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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24003 + 800) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24003 + 800) mod 8 ≡ (24003 mod 8 + 800 mod 8) mod 8.

24003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24003 = 24000+3 = 8 ⋅ 3000 +3.

800 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800 = 800+0 = 8 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(24003 + 800) mod 8 ≡ (3 + 0) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 87) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 87) mod 7 ≡ (70 mod 7 ⋅ 87 mod 7) mod 7.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

87 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 12 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 87) mod 7 ≡ (0 ⋅ 3) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 1928 mod 263.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 192 -> x
2. mod(x²,263) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1921=192

2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 44 mod 263

4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 95 mod 263

8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 95⋅95=9025 ≡ 83 mod 263

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 450104 mod 797.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 104 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 104 an und zerlegen 104 in eine Summer von 2er-Potenzen:

104 = 64+32+8

1: 4501=450

2: 4502=4501+1=4501⋅4501 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 62 mod 797

4: 4504=4502+2=4502⋅4502 ≡ 62⋅62=3844 ≡ 656 mod 797

8: 4508=4504+4=4504⋅4504 ≡ 656⋅656=430336 ≡ 753 mod 797

16: 45016=4508+8=4508⋅4508 ≡ 753⋅753=567009 ≡ 342 mod 797

32: 45032=45016+16=45016⋅45016 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 602 mod 797

64: 45064=45032+32=45032⋅45032 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 566 mod 797

450104

= 45064+32+8

= 45064⋅45032⋅4508

≡ 566 ⋅ 602 ⋅ 753 mod 797
≡ 340732 ⋅ 753 mod 797 ≡ 413 ⋅ 753 mod 797
≡ 310989 mod 797 ≡ 159 mod 797

Es gilt also: 450104 ≡ 159 mod 797

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 52

=>101 = 1⋅52 + 49
=>52 = 1⋅49 + 3
=>49 = 16⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 49-16⋅3
3= 52-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅49 -16⋅(52 -1⋅ 49)
= 1⋅49 -16⋅52 +16⋅ 49)
= -16⋅52 +17⋅ 49 (=1)
49= 101-1⋅52 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -16⋅52 +17⋅(101 -1⋅ 52)
= -16⋅52 +17⋅101 -17⋅ 52)
= 17⋅101 -33⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(101,52)=1 = 17⋅101 -33⋅52

oder wenn man 17⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅101 = -33⋅52

-33⋅52 = -17⋅101 + 1 |+101⋅52

-33⋅52 + 101⋅52 = -17⋅101 + 101⋅52 + 1

(-33 + 101) ⋅ 52 = (-17 + 52) ⋅ 101 + 1

68⋅52 = 35⋅101 + 1

Es gilt also: 68⋅52 = 35⋅101 +1

Somit 68⋅52 = 1 mod 101

68 ist also das Inverse von 52 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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