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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15998 - 1604) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15998 - 1604) mod 4 ≡ (15998 mod 4 - 1604 mod 4) mod 4.
15998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998
= 15000
1604 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604
= 1600
Somit gilt:
(15998 - 1604) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 71) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 71) mod 11 ≡ (46 mod 11 ⋅ 71 mod 11) mod 11.
46 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 4 ⋅ 11 + 2 ist.
71 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 6 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 71) mod 11 ≡ (2 ⋅ 5) mod 11 ≡ 10 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 22332 mod 307.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 223 -> x
2. mod(x²,307) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2231=223
2: 2232=2231+1=2231⋅2231 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 302 mod 307
4: 2234=2232+2=2232⋅2232 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 25 mod 307
8: 2238=2234+4=2234⋅2234 ≡ 25⋅25=625 ≡ 11 mod 307
16: 22316=2238+8=2238⋅2238 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 307
32: 22332=22316+16=22316⋅22316 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 212 mod 307
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 147158 mod 353.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:
158 = 128+16+8+4+2
1: 1471=147
2: 1472=1471+1=1471⋅1471 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 76 mod 353
4: 1474=1472+2=1472⋅1472 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 128 mod 353
8: 1478=1474+4=1474⋅1474 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 146 mod 353
16: 14716=1478+8=1478⋅1478 ≡ 146⋅146=21316 ≡ 136 mod 353
32: 14732=14716+16=14716⋅14716 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 140 mod 353
64: 14764=14732+32=14732⋅14732 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 185 mod 353
128: 147128=14764+64=14764⋅14764 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 337 mod 353
147158
= 147128+16+8+4+2
= 147128⋅14716⋅1478⋅1474⋅1472
≡ 337 ⋅ 136 ⋅ 146 ⋅ 128 ⋅ 76 mod 353
≡ 45832 ⋅ 146 ⋅ 128 ⋅ 76 mod 353 ≡ 295 ⋅ 146 ⋅ 128 ⋅ 76 mod 353
≡ 43070 ⋅ 128 ⋅ 76 mod 353 ≡ 4 ⋅ 128 ⋅ 76 mod 353
≡ 512 ⋅ 76 mod 353 ≡ 159 ⋅ 76 mod 353
≡ 12084 mod 353 ≡ 82 mod 353
Es gilt also: 147158 ≡ 82 mod 353
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 31
| =>71 | = 2⋅31 + 9 |
| =>31 | = 3⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 31-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(31 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅31 +6⋅ 9) = -2⋅31 +7⋅ 9 (=1) |
| 9= 71-2⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +7⋅(71 -2⋅ 31)
= -2⋅31 +7⋅71 -14⋅ 31) = 7⋅71 -16⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,31)=1 = 7⋅71 -16⋅31
oder wenn man 7⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅71 = -16⋅31
-16⋅31 = -7⋅71 + 1 |+71⋅31
-16⋅31 + 71⋅31 = -7⋅71 + 71⋅31 + 1
(-16 + 71) ⋅ 31 = (-7 + 31) ⋅ 71 + 1
55⋅31 = 24⋅71 + 1
Es gilt also: 55⋅31 = 24⋅71 +1
Somit 55⋅31 = 1 mod 71
55 ist also das Inverse von 31 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
