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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2709 - 3592) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2709 - 3592) mod 9 ≡ (2709 mod 9 - 3592 mod 9) mod 9.

2709 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2709 = 2700+9 = 9 ⋅ 300 +9.

3592 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3592 = 3600-8 = 9 ⋅ 400 -8 = 9 ⋅ 400 - 9 + 1.

Somit gilt:

(2709 - 3592) mod 9 ≡ (0 - 1) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 27) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 27) mod 6 ≡ (48 mod 6 ⋅ 27 mod 6) mod 6.

48 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 8 ⋅ 6 + 0 ist.

27 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 4 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 27) mod 6 ≡ (0 ⋅ 3) mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 193⁶⁴ mod 389.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 193 -> x
2. mod(x²,389) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 193¹=193

2: 193²=193¹⁺¹=193¹⋅193¹ ≡ 193⋅193=37249 ≡ 294 mod 389

4: 193⁴=193²⁺²=193²⋅193² ≡ 294⋅294=86436 ≡ 78 mod 389

8: 193⁸=193⁴⁺⁴=193⁴⋅193⁴ ≡ 78⋅78=6084 ≡ 249 mod 389

16: 193¹⁶=193⁸⁺⁸=193⁸⋅193⁸ ≡ 249⋅249=62001 ≡ 150 mod 389

32: 193³²=193¹⁶⁺¹⁶=193¹⁶⋅193¹⁶ ≡ 150⋅150=22500 ≡ 327 mod 389

64: 193⁶⁴=193³²⁺³²=193³²⋅193³² ≡ 327⋅327=106929 ≡ 343 mod 389

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 192²³³ mod 569.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 233 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 233 an und zerlegen 233 in eine Summer von 2er-Potenzen:

233 = 128+64+32+8+1

1: 192¹=192

2: 192²=192¹⁺¹=192¹⋅192¹ ≡ 192⋅192=36864 ≡ 448 mod 569

4: 192⁴=192²⁺²=192²⋅192² ≡ 448⋅448=200704 ≡ 416 mod 569

8: 192⁸=192⁴⁺⁴=192⁴⋅192⁴ ≡ 416⋅416=173056 ≡ 80 mod 569

16: 192¹⁶=192⁸⁺⁸=192⁸⋅192⁸ ≡ 80⋅80=6400 ≡ 141 mod 569

32: 192³²=192¹⁶⁺¹⁶=192¹⁶⋅192¹⁶ ≡ 141⋅141=19881 ≡ 535 mod 569

64: 192⁶⁴=192³²⁺³²=192³²⋅192³² ≡ 535⋅535=286225 ≡ 18 mod 569

128: 192¹²⁸=192⁶⁴⁺⁶⁴=192⁶⁴⋅192⁶⁴ ≡ 18⋅18=324 ≡ 324 mod 569

192²³³

= 192^{128+64+32+8+1}

= 192¹²⁸⋅192⁶⁴⋅192³²⋅192⁸⋅192¹

≡ 324 ⋅ 18 ⋅ 535 ⋅ 80 ⋅ 192 mod 569
≡ 5832 ⋅ 535 ⋅ 80 ⋅ 192 mod 569 ≡ 142 ⋅ 535 ⋅ 80 ⋅ 192 mod 569
≡ 75970 ⋅ 80 ⋅ 192 mod 569 ≡ 293 ⋅ 80 ⋅ 192 mod 569
≡ 23440 ⋅ 192 mod 569 ≡ 111 ⋅ 192 mod 569
≡ 21312 mod 569 ≡ 259 mod 569

Es gilt also: 192²³³ ≡ 259 mod 569

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 42

=>101	= 2⋅42 + 17
=>42	= 2⋅17 + 8
=>17	= 2⋅8 + 1
=>8	= 8⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 17-2⋅8
8= 42-2⋅17	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅17 -2⋅(42 -2⋅ 17) = 1⋅17 -2⋅42 +4⋅ 17) = -2⋅42 +5⋅ 17 (=1)
17= 101-2⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅42 +5⋅(101 -2⋅ 42) = -2⋅42 +5⋅101 -10⋅ 42) = 5⋅101 -12⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(101,42)=1 = 5⋅101 -12⋅42

oder wenn man 5⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅101 = -12⋅42

-12⋅42 = -5⋅101 + 1 |+101⋅42

-12⋅42 + 101⋅42 = -5⋅101 + 101⋅42 + 1

(-12 + 101) ⋅ 42 = (-5 + 42) ⋅ 101 + 1

89⋅42 = 37⋅101 + 1

Es gilt also: 89⋅42 = 37⋅101 +1

Somit 89⋅42 = 1 mod 101

89 ist also das Inverse von 42 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 42

Schlüsselpaar für RSA