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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (365 - 273) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(365 - 273) mod 9 ≡ (365 mod 9 - 273 mod 9) mod 9.
365 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 365
= 360
273 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 273
= 270
Somit gilt:
(365 - 273) mod 9 ≡ (5 - 3) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 77) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(73 ⋅ 77) mod 5 ≡ (73 mod 5 ⋅ 77 mod 5) mod 5.
73 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 14 ⋅ 5 + 3 ist.
77 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 15 ⋅ 5 + 2 ist.
Somit gilt:
(73 ⋅ 77) mod 5 ≡ (3 ⋅ 2) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31164 mod 911.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 311 -> x
2. mod(x²,911) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3111=311
2: 3112=3111+1=3111⋅3111 ≡ 311⋅311=96721 ≡ 155 mod 911
4: 3114=3112+2=3112⋅3112 ≡ 155⋅155=24025 ≡ 339 mod 911
8: 3118=3114+4=3114⋅3114 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 135 mod 911
16: 31116=3118+8=3118⋅3118 ≡ 135⋅135=18225 ≡ 5 mod 911
32: 31132=31116+16=31116⋅31116 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 911
64: 31164=31132+32=31132⋅31132 ≡ 25⋅25=625 ≡ 625 mod 911
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 36587 mod 587.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 87 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 87 an und zerlegen 87 in eine Summer von 2er-Potenzen:
87 = 64+16+4+2+1
1: 3651=365
2: 3652=3651+1=3651⋅3651 ≡ 365⋅365=133225 ≡ 563 mod 587
4: 3654=3652+2=3652⋅3652 ≡ 563⋅563=316969 ≡ 576 mod 587
8: 3658=3654+4=3654⋅3654 ≡ 576⋅576=331776 ≡ 121 mod 587
16: 36516=3658+8=3658⋅3658 ≡ 121⋅121=14641 ≡ 553 mod 587
32: 36532=36516+16=36516⋅36516 ≡ 553⋅553=305809 ≡ 569 mod 587
64: 36564=36532+32=36532⋅36532 ≡ 569⋅569=323761 ≡ 324 mod 587
36587
= 36564+16+4+2+1
= 36564⋅36516⋅3654⋅3652⋅3651
≡ 324 ⋅ 553 ⋅ 576 ⋅ 563 ⋅ 365 mod 587
≡ 179172 ⋅ 576 ⋅ 563 ⋅ 365 mod 587 ≡ 137 ⋅ 576 ⋅ 563 ⋅ 365 mod 587
≡ 78912 ⋅ 563 ⋅ 365 mod 587 ≡ 254 ⋅ 563 ⋅ 365 mod 587
≡ 143002 ⋅ 365 mod 587 ≡ 361 ⋅ 365 mod 587
≡ 131765 mod 587 ≡ 277 mod 587
Es gilt also: 36587 ≡ 277 mod 587
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 68.
Also bestimme x, so dass 68 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 68
| =>73 | = 1⋅68 + 5 |
| =>68 | = 13⋅5 + 3 |
| =>5 | = 1⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,68)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 5-1⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1) |
| 3= 68-13⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅5 +2⋅(68 -13⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅68 -26⋅ 5) = 2⋅68 -27⋅ 5 (=1) |
| 5= 73-1⋅68 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅68 -27⋅(73 -1⋅ 68)
= 2⋅68 -27⋅73 +27⋅ 68) = -27⋅73 +29⋅ 68 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,68)=1 = -27⋅73 +29⋅68
oder wenn man -27⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +27⋅73 = +29⋅68
Es gilt also: 29⋅68 = 27⋅73 +1
Somit 29⋅68 = 1 mod 73
29 ist also das Inverse von 68 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
