod 769
≡ 59204 ⋅ 455 mod 769 ≡ 760 ⋅ 455 mod 769
≡ 345800 mod 769 ≡ 519 mod 769

Es gilt also: 265176 ≡ 519 mod 769

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 68

=>101 = 1⋅68 + 33
=>68 = 2⋅33 + 2
=>33 = 16⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 33-16⋅2
2= 68-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅33 -16⋅(68 -2⋅ 33)
= 1⋅33 -16⋅68 +32⋅ 33)
= -16⋅68 +33⋅ 33 (=1)
33= 101-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -16⋅68 +33⋅(101 -1⋅ 68)
= -16⋅68 +33⋅101 -33⋅ 68)
= 33⋅101 -49⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(101,68)=1 = 33⋅101 -49⋅68

oder wenn man 33⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -33⋅101 = -49⋅68

-49⋅68 = -33⋅101 + 1 |+101⋅68

-49⋅68 + 101⋅68 = -33⋅101 + 101⋅68 + 1

(-49 + 101) ⋅ 68 = (-33 + 68) ⋅ 101 + 1

52⋅68 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 52⋅68 = 35⋅101 +1

Somit 52⋅68 = 1 mod 101

52 ist also das Inverse von 68 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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