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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1199 - 27) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1199 - 27) mod 3 ≡ (1199 mod 3 - 27 mod 3) mod 3.

1199 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1200-1 = 3 ⋅ 400 -1 = 3 ⋅ 400 - 3 + 2.

27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 30-3 = 3 ⋅ 10 -3 = 3 ⋅ 10 - 3 + 0.

Somit gilt:

(1199 - 27) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 72) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 72) mod 7 ≡ (83 mod 7 ⋅ 72 mod 7) mod 7.

83 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 11 ⋅ 7 + 6 ist.

72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 10 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 72) mod 7 ≡ (6 ⋅ 2) mod 7 ≡ 12 mod 7 ≡ 5 mod 7.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 12316 mod 281.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 123 -> x
2. mod(x²,281) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 1231=123

2: 1232=1231+1=1231⋅1231 ≡ 123⋅123=15129 ≡ 236 mod 281

4: 1234=1232+2=1232⋅1232 ≡ 236⋅236=55696 ≡ 58 mod 281

8: 1238=1234+4=1234⋅1234 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 273 mod 281

16: 12316=1238+8=1238⋅1238 ≡ 273⋅273=74529 ≡ 64 mod 281

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 25885 mod 383.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 85 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 85 an und zerlegen 85 in eine Summer von 2er-Potenzen:

85 = 64+16+4+1

1: 2581=258

2: 2582=2581+1=2581⋅2581 ≡ 258⋅258=66564 ≡ 305 mod 383

4: 2584=2582+2=2582⋅2582 ≡ 305⋅305=93025 ≡ 339 mod 383

8: 2588=2584+4=2584⋅2584 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 21 mod 383

16: 25816=2588+8=2588⋅2588 ≡ 21⋅21=441 ≡ 58 mod 383

32: 25832=25816+16=25816⋅25816 ≡ 58⋅58=3364 ≡ 300 mod 383

64: 25864=25832+32=25832⋅25832 ≡ 300⋅300=90000 ≡ 378 mod 383

25885

= 25864+16+4+1

= 25864⋅25816⋅2584⋅2581

378 ⋅ 58 ⋅ 339 ⋅ 258 mod 383
21924 ⋅ 339 ⋅ 258 mod 383 ≡ 93 ⋅ 339 ⋅ 258 mod 383
31527 ⋅ 258 mod 383 ≡ 121 ⋅ 258 mod 383
31218 mod 383 ≡ 195 mod 383

Es gilt also: 25885 ≡ 195 mod 383

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-101-Inverse zur Zahl 38.

Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 101 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 101 und 38

=>101 = 2⋅38 + 25
=>38 = 1⋅25 + 13
=>25 = 1⋅13 + 12
=>13 = 1⋅12 + 1
=>12 = 12⋅1 + 0

also gilt: ggt(101,38)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 13-1⋅12
12= 25-1⋅13 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅13 -1⋅(25 -1⋅ 13)
= 1⋅13 -1⋅25 +1⋅ 13)
= -1⋅25 +2⋅ 13 (=1)
13= 38-1⋅25 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅25 +2⋅(38 -1⋅ 25)
= -1⋅25 +2⋅38 -2⋅ 25)
= 2⋅38 -3⋅ 25 (=1)
25= 101-2⋅38 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 2⋅38 -3⋅(101 -2⋅ 38)
= 2⋅38 -3⋅101 +6⋅ 38)
= -3⋅101 +8⋅ 38 (=1)

Es gilt also: ggt(101,38)=1 = -3⋅101 +8⋅38

oder wenn man -3⋅101 auf die linke Seite bringt:

1 +3⋅101 = +8⋅38

Es gilt also: 8⋅38 = 3⋅101 +1

Somit 8⋅38 = 1 mod 101

8 ist also das Inverse von 38 mod 101

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.