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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8998 - 90) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8998 - 90) mod 3 ≡ (8998 mod 3 - 90 mod 3) mod 3.

8998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8998 = 9000-2 = 3 ⋅ 3000 -2 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 1.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 3 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(8998 - 90) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 54) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 54) mod 5 ≡ (54 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.

54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.

54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 54) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 3058 mod 313.

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Die 8 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (23).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 305 -> x
2. mod(x²,313) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 3051=305

2: 3052=3051+1=3051⋅3051 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 64 mod 313

4: 3054=3052+2=3052⋅3052 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 27 mod 313

8: 3058=3054+4=3054⋅3054 ≡ 27⋅27=729 ≡ 103 mod 313

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 12377 mod 277.

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Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:

77 = 64+8+4+1

1: 1231=123

2: 1232=1231+1=1231⋅1231 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 171 mod 277

4: 1234=1232+2=1232⋅1232 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 156 mod 277

8: 1238=1234+4=1234⋅1234 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 237 mod 277

16: 12316=1238+8=1238⋅1238 ≡ 237⋅237=56169 ≡ 215 mod 277

32: 12332=12316+16=12316⋅12316 ≡ 215⋅215=46225 ≡ 243 mod 277

64: 12364=12332+32=12332⋅12332 ≡ 243⋅243=59049 ≡ 48 mod 277

12377

= 12364+8+4+1

= 12364⋅1238⋅1234⋅1231

≡ 48 ⋅ 237 ⋅ 156 ⋅ 123 mod 277
≡ 11376 ⋅ 156 ⋅ 123 mod 277 ≡ 19 ⋅ 156 ⋅ 123 mod 277
≡ 2964 ⋅ 123 mod 277 ≡ 194 ⋅ 123 mod 277
≡ 23862 mod 277 ≡ 40 mod 277

Es gilt also: 12377 ≡ 40 mod 277

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 90.

Also bestimme x, so dass 90 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 90

=>97 = 1⋅90 + 7
=>90 = 12⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,90)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 90-12⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(90 -12⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅90 +12⋅ 7)
= -1⋅90 +13⋅ 7 (=1)
7= 97-1⋅90 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅90 +13⋅(97 -1⋅ 90)
= -1⋅90 +13⋅97 -13⋅ 90)
= 13⋅97 -14⋅ 90 (=1)

Es gilt also: ggt(97,90)=1 = 13⋅97 -14⋅90

oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 -13⋅97 = -14⋅90

-14⋅90 = -13⋅97 + 1 |+97⋅90

-14⋅90 + 97⋅90 = -13⋅97 + 97⋅90 + 1

(-14 + 97) ⋅ 90 = (-13 + 90) ⋅ 97 + 1

83⋅90 = 77⋅97 + 1

Es gilt also: 83⋅90 = 77⋅97 +1

Somit 83⋅90 = 1 mod 97

83 ist also das Inverse von 90 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 83 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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