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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4008 + 3208) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4008 + 3208) mod 8 ≡ (4008 mod 8 + 3208 mod 8) mod 8.

4008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4008 = 4000+8 = 8 ⋅ 500 +8.

3208 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3208 = 3200+8 = 8 ⋅ 400 +8.

Somit gilt:

(4008 + 3208) mod 8 ≡ (0 + 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 44) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 44) mod 11 ≡ (20 mod 11 ⋅ 44 mod 11) mod 11.

20 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 11 + 9 = 1 ⋅ 11 + 9 ist.

44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 44) mod 11 ≡ (9 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 410¹²⁸ mod 701.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 410 -> x
2. mod(x²,701) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 410¹=410

2: 410²=410¹⁺¹=410¹⋅410¹ ≡ 410⋅410=168100 ≡ 561 mod 701

4: 410⁴=410²⁺²=410²⋅410² ≡ 561⋅561=314721 ≡ 673 mod 701

8: 410⁸=410⁴⁺⁴=410⁴⋅410⁴ ≡ 673⋅673=452929 ≡ 83 mod 701

16: 410¹⁶=410⁸⁺⁸=410⁸⋅410⁸ ≡ 83⋅83=6889 ≡ 580 mod 701

32: 410³²=410¹⁶⁺¹⁶=410¹⁶⋅410¹⁶ ≡ 580⋅580=336400 ≡ 621 mod 701

64: 410⁶⁴=410³²⁺³²=410³²⋅410³² ≡ 621⋅621=385641 ≡ 91 mod 701

128: 410¹²⁸=410⁶⁴⁺⁶⁴=410⁶⁴⋅410⁶⁴ ≡ 91⋅91=8281 ≡ 570 mod 701

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 526²²² mod 587.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 222 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 222 an und zerlegen 222 in eine Summer von 2er-Potenzen:

222 = 128+64+16+8+4+2

1: 526¹=526

2: 526²=526¹⁺¹=526¹⋅526¹ ≡ 526⋅526=276676 ≡ 199 mod 587

4: 526⁴=526²⁺²=526²⋅526² ≡ 199⋅199=39601 ≡ 272 mod 587

8: 526⁸=526⁴⁺⁴=526⁴⋅526⁴ ≡ 272⋅272=73984 ≡ 22 mod 587

16: 526¹⁶=526⁸⁺⁸=526⁸⋅526⁸ ≡ 22⋅22=484 ≡ 484 mod 587

32: 526³²=526¹⁶⁺¹⁶=526¹⁶⋅526¹⁶ ≡ 484⋅484=234256 ≡ 43 mod 587

64: 526⁶⁴=526³²⁺³²=526³²⋅526³² ≡ 43⋅43=1849 ≡ 88 mod 587

128: 526¹²⁸=526⁶⁴⁺⁶⁴=526⁶⁴⋅526⁶⁴ ≡ 88⋅88=7744 ≡ 113 mod 587

526²²²

= 526^{128+64+16+8+4+2}

= 526¹²⁸⋅526⁶⁴⋅526¹⁶⋅526⁸⋅526⁴⋅526²

≡ 113 ⋅ 88 ⋅ 484 ⋅ 22 ⋅ 272 ⋅ 199 mod 587
≡ 9944 ⋅ 484 ⋅ 22 ⋅ 272 ⋅ 199 mod 587 ≡ 552 ⋅ 484 ⋅ 22 ⋅ 272 ⋅ 199 mod 587
≡ 267168 ⋅ 22 ⋅ 272 ⋅ 199 mod 587 ≡ 83 ⋅ 22 ⋅ 272 ⋅ 199 mod 587
≡ 1826 ⋅ 272 ⋅ 199 mod 587 ≡ 65 ⋅ 272 ⋅ 199 mod 587
≡ 17680 ⋅ 199 mod 587 ≡ 70 ⋅ 199 mod 587
≡ 13930 mod 587 ≡ 429 mod 587

Es gilt also: 526²²² ≡ 429 mod 587

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 70.

Also bestimme x, so dass 70 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70

=>101	= 1⋅70 + 31
=>70	= 2⋅31 + 8
=>31	= 3⋅8 + 7
=>8	= 1⋅7 + 1
=>7	= 7⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,70)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 8-1⋅7
7= 31-3⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅8 -1⋅(31 -3⋅ 8) = 1⋅8 -1⋅31 +3⋅ 8) = -1⋅31 +4⋅ 8 (=1)
8= 70-2⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅31 +4⋅(70 -2⋅ 31) = -1⋅31 +4⋅70 -8⋅ 31) = 4⋅70 -9⋅ 31 (=1)
31= 101-1⋅70	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅70 -9⋅(101 -1⋅ 70) = 4⋅70 -9⋅101 +9⋅ 70) = -9⋅101 +13⋅ 70 (=1)

Es gilt also: ggt(101,70)=1 = -9⋅101 +13⋅70

oder wenn man -9⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +9⋅101 = +13⋅70

Es gilt also: 13⋅70 = 9⋅101 +1

Somit 13⋅70 = 1 mod 101

13 ist also das Inverse von 70 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 70

Schlüsselpaar für RSA