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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (313 - 800) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(313 - 800) mod 8 ≡ (313 mod 8 - 800 mod 8) mod 8.

313 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 313 = 320-7 = 8 ⋅ 40 -7 = 8 ⋅ 40 - 8 + 1.

800 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 800 = 800+0 = 8 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(313 - 800) mod 8 ≡ (1 - 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 33) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 33) mod 10 ≡ (24 mod 10 ⋅ 33 mod 10) mod 10.

24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.

33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 33) mod 10 ≡ (4 ⋅ 3) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 63216 mod 659.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 632 -> x
2. mod(x²,659) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6321=632

2: 6322=6321+1=6321⋅6321 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 70 mod 659

4: 6324=6322+2=6322⋅6322 ≡ 70⋅70=4900 ≡ 287 mod 659

8: 6328=6324+4=6324⋅6324 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 653 mod 659

16: 63216=6328+8=6328⋅6328 ≡ 653⋅653=426409 ≡ 36 mod 659

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 621178 mod 839.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 178 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 178 an und zerlegen 178 in eine Summer von 2er-Potenzen:

178 = 128+32+16+2

1: 6211=621

2: 6212=6211+1=6211⋅6211 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 540 mod 839

4: 6214=6212+2=6212⋅6212 ≡ 540⋅540=291600 ≡ 467 mod 839

8: 6218=6214+4=6214⋅6214 ≡ 467⋅467=218089 ≡ 788 mod 839

16: 62116=6218+8=6218⋅6218 ≡ 788⋅788=620944 ≡ 84 mod 839

32: 62132=62116+16=62116⋅62116 ≡ 84⋅84=7056 ≡ 344 mod 839

64: 62164=62132+32=62132⋅62132 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 37 mod 839

128: 621128=62164+64=62164⋅62164 ≡ 37⋅37=1369 ≡ 530 mod 839

621178

= 621128+32+16+2

= 621128⋅62132⋅62116⋅6212

≡ 530 ⋅ 344 ⋅ 84 ⋅ 540 mod 839
≡ 182320 ⋅ 84 ⋅ 540 mod 839 ≡ 257 ⋅ 84 ⋅ 540 mod 839
≡ 21588 ⋅ 540 mod 839 ≡ 613 ⋅ 540 mod 839
≡ 331020 mod 839 ≡ 454 mod 839

Es gilt also: 621178 ≡ 454 mod 839

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 58

=>97 = 1⋅58 + 39
=>58 = 1⋅39 + 19
=>39 = 2⋅19 + 1
=>19 = 19⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 39-2⋅19
19= 58-1⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅39 -2⋅(58 -1⋅ 39)
= 1⋅39 -2⋅58 +2⋅ 39)
= -2⋅58 +3⋅ 39 (=1)
39= 97-1⋅58 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅58 +3⋅(97 -1⋅ 58)
= -2⋅58 +3⋅97 -3⋅ 58)
= 3⋅97 -5⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(97,58)=1 = 3⋅97 -5⋅58

oder wenn man 3⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅97 = -5⋅58

-5⋅58 = -3⋅97 + 1 |+97⋅58

-5⋅58 + 97⋅58 = -3⋅97 + 97⋅58 + 1

(-5 + 97) ⋅ 58 = (-3 + 58) ⋅ 97 + 1

92⋅58 = 55⋅97 + 1

Es gilt also: 92⋅58 = 55⋅97 +1

Somit 92⋅58 = 1 mod 97

92 ist also das Inverse von 58 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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