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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1503 + 120) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1503 + 120) mod 3 ≡ (1503 mod 3 + 120 mod 3) mod 3.

1503 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503 = 1500+3 = 3 ⋅ 500 +3.

120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 3 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(1503 + 120) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 51) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 51) mod 6 ≡ (51 mod 6 ⋅ 51 mod 6) mod 6.

51 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 8 ⋅ 6 + 3 ist.

51 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 8 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 51) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25032 mod 317.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 250 -> x
2. mod(x²,317) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2501=250

2: 2502=2501+1=2501⋅2501 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 51 mod 317

4: 2504=2502+2=2502⋅2502 ≡ 51⋅51=2601 ≡ 65 mod 317

8: 2508=2504+4=2504⋅2504 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 104 mod 317

16: 25016=2508+8=2508⋅2508 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 38 mod 317

32: 25032=25016+16=25016⋅25016 ≡ 38⋅38=1444 ≡ 176 mod 317

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 165195 mod 317.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 195 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 195 an und zerlegen 195 in eine Summer von 2er-Potenzen:

195 = 128+64+2+1

1: 1651=165

2: 1652=1651+1=1651⋅1651 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 280 mod 317

4: 1654=1652+2=1652⋅1652 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 101 mod 317

8: 1658=1654+4=1654⋅1654 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 57 mod 317

16: 16516=1658+8=1658⋅1658 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 79 mod 317

32: 16532=16516+16=16516⋅16516 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 218 mod 317

64: 16564=16532+32=16532⋅16532 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 291 mod 317

128: 165128=16564+64=16564⋅16564 ≡ 291⋅291=84681 ≡ 42 mod 317

165195

= 165128+64+2+1

= 165128⋅16564⋅1652⋅1651

≡ 42 ⋅ 291 ⋅ 280 ⋅ 165 mod 317
≡ 12222 ⋅ 280 ⋅ 165 mod 317 ≡ 176 ⋅ 280 ⋅ 165 mod 317
≡ 49280 ⋅ 165 mod 317 ≡ 145 ⋅ 165 mod 317
≡ 23925 mod 317 ≡ 150 mod 317

Es gilt also: 165195 ≡ 150 mod 317

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40

=>67 = 1⋅40 + 27
=>40 = 1⋅27 + 13
=>27 = 2⋅13 + 1
=>13 = 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 27-2⋅13
13= 40-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅27 -2⋅(40 -1⋅ 27)
= 1⋅27 -2⋅40 +2⋅ 27)
= -2⋅40 +3⋅ 27 (=1)
27= 67-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅40 +3⋅(67 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +3⋅67 -3⋅ 40)
= 3⋅67 -5⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(67,40)=1 = 3⋅67 -5⋅40

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -5⋅40

-5⋅40 = -3⋅67 + 1 |+67⋅40

-5⋅40 + 67⋅40 = -3⋅67 + 67⋅40 + 1

(-5 + 67) ⋅ 40 = (-3 + 40) ⋅ 67 + 1

62⋅40 = 37⋅67 + 1

Es gilt also: 62⋅40 = 37⋅67 +1

Somit 62⋅40 = 1 mod 67

62 ist also das Inverse von 40 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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