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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4002 + 16004) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4002 + 16004) mod 8 ≡ (4002 mod 8 + 16004 mod 8) mod 8.
4002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4002
= 4000
16004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004
= 16000
Somit gilt:
(4002 + 16004) mod 8 ≡ (2 + 4) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 69) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 69) mod 7 ≡ (19 mod 7 ⋅ 69 mod 7) mod 7.
19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.
69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 9 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 69) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50032 mod 881.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 500 -> x
2. mod(x²,881) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5001=500
2: 5002=5001+1=5001⋅5001 ≡ 500⋅500=250000 ≡ 677 mod 881
4: 5004=5002+2=5002⋅5002 ≡ 677⋅677=458329 ≡ 209 mod 881
8: 5008=5004+4=5004⋅5004 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 512 mod 881
16: 50016=5008+8=5008⋅5008 ≡ 512⋅512=262144 ≡ 487 mod 881
32: 50032=50016+16=50016⋅50016 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 180 mod 881
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23667 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 67 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 67 an und zerlegen 67 in eine Summer von 2er-Potenzen:
67 = 64+2+1
1: 2361=236
2: 2362=2361+1=2361⋅2361 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 178 mod 487
4: 2364=2362+2=2362⋅2362 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 29 mod 487
8: 2368=2364+4=2364⋅2364 ≡ 29⋅29=841 ≡ 354 mod 487
16: 23616=2368+8=2368⋅2368 ≡ 354⋅354=125316 ≡ 157 mod 487
32: 23632=23616+16=23616⋅23616 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 299 mod 487
64: 23664=23632+32=23632⋅23632 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 280 mod 487
23667
= 23664+2+1
= 23664⋅2362⋅2361
≡ 280 ⋅ 178 ⋅ 236 mod 487
≡ 49840 ⋅ 236 mod 487 ≡ 166 ⋅ 236 mod 487
≡ 39176 mod 487 ≡ 216 mod 487
Es gilt also: 23667 ≡ 216 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 23
| =>67 | = 2⋅23 + 21 |
| =>23 | = 1⋅21 + 2 |
| =>21 | = 10⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-10⋅2 | |||
| 2= 23-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -10⋅(23 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -10⋅23 +10⋅ 21) = -10⋅23 +11⋅ 21 (=1) |
| 21= 67-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -10⋅23 +11⋅(67 -2⋅ 23)
= -10⋅23 +11⋅67 -22⋅ 23) = 11⋅67 -32⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,23)=1 = 11⋅67 -32⋅23
oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅67 = -32⋅23
-32⋅23 = -11⋅67 + 1 |+67⋅23
-32⋅23 + 67⋅23 = -11⋅67 + 67⋅23 + 1
(-32 + 67) ⋅ 23 = (-11 + 23) ⋅ 67 + 1
35⋅23 = 12⋅67 + 1
Es gilt also: 35⋅23 = 12⋅67 +1
Somit 35⋅23 = 1 mod 67
35 ist also das Inverse von 23 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.