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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (403 - 16001) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(403 - 16001) mod 4 ≡ (403 mod 4 - 16001 mod 4) mod 4.

403 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403 = 400+3 = 4 ⋅ 100 +3.

16001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001 = 16000+1 = 4 ⋅ 4000 +1.

Somit gilt:

(403 - 16001) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 40) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 40) mod 8 ≡ (54 mod 8 ⋅ 40 mod 8) mod 8.

54 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 48 + 6 = 6 ⋅ 8 + 6 ist.

40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 40) mod 8 ≡ (6 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 54664 mod 853.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 546 -> x
2. mod(x²,853) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5461=546

2: 5462=5461+1=5461⋅5461 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 419 mod 853

4: 5464=5462+2=5462⋅5462 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 696 mod 853

8: 5468=5464+4=5464⋅5464 ≡ 696⋅696=484416 ≡ 765 mod 853

16: 54616=5468+8=5468⋅5468 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 67 mod 853

32: 54632=54616+16=54616⋅54616 ≡ 67⋅67=4489 ≡ 224 mod 853

64: 54664=54632+32=54632⋅54632 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 702 mod 853

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 40982 mod 701.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 82 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 82 an und zerlegen 82 in eine Summer von 2er-Potenzen:

82 = 64+16+2

1: 4091=409

2: 4092=4091+1=4091⋅4091 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 443 mod 701

4: 4094=4092+2=4092⋅4092 ≡ 443⋅443=196249 ≡ 670 mod 701

8: 4098=4094+4=4094⋅4094 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 260 mod 701

16: 40916=4098+8=4098⋅4098 ≡ 260⋅260=67600 ≡ 304 mod 701

32: 40932=40916+16=40916⋅40916 ≡ 304⋅304=92416 ≡ 585 mod 701

64: 40964=40932+32=40932⋅40932 ≡ 585⋅585=342225 ≡ 137 mod 701

40982

= 40964+16+2

= 40964⋅40916⋅4092

137 ⋅ 304 ⋅ 443 mod 701
41648 ⋅ 443 mod 701 ≡ 289 ⋅ 443 mod 701
128027 mod 701 ≡ 445 mod 701

Es gilt also: 40982 ≡ 445 mod 701

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 32

=>61 = 1⋅32 + 29
=>32 = 1⋅29 + 3
=>29 = 9⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 29-9⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(29 -9⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅29 +9⋅ 3)
= -1⋅29 +10⋅ 3 (=1)
3= 32-1⋅29 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅29 +10⋅(32 -1⋅ 29)
= -1⋅29 +10⋅32 -10⋅ 29)
= 10⋅32 -11⋅ 29 (=1)
29= 61-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 10⋅32 -11⋅(61 -1⋅ 32)
= 10⋅32 -11⋅61 +11⋅ 32)
= -11⋅61 +21⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(61,32)=1 = -11⋅61 +21⋅32

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +21⋅32

Es gilt also: 21⋅32 = 11⋅61 +1

Somit 21⋅32 = 1 mod 61

21 ist also das Inverse von 32 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.