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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (120 + 121) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(120 + 121) mod 4 ≡ (120 mod 4 + 121 mod 4) mod 4.
120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
121 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121
= 120
Somit gilt:
(120 + 121) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 58) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 58) mod 3 ≡ (46 mod 3 ⋅ 58 mod 3) mod 3.
46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.
58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 57 + 1 = 19 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 58) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34132 mod 787.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 341 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3411=341
2: 3412=3411+1=3411⋅3411 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 592 mod 787
4: 3414=3412+2=3412⋅3412 ≡ 592⋅592=350464 ≡ 249 mod 787
8: 3418=3414+4=3414⋅3414 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 615 mod 787
16: 34116=3418+8=3418⋅3418 ≡ 615⋅615=378225 ≡ 465 mod 787
32: 34132=34116+16=34116⋅34116 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 587 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 373129 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 129 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 129 an und zerlegen 129 in eine Summer von 2er-Potenzen:
129 = 128+1
1: 3731=373
2: 3732=3731+1=3731⋅3731 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 100 mod 383
4: 3734=3732+2=3732⋅3732 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 42 mod 383
8: 3738=3734+4=3734⋅3734 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 232 mod 383
16: 37316=3738+8=3738⋅3738 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 204 mod 383
32: 37332=37316+16=37316⋅37316 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 252 mod 383
64: 37364=37332+32=37332⋅37332 ≡ 252⋅252=63504 ≡ 309 mod 383
128: 373128=37364+64=37364⋅37364 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 114 mod 383
373129
= 373128+1
= 373128⋅3731
≡ 114 ⋅ 373 mod 383
≡ 42522 mod 383 ≡ 9 mod 383
Es gilt also: 373129 ≡ 9 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 31.
Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 31
| =>97 | = 3⋅31 + 4 |
| =>31 | = 7⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,31)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 31-7⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4) = -1⋅31 +8⋅ 4 (=1) |
| 4= 97-3⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅31 +8⋅(97 -3⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅97 -24⋅ 31) = 8⋅97 -25⋅ 31 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,31)=1 = 8⋅97 -25⋅31
oder wenn man 8⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -8⋅97 = -25⋅31
-25⋅31 = -8⋅97 + 1 |+97⋅31
-25⋅31 + 97⋅31 = -8⋅97 + 97⋅31 + 1
(-25 + 97) ⋅ 31 = (-8 + 31) ⋅ 97 + 1
72⋅31 = 23⋅97 + 1
Es gilt also: 72⋅31 = 23⋅97 +1
Somit 72⋅31 = 1 mod 97
72 ist also das Inverse von 31 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.