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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1796 - 303) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1796 - 303) mod 6 ≡ (1796 mod 6 - 303 mod 6) mod 6.
1796 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796
= 1800
303 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303
= 300
Somit gilt:
(1796 - 303) mod 6 ≡ (2 - 3) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 54) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(42 ⋅ 54) mod 5 ≡ (42 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.
42 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 8 ⋅ 5 + 2 ist.
54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(42 ⋅ 54) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4528 mod 743.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 452 -> x
2. mod(x²,743) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4521=452
2: 4522=4521+1=4521⋅4521 ≡ 452⋅452=204304 ≡ 722 mod 743
4: 4524=4522+2=4522⋅4522 ≡ 722⋅722=521284 ≡ 441 mod 743
8: 4528=4524+4=4524⋅4524 ≡ 441⋅441=194481 ≡ 558 mod 743
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 303247 mod 397.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:
247 = 128+64+32+16+4+2+1
1: 3031=303
2: 3032=3031+1=3031⋅3031 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 102 mod 397
4: 3034=3032+2=3032⋅3032 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 82 mod 397
8: 3038=3034+4=3034⋅3034 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 372 mod 397
16: 30316=3038+8=3038⋅3038 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 228 mod 397
32: 30332=30316+16=30316⋅30316 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 374 mod 397
64: 30364=30332+32=30332⋅30332 ≡ 374⋅374=139876 ≡ 132 mod 397
128: 303128=30364+64=30364⋅30364 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 353 mod 397
303247
= 303128+64+32+16+4+2+1
= 303128⋅30364⋅30332⋅30316⋅3034⋅3032⋅3031
≡ 353 ⋅ 132 ⋅ 374 ⋅ 228 ⋅ 82 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397
≡ 46596 ⋅ 374 ⋅ 228 ⋅ 82 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397 ≡ 147 ⋅ 374 ⋅ 228 ⋅ 82 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397
≡ 54978 ⋅ 228 ⋅ 82 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397 ≡ 192 ⋅ 228 ⋅ 82 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397
≡ 43776 ⋅ 82 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397 ≡ 106 ⋅ 82 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397
≡ 8692 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397 ≡ 355 ⋅ 102 ⋅ 303 mod 397
≡ 36210 ⋅ 303 mod 397 ≡ 83 ⋅ 303 mod 397
≡ 25149 mod 397 ≡ 138 mod 397
Es gilt also: 303247 ≡ 138 mod 397
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 42
| =>97 | = 2⋅42 + 13 |
| =>42 | = 3⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 42-3⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(42 -3⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅42 +12⋅ 13) = -4⋅42 +13⋅ 13 (=1) |
| 13= 97-2⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅42 +13⋅(97 -2⋅ 42)
= -4⋅42 +13⋅97 -26⋅ 42) = 13⋅97 -30⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,42)=1 = 13⋅97 -30⋅42
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -30⋅42
-30⋅42 = -13⋅97 + 1 |+97⋅42
-30⋅42 + 97⋅42 = -13⋅97 + 97⋅42 + 1
(-30 + 97) ⋅ 42 = (-13 + 42) ⋅ 97 + 1
67⋅42 = 29⋅97 + 1
Es gilt also: 67⋅42 = 29⋅97 +1
Somit 67⋅42 = 1 mod 97
67 ist also das Inverse von 42 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
