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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2099 - 20997) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2099 - 20997) mod 7 ≡ (2099 mod 7 - 20997 mod 7) mod 7.
2099 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2099
= 2100
20997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20997
= 21000
Somit gilt:
(2099 - 20997) mod 7 ≡ (6 - 4) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 58) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(50 ⋅ 58) mod 5 ≡ (50 mod 5 ⋅ 58 mod 5) mod 5.
50 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 50 + 0 = 10 ⋅ 5 + 0 ist.
58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.
Somit gilt:
(50 ⋅ 58) mod 5 ≡ (0 ⋅ 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 85116 mod 983.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 851 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 8511=851
2: 8512=8511+1=8511⋅8511 ≡ 851⋅851=724201 ≡ 713 mod 983
4: 8514=8512+2=8512⋅8512 ≡ 713⋅713=508369 ≡ 158 mod 983
8: 8518=8514+4=8514⋅8514 ≡ 158⋅158=24964 ≡ 389 mod 983
16: 85116=8518+8=8518⋅8518 ≡ 389⋅389=151321 ≡ 922 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 321114 mod 577.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 114 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 114 an und zerlegen 114 in eine Summer von 2er-Potenzen:
114 = 64+32+16+2
1: 3211=321
2: 3212=3211+1=3211⋅3211 ≡ 321⋅321=103041 ≡ 335 mod 577
4: 3214=3212+2=3212⋅3212 ≡ 335⋅335=112225 ≡ 287 mod 577
8: 3218=3214+4=3214⋅3214 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 435 mod 577
16: 32116=3218+8=3218⋅3218 ≡ 435⋅435=189225 ≡ 546 mod 577
32: 32132=32116+16=32116⋅32116 ≡ 546⋅546=298116 ≡ 384 mod 577
64: 32164=32132+32=32132⋅32132 ≡ 384⋅384=147456 ≡ 321 mod 577
321114
= 32164+32+16+2
= 32164⋅32132⋅32116⋅3212
≡ 321 ⋅ 384 ⋅ 546 ⋅ 335 mod 577
≡ 123264 ⋅ 546 ⋅ 335 mod 577 ≡ 363 ⋅ 546 ⋅ 335 mod 577
≡ 198198 ⋅ 335 mod 577 ≡ 287 ⋅ 335 mod 577
≡ 96145 mod 577 ≡ 363 mod 577
Es gilt also: 321114 ≡ 363 mod 577
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-79-Inverse zur Zahl 72.
Also bestimme x, so dass 72 ⋅ x ≡ 1 mod 79 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 72
| =>79 | = 1⋅72 + 7 |
| =>72 | = 10⋅7 + 2 |
| =>7 | = 3⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(79,72)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-3⋅2 | |||
| 2= 72-10⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -3⋅(72 -10⋅ 7)
= 1⋅7 -3⋅72 +30⋅ 7) = -3⋅72 +31⋅ 7 (=1) |
| 7= 79-1⋅72 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -3⋅72 +31⋅(79 -1⋅ 72)
= -3⋅72 +31⋅79 -31⋅ 72) = 31⋅79 -34⋅ 72 (=1) |
Es gilt also: ggt(79,72)=1 = 31⋅79 -34⋅72
oder wenn man 31⋅79 auf die linke Seite bringt:
1 -31⋅79 = -34⋅72
-34⋅72 = -31⋅79 + 1 |+79⋅72
-34⋅72 + 79⋅72 = -31⋅79 + 79⋅72 + 1
(-34 + 79) ⋅ 72 = (-31 + 72) ⋅ 79 + 1
45⋅72 = 41⋅79 + 1
Es gilt also: 45⋅72 = 41⋅79 +1
Somit 45⋅72 = 1 mod 79
45 ist also das Inverse von 72 mod 79
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 53 und q = 59. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.