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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1495 + 201) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1495 + 201) mod 5 ≡ (1495 mod 5 + 201 mod 5) mod 5.

1495 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1495 = 1400+95 = 5 ⋅ 280 +95.

201 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 5 ⋅ 40 +1.

Somit gilt:

(1495 + 201) mod 5 ≡ (0 + 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 25) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 25) mod 5 ≡ (75 mod 5 ⋅ 25 mod 5) mod 5.

75 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 15 ⋅ 5 + 0 ist.

25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 25) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 322¹⁶ mod 419.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 322 -> x
2. mod(x²,419) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 322¹=322

2: 322²=322¹⁺¹=322¹⋅322¹ ≡ 322⋅322=103684 ≡ 191 mod 419

4: 322⁴=322²⁺²=322²⋅322² ≡ 191⋅191=36481 ≡ 28 mod 419

8: 322⁸=322⁴⁺⁴=322⁴⋅322⁴ ≡ 28⋅28=784 ≡ 365 mod 419

16: 322¹⁶=322⁸⁺⁸=322⁸⋅322⁸ ≡ 365⋅365=133225 ≡ 402 mod 419

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 346²¹⁹ mod 479.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 219 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 219 an und zerlegen 219 in eine Summer von 2er-Potenzen:

219 = 128+64+16+8+2+1

1: 346¹=346

2: 346²=346¹⁺¹=346¹⋅346¹ ≡ 346⋅346=119716 ≡ 445 mod 479

4: 346⁴=346²⁺²=346²⋅346² ≡ 445⋅445=198025 ≡ 198 mod 479

8: 346⁸=346⁴⁺⁴=346⁴⋅346⁴ ≡ 198⋅198=39204 ≡ 405 mod 479

16: 346¹⁶=346⁸⁺⁸=346⁸⋅346⁸ ≡ 405⋅405=164025 ≡ 207 mod 479

32: 346³²=346¹⁶⁺¹⁶=346¹⁶⋅346¹⁶ ≡ 207⋅207=42849 ≡ 218 mod 479

64: 346⁶⁴=346³²⁺³²=346³²⋅346³² ≡ 218⋅218=47524 ≡ 103 mod 479

128: 346¹²⁸=346⁶⁴⁺⁶⁴=346⁶⁴⋅346⁶⁴ ≡ 103⋅103=10609 ≡ 71 mod 479

346²¹⁹

= 346^{128+64+16+8+2+1}

= 346¹²⁸⋅346⁶⁴⋅346¹⁶⋅346⁸⋅346²⋅346¹

≡ 71 ⋅ 103 ⋅ 207 ⋅ 405 ⋅ 445 ⋅ 346 mod 479
≡ 7313 ⋅ 207 ⋅ 405 ⋅ 445 ⋅ 346 mod 479 ≡ 128 ⋅ 207 ⋅ 405 ⋅ 445 ⋅ 346 mod 479
≡ 26496 ⋅ 405 ⋅ 445 ⋅ 346 mod 479 ≡ 151 ⋅ 405 ⋅ 445 ⋅ 346 mod 479
≡ 61155 ⋅ 445 ⋅ 346 mod 479 ≡ 322 ⋅ 445 ⋅ 346 mod 479
≡ 143290 ⋅ 346 mod 479 ≡ 69 ⋅ 346 mod 479
≡ 23874 mod 479 ≡ 403 mod 479

Es gilt also: 346²¹⁹ ≡ 403 mod 479

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 33

=>89	= 2⋅33 + 23
=>33	= 1⋅23 + 10
=>23	= 2⋅10 + 3
=>10	= 3⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-3⋅3
3= 23-2⋅10	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅10 -3⋅(23 -2⋅ 10) = 1⋅10 -3⋅23 +6⋅ 10) = -3⋅23 +7⋅ 10 (=1)
10= 33-1⋅23	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅23 +7⋅(33 -1⋅ 23) = -3⋅23 +7⋅33 -7⋅ 23) = 7⋅33 -10⋅ 23 (=1)
23= 89-2⋅33	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅33 -10⋅(89 -2⋅ 33) = 7⋅33 -10⋅89 +20⋅ 33) = -10⋅89 +27⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(89,33)=1 = -10⋅89 +27⋅33

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +27⋅33

Es gilt also: 27⋅33 = 10⋅89 +1

Somit 27⋅33 = 1 mod 89

27 ist also das Inverse von 33 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 33

Schlüsselpaar für RSA