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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45000 + 1801) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45000 + 1801) mod 9 ≡ (45000 mod 9 + 1801 mod 9) mod 9.

45000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45000 = 45000+0 = 9 ⋅ 5000 +0.

1801 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1801 = 1800+1 = 9 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(45000 + 1801) mod 9 ≡ (0 + 1) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 16) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 16) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 16 mod 10) mod 10.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

16 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 10 + 6 = 1 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 16) mod 10 ≡ (4 ⋅ 6) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 368128 mod 491.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 368 -> x
2. mod(x²,491) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3681=368

2: 3682=3681+1=3681⋅3681 ≡ 368⋅368=135424 ≡ 399 mod 491

4: 3684=3682+2=3682⋅3682 ≡ 399⋅399=159201 ≡ 117 mod 491

8: 3688=3684+4=3684⋅3684 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 432 mod 491

16: 36816=3688+8=3688⋅3688 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 44 mod 491

32: 36832=36816+16=36816⋅36816 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 463 mod 491

64: 36864=36832+32=36832⋅36832 ≡ 463⋅463=214369 ≡ 293 mod 491

128: 368128=36864+64=36864⋅36864 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 415 mod 491

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 346204 mod 487.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:

204 = 128+64+8+4

1: 3461=346

2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 401 mod 487

4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 91 mod 487

8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 2 mod 487

16: 34616=3468+8=3468⋅3468 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 487

32: 34632=34616+16=34616⋅34616 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 487

64: 34664=34632+32=34632⋅34632 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 487

128: 346128=34664+64=34664⋅34664 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 278 mod 487

346204

= 346128+64+8+4

= 346128⋅34664⋅3468⋅3464

≡ 278 ⋅ 256 ⋅ 2 ⋅ 91 mod 487
≡ 71168 ⋅ 2 ⋅ 91 mod 487 ≡ 66 ⋅ 2 ⋅ 91 mod 487
≡ 132 ⋅ 91 mod 487
≡ 12012 mod 487 ≡ 324 mod 487

Es gilt also: 346204 ≡ 324 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 44

=>59 = 1⋅44 + 15
=>44 = 2⋅15 + 14
=>15 = 1⋅14 + 1
=>14 = 14⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-1⋅14
14= 44-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -1⋅(44 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -1⋅44 +2⋅ 15)
= -1⋅44 +3⋅ 15 (=1)
15= 59-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +3⋅(59 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +3⋅59 -3⋅ 44)
= 3⋅59 -4⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(59,44)=1 = 3⋅59 -4⋅44

oder wenn man 3⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅59 = -4⋅44

-4⋅44 = -3⋅59 + 1 |+59⋅44

-4⋅44 + 59⋅44 = -3⋅59 + 59⋅44 + 1

(-4 + 59) ⋅ 44 = (-3 + 44) ⋅ 59 + 1

55⋅44 = 41⋅59 + 1

Es gilt also: 55⋅44 = 41⋅59 +1

Somit 55⋅44 = 1 mod 59

55 ist also das Inverse von 44 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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