Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35998 + 18006) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35998 + 18006) mod 9 ≡ (35998 mod 9 + 18006 mod 9) mod 9.
35998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35998
= 36000
18006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18006
= 18000
Somit gilt:
(35998 + 18006) mod 9 ≡ (7 + 6) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 68) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(22 ⋅ 68) mod 4 ≡ (22 mod 4 ⋅ 68 mod 4) mod 4.
22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.
68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(22 ⋅ 68) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 18316 mod 461.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 183 -> x
2. mod(x²,461) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1831=183
2: 1832=1831+1=1831⋅1831 ≡ 183⋅183=33489 ≡ 297 mod 461
4: 1834=1832+2=1832⋅1832 ≡ 297⋅297=88209 ≡ 158 mod 461
8: 1838=1834+4=1834⋅1834 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 70 mod 461
16: 18316=1838+8=1838⋅1838 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 290 mod 461
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 657208 mod 859.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 208 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 208 an und zerlegen 208 in eine Summer von 2er-Potenzen:
208 = 128+64+16
1: 6571=657
2: 6572=6571+1=6571⋅6571 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 431 mod 859
4: 6574=6572+2=6572⋅6572 ≡ 431⋅431=185761 ≡ 217 mod 859
8: 6578=6574+4=6574⋅6574 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 703 mod 859
16: 65716=6578+8=6578⋅6578 ≡ 703⋅703=494209 ≡ 284 mod 859
32: 65732=65716+16=65716⋅65716 ≡ 284⋅284=80656 ≡ 769 mod 859
64: 65764=65732+32=65732⋅65732 ≡ 769⋅769=591361 ≡ 369 mod 859
128: 657128=65764+64=65764⋅65764 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 439 mod 859
657208
= 657128+64+16
= 657128⋅65764⋅65716
≡ 439 ⋅ 369 ⋅ 284 mod 859
≡ 161991 ⋅ 284 mod 859 ≡ 499 ⋅ 284 mod 859
≡ 141716 mod 859 ≡ 840 mod 859
Es gilt also: 657208 ≡ 840 mod 859
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 54
| =>61 | = 1⋅54 + 7 |
| =>54 | = 7⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 54-7⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(54 -7⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅54 -21⋅ 7) = 3⋅54 -23⋅ 7 (=1) |
| 7= 61-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅54 -23⋅(61 -1⋅ 54)
= 3⋅54 -23⋅61 +23⋅ 54) = -23⋅61 +26⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,54)=1 = -23⋅61 +26⋅54
oder wenn man -23⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅61 = +26⋅54
Es gilt also: 26⋅54 = 23⋅61 +1
Somit 26⋅54 = 1 mod 61
26 ist also das Inverse von 54 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.