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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (797 - 4001) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(797 - 4001) mod 4 ≡ (797 mod 4 - 4001 mod 4) mod 4.
797 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 797
= 700
4001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4001
= 4000
Somit gilt:
(797 - 4001) mod 4 ≡ (1 - 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 87) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 87) mod 8 ≡ (18 mod 8 ⋅ 87 mod 8) mod 8.
18 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 2 ⋅ 8 + 2 ist.
87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 10 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 87) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 23116 mod 239.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 231 -> x
2. mod(x²,239) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2311=231
2: 2312=2311+1=2311⋅2311 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 64 mod 239
4: 2314=2312+2=2312⋅2312 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 33 mod 239
8: 2318=2314+4=2314⋅2314 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 133 mod 239
16: 23116=2318+8=2318⋅2318 ≡ 133⋅133=17689 ≡ 3 mod 239
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 73083 mod 797.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 83 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 83 an und zerlegen 83 in eine Summer von 2er-Potenzen:
83 = 64+16+2+1
1: 7301=730
2: 7302=7301+1=7301⋅7301 ≡ 730⋅730=532900 ≡ 504 mod 797
4: 7304=7302+2=7302⋅7302 ≡ 504⋅504=254016 ≡ 570 mod 797
8: 7308=7304+4=7304⋅7304 ≡ 570⋅570=324900 ≡ 521 mod 797
16: 73016=7308+8=7308⋅7308 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 461 mod 797
32: 73032=73016+16=73016⋅73016 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 519 mod 797
64: 73064=73032+32=73032⋅73032 ≡ 519⋅519=269361 ≡ 772 mod 797
73083
= 73064+16+2+1
= 73064⋅73016⋅7302⋅7301
≡ 772 ⋅ 461 ⋅ 504 ⋅ 730 mod 797
≡ 355892 ⋅ 504 ⋅ 730 mod 797 ≡ 430 ⋅ 504 ⋅ 730 mod 797
≡ 216720 ⋅ 730 mod 797 ≡ 733 ⋅ 730 mod 797
≡ 535090 mod 797 ≡ 303 mod 797
Es gilt also: 73083 ≡ 303 mod 797
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 72
| =>97 | = 1⋅72 + 25 |
| =>72 | = 2⋅25 + 22 |
| =>25 | = 1⋅22 + 3 |
| =>22 | = 7⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 22-7⋅3 | |||
| 3= 25-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅22 -7⋅(25 -1⋅ 22)
= 1⋅22 -7⋅25 +7⋅ 22) = -7⋅25 +8⋅ 22 (=1) |
| 22= 72-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -7⋅25 +8⋅(72 -2⋅ 25)
= -7⋅25 +8⋅72 -16⋅ 25) = 8⋅72 -23⋅ 25 (=1) |
| 25= 97-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 8⋅72 -23⋅(97 -1⋅ 72)
= 8⋅72 -23⋅97 +23⋅ 72) = -23⋅97 +31⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,72)=1 = -23⋅97 +31⋅72
oder wenn man -23⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 +23⋅97 = +31⋅72
Es gilt also: 31⋅72 = 23⋅97 +1
Somit 31⋅72 = 1 mod 97
31 ist also das Inverse von 72 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.