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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9998 - 251) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9998 - 251) mod 5 ≡ (9998 mod 5 - 251 mod 5) mod 5.

9998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9998 = 9000+998 = 5 ⋅ 1800 +998.

251 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 251 = 250+1 = 5 ⋅ 50 +1.

Somit gilt:

(9998 - 251) mod 5 ≡ (3 - 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 69) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 69) mod 7 ≡ (95 mod 7 ⋅ 69 mod 7) mod 7.

95 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 91 + 4 = 13 ⋅ 7 + 4 ist.

69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 9 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 69) mod 7 ≡ (4 ⋅ 6) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 398¹²⁸ mod 857.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 398 -> x
2. mod(x²,857) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 398¹=398

2: 398²=398¹⁺¹=398¹⋅398¹ ≡ 398⋅398=158404 ≡ 716 mod 857

4: 398⁴=398²⁺²=398²⋅398² ≡ 716⋅716=512656 ≡ 170 mod 857

8: 398⁸=398⁴⁺⁴=398⁴⋅398⁴ ≡ 170⋅170=28900 ≡ 619 mod 857

16: 398¹⁶=398⁸⁺⁸=398⁸⋅398⁸ ≡ 619⋅619=383161 ≡ 82 mod 857

32: 398³²=398¹⁶⁺¹⁶=398¹⁶⋅398¹⁶ ≡ 82⋅82=6724 ≡ 725 mod 857

64: 398⁶⁴=398³²⁺³²=398³²⋅398³² ≡ 725⋅725=525625 ≡ 284 mod 857

128: 398¹²⁸=398⁶⁴⁺⁶⁴=398⁶⁴⋅398⁶⁴ ≡ 284⋅284=80656 ≡ 98 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 138²³⁷ mod 383.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 237 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 237 an und zerlegen 237 in eine Summer von 2er-Potenzen:

237 = 128+64+32+8+4+1

1: 138¹=138

2: 138²=138¹⁺¹=138¹⋅138¹ ≡ 138⋅138=19044 ≡ 277 mod 383

4: 138⁴=138²⁺²=138²⋅138² ≡ 277⋅277=76729 ≡ 129 mod 383

8: 138⁸=138⁴⁺⁴=138⁴⋅138⁴ ≡ 129⋅129=16641 ≡ 172 mod 383

16: 138¹⁶=138⁸⁺⁸=138⁸⋅138⁸ ≡ 172⋅172=29584 ≡ 93 mod 383

32: 138³²=138¹⁶⁺¹⁶=138¹⁶⋅138¹⁶ ≡ 93⋅93=8649 ≡ 223 mod 383

64: 138⁶⁴=138³²⁺³²=138³²⋅138³² ≡ 223⋅223=49729 ≡ 322 mod 383

128: 138¹²⁸=138⁶⁴⁺⁶⁴=138⁶⁴⋅138⁶⁴ ≡ 322⋅322=103684 ≡ 274 mod 383

138²³⁷

= 138^{128+64+32+8+4+1}

= 138¹²⁸⋅138⁶⁴⋅138³²⋅138⁸⋅138⁴⋅138¹

≡ 274 ⋅ 322 ⋅ 223 ⋅ 172 ⋅ 129 ⋅ 138 mod 383
≡ 88228 ⋅ 223 ⋅ 172 ⋅ 129 ⋅ 138 mod 383 ≡ 138 ⋅ 223 ⋅ 172 ⋅ 129 ⋅ 138 mod 383
≡ 30774 ⋅ 172 ⋅ 129 ⋅ 138 mod 383 ≡ 134 ⋅ 172 ⋅ 129 ⋅ 138 mod 383
≡ 23048 ⋅ 129 ⋅ 138 mod 383 ≡ 68 ⋅ 129 ⋅ 138 mod 383
≡ 8772 ⋅ 138 mod 383 ≡ 346 ⋅ 138 mod 383
≡ 47748 mod 383 ≡ 256 mod 383

Es gilt also: 138²³⁷ ≡ 256 mod 383

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 36

=>83	= 2⋅36 + 11
=>36	= 3⋅11 + 3
=>11	= 3⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 11-3⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(11 -3⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅11 +3⋅ 3) = -1⋅11 +4⋅ 3 (=1)
3= 36-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +4⋅(36 -3⋅ 11) = -1⋅11 +4⋅36 -12⋅ 11) = 4⋅36 -13⋅ 11 (=1)
11= 83-2⋅36	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅36 -13⋅(83 -2⋅ 36) = 4⋅36 -13⋅83 +26⋅ 36) = -13⋅83 +30⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(83,36)=1 = -13⋅83 +30⋅36

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +30⋅36

Es gilt also: 30⋅36 = 13⋅83 +1

Somit 30⋅36 = 1 mod 83

30 ist also das Inverse von 36 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 36

Schlüsselpaar für RSA