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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5005 + 45) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5005 + 45) mod 5 ≡ (5005 mod 5 + 45 mod 5) mod 5.

5005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5005 = 5000+5 = 5 ⋅ 1000 +5.

45 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40+5 = 5 ⋅ 8 +5.

Somit gilt:

(5005 + 45) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 95) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 95) mod 11 ≡ (53 mod 11 ⋅ 95 mod 11) mod 11.

53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.

95 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 88 + 7 = 8 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 95) mod 11 ≡ (9 ⋅ 7) mod 11 ≡ 63 mod 11 ≡ 8 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3468 mod 661.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 346 -> x
2. mod(x²,661) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3461=346

2: 3462=3461+1=3461⋅3461 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 75 mod 661

4: 3464=3462+2=3462⋅3462 ≡ 75⋅75=5625 ≡ 337 mod 661

8: 3468=3464+4=3464⋅3464 ≡ 337⋅337=113569 ≡ 538 mod 661

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 33273 mod 677.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:

73 = 64+8+1

1: 3321=332

2: 3322=3321+1=3321⋅3321 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 550 mod 677

4: 3324=3322+2=3322⋅3322 ≡ 550⋅550=302500 ≡ 558 mod 677

8: 3328=3324+4=3324⋅3324 ≡ 558⋅558=311364 ≡ 621 mod 677

16: 33216=3328+8=3328⋅3328 ≡ 621⋅621=385641 ≡ 428 mod 677

32: 33232=33216+16=33216⋅33216 ≡ 428⋅428=183184 ≡ 394 mod 677

64: 33264=33232+32=33232⋅33232 ≡ 394⋅394=155236 ≡ 203 mod 677

33273

= 33264+8+1

= 33264⋅3328⋅3321

≡ 203 ⋅ 621 ⋅ 332 mod 677
≡ 126063 ⋅ 332 mod 677 ≡ 141 ⋅ 332 mod 677
≡ 46812 mod 677 ≡ 99 mod 677

Es gilt also: 33273 ≡ 99 mod 677

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 50.

Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 50

=>67 = 1⋅50 + 17
=>50 = 2⋅17 + 16
=>17 = 1⋅16 + 1
=>16 = 16⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,50)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-1⋅16
16= 50-2⋅17 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅17 -1⋅(50 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -1⋅50 +2⋅ 17)
= -1⋅50 +3⋅ 17 (=1)
17= 67-1⋅50 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅50 +3⋅(67 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +3⋅67 -3⋅ 50)
= 3⋅67 -4⋅ 50 (=1)

Es gilt also: ggt(67,50)=1 = 3⋅67 -4⋅50

oder wenn man 3⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -3⋅67 = -4⋅50

-4⋅50 = -3⋅67 + 1 |+67⋅50

-4⋅50 + 67⋅50 = -3⋅67 + 67⋅50 + 1

(-4 + 67) ⋅ 50 = (-3 + 50) ⋅ 67 + 1

63⋅50 = 47⋅67 + 1

Es gilt also: 63⋅50 = 47⋅67 +1

Somit 63⋅50 = 1 mod 67

63 ist also das Inverse von 50 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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