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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2803 + 6995) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2803 + 6995) mod 7 ≡ (2803 mod 7 + 6995 mod 7) mod 7.

2803 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2803 = 2800+3 = 7 ⋅ 400 +3.

6995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6995 = 7000-5 = 7 ⋅ 1000 -5 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 2.

Somit gilt:

(2803 + 6995) mod 7 ≡ (3 + 2) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 43) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 43) mod 8 ≡ (78 mod 8 ⋅ 43 mod 8) mod 8.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.

43 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 5 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 43) mod 8 ≡ (6 ⋅ 3) mod 8 ≡ 18 mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 438⁶⁴ mod 547.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 438 -> x
2. mod(x²,547) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 438¹=438

2: 438²=438¹⁺¹=438¹⋅438¹ ≡ 438⋅438=191844 ≡ 394 mod 547

4: 438⁴=438²⁺²=438²⋅438² ≡ 394⋅394=155236 ≡ 435 mod 547

8: 438⁸=438⁴⁺⁴=438⁴⋅438⁴ ≡ 435⋅435=189225 ≡ 510 mod 547

16: 438¹⁶=438⁸⁺⁸=438⁸⋅438⁸ ≡ 510⋅510=260100 ≡ 275 mod 547

32: 438³²=438¹⁶⁺¹⁶=438¹⁶⋅438¹⁶ ≡ 275⋅275=75625 ≡ 139 mod 547

64: 438⁶⁴=438³²⁺³²=438³²⋅438³² ≡ 139⋅139=19321 ≡ 176 mod 547

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 199²²² mod 491.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

1: 199¹=199

2: 199²=199¹⁺¹=199¹⋅199¹ ≡ 199⋅199=39601 ≡ 321 mod 491

4: 199⁴=199²⁺²=199²⋅199² ≡ 321⋅321=103041 ≡ 422 mod 491

8: 199⁸=199⁴⁺⁴=199⁴⋅199⁴ ≡ 422⋅422=178084 ≡ 342 mod 491

16: 199¹⁶=199⁸⁺⁸=199⁸⋅199⁸ ≡ 342⋅342=116964 ≡ 106 mod 491

32: 199³²=199¹⁶⁺¹⁶=199¹⁶⋅199¹⁶ ≡ 106⋅106=11236 ≡ 434 mod 491

64: 199⁶⁴=199³²⁺³²=199³²⋅199³² ≡ 434⋅434=188356 ≡ 303 mod 491

128: 199¹²⁸=199⁶⁴⁺⁶⁴=199⁶⁴⋅199⁶⁴ ≡ 303⋅303=91809 ≡ 483 mod 491

199²²²

= 199^{128+64+16+8+4+2}

= 199¹²⁸⋅199⁶⁴⋅199¹⁶⋅199⁸⋅199⁴⋅199²

≡ 483 ⋅ 303 ⋅ 106 ⋅ 342 ⋅ 422 ⋅ 321 mod 491
≡ 146349 ⋅ 106 ⋅ 342 ⋅ 422 ⋅ 321 mod 491 ≡ 31 ⋅ 106 ⋅ 342 ⋅ 422 ⋅ 321 mod 491
≡ 3286 ⋅ 342 ⋅ 422 ⋅ 321 mod 491 ≡ 340 ⋅ 342 ⋅ 422 ⋅ 321 mod 491
≡ 116280 ⋅ 422 ⋅ 321 mod 491 ≡ 404 ⋅ 422 ⋅ 321 mod 491
≡ 170488 ⋅ 321 mod 491 ≡ 111 ⋅ 321 mod 491
≡ 35631 mod 491 ≡ 279 mod 491

Es gilt also: 199²²² ≡ 279 mod 491

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37

=>59	= 1⋅37 + 22
=>37	= 1⋅22 + 15
=>22	= 1⋅15 + 7
=>15	= 2⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 15-2⋅7
7= 22-1⋅15	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15) = 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1)
15= 37-1⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22) = -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22) = 3⋅37 -5⋅ 22 (=1)
22= 59-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37) = 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37) = -5⋅59 +8⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37

oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅59 = +8⋅37

Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1

Somit 8⋅37 = 1 mod 59

8 ist also das Inverse von 37 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37

Schlüsselpaar für RSA