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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (803 + 82) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(803 + 82) mod 8 ≡ (803 mod 8 + 82 mod 8) mod 8.

803 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 803 = 800+3 = 8 ⋅ 100 +3.

82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80+2 = 8 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(803 + 82) mod 8 ≡ (3 + 2) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 72) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 72) mod 7 ≡ (32 mod 7 ⋅ 72 mod 7) mod 7.

32 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 28 + 4 = 4 ⋅ 7 + 4 ist.

72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 10 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 72) mod 7 ≡ (4 ⋅ 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 93¹⁶ mod 271.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 93 -> x
2. mod(x²,271) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 93¹=93

2: 93²=93¹⁺¹=93¹⋅93¹ ≡ 93⋅93=8649 ≡ 248 mod 271

4: 93⁴=93²⁺²=93²⋅93² ≡ 248⋅248=61504 ≡ 258 mod 271

8: 93⁸=93⁴⁺⁴=93⁴⋅93⁴ ≡ 258⋅258=66564 ≡ 169 mod 271

16: 93¹⁶=93⁸⁺⁸=93⁸⋅93⁸ ≡ 169⋅169=28561 ≡ 106 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 535⁶⁵ mod 631.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:

65 = 64+1

1: 535¹=535

2: 535²=535¹⁺¹=535¹⋅535¹ ≡ 535⋅535=286225 ≡ 382 mod 631

4: 535⁴=535²⁺²=535²⋅535² ≡ 382⋅382=145924 ≡ 163 mod 631

8: 535⁸=535⁴⁺⁴=535⁴⋅535⁴ ≡ 163⋅163=26569 ≡ 67 mod 631

16: 535¹⁶=535⁸⁺⁸=535⁸⋅535⁸ ≡ 67⋅67=4489 ≡ 72 mod 631

32: 535³²=535¹⁶⁺¹⁶=535¹⁶⋅535¹⁶ ≡ 72⋅72=5184 ≡ 136 mod 631

64: 535⁶⁴=535³²⁺³²=535³²⋅535³² ≡ 136⋅136=18496 ≡ 197 mod 631

535⁶⁵

= 535⁶⁴⁺¹

= 535⁶⁴⋅535¹

≡ 197 ⋅ 535 mod 631
≡ 105395 mod 631 ≡ 18 mod 631

Es gilt also: 535⁶⁵ ≡ 18 mod 631

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 44

=>83	= 1⋅44 + 39
=>44	= 1⋅39 + 5
=>39	= 7⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 39-7⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5) = -1⋅39 +8⋅ 5 (=1)
5= 44-1⋅39	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅39 +8⋅(44 -1⋅ 39) = -1⋅39 +8⋅44 -8⋅ 39) = 8⋅44 -9⋅ 39 (=1)
39= 83-1⋅44	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 8⋅44 -9⋅(83 -1⋅ 44) = 8⋅44 -9⋅83 +9⋅ 44) = -9⋅83 +17⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(83,44)=1 = -9⋅83 +17⋅44

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +17⋅44

Es gilt also: 17⋅44 = 9⋅83 +1

Somit 17⋅44 = 1 mod 83

17 ist also das Inverse von 44 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 44

Schlüsselpaar für RSA