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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9000 + 5998) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9000 + 5998) mod 3 ≡ (9000 mod 3 + 5998 mod 3) mod 3.

9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000 = 9000+0 = 3 ⋅ 3000 +0.

5998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 3 ⋅ 2000 -2 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(9000 + 5998) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 51) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 51) mod 4 ≡ (67 mod 4 ⋅ 51 mod 4) mod 4.

67 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 64 + 3 = 16 ⋅ 4 + 3 ist.

51 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 12 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 51) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32216 mod 859.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 322 -> x
2. mod(x²,859) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3221=322

2: 3222=3221+1=3221⋅3221 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 604 mod 859

4: 3224=3222+2=3222⋅3222 ≡ 604⋅604=364816 ≡ 600 mod 859

8: 3228=3224+4=3224⋅3224 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 79 mod 859

16: 32216=3228+8=3228⋅3228 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 228 mod 859

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 546143 mod 941.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:

143 = 128+8+4+2+1

1: 5461=546

2: 5462=5461+1=5461⋅5461 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 760 mod 941

4: 5464=5462+2=5462⋅5462 ≡ 760⋅760=577600 ≡ 767 mod 941

8: 5468=5464+4=5464⋅5464 ≡ 767⋅767=588289 ≡ 164 mod 941

16: 54616=5468+8=5468⋅5468 ≡ 164⋅164=26896 ≡ 548 mod 941

32: 54632=54616+16=54616⋅54616 ≡ 548⋅548=300304 ≡ 125 mod 941

64: 54664=54632+32=54632⋅54632 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 569 mod 941

128: 546128=54664+64=54664⋅54664 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 57 mod 941

546143

= 546128+8+4+2+1

= 546128⋅5468⋅5464⋅5462⋅5461

≡ 57 ⋅ 164 ⋅ 767 ⋅ 760 ⋅ 546 mod 941
≡ 9348 ⋅ 767 ⋅ 760 ⋅ 546 mod 941 ≡ 879 ⋅ 767 ⋅ 760 ⋅ 546 mod 941
≡ 674193 ⋅ 760 ⋅ 546 mod 941 ≡ 437 ⋅ 760 ⋅ 546 mod 941
≡ 332120 ⋅ 546 mod 941 ≡ 888 ⋅ 546 mod 941
≡ 484848 mod 941 ≡ 233 mod 941

Es gilt also: 546143 ≡ 233 mod 941

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 28

=>53 = 1⋅28 + 25
=>28 = 1⋅25 + 3
=>25 = 8⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-8⋅3
3= 28-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅25 -8⋅(28 -1⋅ 25)
= 1⋅25 -8⋅28 +8⋅ 25)
= -8⋅28 +9⋅ 25 (=1)
25= 53-1⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅28 +9⋅(53 -1⋅ 28)
= -8⋅28 +9⋅53 -9⋅ 28)
= 9⋅53 -17⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(53,28)=1 = 9⋅53 -17⋅28

oder wenn man 9⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅53 = -17⋅28

-17⋅28 = -9⋅53 + 1 |+53⋅28

-17⋅28 + 53⋅28 = -9⋅53 + 53⋅28 + 1

(-17 + 53) ⋅ 28 = (-9 + 28) ⋅ 53 + 1

36⋅28 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 36⋅28 = 19⋅53 +1

Somit 36⋅28 = 1 mod 53

36 ist also das Inverse von 28 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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