nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8002 - 40000) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8002 - 40000) mod 8 ≡ (8002 mod 8 - 40000 mod 8) mod 8.

8002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8002 = 8000+2 = 8 ⋅ 1000 +2.

40000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40000 = 40000+0 = 8 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(8002 - 40000) mod 8 ≡ (2 - 0) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 33) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 33) mod 7 ≡ (16 mod 7 ⋅ 33 mod 7) mod 7.

16 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 14 + 2 = 2 ⋅ 7 + 2 ist.

33 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 28 + 5 = 4 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 33) mod 7 ≡ (2 ⋅ 5) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4918 mod 733.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 491 -> x
2. mod(x²,733) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4911=491

2: 4912=4911+1=4911⋅4911 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 657 mod 733

4: 4914=4912+2=4912⋅4912 ≡ 657⋅657=431649 ≡ 645 mod 733

8: 4918=4914+4=4914⋅4914 ≡ 645⋅645=416025 ≡ 414 mod 733

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 203131 mod 599.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 131 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 131 an und zerlegen 131 in eine Summer von 2er-Potenzen:

131 = 128+2+1

1: 2031=203

2: 2032=2031+1=2031⋅2031 ≡ 203⋅203=41209 ≡ 477 mod 599

4: 2034=2032+2=2032⋅2032 ≡ 477⋅477=227529 ≡ 508 mod 599

8: 2038=2034+4=2034⋅2034 ≡ 508⋅508=258064 ≡ 494 mod 599

16: 20316=2038+8=2038⋅2038 ≡ 494⋅494=244036 ≡ 243 mod 599

32: 20332=20316+16=20316⋅20316 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 347 mod 599

64: 20364=20332+32=20332⋅20332 ≡ 347⋅347=120409 ≡ 10 mod 599

128: 203128=20364+64=20364⋅20364 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 599

203131

= 203128+2+1

= 203128⋅2032⋅2031

≡ 100 ⋅ 477 ⋅ 203 mod 599
≡ 47700 ⋅ 203 mod 599 ≡ 379 ⋅ 203 mod 599
≡ 76937 mod 599 ≡ 265 mod 599

Es gilt also: 203131 ≡ 265 mod 599

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 48

=>67 = 1⋅48 + 19
=>48 = 2⋅19 + 10
=>19 = 1⋅10 + 9
=>10 = 1⋅9 + 1
=>9 = 9⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 10-1⋅9
9= 19-1⋅10 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅10 -1⋅(19 -1⋅ 10)
= 1⋅10 -1⋅19 +1⋅ 10)
= -1⋅19 +2⋅ 10 (=1)
10= 48-2⋅19 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅19 +2⋅(48 -2⋅ 19)
= -1⋅19 +2⋅48 -4⋅ 19)
= 2⋅48 -5⋅ 19 (=1)
19= 67-1⋅48 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅48 -5⋅(67 -1⋅ 48)
= 2⋅48 -5⋅67 +5⋅ 48)
= -5⋅67 +7⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(67,48)=1 = -5⋅67 +7⋅48

oder wenn man -5⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 +5⋅67 = +7⋅48

Es gilt also: 7⋅48 = 5⋅67 +1

Somit 7⋅48 = 1 mod 67

7 ist also das Inverse von 48 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden