Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31994 - 399) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31994 - 399) mod 8 ≡ (31994 mod 8 - 399 mod 8) mod 8.
31994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31994
= 31000
399 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399
= 400
Somit gilt:
(31994 - 399) mod 8 ≡ (2 - 7) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 37) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(66 ⋅ 37) mod 3 ≡ (66 mod 3 ⋅ 37 mod 3) mod 3.
66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.
37 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 12 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(66 ⋅ 37) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5908 mod 941.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 590 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5901=590
2: 5902=5901+1=5901⋅5901 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 871 mod 941
4: 5904=5902+2=5902⋅5902 ≡ 871⋅871=758641 ≡ 195 mod 941
8: 5908=5904+4=5904⋅5904 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 385 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 633120 mod 877.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 120 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 120 an und zerlegen 120 in eine Summer von 2er-Potenzen:
120 = 64+32+16+8
1: 6331=633
2: 6332=6331+1=6331⋅6331 ≡ 633⋅633=400689 ≡ 777 mod 877
4: 6334=6332+2=6332⋅6332 ≡ 777⋅777=603729 ≡ 353 mod 877
8: 6338=6334+4=6334⋅6334 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 75 mod 877
16: 63316=6338+8=6338⋅6338 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 363 mod 877
32: 63332=63316+16=63316⋅63316 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 219 mod 877
64: 63364=63332+32=63332⋅63332 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 603 mod 877
633120
= 63364+32+16+8
= 63364⋅63332⋅63316⋅6338
≡ 603 ⋅ 219 ⋅ 363 ⋅ 75 mod 877
≡ 132057 ⋅ 363 ⋅ 75 mod 877 ≡ 507 ⋅ 363 ⋅ 75 mod 877
≡ 184041 ⋅ 75 mod 877 ≡ 748 ⋅ 75 mod 877
≡ 56100 mod 877 ≡ 849 mod 877
Es gilt also: 633120 ≡ 849 mod 877
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 69.
Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 69
| =>89 | = 1⋅69 + 20 |
| =>69 | = 3⋅20 + 9 |
| =>20 | = 2⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,69)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 20-2⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(20 -2⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅20 +8⋅ 9) = -4⋅20 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 69-3⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅20 +9⋅(69 -3⋅ 20)
= -4⋅20 +9⋅69 -27⋅ 20) = 9⋅69 -31⋅ 20 (=1) |
| 20= 89-1⋅69 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅69 -31⋅(89 -1⋅ 69)
= 9⋅69 -31⋅89 +31⋅ 69) = -31⋅89 +40⋅ 69 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,69)=1 = -31⋅89 +40⋅69
oder wenn man -31⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +31⋅89 = +40⋅69
Es gilt also: 40⋅69 = 31⋅89 +1
Somit 40⋅69 = 1 mod 89
40 ist also das Inverse von 69 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
