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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1597 - 237) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1597 - 237) mod 8 ≡ (1597 mod 8 - 237 mod 8) mod 8.
1597 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1597
= 1600
237 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 237
= 240
Somit gilt:
(1597 - 237) mod 8 ≡ (5 - 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 33) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 33) mod 10 ≡ (62 mod 10 ⋅ 33 mod 10) mod 10.
62 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 6 ⋅ 10 + 2 ist.
33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 33) mod 10 ≡ (2 ⋅ 3) mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17764 mod 223.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 177 -> x
2. mod(x²,223) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1771=177
2: 1772=1771+1=1771⋅1771 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 109 mod 223
4: 1774=1772+2=1772⋅1772 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 62 mod 223
8: 1778=1774+4=1774⋅1774 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 53 mod 223
16: 17716=1778+8=1778⋅1778 ≡ 53⋅53=2809 ≡ 133 mod 223
32: 17732=17716+16=17716⋅17716 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 72 mod 223
64: 17764=17732+32=17732⋅17732 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 55 mod 223
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 472149 mod 547.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 149 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 149 an und zerlegen 149 in eine Summer von 2er-Potenzen:
149 = 128+16+4+1
1: 4721=472
2: 4722=4721+1=4721⋅4721 ≡ 472⋅472=222784 ≡ 155 mod 547
4: 4724=4722+2=4722⋅4722 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 504 mod 547
8: 4728=4724+4=4724⋅4724 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 208 mod 547
16: 47216=4728+8=4728⋅4728 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 51 mod 547
32: 47232=47216+16=47216⋅47216 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 413 mod 547
64: 47264=47232+32=47232⋅47232 ≡ 413⋅413=170569 ≡ 452 mod 547
128: 472128=47264+64=47264⋅47264 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 273 mod 547
472149
= 472128+16+4+1
= 472128⋅47216⋅4724⋅4721
≡ 273 ⋅ 51 ⋅ 504 ⋅ 472 mod 547
≡ 13923 ⋅ 504 ⋅ 472 mod 547 ≡ 248 ⋅ 504 ⋅ 472 mod 547
≡ 124992 ⋅ 472 mod 547 ≡ 276 ⋅ 472 mod 547
≡ 130272 mod 547 ≡ 86 mod 547
Es gilt also: 472149 ≡ 86 mod 547
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 25.
Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 25
| =>67 | = 2⋅25 + 17 |
| =>25 | = 1⋅17 + 8 |
| =>17 | = 2⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,25)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-2⋅8 | |||
| 8= 25-1⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -2⋅(25 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -2⋅25 +2⋅ 17) = -2⋅25 +3⋅ 17 (=1) |
| 17= 67-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅25 +3⋅(67 -2⋅ 25)
= -2⋅25 +3⋅67 -6⋅ 25) = 3⋅67 -8⋅ 25 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,25)=1 = 3⋅67 -8⋅25
oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅67 = -8⋅25
-8⋅25 = -3⋅67 + 1 |+67⋅25
-8⋅25 + 67⋅25 = -3⋅67 + 67⋅25 + 1
(-8 + 67) ⋅ 25 = (-3 + 25) ⋅ 67 + 1
59⋅25 = 22⋅67 + 1
Es gilt also: 59⋅25 = 22⋅67 +1
Somit 59⋅25 = 1 mod 67
59 ist also das Inverse von 25 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
