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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (301 - 30003) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(301 - 30003) mod 6 ≡ (301 mod 6 - 30003 mod 6) mod 6.
301 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301
= 300
30003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30003
= 30000
Somit gilt:
(301 - 30003) mod 6 ≡ (1 - 3) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 48) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 48) mod 11 ≡ (88 mod 11 ⋅ 48 mod 11) mod 11.
88 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 8 ⋅ 11 + 0 ist.
48 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 44 + 4 = 4 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 48) mod 11 ≡ (0 ⋅ 4) mod 11 ≡ 0 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26432 mod 499.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 264 -> x
2. mod(x²,499) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2641=264
2: 2642=2641+1=2641⋅2641 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 335 mod 499
4: 2644=2642+2=2642⋅2642 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 449 mod 499
8: 2648=2644+4=2644⋅2644 ≡ 449⋅449=201601 ≡ 5 mod 499
16: 26416=2648+8=2648⋅2648 ≡ 5⋅5=25 ≡ 25 mod 499
32: 26432=26416+16=26416⋅26416 ≡ 25⋅25=625 ≡ 126 mod 499
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 274144 mod 643.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 144 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 144 an und zerlegen 144 in eine Summer von 2er-Potenzen:
144 = 128+16
1: 2741=274
2: 2742=2741+1=2741⋅2741 ≡ 274⋅274=75076 ≡ 488 mod 643
4: 2744=2742+2=2742⋅2742 ≡ 488⋅488=238144 ≡ 234 mod 643
8: 2748=2744+4=2744⋅2744 ≡ 234⋅234=54756 ≡ 101 mod 643
16: 27416=2748+8=2748⋅2748 ≡ 101⋅101=10201 ≡ 556 mod 643
32: 27432=27416+16=27416⋅27416 ≡ 556⋅556=309136 ≡ 496 mod 643
64: 27464=27432+32=27432⋅27432 ≡ 496⋅496=246016 ≡ 390 mod 643
128: 274128=27464+64=27464⋅27464 ≡ 390⋅390=152100 ≡ 352 mod 643
274144
= 274128+16
= 274128⋅27416
≡ 352 ⋅ 556 mod 643
≡ 195712 mod 643 ≡ 240 mod 643
Es gilt also: 274144 ≡ 240 mod 643
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 54
| =>79 | = 1⋅54 + 25 |
| =>54 | = 2⋅25 + 4 |
| =>25 | = 6⋅4 + 1 |
| =>4 | = 4⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 25-6⋅4 | |||
| 4= 54-2⋅25 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅25 -6⋅(54 -2⋅ 25)
= 1⋅25 -6⋅54 +12⋅ 25) = -6⋅54 +13⋅ 25 (=1) |
| 25= 79-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅54 +13⋅(79 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +13⋅79 -13⋅ 54) = 13⋅79 -19⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,54)=1 = 13⋅79 -19⋅54
oder wenn man 13⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅79 = -19⋅54
-19⋅54 = -13⋅79 + 1 |+79⋅54
-19⋅54 + 79⋅54 = -13⋅79 + 79⋅54 + 1
(-19 + 79) ⋅ 54 = (-13 + 54) ⋅ 79 + 1
60⋅54 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 60⋅54 = 41⋅79 +1
Somit 60⋅54 = 1 mod 79
60 ist also das Inverse von 54 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.