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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 + 24003) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 + 24003) mod 8 ≡ (79 mod 8 + 24003 mod 8) mod 8.

79 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 80-1 = 8 ⋅ 10 -1 = 8 ⋅ 10 - 8 + 7.

24003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24003 = 24000+3 = 8 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(79 + 24003) mod 8 ≡ (7 + 3) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 30) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 30) mod 5 ≡ (29 mod 5 ⋅ 30 mod 5) mod 5.

29 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 25 + 4 = 5 ⋅ 5 + 4 ist.

30 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 6 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 30) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 32064 mod 569.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 320 -> x
2. mod(x²,569) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3201=320

2: 3202=3201+1=3201⋅3201 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 549 mod 569

4: 3204=3202+2=3202⋅3202 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 400 mod 569

8: 3208=3204+4=3204⋅3204 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 111 mod 569

16: 32016=3208+8=3208⋅3208 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 372 mod 569

32: 32032=32016+16=32016⋅32016 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 117 mod 569

64: 32064=32032+32=32032⋅32032 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 33 mod 569

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 594113 mod 677.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 113 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 113 an und zerlegen 113 in eine Summer von 2er-Potenzen:

113 = 64+32+16+1

1: 5941=594

2: 5942=5941+1=5941⋅5941 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 119 mod 677

4: 5944=5942+2=5942⋅5942 ≡ 119⋅119=14161 ≡ 621 mod 677

8: 5948=5944+4=5944⋅5944 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 428 mod 677

16: 59416=5948+8=5948⋅5948 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 394 mod 677

32: 59432=59416+16=59416⋅59416 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 203 mod 677

64: 59464=59432+32=59432⋅59432 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 589 mod 677

594113

= 59464+32+16+1

= 59464⋅59432⋅59416⋅5941

≡ 589 ⋅ 203 ⋅ 394 ⋅ 594 mod 677
≡ 119567 ⋅ 394 ⋅ 594 mod 677 ≡ 415 ⋅ 394 ⋅ 594 mod 677
≡ 163510 ⋅ 594 mod 677 ≡ 353 ⋅ 594 mod 677
≡ 209682 mod 677 ≡ 489 mod 677

Es gilt also: 594113 ≡ 489 mod 677

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50

=>67 = 1⋅50 + 17
=>50 = 2⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 50-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17)
= -1⋅50 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50)
= 3⋅67 -4⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -4⋅50

-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50

-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1

(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1

63⋅50 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1

Somit 63⋅50 = 1 mod 67

63 ist also das Inverse von 50 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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