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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1505 - 19998) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1505 - 19998) mod 5 ≡ (1505 mod 5 - 19998 mod 5) mod 5.
1505 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1505
= 1500
19998 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998
= 19000
Somit gilt:
(1505 - 19998) mod 5 ≡ (0 - 3) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 42) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(53 ⋅ 42) mod 8 ≡ (53 mod 8 ⋅ 42 mod 8) mod 8.
53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.
42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(53 ⋅ 42) mod 8 ≡ (5 ⋅ 2) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 4948 mod 761.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 494 -> x
2. mod(x²,761) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4941=494
2: 4942=4941+1=4941⋅4941 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 516 mod 761
4: 4944=4942+2=4942⋅4942 ≡ 516⋅516=266256 ≡ 667 mod 761
8: 4948=4944+4=4944⋅4944 ≡ 667⋅667=444889 ≡ 465 mod 761
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 886161 mod 1009.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 161 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 161 an und zerlegen 161 in eine Summer von 2er-Potenzen:
161 = 128+32+1
1: 8861=886
2: 8862=8861+1=8861⋅8861 ≡ 886⋅886=784996 ≡ 1003 mod 1009
4: 8864=8862+2=8862⋅8862 ≡ 1003⋅1003=1006009 ≡ 36 mod 1009
8: 8868=8864+4=8864⋅8864 ≡ 36⋅36=1296 ≡ 287 mod 1009
16: 88616=8868+8=8868⋅8868 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 640 mod 1009
32: 88632=88616+16=88616⋅88616 ≡ 640⋅640=409600 ≡ 955 mod 1009
64: 88664=88632+32=88632⋅88632 ≡ 955⋅955=912025 ≡ 898 mod 1009
128: 886128=88664+64=88664⋅88664 ≡ 898⋅898=806404 ≡ 213 mod 1009
886161
= 886128+32+1
= 886128⋅88632⋅8861
≡ 213 ⋅ 955 ⋅ 886 mod 1009
≡ 203415 ⋅ 886 mod 1009 ≡ 606 ⋅ 886 mod 1009
≡ 536916 mod 1009 ≡ 128 mod 1009
Es gilt also: 886161 ≡ 128 mod 1009
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 75.
Also bestimme x, so dass 75 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 75
| =>79 | = 1⋅75 + 4 |
| =>75 | = 18⋅4 + 3 |
| =>4 | = 1⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,75)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 4-1⋅3 | |||
| 3= 75-18⋅4 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅4 -1⋅(75 -18⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅75 +18⋅ 4) = -1⋅75 +19⋅ 4 (=1) |
| 4= 79-1⋅75 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅75 +19⋅(79 -1⋅ 75)
= -1⋅75 +19⋅79 -19⋅ 75) = 19⋅79 -20⋅ 75 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,75)=1 = 19⋅79 -20⋅75
oder wenn man 19⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -19⋅79 = -20⋅75
-20⋅75 = -19⋅79 + 1 |+79⋅75
-20⋅75 + 79⋅75 = -19⋅79 + 79⋅75 + 1
(-20 + 79) ⋅ 75 = (-19 + 75) ⋅ 79 + 1
59⋅75 = 56⋅79 + 1
Es gilt also: 59⋅75 = 56⋅79 +1
Somit 59⋅75 = 1 mod 79
59 ist also das Inverse von 75 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.