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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45000 - 18000) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45000 - 18000) mod 9 ≡ (45000 mod 9 - 18000 mod 9) mod 9.

45000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45000 = 45000+0 = 9 ⋅ 5000 +0.

18000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18000 = 18000+0 = 9 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(45000 - 18000) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 83) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 83) mod 7 ≡ (83 mod 7 ⋅ 83 mod 7) mod 7.

83 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 11 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 83) mod 7 ≡ (6 ⋅ 6) mod 7 ≡ 36 mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 580³² mod 701.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 580 -> x
2. mod(x²,701) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 580¹=580

2: 580²=580¹⁺¹=580¹⋅580¹ ≡ 580⋅580=336400 ≡ 621 mod 701

4: 580⁴=580²⁺²=580²⋅580² ≡ 621⋅621=385641 ≡ 91 mod 701

8: 580⁸=580⁴⁺⁴=580⁴⋅580⁴ ≡ 91⋅91=8281 ≡ 570 mod 701

16: 580¹⁶=580⁸⁺⁸=580⁸⋅580⁸ ≡ 570⋅570=324900 ≡ 337 mod 701

32: 580³²=580¹⁶⁺¹⁶=580¹⁶⋅580¹⁶ ≡ 337⋅337=113569 ≡ 7 mod 701

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 254²²² mod 337.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

1: 254¹=254

2: 254²=254¹⁺¹=254¹⋅254¹ ≡ 254⋅254=64516 ≡ 149 mod 337

4: 254⁴=254²⁺²=254²⋅254² ≡ 149⋅149=22201 ≡ 296 mod 337

8: 254⁸=254⁴⁺⁴=254⁴⋅254⁴ ≡ 296⋅296=87616 ≡ 333 mod 337

16: 254¹⁶=254⁸⁺⁸=254⁸⋅254⁸ ≡ 333⋅333=110889 ≡ 16 mod 337

32: 254³²=254¹⁶⁺¹⁶=254¹⁶⋅254¹⁶ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 337

64: 254⁶⁴=254³²⁺³²=254³²⋅254³² ≡ 256⋅256=65536 ≡ 158 mod 337

128: 254¹²⁸=254⁶⁴⁺⁶⁴=254⁶⁴⋅254⁶⁴ ≡ 158⋅158=24964 ≡ 26 mod 337

254²²²

= 254^{128+64+16+8+4+2}

= 254¹²⁸⋅254⁶⁴⋅254¹⁶⋅254⁸⋅254⁴⋅254²

≡ 26 ⋅ 158 ⋅ 16 ⋅ 333 ⋅ 296 ⋅ 149 mod 337
≡ 4108 ⋅ 16 ⋅ 333 ⋅ 296 ⋅ 149 mod 337 ≡ 64 ⋅ 16 ⋅ 333 ⋅ 296 ⋅ 149 mod 337
≡ 1024 ⋅ 333 ⋅ 296 ⋅ 149 mod 337 ≡ 13 ⋅ 333 ⋅ 296 ⋅ 149 mod 337
≡ 4329 ⋅ 296 ⋅ 149 mod 337 ≡ 285 ⋅ 296 ⋅ 149 mod 337
≡ 84360 ⋅ 149 mod 337 ≡ 110 ⋅ 149 mod 337
≡ 16390 mod 337 ≡ 214 mod 337

Es gilt also: 254²²² ≡ 214 mod 337

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

=>61	= 3⋅18 + 7
=>18	= 2⋅7 + 4
=>7	= 1⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4) = -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 18-2⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅7 +2⋅(18 -2⋅ 7) = -1⋅7 +2⋅18 -4⋅ 7) = 2⋅18 -5⋅ 7 (=1)
7= 61-3⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅18 -5⋅(61 -3⋅ 18) = 2⋅18 -5⋅61 +15⋅ 18) = -5⋅61 +17⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(61,18)=1 = -5⋅61 +17⋅18

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +17⋅18

Es gilt also: 17⋅18 = 5⋅61 +1

Somit 17⋅18 = 1 mod 61

17 ist also das Inverse von 18 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 18

Schlüsselpaar für RSA