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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (150 + 200) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(150 + 200) mod 5 ≡ (150 mod 5 + 200 mod 5) mod 5.

150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 5 ⋅ 30 +0.

200 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200 = 200+0 = 5 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(150 + 200) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 89) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 89) mod 10 ≡ (55 mod 10 ⋅ 89 mod 10) mod 10.

55 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50 + 5 = 5 ⋅ 10 + 5 ist.

89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 89) mod 10 ≡ (5 ⋅ 9) mod 10 ≡ 45 mod 10 ≡ 5 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 988 mod 241.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 98 -> x
2. mod(x²,241) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 981=98

2: 982=981+1=981⋅981 ≡ 98⋅98=9604 ≡ 205 mod 241

4: 984=982+2=982⋅982 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 91 mod 241

8: 988=984+4=984⋅984 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 87 mod 241

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 377103 mod 773.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 103 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 103 an und zerlegen 103 in eine Summer von 2er-Potenzen:

103 = 64+32+4+2+1

1: 3771=377

2: 3772=3771+1=3771⋅3771 ≡ 377⋅377=142129 ≡ 670 mod 773

4: 3774=3772+2=3772⋅3772 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 560 mod 773

8: 3778=3774+4=3774⋅3774 ≡ 560⋅560=313600 ≡ 535 mod 773

16: 37716=3778+8=3778⋅3778 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 215 mod 773

32: 37732=37716+16=37716⋅37716 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 618 mod 773

64: 37764=37732+32=37732⋅37732 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 62 mod 773

377103

= 37764+32+4+2+1

= 37764⋅37732⋅3774⋅3772⋅3771

62 ⋅ 618 ⋅ 560 ⋅ 670 ⋅ 377 mod 773
38316 ⋅ 560 ⋅ 670 ⋅ 377 mod 773 ≡ 439 ⋅ 560 ⋅ 670 ⋅ 377 mod 773
245840 ⋅ 670 ⋅ 377 mod 773 ≡ 26 ⋅ 670 ⋅ 377 mod 773
17420 ⋅ 377 mod 773 ≡ 414 ⋅ 377 mod 773
156078 mod 773 ≡ 705 mod 773

Es gilt also: 377103 ≡ 705 mod 773

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 35.

Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 35

=>89 = 2⋅35 + 19
=>35 = 1⋅19 + 16
=>19 = 1⋅16 + 3
=>16 = 5⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,35)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-5⋅3
3= 19-1⋅16 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅16 -5⋅(19 -1⋅ 16)
= 1⋅16 -5⋅19 +5⋅ 16)
= -5⋅19 +6⋅ 16 (=1)
16= 35-1⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅19 +6⋅(35 -1⋅ 19)
= -5⋅19 +6⋅35 -6⋅ 19)
= 6⋅35 -11⋅ 19 (=1)
19= 89-2⋅35 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 6⋅35 -11⋅(89 -2⋅ 35)
= 6⋅35 -11⋅89 +22⋅ 35)
= -11⋅89 +28⋅ 35 (=1)

Es gilt also: ggt(89,35)=1 = -11⋅89 +28⋅35

oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅89 = +28⋅35

Es gilt also: 28⋅35 = 11⋅89 +1

Somit 28⋅35 = 1 mod 89

28 ist also das Inverse von 35 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.