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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (179 - 8995) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(179 - 8995) mod 9 ≡ (179 mod 9 - 8995 mod 9) mod 9.
179 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 179
= 180
8995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8995
= 9000
Somit gilt:
(179 - 8995) mod 9 ≡ (8 - 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 85) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 85) mod 10 ≡ (75 mod 10 ⋅ 85 mod 10) mod 10.
75 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 70 + 5 = 7 ⋅ 10 + 5 ist.
85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 85) mod 10 ≡ (5 ⋅ 5) mod 10 ≡ 25 mod 10 ≡ 5 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 40164 mod 757.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 401 -> x
2. mod(x²,757) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4011=401
2: 4012=4011+1=4011⋅4011 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 317 mod 757
4: 4014=4012+2=4012⋅4012 ≡ 317⋅317=100489 ≡ 565 mod 757
8: 4018=4014+4=4014⋅4014 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 528 mod 757
16: 40116=4018+8=4018⋅4018 ≡ 528⋅528=278784 ≡ 208 mod 757
32: 40132=40116+16=40116⋅40116 ≡ 208⋅208=43264 ≡ 115 mod 757
64: 40164=40132+32=40132⋅40132 ≡ 115⋅115=13225 ≡ 356 mod 757
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 333114 mod 379.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:
114 = 64+32+16+2
1: 3331=333
2: 3332=3331+1=3331⋅3331 ≡ 333⋅333=110889 ≡ 221 mod 379
4: 3334=3332+2=3332⋅3332 ≡ 221⋅221=48841 ≡ 329 mod 379
8: 3338=3334+4=3334⋅3334 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 226 mod 379
16: 33316=3338+8=3338⋅3338 ≡ 226⋅226=51076 ≡ 290 mod 379
32: 33332=33316+16=33316⋅33316 ≡ 290⋅290=84100 ≡ 341 mod 379
64: 33364=33332+32=33332⋅33332 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 307 mod 379
333114
= 33364+32+16+2
= 33364⋅33332⋅33316⋅3332
≡ 307 ⋅ 341 ⋅ 290 ⋅ 221 mod 379
≡ 104687 ⋅ 290 ⋅ 221 mod 379 ≡ 83 ⋅ 290 ⋅ 221 mod 379
≡ 24070 ⋅ 221 mod 379 ≡ 193 ⋅ 221 mod 379
≡ 42653 mod 379 ≡ 205 mod 379
Es gilt also: 333114 ≡ 205 mod 379
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 49.
Also bestimme x, so dass 49 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 49
| =>89 | = 1⋅49 + 40 |
| =>49 | = 1⋅40 + 9 |
| =>40 | = 4⋅9 + 4 |
| =>9 | = 2⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,49)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-2⋅4 | |||
| 4= 40-4⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -2⋅(40 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -2⋅40 +8⋅ 9) = -2⋅40 +9⋅ 9 (=1) |
| 9= 49-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅40 +9⋅(49 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +9⋅49 -9⋅ 40) = 9⋅49 -11⋅ 40 (=1) |
| 40= 89-1⋅49 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 9⋅49 -11⋅(89 -1⋅ 49)
= 9⋅49 -11⋅89 +11⋅ 49) = -11⋅89 +20⋅ 49 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,49)=1 = -11⋅89 +20⋅49
oder wenn man -11⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 +11⋅89 = +20⋅49
Es gilt also: 20⋅49 = 11⋅89 +1
Somit 20⋅49 = 1 mod 89
20 ist also das Inverse von 49 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.