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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19997 + 1199) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19997 + 1199) mod 4 ≡ (19997 mod 4 + 1199 mod 4) mod 4.
19997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997
= 19000
1199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1100
Somit gilt:
(19997 + 1199) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 84) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 84) mod 5 ≡ (17 mod 5 ⋅ 84 mod 5) mod 5.
17 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 15 + 2 = 3 ⋅ 5 + 2 ist.
84 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 16 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 84) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 3128 mod 449.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 312 -> x
2. mod(x²,449) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3121=312
2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 360 mod 449
4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 288 mod 449
8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 328 mod 449
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 401183 mod 911.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 183 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 183 an und zerlegen 183 in eine Summer von 2er-Potenzen:
183 = 128+32+16+4+2+1
1: 4011=401
2: 4012=4011+1=4011⋅4011 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 465 mod 911
4: 4014=4012+2=4012⋅4012 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 318 mod 911
8: 4018=4014+4=4014⋅4014 ≡ 318⋅318=101124 ≡ 3 mod 911
16: 40116=4018+8=4018⋅4018 ≡ 3⋅3=9 ≡ 9 mod 911
32: 40132=40116+16=40116⋅40116 ≡ 9⋅9=81 ≡ 81 mod 911
64: 40164=40132+32=40132⋅40132 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 184 mod 911
128: 401128=40164+64=40164⋅40164 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 149 mod 911
401183
= 401128+32+16+4+2+1
= 401128⋅40132⋅40116⋅4014⋅4012⋅4011
≡ 149 ⋅ 81 ⋅ 9 ⋅ 318 ⋅ 465 ⋅ 401 mod 911
≡ 12069 ⋅ 9 ⋅ 318 ⋅ 465 ⋅ 401 mod 911 ≡ 226 ⋅ 9 ⋅ 318 ⋅ 465 ⋅ 401 mod 911
≡ 2034 ⋅ 318 ⋅ 465 ⋅ 401 mod 911 ≡ 212 ⋅ 318 ⋅ 465 ⋅ 401 mod 911
≡ 67416 ⋅ 465 ⋅ 401 mod 911 ≡ 2 ⋅ 465 ⋅ 401 mod 911
≡ 930 ⋅ 401 mod 911 ≡ 19 ⋅ 401 mod 911
≡ 7619 mod 911 ≡ 331 mod 911
Es gilt also: 401183 ≡ 331 mod 911
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 37
| =>79 | = 2⋅37 + 5 |
| =>37 | = 7⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 37-7⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(37 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅37 +14⋅ 5) = -2⋅37 +15⋅ 5 (=1) |
| 5= 79-2⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅37 +15⋅(79 -2⋅ 37)
= -2⋅37 +15⋅79 -30⋅ 37) = 15⋅79 -32⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,37)=1 = 15⋅79 -32⋅37
oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅79 = -32⋅37
-32⋅37 = -15⋅79 + 1 |+79⋅37
-32⋅37 + 79⋅37 = -15⋅79 + 79⋅37 + 1
(-32 + 79) ⋅ 37 = (-15 + 37) ⋅ 79 + 1
47⋅37 = 22⋅79 + 1
Es gilt also: 47⋅37 = 22⋅79 +1
Somit 47⋅37 = 1 mod 79
47 ist also das Inverse von 37 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
