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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 - 61) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 - 61) mod 3 ≡ (63 mod 3 - 61 mod 3) mod 3.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60+3 = 3 ⋅ 20 +3.

61 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60+1 = 3 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(63 - 61) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 63) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 63) mod 9 ≡ (94 mod 9 ⋅ 63 mod 9) mod 9.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 10 ⋅ 9 + 4 ist.

63 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 7 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 63) mod 9 ≡ (4 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43064 mod 641.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 430 -> x
2. mod(x²,641) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4301=430

2: 4302=4301+1=4301⋅4301 ≡ 430⋅430=184900 ≡ 292 mod 641

4: 4304=4302+2=4302⋅4302 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 11 mod 641

8: 4308=4304+4=4304⋅4304 ≡ 11⋅11=121 ≡ 121 mod 641

16: 43016=4308+8=4308⋅4308 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 539 mod 641

32: 43032=43016+16=43016⋅43016 ≡ 539⋅539=290521 ≡ 148 mod 641

64: 43064=43032+32=43032⋅43032 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 110 mod 641

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 326201 mod 751.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:

201 = 128+64+8+1

1: 3261=326

2: 3262=3261+1=3261⋅3261 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 385 mod 751

4: 3264=3262+2=3262⋅3262 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 278 mod 751

8: 3268=3264+4=3264⋅3264 ≡ 278⋅278=77284 ≡ 682 mod 751

16: 32616=3268+8=3268⋅3268 ≡ 682⋅682=465124 ≡ 255 mod 751

32: 32632=32616+16=32616⋅32616 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 439 mod 751

64: 32664=32632+32=32632⋅32632 ≡ 439⋅439=192721 ≡ 465 mod 751

128: 326128=32664+64=32664⋅32664 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 688 mod 751

326201

= 326128+64+8+1

= 326128⋅32664⋅3268⋅3261

≡ 688 ⋅ 465 ⋅ 682 ⋅ 326 mod 751
≡ 319920 ⋅ 682 ⋅ 326 mod 751 ≡ 745 ⋅ 682 ⋅ 326 mod 751
≡ 508090 ⋅ 326 mod 751 ≡ 414 ⋅ 326 mod 751
≡ 134964 mod 751 ≡ 535 mod 751

Es gilt also: 326201 ≡ 535 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 36.

Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36

=>89 = 2⋅36 + 17
=>36 = 2⋅17 + 2
=>17 = 8⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,36)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-8⋅2
2= 36-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17)
= -8⋅36 +17⋅ 17 (=1)
17= 89-2⋅36 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36)
= 17⋅89 -42⋅ 36 (=1)

Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36

oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 -17⋅89 = -42⋅36

-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36

-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1

(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1

47⋅36 = 19⋅89 + 1

Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1

Somit 47⋅36 = 1 mod 89

47 ist also das Inverse von 36 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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