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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1204 + 121) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1204 + 121) mod 4 ≡ (1204 mod 4 + 121 mod 4) mod 4.

1204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204 = 1200+4 = 4 ⋅ 300 +4.

121 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121 = 120+1 = 4 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(1204 + 121) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 100) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 100) mod 10 ≡ (68 mod 10 ⋅ 100 mod 10) mod 10.

68 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 60 + 8 = 6 ⋅ 10 + 8 ist.

100 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100 + 0 = 10 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 100) mod 10 ≡ (8 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 24464 mod 433.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 244 -> x
2. mod(x²,433) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2441=244

2: 2442=2441+1=2441⋅2441 ≡ 244⋅244=59536 ≡ 215 mod 433

4: 2444=2442+2=2442⋅2442 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 327 mod 433

8: 2448=2444+4=2444⋅2444 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 411 mod 433

16: 24416=2448+8=2448⋅2448 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 51 mod 433

32: 24432=24416+16=24416⋅24416 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 3 mod 433

64: 24464=24432+32=24432⋅24432 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 433

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 340129 mod 421.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:

129 = 128+1

1: 3401=340

2: 3402=3401+1=3401⋅3401 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 246 mod 421

4: 3404=3402+2=3402⋅3402 ≡ 246⋅246=60516 ≡ 313 mod 421

8: 3408=3404+4=3404⋅3404 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 297 mod 421

16: 34016=3408+8=3408⋅3408 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 220 mod 421

32: 34032=34016+16=34016⋅34016 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 406 mod 421

64: 34064=34032+32=34032⋅34032 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 225 mod 421

128: 340128=34064+64=34064⋅34064 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 105 mod 421

340129

= 340128+1

= 340128⋅3401

≡ 105 ⋅ 340 mod 421
≡ 35700 mod 421 ≡ 336 mod 421

Es gilt also: 340129 ≡ 336 mod 421

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 69.

Also bestimme x, so dass 69 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 69

=>97 = 1⋅69 + 28
=>69 = 2⋅28 + 13
=>28 = 2⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,69)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 28-2⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(28 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅28 +12⋅ 13)
= -6⋅28 +13⋅ 13 (=1)
13= 69-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅28 +13⋅(69 -2⋅ 28)
= -6⋅28 +13⋅69 -26⋅ 28)
= 13⋅69 -32⋅ 28 (=1)
28= 97-1⋅69 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 13⋅69 -32⋅(97 -1⋅ 69)
= 13⋅69 -32⋅97 +32⋅ 69)
= -32⋅97 +45⋅ 69 (=1)

Es gilt also: ggt(97,69)=1 = -32⋅97 +45⋅69

oder wenn man -32⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +32⋅97 = +45⋅69

Es gilt also: 45⋅69 = 32⋅97 +1

Somit 45⋅69 = 1 mod 97

45 ist also das Inverse von 69 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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