Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (199 + 201) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(199 + 201) mod 4 ≡ (199 mod 4 + 201 mod 4) mod 4.

199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 199 = 200-1 = 4 ⋅ 50 -1 = 4 ⋅ 50 - 4 + 3.

201 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201 = 200+1 = 4 ⋅ 50 +1.

Somit gilt:

(199 + 201) mod 4 ≡ (3 + 1) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 89) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 89) mod 6 ≡ (91 mod 6 ⋅ 89 mod 6) mod 6.

91 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 15 ⋅ 6 + 1 ist.

89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 89) mod 6 ≡ (1 ⋅ 5) mod 6 ≡ 5 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 624¹²⁸ mod 739.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 624 -> x
2. mod(x²,739) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 624¹=624

2: 624²=624¹⁺¹=624¹⋅624¹ ≡ 624⋅624=389376 ≡ 662 mod 739

4: 624⁴=624²⁺²=624²⋅624² ≡ 662⋅662=438244 ≡ 17 mod 739

8: 624⁸=624⁴⁺⁴=624⁴⋅624⁴ ≡ 17⋅17=289 ≡ 289 mod 739

16: 624¹⁶=624⁸⁺⁸=624⁸⋅624⁸ ≡ 289⋅289=83521 ≡ 14 mod 739

32: 624³²=624¹⁶⁺¹⁶=624¹⁶⋅624¹⁶ ≡ 14⋅14=196 ≡ 196 mod 739

64: 624⁶⁴=624³²⁺³²=624³²⋅624³² ≡ 196⋅196=38416 ≡ 727 mod 739

128: 624¹²⁸=624⁶⁴⁺⁶⁴=624⁶⁴⋅624⁶⁴ ≡ 727⋅727=528529 ≡ 144 mod 739

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 130¹¹⁹ mod 269.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 119 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 119 an und zerlegen 119 in eine Summer von 2er-Potenzen:

119 = 64+32+16+4+2+1

1: 130¹=130

2: 130²=130¹⁺¹=130¹⋅130¹ ≡ 130⋅130=16900 ≡ 222 mod 269

4: 130⁴=130²⁺²=130²⋅130² ≡ 222⋅222=49284 ≡ 57 mod 269

8: 130⁸=130⁴⁺⁴=130⁴⋅130⁴ ≡ 57⋅57=3249 ≡ 21 mod 269

16: 130¹⁶=130⁸⁺⁸=130⁸⋅130⁸ ≡ 21⋅21=441 ≡ 172 mod 269

32: 130³²=130¹⁶⁺¹⁶=130¹⁶⋅130¹⁶ ≡ 172⋅172=29584 ≡ 263 mod 269

64: 130⁶⁴=130³²⁺³²=130³²⋅130³² ≡ 263⋅263=69169 ≡ 36 mod 269

130¹¹⁹

= 130^{64+32+16+4+2+1}

= 130⁶⁴⋅130³²⋅130¹⁶⋅130⁴⋅130²⋅130¹

≡ 36 ⋅ 263 ⋅ 172 ⋅ 57 ⋅ 222 ⋅ 130 mod 269
≡ 9468 ⋅ 172 ⋅ 57 ⋅ 222 ⋅ 130 mod 269 ≡ 53 ⋅ 172 ⋅ 57 ⋅ 222 ⋅ 130 mod 269
≡ 9116 ⋅ 57 ⋅ 222 ⋅ 130 mod 269 ≡ 239 ⋅ 57 ⋅ 222 ⋅ 130 mod 269
≡ 13623 ⋅ 222 ⋅ 130 mod 269 ≡ 173 ⋅ 222 ⋅ 130 mod 269
≡ 38406 ⋅ 130 mod 269 ≡ 208 ⋅ 130 mod 269
≡ 27040 mod 269 ≡ 140 mod 269

Es gilt also: 130¹¹⁹ ≡ 140 mod 269

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 29.

Also bestimme x, so dass 29 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 29

=>83	= 2⋅29 + 25
=>29	= 1⋅25 + 4
=>25	= 6⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(83,29)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 25-6⋅4
4= 29-1⋅25	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅25 -6⋅(29 -1⋅ 25) = 1⋅25 -6⋅29 +6⋅ 25) = -6⋅29 +7⋅ 25 (=1)
25= 83-2⋅29	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -6⋅29 +7⋅(83 -2⋅ 29) = -6⋅29 +7⋅83 -14⋅ 29) = 7⋅83 -20⋅ 29 (=1)

Es gilt also: ggt(83,29)=1 = 7⋅83 -20⋅29

oder wenn man 7⋅83 auf die linke Seite bringt:

1 -7⋅83 = -20⋅29

-20⋅29 = -7⋅83 + 1 |+83⋅29

-20⋅29 + 83⋅29 = -7⋅83 + 83⋅29 + 1

(-20 + 83) ⋅ 29 = (-7 + 29) ⋅ 83 + 1

63⋅29 = 22⋅83 + 1

Es gilt also: 63⋅29 = 22⋅83 +1

Somit 63⋅29 = 1 mod 83

63 ist also das Inverse von 29 mod 83

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 43. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 29

Schlüsselpaar für RSA