nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1604 + 2002) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1604 + 2002) mod 4 ≡ (1604 mod 4 + 2002 mod 4) mod 4.

1604 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604 = 1600+4 = 4 ⋅ 400 +4.

2002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002 = 2000+2 = 4 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(1604 + 2002) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 89) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 89) mod 6 ≡ (58 mod 6 ⋅ 89 mod 6) mod 6.

58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 9 ⋅ 6 + 4 ist.

89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 89) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 42364 mod 659.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 423 -> x
2. mod(x²,659) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4231=423

2: 4232=4231+1=4231⋅4231 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 340 mod 659

4: 4234=4232+2=4232⋅4232 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 275 mod 659

8: 4238=4234+4=4234⋅4234 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 499 mod 659

16: 42316=4238+8=4238⋅4238 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 558 mod 659

32: 42332=42316+16=42316⋅42316 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 316 mod 659

64: 42364=42332+32=42332⋅42332 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 347 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28592 mod 449.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:

92 = 64+16+8+4

1: 2851=285

2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 405 mod 449

4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 140 mod 449

8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 293 mod 449

16: 28516=2858+8=2858⋅2858 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 90 mod 449

32: 28532=28516+16=28516⋅28516 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 18 mod 449

64: 28564=28532+32=28532⋅28532 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 449

28592

= 28564+16+8+4

= 28564⋅28516⋅2858⋅2854

324 ⋅ 90 ⋅ 293 ⋅ 140 mod 449
29160 ⋅ 293 ⋅ 140 mod 449 ≡ 424 ⋅ 293 ⋅ 140 mod 449
124232 ⋅ 140 mod 449 ≡ 308 ⋅ 140 mod 449
43120 mod 449 ≡ 16 mod 449

Es gilt also: 28592 ≡ 16 mod 449

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 47

=>67 = 1⋅47 + 20
=>47 = 2⋅20 + 7
=>20 = 2⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 20-2⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7)
= -1⋅20 +3⋅ 7 (=1)
7= 47-2⋅20 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅20 +3⋅(47 -2⋅ 20)
= -1⋅20 +3⋅47 -6⋅ 20)
= 3⋅47 -7⋅ 20 (=1)
20= 67-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅47 -7⋅(67 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -7⋅67 +7⋅ 47)
= -7⋅67 +10⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(67,47)=1 = -7⋅67 +10⋅47

oder wenn man -7⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅67 = +10⋅47

Es gilt also: 10⋅47 = 7⋅67 +1

Somit 10⋅47 = 1 mod 67

10 ist also das Inverse von 47 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.