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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 + 20004) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 + 20004) mod 5 ≡ (52 mod 5 + 20004 mod 5) mod 5.
52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52
= 50
20004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20004
= 20000
Somit gilt:
(52 + 20004) mod 5 ≡ (2 + 4) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 54) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(72 ⋅ 54) mod 5 ≡ (72 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.
72 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 14 ⋅ 5 + 2 ist.
54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.
Somit gilt:
(72 ⋅ 54) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 5308 mod 601.
Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 530 -> x
2. mod(x²,601) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 5301=530
2: 5302=5301+1=5301⋅5301 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 233 mod 601
4: 5304=5302+2=5302⋅5302 ≡ 233⋅233=54289 ≡ 199 mod 601
8: 5308=5304+4=5304⋅5304 ≡ 199⋅199=39601 ≡ 536 mod 601
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 407118 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 118 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 118 an und zerlegen 118 in eine Summer von 2er-Potenzen:
118 = 64+32+16+4+2
1: 4071=407
2: 4072=4071+1=4071⋅4071 ≡ 407⋅407=165649 ≡ 182 mod 491
4: 4074=4072+2=4072⋅4072 ≡ 182⋅182=33124 ≡ 227 mod 491
8: 4078=4074+4=4074⋅4074 ≡ 227⋅227=51529 ≡ 465 mod 491
16: 40716=4078+8=4078⋅4078 ≡ 465⋅465=216225 ≡ 185 mod 491
32: 40732=40716+16=40716⋅40716 ≡ 185⋅185=34225 ≡ 346 mod 491
64: 40764=40732+32=40732⋅40732 ≡ 346⋅346=119716 ≡ 403 mod 491
407118
= 40764+32+16+4+2
= 40764⋅40732⋅40716⋅4074⋅4072
≡ 403 ⋅ 346 ⋅ 185 ⋅ 227 ⋅ 182 mod 491
≡ 139438 ⋅ 185 ⋅ 227 ⋅ 182 mod 491 ≡ 485 ⋅ 185 ⋅ 227 ⋅ 182 mod 491
≡ 89725 ⋅ 227 ⋅ 182 mod 491 ≡ 363 ⋅ 227 ⋅ 182 mod 491
≡ 82401 ⋅ 182 mod 491 ≡ 404 ⋅ 182 mod 491
≡ 73528 mod 491 ≡ 369 mod 491
Es gilt also: 407118 ≡ 369 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 39.
Also bestimme x, so dass 39 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 39
| =>59 | = 1⋅39 + 20 |
| =>39 | = 1⋅20 + 19 |
| =>20 | = 1⋅19 + 1 |
| =>19 | = 19⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(59,39)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 20-1⋅19 | |||
| 19= 39-1⋅20 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅20 -1⋅(39 -1⋅ 20)
= 1⋅20 -1⋅39 +1⋅ 20) = -1⋅39 +2⋅ 20 (=1) |
| 20= 59-1⋅39 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅39 +2⋅(59 -1⋅ 39)
= -1⋅39 +2⋅59 -2⋅ 39) = 2⋅59 -3⋅ 39 (=1) |
Es gilt also: ggt(59,39)=1 = 2⋅59 -3⋅39
oder wenn man 2⋅59 auf die linke Seite bringt:
1 -2⋅59 = -3⋅39
-3⋅39 = -2⋅59 + 1 |+59⋅39
-3⋅39 + 59⋅39 = -2⋅59 + 59⋅39 + 1
(-3 + 59) ⋅ 39 = (-2 + 39) ⋅ 59 + 1
56⋅39 = 37⋅59 + 1
Es gilt also: 56⋅39 = 37⋅59 +1
Somit 56⋅39 = 1 mod 59
56 ist also das Inverse von 39 mod 59
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.