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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (301 - 301) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(301 - 301) mod 3 ≡ (301 mod 3 - 301 mod 3) mod 3.

301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301 = 300+1 = 3 ⋅ 100 +1.

301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301 = 300+1 = 3 ⋅ 100 +1.

Somit gilt:

(301 - 301) mod 3 ≡ (1 - 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 73) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 73) mod 10 ≡ (80 mod 10 ⋅ 73 mod 10) mod 10.

80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.

73 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 7 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 73) mod 10 ≡ (0 ⋅ 3) mod 10 ≡ 0 mod 10.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 5968 mod 661.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 596 -> x
2. mod(x²,661) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5961=596

2: 5962=5961+1=5961⋅5961 ≡ 596⋅596=355216 ≡ 259 mod 661

4: 5964=5962+2=5962⋅5962 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 320 mod 661

8: 5968=5964+4=5964⋅5964 ≡ 320⋅320=102400 ≡ 606 mod 661

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11495 mod 283.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:

95 = 64+16+8+4+2+1

1: 1141=114

2: 1142=1141+1=1141⋅1141 ≡ 114⋅114=12996 ≡ 261 mod 283

4: 1144=1142+2=1142⋅1142 ≡ 261⋅261=68121 ≡ 201 mod 283

8: 1148=1144+4=1144⋅1144 ≡ 201⋅201=40401 ≡ 215 mod 283

16: 11416=1148+8=1148⋅1148 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 96 mod 283

32: 11432=11416+16=11416⋅11416 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 160 mod 283

64: 11464=11432+32=11432⋅11432 ≡ 160⋅160=25600 ≡ 130 mod 283

11495

= 11464+16+8+4+2+1

= 11464⋅11416⋅1148⋅1144⋅1142⋅1141

130 ⋅ 96 ⋅ 215 ⋅ 201 ⋅ 261 ⋅ 114 mod 283
12480 ⋅ 215 ⋅ 201 ⋅ 261 ⋅ 114 mod 283 ≡ 28 ⋅ 215 ⋅ 201 ⋅ 261 ⋅ 114 mod 283
6020 ⋅ 201 ⋅ 261 ⋅ 114 mod 283 ≡ 77 ⋅ 201 ⋅ 261 ⋅ 114 mod 283
15477 ⋅ 261 ⋅ 114 mod 283 ≡ 195 ⋅ 261 ⋅ 114 mod 283
50895 ⋅ 114 mod 283 ≡ 238 ⋅ 114 mod 283
27132 mod 283 ≡ 247 mod 283

Es gilt also: 11495 ≡ 247 mod 283

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 45.

Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 45

=>83 = 1⋅45 + 38
=>45 = 1⋅38 + 7
=>38 = 5⋅7 + 3
=>7 = 2⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 38-5⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -2⋅(38 -5⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅38 +10⋅ 7)
= -2⋅38 +11⋅ 7 (=1)
7= 45-1⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅38 +11⋅(45 -1⋅ 38)
= -2⋅38 +11⋅45 -11⋅ 38)
= 11⋅45 -13⋅ 38 (=1)
38= 83-1⋅45 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 11⋅45 -13⋅(83 -1⋅ 45)
= 11⋅45 -13⋅83 +13⋅ 45)
= -13⋅83 +24⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(83,45)=1 = -13⋅83 +24⋅45

oder wenn man -13⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅83 = +24⋅45

Es gilt also: 24⋅45 = 13⋅83 +1

Somit 24⋅45 = 1 mod 83

24 ist also das Inverse von 45 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 47 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.