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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2005 - 99) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2005 - 99) mod 5 ≡ (2005 mod 5 - 99 mod 5) mod 5.
2005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2005
= 2000
99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99
= 90
Somit gilt:
(2005 - 99) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 97) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 97) mod 7 ≡ (21 mod 7 ⋅ 97 mod 7) mod 7.
21 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 3 ⋅ 7 + 0 ist.
97 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 91 + 6 = 13 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 97) mod 7 ≡ (0 ⋅ 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5938 mod 709.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 593 -> x
2. mod(x²,709) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5931=593
2: 5932=5931+1=5931⋅5931 ≡ 593⋅593=351649 ≡ 694 mod 709
4: 5934=5932+2=5932⋅5932 ≡ 694⋅694=481636 ≡ 225 mod 709
8: 5938=5934+4=5934⋅5934 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 286 mod 709
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 88194 mod 937.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:
94 = 64+16+8+4+2
1: 8811=881
2: 8812=8811+1=8811⋅8811 ≡ 881⋅881=776161 ≡ 325 mod 937
4: 8814=8812+2=8812⋅8812 ≡ 325⋅325=105625 ≡ 681 mod 937
8: 8818=8814+4=8814⋅8814 ≡ 681⋅681=463761 ≡ 883 mod 937
16: 88116=8818+8=8818⋅8818 ≡ 883⋅883=779689 ≡ 105 mod 937
32: 88132=88116+16=88116⋅88116 ≡ 105⋅105=11025 ≡ 718 mod 937
64: 88164=88132+32=88132⋅88132 ≡ 718⋅718=515524 ≡ 174 mod 937
88194
= 88164+16+8+4+2
= 88164⋅88116⋅8818⋅8814⋅8812
≡ 174 ⋅ 105 ⋅ 883 ⋅ 681 ⋅ 325 mod 937
≡ 18270 ⋅ 883 ⋅ 681 ⋅ 325 mod 937 ≡ 467 ⋅ 883 ⋅ 681 ⋅ 325 mod 937
≡ 412361 ⋅ 681 ⋅ 325 mod 937 ≡ 81 ⋅ 681 ⋅ 325 mod 937
≡ 55161 ⋅ 325 mod 937 ≡ 815 ⋅ 325 mod 937
≡ 264875 mod 937 ≡ 641 mod 937
Es gilt also: 88194 ≡ 641 mod 937
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 42
| =>61 | = 1⋅42 + 19 |
| =>42 | = 2⋅19 + 4 |
| =>19 | = 4⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 19-4⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(19 -4⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅19 +4⋅ 4) = -1⋅19 +5⋅ 4 (=1) |
| 4= 42-2⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅19 +5⋅(42 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +5⋅42 -10⋅ 19) = 5⋅42 -11⋅ 19 (=1) |
| 19= 61-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 5⋅42 -11⋅(61 -1⋅ 42)
= 5⋅42 -11⋅61 +11⋅ 42) = -11⋅61 +16⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,42)=1 = -11⋅61 +16⋅42
oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅61 = +16⋅42
Es gilt also: 16⋅42 = 11⋅61 +1
Somit 16⋅42 = 1 mod 61
16 ist also das Inverse von 42 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.