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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 + 1499) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 + 1499) mod 5 ≡ (52 mod 5 + 1499 mod 5) mod 5.

52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50+2 = 5 ⋅ 10 +2.

1499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499 = 1400+99 = 5 ⋅ 280 +99.

Somit gilt:

(52 + 1499) mod 5 ≡ (2 + 4) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 70) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 70) mod 9 ≡ (71 mod 9 ⋅ 70 mod 9) mod 9.

71 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 63 + 8 = 7 ⋅ 9 + 8 ist.

70 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 63 + 7 = 7 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 70) mod 9 ≡ (8 ⋅ 7) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 49464 mod 829.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 494 -> x
2. mod(x²,829) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4941=494

2: 4942=4941+1=4941⋅4941 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 310 mod 829

4: 4944=4942+2=4942⋅4942 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 765 mod 829

8: 4948=4944+4=4944⋅4944 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 780 mod 829

16: 49416=4948+8=4948⋅4948 ≡ 780⋅780=608400 ≡ 743 mod 829

32: 49432=49416+16=49416⋅49416 ≡ 743⋅743=552049 ≡ 764 mod 829

64: 49464=49432+32=49432⋅49432 ≡ 764⋅764=583696 ≡ 80 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 327131 mod 397.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:

131 = 128+2+1

1: 3271=327

2: 3272=3271+1=3271⋅3271 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 136 mod 397

4: 3274=3272+2=3272⋅3272 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 234 mod 397

8: 3278=3274+4=3274⋅3274 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 367 mod 397

16: 32716=3278+8=3278⋅3278 ≡ 367⋅367=134689 ≡ 106 mod 397

32: 32732=32716+16=32716⋅32716 ≡ 106⋅106=11236 ≡ 120 mod 397

64: 32764=32732+32=32732⋅32732 ≡ 120⋅120=14400 ≡ 108 mod 397

128: 327128=32764+64=32764⋅32764 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 151 mod 397

327131

= 327128+2+1

= 327128⋅3272⋅3271

≡ 151 ⋅ 136 ⋅ 327 mod 397
≡ 20536 ⋅ 327 mod 397 ≡ 289 ⋅ 327 mod 397
≡ 94503 mod 397 ≡ 17 mod 397

Es gilt also: 327131 ≡ 17 mod 397

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 19.

Also bestimme x, so dass 19 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 19

=>61 = 3⋅19 + 4
=>19 = 4⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,19)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 19-4⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4)
= -1⋅19 +5⋅ 4 (=1)
4= 61-3⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅19 +5⋅(61 -3⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅61 -15⋅ 19)
= 5⋅61 -16⋅ 19 (=1)

Es gilt also: ggt(61,19)=1 = 5⋅61 -16⋅19

oder wenn man 5⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅61 = -16⋅19

-16⋅19 = -5⋅61 + 1 |+61⋅19

-16⋅19 + 61⋅19 = -5⋅61 + 61⋅19 + 1

(-16 + 61) ⋅ 19 = (-5 + 19) ⋅ 61 + 1

45⋅19 = 14⋅61 + 1

Es gilt also: 45⋅19 = 14⋅61 +1

Somit 45⋅19 = 1 mod 61

45 ist also das Inverse von 19 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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