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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (286 - 210) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(286 - 210) mod 7 ≡ (286 mod 7 - 210 mod 7) mod 7.

286 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 286 = 280+6 = 7 ⋅ 40 +6.

210 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 210 = 210+0 = 7 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(286 - 210) mod 7 ≡ (6 - 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 44) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 44) mod 9 ≡ (49 mod 9 ⋅ 44 mod 9) mod 9.

49 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 45 + 4 = 5 ⋅ 9 + 4 ist.

44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 44) mod 9 ≡ (4 ⋅ 8) mod 9 ≡ 32 mod 9 ≡ 5 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 12132 mod 271.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 121 -> x
2. mod(x²,271) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1211=121

2: 1212=1211+1=1211⋅1211 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 7 mod 271

4: 1214=1212+2=1212⋅1212 ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 271

8: 1218=1214+4=1214⋅1214 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 233 mod 271

16: 12116=1218+8=1218⋅1218 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 89 mod 271

32: 12132=12116+16=12116⋅12116 ≡ 89⋅89=7921 ≡ 62 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 138169 mod 227.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 169 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 169 an und zerlegen 169 in eine Summer von 2er-Potenzen:

169 = 128+32+8+1

1: 1381=138

2: 1382=1381+1=1381⋅1381 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 203 mod 227

4: 1384=1382+2=1382⋅1382 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 122 mod 227

8: 1388=1384+4=1384⋅1384 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 129 mod 227

16: 13816=1388+8=1388⋅1388 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 70 mod 227

32: 13832=13816+16=13816⋅13816 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 133 mod 227

64: 13864=13832+32=13832⋅13832 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 210 mod 227

128: 138128=13864+64=13864⋅13864 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 62 mod 227

138169

= 138128+32+8+1

= 138128⋅13832⋅1388⋅1381

62 ⋅ 133 ⋅ 129 ⋅ 138 mod 227
8246 ⋅ 129 ⋅ 138 mod 227 ≡ 74 ⋅ 129 ⋅ 138 mod 227
9546 ⋅ 138 mod 227 ≡ 12 ⋅ 138 mod 227
1656 mod 227 ≡ 67 mod 227

Es gilt also: 138169 ≡ 67 mod 227

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 56.

Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 56

=>79 = 1⋅56 + 23
=>56 = 2⋅23 + 10
=>23 = 2⋅10 + 3
=>10 = 3⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 23-2⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10)
= -3⋅23 +7⋅ 10 (=1)
10= 56-2⋅23 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅23 +7⋅(56 -2⋅ 23)
= -3⋅23 +7⋅56 -14⋅ 23)
= 7⋅56 -17⋅ 23 (=1)
23= 79-1⋅56 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅56 -17⋅(79 -1⋅ 56)
= 7⋅56 -17⋅79 +17⋅ 56)
= -17⋅79 +24⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(79,56)=1 = -17⋅79 +24⋅56

oder wenn man -17⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅79 = +24⋅56

Es gilt also: 24⋅56 = 17⋅79 +1

Somit 24⋅56 = 1 mod 79

24 ist also das Inverse von 56 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.