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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (7004 - 212) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7004 - 212) mod 7 ≡ (7004 mod 7 - 212 mod 7) mod 7.

7004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7004 = 7000+4 = 7 ⋅ 1000 +4.

212 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 212 = 210+2 = 7 ⋅ 30 +2.

Somit gilt:

(7004 - 212) mod 7 ≡ (4 - 2) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 78) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 78) mod 8 ≡ (60 mod 8 ⋅ 78 mod 8) mod 8.

60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 78) mod 8 ≡ (4 ⋅ 6) mod 8 ≡ 24 mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 321¹²⁸ mod 587.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 321 -> x
2. mod(x²,587) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 321¹=321

2: 321²=321¹⁺¹=321¹⋅321¹ ≡ 321⋅321=103041 ≡ 316 mod 587

4: 321⁴=321²⁺²=321²⋅321² ≡ 316⋅316=99856 ≡ 66 mod 587

8: 321⁸=321⁴⁺⁴=321⁴⋅321⁴ ≡ 66⋅66=4356 ≡ 247 mod 587

16: 321¹⁶=321⁸⁺⁸=321⁸⋅321⁸ ≡ 247⋅247=61009 ≡ 548 mod 587

32: 321³²=321¹⁶⁺¹⁶=321¹⁶⋅321¹⁶ ≡ 548⋅548=300304 ≡ 347 mod 587

64: 321⁶⁴=321³²⁺³²=321³²⋅321³² ≡ 347⋅347=120409 ≡ 74 mod 587

128: 321¹²⁸=321⁶⁴⁺⁶⁴=321⁶⁴⋅321⁶⁴ ≡ 74⋅74=5476 ≡ 193 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 976²³⁹ mod 1009.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 239 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 239 an und zerlegen 239 in eine Summer von 2er-Potenzen:

239 = 128+64+32+8+4+2+1

1: 976¹=976

2: 976²=976¹⁺¹=976¹⋅976¹ ≡ 976⋅976=952576 ≡ 80 mod 1009

4: 976⁴=976²⁺²=976²⋅976² ≡ 80⋅80=6400 ≡ 346 mod 1009

8: 976⁸=976⁴⁺⁴=976⁴⋅976⁴ ≡ 346⋅346=119716 ≡ 654 mod 1009

16: 976¹⁶=976⁸⁺⁸=976⁸⋅976⁸ ≡ 654⋅654=427716 ≡ 909 mod 1009

32: 976³²=976¹⁶⁺¹⁶=976¹⁶⋅976¹⁶ ≡ 909⋅909=826281 ≡ 919 mod 1009

64: 976⁶⁴=976³²⁺³²=976³²⋅976³² ≡ 919⋅919=844561 ≡ 28 mod 1009

128: 976¹²⁸=976⁶⁴⁺⁶⁴=976⁶⁴⋅976⁶⁴ ≡ 28⋅28=784 ≡ 784 mod 1009

976²³⁹

= 976^{128+64+32+8+4+2+1}

= 976¹²⁸⋅976⁶⁴⋅976³²⋅976⁸⋅976⁴⋅976²⋅976¹

≡ 784 ⋅ 28 ⋅ 919 ⋅ 654 ⋅ 346 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009
≡ 21952 ⋅ 919 ⋅ 654 ⋅ 346 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009 ≡ 763 ⋅ 919 ⋅ 654 ⋅ 346 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009
≡ 701197 ⋅ 654 ⋅ 346 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009 ≡ 951 ⋅ 654 ⋅ 346 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009
≡ 621954 ⋅ 346 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009 ≡ 410 ⋅ 346 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009
≡ 141860 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009 ≡ 600 ⋅ 80 ⋅ 976 mod 1009
≡ 48000 ⋅ 976 mod 1009 ≡ 577 ⋅ 976 mod 1009
≡ 563152 mod 1009 ≡ 130 mod 1009

Es gilt also: 976²³⁹ ≡ 130 mod 1009

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 58.

Also bestimme x, so dass 58 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 58

=>79	= 1⋅58 + 21
=>58	= 2⋅21 + 16
=>21	= 1⋅16 + 5
=>16	= 3⋅5 + 1
=>5	= 5⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,58)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 16-3⋅5
5= 21-1⋅16	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅16 -3⋅(21 -1⋅ 16) = 1⋅16 -3⋅21 +3⋅ 16) = -3⋅21 +4⋅ 16 (=1)
16= 58-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅21 +4⋅(58 -2⋅ 21) = -3⋅21 +4⋅58 -8⋅ 21) = 4⋅58 -11⋅ 21 (=1)
21= 79-1⋅58	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅58 -11⋅(79 -1⋅ 58) = 4⋅58 -11⋅79 +11⋅ 58) = -11⋅79 +15⋅ 58 (=1)

Es gilt also: ggt(79,58)=1 = -11⋅79 +15⋅58

oder wenn man -11⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅79 = +15⋅58

Es gilt also: 15⋅58 = 11⋅79 +1

Somit 15⋅58 = 1 mod 79

15 ist also das Inverse von 58 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 58

Schlüsselpaar für RSA