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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (253 + 15001) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(253 + 15001) mod 5 ≡ (253 mod 5 + 15001 mod 5) mod 5.

253 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 253 = 250+3 = 5 ⋅ 50 +3.

15001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15001 = 15000+1 = 5 ⋅ 3000 +1.

Somit gilt:

(253 + 15001) mod 5 ≡ (3 + 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 92) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 92) mod 4 ≡ (75 mod 4 ⋅ 92 mod 4) mod 4.

75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.

92 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 92 + 0 = 23 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 92) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 22516 mod 373.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 225 -> x
2. mod(x²,373) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2251=225

2: 2252=2251+1=2251⋅2251 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 270 mod 373

4: 2254=2252+2=2252⋅2252 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 165 mod 373

8: 2258=2254+4=2254⋅2254 ≡ 165⋅165=27225 ≡ 369 mod 373

16: 22516=2258+8=2258⋅2258 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 16 mod 373

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 181200 mod 389.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 200 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 200 an und zerlegen 200 in eine Summer von 2er-Potenzen:

200 = 128+64+8

1: 1811=181

2: 1812=1811+1=1811⋅1811 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 85 mod 389

4: 1814=1812+2=1812⋅1812 ≡ 85⋅85=7225 ≡ 223 mod 389

8: 1818=1814+4=1814⋅1814 ≡ 223⋅223=49729 ≡ 326 mod 389

16: 18116=1818+8=1818⋅1818 ≡ 326⋅326=106276 ≡ 79 mod 389

32: 18132=18116+16=18116⋅18116 ≡ 79⋅79=6241 ≡ 17 mod 389

64: 18164=18132+32=18132⋅18132 ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 389

128: 181128=18164+64=18164⋅18164 ≡ 289⋅289=83521 ≡ 275 mod 389

181200

= 181128+64+8

= 181128⋅18164⋅1818

275 ⋅ 289 ⋅ 326 mod 389
79475 ⋅ 326 mod 389 ≡ 119 ⋅ 326 mod 389
38794 mod 389 ≡ 283 mod 389

Es gilt also: 181200 ≡ 283 mod 389

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 54

=>97 = 1⋅54 + 43
=>54 = 1⋅43 + 11
=>43 = 3⋅11 + 10
=>11 = 1⋅10 + 1
=>10 = 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 11-1⋅10
10= 43-3⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅11 -1⋅(43 -3⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅43 +3⋅ 11)
= -1⋅43 +4⋅ 11 (=1)
11= 54-1⋅43 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅43 +4⋅(54 -1⋅ 43)
= -1⋅43 +4⋅54 -4⋅ 43)
= 4⋅54 -5⋅ 43 (=1)
43= 97-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 4⋅54 -5⋅(97 -1⋅ 54)
= 4⋅54 -5⋅97 +5⋅ 54)
= -5⋅97 +9⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(97,54)=1 = -5⋅97 +9⋅54

oder wenn man -5⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅97 = +9⋅54

Es gilt also: 9⋅54 = 5⋅97 +1

Somit 9⋅54 = 1 mod 97

9 ist also das Inverse von 54 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.