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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (120 + 150) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(120 + 150) mod 3 ≡ (120 mod 3 + 150 mod 3) mod 3.
120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(120 + 150) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 64) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(45 ⋅ 64) mod 11 ≡ (45 mod 11 ⋅ 64 mod 11) mod 11.
45 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 44 + 1 = 4 ⋅ 11 + 1 ist.
64 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 55 + 9 = 5 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(45 ⋅ 64) mod 11 ≡ (1 ⋅ 9) mod 11 ≡ 9 mod 11.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 33416 mod 829.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 334 -> x
2. mod(x²,829) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3341=334
2: 3342=3341+1=3341⋅3341 ≡ 334⋅334=111556 ≡ 470 mod 829
4: 3344=3342+2=3342⋅3342 ≡ 470⋅470=220900 ≡ 386 mod 829
8: 3348=3344+4=3344⋅3344 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 605 mod 829
16: 33416=3348+8=3348⋅3348 ≡ 605⋅605=366025 ≡ 436 mod 829
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 341143 mod 487.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 143 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 143 an und zerlegen 143 in eine Summer von 2er-Potenzen:
143 = 128+8+4+2+1
1: 3411=341
2: 3412=3411+1=3411⋅3411 ≡ 341⋅341=116281 ≡ 375 mod 487
4: 3414=3412+2=3412⋅3412 ≡ 375⋅375=140625 ≡ 369 mod 487
8: 3418=3414+4=3414⋅3414 ≡ 369⋅369=136161 ≡ 288 mod 487
16: 34116=3418+8=3418⋅3418 ≡ 288⋅288=82944 ≡ 154 mod 487
32: 34132=34116+16=34116⋅34116 ≡ 154⋅154=23716 ≡ 340 mod 487
64: 34164=34132+32=34132⋅34132 ≡ 340⋅340=115600 ≡ 181 mod 487
128: 341128=34164+64=34164⋅34164 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 132 mod 487
341143
= 341128+8+4+2+1
= 341128⋅3418⋅3414⋅3412⋅3411
≡ 132 ⋅ 288 ⋅ 369 ⋅ 375 ⋅ 341 mod 487
≡ 38016 ⋅ 369 ⋅ 375 ⋅ 341 mod 487 ≡ 30 ⋅ 369 ⋅ 375 ⋅ 341 mod 487
≡ 11070 ⋅ 375 ⋅ 341 mod 487 ≡ 356 ⋅ 375 ⋅ 341 mod 487
≡ 133500 ⋅ 341 mod 487 ≡ 62 ⋅ 341 mod 487
≡ 21142 mod 487 ≡ 201 mod 487
Es gilt also: 341143 ≡ 201 mod 487
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-61-Inverse zur Zahl 40.
Also bestimme x, so dass 40 ⋅ x ≡ 1 mod 61 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 61 und 40
| =>61 | = 1⋅40 + 21 |
| =>40 | = 1⋅21 + 19 |
| =>21 | = 1⋅19 + 2 |
| =>19 | = 9⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(61,40)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 19-9⋅2 | |||
| 2= 21-1⋅19 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅19 -9⋅(21 -1⋅ 19)
= 1⋅19 -9⋅21 +9⋅ 19) = -9⋅21 +10⋅ 19 (=1) |
| 19= 40-1⋅21 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -9⋅21 +10⋅(40 -1⋅ 21)
= -9⋅21 +10⋅40 -10⋅ 21) = 10⋅40 -19⋅ 21 (=1) |
| 21= 61-1⋅40 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 10⋅40 -19⋅(61 -1⋅ 40)
= 10⋅40 -19⋅61 +19⋅ 40) = -19⋅61 +29⋅ 40 (=1) |
Es gilt also: ggt(61,40)=1 = -19⋅61 +29⋅40
oder wenn man -19⋅61 auf die linke Seite bringt:
1 +19⋅61 = +29⋅40
Es gilt also: 29⋅40 = 19⋅61 +1
Somit 29⋅40 = 1 mod 61
29 ist also das Inverse von 40 mod 61
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 71 und q = 53. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
