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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5002 - 25001) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5002 - 25001) mod 5 ≡ (5002 mod 5 - 25001 mod 5) mod 5.

5002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5002 = 5000+2 = 5 ⋅ 1000 +2.

25001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25001 = 25000+1 = 5 ⋅ 5000 +1.

Somit gilt:

(5002 - 25001) mod 5 ≡ (2 - 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 34) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 34) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 34 mod 5) mod 5.

71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.

34 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 6 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 34) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 415¹²⁸ mod 977.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 415 -> x
2. mod(x²,977) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 415¹=415

2: 415²=415¹⁺¹=415¹⋅415¹ ≡ 415⋅415=172225 ≡ 273 mod 977

4: 415⁴=415²⁺²=415²⋅415² ≡ 273⋅273=74529 ≡ 277 mod 977

8: 415⁸=415⁴⁺⁴=415⁴⋅415⁴ ≡ 277⋅277=76729 ≡ 523 mod 977

16: 415¹⁶=415⁸⁺⁸=415⁸⋅415⁸ ≡ 523⋅523=273529 ≡ 946 mod 977

32: 415³²=415¹⁶⁺¹⁶=415¹⁶⋅415¹⁶ ≡ 946⋅946=894916 ≡ 961 mod 977

64: 415⁶⁴=415³²⁺³²=415³²⋅415³² ≡ 961⋅961=923521 ≡ 256 mod 977

128: 415¹²⁸=415⁶⁴⁺⁶⁴=415⁶⁴⋅415⁶⁴ ≡ 256⋅256=65536 ≡ 77 mod 977

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 210²⁴⁵ mod 211.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 245 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 245 an und zerlegen 245 in eine Summer von 2er-Potenzen:

245 = 128+64+32+16+4+1

1: 210¹=210

2: 210²=210¹⁺¹=210¹⋅210¹ ≡ 210⋅210=44100 ≡ 1 mod 211

4: 210⁴=210²⁺²=210²⋅210² ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 211

8: 210⁸=210⁴⁺⁴=210⁴⋅210⁴ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 211

16: 210¹⁶=210⁸⁺⁸=210⁸⋅210⁸ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 211

32: 210³²=210¹⁶⁺¹⁶=210¹⁶⋅210¹⁶ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 211

64: 210⁶⁴=210³²⁺³²=210³²⋅210³² ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 211

128: 210¹²⁸=210⁶⁴⁺⁶⁴=210⁶⁴⋅210⁶⁴ ≡ 1⋅1=1 ≡ 1 mod 211

210²⁴⁵

= 210^{128+64+32+16+4+1}

= 210¹²⁸⋅210⁶⁴⋅210³²⋅210¹⁶⋅210⁴⋅210¹

≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 210 mod 211
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 210 mod 211
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 210 mod 211
≡ 1 ⋅ 1 ⋅ 210 mod 211
≡ 1 ⋅ 210 mod 211
≡ 210 mod 211

Es gilt also: 210²⁴⁵ ≡ 210 mod 211

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 59.

Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 59

=>83	= 1⋅59 + 24
=>59	= 2⋅24 + 11
=>24	= 2⋅11 + 2
=>11	= 5⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,59)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 24-2⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅11 -5⋅(24 -2⋅ 11) = 1⋅11 -5⋅24 +10⋅ 11) = -5⋅24 +11⋅ 11 (=1)
11= 59-2⋅24	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -5⋅24 +11⋅(59 -2⋅ 24) = -5⋅24 +11⋅59 -22⋅ 24) = 11⋅59 -27⋅ 24 (=1)
24= 83-1⋅59	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 11⋅59 -27⋅(83 -1⋅ 59) = 11⋅59 -27⋅83 +27⋅ 59) = -27⋅83 +38⋅ 59 (=1)

Es gilt also: ggt(83,59)=1 = -27⋅83 +38⋅59

oder wenn man -27⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +27⋅83 = +38⋅59

Es gilt also: 38⋅59 = 27⋅83 +1

Somit 38⋅59 = 1 mod 83

38 ist also das Inverse von 59 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 59

Schlüsselpaar für RSA