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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2997 + 1196) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2997 + 1196) mod 6 ≡ (2997 mod 6 + 1196 mod 6) mod 6.
2997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997
= 3000
1196 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196
= 1200
Somit gilt:
(2997 + 1196) mod 6 ≡ (3 + 2) mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 46) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 46) mod 8 ≡ (85 mod 8 ⋅ 46 mod 8) mod 8.
85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 10 ⋅ 8 + 5 ist.
46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 46) mod 8 ≡ (5 ⋅ 6) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 228128 mod 397.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 228 -> x
2. mod(x²,397) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2281=228
2: 2282=2281+1=2281⋅2281 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 374 mod 397
4: 2284=2282+2=2282⋅2282 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 132 mod 397
8: 2288=2284+4=2284⋅2284 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 353 mod 397
16: 22816=2288+8=2288⋅2288 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 348 mod 397
32: 22832=22816+16=22816⋅22816 ≡ 348⋅348=121104 ≡ 19 mod 397
64: 22864=22832+32=22832⋅22832 ≡ 19⋅19=361 ≡ 361 mod 397
128: 228128=22864+64=22864⋅22864 ≡ 361⋅361=130321 ≡ 105 mod 397
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 425252 mod 463.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 252 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 252 an und zerlegen 252 in eine Summer von 2er-Potenzen:
252 = 128+64+32+16+8+4
1: 4251=425
2: 4252=4251+1=4251⋅4251 ≡ 425⋅425=180625 ≡ 55 mod 463
4: 4254=4252+2=4252⋅4252 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 247 mod 463
8: 4258=4254+4=4254⋅4254 ≡ 247⋅247=61009 ≡ 356 mod 463
16: 42516=4258+8=4258⋅4258 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 337 mod 463
32: 42532=42516+16=42516⋅42516 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 134 mod 463
64: 42564=42532+32=42532⋅42532 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 362 mod 463
128: 425128=42564+64=42564⋅42564 ≡ 362⋅362=131044 ≡ 15 mod 463
425252
= 425128+64+32+16+8+4
= 425128⋅42564⋅42532⋅42516⋅4258⋅4254
≡ 15 ⋅ 362 ⋅ 134 ⋅ 337 ⋅ 356 ⋅ 247 mod 463
≡ 5430 ⋅ 134 ⋅ 337 ⋅ 356 ⋅ 247 mod 463 ≡ 337 ⋅ 134 ⋅ 337 ⋅ 356 ⋅ 247 mod 463
≡ 45158 ⋅ 337 ⋅ 356 ⋅ 247 mod 463 ≡ 247 ⋅ 337 ⋅ 356 ⋅ 247 mod 463
≡ 83239 ⋅ 356 ⋅ 247 mod 463 ≡ 362 ⋅ 356 ⋅ 247 mod 463
≡ 128872 ⋅ 247 mod 463 ≡ 158 ⋅ 247 mod 463
≡ 39026 mod 463 ≡ 134 mod 463
Es gilt also: 425252 ≡ 134 mod 463
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 44.
Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 44
| =>53 | = 1⋅44 + 9 |
| =>44 | = 4⋅9 + 8 |
| =>9 | = 1⋅8 + 1 |
| =>8 | = 8⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,44)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-1⋅8 | |||
| 8= 44-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9) = -1⋅44 +5⋅ 9 (=1) |
| 9= 53-1⋅44 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44) = 5⋅53 -6⋅ 44 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,44)=1 = 5⋅53 -6⋅44
oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅53 = -6⋅44
-6⋅44 = -5⋅53 + 1 |+53⋅44
-6⋅44 + 53⋅44 = -5⋅53 + 53⋅44 + 1
(-6 + 53) ⋅ 44 = (-5 + 44) ⋅ 53 + 1
47⋅44 = 39⋅53 + 1
Es gilt also: 47⋅44 = 39⋅53 +1
Somit 47⋅44 = 1 mod 53
47 ist also das Inverse von 44 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
