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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1601 - 76) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1601 - 76) mod 4 ≡ (1601 mod 4 - 76 mod 4) mod 4.

1601 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601 = 1600+1 = 4 ⋅ 400 +1.

76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 80-4 = 4 ⋅ 20 -4 = 4 ⋅ 20 - 4 + 0.

Somit gilt:

(1601 - 76) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 88) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 88) mod 11 ≡ (19 mod 11 ⋅ 88 mod 11) mod 11.

19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.

88 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 8 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 88) mod 11 ≡ (8 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25964 mod 587.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 259 -> x
2. mod(x²,587) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2591=259

2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 163 mod 587

4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 163⋅163=26569 ≡ 154 mod 587

8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 236 mod 587

16: 25916=2598+8=2598⋅2598 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 518 mod 587

32: 25932=25916+16=25916⋅25916 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 65 mod 587

64: 25964=25932+32=25932⋅25932 ≡ 65⋅65=4225 ≡ 116 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 91594 mod 919.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

1: 9151=915

2: 9152=9151+1=9151⋅9151 ≡ 915⋅915=837225 ≡ 16 mod 919

4: 9154=9152+2=9152⋅9152 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 919

8: 9158=9154+4=9154⋅9154 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 287 mod 919

16: 91516=9158+8=9158⋅9158 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 578 mod 919

32: 91532=91516+16=91516⋅91516 ≡ 578⋅578=334084 ≡ 487 mod 919

64: 91564=91532+32=91532⋅91532 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 67 mod 919

91594

= 91564+16+8+4+2

= 91564⋅91516⋅9158⋅9154⋅9152

≡ 67 ⋅ 578 ⋅ 287 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 919
≡ 38726 ⋅ 287 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 919 ≡ 128 ⋅ 287 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 919
≡ 36736 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 919 ≡ 895 ⋅ 256 ⋅ 16 mod 919
≡ 229120 ⋅ 16 mod 919 ≡ 289 ⋅ 16 mod 919
≡ 4624 mod 919 ≡ 29 mod 919

Es gilt also: 91594 ≡ 29 mod 919

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 28.

Also bestimme x, so dass 28 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 28

=>67 = 2⋅28 + 11
=>28 = 2⋅11 + 6
=>11 = 1⋅6 + 5
=>6 = 1⋅5 + 1
=>5 = 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,28)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 6-1⋅5
5= 11-1⋅6 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅6 -1⋅(11 -1⋅ 6)
= 1⋅6 -1⋅11 +1⋅ 6)
= -1⋅11 +2⋅ 6 (=1)
6= 28-2⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅11 +2⋅(28 -2⋅ 11)
= -1⋅11 +2⋅28 -4⋅ 11)
= 2⋅28 -5⋅ 11 (=1)
11= 67-2⋅28 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅28 -5⋅(67 -2⋅ 28)
= 2⋅28 -5⋅67 +10⋅ 28)
= -5⋅67 +12⋅ 28 (=1)

Es gilt also: ggt(67,28)=1 = -5⋅67 +12⋅28

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +12⋅28

Es gilt also: 12⋅28 = 5⋅67 +1

Somit 12⋅28 = 1 mod 67

12 ist also das Inverse von 28 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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