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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23997 + 180) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23997 + 180) mod 6 ≡ (23997 mod 6 + 180 mod 6) mod 6.

23997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23997 = 24000-3 = 6 ⋅ 4000 -3 = 6 ⋅ 4000 - 6 + 3.

180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180 = 180+0 = 6 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(23997 + 180) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 84) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 84) mod 10 ≡ (89 mod 10 ⋅ 84 mod 10) mod 10.

89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 84) mod 10 ≡ (9 ⋅ 4) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2258 mod 239.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 225 -> x
2. mod(x²,239) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2251=225

2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 196 mod 239

4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 176 mod 239

8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 145 mod 239

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 612203 mod 941.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:

203 = 128+64+8+2+1

1: 6121=612

2: 6122=6121+1=6121⋅6121 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 26 mod 941

4: 6124=6122+2=6122⋅6122 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 941

8: 6128=6124+4=6124⋅6124 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 591 mod 941

16: 61216=6128+8=6128⋅6128 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 170 mod 941

32: 61232=61216+16=61216⋅61216 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 670 mod 941

64: 61264=61232+32=61232⋅61232 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 43 mod 941

128: 612128=61264+64=61264⋅61264 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 908 mod 941

612203

= 612128+64+8+2+1

= 612128⋅61264⋅6128⋅6122⋅6121

≡ 908 ⋅ 43 ⋅ 591 ⋅ 26 ⋅ 612 mod 941
≡ 39044 ⋅ 591 ⋅ 26 ⋅ 612 mod 941 ≡ 463 ⋅ 591 ⋅ 26 ⋅ 612 mod 941
≡ 273633 ⋅ 26 ⋅ 612 mod 941 ≡ 743 ⋅ 26 ⋅ 612 mod 941
≡ 19318 ⋅ 612 mod 941 ≡ 498 ⋅ 612 mod 941
≡ 304776 mod 941 ≡ 833 mod 941

Es gilt also: 612203 ≡ 833 mod 941

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 58

=>73 = 1⋅58 + 15
=>58 = 3⋅15 + 13
=>15 = 1⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 15-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13)
= -6⋅15 +7⋅ 13 (=1)
13= 58-3⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅15 +7⋅(58 -3⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅58 -21⋅ 15)
= 7⋅58 -27⋅ 15 (=1)
15= 73-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅58 -27⋅(73 -1⋅ 58)
= 7⋅58 -27⋅73 +27⋅ 58)
= -27⋅73 +34⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(73,58)=1 = -27⋅73 +34⋅58

oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅73 = +34⋅58

Es gilt also: 34⋅58 = 27⋅73 +1

Somit 34⋅58 = 1 mod 73

34 ist also das Inverse von 58 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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