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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (153 - 19995) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(153 - 19995) mod 5 ≡ (153 mod 5 - 19995 mod 5) mod 5.

153 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 153 = 150+3 = 5 ⋅ 30 +3.

19995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19995 = 19000+995 = 5 ⋅ 3800 +995.

Somit gilt:

(153 - 19995) mod 5 ≡ (3 - 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 53) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 53) mod 5 ≡ (44 mod 5 ⋅ 53 mod 5) mod 5.

44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.

53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50 + 3 = 10 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 53) mod 5 ≡ (4 ⋅ 3) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11016 mod 233.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 110 -> x
2. mod(x²,233) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1101=110

2: 1102=1101+1=1101⋅1101 ≡ 110⋅110=12100 ≡ 217 mod 233

4: 1104=1102+2=1102⋅1102 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 23 mod 233

8: 1108=1104+4=1104⋅1104 ≡ 23⋅23=529 ≡ 63 mod 233

16: 11016=1108+8=1108⋅1108 ≡ 63⋅63=3969 ≡ 8 mod 233

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 862103 mod 911.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 103 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 103 an und zerlegen 103 in eine Summer von 2er-Potenzen:

103 = 64+32+4+2+1

1: 8621=862

2: 8622=8621+1=8621⋅8621 ≡ 862⋅862=743044 ≡ 579 mod 911

4: 8624=8622+2=8622⋅8622 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 904 mod 911

8: 8628=8624+4=8624⋅8624 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 49 mod 911

16: 86216=8628+8=8628⋅8628 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 579 mod 911

32: 86232=86216+16=86216⋅86216 ≡ 579⋅579=335241 ≡ 904 mod 911

64: 86264=86232+32=86232⋅86232 ≡ 904⋅904=817216 ≡ 49 mod 911

862103

= 86264+32+4+2+1

= 86264⋅86232⋅8624⋅8622⋅8621

≡ 49 ⋅ 904 ⋅ 904 ⋅ 579 ⋅ 862 mod 911
≡ 44296 ⋅ 904 ⋅ 579 ⋅ 862 mod 911 ≡ 568 ⋅ 904 ⋅ 579 ⋅ 862 mod 911
≡ 513472 ⋅ 579 ⋅ 862 mod 911 ≡ 579 ⋅ 579 ⋅ 862 mod 911
≡ 335241 ⋅ 862 mod 911 ≡ 904 ⋅ 862 mod 911
≡ 779248 mod 911 ≡ 343 mod 911

Es gilt also: 862103 ≡ 343 mod 911

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 32

=>101 = 3⋅32 + 5
=>32 = 6⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 32-6⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(32 -6⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅32 +12⋅ 5)
= -2⋅32 +13⋅ 5 (=1)
5= 101-3⋅32 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅32 +13⋅(101 -3⋅ 32)
= -2⋅32 +13⋅101 -39⋅ 32)
= 13⋅101 -41⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(101,32)=1 = 13⋅101 -41⋅32

oder wenn man 13⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅101 = -41⋅32

-41⋅32 = -13⋅101 + 1 |+101⋅32

-41⋅32 + 101⋅32 = -13⋅101 + 101⋅32 + 1

(-41 + 101) ⋅ 32 = (-13 + 32) ⋅ 101 + 1

60⋅32 = 19⋅101 + 1

Es gilt also: 60⋅32 = 19⋅101 +1

Somit 60⋅32 = 1 mod 101

60 ist also das Inverse von 32 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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