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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1796 + 98) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1796 + 98) mod 9 ≡ (1796 mod 9 + 98 mod 9) mod 9.
1796 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796
= 1800
98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98
= 90
Somit gilt:
(1796 + 98) mod 9 ≡ (5 + 8) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 96) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(99 ⋅ 96) mod 10 ≡ (99 mod 10 ⋅ 96 mod 10) mod 10.
99 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 90 + 9 = 9 ⋅ 10 + 9 ist.
96 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90 + 6 = 9 ⋅ 10 + 6 ist.
Somit gilt:
(99 ⋅ 96) mod 10 ≡ (9 ⋅ 6) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34616 mod 823.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 346 -> x
2. mod(x²,823) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3461=346
2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 381 mod 823
4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 313 mod 823
8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 32 mod 823
16: 34616=3468+8=3468⋅3468 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 201 mod 823
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 431147 mod 743.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:
147 = 128+16+2+1
1: 4311=431
2: 4312=4311+1=4311⋅4311 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 11 mod 743
4: 4314=4312+2=4312⋅4312 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 743
8: 4318=4314+4=4314⋅4314 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 524 mod 743
16: 43116=4318+8=4318⋅4318 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 409 mod 743
32: 43132=43116+16=43116⋅43116 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 106 mod 743
64: 43164=43132+32=43132⋅43132 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 91 mod 743
128: 431128=43164+64=43164⋅43164 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 108 mod 743
431147
= 431128+16+2+1
= 431128⋅43116⋅4312⋅4311
≡ 108 ⋅ 409 ⋅ 11 ⋅ 431 mod 743
≡ 44172 ⋅ 11 ⋅ 431 mod 743 ≡ 335 ⋅ 11 ⋅ 431 mod 743
≡ 3685 ⋅ 431 mod 743 ≡ 713 ⋅ 431 mod 743
≡ 307303 mod 743 ≡ 444 mod 743
Es gilt also: 431147 ≡ 444 mod 743
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 19.
Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 19
| =>53 | = 2⋅19 + 15 |
| =>19 | = 1⋅15 + 4 |
| =>15 | = 3⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,19)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 15-3⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(15 -3⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅15 +3⋅ 4) = -1⋅15 +4⋅ 4 (=1) |
| 4= 19-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅15 +4⋅(19 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +4⋅19 -4⋅ 15) = 4⋅19 -5⋅ 15 (=1) |
| 15= 53-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅19 -5⋅(53 -2⋅ 19)
= 4⋅19 -5⋅53 +10⋅ 19) = -5⋅53 +14⋅ 19 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,19)=1 = -5⋅53 +14⋅19
oder wenn man -5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅53 = +14⋅19
Es gilt also: 14⋅19 = 5⋅53 +1
Somit 14⋅19 = 1 mod 53
14 ist also das Inverse von 19 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.