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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2003 + 20000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2003 + 20000) mod 4 ≡ (2003 mod 4 + 20000 mod 4) mod 4.

2003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003 = 2000+3 = 4 ⋅ 500 +3.

20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 4 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(2003 + 20000) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 65) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 65) mod 6 ≡ (54 mod 6 ⋅ 65 mod 6) mod 6.

54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 9 ⋅ 6 + 0 ist.

65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 10 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 65) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 159128 mod 331.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 159 -> x
2. mod(x²,331) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1591=159

2: 1592=1591+1=1591⋅1591 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 125 mod 331

4: 1594=1592+2=1592⋅1592 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 68 mod 331

8: 1598=1594+4=1594⋅1594 ≡ 68⋅68=4624 ≡ 321 mod 331

16: 15916=1598+8=1598⋅1598 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 100 mod 331

32: 15932=15916+16=15916⋅15916 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 70 mod 331

64: 15964=15932+32=15932⋅15932 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 266 mod 331

128: 159128=15964+64=15964⋅15964 ≡ 266⋅266=70756 ≡ 253 mod 331

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 759226 mod 997.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 226 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 226 an und zerlegen 226 in eine Summer von 2er-Potenzen:

226 = 128+64+32+2

1: 7591=759

2: 7592=7591+1=7591⋅7591 ≡ 759⋅759=576081 ≡ 812 mod 997

4: 7594=7592+2=7592⋅7592 ≡ 812⋅812=659344 ≡ 327 mod 997

8: 7598=7594+4=7594⋅7594 ≡ 327⋅327=106929 ≡ 250 mod 997

16: 75916=7598+8=7598⋅7598 ≡ 250⋅250=62500 ≡ 686 mod 997

32: 75932=75916+16=75916⋅75916 ≡ 686⋅686=470596 ≡ 12 mod 997

64: 75964=75932+32=75932⋅75932 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 997

128: 759128=75964+64=75964⋅75964 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 796 mod 997

759226

= 759128+64+32+2

= 759128⋅75964⋅75932⋅7592

≡ 796 ⋅ 144 ⋅ 12 ⋅ 812 mod 997
≡ 114624 ⋅ 12 ⋅ 812 mod 997 ≡ 966 ⋅ 12 ⋅ 812 mod 997
≡ 11592 ⋅ 812 mod 997 ≡ 625 ⋅ 812 mod 997
≡ 507500 mod 997 ≡ 27 mod 997

Es gilt also: 759226 ≡ 27 mod 997

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 43.

Also bestimme x, so dass 43 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 43

=>79 = 1⋅43 + 36
=>43 = 1⋅36 + 7
=>36 = 5⋅7 + 1
=>7 = 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,43)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 36-5⋅7
7= 43-1⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅36 -5⋅(43 -1⋅ 36)
= 1⋅36 -5⋅43 +5⋅ 36)
= -5⋅43 +6⋅ 36 (=1)
36= 79-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅43 +6⋅(79 -1⋅ 43)
= -5⋅43 +6⋅79 -6⋅ 43)
= 6⋅79 -11⋅ 43 (=1)

Es gilt also: ggt(79,43)=1 = 6⋅79 -11⋅43

oder wenn man 6⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -6⋅79 = -11⋅43

-11⋅43 = -6⋅79 + 1 |+79⋅43

-11⋅43 + 79⋅43 = -6⋅79 + 79⋅43 + 1

(-11 + 79) ⋅ 43 = (-6 + 43) ⋅ 79 + 1

68⋅43 = 37⋅79 + 1

Es gilt also: 68⋅43 = 37⋅79 +1

Somit 68⋅43 = 1 mod 79

68 ist also das Inverse von 43 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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