Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2397 - 239) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2397 - 239) mod 6 ≡ (2397 mod 6 - 239 mod 6) mod 6.

2397 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2397 = 2400-3 = 6 ⋅ 400 -3 = 6 ⋅ 400 - 6 + 3.

239 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239 = 240-1 = 6 ⋅ 40 -1 = 6 ⋅ 40 - 6 + 5.

Somit gilt:

(2397 - 239) mod 6 ≡ (3 - 5) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 69) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 69) mod 6 ≡ (88 mod 6 ⋅ 69 mod 6) mod 6.

88 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 14 ⋅ 6 + 4 ist.

69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 69) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 474⁶⁴ mod 827.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 474 -> x
2. mod(x²,827) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 474¹=474

2: 474²=474¹⁺¹=474¹⋅474¹ ≡ 474⋅474=224676 ≡ 559 mod 827

4: 474⁴=474²⁺²=474²⋅474² ≡ 559⋅559=312481 ≡ 702 mod 827

8: 474⁸=474⁴⁺⁴=474⁴⋅474⁴ ≡ 702⋅702=492804 ≡ 739 mod 827

16: 474¹⁶=474⁸⁺⁸=474⁸⋅474⁸ ≡ 739⋅739=546121 ≡ 301 mod 827

32: 474³²=474¹⁶⁺¹⁶=474¹⁶⋅474¹⁶ ≡ 301⋅301=90601 ≡ 458 mod 827

64: 474⁶⁴=474³²⁺³²=474³²⋅474³² ≡ 458⋅458=209764 ≡ 533 mod 827

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 216²⁴⁸ mod 347.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 248 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 248 an und zerlegen 248 in eine Summer von 2er-Potenzen:

248 = 128+64+32+16+8

1: 216¹=216

2: 216²=216¹⁺¹=216¹⋅216¹ ≡ 216⋅216=46656 ≡ 158 mod 347

4: 216⁴=216²⁺²=216²⋅216² ≡ 158⋅158=24964 ≡ 327 mod 347

8: 216⁸=216⁴⁺⁴=216⁴⋅216⁴ ≡ 327⋅327=106929 ≡ 53 mod 347

16: 216¹⁶=216⁸⁺⁸=216⁸⋅216⁸ ≡ 53⋅53=2809 ≡ 33 mod 347

32: 216³²=216¹⁶⁺¹⁶=216¹⁶⋅216¹⁶ ≡ 33⋅33=1089 ≡ 48 mod 347

64: 216⁶⁴=216³²⁺³²=216³²⋅216³² ≡ 48⋅48=2304 ≡ 222 mod 347

128: 216¹²⁸=216⁶⁴⁺⁶⁴=216⁶⁴⋅216⁶⁴ ≡ 222⋅222=49284 ≡ 10 mod 347

216²⁴⁸

= 216^{128+64+32+16+8}

= 216¹²⁸⋅216⁶⁴⋅216³²⋅216¹⁶⋅216⁸

≡ 10 ⋅ 222 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347
≡ 2220 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347 ≡ 138 ⋅ 48 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347
≡ 6624 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347 ≡ 31 ⋅ 33 ⋅ 53 mod 347
≡ 1023 ⋅ 53 mod 347 ≡ 329 ⋅ 53 mod 347
≡ 17437 mod 347 ≡ 87 mod 347

Es gilt also: 216²⁴⁸ ≡ 87 mod 347

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 53

=>71	= 1⋅53 + 18
=>53	= 2⋅18 + 17
=>18	= 1⋅17 + 1
=>17	= 17⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 18-1⋅17
17= 53-2⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅18 -1⋅(53 -2⋅ 18) = 1⋅18 -1⋅53 +2⋅ 18) = -1⋅53 +3⋅ 18 (=1)
18= 71-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅53 +3⋅(71 -1⋅ 53) = -1⋅53 +3⋅71 -3⋅ 53) = 3⋅71 -4⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(71,53)=1 = 3⋅71 -4⋅53

oder wenn man 3⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅71 = -4⋅53

-4⋅53 = -3⋅71 + 1 |+71⋅53

-4⋅53 + 71⋅53 = -3⋅71 + 71⋅53 + 1

(-4 + 71) ⋅ 53 = (-3 + 53) ⋅ 71 + 1

67⋅53 = 50⋅71 + 1

Es gilt also: 67⋅53 = 50⋅71 +1

Somit 67⋅53 = 1 mod 71

67 ist also das Inverse von 53 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 53

Schlüsselpaar für RSA