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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28007 + 34994) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28007 + 34994) mod 7 ≡ (28007 mod 7 + 34994 mod 7) mod 7.
28007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28007
= 28000
34994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34994
= 35000
Somit gilt:
(28007 + 34994) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 34) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15 ⋅ 34) mod 9 ≡ (15 mod 9 ⋅ 34 mod 9) mod 9.
15 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 9 + 6 = 1 ⋅ 9 + 6 ist.
34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(15 ⋅ 34) mod 9 ≡ (6 ⋅ 7) mod 9 ≡ 42 mod 9 ≡ 6 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36316 mod 557.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 363 -> x
2. mod(x²,557) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3631=363
2: 3632=3631+1=3631⋅3631 ≡ 363⋅363=131769 ≡ 317 mod 557
4: 3634=3632+2=3632⋅3632 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 229 mod 557
8: 3638=3634+4=3634⋅3634 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 83 mod 557
16: 36316=3638+8=3638⋅3638 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 205 mod 557
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 84182 mod 239.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 182 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 182 an und zerlegen 182 in eine Summer von 2er-Potenzen:
182 = 128+32+16+4+2
1: 841=84
2: 842=841+1=841⋅841 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 125 mod 239
4: 844=842+2=842⋅842 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 90 mod 239
8: 848=844+4=844⋅844 ≡ 90⋅90=8100 ≡ 213 mod 239
16: 8416=848+8=848⋅848 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 198 mod 239
32: 8432=8416+16=8416⋅8416 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 8 mod 239
64: 8464=8432+32=8432⋅8432 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 239
128: 84128=8464+64=8464⋅8464 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 33 mod 239
84182
= 84128+32+16+4+2
= 84128⋅8432⋅8416⋅844⋅842
≡ 33 ⋅ 8 ⋅ 198 ⋅ 90 ⋅ 125 mod 239
≡ 264 ⋅ 198 ⋅ 90 ⋅ 125 mod 239 ≡ 25 ⋅ 198 ⋅ 90 ⋅ 125 mod 239
≡ 4950 ⋅ 90 ⋅ 125 mod 239 ≡ 170 ⋅ 90 ⋅ 125 mod 239
≡ 15300 ⋅ 125 mod 239 ≡ 4 ⋅ 125 mod 239
≡ 500 mod 239 ≡ 22 mod 239
Es gilt also: 84182 ≡ 22 mod 239
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 68
| =>71 | = 1⋅68 + 3 |
| =>68 | = 22⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 68-22⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(68 -22⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅68 +22⋅ 3) = -1⋅68 +23⋅ 3 (=1) |
| 3= 71-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅68 +23⋅(71 -1⋅ 68)
= -1⋅68 +23⋅71 -23⋅ 68) = 23⋅71 -24⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,68)=1 = 23⋅71 -24⋅68
oder wenn man 23⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -23⋅71 = -24⋅68
-24⋅68 = -23⋅71 + 1 |+71⋅68
-24⋅68 + 71⋅68 = -23⋅71 + 71⋅68 + 1
(-24 + 71) ⋅ 68 = (-23 + 68) ⋅ 71 + 1
47⋅68 = 45⋅71 + 1
Es gilt also: 47⋅68 = 45⋅71 +1
Somit 47⋅68 = 1 mod 71
47 ist also das Inverse von 68 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
