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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 + 16003) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 + 16003) mod 4 ≡ (81 mod 4 + 16003 mod 4) mod 4.

81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80+1 = 4 ⋅ 20 +1.

16003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003 = 16000+3 = 4 ⋅ 4000 +3.

Somit gilt:

(81 + 16003) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 80) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 80) mod 10 ≡ (48 mod 10 ⋅ 80 mod 10) mod 10.

48 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 40 + 8 = 4 ⋅ 10 + 8 ist.

80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 80) mod 10 ≡ (8 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 408128 mod 839.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 408 -> x
2. mod(x²,839) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4081=408

2: 4082=4081+1=4081⋅4081 ≡ 408⋅408=166464 ≡ 342 mod 839

4: 4084=4082+2=4082⋅4082 ≡ 342⋅342=116964 ≡ 343 mod 839

8: 4088=4084+4=4084⋅4084 ≡ 343⋅343=117649 ≡ 189 mod 839

16: 40816=4088+8=4088⋅4088 ≡ 189⋅189=35721 ≡ 483 mod 839

32: 40832=40816+16=40816⋅40816 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 47 mod 839

64: 40864=40832+32=40832⋅40832 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 531 mod 839

128: 408128=40864+64=40864⋅40864 ≡ 531⋅531=281961 ≡ 57 mod 839

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 602151 mod 733.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 151 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 151 an und zerlegen 151 in eine Summer von 2er-Potenzen:

151 = 128+16+4+2+1

1: 6021=602

2: 6022=6021+1=6021⋅6021 ≡ 602⋅602=362404 ≡ 302 mod 733

4: 6024=6022+2=6022⋅6022 ≡ 302⋅302=91204 ≡ 312 mod 733

8: 6028=6024+4=6024⋅6024 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 588 mod 733

16: 60216=6028+8=6028⋅6028 ≡ 588⋅588=345744 ≡ 501 mod 733

32: 60232=60216+16=60216⋅60216 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 315 mod 733

64: 60264=60232+32=60232⋅60232 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 270 mod 733

128: 602128=60264+64=60264⋅60264 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 333 mod 733

602151

= 602128+16+4+2+1

= 602128⋅60216⋅6024⋅6022⋅6021

≡ 333 ⋅ 501 ⋅ 312 ⋅ 302 ⋅ 602 mod 733
≡ 166833 ⋅ 312 ⋅ 302 ⋅ 602 mod 733 ≡ 442 ⋅ 312 ⋅ 302 ⋅ 602 mod 733
≡ 137904 ⋅ 302 ⋅ 602 mod 733 ≡ 100 ⋅ 302 ⋅ 602 mod 733
≡ 30200 ⋅ 602 mod 733 ≡ 147 ⋅ 602 mod 733
≡ 88494 mod 733 ≡ 534 mod 733

Es gilt also: 602151 ≡ 534 mod 733

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59

=>71 = 1⋅59 + 12
=>59 = 4⋅12 + 11
=>12 = 1⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 12-1⋅11
11= 59-4⋅12 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12)
= -1⋅59 +5⋅ 12 (=1)
12= 71-1⋅59 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59)
= 5⋅71 -6⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59

oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅71 = -6⋅59

-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59

-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1

(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1

65⋅59 = 54⋅71 + 1

Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1

Somit 65⋅59 = 1 mod 71

65 ist also das Inverse von 59 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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