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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9002 - 1501) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9002 - 1501) mod 3 ≡ (9002 mod 3 - 1501 mod 3) mod 3.

9002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002 = 9000+2 = 3 ⋅ 3000 +2.

1501 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1501 = 1500+1 = 3 ⋅ 500 +1.

Somit gilt:

(9002 - 1501) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 85) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 85) mod 6 ≡ (46 mod 6 ⋅ 85 mod 6) mod 6.

46 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 7 ⋅ 6 + 4 ist.

85 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 14 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 85) mod 6 ≡ (4 ⋅ 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3148 mod 349.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 314 -> x
2. mod(x²,349) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3141=314

2: 3142=3141+1=3141⋅3141 ≡ 314⋅314=98596 ≡ 178 mod 349

4: 3144=3142+2=3142⋅3142 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 274 mod 349

8: 3148=3144+4=3144⋅3144 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 41 mod 349

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 430204 mod 809.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 204 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 204 an und zerlegen 204 in eine Summer von 2er-Potenzen:

204 = 128+64+8+4

1: 4301=430

2: 4302=4301+1=4301⋅4301 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 448 mod 809

4: 4304=4302+2=4302⋅4302 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 72 mod 809

8: 4308=4304+4=4304⋅4304 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 330 mod 809

16: 43016=4308+8=4308⋅4308 ≡ 330⋅330=108900 ≡ 494 mod 809

32: 43032=43016+16=43016⋅43016 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 527 mod 809

64: 43064=43032+32=43032⋅43032 ≡ 527⋅527=277729 ≡ 242 mod 809

128: 430128=43064+64=43064⋅43064 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 316 mod 809

430204

= 430128+64+8+4

= 430128⋅43064⋅4308⋅4304

316 ⋅ 242 ⋅ 330 ⋅ 72 mod 809
76472 ⋅ 330 ⋅ 72 mod 809 ≡ 426 ⋅ 330 ⋅ 72 mod 809
140580 ⋅ 72 mod 809 ≡ 623 ⋅ 72 mod 809
44856 mod 809 ≡ 361 mod 809

Es gilt also: 430204 ≡ 361 mod 809

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 49.

Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 49

=>71 = 1⋅49 + 22
=>49 = 2⋅22 + 5
=>22 = 4⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(71,49)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 22-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(22 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅22 +8⋅ 5)
= -2⋅22 +9⋅ 5 (=1)
5= 49-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅22 +9⋅(49 -2⋅ 22)
= -2⋅22 +9⋅49 -18⋅ 22)
= 9⋅49 -20⋅ 22 (=1)
22= 71-1⋅49 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 9⋅49 -20⋅(71 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -20⋅71 +20⋅ 49)
= -20⋅71 +29⋅ 49 (=1)

Es gilt also: ggt(71,49)=1 = -20⋅71 +29⋅49

oder wenn man -20⋅71 auf die linke Seite bringt:

1 +20⋅71 = +29⋅49

Es gilt also: 29⋅49 = 20⋅71 +1

Somit 29⋅49 = 1 mod 71

29 ist also das Inverse von 49 mod 71

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.