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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (297 + 11997) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(297 + 11997) mod 3 ≡ (297 mod 3 + 11997 mod 3) mod 3.

297 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297 = 300-3 = 3 ⋅ 100 -3 = 3 ⋅ 100 - 3 + 0.

11997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997 = 12000-3 = 3 ⋅ 4000 -3 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(297 + 11997) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 94) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 94) mod 10 ≡ (22 mod 10 ⋅ 94 mod 10) mod 10.

22 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 2 ⋅ 10 + 2 ist.

94 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 9 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 94) mod 10 ≡ (2 ⋅ 4) mod 10 ≡ 8 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5088 mod 751.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 508 -> x
2. mod(x²,751) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5081=508

2: 5082=5081+1=5081⋅5081 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 471 mod 751

4: 5084=5082+2=5082⋅5082 ≡ 471⋅471=221841 ≡ 296 mod 751

8: 5088=5084+4=5084⋅5084 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 500 mod 751

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 27490 mod 557.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 90 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 90 an und zerlegen 90 in eine Summer von 2er-Potenzen:

90 = 64+16+8+2

1: 2741=274

2: 2742=2741+1=2741⋅2741 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 438 mod 557

4: 2744=2742+2=2742⋅2742 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 236 mod 557

8: 2748=2744+4=2744⋅2744 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 553 mod 557

16: 27416=2748+8=2748⋅2748 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 16 mod 557

32: 27432=27416+16=27416⋅27416 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 557

64: 27464=27432+32=27432⋅27432 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 367 mod 557

27490

= 27464+16+8+2

= 27464⋅27416⋅2748⋅2742

≡ 367 ⋅ 16 ⋅ 553 ⋅ 438 mod 557
≡ 5872 ⋅ 553 ⋅ 438 mod 557 ≡ 302 ⋅ 553 ⋅ 438 mod 557
≡ 167006 ⋅ 438 mod 557 ≡ 463 ⋅ 438 mod 557
≡ 202794 mod 557 ≡ 46 mod 557

Es gilt also: 27490 ≡ 46 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 80.

Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 80

=>89 = 1⋅80 + 9
=>80 = 8⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,80)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 80-8⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(80 -8⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅80 +8⋅ 9)
= -1⋅80 +9⋅ 9 (=1)
9= 89-1⋅80 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅80 +9⋅(89 -1⋅ 80)
= -1⋅80 +9⋅89 -9⋅ 80)
= 9⋅89 -10⋅ 80 (=1)

Es gilt also: ggt(89,80)=1 = 9⋅89 -10⋅80

oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅89 = -10⋅80

-10⋅80 = -9⋅89 + 1 |+89⋅80

-10⋅80 + 89⋅80 = -9⋅89 + 89⋅80 + 1

(-10 + 89) ⋅ 80 = (-9 + 80) ⋅ 89 + 1

79⋅80 = 71⋅89 + 1

Es gilt also: 79⋅80 = 71⋅89 +1

Somit 79⋅80 = 1 mod 89

79 ist also das Inverse von 80 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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