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cosh
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2100 + 211) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2100 + 211) mod 7 ≡ (2100 mod 7 + 211 mod 7) mod 7.
2100 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2100
= 2100
211 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 211
= 210
Somit gilt:
(2100 + 211) mod 7 ≡ (0 + 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 49) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 ⋅ 49) mod 6 ≡ (84 mod 6 ⋅ 49 mod 6) mod 6.
84 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 14 ⋅ 6 + 0 ist.
49 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 8 ⋅ 6 + 1 ist.
Somit gilt:
(84 ⋅ 49) mod 6 ≡ (0 ⋅ 1) mod 6 ≡ 0 mod 6.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 46416 mod 643.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 464 -> x
2. mod(x²,643) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 4641=464
2: 4642=4641+1=4641⋅4641 ≡ 464⋅464=215296 ≡ 534 mod 643
4: 4644=4642+2=4642⋅4642 ≡ 534⋅534=285156 ≡ 307 mod 643
8: 4648=4644+4=4644⋅4644 ≡ 307⋅307=94249 ≡ 371 mod 643
16: 46416=4648+8=4648⋅4648 ≡ 371⋅371=137641 ≡ 39 mod 643
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 174203 mod 307.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 203 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 203 an und zerlegen 203 in eine Summer von 2er-Potenzen:
203 = 128+64+8+2+1
1: 1741=174
2: 1742=1741+1=1741⋅1741 ≡ 174⋅174=30276 ≡ 190 mod 307
4: 1744=1742+2=1742⋅1742 ≡ 190⋅190=36100 ≡ 181 mod 307
8: 1748=1744+4=1744⋅1744 ≡ 181⋅181=32761 ≡ 219 mod 307
16: 17416=1748+8=1748⋅1748 ≡ 219⋅219=47961 ≡ 69 mod 307
32: 17432=17416+16=17416⋅17416 ≡ 69⋅69=4761 ≡ 156 mod 307
64: 17464=17432+32=17432⋅17432 ≡ 156⋅156=24336 ≡ 83 mod 307
128: 174128=17464+64=17464⋅17464 ≡ 83⋅83=6889 ≡ 135 mod 307
174203
= 174128+64+8+2+1
= 174128⋅17464⋅1748⋅1742⋅1741
≡ 135 ⋅ 83 ⋅ 219 ⋅ 190 ⋅ 174 mod 307
≡ 11205 ⋅ 219 ⋅ 190 ⋅ 174 mod 307 ≡ 153 ⋅ 219 ⋅ 190 ⋅ 174 mod 307
≡ 33507 ⋅ 190 ⋅ 174 mod 307 ≡ 44 ⋅ 190 ⋅ 174 mod 307
≡ 8360 ⋅ 174 mod 307 ≡ 71 ⋅ 174 mod 307
≡ 12354 mod 307 ≡ 74 mod 307
Es gilt also: 174203 ≡ 74 mod 307
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-71-Inverse zur Zahl 59.
Also bestimme x, so dass 59 ⋅ x ≡ 1 mod 71 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 71 und 59
| =>71 | = 1⋅59 + 12 |
| =>59 | = 4⋅12 + 11 |
| =>12 | = 1⋅11 + 1 |
| =>11 | = 11⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(71,59)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 12-1⋅11 | |||
| 11= 59-4⋅12 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅12 -1⋅(59 -4⋅ 12)
= 1⋅12 -1⋅59 +4⋅ 12) = -1⋅59 +5⋅ 12 (=1) |
| 12= 71-1⋅59 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -1⋅59 +5⋅(71 -1⋅ 59)
= -1⋅59 +5⋅71 -5⋅ 59) = 5⋅71 -6⋅ 59 (=1) |
Es gilt also: ggt(71,59)=1 = 5⋅71 -6⋅59
oder wenn man 5⋅71 auf die linke Seite bringt:
1 -5⋅71 = -6⋅59
-6⋅59 = -5⋅71 + 1 |+71⋅59
-6⋅59 + 71⋅59 = -5⋅71 + 71⋅59 + 1
(-6 + 71) ⋅ 59 = (-5 + 59) ⋅ 71 + 1
65⋅59 = 54⋅71 + 1
Es gilt also: 65⋅59 = 54⋅71 +1
Somit 65⋅59 = 1 mod 71
65 ist also das Inverse von 59 mod 71
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 59 und q = 83. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
