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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23992 + 320) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23992 + 320) mod 8 ≡ (23992 mod 8 + 320 mod 8) mod 8.

23992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23992 = 23000+992 = 8 ⋅ 2875 +992.

320 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 320 = 320+0 = 8 ⋅ 40 +0.

Somit gilt:

(23992 + 320) mod 8 ≡ (0 + 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 90) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 90) mod 8 ≡ (99 mod 8 ⋅ 90 mod 8) mod 8.

99 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 12 ⋅ 8 + 3 ist.

90 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 11 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 90) mod 8 ≡ (3 ⋅ 2) mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 11664 mod 347.

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Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 116 -> x
2. mod(x²,347) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1161=116

2: 1162=1161+1=1161⋅1161 ≡ 116⋅116=13456 ≡ 270 mod 347

4: 1164=1162+2=1162⋅1162 ≡ 270⋅270=72900 ≡ 30 mod 347

8: 1168=1164+4=1164⋅1164 ≡ 30⋅30=900 ≡ 206 mod 347

16: 11616=1168+8=1168⋅1168 ≡ 206⋅206=42436 ≡ 102 mod 347

32: 11632=11616+16=11616⋅11616 ≡ 102⋅102=10404 ≡ 341 mod 347

64: 11664=11632+32=11632⋅11632 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 36 mod 347

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 103201 mod 257.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 201 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 201 an und zerlegen 201 in eine Summer von 2er-Potenzen:

201 = 128+64+8+1

1: 1031=103

2: 1032=1031+1=1031⋅1031 ≡ 103⋅103=10609 ≡ 72 mod 257

4: 1034=1032+2=1032⋅1032 ≡ 72⋅72=5184 ≡ 44 mod 257

8: 1038=1034+4=1034⋅1034 ≡ 44⋅44=1936 ≡ 137 mod 257

16: 10316=1038+8=1038⋅1038 ≡ 137⋅137=18769 ≡ 8 mod 257

32: 10332=10316+16=10316⋅10316 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 257

64: 10364=10332+32=10332⋅10332 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 241 mod 257

128: 103128=10364+64=10364⋅10364 ≡ 241⋅241=58081 ≡ 256 mod 257

103201

= 103128+64+8+1

= 103128⋅10364⋅1038⋅1031

≡ 256 ⋅ 241 ⋅ 137 ⋅ 103 mod 257
≡ 61696 ⋅ 137 ⋅ 103 mod 257 ≡ 16 ⋅ 137 ⋅ 103 mod 257
≡ 2192 ⋅ 103 mod 257 ≡ 136 ⋅ 103 mod 257
≡ 14008 mod 257 ≡ 130 mod 257

Es gilt also: 103201 ≡ 130 mod 257

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 40.

Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 40

=>67 = 1⋅40 + 27
=>40 = 1⋅27 + 13
=>27 = 2⋅13 + 1
=>13 = 13⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,40)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 27-2⋅13
13= 40-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅27 -2⋅(40 -1⋅ 27)
= 1⋅27 -2⋅40 +2⋅ 27)
= -2⋅40 +3⋅ 27 (=1)
27= 67-1⋅40 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -2⋅40 +3⋅(67 -1⋅ 40)
= -2⋅40 +3⋅67 -3⋅ 40)
= 3⋅67 -5⋅ 40 (=1)

Es gilt also: ggt(67,40)=1 = 3⋅67 -5⋅40

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -5⋅40

-5⋅40 = -3⋅67 + 1 |+67⋅40

-5⋅40 + 67⋅40 = -3⋅67 + 67⋅40 + 1

(-5 + 67) ⋅ 40 = (-3 + 40) ⋅ 67 + 1

62⋅40 = 37⋅67 + 1

Es gilt also: 62⋅40 = 37⋅67 +1

Somit 62⋅40 = 1 mod 67

62 ist also das Inverse von 40 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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