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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15003 + 2999) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15003 + 2999) mod 3 ≡ (15003 mod 3 + 2999 mod 3) mod 3.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(15003 + 2999) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 55) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 55) mod 9 ≡ (63 mod 9 ⋅ 55 mod 9) mod 9.

63 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 7 ⋅ 9 + 0 ist.

55 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 6 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 55) mod 9 ≡ (0 ⋅ 1) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 43332 mod 479.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 433 -> x
2. mod(x²,479) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4331=433

2: 4332=4331+1=4331⋅4331 ≡ 433⋅433=187489 ≡ 200 mod 479

4: 4334=4332+2=4332⋅4332 ≡ 200⋅200=40000 ≡ 243 mod 479

8: 4338=4334+4=4334⋅4334 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 132 mod 479

16: 43316=4338+8=4338⋅4338 ≡ 132⋅132=17424 ≡ 180 mod 479

32: 43332=43316+16=43316⋅43316 ≡ 180⋅180=32400 ≡ 307 mod 479

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 47879 mod 919.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 79 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 79 an und zerlegen 79 in eine Summer von 2er-Potenzen:

79 = 64+8+4+2+1

1: 4781=478

2: 4782=4781+1=4781⋅4781 ≡ 478⋅478=228484 ≡ 572 mod 919

4: 4784=4782+2=4782⋅4782 ≡ 572⋅572=327184 ≡ 20 mod 919

8: 4788=4784+4=4784⋅4784 ≡ 20⋅20=400 ≡ 400 mod 919

16: 47816=4788+8=4788⋅4788 ≡ 400⋅400=160000 ≡ 94 mod 919

32: 47832=47816+16=47816⋅47816 ≡ 94⋅94=8836 ≡ 565 mod 919

64: 47864=47832+32=47832⋅47832 ≡ 565⋅565=319225 ≡ 332 mod 919

47879

= 47864+8+4+2+1

= 47864⋅4788⋅4784⋅4782⋅4781

≡ 332 ⋅ 400 ⋅ 20 ⋅ 572 ⋅ 478 mod 919
≡ 132800 ⋅ 20 ⋅ 572 ⋅ 478 mod 919 ≡ 464 ⋅ 20 ⋅ 572 ⋅ 478 mod 919
≡ 9280 ⋅ 572 ⋅ 478 mod 919 ≡ 90 ⋅ 572 ⋅ 478 mod 919
≡ 51480 ⋅ 478 mod 919 ≡ 16 ⋅ 478 mod 919
≡ 7648 mod 919 ≡ 296 mod 919

Es gilt also: 47879 ≡ 296 mod 919

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 31

=>89 = 2⋅31 + 27
=>31 = 1⋅27 + 4
=>27 = 6⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 27-6⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(27 -6⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅27 +6⋅ 4)
= -1⋅27 +7⋅ 4 (=1)
4= 31-1⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +7⋅(31 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +7⋅31 -7⋅ 27)
= 7⋅31 -8⋅ 27 (=1)
27= 89-2⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 7⋅31 -8⋅(89 -2⋅ 31)
= 7⋅31 -8⋅89 +16⋅ 31)
= -8⋅89 +23⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(89,31)=1 = -8⋅89 +23⋅31

oder wenn man -8⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +8⋅89 = +23⋅31

Es gilt also: 23⋅31 = 8⋅89 +1

Somit 23⋅31 = 1 mod 89

23 ist also das Inverse von 31 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 67 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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