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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (116 - 800) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(116 - 800) mod 4 ≡ (116 mod 4 - 800 mod 4) mod 4.
116 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116
= 120
800 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800
= 800
Somit gilt:
(116 - 800) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 27) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 27) mod 6 ≡ (86 mod 6 ⋅ 27 mod 6) mod 6.
86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.
27 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 4 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 27) mod 6 ≡ (2 ⋅ 3) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 241128 mod 701.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 241 -> x
2. mod(x²,701) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2411=241
2: 2412=2411+1=2411⋅2411 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 599 mod 701
4: 2414=2412+2=2412⋅2412 ≡ 599⋅599=358801 ≡ 590 mod 701
8: 2418=2414+4=2414⋅2414 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 404 mod 701
16: 24116=2418+8=2418⋅2418 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 584 mod 701
32: 24132=24116+16=24116⋅24116 ≡ 584⋅584=341056 ≡ 370 mod 701
64: 24164=24132+32=24132⋅24132 ≡ 370⋅370=136900 ≡ 205 mod 701
128: 241128=24164+64=24164⋅24164 ≡ 205⋅205=42025 ≡ 666 mod 701
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 477168 mod 673.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 168 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 168 an und zerlegen 168 in eine Summer von 2er-Potenzen:
168 = 128+32+8
1: 4771=477
2: 4772=4771+1=4771⋅4771 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 55 mod 673
4: 4774=4772+2=4772⋅4772 ≡ 55⋅55=3025 ≡ 333 mod 673
8: 4778=4774+4=4774⋅4774 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 517 mod 673
16: 47716=4778+8=4778⋅4778 ≡ 517⋅517=267289 ≡ 108 mod 673
32: 47732=47716+16=47716⋅47716 ≡ 108⋅108=11664 ≡ 223 mod 673
64: 47764=47732+32=47732⋅47732 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 600 mod 673
128: 477128=47764+64=47764⋅47764 ≡ 600⋅600=360000 ≡ 618 mod 673
477168
= 477128+32+8
= 477128⋅47732⋅4778
≡ 618 ⋅ 223 ⋅ 517 mod 673
≡ 137814 ⋅ 517 mod 673 ≡ 522 ⋅ 517 mod 673
≡ 269874 mod 673 ≡ 1 mod 673
Es gilt also: 477168 ≡ 1 mod 673
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 58.
Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 58
| =>71 | = 1⋅58 + 13 |
| =>58 | = 4⋅13 + 6 |
| =>13 | = 2⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,58)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-2⋅6 | |||
| 6= 58-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -2⋅(58 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -2⋅58 +8⋅ 13) = -2⋅58 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 71-1⋅58 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅58 +9⋅(71 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +9⋅71 -9⋅ 58) = 9⋅71 -11⋅ 58 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,58)=1 = 9⋅71 -11⋅58
oder wenn man 9⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -9⋅71 = -11⋅58
-11⋅58 = -9⋅71 + 1 |+71⋅58
-11⋅58 + 71⋅58 = -9⋅71 + 71⋅58 + 1
(-11 + 71) ⋅ 58 = (-9 + 58) ⋅ 71 + 1
60⋅58 = 49⋅71 + 1
Es gilt also: 60⋅58 = 49⋅71 +1
Somit 60⋅58 = 1 mod 71
60 ist also das Inverse von 58 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
