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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1604 + 2002) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1604 + 2002) mod 4 ≡ (1604 mod 4 + 2002 mod 4) mod 4.
1604 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1604
= 1600
2002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002
= 2000
Somit gilt:
(1604 + 2002) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 89) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(58 ⋅ 89) mod 6 ≡ (58 mod 6 ⋅ 89 mod 6) mod 6.
58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 9 ⋅ 6 + 4 ist.
89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.
Somit gilt:
(58 ⋅ 89) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 42364 mod 659.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 423 -> x
2. mod(x²,659) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4231=423
2: 4232=4231+1=4231⋅4231 ≡ 423⋅423=178929 ≡ 340 mod 659
4: 4234=4232+2=4232⋅4232 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 275 mod 659
8: 4238=4234+4=4234⋅4234 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 499 mod 659
16: 42316=4238+8=4238⋅4238 ≡ 499⋅499=249001 ≡ 558 mod 659
32: 42332=42316+16=42316⋅42316 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 316 mod 659
64: 42364=42332+32=42332⋅42332 ≡ 316⋅316=99856 ≡ 347 mod 659
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28592 mod 449.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 92 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 92 an und zerlegen 92 in eine Summer von 2er-Potenzen:
92 = 64+16+8+4
1: 2851=285
2: 2852=2851+1=2851⋅2851 ≡ 285⋅285=81225 ≡ 405 mod 449
4: 2854=2852+2=2852⋅2852 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 140 mod 449
8: 2858=2854+4=2854⋅2854 ≡ 140⋅140=19600 ≡ 293 mod 449
16: 28516=2858+8=2858⋅2858 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 90 mod 449
32: 28532=28516+16=28516⋅28516 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 18 mod 449
64: 28564=28532+32=28532⋅28532 ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 449
28592
= 28564+16+8+4
= 28564⋅28516⋅2858⋅2854
≡ 324 ⋅ 90 ⋅ 293 ⋅ 140 mod 449
≡ 29160 ⋅ 293 ⋅ 140 mod 449 ≡ 424 ⋅ 293 ⋅ 140 mod 449
≡ 124232 ⋅ 140 mod 449 ≡ 308 ⋅ 140 mod 449
≡ 43120 mod 449 ≡ 16 mod 449
Es gilt also: 28592 ≡ 16 mod 449
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 47.
Also bestimme x, so dass 47 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 47
| =>67 | = 1⋅47 + 20 |
| =>47 | = 2⋅20 + 7 |
| =>20 | = 2⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,47)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 20-2⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(20 -2⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅20 +2⋅ 7) = -1⋅20 +3⋅ 7 (=1) |
| 7= 47-2⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅20 +3⋅(47 -2⋅ 20)
= -1⋅20 +3⋅47 -6⋅ 20) = 3⋅47 -7⋅ 20 (=1) |
| 20= 67-1⋅47 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅47 -7⋅(67 -1⋅ 47)
= 3⋅47 -7⋅67 +7⋅ 47) = -7⋅67 +10⋅ 47 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,47)=1 = -7⋅67 +10⋅47
oder wenn man -7⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅67 = +10⋅47
Es gilt also: 10⋅47 = 7⋅67 +1
Somit 10⋅47 = 1 mod 67
10 ist also das Inverse von 47 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.