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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9002 - 899) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9002 - 899) mod 9 ≡ (9002 mod 9 - 899 mod 9) mod 9.
9002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002
= 9000
899 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 899
= 900
Somit gilt:
(9002 - 899) mod 9 ≡ (2 - 8) mod 9 ≡ -6 mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 64) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 64) mod 8 ≡ (32 mod 8 ⋅ 64 mod 8) mod 8.
32 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 4 ⋅ 8 + 0 ist.
64 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 8 ⋅ 8 + 0 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 64) mod 8 ≡ (0 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 564128 mod 1009.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 564 -> x
2. mod(x²,1009) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5641=564
2: 5642=5641+1=5641⋅5641 ≡ 564⋅564=318096 ≡ 261 mod 1009
4: 5644=5642+2=5642⋅5642 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 518 mod 1009
8: 5648=5644+4=5644⋅5644 ≡ 518⋅518=268324 ≡ 939 mod 1009
16: 56416=5648+8=5648⋅5648 ≡ 939⋅939=881721 ≡ 864 mod 1009
32: 56432=56416+16=56416⋅56416 ≡ 864⋅864=746496 ≡ 845 mod 1009
64: 56464=56432+32=56432⋅56432 ≡ 845⋅845=714025 ≡ 662 mod 1009
128: 564128=56464+64=56464⋅56464 ≡ 662⋅662=438244 ≡ 338 mod 1009
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17093 mod 313.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 93 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 93 an und zerlegen 93 in eine Summer von 2er-Potenzen:
93 = 64+16+8+4+1
1: 1701=170
2: 1702=1701+1=1701⋅1701 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 104 mod 313
4: 1704=1702+2=1702⋅1702 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 174 mod 313
8: 1708=1704+4=1704⋅1704 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 228 mod 313
16: 17016=1708+8=1708⋅1708 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 26 mod 313
32: 17032=17016+16=17016⋅17016 ≡ 26⋅26=676 ≡ 50 mod 313
64: 17064=17032+32=17032⋅17032 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 309 mod 313
17093
= 17064+16+8+4+1
= 17064⋅17016⋅1708⋅1704⋅1701
≡ 309 ⋅ 26 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 170 mod 313
≡ 8034 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 170 mod 313 ≡ 209 ⋅ 228 ⋅ 174 ⋅ 170 mod 313
≡ 47652 ⋅ 174 ⋅ 170 mod 313 ≡ 76 ⋅ 174 ⋅ 170 mod 313
≡ 13224 ⋅ 170 mod 313 ≡ 78 ⋅ 170 mod 313
≡ 13260 mod 313 ≡ 114 mod 313
Es gilt also: 17093 ≡ 114 mod 313
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 42.
Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 42
| =>71 | = 1⋅42 + 29 |
| =>42 | = 1⋅29 + 13 |
| =>29 | = 2⋅13 + 3 |
| =>13 | = 4⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,42)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-4⋅3 | |||
| 3= 29-2⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -4⋅(29 -2⋅ 13)
= 1⋅13 -4⋅29 +8⋅ 13) = -4⋅29 +9⋅ 13 (=1) |
| 13= 42-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +9⋅(42 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +9⋅42 -9⋅ 29) = 9⋅42 -13⋅ 29 (=1) |
| 29= 71-1⋅42 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅42 -13⋅(71 -1⋅ 42)
= 9⋅42 -13⋅71 +13⋅ 42) = -13⋅71 +22⋅ 42 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,42)=1 = -13⋅71 +22⋅42
oder wenn man -13⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 +13⋅71 = +22⋅42
Es gilt also: 22⋅42 = 13⋅71 +1
Somit 22⋅42 = 1 mod 71
22 ist also das Inverse von 42 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.