nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1799 + 56) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1799 + 56) mod 6 ≡ (1799 mod 6 + 56 mod 6) mod 6.

1799 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1799 = 1800-1 = 6 ⋅ 300 -1 = 6 ⋅ 300 - 6 + 5.

56 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 60-4 = 6 ⋅ 10 -4 = 6 ⋅ 10 - 6 + 2.

Somit gilt:

(1799 + 56) mod 6 ≡ (5 + 2) mod 6 ≡ 7 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 60) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 60) mod 9 ≡ (74 mod 9 ⋅ 60 mod 9) mod 9.

74 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 8 ⋅ 9 + 2 ist.

60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 60) mod 9 ≡ (2 ⋅ 6) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2948 mod 607.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 294 -> x
2. mod(x²,607) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2941=294

2: 2942=2941+1=2941⋅2941 ≡ 294⋅294=86436 ≡ 242 mod 607

4: 2944=2942+2=2942⋅2942 ≡ 242⋅242=58564 ≡ 292 mod 607

8: 2948=2944+4=2944⋅2944 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 284 mod 607

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 122158 mod 401.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

1: 1221=122

2: 1222=1221+1=1221⋅1221 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 47 mod 401

4: 1224=1222+2=1222⋅1222 ≡ 47⋅47=2209 ≡ 204 mod 401

8: 1228=1224+4=1224⋅1224 ≡ 204⋅204=41616 ≡ 313 mod 401

16: 12216=1228+8=1228⋅1228 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 125 mod 401

32: 12232=12216+16=12216⋅12216 ≡ 125⋅125=15625 ≡ 387 mod 401

64: 12264=12232+32=12232⋅12232 ≡ 387⋅387=149769 ≡ 196 mod 401

128: 122128=12264+64=12264⋅12264 ≡ 196⋅196=38416 ≡ 321 mod 401

122158

= 122128+16+8+4+2

= 122128⋅12216⋅1228⋅1224⋅1222

≡ 321 ⋅ 125 ⋅ 313 ⋅ 204 ⋅ 47 mod 401
≡ 40125 ⋅ 313 ⋅ 204 ⋅ 47 mod 401 ≡ 25 ⋅ 313 ⋅ 204 ⋅ 47 mod 401
≡ 7825 ⋅ 204 ⋅ 47 mod 401 ≡ 206 ⋅ 204 ⋅ 47 mod 401
≡ 42024 ⋅ 47 mod 401 ≡ 320 ⋅ 47 mod 401
≡ 15040 mod 401 ≡ 203 mod 401

Es gilt also: 122158 ≡ 203 mod 401

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 56.

Also bestimme x, so dass 56 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 56

=>101 = 1⋅56 + 45
=>56 = 1⋅45 + 11
=>45 = 4⋅11 + 1
=>11 = 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,56)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 45-4⋅11
11= 56-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅45 -4⋅(56 -1⋅ 45)
= 1⋅45 -4⋅56 +4⋅ 45)
= -4⋅56 +5⋅ 45 (=1)
45= 101-1⋅56 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅56 +5⋅(101 -1⋅ 56)
= -4⋅56 +5⋅101 -5⋅ 56)
= 5⋅101 -9⋅ 56 (=1)

Es gilt also: ggt(101,56)=1 = 5⋅101 -9⋅56

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -9⋅56

-9⋅56 = -5⋅101 + 1 |+101⋅56

-9⋅56 + 101⋅56 = -5⋅101 + 101⋅56 + 1

(-9 + 101) ⋅ 56 = (-5 + 56) ⋅ 101 + 1

92⋅56 = 51⋅101 + 1

Es gilt also: 92⋅56 = 51⋅101 +1

Somit 92⋅56 = 1 mod 101

92 ist also das Inverse von 56 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 97. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden