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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1997 + 10000) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1997 + 10000) mod 5 ≡ (1997 mod 5 + 10000 mod 5) mod 5.
1997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997
= 1900
10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000
= 10000
Somit gilt:
(1997 + 10000) mod 5 ≡ (2 + 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 65) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 ⋅ 65) mod 11 ≡ (85 mod 11 ⋅ 65 mod 11) mod 11.
85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.
65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(85 ⋅ 65) mod 11 ≡ (8 ⋅ 10) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 56116 mod 941.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 561 -> x
2. mod(x²,941) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5611=561
2: 5612=5611+1=5611⋅5611 ≡ 561⋅561=314721 ≡ 427 mod 941
4: 5614=5612+2=5612⋅5612 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 716 mod 941
8: 5618=5614+4=5614⋅5614 ≡ 716⋅716=512656 ≡ 752 mod 941
16: 56116=5618+8=5618⋅5618 ≡ 752⋅752=565504 ≡ 904 mod 941
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 689202 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 202 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 202 an und zerlegen 202 in eine Summer von 2er-Potenzen:
202 = 128+64+8+2
1: 6891=689
2: 6892=6891+1=6891⋅6891 ≡ 689⋅689=474721 ≡ 90 mod 911
4: 6894=6892+2=6892⋅6892 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 812 mod 911
8: 6898=6894+4=6894⋅6894 ≡ 812⋅812=659344 ≡ 691 mod 911
16: 68916=6898+8=6898⋅6898 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 117 mod 911
32: 68932=68916+16=68916⋅68916 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 24 mod 911
64: 68964=68932+32=68932⋅68932 ≡ 24⋅24=576 ≡ 576 mod 911
128: 689128=68964+64=68964⋅68964 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 172 mod 911
689202
= 689128+64+8+2
= 689128⋅68964⋅6898⋅6892
≡ 172 ⋅ 576 ⋅ 691 ⋅ 90 mod 911
≡ 99072 ⋅ 691 ⋅ 90 mod 911 ≡ 684 ⋅ 691 ⋅ 90 mod 911
≡ 472644 ⋅ 90 mod 911 ≡ 746 ⋅ 90 mod 911
≡ 67140 mod 911 ≡ 637 mod 911
Es gilt also: 689202 ≡ 637 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 55.
Also bestimme x, so dass 55 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 55
=>101 | = 1⋅55 + 46 |
=>55 | = 1⋅46 + 9 |
=>46 | = 5⋅9 + 1 |
=>9 | = 9⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,55)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
1= 46-5⋅9 | |||
9= 55-1⋅46 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅46 -5⋅(55 -1⋅ 46)
= 1⋅46 -5⋅55 +5⋅ 46) = -5⋅55 +6⋅ 46 (=1) |
46= 101-1⋅55 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -5⋅55 +6⋅(101 -1⋅ 55)
= -5⋅55 +6⋅101 -6⋅ 55) = 6⋅101 -11⋅ 55 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,55)=1 = 6⋅101 -11⋅55
oder wenn man 6⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 -6⋅101 = -11⋅55
-11⋅55 = -6⋅101 + 1 |+101⋅55
-11⋅55 + 101⋅55 = -6⋅101 + 101⋅55 + 1
(-11 + 101) ⋅ 55 = (-6 + 55) ⋅ 101 + 1
90⋅55 = 49⋅101 + 1
Es gilt also: 90⋅55 = 49⋅101 +1
Somit 90⋅55 = 1 mod 101
90 ist also das Inverse von 55 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.