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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9003 + 119) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9003 + 119) mod 3 ≡ (9003 mod 3 + 119 mod 3) mod 3.

9003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003 = 9000+3 = 3 ⋅ 3000 +3.

119 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 119 = 120-1 = 3 ⋅ 40 -1 = 3 ⋅ 40 - 3 + 2.

Somit gilt:

(9003 + 119) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 81) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 81) mod 9 ≡ (68 mod 9 ⋅ 81 mod 9) mod 9.

68 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 7 ⋅ 9 + 5 ist.

81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 9 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 81) mod 9 ≡ (5 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 899128 mod 937.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 899 -> x
2. mod(x²,937) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8991=899

2: 8992=8991+1=8991⋅8991 ≡ 899⋅899=808201 ≡ 507 mod 937

4: 8994=8992+2=8992⋅8992 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 311 mod 937

8: 8998=8994+4=8994⋅8994 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 210 mod 937

16: 89916=8998+8=8998⋅8998 ≡ 210⋅210=44100 ≡ 61 mod 937

32: 89932=89916+16=89916⋅89916 ≡ 61⋅61=3721 ≡ 910 mod 937

64: 89964=89932+32=89932⋅89932 ≡ 910⋅910=828100 ≡ 729 mod 937

128: 899128=89964+64=89964⋅89964 ≡ 729⋅729=531441 ≡ 162 mod 937

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 378140 mod 947.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 140 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 140 an und zerlegen 140 in eine Summer von 2er-Potenzen:

140 = 128+8+4

1: 3781=378

2: 3782=3781+1=3781⋅3781 ≡ 378⋅378=142884 ≡ 834 mod 947

4: 3784=3782+2=3782⋅3782 ≡ 834⋅834=695556 ≡ 458 mod 947

8: 3788=3784+4=3784⋅3784 ≡ 458⋅458=209764 ≡ 477 mod 947

16: 37816=3788+8=3788⋅3788 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 249 mod 947

32: 37832=37816+16=37816⋅37816 ≡ 249⋅249=62001 ≡ 446 mod 947

64: 37864=37832+32=37832⋅37832 ≡ 446⋅446=198916 ≡ 46 mod 947

128: 378128=37864+64=37864⋅37864 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 222 mod 947

378140

= 378128+8+4

= 378128⋅3788⋅3784

≡ 222 ⋅ 477 ⋅ 458 mod 947
≡ 105894 ⋅ 458 mod 947 ≡ 777 ⋅ 458 mod 947
≡ 355866 mod 947 ≡ 741 mod 947

Es gilt also: 378140 ≡ 741 mod 947

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 44.

Also bestimme x, so dass 44 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 44

=>83 = 1⋅44 + 39
=>44 = 1⋅39 + 5
=>39 = 7⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,44)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 39-7⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(39 -7⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅39 +7⋅ 5)
= -1⋅39 +8⋅ 5 (=1)
5= 44-1⋅39 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅39 +8⋅(44 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +8⋅44 -8⋅ 39)
= 8⋅44 -9⋅ 39 (=1)
39= 83-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 8⋅44 -9⋅(83 -1⋅ 44)
= 8⋅44 -9⋅83 +9⋅ 44)
= -9⋅83 +17⋅ 44 (=1)

Es gilt also: ggt(83,44)=1 = -9⋅83 +17⋅44

oder wenn man -9⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅83 = +17⋅44

Es gilt also: 17⋅44 = 9⋅83 +1

Somit 17⋅44 = 1 mod 83

17 ist also das Inverse von 44 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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