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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28006 + 697) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28006 + 697) mod 7 ≡ (28006 mod 7 + 697 mod 7) mod 7.
28006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28006
= 28000
697 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 697
= 700
Somit gilt:
(28006 + 697) mod 7 ≡ (6 + 4) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 44) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(80 ⋅ 44) mod 10 ≡ (80 mod 10 ⋅ 44 mod 10) mod 10.
80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.
44 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 4 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(80 ⋅ 44) mod 10 ≡ (0 ⋅ 4) mod 10 ≡ 0 mod 10.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26964 mod 479.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 269 -> x
2. mod(x²,479) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2691=269
2: 2692=2691+1=2691⋅2691 ≡ 269⋅269=72361 ≡ 32 mod 479
4: 2694=2692+2=2692⋅2692 ≡ 32⋅32=1024 ≡ 66 mod 479
8: 2698=2694+4=2694⋅2694 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 45 mod 479
16: 26916=2698+8=2698⋅2698 ≡ 45⋅45=2025 ≡ 109 mod 479
32: 26932=26916+16=26916⋅26916 ≡ 109⋅109=11881 ≡ 385 mod 479
64: 26964=26932+32=26932⋅26932 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 214 mod 479
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 32865 mod 821.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 65 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 65 an und zerlegen 65 in eine Summer von 2er-Potenzen:
65 = 64+1
1: 3281=328
2: 3282=3281+1=3281⋅3281 ≡ 328⋅328=107584 ≡ 33 mod 821
4: 3284=3282+2=3282⋅3282 ≡ 33⋅33=1089 ≡ 268 mod 821
8: 3288=3284+4=3284⋅3284 ≡ 268⋅268=71824 ≡ 397 mod 821
16: 32816=3288+8=3288⋅3288 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 798 mod 821
32: 32832=32816+16=32816⋅32816 ≡ 798⋅798=636804 ≡ 529 mod 821
64: 32864=32832+32=32832⋅32832 ≡ 529⋅529=279841 ≡ 701 mod 821
32865
= 32864+1
= 32864⋅3281
≡ 701 ⋅ 328 mod 821
≡ 229928 mod 821 ≡ 48 mod 821
Es gilt also: 32865 ≡ 48 mod 821
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-83-Inverse zur Zahl 52.
Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 83 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 83 und 52
| =>83 | = 1⋅52 + 31 |
| =>52 | = 1⋅31 + 21 |
| =>31 | = 1⋅21 + 10 |
| =>21 | = 2⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(83,52)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 21-2⋅10 | |||
| 10= 31-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅21 -2⋅(31 -1⋅ 21)
= 1⋅21 -2⋅31 +2⋅ 21) = -2⋅31 +3⋅ 21 (=1) |
| 21= 52-1⋅31 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅31 +3⋅(52 -1⋅ 31)
= -2⋅31 +3⋅52 -3⋅ 31) = 3⋅52 -5⋅ 31 (=1) |
| 31= 83-1⋅52 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅52 -5⋅(83 -1⋅ 52)
= 3⋅52 -5⋅83 +5⋅ 52) = -5⋅83 +8⋅ 52 (=1) |
Es gilt also: ggt(83,52)=1 = -5⋅83 +8⋅52
oder wenn man -5⋅83 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅83 = +8⋅52
Es gilt also: 8⋅52 = 5⋅83 +1
Somit 8⋅52 = 1 mod 83
8 ist also das Inverse von 52 mod 83
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.