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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (606 + 126) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(606 + 126) mod 6 ≡ (606 mod 6 + 126 mod 6) mod 6.
606 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 606
= 600
126 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 126
= 120
Somit gilt:
(606 + 126) mod 6 ≡ (0 + 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 73) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 73) mod 6 ≡ (86 mod 6 ⋅ 73 mod 6) mod 6.
86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.
73 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 12 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 73) mod 6 ≡ (2 ⋅ 1) mod 6 ≡ 2 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 80532 mod 859.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 805 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8051=805
2: 8052=8051+1=8051⋅8051 ≡ 805⋅805=648025 ≡ 339 mod 859
4: 8054=8052+2=8052⋅8052 ≡ 339⋅339=114921 ≡ 674 mod 859
8: 8058=8054+4=8054⋅8054 ≡ 674⋅674=454276 ≡ 724 mod 859
16: 80516=8058+8=8058⋅8058 ≡ 724⋅724=524176 ≡ 186 mod 859
32: 80532=80516+16=80516⋅80516 ≡ 186⋅186=34596 ≡ 236 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 442155 mod 491.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 155 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 155 an und zerlegen 155 in eine Summer von 2er-Potenzen:
155 = 128+16+8+2+1
1: 4421=442
2: 4422=4421+1=4421⋅4421 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 437 mod 491
4: 4424=4422+2=4422⋅4422 ≡ 437⋅437=190969 ≡ 461 mod 491
8: 4428=4424+4=4424⋅4424 ≡ 461⋅461=212521 ≡ 409 mod 491
16: 44216=4428+8=4428⋅4428 ≡ 409⋅409=167281 ≡ 341 mod 491
32: 44232=44216+16=44216⋅44216 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 405 mod 491
64: 44264=44232+32=44232⋅44232 ≡ 405⋅405=164025 ≡ 31 mod 491
128: 442128=44264+64=44264⋅44264 ≡ 31⋅31=961 ≡ 470 mod 491
442155
= 442128+16+8+2+1
= 442128⋅44216⋅4428⋅4422⋅4421
≡ 470 ⋅ 341 ⋅ 409 ⋅ 437 ⋅ 442 mod 491
≡ 160270 ⋅ 409 ⋅ 437 ⋅ 442 mod 491 ≡ 204 ⋅ 409 ⋅ 437 ⋅ 442 mod 491
≡ 83436 ⋅ 437 ⋅ 442 mod 491 ≡ 457 ⋅ 437 ⋅ 442 mod 491
≡ 199709 ⋅ 442 mod 491 ≡ 363 ⋅ 442 mod 491
≡ 160446 mod 491 ≡ 380 mod 491
Es gilt also: 442155 ≡ 380 mod 491
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 54.
Also bestimme x, so dass 54 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 54
| =>67 | = 1⋅54 + 13 |
| =>54 | = 4⋅13 + 2 |
| =>13 | = 6⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,54)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 13-6⋅2 | |||
| 2= 54-4⋅13 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅13 -6⋅(54 -4⋅ 13)
= 1⋅13 -6⋅54 +24⋅ 13) = -6⋅54 +25⋅ 13 (=1) |
| 13= 67-1⋅54 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -6⋅54 +25⋅(67 -1⋅ 54)
= -6⋅54 +25⋅67 -25⋅ 54) = 25⋅67 -31⋅ 54 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,54)=1 = 25⋅67 -31⋅54
oder wenn man 25⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 -25⋅67 = -31⋅54
-31⋅54 = -25⋅67 + 1 |+67⋅54
-31⋅54 + 67⋅54 = -25⋅67 + 67⋅54 + 1
(-31 + 67) ⋅ 54 = (-25 + 54) ⋅ 67 + 1
36⋅54 = 29⋅67 + 1
Es gilt also: 36⋅54 = 29⋅67 +1
Somit 36⋅54 = 1 mod 67
36 ist also das Inverse von 54 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
