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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1201 + 6003) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1201 + 6003) mod 6 ≡ (1201 mod 6 + 6003 mod 6) mod 6.

1201 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 6 ⋅ 200 +1.

6003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6003 = 6000+3 = 6 ⋅ 1000 +3.

Somit gilt:

(1201 + 6003) mod 6 ≡ (1 + 3) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 79) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35 ⋅ 79) mod 5 ≡ (35 mod 5 ⋅ 79 mod 5) mod 5.

35 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 7 ⋅ 5 + 0 ist.

79 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 75 + 4 = 15 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(35 ⋅ 79) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 16032 mod 317.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 160 -> x
2. mod(x²,317) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1601=160

2: 1602=1601+1=1601⋅1601 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 240 mod 317

4: 1604=1602+2=1602⋅1602 ≡ 240⋅240=57600 ≡ 223 mod 317

8: 1608=1604+4=1604⋅1604 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 277 mod 317

16: 16016=1608+8=1608⋅1608 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 15 mod 317

32: 16032=16016+16=16016⋅16016 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 317

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 594222 mod 659.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

1: 5941=594

2: 5942=5941+1=5941⋅5941 ≡ 594⋅594=352836 ≡ 271 mod 659

4: 5944=5942+2=5942⋅5942 ≡ 271⋅271=73441 ≡ 292 mod 659

8: 5948=5944+4=5944⋅5944 ≡ 292⋅292=85264 ≡ 253 mod 659

16: 59416=5948+8=5948⋅5948 ≡ 253⋅253=64009 ≡ 86 mod 659

32: 59432=59416+16=59416⋅59416 ≡ 86⋅86=7396 ≡ 147 mod 659

64: 59464=59432+32=59432⋅59432 ≡ 147⋅147=21609 ≡ 521 mod 659

128: 594128=59464+64=59464⋅59464 ≡ 521⋅521=271441 ≡ 592 mod 659

594222

= 594128+64+16+8+4+2

= 594128⋅59464⋅59416⋅5948⋅5944⋅5942

592 ⋅ 521 ⋅ 86 ⋅ 253 ⋅ 292 ⋅ 271 mod 659
308432 ⋅ 86 ⋅ 253 ⋅ 292 ⋅ 271 mod 659 ≡ 20 ⋅ 86 ⋅ 253 ⋅ 292 ⋅ 271 mod 659
1720 ⋅ 253 ⋅ 292 ⋅ 271 mod 659 ≡ 402 ⋅ 253 ⋅ 292 ⋅ 271 mod 659
101706 ⋅ 292 ⋅ 271 mod 659 ≡ 220 ⋅ 292 ⋅ 271 mod 659
64240 ⋅ 271 mod 659 ≡ 317 ⋅ 271 mod 659
85907 mod 659 ≡ 237 mod 659

Es gilt also: 594222 ≡ 237 mod 659

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 30.

Also bestimme x, so dass 30 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 30

=>67 = 2⋅30 + 7
=>30 = 4⋅7 + 2
=>7 = 3⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,30)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 30-4⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -3⋅(30 -4⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅30 +12⋅ 7)
= -3⋅30 +13⋅ 7 (=1)
7= 67-2⋅30 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -3⋅30 +13⋅(67 -2⋅ 30)
= -3⋅30 +13⋅67 -26⋅ 30)
= 13⋅67 -29⋅ 30 (=1)

Es gilt also: ggt(67,30)=1 = 13⋅67 -29⋅30

oder wenn man 13⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅67 = -29⋅30

-29⋅30 = -13⋅67 + 1 |+67⋅30

-29⋅30 + 67⋅30 = -13⋅67 + 67⋅30 + 1

(-29 + 67) ⋅ 30 = (-13 + 30) ⋅ 67 + 1

38⋅30 = 17⋅67 + 1

Es gilt also: 38⋅30 = 17⋅67 +1

Somit 38⋅30 = 1 mod 67

38 ist also das Inverse von 30 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.