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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4494 + 363) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4494 + 363) mod 9 ≡ (4494 mod 9 + 363 mod 9) mod 9.

4494 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4494 = 4500-6 = 9 ⋅ 500 -6 = 9 ⋅ 500 - 9 + 3.

363 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 363 = 360+3 = 9 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(4494 + 363) mod 9 ≡ (3 + 3) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 56) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 56) mod 8 ≡ (78 mod 8 ⋅ 56 mod 8) mod 8.

78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 9 ⋅ 8 + 6 ist.

56 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 7 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 56) mod 8 ≡ (6 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 214⁶⁴ mod 587.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 214 -> x
2. mod(x²,587) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 214¹=214

2: 214²=214¹⁺¹=214¹⋅214¹ ≡ 214⋅214=45796 ≡ 10 mod 587

4: 214⁴=214²⁺²=214²⋅214² ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 587

8: 214⁸=214⁴⁺⁴=214⁴⋅214⁴ ≡ 100⋅100=10000 ≡ 21 mod 587

16: 214¹⁶=214⁸⁺⁸=214⁸⋅214⁸ ≡ 21⋅21=441 ≡ 441 mod 587

32: 214³²=214¹⁶⁺¹⁶=214¹⁶⋅214¹⁶ ≡ 441⋅441=194481 ≡ 184 mod 587

64: 214⁶⁴=214³²⁺³²=214³²⋅214³² ≡ 184⋅184=33856 ≡ 397 mod 587

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 140²²⁹ mod 251.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 229 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 229 an und zerlegen 229 in eine Summer von 2er-Potenzen:

229 = 128+64+32+4+1

1: 140¹=140

2: 140²=140¹⁺¹=140¹⋅140¹ ≡ 140⋅140=19600 ≡ 22 mod 251

4: 140⁴=140²⁺²=140²⋅140² ≡ 22⋅22=484 ≡ 233 mod 251

8: 140⁸=140⁴⁺⁴=140⁴⋅140⁴ ≡ 233⋅233=54289 ≡ 73 mod 251

16: 140¹⁶=140⁸⁺⁸=140⁸⋅140⁸ ≡ 73⋅73=5329 ≡ 58 mod 251

32: 140³²=140¹⁶⁺¹⁶=140¹⁶⋅140¹⁶ ≡ 58⋅58=3364 ≡ 101 mod 251

64: 140⁶⁴=140³²⁺³²=140³²⋅140³² ≡ 101⋅101=10201 ≡ 161 mod 251

128: 140¹²⁸=140⁶⁴⁺⁶⁴=140⁶⁴⋅140⁶⁴ ≡ 161⋅161=25921 ≡ 68 mod 251

140²²⁹

= 140^{128+64+32+4+1}

= 140¹²⁸⋅140⁶⁴⋅140³²⋅140⁴⋅140¹

≡ 68 ⋅ 161 ⋅ 101 ⋅ 233 ⋅ 140 mod 251
≡ 10948 ⋅ 101 ⋅ 233 ⋅ 140 mod 251 ≡ 155 ⋅ 101 ⋅ 233 ⋅ 140 mod 251
≡ 15655 ⋅ 233 ⋅ 140 mod 251 ≡ 93 ⋅ 233 ⋅ 140 mod 251
≡ 21669 ⋅ 140 mod 251 ≡ 83 ⋅ 140 mod 251
≡ 11620 mod 251 ≡ 74 mod 251

Es gilt also: 140²²⁹ ≡ 74 mod 251

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18

=>59	= 3⋅18 + 5
=>18	= 3⋅5 + 3
=>5	= 1⋅3 + 2
=>3	= 1⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3) = 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3) = -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 18-3⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5) = -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5) = 2⋅18 -7⋅ 5 (=1)
5= 59-3⋅18	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18) = 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18) = -7⋅59 +23⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +23⋅18

Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1

Somit 23⋅18 = 1 mod 59

23 ist also das Inverse von 18 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18

Schlüsselpaar für RSA