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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26999 + 27003) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26999 + 27003) mod 9 ≡ (26999 mod 9 + 27003 mod 9) mod 9.

26999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26999 = 27000-1 = 9 ⋅ 3000 -1 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 8.

27003 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27003 = 27000+3 = 9 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(26999 + 27003) mod 9 ≡ (8 + 3) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 60) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 60) mod 5 ≡ (89 mod 5 ⋅ 60 mod 5) mod 5.

89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.

60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 60) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25864 mod 557.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 258 -> x
2. mod(x²,557) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2581=258

2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 281 mod 557

4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 281⋅281=78961 ≡ 424 mod 557

8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 424⋅424=179776 ≡ 422 mod 557

16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 422⋅422=178084 ≡ 401 mod 557

32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 401⋅401=160801 ≡ 385 mod 557

64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 385⋅385=148225 ≡ 63 mod 557

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 473191 mod 503.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 191 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 191 an und zerlegen 191 in eine Summer von 2er-Potenzen:

191 = 128+32+16+8+4+2+1

1: 4731=473

2: 4732=4731+1=4731⋅4731 ≡ 473⋅473=223729 ≡ 397 mod 503

4: 4734=4732+2=4732⋅4732 ≡ 397⋅397=157609 ≡ 170 mod 503

8: 4738=4734+4=4734⋅4734 ≡ 170⋅170=28900 ≡ 229 mod 503

16: 47316=4738+8=4738⋅4738 ≡ 229⋅229=52441 ≡ 129 mod 503

32: 47332=47316+16=47316⋅47316 ≡ 129⋅129=16641 ≡ 42 mod 503

64: 47364=47332+32=47332⋅47332 ≡ 42⋅42=1764 ≡ 255 mod 503

128: 473128=47364+64=47364⋅47364 ≡ 255⋅255=65025 ≡ 138 mod 503

473191

= 473128+32+16+8+4+2+1

= 473128⋅47332⋅47316⋅4738⋅4734⋅4732⋅4731

138 ⋅ 42 ⋅ 129 ⋅ 229 ⋅ 170 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503
5796 ⋅ 129 ⋅ 229 ⋅ 170 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503 ≡ 263 ⋅ 129 ⋅ 229 ⋅ 170 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503
33927 ⋅ 229 ⋅ 170 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503 ≡ 226 ⋅ 229 ⋅ 170 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503
51754 ⋅ 170 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503 ≡ 448 ⋅ 170 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503
76160 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503 ≡ 207 ⋅ 397 ⋅ 473 mod 503
82179 ⋅ 473 mod 503 ≡ 190 ⋅ 473 mod 503
89870 mod 503 ≡ 336 mod 503

Es gilt also: 473191 ≡ 336 mod 503

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 24.

Also bestimme x, so dass 24 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 24

=>53 = 2⋅24 + 5
=>24 = 4⋅5 + 4
=>5 = 1⋅4 + 1
=>4 = 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,24)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 24-4⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅5 -1⋅(24 -4⋅ 5)
= 1⋅5 -1⋅24 +4⋅ 5)
= -1⋅24 +5⋅ 5 (=1)
5= 53-2⋅24 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅24 +5⋅(53 -2⋅ 24)
= -1⋅24 +5⋅53 -10⋅ 24)
= 5⋅53 -11⋅ 24 (=1)

Es gilt also: ggt(53,24)=1 = 5⋅53 -11⋅24

oder wenn man 5⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅53 = -11⋅24

-11⋅24 = -5⋅53 + 1 |+53⋅24

-11⋅24 + 53⋅24 = -5⋅53 + 53⋅24 + 1

(-11 + 53) ⋅ 24 = (-5 + 24) ⋅ 53 + 1

42⋅24 = 19⋅53 + 1

Es gilt also: 42⋅24 = 19⋅53 +1

Somit 42⋅24 = 1 mod 53

42 ist also das Inverse von 24 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.