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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (900 + 299) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(900 + 299) mod 3 ≡ (900 mod 3 + 299 mod 3) mod 3.

900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 3 ⋅ 300 +0.

299 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 299 = 300-1 = 3 ⋅ 100 -1 = 3 ⋅ 100 - 3 + 2.

Somit gilt:

(900 + 299) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 62) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 62) mod 11 ≡ (23 mod 11 ⋅ 62 mod 11) mod 11.

23 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 22 + 1 = 2 ⋅ 11 + 1 ist.

62 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 55 + 7 = 5 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 62) mod 11 ≡ (1 ⋅ 7) mod 11 ≡ 7 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 114¹²⁸ mod 271.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 114 -> x
2. mod(x²,271) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 114¹=114

2: 114²=114¹⁺¹=114¹⋅114¹ ≡ 114⋅114=12996 ≡ 259 mod 271

4: 114⁴=114²⁺²=114²⋅114² ≡ 259⋅259=67081 ≡ 144 mod 271

8: 114⁸=114⁴⁺⁴=114⁴⋅114⁴ ≡ 144⋅144=20736 ≡ 140 mod 271

16: 114¹⁶=114⁸⁺⁸=114⁸⋅114⁸ ≡ 140⋅140=19600 ≡ 88 mod 271

32: 114³²=114¹⁶⁺¹⁶=114¹⁶⋅114¹⁶ ≡ 88⋅88=7744 ≡ 156 mod 271

64: 114⁶⁴=114³²⁺³²=114³²⋅114³² ≡ 156⋅156=24336 ≡ 217 mod 271

128: 114¹²⁸=114⁶⁴⁺⁶⁴=114⁶⁴⋅114⁶⁴ ≡ 217⋅217=47089 ≡ 206 mod 271

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 668²⁰⁷ mod 751.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

1: 668¹=668

2: 668²=668¹⁺¹=668¹⋅668¹ ≡ 668⋅668=446224 ≡ 130 mod 751

4: 668⁴=668²⁺²=668²⋅668² ≡ 130⋅130=16900 ≡ 378 mod 751

8: 668⁸=668⁴⁺⁴=668⁴⋅668⁴ ≡ 378⋅378=142884 ≡ 194 mod 751

16: 668¹⁶=668⁸⁺⁸=668⁸⋅668⁸ ≡ 194⋅194=37636 ≡ 86 mod 751

32: 668³²=668¹⁶⁺¹⁶=668¹⁶⋅668¹⁶ ≡ 86⋅86=7396 ≡ 637 mod 751

64: 668⁶⁴=668³²⁺³²=668³²⋅668³² ≡ 637⋅637=405769 ≡ 229 mod 751

128: 668¹²⁸=668⁶⁴⁺⁶⁴=668⁶⁴⋅668⁶⁴ ≡ 229⋅229=52441 ≡ 622 mod 751

668²⁰⁷

= 668^{128+64+8+4+2+1}

= 668¹²⁸⋅668⁶⁴⋅668⁸⋅668⁴⋅668²⋅668¹

≡ 622 ⋅ 229 ⋅ 194 ⋅ 378 ⋅ 130 ⋅ 668 mod 751
≡ 142438 ⋅ 194 ⋅ 378 ⋅ 130 ⋅ 668 mod 751 ≡ 499 ⋅ 194 ⋅ 378 ⋅ 130 ⋅ 668 mod 751
≡ 96806 ⋅ 378 ⋅ 130 ⋅ 668 mod 751 ≡ 678 ⋅ 378 ⋅ 130 ⋅ 668 mod 751
≡ 256284 ⋅ 130 ⋅ 668 mod 751 ≡ 193 ⋅ 130 ⋅ 668 mod 751
≡ 25090 ⋅ 668 mod 751 ≡ 307 ⋅ 668 mod 751
≡ 205076 mod 751 ≡ 53 mod 751

Es gilt also: 668²⁰⁷ ≡ 53 mod 751

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 74.

Also bestimme x, so dass 74 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 74

=>79	= 1⋅74 + 5
=>74	= 14⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,74)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 74-14⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(74 -14⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅74 +14⋅ 5) = -1⋅74 +15⋅ 5 (=1)
5= 79-1⋅74	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅74 +15⋅(79 -1⋅ 74) = -1⋅74 +15⋅79 -15⋅ 74) = 15⋅79 -16⋅ 74 (=1)

Es gilt also: ggt(79,74)=1 = 15⋅79 -16⋅74

oder wenn man 15⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -15⋅79 = -16⋅74

-16⋅74 = -15⋅79 + 1 |+79⋅74

-16⋅74 + 79⋅74 = -15⋅79 + 79⋅74 + 1

(-16 + 79) ⋅ 74 = (-15 + 74) ⋅ 79 + 1

63⋅74 = 59⋅79 + 1

Es gilt also: 63⋅74 = 59⋅79 +1

Somit 63⋅74 = 1 mod 79

63 ist also das Inverse von 74 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 74

Schlüsselpaar für RSA