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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3992 - 24000) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3992 - 24000) mod 8 ≡ (3992 mod 8 - 24000 mod 8) mod 8.
3992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3992
= 4000
24000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000
= 24000
Somit gilt:
(3992 - 24000) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 99) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 99) mod 3 ≡ (47 mod 3 ⋅ 99 mod 3) mod 3.
47 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 15 ⋅ 3 + 2 ist.
99 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 33 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 99) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 17164 mod 409.
Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 171 -> x
2. mod(x²,409) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 1711=171
2: 1712=1711+1=1711⋅1711 ≡ 171⋅171=29241 ≡ 202 mod 409
4: 1714=1712+2=1712⋅1712 ≡ 202⋅202=40804 ≡ 313 mod 409
8: 1718=1714+4=1714⋅1714 ≡ 313⋅313=97969 ≡ 218 mod 409
16: 17116=1718+8=1718⋅1718 ≡ 218⋅218=47524 ≡ 80 mod 409
32: 17132=17116+16=17116⋅17116 ≡ 80⋅80=6400 ≡ 265 mod 409
64: 17164=17132+32=17132⋅17132 ≡ 265⋅265=70225 ≡ 286 mod 409
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 9273 mod 233.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 73 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 73 an und zerlegen 73 in eine Summer von 2er-Potenzen:
73 = 64+8+1
1: 921=92
2: 922=921+1=921⋅921 ≡ 92⋅92=8464 ≡ 76 mod 233
4: 924=922+2=922⋅922 ≡ 76⋅76=5776 ≡ 184 mod 233
8: 928=924+4=924⋅924 ≡ 184⋅184=33856 ≡ 71 mod 233
16: 9216=928+8=928⋅928 ≡ 71⋅71=5041 ≡ 148 mod 233
32: 9232=9216+16=9216⋅9216 ≡ 148⋅148=21904 ≡ 2 mod 233
64: 9264=9232+32=9232⋅9232 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 233
9273
= 9264+8+1
= 9264⋅928⋅921
≡ 4 ⋅ 71 ⋅ 92 mod 233
≡ 284 ⋅ 92 mod 233 ≡ 51 ⋅ 92 mod 233
≡ 4692 mod 233 ≡ 32 mod 233
Es gilt also: 9273 ≡ 32 mod 233
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 50.
Also bestimme x, so dass 50 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 50
| =>53 | = 1⋅50 + 3 |
| =>50 | = 16⋅3 + 2 |
| =>3 | = 1⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,50)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 3-1⋅2 | |||
| 2= 50-16⋅3 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅3 -1⋅(50 -16⋅ 3)
= 1⋅3 -1⋅50 +16⋅ 3) = -1⋅50 +17⋅ 3 (=1) |
| 3= 53-1⋅50 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅50 +17⋅(53 -1⋅ 50)
= -1⋅50 +17⋅53 -17⋅ 50) = 17⋅53 -18⋅ 50 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,50)=1 = 17⋅53 -18⋅50
oder wenn man 17⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅53 = -18⋅50
-18⋅50 = -17⋅53 + 1 |+53⋅50
-18⋅50 + 53⋅50 = -17⋅53 + 53⋅50 + 1
(-18 + 53) ⋅ 50 = (-17 + 50) ⋅ 53 + 1
35⋅50 = 33⋅53 + 1
Es gilt also: 35⋅50 = 33⋅53 +1
Somit 35⋅50 = 1 mod 53
35 ist also das Inverse von 50 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 43 und q = 31. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.