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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1801 + 120) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1801 + 120) mod 6 ≡ (1801 mod 6 + 120 mod 6) mod 6.
1801 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1801
= 1800
120 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
Somit gilt:
(1801 + 120) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 75) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 75) mod 8 ≡ (37 mod 8 ⋅ 75 mod 8) mod 8.
37 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 32 + 5 = 4 ⋅ 8 + 5 ist.
75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 75) mod 8 ≡ (5 ⋅ 3) mod 8 ≡ 15 mod 8 ≡ 7 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 48532 mod 641.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 485 -> x
2. mod(x²,641) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4851=485
2: 4852=4851+1=4851⋅4851 ≡ 485⋅485=235225 ≡ 619 mod 641
4: 4854=4852+2=4852⋅4852 ≡ 619⋅619=383161 ≡ 484 mod 641
8: 4858=4854+4=4854⋅4854 ≡ 484⋅484=234256 ≡ 291 mod 641
16: 48516=4858+8=4858⋅4858 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 69 mod 641
32: 48532=48516+16=48516⋅48516 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 274 mod 641
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 298192 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 192 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 192 an und zerlegen 192 in eine Summer von 2er-Potenzen:
192 = 128+64
1: 2981=298
2: 2982=2981+1=2981⋅2981 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 331 mod 383
4: 2984=2982+2=2982⋅2982 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 23 mod 383
8: 2988=2984+4=2984⋅2984 ≡ 23⋅23=529 ≡ 146 mod 383
16: 29816=2988+8=2988⋅2988 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 251 mod 383
32: 29832=29816+16=29816⋅29816 ≡ 251⋅251=63001 ≡ 189 mod 383
64: 29864=29832+32=29832⋅29832 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 102 mod 383
128: 298128=29864+64=29864⋅29864 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 63 mod 383
298192
= 298128+64
= 298128⋅29864
≡ 63 ⋅ 102 mod 383
≡ 6426 mod 383 ≡ 298 mod 383
Es gilt also: 298192 ≡ 298 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 43.
Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 43
| =>59 | = 1⋅43 + 16 |
| =>43 | = 2⋅16 + 11 |
| =>16 | = 1⋅11 + 5 |
| =>11 | = 2⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,43)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-2⋅5 | |||
| 5= 16-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -2⋅(16 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -2⋅16 +2⋅ 11) = -2⋅16 +3⋅ 11 (=1) |
| 11= 43-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅16 +3⋅(43 -2⋅ 16)
= -2⋅16 +3⋅43 -6⋅ 16) = 3⋅43 -8⋅ 16 (=1) |
| 16= 59-1⋅43 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅43 -8⋅(59 -1⋅ 43)
= 3⋅43 -8⋅59 +8⋅ 43) = -8⋅59 +11⋅ 43 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,43)=1 = -8⋅59 +11⋅43
oder wenn man -8⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +8⋅59 = +11⋅43
Es gilt also: 11⋅43 = 8⋅59 +1
Somit 11⋅43 = 1 mod 59
11 ist also das Inverse von 43 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.