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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (164 + 1198) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(164 + 1198) mod 4 ≡ (164 mod 4 + 1198 mod 4) mod 4.

164 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164 = 160+4 = 4 ⋅ 40 +4.

1198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1100+98 = 4 ⋅ 275 +98.

Somit gilt:

(164 + 1198) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 52) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 52) mod 9 ≡ (99 mod 9 ⋅ 52 mod 9) mod 9.

99 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 11 ⋅ 9 + 0 ist.

52 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 45 + 7 = 5 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 52) mod 9 ≡ (0 ⋅ 7) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 6958 mod 857.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 695 -> x
2. mod(x²,857) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 6951=695

2: 6952=6951+1=6951⋅6951 ≡ 695⋅695=483025 ≡ 534 mod 857

4: 6954=6952+2=6952⋅6952 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 632 mod 857

8: 6958=6954+4=6954⋅6954 ≡ 632⋅632=399424 ≡ 62 mod 857

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 644162 mod 673.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 162 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 162 an und zerlegen 162 in eine Summer von 2er-Potenzen:

162 = 128+32+2

1: 6441=644

2: 6442=6441+1=6441⋅6441 ≡ 644⋅644=414736 ≡ 168 mod 673

4: 6444=6442+2=6442⋅6442 ≡ 168⋅168=28224 ≡ 631 mod 673

8: 6448=6444+4=6444⋅6444 ≡ 631⋅631=398161 ≡ 418 mod 673

16: 64416=6448+8=6448⋅6448 ≡ 418⋅418=174724 ≡ 417 mod 673

32: 64432=64416+16=64416⋅64416 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 255 mod 673

64: 64464=64432+32=64432⋅64432 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 417 mod 673

128: 644128=64464+64=64464⋅64464 ≡ 417⋅417=173889 ≡ 255 mod 673

644162

= 644128+32+2

= 644128⋅64432⋅6442

≡ 255 ⋅ 255 ⋅ 168 mod 673
≡ 65025 ⋅ 168 mod 673 ≡ 417 ⋅ 168 mod 673
≡ 70056 mod 673 ≡ 64 mod 673

Es gilt also: 644162 ≡ 64 mod 673

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 86.

Also bestimme x, so dass 86 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 86

=>97 = 1⋅86 + 11
=>86 = 7⋅11 + 9
=>11 = 1⋅9 + 2
=>9 = 4⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,86)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9)
= -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 86-7⋅11 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -4⋅11 +5⋅(86 -7⋅ 11)
= -4⋅11 +5⋅86 -35⋅ 11)
= 5⋅86 -39⋅ 11 (=1)
11= 97-1⋅86 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅86 -39⋅(97 -1⋅ 86)
= 5⋅86 -39⋅97 +39⋅ 86)
= -39⋅97 +44⋅ 86 (=1)

Es gilt also: ggt(97,86)=1 = -39⋅97 +44⋅86

oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +39⋅97 = +44⋅86

Es gilt also: 44⋅86 = 39⋅97 +1

Somit 44⋅86 = 1 mod 97

44 ist also das Inverse von 86 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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