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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (251 + 20004) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(251 + 20004) mod 5 ≡ (251 mod 5 + 20004 mod 5) mod 5.

251 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 251 = 250+1 = 5 ⋅ 50 +1.

20004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20004 = 20000+4 = 5 ⋅ 4000 +4.

Somit gilt:

(251 + 20004) mod 5 ≡ (1 + 4) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 68) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 68) mod 3 ≡ (66 mod 3 ⋅ 68 mod 3) mod 3.

66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.

68 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 22 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 68) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 72716 mod 877.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 727 -> x
2. mod(x²,877) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 7271=727

2: 7272=7271+1=7271⋅7271 ≡ 727⋅727=528529 ≡ 575 mod 877

4: 7274=7272+2=7272⋅7272 ≡ 575⋅575=330625 ≡ 873 mod 877

8: 7278=7274+4=7274⋅7274 ≡ 873⋅873=762129 ≡ 16 mod 877

16: 72716=7278+8=7278⋅7278 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 877

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 367139 mod 421.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 139 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 139 an und zerlegen 139 in eine Summer von 2er-Potenzen:

139 = 128+8+2+1

1: 3671=367

2: 3672=3671+1=3671⋅3671 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 390 mod 421

4: 3674=3672+2=3672⋅3672 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 119 mod 421

8: 3678=3674+4=3674⋅3674 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 268 mod 421

16: 36716=3678+8=3678⋅3678 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 254 mod 421

32: 36732=36716+16=36716⋅36716 ≡ 254⋅254=64516 ≡ 103 mod 421

64: 36764=36732+32=36732⋅36732 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 84 mod 421

128: 367128=36764+64=36764⋅36764 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 320 mod 421

367139

= 367128+8+2+1

= 367128⋅3678⋅3672⋅3671

≡ 320 ⋅ 268 ⋅ 390 ⋅ 367 mod 421
≡ 85760 ⋅ 390 ⋅ 367 mod 421 ≡ 297 ⋅ 390 ⋅ 367 mod 421
≡ 115830 ⋅ 367 mod 421 ≡ 55 ⋅ 367 mod 421
≡ 20185 mod 421 ≡ 398 mod 421

Es gilt also: 367139 ≡ 398 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 87.

Also bestimme x, so dass 87 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 87

=>97 = 1⋅87 + 10
=>87 = 8⋅10 + 7
=>10 = 1⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,87)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 10-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(10 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅10 +2⋅ 7)
= -2⋅10 +3⋅ 7 (=1)
7= 87-8⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅10 +3⋅(87 -8⋅ 10)
= -2⋅10 +3⋅87 -24⋅ 10)
= 3⋅87 -26⋅ 10 (=1)
10= 97-1⋅87 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅87 -26⋅(97 -1⋅ 87)
= 3⋅87 -26⋅97 +26⋅ 87)
= -26⋅97 +29⋅ 87 (=1)

Es gilt also: ggt(97,87)=1 = -26⋅97 +29⋅87

oder wenn man -26⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +26⋅97 = +29⋅87

Es gilt also: 29⋅87 = 26⋅97 +1

Somit 29⋅87 = 1 mod 97

29 ist also das Inverse von 87 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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