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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (301 - 2397) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(301 - 2397) mod 6 ≡ (301 mod 6 - 2397 mod 6) mod 6.

301 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301 = 300+1 = 6 ⋅ 50 +1.

2397 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397 = 2400-3 = 6 ⋅ 400 -3 = 6 ⋅ 400 - 6 + 3.

Somit gilt:

(301 - 2397) mod 6 ≡ (1 - 3) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 28) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 28) mod 4 ≡ (78 mod 4 ⋅ 28 mod 4) mod 4.

78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 76 + 2 = 19 ⋅ 4 + 2 ist.

28 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 28 + 0 = 7 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 28) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 53764 mod 571.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 537 -> x
2. mod(x²,571) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5371=537

2: 5372=5371+1=5371⋅5371 ≡ 537⋅537=288369 ≡ 14 mod 571

4: 5374=5372+2=5372⋅5372 ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 571

8: 5378=5374+4=5374⋅5374 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 159 mod 571

16: 53716=5378+8=5378⋅5378 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 157 mod 571

32: 53732=53716+16=53716⋅53716 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 96 mod 571

64: 53764=53732+32=53732⋅53732 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 80 mod 571

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 437250 mod 983.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

1: 4371=437

2: 4372=4371+1=4371⋅4371 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 267 mod 983

4: 4374=4372+2=4372⋅4372 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 513 mod 983

8: 4378=4374+4=4374⋅4374 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 708 mod 983

16: 43716=4378+8=4378⋅4378 ≡ 708⋅708=501264 ≡ 917 mod 983

32: 43732=43716+16=43716⋅43716 ≡ 917⋅917=840889 ≡ 424 mod 983

64: 43764=43732+32=43732⋅43732 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 870 mod 983

128: 437128=43764+64=43764⋅43764 ≡ 870⋅870=756900 ≡ 973 mod 983

437250

= 437128+64+32+16+8+2

= 437128⋅43764⋅43732⋅43716⋅4378⋅4372

973 ⋅ 870 ⋅ 424 ⋅ 917 ⋅ 708 ⋅ 267 mod 983
846510 ⋅ 424 ⋅ 917 ⋅ 708 ⋅ 267 mod 983 ≡ 147 ⋅ 424 ⋅ 917 ⋅ 708 ⋅ 267 mod 983
62328 ⋅ 917 ⋅ 708 ⋅ 267 mod 983 ≡ 399 ⋅ 917 ⋅ 708 ⋅ 267 mod 983
365883 ⋅ 708 ⋅ 267 mod 983 ≡ 207 ⋅ 708 ⋅ 267 mod 983
146556 ⋅ 267 mod 983 ≡ 89 ⋅ 267 mod 983
23763 mod 983 ≡ 171 mod 983

Es gilt also: 437250 ≡ 171 mod 983

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 50

=>61 = 1⋅50 + 11
=>50 = 4⋅11 + 6
=>11 = 1⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6)
= -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 50-4⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +2⋅(50 -4⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅50 -8⋅ 11)
= 2⋅50 -9⋅ 11 (=1)
11= 61-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅50 -9⋅(61 -1⋅ 50)
= 2⋅50 -9⋅61 +9⋅ 50)
= -9⋅61 +11⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(61,50)=1 = -9⋅61 +11⋅50

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +11⋅50

Es gilt also: 11⋅50 = 9⋅61 +1

Somit 11⋅50 = 1 mod 61

11 ist also das Inverse von 50 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.