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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6002 - 9001) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6002 - 9001) mod 3 ≡ (6002 mod 3 - 9001 mod 3) mod 3.

6002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6002 = 6000+2 = 3 ⋅ 2000 +2.

9001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9001 = 9000+1 = 3 ⋅ 3000 +1.

Somit gilt:

(6002 - 9001) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 55) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 55) mod 7 ≡ (29 mod 7 ⋅ 55 mod 7) mod 7.

29 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 4 ⋅ 7 + 1 ist.

55 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 49 + 6 = 7 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 55) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 28016 mod 283.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 280 -> x
2. mod(x²,283) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2801=280

2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 9 mod 283

4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 283

8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 52 mod 283

16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 52⋅52=2704 ≡ 157 mod 283

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 192104 mod 401.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:

104 = 64+32+8

1: 1921=192

2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 373 mod 401

4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 383 mod 401

8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 383⋅383=146689 ≡ 324 mod 401

16: 19216=1928+8=1928⋅1928 ≡ 324⋅324=104976 ≡ 315 mod 401

32: 19232=19216+16=19216⋅19216 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 178 mod 401

64: 19264=19232+32=19232⋅19232 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 5 mod 401

192104

= 19264+32+8

= 19264⋅19232⋅1928

≡ 5 ⋅ 178 ⋅ 324 mod 401
≡ 890 ⋅ 324 mod 401 ≡ 88 ⋅ 324 mod 401
≡ 28512 mod 401 ≡ 41 mod 401

Es gilt also: 192104 ≡ 41 mod 401

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 47

=>59 = 1⋅47 + 12
=>47 = 3⋅12 + 11
=>12 = 1⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 47-3⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅12 -1⋅(47 -3⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅47 +3⋅ 12)
= -1⋅47 +4⋅ 12 (=1)
12= 59-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅47 +4⋅(59 -1⋅ 47)
= -1⋅47 +4⋅59 -4⋅ 47)
= 4⋅59 -5⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(59,47)=1 = 4⋅59 -5⋅47

oder wenn man 4⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅59 = -5⋅47

-5⋅47 = -4⋅59 + 1 |+59⋅47

-5⋅47 + 59⋅47 = -4⋅59 + 59⋅47 + 1

(-5 + 59) ⋅ 47 = (-4 + 47) ⋅ 59 + 1

54⋅47 = 43⋅59 + 1

Es gilt also: 54⋅47 = 43⋅59 +1

Somit 54⋅47 = 1 mod 59

54 ist also das Inverse von 47 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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