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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1806 + 909) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1806 + 909) mod 9 ≡ (1806 mod 9 + 909 mod 9) mod 9.

1806 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1806 = 1800+6 = 9 ⋅ 200 +6.

909 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 909 = 900+9 = 9 ⋅ 100 +9.

Somit gilt:

(1806 + 909) mod 9 ≡ (6 + 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 19) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 19) mod 6 ≡ (19 mod 6 ⋅ 19 mod 6) mod 6.

19 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 3 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 19) mod 6 ≡ (1 ⋅ 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 848¹²⁸ mod 883.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 848 -> x
2. mod(x²,883) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 848¹=848

2: 848²=848¹⁺¹=848¹⋅848¹ ≡ 848⋅848=719104 ≡ 342 mod 883

4: 848⁴=848²⁺²=848²⋅848² ≡ 342⋅342=116964 ≡ 408 mod 883

8: 848⁸=848⁴⁺⁴=848⁴⋅848⁴ ≡ 408⋅408=166464 ≡ 460 mod 883

16: 848¹⁶=848⁸⁺⁸=848⁸⋅848⁸ ≡ 460⋅460=211600 ≡ 563 mod 883

32: 848³²=848¹⁶⁺¹⁶=848¹⁶⋅848¹⁶ ≡ 563⋅563=316969 ≡ 855 mod 883

64: 848⁶⁴=848³²⁺³²=848³²⋅848³² ≡ 855⋅855=731025 ≡ 784 mod 883

128: 848¹²⁸=848⁶⁴⁺⁶⁴=848⁶⁴⋅848⁶⁴ ≡ 784⋅784=614656 ≡ 88 mod 883

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 218²²⁹ mod 479.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

1: 218¹=218

2: 218²=218¹⁺¹=218¹⋅218¹ ≡ 218⋅218=47524 ≡ 103 mod 479

4: 218⁴=218²⁺²=218²⋅218² ≡ 103⋅103=10609 ≡ 71 mod 479

8: 218⁸=218⁴⁺⁴=218⁴⋅218⁴ ≡ 71⋅71=5041 ≡ 251 mod 479

16: 218¹⁶=218⁸⁺⁸=218⁸⋅218⁸ ≡ 251⋅251=63001 ≡ 252 mod 479

32: 218³²=218¹⁶⁺¹⁶=218¹⁶⋅218¹⁶ ≡ 252⋅252=63504 ≡ 276 mod 479

64: 218⁶⁴=218³²⁺³²=218³²⋅218³² ≡ 276⋅276=76176 ≡ 15 mod 479

128: 218¹²⁸=218⁶⁴⁺⁶⁴=218⁶⁴⋅218⁶⁴ ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 479

218²²⁹

= 218^{128+64+32+4+1}

= 218¹²⁸⋅218⁶⁴⋅218³²⋅218⁴⋅218¹

≡ 225 ⋅ 15 ⋅ 276 ⋅ 71 ⋅ 218 mod 479
≡ 3375 ⋅ 276 ⋅ 71 ⋅ 218 mod 479 ≡ 22 ⋅ 276 ⋅ 71 ⋅ 218 mod 479
≡ 6072 ⋅ 71 ⋅ 218 mod 479 ≡ 324 ⋅ 71 ⋅ 218 mod 479
≡ 23004 ⋅ 218 mod 479 ≡ 12 ⋅ 218 mod 479
≡ 2616 mod 479 ≡ 221 mod 479

Es gilt also: 218²²⁹ ≡ 221 mod 479

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 63.

Also bestimme x, so dass 63 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63

=>83	= 1⋅63 + 20
=>63	= 3⋅20 + 3
=>20	= 6⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,63)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 20-6⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(20 -6⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅20 +6⋅ 3) = -1⋅20 +7⋅ 3 (=1)
3= 63-3⋅20	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅20 +7⋅(63 -3⋅ 20) = -1⋅20 +7⋅63 -21⋅ 20) = 7⋅63 -22⋅ 20 (=1)
20= 83-1⋅63	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 7⋅63 -22⋅(83 -1⋅ 63) = 7⋅63 -22⋅83 +22⋅ 63) = -22⋅83 +29⋅ 63 (=1)

Es gilt also: ggt(83,63)=1 = -22⋅83 +29⋅63

oder wenn man -22⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +22⋅83 = +29⋅63

Es gilt also: 29⋅63 = 22⋅83 +1

Somit 29⋅63 = 1 mod 83

29 ist also das Inverse von 63 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 63

Schlüsselpaar für RSA