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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (184 + 276) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(184 + 276) mod 9 ≡ (184 mod 9 + 276 mod 9) mod 9.

184 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 184 = 180+4 = 9 ⋅ 20 +4.

276 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276 = 270+6 = 9 ⋅ 30 +6.

Somit gilt:

(184 + 276) mod 9 ≡ (4 + 6) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 85) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 85) mod 6 ≡ (89 mod 6 ⋅ 85 mod 6) mod 6.

89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.

85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 85) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 173⁸ mod 449.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2³).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 173 -> x
2. mod(x²,449) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 173¹=173

2: 173²=173¹⁺¹=173¹⋅173¹ ≡ 173⋅173=29929 ≡ 295 mod 449

4: 173⁴=173²⁺²=173²⋅173² ≡ 295⋅295=87025 ≡ 368 mod 449

8: 173⁸=173⁴⁺⁴=173⁴⋅173⁴ ≡ 368⋅368=135424 ≡ 275 mod 449

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 107²²³ mod 331.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

1: 107¹=107

2: 107²=107¹⁺¹=107¹⋅107¹ ≡ 107⋅107=11449 ≡ 195 mod 331

4: 107⁴=107²⁺²=107²⋅107² ≡ 195⋅195=38025 ≡ 291 mod 331

8: 107⁸=107⁴⁺⁴=107⁴⋅107⁴ ≡ 291⋅291=84681 ≡ 276 mod 331

16: 107¹⁶=107⁸⁺⁸=107⁸⋅107⁸ ≡ 276⋅276=76176 ≡ 46 mod 331

32: 107³²=107¹⁶⁺¹⁶=107¹⁶⋅107¹⁶ ≡ 46⋅46=2116 ≡ 130 mod 331

64: 107⁶⁴=107³²⁺³²=107³²⋅107³² ≡ 130⋅130=16900 ≡ 19 mod 331

128: 107¹²⁸=107⁶⁴⁺⁶⁴=107⁶⁴⋅107⁶⁴ ≡ 19⋅19=361 ≡ 30 mod 331

107²²³

= 107^{128+64+16+8+4+2+1}

= 107¹²⁸⋅107⁶⁴⋅107¹⁶⋅107⁸⋅107⁴⋅107²⋅107¹

≡ 30 ⋅ 19 ⋅ 46 ⋅ 276 ⋅ 291 ⋅ 195 ⋅ 107 mod 331
≡ 570 ⋅ 46 ⋅ 276 ⋅ 291 ⋅ 195 ⋅ 107 mod 331 ≡ 239 ⋅ 46 ⋅ 276 ⋅ 291 ⋅ 195 ⋅ 107 mod 331
≡ 10994 ⋅ 276 ⋅ 291 ⋅ 195 ⋅ 107 mod 331 ≡ 71 ⋅ 276 ⋅ 291 ⋅ 195 ⋅ 107 mod 331
≡ 19596 ⋅ 291 ⋅ 195 ⋅ 107 mod 331 ≡ 67 ⋅ 291 ⋅ 195 ⋅ 107 mod 331
≡ 19497 ⋅ 195 ⋅ 107 mod 331 ≡ 299 ⋅ 195 ⋅ 107 mod 331
≡ 58305 ⋅ 107 mod 331 ≡ 49 ⋅ 107 mod 331
≡ 5243 mod 331 ≡ 278 mod 331

Es gilt also: 107²²³ ≡ 278 mod 331

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70

=>101	= 1⋅70 + 31
=>70	= 2⋅31 + 8
=>31	= 3⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 70-2⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31) = -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31) = 4⋅70 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-1⋅70	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70) = 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70) = -9⋅101 +13⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +13⋅70

Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1

Somit 13⋅70 = 1 mod 101

13 ist also das Inverse von 70 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70

Schlüsselpaar für RSA