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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (897 + 35991) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(897 + 35991) mod 9 ≡ (897 mod 9 + 35991 mod 9) mod 9.

897 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 897 = 900-3 = 9 ⋅ 100 -3 = 9 ⋅ 100 - 9 + 6.

35991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35991 = 36000-9 = 9 ⋅ 4000 -9 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 0.

Somit gilt:

(897 + 35991) mod 9 ≡ (6 + 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 70) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 70) mod 4 ≡ (77 mod 4 ⋅ 70 mod 4) mod 4.

77 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 76 + 1 = 19 ⋅ 4 + 1 ist.

70 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 68 + 2 = 17 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 70) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2338 mod 719.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 233 -> x
2. mod(x²,719) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2331=233

2: 2332=2331+1=2331⋅2331 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 364 mod 719

4: 2334=2332+2=2332⋅2332 ≡ 364⋅364=132496 ≡ 200 mod 719

8: 2338=2334+4=2334⋅2334 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 455 mod 719

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 317175 mod 757.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 175 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 175 an und zerlegen 175 in eine Summer von 2er-Potenzen:

175 = 128+32+8+4+2+1

1: 3171=317

2: 3172=3171+1=3171⋅3171 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 565 mod 757

4: 3174=3172+2=3172⋅3172 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 528 mod 757

8: 3178=3174+4=3174⋅3174 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 208 mod 757

16: 31716=3178+8=3178⋅3178 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 115 mod 757

32: 31732=31716+16=31716⋅31716 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 356 mod 757

64: 31764=31732+32=31732⋅31732 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 317 mod 757

128: 317128=31764+64=31764⋅31764 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 565 mod 757

317175

= 317128+32+8+4+2+1

= 317128⋅31732⋅3178⋅3174⋅3172⋅3171

≡ 565 ⋅ 356 ⋅ 208 ⋅ 528 ⋅ 565 ⋅ 317 mod 757
≡ 201140 ⋅ 208 ⋅ 528 ⋅ 565 ⋅ 317 mod 757 ≡ 535 ⋅ 208 ⋅ 528 ⋅ 565 ⋅ 317 mod 757
≡ 111280 ⋅ 528 ⋅ 565 ⋅ 317 mod 757 ≡ 1 ⋅ 528 ⋅ 565 ⋅ 317 mod 757
≡ 528 ⋅ 565 ⋅ 317 mod 757
≡ 298320 ⋅ 317 mod 757 ≡ 62 ⋅ 317 mod 757
≡ 19654 mod 757 ≡ 729 mod 757

Es gilt also: 317175 ≡ 729 mod 757

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 71.

Also bestimme x, so dass 71 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 71

=>79 = 1⋅71 + 8
=>71 = 8⋅8 + 7
=>8 = 1⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,71)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 71-8⋅8 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅8 -1⋅(71 -8⋅ 8)
= 1⋅8 -1⋅71 +8⋅ 8)
= -1⋅71 +9⋅ 8 (=1)
8= 79-1⋅71 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅71 +9⋅(79 -1⋅ 71)
= -1⋅71 +9⋅79 -9⋅ 71)
= 9⋅79 -10⋅ 71 (=1)

Es gilt also: ggt(79,71)=1 = 9⋅79 -10⋅71

oder wenn man 9⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅79 = -10⋅71

-10⋅71 = -9⋅79 + 1 |+79⋅71

-10⋅71 + 79⋅71 = -9⋅79 + 79⋅71 + 1

(-10 + 79) ⋅ 71 = (-9 + 71) ⋅ 79 + 1

69⋅71 = 62⋅79 + 1

Es gilt also: 69⋅71 = 62⋅79 +1

Somit 69⋅71 = 1 mod 79

69 ist also das Inverse von 71 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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