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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14002 + 66) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14002 + 66) mod 7 ≡ (14002 mod 7 + 66 mod 7) mod 7.

14002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14002 = 14000+2 = 7 ⋅ 2000 +2.

66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 70-4 = 7 ⋅ 10 -4 = 7 ⋅ 10 - 7 + 3.

Somit gilt:

(14002 + 66) mod 7 ≡ (2 + 3) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 85) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 85) mod 9 ≡ (67 mod 9 ⋅ 85 mod 9) mod 9.

67 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 7 ⋅ 9 + 4 ist.

85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 81 + 4 = 9 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 85) mod 9 ≡ (4 ⋅ 4) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 212¹²⁸ mod 599.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 212 -> x
2. mod(x²,599) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 212¹=212

2: 212²=212¹⁺¹=212¹⋅212¹ ≡ 212⋅212=44944 ≡ 19 mod 599

4: 212⁴=212²⁺²=212²⋅212² ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 599

8: 212⁸=212⁴⁺⁴=212⁴⋅212⁴ ≡ 361⋅361=130321 ≡ 338 mod 599

16: 212¹⁶=212⁸⁺⁸=212⁸⋅212⁸ ≡ 338⋅338=114244 ≡ 434 mod 599

32: 212³²=212¹⁶⁺¹⁶=212¹⁶⋅212¹⁶ ≡ 434⋅434=188356 ≡ 270 mod 599

64: 212⁶⁴=212³²⁺³²=212³²⋅212³² ≡ 270⋅270=72900 ≡ 421 mod 599

128: 212¹²⁸=212⁶⁴⁺⁶⁴=212⁶⁴⋅212⁶⁴ ≡ 421⋅421=177241 ≡ 536 mod 599

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 344¹⁷⁵ mod 367.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

1: 344¹=344

2: 344²=344¹⁺¹=344¹⋅344¹ ≡ 344⋅344=118336 ≡ 162 mod 367

4: 344⁴=344²⁺²=344²⋅344² ≡ 162⋅162=26244 ≡ 187 mod 367

8: 344⁸=344⁴⁺⁴=344⁴⋅344⁴ ≡ 187⋅187=34969 ≡ 104 mod 367

16: 344¹⁶=344⁸⁺⁸=344⁸⋅344⁸ ≡ 104⋅104=10816 ≡ 173 mod 367

32: 344³²=344¹⁶⁺¹⁶=344¹⁶⋅344¹⁶ ≡ 173⋅173=29929 ≡ 202 mod 367

64: 344⁶⁴=344³²⁺³²=344³²⋅344³² ≡ 202⋅202=40804 ≡ 67 mod 367

128: 344¹²⁸=344⁶⁴⁺⁶⁴=344⁶⁴⋅344⁶⁴ ≡ 67⋅67=4489 ≡ 85 mod 367

344¹⁷⁵

= 344^{128+32+8+4+2+1}

= 344¹²⁸⋅344³²⋅344⁸⋅344⁴⋅344²⋅344¹

≡ 85 ⋅ 202 ⋅ 104 ⋅ 187 ⋅ 162 ⋅ 344 mod 367
≡ 17170 ⋅ 104 ⋅ 187 ⋅ 162 ⋅ 344 mod 367 ≡ 288 ⋅ 104 ⋅ 187 ⋅ 162 ⋅ 344 mod 367
≡ 29952 ⋅ 187 ⋅ 162 ⋅ 344 mod 367 ≡ 225 ⋅ 187 ⋅ 162 ⋅ 344 mod 367
≡ 42075 ⋅ 162 ⋅ 344 mod 367 ≡ 237 ⋅ 162 ⋅ 344 mod 367
≡ 38394 ⋅ 344 mod 367 ≡ 226 ⋅ 344 mod 367
≡ 77744 mod 367 ≡ 307 mod 367

Es gilt also: 344¹⁷⁵ ≡ 307 mod 367

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

=>89	= 1⋅53 + 36
=>53	= 1⋅36 + 17
=>36	= 2⋅17 + 2
=>17	= 8⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17) = 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 53-1⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -8⋅36 +17⋅(53 -1⋅ 36) = -8⋅36 +17⋅53 -17⋅ 36) = 17⋅53 -25⋅ 36 (=1)
36= 89-1⋅53	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 17⋅53 -25⋅(89 -1⋅ 53) = 17⋅53 -25⋅89 +25⋅ 53) = -25⋅89 +42⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(89,53)=1 = -25⋅89 +42⋅53

oder wenn man -25⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +25⋅89 = +42⋅53

Es gilt also: 42⋅53 = 25⋅89 +1

Somit 42⋅53 = 1 mod 89

42 ist also das Inverse von 53 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 53

Schlüsselpaar für RSA