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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 - 213) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 - 213) mod 7 ≡ (67 mod 7 - 213 mod 7) mod 7.

67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 70-3 = 7 ⋅ 10 -3 = 7 ⋅ 10 - 7 + 4.

213 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 213 = 210+3 = 7 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(67 - 213) mod 7 ≡ (4 - 3) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 85) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 85) mod 8 ≡ (59 mod 8 ⋅ 85 mod 8) mod 8.

59 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 56 + 3 = 7 ⋅ 8 + 3 ist.

85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 10 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 85) mod 8 ≡ (3 ⋅ 5) mod 8 ≡ 15 mod 8 ≡ 7 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 267¹²⁸ mod 409.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 267 -> x
2. mod(x²,409) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 267¹=267

2: 267²=267¹⁺¹=267¹⋅267¹ ≡ 267⋅267=71289 ≡ 123 mod 409

4: 267⁴=267²⁺²=267²⋅267² ≡ 123⋅123=15129 ≡ 405 mod 409

8: 267⁸=267⁴⁺⁴=267⁴⋅267⁴ ≡ 405⋅405=164025 ≡ 16 mod 409

16: 267¹⁶=267⁸⁺⁸=267⁸⋅267⁸ ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 409

32: 267³²=267¹⁶⁺¹⁶=267¹⁶⋅267¹⁶ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 96 mod 409

64: 267⁶⁴=267³²⁺³²=267³²⋅267³² ≡ 96⋅96=9216 ≡ 218 mod 409

128: 267¹²⁸=267⁶⁴⁺⁶⁴=267⁶⁴⋅267⁶⁴ ≡ 218⋅218=47524 ≡ 80 mod 409

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 273²⁵⁰ mod 283.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 250 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 250 an und zerlegen 250 in eine Summer von 2er-Potenzen:

250 = 128+64+32+16+8+2

1: 273¹=273

2: 273²=273¹⁺¹=273¹⋅273¹ ≡ 273⋅273=74529 ≡ 100 mod 283

4: 273⁴=273²⁺²=273²⋅273² ≡ 100⋅100=10000 ≡ 95 mod 283

8: 273⁸=273⁴⁺⁴=273⁴⋅273⁴ ≡ 95⋅95=9025 ≡ 252 mod 283

16: 273¹⁶=273⁸⁺⁸=273⁸⋅273⁸ ≡ 252⋅252=63504 ≡ 112 mod 283

32: 273³²=273¹⁶⁺¹⁶=273¹⁶⋅273¹⁶ ≡ 112⋅112=12544 ≡ 92 mod 283

64: 273⁶⁴=273³²⁺³²=273³²⋅273³² ≡ 92⋅92=8464 ≡ 257 mod 283

128: 273¹²⁸=273⁶⁴⁺⁶⁴=273⁶⁴⋅273⁶⁴ ≡ 257⋅257=66049 ≡ 110 mod 283

273²⁵⁰

= 273^{128+64+32+16+8+2}

= 273¹²⁸⋅273⁶⁴⋅273³²⋅273¹⁶⋅273⁸⋅273²

≡ 110 ⋅ 257 ⋅ 92 ⋅ 112 ⋅ 252 ⋅ 100 mod 283
≡ 28270 ⋅ 92 ⋅ 112 ⋅ 252 ⋅ 100 mod 283 ≡ 253 ⋅ 92 ⋅ 112 ⋅ 252 ⋅ 100 mod 283
≡ 23276 ⋅ 112 ⋅ 252 ⋅ 100 mod 283 ≡ 70 ⋅ 112 ⋅ 252 ⋅ 100 mod 283
≡ 7840 ⋅ 252 ⋅ 100 mod 283 ≡ 199 ⋅ 252 ⋅ 100 mod 283
≡ 50148 ⋅ 100 mod 283 ≡ 57 ⋅ 100 mod 283
≡ 5700 mod 283 ≡ 40 mod 283

Es gilt also: 273²⁵⁰ ≡ 40 mod 283

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40

=>59	= 1⋅40 + 19
=>40	= 2⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 40-2⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(40 -2⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅40 +18⋅ 19) = -9⋅40 +19⋅ 19 (=1)
19= 59-1⋅40	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅40 +19⋅(59 -1⋅ 40) = -9⋅40 +19⋅59 -19⋅ 40) = 19⋅59 -28⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(59,40)=1 = 19⋅59 -28⋅40

oder wenn man 19⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅59 = -28⋅40

-28⋅40 = -19⋅59 + 1 |+59⋅40

-28⋅40 + 59⋅40 = -19⋅59 + 59⋅40 + 1

(-28 + 59) ⋅ 40 = (-19 + 40) ⋅ 59 + 1

31⋅40 = 21⋅59 + 1

Es gilt also: 31⋅40 = 21⋅59 +1

Somit 31⋅40 = 1 mod 59

31 ist also das Inverse von 40 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 40

Schlüsselpaar für RSA