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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32007 - 806) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32007 - 806) mod 8 ≡ (32007 mod 8 - 806 mod 8) mod 8.
32007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32007
= 32000
806 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 806
= 800
Somit gilt:
(32007 - 806) mod 8 ≡ (7 - 6) mod 8 ≡ 1 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 100) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 100) mod 4 ≡ (17 mod 4 ⋅ 100 mod 4) mod 4.
17 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 4 ⋅ 4 + 1 ist.
100 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 25 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 100) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4448 mod 653.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 444 -> x
2. mod(x²,653) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4441=444
2: 4442=4441+1=4441⋅4441 ≡ 444⋅444=197136 ≡ 583 mod 653
4: 4444=4442+2=4442⋅4442 ≡ 583⋅583=339889 ≡ 329 mod 653
8: 4448=4444+4=4444⋅4444 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 496 mod 653
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 536209 mod 557.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 209 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 209 an und zerlegen 209 in eine Summer von 2er-Potenzen:
209 = 128+64+16+1
1: 5361=536
2: 5362=5361+1=5361⋅5361 ≡ 536⋅536=287296 ≡ 441 mod 557
4: 5364=5362+2=5362⋅5362 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 88 mod 557
8: 5368=5364+4=5364⋅5364 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 503 mod 557
16: 53616=5368+8=5368⋅5368 ≡ 503⋅503=253009 ≡ 131 mod 557
32: 53632=53616+16=53616⋅53616 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 451 mod 557
64: 53664=53632+32=53632⋅53632 ≡ 451⋅451=203401 ≡ 96 mod 557
128: 536128=53664+64=53664⋅53664 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 304 mod 557
536209
= 536128+64+16+1
= 536128⋅53664⋅53616⋅5361
≡ 304 ⋅ 96 ⋅ 131 ⋅ 536 mod 557
≡ 29184 ⋅ 131 ⋅ 536 mod 557 ≡ 220 ⋅ 131 ⋅ 536 mod 557
≡ 28820 ⋅ 536 mod 557 ≡ 413 ⋅ 536 mod 557
≡ 221368 mod 557 ≡ 239 mod 557
Es gilt also: 536209 ≡ 239 mod 557
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 55
| =>79 | = 1⋅55 + 24 |
| =>55 | = 2⋅24 + 7 |
| =>24 | = 3⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 24-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(24 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅24 +6⋅ 7) = -2⋅24 +7⋅ 7 (=1) |
| 7= 55-2⋅24 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅24 +7⋅(55 -2⋅ 24)
= -2⋅24 +7⋅55 -14⋅ 24) = 7⋅55 -16⋅ 24 (=1) |
| 24= 79-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅55 -16⋅(79 -1⋅ 55)
= 7⋅55 -16⋅79 +16⋅ 55) = -16⋅79 +23⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,55)=1 = -16⋅79 +23⋅55
oder wenn man -16⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 +16⋅79 = +23⋅55
Es gilt also: 23⋅55 = 16⋅79 +1
Somit 23⋅55 = 1 mod 79
23 ist also das Inverse von 55 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.