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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1400 + 27999) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1400 + 27999) mod 7 ≡ (1400 mod 7 + 27999 mod 7) mod 7.

1400 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1400 = 1400+0 = 7 ⋅ 200 +0.

27999 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27999 = 28000-1 = 7 ⋅ 4000 -1 = 7 ⋅ 4000 - 7 + 6.

Somit gilt:

(1400 + 27999) mod 7 ≡ (0 + 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 71) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 71) mod 7 ≡ (29 mod 7 ⋅ 71 mod 7) mod 7.

29 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 4 ⋅ 7 + 1 ist.

71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 10 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 71) mod 7 ≡ (1 ⋅ 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 36616 mod 929.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 366 -> x
2. mod(x²,929) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3661=366

2: 3662=3661+1=3661⋅3661 ≡ 366⋅366=133956 ≡ 180 mod 929

4: 3664=3662+2=3662⋅3662 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 814 mod 929

8: 3668=3664+4=3664⋅3664 ≡ 814⋅814=662596 ≡ 219 mod 929

16: 36616=3668+8=3668⋅3668 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 582 mod 929

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 310124 mod 919.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 124 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 124 an und zerlegen 124 in eine Summer von 2er-Potenzen:

124 = 64+32+16+8+4

1: 3101=310

2: 3102=3101+1=3101⋅3101 ≡ 310⋅310=96100 ≡ 524 mod 919

4: 3104=3102+2=3102⋅3102 ≡ 524⋅524=274576 ≡ 714 mod 919

8: 3108=3104+4=3104⋅3104 ≡ 714⋅714=509796 ≡ 670 mod 919

16: 31016=3108+8=3108⋅3108 ≡ 670⋅670=448900 ≡ 428 mod 919

32: 31032=31016+16=31016⋅31016 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 303 mod 919

64: 31064=31032+32=31032⋅31032 ≡ 303⋅303=91809 ≡ 828 mod 919

310124

= 31064+32+16+8+4

= 31064⋅31032⋅31016⋅3108⋅3104

≡ 828 ⋅ 303 ⋅ 428 ⋅ 670 ⋅ 714 mod 919
≡ 250884 ⋅ 428 ⋅ 670 ⋅ 714 mod 919 ≡ 916 ⋅ 428 ⋅ 670 ⋅ 714 mod 919
≡ 392048 ⋅ 670 ⋅ 714 mod 919 ≡ 554 ⋅ 670 ⋅ 714 mod 919
≡ 371180 ⋅ 714 mod 919 ≡ 823 ⋅ 714 mod 919
≡ 587622 mod 919 ≡ 381 mod 919

Es gilt also: 310124 ≡ 381 mod 919

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 78.

Also bestimme x, so dass 78 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 78

=>97 = 1⋅78 + 19
=>78 = 4⋅19 + 2
=>19 = 9⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,78)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 78-4⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -9⋅(78 -4⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅78 +36⋅ 19)
= -9⋅78 +37⋅ 19 (=1)
19= 97-1⋅78 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅78 +37⋅(97 -1⋅ 78)
= -9⋅78 +37⋅97 -37⋅ 78)
= 37⋅97 -46⋅ 78 (=1)

Es gilt also: ggt(97,78)=1 = 37⋅97 -46⋅78

oder wenn man 37⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -37⋅97 = -46⋅78

-46⋅78 = -37⋅97 + 1 |+97⋅78

-46⋅78 + 97⋅78 = -37⋅97 + 97⋅78 + 1

(-46 + 97) ⋅ 78 = (-37 + 78) ⋅ 97 + 1

51⋅78 = 41⋅97 + 1

Es gilt also: 51⋅78 = 41⋅97 +1

Somit 51⋅78 = 1 mod 97

51 ist also das Inverse von 78 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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