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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (246 - 4998) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(246 - 4998) mod 5 ≡ (246 mod 5 - 4998 mod 5) mod 5.

246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 5 ⋅ 48 +6.

4998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4998 = 4000+998 = 5 ⋅ 800 +998.

Somit gilt:

(246 - 4998) mod 5 ≡ (1 - 3) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 95) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 95) mod 4 ≡ (22 mod 4 ⋅ 95 mod 4) mod 4.

22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.

95 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 92 + 3 = 23 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 95) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25164 mod 277.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 251 -> x
2. mod(x²,277) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2511=251

2: 2512=2511+1=2511⋅2511 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 122 mod 277

4: 2514=2512+2=2512⋅2512 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 203 mod 277

8: 2518=2514+4=2514⋅2514 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 213 mod 277

16: 25116=2518+8=2518⋅2518 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 218 mod 277

32: 25132=25116+16=25116⋅25116 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 157 mod 277

64: 25164=25132+32=25132⋅25132 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 273 mod 277

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 258143 mod 281.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:

143 = 128+8+4+2+1

1: 2581=258

2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 248 mod 281

4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 248⋅248=61504 ≡ 246 mod 281

8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 101 mod 281

16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 85 mod 281

32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 200 mod 281

64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 98 mod 281

128: 258128=25864+64=25864⋅25864 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 50 mod 281

258143

= 258128+8+4+2+1

= 258128⋅2588⋅2584⋅2582⋅2581

≡ 50 ⋅ 101 ⋅ 246 ⋅ 248 ⋅ 258 mod 281
≡ 5050 ⋅ 246 ⋅ 248 ⋅ 258 mod 281 ≡ 273 ⋅ 246 ⋅ 248 ⋅ 258 mod 281
≡ 67158 ⋅ 248 ⋅ 258 mod 281 ≡ 280 ⋅ 248 ⋅ 258 mod 281
≡ 69440 ⋅ 258 mod 281 ≡ 33 ⋅ 258 mod 281
≡ 8514 mod 281 ≡ 84 mod 281

Es gilt also: 258143 ≡ 84 mod 281

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27

=>61 = 2⋅27 + 7
=>27 = 3⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7)
= -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 61-2⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27)
= 4⋅61 -9⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27

oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅61 = -9⋅27

-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27

-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1

(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1

52⋅27 = 23⋅61 + 1

Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1

Somit 52⋅27 = 1 mod 61

52 ist also das Inverse von 27 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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