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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 + 38) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 + 38) mod 4 ≡ (42 mod 4 + 38 mod 4) mod 4.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40+2 = 4 ⋅ 10 +2.

38 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 40-2 = 4 ⋅ 10 -2 = 4 ⋅ 10 - 4 + 2.

Somit gilt:

(42 + 38) mod 4 ≡ (2 + 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 20) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 20) mod 10 ≡ (52 mod 10 ⋅ 20 mod 10) mod 10.

52 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50 + 2 = 5 ⋅ 10 + 2 ist.

20 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 2 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 20) mod 10 ≡ (2 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 434128 mod 467.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 434 -> x
2. mod(x²,467) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4341=434

2: 4342=4341+1=4341⋅4341 ≡ 434⋅434=188356 ≡ 155 mod 467

4: 4344=4342+2=4342⋅4342 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 208 mod 467

8: 4348=4344+4=4344⋅4344 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 300 mod 467

16: 43416=4348+8=4348⋅4348 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 336 mod 467

32: 43432=43416+16=43416⋅43416 ≡ 336⋅336=112896 ≡ 349 mod 467

64: 43464=43432+32=43432⋅43432 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 381 mod 467

128: 434128=43464+64=43464⋅43464 ≡ 381⋅381=145161 ≡ 391 mod 467

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 384147 mod 773.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:

147 = 128+16+2+1

1: 3841=384

2: 3842=3841+1=3841⋅3841 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 586 mod 773

4: 3844=3842+2=3842⋅3842 ≡ 586⋅586=343396 ≡ 184 mod 773

8: 3848=3844+4=3844⋅3844 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 617 mod 773

16: 38416=3848+8=3848⋅3848 ≡ 617⋅617=380689 ≡ 373 mod 773

32: 38432=38416+16=38416⋅38416 ≡ 373⋅373=139129 ≡ 762 mod 773

64: 38464=38432+32=38432⋅38432 ≡ 762⋅762=580644 ≡ 121 mod 773

128: 384128=38464+64=38464⋅38464 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 727 mod 773

384147

= 384128+16+2+1

= 384128⋅38416⋅3842⋅3841

≡ 727 ⋅ 373 ⋅ 586 ⋅ 384 mod 773
≡ 271171 ⋅ 586 ⋅ 384 mod 773 ≡ 621 ⋅ 586 ⋅ 384 mod 773
≡ 363906 ⋅ 384 mod 773 ≡ 596 ⋅ 384 mod 773
≡ 228864 mod 773 ≡ 56 mod 773

Es gilt also: 384147 ≡ 56 mod 773

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 24

=>67 = 2⋅24 + 19
=>24 = 1⋅19 + 5
=>19 = 3⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 19-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(19 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅19 +3⋅ 5)
= -1⋅19 +4⋅ 5 (=1)
5= 24-1⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅19 +4⋅(24 -1⋅ 19)
= -1⋅19 +4⋅24 -4⋅ 19)
= 4⋅24 -5⋅ 19 (=1)
19= 67-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅24 -5⋅(67 -2⋅ 24)
= 4⋅24 -5⋅67 +10⋅ 24)
= -5⋅67 +14⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(67,24)=1 = -5⋅67 +14⋅24

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +14⋅24

Es gilt also: 14⋅24 = 5⋅67 +1

Somit 14⋅24 = 1 mod 67

14 ist also das Inverse von 24 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 89. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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