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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (252 - 1005) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(252 - 1005) mod 5 ≡ (252 mod 5 - 1005 mod 5) mod 5.

252 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 252 = 250+2 = 5 ⋅ 50 +2.

1005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1005 = 1000+5 = 5 ⋅ 200 +5.

Somit gilt:

(252 - 1005) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 95) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 95) mod 7 ≡ (66 mod 7 ⋅ 95 mod 7) mod 7.

66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 9 ⋅ 7 + 3 ist.

95 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 91 + 4 = 13 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 95) mod 7 ≡ (3 ⋅ 4) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31616 mod 439.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 316 -> x
2. mod(x²,439) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3161=316

2: 3162=3161+1=3161⋅3161 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 203 mod 439

4: 3164=3162+2=3162⋅3162 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 382 mod 439

8: 3168=3164+4=3164⋅3164 ≡ 382⋅382=145924 ≡ 176 mod 439

16: 31616=3168+8=3168⋅3168 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 246 mod 439

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 337114 mod 659.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:

114 = 64+32+16+2

1: 3371=337

2: 3372=3371+1=3371⋅3371 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 221 mod 659

4: 3374=3372+2=3372⋅3372 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 75 mod 659

8: 3378=3374+4=3374⋅3374 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 353 mod 659

16: 33716=3378+8=3378⋅3378 ≡ 353⋅353=124609 ≡ 58 mod 659

32: 33732=33716+16=33716⋅33716 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 69 mod 659

64: 33764=33732+32=33732⋅33732 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 148 mod 659

337114

= 33764+32+16+2

= 33764⋅33732⋅33716⋅3372

148 ⋅ 69 ⋅ 58 ⋅ 221 mod 659
10212 ⋅ 58 ⋅ 221 mod 659 ≡ 327 ⋅ 58 ⋅ 221 mod 659
18966 ⋅ 221 mod 659 ≡ 514 ⋅ 221 mod 659
113594 mod 659 ≡ 246 mod 659

Es gilt also: 337114 ≡ 246 mod 659

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.

Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34

=>61 = 1⋅34 + 27
=>34 = 1⋅27 + 7
=>27 = 3⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,34)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7)
= -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 34-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27)
= 4⋅34 -5⋅ 27 (=1)
27= 61-1⋅34 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34)
= -5⋅61 +9⋅ 34 (=1)

Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34

oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅61 = +9⋅34

Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1

Somit 9⋅34 = 1 mod 61

9 ist also das Inverse von 34 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.