nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (356 + 282) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(356 + 282) mod 7 ≡ (356 mod 7 + 282 mod 7) mod 7.

356 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 356 = 350+6 = 7 ⋅ 50 +6.

282 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 282 = 280+2 = 7 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(356 + 282) mod 7 ≡ (6 + 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 75) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 75) mod 8 ≡ (87 mod 8 ⋅ 75 mod 8) mod 8.

87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 10 ⋅ 8 + 7 ist.

75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 75) mod 8 ≡ (7 ⋅ 3) mod 8 ≡ 21 mod 8 ≡ 5 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4378 mod 643.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 437 -> x
2. mod(x²,643) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4371=437

2: 4372=4371+1=4371⋅4371 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 641 mod 643

4: 4374=4372+2=4372⋅4372 ≡ 641⋅641=410881 ≡ 4 mod 643

8: 4378=4374+4=4374⋅4374 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 643

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 35581 mod 673.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 81 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 81 an und zerlegen 81 in eine Summer von 2er-Potenzen:

81 = 64+16+1

1: 3551=355

2: 3552=3551+1=3551⋅3551 ≡ 355⋅355=126025 ≡ 174 mod 673

4: 3554=3552+2=3552⋅3552 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 664 mod 673

8: 3558=3554+4=3554⋅3554 ≡ 664⋅664=440896 ≡ 81 mod 673

16: 35516=3558+8=3558⋅3558 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 504 mod 673

32: 35532=35516+16=35516⋅35516 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 295 mod 673

64: 35564=35532+32=35532⋅35532 ≡ 295⋅295=87025 ≡ 208 mod 673

35581

= 35564+16+1

= 35564⋅35516⋅3551

≡ 208 ⋅ 504 ⋅ 355 mod 673
≡ 104832 ⋅ 355 mod 673 ≡ 517 ⋅ 355 mod 673
≡ 183535 mod 673 ≡ 479 mod 673

Es gilt also: 35581 ≡ 479 mod 673

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 40

=>89 = 2⋅40 + 9
=>40 = 4⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 40-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9)
= -2⋅40 +9⋅ 9 (=1)
9= 89-2⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅40 +9⋅(89 -2⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅89 -18⋅ 40)
= 9⋅89 -20⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(89,40)=1 = 9⋅89 -20⋅40

oder wenn man 9⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -9⋅89 = -20⋅40

-20⋅40 = -9⋅89 + 1 |+89⋅40

-20⋅40 + 89⋅40 = -9⋅89 + 89⋅40 + 1

(-20 + 89) ⋅ 40 = (-9 + 40) ⋅ 89 + 1

69⋅40 = 31⋅89 + 1

Es gilt also: 69⋅40 = 31⋅89 +1

Somit 69⋅40 = 1 mod 89

69 ist also das Inverse von 40 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden