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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (400 + 16007) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(400 + 16007) mod 8 ≡ (400 mod 8 + 16007 mod 8) mod 8.

400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400 = 400+0 = 8 ⋅ 50 +0.

16007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16007 = 16000+7 = 8 ⋅ 2000 +7.

Somit gilt:

(400 + 16007) mod 8 ≡ (0 + 7) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 58) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 58) mod 9 ≡ (83 mod 9 ⋅ 58 mod 9) mod 9.

83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.

58 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 6 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 58) mod 9 ≡ (2 ⋅ 4) mod 9 ≡ 8 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 4918 mod 971.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 491 -> x
2. mod(x²,971) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 4911=491

2: 4912=4911+1=4911⋅4911 ≡ 491⋅491=241081 ≡ 273 mod 971

4: 4914=4912+2=4912⋅4912 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 733 mod 971

8: 4918=4914+4=4914⋅4914 ≡ 733⋅733=537289 ≡ 326 mod 971

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 414156 mod 739.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 156 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 156 an und zerlegen 156 in eine Summer von 2er-Potenzen:

156 = 128+16+8+4

1: 4141=414

2: 4142=4141+1=4141⋅4141 ≡ 414⋅414=171396 ≡ 687 mod 739

4: 4144=4142+2=4142⋅4142 ≡ 687⋅687=471969 ≡ 487 mod 739

8: 4148=4144+4=4144⋅4144 ≡ 487⋅487=237169 ≡ 689 mod 739

16: 41416=4148+8=4148⋅4148 ≡ 689⋅689=474721 ≡ 283 mod 739

32: 41432=41416+16=41416⋅41416 ≡ 283⋅283=80089 ≡ 277 mod 739

64: 41464=41432+32=41432⋅41432 ≡ 277⋅277=76729 ≡ 612 mod 739

128: 414128=41464+64=41464⋅41464 ≡ 612⋅612=374544 ≡ 610 mod 739

414156

= 414128+16+8+4

= 414128⋅41416⋅4148⋅4144

610 ⋅ 283 ⋅ 689 ⋅ 487 mod 739
172630 ⋅ 689 ⋅ 487 mod 739 ≡ 443 ⋅ 689 ⋅ 487 mod 739
305227 ⋅ 487 mod 739 ≡ 20 ⋅ 487 mod 739
9740 mod 739 ≡ 133 mod 739

Es gilt also: 414156 ≡ 133 mod 739

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.

Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54

=>67 = 1⋅54 + 13
=>54 = 4⋅13 + 2
=>13 = 6⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(67,54)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-6⋅2
2= 54-4⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13)
= -6⋅54 +25⋅ 13 (=1)
13= 67-1⋅54 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54)
= 25⋅67 -31⋅ 54 (=1)

Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54

oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:

1 -25⋅67 = -31⋅54

-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54

-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1

(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1

36⋅54 = 29⋅67 + 1

Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1

Somit 36⋅54 = 1 mod 67

36 ist also das Inverse von 54 mod 67

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 101 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.