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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 + 16000) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 + 16000) mod 4 ≡ (80 mod 4 + 16000 mod 4) mod 4.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 4 ⋅ 20 +0.

16000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000 = 16000+0 = 4 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(80 + 16000) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 56) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 56) mod 11 ≡ (44 mod 11 ⋅ 56 mod 11) mod 11.

44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.

56 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 5 ⋅ 11 + 1 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 56) mod 11 ≡ (0 ⋅ 1) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 13064 mod 233.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 130 -> x
2. mod(x²,233) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1301=130

2: 1302=1301+1=1301⋅1301 ≡ 130⋅130=16900 ≡ 124 mod 233

4: 1304=1302+2=1302⋅1302 ≡ 124⋅124=15376 ≡ 231 mod 233

8: 1308=1304+4=1304⋅1304 ≡ 231⋅231=53361 ≡ 4 mod 233

16: 13016=1308+8=1308⋅1308 ≡ 4⋅4=16 ≡ 16 mod 233

32: 13032=13016+16=13016⋅13016 ≡ 16⋅16=256 ≡ 23 mod 233

64: 13064=13032+32=13032⋅13032 ≡ 23⋅23=529 ≡ 63 mod 233

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 192154 mod 491.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 154 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 154 an und zerlegen 154 in eine Summer von 2er-Potenzen:

154 = 128+16+8+2

1: 1921=192

2: 1922=1921+1=1921⋅1921 ≡ 192⋅192=36864 ≡ 39 mod 491

4: 1924=1922+2=1922⋅1922 ≡ 39⋅39=1521 ≡ 48 mod 491

8: 1928=1924+4=1924⋅1924 ≡ 48⋅48=2304 ≡ 340 mod 491

16: 19216=1928+8=1928⋅1928 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 215 mod 491

32: 19232=19216+16=19216⋅19216 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 71 mod 491

64: 19264=19232+32=19232⋅19232 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 131 mod 491

128: 192128=19264+64=19264⋅19264 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 467 mod 491

192154

= 192128+16+8+2

= 192128⋅19216⋅1928⋅1922

≡ 467 ⋅ 215 ⋅ 340 ⋅ 39 mod 491
≡ 100405 ⋅ 340 ⋅ 39 mod 491 ≡ 241 ⋅ 340 ⋅ 39 mod 491
≡ 81940 ⋅ 39 mod 491 ≡ 434 ⋅ 39 mod 491
≡ 16926 mod 491 ≡ 232 mod 491

Es gilt also: 192154 ≡ 232 mod 491

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 46.

Also bestimme x, so dass 46 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 46

=>67 = 1⋅46 + 21
=>46 = 2⋅21 + 4
=>21 = 5⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,46)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-5⋅4
4= 46-2⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅21 -5⋅(46 -2⋅ 21)
= 1⋅21 -5⋅46 +10⋅ 21)
= -5⋅46 +11⋅ 21 (=1)
21= 67-1⋅46 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅46 +11⋅(67 -1⋅ 46)
= -5⋅46 +11⋅67 -11⋅ 46)
= 11⋅67 -16⋅ 46 (=1)

Es gilt also: ggt(67,46)=1 = 11⋅67 -16⋅46

oder wenn man 11⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -11⋅67 = -16⋅46

-16⋅46 = -11⋅67 + 1 |+67⋅46

-16⋅46 + 67⋅46 = -11⋅67 + 67⋅46 + 1

(-16 + 67) ⋅ 46 = (-11 + 46) ⋅ 67 + 1

51⋅46 = 35⋅67 + 1

Es gilt also: 51⋅46 = 35⋅67 +1

Somit 51⋅46 = 1 mod 67

51 ist also das Inverse von 46 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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