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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (6998 + 13995) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(6998 + 13995) mod 7 ≡ (6998 mod 7 + 13995 mod 7) mod 7.
6998 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6998
= 7000
13995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13995
= 14000
Somit gilt:
(6998 + 13995) mod 7 ≡ (5 + 2) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 43) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 43) mod 8 ≡ (76 mod 8 ⋅ 43 mod 8) mod 8.
76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 9 ⋅ 8 + 4 ist.
43 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 5 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 43) mod 8 ≡ (4 ⋅ 3) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2848 mod 467.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 284 -> x
2. mod(x²,467) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2841=284
2: 2842=2841+1=2841⋅2841 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 332 mod 467
4: 2844=2842+2=2842⋅2842 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 12 mod 467
8: 2848=2844+4=2844⋅2844 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 467
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62387 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:
87 = 64+16+4+2+1
1: 6231=623
2: 6232=6231+1=6231⋅6231 ≡ 623⋅623=388129 ≡ 720 mod 859
4: 6234=6232+2=6232⋅6232 ≡ 720⋅720=518400 ≡ 423 mod 859
8: 6238=6234+4=6234⋅6234 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 257 mod 859
16: 62316=6238+8=6238⋅6238 ≡ 257⋅257=66049 ≡ 765 mod 859
32: 62332=62316+16=62316⋅62316 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 246 mod 859
64: 62364=62332+32=62332⋅62332 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 386 mod 859
62387
= 62364+16+4+2+1
= 62364⋅62316⋅6234⋅6232⋅6231
≡ 386 ⋅ 765 ⋅ 423 ⋅ 720 ⋅ 623 mod 859
≡ 295290 ⋅ 423 ⋅ 720 ⋅ 623 mod 859 ≡ 653 ⋅ 423 ⋅ 720 ⋅ 623 mod 859
≡ 276219 ⋅ 720 ⋅ 623 mod 859 ≡ 480 ⋅ 720 ⋅ 623 mod 859
≡ 345600 ⋅ 623 mod 859 ≡ 282 ⋅ 623 mod 859
≡ 175686 mod 859 ≡ 450 mod 859
Es gilt also: 62387 ≡ 450 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 29.
Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 29
| =>61 | = 2⋅29 + 3 |
| =>29 | = 9⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,29)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 29-9⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3) = -1⋅29 +10⋅ 3 (=1) |
| 3= 61-2⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅29 +10⋅(61 -2⋅ 29)
= -1⋅29 +10⋅61 -20⋅ 29) = 10⋅61 -21⋅ 29 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,29)=1 = 10⋅61 -21⋅29
oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 -10⋅61 = -21⋅29
-21⋅29 = -10⋅61 + 1 |+61⋅29
-21⋅29 + 61⋅29 = -10⋅61 + 61⋅29 + 1
(-21 + 61) ⋅ 29 = (-10 + 29) ⋅ 61 + 1
40⋅29 = 19⋅61 + 1
Es gilt also: 40⋅29 = 19⋅61 +1
Somit 40⋅29 = 1 mod 61
40 ist also das Inverse von 29 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.