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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30000 + 2400) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30000 + 2400) mod 6 ≡ (30000 mod 6 + 2400 mod 6) mod 6.
30000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30000
= 30000
2400 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2400
= 2400
Somit gilt:
(30000 + 2400) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 97) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 97) mod 3 ≡ (95 mod 3 ⋅ 97 mod 3) mod 3.
95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.
97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 97) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 60932 mod 617.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 609 -> x
2. mod(x²,617) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 6091=609
2: 6092=6091+1=6091⋅6091 ≡ 609⋅609=370881 ≡ 64 mod 617
4: 6094=6092+2=6092⋅6092 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 394 mod 617
8: 6098=6094+4=6094⋅6094 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 369 mod 617
16: 60916=6098+8=6098⋅6098 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 421 mod 617
32: 60932=60916+16=60916⋅60916 ≡ 421⋅421=177241 ≡ 162 mod 617
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 62078 mod 929.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 78 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 78 an und zerlegen 78 in eine Summer von 2er-Potenzen:
78 = 64+8+4+2
1: 6201=620
2: 6202=6201+1=6201⋅6201 ≡ 620⋅620=384400 ≡ 723 mod 929
4: 6204=6202+2=6202⋅6202 ≡ 723⋅723=522729 ≡ 631 mod 929
8: 6208=6204+4=6204⋅6204 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 549 mod 929
16: 62016=6208+8=6208⋅6208 ≡ 549⋅549=301401 ≡ 405 mod 929
32: 62032=62016+16=62016⋅62016 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 521 mod 929
64: 62064=62032+32=62032⋅62032 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 173 mod 929
62078
= 62064+8+4+2
= 62064⋅6208⋅6204⋅6202
≡ 173 ⋅ 549 ⋅ 631 ⋅ 723 mod 929
≡ 94977 ⋅ 631 ⋅ 723 mod 929 ≡ 219 ⋅ 631 ⋅ 723 mod 929
≡ 138189 ⋅ 723 mod 929 ≡ 697 ⋅ 723 mod 929
≡ 503931 mod 929 ≡ 413 mod 929
Es gilt also: 62078 ≡ 413 mod 929
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 37
| =>59 | = 1⋅37 + 22 |
| =>37 | = 1⋅22 + 15 |
| =>22 | = 1⋅15 + 7 |
| =>15 | = 2⋅7 + 1 |
| =>7 | = 7⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 15-2⋅7 | |||
| 7= 22-1⋅15 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅15 -2⋅(22 -1⋅ 15)
= 1⋅15 -2⋅22 +2⋅ 15) = -2⋅22 +3⋅ 15 (=1) |
| 15= 37-1⋅22 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅22 +3⋅(37 -1⋅ 22)
= -2⋅22 +3⋅37 -3⋅ 22) = 3⋅37 -5⋅ 22 (=1) |
| 22= 59-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅37 -5⋅(59 -1⋅ 37)
= 3⋅37 -5⋅59 +5⋅ 37) = -5⋅59 +8⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,37)=1 = -5⋅59 +8⋅37
oder wenn man -5⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅59 = +8⋅37
Es gilt also: 8⋅37 = 5⋅59 +1
Somit 8⋅37 = 1 mod 59
8 ist also das Inverse von 37 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
