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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15002 + 12003) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15002 + 12003) mod 3 ≡ (15002 mod 3 + 12003 mod 3) mod 3.

15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002 = 15000+2 = 3 ⋅ 5000 +2.

12003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 3 ⋅ 4000 +3.

Somit gilt:

(15002 + 12003) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 99) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 99) mod 7 ≡ (71 mod 7 ⋅ 99 mod 7) mod 7.

71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 10 ⋅ 7 + 1 ist.

99 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 98 + 1 = 14 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 99) mod 7 ≡ (1 ⋅ 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 8058 mod 853.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 805 -> x
2. mod(x²,853) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 8051=805

2: 8052=8051+1=8051⋅8051 ≡ 805⋅805=648025 ≡ 598 mod 853

4: 8054=8052+2=8052⋅8052 ≡ 598⋅598=357604 ≡ 197 mod 853

8: 8058=8054+4=8054⋅8054 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 424 mod 853

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 306234 mod 569.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 234 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 234 an und zerlegen 234 in eine Summer von 2er-Potenzen:

234 = 128+64+32+8+2

1: 3061=306

2: 3062=3061+1=3061⋅3061 ≡ 306⋅306=93636 ≡ 320 mod 569

4: 3064=3062+2=3062⋅3062 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 549 mod 569

8: 3068=3064+4=3064⋅3064 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 400 mod 569

16: 30616=3068+8=3068⋅3068 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 111 mod 569

32: 30632=30616+16=30616⋅30616 ≡ 111⋅111=12321 ≡ 372 mod 569

64: 30664=30632+32=30632⋅30632 ≡ 372⋅372=138384 ≡ 117 mod 569

128: 306128=30664+64=30664⋅30664 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 33 mod 569

306234

= 306128+64+32+8+2

= 306128⋅30664⋅30632⋅3068⋅3062

≡ 33 ⋅ 117 ⋅ 372 ⋅ 400 ⋅ 320 mod 569
≡ 3861 ⋅ 372 ⋅ 400 ⋅ 320 mod 569 ≡ 447 ⋅ 372 ⋅ 400 ⋅ 320 mod 569
≡ 166284 ⋅ 400 ⋅ 320 mod 569 ≡ 136 ⋅ 400 ⋅ 320 mod 569
≡ 54400 ⋅ 320 mod 569 ≡ 345 ⋅ 320 mod 569
≡ 110400 mod 569 ≡ 14 mod 569

Es gilt also: 306234 ≡ 14 mod 569

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 79.

Also bestimme x, so dass 79 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 79

=>83 = 1⋅79 + 4
=>79 = 19⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,79)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 79-19⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(79 -19⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅79 +19⋅ 4)
= -1⋅79 +20⋅ 4 (=1)
4= 83-1⋅79 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅79 +20⋅(83 -1⋅ 79)
= -1⋅79 +20⋅83 -20⋅ 79)
= 20⋅83 -21⋅ 79 (=1)

Es gilt also: ggt(83,79)=1 = 20⋅83 -21⋅79

oder wenn man 20⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -20⋅83 = -21⋅79

-21⋅79 = -20⋅83 + 1 |+83⋅79

-21⋅79 + 83⋅79 = -20⋅83 + 83⋅79 + 1

(-21 + 83) ⋅ 79 = (-20 + 79) ⋅ 83 + 1

62⋅79 = 59⋅83 + 1

Es gilt also: 62⋅79 = 59⋅83 +1

Somit 62⋅79 = 1 mod 83

62 ist also das Inverse von 79 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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