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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3996 - 200) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3996 - 200) mod 4 ≡ (3996 mod 4 - 200 mod 4) mod 4.
3996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3996
= 3000
200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200
= 200
Somit gilt:
(3996 - 200) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 32) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(91 ⋅ 32) mod 9 ≡ (91 mod 9 ⋅ 32 mod 9) mod 9.
91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.
32 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 27 + 5 = 3 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(91 ⋅ 32) mod 9 ≡ (1 ⋅ 5) mod 9 ≡ 5 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 2598 mod 263.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 259 -> x
2. mod(x²,263) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2591=259
2: 2592=2591+1=2591⋅2591 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 16 mod 263
4: 2594=2592+2=2592⋅2592 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 263
8: 2598=2594+4=2594⋅2594 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 49 mod 263
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 606232 mod 919.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 232 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 232 an und zerlegen 232 in eine Summer von 2er-Potenzen:
232 = 128+64+32+8
1: 6061=606
2: 6062=6061+1=6061⋅6061 ≡ 606⋅606=367236 ≡ 555 mod 919
4: 6064=6062+2=6062⋅6062 ≡ 555⋅555=308025 ≡ 160 mod 919
8: 6068=6064+4=6064⋅6064 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 787 mod 919
16: 60616=6068+8=6068⋅6068 ≡ 787⋅787=619369 ≡ 882 mod 919
32: 60632=60616+16=60616⋅60616 ≡ 882⋅882=777924 ≡ 450 mod 919
64: 60664=60632+32=60632⋅60632 ≡ 450⋅450=202500 ≡ 320 mod 919
128: 606128=60664+64=60664⋅60664 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 391 mod 919
606232
= 606128+64+32+8
= 606128⋅60664⋅60632⋅6068
≡ 391 ⋅ 320 ⋅ 450 ⋅ 787 mod 919
≡ 125120 ⋅ 450 ⋅ 787 mod 919 ≡ 136 ⋅ 450 ⋅ 787 mod 919
≡ 61200 ⋅ 787 mod 919 ≡ 546 ⋅ 787 mod 919
≡ 429702 mod 919 ≡ 529 mod 919
Es gilt also: 606232 ≡ 529 mod 919
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 32
| =>79 | = 2⋅32 + 15 |
| =>32 | = 2⋅15 + 2 |
| =>15 | = 7⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-7⋅2 | |||
| 2= 32-2⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -7⋅(32 -2⋅ 15)
= 1⋅15 -7⋅32 +14⋅ 15) = -7⋅32 +15⋅ 15 (=1) |
| 15= 79-2⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -7⋅32 +15⋅(79 -2⋅ 32)
= -7⋅32 +15⋅79 -30⋅ 32) = 15⋅79 -37⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,32)=1 = 15⋅79 -37⋅32
oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -15⋅79 = -37⋅32
-37⋅32 = -15⋅79 + 1 |+79⋅32
-37⋅32 + 79⋅32 = -15⋅79 + 79⋅32 + 1
(-37 + 79) ⋅ 32 = (-15 + 32) ⋅ 79 + 1
42⋅32 = 17⋅79 + 1
Es gilt also: 42⋅32 = 17⋅79 +1
Somit 42⋅32 = 1 mod 79
42 ist also das Inverse von 32 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.