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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1197 + 15002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1197 + 15002) mod 3 ≡ (1197 mod 3 + 15002 mod 3) mod 3.
1197 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1197
= 1200
15002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15002
= 15000
Somit gilt:
(1197 + 15002) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 85) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20 ⋅ 85) mod 11 ≡ (20 mod 11 ⋅ 85 mod 11) mod 11.
20 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 11 + 9 = 1 ⋅ 11 + 9 ist.
85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.
Somit gilt:
(20 ⋅ 85) mod 11 ≡ (9 ⋅ 8) mod 11 ≡ 72 mod 11 ≡ 6 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 329128 mod 409.
Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (27).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 329 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3291=329
2: 3292=3291+1=3291⋅3291 ≡ 329⋅329=108241 ≡ 265 mod 409
4: 3294=3292+2=3292⋅3292 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 286 mod 409
8: 3298=3294+4=3294⋅3294 ≡ 286⋅286=81796 ≡ 405 mod 409
16: 32916=3298+8=3298⋅3298 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 16 mod 409
32: 32932=32916+16=32916⋅32916 ≡ 16⋅16=256 ≡ 256 mod 409
64: 32964=32932+32=32932⋅32932 ≡ 256⋅256=65536 ≡ 96 mod 409
128: 329128=32964+64=32964⋅32964 ≡ 96⋅96=9216 ≡ 218 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 50972 mod 599.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 72 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 72 an und zerlegen 72 in eine Summer von 2er-Potenzen:
72 = 64+8
1: 5091=509
2: 5092=5091+1=5091⋅5091 ≡ 509⋅509=259081 ≡ 313 mod 599
4: 5094=5092+2=5092⋅5092 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 332 mod 599
8: 5098=5094+4=5094⋅5094 ≡ 332⋅332=110224 ≡ 8 mod 599
16: 50916=5098+8=5098⋅5098 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 599
32: 50932=50916+16=50916⋅50916 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 502 mod 599
64: 50964=50932+32=50932⋅50932 ≡ 502⋅502=252004 ≡ 424 mod 599
50972
= 50964+8
= 50964⋅5098
≡ 424 ⋅ 8 mod 599
≡ 3392 mod 599 ≡ 397 mod 599
Es gilt also: 50972 ≡ 397 mod 599
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 34.
Also bestimme x, so dass 34 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 34
| =>61 | = 1⋅34 + 27 |
| =>34 | = 1⋅27 + 7 |
| =>27 | = 3⋅7 + 6 |
| =>7 | = 1⋅6 + 1 |
| =>6 | = 6⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,34)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-1⋅6 | |||
| 6= 27-3⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7) = -1⋅27 +4⋅ 7 (=1) |
| 7= 34-1⋅27 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅27 +4⋅(34 -1⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅34 -4⋅ 27) = 4⋅34 -5⋅ 27 (=1) |
| 27= 61-1⋅34 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 4⋅34 -5⋅(61 -1⋅ 34)
= 4⋅34 -5⋅61 +5⋅ 34) = -5⋅61 +9⋅ 34 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,34)=1 = -5⋅61 +9⋅34
oder wenn man -5⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +5⋅61 = +9⋅34
Es gilt also: 9⋅34 = 5⋅61 +1
Somit 9⋅34 = 1 mod 61
9 ist also das Inverse von 34 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.