Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (303 - 1800) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(303 - 1800) mod 6 ≡ (303 mod 6 - 1800 mod 6) mod 6.

303 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303 = 300+3 = 6 ⋅ 50 +3.

1800 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1800 = 1800+0 = 6 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(303 - 1800) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 65) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 65) mod 11 ≡ (94 mod 11 ⋅ 65 mod 11) mod 11.

94 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 88 + 6 = 8 ⋅ 11 + 6 ist.

65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 65) mod 11 ≡ (6 ⋅ 10) mod 11 ≡ 60 mod 11 ≡ 5 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 412⁶⁴ mod 523.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 412 -> x
2. mod(x²,523) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 412¹=412

2: 412²=412¹⁺¹=412¹⋅412¹ ≡ 412⋅412=169744 ≡ 292 mod 523

4: 412⁴=412²⁺²=412²⋅412² ≡ 292⋅292=85264 ≡ 15 mod 523

8: 412⁸=412⁴⁺⁴=412⁴⋅412⁴ ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 523

16: 412¹⁶=412⁸⁺⁸=412⁸⋅412⁸ ≡ 225⋅225=50625 ≡ 417 mod 523

32: 412³²=412¹⁶⁺¹⁶=412¹⁶⋅412¹⁶ ≡ 417⋅417=173889 ≡ 253 mod 523

64: 412⁶⁴=412³²⁺³²=412³²⋅412³² ≡ 253⋅253=64009 ≡ 203 mod 523

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 372²⁴⁷ mod 953.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 247 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 247 an und zerlegen 247 in eine Summer von 2er-Potenzen:

247 = 128+64+32+16+4+2+1

1: 372¹=372

2: 372²=372¹⁺¹=372¹⋅372¹ ≡ 372⋅372=138384 ≡ 199 mod 953

4: 372⁴=372²⁺²=372²⋅372² ≡ 199⋅199=39601 ≡ 528 mod 953

8: 372⁸=372⁴⁺⁴=372⁴⋅372⁴ ≡ 528⋅528=278784 ≡ 508 mod 953

16: 372¹⁶=372⁸⁺⁸=372⁸⋅372⁸ ≡ 508⋅508=258064 ≡ 754 mod 953

32: 372³²=372¹⁶⁺¹⁶=372¹⁶⋅372¹⁶ ≡ 754⋅754=568516 ≡ 528 mod 953

64: 372⁶⁴=372³²⁺³²=372³²⋅372³² ≡ 528⋅528=278784 ≡ 508 mod 953

128: 372¹²⁸=372⁶⁴⁺⁶⁴=372⁶⁴⋅372⁶⁴ ≡ 508⋅508=258064 ≡ 754 mod 953

372²⁴⁷

= 372^{128+64+32+16+4+2+1}

= 372¹²⁸⋅372⁶⁴⋅372³²⋅372¹⁶⋅372⁴⋅372²⋅372¹

≡ 754 ⋅ 508 ⋅ 528 ⋅ 754 ⋅ 528 ⋅ 199 ⋅ 372 mod 953
≡ 383032 ⋅ 528 ⋅ 754 ⋅ 528 ⋅ 199 ⋅ 372 mod 953 ≡ 879 ⋅ 528 ⋅ 754 ⋅ 528 ⋅ 199 ⋅ 372 mod 953
≡ 464112 ⋅ 754 ⋅ 528 ⋅ 199 ⋅ 372 mod 953 ≡ 1 ⋅ 754 ⋅ 528 ⋅ 199 ⋅ 372 mod 953
≡ 754 ⋅ 528 ⋅ 199 ⋅ 372 mod 953
≡ 398112 ⋅ 199 ⋅ 372 mod 953 ≡ 711 ⋅ 199 ⋅ 372 mod 953
≡ 141489 ⋅ 372 mod 953 ≡ 445 ⋅ 372 mod 953
≡ 165540 mod 953 ≡ 671 mod 953

Es gilt also: 372²⁴⁷ ≡ 671 mod 953

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38

=>73	= 1⋅38 + 35
=>38	= 1⋅35 + 3
=>35	= 11⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 35-11⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(35 -11⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅35 +11⋅ 3) = -1⋅35 +12⋅ 3 (=1)
3= 38-1⋅35	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅35 +12⋅(38 -1⋅ 35) = -1⋅35 +12⋅38 -12⋅ 35) = 12⋅38 -13⋅ 35 (=1)
35= 73-1⋅38	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 12⋅38 -13⋅(73 -1⋅ 38) = 12⋅38 -13⋅73 +13⋅ 38) = -13⋅73 +25⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(73,38)=1 = -13⋅73 +25⋅38

oder wenn man -13⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅73 = +25⋅38

Es gilt also: 25⋅38 = 13⋅73 +1

Somit 25⋅38 = 1 mod 73

25 ist also das Inverse von 38 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 71. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 38

Schlüsselpaar für RSA