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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2099 + 343) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2099 + 343) mod 7 ≡ (2099 mod 7 + 343 mod 7) mod 7.
2099 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2099
= 2100
343 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 343
= 350
Somit gilt:
(2099 + 343) mod 7 ≡ (6 + 0) mod 7 ≡ 6 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 41) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 41) mod 11 ≡ (98 mod 11 ⋅ 41 mod 11) mod 11.
98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.
41 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 33 + 8 = 3 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 41) mod 11 ≡ (10 ⋅ 8) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 30016 mod 349.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 300 -> x
2. mod(x²,349) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3001=300
2: 3002=3001+1=3001⋅3001 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 307 mod 349
4: 3004=3002+2=3002⋅3002 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 19 mod 349
8: 3008=3004+4=3004⋅3004 ≡ 19⋅19=361 ≡ 12 mod 349
16: 30016=3008+8=3008⋅3008 ≡ 12⋅12=144 ≡ 144 mod 349
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 315102 mod 751.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 102 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 102 an und zerlegen 102 in eine Summer von 2er-Potenzen:
102 = 64+32+4+2
1: 3151=315
2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 93 mod 751
4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 93⋅93=8649 ≡ 388 mod 751
8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 388⋅388=150544 ≡ 344 mod 751
16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 344⋅344=118336 ≡ 429 mod 751
32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 429⋅429=184041 ≡ 46 mod 751
64: 31564=31532+32=31532⋅31532 ≡ 46⋅46=2116 ≡ 614 mod 751
315102
= 31564+32+4+2
= 31564⋅31532⋅3154⋅3152
≡ 614 ⋅ 46 ⋅ 388 ⋅ 93 mod 751
≡ 28244 ⋅ 388 ⋅ 93 mod 751 ≡ 457 ⋅ 388 ⋅ 93 mod 751
≡ 177316 ⋅ 93 mod 751 ≡ 80 ⋅ 93 mod 751
≡ 7440 mod 751 ≡ 681 mod 751
Es gilt also: 315102 ≡ 681 mod 751
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 23.
Also bestimme x, so dass 23 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 23
| =>59 | = 2⋅23 + 13 |
| =>23 | = 1⋅13 + 10 |
| =>13 | = 1⋅10 + 3 |
| =>10 | = 3⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,23)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 10-3⋅3 | |||
| 3= 13-1⋅10 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅10 -3⋅(13 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -3⋅13 +3⋅ 10) = -3⋅13 +4⋅ 10 (=1) |
| 10= 23-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅13 +4⋅(23 -1⋅ 13)
= -3⋅13 +4⋅23 -4⋅ 13) = 4⋅23 -7⋅ 13 (=1) |
| 13= 59-2⋅23 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅23 -7⋅(59 -2⋅ 23)
= 4⋅23 -7⋅59 +14⋅ 23) = -7⋅59 +18⋅ 23 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,23)=1 = -7⋅59 +18⋅23
oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 +7⋅59 = +18⋅23
Es gilt also: 18⋅23 = 7⋅59 +1
Somit 18⋅23 = 1 mod 59
18 ist also das Inverse von 23 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.