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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (145 + 706) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(145 + 706) mod 7 ≡ (145 mod 7 + 706 mod 7) mod 7.

145 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145 = 140+5 = 7 ⋅ 20 +5.

706 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 706 = 700+6 = 7 ⋅ 100 +6.

Somit gilt:

(145 + 706) mod 7 ≡ (5 + 6) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 17) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 17) mod 6 ≡ (92 mod 6 ⋅ 17 mod 6) mod 6.

92 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 15 ⋅ 6 + 2 ist.

17 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 12 + 5 = 2 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 17) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 206128 mod 523.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 206 -> x
2. mod(x²,523) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2061=206

2: 2062=2061+1=2061⋅2061 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 73 mod 523

4: 2064=2062+2=2062⋅2062 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 99 mod 523

8: 2068=2064+4=2064⋅2064 ≡ 99⋅99=9801 ≡ 387 mod 523

16: 20616=2068+8=2068⋅2068 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 191 mod 523

32: 20632=20616+16=20616⋅20616 ≡ 191⋅191=36481 ≡ 394 mod 523

64: 20664=20632+32=20632⋅20632 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 428 mod 523

128: 206128=20664+64=20664⋅20664 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 134 mod 523

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 291170 mod 419.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 170 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 170 an und zerlegen 170 in eine Summer von 2er-Potenzen:

170 = 128+32+8+2

1: 2911=291

2: 2912=2911+1=2911⋅2911 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 43 mod 419

4: 2914=2912+2=2912⋅2912 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 173 mod 419

8: 2918=2914+4=2914⋅2914 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 180 mod 419

16: 29116=2918+8=2918⋅2918 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 137 mod 419

32: 29132=29116+16=29116⋅29116 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 333 mod 419

64: 29164=29132+32=29132⋅29132 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 273 mod 419

128: 291128=29164+64=29164⋅29164 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 366 mod 419

291170

= 291128+32+8+2

= 291128⋅29132⋅2918⋅2912

≡ 366 ⋅ 333 ⋅ 180 ⋅ 43 mod 419
≡ 121878 ⋅ 180 ⋅ 43 mod 419 ≡ 368 ⋅ 180 ⋅ 43 mod 419
≡ 66240 ⋅ 43 mod 419 ≡ 38 ⋅ 43 mod 419
≡ 1634 mod 419 ≡ 377 mod 419

Es gilt also: 291170 ≡ 377 mod 419

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 23.

Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 23

=>61 = 2⋅23 + 15
=>23 = 1⋅15 + 8
=>15 = 1⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,23)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 15-1⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(15 -1⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅15 +1⋅ 8)
= -1⋅15 +2⋅ 8 (=1)
8= 23-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅15 +2⋅(23 -1⋅ 15)
= -1⋅15 +2⋅23 -2⋅ 15)
= 2⋅23 -3⋅ 15 (=1)
15= 61-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅23 -3⋅(61 -2⋅ 23)
= 2⋅23 -3⋅61 +6⋅ 23)
= -3⋅61 +8⋅ 23 (=1)

Es gilt also: ggt(61,23)=1 = -3⋅61 +8⋅23

oder wenn man -3⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅61 = +8⋅23

Es gilt also: 8⋅23 = 3⋅61 +1

Somit 8⋅23 = 1 mod 61

8 ist also das Inverse von 23 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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