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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3000 + 1502) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3000 + 1502) mod 3 ≡ (3000 mod 3 + 1502 mod 3) mod 3.

3000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 3 ⋅ 1000 +0.

1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502 = 1500+2 = 3 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(3000 + 1502) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 78) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 78) mod 10 ≡ (15 mod 10 ⋅ 78 mod 10) mod 10.

15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.

78 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 70 + 8 = 7 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 78) mod 10 ≡ (5 ⋅ 8) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 64716 mod 709.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 647 -> x
2. mod(x²,709) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6471=647

2: 6472=6471+1=6471⋅6471 ≡ 647⋅647=418609 ≡ 299 mod 709

4: 6474=6472+2=6472⋅6472 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 67 mod 709

8: 6478=6474+4=6474⋅6474 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 235 mod 709

16: 64716=6478+8=6478⋅6478 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 632 mod 709

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 364116 mod 953.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 116 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 116 an und zerlegen 116 in eine Summer von 2er-Potenzen:

116 = 64+32+16+4

1: 3641=364

2: 3642=3641+1=3641⋅3641 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 29 mod 953

4: 3644=3642+2=3642⋅3642 ≡ 29⋅29=841 ≡ 841 mod 953

8: 3648=3644+4=3644⋅3644 ≡ 841⋅841=707281 ≡ 155 mod 953

16: 36416=3648+8=3648⋅3648 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 200 mod 953

32: 36432=36416+16=36416⋅36416 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 927 mod 953

64: 36464=36432+32=36432⋅36432 ≡ 927⋅927=859329 ≡ 676 mod 953

364116

= 36464+32+16+4

= 36464⋅36432⋅36416⋅3644

676 ⋅ 927 ⋅ 200 ⋅ 841 mod 953
626652 ⋅ 200 ⋅ 841 mod 953 ≡ 531 ⋅ 200 ⋅ 841 mod 953
106200 ⋅ 841 mod 953 ≡ 417 ⋅ 841 mod 953
350697 mod 953 ≡ 946 mod 953

Es gilt also: 364116 ≡ 946 mod 953

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

=>53 = 1⋅31 + 22
=>31 = 1⋅22 + 9
=>22 = 2⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9)
= -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-1⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22)
= 5⋅31 -7⋅ 22 (=1)
22= 53-1⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31)
= 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31)
= -7⋅53 +12⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31

oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅53 = +12⋅31

Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1

Somit 12⋅31 = 1 mod 53

12 ist also das Inverse von 31 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.