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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (350 - 283) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(350 - 283) mod 7 ≡ (350 mod 7 - 283 mod 7) mod 7.

350 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 350 = 350+0 = 7 ⋅ 50 +0.

283 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 283 = 280+3 = 7 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(350 - 283) mod 7 ≡ (0 - 3) mod 7 ≡ -3 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 44) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 44) mod 6 ≡ (27 mod 6 ⋅ 44 mod 6) mod 6.

27 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 4 ⋅ 6 + 3 ist.

44 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 7 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 44) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 477⁶⁴ mod 821.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁶).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 477 -> x
2. mod(x²,821) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 477¹=477

2: 477²=477¹⁺¹=477¹⋅477¹ ≡ 477⋅477=227529 ≡ 112 mod 821

4: 477⁴=477²⁺²=477²⋅477² ≡ 112⋅112=12544 ≡ 229 mod 821

8: 477⁸=477⁴⁺⁴=477⁴⋅477⁴ ≡ 229⋅229=52441 ≡ 718 mod 821

16: 477¹⁶=477⁸⁺⁸=477⁸⋅477⁸ ≡ 718⋅718=515524 ≡ 757 mod 821

32: 477³²=477¹⁶⁺¹⁶=477¹⁶⋅477¹⁶ ≡ 757⋅757=573049 ≡ 812 mod 821

64: 477⁶⁴=477³²⁺³²=477³²⋅477³² ≡ 812⋅812=659344 ≡ 81 mod 821

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 528¹⁸⁷ mod 557.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

1: 528¹=528

2: 528²=528¹⁺¹=528¹⋅528¹ ≡ 528⋅528=278784 ≡ 284 mod 557

4: 528⁴=528²⁺²=528²⋅528² ≡ 284⋅284=80656 ≡ 448 mod 557

8: 528⁸=528⁴⁺⁴=528⁴⋅528⁴ ≡ 448⋅448=200704 ≡ 184 mod 557

16: 528¹⁶=528⁸⁺⁸=528⁸⋅528⁸ ≡ 184⋅184=33856 ≡ 436 mod 557

32: 528³²=528¹⁶⁺¹⁶=528¹⁶⋅528¹⁶ ≡ 436⋅436=190096 ≡ 159 mod 557

64: 528⁶⁴=528³²⁺³²=528³²⋅528³² ≡ 159⋅159=25281 ≡ 216 mod 557

128: 528¹²⁸=528⁶⁴⁺⁶⁴=528⁶⁴⋅528⁶⁴ ≡ 216⋅216=46656 ≡ 425 mod 557

528¹⁸⁷

= 528^{128+32+16+8+2+1}

= 528¹²⁸⋅528³²⋅528¹⁶⋅528⁸⋅528²⋅528¹

≡ 425 ⋅ 159 ⋅ 436 ⋅ 184 ⋅ 284 ⋅ 528 mod 557
≡ 67575 ⋅ 436 ⋅ 184 ⋅ 284 ⋅ 528 mod 557 ≡ 178 ⋅ 436 ⋅ 184 ⋅ 284 ⋅ 528 mod 557
≡ 77608 ⋅ 184 ⋅ 284 ⋅ 528 mod 557 ≡ 185 ⋅ 184 ⋅ 284 ⋅ 528 mod 557
≡ 34040 ⋅ 284 ⋅ 528 mod 557 ≡ 63 ⋅ 284 ⋅ 528 mod 557
≡ 17892 ⋅ 528 mod 557 ≡ 68 ⋅ 528 mod 557
≡ 35904 mod 557 ≡ 256 mod 557

Es gilt also: 528¹⁸⁷ ≡ 256 mod 557

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 52.

Also bestimme x, so dass 52 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52

=>73	= 1⋅52 + 21
=>52	= 2⋅21 + 10
=>21	= 2⋅10 + 1
=>10	= 10⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,52)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 21-2⋅10
10= 52-2⋅21	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅21 -2⋅(52 -2⋅ 21) = 1⋅21 -2⋅52 +4⋅ 21) = -2⋅52 +5⋅ 21 (=1)
21= 73-1⋅52	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -2⋅52 +5⋅(73 -1⋅ 52) = -2⋅52 +5⋅73 -5⋅ 52) = 5⋅73 -7⋅ 52 (=1)

Es gilt also: ggt(73,52)=1 = 5⋅73 -7⋅52

oder wenn man 5⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 -5⋅73 = -7⋅52

-7⋅52 = -5⋅73 + 1 |+73⋅52

-7⋅52 + 73⋅52 = -5⋅73 + 73⋅52 + 1

(-7 + 73) ⋅ 52 = (-5 + 52) ⋅ 73 + 1

66⋅52 = 47⋅73 + 1

Es gilt also: 66⋅52 = 47⋅73 +1

Somit 66⋅52 = 1 mod 73

66 ist also das Inverse von 52 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 52

Schlüsselpaar für RSA