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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (11998 - 82) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(11998 - 82) mod 4 ≡ (11998 mod 4 - 82 mod 4) mod 4.

11998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998 = 11000+998 = 4 ⋅ 2750 +998.

82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80+2 = 4 ⋅ 20 +2.

Somit gilt:

(11998 - 82) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 92) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 92) mod 5 ≡ (58 mod 5 ⋅ 92 mod 5) mod 5.

58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.

92 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 18 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 92) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 18716 mod 521.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 187 -> x
2. mod(x²,521) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1871=187

2: 1872=1871+1=1871⋅1871 ≡ 187⋅187=34969 ≡ 62 mod 521

4: 1874=1872+2=1872⋅1872 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 197 mod 521

8: 1878=1874+4=1874⋅1874 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 255 mod 521

16: 18716=1878+8=1878⋅1878 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 421 mod 521

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 290182 mod 317.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:

182 = 128+32+16+4+2

1: 2901=290

2: 2902=2901+1=2901⋅2901 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 95 mod 317

4: 2904=2902+2=2902⋅2902 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 149 mod 317

8: 2908=2904+4=2904⋅2904 ≡ 149⋅149=22201 ≡ 11 mod 317

16: 29016=2908+8=2908⋅2908 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 317

32: 29032=29016+16=29016⋅29016 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 59 mod 317

64: 29064=29032+32=29032⋅29032 ≡ 59⋅59=3481 ≡ 311 mod 317

128: 290128=29064+64=29064⋅29064 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 36 mod 317

290182

= 290128+32+16+4+2

= 290128⋅29032⋅29016⋅2904⋅2902

36 ⋅ 59 ⋅ 121 ⋅ 149 ⋅ 95 mod 317
2124 ⋅ 121 ⋅ 149 ⋅ 95 mod 317 ≡ 222 ⋅ 121 ⋅ 149 ⋅ 95 mod 317
26862 ⋅ 149 ⋅ 95 mod 317 ≡ 234 ⋅ 149 ⋅ 95 mod 317
34866 ⋅ 95 mod 317 ≡ 313 ⋅ 95 mod 317
29735 mod 317 ≡ 254 mod 317

Es gilt also: 290182 ≡ 254 mod 317

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 47.

Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 47

=>79 = 1⋅47 + 32
=>47 = 1⋅32 + 15
=>32 = 2⋅15 + 2
=>15 = 7⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,47)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-7⋅2
2= 32-2⋅15 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15)
= -7⋅32 +15⋅ 15 (=1)
15= 47-1⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -7⋅32 +15⋅(47 -1⋅ 32)
= -7⋅32 +15⋅47 -15⋅ 32)
= 15⋅47 -22⋅ 32 (=1)
32= 79-1⋅47 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 15⋅47 -22⋅(79 -1⋅ 47)
= 15⋅47 -22⋅79 +22⋅ 47)
= -22⋅79 +37⋅ 47 (=1)

Es gilt also: ggt(79,47)=1 = -22⋅79 +37⋅47

oder wenn man -22⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅79 = +37⋅47

Es gilt also: 37⋅47 = 22⋅79 +1

Somit 37⋅47 = 1 mod 79

37 ist also das Inverse von 47 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.