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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (27999 + 1398) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(27999 + 1398) mod 7 ≡ (27999 mod 7 + 1398 mod 7) mod 7.
27999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27999
= 28000
1398 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1398
= 1400
Somit gilt:
(27999 + 1398) mod 7 ≡ (6 + 5) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 100) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 100) mod 6 ≡ (83 mod 6 ⋅ 100 mod 6) mod 6.
83 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 78 + 5 = 13 ⋅ 6 + 5 ist.
100 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 16 ⋅ 6 + 4 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 100) mod 6 ≡ (5 ⋅ 4) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2708 mod 887.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 270 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2701=270
2: 2702=2701+1=2701⋅2701 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 166 mod 887
4: 2704=2702+2=2702⋅2702 ≡ 166⋅166=27556 ≡ 59 mod 887
8: 2708=2704+4=2704⋅2704 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 820 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 636115 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 115 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 115 an und zerlegen 115 in eine Summer von 2er-Potenzen:
115 = 64+32+16+2+1
1: 6361=636
2: 6362=6361+1=6361⋅6361 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 649 mod 937
4: 6364=6362+2=6362⋅6362 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 488 mod 937
8: 6368=6364+4=6364⋅6364 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 146 mod 937
16: 63616=6368+8=6368⋅6368 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 702 mod 937
32: 63632=63616+16=63616⋅63616 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 879 mod 937
64: 63664=63632+32=63632⋅63632 ≡ 879⋅879=772641 ≡ 553 mod 937
636115
= 63664+32+16+2+1
= 63664⋅63632⋅63616⋅6362⋅6361
≡ 553 ⋅ 879 ⋅ 702 ⋅ 649 ⋅ 636 mod 937
≡ 486087 ⋅ 702 ⋅ 649 ⋅ 636 mod 937 ≡ 721 ⋅ 702 ⋅ 649 ⋅ 636 mod 937
≡ 506142 ⋅ 649 ⋅ 636 mod 937 ≡ 162 ⋅ 649 ⋅ 636 mod 937
≡ 105138 ⋅ 636 mod 937 ≡ 194 ⋅ 636 mod 937
≡ 123384 mod 937 ≡ 637 mod 937
Es gilt also: 636115 ≡ 637 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 31
| =>83 | = 2⋅31 + 21 |
| =>31 | = 1⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 31-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21) = -2⋅31 +3⋅ 21 (=1) |
| 21= 83-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +3⋅(83 -2⋅ 31)
= -2⋅31 +3⋅83 -6⋅ 31) = 3⋅83 -8⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,31)=1 = 3⋅83 -8⋅31
oder wenn man 3⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -3⋅83 = -8⋅31
-8⋅31 = -3⋅83 + 1 |+83⋅31
-8⋅31 + 83⋅31 = -3⋅83 + 83⋅31 + 1
(-8 + 83) ⋅ 31 = (-3 + 31) ⋅ 83 + 1
75⋅31 = 28⋅83 + 1
Es gilt also: 75⋅31 = 28⋅83 +1
Somit 75⋅31 = 1 mod 83
75 ist also das Inverse von 31 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.