Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (85 - 16000) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(85 - 16000) mod 8 ≡ (85 mod 8 - 16000 mod 8) mod 8.
85 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85
= 80
16000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16000
= 16000
Somit gilt:
(85 - 16000) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 57) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 57) mod 8 ≡ (28 mod 8 ⋅ 57 mod 8) mod 8.
28 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 24 + 4 = 3 ⋅ 8 + 4 ist.
57 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 56 + 1 = 7 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 57) mod 8 ≡ (4 ⋅ 1) mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 28732 mod 887.
Die 32 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (25).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 287 -> x
2. mod(x²,887) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2871=287
2: 2872=2871+1=2871⋅2871 ≡ 287⋅287=82369 ≡ 765 mod 887
4: 2874=2872+2=2872⋅2872 ≡ 765⋅765=585225 ≡ 692 mod 887
8: 2878=2874+4=2874⋅2874 ≡ 692⋅692=478864 ≡ 771 mod 887
16: 28716=2878+8=2878⋅2878 ≡ 771⋅771=594441 ≡ 151 mod 887
32: 28732=28716+16=28716⋅28716 ≡ 151⋅151=22801 ≡ 626 mod 887
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 15980 mod 463.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 80 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 80 an und zerlegen 80 in eine Summer von 2er-Potenzen:
80 = 64+16
1: 1591=159
2: 1592=1591+1=1591⋅1591 ≡ 159⋅159=25281 ≡ 279 mod 463
4: 1594=1592+2=1592⋅1592 ≡ 279⋅279=77841 ≡ 57 mod 463
8: 1598=1594+4=1594⋅1594 ≡ 57⋅57=3249 ≡ 8 mod 463
16: 15916=1598+8=1598⋅1598 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 463
32: 15932=15916+16=15916⋅15916 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 392 mod 463
64: 15964=15932+32=15932⋅15932 ≡ 392⋅392=153664 ≡ 411 mod 463
15980
= 15964+16
= 15964⋅15916
≡ 411 ⋅ 64 mod 463
≡ 26304 mod 463 ≡ 376 mod 463
Es gilt also: 15980 ≡ 376 mod 463
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-67-Inverse zur Zahl 38.
Also bestimme x, so dass 38 ⋅ x ≡ 1 mod 67 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 67 und 38
| =>67 | = 1⋅38 + 29 |
| =>38 | = 1⋅29 + 9 |
| =>29 | = 3⋅9 + 2 |
| =>9 | = 4⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(67,38)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 9-4⋅2 | |||
| 2= 29-3⋅9 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅9 -4⋅(29 -3⋅ 9)
= 1⋅9 -4⋅29 +12⋅ 9) = -4⋅29 +13⋅ 9 (=1) |
| 9= 38-1⋅29 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -4⋅29 +13⋅(38 -1⋅ 29)
= -4⋅29 +13⋅38 -13⋅ 29) = 13⋅38 -17⋅ 29 (=1) |
| 29= 67-1⋅38 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 13⋅38 -17⋅(67 -1⋅ 38)
= 13⋅38 -17⋅67 +17⋅ 38) = -17⋅67 +30⋅ 38 (=1) |
Es gilt also: ggt(67,38)=1 = -17⋅67 +30⋅38
oder wenn man -17⋅67 auf die linke Seite bringt:
1 +17⋅67 = +30⋅38
Es gilt also: 30⋅38 = 17⋅67 +1
Somit 30⋅38 = 1 mod 67
30 ist also das Inverse von 38 mod 67
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.