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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 - 301) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 - 301) mod 3 ≡ (28 mod 3 - 301 mod 3) mod 3.
28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28
= 30
301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301
= 300
Somit gilt:
(28 - 301) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 67) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(54 ⋅ 67) mod 7 ≡ (54 mod 7 ⋅ 67 mod 7) mod 7.
54 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 49 + 5 = 7 ⋅ 7 + 5 ist.
67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 9 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(54 ⋅ 67) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31564 mod 919.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 315 -> x
2. mod(x²,919) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3151=315
2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 892 mod 919
4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 892⋅892=795664 ≡ 729 mod 919
8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 259 mod 919
16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 913 mod 919
32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 913⋅913=833569 ≡ 36 mod 919
64: 31564=31532+32=31532⋅31532 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 377 mod 919
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 111112 mod 277.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 112 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 112 an und zerlegen 112 in eine Summer von 2er-Potenzen:
112 = 64+32+16
1: 1111=111
2: 1112=1111+1=1111⋅1111 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 133 mod 277
4: 1114=1112+2=1112⋅1112 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 238 mod 277
8: 1118=1114+4=1114⋅1114 ≡ 238⋅238=56644 ≡ 136 mod 277
16: 11116=1118+8=1118⋅1118 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 214 mod 277
32: 11132=11116+16=11116⋅11116 ≡ 214⋅214=45796 ≡ 91 mod 277
64: 11164=11132+32=11132⋅11132 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 248 mod 277
111112
= 11164+32+16
= 11164⋅11132⋅11116
≡ 248 ⋅ 91 ⋅ 214 mod 277
≡ 22568 ⋅ 214 mod 277 ≡ 131 ⋅ 214 mod 277
≡ 28034 mod 277 ≡ 57 mod 277
Es gilt also: 111112 ≡ 57 mod 277
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 67.
Also bestimme x, so dass 67 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 67
| =>71 | = 1⋅67 + 4 |
| =>67 | = 16⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,67)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 67-16⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(67 -16⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅67 +16⋅ 4) = -1⋅67 +17⋅ 4 (=1) |
| 4= 71-1⋅67 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅67 +17⋅(71 -1⋅ 67)
= -1⋅67 +17⋅71 -17⋅ 67) = 17⋅71 -18⋅ 67 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,67)=1 = 17⋅71 -18⋅67
oder wenn man 17⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅71 = -18⋅67
-18⋅67 = -17⋅71 + 1 |+71⋅67
-18⋅67 + 71⋅67 = -17⋅71 + 71⋅67 + 1
(-18 + 71) ⋅ 67 = (-17 + 67) ⋅ 71 + 1
53⋅67 = 50⋅71 + 1
Es gilt also: 53⋅67 = 50⋅71 +1
Somit 53⋅67 = 1 mod 71
53 ist also das Inverse von 67 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.