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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1600 - 38) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1600 - 38) mod 4 ≡ (1600 mod 4 - 38 mod 4) mod 4.
1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600
= 1600
38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38
= 40
Somit gilt:
(1600 - 38) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 27) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 27) mod 4 ≡ (90 mod 4 ⋅ 27 mod 4) mod 4.
90 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 22 ⋅ 4 + 2 ist.
27 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 6 ⋅ 4 + 3 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 27) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50816 mod 701.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 508 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5081=508
2: 5082=5081+1=5081⋅5081 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 96 mod 701
4: 5084=5082+2=5082⋅5082 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 103 mod 701
8: 5088=5084+4=5084⋅5084 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 94 mod 701
16: 50816=5088+8=5088⋅5088 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 424 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 618102 mod 971.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 6181=618
2: 6182=6181+1=6181⋅6181 ≡ 618⋅618=381924 ≡ 321 mod 971
4: 6184=6182+2=6182⋅6182 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 115 mod 971
8: 6188=6184+4=6184⋅6184 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 602 mod 971
16: 61816=6188+8=6188⋅6188 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 221 mod 971
32: 61832=61816+16=61816⋅61816 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 291 mod 971
64: 61864=61832+32=61832⋅61832 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 204 mod 971
618102
= 61864+32+4+2
= 61864⋅61832⋅6184⋅6182
≡ 204 ⋅ 291 ⋅ 115 ⋅ 321 mod 971
≡ 59364 ⋅ 115 ⋅ 321 mod 971 ≡ 133 ⋅ 115 ⋅ 321 mod 971
≡ 15295 ⋅ 321 mod 971 ≡ 730 ⋅ 321 mod 971
≡ 234330 mod 971 ≡ 319 mod 971
Es gilt also: 618102 ≡ 319 mod 971
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 20.
Also bestimme x, so dass 20 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 20
| =>53 | = 2⋅20 + 13 |
| =>20 | = 1⋅13 + 7 |
| =>13 | = 1⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,20)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 13-1⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(13 -1⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅13 +1⋅ 7) = -1⋅13 +2⋅ 7 (=1) |
| 7= 20-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅13 +2⋅(20 -1⋅ 13)
= -1⋅13 +2⋅20 -2⋅ 13) = 2⋅20 -3⋅ 13 (=1) |
| 13= 53-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅20 -3⋅(53 -2⋅ 20)
= 2⋅20 -3⋅53 +6⋅ 20) = -3⋅53 +8⋅ 20 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,20)=1 = -3⋅53 +8⋅20
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +8⋅20
Es gilt also: 8⋅20 = 3⋅53 +1
Somit 8⋅20 = 1 mod 53
8 ist also das Inverse von 20 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.