Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1499 + 15000) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1499 + 15000) mod 5 ≡ (1499 mod 5 + 15000 mod 5) mod 5.

1499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499 = 1400+99 = 5 ⋅ 280 +99.

15000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 5 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(1499 + 15000) mod 5 ≡ (4 + 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 77) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 77) mod 4 ≡ (91 mod 4 ⋅ 77 mod 4) mod 4.

91 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 22 ⋅ 4 + 3 ist.

77 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 76 + 1 = 19 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 77) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 626¹²⁸ mod 773.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 626 -> x
2. mod(x²,773) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 626¹=626

2: 626²=626¹⁺¹=626¹⋅626¹ ≡ 626⋅626=391876 ≡ 738 mod 773

4: 626⁴=626²⁺²=626²⋅626² ≡ 738⋅738=544644 ≡ 452 mod 773

8: 626⁸=626⁴⁺⁴=626⁴⋅626⁴ ≡ 452⋅452=204304 ≡ 232 mod 773

16: 626¹⁶=626⁸⁺⁸=626⁸⋅626⁸ ≡ 232⋅232=53824 ≡ 487 mod 773

32: 626³²=626¹⁶⁺¹⁶=626¹⁶⋅626¹⁶ ≡ 487⋅487=237169 ≡ 631 mod 773

64: 626⁶⁴=626³²⁺³²=626³²⋅626³² ≡ 631⋅631=398161 ≡ 66 mod 773

128: 626¹²⁸=626⁶⁴⁺⁶⁴=626⁶⁴⋅626⁶⁴ ≡ 66⋅66=4356 ≡ 491 mod 773

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 700¹⁸⁷ mod 733.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

1: 700¹=700

2: 700²=700¹⁺¹=700¹⋅700¹ ≡ 700⋅700=490000 ≡ 356 mod 733

4: 700⁴=700²⁺²=700²⋅700² ≡ 356⋅356=126736 ≡ 660 mod 733

8: 700⁸=700⁴⁺⁴=700⁴⋅700⁴ ≡ 660⋅660=435600 ≡ 198 mod 733

16: 700¹⁶=700⁸⁺⁸=700⁸⋅700⁸ ≡ 198⋅198=39204 ≡ 355 mod 733

32: 700³²=700¹⁶⁺¹⁶=700¹⁶⋅700¹⁶ ≡ 355⋅355=126025 ≡ 682 mod 733

64: 700⁶⁴=700³²⁺³²=700³²⋅700³² ≡ 682⋅682=465124 ≡ 402 mod 733

128: 700¹²⁸=700⁶⁴⁺⁶⁴=700⁶⁴⋅700⁶⁴ ≡ 402⋅402=161604 ≡ 344 mod 733

700¹⁸⁷

= 700^{128+32+16+8+2+1}

= 700¹²⁸⋅700³²⋅700¹⁶⋅700⁸⋅700²⋅700¹

≡ 344 ⋅ 682 ⋅ 355 ⋅ 198 ⋅ 356 ⋅ 700 mod 733
≡ 234608 ⋅ 355 ⋅ 198 ⋅ 356 ⋅ 700 mod 733 ≡ 48 ⋅ 355 ⋅ 198 ⋅ 356 ⋅ 700 mod 733
≡ 17040 ⋅ 198 ⋅ 356 ⋅ 700 mod 733 ≡ 181 ⋅ 198 ⋅ 356 ⋅ 700 mod 733
≡ 35838 ⋅ 356 ⋅ 700 mod 733 ≡ 654 ⋅ 356 ⋅ 700 mod 733
≡ 232824 ⋅ 700 mod 733 ≡ 463 ⋅ 700 mod 733
≡ 324100 mod 733 ≡ 114 mod 733

Es gilt also: 700¹⁸⁷ ≡ 114 mod 733

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 66.

Also bestimme x, so dass 66 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 66

=>73	= 1⋅66 + 7
=>66	= 9⋅7 + 3
=>7	= 2⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,66)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-2⋅3
3= 66-9⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -2⋅(66 -9⋅ 7) = 1⋅7 -2⋅66 +18⋅ 7) = -2⋅66 +19⋅ 7 (=1)
7= 73-1⋅66	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅66 +19⋅(73 -1⋅ 66) = -2⋅66 +19⋅73 -19⋅ 66) = 19⋅73 -21⋅ 66 (=1)

Es gilt also: ggt(73,66)=1 = 19⋅73 -21⋅66

oder wenn man 19⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -19⋅73 = -21⋅66

-21⋅66 = -19⋅73 + 1 |+73⋅66

-21⋅66 + 73⋅66 = -19⋅73 + 73⋅66 + 1

(-21 + 73) ⋅ 66 = (-19 + 66) ⋅ 73 + 1

52⋅66 = 47⋅73 + 1

Es gilt also: 52⋅66 = 47⋅73 +1

Somit 52⋅66 = 1 mod 73

52 ist also das Inverse von 66 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 66

Schlüsselpaar für RSA