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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1199 - 1998) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1199 - 1998) mod 4 ≡ (1199 mod 4 - 1998 mod 4) mod 4.

1199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1100+99 = 4 ⋅ 275 +99.

1998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1998 = 1900+98 = 4 ⋅ 475 +98.

Somit gilt:

(1199 - 1998) mod 4 ≡ (3 - 2) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 59) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 59) mod 5 ≡ (66 mod 5 ⋅ 59 mod 5) mod 5.

66 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 65 + 1 = 13 ⋅ 5 + 1 ist.

59 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 11 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 59) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 259¹²⁸ mod 277.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 259 -> x
2. mod(x²,277) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 259¹=259

2: 259²=259¹⁺¹=259¹⋅259¹ ≡ 259⋅259=67081 ≡ 47 mod 277

4: 259⁴=259²⁺²=259²⋅259² ≡ 47⋅47=2209 ≡ 270 mod 277

8: 259⁸=259⁴⁺⁴=259⁴⋅259⁴ ≡ 270⋅270=72900 ≡ 49 mod 277

16: 259¹⁶=259⁸⁺⁸=259⁸⋅259⁸ ≡ 49⋅49=2401 ≡ 185 mod 277

32: 259³²=259¹⁶⁺¹⁶=259¹⁶⋅259¹⁶ ≡ 185⋅185=34225 ≡ 154 mod 277

64: 259⁶⁴=259³²⁺³²=259³²⋅259³² ≡ 154⋅154=23716 ≡ 171 mod 277

128: 259¹²⁸=259⁶⁴⁺⁶⁴=259⁶⁴⋅259⁶⁴ ≡ 171⋅171=29241 ≡ 156 mod 277

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 180²⁴³ mod 277.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 243 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 243 an und zerlegen 243 in eine Summer von 2er-Potenzen:

243 = 128+64+32+16+2+1

1: 180¹=180

2: 180²=180¹⁺¹=180¹⋅180¹ ≡ 180⋅180=32400 ≡ 268 mod 277

4: 180⁴=180²⁺²=180²⋅180² ≡ 268⋅268=71824 ≡ 81 mod 277

8: 180⁸=180⁴⁺⁴=180⁴⋅180⁴ ≡ 81⋅81=6561 ≡ 190 mod 277

16: 180¹⁶=180⁸⁺⁸=180⁸⋅180⁸ ≡ 190⋅190=36100 ≡ 90 mod 277

32: 180³²=180¹⁶⁺¹⁶=180¹⁶⋅180¹⁶ ≡ 90⋅90=8100 ≡ 67 mod 277

64: 180⁶⁴=180³²⁺³²=180³²⋅180³² ≡ 67⋅67=4489 ≡ 57 mod 277

128: 180¹²⁸=180⁶⁴⁺⁶⁴=180⁶⁴⋅180⁶⁴ ≡ 57⋅57=3249 ≡ 202 mod 277

180²⁴³

= 180^{128+64+32+16+2+1}

= 180¹²⁸⋅180⁶⁴⋅180³²⋅180¹⁶⋅180²⋅180¹

≡ 202 ⋅ 57 ⋅ 67 ⋅ 90 ⋅ 268 ⋅ 180 mod 277
≡ 11514 ⋅ 67 ⋅ 90 ⋅ 268 ⋅ 180 mod 277 ≡ 157 ⋅ 67 ⋅ 90 ⋅ 268 ⋅ 180 mod 277
≡ 10519 ⋅ 90 ⋅ 268 ⋅ 180 mod 277 ≡ 270 ⋅ 90 ⋅ 268 ⋅ 180 mod 277
≡ 24300 ⋅ 268 ⋅ 180 mod 277 ≡ 201 ⋅ 268 ⋅ 180 mod 277
≡ 53868 ⋅ 180 mod 277 ≡ 130 ⋅ 180 mod 277
≡ 23400 mod 277 ≡ 132 mod 277

Es gilt also: 180²⁴³ ≡ 132 mod 277

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

=>53	= 1⋅31 + 22
=>31	= 1⋅22 + 9
=>22	= 2⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 22-2⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(22 -2⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅22 +4⋅ 9) = -2⋅22 +5⋅ 9 (=1)
9= 31-1⋅22	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅22 +5⋅(31 -1⋅ 22) = -2⋅22 +5⋅31 -5⋅ 22) = 5⋅31 -7⋅ 22 (=1)
22= 53-1⋅31	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅31 -7⋅(53 -1⋅ 31) = 5⋅31 -7⋅53 +7⋅ 31) = -7⋅53 +12⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(53,31)=1 = -7⋅53 +12⋅31

oder wenn man -7⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅53 = +12⋅31

Es gilt also: 12⋅31 = 7⋅53 +1

Somit 12⋅31 = 1 mod 53

12 ist also das Inverse von 31 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 31 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 31

Schlüsselpaar für RSA