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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15998 - 798) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15998 - 798) mod 4 ≡ (15998 mod 4 - 798 mod 4) mod 4.

15998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998 = 15000+998 = 4 ⋅ 3750 +998.

798 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798 = 700+98 = 4 ⋅ 175 +98.

Somit gilt:

(15998 - 798) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 16) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 16) mod 4 ≡ (98 mod 4 ⋅ 16 mod 4) mod 4.

98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.

16 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 4 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 16) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 8058 mod 953.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 805 -> x
2. mod(x²,953) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8051=805

2: 8052=8051+1=8051⋅8051 ≡ 805⋅805=648025 ≡ 938 mod 953

4: 8054=8052+2=8052⋅8052 ≡ 938⋅938=879844 ≡ 225 mod 953

8: 8058=8054+4=8054⋅8054 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 116 mod 953

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 220119 mod 373.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

1: 2201=220

2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 283 mod 373

4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 267 mod 373

8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 267⋅267=71289 ≡ 46 mod 373

16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 251 mod 373

32: 22032=22016+16=22016⋅22016 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 337 mod 373

64: 22064=22032+32=22032⋅22032 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 177 mod 373

220119

= 22064+32+16+4+2+1

= 22064⋅22032⋅22016⋅2204⋅2202⋅2201

≡ 177 ⋅ 337 ⋅ 251 ⋅ 267 ⋅ 283 ⋅ 220 mod 373
≡ 59649 ⋅ 251 ⋅ 267 ⋅ 283 ⋅ 220 mod 373 ≡ 342 ⋅ 251 ⋅ 267 ⋅ 283 ⋅ 220 mod 373
≡ 85842 ⋅ 267 ⋅ 283 ⋅ 220 mod 373 ≡ 52 ⋅ 267 ⋅ 283 ⋅ 220 mod 373
≡ 13884 ⋅ 283 ⋅ 220 mod 373 ≡ 83 ⋅ 283 ⋅ 220 mod 373
≡ 23489 ⋅ 220 mod 373 ≡ 363 ⋅ 220 mod 373
≡ 79860 mod 373 ≡ 38 mod 373

Es gilt also: 220119 ≡ 38 mod 373

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42

=>97 = 2⋅42 + 13
=>42 = 3⋅13 + 3
=>13 = 4⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-4⋅3
3= 42-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13)
= -4⋅42 +13⋅ 13 (=1)
13= 97-2⋅42 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42)
= 13⋅97 -30⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -30⋅42

-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42

-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1

(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1

67⋅42 = 29⋅97 + 1

Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1

Somit 67⋅42 = 1 mod 97

67 ist also das Inverse von 42 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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