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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12000 + 79) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12000 + 79) mod 4 ≡ (12000 mod 4 + 79 mod 4) mod 4.

12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 4 ⋅ 3000 +0.

79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 80-1 = 4 ⋅ 20 -1 = 4 ⋅ 20 - 4 + 3.

Somit gilt:

(12000 + 79) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 97) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 97) mod 8 ≡ (88 mod 8 ⋅ 97 mod 8) mod 8.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.

97 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 12 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 97) mod 8 ≡ (0 ⋅ 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23064 mod 337.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 230 -> x
2. mod(x²,337) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2301=230

2: 2302=2301+1=2301⋅2301 ≡ 230⋅230=52900 ≡ 328 mod 337

4: 2304=2302+2=2302⋅2302 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 81 mod 337

8: 2308=2304+4=2304⋅2304 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 158 mod 337

16: 23016=2308+8=2308⋅2308 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 26 mod 337

32: 23032=23016+16=23016⋅23016 ≡ 26⋅26=676 ≡ 2 mod 337

64: 23064=23032+32=23032⋅23032 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 337

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 778228 mod 887.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 228 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 228 an und zerlegen 228 in eine Summer von 2er-Potenzen:

228 = 128+64+32+4

1: 7781=778

2: 7782=7781+1=7781⋅7781 ≡ 778⋅778=605284 ≡ 350 mod 887

4: 7784=7782+2=7782⋅7782 ≡ 350⋅350=122500 ≡ 94 mod 887

8: 7788=7784+4=7784⋅7784 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 853 mod 887

16: 77816=7788+8=7788⋅7788 ≡ 853⋅853=727609 ≡ 269 mod 887

32: 77832=77816+16=77816⋅77816 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 514 mod 887

64: 77864=77832+32=77832⋅77832 ≡ 514⋅514=264196 ≡ 757 mod 887

128: 778128=77864+64=77864⋅77864 ≡ 757⋅757=573049 ≡ 47 mod 887

778228

= 778128+64+32+4

= 778128⋅77864⋅77832⋅7784

47 ⋅ 757 ⋅ 514 ⋅ 94 mod 887
35579 ⋅ 514 ⋅ 94 mod 887 ≡ 99 ⋅ 514 ⋅ 94 mod 887
50886 ⋅ 94 mod 887 ≡ 327 ⋅ 94 mod 887
30738 mod 887 ≡ 580 mod 887

Es gilt also: 778228 ≡ 580 mod 887

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 33

=>79 = 2⋅33 + 13
=>33 = 2⋅13 + 7
=>13 = 1⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 13-1⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7)
= -1⋅13 +2⋅ 7 (=1)
7= 33-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅13 +2⋅(33 -2⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅33 -4⋅ 13)
= 2⋅33 -5⋅ 13 (=1)
13= 79-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅33 -5⋅(79 -2⋅ 33)
= 2⋅33 -5⋅79 +10⋅ 33)
= -5⋅79 +12⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(79,33)=1 = -5⋅79 +12⋅33

oder wenn man -5⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅79 = +12⋅33

Es gilt also: 12⋅33 = 5⋅79 +1

Somit 12⋅33 = 1 mod 79

12 ist also das Inverse von 33 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.