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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23997 + 180) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23997 + 180) mod 6 ≡ (23997 mod 6 + 180 mod 6) mod 6.
23997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23997
= 24000
180 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 180
= 180
Somit gilt:
(23997 + 180) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 84) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 84) mod 10 ≡ (89 mod 10 ⋅ 84 mod 10) mod 10.
89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.
84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 84) mod 10 ≡ (9 ⋅ 4) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2258 mod 239.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 225 -> x
2. mod(x²,239) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2251=225
2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 196 mod 239
4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 176 mod 239
8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 176⋅176=30976 ≡ 145 mod 239
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 612203 mod 941.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:
203 = 128+64+8+2+1
1: 6121=612
2: 6122=6121+1=6121⋅6121 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 26 mod 941
4: 6124=6122+2=6122⋅6122 ≡ 26⋅26=676 ≡ 676 mod 941
8: 6128=6124+4=6124⋅6124 ≡ 676⋅676=456976 ≡ 591 mod 941
16: 61216=6128+8=6128⋅6128 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 170 mod 941
32: 61232=61216+16=61216⋅61216 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 670 mod 941
64: 61264=61232+32=61232⋅61232 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 43 mod 941
128: 612128=61264+64=61264⋅61264 ≡ 43⋅43=1849 ≡ 908 mod 941
612203
= 612128+64+8+2+1
= 612128⋅61264⋅6128⋅6122⋅6121
≡ 908 ⋅ 43 ⋅ 591 ⋅ 26 ⋅ 612 mod 941
≡ 39044 ⋅ 591 ⋅ 26 ⋅ 612 mod 941 ≡ 463 ⋅ 591 ⋅ 26 ⋅ 612 mod 941
≡ 273633 ⋅ 26 ⋅ 612 mod 941 ≡ 743 ⋅ 26 ⋅ 612 mod 941
≡ 19318 ⋅ 612 mod 941 ≡ 498 ⋅ 612 mod 941
≡ 304776 mod 941 ≡ 833 mod 941
Es gilt also: 612203 ≡ 833 mod 941
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 58
| =>73 | = 1⋅58 + 15 |
| =>58 | = 3⋅15 + 13 |
| =>15 | = 1⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 15-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(15 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅15 +6⋅ 13) = -6⋅15 +7⋅ 13 (=1) |
| 13= 58-3⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅15 +7⋅(58 -3⋅ 15)
= -6⋅15 +7⋅58 -21⋅ 15) = 7⋅58 -27⋅ 15 (=1) |
| 15= 73-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 7⋅58 -27⋅(73 -1⋅ 58)
= 7⋅58 -27⋅73 +27⋅ 58) = -27⋅73 +34⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,58)=1 = -27⋅73 +34⋅58
oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅73 = +34⋅58
Es gilt also: 34⋅58 = 27⋅73 +1
Somit 34⋅58 = 1 mod 73
34 ist also das Inverse von 58 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
