Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (441 + 905) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(441 + 905) mod 9 ≡ (441 mod 9 + 905 mod 9) mod 9.

441 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 441 = 450-9 = 9 ⋅ 50 -9 = 9 ⋅ 50 - 9 + 0.

905 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 905 = 900+5 = 9 ⋅ 100 +5.

Somit gilt:

(441 + 905) mod 9 ≡ (0 + 5) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 95) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 95) mod 6 ≡ (84 mod 6 ⋅ 95 mod 6) mod 6.

84 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 14 ⋅ 6 + 0 ist.

95 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 15 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 95) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 478³² mod 631.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 478 -> x
2. mod(x²,631) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 478¹=478

2: 478²=478¹⁺¹=478¹⋅478¹ ≡ 478⋅478=228484 ≡ 62 mod 631

4: 478⁴=478²⁺²=478²⋅478² ≡ 62⋅62=3844 ≡ 58 mod 631

8: 478⁸=478⁴⁺⁴=478⁴⋅478⁴ ≡ 58⋅58=3364 ≡ 209 mod 631

16: 478¹⁶=478⁸⁺⁸=478⁸⋅478⁸ ≡ 209⋅209=43681 ≡ 142 mod 631

32: 478³²=478¹⁶⁺¹⁶=478¹⁶⋅478¹⁶ ≡ 142⋅142=20164 ≡ 603 mod 631

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 161²³¹ mod 313.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 231 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 231 an und zerlegen 231 in eine Summer von 2er-Potenzen:

231 = 128+64+32+4+2+1

1: 161¹=161

2: 161²=161¹⁺¹=161¹⋅161¹ ≡ 161⋅161=25921 ≡ 255 mod 313

4: 161⁴=161²⁺²=161²⋅161² ≡ 255⋅255=65025 ≡ 234 mod 313

8: 161⁸=161⁴⁺⁴=161⁴⋅161⁴ ≡ 234⋅234=54756 ≡ 294 mod 313

16: 161¹⁶=161⁸⁺⁸=161⁸⋅161⁸ ≡ 294⋅294=86436 ≡ 48 mod 313

32: 161³²=161¹⁶⁺¹⁶=161¹⁶⋅161¹⁶ ≡ 48⋅48=2304 ≡ 113 mod 313

64: 161⁶⁴=161³²⁺³²=161³²⋅161³² ≡ 113⋅113=12769 ≡ 249 mod 313

128: 161¹²⁸=161⁶⁴⁺⁶⁴=161⁶⁴⋅161⁶⁴ ≡ 249⋅249=62001 ≡ 27 mod 313

161²³¹

= 161^{128+64+32+4+2+1}

= 161¹²⁸⋅161⁶⁴⋅161³²⋅161⁴⋅161²⋅161¹

≡ 27 ⋅ 249 ⋅ 113 ⋅ 234 ⋅ 255 ⋅ 161 mod 313
≡ 6723 ⋅ 113 ⋅ 234 ⋅ 255 ⋅ 161 mod 313 ≡ 150 ⋅ 113 ⋅ 234 ⋅ 255 ⋅ 161 mod 313
≡ 16950 ⋅ 234 ⋅ 255 ⋅ 161 mod 313 ≡ 48 ⋅ 234 ⋅ 255 ⋅ 161 mod 313
≡ 11232 ⋅ 255 ⋅ 161 mod 313 ≡ 277 ⋅ 255 ⋅ 161 mod 313
≡ 70635 ⋅ 161 mod 313 ≡ 210 ⋅ 161 mod 313
≡ 33810 mod 313 ≡ 6 mod 313

Es gilt also: 161²³¹ ≡ 6 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 21.

Also bestimme x, so dass 21 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 21

=>61	= 2⋅21 + 19
=>21	= 1⋅19 + 2
=>19	= 9⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,21)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 21-1⋅19	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19) = 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1)
19= 61-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -9⋅21 +10⋅(61 -2⋅ 21) = -9⋅21 +10⋅61 -20⋅ 21) = 10⋅61 -29⋅ 21 (=1)

Es gilt also: ggt(61,21)=1 = 10⋅61 -29⋅21

oder wenn man 10⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -10⋅61 = -29⋅21

-29⋅21 = -10⋅61 + 1 |+61⋅21

-29⋅21 + 61⋅21 = -10⋅61 + 61⋅21 + 1

(-29 + 61) ⋅ 21 = (-10 + 21) ⋅ 61 + 1

32⋅21 = 11⋅61 + 1

Es gilt also: 32⋅21 = 11⋅61 +1

Somit 32⋅21 = 1 mod 61

32 ist also das Inverse von 21 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 21

Schlüsselpaar für RSA