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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 + 91) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 + 91) mod 3 ≡ (30 mod 3 + 91 mod 3) mod 3.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

91 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90+1 = 3 ⋅ 30 +1.

Somit gilt:

(30 + 91) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 23) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 23) mod 3 ≡ (74 mod 3 ⋅ 23 mod 3) mod 3.

74 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 24 ⋅ 3 + 2 ist.

23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 23) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 247⁶⁴ mod 383.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 247 -> x
2. mod(x²,383) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 247¹=247

2: 247²=247¹⁺¹=247¹⋅247¹ ≡ 247⋅247=61009 ≡ 112 mod 383

4: 247⁴=247²⁺²=247²⋅247² ≡ 112⋅112=12544 ≡ 288 mod 383

8: 247⁸=247⁴⁺⁴=247⁴⋅247⁴ ≡ 288⋅288=82944 ≡ 216 mod 383

16: 247¹⁶=247⁸⁺⁸=247⁸⋅247⁸ ≡ 216⋅216=46656 ≡ 313 mod 383

32: 247³²=247¹⁶⁺¹⁶=247¹⁶⋅247¹⁶ ≡ 313⋅313=97969 ≡ 304 mod 383

64: 247⁶⁴=247³²⁺³²=247³²⋅247³² ≡ 304⋅304=92416 ≡ 113 mod 383

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 430¹⁹¹ mod 887.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

1: 430¹=430

2: 430²=430¹⁺¹=430¹⋅430¹ ≡ 430⋅430=184900 ≡ 404 mod 887

4: 430⁴=430²⁺²=430²⋅430² ≡ 404⋅404=163216 ≡ 8 mod 887

8: 430⁸=430⁴⁺⁴=430⁴⋅430⁴ ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 887

16: 430¹⁶=430⁸⁺⁸=430⁸⋅430⁸ ≡ 64⋅64=4096 ≡ 548 mod 887

32: 430³²=430¹⁶⁺¹⁶=430¹⁶⋅430¹⁶ ≡ 548⋅548=300304 ≡ 498 mod 887

64: 430⁶⁴=430³²⁺³²=430³²⋅430³² ≡ 498⋅498=248004 ≡ 531 mod 887

128: 430¹²⁸=430⁶⁴⁺⁶⁴=430⁶⁴⋅430⁶⁴ ≡ 531⋅531=281961 ≡ 782 mod 887

430¹⁹¹

= 430^{128+32+16+8+4+2+1}

= 430¹²⁸⋅430³²⋅430¹⁶⋅430⁸⋅430⁴⋅430²⋅430¹

≡ 782 ⋅ 498 ⋅ 548 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 404 ⋅ 430 mod 887
≡ 389436 ⋅ 548 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 404 ⋅ 430 mod 887 ≡ 43 ⋅ 548 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 404 ⋅ 430 mod 887
≡ 23564 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 404 ⋅ 430 mod 887 ≡ 502 ⋅ 64 ⋅ 8 ⋅ 404 ⋅ 430 mod 887
≡ 32128 ⋅ 8 ⋅ 404 ⋅ 430 mod 887 ≡ 196 ⋅ 8 ⋅ 404 ⋅ 430 mod 887
≡ 1568 ⋅ 404 ⋅ 430 mod 887 ≡ 681 ⋅ 404 ⋅ 430 mod 887
≡ 275124 ⋅ 430 mod 887 ≡ 154 ⋅ 430 mod 887
≡ 66220 mod 887 ≡ 582 mod 887

Es gilt also: 430¹⁹¹ ≡ 582 mod 887

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 27

=>89	= 3⋅27 + 8
=>27	= 3⋅8 + 3
=>8	= 2⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(89,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 8-2⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(8 -2⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅8 +2⋅ 3) = -1⋅8 +3⋅ 3 (=1)
3= 27-3⋅8	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅8 +3⋅(27 -3⋅ 8) = -1⋅8 +3⋅27 -9⋅ 8) = 3⋅27 -10⋅ 8 (=1)
8= 89-3⋅27	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅27 -10⋅(89 -3⋅ 27) = 3⋅27 -10⋅89 +30⋅ 27) = -10⋅89 +33⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(89,27)=1 = -10⋅89 +33⋅27

oder wenn man -10⋅89 auf die linke Seite bringt:

1 +10⋅89 = +33⋅27

Es gilt also: 33⋅27 = 10⋅89 +1

Somit 33⋅27 = 1 mod 89

33 ist also das Inverse von 27 mod 89

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 27

Schlüsselpaar für RSA