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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1800 - 84) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1800 - 84) mod 9 ≡ (1800 mod 9 - 84 mod 9) mod 9.

1800 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 9 ⋅ 200 +0.

84 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 90-6 = 9 ⋅ 10 -6 = 9 ⋅ 10 - 9 + 3.

Somit gilt:

(1800 - 84) mod 9 ≡ (0 - 3) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 60) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 60) mod 7 ≡ (52 mod 7 ⋅ 60 mod 7) mod 7.

52 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 49 + 3 = 7 ⋅ 7 + 3 ist.

60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 60) mod 7 ≡ (3 ⋅ 4) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 837⁶⁴ mod 971.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 837 -> x
2. mod(x²,971) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 837¹=837

2: 837²=837¹⁺¹=837¹⋅837¹ ≡ 837⋅837=700569 ≡ 478 mod 971

4: 837⁴=837²⁺²=837²⋅837² ≡ 478⋅478=228484 ≡ 299 mod 971

8: 837⁸=837⁴⁺⁴=837⁴⋅837⁴ ≡ 299⋅299=89401 ≡ 69 mod 971

16: 837¹⁶=837⁸⁺⁸=837⁸⋅837⁸ ≡ 69⋅69=4761 ≡ 877 mod 971

32: 837³²=837¹⁶⁺¹⁶=837¹⁶⋅837¹⁶ ≡ 877⋅877=769129 ≡ 97 mod 971

64: 837⁶⁴=837³²⁺³²=837³²⋅837³² ≡ 97⋅97=9409 ≡ 670 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 726²²⁹ mod 739.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

1: 726¹=726

2: 726²=726¹⁺¹=726¹⋅726¹ ≡ 726⋅726=527076 ≡ 169 mod 739

4: 726⁴=726²⁺²=726²⋅726² ≡ 169⋅169=28561 ≡ 479 mod 739

8: 726⁸=726⁴⁺⁴=726⁴⋅726⁴ ≡ 479⋅479=229441 ≡ 351 mod 739

16: 726¹⁶=726⁸⁺⁸=726⁸⋅726⁸ ≡ 351⋅351=123201 ≡ 527 mod 739

32: 726³²=726¹⁶⁺¹⁶=726¹⁶⋅726¹⁶ ≡ 527⋅527=277729 ≡ 604 mod 739

64: 726⁶⁴=726³²⁺³²=726³²⋅726³² ≡ 604⋅604=364816 ≡ 489 mod 739

128: 726¹²⁸=726⁶⁴⁺⁶⁴=726⁶⁴⋅726⁶⁴ ≡ 489⋅489=239121 ≡ 424 mod 739

726²²⁹

= 726^{128+64+32+4+1}

= 726¹²⁸⋅726⁶⁴⋅726³²⋅726⁴⋅726¹

≡ 424 ⋅ 489 ⋅ 604 ⋅ 479 ⋅ 726 mod 739
≡ 207336 ⋅ 604 ⋅ 479 ⋅ 726 mod 739 ≡ 416 ⋅ 604 ⋅ 479 ⋅ 726 mod 739
≡ 251264 ⋅ 479 ⋅ 726 mod 739 ≡ 4 ⋅ 479 ⋅ 726 mod 739
≡ 1916 ⋅ 726 mod 739 ≡ 438 ⋅ 726 mod 739
≡ 317988 mod 739 ≡ 218 mod 739

Es gilt also: 726²²⁹ ≡ 218 mod 739

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 47

=>67	= 1⋅47 + 20
=>47	= 2⋅20 + 7
=>20	= 2⋅7 + 6
=>7	= 1⋅6 + 1
=>6	= 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 20-2⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7) = 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1)
7= 47-2⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅20 +3⋅(47 -2⋅ 20) = -1⋅20 +3⋅47 -6⋅ 20) = 3⋅47 -7⋅ 20 (=1)
20= 67-1⋅47	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅47 -7⋅(67 -1⋅ 47) = 3⋅47 -7⋅67 +7⋅ 47) = -7⋅67 +10⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(67,47)=1 = -7⋅67 +10⋅47

oder wenn man -7⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅67 = +10⋅47

Es gilt also: 10⋅47 = 7⋅67 +1

Somit 10⋅47 = 1 mod 67

10 ist also das Inverse von 47 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 47

Schlüsselpaar für RSA