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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (498 - 100) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(498 - 100) mod 5 ≡ (498 mod 5 - 100 mod 5) mod 5.

498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 498 = 400+98 = 5 ⋅ 80 +98.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100+0 = 5 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(498 - 100) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 87) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 87) mod 9 ≡ (70 mod 9 ⋅ 87 mod 9) mod 9.

70 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 63 + 7 = 7 ⋅ 9 + 7 ist.

87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 81 + 6 = 9 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 87) mod 9 ≡ (7 ⋅ 6) mod 9 ≡ 42 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 225¹⁶ mod 563.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 225 -> x
2. mod(x²,563) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 225¹=225

2: 225²=225¹⁺¹=225¹⋅225¹ ≡ 225⋅225=50625 ≡ 518 mod 563

4: 225⁴=225²⁺²=225²⋅225² ≡ 518⋅518=268324 ≡ 336 mod 563

8: 225⁸=225⁴⁺⁴=225⁴⋅225⁴ ≡ 336⋅336=112896 ≡ 296 mod 563

16: 225¹⁶=225⁸⁺⁸=225⁸⋅225⁸ ≡ 296⋅296=87616 ≡ 351 mod 563

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 543²⁵⁴ mod 863.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 254 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 254 an und zerlegen 254 in eine Summer von 2er-Potenzen:

254 = 128+64+32+16+8+4+2

1: 543¹=543

2: 543²=543¹⁺¹=543¹⋅543¹ ≡ 543⋅543=294849 ≡ 566 mod 863

4: 543⁴=543²⁺²=543²⋅543² ≡ 566⋅566=320356 ≡ 183 mod 863

8: 543⁸=543⁴⁺⁴=543⁴⋅543⁴ ≡ 183⋅183=33489 ≡ 695 mod 863

16: 543¹⁶=543⁸⁺⁸=543⁸⋅543⁸ ≡ 695⋅695=483025 ≡ 608 mod 863

32: 543³²=543¹⁶⁺¹⁶=543¹⁶⋅543¹⁶ ≡ 608⋅608=369664 ≡ 300 mod 863

64: 543⁶⁴=543³²⁺³²=543³²⋅543³² ≡ 300⋅300=90000 ≡ 248 mod 863

128: 543¹²⁸=543⁶⁴⁺⁶⁴=543⁶⁴⋅543⁶⁴ ≡ 248⋅248=61504 ≡ 231 mod 863

543²⁵⁴

= 543^{128+64+32+16+8+4+2}

= 543¹²⁸⋅543⁶⁴⋅543³²⋅543¹⁶⋅543⁸⋅543⁴⋅543²

≡ 231 ⋅ 248 ⋅ 300 ⋅ 608 ⋅ 695 ⋅ 183 ⋅ 566 mod 863
≡ 57288 ⋅ 300 ⋅ 608 ⋅ 695 ⋅ 183 ⋅ 566 mod 863 ≡ 330 ⋅ 300 ⋅ 608 ⋅ 695 ⋅ 183 ⋅ 566 mod 863
≡ 99000 ⋅ 608 ⋅ 695 ⋅ 183 ⋅ 566 mod 863 ≡ 618 ⋅ 608 ⋅ 695 ⋅ 183 ⋅ 566 mod 863
≡ 375744 ⋅ 695 ⋅ 183 ⋅ 566 mod 863 ≡ 339 ⋅ 695 ⋅ 183 ⋅ 566 mod 863
≡ 235605 ⋅ 183 ⋅ 566 mod 863 ≡ 6 ⋅ 183 ⋅ 566 mod 863
≡ 1098 ⋅ 566 mod 863 ≡ 235 ⋅ 566 mod 863
≡ 133010 mod 863 ≡ 108 mod 863

Es gilt also: 543²⁵⁴ ≡ 108 mod 863

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 37.

Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

=>71	= 1⋅37 + 34
=>37	= 1⋅34 + 3
=>34	= 11⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,37)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-11⋅3
3= 37-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -11⋅(37 -1⋅ 34) = 1⋅34 -11⋅37 +11⋅ 34) = -11⋅37 +12⋅ 34 (=1)
34= 71-1⋅37	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -11⋅37 +12⋅(71 -1⋅ 37) = -11⋅37 +12⋅71 -12⋅ 37) = 12⋅71 -23⋅ 37 (=1)

Es gilt also: ggt(71,37)=1 = 12⋅71 -23⋅37

oder wenn man 12⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 -12⋅71 = -23⋅37

-23⋅37 = -12⋅71 + 1 |+71⋅37

-23⋅37 + 71⋅37 = -12⋅71 + 71⋅37 + 1

(-23 + 71) ⋅ 37 = (-12 + 37) ⋅ 71 + 1

48⋅37 = 25⋅71 + 1

Es gilt also: 48⋅37 = 25⋅71 +1

Somit 48⋅37 = 1 mod 71

48 ist also das Inverse von 37 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 37

Schlüsselpaar für RSA