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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3604 + 2707) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3604 + 2707) mod 9 ≡ (3604 mod 9 + 2707 mod 9) mod 9.

3604 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3604 = 3600+4 = 9 ⋅ 400 +4.

2707 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2707 = 2700+7 = 9 ⋅ 300 +7.

Somit gilt:

(3604 + 2707) mod 9 ≡ (4 + 7) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 18) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 18) mod 9 ≡ (76 mod 9 ⋅ 18 mod 9) mod 9.

76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.

18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 18) mod 9 ≡ (4 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 23416 mod 353.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 234 -> x
2. mod(x²,353) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2341=234

2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 41 mod 353

4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 269 mod 353

8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 349 mod 353

16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 16 mod 353

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 419227 mod 487.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 227 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 227 an und zerlegen 227 in eine Summer von 2er-Potenzen:

227 = 128+64+32+2+1

1: 4191=419

2: 4192=4191+1=4191⋅4191 ≡ 419⋅419=175561 ≡ 241 mod 487

4: 4194=4192+2=4192⋅4192 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 128 mod 487

8: 4198=4194+4=4194⋅4194 ≡ 128⋅128=16384 ≡ 313 mod 487

16: 41916=4198+8=4198⋅4198 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 82 mod 487

32: 41932=41916+16=41916⋅41916 ≡ 82⋅82=6724 ≡ 393 mod 487

64: 41964=41932+32=41932⋅41932 ≡ 393⋅393=154449 ≡ 70 mod 487

128: 419128=41964+64=41964⋅41964 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 30 mod 487

419227

= 419128+64+32+2+1

= 419128⋅41964⋅41932⋅4192⋅4191

30 ⋅ 70 ⋅ 393 ⋅ 241 ⋅ 419 mod 487
2100 ⋅ 393 ⋅ 241 ⋅ 419 mod 487 ≡ 152 ⋅ 393 ⋅ 241 ⋅ 419 mod 487
59736 ⋅ 241 ⋅ 419 mod 487 ≡ 322 ⋅ 241 ⋅ 419 mod 487
77602 ⋅ 419 mod 487 ≡ 169 ⋅ 419 mod 487
70811 mod 487 ≡ 196 mod 487

Es gilt also: 419227 ≡ 196 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 60.

Also bestimme x, so dass 60 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 60

=>67 = 1⋅60 + 7
=>60 = 8⋅7 + 4
=>7 = 1⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,60)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 7-1⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(7 -1⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅7 +1⋅ 4)
= -1⋅7 +2⋅ 4 (=1)
4= 60-8⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅7 +2⋅(60 -8⋅ 7)
= -1⋅7 +2⋅60 -16⋅ 7)
= 2⋅60 -17⋅ 7 (=1)
7= 67-1⋅60 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅60 -17⋅(67 -1⋅ 60)
= 2⋅60 -17⋅67 +17⋅ 60)
= -17⋅67 +19⋅ 60 (=1)

Es gilt also: ggt(67,60)=1 = -17⋅67 +19⋅60

oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +17⋅67 = +19⋅60

Es gilt also: 19⋅60 = 17⋅67 +1

Somit 19⋅60 = 1 mod 67

19 ist also das Inverse von 60 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.