Mathebattle EduRandomtasks

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14004 + 28001) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14004 + 28001) mod 7 ≡ (14004 mod 7 + 28001 mod 7) mod 7.

14004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14004 = 14000+4 = 7 ⋅ 2000 +4.

28001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28001 = 28000+1 = 7 ⋅ 4000 +1.

Somit gilt:

(14004 + 28001) mod 7 ≡ (4 + 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 88) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 88) mod 5 ≡ (73 mod 5 ⋅ 88 mod 5) mod 5.

73 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 14 ⋅ 5 + 3 ist.

88 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 85 + 3 = 17 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 88) mod 5 ≡ (3 ⋅ 3) mod 5 ≡ 9 mod 5 ≡ 4 mod 5.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 236¹²⁸ mod 383.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 236 -> x
2. mod(x²,383) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 236¹=236

2: 236²=236¹⁺¹=236¹⋅236¹ ≡ 236⋅236=55696 ≡ 161 mod 383

4: 236⁴=236²⁺²=236²⋅236² ≡ 161⋅161=25921 ≡ 260 mod 383

8: 236⁸=236⁴⁺⁴=236⁴⋅236⁴ ≡ 260⋅260=67600 ≡ 192 mod 383

16: 236¹⁶=236⁸⁺⁸=236⁸⋅236⁸ ≡ 192⋅192=36864 ≡ 96 mod 383

32: 236³²=236¹⁶⁺¹⁶=236¹⁶⋅236¹⁶ ≡ 96⋅96=9216 ≡ 24 mod 383

64: 236⁶⁴=236³²⁺³²=236³²⋅236³² ≡ 24⋅24=576 ≡ 193 mod 383

128: 236¹²⁸=236⁶⁴⁺⁶⁴=236⁶⁴⋅236⁶⁴ ≡ 193⋅193=37249 ≡ 98 mod 383

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 850¹⁸⁷ mod 883.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 187 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 187 an und zerlegen 187 in eine Summer von 2er-Potenzen:

187 = 128+32+16+8+2+1

1: 850¹=850

2: 850²=850¹⁺¹=850¹⋅850¹ ≡ 850⋅850=722500 ≡ 206 mod 883

4: 850⁴=850²⁺²=850²⋅850² ≡ 206⋅206=42436 ≡ 52 mod 883

8: 850⁸=850⁴⁺⁴=850⁴⋅850⁴ ≡ 52⋅52=2704 ≡ 55 mod 883

16: 850¹⁶=850⁸⁺⁸=850⁸⋅850⁸ ≡ 55⋅55=3025 ≡ 376 mod 883

32: 850³²=850¹⁶⁺¹⁶=850¹⁶⋅850¹⁶ ≡ 376⋅376=141376 ≡ 96 mod 883

64: 850⁶⁴=850³²⁺³²=850³²⋅850³² ≡ 96⋅96=9216 ≡ 386 mod 883

128: 850¹²⁸=850⁶⁴⁺⁶⁴=850⁶⁴⋅850⁶⁴ ≡ 386⋅386=148996 ≡ 652 mod 883

850¹⁸⁷

= 850^{128+32+16+8+2+1}

= 850¹²⁸⋅850³²⋅850¹⁶⋅850⁸⋅850²⋅850¹

≡ 652 ⋅ 96 ⋅ 376 ⋅ 55 ⋅ 206 ⋅ 850 mod 883
≡ 62592 ⋅ 376 ⋅ 55 ⋅ 206 ⋅ 850 mod 883 ≡ 782 ⋅ 376 ⋅ 55 ⋅ 206 ⋅ 850 mod 883
≡ 294032 ⋅ 55 ⋅ 206 ⋅ 850 mod 883 ≡ 876 ⋅ 55 ⋅ 206 ⋅ 850 mod 883
≡ 48180 ⋅ 206 ⋅ 850 mod 883 ≡ 498 ⋅ 206 ⋅ 850 mod 883
≡ 102588 ⋅ 850 mod 883 ≡ 160 ⋅ 850 mod 883
≡ 136000 mod 883 ≡ 18 mod 883

Es gilt also: 850¹⁸⁷ ≡ 18 mod 883

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 32.

Also bestimme x, so dass 32 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:

Lösung einblenden

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32

=>73	= 2⋅32 + 9
=>32	= 3⋅9 + 5
=>9	= 1⋅5 + 4
=>5	= 1⋅4 + 1
=>4	= 4⋅1 + 0

also gilt: ggt(73,32)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 5-1⋅4
4= 9-1⋅5	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅5 -1⋅(9 -1⋅ 5) = 1⋅5 -1⋅9 +1⋅ 5) = -1⋅9 +2⋅ 5 (=1)
5= 32-3⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅9 +2⋅(32 -3⋅ 9) = -1⋅9 +2⋅32 -6⋅ 9) = 2⋅32 -7⋅ 9 (=1)
9= 73-2⋅32	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 2⋅32 -7⋅(73 -2⋅ 32) = 2⋅32 -7⋅73 +14⋅ 32) = -7⋅73 +16⋅ 32 (=1)

Es gilt also: ggt(73,32)=1 = -7⋅73 +16⋅32

oder wenn man -7⋅73 auf die linke Seite bringt:

1 +7⋅73 = +16⋅32

Es gilt also: 16⋅32 = 7⋅73 +1

Somit 16⋅32 = 1 mod 73

16 ist also das Inverse von 32 mod 73

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 79 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

Lösung einblenden

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 32

Schlüsselpaar für RSA