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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2803 + 6995) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2803 + 6995) mod 7 ≡ (2803 mod 7 + 6995 mod 7) mod 7.

2803 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2803 = 2800+3 = 7 ⋅ 400 +3.

6995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6995 = 7000-5 = 7 ⋅ 1000 -5 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 2.

Somit gilt:

(2803 + 6995) mod 7 ≡ (3 + 2) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 43) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 43) mod 8 ≡ (78 mod 8 ⋅ 43 mod 8) mod 8.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.

43 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 5 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 43) mod 8 ≡ (6 ⋅ 3) mod 8 ≡ 18 mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43864 mod 547.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 438 -> x
2. mod(x²,547) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4381=438

2: 4382=4381+1=4381⋅4381 ≡ 438⋅438=191844 ≡ 394 mod 547

4: 4384=4382+2=4382⋅4382 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 435 mod 547

8: 4388=4384+4=4384⋅4384 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 510 mod 547

16: 43816=4388+8=4388⋅4388 ≡ 510⋅510=260100 ≡ 275 mod 547

32: 43832=43816+16=43816⋅43816 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 139 mod 547

64: 43864=43832+32=43832⋅43832 ≡ 139⋅139=19321 ≡ 176 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 199222 mod 491.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

1: 1991=199

2: 1992=1991+1=1991⋅1991 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 321 mod 491

4: 1994=1992+2=1992⋅1992 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 422 mod 491

8: 1998=1994+4=1994⋅1994 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 342 mod 491

16: 19916=1998+8=1998⋅1998 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 106 mod 491

32: 19932=19916+16=19916⋅19916 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 434 mod 491

64: 19964=19932+32=19932⋅19932 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 303 mod 491

128: 199128=19964+64=19964⋅19964 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 483 mod 491

199222

= 199128+64+16+8+4+2

= 199128⋅19964⋅19916⋅1998⋅1994⋅1992

483 ⋅ 303 ⋅ 106 ⋅ 342 ⋅ 422 ⋅ 321 mod 491
146349 ⋅ 106 ⋅ 342 ⋅ 422 ⋅ 321 mod 491 ≡ 31 ⋅ 106 ⋅ 342 ⋅ 422 ⋅ 321 mod 491
3286 ⋅ 342 ⋅ 422 ⋅ 321 mod 491 ≡ 340 ⋅ 342 ⋅ 422 ⋅ 321 mod 491
116280 ⋅ 422 ⋅ 321 mod 491 ≡ 404 ⋅ 422 ⋅ 321 mod 491
170488 ⋅ 321 mod 491 ≡ 111 ⋅ 321 mod 491
35631 mod 491 ≡ 279 mod 491

Es gilt also: 199222 ≡ 279 mod 491

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37

=>59 = 1⋅37 + 22
=>37 = 1⋅22 + 15
=>22 = 1⋅15 + 7
=>15 = 2⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15)
= -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 37-1⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22)
= 3⋅37 -5⋅ 22 (=1)
22= 59-1⋅37 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37)
= 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37)
= -5⋅59 +8⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37

oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅59 = +8⋅37

Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1

Somit 8⋅37 = 1 mod 59

8 ist also das Inverse von 37 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.