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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (154 + 145) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(154 + 145) mod 5 ≡ (154 mod 5 + 145 mod 5) mod 5.

154 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 154 = 150+4 = 5 ⋅ 30 +4.

145 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145 = 140+5 = 5 ⋅ 28 +5.

Somit gilt:

(154 + 145) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 58) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 58) mod 9 ≡ (15 mod 9 ⋅ 58 mod 9) mod 9.

15 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 9 + 6 = 1 ⋅ 9 + 6 ist.

58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 58) mod 9 ≡ (6 ⋅ 4) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 40432 mod 881.

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Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 404 -> x
2. mod(x²,881) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4041=404

2: 4042=4041+1=4041⋅4041 ≡ 404⋅404=163216 ≡ 231 mod 881

4: 4044=4042+2=4042⋅4042 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 501 mod 881

8: 4048=4044+4=4044⋅4044 ≡ 501⋅501=251001 ≡ 797 mod 881

16: 40416=4048+8=4048⋅4048 ≡ 797⋅797=635209 ≡ 8 mod 881

32: 40432=40416+16=40416⋅40416 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 881

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 479118 mod 1009.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:

118 = 64+32+16+4+2

1: 4791=479

2: 4792=4791+1=4791⋅4791 ≡ 479⋅479=229441 ≡ 398 mod 1009

4: 4794=4792+2=4792⋅4792 ≡ 398⋅398=158404 ≡ 1000 mod 1009

8: 4798=4794+4=4794⋅4794 ≡ 1000⋅1000=1000000 ≡ 81 mod 1009

16: 47916=4798+8=4798⋅4798 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 507 mod 1009

32: 47932=47916+16=47916⋅47916 ≡ 507⋅507=257049 ≡ 763 mod 1009

64: 47964=47932+32=47932⋅47932 ≡ 763⋅763=582169 ≡ 985 mod 1009

479118

= 47964+32+16+4+2

= 47964⋅47932⋅47916⋅4794⋅4792

≡ 985 ⋅ 763 ⋅ 507 ⋅ 1000 ⋅ 398 mod 1009
≡ 751555 ⋅ 507 ⋅ 1000 ⋅ 398 mod 1009 ≡ 859 ⋅ 507 ⋅ 1000 ⋅ 398 mod 1009
≡ 435513 ⋅ 1000 ⋅ 398 mod 1009 ≡ 634 ⋅ 1000 ⋅ 398 mod 1009
≡ 634000 ⋅ 398 mod 1009 ≡ 348 ⋅ 398 mod 1009
≡ 138504 mod 1009 ≡ 271 mod 1009

Es gilt also: 479118 ≡ 271 mod 1009

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 31

=>89 = 2⋅31 + 27
=>31 = 1⋅27 + 4
=>27 = 6⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 27-6⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(27 -6⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅27 +6⋅ 4)
= -1⋅27 +7⋅ 4 (=1)
4= 31-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +7⋅(31 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +7⋅31 -7⋅ 27)
= 7⋅31 -8⋅ 27 (=1)
27= 89-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅31 -8⋅(89 -2⋅ 31)
= 7⋅31 -8⋅89 +16⋅ 31)
= -8⋅89 +23⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(89,31)=1 = -8⋅89 +23⋅31

oder wenn man -8⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅89 = +23⋅31

Es gilt also: 23⋅31 = 8⋅89 +1

Somit 23⋅31 = 1 mod 89

23 ist also das Inverse von 31 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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