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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9996 + 248) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9996 + 248) mod 5 ≡ (9996 mod 5 + 248 mod 5) mod 5.

9996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9996 = 9000+996 = 5 ⋅ 1800 +996.

248 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248 = 240+8 = 5 ⋅ 48 +8.

Somit gilt:

(9996 + 248) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 38) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 38) mod 5 ≡ (74 mod 5 ⋅ 38 mod 5) mod 5.

74 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 14 ⋅ 5 + 4 ist.

38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 38) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 88128 mod 227.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 88 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 881=88

2: 882=881+1=881⋅881 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 26 mod 227

4: 884=882+2=882⋅882 ≡ 26⋅26=676 ≡ 222 mod 227

8: 888=884+4=884⋅884 ≡ 222⋅222=49284 ≡ 25 mod 227

16: 8816=888+8=888⋅888 ≡ 25⋅25=625 ≡ 171 mod 227

32: 8832=8816+16=8816⋅8816 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 185 mod 227

64: 8864=8832+32=8832⋅8832 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 175 mod 227

128: 88128=8864+64=8864⋅8864 ≡ 175⋅175=30625 ≡ 207 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 7361 mod 223.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 61 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 61 an und zerlegen 61 in eine Summer von 2er-Potenzen:

61 = 32+16+8+4+1

1: 731=73

2: 732=731+1=731⋅731 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 200 mod 223

4: 734=732+2=732⋅732 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 83 mod 223

8: 738=734+4=734⋅734 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 199 mod 223

16: 7316=738+8=738⋅738 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 130 mod 223

32: 7332=7316+16=7316⋅7316 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 175 mod 223

7361

= 7332+16+8+4+1

= 7332⋅7316⋅738⋅734⋅731

≡ 175 ⋅ 130 ⋅ 199 ⋅ 83 ⋅ 73 mod 223
≡ 22750 ⋅ 199 ⋅ 83 ⋅ 73 mod 223 ≡ 4 ⋅ 199 ⋅ 83 ⋅ 73 mod 223
≡ 796 ⋅ 83 ⋅ 73 mod 223 ≡ 127 ⋅ 83 ⋅ 73 mod 223
≡ 10541 ⋅ 73 mod 223 ≡ 60 ⋅ 73 mod 223
≡ 4380 mod 223 ≡ 143 mod 223

Es gilt also: 7361 ≡ 143 mod 223

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 37

=>67 = 1⋅37 + 30
=>37 = 1⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 37-1⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(37 -1⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅37 -13⋅ 30)
= 13⋅37 -16⋅ 30 (=1)
30= 67-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅37 -16⋅(67 -1⋅ 37)
= 13⋅37 -16⋅67 +16⋅ 37)
= -16⋅67 +29⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(67,37)=1 = -16⋅67 +29⋅37

oder wenn man -16⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +16⋅67 = +29⋅37

Es gilt also: 29⋅37 = 16⋅67 +1

Somit 29⋅37 = 1 mod 67

29 ist also das Inverse von 37 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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