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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1598 - 40007) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1598 - 40007) mod 8 ≡ (1598 mod 8 - 40007 mod 8) mod 8.

1598 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1598 = 1600-2 = 8 ⋅ 200 -2 = 8 ⋅ 200 - 8 + 6.

40007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40007 = 40000+7 = 8 ⋅ 5000 +7.

Somit gilt:

(1598 - 40007) mod 8 ≡ (6 - 7) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 45) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 45) mod 8 ≡ (18 mod 8 ⋅ 45 mod 8) mod 8.

18 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 2 ⋅ 8 + 2 ist.

45 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 5 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 45) mod 8 ≡ (2 ⋅ 5) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 40632 mod 883.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 406 -> x
2. mod(x²,883) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4061=406

2: 4062=4061+1=4061⋅4061 ≡ 406⋅406=164836 ≡ 598 mod 883

4: 4064=4062+2=4062⋅4062 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 872 mod 883

8: 4068=4064+4=4064⋅4064 ≡ 872⋅872=760384 ≡ 121 mod 883

16: 40616=4068+8=4068⋅4068 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 513 mod 883

32: 40632=40616+16=40616⋅40616 ≡ 513⋅513=263169 ≡ 35 mod 883

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 691164 mod 1009.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 164 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 164 an und zerlegen 164 in eine Summer von 2er-Potenzen:

164 = 128+32+4

1: 6911=691

2: 6912=6911+1=6911⋅6911 ≡ 691⋅691=477481 ≡ 224 mod 1009

4: 6914=6912+2=6912⋅6912 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 735 mod 1009

8: 6918=6914+4=6914⋅6914 ≡ 735⋅735=540225 ≡ 410 mod 1009

16: 69116=6918+8=6918⋅6918 ≡ 410⋅410=168100 ≡ 606 mod 1009

32: 69132=69116+16=69116⋅69116 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 969 mod 1009

64: 69164=69132+32=69132⋅69132 ≡ 969⋅969=938961 ≡ 591 mod 1009

128: 691128=69164+64=69164⋅69164 ≡ 591⋅591=349281 ≡ 167 mod 1009

691164

= 691128+32+4

= 691128⋅69132⋅6914

≡ 167 ⋅ 969 ⋅ 735 mod 1009
≡ 161823 ⋅ 735 mod 1009 ≡ 383 ⋅ 735 mod 1009
≡ 281505 mod 1009 ≡ 1003 mod 1009

Es gilt also: 691164 ≡ 1003 mod 1009

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 33.

Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 33

=>83 = 2⋅33 + 17
=>33 = 1⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,33)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 33-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(33 -1⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅33 +1⋅ 17)
= -1⋅33 +2⋅ 17 (=1)
17= 83-2⋅33 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅33 +2⋅(83 -2⋅ 33)
= -1⋅33 +2⋅83 -4⋅ 33)
= 2⋅83 -5⋅ 33 (=1)

Es gilt also: ggt(83,33)=1 = 2⋅83 -5⋅33

oder wenn man 2⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -2⋅83 = -5⋅33

-5⋅33 = -2⋅83 + 1 |+83⋅33

-5⋅33 + 83⋅33 = -2⋅83 + 83⋅33 + 1

(-5 + 83) ⋅ 33 = (-2 + 33) ⋅ 83 + 1

78⋅33 = 31⋅83 + 1

Es gilt also: 78⋅33 = 31⋅83 +1

Somit 78⋅33 = 1 mod 83

78 ist also das Inverse von 33 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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