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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1198 - 1997) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1198 - 1997) mod 4 ≡ (1198 mod 4 - 1997 mod 4) mod 4.

1198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1100+98 = 4 ⋅ 275 +98.

1997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1997 = 1900+97 = 4 ⋅ 475 +97.

Somit gilt:

(1198 - 1997) mod 4 ≡ (2 - 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 38) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 38) mod 5 ≡ (16 mod 5 ⋅ 38 mod 5) mod 5.

16 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 3 ⋅ 5 + 1 ist.

38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 38) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 220128 mod 227.

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Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 220 -> x
2. mod(x²,227) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2201=220

2: 2202=2201+1=2201⋅2201 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 49 mod 227

4: 2204=2202+2=2202⋅2202 ≡ 49⋅49=2401 ≡ 131 mod 227

8: 2208=2204+4=2204⋅2204 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 136 mod 227

16: 22016=2208+8=2208⋅2208 ≡ 136⋅136=18496 ≡ 109 mod 227

32: 22032=22016+16=22016⋅22016 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 77 mod 227

64: 22064=22032+32=22032⋅22032 ≡ 77⋅77=5929 ≡ 27 mod 227

128: 220128=22064+64=22064⋅22064 ≡ 27⋅27=729 ≡ 48 mod 227

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 14594 mod 419.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 94 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 94 an und zerlegen 94 in eine Summer von 2er-Potenzen:

94 = 64+16+8+4+2

1: 1451=145

2: 1452=1451+1=1451⋅1451 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 75 mod 419

4: 1454=1452+2=1452⋅1452 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 178 mod 419

8: 1458=1454+4=1454⋅1454 ≡ 178⋅178=31684 ≡ 259 mod 419

16: 14516=1458+8=1458⋅1458 ≡ 259⋅259=67081 ≡ 41 mod 419

32: 14532=14516+16=14516⋅14516 ≡ 41⋅41=1681 ≡ 5 mod 419

64: 14564=14532+32=14532⋅14532 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 419

14594

= 14564+16+8+4+2

= 14564⋅14516⋅1458⋅1454⋅1452

≡ 25 ⋅ 41 ⋅ 259 ⋅ 178 ⋅ 75 mod 419
≡ 1025 ⋅ 259 ⋅ 178 ⋅ 75 mod 419 ≡ 187 ⋅ 259 ⋅ 178 ⋅ 75 mod 419
≡ 48433 ⋅ 178 ⋅ 75 mod 419 ≡ 248 ⋅ 178 ⋅ 75 mod 419
≡ 44144 ⋅ 75 mod 419 ≡ 149 ⋅ 75 mod 419
≡ 11175 mod 419 ≡ 281 mod 419

Es gilt also: 14594 ≡ 281 mod 419

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 53.

Also bestimme x, so dass 53 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 53

=>97 = 1⋅53 + 44
=>53 = 1⋅44 + 9
=>44 = 4⋅9 + 8
=>9 = 1⋅8 + 1
=>8 = 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,53)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-1⋅8
8= 44-4⋅9 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅9 -1⋅(44 -4⋅ 9)
= 1⋅9 -1⋅44 +4⋅ 9)
= -1⋅44 +5⋅ 9 (=1)
9= 53-1⋅44 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅44 +5⋅(53 -1⋅ 44)
= -1⋅44 +5⋅53 -5⋅ 44)
= 5⋅53 -6⋅ 44 (=1)
44= 97-1⋅53 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 5⋅53 -6⋅(97 -1⋅ 53)
= 5⋅53 -6⋅97 +6⋅ 53)
= -6⋅97 +11⋅ 53 (=1)

Es gilt also: ggt(97,53)=1 = -6⋅97 +11⋅53

oder wenn man -6⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +6⋅97 = +11⋅53

Es gilt also: 11⋅53 = 6⋅97 +1

Somit 11⋅53 = 1 mod 97

11 ist also das Inverse von 53 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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