nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27004 - 1802) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27004 - 1802) mod 9 ≡ (27004 mod 9 - 1802 mod 9) mod 9.

27004 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27004 = 27000+4 = 9 ⋅ 3000 +4.

1802 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1802 = 1800+2 = 9 ⋅ 200 +2.

Somit gilt:

(27004 - 1802) mod 9 ≡ (4 - 2) mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 84) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 84) mod 8 ≡ (69 mod 8 ⋅ 84 mod 8) mod 8.

69 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 64 + 5 = 8 ⋅ 8 + 5 ist.

84 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 10 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 84) mod 8 ≡ (5 ⋅ 4) mod 8 ≡ 20 mod 8 ≡ 4 mod 8.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3318 mod 463.

Lösung einblenden

Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 331 -> x
2. mod(x²,463) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3311=331

2: 3312=3311+1=3311⋅3311 ≡ 331⋅331=109561 ≡ 293 mod 463

4: 3314=3312+2=3312⋅3312 ≡ 293⋅293=85849 ≡ 194 mod 463

8: 3318=3314+4=3314⋅3314 ≡ 194⋅194=37636 ≡ 133 mod 463

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 31560 mod 419.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 60 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 60 an und zerlegen 60 in eine Summer von 2er-Potenzen:

60 = 32+16+8+4

1: 3151=315

2: 3152=3151+1=3151⋅3151 ≡ 315⋅315=99225 ≡ 341 mod 419

4: 3154=3152+2=3152⋅3152 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 218 mod 419

8: 3158=3154+4=3154⋅3154 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 177 mod 419

16: 31516=3158+8=3158⋅3158 ≡ 177⋅177=31329 ≡ 323 mod 419

32: 31532=31516+16=31516⋅31516 ≡ 323⋅323=104329 ≡ 417 mod 419

31560

= 31532+16+8+4

= 31532⋅31516⋅3158⋅3154

≡ 417 ⋅ 323 ⋅ 177 ⋅ 218 mod 419
≡ 134691 ⋅ 177 ⋅ 218 mod 419 ≡ 192 ⋅ 177 ⋅ 218 mod 419
≡ 33984 ⋅ 218 mod 419 ≡ 45 ⋅ 218 mod 419
≡ 9810 mod 419 ≡ 173 mod 419

Es gilt also: 31560 ≡ 173 mod 419

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 18.

Also bestimme x, so dass 18 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 18

=>59 = 3⋅18 + 5
=>18 = 3⋅5 + 3
=>5 = 1⋅3 + 2
=>3 = 1⋅2 + 1
=>2 = 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,18)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 3-1⋅2
2= 5-1⋅3 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅3 -1⋅(5 -1⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅5 +1⋅ 3)
= -1⋅5 +2⋅ 3 (=1)
3= 18-3⋅5 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅5 +2⋅(18 -3⋅ 5)
= -1⋅5 +2⋅18 -6⋅ 5)
= 2⋅18 -7⋅ 5 (=1)
5= 59-3⋅18 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅18 -7⋅(59 -3⋅ 18)
= 2⋅18 -7⋅59 +21⋅ 18)
= -7⋅59 +23⋅ 18 (=1)

Es gilt also: ggt(59,18)=1 = -7⋅59 +23⋅18

oder wenn man -7⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅59 = +23⋅18

Es gilt also: 23⋅18 = 7⋅59 +1

Somit 23⋅18 = 1 mod 59

23 ist also das Inverse von 18 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 79. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden