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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12004 - 80) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12004 - 80) mod 4 ≡ (12004 mod 4 - 80 mod 4) mod 4.
12004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004
= 12000
80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80
= 80
Somit gilt:
(12004 - 80) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 27) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 27) mod 9 ≡ (47 mod 9 ⋅ 27 mod 9) mod 9.
47 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 5 ⋅ 9 + 2 ist.
27 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 3 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 27) mod 9 ≡ (2 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3228 mod 683.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 322 -> x
2. mod(x²,683) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3221=322
2: 3222=3221+1=3221⋅3221 ≡ 322⋅322=103684 ≡ 551 mod 683
4: 3224=3222+2=3222⋅3222 ≡ 551⋅551=303601 ≡ 349 mod 683
8: 3228=3224+4=3224⋅3224 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 227 mod 683
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 280227 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:
227 = 128+64+32+2+1
1: 2801=280
2: 2802=2801+1=2801⋅2801 ≡ 280⋅280=78400 ≡ 702 mod 733
4: 2804=2802+2=2802⋅2802 ≡ 702⋅702=492804 ≡ 228 mod 733
8: 2808=2804+4=2804⋅2804 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 674 mod 733
16: 28016=2808+8=2808⋅2808 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 549 mod 733
32: 28032=28016+16=28016⋅28016 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 138 mod 733
64: 28064=28032+32=28032⋅28032 ≡ 138⋅138=19044 ≡ 719 mod 733
128: 280128=28064+64=28064⋅28064 ≡ 719⋅719=516961 ≡ 196 mod 733
280227
= 280128+64+32+2+1
= 280128⋅28064⋅28032⋅2802⋅2801
≡ 196 ⋅ 719 ⋅ 138 ⋅ 702 ⋅ 280 mod 733
≡ 140924 ⋅ 138 ⋅ 702 ⋅ 280 mod 733 ≡ 188 ⋅ 138 ⋅ 702 ⋅ 280 mod 733
≡ 25944 ⋅ 702 ⋅ 280 mod 733 ≡ 289 ⋅ 702 ⋅ 280 mod 733
≡ 202878 ⋅ 280 mod 733 ≡ 570 ⋅ 280 mod 733
≡ 159600 mod 733 ≡ 539 mod 733
Es gilt also: 280227 ≡ 539 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 54
| =>59 | = 1⋅54 + 5 |
| =>54 | = 10⋅5 + 4 |
| =>5 | = 1⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-1⋅4 | |||
| 4= 54-10⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -1⋅(54 -10⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅54 +10⋅ 5) = -1⋅54 +11⋅ 5 (=1) |
| 5= 59-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅54 +11⋅(59 -1⋅ 54)
= -1⋅54 +11⋅59 -11⋅ 54) = 11⋅59 -12⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,54)=1 = 11⋅59 -12⋅54
oder wenn man 11⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -11⋅59 = -12⋅54
-12⋅54 = -11⋅59 + 1 |+59⋅54
-12⋅54 + 59⋅54 = -11⋅59 + 59⋅54 + 1
(-12 + 59) ⋅ 54 = (-11 + 54) ⋅ 59 + 1
47⋅54 = 43⋅59 + 1
Es gilt also: 47⋅54 = 43⋅59 +1
Somit 47⋅54 = 1 mod 59
47 ist also das Inverse von 54 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.