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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 - 15994) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 - 15994) mod 8 ≡ (73 mod 8 - 15994 mod 8) mod 8.
73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73
= 80
15994 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15994
= 15000
Somit gilt:
(73 - 15994) mod 8 ≡ (1 - 2) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 71) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 71) mod 7 ≡ (48 mod 7 ⋅ 71 mod 7) mod 7.
48 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 42 + 6 = 6 ⋅ 7 + 6 ist.
71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 10 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 71) mod 7 ≡ (6 ⋅ 1) mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 14664 mod 449.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 146 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1461=146
2: 1462=1461+1=1461⋅1461 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 213 mod 449
4: 1464=1462+2=1462⋅1462 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 20 mod 449
8: 1468=1464+4=1464⋅1464 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 449
16: 14616=1468+8=1468⋅1468 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 156 mod 449
32: 14632=14616+16=14616⋅14616 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 90 mod 449
64: 14664=14632+32=14632⋅14632 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 18 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 310130 mod 359.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 130 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 130 an und zerlegen 130 in eine Summer von 2er-Potenzen:
130 = 128+2
1: 3101=310
2: 3102=3101+1=3101⋅3101 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 247 mod 359
4: 3104=3102+2=3102⋅3102 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 338 mod 359
8: 3108=3104+4=3104⋅3104 ≡ 338⋅338=114244 ≡ 82 mod 359
16: 31016=3108+8=3108⋅3108 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 262 mod 359
32: 31032=31016+16=31016⋅31016 ≡ 262⋅262=68644 ≡ 75 mod 359
64: 31064=31032+32=31032⋅31032 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 240 mod 359
128: 310128=31064+64=31064⋅31064 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 160 mod 359
310130
= 310128+2
= 310128⋅3102
≡ 160 ⋅ 247 mod 359
≡ 39520 mod 359 ≡ 30 mod 359
Es gilt also: 310130 ≡ 30 mod 359
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52
| =>73 | = 1⋅52 + 21 |
| =>52 | = 2⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 52-2⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(52 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅52 +4⋅ 21) = -2⋅52 +5⋅ 21 (=1) |
| 21= 73-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅52 +5⋅(73 -1⋅ 52)
= -2⋅52 +5⋅73 -5⋅ 52) = 5⋅73 -7⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,52)=1 = 5⋅73 -7⋅52
oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅73 = -7⋅52
-7⋅52 = -5⋅73 + 1 |+73⋅52
-7⋅52 + 73⋅52 = -5⋅73 + 73⋅52 + 1
(-7 + 73) ⋅ 52 = (-5 + 52) ⋅ 73 + 1
66⋅52 = 47⋅73 + 1
Es gilt also: 66⋅52 = 47⋅73 +1
Somit 66⋅52 = 1 mod 73
66 ist also das Inverse von 52 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.