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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16003 - 4000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16003 - 4000) mod 4 ≡ (16003 mod 4 - 4000 mod 4) mod 4.
16003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003
= 16000
4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000
= 4000
Somit gilt:
(16003 - 4000) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 62) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 62) mod 6 ≡ (53 mod 6 ⋅ 62 mod 6) mod 6.
53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.
62 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 10 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 62) mod 6 ≡ (5 ⋅ 2) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 112128 mod 317.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 112 -> x
2. mod(x²,317) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1121=112
2: 1122=1121+1=1121⋅1121 ≡ 112⋅112=12544 ≡ 181 mod 317
4: 1124=1122+2=1122⋅1122 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 110 mod 317
8: 1128=1124+4=1124⋅1124 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 54 mod 317
16: 11216=1128+8=1128⋅1128 ≡ 54⋅54=2916 ≡ 63 mod 317
32: 11232=11216+16=11216⋅11216 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 165 mod 317
64: 11264=11232+32=11232⋅11232 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 280 mod 317
128: 112128=11264+64=11264⋅11264 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 101 mod 317
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32770 mod 883.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 70 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 70 an und zerlegen 70 in eine Summer von 2er-Potenzen:
70 = 64+4+2
1: 3271=327
2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 86 mod 883
4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 332 mod 883
8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 732 mod 883
16: 32716=3278+8=3278⋅3278 ≡ 732⋅732=535824 ≡ 726 mod 883
32: 32732=32716+16=32716⋅32716 ≡ 726⋅726=527076 ≡ 808 mod 883
64: 32764=32732+32=32732⋅32732 ≡ 808⋅808=652864 ≡ 327 mod 883
32770
= 32764+4+2
= 32764⋅3274⋅3272
≡ 327 ⋅ 332 ⋅ 86 mod 883
≡ 108564 ⋅ 86 mod 883 ≡ 838 ⋅ 86 mod 883
≡ 72068 mod 883 ≡ 545 mod 883
Es gilt also: 32770 ≡ 545 mod 883
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.
Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60
| =>67 | = 1⋅60 + 7 |
| =>60 | = 8⋅7 + 4 |
| =>7 | = 1⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,60)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 7-1⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1) |
| 4= 60-8⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7) = 2⋅60 -17⋅ 7 (=1) |
| 7= 67-1⋅60 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60)
= 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60) = -17⋅67 +19⋅ 60 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +19⋅60
Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1
Somit 19⋅60 = 1 mod 67
19 ist also das Inverse von 60 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.