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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (246 + 24002) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(246 + 24002) mod 8 ≡ (246 mod 8 + 24002 mod 8) mod 8.

246 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 8 ⋅ 30 +6.

24002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24002 = 24000+2 = 8 ⋅ 3000 +2.

Somit gilt:

(246 + 24002) mod 8 ≡ (6 + 2) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 46) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 46) mod 8 ≡ (33 mod 8 ⋅ 46 mod 8) mod 8.

33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.

46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 46) mod 8 ≡ (1 ⋅ 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 2138 mod 277.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 213 -> x
2. mod(x²,277) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 2131=213

2: 2132=2131+1=2131⋅2131 ≡ 213⋅213=45369 ≡ 218 mod 277

4: 2134=2132+2=2132⋅2132 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 157 mod 277

8: 2138=2134+4=2134⋅2134 ≡ 157⋅157=24649 ≡ 273 mod 277

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 66877 mod 739.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:

77 = 64+8+4+1

1: 6681=668

2: 6682=6681+1=6681⋅6681 ≡ 668⋅668=446224 ≡ 607 mod 739

4: 6684=6682+2=6682⋅6682 ≡ 607⋅607=368449 ≡ 427 mod 739

8: 6688=6684+4=6684⋅6684 ≡ 427⋅427=182329 ≡ 535 mod 739

16: 66816=6688+8=6688⋅6688 ≡ 535⋅535=286225 ≡ 232 mod 739

32: 66832=66816+16=66816⋅66816 ≡ 232⋅232=53824 ≡ 616 mod 739

64: 66864=66832+32=66832⋅66832 ≡ 616⋅616=379456 ≡ 349 mod 739

66877

= 66864+8+4+1

= 66864⋅6688⋅6684⋅6681

≡ 349 ⋅ 535 ⋅ 427 ⋅ 668 mod 739
≡ 186715 ⋅ 427 ⋅ 668 mod 739 ≡ 487 ⋅ 427 ⋅ 668 mod 739
≡ 207949 ⋅ 668 mod 739 ≡ 290 ⋅ 668 mod 739
≡ 193720 mod 739 ≡ 102 mod 739

Es gilt also: 66877 ≡ 102 mod 739

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 31.

Also bestimme x, so dass 31 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 31

=>97 = 3⋅31 + 4
=>31 = 7⋅4 + 3
=>4 = 1⋅3 + 1
=>3 = 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,31)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 31-7⋅4 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅4 -1⋅(31 -7⋅ 4)
= 1⋅4 -1⋅31 +7⋅ 4)
= -1⋅31 +8⋅ 4 (=1)
4= 97-3⋅31 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅31 +8⋅(97 -3⋅ 31)
= -1⋅31 +8⋅97 -24⋅ 31)
= 8⋅97 -25⋅ 31 (=1)

Es gilt also: ggt(97,31)=1 = 8⋅97 -25⋅31

oder wenn man 8⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -8⋅97 = -25⋅31

-25⋅31 = -8⋅97 + 1 |+97⋅31

-25⋅31 + 97⋅31 = -8⋅97 + 97⋅31 + 1

(-25 + 97) ⋅ 31 = (-8 + 31) ⋅ 97 + 1

72⋅31 = 23⋅97 + 1

Es gilt also: 72⋅31 = 23⋅97 +1

Somit 72⋅31 = 1 mod 97

72 ist also das Inverse von 31 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 73 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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