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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2496 - 2000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2496 - 2000) mod 5 ≡ (2496 mod 5 - 2000 mod 5) mod 5.

2496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2496 = 2400+96 = 5 ⋅ 480 +96.

2000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 5 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(2496 - 2000) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 18) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 18) mod 6 ≡ (36 mod 6 ⋅ 18 mod 6) mod 6.

36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.

18 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 3 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 18) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 549⁸ mod 811.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 549 -> x
2. mod(x²,811) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 549¹=549

2: 549²=549¹⁺¹=549¹⋅549¹ ≡ 549⋅549=301401 ≡ 520 mod 811

4: 549⁴=549²⁺²=549²⋅549² ≡ 520⋅520=270400 ≡ 337 mod 811

8: 549⁸=549⁴⁺⁴=549⁴⋅549⁴ ≡ 337⋅337=113569 ≡ 29 mod 811

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 344¹¹¹ mod 787.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 111 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 111 an und zerlegen 111 in eine Summer von 2er-Potenzen:

111 = 64+32+8+4+2+1

1: 344¹=344

2: 344²=344¹⁺¹=344¹⋅344¹ ≡ 344⋅344=118336 ≡ 286 mod 787

4: 344⁴=344²⁺²=344²⋅344² ≡ 286⋅286=81796 ≡ 735 mod 787

8: 344⁸=344⁴⁺⁴=344⁴⋅344⁴ ≡ 735⋅735=540225 ≡ 343 mod 787

16: 344¹⁶=344⁸⁺⁸=344⁸⋅344⁸ ≡ 343⋅343=117649 ≡ 386 mod 787

32: 344³²=344¹⁶⁺¹⁶=344¹⁶⋅344¹⁶ ≡ 386⋅386=148996 ≡ 253 mod 787

64: 344⁶⁴=344³²⁺³²=344³²⋅344³² ≡ 253⋅253=64009 ≡ 262 mod 787

344¹¹¹

= 344^{64+32+8+4+2+1}

= 344⁶⁴⋅344³²⋅344⁸⋅344⁴⋅344²⋅344¹

≡ 262 ⋅ 253 ⋅ 343 ⋅ 735 ⋅ 286 ⋅ 344 mod 787
≡ 66286 ⋅ 343 ⋅ 735 ⋅ 286 ⋅ 344 mod 787 ≡ 178 ⋅ 343 ⋅ 735 ⋅ 286 ⋅ 344 mod 787
≡ 61054 ⋅ 735 ⋅ 286 ⋅ 344 mod 787 ≡ 455 ⋅ 735 ⋅ 286 ⋅ 344 mod 787
≡ 334425 ⋅ 286 ⋅ 344 mod 787 ≡ 737 ⋅ 286 ⋅ 344 mod 787
≡ 210782 ⋅ 344 mod 787 ≡ 653 ⋅ 344 mod 787
≡ 224632 mod 787 ≡ 337 mod 787

Es gilt also: 344¹¹¹ ≡ 337 mod 787

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

=>53	= 1⋅31 + 22
=>31	= 1⋅22 + 9
=>22	= 2⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-1⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22) = -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22) = 5⋅31 -7⋅ 22 (=1)
22= 53-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31) = 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31) = -7⋅53 +12⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31

oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅53 = +12⋅31

Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1

Somit 12⋅31 = 1 mod 53

12 ist also das Inverse von 31 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

Schlüsselpaar für RSA