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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 + 29) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 + 29) mod 3 ≡ (33 mod 3 + 29 mod 3) mod 3.
33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33
= 30
29 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29
= 30
Somit gilt:
(33 + 29) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 67) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 67) mod 6 ≡ (83 mod 6 ⋅ 67 mod 6) mod 6.
83 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 78 + 5 = 13 ⋅ 6 + 5 ist.
67 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 11 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 67) mod 6 ≡ (5 ⋅ 1) mod 6 ≡ 5 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46516 mod 683.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 465 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4651=465
2: 4652=4651+1=4651⋅4651 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 397 mod 683
4: 4654=4652+2=4652⋅4652 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 519 mod 683
8: 4658=4654+4=4654⋅4654 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 259 mod 683
16: 46516=4658+8=4658⋅4658 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 147 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 180126 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 126 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 126 an und zerlegen 126 in eine Summer von 2er-Potenzen:
126 = 64+32+16+8+4+2
1: 1801=180
2: 1802=1801+1=1801⋅1801 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 135 mod 239
4: 1804=1802+2=1802⋅1802 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 61 mod 239
8: 1808=1804+4=1804⋅1804 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 136 mod 239
16: 18016=1808+8=1808⋅1808 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 93 mod 239
32: 18032=18016+16=18016⋅18016 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 45 mod 239
64: 18064=18032+32=18032⋅18032 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 113 mod 239
180126
= 18064+32+16+8+4+2
= 18064⋅18032⋅18016⋅1808⋅1804⋅1802
≡ 113 ⋅ 45 ⋅ 93 ⋅ 136 ⋅ 61 ⋅ 135 mod 239
≡ 5085 ⋅ 93 ⋅ 136 ⋅ 61 ⋅ 135 mod 239 ≡ 66 ⋅ 93 ⋅ 136 ⋅ 61 ⋅ 135 mod 239
≡ 6138 ⋅ 136 ⋅ 61 ⋅ 135 mod 239 ≡ 163 ⋅ 136 ⋅ 61 ⋅ 135 mod 239
≡ 22168 ⋅ 61 ⋅ 135 mod 239 ≡ 180 ⋅ 61 ⋅ 135 mod 239
≡ 10980 ⋅ 135 mod 239 ≡ 225 ⋅ 135 mod 239
≡ 30375 mod 239 ≡ 22 mod 239
Es gilt also: 180126 ≡ 22 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42
| =>71 | = 1⋅42 + 29 |
| =>42 | = 1⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 42-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1) |
| 29= 71-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +22⋅42
Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1
Somit 22⋅42 = 1 mod 71
22 ist also das Inverse von 42 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
