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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1499 + 1199) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1499 + 1199) mod 3 ≡ (1499 mod 3 + 1199 mod 3) mod 3.
1499 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499
= 1500
1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
Somit gilt:
(1499 + 1199) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 75) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 75) mod 5 ≡ (47 mod 5 ⋅ 75 mod 5) mod 5.
47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.
75 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 15 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 75) mod 5 ≡ (2 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 292128 mod 331.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 292 -> x
2. mod(x²,331) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2921=292
2: 2922=2921+1=2921⋅2921 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 197 mod 331
4: 2924=2922+2=2922⋅2922 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 82 mod 331
8: 2928=2924+4=2924⋅2924 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 104 mod 331
16: 29216=2928+8=2928⋅2928 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 224 mod 331
32: 29232=29216+16=29216⋅29216 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 195 mod 331
64: 29264=29232+32=29232⋅29232 ≡ 195⋅195=38025 ≡ 291 mod 331
128: 292128=29264+64=29264⋅29264 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 276 mod 331
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 473110 mod 709.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 110 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 110 an und zerlegen 110 in eine Summer von 2er-Potenzen:
110 = 64+32+8+4+2
1: 4731=473
2: 4732=4731+1=4731⋅4731 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 394 mod 709
4: 4734=4732+2=4732⋅4732 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 674 mod 709
8: 4738=4734+4=4734⋅4734 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 516 mod 709
16: 47316=4738+8=4738⋅4738 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 381 mod 709
32: 47332=47316+16=47316⋅47316 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 525 mod 709
64: 47364=47332+32=47332⋅47332 ≡ 525⋅525=275625 ≡ 533 mod 709
473110
= 47364+32+8+4+2
= 47364⋅47332⋅4738⋅4734⋅4732
≡ 533 ⋅ 525 ⋅ 516 ⋅ 674 ⋅ 394 mod 709
≡ 279825 ⋅ 516 ⋅ 674 ⋅ 394 mod 709 ≡ 479 ⋅ 516 ⋅ 674 ⋅ 394 mod 709
≡ 247164 ⋅ 674 ⋅ 394 mod 709 ≡ 432 ⋅ 674 ⋅ 394 mod 709
≡ 291168 ⋅ 394 mod 709 ≡ 478 ⋅ 394 mod 709
≡ 188332 mod 709 ≡ 447 mod 709
Es gilt also: 473110 ≡ 447 mod 709
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 58
| =>83 | = 1⋅58 + 25 |
| =>58 | = 2⋅25 + 8 |
| =>25 | = 3⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-3⋅8 | |||
| 8= 58-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -3⋅(58 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -3⋅58 +6⋅ 25) = -3⋅58 +7⋅ 25 (=1) |
| 25= 83-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅58 +7⋅(83 -1⋅ 58)
= -3⋅58 +7⋅83 -7⋅ 58) = 7⋅83 -10⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,58)=1 = 7⋅83 -10⋅58
oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅83 = -10⋅58
-10⋅58 = -7⋅83 + 1 |+83⋅58
-10⋅58 + 83⋅58 = -7⋅83 + 83⋅58 + 1
(-10 + 83) ⋅ 58 = (-7 + 58) ⋅ 83 + 1
73⋅58 = 51⋅83 + 1
Es gilt also: 73⋅58 = 51⋅83 +1
Somit 73⋅58 = 1 mod 83
73 ist also das Inverse von 58 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
