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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4008 - 39993) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4008 - 39993) mod 8 ≡ (4008 mod 8 - 39993 mod 8) mod 8.

4008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4008 = 4000+8 = 8 ⋅ 500 +8.

39993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39993 = 39000+993 = 8 ⋅ 4875 +993.

Somit gilt:

(4008 - 39993) mod 8 ≡ (0 - 1) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 98) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 98) mod 5 ≡ (81 mod 5 ⋅ 98 mod 5) mod 5.

81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.

98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 95 + 3 = 19 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 98) mod 5 ≡ (1 ⋅ 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 296¹⁶ mod 907.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 296 -> x
2. mod(x²,907) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 296¹=296

2: 296²=296¹⁺¹=296¹⋅296¹ ≡ 296⋅296=87616 ≡ 544 mod 907

4: 296⁴=296²⁺²=296²⋅296² ≡ 544⋅544=295936 ≡ 254 mod 907

8: 296⁸=296⁴⁺⁴=296⁴⋅296⁴ ≡ 254⋅254=64516 ≡ 119 mod 907

16: 296¹⁶=296⁸⁺⁸=296⁸⋅296⁸ ≡ 119⋅119=14161 ≡ 556 mod 907

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 465²³⁰ mod 877.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 230 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 230 an und zerlegen 230 in eine Summer von 2er-Potenzen:

230 = 128+64+32+4+2

1: 465¹=465

2: 465²=465¹⁺¹=465¹⋅465¹ ≡ 465⋅465=216225 ≡ 483 mod 877

4: 465⁴=465²⁺²=465²⋅465² ≡ 483⋅483=233289 ≡ 7 mod 877

8: 465⁸=465⁴⁺⁴=465⁴⋅465⁴ ≡ 7⋅7=49 ≡ 49 mod 877

16: 465¹⁶=465⁸⁺⁸=465⁸⋅465⁸ ≡ 49⋅49=2401 ≡ 647 mod 877

32: 465³²=465¹⁶⁺¹⁶=465¹⁶⋅465¹⁶ ≡ 647⋅647=418609 ≡ 280 mod 877

64: 465⁶⁴=465³²⁺³²=465³²⋅465³² ≡ 280⋅280=78400 ≡ 347 mod 877

128: 465¹²⁸=465⁶⁴⁺⁶⁴=465⁶⁴⋅465⁶⁴ ≡ 347⋅347=120409 ≡ 260 mod 877

465²³⁰

= 465^{128+64+32+4+2}

= 465¹²⁸⋅465⁶⁴⋅465³²⋅465⁴⋅465²

≡ 260 ⋅ 347 ⋅ 280 ⋅ 7 ⋅ 483 mod 877
≡ 90220 ⋅ 280 ⋅ 7 ⋅ 483 mod 877 ≡ 766 ⋅ 280 ⋅ 7 ⋅ 483 mod 877
≡ 214480 ⋅ 7 ⋅ 483 mod 877 ≡ 492 ⋅ 7 ⋅ 483 mod 877
≡ 3444 ⋅ 483 mod 877 ≡ 813 ⋅ 483 mod 877
≡ 392679 mod 877 ≡ 660 mod 877

Es gilt also: 465²³⁰ ≡ 660 mod 877

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 88.

Also bestimme x, so dass 88 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 88

=>97	= 1⋅88 + 9
=>88	= 9⋅9 + 7
=>9	= 1⋅7 + 2
=>7	= 3⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(97,88)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-3⋅2
2= 9-1⋅7	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅7 -3⋅(9 -1⋅ 7) = 1⋅7 -3⋅9 +3⋅ 7) = -3⋅9 +4⋅ 7 (=1)
7= 88-9⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅9 +4⋅(88 -9⋅ 9) = -3⋅9 +4⋅88 -36⋅ 9) = 4⋅88 -39⋅ 9 (=1)
9= 97-1⋅88	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 4⋅88 -39⋅(97 -1⋅ 88) = 4⋅88 -39⋅97 +39⋅ 88) = -39⋅97 +43⋅ 88 (=1)

Es gilt also: ggt(97,88)=1 = -39⋅97 +43⋅88

oder wenn man -39⋅97 auf die linke Seite bringt:

1 +39⋅97 = +43⋅88

Es gilt also: 43⋅88 = 39⋅97 +1

Somit 43⋅88 = 1 mod 97

43 ist also das Inverse von 88 mod 97

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 61 und q = 37. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 88

Schlüsselpaar für RSA