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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12004 + 1600) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12004 + 1600) mod 4 ≡ (12004 mod 4 + 1600 mod 4) mod 4.

12004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004 = 12000+4 = 4 ⋅ 3000 +4.

1600 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 4 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(12004 + 1600) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 61) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 61) mod 7 ≡ (63 mod 7 ⋅ 61 mod 7) mod 7.

63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.

61 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 56 + 5 = 8 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 61) mod 7 ≡ (0 ⋅ 5) mod 7 ≡ 0 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4628 mod 701.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 462 -> x
2. mod(x²,701) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4621=462

2: 4622=4621+1=4621⋅4621 ≡ 462⋅462=213444 ≡ 340 mod 701

4: 4624=4622+2=4622⋅4622 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 636 mod 701

8: 4628=4624+4=4624⋅4624 ≡ 636⋅636=404496 ≡ 19 mod 701

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 142215 mod 313.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 215 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 215 an und zerlegen 215 in eine Summer von 2er-Potenzen:

215 = 128+64+16+4+2+1

1: 1421=142

2: 1422=1421+1=1421⋅1421 ≡ 142⋅142=20164 ≡ 132 mod 313

4: 1424=1422+2=1422⋅1422 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 209 mod 313

8: 1428=1424+4=1424⋅1424 ≡ 209⋅209=43681 ≡ 174 mod 313

16: 14216=1428+8=1428⋅1428 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 228 mod 313

32: 14232=14216+16=14216⋅14216 ≡ 228⋅228=51984 ≡ 26 mod 313

64: 14264=14232+32=14232⋅14232 ≡ 26⋅26=676 ≡ 50 mod 313

128: 142128=14264+64=14264⋅14264 ≡ 50⋅50=2500 ≡ 309 mod 313

142215

= 142128+64+16+4+2+1

= 142128⋅14264⋅14216⋅1424⋅1422⋅1421

≡ 309 ⋅ 50 ⋅ 228 ⋅ 209 ⋅ 132 ⋅ 142 mod 313
≡ 15450 ⋅ 228 ⋅ 209 ⋅ 132 ⋅ 142 mod 313 ≡ 113 ⋅ 228 ⋅ 209 ⋅ 132 ⋅ 142 mod 313
≡ 25764 ⋅ 209 ⋅ 132 ⋅ 142 mod 313 ≡ 98 ⋅ 209 ⋅ 132 ⋅ 142 mod 313
≡ 20482 ⋅ 132 ⋅ 142 mod 313 ≡ 137 ⋅ 132 ⋅ 142 mod 313
≡ 18084 ⋅ 142 mod 313 ≡ 243 ⋅ 142 mod 313
≡ 34506 mod 313 ≡ 76 mod 313

Es gilt also: 142215 ≡ 76 mod 313

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 68.

Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 68

=>79 = 1⋅68 + 11
=>68 = 6⋅11 + 2
=>11 = 5⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,68)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-5⋅2
2= 68-6⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -5⋅(68 -6⋅ 11)
= 1⋅11 -5⋅68 +30⋅ 11)
= -5⋅68 +31⋅ 11 (=1)
11= 79-1⋅68 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -5⋅68 +31⋅(79 -1⋅ 68)
= -5⋅68 +31⋅79 -31⋅ 68)
= 31⋅79 -36⋅ 68 (=1)

Es gilt also: ggt(79,68)=1 = 31⋅79 -36⋅68

oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -31⋅79 = -36⋅68

-36⋅68 = -31⋅79 + 1 |+79⋅68

-36⋅68 + 79⋅68 = -31⋅79 + 79⋅68 + 1

(-36 + 79) ⋅ 68 = (-31 + 68) ⋅ 79 + 1

43⋅68 = 37⋅79 + 1

Es gilt also: 43⋅68 = 37⋅79 +1

Somit 43⋅68 = 1 mod 79

43 ist also das Inverse von 68 mod 79

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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