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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (500 - 5005) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(500 - 5005) mod 5 ≡ (500 mod 5 - 5005 mod 5) mod 5.

500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 500 = 500+0 = 5 ⋅ 100 +0.

5005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5005 = 5000+5 = 5 ⋅ 1000 +5.

Somit gilt:

(500 - 5005) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 56) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 56) mod 9 ≡ (98 mod 9 ⋅ 56 mod 9) mod 9.

98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.

56 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 6 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 56) mod 9 ≡ (8 ⋅ 2) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 234128 mod 373.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 234 -> x
2. mod(x²,373) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2341=234

2: 2342=2341+1=2341⋅2341 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 298 mod 373

4: 2344=2342+2=2342⋅2342 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 30 mod 373

8: 2348=2344+4=2344⋅2344 ≡ 30⋅30=900 ≡ 154 mod 373

16: 23416=2348+8=2348⋅2348 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 217 mod 373

32: 23432=23416+16=23416⋅23416 ≡ 217⋅217=47089 ≡ 91 mod 373

64: 23464=23432+32=23432⋅23432 ≡ 91⋅91=8281 ≡ 75 mod 373

128: 234128=23464+64=23464⋅23464 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 30 mod 373

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 21586 mod 467.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 86 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 86 an und zerlegen 86 in eine Summer von 2er-Potenzen:

86 = 64+16+4+2

1: 2151=215

2: 2152=2151+1=2151⋅2151 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 459 mod 467

4: 2154=2152+2=2152⋅2152 ≡ 459⋅459=210681 ≡ 64 mod 467

8: 2158=2154+4=2154⋅2154 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 360 mod 467

16: 21516=2158+8=2158⋅2158 ≡ 360⋅360=129600 ≡ 241 mod 467

32: 21532=21516+16=21516⋅21516 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 173 mod 467

64: 21564=21532+32=21532⋅21532 ≡ 173⋅173=29929 ≡ 41 mod 467

21586

= 21564+16+4+2

= 21564⋅21516⋅2154⋅2152

≡ 41 ⋅ 241 ⋅ 64 ⋅ 459 mod 467
≡ 9881 ⋅ 64 ⋅ 459 mod 467 ≡ 74 ⋅ 64 ⋅ 459 mod 467
≡ 4736 ⋅ 459 mod 467 ≡ 66 ⋅ 459 mod 467
≡ 30294 mod 467 ≡ 406 mod 467

Es gilt also: 21586 ≡ 406 mod 467

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 22.

Also bestimme x, so dass 22 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 22

=>61 = 2⋅22 + 17
=>22 = 1⋅17 + 5
=>17 = 3⋅5 + 2
=>5 = 2⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,22)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-2⋅2
2= 17-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -2⋅(17 -3⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅17 +6⋅ 5)
= -2⋅17 +7⋅ 5 (=1)
5= 22-1⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅17 +7⋅(22 -1⋅ 17)
= -2⋅17 +7⋅22 -7⋅ 17)
= 7⋅22 -9⋅ 17 (=1)
17= 61-2⋅22 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅22 -9⋅(61 -2⋅ 22)
= 7⋅22 -9⋅61 +18⋅ 22)
= -9⋅61 +25⋅ 22 (=1)

Es gilt also: ggt(61,22)=1 = -9⋅61 +25⋅22

oder wenn man -9⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅61 = +25⋅22

Es gilt also: 25⋅22 = 9⋅61 +1

Somit 25⋅22 = 1 mod 61

25 ist also das Inverse von 22 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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