Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40005 + 396) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40005 + 396) mod 8 ≡ (40005 mod 8 + 396 mod 8) mod 8.

40005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40005 = 40000+5 = 8 ⋅ 5000 +5.

396 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 396 = 400-4 = 8 ⋅ 50 -4 = 8 ⋅ 50 - 8 + 4.

Somit gilt:

(40005 + 396) mod 8 ≡ (5 + 4) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 47) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 47) mod 7 ≡ (58 mod 7 ⋅ 47 mod 7) mod 7.

58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.

47 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 6 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 47) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 199⁸ mod 337.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 199 -> x
2. mod(x²,337) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 199¹=199

2: 199²=199¹⁺¹=199¹⋅199¹ ≡ 199⋅199=39601 ≡ 172 mod 337

4: 199⁴=199²⁺²=199²⋅199² ≡ 172⋅172=29584 ≡ 265 mod 337

8: 199⁸=199⁴⁺⁴=199⁴⋅199⁴ ≡ 265⋅265=70225 ≡ 129 mod 337

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 544²⁵⁵ mod 743.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 255 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 255 an und zerlegen 255 in eine Summer von 2er-Potenzen:

255 = 128+64+32+16+8+4+2+1

1: 544¹=544

2: 544²=544¹⁺¹=544¹⋅544¹ ≡ 544⋅544=295936 ≡ 222 mod 743

4: 544⁴=544²⁺²=544²⋅544² ≡ 222⋅222=49284 ≡ 246 mod 743

8: 544⁸=544⁴⁺⁴=544⁴⋅544⁴ ≡ 246⋅246=60516 ≡ 333 mod 743

16: 544¹⁶=544⁸⁺⁸=544⁸⋅544⁸ ≡ 333⋅333=110889 ≡ 182 mod 743

32: 544³²=544¹⁶⁺¹⁶=544¹⁶⋅544¹⁶ ≡ 182⋅182=33124 ≡ 432 mod 743

64: 544⁶⁴=544³²⁺³²=544³²⋅544³² ≡ 432⋅432=186624 ≡ 131 mod 743

128: 544¹²⁸=544⁶⁴⁺⁶⁴=544⁶⁴⋅544⁶⁴ ≡ 131⋅131=17161 ≡ 72 mod 743

544²⁵⁵

= 544^{128+64+32+16+8+4+2+1}

= 544¹²⁸⋅544⁶⁴⋅544³²⋅544¹⁶⋅544⁸⋅544⁴⋅544²⋅544¹

≡ 72 ⋅ 131 ⋅ 432 ⋅ 182 ⋅ 333 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743
≡ 9432 ⋅ 432 ⋅ 182 ⋅ 333 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743 ≡ 516 ⋅ 432 ⋅ 182 ⋅ 333 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743
≡ 222912 ⋅ 182 ⋅ 333 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743 ≡ 12 ⋅ 182 ⋅ 333 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743
≡ 2184 ⋅ 333 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743 ≡ 698 ⋅ 333 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743
≡ 232434 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743 ≡ 618 ⋅ 246 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743
≡ 152028 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743 ≡ 456 ⋅ 222 ⋅ 544 mod 743
≡ 101232 ⋅ 544 mod 743 ≡ 184 ⋅ 544 mod 743
≡ 100096 mod 743 ≡ 534 mod 743

Es gilt also: 544²⁵⁵ ≡ 534 mod 743

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32

=>73	= 2⋅32 + 9
=>32	= 3⋅9 + 5
=>9	= 1⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 9-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1)
5= 32-3⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9) = -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9) = 2⋅32 -7⋅ 9 (=1)
9= 73-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32) = 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32) = -7⋅73 +16⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32

oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅73 = +16⋅32

Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1

Somit 16⋅32 = 1 mod 73

16 ist also das Inverse von 32 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32

Schlüsselpaar für RSA