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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14002 - 70) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14002 - 70) mod 7 ≡ (14002 mod 7 - 70 mod 7) mod 7.

14002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14002 = 14000+2 = 7 ⋅ 2000 +2.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70+0 = 7 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(14002 - 70) mod 7 ≡ (2 - 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 60) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 60) mod 8 ≡ (80 mod 8 ⋅ 60 mod 8) mod 8.

80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.

60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 60) mod 8 ≡ (0 ⋅ 4) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 147⁶⁴ mod 383.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 147 -> x
2. mod(x²,383) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 147¹=147

2: 147²=147¹⁺¹=147¹⋅147¹ ≡ 147⋅147=21609 ≡ 161 mod 383

4: 147⁴=147²⁺²=147²⋅147² ≡ 161⋅161=25921 ≡ 260 mod 383

8: 147⁸=147⁴⁺⁴=147⁴⋅147⁴ ≡ 260⋅260=67600 ≡ 192 mod 383

16: 147¹⁶=147⁸⁺⁸=147⁸⋅147⁸ ≡ 192⋅192=36864 ≡ 96 mod 383

32: 147³²=147¹⁶⁺¹⁶=147¹⁶⋅147¹⁶ ≡ 96⋅96=9216 ≡ 24 mod 383

64: 147⁶⁴=147³²⁺³²=147³²⋅147³² ≡ 24⋅24=576 ≡ 193 mod 383

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 405²²³ mod 499.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 223 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 223 an und zerlegen 223 in eine Summer von 2er-Potenzen:

223 = 128+64+16+8+4+2+1

1: 405¹=405

2: 405²=405¹⁺¹=405¹⋅405¹ ≡ 405⋅405=164025 ≡ 353 mod 499

4: 405⁴=405²⁺²=405²⋅405² ≡ 353⋅353=124609 ≡ 358 mod 499

8: 405⁸=405⁴⁺⁴=405⁴⋅405⁴ ≡ 358⋅358=128164 ≡ 420 mod 499

16: 405¹⁶=405⁸⁺⁸=405⁸⋅405⁸ ≡ 420⋅420=176400 ≡ 253 mod 499

32: 405³²=405¹⁶⁺¹⁶=405¹⁶⋅405¹⁶ ≡ 253⋅253=64009 ≡ 137 mod 499

64: 405⁶⁴=405³²⁺³²=405³²⋅405³² ≡ 137⋅137=18769 ≡ 306 mod 499

128: 405¹²⁸=405⁶⁴⁺⁶⁴=405⁶⁴⋅405⁶⁴ ≡ 306⋅306=93636 ≡ 323 mod 499

405²²³

= 405^{128+64+16+8+4+2+1}

= 405¹²⁸⋅405⁶⁴⋅405¹⁶⋅405⁸⋅405⁴⋅405²⋅405¹

≡ 323 ⋅ 306 ⋅ 253 ⋅ 420 ⋅ 358 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499
≡ 98838 ⋅ 253 ⋅ 420 ⋅ 358 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499 ≡ 36 ⋅ 253 ⋅ 420 ⋅ 358 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499
≡ 9108 ⋅ 420 ⋅ 358 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499 ≡ 126 ⋅ 420 ⋅ 358 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499
≡ 52920 ⋅ 358 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499 ≡ 26 ⋅ 358 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499
≡ 9308 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499 ≡ 326 ⋅ 353 ⋅ 405 mod 499
≡ 115078 ⋅ 405 mod 499 ≡ 308 ⋅ 405 mod 499
≡ 124740 mod 499 ≡ 489 mod 499

Es gilt also: 405²²³ ≡ 489 mod 499

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 80.

Also bestimme x, so dass 80 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 80

=>101	= 1⋅80 + 21
=>80	= 3⋅21 + 17
=>21	= 1⋅17 + 4
=>17	= 4⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,80)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-4⋅4
4= 21-1⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -4⋅(21 -1⋅ 17) = 1⋅17 -4⋅21 +4⋅ 17) = -4⋅21 +5⋅ 17 (=1)
17= 80-3⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅21 +5⋅(80 -3⋅ 21) = -4⋅21 +5⋅80 -15⋅ 21) = 5⋅80 -19⋅ 21 (=1)
21= 101-1⋅80	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅80 -19⋅(101 -1⋅ 80) = 5⋅80 -19⋅101 +19⋅ 80) = -19⋅101 +24⋅ 80 (=1)

Es gilt also: ggt(101,80)=1 = -19⋅101 +24⋅80

oder wenn man -19⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅101 = +24⋅80

Es gilt also: 24⋅80 = 19⋅101 +1

Somit 24⋅80 = 1 mod 101

24 ist also das Inverse von 80 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 80

Schlüsselpaar für RSA