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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14998 + 1198) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14998 + 1198) mod 3 ≡ (14998 mod 3 + 1198 mod 3) mod 3.

14998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14998 = 15000-2 = 3 ⋅ 5000 -2 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 1.

1198 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1200-2 = 3 ⋅ 400 -2 = 3 ⋅ 400 - 3 + 1.

Somit gilt:

(14998 + 1198) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 54) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 54) mod 9 ≡ (91 mod 9 ⋅ 54 mod 9) mod 9.

91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.

54 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 6 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 54) mod 9 ≡ (1 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 54364 mod 991.

Lösung einblenden

Die 64 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (26).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 543 -> x
2. mod(x²,991) -> x

  • den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
  • die x-Taste ist direkt darüber
  • "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
  • das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 5431=543

2: 5432=5431+1=5431⋅5431 ≡ 543⋅543=294849 ≡ 522 mod 991

4: 5434=5432+2=5432⋅5432 ≡ 522⋅522=272484 ≡ 950 mod 991

8: 5438=5434+4=5434⋅5434 ≡ 950⋅950=902500 ≡ 690 mod 991

16: 54316=5438+8=5438⋅5438 ≡ 690⋅690=476100 ≡ 420 mod 991

32: 54332=54316+16=54316⋅54316 ≡ 420⋅420=176400 ≡ 2 mod 991

64: 54364=54332+32=54332⋅54332 ≡ 2⋅2=4 ≡ 4 mod 991

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 224158 mod 359.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 158 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 158 an und zerlegen 158 in eine Summer von 2er-Potenzen:

158 = 128+16+8+4+2

1: 2241=224

2: 2242=2241+1=2241⋅2241 ≡ 224⋅224=50176 ≡ 275 mod 359

4: 2244=2242+2=2242⋅2242 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 235 mod 359

8: 2248=2244+4=2244⋅2244 ≡ 235⋅235=55225 ≡ 298 mod 359

16: 22416=2248+8=2248⋅2248 ≡ 298⋅298=88804 ≡ 131 mod 359

32: 22432=22416+16=22416⋅22416 ≡ 131⋅131=17161 ≡ 288 mod 359

64: 22464=22432+32=22432⋅22432 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 15 mod 359

128: 224128=22464+64=22464⋅22464 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 359

224158

= 224128+16+8+4+2

= 224128⋅22416⋅2248⋅2244⋅2242

≡ 225 ⋅ 131 ⋅ 298 ⋅ 235 ⋅ 275 mod 359
≡ 29475 ⋅ 298 ⋅ 235 ⋅ 275 mod 359 ≡ 37 ⋅ 298 ⋅ 235 ⋅ 275 mod 359
≡ 11026 ⋅ 235 ⋅ 275 mod 359 ≡ 256 ⋅ 235 ⋅ 275 mod 359
≡ 60160 ⋅ 275 mod 359 ≡ 207 ⋅ 275 mod 359
≡ 56925 mod 359 ≡ 203 mod 359

Es gilt also: 224158 ≡ 203 mod 359

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 27.

Also bestimme x, so dass 27 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 27

=>61 = 2⋅27 + 7
=>27 = 3⋅7 + 6
=>7 = 1⋅6 + 1
=>6 = 6⋅1 + 0

also gilt: ggt(61,27)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 7-1⋅6
6= 27-3⋅7 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = 1⋅7 -1⋅(27 -3⋅ 7)
= 1⋅7 -1⋅27 +3⋅ 7)
= -1⋅27 +4⋅ 7 (=1)
7= 61-2⋅27 eingesetzt in die Zeile drüber: 1 = -1⋅27 +4⋅(61 -2⋅ 27)
= -1⋅27 +4⋅61 -8⋅ 27)
= 4⋅61 -9⋅ 27 (=1)

Es gilt also: ggt(61,27)=1 = 4⋅61 -9⋅27

oder wenn man 4⋅61 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅61 = -9⋅27

-9⋅27 = -4⋅61 + 1 |+61⋅27

-9⋅27 + 61⋅27 = -4⋅61 + 61⋅27 + 1

(-9 + 61) ⋅ 27 = (-4 + 27) ⋅ 61 + 1

52⋅27 = 23⋅61 + 1

Es gilt also: 52⋅27 = 23⋅61 +1

Somit 52⋅27 = 1 mod 61

52 ist also das Inverse von 27 mod 61

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 47. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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