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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (276 - 274) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(276 - 274) mod 7 ≡ (276 mod 7 - 274 mod 7) mod 7.
276 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276
= 280
274 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 274
= 280
Somit gilt:
(276 - 274) mod 7 ≡ (3 - 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 32) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(61 ⋅ 32) mod 6 ≡ (61 mod 6 ⋅ 32 mod 6) mod 6.
61 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 10 ⋅ 6 + 1 ist.
32 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 5 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(61 ⋅ 32) mod 6 ≡ (1 ⋅ 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 80932 mod 907.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 809 -> x
2. mod(x²,907) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8091=809
2: 8092=8091+1=8091⋅8091 ≡ 809⋅809=654481 ≡ 534 mod 907
4: 8094=8092+2=8092⋅8092 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 358 mod 907
8: 8098=8094+4=8094⋅8094 ≡ 358⋅358=128164 ≡ 277 mod 907
16: 80916=8098+8=8098⋅8098 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 541 mod 907
32: 80932=80916+16=80916⋅80916 ≡ 541⋅541=292681 ≡ 627 mod 907
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 520210 mod 809.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 210 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 210 an und zerlegen 210 in eine Summer von 2er-Potenzen:
210 = 128+64+16+2
1: 5201=520
2: 5202=5201+1=5201⋅5201 ≡ 520⋅520=270400 ≡ 194 mod 809
4: 5204=5202+2=5202⋅5202 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 422 mod 809
8: 5208=5204+4=5204⋅5204 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 104 mod 809
16: 52016=5208+8=5208⋅5208 ≡ 104⋅104=10816 ≡ 299 mod 809
32: 52032=52016+16=52016⋅52016 ≡ 299⋅299=89401 ≡ 411 mod 809
64: 52064=52032+32=52032⋅52032 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 649 mod 809
128: 520128=52064+64=52064⋅52064 ≡ 649⋅649=421201 ≡ 521 mod 809
520210
= 520128+64+16+2
= 520128⋅52064⋅52016⋅5202
≡ 521 ⋅ 649 ⋅ 299 ⋅ 194 mod 809
≡ 338129 ⋅ 299 ⋅ 194 mod 809 ≡ 776 ⋅ 299 ⋅ 194 mod 809
≡ 232024 ⋅ 194 mod 809 ≡ 650 ⋅ 194 mod 809
≡ 126100 mod 809 ≡ 705 mod 809
Es gilt also: 520210 ≡ 705 mod 809
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 32.
Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 32
| =>53 | = 1⋅32 + 21 |
| =>32 | = 1⋅21 + 11 |
| =>21 | = 1⋅11 + 10 |
| =>11 | = 1⋅10 + 1 |
| =>10 | = 10⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,32)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 11-1⋅10 | |||
| 10= 21-1⋅11 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅11 -1⋅(21 -1⋅ 11)
= 1⋅11 -1⋅21 +1⋅ 11) = -1⋅21 +2⋅ 11 (=1) |
| 11= 32-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅21 +2⋅(32 -1⋅ 21)
= -1⋅21 +2⋅32 -2⋅ 21) = 2⋅32 -3⋅ 21 (=1) |
| 21= 53-1⋅32 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 2⋅32 -3⋅(53 -1⋅ 32)
= 2⋅32 -3⋅53 +3⋅ 32) = -3⋅53 +5⋅ 32 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,32)=1 = -3⋅53 +5⋅32
oder wenn man -3⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 +3⋅53 = +5⋅32
Es gilt also: 5⋅32 = 3⋅53 +1
Somit 5⋅32 = 1 mod 53
5 ist also das Inverse von 32 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.