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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4006 + 805) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4006 + 805) mod 8 ≡ (4006 mod 8 + 805 mod 8) mod 8.

4006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4006 = 4000+6 = 8 ⋅ 500 +6.

805 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 805 = 800+5 = 8 ⋅ 100 +5.

Somit gilt:

(4006 + 805) mod 8 ≡ (6 + 5) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 32) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 32) mod 4 ≡ (75 mod 4 ⋅ 32 mod 4) mod 4.

75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.

32 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 8 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 32) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 154⁶⁴ mod 293.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 154 -> x
2. mod(x²,293) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 154¹=154

2: 154²=154¹⁺¹=154¹⋅154¹ ≡ 154⋅154=23716 ≡ 276 mod 293

4: 154⁴=154²⁺²=154²⋅154² ≡ 276⋅276=76176 ≡ 289 mod 293

8: 154⁸=154⁴⁺⁴=154⁴⋅154⁴ ≡ 289⋅289=83521 ≡ 16 mod 293

16: 154¹⁶=154⁸⁺⁸=154⁸⋅154⁸ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 293

32: 154³²=154¹⁶⁺¹⁶=154¹⁶⋅154¹⁶ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 197 mod 293

64: 154⁶⁴=154³²⁺³²=154³²⋅154³² ≡ 197⋅197=38809 ≡ 133 mod 293

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 739²¹⁹ mod 983.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

1: 739¹=739

2: 739²=739¹⁺¹=739¹⋅739¹ ≡ 739⋅739=546121 ≡ 556 mod 983

4: 739⁴=739²⁺²=739²⋅739² ≡ 556⋅556=309136 ≡ 474 mod 983

8: 739⁸=739⁴⁺⁴=739⁴⋅739⁴ ≡ 474⋅474=224676 ≡ 552 mod 983

16: 739¹⁶=739⁸⁺⁸=739⁸⋅739⁸ ≡ 552⋅552=304704 ≡ 957 mod 983

32: 739³²=739¹⁶⁺¹⁶=739¹⁶⋅739¹⁶ ≡ 957⋅957=915849 ≡ 676 mod 983

64: 739⁶⁴=739³²⁺³²=739³²⋅739³² ≡ 676⋅676=456976 ≡ 864 mod 983

128: 739¹²⁸=739⁶⁴⁺⁶⁴=739⁶⁴⋅739⁶⁴ ≡ 864⋅864=746496 ≡ 399 mod 983

739²¹⁹

= 739^{128+64+16+8+2+1}

= 739¹²⁸⋅739⁶⁴⋅739¹⁶⋅739⁸⋅739²⋅739¹

≡ 399 ⋅ 864 ⋅ 957 ⋅ 552 ⋅ 556 ⋅ 739 mod 983
≡ 344736 ⋅ 957 ⋅ 552 ⋅ 556 ⋅ 739 mod 983 ≡ 686 ⋅ 957 ⋅ 552 ⋅ 556 ⋅ 739 mod 983
≡ 656502 ⋅ 552 ⋅ 556 ⋅ 739 mod 983 ≡ 841 ⋅ 552 ⋅ 556 ⋅ 739 mod 983
≡ 464232 ⋅ 556 ⋅ 739 mod 983 ≡ 256 ⋅ 556 ⋅ 739 mod 983
≡ 142336 ⋅ 739 mod 983 ≡ 784 ⋅ 739 mod 983
≡ 579376 mod 983 ≡ 389 mod 983

Es gilt also: 739²¹⁹ ≡ 389 mod 983

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

=>53	= 1⋅31 + 22
=>31	= 1⋅22 + 9
=>22	= 2⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-1⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22) = -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22) = 5⋅31 -7⋅ 22 (=1)
22= 53-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31) = 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31) = -7⋅53 +12⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31

oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅53 = +12⋅31

Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1

Somit 12⋅31 = 1 mod 53

12 ist also das Inverse von 31 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

Schlüsselpaar für RSA