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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (403 - 152) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(403 - 152) mod 8 ≡ (403 mod 8 - 152 mod 8) mod 8.
403 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403
= 400
152 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152
= 160
Somit gilt:
(403 - 152) mod 8 ≡ (3 - 0) mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 25) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 25) mod 3 ≡ (20 mod 3 ⋅ 25 mod 3) mod 3.
20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.
25 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 8 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 25) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2728 mod 347.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 272 -> x
2. mod(x²,347) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2721=272
2: 2722=2721+1=2721⋅2721 ≡ 272⋅272=73984 ≡ 73 mod 347
4: 2724=2722+2=2722⋅2722 ≡ 73⋅73=5329 ≡ 124 mod 347
8: 2728=2724+4=2724⋅2724 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 108 mod 347
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 565217 mod 601.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 217 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 217 an und zerlegen 217 in eine Summer von 2er-Potenzen:
217 = 128+64+16+8+1
1: 5651=565
2: 5652=5651+1=5651⋅5651 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 94 mod 601
4: 5654=5652+2=5652⋅5652 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 422 mod 601
8: 5658=5654+4=5654⋅5654 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 188 mod 601
16: 56516=5658+8=5658⋅5658 ≡ 188⋅188=35344 ≡ 486 mod 601
32: 56532=56516+16=56516⋅56516 ≡ 486⋅486=236196 ≡ 3 mod 601
64: 56564=56532+32=56532⋅56532 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 601
128: 565128=56564+64=56564⋅56564 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 601
565217
= 565128+64+16+8+1
= 565128⋅56564⋅56516⋅5658⋅5651
≡ 81 ⋅ 9 ⋅ 486 ⋅ 188 ⋅ 565 mod 601
≡ 729 ⋅ 486 ⋅ 188 ⋅ 565 mod 601 ≡ 128 ⋅ 486 ⋅ 188 ⋅ 565 mod 601
≡ 62208 ⋅ 188 ⋅ 565 mod 601 ≡ 305 ⋅ 188 ⋅ 565 mod 601
≡ 57340 ⋅ 565 mod 601 ≡ 245 ⋅ 565 mod 601
≡ 138425 mod 601 ≡ 195 mod 601
Es gilt also: 565217 ≡ 195 mod 601
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 35.
Also bestimme x, so dass 35 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 35
| =>53 | = 1⋅35 + 18 |
| =>35 | = 1⋅18 + 17 |
| =>18 | = 1⋅17 + 1 |
| =>17 | = 17⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,35)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 18-1⋅17 | |||
| 17= 35-1⋅18 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅18 -1⋅(35 -1⋅ 18)
= 1⋅18 -1⋅35 +1⋅ 18) = -1⋅35 +2⋅ 18 (=1) |
| 18= 53-1⋅35 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅35 +2⋅(53 -1⋅ 35)
= -1⋅35 +2⋅53 -2⋅ 35) = 2⋅53 -3⋅ 35 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,35)=1 = 2⋅53 -3⋅35
oder wenn man 2⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅53 = -3⋅35
-3⋅35 = -2⋅53 + 1 |+53⋅35
-3⋅35 + 53⋅35 = -2⋅53 + 53⋅35 + 1
(-3 + 53) ⋅ 35 = (-2 + 35) ⋅ 53 + 1
50⋅35 = 33⋅53 + 1
Es gilt also: 50⋅35 = 33⋅53 +1
Somit 50⋅35 = 1 mod 53
50 ist also das Inverse von 35 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.