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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1199 - 27) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1199 - 27) mod 3 ≡ (1199 mod 3 - 27 mod 3) mod 3.
1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199
= 1200
27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27
= 30
Somit gilt:
(1199 - 27) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 72) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 72) mod 7 ≡ (83 mod 7 ⋅ 72 mod 7) mod 7.
83 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 11 ⋅ 7 + 6 ist.
72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 10 ⋅ 7 + 2 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 72) mod 7 ≡ (6 ⋅ 2) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 12316 mod 281.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 123 -> x
2. mod(x²,281) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1231=123
2: 1232=1231+1=1231⋅1231 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 236 mod 281
4: 1234=1232+2=1232⋅1232 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 58 mod 281
8: 1238=1234+4=1234⋅1234 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 273 mod 281
16: 12316=1238+8=1238⋅1238 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 64 mod 281
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 25885 mod 383.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:
85 = 64+16+4+1
1: 2581=258
2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 305 mod 383
4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 339 mod 383
8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 21 mod 383
16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 21⋅21=441 ≡ 58 mod 383
32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 300 mod 383
64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 378 mod 383
25885
= 25864+16+4+1
= 25864⋅25816⋅2584⋅2581
≡ 378 ⋅ 58 ⋅ 339 ⋅ 258 mod 383
≡ 21924 ⋅ 339 ⋅ 258 mod 383 ≡ 93 ⋅ 339 ⋅ 258 mod 383
≡ 31527 ⋅ 258 mod 383 ≡ 121 ⋅ 258 mod 383
≡ 31218 mod 383 ≡ 195 mod 383
Es gilt also: 25885 ≡ 195 mod 383
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 38
| =>101 | = 2⋅38 + 25 |
| =>38 | = 1⋅25 + 13 |
| =>25 | = 1⋅13 + 12 |
| =>13 | = 1⋅12 + 1 |
| =>12 | = 12⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(101,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-1⋅12 | |||
| 12= 25-1⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -1⋅(25 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅25 +1⋅ 13) = -1⋅25 +2⋅ 13 (=1) |
| 13= 38-1⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅25 +2⋅(38 -1⋅ 25)
= -1⋅25 +2⋅38 -2⋅ 25) = 2⋅38 -3⋅ 25 (=1) |
| 25= 101-2⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅38 -3⋅(101 -2⋅ 38)
= 2⋅38 -3⋅101 +6⋅ 38) = -3⋅101 +8⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(101,38)=1 = -3⋅101 +8⋅38
oder wenn man -3⋅101 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅101 = +8⋅38
Es gilt also: 8⋅38 = 3⋅101 +1
Somit 8⋅38 = 1 mod 101
8 ist also das Inverse von 38 mod 101
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.