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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8001 + 15998) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8001 + 15998) mod 4 ≡ (8001 mod 4 + 15998 mod 4) mod 4.

8001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8001 = 8000+1 = 4 ⋅ 2000 +1.

15998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998 = 15000+998 = 4 ⋅ 3750 +998.

Somit gilt:

(8001 + 15998) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 46) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 46) mod 7 ≡ (90 mod 7 ⋅ 46 mod 7) mod 7.

90 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 84 + 6 = 12 ⋅ 7 + 6 ist.

46 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 6 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 46) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 276³² mod 509.

Lösung einblenden

Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁵).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 276 -> x
2. mod(x²,509) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 276¹=276

2: 276²=276¹⁺¹=276¹⋅276¹ ≡ 276⋅276=76176 ≡ 335 mod 509

4: 276⁴=276²⁺²=276²⋅276² ≡ 335⋅335=112225 ≡ 245 mod 509

8: 276⁸=276⁴⁺⁴=276⁴⋅276⁴ ≡ 245⋅245=60025 ≡ 472 mod 509

16: 276¹⁶=276⁸⁺⁸=276⁸⋅276⁸ ≡ 472⋅472=222784 ≡ 351 mod 509

32: 276³²=276¹⁶⁺¹⁶=276¹⁶⋅276¹⁶ ≡ 351⋅351=123201 ≡ 23 mod 509

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 291⁹⁵ mod 797.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 95 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 95 an und zerlegen 95 in eine Summer von 2er-Potenzen:

95 = 64+16+8+4+2+1

1: 291¹=291

2: 291²=291¹⁺¹=291¹⋅291¹ ≡ 291⋅291=84681 ≡ 199 mod 797

4: 291⁴=291²⁺²=291²⋅291² ≡ 199⋅199=39601 ≡ 548 mod 797

8: 291⁸=291⁴⁺⁴=291⁴⋅291⁴ ≡ 548⋅548=300304 ≡ 632 mod 797

16: 291¹⁶=291⁸⁺⁸=291⁸⋅291⁸ ≡ 632⋅632=399424 ≡ 127 mod 797

32: 291³²=291¹⁶⁺¹⁶=291¹⁶⋅291¹⁶ ≡ 127⋅127=16129 ≡ 189 mod 797

64: 291⁶⁴=291³²⁺³²=291³²⋅291³² ≡ 189⋅189=35721 ≡ 653 mod 797

291⁹⁵

= 291^{64+16+8+4+2+1}

= 291⁶⁴⋅291¹⁶⋅291⁸⋅291⁴⋅291²⋅291¹

≡ 653 ⋅ 127 ⋅ 632 ⋅ 548 ⋅ 199 ⋅ 291 mod 797
≡ 82931 ⋅ 632 ⋅ 548 ⋅ 199 ⋅ 291 mod 797 ≡ 43 ⋅ 632 ⋅ 548 ⋅ 199 ⋅ 291 mod 797
≡ 27176 ⋅ 548 ⋅ 199 ⋅ 291 mod 797 ≡ 78 ⋅ 548 ⋅ 199 ⋅ 291 mod 797
≡ 42744 ⋅ 199 ⋅ 291 mod 797 ≡ 503 ⋅ 199 ⋅ 291 mod 797
≡ 100097 ⋅ 291 mod 797 ≡ 472 ⋅ 291 mod 797
≡ 137352 mod 797 ≡ 268 mod 797

Es gilt also: 291⁹⁵ ≡ 268 mod 797

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48

=>61	= 1⋅48 + 13
=>48	= 3⋅13 + 9
=>13	= 1⋅9 + 4
=>9	= 2⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-2⋅4
4= 13-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -2⋅(13 -1⋅ 9) = 1⋅9 -2⋅13 +2⋅ 9) = -2⋅13 +3⋅ 9 (=1)
9= 48-3⋅13	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅13 +3⋅(48 -3⋅ 13) = -2⋅13 +3⋅48 -9⋅ 13) = 3⋅48 -11⋅ 13 (=1)
13= 61-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅48 -11⋅(61 -1⋅ 48) = 3⋅48 -11⋅61 +11⋅ 48) = -11⋅61 +14⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(61,48)=1 = -11⋅61 +14⋅48

oder wenn man -11⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 +11⋅61 = +14⋅48

Es gilt also: 14⋅48 = 11⋅61 +1

Somit 14⋅48 = 1 mod 61

14 ist also das Inverse von 48 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 48

Schlüsselpaar für RSA