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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15998 - 1604) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15998 - 1604) mod 4 ≡ (15998 mod 4 - 1604 mod 4) mod 4.

15998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998 = 15000+998 = 4 ⋅ 3750 +998.

1604 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604 = 1600+4 = 4 ⋅ 400 +4.

Somit gilt:

(15998 - 1604) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 71) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 71) mod 11 ≡ (46 mod 11 ⋅ 71 mod 11) mod 11.

46 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 4 ⋅ 11 + 2 ist.

71 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 6 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 71) mod 11 ≡ (2 ⋅ 5) mod 11 ≡ 10 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22332 mod 307.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 223 -> x
2. mod(x²,307) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2231=223

2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 302 mod 307

4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 25 mod 307

8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 25⋅25=625 ≡ 11 mod 307

16: 22316=2238+8=2238⋅2238 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 307

32: 22332=22316+16=22316⋅22316 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 212 mod 307

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 147158 mod 353.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

1: 1471=147

2: 1472=1471+1=1471⋅1471 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 76 mod 353

4: 1474=1472+2=1472⋅1472 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 128 mod 353

8: 1478=1474+4=1474⋅1474 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 146 mod 353

16: 14716=1478+8=1478⋅1478 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 136 mod 353

32: 14732=14716+16=14716⋅14716 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 140 mod 353

64: 14764=14732+32=14732⋅14732 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353

128: 147128=14764+64=14764⋅14764 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353

147158

= 147128+16+8+4+2

= 147128⋅14716⋅1478⋅1474⋅1472

≡ 337 ⋅ 136 ⋅ 146 ⋅ 128 ⋅ 76 mod 353
≡ 45832 ⋅ 146 ⋅ 128 ⋅ 76 mod 353 ≡ 295 ⋅ 146 ⋅ 128 ⋅ 76 mod 353
≡ 43070 ⋅ 128 ⋅ 76 mod 353 ≡ 4 ⋅ 128 ⋅ 76 mod 353
≡ 512 ⋅ 76 mod 353 ≡ 159 ⋅ 76 mod 353
≡ 12084 mod 353 ≡ 82 mod 353

Es gilt also: 147158 ≡ 82 mod 353

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 31

=>71 = 2⋅31 + 9
=>31 = 3⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 31-3⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9)
= -2⋅31 +7⋅ 9 (=1)
9= 71-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅31 +7⋅(71 -2⋅ 31)
= -2⋅31 +7⋅71 -14⋅ 31)
= 7⋅71 -16⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(71,31)=1 = 7⋅71 -16⋅31

oder wenn man 7⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅71 = -16⋅31

-16⋅31 = -7⋅71 + 1 |+71⋅31

-16⋅31 + 71⋅31 = -7⋅71 + 71⋅31 + 1

(-16 + 71) ⋅ 31 = (-7 + 31) ⋅ 71 + 1

55⋅31 = 24⋅71 + 1

Es gilt also: 55⋅31 = 24⋅71 +1

Somit 55⋅31 = 1 mod 71

55 ist also das Inverse von 31 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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