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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (120 + 150) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(120 + 150) mod 3 ≡ (120 mod 3 + 150 mod 3) mod 3.

120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 3 ⋅ 40 +0.

150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 3 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(120 + 150) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 64) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 64) mod 11 ≡ (45 mod 11 ⋅ 64 mod 11) mod 11.

45 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 4 ⋅ 11 + 1 ist.

64 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 55 + 9 = 5 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 64) mod 11 ≡ (1 ⋅ 9) mod 11 ≡ 9 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33416 mod 829.

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Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 334 -> x
2. mod(x²,829) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3341=334

2: 3342=3341+1=3341⋅3341 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 470 mod 829

4: 3344=3342+2=3342⋅3342 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 386 mod 829

8: 3348=3344+4=3344⋅3344 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 605 mod 829

16: 33416=3348+8=3348⋅3348 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 436 mod 829

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 341143 mod 487.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:

143 = 128+8+4+2+1

1: 3411=341

2: 3412=3411+1=3411⋅3411 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 375 mod 487

4: 3414=3412+2=3412⋅3412 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 369 mod 487

8: 3418=3414+4=3414⋅3414 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 288 mod 487

16: 34116=3418+8=3418⋅3418 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 154 mod 487

32: 34132=34116+16=34116⋅34116 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 340 mod 487

64: 34164=34132+32=34132⋅34132 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 181 mod 487

128: 341128=34164+64=34164⋅34164 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 132 mod 487

341143

= 341128+8+4+2+1

= 341128⋅3418⋅3414⋅3412⋅3411

≡ 132 ⋅ 288 ⋅ 369 ⋅ 375 ⋅ 341 mod 487
≡ 38016 ⋅ 369 ⋅ 375 ⋅ 341 mod 487 ≡ 30 ⋅ 369 ⋅ 375 ⋅ 341 mod 487
≡ 11070 ⋅ 375 ⋅ 341 mod 487 ≡ 356 ⋅ 375 ⋅ 341 mod 487
≡ 133500 ⋅ 341 mod 487 ≡ 62 ⋅ 341 mod 487
≡ 21142 mod 487 ≡ 201 mod 487

Es gilt also: 341143 ≡ 201 mod 487

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 40

=>61 = 1⋅40 + 21
=>40 = 1⋅21 + 19
=>21 = 1⋅19 + 2
=>19 = 9⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 19-9⋅2
2= 21-1⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19)
= -9⋅21 +10⋅ 19 (=1)
19= 40-1⋅21 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -9⋅21 +10⋅(40 -1⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅40 -10⋅ 21)
= 10⋅40 -19⋅ 21 (=1)
21= 61-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 10⋅40 -19⋅(61 -1⋅ 40)
= 10⋅40 -19⋅61 +19⋅ 40)
= -19⋅61 +29⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(61,40)=1 = -19⋅61 +29⋅40

oder wenn man -19⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅61 = +29⋅40

Es gilt also: 29⋅40 = 19⋅61 +1

Somit 29⋅40 = 1 mod 61

29 ist also das Inverse von 40 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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