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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2396 + 2399) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2396 + 2399) mod 6 ≡ (2396 mod 6 + 2399 mod 6) mod 6.

2396 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2396 = 2400-4 = 6 ⋅ 400 -4 = 6 ⋅ 400 - 6 + 2.

2399 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2399 = 2400-1 = 6 ⋅ 400 -1 = 6 ⋅ 400 - 6 + 5.

Somit gilt:

(2396 + 2399) mod 6 ≡ (2 + 5) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 94) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 94) mod 8 ≡ (34 mod 8 ⋅ 94 mod 8) mod 8.

34 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 32 + 2 = 4 ⋅ 8 + 2 ist.

94 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 11 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 94) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 351⁸ mod 661.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 351 -> x
2. mod(x²,661) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 351¹=351

2: 351²=351¹⁺¹=351¹⋅351¹ ≡ 351⋅351=123201 ≡ 255 mod 661

4: 351⁴=351²⁺²=351²⋅351² ≡ 255⋅255=65025 ≡ 247 mod 661

8: 351⁸=351⁴⁺⁴=351⁴⋅351⁴ ≡ 247⋅247=61009 ≡ 197 mod 661

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 64²¹⁵ mod 211.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

1: 64¹=64

2: 64²=64¹⁺¹=64¹⋅64¹ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 87 mod 211

4: 64⁴=64²⁺²=64²⋅64² ≡ 87⋅87=7569 ≡ 184 mod 211

8: 64⁸=64⁴⁺⁴=64⁴⋅64⁴ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 96 mod 211

16: 64¹⁶=64⁸⁺⁸=64⁸⋅64⁸ ≡ 96⋅96=9216 ≡ 143 mod 211

32: 64³²=64¹⁶⁺¹⁶=64¹⁶⋅64¹⁶ ≡ 143⋅143=20449 ≡ 193 mod 211

64: 64⁶⁴=64³²⁺³²=64³²⋅64³² ≡ 193⋅193=37249 ≡ 113 mod 211

128: 64¹²⁸=64⁶⁴⁺⁶⁴=64⁶⁴⋅64⁶⁴ ≡ 113⋅113=12769 ≡ 109 mod 211

64²¹⁵

= 64^{128+64+16+4+2+1}

= 64¹²⁸⋅64⁶⁴⋅64¹⁶⋅64⁴⋅64²⋅64¹

≡ 109 ⋅ 113 ⋅ 143 ⋅ 184 ⋅ 87 ⋅ 64 mod 211
≡ 12317 ⋅ 143 ⋅ 184 ⋅ 87 ⋅ 64 mod 211 ≡ 79 ⋅ 143 ⋅ 184 ⋅ 87 ⋅ 64 mod 211
≡ 11297 ⋅ 184 ⋅ 87 ⋅ 64 mod 211 ≡ 114 ⋅ 184 ⋅ 87 ⋅ 64 mod 211
≡ 20976 ⋅ 87 ⋅ 64 mod 211 ≡ 87 ⋅ 87 ⋅ 64 mod 211
≡ 7569 ⋅ 64 mod 211 ≡ 184 ⋅ 64 mod 211
≡ 11776 mod 211 ≡ 171 mod 211

Es gilt also: 64²¹⁵ ≡ 171 mod 211

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 25.

Also bestimme x, so dass 25 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 25

=>59	= 2⋅25 + 9
=>25	= 2⋅9 + 7
=>9	= 1⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,25)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 25-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅9 +4⋅(25 -2⋅ 9) = -3⋅9 +4⋅25 -8⋅ 9) = 4⋅25 -11⋅ 9 (=1)
9= 59-2⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅25 -11⋅(59 -2⋅ 25) = 4⋅25 -11⋅59 +22⋅ 25) = -11⋅59 +26⋅ 25 (=1)

Es gilt also: ggt(59,25)=1 = -11⋅59 +26⋅25

oder wenn man -11⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅59 = +26⋅25

Es gilt also: 26⋅25 = 11⋅59 +1

Somit 26⋅25 = 1 mod 59

26 ist also das Inverse von 25 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 25

Schlüsselpaar für RSA