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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (177 - 186) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(177 - 186) mod 9 ≡ (177 mod 9 - 186 mod 9) mod 9.

177 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177 = 180-3 = 9 ⋅ 20 -3 = 9 ⋅ 20 - 9 + 6.

186 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 186 = 180+6 = 9 ⋅ 20 +6.

Somit gilt:

(177 - 186) mod 9 ≡ (6 - 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 89) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 89) mod 3 ≡ (26 mod 3 ⋅ 89 mod 3) mod 3.

26 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 8 ⋅ 3 + 2 ist.

89 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 87 + 2 = 29 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 89) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14432 mod 229.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 144 -> x
2. mod(x²,229) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1441=144

2: 1442=1441+1=1441⋅1441 ≡ 144⋅144=20736 ≡ 126 mod 229

4: 1444=1442+2=1442⋅1442 ≡ 126⋅126=15876 ≡ 75 mod 229

8: 1448=1444+4=1444⋅1444 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 129 mod 229

16: 14416=1448+8=1448⋅1448 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 153 mod 229

32: 14432=14416+16=14416⋅14416 ≡ 153⋅153=23409 ≡ 51 mod 229

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 559235 mod 607.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 235 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 235 an und zerlegen 235 in eine Summer von 2er-Potenzen:

235 = 128+64+32+8+2+1

1: 5591=559

2: 5592=5591+1=5591⋅5591 ≡ 559⋅559=312481 ≡ 483 mod 607

4: 5594=5592+2=5592⋅5592 ≡ 483⋅483=233289 ≡ 201 mod 607

8: 5598=5594+4=5594⋅5594 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 339 mod 607

16: 55916=5598+8=5598⋅5598 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 198 mod 607

32: 55932=55916+16=55916⋅55916 ≡ 198⋅198=39204 ≡ 356 mod 607

64: 55964=55932+32=55932⋅55932 ≡ 356⋅356=126736 ≡ 480 mod 607

128: 559128=55964+64=55964⋅55964 ≡ 480⋅480=230400 ≡ 347 mod 607

559235

= 559128+64+32+8+2+1

= 559128⋅55964⋅55932⋅5598⋅5592⋅5591

347 ⋅ 480 ⋅ 356 ⋅ 339 ⋅ 483 ⋅ 559 mod 607
166560 ⋅ 356 ⋅ 339 ⋅ 483 ⋅ 559 mod 607 ≡ 242 ⋅ 356 ⋅ 339 ⋅ 483 ⋅ 559 mod 607
86152 ⋅ 339 ⋅ 483 ⋅ 559 mod 607 ≡ 565 ⋅ 339 ⋅ 483 ⋅ 559 mod 607
191535 ⋅ 483 ⋅ 559 mod 607 ≡ 330 ⋅ 483 ⋅ 559 mod 607
159390 ⋅ 559 mod 607 ≡ 356 ⋅ 559 mod 607
199004 mod 607 ≡ 515 mod 607

Es gilt also: 559235 ≡ 515 mod 607

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48

=>61 = 1⋅48 + 13
=>48 = 3⋅13 + 9
=>13 = 1⋅9 + 4
=>9 = 2⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 13-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9)
= -2⋅13 +3⋅ 9 (=1)
9= 48-3⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13)
= -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13)
= 3⋅48 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48)
= 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48)
= -11⋅61 +14⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +14⋅48

Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1

Somit 14⋅48 = 1 mod 61

14 ist also das Inverse von 48 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.