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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (324 + 4001) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(324 + 4001) mod 8 ≡ (324 mod 8 + 4001 mod 8) mod 8.
324 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 324
= 320
4001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4001
= 4000
Somit gilt:
(324 + 4001) mod 8 ≡ (4 + 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 51) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 51) mod 6 ≡ (47 mod 6 ⋅ 51 mod 6) mod 6.
47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.
51 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 8 ⋅ 6 + 3 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 51) mod 6 ≡ (5 ⋅ 3) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 31232 mod 523.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 312 -> x
2. mod(x²,523) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3121=312
2: 3122=3121+1=3121⋅3121 ≡ 312⋅312=97344 ≡ 66 mod 523
4: 3124=3122+2=3122⋅3122 ≡ 66⋅66=4356 ≡ 172 mod 523
8: 3128=3124+4=3124⋅3124 ≡ 172⋅172=29584 ≡ 296 mod 523
16: 31216=3128+8=3128⋅3128 ≡ 296⋅296=87616 ≡ 275 mod 523
32: 31232=31216+16=31216⋅31216 ≡ 275⋅275=75625 ≡ 313 mod 523
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 432101 mod 733.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 101 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 101 an und zerlegen 101 in eine Summer von 2er-Potenzen:
101 = 64+32+4+1
1: 4321=432
2: 4322=4321+1=4321⋅4321 ≡ 432⋅432=186624 ≡ 442 mod 733
4: 4324=4322+2=4322⋅4322 ≡ 442⋅442=195364 ≡ 386 mod 733
8: 4328=4324+4=4324⋅4324 ≡ 386⋅386=148996 ≡ 197 mod 733
16: 43216=4328+8=4328⋅4328 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 693 mod 733
32: 43232=43216+16=43216⋅43216 ≡ 693⋅693=480249 ≡ 134 mod 733
64: 43264=43232+32=43232⋅43232 ≡ 134⋅134=17956 ≡ 364 mod 733
432101
= 43264+32+4+1
= 43264⋅43232⋅4324⋅4321
≡ 364 ⋅ 134 ⋅ 386 ⋅ 432 mod 733
≡ 48776 ⋅ 386 ⋅ 432 mod 733 ≡ 398 ⋅ 386 ⋅ 432 mod 733
≡ 153628 ⋅ 432 mod 733 ≡ 431 ⋅ 432 mod 733
≡ 186192 mod 733 ≡ 10 mod 733
Es gilt also: 432101 ≡ 10 mod 733
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 37.
Also bestimme x, so dass 37 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 37
| =>53 | = 1⋅37 + 16 |
| =>37 | = 2⋅16 + 5 |
| =>16 | = 3⋅5 + 1 |
| =>5 | = 5⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(53,37)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 16-3⋅5 | |||
| 5= 37-2⋅16 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅16 -3⋅(37 -2⋅ 16)
= 1⋅16 -3⋅37 +6⋅ 16) = -3⋅37 +7⋅ 16 (=1) |
| 16= 53-1⋅37 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅37 +7⋅(53 -1⋅ 37)
= -3⋅37 +7⋅53 -7⋅ 37) = 7⋅53 -10⋅ 37 (=1) |
Es gilt also: ggt(53,37)=1 = 7⋅53 -10⋅37
oder wenn man 7⋅53 auf die linke Seite bringt:
1 -7⋅53 = -10⋅37
-10⋅37 = -7⋅53 + 1 |+53⋅37
-10⋅37 + 53⋅37 = -7⋅53 + 53⋅37 + 1
(-10 + 53) ⋅ 37 = (-7 + 37) ⋅ 53 + 1
43⋅37 = 30⋅53 + 1
Es gilt also: 43⋅37 = 30⋅53 +1
Somit 43⋅37 = 1 mod 53
43 ist also das Inverse von 37 mod 53
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 89 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.